ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Limits.lean
X Y B : Profinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : Profinite
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget Profinite).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z
\u22a2 (↑(a z)).2 = (↑(b z)).2
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
\u22a2 toIcoMod hp (a - m • p) b = toIcoMod hp a b - m • p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
\u22a2 p.degree ≤ 0 ↔ p = 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
𝔸' : Type u_3
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
f' : ι → 𝔸'
hf : ∀ i ∈ u, HasStrictDerivAt (f i) (f' i) x
\u22a2 HasStrictDerivAt (fun x => ∏ i ∈ u, f i x) (∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, f j x) • f' i) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
\u22a2 ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
\u22a2 ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
\u22a2 (fun a => μ {a_1 | a ≤ f a_1}) =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] fun a => μ {a_1 | a < f a_1}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
t : ℝ
ht : μ {a | t ≤ f a} = μ {a | t < f a}
\u22a2 μ {a | t ≤ f a} = μ {a | t < f a}
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : IsPRadical i p
inst✝ : IsPRadical f p
x : M
\u22a2 ∃ n y, (f.comp i) y = x ^ p ^ n
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : IsPRadical i p
inst✝ : IsPRadical f p
x : M
n : ℕ
y : L
hy : f y = x ^ p ^ n
\u22a2 ∃ n y, (f.comp i) y = x ^ p ^ n
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : IsPRadical i p
inst✝ : IsPRadical f p
x : M
n : ℕ
y : L
hy : f y = x ^ p ^ n
m : ℕ
z : K
hz : i z = y ^ p ^ m
\u22a2 ∃ n y, (f.comp i) y = x ^ p ^ n
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : IsPRadical i p
inst✝ : IsPRadical f p
x : K
h : x ∈ RingHom.ker (f.comp i)
\u22a2 x ∈ pNilradical K p
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : IsPRadical i p
inst✝ : IsPRadical f p
x : K
h : i x ∈ RingHom.ker f
\u22a2 x ∈ pNilradical K p
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
h : I = ∅
\u22a2 M.Basis I ∅
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Partition.lean
n : ℕ
b : Multiset ℕ
hb₁ : ∀ {i : ℕ}, i ∈ b → 0 < i
hb₂ : b.sum = n
\u22a2 ∃ a, ofComposition n a = { parts := b, parts_pos := hb₁, parts_sum := hb₂ }
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Partition.lean
n : ℕ
b : List ℕ
hb₁ : ∀ {i : ℕ}, i ∈ ⟦b⟧ → 0 < i
hb₂ : sum ⟦b⟧ = n
\u22a2 ∃ a, ofComposition n a = { parts := ⟦b⟧, parts_pos := hb₁, parts_sum := hb₂ }
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
c : ℝ
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : TaggedPrepartition I
\u22a2 integralSum (c • f) vol π = c • integralSum f vol π
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a b : CauSeq α abs
h : a ≤ b
\u22a2 a ⊓ b ≈ a
-- Mathlib/Data/Option/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
p✝ : α → Prop
f✝ : (a : α) → p✝ a → β
x✝ : Option α
p : α → Prop
f : α → β
x : Option α
H : ∀ (a : α), a ∈ x → p a
\u22a2 pmap (fun a x => f a) x H = Option.map f x
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
hk : k ≠ 1
\u22a2 bernoulliFun k 1 = bernoulliFun k 0
-- Mathlib/Topology/Category/CompactlyGenerated.lean
X : Type w
inst✝ : TopologicalSpace X
Y : Type u_1
t : TopologicalSpace Y
f : X → Y
h : ∀ (S : CompHaus) (g : C(↑S.toTop, X)), Continuous (f ∘ ⇑g)
\u22a2 Continuous f
-- Mathlib/Topology/Category/CompactlyGenerated.lean
X : Type w
inst✝ : TopologicalSpace X
Y : Type u_1
t : TopologicalSpace Y
f : X → Y
h : ∀ (S : CompHaus) (g : C(↑S.toTop, X)), Continuous (f ∘ ⇑g)
\u22a2 Continuous (f ∘ fun x => match x with | ⟨⟨fst, i⟩, s⟩ => i s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
\u22a2 map (LinearMap.snd R M M₂) (snd R M M₂) = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
\u22a2 ⊤ ≤ map (LinearMap.snd R M M₂) (snd R M M₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M₂
\u22a2 x ∈ map (LinearMap.snd R M M₂) (snd R M M₂)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l : List M
ha : a ∈ l
