ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
k : ℕ
c : Code
n x : ℕ
h : x ∈ evaln (k + 1) c n
\u22a2 ∀ {o : Option ℕ}, (x ∈ do guard (n ≤ k) o) → n < k + 1
-- Mathlib/RingTheory/Flat/EquationalCriterion.lean
R M : Type u
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
x : ι → M
\u22a2 IsTrivialRelation f x ↔ VanishesTrivially R f x
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
h : multiplicity p a ≠ multiplicity p b
\u22a2 multiplicity p (a + b) = min (multiplicity p a) (multiplicity p b)
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
h : multiplicity p a ≠ multiplicity p b
hab : multiplicity p a < multiplicity p b
\u22a2 multiplicity p (a + b) = min (multiplicity p a) (multiplicity p b)
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
h : multiplicity p a ≠ multiplicity p b
hab : multiplicity p a = multiplicity p b
\u22a2 multiplicity p (a + b) = min (multiplicity p a) (multiplicity p b)
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
h : multiplicity p a ≠ multiplicity p b
hab : multiplicity p b < multiplicity p a
\u22a2 multiplicity p (a + b) = min (multiplicity p a) (multiplicity p b)
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq o
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
i✝ : (i : o) × m' i
j✝ : (i : o) × n' i
\u22a2 blockDiagonal' 0 i✝ j✝ = 0 i✝ j✝
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
a : R
\u22a2 eval a (OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
s : Set α
hf : UniformInducing f
\u22a2 TotallyBounded (f '' s) ↔ TotallyBounded s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
s : Set α
hf : UniformInducing f
hs : TotallyBounded (f '' s)
\u22a2 TotallyBounded s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
s : Set α
hf : UniformInducing f
hs : TotallyBounded (f '' s)
\u22a2 ∀ i ∈ 𝓤 β, ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ Prod.map f f ⁻¹' id i}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
s : Set α
hf : UniformInducing f
hs : TotallyBounded (f '' s)
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
\u22a2 ∃ t_1, t_1.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t_1, {x | (x, y) ∈ Prod.map f f ⁻¹' id t}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
s : Set α
hf : UniformInducing f
hs : TotallyBounded (f '' s)
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
u : Set α
hfin : u.Finite
h : f '' s ⊆ ⋃ y ∈ f '' u, {x | (x, y) ∈ t}
\u22a2 ∃ t_1, t_1.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t_1, {x | (x, y) ∈ Prod.map f f ⁻¹' id t}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
s : Set α
hf : UniformInducing f
hs : TotallyBounded (f '' s)
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
u : Set α
hfin : u.Finite
h : f '' s ⊆ ⋃ y ∈ f '' u, {x | (x, y) ∈ t}
\u22a2 s ⊆ ⋃ y ∈ u, {x | (x, y) ∈ Prod.map f f ⁻¹' id t}
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/Filtered.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
α✝ : Type w
inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C
inst✝ : HasFilteredColimitsOfSize.{w, w, v, u} C
α : Type w
\u22a2 HasColimitsOfShape (Discrete α) C
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
\u22a2 (s ∩ t).card + (s ∪ t).card = s.card + t.card
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Div G
m : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
β : Type u_4
inst✝⁴ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : Sub β
inst✝² : OrderedSub β
x✝ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSub₂ β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f g : α → β
hf : Measurable f
hg : Measurable g
\u22a2 MeasurableSet {x | f x = g x}
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Div G
m : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
β : Type u_4
inst✝⁴ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : Sub β
inst✝² : OrderedSub β
x✝ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSub₂ β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f g : α → β
hf : Measurable f
hg : Measurable g
this : {a | f a = g a} = {a | (f - g) a = 0} ∩ {a | (g - f) a = 0}
\u22a2 MeasurableSet {x | f x = g x}
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Div G
m : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
β : Type u_4
inst✝⁴ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : Sub β
inst✝² : OrderedSub β
x✝ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSub₂ β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f g : α → β
hf : Measurable f
hg : Measurable g
this : {a | f a = g a} = {a | (f - g) a = 0} ∩ {a | (g - f) a = 0}
\u22a2 MeasurableSet ({a | (f - g) a = 0} ∩ {a | (g - f) a = 0})
-- Mathlib/Data/List/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
l : List α
o : Option α
a✝ m✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
hd : α
tl : List α
m : α
hm : m ∈ argmax f (hd :: tl)
