ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
h : s.prod = t.prod
a✝ : α
ha✝ : a✝ ∈ A
a : α
ha : a ∈ t + replicate (n - m) a✝
\u22a2 a ∈ A
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
h : s.prod = t.prod
a : α
ha : a ∈ A
\u22a2 card (s + replicate (n - m) a) = n
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
h : s.prod = t.prod
a : α
ha : a ∈ A
\u22a2 card (t + replicate (n - m) a) = n
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CancelCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = m
ht : card t = m
h : s.prod = t.prod
a : α
ha : a ∈ A
\u22a2 (s + replicate (n - m) a).prod = (t + replicate (n - m) a).prod
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ β✝ : Weight K (↥H) L
hα : α✝.IsNonZero
α β : { α // α.IsNonZero }
\u22a2 ((rootSystem H).toLin ((rootSystem H).root α)) ((rootSystem H).coroot β) ∈ ↑(AddSubgroup.zmultiples 1)
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : Module.Finite R M
h : I ≠ ⊤
\u22a2 ⨅ i, I ^ i • ⊤ = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : Module.Finite R M
h : I ≠ ⊤
\u22a2 ⨅ i, I ^ i • ⊤ ≤ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : Module.Finite R M
h : I ≠ ⊤
x : M
hx : x ∈ ⨅ i, I ^ i • ⊤
\u22a2 x ∈ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : Module.Finite R M
h : I ≠ ⊤
x : M
hx : x ∈ ⨅ i, I ^ i • ⊤
r : ↥I
hr : ↑r • x = x
\u22a2 x ∈ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : Module.Finite R M
h : I ≠ ⊤
x : M
hx : x ∈ ⨅ i, I ^ i • ⊤
r : ↥I
hr : ↑r • x = x
this : IsUnit (1 - ↑r)
\u22a2 x ∈ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : Module.Finite R M
h : I ≠ ⊤
x : M
hx : x ∈ ⨅ i, I ^ i • ⊤
r : ↥I
hr : ↑r • x = x
this : IsUnit (1 - ↑r)
\u22a2 (1 - ↑r) • x = (1 - ↑r) • 0
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M✝ : Type u_1
N✝ : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : CommMonoid M✝
inst✝⁴ : CommMonoid N✝
inst✝³ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ✝ : M✝
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
M : Type u_7
B : Type u_8
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
N : B
ζ : ↥N
\u22a2 IsPrimitiveRoot (↑ζ) k ↔ IsPrimitiveRoot ζ k
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M✝ : Type u_1
N✝ : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : CommMonoid M✝
inst✝⁴ : CommMonoid N✝
inst✝³ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ✝ : M✝
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
M : Type u_7
B : Type u_8
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
N : B
ζ : ↥N
\u22a2 (↑ζ ^ k = 1 ∧ ∀ (l : ℕ), ↑ζ ^ l = 1 → k ∣ l) ↔ ζ ^ k = 1 ∧ ∀ (l : ℕ), ζ ^ l = 1 → k ∣ l
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
a : A
g : R → R
ha : p a
f : C(↑(spectrum R a), R)
\u22a2 (cfcHom ha) f = cfc (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
a : A
g : R → R
ha : p a
f : C(↑(spectrum R a), R)
h : ⇑f = (spectrum R a).restrict (Function.extend Subtype.val (⇑f) g)
\u22a2 (cfcHom ha) f = cfc (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
a : A
g : R → R
ha : p a
f : C(↑(spectrum R a), R)
h : ⇑f = (spectrum R a).restrict (Function.extend Subtype.val (⇑f) g)
hg : ContinuousOn (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) (spectrum R a)
\u22a2 (cfcHom ha) f = cfc (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
a : A
g : R → R
ha : p a
f : C(↑(spectrum R a), R)
h : ⇑f = (spectrum R a).restrict (Function.extend Subtype.val (⇑f) g)
hg : ContinuousOn (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) (spectrum R a)
\u22a2 (cfcHom ha) f = (cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict (Function.extend Subtype.val (⇑f) g), continuous_toFun := ⋯ }
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Prod.lean
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R N
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Qₙ : QuadraticForm R N
m₁ : M₁
m₂ : M₂
\u22a2 (ofProd Q₁ Q₂) ((ι (QuadraticMap.prod Q₁ Q₂)) (m₁, m₂)) = (ι Q₁) m₁ ᵍ⊗ₜ[R] 1 + 1 ᵍ⊗ₜ[R] (ι Q₂) m₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Prod.lean
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R N
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Qₙ : QuadraticForm R N
m₁ : M₁
m₂ : M₂
