ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → β →₀ M
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
ih : (s.sum f).support ⊆ s.sup fun x => (f x).support
\u22a2 ((Finset.cons a s ha).sum f).support ⊆ (Finset.cons a s ha).sup fun x => (f x).support
-- Mathlib/Algebra/Group/Center.lean
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Semigroup M
a b : M
h : ⊤ ≤ S.centralizer
x✝¹ : M
hx : x✝¹ ∈ S
x✝ : M
\u22a2 x✝ * x✝¹ = x✝¹ * x✝
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
i : ℕ
\u22a2 c.sizeUpTo i ≤ n
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
i : ℕ
\u22a2 c.sizeUpTo i ≤ (take i c.blocks).sum + (drop i c.blocks).sum
-- Mathlib/Data/ENat/Lattice.lean
ι : Sort u_1
f✝ : ι → ℕ
s✝ : Set ℕ
f : ι → ℕ∞
s : Set ℕ∞
\u22a2 sInf s = 0 ↔ 0 ∈ s
-- Mathlib/Data/ENat/Lattice.lean
ι : Sort u_1
f✝ : ι → ℕ
s✝ : Set ℕ
f : ι → ℕ∞
s : Set ℕ∞
\u22a2 sInf s < 1 ↔ 0 ∈ s
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Polynomial.lean
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : CommRing K
a : σ → K
a✝ : Nontrivial K
\u22a2 (eval a) (indicator a) = 1
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Polynomial.lean
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : CommRing K
a : σ → K
a✝ : Nontrivial K
this : 0 < Fintype.card K - 1
\u22a2 (eval a) (indicator a) = 1
-- Mathlib/GroupTheory/NoncommPiCoprod.lean
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
f g : (i : ι) → N i
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
\u22a2 mrange (noncommPiCoprod ϕ hcomm) = ⨆ i, mrange (ϕ i)
-- Mathlib/GroupTheory/NoncommPiCoprod.lean
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
f g : (i : ι) → N i
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
\u22a2 mrange (noncommPiCoprod ϕ hcomm) ≤ ⨆ i, mrange (ϕ i)
-- Mathlib/GroupTheory/NoncommPiCoprod.lean
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
f g : (i : ι) → N i
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
\u22a2 ⨆ i, mrange (ϕ i) ≤ mrange (noncommPiCoprod ϕ hcomm)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Differentials/Basic.lean
A B A' B' : CommRingCat
f : A ⟶ B
f' : A' ⟶ B'
g : A ⟶ A'
g' : B ⟶ B'
fac : g ≫ f' = f ≫ g'
b : ↑B
this✝³ : Algebra ↑A ↑B := RingHom.toAlgebra f
this✝² : Algebra ↑A' ↑B' := RingHom.toAlgebra f'
this✝¹ : Algebra ↑A ↑A' := RingHom.toAlgebra g
this✝ : Algebra ↑B ↑B' := RingHom.toAlgebra g'
this : Algebra ↑A ↑B' := (RingHom.comp f' g).toAlgebra
\u22a2 (map fac) (d b) = d (g' b)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Differentials/Basic.lean
A B A' B' : CommRingCat
f : A ⟶ B
f' : A' ⟶ B'
g : A ⟶ A'
g' : B ⟶ B'
fac : g ≫ f' = f ≫ g'
b : ↑B
this✝⁴ : Algebra ↑A ↑B := RingHom.toAlgebra f
this✝³ : Algebra ↑A' ↑B' := RingHom.toAlgebra f'
this✝² : Algebra ↑A ↑A' := RingHom.toAlgebra g
this✝¹ : Algebra ↑B ↑B' := RingHom.toAlgebra g'
this✝ : Algebra ↑A ↑B' := (RingHom.comp f' g).toAlgebra
this : IsScalarTower ↑A ↑A' ↑B'
\u22a2 (map fac) (d b) = d (g' b)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Differentials/Basic.lean
A B A' B' : CommRingCat
f : A ⟶ B
f' : A' ⟶ B'
g : A ⟶ A'
g' : B ⟶ B'
fac : g ≫ f' = f ≫ g'
b : ↑B
this✝⁵ : Algebra ↑A ↑B := RingHom.toAlgebra f
this✝⁴ : Algebra ↑A' ↑B' := RingHom.toAlgebra f'
this✝³ : Algebra ↑A ↑A' := RingHom.toAlgebra g
this✝² : Algebra ↑B ↑B' := RingHom.toAlgebra g'
this✝¹ : Algebra ↑A ↑B' := (RingHom.comp f' g).toAlgebra
this✝ : IsScalarTower ↑A ↑A' ↑B'
this : IsScalarTower ↑A ↑B ↑B'
\u22a2 (map fac) (d b) = d (g' b)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
\u22a2 eval 1 (cyclotomic n R) = 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ 0
\u22a2 eval 1 (cyclotomic 0 R) = 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
hn' : n > 0
\u22a2 eval 1 (cyclotomic n R) = 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
hn' : n > 0
hn : 1 < n
\u22a2 eval 1 (cyclotomic n R) = 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
hn' : n > 0
hn : 1 < n
\u22a2 eval 1 (cyclotomic n ℤ) = 1 ∨ eval 1 (cyclotomic n ℤ) = -1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
hn' : n > 0
hn : 1 < n
\u22a2 ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → ¬p ∣ (eval 1 (cyclotomic n ℤ)).natAbs
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
hn' : n > 0
hn : 1 < n
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpe : p ∣ (eval 1 (cyclotomic n ℤ)).natAbs
this : Fact (Nat.Prime p)
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
hn' : n > 0
hn : 1 < n
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpe : p ∣ (eval 1 (cyclotomic n ℤ)).natAbs
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : ∏ i ∈ n.divisors.erase 1, cyclotomic i ℤ = ∑ i ∈ range n, X ^ i
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
hn' : n > 0
hn : 1 < n
