ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
obs : Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)
bdd_above : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
bdd_below : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
\u22a2 ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
obs : Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)
bdd_above : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
bdd_below : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
\u22a2 limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
T : ι → L.Theory
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) T
\u22a2 IsSatisfiable (⋃ i, T i) ↔ ∀ (i : ι), (T i).IsSatisfiable
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
T : ι → L.Theory
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) T
h' : ∀ (i : ι), (T i).IsSatisfiable
\u22a2 IsSatisfiable (⋃ i, T i)
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
T : ι → L.Theory
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) T
h' : ∀ (i : ι), (T i).IsSatisfiable
\u22a2 ∀ (T0 : Finset L.Sentence), ↑T0 ⊆ ⋃ i, T i → IsSatisfiable ↑T0
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
T : ι → L.Theory
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) T
h' : ∀ (i : ι), (T i).IsSatisfiable
T0 : Finset L.Sentence
hT0 : ↑T0 ⊆ ⋃ i, T i
\u22a2 IsSatisfiable ↑T0
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
T : ι → L.Theory
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) T
h' : ∀ (i : ι), (T i).IsSatisfiable
T0 : Finset L.Sentence
hT0 : ↑T0 ⊆ ⋃ i, T i
i : ι
hi : ↑T0 ⊆ T i
\u22a2 IsSatisfiable ↑T0
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
inst✝⁷ : HasFiniteCoproducts D
inst✝⁶ : HasPullbacksOfInclusions D
inst✝⁵ : FinitaryExtensive C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
inst✝² : ∀ (X : D) (Y : C) (f : X ⟶ Gl.obj Y), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app Y)
inst✝¹ : (X : D) → (Y : C) → (f : X ⟶ Gl.obj Y) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app Y)) Gl
inst✝ : PreservesPullbacksOfInclusions Gl
this : PreservesColimitsOfSize.{?u.89276, ?u.89275, v, v'', u, u''} Gl
X Y : D
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c
\u22a2 IsVanKampenColimit c
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
inst✝⁷ : HasFiniteCoproducts D
inst✝⁶ : HasPullbacksOfInclusions D
inst✝⁵ : FinitaryExtensive C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
inst✝² : ∀ (X : D) (Y : C) (f : X ⟶ Gl.obj Y), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app Y)
inst✝¹ : (X : D) → (Y : C) → (f : X ⟶ Gl.obj Y) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app Y)) Gl
inst✝ : PreservesPullbacksOfInclusions Gl
this : PreservesColimitsOfSize.{?u.89276, ?u.89275, v, v'', u, u''} Gl
X Y : D
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c
\u22a2 IsVanKampenColimit ((Cocones.precompose (isoWhiskerLeft (pair X Y) (asIso adj.counit) ≪≫ (pair X Y).rightUnitor).hom).obj c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
inst✝⁷ : HasFiniteCoproducts D
inst✝⁶ : HasPullbacksOfInclusions D
inst✝⁵ : FinitaryExtensive C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
inst✝² : ∀ (X : D) (Y : C) (f : X ⟶ Gl.obj Y), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app Y)
inst✝¹ : (X : D) → (Y : C) → (f : X ⟶ Gl.obj Y) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app Y)) Gl
inst✝ : PreservesPullbacksOfInclusions Gl
this✝ : PreservesColimitsOfSize.{?u.89276, ?u.89275, v, v'', u, u''} Gl
X Y : D
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c
this : (Z : C) → (i : Discrete WalkingPair) → (f : Z ⟶ (colimit.cocone (pair X Y ⋙ Gr)).pt) → PreservesLimit (cospan f ((colimit.cocone (pair X Y ⋙ Gr)).ι.app i)) Gl
\u22a2 IsVanKampenColimit ((Cocones.precompose (isoWhiskerLeft (pair X Y) (asIso adj.counit) ≪≫ (pair X Y).rightUnitor).hom).obj c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
