ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/EllipticDivisibilitySequence.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
m : ℕ
\u22a2 preNormEDS b c d (2 * (↑m + 3)) = preNormEDS b c d (↑m + 2) ^ 2 * preNormEDS b c d (↑m + 3) * preNormEDS b c d (↑m + 5) - preNormEDS b c d (↑m + 1) * preNormEDS b c d (↑m + 3) * preNormEDS b c d (↑m + 4) ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/EllipticDivisibilitySequence.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
m : ℕ
\u22a2 preNormEDS' b c d (2 * (m + 3)) = preNormEDS' b c d (m + 2) ^ 2 * preNormEDS' b c d (m + 3) * preNormEDS' b c d (m + 5) - preNormEDS' b c d (m + 1) * preNormEDS' b c d (m + 3) * preNormEDS' b c d (m + 4) ^ 2
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
inst✝ : DivisionCommMonoid G
f g : α → G
hs : s.Finite
\u22a2 ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i / g i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) / ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), g i
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
ha : ∃ l, l < a
\u22a2 (𝓝[≤] a).HasBasis (fun l => l < a) fun l => Ioc l a
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
ha : ∃ l, l < a
e_1✝ : α = αᵒᵈ
x✝ : α
\u22a2 Ioc x✝ a = Ico a x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Slope.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b : k
\u22a2 (b - a) • slope f a b = f b -ᵥ f a
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Slope.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a : k
\u22a2 (a - a) • slope f a a = f a -ᵥ f a
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Slope.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b : k
hne : a ≠ b
\u22a2 (b - a) • slope f a b = f b -ᵥ f a
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g
this : Dioph fun v => v &2 = 0 ∧ v &0 = 0 ∨ v &0 * v &2 ≤ v &1 ∧ v &1 < (v &0 + 1) * v &2
z x y : ℕ
\u22a2 y = 0 ∧ z = 0 ∨ z * y ≤ x ∧ x < (z + 1) * y ↔ x / y = z
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g
this : Dioph fun v => v &2 = 0 ∧ v &0 = 0 ∨ v &0 * v &2 ≤ v &1 ∧ v &1 < (v &0 + 1) * v &2
z x y : ℕ
\u22a2 y = 0 ∧ z = 0 ∨ z * y ≤ x ∧ x < (z + 1) * y ↔ z = x / y
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Monoid G
h : QuasiIso (forget₂ToModuleCatHomotopyEquiv k G).hom
\u22a2 QuasiIso (((forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)).mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map (εToSingle₀ k G))
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Monoid G
h : QuasiIso (((forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)).mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map (εToSingle₀ k G) ≫ (HomologicalComplex.singleMapHomologicalComplex (forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)) (ComplexShape.down ℕ) 0).hom.app (Rep.trivial k G k))
\u22a2 QuasiIso (((forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)).mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map (εToSingle₀ k G))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x✝ : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
hx : 0 < x
\u22a2 Tendsto (logGammaSeq x) atTop (𝓝 (log (Gamma x)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x✝ : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
hx : 0 < x
this : log (Gamma x) = (log ∘ Gamma) x - (log ∘ Gamma) 1
\u22a2 Tendsto (logGammaSeq x) atTop (𝓝 (log (Gamma x)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x✝ : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
hx : 0 < x
this : log (Gamma x) = (log ∘ Gamma) x - (log ∘ Gamma) 1
\u22a2 Tendsto (logGammaSeq x) atTop (𝓝 ((log ∘ Gamma) x - (log ∘ Gamma) 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x✝ : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
hx : 0 < x
this : log (Gamma x) = (log ∘ Gamma) x - (log ∘ Gamma) 1
y : ℝ
hy : 0 < y
\u22a2 (log ∘ Gamma) (y + 1) = (log ∘ Gamma) y + log y
