ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ
h₁ : -1 < x
h₂ : x < 1
\u22a2 arctan ((x + x) / (1 - x * x)) = arctan (2 * x / (1 - x ^ 2))
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : CommMonoid β
inst✝² : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f✝ f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F
hfAB : MapsTo (⇑f) A B
s t : Multiset α
x✝³ : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
x✝² : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
x✝¹ : card s = n
x✝ : card t = n
h : s.prod = t.prod
\u22a2 (map (⇑f) s).prod = (map (⇑f) t).prod
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝ : PartialOrder α
a b : α
ha : μ {a} = 0
\u22a2 Iio a =ᶠ[ae μ] Iic a
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Real.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
\u22a2 ∫ (x : α), |(μ[f|m]) x| ∂μ ≤ ∫ (x : α), |f x| ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Real.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
\u22a2 (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal |(μ[f|m]) a| ∂μ).toReal ≤ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal |f a| ∂μ).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Real.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
\u22a2 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => |f x|
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Real.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
\u22a2 AEStronglyMeasurable (fun x => |f x|) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Real.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
\u22a2 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => |(μ[f|m]) x|
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Real.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ
\u22a2 AEStronglyMeasurable (fun x => |(μ[f|m]) x|) μ
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Monoidal.lean
I : Type u
inst✝¹⁰ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁸ : MonoidalCategory C
Z : C
X₁ X₂ X₃ : GradedObject I C
inst✝⁷ : X₁.HasTensor X₂
inst✝⁶ : X₂.HasTensor X₃
inst✝⁵ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃
inst✝⁴ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)
Y₁ Y₂ Y₃ : GradedObject I C
inst✝³ : Y₁.HasTensor Y₂
inst✝² : Y₂.HasTensor Y₃
inst✝¹ : (tensorObj Y₁ Y₂).HasTensor Y₃
inst✝ : Y₁.HasTensor (tensorObj Y₂ Y₃)
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
i₁ i₂ i₃ j : I
h : i₁ + i₂ + i₃ = j
\u22a2 ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ tensorHom f₁ (tensorHom f₂ f₃) j = (f₁ i₁ ⊗ f₂ i₂ ⊗ f₃ i₃) ≫ ιTensorObj₃ Y₁ Y₂ Y₃ i₁ i₂ i₃ j h
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : Cᵒᵖ
a₁ a₂ a₃ : ℤ
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : ℤ
h₁ : a₁ + b₁ = 0
h₂ : a₂ + b₂ = 0
h₃ : a₃ + b₃ = 0
\u22a2 (shiftFunctorAdd' Cᵒᵖ a₁ a₂ a₃ h).inv.app X = (shiftFunctor Cᵒᵖ a₂).map ((shiftFunctorOpIso C a₁ b₁ h₁).hom.app X) ≫ (shiftFunctorOpIso C a₂ b₂ h₂).hom.app ((shiftFunctor C b₁).op.obj X) ≫ ((shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).hom.app (Opposite.unop X)).op ≫ (shiftFunctorOpIso C a₃ b₃ h₃).inv.app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : Cᵒᵖ
a₁ a₂ a₃ : ℤ
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : ℤ
h₁ : a₁ + b₁ = 0
h₂ : a₂ + b₂ = 0
h₃ : a₃ + b₃ = 0
\u22a2 𝟙 ((shiftFunctor Cᵒᵖ a₃).obj X) = (shiftFunctorOpIso C a₃ b₃ h₃).hom.app X ≫ ((shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).inv.app (Opposite.unop X)).op ≫ (shiftFunctorOpIso C a₂ b₂ h₂).inv.app (Opposite.op ((shiftFunctor C b₁).toPrefunctor.1 (Opposite.unop X))) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ a₂).map (𝟙 ((shiftFunctor C b₁).op.obj X)) ≫ (shiftFunctorOpIso C a₂ b₂ h₂).hom.app ((shiftFunctor C b₁).op.obj X) ≫ ((shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).hom.app (Opposite.unop X)).op ≫ (shiftFunctorOpIso C a₃ b₃ h₃).inv.app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : Cᵒᵖ
a₁ a₂ a₃ : ℤ
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : ℤ
h₁ : a₁ + b₁ = 0
h₂ : a₂ + b₂ = 0
h₃ : a₃ + b₃ = 0
