ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hfi : Integrable f μ
\u22a2 (μ.withDensityᵥ f).trim hm ≪ᵥ (μ.trim hm).toENNRealVectorMeasure
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hfi : Integrable f μ
j : Set α
hj₁ : MeasurableSet j
hj₂ : ↑(μ.trim hm).toENNRealVectorMeasure j = 0
\u22a2 ↑((μ.withDensityᵥ f).trim hm) j = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hfi : Integrable f μ
j : Set α
hj₁ : MeasurableSet j
hj₂ : μ j = 0
\u22a2 ↑((μ.withDensityᵥ f).trim hm) j = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hfi : Integrable f μ
j : Set α
hj₁ : MeasurableSet j
hj₂ : μ j = 0
\u22a2 ∫ (x : α) in j, f x ∂μ = 0
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F✝ : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace γ
x : α
U : Set α
V : Set β
F : α → β → γ
hF : UniformContinuousOn (↿F) (U ×ˢ V)
hU : x ∈ U
φ : α × β → (α × β) × α × β := fun q => ((x, q.2), q)
\u22a2 TendstoUniformlyOn F (F x) (𝓝[U] x) V
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F✝ : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace γ
x : α
U : Set α
V : Set β
F : α → β → γ
hF : UniformContinuousOn (↿F) (U ×ˢ V)
hU : x ∈ U
φ : α × β → (α × β) × α × β := fun q => ((x, q.2), q)
\u22a2 Tendsto (fun q => (F x q.2, F q.1 q.2)) (𝓝[U] x ×ˢ 𝓟 V) (𝓤 γ)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F✝ : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace γ
x : α
U : Set α
V : Set β
F : α → β → γ
hF : UniformContinuousOn (↿F) (U ×ˢ V)
hU : x ∈ U
φ : α × β → (α × β) × α × β := fun q => ((x, q.2), q)
\u22a2 Tendsto (Prod.map (↿F) ↿F ∘ φ) (𝓝[U] x ×ˢ 𝓟 V) (𝓤 γ)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F✝ : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace γ
x : α
U : Set α
V : Set β
F : α → β → γ
hF : UniformContinuousOn (↿F) (U ×ˢ V)
hU : x ∈ U
φ : α × β → (α × β) × α × β := fun q => ((x, q.2), q)
\u22a2 Tendsto (Prod.map (↿F) ↿F ∘ φ) (comap Prod.fst (𝓝 x) ⊓ 𝓟 (Prod.fst ⁻¹' U ∩ Prod.snd ⁻¹' V)) (𝓤 γ)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F✝ : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace γ
x : α
U : Set α
V : Set β
F : α → β → γ
hF : UniformContinuousOn (↿F) (U ×ˢ V)
hU : x ∈ U
φ : α × β → (α × β) × α × β := fun q => ((x, q.2), q)
\u22a2 Tendsto φ (comap Prod.fst (𝓝 x)) (𝓤 (α × β))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F✝ : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace γ
x : α
U : Set α
V : Set β
F : α → β → γ
hF : UniformContinuousOn (↿F) (U ×ˢ V)
hU : x ∈ U
φ : α × β → (α × β) × α × β := fun q => ((x, q.2), q)
\u22a2 Tendsto (fun x_1 => ((x, x_1.1), x_1.2, x_1.2)) (comap (fun x_1 => (x, x_1.1)) (𝓤 α)) (𝓤 α ×ˢ 𝓤 β)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
K : Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
p q : K[X]
h : q ≠ 0
\u22a2 (p * C q.leadingCoeff⁻¹).degree = p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
K : Type u_1
inst✝ : DivisionRing K
p q : K[X]
h : q ≠ 0
h₁ : q.leadingCoeff⁻¹ ≠ 0
\u22a2 (p * C q.leadingCoeff⁻¹).degree = p.degree
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x y : ℝ
\u22a2 Real.toEReal ⁻¹' Ioo ↑x ↑y = Ioo x y
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x y : ℝ
\u22a2 Real.toEReal ⁻¹' (Ioi ↑x ∩ Iio ↑y) = Ioi x ∩ Iio y
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder β
l : Filter α
p : β → Prop
f : α → β
hf : Tendsto f l atTop
h_evtl : ∀ᶠ (x : β) in atTop, p x
\u22a2 ∀ᶠ (x : α) in l, ∀ (y : β), f x ≤ y → p y
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder β
l : Filter α
p : β → Prop
f : α → β
hf : Tendsto f l atTop
h_evtl : ∀ᶠ (x : β) in atTop, ∀ (y : β), x ≤ y → p y
\u22a2 ∀ᶠ (x : α) in l, ∀ (y : β), f x ≤ y → p y
-- Mathlib/NumberTheory/ADEInequality.lean
pqr : Multiset ℕ+
H : E' 3 = pqr
\u22a2 1 < sumInv pqr
-- Mathlib/NumberTheory/ADEInequality.lean
pqr : Multiset ℕ+
H : E' 4 = pqr
\u22a2 1 < sumInv pqr
-- Mathlib/NumberTheory/ADEInequality.lean
pqr : Multiset ℕ+
H : E' 5 = pqr
\u22a2 1 < sumInv pqr
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
μ : K
n : ℕ
\u22a2 Submodule.map f (LinearMap.range ((f - (algebraMap K (End K V)) μ) ^ n)) = LinearMap.range (f * (f - (algebraMap K (End K V)) μ) ^ n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
