ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/LinearPMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
hT✝ : Dense ↑T.domain
inst✝ : CompleteSpace E
hT : ¬Dense ↑T.domain
y : ↥T†.domain
\u22a2 (if hT : Dense ↑T.domain then adjointAux hT else 0) y = 0
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hB : IsBlock G B
g : G
\u22a2 g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hB : ∀ (g g' : G), g • B = g' • B ∨ Disjoint (g • B) (g' • B)
g : G
\u22a2 g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/QuasiIso.lean
C : Type u_1
inst✝¹⁰ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
S₁✝ S₂✝ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝⁸ : S₁✝.HasHomology
inst✝⁷ : S₂✝.HasHomology
inst✝⁶ : S₃.HasHomology
inst✝⁵ : S₄.HasHomology
S₁ S₂ : ShortComplex Cᵒᵖ
inst✝⁴ : S₁.HasHomology
inst✝³ : S₂.HasHomology
inst✝² : S₁.unop.HasHomology
inst✝¹ : S₂.unop.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝ : QuasiIso φ
\u22a2 QuasiIso (unopMap φ)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/QuasiIso.lean
C : Type u_1
inst✝¹⁰ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
S₁✝ S₂✝ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝⁸ : S₁✝.HasHomology
inst✝⁷ : S₂✝.HasHomology
inst✝⁶ : S₃.HasHomology
inst✝⁵ : S₄.HasHomology
S₁ S₂ : ShortComplex Cᵒᵖ
inst✝⁴ : S₁.HasHomology
inst✝³ : S₂.HasHomology
inst✝² : S₁.unop.HasHomology
inst✝¹ : S₂.unop.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝ : QuasiIso φ
\u22a2 QuasiIso (opMap (unopMap φ))
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ
hpq : q < p
\u22a2 Tendsto (fun x => x ^ p / x ^ q) atTop atTop
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ
hpq : q < p
\u22a2 Tendsto (fun x => x ^ (↑p - ↑q)) atTop atTop
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ
hpq : q < p
\u22a2 0 < ↑p - ↑q
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
a : α
hs : s.Finite
ht : t.Finite
\u22a2 hs.toFinset ⊂ ht.toFinset ↔ s ⊂ t
-- Mathlib/Order/Rel/GaloisConnection.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
J J' : Set α
h : J' ∈ R.leftFixedPoints
h₁ : J ≤ J'
\u22a2 R.rightDual (R.leftDual J) ≤ R.rightDual (R.leftDual J')
-- Mathlib/Order/Rel/GaloisConnection.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
J J' : Set α
h : J' ∈ R.leftFixedPoints
h₁ : J ≤ J'
\u22a2 (fun b => ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ J → R a b) ≤ fun b => ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ J' → R a b
-- Mathlib/Order/Rel/GaloisConnection.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
J J' : Set α
h : J' ∈ R.leftFixedPoints
h₁ : J ≤ J'
\u22a2 J ≤ J'
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
\u22a2 a ⊔ b ⇨ b = a ⇨ b
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝³ : HasLimits C
inst✝² : PreservesLimits (forget C)
inst✝¹ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
inst✝ : ∀ (x : ↑X), IsIso ((stalkFunctor C x).map f.val)
\u22a2 IsIso f
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝³ : HasLimits C
inst✝² : PreservesLimits (forget C)
inst✝¹ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
inst✝ : ∀ (x : ↑X), IsIso ((stalkFunctor C x).map f.val)
\u22a2 IsIso ((Sheaf.forget C X).map f)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝³ : HasLimits C
inst✝² : PreservesLimits (forget C)
inst✝¹ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
inst✝ : ∀ (x : ↑X), IsIso ((stalkFunctor C x).map f.val)
\u22a2 ∀ (U : (Opens ↑X)ᵒᵖ), IsIso (f.val.app U)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝³ : HasLimits C
inst✝² : PreservesLimits (forget C)
inst✝¹ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
inst✝ : ∀ (x : ↑X), IsIso ((stalkFunctor C x).map f.val)
X✝ : Opens ↑X
\u22a2 IsIso (f.val.app (op X✝))
-- Mathlib/Logic/Small/Group.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Inv α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x : Shrink.{u_2, u_1} α
\u22a2 (equivShrink α).symm x⁻¹ = ((equivShrink α).symm x)⁻¹
-- Mathlib/Logic/Small/Group.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Inv α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x : Shrink.{u_2, u_1} α
\u22a2 (equivShrink α).symm ((equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm x)⁻¹) = ((equivShrink α).symm x)⁻¹
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Rename.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p₁ p₂ : MvPolynomial σ R
