ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/CompactOpen.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
f : C(X, Y)
\u22a2 𝓝 f = ⨅ K, ⨅ (_ : IsCompact K), ⨅ U, ⨅ (_ : IsOpen U), ⨅ (_ : MapsTo (⇑f) K U), 𝓟 {g | MapsTo (⇑g) K U}
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → List β
p : α → β → Bool
hf : Primrec f
hp : Primrec₂ p
a : α
\u22a2 List.foldr (fun b s => bif p a b then 0 else s + 1) 0 (f a) = List.findIdx (p a) (f a)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff = 0
\u22a2 f.eraseLead.natDegree ≤ f.natDegree - 2
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff = 0
\u22a2 f.eraseLead.coeff (f.natDegree - 1) = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : (∃ x, C x = f) ∨ 0 < f.natDegree ∧ f.coeff (f.natDegree - 1) = 0
\u22a2 f.eraseLead.coeff (f.natDegree - 1) = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
h : f.coeff (f.natDegree - 1) = 0
\u22a2 f.eraseLead.coeff (f.natDegree - 1) = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
h : f.coeff (f.natDegree - 1) = 0
\u22a2 f.nextCoeff = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/PosPart.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
\u22a2 mabs a * a = a⁺ᵐ ^ 2
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
i : ℤ
\u22a2 (natAbs 0).lcm i.natAbs = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
n : ℕ
x : ℤ_[p]
a b : ℕ
ha : x - ↑a ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
hb : x - ↑b ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
\u22a2 ↑a = ↑b
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α₁ : Type u_2
β₁ : Type u_1
β₂ : Type u_3
e : α₁ → β₁ ≃ β₂
a : α₁
b : β₁
\u22a2 ((sigmaEquivProd α₁ β₁).symm.trans (sigmaCongrRight e)) (a, b) = ((prodCongrRight e).trans (sigmaEquivProd α₁ β₂).symm) (a, b)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α₁ : Type u_2
β₁ : Type u_1
β₂ : Type u_3
e : α₁ → β₁ ≃ β₂
a : α₁
b : β₁
\u22a2 ⟨((sigmaEquivProd α₁ β₁).symm (a, b)).fst, (e ((sigmaEquivProd α₁ β₁).symm (a, b)).fst) ((sigmaEquivProd α₁ β₁).symm (a, b)).snd⟩ = (sigmaEquivProd α₁ β₂).symm (a, (e a) b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
hf : Function.Surjective ⇑f
h : affineSpan k s = ⊤
\u22a2 affineSpan k (⇑f '' s) = ⊤
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
ι : Sort u_1
f : ι → Cardinal.{u_2}
\u22a2 ⨅ i, f i = 0 ↔ IsEmpty ι ∨ ∃ i, f i = 0
-- Mathlib/Data/Finset/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
\u22a2 (Ioc s t).card = 2 ^ (t.card - s.card) - 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
μ✝ ν : Measure α
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure α
s : Set β
\u22a2 (Measure.map f μ) s = μ (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
μ✝ ν : Measure α
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure α
s : Set β
\u22a2 (Measure.map f μ) s ≤ μ (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
μ✝ ν : Measure α
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure α
s : Set β
t : Set β := f '' toMeasurable μ (f ⁻¹' s) ∪ (range f)ᶜ
\u22a2 (Measure.map f μ) s ≤ μ (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
μ✝ ν : Measure α
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure α
s : Set β
t : Set β := f '' toMeasurable μ (f ⁻¹' s) ∪ (range f)ᶜ
htm : MeasurableSet t
\u22a2 (Measure.map f μ) s ≤ μ (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
μ✝ ν : Measure α
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure α
s : Set β
t : Set β := f '' toMeasurable μ (f ⁻¹' s) ∪ (range f)ᶜ
htm : MeasurableSet t
hst : s ⊆ t
\u22a2 (Measure.map f μ) s ≤ μ (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
μ✝ ν : Measure α
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure α
s : Set β
t : Set β := f '' toMeasurable μ (f ⁻¹' s) ∪ (range f)ᶜ
htm : MeasurableSet t
hst : s ⊆ t
hft : f ⁻¹' t = toMeasurable μ (f ⁻¹' s)
\u22a2 (Measure.map f μ) s ≤ μ (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x
\u22a2 logb b x < y ↔ x < b ^ y
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
a : R
hzero : p + q ≠ 0
\u22a2 min (rootMultiplicity a p) (rootMultiplicity a q) ≤ rootMultiplicity a (p + q)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
a : R
hzero : p + q ≠ 0
\u22a2 (X - C a) ^ min (rootMultiplicity a p) (rootMultiplicity a q) ∣ p + q
-- Mathlib/Probability/Process/Filtration.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : MulZeroOneClass β
inst✝ : Nontrivial β
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
\u22a2 filtrationOfSet hsm = natural (fun i => (s i).indicator fun x => 1) ⋯
-- Mathlib/Probability/Process/Filtration.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : MulZeroOneClass β
inst✝ : Nontrivial β
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
