ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
n : ℕ
\u22a2 eval x ↑n = ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
d : ℕ
hd : d ∈ χ.conductorSet
\u22a2 χ.conductor ≤ (Classical.choose ⋯).conductor
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
d : ℕ
hd : d ∈ χ.conductorSet
\u22a2 χ = (changeLevel ⋯) ⋯.choose
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
d : ℕ
hd : d ∈ χ.conductorSet
\u22a2 χ = (changeLevel ⋯) (Classical.choose ⋯)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x y : ℝ
h : tan x = y
hx : x ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
\u22a2 tan (arctan y) = tan x
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hc : AddLECancellable c
h : a - c < b
\u22a2 a < b + c
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hc : AddLECancellable c
h : a - c < b
\u22a2 a - c ≤ b ∧ a ≠ b + c
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Module A M
ι' : Type u_6
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
b : Basis ι R M
v : ι' → M
e : ι ≃ ι'
\u22a2 (b.reindex e).det v = b.det (v ∘ ⇑e)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
x : α
k : ℕ
\u22a2 (f.cycleOf x) ((f ^ k) x) = (f ^ (k + 1)) x
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
\u22a2 ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, 0 < asympBound g a b n
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : α → PMF β
g : β → PMF γ
p : PMF α
q : PMF β
f : α → β → PMF γ
b : γ
\u22a2 (p.bind fun a => q.bind (f a)) b = (q.bind fun b => p.bind fun a => f a b) b
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hn : n ≠ 0
\u22a2 Injective fun a => a ^ n
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
P : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ
h : P n
\u22a2 find P ≤ ↑n
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
P : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ
h : P n
\u22a2 ∃ (h : (find P).Dom), (find P).get h ≤ n
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
g : β → γ
b : β
s : Set β
inst✝ : Decidable (b ∈ s)
hb : b ∈ s
\u22a2 (fun x => b) ⁻¹' s = univ
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
g : β → γ
b : β
s : Set β
inst✝ : Decidable (b ∈ s)
hb : b ∉ s
\u22a2 (fun x => b) ⁻¹' s = ∅
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/AdicTopology.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
x : R
this : TopologicalSpace R := I.adicTopology
\u22a2 (𝓝 x).HasBasis (fun _n => True) fun n => (fun y => x + y) '' ↑(I ^ n)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/AdicTopology.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
x : R
this✝ : TopologicalSpace R := I.adicTopology
this : (Filter.map (fun y => x + y) (𝓝 0)).HasBasis (fun _n => True) fun i => (fun y => x + y) '' ↑(I ^ i)
\u22a2 (𝓝 x).HasBasis (fun _n => True) fun n => (fun y => x + y) '' ↑(I ^ n)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a / 2 < a - b
\u22a2 b ≤ a / 2
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a / 2 < a - b
\u22a2 b * 2 ≤ a
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a + b * 2 < a + a
\u22a2 b * 2 ≤ a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
\u22a2 ∑ i ∈ s, (interpolate (insert i (t \ s)) v) r * Lagrange.basis s v i = (interpolate t v) r
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
\u22a2 (s.sup fun b => ((interpolate (insert b (t \ s)) v) r * Lagrange.basis s v b).degree) < ↑t.card
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i✝ j : ι
v r r' : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ t
\u22a2 eval (v i) (∑ i ∈ s, (interpolate (insert i (t \ s)) v) r * Lagrange.basis s v i) = r i
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Rat.lean
a✝ b✝ c p q a b : ℚ
na : ℤ
da : ℕ
ha : da ≠ 0
hared : na.natAbs.Coprime da
nb : ℤ
db : ℕ
hb : db ≠ 0
hbred : nb.natAbs.Coprime db
