ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
x : α
y₁ y₂ : β
\u22a2 dist (x, y₁) (x, y₂) = dist y₁ y₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≤ μ
hq : 0 ≤ q
\u22a2 ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂ν ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ
-- Mathlib/CategoryTheory/GlueData.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
F : C ⥤ C'
H : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
inst✝¹ : HasMulticoequalizer D.diagram
inst✝ : PreservesColimit D.diagram.multispan F
i : D.J
\u22a2 (D.mapGlueData F).ι i ≫ (D.gluedIso F).inv = F.map (D.ι i)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ ψ : Angle
h : θ = ψ ∨ θ = ψ + ↑π
\u22a2 |θ.cos| = |ψ.cos|
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u_1
inst✝ : Infinite α
s : Set α
h2 : #↑s < #α
\u22a2 #↑sᶜ = #α
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u_1
inst✝ : Infinite α
s : Set α
h2 : #↑s < #α
\u22a2 #↑s + #↑sᶜ = #α
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
a b : Int
\u22a2 ↑(a - b) = ↑a - ↑b
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
a b : Int
\u22a2 ↑(a - b) = normalize ((↑a).num * ↑(↑b).den - (↑b).num * ↑(↑a).den) ((↑a).den * (↑b).den) ⋯
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/AsymptoticEquivalent.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedField β
t u v w : α → β
l : Filter α
htu : t ~[l] u
hvw : v ~[l] w
\u22a2 (fun x => t x / v x) ~[l] fun x => u x / w x
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/TerminatesIffRat.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v✝ : K
q✝ : ℚ
v_eq_q✝ : v✝ = ↑q✝
n : ℕ
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
\u22a2 (of v).Terminates ↔ (of q).Terminates
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
l : List α
\u22a2 takeWhile p (takeWhile p l) = takeWhile p l
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
I : Set ι
hI : I.Finite
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
\u22a2 𝓝[I.pi s] x = (⨅ i ∈ I, comap (fun x => x i) (𝓝[s i] x i)) ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : i ∉ I), comap (fun x => x i) (𝓝 (x i))
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
I : Set ι
hI : I.Finite
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
\u22a2 (⨅ i, comap (eval i) (𝓝 (x i))) ⊓ ⨅ i ∈ I, 𝓟 (eval i ⁻¹' s i) = (⨅ i ∈ I, comap (fun x => x i) (𝓝 (x i)) ⊓ 𝓟 ((fun x => x i) ⁻¹' s i)) ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : i ∉ I), comap (fun x => x i) (𝓝 (x i))
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
I : Set ι
hI : I.Finite
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
\u22a2 ((⨅ i ∈ I, comap (eval i) (𝓝 (x i))) ⊓ ⨅ i ∈ I, 𝓟 (eval i ⁻¹' s i)) ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : i ∉ I), comap (eval i) (𝓝 (x i)) = (⨅ i ∈ I, comap (fun x => x i) (𝓝 (x i)) ⊓ 𝓟 ((fun x => x i) ⁻¹' s i)) ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : i ∉ I), comap (fun x => x i) (𝓝 (x i))
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
h : Odd n
\u22a2 ¬2 ∣ n
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a✝ b c n a : ℕ
\u22a2 Multiset.map (fun x => x % a) (Multiset.Ico n (n + a)) = Multiset.range a
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a✝ b c n a : ℕ
\u22a2 Multiset.map (fun x => x % a) (Multiset.Ico n (n + a)) = (image (fun x => x % a) (Finset.Ico n (n + a))).val
