ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
v : ι → E
i j : ι
hij : i < j
b : ι → E := gramSchmidt 𝕜 v
\u22a2 ⟪b j, b i⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
v : ι → E
i j : ι
hij : i < j
b : ι → E := gramSchmidt 𝕜 v
\u22a2 ∑ x ∈ Iio i, ⟪b x, v i⟫_𝕜 / ↑‖b x‖ ^ 2 * ⟪b j, b x⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
v : ι → E
i j : ι
hij : i < j
b : ι → E := gramSchmidt 𝕜 v
\u22a2 ∀ x ∈ Iio i, ⟪b x, v i⟫_𝕜 / ↑‖b x‖ ^ 2 * ⟪b j, b x⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
v : ι → E
i j : ι
hij : i < j
b : ι → E := gramSchmidt 𝕜 v
k : ι
hki' : k ∈ Iio i
hki : k < i
\u22a2 ⟪b k, v i⟫_𝕜 / ↑‖b k‖ ^ 2 * ⟪b j, b k⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
v : ι → E
i j : ι
hij : i < j
b : ι → E := gramSchmidt 𝕜 v
k : ι
hki' : k ∈ Iio i
hki : k < i
this : ⟪b j, b k⟫_𝕜 = 0
\u22a2 ⟪b k, v i⟫_𝕜 / ↑‖b k‖ ^ 2 * ⟪b j, b k⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
\u22a2 a ∈ Ico a b ↔ a < b
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝⁵ : Field 𝕂
inst✝⁴ : Ring 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝² : TopologicalSpace 𝔸
inst✝¹ : TopologicalRing 𝔸
inst✝ : T2Space 𝔸
x : 𝔸ᵐᵒᵖ
\u22a2 exp 𝕂 (MulOpposite.unop x) = MulOpposite.unop (exp 𝕂 x)
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Indicator.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroOneClass M₀
s t✝ : Set ι
i : ι
t : Set κ
j : κ
\u22a2 (s ×ˢ t).indicator 1 (i, j) = s.indicator 1 i * t.indicator 1 j
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Indicator.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroOneClass M₀
s t✝ : Set ι
i : ι
t : Set κ
j : κ
\u22a2 (if i ∈ s ∧ j ∈ t then 1 (i, j) else 0) = (if i ∈ s then 1 i else 0) * if j ∈ t then 1 j else 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Constructions.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedGroup (π i)
inst✝ : SeminormedGroup E
f x : (i : ι) → π i
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
\u22a2 ‖x‖ ≤ r ↔ ∀ (i : ι), ‖x i‖ ≤ r
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/LiminfLimsup.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : CompleteLinearOrder R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : OrderTopology R
x : R
as : ι → R
x_le : ∀ (i : ι), x ≤ as i
F : Filter ι
inst✝ : F.NeBot
as_lim : Tendsto as F (𝓝 x)
\u22a2 ⨅ i, as i = x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/LiminfLimsup.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : CompleteLinearOrder R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : OrderTopology R
x : R
as : ι → R
x_le : ∀ (i : ι), x ≤ as i
F : Filter ι
inst✝ : F.NeBot
as_lim : Tendsto as F (𝓝 x)
\u22a2 ∀ (w : R), x < w → ∃ i, as i < w
-- Mathlib/Data/TypeVec.lean
n : ℕ
α α' β β' : TypeVec.{u_1} n
f : α ⟹ β
g : α' ⟹ β'
\u22a2 prod.fst ⊚ (f ⊗' g) = f ⊚ prod.fst
-- Mathlib/Data/TypeVec.lean
n : ℕ
α α' β β' : TypeVec.{u_1} n
f : α ⟹ β
g : α' ⟹ β'
i : Fin2 n
\u22a2 (prod.fst ⊚ (f ⊗' g)) i = (f ⊚ prod.fst) i
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
s : String
p : Char → Bool
\u22a2 s.split p = List.map mk (List.splitOnP p s.data)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
q : Seminorm 𝕜 E
ε : ℝ
C : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
hf : ∀ (x : E), (∀ i ∈ s, (p i) x < ε) → ∀ j ∈ s, ε / ‖c‖ ≤ (p j) x → q x ≤ (C • p j) x
x : E
j : ι
hj : j ∈ s
hjx : (p j) x ≠ 0
\u22a2 q x ≤ (C • s.sup p) x
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
q : Seminorm 𝕜 E
ε : ℝ
C : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
