ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ
this : HasSum (fun x => ((-z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)! - (z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)!) * I / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (-z * I) - NormedSpace.exp ℂ (z * I)) * I / 2)
k : ℕ
\u22a2 HasSum (fun c => ((-z * I) ^ (2 * (k, c).1 + ↑(k, c).2) / ↑(2 * (k, c).1 + ↑(k, c).2)! - (z * I) ^ (2 * (k, c).1 + ↑(k, c).2) / ↑(2 * (k, c).1 + ↑(k, c).2)!) * I / 2) ((z * I) ^ (2 * k + 1) / ↑(2 * k + 1)! / I)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ
this : HasSum (fun x => ((-z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)! - (z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)!) * I / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (-z * I) - NormedSpace.exp ℂ (z * I)) * I / 2)
k : ℕ
\u22a2 HasSum (fun c => ((-z * I) ^ (2 * k + ↑c) / ↑(2 * k + ↑c)! - (z * I) ^ (2 * k + ↑c) / ↑(2 * k + ↑c)!) * I / 2) ((z * I) ^ (2 * k + 1) / ↑(2 * k + 1)! / I)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ
this : HasSum (fun x => ((-z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)! - (z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)!) * I / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (-z * I) - NormedSpace.exp ℂ (z * I)) * I / 2)
k : ℕ
\u22a2 (z * I) ^ (2 * k + 1) / ↑(2 * k + 1)! / I = ∑ b : Fin 2, ((-z * I) ^ (2 * k + ↑b) / ↑(2 * k + ↑b)! - (z * I) ^ (2 * k + ↑b) / ↑(2 * k + ↑b)!) * I / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ
this : HasSum (fun x => ((-z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)! - (z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)!) * I / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (-z * I) - NormedSpace.exp ℂ (z * I)) * I / 2)
k : ℕ
\u22a2 (z * I) ^ (2 * k + 1) / ↑(2 * k + 1)! / I = ((-z * I) ^ (2 * k + ↑0) / ↑(2 * k + ↑0)! - (z * I) ^ (2 * k + ↑0) / ↑(2 * k + ↑0)!) * I / 2 + ((-z * I) ^ (2 * k + ↑1) / ↑(2 * k + ↑1)! - (z * I) ^ (2 * k + ↑1) / ↑(2 * k + ↑1)!) * I / 2
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/Killing.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : Module.Finite R L
x : L
D : LieDerivation R L L
hD : D ∈ __spread✝⁻⁰.carrier
\u22a2 ⁅x, D⁆ ∈ __spread✝⁻⁰.carrier
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/Killing.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : Module.Finite R L
x : L
D : LieDerivation R L L
hD : D ∈ __spread✝⁻⁰.carrier
this : (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule = (lieIdealSubalgebra R (LieDerivation R L L) (LieIdeal.killingCompl R (LieDerivation R L L) (ad R L).idealRange)).toSubmodule
\u22a2 ⁅x, D⁆ ∈ __spread✝⁻⁰.carrier
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/Killing.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : Module.Finite R L
x : L
D : LieDerivation R L L
this : (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule = (lieIdealSubalgebra R (LieDerivation R L L) (LieIdeal.killingCompl R (LieDerivation R L L) (ad R L).idealRange)).toSubmodule
hD : D ∈ (lieIdealSubalgebra R (LieDerivation R L L) (LieIdeal.killingCompl R (LieDerivation R L L) (ad R L).idealRange)).toSubmodule
\u22a2 ⁅x, D⁆ ∈ (lieIdealSubalgebra R (LieDerivation R L L) (LieIdeal.killingCompl R (LieDerivation R L L) (ad R L).idealRange)).toSubmodule
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/Killing.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : Module.Finite R L
x : L
D : LieDerivation R L L
this : (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule = (lieIdealSubalgebra R (LieDerivation R L L) (LieIdeal.killingCompl R (LieDerivation R L L) (ad R L).idealRange)).toSubmodule
