ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (α × α)
F : ι → X → α
x₀ : X
hα : (𝓤 α).HasBasis p s
\u22a2 (∀ (i : κ), p i → ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x ∈ {g | ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀, g) ∈ UniformFun.gen ι α (s i)}) ↔ ∀ (k : κ), p k → ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ s k
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
hxy : x < y
\u22a2 TransGen (fun x x_1 => x ⋖ x_1) x y
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
hxy : x < y
h_non : (Ico x y).Nonempty
\u22a2 TransGen (fun x x_1 => x ⋖ x_1) x y
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
hxy : x < y
h_non : (Ico x y).Nonempty
z : α
z_mem : z ∈ Ico x y
hz : ∀ x_1 ∈ Ico x y, ¬z < x_1
\u22a2 TransGen (fun x x_1 => x ⋖ x_1) x y
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
hxy : x < y
h_non : (Ico x y).Nonempty
z : α
z_mem : z ∈ Ico x y
hz : ∀ x_1 ∈ Ico x y, ¬z < x_1
z_card : (Ico x z).card < (Ico x y).card
\u22a2 TransGen (fun x x_1 => x ⋖ x_1) x y
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
hxy : x < y
h_non : (Ico x y).Nonempty
z : α
z_mem : z ∈ Ico x y
hz : ∀ x_1 ∈ Ico x y, ¬z < x_1
z_card : (Ico x z).card < (Ico x y).card
hzy : z ⋖ y
\u22a2 TransGen (fun x x_1 => x ⋖ x_1) x y
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
\u22a2 ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
\u22a2 ∀ (c : ℝ≥0∞) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → (fun f => ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ) (s.indicator fun x => c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
\u22a2 ∀ ⦃f g : α → ℝ≥0∞⦄, Disjoint (support f) (support g) → Measurable f → Measurable g → (fun f => ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ) f → (fun f => ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ) g → (fun f => ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ) (f + g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
\u22a2 ∀ ⦃f : ℕ → α → ℝ≥0∞⦄, (∀ (n : ℕ), Measurable (f n)) → Monotone f → (∀ (n : ℕ), (fun f => ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ) (f n)) → (fun f => ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ) fun x => ⨆ n, f n x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
\u22a2 ‖fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) f s x‖
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsDomain k
n : ℕ
a₁ a₂ : 𝕎 k
bs : Fin (n + 1) → k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
this✝ : (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree = ↑p
this : (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)) - X * C (a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree = ↑p
\u22a2 (succNthDefiningPoly p n a₁ a₂ bs).degree = ↑p
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsDomain k
n : ℕ
a₁ a₂ : 𝕎 k
bs : Fin (n + 1) → k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
this✝ : (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree = ↑p
this : (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)) - X * C (a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree = ↑p
\u22a2 (C (a₁.coeff (n + 1) * (bs 0 ^ p) ^ p ^ (n + 1) + nthRemainder p n (fun v => bs v ^ p) (truncateFun (n + 1) a₁) - a₂.coeff (n + 1) * bs 0 ^ p ^ (n + 1) - nthRemainder p n bs (truncateFun (n + 1) a₂))).degree < (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)) - X * C (a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsDomain k
n : ℕ
a₁ a₂ : 𝕎 k
bs : Fin (n + 1) → k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
this✝ : (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree = ↑p
this : (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)) - X * C (a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree = ↑p