\u22a2 ∃ s q₁ q₂, p₁ = (rename Subtype.val) q₁ ∧ p₂ = (rename Subtype.val) q₂
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Rename.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p₂ : MvPolynomial σ R
s₁ : Finset σ
q₁ : MvPolynomial { x // x ∈ s₁ } R
\u22a2 ∃ s q₁_1 q₂, (rename Subtype.val) q₁ = (rename Subtype.val) q₁_1 ∧ p₂ = (rename Subtype.val) q₂
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Rename.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s₁ : Finset σ
q₁ : MvPolynomial { x // x ∈ s₁ } R
s₂ : Finset σ
q₂ : MvPolynomial { x // x ∈ s₂ } R
\u22a2 ∃ s q₁_1 q₂_1, (rename Subtype.val) q₁ = (rename Subtype.val) q₁_1 ∧ (rename Subtype.val) q₂ = (rename Subtype.val) q₂_1
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/RiemannZeta.lean
s : ℂ
\u22a2 completedRiemannZeta s = completedRiemannZeta₀ s - 1 / s - 1 / (1 - s)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup γ
f g : α → γ
hf : Tendsto f atTop atTop
hg : Tendsto g atTop atTop
\u22a2 Tendsto (Prod.map f g) atTop atTop
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup γ
f g : α → γ
hf : Tendsto f atTop atTop
hg : Tendsto g atTop atTop
\u22a2 Tendsto (Prod.map f g) (atTop ×ˢ atTop) atTop
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ : SimplicialObject C
X Y : Augmented C
f : X ⟶ Y
\u22a2 (drop.map f).app (op [0]) ≫ Y.hom.app (op [0]) = X.hom.app (op [0]) ≫ point.map f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
P : Karoubi C
\u22a2 (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = ((obj F).obj P).p ≫ ((F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f) ≫ ((obj G).obj P).p
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
P : Karoubi C
h : F.map P.p ≫ φ.app P.X = φ.app P.X ≫ G.map P.p
\u22a2 (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = ((obj F).obj P).p ≫ ((F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f) ≫ ((obj G).obj P).p
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
P : Karoubi C
h : F.map P.p ≫ φ.app P.X = φ.app P.X ≫ G.map P.p
h' : F.map (P.p ≫ P.p) = F.map P.p
\u22a2 (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = ((obj F).obj P).p ≫ ((F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f) ≫ ((obj G).obj P).p
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
P : Karoubi C
h : (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = (φ.app P.X).f ≫ (G.map P.p).f
h' : (F.map P.p).f ≫ (F.map P.p).f = (F.map P.p).f
\u22a2 (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = ((obj F).obj P).p ≫ ((F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f) ≫ ((obj G).obj P).p
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
P : Karoubi C
h : (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = (φ.app P.X).f ≫ (G.map P.p).f
h' : (F.map P.p).f ≫ (F.map P.p).f = (F.map P.p).f
\u22a2 (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = (F.map P.p).f ≫ (F.map P.p).f ≫ (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
x✝¹ x✝ : Karoubi C
f : x✝¹ ⟶ x✝
\u22a2 (F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f ≫ (φ.app x✝.X).f = ((F.map x✝¹.p).f ≫ (φ.app x✝¹.X).f) ≫ (G.map f.f).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
x✝¹ x✝ : Karoubi C
f : x✝¹ ⟶ x✝
h : F.map f.f ≫ φ.app x✝.X = φ.app x✝¹.X ≫ G.map f.f
\u22a2 (F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f ≫ (φ.app x✝.X).f = ((F.map x✝¹.p).f ≫ (φ.app x✝¹.X).f) ≫ (G.map f.f).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
x✝¹ x✝ : Karoubi C
f : x✝¹ ⟶ x✝
h : F.map f.f ≫ φ.app x✝.X = φ.app x✝¹.X ≫ G.map f.f
h' : F.map (f.f ≫ x✝.p) = F.map f.f
\u22a2 (F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f ≫ (φ.app x✝.X).f = ((F.map x✝¹.p).f ≫ (φ.app x✝¹.X).f) ≫ (G.map f.f).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
x✝¹ x✝ : Karoubi C
f : x✝¹ ⟶ x✝
h : F.map f.f ≫ φ.app x✝.X = φ.app x✝¹.X ≫ G.map f.f
h' : F.map (f.f ≫ x✝.p) = F.map f.f
h'' : F.map (x✝¹.p ≫ f.f) = F.map f.f
\u22a2 (F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f ≫ (φ.app x✝.X).f = ((F.map x✝¹.p).f ≫ (φ.app x✝¹.X).f) ≫ (G.map f.f).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
x✝¹ x✝ : Karoubi C
f : x✝¹ ⟶ x✝
h : (F.map f.f).f ≫ (φ.app x✝.X).f = (φ.app x✝¹.X).f ≫ (G.map f.f).f
h' : (F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f = (F.map f.f).f
h'' : (F.map x✝¹.p).f ≫ (F.map f.f).f = (F.map f.f).f