hf : ∀ (x : E), (∀ i ∈ s, (p i) x < ε) → ∀ j ∈ s, ε / ‖c‖ ≤ (p j) x → q x ≤ (C • p j) x
x : E
j : ι
hj : j ∈ s
hjx : (p j) x ≠ 0
this : (s.sup p) x ≠ 0
\u22a2 q x ≤ (C • s.sup p) x
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
q : Seminorm 𝕜 E
ε : ℝ
C : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
hf : ∀ (x : E), (∀ i ∈ s, (p i) x < ε) → ∀ j ∈ s, ε / ‖c‖ ≤ (p j) x → q x ≤ (C • p j) x
x : E
j : ι
hj : j ∈ s
hjx : (p j) x ≠ 0
this : (s.sup p) x ≠ 0
y : E
hle : ε / ‖c‖ ≤ (s.sup p) y
hlt : (s.sup p) y < ε
\u22a2 q y ≤ (C • s.sup p) y
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
q : Seminorm 𝕜 E
ε : ℝ
C : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
hf : ∀ (x : E), (∀ i ∈ s, (p i) x < ε) → ∀ j ∈ s, ε / ‖c‖ ≤ (p j) x → q x ≤ (C • p j) x
x : E
j : ι
hj : j ∈ s
hjx : (p j) x ≠ 0
this : (s.sup p) x ≠ 0
y : E
hle : ε / ‖c‖ ≤ (s.sup p) y
hlt : (s.sup p) y < ε
i : ι
hi : i ∈ s
hiy : (s.sup p) y = (p i) y
\u22a2 q y ≤ (C • s.sup p) y
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
q : Seminorm 𝕜 E
ε : ℝ
C : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
hf : ∀ (x : E), (∀ i ∈ s, (p i) x < ε) → ∀ j ∈ s, ε / ‖c‖ ≤ (p j) x → q x ≤ (C • p j) x
x : E
j : ι
hj : j ∈ s
hjx : (p j) x ≠ 0
this : (s.sup p) x ≠ 0
y : E
hle : ε / ‖c‖ ≤ (s.sup p) y
hlt : (s.sup p) y < ε
i : ι
hi : i ∈ s
hiy : (s.sup p) y = (p i) y
\u22a2 q y ≤ C • (p i) y
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
g : Filter β
\u22a2 (map Prod.mk f).seq g = (map (fun b a => (a, b)) g).seq f
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α → α × β)
hs : s ∈ map (fun b a => (a, b)) g
t : Set α
ht : t ∈ f
\u22a2 s.seq t ∈ (map Prod.mk f).seq g
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
g : Filter β
s : Set (β → α × β)
hs : s ∈ map Prod.mk f
t : Set β
ht : t ∈ g
\u22a2 s.seq t ∈ (map (fun b a => (a, b)) g).seq f
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂✝ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
S₂ : Type u_2
inst✝ : CommSemiring S₂
k : S₁ →+* S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 k (eval₂ f g p) = eval₂ k (⇑k ∘ g) ((map f) p)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂✝ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
S₂ : Type u_2
inst✝ : CommSemiring S₂
k : S₁ →+* S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 ∀ (a : R), k (eval₂ f g (C a)) = eval₂ k (⇑k ∘ g) ((map f) (C a))
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂✝ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
S₂ : Type u_2
inst✝ : CommSemiring S₂
k : S₁ →+* S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 ∀ (p q : MvPolynomial σ R), k (eval₂ f g p) = eval₂ k (⇑k ∘ g) ((map f) p) → k (eval₂ f g q) = eval₂ k (⇑k ∘ g) ((map f) q) → k (eval₂ f g (p + q)) = eval₂ k (⇑k ∘ g) ((map f) (p + q))
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂✝ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
S₂ : Type u_2
inst✝ : CommSemiring S₂
k : S₁ →+* S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 ∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ), k (eval₂ f g p) = eval₂ k (⇑k ∘ g) ((map f) p) → k (eval₂ f g (p * X n)) = eval₂ k (⇑k ∘ g) ((map f) (p * X n))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hlim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) u (𝓝 (g a))
\u22a2 AEMeasurable g μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hlim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) u (𝓝 (g a))
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
