ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
F : Type u_5
inst✝ : NormedDivisionRing F
f g : α → F
hint : Integrable g μ
hm : AEStronglyMeasurable f μ
hfbdd : ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C
\u22a2 Integrable (fun x => f x * g x) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
F : Type u_5
inst✝ : NormedDivisionRing F
f g : α → F
hint : Integrable g μ
hm : AEStronglyMeasurable f μ
hfbdd : ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C
hα : IsEmpty α
\u22a2 Integrable (fun x => f x * g x) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
F : Type u_5
inst✝ : NormedDivisionRing F
f g : α → F
hint : Integrable g μ
hm : AEStronglyMeasurable f μ
hfbdd : ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C
hα : Nonempty α
\u22a2 Integrable (fun x => f x * g x) μ
-- Mathlib/Data/Set/Accumulate.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : α → Set β
t : α → Set γ
inst✝ : LE α
x : α
z : β
\u22a2 z ∈ Accumulate s x ↔ ∃ y ≤ x, z ∈ s y
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f g : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
p : (j : J) → f j ⟶ g j
j : J
\u22a2 ι f j ≫ map p = p j ≫ ι g j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f g : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
p : (j : J) → f j ⟶ g j
j : J
\u22a2 ι f j ≫ map' p = p j ≫ ι g j
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
x y : E
h : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1
\u22a2 x + t • (y - x) ∈ interior s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
x y : E
h : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1
\u22a2 x + t • (y - x) ∈ openSegment 𝕜 x y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
x y : E
h : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1
\u22a2 x + t • (y - x) ∈ (fun θ => x + θ • (y - x)) '' Ioo 0 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
x✝ y✝ z : M
inst✝ : Subsingleton M
x y : M
\u22a2 SameRay R x y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
x✝ y✝ z : M
inst✝ : Subsingleton M
x y : M
\u22a2 SameRay R 0 y
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x y : ZFSet
\u22a2 y ∈ ⋂₀ {x} ↔ y ∈ x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝⁶ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m m' : (i : ι) → M₁ i
\u22a2 f (m + m') = ∑ s : Finset ι, f (s.piecewise m m')
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
hI : I ≠ 0
\u22a2 ‖I‖ = 1
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
\u22a2 recF g ((P F).wMk a f' f) = g (abs ⟨a, splitFun f' (recF g ∘ f)⟩)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
\u22a2 g (abs ⟨a, splitFun f' fun i => (P F).wRec (fun a f' _f rec => g (abs ⟨a, splitFun f' rec⟩)) (f i)⟩) = g (abs ⟨a, splitFun f' (((P F).wRec fun a f' _f rec => g (abs ⟨a, splitFun f' rec⟩)) ∘ f)⟩)
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject.lean
I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
C : Type u_4
inst✝¹ : Category.{u_5, u_4} C
X Y Z : GradedObject I C
φ : X ⟶ Y
e✝ : X ≅ Y
ψ : Y ⟶ Z
p✝ : I → J
j✝ : J
e : X ≅ Y
p : I → J
inst✝ : X.HasMap p
j : J
α : Discrete.functor (X.mapObjFun p j) ≅ Discrete.functor (Y.mapObjFun p j)
\u22a2 HasCoproduct (Y.mapObjFun p j)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
a b : Int
\u22a2 ↑(a + b) = ↑a + ↑b
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
a b : Int
\u22a2 ↑(a + b) = normalize ((↑a).num * ↑(↑b).den + (↑b).num * ↑(↑a).den) ((↑a).den * (↑b).den) ⋯
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g
\u22a2 s ∈ fixedBy (Set α) g
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g
\u22a2 s ∈ fixedBy (Set α) g⁻¹
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g
x : α
\u22a2 x ∈ g⁻¹ • s ↔ x ∈ s
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g
x : α
\u22a2 g • x ∈ s ↔ x ∈ s
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g
x : α
gxs : g • x ∈ s
\u22a2 x ∈ s
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g⁻¹
x : α
gxs : g • x ∈ s
\u22a2 x ∈ s
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
h : ¬gcd x y = 0
