ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BoundedLinearMaps.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace E
\u22a2 IsOpen (range toContinuousLinearMap)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BoundedLinearMaps.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace E
\u22a2 ∀ (i : E ≃L[𝕜] F), range toContinuousLinearMap ∈ 𝓝 ↑i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BoundedLinearMaps.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
\u22a2 IsOpen (range toContinuousLinearMap)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BoundedLinearMaps.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
O : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] E := fun f => (↑e.symm).comp f
\u22a2 IsOpen (range toContinuousLinearMap)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BoundedLinearMaps.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
O : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] E := fun f => (↑e.symm).comp f
h_O : Continuous O
\u22a2 IsOpen (range toContinuousLinearMap)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BoundedLinearMaps.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace E
e : E ≃L[𝕜] F
O : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] E := fun f => (↑e.symm).comp f
h_O : Continuous O
\u22a2 range toContinuousLinearMap = O ⁻¹' {x | IsUnit x}
-- Mathlib/GroupTheory/Torsion.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
N : Subgroup G
inst✝ : Group H
f : G →* H
hN : N = f.ker
tH : IsTorsion H
tN : IsTorsion ↥N
g : G
ngn : ℕ
ngnpos : 0 < ngn
hngn : f g ^ ngn = 1
\u22a2 IsOfFinOrder g
-- Mathlib/GroupTheory/Torsion.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
N : Subgroup G
inst✝ : Group H
f : G →* H
hN : N = f.ker
tH : IsTorsion H
tN : IsTorsion ↥N
g : G
ngn : ℕ
ngnpos : 0 < ngn
hngn : f g ^ ngn = 1
hmem : g ^ ngn ∈ f.ker
\u22a2 IsOfFinOrder g
-- Mathlib/GroupTheory/Torsion.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
N : Subgroup G
inst✝ : Group H
f : G →* H
hN : N = f.ker
tH : IsTorsion H
tN : IsTorsion ↥N
g : G
ngn : ℕ
ngnpos : 0 < ngn
hngn : f g ^ ngn = 1
gn : ↥N
h : ↑gn = g ^ ngn
hmem✝ hmem : ↑gn ∈ f.ker
\u22a2 IsOfFinOrder g
-- Mathlib/GroupTheory/Torsion.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
N : Subgroup G
inst✝ : Group H
f : G →* H
hN : N = f.ker
tH : IsTorsion H
tN : IsTorsion ↥N
g : G
ngn : ℕ
ngnpos : 0 < ngn
hngn : f g ^ ngn = 1
gn : ↥N
h : ↑gn = g ^ ngn
hmem✝ hmem : ↑gn ∈ f.ker
nn : ℕ
nnpos : 0 < nn
hnn : gn ^ nn = 1
\u22a2 IsOfFinOrder g
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/Basic.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
D D1 D2 : LieDerivation R L M
a b : L
s : Set L
h : Set.EqOn (⇑D1) (⇑D2) s
z : L
hz : z ∈ ↑(LieSubalgebra.lieSpan R L s)
\u22a2 D1 0 = D2 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/Basic.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
D D1 D2 : LieDerivation R L M
a b : L
s : Set L
h : Set.EqOn (⇑D1) (⇑D2) s
z : L
hz : z ∈ ↑(LieSubalgebra.lieSpan R L s)
zero : D1 0 = D2 0
x✝¹ : R
x✝ : L
hx : D1 x✝ = D2 x✝
\u22a2 D1 (x✝¹ • x✝) = D2 (x✝¹ • x✝)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/Basic.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
D D1 D2 : LieDerivation R L M
a b : L
s : Set L
h : Set.EqOn (⇑D1) (⇑D2) s
z : L
hz : z ∈ ↑(LieSubalgebra.lieSpan R L s)
zero : D1 0 = D2 0
smul : ∀ (r : R) {x : L}, D1 x = D2 x → D1 (r • x) = D2 (r • x)
x✝¹ x✝ : L
hx : D1 x✝¹ = D2 x✝¹
hy : D1 x✝ = D2 x✝
\u22a2 D1 (x✝¹ + x✝) = D2 (x✝¹ + x✝)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/Basic.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
D D1 D2 : LieDerivation R L M
a b : L
s : Set L
h : Set.EqOn (⇑D1) (⇑D2) s
z : L
hz : z ∈ ↑(LieSubalgebra.lieSpan R L s)
zero : D1 0 = D2 0
smul : ∀ (r : R) {x : L}, D1 x = D2 x → D1 (r • x) = D2 (r • x)
add : ∀ (x y : L), D1 x = D2 x → D1 y = D2 y → D1 (x + y) = D2 (x + y)
