ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : ↥S
\u22a2 ↑⋯.unit⁻¹ (f (b' • a + b • a')) = ↑⋯.unit⁻¹ (f a) + ↑⋯.unit⁻¹ (f a')
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : ↥S
\u22a2 f (b' • a) + f (b • a') = ↑⋯.unit⁻¹ (f (↑(b * b') • a)) + ↑⋯.unit⁻¹ (↑(b * b') • f a')
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : ↥S
\u22a2 f (b' • a) = ↑⋯.unit⁻¹ (f (↑(b * b') • a))
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : ↥S
\u22a2 f (b • a') = ↑⋯.unit⁻¹ (↑(b * b') • f a')
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : ↥S
\u22a2 f (↑(b * b') • a) = ↑b • f (b' • a)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : ↥S
\u22a2 ↑(b * b') • f a' = ↑b' • f (b • a')
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f : α → β
\u22a2 Tendsto (fun x => f ↑x) atBot l ↔ Tendsto f (𝓝[>] a) l
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f : α → β
\u22a2 Tendsto (fun x => f ↑x) atBot l ↔ Tendsto (f ∘ Subtype.val) atBot l
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α → ℝ≥0∞
g : β → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g ν
\u22a2 ∫⁻ (z : α × β), f z.1 * g z.2 ∂μ.prod ν = (∫⁻ (x : α), f x ∂μ) * ∫⁻ (y : β), g y ∂ν
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X✝
inst✝³ : R1Space X✝
x✝ y : X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : R1Space Y
f : X → Y
x : X
K : Set X
s : Set Y
hf : Continuous f
hs : s ∈ 𝓝 (f x)
hKc : IsCompact K
hKx : K ∈ 𝓝 x
\u22a2 ∃ K ∈ 𝓝 x, IsCompact K ∧ MapsTo f K s
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X✝
inst✝³ : R1Space X✝
x✝ y : X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : R1Space Y
f : X → Y
x : X
K : Set X
s : Set Y
hf : Continuous f
hs : s ∈ 𝓝 (f x)
hKc : IsCompact K
hKx : K ∈ 𝓝 x
hc : IsCompact (f '' K \ interior s)
\u22a2 ∃ K ∈ 𝓝 x, IsCompact K ∧ MapsTo f K s
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X✝
inst✝³ : R1Space X✝
x✝ y : X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : R1Space Y
f : X → Y
x : X
K : Set X
s : Set Y
hf : Continuous f
hs : s ∈ 𝓝 (f x)
hKc : IsCompact K
hKx : K ∈ 𝓝 x
hc : IsCompact (f '' K \ interior s)
U V : Set Y
Uo : IsOpen U
Vo : IsOpen V
hxU : {f x} ⊆ U
hV : f '' K \ interior s ⊆ V
hd : Disjoint U V
\u22a2 ∃ K ∈ 𝓝 x, IsCompact K ∧ MapsTo f K s
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X✝
inst✝³ : R1Space X✝
x✝ y : X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : R1Space Y
f : X → Y
x : X
K : Set X
s : Set Y
hf : Continuous f
hs : s ∈ 𝓝 (f x)
hKc : IsCompact K
hKx : K ∈ 𝓝 x
hc : IsCompact (f '' K \ interior s)
U V : Set Y
Uo : IsOpen U
Vo : IsOpen V
hxU : {f x} ⊆ U
hV : f '' K \ interior s ⊆ V
hd : Disjoint U V
\u22a2 (f ⁻¹' V)ᶜ ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X✝
inst✝³ : R1Space X✝
x✝ y✝ : X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : R1Space Y
f : X → Y
x : X
K : Set X
s : Set Y
hf : Continuous f
hs : s ∈ 𝓝 (f x)
hKc : IsCompact K
hKx : K ∈ 𝓝 x
hc : IsCompact (f '' K \ interior s)
U V : Set Y
Uo : IsOpen U
Vo : IsOpen V
hxU : {f x} ⊆ U
hV : f '' K \ interior s ⊆ V
hd : Disjoint U V
y : X
hy : y ∈ K \ f ⁻¹' V
\u22a2 f y ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝¹³ : MeasurableSpace Y
inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
inst✝³ : LocallyCompactSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither Y E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
s : Set Y
hs : IsCompact s
\u22a2 Continuous fun x => ∫ (y : Y) in s, f x y ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝¹³ : MeasurableSpace Y
inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
inst✝³ : LocallyCompactSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither Y E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
s : Set Y
hs : IsCompact s
\u22a2 ∀ (x : X), ContinuousAt (fun x => ∫ (y : Y) in s, f x y ∂μ) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝¹³ : MeasurableSpace Y
inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
inst✝³ : LocallyCompactSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither Y E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
s : Set Y
hs : IsCompact s
x₀ : X
\u22a2 ContinuousAt (fun x => ∫ (y : Y) in s, f x y ∂μ) x₀
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝¹³ : MeasurableSpace Y
inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
