ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/HalesJewett.lean
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
l : Line α✝ ι✝
i : ι✝
a x : α✝
α : Type u
inst✝¹ : Fintype α
κ : Type (max v u)
inst✝ : Finite κ
val✝ : Fintype κ
h : Nonempty α
r : ℕ
ι : Type
_inst✝ : Fintype ι
hι : ∀ (C : (ι → Option α) → κ), (∃ s, Multiset.card s.lines = r) ∨ ∃ l, IsMono C l
ι' : Type
_inst : Fintype ι'
C : (ι ⊕ ι' → Option α) → κ
l' : Line α ι'
C' : (ι → Option α) → κ
hl' : ∀ (x : α), (fun v' v => C (Sum.elim v (some ∘ v'))) ((fun x i => (l'.idxFun i).getD x) x) = C'
mono_of_mono : (∃ l, IsMono C' l) → ∃ l, IsMono C l
\u22a2 (∃ s, Multiset.card s.lines = r + 1) ∨ ∃ l, IsMono C l
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
α : Sort u_1
k k' : ℕ
f g : Fin k → Fin k' → α
\u22a2 HEq f g ↔ ∀ (i : Fin k) (j : Fin k'), f i j = g ⟨↑i, ⋯⟩ ⟨↑j, ⋯⟩
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
m n : ℤ
\u22a2 T (m + n) = T m * T n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
\u22a2 DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f (insert x s ∩ u)
\u22a2 DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
\u22a2 DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
A : t =ᶠ[𝓝[≠] x] s
\u22a2 DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
A : t =ᶠ[𝓝[≠] x] s
B : iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s =ᶠ[𝓝 x] iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t
\u22a2 DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
A : t =ᶠ[𝓝[≠] x] s
B : iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s =ᶠ[𝓝 x] iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t
C : DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t) t x
\u22a2 DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)
u : Set E
uo : IsOpen u
xu : x ∈ u
t : Set E := insert x s ∩ u
hu : ContDiffOn 𝕜 (↑(Add.add (↑m) 1)) f t
A : t =ᶠ[𝓝[≠] x] s
B : iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s =ᶠ[𝓝 x] iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t
C : DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f t) s x
\u22a2 DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s x
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Pointwise.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝⁷ : Monoid R
inst✝⁶ : Monoid S
σ : R → S
inst✝⁵ : MulAction R M
inst✝⁴ : MulAction S N
inst✝³ : MulAction R M₁
inst✝² : MulAction R M₂
F : Type u_7
h : F
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MulActionSemiHomClass F σ M N
c : R
s : Set M
t : Set N
hc : IsUnit c
hc' : IsUnit (σ c)
\u22a2 ⇑h ⁻¹' (σ c • t) = c • ⇑h ⁻¹' t
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Pointwise.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝⁷ : Monoid R
inst✝⁶ : Monoid S
σ : R → S
inst✝⁵ : MulAction R M
inst✝⁴ : MulAction S N
inst✝³ : MulAction R M₁
inst✝² : MulAction R M₂
F : Type u_7
h : F
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MulActionSemiHomClass F σ M N
c : R
s : Set M
t : Set N
hc : IsUnit c
hc' : IsUnit (σ c)
\u22a2 Function.Surjective fun m => c • m
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Pointwise.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝⁷ : Monoid R
inst✝⁶ : Monoid S
σ : R → S
inst✝⁵ : MulAction R M
inst✝⁴ : MulAction S N
inst✝³ : MulAction R M₁
inst✝² : MulAction R M₂
F : Type u_7
h : F
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MulActionSemiHomClass F σ M N
c : R
s : Set M
t : Set N
hc : IsUnit c
hc' : IsUnit (σ c)
\u22a2 Function.Injective fun n => σ c • n
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r p : ℝ
hr : 0 < r
\u22a2 r.toNNReal ≤ p.toNNReal ↔ r ≤ p
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)
\u22a2 s ∈ f ×ˢ ⊤ ↔ {a | ∀ (b : β), (a, b) ∈ s} ∈ f
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)
\u22a2 {a | ∀ b ∈ univ, (a, b) ∈ s} ∈ f ↔ {a | ∀ (b : β), (a, b) ∈ s} ∈ f
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), y i < x i
\u22a2 y ∈ interior s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), y i < x i
val✝ : Fintype ι
