ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : AlexandrovDiscrete α
S✝ : Set (Set α)
f : ι → Set α
S : Set (Set α)
\u22a2 closure (⋃₀ S) = ⋃ s ∈ S, closure s
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Decomposition.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F
X A : C
inst✝¹ : IsConnected A
u : A ⟶ CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProd F X
inst✝ : Mono u
a : ↑(F.obj A)
h : F.map u a = CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X
x : ↑(F.obj X)
\u22a2 F.map (CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProdProj u x) a = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Decomposition.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F
X A : C
inst✝¹ : IsConnected A
u : A ⟶ CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProd F X
inst✝ : Mono u
a : ↑(F.obj A)
h : F.map u a = CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X
x : ↑(F.obj X)
\u22a2 F.map (Pi.π (fun x => X) x) (CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X) = x
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
a b c : Ordinal.{u_1}
h₁ : a < ω ^ b
h₂ : ω ^ b ≤ c
\u22a2 a + c = c
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/OpenMapping.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace X
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : MulAction G X
inst✝⁹ : SigmaCompactSpace G
inst✝⁸ : BaireSpace X
inst✝⁷ : T2Space X
inst✝⁶ : ContinuousSMul G X
inst✝⁵ : IsPretransitive G X
H : Type u_3
inst✝⁴ : Group H
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : BaireSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : ContinuousMul H
f : G →* H
hf : Surjective ⇑f
h'f : Continuous ⇑f
A : MulAction G H := MulAction.compHom H f
\u22a2 IsOpenMap ⇑f
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/OpenMapping.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace X
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : MulAction G X
inst✝⁹ : SigmaCompactSpace G
inst✝⁸ : BaireSpace X
inst✝⁷ : T2Space X
inst✝⁶ : ContinuousSMul G X
inst✝⁵ : IsPretransitive G X
H : Type u_3
inst✝⁴ : Group H
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : BaireSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : ContinuousMul H
f : G →* H
hf : Surjective ⇑f
h'f : Continuous ⇑f
A : MulAction G H := MulAction.compHom H f
this : ContinuousSMul G H
\u22a2 IsOpenMap ⇑f
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/OpenMapping.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace X
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : MulAction G X
inst✝⁹ : SigmaCompactSpace G
inst✝⁸ : BaireSpace X
inst✝⁷ : T2Space X
inst✝⁶ : ContinuousSMul G X
inst✝⁵ : IsPretransitive G X
H : Type u_3
inst✝⁴ : Group H
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : BaireSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : ContinuousMul H
f : G →* H
hf : Surjective ⇑f
h'f : Continuous ⇑f
A : MulAction G H := MulAction.compHom H f
this✝ : ContinuousSMul G H
this : IsPretransitive G H
\u22a2 IsOpenMap ⇑f
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/OpenMapping.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace X
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : MulAction G X
inst✝⁹ : SigmaCompactSpace G
inst✝⁸ : BaireSpace X
inst✝⁷ : T2Space X
inst✝⁶ : ContinuousSMul G X
inst✝⁵ : IsPretransitive G X
H : Type u_3
inst✝⁴ : Group H
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : BaireSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : ContinuousMul H
f : G →* H
hf : Surjective ⇑f
h'f : Continuous ⇑f
A : MulAction G H := MulAction.compHom H f
this✝¹ : ContinuousSMul G H
this✝ : IsPretransitive G H
this : ⇑f = fun g => g • 1
\u22a2 IsOpenMap ⇑f
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/OpenMapping.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace X
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : MulAction G X
inst✝⁹ : SigmaCompactSpace G
inst✝⁸ : BaireSpace X
inst✝⁷ : T2Space X
inst✝⁶ : ContinuousSMul G X
inst✝⁵ : IsPretransitive G X
H : Type u_3
inst✝⁴ : Group H
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : BaireSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : ContinuousMul H
f : G →* H
hf : Surjective ⇑f
h'f : Continuous ⇑f
A : MulAction G H := MulAction.compHom H f
this✝¹ : ContinuousSMul G H
this✝ : IsPretransitive G H
this : ⇑f = fun g => g • 1
\u22a2 IsOpenMap fun g => g • 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : δ < 1
