ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : n ≤ chainLength α β
hα : ¬α.IsZero
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) β)
x_ne0 : x ≠ 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
prim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α β)
\u22a2 rootSpace H (-(n • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) ≠ ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
n : ℕ
hn : n ≤ chainLength α β
hα : ¬α.IsZero
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) β)
x_ne0 : x ≠ 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
prim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α β)
\u22a2 ∃ x, ∃ (_ : x ∈ rootSpace H (n • -⇑α + ⇑(chainTop (⇑α) β))), ¬x = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x : G
n : ℕ∞
hf : DifferentiableWithinAt ℝ f s x
hg : DifferentiableWithinAt ℝ g s x
hne : f x ≠ g x
\u22a2 DifferentiableWithinAt ℝ (fun y => ‖f y - g y‖) s x
-- Mathlib/Data/Finset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c : β
\u22a2 c ≥ fold min b f s ↔ b ≤ c ∨ ∃ x ∈ s, f x ≤ c
-- Mathlib/Data/Finset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c : β
\u22a2 ∀ {x y z : β}, x ≥ min y z ↔ x ≥ y ∨ x ≥ z
-- Mathlib/Data/Finset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c x y z : β
\u22a2 min y z ≤ x ↔ x ≥ y ∨ x ≥ z
-- Mathlib/Topology/Compactness/SigmaCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
S : Set (Set X)
hc : S.Countable
hcomp : ∀ (s : ↑S), IsSigmaCompact ↑s
\u22a2 IsSigmaCompact (⋃₀ S)
-- Mathlib/Topology/Compactness/SigmaCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
S : Set (Set X)
hc : S.Countable
hcomp : ∀ (s : ↑S), IsSigmaCompact ↑s
this : Countable ↑S
\u22a2 IsSigmaCompact (⋃₀ S)
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
\u22a2 Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (s ∪ t)) = Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) * Subalgebra.toSubmodule (adjoin R t)
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
\u22a2 span R ↑(Submonoid.closure (s ∪ t)) = span R (↑(Submonoid.closure s) * ↑(Submonoid.closure t))
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
z : A
\u22a2 z ∈ ↑(Submonoid.closure (s ∪ t)) ↔ z ∈ ↑(Submonoid.closure s) * ↑(Submonoid.closure t)
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/FinitePresentation.lean
\u22a2 StableUnderBaseChange @FinitePresentation
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/FinitePresentation.lean
\u22a2 RespectsIso @FinitePresentation
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/FinitePresentation.lean
\u22a2 ∀ ⦃R S T : Type u_1⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] [inst_3 : Algebra R S] [inst_4 : Algebra R T], (algebraMap R T).FinitePresentation → Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom.FinitePresentation
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
\u22a2 ∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
hs : IsOpen ∅
\u22a2 ∃ f, support f = ∅ ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
\u22a2 ∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
ι : Type u_1 := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
\u22a2 ∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
ι : Type u_1 := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
T : Set ι
T_count : T.Countable
hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s
\u22a2 ∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
ι : Type u_1 := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
T : Set ι
T_count : T.Countable
hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s
g0 : ℕ → ι
hg : T = range g0
g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)
\u22a2 ∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
ι : Type u_1 := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
T : Set ι
T_count : T.Countable
hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s
g0 : ℕ → ι
hg : T = range g0
g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)
g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s
\u22a2 ∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
ι : Type u_1 := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
T : Set ι
T_count : T.Countable
hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s
g0 : ℕ → ι
hg : T = range g0
g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)
g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s
s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)
\u22a2 ∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
ι : Type u_1 := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
T : Set ι
T_count : T.Countable
hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s
g0 : ℕ → ι
hg : T = range g0
g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)
g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s
s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)
g_smooth : ∀ (n : ℕ), ContDiff ℝ ⊤ (g n)
\u22a2 ∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
ι : Type u_1 := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
T : Set ι
T_count : T.Countable
hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s
