ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/ToTensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i j : ℕ
a : Fin i → M
b : Fin j → M
\u22a2 ((((((TensorProduct.mk R (⨂[R]^i M) (⨂[R]^j M)).compr₂ ↑mulEquiv).compr₂ toTensorAlgebra).compMultilinearMap (PiTensorProduct.tprod R)) a).compMultilinearMap (PiTensorProduct.tprod R)) b = (((((LinearMap.mul R (TensorAlgebra R M)).compl₂ toTensorAlgebra ∘ₗ toTensorAlgebra).compMultilinearMap (PiTensorProduct.tprod R)) a).compMultilinearMap (PiTensorProduct.tprod R)) b
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/ToTensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i j : ℕ
a : Fin i → M
b : Fin j → M
\u22a2 ((((TensorProduct.mk R (⨂[R]^i M) (⨂[R]^j M)).compr₂ ↑mulEquiv).compr₂ toTensorAlgebra) ((PiTensorProduct.tprod R) a)) ((PiTensorProduct.tprod R) b) = (((LinearMap.mul R (TensorAlgebra R M)).compl₂ toTensorAlgebra ∘ₗ toTensorAlgebra) ((PiTensorProduct.tprod R) a)) ((PiTensorProduct.tprod R) b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/ToTensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i j : ℕ
a : Fin i → M
b : Fin j → M
\u22a2 toTensorAlgebra (GradedMonoid.GMul.mul ((PiTensorProduct.tprod R) a) ((PiTensorProduct.tprod R) b)) = (((LinearMap.mul R (TensorAlgebra R M)).compl₂ toTensorAlgebra ∘ₗ toTensorAlgebra) ((PiTensorProduct.tprod R) a)) ((PiTensorProduct.tprod R) b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/ToTensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i j : ℕ
a : Fin i → M
b : Fin j → M
\u22a2 (List.ofFn fun i_1 => (TensorAlgebra.ι R) (Fin.append a b i_1)).prod = (List.ofFn fun i => (TensorAlgebra.ι R) (a i)).prod * (List.ofFn fun i => (TensorAlgebra.ι R) (b i)).prod
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/ToTensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i j : ℕ
a : Fin i → M
b : Fin j → M
\u22a2 (List.ofFn fun i_1 => (TensorAlgebra.ι R) (Fin.append a b i_1)).prod = ((List.ofFn fun i => (TensorAlgebra.ι R) (a i)) ++ List.ofFn fun i => (TensorAlgebra.ι R) (b i)).prod
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/ToTensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i j : ℕ
a : Fin i → M
b : Fin j → M
\u22a2 (List.ofFn fun i_1 => (TensorAlgebra.ι R) (Fin.append a b i_1)) = (List.ofFn fun i => (TensorAlgebra.ι R) (a i)) ++ List.ofFn fun i => (TensorAlgebra.ι R) (b i)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/Down.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a : α
h𝒜 : ∀ s ∈ 𝒜, a ∉ s
s : Finset α
\u22a2 s ∈ memberSubfamily a (image (insert a) 𝒜) ↔ s ∈ 𝒜
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/Down.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a : α
h𝒜 : ∀ s ∈ 𝒜, a ∉ s
s : Finset α
\u22a2 (∃ a_1 ∈ 𝒜, insert a a_1 = insert a s) ∧ a ∉ s ↔ s ∈ 𝒜
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/Down.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a : α
h𝒜 : ∀ s ∈ 𝒜, a ∉ s
s : Finset α
hs : a ∉ s
t : Finset α
ht : t ∈ 𝒜
hts : insert a t = insert a s
\u22a2 s ∈ 𝒜
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_5 u_4}
\u22a2 o.blsub f = 0 ↔ o = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_5 u_4}
\u22a2 IsEmpty (Quotient.out o).α ↔ o = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
n : ℕ
\u22a2 ↑n ≤ o.card ↔ ↑n ≤ o
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Dirac.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