\u22a2 𝟙 ((shiftFunctor Cᵒᵖ a₃).obj X) = (shiftFunctorOpIso C a₃ b₃ h₃).hom.app X ≫ ((shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).inv.app (Opposite.unop X)).op ≫ ((shiftFunctorAdd' C b₁ b₂ b₃ ⋯).hom.app (Opposite.unop X)).op ≫ (shiftFunctorOpIso C a₃ b₃ h₃).inv.app X
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
b : ι → M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
m : ↥N
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (x : M), f x ∈ N
hf' : optParam (∀ x ∈ N, f x ∈ N) ⋯
i : Fin n
\u22a2 (LinearMap.toMatrix snf.bN snf.bN) (f.restrict hf') i i = (LinearMap.toMatrix snf.bM snf.bM) f (snf.f i) (snf.f i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
b : ι → M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
m : ↥N
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (x : M), f x ∈ N
hf' : optParam (∀ x ∈ N, f x ∈ N) ⋯
i : Fin n
\u22a2 (snf.bN.repr ((f.restrict hf') (snf.bN i))) i = (snf.bN.repr (snf.a i • ⟨f (snf.bM (snf.f i)), ⋯⟩)) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
b : ι → M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
m : ↥N
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (x : M), f x ∈ N
hf' : optParam (∀ x ∈ N, f x ∈ N) ⋯
i : Fin n
\u22a2 ↑((f.restrict hf') (snf.bN i)) = ↑(snf.a i • ⟨f (snf.bM (snf.f i)), ⋯⟩)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
\u22a2 (2 • θ).toReal = 2 * θ.toReal ↔ θ.toReal ∈ Set.Ioc (-π / 2) (π / 2)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Associated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
p : Multiset α
a : α
s : Multiset α
ih : (Multiset.map Associates.mk s).prod = Associates.mk s.prod
\u22a2 (Multiset.map Associates.mk (a ::ₘ s)).prod = Associates.mk (a ::ₘ s).prod
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/EquivalenceAdditive.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.1332, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
α : N.obj ((𝟭 (Karoubi (SimplicialObject C))).obj P) ≅ N.obj ((N₂ ⋙ Γ₂).obj P) := N.mapIso (Γ₂N₂.app P)
β : (Γ₂ ⋙ N₂).obj (N.obj P) ≅ (𝟭 (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).obj (N.obj P) := N₂Γ₂.app (N.obj P)
\u22a2 𝟙 (N.obj ((𝟭 (Karoubi (SimplicialObject C))).obj P)) = α.hom ≫ β.hom
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/EquivalenceAdditive.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.1332, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
α : N.obj ((𝟭 (Karoubi (SimplicialObject C))).obj P) ≅ N.obj ((N₂ ⋙ Γ₂).obj P) := N.mapIso (Γ₂N₂.app P)
β : (Γ₂ ⋙ N₂).obj (N.obj P) ≅ (𝟭 (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).obj (N.obj P) := N₂Γ₂.app (N.obj P)
\u22a2 β.inv ≫ α.inv = 𝟙 ((𝟭 (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).obj (N.obj P))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Metrizable.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
\u22a2 MetrizableSpace M
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Metrizable.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
this : LocallyCompactSpace H
\u22a2 MetrizableSpace M
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Metrizable.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
\u22a2 MetrizableSpace M
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Metrizable.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
this✝¹ : LocallyCompactSpace H
this✝ : LocallyCompactSpace M
this : SecondCountableTopology H
\u22a2 MetrizableSpace M
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Metrizable.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
this✝² : LocallyCompactSpace H
this✝¹ : LocallyCompactSpace M
this✝ : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
\u22a2 MetrizableSpace M
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
p : ℕ
\u22a2 (Summable fun n => 1 / ↑n ^ p) ↔ 1 < p
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : f₀ =ᶠ[𝓝 x] f₁
\u22a2 HasLineDerivAt 𝕜 f₀ f' x v ↔ HasLineDerivAt 𝕜 f₁ f' x v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : f₀ =ᶠ[𝓝 x] f₁
\u22a2 (fun t => f₀ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝 0] fun t => f₁ (x + t • v)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F✝
h : f₀ =ᶠ[𝓝 x] f₁
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
