ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
\u22a2 ((α_ R.X P.X S.X).hom ≫ R.X ◁ P.actRight) ≫ P.actLeft = P.actLeft ▷ S.X ≫ P.actRight
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
\u22a2 ((α_ R.X P.X S.X).hom ≫ R.X ◁ P.actRight) ≫ P.actLeft = (α_ R.X P.X S.X).hom ≫ R.X ◁ P.actRight ≫ P.actLeft
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
cs cs' : List Char
i p : Nat
hp : i + utf8Len cs = p
\u22a2 utf8GetAux? (cs ++ cs') { byteIdx := i } { byteIdx := p } = cs'.head?
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
\u22a2 ⌊0⌋₊ = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Balanced.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Balanced C
X✝ Y✝ : Cᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
fmono : Mono f
fepi : Epi f
\u22a2 IsIso f
-- Mathlib/CategoryTheory/Balanced.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Balanced C
X✝ Y✝ : Cᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
fmono : Mono f
fepi : Epi f
\u22a2 IsIso f.unop.op
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
\u22a2 canonicalEquiv S P P = RingEquiv.refl (FractionalIdeal S P)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
\u22a2 (canonicalEquiv S P P).trans (canonicalEquiv S P P) = RingEquiv.refl (FractionalIdeal S P)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
\u22a2 canonicalEquiv S P P = (canonicalEquiv S P P).symm
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Prod.lean
ι : Type u_1
G₁ : Type u_2
G₂ : Type u_3
G : ι → Type u_4
inst✝² : Semigroup G₁
inst✝¹ : Semigroup G₂
inst✝ : (i : ι) → Semigroup (G i)
x y : (i : ι) → G i
\u22a2 x ∣ y ↔ ∀ (i : ι), x i ∣ y i
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Prod.lean
ι : Type u_1
G₁ : Type u_2
G₂ : Type u_3
G : ι → Type u_4
inst✝² : Semigroup G₁
inst✝¹ : Semigroup G₂
inst✝ : (i : ι) → Semigroup (G i)
x y : (i : ι) → G i
\u22a2 (∃ c, ∀ (a : ι), y a = (x * c) a) ↔ ∃ f, ∀ (x_1 : ι), y x_1 = x x_1 * f x_1
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuedField.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
γ : Γ₀ˣ
x : hat K
γ₀ : Γ₀ := extensionValuation x
h : γ₀ ≠ 0
\u22a2 x ∈ closure (↑K '' {x | v x < ↑γ}) ↔ γ₀ < ↑γ
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuedField.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
γ : Γ₀ˣ
x : hat K
γ₀ : Γ₀ := extensionValuation x
h : γ₀ ≠ 0
hγ₀ : extension ⁻¹' {γ₀} ∈ 𝓝 x
\u22a2 x ∈ closure (↑K '' {x | v x < ↑γ}) ↔ γ₀ < ↑γ
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuedField.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
γ : Γ₀ˣ
x : hat K
γ₀ : Γ₀ := extensionValuation x
h : γ₀ ≠ 0
hγ₀ : extension ⁻¹' {γ₀} ∈ 𝓝 x
\u22a2 (∀ t ∈ 𝓝 x, ∃ y, ↑y ∈ t) ↔ γ₀ < ↑γ
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
\u22a2 inverse a = a⁻¹
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
\u22a2 inverse 0 = 0⁻¹
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
ha : a ≠ 0
\u22a2 inverse a = a⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/CrossProduct.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v w : Fin 3 → R
\u22a2 -(crossProduct v) w = (crossProduct w) v
-- Mathlib/Algebra/Group/Commute/Defs.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : Semigroup S
a b c✝ : S
h : Commute a b
c : S
\u22a2 a * (b * c) = b * (a * c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEDisjoint.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
\u22a2 ∃ t, (∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)) ∧ (∀ (i : ι), μ (t i) = 0) ∧ Pairwise (Disjoint on fun i => s i \ t i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEDisjoint.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
i : ι
\u22a2 μ ((fun i => toMeasurable μ (s i ∩ ⋃ j ∈ {i}ᶜ, s j)) i) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEDisjoint.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
\u22a2 Pairwise (Disjoint on fun i => s i \ (fun i => toMeasurable μ (s i ∩ ⋃ j ∈ {i}ᶜ, s j)) i)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x => rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))
\u22a2 Gamma (a * s + b * t) ≤ Gamma s ^ a * Gamma t ^ b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x => rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))
e : (1 / a).IsConjExponent (1 / b)
\u22a2 Gamma (a * s + b * t) ≤ Gamma s ^ a * Gamma t ^ b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x => rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))
e : (1 / a).IsConjExponent (1 / b)
hab' : b = 1 - a
hst : 0 < a * s + b * t
