ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (m.bind 0) s = 0 s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ∫⁻ (μ : Measure β), μ s ∂map 0 m = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ∫⁻ (a : α), (0 a) s ∂m = 0
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
\u22a2 ContMDiffOn I I' n f s ↔ ContinuousOn f s ∧ ∀ (y : M'), ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' y) ∘ f) (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
\u22a2 ContinuousOn f s → ((∀ (x : M) (y : M'), ContDiffOn 𝕜 n (↑((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv) ∘ f ∘ ↑((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).symm) (((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).target ∩ ↑((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv).source))) ↔ ∀ (y : M'), ContinuousOn (↑((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv) ∘ f) (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv).source) ∧ ∀ (x : M), E' → ContDiffOn 𝕜 n (↑𝓘(𝕜, E').toPartialEquiv ∘ (↑((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv) ∘ f) ∘ ↑((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).symm) (((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).target ∩ ↑((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv).source)))
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Zero X
\u22a2 Continuous toNNReal
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Zero X
\u22a2 Continuous (_root_.toContinuousMap ∘ toNNReal)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Zero X
\u22a2 Continuous (ContinuousMap.toNNReal ∘ _root_.toContinuousMap)
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n
\u22a2 x.valMinAbs * 2 ∈ Set.Ioc (-↑n) ↑n
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n
\u22a2 (if ↑x.val * 2 ≤ ↑n then ↑x.val else ↑x.val - ↑n) * 2 ∈ Set.Ioc (-↑n) ↑n
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝² : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
inst✝¹ : NormalSpace X
inst✝ : ParacompactSpace X
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
\u22a2 ∃ f, f.IsSubordinate U
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝² : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
inst✝¹ : NormalSpace X
inst✝ : ParacompactSpace X
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
V : ι → Set X
hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)
hsV : s ⊆ ⋃ i, V i
hVf : LocallyFinite V
hVU : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i
\u22a2 ∃ f, f.IsSubordinate U
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝² : TopologicalSpace X
s : Set X
f✝ : BumpCovering ι X s
inst✝¹ : NormalSpace X
inst✝ : ParacompactSpace X
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
V : ι → Set X
hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)
hsV : s ⊆ ⋃ i, V i
hVf : LocallyFinite V
hVU : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i
f : BumpCovering ι X s
hf : f.IsSubordinate V
\u22a2 ∃ f, f.IsSubordinate U
-- Mathlib/Data/Matroid/Sum.lean
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : Disjoint M.E N.E
I X : Set α
\u22a2 (M.disjointSum N h).Basis I X ↔ M.Basis (I ∩ M.E) (X ∩ M.E) ∧ N.Basis (I ∩ N.E) (X ∩ N.E) ∧ I ⊆ X ∧ X ⊆ M.E ∪ N.E
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Convolution.lean
M : Type u_1
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : MeasurableSpace M
inst✝³ : MeasurableMul₂ M
μ ν ρ : Measure M
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite ρ
\u22a2 map (fun x => x.1 * x.2) ((μ + ν).prod ρ) = map (fun x => x.1 * x.2) (μ.prod ρ) + map (fun x => x.1 * x.2) (ν.prod ρ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Convolution.lean
M : Type u_1
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : MeasurableSpace M
inst✝³ : MeasurableMul₂ M
μ ν ρ : Measure M
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite ρ
\u22a2 Measurable fun x => x.1 * x.2
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
\u22a2 ball x δ * {y} = ball (x * y) δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹² : EMetricSpace X
inst✝¹¹ : EMetricSpace Y
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : BorelSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
inst✝⁷ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : MeasurableSpace P
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor E P
inst✝ : BorelSpace P
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
x : P
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
s : Set P
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
\u22a2 μH[d] (⇑(IsometryEquiv.vaddConst x) '' ((fun x => c • x) '' (⇑(IsometryEquiv.vaddConst x).symm '' s))) = ‖c‖₊ ^ d • μH[d] s
-- Mathlib/Topology/Category/CompHausLike/Limits.lean
P : TopCat → Prop
X Y B : CompHausLike P
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
inst✝ : HasExplicitPullback f g
Z : CompHausLike P
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget (CompHausLike P)).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z
\u22a2 a z = b z
-- Mathlib/Topology/Category/CompHausLike/Limits.lean
P : TopCat → Prop
X Y B : CompHausLike P
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
inst✝ : HasExplicitPullback f g
Z : CompHausLike P
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget (CompHausLike P)).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z
