ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Variables.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
x : σ
h : p.degrees.Disjoint q.degrees
hx : x ∈ p.degrees.toFinset ∪ q.degrees.toFinset
\u22a2 x ∈ (p + q).degrees.toFinset
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x : PartENat
h : x.Dom
\u22a2 ↑(x.get h) = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Lattice.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : C
g : X ⟶ Y
f₂ : Subobject Y
\u22a2 ∀ (f₁ : Subobject Y), (pullback g).obj (f₁ ⊓ f₂) = (pullback g).obj f₁ ⊓ (pullback g).obj f₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Lattice.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : C
g : X ⟶ Y
f₂ : Subobject Y
\u22a2 ∀ (a : MonoOver Y), (pullback g).obj (Quotient.mk'' a ⊓ f₂) = (pullback g).obj (Quotient.mk'' a) ⊓ (pullback g).obj f₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Lattice.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : C
g : X ⟶ Y
f₂ : Subobject Y
f₁ : MonoOver Y
\u22a2 (pullback g).obj (Quotient.mk'' f₁ ⊓ f₂) = (pullback g).obj (Quotient.mk'' f₁) ⊓ (pullback g).obj f₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Lattice.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : C
g : X ⟶ Y
f₂ : Subobject Y
f₁ : MonoOver Y
\u22a2 (map (pullback.snd f₁.arrow g)).obj ((pullback (pullback.snd f₁.arrow g ≫ g)).obj f₂) = (map ((MonoOver.pullback g).obj f₁).arrow).obj ((pullback (((MonoOver.pullback g).obj f₁).arrow ≫ g)).obj f₂)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}
H : ∀ b < a, ∃ i, f i = b
\u22a2 a ≤ mex f
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max u v}
H : ∀ b < a, ∃ i, f i = b
h : mex f < a
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
hs₀ : μ s ≠ 0
hsc₀ : μ sᶜ ≠ 0
hfi : Integrable f μ
\u22a2 ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ openSegment ℝ (⨍ (x : α) in s, f x ∂μ) (⨍ (x : α) in sᶜ, f x ∂μ)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Products.lean
β : Type w
α : Type w₂
γ✝ : Type w₃
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
γ : Type w'
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasCoproduct f
inst✝ : HasCoproduct (f ∘ ⇑ε)
b : β
\u22a2 ι (f ∘ ⇑ε) b ≫ (HasColimit.isoOfEquivalence (Discrete.equivalence ε) (Discrete.natIso fun x => Iso.refl (f (ε x.as)))).hom = ι f (ε b)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Products.lean
β : Type w
α : Type w₂
γ✝ : Type w₃
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
γ : Type w'
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasCoproduct f
inst✝ : HasCoproduct (f ∘ ⇑ε)
b : β
\u22a2 (Discrete.functor (f ∘ ⇑ε)).map ((Discrete.equivalence ε).unit.app { as := b }) ≫ colimit.ι (Discrete.functor f) { as := ε (ε.symm (ε b)) } = ι f (ε b)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Products.lean
β : Type w
α : Type w₂
γ✝ : Type w₃
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
γ : Type w'
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasCoproduct f
inst✝ : HasCoproduct (f ∘ ⇑ε)
b : β
h : (Discrete.functor f).map (Discrete.eqToHom' ⋯) ≫ colimit.ι (Discrete.functor f) { as := ε b } = colimit.ι (Discrete.functor f) { as := ε (ε.symm (ε b)) }
\u22a2 (Discrete.functor (f ∘ ⇑ε)).map ((Discrete.equivalence ε).unit.app { as := b }) ≫ colimit.ι (Discrete.functor f) { as := ε (ε.symm (ε b)) } = ι f (ε b)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Products.lean
β : Type w
α : Type w₂
γ✝ : Type w₃
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
γ : Type w'
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasCoproduct f
inst✝ : HasCoproduct (f ∘ ⇑ε)
b : β
h : (Discrete.functor f).map (Discrete.eqToHom' ⋯) ≫ colimit.ι (Discrete.functor f) { as := ε b } = colimit.ι (Discrete.functor f) { as := ε (ε.symm (ε b)) }
\u22a2 eqToHom ⋯ ≫ colimit.ι (Discrete.functor f) { as := ε b } = ι f (ε b)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Products.lean
β : Type w
α : Type w₂
γ✝ : Type w₃
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
γ : Type w'
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasCoproduct f
inst✝ : HasCoproduct (f ∘ ⇑ε)
b : β
h : (Discrete.functor f).map (Discrete.eqToHom' ⋯) ≫ colimit.ι (Discrete.functor f) { as := ε b } = colimit.ι (Discrete.functor f) { as := ε (ε.symm (ε b)) }
