ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/AlgebraicTopology/TopologicalSimplex.lean
Δ : SimplexCategory
f : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj Δ)
\u22a2 ↑(({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map (𝟙 Δ)) f) = ↑((𝟙 ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj Δ)) f)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/TopologicalSimplex.lean
Δ : SimplexCategory
f : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj Δ)
i : (forget SimplexCategory).obj Δ
\u22a2 ↑(({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map (𝟙 Δ)) f) i = ↑((𝟙 ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj Δ)) f) i
-- Mathlib/AlgebraicTopology/TopologicalSimplex.lean
Δ : SimplexCategory
f : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj Δ)
i : (forget SimplexCategory).obj Δ
\u22a2 ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x = i) Finset.univ, ↑f j = ↑((𝟙 ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj Δ)) f) i
-- Mathlib/AlgebraicTopology/TopologicalSimplex.lean
X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
h : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj X✝)
\u22a2 ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map (f ≫ g)) h = ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map f ≫ { obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map g) h
-- Mathlib/AlgebraicTopology/TopologicalSimplex.lean
X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
h : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj X✝)
\u22a2 ↑(({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map (f ≫ g)) h) = ↑(({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map f ≫ { obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map g) h)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/TopologicalSimplex.lean
X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
h : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj X✝)
i : (forget SimplexCategory).obj Z✝
\u22a2 ↑(({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map (f ≫ g)) h) i = ↑(({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map f ≫ { obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map g) h) i
-- Mathlib/AlgebraicTopology/TopologicalSimplex.lean
X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
h : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj X✝)
i : (forget SimplexCategory).obj Z✝
\u22a2 ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => (f ≫ g) x = i) Finset.univ, ↑h j = ↑(({ toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } ≫ { toFun := toTopMap g, continuous_toFun := ⋯ }) h) i
-- Mathlib/AlgebraicTopology/TopologicalSimplex.lean
X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
h : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj X✝)
i : (forget SimplexCategory).obj Z✝
\u22a2 ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => g (f x) = i) Finset.univ, ↑h x = ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => g x = i) Finset.univ, ∑ x ∈ Finset.filter (fun x_1 => f x_1 = x) Finset.univ, ↑h x
-- Mathlib/AlgebraicTopology/TopologicalSimplex.lean
X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
h : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj X✝)
i : (forget SimplexCategory).obj Z✝
\u22a2 ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => g (f x) = i) Finset.univ, ↑h x = ∑ x ∈ (Finset.filter (fun x => g x = i) Finset.univ).biUnion fun x => Finset.filter (fun x_1 => f x_1 = x) Finset.univ, ↑h x
-- Mathlib/AlgebraicTopology/TopologicalSimplex.lean
X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
h : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj X✝)
i : (forget SimplexCategory).obj Z✝
\u22a2 (↑(Finset.filter (fun x => g x = i) Finset.univ)).PairwiseDisjoint fun x => Finset.filter (fun x_1 => f x_1 = x) Finset.univ
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
\u22a2 IsClosed s ↔ ∀ (x : X) (F : Filter X), F.NeBot → F ≤ 𝓟 s → F ≤ 𝓝 x → x ∈ s
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
\u22a2 (∀ (a : X), ClusterPt a (𝓟 s) → a ∈ s) ↔ ∀ (x : X) (F : Filter X), F.NeBot → F ≤ 𝓟 s → F ≤ 𝓝 x → x ∈ s
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasRightCalculusOfFractions
