ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hR : 0 < ringChar R
φ : AddChar R ℂ
a : R
\u22a2 (starRingEnd ℂ) (φ a) = φ⁻¹ a
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hR : 0 < ringChar R
φ : AddChar R ℂ
a : R
\u22a2 (starRingEnd ℂ) (φ a) = ((↑(starRingEnd ℂ)).compAddChar φ) a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
h_left : IntegrableOn f (Iic b) μ
h_right : IntegrableOn f (Ioi b) μ
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Iic b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in Ioi b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
h_left : IntegrableOn f (Iic b) μ
h_right : IntegrableOn f (Ioi b) μ
\u22a2 μ = μ.restrict (Iic b ∪ Ioi b)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
pn : p.natDegree ≤ n
p1 : p.coeff n = 1
a✝ : Nontrivial R
\u22a2 p.leadingCoeff = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
pn : p.natDegree ≤ n
p1 : p.coeff n = 1
a✝ : Nontrivial R
\u22a2 p.coeff n ≠ 0
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
hf : Inducing f
\u22a2 (f x ~ᵢ f y) ↔ (x ~ᵢ y)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
\u22a2 x * ∑' (i : ℕ), x ^ i = ∑' (i : ℕ), x ^ (i + 1)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace E
f✝ : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : LocallyCompactSpace 𝕜
inst✝¹ : MeasurableSpace 𝕜
inst✝ : OpensMeasurableSpace 𝕜
h : SecondCountableTopologyEither α F
f : α → 𝕜 → F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
\u22a2 StronglyMeasurable fun p => deriv (f p.1) p.2
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace E
f✝ : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : LocallyCompactSpace 𝕜
inst✝¹ : MeasurableSpace 𝕜
inst✝ : OpensMeasurableSpace 𝕜
h : SecondCountableTopologyEither α F
f : α → 𝕜 → F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
hα : SecondCountableTopology α
\u22a2 StronglyMeasurable fun p => deriv (f p.1) p.2
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace E
f✝ : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : LocallyCompactSpace 𝕜
inst✝¹ : MeasurableSpace 𝕜
inst✝ : OpensMeasurableSpace 𝕜
h : SecondCountableTopologyEither α F
f : α → 𝕜 → F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
hF : SecondCountableTopology F
\u22a2 StronglyMeasurable fun p => deriv (f p.1) p.2
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h : IsHausdorff I N
f : M →ₗ[R] N
g : Hausdorffification I M →ₗ[R] N
hg : g ∘ₗ of I M = f
x✝ : Hausdorffification I M
x : M
\u22a2 g ((of I M) x) = (lift I f) ((of I M) x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
\u22a2 (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv ▷ 𝟙_ C ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom = X ◁ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
p q : ℤ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
f : ℕ → L → R := fun k => k • χ₁ + χ₂
\u22a2 ∀ᶠ (k : ℕ) in Filter.atTop, weightSpace M (k • χ₁ + χ₂) = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
p q : ℤ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
f : ℕ → L → R := fun k => k • χ₁ + χ₂
\u22a2 Injective f
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
p q : ℤ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
f : ℕ → L → R := fun k => k • χ₁ + χ₂
k l : ℕ
hkl : f k = f l
\u22a2 k = l
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
p q : ℤ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
f : ℕ → L → R := fun k => k • χ₁ + χ₂
k l : ℕ
hkl : ↑k • χ₁ = ↑l • χ₁
\u22a2 k = l
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
\u22a2 a⁻¹ ≤ b / c ↔ c ≤ a * b
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/InducedMaps.lean
X₁ X₂ Y : TopCat
f : C(↑X₁, ↑Y)
g : C(↑X₂, ↑Y)
x₀ x₁ : ↑X₁
x₂ x₃ : ↑X₂
p : Path x₀ x₁
q : Path x₂ x₃
hfg : ∀ (t : ↑I), f (p t) = g (q t)
\u22a2 (π.map f).map ⟦p⟧ = hcast ⋯ ≫ (π.map g).map ⟦q⟧ ≫ hcast ⋯
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/InducedMaps.lean
X₁ X₂ Y : TopCat
f : C(↑X₁, ↑Y)
g : C(↑X₂, ↑Y)
x₀ x₁ : ↑X₁
x₂ x₃ : ↑X₂
p : Path x₀ x₁
q : Path x₂ x₃
hfg : ∀ (t : ↑I), f (p t) = g (q t)
\u22a2 HEq ((π.map f).map ⟦p⟧) ((π.map g).map ⟦q⟧)
-- Mathlib/Data/Finset/Grade.lean
α : Type u_1
s✝ t✝ : Finset α
a : α
x✝ : Multiset α
hx✝ : x✝ ∈ Set.range val
s : Finset α
t : Multiset α
ht : t ∈ Set.Icc x✝ s.val
\u22a2 t ∈ Set.range val
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor/Div.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : SMulZeroClass α β
inst✝ : CeilDiv α β
f : ι →₀ β
a : α
\u22a2 (f ⌈/⌉ a).support ⊆ f.support
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
\u22a2 (-a).val = if a = 0 then 0 else n - a.val
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
\u22a2 (n - a.val) % n = if a = 0 then 0 else n - a.val
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
h : ¬a = 0
\u22a2 (n - a.val) % n = if a = 0 then 0 else n - a.val
