ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.112486, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S S₁ S₂ S₃ : SnakeInput C
f : S₁.Hom S₂
g : S₂.Hom S₃
\u22a2 (f.f₂ ≫ g.f₂) ≫ S₃.v₂₃ = S₁.v₂₃ ≫ f.f₃ ≫ g.f₃
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NormedSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝³ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
e : E ≃SL[σ₁₂] F
\u22a2 1 ≤ ‖↑e‖ * ‖↑e.symm‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NormedSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝³ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
e : E ≃SL[σ₁₂] F
\u22a2 1 ≤ ‖↑e.symm‖ * ‖↑e‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NormedSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝³ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : Nontrivial E
e : E ≃SL[σ₁₂] F
\u22a2 1 = ‖(↑e.symm).comp ↑e‖
-- Mathlib/Computability/Language.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x✝ : List α
l : Language α
x : List α
\u22a2 x ∈ l∗ ↔ x ∈ {x | ∃ S, x = S.join ∧ ∀ y ∈ S, y ∈ l ∧ y ≠ []}
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
f : E → F →L[𝕜] G
c : F
s : Set E
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hn : ↑n ≤ N
g : (F →L[𝕜] G) →L[𝕜] G := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 G) c
\u22a2 ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (f y) c) s x‖ ≤ ‖c‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
f : E → F →L[𝕜] G
c : F
s : Set E
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hn : ↑n ≤ N
g : (F →L[𝕜] G) →L[𝕜] G := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 G) c
h : ‖g.compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x)‖ ≤ ‖g‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x‖
\u22a2 ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (f y) c) s x‖ ≤ ‖c‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
f : E → F →L[𝕜] G
c : F
s : Set E
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hn : ↑n ≤ N
g : (F →L[𝕜] G) →L[𝕜] G := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 G) c
h : ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (⇑g ∘ f) s x‖ ≤ ‖g‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x‖
\u22a2 ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (f y) c) s x‖ ≤ ‖c‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
f : E → F →L[𝕜] G
c : F
s : Set E
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hn : ↑n ≤ N
g : (F →L[𝕜] G) →L[𝕜] G := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 G) c
h : ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (⇑g ∘ f) s x‖ ≤ ‖g‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x‖
\u22a2 ‖g‖ ≤ ‖c‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
f✝ : E → F →L[𝕜] G
c : F
s : Set E
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiffOn 𝕜 N f✝ s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hn : ↑n ≤ N
g : (F →L[𝕜] G) →L[𝕜] G := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 G) c
h : ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (⇑g ∘ f✝) s x‖ ≤ ‖g‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f✝ s x‖
f : F →L[𝕜] G
\u22a2 ‖g f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t u : Set E
f✝ : E → F →L[𝕜] G
c : F
s : Set E
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiffOn 𝕜 N f✝ s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
hn : ↑n ≤ N
g : (F →L[𝕜] G) →L[𝕜] G := (ContinuousLinearMap.apply 𝕜 G) c
h : ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (⇑g ∘ f✝) s x‖ ≤ ‖g‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f✝ s x‖
f : F →L[𝕜] G
\u22a2 ‖f c‖ ≤ ‖f‖ * ‖c‖
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
\u22a2 infEdist x s ≤ edist x y + infEdist y s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
\u22a2 infEdist x s ≤ infEdist y s + edist x y
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
a b : ℝ
\u22a2 (polynomialFunctions (Set.Icc a b)).topologicalClosure = ⊤
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
a b : ℝ
h : a < b
\u22a2 (polynomialFunctions (Set.Icc a b)).topologicalClosure = ⊤
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
a b : ℝ
h : b ≤ a
\u22a2 (polynomialFunctions (Set.Icc a b)).topologicalClosure = ⊤
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝³ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
h : LocallyBoundedVariationOn f s
\u22a2 ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝³ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set ℝ
p q : ℝ → ℝ
hp : MonotoneOn p s
hq : MonotoneOn q s
h : LocallyBoundedVariationOn (p - q) s
\u22a2 ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ (p - q) s x
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝³ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set ℝ
p q : ℝ → ℝ
hp : MonotoneOn p s
hq : MonotoneOn q s
h : LocallyBoundedVariationOn (p - q) s
x : ℝ
hxp : x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ p s x
