ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b✝ a b : K
\u22a2 b / -a = b * (1 / -a)
-- Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b✝ a b : K
\u22a2 b * (1 / -a) = b * -(1 / a)
-- Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b✝ a b : K
\u22a2 b * -(1 / a) = -(b * (1 / a))
-- Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b✝ a b : K
\u22a2 -(b * (1 / a)) = -(b / a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f [[a, b]] μ
\u22a2 ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in x..b, f t ∂μ) [[a, b]]
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f [[b, a]] μ
\u22a2 ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in x..b, f t ∂μ) [[b, a]]
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f [[b, a]] μ
\u22a2 ContinuousOn (fun x => -∫ (t : ℝ) in b..x, f t ∂μ) [[b, a]]
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
\u22a2 s.Gammaℝ ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
\u22a2 ↑π ^ (-s / 2) ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
\u22a2 Gamma (s / 2) ≠ 0
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : DecidableEq γ
s : Finset α
t : Finset β
f : α × β → Finset γ
\u22a2 (s ×ˢ t).biUnion f = s.biUnion fun a => t.biUnion fun b => f (a, b)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hn : 0 < n
\u22a2 (aeval (Function.uncurry fun i => (![] i).coeff)) (wittOne p n) = 0
-- Mathlib/Topology/Connected/TotallyDisconnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace β
f : α → β
h : Continuous f
\u22a2 ∀ (a b : α), Setoid.r a b → f a = f b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
m : M
\u22a2 lc e (h.coeffs m) = m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
m : M
i : ι
\u22a2 (ε i) (lc e (h.coeffs m) - m) = 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : P ^ (i + 1) < I
hle : I ≤ P ^ i
\u22a2 I = P ^ i
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : P ^ (i + 1) < I
hle : I ≤ P ^ i
\u22a2 P ^ i ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : P ^ (i + 1) < I
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P
\u22a2 P ^ i ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : P ^ (i + 1) < I
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P
h1 : I ≠ ⊥
\u22a2 P ^ i ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : P ^ (i + 1) < I
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P
h1 : I ≠ ⊥
this : P ^ i ≠ 0
\u22a2 P ^ i ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : P ^ (i + 1) < I
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P
h1 : I ≠ ⊥
this : P ^ i ≠ 0
h3 : P ^ (i + 1) ≠ 0
\u22a2 P ^ i ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : normalizedFactors I ≤ Multiset.replicate i (normalize P)
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P
h1 : I ≠ ⊥
this : P ^ i ≠ 0
h3 : P ^ (i + 1) ≠ 0
\u22a2 P ^ i ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : normalizedFactors I ≤ Multiset.replicate i (normalize P)
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P
h1 : I ≠ ⊥
this : P ^ i ≠ 0
h3 : P ^ (i + 1) ≠ 0
\u22a2 normalizedFactors I ≤ Multiset.replicate i (normalize P)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : normalizedFactors I ≤ Multiset.replicate i (normalize P)
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P
h1 : I ≠ ⊥
this : P ^ i ≠ 0
h3 : P ^ (i + 1) ≠ 0
\u22a2 I ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : normalizedFactors I ≤ Multiset.replicate i (normalize P)
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P
h1 : I ≠ ⊥
this : P ^ i ≠ 0
h3 : P ^ (i + 1) ≠ 0
\u22a2 P ^ i ≠ 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
\u22a2 (reflection s) p = p ↔ p ∈ s
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
\u22a2 ↑((orthogonalProjection s) p) -ᵥ p +ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p) = p ↔ ↑((orthogonalProjection s) p) = p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
\u22a2 Monic 1
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/ContinuousMapZero.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹⁸ : Zero X
inst✝¹⁷ : Zero Y
inst✝¹⁶ : CommSemiring M
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝¹³ : TopologicalSpace R
inst✝¹² : TopologicalSpace S
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : StarRing S
inst✝⁵ : TopologicalSemiring S
