ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q
\u22a2 ((-z₁).comp z₂ h).v p q hpq = (-z₁.comp z₂ h).v p q hpq
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
s : Stream' α
x✝ : a ∈ s.odd
n : ℕ
h : (fun b => a = b) (s.odd.get n)
\u22a2 (fun b => a = b) (s.get (2 * n + 1))
-- Mathlib/Data/List/Indexes.lean
α : Type u
β : Type v
p : α → Bool
xs : List α
i : ℕ
h : i < xs.length
\u22a2 findIdx p xs = i ↔ p (xs.get ⟨i, h⟩) = true ∧ ∀ (j : ℕ) (hji : j < i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true
-- Mathlib/Data/List/Indexes.lean
α : Type u
β : Type v
p : α → Bool
xs : List α
i : ℕ
h : i < xs.length
x✝ : p (xs.get ⟨i, h⟩) = true ∧ ∀ (j : ℕ) (hji : j < i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true
h1 : p (xs.get ⟨i, h⟩) = true
h2 : ∀ (j : ℕ) (hji : j < i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true
\u22a2 findIdx p xs = i
-- Mathlib/Data/List/Indexes.lean
α : Type u
β : Type v
p : α → Bool
xs : List α
i : ℕ
h : i < xs.length
x✝ : p (xs.get ⟨i, h⟩) = true ∧ ∀ (j : ℕ) (hji : j < i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true
h1 : p (xs.get ⟨i, h⟩) = true
h2 : ∀ (j : ℕ) (hji : j < i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true
\u22a2 findIdx p xs ≤ i
-- Mathlib/Data/List/Indexes.lean
α : Type u
β : Type v
p : α → Bool
xs : List α
i : ℕ
h : i < xs.length
x✝ : p (xs.get ⟨i, h⟩) = true ∧ ∀ (j : ℕ) (hji : j < i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true
h2 : ∀ (j : ℕ) (hji : j < i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true
h1 : i < findIdx p xs
\u22a2 p (xs.get ⟨i, h⟩) ≠ true
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
s : Set X
\u22a2 IsClosed s ↔ ∀ (x : X), f x ∈ closure (f '' s) → x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
y : E
hy : y ∈ closure s
\u22a2 y ∈ ⇑(homothety x t) '' interior s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
y : E
hy : y ∈ closure s
hne : t ≠ 0
\u22a2 y ∈ ⇑(homothety x t) '' interior s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
y : E
hy : y ∈ closure s
hne : t ≠ 0
\u22a2 (homothety x t⁻¹) y ∈ openSegment ℝ x y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
y : E
hy : y ∈ closure s
hne : t ≠ 0
\u22a2 (lineMap x y) t⁻¹ ∈ (fun x_1 => (lineMap x y) x_1⁻¹) '' Ioi 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x✝ x : P
\u22a2 intrinsicInterior 𝕜 {x} = {x}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
\u22a2 ‖1‖₊ = 0
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
t : Set β
\u22a2 (s ×ˢ t).Finite ↔ (s.Finite ∨ t = ∅) ∧ (t.Finite ∨ s = ∅)
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f : α → β
\u22a2 Tendsto f l₁ l₂ ↔ RTendsto' (Function.graph f) l₁ l₂
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
\u22a2 lift.{u, v} 2 = 2
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i : ι
x : F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i
hs : s.Nonempty
\u22a2 eval x (nodal s v) * ∑ i ∈ s, nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ = 1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
\u22a2 o.oangle (x - y) x = ↑(Real.arccos (‖x‖ / ‖x - y‖))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
\u22a2 (-o).oangle x (x - y) = ↑(Real.arccos (‖x‖ / ‖x - y‖))
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n
\u22a2 qrSign m n = (-1) ^ (m / 2 * (n / 2))
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n
\u22a2 J(χ₄ ↑m | n) = χ₄ ↑m ^ (n / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n
h : m % 4 = 1
\u22a2 J(χ₄ ↑m | n) = χ₄ ↑m ^ (n / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n