\u22a2 0 < (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)) - X * C (a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsDomain k
n : ℕ
a₁ a₂ : 𝕎 k
bs : Fin (n + 1) → k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
this✝ : (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree = ↑p
this : (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)) - X * C (a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree = ↑p
\u22a2 0 < ↑p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
\u22a2 HasSum (fun k => 2 * (1 / (2 * ↑k + 1)) * (1 / (2 * a + 1)) ^ (2 * k + 1)) (log (1 + a⁻¹))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
\u22a2 log (1 + a⁻¹) = log (1 + 1 / (2 * a + 1)) - log (1 - 1 / (2 * a + 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
h₂ : 2 * a + 1 ≠ 0
\u22a2 log (1 + a⁻¹) = log (1 + 1 / (2 * a + 1)) - log (1 - 1 / (2 * a + 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
h₂ : 2 * a + 1 ≠ 0
h₃ : a ≠ 0
\u22a2 log (1 + a⁻¹) = log (1 + 1 / (2 * a + 1)) - log (1 - 1 / (2 * a + 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
h₂ : 2 * a + 1 ≠ 0
h₃ : a ≠ 0
\u22a2 log (1 + a⁻¹) = log ((1 + 1 / (2 * a + 1)) / (1 - 1 / (2 * a + 1)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
h₂ : 2 * a + 1 ≠ 0
h₃ : a ≠ 0
\u22a2 1 + 1 / (2 * a + 1) ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
h₂ : 2 * a + 1 ≠ 0
h₃ : a ≠ 0
\u22a2 1 - 1 / (2 * a + 1) ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AffineIsometry.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁴ : NormedField 𝕜
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝²⁰ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁷ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁶ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹³ : MetricSpace P₁'
inst✝¹² : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝⁹ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₄
inst✝ : NormedAddTorsor V₄ P₄
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
f₁ : P₁' →ᵃⁱ[𝕜] P₂
x y : P
\u22a2 edist (f x) (f y) = edist x y
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
b : α i
\u22a2 update f i '' Ioc (f i) b = Ioc f (update f i b)
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f g : α → Multiset β
\u22a2 (s.bind f).Nodup ↔ (∀ a ∈ s, (f a).Nodup) ∧ Pairwise (fun a b => (f a).Disjoint (f b)) s
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f g : α → Multiset β
this : ∀ (a : α), ∃ l, f a = ↑l
\u22a2 (s.bind f).Nodup ↔ (∀ a ∈ s, (f a).Nodup) ∧ Pairwise (fun a b => (f a).Disjoint (f b)) s
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f g : α → Multiset β
f' : α → List β
h' : ∀ (a : α), f a = ↑(f' a)
\u22a2 (s.bind f).Nodup ↔ (∀ a ∈ s, (f a).Nodup) ∧ Pairwise (fun a b => (f a).Disjoint (f b)) s
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f g : α → Multiset β
f' : α → List β
h' : ∀ (a : α), f a = ↑(f' a)
this : f = fun a => ↑(f' a)
\u22a2 (s.bind f).Nodup ↔ (∀ a ∈ s, (f a).Nodup) ∧ Pairwise (fun a b => (f a).Disjoint (f b)) s
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f g : α → Multiset β
f' : α → List β
h' : ∀ (a : α), f a = ↑(f' a)
this : f = fun a => ↑(f' a)
hd : Symmetric fun a b => (f' a).Disjoint (f' b)
\u22a2 (s.bind f).Nodup ↔ (∀ a ∈ s, (f a).Nodup) ∧ Pairwise (fun a b => (f a).Disjoint (f b)) s
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
h : α.IsZero
x✝ : ↥H
\u22a2 (-α) x✝ = 0 x✝
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
n : ℕ
x a b : ℝ
m : ℕ
e₁ : n + 1 = m
h : |x| ≤ 1
e : |1 - a| ≤ b - |x| / ↑m * ((↑m + 1) / ↑m)
\u22a2 |rexp x - expNear n x a| ≤ |x| ^ n / ↑n.factorial * b
-- Mathlib/Computability/Reduce.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable β