hD : D ∈ (lieIdealSubalgebra R (LieDerivation R L L) (LieIdeal.killingCompl R (LieDerivation R L L) (ad R L).idealRange)).toSubmodule
\u22a2 ⁅(ad R L) x, D⁆ ∈ (lieIdealSubalgebra R (LieDerivation R L L) (LieIdeal.killingCompl R (LieDerivation R L L) (ad R L).idealRange)).toSubmodule
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y U : Scheme
f : Y ⟶ U
g : U ⟶ X
h : IsOpenImmersion g
V : U.Opens
\u22a2 Scheme.Hom.app f V = (Scheme.Hom.appIso g V).inv ≫ Scheme.Hom.app (f ≫ g) (g ''ᵁ V) ≫ Y.presheaf.map (eqToHom ⋯).op
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
h : ↑k = ↑j
\u22a2 j.contractNth op g k = op (g k.castSucc) (g k.succ)
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
h : ↑k = ↑j
this : ¬↑k < ↑j
\u22a2 j.contractNth op g k = op (g k.castSucc) (g k.succ)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f : α → ℝ
\u22a2 ((fun x => 1) =O[l] fun x => rexp (f x)) ↔ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l f
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
x : E
\u22a2 -x ∈ p.ball 0 r ↔ x ∈ p.ball 0 r
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]
\u22a2 q.lift (x + y) = q.lift x + q.lift y
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]
\u22a2 (algebraMap R A) x.re + (algebraMap R A) y.re + (x.imI • q.i + y.imI • q.i) + (x.imJ • q.j + y.imJ • q.j) + (x.imK • q.k + y.imK • q.k) = (algebraMap R A) x.re + x.imI • q.i + x.imJ • q.j + x.imK • q.k + ((algebraMap R A) y.re + y.imI • q.i + y.imJ • q.j + y.imK • q.k)
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
\u22a2 ↑0⁻¹ = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
\u22a2 0 ≤ ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E 0)
\u22a2 0 ≤ ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E ⊤)
\u22a2 0 ≤ ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
hp : 0 < p.toReal
\u22a2 0 ≤ ‖f‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
P : (α → ℝ≥0∞) → Prop
h_ind : ∀ (c : ℝ≥0∞) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → P (s.indicator fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → ℝ≥0∞⦄, Disjoint (support f) (support g) → Measurable f → Measurable g → P f → P g → P (f + g)
h_iSup : ∀ ⦃f : ℕ → α → ℝ≥0∞⦄, (∀ (n : ℕ), Measurable (f n)) → Monotone f → (∀ (n : ℕ), P (f n)) → P fun x => ⨆ n, f n x
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
\u22a2 P f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
P : (α → ℝ≥0∞) → Prop
h_ind : ∀ (c : ℝ≥0∞) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → P (s.indicator fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → ℝ≥0∞⦄, Disjoint (support f) (support g) → Measurable f → Measurable g → P f → P g → P (f + g)
h_iSup : ∀ ⦃f : ℕ → α → ℝ≥0∞⦄, (∀ (n : ℕ), Measurable (f n)) → Monotone f → (∀ (n : ℕ), P (f n)) → P fun x => ⨆ n, f n x
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
\u22a2 f = fun x => ⨆ n, ↑(eapprox f n) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
P : (α → ℝ≥0∞) → Prop
h_ind : ∀ (c : ℝ≥0∞) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → P (s.indicator fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → ℝ≥0∞⦄, Disjoint (support f) (support g) → Measurable f → Measurable g → P f → P g → P (f + g)
h_iSup : ∀ ⦃f : ℕ → α → ℝ≥0∞⦄, (∀ (n : ℕ), Measurable (f n)) → Monotone f → (∀ (n : ℕ), P (f n)) → P fun x => ⨆ n, f n x
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
\u22a2 ∀ (n : ℕ), P ↑(eapprox f n)
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/ContinuantsRecurrence.lean
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
gp : Pair K
ppredA predA : K
succ_nth_s_eq : g.s.get? (n + 1) = some gp
nth_num_eq : g.nums n = ppredA
