ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace β✝
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
β : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → β
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
g : G
\u22a2 AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g⁻¹ • (g • s ∩ t))) ↔ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g • s ∩ t))
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace β✝
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
β : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → β
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
g : G
he : MeasurableEmbedding fun x => g⁻¹ • x
\u22a2 AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g⁻¹ • (g • s ∩ t))) ↔ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g • s ∩ t))
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace β✝
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
β : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → β
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
g : G
he : MeasurableEmbedding fun x => g⁻¹ • x
\u22a2 AEStronglyMeasurable (f ∘ fun x => g⁻¹ • x) (μ.restrict (g • s ∩ t)) ↔ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g • s ∩ t))
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace β✝
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
β : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → β
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
\u22a2 (∀ (g : G), AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g • s ∩ t))) ↔ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict t)
-- Mathlib/Order/FixedPoints.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : β →o α
g : α →o β
h : α →o α →o α
a : α := lfp (lfp.comp h)
\u22a2 lfp (lfp.comp h) = lfp h.onDiag
-- Mathlib/Order/FixedPoints.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : β →o α
g : α →o β
h : α →o α →o α
a : α := lfp (lfp.comp h)
\u22a2 (lfp.comp h) (lfp h.onDiag) ≤ lfp h.onDiag
-- Mathlib/Order/FixedPoints.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : β →o α
g : α →o β
h : α →o α →o α
a : α := lfp (lfp.comp h)
\u22a2 h.onDiag (lfp (lfp.comp h)) = lfp (lfp.comp h)
-- Mathlib/Order/FixedPoints.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : β →o α
g : α →o β
h : α →o α →o α
a : α := lfp (lfp.comp h)
ha : (⇑lfp ∘ ⇑h) a = a
\u22a2 h.onDiag (lfp (lfp.comp h)) = lfp (lfp.comp h)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
H : BddAbove (DFunLike.coe '' s)
p : Seminorm 𝕜 E
hp : p ∈ s
x : E
\u22a2 p x ≤ (sSup s) x
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
H : BddAbove (DFunLike.coe '' s)
p : Seminorm 𝕜 E
hp : p ∈ s
x : E
\u22a2 p x ≤ ⨆ i, ↑i x
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q✝ : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
s : Set (Seminorm 𝕜 E)
p : Seminorm 𝕜 E
hp : p ∈ s
x : E
q : E → ℝ
hq : q ∈ upperBounds (DFunLike.coe '' s)
\u22a2 p x ≤ ⨆ i, ↑i x
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/DoubleFactorial.lean
n : ℕ
\u22a2 (2 * (n + 1))‼ = ∏ i ∈ Finset.range (n + 1), 2 * (i + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/DoubleFactorial.lean
n : ℕ
\u22a2 (2 * n + 2)‼ = (2 * n + 2) * (2 * n)‼
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α✝
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace γ
α : Fin 2 → Type u_2
inst✝ : (i : Fin 2) → PseudoEMetricSpace (α i)
x hx : (i : Fin 2) → α i
\u22a2 edist ((piFinTwoEquiv α).toFun x) ((piFinTwoEquiv α).toFun hx) = edist x hx
-- Mathlib/Data/Real/ConjExponents.lean
a b p q : ℝ
h✝ h : p.IsConjExponent q
\u22a2 1 < q
-- Mathlib/Data/Real/ConjExponents.lean
a b p q : ℝ
h✝ h : p.IsConjExponent q
\u22a2 q⁻¹ + p⁻¹ = 1
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
s : Finset α
f : α → Finset β
g : β → Finset γ
a✝ : γ
\u22a2 a✝ ∈ (s.biUnion f).biUnion g ↔ a✝ ∈ s.biUnion fun a => (f a).biUnion g
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
s : Finset α
f : α → Finset β
g : β → Finset γ
a✝ : γ
\u22a2 (∃ a, (∃ a_1 ∈ s, a ∈ f a_1) ∧ a✝ ∈ g a) ↔ ∃ a ∈ s, ∃ a_1 ∈ f a, a✝ ∈ g a_1
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
s : Finset α
f : α → Finset β
g : β → Finset γ
a✝ : γ
\u22a2 (∃ a, ∃ x ∈ s, a ∈ f x ∧ a✝ ∈ g a) ↔ ∃ a x, a ∈ s ∧ x ∈ f a ∧ a✝ ∈ g x
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/FullyFaithful.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
inst✝ : ∀ (X : D), IsSplitMono (h.counit.app X)
X Y : D
f : R.obj X ⟶ R.obj Y
\u22a2 ∃ a, R.map a = f
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/FullyFaithful.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
inst✝ : ∀ (X : D), IsSplitMono (h.counit.app X)
X Y : D
f : R.obj X ⟶ R.obj Y
\u22a2 R.map (retraction (h.counit.app X) ≫ (h.homEquiv (R.obj X) Y).symm f) = f
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/FullyFaithful.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
inst✝ : ∀ (X : D), IsSplitMono (h.counit.app X)
X Y : D
f : R.obj X ⟶ R.obj Y
\u22a2 R.map (retraction (h.counit.app X)) = h.unit.app (R.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/FullyFaithful.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