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
h : ¬a = 0
\u22a2 (n - a.val) % n = n - a.val
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
h : ¬a = 0
\u22a2 n - a.val < n
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
h : ¬a = 0
\u22a2 0 < a.val
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
h : a.val ≤ 0
\u22a2 a = 0
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
f : G → E
s : Set G
hp : WithSeminorms p
\u22a2 Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (f '' s) ↔ ∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) (f x) < r
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
\u22a2 1 * M = M
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
\u22a2 span R {1} * span R ↑M = M
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : LowerSet α
a : α
f : ι → LowerSet α
\u22a2 ↑(⨆ i, f i).compl = ↑(⨆ i, (f i).compl)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/DomCoprod.lean
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
\u22a2 alternatization (a.domCoprod b) = (alternatization a).domCoprod (alternatization b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/DomCoprod.lean
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
\u22a2 ↑(alternatization (a.domCoprod b)) = ↑((alternatization a).domCoprod (alternatization b))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/DomCoprod.lean
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
\u22a2 ∑ xbar ∈ Finset.image Quotient.mk'' Finset.univ, ∑ y ∈ Finset.filter (fun x => ⟦x⟧ = xbar) Finset.univ, Perm.sign y • domDomCongr y (a.domCoprod b) = ∑ σ : Perm.ModSumCongr ιa ιb, domCoprod.summand (alternatization a) (alternatization b) σ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/DomCoprod.lean
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
σ : Quotient (QuotientGroup.leftRel (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range)
\u22a2 ∑ y ∈ Finset.filter (fun x => ⟦x⟧ = σ) Finset.univ, Perm.sign y • domDomCongr y (a.domCoprod b) = domCoprod.summand (alternatization a) (alternatization b) σ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/DomCoprod.lean
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
σ✝ : Quotient (QuotientGroup.leftRel (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range)
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
\u22a2 ∑ y ∈ Finset.filter (fun x => ⟦x⟧ = Quotient.mk'' σ) Finset.univ, Perm.sign y • domDomCongr y (a.domCoprod b) = domCoprod.summand (alternatization a) (alternatization b) (Quotient.mk'' σ)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/DomCoprod.lean
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
σ✝ : Quotient (QuotientGroup.leftRel (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range)
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
\u22a2 ∑ y ∈ Finset.filter (fun x => x⁻¹ * σ ∈ (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range) Finset.univ, Perm.sign y • domDomCongr y (a.domCoprod b) = domCoprod.summand (alternatization a) (alternatization b) (Quotient.mk'' σ)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/DomCoprod.lean
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
σ✝ : Quotient (QuotientGroup.leftRel (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range)
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
\u22a2 ∑ x ∈ Finset.filter ((fun x => x⁻¹ * σ ∈ (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range) ∘ ⇑(Equiv.toEmbedding (Equiv.mulLeft σ))) Finset.univ, Perm.sign ((Equiv.toEmbedding (Equiv.mulLeft σ)) x) • domDomCongr ((Equiv.toEmbedding (Equiv.mulLeft σ)) x) (a.domCoprod b) = domCoprod.summand (alternatization a) (alternatization b) (Quotient.mk'' σ)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/DomCoprod.lean
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
σ✝ : Quotient (QuotientGroup.leftRel (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range)
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
\u22a2 ∑ x : Perm ιa × Perm ιb, Perm.sign (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) x) • domDomCongr (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) x) (a.domCoprod b) = domCoprod.summand (alternatization a) (alternatization b) (Quotient.mk'' σ)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/DomCoprod.lean
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
σ✝ : Quotient (QuotientGroup.leftRel (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range)
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
\u22a2 ∑ x : Perm ιa × Perm ιb, Perm.sign (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) x) • domDomCongr (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) x) (a.domCoprod b) = ∑ x : Perm ιa × Perm ιb, Perm.sign σ • (domDomCongrEquiv σ) (Perm.sign x.1 • Perm.sign x.2 • (domDomCongr x.1 a).domCoprod (domDomCongr x.2 b))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/DomCoprod.lean
