ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
m : M
s : ↥S
\u22a2 1 • mk m s = mk m s
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
m : M
s : ↥S
\u22a2 IsLocalization.mk' T 1 1 • mk m s = mk m s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
x : ℝ
h : |x| < 1
n : ℕ
F : ℝ → ℝ := fun x => ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - x)
F' : ℝ → ℝ := fun x => -x ^ n / (1 - x)
\u22a2 |∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - x)| ≤ |x| ^ (n + 1) / (1 - |x|)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
x : ℝ
h : |x| < 1
n : ℕ
F : ℝ → ℝ := fun x => ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - x)
F' : ℝ → ℝ := fun x => -x ^ n / (1 - x)
A : ∀ y ∈ Set.Ioo (-1) 1, HasDerivAt F (F' y) y
\u22a2 |∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - x)| ≤ |x| ^ (n + 1) / (1 - |x|)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
x : ℝ
h : |x| < 1
n : ℕ
F : ℝ → ℝ := fun x => ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - x)
F' : ℝ → ℝ := fun x => -x ^ n / (1 - x)
A : ∀ y ∈ Set.Ioo (-1) 1, HasDerivAt F (F' y) y
B : ∀ y ∈ Set.Icc (-|x|) |x|, |F' y| ≤ |x| ^ n / (1 - |x|)
\u22a2 |∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - x)| ≤ |x| ^ (n + 1) / (1 - |x|)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
x : ℝ
h : |x| < 1
n : ℕ
F : ℝ → ℝ := fun x => ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - x)
F' : ℝ → ℝ := fun x => -x ^ n / (1 - x)
A : ∀ y ∈ Set.Ioo (-1) 1, HasDerivAt F (F' y) y
B : ∀ y ∈ Set.Icc (-|x|) |x|, |F' y| ≤ |x| ^ n / (1 - |x|)
C : ‖F x - F 0‖ ≤ |x| ^ n / (1 - |x|) * ‖x - 0‖
\u22a2 |∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - x)| ≤ |x| ^ (n + 1) / (1 - |x|)
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
v : Vector α 1
\u22a2 v.toList = [v.head]
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
v : Vector α 1
\u22a2 (v.head ::ᵥ v.tail).toList = [(v.head ::ᵥ v.tail).head]
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β ι : Type u
c : ι → Cardinal.{v}
\u22a2 lift.{w, max v u} (prod c) = prod fun i => lift.{w, v} (c i)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β ι : Type u
c : ι → Type v
\u22a2 lift.{w, max v u} (prod fun i => #(c i)) = prod fun i => lift.{w, v} ((fun i => #(c i)) i)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β ι : Type u
c : ι → Type v
\u22a2 #(ULift.{w, max u v} ((i : ι) → c i)) = #((i : ι) → ULift.{w, v} (c i))
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α✝
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α✝
a b : α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
\u22a2 ¬BddAbove s ↔ ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, x < y
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u✝ v : Finset α
a b : α
s₁ s₂ u : Finset α
\u22a2 s₁ ⊆ s₂ → s₁ ⊆ u → s₁ ⊆ s₂ ∩ u
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Biproducts.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
J : Type w
f : J → ModuleCat R
s : Fan f
x y : ↑s.pt
\u22a2 (fun x j => (s.π.app { as := j }) x) (x + y) = (fun x j => (s.π.app { as := j }) x) x + (fun x j => (s.π.app { as := j }) x) y
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Biproducts.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
J : Type w
f : J → ModuleCat R
s : Fan f
x y : ↑s.pt
\u22a2 (fun j => (s.π.app { as := j }) x + (s.π.app { as := j }) y) = (fun j => (s.π.app { as := j }) x) + fun j => (s.π.app { as := j }) y
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Biproducts.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
J : Type w
f : J → ModuleCat R
s : Fan f
r : R
x : ↑s.pt
\u22a2 { toFun := fun x j => (s.π.app { as := j }) x, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) = (RingHom.id R) r • { toFun := fun x j => (s.π.app { as := j }) x, map_add' := ⋯ }.toFun x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Biproducts.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
J : Type w
f : J → ModuleCat R
s : Fan f
r : R
x : ↑s.pt
