ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : IsDomain α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a b c : α
h : a ∣ b - c
\u22a2 gcd b a = gcd c a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set α
r : ℝ≥0∞
hr : μ A < r
\u22a2 ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ μ U < r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set α
r : ℝ≥0∞
hr : μ A < r
U : Set α
hAU : U ⊇ toMeasurable μ A
hUo : IsOpen U
hU : μ U < r
\u22a2 ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ μ U < r
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
v w : V
hvw : G.Adj v w
u : V
\u22a2 u ∈ (G.subgraphOfAdj hvw).neighborSet v ↔ u ∈ {w}
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
v w : V
hvw : G.Adj v w
u : V
\u22a2 w = u ↔ u = w
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
a : 𝓞 K
h : ℚ⟮↑a⟯ = ⊤
\u22a2 (minpoly ℤ ↑a).natDegree ≤ rankOfDiscrBdd N
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
a : 𝓞 K
h : (minpoly ℤ ((algebraMap (𝓞 K) K) a)).natDegree = finrank ℚ K
\u22a2 (minpoly ℤ ↑a).natDegree ≤ rankOfDiscrBdd N
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
α : Type u_1
l : List α
\u22a2 ofFn (get ⟨l, ⋯⟩) = ⟨l, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
α : Type u_1
l : List α
\u22a2 (ofFn (get ⟨l, ⋯⟩)).toList = toList ⟨l, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
α : Type u_1
l : List α
\u22a2 (ofFn (get ⟨l, ⋯⟩)).toList = l
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Diffeomorph.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace N
inst✝⁴ : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝³ : TopologicalSpace N'
inst✝² : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners J N
h : E ≃ₘ^n⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, F)⟯ F
hn : 1 ≤ n
s : Set E
\u22a2 UniqueDiffOn 𝕜 (⇑h '' s) ↔ UniqueDiffOn 𝕜 s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t s : Set α
p : α → Prop
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → p x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t s : Set α
p : α → Prop
h : (μ.restrict s) {a | ¬p a} = 0
\u22a2 μ {a | ¬(a ∈ s → p a)} = 0
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set H
hs : IsOpen s
\u22a2 UniqueDiffOn 𝕜 (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set H
hs : IsOpen s
\u22a2 UniqueDiffOn 𝕜 (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/AddTorsor/AffineMap.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
n : ℕ∞
f : V →ᴬ[𝕜] W
\u22a2 ContDiff 𝕜 n ⇑f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/AddTorsor/AffineMap.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
n : ℕ∞
f : V →ᴬ[𝕜] W
\u22a2 ContDiff 𝕜 n (⇑f.contLinear + Function.const V (f 0))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/AddTorsor/AffineMap.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
n : ℕ∞
f : V →ᴬ[𝕜] W
\u22a2 ContDiff 𝕜 n (Function.const V (f 0))
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
s : Set Y
f : ↑s →ᵇ ℝ
hs : IsClosed s
t : Set ℝ
inst✝ : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : ↑s), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
\u22a2 ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ g.restrict s = f
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormalSpace Y
s : Set Y
f : ↑s →ᵇ ℝ
hs : IsClosed s
t : Set ℝ
inst✝ : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : ↑s), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
g : Y →ᵇ ℝ
hg : ∀ (y : Y), g y ∈ t
hgf : ⇑g ∘ Subtype.val = ⇑f
\u22a2 ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ g.restrict s = f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
f : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Inducing f
s : Set α
hs : IsSeparable s
\u22a2 IsSeparable (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
f : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Inducing f
s : Set α
hs : IsSeparable s
this : SeparableSpace ↑s
\u22a2 IsSeparable (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
f : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Inducing f
s : Set α
hs : IsSeparable s
this✝ : SeparableSpace ↑s
this : SecondCountableTopology ↑s
\u22a2 IsSeparable (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
f : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Inducing f
s : Set α
hs : IsSeparable s
this✝¹ : SeparableSpace ↑s
this✝ : SecondCountableTopology ↑s
this : Inducing (MapsTo.restrict f (f ⁻¹' s) s ⋯)
\u22a2 IsSeparable (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
f : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Inducing f
s : Set α
hs : IsSeparable s
this✝² : SeparableSpace ↑s
