ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s
x✝ : Set α
\u22a2 x✝ ∈ l ↔ ∃ i, (∃ i_1, p i_1 ∧ s i_1 = i) ∧ id i ⊆ x✝
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid M
f✝ g✝ : ι → M
s t : Finset ι
f g : ι → M
h : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i
\u22a2 ∏ i ∈ s, f i = ∏ i ∈ s, g i ↔ ∀ i ∈ s, f i = g i
-- Mathlib/Algebra/Homology/BifunctorShift.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_2} C₂
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_3} D
inst✝⁵ : Preadditive C₁
inst✝⁴ : Preadditive C₂
inst✝³ : Preadditive D
K₁ : CochainComplex C₁ ℤ
K₂ : CochainComplex C₂ ℤ
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
inst✝² : F.Additive
inst✝¹ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).Additive
x y : ℤ
inst✝ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F
\u22a2 (HomologicalComplex₂.total.map (K₁.mapBifunctorHomologicalComplexShift₁Iso ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C₂ ℤ) y).obj K₂) F x).hom (ComplexShape.up ℤ) ≫ ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁).obj ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C₂ ℤ) y).obj K₂)).totalShift₁Iso x).hom) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex D ℤ) x).map (HomologicalComplex₂.total.map (K₁.mapBifunctorHomologicalComplexShift₂Iso K₂ F y).hom (ComplexShape.up ℤ) ≫ ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁).obj K₂).totalShift₂Iso y).hom) = (x * y).negOnePow • (HomologicalComplex₂.total.map (((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C₁ ℤ) x).obj K₁).mapBifunctorHomologicalComplexShift₂Iso K₂ F y).hom (ComplexShape.up ℤ) ≫ ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C₁ ℤ) x).obj K₁)).obj K₂).totalShift₂Iso y).hom) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex D ℤ) y).map (HomologicalComplex₂.total.map (K₁.mapBifunctorHomologicalComplexShift₁Iso K₂ F x).hom (ComplexShape.up ℤ) ≫ ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁).obj K₂).totalShift₁Iso x).hom) ≫ (shiftFunctorComm (CochainComplex D ℤ) x y).hom.app (K₁.mapBifunctor K₂ F)
-- Mathlib/Algebra/Homology/BifunctorShift.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_2} C₂
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_3} D
inst✝⁵ : Preadditive C₁
inst✝⁴ : Preadditive C₂
inst✝³ : Preadditive D
K₁ : CochainComplex C₁ ℤ
K₂ : CochainComplex C₂ ℤ
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
inst✝² : F.Additive
inst✝¹ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).Additive
x y : ℤ
inst✝ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F
\u22a2 HomologicalComplex₂.total.map (((K₁.mapBifunctorHomologicalComplexShift₁Iso ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C₂ ℤ) y).obj K₂) F x).hom ≫ (HomologicalComplex₂.shiftFunctor₁ D x).map (K₁.mapBifunctorHomologicalComplexShift₂Iso K₂ F y).hom) ≫ (HomologicalComplex₂.shiftFunctor₁₂CommIso D x y).hom.app (((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁).obj K₂)) (ComplexShape.up ℤ) ≫ (((HomologicalComplex₂.shiftFunctor₁ D x).obj (((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁).obj K₂)).totalShift₂Iso y).hom ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex D (ComplexShape.up ℤ)) y).map ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁).obj K₂).totalShift₁Iso x).hom ≫ (shiftFunctorComm (CochainComplex D ℤ) x y).hom.app ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁).obj K₂).total (ComplexShape.up ℤ)) = HomologicalComplex₂.total.map ((((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C₁ ℤ) x).obj K₁).mapBifunctorHomologicalComplexShift₂Iso K₂ F y).hom ≫ (HomologicalComplex₂.shiftFunctor₂ D y).map (K₁.mapBifunctorHomologicalComplexShift₁Iso K₂ F x).hom) (ComplexShape.up ℤ) ≫ (((HomologicalComplex₂.shiftFunctor₁ D x).obj (((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁).obj K₂)).totalShift₂Iso y).hom ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex D ℤ) y).map ((((F.mapBifunctorHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ) (ComplexShape.up ℤ)).obj K₁).obj K₂).totalShift₁Iso x).hom ≫ (shiftFunctorComm (CochainComplex D ℤ) x y).hom.app (K₁.mapBifunctor K₂ F)
-- Mathlib/Algebra/Homology/BifunctorShift.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_2} C₂