\u22a2 (F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f ≫ (φ.app x✝.X).f = ((F.map x✝¹.p).f ≫ (φ.app x✝¹.X).f) ≫ (G.map f.f).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
x✝¹ x✝ : Karoubi C
f : x✝¹ ⟶ x✝
h : (F.map f.f).f ≫ (φ.app x✝.X).f = (φ.app x✝¹.X).f ≫ (G.map f.f).f
h' : (F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f = (F.map f.f).f
h'' : (F.map x✝¹.p).f ≫ (F.map f.f).f = (F.map f.f).f
\u22a2 (F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f ≫ (φ.app x✝.X).f = (F.map x✝¹.p).f ≫ (F.map f.f).f ≫ (φ.app x✝.X).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
x✝¹ x✝ : Karoubi C
f : x✝¹ ⟶ x✝
h : (F.map f.f).f ≫ (φ.app x✝.X).f = (φ.app x✝¹.X).f ≫ (G.map f.f).f
h' : (F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f = (F.map f.f).f
h'' : (F.map x✝¹.p).f ≫ (F.map f.f).f = (F.map f.f).f
\u22a2 (F.map f.f).f ≫ (φ.app x✝.X).f = (F.map x✝¹.p).f ≫ (F.map f.f).f ≫ (φ.app x✝.X).f
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/WithTop.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
b c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsLeftCancelAdd α
a : α
\u22a2 ↑a + b = ↑a + c ↔ b = c
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/WithTop.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsLeftCancelAdd α
a : α
\u22a2 ↑a + ⊤ = ↑a + c ↔ ⊤ = c
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/WithTop.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
b c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsLeftCancelAdd α
a : α
hb : b ≠ ⊤
\u22a2 ↑a + b = ↑a + c ↔ b = c
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/WithTop.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsLeftCancelAdd α
a b : α
\u22a2 ↑a + ↑b = ↑a + c ↔ ↑b = c
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h₃ : ∀ (z : ℂ), z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
z : ℂ
\u22a2 (f z).re = z.re
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/ToTensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n m : ℕ
h : n = m
x : ⨂[R]^n M
\u22a2 GradedMonoid.mk m ((PiTensorProduct.reindex R (fun x => M) (finCongr h)) x) = GradedMonoid.mk n x
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p✝ p₀✝ p₁ p₂ p₀ p : P
\u22a2 ∠ p p₀ p₀ = π / 2
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
\u22a2 ⊥.image s = ∅
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
\u22a2 ∀ (x : β), x ∉ ⊥.image s
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
x : β
h : x ∈ ⊥.image s
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
\u22a2 inrX φ i ≫ fstX φ i j hij = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i : ι
hij : c.Rel i (c.next i)
\u22a2 inrX φ i ≫ fstX φ i (c.next i) hij = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
\u22a2 0 < a - b ↔ ¬a ≤ b
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
inst✝ : Countable ι
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ((Kernel.sum fun x => 0) a) s = (0 a) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
inst✝ : Countable ι
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ∑' (n : ι), (0 a) s = (0 a) s
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X : C
p : Subobject X → Subobject X → Prop
h : ∀ ⦃A B : C⦄ (f : A ⟶ X) (g : B ⟶ X) [inst : Mono f] [inst_1 : Mono g], p (mk f) (mk g)
P Q : Subobject X
\u22a2 p P Q
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X : C
p : Subobject X → Subobject X → Prop
h : ∀ ⦃A B : C⦄ (f : A ⟶ X) (g : B ⟶ X) [inst : Mono f] [inst_1 : Mono g], p (mk f) (mk g)
P Q : Subobject X
\u22a2 ∀ (a₁ a₂ : MonoOver X), p (Quotient.mk'' a₁) (Quotient.mk'' a₂)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
\u22a2 UnifIntegrable (-f) p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
\u22a2 ∀ ⦃ε : ℝ⦄, 0 < ε → ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/Topology/Connected/LocallyConnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝ : LocallyConnectedSpace α
x : α
\u22a2 IsOpen (connectedComponent x)
-- Mathlib/Topology/Connected/LocallyConnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝ : LocallyConnectedSpace α
x : α
\u22a2 IsOpen (connectedComponentIn univ x)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
a✝ a' : α
b✝ : M
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : M
\u22a2 ⇑(single a b) = update 0 a b
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
\u22a2 f (x.lcm y) * f (x.gcd y) = f x * f y
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hgcd_ne_zero : x.gcd y ≠ 0
\u22a2 f (x.lcm y) * f (x.gcd y) = f x * f y
