ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n m : ℕ
hpos : 0 < n
hdiff : m ≠ n
hm : m ∈ n.properDivisors
\u22a2 X ^ m - 1 ∣ ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n m : ℕ
hpos : 0 < n
hdiff : m ≠ n
hm : m ∈ n.properDivisors
\u22a2 X ^ m - 1 ∣ (∏ x ∈ n.properDivisors \ m.divisors, cyclotomic x R) * (X ^ m - 1)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Indicator.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
s : Finset ι
f : (i : ι) → i ∈ s → α
i✝ : ι
a b : (i : ι) → i ∈ s → α
h : (fun f => indicator s f) a = (fun f => indicator s f) b
i : ι
hi : i ∈ s
\u22a2 a i hi = b i hi
-- Mathlib/Data/Finsupp/Indicator.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
s : Finset ι
f : (i : ι) → i ∈ s → α
i✝ : ι
a b : (i : ι) → i ∈ s → α
h : (fun f => indicator s f) a = (fun f => indicator s f) b
i : ι
hi : i ∈ s
\u22a2 (indicator s a) i = (indicator s b) i
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
F_obj : C → D
e : (X : C) → (Y : D) → (F_obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G.obj Y)
he : ∀ (X : C) (Y Y' : D) (g : Y ⟶ Y') (h : F_obj X ⟶ Y), (e X Y') (h ≫ g) = (e X Y) h ≫ G.map g
X' X : C
Y : D
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y
\u22a2 (e X' Y).symm (f ≫ g) = (leftAdjointOfEquiv e he).map f ≫ (e X Y).symm g
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
F_obj : C → D
e : (X : C) → (Y : D) → (F_obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G.obj Y)
he : ∀ (X : C) (Y Y' : D) (g : Y ⟶ Y') (h : F_obj X ⟶ Y), (e X Y') (h ≫ g) = (e X Y) h ≫ G.map g
X' X : C
Y : D
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y
this : ∀ {X : C} {Y Y' : D} (f : X ⟶ G.obj Y) (g : Y ⟶ Y'), (e X Y').symm (f ≫ G.map g) = (e X Y).symm f ≫ g
\u22a2 (e X' Y).symm (f ≫ g) = (leftAdjointOfEquiv e he).map f ≫ (e X Y).symm g
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
F_obj : C → D
e : (X : C) → (Y : D) → (F_obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G.obj Y)
he : ∀ (X : C) (Y Y' : D) (g : Y ⟶ Y') (h : F_obj X ⟶ Y), (e X Y') (h ≫ g) = (e X Y) h ≫ G.map g
X' X : C
Y : D
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y
this : ∀ {X : C} {Y Y' : D} (f : X ⟶ G.obj Y) (g : Y ⟶ Y'), (e X Y').symm (f ≫ G.map g) = (e X Y).symm f ≫ g
\u22a2 (e X' Y) ((e X' Y).symm (f ≫ g)) = (e X' Y) ((e X' Y).symm ((f ≫ (e X (F_obj X)) (𝟙 (F_obj X))) ≫ G.map ((e X Y).symm g)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
F_obj : C → D
e : (X : C) → (Y : D) → (F_obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G.obj Y)
he : ∀ (X : C) (Y Y' : D) (g : Y ⟶ Y') (h : F_obj X ⟶ Y), (e X Y') (h ≫ g) = (e X Y) h ≫ G.map g
X' X : C
Y : D
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y
this : ∀ {X : C} {Y Y' : D} (f : X ⟶ G.obj Y) (g : Y ⟶ Y'), (e X Y').symm (f ≫ G.map g) = (e X Y).symm f ≫ g
\u22a2 f ≫ g = f ≫ (e X (F_obj X)) (𝟙 (F_obj X)) ≫ G.map ((e X Y).symm g)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
\u22a2 ∫⁻ (b : β) in s, (ρ.condKernel b) t ∂ρ.fst = ρ (s ×ˢ t)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
this : ρ (s ×ˢ t) = (ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel) (s ×ˢ t)
\u22a2 ∫⁻ (b : β) in s, (ρ.condKernel b) t ∂ρ.fst = ρ (s ×ˢ t)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
this : ρ (s ×ˢ t) = (ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel) (s ×ˢ t)
\u22a2 ∫⁻ (b : β) in s, (ρ.condKernel b) t ∂ρ.fst = ∫⁻ (a : β), (ρ.condKernel a) (Prod.mk a ⁻¹' s ×ˢ t) ∂ρ.fst
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
\u22a2 a * b⁻¹ < c ↔ a < b * c
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
p : α × α → Prop
h : ∀ᶠ (i : α × α) in f ×ˢ f, p i
\u22a2 ∀ᶠ (i : α) in f, p (i, i)
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t✝ : Set β
f : Filter α
g : Filter β
p : α × α → Prop
h : ∀ᶠ (i : α × α) in f ×ˢ f, p i
t : α → Prop
ht : ∀ᶠ (x : α) in f, t x
s : α → Prop
hs : ∀ᶠ (y : α) in f, s y
hst : ∀ {x : α}, t x → ∀ {y : α}, s y → p (x, y)
\u22a2 ∀ᶠ (i : α) in f, p (i, i)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α✝
