ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : t.ncard ≤ s.ncard
ht : autoParam t.Finite _auto✝
b : β
hb : b ∈ t
f' : ↑s → ↑t := fun x => ⟨f ↑x ⋯, ⋯⟩
finj : Function.Injective f'
hft : Fintype ↑t
hft' : Fintype ↑s
f'' : (a : α) → a ∈ s.toFinset → β := fun a h => f a ⋯
x✝ : α
\u22a2 x✝ ∈ s ↔ x✝ ∈ s.toFinset
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : t.ncard ≤ s.ncard
ht : autoParam t.Finite _auto✝
b : β
hb : b ∈ t
f' : ↑s → ↑t := fun x => ⟨f ↑x ⋯, ⋯⟩
finj : Function.Injective f'
hft : Fintype ↑t
hft' : Fintype ↑s
f'' : (a : α) → a ∈ s.toFinset → β := fun a h => f a ⋯
\u22a2 ∀ (a : α) (ha : a ∈ s.toFinset), f'' a ha ∈ t.toFinset
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : t.ncard ≤ s.ncard
ht : autoParam t.Finite _auto✝
b : β
hb : b ∈ t
f' : ↑s → ↑t := fun x => ⟨f ↑x ⋯, ⋯⟩
finj : Function.Injective f'
hft : Fintype ↑t
hft' : Fintype ↑s
f'' : (a : α) → a ∈ s.toFinset → β := fun a h => f a ⋯
\u22a2 ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s.toFinset) (ha₂ : a₂ ∈ s.toFinset), f'' a₁ ha₁ = f'' a₂ ha₂ → a₁ = a₂
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : t.ncard ≤ s.ncard
ht : autoParam t.Finite _auto✝
b : β
hb : b ∈ t
f' : ↑s → ↑t := fun x => ⟨f ↑x ⋯, ⋯⟩
finj : Function.Injective f'
hft : Fintype ↑t
hft' : Fintype ↑s
f'' : (a : α) → a ∈ s.toFinset → β := fun a h => f a ⋯
\u22a2 t.toFinset.card ≤ s.toFinset.card
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
c : Cardinal.{u_3}
n : ℕ
\u22a2 toPartENat c ≤ ↑n ↔ c ≤ ↑n
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : β → α
i₀ : β
\u22a2 ⨆ i, f i = f i₀ ⊔ ⨆ i, ⨆ (_ : i ≠ i₀), f i
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : β → α
i₀ : β
\u22a2 f i₀ = ⨆ i, ⨆ (_ : i = i₀), f i
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g : α → F α
x : α
\u22a2 (corecF g x).dest = (P F).map (corecF g) (repr (g x))
-- Mathlib/FieldTheory/IntermediateField.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Field L'
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra K L'
S F E : IntermediateField K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
h_le : F ≤ E
h_finrank : finrank (↥F) L ≤ finrank (↥E) L
\u22a2 F = E
-- Mathlib/FieldTheory/IntermediateField.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Field L'
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra K L'
S F E : IntermediateField K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
h_le : F ≤ E
h_finrank : finrank (↥F) L ≤ finrank (↥E) L
\u22a2 finrank K ↥E ≤ finrank K ↥F
-- Mathlib/FieldTheory/IntermediateField.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Field L'
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra K L'
S F E : IntermediateField K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
h_le : F ≤ E
h_finrank : finrank (↥F) L ≤ finrank (↥E) L
h1 : finrank K ↥F * finrank (↥F) L = finrank K L
\u22a2 finrank K ↥E ≤ finrank K ↥F
-- Mathlib/FieldTheory/IntermediateField.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Field L'
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra K L'
S F E : IntermediateField K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
h_le : F ≤ E
h_finrank : finrank (↥F) L ≤ finrank (↥E) L
h1 : finrank K ↥F * finrank (↥F) L = finrank K L
h2 : finrank K ↥E * finrank (↥E) L = finrank K L
