ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f✝ : α ≃o β
s t : LowerSet α
a : α
b✝ : β
f : α ≃o β
b : β
\u22a2 b ∈ (map f) s ↔ f.symm b ∈ s
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f✝ : α ≃o β
s t : LowerSet α
a : α
b✝ : β
f : α ≃o β
b : β
\u22a2 b ∈ (map f.symm).symm s ↔ f.symm b ∈ s
-- Mathlib/Logic/Denumerable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝¹ : Infinite ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
\u22a2 Set.range (Subtype.val ∘ ofNat s) = s
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Predicate.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_5, u_2} D
L✝ : C ⥤ D
W✝ : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_6, u_3} E
inst✝¹ : L✝.IsLocalization W✝
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
F₁ F₂ : D ⥤ E
τ τ' : F₁ ⟶ F₂
h : ∀ (X : C), τ.app (L.obj X) = τ'.app (L.obj X)
\u22a2 τ = τ'
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Predicate.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_5, u_2} D
L✝ : C ⥤ D
W✝ : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_6, u_3} E
inst✝¹ : L✝.IsLocalization W✝
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
F₁ F₂ : D ⥤ E
τ τ' : F₁ ⟶ F₂
h : ∀ (X : C), τ.app (L.obj X) = τ'.app (L.obj X)
this : L.EssSurj
\u22a2 τ = τ'
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Predicate.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_5, u_2} D
L✝ : C ⥤ D
W✝ : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_6, u_3} E
inst✝¹ : L✝.IsLocalization W✝
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
F₁ F₂ : D ⥤ E
τ τ' : F₁ ⟶ F₂
h : ∀ (X : C), τ.app (L.obj X) = τ'.app (L.obj X)
this : L.EssSurj
Y : D
\u22a2 τ.app Y = τ'.app Y
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ t s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
\u22a2 s.toFinset.Nonempty ↔ s.Nonempty
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁✝ s₂✝ t✝ t₁ t₂ u t s₁ s₂ s : Set α
h : s₁ ∩ s = s₂ ∩ s
\u22a2 t.ite s₁ s₂ ∩ s = s₁ ∩ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Join.lean
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y a b c : E
\u22a2 convexJoin 𝕜 {a} (segment 𝕜 b c) = (convexHull 𝕜) {a, b, c}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X
\u22a2 IntervalIntegrable (fun x => -(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s)) volume 0 X
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X
x✝ : ℝ
\u22a2 -(↑(rexp (-x✝)) * ↑x✝ ^ s) = (-fun x => ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s + 1 - 1)) x✝
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X
\u22a2 0 < (s + 1).re
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
\u22a2 1⁻¹ = 1
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n : ℕ
\u22a2 1⁻¹ = 1
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
hn : n ≠ 1
\u22a2 1⁻¹ = 1
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
b : Set (Set α)
hb : IsTopologicalBasis b
a : α
s : Set α
\u22a2 (∃ t ∈ b, a ∈ t ∧ t ⊆ s) ↔ ∃ i, (i ∈ b ∧ a ∈ i) ∧ i ⊆ s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPointApproximants.lean
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
\u22a2 lfp f ∈ Set.range (lfpApprox f ⊥)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
hc : c < 0
p : ℝ≥0∞
\u22a2 eLpNorm f p μ = 0 ∧ eLpNorm g p μ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ
hc : c < 0
p : ℝ≥0∞
h : (∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x = 0) ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x = 0
\u22a2 eLpNorm f p μ = 0 ∧ eLpNorm g p μ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ
hc : c < 0
p : ℝ≥0∞
h : f =ᶠ[ae μ] 0 ∧ g =ᶠ[ae μ] 0
\u22a2 eLpNorm f p μ = 0 ∧ eLpNorm g p μ = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hc : AddLECancellable c
h : c ≤ a
\u22a2 a - c < b - c ↔ a < b
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
hf : ↑↑f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
\u22a2 ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
hf : ↑↑f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
\u22a2 ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
hf : ↑↑f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
\u22a2 ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑f x‖₊ ∂μ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
hf : ↑↑f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
\u22a2 (fun x => ↑‖↑↑f x‖₊) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
hf : ↑↑f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
\u22a2 Measurable fun x => ↑‖↑↑f x‖₊
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Fintype ↑s
inst✝¹ : Fintype ↑t
inst✝ : Fintype ↑(s ∆ t)
a✝ : α
\u22a2 a✝ ∈ (s ∆ t).toFinset ↔ a✝ ∈ s.toFinset ∆ t.toFinset
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝³ : CommRing R
M : Type u2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : BilinForm R M
h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
