ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
V : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
x y : V
\u22a2 ⟪T x, y⟫_ℂ = (⟪T x, x⟫_ℂ + ⟪T y, x⟫_ℂ + (⟪T x, y⟫_ℂ + ⟪T y, y⟫_ℂ) - (⟪T x, x⟫_ℂ - (⟪T y, x⟫_ℂ + (⟪T x, y⟫_ℂ - ⟪T y, y⟫_ℂ)) + (Complex.I * ⟪T x, x⟫_ℂ + ⟪T y, x⟫_ℂ + (-⟪T x, y⟫_ℂ + Complex.I * ⟪T y, y⟫_ℂ))) + (Complex.I * ⟪T x, x⟫_ℂ - (⟪T y, x⟫_ℂ + (-⟪T x, y⟫_ℂ - Complex.I * ⟪T y, y⟫_ℂ)))) / 4
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
F : Filter X
\u22a2 AccPt x F ↔ ClusterPt x (𝓟 {x}ᶜ ⊓ F)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
X : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
f : X → E
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
μ : Measure X
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
\u22a2 Memℒp f ⊤ μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
X : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
f : X → E
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
μ : Measure X
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
C : ℝ
hC : ∀ (x : X), ‖f x‖ ≤ C
\u22a2 Memℒp f ⊤ μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
X : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
f : X → E
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
μ : Measure X
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
C : ℝ
hC : ∀ (x : X), ‖f x‖ ≤ C
\u22a2 AEStronglyMeasurable f μ
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ : α → β
f : Set α → Set β
hf : Injective f
h2 : f ∅ = ∅
s : Set α
\u22a2 (f s).Nonempty ↔ s.Nonempty
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Basic.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x y : 𝕎 R
\u22a2 WittVector.ghostFun (x - y) = WittVector.ghostFun x - WittVector.ghostFun y
-- Mathlib/CategoryTheory/IsConnected.lean
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₂
inst✝¹ : Category.{u₁, u₂} C
inst✝ : IsPreconnected J
X Y : C
α : (Functor.const J).obj X ⟶ (Functor.const J).obj Y
x✝¹ x✝ : J
f : x✝¹ ⟶ x✝
\u22a2 (fun j => α.app j) x✝¹ = (fun j => α.app j) x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/IsConnected.lean
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₂
inst✝¹ : Category.{u₁, u₂} C
inst✝ : IsPreconnected J
X Y : C
α : (Functor.const J).obj X ⟶ (Functor.const J).obj Y
x✝¹ x✝ : J
f : x✝¹ ⟶ x✝
this : ((Functor.const J).obj X).map f ≫ α.app x✝ = α.app x✝¹ ≫ ((Functor.const J).obj Y).map f
\u22a2 (fun j => α.app j) x✝¹ = (fun j => α.app j) x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/IsConnected.lean
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₂
inst✝¹ : Category.{u₁, u₂} C
inst✝ : IsPreconnected J
X Y : C
α : (Functor.const J).obj X ⟶ (Functor.const J).obj Y
x✝¹ x✝ : J
f : x✝¹ ⟶ x✝
this : α.app x✝ = α.app x✝¹
\u22a2 (fun j => α.app j) x✝¹ = (fun j => α.app j) x✝
-- Mathlib/Data/ZMod/Quotient.lean
n : ℕ
A : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : AddGroup A
inst✝⁴ : Ring R
α✝ : Type u_3
β✝ : Type u_4
inst✝³ : Group α✝
a✝ : α✝
inst✝² : MulAction α✝ β✝
b✝ : β✝
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝¹ : AddGroup α
a : α
inst✝ : AddAction α β
b : β
k : ℤ
\u22a2 (orbitZMultiplesEquiv a b).symm ↑k = k • ⟨a, ⋯⟩ +ᵥ ⟨b, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/ZMod/Quotient.lean
n : ℕ
A : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : AddGroup A
inst✝⁴ : Ring R
α✝ : Type u_3
β✝ : Type u_4
inst✝³ : Group α✝
a✝ : α✝
inst✝² : MulAction α✝ β✝
b✝ : β✝
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝¹ : AddGroup α
a : α
inst✝ : AddAction α β
b : β
k : ℤ
\u22a2 (k % ↑(minimalPeriod (fun x => a +ᵥ x) b)) • ⟨a, ⋯⟩ +ᵥ ⟨b, ⋯⟩ = k • ⟨a, ⋯⟩ +ᵥ ⟨b, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
\u22a2 s ∩ univ = s
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
n : ℤ
\u22a2 f ↑n = f 0 + ↑n
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
H : Subgroup G
hB : IsBlock (↥H) B
g : G
\u22a2 IsBlock (↥(Subgroup.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) H)) (g • B)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