hxq : x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ q s x
xs : x ∈ s
\u22a2 DifferentiableWithinAt ℝ (p - q) s x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
p q : α → Bool
l₁ l₂ : List α
\u22a2 countP p (l₁ ++ l₂) = countP p l₁ + countP p l₂
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
x : α
hx : x ≠ 0
\u22a2 ∏ p ∈ (factors x).toFinset, p ^ count p (factors x) = (∑ a ∈ (factors x).toFinset, count a (factors x) • {a}).prod
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
x : α
hx : x ≠ 0
\u22a2 (∑ a ∈ (factors x).toFinset, count a (factors x) • {a}).prod = (factors x).prod
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
hs : Dense s
x : α
ε : ℝ
hε : 0 < ε
this : (ball x ε).Nonempty
\u22a2 ∃ y ∈ s, dist x y < ε
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
\u22a2 (∅ ∪ s₂).gcd f = GCDMonoid.gcd (∅.gcd f) (s₂.gcd f)
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
a : β
s : Finset β
x✝ : a ∉ s
ih : (s ∪ s₂).gcd f = GCDMonoid.gcd (s.gcd f) (s₂.gcd f)
\u22a2 (insert a s ∪ s₂).gcd f = GCDMonoid.gcd ((insert a s).gcd f) (s₂.gcd f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Finite ι'
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
s : (i : ι) → ℕ → Set (α i)
h1s : ∀ (i : ι) (n : ℕ), s i n ∈ C i
h2s : ∀ (i : ι), ⋃ n, s i n = univ
\u22a2 IsCountablySpanning (univ.pi '' univ.pi C)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Finite ι'
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
s : (i : ι) → ℕ → Set (α i)
h1s : ∀ (i : ι) (n : ℕ), s i n ∈ C i
h2s : ∀ (i : ι), ⋃ n, s i n = univ
val✝ : Encodable (ι → ℕ)
\u22a2 IsCountablySpanning (univ.pi '' univ.pi C)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Finite ι'
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
s : (i : ι) → ℕ → Set (α i)
h1s : ∀ (i : ι) (n : ℕ), s i n ∈ C i
h2s : ∀ (i : ι), ⋃ n, s i n = univ
val✝ : Encodable (ι → ℕ)
e : ℕ → ι → ℕ := fun n => (decode n).iget
\u22a2 IsCountablySpanning (univ.pi '' univ.pi C)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Finite ι'
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
s : (i : ι) → ℕ → Set (α i)
h1s : ∀ (i : ι) (n : ℕ), s i n ∈ C i
h2s : ∀ (i : ι), ⋃ n, s i n = univ
val✝ : Encodable (ι → ℕ)
e : ℕ → ι → ℕ := fun n => (decode n).iget
\u22a2 ⋃ n, (fun n => univ.pi fun i => s i (e n i)) n = univ
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/House.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : ℤ
\u22a2 house ↑x = ↑|x|
-- Mathlib/RingTheory/TwoSidedIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I✝ I J : TwoSidedIdeal R
\u22a2 I < J ↔ ↑I ⊂ ↑J
-- Mathlib/RingTheory/TwoSidedIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I✝ I J : TwoSidedIdeal R
\u22a2 ↑I ⊆ ↑J ∧ I ≠ J ↔ ↑I ⊆ ↑J ∧ ↑I ≠ ↑J
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
hι : IsEmpty ι
\u22a2 False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
\u22a2 range (fst R M M₂) = ⊤
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
π₀ : Prepartition I
\u22a2 Filter.map (integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I π₀) ×ˢ Filter.map (integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I π₀) ≤ 𝓤 F
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
π₀ : Prepartition I
\u22a2 Filter.map (fun p => (integralSum f vol p.1, integralSum f vol p.2)) (l.toFilter I ×ˢ l.toFilter I ⊓ 𝓟 ({π | π.iUnion = π₀.iUnion} ×ˢ {π | π.iUnion = π₀.iUnion})) ≤ 𝓤 F
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝ : α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hfi : Injective f
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → MeasurableSet (f '' s)
μ : Measure β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ((comapₗ f) μ) s = μ (f '' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝ : α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hfi : Injective f
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → MeasurableSet (f '' s)
μ : Measure β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 Injective f ∧ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → MeasurableSet (f '' s)
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : Nonempty ι
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : L.Structure N
S : ι →o L.Substructure M
i : ι
x : ↥(S i)
\u22a2 ((Equiv_iSup S).symm.toEmbedding.comp (Substructure.inclusion ⋯)) x = (of L ι (fun x => ↥(S x)) (fun x x_1 h => Substructure.inclusion ⋯) i) x
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : IntermediateField F E
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F ↥L
inst✝ : Algebra.IsSeparable F ↥L
x : E
hx : x ∈ L
\u22a2 x ∈ ⊥
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : IntermediateField F E
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F ↥L
inst✝ : Algebra.IsSeparable F ↥L
x : E
hx : x ∈ L
y : F
hy : (algebraMap F ↥L) y = ⟨x, hx⟩
\u22a2 x ∈ ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
j : ι