g0 : ℕ → ι
hg : T = range g0
g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)
g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s
s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)
g_smooth : ∀ (n : ℕ), ContDiff ℝ ⊤ (g n)
g_comp_supp : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport (g n)
\u22a2 ∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
ι : Type u_1 := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
T : Set ι
T_count : T.Countable
hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s
g0 : ℕ → ι
hg : T = range g0
g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)
g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s
s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)
g_smooth : ∀ (n : ℕ), ContDiff ℝ ⊤ (g n)
g_comp_supp : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport (g n)
g_nonneg : ∀ (n : ℕ) (x : E), 0 ≤ g n x
\u22a2 ∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
ι : Type u_1 := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
T : Set ι
T_count : T.Countable
hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s
g0 : ℕ → ι
hg : T = range g0
g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)
g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s
s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)
g_smooth : ∀ (n : ℕ), ContDiff ℝ ⊤ (g n)
g_comp_supp : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport (g n)
g_nonneg : ∀ (n : ℕ) (x : E), 0 ≤ g n x
δ : ℕ → ℝ≥0
δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
δc : HasSum δ c
c_lt : c < 1
\u22a2 ∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
ι : Type u_1 := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
T : Set ι
T_count : T.Countable
hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s
g0 : ℕ → ι
hg : T = range g0
g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)
g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s
s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)
g_smooth : ∀ (n : ℕ), ContDiff ℝ ⊤ (g n)
g_comp_supp : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport (g n)
g_nonneg : ∀ (n : ℕ) (x : E), 0 ≤ g n x
δ : ℕ → ℝ≥0
δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
δc : HasSum δ c
c_lt : c < 1
this : ∀ (n : ℕ), ∃ r, 0 < r ∧ ∀ i ≤ n, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i (r • g n) x‖ ≤ ↑(δ n)
\u22a2 ∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
ι : Type u_1 := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
T : Set ι
T_count : T.Countable
hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s
g0 : ℕ → ι
hg : T = range g0
g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)
g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s
s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)
g_smooth : ∀ (n : ℕ), ContDiff ℝ ⊤ (g n)
g_comp_supp : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport (g n)
g_nonneg : ∀ (n : ℕ) (x : E), 0 ≤ g n x
δ : ℕ → ℝ≥0
δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
δc : HasSum δ c
c_lt : c < 1
r : ℕ → ℝ
rpos : ∀ (n : ℕ), 0 < r n
hr : ∀ (n i : ℕ), i ≤ n → ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i (r n • g n) x‖ ≤ ↑(δ n)
\u22a2 ∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
ι : Type u_1 := { f // support f ⊆ s ∧ HasCompactSupport f ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 }
T : Set ι
T_count : T.Countable
hT : ⋃ f ∈ T, support ↑f = s
g0 : ℕ → ι
hg : T = range g0
g : ℕ → E → ℝ := fun n => ↑(g0 n)
g_s : ∀ (n : ℕ), support (g n) ⊆ s
s_g : ∀ x ∈ s, ∃ n, x ∈ support (g n)
g_smooth : ∀ (n : ℕ), ContDiff ℝ ⊤ (g n)
g_comp_supp : ∀ (n : ℕ), HasCompactSupport (g n)
g_nonneg : ∀ (n : ℕ) (x : E), 0 ≤ g n x
δ : ℕ → ℝ≥0
δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c : ℝ≥0
δc : HasSum δ c
c_lt : c < 1
r : ℕ → ℝ
rpos : ∀ (n : ℕ), 0 < r n
hr : ∀ (n i : ℕ), i ≤ n → ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ i (r n • g n) x‖ ≤ ↑(δ n)
S : ∀ (x : E), Summable fun n => (r n • g n) x
\u22a2 ∃ f, support f = s ∧ ContDiff ℝ ⊤ f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a b : ℝ
h : ↑a < ↑b
\u22a2 ∃ x, ↑a < ↑↑x ∧ ↑↑x < ↑b
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
\u22a2 clog b r⁻¹ = -log b r
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hrp : 0 < r
\u22a2 clog b r⁻¹ = -log b r
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hrp : r ≤ 0
\u22a2 clog b r⁻¹ = -log b r
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Symmetric.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R
\u22a2 (esymm σ R n).support = (powersetCard n univ).biUnion fun t => {∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1}
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Symmetric.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R
\u22a2 ((powersetCard n univ).biUnion fun t => (Finsupp.single (∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) 1).support) = (powersetCard n univ).biUnion fun t => {∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1}
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Symmetric.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R