\u22a2 { as := b } = { as := ε.symm (ε b) }
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k
\u22a2 M.charpoly.coeff k = (∏ i : n, (X - C (M i i))).coeff k
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k
\u22a2 M.charpoly.coeff k - (∏ i : n, (X - C (M i i))).coeff k = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k
\u22a2 (M.charpoly - ∏ i : n, (X - C (M i i))).coeff k = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k
\u22a2 (M.charpoly - ∏ i : n, (X - C (M i i))).degree < ↑k
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k
\u22a2 ↑(Fintype.card n - 1) ≤ ↑k
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
k : ℕ
h : Fintype.card n - 1 ≤ k
\u22a2 Fintype.card n - 1 ≤ k
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
α : Type u_1
p : ℂ × ℂ
hp_fst : p.1 ≠ 0
\u22a2 (fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => cexp (Complex.log x.1 * x.2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
α : Type u_1
p : ℂ × ℂ
hp_fst : p.1 ≠ 0
\u22a2 ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 p, x.1 ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
α : Type u_1
p : ℂ × ℂ
hp_fst : p.1 ≠ 0
\u22a2 IsOpen fun x => x.1 = 0 → False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
α : Type u_1
p : ℂ × ℂ
hp_fst : p.1 ≠ 0
\u22a2 IsOpen {x | x.1 = 0}ᶜ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
α : Type u_1
p : ℂ × ℂ
hp_fst : p.1 ≠ 0
\u22a2 IsClosed {x | x.1 = 0}
-- Mathlib/Logic/Relation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r✝ : α → β → Prop
f : α → γ
g : β → δ
c : γ
d : δ
hf : Injective f
hg : Injective g
r : α → β → Prop
a : α
b : β
\u22a2 Relation.Map r f g (f a) (g b) ↔ r a b
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hB' : M.Base B'
h : B \ B' = {e}
\u22a2 ∃ f ∈ B' \ B, B' = insert f B \ {e}
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f✝ : α
hB : M.Base B
hB' : M.Base B'
h : B \ B' = {e}
f : α
hf : f ∈ B' \ B
hb : M.Base (insert f (B \ {e}))
\u22a2 ∃ f ∈ B' \ B, B' = insert f B \ {e}
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f✝ : α
hB : M.Base B
hB' : M.Base B'
h : B \ B' = {e}
f : α
hf : f ∈ B' \ B
hb : M.Base (insert f (B \ {e}))
hne : f ≠ e
\u22a2 ∃ f ∈ B' \ B, B' = insert f B \ {e}
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f✝ : α
hB : M.Base B
hB' : M.Base B'
h : B \ B' = {e}
f : α
hf : f ∈ B' \ B
hb : M.Base (insert f B \ {e})
hne : f ≠ e
\u22a2 ∃ f ∈ B' \ B, B' = insert f B \ {e}
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f✝ : α
hB : M.Base B
hB' : M.Base B'
h : B \ B' = {e}
f : α
hf : f ∈ B' \ B
hb : M.Base (insert f B \ {e})
hne : f ≠ e
\u22a2 insert f B \ {e} ⊆ B'
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f✝ : α
hB : M.Base B
hB' : M.Base B'
h : B \ B' = {e}
f : α
hf : f ∈ B' \ B
hb : M.Base (insert f B \ {e})
hne : f ≠ e
\u22a2 f ∈ B' ∪ {e}
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/FinitePresentation.lean
\u22a2 OfLocalizationSpanTarget @FinitePresentation
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/FinitePresentation.lean
\u22a2 OfLocalizationFiniteSpanTarget @FinitePresentation
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid β✝
T✝ T' : Set α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : AddCancelMonoid β
T : Set α → β
hT : FinMeasAdditive μ T
\u22a2 T ∅ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid β✝
T✝ T' : Set α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : AddCancelMonoid β
T : Set α → β
hT : FinMeasAdditive μ T
h_empty : μ ∅ ≠ ⊤
\u22a2 T ∅ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid β✝
T✝ T' : Set α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : AddCancelMonoid β
T : Set α → β
h_empty : μ ∅ ≠ ⊤
hT : T (∅ ∪ ∅) = T ∅ + T ∅
\u22a2 T ∅ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid β✝
T✝ T' : Set α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : AddCancelMonoid β
T : Set α → β
h_empty : μ ∅ ≠ ⊤
hT : T ∅ = T ∅ + T ∅
\u22a2 T ∅ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid β✝
T✝ T' : Set α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : AddCancelMonoid β
T : Set α → β
h_empty : μ ∅ ≠ ⊤
hT : T ∅ + 0 = T ∅ + T ∅
\u22a2 T ∅ = 0
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : HasDistribNeg α
