ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
\u22a2 ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hwU : w ∈ closure U
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
\u22a2 ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hwU : w ∈ interior U ∨ w ∈ frontier U
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
\u22a2 ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
\u22a2 ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
this : interior U ≠ univ
\u22a2 ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
this : interior U ≠ univ
z : E
hzU : z ∈ frontier (interior U)
hzw : infDist w (interior U)ᶜ = dist w z
\u22a2 ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
this : interior U ≠ univ
z : E
hzU : z ∈ frontier (interior U)
hzw : infDist w (interior U)ᶜ = dist w z
x : E
hx : x ∈ closure U
\u22a2 (norm ∘ f) w = (norm ∘ f) z
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
this : interior U ≠ univ
z : E
hzU : z ∈ frontier (interior U)
hzw : infDist w (interior U)ᶜ = dist w z
x : E
hx : x ∈ closure U
\u22a2 ball w (dist z w) ⊆ U
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
this : interior U ≠ univ
z : E
hzU : z ∈ frontier (interior U)
hzw : infDist w (interior U)ᶜ = dist w z
x : E
hx : x ∈ closure U
\u22a2 ball w (infDist w (interior U)ᶜ) ⊆ U
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
f : ι → LowerSet α
\u22a2 a ∈ ⨆ i, f i ↔ ∃ i, a ∈ f i
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
f : ι → LowerSet α
\u22a2 a ∈ ⋃ i, ↑(f i) ↔ ∃ i, a ∈ f i
-- Mathlib/CategoryTheory/ConcreteCategory/Basic.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝ : ConcreteCategory D
F G : C ⥤ D
φ : F ⟶ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
x : (forget D).obj (F.obj X)
\u22a2 (φ.app Y) ((F.map f) x) = (G.map f) ((φ.app X) x)
-- Mathlib/Data/Finset/SMulAntidiagonal.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder G
inst✝² : LinearOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hns : s.Nonempty
hnt : t.Nonempty
a : G
b : P
\u22a2 (a, b) ∈ SMulAntidiagonal ⋯ ⋯ (hs.min hns • ht.min hnt) ↔ (a, b) ∈ {(hs.min hns, ht.min hnt)}
-- Mathlib/Data/Finset/SMulAntidiagonal.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder G
inst✝² : LinearOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hns : s.Nonempty
hnt : t.Nonempty
a : G
b : P
\u22a2 a ∈ s ∧ b ∈ t ∧ a • b = hs.min hns • ht.min hnt ↔ a = hs.min hns ∧ b = ht.min hnt
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s : Finset α
t : Finset β
\u22a2 mulRothNumber s * mulRothNumber t ≤ mulRothNumber (s ×ˢ t)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s : Finset α
t : Finset β
u : Finset α
hus : u ⊆ s
hucard : u.card = mulRothNumber s
hu : ThreeGPFree ↑u
\u22a2 mulRothNumber s * mulRothNumber t ≤ mulRothNumber (s ×ˢ t)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s : Finset α
t : Finset β
u : Finset α
hus : u ⊆ s
hucard : u.card = mulRothNumber s
hu : ThreeGPFree ↑u
v : Finset β
hvt : v ⊆ t
hvcard : v.card = mulRothNumber t
hv : ThreeGPFree ↑v
\u22a2 mulRothNumber s * mulRothNumber t ≤ mulRothNumber (s ×ˢ t)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s : Finset α
t : Finset β
u : Finset α
hus : u ⊆ s
hucard : u.card = mulRothNumber s
hu : ThreeGPFree ↑u
v : Finset β
hvt : v ⊆ t
hvcard : v.card = mulRothNumber t
hv : ThreeGPFree ↑v
\u22a2 (u ×ˢ v).card ≤ mulRothNumber (s ×ˢ t)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s : Finset α