a : α
ha : a ∈ hd :: tl
ham : f m ≤ f a
\u22a2 indexOf m (hd :: tl) ≤ indexOf a (hd :: tl)
-- Mathlib/Data/List/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
l : List α
o : Option α
a✝ m✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
hd : α
tl : List α
m a : α
ha : a ∈ hd :: tl
ham : f m ≤ f a
hm : Option.rec (some hd) (fun val => if f hd < f val then some val else some hd) (argmax f tl) = some m
\u22a2 (bif hd == m then 0 else indexOf m tl + 1) ≤ bif hd == a then 0 else indexOf a tl + 1
-- Mathlib/Data/List/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
l : List α
o : Option α
a✝ m✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
hd : α
tl : List α
m a : α
ha : a ∈ hd :: tl
ham : f m ≤ f a
val✝ : α
hm : (if f hd < f val✝ then some val✝ else some hd) = some m
h : argmax f tl = some val✝
\u22a2 (bif hd == m then 0 else indexOf m tl + 1) ≤ bif hd == a then 0 else indexOf a tl + 1
-- Mathlib/Data/List/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
l : List α
o : Option α
a✝ m✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
hd : α
tl : List α
m a : α
ha : a ∈ hd :: tl
ham : f m ≤ f a
val✝ : α
hm : (if f hd < f val✝ then some val✝ else some hd) = some m
h : argmax f tl = some val✝
\u22a2 (if hd = m then 0 else indexOf m tl + 1) ≤ if hd = a then 0 else indexOf a tl + 1
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a d₁ : α
t₁ : List α
ih : a ∈ t₁ → indexOf a (t₁ ++ l₂) = indexOf a t₁
h : a ∈ d₁ :: t₁
\u22a2 indexOf a (d₁ :: t₁ ++ l₂) = indexOf a (d₁ :: t₁)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a d₁ : α
t₁ : List α
ih : a ∈ t₁ → indexOf a (t₁ ++ l₂) = indexOf a t₁
h : a ∈ d₁ :: t₁
\u22a2 indexOf a (d₁ :: (t₁ ++ l₂)) = indexOf a (d₁ :: t₁)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a d₁ : α
t₁ : List α
ih : a ∈ t₁ → indexOf a (t₁ ++ l₂) = indexOf a t₁
h : a ∈ d₁ :: t₁
hh : ¬d₁ = a
\u22a2 indexOf a (d₁ :: (t₁ ++ l₂)) = indexOf a (d₁ :: t₁)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/SmoothSeries.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x✝ : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
hg : ∀ (n : α), Differentiable 𝕜 (g n)
hg' : ∀ (n : α) (y : 𝕜), ‖deriv (g n) y‖ ≤ u n
hg0 : Summable fun n => g n y₀
x : 𝕜
\u22a2 deriv (fun y => ∑' (n : α), g n y) x = ∑' (n : α), deriv (g n) x
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
hinj : ∀ (x : ↥U), Function.Injective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
hsurj : ∀ (t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))) (x : ↥U), ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (op V)) s = (G.val.map iVU.op) t
t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))
V : ↥U → Opens ↑X
mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
sf : (x : ↥U) → (forget C).obj (F.val.obj (op (V x)))
heq : ∀ (x : ↥U), (f.val.app (op (V x))) (sf x) = (G.val.map (iVU x).op) t
\u22a2 ∃ a, (f.val.app (op U)) a = t
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
hinj : ∀ (x : ↥U), Function.Injective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
hsurj : ∀ (t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))) (x : ↥U), ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (op V)) s = (G.val.map iVU.op) t
t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))
V : ↥U → Opens ↑X
mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
sf : (x : ↥U) → (forget C).obj (F.val.obj (op (V x)))
heq : ∀ (x : ↥U), (f.val.app (op (V x))) (sf x) = (G.val.map (iVU x).op) t
V_cover : U ≤ iSup V
\u22a2 ∃ a, (f.val.app (op U)) a = t
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
hinj : ∀ (x : ↥U), Function.Injective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
hsurj : ∀ (t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))) (x : ↥U), ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (op V)) s = (G.val.map iVU.op) t
t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))
V : ↥U → Opens ↑X
mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
sf : (x : ↥U) → (forget C).obj (F.val.obj (op (V x)))
heq : ∀ (x : ↥U), (f.val.app (op (V x))) (sf x) = (G.val.map (iVU x).op) t
V_cover : U ≤ iSup V
x y : ↥U
\u22a2 (F.val.map ((V x).infLELeft (V y)).op) (sf x) = (F.val.map ((V x).infLERight (V y)).op) (sf y)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
hinj : ∀ (x : ↥U), Function.Injective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
hsurj : ∀ (t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))) (x : ↥U), ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (op V)) s = (G.val.map iVU.op) t
t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))
V : ↥U → Opens ↑X
mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
sf : (x : ↥U) → (forget C).obj (F.val.obj (op (V x)))
heq : ∀ (x : ↥U), (f.val.app (op (V x))) (sf x) = (G.val.map (iVU x).op) t
V_cover : U ≤ iSup V
x y : ↥U
