ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
hp : p.support.Nodup
hp' : ¬p.Nil
\u22a2 (p.tail hp').support.Nodup
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
hp' : ¬p.Nil
hp : u ∉ (p.tail hp').support ∧ (p.tail hp').support.Nodup
\u22a2 (p.tail hp').support.Nodup
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Grothendieck.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
S : Sieve X
f : Y ⟶ X
\u22a2 ⊥.Covers S f ↔ S.arrows f
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
α : Type u_6
inst✝ : AddCommMonoid α
m M N : ℕ
f : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ) → α
g : (n : ℕ) × Composition n → α
h : ∀ (e : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (he : e ∈ compPartialSumSource m M N), f e = g (compChangeOfVariables m M N e he)
\u22a2 ∑ e ∈ compPartialSumSource m M N, f e = ∑ e ∈ compPartialSumTarget m M N, g e
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
α : Type u_6
inst✝ : AddCommMonoid α
m M N : ℕ
f : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ) → α
g : (n : ℕ) × Composition n → α
h : ∀ (e : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (he : e ∈ compPartialSumSource m M N), f e = g (compChangeOfVariables m M N e he)
\u22a2 ∀ (a : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (ha : a ∈ compPartialSumSource m M N), compChangeOfVariables m M N a ha ∈ compPartialSumTarget m M N
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
α : Type u_6
inst✝ : AddCommMonoid α
m M N : ℕ
f : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ) → α
g : (n : ℕ) × Composition n → α
h : ∀ (e : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (he : e ∈ compPartialSumSource m M N), f e = g (compChangeOfVariables m M N e he)
\u22a2 ∀ (a₁ : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (ha₁ : a₁ ∈ compPartialSumSource m M N) (a₂ : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (ha₂ : a₂ ∈ compPartialSumSource m M N), compChangeOfVariables m M N a₁ ha₁ = compChangeOfVariables m M N a₂ ha₂ → a₁ = a₂
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
α : Type u_6
inst✝ : AddCommMonoid α
m M N : ℕ
f : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ) → α
g : (n : ℕ) × Composition n → α
h : ∀ (e : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (he : e ∈ compPartialSumSource m M N), f e = g (compChangeOfVariables m M N e he)
\u22a2 ∀ b ∈ compPartialSumTarget m M N, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ compPartialSumSource m M N), compChangeOfVariables m M N a ha = b
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
α : Type u_6
inst✝ : AddCommMonoid α
m M N : ℕ
f : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ) → α
g : (n : ℕ) × Composition n → α
h : ∀ (e : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (he : e ∈ compPartialSumSource m M N), f e = g (compChangeOfVariables m M N e he)
\u22a2 ∀ (a : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (ha : a ∈ compPartialSumSource m M N), f a = g (compChangeOfVariables m M N a ha)
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ
\u22a2 log b n = 1 ↔ b ≤ n ∧ n < b * b
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α
\u22a2 CauchySeq u ↔ Tendsto (fun n => dist (u n.1) (u n.2)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α
\u22a2 Tendsto (fun x => dist (Prod.map u u x).1 (Prod.map u u x).2) atTop (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun n => dist (u n.1) (u n.2)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
\u22a2 (∑ i ∈ s, |f i|) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, |f i| ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : ↑((∑ i ∈ s, (fun i => ⟨|f i|, ⋯⟩) i) ^ p) ≤ ↑(↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, (fun i => ⟨|f i|, ⋯⟩) i ^ p)
\u22a2 (∑ i ∈ s, |f i|) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, |f i| ^ p
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shadow.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
\u22a2 t ∈ ∂ 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, ∃ a ∈ s, s.erase a = t
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
n✝ : Type u_3
o : Type u_4
p✝ : Type u_5
q✝ : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝¹ : CommRing R
m : Type u_14
n : Type u_15
k✝ : Type u_16
inst✝ : Fintype n
p : m → Prop
q : k✝ → Prop
A : Matrix m n R
B : Matrix n k✝ R
i : { a // p a }
k : { a // q a }
\u22a2 (A * B).toBlock p q i k = (A.toBlock p ⊤ * B.toBlock ⊤ q) i k
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
n✝ : Type u_3
o : Type u_4
p✝ : Type u_5
