ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s : Seq α
\u22a2 (cons a s).head = some a
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
f g : (b : β) → π b
r : ℝ≥0
hr : 0 < ↑r
\u22a2 dist f g = ↑r ↔ (∃ i, dist (f i) (g i) = ↑r) ∧ ∀ (b : β), dist (f b) (g b) ≤ ↑r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁷ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : MetricSpace Q
inst✝⁴ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : Invertible 2
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
\u22a2 dist (midpoint 𝕜 p₁ p₂) (midpoint 𝕜 p₃ p₄) ≤ (dist p₁ p₃ + dist p₂ p₄) / ‖2‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁷ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : MetricSpace Q
inst✝⁴ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : Invertible 2
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
\u22a2 ‖midpoint 𝕜 (p₁ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₄)‖ ≤ (‖p₁ -ᵥ p₃‖ + ‖p₂ -ᵥ p₄‖) / ‖2‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁷ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : MetricSpace Q
inst✝⁴ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : Invertible 2
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
\u22a2 ‖p₁ -ᵥ p₃ + (p₂ -ᵥ p₄)‖ / ‖2‖ ≤ (‖p₁ -ᵥ p₃‖ + ‖p₂ -ᵥ p₄‖) / ‖2‖
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
f : α → β
s : Set β
l : Filter α
t : Set β
\u22a2 t ∈ map f (l ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' s)) ↔ t ∈ map f l ⊓ 𝓟 s
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/Norm.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra F[X] S
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Algebra F S
inst✝ : IsScalarTower F F[X] S
b : Basis ι F[X] S
f : S
hf : f ≠ 0
this : Fintype ι
\u22a2 FiniteDimensional.finrank F (S ⧸ span {f}) = ((Algebra.norm F[X]) f).natDegree
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/Norm.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra F[X] S
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Algebra F S
inst✝ : IsScalarTower F F[X] S
b : Basis ι F[X] S
f : S
hf : f ≠ 0
this : Fintype ι
h : ¬span {f} = ⊥
\u22a2 FiniteDimensional.finrank F (S ⧸ span {f}) = ((Algebra.norm F[X]) f).natDegree
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/Norm.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra F[X] S
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Algebra F S
inst✝ : IsScalarTower F F[X] S
b : Basis ι F[X] S
f : S
hf : f ≠ 0
this : Fintype ι
h : ¬span {f} = ⊥
\u22a2 FiniteDimensional.finrank F (S ⧸ span {f}) = (∏ i : ι, smithCoeffs b (span {f}) ⋯ i).natDegree
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/Norm.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra F[X] S
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Algebra F S
inst✝ : IsScalarTower F F[X] S
b : Basis ι F[X] S
f : S
hf : f ≠ 0
this : Fintype ι
h : ¬span {f} = ⊥
\u22a2 ∑ i : ι, FiniteDimensional.finrank F (F[X] ⧸ span {smithCoeffs b (span {f}) h i}) = ∑ i : ι, (smithCoeffs b (span {f}) h i).natDegree
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/Norm.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra F[X] S
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Algebra F S
inst✝ : IsScalarTower F F[X] S
b : Basis ι F[X] S
f : S
hf : f ≠ 0
this : Fintype ι
h : ¬span {f} = ⊥
i : ι
\u22a2 FiniteDimensional.finrank F (F[X] ⧸ span {smithCoeffs b (span {f}) h i}) = (smithCoeffs b (span {f}) h i).natDegree
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
h : ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
x : V
hx : ‖x‖ ≠ 0
\u22a2 1 ≤ ‖id V‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
h : ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
