ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Semiquot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
q : Semiquot α
s : Set α
h : q.s ⊆ s
\u22a2 s ∪ q.s = s
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
\u22a2 x = ↑(unitCoeff hx) * ↑p ^ x.valuation.natAbs
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
\u22a2 (fun a => ↑a) x = (fun a => ↑a) (↑(unitCoeff hx) * ↑p ^ x.valuation.natAbs)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
repr : ↑x = ↑↑(unitCoeff hx) * ↑p ^ x.valuation
\u22a2 ↑p ^ x.valuation.natAbs = ↑p ^ x.valuation
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
\u22a2 0 ∈ lifts 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
\u22a2 (List.map (fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) 0).sum = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
\u22a2 [].sum = 0
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
\u22a2 s ∈ coclosedCompact X ↔ ∃ t, IsClosed t ∧ IsCompact t ∧ tᶜ ⊆ s
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
\u22a2 LiftRel R s t.think ↔ LiftRel R s t
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
\u22a2 Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.think.destruct ↔ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n k : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n + k ≤ m → p m = 0
x✝ : ℕ
hm : n ≤ x✝
\u22a2 n + k ≤ k + x✝
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n k : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n + k ≤ m → p m = 0
x✝ : ℕ
hm : n ≤ x✝
\u22a2 k + n ≤ k + x✝
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
\u22a2 (fun x => a + x) ⁻¹' Icc b c = Icc (b - a) (c - a)
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀
h : a ≠ 0
g : G₀
\u22a2 (fun g => a * g) (a⁻¹ * g) = g
-- Mathlib/Topology/UnitInterval.lean
t : ↑I
\u22a2 1 / 2 ≤ ↑(σ t) ↔ ↑t ≤ 1 / 2
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Linear.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : LinearWeights R L M
χ✝ : L → R
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : Weight R L M
\u22a2 ∃ m, m ≠ 0 ∧ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = χ x • m
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Linear.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : LinearWeights R L M
χ✝ : L → R
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : Weight R L M
hχ : Nontrivial ↥↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ)
\u22a2 ∃ m, m ≠ 0 ∧ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = χ x • m
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Linear.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : LinearWeights R L M
χ✝ : L → R
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : Weight R L M
hχ : Nontrivial ↥↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ)
m : M
property✝ : m ∈ ↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ)
hm₁ : ⟨m, property✝⟩ ∈ ↑(maxTrivSubmodule R L ↥↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ))
hm₂ : ⟨⟨m, property✝⟩, hm₁⟩ ≠ 0
\u22a2 ∃ m, m ≠ 0 ∧ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = χ x • m
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Linear.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : LinearWeights R L M
χ✝ : L → R
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : Weight R L M
hχ : Nontrivial ↥↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ)
m : M
property✝ : m ∈ ↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ)
hm₁✝ : ⟨m, property✝⟩ ∈ ↑(maxTrivSubmodule R L ↥↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ))
hm₂ : ⟨⟨m, property✝⟩, hm₁✝⟩ ≠ 0
hm₁ : ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = χ x • m
\u22a2 ∃ m, m ≠ 0 ∧ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = χ x • m
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j : 𝒰.J
\u22a2 t 𝒰 f g i j ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i) ≫ pullback.snd (𝒰.map j ≫ f) g = pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫ pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hst : s =ᶠ[ae μ] t
\u22a2 s.indicator f =ᶠ[ae μ] t.indicator f
-- Mathlib/CategoryTheory/EpiMono.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f : X ⟶ Y
se : SplitEpi f
F : C ⥤ D
\u22a2 F.map se.section_ ≫ F.map f = 𝟙 (F.obj Y)
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
s : A → A → Prop
\u22a2 Function.Surjective ⇑(mkAlgHom S s)
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
s : A → A → Prop
\u22a2 Function.Surjective fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel s) x }