succ_nth_num_eq : g.nums (n + 1) = predA
\u22a2 g.nums (n + 2) = gp.b * predA + gp.a * ppredA
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/ContinuantsRecurrence.lean
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
gp : Pair K
predA : K
succ_nth_s_eq : g.s.get? (n + 1) = some gp
succ_nth_num_eq : g.nums (n + 1) = predA
ppredConts : Pair K
nth_conts_eq : g.conts n = ppredConts
nth_num_eq : g.nums n = ppredConts.a
\u22a2 g.nums (n + 2) = gp.b * predA + gp.a * ppredConts.a
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/ContinuantsRecurrence.lean
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
gp : Pair K
succ_nth_s_eq : g.s.get? (n + 1) = some gp
ppredConts : Pair K
nth_conts_eq : g.conts n = ppredConts
nth_num_eq : g.nums n = ppredConts.a
predConts : Pair K
succ_nth_conts_eq : g.conts (n + 1) = predConts
succ_nth_num_eq : g.nums (n + 1) = predConts.a
\u22a2 g.nums (n + 2) = gp.b * predConts.a + gp.a * ppredConts.a
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
c : Code
n x : ℕ
\u22a2 x ∈ c.eval n ↔ x ∈ rfindOpt fun k => evaln k c n
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
c : Code
n x : ℕ
\u22a2 ∀ {a m n_1 : ℕ}, m ≤ n_1 → a ∈ evaln m c n → a ∈ evaln n_1 c n
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
c : Code
n✝ x a m n : ℕ
hl : m ≤ n
\u22a2 a ∈ evaln m c n✝ → a ∈ evaln n c n✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Dialectica/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y Z : Dial C
F : X.Hom Y
G : Y.Hom Z
\u22a2 (Subobject.pullback π(π₁, π(π₁, prod.map F.f (𝟙 Z.tgt) ≫ G.F) ≫ F.F)).obj X.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map (F.f ≫ G.f) (𝟙 Z.tgt))).obj Z.rel
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Terminal.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : InitialMonoClass C
I X : C
hI : IsInitial I
f : I ⟶ X
\u22a2 Mono f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Terminal.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : InitialMonoClass C
I X : C
hI : IsInitial I
f : I ⟶ X
\u22a2 Mono (hI.to X)
-- Mathlib/Topology/Order/Lattice.lean
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace L
inst✝² : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeInf L
inst✝ : ContinuousInf L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
x : X
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousWithinAt (f i) t x
\u22a2 ContinuousWithinAt (s.inf' hne f) t x
-- Mathlib/CategoryTheory/EqToHom.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Y' : C
p : Y = Y'
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Y'
h : f = g ≫ eqToHom ⋯
\u22a2 f ≫ eqToHom p = g
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x : O
hx : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x ≠ 0
\u22a2 preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x) = v ((algebraMap O K) x)
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x : O
hx : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x ≠ 0
r : O
hr : r * ↑p = (Quotient.mk'' x).out' - x
\u22a2 preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x) = v ((algebraMap O K) x)
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x : O
hx : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x ≠ 0
r : O
hr : r * ↑p = (Quotient.mk'' x).out' - x
\u22a2 ¬v ((algebraMap O K) x) ≤ v ((algebraMap O K) (Quotient.out' ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x)) - (algebraMap O K) x)
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
x : O
hx : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) x ≠ 0
r : O
hr : r * ↑p = (Quotient.mk'' x).out' - x
\u22a2 ¬r * ↑p ∣ x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Deriv.lean
