ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
\u22a2 IsCyclotomicExtension {n} A B ↔ (∃ r, IsPrimitiveRoot r ↑n) ∧ ∀ (x : B), x ∈ adjoin A {b | b ^ ↑n = 1}
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hJ : M.Basis J X
hIJ : I \ J = {e}
\u22a2 ∃ f ∈ J \ I, J = insert f I \ {e}
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : (M ↾ X).Base I
hJ : (M ↾ X).Base J
hIJ : I \ J = {e}
\u22a2 ∃ f ∈ J \ I, J = insert f I \ {e}
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
s : Multiset α
a : α
comm : {x | x ∈ a ::ₘ s}.Pairwise Commute
\u22a2 (a ::ₘ s).noncommProd comm = s.noncommProd ⋯ * a
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
a : α
s : List α
comm : {x | x ∈ a ::ₘ ⟦s⟧}.Pairwise Commute
\u22a2 (a ::ₘ ⟦s⟧).noncommProd comm = noncommProd ⟦s⟧ ⋯ * a
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
a : α
s : List α
comm : {x | x ∈ a ::ₘ ⟦s⟧}.Pairwise Commute
\u22a2 a * s.prod = s.prod * a
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
\u22a2 #(α → α) ≤ #(α ≃ α)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
\u22a2 Nonempty ((α → Bool) ↪ Perm (α × Bool))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
\u22a2 sphere x ε ∪ ball x ε = closedBall x ε
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hY : AEMeasurable Y μ
hf_int : Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
\u22a2 ∀ᵐ (b : β) ∂Measure.map X μ, Integrable (fun ω => f (b, ω)) ((condDistrib Y X μ) b)
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hY : AEMeasurable Y μ
hf_int : Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
\u22a2 ∀ᵐ (b : β) ∂(Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).fst, Integrable (fun ω => f (b, ω)) ((Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).condKernel b)
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a : R
\u22a2 (if a0 : a = 0 then 0 else let_fun x := ⋯; gcd (0 % a) a) = a
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/AssocList.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : BEq α
a : α
l : AssocList α β
\u22a2 find? a l = Option.map (fun x => x.snd) (List.find? (fun x => x.fst == a) l.toList)
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
A : Type u_4
inst✝ : CommMonoid A
a b c : A
\u22a2 c ∈ closure {a, b} ↔ ∃ m n, a ^ m * b ^ n = c
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
A : Type u_4
inst✝ : CommMonoid A
a b c : A
\u22a2 (∃ y ∈ closure {a}, ∃ z ∈ closure {b}, y * z = c) ↔ ∃ m n, a ^ m * b ^ n = c
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → β
a : α
h : f a = 1
\u22a2 ∏ x ∈ s.erase a, f x = ∏ x ∈ s, f x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → β
a : α
h : f a = 1
\u22a2 ∏ x ∈ s \ {a}, f x = ∏ x ∈ s, f x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → β
a : α
h : f a = 1
x : α
hx : x ∈ s
hnx : x ∉ s \ {a}
\u22a2 f x = 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → β
a : α
h : f a = 1
x : α
hx : x ∈ s
hnx : x ∉ s.erase a
\u22a2 f x = 1
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
fst✝¹ snd✝¹ fst✝ snd✝ : α
\u22a2 s(fst✝¹, snd✝¹) = s(fst✝, snd✝) ↔ (fst✝¹, snd✝¹) = (fst✝, snd✝) ∨ (fst✝¹, snd✝¹) = (fst✝, snd✝).swap
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
\u22a2 1 = span R {1}
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
\u22a2 ∀ (x : A), x ∈ 1 ↔ x ∈ span R {1}
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n a : A
\u22a2 a ∈ 1 ↔ a ∈ span R {1}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
f : X → ℝ
m m0 : MeasurableSpace X
μ : Measure X
hm : m ≤ m0
g : SimpleFunc X ℝ
hf : Integrable f μ
\u22a2 Integrable (↑g * f) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
f : X → ℝ
m m0 : MeasurableSpace X
μ : Measure X
hm : m ≤ m0
g : SimpleFunc X ℝ
hf : Integrable f μ
\u22a2 Integrable (↑(SimpleFunc.toLargerSpace hm g) * f) μ
-- Mathlib/Algebra/Group/Fin/Basic.lean
m n✝ : ℕ
a : Fin (n✝ + 1 + 1)
h : ¬a = 0
\u22a2 ↑(a - 1) = ↑a - 1
-- Mathlib/Algebra/Group/Fin/Basic.lean
m n✝ : ℕ
a : Fin (n✝ + 1 + 1)
