ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
\u22a2 (α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) L.X).inv ≫ (α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ L.X ≫ (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X L.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ L.X)) ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = R.X ◁ (α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ (α_ R.X P.X (Q.X ⊗ L.X)).inv ≫ (P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ L.X) ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft)
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s t : Set X
hs : IsGδ s
ht : IsGδ t
\u22a2 IsGδ (s ∩ t)
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s t : Set X
hs : IsGδ s
ht : IsGδ t
\u22a2 IsGδ (⋂ b, bif b then s else t)
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
c : Cocone F
hc : IsColimit c
homeo : ↑c.pt ≃ₜ ↑(colimitCocone F).pt := homeoOfIso (hc.coconePointUniqueUpToIso (colimitCoconeIsColimit F))
x✝ : Set ↑c.pt
\u22a2 IsOpen x✝ ↔ IsOpen x✝
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
c : Cocone F
hc : IsColimit c
homeo : ↑c.pt ≃ₜ ↑(colimitCocone F).pt := homeoOfIso (hc.coconePointUniqueUpToIso (colimitCoconeIsColimit F))
x✝ : Set ↑c.pt
\u22a2 IsOpen (⇑homeo.symm ⁻¹' x✝) ↔ ∀ (i : J), IsOpen x✝
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
\u22a2 volume (convexBodySum K B) = ↑(convexBodySumFactor K) * ENNReal.ofReal B ^ finrank ℚ K
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
hB : B ≤ 0
\u22a2 volume (convexBodySum K B) = ↑(convexBodySumFactor K) * ENNReal.ofReal B ^ finrank ℚ K
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
hB : 0 < B
\u22a2 volume (convexBodySum K B) = ↑(convexBodySumFactor K) * ENNReal.ofReal B ^ finrank ℚ K
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v w : V
p : G.Walk u v
\u22a2 p.reverse.toSubgraph = p.toSubgraph
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
\u22a2 (W.map φ).b₆ = φ W.b₆
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
\u22a2 φ W.a₃ ^ 2 + 4 * φ W.a₆ = φ (W.a₃ ^ 2 + 4 * W.a₆)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Domineering.lean
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b
\u22a2 (m.1, m.2 - 1) ∈ Finset.erase b m
-- Mathlib/SetTheory/Game/Domineering.lean
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ b ∧ (m.1, m.2 - 1) ∈ b
\u22a2 (m.1, m.2 - 1) ∈ Finset.erase b m
-- Mathlib/SetTheory/Game/Domineering.lean
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ b ∧ (m.1, m.2 - 1) ∈ b
\u22a2 (m.1, m.2 - 1) ≠ m
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoAtoms (μ i)
f : (i : ι) → α i
\u22a2 (univ.pi fun i => Iio (f i)) =ᶠ[ae (Measure.pi μ)] Iic f
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoAtoms (μ i)
f : (i : ι) → α i
\u22a2 (univ.pi fun i => Iio (f i)) =ᶠ[ae (Measure.pi μ)] univ.pi fun i => Iic (f i)
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
h : a ∈ s
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ s.erase a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ s.erase a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯
\u22a2 a * (s.erase a).noncommProd comm' = s.noncommProd comm
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ ⟦l⟧
comm : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯
\u22a2 a * (erase ⟦l⟧ a).noncommProd comm' = noncommProd ⟦l⟧ comm
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
comm✝ : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯
comm : {x | x ∈ l}.Pairwise Commute
h : a ∈ l
\u22a2 a * (l.erase a).prod = l.prod
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
comm✝ : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯
comm : {x | x ∈ l}.Pairwise Commute
h : a ∈ l
\u22a2 ∀ x ∈ l, ∀ y ∈ l, x * y = y * x
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
comm✝ : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯
comm : {x | x ∈ l}.Pairwise Commute
h : a ∈ l
x : α
hx : x ∈ l
y : α
hy : y ∈ l
\u22a2 x * y = y * x