q✝ : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝¹ : CommRing R
m : Type u_14
n : Type u_15
k✝ : Type u_16
inst✝ : Fintype n
p : m → Prop
q : k✝ → Prop
A : Matrix m n R
B : Matrix n k✝ R
i : { a // p a }
k : { a // q a }
\u22a2 ∑ j : n, A (↑i) j * B j ↑k = ∑ x : { a // ⊤ a }, A ↑i ↑x * B ↑x ↑k
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
n✝ : Type u_3
o : Type u_4
p✝ : Type u_5
q✝ : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝¹ : CommRing R
m : Type u_14
n : Type u_15
k✝ : Type u_16
inst✝ : Fintype n
p : m → Prop
q : k✝ → Prop
A : Matrix m n R
B : Matrix n k✝ R
i : { a // p a }
k : { a // q a }
\u22a2 ∀ (x : n), x ∈ Finset.univ ↔ ⊤ x
-- Mathlib/Algebra/Field/Subfield.lean
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : DivisionRing L
inst✝¹ : DivisionRing M
S : Type u_1
inst✝ : SetLike S K
h : SubfieldClass S K
x : K
s : S
q : ℚ≥0
\u22a2 ↑q ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : StrictOrderedSemiring R
a x y : R
n✝ m : ℕ
h : x < y
hx : 0 ≤ x
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0
\u22a2 x ^ (n + 1) < y ^ (n + 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : α → ℝ≥0∞
\u22a2 ∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : α → ℝ≥0∞
\u22a2 ∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g φ : α → ℝ≥0∞
hφm : Measurable φ
hφ_le : φ ≤ fun a => f a + g a
hφ_eq : ∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), φ a ∂μ
\u22a2 ∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Lemmas.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α
x : α
\u22a2 ∃ r, 0 < r ∧ IsCompact (closedBall x r)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Lemmas.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α
x : α
this : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, IsCompact (closedBall x r)
\u22a2 ∃ r, 0 < r ∧ IsCompact (closedBall x r)
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a b c d : G
\u22a2 a / b = c / d ↔ a / c = b / d
-- Mathlib/Data/Sigma/Basic.lean
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
fst✝¹ : α
snd✝¹ : β fst✝¹
fst✝ : α
snd✝ : β fst✝
\u22a2 ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩ = ⟨fst✝, snd✝⟩ ↔ ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst = ⟨fst✝, snd✝⟩.fst ∧ HEq ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.snd ⟨fst✝, snd✝⟩.snd
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι → Submodule R N
\u22a2 iSup p = LinearMap.range ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι → Submodule R N
\u22a2 iSup p ≤ LinearMap.range ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι → Submodule R N
\u22a2 LinearMap.range ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) ≤ iSup p
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s : Set α
\u22a2 IsClosed {f | LipschitzOnWith K f s}
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s : Set α
\u22a2 IsClosed (⋂ i ∈ s, ⋂ i_1 ∈ s, {x | edist (x i) (x i_1) ≤ ↑K * edist i i_1})
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s : Set α
x : α
x✝¹ : x ∈ s
y : α
x✝ : y ∈ s
\u22a2 Continuous fun x_1 => edist (x_1 x) (x_1 y)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s : Set α
x : α
x✝¹ : x ∈ s
y : α
x✝ : y ∈ s
\u22a2 Continuous fun x_1 => ↑K * edist x y
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
k : ℕ
hk0 : k ≠ 0
\u22a2 ∃ᶠ (p : ℕ) in atTop, Prime p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
k : ℕ
hk0 : k ≠ 0
n : ℕ
\u22a2 ∃ b ≥ n, Prime b ∧ b ≡ 1 [MOD k]
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
k : ℕ
hk0 : k ≠ 0
n p : ℕ
hp : Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
\u22a2 ∃ b ≥ n, Prime b ∧ b ≡ 1 [MOD k]
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
a : α
\u22a2 a ∉ ∅
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p : ℝ
x✝ : AddCircle p
hp : p ≠ 0
x : ℝ
\u22a2 ‖↑x‖ ≤ |p| / 2
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p : ℝ
x✝ : AddCircle p
hp : p ≠ 0
x : ℝ
\u22a2 |p⁻¹ * x - ↑(round (p⁻¹ * x))| ≤ 1 / 2
-- Mathlib/Order/SuccPred/CompleteLinearOrder.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
s : Set α
x : α
hbdd : BddAbove s
hlim : ¬IsSuccLimit (sSup s)
\u22a2 sSup s ∈ s
-- Mathlib/Order/SuccPred/CompleteLinearOrder.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
x : α
hbdd : BddAbove ∅
hlim : ¬IsSuccLimit (sSup ∅)
\u22a2 sSup ∅ ∈ ∅
-- Mathlib/Order/SuccPred/CompleteLinearOrder.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
s : Set α
x : α
hbdd : BddAbove s
hlim : ¬IsSuccLimit (sSup s)
hs : s.Nonempty
\u22a2 sSup s ∈ s