\u22a2 Gamma (a * s + b * t) ≤ Gamma s ^ a * Gamma t ^ b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x => rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))
e : (1 / a).IsConjExponent (1 / b)
hab' : b = 1 - a
hst : 0 < a * s + b * t
posf : ∀ (c u x : ℝ), x ∈ Ioi 0 → 0 ≤ f c u x
\u22a2 Gamma (a * s + b * t) ≤ Gamma s ^ a * Gamma t ^ b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x => rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))
e : (1 / a).IsConjExponent (1 / b)
hab' : b = 1 - a
hst : 0 < a * s + b * t
posf : ∀ (c u x : ℝ), x ∈ Ioi 0 → 0 ≤ f c u x
posf' : ∀ (c u : ℝ), ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ f c u x
\u22a2 Gamma (a * s + b * t) ≤ Gamma s ^ a * Gamma t ^ b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x => rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))
e : (1 / a).IsConjExponent (1 / b)
hab' : b = 1 - a
hst : 0 < a * s + b * t
posf : ∀ (c u x : ℝ), x ∈ Ioi 0 → 0 ≤ f c u x
posf' : ∀ (c u : ℝ), ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ f c u x
fpow : ∀ {c x : ℝ}, 0 < c → ∀ (u : ℝ), 0 < x → rexp (-x) * x ^ (u - 1) = f c u x ^ (1 / c)
\u22a2 Gamma (a * s + b * t) ≤ Gamma s ^ a * Gamma t ^ b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x => rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))
e : (1 / a).IsConjExponent (1 / b)
hab' : b = 1 - a
hst : 0 < a * s + b * t
posf : ∀ (c u x : ℝ), x ∈ Ioi 0 → 0 ≤ f c u x
posf' : ∀ (c u : ℝ), ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ f c u x
fpow : ∀ {c x : ℝ}, 0 < c → ∀ (u : ℝ), 0 < x → rexp (-x) * x ^ (u - 1) = f c u x ^ (1 / c)
f_mem_Lp : ∀ {c u : ℝ}, 0 < c → 0 < u → Memℒp (f c u) (ENNReal.ofReal (1 / c)) (volume.restrict (Ioi 0))
\u22a2 Gamma (a * s + b * t) ≤ Gamma s ^ a * Gamma t ^ b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x => rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))
e : (1 / a).IsConjExponent (1 / b)
hab' : b = 1 - a
hst : 0 < a * s + b * t
posf : ∀ (c u x : ℝ), x ∈ Ioi 0 → 0 ≤ f c u x
posf' : ∀ (c u : ℝ), ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ f c u x
fpow : ∀ {c x : ℝ}, 0 < c → ∀ (u : ℝ), 0 < x → rexp (-x) * x ^ (u - 1) = f c u x ^ (1 / c)
f_mem_Lp : ∀ {c u : ℝ}, 0 < c → 0 < u → Memℒp (f c u) (ENNReal.ofReal (1 / c)) (volume.restrict (Ioi 0))
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (a * s + b * t - 1) ≤ (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (s - 1)) ^ a * (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (t - 1)) ^ b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x => rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))
e : (1 / a).IsConjExponent (1 / b)
hab' : b = 1 - a
hst : 0 < a * s + b * t
posf : ∀ (c u x : ℝ), x ∈ Ioi 0 → 0 ≤ f c u x
posf' : ∀ (c u : ℝ), ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ f c u x
fpow : ∀ {c x : ℝ}, 0 < c → ∀ (u : ℝ), 0 < x → rexp (-x) * x ^ (u - 1) = f c u x ^ (1 / c)
f_mem_Lp : ∀ {c u : ℝ}, 0 < c → 0 < u → Memℒp (f c u) (ENNReal.ofReal (1 / c)) (volume.restrict (Ioi 0))
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (a * s + b * t - 1) = ∫ (a_1 : ℝ) in Ioi 0, f a s a_1 * f b t a_1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
s t a b : ℝ
hs : 0 < s
ht : 0 < t
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
f : ℝ → ℝ → ℝ → ℝ := fun c u x => rexp (-c * x) * x ^ (c * (u - 1))
e : (1 / a).IsConjExponent (1 / b)
hab' : b = 1 - a
hst : 0 < a * s + b * t
posf : ∀ (c u x : ℝ), x ∈ Ioi 0 → 0 ≤ f c u x
posf' : ∀ (c u : ℝ), ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ f c u x
fpow : ∀ {c x : ℝ}, 0 < c → ∀ (u : ℝ), 0 < x → rexp (-x) * x ^ (u - 1) = f c u x ^ (1 / c)
f_mem_Lp : ∀ {c u : ℝ}, 0 < c → 0 < u → Memℒp (f c u) (ENNReal.ofReal (1 / c)) (volume.restrict (Ioi 0))
\u22a2 (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (s - 1)) ^ a * (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (t - 1)) ^ b = (∫ (a_1 : ℝ) in Ioi 0, f a s a_1 ^ (1 / a)) ^ (1 / (1 / a)) * (∫ (a : ℝ) in Ioi 0, f b t a ^ (1 / b)) ^ (1 / (1 / b))
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x₁ x₂ : M
y : ↥S
\u22a2 f.toMap x₁ * f.mk' x₂ y = f.mk' (x₁ * x₂) y
-- Mathlib/RepresentationTheory/Character.lean
k : Type u
inst✝¹ : Field k
G : Type u
inst✝ : Monoid G
V : FDRep k G
g h : G
\u22a2 V.character (h * g) = V.character (g * h)
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
\u22a2 Fintype.card m.ToType = card m
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
\u22a2 Fintype.card { x // x ∈ m.toEnumFinset } = card m
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/House.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