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
\u22a2 |↑(edgeDensity r s₂ t₂) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ - δ ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : δ < 1
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
\u22a2 |↑(edgeDensity r s₂ t₂) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ - δ ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
\u22a2 |↑(edgeDensity r s₂ t₂) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ - δ ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs : ∅ ⊆ s₁
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑∅.card
\u22a2 |↑(edgeDensity r ∅ t₂) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ - δ ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
\u22a2 |↑(edgeDensity r s₂ t₂) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ - δ ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht : ∅ ⊆ t₁
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑∅.card
\u22a2 |↑(edgeDensity r s₂ ∅) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ - δ ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
\u22a2 |↑(edgeDensity r s₂ t₂) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ - δ ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
hr : 2 * δ - δ ^ 2 = 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
\u22a2 ↑|edgeDensity r s₂ t₂ - edgeDensity r s₁ t₁| ≤ 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
hr : 2 * δ - δ ^ 2 = 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
\u22a2 ↑(1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)) ≤ 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
hr : 2 * δ - δ ^ 2 = 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
\u22a2 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card) ≤ 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
hr : 2 * δ - δ ^ 2 = 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
h₁ : s₁.Nonempty
\u22a2 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card) ≤ 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
hr : 2 * δ - δ ^ 2 = 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
h₁ : s₁.Nonempty
h₂ : t₁.Nonempty
\u22a2 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card) ≤ 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/ReflectsPrecoherent.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.230, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝⁴ : F.ReflectsFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Precoherent D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
B₁ B₂ : C
f : B₂ ⟶ B₁
α : Type
x✝¹ : Finite α
X₁ : α → C
π₁ : (a : α) → X₁ a ⟶ B₁
x✝ : EffectiveEpiFamily X₁ π₁
\u22a2 ∃ β, ∃ (_ : Finite β), ∃ X₂ π₂, EffectiveEpiFamily X₂ π₂ ∧ ∃ i ι, ∀ (b : β), ι b ≫ π₁ (i b) = π₂ b ≫ f
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/ReflectsPrecoherent.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.230, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝⁴ : F.ReflectsFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Precoherent D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
B₁ B₂ : C
f : B₂ ⟶ B₁
α : Type
x✝¹ : Finite α
X₁ : α → C
π₁ : (a : α) → X₁ a ⟶ B₁
x✝ : EffectiveEpiFamily X₁ π₁
β : Type
w✝ : Finite β
Y₂ : β → D
τ₂ : (b : β) → Y₂ b ⟶ F.obj B₂
H : EffectiveEpiFamily Y₂ τ₂
i : β → α
ι : (b : β) → Y₂ b ⟶ F.obj (X₁ (i b))
hh : ∀ (b : β), ι b ≫ F.map (π₁ (i b)) = τ₂ b ≫ F.map f
\u22a2 ∃ β, ∃ (_ : Finite β), ∃ X₂ π₂, EffectiveEpiFamily X₂ π₂ ∧ ∃ i ι, ∀ (b : β), ι b ≫ π₁ (i b) = π₂ b ≫ f
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/ReflectsPrecoherent.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.230, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝⁴ : F.ReflectsFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Precoherent D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
B₁ B₂ : C
f : B₂ ⟶ B₁
α : Type
x✝¹ : Finite α
X₁ : α → C
π₁ : (a : α) → X₁ a ⟶ B₁
x✝ : EffectiveEpiFamily X₁ π₁
β : Type
w✝ : Finite β
Y₂ : β → D
τ₂ : (b : β) → Y₂ b ⟶ F.obj B₂
H : EffectiveEpiFamily Y₂ τ₂
i : β → α
ι : (b : β) → Y₂ b ⟶ F.obj (X₁ (i b))
hh : ∀ (b : β), ι b ≫ F.map (π₁ (i b)) = τ₂ b ≫ F.map f
\u22a2 EffectiveEpiFamily (fun a => F.obj ⋯.some.p) fun a => F.map (F.preimage (F.effectiveEpiOver (Y₂ a) ≫ τ₂ a))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/ReflectsPrecoherent.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.230, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝⁴ : F.ReflectsFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Precoherent D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
