ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n k : ℕ
hkn : k ≤ n
\u22a2 n.factorial • n.choose k • choose r n = n.factorial • (choose r k * choose (r - ↑k) (n - k))
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n k : ℕ
hkn : k ≤ n
\u22a2 n.choose k • (descPochhammer ℤ n).smeval r = n.choose k • ((descPochhammer ℤ k).smeval r * (descPochhammer ℤ (n - k)).smeval (r - ↑k))
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n k : ℕ
hkn : k ≤ n
\u22a2 n.choose k • (descPochhammer ℤ (n - k + k)).smeval r = n.choose k • ((descPochhammer ℤ k).smeval r * (descPochhammer ℤ (n - k)).smeval (r - ↑k))
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ x y p : R
h : p ∣ x - y
\u22a2 p ∣ ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) ↔ p ∣ ↑n * x ^ (n - 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ x y p : R
h : p ∣ x - y
\u22a2 p ∣ y - x
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : CompleteLattice α
S : Set α
c : α
\u22a2 c ∈ Ici (sSup S) ↔ c ∈ ⨆ a ∈ S, Ici a
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f✝ : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
f : X ⟶ Z
\u22a2 f ≫ 𝟙 Z = 𝟙 X ≫ f
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : Preorder α
a b c d : α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : PosMulMono α
H : 0 ≤ a
\u22a2 0 ≤ a ^ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : Preorder α
a b c d : α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : PosMulMono α
H : 0 ≤ a
\u22a2 0 ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : Preorder α
a b c d : α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : PosMulMono α
H : 0 ≤ a
n : ℕ
\u22a2 0 ≤ a ^ (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : Preorder α
a b c d : α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : PosMulMono α
H : 0 ≤ a
n : ℕ
\u22a2 0 ≤ a ^ n * a
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
\u22a2 (t.centerMass w fun i => c • z i) = c • t.centerMass w z
-- Mathlib/CategoryTheory/GlueData.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
F : C ⥤ C'
H : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
i : D.J
\u22a2 (fun i j => F.map (D.t i j)) i i = 𝟙 ((fun i => F.obj (D.V i)) (i, i))
-- Mathlib/CategoryTheory/GlueData.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
F : C ⥤ C'
H : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
i j k : D.J
\u22a2 (fun i j k => (PreservesPullback.iso F (D.f i j) (D.f i k)).inv ≫ F.map (D.t' i j k) ≫ (PreservesPullback.iso F (D.f j k) (D.f j i)).hom) i j k ≫ pullback.snd ((fun i j => F.map (D.f i j)) j k) ((fun i j => F.map (D.f i j)) j i) = pullback.fst ((fun i j => F.map (D.f i j)) i j) ((fun i j => F.map (D.f i j)) i k) ≫ (fun i j => F.map (D.t i j)) i j
-- Mathlib/CategoryTheory/GlueData.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
F : C ⥤ C'
H : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
i j k : D.J
\u22a2 (fun i j k => (PreservesPullback.iso F (D.f i j) (D.f i k)).inv ≫ F.map (D.t' i j k) ≫ (PreservesPullback.iso F (D.f j k) (D.f j i)).hom) i j k ≫ (fun i j k => (PreservesPullback.iso F (D.f i j) (D.f i k)).inv ≫ F.map (D.t' i j k) ≫ (PreservesPullback.iso F (D.f j k) (D.f j i)).hom) j k i ≫ (fun i j k => (PreservesPullback.iso F (D.f i j) (D.f i k)).inv ≫ F.map (D.t' i j k) ≫ (PreservesPullback.iso F (D.f j k) (D.f j i)).hom) k i j = 𝟙 (pullback ((fun i j => F.map (D.f i j)) i j) ((fun i j => F.map (D.f i j)) i k))
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J K L I : Ideal R
h : I = ⊤
\u22a2 ⊤ = I * ⊤
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hba : ¬b ∣ a + 1
\u22a2 (a + 1) / b = a / b
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : SemilatticeInf α
inst✝⁴ : BoundedOrder α
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : SemilatticeInf β
inst✝¹ : BoundedOrder β
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a✝ b a : α
\u22a2 {b}.truncatedInf a = if b ≤ a then b else ⊥
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : SemilatticeInf α
inst✝⁴ : BoundedOrder α
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : SemilatticeInf β
inst✝¹ : BoundedOrder β
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a✝ b a : α