inst✝² : LocallyFiniteOrder α✝
a✝¹ b✝ : α✝
α : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a b a✝ : α
\u22a2 a✝ ∈ filter (fun x => x < b) (Iio a) ↔ a✝ ∈ Iio (min a b)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedRing 𝕜'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormOneClass 𝕜'
x : 𝕜
\u22a2 ‖(algebraMap 𝕜 𝕜') x‖ = ‖x‖
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
\u22a2 ¬M.RkPos ↔ M = loopyOn M.E
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Reverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
N : ℕ
toFinsupp✝ : AddMonoidAlgebra R ℕ
a✝ : ℕ
\u22a2 a✝ ∈ (reflect N { toFinsupp := toFinsupp✝ }).support ↔ a✝ ∈ image ⇑(revAt N) { toFinsupp := toFinsupp✝ }.support
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
s : Set α
hs : SetIndependent s
\u22a2 s.Finite
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
a : G
b : α
n : ℕ
\u22a2 a ^ n • b = b ↔ minimalPeriod (fun x => a • x) b ∣ n
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
N k : ℕ
\u22a2 (N.smoothNumbersUpTo k).card ≤ 2 ^ k.primesBelow.card * N.sqrt
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
N k : ℕ
\u22a2 2 ^ k.primesBelow.card * N.sqrt = (k.primesBelow.powerset ×ˢ (Finset.range N.sqrt.succ).erase 0).card
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Basic.lean
R✝ : Type u
A✝ : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : Semiring A✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R✝ B
S✝ : Subalgebra R✝ A✝
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
S : Subalgebra R A
\u22a2 (algebraMap (↥S) A).rangeS = S.toSubsemiring
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℤ_[p]
h : ‖z1 + z2‖ < ‖z2‖
hne : ¬‖z1‖ = ‖z2‖
\u22a2 ‖z1 + z2‖ ≥ ‖z2‖
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℤ_[p]
h : ‖z1 + z2‖ < ‖z2‖
hne : ¬‖z1‖ = ‖z2‖
\u22a2 max ‖z1‖ ‖z2‖ ≥ ‖z2‖
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/WithTop.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
a✝ b✝ c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : LT α
a b : WithTop α
\u22a2 a + b < ⊤ ↔ a < ⊤ ∧ b < ⊤
-- Mathlib/Algebra/Vertex/HVertexOperator.lean
Γ : Type u_1
inst✝⁵ : PartialOrder Γ
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module R W
a₁✝ a₂✝ : HVertexOperator Γ R V W
h : a₁✝.coeff = a₂✝.coeff
v : V
n : Γ
\u22a2 ((of R).symm (a₁✝ v)).coeff n = ((of R).symm (a₂✝ v)).coeff n
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v y < v x
\u22a2 v (x - y) = v x
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v y < v x
\u22a2 v (-y) < v x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g✝ : α → E
f : α → ℝ≥0
g : α → E
hf : AEMeasurable f μ
hfg : Integrable (f • g) μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ↑(μ.withDensityᵥ (f • g)) s = ↑((μ.withDensity fun x => ↑(f x)).withDensityᵥ g) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g✝ : α → E
f : α → ℝ≥0
g : α → E
hf : AEMeasurable f μ
hfg : Integrable (f • g) μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ∫ (x : α) in s, (f • g) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x • g x ∂μ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x✝ y✝ : α
Φ : α → β
bs : Bornology.IsBounded s
bt : Bornology.IsBounded t
x : α
xs : x ∈ s
y : α
yt : y ∈ t
\u22a2 hausdorffDist s t ≤ diam (s ∪ t)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x✝ y✝ : α
Φ : α → β
bs : Bornology.IsBounded s
bt : Bornology.IsBounded t
x : α
xs : x ∈ s
y : α
yt : y ∈ t
\u22a2 ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, dist x y ≤ diam (s ∪ t)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x✝ y✝ : α
Φ : α → β
bs : Bornology.IsBounded s
bt : Bornology.IsBounded t
x : α
xs : x ∈ s
y : α
yt : y ∈ t
\u22a2 ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ s, dist x y ≤ diam (s ∪ t)
-- Mathlib/Algebra/Lie/SkewAdjoint.lean
R : Type u
n : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
J A B : Matrix n n R
hA : A ∈ skewAdjointMatricesSubmodule J
hB : B ∈ skewAdjointMatricesSubmodule J
\u22a2 ⁅A, B⁆ ∈ skewAdjointMatricesSubmodule J
-- Mathlib/Algebra/Lie/SkewAdjoint.lean