\u22a2 a ∣ l.prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l : List M
ha : a ∈ l
s t : List M
h : l = s ++ a :: t
\u22a2 a ∣ l.prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l : List M
ha : a ∈ l
s t : List M
h : l = s ++ a :: t
\u22a2 a ∣ a * (s.prod * t.prod)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b x : Ordinal.{u_1}
hx : x = 0
\u22a2 log b x ≤ x
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b x : Ordinal.{u_1}
hx : ¬x = 0
hb : ¬1 < b
\u22a2 log b x ≤ x
-- Mathlib/Topology/Sober.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : QuasiSober α
inst✝ : IrreducibleSpace α
\u22a2 IsGenericPoint (genericPoint α) ⊤
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i ≠ 1
\u22a2 ∃ x ∈ s, f x ≠ 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i ≠ 1
h' : ∀ x ∈ s, f x = 1
\u22a2 False
-- Mathlib/Computability/ContextFreeGrammar.lean
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
w : List T
\u22a2 w ∈ g.language ↔ g.Derives [Symbol.nonterminal g.initial] (List.map Symbol.terminal w)
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n : ℕ
\u22a2 (descPochhammer ℤ n).smeval r = n.factorial • choose r n
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n : ℕ
\u22a2 (ascPochhammer ℤ n).smeval (r + (1 - ↑n).smeval r) = (ascPochhammer ℕ n).smeval (r - ↑n + 1)
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n : ℕ
h : (1 - ↑n).smeval r = 1 - ↑n
\u22a2 (ascPochhammer ℤ n).smeval (r + (1 - ↑n).smeval r) = (ascPochhammer ℕ n).smeval (r - ↑n + 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/NormedSpace.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → F
R : ℝ
hF : CompleteSpace F
\u22a2 ∫ (x : E), f (R • x) ∂μ = |(R ^ finrank ℝ E)⁻¹| • ∫ (x : E), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/NormedSpace.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → F
hF : CompleteSpace F
\u22a2 ∫ (x : E), f (0 • x) ∂μ = |(0 ^ finrank ℝ E)⁻¹| • ∫ (x : E), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/NormedSpace.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → F
R : ℝ
hF : CompleteSpace F
hR : R ≠ 0
\u22a2 ∫ (x : E), f (R • x) ∂μ = |(R ^ finrank ℝ E)⁻¹| • ∫ (x : E), f x ∂μ
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
\u22a2 s.encard ≤ 1 ↔ ∀ (a b : α), a ∈ s → b ∈ s → a = b
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
\u22a2 (s.Nonempty → ∃ x, s = {x}) ↔ ∀ (a b : α), a ∈ s → b ∈ s → a = b
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.Nonempty → ∃ x, s = {x}
a b : α
has : a ∈ s
hbs : b ∈ s
\u22a2 a = b
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
w : InfinitePlace K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
c : ℝ
\u22a2 (normAtPlace w) (c • x) = |c| * (normAtPlace w) x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
w : InfinitePlace K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
c : ℝ
\u22a2 (if hw : w.IsReal then ‖(c • x).1 ⟨w, hw⟩‖ else ‖(c • x).2 ⟨w, ⋯⟩‖) = |c| * if hw : w.IsReal then ‖x.1 ⟨w, hw⟩‖ else ‖x.2 ⟨w, ⋯⟩‖
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 a ⇨ b ⇔ c = (a ⊓ c ⇨ b) ⊓ (a ⊓ b ⇨ c)
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
n : ZMod 0
\u22a2 IsUnit n ↔ Int.natAbs n = 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticReciprocity.lean
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp : p ≠ 2
hq : q ≠ 2
\u22a2 legendreSym q ↑p = (-1) ^ (p / 2 * (q / 2)) * legendreSym p ↑q
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticReciprocity.lean
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp : p ≠ 2
hq : q ≠ 2
h : p = q
\u22a2 legendreSym q ↑p = (-1) ^ (p / 2 * (q / 2)) * legendreSym p ↑q
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticReciprocity.lean
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp : p ≠ 2
hq : q ≠ 2
h : p ≠ q
\u22a2 legendreSym q ↑p = (-1) ^ (p / 2 * (q / 2)) * legendreSym p ↑q
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Equalizers.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasEqualizer f g
inst✝ : HasEqualizer (G.map f) (G.map g)
Z : C
h : Z ⟶ X
w : h ≫ f = h ≫ g
\u22a2 G.map h ≫ G.map f = G.map h ≫ G.map g