x : V
hx : ‖x‖ ≠ 0
this : ‖(id V) x‖ / ‖x‖ ≤ ‖id V‖
\u22a2 1 ≤ ‖id V‖
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I : Ideal R
hI : I.IsRadical
\u22a2 IsIrreducible (zeroLocus ↑I) ↔ I.IsPrime
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I : Ideal R
hI : I.IsRadical
\u22a2 (zeroLocus ↑I).Nonempty ∧ IsPreirreducible (zeroLocus ↑I) ↔ I ≠ ⊤ ∧ ∀ {x y : R}, x * y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I : Ideal R
hI : I.IsRadical
\u22a2 (zeroLocus ↑I).Nonempty ↔ I ≠ ⊤
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I : Ideal R
hI : I.IsRadical
\u22a2 IsPreirreducible (zeroLocus ↑I) ↔ ∀ {x y : R}, x * y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
s s' : σ
n n' : ℕ
\u22a2 coeff (Finsupp.single s' n') (X s ^ n) = if s = s' ∧ n = n' ∨ n = 0 ∧ n' = 0 then 1 else 0
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
inst✝⁸ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝⁷ : Countable ι
inst✝⁶ : TopologicalSpace ι
inst✝⁵ : OrderTopology ι
inst✝⁴ : FirstCountableTopology ι
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : Filtration ι m
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
N : ι
hτbdd : ∀ (x : Ω), τ x ≤ N
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : Adapted f u
n : ι
\u22a2 MeasurableSet {ω | (fun x => hitting u s (τ x) N x) ω ≤ n}
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
inst✝⁸ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝⁷ : Countable ι
inst✝⁶ : TopologicalSpace ι
inst✝⁵ : OrderTopology ι
inst✝⁴ : FirstCountableTopology ι
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : Filtration ι m
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
N : ι
hτbdd : ∀ (x : Ω), τ x ≤ N
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : Adapted f u
n : ι
h₁ : {x | hitting u s (τ x) N x ≤ n} = (⋃ i, ⋃ (_ : i ≤ n), {x | τ x = i} ∩ {x | hitting u s i N x ≤ n}) ∪ ⋃ i, ⋃ (_ : i > n), {x | τ x = i} ∩ {x | hitting u s i N x ≤ n}
\u22a2 MeasurableSet {ω | (fun x => hitting u s (τ x) N x) ω ≤ n}
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
inst✝⁸ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝⁷ : Countable ι
inst✝⁶ : TopologicalSpace ι
inst✝⁵ : OrderTopology ι
inst✝⁴ : FirstCountableTopology ι
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : Filtration ι m
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
N : ι
hτbdd : ∀ (x : Ω), τ x ≤ N
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : Adapted f u
n : ι
h₁ : {x | hitting u s (τ x) N x ≤ n} = (⋃ i, ⋃ (_ : i ≤ n), {x | τ x = i} ∩ {x | hitting u s i N x ≤ n}) ∪ ⋃ i, ⋃ (_ : i > n), {x | τ x = i} ∩ {x | hitting u s i N x ≤ n}
h₂ : ⋃ i, ⋃ (_ : i > n), {x | τ x = i} ∩ {x | hitting u s i N x ≤ n} = ∅
\u22a2 MeasurableSet {ω | (fun x => hitting u s (τ x) N x) ω ≤ n}
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
inst✝⁸ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝⁷ : Countable ι
inst✝⁶ : TopologicalSpace ι
inst✝⁵ : OrderTopology ι
inst✝⁴ : FirstCountableTopology ι
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : Filtration ι m
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
N : ι
hτbdd : ∀ (x : Ω), τ x ≤ N
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : Adapted f u
n : ι
h₁ : {x | hitting u s (τ x) N x ≤ n} = (⋃ i, ⋃ (_ : i ≤ n), {x | τ x = i} ∩ {x | hitting u s i N x ≤ n}) ∪ ⋃ i, ⋃ (_ : i > n), {x | τ x = i} ∩ {x | hitting u s i N x ≤ n}
h₂ : ⋃ i, ⋃ (_ : i > n), {x | τ x = i} ∩ {x | hitting u s i N x ≤ n} = ∅
\u22a2 MeasurableSet (⋃ i, ⋃ (_ : i ≤ n), {x | τ x = i} ∩ {x | hitting u s i N x ≤ n})
-- Mathlib/Algebra/Star/SelfAdjoint.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup R
inst✝ : StarAddMonoid R
x : R
\u22a2 x ∈ selfAdjoint R ↔ star x = x