\u22a2 (if (decide ({ num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred }.num < 0) && decide (0 ≤ { num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }.num)) = true then true else if { num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred }.num = 0 then decide (0 < { num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }.num) else if (decide (0 < { num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred }.num) && decide ({ num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }.num ≤ 0)) = true then false else decide ({ num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred }.num * ↑{ num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }.den < { num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }.num * ↑{ num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred }.den)) = false ↔ 0 ≤ { num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred } - { num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Rat.lean
a✝ b✝ c p q a b : ℚ
na : ℤ
da : ℕ
ha : da ≠ 0
hared : na.natAbs.Coprime da
nb : ℤ
db : ℕ
hb : db ≠ 0
hbred : nb.natAbs.Coprime db
\u22a2 (if nb < 0 ∧ 0 ≤ na then False else if nb = 0 then na ≤ 0 else (0 < nb → 0 < na) → na * ↑db ≤ nb * ↑da) ↔ 0 ≤ ({ num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred } - { num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }).num
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c : α
h : a ^ 2 < b ^ 2
hb : 0 ≤ b
\u22a2 |a| < b
-- Mathlib/Control/LawfulFix.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
γ : (a : α) → β a → Type u_3
inst✝ : (x : α) → (y : β x) → OmegaCompletePartialOrder (γ x y)
c : Chain ((x : (a : α) × β a) → γ x.fst x.snd)
x : α
y : β x
\u22a2 ωSup (c.map (evalOrderHom ⟨x, y⟩)) = ωSup (((c.map (monotoneCurry α β γ)).map (evalOrderHom x)).map (evalOrderHom y))
-- Mathlib/Control/LawfulFix.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
γ : (a : α) → β a → Type u_3
inst✝ : (x : α) → (y : β x) → OmegaCompletePartialOrder (γ x y)
c : Chain ((x : (a : α) × β a) → γ x.fst x.snd)
x : α
y : β x
\u22a2 ωSup (c.map (evalOrderHom ⟨x, y⟩)) = ωSup (c.map (((evalOrderHom y).comp (evalOrderHom x)).comp (monotoneCurry α β γ)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x✝ c : ℂ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
r : ℂ
hr : r ≠ -1
\u22a2 HasDerivAt (fun y => ↑y ^ (r + 1) / (r + 1)) (↑x ^ r) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x✝ c : ℂ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
r : ℂ
hr : r + 1 ≠ 0
\u22a2 HasDerivAt (fun y => ↑y ^ (r + 1) / (r + 1)) (↑x ^ r) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x✝ c : ℂ
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
r : ℂ
hr : r + 1 ≠ 0
hx : 0 < x
\u22a2 HasDerivAt (fun y => ↑y ^ (r + 1) / (r + 1)) (↑x ^ r) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x✝ c : ℂ
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
r : ℂ
hr : r + 1 ≠ 0
hx : 0 > x
\u22a2 HasDerivAt (fun y => ↑y ^ (r + 1) / (r + 1)) (↑x ^ r) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : α → E
s✝ t : Set α
μ✝ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
e : α → β
he : MeasurableEmbedding e
f : β → E
μ : Measure α
s : Set β
\u22a2 IntegrableOn f s (Measure.map e μ) ↔ IntegrableOn (f ∘ e) (e ⁻¹' s) μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Subalgebra.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝¹ : Module.Free R ↥A
inst✝ : Module.Free R ↥B
a✝ : Nontrivial R
\u22a2 Module.rank R ↥(A ⊔ B) ≤ Module.rank R ↥A * Module.rank R ↥B
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Subalgebra.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝¹ : Module.Free R ↥A
inst✝ : Module.Free R ↥B
a✝ : Nontrivial R
\u22a2 Module.rank R ↥(A.mulMap B).range ≤ Module.rank R (↥A ⊗[R] ↥B)
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l₁ : List α
l₂ : List β
h : l₁.length = l₂.length
\u22a2 (l₁.zip l₂).unzip = (l₁, l₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Category.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F✝ G H I : C ⥤ D
X Y : C
e : X ≅ Y
F : C ⥤ D ⥤ E
Z : D
\u22a2 (F.map e.hom).app Z ≫ (F.map e.inv).app Z = 𝟙 ((F.obj X).obj Z)
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b c : α
\u22a2 a ≤ bᶜ ↔ Disjoint a b
-- Mathlib/Data/Finset/Pi.lean
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s
\u22a2 (insert a s).pi t = (t a).biUnion fun b => image (Pi.cons s a b) (s.pi t)