inst✝ : ∀ (X : D), IsSplitMono (h.counit.app X)
X Y : D
f : R.obj X ⟶ R.obj Y
\u22a2 𝟙 (R.obj ((𝟭 D).obj X)) ≫ R.map (retraction (h.counit.app X)) = h.unit.app (R.obj X)
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
I : Set ι
\u22a2 pi f ⊓ 𝓟 (I.pi s) = ⊥ ↔ ∃ i ∈ I, f i ⊓ 𝓟 (s i) = ⊥
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
I : Set ι
\u22a2 (∃ i, f i ⊓ 𝓟 (I.piecewise s (fun x => univ) i) = ⊥) ↔ ∃ i ∈ I, f i ⊓ 𝓟 (s i) = ⊥
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
I : Set ι
i : ι
\u22a2 f i ⊓ 𝓟 (I.piecewise s (fun x => univ) i) = ⊥ ↔ i ∈ I ∧ f i ⊓ 𝓟 (s i) = ⊥
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/SetInterval.lean
a : ℕ
\u22a2 Nat.cast '' Iic a = Icc 0 ↑a
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/SetInterval.lean
a : ℕ
\u22a2 Icc ↑⊥ ↑a = Icc 0 ↑a
-- Mathlib/CategoryTheory/ConcreteCategory/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ConcreteCategory C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
w : ∀ (x : (forget C).obj X), f x = g x
\u22a2 f = g
-- Mathlib/CategoryTheory/ConcreteCategory/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ConcreteCategory C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
w : ∀ (x : (forget C).obj X), f x = g x
\u22a2 (forget C).map f = (forget C).map g
-- Mathlib/CategoryTheory/ConcreteCategory/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ConcreteCategory C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
w : ∀ (x : (forget C).obj X), f x = g x
\u22a2 ConcreteCategory.forget.map f = ConcreteCategory.forget.map g
-- Mathlib/CategoryTheory/ConcreteCategory/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ConcreteCategory C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
w : ∀ (x : (forget C).obj X), f x = g x
x : ConcreteCategory.forget.obj X
\u22a2 ConcreteCategory.forget.map f x = ConcreteCategory.forget.map g x
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain S
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : FiniteDimensional K L
inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁵ : IsScalarTower R K L
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
T : Type u_6
inst✝ : LinearOrderedRing T
a : S
y : T
hy : ∀ (k : ι), ↑(abv ((bS.repr a) k)) < y
\u22a2 ↑(abv ((Algebra.norm R) a)) < ↑(normBound abv bS) * y ^ Fintype.card ι
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain S
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : FiniteDimensional K L
inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁵ : IsScalarTower R K L
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
T : Type u_6
inst✝ : LinearOrderedRing T
a : S
y : T
hy : ∀ (k : ι), ↑(abv ((bS.repr a) k)) < y
i : ι
\u22a2 ↑(abv ((Algebra.norm R) a)) < ↑(normBound abv bS) * y ^ Fintype.card ι
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain S
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : FiniteDimensional K L
inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁵ : IsScalarTower R K L
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
T : Type u_6
inst✝ : LinearOrderedRing T
a : S
y : T
hy : ∀ (k : ι), ↑(abv ((bS.repr a) k)) < y
i : ι
him : (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).Nonempty
\u22a2 ↑(abv ((Algebra.norm R) a)) < ↑(normBound abv bS) * y ^ Fintype.card ι
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain S
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : FiniteDimensional K L
inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁵ : IsScalarTower R K L
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
T : Type u_6
inst✝ : LinearOrderedRing T
a : S
y : T
hy : ∀ (k : ι), ↑(abv ((bS.repr a) k)) < y
i : ι
him : (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).Nonempty
y' : ℤ := (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him
y'_def : y' = (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him
\u22a2 ↑(abv ((Algebra.norm R) a)) < ↑(normBound abv bS) * y ^ Fintype.card ι
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain S
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : FiniteDimensional K L
inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁵ : IsScalarTower R K L
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
T : Type u_6
inst✝ : LinearOrderedRing T
a : S
y : T
hy : ∀ (k : ι), ↑(abv ((bS.repr a) k)) < y
i : ι
him : (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).Nonempty
y' : ℤ := (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him
y'_def : y' = (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him
hy' : ∀ (k : ι), abv ((bS.repr a) k) ≤ y'
\u22a2 ↑(abv ((Algebra.norm R) a)) < ↑(normBound abv bS) * y ^ Fintype.card ι
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain S
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : FiniteDimensional K L
inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁵ : IsScalarTower R K L
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
T : Type u_6
inst✝ : LinearOrderedRing T
a : S
y : T
hy : ∀ (k : ι), ↑(abv ((bS.repr a) k)) < y
i : ι
