ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
hpos₁ : 0 < ε₁
hpos₂ : 0 < ε₂
h₁ : l.MemBaseSet I c₁ (h.convergenceR ε₁ c₁) π₁
h₂ : l.MemBaseSet I c₂ (h.convergenceR ε₂ c₂) π₂
HU : π₁.iUnion = π₂.iUnion
π : Prepartition I
hπU✝ : π.iUnion = ↑I \ π₁.iUnion
hπU : π.iUnion = ↑I \ π₂.iUnion
hπc₁ : l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₁
hπc₂ : l.bDistortion = true → π.distortion ≤ c₂
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := fun x => min (h.convergenceR ε₁ c₁ x) (h.convergenceR ε₂ c₂ x)
πr : TaggedPrepartition I := π.toSubordinate r
H₁ : dist (integralSum f vol (π₁.unionComplToSubordinate π hπU✝ r)) (integral I l f vol) ≤ ε₁
H₂ : dist (integralSum f vol (π₂.unionComplToSubordinate π hπU r)) (integral I l f vol) ≤ ε₂
\u22a2 dist (integralSum f vol π₁) (integralSum f vol π₂) ≤ ε₁ + ε₂
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f g : ι → N
s t : Finset ι
\u22a2 (∀ i ∈ s, 1 ≤ f i) → (∏ i ∈ s, f i = 1 ↔ ∀ i ∈ s, f i = 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
ι : Type w
b : ι → M
h : LinearIndependent R b
\u22a2 #ι ≤ ↑(finrank R M)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
ι : Type w
b : ι → M
h : LinearIndependent R b
\u22a2 lift.{max v w, w} #ι ≤ lift.{max v w, w} ↑(finrank R M)
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
v : Vector α n
i j : Fin n
a : α
h✝ : ¬i = j
\u22a2 (v.set i a).get j = v.get j
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
s : Set X
h : X ≃ₜ Y
hs : IsPreconnected (⇑h '' s)
\u22a2 IsPreconnected s
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/EpiMono.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : PullbackCone f f
hc : IsLimit c
\u22a2 Mono f ↔ IsIso c.fst
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/EpiMono.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : PullbackCone f f
hc : IsLimit c
\u22a2 c.fst = c.snd ↔ IsIso c.fst
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s : Finset α
β' : Type u_4
f : β ↪ γ
g : α ↪ β
f' : α ↪ β'
g' : β' ↪ γ
h_comm : ∀ (a : α), f (g a) = g' (f' a)
\u22a2 map f (map g s) = map g' (map f' s)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
z : ℝ≥0
\u22a2 nndist 0 z = z
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
\u22a2 (biprod.isoCoprod X Y).hom = biprod.desc coprod.inl coprod.inr
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ
h : x < 0
\u22a2 arctan x⁻¹ = -(π / 2) - arctan x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ
h : x < 0
this : arctan (-x)⁻¹ = π / 2 - arctan (-x)
\u22a2 arctan x⁻¹ = -(π / 2) - arctan x
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
h : f.toMap (↑c * x) = f.toMap (↑c * y)
\u22a2 f.toMap x = f.toMap y
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
h : f.toMap ↑c * f.toMap x = f.toMap ↑c * f.toMap y
\u22a2 f.toMap x = f.toMap y
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
h : f.toMap ↑c * f.toMap x = f.toMap ↑c * f.toMap y
u : Nˣ
hu : ↑u = f.toMap ↑c
\u22a2 f.toMap x = f.toMap y
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x y : M
c : ↥S
u : Nˣ
h : ↑u * f.toMap x = ↑u * f.toMap y
hu : ↑u = f.toMap ↑c
\u22a2 f.toMap x = f.toMap y
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
\u22a2 ∡ p₂ p₃ p₁ = ↑(Real.arcsin (dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1
\u22a2 ∡ p₂ p₃ p₁ = ↑(Real.arcsin (dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
X W : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : W ⟶ X
x : ↑↑W.toPresheafedSpace
\u22a2 x ∈ Set.range ⇑((fun x => pullback.snd (𝒰.map x) f) ((fun x => 𝒰.f (f.val.base x)) x)).val.base
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
X W : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : W ⟶ X
x : ↑↑W.toPresheafedSpace
\u22a2 x ∈ Set.range ⇑((PreservesPullback.iso forgetToTop (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x))) f).hom ≫ pullback.snd (forgetToTop.map (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))) (forgetToTop.map f))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
X W : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : W ⟶ X
x : ↑↑W.toPresheafedSpace
\u22a2 x ∈ {y | ∃ x_1, (forgetToTop.map (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x)))) x_1 = (forgetToTop.map f) y}
