ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/CommShift.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.82739, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift A
X : C
a b : A
h : a + b = 0
\u22a2 F.map ((shiftFunctorAdd' C a b 0 h).inv.app X ≫ (shiftFunctorZero C A).hom.app X) = (F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd' D a b 0 h).inv.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctorZero D A).hom.app (F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/CommShift.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.82739, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift A
X : C
a b : A
h : a + b = 0
eq : (F.commShiftIso 0).hom.app X = (CommShift.isoAdd' h (F.commShiftIso a) (F.commShiftIso b)).hom.app X
\u22a2 F.map ((shiftFunctorAdd' C a b 0 h).inv.app X ≫ (shiftFunctorZero C A).hom.app X) = (F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd' D a b 0 h).inv.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctorZero D A).hom.app (F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/CommShift.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.82739, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift A
X : C
a b : A
h : a + b = 0
eq : F.map ((shiftFunctorZero C A).hom.app X) ≫ (shiftFunctorZero D A).inv.app (F.obj X) = F.map ((shiftFunctorAdd' C a b 0 h).hom.app X) ≫ (F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd' D a b 0 h).inv.app (F.obj X)
\u22a2 F.map ((shiftFunctorAdd' C a b 0 h).inv.app X ≫ (shiftFunctorZero C A).hom.app X) = (F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd' D a b 0 h).inv.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctorZero D A).hom.app (F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/CommShift.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.82739, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift A
X : C
a b : A
h : a + b = 0
eq : F.map ((shiftFunctorZero C A).hom.app X) ≫ (shiftFunctorZero D A).inv.app (F.obj X) = F.map ((shiftFunctorAdd' C a b 0 h).hom.app X) ≫ (F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd' D a b 0 h).inv.app (F.obj X)
\u22a2 F.map ((shiftFunctorAdd' C a b 0 h).hom.app X) ≫ F.map ((shiftFunctorAdd' C a b 0 h).inv.app X) ≫ F.map ((shiftFunctorZero C A).hom.app X) = F.map ((shiftFunctorZero C A).hom.app X) ≫ (shiftFunctorZero D A).inv.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctorZero D A).hom.app (F.obj X)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
E : Set α
\u22a2 cthickening δ E = ⋂ ε, ⋂ (_ : δ < ε), thickening ε E
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
E : Set α
\u22a2 ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (Ioi δ ∩ Ioc δ ε).Nonempty
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
E : Set α
\u22a2 ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (Ioc δ ε).Nonempty
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
\u22a2 ¬M.Dep X ↔ M.Indep X
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
c : ℝ
x : V₁
h : ‖x‖ ≤ c
\u22a2 0 ≤ ‖f‖
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M''
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
B : BilinForm R M
B₁✝ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B₁ B₂ : BilinForm K V
b₂ : B₂.Nondegenerate
v : V
\u22a2 B₂ ((↑(B₂.toDual b₂).symm ∘ₗ B₁) v) = B₁ v
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M''
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
B : BilinForm R M
B₁✝ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B₁ B₂ : BilinForm K V
b₂ : B₂.Nondegenerate
v : V
\u22a2 B₂ ((B₂.toDual b₂).symm (B₁ v)) = B₁ v
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Dissociation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : CommGroup β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s t u : Finset α
a : α
d : ℕ
ht : t ⊆ s
hu : u ⊆ s
\u22a2 ∏ a ∈ s, a ^ ((↑t).indicator 1 - (↑u).indicator 1) a = (∏ a ∈ t, a) / ∏ a ∈ u, a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c✝ d : R
n m : ℕ
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
c : S
a✝ : Nontrivial S
\u22a2 (X + C c).nextCoeff = c
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
h : s.Terminates
\u22a2 s.think.length = s.length + 1
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
h : s.Terminates
\u22a2 s.think.length ≤ s.length + 1
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
h : s.Terminates
\u22a2 s.length + 1 ≤ s.think.length
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → G
C : ℝ
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
\u22a2 ∫ (x : α), C ∂μ = C * (μ univ).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → E
p : ℝ≥0∞
hf : Memℒp f p μ
hp : 1 ≤ p
x : X
\u22a2 IntegrableAtFilter f (𝓝 x) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → E
p : ℝ≥0∞
hf : Memℒp f p μ
hp : 1 ≤ p
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
h'U : μ U < ⊤
\u22a2 IntegrableAtFilter f (𝓝 x) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → E
p : ℝ≥0∞
hf : Memℒp f p μ
hp : 1 ≤ p
