ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n : ℕ+
\u22a2 m ∣ n → m.gcd n = m
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n : ℕ+
\u22a2 ↑m ∣ ↑n → m.gcd n = m
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n : ℕ+
h : ↑m ∣ ↑n
\u22a2 m.gcd n = m
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n : ℕ+
h : ↑m ∣ ↑n
\u22a2 ↑(m.gcd n) = ↑m
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n : ℕ+
h : ↑m ∣ ↑n
\u22a2 (↑m).gcd ↑n = ↑m
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
\u22a2 bernoulliFun k 1 = bernoulliFun k 0 + if k = 1 then 1 else 0
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
\u22a2 (algebraMap ℚ ℝ) (bernoulli' k) = ↑(bernoulli k) + if k = 1 then 1 else 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
h : nilpotencyLength R L M ≤ 1
a✝ : Nontrivial M
\u22a2 IsTrivial L M
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
h✝ : nilpotencyLength R L M ≤ 1
a✝ : Nontrivial M
h : nilpotencyLength R L M = 0
\u22a2 IsTrivial L M
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
h✝ : nilpotencyLength R L M ≤ 1
a✝ : Nontrivial M
h : nilpotencyLength R L M = 1
\u22a2 IsTrivial L M
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat
z : HomogeneousLocalization 𝒜 (Submonoid.powers f)
\u22a2 ¬IsUnit ((mapId 𝒜 ⋯) z) ↔ z ∈ ProjIsoSpecTopComponent.ToSpec.carrier x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat
z : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
\u22a2 ¬IsUnit ((mapId 𝒜 ⋯) (HomogeneousLocalization.mk z)) ↔ HomogeneousLocalization.mk z ∈ ProjIsoSpecTopComponent.ToSpec.carrier x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat
z : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
\u22a2 ↑{ deg := z.deg, num := ⟨(RingHom.id A) ↑z.num, ⋯⟩, den := ⟨(RingHom.id A) ↑z.den, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.num ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal.primeCompl ↔ ↑z.num ∈ (↑x).asHomogeneousIdeal
-- Mathlib/Analysis/Convex/Independent.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t : Set E
ι' : Type u_4
f : ι' ↪ ι
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
s : Set ι'
x : ι'
hx : (p ∘ ⇑f) x ∈ (convexHull 𝕜) (p ∘ ⇑f '' s)
\u22a2 x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Independent.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t : Set E
ι' : Type u_4
f : ι' ↪ ι
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
s : Set ι'
x : ι'
hx : (p ∘ ⇑f) x ∈ (convexHull 𝕜) (p ∘ ⇑f '' s)
\u22a2 f x ∈ ⇑f '' s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V
\u22a2 ∃ v, G.minDegree = G.degree v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V
t : ℕ
ht : (image (fun v => G.degree v) univ).min = ↑t
\u22a2 ∃ v, G.minDegree = G.degree v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V
v : V
left✝ : v ∈ univ
ht : (image (fun v => G.degree v) univ).min = ↑(G.degree v)
\u22a2 ∃ v, G.minDegree = G.degree v
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
g : G
\u22a2 IsComplement S {g} ↔ S = univ
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
g : G
h : IsComplement S {g}
x : G
x✝ : x ∈ ⊤
\u22a2 x ∈ S
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
g : G
h : IsComplement S {g}
x : G
x✝ : x ∈ ⊤
y : ↑S × ↑{g}
hy : (fun x => ↑x.1 * ↑x.2) y = x * g
\u22a2 x ∈ S
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
g : G
h : IsComplement S {g}
x : G
x✝ : x ∈ ⊤
y : ↑S × ↑{g}
hy : (fun x => ↑x.1 * ↑x.2) y = x * ↑y.2
\u22a2 x ∈ S
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
g : G
h : IsComplement S {g}
x : G
x✝ : x ∈ ⊤
y : ↑S × ↑{g}
hy : (fun x => ↑x.1 * ↑x.2) y = x * ↑y.2
\u22a2 ↑y.1 ∈ S
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F'✝ : I.Filtration M
h : F.Stable
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
hF : F.Stable
F' : I.Filtration M
hf : F' ≤ F
\u22a2 F'.Stable
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F'✝ : I.Filtration M
h : F.Stable