X Y : C
φ ψ : W.RightFraction X Y
\u22a2 φ.map L ⋯ = ψ.map L ⋯ ↔ RightFractionRel φ ψ
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasRightCalculusOfFractions
X Y : C
φ ψ : W.RightFraction X Y
\u22a2 φ.map L ⋯ = ψ.map L ⋯ ↔ (φ.map L ⋯).op = (ψ.map L ⋯).op
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℚ
f : ℚ → ℤ × ℕ := fun q => (q.num, q.den)
s : Set ℚ := {q | |ξ - q| < 1 / ↑q.den ^ 2}
\u22a2 s.Finite
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℚ
f : ℚ → ℤ × ℕ := fun q => (q.num, q.den)
s : Set ℚ := {q | |ξ - q| < 1 / ↑q.den ^ 2}
hinj : Function.Injective f
\u22a2 s.Finite
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℚ
f : ℚ → ℤ × ℕ := fun q => (q.num, q.den)
s : Set ℚ := {q | |ξ - q| < 1 / ↑q.den ^ 2}
hinj : Function.Injective f
H : f '' s ⊆ ⋃ y ∈ Ioc 0 ξ.den, Icc (⌈ξ * ↑y⌉ - 1) (⌊ξ * ↑y⌋ + 1) ×ˢ {y}
\u22a2 s.Finite
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℚ
f : ℚ → ℤ × ℕ := fun q => (q.num, q.den)
s : Set ℚ := {q | |ξ - q| < 1 / ↑q.den ^ 2}
hinj : Function.Injective f
H : f '' s ⊆ ⋃ y ∈ Ioc 0 ξ.den, Icc (⌈ξ * ↑y⌉ - 1) (⌊ξ * ↑y⌋ + 1) ×ˢ {y}
\u22a2 (⋃ y ∈ Ioc 0 ξ.den, Icc (⌈ξ * ↑y⌉ - 1) (⌊ξ * ↑y⌋ + 1) ×ˢ {y}).Finite
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x✝ : S
n : ℕ
x : R
\u22a2 eval₂ C X ((monomial n) x) = (monomial n) x
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
\u22a2 ‖↑z‖ = ‖z‖
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
this : Field (R ⧸ I) := Quotient.field I
\u22a2 ⊥.IsMaximal
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n✝ : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
n : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
\u22a2 ContDiffOn 𝕜 n f s ↔ (∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (iteratedDerivWithin m f s) s) ∧ ∀ (m : ℕ), ↑m < n → DifferentiableOn 𝕜 (iteratedDerivWithin m f s) s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x : WithLp 2 (α × β)
\u22a2 ‖x‖ = √(‖x.1‖ ^ 2 + ‖x.2‖ ^ 2)
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f g : Filter α
s : Set α
\u22a2 IsCobounded r (𝓟 s) ↔ ∃ b, ∀ (a : α), (∀ x ∈ s, r x a) → r b a
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs : s ∈ 𝓝 0
\u22a2 ContinuousAt (gauge s) 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs : s ∈ 𝓝 0
\u22a2 Tendsto (gauge s) (𝓝 0) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E
y : F
\u22a2 (sesqFormOfInner (↑A x)) y = (sesqFormOfInner x) (↑(adjoint A) y)
-- Mathlib/Topology/Sets/Opens.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
Us : Set (Opens α)
x : α
\u22a2 x ∈ sSup Us ↔ ∃ u ∈ Us, x ∈ u
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Circle.lean
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
j : ZMod N
\u22a2 ↑(toCircle j) = cexp (2 * ↑π * I * ↑j.val / ↑N)
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
z : N
\u22a2 f.mk' x y = z ↔ f.toMap x = z * f.toMap ↑y
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
hc : p.IsTrail
h : u ∈ p.support
\u22a2 (?m.20281.append (p.dropUntil u h)).IsTrail
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ t✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a✝ : α
\u22a2 a✝ ∈ filter p s ∩ t ↔ a✝ ∈ filter p (s ∩ t)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
\u22a2 (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
hp : 1 ≤ 1
\u22a2 (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ 1) ^ (1 / 1) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ 1) ^ (1 / 1) + (∑ i ∈ s, g i ^ 1) ^ (1 / 1)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
\u22a2 (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent
\u22a2 (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent
this : IsGreatest ((fun g_1 => ∑ i ∈ s, (f + g) i * g_1 i) '' {g | ∑ i ∈ s, g i ^ p.conjExponent ≤ 1}) ((∑ i ∈ s, (f + g) i ^ p) ^ (1 / p))
\u22a2 (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent
this : IsGreatest ((fun a => ∑ x ∈ s, f x * a x + ∑ x ∈ s, g x * a x) '' {g | ∑ i ∈ s, g i ^ p.conjExponent ≤ 1}) ((∑ x ∈ s, (f x + g x) ^ p) ^ (1 / p))
\u22a2 (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent
this : IsGreatest ((fun a => ∑ x ∈ s, f x * a x + ∑ x ∈ s, g x * a x) '' {g | ∑ i ∈ s, g i ^ p.conjExponent ≤ 1}) ((∑ x ∈ s, (f x + g x) ^ p) ^ (1 / p))
