ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Star/Module.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
x : A
\u22a2 ⅟2 • (x + star x) ∈ selfAdjoint A
-- Mathlib/Algebra/Star/Module.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
x y : A
\u22a2 ↑((fun x => ⟨⅟2 • (x + star x), ⋯⟩) (x + y)) = ↑((fun x => ⟨⅟2 • (x + star x), ⋯⟩) x + (fun x => ⟨⅟2 • (x + star x), ⋯⟩) y)
-- Mathlib/Algebra/Star/Module.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
r : R
x : A
\u22a2 ↑({ toFun := fun x => ⟨⅟2 • (x + star x), ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x)) = ↑((RingHom.id R) r • { toFun := fun x => ⟨⅟2 • (x + star x), ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun x)
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Ring K
inst✝² : NoZeroDivisors K
inst✝¹ : Nontrivial K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
n : ℕ := Fintype.card ↥G
nzero : ↑(Fintype.card ↥G) = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Ring K
inst✝² : NoZeroDivisors K
inst✝¹ : Nontrivial K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
n : ℕ := Fintype.card ↥G
nzero : ↑(Fintype.card ↥G) = 0
p : ℕ
char_p : CharP K p
\u22a2 False
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Ring K
inst✝² : NoZeroDivisors K
inst✝¹ : Nontrivial K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
n : ℕ := Fintype.card ↥G
nzero : ↑(Fintype.card ↥G) = 0
p : ℕ
char_p : CharP K p
hd : p ∣ n
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Ring/Commute.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
a b : R
h : Commute a b
\u22a2 a * a - b * b = (a - b) * (a + b)
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
\u22a2 b ⊔ c \ a = c
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
ι✝ : Type y
a b : R✝
m n : ℕ
inst✝³ : CommSemiring R✝
p✝ q : R✝[X]
x✝ : R✝
inst✝² : CommSemiring S
f : R✝ →+* S
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
ι : Type u_1
s : Finset ι
p : ι → R[X]
x : R
\u22a2 (∏ j ∈ s, p j).IsRoot x ↔ ∃ i ∈ s, (p i).IsRoot x
-- Mathlib/Topology/Order/ExtrClosure.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : Preorder Y
inst✝ : OrderClosedTopology Y
f g : X → Y
s : Set X
a : X
h : IsLocalMaxOn f s a
hc : ContinuousOn f (closure s)
\u22a2 IsLocalMaxOn f (closure s) a
-- Mathlib/Topology/Order/ExtrClosure.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : Preorder Y
inst✝ : OrderClosedTopology Y
f g : X → Y
s : Set X
a : X
h : IsLocalMaxOn f s a
hc : ContinuousOn f (closure s)
U : Set X
Uo : IsOpen U
aU : a ∈ U
hU : U ∩ s ⊆ {x | (fun x => f x ≤ f a) x}
\u22a2 IsLocalMaxOn f (closure s) a
-- Mathlib/Topology/Order/ExtrClosure.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : Preorder Y
inst✝ : OrderClosedTopology Y
f g : X → Y
s : Set X
a : X
h : IsLocalMaxOn f s a
hc : ContinuousOn f (closure s)
U : Set X
Uo : IsOpen U
aU : a ∈ U
hU : U ∩ s ⊆ {x | (fun x => f x ≤ f a) x}
\u22a2 U ∩ closure s ⊆ {x | (fun x => f x ≤ f a) x}
-- Mathlib/Topology/Order/ExtrClosure.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : Preorder Y
inst✝ : OrderClosedTopology Y
f g : X → Y
s : Set X
a : X
h : IsLocalMaxOn f s a
hc : ContinuousOn f (closure s)
U : Set X
Uo : IsOpen U
aU : a ∈ U
hU : U ∩ s ⊆ {x | (fun x => f x ≤ f a) x}
x : X
hxU : x ∈ U
hxs : x ∈ closure s
\u22a2 x ∈ {x | (fun x => f x ≤ f a) x}
-- Mathlib/Topology/Order/ExtrClosure.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : Preorder Y
inst✝ : OrderClosedTopology Y
f g : X → Y
s : Set X
a : X
h : IsLocalMaxOn f s a
hc : ContinuousOn f (closure s)
U : Set X
Uo : IsOpen U
aU : a ∈ U
hU : U ∩ s ⊆ {x | (fun x => f x ≤ f a) x}
x : X
hxU : x ∈ U
hxs : x ∈ closure s
\u22a2 x ∈ closure (U ∩ s)
-- Mathlib/Topology/Order/ExtrClosure.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : Preorder Y
inst✝ : OrderClosedTopology Y
f g : X → Y
s : Set X
a : X
h : IsLocalMaxOn f s a
hc : ContinuousOn f (closure s)
U : Set X
Uo : IsOpen U
aU : a ∈ U
hU : U ∩ s ⊆ {x | (fun x => f x ≤ f a) x}
x : X
hxU : x ∈ U
hxs : x ∈ closure s
\u22a2 ContinuousWithinAt f (U ∩ s) x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R₁
inst✝¹⁵ : Semiring R₂
inst✝¹⁴ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : Module R₁ M'₁
