ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ ∑ i : ι, |x i| ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
eq_zero : ∀ (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0
nm_zero : (∑ x : ι, |0 x| ^ p) ^ (1 / p) = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(-x) x_1| ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
nm_add : ∀ (x y : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(x + y) x_1| ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, |y x| ^ p) ^ (1 / p)
nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(r • x) x_1| ^ p) ^ (1 / p) ≤ |r| * (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
\u22a2 (2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι = ∫ (x : ι → ℝ), rexp (-((∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p)) ^ p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ ∑ i : ι, |x i| ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
eq_zero : ∀ (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0
nm_zero : (∑ x : ι, |0 x| ^ p) ^ (1 / p) = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(-x) x_1| ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
nm_add : ∀ (x y : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(x + y) x_1| ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, |y x| ^ p) ^ (1 / p)
nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℝ), (∑ x_1 : ι, |(r • x) x_1| ^ p) ^ (1 / p) ≤ |r| * (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
\u22a2 ↑(card ι) / p + 1 = ↑(finrank ℝ (ι → ℝ)) / p + 1
-- Mathlib/Probability/Independence/Basic.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝¹ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β✝ : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_10
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
h_indep : iIndepFun m f μ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k l : ι
hik : i ≠ k
hil : i ≠ l
hjk : j ≠ k
hjl : j ≠ l
\u22a2 IndepFun (fun a => (f i a, f j a)) (fun a => (f k a, f l a)) μ
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
\u22a2 s.card ≤ 1 ↔ ∀ {a b : α}, a ∈ s → b ∈ s → a = b
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
\u22a2 (∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a = b) ↔ ∀ {a b : α}, a ∈ s → b ∈ s → a = b
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Analytic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y✝ : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CharZero 𝕜
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
\u22a2 HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) fun x => y) (f (x + y))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Analytic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y✝ : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CharZero 𝕜
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
n : ℕ
\u22a2 ((↑n !)⁻¹ • (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) fun x => y) = (p n) fun x => y
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ane0 : a ≠ 0
\u22a2 (factors a).prod ~ᵤ a
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ane0 : a ≠ 0
\u22a2 (Classical.choose ⋯).prod ~ᵤ a
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Monoid α
inst✝⁴ : Monoid β
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝² : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F
a b : α
n : ℕ
\u22a2 a ^ n ∣ b → f a ^ n ∣ f b
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Monoid α
inst✝⁴ : Monoid β
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝² : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F
a b : α
n : ℕ
\u22a2 a ^ n ∣ b → f (a ^ n) ∣ f b
-- Mathlib/RingTheory/FreeCommRing.lean
α : Type u
a : α
m : Multiset α
\u22a2 FreeAbelianGroup.of (Multiplicative.ofAdd (a ::ₘ m)) = of a * FreeAbelianGroup.of (Multiplicative.ofAdd m)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
p : Submodule R M
hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
μ : R
hμp : Disjoint (f.eigenspace μ) p
\u22a2 eigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
p : Submodule R M
hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
μ : R
hμp : Disjoint (f.eigenspace μ) p
\u22a2 eigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ ≤ ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
p : Submodule R M
hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
μ : R
hμp : Disjoint (f.eigenspace μ) p
x : ↥p
hx : x ∈ eigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ
\u22a2 x ∈ ⊥
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s1 s2 : Computation α
f : α → β
h1 : s1 ~ s2
\u22a2 map f s1 ~ map f s2
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s1 s2 : Computation α
f : α → β
h1 : s1 ~ s2
\u22a2 LiftRel (fun x x_1 => x = x_1) (map f s1) (map f s2)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α ≃ₜ β
g : β ≃ₜ γ
\u22a2 f.toContinuousMap.comp f.symm.toContinuousMap = ContinuousMap.id β
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
\u22a2 ‖x + y‖ * ‖x + y‖ + ‖x - y‖ * ‖x - y‖ = 2 * (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
\u22a2 re ⟪x + y, x + y⟫_𝕜 + re ⟪x - y, x - y⟫_𝕜 = 2 * (re ⟪x, x⟫_𝕜 + re ⟪y, y⟫_𝕜)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
\u22a2 re (⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜 + (⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜)) = re ⟪x, x⟫_𝕜 + re ⟪y, y⟫_𝕜 + (re ⟪x, x⟫_𝕜 + re ⟪y, y⟫_𝕜)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddZeroClass M
