ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
hl : l ≠ ⊥
this✝ : l.NeBot
ε : ℝ
hε : ε > 0
q : ℚ
hqpos : 0 < q
hqε : ↑q < ε
hfg' : ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ↑q
this : ∀ᶠ (x : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.1) (f' (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.1 (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.2) (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.2 ∧ HasFDerivAt (f (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.1) (f' (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.1 (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.2) (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.2
a : ι × ι → Prop
b : ∀ᶠ (x : ι × ι) in l ×ˢ l, a x
c : E → Prop
d : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, c y
e : ∀ {x : ι × ι}, a x → ∀ {y : E}, c y → dist (0 (x, y).2) (f' (x, y).1.1 (x, y).2 - f' (x, y).1.2 (x, y).2) < ↑q ∧ HasFDerivAt (f ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).1.1) (f' ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).1.1 ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).1.2) ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).1.2 ∧ HasFDerivAt (f ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).2.1) (f' ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).2.1 ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).2.2) ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).2.2
r : ℝ
hr : 0 < r
hr' : ∀ ⦃x_1 : E⦄, x_1 ∈ Metric.ball x r → c x_1
n : ι × ι
hn : a n
y : E
hy : (fun e => Metric.ball x r e) y
\u22a2 ‖y - x‖⁻¹ * ‖f n.1 y - f n.1 x - (f n.2 y - f n.2 x)‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
hl : l ≠ ⊥
this✝ : l.NeBot
ε : ℝ
hε : ε > 0
q : ℚ
hqpos : 0 < q
hqε : ↑q < ε
hfg' : ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ↑q
this : ∀ᶠ (x : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.1) (f' (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.1 (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.2) (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.2 ∧ HasFDerivAt (f (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.1) (f' (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.1 (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.2) (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.2
a : ι × ι → Prop
b : ∀ᶠ (x : ι × ι) in l ×ˢ l, a x
c : E → Prop
d : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, c y
e : ∀ {x : ι × ι}, a x → ∀ {y : E}, c y → dist (0 (x, y).2) (f' (x, y).1.1 (x, y).2 - f' (x, y).1.2 (x, y).2) < ↑q ∧ HasFDerivAt (f ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).1.1) (f' ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).1.1 ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).1.2) ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).1.2 ∧ HasFDerivAt (f ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).2.1) (f' ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).2.1 ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).2.2) ((((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.1, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.1), ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).1.2, ((x, y).1, (x, y).2, (x, y).2).2.2).2.2
r : ℝ
hr : 0 < r
hr' : ∀ ⦃x_1 : E⦄, x_1 ∈ Metric.ball x r → c x_1
n : ι × ι
hn : a n
y : E
hy : (fun e => Metric.ball x r e) y
\u22a2 ‖y - x‖⁻¹ * ‖f n.1 y - f n.1 x - (f n.2 y - f n.2 x)‖ ≤ ↑q
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
hl : l ≠ ⊥
this✝ : l.NeBot
ε : ℝ
hε : ε > 0
q : ℚ
hqpos : 0 < q
hqε : ↑q < ε
hfg' : ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ↑q
this : ∀ᶠ (x : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.1) (f' (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.1 (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.2) (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).1.2 ∧ HasFDerivAt (f (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.1) (f' (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.1 (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.2) (((x.1, x.2, x.2).1.1, (x.1, x.2, x.2).2.1), (x.1, x.2, x.2).1.2, (x.1, x.2, x.2).2.2).2.2
a : ι × ι → Prop
b : ∀ᶠ (x : ι × ι) in l ×ˢ l, a x
c : E → Prop
d : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, c y
r : ℝ
hr : 0 < r
hr' : ∀ ⦃x_1 : E⦄, x_1 ∈ Metric.ball x r → c x_1
n : ι × ι
hn : a n
y : E
hy : (fun e => Metric.ball x r e) y
hyz' : ¬x = y
hyz : 0 < ‖y - x‖
e : ∀ {x : ι × ι}, a x → ∀ {y : E}, c y → ‖f' x.1 y - f' x.2 y‖ < ↑q ∧ HasFDerivAt (f x.1) (f' x.1 y) y ∧ HasFDerivAt (f x.2) (f' x.2 y) y