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Monotone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atTop
\u22a2 ∀ᵐ (c : β) ∂ν a, Tendsto (fun m => f (a, c) (seq m)) atTop (𝓝 1)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Monotone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atTop
\u22a2 ∀ (n : ℕ), Integrable (fun c => f (a, c) (seq n)) (ν a)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Monotone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atTop
\u22a2 Tendsto (fun i => ∫ (a_1 : β), f (a, a_1) (seq i) ∂ν a) atTop (𝓝 (∫ (a : β), 1 ∂ν a))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Monotone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atTop
\u22a2 ∀ᵐ (a_1 : β) ∂ν a, Monotone fun i => f (a, a_1) (seq i)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Monotone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atTop
\u22a2 ∀ᵐ (a_1 : β) ∂ν a, ∀ (i : ℕ), f (a, a_1) (seq i) ≤ 1
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s t u : Finset α
hus : u ⊆ s ∪ t
hcard : u.card = mulRothNumber (s ∪ t)
hu : ThreeGPFree ↑u
\u22a2 u.card = (u ∩ s ∪ u ∩ t).card
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' t x v
hst : t ∈ 𝓝[s] x
\u22a2 HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' s x v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' t x v
hst : t ∈ 𝓝[s] x
\u22a2 (fun t => x + t • v) ⁻¹' t ∈ 𝓝[(fun t => x + t • v) ⁻¹' s] 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' t x v
hst : t ∈ 𝓝[s] x
\u22a2 ContinuousWithinAt (fun t => x + t • v) ((fun t => x + t • v) ⁻¹' s) 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' t x v
hst : t ∈ 𝓝[s] x
\u22a2 Continuous fun t => x + t • v
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
d : ℤ
b c : ℤ√d
hb : IsPell b
hc : IsPell c
\u22a2 b * c * star (b * c) = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R✝
m n✝ : ℕ
inst✝² : CommSemiring R✝
p q : R✝[X]
x✝ : R✝
inst✝¹ : CommSemiring S
f : R✝ →+* S
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
x : R
\u22a2 eval x (∑ i ∈ range n, X ^ i) = ∑ i ∈ range n, x ^ i
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
u v : Rˣ
m n : ℕ
h : ↑u * ϖ ^ m = ↑v * ϖ ^ n
\u22a2 u = v
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
u v : Rˣ
m : ℕ
h : ↑u * ϖ ^ m = ↑v * ϖ ^ m
\u22a2 u = v
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
u v : Rˣ
m : ℕ
h : ↑u * ϖ ^ m - ↑v * ϖ ^ m = 0
\u22a2 u = v
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
u v : Rˣ
m : ℕ
h : ↑u - ↑v = 0 ∨ ϖ ^ m = 0
\u22a2 u = v
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ici a, HasDerivAt g (g' x) x
g'pos : ∀ x ∈ Ioi a, 0 ≤ g' x
hg : Tendsto g atTop (𝓝 l)
\u22a2 IntegrableOn g' (Ioi a) volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ici a, HasDerivAt g (g' x) x
g'pos : ∀ x ∈ Ioi a, 0 ≤ g' x
hg : Tendsto g atTop (𝓝 l)
\u22a2 ContinuousWithinAt g (Ici a) a
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
hf : ¬f = 0
hg : ¬g = 0
\u22a2 valAux K v O hv p (f * g) = valAux K v O hv p f * valAux K v O hv p g
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
hf : ¬f = 0
hg : ¬g = 0
m : ℕ
hm : (coeff (ModP K v O hv p) p m) f ≠ 0
\u22a2 valAux K v O hv p (f * g) = valAux K v O hv p f * valAux K v O hv p g
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
hf : ¬f = 0
hg : ¬g = 0
m : ℕ
hm : (coeff (ModP K v O hv p) p m) f ≠ 0
n : ℕ
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p n) g ≠ 0
\u22a2 valAux K v O hv p (f * g) = valAux K v O hv p f * valAux K v O hv p g
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
hf : ¬f = 0
hg : ¬g = 0
m n : ℕ
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p n) g ≠ 0
hm : (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n)) f ≠ 0
\u22a2 valAux K v O hv p (f * g) = valAux K v O hv p f * valAux K v O hv p g
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
hf : ¬f = 0
hg : ¬g = 0
m n : ℕ