a : α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ∑' (x : α), s.indicator (fun x => μ {x}) x = (sum fun a => μ {a} • dirac a) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Dirac.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
a : α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (sum fun a => μ {a} • dirac a) s = μ s
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β
g : β → α
hfg : LeftInverse g f
F : Filter α
\u22a2 map g (map f F) = F
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
s : Set (Set α)
U : Set α
\u22a2 U ∈ generate s ↔ ∃ i, (i.Finite ∧ i ⊆ s) ∧ ⋂₀ i ⊆ U
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
\u22a2 Tendsto (fun x => ⌈x⌉₊) atTop atTop
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
x : ℕ
\u22a2 x ≤ ⌈↑x⌉₊
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
x : ℂ
h : x ≠ 0
\u22a2 0 ^ x = 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
\u22a2 ord ∘ aleph' = enumOrd {b | b.card.ord = b}
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
\u22a2 StrictMono (ord ∘ aleph') ∧ (∀ (a : Ordinal.{u_1}), (ord ∘ aleph') a ∈ {b | b.card.ord = b}) ∧ ∀ b ∈ {b | b.card.ord = b}, ∃ a, (ord ∘ aleph') a = b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f : Dual K V₁
hf : f ≠ 0
\u22a2 finrank K ↥(LinearMap.ker f) + 1 = finrank K V₁
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f : Dual K V₁
hf : f ≠ 0
\u22a2 finrank K ↥(LinearMap.range f) = 1
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
l : Ordnode α
x₁ x₂ : α
r₁ r₂ : Ordnode α
H : Raised r₁.size r₂.size
\u22a2 Raised (l.node' x₁ r₁).size (l.node' x₂ r₂).size
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
l : Ordnode α
x₁ x₂ : α
r₁ r₂ : Ordnode α
H : Raised r₁.size r₂.size
\u22a2 Raised (l.size + r₁.size + 1) (l.size + r₂.size + 1)
-- Mathlib/Order/Fin/Basic.lean
m n : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i j p : Fin n
a b : Fin (n + 1)
H : a ≤ b
ha : p.castSucc < a
hb : p.castSucc < b
\u22a2 a.pred ⋯ ≤ b.pred ⋯
-- Mathlib/Order/Fin/Basic.lean
m n : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i j p : Fin n
a b : Fin (n + 1)
H : a ≤ b
ha : p.castSucc < a
hb : ¬p.castSucc < b
\u22a2 a.pred ⋯ ≤ b.castPred ⋯
-- Mathlib/Order/Fin/Basic.lean
m n : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i j p : Fin n
a b : Fin (n + 1)
H : a ≤ b
ha : ¬p.castSucc < a
hb : p.castSucc < b
\u22a2 a.castPred ⋯ ≤ b.pred ⋯
-- Mathlib/Order/Fin/Basic.lean
m n : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i j p : Fin n
a b : Fin (n + 1)
H : a ≤ b
ha : ¬p.castSucc < a
hb : ¬p.castSucc < b
\u22a2 a.castPred ⋯ ≤ b.castPred ⋯
-- Mathlib/Order/Fin/Basic.lean
m n : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i j p : Fin n
a b : Fin (n + 1)
H : a ≤ b
ha : p.castSucc < a
hb : p.castSucc < b
\u22a2 ↑a - 1 ≤ ↑b - 1
-- Mathlib/Order/Fin/Basic.lean
m n : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i j p : Fin n
a b : Fin (n + 1)
H : a ≤ b
ha : p.castSucc < a
hb : ¬p.castSucc < b
\u22a2 ↑a - 1 ≤ ↑(b.castPred ⋯)
-- Mathlib/Order/Fin/Basic.lean
m n : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i j p : Fin n
a b : Fin (n + 1)
H : a ≤ b
ha : ¬p.castSucc < a
hb : p.castSucc < b
\u22a2 ↑(a.castPred ⋯) ≤ ↑b - 1
-- Mathlib/Order/Fin/Basic.lean
m n : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i j p : Fin n
a b : Fin (n + 1)
H : a ≤ b
ha : ¬p.castSucc < a
hb : ¬p.castSucc < b
\u22a2 ↑(a.castPred ⋯) ≤ ↑(b.castPred ⋯)
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x : A