H : Subgroup G
hB : IsBlock (↥H) B
g : G
\u22a2 ∀ (g_1 : ↥(Subgroup.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) H)), g_1 • g • B = g • B ∨ Disjoint (g_1 • g • B) (g • B)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
H : Subgroup G
hB : IsBlock (↥H) B
g : G
h' : ↥(Subgroup.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) H)
\u22a2 h' • g • B = g • B ∨ Disjoint (h' • g • B) (g • B)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
H : Subgroup G
hB : IsBlock (↥H) B
g : G
h' : ↥(Subgroup.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) H)
h : G
hH : h ∈ H
hh : (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) h = ↑h'
\u22a2 h' • g • B = g • B ∨ Disjoint (h' • g • B) (g • B)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
H : Subgroup G
hB : IsBlock (↥H) B
g : G
h' : ↥(Subgroup.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) H)
h : G
hH : h ∈ H
hh : g * h * g⁻¹ = ↑h'
\u22a2 h' • g • B = g • B ∨ Disjoint (h' • g • B) (g • B)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
H : Subgroup G
hB : IsBlock (↥H) B
g : G
h' : ↥(Subgroup.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) H)
h : G
hH : h ∈ H
hh : g * h * g⁻¹ = ↑h'
\u22a2 ↑h' • g • B = g • h • B
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEDisjoint.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t u v : Set α
h : AEDisjoint μ s t
\u22a2 AEDisjoint μ t s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
n : ℕ
\u22a2 (X ^ n).degree = ↑n
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
m : ℤ
x : 𝕜
\u22a2 ContinuousAt (fun x => x ^ m) x ↔ x ≠ 0 ∨ 0 ≤ m
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
m : ℤ
x : 𝕜
\u22a2 ContinuousAt (fun x => x ^ m) x → x ≠ 0 ∨ 0 ≤ m
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
m : ℤ
x : 𝕜
\u22a2 x = 0 ∧ m < 0 → ¬ContinuousAt (fun x => x ^ m) x
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
m : ℤ
hm : m < 0
hc : ContinuousAt (fun x => x ^ m) 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Multiset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Multiset α
\u22a2 card m.sym2 = (card m + 1).choose 2
-- Mathlib/Data/Multiset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Multiset α
xs : List α
\u22a2 card (Multiset.sym2 ⟦xs⟧) = (card ⟦xs⟧ + 1).choose 2
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a d₁ : α
t₁ : List α
ih : ¬a ∈ t₁ → indexOf a (t₁ ++ l₂) = t₁.length + indexOf a l₂
h : ¬a ∈ d₁ :: t₁
\u22a2 indexOf a (d₁ :: t₁ ++ l₂) = (d₁ :: t₁).length + indexOf a l₂
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v : V
p : G.Walk u v
\u22a2 p.toSubgraph.Connected
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z✝ : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
e : X ≃ Y
he : ∀ (s : Set Y), IsOpen (⇑e ⁻¹' s) ↔ IsOpen s
s : Set X
\u22a2 IsOpen s → IsOpen (e.invFun ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z✝ : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
e : X ≃ Y
he : ∀ (s : Set Y), IsOpen (⇑e ⁻¹' s) ↔ IsOpen s
s : Set X
\u22a2 s = ⇑e ⁻¹' (e.invFun ⁻¹' s)
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s : Multiset ι
f g : ι → α
l : List ι
hle : ∀ i ∈ Quot.mk Setoid.r l, f i ≤ g i
hlt : ∃ i ∈ Quot.mk Setoid.r l, f i < g i
\u22a2 (map f (Quot.mk Setoid.r l)).prod < (map g (Quot.mk Setoid.r l)).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s : Multiset ι
f g : ι → α
l : List ι
hle : ∀ i ∈ Quot.mk Setoid.r l, f i ≤ g i
hlt : ∃ i ∈ Quot.mk Setoid.r l, f i < g i
\u22a2 (List.map f l).prod < (List.map g l).prod
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K✝ : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
f : Function.End α
K : ℝ≥0
h : LipschitzWith K f
\u22a2 LipschitzWith (K ^ 0) (f ^ 0)
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K✝ : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
f : Function.End α
K : ℝ≥0
h : LipschitzWith K f
n : ℕ
\u22a2 LipschitzWith (K ^ (n + 1)) (f ^ (n + 1))
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K✝ : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