\u22a2 ↑(a z) = ↑(b z)
-- Mathlib/Topology/Category/CompHausLike/Limits.lean
P : TopCat → Prop
X Y B : CompHausLike P
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
inst✝ : HasExplicitPullback f g
Z : CompHausLike P
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget (CompHausLike P)).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z
\u22a2 (↑(a z)).1 = (↑(b z)).1
-- Mathlib/Topology/Category/CompHausLike/Limits.lean
P : TopCat → Prop
X Y B : CompHausLike P
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
inst✝ : HasExplicitPullback f g
Z : CompHausLike P
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget (CompHausLike P)).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z
\u22a2 (↑(a z)).2 = (↑(b z)).2
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
hs : s.Infinite
\u22a2 ∃ x, AccPt x (cofinite ⊓ 𝓟 s)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
ι' : Sort u_6
inst✝ : Mul M
t₁ t₂ : TopologicalSpace M
h₁ : ContinuousMul M
h₂ : ContinuousMul M
\u22a2 ContinuousMul M
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
ι' : Sort u_6
inst✝ : Mul M
t₁ t₂ : TopologicalSpace M
h₁ : ContinuousMul M
h₂ : ContinuousMul M
b : Bool
\u22a2 ContinuousMul M
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/RightDerived.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
\u22a2 (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map ((injectiveResolutions C).map f) ≫ (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map J.iso.hom ≫ (F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.up ℕ)).hom.app J.cocomplex = ((F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map I.iso.hom ≫ (F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.up ℕ)).hom.app I.cocomplex) ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map φ)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/RightDerived.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
\u22a2 (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map I.iso.hom ≫ (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℕ)).map φ) ≫ (F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.up ℕ)).hom.app J.cocomplex = (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map I.iso.hom ≫ (F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.up ℕ)).hom.app I.cocomplex ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map φ)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/RightDerived.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
\u22a2 (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map I.iso.hom ≫ (F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.up ℕ)).hom.app I.cocomplex ≫ (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ) ⋙ HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map φ = (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.up ℕ)).map I.iso.hom ≫ (F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.up ℕ)).hom.app I.cocomplex ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map φ)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
\u22a2 sin (π / 2) = 1 ∨ sin (π / 2) = -1
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/StructuredArrow.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S S' S'' : D
Y Y' Y'' : C
T T' : C ⥤ D
f f' : StructuredArrow S T
g : f.right ≅ f'.right
w : autoParam (f.hom ≫ T.map g.hom = f'.hom) _auto✝
\u22a2 (Functor.fromPUnit S).map (eqToIso ⋯).hom ≫ f'.hom = f.hom ≫ T.map g.hom
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame
k : (x + y).RightMoves
P : (x + y).RightMoves → Prop
hl : ∀ (j : x.RightMoves), P (toRightMovesAdd (Sum.inl j))
hr : ∀ (j : y.RightMoves), P (toRightMovesAdd (Sum.inr j))
\u22a2 P k
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame
k : (x + y).RightMoves
P : (x + y).RightMoves → Prop
hl : ∀ (j : x.RightMoves), P (toRightMovesAdd (Sum.inl j))
hr : ∀ (j : y.RightMoves), P (toRightMovesAdd (Sum.inr j))
\u22a2 P (toRightMovesAdd (toRightMovesAdd.symm k))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
f f' g : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g (f '' [[a, b]])
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, (g ∘ f) x * f' x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
a✝ : α
\u22a2 a✝ ∈ (σ * τ * σ⁻¹).support ↔ a✝ ∈ map (Equiv.toEmbedding σ) τ.support
-- Mathlib/Logic/Godel/GodelBetaFunction.lean
m✝ m : ℕ
a : Fin m → ℕ
i j : Fin m
hij : i ≠ j
ltij : i < j
\u22a2 ((↑i + 1) * (Nat.supOfSeq a)! + 1).Coprime ((↑j + 1) * (Nat.supOfSeq a)! + 1)
-- Mathlib/Logic/Godel/GodelBetaFunction.lean
m✝ m : ℕ
a : Fin m → ℕ
i j : Fin m
hij : i ≠ j
ltij : i < j
hja : ↑j < Nat.supOfSeq a
\u22a2 ((↑i + 1) * (Nat.supOfSeq a)! + 1).Coprime ((↑j + 1) * (Nat.supOfSeq a)! + 1)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι
v : ι → E
\u22a2 |(e.adjustToOrientation x).toBasis.det v| = |e.toBasis.det v|
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
f₁ f₂ : Ω →ᵇ ℝ≥0
\u22a2 μ.testAgainstNN (f₁ + f₂) = μ.testAgainstNN f₁ + μ.testAgainstNN f₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
f₁ f₂ : Ω →ᵇ ℝ≥0
\u22a2 ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f₁ ω) + ↑(f₂ ω) ∂↑μ = ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f₁ ω) ∂↑μ + ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f₂ ω) ∂↑μ