\u22a2 (fun k l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a k.1 l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) k.2) ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/House.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
\u22a2 ¬(fun k l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a k.1 l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) k.2) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/House.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
\u22a2 ¬∀ (a_1 : α × (K →+* ℂ)), (fun l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a a_1.1 l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) a_1.2) = 0 a_1
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/House.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
hs : ∀ (a_1 : α × (K →+* ℂ)), (fun l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a a_1.1 l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) a_1.2) = 0 a_1
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/House.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
hs : ∀ (a_1 : α) (b : K →+* ℂ), (fun l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a a_1 l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) b) = 0 (a_1, b)
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/House.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
hs : ∀ (a_1 : α) (b : K →+* ℂ), (fun l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a a_1 l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) b) = 0 (a_1, b)
\u22a2 a = 0
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/House.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
hs : ∀ (a_1 : α) (b : K →+* ℂ), (fun l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a a_1 l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) b) = 0 (a_1, b)
\u22a2 ∀ (i : α) (j : β), a i j = 0 i j
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/House.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
k' : α
l : β
hs : ∀ (b : K →+* ℂ), (fun l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a k' l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) b) = 0 (k', b)
\u22a2 a k' l = 0 k' l
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/House.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
k' : α
l : β
hs : ∀ (b : K →+* ℂ), (fun l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a k' l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) b) = 0 (k', b)
b : K →+* ℂ
\u22a2 a k' l = 0 k' l
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/House.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
k' : α
l : β
hs : ∀ (b : K →+* ℂ), (fun l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a k' l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) b) = 0 (k', b)
b : K →+* ℂ
this : a k' l * (NumberField.house.newBasis K) b = 0
\u22a2 a k' l = 0 k' l
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/House.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
k' : α
l : β
hs : ∀ (b : K →+* ℂ), (fun l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a k' l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) b) = 0 (k', b)
b : K →+* ℂ
this : a k' l = 0 ∨ (NumberField.house.newBasis K) b = 0
\u22a2 a k' l = 0 k' l
-- Mathlib/Order/Filter/FilterProduct.lean
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
K : LinearOrder β
x y : (↑φ).Germ β
a b : α → β
\u22a2 min ↑a ↑b = map₂ min ↑a ↑b
-- Mathlib/Order/Filter/FilterProduct.lean
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
K : LinearOrder β
x y : (↑φ).Germ β
a b : α → β
h : ↑a ≤ ↑b
\u22a2 min ↑a ↑b = map₂ min ↑a ↑b
-- Mathlib/Order/Filter/FilterProduct.lean
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
K : LinearOrder β
x y : (↑φ).Germ β
a b : α → β
h : ↑b ≤ ↑a
\u22a2 min ↑a ↑b = map₂ min ↑a ↑b
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : r < 0
\u22a2 Tendsto (fun x => f x * r) l atBot ↔ Tendsto f l atTop
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Intersecting.lean
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
\u22a2 Disjoint s (map { toFun := compl, inj' := ⋯ } s)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Intersecting.lean
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
\u22a2 ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ map { toFun := compl, inj' := ⋯ } s
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Intersecting.lean
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
x : α
hx : x ∈ s
hxc : x ∈ map { toFun := compl, inj' := ⋯ } s