hm : (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n)) f ≠ 0
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n)) g ≠ 0
\u22a2 valAux K v O hv p (f * g) = valAux K v O hv p f * valAux K v O hv p g
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
hf : ¬f = 0
hg : ¬g = 0
m n : ℕ
hm : (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n)) f ≠ 0
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n)) g ≠ 0
hfg : (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) (f * g) ≠ 0
\u22a2 valAux K v O hv p (f * g) = valAux K v O hv p f * valAux K v O hv p g
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
hf : ¬f = 0
hg : ¬g = 0
m n : ℕ
hm : (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n)) f ≠ 0
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n)) g ≠ 0
hfg : (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) (f * g) ≠ 0
\u22a2 ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) (f * g)) ^ p ^ (max m n + 1) = ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) f) ^ p ^ (max m n + 1) * ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) g) ^ p ^ (max m n + 1)
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
hf : ¬f = 0
hg : ¬g = 0
m n : ℕ
hm : (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n)) f ≠ 0
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n)) g ≠ 0
hfg : (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) f * (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) g ≠ 0
\u22a2 ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) f * (coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) g) ^ p ^ (max m n + 1) = ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) f) ^ p ^ (max m n + 1) * ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max m n + 1)) g) ^ p ^ (max m n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℤ
a b : ℤ√d
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hdvd : b ∣ a
\u22a2 IsCoprime b.re b.im
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℤ
a b : ℤ√d
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hdvd : b ∣ a
\u22a2 ¬(b.re = 0 ∧ b.im = 0)
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℤ
a b : ℤ√d
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hdvd : b ∣ a
\u22a2 ∀ z ∈ nonunits ℤ, z ≠ 0 → z ∣ b.re → ¬z ∣ b.im
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ : ℝ
a b : E
r : ℝ
c : E
\u22a2 c ∈ (fun x => b * x) ⁻¹' ball a r ↔ c ∈ ball (a / b) r
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
\u22a2 ContinuousWithinAt f (s ×ˢ t) (x, y)
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
\u22a2 ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
\u22a2 ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < δ
hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2
\u22a2 ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < ↑δ
hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2
\u22a2 ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < ↑δ
hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2
x' : α
hx' : x' ∈ s'
hxx' : edist x x' < ↑δ
\u22a2 ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < ↑δ
hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2
x' : α
hx' : x' ∈ s'
hxx' : edist x x' < ↑δ
A : s ∩ EMetric.ball x ↑δ ∈ 𝓝[s] x
\u22a2 ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < ↑δ
hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2
x' : α
hx' : x' ∈ s'
hxx' : edist x x' < ↑δ
A : s ∩ EMetric.ball x ↑δ ∈ 𝓝[s] x
B : t ∩ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2} ∈ 𝓝[t] y
\u22a2 ∀ᶠ (x_1 : α × β) in 𝓝[s ×ˢ t] (x, y), f x_1 ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α × β → γ
s s' : Set α
t : Set β
hs' : s' ⊆ s
hss' : s ⊆ closure s'
K : ℝ≥0
ha : ∀ a ∈ s', ContinuousOn (fun y => f (a, y)) t
hb : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K (fun x => f (x, b)) s
x : α
y : β
hx : x ∈ s
hy : y ∈ t
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε / 2
δ : ℝ≥0
δpos : 0 < ↑δ