inst✝³ : LocallyCompactSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither Y E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
s : Set Y
hs : IsCompact s
x₀ : X
U : Set X
U_cpct : IsCompact U
U_nhds : U ∈ 𝓝 x₀
\u22a2 ContinuousAt (fun x => ∫ (y : Y) in s, f x y ∂μ) x₀
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝¹³ : MeasurableSpace Y
inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
inst✝³ : LocallyCompactSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither Y E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
s : Set Y
hs : IsCompact s
x₀ : X
U : Set X
U_cpct : IsCompact U
U_nhds : U ∈ 𝓝 x₀
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x => ‖uncurry f x‖) '' U ×ˢ s)
\u22a2 ContinuousAt (fun x => ∫ (y : Y) in s, f x y ∂μ) x₀
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝¹³ : MeasurableSpace Y
inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
inst✝³ : LocallyCompactSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither Y E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
s : Set Y
hs : IsCompact s
x₀ : X
U : Set X
U_cpct : IsCompact U
U_nhds : U ∈ 𝓝 x₀
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x => ‖uncurry f x‖) '' U ×ˢ s)
\u22a2 ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (f x) (μ.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝¹³ : MeasurableSpace Y
inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
inst✝³ : LocallyCompactSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither Y E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
s : Set Y
hs : IsCompact s
x₀ : X
U : Set X
U_cpct : IsCompact U
U_nhds : U ∈ 𝓝 x₀
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x => ‖uncurry f x‖) '' U ×ˢ s)
\u22a2 ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ᵐ (a : Y) ∂μ.restrict s, ‖f x a‖ ≤ ?intro.intro.intro.bound a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝¹³ : MeasurableSpace Y
inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
inst✝³ : LocallyCompactSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither Y E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
s : Set Y
hs : IsCompact s
x₀ : X
U : Set X
U_cpct : IsCompact U
U_nhds : U ∈ 𝓝 x₀
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x => ‖uncurry f x‖) '' U ×ˢ s)
\u22a2 Integrable ?intro.intro.intro.bound (μ.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝¹³ : MeasurableSpace Y
inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
inst✝³ : LocallyCompactSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither Y E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
s : Set Y
hs : IsCompact s
x₀ : X
U : Set X
U_cpct : IsCompact U
U_nhds : U ∈ 𝓝 x₀
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x => ‖uncurry f x‖) '' U ×ˢ s)
\u22a2 ∀ᵐ (a : Y) ∂μ.restrict s, ContinuousAt (fun x => f x a) x₀
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝¹³ : MeasurableSpace Y
inst✝¹² : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
inst✝³ : LocallyCompactSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither Y E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
s : Set Y
hs : IsCompact s
x₀ : X
U : Set X
U_cpct : IsCompact U
U_nhds : U ∈ 𝓝 x₀
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x => ‖uncurry f x‖) '' U ×ˢ s)
\u22a2 Y → ℝ
-- Mathlib/Algebra/Lie/BaseChange.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
N : LieSubmodule R L M
\u22a2 baseChange A ⊤ = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/BaseChange.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
N : LieSubmodule R L M
\u22a2 { toSubmodule := ⊤, lie_mem := ⋯ } = ⊤
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I J X Y R₁ R₂ : Set α
M : Matroid α
hR : R₂ ⊆ R₁
\u22a2 M ↾ R₁ ↾ R₂ = M ↾ R₂
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I J X Y R₁ R₂ : Set α
M : Matroid α
hR : R₂ ⊆ R₁
\u22a2 ∀ I ⊆ (M ↾ R₁ ↾ R₂).E, (M ↾ R₁ ↾ R₂).Indep I ↔ (M ↾ R₂).Indep I
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I J X Y R₁ R₂ : Set α
M : Matroid α
hR : R₂ ⊆ R₁
\u22a2 ∀ I ⊆ R₂, I ⊆ R₂ → M.Indep I → I ⊆ R₁
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hw : ∑ i ∈ t, w i = 1
\u22a2 t.centerMass w z = ∑ i ∈ t, w i • z i
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
n : σ →₀ ℕ
φ : MvPowerSeries σ R
a : R