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
σ✝ : Quotient (QuotientGroup.leftRel (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range)
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
al : Perm ιa
ar : Perm ιb
\u22a2 Perm.sign (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) (al, ar)) • domDomCongr (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) (al, ar)) (a.domCoprod b) = Perm.sign σ • (domDomCongrEquiv σ) (Perm.sign al • Perm.sign ar • (domDomCongr al a).domCoprod (domDomCongr ar b))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/DomCoprod.lean
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
σ✝ : Quotient (QuotientGroup.leftRel (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range)
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
al : Perm ιa
ar : Perm ιb
\u22a2 Perm.sign (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) (al, ar)) • domDomCongr (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) (al, ar)) (a.domCoprod b) = Perm.sign σ • Perm.sign al • Perm.sign ar • domDomCongr σ ((domDomCongr al a).domCoprod (domDomCongr ar b))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
\u22a2 dist x y = dist y x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.102700, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
\u22a2 (-φ₁).τ₁ = S₁.f ≫ (-h.h₁) + -h.h₀ + (-φ₂).τ₁
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.102700, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
\u22a2 -φ₂.τ₁ + -(S₁.f ≫ h.h₁ + h.h₀) = -S₁.f ≫ h.h₁ + -h.h₀ + -φ₂.τ₁
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.102700, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
\u22a2 (-φ₁).τ₂ = S₁.g ≫ (-h.h₂) + (-h.h₁) ≫ S₂.f + (-φ₂).τ₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.102700, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
\u22a2 -φ₂.τ₂ + -(S₁.g ≫ h.h₂ + h.h₁ ≫ S₂.f) = -S₁.g ≫ h.h₂ + -h.h₁ ≫ S₂.f + -φ₂.τ₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.102700, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
\u22a2 (-φ₁).τ₃ = -h.h₃ + (-h.h₂) ≫ S₂.g + (-φ₂).τ₃
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.102700, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
\u22a2 -(h.h₃ + h.h₂ ≫ S₂.g + φ₂.τ₃) = -h.h₃ + -h.h₂ ≫ S₂.g + -φ₂.τ₃
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
\u22a2 M ∈ Set.range ⇑(scalar n) ↔ ∀ (i j : n), Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
x✝ : M ∈ Set.range ⇑(scalar n)
i j : n
r : α
hr : (scalar n) r = M
\u22a2 Commute ((scalar n) r) (stdBasisMatrix i j 1)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
x✝ : M ∈ Set.range ⇑(scalar n)
i j : n
r : α
hr : (scalar n) r = M
\u22a2 r • stdBasisMatrix i j 1 = MulOpposite.op r • stdBasisMatrix i j 1
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
n : Int
\u22a2 mkRat n 0 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
x : K
\u22a2 (mixedEmbedding K) x ∈ convexBodyLT K f ↔ ∀ (w : InfinitePlace K), w x < ↑(f w)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
\u22a2 IsClosed ((dualPairing 𝕜 E).flip.polar s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
\u22a2 IsClosed (⋂ x ∈ s, {y | ‖((dualPairing 𝕜 E) y) x‖ ≤ 1})
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
z : E
x✝ : z ∈ s
\u22a2 IsClosed {y | ‖((dualPairing 𝕜 E) y) z‖ ≤ 1}
-- Mathlib/Logic/IsEmpty.lean
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
α : Type u_4
\u22a2 IsEmpty (ULift.{u_5, u_4} α) ↔ IsEmpty α
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
\u22a2 fract a = 0 ∨ fract a = a + 1 - ↑⌈a⌉
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
ha : fract a = 0
\u22a2 fract a = 0 ∨ fract a = a + 1 - ↑⌈a⌉
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
ha : fract a ≠ 0
\u22a2 fract a = 0 ∨ fract a = a + 1 - ↑⌈a⌉
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
ha : fract a ≠ 0
\u22a2 fract a = a + 1 - ↑⌈a⌉
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
ha : fract a ≠ 0
\u22a2 ↑⌈a⌉ = ↑⌊a⌋ + 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
ha : fract a ≠ 0
\u22a2 ⌈a⌉ = ⌊a⌋ + 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
ha : fract a ≠ 0
\u22a2 ↑(⌊a⌋ + 1) - 1 < a ∧ a ≤ ↑(⌊a⌋ + 1)
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
ha : fract a ≠ 0
\u22a2 ↑(⌊a⌋ + 1) - 1 < a
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
ha : fract a ≠ 0
\u22a2 0 < fract a
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
α₁ : Type u
α₂ : Type v
β₁ : Type w
β₂ : Type x
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
m₁ : α₁ → β₁
m₂ : α₂ → β₂
s : Set (β₁ × β₂)
hs : (fun p => (m₁ p.1, m₂ p.2)) ⁻¹' s ∈ f₁ ×ˢ f₂
s₁ : Set α₁
hs₁ : s₁ ∈ f₁
s₂ : Set α₂
hs₂ : s₂ ∈ f₂
h : s₁ ×ˢ s₂ ⊆ (fun p => (m₁ p.1, m₂ p.2)) ⁻¹' s
\u22a2 (m₁ '' s₁) ×ˢ (m₂ '' s₂) ⊆ s