\u22a2 gcd x y * (x * y / gcd x y) = x * y
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
h : ¬gcd x y = 0
r : R
hr : x = gcd x y * r
s : R
hs : y = gcd x y * s
\u22a2 gcd x y * (x * y / gcd x y) = x * y
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
y r s g : R
h : ¬g = 0
hs : y = gcd (g * r) y * s
\u22a2 g * (g * r * y / g) = g * r * y
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
inst✝ : T1Space X
hs : s.Countable
\u22a2 IsGδ sᶜ
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
inst✝ : T1Space X
hs : s.Countable
\u22a2 IsGδ (⋂ i ∈ s, {i}ᶜ)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
\u22a2 o.oangle x (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan r)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
\u22a2 o.oangle x (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan r)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
\u22a2 o.oangle x (x + 0 • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan 0)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : 0 < r
\u22a2 o.oangle x (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan r)
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
C : WSeq α → WSeq β → Prop
\u22a2 Function.swap (LiftRelO R C) = LiftRelO (Function.swap R) (Function.swap C)
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
C : WSeq α → WSeq β → Prop
x : Option (β × WSeq β)
y : Option (α × WSeq α)
\u22a2 Function.swap (LiftRelO R C) x y = LiftRelO (Function.swap R) (Function.swap C) x y
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hB : M.Base B
\u22a2 ∃ B', M.Base B' ∧ I ⊆ B' ∧ B' ⊆ I ∪ B
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hB : M.Base B
B' : Set α
hB' : M.Basis B' (I ∪ B)
hIB' : I ⊆ B'
\u22a2 ∃ B', M.Base B' ∧ I ⊆ B' ∧ B' ⊆ I ∪ B
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x✝ y✝ : α
r : ℝ≥0∞
h : LipschitzWith K f
x y : α
\u22a2 (↑K)⁻¹ * edist (f x) (f y) ≤ edist x y
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x✝ y✝ : α
r : ℝ≥0∞
h : LipschitzWith K f
x y : α
\u22a2 edist (f x) (f y) / ↑K ≤ edist x y
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
k : Type u_2
inst✝ : Field k
φ : K →+* ℂ
hφ : IsReal φ
x : K
\u22a2 ↑(hφ.embedding x) = φ x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
k : Type u_2
inst✝ : Field k
φ : K →+* ℂ
hφ : IsReal φ
x : K
\u22a2 (↑(hφ.embedding x)).re = (φ x).re
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
k : Type u_2
inst✝ : Field k
φ : K →+* ℂ
hφ : IsReal φ
x : K
\u22a2 (↑(hφ.embedding x)).im = (φ x).im
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Within.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
x : E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFPowerSeriesWithinAt f p s x
\u22a2 ContinuousWithinAt f s x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasRightHomology
inst✝ : S₂.HasRightHomology
\u22a2 (rightHomologyMap' φ S₁.rightHomologyData S₂.rightHomologyData).op = leftHomologyMap' (𝟙 S₂.op) S₂.rightHomologyData.op S₂.op.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (opMap φ) S₂.op.leftHomologyData S₁.op.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₁.op) S₁.op.leftHomologyData S₁.rightHomologyData.op
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝² : CommRing R
M✝ N✝ : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Fintype m
M N : Matrix m m R
hM : M.BlockTriangular b
hN : N.BlockTriangular b
i j : m
hij : b j < b i
\u22a2 (M * N) i j = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝² : CommRing R
M✝ N✝ : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Fintype m
M N : Matrix m m R
hM : M.BlockTriangular b
hN : N.BlockTriangular b
i j : m
hij : b j < b i
\u22a2 ∀ x ∈ univ, (fun j => M i j) x * (fun j_1 => N j_1 j) x = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Yoneda.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
F : C ⥤ Type v₁
f : coyoneda.obj (op X) ⟶ F
g : X ⟶ Y
\u22a2 (f.app X ≫ F.map g) (𝟙 X) = f.app Y (g ≫ 𝟙 Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Yoneda.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
F : C ⥤ Type v₁
