ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/WithTop.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b : WithTop α
\u22a2 (if a = 0 ∨ b = 0 then 0 else map₂ (fun x x_1 => x * x_1) a b) = ⊤ ↔ a ≠ 0 ∧ b = ⊤ ∨ a = ⊤ ∧ b ≠ 0
-- Mathlib/Order/Heyting/Regular.lean
α : Type u_1
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b : α
\u22a2 IsRegular ⊥
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hμst : μ (s ∆ t) ≠ ⊤
\u22a2 μ s = ⊤ ↔ μ t = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hμst : μ (s ∆ t) ≠ ⊤
\u22a2 ∀ (u v : Set α), μ (u ∆ v) ≠ ⊤ → μ u = ⊤ → μ v = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hμst : μ (s ∆ t) ≠ ⊤
u v : Set α
hμuv : μ (u ∆ v) ≠ ⊤
hμu : μ u = ⊤
\u22a2 μ v = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hμst : μ (s ∆ t) ≠ ⊤
u v : Set α
hμuv : μ (u ∆ v) ≠ ⊤
hμu : μ u = ⊤
hμv : μ v ≠ ⊤
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hμst : μ (s ∆ t) ≠ ⊤
u v : Set α
hμuv : μ (u ∆ v) ≠ ⊤
hμu : μ u = ⊤
hμv : μ v ≠ ⊤
\u22a2 μ (u ∆ v) = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hμst : μ (s ∆ t) ≠ ⊤
u v : Set α
hμuv : μ (u ∆ v) ≠ ⊤
hμu : μ u = ⊤
hμv : μ v ≠ ⊤
\u22a2 ⊤ ≤ μ (u \ v ∪ v \ u)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f : α → ℝ
\u22a2 ((fun x => rexp (f x)) =Θ[l] fun x => 1) ↔ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => |f x|
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
h : ∀ {ι : Type u} (t : ι → Set X), (∀ (i : ι), IsClosed (t i)) → s ∩ ⋂ i, t i = ∅ → ∃ u, u.Countable ∧ s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅
ι✝ : Type u
U : ι✝ → Set X
hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
\u22a2 ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
h : ∀ {ι : Type u} (t : ι → Set X), (∀ (i : ι), IsClosed (t i)) → s ∩ ⋂ i, t i = ∅ → ∃ u, u.Countable ∧ s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅
ι✝ : Type u
U : ι✝ → Set X
hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)
hsU : s ⊓ ⋂ i, (U i)ᶜ = ⊥
\u22a2 ∃ t, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
h : ∀ {ι : Type u} (t : ι → Set X), (∀ (i : ι), IsClosed (t i)) → s ∩ ⋂ i, t i = ∅ → ∃ u, u.Countable ∧ s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅
ι✝ : Type u
U : ι✝ → Set X
hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)
hsU : s ⊓ ⋂ i, (U i)ᶜ = ⊥
t : Set ι✝
ht : t.Countable ∧ s ∩ ⋂ i ∈ t, (U i)ᶜ = ∅
\u22a2 t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : K[X]
hP : ¬P = 0
\u22a2 (Polynomial.idealX K).intValuation P = (idealX K).intValuation ↑P
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : K[X]
hP : ¬P = 0
\u22a2 (Polynomial.idealX K).intValuationDef P = (idealX K).intValuationDef ↑P
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : K[X]
hP : ¬P = 0
\u22a2 ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑((Associates.mk (Polynomial.idealX K).asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {P})).factors))) = ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑((Associates.mk (idealX K).asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {↑P})).factors)))
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : K[X]
hP : ¬P = 0
\u22a2 (Associates.mk (Ideal.span {Polynomial.X})).count (Associates.mk (Ideal.span {P})).factors = (Associates.mk (idealX K).asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {↑P})).factors
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : K[X]
hP : ¬P = 0
span_ne_zero : Ideal.span {P} ≠ 0 ∧ Ideal.span {Polynomial.X} ≠ 0
\u22a2 (Associates.mk (Ideal.span {Polynomial.X})).count (Associates.mk (Ideal.span {P})).factors = (Associates.mk (idealX K).asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {↑P})).factors