\u22a2 finrank K ↥E ≤ finrank K ↥F
-- Mathlib/FieldTheory/IntermediateField.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Field L'
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra K L'
S F E : IntermediateField K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
h_le : F ≤ E
h_finrank : finrank (↥F) L ≤ finrank (↥E) L
h1 : finrank K ↥F * finrank (↥F) L = finrank K L
h2 : finrank K ↥E * finrank (↥E) L = finrank K L
h3 : 0 < finrank (↥E) L
\u22a2 finrank K ↥E ≤ finrank K ↥F
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Ring/Multiset.lean
R : Type u_1
inst✝ : OrderedCommSemiring R
s : Multiset R
\u22a2 (∀ a ∈ s, 0 ≤ a) → 0 ≤ s.prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Ring/Multiset.lean
R : Type u_1
inst✝ : OrderedCommSemiring R
s : Multiset R
\u22a2 (∀ a ∈ 0, 0 ≤ a) → 0 ≤ prod 0
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Ring/Multiset.lean
R : Type u_1
inst✝ : OrderedCommSemiring R
s✝ : Multiset R
a : R
s : Multiset R
hs : (∀ a ∈ s, 0 ≤ a) → 0 ≤ s.prod
ih : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, 0 ≤ a_1
\u22a2 0 ≤ (a ::ₘ s).prod
-- Mathlib/FieldTheory/NormalClosure.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
splits : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
\u22a2 IsNormalClosure F K L ↔ (∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)) ∧ normalClosure F K L = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
L : E →L[𝕜] F
K : ℝ≥0
hL : AntilipschitzWith K ⇑L
φ : X → E
h : ¬Integrable φ μ
\u22a2 ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
L : E →L[𝕜] F
K : ℝ≥0
hL : AntilipschitzWith K ⇑L
φ : X → E
h : ¬Integrable φ μ
this : ¬Integrable (fun x => L (φ x)) μ
\u22a2 ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ζ : C
hζ : ζ ^ n = 1
a : ℕ
\u22a2 (zmodChar n hζ) ↑a = ζ ^ a
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Sum.lean
R : Type u_1
n k : ℕ
\u22a2 ∑ m ∈ Icc k n, m.choose k = (n + 1).choose (k + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Sum.lean
R : Type u_1
n k : ℕ
h : k ≤ n
\u22a2 ∑ m ∈ Icc k n, m.choose k = (n + 1).choose (k + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Sum.lean
R : Type u_1
n k : ℕ
h : k > n
\u22a2 ∑ m ∈ Icc k n, m.choose k = (n + 1).choose (k + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
hsum : Summable ⇑f
s : Finset ℕ
\u22a2 ∏ p ∈ filter Nat.Prime s, (1 - f p)⁻¹ = ∑' (m : ↑(factoredNumbers s)), f ↑m
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
hsum : Summable ⇑f
s : Finset ℕ
\u22a2 ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ‖f p‖ < 1
-- Mathlib/Order/Interval/Set/ProjIcc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x : α
f : ↑(Iic b) → β
\u22a2 range (IicExtend f) = range f
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ b c d : α
n : ℤ
a : α
\u22a2 a - a / 2 = a / 2
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ b c d : α
n : ℤ
a : α
\u22a2 a / 2 + a / 2 - a / 2 = a / 2
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
p q : R[X]
hq : q.Monic
x : S
hx : (aeval x) q = 0
\u22a2 (aeval x) (p %ₘ q) = (aeval x) p
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hs' : μ s = 0
\u22a2 ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hs' : μ s = 0
\u22a2 μ.restrict s = 0
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r : R s₁ s₂