μ : K
n : ℕ
\u22a2 LinearMap.range (f * (f - (algebraMap K (End K V)) μ) ^ n) = LinearMap.range ((f - (algebraMap K (End K V)) μ) ^ n * f)
-- Mathlib/Data/List/InsertNth.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α
x : α
n : ℕ
hn : n ≤ l.length
\u22a2 n < (insertNth n x l).length
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝¹⁷ : Semiring R₁
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹² : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁴ : Module R₁ M₁
inst✝³ : Module R₁ M'₁
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
inst✝ : Module R₁ M₂
f : M₁ →L[R₁] M₂
c : R₁
x : M₁
\u22a2 f (c • x) = c • f x
-- Mathlib/RingTheory/Regular/IsSMulRegular.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : AddCommGroup M''
inst✝¹ : Module R M''
I : Ideal R
N : Submodule R M
r : R
inst✝ : IsNoetherianRing R
\u22a2 {r | ∃ x, x ≠ 0 ∧ r • x = 0} = {r | IsSMulRegular M r}ᶜ
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g✝ : ι → α
inst✝² : CommSemiring α
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : CommSemiring α
s : Finset ι
f g : ι → α
\u22a2 ∏ i ∈ s, (f i + g i) = ∏ i ∈ s, f i + ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g✝ : ι → α
inst✝² : CommSemiring α
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : CommSemiring α
s : Finset ι
f g : ι → α
\u22a2 ∀ (a : ι) (s : Finset ι), (∀ x ∈ s, x < a) → ∏ i ∈ s, (f i + g i) = ∏ i ∈ s, f i + ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j → ∏ i ∈ insert a s, (f i + g i) = ∏ i ∈ insert a s, f i + ∑ i ∈ insert a s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) (insert a s), (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) (insert a s), f j
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a✝ : α
f✝ g✝ : ι → α
inst✝² : CommSemiring α
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : CommSemiring α
f g : ι → α
a : ι
s : Finset ι
ha : ∀ x ∈ s, x < a
ihs : ∏ i ∈ s, (f i + g i) = ∏ i ∈ s, f i + ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j
\u22a2 ∏ i ∈ insert a s, (f i + g i) = ∏ i ∈ insert a s, f i + ∑ i ∈ insert a s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) (insert a s), (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) (insert a s), f j
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a✝ : α
f✝ g✝ : ι → α
inst✝² : CommSemiring α
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : CommSemiring α
f g : ι → α
a : ι
s : Finset ι
ha : ∀ x ∈ s, x < a
ihs : ∏ i ∈ s, (f i + g i) = ∏ i ∈ s, f i + ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j
ha' : a ∉ s
\u22a2 ∏ i ∈ insert a s, (f i + g i) = ∏ i ∈ insert a s, f i + ∑ i ∈ insert a s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) (insert a s), (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) (insert a s), f j
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a✝ : α
f✝ g✝ : ι → α
inst✝² : CommSemiring α
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : CommSemiring α
f g : ι → α
a : ι
s : Finset ι
ha : ∀ x ∈ s, x < a
ihs : ∏ i ∈ s, (f i + g i) = ∏ i ∈ s, f i + ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j
ha' : a ∉ s
\u22a2 f a * ∏ i ∈ s, f i + (f a * ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j + (g a * ∏ i ∈ s, f i + g a * ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j)) = f a * ∏ x ∈ s, f x + ((g a * ∏ i ∈ s, f i + g a * ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j) * ∏ j ∈ filter (fun j => a < j) (insert a s), f j + ∑ x ∈ s, (g x * ∏ j ∈ filter (fun x_1 => x_1 < x) (insert a s), (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => x < j) (insert a s), f j)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a✝ : α
f✝ g✝ : ι → α
inst✝² : CommSemiring α
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : CommSemiring α
f g : ι → α
a : ι
s : Finset ι
ha : ∀ x ∈ s, x < a
ihs : ∏ i ∈ s, (f i + g i) = ∏ i ∈ s, f i + ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j
ha' : a ∉ s
\u22a2 f a * ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j + (g a * ∏ i ∈ s, f i + g a * ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j) = (g a * ∏ i ∈ s, f i + g a * ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j) * ∏ j ∈ filter (fun j => a < j) (insert a s), f j + ∑ x ∈ s, (g x * ∏ j ∈ filter (fun x_1 => x_1 < x) (insert a s), (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => x < j) (insert a s), f j