h : ¬a = 0
\u22a2 n✝ + 1 + 1 ≤ ↑a + (n✝ + 1)
-- Mathlib/Algebra/Group/Fin/Basic.lean
m n✝ : ℕ
a : Fin (n✝ + 1 + 1)
h : ¬a = 0
\u22a2 n✝ + 1 + 1 ≤ n✝ + 1 + ↑a
-- Mathlib/Algebra/Group/Fin/Basic.lean
m n✝ : ℕ
a : Fin (n✝ + 1 + 1)
h : ¬a = 0
\u22a2 ↑a ≠ 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h : ¬G.IsUniform ε s t
\u22a2 ε ≤ ↑|G.edgeDensity (G.nonuniformWitnesses ε s t).1 (G.nonuniformWitnesses ε s t).2 - G.edgeDensity s t|
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h : ¬G.IsUniform ε s t
\u22a2 ε ≤ ↑|G.edgeDensity (⋯.choose, ⋯.choose).1 (⋯.choose, ⋯.choose).2 - G.edgeDensity s t|
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y z x : ℝ
\u22a2 0 ^ x ≤ 1
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Hom.lean
M : Type u_1
inst✝¹⁵ : Monoid M
N : Type u_2
inst✝¹⁴ : Monoid N
P : Type u_3
inst✝¹³ : Monoid P
φ : M →* N
φ' : N →* M
ψ : N →* P
χ : M →* P
A : Type u_4
inst✝¹² : AddMonoid A
inst✝¹¹ : DistribMulAction M A
B : Type u_5
inst✝¹⁰ : AddMonoid B
inst✝⁹ : DistribMulAction N B
B₁ : Type u_6
inst✝⁸ : AddMonoid B₁
inst✝⁷ : DistribMulAction M B₁
C : Type u_7
inst✝⁶ : AddMonoid C
inst✝⁵ : DistribMulAction P C
A' : Type u_8
inst✝⁴ : AddGroup A'
inst✝³ : DistribMulAction M A'
B' : Type u_9
inst✝² : AddGroup B'
inst✝¹ : DistribMulAction N B'
F : Type u_10
inst✝ : FunLike F A B
f : A →ₑ+[φ] B
x : A
\u22a2 (f.comp (DistribMulActionHom.id M)) x = f x
-- Mathlib/Order/Interval/Set/WithBotTop.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
\u22a2 some ⁻¹' Ioo ⊥ ↑a = Iio a
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
l : IntegrationParams
\u22a2 HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, f x ∂μ)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
l : IntegrationParams
y : E
hy : HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul y
\u22a2 HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, f x ∂μ)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
l : IntegrationParams
y : E
hy : HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul y
\u22a2 ∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, f x ∂μ = y
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
l : IntegrationParams
y : E
hy : HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul y
this : IntegrableOn f (↑I) μ
\u22a2 ∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, f x ∂μ = y
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
f : M →ₗ[R] M'
hv : LinearIndependent R (⇑f ∘ v)
\u22a2 Disjoint (span R (range v)) (LinearMap.ker f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
f : M →ₗ[R] M'
hv : comap (Finsupp.total ι M R v) (LinearMap.ker f) = ⊥
\u22a2 Disjoint (span R (range v)) (LinearMap.ker f)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
\u22a2 (if 0 = 0 then {i | ¬f i = 0}.Finite else Summable fun i => ‖f i‖ ^ 0) ↔ {i | ¬f i = 0}.Finite
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hn : 0 < a
hm : 1 < b
\u22a2 a < b * a
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hn : 0 < a
hm : 1 < b
\u22a2 a = 1 * a
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
\u22a2 x ≠ 0 → ‖x‖ = ↑p ^ (-x.valuation)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : Quotient.mk'' f ≠ 0
\u22a2 ‖Quotient.mk'' f‖ = ↑p ^ (-valuation (Quotient.mk'' f))
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : Quotient.mk'' f ≠ 0
\u22a2 ↑(PadicSeq.norm f) = ↑p ^ (-PadicSeq.valuation f)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : Quotient.mk'' f ≠ 0
\u22a2 ↑(↑p ^ (-PadicSeq.valuation f)) = ↑p ^ (-PadicSeq.valuation f)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : Quotient.mk'' f ≠ 0
\u22a2 ¬f ≈ 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
f_add : ∀ (a b : R), f (a + b) ≤ f a + f b
x y : R
\u22a2 seminormFromBounded' f (x + y) ≤ seminormFromBounded' f x + seminormFromBounded' f y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
f_add : ∀ (a b : R), f (a + b) ≤ f a + f b
x y z : R
