ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Process/Adapted.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
inst✝³ : MeasurableSpace ι
t : ι → Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : BorelSpace ι
inst✝ : MetrizableSpace ι
h : ProgMeasurable f u
ht : ProgMeasurable f t
ht_le : ∀ (i : ι) (ω : Ω), t i ω ≤ i
i : ι
this : (fun p => u (t (↑p.1) p.2) p.2) = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun p => (⟨t (↑p.1) p.2, ⋯⟩, p.2)
\u22a2 StronglyMeasurable ((fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun p => (⟨t (↑p.1) p.2, ⋯⟩, p.2))
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
x : ℝ
h : Irrational x
\u22a2 x ≠ 1
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
p n k b : ℕ
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
hnb : log p n < b
\u22a2 multiplicity p (n.choose k) = ↑(filter (fun i => p ^ i ≤ k % p ^ i + (n - k) % p ^ i) (Ico 1 b)).card
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
p n k b : ℕ
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
hnb : log p n < b
this : n - k + k = n
\u22a2 multiplicity p (n.choose k) = ↑(filter (fun i => p ^ i ≤ k % p ^ i + (n - k) % p ^ i) (Ico 1 b)).card
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
p n k b : ℕ
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
hnb : log p n < b
this : n - k + k = n
\u22a2 n = n - k + k
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
p n k b : ℕ
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
hnb : log p n < b
this : n - k + k = n
\u22a2 log p (n - k + k) < b
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x✝ y✝ x y : ℝ
\u22a2 x ^ 2 < y ↔ -√y < x ∧ x < √y
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
f : α → β
g : α →𝒄 β
h : f = ⇑g
\u22a2 Continuous (g.copy f h)
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
f : α → β
g : α →𝒄 β
h : f = ⇑g
\u22a2 Continuous g.toOrderHom
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
\u22a2 (fun x => x - a) '' Ioo b c = Ioo (b - a) (c - a)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
m n : ℕ
this : ∀ (r : ℕ), eulerMascheroniSeq r < eulerMascheroniSeq' r
\u22a2 eulerMascheroniSeq m < eulerMascheroniSeq' n
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
m n : ℕ
this : ∀ (r : ℕ), eulerMascheroniSeq r < eulerMascheroniSeq' r
\u22a2 eulerMascheroniSeq (max m n) < eulerMascheroniSeq' n
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/PerpBisector.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P
\u22a2 c ∈ perpBisector p₁ p₂ ↔ ⟪c -ᵥ p₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = dist p₁ p₂ ^ 2 / 2
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Indicator.lean
α : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝² : L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
inst✝¹ : L.NeBot
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
h_lim : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
\u22a2 Tendsto (fun i => μ (As i)) L (𝓝 (μ A))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Indicator.lean
α : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝² : L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
inst✝¹ : L.NeBot
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
h_lim : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
\u22a2 MeasurableSet A
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
inst✝ : Fintype I
e : I → R
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
\u22a2 ∏ i : I, (1 - e i) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
a b c : ℤ
hdvd : ¬3 ∣ a * b * c
\u22a2 a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
a b c : ℤ
hdvd : (¬3 ∣ a ∧ ¬3 ∣ b) ∧ ¬3 ∣ c
\u22a2 a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
a b c : ℤ
hdvd : (¬3 ∣ a ∧ ¬3 ∣ b) ∧ ¬3 ∣ c
\u22a2 ¬↑(a ^ 3 + b ^ 3) = ↑(c ^ 3)
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