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_3} D
inst✝⁵ : Preadditive C₁
inst✝⁴ : Preadditive C₂
inst✝³ : Preadditive D
K₁ : CochainComplex C₁ ℤ
K₂ : CochainComplex C₂ ℤ
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
inst✝² : F.Additive
inst✝¹ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).Additive
x y : ℤ
inst✝ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F
a b : ℤ
\u22a2 (𝟙 ((F.obj (K₁.X (a + x))).obj (K₂.X (b + y))) ≫ 𝟙 ((F.obj (K₁.X (a + x))).obj (K₂.X (b + y)))) ≫ 𝟙 ((F.obj (K₁.X (a + x))).obj (K₂.X (b + y))) = 𝟙 ((F.obj (K₁.X (a + x))).obj (K₂.X (b + y))) ≫ 𝟙 ((F.obj (K₁.X (a + x))).obj (K₂.X (b + y)))
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeProduct/Basic.lean
I : Type u
inst✝⁵ : DecidableEq I
i✝ : I
R : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : I → Type w
inst✝³ : (i : I) → Semiring (A i)
inst✝² : (i : I) → Algebra R (A i)
B : Type w'
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
maps : {i : I} → A i →ₐ[R] B
i : I
\u22a2 (RingQuot.mkAlgHom R (rel R A)) ((ι R) ((DirectSum.lof R I A i) 1)) = 1
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
\u22a2 ⨅ l, ⨅ (_ : ⊥ < l), 𝓟 (Iio l) = ⨅ a, ⨅ (_ : a ≠ ⊥), 𝓟 (Iio a)
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
\u22a2 (a, b₁) ⋖ (a, b₂) ↔ b₁ ⋖ b₂
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α'
inst✝³ : One β
inst✝² : One γ
inst✝¹ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
inst✝ : R1Space α
\u22a2 (∃ K, IsCompact K ∧ ∀ x ∉ K, f x = 1) ↔ HasCompactMulSupport f
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ : C
f g h : j₁ ⟶ j₂
\u22a2 g ≫ coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h) ≫ coeqHom (coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h)) (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) = h ≫ coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h) ≫ coeqHom (coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h)) (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h))
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ : C
f g h : j₁ ⟶ j₂
\u22a2 g ≫ (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) ≫ coeqHom (coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h)) (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) = h ≫ coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h) ≫ coeqHom (coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h)) (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h))
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ : C
f g h : j₁ ⟶ j₂
\u22a2 g ≫ (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) ≫ coeqHom (coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h)) (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) = h ≫ (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) ≫ coeqHom (coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h)) (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h))
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ : C
f g h : j₁ ⟶ j₂
\u22a2 ((h ≫ coeqHom g h) ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) ≫ coeqHom (coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h)) (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) = h ≫ (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h)) ≫ coeqHom (coeqHom f g ≫ leftToMax (coeq f g) (coeq g h)) (coeqHom g h ≫ rightToMax (coeq f g) (coeq g h))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
h : 0 < x
\u22a2 log x < 0 ↔ x < 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
h : 0 < x
\u22a2 log x < log 1 ↔ x < 1
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hαβ : s.IsPWO
a : α
f : Lex (α × β) → β := fun x => (ofLex x).2
h : {y | toLex (a, y) ∈ s} = f '' (s ∩ (fun x => (ofLex x).1) ⁻¹' {a})
\u22a2 (f '' (s ∩ (fun x => (ofLex x).1) ⁻¹' {a})).IsPWO
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hαβ : s.IsPWO
a : α
f : Lex (α × β) → β := fun x => (ofLex x).2
h : {y | toLex (a, y) ∈ s} = f '' (s ∩ (fun x => (ofLex x).1) ⁻¹' {a})
\u22a2 MonotoneOn f (s ∩ (fun x => (ofLex x).1) ⁻¹' {a})
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hαβ : s.IsPWO
a : α
f : Lex (α × β) → β := fun x => (ofLex x).2
h : {y | toLex (a, y) ∈ s} = f '' (s ∩ (fun x => (ofLex x).1) ⁻¹' {a})