t : Finset β
u : Finset α
hus : u ⊆ s
hucard : u.card = mulRothNumber s
hu : ThreeGPFree ↑u
v : Finset β
hvt : v ⊆ t
hvcard : v.card = mulRothNumber t
hv : ThreeGPFree ↑v
\u22a2 ThreeGPFree ↑(u ×ˢ v)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s : Finset α
t : Finset β
u : Finset α
hus : u ⊆ s
hucard : u.card = mulRothNumber s
hu : ThreeGPFree ↑u
v : Finset β
hvt : v ⊆ t
hvcard : v.card = mulRothNumber t
hv : ThreeGPFree ↑v
\u22a2 ThreeGPFree (↑u ×ˢ ↑v)
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
\u22a2 (∀ (f : ℕ →o Submodule R M), ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f n = f m) ↔ IsNoetherian R M
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H✝ : M.LinearDisjoint N
H : M.LinearDisjoint M
inst✝ : Module.Flat R ↥M
hc : ∀ (m n : ↥M), Commute ↑m ↑n
\u22a2 Module.rank R ↥M ≤ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H✝ : M.LinearDisjoint N
H : M.LinearDisjoint M
inst✝ : Module.Flat R ↥M
hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ M)), Commute ↑m ↑n
\u22a2 Module.rank R ↥(M ⊓ M) ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hε : 0 < ε
\u22a2 Disjoint (closedBall x δ) (ball y ε) ↔ δ + ε ≤ dist x y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows
hx : x.SieveCompatible
inst✝ : HasPullbacks C
K : Pretopology C
\u22a2 (∀ (E : A), Presieve.IsSheaf (Pretopology.toGrothendieck C K) (P ⋙ coyoneda.obj (op E))) ↔ ∀ ⦃X : C⦄, ∀ R ∈ K.coverings X, Nonempty (IsLimit (P.mapCone (generate R).arrows.cocone.op))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows
hx : x.SieveCompatible
inst✝ : HasPullbacks C
K : Pretopology C
\u22a2 (∀ (E : A) {X : C}, ∀ R ∈ K.coverings X, IsSheafFor (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) R) ↔ ∀ ⦃X : C⦄, ∀ R ∈ K.coverings X, Nonempty (IsLimit (P.mapCone (generate R).arrows.cocone.op))
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x y : PartENat
n : ℕ
h : x + y = ↑n
\u22a2 x = ↑(n - y.get ⋯)
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
y : PartENat
n x : ℕ
h : ↑x + y = ↑n
\u22a2 ↑x = ↑(n - y.get ⋯)
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
n x y : ℕ
h : ↑x + ↑y = ↑n
\u22a2 ↑x = ↑(n - (↑y).get ⋯)
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
n x y : ℕ
h✝ : ↑x + ↑y = ↑n
h : x + y = n
\u22a2 ↑x = ↑(n - (↑y).get ⋯)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Fin.lean
n : ℕ
a : Fin n
\u22a2 (Ici a).card = n - ↑a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
\u22a2 2 • ↑π = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝³ : Countable ι✝
f✝ g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_6
f : ι → α → M
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, StronglyMeasurable (f i)
\u22a2 StronglyMeasurable fun a => ∏ i ∈ s, f i a
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
f : Y × Z → W
g : X → Y
h : X → Z
x : X
y : Y × Z
hf : ContinuousAt f (g x, h x)
hg : ContinuousAt g x
hh : ContinuousAt h x
e : (g x, h x) = y
\u22a2 ContinuousAt (fun x => f (g x, h x)) x
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → E
h1f : StronglyMeasurable f
\u22a2 ∫⁻ (a : β × γ), ↑‖f a‖₊ ∂(κ ⊗ₖ η) a < ⊤ ↔ (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, ∫⁻ (a : γ), ↑‖f (x, a)‖₊ ∂η (a, x) < ⊤) ∧ ∫⁻ (a_1 : β), ↑‖∫ (y : γ), ‖f (a_1, y)‖ ∂η (a, a_1)‖₊ ∂κ a < ⊤
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → E
h1f : StronglyMeasurable f