inst✝¹ : Module R₂ M₂
inst✝ : Module R₃ M₃
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hf : f ≠ 0
\u22a2 ∃ x, f x ≠ 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R₁
inst✝¹⁵ : Semiring R₂
inst✝¹⁴ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : Module R₁ M'₁
inst✝¹ : Module R₂ M₂
inst✝ : Module R₃ M₃
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hf : f ≠ 0
h : ∀ (x : M₁), f x = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x : R
\u22a2 lcm x 0 = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpaceDef.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
μ ν : Measure α
s : Set α
\u22a2 ∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ μ t = μ s ∧ ν t = ν s
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
x y : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
\u22a2 num (x * y) z / denom (x * y) z = (↑(↑↑x 0 0) * (num y z / denom y z) + ↑(↑↑x 0 1)) / denom x (smulAux y z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
x y : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
\u22a2 num (x * y) z / (denom x (smulAux y z) * denom y z) = (↑(↑↑x 0 0) * (num y z / denom y z) + ↑(↑↑x 0 1)) / denom x (smulAux y z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
x y : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
\u22a2 num (x * y) z * (denom y z * denom x (smulAux y z)) = (↑(↑↑x 0 0) * num y z + ↑(↑↑x 0 1) * denom y z) * (denom x (smulAux y z) * denom y z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
x y : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ
\u22a2 ((↑(↑↑x 0 0) * ↑(↑↑y 0 0) + ↑(↑↑x 0 1) * ↑(↑↑y 1 0)) * ↑z + (↑(↑↑x 0 0) * ↑(↑↑y 0 1) + ↑(↑↑x 0 1) * ↑(↑↑y 1 1))) * ((↑(↑↑y 1 0) * ↑z + ↑(↑↑y 1 1)) * (↑(↑↑x 1 0) * ↑(smulAux y z) + ↑(↑↑x 1 1))) = (↑(↑↑x 0 0) * (↑(↑↑y 0 0) * ↑z + ↑(↑↑y 0 1)) + ↑(↑↑x 0 1) * (↑(↑↑y 1 0) * ↑z + ↑(↑↑y 1 1))) * ((↑(↑↑x 1 0) * ↑(smulAux y z) + ↑(↑↑x 1 1)) * (↑(↑↑y 1 0) * ↑z + ↑(↑↑y 1 1)))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : E
\u22a2 ‖u‖ ≤ ‖v‖ + ‖u / v‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : E
\u22a2 ‖u‖ ≤ ‖u / v‖ + ‖v‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
u v : E
\u22a2 ‖u‖ = ‖u / v * v‖
-- Mathlib/RingTheory/Etale/Basic.lean
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R Sₘ
inst✝⁷ : Algebra S Sₘ
inst✝⁶ : Algebra R Rₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
inst✝ : FormallyEtale R S
\u22a2 FormallyEtale Rₘ Sₘ
-- Mathlib/RingTheory/Etale/Basic.lean
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R Sₘ
inst✝⁷ : Algebra S Sₘ
inst✝⁶ : Algebra R Rₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
inst✝ : FormallyEtale R S
this : FormallyEtale S Sₘ
\u22a2 FormallyEtale Rₘ Sₘ
-- Mathlib/RingTheory/Etale/Basic.lean
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R Sₘ
inst✝⁷ : Algebra S Sₘ
inst✝⁶ : Algebra R Rₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
inst✝ : FormallyEtale R S
this✝ : FormallyEtale S Sₘ
this : FormallyEtale R Sₘ
\u22a2 FormallyEtale Rₘ Sₘ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
h : Wbtw R x y z
hne : x ≠ y
\u22a2 z ∈ affineSpan R {x, y}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y : P
hne : x ≠ y
r : R
h : Wbtw R x y ((lineMap x y) r)
\u22a2 (lineMap x y) r ∈ affineSpan R {x, y}
-- Mathlib/Order/SuccPred/Limit.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
a : α
inst✝ : PredOrder α
ha : ¬IsMin a
\u22a2 ¬IsPredLimit (pred a)
-- Mathlib/Order/SuccPred/Limit.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
a : α
inst✝ : PredOrder α
ha : IsPredLimit (pred a)
\u22a2 IsMin a
-- Mathlib/Algebra/Quandle.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Rack R✝
R : Type u_2
inst✝ : Rack R
h : IsInvolutory R
x y : R
\u22a2 x ◃⁻¹ y = x ◃ y
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝² : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
x : α
y : β
\u22a2 (x, y) ∈ interedges r s t ↔ (x, y) ∈ s.biUnion fun x => map { toFun := fun x_1 => (x, x_1), inj' := ⋯ } (filter (r x) t)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n✝ m n : ℤ
z₂ : Cochain F G n
p q : ℤ
hpq : p + n = q
\u22a2 ((ofHom (𝟙 F)).comp z₂ ⋯).v p q hpq = z₂.v p q hpq