b : Lex (α × β)
hb : b ∈ (fun x => (ofLex x).1) ⁻¹' {a}
c : Lex (α × β)
hc : c ∈ (fun x => (ofLex x).1) ⁻¹' {a}
hbc : b ≤ c
\u22a2 f b ≤ f c
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hαβ : s.IsPWO
a : α
f : Lex (α × β) → β := fun x => (ofLex x).2
h : {y | toLex (a, y) ∈ s} = f '' (s ∩ (fun x => (ofLex x).1) ⁻¹' {a})
b c : Lex (α × β)
hbc : b ≤ c
hb : (ofLex b).1 = a
hc : (ofLex c).1 = a
\u22a2 f b ≤ f c
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hαβ : s.IsPWO
a : α
f : Lex (α × β) → β := fun x => (ofLex x).2
h : {y | toLex (a, y) ∈ s} = f '' (s ∩ (fun x => (ofLex x).1) ⁻¹' {a})
b c : Lex (α × β)
hbc : b ≤ c
hb : (ofLex b).1 = a
hc : (ofLex c).1 = a
this : (ofLex b).1 < (ofLex c).1 ∨ (ofLex b).1 = (ofLex c).1 ∧ f b ≤ f c
\u22a2 f b ≤ f c
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X : Set α
M : Matroid α
I J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hJB : Disjoint J B
hIJ : I ⊆ J
\u22a2 I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
\u22a2 ∃ x ∈ X \ I, (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
\u22a2 ∃ x ∈ X \ I, (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
hB' : M.Base (M.E \ X)
\u22a2 ∃ x ∈ X \ I, (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
B' : Set α := M.E \ X
hB' : M.Base B'
hX : B' = M.E \ X
\u22a2 ∃ x ∈ X \ I, (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
B' : Set α := M.E \ X
hB' : M.Base B'
hX : B' = M.E \ X
hI : ¬M.Base (M.E \ I)
\u22a2 ∃ x ∈ X \ I, (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
B' : Set α := M.E \ X
hB' : M.Base B'
hX : B' = M.E \ X
hI : ¬M.Base (M.E \ I)
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hB''₁ : B' \ I ⊆ B''
hB''₂ : B'' ⊆ B' \ I ∪ B
\u22a2 ∃ x ∈ X \ I, (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
B' : Set α := M.E \ X
hB' : M.Base B'
hX : B' = M.E \ X
hI : ¬M.Base (M.E \ I)
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hB''₁ : B' \ I ⊆ B''
hB''₂ : B'' ⊆ B' ∪ B ∧ I ⊆ B''ᶜ
\u22a2 ∃ x ∈ X \ I, (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
B' : Set α := M.E \ X
hB' : M.Base B'
hX : B' = M.E \ X
hI : ¬M.Base (M.E \ I)
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hB''₁ : B' \ I ⊆ B''
hB''₂ : B'' ⊆ B' ∪ B ∧ I ⊆ B''ᶜ
hssu : I ⊂ B''ᶜ ∩ M.E
\u22a2 ∃ x ∈ X \ I, (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
B' : Set α := M.E \ X
hB' : M.Base B'
hX : B' = M.E \ X
hI : ¬M.Base (M.E \ I)
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hB''₁ : B' \ I ⊆ B''
hB''₂ : B'' ⊆ B' ∪ B ∧ I ⊆ B''ᶜ
hssu : I ⊂ B''ᶜ ∩ M.E
e : α
heI : e ∉ I
heB'' : e ∉ B''
heE : e ∈ M.E
\u22a2 ∃ x ∈ X \ I, (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
B' : Set α := M.E \ X
hB' : M.Base B'
hX : B' = M.E \ X
hI : ¬M.Base (M.E \ I)
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hB''₁ : B' \ I ⊆ B''
hB''₂ : B'' ⊆ B' ∪ B ∧ I ⊆ B''ᶜ
hssu : I ⊂ B''ᶜ ∩ M.E
e : α
heI : e ∉ I
heB'' : e ∉ B''
heE : e ∈ M.E
\u22a2 e ∈ X \ I ∧ (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (insert e I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
B' : Set α := M.E \ X
hB' : M.Base B'
hX : B' = M.E \ X
hI : ¬M.Base (M.E \ I)
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hB''₁ : B' \ I ⊆ B''
hB''₂ : B'' ⊆ B' ∪ B ∧ I ⊆ B''ᶜ
hssu : I ⊂ B''ᶜ ∩ M.E
e : α
heI : e ∉ I
heB'' : e ∉ B''
heE : e ∈ M.E
\u22a2 e ∈ X ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint (insert e I) B
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
B' : Set α := M.E \ X
hB' : M.Base B'
hX : B' = M.E \ X
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B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
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hB''₂ : B'' ⊆ B' ∪ B ∧ I ⊆ B''ᶜ
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e : α
heI : e ∉ I
heB'' : e ∉ B''
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\u22a2 Disjoint (insert e I) B''
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
B' : Set α := M.E \ X
hB' : M.Base B'
hX : B' = M.E \ X
hI : ¬M.Base (M.E \ I)
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hB''₁ : B' \ I ⊆ B''
hB''₂ : B'' ⊆ B' ∪ B ∧ I ⊆ B''ᶜ
hssu : I ⊂ B''ᶜ ∩ M.E
e : α
heI : e ∉ I
heB'' : e ∉ B''
heE : e ∈ M.E
\u22a2 Disjoint I B''