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t✝ : ι → α
a b : α
f : β → γ → α
s : Set β
t : Set γ
\u22a2 sInf (image2 f s t) = ⨅ a ∈ s, ⨅ b ∈ t, f a b
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
σ : Type u_2
s : Multiset σ
r : σ → R
k : ℕ
h : k ≤ card s
\u22a2 (map (fun i => X + C (r i)) s).prod.coeff k = (map r s).esymm (card s - k)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
σ : Type u_2
s : Multiset σ
r : σ → R
k : ℕ
h : k ≤ card s
\u22a2 k ≤ card s
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Basic.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x✝ y : 𝕎 R
z : ℤ
x : 𝕎 R
\u22a2 mapFun (⇑f) (z • x) = z • mapFun (⇑f) x
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module Rᵐᵒᵖ M
r : R
m : M
\u22a2 0 •> 0 + m <• r = m <• r
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Analytic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0∞
n✝ : ℕ
f : E → F
x : E
s : Set E
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
y : E
hy : y ∈ s
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℕ
n : ℝ≥0∞
hp : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p y r n
\u22a2 CPolynomialAt 𝕜 (_root_.fderiv 𝕜 f) y
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime x y
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
a b : R
h : a * x + b * y = 1
\u22a2 f a * f x + f b * f y = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.46478, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.46482, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.46486, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E E' : L.RightExtension F
Y : D
g₁ g₂ : StructuredArrow Y L
φ : g₁ ⟶ g₂
\u22a2 𝟙 (E.left.obj Y) ≫ E.left.map g₂.hom ≫ E.hom.app g₂.right = (E.left.map g₁.hom ≫ E.hom.app g₁.right) ≫ F.map φ.right
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.46478, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.46482, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.46486, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E E' : L.RightExtension F
Y : D
g₁ g₂ : StructuredArrow Y L
φ : g₁ ⟶ g₂
\u22a2 E.left.map g₁.hom ≫ E.left.map (L.map φ.right) ≫ E.hom.app g₂.right = E.left.map g₁.hom ≫ E.hom.app g₁.right ≫ F.map φ.right
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.46478, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.46482, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.46486, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E E' : L.RightExtension F
Y : D
g₁ g₂ : StructuredArrow Y L
φ : g₁ ⟶ g₂
\u22a2 E.left.map (L.map φ.right) ≫ E.hom.app g₂.right = E.hom.app g₁.right ≫ F.map φ.right
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Comma.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
inst✝¹ : HasColimits C
inst✝ : PreservesColimits S
A : CostructuredArrow S T
P : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ
f : P ⟶ op A
hf : Mono f
q : S.obj (unop (Subobject.underlying.obj (projectQuotient (Subobject.mk f)))) ⟶ (Functor.fromPUnit T).obj A.right
hq : S.map (projectQuotient (Subobject.mk f)).arrow.unop ≫ q = A.hom
\u22a2 liftQuotient (projectQuotient (Subobject.mk f)) hq = Subobject.mk f
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Comma.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
inst✝¹ : HasColimits C
inst✝ : PreservesColimits S
A : CostructuredArrow S T
P : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ
f : P ⟶ op A
hf : Mono f
q : S.obj (unop (Subobject.underlying.obj (projectQuotient (Subobject.mk f)))) ⟶ (Functor.fromPUnit T).obj A.right
hq : S.map (projectQuotient (Subobject.mk f)).arrow.unop ≫ q = A.hom
\u22a2 op (mk q) ≅ P
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Comma.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
inst✝¹ : HasColimits C
inst✝ : PreservesColimits S
A : CostructuredArrow S T
P : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ
f : P ⟶ op A
hf : Mono f
q : S.obj (unop (Subobject.underlying.obj (projectQuotient (Subobject.mk f)))) ⟶ (Functor.fromPUnit T).obj A.right
hq : S.map (projectQuotient (Subobject.mk f)).arrow.unop ≫ q = A.hom
\u22a2 ?i.hom ≫ f = (homMk (projectQuotient (Subobject.mk f)).arrow.unop hq).op
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e✝ : Sym2 V
G₁ G₂ G : SimpleGraph V
s : Set (Sym2 V)
e : Sym2 V
\u22a2 e ∈ G.edgeSet \ (s \ {e | e.IsDiag}) ↔ e ∈ G.edgeSet \ s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e✝ : Sym2 V
G₁ G₂ G : SimpleGraph V
s : Set (Sym2 V)
e : Sym2 V
\u22a2 e ∈ G.edgeSet → (e ∈ s → e.IsDiag ↔ e ∉ s)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e✝ : Sym2 V