\u22a2 f ((x + y) * z) / f z ≤ seminormFromBounded' f x + seminormFromBounded' f y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
f_add : ∀ (a b : R), f (a + b) ≤ f a + f b
x y z : R
\u22a2 f ((x + y) * z) / f z ≤ f (x * z) / f z + f (y * z) / f z
-- Mathlib/Data/Finset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset α
a b : α
m : Sym2 α
\u22a2 m ∈ s.sym2 ↔ ∀ a ∈ m, a ∈ s
-- Mathlib/Data/Finset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset α
a b : α
m : Sym2 α
\u22a2 (∀ y ∈ m, y ∈ s.val) ↔ ∀ a ∈ m, a ∈ s
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
a : α
h : Summable fun n => dist (f n) (f n.succ)
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
\u22a2 dist (f 0) a ≤ ∑' (n : ℕ), dist (f n) (f n.succ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ
\u22a2 ‖toL1 f hf‖ = (∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ
\u22a2 (if 1 = ⊤ then eLpNormEssSup f μ else ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ).toReal = (∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ).toReal
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
F G : Ultrafilter α
x : α
hF : ↑F ≤ 𝓝 x
hG : ↑G ≤ 𝓝 x
\u22a2 Ultrafilter.extend g F = Ultrafilter.extend g G
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
F G : Ultrafilter α
x : α
hG : ↑G ≤ 𝓝 x
hF : map g ↑F ≤ 𝓝 (g x)
\u22a2 Ultrafilter.extend g F = Ultrafilter.extend g G
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
F G : Ultrafilter α
x : α
hF : map g ↑F ≤ 𝓝 (g x)
hG : map g ↑G ≤ 𝓝 (g x)
\u22a2 Ultrafilter.extend g F = Ultrafilter.extend g G
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Karoubi.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P Q : Karoubi C
f : P.Hom Q
\u22a2 P.p ≫ f.f = f.f ≫ Q.p
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
f : Cauchy abs
\u22a2 (Real.inv' { cauchy := f }).cauchy = { cauchy := f }.cauchy⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Prod.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (Nᵢ i)
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Fintype ι
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
x y : (i : ι) → Mᵢ i
\u22a2 (pi Q) (x + y) - (pi Q) x - (pi Q) y = ∑ i : ι, ((Q i) (x i + y i) - (Q i) (x i) - (Q i) (y i))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
d : ℝ
hf : Isometry f
hd : 0 ≤ d ∨ Surjective f
s : Set X
\u22a2 μH[d] (f '' s) = μH[d] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
d : ℝ
hf : Isometry f
hd : 0 ≤ d ∨ Surjective f
s : Set X
\u22a2 ((OuterMeasure.comap f) (OuterMeasure.mkMetric fun r => r ^ d)) s = (OuterMeasure.mkMetric fun r => r ^ d) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
d : ℝ
hf : Isometry f
hd : 0 ≤ d ∨ Surjective f
s : Set X
\u22a2 0 ≤ d → Monotone fun r => r ^ d
-- Mathlib/Data/Int/ModEq.lean
m n a b c d : ℤ
h₁ : a ≡ b [ZMOD n]
h₂ : a + c ≡ b + d [ZMOD n]
this : d - c = b + d - (a + c) - (b - a)
\u22a2 n ∣ b + d - (a + c) - (b - a)
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : T2Space X
x y : X
h : x ≠ y
\u22a2 ∃ u v, u ∈ 𝓝 x ∧ v ∈ 𝓝 y ∧ IsCompact u ∧ IsCompact v ∧ Disjoint u v
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddCommGroup α
inst✝ : Neg β
h : Antiperiodic f c
a : α
\u22a2 Antiperiodic (fun x => f (x - a)) c
-- Mathlib/Data/Nat/ChineseRemainder.lean
ι : Type u_1
a s : ι → ℕ
l : List ι
nod : Multiset.Nodup (Quot.mk Setoid.r l)
hs : ∀ i ∈ Quot.mk Setoid.r l, s i ≠ 0
pp : {x | x ∈ Quot.mk Setoid.r l}.Pairwise (Coprime on s)
\u22a2 ↑(Quotient.recOn (motive := fun x => x.Nodup → (∀ i ∈ x, s i ≠ 0) → {x_1 | x_1 ∈ x}.Pairwise (Coprime on s) → { k // ∀ i ∈ x, k ≡ a i [MOD s i] }) (Quot.mk Setoid.r l) (fun l nod x co => chineseRemainderOfList a s l ⋯) ⋯ nod hs pp) < (Multiset.map s (Quot.mk Setoid.r l)).prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
l : List α
f : α → β
\u22a2 ∏ i : Fin l.length, f l[↑i] = (List.map f l).prod
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f' : Y ≃ₜ Z
f'' : Z ≃ₜ Z'
\u22a2 (e.transHomeomorph f').transHomeomorph f'' = e.transHomeomorph (f'.trans f'')