inst✝⁷ : HasFiniteCoproducts D
inst✝⁶ : HasPullbacksOfInclusions D
inst✝⁵ : FinitaryExtensive C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
inst✝² : ∀ (X : D) (Y : C) (f : X ⟶ Gl.obj Y), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app Y)
inst✝¹ : (X : D) → (Y : C) → (f : X ⟶ Gl.obj Y) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app Y)) Gl
inst✝ : PreservesPullbacksOfInclusions Gl
this✝ : PreservesColimitsOfSize.{?u.89276, ?u.89275, v, v'', u, u''} Gl
X Y : D
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c
this : (Z : C) → (i : Discrete WalkingPair) → (f : Z ⟶ (colimit.cocone (pair X Y ⋙ Gr)).pt) → PreservesLimit (cospan f ((colimit.cocone (pair X Y ⋙ Gr)).ι.app i)) Gl
\u22a2 IsColimit (Gl.mapCocone (colimit.cocone (pair X Y ⋙ Gr)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
inst✝⁷ : HasFiniteCoproducts D
inst✝⁶ : HasPullbacksOfInclusions D
inst✝⁵ : FinitaryExtensive C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
inst✝² : ∀ (X : D) (Y : C) (f : X ⟶ Gl.obj Y), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app Y)
inst✝¹ : (X : D) → (Y : C) → (f : X ⟶ Gl.obj Y) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app Y)) Gl
inst✝ : PreservesPullbacksOfInclusions Gl
this✝ : PreservesColimitsOfSize.{?u.89276, ?u.89275, v, v'', u, u''} Gl
X Y : D
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c
this : (Z : C) → (i : Discrete WalkingPair) → (f : Z ⟶ (colimit.cocone (pair X Y ⋙ Gr)).pt) → PreservesLimit (cospan f ((colimit.cocone (pair X Y ⋙ Gr)).ι.app i)) Gl
\u22a2 IsColimit ((Cocones.precompose (isoWhiskerLeft (pair X Y) (asIso adj.counit) ≪≫ (pair X Y).rightUnitor).hom).obj c)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/MidpointZero.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
a b : P
\u22a2 (lineMap a b) (1 / 2) = midpoint R a b
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/MatrixExponential.lean
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : Field 𝕂
inst✝⁴ : CommRing 𝔸
inst✝³ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝² : TopologicalRing 𝔸
inst✝¹ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝ : T2Space 𝔸
A : Matrix m m 𝔸
\u22a2 exp 𝕂 Aᵀ = (exp 𝕂 A)ᵀ
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
W : Submodule R M
hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)
\u22a2 (B.domRestrict₁₂ W W).Nondegenerate
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
W : Submodule R M
hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)
\u22a2 (B.domRestrict₁₂ W W).SeparatingLeft
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
W : Submodule R M
hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)
x : M
hx : x ∈ W
b₁ : ∀ (y : ↥W), ((B.domRestrict₁₂ W W) ⟨x, hx⟩) y = 0
\u22a2 ⟨x, hx⟩ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
W : Submodule R M
hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)
x : M
hx : x ∈ W
b₁ : ∀ (y : ↥W), ((B.domRestrict₁₂ W W) ⟨x, hx⟩) y = 0
\u22a2 x ∈ ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
W : Submodule R M
hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)
x : M
hx : x ∈ W
b₁ : ∀ (y : ↥W), ((B.domRestrict₁₂ W W) ⟨x, hx⟩) y = 0
y : M
hy : y ∈ W
\u22a2 B.IsOrtho y x
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
W : Submodule R M
hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)
x : M
hx : x ∈ W
y : M
hy : y ∈ W
b₁ : ((B.domRestrict₁₂ W W) ⟨x, hx⟩) ⟨y, hy⟩ = 0
\u22a2 B.IsOrtho y x
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
W : Submodule R M
hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)
x : M
hx : x ∈ W
y : M
hy : y ∈ W
b₁ : (B x) y = 0
\u22a2 B.IsOrtho y x
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
W : Submodule R M
hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)
x : M
hx : x ∈ W
y : M
hy : y ∈ W
b₁ : (B x) y = 0
\u22a2 B.IsOrtho x y