f : coyoneda.obj (op X) ⟶ F
g : X ⟶ Y
\u22a2 ((coyoneda.obj (op X)).map g ≫ f.app Y) (𝟙 X) = f.app Y (g ≫ 𝟙 Y)
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 1
\u22a2 schnirelmannDensity {n | n % m = 1} = (↑m)⁻¹
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
hm : 0 ≠ 1
\u22a2 schnirelmannDensity {n | n % 0 = 1} = (↑0)⁻¹
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
\u22a2 schnirelmannDensity {n | n % m = 1} = (↑m)⁻¹
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
\u22a2 ↑(filter (fun x => x ∈ {n | n % m = 1}) (Ioc 0 m)).card / ↑m ≤ (↑m)⁻¹
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
\u22a2 (↑m)⁻¹ ≤ schnirelmannDensity {n | n % m = 1}
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
\u22a2 ∀ (n : ℕ), 0 < n → (↑m)⁻¹ ≤ ↑(filter (fun x => x ∈ {n | n % m = 1}) (Ioc 0 n)).card / ↑n
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
n : ℕ
hn : 0 < n
\u22a2 (↑m)⁻¹ ≤ ↑(filter (fun x => x ∈ {n | n % m = 1}) (Ioc 0 n)).card / ↑n
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
n : ℕ
hn : 0 < n
\u22a2 (↑m)⁻¹ ≤ ↑(filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)).card / ↑n
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
n : ℕ
hn : 0 < n
this : image (fun x => x * m + 1) (Icc 0 ((n - 1) / m)) ⊆ filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)
\u22a2 (↑m)⁻¹ ≤ ↑(filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)).card / ↑n
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
n : ℕ
hn : 0 < n
this : image (fun x => x * m + 1) (Icc 0 ((n - 1) / m)) ⊆ filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)
\u22a2 ↑n / ↑m ≤ ↑(filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)).card
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
n : ℕ
hn : 0 < n
this : image (fun x => x * m + 1) (Icc 0 ((n - 1) / m)) ⊆ filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)
\u22a2 ↑n / ↑m ≤ ↑(image (fun x => x * m + 1) (Icc 0 ((n - 1) / m))).card
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
n : ℕ
hn : 0 < n
this : image (fun x => x * m + 1) (Icc 0 ((n - 1) / m)) ⊆ filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)
\u22a2 n ≤ (n - 1) / m * m + m
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
n : ℕ
hn : 0 < n
this : image (fun x => x * m + 1) (Icc 0 ((n - 1) / m)) ⊆ filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)
\u22a2 Function.Injective fun x => x * m + 1
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
n : ℕ
hn : 0 < n
this : image (fun x => x * m + 1) (Icc 0 ((n - 1) / m)) ⊆ filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)
a b : ℕ
\u22a2 (fun x => x * m + 1) a = (fun x => x * m + 1) b → a = b
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Prod.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
F₁ F₂ : W₁.Localization × W₂.Localization ⥤ E
h : W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₁ = W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₂
\u22a2 F₁ = F₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Prod.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
F₁ F₂ : W₁.Localization × W₂.Localization ⥤ E
h : W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₁ = W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₂
\u22a2 curry.obj F₁ = curry.obj F₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Prod.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
F₁ F₂ : W₁.Localization × W₂.Localization ⥤ E
h : W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₁ = W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₂
\u22a2 W₁.Q ⋙ curry.obj F₁ = W₁.Q ⋙ curry.obj F₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Prod.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
F₁ F₂ : W₁.Localization × W₂.Localization ⥤ E
h : W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₁ = W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₂
\u22a2 (W₁.Q ⋙ curry.obj F₁).flip = (W₁.Q ⋙ curry.obj F₂).flip
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Prod.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
F₁ F₂ : W₁.Localization × W₂.Localization ⥤ E