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
M : Matrix m n R
N : Matrix n o R
i : m
\u22a2 (M * N).toMvPolynomial i = (bind₁ N.toMvPolynomial) (M.toMvPolynomial i)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
hα : IsIntegral F α
\u22a2 F⟮α⟯.toSubalgebra = Algebra.adjoin F {α}
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
hα : IsIntegral F α
\u22a2 ∀ x ∈ {α}, IsAlgebraic F x
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
x : E
hα : IsIntegral F x
\u22a2 IsAlgebraic F x
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p I : Ideal A
hI : I ≠ ⊥
\u22a2 p ∈ normalizedFactors I ↔ p.IsPrime ∧ I ≤ p
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p I : Ideal A
hI : I ≠ ⊥
\u22a2 p ∈ normalizedFactors I ↔ p.IsPrime ∧ p ∣ I
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
z : E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hz : z ∈ s
m : Fin 2 → E
\u22a2 (iteratedFDerivWithin 𝕜 2 f s z) m = ((fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s z) (m 0)) (m 1)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
z : E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hz : z ∈ s
m : Fin 2 → E
\u22a2 (((iteratedFDerivWithin 𝕜 0 (fun y => fderivWithin 𝕜 (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s y) s z) (init (init m))) (init m (last 0))) (m (last 1)) = ((fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s z) (m 0)) (m 1)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/IntegralClosure.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹² : Field L
C : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing C
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : Algebra C L
inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁵ : Algebra A C
inst✝⁴ : IsScalarTower A C L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A L
\u22a2 FiniteDimensional.finrank A C = FiniteDimensional.finrank K L
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/IntegralClosure.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹² : Field L
C : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing C
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : Algebra C L
inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁵ : Algebra A C
inst✝⁴ : IsScalarTower A C L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A L
this : Module.Free A C
\u22a2 FiniteDimensional.finrank A C = FiniteDimensional.finrank K L
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/IntegralClosure.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹² : Field L
C : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing C
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : Algebra C L
inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁵ : Algebra A C
inst✝⁴ : IsScalarTower A C L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A L
this✝ : Module.Free A C
this : IsNoetherian A C
\u22a2 FiniteDimensional.finrank A C = FiniteDimensional.finrank K L
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/IntegralClosure.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹² : Field L
C : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing C
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : Algebra C L
inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁵ : Algebra A C
inst✝⁴ : IsScalarTower A C L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A L
this✝¹ : Module.Free A C
this✝ : IsNoetherian A C
this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid C A⁰) L
\u22a2 FiniteDimensional.finrank A C = FiniteDimensional.finrank K L
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/IntegralClosure.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : IsDomain A
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹² : Field L
C : Type u_5
inst✝¹¹ : CommRing C
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : Algebra C L
inst✝⁶ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁵ : Algebra A C
inst✝⁴ : IsScalarTower A C L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A L
this✝¹ : Module.Free A C
this✝ : IsNoetherian A C
this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid C A⁰) L
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex A C) K L := Basis.localizationLocalization K A⁰ L (Module.Free.chooseBasis A C)
\u22a2 FiniteDimensional.finrank A C = FiniteDimensional.finrank K L
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
a b : α
h : a ∣ b
\u22a2 a ^ 0 ∣ b ^ 0
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
a b : α
h : a ∣ b
n : ℕ
\u22a2 a ^ (n + 1) ∣ b ^ (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
a b : α
h : a ∣ b
n : ℕ
\u22a2 a ^ n * a ∣ b ^ n * b
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LogLikelihoodRatio.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : ν ≪ μ
\u22a2 (fun x => rexp (llr μ ν x)) =ᶠ[ae ν] fun x => (μ.rnDeriv ν x).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LogLikelihoodRatio.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : ν ≪ μ
x : α
hx : rexp (llr μ ν x) = if μ.rnDeriv ν x = 0 then 1 else (μ.rnDeriv ν x).toReal
hx_pos : 0 < μ.rnDeriv ν x
\u22a2 rexp (llr μ ν x) = (μ.rnDeriv ν x).toReal
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/Cartesian.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝ : p.IsCartesian f φ
\u22a2 IsCartesian.map p f φ φ = 𝟙 a