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
hF : F.submodule.FG
F' : I.Filtration M
hf : F' ≤ F
\u22a2 F'.submodule.FG
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F'✝ : I.Filtration M
h : F.Stable
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
hF : F.submodule.FG
F' : I.Filtration M
hf : F' ≤ F
\u22a2 ∀ (i : ℕ), (F'.N i).FG
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F'✝ : I.Filtration M
h : F.Stable
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
hF : F.Stable
F' : I.Filtration M
hf : F' ≤ F
\u22a2 ∀ (i : ℕ), (F.N i).FG
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F'✝ : I.Filtration M
h : F.Stable
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
hF : F.submodule.FG
F' : I.Filtration M
hf : F' ≤ F
this : IsNoetherian ↥(reesAlgebra I) ↥F.submodule
\u22a2 F'.submodule.FG
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F'✝ : I.Filtration M
h : F.Stable
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
hF : F.submodule.FG
F' : I.Filtration M
hf : F' ≤ F
this : ∀ s ≤ F.submodule, s.FG
\u22a2 F'.submodule.FG
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
\u22a2 0 ≤ᶠ[ae μ] f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, 0 ≤ f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
\u22a2 ∀ b < 0, μ {x | f x ≤ b} = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
b : ℝ
hb_neg : b < 0
s : Set α := {x | f x ≤ b}
\u22a2 μ {x | f x ≤ b} = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
b : ℝ
hb_neg : b < 0
s : Set α := {x | f x ≤ b}
hs : NullMeasurableSet s μ
\u22a2 μ {x | f x ≤ b} = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
b : ℝ
hb_neg : b < 0
s : Set α := {x | f x ≤ b}
hs : NullMeasurableSet s μ
mus : μ s < ⊤
\u22a2 μ {x | f x ≤ b} = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
b : ℝ
hb_neg : b < 0
s : Set α := {x | f x ≤ b}
hs : NullMeasurableSet s μ
mus : μ s < ⊤
h_int_gt : ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ b * (μ s).toReal
\u22a2 μ {x | f x ≤ b} = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
b : ℝ
hb_neg : b < 0
s : Set α := {x | f x ≤ b}
hs : NullMeasurableSet s μ
mus : μ s < ⊤
H : μ {x | f x ≤ b} ≠ 0
\u22a2 b * (μ s).toReal < ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Trifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{?u.82244, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{?u.82248, u_2} C₂
inst✝⁴ : Category.{?u.82252, u_3} C₃
inst✝³ : Category.{?u.82256, u_4} C₄
inst✝² : Category.{?u.82260, u_5} C₁₂
inst✝¹ : Category.{?u.82264, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
inst✝ : ∀ (X₁ : GradedObject I₁ C₁) (X₂ : GradedObject I₂ C₂) (X₃ : GradedObject I₃ C₃), ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁
φ✝ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ Y₃ : GradedObject I₃ C₃
φ : X₃ ⟶ Y₃
j : J
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
h : p (i₁, i₂, i₃) = j
\u22a2 ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) (𝟙 X₂) φ j ≫ mapTrifunctorMapMap F p φ✝ (𝟙 X₂) (𝟙 Y₃) j = ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ mapTrifunctorMapMap F p φ✝ (𝟙 X₂) (𝟙 X₃) j ≫ mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 Y₁) (𝟙 X₂) φ j
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Trifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{?u.82244, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{?u.82248, u_2} C₂
inst✝⁴ : Category.{?u.82252, u_3} C₃
inst✝³ : Category.{?u.82256, u_4} C₄
inst✝² : Category.{?u.82260, u_5} C₁₂
inst✝¹ : Category.{?u.82264, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
inst✝ : ∀ (X₁ : GradedObject I₁ C₁) (X₂ : GradedObject I₂ C₂) (X₃ : GradedObject I₃ C₃), ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁
φ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ Y₂ : GradedObject I₂ C₂
ψ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
j : J
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