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a✝ : α
f✝ g✝ : ι → α
inst✝² : CommSemiring α
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : CommSemiring α
f g : ι → α
a : ι
s : Finset ι
ha : ∀ x ∈ s, x < a
ihs : ∏ i ∈ s, (f i + g i) = ∏ i ∈ s, f i + ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j
ha' : a ∉ s
\u22a2 g a * ∏ i ∈ s, f i + g a * ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j + f a * ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j = (g a * ∏ i ∈ s, f i + g a * ∑ i ∈ s, (g i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, f j) * ∏ j ∈ filter (fun j => a < j) (insert a s), f j + ∑ x ∈ s, (g x * ∏ j ∈ filter (fun x_1 => x_1 < x) (insert a s), (f j + g j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => x < j) (insert a s), f j
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
D : ℕ := rankOfDiscrBdd N
B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N
C : ℕ := ⌈max (sqrt (1 + B ^ 2)) 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊
\u22a2 {K | {w | w.IsComplex}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}.Finite
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : NumberField K✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K✝| ≤ ↑N
D : ℕ := rankOfDiscrBdd N
B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N
C : ℕ := ⌈max (sqrt (1 + B ^ 2)) 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsComplex}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₁ : {w | w.IsComplex}.Nonempty
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
\u22a2 ∃ x ∈ ⋃ f, ⋃ (_ : f.natDegree ≤ D ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ Set.Icc (-↑C) ↑C), ↑(Polynomial.map (algebraMap ℤ A) f).roots.toFinset, ↑⟨K, hK₀⟩ = ℚ⟮x⟯
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : NumberField K✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K✝| ≤ ↑N
D : ℕ := rankOfDiscrBdd N
B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N
C : ℕ := ⌈max (sqrt (1 + B ^ 2)) 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsComplex}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₁ : {w | w.IsComplex}.Nonempty
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
\u22a2 ∃ x, (∃ i, ∃ (_ : i.natDegree ≤ D ∧ ∀ (i_1 : ℕ), i.coeff i_1 ∈ Set.Icc (-↑C) ↑C), x ∈ ↑(Polynomial.map (algebraMap ℤ A) i).roots.toFinset) ∧ K = ℚ⟮x⟯
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : NumberField K✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K✝| ≤ ↑N
D : ℕ := rankOfDiscrBdd N
B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N
C : ℕ := ⌈max (sqrt (1 + B ^ 2)) 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsComplex}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
this : NumberField ↥K
w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩
hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsComplex}
\u22a2 minkowskiBound (↥K) 1 < ↑(convexBodyLT'Factor ↥K) * ↑(boundOfDiscBdd N)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : NumberField K✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K✝| ≤ ↑N
D : ℕ := rankOfDiscrBdd N
B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N
C : ℕ := ⌈max (sqrt (1 + B ^ 2)) 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsComplex}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
this✝ : NumberField ↥K
w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩
hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsComplex}
this : 1 ≤ convexBodyLT'Factor ↥K
\u22a2 minkowskiBound (↥K) 1 < ↑(convexBodyLT'Factor ↥K) * ↑(boundOfDiscBdd N)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : NumberField K✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K✝| ≤ ↑N
D : ℕ := rankOfDiscrBdd N
B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N
C : ℕ := ⌈max (sqrt (1 + B ^ 2)) 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsComplex}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
this✝ : NumberField ↥K
w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩
hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsComplex}