\u22a2 ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ↑‖f (b, c)‖₊ ∂η (a, b) ∂κ a < ⊤ ↔ (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, ∫⁻ (a : γ), ↑‖f (x, a)‖₊ ∂η (a, x) < ⊤) ∧ ∫⁻ (a_1 : β), ↑‖∫ (y : γ), ‖f (a_1, y)‖ ∂η (a, a_1)‖₊ ∂κ a < ⊤
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → E
h1f : StronglyMeasurable f
this : ∀ (x : β), ∀ᵐ (y : γ) ∂η (a, x), 0 ≤ ‖f (x, y)‖
\u22a2 ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ↑‖f (b, c)‖₊ ∂η (a, b) ∂κ a < ⊤ ↔ (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, ∫⁻ (a : γ), ↑‖f (x, a)‖₊ ∂η (a, x) < ⊤) ∧ ∫⁻ (a_1 : β), ↑‖∫ (y : γ), ‖f (a_1, y)‖ ∂η (a, a_1)‖₊ ∂κ a < ⊤
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → E
h1f : StronglyMeasurable f
this : ∀ (x : β), ∀ᵐ (y : γ) ∂η (a, x), 0 ≤ ‖f (x, y)‖
\u22a2 ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ↑‖f (b, c)‖₊ ∂η (a, b) ∂κ a < ⊤ ↔ (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, ∫⁻ (a : γ), ↑‖f (x, a)‖₊ ∂η (a, x) < ⊤) ∧ ∫⁻ (a_1 : β), ENNReal.ofReal (∫⁻ (a : γ), ↑‖f (a_1, a)‖₊ ∂η (a, a_1)).toReal ∂κ a < ⊤
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → E
h1f : StronglyMeasurable f
this✝ : ∀ (x : β), ∀ᵐ (y : γ) ∂η (a, x), 0 ≤ ‖f (x, y)‖
this : ∀ {p q r : Prop}, (r → p) → ((r ↔ p ∧ q) ↔ p → (r ↔ q))
\u22a2 ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), ↑‖f (b, c)‖₊ ∂η (a, b) ∂κ a < ⊤ ↔ (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, ∫⁻ (a : γ), ↑‖f (x, a)‖₊ ∂η (a, x) < ⊤) ∧ ∫⁻ (a_1 : β), ENNReal.ofReal (∫⁻ (a : γ), ↑‖f (a_1, a)‖₊ ∂η (a, a_1)).toReal ∂κ a < ⊤
-- Mathlib/Data/Finset/Powerset.lean
α : Type u_1
s✝ t✝ s t : Finset α
a : α
ht : t ∈ s.powerset
h : a ∉ s
\u22a2 a ∉ t
-- Mathlib/Data/Finset/Powerset.lean
α : Type u_1
s✝ t✝ s t : Finset α
a : α
ht : t ∈ s.powerset
h : a ∉ s
\u22a2 a ∈ t → a ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Nonempty α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
x : F
m : MeasurableSpace α
\u22a2 setToSimpleFunc T (const α x) = (T Set.univ) x
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
i : ι
r : ℝ
hr : 0 < r
\u22a2 (p i).ball 0 r = ({i}.sup p).ball 0 r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 < ε
\u22a2 Disjoint (ball x δ) (ball y ε) ↔ δ + ε ≤ dist x y
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 < ε
h : Disjoint (ball x δ) (ball y ε)
hxy : dist x y < δ + ε
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 < ε
h : Disjoint (ball x δ) (ball y ε)
hxy : dist x y < ε + δ
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 < ε
h : Disjoint (ball x δ) (ball y ε)
hxy : dist x y < ε + δ
z : E
hxz : dist x z < δ
hzy : dist z y < ε
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
hε : 0 < ε
h : Disjoint (ball x δ) (ball y ε)
hxy : dist x y < ε + δ
z : E
hxz : dist z x < δ
hzy : dist z y < ε
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
H : Type u_6
inst✝ : Monoid H
f : G →* H
hf : Injective ⇑f
x : G
\u22a2 orderOf (f x) = orderOf x
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : CompactSpace G
\u22a2 UniformContinuous fun p => p.1 / p.2
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : CompactSpace G
\u22a2 Continuous fun p => p.1 / p.2
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
\u22a2 a / b * c = a * (c / b)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Preorder α
a b✝ c b : α
\u22a2 ⋃ a, Ico a b = Iio b
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Symmetric.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Fintype τ
n : ℕ
e✝ : Perm σ
\u22a2 (rename ⇑e✝) (esymm σ R n) = esymm σ R n
