ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
\u22a2 toIcoMod hp a (b + m • p) = toIcoMod hp a b
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
\u22a2 b + m • p - (toIcoDiv hp a b • p + m • p) = b - toIcoDiv hp a b • p
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
x_mem : x ∈ closure E
\u22a2 thickenedIndicatorAux δ E x = 1
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
\u22a2 (ofZeros S hf hg).g' = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
\u22a2 opcyclesMap' (-φ) h₁ h₂ = -opcyclesMap' φ h₁ h₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : DecidableEq l
f : (n → R) →ₗ[R] m → R
g : (l → R) →ₗ[R] n → R
\u22a2 toMatrix' (f ∘ₗ g) = toMatrix' f * toMatrix' g
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : DecidableEq l
f : (n → R) →ₗ[R] m → R
g : (l → R) →ₗ[R] n → R
\u22a2 f ∘ₗ g = toLin' (toMatrix' f * toMatrix' g)
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing K
inst✝¹⁰ : CommRing L
inst✝⁹ : CommRing M
inst✝⁸ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁷ : ExpChar K p
inst✝⁶ : ExpChar L p
inst✝⁵ : ExpChar M p
inst✝⁴ : ExpChar N p
inst✝³ : PerfectRing L p
inst✝² : IsPerfectClosure i p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPerfectClosure j p
x : M
n : ℕ
y : K
h : j y = x ^ p ^ n
\u22a2 (equiv i j p).symm x = (iterateFrobeniusEquiv L p n).symm (i y)
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ
ha : ↑a ≠ ⊤
h'a : ↑a ≠ ⊥
\u22a2 Tendsto toReal (𝓝 ↑a) (𝓝 (↑a).toReal)
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ
ha : ↑a ≠ ⊤
h'a : ↑a ≠ ⊥
\u22a2 Tendsto (toReal ∘ Real.toEReal) (𝓝 a) (𝓝 (↑a).toReal)
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀✝ x₀ : X
hx₀ : x₀ ∈ s
I : Finset ι
hI : ρ.finsupport x₀ ⊆ I
\u22a2 ∑ i ∈ I, (ρ i) x₀ = 1
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Sum.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x y : R
h : Commute x y
n : ℕ
t : ℕ → ℕ → R := fun n m => x ^ m * y ^ (n - m) * ↑(n.choose m)
\u22a2 (x + y) ^ n = ∑ m ∈ range (n + 1), t n m
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Sum.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x y : R
h : Commute x y
n : ℕ
t : ℕ → ℕ → R := fun n m => x ^ m * y ^ (n - m) * ↑(n.choose m)
h_first : ∀ (n : ℕ), t n 0 = y ^ n
\u22a2 (x + y) ^ n = ∑ m ∈ range (n + 1), t n m
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Sum.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x y : R
h : Commute x y
n : ℕ
t : ℕ → ℕ → R := fun n m => x ^ m * y ^ (n - m) * ↑(n.choose m)
h_first : ∀ (n : ℕ), t n 0 = y ^ n
h_last : ∀ (n : ℕ), t n n.succ = 0
\u22a2 (x + y) ^ n = ∑ m ∈ range (n + 1), t n m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
h : Module.rank R M = 0
a✝ : Nontrivial R
\u22a2 Finite R M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
h : Subsingleton M
a✝ : Nontrivial R
\u22a2 Finite R M
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheafification.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
γ : sheafify J P ⟶ Q
h : (sheafificationAdjunction J D).unit.app P ≫ γ = η
γ' : (presheafToSheaf J D).obj P ⟶ { val := Q, cond := hQ } := { val := γ }
\u22a2 γ'.val = (((sheafificationAdjunction J D).homEquiv P { val := Q, cond := hQ }).symm η).val
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheafification.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
γ : sheafify J P ⟶ Q
h : (sheafificationAdjunction J D).unit.app P ≫ γ = η
γ' : (presheafToSheaf J D).obj P ⟶ { val := Q, cond := hQ } := { val := γ }
\u22a2 (sheafificationAdjunction J D).unit.app P ≫ (sheafToPresheaf J D).map γ' = η
-- Mathlib/Data/Set/Subsingleton.lean
α : Type u
a : α
s t : Set α
ha : a ∈ s
\u22a2 s = {a} ∨ s.Nontrivial
-- Mathlib/Data/Set/Subsingleton.lean
α : Type u
a : α
s t : Set α
ha : a ∈ s
\u22a2 s.Subsingleton ∨ s.Nontrivial
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ
h : 0 < n
\u22a2 (n - 1)! * n.ascFactorial k = (n + k - 1)!
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ
h : 0 < n
\u22a2 n.pred ! * n.ascFactorial k = (n.pred + k)!