this : 1 ≤ convexBodyLT'Factor ↥K
\u22a2 minkowskiBound (↥K) 1 = (fun x => x * minkowskiBound (↥↑⟨K, hK₀⟩) 1) ↑1
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
\u22a2 Measurable fun y => map (fun x => (x, y)) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
\u22a2 ∀ (s : Set (α × β)), MeasurableSet s → Measurable fun b => (map (fun x => (x, b)) μ) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
\u22a2 Measurable fun b => (map (fun x => (x, b)) μ) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
\u22a2 Measurable fun b => μ ((fun x => (x, b)) ⁻¹' s)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ
\u22a2 ‖equivRealProd z‖ ≤ 1 * abs z
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ι → Ω → ℝ
hadp : Adapted ℱ f
hint : ∀ (i : ι), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i j : ι), i ≤ j → ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ
i j : ι
hij : i ≤ j
\u22a2 f i ≤ᶠ[ae μ] μ[f j|↑ℱ i]
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ι → Ω → ℝ
hadp : Adapted ℱ f
hint : ∀ (i : ι), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i j : ι), i ≤ j → ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ
i j : ι
hij : i ≤ j
\u22a2 f i ≤ᶠ[ae (μ.trim ⋯)] μ[f j|↑ℱ i]
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ι → Ω → ℝ
hadp : Adapted ℱ f
hint : ∀ (i : ι), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i j : ι), i ≤ j → ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ
i j : ι
hij : i ≤ j
\u22a2 0 ≤ᶠ[ae (μ.trim ⋯)] μ[f j|↑ℱ i] - f i
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ι → Ω → ℝ
hadp : Adapted ℱ f
hint : ∀ (i : ι), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i j : ι), i ≤ j → ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ
i j : ι
hij : i ≤ j
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
x✝ : (μ.trim ⋯) s < ⊤
\u22a2 0 ≤ ∫ (x : Ω) in s, (μ[f j|↑ℱ i] - f i) x ∂μ.trim ⋯
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ι → Ω → ℝ
hadp : Adapted ℱ f
hint : ∀ (i : ι), Integrable (f i) μ
i j : ι
hij : i ≤ j
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
x✝ : (μ.trim ⋯) s < ⊤
hf : ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ
\u22a2 0 ≤ ∫ (x : Ω) in s, (μ[f j|↑ℱ i] - f i) x ∂μ.trim ⋯
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
x : ↑C
\u22a2 (LocallyConstant.evalMonoidHom x) (eval C l) = if ∀ i ∈ ↑l, ↑x i = true then 1 else 0
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
x : ↑C
\u22a2 (List.map (⇑(LocallyConstant.evalMonoidHom x)) (List.map (e C) ↑l)).prod = if ∀ i ∈ ↑l, ↑x i = true then 1 else 0
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : CommMonoid β
inst✝² : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f✝ f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : MulEquivClass F α β
f : F
hfAB : BijOn (⇑f) A B
s t : Multiset α
x✝³ : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
x✝² : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
x✝¹ : card s = n
x✝ : card t = n
\u22a2 (map (⇑f) s).prod = (map (⇑f) t).prod ↔ s.prod = t.prod
-- Mathlib/Algebra/Ring/Semiconj.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : HasDistribNeg R
a x y : R
h : SemiconjBy a x y
\u22a2 SemiconjBy (-a) x y
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.14465
L : Type ?u.14468
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
a✝ : Nontrivial S
\u22a2 (minpolyDiv R x).Monic
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.14465
L : Type ?u.14468
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
a✝ : Nontrivial S
this : (minpolyDiv R x * (X - C x)).leadingCoeff = (map (algebraMap R S) (minpoly R x)).leadingCoeff
\u22a2 (minpolyDiv R x).Monic
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.14465
L : Type ?u.14468
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
a✝ : Nontrivial S
this : (minpolyDiv R x).leadingCoeff * (X - C x).leadingCoeff = 1
\u22a2 (minpolyDiv R x).Monic
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.14465
L : Type ?u.14468
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
a✝ : Nontrivial S
this : (minpolyDiv R x * (X - C x)).leadingCoeff = (map (algebraMap R S) (minpoly R x)).leadingCoeff
\u22a2 (minpolyDiv R x).leadingCoeff * (X - C x).leadingCoeff ≠ 0