h : W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₁ = W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₂
\u22a2 W₂.Q ⋙ (W₁.Q ⋙ curry.obj F₁).flip = W₂.Q ⋙ (W₁.Q ⋙ curry.obj F₂).flip
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Prod.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
F₁ F₂ : W₁.Localization × W₂.Localization ⥤ E
h : W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₁ = W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₂
\u22a2 (W₂.Q ⋙ (W₁.Q ⋙ curry.obj F₁).flip).flip = (W₂.Q ⋙ (W₁.Q ⋙ curry.obj F₂).flip).flip
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Prod.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
F₁ F₂ : W₁.Localization × W₂.Localization ⥤ E
h : W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₁ = W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₂
\u22a2 uncurry.obj (W₂.Q ⋙ (W₁.Q ⋙ curry.obj F₁).flip).flip = uncurry.obj (W₂.Q ⋙ (W₁.Q ⋙ curry.obj F₂).flip).flip
-- Mathlib/Topology/Sequences.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
t₁ t₂ : TopologicalSpace X
h₁ : SequentialSpace X
h₂ : SequentialSpace X
\u22a2 SequentialSpace X
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
H : LocalizationPreserves P
r : R
inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'
inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'
hf : P f
\u22a2 P (IsLocalization.Away.map R' S' f r)
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
H : LocalizationPreserves P
r : R
inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'
inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'
hf : P f
this : IsLocalization (Submonoid.map f (Submonoid.powers r)) S'
\u22a2 P (IsLocalization.Away.map R' S' f r)
-- Mathlib/Data/List/Prime.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : Unique Mˣ
a : M
l₁ : List M
b : M
l₂ : List M
h : (a :: l₁).prod = (b :: l₂).prod
hl₁ : ∀ p ∈ a :: l₁, Prime p
hl₂ : ∀ p ∈ b :: l₂, Prime p
\u22a2 a :: l₁ ~ b :: l₂
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
a b : α
\u22a2 BddBelow s ∧ BddAbove s ↔ ∃ a b, s ⊆ Icc a b
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
p : ℕ
pp : Fact (Nat.Prime p)
a r : ℤ
hr : IsInt (jacobiSym a p) r
\u22a2 IsInt (legendreSym p a) r
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Uniform.lean
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
f : E → F
K : ℝ≥0
h : AntilipschitzWith K f
hf : f 1 = 1
x : E
\u22a2 ‖x‖ ≤ ↑K * ‖f x‖
-- Mathlib/Control/Functor/Multivariate.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u_1
inst✝¹ : MvFunctor F
inst✝ : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
pp : β → Prop
rr : β → β → Prop
x y : F (α ::: β)
\u22a2 (∃ u, (fun i t => (↑t).1) <$$> u = x ∧ (fun i t => (↑t).2) <$$> u = y) ↔ ∃ u, (fun i t => (↑t).1) <$$> u = x ∧ (fun i t => (↑t).2) <$$> u = y
-- Mathlib/Control/Functor/Multivariate.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u_1
inst✝¹ : MvFunctor F
inst✝ : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
pp : β → Prop
rr : β → β → Prop
x y : F (α ::: β)
\u22a2 MvFunctor.f' rr n α ⊚ MvFunctor.g' rr n α = TypeVec.id
-- Mathlib/Control/Functor/Multivariate.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u_1
inst✝¹ : MvFunctor F
inst✝ : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
pp : β → Prop
rr : β → β → Prop
x y : F (α ::: β)
\u22a2 ∀ (u : F fun i => { p_1 // ofRepeat (α.RelLast' rr i (prod.mk i p_1.1 p_1.2)) }), (fun i t => (↑t).1) <$$> u = x ∧ (fun i t => (↑t).2) <$$> u = y ↔ (fun i t => (↑t).1) <$$> MvFunctor.f' rr n α <$$> u = x ∧ (fun i t => (↑t).2) <$$> MvFunctor.f' rr n α <$$> u = y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
A B : Matrix m m R
hA : A.PosDef
hB : B.PosSemidef
x : m → R
hx : x ≠ 0
\u22a2 0 < star x ⬝ᵥ (A + B) *ᵥ x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
A B : Matrix m m R
hA : A.PosDef
hB : B.PosSemidef
x : m → R
hx : x ≠ 0
\u22a2 0 < star x ⬝ᵥ A *ᵥ x + star x ⬝ᵥ B *ᵥ x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ↑(μ.withDensityᵥ f) s = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