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a✝ b c n a : ℕ
\u22a2 ∀ x ∈ (Finset.Ico n (n + a)).val, ∀ y ∈ (Finset.Ico n (n + a)).val, x % a = y % a → x = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
φ : W.LeftFraction₂ X Y
hφ₁ : f₁ = φ.fst.map L ⋯
hφ₂ : f₂ = φ.snd.map L ⋯
\u22a2 add' W f₁ f₂ = φ.add.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
φ φ₀ : W.LeftFraction₂ X Y
hφ₁ : φ₀.fst.map L ⋯ = φ.fst.map L ⋯
hφ₂ : φ₀.snd.map L ⋯ = φ.snd.map L ⋯
hφ₀ : add' W (φ₀.fst.map L ⋯) (φ₀.snd.map L ⋯) = φ₀.add.map L ⋯
\u22a2 add' W (φ₀.fst.map L ⋯) (φ₀.snd.map L ⋯) = φ.add.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z✝ : C
φ φ₀ : W.LeftFraction₂ X Y
hφ₁ : φ₀.fst.map L ⋯ = φ.fst.map L ⋯
hφ₂ : φ₀.snd.map L ⋯ = φ.snd.map L ⋯
hφ₀ : add' W (φ₀.fst.map L ⋯) (φ₀.snd.map L ⋯) = φ₀.add.map L ⋯
Z : C
t₁ : φ₀.Y' ⟶ Z
t₂ : φ.Y' ⟶ Z
hst : φ₀.s ≫ t₁ = φ.s ≫ t₂
hft : φ₀.f ≫ t₁ = φ.f ≫ t₂
hft' : φ₀.f' ≫ t₁ = φ.f' ≫ t₂
ht : W (φ₀.s ≫ t₁)
\u22a2 add' W (φ₀.fst.map L ⋯) (φ₀.snd.map L ⋯) = φ.add.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z✝ : C
φ φ₀ : W.LeftFraction₂ X Y
hφ₁ : φ₀.fst.map L ⋯ = φ.fst.map L ⋯
hφ₂ : φ₀.snd.map L ⋯ = φ.snd.map L ⋯
hφ₀ : add' W (φ₀.fst.map L ⋯) (φ₀.snd.map L ⋯) = φ₀.add.map L ⋯
Z : C
t₁ : φ₀.Y' ⟶ Z
t₂ : φ.Y' ⟶ Z
hst : φ₀.s ≫ t₁ = φ.s ≫ t₂
hft : φ₀.f ≫ t₁ = φ.f ≫ t₂
hft' : φ₀.f' ≫ t₁ = φ.f' ≫ t₂
ht : W (φ₀.s ≫ t₁)
this : IsIso (L.map (φ₀.s ≫ t₁))
\u22a2 add' W (φ₀.fst.map L ⋯) (φ₀.snd.map L ⋯) = φ.add.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z✝ : C
φ φ₀ : W.LeftFraction₂ X Y
hφ₁ : φ₀.fst.map L ⋯ = φ.fst.map L ⋯
hφ₂ : φ₀.snd.map L ⋯ = φ.snd.map L ⋯
hφ₀ : add' W (φ₀.fst.map L ⋯) (φ₀.snd.map L ⋯) = φ₀.add.map L ⋯
Z : C
t₁ : φ₀.Y' ⟶ Z
t₂ : φ.Y' ⟶ Z
hst : φ₀.s ≫ t₁ = φ.s ≫ t₂
hft : φ₀.f ≫ t₁ = φ.f ≫ t₂
hft' : φ₀.f' ≫ t₁ = φ.f' ≫ t₂
ht : W (φ₀.s ≫ t₁)
this : IsIso (L.map (φ₀.s ≫ t₁))
\u22a2 φ₀.add.map L ⋯ ≫ L.map (φ₀.s ≫ t₁) = φ.add.map L ⋯ ≫ L.map (φ₀.s ≫ t₁)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z✝ : C
φ φ₀ : W.LeftFraction₂ X Y
hφ₁ : φ₀.fst.map L ⋯ = φ.fst.map L ⋯
hφ₂ : φ₀.snd.map L ⋯ = φ.snd.map L ⋯
hφ₀ : add' W (φ₀.fst.map L ⋯) (φ₀.snd.map L ⋯) = φ₀.add.map L ⋯
Z : C
t₁ : φ₀.Y' ⟶ Z
t₂ : φ.Y' ⟶ Z
hst : φ₀.s ≫ t₁ = φ.s ≫ t₂
hft : φ₀.f ≫ t₁ = φ.f ≫ t₂
hft' : φ₀.f' ≫ t₁ = φ.f' ≫ t₂
ht : W (φ₀.s ≫ t₁)
this : IsIso (L.map (φ₀.s ≫ t₁))
\u22a2 φ₀.add.map L ⋯ ≫ L.map (φ₀.s ≫ t₁) = φ.add.map L ⋯ ≫ L.map (φ.s ≫ t₂)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
F : ι → Submodule 𝕜 E
hV : IsHilbertSum 𝕜 G V
W₀ : Π₀ (i : ι), G i
\u22a2 ↑(W₀.sum fun a b => hV.linearIsometryEquiv ((V a) b)) = ⇑W₀
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
F : ι → Submodule 𝕜 E
hV : IsHilbertSum 𝕜 G V
W₀ : Π₀ (i : ι), G i
\u22a2 ↑(hV.linearIsometryEquiv (W₀.sum fun a => ⇑(V a))) = ⇑W₀
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
F : ι → Submodule 𝕜 E
hV : IsHilbertSum 𝕜 G V
W₀ : Π₀ (i : ι), G i
\u22a2 ↑(hV.linearIsometryEquiv (hV.linearIsometryEquiv.symm (W₀.sum (lp.single 2)))) = ⇑W₀
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
F : ι → Submodule 𝕜 E
hV : IsHilbertSum 𝕜 G V
W₀ : Π₀ (i : ι), G i
\u22a2 ↑(W₀.sum (lp.single 2)) = ⇑W₀
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
F : ι → Submodule 𝕜 E
hV : IsHilbertSum 𝕜 G V
W₀ : Π₀ (i : ι), G i
i : ι
\u22a2 ↑(W₀.sum (lp.single 2)) i = W₀ i