f : Function.End α
K : ℝ≥0
h : LipschitzWith K f
n : ℕ
\u22a2 LipschitzWith (K ^ n * K) (f ^ n * f)
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A✝ B✝ : Finset G
a0✝ b0✝ : G
f : G →ₙ* H
hf : Function.Injective ⇑f
a0 b0 : G
A B : Finset H
u : UniqueMul A B (f a0) (f b0)
a b : G
ha : a ∈ A.preimage ⇑f ⋯
hb : b ∈ B.preimage ⇑f ⋯
ab : a * b = a0 * b0
\u22a2 a = a0 ∧ b = b0
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A✝ B✝ : Finset G
a0✝ b0✝ : G
f : G →ₙ* H
hf : Function.Injective ⇑f
a0 b0 : G
A B : Finset H
u : UniqueMul A B (f a0) (f b0)
a b : G
ha : a ∈ A.preimage ⇑f ⋯
hb : b ∈ B.preimage ⇑f ⋯
ab : f a * f b = f a0 * f b0
\u22a2 f a = f a0 ∧ f b = f b0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hy : P y = W.negY P
\u22a2 W.Nonsingular P ↔ W.Equation P ∧ (eval P) W.polynomialX ≠ 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hy : P y = W.negY P
this : (eval P) W.polynomialY = P y - W.negY P
\u22a2 W.Nonsingular P ↔ W.Equation P ∧ (eval P) W.polynomialX ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
x : ℝ
\u22a2 ‖↑x‖ = |x - ↑(round x)|
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/NonabelianCohomology/H1.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
G : Cᵒᵖ ⥤ Grp
X : C
I : Type w'
U : I → C
γ₁ γ₂ : OneCochain G U
α : ZeroCochain G U
h : OneCohomologyRelation γ₁ γ₂ α
i j : I
T : C
a : T ⟶ U i
b : T ⟶ U j
\u22a2 (G.map a.op) (α⁻¹ i) * γ₂.ev i j a b = γ₁.ev i j a b * (G.map b.op) (α⁻¹ j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallyFullyFaithful.lean
C : Type uC
inst✝³ : Category.{vC, uC} C
D : Type uD
inst✝² : Category.{vD, uD} D
G✝ : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.7470, u_1} A
G : C ⥤ D
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : SheafOfTypes K
X Y : C
i : G.obj X ⟶ G.obj Y
s t : ℱ.val.obj (op (G.obj X))
h : ∀ ⦃Z : C⦄ (j : Z ⟶ X) (f : Z ⟶ Y), G.map f = G.map j ≫ i → ℱ.val.map (G.map j).op s = ℱ.val.map (G.map j).op t
\u22a2 s = t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallyFullyFaithful.lean
C : Type uC
inst✝³ : Category.{vC, uC} C
D : Type uD
inst✝² : Category.{vD, uD} D
G✝ : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.7470, u_1} A
G : C ⥤ D
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : SheafOfTypes K
X Y : C
i : G.obj X ⟶ G.obj Y
s t : ℱ.val.obj (op (G.obj X))
h : ∀ ⦃Z : C⦄ (j : Z ⟶ X) (f : Z ⟶ Y), G.map f = G.map j ≫ i → ℱ.val.map (G.map j).op s = ℱ.val.map (G.map j).op t
\u22a2 ∀ ⦃Y_1 : D⦄ ⦃f : Y_1 ⟶ G.obj X⦄, (Sieve.functorPushforward G (G.imageSieve i)).arrows f → ℱ.val.map f.op s = ℱ.val.map f.op t
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : PosNum
\u22a2 0 < n.natSize
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α✝ : Type u_1
α' : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace α'
inst✝³ : MeasurableSpace β✝
inst✝² : MeasurableSpace β'
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α✝
ν ν' : Measure β✝
τ : Measure γ
inst✝ : NormedAddCommGroup E
α : Type u_7
β : Type u_8
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : IsCountablySpanning C
hD : IsCountablySpanning D
\u22a2 Prod.instMeasurableSpace = generateFrom (image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α✝ : Type u_1
α' : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace α'
inst✝³ : MeasurableSpace β✝
inst✝² : MeasurableSpace β'
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α✝
ν ν' : Measure β✝
τ : Measure γ
inst✝ : NormedAddCommGroup E
α : Type u_7
β : Type u_8
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : IsCountablySpanning C
hD : IsCountablySpanning D
\u22a2 Prod.instMeasurableSpace ≤ generateFrom (image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α✝ : Type u_1
α' : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace α'
inst✝³ : MeasurableSpace β✝
inst✝² : MeasurableSpace β'
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α✝
ν ν' : Measure β✝
τ : Measure γ
inst✝ : NormedAddCommGroup E
α : Type u_7
β : Type u_8
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : IsCountablySpanning C
