ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Iio b
hs : s.Nonempty → ∃ a < b, Ioo a b ⊆ s
a✝ : Nontrivial (Filter { x // x ∈ s })
\u22a2 comap Subtype.val (𝓝[<] b) = atTop
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Iio b
hs : s.Nonempty → ∃ a < b, Ioo a b ⊆ s
a✝ : Nontrivial (Filter { x // x ∈ s })
this : Nonempty ↑s
\u22a2 comap Subtype.val (𝓝[<] b) = atTop
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝¹ b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Iio b
hs✝ : s.Nonempty → ∃ a < b, Ioo a b ⊆ s
a✝ : Nontrivial (Filter { x // x ∈ s })
this : Nonempty ↑s
a : α
h : a < b
hs : Ioo a b ⊆ s
\u22a2 comap Subtype.val (𝓝[<] b) = atTop
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
\u22a2 coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ T.X ≫ actRight P Q = (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actRight ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
\u22a2 ((α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actRight ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/BasedCategory.lean
𝒮 : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : BasedCategory 𝒮
𝒴 : BasedCategory 𝒮
F G H : 𝒳 ⥤ᵇ 𝒴
α : BasedNatTrans F G
β : BasedNatTrans G H
a : 𝒳.obj
\u22a2 𝒴.p.IsHomLift (𝟙 (𝒳.p.obj a)) ((α.vcomp β.toNatTrans).app a)
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/BasedCategory.lean
𝒮 : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : BasedCategory 𝒮
𝒴 : BasedCategory 𝒮
F G H : 𝒳 ⥤ᵇ 𝒴
α : BasedNatTrans F G
β : BasedNatTrans G H
a : 𝒳.obj
\u22a2 𝒴.p.IsHomLift (𝟙 (𝒳.p.obj a)) (α.app a ≫ β.app a)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
m : Type u_3
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
b : Basis m R S
x : S
i j : m
\u22a2 (toMatrix b b) ((lmul R S) x) i j = (b.repr (x * b j)) i
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a✝¹ : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
a✝ : α
\u22a2 a✝ ∈ (op a • s)⁻¹ ↔ a✝ ∈ a⁻¹ • s⁻¹
-- Mathlib/Logic/Nontrivial/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : DecidableEq α
x : α
\u22a2 ∃ y, y ≠ x
-- Mathlib/Logic/Nontrivial/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : DecidableEq α
x y y' : α
h : y ≠ y'
\u22a2 ∃ y, y ≠ x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
\u22a2 (↑(π / 2) - θ).cos = θ.sin
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x✝ : ℝ
\u22a2 (↑(π / 2) - ↑x✝).cos = (↑x✝).sin
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
\u22a2 ((𝟙 N₂ ◫ N₂Γ₂.inv) ≫ (N₂.associator Γ₂ N₂).inv ≫ Γ₂N₂.natTrans ◫ 𝟙 N₂).app P = (𝟙 N₂).app P
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
\u22a2 (N₂Γ₂.inv.app (N₂.obj P) ≫ N₂.map (Γ₂.map (𝟙 (N₂.obj P)))) ≫ 𝟙 (N₂.obj (Γ₂.obj (N₂.obj P))) ≫ 𝟙 (N₂.obj (Γ₂.obj (N₂.obj P))) ≫ N₂.map (Γ₂N₂.natTrans.app P) = 𝟙 (N₂.obj P)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : NormedRing 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝³ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 F
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
φ : α → 𝕜
hf : Memℒp f ⊤ μ
hφ : Memℒp φ p μ
\u22a2 Memℒp (φ • f) p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : NormedRing 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝³ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 F
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
φ : α → 𝕜
hf : Memℒp f ⊤ μ
hφ : Memℒp φ p μ
\u22a2 1 / p = 1 / p + 1 / ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a x : ℝ
\u22a2 ↑(⋯.lift ↑a) = cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Abelian.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
y : L
\u22a2 y ∈ LieModule.ker R L L ↔ y ∈ center R L