\u22a2 (fun j => r • (s.π.app { as := j }) x) = (RingHom.id R) r • fun j => (s.π.app { as := j }) x
-- Mathlib/Order/LatticeIntervals.lean
α : Type u_1
a : α
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : BoundedOrder α
x y : ↑(Iic a)
\u22a2 IsCompl x y ↔ Disjoint ↑x ↑y ∧ ↑x ⊔ ↑y = a
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
α : Type u_9
s : Set (α → Prop)
a : α
\u22a2 sSup s a ↔ ∃ r ∈ s, r a
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
α : Type u_9
s : Set (α → Prop)
a : α
\u22a2 ⨆ f, ↑f a ↔ ∃ r ∈ s, r a
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
\u22a2 ∃! k, 0 ≤ g - k • a ∧ g - k • a < a
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Cones.lean
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
A : Cone F
X✝ Y✝ : J
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 ((const J).obj (G.obj A.pt)).map f✝ ≫ (fun j => G.map (A.π.app j)) Y✝ = (fun j => G.map (A.π.app j)) X✝ ≫ (F ⋙ G).map f✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Cones.lean
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
A : Cone F
X✝ Y✝ : J
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 ((const J).obj (G.obj A.pt)).map f✝ ≫ (fun j => G.map (A.π.app j)) Y✝ = G.map (A.π.app X✝ ≫ F.map f✝)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Cones.lean
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
X✝ Y✝ : Cone F
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J
\u22a2 G.map f.hom ≫ ((fun A => { pt := G.obj A.pt, π := { app := fun j => G.map (A.π.app j), naturality := ⋯ } }) Y✝).π.app j = ((fun A => { pt := G.obj A.pt, π := { app := fun j => G.map (A.π.app j), naturality := ⋯ } }) X✝).π.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Lax.lean
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : LaxFunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
\u22a2 (λ_ (F.map f)).hom = F.mapId a ▷ F.map f ≫ F.mapComp (𝟙 a) f ≫ F.map₂ (λ_ f).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Lax.lean
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : LaxFunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
\u22a2 (F.map₂Iso (λ_ f)).inv = (λ_ (F.map f)).inv ≫ F.mapId a ▷ F.map f ≫ F.mapComp (𝟙 a) f
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
f : R
\u22a2 Subsingleton (LocalizedModule (Submonoid.powers f) M) ↔ Module.support R M ⊆ PrimeSpectrum.zeroLocus {f}
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
f : R
\u22a2 (∀ (m : M), ∃ r ∈ Submonoid.powers f, r • m = 0) ↔ Module.support R M ⊆ PrimeSpectrum.zeroLocus {f}
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
i : ℕ
\u22a2 iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fun x => 0) s x = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ V = n
hc : Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps
\u22a2 sx₁.circumcenter = sx₂.circumcenter
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ V = n
hc : Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps
r : P
hr : ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumcenter = r
\u22a2 sx₁.circumcenter = sx₂.circumcenter
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : u.r = 0
\u22a2 x✝.reduce.IsReduced
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : u.r = 0
\u22a2 u.finish.IsReduced
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : ¬u.r = 0
\u22a2 x✝.reduce.IsReduced
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : ¬u.r = 0
this : sizeOf u.step < sizeOf u
\u22a2 x✝.reduce.IsReduced
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : ¬u.r = 0
this : sizeOf u.step < sizeOf u
\u22a2 u.step.reduce.IsReduced
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ
\u22a2 (W.map f).φ n = Polynomial.map (mapRingHom f) (W.φ n)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ
\u22a2 C X * Polynomial.map (mapRingHom f) (W.ψ n) ^ 2 - Polynomial.map (mapRingHom f) (W.ψ (n + 1)) * Polynomial.map (mapRingHom f) (W.ψ (n - 1)) = Polynomial.map (mapRingHom f) (C X * W.ψ n ^ 2 - W.ψ (n + 1) * W.ψ (n - 1))
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
