ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝ : MeasurableSpace γ
s : Set δ
t : (i : δ) → Set (π i)
hs : s.Countable
ht : ∀ i ∈ s, MeasurableSet (t i)
\u22a2 MeasurableSet (⋂ a ∈ s, eval a ⁻¹' t a)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Polynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CommSemiring A
z : E
s : Set E
inst✝² : NormedCommRing B
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 B
inst✝ : Algebra A B
σ : Type u_5
f : E → σ → B
hf : ∀ (i : σ), AnalyticAt 𝕜 (fun x => f x i) z
p : MvPolynomial σ A
\u22a2 AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) p) z
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Polynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CommSemiring A
z : E
s : Set E
inst✝² : NormedCommRing B
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 B
inst✝ : Algebra A B
σ : Type u_5
f : E → σ → B
hf : ∀ (i : σ), AnalyticAt 𝕜 (fun x => f x i) z
p : MvPolynomial σ A
k : A
\u22a2 AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) (C k)) z
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Polynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CommSemiring A
z : E
s : Set E
inst✝² : NormedCommRing B
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 B
inst✝ : Algebra A B
σ : Type u_5
f : E → σ → B
hf : ∀ (i : σ), AnalyticAt 𝕜 (fun x => f x i) z
p✝ p q : MvPolynomial σ A
hp : AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) p) z
hq : AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) q) z
\u22a2 AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) (p + q)) z
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Polynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CommSemiring A
z : E
s : Set E
inst✝² : NormedCommRing B
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 B
inst✝ : Algebra A B
σ : Type u_5
f : E → σ → B
hf : ∀ (i : σ), AnalyticAt 𝕜 (fun x => f x i) z
p✝ p : MvPolynomial σ A
i : σ
hp : AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) p) z
\u22a2 AnalyticAt 𝕜 (fun x => (aeval (f x)) (p * X i)) z
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r : ℝ
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
x₁ x₂ y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ p.ball x₁ r₁
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ p.ball x₂ r₂
\u22a2 (fun x x_1 => x + x_1) y₁ y₂ ∈ p.ball (x₁ + x₂) (r₁ + r₂)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r : ℝ
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
x₁ x₂ y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ p.ball x₁ r₁
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ p.ball x₂ r₂
\u22a2 p (y₁ - x₁ + (y₂ - x₂)) < r₁ + r₂
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
p n : ℕ
hp : Prime p
h : p ∣ n
\u22a2 φ (p * n) = p * φ n
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
p n : ℕ
hp : Prime p
h : p ∣ n
h1 : φ (p.gcd n) * φ (p * n) = φ p * φ n * p.gcd n
\u22a2 φ (p * n) = p * φ n
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
p n : ℕ
hp : Prime p
h : p ∣ n
h1 : φ p * φ (p * n) = φ p * (φ n * p)
\u22a2 φ (p * n) = p * φ n
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰 : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f) g
X : Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
r : ↑⋯.choose
\u22a2 Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map ⟨x, r⟩).val.base = ⇑(X.affineCover.map x).val.base '' (PrimeSpectrum.basicOpen r).carrier
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰 : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f) g
X : Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
r : ↑⋯.choose
\u22a2 ⇑(X.affineCover.map ⟨x, r⟩.fst).val.base '' Set.range ⇑(((fun x => affineBasisCoverOfAffine ⋯.choose) ⟨x, r⟩.fst).map ⟨x, r⟩.snd).val.base = ⇑(X.affineCover.map x).val.base '' (PrimeSpectrum.basicOpen r).carrier
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰 : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f) g
X : Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
r : ↑⋯.choose
\u22a2 Set.range ⇑(((fun x => affineBasisCoverOfAffine ⋯.choose) ⟨x, r⟩.fst).map ⟨x, r⟩.snd).val.base = (PrimeSpectrum.basicOpen r).carrier
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝² : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
H : P f
inst✝¹ : IsAffine X
inst✝ : IsAffine Y
\u22a2 Q (Scheme.Hom.app f ⊤)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝² : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
H : P f
inst✝¹ : IsAffine X
inst✝ : IsAffine Y
\u22a2 Q (Scheme.Hom.appLE f ⊤ (f ⁻¹ᵁ ⊤) ⋯)
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
c c' : Chain α
f : α →o β
g : β →o γ
w : α
h : w ∈ c
\u22a2 f w ∈ c.map f
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
x y z : G
H : ∀ (a : G), x * a = y ↔ a = z
\u22a2 (single x r * f) y = r * f z