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g
X W : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : W ⟶ X
x : ↑↑W.toPresheafedSpace
\u22a2 Function.Surjective ⇑(PreservesPullback.iso forgetToTop (𝒰.map (𝒰.f (f.val.base x))) f).hom
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
b : ℕ
z : ℤ
hz : z ∈ List.pmap (fun p pp => legendreSym p 1) b.primeFactorsList ⋯
\u22a2 z = 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
b : ℕ
z : ℤ
hz : z ∈ List.pmap (fun p pp => legendreSym p 1) b.primeFactorsList ⋯
p : ℕ
hp : p ∈ b.primeFactorsList
he : legendreSym p 1 = z
\u22a2 z = 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
b : ℕ
z : ℤ
hz : z ∈ List.pmap (fun p pp => legendreSym p 1) b.primeFactorsList ⋯
p : ℕ
hp : p ∈ b.primeFactorsList
he : legendreSym p 1 = z
this : Fact (Nat.Prime p) := { out := prime_of_mem_primeFactorsList hp }
\u22a2 z = 1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
m n : PosNum
\u22a2 m.cmp n = Ordering.eq ↔ m = n
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
m n : PosNum
this : Ordering.casesOn (m.cmp n) (↑m < ↑n) (m = n) (↑n < ↑m)
\u22a2 m.cmp n = Ordering.eq ↔ m = n
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
m n : PosNum
\u22a2 Ordering.casesOn (m.cmp n) (↑m < ↑n) (m = n) (↑n < ↑m) → (m.cmp n = Ordering.eq ↔ m = n)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v : α → ℝ
\u22a2 (fun x => ‖f' x‖) =O[l] g ↔ f' =O[l] g
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v : α → ℝ
\u22a2 (∃ c, IsBigOWith c l (fun x => ‖f' x‖) g) ↔ ∃ c, IsBigOWith c l f' g
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : TopologicalSpace β
hα : TopologicalSpace α
h'α : OrderTopology α
f : α → β
a : α
h : 𝓝[<] a = ⊥
\u22a2 leftLim f a = f a
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
\u22a2 a - b + min a b = a
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
\u22a2 min a b ≤ a
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝² : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝¹ : DecidableRel Disjoint
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
hva : Disjoint v a
hua : u ≤ a
\u22a2 compress u v ((a ⊔ v) \ u) = a
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalBicomplex.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.12556, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
i i' : I₂
w : ¬c₂.Rel i i'
j : I₁
\u22a2 ((fun i i' => { f := fun j => (K.X j).d i i', comm' := ⋯ }) i i').f j = Hom.f 0 j
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
f : α →𝒄 Part (β → γ)
g : α →𝒄 Part β
x✝ : α
a✝ : γ
\u22a2 (a✝ ∈ Seq.seq (f x✝) fun x => g x✝) ↔ a✝ ∈ (f.bind (flip (_root_.flip map g))) x✝
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
\u22a2 (𝓤 α).HasBasis (fun V => V ∈ 𝓤 α ∧ IsClosed V) id
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
t : Set (α × α)
h : t ∈ 𝓤 α
\u22a2 ∃ r ∈ 𝓤 α, IsClosed r ∧ r ⊆ t
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
t : Set (α × α)
h : t ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
w_symm : SymmetricRel w
r : w ○ w ○ w ⊆ t
\u22a2 ∃ r ∈ 𝓤 α, IsClosed r ∧ r ⊆ t
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
t : Set (α × α)
h : t ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
w_symm : SymmetricRel w
r : w ○ w ○ w ⊆ t
\u22a2 closure w ⊆ t
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
t : Set (α × α)
h : t ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
w_symm : SymmetricRel w
r : w ○ w ○ w ⊆ t
\u22a2 closure w ⊆ w ○ w ○ w
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
t : Set (α × α)
h : t ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
w_symm : SymmetricRel w
r : w ○ w ○ w ⊆ t
\u22a2 ⋂ V ∈ {V | V ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel V}, V ○ w ○ V ⊆ w ○ w ○ w
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
t : Set (α × α)
h : t ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
w_symm : SymmetricRel w
r : w ○ w ○ w ⊆ t
\u22a2 ⋂ (_ : ?intro.intro.intro.i ∈ {V | V ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel V}), ?intro.intro.intro.i ○ w ○ ?intro.intro.intro.i ⊆ w ○ w ○ w