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
comm✝ : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯
comm : {x | x ∈ l}.Pairwise Commute
h : a ∈ l
x : α
hx hy : x ∈ l
\u22a2 x * x = x * x
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
comm✝ : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯
comm : {x | x ∈ l}.Pairwise Commute
h : a ∈ l
x : α
hx : x ∈ l
y : α
hy : y ∈ l
hxy : x ≠ y
\u22a2 x * y = y * x
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Lucas.lean
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
\u22a2 n.choose k ≡ (n % p).choose (k % p) * (n / p).choose (k / p) [MOD p]
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Lucas.lean
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
\u22a2 ↑(n.choose k) ≡ ↑((n % p).choose (k % p) * (n / p).choose (k / p)) [ZMOD ↑p]
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t s : SignedMeasure α
μ : Measure α
\u22a2 Measurable (s.rnDeriv μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t s : SignedMeasure α
μ : Measure α
\u22a2 Measurable fun x => (s.toJordanDecomposition.posPart.rnDeriv μ x).toReal - (s.toJordanDecomposition.negPart.rnDeriv μ x).toReal
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a a'✝ a' : α
\u22a2 a' ∈ (pure a).support ↔ a' ∈ {a}
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f✝ : α → β
inst✝ : Nonempty α
f : α → β
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
x' : α
hx' : x' ∈ s
he : invFunOn f s (f x) = invFunOn f s (f x')
\u22a2 f x = f x'
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/ContinuousLinearMap.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁷ : Ring 𝕜
inst✝⁶ : Ring 𝕜₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜₂ F
σ : 𝕜 →+* 𝕜₂
f✝ : E →ₛₗ[σ] F
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair σ₂₁ σ
a : ℝ
ha : 0 < a
f : E ≃ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (x : E), ‖f x‖ = a * ‖x‖
y : F
\u22a2 ‖f.symm y‖ = a⁻¹ * ‖y‖
-- Mathlib/Data/Finset/Grade.lean
α : Type u_1
s t : Multiset α
a : α
h : s ⋖ t
\u22a2 card s ⋖ card t
-- Mathlib/Data/Finset/Grade.lean
α : Type u_1
s : Multiset α
a✝ a : α
h : s ⋖ a ::ₘ s
\u22a2 card s ⋖ card (a ::ₘ s)
-- Mathlib/Data/Finset/Grade.lean
α : Type u_1
s : Multiset α
a✝ a : α
h : s ⋖ a ::ₘ s
\u22a2 card s ⋖ card s + 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
f : Perm α
n : ℤ
x : α
\u22a2 f ((f ^ n) x) = (f ^ n) x ↔ f x = x
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀
\u22a2 a * b = a * c ↔ b = c ∨ a = 0
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : DecidableEq K
hn : ¬n = 0
\u22a2 primitiveRoots n K ⊆ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).roots.toFinset
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : DecidableEq K
hn : ¬n = 0
hpos : 0 < n
\u22a2 primitiveRoots n K ⊆ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).roots.toFinset
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : DecidableEq K
hn : ¬n = 0
hpos : 0 < n
x : K
hx : x ∈ primitiveRoots n K
\u22a2 x ∈ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).roots.toFinset
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : DecidableEq K
hn : ¬n = 0
hpos : 0 < n
m : ℕ
left✝ : m < n
hcop : m.Coprime n
hx : μ ^ m ∈ primitiveRoots n K
\u22a2 μ ^ m ∈ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).roots.toFinset
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : DecidableEq K
hn : ¬n = 0
hpos : 0 < n
m : ℕ
left✝ : m < n
hcop : m.Coprime n
hx : μ ^ m ∈ primitiveRoots n K
\u22a2 μ ^ m ∈ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).roots
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : DecidableEq K
hn : ¬n = 0
hpos : 0 < n
m : ℕ
left✝ : m < n
hcop : m.Coprime n
hx : μ ^ m ∈ primitiveRoots n K
\u22a2 μ ^ m ∈ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).roots ↔ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).IsRoot (μ ^ m)
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : DecidableEq K
hn : ¬n = 0
hpos : 0 < n
m : ℕ
left✝ : m < n