e : α ≃ β
q : β → Prop
h : Computable ⇑e.symm
\u22a2 q ≤₁ (q ∘ ⇑e)
-- Mathlib/Computability/Reduce.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable β
e : α ≃ β
q : β → Prop
h : Computable ⇑e.symm
\u22a2 q = (q ∘ ⇑e) ∘ ⇑e.symm
-- Mathlib/Computability/Reduce.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable β
e : α ≃ β
q : β → Prop
h : Computable ⇑e.symm
x✝ : β
\u22a2 q x✝ = ((q ∘ ⇑e) ∘ ⇑e.symm) x✝
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hba : b ≤ a
hb : 0 < b
h : a / b = 0
\u22a2 a = a % b
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
\u22a2 ‖x‖ ≤ convexBodySumFun x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
\u22a2 (Finset.univ.sup' ⋯ fun w => (normAtPlace w) x) ≤ convexBodySumFun x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
w : InfinitePlace K
x✝ : w ∈ Finset.univ
\u22a2 (normAtPlace w) x ≤ convexBodySumFun x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
w : InfinitePlace K
x✝ : w ∈ Finset.univ
\u22a2 (normAtPlace w) x ≤ ↑w.mult * (normAtPlace w) x + ∑ x_1 ∈ Finset.univ.erase w, ↑x_1.mult * (normAtPlace x_1) x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
w : InfinitePlace K
x✝ : w ∈ Finset.univ
\u22a2 (normAtPlace w) x ≤ ↑w.mult * (normAtPlace w) x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
w : InfinitePlace K
x✝ : w ∈ Finset.univ
\u22a2 0 ≤ ∑ x_1 ∈ Finset.univ.erase w, ↑x_1.mult * (normAtPlace x_1) x
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
\u22a2 Function.Commute ⇑f fun x => x + ↑n
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/HaarToSphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
a✝ : Nontrivial E
\u22a2 μ.toSphere univ = ↑(dim E) * μ (ball 0 1)
-- Mathlib/Data/Multiset/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
\u22a2 (Finset.Iic s).card = ∏ i ∈ s.toFinset, (count i s + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ContinuousFunctionalCalculus/ExpLog.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : PartialOrder A
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
a : A
ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
hcont : ContinuousOn Real.log (Real.exp '' spectrum ℝ a)
\u22a2 log (exp ℝ a) = a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ContinuousFunctionalCalculus/ExpLog.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : PartialOrder A
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
a : A
ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
hcont : ContinuousOn Real.log (Real.exp '' spectrum ℝ a)
\u22a2 cfc (fun x => Real.log (Real.exp x)) a = a
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x✝ y
a b : X
γ : Path a b
x : X
\u22a2 x ∈ range ⇑γ.symm ↔ x ∈ range ⇑γ
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x✝ y
a b : X
γ : Path a b
x : X
\u22a2 (∃ x_1, ∃ (h : x_1 ∈ I), γ.toFun ⟨1 - x_1, ⋯⟩ = x) ↔ ∃ x_1, ∃ (h : x_1 ∈ I), γ.toFun ⟨x_1, h⟩ = x
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y✝ z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x✝ y✝
a b : X
γ : Path a b
x : X
y : ℝ
hy : y ∈ I
hxy : γ.toFun ⟨y, hy⟩ = x
\u22a2 1 - (1 - y) = y
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 Memℒp (s.indicator f) p μ ↔ Memℒp f p (μ.restrict s)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
h : Odd n
\u22a2 2 * (n / 2) + 1 = n
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : IsLocalization M S
R' : Type u_4
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Algebra S R'
inst✝ : IsScalarTower R S R'
p : S[X]
x : R'
hx : (aeval x) p = 0
\u22a2 (aeval x) (integerNormalization M p) = 0
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
T : Tape Γ
i : ℤ
\u22a2 (move Dir.right T).nth i = T.nth (i + 1)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