h : p (i₁, i₂, i₃) = j
\u22a2 ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 X₁) ψ (𝟙 X₃) j ≫ mapTrifunctorMapMap F p φ (𝟙 Y₂) (𝟙 X₃) j = ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ mapTrifunctorMapMap F p φ (𝟙 X₂) (𝟙 X₃) j ≫ mapTrifunctorMapMap F p (𝟙 Y₁) ψ (𝟙 X₃) j
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : Countable β
x : β
s : β → Set β
hs : ∀ y ∉ measurableAtom x, x ∈ s y ∧ MeasurableSet (s y) ∧ y ∉ s y
this : measurableAtom x = ⋂ y ∈ (measurableAtom x)ᶜ, s y
\u22a2 MeasurableSet (⋂ y ∈ (measurableAtom x)ᶜ, s y)
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
\u22a2 exponent G = 0 ↔ ∀ n > 0, ∃ g, g ^ n ≠ 1
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
\u22a2 (¬∃ n, 0 < n ∧ ∀ (g : G), g ^ n = 1) ↔ ∀ n > 0, ∃ g, g ^ n ≠ 1
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
\u22a2 (∀ (n : ℕ), 0 < n → ∃ g, g ^ n ≠ 1) ↔ ∀ n > 0, ∃ g, g ^ n ≠ 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
L R : C ⥤ C
adj : L ⊣ R
α : R ⟶ 𝟭 C
c : C
\u22a2 𝟙 c ≫ (adj.unit.app c ≫ (𝟙 (R.obj (L.obj c)) ≫ α.app (L.obj c) ≫ 𝟙 (L.obj c)) ≫ 𝟙 (L.obj c)) ≫ 𝟙 (L.obj c) = adj.unit.app c ≫ α.app (L.obj c)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ a b : α
\u22a2 (a ⊓ b) ^ 2 = a * b / mabs (b / a)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
\u22a2 (IsSeparatedFor P R ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) ↔ IsSheafFor P R
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
\u22a2 (∀ (x : FamilyOfElements P R), (∀ (t₁ t₂ : P.obj (op X)), x.IsAmalgamation t₁ → x.IsAmalgamation t₂ → t₁ = t₂) ∧ (x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t)) ↔ IsSheafFor P R
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
\u22a2 ∀ (a : FamilyOfElements P R), (∀ (t₁ t₂ : P.obj (op X)), a.IsAmalgamation t₁ → a.IsAmalgamation t₂ → t₁ = t₂) ∧ (a.Compatible → ∃ t, a.IsAmalgamation t) ↔ a.Compatible → ∃! t, a.IsAmalgamation t
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
n : ℕ
\u22a2 (x - y) * ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = x ^ n - y ^ n
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
p : Submodule R M
\u22a2 ↑(lieSpan R L ↑p) = p ↔ ∃ N, ↑N = p
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
p : Submodule R M
\u22a2 ↑(lieSpan R L ↑p) = p ↔ ∀ (x : L), ∀ m ∈ p, ⁅x, m⁆ ∈ p
-- Mathlib/Data/Semiquot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
q : Semiquot α
f : α → β
a : α
aq : a ∈ q
\u22a2 ∀ (h : ∀ a ∈ q, ∀ b ∈ q, f a = f b), q.liftOn f h = f a
-- Mathlib/Data/Semiquot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
q : Semiquot α
f : α → β
a : α
aq : a ∈ q
\u22a2 ∀ (h : ∀ a_1 ∈ mk aq, ∀ b ∈ mk aq, f a_1 = f b), (mk aq).liftOn f h = f a
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
\u22a2 IsUnit ζ
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
\u22a2 ζ * ζ ^ (k - 1) = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x : ℝ
\u22a2 1 ^ x = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x : ℝ
\u22a2 ↑(1 ^ x) = ↑1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
a✝ b : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a : α
\u22a2 f a * ∏ x ∈ Ioi a, f x = ∏ x ∈ Ici a, f x
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
\u22a2 ∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, Monotone fun r => preCDF ρ r a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
\u22a2 ∀ (i i_1 : ℚ), i ≤ i_1 → ∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, preCDF ρ i a ≤ preCDF ρ i_1 a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
r r' : ℚ
hrr' : r ≤ r'
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x✝ : ρ.fst s < ⊤
\u22a2 ∫⁻ (x : α) in s, preCDF ρ r x ∂ρ.fst ≤ ∫⁻ (x : α) in s, preCDF ρ r' x ∂ρ.fst
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
r r' : ℚ
hrr' : r ≤ r'
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x✝ : ρ.fst s < ⊤
\u22a2 (ρ.IicSnd ↑r) s ≤ (ρ.IicSnd ↑r') s