h : m % 4 = 3
\u22a2 J(χ₄ ↑m | n) = χ₄ ↑m ^ (n / 2)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x : M
h : x ≠ 0
\u22a2 (coord R M x h) ⟨x, ⋯⟩ = 1
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
g : S →+* T
hmap : ∀ (a : R), g ((algebraMap R S) a) = i a
hroot : g h.root = x
a : S
\u22a2 g a = (lift i x hx h) a
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
g : S →+* T
hmap : ∀ (a : R), g ((algebraMap R S) a) = i a
hroot : g h.root = x
a : S
\u22a2 g (h.map (∑ i ∈ Finset.range ((h.repr a).natDegree + 1), C ((h.repr a).coeff i) * X ^ i)) = (lift i x hx h) (h.map (∑ i ∈ Finset.range ((h.repr a).natDegree + 1), C ((h.repr a).coeff i) * X ^ i))
-- Mathlib/Data/Rat/Sqrt.lean
z : ℤ
\u22a2 sqrt ↑z = ↑(Int.sqrt z)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
n : ℕ
\u22a2 (X ^ n).eraseLead = 0
-- Mathlib/Combinatorics/HalesJewett.lean
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
η : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
l✝ : Subspace η α ι
x✝ : η → α
i✝ : ι
a : α
e : η
η' : Type u_9
α' : Type u_10
ι' : Type u_11
l : Subspace η α ι
eη : η ≃ η'
eα : α ≃ α'
eι : ι ≃ ι'
x : η' → α'
i : ι'
\u22a2 ↑(l.reindex eη eα eι) x i = eα (↑l (⇑eα.symm ∘ x ∘ ⇑eη) (eι.symm i))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasureProd.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β
s : Set (α × β)
s_mble : MeasurableSet s
\u22a2 (μ.prod ν) s = (∫⁻ (x : α), ↑ν (Prod.mk x ⁻¹' s) ∂↑μ).toNNReal
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
i : ι
f₁ f₂ : Π₀ (i : ι), β i
x✝ : ι
\u22a2 (erase i (f₁ + f₂)) x✝ = (erase i f₁ + erase i f₂) x✝
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
\u22a2 M.Base (insert f (B \ {e}))
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : insert f (B \ {e}) ⊆ B'
\u22a2 M.Base (insert f (B \ {e}))
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : insert f (B \ {e}) ⊆ B'
hcard : (B' \ B).encard = (B \ B').encard
\u22a2 M.Base (insert f (B \ {e}))
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : f ∈ B' ∧ (B \ B' = ∅ ∨ B \ B' = {e})
hcard : (B' \ B).encard = (B \ B').encard
\u22a2 M.Base (insert f (B \ {e}))
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hcard : (B' \ B).encard = (B \ B').encard
hfB : f ∈ B'
h : B \ B' = {e}
\u22a2 M.Base (insert f (B \ {e}))
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hcard : ∃ x, B' \ B = {x}
hfB : f ∈ B'
h : B \ B' = {e}
\u22a2 M.Base (insert f (B \ {e}))
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hfB : f ∈ B'
h : B \ B' = {e}
x : α
hx : B' \ B = {x}
\u22a2 M.Base (insert f (B \ {e}))
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hfB : f ∈ B'
h : B \ B' = {e}
hx : B' \ B = {f}
\u22a2 M.Base (insert f (B \ {e}))
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hfB : f ∈ B'
h : B \ B' = {e}
hx : B' \ B = {f}
\u22a2 M.Base B'
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
r : α → α → Prop
f : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) f
h : ∀ (x : ι), DirectedOn r (f x)
\u22a2 DirectedOn r (⋃ x, f x)
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
r : α → α → Prop
f : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) f
h : ∀ (x : ι), DirectedOn r (f x)
\u22a2 ∀ (x : α) (x_1 : ι), x ∈ f x_1 → ∀ (y : α) (x_2 : ι), y ∈ f x_2 → ∃ z, (∃ i, z ∈ f i) ∧ r x z ∧ r y z
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : x < z \ y
hyz : y ≤ z
\u22a2 x ⊔ y < z
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : x < z \ y
hyz : y ≤ z
\u22a2 x ⊔ y < z \ y ⊔ y
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : x < z \ y