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasurableIntegral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a✝ : α
inst✝ : IsSFiniteKernel η
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s
a : α
this : ∀ (b : β), Prod.mk b ⁻¹' s = {c | ((a, b), c) ∈ {p | (p.1.2, p.2) ∈ s}}
\u22a2 Measurable fun b => (η (a, b)) {c | ((a, b), c) ∈ {p | (p.1.2, p.2) ∈ s}}
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasurableIntegral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a✝ : α
inst✝ : IsSFiniteKernel η
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s
a : α
this : ∀ (b : β), Prod.mk b ⁻¹' s = {c | ((a, b), c) ∈ {p | (p.1.2, p.2) ∈ s}}
\u22a2 MeasurableSet {p | (p.1.2, p.2) ∈ s}
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Shift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
n₁ n₂ : ℤ
K : CochainComplex C ℤ
x✝² x✝¹ : ℤ
x✝ : (ComplexShape.up ℤ).Rel x✝² x✝¹
\u22a2 (XIsoOfEq K ⋯).hom ≫ (n₂.negOnePow • n₁.negOnePow • K.d (x✝² + n₂ + n₁) (x✝¹ + n₂ + n₁)) = ((n₁ + n₂).negOnePow • K.d (x✝² + (n₁ + n₂)) (x✝¹ + (n₁ + n₂))) ≫ (XIsoOfEq K ⋯).hom
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/InfiniteSum.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝ : NormedRing R
f g : ℕ → R
hf : Summable fun x => ‖f x‖
hg : Summable fun x => ‖g x‖
\u22a2 Summable fun n => ‖∑ k ∈ range (n + 1), f k * g (n - k)‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/InfiniteSum.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝ : NormedRing R
f g : ℕ → R
hf : Summable fun x => ‖f x‖
hg : Summable fun x => ‖g x‖
\u22a2 Summable fun n => ‖∑ ij ∈ antidiagonal n, f ij.1 * g ij.2‖
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
x : α
\u22a2 x ∉ ∅
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
\u22a2 δ i.succ ≫ σ i = 𝟙 [n]
-- Mathlib/LinearAlgebra/Quotient.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Ring R₂
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : p ≤ ker f
\u22a2 map p.mkQ (comap f q) ≤ comap (p.liftQ f h) q
-- Mathlib/Topology/Irreducible.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t s : Set X
H : s ∈ irreducibleComponents X
\u22a2 IsClosed s
-- Mathlib/Topology/Irreducible.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t s : Set X
H : s ∈ irreducibleComponents X
\u22a2 s = closure s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∉ s
\u22a2 nodal (insert i s) v = (X - C (v i)) * nodal s v
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
\u22a2 y \ x ⊓ x = ⊥
-- Mathlib/Data/List/Lex.lean
α : Type u
l₁ l₂ : List α
H : l₁.length ≤ l₂.length
\u22a2 Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) l₁ l₂ ↔ l₁ ≠ l₂
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
o : ONote
f : ℕ → ONote
h : o.fundamentalSequence = Sum.inr f
\u22a2 o.fastGrowing = fun i => (f i).fastGrowing i
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
f : R[M]
\u22a2 ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => of' R M ↑s) a = f
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
m : M
\u22a2 ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => of' R M ↑s) a = (of R M) (Multiplicative.ofAdd m)
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
f g : R[M]
ihf : ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => of' R M ↑s) a = f
ihg : ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => of' R M ↑s) a = g
\u22a2 ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => of' R M ↑s) a = f + g
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
r : R
f : R[M]
ih : ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => of' R M ↑s) a = f
\u22a2 ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => of' R M ↑s) a = r • f
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s s₁ s₂ : Finset β
f✝ g : β → α
a : α
f : β → α
S : Finset β
\u22a2 S.sup f = ⊥ ↔ ∀ s ∈ S, f s = ⊥
-- Mathlib/Topology/Algebra/WithZeroTopology.lean
α : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ γ₁ γ₂ : Γ₀
l : Filter α
f : α → Γ₀
s : Set Γ₀
\u22a2 IsOpen s ↔ 0 ∉ s ∨ ∃ γ, γ ≠ 0 ∧ Iio γ ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Algebra/WithZeroTopology.lean
α : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ γ₁ γ₂ : Γ₀