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x✝ x : α
xs : List α
\u22a2 (x :: xs).formPerm ((x :: xs).get ⟨xs.length, ⋯⟩) = x
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.31752, u_1} C
X Y : PresheafedSpace C
H : ↑X ≅ ↑Y
α : (Presheaf.pushforward C H.hom).obj X.presheaf ≅ Y.presheaf
U✝ : Opens ↑↑Y
\u22a2 (α.inv.app (op U✝) ≫ (Presheaf.toPushforwardOfIso H α.hom).app (op ((Opens.map H.hom).obj U✝))) ≫ Y.presheaf.map ((eqToHom ⋯).app (op U✝)) = (𝟙 Y).c.app (op U✝)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.31752, u_1} C
X Y : PresheafedSpace C
H : ↑X ≅ ↑Y
α : (Presheaf.pushforward C H.hom).obj X.presheaf ≅ Y.presheaf
U✝ : Opens ↑↑Y
\u22a2 α.inv.app (op U✝) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ ((Presheaf.pushforward C H.hom).obj X.presheaf).map ((eqToHom ⋯).app (op U✝)) ≫ α.hom.app (op ((Opens.map (𝟙 ↑Y)).obj U✝)) = (𝟙 Y).c.app (op U✝)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.31752, u_1} C
X Y : PresheafedSpace C
H : ↑X ≅ ↑Y
α : (Presheaf.pushforward C H.hom).obj X.presheaf ≅ Y.presheaf
U✝ : Opens ↑↑Y
\u22a2 α.inv.app (op U✝) ≫ α.hom.app (op ((Opens.map (𝟙 ↑Y)).obj U✝)) = (𝟙 Y).c.app (op U✝)
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
s t : Set E
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
\u22a2 IsVonNBounded 𝕜 (s - t) ↔ IsVonNBounded 𝕜 s ∧ IsVonNBounded 𝕜 t
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
\u22a2 (α ≪≫ refl Y).hom = α.hom
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x : ℂ
hi : x.im < 0
\u22a2 (-x).arg = x.arg + π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x : ℂ
hi : x.im < 0
\u22a2 Real.arccos ((-x).re / abs (-x)) = -Real.arccos (x.re / abs x) + π
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
f : L.Functions 2
t₁ t₂ : L.Term α
v : α → M
\u22a2 (funMap f fun i => realize v (![t₁, t₂] i)) = funMap f ![realize v t₁, realize v t₂]
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
f : L.Functions 2
t₁ t₂ : L.Term α
v : α → M
\u22a2 realize v (![t₁, t₂] 0) = ![realize v t₁, realize v t₂] 0
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
f : L.Functions 2
t₁ t₂ : L.Term α
v : α → M
\u22a2 ∀ (i : Fin 1), realize v (![t₁, t₂] i.succ) = ![realize v t₁, realize v t₂] i.succ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β
\u22a2 TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ ∀ ε > 0, ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, dist (f y) (F n y) < ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β
H : ∀ ε > 0, ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, dist (f y) (F n y) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
x : β
hx : x ∈ s
\u22a2 ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β
H : ∀ ε > 0, ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, dist (f y) (F n y) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
x : β
hx : x ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ u
\u22a2 ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β
H : ∀ ε > 0, ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, dist (f y) (F n y) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
x : β
hx : x ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ u
t : Set β
ht : t ∈ 𝓝[s] x
Ht : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, dist (f y) (F n y) < ε
\u22a2 ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : IsPurelyInseparable F E
L : Type w
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsReduced L
f g : E →+* L
heq : (fun f => f.comp (algebraMap F E)) f = (fun f => f.comp (algebraMap F E)) g
x : E
q : ℕ := ringExpChar F
\u22a2 f x = g x
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : IsPurelyInseparable F E
L : Type w
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsReduced L
f g : E →+* L
heq : (fun f => f.comp (algebraMap F E)) f = (fun f => f.comp (algebraMap F E)) g
x : E
q : ℕ := ringExpChar F
n : ℕ
y : F
h : (algebraMap F E) y = x ^ q ^ n
\u22a2 f x = g x