\u22a2 (((GradedTensorProduct.includeLeft (evenOdd Q₁) (evenOdd Q₂)).toLinearMap ∘ₗ (evenOdd Q₁ 1).subtype ∘ₗ LinearMap.codRestrict (evenOdd Q₁ 1) (ι Q₁) ⋯).coprod ((GradedTensorProduct.includeRight (evenOdd Q₁) (evenOdd Q₂)).toLinearMap ∘ₗ (evenOdd Q₂ 1).subtype ∘ₗ LinearMap.codRestrict (evenOdd Q₂ 1) (ι Q₂) ⋯)) (m₁, m₂) = (ι Q₁) m₁ ᵍ⊗ₜ[R] 1 + 1 ᵍ⊗ₜ[R] (ι Q₂) m₂
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β ι : Type u
f : ι → Cardinal.{v}
hf : BddAbove (range f)
g : Cardinal.{v} → Cardinal.{max v w}
\u22a2 BddAbove (range (g ∘ f))
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β ι : Type u
f : ι → Cardinal.{v}
hf : BddAbove (range f)
g : Cardinal.{v} → Cardinal.{max v w}
\u22a2 BddAbove (g '' range f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
j₁ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
a₂ : ↥(𝒜 0)
b₂ : B
\u22a2 a₁ ᵍ⊗ₜ[R] ↑b₁ * ↑a₂ ᵍ⊗ₜ[R] b₂ = (a₁ * ↑a₂) ᵍ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Ring.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X
\u22a2 Subsingleton (OreLocalization S R) ↔ 0 ∈ S
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Ring.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X
\u22a2 (∃ u v, u • 1 = v • 0 ∧ ↑u * ↑1 = v * ↑1) ↔ 0 ∈ S
-- Mathlib/NumberTheory/SumTwoSquares.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
hp : p % 4 ≠ 3
\u22a2 ∃ a b, a ^ 2 + b ^ 2 = p
-- Mathlib/NumberTheory/SumTwoSquares.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
hp : p % 4 ≠ 3
\u22a2 ¬Irreducible ↑p
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁵ : CommRing R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v✝ : ι' → M
i✝ : ι
j : ι'
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
v : Basis ι' R M
i : ι'
\u22a2 ((toLin v e) (e.toMatrix ⇑v)) (v i) = LinearMap.id (v i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁵ : CommRing R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v✝ : ι' → M
i✝ : ι
j : ι'
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
v : Basis ι' R M
i : ι'
val✝ : Fintype ι
\u22a2 ((toLin v e) (e.toMatrix ⇑v)) (v i) = LinearMap.id (v i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
n : Type w
inst✝ : Nontrivial R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
h : B.iIsOrtho ⇑v
hB : B.Nondegenerate
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
\u22a2 False
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
n : Type w
inst✝ : Nontrivial R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
h : B.iIsOrtho ⇑v
hB : B.Nondegenerate
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
m : M
\u22a2 (B (v i)) m = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
n : Type w
inst✝ : Nontrivial R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
h : B.iIsOrtho ⇑v
hB : B.Nondegenerate
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
\u22a2 (B (v i)) (v.repr.symm vi) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
n : Type w
inst✝ : Nontrivial R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
h : B.iIsOrtho ⇑v
hB : B.Nondegenerate
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
\u22a2 ∑ i_1 ∈ vi.support, (B (v i)) (vi i_1 • v i_1) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
n : Type w
inst✝ : Nontrivial R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
h : B.iIsOrtho ⇑v
hB : B.Nondegenerate
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
\u22a2 ∀ x ∈ vi.support, (B (v i)) (vi x • v x) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
n : Type w
inst✝ : Nontrivial R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
h : B.iIsOrtho ⇑v
hB : B.Nondegenerate
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
j : n
\u22a2 (B (v i)) (vi j • v j) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
n : Type w
inst✝ : Nontrivial R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
h : B.iIsOrtho ⇑v
hB : B.Nondegenerate
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
j : n
\u22a2 vi j * (B (v i)) (v j) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
n : Type w
inst✝ : Nontrivial R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
h : B.iIsOrtho ⇑v
hB : B.Nondegenerate
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
j : n
\u22a2 (B (v i)) (v j) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
n : Type w
inst✝ : Nontrivial R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
h : B.iIsOrtho ⇑v
hB : B.Nondegenerate
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
\u22a2 (B (v i)) (v i) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