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
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B : Set α
hB : M.Base B
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\u22a2 (maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) Y ∧ I' ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Nonempty
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
\u22a2 (maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) Y ∧ I' ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Nonempty
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
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B' : Set α
hB' : M.Base B'
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hB'IB : B' ⊆ I ∪ B
\u22a2 (maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) Y ∧ I' ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Nonempty
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
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B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B
\u22a2 (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (X \ B' ∩ M.E)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
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B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B
\u22a2 I' ⊆ X ∧ Disjoint I' B'
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
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I : Set α
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\u22a2 ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {Y | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) Y ∧ I' ⊆ Y ∧ Y ⊆ X} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) (X \ B' ∩ M.E) b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b (X \ B' ∩ M.E)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
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hB : M.Base B
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hI'X : I' ⊆ X
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hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B
\u22a2 ∀ ⦃b : Set α⦄, b ⊆ M.E → ∀ (x : Set α), M.Base x → Disjoint b x → I' ⊆ b → b ⊆ X → X \ B' ∩ M.E ⊆ b → b ⊆ X \ B' ∧ b ⊆ M.E
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
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hB'IB : B' ⊆ I ∪ B
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hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
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hJX : J ⊆ X
hssJ : X \ B' ∩ M.E ⊆ J
\u22a2 J ⊆ X \ B' ∧ J ⊆ M.E
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
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hB : M.Base B
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-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
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-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
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-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
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B'' : Set α
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B₁ : Set α
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hB₁I : B₁ ⊆ B'' ∩ X ∪ B' \ X ∪ B''
\u22a2 J ⊆ X \ B'
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
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B : Set α
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hIB' : I ⊆ B'
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J : Set α
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B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
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B₁ : Set α
hB₁ : M.Base B₁
hI'B₁ : B'' ∩ X ∪ B' \ X ⊆ B₁
hB₁I : B₁ ⊆ B'' ∪ B' \ X
\u22a2 J ⊆ X \ B'
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
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I : Set α
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B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B
J : Set α
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B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
hssJ : X ∩ M.E ⊆ B' ∪ J
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B₁ : Set α
hB₁ : M.Base B₁
hI'B₁ : B'' ∩ X ∪ B' \ X ⊆ B₁
hB₁I : B₁ ⊆ B'' ∪ B' \ X
this : B₁ = B'
\u22a2 J ⊆ X \ B'