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.25079, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.25131, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X Y : C
i : G.obj X ⟶ G.obj Y
x : (G.op ⋙ ℱ).obj (op Y)
\u22a2 ℱ'.val.map i.op (α.app (op Y) x) = α.app (op X) (ℱ.map i.op x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.25079, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.25131, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X Y : C
i : G.obj X ⟶ G.obj Y
x : (G.op ⋙ ℱ).obj (op Y)
this : ∀ {X Y : C} (i : X ⟶ Y) (x : (G.op ⋙ ℱ).obj (op Y)), ℱ'.val.map (G.map i).op (α.app (op Y) x) = α.app (op X) (ℱ.map (G.map i).op x)
\u22a2 ℱ'.val.map i.op (α.app (op Y) x) = α.app (op X) (ℱ.map i.op x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.25079, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.25131, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X Y : C
i : G.obj X ⟶ G.obj Y
x : (G.op ⋙ ℱ).obj (op Y)
this : ∀ {X Y : C} (i : X ⟶ Y) (x : (G.op ⋙ ℱ).obj (op Y)), ℱ'.val.map (G.map i).op (α.app (op Y) x) = α.app (op X) (ℱ.map (G.map i).op x)
V : C
iVX : V ⟶ X
iVY : V ⟶ Y
e : G.map iVY = G.map iVX ≫ i
\u22a2 ℱ'.val.map (G.map iVX).op (ℱ'.val.map i.op (α.app (op Y) x)) = ℱ'.val.map (G.map iVX).op (α.app (op X) (ℱ.map i.op x))
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
α : Type u_1
l m r : List Char
f : Char → α → α
init : α
\u22a2 Substring.foldr f init { str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } } = List.foldr f init m
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
\u22a2 toIocDiv hp a b ⩿ toIcoDiv hp a b
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
\u22a2 toIocDiv hp a b = toIcoDiv hp a b ∨ toIocDiv hp a b + 1 = toIcoDiv hp a b
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
\u22a2 ¬a ≡ b [PMOD p] ∨ a ≡ b [PMOD p]
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
pb' : PowerBasis A S'
h₁ : (aeval pb.gen) (minpoly A pb'.gen) = 0
h₂ : (aeval pb'.gen) (minpoly A pb.gen) = 0
x : S'
\u22a2 ((pb.lift pb'.gen h₂).comp (pb'.lift pb.gen h₁)) x = (AlgHom.id A S') x
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
pb' : PowerBasis A S'
h₁ : (aeval pb.gen) (minpoly A pb'.gen) = 0
h₂ : (aeval pb'.gen) (minpoly A pb.gen) = 0
f : A[X]
\u22a2 ((pb.lift pb'.gen h₂).comp (pb'.lift pb.gen h₁)) ((aeval pb'.gen) f) = (AlgHom.id A S') ((aeval pb'.gen) f)
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
pb' : PowerBasis A S'
h₁ : (aeval pb.gen) (minpoly A pb'.gen) = 0
h₂ : (aeval pb'.gen) (minpoly A pb.gen) = 0
x : S
\u22a2 ((pb'.lift pb.gen h₁).comp (pb.lift pb'.gen h₂)) x = (AlgHom.id A S) x
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
pb' : PowerBasis A S'
h₁ : (aeval pb.gen) (minpoly A pb'.gen) = 0
h₂ : (aeval pb'.gen) (minpoly A pb.gen) = 0
f : A[X]
\u22a2 ((pb'.lift pb.gen h₁).comp (pb.lift pb'.gen h₂)) ((aeval pb.gen) f) = (AlgHom.id A S) ((aeval pb.gen) f)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
m n : ℕ
r' q' : 𝕎 k
hr' : r'.coeff 0 ≠ 0
hq' : q'.coeff 0 ≠ 0
hq : ↑p ^ n * q' ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
b : 𝕎 k := frobeniusRotation p hr' hq'
\u22a2 φ ((algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b) * Localization.mk (↑p ^ m * r') ⟨↑p ^ n * q', hq⟩ = ↑p ^ (↑m - ↑n) * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
m n : ℕ
r' q' : 𝕎 k
hr' : r'.coeff 0 ≠ 0
hq' : q'.coeff 0 ≠ 0
hq : ↑p ^ n * q' ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
b : 𝕎 k := frobeniusRotation p hr' hq'
key : frobenius b * ↑p ^ m * r' * ↑p ^ n = ↑p ^ m * b * (↑p ^ n * q')
\u22a2 φ ((algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b) * Localization.mk (↑p ^ m * r') ⟨↑p ^ n * q', hq⟩ = ↑p ^ (↑m - ↑n) * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
m n : ℕ
r' q' : 𝕎 k
hr' : r'.coeff 0 ≠ 0
hq' : q'.coeff 0 ≠ 0