B₁ B₂ : C
f : B₂ ⟶ B₁
α : Type
x✝¹ : Finite α
X₁ : α → C
π₁ : (a : α) → X₁ a ⟶ B₁
x✝ : EffectiveEpiFamily X₁ π₁
β : Type
w✝ : Finite β
Y₂ : β → D
τ₂ : (b : β) → Y₂ b ⟶ F.obj B₂
H : EffectiveEpiFamily Y₂ τ₂
i : β → α
ι : (b : β) → Y₂ b ⟶ F.obj (X₁ (i b))
hh : ∀ (b : β), ι b ≫ F.map (π₁ (i b)) = τ₂ b ≫ F.map f
\u22a2 ∀ (b : β), (fun b => F.preimage (F.effectiveEpiOver (Y₂ b) ≫ ι b)) b ≫ π₁ (i b) = (fun b => F.preimage (F.effectiveEpiOver (Y₂ b) ≫ τ₂ b)) b ≫ f
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
inst✝ : Group G
s t : Set α
f✝ g : α → G
a : α
h : s ⊆ t
f : α → G
\u22a2 (t \ s).mulIndicator f = t.mulIndicator f / s.mulIndicator f
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
h : l.formPerm x ≠ x
\u22a2 x ∈ l
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p' s'
\u22a2 ¬Disjoint l l' ↔ ¬∃ i, p i ∧ ∃ i', p' i' ∧ Disjoint (s i) (s' i')
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h✝ h : G.IsTuranMaximal r
\u22a2 Nonempty (G ≃g turanGraph (Fintype.card V) r)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h✝ h : G.IsTuranMaximal r
zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card
zp : ∀ (a b : { x // x ∈ univ }), h.finpartition.part ↑a = h.finpartition.part ↑b ↔ ↑(zm a) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm b) % h.finpartition.parts.card
\u22a2 Nonempty (G ≃g turanGraph (Fintype.card V) r)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h✝ h : G.IsTuranMaximal r
zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card
zp : ∀ (a b : { x // x ∈ univ }), h.finpartition.part ↑a = h.finpartition.part ↑b ↔ ↑(zm a) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm b) % h.finpartition.parts.card
\u22a2 ∀ {a b : V}, (turanGraph (Fintype.card V) r).Adj (((Equiv.subtypeUnivEquiv ⋯).symm.trans zm) a) (((Equiv.subtypeUnivEquiv ⋯).symm.trans zm) b) ↔ G.Adj a b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h✝ h : G.IsTuranMaximal r
zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card
zp : ∀ (a b : { x // x ∈ univ }), h.finpartition.part ↑a = h.finpartition.part ↑b ↔ ↑(zm a) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm b) % h.finpartition.parts.card
a b : V
\u22a2 (turanGraph (Fintype.card V) r).Adj (((Equiv.subtypeUnivEquiv ⋯).symm.trans zm) a) (((Equiv.subtypeUnivEquiv ⋯).symm.trans zm) b) ↔ G.Adj a b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h✝ h : G.IsTuranMaximal r
zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card
zp : ∀ (a b : { x // x ∈ univ }), h.finpartition.part ↑a = h.finpartition.part ↑b ↔ ↑(zm a) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm b) % h.finpartition.parts.card
a b : V
\u22a2 ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % r ≠ ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % r ↔ G.Adj a b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h✝ h : G.IsTuranMaximal r
zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card
zp : ∀ (a b : { x // x ∈ univ }), h.finpartition.part ↑a = h.finpartition.part ↑b ↔ ↑(zm a) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm b) % h.finpartition.parts.card
a b : V
this : h.finpartition.part ↑⟨a, ⋯⟩ = h.finpartition.part ↑⟨b, ⋯⟩ ↔ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card
\u22a2 ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % r ≠ ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % r ↔ G.Adj a b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h✝ h : G.IsTuranMaximal r
zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card
zp : ∀ (a b : { x // x ∈ univ }), h.finpartition.part ↑a = h.finpartition.part ↑b ↔ ↑(zm a) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm b) % h.finpartition.parts.card
a b : V
this : ¬G.Adj ↑⟨a, ⋯⟩ ↑⟨b, ⋯⟩ ↔ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card
\u22a2 ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % r ≠ ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % r ↔ G.Adj a b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h✝ h : G.IsTuranMaximal r
zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card
zp : ∀ (a b : { x // x ∈ univ }), h.finpartition.part ↑a = h.finpartition.part ↑b ↔ ↑(zm a) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm b) % h.finpartition.parts.card