-- Mathlib/Data/Finset/Pi.lean
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s
\u22a2 ((insert a s).pi t).val = ((t a).biUnion fun b => image (Pi.cons s a b) (s.pi t)).val
-- Mathlib/Data/Finset/Pi.lean
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s
\u22a2 ((insert a s).pi t).val.dedup = ((t a).biUnion fun b => image (Pi.cons s a b) (s.pi t)).val
-- Mathlib/Data/Finset/Pi.lean
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s
s' : Multiset α
h : s' = a ::ₘ s.val
\u22a2 (s'.pi fun a => (t a).val).dedup = ((t a).val.bind fun b => (Multiset.map (fun f a' h' => Multiset.Pi.cons s.val a b f a' ⋯) (s.val.pi fun a => (t a).val)).dedup).dedup
-- Mathlib/Data/Finset/Pi.lean
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s
\u22a2 ((a ::ₘ s.val).pi fun a => (t a).val).dedup = ((t a).val.bind fun b => (Multiset.map (fun f a' h' => Multiset.Pi.cons s.val a b f a' ⋯) (s.val.pi fun a => (t a).val)).dedup).dedup
-- Mathlib/Data/Finset/Pi.lean
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s
\u22a2 ((t a).val.bind fun b => Multiset.map (Multiset.Pi.cons s.val a b) (s.val.pi fun a => (t a).val)).dedup = ((t a).val.bind fun b => (Multiset.map (fun f a' h' => Multiset.Pi.cons s.val a b f a' ⋯) (s.val.pi fun a => (t a).val)).dedup).dedup
-- Mathlib/Data/Finset/Pi.lean
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s
\u22a2 (fun b => Multiset.map (Multiset.Pi.cons s.val a b) (s.val.pi fun a => (t a).val)) = fun b => (Multiset.map (fun f a' h' => Multiset.Pi.cons s.val a b f a' ⋯) (s.val.pi fun a => (t a).val)).dedup
-- Mathlib/Data/Finset/Pi.lean
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s
b : β a
\u22a2 Multiset.map (Multiset.Pi.cons s.val a b) (s.val.pi fun a => (t a).val) = (Multiset.map (fun f a' h' => Multiset.Pi.cons s.val a b f a' ⋯) (s.val.pi fun a => (t a).val)).dedup
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : ProperSpace 𝕜
a : A
ha : (σ a).Nonempty
\u22a2 ∃ k ∈ σ a, ↑‖k‖₊ = spectralRadius 𝕜 a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : ProperSpace 𝕜
a : A
ha : (σ a).Nonempty
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
h : IsMaxOn (fun a => ‖a‖₊) (σ a) k
\u22a2 ∃ k ∈ σ a, ↑‖k‖₊ = spectralRadius 𝕜 a
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝³ : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ⟶ W
inst✝ : IsIso f
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
\u22a2 (inv f ⊗ g) ≫ (f ⊗ h) = (𝟙 W ⊗ g) ≫ (𝟙 W ⊗ h)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝³ : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ⟶ W
inst✝ : IsIso f
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
\u22a2 𝟙 W ⊗ g ≫ h = (𝟙 W ⊗ g) ≫ (𝟙 W ⊗ h)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : AddCommMonoid M
g : G
f : α →₀ M
a : α
\u22a2 (g • f) a = f (g⁻¹ • a)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : AddCommMonoid M
g : G
f : α →₀ M
a : α
\u22a2 (g • f) (g • g⁻¹ • a) = f (g⁻¹ • a)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
x : F α
i : Fin2 n
\u22a2 supp (g <$$> x) i = g i '' supp x i
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
x : F α
i : Fin2 n
\u22a2 supp (g <$$> abs (repr x)) i = g i '' supp (abs (repr x)) i
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
x : F α
i : Fin2 n
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
\u22a2 supp (g <$$> abs ⟨a, f⟩) i = g i '' supp (abs ⟨a, f⟩) i
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
x : F α
i : Fin2 n
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
\u22a2 supp (abs ⟨a, g ⊚ f⟩) i = g i '' supp (abs ⟨a, f⟩) i
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
x : F α
i : Fin2 n
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
\u22a2 (g ⊚ f) i '' univ = g i ∘ f i '' univ
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Lemmas.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : NonAssocSemiring S
ϕ : R →+* S
hϕ : Injective ⇑ϕ
hR : CharZero R
a b : ℕ
h : ↑a = ↑b
\u22a2 a = b
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α
a : α
\u22a2 l₁.length ≤ (l₁ ++ l₂).length
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x y : α