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
f g h : Perm α
\u22a2 f.Disjoint f ↔ f = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
f g h✝ : Perm α
h : f.Disjoint f
\u22a2 f = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
s : ℝ
\u22a2 (fun x => cexp (-a * ↑x ^ 2)) =o[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
s : ℝ
\u22a2 (fun x => cexp (-a * ↑x ^ 2)) = fun x => cexp (-a * ↑x ^ 2 + 0 * ↑x)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
s : ℝ
\u22a2 (-a).re < 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α
\u22a2 Tendsto (fun δ => (cthickening δ E).mulIndicator f) (𝓝 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α
\u22a2 ∀ (x : α), Tendsto (fun i => (cthickening i E).mulIndicator f x) (𝓝 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f x))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α
x : α
\u22a2 Tendsto (fun i => (cthickening i E).mulIndicator f x) (𝓝 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f x))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α
x : α
\u22a2 Tendsto (fun x_1 => (closure E).mulIndicator f x) (𝓝 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f x))
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : BooleanAlgebra α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
s t : Finset α
\u22a2 (s ⊻ t)ᶜˢ = sᶜˢ ⊼ tᶜˢ
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : BooleanAlgebra α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
s t : Finset α
\u22a2 image compl (s ⊻ t) = image compl s ⊼ image compl t
-- Mathlib/Topology/Algebra/GroupWithZero.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝⁵ : GroupWithZero G₀
inst✝⁴ : TopologicalSpace G₀
inst✝³ : HasContinuousInv₀ G₀
inst✝² : ContinuousMul G₀
f g : α → G₀
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
a : α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
h₀ : ∀ (x : α), g x ≠ 0
\u22a2 Continuous (f / g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : G
\u22a2 ↑↑((condexpInd G hm μ s) c) =ᶠ[ae μ] ↑↑(indicatorConstLp 1 ⋯ hμs c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : G
\u22a2 ↑↑((condexpInd G hm μ s) c) =ᶠ[ae μ] s.indicator fun x => c
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : G
\u22a2 ↑↑(condexpIndSMul hm ⋯ hμs c) =ᶠ[ae μ] s.indicator fun x => c
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : G
\u22a2 (fun a => ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 ⋯ hμs 1)) a • c) =ᶠ[ae μ] s.indicator fun x => c
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : G
\u22a2 (fun a => ↑↑(indicatorConstLp 2 ⋯ hμs 1) a • c) =ᶠ[ae μ] s.indicator fun x => c
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : G
x : α
hx : ↑↑(indicatorConstLp 2 ⋯ hμs 1) x = s.indicator (fun x => 1) x
\u22a2 (fun a => ↑↑(indicatorConstLp 2 ⋯ hμs 1) a • c) x = s.indicator (fun x => c) x
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
x y : ℕ
h : IsPell { re := ↑x, im := ↑y }
\u22a2 ↑(x * x - Pell.d a1 * y * y) = ↑1
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
x y : ℕ
h : IsPell { re := ↑x, im := ↑y }
\u22a2 ↑(x * x) - ↑(Pell.d a1 * y * y) = ↑1
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
x y : ℕ
h : x * x - Pell.d a1 * y * y = 1
\u22a2 ↑(x * x) - ↑(Pell.d a1 * y * y) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
x y : ℕ
h : x * x - Pell.d a1 * y * y = 1
\u22a2 ↑1 = 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝ : DecidableEq α
k : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
\u22a2 s ∈ falling k 𝒜 ↔ (∃ t ∈ 𝒜, s ⊆ t) ∧ s.card = k
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝ : DecidableEq α
k : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
\u22a2 (∃ v ∈ 𝒜, s ⊆ v ∧ s.card = k) ↔ (∃ t ∈ 𝒜, s ⊆ t) ∧ s.card = k
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
\u22a2 ‖f‖ ^ p.toReal = ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
\u22a2 (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal * p.toReal) = ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
\u22a2 0 ≤ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
\u22a2 ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖ ^ p.toReal
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
i : α
\u22a2 0 ≤ ‖↑f i‖ ^ p.toReal
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
f : (i : ι) → β i ≃+ β₁ i
f₂ : (i : ι) → β₁ i ≃+ β₂ i
\u22a2 (addEquiv fun i => (f i).trans (f₂ i)) = (addEquiv f).trans (addEquiv f₂)
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
f : (i : ι) → β i ≃+ β₁ i
f₂ : (i : ι) → β₁ i ≃+ β₂ i
\u22a2 ∀ (i : ι), (fun i x => (f₂ i) x) i 0 = 0
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
f : (i : ι) → β i ≃+ β₁ i
f₂ : (i : ι) → β₁ i ≃+ β₂ i
\u22a2 ∀ (i : ι), (fun i x => (f i) x) i 0 = 0
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
f : (i : ι) → β i ≃+ β₁ i