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ
h : 0 < n
\u22a2 n.pred ! * (n - succ 0 + succ 0).ascFactorial k = (n.pred + k)!
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
\u22a2 a / b < 1 ↔ a < b
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
n : ℕ
\u22a2 ∃ j, μ (s ∩ notConvergentSeq f g n j) ≤ ENNReal.ofReal (ε * 2⁻¹ ^ n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
n : ℕ
N : ι
hN : ∀ n_1 ≥ N, μ (s ∩ notConvergentSeq f g n n_1) ∈ Icc (0 - ENNReal.ofReal (ε * 2⁻¹ ^ n)) (0 + ENNReal.ofReal (ε * 2⁻¹ ^ n))
\u22a2 ∃ j, μ (s ∩ notConvergentSeq f g n j) ≤ ENNReal.ofReal (ε * 2⁻¹ ^ n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
n : ℕ
N : ι
hN : ∀ n_1 ≥ N, μ (s ∩ notConvergentSeq f g n n_1) ∈ Icc (0 - ENNReal.ofReal (ε * 2⁻¹ ^ n)) (ENNReal.ofReal (ε * 2⁻¹ ^ n))
\u22a2 ∃ j, μ (s ∩ notConvergentSeq f g n j) ≤ ENNReal.ofReal (ε * 2⁻¹ ^ n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
S✝ : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup S✝
inst✝⁴ : Pow S✝ ℕ
inst✝³ : Module R S✝
p q✝ : R[X]
x : S✝
S : Type u_3
inst✝² : NonAssocRing S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
q : ℕ[X]
n : ℕ
\u22a2 q.smeval (-↑n) = ↑(q.smeval (-↑n))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
S✝ : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup S✝
inst✝⁴ : Pow S✝ ℕ
inst✝³ : Module R S✝
p q✝ : R[X]
x : S✝
S : Type u_3
inst✝² : NonAssocRing S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
q : ℕ[X]
n : ℕ
\u22a2 q.sum (smul_pow (-↑n)) = ↑(q.sum (smul_pow (-↑n)))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
S✝ : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup S✝
inst✝⁴ : Pow S✝ ℕ
inst✝³ : Module R S✝
p q✝ : R[X]
x : S✝
S : Type u_3
inst✝² : NonAssocRing S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
q : ℕ[X]
n : ℕ
\u22a2 ∑ x ∈ q.support, q.coeff x • (-↑n) ^ x = ∑ x ∈ q.support, ↑(q.coeff x • (-↑n) ^ x)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
S✝ : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup S✝
inst✝⁴ : Pow S✝ ℕ
inst✝³ : Module R S✝
p q✝ : R[X]
x : S✝
S : Type u_3
inst✝² : NonAssocRing S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
q : ℕ[X]
n : ℕ
\u22a2 ∀ x ∈ q.support, q.coeff x • (-↑n) ^ x = ↑(q.coeff x • (-↑n) ^ x)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
S✝ : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup S✝
inst✝⁴ : Pow S✝ ℕ
inst✝³ : Module R S✝
p q✝ : R[X]
x : S✝
S : Type u_3
inst✝² : NonAssocRing S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
q : ℕ[X]
n k : ℕ
a✝ : k ∈ q.support
\u22a2 q.coeff k • (-↑n) ^ k = ↑(q.coeff k • (-↑n) ^ k)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f✝ f : R →+* S₁
g : S₁ →+* R
hf : LeftInverse ⇑f ⇑g
X : MvPolynomial σ S₁
\u22a2 (map f) ((map g) X) = X
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α✝ : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α✝ × Bool)
β✝ : Type v
f : α✝ → β✝
x✝ y : FreeGroup α✝
α : Type ?u.60273
β : Type ?u.60274
e : α ≃ β
x : FreeGroup α
\u22a2 (map ⇑e.symm) ((map ⇑e) x) = x
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α✝ : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α✝ × Bool)
β✝ : Type v
f : α✝ → β✝
x✝ y : FreeGroup α✝
α : Type ?u.60273
β : Type ?u.60274
e : α ≃ β
x : FreeGroup β
\u22a2 (map ⇑e) ((map ⇑e.symm) x) = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
m : M
i : ι
\u22a2 (b.toDual m) (b i) = (b.repr m) i
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : α ≃ β
e' : β ≃ γ
x✝ : Finset α
a✝ : γ
\u22a2 a✝ ∈ (e.finsetCongr.trans e'.finsetCongr) x✝ ↔ a✝ ∈ (e.trans e').finsetCongr x✝
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : F[X]
h : ¬f * g = 0
\u22a2 (f * g).natSepDegree = f.natSepDegree + g.natSepDegree ↔ f = 0 ∧ g = 0 ∨ IsCoprime f g
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : F[X]
h : ¬f * g = 0
\u22a2 (∀ (a : AlgebraicClosure F), f ≠ 0 ∧ (aeval a) f = 0 → ∀ (b : AlgebraicClosure F), g ≠ 0 ∧ (aeval b) g = 0 → a ≠ b) ↔ f = 0 ∧ g = 0 ∨ IsCoprime f g
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : F[X]
h : ¬f = 0 ∧ ¬g = 0
\u22a2 (∀ (a : AlgebraicClosure F), f ≠ 0 ∧ (aeval a) f = 0 → ∀ (b : AlgebraicClosure F), g ≠ 0 ∧ (aeval b) g = 0 → a ≠ b) ↔ f = 0 ∧ g = 0 ∨ IsCoprime f g