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpe : p ∣ (eval 1 (cyclotomic n ℤ)).natAbs
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : eval 1 (∏ i ∈ n.divisors.erase 1, cyclotomic i ℤ) = eval 1 (∑ i ∈ range n, X ^ i)
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
hn' : n > 0
hn : 1 < n
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpe : p ∣ (eval 1 (cyclotomic n ℤ)).natAbs
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : ↑n = (∏ x ∈ n.divisors.erase 1 \ image (fun t => p ^ (t + 1)) (range (padicValNat p n)), eval 1 (cyclotomic x ℤ)) * ∏ x ∈ range (padicValNat p n), eval 1 (cyclotomic (p ^ (x + 1)) ℤ)
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
hn' : n > 0
hn : 1 < n
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpe : p ∣ (eval 1 (cyclotomic n ℤ)).natAbs
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : ↑n = (∏ x ∈ n.divisors.erase 1 \ image (fun t => p ^ (t + 1)) (range (padicValNat p n)), eval 1 (cyclotomic x ℤ)) * ∏ x ∈ image (fun t => p ^ (t + 1)) (range (padicValNat p n)), eval 1 (cyclotomic x ℤ)
\u22a2 ∀ x ∈ range (padicValNat p n), ∀ y ∈ range (padicValNat p n), p ^ (x + 1) = p ^ (y + 1) → x = y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x r y : ℝ
\u22a2 y ∈ ball x r ↔ y ∈ Ioo (x - r) (x + r)
-- Mathlib/Order/Filter/EventuallyConst.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f g : α → β
h : f =ᶠ[l] g
\u22a2 EventuallyConst f l ↔ EventuallyConst g l
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
\u22a2 s ∥ ⊥ ↔ s = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : s ∥ ⊥
\u22a2 s = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
v : V
h : ⊥ = map (↑(constVAdd k P v)) s
\u22a2 s = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
\u22a2 content 1 = 1
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a : ℕ
b : ℤ
\u22a2 multiplicity a b.natAbs = multiplicity (↑a) b
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a : ℕ
b : ℤ
h : b = ↑b.natAbs
\u22a2 multiplicity a b.natAbs = multiplicity ↑a ↑b.natAbs
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a : ℕ
b : ℤ
h : b = -↑b.natAbs
\u22a2 multiplicity a b.natAbs = multiplicity (↑a) (-↑b.natAbs)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/StrongTopology.lean
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
inst✝¹⁶ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹⁵ : NormedField 𝕜₂
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₃
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
τ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
ρ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ τ ρ
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜₁ E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalAddGroup G
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
inst✝¹ : RingHomSurjective σ
inst✝ : RingHomIsometric σ
L : E →SL[σ] F
this : UniformSpace G := TopologicalAddGroup.toUniformSpace G
\u22a2 Continuous { toFun := fun f => f.comp L, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/StrongTopology.lean
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
inst✝¹⁶ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹⁵ : NormedField 𝕜₂
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₃
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
τ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
ρ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ τ ρ
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜₁ E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalAddGroup G
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
inst✝¹ : RingHomSurjective σ
inst✝ : RingHomIsometric σ
L : E →SL[σ] F
this✝ : UniformSpace G := TopologicalAddGroup.toUniformSpace G
this : UniformAddGroup G
\u22a2 Continuous { toFun := fun f => f.comp L, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/StrongTopology.lean
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
inst✝¹⁶ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹⁵ : NormedField 𝕜₂
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₃
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
τ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
ρ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ τ ρ
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜₁ E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalAddGroup G
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
inst✝¹ : RingHomSurjective σ
inst✝ : RingHomIsometric σ
L : E →SL[σ] F
this✝ : UniformSpace G := TopologicalAddGroup.toUniformSpace G
this : UniformAddGroup G
\u22a2 Continuous ((⇑(UniformOnFun.ofFun {S | Bornology.IsVonNBounded 𝕜₁ S}) ∘ DFunLike.coe) ∘ { toFun := fun f => f.comp L, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/StrongTopology.lean