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
h'U : μ U < ⊤
this : Fact (μ U < ⊤)
\u22a2 IntegrableOn f U μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → E
p : ℝ≥0∞
hf : Memℒp f p μ
hp : 1 ≤ p
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
h'U : μ U < ⊤
this : Fact (μ U < ⊤)
\u22a2 Memℒp f 1 (μ.restrict U)
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t✝ s : Set A
t : Set B
\u22a2 adjoin R (⇑(LinearMap.inl R A B) '' (s ∪ {1}) ∪ ⇑(LinearMap.inr R A B) '' (t ∪ {1})) = (adjoin R s).prod (adjoin R t)
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t✝ s : Set A
t : Set B
\u22a2 adjoin R (⇑(LinearMap.inl R A B) '' (s ∪ {1}) ∪ ⇑(LinearMap.inr R A B) '' (t ∪ {1})) ≤ (adjoin R s).prod (adjoin R t)
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t✝ s : Set A
t : Set B
\u22a2 (adjoin R s).prod (adjoin R t) ≤ adjoin R (⇑(LinearMap.inl R A B) '' (s ∪ {1}) ∪ ⇑(LinearMap.inr R A B) '' (t ∪ {1}))
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
\u22a2 IsQuasiregular x ↔ IsUnit (1 + x)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)
\u22a2 IsQuasiregular x
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)
\u22a2 ∃ y, y + x + x * y = 0 ∧ x + y + y * x = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)
\u22a2 ↑hx.unit⁻¹ - 1 + x + x * (↑hx.unit⁻¹ - 1) = 0 ∧ x + (↑hx.unit⁻¹ - 1) + (↑hx.unit⁻¹ - 1) * x = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)
\u22a2 ↑hx.unit⁻¹ - 1 + x + x * (↑hx.unit⁻¹ - 1) = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)
\u22a2 x + (↑hx.unit⁻¹ - 1) + (↑hx.unit⁻¹ - 1) * x = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)
this : (1 + x) * ↑hx.unit⁻¹ - 1 = 1 - 1
\u22a2 ↑hx.unit⁻¹ - 1 + x + x * (↑hx.unit⁻¹ - 1) = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)
this : ↑hx.unit⁻¹ * (1 + x) - 1 = 1 - 1
\u22a2 x + (↑hx.unit⁻¹ - 1) + (↑hx.unit⁻¹ - 1) * x = 0
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
a b m n : ℕ+
cop : m.Coprime n
am : a ∣ m
bn : b ∣ n
\u22a2 a = (a * b).gcd m
-- Mathlib/Algebra/GroupPower/IterateHom.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Monoid G
a : G
n : ℕ
inst✝ : MulAction G H
b : H
\u22a2 (fun x => a • x)^[Nat.zero] b = a ^ Nat.zero • b
-- Mathlib/Algebra/GroupPower/IterateHom.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Monoid G
a : G
n✝ : ℕ
inst✝ : MulAction G H
b : H
n : ℕ
ih : (fun x => a • x)^[n] b = a ^ n • b
\u22a2 (fun x => a • x)^[n.succ] b = a ^ n.succ • b
-- Mathlib/Data/Nat/SuccPred.lean
m n✝ a n : ℕ
\u22a2 pred^[n + 1] a = a - (n + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/SuccPred.lean
m n✝ a n : ℕ
\u22a2 (pred ∘ pred^[n]) a = (a - n).pred
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
v : n → α
\u22a2 IsUnit (diagonal v) ↔ IsUnit v
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H K : Subgroup G
\u22a2 Codisjoint (H.subgroupOf (H ⊔ K)) (K.subgroupOf (H ⊔ K))
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H K : Subgroup G
\u22a2 H ≤ H ⊔ K
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H K : Subgroup G
\u22a2 K ≤ H ⊔ K
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → f x ≤ 0
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → g x ≤ 0
hfg : MonovaryOn f g s
\u22a2 ConvexOn 𝕜 s (f • g)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → f x ≤ 0
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → g x ≤ 0
hfg : MonovaryOn f g s
\u22a2 ConvexOn 𝕜 s (-f • -g)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/AdjointAction.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
h : LieAlgebra.center R L = ⊥
\u22a2 Function.Injective ⇑(ad R L)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Action.lean
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : SMul M α
inst✝¹ : MeasurableSMul M α
c : M
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure M α μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (Measure.map (fun x => c • x) μ) s = μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Action.lean
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : SMul M α
inst✝¹ : MeasurableSMul M α
c : M
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure M α μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 μ ((fun x => c • x) ⁻¹' s) = μ s
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} D
P : MorphismProperty D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
\u22a2 P.inverseImage F f ↔ P (F.map f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ : Measure Ω
\u22a2 levyProkhorovDist μ μ = 0
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n : ℤ
h : 1 < a.natAbs
\u22a2 Function.Injective (natAbs ∘ fun x => a ^ x)
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n : ℤ
h : 1 < a.natAbs
x✝ : ℕ
\u22a2 (natAbs ∘ fun x => a ^ x) x✝ = a.natAbs ^ x✝
-- Mathlib/Algebra/Star/Center.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
\u22a2 ∀ (a_1 : R), star a * a_1 = a_1 * star a
-- Mathlib/Algebra/Star/Center.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
\u22a2 star a * (b * c) = star a * (star (star b) * star (star c))