a : α
f : α →₀ M
\u22a2 single a (f a) + erase a f = f
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
Γ : K → Type u_2
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
k : K
S : List (Γ k)
n : ℕ
hL : ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some S).reverse
\u22a2 L.nth n k = S.reverse.get? n
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
Γ : K → Type u_2
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
k : K
S : List (Γ k)
n : ℕ
hL : ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some S).reverse
\u22a2 (Option.map some (S.reverse.get? n)).iget = S.reverse.get? n
-- Mathlib/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
\u22a2 filter (fun x => c ≤ x) (Ico a b) = Ico (max a c) b
-- Mathlib/Algebra/Ring/Basic.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Group α
inst✝ : HasDistribNeg α
a : α
\u22a2 (-a)⁻¹ = -a⁻¹
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ : α → Sort u_6
s : Set α
f✝ g✝ : (i : α) → δ i
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
f g : α → β
\u22a2 Injective (s.piecewise f g) ↔ InjOn f s ∧ InjOn g sᶜ ∧ ∀ x ∈ s, ∀ y ∉ s, f x ≠ g y
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ : α → Sort u_6
s : Set α
f✝ g✝ : (i : α) → δ i
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
f g : α → β
\u22a2 (InjOn f s ∧ InjOn g sᶜ ∧ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ sᶜ, s.piecewise f g x ≠ s.piecewise f g y) ↔ InjOn f s ∧ InjOn g sᶜ ∧ ∀ x ∈ s, ∀ y ∉ s, f x ≠ g y
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ : α → Sort u_6
s : Set α
f✝ g✝ : (i : α) → δ i
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
f g : α → β
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ sᶜ
\u22a2 s.piecewise f g x ≠ s.piecewise f g y ↔ f x ≠ g y
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p q : TM
\u22a2 p ∈ (chartAt (ModelProd H E) q).source ↔ p.proj ∈ (chartAt H q.proj).source
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
h : ∀ (a' : α), a' ≠ a → a' ∈ s → a' = 1
\u22a2 s.prod = a ^ count a s
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
h : ∀ (a' : α), a' ≠ a → a' ∈ ⟦l⟧ → a' = 1
\u22a2 prod ⟦l⟧ = a ^ count a ⟦l⟧
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/IntegralClosure.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹² : Field L
C : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing C
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : Algebra C L
inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁵ : Algebra A C
inst✝⁴ : IsScalarTower A C L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsNoetherianRing A
this : DecidableEq L
\u22a2 IsNoetherian A C
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/IntegralClosure.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹² : Field L
C : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing C
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : Algebra C L
inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁵ : Algebra A C
inst✝⁴ : IsScalarTower A C L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsNoetherianRing A
this : DecidableEq L
s : Finset L
b : Basis { x // x ∈ s } K L
hb_int : ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
\u22a2 IsNoetherian A C
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/IntegralClosure.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹² : Field L
C : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing C
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : Algebra C L
inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁵ : Algebra A C
inst✝⁴ : IsScalarTower A C L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsNoetherianRing A
this : DecidableEq L
s : Finset L
b : Basis { x // x ∈ s } K L
hb_int : ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
b' : Basis { x // x ∈ s } K L := (traceForm K L).dualBasis ⋯ b
\u22a2 IsNoetherian A C
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/IntegralClosure.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹² : Field L
C : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing C
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : Algebra C L
inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁵ : Algebra A C
inst✝⁴ : IsScalarTower A C L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsNoetherianRing A
this✝ : DecidableEq L
s : Finset L
b : Basis { x // x ∈ s } K L
hb_int : ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
b' : Basis { x // x ∈ s } K L := (traceForm K L).dualBasis ⋯ b
this : IsNoetherian A ↥(Submodule.span A (Set.range ⇑b')) := isNoetherian_span_of_finite A (Set.finite_range ⇑b')
\u22a2 IsNoetherian A C
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/IntegralClosure.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹² : Field L
C : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing C
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : Algebra C L
inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁵ : Algebra A C
inst✝⁴ : IsScalarTower A C L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsNoetherianRing A
this✝ : DecidableEq L
s : Finset L
b : Basis { x // x ∈ s } K L
hb_int : ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
b' : Basis { x // x ∈ s } K L := (traceForm K L).dualBasis ⋯ b