x y z : ℝ
\u22a2 |0| < |x| ↔ x ≠ 0
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hX : ¬Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
\u22a2 mgf X μ t = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/AmpleSet.lean
F : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module ℝ F
inst✝³ : TopologicalSpace F
E : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
h : AmpleSet s
L : E ≃ᵃL[ℝ] F
x : E
hx : x ∈ s
\u22a2 ⇑L '' (convexHull ℝ) (connectedComponentIn s x) = univ
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x✝ y x : ℝ≥0
\u22a2 sqrt (x * x) = x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
\u22a2 Set.range ⇑(pullback.fst f g ≫ f).val.base = Set.range ⇑f.val.base ∩ Set.range ⇑g.val.base
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
\u22a2 s ⊂ t ↔ ∃ a, ∃ (h : a ∉ s), cons a s h ⊆ t
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
h : s ⊂ t
\u22a2 ∃ a, ∃ (h : a ∉ s), cons a s h ⊆ t
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Finset α
a✝ b : α
h : s ⊂ t
a : α
hs : a ∈ t
ht : a ∉ s
\u22a2 ∃ a, ∃ (h : a ∉ s), cons a s h ⊆ t
-- Mathlib/Data/Set/Subsingleton.lean
α : Type u
a : α
s t : Set α
hs : s.Nontrivial
z : α
\u22a2 ∃ x ∈ s, x ≠ z
-- Mathlib/Data/Set/Subsingleton.lean
α : Type u
a : α
s t : Set α
hs : s.Nontrivial
z : α
H : ∀ x ∈ s, x = z
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re
\u22a2 L (fun n => χ ↑n) s * L ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(μ n)) s = 1
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b x y : Ordinal.{u_1}
xy : x ≤ y
hx : x = 0
\u22a2 log b x ≤ log b y
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b x y : Ordinal.{u_1}
xy : x ≤ y
hx : ¬x = 0
hb : ¬1 < b
\u22a2 log b x ≤ log b y
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
\u22a2 U R (n + 1) = X * U R n + T R (n + 1)
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)
\u22a2 Filter.coprodᵢ f = ⊥ ↔ f = ⊥
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : IsOpen s
\u22a2 (closure (s ∩ t))ᶜ ⊆ (s ∩ closure t)ᶜ
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
α a : R
e : α ^ n = a
\u22a2 nthRoots n a = Multiset.map (fun x => ζ ^ x * α) (Multiset.range n)
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ α a : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 0
e : α ^ 0 = a
\u22a2 nthRoots 0 a = Multiset.map (fun x => ζ ^ x * α) (Multiset.range 0)
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
α a : R
e : α ^ n = a
hn : n > 0
\u22a2 nthRoots n a = Multiset.map (fun x => ζ ^ x * α) (Multiset.range n)
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
\u22a2 s ⊆ {a}ᶜ ↔ a ∉ s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
p q r : R[X]
C : Type z
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
f : A ≃ₐ[R] B
g : B ≃ₐ[R] C
\u22a2 (mapAlgEquiv f).trans (mapAlgEquiv g) = mapAlgEquiv (f.trans g)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
p q r : R[X]
C : Type z
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
f : A ≃ₐ[R] B
g : B ≃ₐ[R] C
\u22a2 ∀ (a : A[X]), ((mapAlgEquiv f).trans (mapAlgEquiv g)) a = (mapAlgEquiv (f.trans g)) a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
p q r : R[X]
C : Type z
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
f : A ≃ₐ[R] B
g : B ≃ₐ[R] C
x : A[X]
\u22a2 ((mapAlgEquiv f).trans (mapAlgEquiv g)) x = (mapAlgEquiv (f.trans g)) x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
p q r : R[X]
C : Type z
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
f : A ≃ₐ[R] B
g : B ≃ₐ[R] C
x : A[X]
\u22a2 map ((↑g).comp ↑f) x = map (↑(f.trans g)) x
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α
hs : s.Nonempty