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
inst✝¹⁶ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹⁵ : NormedField 𝕜₂
inst✝¹⁴ : NormedField 𝕜₃
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
τ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
ρ : 𝕜₁ →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomCompTriple σ τ ρ
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : Module 𝕜₁ E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜₃ G
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalAddGroup G
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
inst✝¹ : RingHomSurjective σ
inst✝ : RingHomIsometric σ
L : E →SL[σ] F
this✝ : UniformSpace G := TopologicalAddGroup.toUniformSpace G
this : UniformAddGroup G
\u22a2 Continuous ((fun f => (UniformOnFun.ofFun {S | Bornology.IsVonNBounded 𝕜₁ S}) (f ∘ ⇑L)) ∘ DFunLike.coe)
-- Mathlib/Topology/Compactification/OnePoint.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
f : Filter (OnePoint X)
\u22a2 f ≤ 𝓝 ∞ ↔ ∀ (s : Set X), IsClosed s → IsCompact s → some '' sᶜ ∪ {∞} ∈ f
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hnot : ¬x ^ p ^ n = 1
hfin : x ^ p ^ (n + 1) = 1
\u22a2 orderOf x = p ^ (n + 1)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Unique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ✝ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ✝
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, κ x = ρ.condKernel x
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Unique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ✝ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ✝
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
huniv : ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, (κ x) univ = (ρ.condKernel x) univ
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, κ x = ρ.condKernel x
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Unique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ✝ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ✝
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
huniv : ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, (κ x) univ = (ρ.condKernel x) univ
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, ∀ ⦃t : Set ℝ⦄, MeasurableSet t → (κ x) t = (ρ.condKernel x) t
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Unique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ✝ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ✝
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
huniv : ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, (κ x) univ = (ρ.condKernel x) univ
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, (κ x) ∅ = (ρ.condKernel x) ∅
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Unique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ✝ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ✝
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
huniv : ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, (κ x) univ = (ρ.condKernel x) univ
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, ∀ t ∈ ⋃ a, {Iic ↑a}, (κ x) t = (ρ.condKernel x) t
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Unique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ✝ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ✝
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
huniv : ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, (κ x) univ = (ρ.condKernel x) univ
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, ∀ (t : Set ℝ), MeasurableSet t → (κ x) t = (ρ.condKernel x) t → (κ x) tᶜ = (ρ.condKernel x) tᶜ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Unique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ✝ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ✝
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
κ : Kernel α ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hκ : ρ = ρ.fst ⊗ₘ κ
huniv : ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, (κ x) univ = (ρ.condKernel x) univ
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst, ∀ (f : ℕ → Set ℝ), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), (κ x) (f i) = (ρ.condKernel x) (f i)) → (κ x) (⋃ i, f i) = (ρ.condKernel x) (⋃ i, f i)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Int.lean
a : ℤ
\u22a2 |a|.natAbs = a.natAbs
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Int.lean
a : ℤ
\u22a2 (↑a.natAbs).natAbs = a.natAbs
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Inverse.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Ring R
φ : MvPowerSeries σ R
u : Rˣ
\u22a2 (constantCoeff σ R) (φ.invOfUnit u) = ↑u⁻¹
-- Mathlib/Order/Compare.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LT α
a b : αᵒᵈ
\u22a2 lt.Compares (ofDual a) (ofDual b) ↔ lt.Compares b a