hf : BddBelow (range f)
\u22a2 Iic (⨅ i, f i) = ⋂ i, Iic (f i)
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
hf : BddBelow (range f)
\u22a2 Iic (⨅ i, f i) ⊆ ⋂ i, Iic (f i)
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
hf : BddBelow (range f)
\u22a2 ⋂ i, Iic (f i) ⊆ Iic (⨅ i, f i)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
\u22a2 b ∈ Ioc a b ↔ a < b
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
\u22a2 μ[f|m] ≤ᶠ[ae μ] μ[g|m]
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a✝ b✝ c d a b : α
n : ℕ
\u22a2 (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
\u22a2 WithTop.map (fun x => ↑x) ⋯.order - ↑(Exists.choose hf) = ⊤ ↔ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
h : ⋯.order = ⊤
\u22a2 WithTop.map (fun x => ↑x) ⋯.order - ↑(Exists.choose hf) = ⊤ ↔ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
h : ¬⋯.order = ⊤
\u22a2 WithTop.map (fun x => ↑x) ⋯.order - ↑(Exists.choose hf) = ⊤ ↔ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z = 0
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
\u22a2 (Icc a b).Nonempty ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
x : α
y : β
\u22a2 y ∈ ω f ϕ {x} ↔ MapClusterPt y f fun t => ϕ t x
-- Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f
\u22a2 ⊤ * f = ⊤
-- Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s✝ : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f
s : Set α
\u22a2 s ∈ ⊤ * f → s ∈ ⊤
-- Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s✝ : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f
s : Set α
\u22a2 (∃ t₂ ∈ f, univ * t₂ ⊆ s) → s = univ
-- Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s✝ : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f
s t : Set α
ht : t ∈ f
hs : univ * t ⊆ s
\u22a2 s = univ
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
f✝¹ : α✝ → β✝
E I✝ s : Set α✝
M✝ : Matroid α✝
N : Matroid β✝
f✝ : α✝ ≃ β✝
α : Type u_3
β : Type u_4
M : Matroid α
f : α ≃ β
I X : Set β
\u22a2 (M.mapEquiv f).Basis I X ↔ M.Basis (⇑f.symm '' I) (⇑f.symm '' X)
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
f✝¹ : α✝ → β✝
E I✝ s : Set α✝
M✝ : Matroid α✝
N : Matroid β✝
f✝ : α✝ ≃ β✝
α : Type u_3
β : Type u_4
M : Matroid α
f : α ≃ β
I X : Set β
\u22a2 (∃ I₀ X₀, M.Basis I₀ X₀ ∧ I = ⇑f '' I₀ ∧ X = ⇑f '' X₀) ↔ M.Basis (⇑f.symm '' I) (⇑f.symm '' X)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Ray.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
\u22a2 SameRay ℝ x y ↔ x = 0 ∨ y = 0 ∨ ‖x‖⁻¹ • x = ‖y‖⁻¹ • y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Ray.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
y : F
\u22a2 SameRay ℝ 0 y ↔ 0 = 0 ∨ y = 0 ∨ ‖0‖⁻¹ • 0 = ‖y‖⁻¹ • y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Ray.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
\u22a2 SameRay ℝ x y ↔ x = 0 ∨ y = 0 ∨ ‖x‖⁻¹ • x = ‖y‖⁻¹ • y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Ray.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : F
hx : x ≠ 0
\u22a2 SameRay ℝ x 0 ↔ x = 0 ∨ 0 = 0 ∨ ‖x‖⁻¹ • x = ‖0‖⁻¹ • 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Ray.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
\u22a2 SameRay ℝ x y ↔ x = 0 ∨ y = 0 ∨ ‖x‖⁻¹ • x = ‖y‖⁻¹ • y
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
f : α →o β
g : β →o γ
hfc : ∀ (c : Chain α), f (ωSup c) = ωSup (c.map f)
hgc : ∀ (c : Chain β), g (ωSup c) = ωSup (c.map g)
c✝ : Chain α
\u22a2 g (f (ωSup c✝)) = ωSup (c✝.map (g.comp f))
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : MonoidWithZero R
\u22a2 IsRadical 0 ↔ IsReduced R
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : MonoidWithZero R
\u22a2 IsRadical 0 ↔ ∀ (x : R) (x_1 : ℕ), 0 ∣ x ^ x_1 → 0 ∣ x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : ↥(Lp E 1 μ)
\u22a2 (setToL1 hT') f = c • (setToL1 hT) f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : ↥(Lp E 1 μ)
\u22a2 setToL1 hT' = c • setToL1 hT
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : ↥(Lp E 1 μ)
\u22a2 (c • setToL1 hT).comp (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ hT'
