ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝²⁹ : CommRing A
inst✝²⁸ : CommRing B
inst✝²⁷ : Algebra A B
inst✝²⁶ : Field K
inst✝²⁵ : Field L
inst✝²⁴ : Algebra A K
inst✝²³ : IsFractionRing A K
inst✝²² : Algebra B L
inst✝²¹ : Algebra K L
inst✝²⁰ : Algebra A L
inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.292784
Bₘ : Type ?u.292787
inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ
inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Aₘ
inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ
inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁵ : IsDomain A
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed B
inst✝¹ : Module.Finite A B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
x : B
this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
\u22a2 (algebraMap A (FractionRing A)) ((intTrace A B) x) = (trace (FractionRing A) (FractionRing B)) ((algebraMap B (FractionRing B)) x)
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝²⁹ : CommRing A
inst✝²⁸ : CommRing B
inst✝²⁷ : Algebra A B
inst✝²⁶ : Field K
inst✝²⁵ : Field L
inst✝²⁴ : Algebra A K
inst✝²³ : IsFractionRing A K
inst✝²² : Algebra B L
inst✝²¹ : Algebra K L
inst✝²⁰ : Algebra A L
inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.292784
Bₘ : Type ?u.292787
inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ
inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Aₘ
inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ
inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁵ : IsDomain A
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed B
inst✝¹ : Module.Finite A B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
x : B
this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
\u22a2 (algebraMap A (FractionRing A)) ((intTrace A B) x) = (trace (FractionRing A) (FractionRing B)) ((algebraMap B (FractionRing B)) x)
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝²⁹ : CommRing A
inst✝²⁸ : CommRing B
inst✝²⁷ : Algebra A B
inst✝²⁶ : Field K
inst✝²⁵ : Field L
inst✝²⁴ : Algebra A K
inst✝²³ : IsFractionRing A K
inst✝²² : Algebra B L
inst✝²¹ : Algebra K L
inst✝²⁰ : Algebra A L
inst✝¹⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁶ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.292784
Bₘ : Type ?u.292787
inst✝¹⁵ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁴ : CommRing Bₘ
inst✝¹³ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Aₘ
inst✝¹¹ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁰ : Algebra A Bₘ
inst✝⁹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝⁸ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁷ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁵ : IsDomain A
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed A
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed B
inst✝¹ : Module.Finite A B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
x : B
this✝¹ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
this : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
\u22a2 (algebraMap A (FractionRing A)) ((intTrace A B) x) = (trace (FractionRing A) (FractionRing B)) ((algebraMap B (FractionRing B)) x)
-- Mathlib/Topology/Sets/Opens.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
ι : Sort u_5
x : α
s : ι → Opens α
\u22a2 x ∈ iSup s ↔ ∃ i, x ∈ s i
-- Mathlib/Topology/Sets/Opens.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
ι : Sort u_5
x : α
s : ι → Opens α
\u22a2 x ∈ ↑(iSup s) ↔ ∃ i, x ∈ s i
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metric.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
α : Type u_5
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : MeasurableSpace.SeparatesPoints α
\u22a2 ∃ τ, SecondCountableTopology α ∧ T4Space α ∧ BorelSpace α
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metric.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
α : Type u_5
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : MeasurableSpace.SeparatesPoints α
s : Set (ℕ → Bool)
f : α ≃ᵐ ↑s
\u22a2 ∃ τ, SecondCountableTopology α ∧ T4Space α ∧ BorelSpace α