T : Tape Γ
i : ℤ
\u22a2 (move Dir.right T).nth i = (move Dir.left (move Dir.right T)).nth (i + 1)
-- Mathlib/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a✝ : α
l✝ : List α
p : β → Prop
f : (b : β) → p b → α
a : β
l : List β
ihl : ∀ (h : ∀ (x : β), x ∈ l → p x), Pairwise R (pmap f l h) ↔ Pairwise (fun b₁ b₂ => ∀ (h₁ : p b₁) (h₂ : p b₂), R (f b₁ h₁) (f b₂ h₂)) l
h : ∀ (x : β), x ∈ a :: l → p x
left✝ : p a
hl : ∀ (b : β), b ∈ l → p b
\u22a2 Pairwise R (pmap f (a :: l) h) ↔ Pairwise (fun b₁ b₂ => ∀ (h₁ : p b₁) (h₂ : p b₂), R (f b₁ h₁) (f b₂ h₂)) (a :: l)
-- Mathlib/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a✝ : α
l✝ : List α
p : β → Prop
f : (b : β) → p b → α
a : β
l : List β
ihl : ∀ (h : ∀ (x : β), x ∈ l → p x), Pairwise R (pmap f l h) ↔ Pairwise (fun b₁ b₂ => ∀ (h₁ : p b₁) (h₂ : p b₂), R (f b₁ h₁) (f b₂ h₂)) l
h : ∀ (x : β), x ∈ a :: l → p x
left✝ : p a
hl : ∀ (b : β), b ∈ l → p b
\u22a2 Pairwise (fun b₁ b₂ => ∀ (h₁ : p b₁) (h₂ : p b₂), R (f b₁ h₁) (f b₂ h₂)) l → ((∀ (a' : α) (x : β) (h_1 : x ∈ l), f x ⋯ = a' → R (f a ⋯) a') ↔ ∀ (a' : β), a' ∈ l → ∀ (h₁ : p a) (h₂ : p a'), R (f a h₁) (f a' h₂))
-- Mathlib/Order/Irreducible.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : SemilatticeSup α
a b c : α
\u22a2 ¬SupIrred a ↔ IsMin a ∨ ∃ b c, b ⊔ c = a ∧ b < a ∧ c < a
-- Mathlib/Order/Irreducible.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : SemilatticeSup α
a b c : α
\u22a2 (¬¬IsMin a ∨ ¬∀ ⦃b c : α⦄, b ⊔ c = a → b = a ∨ c = a) ↔ IsMin a ∨ ∃ b c, b ⊔ c = a ∧ b < a ∧ c < a
-- Mathlib/Order/Irreducible.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : SemilatticeSup α
a b c : α
\u22a2 (IsMin a ∨ ∃ b c, b ⊔ c = a ∧ b ≠ a ∧ c ≠ a) ↔ IsMin a ∨ ∃ b c, b ⊔ c = a ∧ b < a ∧ c < a
-- Mathlib/Order/Irreducible.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : SemilatticeSup α
a b c : α
\u22a2 ∀ (a_1 b : α), a_1 ⊔ b = a ∧ a_1 ≠ a ∧ b ≠ a ↔ a_1 ⊔ b = a ∧ a_1 < a ∧ b < a
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝ : DecidableEq α
a b✝ c : α
P : Finpartition a
b : α
\u22a2 (image (fun x => x \ b) P.parts).sup id = a \ b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
\u22a2 h.finpartition.parts.card ≤ r
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
l : r < h.finpartition.parts.card
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
l : r < h.finpartition.parts.card
z : Finset V
hz : Set.BijOn h.finpartition.part ↑z ↑h.finpartition.parts
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
l : r < h.finpartition.parts.card
z : Finset V
hz : Set.BijOn h.finpartition.part ↑z ↑h.finpartition.parts
ncf : ¬G.CliqueFree z.card
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
l : r < h.finpartition.parts.card
z : Finset V
hz : Set.BijOn h.finpartition.part ↑z ↑h.finpartition.parts
ncf : ¬G.CliqueFree h.finpartition.parts.card
\u22a2 False
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/StandardBorel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : CountablyGenerated γ
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
h✝ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hα : Countable α
x y : α
h : x ∈ measurableAtom y
\u22a2 (fun a => (κ a).condKernel) x = (fun a => (κ a).condKernel) y
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : RCLike 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
\u22a2 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : RCLike 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ
\u22a2 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : RCLike 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ
\u22a2 0 ≤ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable'.mk (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) h