this : IsNoetherian A ↥(Submodule.span A (Set.range ⇑b')) := isNoetherian_span_of_finite A (Set.finite_range ⇑b')
f : C →ₗ[A] ↥(Submodule.span A (Set.range ⇑b')) := Submodule.inclusion ⋯ ∘ₗ (↑A (Algebra.linearMap C L)).rangeRestrict
\u22a2 IsNoetherian A C
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/IntegralClosure.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹² : Field L
C : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing C
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : Algebra C L
inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁵ : Algebra A C
inst✝⁴ : IsScalarTower A C L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsNoetherianRing A
this✝ : DecidableEq L
s : Finset L
b : Basis { x // x ∈ s } K L
hb_int : ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
b' : Basis { x // x ∈ s } K L := (traceForm K L).dualBasis ⋯ b
this : IsNoetherian A ↥(Submodule.span A (Set.range ⇑b')) := isNoetherian_span_of_finite A (Set.finite_range ⇑b')
f : C →ₗ[A] ↥(Submodule.span A (Set.range ⇑b')) := Submodule.inclusion ⋯ ∘ₗ (↑A (Algebra.linearMap C L)).rangeRestrict
\u22a2 LinearMap.ker f = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/IntegralClosure.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹² : Field L
C : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing C
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : Algebra C L
inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁵ : Algebra A C
inst✝⁴ : IsScalarTower A C L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsNoetherianRing A
this✝ : DecidableEq L
s : Finset L
b : Basis { x // x ∈ s } K L
hb_int : ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
b' : Basis { x // x ∈ s } K L := (traceForm K L).dualBasis ⋯ b
this : IsNoetherian A ↥(Submodule.span A (Set.range ⇑b')) := isNoetherian_span_of_finite A (Set.finite_range ⇑b')
f : C →ₗ[A] ↥(Submodule.span A (Set.range ⇑b')) := Submodule.inclusion ⋯ ∘ₗ (↑A (Algebra.linearMap C L)).rangeRestrict
\u22a2 LinearMap.ker (↑A (Algebra.linearMap C L)) = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Order/CompleteField.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
q : ℚ
\u22a2 inducedMap α β ↑q = ↑q
-- Mathlib/Algebra/Order/CompleteField.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
q : ℚ
x : β
h : x ∈ cutMap β ↑q
\u22a2 x ≤ ↑q
-- Mathlib/Algebra/Order/CompleteField.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
q : ℚ
w : β
h : w < ↑q
\u22a2 ∃ a ∈ cutMap β ↑q, w < a
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Action.lean
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
c : G
s : Set α
\u22a2 s ∈ c • ae μ ↔ s ∈ ae μ
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
\u22a2 0 < normBound abv bS
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
i j k : ι
hijk : (Algebra.leftMulMatrix bS) (bS i) j k ≠ 0
\u22a2 0 < normBound abv bS
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
i j k : ι
hijk : (Algebra.leftMulMatrix bS) (bS i) j k ≠ 0
\u22a2 0 < ↑(Fintype.card ι).factorial * (↑(Fintype.card ι) * (Finset.image (fun ijk => abv ((Algebra.leftMulMatrix bS) (bS ijk.1) ijk.2.1 ijk.2.2)) Finset.univ).max' ⋯) ^ Fintype.card ι
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
i j k : ι
hijk : (Algebra.leftMulMatrix bS) (bS i) j k ≠ 0
\u22a2 0 < (↑(Fintype.card ι) * (Finset.image (fun ijk => abv ((Algebra.leftMulMatrix bS) (bS ijk.1) ijk.2.1 ijk.2.2)) Finset.univ).max' ⋯) ^ Fintype.card ι
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
i j k : ι
hijk : (Algebra.leftMulMatrix bS) (bS i) j k ≠ 0
\u22a2 0 < (Finset.image (fun ijk => abv ((Algebra.leftMulMatrix bS) (bS ijk.1) ijk.2.1 ijk.2.2)) Finset.univ).max' ⋯
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
i j k : ι
hijk : (Algebra.leftMulMatrix bS) (bS i) j k ≠ 0
\u22a2 abv ((Algebra.leftMulMatrix bS) (bS i) j k) ∈ Finset.image (fun ijk => abv ((Algebra.leftMulMatrix bS) (bS ijk.1) ijk.2.1 ijk.2.2)) Finset.univ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Add.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
\u22a2 derivWithin (fun y => -f y) s x = -derivWithin f s x
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Conjugation.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
x : CliffordAlgebra Q
\u22a2 (reverse ∘ₗ involute.toLinearMap) x = (involute.toLinearMap ∘ₗ reverse) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Conjugation.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
x : CliffordAlgebra Q
\u22a2 reverse (involute x) = involute (reverse x)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
i : R
hi : i ∈ I
\u22a2 ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)).comp C) i = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
i : R
hi : i ∈ I
\u22a2 C i ∈ Ideal.map C I
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
p : ℕ
inst✝¹¹ : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CharP R p
P✝ : Type u₃
inst✝⁸ : CommSemiring P✝
inst✝⁷ : CharP P✝ p
inst✝⁶ : PerfectRing P✝ p
inst✝⁵ : PerfectRing R p
S : Type u₂
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : CharP S p
P : Type u₃
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : CharP P p
inst✝ : PerfectRing P p
π : P →+* S
m : PerfectionMap p π
f : R →+* S
\u22a2 (fun f => π.comp f) ((fun f => (↑m.equiv.symm).comp ((Perfection.lift p R S) f)) f) = f