\u22a2 y ∈ interior s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), y i < x i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), y i + ε < x i
\u22a2 y ∈ interior s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), y i < x i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), y i + ε < x i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : dist x z < ε
\u22a2 y ∈ interior s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), y i < x i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), y i + ε < x i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε
\u22a2 y ∈ interior s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), y i < x i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), y i + ε < x i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε
hyz : ∀ (i : ι), y i < z i
\u22a2 y ∈ interior s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), y i < x i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), y i + ε < x i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε
hyz✝ : ∀ (i : ι), y i < z i
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hyz : ∀ (i : ι), y i + δ < z i
\u22a2 y ∈ interior s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), y i < x i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), y i + ε < x i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε
hyz✝ : ∀ (i : ι), y i < z i
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hyz : ∀ (i : ι), y i + δ < z i
\u22a2 ball y δ ⊆ s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), y i < x i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), y i + ε < x i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε
hyz✝ : ∀ (i : ι), y i < z i
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hyz : ∀ (i : ι), y i + δ < z i
w : ι → ℝ
hw : w ∈ ball y δ
i : ι
\u22a2 w i ≤ z i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), y i < x i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), y i + ε < x i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε
hyz✝ : ∀ (i : ι), y i < z i
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hyz : ∀ (i : ι), y i + δ < z i
w : ι → ℝ
i : ι
hw : w ∈ univ.pi fun b => Ioo (y b - δ) (y b + δ)
\u22a2 w i ≤ z i
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q : ℕ
p : R[X]
hsep : p.Separable
\u22a2 Squarefree p
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q : ℕ
p : R[X]
hsep : p.Separable
\u22a2 ∀ (x : R[X]), multiplicity x p ≤ 1 ∨ IsUnit x
-- Mathlib/Order/SuccPred/Limit.lean
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : NoMaxOrder α
\u22a2 ¬IsSuccLimit a ↔ a ∈ range succ
-- Mathlib/Order/SuccPred/Limit.lean
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : NoMaxOrder α
\u22a2 (∃ x, succ x = a) ↔ a ∈ range succ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
\u22a2 t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j ≫ pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map k) ≫ pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g = pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map k) ≫ pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
\u22a2 (t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j ≫ pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map k) ≫ pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g) ≫ 𝒰.map i = (pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map k) ≫ pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g) ≫ 𝒰.map i
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α → β
l : β →₀ M
hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑l.support)
a : α
\u22a2 a ∈ l.support.preimage f hf ↔ (fun a => l (f a)) a ≠ 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α → β
l : β →₀ M
hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑l.support)
a : α
\u22a2 f a ∈ l.support ↔ l (f a) ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Star/SelfAdjoint.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : DivisionSemiring R
inst✝ : StarRing R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
\u22a2 IsSelfAdjoint x⁻¹
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Preorder α
a b✝ c : α
inst✝ : NoMinOrder α