\u22a2 s₁ = s₂
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r : R s₁ s₂
\u22a2 ↑s₁ = ↑s₂
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r : R s₁ s₂
\u22a2 Stream'.IsBisimulation fun x y => ∃ s s', ↑s = x ∧ ↑s' = y ∧ R s s'
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r : R s₁ s₂
\u22a2 ∃ s s', ↑s = ↑s₁ ∧ ↑s' = ↑s₂ ∧ R s s'
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
h : padicNorm p q = 0
\u22a2 q = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
h : padicNorm p q = 0
\u22a2 ¬q = 0 → False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
h : (if q = 0 then 0 else ↑p ^ (-padicValRat p q)) = 0
hq : ¬q = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
h : ↑p ^ (-padicValRat p q) = 0
hq : ¬q = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
h : ↑p ^ (-padicValRat p q) = 0
hq : ¬q = 0
\u22a2 ¬↑p ^ (-padicValRat p q) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
h : ↑p ^ (-padicValRat p q) = 0
hq : ¬q = 0
\u22a2 ↑p ≠ 0
-- Mathlib/Data/Matroid/IndepAxioms.lean
α : Type u_1
I✝ B X✝ : Set α
P : Set α → Prop
X : Set α
n : ℕ
hP : ∀ (Y : Set α), P Y → Y.encard ≤ ↑n
I : Set α
hI : P I
hIX : I ⊆ X
\u22a2 (maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Nonempty
-- Mathlib/Data/Matroid/IndepAxioms.lean
α : Type u_1
I✝ B X✝ : Set α
P : Set α → Prop
X : Set α
n : ℕ
hP : ∀ (Y : Set α), P Y → Y.encard ≤ ↑n
I : Set α
hI : P I
hIX : I ⊆ X
hfin : (ncard '' {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Finite
\u22a2 (maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Nonempty
-- Mathlib/Data/Matroid/IndepAxioms.lean
α : Type u_1
I✝ B X✝ : Set α
P : Set α → Prop
X : Set α
n : ℕ
hP : ∀ (Y : Set α), P Y → Y.encard ≤ ↑n
I : Set α
hI : P I
hIX : I ⊆ X
hfin : (ncard '' {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Finite
Y : Set α
hY : Y ∈ {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}
hY' : ∀ a' ∈ {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}, Y.ncard ≤ a'.ncard → Y.ncard = a'.ncard
\u22a2 (maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Nonempty
-- Mathlib/Data/Matroid/IndepAxioms.lean
α : Type u_1
I✝ B X✝ : Set α
P : Set α → Prop
X : Set α
n : ℕ
hP : ∀ (Y : Set α), P Y → Y.encard ≤ ↑n
I : Set α
hI : P I
hIX : I ⊆ X
hfin : (ncard '' {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Finite
Y : Set α
hY : Y ∈ {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}
hY' : ∀ a' ∈ {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}, Y.ncard ≤ a'.ncard → Y.ncard = a'.ncard
J : Set α
x✝ : J ∈ {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}
hYJ : Y ⊆ J
hJ : P J
hIJ : I ⊆ J
hJX : J ⊆ X
\u22a2 J ⊆ Y
-- Mathlib/Data/Matroid/IndepAxioms.lean
α : Type u_1
I✝ B X✝ : Set α
P : Set α → Prop
X : Set α
n : ℕ
hP : ∀ (Y : Set α), P Y → Y.encard ≤ ↑n
I : Set α
hI : P I
hIX : I ⊆ X
hfin : (ncard '' {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Finite
Y : Set α
hY : Y ∈ {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}
hY' : ∀ a' ∈ {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}, Y.ncard ≤ a'.ncard → Y.ncard = a'.ncard
J : Set α
x✝ : J ∈ {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}
hYJ : Y ⊆ J
hJ : P J
hIJ : I ⊆ J
hJX : J ⊆ X
hJfin : J.Finite
\u22a2 J ⊆ Y
-- Mathlib/Data/Matroid/IndepAxioms.lean
α : Type u_1
I✝ B X✝ : Set α
