ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : ¬f ≈ 0
this✝¹ : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
ε : ℚ
hε : ε > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
n m : ℕ
hn : max N1 N2 ≤ n
hm : max N1 N2 ≤ m
this✝ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε
this : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < padicNorm p (↑f n)
\u22a2 padicNorm p (↑f m) = padicNorm p (↑f n)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : ¬f ≈ 0
this✝² : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
ε : ℚ
hε : ε > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
n m : ℕ
hn : max N1 N2 ≤ n
hm : max N1 N2 ≤ m
this✝¹ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε
this✝ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < padicNorm p (↑f n)
this : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < max (padicNorm p (↑f n)) (padicNorm p (↑f m))
\u22a2 padicNorm p (↑f m) = padicNorm p (↑f n)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : ¬f ≈ 0
this✝² : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
ε : ℚ
hε : ε > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
n m : ℕ
hn : max N1 N2 ≤ n
hm : max N1 N2 ≤ m
this✝¹ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε
this✝ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < padicNorm p (↑f n)
this : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < max (padicNorm p (↑f n)) (padicNorm p (↑f m))
hne : ¬padicNorm p (↑f m) = padicNorm p (↑f n)
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : ¬f ≈ 0
this✝² : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
ε : ℚ
hε : ε > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
n m : ℕ
hn : max N1 N2 ≤ n
hm : max N1 N2 ≤ m
this✝¹ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε
this✝ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < padicNorm p (↑f n)
this : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < max (padicNorm p (↑f n)) (padicNorm p (↑f m))
hne : ¬padicNorm p (-↑f m) = padicNorm p (↑f n)
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : ¬f ≈ 0
this✝² : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
ε : ℚ
hε : ε > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
n m : ℕ
hn : max N1 N2 ≤ n
hm : max N1 N2 ≤ m
this✝¹ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε
this✝ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < padicNorm p (↑f n)
this : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < max (padicNorm p (↑f n)) (padicNorm p (↑f m))
hne : ¬padicNorm p (-↑f m) = padicNorm p (↑f n)
hnam : padicNorm p (-↑f m + ↑f n) = max (padicNorm p (-↑f m)) (padicNorm p (↑f n))
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : ¬f ≈ 0
this✝² : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
ε : ℚ
hε : ε > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
n m : ℕ
hn : max N1 N2 ≤ n
hm : max N1 N2 ≤ m
this✝¹ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε
this✝ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < padicNorm p (↑f n)
this : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < max (padicNorm p (↑f n)) (padicNorm p (↑f m))
hne : ¬padicNorm p (-↑f m) = padicNorm p (↑f n)
hnam : padicNorm p (-↑f m + ↑f n) = max (padicNorm p (↑f n)) (padicNorm p (↑f m))
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : ¬f ≈ 0
this✝² : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
ε : ℚ
hε : ε > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
n m : ℕ
hn : max N1 N2 ≤ n
hm : max N1 N2 ≤ m
this✝¹ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε
this✝ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < padicNorm p (↑f n)
this : padicNorm p (-↑f m + ↑f n) < padicNorm p (-↑f m + ↑f n)
hne : ¬padicNorm p (-↑f m) = padicNorm p (↑f n)
hnam : padicNorm p (-↑f m + ↑f n) = max (padicNorm p (↑f n)) (padicNorm p (↑f m))
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
\u22a2 λ ∣ S.a + ↑η ^ 2 * S.b
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
\u22a2 λ ∣ S.a + S.b + λ ^ 2 * S.b + 2 * λ * S.b
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q✝ p q : MvPolynomial σ R
h : q.totalDegree < p.totalDegree
\u22a2 (q + p).totalDegree = p.totalDegree
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
s : Set ι
i : ι
hi : i ∈ s
\u22a2 vectorSpan k (p '' s) = Submodule.span k ((fun x => p i -ᵥ x) '' (p '' (s \ {i})))
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