\u22a2 (if h : b ≤ a then (filter (fun x => x ≤ a) {b}).inf' ⋯ fun x => x else ⊥) = if b ≤ a then b else ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : DecidableEq ι
\u22a2 derivative (nodal s v) = ∑ i ∈ s, nodal (s.erase i) v
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : DecidableEq ι
\u22a2 derivative (nodal ∅ v) = ∑ i ∈ ∅, nodal (∅.erase i) v
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
IH : derivative (nodal t v) = ∑ i ∈ t, nodal (t.erase i) v
\u22a2 derivative (nodal (insert i t) v) = ∑ i_1 ∈ insert i t, nodal ((insert i t).erase i_1) v
-- Mathlib/Analysis/Complex/ReImTopology.lean
a b : ℝ
\u22a2 frontier {z | a ≤ z.re ∧ b ≤ z.im} = {z | a ≤ z.re ∧ z.im = b ∨ z.re = a ∧ b ≤ z.im}
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
\u22a2 a / b = c ↔ a = c * b
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s : Multiset ι
f g : ι → α
hs : s ≠ ∅
hfg : ∀ i ∈ s, f i < g i
\u22a2 (map f s).prod < (map g s).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s : Multiset ι
f g : ι → α
hs : s ≠ ∅
hfg : ∀ i ∈ s, f i < g i
i : ι
hi : i ∈ s
\u22a2 (map f s).prod < (map g s).prod
-- Mathlib/Data/Finsupp/Weight.lean
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ M
hw : ∀ (i : σ), w i ≠ 0
n : ℕ
s : σ
h : n • w s = 0
\u22a2 n = 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Weight.lean
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ M
hw : ∀ (i : σ), w i ≠ 0
n : ℕ
s : σ
h : ¬w s = 0 → n = 0
\u22a2 n = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : SeminormedCommRing S
inst✝¹² : SeminormedRing R
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Algebra S R
inst✝⁹ : Module S M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁶ : BoundedSMul S R
inst✝⁵ : BoundedSMul S M
inst✝⁴ : BoundedSMul R M
inst✝³ : BoundedSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝² : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
\u22a2 ‖x‖ = ‖x.fst‖ + ‖x.snd‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : SeminormedCommRing S
inst✝¹² : SeminormedRing R
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Algebra S R
inst✝⁹ : Module S M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁶ : BoundedSMul S R
inst✝⁵ : BoundedSMul S M
inst✝⁴ : BoundedSMul R M
inst✝³ : BoundedSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝² : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
\u22a2 (‖x.1‖ ^ ENNReal.toReal 1 + ‖x.2‖ ^ ENNReal.toReal 1) ^ (1 / ENNReal.toReal 1) = ‖x.fst‖ + ‖x.snd‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : SeminormedCommRing S
inst✝¹² : SeminormedRing R
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Algebra S R
inst✝⁹ : Module S M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁶ : BoundedSMul S R
inst✝⁵ : BoundedSMul S M
inst✝⁴ : BoundedSMul R M
inst✝³ : BoundedSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝² : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
\u22a2 ‖x.1‖ + ‖x.2‖ = ‖x.fst‖ + ‖x.snd‖
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y z : ℝ
x : ℝ≥0
hw : w ≠ 0
h : y + z = w
\u22a2 x ^ w = x ^ y * x ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y z : ℝ
x : ℝ≥0
hw : w ≠ 0
h : y + z = w
\u22a2 y + z ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Pow.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x a : M
ha : 1 < a
k : ℕ
hk : k ≠ 0
\u22a2 1 < a ^ k
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Pow.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x a : M
ha : 1 < a
l : ℕ
hk : l.succ ≠ 0
\u22a2 1 < a ^ l.succ
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p : α
hp : Irreducible p
k : ℕ
\u22a2 normalizedFactors (p ^ k) = Multiset.replicate k (normalize p)
-- Mathlib/RingTheory/Complex.lean
z : ℂ
\u22a2 (trace ℝ ℂ) z = 2 * z.re
-- Mathlib/RingTheory/Complex.lean
z : ℂ
\u22a2 !![z.re, -z.im; z.im, z.re] 0 0 + !![z.re, -z.im; z.im, z.re] 1 1 = 2 * z.re
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
f : Filter α
inst✝⁴ : f.NeBot
R : Type u_7
inst✝³ : Preorder R
κ : Type u_8
inst✝² : AddCommMonoid R
inst✝¹ : CovariantClass R R (fun a b => a + b) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass R R (fun a b => b + a) fun x x_1 => x ≤ x_1
u : κ → α → R
s : Finset κ