a : α
n : ℕ
h : Odd n
\u22a2 (-1) ^ n = -1
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : Preorder ι
f✝ : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
f : Filtration ι m
i : ι
s : Set Ω
\u22a2 MeasurableSet s ↔ MeasurableSet s
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : Preorder ι
f✝ : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
f : Filtration ι m
i : ι
s : Set Ω
\u22a2 (∀ (i_1 : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | i ≤ i_1})) ↔ MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹² : MeasurableSpace X
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace Y
inst✝⁹ : TopologicalSpace Y
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : OrderTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hs : IsCompact s
hmono : MonotoneOn f s
\u22a2 IntegrableOn f s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹² : MeasurableSpace X
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace Y
inst✝⁹ : TopologicalSpace Y
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : OrderTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hs : IsCompact ∅
hmono : MonotoneOn f ∅
\u22a2 IntegrableOn f ∅ μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹² : MeasurableSpace X
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace Y
inst✝⁹ : TopologicalSpace Y
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : OrderTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hs : IsCompact s
hmono : MonotoneOn f s
h : s.Nonempty
\u22a2 IntegrableOn f s μ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
\u22a2 re ⟪x, 0⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/WellApproximable.lean
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a✝ : A
m n : ℕ
δ : ℝ
hm : 0 < m
hmn : n.Coprime m
a : A
ha : a ∈ approxOrderOf A n δ
\u22a2 (fun y => y ^ m) a ∈ approxOrderOf A n (↑m * δ)
-- Mathlib/NumberTheory/WellApproximable.lean
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a✝ : A
m n : ℕ
δ : ℝ
hm : 0 < m
hmn : n.Coprime m
a : A
ha : a ∈ approxOrderOf A n δ
b : A
hb : orderOf b = n
hab : a ∈ ball b δ
\u22a2 (fun y => y ^ m) a ∈ approxOrderOf A n (↑m * δ)
-- Mathlib/NumberTheory/WellApproximable.lean
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a✝ : A
m n : ℕ
δ : ℝ
hm : 0 < m
hmn : n.Coprime m
a : A
ha : a ∈ approxOrderOf A n δ
b : A
hab : a ∈ ball b δ
hb : b ^ m ∈ {u | orderOf u = n}
\u22a2 (fun y => y ^ m) a ∈ approxOrderOf A n (↑m * δ)
-- Mathlib/NumberTheory/WellApproximable.lean
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a✝ : A
m n : ℕ
δ : ℝ
hm : 0 < m
hmn : n.Coprime m
a : A
ha : a ∈ approxOrderOf A n δ
b : A
hab : a ∈ ball b δ
hb : b ^ m ∈ {u | orderOf u = n}
\u22a2 (fun y => y ^ m) a ∈ ball (b ^ m) (↑m • δ)
-- Mathlib/NumberTheory/WellApproximable.lean
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a✝ : A
m n : ℕ
δ : ℝ
hm : 0 < m
hmn : n.Coprime m
a : A
ha : a ∈ approxOrderOf A n δ
b : A
hab : a ∈ ball b δ
hb : b ^ m ∈ {u | orderOf u = n}
\u22a2 ball (b ^ m) (↑m • δ) = ball (b ^ m) (m • δ)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
\u22a2 o.oangle x (r • x + y) = 0 ∨ o.oangle x (r • x + y) = ↑π ↔ o.oangle x y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑π
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
\u22a2 (∃ g, ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, g i • ![x, r • x + y] i = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0) ↔ ∃ g, ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, g i • ![x, y] i = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
\u22a2 (∃ g, g 0 • ![x, r • x + y] 0 + g 1 • ![x, r • x + y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0) ↔ ∃ g, ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, g i • ![x, y] i = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
\u22a2 (∃ g, g 0 • ![x, r • x + y] 0 + g 1 • ![x, r • x + y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0) ↔ ∃ g, g 0 • ![x, y] 0 + g 1 • ![x, y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
\u22a2 (∃ g, g 0 • ![x, r • x + y] 0 + g 1 • ![x, r • x + y] 1 = 0 ∧ (g 0 ≠ 0 ∨ g 1 ≠ 0)) ↔ ∃ g, g 0 • ![x, y] 0 + g 1 • ![x, y] 1 = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