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : ¬p ^ (k + 1) = 2
\u22a2 hζ.toInteger - 1 ∣ ↑↑↑p
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : ¬p ^ (k + 1) = 2
this : NumberField K
\u22a2 hζ.toInteger - 1 ∣ ↑↑↑p
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : ¬p ^ (k + 1) = 2
this : NumberField K
H : (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ ↑p ^ 0 - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ 0
\u22a2 hζ.toInteger - 1 ∣ ↑↑↑p
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : ¬p ^ (k + 1) = 2
this : NumberField K
H : (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑↑p ^ 1
\u22a2 hζ.toInteger - 1 ∣ ↑↑↑p
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : ¬p ^ (k + 1) = 2
this : NumberField K
H : (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑↑p ^ 1
\u22a2 ↑↑p ^ 1 ∣ ↑↑p
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : ¬p ^ (k + 1) = 2
this : NumberField K
H : (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑↑p ^ 1
\u22a2 Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
H : μ.InnerRegularWRT p q
h0 : p ∅
hU : q U
hμU : μ U ≠ ⊤
hε : ε ≠ 0
\u22a2 ∃ K ⊆ U, p K ∧ μ U < μ K + ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
H : μ.InnerRegularWRT p q
h0 : p ∅
hU : q U
hμU : μ U ≠ ⊤
hε : ε ≠ 0
h₀ : μ U = 0
\u22a2 ∃ K ⊆ U, p K ∧ μ U < μ K + ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
H : μ.InnerRegularWRT p q
h0 : p ∅
hU : q U
hμU : μ U ≠ ⊤
hε : ε ≠ 0
h₀ : μ U ≠ 0
\u22a2 ∃ K ⊆ U, p K ∧ μ U < μ K + ε
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i j : n
hij : i ≠ j
c : R
\u22a2 (A.updateColumn i fun k => A k i + c • A k j).det = A.det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i j : n
hij : i ≠ j
c : R
\u22a2 (Aᵀ.updateRow i fun k => A k i + c • A k j).det = Aᵀ.det
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
c : C
γ : c ⟶ c
hγ : γ ∈ S.arrows c c
\u22a2 𝟙 c ∈ S.arrows c c
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
c : C
γ : c ⟶ c
hγ : γ ∈ S.arrows c c
\u22a2 𝟙 c = γ ≫ Groupoid.inv γ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/HaarToSphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
n : ℕ
x : ↑(Ioi 0)
\u22a2 (volumeIoiPow n) (Iio x) = ENNReal.ofReal (↑x ^ (n + 1) / (↑n + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/HaarToSphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
n : ℕ
x : ↑(Ioi 0)
hr₀ : 0 ≤ ↑x
\u22a2 (volumeIoiPow n) (Iio x) = ENNReal.ofReal (↑x ^ (n + 1) / (↑n + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/HaarToSphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
n : ℕ
x : ↑(Ioi 0)
hr₀ : 0 ≤ ↑x
\u22a2 ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in 0 ..↑x, x ^ n) = ENNReal.ofReal (↑x ^ (n + 1) / (↑n + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/HaarToSphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
n : ℕ
x : ↑(Ioi 0)
hr₀ : 0 ≤ ↑x
\u22a2 0 ≤ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 ↑x))] fun x => x ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
h : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hp : p ≠ 2
ha0 : ↑a ≠ 0
\u22a2 legendreSym p a = (-1) ^ (filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
h : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha0 : ↑a ≠ 0
hp : Odd p
\u22a2 legendreSym p a = (-1) ^ (filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
h : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha0 : ↑a ≠ 0
hp : Odd p
this : ↑(legendreSym p a) = ↑((-1) ^ (filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card)
\u22a2 legendreSym p a = (-1) ^ (filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D
\u22a2 e.unit.app (e.inverse.obj Y) = e.inverse.map (e.counitInv.app Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D
\u22a2 𝟙 (e.inverse.obj Y) = 𝟙 (e.inverse.obj ((𝟭 D).obj Y))
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
\u22a2 d₁ ^ k ≠ 0 ∧ d₁ ^ k ∣ a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ a * b