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : K[X]
hP : ¬P = 0
span_ne_zero : Ideal.span {P} ≠ 0 ∧ Ideal.span {Polynomial.X} ≠ 0
span_ne_zero' : Ideal.span {↑P} ≠ 0 ∧ (idealX K).asIdeal ≠ 0
\u22a2 (Associates.mk (Ideal.span {Polynomial.X})).count (Associates.mk (Ideal.span {P})).factors = (Associates.mk (idealX K).asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {↑P})).factors
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : K[X]
hP : ¬P = 0
span_ne_zero : Ideal.span {P} ≠ 0 ∧ Ideal.span {Polynomial.X} ≠ 0
span_ne_zero' : Ideal.span {↑P} ≠ 0 ∧ (idealX K).asIdeal ≠ 0
\u22a2 Multiset.count (Ideal.span {Polynomial.X}) (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors (Ideal.span {P})) = Multiset.count (idealX K).asIdeal (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors (Ideal.span {↑P}))
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : K[X]
hP : ¬P = 0
span_ne_zero : Ideal.span {P} ≠ 0 ∧ Ideal.span {Polynomial.X} ≠ 0
span_ne_zero' : Ideal.span {↑P} ≠ 0 ∧ (idealX K).asIdeal ≠ 0
\u22a2 Ideal.span {↑P} ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : K[X]
hP : ¬P = 0
span_ne_zero : Ideal.span {P} ≠ 0 ∧ Ideal.span {Polynomial.X} ≠ 0
span_ne_zero' : Ideal.span {↑P} ≠ 0 ∧ (idealX K).asIdeal ≠ 0
\u22a2 (idealX K).asIdeal.IsPrime
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : K[X]
hP : ¬P = 0
span_ne_zero : Ideal.span {P} ≠ 0 ∧ Ideal.span {Polynomial.X} ≠ 0
span_ne_zero' : Ideal.span {↑P} ≠ 0 ∧ (idealX K).asIdeal ≠ 0
\u22a2 (idealX K).asIdeal ≠ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : K[X]
hP : ¬P = 0
span_ne_zero : Ideal.span {P} ≠ 0 ∧ Ideal.span {Polynomial.X} ≠ 0
span_ne_zero' : Ideal.span {↑P} ≠ 0 ∧ (idealX K).asIdeal ≠ 0
\u22a2 Multiset.count (Ideal.span {Polynomial.X}) (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors (Ideal.span {P})) = Multiset.count Polynomial.X (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors P)
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : K[X]
hP : ¬P = 0
span_ne_zero : Ideal.span {P} ≠ 0 ∧ Ideal.span {Polynomial.X} ≠ 0
span_ne_zero' : Ideal.span {↑P} ≠ 0 ∧ (idealX K).asIdeal ≠ 0
\u22a2 Multiset.count (idealX K).asIdeal (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors (Ideal.span {↑P})) = Multiset.count X (UniqueFactorizationMonoid.normalizedFactors ↑P)
-- Mathlib/RingTheory/NonUnitalSubsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T
F : Type u_1
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
s : NonUnitalSubsemiring S
x : R × S
\u22a2 x ∈ ⊤.prod s ↔ x ∈ comap (NonUnitalRingHom.snd R S) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (a : α), f a ≤ 1
h'f : ∀ a ∈ sᶜ, f a = 0
\u22a2 ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (a : α), f a ≤ 1
h'f : ∀ a ∈ sᶜ, f a = 0
x : α
\u22a2 f x ≤ s.indicator 1 x
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x✝ : α
\u22a2 x✝ ∈ filter (fun a => p a ∨ q a) s ↔ x✝ ∈ filter p s ∪ filter q s
-- Mathlib/Topology/Instances/NNReal.lean
α : Type u_1
a : ℝ≥0
f : α → ℝ≥0
\u22a2 ↑(∑' (x : α), a * f x) = ↑(a * ∑' (x : α), f x)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hIX : M.Basis I X
hJY : M.Basis J Y
h : M.Indep (I ∪ J)
\u22a2 M.Basis (I ∪ J) (X ∪ Y)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hIX : M.Basis I X
hJY : M.Basis J Y
h : M.Indep (I ∪ J)
\u22a2 M.Basis (⋃ b, bif b then I else J) (⋃ b, bif b then X else Y)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hIX : M.Basis I X
hJY : M.Basis J Y
h : M.Indep (I ∪ J)
\u22a2 ∀ (i : Bool), M.Basis (bif i then I else J) (bif i then X else Y)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hIX : M.Basis I X