x✝¹ x✝ : L
hx : D1 x✝¹ = D2 x✝¹
hy : D1 x✝ = D2 x✝
\u22a2 D1 ⁅x✝¹, x✝⁆ = D2 ⁅x✝¹, x✝⁆
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Ordinal.lean
x y✝ z✝ : ZFSet
h : x.IsTransitive
y : ZFSet
hy : y ∈ ⋃₀ x
z : ZFSet
hz : z ∈ y
\u22a2 z ∈ ⋃₀ x
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Ordinal.lean
x y✝ z✝ : ZFSet
h : x.IsTransitive
y : ZFSet
hy : y ∈ ⋃₀ x
z : ZFSet
hz : z ∈ y
w : ZFSet
hw : w ∈ x
hw' : y ∈ w
\u22a2 z ∈ ⋃₀ x
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
h1 : eulerMascheroniSeq' 6 = 49 / 20 - log 6
\u22a2 eulerMascheroniSeq' 6 < 2 / 3
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
h1 : eulerMascheroniSeq' 6 = 49 / 20 - log 6
\u22a2 rexp (49 / 20 - 2 / 3) < 6
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
h1 : eulerMascheroniSeq' 6 = 49 / 20 - log 6
\u22a2 rexp (107 / 60) < 6
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
h1 : eulerMascheroniSeq' 6 = 49 / 20 - log 6
this : rexp 1 ^ (107 / 60) < 2.7182818286 ^ (107 / 60)
\u22a2 rexp (107 / 60) < 6
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
h1 : eulerMascheroniSeq' 6 = 49 / 20 - log 6
this : rexp (107 / 60) < 2.7182818286 ^ (107 / 60)
\u22a2 rexp (107 / 60) < 6
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
h1 : eulerMascheroniSeq' 6 = 49 / 20 - log 6
this : rexp (107 / 60) < 2.7182818286 ^ (107 / 60)
\u22a2 2.7182818286 ^ (107 / 60) < 6
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
h1 : eulerMascheroniSeq' 6 = 49 / 20 - log 6
this : rexp (107 / 60) < 2.7182818286 ^ (107 / 60)
\u22a2 2.7182818286 ^ 107 < 6 ^ OfNat.ofNat 60
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
h1 : eulerMascheroniSeq' 6 = 49 / 20 - log 6
this : rexp (107 / 60) < 2.7182818286 ^ (107 / 60)
\u22a2 60 ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
h1 : eulerMascheroniSeq' 6 = 49 / 20 - log 6
this : rexp (107 / 60) < 2.7182818286 ^ (107 / 60)
\u22a2 0 ≤ 2.7182818286
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
h1 : eulerMascheroniSeq' 6 = 49 / 20 - log 6
this : rexp (107 / 60) < 2.7182818286 ^ (107 / 60)
\u22a2 0 ≤ 2.7182818286 ^ (107 / 60)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
h1 : eulerMascheroniSeq' 6 = 49 / 20 - log 6
this : rexp (107 / 60) < 2.7182818286 ^ (107 / 60)
\u22a2 0 ≤ 6
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
h1 : eulerMascheroniSeq' 6 = 49 / 20 - log 6
this : rexp (107 / 60) < 2.7182818286 ^ (107 / 60)
\u22a2 0 < 60
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
A B : Matrix n n R
\u22a2 (toLinAlgEquiv v₁) (A * B) = (toLinAlgEquiv v₁) A ∘ₗ (toLinAlgEquiv v₁) B
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
hb : 0 ≤ b
\u22a2 |a| = b ↔ a = b ∨ a = -b
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
hb : 0 ≤ b
\u22a2 a = b ∨ a = -b → |a| = b
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
\u22a2 (s.weightedVSub fun x => p) w = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Cardinal.lean
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
\u22a2 #(AddMonoidAlgebra R ℕ) = max #R ℵ₀
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Cardinal.lean
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
\u22a2 max (#R) (lift.{u, 0} #ℕ) = max #R ℵ₀
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
a b : ℤ√↑d
ab : a ≤ b
ba : b ≤ a
\u22a2 (-(a - b)).Nonneg
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]
\u22a2 (p * q).degree ≤ p.degree + q.degree
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/MinMax.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c : α
\u22a2 min (a / c) (b / c) = min a b / c
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =o[l] k₂
h₂ : f' =O[l] g'
\u22a2 (fun x => k₁ x • f' x) =o[l] fun x => k₂ x • g' x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₂ : f' =O[l] g'
h₁ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l k₁ k₂