inst✝⁴ : ContinuousStar S
inst✝³ : Module M R
inst✝² : Module M S
inst✝¹ : ContinuousConstSMul M R
inst✝ : ContinuousConstSMul M S
φ : R →⋆ₙₐ[M] S
hφ : Continuous ⇑φ
x✝ : C(X, R)₀
\u22a2 ∀ (x : X), ({ toFun := { toFun := ⇑φ, continuous_toFun := hφ, map_zero' := ⋯ }.comp, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯ }.toFun (star x✝)) x = (star ({ toFun := { toFun := ⇑φ, continuous_toFun := hφ, map_zero' := ⋯ }.comp, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯ }.toFun x✝)) x
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
t : Multiset α
a b : α
\u22a2 ∀ {s u : Multiset α}, s ≤ t → s ≤ u → s ≤ t ∩ u
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
t : Multiset α
a b : α
s u : Multiset α
h₁ : s ≤ 0
h₂ : s ≤ u
\u22a2 s ≤ 0 ∩ u
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
t✝ : Multiset α
a✝ b a : α
t : Multiset α
IH : ∀ {s u : Multiset α}, s ≤ t → s ≤ u → s ≤ t ∩ u
s u : Multiset α
h₁ : s ≤ a ::ₘ t
h₂ : s ≤ u
\u22a2 s ≤ (a ::ₘ t) ∩ u
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s✝ t✝ : Set α
h : Semiconj f fa fb
s t : Set β
hb : MapsTo fb s t
x : α
hx : x ∈ f ⁻¹' s
\u22a2 fa x ∈ f ⁻¹' t
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
t : Set α := toMeasurable μ s
ht : t = toMeasurable μ s
\u22a2 ∫ (x : α) in s, (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν ≤ (μ s).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
t : Set α := toMeasurable μ s
ht : t = toMeasurable μ s
ht_m : MeasurableSet t
\u22a2 ∫ (x : α) in s, (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν ≤ (μ s).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
t : Set α := toMeasurable μ s
ht : t = toMeasurable μ s
ht_m : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
\u22a2 ∫ (x : α) in s, (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν ≤ (μ s).toReal
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
\u22a2 (𝓕 fun x => cexp (-↑π * b * ↑x ^ 2)) = fun t => 1 / b ^ (1 / 2) * cexp (-↑π / b * ↑t ^ 2)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α✝ : Type u_1
a : α✝
l₁ l₂ : List α✝
\u22a2 [a].Disjoint l₂ ∧ l₁.Disjoint l₂ ↔ ¬a ∈ l₂ ∧ l₁.Disjoint l₂
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y✝ f' : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hfd : DifferentiableOn ℝ f S
x : ℝ
hx : x ∈ S
y : ℝ
hy : y ∈ S
hxy : x < y
\u22a2 derivWithin f S y < derivWithin f S x
-- Mathlib/FieldTheory/IntermediateField.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field L'
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra K L'
S : IntermediateField K L
inst✝¹ : Algebra L' L
inst✝ : IsScalarTower K L' L
U V : IntermediateField L' L
H : restrictScalars K U = restrictScalars K V
x : L
\u22a2 x ∈ U ↔ x ∈ V
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module.Free R M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module.Free R M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module.Free R M₁
ι : Type u_1
inst✝ : Unique ι
h : finrank R M = 1
v : M
i : ι
hv : v = 0
\u22a2 ((basisUnique ι h).repr v) i = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
\u22a2 (o.oangle x (x + y)).sin * ‖x + y‖ = ‖y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1
\u22a2 (o.oangle x (x + y)).sin * ‖x + y‖ = ‖y‖
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
\u22a2 t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j ≫ pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫ pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g = pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫ pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplexLimits.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
J : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.6070, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.6074, u_3} J
c : ComplexShape ι
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
F : J ⥤ HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (n : ι), HasLimit (F ⋙ eval C c n)
n m : ι
h : ¬c.Rel n m
j : J
\u22a2 (fun n m => limMap { app := fun j => (F.obj j).d n m, naturality := ⋯ }) n m ≫ limit.π (F ⋙ eval C c m) j = 0 ≫ limit.π (F ⋙ eval C c m) j
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplexLimits.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
J : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.6070, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.6074, u_3} J
c : ComplexShape ι
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
F : J ⥤ HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (n : ι), HasLimit (F ⋙ eval C c n)
n m : ι
h : ¬c.Rel n m
j : J
\u22a2 limit.π (F ⋙ eval C c n) j ≫ { app := fun j => (F.obj j).d n m, naturality := ⋯ }.app j = 0 ≫ limit.π (F ⋙ eval C c m) j
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplexLimits.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
J : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.6070, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.6074, u_3} J
c : ComplexShape ι
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
F : J ⥤ HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (n : ι), HasLimit (F ⋙ eval C c n)
n m : ι
h : ¬c.Rel n m
j : J
\u22a2 limit.π (F ⋙ eval C c n) j ≫ (F.obj j).d n m = 0 ≫ limit.π (F ⋙ eval C c m) j
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplexLimits.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
J : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.6070, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.6074, u_3} J
c : ComplexShape ι
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
F : J ⥤ HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (n : ι), HasLimit (F ⋙ eval C c n)
i j : J
φ : i ⟶ j
n : ι
\u22a2 𝟙 (limit (F ⋙ eval C c n)) ≫ limit.π (F ⋙ eval C c n) j = limit.π (F ⋙ eval C c n) i ≫ (F.map φ).f n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
a : α
ha : 0 ≤ a
\u22a2 ↑⌊a⌋₊ = ⌊a⌋
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
d : Nat
n : Int
a : Nat
d0 : d ≠ 0
a0 : a ≠ 0
\u22a2 normalize (↑a * n) (a * d) ⋯ = normalize n d d0
-- Mathlib/CategoryTheory/Simple.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
X Y : C
inst✝¹ : Simple X
f : X ⟶ Y
inst✝ : Epi f
w : IsIso f → False
\u22a2 f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Terminal.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
X Y : C
hX : IsInitial X
hY : IsInitial Y
f : X ⟶ Y
\u22a2 f ≫ hY.to X = 𝟙 X ∧ hY.to X ≫ f = 𝟙 Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Terminal.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
X Y : C
hX : IsInitial X
hY : IsInitial Y
f : X ⟶ Y
\u22a2 f ≫ hY.to X = 𝟙 X
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/FDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E
\u22a2 UniqueMDiffOn 𝓘(𝕜, E) s ↔ UniqueDiffOn 𝕜 s
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : AddMonoidWithOne R
\u22a2 1 = closure {1}
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : AddMonoidWithOne R
\u22a2 AddMonoidHom.mrange (Nat.castAddMonoidHom R) = AddMonoidHom.mrange ((multiplesHom R) 1)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
\u22a2 IsNilpotent (P * X) ↔ IsNilpotent P
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
\u22a2 IsNilpotent (X * P) ↔ IsNilpotent P
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
inst✝ : UniformSpace β
S : Set ι
\u22a2 UniformSpace.comap S.restrict (uniformSpace fun i => α ↑i) = ⨅ i ∈ S, UniformSpace.comap (eval i) (U i)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/HomEquiv.lean
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{u_9, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.45154, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.45158, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.45162, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_10, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.45174, u_7} D₃
W : MorphismProperty C
L₁ : C ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W
L₂ : C ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W
L₃ : C ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W
X Y Z : C
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y
g : L₁.obj Y ⟶ L₁.obj Z
\u22a2 (homEquiv W L₁ L₂) (f ≫ g) = (homEquiv W L₁ L₂) f ≫ (homEquiv W L₁ L₂) g
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
i j : ℕ
h : i ≠ j
a : α
hj : j < (l.set i a).length
\u22a2 (l.set i a).get ⟨j, hj⟩ = l.get ⟨j, ⋯⟩
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α✝
x✝ y z : α✝
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α✝
α : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