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metric.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
α : Type u_5
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : MeasurableSpace.SeparatesPoints α
s : Set (ℕ → Bool)
f : α ≃ᵐ ↑s
this : TopologicalSpace α := induced (⇑f) inferInstance
\u22a2 ∃ τ, SecondCountableTopology α ∧ T4Space α ∧ BorelSpace α
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metric.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
α : Type u_5
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : MeasurableSpace.SeparatesPoints α
s : Set (ℕ → Bool)
f : α ≃ᵐ ↑s
this : TopologicalSpace α := induced (⇑f) inferInstance
F : α ≃ₜ ↑s := f.toHomeomorphOfInducing ⋯
\u22a2 ∃ τ, SecondCountableTopology α ∧ T4Space α ∧ BorelSpace α
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
p : AddMonoidAlgebra R ℕ
\u22a2 (erase n { toFinsupp := p }).degree ≤ { toFinsupp := p }.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
p : AddMonoidAlgebra R ℕ
\u22a2 (Finsupp.erase n p).support.max ≤ p.support.max
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
p : AddMonoidAlgebra R ℕ
\u22a2 (Finsupp.erase n p).support ⊆ p.support
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
p : AddMonoidAlgebra R ℕ
\u22a2 p.support.erase n ⊆ p.support
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
r : ℂ
h : 0 ≤ r.re ∨ 0 ∉ [[a, b]]
h2 : ¬0 ∉ [[a, b]]
\u22a2 IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ r) μ a b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
r : ℂ
h : 0 ≤ r.re
h2 : ¬0 ∉ [[a, b]]
\u22a2 IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ r) μ a b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
r : ℂ
h : 0 ≤ r.re
h2 : ¬0 ∉ [[a, b]]
h' : 0 < r.re
\u22a2 IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ r) μ a b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
r : ℂ
h : 0 ≤ r.re
h2 : ¬0 ∉ [[a, b]]
h' : 0 = r.re
\u22a2 IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ r) μ a b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
r : ℂ
h : 0 ≤ r.re
h2 : ¬0 ∉ [[a, b]]
h' : 0 = r.re
\u22a2 AEStronglyMeasurable (fun x => ↑x ^ r) (μ.restrict (Ι a b))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
r : ℂ
h : 0 ≤ r.re
h2 : ¬0 ∉ [[a, b]]
h' : 0 = r.re
\u22a2 IntervalIntegrable (fun t => ‖↑t ^ r‖) μ a b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
r : ℂ
h : 0 ≤ r.re
h2 : ¬0 ∉ [[a, b]]
h' : 0 = r.re
\u22a2 ∀ (c : ℝ), IntervalIntegrable (fun x => ‖↑x ^ r‖) μ 0 c
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c✝ d : ℝ
r : ℂ
h : 0 ≤ r.re
h2 : ¬0 ∉ [[a, b]]
h' : 0 = r.re
c : ℝ
\u22a2 IntervalIntegrable (fun x => ‖↑x ^ r‖) μ 0 c
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c✝ d : ℝ
r : ℂ
h : 0 ≤ r.re
h2 : ¬0 ∉ [[a, b]]
h' : 0 = r.re
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
\u22a2 IntervalIntegrable (fun x => ‖↑x ^ r‖) μ 0 c
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c✝ d : ℝ
r : ℂ
h : 0 ≤ r.re
h2 : ¬0 ∉ [[a, b]]
h' : 0 = r.re
c : ℝ
hc : c < 0
\u22a2 IntervalIntegrable (fun x => ‖↑x ^ r‖) μ 0 c
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Countable.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.9007, u_1} C
J : Type u_2
inst✝² : Countable J
inst✝¹ : Preorder J
inst✝ : IsCofiltered J
j : J
\u22a2 ∃ n, sequentialFunctor_obj J n ≤ j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Countable.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.9007, u_1} C
J : Type u_2
inst✝² : Countable J
inst✝¹ : Preorder J
inst✝ : IsCofiltered J
j : J
m : ℕ
h : ⋯.choose m = j
\u22a2 ∃ n, sequentialFunctor_obj J n ≤ j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Countable.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.9007, u_1} C
J : Type u_2
inst✝² : Countable J
inst✝¹ : Preorder J
inst✝ : IsCofiltered J
j : J
m : ℕ
h : ⋯.choose m = j
\u22a2 sequentialFunctor_obj J (m + 1) ≤ j
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SupSet α
f : ι → α
h : BddAbove (range f)
\u22a2 ↑(⨆ i, f i) = ⨆ i, ↑(f i)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
n : ℕ
\u22a2 (↑n).toNNReal = ↑n
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
