ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V
k : ℕ
h : ∀ (v : V), k ≤ G.degree v
\u22a2 k ≤ G.minDegree
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V
k : ℕ
h : ∀ (v : V), k ≤ G.degree v
v : V
hv : G.minDegree = G.degree v
\u22a2 k ≤ G.minDegree
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
Xs : Set (Set α)
\u22a2 M.closure (⋃ X ∈ Xs, M.closure X) = M.closure (⋃₀ Xs)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder β
f : β → Finset α
h : Monotone f
h' : ∀ (x : α), ∃ n, x ∈ f n
\u22a2 Tendsto f atTop atTop
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder β
f : β → Finset α
h : Monotone f
h' : ∀ (x : α), ∃ n, x ∈ f n
\u22a2 ∀ (i : α), ∀ᶠ (a : β) in atTop, f a ∈ Ici {i}
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder β
f : β → Finset α
h : Monotone f
h' : ∀ (x : α), ∃ n, x ∈ f n
a : α
b : β
hb : a ∈ f b
\u22a2 ∀ᶠ (a_1 : β) in atTop, f a_1 ∈ Ici {a}
-- Mathlib/Logic/IsEmpty.lean
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
α : Sort u_4
\u22a2 IsEmpty (PLift α) ↔ IsEmpty α
-- Mathlib/Order/Ideal.lean
P : Type u_1
inst✝ : Preorder P
C : Set (Set P)
hidl : ∀ I ∈ C, IsIdeal I
hD : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) C
hNe : C.Nonempty
\u22a2 IsIdeal (⋃₀ C)
-- Mathlib/Order/Ideal.lean
P : Type u_1
inst✝ : Preorder P
C : Set (Set P)
hidl : ∀ I ∈ C, IsIdeal I
hD : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) C
hNe : C.Nonempty
\u22a2 ∃ s ∈ C, s.Nonempty
-- Mathlib/Order/Ideal.lean
P : Type u_1
inst✝ : Preorder P
C : Set (Set P)
hidl : ∀ I ∈ C, IsIdeal I
hD : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) C
hNe : C.Nonempty
I : Set P
hI : I ∈ C
\u22a2 ∃ s ∈ C, s.Nonempty
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
x : α
\u22a2 ∃ s, x ∈ s ∧ IsOpen s ∧ μ s < ⊤
-- Mathlib/Condensed/Epi.lean
A : Type u'
inst✝⁸ : Category.{v', u'} A
inst✝⁷ : ConcreteCategory A
inst✝⁶ : HasFunctorialSurjectiveInjectiveFactorization A
inst✝⁵ : (coherentTopology CompHaus).WEqualsLocallyBijective A
inst✝⁴ : HasSheafify (coherentTopology CompHaus) A
inst✝³ : (coherentTopology CompHaus).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget A)
inst✝² : Balanced (Sheaf (coherentTopology CompHaus) A)
inst✝¹ : PreservesFiniteProducts (CategoryTheory.forget A)
inst✝ : ∀ (X : CompHausᵒᵖ), HasLimitsOfShape (StructuredArrow X Stonean.toCompHaus.op) A
X Y : Condensed A
f : X ⟶ Y
\u22a2 Epi f ↔ ∀ (S : CompHaus) (y : (CategoryTheory.forget A).obj (Y.val.obj (op S))), ∃ S' φ, ∃ (_ : Function.Surjective ⇑φ), ∃ x, (f.val.app (op S')) x = (Y.val.map (op φ)) y
-- Mathlib/Condensed/Epi.lean
A : Type u'
inst✝⁸ : Category.{v', u'} A
inst✝⁷ : ConcreteCategory A
inst✝⁶ : HasFunctorialSurjectiveInjectiveFactorization A
inst✝⁵ : (coherentTopology CompHaus).WEqualsLocallyBijective A
inst✝⁴ : HasSheafify (coherentTopology CompHaus) A
inst✝³ : (coherentTopology CompHaus).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget A)
inst✝² : Balanced (Sheaf (coherentTopology CompHaus) A)
inst✝¹ : PreservesFiniteProducts (CategoryTheory.forget A)
inst✝ : ∀ (X : CompHausᵒᵖ), HasLimitsOfShape (StructuredArrow X Stonean.toCompHaus.op) A
X Y : Condensed A
f : X ⟶ Y
\u22a2 (∀ (X_1 : CompHaus) (y : (CategoryTheory.forget A).obj (Y.val.obj (op X_1))), ∃ X' φ, ∃ (_ : EffectiveEpi φ), ∃ x, (f.val.app (op X')) x = (Y.val.map (op φ)) y) ↔ ∀ (S : CompHaus) (y : (CategoryTheory.forget A).obj (Y.val.obj (op S))), ∃ S' φ, ∃ (_ : Function.Surjective ⇑φ), ∃ x, (f.val.app (op S')) x = (Y.val.map (op φ)) y
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Monoidal.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B X✝ X' Y Y' Z : C
inst✝¹ : Closed A
inst✝ : Closed B
f : B ⟶ A
X : C