s : Set ι
i : ι
hi : i ∈ s
\u22a2 Submodule.span k (insert (p i -ᵥ p i) ((fun x => p i -ᵥ x) '' (p '' (s \ {i})))) = Submodule.span k ((fun x => p i -ᵥ x) '' (p '' (s \ {i})))
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
F : (⨁ (i : ι), A i) →+* R
\u22a2 ((↑F).comp (of A 0)) GradedMonoid.GOne.one = 1
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
F : (⨁ (i : ι), A i) →+* R
\u22a2 ↑F ((of A 0) GradedMonoid.GOne.one) = 1
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
F : (⨁ (i : ι), A i) →+* R
\u22a2 ↑F ((of A 0) GradedMonoid.GOne.one) = F 1
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
F : (⨁ (i : ι), A i) →+* R
i j : ι
ai : A i
aj : A j
\u22a2 ((↑F).comp (of A (i + j))) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = ((↑F).comp (of A i)) ai * ((↑F).comp (of A j)) aj
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
F : (⨁ (i : ι), A i) →+* R
i j : ι
ai : A i
aj : A j
\u22a2 F ((of A (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)) = F ((of A i) ai) * F ((of A j) aj)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
f : { f // f GradedMonoid.GOne.one = 1 ∧ ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), f (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = f ai * f aj }
xi : ι
xv : A xi
\u22a2 ↑((fun F => ⟨fun {i} => (↑F).comp (of A i), ⋯⟩) ((fun f => toSemiring (fun x => ↑f) ⋯ ⋯) f)) xv = ↑f xv
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
F : (⨁ (i : ι), A i) →+* R
\u22a2 (fun f => toSemiring (fun x => ↑f) ⋯ ⋯) ((fun F => ⟨fun {i} => (↑F).comp (of A i), ⋯⟩) F) = F
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
F : (⨁ (i : ι), A i) →+* R
\u22a2 (fun f => ↑f) ((fun f => toSemiring (fun x => ↑f) ⋯ ⋯) ((fun F => ⟨fun {i} => (↑F).comp (of A i), ⋯⟩) F)) = (fun f => ↑f) F
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
F : (⨁ (i : ι), A i) →+* R
xi : ι
xv : A xi
\u22a2 (((fun f => ↑f) ((fun f => toSemiring (fun x => ↑f) ⋯ ⋯) ((fun F => ⟨fun {i} => (↑F).comp (of A i), ⋯⟩) F))).comp (of A xi)) xv = (((fun f => ↑f) F).comp (of A xi)) xv
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : a < 0
hb : b < 0
\u22a2 a⁻¹ ≤ b ↔ b⁻¹ ≤ a
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s : ℕ → Set Ω
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
\u22a2 ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop ↔ Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k]) ω) atTop atTop
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s : ℕ → Set Ω
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
this : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => process s n ω) atTop atTop ↔ Tendsto (fun n => predictablePart (process s) ℱ μ n ω) atTop atTop
\u22a2 ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop ↔ Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k]) ω) atTop atTop
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s : ℕ → Set Ω
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
ω : Ω
n : ℕ
\u22a2 process s n ω ≤ process s (n + 1) ω
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s : ℕ → Set Ω
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
this : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1) ω) atTop atTop ↔ Tendsto (fun n => (∑ k ∈ Finset.range n, μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k]) ω) atTop atTop
\u22a2 ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop ↔ Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k]) ω) atTop atTop
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C
f : LocallyConstant ↑C ℤ
\u22a2 ∃ s g, f = LocallyConstant.comap { toFun := ProjRestrict C fun x => x ∈ s, continuous_toFun := ⋯ } g
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C
f : LocallyConstant ↑C ℤ
J : (Finset I)ᵒᵖ
g : LocallyConstant ↑((spanFunctor ⋯).obj J).toTop ℤ
h : f = LocallyConstant.comap ((spanCone ⋯).π.app J) g
\u22a2 ∃ s g, f = LocallyConstant.comap { toFun := ProjRestrict C fun x => x ∈ s, continuous_toFun := ⋯ } g
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Pow.lean
R : Type u_1
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
Hsq : 0 ≤ a * a
Hsq' : 0 ≤ (1 + a) * (1 + a)
H : 0 ≤ 2 + a
n : ℕ
this : 0 ≤ ↑n * (a * a * (2 + a)) + a * a
\u22a2 1 + ↑(n + 2) * a + (↑n * (a * a * (2 + a)) + a * a) = (1 + a) * (1 + a) * (1 + ↑n * a)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Pow.lean
R : Type u_1