\u22a2 (fun i => MeasurableSpace.generateFrom {t | ∃ j ≤ i, s j = t}) = fun i => MeasurableSpace.generateFrom {s_1 | ∃ n, MeasurableSet s_1}
-- Mathlib/Probability/Process/Filtration.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : MulZeroOneClass β
inst✝ : Nontrivial β
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
i : ι
\u22a2 MeasurableSpace.generateFrom {t | ∃ j ≤ i, s j = t} = MeasurableSpace.generateFrom {s_1 | ∃ n, MeasurableSet s_1}
-- Mathlib/Probability/Process/Filtration.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : MulZeroOneClass β
inst✝ : Nontrivial β
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
i : ι
\u22a2 ∀ t ∈ {t | ∃ j ≤ i, s j = t}, MeasurableSet t
-- Mathlib/Probability/Process/Filtration.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : MulZeroOneClass β
inst✝ : Nontrivial β
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
i : ι
\u22a2 ∀ t ∈ {s_1 | ∃ n, MeasurableSet s_1}, MeasurableSet t
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : AddCommGroup G
inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝³ : μ.IsNegInvariant
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcf : HasCompactSupport f
hf : Continuous f
hg : LocallyIntegrable g μ
\u22a2 Continuous (f ⋆[L, μ] g)
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : AddCommGroup G
inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝³ : μ.IsNegInvariant
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcf : HasCompactSupport f
hf : Continuous f
hg : LocallyIntegrable g μ
\u22a2 Continuous (g ⋆[L.flip, μ] f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
B : C
X Y : Subobject B
f : underlying.obj X ⟶ underlying.obj Y
w : f ≫ Y.arrow = X.arrow
\u22a2 X ≤ Y
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N✝ : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N : LieSubmodule R L M
h₁ : N ≤ maxTrivSubmodule R L M
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L (M ⧸ N) k = ⊥
\u22a2 IsNilpotent R L M
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N✝ : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N : LieSubmodule R L M
h₁ : N ≤ maxTrivSubmodule R L M
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L (M ⧸ N) k = ⊥
\u22a2 lowerCentralSeries R L M (k + 1) = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N✝ : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N : LieSubmodule R L M
h₁ : N ≤ maxTrivSubmodule R L M
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L (M ⧸ N) k = ⊥
\u22a2 ⁅⊤, lowerCentralSeries R L M k⁆ = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N✝ : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N : LieSubmodule R L M
h₁ : N ≤ maxTrivSubmodule R L M
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L (M ⧸ N) k = ⊥
\u22a2 lowerCentralSeries R L M k ≤ N
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N✝ : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N : LieSubmodule R L M
h₁ : N ≤ maxTrivSubmodule R L M
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L (M ⧸ N) k = ⊥
\u22a2 LieSubmodule.map (LieSubmodule.Quotient.mk' N) (lowerCentralSeries R L M k) ≤ lowerCentralSeries R L (M ⧸ N) k
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
d : Dir
q : Stmt Bool Λ' σ
v : σ
i : ℕ
IH : ∀ (T : Tape Bool), stepAux ((Stmt.move d)^[i] q) v T = stepAux q v ((Tape.move d)^[i] T)
T : Tape Bool
\u22a2 stepAux ((Stmt.move d)^[i + 1] q) v T = stepAux q v ((Tape.move d)^[i + 1] T)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
d : Dir
q : Stmt Bool Λ' σ
v : σ
i : ℕ
IH : ∀ (T : Tape Bool), stepAux ((Stmt.move d)^[i] q) v T = stepAux q v ((Tape.move d)^[i] T)
T : Tape Bool
\u22a2 stepAux ((Stmt.move d ∘ (Stmt.move d)^[i]) q) v T = stepAux q v (((Tape.move d)^[i] ∘ Tape.move d) T)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
d : Dir
q : Stmt Bool Λ' σ
v : σ
i : ℕ
IH : ∀ (T : Tape Bool), stepAux ((Stmt.move d)^[i] q) v T = stepAux q v ((Tape.move d)^[i] T)
T : Tape Bool
\u22a2 stepAux ((Stmt.move d)^[i] q) v (Tape.move d T) = stepAux q v ((Tape.move d)^[i] (Tape.move d T))
-- Mathlib/Algebra/Regular/SMul.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a✝ b✝ : R
s : S
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : MulAction R M
a b : M
ab : (fun x => 1 • x) a = (fun x => 1 • x) b
\u22a2 a = b
-- Mathlib/Algebra/Regular/SMul.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a✝ b✝ : R
s : S
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : MulAction R M
a b : M
ab : 1 • a = 1 • b
\u22a2 a = b
-- Mathlib/Algebra/Regular/SMul.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a✝ b✝ : R
s : S
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : MulAction R M
a b : M
ab : a = b
\u22a2 a = b
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
\u22a2 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
\u22a2 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