\u22a2 uncurry ((pre f).app X) = f ▷ (ihom A).obj X ≫ (ihom.ev A).app X
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a b : α
h : normalize b = b
\u22a2 lcm a b = b ↔ a ∣ b
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Basic.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s : Set F
x : 𝕜
\u22a2 deriv f x ∈ s ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ deriv f x ∈ s ∨ ¬DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ 0 ∈ s
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y : ℂ
x : ℝ
\u22a2 (sinh ↑x).im = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R
u : R
i : Fin 3
\u22a2 (⇑f ∘ (u • P)) i = (f u • ⇑f ∘ P) i
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulAction (Perm α) β
i j : α
x : β
\u22a2 swap i j • swap i j • x = x
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
s : Set α
hs : AnalyticSet s
hsc : AnalyticSet sᶜ
\u22a2 MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
s : Set α
hs : AnalyticSet s
hsc : AnalyticSet sᶜ
u : Set α
hsu : s ⊆ u
hdu : Disjoint sᶜ u
hmu : MeasurableSet u
\u22a2 MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
s : Set α
hs : AnalyticSet s
hsc : AnalyticSet sᶜ
hsu : s ⊆ s
hdu : Disjoint sᶜ s
hmu : MeasurableSet s
\u22a2 MeasurableSet s
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Units.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x y z : α
hu : IsUnit x
\u22a2 IsRelPrime (y * x) z ↔ IsRelPrime y z
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v✝ : Valuation R Γ₀
x✝ y z : R
v : Valuation K Γ₀
x : K
h : x ≠ 0
\u22a2 1 ≤ v x ↔ v x⁻¹ ≤ 1
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a b : EReal
h₁ : b ≠ ⊥
h₂ : b ≠ ⊤
h₃ : b ≠ 0
\u22a2 b * (a / b) = a
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/IsBoundedAtImInfty.lean
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
z : ℍ
\u22a2 Complex.abs (eisensteinSeries a k z) ≤ ∑' (x : Fin 2 → ℤ), Complex.abs (eisSummand k x z)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/IsBoundedAtImInfty.lean
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
z : ℍ
\u22a2 ‖∑' (x : ↑(gammaSet N a)), eisSummand k (↑x) z‖ ≤ ∑' (x : Fin 2 → ℤ), ‖eisSummand k x z‖
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝² : MulZeroClass α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : MulPosMono α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
\u22a2 0 ≤ a * b
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
\u22a2 multiplicity a b = 0 ↔ ¬a ∣ b
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
\u22a2 a ^ 0 ∣ b ∧ ¬a ^ (0 + 1) ∣ b ↔ ¬a ∣ b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
e : Basis ι R M
w : ι → Rˣ
\u22a2 (e.unitsSMul w).orientation = (∏ i : ι, w i)⁻¹ • e.orientation
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
e : Basis ι R M
w : ι → Rˣ
\u22a2 SameRay R (e.unitsSMul w).det ((↑(∏ i : ι, w i)⁻¹ * ∏ i : ι, ↑(w i)) • (e.unitsSMul w).det)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
e : Basis ι R M
w : ι → Rˣ
\u22a2 SameRay R (e.unitsSMul w).det (↑((∏ i : ι, w i)⁻¹ * ∏ i : ι, w i) • (e.unitsSMul w).det)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
e : Basis ι R M
w : ι → Rˣ
\u22a2 SameRay R (e.unitsSMul w).det (e.unitsSMul w).det
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsorBases.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : AffineBasis ι ℝ E
\u22a2 interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b)) = {x | ∀ (i : ι), 0 < (b.coord i) x}
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsorBases.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : AffineBasis ι ℝ E
h✝ : Subsingleton ι
\u22a2 interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b)) = {x | ∀ (i : ι), 0 < (b.coord i) x}
