ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/Pigeonhole.lean
α : Type u
β : Type v
M : Type w
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
n : ℕ
inst✝ : LinearOrderedCommSemiring M
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
ht : t.card • b < ↑s.card
\u22a2 ∃ y ∈ t, b < ↑(filter (fun x => f x = y) s).card
-- Mathlib/Combinatorics/Pigeonhole.lean
α : Type u
β : Type v
M : Type w
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
n : ℕ
inst✝ : LinearOrderedCommSemiring M
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
ht : t.card • b < ∑ a ∈ s, 1
\u22a2 ∃ y ∈ t, b < ∑ a ∈ filter (fun x => f x = y) s, 1
-- Mathlib/Algebra/FreeAlgebra.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
x : X
\u22a2 ((lift R) f) (ι R x) = f x
-- Mathlib/Algebra/FreeAlgebra.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
x : X
\u22a2 ({ toFun := FreeAlgebra.liftAux R, invFun := fun F => ⇑F ∘ ι R, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } f) (Quot.mk (Rel R X) (Pre.of x)) = f x
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
x y : ℚ
hxy : x ≤ y
h_1 : x < 0
h_2 : y < 0
\u22a2 0 ≤ 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
x y : ℚ
hxy : x ≤ y
h_1 : x < 0
h_2 : ¬y < 0
\u22a2 0 ≤ 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
x y : ℚ
hxy : x ≤ y
h_1 : ¬x < 0
h_2 : y < 0
\u22a2 1 ≤ 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
x y : ℚ
hxy : x ≤ y
h_1 : ¬x < 0
h_2 : ¬y < 0
\u22a2 1 ≤ 1
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
xs ys : List α
ls : List (List α)
f : List α → List α
h : ∀ (x : α), x ∈ xs → ¬p x = true
sep : α
hsep : p sep = true
as : List α
\u22a2 splitOnP p (xs ++ sep :: as) = xs :: splitOnP p as
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
j₁ i₂ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B
\u22a2 a₁ ᵍ⊗ₜ[R] ↑b₁ * ↑a₂ ᵍ⊗ₜ[R] b₂ = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (a₁ * ↑a₂) ᵍ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
j₁ i₂ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B
\u22a2 (auxEquiv R 𝒜 ℬ).symm (((gradedMul R (fun x => ↥(𝒜 x)) fun x => ↥(ℬ x)) ((auxEquiv R 𝒜 ℬ) (a₁ ᵍ⊗ₜ[R] ↑b₁))) ((auxEquiv R 𝒜 ℬ) (↑a₂ ᵍ⊗ₜ[R] b₂))) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (a₁ * ↑a₂) ᵍ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
j₁ i₂ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B
\u22a2 (of R 𝒜 ℬ).symm.symm ((TensorProduct.congr (decomposeAlgEquiv 𝒜).toLinearEquiv (decomposeAlgEquiv ℬ).toLinearEquiv).symm (((gradedMul R (fun x => ↥(𝒜 x)) fun x => ↥(ℬ x)) ((decompose 𝒜) a₁ ⊗ₜ[R] (decompose ℬ) ↑b₁)) ((decompose 𝒜) ↑a₂ ⊗ₜ[R] (decompose ℬ) b₂))) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((a₁ * ↑a₂) ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
j₁ i₂ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B
\u22a2 (of R 𝒜 ℬ).symm.symm ((TensorProduct.congr (decomposeAlgEquiv 𝒜).toLinearEquiv (decomposeAlgEquiv ℬ).toLinearEquiv).symm (((gradedMul R (fun x => ↥(𝒜 x)) fun x => ↥(ℬ x)) ((decompose 𝒜) a₁ ⊗ₜ[R] (DirectSum.of (fun i => ↥(ℬ i)) j₁) b₁)) ((DirectSum.of (fun i => ↥(𝒜 i)) i₂) a₂ ⊗ₜ[R] (decompose ℬ) b₂))) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((a₁ * ↑a₂) ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
j₁ i₂ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B
\u22a2 (of R 𝒜 ℬ).symm.symm ((TensorProduct.congr (decomposeAlgEquiv 𝒜).toLinearEquiv (decomposeAlgEquiv ℬ).toLinearEquiv).symm (((gradedMul R (fun x => ↥(𝒜 x)) fun x => ↥(ℬ x)) ((decompose 𝒜) a₁ ⊗ₜ[R] (lof R ι (fun i => ↥(ℬ i)) j₁) b₁)) ((lof R ι (fun i => ↥(𝒜 i)) i₂) a₂ ⊗ₜ[R] (decompose ℬ) b₂))) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((a₁ * ↑a₂) ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
j₁ i₂ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B