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
t : Set (α × α)
h : t ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
w_symm : SymmetricRel w
r : w ○ w ○ w ⊆ t
\u22a2 Set (α × α)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
t : Set (α × α)
h : t ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
w_symm : SymmetricRel w
r : w ○ w ○ w ⊆ t
\u22a2 w ∈ {V | V ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel V}
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
\u22a2 a * b = 1 ↔ a⁻¹ = b
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g
\u22a2 Dioph fun v => ∃ (h : 1 < v &0), xn h (v &1) = v &2 ∧ yn h (v &1) = v &3
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g
proof : Dioph ({v | const (Fin2 4 → ℕ) 1 v < v &0} ∩ ({v | v &1 ≤ v &3} ∩ (((fun v => v &2 = const (Fin2 4 → ℕ) 1 v) ∩ fun v => v &3 = const (Fin2 4 → ℕ) 0 v) ∪ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ (fun v => v &7 * v &7 - (v &5 * v &5 - const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) * v &8 * v &8 = const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) ∩ ((fun v => v &4 * v &4 - (v &5 * v &5 - const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) * v &3 * v &3 = const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) ∩ ((fun v => v &2 * v &2 - (v &0 * v &0 - const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) * v &1 * v &1 = const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) ∩ ({v | const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v < v &0} ∩ ((fun v => v &0 ≡ const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v [MOD const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 4 v * v &8]) ∩ ((fun v => v &0 ≡ v &5 [MOD v &4]) ∩ ({v | const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 0 v < v &3} ∩ ((fun v => v &8 * v &8 ∣ v &3) ∩ ((fun v => v &2 ≡ v &7 [MOD v &4]) ∩ fun v => v &1 ≡ v &6 [MOD const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 4 v * v &8]))))))))}}}}})))
\u22a2 Dioph fun v => ∃ (h : 1 < v &0), xn h (v &1) = v &2 ∧ yn h (v &1) = v &3
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g
proof : Dioph ({v | const (Fin2 4 → ℕ) 1 v < v &0} ∩ ({v | v &1 ≤ v &3} ∩ (((fun v => v &2 = const (Fin2 4 → ℕ) 1 v) ∩ fun v => v &3 = const (Fin2 4 → ℕ) 0 v) ∪ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ (fun v => v &7 * v &7 - (v &5 * v &5 - const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) * v &8 * v &8 = const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) ∩ ((fun v => v &4 * v &4 - (v &5 * v &5 - const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) * v &3 * v &3 = const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) ∩ ((fun v => v &2 * v &2 - (v &0 * v &0 - const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) * v &1 * v &1 = const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) ∩ ({v | const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v < v &0} ∩ ((fun v => v &0 ≡ const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v [MOD const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 4 v * v &8]) ∩ ((fun v => v &0 ≡ v &5 [MOD v &4]) ∩ ({v | const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 0 v < v &3} ∩ ((fun v => v &8 * v &8 ∣ v &3) ∩ ((fun v => v &2 ≡ v &7 [MOD v &4]) ∩ fun v => v &1 ≡ v &6 [MOD const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 4 v * v &8]))))))))}}}}})))
this : Dioph {v | 1 < v &0 ∧ v &1 ≤ v &3 ∧ (v &2 = 1 ∧ v &3 = 0 ∨ ∃ u w s t b, v &2 * v &2 - (v &0 * v &0 - 1) * v &3 * v &3 = 1 ∧ u * u - (v &0 * v &0 - 1) * w * w = 1 ∧ s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧ 1 < b ∧ b ≡ 1 [MOD 4 * v &3] ∧ b ≡ v &0 [MOD u] ∧ 0 < w ∧ v &3 * v &3 ∣ w ∧ s ≡ v &2 [MOD u] ∧ t ≡ v &1 [MOD 4 * v &3])}
\u22a2 Dioph fun v => ∃ (h : 1 < v &0), xn h (v &1) = v &2 ∧ yn h (v &1) = v &3
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Hom.lean
M : Type u_1
inst✝¹⁵ : Monoid M
N : Type u_2
inst✝¹⁴ : Monoid N
P : Type u_3
inst✝¹³ : Monoid P
φ : M →* N
φ' : N →* M
ψ : N →* P
χ : M →* P
A : Type u_4
inst✝¹² : AddMonoid A
inst✝¹¹ : DistribMulAction M A
B : Type u_5
inst✝¹⁰ : AddMonoid B
inst✝⁹ : DistribMulAction N B
