ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i
\u22a2 ↑(μ.withDensityᵥ (f + g)) i = ↑(μ.withDensityᵥ f + μ.withDensityᵥ g) i
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i
\u22a2 ∫ (x : α) in i, (f + g) x ∂μ = ∫ (x : α) in i, f x ∂μ + ∫ (x : α) in i, g x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i
\u22a2 ∫ (x : α) in i, f x + g x ∂μ = ∫ (x : α) in i, f x ∂μ + ∫ (x : α) in i, g x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i
\u22a2 IntegrableOn f Set.univ (μ.restrict i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i
\u22a2 IntegrableOn g Set.univ (μ.restrict i)
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
\u22a2 s.gcd f = 0 ↔ ∀ x ∈ s, f x = 0
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
\u22a2 (∀ x ∈ Multiset.map f s.val, x = 0) ↔ ∀ x ∈ s, f x = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : μ.OuterRegular
k : Set α
hk : IsCompact k
\u22a2 μ (closure k) = μ k
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : μ.OuterRegular
k : Set α
hk : IsCompact k
\u22a2 μ (closure k) ≤ μ k
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : μ.OuterRegular
k : Set α
hk : IsCompact k
\u22a2 ∀ (i : Set α), k ⊆ i → IsOpen i → μ (closure k) ≤ μ i
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : μ.OuterRegular
k : Set α
hk : IsCompact k
u : Set α
ku : k ⊆ u
u_open : IsOpen u
\u22a2 μ (closure k) ≤ μ u
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
\u22a2 a \ (a ⊓ b) = a \ b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
\u22a2 (↑n).natTrailingDegree = 0
-- Mathlib/Order/IsWellOrderLimitElement.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderBot α
ha : IsWellOrderLimitElement ⊥
\u22a2 False
-- Mathlib/Order/IsWellOrderLimitElement.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderBot α
ha : IsWellOrderLimitElement ⊥
b : α
hb : b < ⊥
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
p : S[X]
i : ℕ
h : coeffIntegerNormalization M p i ≠ 0
\u22a2 i ∈ p.support
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
p : S[X]
i : ℕ
h : i ∉ p.support
\u22a2 ¬coeffIntegerNormalization M p i ≠ 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
\u22a2 ((↑m + 1) / ↑m) ^ 2 ≤ 1 + ε ^ 5 / 49
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
\u22a2 (1 + 1 / ↑m) ^ 2 ≤ 1 + ε ^ 5 / 49
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
\u22a2 ↑m ≠ 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
this : 1 + 1 / ↑m ≤ 1 + ε ^ 5 / 100
\u22a2 (1 + 1 / ↑m) ^ 2 ≤ 1 + ε ^ 5 / 49
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
this : 1 + 1 / ↑m ≤ 1 + ε ^ 5 / 100
\u22a2 0 ≤ 1 + 1 / ↑m
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
this : 1 + 1 / ↑m ≤ 1 + ε ^ 5 / 100
\u22a2 (1 + ε ^ 5 / 100) ^ 2 ≤ 1 + ε ^ 5 / 49
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
this : 1 + 1 / ↑m ≤ 1 + ε ^ 5 / 100
\u22a2 ε ^ 5 * ε ^ 5 ≤ ε ^ 5 * ((1 / 49 - 2 / 100) * 100 ^ 2)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
this : 1 + 1 / ↑m ≤ 1 + ε ^ 5 / 100
\u22a2 ε ^ 5 ≤ (1 / 49 - 2 / 100) * 100 ^ 2
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s✝ t : Finset α
a✝ : α
m n : ℕ
a : α
s : Fin n → Finset α
\u22a2 a ∈ (List.ofFn s).prod ↔ ∃ f, (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod = a
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s✝ t : Finset α
a✝ : α
m n : ℕ
a : α
s : Fin n → Finset α
\u22a2 (∃ f, (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod = a) ↔ ∃ f, (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod = a
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
m✝ : Multiset α
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
m : Multiset α
f : α → ℕ → β