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
\u22a2 c • (setToL1 hT) ↑f = (setToL1SCLM α E μ hT') f
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
m : ℕ
hm : finrank K V ≤ m
\u22a2 LinearMap.ker (f ^ m) = LinearMap.ker (f ^ finrank K V)
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
m : ℕ
hm : finrank K V ≤ m
k : ℕ
h_k_le : k ≤ finrank K V
hk : LinearMap.ker (f ^ k) = LinearMap.ker (f ^ k.succ)
\u22a2 LinearMap.ker (f ^ m) = LinearMap.ker (f ^ finrank K V)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
\u22a2 ¬Irreducible a
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
\u22a2 ¬¬IsUnit a ∨ ¬∀ (a_1 b : Cardinal.{u}), a = a_1 * b → IsUnit a_1 ∨ IsUnit b
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
h : ∀ (a_1 b : Cardinal.{u}), a = a_1 * b → IsUnit a_1 ∨ IsUnit b
\u22a2 False
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Complex.lean
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁵ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : CompactSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
x : M
hx : x ∈ U
H₁ : ‖f x‖ = ‖f c‖
hd' : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) (fun x => f x + f c) U
H₂ : ‖f x + f c‖ = ‖f c + f c‖
\u22a2 ‖f x + const M (f c) x‖ = ‖f x‖ + ‖const M (f c) x‖
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
x : α
xs : List α
\u22a2 xs <+ orderedInsert r x xs
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
x : α
xs : List α
\u22a2 xs <+ takeWhile (fun b => decide ¬r x b) xs ++ x :: dropWhile (fun b => decide ¬r x b) xs
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
x : α
xs : List α
\u22a2 xs <+ takeWhile (fun b => decide ¬r x b) xs ++ dropWhile (fun b => decide ¬r x b) xs
-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Limits.lean
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
this : HasPullback f i
\u22a2 (Limits.pullback.lift (pullback.fst f hi) (pullback.snd f hi) ⋯ ≫ pullback.lift f hi (Limits.pullback.fst f i) (Limits.pullback.snd f i) ⋯) ≫ pullback.fst f hi = 𝟙 (pullback f hi) ≫ pullback.fst f hi
-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Limits.lean
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
this : HasPullback f i
\u22a2 pullback.lift f hi (Limits.pullback.fst f i) (Limits.pullback.snd f i) ⋯ ≫ Limits.pullback.lift (pullback.fst f hi) (pullback.snd f hi) ⋯ = 𝟙 (Limits.pullback f i)
-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Limits.lean
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
this : HasPullback f i
\u22a2 (pullback.lift f hi (Limits.pullback.fst f i) (Limits.pullback.snd f i) ⋯ ≫ Limits.pullback.lift (pullback.fst f hi) (pullback.snd f hi) ⋯) ≫ Limits.pullback.fst f i = 𝟙 (Limits.pullback f i) ≫ Limits.pullback.fst f i
-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Limits.lean
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
this : HasPullback f i
\u22a2 (pullback.lift f hi (Limits.pullback.fst f i) (Limits.pullback.snd f i) ⋯ ≫ Limits.pullback.lift (pullback.fst f hi) (pullback.snd f hi) ⋯) ≫ Limits.pullback.snd f i = 𝟙 (Limits.pullback f i) ≫ Limits.pullback.snd f i
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Filter α
G : Filter β
s : Set α
t : Set β
m : α → β
\u22a2 MapsTo (map m) (Iic (𝓟 s)) (Iic (𝓟 t)) ↔ MapsTo m s t
-- Mathlib/Analysis/Convex/Join.lean
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y : E
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
\u22a2 (convexHull 𝕜) (s ∪ t) = convexJoin 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) ((convexHull 𝕜) t)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Join.lean
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y : E
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
\u22a2 (convexHull 𝕜) ((convexHull 𝕜) s ∪ (convexHull 𝕜) t) = convexJoin 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) ((convexHull 𝕜) t)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Multiset α
\u22a2 (s ∪ t).Disjoint u ↔ s.Disjoint u ∧ t.Disjoint u