hJY : M.Basis J Y
h : M.Indep (I ∪ J)
\u22a2 M.Indep (⋃ i, bif i then I else J)
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean
\u22a2 -1 < ψ
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean
\u22a2 φ⁻¹ < 1
-- Mathlib/Algebra/Quandle.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Rack R✝
R : Type u_2
inst✝ : Rack R
x y : R
\u22a2 act' (x ◃ y) = act' x * act' y * (act' x)⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Quandle.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Rack R✝
R : Type u_2
inst✝ : Rack R
x y : R
\u22a2 act' (x ◃ y) * act' x = act' x * act' y
-- Mathlib/Algebra/Quandle.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Rack R✝
R : Type u_2
inst✝ : Rack R
x y z : R
\u22a2 (act' (x ◃ y) * act' x) z = (act' x * act' y) z
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/CommMon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X✝ Y✝ : CommMon_ C
f : X✝ ⟶ Y✝
x✝² x✝¹ : Discrete PUnit.{u + 1}
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
\u22a2 𝟙 X✝.X ≫ f.hom = f.hom ≫ 𝟙 Y✝.X
-- Mathlib/CategoryTheory/Enriched/Basic.lean
V : Type v
inst✝⁴ : Category.{w, v} V
inst✝³ : MonoidalCategory V
C : Type u₁
inst✝² : EnrichedCategory V C
D : Type u₂
inst✝¹ : EnrichedCategory V D
inst✝ : BraidedCategory V
F G : EnrichedFunctor V C D
X✝ Y✝ : Vᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
σ : (fun A => GradedNatTrans ((Center.ofBraided V).obj (unop A)) F G) X✝
X Y : C
\u22a2 (((Center.ofBraided V).obj (unop Y✝)).snd.β (EnrichedCategory.Hom X Y)).hom ≫ (F.map X Y ⊗ (fun X => f.unop ≫ σ.app X) Y) ≫ eComp V (F.obj X) (F.obj Y) (G.obj Y) = ((fun X => f.unop ≫ σ.app X) X ⊗ G.map X Y) ≫ eComp V (F.obj X) (G.obj X) (G.obj Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Enriched/Basic.lean
V : Type v
inst✝⁴ : Category.{w, v} V
inst✝³ : MonoidalCategory V
C : Type u₁
inst✝² : EnrichedCategory V C
D : Type u₂
inst✝¹ : EnrichedCategory V D
inst✝ : BraidedCategory V
F G : EnrichedFunctor V C D
X✝ Y✝ : Vᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
σ : (fun A => GradedNatTrans ((Center.ofBraided V).obj (unop A)) F G) X✝
X Y : C
p : (((Center.ofBraided V).obj (unop X✝)).snd.β (EnrichedCategory.Hom X Y)).hom ≫ (F.map X Y ⊗ σ.app Y) ≫ eComp V (F.obj X) (F.obj Y) (G.obj Y) = (σ.app X ⊗ G.map X Y) ≫ eComp V (F.obj X) (G.obj X) (G.obj Y)
\u22a2 (((Center.ofBraided V).obj (unop Y✝)).snd.β (EnrichedCategory.Hom X Y)).hom ≫ (F.map X Y ⊗ (fun X => f.unop ≫ σ.app X) Y) ≫ eComp V (F.obj X) (F.obj Y) (G.obj Y) = ((fun X => f.unop ≫ σ.app X) X ⊗ G.map X Y) ≫ eComp V (F.obj X) (G.obj X) (G.obj Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Enriched/Basic.lean
V : Type v
inst✝⁴ : Category.{w, v} V
inst✝³ : MonoidalCategory V
C : Type u₁
inst✝² : EnrichedCategory V C
D : Type u₂
inst✝¹ : EnrichedCategory V D
inst✝ : BraidedCategory V
F G : EnrichedFunctor V C D
X✝ Y✝ : Vᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
σ : (fun A => GradedNatTrans ((Center.ofBraided V).obj (unop A)) F G) X✝
X Y : C
p : (β_ (unop X✝) (EnrichedCategory.Hom X Y)).hom ≫ (F.map X Y ⊗ σ.app Y) ≫ eComp V (F.obj X) (F.obj Y) (G.obj Y) = (σ.app X ⊗ G.map X Y) ≫ eComp V (F.obj X) (G.obj X) (G.obj Y)
\u22a2 (β_ (unop Y✝) (EnrichedCategory.Hom X Y)).hom ≫ (F.map X Y ⊗ f.unop ≫ σ.app Y) ≫ eComp V (F.obj X) (F.obj Y) (G.obj Y) = (f.unop ≫ σ.app X ⊗ G.map X Y) ≫ eComp V (F.obj X) (G.obj X) (G.obj Y)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
hn : 1 ≤ n
x : E
\u22a2 HasFDerivAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
hn : 1 ≤ n
x : E
