ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IndYoneda.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
F : Iᵒᵖ ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
inst✝ : HasLimitsOfShape I (Type u₂)
A : C
i : I
\u22a2 (colimitHomIsoLimitYoneda' F A).hom ≫ limit.π (F.rightOp ⋙ yoneda.obj A) i = (coyoneda.map (colimit.ι F (op i)).op).app A
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IndYoneda.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
F : Iᵒᵖ ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
inst✝ : HasLimitsOfShape I (Type u₂)
A : C
i : I
\u22a2 (coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda' F).hom.app A ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation (F.rightOp ⋙ coyoneda) A).hom ≫ limit.π (F.rightOp ⋙ yoneda.obj A) i = (coyoneda.map (colimit.ι F (op i)).op).app A
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IndYoneda.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
F : Iᵒᵖ ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
inst✝ : HasLimitsOfShape I (Type u₂)
A : C
i : I
\u22a2 (coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda' F).hom.app A ≫ (limit.π (F.rightOp ⋙ coyoneda) i).app A = (coyoneda.map (colimit.ι F (op i)).op).app A
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IndYoneda.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
F : Iᵒᵖ ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
inst✝ : HasLimitsOfShape I (Type u₂)
A : C
i : I
\u22a2 ((coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda' F).hom ≫ limit.π (F.rightOp ⋙ coyoneda) i).app A = (coyoneda.map (colimit.ι F (op i)).op).app A
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal S
i : ℕ
a d d' e e' : S
a_mem : a ∈ P ^ i
e_mem : e ∈ P ^ (i + 1)
e'_mem : e' ∈ P ^ (i + 1)
h : d - d' ∈ P
\u22a2 a * d + e - (a * d' + e') ∈ P ^ (i + 1)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal S
i : ℕ
a d d' e e' : S
a_mem : a ∈ P ^ i
e_mem : e ∈ P ^ (i + 1)
e'_mem : e' ∈ P ^ (i + 1)
h : d - d' ∈ P
this : a * d - a * d' ∈ P ^ (i + 1)
\u22a2 a * d + e - (a * d' + e') ∈ P ^ (i + 1)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal S
i : ℕ
a d d' e e' : S
a_mem : a ∈ P ^ i
e_mem : e ∈ P ^ (i + 1)
e'_mem : e' ∈ P ^ (i + 1)
h : d - d' ∈ P
this : a * d - a * d' ∈ P ^ (i + 1)
\u22a2 a * d + e - (a * d' + e') = a * d - a * d' + (e - e')
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
\u22a2 G.Adj a b ↔ ∃ e, ↑e = s(a, b)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
\u22a2 s.einfsep = 0 ↔ ∀ C > 0, ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ edist x y < C
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
a x : E
ha : ¬a = 0
\u22a2 ⟪a, x⟫_ℝ • o.areaForm a - (o.areaForm a) x • (innerₛₗ ℝ) a = ‖a‖ ^ 2 • o.areaForm x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
a x : E
ha : ¬a = 0
\u22a2 ∀ (i : Fin 2), (⟪a, x⟫_ℝ • o.areaForm a - (o.areaForm a) x • (innerₛₗ ℝ) a) ((o.basisRightAngleRotation a ha) i) = (‖a‖ ^ 2 • o.areaForm x) ((o.basisRightAngleRotation a ha) i)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
\u22a2 W'.dblU P = W'.a₁ * P y * P z - (3 * P x ^ 2 + 2 * W'.a₂ * P x * P z ^ 2 + W'.a₄ * P z ^ 4)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Count.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
s : Set α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
hsc : count s = 0
\u22a2 s = ∅
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Count.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
s : Set α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
hsc : count s = 0
hs : s.Finite
\u22a2 s = ∅
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/PolarCoord.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ × ℝ → E
B : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ := fun p => LinearMap.toContinuousLinearMap ((Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ)) !![cos p.2, -p.1 * sin p.2; sin p.2, p.1 * cos p.2])
\u22a2 ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (↑polarCoord.symm p) = ∫ (p : ℝ × ℝ), f p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/PolarCoord.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ × ℝ → E
B : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ := fun p => LinearMap.toContinuousLinearMap ((Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ)) !![cos p.2, -p.1 * sin p.2; sin p.2, p.1 * cos p.2])
A : ∀ p ∈ polarCoord.symm.source, HasFDerivAt (↑polarCoord.symm) (B p) p
\u22a2 ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (↑polarCoord.symm p) = ∫ (p : ℝ × ℝ), f p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/PolarCoord.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ × ℝ → E
B : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ := fun p => LinearMap.toContinuousLinearMap ((Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ)) !![cos p.2, -p.1 * sin p.2; sin p.2, p.1 * cos p.2])
A : ∀ p ∈ polarCoord.symm.source, HasFDerivAt (↑polarCoord.symm) (B p) p
B_det : ∀ (p : ℝ × ℝ), (B p).det = p.1
\u22a2 ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (↑polarCoord.symm p) = ∫ (p : ℝ × ℝ), f p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/PolarCoord.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ × ℝ → E
B : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] ℝ × ℝ := fun p => LinearMap.toContinuousLinearMap ((Matrix.toLin (Basis.finTwoProd ℝ) (Basis.finTwoProd ℝ)) !![cos p.2, -p.1 * sin p.2; sin p.2, p.1 * cos p.2])
A : ∀ p ∈ polarCoord.symm.source, HasFDerivAt (↑polarCoord.symm) (B p) p
B_det : ∀ (p : ℝ × ℝ), (B p).det = p.1
\u22a2 ∫ (p : ℝ × ℝ), f p = ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (↑polarCoord.symm p)
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
\u22a2 ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).numDenom = (C (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹ * (p / gcd p q), C (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹ * (q / gcd p q))
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
\u22a2 ∀ (p : K[X]), (if 0 = 0 then (0, 1) else let r := gcd p 0; (C (0 / r).leadingCoeff⁻¹ * (p / r), C (0 / r).leadingCoeff⁻¹ * (0 / r))) = if 1 = 0 then (0, 1) else let r := gcd 0 1; (C (1 / r).leadingCoeff⁻¹ * (0 / r), C (1 / r).leadingCoeff⁻¹ * (1 / r))
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p✝ q : K[X]
hq : q ≠ 0
p : K[X]
\u22a2 (if 0 = 0 then (0, 1) else let r := gcd p 0; (C (0 / r).leadingCoeff⁻¹ * (p / r), C (0 / r).leadingCoeff⁻¹ * (0 / r))) = if 1 = 0 then (0, 1) else let r := gcd 0 1; (C (1 / r).leadingCoeff⁻¹ * (0 / r), C (1 / r).leadingCoeff⁻¹ * (1 / r))
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p✝ q : K[X]
hq : q ≠ 0
p : K[X]
\u22a2 (0, 1) = let r := gcd 0 1; (C (1 / r).leadingCoeff⁻¹ * (0 / r), C (1 / r).leadingCoeff⁻¹ * (1 / r))
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/HomLift.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝ : p.IsHomLift f φ
\u22a2 f = eqToHom ⋯ ≫ p.map φ ≫ eqToHom ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/HomLift.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a✝ b✝ : 𝒳
φ : a✝ ⟶ b✝
R S : 𝒮
a b : 𝒳
inst✝ : p.IsHomLift (p.map φ) φ
\u22a2 p.map φ = eqToHom ⋯ ≫ p.map φ ≫ eqToHom ⋯
-- Mathlib/Data/List/Forall2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
f : γ → α
x✝ : List β
\u22a2 Forall₂ R (map f []) x✝ ↔ Forall₂ (fun c b => R (f c) b) [] x✝
-- Mathlib/Data/List/Forall2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
f : γ → α
a : γ
l : List γ
x✝ : List β
\u22a2 Forall₂ R (map f (a :: l)) x✝ ↔ Forall₂ (fun c b => R (f c) b) (a :: l) x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
N O : Submodule R M
N_le_O : N ≤ O
\u22a2 ∃ n o, ∃ (hno : n ≤ o), ∃ bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • ↑(bO (Fin.castLE hno i))
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b✝ : ι → M
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
N O : Submodule R M
N_le_O : N ≤ O
val✝ : Fintype ι
\u22a2 ∃ n o, ∃ (hno : n ≤ o), ∃ bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • ↑(bO (Fin.castLE hno i))
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
κ : Type u_6
inst✝ : One α
f : ι → α
g : ι → α → β
s t : Finset ι
h : s ⊆ t
hg : ∀ (a : ι), g a 1 = 1
\u22a2 ∏ i ∈ t, g i ((↑s).mulIndicator f i) = ∏ i ∈ s, g i (f i)
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
x y : FreeGroup α
\u22a2 (lift f).range = Subgroup.closure (Set.range f)
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
x y : FreeGroup α
\u22a2 Subgroup.closure (Set.range f) ≤ (lift f).range
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
x y : FreeGroup α
\u22a2 Set.range f ⊆ ↑(lift f).range
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
x y : FreeGroup α
a : α
\u22a2 f a ∈ ↑(lift f).range
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : AddMonoid α
x : Holor α []
h : CPRankMax (0 + 1) (x + 0)
\u22a2 CPRankMax 1 x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
r : β → γ → Prop
f : α → β
g : α → γ
s : Finset α
h₁ : r 1 1
h₂ : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), r b c → r (f a * b) (g a * c)
\u22a2 r (Multiset.map (fun x => f x) s.val).prod (Multiset.map (fun x => g x) s.val).prod
