ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁵ : CommRing A
inst✝³⁴ : CommRing B
inst✝³³ : Algebra A B
inst✝³² : Field K✝
inst✝³¹ : Field L✝
inst✝³⁰ : Algebra A K✝
inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝
inst✝²⁸ : Algebra B L✝
inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁶ : Algebra A L✝
inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²¹ : CommRing Aₘ
inst✝²⁰ : CommRing Bₘ
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inst✝⁵ : IsDomain Aₘ
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inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ
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L : Type u_4 := FractionRing B
this✝³ : IsIntegralClosure B A L
this✝² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
this✝¹ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra
this✝ : IsScalarTower A Aₘ K
this : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K
\u22a2 (algebraMap A Aₘ) ((intTrace A B) x) = (intTrace Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
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-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
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K : Type u_1 := FractionRing A
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-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
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Bₘ : Type u_6
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inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝³ : IsDomain Bₘ
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inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
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f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
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-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁵ : CommRing A
inst✝³⁴ : CommRing B
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Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
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inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ
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inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
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M : Submonoid A
inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
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inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁷ : Module.Finite A B
inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁵ : IsDomain Aₘ
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝³ : IsDomain Bₘ
inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
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f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
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-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁵ : CommRing A
inst✝³⁴ : CommRing B
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inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ
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this✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
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-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
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-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
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-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
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K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
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-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
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inst✝²⁶ : Algebra A L✝
inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝
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Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
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inst✝⁷ : Module.Finite A B
inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B
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K : Type u_1 := FractionRing A
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this✝¹¹ : IsIntegralClosure B A L
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this✝⁹ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra
this✝⁸ : IsScalarTower A Aₘ K
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g : Bₘ →+* L := IsLocalization.map L (RingHom.id B) ⋯
this✝⁶ : Algebra Bₘ L := g.toAlgebra
this✝⁵ : IsScalarTower B Bₘ L
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this✝³ : IsScalarTower Aₘ K L
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inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹¹ : IsDomain A
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁹ : IsDomain B
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁷ : Module.Finite A B
inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁵ : IsDomain Aₘ
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝³ : IsDomain Bₘ
inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this✝¹¹ : IsIntegralClosure B A L
this✝¹⁰ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
this✝⁹ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra
this✝⁸ : IsScalarTower A Aₘ K
this✝⁷ : IsFractionRing Aₘ K := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization M Aₘ K
g : Bₘ →+* L := IsLocalization.map L (RingHom.id B) ⋯
this✝⁶ : Algebra Bₘ L := g.toAlgebra
this✝⁵ : IsScalarTower B Bₘ L
this✝⁴ : Algebra Aₘ L := ((algebraMap K L).comp f).toAlgebra
this✝³ : IsScalarTower Aₘ K L
this✝² : IsScalarTower Aₘ Bₘ L
this✝¹ : IsFractionRing Bₘ L := IsFractionRing.isFractionRing_of_isDomain_of_isLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ L
this✝ : FiniteDimensional K L
this : IsIntegralClosure Bₘ Aₘ L
\u22a2 (algebraMap Aₘ K) ((algebraMap A Aₘ) ((intTrace A B) x)) = (algebraMap Aₘ K) ((intTrace Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x))
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : UpperSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → UpperSet α
\u22a2 (⨅ i, ⨅ j, f i j).compl = ⨅ i, ⨅ j, (f i j).compl
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
M : ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_bdd : f ≤ᶠ[ae μ] fun x => M
\u22a2 ∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 M, (μ {a | t ≤ f a}).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
M : ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_bdd : f ≤ᶠ[ae μ] fun x => M
\u22a2 ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t ≤ f a}).toReal = ∫ (t : ℝ) in Ioc 0 M, (μ {a | t ≤ f a}).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
M : ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_bdd : f ≤ᶠ[ae μ] fun x => M
\u22a2 ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ioi 0 \ Ioc 0 M → (μ {a | x ≤ f a}).toReal = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
M : ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_bdd : f ≤ᶠ[ae μ] fun x => M
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0 \ Ioc 0 M
\u22a2 (μ {a | t ≤ f a}).toReal = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
M : ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_bdd : f ≤ᶠ[ae μ] fun x => M
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0 \ Ioc 0 M
htM : M < t
\u22a2 (μ {a | t ≤ f a}).toReal = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
M : ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_bdd : f ≤ᶠ[ae μ] fun x => M
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0 \ Ioc 0 M
htM : M < t
obs : μ {a | M < f a} = 0
\u22a2 (μ {a | t ≤ f a}).toReal = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
M : ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_bdd : f ≤ᶠ[ae μ] fun x => M
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0 \ Ioc 0 M
htM : M < t
obs : μ {a | M < f a} = 0
\u22a2 μ {a | t ≤ f a} = 0 ∨ μ {a | t ≤ f a} = ⊤
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ
\u22a2 m.toNat ≤ n ↔ m ≤ ↑n
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ
\u22a2 m ≤ ↑n ∧ 0 ≤ ↑n ↔ m ≤ ↑n
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Strict.lean
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
h : b ⟶ c
\u22a2 eqToHom ⋯ ▷ h = eqToHom ⋯
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
z τ : ℂ
\u22a2 jacobiTheta₂'' (-z) τ = -jacobiTheta₂'' z τ
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Martingale f ℱ μ
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
\u22a2 ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ BddBelow (Set.range fun n => f n ω)
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Martingale f ℱ μ
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
hbdd' : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |(-f) (i + 1) ω - (-f) i ω| ≤ ↑R
\u22a2 ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ BddBelow (Set.range fun n => f n ω)
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Martingale f ℱ μ
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
hbdd' : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |(-f) (i + 1) ω - (-f) i ω| ≤ ↑R
hup : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
\u22a2 ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ BddBelow (Set.range fun n => f n ω)