\u22a2 ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l (fun x => k₁ x • f' x) fun x => k₂ x • g' x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₂ : f' =O[l] g'
h₁ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l k₁ k₂
c : ℝ
cpos : 0 < c
\u22a2 IsBigOWith c l (fun x => k₁ x • f' x) fun x => k₂ x • g' x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₂ : f' =O[l] g'
h₁ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l k₁ k₂
c : ℝ
cpos : 0 < c
c' : ℝ
c'pos : c' > 0
hc' : IsBigOWith c' l f' g'
\u22a2 IsBigOWith c l (fun x => k₁ x • f' x) fun x => k₂ x • g' x
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
h : M.FG
n : ℕ
\u22a2 span R ↑{1} = M ^ Nat.zero
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
h : M.FG
n✝ n : ℕ
ih : (M ^ n).FG
\u22a2 (M ^ n.succ).FG
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
a b c : ℤ
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
HF : a ^ n + b ^ n + c ^ n = 0
\u22a2 IsCoprime a b
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n : ℕ
a b c : ℤ
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
HF : a ^ 0 + b ^ 0 + c ^ 0 = 0
\u22a2 IsCoprime a b
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
a b c : ℤ
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
HF : a ^ n + b ^ n + c ^ n = 0
hn : n ≠ 0
\u22a2 IsCoprime a b
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
a b c : ℤ
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
HF : a ^ n + b ^ n + c ^ n = 0
hn : n ≠ 0
\u22a2 ¬(a = 0 ∧ b = 0)
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
a b c : ℤ
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
HF : a ^ n + b ^ n + c ^ n = 0
hn : n ≠ 0
p : ℤ
hp : Prime p
hpa : p ∣ a
hpb : p ∣ b
\u22a2 p ∣ 1
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : Filter α
s : Set α
f : α → β
t : Set β
\u22a2 t ∈ pmap (PFun.res f s) l ↔ t ∈ map f (l ⊓ 𝓟 s)
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : Filter α
s : Set α
f : α → β
t : Set β
\u22a2 sᶜ ∪ f ⁻¹' t ∈ l ↔ {x | x ∉ s ∨ x ∈ f ⁻¹' t} ∈ l
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
\u22a2 (cs.leftInvSeq ω).length = ω.length
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
H : G.Subgraph
v : V
\u22a2 H = G.singletonSubgraph v ↔ H.verts = {v}
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
H : G.Subgraph
v : V
h : H.verts = {v}
\u22a2 H = G.singletonSubgraph v
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f'✝ : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f' : α → E' × F'
\u22a2 (fun x => (f' x).1) =O[l] f'
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/LIntegral.lean
G : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → ℝ≥0∞
g : G
\u22a2 ∫⁻ (x : G), f (x / g) ∂μ = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → UpperSet α
\u22a2 a ∈ ⨅ i, ⨅ j, f i j ↔ ∃ i j, a ∈ f i j
-- Mathlib/Data/Set/Equitable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : OrderedSemiring β
s : Set α
hs : s.Subsingleton
f : α → β
i j : α
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
\u22a2 f j ≤ f j + 1
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
\u22a2 normalClosure {⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩} = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g1 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 2 * swap 0 1, ⋯⟩
\u22a2 normalClosure {⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩} = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g1 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 2 * swap 0 1, ⋯⟩
g2 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩
\u22a2 normalClosure {⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩} = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g1 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 2 * swap 0 1, ⋯⟩
g2 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩
h5 : g1 * g2 * g1⁻¹ * g2⁻¹ = ⟨finRotate 5, ⋯⟩