-- Mathlib/Algebra/Star/SelfAdjoint.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup R
inst✝ : StarAddMonoid R
x : R
\u22a2 x ∈ (selfAdjoint R).carrier ↔ star x = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Final.lean
C : Type v
inst✝¹ : Category.{v, v} C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} D
F : C ⥤ D
I : (d : D) → colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) ≅ PUnit.{v + 1}
d : D
\u22a2 IsConnected (StructuredArrow d F)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Final.lean
C : Type v
inst✝¹ : Category.{v, v} C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} D
F : C ⥤ D
I : (d : D) → colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) ≅ PUnit.{v + 1}
d : D
this : Nonempty (StructuredArrow d F)
\u22a2 IsConnected (StructuredArrow d F)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Final.lean
C : Type v
inst✝¹ : Category.{v, v} C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} D
F : C ⥤ D
I : (d : D) → colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) ≅ PUnit.{v + 1}
d : D
this : Nonempty (StructuredArrow d F)
\u22a2 ∀ (j₁ j₂ : StructuredArrow d F), Zigzag j₁ j₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Final.lean
C : Type v
inst✝¹ : Category.{v, v} C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} D
F : C ⥤ D
I : (d : D) → colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) ≅ PUnit.{v + 1}
d : D
this : Nonempty (StructuredArrow d F)
X₁ : C
f₁ : (fromPUnit d).obj { as := PUnit.unit } ⟶ F.obj X₁
X₂ : C
f₂ : (fromPUnit d).obj { as := PUnit.unit } ⟶ F.obj X₂
y₁ : colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) := colimit.ι (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) X₁ f₁
y₂ : colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) := colimit.ι (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) X₂ f₂
\u22a2 Zigzag { left := { as := PUnit.unit }, right := X₁, hom := f₁ } { left := { as := PUnit.unit }, right := X₂, hom := f₂ }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Final.lean
C : Type v
inst✝¹ : Category.{v, v} C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} D
F : C ⥤ D
I : (d : D) → colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) ≅ PUnit.{v + 1}
d : D
this : Nonempty (StructuredArrow d F)
X₁ : C
f₁ : (fromPUnit d).obj { as := PUnit.unit } ⟶ F.obj X₁
X₂ : C
f₂ : (fromPUnit d).obj { as := PUnit.unit } ⟶ F.obj X₂
y₁ : colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) := colimit.ι (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) X₁ f₁
y₂ : colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) := colimit.ι (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) X₂ f₂
e : y₁ = y₂
\u22a2 Zigzag { left := { as := PUnit.unit }, right := X₁, hom := f₁ } { left := { as := PUnit.unit }, right := X₂, hom := f₂ }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Final.lean
C : Type v
inst✝¹ : Category.{v, v} C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} D
F : C ⥤ D
I : (d : D) → colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) ≅ PUnit.{v + 1}
d : D
this : Nonempty (StructuredArrow d F)
X₁ : C
f₁ : (fromPUnit d).obj { as := PUnit.unit } ⟶ F.obj X₁
X₂ : C
f₂ : (fromPUnit d).obj { as := PUnit.unit } ⟶ F.obj X₂
y₁ : colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) := colimit.ι (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) X₁ f₁
y₂ : colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) := colimit.ι (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) X₂ f₂
e : y₁ = y₂
t : EqvGen (Types.Quot.Rel (F ⋙ coyoneda.obj (op d))) ⟨X₁, f₁⟩ ⟨X₂, f₂⟩