\u22a2 (fun t => f₀ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝 0] fun t => f₁ (x + t • v)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F✝
h : f₀ =ᶠ[𝓝 x] f₁
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
B : ContinuousAt F 0
\u22a2 (fun t => f₀ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝 0] fun t => f₁ (x + t • v)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F✝
h : f₀ =ᶠ[𝓝 x] f₁
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
B : ContinuousAt F 0
this : f₀ =ᶠ[𝓝 (F 0)] f₁
\u22a2 (fun t => f₀ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝 0] fun t => f₁ (x + t • v)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α
\u22a2 s ∪ t + s ∩ t = s + t
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α
\u22a2 s ∪ t + s ∩ t ≤ s + t
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α
\u22a2 s + t ≤ s ∪ t + s ∩ t
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f✝ g✝ : α → ℝ
s✝ : Set α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
f_mble : AEMeasurable f μ
g_mble : AEMeasurable g μ
s : Set α
s_mble : NullMeasurableSet s μ
\u22a2 NullMeasurableSet {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ Ico (f p.1) (g p.1)} (μ.prod volume)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X✝ : Scheme
P : {X : Scheme} → X.Opens → Prop
X : Scheme
U : X.Opens
h₁ : ∀ (X : Scheme) (U : X.Opens), (∀ (x : ↥U), ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ x, P V) → P U
h₂ : ∀ (X Y : Scheme) (f : X ⟶ Y) [hf : IsOpenImmersion f], ∃ U V, ∃ (hU : U = ⊤) (hV : V = Set.range ⇑f.val.base), P { carrier := U, is_open' := ⋯ } → P { carrier := V, is_open' := ⋯ }
h₃ : ∀ (R : CommRingCat), P ⊤
x : ↥U
\u22a2 ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ x, P V
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X✝ : Scheme
P : {X : Scheme} → X.Opens → Prop
X : Scheme
U : X.Opens
h₁ : ∀ (X : Scheme) (U : X.Opens), (∀ (x : ↥U), ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ x, P V) → P U
h₂ : ∀ (X Y : Scheme) (f : X ⟶ Y) [hf : IsOpenImmersion f], ∃ U V, ∃ (hU : U = ⊤) (hV : V = Set.range ⇑f.val.base), P { carrier := U, is_open' := ⋯ } → P { carrier := V, is_open' := ⋯ }
h₃ : ∀ (R : CommRingCat), P ⊤
x : ↥U
j : X.affineBasisCover.J
hx : ↑x ∈ Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map j).val.base
i : Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map j).val.base ⊆ ↑U
\u22a2 ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ x, P V
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X✝ : Scheme
P : {X : Scheme} → X.Opens → Prop
X : Scheme
U : X.Opens
h₁ : ∀ (X : Scheme) (U : X.Opens), (∀ (x : ↥U), ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ x, P V) → P U
h₂ : ∀ (X Y : Scheme) (f : X ⟶ Y) [hf : IsOpenImmersion f], ∃ U V, ∃ (hU : U = ⊤) (hV : V = Set.range ⇑f.val.base), P { carrier := U, is_open' := ⋯ } → P { carrier := V, is_open' := ⋯ }
h₃ : ∀ (R : CommRingCat), P ⊤
x : ↥U
j : X.affineBasisCover.J
hx : ↑x ∈ Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map j).val.base
i : Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map j).val.base ⊆ ↑U
U' : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace := { carrier := Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map j).val.base, is_open' := ⋯ }
\u22a2 ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ x, P V
-- Mathlib/CategoryTheory/NatIso.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
X : D
Y : C
f f' : X ⟶ F.obj Y
\u22a2 f ≫ α.hom.app Y = f' ≫ α.hom.app Y ↔ f = f'
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set β
\u22a2 f ⁻¹' (f '' (f ⁻¹' s)) = f ⁻¹' s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x₁ x₂ : α
\u22a2 nndist ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (x₁, 0)) ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (x₂, 0)) = nndist x₁ x₂
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Norm.lean
L : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
x : 𝓞 K
\u22a2 (norm K) ((algebraMap (𝓞 K) (𝓞 L)) x) = x ^ finrank K L
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
G : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → G
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntegrableOn g (f '' [[a, b]]) volume