a b : V
this : ¬G.Adj ↑⟨a, ⋯⟩ ↑⟨b, ⋯⟩ ↔ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card
\u22a2 ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % r = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % r ↔ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % min (Fintype.card V) r = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % min (Fintype.card V) r
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h✝ h : G.IsTuranMaximal r
zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card
zp : ∀ (a b : { x // x ∈ univ }), h.finpartition.part ↑a = h.finpartition.part ↑b ↔ ↑(zm a) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm b) % h.finpartition.parts.card
a b : V
this : ¬G.Adj ↑⟨a, ⋯⟩ ↑⟨b, ⋯⟩ ↔ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card
c : r ≤ Fintype.card V
\u22a2 ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % r = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % r ↔ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % min (Fintype.card V) r = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % min (Fintype.card V) r
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h✝ h : G.IsTuranMaximal r
zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card
zp : ∀ (a b : { x // x ∈ univ }), h.finpartition.part ↑a = h.finpartition.part ↑b ↔ ↑(zm a) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm b) % h.finpartition.parts.card
a b : V
this : ¬G.Adj ↑⟨a, ⋯⟩ ↑⟨b, ⋯⟩ ↔ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card
c : Fintype.card V < r
\u22a2 ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % r = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % r ↔ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % min (Fintype.card V) r = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % min (Fintype.card V) r
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
\u22a2 LiouvilleWith p (↑r + x) ↔ LiouvilleWith p x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α
x y a✝ : α
\u22a2 a✝ ∈ f.support \ {x, y} → a✝ ∈ (swap x y * f).support
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α
x y a✝ : α
\u22a2 ¬f a✝ = a✝ → ¬(a✝ = x ∨ a✝ = y) → ¬(swap x y) (f a✝) = a✝
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α
x y a✝ : α
ha : f a✝ ≠ a✝
hx : a✝ ≠ x
hy : a✝ ≠ y
H : (swap x y) (f a✝) = a✝
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α
x y a✝ : α
ha : f a✝ ≠ a✝
hx : a✝ ≠ x
hy : a✝ ≠ y
H : f a✝ = a✝
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : β → α → β
b : β
v✝ : Vector α n
v : Vector α 1
\u22a2 scanl f b v = b ::ᵥ f b v.head ::ᵥ nil
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : β → α → β
b : β
v✝ : Vector α n
v : Vector α 1
\u22a2 scanl f b (v.head ::ᵥ v.tail) = b ::ᵥ f b (v.head ::ᵥ v.tail).head ::ᵥ nil
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Nontrivial S
h : IsAdjoinRootMonic S f
\u22a2 h.coeff 1 = Pi.single 0 1
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I B✝ X : Set α
M : Matroid α
B : Set α
h : B ⊆ M.E
\u22a2 M✶✶.Base B ↔ M.Base B
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P
v : V
\u22a2 Sbtw R (v +ᵥ x) (v +ᵥ y) (v +ᵥ z) ↔ Sbtw R x y z
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
\u22a2 a - b = 0 ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
p q : Submodule R Aᵐᵒᵖ
\u22a2 { toFun := fun p => op (comap (↑(opLinearEquiv R)) p), invFun := fun p => comap (↑(opLinearEquiv R).symm) (unop p), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (p + q) = { toFun := fun p => op (comap (↑(opLinearEquiv R)) p), invFun := fun p => comap (↑(opLinearEquiv R).symm) (unop p), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun p + { toFun := fun p => op (comap (↑(opLinearEquiv R)) p), invFun := fun p => comap (↑(opLinearEquiv R).symm) (unop p), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun q
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
\u22a2 IsIdempotentElem (∑ i : I, e i)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
\u22a2 f.SameCycle x y → (g * f * g⁻¹).SameCycle (g x) (g y)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf_Lp : Memℒp f 1 μ
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf_Lp : Memℒp f 1 μ
f_Lp : ↥(Lp E 1 μ) := Memℒp.toLp f hf_Lp
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf_Lp : Memℒp f 1 μ
f_Lp : ↥(Lp E 1 μ) := Memℒp.toLp f hf_Lp
hf_f_Lp : f =ᶠ[ae μ] ↑↑f_Lp
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] 0