hx : IsIntegral R x
\u22a2 Algebra.adjoin R {x} ≤ integralClosure R A
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x : A
hx : IsIntegral R x
\u22a2 {x} ⊆ ↑(integralClosure R A)
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x : A
hx : IsIntegral R x
\u22a2 x ∈ integralClosure R A
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Corner/Roth.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A B : Finset (G × G)
a✝ b✝ c✝ d x y : G
n : ℕ
ε : ℝ
hs : IsCornerFree ↑A
a a' b b' c c' : G
ha : (a', b, c) ∈ Corners.triangleIndices A
hb : (a, b', c) ∈ Corners.triangleIndices A
hc : (a, b, c') ∈ Corners.triangleIndices A
\u22a2 a = a' ∨ b = b' ∨ c = c'
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Corner/Roth.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A B : Finset (G × G)
a✝ b✝ c✝ d x y : G
n : ℕ
ε : ℝ
hs : IsCornerFree ↑A
a a' b b' c c' : G
ha : (a', b) ∈ A ∧ c = a' + b
hb : (a, b') ∈ A ∧ c = a + b'
hc : (a, b) ∈ A ∧ c' = a + b
\u22a2 a = a' ∨ b = b' ∨ c = c'
-- Mathlib/Algebra/AddConstMap/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝ : AddMonoid G
a x✝ : G
\u22a2 ((fun c => Multiplicative.toAdd c +ᵥ AddConstMap.id) 1) x✝ = 1 x✝
-- Mathlib/Algebra/AddConstMap/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝ : AddMonoid G
a : G
x✝² x✝¹ : Multiplicative G
x✝ : G
\u22a2 ({ toFun := fun c => Multiplicative.toAdd c +ᵥ AddConstMap.id, map_one' := ⋯ }.toFun (x✝² * x✝¹)) x✝ = ({ toFun := fun c => Multiplicative.toAdd c +ᵥ AddConstMap.id, map_one' := ⋯ }.toFun x✝² * { toFun := fun c => Multiplicative.toAdd c +ᵥ AddConstMap.id, map_one' := ⋯ }.toFun x✝¹) x✝
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b✝ : α
m n : ℕ
b : α
\u22a2 a = 2 * b + 1 ↔ a = 2 * b + 1
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/CotangentComplex.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁴ : Algebra R R'
inst✝³ : Algebra S S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
f : P.Hom P'
x : S
y : P.Ring
\u22a2 (CotangentSpace.map f) (x ⊗ₜ[P.Ring] (D R P.Ring) y) = (algebraMap S S') x ⊗ₜ[P'.Ring] (D R' P'.Ring) (f.toAlgHom y)
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/CotangentComplex.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁴ : Algebra R R'
inst✝³ : Algebra S S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
f : P.Hom P'
x : S
y : P.Ring
\u22a2 x • 1 ⊗ₜ[P'.Ring] (D R' P'.Ring) ((algebraMap P.Ring P'.Ring) y) = (algebraMap S S') x ⊗ₜ[P'.Ring] (D R' P'.Ring) (f.toAlgHom y)
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/CotangentComplex.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁴ : Algebra R R'
inst✝³ : Algebra S S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
f : P.Hom P'
x : S
y : P.Ring
\u22a2 (algebraMap S S') x ⊗ₜ[P'.Ring] (D R' P'.Ring) ((algebraMap P.Ring P'.Ring) y) = (algebraMap S S') x ⊗ₜ[P'.Ring] (D R' P'.Ring) (f.toAlgHom y)
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : AddZeroClass δ
inst✝ : Min δ
C : Cost α β δ
y : β
ys : List β
\u22a2 (List.foldr (fun y d => ⟨[C.insert y + d.val.getLast ⋯], impl.proof_3⟩) ⟨[0], suffixLevenshtein.proof_2⟩ ys).val.getLast ⋯ = (List.foldr (fun y d => ⟨[C.insert y + d.val.getLast ⋯], impl.proof_3⟩) ⟨[0], suffixLevenshtein.proof_2⟩ ys).val[0]
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : AddZeroClass δ
inst✝ : Min δ
C : Cost α β δ
y : β
ys : List β