\u22a2 ‖f n.1 y - f n.2 y - (f n.1 x - f n.2 x)‖ ≤ ↑q * ‖y - x‖
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/ClosedImmersion.lean
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
h : Function.Surjective ⇑f
x : ↑↑(Spec S).toPresheafedSpace
\u22a2 Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap (Spec.map f) x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/ClosedImmersion.lean
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
h : Function.Surjective ⇑f
x : ↑↑(Spec S).toPresheafedSpace
this : (RingHom.toMorphismProperty fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => Function.Surjective ⇑f).RespectsIso
\u22a2 Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap (Spec.map f) x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/ClosedImmersion.lean
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
h : Function.Surjective ⇑f
x : ↑↑(Spec S).toPresheafedSpace
this : (RingHom.toMorphismProperty fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => Function.Surjective ⇑f).RespectsIso
\u22a2 RingHom.toMorphismProperty (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => Function.Surjective ⇑f) (CommRingCat.ofHom (Localization.localRingHom ((PrimeSpectrum.comap f) x).asIdeal x.asIdeal f ⋯))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
\u22a2 (compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ (c • x))) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) = c • (compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝² : NormedCommRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : IsEmpty ι
\u22a2 ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖ = ‖1‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝² : NormedCommRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : IsEmpty ι
\u22a2 ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖ ≤ ‖1‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝² : NormedCommRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : IsEmpty ι
\u22a2 ‖1‖ ≤ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b c d : Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u_1}
\u22a2 0 ⨳ a = 0
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : p.IsMaximal
inst✝ : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
he : e ≠ 0
this : NeZero e := { out := he }
\u22a2 Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P ^ e) = e • Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P)
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : p.IsMaximal
inst✝ : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
he : e ≠ 0
this✝ : NeZero e := { out := he }
this : Module.rank (R ⧸ p) ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ 0)) = (e - 0) • Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P)
\u22a2 Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P ^ e) = e • Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P)
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : p.IsMaximal
inst✝ : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
he : e ≠ 0
this✝ : NeZero e := { out := he }
this : Module.rank (R ⧸ p) ↥⊤ = e • Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P)
\u22a2 Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P ^ e) = e • Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P)
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m : ℤ
n : ℕ
\u22a2 fract (↑m / ↑n) = ↑(m % ↑n) / ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m : ℤ
\u22a2 fract (↑m / ↑0) = ↑(m % ↑0) / ↑0
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m : ℤ
n : ℕ
hn : n > 0
\u22a2 fract (↑m / ↑n) = ↑(m % ↑n) / ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m : ℤ
n : ℕ
hn : 0 < ↑n
this : ∀ {l : ℤ}, 0 ≤ l → fract (↑l / ↑n) = ↑(l % ↑n) / ↑n
\u22a2 fract (↑m / ↑n) = ↑(m % ↑n) / ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
n : ℕ
hn : 0 < ↑n
this : ∀ {l : ℤ}, 0 ≤ l → fract (↑l / ↑n) = ↑(l % ↑n) / ↑n
m₀ : ℕ
\u22a2 fract (↑↑m₀ / ↑n) = ↑(↑m₀ % ↑n) / ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
n : ℕ
hn : 0 < ↑n
this : ∀ {l : ℤ}, 0 ≤ l → fract (↑l / ↑n) = ↑(l % ↑n) / ↑n
m₀ : ℕ
\u22a2 fract (↑(-↑m₀) / ↑n) = ↑(-↑m₀ % ↑n) / ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
n : ℕ
hn : 0 < ↑n
this : ∀ {l : ℤ}, 0 ≤ l → fract (↑l / ↑n) = ↑(l % ↑n) / ↑n
m₀ : ℕ
q : ℤ := ⌈↑m₀ / ↑n⌉
m₁ : ℤ := q * ↑n - ↑m₀
\u22a2 fract (↑(-↑m₀) / ↑n) = ↑(-↑m₀ % ↑n) / ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
n : ℕ
hn : 0 < ↑n
this : ∀ {l : ℤ}, 0 ≤ l → fract (↑l / ↑n) = ↑(l % ↑n) / ↑n