l : Filter β
f₁ f₂ f₃ : β → α
h₁₂ : Tendsto (fun x => (f₁ x, f₂ x)) l (𝓤 α)
h₂₃ : Tendsto (fun x => (f₂ x, f₃ x)) l (𝓤 α)
\u22a2 Tendsto (fun x => (f₁ x, f₃ x)) l (𝓤 α)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
l : Filter β
f₁ f₂ f₃ : β → α
h₁₂ : Tendsto (fun x => (f₁ x, f₂ x)) l (𝓤 α)
h₂₃ : Tendsto (fun x => (f₂ x, f₃ x)) l (𝓤 α)
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
\u22a2 (fun x => (f₁ x, f₃ x)) ⁻¹' (s ○ s) ∈ l
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonUnitalRing α
a b c : α
h : a ∣ b - c
\u22a2 a ∣ b ↔ a ∣ c
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
s : Set β
\u22a2 s ⊆ toMeasurable (map f μ) s
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
\u22a2 0 < ⌊a⌋₊ ↔ 1 ≤ a
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
s : Set G
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => -t + x₀) ⁻¹' s))
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s μ
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (μ.restrict s))
\u22a2 Integrable (fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) μ
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
s : Set G
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => -t + x₀) ⁻¹' s))
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s μ
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (μ.restrict s))
\u22a2 IntegrableOn (fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) s μ
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s μ
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (μ.restrict s))
s' : Set G := (fun t => -t + x₀) ⁻¹' s
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' s')
this : ∀ᵐ (t : G) ∂μ.restrict s, ‖(L (f t)) (g (x₀ - t))‖ ≤ s.indicator (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g ↑i‖) t
\u22a2 IntegrableOn (fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) s μ
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s μ
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (μ.restrict s))
s' : Set G := (fun t => -t + x₀) ⁻¹' s
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' s')
this : ∀ᵐ (t : G) ∂μ.restrict s, ‖(L (f t)) (g (x₀ - t))‖ ≤ s.indicator (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g ↑i‖) t
\u22a2 Integrable (s.indicator fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g ↑i‖) (μ.restrict s)
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s μ
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (μ.restrict s))
s' : Set G := (fun t => -t + x₀) ⁻¹' s
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' s')
this : ∀ᵐ (t : G) ∂μ.restrict s, ‖(L (f t)) (g (x₀ - t))‖ ≤ s.indicator (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ⨆ i, ‖g ↑i‖) t
\u22a2 AEStronglyMeasurable (fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) (μ.restrict s)
-- Mathlib/Data/Finset/Sum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
\u22a2 _root_.Disjoint (map Embedding.inl s) (map Embedding.inr t)
-- Mathlib/Data/Finset/Sum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
\u22a2 ∀ ⦃a : α ⊕ β⦄, (∃ a_1 ∈ s, Embedding.inl a_1 = a) → ¬∃ a_2 ∈ t, Embedding.inr a_2 = a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
μs : ι → Measure α
hμs : ∀ (i : ι), μs i ≪ ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : ν s = 0
\u22a2 (sum μs) s = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.84186, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.84190, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroObject C
s : S.Splitting
\u22a2 S.LeftHomologyData
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.84186, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.84190, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroObject C
s : S.Splitting
hi : IsLimit (KernelFork.ofι S.f ⋯)
\u22a2 S.LeftHomologyData
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.84186, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.84190, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroObject C
s : S.Splitting
hi : IsLimit (KernelFork.ofι S.f ⋯)
f' : (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S.f ⋯)
\u22a2 S.LeftHomologyData