\u22a2 (List.foldr (fun y d => ⟨[C.insert y + d.val.getLast ⋯], impl.proof_3⟩) ⟨[0], suffixLevenshtein.proof_2⟩ ys).val.get ⟨(List.foldr (fun y d => ⟨[C.insert y + d.val.getLast ⋯], impl.proof_3⟩) ⟨[0], suffixLevenshtein.proof_2⟩ ys).val.length - 1, ⋯⟩ = (List.foldr (fun y d => ⟨[C.insert y + d.val.getLast ⋯], impl.proof_3⟩) ⟨[0], suffixLevenshtein.proof_2⟩ ys).val[0]
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Bivariate.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : Semiring R
x y : R
p : R[X]
\u22a2 evalEval x y (C p) = eval x p
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G
\u22a2 a / c * (b * c) = a * b
-- Mathlib/Topology/Bornology/Absorbs.lean
M : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Bornology M
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set E
inst✝¹ : AddZeroClass E
inst✝ : DistribSMul M E
h₁ : Absorbs M s₁ t₁
h₂ : Absorbs M s₂ t₂
x : M
hx₁ : t₁ ⊆ x • s₁
hx₂ : t₂ ⊆ x • s₂
\u22a2 t₁ + t₂ ⊆ x • (s₁ + s₂)
-- Mathlib/Topology/Bornology/Absorbs.lean
M : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Bornology M
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set E
inst✝¹ : AddZeroClass E
inst✝ : DistribSMul M E
h₁ : Absorbs M s₁ t₁
h₂ : Absorbs M s₂ t₂
x : M
hx₁ : t₁ ⊆ x • s₁
hx₂ : t₂ ⊆ x • s₂
\u22a2 t₁ + t₂ ⊆ x • s₁ + x • s₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
hroot : ∀ m ≤ n, ((⇑derivative)^[m] p).IsRoot t
hnzd : ∀ m ≤ n, m ≠ 0 → ↑m ∈ nonZeroDivisors R
\u22a2 n < rootMultiplicity t p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
hroot : ∀ m ≤ n, ((⇑derivative)^[m] p).IsRoot t
hnzd : ∀ m ≤ n, m ≠ 0 → ↑m ∈ nonZeroDivisors R
\u22a2 ↑n.factorial ∈ nonZeroDivisors R
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/InitTail.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ
\u22a2 init n x + tail n x = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
\u22a2 ∫ (t : ℝ) in Ioi c, ↑t ^ a = -↑c ^ (a + 1) / (a + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
\u22a2 Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in c..id i, ↑x ^ a) atTop (𝓝 (-↑c ^ (a + 1) / (a + 1)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
\u22a2 Tendsto (fun x => (↑x ^ (a + 1) - ↑c ^ (a + 1)) / (a + 1)) atTop (𝓝 (-↑c ^ (a + 1) / (a + 1)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
\u22a2 Tendsto (fun x => ↑x ^ (a + 1) / (a + 1) - ↑c ^ (a + 1) / (a + 1)) atTop (𝓝 (0 / (a + 1) - ↑c ^ (a + 1) / (a + 1)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
\u22a2 Tendsto (fun x => ↑x ^ (a + 1)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
\u22a2 Tendsto (fun x => ‖↑x ^ (a + 1)‖) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
x : ℝ
hx : 0 < x
\u22a2 x ^ (- -(a.re + 1)) = (fun x => ‖↑x ^ (a + 1)‖) x
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝¹ : Preorder E
inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Submartingale f ℱ μ
\u22a2 Supermartingale (-f) ℱ μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝¹ : Preorder E
inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Submartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
\u22a2 -μ[f j|↑ℱ i] ≤ᶠ[ae μ] (-f) i
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝¹ : Preorder E
inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Submartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
a✝¹ : Ω
a✝ : f i a✝¹ ≤ (μ[f j|↑ℱ i]) a✝¹
\u22a2 (-μ[f j|↑ℱ i]) a✝¹ ≤ (-f) i a✝¹
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : δ → γ → ε
n : α → β → δ
m' : α → γ → δ'