b : α
\u22a2 ⋃ a, Ioc a b = Iic b
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/NatAntidiagonal.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
n : ℕ
f : ℕ × ℕ → M
\u22a2 ∏ p ∈ antidiagonal (n + 1), f p = f (0, n + 1) * ∏ p ∈ antidiagonal n, f (p.1 + 1, p.2)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/NatAntidiagonal.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
n : ℕ
f : ℕ × ℕ → M
\u22a2 f (0, n + 1) * ∏ x ∈ antidiagonal n, f (({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap (Function.Embedding.refl ℕ)) x) = f (0, n + 1) * ∏ p ∈ antidiagonal n, f (p.1 + 1, p.2)
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → β
a : α
s : Stream' α
\u22a2 map f (a :: s) = f a :: map f s
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → β
a : α
s : Stream' α
\u22a2 (f (a :: s).head :: map f (a :: s).tail).head :: (f (a :: s).head :: map f (a :: s).tail).tail = f a :: map f s
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
inst✝ : Finite α
C : Set α → Prop
S0 : Set α
H0 : C S0
H1 : ∀ (S : Set α), S ≠ univ → C S → ∃ a ∉ S, C (insert a S)
\u22a2 ∀ s ⊂ univ, C s → ∃ a ∈ univ \ s, C (insert a s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
\u22a2 (toMatrix₂ b₁' b₂') (B.compl₁₂ l r) i j = (((toMatrix b₁' b₁) l)ᵀ * (toMatrix₂ b₁ b₂) B * (toMatrix b₂' b₂) r) i j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
\u22a2 (B (l (b₁' i))) (r (b₂' j)) = ∑ x : m, ∑ i_1 : n, (b₁.repr (l (b₁' i))) i_1 * (B (b₁ i_1)) (b₂ x) * (b₂.repr (r (b₂' j))) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
\u22a2 (B (l (b₁' i))) (r (b₂' j)) = ∑ y : n, ∑ x : m, (b₁.repr (l (b₁' i))) y * (B (b₁ y)) (b₂ x) * (b₂.repr (r (b₂' j))) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
\u22a2 ((b₁.repr (l (b₁' i))).sum fun i xi => (b₂.repr (r (b₂' j))).sum fun j yj => xi •> yj •> (B (b₁ i)) (b₂ j)) = ∑ y : n, ∑ x : m, (b₁.repr (l (b₁' i))) y * (B (b₁ y)) (b₂ x) * (b₂.repr (r (b₂' j))) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
\u22a2 (∑ i_1 : n, (b₂.repr (r (b₂' j))).sum fun j yj => (b₁.repr (l (b₁' i))) i_1 •> yj •> (B (b₁ i_1)) (b₂ j)) = ∑ y : n, ∑ x : m, (b₁.repr (l (b₁' i))) y * (B (b₁ y)) (b₂ x) * (b₂.repr (r (b₂' j))) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
\u22a2 ∀ (i : n), ((b₂.repr (r (b₂' j))).sum fun j yj => 0 •> yj •> (B (b₁ i)) (b₂ j)) = 0
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b : α
x y s t : Finset α
h : x ⊆ y
h' : s ⊆ t
a : α
a_in : a ∈ x ∩ s
\u22a2 a ∈ y ∩ t
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b : α
x y s t : Finset α
h : x ⊆ y
h' : s ⊆ t
a : α
a_in : a ∈ x ∧ a ∈ s
\u22a2 a ∈ y ∧ a ∈ t
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
h : yᶜ ≤ x
\u22a2 xᶜ ≤ y
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
inst✝ : Invertible 2
\u22a2 dickson 1 1 0 = 2 * (Chebyshev.T R ↑0).comp (C ⅟2 * X)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
inst✝ : Invertible 2
\u22a2 3 - ↑1 = 2 * (Chebyshev.T R ↑0).comp (C ⅟2 * X)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
inst✝ : Invertible 2
\u22a2 dickson 1 1 1 = 2 * (Chebyshev.T R ↑1).comp (C ⅟2 * X)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
inst✝ : Invertible 2
n : ℕ
\u22a2 dickson 1 1 (n + 2) = 2 * (Chebyshev.T R ↑(n + 2)).comp (C ⅟2 * X)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
inst✝ : Invertible 2
n : ℕ
\u22a2 X * (2 * (Chebyshev.T R ↑(n + 1)).comp (C ⅟2 * X)) - 1 * (2 * (Chebyshev.T R ↑n).comp (C ⅟2 * X)) = 2 * (↑2 * (C ⅟2 * X) * (Chebyshev.T R (↑n + 1)).comp (C ⅟2 * X) - (Chebyshev.T R ↑n).comp (C ⅟2 * X))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
inst✝ : Invertible 2
n : ℕ
\u22a2 X * 2 * (Chebyshev.T R (↑n + 1)).comp (C ⅟2 * X) - 1 * 2 * (Chebyshev.T R ↑n).comp (C ⅟2 * X) = 2 * (1 * X * (Chebyshev.T R (↑n + 1)).comp (C ⅟2 * X) - (Chebyshev.T R ↑n).comp (C ⅟2 * X))
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0
\u22a2 b ≤ (a.pred ha).castSucc ↔ b < a
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
\u22a2 Ioo a b ⊆ Ioc a b
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
\u22a2 Set.Ioo a b ⊆ Set.Ioc a b