\u22a2 ∏ x ∈ m.toEnumFinset, f x.1 x.2 = ∏ x : m.ToType, f x.fst ↑x.snd
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
m✝ : Multiset α
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
m : Multiset α
f : α → ℕ → β
\u22a2 ∏ x ∈ m.toEnumFinset, f x.1 x.2 = ∏ x : { x // x ∈ m.toEnumFinset }, f (↑x).1 (↑x).2
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
m✝ : Multiset α
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
m : Multiset α
f : α → ℕ → β
\u22a2 ∀ (x : m.ToType), f x.fst ↑x.snd = f (↑(m.coeEquiv x)).1 (↑(m.coeEquiv x)).2
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : SupSet α
f g : ι → α
s : Set α
\u22a2 sSup s = ⨆ a, ↑a
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
\u22a2 id <$> x = x
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
\u22a2 id <$> abs (repr x) = abs (repr x)
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
\u22a2 id <$> abs ⟨a, f⟩ = abs ⟨a, f⟩
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
\u22a2 abs ((P F).map id ⟨a, f⟩) = abs ⟨a, f⟩
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
inst✝ : Nontrivial R
\u22a2 W.polynomial.natDegree = 2
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
inst✝ : Nontrivial R
\u22a2 { a := 0, b := 1, c := { a := 0, b := 0, c := W.a₁, d := W.a₃ }.toPoly, d := { a := -1, b := -W.a₂, c := -W.a₄, d := -W.a₆ }.toPoly }.toPoly.natDegree = 2
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
x y : WithLp ⊤ (α × β)
\u22a2 dist x y = ↑(nndist x.1 y.1 ⊔ nndist x.2 y.2)
-- Mathlib/Tactic/Ring/Basic.lean
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α✝ : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring $α✝)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a✝ a'✝ a₁ a₂ a₃ b✝ b'✝ b₁ b₂ b₃ c c₁ c₂ : R
α β : Type u_2
inst : CSLift α β
a b : α
a' b' : β
h1 : CSLiftVal a a'
h2 : CSLiftVal b b'
h : a' = b'
\u22a2 CSLift.lift a = CSLift.lift b
-- Mathlib/Data/List/TFAE.lean
p : Prop
\u22a2 [p].TFAE
-- Mathlib/Order/BoundedOrder.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot (Subtype p)
hbot : p ⊥
x : { x // p x }
\u22a2 ↑x = ⊥ ↔ x = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
\u22a2 ∀ (a : List R[X]), (prod ⟦a⟧).degree ≤ (Multiset.map degree ⟦a⟧).sum
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
hab : a < b
hcd : c < d
\u22a2 a / d < b / c
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
hab : a < b
hcd : c < d
\u22a2 a * c < b * d
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α' : Sort u_1
α : Sort u_2
β : Sort u_3
inst✝¹ : DecidableEq α'
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
g : α' ≃ α
a : α
v : β
\u22a2 update f a v ∘ ⇑g = update (f ∘ ⇑g) (g.symm a) v
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a b : ℤ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
\u22a2 padicValNat p (a * b).natAbs = padicValNat p a.natAbs + padicValNat p b.natAbs
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/SemiNormedGrp/Kernels.lean
X Y Z W : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : Z ⟶ W
cond' : f ≫ g = 0
\u22a2 f ≫ g ≫ h = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/SemiNormedGrp/Kernels.lean
X Y Z W : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : Z ⟶ W
cond' : f ≫ g = 0
\u22a2 explicitCokernelDesc cond' ≫ h = explicitCokernelDesc ⋯
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/SemiNormedGrp/Kernels.lean
X Y Z W : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : Z ⟶ W
cond' : f ≫ g = 0
\u22a2 explicitCokernelπ f ≫ explicitCokernelDesc cond' ≫ h = g ≫ h
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
\u22a2 rTensor N f ^ n = rTensor N (f ^ n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
h : map f id ^ n = map (f ^ n) (id ^ n)
