ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
u : α → β
hu : UniformInducing u
x : X
\u22a2 EquicontinuousAt F x ↔ EquicontinuousAt ((fun x => u ∘ x) ∘ F) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : Real.Angle
\u22a2 ↑(↑r * (↑θ.cos + ↑θ.sin * I)).arg = θ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ
\u22a2 ↑(↑r * (↑(↑θ).cos + ↑(↑θ).sin * I)).arg = ↑θ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ
\u22a2 ∃ k, (↑r * (↑(Real.cos θ) + ↑(Real.sin θ) * I)).arg - θ = 2 * π * ↑k
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ
\u22a2 (↑r * (↑(Real.cos θ) + ↑(Real.sin θ) * I)).arg - θ = 2 * π * ↑⌊(π - θ) / (2 * π)⌋
-- Mathlib/Algebra/Group/Defs.lean
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
a b : G
\u22a2 a⁻¹ * b * a = b
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/KernelPair.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
inst✝¹ : IsIso a
inst✝ : Mono f
\u22a2 IsPullback a a f f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/KernelPair.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
inst✝¹ : IsIso a
inst✝ : Mono f
\u22a2 a = a ≫ 𝟙 X
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/KernelPair.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
inst✝¹ : IsIso a
inst✝ : Mono f
\u22a2 f = 𝟙 X ≫ f
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
n : ℕ
hn : 0 < n
\u22a2 x + ↑n * ↑m ≤ (⇑f)^[n] x ↔ x + ↑m ≤ f x
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n✝ p : ℕ
hp : Prime p
h2 : p ≠ 2
n : ℕ
hn : p = 2 * n + 1
\u22a2 p - 1 = n + n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p r✝ : R[X]
hp : p.Monic
r : R[X]
h0 : p * r ≠ 0
hl : (p * r).natDegree < p.natDegree
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p r✝ : R[X]
hp : p.Monic
r : R[X]
h0 : p * r ≠ 0
hl : p.natDegree + r.natDegree < p.natDegree
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
k : ℕ
\u22a2 lcs k N₁ ≤ N₂ ↔ N₁ ≤ ucs k N₂
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
k : ℕ
\u22a2 k = 0 + k
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0
hQz : Q z ≠ 0
\u22a2 W'.add P Q = (P x * Q z) • Q
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : FaithfulSMul G α
inst✝ : FaithfulSMul M α
g h : G
ne_one : g ≠ 1
disjoint : Disjoint (fixedBy α g)ᶜ (h • (fixedBy α g)ᶜ)
\u22a2 ¬Commute g h
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : FaithfulSMul G α
inst✝ : FaithfulSMul M α
g h : G
disjoint : Disjoint (fixedBy α g)ᶜ (h • (fixedBy α g)ᶜ)
comm : Commute g h
\u22a2 g = 1
-- Mathlib/Data/Int/Lemmas.lean
a✝ b✝ : ℤ
n : ℕ
a b : ℤ
ha : 0 ≤ a
hb : b ≤ 0
\u22a2 a.natAbs = b.natAbs ↔ a = -b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
hlead : f.eraseLead ≠ 0
hnext : f.nextCoeff = 0
\u22a2 2 ≤ f.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
hnext : f.nextCoeff = 0
hlead : f.natDegree < 2
\u22a2 f.eraseLead = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
hnext : f.nextCoeff = 0
hlead : (∃ x, C x = f) ∨ ∃ a, a ≠ 0 ∧ ∃ b, C a * X + C b = f
\u22a2 f.eraseLead = 0
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
r : Cofix F → Cofix F → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F), r x y → Quot.mk r <$> x.dest = Quot.mk r <$> y.dest
r' : Cofix F → Cofix F → Prop := fun x y => x = y ∨ r x y
x y : Cofix F
rxy : r x y
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
r : Cofix F → Cofix F → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F), r x y → Quot.mk r <$> x.dest = Quot.mk r <$> y.dest
r' : Cofix F → Cofix F → Prop := fun x y => x = y ∨ r x y
x y : Cofix F
rxy : r x y
\u22a2 ∀ (x : Cofix F), r' x x
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
r : Cofix F → Cofix F → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F), r x y → Quot.mk r <$> x.dest = Quot.mk r <$> y.dest
r' : Cofix F → Cofix F → Prop := fun x y => x = y ∨ r x y
x y : Cofix F