m₀ : ℕ
q : ℤ := ⌈↑m₀ / ↑n⌉
m₁ : ℤ := q * ↑n - ↑m₀
hm₁ : 0 ≤ m₁
\u22a2 fract (↑(-↑m₀) / ↑n) = ↑(-↑m₀ % ↑n) / ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
n : ℕ
hn : 0 < ↑n
this : ∀ {l : ℤ}, 0 ≤ l → fract (↑l / ↑n) = ↑(l % ↑n) / ↑n
m₀ : ℕ
q : ℤ := ⌈↑m₀ / ↑n⌉
m₁ : ℤ := q * ↑n - ↑m₀
hm₁ : 0 ≤ m₁
\u22a2 fract (-↑m₀ / ↑n) = fract (↑m₁ / ↑n)
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
n : ℕ
hn : 0 < ↑n
this : ∀ {l : ℤ}, 0 ≤ l → fract (↑l / ↑n) = ↑(l % ↑n) / ↑n
m₀ : ℕ
q : ℤ := ⌈↑m₀ / ↑n⌉
m₁ : ℤ := q * ↑n - ↑m₀
hm₁ : 0 ≤ m₁
\u22a2 ↑(m₁ % ↑n) / ↑n = ↑(-↑m₀ % ↑n) / ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n p : ℕ
pp : Prime p
k x : ℕ
\u22a2 x ∈ (p ^ k).divisors ↔ ∃ j ≤ k, x = p ^ j
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
\u22a2 IsClosedMap f ↔ ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
\u22a2 (∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)) → IsClosedMap f
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
\u22a2 IsClosed (f '' s)
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
\u22a2 ∀ (i : ι), IsClosed (Subtype.val ⁻¹' (f '' s))
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
i : ι
\u22a2 IsClosed (Subtype.val ⁻¹' (f '' s))
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
i : ι
e_1✝ : ↥(U i) = ↑(U i).carrier
\u22a2 Subtype.val ⁻¹' (f '' s) = (U i).carrier.restrictPreimage f '' (Subtype.val ⁻¹' sᶜ)ᶜ
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
i : ι
e_1✝ : ↥(U i) = ↑(U i).carrier
x : β
hx : x ∈ U i
\u22a2 ⟨x, hx⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' (f '' s) ↔ ⟨x, hx⟩ ∈ (U i).carrier.restrictPreimage f '' (Subtype.val ⁻¹' sᶜ)ᶜ
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
i : ι
e_1✝ : ↥(U i) = ↑(U i).carrier
x : β
hx : x ∈ U i
\u22a2 (∃ y ∈ s, f y = x) ↔ ∃ y ∈ s, f y ∈ U i ∧ f y = x
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
\u22a2 cs.IsReflection t⁻¹
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : ι → E
inst✝ : Fintype ι'
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
x : E
i' : ι'
\u22a2 (b.reindex e).repr x i' = b.repr x (e.symm i')
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
h : ∃ n a, a ∈ f n
\u22a2 (rfindOpt f).Dom
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
h : ∃ n a, a ∈ f n
h' : ∃ n, (f n).isSome = true
\u22a2 (rfindOpt f).Dom
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
h : ∃ n a, a ∈ f n
h' : ∃ n, (f n).isSome = true
s : (f (Nat.find h')).isSome = true
\u22a2 (rfindOpt f).Dom
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
h : ∃ n a, a ∈ f n
h' : ∃ n, (f n).isSome = true
s : (f (Nat.find h')).isSome = true
fd : (rfind fun n => ↑(Option.some (f n).isSome)).Dom
\u22a2 (rfindOpt f).Dom
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
h : ∃ n a, a ∈ f n
h' : ∃ n, (f n).isSome = true
s : (f (Nat.find h')).isSome = true
fd : (rfind fun n => ↑(Option.some (f n).isSome)).Dom
\u22a2 ((fun b => (fun n => ↑(f n)) ((rfind fun n => ↑(Option.some (f n).isSome)).get b)) fd).Dom
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
h : ∃ n a, a ∈ f n
h' : ∃ n, (f n).isSome = true
s : (f (Nat.find h')).isSome = true
fd : (rfind fun n => ↑(Option.some (f n).isSome)).Dom
this : true ∈ ↑(Option.some (f ((rfind fun n => ↑(Option.some (f n).isSome)).get fd)).isSome)
\u22a2 ((fun b => (fun n => ↑(f n)) ((rfind fun n => ↑(Option.some (f n).isSome)).get b)) fd).Dom
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
n : ℕ
\u22a2 ((↑s).drop n).head = Computation.pure (s.get? n)
-- Mathlib/Algebra/Order/Chebyshev.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
s : Finset ι
σ : Perm ι
f g : ι → α
hfg : AntivaryOn f g ↑s
\u22a2 ↑s.card * ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, f i) * ∑ i ∈ s, g i
-- Mathlib/Algebra/Order/Chebyshev.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
s : Finset ι
σ : Perm ι
f g : ι → α
hfg : AntivaryOn f g ↑s
\u22a2 s.card • ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, f i) * ∑ i ∈ s, g i
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
\u22a2 σ 0 = {0}
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
\u22a2 σ 0 ⊆ {0}
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
\u22a2 {0}ᶜ ⊆ resolventSet 𝕜 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
k : 𝕜
hk : k ∈ {0}ᶜ
\u22a2 k ∈ resolventSet 𝕜 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
k : 𝕜
hk : k ≠ 0
\u22a2 k ∈ resolventSet 𝕜 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
k : 𝕜
hk : k ≠ 0
this : IsUnit (Units.mk0 k hk • 1)
\u22a2 k ∈ resolventSet 𝕜 0