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsorBases.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : AffineBasis ι ℝ E
h✝ : Nontrivial ι
\u22a2 interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b)) = {x | ∀ (i : ι), 0 < (b.coord i) x}
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
S : Submonoid G
g : G
g_in_s : g ∈ S
\u22a2 g ^ exponent ↥S = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
S : Submonoid G
g : G
g_in_s : g ∈ S
this : ⟨g, g_in_s⟩ ^ exponent ↥S = 1
\u22a2 g ^ exponent ↥S = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
f_lim : α → E
f_lim_ℒp : Memℒp f_lim p μ
\u22a2 Tendsto f fi (𝓝 (Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp)) ↔ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - f_lim) p μ) fi (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
f_lim : α → E
f_lim_ℒp : Memℒp f_lim p μ
\u22a2 Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑(Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp)) p μ) fi (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - f_lim) p μ) fi (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
f_lim : α → E
f_lim_ℒp : Memℒp f_lim p μ
\u22a2 (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑(Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp)) p μ) = fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - f_lim) p μ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x✝ x : E
hx : x ∈ extremePoints 𝕜 ((convexHull 𝕜) A)
\u22a2 x ∈ A
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x✝ x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) A ∧ Convex 𝕜 ((convexHull 𝕜) A \ {x})
\u22a2 x ∈ A
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x✝ x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) A ∧ Convex 𝕜 ((convexHull 𝕜) A \ {x})
h : x ∉ A
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F'
\u22a2 (condexpL1CLM F' hm μ) ↑(simpleFunc.indicatorConst 1 hs hμs x) = (condexpInd F' hm μ s) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : F'
\u22a2 (condexpL1CLM F' hm μ) (indicatorConstLp 1 hs hμs x) = (condexpInd F' hm μ s) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
\u22a2 Q 0 = 0
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
a : α
\u22a2 (uniformOfFintype α) a = (↑(Fintype.card α))⁻¹
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Ring R'
inst✝⁵ : AddZeroClass A
inst✝⁴ : SemilatticeSup B
inst✝³ : Add B
inst✝² : OrderBot B
D : A → B
p q : R[A]
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
inst✝¹ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
s : R[A]
hs : s.support.Nonempty
\u22a2 s.support.sup (WithBot.some ∘ D) = ↑(s.support.sup D)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
\u22a2 toStalk R x ≫ stalkToFiberRingHom R x = algebraMap R (Localization.AtPrime x.asIdeal)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
\u22a2 toOpen R ⊤ ≫ openToLocalization R ⊤ ↑⟨x, True.intro⟩ ⋯ = algebraMap R (Localization.AtPrime x.asIdeal)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/HomEquiv.lean
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{u_8, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.49739, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.49743, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.49747, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_10, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.49759, u_7} D₃
W : MorphismProperty C
L₁ : C ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W
L₂ : C ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W
L₃ : C ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
hf : W f
\u22a2 (homEquiv W L₁ L₂) (isoOfHom L₁ W f hf).inv = (isoOfHom L₂ W f hf).inv