B₁ : Type u_6
inst✝⁸ : AddMonoid B₁
inst✝⁷ : DistribMulAction M B₁
C : Type u_7
inst✝⁶ : AddMonoid C
inst✝⁵ : DistribMulAction P C
A' : Type u_8
inst✝⁴ : AddGroup A'
inst✝³ : DistribMulAction M A'
B' : Type u_9
inst✝² : AddGroup B'
inst✝¹ : DistribMulAction N B'
F : Type u_10
inst✝ : FunLike F A B
f g : A →ₑ+[φ] B
h : ↑f = ↑g
a : A
\u22a2 f a = g a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A B C : Matrix n n R
hC : C.det = 1
hA : A = C * B
\u22a2 C.det * B.det = B.det
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝¹⁰ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
u : E i →L[𝕜] E' i
\u22a2 update (fun j => ↑(f j)) i ↑u = fun j => ↑(update f i u j)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝¹⁰ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
u : E i →L[𝕜] E' i
\u22a2 ↑u = ↑(update f i u i) ∧ ∀ (x : ι), x ≠ i → ↑(f x) = ↑(update f i u x)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α
n : ℕ
\u22a2 card (n • s) = n * card s
-- Mathlib/Algebra/GroupPower/IterateHom.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
F : Type u_5
inst✝ : Monoid F
c : F → M → M
h1 : c 1 = id
hmul : ∀ (f g : F), c (f * g) = c f ∘ c g
f : F
\u22a2 c (f ^ 0) = (c f)^[0]
-- Mathlib/Algebra/GroupPower/IterateHom.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
F : Type u_5
inst✝ : Monoid F
c : F → M → M
h1 : c 1 = id
hmul : ∀ (f g : F), c (f * g) = c f ∘ c g
f : F
\u22a2 id = (c f)^[0]
-- Mathlib/Algebra/GroupPower/IterateHom.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
F : Type u_5
inst✝ : Monoid F
c : F → M → M
h1 : c 1 = id
hmul : ∀ (f g : F), c (f * g) = c f ∘ c g
f : F
n : ℕ
\u22a2 c (f ^ (n + 1)) = (c f)^[n + 1]
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
\u22a2 {I | I.IsMaximal}.Finite
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
\u22a2 {I | I.IsPrime}.Finite
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Lemmas.lean
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Ring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
h : (x - y) ^ n = 0
\u22a2 x ^ m ∣ y ^ p
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Lemmas.lean
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Ring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
h : (x - y) ^ n = 0
\u22a2 x ^ m ∣ (y - x + x) ^ p
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Lemmas.lean
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Ring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
h : (x - y) ^ n = 0
\u22a2 (y - x) ^ n = 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 Tendsto (fun r => (ρ.IicSnd ↑r) s) atBot (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 Tendsto (fun r => ρ (s ×ˢ Iic ↑r)) atBot (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h_empty : ρ (s ×ˢ ∅) = 0
\u22a2 Tendsto (fun r => ρ (s ×ˢ Iic ↑r)) atBot (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h_empty : ρ (s ×ˢ ∅) = 0
\u22a2 Tendsto (fun r => ρ (s ×ˢ Iic ↑r)) atBot (𝓝 (ρ (⋂ i, s ×ˢ Iic ↑i)))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h_empty : ρ (s ×ˢ ∅) = 0
\u22a2 Tendsto (fun r => ρ (s ×ˢ Iic ↑(-r))) atTop (𝓝 (ρ (⋂ r, s ×ˢ Iic ↑(-r))))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h_empty : ρ (s ×ˢ ∅) = 0
\u22a2 Antitone fun r => s ×ˢ Iic ↑(-r)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h_empty : ρ (s ×ˢ ∅) = 0
q r : ℚ
hqr : q ≤ r
x : ℝ
hx : x ∈ Iic ↑(-r)
\u22a2 x ∈ Iic ↑(-q)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h_empty : ρ (s ×ˢ ∅) = 0
q r : ℚ
hqr : q ≤ r
x : ℝ
hx : x ≤ -↑r
\u22a2 x ≤ -↑q
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h_empty : ρ (s ×ˢ ∅) = 0
q r : ℚ
hqr : q ≤ r
x : ℝ
hx : x ≤ -↑r
\u22a2 ↑q ≤ ↑r
-- Mathlib/RingTheory/Complex.lean
z : ℂ
\u22a2 (norm ℝ) z = normSq z
-- Mathlib/RingTheory/Complex.lean
z : ℂ
\u22a2 !![z.re, -z.im; z.im, z.re] 0 0 * !![z.re, -z.im; z.im, z.re] 1 1 - !![z.re, -z.im; z.im, z.re] 0 1 * !![z.re, -z.im; z.im, z.re] 1 0 = z.re * z.re + z.im * z.im
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) 1 μ ≤ ↑R
this : MeasurableSpace Ω := ⨆ n, ↑ℱ n
\u22a2 ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ.trim ⋯, ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)