rxy : r x y
\u22a2 ∀ (x y : Cofix F), r' x y → Quot.mk r' <$> x.dest = Quot.mk r' <$> y.dest
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
r : Cofix F → Cofix F → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F), r x y → Quot.mk r <$> x.dest = Quot.mk r <$> y.dest
r' : Cofix F → Cofix F → Prop := fun x y => x = y ∨ r x y
x y : Cofix F
rxy : r x y
\u22a2 r' x y
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
S : ℕ → Set α := spanningSets μ
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
S : ℕ → Set α := spanningSets μ
\u22a2 μ ({a | ¬f a = 0 a} ∩ ⋃ b, spanningSets μ b) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
S : ℕ → Set α := spanningSets μ
\u22a2 ∀ (i : ℕ), μ ({a | ¬f a = 0 a} ∩ spanningSets μ i) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
S : ℕ → Set α := spanningSets μ
n : ℕ
\u22a2 μ ({a | ¬f a = 0 a} ∩ spanningSets μ n) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
S : ℕ → Set α := spanningSets μ
n : ℕ
h_meas_n : MeasurableSet (S n)
\u22a2 μ ({a | ¬f a = 0 a} ∩ spanningSets μ n) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
S : ℕ → Set α := spanningSets μ
n : ℕ
h_meas_n : MeasurableSet (S n)
hμn : μ (S n) < ⊤
\u22a2 μ ({a | ¬f a = 0 a} ∩ spanningSets μ n) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
S : ℕ → Set α := spanningSets μ
n : ℕ
h_meas_n : MeasurableSet (S n)
hμn : μ (S n) < ⊤
\u22a2 (μ.restrict (S n)) {a | ¬f a = 0 a} = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
m n : ℕ
ha : IsUnit A.det
h : n ≤ m
\u22a2 A ^ (m - n) = A ^ m * (A ^ n)⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
m n : ℕ
ha : IsUnit A.det
h : n ≤ m
\u22a2 IsUnit (A ^ n).det
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
ht : μ tᶜ = 0
\u22a2 μ (s ∩ t) = μ s
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
\u22a2 Real.sin (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
\u22a2 Real.sin (angle x y) * -Real.cos (angle x y) + Real.cos (angle x y) * Real.sin (angle x y) = 0
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
\u22a2 ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval C)) ↔ ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval C))
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
h : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval C))
\u22a2 Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval C)) ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval C))
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
h : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval C))
\u22a2 Set.range (Products.eval C) ⊆ ↑(Submodule.span ℤ (Set.range (eval C)))
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E✝ I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α → β
E : Set β
\u22a2 (loopyOn E).comap f = loopyOn (f ⁻¹' E)
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E✝ I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α → β
E : Set β
\u22a2 ((loopyOn E).comap f).E = f ⁻¹' E ∧ ∀ X ⊆ ((loopyOn E).comap f).E, ((loopyOn E).comap f).Indep X → X = ∅
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
h : f.natSepDegree = 1
\u22a2 ∃ m n y, m ≠ 0 ∧ (n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range) ∧ f = (X ^ q ^ n - C y) ^ m
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
h : f.natSepDegree = 1
p : F[X]
hM : p.Monic
hI : Irreducible p
hf : p ∣ f
\u22a2 ∃ m n y, m ≠ 0 ∧ (n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range) ∧ f = (X ^ q ^ n - C y) ^ m
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
h : f.natSepDegree = 1
p : F[X]
hM : p.Monic
hI : Irreducible p
hf : p ∣ f
hD : p.natSepDegree = 1
\u22a2 ∃ m n y, m ≠ 0 ∧ (n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range) ∧ f = (X ^ q ^ n - C y) ^ m
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
h : f.natSepDegree = 1
p : F[X]
hM : p.Monic