\u22a2 (fun t => (Finsupp.single (∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) 1).support) = fun t => {∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1}
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Symmetric.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R
x✝ : Finset σ
\u22a2 (Finsupp.single (∑ i ∈ x✝, Finsupp.single i 1) 1).support = {∑ i ∈ x✝, Finsupp.single i 1}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b
\u22a2 ∃ r ∈ Ioo a b, μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b
mbles : ∀ (r : ℝ), MeasurableSet (frontier (Metric.thickening r s))
\u22a2 ∃ r ∈ Ioo a b, μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b
mbles : ∀ (r : ℝ), MeasurableSet (frontier (Metric.thickening r s))
disjs : Pairwise (Disjoint on fun r => frontier (Metric.thickening r s))
\u22a2 ∃ r ∈ Ioo a b, μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b
mbles : ∀ (r : ℝ), MeasurableSet (frontier (Metric.thickening r s))
disjs : Pairwise (Disjoint on fun r => frontier (Metric.thickening r s))
key : {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}.Countable
\u22a2 ∃ r ∈ Ioo a b, μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b
mbles : ∀ (r : ℝ), MeasurableSet (frontier (Metric.thickening r s))
disjs : Pairwise (Disjoint on fun r => frontier (Metric.thickening r s))
key : {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}.Countable
aux : volume (Ioo a b \ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}) = volume (Ioo a b)
\u22a2 ∃ r ∈ Ioo a b, μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b
mbles : ∀ (r : ℝ), MeasurableSet (frontier (Metric.thickening r s))
disjs : Pairwise (Disjoint on fun r => frontier (Metric.thickening r s))
key : {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}.Countable
aux : volume (Ioo a b \ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}) = volume (Ioo a b)
len_pos : 0 < ENNReal.ofReal (b - a)
\u22a2 ∃ r ∈ Ioo a b, μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b
mbles : ∀ (r : ℝ), MeasurableSet (frontier (Metric.thickening r s))
disjs : Pairwise (Disjoint on fun r => frontier (Metric.thickening r s))
key : {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}.Countable
aux : volume (Ioo a b \ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}) = volume (Ioo a b)
len_pos : 0 < volume (Ioo a b \ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))})
\u22a2 ∃ r ∈ Ioo a b, μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b
mbles : ∀ (r : ℝ), MeasurableSet (frontier (Metric.thickening r s))
disjs : Pairwise (Disjoint on fun r => frontier (Metric.thickening r s))
key : {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}.Countable
aux : volume (Ioo a b \ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}) = volume (Ioo a b)
len_pos : 0 < volume (Ioo a b \ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))})
r : ℝ
r_in_Ioo : r ∈ Ioo a b
hr : r ∉ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}
\u22a2 ∃ r ∈ Ioo a b, μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b
mbles : ∀ (r : ℝ), MeasurableSet (frontier (Metric.thickening r s))
disjs : Pairwise (Disjoint on fun r => frontier (Metric.thickening r s))
key : {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}.Countable
aux : volume (Ioo a b \ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}) = volume (Ioo a b)
len_pos : 0 < volume (Ioo a b \ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))})
r : ℝ
r_in_Ioo : r ∈ Ioo a b
hr : r ∉ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}
\u22a2 μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hi : i ∈ s
\u22a2 nodal (s.erase i) v = nodal s v / (X - C (v i))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hi : i ∈ s
\u22a2 X - C (v i) ≠ 0
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f✝² : X → Y
s✝ : Set X
x : X
y : Y
α : Type u_4
ι : Type u_5
f✝¹ : α → X
g✝ : X → Y
f✝ : α → X
s : Set X
g : Y → Z
f : α → Y
hg : DenseRange g
hf : DenseRange f
cg : Continuous g
\u22a2 DenseRange (g ∘ f)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f✝² : X → Y
s✝ : Set X
x : X
y : Y
α : Type u_4
ι : Type u_5
f✝¹ : α → X
g✝ : X → Y
f✝ : α → X
s : Set X
g : Y → Z
f : α → Y
hg : DenseRange g
hf : DenseRange f
cg : Continuous g
\u22a2 Dense (g '' range f)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : NonarchimedeanGroup G
H : Type u_2
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalGroup H
K : Type u_3
inst✝² : Group K
inst✝¹ : TopologicalSpace K
inst✝ : NonarchimedeanGroup K
U : Set (G × G)
hU : U ∈ 𝓝 1
V W : OpenSubgroup G
h : ↑V ×ˢ ↑W ⊆ U
\u22a2 ↑(V ⊓ W) ×ˢ ↑(V ⊓ W) ⊆ U
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
t : M ⊗[R] N
\u22a2 t ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t} ↔ t ∈ ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
t : M ⊗[R] N
\u22a2 t ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t}
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
t : M ⊗[R] N
\u22a2 0 ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t}
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
t : M ⊗[R] N
\u22a2 ∀ (x : M) (y : N), x ⊗ₜ[R] y ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t}