\u22a2 AEMeasurable g μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hlim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) u (𝓝 (g a))
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
h'f : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f (v n)) μ
p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Tendsto f' atTop (𝓝 (g x))
\u22a2 AEMeasurable g μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hlim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) u (𝓝 (g a))
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
h'f : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f (v n)) μ
p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Tendsto f' atTop (𝓝 (g x))
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f (v n) x
\u22a2 AEMeasurable g μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hlim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) u (𝓝 (g a))
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
h'f : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f (v n)) μ
p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Tendsto f' atTop (𝓝 (g x))
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f (v n) x
aeSeqLim : α → ℝ≥0∞ := fun x => if x ∈ aeSeqSet h'f p then g x else ⋯.some
\u22a2 AEMeasurable g μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hlim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) u (𝓝 (g a))
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
h'f : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f (v n)) μ
p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Tendsto f' atTop (𝓝 (g x))
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f (v n) x
aeSeqLim : α → ℝ≥0∞ := fun x => if x ∈ aeSeqSet h'f p then g x else ⋯.some
x : α
\u22a2 Tendsto (fun i => aeSeq h'f p i x) atTop (𝓝 (aeSeqLim x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞
g : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hlim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) u (𝓝 (g a))
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
h'f : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f (v n)) μ
p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Tendsto f' atTop (𝓝 (g x))
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f (v n) x
aeSeqLim : α → ℝ≥0∞ := fun x => if x ∈ aeSeqSet h'f p then g x else ⋯.some
\u22a2 g =ᶠ[ae μ] aeSeqLim
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
x y z : ℝ
p : ℝ × ℝ
hp : p.1 ≠ 0
n : ℕ∞
\u22a2 ContDiffAt ℝ n (fun p => p.1 ^ p.2) p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
x y z : ℝ
p : ℝ × ℝ
hp : p.1 ≠ 0
n : ℕ∞
hneg : p.1 < 0
\u22a2 ContDiffAt ℝ n (fun p => p.1 ^ p.2) p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
x y z : ℝ
p : ℝ × ℝ
hp : p.1 ≠ 0
n : ℕ∞
hpos : 0 < p.1
\u22a2 ContDiffAt ℝ n (fun p => p.1 ^ p.2) p
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
u v a : α
ha : a ∈ {x | Disjoint u x ∧ v ≤ x}
b : α
hb : b ∈ {x | Disjoint u x ∧ v ≤ x}
hab : (fun x => (x ⊔ u) \ v) a = (fun x => (x ⊔ u) \ v) b
h : ((a ⊔ u) \ v) \ u ⊔ v = ((b ⊔ u) \ v) \ u ⊔ v
\u22a2 a = b
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Terminal.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
j : J
I : IsInitial j
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
inst✝ : ∀ (i j : J) (f : i ⟶ j), IsIso (F.map f)
\u22a2 colimit.ι F j ≫ colimit.desc F (coconeOfDiagramInitial I F) = 𝟙 (F.obj j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Terminal.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
j : J
I : IsInitial j
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