\u22a2 HasFDerivWithinAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) univ x
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
\u22a2 ∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, ∀ (r : ℚ), preCDF ρ r a ≤ 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
\u22a2 ∀ (i : ℚ), ∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, preCDF ρ i a ≤ 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
r : ℚ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x✝ : ρ.fst s < ⊤
\u22a2 ∫⁻ (x : α) in s, preCDF ρ r x ∂ρ.fst ≤ ∫⁻ (x : α) in s, 1 ∂ρ.fst
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
r : ℚ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x✝ : ρ.fst s < ⊤
\u22a2 (ρ.IicSnd ↑r) s ≤ ∫⁻ (x : α) in s, 1 ∂ρ.fst
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
r : ℚ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x✝ : ρ.fst s < ⊤
\u22a2 (ρ.IicSnd ↑r) s ≤ ρ.fst s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
inst✝² : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝ : Fintype ι
x y : WithLp p ((i : ι) → β i)
\u22a2 edist ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)) x) ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)) y) ≤ ↑1 * edist x y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
inst✝² : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝ : Fintype ι
x y : WithLp p ((i : ι) → β i)
\u22a2 ∀ (b : ι), edist (x b) (y b) ≤ edist x y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
inst✝² : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Fact (1 ≤ ⊤)
x y : WithLp ⊤ ((i : ι) → β i)
\u22a2 ∀ (b : ι), edist (x b) (y b) ≤ edist x y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
inst✝² : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝ : Fintype ι
x y : WithLp p ((i : ι) → β i)
h : 1 ≤ p.toReal
\u22a2 ∀ (b : ι), edist (x b) (y b) ≤ edist x y
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDense.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
f✝ f : β → α
hf : Measurable f
s : Set α
y₀ : α
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
n : ℕ
x : β
this : Nonempty ↑s
\u22a2 Nat.casesOn 0 y₀ (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s) ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDense.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
f✝ f : β → α
hf : Measurable f
s : Set α
y₀ : α
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
n✝ : ℕ
x : β
this : Nonempty ↑s
n : ℕ
\u22a2 Nat.casesOn (n + 1) y₀ (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s) ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
\u22a2 ⌊a + b⌋ - 1 ≤ ⌊a⌋ + ⌊b⌋
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
\u22a2 ↑⌊a + b⌋ - 1 - a ≤ ↑⌊b⌋
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
\u22a2 ↑⌊a + b⌋ - 1 - a ≤ b - 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
\u22a2 ↑⌊a + b⌋ ≤ a + b
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
t : Set Y
hs : Dense s
ht : Dense t
x : X × Y
\u22a2 x ∈ closure (s ×ˢ t)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
t : Set Y
hs : Dense s
ht : Dense t
x : X × Y
\u22a2 x ∈ closure s ×ˢ closure t
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
ht : MeasurableSet t
\u22a2 (μ.restrict s) t = 0 ↔ μ (t ∩ s) = 0
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
f✝ : Π₀ (i : ι), β✝ i
b✝ : β✝ i✝
j✝ : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i
j : ι
\u22a2 (update i f b) j = (erase i f + single i b) j
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
f✝ : Π₀ (i : ι), β✝ i
b✝ : β✝ i✝
j : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i
\u22a2 (update i f b) i = (erase i f + single i b) i
