ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
hgi : IntegrableOn g (↑I) μ
f : ℕ → SimpleFunc (ι → ℝ) E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (Set.range g ∪ {0}) 0 ⋯
hfi : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (↑(f n)) (↑I) μ
hfi' : ∀ (n : ℕ), BoxIntegral.Integrable I l (↑(f n)) μ.toBoxAdditive.toSMul
\u22a2 HasIntegral I l g μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
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μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
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hfi' : ∀ (n : ℕ), BoxIntegral.Integrable I l (↑(f n)) μ.toBoxAdditive.toSMul
hfg_mono : ∀ (x : ι → ℝ) {m n : ℕ}, m ≤ n → ‖↑(f n) x - g x‖ ≤ ‖↑(f m) x - g x‖
\u22a2 HasIntegral I l g μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
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inst✝⁴ : Fintype ι
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μ : Measure (ι → ℝ)
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ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
\u22a2 ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum g μ.toBoxAdditive.toSMul π) (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ) ≤ ((μ ↑I).toReal + 1 + 1) * ε
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
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ε : ℝ≥0
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E : Type v
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ε0 : 0 < ε
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-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
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ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
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μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
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ε : ℝ≥0
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N₀ : ℕ
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ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
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μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
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ι : Type u
E : Type v
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N₀ : ℕ
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-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
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μ : Measure (ι → ℝ)
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I : Box ι
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N₀ : ℕ
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ι : Type u
E : Type v
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N₀ : ℕ
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ι : Type u
E : Type v
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N₀ : ℕ
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ε : ℝ≥0
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N₀ : ℕ
hN₀ : ∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, ‖↑(f N₀) x - g x‖ ∂μ ≤ ↑ε
Nx : (ι → ℝ) → ℕ
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hπp : π.IsPartition
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-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
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μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
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this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
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ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
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N₀ : ℕ
hN₀ : ∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, ‖↑(f N₀) x - g x‖ ∂μ ≤ ↑ε
Nx : (ι → ℝ) → ℕ
hNx : ∀ (x : ι → ℝ), N₀ ≤ Nx x
hNxε : ∀ (x : ι → ℝ), dist (↑(f (Nx x)) x) (g x) ≤ ↑ε
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hπ : l.MemBaseSet I c (r c) π
hπp : π.IsPartition
\u22a2 dist (integralSum g μ.toBoxAdditive.toSMul π) (∑ J ∈ π.boxes, (μ ↑J).toReal • ↑(f (Nx (π.tag J))) (π.tag J)) ≤ (μ ↑I).toReal * ↑ε
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
hgi : IntegrableOn g (↑I) μ
f : ℕ → SimpleFunc (ι → ℝ) E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (Set.range g ∪ {0}) 0 ⋯
hfi : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (↑(f n)) (↑I) μ
hfi' : ∀ (n : ℕ), BoxIntegral.Integrable I l (↑(f n)) μ.toBoxAdditive.toSMul
hfg_mono : ∀ (x : ι → ℝ) {m n : ℕ}, m ≤ n → ‖↑(f n) x - g x‖ ≤ ‖↑(f m) x - g x‖
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
ε0' : 0 < ↑ε
N₀ : ℕ
hN₀ : ∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, ‖↑(f N₀) x - g x‖ ∂μ ≤ ↑ε
Nx : (ι → ℝ) → ℕ
hNx : ∀ (x : ι → ℝ), N₀ ≤ Nx x
hNxε : ∀ (x : ι → ℝ), dist (↑(f (Nx x)) x) (g x) ≤ ↑ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c✝ : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c✝
hcε : c✝ < ε
r : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := fun c x => ⋯.convergenceR (↑(δ (Nx x))) c x
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c (r c) π
hπp : π.IsPartition
\u22a2 dist (∑ J ∈ π.boxes, (μ ↑J).toReal • ↑(f (Nx (π.tag J))) (π.tag J)) (∑ J ∈ π.boxes, ∫ (x : ι → ℝ) in ↑J, ↑(f (Nx (π.tag J))) x ∂μ) ≤ ↑ε
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
hgi : IntegrableOn g (↑I) μ