inst✝ : ∀ (i j : J) (f : i ⟶ j), IsIso (F.map f)
\u22a2 inv (𝟙 (F.obj j)) = 𝟙 (F.obj j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Terminal.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
j : J
I : IsInitial j
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
inst✝ : ∀ (i j : J) (f : i ⟶ j), IsIso (F.map f)
\u22a2 Classical.choose ⋯ = 𝟙 (F.obj j)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂ν, μ.rnDeriv ν x < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
\u22a2 ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂ν, x ∈ spanningSets μ n → μ.rnDeriv ν x < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
n : ℕ
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂ν, x ∈ spanningSets μ n → μ.rnDeriv ν x < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
n : ℕ
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂ν.restrict (spanningSets μ n), μ.rnDeriv ν x < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
n : ℕ
\u22a2 ∫⁻ (x : α) in spanningSets μ n, μ.rnDeriv ν x ∂ν ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
n : ℕ
\u22a2 μ (spanningSets μ n) ≠ ⊤
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z✝ : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X ≃ Y
hf : Inducing ⇑f
\u22a2 Continuous (⇑f ∘ f.invFun)
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
A : Class
x : ZFSet
H : ∀ (y : ZFSet), A y ↔ y = x
y : ZFSet
x✝ : A.iota y
x' : ZFSet
h : {x | ∀ (y : ZFSet), A y ↔ y = x} x'
yx' : y ∈ ↑x'
\u22a2 ↑x y
-- Mathlib/Order/InitialSeg.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ↪r s
a : α
b : β
h : ∀ (a' : α), r a' a → s (↑(f.collapseF a')) b
\u22a2 ¬s b ↑(⋯.fix (fun a IH => let S := {b | ∀ (a_1 : α) (h : r a_1 a), s (↑(IH a_1 h)) b}; let_fun this := ⋯; ⟨⋯.min S ⋯, ⋯⟩) a)
-- Mathlib/Order/InitialSeg.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ↪r s
a : α
b : β
h : ∀ (a' : α), r a' a → s (↑(f.collapseF a')) b
\u22a2 ¬s b ↑(let S := {b | ∀ (a_1 : α) (h : r a_1 a), s (↑((fun y x => ⋯.fix (fun a IH => let S := {b | ∀ (a_2 : α) (h : r a_2 a), s (↑(IH a_2 h)) b}; let_fun this := ⋯; ⟨⋯.min S ⋯, ⋯⟩) y) a_1 h)) b}; let_fun this := ⋯; ⟨⋯.min S ⋯, ⋯⟩)
-- Mathlib/Order/InitialSeg.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ↪r s
a : α
b : β
h : ∀ (a' : α), r a' a → s (↑(f.collapseF a')) b
\u22a2 ¬s b (⋯.min {b | ∀ (a_1 : α), r a_1 a → s (↑(⋯.fix (fun a IH => ⟨⋯.min {b | ∀ (a_2 : α) (h : r a_2 a), s (↑(IH a_2 h)) b} ⋯, ⋯⟩) a_1)) b} ⋯)
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x : α
y : β
\u22a2 (x, y) ∈ s ×ˢ (t₁ ∩ t₂) ↔ (x, y) ∈ s ×ˢ t₁ ∩ s ×ˢ t₂
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : AnalyticAt 𝕜 f x
hg : AnalyticAt 𝕜 g x
\u22a2 AnalyticAt 𝕜 (f - g) x
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f✝ : Filter τ
ϕ✝ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace β'
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
ϕ' : τ → α' → β'
ga : α → α'
s' : Set α'
hs : MapsTo ga s s'
gb : β → β'
hg : ∀ᶠ (t : τ) in f, EqOn (gb ∘ ϕ t) (ϕ' t ∘ ga) s
hgc : Continuous gb
\u22a2 MapsTo gb (ω f ϕ s) (ω f ϕ' s')
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f✝ : Filter τ
ϕ✝ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace β'
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
ϕ' : τ → α' → β'
ga : α → α'
s' : Set α'
hs : MapsTo ga s s'
gb : β → β'
hg : ∀ᶠ (t : τ) in f, EqOn (gb ∘ ϕ t) (ϕ' t ∘ ga) s
hgc : Continuous gb
\u22a2 ∀ ⦃x : β⦄, (∀ i ∈ f, x ∈ closure (image2 ϕ i s)) → ∀ i ∈ f, gb x ∈ closure (image2 ϕ' i s')