R : Type u
n : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
J A B : Matrix n n R
hA : J.IsSkewAdjoint A
hB : J.IsSkewAdjoint B
\u22a2 J.IsSkewAdjoint ⁅A, B⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/SkewAdjoint.lean
R : Type u
n : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
J A B : Matrix n n R
hA : Aᵀ * J = J * -A
hB : Bᵀ * J = J * -B
\u22a2 ⁅A, B⁆ᵀ * J = J * -⁅A, B⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/SkewAdjoint.lean
R : Type u
n : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
J A B : Matrix n n R
hA : Aᵀ * J = J * -A
hB : Bᵀ * J = J * -B
\u22a2 J * -B * -A - J * -A * -B = J * -(A * B - B * A)
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a✝ b✝ c✝ d m n a b c : ℤ
\u22a2 a < b → ¬b < a
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a✝ b✝ c✝ d m n a b c : ℤ
\u22a2 a < b → a ≤ b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R : ℝ
z w : ℂ
f : ℂ → E
x✝ : ℝ
\u22a2 circleTransformDeriv R z w f x✝ = (circleMap z R x✝ - w)⁻¹ • circleTransform R z w f x✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R : ℝ
z w : ℂ
f : ℂ → E
x✝ : ℝ
\u22a2 ((2 * ↑π * I)⁻¹ * deriv (circleMap z R) x✝ * ((circleMap z R x✝ - w) ^ 2)⁻¹) • f (circleMap z R x✝) = ((circleMap z R x✝ - w)⁻¹ * (2 * ↑π * I)⁻¹ * deriv (circleMap z R) x✝ * (circleMap z R x✝ - w)⁻¹) • f (circleMap z R x✝)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R : ℝ
z w : ℂ
f : ℂ → E
x✝ : ℝ
\u22a2 ((↑π)⁻¹ * I⁻¹ * deriv (circleMap z R) x✝ * (-(circleMap z R x✝ * w * 2) + circleMap z R x✝ ^ 2 + w ^ 2)⁻¹ * (1 / 2)) • f (circleMap z R x✝) = ((↑π)⁻¹ * I⁻¹ * deriv (circleMap z R) x✝ * (circleMap z R x✝ - w)⁻¹ ^ 2 * (1 / 2)) • f (circleMap z R x✝)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R : ℝ
z w : ℂ
f : ℂ → E
x✝ : ℝ
\u22a2 ((↑π)⁻¹ * I⁻¹ * deriv (circleMap z R) x✝ * (-(circleMap z R x✝ * w * 2) + circleMap z R x✝ ^ 2 + w ^ 2)⁻¹ * (1 / 2)) • f (circleMap z R x✝) = ((↑π)⁻¹ * I⁻¹ * deriv (circleMap z R) x✝ * ((circleMap z R x✝ - w) ^ 2)⁻¹ * (1 / 2)) • f (circleMap z R x✝)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
n : ℕ
\u22a2 cos (↑n * (2 * π) - π) = -1
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x : ℝ*
r : ℝ
\u22a2 x.IsSt r ↔ Germ.Tendsto x (𝓝 r)
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
r : ℝ
f : ℕ → ℝ
\u22a2 (ofSeq f).IsSt r ↔ Germ.Tendsto (ofSeq f) (𝓝 r)
-- Mathlib/CategoryTheory/Simple.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X Y : C
\u22a2 IsIso biprod.inl ↔ IsZero Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Simple.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X Y : C
\u22a2 biprod.snd ≫ biprod.inr = 0 ↔ IsZero Y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Implicit.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
\u22a2 implicitFunctionOfComplemented f f' hf hf' hker (f a) 0 = a
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α
i : Set α
hi : MeasurableSet i
\u22a2 ↑(toSignedMeasure 0) i = ↑0 i
-- Mathlib/RepresentationTheory/Basic.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Group G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
g : G
\u22a2 ↑(ρ.asGroupHom g) = ρ g
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M'✝
inst✝² : Module R M''
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
x : M
y : M'
\u22a2 (B' (0 x)) y = (B x) (0 y)
-- Mathlib/Data/List/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ
\u22a2 antidiagonal (n + 1) = map (Prod.map id succ) (antidiagonal n) ++ [(n + 1, 0)]
-- Mathlib/Data/List/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ
\u22a2 map (fun i => (i, n + 1 - i)) (range n) ++ [(n, 1), (n + 1, 0)] = map (Prod.map id succ ∘ fun i => (i, n - i)) (range n) ++ [Prod.map id succ (n, 0), (n + 1, 0)]
-- Mathlib/Data/List/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ
\u22a2 map (fun i => (i, n + 1 - i)) (range n) = map (Prod.map id succ ∘ fun i => (i, n - i)) (range n)
-- Mathlib/Data/List/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ
\u22a2 ∀ a ∈ range n, (a, n + 1 - a) = (Prod.map id succ ∘ fun i => (i, n - i)) a