-- Mathlib/Order/Compare.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LT α
a b : αᵒᵈ
\u22a2 eq.Compares (ofDual a) (ofDual b) ↔ eq.Compares b a
-- Mathlib/Order/Compare.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LT α
a b : αᵒᵈ
\u22a2 gt.Compares (ofDual a) (ofDual b) ↔ gt.Compares b a
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/ShiftSequence.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : CategoryWithHomology C
n a a' : ℤ
ha' : n + a = a'
K : CochainComplex C ℤ
\u22a2 ((𝟙 (homology K a') ≫ ShortComplex.homologyMap ((shiftShortComplexFunctorIso C n a a' ha').inv.app K)) ≫ 𝟙 ((shortComplexFunctor C (up ℤ) a).obj ((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (up ℤ)) n).obj K)).homology) ≫ 𝟙 (((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (up ℤ)) n).obj K).homology a) = ShortComplex.homologyMap ((shiftShortComplexFunctorIso C n a a' ha').inv.app K)
-- Mathlib/Order/Iterate.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x y : ℕ → α
hf : Monotone f
h₀ : x 0 ≤ y 0
n : ℕ
ihn : 0 < n → (∀ (k : ℕ), k < n → x (k + 1) < f (x k)) → (∀ (k : ℕ), k < n → f (y k) ≤ y (k + 1)) → x n < y n
hn : 0 < n + 1
hx : ∀ (k : ℕ), k < n + 1 → x (k + 1) < f (x k)
hy : ∀ (k : ℕ), k < n + 1 → f (y k) ≤ y (k + 1)
\u22a2 x (n + 1) < y (n + 1)
-- Mathlib/Order/Iterate.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x y : ℕ → α
hf : Monotone f
h₀ : x 0 ≤ y 0
n : ℕ
ihn : 0 < n → (∀ (k : ℕ), k < n → x (k + 1) < f (x k)) → (∀ (k : ℕ), k < n → f (y k) ≤ y (k + 1)) → x n < y n
hn : 0 < n + 1
hx : ∀ (k : ℕ), k < n + 1 → x (k + 1) < f (x k)
hy : ∀ (k : ℕ), k < n + 1 → f (y k) ≤ y (k + 1)
\u22a2 x n ≤ y n
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Complex.lean
n : ℕ
h0 : n ≠ 0
\u22a2 IsPrimitiveRoot (cexp (2 * ↑π * I / ↑n)) n
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
\u22a2 IsUnit ↑r.den
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
\u22a2 ‖↑r.den‖ = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
\u22a2 1 ≤ ‖↑↑r.den‖
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
\u22a2 ¬‖↑r.den‖ < 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
norm_denom_lt : ‖↑r.den‖ < 1
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
norm_denom_lt : ‖↑r.den‖ < 1
hr : ‖↑r * ↑r.den‖ = ‖↑r.num‖
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
norm_denom_lt : ‖↑r.den‖ < 1
hr : ‖↑r‖ * ‖↑r.den‖ = ‖↑r.num‖
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
norm_denom_lt : ‖↑r.den‖ < 1
hr : ‖↑r‖ * ‖↑r.den‖ = ‖↑r.num‖
key : ‖↑r.num‖ < 1
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
norm_denom_lt : ‖↑r.den‖ < 1
hr : ‖↑r‖ * ‖↑r.den‖ = ‖↑r.num‖
key : ‖↑r.num‖ < 1
this : ↑p ∣ r.num ∧ ↑p ∣ ↑r.den
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
norm_denom_lt : ‖↑r.den‖ < 1
hr : ‖↑r‖ * ‖↑r.den‖ = ‖↑r.num‖
key : ‖↑r.num‖ < 1
this : ↑p ∣ r.num ∧ ↑p ∣ ↑r.den
\u22a2 p ∣ 1
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d : ℕ
hm : 0 < m
h : a * c ≡ b * c [MOD m]
\u22a2 a ≡ b [MOD m / m.gcd c]
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d : ℕ
hm : 0 < m
h : a * c ≡ b * c [MOD m]
\u22a2 c * a ≡ c * b [MOD m]
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure β
x : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ((Kernel.sum fun n => const α (μ n)) x) s = ((const α (Measure.sum μ)) x) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure β
x : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ∑' (n : ι), ((const α (μ n)) x) s = ∑' (i : ι), (μ i) s
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f✝ : ℕ → α
a : α
f : ℕ → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
\u22a2 Summable f ↔ ¬Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop atTop
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ
\u22a2 sin x * sin x ≤ 1
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : Inducing (g ∘ f)
\u22a2 inst✝² ≤ induced f inst✝¹
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : Inducing (g ∘ f)
\u22a2 induced f inst✝¹ ≤ inst✝²
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : Inducing (g ∘ f)
\u22a2 induced f inst✝¹ ≤ induced f (induced g inst✝)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
\u22a2 Tendsto sin (𝓝[>] (-(π / 2))) (𝓝 (-1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
\u22a2 -1 = sin (-(π / 2))
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.LocallyLinear
\u22a2 G.edgeFinset.card = 3 * (G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.LocallyLinear
\u22a2 G.edgeFinset.card ≤ 3 * (G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.LocallyLinear
\u22a2 G.edgeFinset.card * 1 ≤ (G.cliqueFinset 3).card * 3
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.LocallyLinear
\u22a2 ∀ a ∈ G.edgeFinset, 1 ≤ (bipartiteAbove (fun e s => e ∈ s.sym2) (G.cliqueFinset 3) a).card