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f✝ : Filter τ
ϕ✝ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace β'
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
ϕ' : τ → α' → β'
ga : α → α'
s' : Set α'
hs : MapsTo ga s s'
gb : β → β'
hg : ∀ᶠ (t : τ) in f, EqOn (gb ∘ ϕ t) (ϕ' t ∘ ga) s
hgc : Continuous gb
y : β
hy : ∀ i ∈ f, y ∈ closure (image2 ϕ i s)
u : Set τ
hu : u ∈ f
\u22a2 gb y ∈ closure (image2 ϕ' u s')
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f✝ : Filter τ
ϕ✝ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace β'
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
ϕ' : τ → α' → β'
ga : α → α'
s' : Set α'
hs : MapsTo ga s s'
gb : β → β'
hg : ∀ᶠ (t : τ) in f, EqOn (gb ∘ ϕ t) (ϕ' t ∘ ga) s
hgc : Continuous gb
y : β
hy : ∀ i ∈ f, y ∈ closure (image2 ϕ i s)
u : Set τ
hu : u ∈ f
t : τ
ht : t ∈ u ∩ {x | (fun t => EqOn (gb ∘ ϕ t) (ϕ' t ∘ ga) s) x}
x : α
hx : x ∈ s
\u22a2 gb (ϕ t x) ∈ image2 ϕ' u s'
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
\u22a2 ⌊a⌋ = z ↔ ↑z ≤ a ∧ a < ↑z + 1
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
f : (Step k n)[X]
hfm : f.Monic
hfi : Irreducible f
\u22a2 ∃ x, Polynomial.eval₂ (toStepSucc k n) x f = 0
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
f : (Step k n)[X]
hfm : f.Monic
hfi : Irreducible f
x : AdjoinMonic (Step k n)
hx : Polynomial.eval₂ (toAdjoinMonic (Step k n)) x f = 0
\u22a2 ∃ x, Polynomial.eval₂ (toStepSucc k n) x f = 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
p : Nat
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
w✝² w✝¹ w✝ : List Char
h : ValidFor w✝² w✝¹ w✝ x✝
\u22a2 x✝.atEnd { byteIdx := p } = true ↔ p = x✝.toString.utf8ByteSize
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : (i : Fin (n + 1)) × Sym α (n - ↑i)
h : a ∉ m.snd
\u22a2 ↑(filterNe a (fill a m.fst m.snd)).snd = ↑m.snd
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : (i : Fin (n + 1)) × Sym α (n - ↑i)
h : a ∉ m.snd
\u22a2 filter (fun x => a ≠ x) (↑m.snd + ↑(replicate (↑m.fst) a)) = ↑m.snd
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : (i : Fin (n + 1)) × Sym α (n - ↑i)
h : a ∉ m.snd
\u22a2 ∀ (a_1 : α), a_1 ∉ filter (fun x => a ≠ x) ↑(replicate (↑m.fst) a)
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : (i : Fin (n + 1)) × Sym α (n - ↑i)
h : a ∉ m.snd
\u22a2 ∀ a_1 ∈ ↑m.snd, a ≠ a_1
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β✝ : Type v
δ : Type w
a : α
β : Type u
fr : Stream' α → β
ch : fr (iterate id a) = fr (const a)
\u22a2 fr (iterate id a).tail = fr (const a).tail
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β✝ : Type v
δ : Type w
a : α
β : Type u
fr : Stream' α → β
ch : fr (iterate id a) = fr (const a)
\u22a2 fr (iterate id (id a)) = fr (const a)
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s t : Submodule K V
hdim : finrank K ↥s + finrank K ↥t = finrank K V
hdisjoint : Disjoint s t
\u22a2 s ⊔ t = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s t : Submodule K V
hdim : finrank K ↥s + finrank K ↥t = finrank K V
hdisjoint : Disjoint s t
h_finrank_inf : finrank K ↥(s ⊓ t) = 0
\u22a2 s ⊔ t = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s t : Submodule K V
hdim : finrank K ↥s + finrank K ↥t = finrank K V
hdisjoint : Disjoint s t
h_finrank_inf : finrank K ↥(s ⊓ t) = 0
\u22a2 finrank K ↥(s ⊔ t) = finrank K V
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s t : Submodule K V
hdim : finrank K ↥s + finrank K ↥t = finrank K V
hdisjoint : Disjoint s t
h_finrank_inf : finrank K ↥(s ⊓ t) = 0
\u22a2 finrank K ↥(s ⊔ t) = finrank K ↥s + finrank K ↥t