φ : ι → ℝ≥0
hφ : φ ∈ {g | ∑ i ∈ s, g i ^ p.conjExponent ≤ 1}
H : (fun a => ∑ x ∈ s, f x * a x + ∑ x ∈ s, g x * a x) φ = (∑ x ∈ s, (f x + g x) ^ p) ^ (1 / p)
\u22a2 (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent
this : IsGreatest ((fun a => ∑ x ∈ s, f x * a x + ∑ x ∈ s, g x * a x) '' {g | ∑ i ∈ s, g i ^ p.conjExponent ≤ 1}) ((∑ x ∈ s, (f x + g x) ^ p) ^ (1 / p))
φ : ι → ℝ≥0
hφ : φ ∈ {g | ∑ i ∈ s, g i ^ p.conjExponent ≤ 1}
H : (fun a => ∑ x ∈ s, f x * a x + ∑ x ∈ s, g x * a x) φ = (∑ x ∈ s, (f x + g x) ^ p) ^ (1 / p)
\u22a2 (fun a => ∑ x ∈ s, f x * a x + ∑ x ∈ s, g x * a x) φ ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m✝ m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
\u22a2 (OuterMeasure.pi m) (univ.pi s) ≤ ∏ i : ι, (m i) (s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m✝ m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
h : univ.pi s = ∅
\u22a2 (OuterMeasure.pi m) (univ.pi s) ≤ ∏ i : ι, (m i) (s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m✝ m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
h : (univ.pi s).Nonempty
\u22a2 (OuterMeasure.pi m) (univ.pi s) ≤ ∏ i : ι, (m i) (s i)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : DecidableEq M
φ : MvPolynomial σ R
i : M
hi : i ∉ Finset.image (⇑(weight w)) φ.support
\u22a2 (weightedHomogeneousComponent w i) φ = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : DecidableEq M
φ : MvPolynomial σ R
i : M
hi : i ∉ Finset.image (⇑(weight w)) φ.support
\u22a2 ∀ d ∈ φ.support, (weight w) d ≠ i
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : DecidableEq M
φ : MvPolynomial σ R
i : M
hi : ∀ (x : σ →₀ ℕ), ¬coeff x φ = 0 → ¬(weight w) x = i
\u22a2 ∀ d ∈ φ.support, (weight w) d ≠ i
-- Mathlib/Order/JordanHolder.lean
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
x y : X
hm : IsMaximal x (x ⊔ y)
\u22a2 Iso (x, x ⊔ y) (x ⊓ y, y)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Defs.lean
α✝ α : Type u
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b c : α
bc : a * b ≤ a * c
\u22a2 b ≤ c
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
g : R[X]
inst✝ : Field K
f : K[X]
hf : f.Monic
hf' : optParam (f ≠ 0) ⋯
\u22a2 minpoly K (powerBasis hf').gen = f
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
\u22a2 ker (map g g') = range (lTensor N f') ⊔ range (rTensor N' f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
\u22a2 ker (lTensor P g' ∘ₗ rTensor N' g) = range (lTensor N f') ⊔ range (rTensor N' f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
\u22a2 Submodule.comap (rTensor N' g) (ker (lTensor P g')) = range (lTensor N f') ⊔ range (rTensor N' f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
\u22a2 Submodule.comap (rTensor N' g) (ker (lTensor P g')) = range (lTensor N f') ⊔ ker (rTensor N' g)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
\u22a2 Submodule.comap (rTensor N' g) (ker (lTensor P g')) = Submodule.comap (rTensor N' g) (Submodule.map (rTensor N' g) (range (lTensor N f')))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
\u22a2 ker (lTensor P g') = Submodule.map (rTensor N' g) (range (lTensor N f'))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
\u22a2 ker (lTensor P g') = range (map g f')
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
\u22a2 ker (lTensor P g') = Submodule.map (lTensor P f') (range (rTensor M' g))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
\u22a2 ker (lTensor P g') = range (lTensor P f')
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
h : n < l.length
\u22a2 modifyNth f n l = l.set n (f (l.get ⟨n, h⟩))
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
h : n < l.length
\u22a2 ((fun a => l.set n (f a)) <$> some (l.get ⟨n, h⟩)).getD l = l.set n (f (l.get ⟨n, h⟩))
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
p₁ p₂ : P
c : 𝕜
\u22a2 dist ((homothety p₁ c) p₂) p₂ = ‖1 - c‖ * dist p₁ p₂
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝕜' : Type u_6
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : E → 𝕜'
c' : E →L[𝕜] 𝕜'
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
f : F
\u22a2 HasFDerivWithinAt (fun y => c y • f) (c'.smulRight f) s x