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
n : ℕ
hp : ∀ n' ≥ n, ¬p n'
\u22a2 nth p n = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
n : ℕ
hp : ∀ n' ≥ n, ¬p n'
this : setOf p ⊆ ↑(range n)
\u22a2 nth p n = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
n : ℕ
hp : ∀ n' ≥ n, ¬p n'
this : setOf p ⊆ ↑(range n)
\u22a2 ⋯.toFinset.card ≤ n
-- Mathlib/Data/Nat/Fib/Basic.lean
n : ℕ
\u22a2 fib (n + 2) = fib n + fib (n + 1)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Set E
hs : Absorbent 𝕜 s
h : ∀ x ∈ s, BddAbove (range fun x_1 => (p x_1) x)
\u22a2 BddAbove (range p)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Set E
hs : Absorbent 𝕜 s
h : ∀ x ∈ s, BddAbove (range fun x_1 => (p x_1) x)
\u22a2 ∀ (x : E), BddAbove (range fun i => (p i) x)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Set E
hs : Absorbent 𝕜 s
h : ∀ x ∈ s, BddAbove (range fun x_1 => (p x_1) x)
x : E
\u22a2 BddAbove (range fun i => (p i) x)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Set E
hs : Absorbent 𝕜 s
h : ∀ x ∈ s, BddAbove (range fun x_1 => (p x_1) x)
x : E
c : 𝕜
hc₀ : c ≠ 0
hc : c • x ∈ s
\u22a2 BddAbove (range fun i => (p i) x)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Set E
hs : Absorbent 𝕜 s
h : ∀ x ∈ s, BddAbove (range fun x_1 => (p x_1) x)
x : E
c : 𝕜
hc₀ : c ≠ 0
hc : c • x ∈ s
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds (range fun x_1 => (p x_1) (c • x))
\u22a2 BddAbove (range fun i => (p i) x)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Set E
hs : Absorbent 𝕜 s
h : ∀ x ∈ s, BddAbove (range fun x_1 => (p x_1) x)
x : E
c : 𝕜
hc₀ : c ≠ 0
hc : c • x ∈ s
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds (range fun x_1 => (p x_1) (c • x))
i : ι
\u22a2 ‖c‖ * (p i) x ≤ M
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c✝ u : αˣ
a c : α
h : a * ↑b⁻¹ = c
\u22a2 a = c * ↑b
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c✝ u : αˣ
a c : α
h : a = c * ↑b
\u22a2 a * ↑b⁻¹ = c
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝³ : CommRing R₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
inst✝ : Fintype ι
\u22a2 ∑ i : ι, e.toMatrix v i j • e i = v j
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Nontrivial α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
P : α → Prop
\u22a2 (∀ (i : α), i ≠ ⊥ → P i) ↔ ∀ (i : α), P (succ i)
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Nontrivial α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
P : α → Prop
h : ∀ (i : α), P (succ i)
i : α
hi : i ≠ ⊥
\u22a2 P i
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Nontrivial α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
P : α → Prop
h : ∀ (i : α), P (succ i)
j : ℕ
hi : Order.succ^[j] ⊥ ≠ ⊥
\u22a2 P (Order.succ^[j] ⊥)
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Nontrivial α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
P : α → Prop
h : ∀ (i : α), P (succ i)
j : ℕ
hi : Order.succ^[j] ⊥ ≠ ⊥
hj : 0 < j
\u22a2 P (Order.succ^[j] ⊥)
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Nontrivial α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
P : α → Prop
h : ∀ (i : α), P (succ i)
j : ℕ
hi : Order.succ^[j] ⊥ ≠ ⊥
hj : 0 < j
\u22a2 P (Order.succ^[j.pred.succ] ⊥)
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Nontrivial α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
P : α → Prop
h : ∀ (i : α), P (succ i)
j : ℕ
hi : Order.succ^[j] ⊥ ≠ ⊥
hj : 0 < j
\u22a2 P (Order.succ (Order.succ^[j.pred] ⊥))