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Equalizers.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasEqualizer f g
inst✝ : HasEqualizer (G.map f) (G.map g)
Z : C
h : Z ⟶ X
w : h ≫ f = h ≫ g
\u22a2 G.map (equalizer.lift h w) ≫ equalizerComparison f g G = equalizer.lift (G.map h) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Equalizers.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasEqualizer f g
inst✝ : HasEqualizer (G.map f) (G.map g)
Z : C
h : Z ⟶ X
w : h ≫ f = h ≫ g
\u22a2 (G.map (equalizer.lift h w) ≫ equalizerComparison f g G) ≫ equalizer.ι (G.map f) (G.map g) = equalizer.lift (G.map h) ⋯ ≫ equalizer.ι (G.map f) (G.map g)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
r : R
\u22a2 (C r * φ).IsHomogeneous m
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/ImageHyperplane.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x✝ y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
x : P
\u22a2 x ∈ inversion c R ⁻¹' sphere y (dist y c) ↔ x ∈ insert c ↑(perpBisector c (inversion c R y))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/ImageHyperplane.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
x✝ y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
x : P
hy : y ≠ x
\u22a2 x ∈ inversion x R ⁻¹' sphere y (dist y x) ↔ x ∈ insert x ↑(perpBisector x (inversion x R y))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/ImageHyperplane.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x✝ y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
x : P
hx : x ≠ c
\u22a2 x ∈ inversion c R ⁻¹' sphere y (dist y c) ↔ x ∈ insert c ↑(perpBisector c (inversion c R y))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
ι : Type w
h : Basis ι R M
\u22a2 ↑(finrank R M) = #ι
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
ι : Type w
h : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
\u22a2 ↑(finrank R M) = #ι
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Fintype ι₁
inst✝¹ : Finite ι₂
inst✝ : DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
\u22a2 (fun i => ((toMatrix b₁ b₁) id).toMvPolynomial i) = X
-- Mathlib/Algebra/Star/Module.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : StarMul A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : StarModule R A
r : R
hr : IsSelfAdjoint r
\u22a2 IsSelfAdjoint ((algebraMap R A) r)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M ≃ₗ[R] M'
\u22a2 lift.{v', v} (Module.rank R M) = lift.{v, v'} (Module.rank R M')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M ≃ₗ[R] M'
\u22a2 lift.{v', v} (Module.rank R M) ≤ lift.{v, v'} (Module.rank R M')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M ≃ₗ[R] M'
\u22a2 lift.{v, v'} (Module.rank R M') ≤ lift.{v', v} (Module.rank R M)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
x : PGame
h : 0 < x
\u22a2 x⁻¹ = x.inv'
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
ι : Sort w
f : ι → Filter (Filter α)
x : Set α
\u22a2 x ∈ ⨆ x, (f x).join ↔ x ∈ (⨆ x, f x).join
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
hx : |x| ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x
\u22a2 cos x ≤ 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
hx : x ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x
\u22a2 cos x ≤ 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
hx : x ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (-(2 / π ^ 2 * (↑2 * x ^ (2 - 1))) - -sin x) x
\u22a2 cos x ≤ 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
hx : x ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (sin x - 2 / π ^ 2 * 2 * x) x
\u22a2 cos x ≤ 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
hx : x ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (sin x - 2 / π ^ 2 * 2 * x) x
hmono : MonotoneOn (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (Icc 0 (π / 2))
\u22a2 cos x ≤ 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
hx : x ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (sin x - 2 / π ^ 2 * 2 * x) x
hmono : MonotoneOn (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (Icc 0 (π / 2))
hconc : ConcaveOn ℝ (Icc (π / 2) π) fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x