-- Mathlib/Algebra/Star/Center.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
\u22a2 star a * (star (star b) * star (star c)) = star a * star (star c * star b)
-- Mathlib/Algebra/Star/Center.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
\u22a2 star a * star (star c * star b) = star (star c * star b * a)
-- Mathlib/Algebra/Star/Center.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
\u22a2 star (star c * star b * a) = star (star c * (star b * a))
-- Mathlib/Algebra/Star/Center.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
\u22a2 star (star c * (star b * a)) = star (star b * a) * c
-- Mathlib/Algebra/Star/Center.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
\u22a2 star (star b * a) * c = star a * b * c
-- Mathlib/Algebra/Star/Center.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
\u22a2 b * star a * c = star (star c * star (b * star a))
-- Mathlib/Algebra/Star/Center.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
\u22a2 star (star c * star (b * star a)) = star (star c * (a * star b))
-- Mathlib/Algebra/Star/Center.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
\u22a2 star (star c * (a * star b)) = star (star c * a * star b)
-- Mathlib/Algebra/Star/Center.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
\u22a2 star (star c * a * star b) = b * (star a * c)
-- Mathlib/Algebra/Star/Center.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
\u22a2 b * c * star a = star (a * star (b * c))
-- Mathlib/Algebra/Star/Center.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
\u22a2 star (a * star (b * c)) = star (a * (star c * star b))
-- Mathlib/Algebra/Star/Center.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
\u22a2 star (a * (star c * star b)) = star (a * star c * star b)
-- Mathlib/Algebra/Star/Center.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
\u22a2 star (a * star c * star b) = b * star (a * star c)
-- Mathlib/Algebra/Star/Center.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R
\u22a2 b * star (a * star c) = b * (c * star a)
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
R : L.Relations 2
t₁ t₂ : L.Term (α ⊕ Fin l)
\u22a2 (R.boundedFormula₂ t₁ t₂).Realize v xs ↔ RelMap R ![realize (Sum.elim v xs) t₁, realize (Sum.elim v xs) t₂]
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
R : L.Relations 2
t₁ t₂ : L.Term (α ⊕ Fin l)
\u22a2 (RelMap R fun i => realize (Sum.elim v xs) (![t₁, t₂] i)) = RelMap R ![realize (Sum.elim v xs) t₁, realize (Sum.elim v xs) t₂]
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
R : L.Relations 2
t₁ t₂ : L.Term (α ⊕ Fin l)
\u22a2 realize (Sum.elim v xs) (![t₁, t₂] 0) = ![realize (Sum.elim v xs) t₁, realize (Sum.elim v xs) t₂] 0
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
R : L.Relations 2
t₁ t₂ : L.Term (α ⊕ Fin l)
\u22a2 ∀ (i : Fin 1), realize (Sum.elim v xs) (![t₁, t₂] i.succ) = ![realize (Sum.elim v xs) t₁, realize (Sum.elim v xs) t₂] i.succ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
\u22a2 ∃ δ > 0, ∀ (s : Set α), μ s < δ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ε₂ : ℝ≥0∞
hε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ε : ε₂ < ε
\u22a2 ∃ δ > 0, ∀ (s : Set α), μ s < δ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ε₂ : ℝ≥0∞
hε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ε : ε₂ < ε
ε₁ : ℝ≥0∞
hε₁0 : 0 < ε₁
hε₁₂ : ε₁ < ε₂
\u22a2 ∃ δ > 0, ∀ (s : Set α), μ s < δ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ε₂ : ℝ≥0∞
hε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ε : ε₂ < ε
ε₁ : ℝ≥0∞
hε₁0 : 0 < ε₁
hε₁₂ : ε₁ < ε₂
φ : α →ₛ ℝ≥0
left✝ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x
hφ : ∀ (ψ : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal (ψ - φ)).lintegral μ < ε₁
\u22a2 ∃ δ > 0, ∀ (s : Set α), μ s < δ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ε₂ : ℝ≥0∞
hε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ε : ε₂ < ε
ε₁ : ℝ≥0∞
hε₁0 : 0 < ε₁
hε₁₂ : ε₁ < ε₂
φ : α →ₛ ℝ≥0
left✝ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x
hφ : ∀ (ψ : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal (ψ - φ)).lintegral μ < ε₁
C : ℝ≥0
hC : ∀ (x : α), ↑φ x ≤ C
\u22a2 ∃ δ > 0, ∀ (s : Set α), μ s < δ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ε₂ : ℝ≥0∞
hε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ε : ε₂ < ε
ε₁ : ℝ≥0∞
hε₁0 : 0 < ε₁
hε₁₂ : ε₁ < ε₂
φ : α →ₛ ℝ≥0
left✝ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x
hφ : ∀ (ψ : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal (ψ - φ)).lintegral μ < ε₁
C : ℝ≥0
hC : ∀ (x : α), ↑φ x ≤ C
\u22a2 ∀ (s : Set α), μ s < (ε₂ - ε₁) / ↑C → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
ε₂ : ℝ≥0∞
hε₂0 : 0 < ε₂
hε₂ε : ε₂ < ε
ε₁ : ℝ≥0∞
hε₁0 : 0 < ε₁
hε₁₂ : ε₁ < ε₂
φ : α →ₛ ℝ≥0
left✝ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x
hφ : ∀ (ψ : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal (ψ - φ)).lintegral μ < ε₁
C : ℝ≥0
hC : ∀ (x : α), ↑φ x ≤ C
s : Set α
hs : μ s < (ε₂ - ε₁) / ↑C
\u22a2 ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ε₂