\u22a2 (of R 𝒜 ℬ).symm.symm ((TensorProduct.congr (decomposeAlgEquiv 𝒜).toLinearEquiv (decomposeAlgEquiv ℬ).toLinearEquiv).symm ((-1) ^ (j₁ * i₂) • ((decompose 𝒜) a₁ * (lof R ι (fun x => ↥(𝒜 x)) i₂) a₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι (fun x => ↥(ℬ x)) j₁) b₁ * (decompose ℬ) b₂))) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((a₁ * ↑a₂) ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
j₁ i₂ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B
\u22a2 (of R 𝒜 ℬ).symm.symm ((TensorProduct.congr (decomposeAlgEquiv 𝒜).toLinearEquiv (decomposeAlgEquiv ℬ).toLinearEquiv).symm ((-1) ^ (j₁ * i₂) • ((decompose 𝒜) a₁ * (DirectSum.of (fun x => ↥(𝒜 x)) i₂) a₂) ⊗ₜ[R] ((DirectSum.of (fun x => ↥(ℬ x)) j₁) b₁ * (decompose ℬ) b₂))) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((a₁ * ↑a₂) ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
j₁ i₂ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B
\u22a2 (of R 𝒜 ℬ) ((TensorProduct.congr (decomposeAlgEquiv 𝒜).toLinearEquiv (decomposeAlgEquiv ℬ).toLinearEquiv).symm ((-1) ^ (j₁ * i₂) • ((decompose 𝒜) a₁ * (DirectSum.of (fun x => ↥(𝒜 x)) i₂) a₂) ⊗ₜ[R] ((DirectSum.of (fun x => ↥(ℬ x)) j₁) b₁ * (decompose ℬ) b₂))) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((a₁ * ↑a₂) ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
j₁ i₂ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B
\u22a2 (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((TensorProduct.congr (decomposeAlgEquiv 𝒜).toLinearEquiv (decomposeAlgEquiv ℬ).toLinearEquiv).symm (((decompose 𝒜) a₁ * (DirectSum.of (fun x => ↥(𝒜 x)) i₂) a₂) ⊗ₜ[R] ((DirectSum.of (fun x => ↥(ℬ x)) j₁) b₁ * (decompose ℬ) b₂))) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((a₁ * ↑a₂) ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
j₁ i₂ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B
\u22a2 (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((decomposeAlgEquiv 𝒜).toLinearEquiv.symm ((decompose 𝒜) a₁ * (DirectSum.of (fun x => ↥(𝒜 x)) i₂) a₂) ⊗ₜ[R] (decomposeAlgEquiv ℬ).toLinearEquiv.symm ((DirectSum.of (fun x => ↥(ℬ x)) j₁) b₁ * (decompose ℬ) b₂)) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((a₁ * ↑a₂) ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
j₁ i₂ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B
\u22a2 (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((decompose 𝒜).symm ((decompose 𝒜) a₁ * (DirectSum.of (fun x => ↥(𝒜 x)) i₂) a₂) ⊗ₜ[R] (decompose ℬ).symm ((DirectSum.of (fun x => ↥(ℬ x)) j₁) b₁ * (decompose ℬ) b₂)) = (-1) ^ (j₁ * i₂) • (of R 𝒜 ℬ) ((a₁ * ↑a₂) ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : E
a b : 𝕜
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hfx : f x < f (a • x + b • y)
\u22a2 f (a • x + b • y) < f y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : E
a b : 𝕜
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : b + a = 1
hfx : f x < f (b • y + a • x)
\u22a2 f (b • y + a • x) < f y
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
F : J ⥤ Type u
hf : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
hne : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
F' : J ⥤ TopCat := F ⋙ TopCat.discrete
this✝¹ : ∀ (j : J), DiscreteTopology ↑(F'.obj j)
this✝ : ∀ (j : J), Finite ↑(F'.obj j)
this : ∀ (j : J), Nonempty ↑(F'.obj j)
\u22a2 F.sections.Nonempty
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
F : J ⥤ Type u
hf : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
hne : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
F' : J ⥤ TopCat := F ⋙ TopCat.discrete
this✝¹ : ∀ (j : J), DiscreteTopology ↑(F'.obj j)
this✝ : ∀ (j : J), Finite ↑(F'.obj j)
this : ∀ (j : J), Nonempty ↑(F'.obj j)
u : (j : J) → ↑(F'.obj j)
hu : u ∈ {u | ∀ {i j : J} (f : i ⟶ j), (F'.map f) (u i) = u j}
\u22a2 F.sections.Nonempty
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
\u22a2 η a ⟂ₘ (κ.singularPart η) a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsEmpty n