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Intersecting.lean
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
x : α
hx' : x ∈ s
hx : { toFun := compl, inj' := ⋯ } x ∈ s
hxc : { toFun := compl, inj' := ⋯ } x ∈ map { toFun := compl, inj' := ⋯ } s
\u22a2 False
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : V
hv : v ≠ 0
\u22a2 finrank K ↥(span K {v}) = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : V
hv : v ≠ 0
\u22a2 finrank K ↥(span K {v}) ≤ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : V
hv : v ≠ 0
\u22a2 1 ≤ finrank K ↥(span K {v})
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b : B
y : E b
inst✝ : (x : B) → Zero (E x)
e : Trivialization F TotalSpace.proj
\u22a2 ContinuousOn (fun z => TotalSpace.mk' F z.1 (e.symm z.1 z.2)) (e.baseSet ×ˢ univ)
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b : B
y : E b
inst✝ : (x : B) → Zero (E x)
e : Trivialization F TotalSpace.proj
this : ∀ z ∈ e.baseSet ×ˢ univ, { proj := z.1, snd := e.symm z.1 z.2 } = ↑e.symm z
\u22a2 ContinuousOn (fun z => TotalSpace.mk' F z.1 (e.symm z.1 z.2)) (e.baseSet ×ˢ univ)
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b : B
y : E b
inst✝ : (x : B) → Zero (E x)
e : Trivialization F TotalSpace.proj
this : ∀ z ∈ e.baseSet ×ˢ univ, { proj := z.1, snd := e.symm z.1 z.2 } = ↑e.symm z
\u22a2 ContinuousOn (↑e.symm) (e.baseSet ×ˢ univ)
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b : B
y : E b
inst✝ : (x : B) → Zero (E x)
e : Trivialization F TotalSpace.proj
this : ∀ z ∈ e.baseSet ×ˢ univ, { proj := z.1, snd := e.symm z.1 z.2 } = ↑e.symm z
\u22a2 ContinuousOn (↑e.symm) e.target
-- Mathlib/Order/Filter/Germ/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l✝ : Filter α
f✝ g✝ h : α → β
l : Filter α
f : α → β
g : β → γ
b : β
hb : f =ᶠ[l] fun x => b
\u22a2 (↑(g ∘ f)).IsConstant
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx : x ≠ 0
\u22a2 x + 1 < rexp x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : 0 < x
\u22a2 x + 1 < rexp x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0
\u22a2 x + 1 < rexp x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0
h' : 1 ≤ -x
\u22a2 x + 1 < rexp x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0
h' : -x < 1
\u22a2 x + 1 < rexp x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0
h' : -x < 1
hx' : 0 < x + 1
\u22a2 x + 1 < rexp x
-- Mathlib/RingTheory/Presentation.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Presentation R S
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Presentation R S
\u22a2 Ideal.span (Set.range fun i => (MvPolynomial.map (algebraMap R T)) (P.relation i)) = RingHom.ker (aeval P.baseChange.val)
-- Mathlib/RingTheory/Presentation.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Presentation R S
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Presentation R S
\u22a2 Ideal.span (Set.range fun i => (MvPolynomial.map (algebraMap R T)) (P.relation i)) ≤ RingHom.ker (aeval P.baseChange.val)
-- Mathlib/RingTheory/Presentation.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Presentation R S
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Presentation R S
\u22a2 RingHom.ker (aeval P.baseChange.val) ≤ Ideal.span (Set.range fun i => (MvPolynomial.map (algebraMap R T)) (P.relation i))
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r✝ p q : α → α → Prop
f✝ g : ι → α
s✝ t u : Set α
a b : α
inst✝¹ : Nonempty ι
s : Set α
f : α → ι
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsEquiv ι r
\u22a2 s.Pairwise (r on f) ↔ ∃ z, ∀ x ∈ s, r (f x) z
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r✝ p q : α → α → Prop
f✝ g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
inst✝¹ : Nonempty ι
f : α → ι
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsEquiv ι r
\u22a2 ∅.Pairwise (r on f) ↔ ∃ z, ∀ x ∈ ∅, r (f x) z
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r✝ p q : α → α → Prop
f✝ g : ι → α
s✝ t u : Set α
a b : α
inst✝¹ : Nonempty ι
s : Set α
f : α → ι
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsEquiv ι r
hne : s.Nonempty
\u22a2 s.Pairwise (r on f) ↔ ∃ z, ∀ x ∈ s, r (f x) z
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
f : (a : Ordinal.{u}) → a < type r → Ordinal.{max u v}
o : Ordinal.{max u v}
\u22a2 (type r).blsub f ≤ o ↔ (lsub fun a => f (typein r a) ⋯) ≤ o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
f : (a : Ordinal.{u}) → a < type r → Ordinal.{max u v}
o : Ordinal.{max u v}
\u22a2 (∀ (i : Ordinal.{u}) (h : i < type r), f i h < o) ↔ ∀ (i : α), f (typein r i) ⋯ < o