\u22a2 cos x ≤ 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
hx : x ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (sin x - 2 / π ^ 2 * 2 * x) x
hmono : MonotoneOn (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (Icc 0 (π / 2))
hconc : ConcaveOn ℝ (Icc (π / 2) π) fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x
\u22a2 0 ≤ 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
hx : x ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (sin x - 2 / π ^ 2 * 2 * x) x
hmono : MonotoneOn (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (Icc 0 (π / 2))
hconc : ConcaveOn ℝ (Icc (π / 2) π) fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x
hx' : x ≤ π / 2
\u22a2 0 ≤ 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
hx : x ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (sin x - 2 / π ^ 2 * 2 * x) x
hmono : MonotoneOn (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (Icc 0 (π / 2))
hconc : ConcaveOn ℝ (Icc (π / 2) π) fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x
hx' : π / 2 ≤ x
\u22a2 0 ≤ 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 b ⇔ a ⇔ a = b
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
inst✝¹ : HasColimitsOfShape J C
G : J ⥤ C
α✝ : F✝ ⟶ G
inst✝ : HasColimitsOfShape K C
F : J ⥤ C
E₁ E₂ : K ⥤ J
α : E₁ ⟶ E₂
j✝ : K
\u22a2 ι (E₁ ⋙ F) j✝ ≫ pre F E₁ = ι (E₁ ⋙ F) j✝ ≫ colim.map (whiskerRight α F) ≫ pre F E₂
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a✝ : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
a x : α
hx1 : |x| < 1
\u22a2 IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, a * x ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
x y : ℂ
hre : |x.re| ≤ |y.re|
him : |x.im| ≤ |y.im|
\u22a2 normSq x ≤ normSq y
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
x y : ℂ
hre : |x.re| ≤ |y.re|
him : |x.im| ≤ |y.im|
\u22a2 |x.re| * |x.re| + |x.im| * |x.im| ≤ |y.re| * |y.re| + |y.im| * |y.im|
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
l₁ l₂ : List α
k : ℕ
hk : k ≤ l₂.length
\u22a2 (l₁ ++ l₂).rdrop k = l₁ ++ l₂.rdrop k
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
l₁ l₂ : List α
k : ℕ
hk : k ≤ l₂.reverse.length
\u22a2 (l₁ ++ l₂).rdrop k = l₁ ++ l₂.rdrop k
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
p : Char → Bool
l m r : List Char
acc : List String
\u22a2 (if h : { data := l ++ m ++ r }.atEnd { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } = true then let r := { data := l ++ m ++ r }.extract { byteIdx := utf8Len l } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } :: acc; r.reverse else let_fun this := ⋯; if p ({ data := l ++ m ++ r }.get { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }) = true then let i' := { data := l ++ m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }; { data := l ++ m ++ r }.splitAux p i' i' ({ data := l ++ m ++ r }.extract { byteIdx := utf8Len l } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } :: acc) else { data := l ++ m ++ r }.splitAux p { byteIdx := utf8Len l } ({ data := l ++ m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }) acc) = acc.reverse ++ List.map mk (List.splitOnP.go p r m.reverse)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
p : Char → Bool
l m r : List Char
acc : List String
\u22a2 (if r = [] then acc.reverse ++ [{ data := l ++ (m ++ r) }.extract { byteIdx := utf8Len l } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }] else if p ({ data := l ++ (m ++ r) }.get { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }) = true then { data := l ++ (m ++ r) }.splitAux p ({ data := l ++ (m ++ r) }.next { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }) ({ data := l ++ (m ++ r) }.next { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }) ({ data := l ++ (m ++ r) }.extract { byteIdx := utf8Len l } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } :: acc) else { data := l ++ (m ++ r) }.splitAux p { byteIdx := utf8Len l } ({ data := l ++ (m ++ r) }.next { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }) acc) = acc.reverse ++ List.map mk (List.splitOnP.go p r m.reverse)