a b c : ℤ
hdvd : (¬3 ∣ a ∧ ¬3 ∣ b) ∧ ¬3 ∣ c
\u22a2 ¬↑a ^ 3 + ↑b ^ 3 = ↑c ^ 3
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
\u22a2 IsHomogeneous 𝒜 I ↔ ∃ S, I = span (Subtype.val '' S)
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
\u22a2 I = (homogeneousCore 𝒜 I).toIdeal ↔ ∃ S, I = span (Subtype.val '' S)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Commute.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring R
a b : R
h : Commute a b
\u22a2 a ^ 2 - b ^ 2 = (a + b) * (a - b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'
inst✝⁷ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module R M₃
inst✝³ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝² : DecidableEq ι
P : ι → Prop
inst✝¹ : DecidablePred P
inst✝ : DecidableEq { a // ¬P a }
x : (i : { a // P a }) → M₁ ↑i
z : (i : { a // ¬P a }) → M₁ ↑i
i : { a // ¬P a }
c : M₁ ↑i
\u22a2 (fun j => if h : P j then x ⟨j, h⟩ else update z i c ⟨j, h⟩) = update (fun j => if h : P j then x ⟨j, h⟩ else z ⟨j, h⟩) (↑i) c
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
\u22a2 (sphere x r).Nonempty ↔ 0 ≤ r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
y : E
hy : y ≠ x
\u22a2 (sphere x r).Nonempty ↔ 0 ≤ r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
y : E
hy : y ≠ x
hr : 0 ≤ r
\u22a2 r • ‖y - x‖⁻¹ • (y - x) + x ∈ sphere x r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
y : E
hy : y ≠ x
hr : 0 ≤ r
this : ‖y - x‖ ≠ 0
\u22a2 r • ‖y - x‖⁻¹ • (y - x) + x ∈ sphere x r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
y : E
hy : y ≠ x
hr : 0 ≤ r
this : ‖y - x‖ ≠ 0
\u22a2 |r| * (|‖y - x‖|⁻¹ * ‖y - x‖) = r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
y : E
hy : y ≠ x
hr : 0 ≤ r
this : ‖y - x‖ ≠ 0
\u22a2 |r| * (‖y - x‖⁻¹ * ‖y - x‖) = r
-- Mathlib/Analysis/Complex/UnitDisc/Basic.lean
z : 𝔻
\u22a2 abs ↑z ≠ abs (-1)
-- Mathlib/Analysis/Complex/UnitDisc/Basic.lean
z : 𝔻
\u22a2 abs ↑z ≠ 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
\u22a2 (↑π).sin = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PolishSpace β
s : Set β
hs : IsOpen s
f : β → α
f_cont : Continuous f
\u22a2 AnalyticSet (f '' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PolishSpace β
s : Set β
hs : IsOpen s
f : β → α
f_cont : Continuous f
\u22a2 AnalyticSet (range fun x => f ↑x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PolishSpace β
s : Set β
hs : IsOpen s
f : β → α
f_cont : Continuous f
this : PolishSpace ↑s
\u22a2 AnalyticSet (range fun x => f ↑x)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
inst✝ : Nontrivial A
\u22a2 spectrum R 1 = {1}
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
inst✝ : Nontrivial A
this : 1 = (algebraMap R A) 1
\u22a2 spectrum R 1 = {1}
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Spectrum.lean
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹² : NormedRing A
inst✝¹¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹⁰ : CompleteSpace A
inst✝⁹ : StarRing A
inst✝⁸ : CstarRing A
inst✝⁷ : NormedRing B
inst✝⁶ : NormedAlgebra ℂ B
inst✝⁵ : CompleteSpace B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : CstarRing B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : AlgHomClass F ℂ A B
inst✝ : StarAlgHomClass F ℂ A B
φ : F
a : A
\u22a2 ‖φ a‖₊ ≤ ‖a‖₊
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Spectrum.lean
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹² : NormedRing A
inst✝¹¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹⁰ : CompleteSpace A
inst✝⁹ : StarRing A
inst✝⁸ : CstarRing A
inst✝⁷ : NormedRing B
inst✝⁶ : NormedAlgebra ℂ B
inst✝⁵ : CompleteSpace B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : CstarRing B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : AlgHomClass F ℂ A B
inst✝ : StarAlgHomClass F ℂ A B
φ : F
a : A
\u22a2 ∀ (s : A), IsSelfAdjoint s → ‖φ s‖₊ ≤ ‖s‖₊
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Spectrum.lean