this✝¹ : SecondCountableTopology ↑s
this✝ : Inducing (MapsTo.restrict f (f ⁻¹' s) s ⋯)
this : SecondCountableTopology ↑(f ⁻¹' s)
\u22a2 IsSeparable (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Data/Real/ConjExponents.lean
a b p q : ℝ≥0
h : p.IsConjExponent q
\u22a2 p⁻¹ + q⁻¹ = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.23801, u_1} D
P : MorphismProperty C
inst✝ : P.RespectsIso
\u22a2 P.map (𝟭 C) = P
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = ⊤
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
\u22a2 closure {σ, swap x (σ x)} = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = ⊤
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
\u22a2 closure {σ, swap x (σ x)} = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = ⊤
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
\u22a2 closure {σ, swap x (σ x)} = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = ⊤
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
step1 : ∀ (n : ℕ), swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H
step2 : ∀ (n : ℕ), swap x ((σ ^ n) x) ∈ H
\u22a2 closure {σ, swap x (σ x)} = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = ⊤
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
step1 : ∀ (n : ℕ), swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H
step2 : ∀ (n : ℕ), swap x ((σ ^ n) x) ∈ H
step3 : ∀ (y : α), swap x y ∈ H
\u22a2 closure {σ, swap x (σ x)} = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = ⊤
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
step1 : ∀ (n : ℕ), swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H
step2 : ∀ (n : ℕ), swap x ((σ ^ n) x) ∈ H
step3 : ∀ (y : α), swap x y ∈ H
step4 : ∀ (y z : α), swap y z ∈ H
\u22a2 closure {σ, swap x (σ x)} = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = ⊤
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
step1 : ∀ (n : ℕ), swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H
step2 : ∀ (n : ℕ), swap x ((σ ^ n) x) ∈ H
step3 : ∀ (y : α), swap x y ∈ H
step4 : ∀ (y z : α), swap y z ∈ H
\u22a2 {σ | σ.IsSwap} ⊆ ↑(closure {σ, swap x (σ x)})
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α'
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace β'
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝ : NormedAddCommGroup E
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : generateFrom C = inst✝⁵
hD : generateFrom D = inst✝³
h2C : IsCountablySpanning C
h2D : IsCountablySpanning D
\u22a2 generateFrom (image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D) = Prod.instMeasurableSpace
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/RankNullity.lean
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Set M
hs : LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val
\u22a2 ∃ t, s ⊆ t ∧ #↑t = Module.rank R M ∧ LinearIndependent (ι := ↑t) R Subtype.val
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/RankNullity.lean
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Set M
hs : LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val
t : Set (M ⧸ Submodule.span R s)
ht : #↑t = Module.rank R (M ⧸ Submodule.span R s)
ht' : LinearIndependent (ι := ↑t) R Subtype.val
\u22a2 ∃ t, s ⊆ t ∧ #↑t = Module.rank R M ∧ LinearIndependent (ι := ↑t) R Subtype.val
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/RankNullity.lean
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Set M
hs : LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val
t : Set (M ⧸ Submodule.span R s)
ht : #↑t = Module.rank R (M ⧸ Submodule.span R s)
ht' : LinearIndependent (ι := ↑t) R Subtype.val
sec : M ⧸ Submodule.span R s → M
hsec : ∀ (b : M ⧸ Submodule.span R s), Submodule.Quotient.mk (sec b) = b
\u22a2 ∃ t, s ⊆ t ∧ #↑t = Module.rank R M ∧ LinearIndependent (ι := ↑t) R Subtype.val
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/RankNullity.lean
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Set M
hs : LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val
t : Set (M ⧸ Submodule.span R s)
ht : #↑t = Module.rank R (M ⧸ Submodule.span R s)
ht' : LinearIndependent (ι := ↑t) R Subtype.val
sec : M ⧸ Submodule.span R s → M
hsec : ∀ (b : M ⧸ Submodule.span R s), Submodule.Quotient.mk (sec b) = b
hsec' : Submodule.Quotient.mk ∘ sec = id
\u22a2 ∃ t, s ⊆ t ∧ #↑t = Module.rank R M ∧ LinearIndependent (ι := ↑t) R Subtype.val
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/RankNullity.lean
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Set M
hs : LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val
t : Set (M ⧸ Submodule.span R s)
ht : #↑t = Module.rank R (M ⧸ Submodule.span R s)
ht' : LinearIndependent (ι := ↑t) R Subtype.val