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : F[X]
h : ¬f = 0 ∧ ¬g = 0
H : ∀ (a : AlgebraicClosure F), f ≠ 0 ∧ (aeval a) f = 0 → ∀ (b : AlgebraicClosure F), g ≠ 0 ∧ (aeval b) g = 0 → a ≠ b
u : F[X]
hu : Irreducible u
x✝¹ : u ∣ f
x✝ : u ∣ g
v : F[X]
hf : f = u * v
w : F[X]
hg : g = u * w
\u22a2 False
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : F[X]
h : ¬f = 0 ∧ ¬g = 0
\u22a2 f = 0 ∧ g = 0 ∨ IsCoprime f g → ∀ (a : AlgebraicClosure F), f ≠ 0 ∧ (aeval a) f = 0 → ∀ (b : AlgebraicClosure F), g ≠ 0 ∧ (aeval b) g = 0 → a ≠ b
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : F[X]
h : ¬f = 0 ∧ ¬g = 0
x : AlgebraicClosure F
hf : f ≠ 0 ∧ (aeval x) f = 0
hg : g ≠ 0 ∧ (aeval x) g = 0
u v : F[X]
hfg : u * f + v * g = 1
\u22a2 False
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u
inst✝ : Ring α
num✝ : ℤ
denom✝ : ℕ
inv✝¹ inv✝ : Invertible ↑denom✝
\u22a2 inv✝¹ = inv✝
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝ m n : ℕ
inst✝ : NeZero m
h : m ≤ n
a : ZMod m
\u22a2 a.cast = 0 ↔ a = 0
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝ m n : ℕ
inst✝ : NeZero m
h : m ≤ n
a : ZMod m
\u22a2 a.cast = cast 0 ↔ a = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/DotProduct.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
v : n → R
\u22a2 v ᵥ* (Aᴴ * A) = 0 ↔ v ᵥ* Aᴴ = 0
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≤ b * c
h0 : ¬c = 0
hinf : ¬c = ⊤
\u22a2 a / c ≤ b
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
S : Multiset α
\u22a2 ((range (card S + 1)).bind fun k => powersetCard k S) = S.powerset
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
a✝ : List α
\u22a2 ((range (card ⟦a✝⟧ + 1)).bind fun k => powersetCard k ⟦a✝⟧) = powerset ⟦a✝⟧
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
a✝ : List α
\u22a2 ↑(List.map ofList ((List.range (a✝.length + 1)).bind fun a => sublistsLen a a✝)) = ↑(List.map ofList a✝.sublists')
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a : α
\u22a2 (￢a) ∆ a = ⊤
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a : α
\u22a2 ⊤ ≤ ￢a ⊔ a
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Ab.lean
S : ShortComplex Ab
x : ↑S.X₁
\u22a2 S.g (S.f x) = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Ab.lean
S : ShortComplex Ab
x : ↑S.X₁
\u22a2 0 x = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : Zero β✝
inst✝¹ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β✝
β : Type u_5
inst✝ : MonoidWithZero β
f g : α →ₛ β
hf : f.FinMeasSupp μ
hg : g.FinMeasSupp μ
\u22a2 (f * g).FinMeasSupp μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : Zero β✝
inst✝¹ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β✝
β : Type u_5
inst✝ : MonoidWithZero β
f g : α →ₛ β
hf : f.FinMeasSupp μ
hg : g.FinMeasSupp μ
\u22a2 (map (fun p => p.1 * p.2) (f.pair g)).FinMeasSupp μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrable f μ
\u22a2 AEStronglyMeasurable f μ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x₁ x₂ y₁ L : R
\u22a2 evalEval (W.addX x₁ x₂ L) (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)) = 0 ↔ eval (W.addX x₁ x₂ L) (eval (C L * (X - C x₁) + C y₁) (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆))) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
x : M
\u22a2 (ι R) x = 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i
h : b ≠ 0
j : ι
\u22a2 j ∈ (update i f b).support ↔ j ∈ insert i f.support
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i
h : b ≠ 0
\u22a2 i ∈ (update i f b).support ↔ i ∈ insert i f.support
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i
h : b ≠ 0
j : ι
hi : i ≠ j
\u22a2 j ∈ (update i f b).support ↔ j ∈ insert i f.support
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddGroup β
h : Antiperiodic f c
n : ℤ
\u22a2 f (x + n • c) = ↑n.negOnePow • f x
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddGroup β
h : Antiperiodic f c
k : ℤ
\u22a2 f (x + (2 * k) • c) = ↑(2 * k).negOnePow • f x
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddGroup β
h : Antiperiodic f c
k : ℤ
\u22a2 f (x + (2 * k + 1) • c) = ↑(2 * k + 1).negOnePow • f x
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/End.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m n m' : M