n' : δ' → β → ε
h_right_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m (n a b) c = n' (m' a c) b
\u22a2 map₂ m (map₂ n f g) h = map₂ n' (map₂ m' f h) g
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : δ → γ → ε
n : α → β → δ
m' : α → γ → δ'
n' : δ' → β → ε
h_right_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m (n a b) c = n' (m' a c) b
\u22a2 map₂ m (map₂ (fun a b => n b a) g f) h = map₂ (fun a b => n' b a) g (map₂ m' f h)
-- Mathlib/Topology/Filter.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
s : Set (Filter α)
l : Filter α
\u22a2 l ∈ closure s ↔ ∀ t ∈ l, ∃ l' ∈ s, t ∈ l'
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
\u22a2 ⟪x, x⟫_𝕜 = 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R[X]
n : ℕ
x : R
\u22a2 x ∈ I.leadingCoeffNth n ↔ ∃ p ∈ I, p.degree ≤ ↑n ∧ p.leadingCoeff = x
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R[X]
n : ℕ
x : R
\u22a2 (∃ y, (y.degree ≤ ↑n ∧ y ∈ I.ofPolynomial) ∧ y.coeff n = x) ↔ ∃ p ∈ I, p.degree ≤ ↑n ∧ p.leadingCoeff = x
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
p : Rₘ[X]
hp : p.leadingCoeff ∈ (algebraMap R Rₘ).range
\u22a2 p.scaleRoots ((algebraMap R Rₘ) ↑(commonDenom M p.support p.coeff)) ∈ lifts (algebraMap R Rₘ)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
p : Rₘ[X]
hp : p.leadingCoeff ∈ (algebraMap R Rₘ).range
\u22a2 ∀ (n : ℕ), (p.scaleRoots ((algebraMap R Rₘ) ↑(commonDenom M p.support p.coeff))).coeff n ∈ Set.range ⇑(algebraMap R Rₘ)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
p : Rₘ[X]
hp : p.leadingCoeff ∈ (algebraMap R Rₘ).range
n : ℕ
\u22a2 (p.scaleRoots ((algebraMap R Rₘ) ↑(commonDenom M p.support p.coeff))).coeff n ∈ Set.range ⇑(algebraMap R Rₘ)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
p : Rₘ[X]
hp : p.leadingCoeff ∈ (algebraMap R Rₘ).range
n : ℕ
\u22a2 p.coeff n * (algebraMap R Rₘ) ↑(commonDenom M p.support p.coeff) ^ (p.natDegree - n) ∈ Set.range ⇑(algebraMap R Rₘ)
-- Mathlib/Tactic/NormNum/GCD.lean
d x y a b : ℕ
hu : x % d = 0
hv : y % d = 0
h : x * a = y * b + d
\u22a2 x.gcd y = d
-- Mathlib/Tactic/NormNum/GCD.lean
d x y a b : ℕ
hu : x % d = 0
hv : y % d = 0
h : x * a = y * b + d
\u22a2 (↑x).gcd ↑y = d
-- Mathlib/Tactic/NormNum/GCD.lean
d x y a b : ℕ
hu : x % d = 0
hv : y % d = 0
h : x * a = y * b + d
\u22a2 ↑x * ↑a + ↑y * -↑b = ↑d
-- Mathlib/Tactic/NormNum/GCD.lean
d x y a b : ℕ
hu : x % d = 0
hv : y % d = 0
h : x * a = y * b + d
\u22a2 ↑x * ↑a = ↑y * ↑b + ↑d
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
y : E
\u22a2 ContDiffWithinAt 𝕜 n f (insert y s) x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
y : E
h : x ≠ y
\u22a2 ContDiffWithinAt 𝕜 n f (insert y s) x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
r : ℝ≥0∞
\u22a2 ∫⁻ (x : α) in {x | f x = r}, f x ∂μ = r * μ {x | f x = r}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
r : ℝ≥0∞
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ {x | f x = r} → f x = r
\u22a2 ∫⁻ (x : α) in {x | f x = r}, f x ∂μ = r * μ {x | f x = r}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
r : ℝ≥0∞
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ {x | f x = r} → f x = r
\u22a2 ∫⁻ (x : α) in {x | f x = r}, r ∂μ = r * μ {x | f x = r}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
r : ℝ≥0∞
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ {x | f x = r} → f x = r
\u22a2 MeasurableSet {x | f x = r}
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
\u22a2 ⋂ n, Ioi ↑n = {⊤}