hI : Irreducible p
hf : p ∣ f
hD : p.natSepDegree = 1
n : ℕ
y : F
H : n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range
hp : p = X ^ q ^ n - C y
\u22a2 ∃ m n y, m ≠ 0 ∧ (n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range) ∧ f = (X ^ q ^ n - C y) ^ m
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
h : f.natSepDegree = 1
p : F[X]
hM : p.Monic
hI : Irreducible p
hf : p ∣ f
hD : p.natSepDegree = 1
n : ℕ
y : F
H : n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range
hp : p = X ^ q ^ n - C y
hF : multiplicity.Finite p f
\u22a2 ∃ m n y, m ≠ 0 ∧ (n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range) ∧ f = (X ^ q ^ n - C y) ^ m
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
h : f.natSepDegree = 1
p : F[X]
hM : p.Monic
hI : Irreducible p
hf : p ∣ f
hD : p.natSepDegree = 1
n : ℕ
y : F
H : n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range
hp : p = X ^ q ^ n - C y
hF : multiplicity.Finite p f
hne : (multiplicity p f).get hF ≠ 0
\u22a2 ∃ m n y, m ≠ 0 ∧ (n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range) ∧ f = (X ^ q ^ n - C y) ^ m
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
h : f.natSepDegree = 1
p : F[X]
hM : p.Monic
hI : Irreducible p
hf : p ∣ f
hD : p.natSepDegree = 1
n : ℕ
y : F
H : n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range
hp : p = X ^ q ^ n - C y
hF : multiplicity.Finite p f
hne : (multiplicity p f).get hF ≠ 0
\u22a2 f = (X ^ q ^ n - C y) ^ (multiplicity p f).get hF
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
h : f.natSepDegree = 1
p : F[X]
hM : p.Monic
hI : Irreducible p
hf✝ : p ∣ f
hD : p.natSepDegree = 1
n : ℕ
y : F
H✝ : n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range
hp : p = X ^ q ^ n - C y
hF : multiplicity.Finite p f
hne : (multiplicity p f).get hF ≠ 0
c : F[X]
hf : f = p ^ (multiplicity p f).get hF * c
H : ¬p ∣ c
\u22a2 f = (X ^ q ^ n - C y) ^ (multiplicity p f).get hF
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
p : F[X]
hM : p.Monic
hI : Irreducible p
hf✝ : p ∣ f
hD : p.natSepDegree = 1
n : ℕ
y : F
H✝ : n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range
hp : p = X ^ q ^ n - C y
hF : multiplicity.Finite p f
hne : (multiplicity p f).get hF ≠ 0
c : F[X]
h : c.natDegree = 0
hf : f = p ^ (multiplicity p f).get hF * c
H : ¬p ∣ c
\u22a2 f = (X ^ q ^ n - C y) ^ (multiplicity p f).get hF
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike K
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module K E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : IsScalarTower ℝ K E
r : ℝ
x : E
\u22a2 r • x = ↑r • x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : Integrable f μ
hN : μ N = 0
\u22a2 ∃ x ∉ N, f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : Integrable f μ
hN : μ N = 0
this : 0 < μ {x | f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ}
\u22a2 ∃ x ∉ N, f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : Integrable f μ
hN : μ N = 0
this : 0 < μ ({x | f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ} \ N)
\u22a2 ∃ x ∉ N, f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : Integrable f μ
hN : μ N = 0
this : 0 < μ ({x | f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ} \ N)
x : α
hx : x ∈ {x | f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ}
hxN : x ∉ N
\u22a2 ∃ x ∉ N, f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/Data/Multiset/Nodup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s t : Multiset α
a : α
d₁ : s.Nodup
d₂ : t.Nodup
\u22a2 (s + t).Nodup ↔ s.Disjoint t
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
ι' : Sort u_7
inst✝ : CompleteLattice α
s : ι' → α
\u22a2 ⨆ i, s i = ⨆ t, ⨆ i ∈ t, s i.down
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
ι' : Sort u_7
inst✝ : CompleteLattice α
s : ι' → α
\u22a2 ⨆ x, s (Equiv.plift x) = ⨆ i, s i.down