h : Commute x y
hxy : x ≠ y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
\u22a2 ∑ i ∈ Ico m n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = (x ^ n - y ^ (n - m) * x ^ m) / (x - y)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x y : α
h : Commute x y
hxy : x ≠ y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
this : x - y ≠ 0
\u22a2 ∑ i ∈ Ico m n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = (x ^ n - y ^ (n - m) * x ^ m) / (x - y)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
\u22a2 iteratedDeriv n (𝓕 f) x = 𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • f x) x
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
\u22a2 iteratedDeriv n (𝓕 f) x = 𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • f x) x
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
B : AEStronglyMeasurable f volume
\u22a2 iteratedDeriv n (𝓕 f) x = 𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • f x) x
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
B : AEStronglyMeasurable f volume
\u22a2 (∫ (v : ℝ), 𝐞 (-⟪v, x⟫_ℝ) • (fourierPowSMulRight (innerSL ℝ) f v n) fun x => 1) = ∫ (v : ℝ), 𝐞 (-⟪v, x⟫_ℝ) • (-2 * ↑π * I * ↑v) ^ n • f v
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
B : AEStronglyMeasurable f volume
y : ℝ
\u22a2 (𝐞 (-⟪y, x⟫_ℝ) • (fourierPowSMulRight (innerSL ℝ) f y n) fun x => 1) = 𝐞 (-⟪y, x⟫_ℝ) • (-2 * ↑π * I * ↑y) ^ n • f y
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
B : AEStronglyMeasurable f volume
y : ℝ
\u22a2 (-(2 * ↑π * I)) ^ n • y ^ n • f y = (-(2 * ↑π * I * ↑y)) ^ n • f y
-- Mathlib/Data/Complex/Basic.lean
q : ℚ≥0
r : ℝ
\u22a2 ↑(q • r) = q • ↑r
-- Mathlib/RingTheory/Complex.lean
z : ℂ
i j : Fin 2
\u22a2 (leftMulMatrix basisOneI) z i j = !![z.re, -z.im; z.im, z.re] i j
-- Mathlib/RingTheory/Complex.lean
z : ℂ
i j : Fin 2
\u22a2 ![z.re * (![1, I] j).re - z.im * (![1, I] j).im, z.re * (![1, I] j).im + z.im * (![1, I] j).re] i = ![![z.re, -z.im], ![z.im, z.re]] i j
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
toFinsupp✝¹ toFinsupp✝ : R[ℕ]
\u22a2 ({ toFinsupp := toFinsupp✝¹ } * { toFinsupp := toFinsupp✝ }).toFinsupp = { toFinsupp := toFinsupp✝¹ }.toFinsupp * { toFinsupp := toFinsupp✝ }.toFinsupp
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P✝ : Ideal S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : p.IsMaximal
P : { x // x ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset }
\u22a2 finrank (R ⧸ p) (S ⧸ ↑P ^ ramificationIdx (algebraMap R S) p ↑P) = ramificationIdx (algebraMap R S) p ↑P * inertiaDeg (algebraMap R S) p ↑P
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P✝ : Ideal S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : p.IsMaximal
P : { x // x ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset }
\u22a2 ↑P ≠ ⊥
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P✝ : Ideal S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : p.IsMaximal
P : { x // x ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset }
\u22a2 ramificationIdx (algebraMap R S) p ↑P ≠ 0
-- Mathlib/Geometry/Manifold/BumpFunction.lean
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
inst✝ : T2Space M
\u22a2 tsupport ↑f ⊆ (chartAt H c).source
-- Mathlib/Data/List/Palindrome.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
f : α → β
p : l.Palindrome
\u22a2 (map f l).reverse = map f l
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
\u22a2 Convex 𝕜 (s - t)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t
\u22a2 Convex 𝕜 (s + -t)
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a b : α
f : ι → α
\u22a2 Disjoint (⨆ i, f i) a ↔ ∀ (i : ι), Disjoint (f i) a
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Quaternion.lean
n : ℕ
i : ZMod (2 * n)
\u22a2 xa i ^ 4 = 1
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Quaternion.lean
n : ℕ
i : ZMod (2 * n)
\u22a2 a (↑n + ↑n) = 1
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Quaternion.lean
n : ℕ
i : ZMod (2 * n)
\u22a2 a ↑(n + n) = 1
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Quaternion.lean
n : ℕ
i : ZMod (2 * n)
\u22a2 a ↑(2 * n) = 1