hδ : ↑δ * ↑(3 * K) < ε / 2
x' : α
hx' : x' ∈ s'
hxx' : edist x x' < ↑δ
A : s ∩ EMetric.ball x ↑δ ∈ 𝓝[s] x
B : t ∩ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2} ∈ 𝓝[t] y
a : α
b : β
has : (a, b).1 ∈ s
hax : (a, b).1 ∈ EMetric.ball x ↑δ
hbt : (a, b).2 ∈ t
hby : (a, b).2 ∈ {b | edist (f (x', b)) (f (x', y)) ≤ ε / 2}
\u22a2 f (a, b) ∈ EMetric.closedBall (f (x, y)) ε
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hy : y ≠ 0
\u22a2 (∃ r, 0 ≤ r ∧ x = r • y) ↔ SameRay R x y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hy : y ≠ 0
\u22a2 (∃ r, 0 ≤ r ∧ x = r • y) ↔ SameRay R y x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hy : y ≠ 0
\u22a2 (∃ r, 0 ≤ r ∧ r • y = x) ↔ SameRay R y x
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
b : α
\u22a2 toIcoDiv ⋯ 0 b = ⌊b⌋
-- Mathlib/Data/Fintype/Sum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
p q : α → Prop
h : Disjoint p q
inst✝² : Fintype { x // p x }
inst✝¹ : Fintype { x // q x }
inst✝ : Fintype { x // p x ∨ q x }
\u22a2 card { x // p x ∨ q x } = card { x // p x } + card { x // q x }
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
p : ℝ
x : ℝ≥0∞
hx_pos : 0 < x
hx_ne_top : x ≠ ⊤
\u22a2 0 < x ^ p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
p : ℝ
x : ℝ≥0∞
hx_pos : 0 < x
hx_ne_top : x ≠ ⊤
hp_pos : 0 < p
\u22a2 0 < x ^ p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
p : ℝ
x : ℝ≥0∞
hx_pos : 0 < x
hx_ne_top : x ≠ ⊤
hp_nonpos : p ≤ 0
\u22a2 0 < x ^ p
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hc : c ≠ 0
x : ℝ
\u22a2 gaussianPDFReal μ v (c * x) = |c⁻¹| * gaussianPDFReal (c⁻¹ * μ) (⟨(c ^ 2)⁻¹, ⋯⟩ * v) x
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hc : c ≠ 0
x : ℝ
\u22a2 |c⁻¹| * gaussianPDFReal (c⁻¹ * μ) (⟨c⁻¹ ^ 2, ⋯⟩ * v) x = |c⁻¹| * gaussianPDFReal (c⁻¹ * μ) (⟨(c ^ 2)⁻¹, ⋯⟩ * v) x
-- Mathlib/RingTheory/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RespectsIso P
R S R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
f : R →+* S
r : R
inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'
inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'
e₁ : R' ≃+* Localization.Away r := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers r) R' (Localization.Away r)).toRingEquiv
e₂ : Localization.Away (f r) ≃+* S' := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers (f r)) (Localization.Away (f r)) S').toRingEquiv
\u22a2 P (Localization.awayMap f r) ↔ P (IsLocalization.Away.map R' S' f r)
-- Mathlib/RingTheory/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RespectsIso P
R S R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
f : R →+* S
r : R
inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'
inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'
e₁ : R' ≃+* Localization.Away r := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers r) R' (Localization.Away r)).toRingEquiv
e₂ : Localization.Away (f r) ≃+* S' := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers (f r)) (Localization.Away (f r)) S').toRingEquiv
\u22a2 P (e₁.toCommRingCatIso.hom ≫ CommRingCat.ofHom (IsLocalization.map (Localization.Away (f r)) f ⋯)) ↔ P (IsLocalization.Away.map R' S' f r)
-- Mathlib/RingTheory/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RespectsIso P
R S R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
f : R →+* S
r : R
inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'
inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'
e₁ : R' ≃+* Localization.Away r := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers r) R' (Localization.Away r)).toRingEquiv
e₂ : Localization.Away (f r) ≃+* S' := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers (f r)) (Localization.Away (f r)) S').toRingEquiv
\u22a2 P (CommRingCat.ofHom (e₁.toCommRingCatIso.hom ≫ CommRingCat.ofHom (IsLocalization.map (Localization.Away (f r)) f ⋯)) ≫ e₂.toCommRingCatIso.hom) ↔ P (IsLocalization.Away.map R' S' f r)