hq : ↑p ^ n * q' ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
b : 𝕎 k := frobeniusRotation p hr' hq'
key : frobenius b * ↑p ^ m * r' * ↑p ^ n = ↑p ^ m * b * (↑p ^ n * q')
hq'' : (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) q' ≠ 0
\u22a2 φ ((algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b) * Localization.mk (↑p ^ m * r') ⟨↑p ^ n * q', hq⟩ = ↑p ^ (↑m - ↑n) * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
m n : ℕ
r' q' : 𝕎 k
hr' : r'.coeff 0 ≠ 0
hq' : q'.coeff 0 ≠ 0
hq : ↑p ^ n * q' ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
b : 𝕎 k := frobeniusRotation p hr' hq'
key : frobenius b * ↑p ^ m * r' * ↑p ^ n = ↑p ^ m * b * (↑p ^ n * q')
hq'' : (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) q' ≠ 0
\u22a2 φ ((algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b) * Localization.mk (↑p ^ m * r') ⟨↑p ^ n * q', hq⟩ = ↑p ^ ↑m / ↑p ^ ↑n * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
m n : ℕ
r' q' : 𝕎 k
hr' : r'.coeff 0 ≠ 0
hq' : q'.coeff 0 ≠ 0
hq : ↑p ^ n * q' ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
b : 𝕎 k := frobeniusRotation p hr' hq'
key : frobenius b * ↑p ^ m * r' * ↑p ^ n = ↑p ^ m * b * (↑p ^ n * q')
hq'' : (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) q' ≠ 0
\u22a2 φ ((algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b) * (↑p ^ m * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) r') * ↑p ^ n = ↑p ^ m * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b * (↑p ^ n * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) q')
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
m n : ℕ
r' q' : 𝕎 k
hr' : r'.coeff 0 ≠ 0
hq' : q'.coeff 0 ≠ 0
hq : ↑p ^ n * q' ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
b : 𝕎 k := frobeniusRotation p hr' hq'
key : frobenius b * ↑p ^ m * r' * ↑p ^ n = ↑p ^ m * b * (↑p ^ n * q')
hq'' : (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) q' ≠ 0
\u22a2 (algebraMap (𝕎 k) (Localization (nonZeroDivisors (𝕎 k)))) ((frobeniusEquiv p k) b) * (↑p ^ m * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) r') * ↑p ^ n = ↑p ^ m * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b * (↑p ^ n * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) q')
-- Mathlib/Computability/RegularExpressions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a b : α
P : RegularExpression α
x : List α
\u22a2 P.rmatch x = true ↔ x ∈ P.matches'
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f : α → M
n : ℕ
\u22a2 ∏ x ∈ range (n + 1), (x + 1) = (n + 1)!
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x✝ y x : ℝ
\u22a2 log (-x) = log x
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α : TypeVec.{u} n
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
i✝ : Fin2 n
u : α i✝
\u22a2 u ∈ supp (abs ⟨a, f⟩) i✝ ↔ u ∈ f i✝ '' univ
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α : TypeVec.{u} n
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
i✝ : Fin2 n
u : α i✝
\u22a2 (∀ (a_1 : (P F).A) (f_1 : (P F).B a_1 ⟹ α), abs ⟨a_1, f_1⟩ = abs ⟨a, f⟩ → u ∈ f_1 i✝ '' univ) ↔ u ∈ f i✝ '' univ
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α : TypeVec.{u} n
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
i✝ : Fin2 n
u : α i✝
h' : u ∈ f i✝ '' univ
a' : (P F).A
f' : (P F).B a' ⟹ α
e : abs ⟨a', f'⟩ = abs ⟨a, f⟩
\u22a2 u ∈ f' i✝ '' univ
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α : TypeVec.{u} n
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
i✝ : Fin2 n
u : α i✝
h' : u ∈ f i✝ '' univ
a' : (P F).A
f' : (P F).B a' ⟹ α
e : abs ⟨a', f'⟩ = abs ⟨a, f⟩
\u22a2 u ∈ f i✝ '' univ
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
h : x ∈ s
\u22a2 egauge 𝕜 s x ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
h : x ∈ 1 • s