A : Matrix n n R
\u22a2 A.det = 1
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n k : ℕ
\u22a2 m.gcd (n + m * k) = m.gcd n
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
I J K : Submodule R A
\u22a2 I ≤ J / K ↔ I * K ≤ J
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/LinearPMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
hT : Dense ↑T.domain
inst✝ : CompleteSpace E
y : ↥T†.domain
\u22a2 (if hT : Dense ↑T.domain then adjointAux hT else 0) y = (adjointAux hT) y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : RankCondition R
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤
\u22a2 #ι ≤ ↑(Fintype.card ↑w)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : RankCondition R
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤
this : Nontrivial R
\u22a2 #ι ≤ ↑(Fintype.card ↑w)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : RankCondition R
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤
this✝ : Nontrivial R
this : Finite ι
\u22a2 #ι ≤ ↑(Fintype.card ↑w)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : RankCondition R
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤
this✝ : Nontrivial R
this : Finite ι
val✝ : Fintype ι
\u22a2 #ι ≤ ↑(Fintype.card ↑w)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : RankCondition R
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤
this✝ : Nontrivial R
this : Finite ι
val✝ : Fintype ι
\u22a2 ↑(Fintype.card ι) ≤ ↑(Fintype.card ↑w)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : RankCondition R
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤
this✝ : Nontrivial R
this : Finite ι
val✝ : Fintype ι
\u22a2 Fintype.card ι ≤ Fintype.card ↑w
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSpace Ω'
f : Ω → Ω'
c : ℝ≥0
ν : FiniteMeasure Ω
s : Set Ω'
a✝ : MeasurableSet s
\u22a2 ↑((c • ν).map f) s = ↑(c • ν.map f) s
-- Mathlib/Order/Irreducible.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a x✝¹ x✝ : α
\u22a2 x✝¹ ⊓ x✝ = a → x✝¹ = a ∨ x✝ = a
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
hf : Measurable f
hg : Measurable g
\u22a2 CondIndepFun m' hm' f g μ ↔ ∀ (s : Set β) (t : Set β'), MeasurableSet s → MeasurableSet t → μ[(f ⁻¹' s ∩ g ⁻¹' t).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] fun ω => (μ[(f ⁻¹' s).indicator fun ω => 1|m']) ω * (μ[(g ⁻¹' t).indicator fun ω => 1|m']) ω
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
hf : Measurable f
hg : Measurable g
\u22a2 (∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']) ↔ ∀ (s : Set β) (t : Set β'), MeasurableSet s → MeasurableSet t → μ[(f ⁻¹' s ∩ g ⁻¹' t).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] fun ω => (μ[(f ⁻¹' s).indicator fun ω => 1|m']) ω * (μ[(g ⁻¹' t).indicator fun ω => 1|m']) ω
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α
\u22a2 (bliminf u f fun x => True) = liminf u f
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
\u22a2 Ioc a b ∩ Ioi c = Ioc (a ⊔ c) b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
a : R
a0 : a ≠ 0
\u22a2 (p * C a).natDegree = p.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionRing K
a✝ b✝ c d a b : K
h : b ≠ 0
\u22a2 (a - b) / b = a / b - 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Complemented.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
f : E →L[𝕜] F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥(range f)
\u22a2 (ker f).ClosedComplemented
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Complemented.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
f : E →L[𝕜] F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥(range f)
f' : E →L[𝕜] ↥(range f) := f.codRestrict (range f) ⋯
\u22a2 (ker f).ClosedComplemented
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Complemented.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