\u22a2 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
\u22a2 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
\u22a2 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
hu₁ : u - ⌊ξ⌋ * v ≤ v
\u22a2 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hcop : IsCoprime u v
left✝ : v = 1 → -(1 / 2) < ξ - ↑u
h : -1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1)) < ↑u * (2 * ↑v - 1) ∧ ↑u * (2 * ↑v - 1) < 1 + ξ * (↑v * (2 * ↑v - 1))
hv₀ : 0 < ↑v
hv₀' : 0 < 2 * ↑v - 1
hv₁ : 0 < 2 * v - 1
hu₀ : 0 ≤ u - ⌊ξ⌋ * v
hu₁ : u - ⌊ξ⌋ * v ≤ v
huv_cop : IsCoprime (u - ⌊ξ⌋ * v) v
\u22a2 0 < u - ⌊ξ⌋ * v ∧ u - ⌊ξ⌋ * v < v
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p✝ p n : ℕ
hn : (Finset.filter (fun e => p ∣ e + 1) (Finset.range n)).card = n / p
\u22a2 (Finset.filter (fun e => p ∣ e + 1) (Finset.range (n + 1))).card = (n + 1) / p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
\u22a2 toLaurent (Polynomial.C r) = C r
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
\u22a2 C r = C r * T ↑0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
hq : q = 0
\u22a2 norm (const (padicNorm p) q) = padicNorm p q
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
hq : q = 0
this : const (padicNorm p) q ≈ 0
\u22a2 norm (const (padicNorm p) q) = padicNorm p q
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
hq : ¬q = 0
\u22a2 norm (const (padicNorm p) q) = padicNorm p q
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
hq : ¬q = 0
this : ¬const (padicNorm p) q ≈ 0
\u22a2 norm (const (padicNorm p) q) = padicNorm p q
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y : Mon_ C
\u22a2 (X ⊗ Y).one ≫ (β_ X.X Y.X).hom = (Y ⊗ X).one
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y : Mon_ C
\u22a2 (ρ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (Y.one ⊗ X.one) = Y.one ⊗ X.one
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
s : Set α
t : Set β
x✝ : α
y : β
h : e.IsImage s t
x : α
hx : x ∈ e.source
\u22a2 ↑e.symm (↑e x) ∈ s ↔ ↑e x ∈ t
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
\u22a2 p ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
\u22a2 p = 0 → p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
\u22a2 q ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
\u22a2 q = 0 → p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
\u22a2 p.degree + q.degree ≤ (p * q).degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
\u22a2 ↑p.natDegree + ↑q.natDegree ≤ (p * q).degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
\u22a2 (p * q).coeff (p.natDegree + q.natDegree) ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
map_unit : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
j k : M' →ₗ[R] M''
h : j ∘ₗ f = k ∘ₗ f
\u22a2 j = k
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
map_unit : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
j k : M' →ₗ[R] M''
h : j ∘ₗ f = k ∘ₗ f
\u22a2 k ∘ₗ f = k ∘ₗ f
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 a ⊓ (a ⇨ b) ≤ b
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n : ℕ
\u22a2 m.Coprime (n + m) ↔ m.Coprime n
-- Mathlib/Data/Nat/Lattice.lean
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
u : ℕ → α
n : ℕ
\u22a2 ⨆ k, ⨆ (_ : k < n + 1), u k = u 0 ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k < n), u (k + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Lattice.lean
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
u : ℕ → α
n : ℕ
\u22a2 (⨆ (_ : 0 < n + 1), u 0) ⊔ ⨆ i, ⨆ (_ : i + 1 < n + 1), u (i + 1) = u 0 ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k < n), u (k + 1)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
\u22a2 a⁻¹ ≤ b ↔ b⁻¹ ≤ a
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
p : ℕ
\u22a2 p ∈ (a * b).primeFactorsList ↔ p ∈ a.primeFactorsList ∨ p ∈ b.primeFactorsList
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
p : ℕ
\u22a2 Prime p ∧ p ∣ a * b ↔ Prime p ∧ (p ∣ a ∨ p ∣ b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ : Measure α
ν : Measure β
μ : Measure α
e : α ≃ᵐ β
\u22a2 Measure.map (⇑e.symm) (Measure.map (⇑e) μ) ≪ μ
-- Mathlib/Algebra/Group/Invertible/Defs.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b : α
x✝ : Invertible a
\u22a2 a * (⅟a * b) = b
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝ : TopologicalSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
\u22a2 μ.testAgainstNN f = μ.mass * μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝ : TopologicalSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
\u22a2 (μ.mass • μ.normalize.toFiniteMeasure).testAgainstNN f = μ.mass * μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
χ : L → R
x : L
\u22a2 (trace R ↥↑(weightSpace M χ)) ((toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x) = finrank R ↥↑(weightSpace M χ) • χ x