n : Type w
inst✝ : Nontrivial R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
h : B.iIsOrtho ⇑v
hB : B.Nondegenerate
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
j : n
hij : i ≠ j
\u22a2 (B (v i)) (v j) = 0
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : CommSemigroup α
v w : m → α
\u22a2 v ⬝ᵥ w = w ⬝ᵥ v
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
hab : a ≤ b
\u22a2 IntervalIntegrable f μ a b ↔ IntegrableOn f (Ico a b) μ
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
\u22a2 ∃ y, y ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → w ↑y < w ↑x) ∧ |(Algebra.norm ℚ) ↑y| ≤ ↑B
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
\u22a2 ∃ y, y ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → w ↑y < w ↑x) ∧ |(Algebra.norm ℚ) ↑y| ≤ ↑B
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
\u22a2 ∃ y, y ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → w ↑y < w ↑x) ∧ |(Algebra.norm ℚ) ↑y| ≤ ↑B
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
w✝ : InfinitePlace K
a✝ : w✝ ≠ w₁
\u22a2 f w✝ ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
x : 𝓞 K
hx : x ≠ 0
hx' : (algebraMap (𝓞 K) K) x ≠ 0
f : InfinitePlace K → ℝ≥0 := fun w => ⟨w ↑x / 2, ⋯⟩
w✝ : InfinitePlace K
a✝ : w✝ ≠ w₁
\u22a2 ¬↑x = 0 ∧ ¬2 = 0
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 (a \ b) ∆ b = a ⊔ b
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁷ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁶ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝⁵ : S₁.HasHomology
inst✝⁴ : S₂.HasHomology
inst✝³ : (S₁.map F).HasHomology
inst✝² : (S₂.map F).HasHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesLeftHomologyOf S₂
\u22a2 leftHomologyMap' (F.mapShortComplex.map φ) (S₁.map F).homologyData.left (S₂.map F).homologyData.left ≫ leftHomologyMap' (𝟙 (S₂.map F)) (S₂.map F).homologyData.left (S₂.map F).leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 (S₂.map F)) (S₂.map F).leftHomologyData (S₂.homologyData.left.map F) = (leftHomologyMap' (𝟙 (S₁.map F)) (S₁.map F).homologyData.left (S₁.map F).leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 (S₁.map F)) (S₁.map F).leftHomologyData (S₁.homologyData.left.map F)) ≫ F.map (leftHomologyMap' φ S₁.homologyData.left S₂.homologyData.left)
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
u v : Rˣ
m n : ℕ
h : ↑u * p ^ m = ↑v * q ^ n
\u22a2 m = n
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
u v : Rˣ
m n : ℕ
h : ↑u * p ^ m = ↑v * q ^ n
key : Associated (Multiset.replicate m p).prod (Multiset.replicate n q).prod
\u22a2 m = n
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
u v : Rˣ
m n : ℕ
h : ↑u * p ^ m = ↑v * q ^ n
key : Associated (Multiset.replicate m p).prod (Multiset.replicate n q).prod
this : Multiset.card (Multiset.replicate m p) = Multiset.card (Multiset.replicate n q)
\u22a2 m = n
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
f : ℕ → ℕ
hf : Bijective f
u : ℕ → α
\u22a2 CauchySeq (u ∘ f) ↔ CauchySeq u
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
f : ℕ → ℕ
hf : Bijective f
u : ℕ → α
H : CauchySeq (u ∘ f)
\u22a2 CauchySeq u
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
b : ℝ
hb : 1 < b
\u22a2 Tendsto (fun x => b ^ x) atBot (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
b : ℝ
hb : 1 < b
\u22a2 Tendsto (fun x => rexp (log b * x)) atBot (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
b : ℝ
hb : 1 < b
\u22a2 0 < log b
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type ?u.16903
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
\u22a2 IsLocallyInjective f ↔ OpenEmbedding (toPullbackDiag f)
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type ?u.16903
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
\u22a2 IsOpen (Set.range (toPullbackDiag f)) ↔ OpenEmbedding (toPullbackDiag f)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
hS : S.Finite
\u22a2 interior (⋂₀ S) = ⋂ s ∈ S, interior s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Projective.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)
I✝ J✝ : Finset ι
hP : IsProjectiveMeasureFamily P
I J : Finset ι
\u22a2 (P I) univ = (P J) univ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
\u22a2 ContinuousOn tan {x | cos x ≠ 0}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
\u22a2 ContinuousOn (fun x => sin x / cos x) {x | cos x ≠ 0}