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
Hsq : 0 ≤ a * a
Hsq' : 0 ≤ (1 + a) * (1 + a)
H : 0 ≤ 2 + a
n : ℕ
this : 0 ≤ ↑n * (a * a * (2 + a)) + a * a
\u22a2 1 + (↑n * a + (a + (a + (↑n * (a * a) + (↑n * (a * a) + (↑n * (a * a * a) + a * a)))))) = 1 + (a + (a + (a * a + (↑n * a + (a * (↑n * a) + (a * (↑n * a) + a * a * (↑n * a)))))))
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Pow.lean
R : Type u_1
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
Hsq : 0 ≤ a * a
Hsq' : 0 ≤ (1 + a) * (1 + a)
H : 0 ≤ 2 + a
n : ℕ
this : 0 ≤ ↑n * (a * a * (2 + a)) + a * a
\u22a2 ↑n * a + 1 + a + a + ↑n * (a * a) + ↑n * (a * a) + ↑n * (a * a * a) + a * a = ↑n * a + 1 + a + a + a * a + a * (↑n * a) + a * (↑n * a) + a * a * (↑n * a)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Pow.lean
R : Type u_1
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
Hsq : 0 ≤ a * a
Hsq' : 0 ≤ (1 + a) * (1 + a)
H : 0 ≤ 2 + a
n : ℕ
this : 0 ≤ ↑n * (a * a * (2 + a)) + a * a
\u22a2 ↑n * a + (1 + (a + (a + (a * (↑n * a) + (a * (↑n * a) + (a * a * (↑n * a) + a * a)))))) = ↑n * a + (1 + (a + (a + (a * a + (a * (↑n * a) + (a * (↑n * a) + a * a * (↑n * a)))))))
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Pow.lean
R : Type u_1
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
Hsq : 0 ≤ a * a
Hsq' : 0 ≤ (1 + a) * (1 + a)
H : 0 ≤ 2 + a
n : ℕ
this : 0 ≤ ↑n * (a * a * (2 + a)) + a * a
\u22a2 (1 + a) * (1 + a) * (1 + a) ^ n = (1 + a) ^ (n + 2)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α ≃ β
a : α
b : M
\u22a2 equivMapDomain f (single a b) = single (f a) b
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing α
u v w : m → α
\u22a2 -v ⬝ᵥ -w = v ⬝ᵥ w
-- Mathlib/Data/Vector/MapLemmas.lean
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ γ : Type
f : α → β → σ → σ × γ
s₀ : σ
S : Set σ
h₀ : s₀ ∈ S
closure : ∀ (a : α) (b : β), ∀ s ∈ S, (f a b s).1 ∈ S
out : ∀ (a : α) (b : β) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a b s).2 = (f a b s').2
\u22a2 (mapAccumr₂ f xs ys s₀).2 = map₂ (fun x x_1 => (f x x_1 s₀).2) xs ys
-- Mathlib/Data/Vector/MapLemmas.lean
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ γ : Type
f : α → β → σ → σ × γ
s₀ : σ
S : Set σ
h₀ : s₀ ∈ S
closure : ∀ (a : α) (b : β), ∀ s ∈ S, (f a b s).1 ∈ S
out : ∀ (a : α) (b : β) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a b s).2 = (f a b s').2
\u22a2 (mapAccumr₂ f xs ys s₀).2 = (mapAccumr₂ (fun x y x_1 => ((), (f x y s₀).2)) xs ys ()).2
-- Mathlib/Data/Vector/MapLemmas.lean
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ γ : Type
f : α → β → σ → σ × γ
s₀ : σ
S : Set σ
h₀ : s₀ ∈ S
closure : ∀ (a : α) (b : β), ∀ s ∈ S, (f a b s).1 ∈ S
out : ∀ (a : α) (b : β) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a b s).2 = (f a b s').2
\u22a2 ∃ R, R s₀ () ∧ ∀ {s : σ} {q : Unit} (a : α) (b : β), R s q → R (f a b s).1 ((), (f a b s₀).2).1 ∧ (f a b s).2 = ((), (f a b s₀).2).2
-- Mathlib/Data/Vector/MapLemmas.lean
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ γ : Type
f : α → β → σ → σ × γ
s₀ : σ
S : Set σ
h₀ : s₀ ∈ S
closure : ∀ (a : α) (b : β), ∀ s ∈ S, (f a b s).1 ∈ S
out : ∀ (a : α) (b : β) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a b s).2 = (f a b s').2
\u22a2 ∀ {s : σ} {q : Unit} (a : α) (b : β), s ∈ S → (f a b s).1 ∈ S ∧ (f a b s).2 = ((), (f a b s₀).2).2
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : SMul R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : IsNoetherian R M
\u22a2 IsNoetherian S M
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : SMul R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
\u22a2 WellFounded fun x x_1 => x > x_1
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Inverse.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
s : σ
\u22a2 (X s)⁻¹ = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
\u22a2 Kᗮᗮᗮ = Kᗮ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
\u22a2 Kᗮ.topologicalClosure = Kᗮ
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
hf : HasCompactMulSupport f
hf₂ : HasCompactMulSupport f₂
hm : m 1 1 = 1
\u22a2 HasCompactMulSupport fun x => m (f x) (f₂ x)
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
hf : f =ᶠ[coclosedCompact α] 1
hf₂ : f₂ =ᶠ[coclosedCompact α] 1
hm : m 1 1 = 1
\u22a2 (fun x => m (f x) (f₂ x)) =ᶠ[coclosedCompact α] 1
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n : ℕ
x✝ : 0 ≤ n
\u22a2 (n - 0)! * n.descFactorial 0 = n !