sec : M ⧸ Submodule.span R s → M
hsec : ∀ (b : M ⧸ Submodule.span R s), Submodule.Quotient.mk (sec b) = b
hsec' : Submodule.Quotient.mk ∘ sec = id
hst : Disjoint s (sec '' t)
\u22a2 ∃ t, s ⊆ t ∧ #↑t = Module.rank R M ∧ LinearIndependent (ι := ↑t) R Subtype.val
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/RankNullity.lean
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Set M
hs : LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val
t : Set (M ⧸ Submodule.span R s)
ht : #↑t = Module.rank R (M ⧸ Submodule.span R s)
ht' : LinearIndependent (ι := ↑t) R Subtype.val
sec : M ⧸ Submodule.span R s → M
hsec : ∀ (b : M ⧸ Submodule.span R s), Submodule.Quotient.mk (sec b) = b
hsec' : Submodule.Quotient.mk ∘ sec = id
hst : Disjoint s (sec '' t)
\u22a2 #↑(s ∪ sec '' t) = Module.rank R M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/RankNullity.lean
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Set M
hs : LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val
t : Set (M ⧸ Submodule.span R s)
ht : #↑t = Module.rank R (M ⧸ Submodule.span R s)
ht' : LinearIndependent (ι := ↑t) R Subtype.val
sec : M ⧸ Submodule.span R s → M
hsec : ∀ (b : M ⧸ Submodule.span R s), Submodule.Quotient.mk (sec b) = b
hsec' : Submodule.Quotient.mk ∘ sec = id
hst : Disjoint s (sec '' t)
\u22a2 LinearIndependent (ι := ↑(s ∪ sec '' t)) R Subtype.val
-- Mathlib/Tactic/Abel.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddCommMonoid α
c : ℕ
\u22a2 smul c 0 = 0
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
\u22a2 ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
\u22a2 ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖0‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) 0 ≤ 2 / 3 * ‖0‖
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : f ≠ 0
\u22a2 ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
\u22a2 ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
\u22a2 ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
\u22a2 ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
\u22a2 ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
\u22a2 ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : ClosedEmbedding ⇑e
h3 : 0 < 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd : Disjoint (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3))) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (-‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ : EqOn (⇑g) (Function.const Y (‖f‖ / 3)) (⇑e '' (⇑f ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), g x ∈ Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)
\u22a2 ∃ g, ‖g‖ ≤ ‖f‖ / 3 ∧ dist (g.compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝ : AddCommMonoid α
hf : Periodic f c
x : α
m : ℕ
\u22a2 f (⟨(fun i => i • c) m, ⋯⟩ +ᵥ x) = f x
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
\u22a2 indexOf a (a :: l) = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : LT α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
\u22a2 a < b * a ↔ 1 * a < b * a
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/MvPolynomial.lean
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
e : σ →₀ ℕ
s : S
n : N
d : σ →₀ ℕ
\u22a2 (rTensor ((monomial e) s ⊗ₜ[R] n)) d = if e = d then s ⊗ₜ[R] n else 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝² : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 β
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : 𝕜
\u22a2 DominatedFinMeasAdditive μ (fun s => c • T s) (‖c‖ * C)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝² : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 β
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : 𝕜
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
\u22a2 ‖(fun s => c • T s) s‖ ≤ ‖c‖ * C * (μ s).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝² : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 β
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : 𝕜
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
\u22a2 ‖c • T s‖ ≤ ‖c‖ * C * (μ s).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝² : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 β
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : 𝕜
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
\u22a2 ‖c‖ * ‖T s‖ ≤ ‖c‖ * (C * (μ s).toReal)
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t : Set β
s : Set α
f : Filter α
\u22a2 map Subtype.val (comap Subtype.val f) = f ⊓ 𝓟 s
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a✝¹ : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
a✝ : α
\u22a2 a✝ ∈ (a • s)⁻¹ ↔ a✝ ∈ op a⁻¹ • s⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
\u22a2 max (μ univ) (ν univ) < ⊤