inst✝ : Invertible 2
\u22a2 (QuadraticMap.associated (-Q)).toQuadraticMap = 0 - Q
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Comp.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → E
f' : E →L[𝕜] E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hx : f x = x
hs : MapsTo f s s
n : ℕ
\u22a2 HasFDerivWithinAt f^[n] (f' ^ n) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Comp.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → E
f' : E →L[𝕜] E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hx : f x = x
hs : MapsTo f s s
n : ℕ
\u22a2 Tendsto f (𝓝[s] x) (𝓝[s] x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Comp.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → E
f' : E →L[𝕜] E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hx : f x = x
hs : MapsTo f s s
n : ℕ
\u22a2 Tendsto f (𝓝 x ⊓ 𝓟 s) (𝓝 x ⊓ 𝓟 s)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Comp.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → E
f' : E →L[𝕜] E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hx : f x = x
hs : MapsTo f s s
n : ℕ
\u22a2 x = f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Comp.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → E
f' : E →L[𝕜] E
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hx : f x = x
hs : MapsTo f s s
n : ℕ
\u22a2 Tendsto f (𝓝[s] x) (𝓟 s)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Faces.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
j : Fin (n + 2)
hj₁ : j ≠ 0
hj₂ : n + 2 ≤ ↑j + q
\u22a2 φ ≫ X.δ j = 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Faces.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
i : Fin (n + 1)
hj₁ : i.succ ≠ 0
hj₂ : n + 2 ≤ ↑i.succ + q
\u22a2 φ ≫ X.δ i.succ = 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Faces.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
i : Fin (n + 1)
hj₁ : i.succ ≠ 0
hj₂ : n + 2 ≤ ↑i.succ + q
\u22a2 n + 1 ≤ ↑i + q
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Faces.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
i : Fin (n + 1)
hj₁ : i.succ ≠ 0
hj₂ : n + 2 ≤ ↑i + 1 + q
\u22a2 n + 1 ≤ ↑i + q
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
a✝ : Rˣ
\u22a2 (χ * 1) ↑a✝ = χ ↑a✝
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
n : ℕ
\u22a2 eval₂ f x (X ^ n) = x ^ n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
n : ℕ
\u22a2 eval₂ f x ((monomial n) 1) = x ^ n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
n : ℕ
\u22a2 x ^ n = f 1 * x ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
s : ℂ
hs : 1 < s.re
\u22a2 L (fun n => ↑(ζ n)) s = riemannZeta s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
s : ℂ
hs : 1 < s.re
\u22a2 ∑' (n : ℕ), term (fun n => if n = 0 then 0 else 1) s n = ∑' (n : ℕ), 1 / ↑n ^ s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
\u22a2 term (fun n => if n = 0 then 0 else 1) s n = 1 / ↑n ^ s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
s : ℂ
hs : 1 < s.re
\u22a2 term (fun n => if n = 0 then 0 else 1) s 0 = 1 / ↑0 ^ s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 term (fun n => if n = 0 then 0 else 1) s n = 1 / ↑n ^ s
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IndYoneda.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝¹ : Category.{v₂, v₁} I
F : Iᵒᵖ ⥤ C
inst✝ : HasColimit F
i : I
\u22a2 (coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda' F).inv ≫ coyoneda.map (colimit.ι F (op i)).op = limit.π (F.rightOp ⋙ coyoneda) i
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c
n : ℕ
x : α
\u22a2 f (x + (2 * n + 1) • c) = -f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
π : ι ⊕ ι' → Type u_4
m : (i : ι ⊕ ι') → MeasurableSpace (π i)
μ : (i : ι ⊕ ι') → Measure (π i)
inst✝ : ∀ (i : ι ⊕ ι'), SigmaFinite (μ i)
\u22a2 Measure.map (⇑(MeasurableEquiv.sumPiEquivProdPi π).symm) ((Measure.pi fun i => μ (Sum.inl i)).prod (Measure.pi fun i => μ (Sum.inr i))) = Measure.pi μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
π : ι ⊕ ι' → Type u_4
m : (i : ι ⊕ ι') → MeasurableSpace (π i)
μ : (i : ι ⊕ ι') → Measure (π i)
inst✝ : ∀ (i : ι ⊕ ι'), SigmaFinite (μ i)
s : (i : ι ⊕ ι') → Set (π i)
x✝ : ∀ (i : ι ⊕ ι'), MeasurableSet (s i)
\u22a2 (Measure.map (⇑(MeasurableEquiv.sumPiEquivProdPi π).symm) ((Measure.pi fun i => μ (Sum.inl i)).prod (Measure.pi fun i => μ (Sum.inr i)))) (univ.pi s) = ∏ i : ι ⊕ ι', (μ i) (s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Lp.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → G
hf : Memℒp f p μ
hf_meas : StronglyMeasurable f
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
\u22a2 FinStronglyMeasurable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Lp.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → G
hf : Memℒp f p μ
hf_meas : StronglyMeasurable f
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
this : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