f : E →L[𝕜] F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥(range f)
f' : E →L[𝕜] ↥(range f) := f.codRestrict (range f) ⋯
g : ↥(range f) →L[𝕜] E
hg : f'.comp g = id 𝕜 ↥(range f)
\u22a2 (ker f).ClosedComplemented
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
a : Args
\u22a2 a.Numeric → P124 a
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
a : Args
\u22a2 ∀ (x : Args), (∀ (y : Args), ArgsRel y x → y.Numeric → P124 y) → x.Numeric → P124 x
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
a✝ a : Args
ih : ∀ (y : Args), ArgsRel y a → y.Numeric → P124 y
ha : a.Numeric
\u22a2 P124 a
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
a✝ a : Args
ha : a.Numeric
ih : ∀ (a' : Args), ArgsRel a' a → P124 a'
\u22a2 P124 a
-- Mathlib/Deprecated/Submonoid.lean
M✝ : Type u_1
inst✝² : Monoid M✝
s✝ : Set M✝
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
t✝ : Set A
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
s t : Set M
x : M
hx : x ∈ Closure (s ∪ t)
L : List M
HL1✝ : ∀ x ∈ L, x ∈ s ∪ t
HL2 : L.prod = x
hd : M
tl : List M
ih : (∀ x ∈ tl, x ∈ s ∪ t) → ∃ y ∈ Closure s, ∃ z ∈ Closure t, y * z = tl.prod
HL1 : ∀ x ∈ hd :: tl, x ∈ s ∪ t
y : M
hy : y ∈ Closure s
z : M
hz : z ∈ Closure t
hyzx : y * z = tl.prod
hs : hd ∈ s
\u22a2 hd * y * z = (hd :: tl).prod
-- Mathlib/Deprecated/Submonoid.lean
M✝ : Type u_1
inst✝² : Monoid M✝
s✝ : Set M✝
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
t✝ : Set A
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
s t : Set M
x : M
hx : x ∈ Closure (s ∪ t)
L : List M
HL1✝ : ∀ x ∈ L, x ∈ s ∪ t
HL2 : L.prod = x
hd : M
tl : List M
ih : (∀ x ∈ tl, x ∈ s ∪ t) → ∃ y ∈ Closure s, ∃ z ∈ Closure t, y * z = tl.prod
HL1 : ∀ x ∈ hd :: tl, x ∈ s ∪ t
y : M
hy : y ∈ Closure s
z : M
hz : z ∈ Closure t
hyzx : y * z = tl.prod
ht : hd ∈ t
\u22a2 y * (z * hd) = (hd :: tl).prod
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ
\u22a2 completedCosZeta₀ a (1 - s) = completedHurwitzZetaEven₀ a s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/DegreeSum.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Fintype (Sym2 V)
this : DecidableEq V
\u22a2 Fintype.card G.Dart = ∑ v : V, G.degree v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/DegreeSum.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Fintype (Sym2 V)
this : DecidableEq V
\u22a2 univ.card = ∑ x : V, (filter (fun d => d.toProd.1 = x) univ).card
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ : Finset β
f✝ f g : β → α
hfg : ∀ a ∈ s₁, f a = g a
\u22a2 s₁.gcd f = s₁.gcd g
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
n : ℕ
\u22a2 normalizedFactors (n + 1) = ↑(n + 1).primeFactorsList
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
n : ℕ
\u22a2 Multiset.Rel (fun x x_1 => x ~ᵤ x_1) (normalizedFactors (n + 1)) ↑(n + 1).primeFactorsList
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
n : ℕ
\u22a2 (normalizedFactors (n + 1)).prod ~ᵤ (↑(n + 1).primeFactorsList).prod
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
n : ℕ
\u22a2 ∀ x ∈ ↑(n + 1).primeFactorsList, Irreducible x
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t : Set α
f : ι → Filter α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
inst✝ : Nonempty ι
s : Set α
\u22a2 s ∈ iInf f ↔ ∃ i, s ∈ f i
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
\u22a2 Integrable f μ ↔ IntegrableAtFilter f (cocompact X) μ ∧ LocallyIntegrable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
x✝ : IntegrableAtFilter f (cocompact X) μ ∧ LocallyIntegrable f μ
s : Set X
hsc : s ∈ cocompact X
hs : IntegrableOn f s μ
hloc : LocallyIntegrable f μ
\u22a2 Integrable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
x✝ : IntegrableAtFilter f (cocompact X) μ ∧ LocallyIntegrable f μ
s : Set X
hsc : s ∈ cocompact X
hs : IntegrableOn f s μ
hloc : LocallyIntegrable f μ
t : Set X
htc : IsCompact t
ht : sᶜ ⊆ t
\u22a2 Integrable f μ