-- Mathlib/Algebra/CharP/Algebra.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommSemiring L
inst✝¹ : Nontrivial L
inst✝ : Algebra K L
\u22a2 ringChar K = ringChar L
-- Mathlib/Algebra/CharP/Algebra.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommSemiring L
inst✝¹ : Nontrivial L
inst✝ : Algebra K L
\u22a2 CharP L (ringChar L)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
f : Fin (n + 1) → G
x✝ : Fin (n + 1)
x : Fin n
hx : (f 0 • partialProd fun i => (f ↑↑i)⁻¹ * f i.succ) x.castSucc = f x.castSucc
\u22a2 (f 0 • partialProd fun i => (f ↑↑i)⁻¹ * f i.succ) x.succ = f x.succ
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
f : Fin (n + 1) → G
x✝ : Fin (n + 1)
x : Fin n
hx : f 0 * partialProd (fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ) x.castSucc = f x.castSucc
\u22a2 f 0 * partialProd (fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ) x.succ = f x.succ
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X A : C
inst✝ : IsConnected A
h : Nonempty ↑(F.obj X)
f : X ⟶ A
Z : C
u v : A ⟶ Z
huv : f ≫ u = f ≫ v
\u22a2 u = v
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X A : C
inst✝ : IsConnected A
h : Nonempty ↑(F.obj X)
f : X ⟶ A
Z : C
u v : A ⟶ Z
huv : f ≫ u = f ≫ v
\u22a2 (fun f_1 => F.map f_1 (F.map f (Classical.arbitrary ↑(F.obj X)))) u = (fun f_1 => F.map f_1 (F.map f (Classical.arbitrary ↑(F.obj X)))) v
-- Mathlib/RingTheory/FiniteStability.lean
R : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
A : Type w₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
B : Type w₃
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra R B
σ : Type u_1
f : MvPolynomial σ R →ₐ[R] A
hf : Function.Surjective ⇑f
\u22a2 Function.Surjective ⇑(TensorProduct.map (AlgHom.id R B) f)
-- Mathlib/RingTheory/FiniteStability.lean
R : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
A : Type w₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
B : Type w₃
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra R B
σ : Type u_1
f : MvPolynomial σ R →ₐ[R] A
hf : Function.Surjective ⇑f
\u22a2 Function.Surjective ⇑(AlgHom.id R B).toLinearMap
-- Mathlib/RingTheory/FiniteStability.lean
R : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
A : Type w₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
B : Type w₃
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra R B
σ : Type u_1
f : MvPolynomial σ R →ₐ[R] A
hf : Function.Surjective ⇑f
\u22a2 Function.Surjective ⇑f.toLinearMap
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
inst✝ : DecidableRel Dvd.dvd
r : R
\u22a2 Squarefree r ↔ ∀ (x : R), multiplicity x r ≤ 1 ∨ IsUnit x
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
inst✝ : DecidableRel Dvd.dvd
r a : R
\u22a2 a * a ∣ r → IsUnit a ↔ multiplicity a r ≤ 1 ∨ IsUnit a
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
inst✝ : DecidableRel Dvd.dvd
r a : R
\u22a2 ↑2 ≤ multiplicity a r ↔ 1 < multiplicity a r
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
inst✝ : DecidableRel Dvd.dvd
r a : R
\u22a2 2 ≤ multiplicity a r ↔ 1 < multiplicity a r
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
inst✝ : DecidableRel Dvd.dvd
r a : R
\u22a2 1 + 1 ≤ multiplicity a r ↔ 1 < multiplicity a r
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a✝ b c a : α
\u22a2 ∀ (x : α), x ∈ Icc a a ↔ x ∈ {a}
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n : ℕ
h : m ≤ n
\u22a2 (n - m).Coprime n ↔ m.Coprime n