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]] volume
hG : CompleteSpace G
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
G : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → G
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]] volume
hG : CompleteSpace G
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
G : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → G
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]] volume
hG : CompleteSpace G
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
G : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → G
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]] volume
hG : CompleteSpace G
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
h_der : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) (f' x • (g ∘ f) x) (Ioi x) x
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
G : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → G
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntervalIntegrable g volume (sInf (f '' [[a, b]])) (sSup (f '' [[a, b]]))
hg2 : IntervalIntegrable (fun x => f' x • (g ∘ f) x) volume a b
hG : CompleteSpace G
h_cont : ContinuousOn (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) [[a, b]]
h_der : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt (fun u => ∫ (t : ℝ) in f a..f u, g t) (f' x • (g ∘ f) x) (Ioi x) x
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Finset ι
S₁ S₂ : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
\u22a2 cylinder s S₁ ∪ cylinder s S₂ = cylinder s (S₁ ∪ S₂)
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → γ
g : β → δ
s : Set α
t : Set β
x : α
y : β
hf : Tendsto f (𝓝[s] x) (𝓝 (f x))
hg : Tendsto g (𝓝[t] y) (𝓝 (g y))
\u22a2 Tendsto (Prod.map f g) (𝓝[s ×ˢ t] (x, y)) (𝓝 (Prod.map f g (x, y)))
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → γ
g : β → δ
s : Set α
t : Set β
x : α
y : β
hf : Tendsto f (𝓝[s] x) (𝓝 (f x))
hg : Tendsto g (𝓝[t] y) (𝓝 (g y))
\u22a2 Tendsto (Prod.map f g) (𝓝[s] x ×ˢ 𝓝[t] y) (𝓝 (f x) ×ˢ 𝓝 (g y))
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ
\u22a2 ⇑f =O[cocompact E] fun x => ‖x‖ ^ (-↑k)
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ
d : ℝ
left✝ : 0 < d
hd' : ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ 0 (⇑f) x‖ ≤ d
\u22a2 ⇑f =O[cocompact E] fun x => ‖x‖ ^ (-↑k)
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ
d : ℝ
left✝ : 0 < d
hd' : ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖f x‖ ≤ d
\u22a2 ⇑f =O[cocompact E] fun x => ‖x‖ ^ (-↑k)
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ
d : ℝ
left✝ : 0 < d
hd' : ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖f x‖ ≤ d
\u22a2 ∃ c, ∀ᶠ (x : E) in cocompact E, ‖f x‖ ≤ c * ‖‖x‖ ^ (-↑k)‖
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ
d : ℝ
left✝ : 0 < d
hd' : ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖f x‖ ≤ d
\u22a2 ∀ᶠ (x : E) in cofinite, ‖f x‖ ≤ d * ‖‖x‖ ^ (-↑k)‖
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ
d : ℝ
left✝ : 0 < d
hd' : ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖f x‖ ≤ d
x : E
hx : x ≠ 0
\u22a2 ‖f x‖ ≤ d * ‖‖x‖ ^ (-↑k)‖
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ
d : ℝ
left✝ : 0 < d
hd' : ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖f x‖ ≤ d
x : E
hx : x ≠ 0
\u22a2 ‖x‖ ^ ↑k * ‖f x‖ ≤ d
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ
d : ℝ
left✝ : 0 < d
hd' : ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖f x‖ ≤ d
x : E
hx : x ≠ 0
\u22a2 0 < ‖x‖ ^ ↑k
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Coherence.lean
B : Type u
inst✝ : Quiver B
a b c : B
f : Hom a b
g : Hom b c
\u22a2 normalizeAux nil (f.comp g) = (normalizeAux nil f).comp (normalizeAux nil g)
-- Mathlib/Data/Finset/Density.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : Fintype β
f : α ↪ β
\u22a2 (map f s).dens ≤ s.dens
-- Mathlib/Data/Finset/Density.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : Fintype β
f : α ↪ β
h✝ : IsEmpty α
\u22a2 (map f s).dens ≤ s.dens
-- Mathlib/Data/Finset/Density.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : Fintype β
f : α ↪ β
h✝ : Nonempty α
\u22a2 (map f s).dens ≤ s.dens