\u22a2 rTensor N f ^ n = rTensor N (f ^ n)
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
\u22a2 trNat 0 = []
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
\u22a2 trNum 0 = []
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.3959, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.HomologyData
\u22a2 S.Exact ↔ IsZero h.left.H
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.3959, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.HomologyData
this : S.HasHomology
\u22a2 S.Exact ↔ IsZero h.left.H
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Path.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ x₂ x₃ : X
p₀ q₀ : Path x₀ x₁
p₁ q₁ : Path x₁ x₂
F : p₀.Homotopy q₀
G : p₁.Homotopy q₁
x : ↑I × ↑I
\u22a2 (if ↑x.2 ≤ 1 / 2 then (F.eval x.1).extend (2 * ↑x.2) else (G.eval x.1).extend (2 * ↑x.2 - 1)) = if h : ↑x.2 ≤ 1 / 2 then (F.eval x.1) ⟨2 * ↑x.2, ⋯⟩ else (G.eval x.1) ⟨2 * ↑x.2 - 1, ⋯⟩
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : CompleteLattice ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
f : Filtration ι m
ω : Ω
\u22a2 hitting u s ⊥ ⊤ ω = sInf {i | u i ω ∈ s}
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : CompleteLattice ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
f : Filtration ι m
ω : Ω
\u22a2 (∀ (x : ι), ¬(x ∈ Set.univ ∧ u x ω ∈ s)) → ⊤ = sInf {i | u i ω ∈ s}
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : CompleteLattice ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
f : Filtration ι m
ω : Ω
h_nmem_s : ∀ (x : ι), ¬(x ∈ Set.univ ∧ u x ω ∈ s)
\u22a2 sInf {i | u i ω ∈ s} = ⊤
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : CompleteLattice ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
f : Filtration ι m
ω : Ω
h_nmem_s : ∀ (x : ι), ¬(x ∈ Set.univ ∧ u x ω ∈ s)
\u22a2 ∀ a ∈ {i | u i ω ∈ s}, a = ⊤
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : CompleteLattice ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
f : Filtration ι m
ω : Ω
h_nmem_s : ∀ (x : ι), u x ω ∉ s
\u22a2 ∀ a ∈ {i | u i ω ∈ s}, a = ⊤
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b a : α
s : Set α
\u22a2 lowerBounds (insert a s) = Iic a ∩ lowerBounds s
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Lattice.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : WellPowered C
inst✝ : HasWidePullbacks C
A : C
s : Set (Subobject A)
f : Subobject A
hf : f ∈ s
\u22a2 sInf s ≤ f
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Lattice.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : WellPowered C
inst✝ : HasWidePullbacks C
A : C
s : Set (Subobject A)
f : Subobject A
hf : f ∈ s
\u22a2 underlying.obj (sInf s) ⟶ underlying.obj f
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Lattice.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : WellPowered C
inst✝ : HasWidePullbacks C
A : C
s : Set (Subobject A)
f : Subobject A
hf : f ∈ s
\u22a2 ?f ≫ f.arrow = (sInf s).arrow
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : NormalizationMonoid α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : Unique αˣ
m : Multiset α
h : ∀ p ∈ m, Prime p
\u22a2 normalizedFactors m.prod = m
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : 0 < z
\u22a2 x < y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z < y
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f✝ f : StieltjesFunction
x : ℝ
\u22a2 ⨅ r, ↑f ↑↑r = ↑f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f✝ f : StieltjesFunction
x : ℝ
\u22a2 ⨅ r, ↑f ↑↑r = ⨅ r, ↑f ↑r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f✝ f : StieltjesFunction
x : ℝ
\u22a2 BddBelow (↑f '' Ioi x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f✝ f : StieltjesFunction