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/ENat.lean
a : Cardinal.{v}
\u22a2 toENat (lift.{u, v} a) = toENat a
-- Mathlib/Order/Filter/Archimedean.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
hr : r < 0
hf : Tendsto f l atBot
\u22a2 Tendsto (fun x => f x * r) l atTop
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
v : Vector ℕ (Nat.succ 0 + 1)
\u22a2 Nat.rec v.tail.head (fun y IH => IH + 1) v.head = v.head + v.tail.head
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M''
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
\u22a2 LinearIndependent R v ↔ LinearMap.ker ((LinearMap.lsum R (fun x => R) ℕ) fun i => LinearMap.id.smulRight (v i)) = ⊥
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Set α
a b : α
\u22a2 (fun x => a * x) ⁻¹' {b} = {a⁻¹ * b}
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
hf : f.Monic
\u22a2 (AdjoinRoot.isAdjoinRootMonic f hf).root = root f
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/HashMap/WF.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
h : m.WF
\u22a2 m.size = m.buckets.size ∧ m.buckets.WF
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
μ : Measure (Quotient α_mod_G)
i : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
t : Set α
fund_dom_t : IsFundamentalDomain G t ν
U : Set (Quotient α_mod_G)
meas_U : MeasurableSet U
\u22a2 μ U = ν (Quotient.mk α_mod_G ⁻¹' U ∩ t)
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Pseudofunctor.lean
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ F : Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
\u22a2 F.map f ◁ (F.mapId b).hom = (F.mapComp f (𝟙 b)).inv ≫ F.map₂ (ρ_ f).hom ≫ (ρ_ (F.map f)).inv
-- Mathlib/Analysis/Convex/Independent.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
i j : ι
hij : p i = p j
\u22a2 p i ∈ (convexHull 𝕜) (p '' {j})
-- Mathlib/Analysis/Convex/Independent.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
i j : ι
hij : p i = p j
\u22a2 p j ∈ {p j}
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
\u22a2 norm 1 = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h1 : ¬1 ≈ 0
\u22a2 norm 1 = 1
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Nat/Gcd.lean
m k n : Nat
H1 : m.Coprime k
\u22a2 (m ^ n).Coprime k
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
\u22a2 ↑μ * ↑ζ = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallyBijective.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : ConcreteCategory A
inst✝ : J.WEqualsLocallyBijective A
X Y : Cᵒᵖ ⥤ A
f : X ⟶ Y
\u22a2 J.W f ↔ Presheaf.IsLocallyInjective J f ∧ Presheaf.IsLocallySurjective J f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → δ
hf : MeasurableEmbedding f
g : δ → β
\u22a2 Integrable g (Measure.map f μ) ↔ Integrable (g ∘ f) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → δ
hf : MeasurableEmbedding f
g : δ → β
\u22a2 Memℒp g 1 (Measure.map f μ) ↔ Memℒp (g ∘ f) 1 μ
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I J K L : Ideal R✝
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x y : R
\u22a2 span {x} ⊔ span {y} = ⊤ ↔ IsCoprime x y
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I J K L : Ideal R✝
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x y : R
\u22a2 (∃ y_1 ∈ span {x}, ∃ z ∈ span {y}, y_1 + z = 1) ↔ IsCoprime x y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
x : ℂ
n : ℤ
\u22a2 x ^ ↑n = x ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Prime p
this : Fact (Prime p)
\u22a2 ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = p
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Prime p
this : Fact (Prime p)
natAbs_iff : ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ}, a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
\u22a2 ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = p
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Prime p
this : Fact (Prime p)
natAbs_iff : ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ}, a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
\u22a2 ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = p
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Prime p
this : Fact (Prime p)
natAbs_iff : ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ}, a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
m : ℕ
hmin : ∀ m_1 < m, ¬(m_1 < p ∧ 0 < m_1 ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m_1 * p)
hmp : m < p
hm₀ : 0 < m
a b c d : ℕ
habcd : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
\u22a2 ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = p
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Prime p