\u22a2 egauge 𝕜 s x ≤ 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
\u22a2 Measurable (∑' (i : ι), f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
x : α
\u22a2 tsum (fun i => f i) x = ∑' (i : ι), f i x
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a✝ : α
inst✝⁵ : Group α
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : Fintype α
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : IsCyclic G
d : ℕ
a b : ZMod d
hGcard : Fintype.card G = d
h : ∀ (t : G), t ^ a.val = t ^ b.val
\u22a2 a = b
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a✝ : α
inst✝⁵ : Group α
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : Fintype α
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : IsCyclic G
d : ℕ
a b : ZMod d
hGcard : Fintype.card G = d
h : ∀ (t : G), t ^ a.val = t ^ b.val
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g
\u22a2 a = b
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a✝ : α
inst✝⁵ : Group α
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : Fintype α
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : IsCyclic G
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g
a b : ZMod (Fintype.card G)
h : g ^ a.val = g ^ b.val
\u22a2 a = b
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a✝ : α
inst✝⁵ : Group α
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : Fintype α
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : IsCyclic G
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g
a b : ZMod (Fintype.card G)
h : ↑a.val = ↑b.val
\u22a2 a = b
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y : P
h✝ : x ≠ y
h : midpoint R x y ≠ x
\u22a2 Sbtw R x (midpoint R x y) y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y : P
h✝ : x ≠ y
h : midpoint R x y ≠ x
\u22a2 y = (pointReflection R (midpoint R x y)) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₄ : QuadraticForm R M₄
f : Q₁ →qᵢ Q₂
g : Q₃ →qᵢ Q₄
\u22a2 comp (Q₂.tmul Q₄) (TensorProduct.map f.toLinearMap g.toLinearMap) = Q₁.tmul Q₃
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₄ : QuadraticForm R M₄
f : Q₁ →qᵢ Q₂
g : Q₃ →qᵢ Q₄
h₁ : Q₁ = comp Q₂ f.toLinearMap
\u22a2 comp (Q₂.tmul Q₄) (TensorProduct.map f.toLinearMap g.toLinearMap) = Q₁.tmul Q₃
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₄ : QuadraticForm R M₄
f : Q₁ →qᵢ Q₂
g : Q₃ →qᵢ Q₄
h₁ : Q₁ = comp Q₂ f.toLinearMap
h₃ : Q₃ = comp Q₄ g.toLinearMap
\u22a2 comp (Q₂.tmul Q₄) (TensorProduct.map f.toLinearMap g.toLinearMap) = Q₁.tmul Q₃
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₄ : QuadraticForm R M₄
f : Q₁ →qᵢ Q₂
g : Q₃ →qᵢ Q₄
h₁ : Q₁ = comp Q₂ f.toLinearMap
h₃ : Q₃ = comp Q₄ g.toLinearMap
\u22a2 (associatedHom R) (comp (Q₂.tmul Q₄) (TensorProduct.map f.toLinearMap g.toLinearMap)) = (associatedHom R) (Q₁.tmul Q₃)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₄ : QuadraticForm R M₄
f : Q₁ →qᵢ Q₂
g : Q₃ →qᵢ Q₄
h₁ : Q₁ = comp Q₂ f.toLinearMap
h₃ : Q₃ = comp Q₄ g.toLinearMap
m₁ : M₁
m₃ : M₃
m₁' : M₁
m₃' : M₃
\u22a2 ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (comp (Q₂.tmul Q₄) (TensorProduct.map f.toLinearMap g.toLinearMap)))) m₁) m₃)) m₁') m₃' = ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (Q₁.tmul Q₃))) m₁) m₃)) m₁') m₃'
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
s : Set ι
i : ι
hi : i ∉ s
l : ι →₀ 𝕜
hl : l ∈ Finsupp.supported 𝕜 𝕜 s
\u22a2 ⟪(Finsupp.total ι E 𝕜 v) l, v i⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
s : Set ι
i : ι
hi : i ∉ s
l : ι →₀ 𝕜
hl : ∀ x ∉ s, l x = 0
\u22a2 ⟪(Finsupp.total ι E 𝕜 v) l, v i⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
\u22a2 ∀ᵐ (x : γ) ∂ν a, Tendsto (fun m => κ.density ν a x (seq m)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
\u22a2 ∀ (n : ℕ), Integrable (fun x => κ.density ν a x (seq n)) (ν a)