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
n : ℕ
l : List ℕ
h₁ : l.prod = n
h₂ : ∀ p ∈ l, Prime p
\u22a2 l ~ n.primeFactorsList
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
n : ℕ
l : List ℕ
h₁ : l.prod = n
h₂ : ∀ p ∈ l, Prime p
\u22a2 l.prod = n.primeFactorsList.prod
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
n : ℕ
l : List ℕ
h₁ : l.prod = n
h₂ : ∀ p ∈ l, Prime p
\u22a2 ∀ p ∈ l, _root_.Prime p
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
n : ℕ
l : List ℕ
h₁ : l.prod = n
h₂ : ∀ p ∈ l, Prime p
\u22a2 ∀ p ∈ n.primeFactorsList, _root_.Prime p
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : (ZMod p)ˣ
\u22a2 a ^ (p - 1) = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f : α → ℝ
\u22a2 Tendsto (fun x => rexp (f x)) l atTop ↔ Tendsto f l atTop
-- Mathlib/Order/Filter/EventuallyConst.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f : α → β
p : α → Prop
\u22a2 EventuallyConst p l ↔ (p =ᶠ[l] fun x => False) ∨ p =ᶠ[l] fun x => True
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
x y : ↑(∐ D.U)
h : (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap ≫ (Multicoequalizer.isoCoequalizer D.diagram).inv) x = (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap ≫ (Multicoequalizer.isoCoequalizer D.diagram).inv) y
\u22a2 EqvGen (Types.CoequalizerRel ⇑D.diagram.fstSigmaMap ⇑D.diagram.sndSigmaMap) x y
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
x y : ↑(∐ D.U)
h : (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 x = (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 y
\u22a2 EqvGen (Types.CoequalizerRel ⇑D.diagram.fstSigmaMap ⇑D.diagram.sndSigmaMap) x y
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
x y : ↑(∐ D.U)
h : (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 x = (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 y
diagram : WalkingParallelPair ⥤ Type u := parallelPair D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap ⋙ forget TopCat
\u22a2 EqvGen (Types.CoequalizerRel ⇑D.diagram.fstSigmaMap ⇑D.diagram.sndSigmaMap) x y
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
x y : ↑(∐ D.U)
h : (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 x = (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 y
diagram : WalkingParallelPair ⥤ Type u := parallelPair D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap ⋙ forget TopCat
this : colimit.ι diagram one x = colimit.ι diagram one y
\u22a2 EqvGen (Types.CoequalizerRel ⇑D.diagram.fstSigmaMap ⇑D.diagram.sndSigmaMap) x y
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
x y : ↑(∐ D.U)
h : (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 x = (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 y
diagram : WalkingParallelPair ⥤ Type u := parallelPair D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap ⋙ forget TopCat
this✝ : colimit.ι diagram one x = colimit.ι diagram one y
this : (colimit.ι diagram one ≫ colim.map (diagramIsoParallelPair diagram).hom ≫ (colimit.isoColimitCocone (Types.coequalizerColimit (diagram.map WalkingParallelPairHom.left) (diagram.map WalkingParallelPairHom.right))).hom) x = (colimit.ι diagram one ≫ colim.map (diagramIsoParallelPair diagram).hom ≫ (colimit.isoColimitCocone (Types.coequalizerColimit (diagram.map WalkingParallelPairHom.left) (diagram.map WalkingParallelPairHom.right))).hom) y
\u22a2 EqvGen (Types.CoequalizerRel ⇑D.diagram.fstSigmaMap ⇑D.diagram.sndSigmaMap) x y
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
x y : ↑(∐ D.U)
h : (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 x = (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 y
diagram : WalkingParallelPair ⥤ Type u := parallelPair D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap ⋙ forget TopCat
this✝ : colimit.ι diagram one x = colimit.ι diagram one y
this : (Types.coequalizerColimit (diagram.map WalkingParallelPairHom.left) (diagram.map WalkingParallelPairHom.right)).cocone.ι.app one x = (Types.coequalizerColimit (diagram.map WalkingParallelPairHom.left) (diagram.map WalkingParallelPairHom.right)).cocone.ι.app one y
\u22a2 EqvGen (Types.CoequalizerRel ⇑D.diagram.fstSigmaMap ⇑D.diagram.sndSigmaMap) x y
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n✝ : ℤ
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (a * g)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (a * g⁻¹)
n : ℤ
\u22a2 P (g ^ n)
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (a * g)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (a * g⁻¹)
\u22a2 P (g ^ 0)