\u22a2 IsOpen {x} ↔ ∃ ε > 0, ∀ (y : α), dist y x < ε → y = x
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ a b : α
\u22a2 (a ⊔ b) ^ 2 = a * b * mabs (b / a)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M'
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
f : MultilinearMap R M M₂
m : (i : Fin n) → M i.succ
x y : M 0
\u22a2 f (cons (x + y) m) = f (cons x m) + f (cons y m)
-- Mathlib/Algebra/Module/CharacterModule.lean
R : Type uR
inst✝⁶ : CommRing R
A : Type uA
inst✝⁵ : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝³ : AddCommGroup B
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R A'
inst✝ : Module R B
f : A →ₗ[R] B
r : R
c : CharacterModule B
x : A
\u22a2 ({ toFun := fun L => AddMonoidHom.comp L f.toAddMonoidHom, map_add' := ⋯ }.toFun (r • c)) x = ((RingHom.id R) r • { toFun := fun L => AddMonoidHom.comp L f.toAddMonoidHom, map_add' := ⋯ }.toFun c) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.21752, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.21759, u_2} D
inst✝ : HasStrictInitialObjects C
X : C
h : IsInitial X
F' : Discrete PEmpty.{1} ⥤ C
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ Functor.empty C
f : c'.pt ⟶ (asEmptyCocone X).pt
hf : α ≫ (asEmptyCocone X).ι = c'.ι ≫ (Functor.const (Discrete PEmpty.{1})).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
\u22a2 Nonempty (IsColimit c') ↔ ∀ (j : Discrete PEmpty.{1}), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((asEmptyCocone X).ι.app j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.21752, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.21759, u_2} D
inst✝ : HasStrictInitialObjects C
X : C
h : IsInitial X
F' : Discrete PEmpty.{1} ⥤ C
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ Functor.empty C
f : c'.pt ⟶ (asEmptyCocone X).pt
hf : α ≫ (asEmptyCocone X).ι = c'.ι ≫ (Functor.const (Discrete PEmpty.{1})).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
this : F' = Functor.empty C
\u22a2 Nonempty (IsColimit c') ↔ ∀ (j : Discrete PEmpty.{1}), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((asEmptyCocone X).ι.app j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.21752, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.21759, u_2} D
inst✝ : HasStrictInitialObjects C
X : C
h : IsInitial X
c' : Cocone (Functor.empty C)
α : Functor.empty C ⟶ Functor.empty C
f : c'.pt ⟶ (asEmptyCocone X).pt
hf : α ≫ (asEmptyCocone X).ι = c'.ι ≫ (Functor.const (Discrete PEmpty.{1})).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
\u22a2 Nonempty (IsColimit c') ↔ ∀ (j : Discrete PEmpty.{1}), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((asEmptyCocone X).ι.app j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.21752, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.21759, u_2} D
inst✝ : HasStrictInitialObjects C
X : C
h : IsInitial X
c' : Cocone (Functor.empty C)
α : Functor.empty C ⟶ Functor.empty C
f : c'.pt ⟶ (asEmptyCocone X).pt
hf : α ≫ (asEmptyCocone X).ι = c'.ι ≫ (Functor.const (Discrete PEmpty.{1})).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
this : IsIso f
\u22a2 Nonempty (IsColimit c') ↔ ∀ (j : Discrete PEmpty.{1}), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((asEmptyCocone X).ι.app j)
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
\u22a2 IsLocallyClosed s ↔ ∀ (i : ι), IsLocallyClosed (Subtype.val ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
\u22a2 IsOpen (coborder s) ↔ ∀ (i : ι), IsOpen (coborder (Subtype.val ⁻¹' s))
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
\u22a2 (∀ (i : ι), IsOpen (Subtype.val ⁻¹' coborder s)) ↔ ∀ (i : ι), IsOpen (coborder (Subtype.val ⁻¹' s))
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
h : a ≤ b
\u22a2 1 / b ≤ 1 / a
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
h : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
s_meas : MeasurableSet s
μs : μ s ≠ ⊤
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ s
\u22a2 ∃ K ⊆ s, (fun s => IsCompact s ∧ IsClosed s) K ∧ r < μ K
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
h : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
s_meas : MeasurableSet s
μs : μ s ≠ ⊤
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ s
K : Set G
Ks : K ⊆ s
K_comp : IsCompact K
hK : r < μ K
\u22a2 ∃ K ⊆ s, (fun s => IsCompact s ∧ IsClosed s) K ∧ r < μ K