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : AddCommMonoid B
inst✝³ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : AddCommMonoid P
g : N →+ P
f : α → M →+ N
a : α
\u22a2 liftAddHom.symm (g.comp (liftAddHom f)) a = g.comp (f a)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shadow.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
A : Finset α
h : A ∈ ↑(∂⁺ 𝒜)
\u22a2 A.card = r + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shadow.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
A : Finset α
hA : A ∈ 𝒜
i : α
hi : i ∉ A
h : insert i A ∈ ↑(∂⁺ 𝒜)
\u22a2 (insert i A).card = r + 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
n : ℤ
\u22a2 A ^ (n - 1) = A ^ (n - 1) * A * A⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
n : ℤ
\u22a2 A ^ (n - 1) * A * A⁻¹ = A ^ n * A⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N N₂ : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L M'
\u22a2 comap N.incl N₂ = ⊥ ↔ N ⊓ N₂ = ⊥
-- Mathlib/NumberTheory/VonMangoldt.lean
\u22a2 ↑μ * log = Λ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hz : z ≠ 0
\u22a2 x ^ z⁻¹ = y ↔ x = y ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hz : z ≠ 0
\u22a2 0 ≤ x ^ z⁻¹
-- Mathlib/Topology/Sets/Closeds.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T0Space α
s : Closeds α
hs : IsAtom s
\u22a2 ∃ a, ↑s = {a}
-- Mathlib/Topology/Sets/Closeds.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T0Space α
s : Closeds α
hs : IsAtom s
t : Set α
hts : t ⊆ ↑s
ht : t.Nonempty
ht' : IsClosed t
\u22a2 t = ↑s
-- Mathlib/Topology/Sets/Closeds.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T0Space α
s : Closeds α
hs : IsAtom s
t : Closeds α
hts : ↑t ⊆ ↑s
ht : (↑t).Nonempty
\u22a2 ↑t = ↑s
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Slope.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b c : k
hab : ¬a = b
hbc : ¬b = c
\u22a2 ((b - a) / (c - a)) • slope f a b + ((c - b) / (c - a)) • slope f b c = slope f a c
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Slope.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b c : k
hab : ¬a = b
hbc : ¬b = c
\u22a2 ((c - b) / (c - a)) • slope f b c + ((b - a) / (c - a)) • slope f a b = slope f a c
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
\u22a2 padicValNat p n = 0 ↔ p = 1 ∨ n = 0 ∨ ¬p ∣ n
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪b i, x⟫_𝕜 = ⟪b i, y⟫_𝕜
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪b i, x⟫_𝕜 = ⟪b i, y⟫_𝕜
\u22a2 (toDualMap 𝕜 E) x = (toDualMap 𝕜 E) y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪b i, x⟫_𝕜 = ⟪b i, y⟫_𝕜
\u22a2 ∀ (i : ι), ↑((toDualMap 𝕜 E) x) (b i) = ↑((toDualMap 𝕜 E) y) (b i)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪b i, x⟫_𝕜 = ⟪b i, y⟫_𝕜
i : ι
\u22a2 ↑((toDualMap 𝕜 E) x) (b i) = ↑((toDualMap 𝕜 E) y) (b i)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪b i, x⟫_𝕜 = ⟪b i, y⟫_𝕜
i : ι
\u22a2 ((toDualMap 𝕜 E) x) (b i) = ((toDualMap 𝕜 E) y) (b i)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪b i, x⟫_𝕜 = ⟪b i, y⟫_𝕜
i : ι
\u22a2 ⟪x, b i⟫_𝕜 = ⟪y, b i⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪b i, x⟫_𝕜 = ⟪b i, y⟫_𝕜
i : ι
\u22a2 (starRingEnd 𝕜) ⟪b i, x⟫_𝕜 = ⟪y, b i⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪b i, x⟫_𝕜 = ⟪b i, y⟫_𝕜
i : ι
\u22a2 (starRingEnd 𝕜) ⟪b i, x⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) ⟪b i, y⟫_𝕜