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero R
s : Set ℕ
hs : ∀ (m n : ℕ), m ∣ n → n ∈ s → m ∈ s
f g : ℕ → R
hf : ∀ n > 0, f n ≠ 0
hg : ∀ n > 0, g n ≠ 0
\u22a2 (∀ n > 0, n ∈ s → ∏ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔ ∀ n > 0, n ∈ s → ∏ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, g x.2 ^ μ x.1 = f n
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero R
s : Set ℕ
hs : ∀ (m n : ℕ), m ∣ n → n ∈ s → m ∈ s
f g : ℕ → R
hf : ∀ n > 0, f n ≠ 0
hg : ∀ n > 0, g n ≠ 0
n : ℕ
hn : n > 0
\u22a2 n ∈ s → ∏ i ∈ n.divisors, f i = g n ↔ n ∈ s → ∏ i ∈ n.divisors, (fun n => if h : 0 < n then Units.mk0 (f n) ⋯ else 1) i = (fun n => if h : 0 < n then Units.mk0 (g n) ⋯ else 1) n
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero R
s : Set ℕ
hs : ∀ (m n : ℕ), m ∣ n → n ∈ s → m ∈ s
f g : ℕ → R
hf : ∀ n > 0, f n ≠ 0
hg : ∀ n > 0, g n ≠ 0
n : ℕ
hn : n > 0
\u22a2 n ∈ s → ∏ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, (fun n => if h : 0 < n then Units.mk0 (g n) ⋯ else 1) x.2 ^ μ x.1 = (fun n => if h : 0 < n then Units.mk0 (f n) ⋯ else 1) n ↔ n ∈ s → ∏ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, g x.2 ^ μ x.1 = f n
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
s t : Set α
\u22a2 univ / univ = univ
-- Mathlib/Data/Set/Sigma.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝² : ι → Type u_4
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x✝ : (i : ι) × α i
i j : ι
a : α i
β✝¹ : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice β✝¹
β✝ : Type u_6
β : ι → Type u_7
x : (i : ι) × α i
\u22a2 x ∈ s₁.sigma t₁ \ s₂.sigma t₂ ↔ x ∈ s₁.sigma (t₁ \ t₂) ∪ (s₁ \ s₂).sigma t₁
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
\u22a2 ∑ i : Fin c.length, c.blocksFun i = n
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Computable c
z : α → σ
hz : Computable z
s : α → σ
hs : Computable s
l : α → σ
hl : Computable l
r : α → σ
hr : Computable r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Computable₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Computable₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Computable₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Computable₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
\u22a2 Computable fun a => F a (c a)
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Computable c
z : α → σ
hz : Computable z
s : α → σ
hs : Computable s
l : α → σ
hl : Computable l
r : α → σ
hr : Computable r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Computable₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Computable₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Computable₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Computable₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this : Computable G₁
\u22a2 Computable fun a => F a (c a)
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Computable c
z : α → σ
hz : Computable z
s : α → σ
hs : Computable s
l : α → σ
hl : Computable l
r : α → σ
hr : Computable r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Computable₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Computable₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Computable₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Computable₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this : Computable G₁
G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)
\u22a2 Computable fun a => F a (c a)
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Computable c
z : α → σ
hz : Computable z
s : α → σ
hs : Computable s
l : α → σ
hl : Computable l
r : α → σ
hr : Computable r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Computable₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Computable₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Computable₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Computable₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this✝ : Computable G₁
G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)
this : Computable₂ G
\u22a2 Computable fun a => F a (c a)