hyz : y ≤ z
h' : z \ y ⊔ y ≤ x ⊔ y
\u22a2 z \ y ≤ x
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : x < z \ y
hyz : y ≤ z
h' : z \ y ⊔ y ≤ x ⊔ y
\u22a2 (z \ y) \ y ≤ x
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
\u22a2 s.FG
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝² : DecidableEq R
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
this : ∀ y ∈ t1, ∃ x ∈ s, f x = y
\u22a2 s.FG
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
\u22a2 span R ↑(Finset.image g t1 ∪ t2) = s
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
\u22a2 span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2 = s
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
\u22a2 span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2 ≤ s
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
\u22a2 s ≤ span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
\u22a2 x ∈ span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝² : DecidableEq R
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
this : f x ∈ map f s
\u22a2 x ∈ span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝² : DecidableEq R
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
this : ∃ l ∈ Finsupp.supported R R ↑t1, (Finsupp.total P P R id) l = f x
\u22a2 x ∈ span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ Finsupp.supported R R ↑t1
hl2 : (Finsupp.total P P R id) l = f x
\u22a2 x ∈ span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ Finsupp.supported R R ↑t1
hl2 : (Finsupp.total P P R id) l = f x
\u22a2 (Finsupp.total M M R id).toFun ((Finsupp.lmapDomain R R g) l) ∈ span R (g '' ↑t1)
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ Finsupp.supported R R ↑t1
hl2 : (Finsupp.total P P R id) l = f x
\u22a2 x - (Finsupp.total M M R id) ((Finsupp.lmapDomain R R g) l) ∈ span R ↑t2
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ Finsupp.supported R R ↑t1
hl2 : (Finsupp.total P P R id) l = f x
\u22a2 x - (Finsupp.total M M R id) ((Finsupp.lmapDomain R R g) l) ∈ s ∧ x - (Finsupp.total M M R id) ((Finsupp.lmapDomain R R g) l) ∈ LinearMap.ker f
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
\u22a2 ∅.centerMass w z = 0
-- Mathlib/Data/Set/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
x✝ : ↑(range f)
\u22a2 (f ∘ rangeSplitting f) x✝ = ↑x✝
-- Mathlib/Data/Set/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
x✝ : ↑(range f)
\u22a2 f (rangeSplitting f x✝) = ↑x✝
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
h : f a = f b
\u22a2 f (a * b⁻¹) = 1
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
h : f a = f b
this : f a * (f b)⁻¹ = 1
\u22a2 f (a * b⁻¹) = 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ
\u22a2 IsOpen {f | ↑n ≤ (↑f).rank}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ
\u22a2 IsOpen (⋃ i, ⋃ (_ : i.card = n), {x | LinearIndependent 𝕜 fun (x_1 : ↑↑i) => ↑x ↑x_1})
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ
t : Finset E
x✝ : t ∈ fun i => i.card = n
\u22a2 IsOpen {x | LinearIndependent 𝕜 fun (x_1 : ↑↑t) => ↑x ↑x_1}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ
t : Finset E
x✝ : t ∈ fun i => i.card = n
this : Continuous fun f x => f ↑x
\u22a2 IsOpen {x | LinearIndependent 𝕜 fun (x_1 : ↑↑t) => ↑x ↑x_1}
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : AlgHomClass F R A B
φ : F
a : A
r : R
h : r ∈ resolventSet R a
\u22a2 r ∈ resolventSet R (φ a)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
h : 0 < s
\u22a2 IntegrableOn (fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) (Ioi 0) volume