hcop : m.Coprime n
hx : μ ^ m ∈ primitiveRoots n K
\u22a2 map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ) ≠ 0
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
hN : ¬N = 0
\u22a2 upcrossingsBefore a b f N ω = ∑ i ∈ Finset.Ico 1 (N + 1), {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
hN : ¬N = 0
\u22a2 upcrossingsBefore a b f N ω = ∑ i ∈ Finset.Ico (Nat.succ 0) (upcrossingsBefore a b f N ω).succ, {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i + ∑ i ∈ Finset.Ico (upcrossingsBefore a b f N ω).succ N.succ, {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
hN : ¬N = 0
h₁ : ∀ k ∈ Finset.Ico 1 (upcrossingsBefore a b f N ω + 1), {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 k = 1
\u22a2 upcrossingsBefore a b f N ω = ∑ i ∈ Finset.Ico (Nat.succ 0) (upcrossingsBefore a b f N ω).succ, {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i + ∑ i ∈ Finset.Ico (upcrossingsBefore a b f N ω).succ N.succ, {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
hN : ¬N = 0
h₁ : ∀ k ∈ Finset.Ico 1 (upcrossingsBefore a b f N ω + 1), {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 k = 1
h₂ : ∀ k ∈ Finset.Ico (upcrossingsBefore a b f N ω + 1) (N + 1), {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 k = 0
\u22a2 upcrossingsBefore a b f N ω = ∑ i ∈ Finset.Ico (Nat.succ 0) (upcrossingsBefore a b f N ω).succ, {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i + ∑ i ∈ Finset.Ico (upcrossingsBefore a b f N ω).succ N.succ, {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set ℝ
f f' : ℝ → ℝ
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : ℝ → F
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in f '' s, g x = ∫ (x : ℝ) in s, |f' x| • g (f x)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : ↥s
\u22a2 ↑((orthogonalProjection s) ↑p) = ↑p
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : ↥s
\u22a2 ↑p ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
s : Set α
x : α
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction H α
inst✝ : SMulCommClass H G α
g : H
\u22a2 fundamentalFrontier G (g • s) = g • fundamentalFrontier G s
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
ι : Sort v
t : ι → TopologicalSpace α
s : Set α
\u22a2 IsClosed s ↔ ∀ (i : ι), IsClosed s
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallHom.lean
C₁ : Type u₁
inst✝¹¹ : Category.{v₁, u₁} C₁
W₁ : MorphismProperty C₁
C₂ : Type u₂
inst✝¹⁰ : Category.{v₂, u₂} C₂
W₂ : MorphismProperty C₂
D₁ : Type u₃
inst✝⁹ : Category.{v₃, u₃} D₁
D₂ : Type u₄
inst✝⁸ : Category.{v₄, u₄} D₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝⁷ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝⁶ : L₂.IsLocalization W₂
W : ?m.49815
X Y Z : C₁
inst✝⁵ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Y
inst✝⁴ : HasSmallLocalizedHom W₁ Y Z
inst✝³ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Z
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj X) (Φ.functor.obj Y)
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj Y) (Φ.functor.obj Z)
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj X) (Φ.functor.obj Z)
f : SmallHom W₁ X Y
g : SmallHom W₁ Y Z
\u22a2 Φ.smallHomMap (f.comp g) = (Φ.smallHomMap f).comp (Φ.smallHomMap g)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallHom.lean
C₁ : Type u₁
inst✝¹¹ : Category.{v₁, u₁} C₁
W₁ : MorphismProperty C₁
C₂ : Type u₂
inst✝¹⁰ : Category.{v₂, u₂} C₂
W₂ : MorphismProperty C₂
D₁ : Type u₃
inst✝⁹ : Category.{v₃, u₃} D₁
D₂ : Type u₄
inst✝⁸ : Category.{v₄, u₄} D₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝⁷ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝⁶ : L₂.IsLocalization W₂
W : ?m.49815
X Y Z : C₁
inst✝⁵ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Y
inst✝⁴ : HasSmallLocalizedHom W₁ Y Z
inst✝³ : HasSmallLocalizedHom W₁ X Z
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj X) (Φ.functor.obj Y)
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj Y) (Φ.functor.obj Z)