\u22a2 FinStronglyMeasurable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Lp.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → G
hf : Memℒp f p μ
hf_meas : StronglyMeasurable f
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
this : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
fs : ℕ → α →ₛ G := SimpleFunc.approxOn f ⋯ (Set.range f ∪ {0}) 0 ⋯
\u22a2 FinStronglyMeasurable f μ
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
s : String
c : Char
\u22a2 s.contains c = true ↔ c ∈ s.data
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
\u22a2 ⌈a⌉ = z ↔ ↑z - 1 < a ∧ a ≤ ↑z
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
h : I ≤ 1
\u22a2 IsFractional S I
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
h : I ≤ 1
\u22a2 ∀ b ∈ I, IsInteger R (1 • b)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
h : I ≤ 1
b : P
hb : b ∈ I
\u22a2 IsInteger R (1 • b)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
h : I ≤ 1
b : P
hb : b ∈ I
\u22a2 IsInteger R b
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
h : I ≤ 1
b' : R
hb : (Algebra.linearMap R P) b' ∈ I
\u22a2 IsInteger R ((Algebra.linearMap R P) b')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
s : Submodule K V
inst✝ : Module.Free K ↥s
\u22a2 Module.rank K ↥s ≤ 1 ↔ ∃ v₀ ∈ s, s ≤ span K {v₀}
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
s : Submodule K V
inst✝ : Module.Free K ↥s
\u22a2 (∃ v₀, ∀ (v : ↥s), ∃ r, r • v₀ = v) ↔ ∃ v₀ ∈ s, ∀ v ∈ s, ∃ r, r • v₀ = v
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f g : Filter α
m : α → β
h : Injective m
\u22a2 map m (f ⊓ g) = map m f ⊓ map m g
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f g : Filter α
m : α → β
h : Injective m
\u22a2 map m f ⊓ map m g ≤ map m (f ⊓ g)
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f g : Filter α
m : α → β
h : Injective m
t : Set β
s₁ : Set α
hs₁ : s₁ ∈ f
s₂ : Set α
hs₂ : s₂ ∈ g
ht : m ⁻¹' t = s₁ ∩ s₂
\u22a2 t ∈ map m f ⊓ map m g
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f g : Filter α
m : α → β
h : Injective m
t : Set β
s₁ : Set α
hs₁ : s₁ ∈ f
s₂ : Set α
hs₂ : s₂ ∈ g
ht : m ⁻¹' t = s₁ ∩ s₂
\u22a2 m '' s₁ ∩ m '' s₂ ⊆ t
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
hf : (map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o = Complex.orientation
x y : V
\u22a2 o.oangle x y = ↑((starRingEnd ℂ) (f x) * f y).arg
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
hf : (map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o = Complex.orientation
x y : V
\u22a2 o.oangle x y = o.oangle (f.symm (f x)) (f.symm (f y))
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
m n✝ i n : ℕ
hi : 2 ≤ i
\u22a2 i + (n + 1)! < (i + n + 1)!
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
m n✝ i n : ℕ
hi : 2 ≤ i
\u22a2 i + (n + 1)! < (i + n) * (i + n)! + (i + n)!
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
m n✝ i n : ℕ
hi : 2 ≤ i
this : i + n ≤ (i + n)!
\u22a2 i + (n + 1)! < (i + n) * (i + n)! + (i + n)!
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
s : ℂ
hs : 1 < s.re
h : L (fun n => ↑(ζ n)) s = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Nat/Pairing.lean
n : ℕ
\u22a2 (unpair n).2 ≤ n
-- Mathlib/Data/Finset/Sort.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
h : s.Nonempty
\u22a2 (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length - 1 < (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length
-- Mathlib/Algebra/AlgebraicCard.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R A
inst✝ : Countable R
\u22a2 {x | IsAlgebraic R x}.Countable
-- Mathlib/Algebra/AlgebraicCard.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R A
inst✝ : Countable R
\u22a2 lift.{?u.23919, v} #↑{x | IsAlgebraic R x} ≤ ℵ₀
-- Mathlib/Algebra/AlgebraicCard.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R A
inst✝ : Countable R
\u22a2 max (lift.{v, u} #R) ℵ₀ ≤ ℵ₀
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
\u22a2 DifferentiableAt ℂ (fun s => hurwitzZetaEven a s - 1 / (s - 1) / s.Gammaℝ) 1
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
\u22a2 DifferentiableAt ℂ (fun s => completedHurwitzZetaEven a s / s.Gammaℝ - 1 / (s - 1) / s.Gammaℝ) 1
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
\u22a2 DifferentiableAt ℂ (fun s => (completedHurwitzZetaEven a s - 1 / (s - 1)) * s.Gammaℝ⁻¹) 1
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
\u22a2 DifferentiableAt ℂ (fun s => completedHurwitzZetaEven a s - 1 / (s - 1)) 1
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
\u22a2 DifferentiableAt ℂ (fun s => completedHurwitzZetaEven₀ a s - ((if a = 0 then 1 else 0) / s + (1 / (1 - s) + 1 / (s - 1)))) 1
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
\u22a2 DifferentiableAt ℂ (fun s => completedHurwitzZetaEven₀ a s - (if a = 0 then 1 else 0) / s) 1
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : αˣ
b : α
\u22a2 Irreducible (b * ↑a) ↔ Irreducible b