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹² : NormedRing A
inst✝¹¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹⁰ : CompleteSpace A
inst✝⁹ : StarRing A
inst✝⁸ : CstarRing A
inst✝⁷ : NormedRing B
inst✝⁶ : NormedAlgebra ℂ B
inst✝⁵ : CompleteSpace B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : CstarRing B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : AlgHomClass F ℂ A B
inst✝ : StarAlgHomClass F ℂ A B
φ : F
a s : A
hs : IsSelfAdjoint s
\u22a2 ‖φ s‖₊ ≤ ‖s‖₊
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LeftCancelMonoid G
inst✝ : Finite G
x✝ y : G
n : ℕ
x : G
\u22a2 IsOfFinOrder x
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LeftCancelMonoid G
inst✝ : Finite G
x✝ y : G
n : ℕ
x : G
h : ¬IsOfFinOrder x
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
\u22a2 map Prod.swap (μ.prod ν) = ν.prod μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
this : (sum fun i => map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2))) = sum fun i => map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.2).prod (sFiniteSeq ν i.1))
\u22a2 map Prod.swap (μ.prod ν) = ν.prod μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
this : (sum fun i => map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2))) = sum fun i => map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.2).prod (sFiniteSeq ν i.1))
\u22a2 (sum fun i => map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.2).prod (sFiniteSeq ν i.1))) = sum fun p => (sFiniteSeq ν p.1).prod (sFiniteSeq μ p.2)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
this : (sum fun i => map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2))) = sum fun i => map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.2).prod (sFiniteSeq ν i.1))
i : ℕ × ℕ
\u22a2 map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.2).prod (sFiniteSeq ν i.1)) = (sFiniteSeq ν i.1).prod (sFiniteSeq μ i.2)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
this : (sum fun i => map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2))) = sum fun i => map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.2).prod (sFiniteSeq ν i.1))
i : ℕ × ℕ
\u22a2 ∀ (s : Set β) (t : Set α), MeasurableSet s → MeasurableSet t → (map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.2).prod (sFiniteSeq ν i.1))) (s ×ˢ t) = (sFiniteSeq ν i.1) s * (sFiniteSeq μ i.2) t
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
this : (sum fun i => map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2))) = sum fun i => map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.2).prod (sFiniteSeq ν i.1))
i : ℕ × ℕ
s : Set β
t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
\u22a2 (map Prod.swap ((sFiniteSeq μ i.2).prod (sFiniteSeq ν i.1))) (s ×ˢ t) = (sFiniteSeq ν i.1) s * (sFiniteSeq μ i.2) t
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q a b c : ℚ
n : ℤ
d : ℕ
hd : d ≠ 0
hn : n /. ↑d ≠ 0
\u22a2 n /. ↑d * (n /. ↑d)⁻¹ = 1
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q a b c : ℚ
n : ℤ
d : ℕ
hd : d ≠ 0
hn : ¬n = 0
\u22a2 n /. ↑d * (n /. ↑d)⁻¹ = 1
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
k : ℕ
hk : 0 < k
a b : ℕ
x✝ : b ≥ 1
\u22a2 a / k ≤ b ↔ a ≤ (fun b => b * k + (k - 1)) b
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
k : ℕ
hk : 0 < k
b : ℕ
x✝ : b ≥ 1
\u22a2 b = b * k / k
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Integrable f μ
\u22a2 ∃ x, ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
f : LocallyConstant ↑(π C fun x => x ∈ s) ℤ
a✝ : f ∈ ⊤
\u22a2 f ∈ Submodule.span ℤ (Set.range (spanFinBasis C s))
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
f : LocallyConstant ↑(π C fun x => x ∈ s) ℤ
a✝ : f ∈ ⊤
\u22a2 ∃ c, (c.sum fun i a => a • spanFinBasis C s i) = f
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
f : LocallyConstant ↑(π C fun x => x ∈ s) ℤ