\u22a2 normalClosure {⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩} = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g1 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 2 * swap 0 1, ⋯⟩
g2 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩
h5 : g1 * g2 * g1⁻¹ * g2⁻¹ = ⟨finRotate 5, ⋯⟩
\u22a2 normalClosure {⟨finRotate 5, ⋯⟩} ≤ normalClosure {⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩}
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g1 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 2 * swap 0 1, ⋯⟩
g2 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩
h5 : g1 * g2 * g1⁻¹ * g2⁻¹ = ⟨finRotate 5, ⋯⟩
\u22a2 {⟨finRotate 5, ⋯⟩} ⊆ ↑(normalClosure {⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩})
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g1 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 2 * swap 0 1, ⋯⟩
g2 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩
h5 : g1 * g2 * g1⁻¹ * g2⁻¹ = ⟨finRotate 5, ⋯⟩
\u22a2 g1 * g2 * g1⁻¹ * g2⁻¹ ∈ normalClosure {⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩}
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g1 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 2 * swap 0 1, ⋯⟩
g2 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩
h5 : g1 * g2 * g1⁻¹ * g2⁻¹ = ⟨finRotate 5, ⋯⟩
h : g2 ∈ normalClosure {g2}
\u22a2 g1 * g2 * g1⁻¹ * g2⁻¹ ∈ normalClosure {⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : P.degree < Q.degree
hP : ¬P = 0
\u22a2 Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : P.natDegree < Q.natDegree
hP : ¬P = 0
\u22a2 Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : P.natDegree < Q.natDegree
hP : ¬P = 0
\u22a2 Tendsto (fun x => P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : P.natDegree < Q.natDegree
hP : ¬P = 0
\u22a2 Tendsto (fun x => P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)) atTop (𝓝 (?neg✝ * 0))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : P.natDegree < Q.natDegree
hP : ¬P = 0
\u22a2 𝕜
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : P.natDegree < Q.natDegree
hP : ¬P = 0
\u22a2 ↑P.natDegree - ↑Q.natDegree < 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
\u22a2 θ.toReal ≤ π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x✝ : ℝ
\u22a2 (↑x✝).toReal ≤ π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x✝ : ℝ
\u22a2 π = -π + 2 * π
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' f'' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f' (f'' x) (interior D) x
hf''₀ : ∀ x ∈ interior D, f'' x ≤ 0
\u22a2 ConcaveOn ℝ D f
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' f'' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f' (f'' x) (interior D) x
hf''₀ : ∀ x ∈ interior D, f'' x ≤ 0
this : EqOn (deriv f) f' (interior D)
\u22a2 ConcaveOn ℝ D f
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' f'' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f' (f'' x) (interior D) x
hf''₀ : ∀ x ∈ interior D, f'' x ≤ 0
this : EqOn (deriv f) f' (interior D)
\u22a2 DifferentiableOn ℝ (deriv f) (interior D)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' f'' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f' (f'' x) (interior D) x
hf''₀ : ∀ x ∈ interior D, f'' x ≤ 0
this : EqOn (deriv f) f' (interior D)
\u22a2 ∀ x ∈ interior D, deriv^[2] f x ≤ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/SymplecticGroup.lean
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype l
\u22a2 (J l R)⁻¹ = -J l R
-- Mathlib/LinearAlgebra/SymplecticGroup.lean
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype l
\u22a2 J l R * -J l R = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/SymplecticGroup.lean
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype l
\u22a2 - -1 = 1
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
s : Multiset α
\u22a2 s.lcm = 0 ↔ 0 ∈ s
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
\u22a2 lcm 0 = 0 ↔ 0 ∈ 0