\u22a2 Zigzag { left := { as := PUnit.unit }, right := X₁, hom := f₁ } { left := { as := PUnit.unit }, right := X₂, hom := f₂ }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Final.lean
C : Type v
inst✝¹ : Category.{v, v} C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} D
F : C ⥤ D
I : (d : D) → colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) ≅ PUnit.{v + 1}
d : D
this : Nonempty (StructuredArrow d F)
X₁ : C
f₁ : (fromPUnit d).obj { as := PUnit.unit } ⟶ F.obj X₁
X₂ : C
f₂ : (fromPUnit d).obj { as := PUnit.unit } ⟶ F.obj X₂
t : EqvGen (Types.Quot.Rel (F ⋙ coyoneda.obj (op d))) ⟨X₁, f₁⟩ ⟨X₂, f₂⟩
\u22a2 Zigzag { left := { as := PUnit.unit }, right := X₁, hom := f₁ } { left := { as := PUnit.unit }, right := X₂, hom := f₂ }
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
\u22a2 IsTensorProduct (↑R ((Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] S ⊗[R] M))).flip ((mk R S M) 1)))
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
\u22a2 ↑R ((Algebra.linearMap S (Module.End S (M →ₗ[R] S ⊗[R] M))).flip ((mk R S M) 1)) = mk R S M
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
s : S
x : M
\u22a2 s • 1 ⊗ₜ[R] x = s ⊗ₜ[R] x
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
s : S
x : M
\u22a2 (s • 1) ⊗ₜ[R] x = s ⊗ₜ[R] x
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
s : S
x : M
\u22a2 s • 1 = s
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring R₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H✝ H : B.IsRefl
p : Submodule R₁ M₁
x✝¹ x✝ : ↥p
\u22a2 ((B.domRestrict₁₂ p p) x✝¹) x✝ = 0 → ((B.domRestrict₁₂ p p) x✝) x✝¹ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring R₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H✝ H : B.IsRefl
p : Submodule R₁ M₁
x✝¹ x✝ : ↥p
\u22a2 (B ↑x✝¹) ↑x✝ = 0 → (B ↑x✝) ↑x✝¹ = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Lattice.lean
α : Type u
J : Type w
inst✝⁴ : SmallCategory J
inst✝³ : FinCategory J
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderTop α
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
f : ι → α
\u22a2 Finset.univ.inf (f ∘ ⇑discreteEquiv.toEmbedding) = Fintype.elems.inf f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Lattice.lean
α : Type u
J : Type w
inst✝⁴ : SmallCategory J
inst✝³ : FinCategory J
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderTop α
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
f : ι → α
\u22a2 Finset.univ.inf f = Fintype.elems.inf f
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Classes/SatisfiesM.lean
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝¹ : Applicative m
inst✝ : LawfulApplicative m
x : m α
h : ∀ (a : α), p a
\u22a2 Subtype.val <$> (fun a => ⟨a, ⋯⟩) <$> x = x
-- Mathlib/Data/Vector3.lean
α : Type u_1
m n : ℕ
a : α
v : Vector3 α n
\u22a2 insert a v fz = a :: v
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
l : Filter ι
p : ι → Prop
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
\u22a2 (∃ᶠ (n : ι) in l, p n) ↔ ∃ x, Tendsto x atTop l ∧ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
l : Filter ι
p : ι → Prop
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
\u22a2 (¬∀ (x : ℕ → ι), Tendsto x atTop l → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ¬p (x n)) ↔ ∃ x, Tendsto x atTop l ∧ ¬∀ᶠ (x_1 : ℕ) in atTop, ¬p (x x_1)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
l : Filter ι
p : ι → Prop
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
\u22a2 (∃ x, Tendsto x atTop l ∧ ¬∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ¬p (x n)) ↔ ∃ x, Tendsto x atTop l ∧ ¬∀ᶠ (x_1 : ℕ) in atTop, ¬p (x x_1)
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝² : Group G
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
h : (↑P).Normal
this : Unique (Sylow p G)
\u22a2 (↑P).Characteristic