a✝ : f ∈ ⊤
\u22a2 ((Finsupp.onFinset Finset.univ f.toFun ⋯).sum fun i a => a • spanFinBasis C s i) = f
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
f : LocallyConstant ↑(π C fun x => x ∈ s) ℤ
a✝ : f ∈ ⊤
x : ↑(π C fun x => x ∈ s)
\u22a2 (LocallyConstant.evalₗ ℤ x) ((Finsupp.onFinset Finset.univ f.toFun ⋯).sum fun i a => a • spanFinBasis C s i) = f x
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
f : LocallyConstant ↑(π C fun x => x ∈ s) ℤ
a✝ : f ∈ ⊤
x : ↑(π C fun x => x ∈ s)
\u22a2 (if (Finsupp.onFinset Finset.univ f.toFun ⋯) x = 0 then 0 else ↑((Finsupp.onFinset Finset.univ f.toFun ⋯) x) x) = f x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : HasMFDerivAt I I' f x f'
\u22a2 MDifferentiableAt I I' f x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : HasMFDerivAt I I' f x f'
\u22a2 ContinuousAt f x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
x : X
l : Filter X
\u22a2 (𝓝 (f x) ⊓ map f l).NeBot ↔ (𝓝 x ⊓ l).NeBot
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
hf : f.degree ≠ 0
\u22a2 Function.Injective ⇑(of f)
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
hf : f.degree ≠ 0
\u22a2 ∀ (a : R), (of f) a = 0 → a = 0
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
hf : f.degree ≠ 0
p : R
hp : (of f) p = 0
\u22a2 p = 0
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
hf : f.degree ≠ 0
p : R
hp : f ∣ C p
\u22a2 p = 0
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w'
inst✝ : L.Structure M
iM : Infinite M
κ : Cardinal.{w}
h1 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
h2 : lift.{w, w'} #M ≤ lift.{w', w} κ
\u22a2 ∃ N, Nonempty (M ↪ₑ[L] ↑N) ∧ #↑N = κ
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w'
inst✝ : L.Structure M
iM : Infinite M
κ : Cardinal.{w}
h1 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
h2 : lift.{w, w'} #M ≤ lift.{w', w} κ
N0 : (L.elementaryDiagram M).ModelType
hN0 : lift.{max (max u w') v w, w} κ ≤ #↑N0
\u22a2 ∃ N, Nonempty (M ↪ₑ[L] ↑N) ∧ #↑N = κ
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w'
inst✝ : L.Structure M
iM : Infinite M
κ : Cardinal.{w}
h1 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
h2 : lift.{max w u v, w'} #M ≤ lift.{max w' u v, w} κ
N0 : (L.elementaryDiagram M).ModelType
hN0 : lift.{max (max u w') v w, w} κ ≤ #↑N0
\u22a2 ∃ N, Nonempty (M ↪ₑ[L] ↑N) ∧ #↑N = κ
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w'
inst✝ : L.Structure M
iM : Infinite M
κ : Cardinal.{w}
h1 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
h2 : lift.{max w u v, w'} #M ≤ lift.{max w' u v, w} κ
N0 : (L.elementaryDiagram M).ModelType
hN0 : lift.{max (max u w') v w, w} κ ≤ #↑N0
N : Bundled L[[M]].Structure
hN : #↑N = κ
NN0 : ↑N ↪ₑ[L[[M]]] ↑N0
\u22a2 ∃ N, Nonempty (M ↪ₑ[L] ↑N) ∧ #↑N = κ
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w'
inst✝ : L.Structure M
iM : Infinite M
κ : Cardinal.{w}
h1 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
h2 : lift.{max w u v, w'} #M ≤ lift.{max w' u v, w} κ
N0 : (L.elementaryDiagram M).ModelType
hN0 : lift.{max (max u w') v w, w} κ ≤ #↑N0
N : Bundled L[[M]].Structure
hN : #↑N = κ
NN0 : ↑N ↪ₑ[L[[M]]] ↑N0
this : L.Structure ↑N := (L.lhomWithConstants M).reduct ↑N
\u22a2 ∃ N, Nonempty (M ↪ₑ[L] ↑N) ∧ #↑N = κ
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w'
inst✝ : L.Structure M
iM : Infinite M
κ : Cardinal.{w}
h1 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
h2 : lift.{max w u v, w'} #M ≤ lift.{max w' u v, w} κ
N0 : (L.elementaryDiagram M).ModelType
hN0 : lift.{max (max u w') v w, w} κ ≤ #↑N0
N : Bundled L[[M]].Structure
hN : #↑N = κ
NN0 : ↑N ↪ₑ[L[[M]]] ↑N0
this : L.Structure ↑N := (L.lhomWithConstants M).reduct ↑N
h : ↑N ⊨ L.elementaryDiagram M
\u22a2 ∃ N, Nonempty (M ↪ₑ[L] ↑N) ∧ #↑N = κ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
\u22a2 M.det = ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, M (σ i) i