\u22a2 (∃ g, g 0 • ![x, r • x + y] 0 + g 1 • ![x, r • x + y] 1 = 0 ∧ (g 0 ≠ 0 ∨ g 1 ≠ 0)) ↔ ∃ g, g 0 • ![x, y] 0 + g 1 • ![x, y] 1 = 0 ∧ (g 0 ≠ 0 ∨ g 1 ≠ 0)
-- Mathlib/Data/Finsupp/BigOperators.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid M
s : Finset (ι →₀ M)
hs : (↑s).PairwiseDisjoint Finsupp.support
\u22a2 (s.sum id).support = s.sup Finsupp.support
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set α
x : α
\u22a2 x ∈ closure s ↔ ∀ {V : Set (α × α)}, V ∈ 𝓤 α → (ball x V ∩ s).Nonempty
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0
\u22a2 W'.dblXYZ P = P x ^ 2 • ![1, 1, 0]
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Order.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : OrderedCommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g✝ : ι → α
a a₁ a₂ : α
g : κ → α
e : ι → κ
he : Injective e
hs : ∀ c ∉ Set.range e, 1 ≤ g c
h : ∀ (i : ι), f i ≤ g (e i)
hf : HasProd f a₁
hg : HasProd g a₂
\u22a2 a₁ ≤ a₂
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Order.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : OrderedCommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g✝ : ι → α
a a₁ a₂ : α
g : κ → α
e : ι → κ
he : Injective e
hs : ∀ c ∉ Set.range e, 1 ≤ g c
h : ∀ (i : ι), f i ≤ g (e i)
hf : HasProd (extend e f 1) a₁
hg : HasProd g a₂
\u22a2 a₁ ≤ a₂
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Order.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : OrderedCommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g✝ : ι → α
a a₁ a₂ : α
g : κ → α
e : ι → κ
he : Injective e
hs : ∀ c ∉ Set.range e, 1 ≤ g c
h : ∀ (i : ι), f i ≤ g (e i)
hf : HasProd (extend e f 1) a₁
hg : HasProd g a₂
c : κ
\u22a2 extend e f 1 c ≤ g c
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
b : ℝ
hb : 1 ≤ b
\u22a2 Monotone fun x => b ^ x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
b : ℝ
hb✝ : 1 ≤ b
hb : 1 < b
\u22a2 Monotone fun x => b ^ x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hb : 1 ≤ 1
\u22a2 Monotone fun x => 1 ^ x
-- Mathlib/Algebra/Order/Hom/Basic.lean
ι : Type u_1
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝ : GroupSeminormClass F α β
f : F
x y : α
\u22a2 |f x - f y| ≤ f (x / y)
-- Mathlib/Algebra/Order/Hom/Basic.lean
ι : Type u_1
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝ : GroupSeminormClass F α β
f : F
x y : α
\u22a2 f x ≤ f y + f (x / y) ∧ f y ≤ f x + f (x / y)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n k : ℕ
hk : k ≤ n
\u22a2 n.choose k = n ! / (k ! * (n - k)!)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n k : ℕ
hk : k ≤ n
\u22a2 n.choose k = n.choose k * (k ! * (n - k)!) / (k ! * (n - k)!)
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
m : M
\u22a2 h.equiv.symm (f m) = 1 ⊗ₜ[R] m
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type v₁
inst✝² : Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
\u22a2 F.Initial ↔ (∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)) ∧ ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type v₁
inst✝² : Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
hF : F.Initial
\u22a2 (∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)) ∧ ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type v₁
inst✝² : Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
hF : F.Initial
h₁ : ∀ (d : Dᵒᵖ), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.op.obj c)
h₂ : ∀ {d : Dᵒᵖ} {c : Cᵒᵖ} (s s' : d ⟶ F.op.obj c), ∃ c' t, s ≫ F.op.map t = s' ≫ F.op.map t
\u22a2 (∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)) ∧ ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
-- Mathlib/Order/BooleanGenerators.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
h : sSup S = ⊤
_i : DistribLattice α := hS.distribLattice_of_sSup_eq_top h
\u22a2 ComplementedLattice α
-- Mathlib/Order/BooleanGenerators.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
h : sSup S = ⊤
_i : DistribLattice α := hS.distribLattice_of_sSup_eq_top h
_i₁ : IsAtomistic α
\u22a2 ComplementedLattice α
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
\u22a2 Measurable fun p => κ.rnDeriv η p.1 p.2
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
\u22a2 Measurable fun p => ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) p.1 p.2) / ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) p.1 p.2)