f : m ⟶ m'
X : C
\u22a2 (F.obj n).map ((F.map f).app X) ≫ (F.μ m' n).app X = (F.μ m n).app X ≫ (F.map (f ▷ n)).app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/End.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m n m' : M
f : m ⟶ m'
X : C
\u22a2 (F.obj n).map ((F.map f).app X) ≫ (F.μ m' n).app X = (F.map (𝟙 n)).app ((F.obj m).obj X) ≫ (F.obj n).map ((F.map f).app X) ≫ (F.μ m' n).app X
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring R✝
r : R✝
p✝ : R✝[X]
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid S✝
inst✝³ : Pow S✝ ℕ
inst✝² : MulActionWithZero R✝ S✝
x✝ : S✝
R : Type u_3
inst✝¹ : Semiring R
S : Type u_4
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
x : S
this : Module R S := f.toModule
\u22a2 eval₂ f x p = p.smeval x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring R✝
r : R✝
p✝ : R✝[X]
S✝ : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid S✝
inst✝³ : Pow S✝ ℕ
inst✝² : MulActionWithZero R✝ S✝
x✝ : S✝
R : Type u_3
inst✝¹ : Semiring R
S : Type u_4
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
x : S
this : Module R S := f.toModule
\u22a2 (p.sum fun e a => f a * x ^ e) = p.sum (smul_pow x)
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
hi : Irreducible f
h : f.natSepDegree = 1
\u22a2 ∃ n y, (n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range) ∧ f = X ^ q ^ n - C y
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
hi : Irreducible f
h : f.natSepDegree = 1
n : ℕ
y : F
hf : f = X ^ q ^ n - C y
\u22a2 ∃ n y, (n = 0 ∨ y ∉ (frobenius F q).range) ∧ f = X ^ q ^ n - C y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
\u22a2 W.ψ₂ ^ 2 = C W.Ψ₂Sq + 4 * W.toAffine.polynomial
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → β → α
S : Set β
h : UniformEquicontinuousOn F S
\u22a2 UniformEquicontinuousOn Subtype.val S
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → β → α
S : Set β
h : UniformEquicontinuousOn F S
\u22a2 UniformEquicontinuousOn (F ∘ rangeSplitting F) S
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
\u22a2 rexp 4 < 64
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
\u22a2 4 / ↑6 < log 2
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
\u22a2 0 < ↑6
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
h : Fintype.card α ≤ Fintype.card β
\u22a2 Nonempty (α ↪ β)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
\u22a2 ∫⁻ (a : α), f a * r ∂μ = (∫⁻ (a : α), f a ∂μ) * r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Dilation.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
F✝ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α✝
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β✝
inst✝⁴ : FunLike F✝ α✝ β✝
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
inst✝² : PseudoMetricSpace β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DilationClass F α β
f : F
x y : α
r : ℝ≥0
hxy : nndist x y ≠ 0
hr : nndist (f x) (f y) = r * nndist x y
\u22a2 edist x y ≠ 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Dilation.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
F✝ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α✝
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β✝
inst✝⁴ : FunLike F✝ α✝ β✝
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
inst✝² : PseudoMetricSpace β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DilationClass F α β
f : F
x y : α
r : ℝ≥0
hxy : nndist x y ≠ 0
hr : nndist (f x) (f y) = r * nndist x y
\u22a2 edist (f x) (f y) = ↑r * edist x y
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : NoncompactSpace G
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
\u22a2 ∃ g, Disjoint K (g • L)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : NoncompactSpace G
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
A : ¬K * L⁻¹ = univ
\u22a2 ∃ g, Disjoint K (g • L)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : NoncompactSpace G
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
A : ¬K * L⁻¹ = univ
g : G
hg : g ∉ K * L⁻¹
\u22a2 ∃ g, Disjoint K (g • L)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : NoncompactSpace G
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
A : ¬K * L⁻¹ = univ
g : G
hg : g ∉ K * L⁻¹
\u22a2 Disjoint K (g • L)