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
k : ℕ
h : k.succ ≤ 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ
h : k.succ ≤ n.succ
\u22a2 (n.succ - k.succ)! * n.succ.descFactorial k.succ = n.succ !
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℤ
hd : d ≤ 0
n : ℤ√d
\u22a2 0 ≤ -(d * n.im * n.im)
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℤ
hd : d ≤ 0
n : ℤ√d
\u22a2 0 ≤ -d * (n.im * n.im)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁷ : AddCommGroup E
inst✝¹⁶ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹³ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝¹² : AddCommGroup F
inst✝¹¹ : Module 𝕜 F
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁸ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : T2Space E
v : Basis ι 𝕜 E
\u22a2 Continuous (↑v.equivFun.symm).toFun
-- Mathlib/Topology/IndicatorConstPointwise.lean
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝³ : Zero β
inst✝² : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
inst✝¹ : T1Space β
b : β
inst✝ : NeZero b
\u22a2 Tendsto (fun i => (As i).indicator fun x => b) L (𝓝 (A.indicator fun x => b)) ↔ Tendsto As L (pi fun x => pure (x ∈ A))
-- Mathlib/Topology/IndicatorConstPointwise.lean
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝³ : Zero β
inst✝² : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
inst✝¹ : T1Space β
b : β
inst✝ : NeZero b
\u22a2 (∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A) ↔ ∀ (i : α), Tendsto (fun x => As x i) L (pure (i ∈ A))
-- Mathlib/Topology/IndicatorConstPointwise.lean
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝³ : Zero β
inst✝² : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
inst✝¹ : T1Space β
b : β
inst✝ : NeZero b
\u22a2 (∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A) ↔ ∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ι) in L, As x i = (i ∈ A)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
a : ↥circle
h : rotation a = conjLIE
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
a : ↥circle
h : rotation a = conjLIE
h1 : (rotation a) 1 = (starRingEnd ℂ) 1
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
a : ↥circle
h : rotation a = conjLIE
h1 : (rotation a) 1 = (starRingEnd ℂ) 1
hI : (rotation a) I = (starRingEnd ℂ) I
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
a : ↥circle
h : rotation a = conjLIE
h1 : ↑a = 1
hI : (rotation a) I = (starRingEnd ℂ) I
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
a : ↥circle
h : rotation a = conjLIE
h1 : ↑a = 1
hI : 1 = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/List/GetD.lean
α : Type u
β : Type v
l : List α
x : α
xs : List α
n✝ : ℕ
d : α
r n : ℕ
\u22a2 (replicate r d)[n]?.getD d = d
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b : α
h : b ≤ a
\u22a2 variationOnFromTo f s a b = -(eVariationOn f (s ∩ Icc b a)).toReal
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x✝¹ y x : ℝ
x✝ : x ∈ univ
\u22a2 log (-rexp x) = x
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
\u22a2 cs.IsLeftDescent w i ↔ ¬cs.IsLeftDescent (cs.simple i * w) i
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
\u22a2 cs.length (cs.simple i * w) + 1 = cs.length w ↔ cs.length w = cs.length (cs.simple i * w) + 1
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p✝ p n : ℕ
IH : (Finset.filter (fun x => p ∣ x) (Ioc 0 n)).card = n / p
h1 : Ioc 0 n.succ = insert n.succ (Ioc 0 n)
\u22a2 (Finset.filter (fun x => p ∣ x) (Ioc 0 (n + 1))).card = (n + 1) / p
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n m : ℕ
hc : G.Colorable n
hm : n < m
\u22a2 G.CliqueFree m
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n m : ℕ
hc : G.Colorable n
hm : n < m
h : ¬G.CliqueFree m
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n m : ℕ
hc : G.Colorable n
hm : n < m
h : ∃ x, G.IsClique ↑x ∧ x.card = m
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
hc : G.Colorable n
s : Finset V
h : G.IsClique ↑s
hm : n < s.card
\u22a2 False
-- Mathlib/SetTheory/Lists.lean
α : Type u_1
a y : Lists α
l : Lists' α true
\u22a2 a ∈ cons y l ↔ a ~ y ∨ a ∈ l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Symmetric.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
\u22a2 (f'' v) w = (f'' w) v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Symmetric.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
\u22a2 (f'' v) w = (f'' w) v