aux : CovariantClass R R (fun a b => a + b) fun x x_1 => x ≥ x_1
\u22a2 (∀ k ∈ s, IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f (u k)) → IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f (∑ k ∈ s, u k)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsAffine Y
\u22a2 P f ↔ Q f
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsAffine Y
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
\u22a2 P f ↔ Q f
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsAffine Y
this✝ : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
this : ∀ (i : (Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 Y)).J), IsAffine ((Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 Y)).obj i)
\u22a2 P f ↔ Q f
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsAffine Y
this✝ : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
this : ∀ (i : (Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 Y)).J), IsAffine ((Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 Y)).obj i)
\u22a2 (∀ (i : ((Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 Y)).pullbackCover f).J), Q ((Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 Y)).pullbackHom f i)) ↔ Q f
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsAffine Y
this✝ : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
this : ∀ (i : (Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 Y)).J), IsAffine ((Scheme.openCoverOfIsIso (𝟙 Y)).obj i)
\u22a2 Q (pullback.snd f (𝟙 Y)) ↔ Q f
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ b a : α
l : List α
\u22a2 Chain' R ([a] ++ l) ↔ Chain' R [a] ∧ Chain' R l ∧ ∀ (x : α), x ∈ [a].getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l.head? → R x y
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a✝ b✝ a b : α
l₁ l₂ : List α
\u22a2 Chain' R (a :: b :: l₁ ++ l₂) ↔ Chain' R (a :: b :: l₁) ∧ Chain' R l₂ ∧ ∀ (x : α), x ∈ (a :: b :: l₁).getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a✝ b✝ a b : α
l₁ l₂ : List α
\u22a2 (R a b ∧ Chain' R (b :: l₁) ∧ Chain' R l₂ ∧ ∀ (x : α), x ∈ (b :: l₁).getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) ↔ R a b ∧ Chain' R (b :: l₁) ∧ Chain' R l₂ ∧ ∀ (x : α), x ∈ (a :: b :: l₁).getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z p : P
\u22a2 p -ᵥ z ∈ affineSegment R (p -ᵥ x) (p -ᵥ y) ↔ z ∈ affineSegment R x y
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Discriminant.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ k)) K)
\u22a2 ∃ u n, discr K ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).basis = ↑↑u * ↑↑p ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Discriminant.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ k)) K)
\u22a2 ∃ u n, (-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1)) = ↑↑u * ↑↑p ^ n
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subring/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S✝
inst✝ : Ring T
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
\u22a2 x ∈ ↑(⨆ i, S i) ↔ x ∈ ⋃ i, ↑(S i)
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s✝ t s : Subgroup α
\u22a2 Nat.card (α ⧸ s) ∣ Nat.card α
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n k : ℕ
h : k < n
\u22a2 ↑((finRotate (n + 1)) ⟨k, ⋯⟩) = ↑⟨k + 1, ⋯⟩
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n k : ℕ
h : k < n
\u22a2 ↑(finAddFlip ⟨k, ⋯⟩) = k + 1
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
β : Type v
a : α
f : Filter α
x✝ : TopologicalSpace α := nhdsAdjoint a f
\u22a2 𝓝 a = pure a ⊔ f
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
β : Type v
a : α
f : Filter α
x✝ : TopologicalSpace α := nhdsAdjoint a f
\u22a2 𝓝 a ≤ pure a ⊔ f
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
β : Type v
a : α
f : Filter α
x✝ : TopologicalSpace α := nhdsAdjoint a f
\u22a2 pure a ⊔ f ≤ 𝓝 a
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
b : β
\u22a2 Nat.card ↑(s ×ˢ {b}) = Nat.card ↑s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
H : LocallyCompactSpace G
\u22a2 ∃ c, ∀ (f : G → ℝ), Continuous f → HasCompactSupport f → ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂c • μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
H : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