\u22a2 ∀ (x_1 : ↥(V x ⊓ V y)), (F.presheaf.germ x_1) ((F.val.map ((V x).infLELeft (V y)).op) (sf x)) = (F.presheaf.germ x_1) ((F.val.map ((V x).infLERight (V y)).op) (sf y))
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
hinj : ∀ (x : ↥U), Function.Injective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
hsurj : ∀ (t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))) (x : ↥U), ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (op V)) s = (G.val.map iVU.op) t
t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))
V : ↥U → Opens ↑X
mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
sf : (x : ↥U) → (forget C).obj (F.val.obj (op (V x)))
heq : ∀ (x : ↥U), (f.val.app (op (V x))) (sf x) = (G.val.map (iVU x).op) t
V_cover : U ≤ iSup V
x y : ↥U
z : ↥(V x ⊓ V y)
\u22a2 (F.presheaf.germ z) ((F.val.map ((V x).infLELeft (V y)).op) (sf x)) = (F.presheaf.germ z) ((F.val.map ((V x).infLERight (V y)).op) (sf y))
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
hinj : ∀ (x : ↥U), Function.Injective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
hsurj : ∀ (t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))) (x : ↥U), ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (op V)) s = (G.val.map iVU.op) t
t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))
V : ↥U → Opens ↑X
mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
sf : (x : ↥U) → (forget C).obj (F.val.obj (op (V x)))
heq : ∀ (x : ↥U), (f.val.app (op (V x))) (sf x) = (G.val.map (iVU x).op) t
V_cover : U ≤ iSup V
x y : ↥U
z : ↥(V x ⊓ V y)
\u22a2 ((stalkFunctor C ↑⟨↑z, ⋯⟩).map f.val) ((F.presheaf.germ z) ((F.val.map ((V x).infLELeft (V y)).op) (sf x))) = ((stalkFunctor C ↑⟨↑z, ⋯⟩).map f.val) ((F.presheaf.germ z) ((F.val.map ((V x).infLERight (V y)).op) (sf y)))
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
hinj : ∀ (x : ↥U), Function.Injective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
hsurj : ∀ (t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))) (x : ↥U), ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (op V)) s = (G.val.map iVU.op) t
t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))
V : ↥U → Opens ↑X
mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
sf : (x : ↥U) → (forget C).obj (F.val.obj (op (V x)))
heq : ∀ (x : ↥U), (f.val.app (op (V x))) (sf x) = (G.val.map (iVU x).op) t
V_cover : U ≤ iSup V
x y : ↥U
z : ↥(V x ⊓ V y)
\u22a2 (germ G.val z) ((f.val.app (op (V x ⊓ V y))) ((F.val.map ((V x).infLELeft (V y)).op) (sf x))) = (germ G.val z) ((f.val.app (op (V x ⊓ V y))) ((F.val.map ((V x).infLERight (V y)).op) (sf y)))
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
hinj : ∀ (x : ↥U), Function.Injective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
hsurj : ∀ (t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))) (x : ↥U), ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (op V)) s = (G.val.map iVU.op) t
t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))
V : ↥U → Opens ↑X
mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
sf : (x : ↥U) → (forget C).obj (F.val.obj (op (V x)))
heq : ∀ (x : ↥U), (f.val.app (op (V x))) (sf x) = (G.val.map (iVU x).op) t
V_cover : U ≤ iSup V
x y : ↥U
z : ↥(V x ⊓ V y)
\u22a2 (G.val.map ((iVU x).op ≫ ((V x).infLELeft (V y)).op) ≫ germ G.val z) t = (G.val.map ((iVU y).op ≫ ((V x).infLERight (V y)).op) ≫ germ G.val z) t
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : ℝ
\u22a2 (↑θ).toReal = θ + 2 * π ↔ θ ∈ Set.Ioc (-3 * π) (-π)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/ShiftSequence.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.71408, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
n i i' : ℤ
hi : n + i = i'
\u22a2 n + (up ℤ).prev i = (up ℤ).prev i'
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/ShiftSequence.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.71408, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
n i i' : ℤ
hi : n + i = i'
\u22a2 n + (i - 1) = i' - 1
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/ShiftSequence.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.71408, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
n i i' : ℤ
hi : n + i = i'
\u22a2 n + (up ℤ).next i = (up ℤ).next i'
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/ShiftSequence.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.71408, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
n i i' : ℤ
hi : n + i = i'
\u22a2 n + (i + 1) = i' + 1
-- Mathlib/Data/Sum/Basic.lean
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
x y : α ⊕ β
\u22a2 x.getRight?.isSome = true ↔ x.isRight = true
-- Mathlib/Data/Sum/Basic.lean
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
x y : α ⊕ β
\u22a2 (∃ a, x.getRight? = some a) ↔ ∃ y, x = inr y
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : Cone F
hc : IsLimit c
s : Cocone F.unop