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hgcd_ne_zero : x.gcd y ≠ 0
hlcm_ne_zero : x.lcm y ≠ 0
\u22a2 f (x.lcm y) * f (x.gcd y) = f x * f y
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hgcd_ne_zero : x.gcd y ≠ 0
hlcm_ne_zero : x.lcm y ≠ 0
hfi_zero : ∀ {i : ℕ}, f (i ^ 0) = 1
\u22a2 f (x.lcm y) * f (x.gcd y) = f x * f y
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hgcd_ne_zero : x.gcd y ≠ 0
hlcm_ne_zero : x.lcm y ≠ 0
hfi_zero : ∀ {i : ℕ}, f (i ^ 0) = 1
\u22a2 (∏ x_1 ∈ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors, f (x_1 ^ (x.lcm y).factorization x_1)) * ∏ x_1 ∈ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors, f (x_1 ^ (x.gcd y).factorization x_1) = (∏ x_1 ∈ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors, f (x_1 ^ x.factorization x_1)) * ∏ x ∈ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors, f (x ^ y.factorization x)
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hgcd_ne_zero : x.gcd y ≠ 0
hlcm_ne_zero : x.lcm y ≠ 0
hfi_zero : ∀ {i : ℕ}, f (i ^ 0) = 1
\u22a2 y.factorization.support ⊆ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hgcd_ne_zero : x.gcd y ≠ 0
hlcm_ne_zero : x.lcm y ≠ 0
hfi_zero : ∀ {i : ℕ}, f (i ^ 0) = 1
\u22a2 x.factorization.support ⊆ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hgcd_ne_zero : x.gcd y ≠ 0
hlcm_ne_zero : x.lcm y ≠ 0
hfi_zero : ∀ {i : ℕ}, f (i ^ 0) = 1
\u22a2 (x.gcd y).factorization.support ⊆ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hgcd_ne_zero : x.gcd y ≠ 0
hlcm_ne_zero : x.lcm y ≠ 0
hfi_zero : ∀ {i : ℕ}, f (i ^ 0) = 1
\u22a2 (x.lcm y).factorization.support ⊆ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
\u22a2 Icc a b = ∅ ↔ ¬a ≤ b
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Nontrivial S
pb : PowerBasis R S
y : S
\u22a2 y ∈ Submodule.span R (Set.range fun i => pb.gen ^ ↑i)
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
a✝ b✝ a b : Prop
\u22a2 Xor' a b = Xor' b a
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
κ₁ : Type u_13
κ₂ : Type u_14
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set X
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → X → α
x₀ : X
hX : (𝓝 x₀).HasBasis p₁ s₁
hα : (𝓤 α).HasBasis p₂ s₂
\u22a2 EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ x ∈ s₁ k₁, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ s₂ k₂
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
κ₁ : Type u_13
κ₂ : Type u_14
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set X
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → X → α
x₀ : X
hX : (𝓝 x₀).HasBasis p₁ s₁
hα : (𝓤 α).HasBasis p₂ s₂
\u22a2 (∀ (ib : κ₂), p₂ ib → ∃ ia, p₁ ia ∧ ∀ x ∈ s₁ ia, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x ∈ {g | ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀, g) ∈ UniformFun.gen ι α (s₂ ib)}) ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ x ∈ s₁ k₁, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ s₂ k₂
-- Mathlib/Logic/Equiv/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
m : ℕ
l : List ℕ
n : ℕ
h : Sorted (fun x x_1 => x ≤ x_1) (n :: m :: l)
\u22a2 raise (lower (m :: l) n) n = m :: l
-- Mathlib/Logic/Equiv/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
m : ℕ
l : List ℕ
n : ℕ
h : Sorted (fun x x_1 => x ≤ x_1) (n :: m :: l)
this : n ≤ m
\u22a2 raise (lower (m :: l) n) n = m :: l
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u_1
a : ℝ≥0∞
m : OuterMeasure α
s : Set α
h : MeasurableSet s
t : Set α
\u22a2 (a • m) t = (a • m) (t ∩ s) + (a • m) (t \ s)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u_1
a : ℝ≥0∞
m : OuterMeasure α
s : Set α
h : MeasurableSet s
t : Set α
\u22a2 a * m t = a * m (t ∩ s) + a * m (t \ s)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u_1
a : ℝ≥0∞
m : OuterMeasure α
s : Set α
h : MeasurableSet s
t : Set α
\u22a2 a * (m (t ∩ s) + m (t \ s)) = a * m (t ∩ s) + a * m (t \ s)
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
X : (c d : C) → Set (c ⟶ d)
c d : C
\u22a2 X c d ⊆ ⋂ S ∈ {S | ∀ (c d : C), X c d ⊆ S.arrows c d}, S.arrows c d
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
X : (c d : C) → Set (c ⟶ d)
c d : C
\u22a2 ∀ i ∈ {S | ∀ (c d : C), X c d ⊆ S.arrows c d}, X c d ⊆ i.arrows c d
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
y : F
hl : HasFDerivAt l l' (f x)
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hy : y = f x
\u22a2 HasDerivWithinAt (l ∘ f) (l' f') s x