\u22a2 d₁ ^ k ≠ 0 ∧ d₁ ^ k ∣ a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ b * a
\u22a2 d₁ ^ k ≠ 0 ∧ d₁ ^ k ∣ a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ b * a
h3 : d₁ ^ k ∣ a
\u22a2 d₁ ^ k ≠ 0 ∧ d₁ ^ k ∣ a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ b * a
h3 : d₁ ^ k ∣ a
h4 : d₁ ^ k ≠ 0
\u22a2 d₁ ^ k ≠ 0 ∧ d₁ ^ k ∣ a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/GroupRingAction.lean
M : Type u_1
inst✝⁶ : Monoid M
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : MulSemiringAction M R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : MulSemiringAction M S
G : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulSemiringAction G S
g : G
f : S[X]
x : S
\u22a2 eval x (g • f) = g • eval (g⁻¹ • x) f
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
hf : Measurable f
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ((κ.map f hf) a) s = (κ a) (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
\u22a2 ⇑(monomial R 0) = ⇑(C R)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
X : TopCat
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
x : ↑X
hx : x ∈ iSup U
\u22a2 ∃ U_1 f, (Sieve.generate (presieveOfCovering U)).arrows f ∧ x ∈ U_1
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
X : TopCat
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
x : ↑X
hx : x ∈ iSup U
i : ι
hxi : x ∈ U i
\u22a2 ∃ U_1 f, (Sieve.generate (presieveOfCovering U)).arrows f ∧ x ∈ U_1
-- Mathlib/Algebra/Order/AbsoluteValue.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
R✝ : Type u_3
S✝ : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : OrderedRing S
abv : AbsoluteValue R S
a b : R
\u22a2 abv a ≤ abv (a - b) + abv b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
x : ℝ≥0
y : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 0 < y
\u22a2 ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) (x, y)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
x : ℝ≥0
y : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 0 < y
this : (fun p => p.1 ^ p.2) = toNNReal ∘ (fun p => p.1 ^ p.2) ∘ fun p => (↑p.1, p.2)
\u22a2 ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) (x, y)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
x : ℝ≥0
y : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 0 < y
this : (fun p => p.1 ^ p.2) = toNNReal ∘ (fun p => p.1 ^ p.2) ∘ fun p => (↑p.1, p.2)
\u22a2 ContinuousAt (toNNReal ∘ (fun p => p.1 ^ p.2) ∘ fun p => (↑p.1, p.2)) (x, y)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
x : ℝ≥0
y : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 0 < y
this : (fun p => p.1 ^ p.2) = toNNReal ∘ (fun p => p.1 ^ p.2) ∘ fun p => (↑p.1, p.2)
\u22a2 ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) (↑(x, y).1, (x, y).2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
x : ℝ≥0
y : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 0 < y
this : (fun p => p.1 ^ p.2) = toNNReal ∘ (fun p => p.1 ^ p.2) ∘ fun p => (↑p.1, p.2)
\u22a2 ContinuousAt (fun p => (↑p.1, p.2)) (x, y)
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
n : ℕ
ha : 0 ≤ 0
\u22a2 ⌊0⌋₊ = 0
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
\u22a2 Tendsto (fun x => f x / r) l atBot ↔ 0 < r ∧ Tendsto f l atBot ∨ r < 0 ∧ Tendsto f l atTop
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
\u22a2 s.toFinset ⊂ t.toFinset ↔ s ⊂ t
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
\u22a2 s ⊆ t ∧ ¬t ⊆ s ↔ s ⊂ t
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasLeftDual X
inst✝ : HasLeftDual Y
f : X ⟶ Y
g : ᘁX ⟶ Z
\u22a2 ((λ_ ᘁY).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ≫ (ᘁX ◁ f) ▷ ᘁY ≫ (α_ (ᘁX) Y ᘁY).hom ≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ≫ (ρ_ ᘁX).hom) ≫ g = 𝟙 ᘁY ⊗≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ⊗≫ ᘁX ◁ f ▷ ᘁY ⊗≫ (ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ≫ g ▷ 𝟙_ C) ⊗≫ 𝟙 Z