G₁ G₂ G : SimpleGraph V
s : Set (Sym2 V)
e : Sym2 V
h : e ∈ G.edgeSet
\u22a2 e ∈ s → e.IsDiag ↔ e ∉ s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
\u22a2 HasSum (fun n => (-1) ^ (n + 1) * z ^ n / ↑n) (log (1 + z))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
\u22a2 Summable fun i => ‖(-1) ^ (i + 1) * z ^ i / ↑i‖
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
\u22a2 Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ (i + 1) * z ^ i / ↑i) atTop (nhds (log (1 + z)))
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
a✝ : α
a b : List α
\u22a2 a.toFinset = b.toFinset ↔ ∀ (x : α), x ∈ a ↔ x ∈ b
-- Mathlib/FieldTheory/PerfectClosure.lean
K : Type u
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : IsReduced K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x y : ℕ × K
x✝ : ∃ z, (⇑(frobenius K p))^[y.1 + z] x.2 = (⇑(frobenius K p))^[x.1 + z] y.2
z : ℕ
H : (⇑(frobenius K p))^[y.1 + z] x.2 = (⇑(frobenius K p))^[x.1 + z] y.2
\u22a2 (⇑(frobenius K p))^[z] ((⇑(frobenius K p))^[y.1] x.2) = (⇑(frobenius K p))^[z] ((⇑(frobenius K p))^[x.1] y.2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
n : ℕ
\u22a2 log ↑n = n.factorization.sum fun p t => ↑t * log ↑p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
\u22a2 log ↑0 = (Nat.factorization 0).sum fun p t => ↑t * log ↑p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 log ↑n = n.factorization.sum fun p t => ↑t * log ↑p
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L✝ : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ : V → E
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
\u22a2 ‖L v‖ ≤ ‖L‖ * ‖v‖
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
i j : A
\u22a2 (shiftAdd X i j).inv ≫ (shiftFunctor C (i + j)).map f ≫ (shiftAdd Y i j).hom = (shiftFunctor C j).map ((shiftFunctor C i).map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
i j : A
\u22a2 (shiftFunctorAdd C i j).inv.app X ≫ (shiftFunctor C (i + j)).map f ≫ (shiftAdd Y i j).hom = (shiftFunctor C i ⋙ shiftFunctor C j).map f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b✝ l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : ContDiff ℝ 1 f
h2f : HasCompactSupport f
b : ℝ
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioi b, deriv f x = -f b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b✝ l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : ContDiff ℝ 1 f
h2f : HasCompactSupport f
b : ℝ
this : ∀ x ∈ Ioi b, HasDerivAt f (deriv f x) x
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioi b, deriv f x = -f b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b✝ l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : ContDiff ℝ 1 f
h2f : HasCompactSupport f
b : ℝ
this : ∀ x ∈ Ioi b, HasDerivAt f (deriv f x) x
\u22a2 IntegrableOn (deriv f) (Ioi b) volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b✝ l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : ContDiff ℝ 1 f
h2f : HasCompactSupport f
b : ℝ
this : ∀ x ∈ Ioi b, HasDerivAt f (deriv f x) x
\u22a2 Tendsto f atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b✝ l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : ContDiff ℝ 1 f
h2f : f =ᶠ[cocompact ℝ] 0
b : ℝ
this : ∀ x ∈ Ioi b, HasDerivAt f (deriv f x) x
\u22a2 Tendsto f atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
hv : LinearIndependent R v
l : ι →₀ R
x : ↥(span R (range v))
eq : (Finsupp.total ι M R v) l = ↑x
this : ↑(↑hv.totalEquiv l) = (Finsupp.total ι M R v) l
\u22a2 hv.repr x = l
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
hv : LinearIndependent R v
l : ι →₀ R
x : ↥(span R (range v))
eq : (Finsupp.total ι M R v) l = ↑x
this✝ : ↑(↑hv.totalEquiv l) = (Finsupp.total ι M R v) l
this : ↑hv.totalEquiv l = x
\u22a2 hv.repr x = l
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
hv : LinearIndependent R v
l : ι →₀ R
x : ↥(span R (range v))
eq : (Finsupp.total ι M R v) l = ↑x
this✝ : ↑(↑hv.totalEquiv l) = (Finsupp.total ι M R v) l
this : ↑hv.totalEquiv l = x
\u22a2 hv.repr x = hv.totalEquiv.symm (hv.totalEquiv l)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
a : ↥circle
\u22a2 LinearEquiv.det (rotation a).toLinearEquiv = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Quotient.lean
C : Type ?u.25950
inst✝¹ : Category.{?u.25954, ?u.25950} C
r : HomRel C
D : Type ?u.25982
inst✝ : Category.{?u.25986, ?u.25982} D
F✝ : C ⥤ D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F✝.map f₁ = F✝.map f₂
F G : Quotient r ⥤ D
τ : functor r ⋙ F ≅ functor r ⋙ G
\u22a2 natTransLift r τ.hom ≫ natTransLift r τ.inv = 𝟙 F