l : Filter α
f : α → Γ₀
s : Set Γ₀
\u22a2 ((0 ∈ s → s ∈ 𝓝 0) ∧ ∀ (b : Γ₀), b ≠ 0 → b ∈ s → s ∈ 𝓝 b) ↔ 0 ∉ s ∨ ∃ γ, γ ≠ 0 ∧ Iio γ ⊆ s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
p q r : R[X]
n : ℤ
x : R
\u22a2 eval x ↑n = ↑n
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
a b : ℤ
b0 : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a /. b = { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
\u22a2 { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }.num ∣ a
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
a b : ℤ
b0 : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a * ↑d = n * b
\u22a2 { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }.num ∣ a
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
a b : ℤ
b0 : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a * ↑d = n * b
\u22a2 n.natAbs ∣ a.natAbs * d
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
a b : ℤ
b0 : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a * ↑d = n * b
this : (a * ↑d).natAbs = (n * b).natAbs
\u22a2 n.natAbs ∣ a.natAbs * d
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
a b : ℤ
b0 : b ≠ 0
n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
e : a * ↑d = n * b
this : a.natAbs * d = n.natAbs * b.natAbs
\u22a2 n.natAbs ∣ a.natAbs * d
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
u₁ u₂ : UniformSpace α
h : 𝓤 α = 𝓤 α
\u22a2 u₁ = u₂
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
u₁ u₂ : UniformSpace α
h : 𝓤 α = 𝓤 α
this : toTopologicalSpace = toTopologicalSpace
\u22a2 u₁ = u₂
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α
\u22a2 (l ++ [x]).rdrop (n + 1) = l.rdrop n
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
x : E
\u22a2 x ∈ (convexHull R) ↑s ↔ ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/NormedSpace.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁸ : TopologicalSpace M
inst✝²⁷ : ChartedSpace H M
inst✝²⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²² : TopologicalSpace M'
inst✝²¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁰ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_17
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
f✝ f₁ : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
g : M → F₁ →L[𝕜] F₂
f : M → F₁
s : Set M
x : M
hg : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₂) n g s x
hf : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₁) n f s x
\u22a2 ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => x.1 x.2) ?m.116039 ((fun x => (g x, f x)) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/NormedSpace.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁸ : TopologicalSpace M
inst✝²⁷ : ChartedSpace H M
inst✝²⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²² : TopologicalSpace M'
inst✝²¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁰ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_17
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
f✝ f₁ : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
g : M → F₁ →L[𝕜] F₂
f : M → F₁
s : Set M
x : M
hg : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₂) n g s x
hf : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₁) n f s x
\u22a2 ContDiff 𝕜 n fun x => x.1 x.2
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/NormedSpace.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁸ : TopologicalSpace M
inst✝²⁷ : ChartedSpace H M
inst✝²⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²² : TopologicalSpace M'
inst✝²¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁰ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_17
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
f✝ f₁ : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
g : M → F₁ →L[𝕜] F₂
f : M → F₁
s : Set M
x : M
hg : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₁ →L[𝕜] F₂) n g s x
hf : ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, F₁) n f s x
\u22a2 s ⊆ (fun x => (g x, f x)) ⁻¹' univ
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Partition.lean
n : ℕ
σ : Type u_1
τ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : DecidableEq τ
e : σ ≃ τ
s : Sym σ n
\u22a2 ofSym (Sym.map (⇑e) s) = ofSym s