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
f✝ : Π₀ (i : ι), β✝ i
b✝ : β✝ i✝
j✝ : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i
j : ι
h : i ≠ j
\u22a2 (update i f b) j = (erase i f + single i b) j
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedField 𝕝
inst✝¹² : Module 𝕝 E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : Nonempty ι'
κ : Type u_10
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι'
inst✝² : UniformSpace E
inst✝¹ : UniformAddGroup E
u : UniformSpace F
hu : UniformAddGroup F
hq : WithSeminorms q
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
f : κ → E →ₛₗ[σ₁₂] F
\u22a2 [EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0, Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f), UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f), ∀ (i : ι'), ∃ p, Continuous ⇑p ∧ ∀ (k : κ), (q i).comp (f k) ≤ p, ∀ (i : ι'), BddAbove (Set.range fun k => (q i).comp (f k)) ∧ Continuous (⨆ k, ⇑((q i).comp (f k)))].TFAE
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedField 𝕝
inst✝¹² : Module 𝕝 E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : Nonempty ι'
κ : Type u_10
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι'
inst✝² : UniformSpace E
inst✝¹ : UniformAddGroup E
u : UniformSpace F
hu : UniformAddGroup F
hq : WithSeminorms q
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
f : κ → E →ₛₗ[σ₁₂] F
\u22a2 [∀ (k : ι'), EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0, ∀ (k : ι'), Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f), ∀ (k : ι'), UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f), ∀ (i : ι'), ∃ p, Continuous ⇑p ∧ ∀ (k : κ), (q i).comp (f k) ≤ p, ∀ (i : ι'), BddAbove (Set.range fun k => (q i).comp (f k)) ∧ Continuous (⨆ k, ⇑((q i).comp (f k)))].TFAE
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedField 𝕝
inst✝¹² : Module 𝕝 E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : Nonempty ι'
κ : Type u_10
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι'
inst✝² : UniformSpace E
inst✝¹ : UniformAddGroup E
u : UniformSpace F
hu : UniformAddGroup F
hq : WithSeminorms q
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
f : κ → E →ₛₗ[σ₁₂] F
i : ι'
\u22a2 (List.map (fun p => p i) [fun k => EquicontinuousAt (DFunLike.coe ∘ f) 0, fun k => Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ f), fun k => UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ f), fun i => ∃ p, Continuous ⇑p ∧ ∀ (k : κ), (q i).comp (f k) ≤ p, fun i => BddAbove (Set.range fun k => (q i).comp (f k)) ∧ Continuous (⨆ k, ⇑((q i).comp (f k)))]).TFAE
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
x y : Fin 1
\u22a2 ¬x = y → (∏ x_1 ∈ finPairsLT 1, if (if x_1.fst = x then y else if x_1.fst = y then x else x_1.fst) ≤ if x_1.snd = x then y else if x_1.snd = y then x else x_1.snd then -1 else 1) = -1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
x y : Fin (n + 2)
hxy : x ≠ y
\u22a2 (swap x y).signAux = -1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
x y : Fin (n + 2)
hxy : x ≠ y
h2n : 2 ≤ n + 2
\u22a2 (swap x y).signAux = -1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
x y : Fin (n + 2)
hxy : x ≠ y
h2n : 2 ≤ n + 2
\u22a2 IsConj (swap x y).signAux (swap ⟨0, ⋯⟩ ⟨1, ⋯⟩).signAux
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero R
S : Submonoid R
inst✝ : OreSet S
s : ↥S
\u22a2 0 /ₒ s = 0
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero R
S : Submonoid R
inst✝ : OreSet S
s : ↥S
\u22a2 ∃ u v, u • 0 = v • 0 ∧ ↑u * ↑1 = v * ↑s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e✝ : Sym2 V
s : Set (Sym2 V)
e : Sym2 V
\u22a2 e ∈ (fromEdgeSet s).edgeSet ↔ e ∈ s \ {e | e.IsDiag}