P : Set α → Prop
X : Set α
n : ℕ
hP : ∀ (Y : Set α), P Y → Y.encard ≤ ↑n
I : Set α
hI : P I
hIX : I ⊆ X
hfin : (ncard '' {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Finite
Y : Set α
hY : Y ∈ {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}
hY' : ∀ a' ∈ {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}, Y.ncard ≤ a'.ncard → Y.ncard = a'.ncard
J : Set α
x✝ : J ∈ {Y | P Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}
hYJ : Y ⊆ J
hJ : P J
hIJ : I ⊆ J
hJX : J ⊆ X
hJfin : J.Finite
\u22a2 J.ncard ≤ Y.ncard
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : CompleteSpace G
inst✝¹ : CompleteSpace F
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace ↥U
\u22a2 orthogonalProjection U = adjoint U.subtypeL
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : CompleteSpace G
inst✝¹ : CompleteSpace F
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace ↥U
\u22a2 ∀ (x : E) (y : ↥U), ⟪(orthogonalProjection U) x, y⟫_𝕜 = ⟪x, U.subtypeL y⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : CompleteSpace G
inst✝¹ : CompleteSpace F
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace ↥U
x : E
u : ↥U
\u22a2 ⟪(orthogonalProjection U) x, u⟫_𝕜 = ⟪x, U.subtypeL u⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : CompleteSpace G
inst✝¹ : CompleteSpace F
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace ↥U
x : E
u : ↥U
\u22a2 ⟪x, ↑u⟫_𝕜 = ⟪x, U.subtypeL u⟫_𝕜
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
\u22a2 b < 1 * a ↔ b < a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hp : p.Monic
r : R
\u22a2 (p.comp (X + C r)).Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hp : p.Monic
r : R
ha : (X + C r).natDegree = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hp : p.Monic
r : R
ha : 1 = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Ring/BooleanRing.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : BooleanRing α
inst✝¹ : BooleanRing β
inst✝ : BooleanRing γ
a b : α
\u22a2 a + b + (a * b + a * b * (a * b)) + (a * (b * b) + a * a * b) = a + b
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
\u22a2 IsAlgebraic R ↑n
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
\u22a2 IsAlgebraic R (?m.42391 ↑n)
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
\u22a2 R →+* A
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/FloorPow.lean
c : ℝ
hc : 1 < c
i : ℕ
\u22a2 (1 - c⁻¹) * c ^ i ≤ ↑⌊c ^ i⌋₊
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/FloorPow.lean
c : ℝ
hc : 1 < c
i : ℕ
cpos : 0 < c
\u22a2 (1 - c⁻¹) * c ^ i ≤ ↑⌊c ^ i⌋₊
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/FloorPow.lean
c : ℝ
hc : 1 < c
cpos : 0 < c
\u22a2 (1 - c⁻¹) * c ^ 0 ≤ ↑⌊c ^ 0⌋₊
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/FloorPow.lean
c : ℝ
hc : 1 < c
i : ℕ
cpos : 0 < c
hi : i ≠ 0
\u22a2 (1 - c⁻¹) * c ^ i ≤ ↑⌊c ^ i⌋₊
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
hg : ContDiffOn 𝕜 n g t
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
Eu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uF uG, uE} E
Fu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uG, uF} F
Gu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uF, uG} G
isoE : Eu ≃L[𝕜] E
isoF : Fu ≃L[𝕜] F
isoG : Gu ≃L[𝕜] G
fu : Eu → Fu := (⇑isoF.symm ∘ f) ∘ ⇑isoE