\u22a2 (coeff R n) ((C σ R) a * φ) = a * (coeff R n) φ
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasZeroMorphisms V
α : Type u_2
inst✝² : AddRightCancelSemigroup α
inst✝¹ : One α
inst✝ : DecidableEq α
X : α → V
d : (n : α) → X (n + 1) ⟶ X n
sq : ∀ (n : α), d (n + 1) ≫ d n = 0
j : α
\u22a2 (if j + 1 = j + 1 then 𝟙 (X (j + 1)) ≫ d j else 0) = d j
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : AddCommMonoid B
inst✝³ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero M'
inst✝ : CommMonoid N
f : α →₀ M
a : α
g : α → M → N
h₀ : ∀ (b : α), f b ≠ 0 → b ≠ a → g b (f b) = 1
h₁ : f a = 0 → g a 0 = 1
\u22a2 f.prod g = g a (f a)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : AddCommMonoid B
inst✝³ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero M'
inst✝ : CommMonoid N
f : α →₀ M
a : α
g : α → M → N
h₀ : ∀ (b : α), f b ≠ 0 → b ≠ a → g b (f b) = 1
h₁ : f a = 0 → g a 0 = 1
b : α
hb₁ : b ∈ f.support
hb₂ : b ≠ a
\u22a2 g b (f b) = 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : AddCommMonoid B
inst✝³ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero M'
inst✝ : CommMonoid N
f : α →₀ M
a : α
g : α → M → N
h₀ : ∀ (b : α), f b ≠ 0 → b ≠ a → g b (f b) = 1
h₁ : f a = 0 → g a 0 = 1
h : a ∉ f.support
\u22a2 g a (f a) = 1
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
H : Subgroup (E ≃ₐ[F] E)
K : IntermediateField F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
h : IsGalois F E
\u22a2 IntermediateField.fixedField K.fixingSubgroup = K
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
H : Subgroup (E ≃ₐ[F] E)
K : IntermediateField F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
h : IsGalois F E
K_le : K ≤ IntermediateField.fixedField K.fixingSubgroup
\u22a2 IntermediateField.fixedField K.fixingSubgroup = K
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
H : Subgroup (E ≃ₐ[F] E)
K : IntermediateField F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
h : IsGalois F E
K_le : K ≤ IntermediateField.fixedField K.fixingSubgroup
\u22a2 finrank (↥K) E = finrank (↥(IntermediateField.fixedField K.fixingSubgroup)) E
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
h : s =ᶠ[ae μ] t
\u22a2 ⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ⨍⁻ (x : α) in t, f x ∂μ
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
\u22a2 ⨆ x, dist (f x) (g x) = ↑(⨆ x, nndist (f x) (g x))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Darboux.lean
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
\u22a2 (f' '' s).OrdConnected
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Darboux.lean
a b : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
\u22a2 ∀ x ∈ f' '' s, ∀ y ∈ f' '' s, x < y → Ioo x y ⊆ f' '' s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Darboux.lean
a✝ b✝ : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
a : ℝ
ha : a ∈ s
b : ℝ
hb : b ∈ s
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
\u22a2 m ∈ f' '' s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Darboux.lean
a✝ b✝ : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
a : ℝ
ha : a ∈ s
b : ℝ
hb : b ∈ s
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
hab : a ≤ b
\u22a2 m ∈ f' '' s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Darboux.lean
a✝ b✝ : ℝ
f f' : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hs : s.OrdConnected
hf : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
a : ℝ
ha : a ∈ s
b : ℝ
hb : b ∈ s
m : ℝ
hma : f' a < m
hmb : m < f' b
hab : b ≤ a
\u22a2 m ∈ f' '' s
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
\u22a2 CompleteLattice.IsCompactElement ⊤
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
\u22a2 image2 f ↑s ↑t = image2 (fun a b => f b a) ↑t ↑s
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l l' : List α
\u22a2 (l ++ l').rotate l.length = l' ++ l
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l l' : List α
\u22a2 (l ++ l').rotate' l.length = l' ++ l
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Tower.lean
R✝ : Type u
S✝ : Type v
A✝ : Type w
B : Type u₁
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hRS : ⊤.FG
hSA : ⊤.FG
s : Finset S
hs : adjoin R ↑s = ⊤
t : Finset A
ht : adjoin S ↑t = ⊤
\u22a2 adjoin R ↑(Finset.image (⇑(algebraMap S A)) s ∪ t) = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
\u22a2 μ.withDensity f = 0 ↔ f =ᶠ[ae μ] 0