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R₁ : Type u_4
M₁ : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_6
K : Type u_7
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
D✝ : BilinForm R M
D₁ : BilinForm R₁ M₁
B D : BilinForm R M
h : (fun B x y => (B x) y) B = (fun B x y => (B x) y) D
x y : M
\u22a2 (B x) y = (D x) y
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
C : WSeq α → Prop
a : α
s : WSeq α
M : a ∈ s
h1 : ∀ (b : α) (s' : WSeq α), a = b ∨ C s' → C (cons b s')
h2 : ∀ (s : WSeq α), C s → C s.think
\u22a2 C s
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
C : WSeq α → Prop
a : α
s : WSeq α
M : a ∈ s
h1 : ∀ (b : α) (s' : WSeq α), a = b ∨ C s' → C (cons b s')
h2 : ∀ (s : WSeq α), C s → C s.think
\u22a2 ∀ (b : Option α) (s' : Seq (Option α)), some a = b ∨ C s' → C (Seq.cons b s')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : DivisionRing K
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : AddCommGroup V'
inst✝⁶ : Module K V'
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module K V₁
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₃
inst✝ : Module K V₃
db : V₂ →ₗ[K] V
eb : V₃ →ₗ[K] V
cd : V₁ →ₗ[K] V₂
ce : V₁ →ₗ[K] V₃
hde : ⊤ ≤ LinearMap.range db ⊔ LinearMap.range eb
hgd : ker cd = ⊥
eq : db ∘ₗ cd = eb ∘ₗ ce
eq₂ : ∀ (d : V₂) (e : V₃), db d = eb e → ∃ c, cd c = d ∧ ce c = e
\u22a2 Module.rank K V + Module.rank K V₁ = Module.rank K V₂ + Module.rank K V₃
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : DivisionRing K
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : AddCommGroup V'
inst✝⁶ : Module K V'
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module K V₁
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₃
inst✝ : Module K V₃
db : V₂ →ₗ[K] V
eb : V₃ →ₗ[K] V
cd : V₁ →ₗ[K] V₂
ce : V₁ →ₗ[K] V₃
hde : ⊤ ≤ LinearMap.range db ⊔ LinearMap.range eb
hgd : ker cd = ⊥
eq : db ∘ₗ cd = eb ∘ₗ ce
eq₂ : ∀ (d : V₂) (e : V₃), db d = eb e → ∃ c, cd c = d ∧ ce c = e
hf : Surjective ⇑(db.coprod eb)
\u22a2 Module.rank K V + Module.rank K V₁ = Module.rank K V₂ + Module.rank K V₃
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : DivisionRing K
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : AddCommGroup V'
inst✝⁶ : Module K V'
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module K V₁
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₃
inst✝ : Module K V₃
db : V₂ →ₗ[K] V
eb : V₃ →ₗ[K] V
cd : V₁ →ₗ[K] V₂
ce : V₁ →ₗ[K] V₃
hde : ⊤ ≤ LinearMap.range db ⊔ LinearMap.range eb
hgd : ker cd = ⊥
eq : db ∘ₗ cd = eb ∘ₗ ce
eq₂ : ∀ (d : V₂) (e : V₃), db d = eb e → ∃ c, cd c = d ∧ ce c = e
hf : Surjective ⇑(db.coprod eb)
\u22a2 Module.rank K V + Module.rank K V₁ = Module.rank K V + Module.rank K ↥(ker (db.coprod eb))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : DivisionRing K
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : AddCommGroup V'
inst✝⁶ : Module K V'
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module K V₁
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₃
inst✝ : Module K V₃
db : V₂ →ₗ[K] V
eb : V₃ →ₗ[K] V
cd : V₁ →ₗ[K] V₂
ce : V₁ →ₗ[K] V₃
hde : ⊤ ≤ LinearMap.range db ⊔ LinearMap.range eb
hgd : ker cd = ⊥
eq : db ∘ₗ cd = eb ∘ₗ ce
eq₂ : ∀ (d : V₂) (e : V₃), db d = eb e → ∃ c, cd c = d ∧ ce c = e
hf : Surjective ⇑(db.coprod eb)
\u22a2 Module.rank K V₁ = Module.rank K ↥(ker (db.coprod eb))