m : (coconeUnopOfCone c).pt ⟶ s.pt
w : ∀ (j : J), (coconeUnopOfCone c).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
\u22a2 m = (fun s => (hc.lift (coneOfCoconeUnop s)).unop) s
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : Cone F
hc : IsLimit c
s : Cocone F.unop
m : (coconeUnopOfCone c).pt ⟶ s.pt
w : ∀ (j : J), (coconeUnopOfCone c).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
j : Jᵒᵖ
\u22a2 (m.op ≫ c.π.app j).unop = (((fun s => (hc.lift (coneOfCoconeUnop s)).unop) s).op ≫ c.π.app j).unop
-- Mathlib/Data/Sigma/Basic.lean
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
f₁ : α₁ → α₂
f₂ : (a : α₁) → β₁ a → β₂ (f₁ a)
h₁ : Injective f₁
h₂ : ∀ (a : α₁), Injective (f₂ a)
i : α₁
x : β₁ i
j : α₁
y : β₁ j
h : Sigma.map f₁ f₂ ⟨i, x⟩ = Sigma.map f₁ f₂ ⟨j, y⟩
\u22a2 ⟨i, x⟩ = ⟨j, y⟩
-- Mathlib/Data/Sigma/Basic.lean
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
f₁ : α₁ → α₂
f₂ : (a : α₁) → β₁ a → β₂ (f₁ a)
h₁ : Injective f₁
h₂ : ∀ (a : α₁), Injective (f₂ a)
i : α₁
x y : β₁ i
h : Sigma.map f₁ f₂ ⟨i, x⟩ = Sigma.map f₁ f₂ ⟨i, y⟩
\u22a2 ⟨i, x⟩ = ⟨i, y⟩
-- Mathlib/Data/Sigma/Basic.lean
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
f₁ : α₁ → α₂
f₂ : (a : α₁) → β₁ a → β₂ (f₁ a)
h₁ : Injective f₁
h₂ : ∀ (a : α₁), Injective (f₂ a)
i : α₁
x : β₁ i
h : Sigma.map f₁ f₂ ⟨i, x⟩ = Sigma.map f₁ f₂ ⟨i, x⟩
\u22a2 ⟨i, x⟩ = ⟨i, x⟩
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ContinuousFunctionalCalculus/ExpLog.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : PartialOrder A
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
a : A
ha₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 < x
ha₁ : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
\u22a2 exp ℝ (log a) = a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ContinuousFunctionalCalculus/ExpLog.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : PartialOrder A
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
a : A
ha₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 < x
ha₁ : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
ha₃ : ContinuousOn Real.log (spectrum ℝ a)
\u22a2 exp ℝ (log a) = a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ContinuousFunctionalCalculus/ExpLog.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : PartialOrder A
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
a : A
ha₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 < x
ha₁ : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
ha₃ : ContinuousOn Real.log (spectrum ℝ a)
\u22a2 cfc (fun x => Real.exp (Real.log x)) a = a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ContinuousFunctionalCalculus/ExpLog.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : PartialOrder A
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
a : A
ha₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 < x
ha₁ : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
ha₃ : ContinuousOn Real.log (spectrum ℝ a)
\u22a2 cfc (fun x => Real.exp (Real.log x)) a = cfc id a
-- Mathlib/NumberTheory/KummerDedekind.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
hx : comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤
h_alg : Function.Injective ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S)
\u22a2 comap (algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) (Ideal.map (algebraMap R S) I) = Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I
-- Mathlib/NumberTheory/KummerDedekind.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
hx : comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤
h_alg : Function.Injective ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S)
\u22a2 comap (algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) (Ideal.map (algebraMap R S) I) ≤ Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I
-- Mathlib/NumberTheory/KummerDedekind.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
hx : comap (algebraMap R S) (conductor R x) ⊔ I = ⊤
h_alg : Function.Injective ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S)
\u22a2 Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I ≤ comap (algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) (Ideal.map (algebraMap R S) I)
-- Mathlib/Tactic/CancelDenoms/Core.lean
α : Type u_1
inst✝ : Field α
n e e' : α
h : n * e = e'
h2 : n ≠ 0
\u22a2 e * n = e'
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
v : VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
\u22a2 ↑(v.restrict univ) i = ↑v i
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
f : ι → δ → α
s : Set ι
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, Measurable (f i)
\u22a2 Measurable fun x => sSup ((fun i => f i x) '' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_5
f : ι → δ → α
s : Set ι
hs : s.Countable
hf : ∀ i ∈ s, Measurable (f i)
this : Countable ↑s
\u22a2 Measurable fun x => sSup ((fun i => f i x) '' s)