hD : IsCountablySpanning D
\u22a2 generateFrom (image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D) ≤ Prod.instMeasurableSpace
-- Mathlib/Topology/Order/OrderClosed.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIciTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
h : a < b
\u22a2 ContinuousWithinAt f (Icc a b) a ↔ ContinuousWithinAt f (Ici a) a
-- Mathlib/Topology/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
l : List α
hl : l.length = n + 1
\u22a2 ContinuousAt (Vector.eraseIdx i) ⟨l, hl⟩
-- Mathlib/Topology/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
l : List α
hl : l.length = n + 1
\u22a2 Tendsto (fun x => ↑(Vector.eraseIdx i x)) (𝓝 ⟨l, hl⟩) (𝓝 ↑(match ⟨l, hl⟩ with | ⟨l, p⟩ => ⟨l.eraseIdx ↑i, ⋯⟩))
-- Mathlib/Topology/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
l : List α
hl : l.length = n + 1
\u22a2 Tendsto (fun x => (↑x).eraseIdx ↑i) (𝓝 ⟨l, hl⟩) (𝓝 (l.eraseIdx ↑i))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N✝ : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N✝
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N✝
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N✝
g : N✝ →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
N : Submodule R M
\u22a2 ker (lTensor Q N.mkQ) = range (lTensor Q N.subtype)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N✝ : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N✝
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N✝
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N✝
g : N✝ →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
N : Submodule R M
\u22a2 Exact ⇑(lTensor Q N.subtype) ⇑(lTensor Q N.mkQ)
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
f : F[X]
hf : Irreducible f
h : derivative f ≠ 0
g : F[X]
hg1 : g ∈ nonunits F[X]
_hg2 : g ≠ 0
x✝ : g ∣ f
hg4 : g ∣ derivative f
p : F[X]
hg3 : f = g * p
u : F[X]ˣ
hu : ↑u = p
\u22a2 g * ↑u ∣ derivative f
-- Mathlib/ModelTheory/FinitelyGenerated.lean
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
f : M →[L] N
s : L.Substructure M
hs : s.FG
t : Set M
ht : t.Finite ∧ (closure L).toFun t = s
\u22a2 (closure L).toFun (⇑f '' t) = Substructure.map f s
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Zero α
v : l ⊕ m → α
\u22a2 (of fun i j => diagonal v (Sum.inl i) (Sum.inl j)) = diagonal fun i => v (Sum.inl i)
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Zero α
v : l ⊕ m → α
i j : l
\u22a2 of (fun i j => diagonal v (Sum.inl i) (Sum.inl j)) i j = diagonal (fun i => v (Sum.inl i)) i j
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
h0 : ¬x.gcd y = 0
\u22a2 h.IsClassified
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
h0 : ¬x.gcd y = 0
\u22a2 ⋯.IsPrimitiveClassified
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
h0 : ¬x.gcd y = 0
\u22a2 (x / ↑(x.gcd y)).gcd (y / ↑(x.gcd y)) = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
\u22a2 ∃ t, t.Countable ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
\u22a2 ∃ t, t.Countable ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop := fun t => ((↑t).PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF : ∀ (t : Finset (α × ℝ)), P t → t ⊆ F t ∧ P (F t) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => F^[n] ∅
\u22a2 ∃ t, t.Countable ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop := fun t => ((↑t).PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF : ∀ (t : Finset (α × ℝ)), P t → t ⊆ F t ∧ P (F t) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
\u22a2 ∃ t, t.Countable ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop := fun t => ((↑t).PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF : ∀ (t : Finset (α × ℝ)), P t → t ⊆ F t ∧ P (F t) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
\u22a2 ∃ t, t.Countable ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop := fun t => ((↑t).PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF : ∀ (t : Finset (α × ℝ)), P t → t ⊆ F t ∧ P (F t) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
\u22a2 ∀ p ∈ ⋃ n, ↑(u n), p.1 ∈ s