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
p : α → Prop
hp : ∀ (a₁ : α), p a₁ → ∀ (a₂ : α), p a₂ → p (a₁ ⊔ a₂)
hs : ∀ b ∈ s, p (f b)
\u22a2 WithBot.recBotCoe True p ↑(s.sup' H f)
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
p : α → Prop
hp : ∀ (a₁ : α), p a₁ → ∀ (a₂ : α), p a₂ → p (a₁ ⊔ a₂)
hs : ∀ b ∈ s, p (f b)
\u22a2 WithBot.recBotCoe True p (s.sup (WithBot.some ∘ f))
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
p : α → Prop
hp : ∀ (a₁ : α), p a₁ → ∀ (a₂ : α), p a₂ → p (a₁ ⊔ a₂)
hs : ∀ b ∈ s, p (f b)
a₁ : WithBot α
h₁ : WithBot.recBotCoe True p a₁
a₂ : WithBot α
h₂ : WithBot.recBotCoe True p a₂
\u22a2 WithBot.recBotCoe True p (a₁ ⊔ a₂)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
\u22a2 (fun x => x - a) ⁻¹' Iic b = Iic (b + a)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
x₀ : X
\u22a2 EquicontinuousAt F x₀ ↔ ContinuousAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
x₀ : X
\u22a2 EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ i ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x ∈ {g | ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀, g) ∈ UniformFun.gen ι α i}
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/HarrisKleitman.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a : α
h : IsLowerSet ↑𝒜
s : Finset α
\u22a2 s ∈ Finset.memberSubfamily a 𝒜 → s ∈ Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/HarrisKleitman.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a : α
h : IsLowerSet ↑𝒜
s : Finset α
\u22a2 insert a s ∈ 𝒜 ∧ a ∉ s → s ∈ 𝒜 ∧ a ∉ s
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommGroup α
a : α
l : List α
\u22a2 (a :: l).alternatingProd = a / l.alternatingProd
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
\u22a2 cos (angle x y) = 1 ↔ angle x y = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
\u22a2 cos (angle x y) = cos 0 ↔ angle x y = 0
-- Mathlib/Tactic/NormNum/OfScientific.lean
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n✝¹ n✝ x✝ : ℕ
h : x✝ = n✝¹.mul (10 ^ n✝)
\u22a2 OfScientific.ofScientific (↑n✝¹) false ↑n✝ = ↑x✝
-- Mathlib/Tactic/NormNum/OfScientific.lean
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n✝¹ n✝ x✝ : ℕ
h : x✝ = n✝¹.mul (10 ^ n✝)
\u22a2 ↑(Rat.ofScientific (OfNat.ofNat ↑n✝¹) false (OfNat.ofNat ↑n✝)) = ↑x✝
-- Mathlib/Tactic/NormNum/OfScientific.lean
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n✝¹ n✝ x✝ : ℕ
h : x✝ = n✝¹.mul (10 ^ n✝)
\u22a2 ↑(↑(OfNat.ofNat n✝¹) * 10 ^ OfNat.ofNat n✝) = ↑n✝¹ * 10 ^ n✝
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/ENat.lean
\u22a2 range ofENat = Iic ℵ₀
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/ENat.lean
x : Cardinal.{u_1}
hx : x ≤ ℵ₀
\u22a2 x ∈ range ofENat
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Deriv.lean
x y z : ℝ
\u22a2 0 < sinh x ↔ 0 < x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
\u22a2 ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π * a * ↑n ^ 2) = 1 / a ^ (1 / 2) * ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π / a * ↑n ^ 2)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
ν : ProbabilityMeasure Ω
\u22a2 ν univ ≠ 0
-- Mathlib/Tactic/NormNum/GCD.lean
x y : ℤ
\u22a2 x.lcm y = x.natAbs.lcm y.natAbs
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Internal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
\u22a2 ↑((r * r') n) = ∑ ij ∈ Finset.filter (fun ij => ij.1 + ij.2 = n) (DFinsupp.support r ×ˢ DFinsupp.support r'), ↑(r ij.1) * ↑(r' ij.2)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Internal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
\u22a2 ∑ i ∈ DFinsupp.support r ×ˢ DFinsupp.support r', ↑(((of (fun i => ↥(A i)) (i.1 + i.2)) (GradedMonoid.GMul.mul (r i.1) (r' i.2))) n) = ∑ ij ∈ Finset.filter (fun ij => ij.1 + ij.2 = n) (DFinsupp.support r ×ˢ DFinsupp.support r'), ↑(r ij.1) * ↑(r' ij.2)