\u22a2 ∃ c, ∀ (f : G → ℝ), Continuous f → HasCompactSupport f → ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂c • μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
H : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ
\u22a2 ∃ c, ∀ (f : G → ℝ), Continuous f → HasCompactSupport f → ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂c • μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
H : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ
c : ℝ := (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ'
\u22a2 ∃ c, ∀ (f : G → ℝ), Continuous f → HasCompactSupport f → ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂c • μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
H : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ
c : ℝ := (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ'
c_nonneg : 0 ≤ c
\u22a2 ∃ c, ∀ (f : G → ℝ), Continuous f → HasCompactSupport f → ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂c • μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
H : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ
c : ℝ := (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ'
c_nonneg : 0 ≤ c
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
f_comp : HasCompactSupport f
ν : Measure G := μ.inv
\u22a2 ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂⟨c, c_nonneg⟩ • μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
H : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ
c : ℝ := (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ'
c_nonneg : 0 ≤ c
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
f_comp : HasCompactSupport f
ν : Measure G := μ.inv
A : ∫ (x : G), f x ∂μ = (∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν) * ∫ (x : G), g x ∂μ
\u22a2 ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂⟨c, c_nonneg⟩ • μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
H : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ
c : ℝ := (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ'
c_nonneg : 0 ≤ c
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
f_comp : HasCompactSupport f
ν : Measure G := μ.inv
A : (∫ (x : G), f x ∂μ) * (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ = ∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν
\u22a2 ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂⟨c, c_nonneg⟩ • μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
H : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ
c : ℝ := (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ'
c_nonneg : 0 ≤ c
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
f_comp : HasCompactSupport f
ν : Measure G := μ.inv
A : (∫ (x : G), f x ∂μ) * (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ = ∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν
B : ∫ (x : G), f x ∂μ' = (∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν) * ∫ (x : G), g x ∂μ'
\u22a2 ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂⟨c, c_nonneg⟩ • μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
H : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ
c : ℝ := (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ'
c_nonneg : 0 ≤ c
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
f_comp : HasCompactSupport f
ν : Measure G := μ.inv
A : (∫ (x : G), f x ∂μ) * (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ = ∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν
B : ∫ (x : G), f x ∂μ' = ((∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ') * ∫ (x : G), f x ∂μ
\u22a2 ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂⟨c, c_nonneg⟩ • μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
H : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_pos : 0 < ∫ (x : G), g x ∂μ
c : ℝ := (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ'
c_nonneg : 0 ≤ c
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
f_comp : HasCompactSupport f
ν : Measure G := μ.inv
A : (∫ (x : G), f x ∂μ) * (∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ = ∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν
B : ∫ (x : G), f x ∂μ' = ((∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ') * ∫ (x : G), f x ∂μ
\u22a2 ((∫ (x : G), g x ∂μ)⁻¹ * ∫ (x : G), g x ∂μ') * ∫ (x : G), f x ∂μ = ⟨c, c_nonneg⟩ • ∫ (x : G), f x ∂μ