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n✝ : ℤ
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (a * g)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (a * g⁻¹)
n : ℕ
ih : P (g ^ ↑n)
\u22a2 P (g ^ (↑n + 1))
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n✝ : ℤ
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (a * g)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (a * g⁻¹)
n : ℕ
ih : P (g ^ (-↑n))
\u22a2 P (g ^ (-↑n - 1))
-- Mathlib/RingTheory/Localization/AsSubring.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
S : Submonoid A
hS✝ : S ≤ A⁰
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
hS : S ≤ A⁰
s : ↥S
\u22a2 IsUnit ((algebraMap A K) ↑s)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
f : ((k : K) → Option (Γ k)) → (k : K) → Option (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
n : ℕ
\u22a2 ListBlank.modifyNth (fun a => (a.1, f a.2)) n (addBottom L) = addBottom (ListBlank.modifyNth f n L)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
f : ((k : K) → Option (Γ k)) → (k : K) → Option (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
n✝ : ℕ
\u22a2 ListBlank.cons (true, L.head) (ListBlank.modifyNth (fun a => (a.1, f a.2)) n✝ (ListBlank.map { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ } L.tail)) = ListBlank.cons (true, L.head) (ListBlank.map { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ } (ListBlank.modifyNth f n✝ L.tail))
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
f : ((k : K) → Option (Γ k)) → (k : K) → Option (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
n✝ : ℕ
\u22a2 ListBlank.map { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ } (ListBlank.modifyNth f n✝ L.tail) = ListBlank.modifyNth (fun a => (a.1, f a.2)) n✝ (ListBlank.map { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ } L.tail)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
f : ((k : K) → Option (Γ k)) → (k : K) → Option (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
n✝ : ℕ
\u22a2 ∀ (x : (k : K) → Option (Γ k)), { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ }.f (f x) = (({ f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ }.f x).1, f ({ f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ }.f x).2)
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r p : ℝ≥0
h : p ≠ 0
\u22a2 r ≤ p⁻¹ ↔ r * p ≤ 1
-- Mathlib/GroupTheory/Torsion.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
N : Subgroup G
inst✝ : Group H
f : G →* H
hf : Function.Surjective ⇑f
tG : IsTorsion G
h : H
g : G
hg : f g = h
\u22a2 IsOfFinOrder (f g)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x : G
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt ℝ n f x
hg : ContDiffAt ℝ n g x
hne : f x ≠ g x
\u22a2 ContDiffAt ℝ n (fun y => ‖f y - g y‖) x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
\u22a2 sinh (x + y) = sinh x * cosh y + cosh x * sinh y
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
\u22a2 (cexp x - cexp (-x)) * (cexp y + cexp (-y)) + (cexp x + cexp (-x)) * (cexp y - cexp (-y)) = 2 * (cexp x * cexp y - cexp (-x) * cexp (-y))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projectivization/Independence.lean
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
u v : ℙ K V
\u22a2 Independent ![u, v] ↔ u ≠ v
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))
\u22a2 (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ 2 ^ k - 1) = (-2) ^ 2 ^ k
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))
this : NumberField K
\u22a2 (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ 2 ^ k - 1) = (-2) ^ 2 ^ k
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k + 1))
this : NumberField K
\u22a2 (Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) (hζ.toInteger ^ 2 ^ k - 1)) = (algebraMap ℤ ℚ) ((-2) ^ 2 ^ k)
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
α : Type u_1
l : List α
c : Composition n
i : Fin (l.splitWrtComposition c).length
\u22a2 (l.splitWrtComposition c).get i = drop (c.sizeUpTo ↑i) (take (c.sizeUpTo (↑i + 1)) l)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Functor.lean
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.3840, u_2} T
X✝ Y✝ : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
f : X✝ ⟶ Y✝
t t' : T
g : t ⟶ t'
i : ι
\u22a2 (((fun C => C.asFunctor) X✝).map g ≫ (fun t => { f := fun i => (f.f i).app t, comm' := ⋯ }) t').f i = ((fun t => { f := fun i => (f.f i).app t, comm' := ⋯ }) t ≫ ((fun C => C.asFunctor) Y✝).map g).f i
-- Mathlib/Data/Semiquot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a b : α