f : ℕ → SimpleFunc (ι → ℝ) E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (Set.range g ∪ {0}) 0 ⋯
hfi : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (↑(f n)) (↑I) μ
hfi' : ∀ (n : ℕ), BoxIntegral.Integrable I l (↑(f n)) μ.toBoxAdditive.toSMul
hfg_mono : ∀ (x : ι → ℝ) {m n : ℕ}, m ≤ n → ‖↑(f n) x - g x‖ ≤ ‖↑(f m) x - g x‖
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
ε0' : 0 < ↑ε
N₀ : ℕ
hN₀ : ∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, ‖↑(f N₀) x - g x‖ ∂μ ≤ ↑ε
Nx : (ι → ℝ) → ℕ
hNx : ∀ (x : ι → ℝ), N₀ ≤ Nx x
hNxε : ∀ (x : ι → ℝ), dist (↑(f (Nx x)) x) (g x) ≤ ↑ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c✝ : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c✝
hcε : c✝ < ε
r : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := fun c x => ⋯.convergenceR (↑(δ (Nx x))) c x
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c (r c) π
hπp : π.IsPartition
\u22a2 dist (∑ J ∈ π.boxes, ∫ (x : ι → ℝ) in ↑J, ↑(f (Nx (π.tag J))) x ∂μ) (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ) ≤ ↑ε
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
hY : IsZero X
\u22a2 biprod.snd ≫ biprod.inr = 𝟙 (X ⊞ Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
hY : IsZero X
\u22a2 0 = biprod.fst
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : Group G'
inst✝⁵ : Group G''
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝³ : DivInvMonoid M
inst✝² : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H K : S
inst✝¹ : SetLike S G
inst✝ : SubgroupClass S G
x y : G
h : x ∈ H
hba : y * x ∈ H
\u22a2 y ∈ H
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
step a s n : Nat
h : a ≤ s
\u22a2 map (fun x => x - a) (range' s n step) = range' (s - a) n step
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
step a s n : Nat
h : a ≤ s
\u22a2 map (fun x => x - a) (range' (a + (s - a)) n step) = range' (s - a) n step
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
step a s n : Nat
h : a ≤ s
\u22a2 ((fun x => x - a) ∘ fun x => a + x) = id
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
step a s n : Nat
h : a ≤ s
x : Nat
\u22a2 ((fun x => x - a) ∘ fun x => a + x) x = id x
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : FractionalIdeal S P
\u22a2 ↑(I * J) = ↑I * ↑J
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
\u22a2 μ.everywherePosSubset s =ᶠ[ae μ] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
A : μ (s \ μ.everywherePosSubset s) ≠ ⊤
\u22a2 μ.everywherePosSubset s =ᶠ[ae μ] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
A : μ (s \ μ.everywherePosSubset s) ≠ ⊤
\u22a2 ∀ i ⊆ s \ μ.everywherePosSubset s, IsCompact i → μ i = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k✝ : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
A : μ (s \ μ.everywherePosSubset s) ≠ ⊤
k : Set α
hk : k ⊆ s \ μ.everywherePosSubset s
h'k : IsCompact k
\u22a2 μ k = 0
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
i : Fin p.length
a : α
prev_connect : r (p.toFun i.castSucc) a
connect_next : r a (p.toFun i.succ)
m : Fin (p.length + 1)
x : α := i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.castSucc
y : α := i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.succ
\u22a2 r x y
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
i : Fin p.length
a : α
prev_connect : r (p.toFun i.castSucc) a
connect_next : r a (p.toFun i.succ)
m : Fin (p.length + 1)
x : α := i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.castSucc
y : α := i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.succ
hm : ↑m < ↑i
\u22a2 r x y
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
i : Fin p.length
a : α
prev_connect : r (p.toFun i.castSucc) a
connect_next : r a (p.toFun i.succ)
m : Fin (p.length + 1)
x : α := i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.castSucc
y : α := i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.succ
hm : ↑m = ↑i
\u22a2 r x y
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
i : Fin p.length
a : α
prev_connect : r (p.toFun i.castSucc) a
connect_next : r a (p.toFun i.succ)
m : Fin (p.length + 1)
x : α := i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.castSucc
y : α := i.succ.castSucc.insertNth a p.toFun m.succ
hm : ↑i < ↑m
\u22a2 r x y
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
h : B ⊆ M.E
\u22a2 M✶.Base B ↔ M.Base (M.E \ B) ∧ B ⊆ M.E
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
hz : z < 0
\u22a2 x < y ^ z⁻¹ ↔ y < x ^ z
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
hξ : Irrational ξ
q : ℚ
\u22a2 ∃ q', |ξ - ↑q'| < 1 / ↑q'.den ^ 2 ∧ |ξ - ↑q'| < |ξ - ↑q|
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
hξ : Irrational ξ
q : ℚ
h : 0 < |ξ - ↑q|
\u22a2 ∃ q', |ξ - ↑q'| < 1 / ↑q'.den ^ 2 ∧ |ξ - ↑q'| < |ξ - ↑q|
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
hξ : Irrational ξ
q : ℚ
h : 0 < |ξ - ↑q|
m : ℕ
hm : 1 / |ξ - ↑q| < ↑m
\u22a2 ∃ q', |ξ - ↑q'| < 1 / ↑q'.den ^ 2 ∧ |ξ - ↑q'| < |ξ - ↑q|
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
hξ : Irrational ξ
q : ℚ
h : 0 < |ξ - ↑q|
m : ℕ
hm : 1 / |ξ - ↑q| < ↑m
m_pos : 0 < ↑m
\u22a2 ∃ q', |ξ - ↑q'| < 1 / ↑q'.den ^ 2 ∧ |ξ - ↑q'| < |ξ - ↑q|
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
hξ : Irrational ξ
q : ℚ
h : 0 < |ξ - ↑q|
m : ℕ
hm : 1 / |ξ - ↑q| < ↑m
m_pos : 0 < ↑m
q' : ℚ
hbd : |ξ - ↑q'| ≤ 1 / ((↑m + 1) * ↑q'.den)
hden : q'.den ≤ m
\u22a2 ∃ q', |ξ - ↑q'| < 1 / ↑q'.den ^ 2 ∧ |ξ - ↑q'| < |ξ - ↑q|