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.84186, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.84190, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroObject C
s : S.Splitting
hi : IsLimit (KernelFork.ofι S.f ⋯)
f' : (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S.f ⋯)
hf' : f' = 𝟙 (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt
\u22a2 S.LeftHomologyData
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.84186, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.84190, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroObject C
s : S.Splitting
hi : IsLimit (KernelFork.ofι S.f ⋯)
f' : (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S.f ⋯)
hf' : f' = 𝟙 (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt
wπ : f' ≫ 0 = 0
\u22a2 S.LeftHomologyData
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.84186, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.84190, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroObject C
s : S.Splitting
hi : IsLimit (KernelFork.ofι S.f ⋯)
f' : (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S.f ⋯)
hf' : f' = 𝟙 (KernelFork.ofι S.f ⋯).pt
wπ : f' ≫ 0 = 0
hπ : IsColimit (CokernelCofork.ofπ 0 wπ)
\u22a2 S.LeftHomologyData
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
hU : IsAffineOpen U
\u22a2 (∀ (U_1 : ↑(↑(f ⁻¹ᵁ U)).affineOpens), P (Hom.appLE (f ∣_ U) ⊤ ↑U_1 ⋯)) ↔ ∀ (V : ↑X.affineOpens) (e : ↑V ≤ f ⁻¹ᵁ U), P (Hom.appLE f U (↑V) e)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
hU : IsAffineOpen U
\u22a2 (∀ (U_1 : ↑(↑(f ⁻¹ᵁ U)).affineOpens), P (Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ ⊤) ((f ⁻¹ᵁ U).ι ''ᵁ ↑U_1) ⋯)) ↔ ∀ (V : ↑X.affineOpens) (e : ↑V ≤ f ⁻¹ᵁ U), P (Hom.appLE f U (↑V) e)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
hU : IsAffineOpen U
\u22a2 (∀ (a : ↑X.affineOpens) (b : ↑a ≤ f ⁻¹ᵁ U), P (Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ ⊤) ((f ⁻¹ᵁ U).ι ''ᵁ ↑((affineOpensRestrict (f ⁻¹ᵁ U)).symm ⟨a, b⟩)) ⋯)) ↔ ∀ (V : ↑X.affineOpens) (e : ↑V ≤ f ⁻¹ᵁ U), P (Hom.appLE f U (↑V) e)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
hU : IsAffineOpen U
V : ↑X.affineOpens
h : ↑V ≤ f ⁻¹ᵁ U
\u22a2 P (Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ ⊤) ((f ⁻¹ᵁ U).ι ''ᵁ ↑((affineOpensRestrict (f ⁻¹ᵁ U)).symm ⟨V, h⟩)) ⋯) ↔ P (Hom.appLE f U (↑V) h)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
hU : IsAffineOpen U
V : ↑X.affineOpens
h : ↑V ≤ f ⁻¹ᵁ U
this : (affineOpensRestrict (f ⁻¹ᵁ U)) ((affineOpensRestrict (f ⁻¹ᵁ U)).symm ⟨V, h⟩) = ⟨V, h⟩
\u22a2 P (Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ ⊤) ((f ⁻¹ᵁ U).ι ''ᵁ ↑((affineOpensRestrict (f ⁻¹ᵁ U)).symm ⟨V, h⟩)) ⋯) ↔ P (Hom.appLE f U (↑V) h)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
H : p.degree ≤ ↑n
H1 : p.degree < ↑(n + 1)
\u22a2 (X ^ (n + 1) + p).coeff (n + 1) = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Nontrivial S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
m : M
\u22a2 m ∈ span R (range ⇑b) ↔ ∀ (i : ι), (b.repr m) i ∈ range ⇑(algebraMap R S)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Nontrivial S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
m : M
h : ∀ (i : ι), (b.repr m) i ∈ range ⇑(algebraMap R S)
\u22a2 m ∈ span R (range ⇑b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Nontrivial S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
m : M
h : ∀ (i : ι), (b.repr m) i ∈ range ⇑(algebraMap R S)
\u22a2 ((b.repr m).sum fun i a => a • b i) ∈ span R (range ⇑b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Nontrivial S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
m : M
h : ∀ (i : ι), (b.repr m) i ∈ range ⇑(algebraMap R S)
i : ι
x✝ : i ∈ (b.repr m).support
\u22a2 (fun i a => a • b i) i ((b.repr m) i) ∈ span R (range ⇑b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Nontrivial S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
m : M
h✝ : ∀ (i : ι), (b.repr m) i ∈ range ⇑(algebraMap R S)
i : ι
x✝ : i ∈ (b.repr m).support
w✝ : R
h : (algebraMap R S) w✝ = (b.repr m) i
\u22a2 (fun i a => a • b i) i ((b.repr m) i) ∈ span R (range ⇑b)