ab : b ∈ pure a
c : α
ac : c ∈ pure a
\u22a2 b = c
-- Mathlib/Data/Semiquot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a b : α
ab : b = a
c : α
ac : c = a
\u22a2 b = c
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Module.Flat R ↥N
ι : Type u_1
m : ι → ↥M
hm : LinearIndependent R m
\u22a2 LinearMap.ker (mulLeftMap N m) = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Module.Flat R ↥N
ι : Type u_1
m : ι → ↥M
hm : LinearIndependent R m
\u22a2 Function.Injective ⇑(mulLeftMap N m)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Module.Flat R ↥N
ι : Type u_1
m : ι → ↥M
hm : LinearIndependent R m
\u22a2 Function.Injective (⇑(M.mulMap N) ∘ ⇑(LinearMap.rTensor (↥N) (Finsupp.total ι (↥M) R m)))
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝ : Module.Flat R ↥N
ι : Type u_1
m : ι → ↥M
hm : Function.Injective ⇑(Finsupp.total ι (↥M) R m)
\u22a2 Function.Injective (⇑(M.mulMap N) ∘ ⇑(LinearMap.rTensor (↥N) (Finsupp.total ι (↥M) R m)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
x y z : ℝ
f g : ℝ → ℝ
f' g' : ℝ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hg : HasStrictDerivAt g g' x
h : 0 < f x
\u22a2 HasStrictDerivAt (fun x => f x ^ g x) (f' * g x * f x ^ (g x - 1) + g' * f x ^ g x * log (f x)) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
x y z : ℝ
f g : ℝ → ℝ
f' g' : ℝ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hg : HasStrictDerivAt g g' x
h : 0 < f x
\u22a2 f' * g x * f x ^ (g x - 1) + g' * f x ^ g x * log (f x) = ((((fun x => (f x, g x)) x).2 * ((fun x => (f x, g x)) x).1 ^ (((fun x => (f x, g x)) x).2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (((fun x => (f x, g x)) x).1 ^ ((fun x => (f x, g x)) x).2 * log ((fun x => (f x, g x)) x).1) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) (f', g')
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
K : Set Y
hK : IsCompact K
l : Filter X
\u22a2 l ×ˢ 𝓝ˢ K = ⨆ y ∈ K, l ×ˢ 𝓝 y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Bounded.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r : ℝ
f : β → α
\u22a2 (∃ C, ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ range f → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ range f → dist x y ≤ C) ↔ ∃ C, ∀ (x y : β), dist (f x) (f y) ≤ C
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁴ : CommRing R₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R₁ M₁
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
B : M₁ →ₗ[R₁] M₁ →ₗ[R₁] R₁
M : Matrix ι ι R₁
b : Basis ι R₁ M₁
\u22a2 ((toLinearMap₂ b b) M).SeparatingLeft ↔ M.Nondegenerate
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing α
a : α
\u22a2 (𝓝[≠] 0)⁻¹ = cobounded α
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p : Fin n
i : Fin (n + 1)
\u22a2 p.predAbove i.rev = (p.rev.predAbove i).rev
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
\u22a2 IsNoetherianRing A
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
I : Ideal A
\u22a2 Submodule.FG I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
I : Ideal A
hI : ¬I = ⊥
\u22a2 Submodule.FG I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
I : Ideal A
hI✝ : ¬I = ⊥
hI : ↑I ≠ 0
\u22a2 Submodule.FG I
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
a✝ b : R✝
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R✝
p q : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : Ring R
a : R[ℕ]
\u22a2 { toFinsupp := -a } = Polynomial.neg { toFinsupp := a }
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
hs : IsBounded s
ht : IsBounded t
Rs : ℝ
hRs : ∀ x ∈ s, ‖x‖ ≤ Rs
Rt : ℝ
hRt : ∀ x ∈ t, ‖x‖ ≤ Rt
\u22a2 IsBounded (s * t)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
hs : IsBounded s
ht : IsBounded t
Rs : ℝ
hRs : ∀ x ∈ s, ‖x‖ ≤ Rs
Rt : ℝ
hRt : ∀ x ∈ t, ‖x‖ ≤ Rt
\u22a2 ∀ x ∈ s * t, ‖x‖ ≤ Rs + Rt
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x✝ y✝ : E
hs : IsBounded s
ht : IsBounded t
Rs : ℝ
hRs : ∀ x ∈ s, ‖x‖ ≤ Rs
Rt : ℝ
hRt : ∀ x ∈ t, ‖x‖ ≤ Rt
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ t
\u22a2 ‖(fun x x_1 => x * x_1) x y‖ ≤ Rs + Rt
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p a b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
ha : a ≠ 0
\u22a2 padicValNat p (a ^ n) = n * padicValNat p a
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
\u22a2 ∑ a ∈ s.toFinset, count a s = card s
-- Mathlib/Logic/Encodable/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
inst✝¹ : Encodable α
inst✝ : Inhabited α
x : α
\u22a2 (fun n => (decode n).iget) (encode x) = x