f₂ : (i : ι) → β₁ i ≃+ β₂ i
\u22a2 ∀ (i : ι), ((fun i x => (f₂ i) x) i ∘ (fun i x => (f i) x) i) 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/ModEq.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
\u22a2 a - b ≡ 0 [PMOD p] ↔ a ≡ b [PMOD p]
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
x y : ↥(RingHom.ker (algebraMap A B))
\u22a2 (fun x => 1 ⊗ₜ[A] (D R A) ↑x) (x + y) = (fun x => 1 ⊗ₜ[A] (D R A) ↑x) x + (fun x => 1 ⊗ₜ[A] (D R A) ↑x) y
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module S M
inst✝⁹ : IsScalarTower R S M
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Algebra S B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsScalarTower R S B
inst✝ : SMulCommClass S A B
r : A
x : ↥(RingHom.ker (algebraMap A B))
\u22a2 { toFun := fun x => 1 ⊗ₜ[A] (D R A) ↑x, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) = (RingHom.id A) r • { toFun := fun x => 1 ⊗ₜ[A] (D R A) ↑x, map_add' := ⋯ }.toFun x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
l : List (Perm α)
hl : ∀ g ∈ l, g.IsSwap
\u22a2 sign l.prod = (-1) ^ l.length
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
l : List (Perm α)
hl : ∀ g ∈ l, g.IsSwap
h₁ : List.map (⇑sign) l = List.replicate l.length (-1)
\u22a2 sign l.prod = (-1) ^ l.length
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Units.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
G : Type u_2
inst✝ : Group G
H : Subgroup Gˣ
x : Gˣ
\u22a2 ↑x ∈ H.ofUnits ↔ x ∈ H
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Defs.lean
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a : R
this : (p : Prop) → Decidable p
h : ¬a = 0
\u22a2 ¬a ≺ 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
hf'_ge : ∀ x ∈ interior D, C ≤ deriv f x
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x ≤ y
\u22a2 C * (y - x) ≤ f y - f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
hf'_ge : ∀ x ∈ interior D, C ≤ deriv f x
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x ≤ y
hxy' : x = y
\u22a2 C * (y - x) ≤ f y - f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
hf'_ge : ∀ x ∈ interior D, C ≤ deriv f x
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x ≤ y
hxy' : x < y
\u22a2 C * (y - x) ≤ f y - f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
hf'_ge : ∀ x ∈ interior D, C ≤ deriv f x
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x ≤ y
hxy' : x < y
hxyD : Icc x y ⊆ D
\u22a2 C * (y - x) ≤ f y - f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
hf'_ge : ∀ x ∈ interior D, C ≤ deriv f x
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x ≤ y
hxy' : x < y
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
\u22a2 C * (y - x) ≤ f y - f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
hf'_ge : ∀ x ∈ interior D, C ≤ deriv f x
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x ≤ y
hxy' : x < y
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
a : ℝ
a_mem : a ∈ Ioo x y
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)
\u22a2 C * (y - x) ≤ f y - f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
hf'_ge : ∀ x ∈ interior D, C ≤ deriv f x
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x ≤ y
hxy' : x < y
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
a : ℝ
a_mem : a ∈ Ioo x y
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)
this : C ≤ (f y - f x) / (y - x)
\u22a2 C * (y - x) ≤ f y - f x
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.29264, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
p q : ℤ
hpq : p + -1 = q
\u22a2 ((inl φ).comp (snd φ) ⋯).v p q hpq = Cochain.v 0 p q hpq
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
m : τ → τ
f₁ f₂ : Filter τ
hf : Tendsto m f₁ f₂
\u22a2 ω f₁ (fun t x => ϕ (m t) x) s ⊆ ω f₂ ϕ s
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
m : τ → τ
f₁ f₂ : Filter τ
hf : Tendsto m f₁ f₂
u : Set τ
hu : u ∈ f₂
\u22a2 closure (image2 (fun t x => ϕ (m t) x) (m ⁻¹' u) s) ⊆ closure (image2 ϕ u s)
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
m : τ → τ
f₁ f₂ : Filter τ
hf : Tendsto m f₁ f₂
u : Set τ
hu : u ∈ f₂
\u22a2 closure (image2 ϕ (m '' (m ⁻¹' u)) s) ⊆ closure (image2 ϕ u s)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
hn : v ≠ w
hna : ¬Gᶜ.Adj v w
\u22a2 Fintype.card ↑(Gᶜ.commonNeighbors v w) = n - (2 * k - ℓ)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
hn : v ≠ w
hna : ¬Gᶜ.Adj v w
\u22a2 ((G.neighborFinset v)ᶜ \ {v} ∩ ((G.neighborFinset w)ᶜ \ {w})).card = n - (2 * k - ℓ)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
hn : v ≠ w
hna : v ≠ w → G.Adj v w
\u22a2 ((G.neighborFinset v)ᶜ \ {v} ∩ ((G.neighborFinset w)ᶜ \ {w})).card = n - (2 * k - ℓ)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
hn : v ≠ w
hna : v ≠ w → G.Adj v w
h2' : G.Adj v w
\u22a2 ((G.neighborFinset v)ᶜ \ {v} ∩ ((G.neighborFinset w)ᶜ \ {w})).card = n - (2 * k - ℓ)