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W₂ (Φ.functor.obj X) (Φ.functor.obj Z)
f : SmallHom W₁ X Y
g : SmallHom W₁ Y Z
\u22a2 (SmallHom.equiv W₂ W₂.Q) (Φ.smallHomMap (f.comp g)) = (SmallHom.equiv W₂ W₂.Q) ((Φ.smallHomMap f).comp (Φ.smallHomMap g))
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Products.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y : TopCat
\u22a2 (X.prodIsoProd Y).hom ≫ prodFst = prod.fst
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Products.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y : TopCat
\u22a2 prodFst = (X.prodBinaryFan Y).fst
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ₁ θ₂ : Angle
\u22a2 (θ₁ + θ₂).sin = θ₁.sin * θ₂.cos + θ₁.cos * θ₂.sin
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ₂ : Angle
x✝ : ℝ
\u22a2 (↑x✝ + θ₂).sin = (↑x✝).sin * θ₂.cos + (↑x✝).cos * θ₂.sin
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x✝¹ x✝ : ℝ
\u22a2 (↑x✝¹ + ↑x✝).sin = (↑x✝¹).sin * (↑x✝).cos + (↑x✝¹).cos * (↑x✝).sin
-- Mathlib/Data/Nat/Fib/Basic.lean
n : ℕ
\u22a2 fib (n + 2) - fib (n + 1) = fib n
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderTop α
inst✝ : DecidableEq α
a a✝ : α
\u22a2 a✝ ∈ (Ici a).erase a ↔ a✝ ∈ Ioi a
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
\u22a2 const a = a :: const a
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
\u22a2 ∀ (n : ℕ), (const a).get n = (a :: const a).get n
-- Mathlib/Algebra/Exact.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x : M
y : N
\u22a2 (LinearMap.snd R M N) (x, y) = 0 ↔ (x, y) ∈ Set.range ⇑(LinearMap.inl R M N)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : T2Space α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
\u22a2 ∃ K ⊆ A, IsCompact K ∧ μ (A \ K) < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : T2Space α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
K : Set α
hKA : K ⊆ A
hKc : IsCompact K
hK : μ A < μ K + ε
\u22a2 ∃ K ⊆ A, IsCompact K ∧ μ (A \ K) < ε
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Limits.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
inst✝ : HasEqualizer f g
\u22a2 (equalizerSubobject f g).arrow ≫ f = (equalizerSubobject f g).arrow ≫ g
-- Mathlib/Data/List/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α
h : 0 < l.length
head✝ : α
tail✝ : List α
x✝ : 0 < (head✝ :: tail✝).length
\u22a2 (head✝ :: tail✝).maximum ≠ ⊥
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
f : Perm α
g : Perm β
e : α ≃ β
h : ∀ (x : α), e (f x) = g (e x)
\u22a2 sign f = sign g
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
f : Perm α
g : Perm β
e : α ≃ β
h : ∀ (x : α), e (f x) = g (e x)
hg : g = (e.symm.trans f).trans e
\u22a2 sign f = sign g
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/GroupWithZero/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : CommMonoidWithZero M₀
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
\u22a2 (∏ i : ι, if p i then 1 else 0) = if ∀ (i : ι), p i then 1 else 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
i : ι
\u22a2 b.reindexRange ⟨b i, ⋯⟩ = ↑⟨b i, ⋯⟩
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x y : α
hy : y ∈ (swap x (f x) * f).support
\u22a2 y ∈ f.support ∧ y ≠ x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x y : α
hy : (if f y = x then f x else if y = x then x else f y) ≠ y
\u22a2 f y ≠ y ∧ y ≠ x
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
\u22a2 ⟪x, (o.rotation ↑(π / 2)) x⟫_ℝ = 0
-- Mathlib/Order/CountableDenseLinearOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
\u22a2 Nonempty (α ≃o β)
-- Mathlib/Order/CountableDenseLinearOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝ : Encodable α
\u22a2 Nonempty (α ≃o β)
-- Mathlib/Order/CountableDenseLinearOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝¹ : Encodable α
val✝ : Encodable β
\u22a2 Nonempty (α ≃o β)
-- Mathlib/Order/CountableDenseLinearOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝¹ : Encodable α
val✝ : Encodable β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal
\u22a2 Nonempty (α ≃o β)