\u22a2 ContDiffOn 𝕜 n (g ∘ f) s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
hg : ContDiffOn 𝕜 n g t
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
Eu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uF uG, uE} E
Fu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uG, uF} F
Gu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uF, uG} G
isoE : Eu ≃L[𝕜] E
isoF : Fu ≃L[𝕜] F
isoG : Gu ≃L[𝕜] G
fu : Eu → Fu := (⇑isoF.symm ∘ f) ∘ ⇑isoE
fu_diff : ContDiffOn 𝕜 n fu (⇑isoE ⁻¹' s)
\u22a2 ContDiffOn 𝕜 n (g ∘ f) s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
hg : ContDiffOn 𝕜 n g t
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
Eu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uF uG, uE} E
Fu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uG, uF} F
Gu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uF, uG} G
isoE : Eu ≃L[𝕜] E
isoF : Fu ≃L[𝕜] F
isoG : Gu ≃L[𝕜] G
fu : Eu → Fu := (⇑isoF.symm ∘ f) ∘ ⇑isoE
fu_diff : ContDiffOn 𝕜 n fu (⇑isoE ⁻¹' s)
gu : Fu → Gu := (⇑isoG.symm ∘ g) ∘ ⇑isoF
\u22a2 ContDiffOn 𝕜 n (g ∘ f) s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
hg : ContDiffOn 𝕜 n g t
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
Eu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uF uG, uE} E
Fu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uG, uF} F
Gu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uF, uG} G
isoE : Eu ≃L[𝕜] E
isoF : Fu ≃L[𝕜] F
isoG : Gu ≃L[𝕜] G
fu : Eu → Fu := (⇑isoF.symm ∘ f) ∘ ⇑isoE
fu_diff : ContDiffOn 𝕜 n fu (⇑isoE ⁻¹' s)
gu : Fu → Gu := (⇑isoG.symm ∘ g) ∘ ⇑isoF
gu_diff : ContDiffOn 𝕜 n gu (⇑isoF ⁻¹' t)
\u22a2 ContDiffOn 𝕜 n (g ∘ f) s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
hg : ContDiffOn 𝕜 n g t
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
Eu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uF uG, uE} E
Fu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uG, uF} F
Gu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uF, uG} G
isoE : Eu ≃L[𝕜] E
isoF : Fu ≃L[𝕜] F
isoG : Gu ≃L[𝕜] G
fu : Eu → Fu := (⇑isoF.symm ∘ f) ∘ ⇑isoE
fu_diff : ContDiffOn 𝕜 n fu (⇑isoE ⁻¹' s)
gu : Fu → Gu := (⇑isoG.symm ∘ g) ∘ ⇑isoF
gu_diff : ContDiffOn 𝕜 n gu (⇑isoF ⁻¹' t)
main : ContDiffOn 𝕜 n (gu ∘ fu) (⇑isoE ⁻¹' s)
\u22a2 ContDiffOn 𝕜 n (g ∘ f) s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
hg : ContDiffOn 𝕜 n g t
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
Eu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uF uG, uE} E
Fu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uG, uF} F
Gu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uF, uG} G
isoE : Eu ≃L[𝕜] E
isoF : Fu ≃L[𝕜] F
isoG : Gu ≃L[𝕜] G
fu : Eu → Fu := (⇑isoF.symm ∘ f) ∘ ⇑isoE
fu_diff : ContDiffOn 𝕜 n fu (⇑isoE ⁻¹' s)
gu : Fu → Gu := (⇑isoG.symm ∘ g) ∘ ⇑isoF
gu_diff : ContDiffOn 𝕜 n gu (⇑isoF ⁻¹' t)
main : ContDiffOn 𝕜 n (gu ∘ fu) (⇑isoE ⁻¹' s)
this : gu ∘ fu = (⇑isoG.symm ∘ g ∘ f) ∘ ⇑isoE
\u22a2 ContDiffOn 𝕜 n (g ∘ f) s
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
\u22a2 ↑s = Set.univ ↔ s = univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
p✝ : α → Prop
f : β → α
p : ℝ≥0∞
hμs : p < μ s
s_mble : MeasurableSet s
\u22a2 μ sᶜ < 1 - p
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
p✝ : α → Prop
f : β → α
p : ℝ≥0∞
hμs : p < μ s
s_mble : MeasurableSet s
\u22a2 1 - μ s < 1 - p