\u22a2 (⨅ i, m i) s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i, (m i) (t n)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α
hs : s.Nonempty
\u22a2 ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ μ ∈ range fun i => m i, μ (t n) = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i, (m i) (t n)
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p' s'
\u22a2 l ≤ l' ↔ ∀ (i' : ι'), p' i' → ∃ i, p i ∧ s i ⊆ s' i'
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
p : Set X → Prop
he : p ∅
hmono : ∀ ⦃s t : Set X⦄, s ⊆ t → p t → p s
hunion : ∀ ⦃s t : Set X⦄, p s → p t → p (s ∪ t)
hnhds : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, p t
f : Filter X := comk p he ⋯ ⋯
\u22a2 p s
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
p : Set X → Prop
he : p ∅
hmono : ∀ ⦃s t : Set X⦄, s ⊆ t → p t → p s
hunion : ∀ ⦃s t : Set X⦄, p s → p t → p (s ∪ t)
hnhds : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, p t
f : Filter X := comk p he ⋯ ⋯
this : sᶜ ∈ f
\u22a2 p s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
x : F
hx : x ∈ f '' s
y : F
hy : y ∈ f '' s
A : PartialEquiv E F := hf.toPartialEquiv hc
Af : ∀ (z : E), ↑A z = f z
\u22a2 ‖↑A.symm x - ↑A.symm y - ↑f'.symm (x - y)‖ ≤ ↑(‖↑f'.symm‖₊ * (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ - c)⁻¹ * c) * ‖x - y‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
y : F
hy : y ∈ f '' s
A : PartialEquiv E F := hf.toPartialEquiv hc
Af : ∀ (z : E), ↑A z = f z
x' : E
x's : x' ∈ s
hx : f x' ∈ f '' s
\u22a2 ‖↑A.symm (f x') - ↑A.symm y - ↑f'.symm (f x' - y)‖ ≤ ↑(‖↑f'.symm‖₊ * (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ - c)⁻¹ * c) * ‖f x' - y‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
A : PartialEquiv E F := hf.toPartialEquiv hc
Af : ∀ (z : E), ↑A z = f z
x' : E
x's : x' ∈ s
hx : f x' ∈ f '' s
y' : E
y's : y' ∈ s
hy : f y' ∈ f '' s
\u22a2 ‖↑A.symm (f x') - ↑A.symm (f y') - ↑f'.symm (f x' - f y')‖ ≤ ↑(‖↑f'.symm‖₊ * (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ - c)⁻¹ * c) * ‖f x' - f y'‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
A : PartialEquiv E F := hf.toPartialEquiv hc
Af : ∀ (z : E), ↑A z = f z
x' : E
x's : x' ∈ s
hx : f x' ∈ f '' s
y' : E
y's : y' ∈ s
hy : f y' ∈ f '' s
\u22a2 ‖x' - y' - ↑f'.symm (↑A x' - ↑A y')‖ ≤ ↑(‖↑f'.symm‖₊ * (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ - c)⁻¹ * c) * ‖↑A x' - ↑A y'‖
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : ℝ≥0∞
\u22a2 ↑x = 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x y : E
h : ∀ (v : ↥K), ⟪↑v, x⟫_𝕜 = ⟪↑v, y⟫_𝕜
u : E
hu : u ∈ K
\u22a2 ⟪u, x - y⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x y : E
h : ∀ (v : ↥K), ⟪↑v, x⟫_𝕜 = ⟪↑v, y⟫_𝕜
u : E
hu : u ∈ K
\u22a2 ⟪u, x⟫_𝕜 = ⟪u, y⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y✝ z x : ℝ
hx : x ≠ 0
y : ℝ≥0
\u22a2 (fun y => y ^ x) (y ^ x⁻¹) = y
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/Basic.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
x y : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
r : ℝ
h : ∀ (i : ι), I.upper i - I.lower i = (J.upper i - J.lower i) / r
\u22a2 I.distortion = J.distortion
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/Basic.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
x y : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
r : ℝ
h : ∀ (i : ι), I.upper i - I.lower i = (J.upper i - J.lower i) / r
\u22a2 (Finset.univ.sup fun i => (Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b) / Real.nnabs r) / (Real.nnabs (J.upper i - J.lower i) / Real.nnabs r)) = Finset.univ.sup fun i => (Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b)) / Real.nnabs (J.upper i - J.lower i)