x y : ℝ
hy_mem : y ∈ Ioi x
\u22a2 ↑f x ≤ ↑f y
-- Mathlib/RingTheory/IntegralDomain.lean
R : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : DecidableEq G
f : G →* R
hf : Injective ⇑f
n : ℕ
hn : 0 < n
g₀ : G
this : DecidableEq R
\u22a2 (filter (fun g => g ^ n = g₀) univ).card ≤ Multiset.card (nthRoots n (f g₀))
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
a : α
\u22a2 comap (fun x => (x.1 * a, x.2 * a)) (𝓤 α) = 𝓤 α
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
a : α
\u22a2 Function.Injective fun x => (x.1 * a, x.2 * a)
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
a p₁ p₂ q₁ q₂ : α
\u22a2 (fun x => (x.1 * a, x.2 * a)) (p₁, p₂) = (fun x => (x.1 * a, x.2 * a)) (q₁, q₂) → (p₁, p₂) = (q₁, q₂)
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S : Submonoid M
ι : Sort u_4
p : ι → Submonoid M
m : M
\u22a2 m ∈ ⨆ i, p i ↔ ∀ (N : Submonoid M), (∀ (i : ι), p i ≤ N) → m ∈ N
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S : Submonoid M
ι : Sort u_4
p : ι → Submonoid M
m : M
\u22a2 (∀ (b : Submonoid M), (∀ (i : ι), p i ≤ b) → closure {m} ≤ b) ↔ ∀ (N : Submonoid M), (∀ (i : ι), p i ≤ N) → m ∈ N
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
i : Nat
α✝ : Type u_1
xs : List α✝
j : Nat
h₀ : i < xs.length
h₁ : xs.Nodup
h₂ : xs.get? i = xs.get? j
\u22a2 i = j
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
i : Nat
α✝ : Type u_1
xs : List α✝
j : Nat
h₀ : i < xs.length
h₁ : xs.Nodup
h₂ : xs.get? i = xs.get? j
\u22a2 xs[i]? = xs[j]?
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
inst✝ : Nonempty ι
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
\u22a2 ∃ f, s ⊆ ⋃ n, U (f n)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
inst✝ : Nonempty ι
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
c : Set ι
c_count : c.Countable
c_cov : s ⊆ ⋃ i ∈ c, U i
\u22a2 ∃ f, s ⊆ ⋃ n, U (f n)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
inst✝ : Nonempty ι
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
c_count : ∅.Countable
c_cov : s ⊆ ⋃ i ∈ ∅, U i
\u22a2 ∃ f, s ⊆ ⋃ n, U (f n)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
inst✝ : Nonempty ι
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
c : Set ι
c_count : c.Countable
c_cov : s ⊆ ⋃ i ∈ c, U i
c_nonempty : c.Nonempty
\u22a2 ∃ f, s ⊆ ⋃ n, U (f n)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
inst✝ : Nonempty ι
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
c : Set ι
c_count : c.Countable
c_cov : s ⊆ ⋃ i ∈ c, U i
c_nonempty : c.Nonempty
f : ℕ → ↑c
f_surj : Function.Surjective f
\u22a2 ∃ f, s ⊆ ⋃ n, U (f n)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
inst✝ : Nonempty ι
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
c : Set ι
c_count : c.Countable
c_cov : s ⊆ ⋃ i ∈ c, U i
c_nonempty : c.Nonempty
f : ℕ → ↑c
f_surj : Function.Surjective f
\u22a2 ∀ i ∈ c, U i ⊆ ⋃ n, U ↑(f n)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
inst✝ : Nonempty ι
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
c : Set ι
c_count : c.Countable
c_cov : s ⊆ ⋃ i ∈ c, U i
c_nonempty : c.Nonempty
f : ℕ → ↑c
f_surj : Function.Surjective f
x : ι
hx : x ∈ c
n : ℕ
hn : f n = ⟨x, hx⟩
\u22a2 U x ⊆ ⋃ n, U ↑(f n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
p : A[X]
f : A →+* B
hf : Function.Injective ⇑f
hroots : Multiset.card p.roots = p.natDegree
\u22a2 Multiset.map (⇑f) p.roots = (map f p).roots
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
p : A[X]
f : A →+* B
hf : Function.Injective ⇑f
hroots : Multiset.card p.roots = p.natDegree
\u22a2 Multiset.card (map f p).roots ≤ Multiset.card (Multiset.map (⇑f) p.roots)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
\u22a2 ¬M.Indep X ↔ M.Dep X