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/CongruenceSubgroups.lean
N✝ : ℕ
H K : Subgroup SL(2, ℤ)
h : H ≤ K
N : ℕ+
hN : Gamma ↑N ≤ H
\u22a2 IsCongruenceSubgroup K
-- Mathlib/Algebra/Ring/Commute.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
u : Rˣ
\u22a2 u⁻¹ = u ↔ u = 1 ∨ u = -1
-- Mathlib/Algebra/Ring/Commute.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
u : Rˣ
\u22a2 u * u = 1 ↔ u = 1 ∨ u = -1
-- Mathlib/Algebra/Ring/Commute.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
u : Rˣ
\u22a2 ↑(u * u) = ↑1 ↔ ↑u = ↑1 ∨ ↑u = ↑(-1)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Commute.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
u : Rˣ
\u22a2 ↑u * ↑u = 1 ↔ ↑u = 1 ∨ ↑u = -1
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{?u.5419, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K✝ : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
G : C ⥤ D
K : GrothendieckTopology D
inst✝ : G.IsCoverDense K
U : D
\u22a2 Sieve.coverByImage G U ∈ K.sieves U
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
f✝ : X✝ → Y✝
g : Y✝ → Z
X : ι → Type u_6
Y : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (Y i)
f : (i : ι) → X i → Y i
h : ∀ (i : ι), IsProperMap (f i)
\u22a2 IsProperMap fun x i => f i (x i)
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
f✝ : X✝ → Y✝
g : Y✝ → Z
X : ι → Type u_6
Y : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (Y i)
f : (i : ι) → X i → Y i
h : ∀ (i : ι), Continuous (f i) ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter (X i)⦄ ⦃y : Y i⦄, Tendsto (f i) (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, f i x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
\u22a2 (Continuous fun x i => f i (x i)) ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter ((i : ι) → X i)⦄ ⦃y : (i : ι) → Y i⦄, Tendsto (fun x i => f i (x i)) (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, (fun i => f i (x i)) = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonAssocSemiring R
r : R
h : r ≠ 0
\u22a2 C r ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonAssocSemiring R
r : R
h : C r = 0
\u22a2 r = 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonAssocSemiring R
r : R
h : C r = C 0
\u22a2 r = 0
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q₁ q₂ : ℚ
\u22a2 (q₁ * q₂).num = q₁.num * q₂.num / ↑((q₁.num * q₂.num).natAbs.gcd (q₁.den * q₂.den))
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
h : H.Normal
a : G
_ha : a ∈ ⊤
b : G
hb : a * b * a⁻¹ ∈ H
\u22a2 b ∈ H
-- Mathlib/Analysis/Oscillation.lean
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
D : Set E
x : E
hD : D ∈ 𝓝 x
\u22a2 oscillationWithin f D x = oscillation f x
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/Basic.lean
n m : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
Q : Fin2 n → MvPFunctor.{u} m
α✝ β : TypeVec.{u} m
α : TypeVec.{u} n
p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
\u22a2 LiftP p ⟨a, f⟩ ↔ ∀ (i : Fin2 n) (x : P.B a i), p (f i x)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/Basic.lean
n m : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
Q : Fin2 n → MvPFunctor.{u} m
α✝ β : TypeVec.{u} m
α : TypeVec.{u} n
p : ⦃i : Fin2 n⦄ → α i → Prop
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
\u22a2 (∃ a_1 f_1, ⟨a, f⟩ = ⟨a_1, f_1⟩ ∧ ∀ (i : Fin2 n) (j : P.B a_1 i), p (f_1 i j)) ↔ ∀ (i : Fin2 n) (x : P.B a i), p (f i x)
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulWithZero R M
f : α → R
f' : α → M
x : α
hf : HasCompactSupport f
\u22a2 HasCompactSupport (f • f')
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulWithZero R M
f : α → R
f' : α → M
x : α
hf : f =ᶠ[coclosedCompact α] 0
\u22a2 f • f' =ᶠ[coclosedCompact α] 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
\u22a2 thickening δ (closure s) = thickening δ s
-- Mathlib/Data/Nat/Count.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ
\u22a2 count p (n + 1) = count p n + if p n then 1 else 0