this : Fact (Prime p)
natAbs_iff : ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ}, a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
a b c d : ℕ
hmin : ∀ m < 1, ¬(m < p ∧ 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p)
hmp : 1 < p
hm₀ : 0 < 1
habcd : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 1 * p
\u22a2 ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = p
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Prime p
this : Fact (Prime p)
natAbs_iff : ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ}, a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
m : ℕ
hmin : ∀ m_1 < m, ¬(m_1 < p ∧ 0 < m_1 ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m_1 * p)
hmp : m < p
hm₀ : 0 < m
a b c d : ℕ
habcd : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
hm₁ : 1 < m
\u22a2 ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = p
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Prime p
this : Fact (Prime p)
natAbs_iff : ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ}, a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
m : ℕ
hmin : ∀ m_1 < m, ¬(m_1 < p ∧ 0 < m_1 ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m_1 * p)
hmp : m < p
hm₀ : 0 < m
a b c d : ℕ
habcd : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
hm₁ : 1 < m
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Prime p
this✝ : Fact (Prime p)
natAbs_iff : ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ}, a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
m : ℕ
hmin : ∀ m_1 < m, ¬(m_1 < p ∧ 0 < m_1 ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m_1 * p)
hmp : m < p
hm₀ : 0 < m
a b c d : ℕ
habcd : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
hm₁ : 1 < m
this : NeZero m
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a✝ a' : α
b b' : β
c : γ
s : Finset α
hf : ∀ (a : α), Injective (f a)
a : α
ha : a ∈ s
\u22a2 t.card ≤ (image₂ f s t).card
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a✝ a' : α
b b' : β
c : γ
s : Finset α
hf : ∀ (a : α), Injective (f a)
a : α
ha : a ∈ s
\u22a2 (image₂ f {a} t).card ≤ (image₂ f s t).card
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s : Set X
hs : s.Finite
\u22a2 IsClosed s
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s : Set X
hs : s.Finite
\u22a2 IsClosed (⋃ x ∈ s, {x})
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
\u22a2 f₁ =o[l] g₁ ↔ f₂ =o[l] g₂
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
\u22a2 (∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f₁ g₁) ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f₂ g₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
j : n
\u22a2 star ↑hA.eigenvectorUnitary *ᵥ (WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) (hA.eigenvectorBasis j) = Pi.single j 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x✝ x : α
xs : List α
\u22a2 (x :: xs).formPerm ((x :: xs).nthLe xs.length ⋯) = x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
nonzero : μ ≠ 0
s : Set Ω
\u22a2 μ.normalize s = μ.mass⁻¹ * μ s
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b c n : ℕ
hc : 1 < c
hb : c ≤ b
\u22a2 clog b n ≤ clog c n
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b c n : ℕ
hc : 1 < c
hb : c ≤ b
\u22a2 n ≤ b ^ clog c n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
r : R
n k : ℕ
\u22a2 ((X + C r) ^ n).coeff k = r ^ (n - k) * ↑(n.choose k)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
r : R
n k : ℕ
\u22a2 ∑ x ∈ range (n + 1), (lcoeff R k) (X ^ x * C r ^ (n - x) * ↑(n.choose x)) = r ^ (n - k) * ↑(n.choose k)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
r : R
n k : ℕ
\u22a2 ∑ x ∈ range (n + 1), (X ^ x).coeff k * r ^ (n - x) * ↑(n.choose x) = r ^ (n - k) * ↑(n.choose k)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
r : R
n k : ℕ
\u22a2 ∀ b ∈ range (n + 1), b ≠ k → (X ^ b).coeff k * r ^ (n - b) * ↑(n.choose b) = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
r : R
n k : ℕ
\u22a2 k ∉ range (n + 1) → (X ^ k).coeff k * r ^ (n - k) * ↑(n.choose k) = 0
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d✝ : ℕ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
d : ℕ := m.gcd c
\u22a2 a ≡ b [MOD m / m.gcd c]
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d✝ : ℕ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
d : ℕ := m.gcd c
hmd : m.gcd c ∣ m
\u22a2 a ≡ b [MOD m / m.gcd c]
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d✝ : ℕ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
d : ℕ := m.gcd c
hmd : m.gcd c ∣ m
hcd : m.gcd c ∣ c
\u22a2 a ≡ b [MOD m / m.gcd c]