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I✝ J : Ideal R
N P : Submodule R M
S✝ : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
S : Submodule R M'
I : Ideal R
\u22a2 I • comap f S ≤ comap f (I • S)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I✝ J : Ideal R
N P : Submodule R M
S✝ : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
S : Submodule R M'
I : Ideal R
r : R
hr : r ∈ I
x : M
hx : x ∈ comap f S
\u22a2 r • x ∈ comap f (I • S)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I✝ J : Ideal R
N P : Submodule R M
S✝ : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
S : Submodule R M'
I : Ideal R
r : R
hr : r ∈ I
x : M
hx : f x ∈ S
\u22a2 f (r • x) ∈ I • S
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I✝ J : Ideal R
N P : Submodule R M
S✝ : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
S : Submodule R M'
I : Ideal R
r : R
hr : r ∈ I
x : M
hx : f x ∈ S
\u22a2 r • f x ∈ I • S
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s t : Set α
h : s =ᶠ[ae μ] t
\u22a2 ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in t, f x ∂μ
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
\u22a2 {x | ∃ y, x ⋖ y}.Countable
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
\u22a2 {x | ∃ y, x ⋖ y}.Countable
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
\u22a2 ∀ (a : Set α), IsOpen a → {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a}.Countable
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
\u22a2 {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a}.Countable
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
\u22a2 {x | (x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a) ∧ ¬IsBot x}.Countable
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
\u22a2 {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}.Countable
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
\u22a2 {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}.Countable
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
this : ∀ x ∈ t, ∃ z < x, Ioc z x ⊆ a
\u22a2 {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}.Countable
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
z : α → α
hz : ∀ x ∈ t, z x < x
h'z : ∀ x ∈ t, Ioc (z x) x ⊆ a
this : t.PairwiseDisjoint fun x => Ioc (z x) x
\u22a2 {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}.Countable
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
z : α → α
hz : ∀ x ∈ t, z x < x
h'z : ∀ x ∈ t, Ioc (z x) x ⊆ a
this : t.PairwiseDisjoint fun x => Ioc (z x) x
x : α
hx : x ∈ t
\u22a2 IsOpen (Ioc (z x) x)
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
z : α → α
hz : ∀ x ∈ t, z x < x
h'z : ∀ x ∈ t, Ioc (z x) x ⊆ a
this : t.PairwiseDisjoint fun x => Ioc (z x) x
x : α
hx : x ∈ t
\u22a2 Ioc (z x) x = Ioo (z x) (y x)
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m n : ℕ
\u22a2 m + n + 2 = (m + 1 + n).succ
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m n : ℕ
\u22a2 m + n + 2 = m + 1 + n + 1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : ↑s ↪ β
h : Nonempty (↑sᶜ ≃ ↑(range ⇑f)ᶜ)
g : ↑sᶜ ≃ ↑(range ⇑f)ᶜ
\u22a2 ∃ g, ∀ (x : ↑s), g ↑x = f x
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : ↑s ↪ β
h✝ : Nonempty (↑sᶜ ≃ ↑(range ⇑f)ᶜ)
g : ↑sᶜ ≃ ↑(range ⇑f)ᶜ
h : α ≃ β := (Set.sumCompl s).symm.trans (((ofInjective ⇑f ⋯).sumCongr g).trans (Set.sumCompl (range ⇑f)))
\u22a2 ∃ g, ∀ (x : ↑s), g ↑x = f x
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : ↑s ↪ β
h✝ : Nonempty (↑sᶜ ≃ ↑(range ⇑f)ᶜ)
g : ↑sᶜ ≃ ↑(range ⇑f)ᶜ
h : α ≃ β := (Set.sumCompl s).symm.trans (((ofInjective ⇑f ⋯).sumCongr g).trans (Set.sumCompl (range ⇑f)))
x : α
hx : x ∈ s
\u22a2 h ↑⟨x, hx⟩ = f ⟨x, hx⟩