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝² : Group G
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
h : (↑P).Normal
this : Unique (Sylow p G)
\u22a2 ∀ (ϕ : G ≃* G), Subgroup.map ϕ.toMonoidHom ↑P = ↑P
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝² : Group G
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
h : (↑P).Normal
this : Unique (Sylow p G)
Φ : G ≃* G
\u22a2 Φ • P = P
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
H : d * (a₁.y ^ 2 - a.y ^ 2) = a₁.x ^ 2 - a.x ^ 2
\u22a2 a₁.y ≤ a.y
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
H : d * (a₁.y ^ 2 - a.y ^ 2) = a₁.x ^ 2 - a.x ^ 2
\u22a2 a₁.x ≤ a.x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Reindex.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
l' : Type u_5
m' : Type u_6
n' : Type u_7
o' : Type u_8
m'' : Type u_9
n'' : Type u_10
R : Type u_11
A : Type u_12
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : Module R A
e₁ : m ≃ m'
e₂ : n ≃ n'
e₁' : m' ≃ m''
e₂' : n' ≃ n''
\u22a2 ⇑(reindexLinearEquiv R A e₁' e₂') ∘ ⇑(reindexLinearEquiv R A e₁ e₂) = ⇑(reindexLinearEquiv R A (e₁.trans e₁') (e₂.trans e₂'))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Reindex.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
l' : Type u_5
m' : Type u_6
n' : Type u_7
o' : Type u_8
m'' : Type u_9
n'' : Type u_10
R : Type u_11
A : Type u_12
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : Module R A
e₁ : m ≃ m'
e₂ : n ≃ n'
e₁' : m' ≃ m''
e₂' : n' ≃ n''
\u22a2 ⇑(reindexLinearEquiv R A e₁' e₂') ∘ ⇑(reindexLinearEquiv R A e₁ e₂) = ⇑(reindexLinearEquiv R A e₁ e₂ ≪≫ₗ reindexLinearEquiv R A e₁' e₂')
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
\u22a2 Metric.closedBall 0 r₁ • p.closedBall 0 r₂ ⊆ p.closedBall 0 (r₁ * r₂)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
\u22a2 ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ r₁ → ∀ (b : E), p b ≤ r₂ → ‖a‖ * p b ≤ r₁ * r₂
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ r₁
b : E
hb : p b ≤ r₂
\u22a2 0 ≤ r₁
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
z : ℂ
\u22a2 z.im ^ 2 ≤ normSq z
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
z : ℂ
\u22a2 z.im ^ 2 ≤ z.re ^ 2 + z.im ^ 2
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ
hq : q.re = 0
c s : ℝ
hc : HasSum (fun n => (-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) c
hs : HasSum (fun n => (-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)!) s
\u22a2 HasSum (fun n => (expSeries ℝ ℍ n) fun x => q) (↑c + (s / ‖q‖) • q)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ
hq : q.re = 0
c s : ℝ
hs : HasSum (fun n => (-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)!) s
hc : HasSum (fun a => ↑((-1) ^ a * ‖q‖ ^ (2 * a) / ↑(2 * a)!)) ↑c
\u22a2 HasSum (fun n => (expSeries ℝ ℍ n) fun x => q) (↑c + (s / ‖q‖) • q)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ
hq : q.re = 0
c s : ℝ
hc : HasSum (fun a => ↑((-1) ^ a * ‖q‖ ^ (2 * a) / ↑(2 * a)!)) ↑c
hs : HasSum (fun z => ((-1) ^ z * ‖q‖ ^ (2 * z + 1) / ↑(2 * z + 1)! / ‖q‖) • q) ((s / ‖q‖) • q)
\u22a2 HasSum (fun n => (expSeries ℝ ℍ n) fun x => q) (↑c + (s / ‖q‖) • q)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ
hq : q.re = 0
c s : ℝ
hc : HasSum (fun a => ↑((-1) ^ a * ‖q‖ ^ (2 * a) / ↑(2 * a)!)) ↑c
hs : HasSum (fun z => ((-1) ^ z * ‖q‖ ^ (2 * z + 1) / ↑(2 * z + 1)! / ‖q‖) • q) ((s / ‖q‖) • q)
\u22a2 HasSum (fun k => (expSeries ℝ ℍ (2 * k)) fun x => q) ↑c
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ
hq : q.re = 0
c s : ℝ
hc : HasSum (fun a => ↑((-1) ^ a * ‖q‖ ^ (2 * a) / ↑(2 * a)!)) ↑c
hs : HasSum (fun z => ((-1) ^ z * ‖q‖ ^ (2 * z + 1) / ↑(2 * z + 1)! / ‖q‖) • q) ((s / ‖q‖) • q)
\u22a2 HasSum (fun k => (expSeries ℝ ℍ (2 * k + 1)) fun x => q) ((s / ‖q‖) • q)