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ (i : ι), i ≠ j → w₁ i = w₂ i
\u22a2 (s.weightedVSubOfPoint p (p j)) w₁ = (s.weightedVSubOfPoint p (p j)) w₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
j : ι
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ (i : ι), i ≠ j → w₁ i = w₂ i
\u22a2 ∑ i ∈ s, w₁ i • (p i -ᵥ p j) = ∑ i ∈ s, w₂ i • (p i -ᵥ p j)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
j : ι
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ (i : ι), i ≠ j → w₁ i = w₂ i
i : ι
\u22a2 w₁ i • (p i -ᵥ p j) = w₂ i • (p i -ᵥ p j)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
j : ι
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ (i : ι), i ≠ j → w₁ i = w₂ i
i : ι
h : i = j
\u22a2 w₁ i • (p i -ᵥ p j) = w₂ i • (p i -ᵥ p j)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
j : ι
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ (i : ι), i ≠ j → w₁ i = w₂ i
i : ι
h : i ≠ j
\u22a2 w₁ i • (p i -ᵥ p j) = w₂ i • (p i -ᵥ p j)
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ
\u22a2 eval 1 (bernoulli n) = bernoulli' n
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ
\u22a2 ∑ i ∈ range (n + 1), eval 1 ((monomial (n - i)) (_root_.bernoulli i * ↑(n.choose i))) = bernoulli' n
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ
\u22a2 (if n = 1 then 1 else 0) + _root_.bernoulli n = bernoulli' n
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Biproducts.lean
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
J : Type w₁
F : C ⥤ D
f : J → C
inst✝² : HasBiproduct f
inst✝¹ : HasBiproduct (F.obj ∘ f)
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
\u22a2 F.biproductComparison' f ≫ F.biproductComparison f = 𝟙 (⨁ F.obj ∘ f)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
\u22a2 1 ≤ ↑r * ↑r⁻¹
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(-π / 2)
\u22a2 ⟪y, x⟫_ℝ = 0
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
e : α → β
de : DenseEmbedding e
p : α → Prop
x : β
hx : x ∈ closure (e '' {x | p x})
\u22a2 ⟨x, hx⟩ ∈ closure (range (subtypeEmb p e)) ↔ ⟨x, hx⟩ ∈ univ
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
e : α → β
de : DenseEmbedding e
p : α → Prop
x : β
hx✝ : x ∈ closure (e '' {x | p x})
hx : x ∈ closure (range fun x => e ↑x)
\u22a2 ⟨x, hx✝⟩ ∈ closure (range (subtypeEmb p e)) ↔ ⟨x, hx✝⟩ ∈ univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Inv G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableInv G
m : MeasurableSpace α
f✝ : α → G
μ : Measure α
G₀ : Type u_4
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : MeasurableSpace G₀
inst✝ : MeasurableInv G₀
f : α → G₀
h : Measurable fun x => (f x)⁻¹
\u22a2 Measurable f
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
x : ι → Filter α
y : Filter β
\u22a2 Tendsto f (⨆ i, x i) y ↔ ∀ (i : ι), Tendsto f (x i) y
-- Mathlib/Data/Fintype/BigOperators.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
α : ι → Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq κ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : Finset κ
i : ι
j : κ
\u22a2 (if j ∈ s then ∏ b ∈ univ.erase i, s.card else 0) = if j ∈ s then s.card ^ (card ι - 1) else 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx0 : 0 < x
hx1 : x ≤ 1
hyz : z ≤ y
\u22a2 x ^ y ≤ x ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx0 : 0 < x
hx1 : x ≤ 1
hyz : z ≤ y
\u22a2 rexp (log x * y) ≤ rexp (log x * z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx0 : 0 < x
hx1 : x ≤ 1
hyz : z ≤ y
\u22a2 log x * y ≤ log x * z
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α →₀ M
\u22a2 filter p f = 0 ↔ ∀ (x : α), p x → f x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : P1
\u22a2 (lineMap p₀ p₁) 1 = p₁
-- Mathlib/Algebra/Category/FGModuleCat/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
V W : FGModuleCat K
\u22a2 FGModuleCatDual K V ◁ FGModuleCatCoevaluation K V ≫ (α_ (FGModuleCatDual K V) V (FGModuleCatDual K V)).inv ≫ FGModuleCatEvaluation K V ▷ FGModuleCatDual K V = (ρ_ (FGModuleCatDual K V)).hom ≫ (λ_ (FGModuleCatDual K V)).inv
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
h : sup f = lsub f
i : ι
\u22a2 f i < lsub f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
\u22a2 (k • p).leadingCoeff = k • p.leadingCoeff
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht : NullMeasurableSet t μ
hts : s ⊆ t
h't : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0
h : IntegrableOn f t μ
\u22a2 ∫ (x : X) in t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht : NullMeasurableSet t μ
hts : s ⊆ t
h't : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0
h : IntegrableOn f t μ
f' : X → E := AEStronglyMeasurable.mk f ⋯
\u22a2 ∫ (x : X) in t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSpace H
inst✝¹ : Mul G
μ✝ : Measure G
inst✝ : MeasurableMul G
μ : Measure G
\u22a2 (∀ (g : G), Measure.map (fun x => g * x) μ = μ) ↔ μ.IsMulLeftInvariant
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
\u22a2 Summable (norm ∘ fun n => x ^ n / ↑n !)