him : (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).Nonempty
y' : ℤ := (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him
y'_def : y' = (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him
hy' : ∀ (k : ι), abv ((bS.repr a) k) ≤ y'
this : ↑y' < y
\u22a2 ↑(abv ((Algebra.norm R) a)) < ↑(normBound abv bS) * y ^ Fintype.card ι
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain S
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : FiniteDimensional K L
inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁵ : IsScalarTower R K L
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
T : Type u_6
inst✝ : LinearOrderedRing T
a : S
y : T
hy : ∀ (k : ι), ↑(abv ((bS.repr a) k)) < y
i : ι
him : (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).Nonempty
y' : ℤ := (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him
y'_def : y' = (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him
hy' : ∀ (k : ι), abv ((bS.repr a) k) ≤ y'
this : ↑y' < y
y'_nonneg : 0 ≤ y'
\u22a2 ↑(abv ((Algebra.norm R) a)) < ↑(normBound abv bS) * y ^ Fintype.card ι
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain S
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : FiniteDimensional K L
inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁵ : IsScalarTower R K L
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
T : Type u_6
inst✝ : LinearOrderedRing T
a : S
y : T
hy : ∀ (k : ι), ↑(abv ((bS.repr a) k)) < y
i : ι
him : (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).Nonempty
y' : ℤ := (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him
y'_def : y' = (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him
hy' : ∀ (k : ι), abv ((bS.repr a) k) ≤ y'
this : ↑y' < y
y'_nonneg : 0 ≤ y'
\u22a2 ↑(normBound abv bS * y' ^ Fintype.card ι) < ↑(normBound abv bS) * y ^ Fintype.card ι
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain S
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : FiniteDimensional K L
inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁵ : IsScalarTower R K L
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
T : Type u_6
inst✝ : LinearOrderedRing T
a : S
y : T
hy : ∀ (k : ι), ↑(abv ((bS.repr a) k)) < y
i : ι
him : (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).Nonempty
y' : ℤ := (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him
y'_def : y' = (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him
hy' : ∀ (k : ι), abv ((bS.repr a) k) ≤ y'
this : ↑y' < y
y'_nonneg : 0 ≤ y'
\u22a2 ↑(normBound abv bS) * ↑y' ^ Fintype.card ι < ↑(normBound abv bS) * y ^ Fintype.card ι
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain S
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : FiniteDimensional K L
inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁵ : IsScalarTower R K L
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
T : Type u_6
inst✝ : LinearOrderedRing T
a : S
y : T
hy : ∀ (k : ι), ↑(abv ((bS.repr a) k)) < y
i : ι
him : (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).Nonempty
y' : ℤ := (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him
y'_def : y' = (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him
hy' : ∀ (k : ι), abv ((bS.repr a) k) ≤ y'
this : ↑y' < y
y'_nonneg : 0 ≤ y'
\u22a2 ↑y' ^ Fintype.card ι < y ^ Fintype.card ι
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain S
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : FiniteDimensional K L
inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁵ : IsScalarTower R K L
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
T : Type u_6
inst✝ : LinearOrderedRing T
a : S
y : T
hy : ∀ (k : ι), ↑(abv ((bS.repr a) k)) < y
i : ι
him : (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).Nonempty
y' : ℤ := (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him
y'_def : y' = (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him
hy' : ∀ (k : ι), abv ((bS.repr a) k) ≤ y'
this : ↑y' < y
y'_nonneg : 0 ≤ y'
\u22a2 0 ≤ ↑y' ^ Fintype.card ι
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁵ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain S
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : FiniteDimensional K L
inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁵ : IsScalarTower R K L
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
T : Type u_6
inst✝ : LinearOrderedRing T
a : S
y : T
hy : ∀ (k : ι), ↑(abv ((bS.repr a) k)) < y
i : ι
him : (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).Nonempty
y' : ℤ := (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him
y'_def : y' = (Finset.image (fun k => abv ((bS.repr a) k)) Finset.univ).max' him
hy' : ∀ (k : ι), abv ((bS.repr a) k) ≤ y'
this : ↑y' < y
y'_nonneg : 0 ≤ y'
\u22a2 0 < ↑(normBound abv bS)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
f✝ : M → B
g : M → F
x : M
f : M → TotalSpace F E
hp : ContMDiffWithinAt IM IB n (TotalSpace.proj ∘ f) s x
hf : ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun y => (↑e (f y)).2) s x
he : f x ∈ e.source
he' : f x ∈ e'.source
\u22a2 ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun y => (↑e' (f y)).2) s x