ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
s : Set (Set X)
t : Set (Set Y)
hs : ⋃₀ s = univ
ht : ⋃₀ t = univ
G : TopologicalSpace (X × Y) := generateFrom (image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s t)
u : Set X
hu : u ∈ s
\u22a2 ⋃ v ∈ t, u ×ˢ v = Prod.fst ⁻¹' u
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
s : Set (Set X)
t : Set (Set Y)
hs : ⋃₀ s = univ
ht : ⋃₀ t = univ
G : TopologicalSpace (X × Y) := generateFrom (image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s t)
u : Set X
hu : u ∈ s
this : ⋃ v ∈ t, u ×ˢ v = Prod.fst ⁻¹' u
\u22a2 TopologicalSpace.IsOpen (⋃ v ∈ t, u ×ˢ v)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
s : Set (Set X)
t : Set (Set Y)
hs : ⋃₀ s = univ
ht : ⋃₀ t = univ
G : TopologicalSpace (X × Y) := generateFrom (image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s t)
v : Set Y
hv : v ∈ t
\u22a2 ⋃ u ∈ s, u ×ˢ v = Prod.snd ⁻¹' v
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
s : Set (Set X)
t : Set (Set Y)
hs : ⋃₀ s = univ
ht : ⋃₀ t = univ
G : TopologicalSpace (X × Y) := generateFrom (image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s t)
v : Set Y
hv : v ∈ t
this : ⋃ u ∈ s, u ×ˢ v = Prod.snd ⁻¹' v
\u22a2 TopologicalSpace.IsOpen (⋃ u ∈ s, u ×ˢ v)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
x : R
p q : ℤ
hpq : p + n' = q
\u22a2 ((x • γ).rightShift a n' hn').v p q hpq = x • (γ.rightShift a n' hn').v p q hpq
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c
n : ℕ
x : α
\u22a2 f (x + (↑n * (2 * c) + c)) = -f x
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
R : Type u_1
c₁ c₂ : R
inst✝ : Infinite R
\u22a2 #ℍ[R,c₁,c₂] = #R
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
F : Type u
inst✝ : Field F
p q : F[X]
f g : RatFunc F
d : ℤ
α : F
hα : α ≠ 0
\u22a2 (single (-d)) α⁻¹ = ((single d) α)⁻¹
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
F : Type u
inst✝ : Field F
p q : F[X]
f g : RatFunc F
d : ℤ
α : F
hα : α ≠ 0
\u22a2 (single d) α * (single (-d)) α⁻¹ = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤
\u22a2 #ι ≤ ↑(Fintype.card ↑w)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤
\u22a2 range v ≤ ↑(span R w)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤
\u22a2 range v ≤ ↑⊤
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Basic.lean
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝²² : NontriviallyNormedField R
inst✝²¹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝²⁰ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace R F
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁶ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
𝕜₁ : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
B' : Type u_7
inst✝¹³ : TopologicalSpace B'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₁ F
inst✝¹¹ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E x)
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
F' : Type u_8
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F'
E' : B' → Type u_9
inst✝⁷ : (x : B') → AddCommMonoid (E' x)
inst✝⁶ : (x : B') → Module 𝕜₂ (E' x)
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F' E')
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜₁ F E
inst✝² : (x : B') → TopologicalSpace (E' x)
inst✝¹ : FiberBundle F' E'
inst✝ : VectorBundle 𝕜₂ F' E'
ι : Type u_10
ι' : Type u_11
Z : VectorBundleCore 𝕜₁ B F ι
Z' : VectorBundleCore 𝕜₂ B' F' ι'
x₀ x : B
y₀ y : B'
ϕ : F →SL[σ] F'
hx : x ∈ Z.baseSet (Z.indexAt x₀)
hy : y ∈ Z'.baseSet (Z'.indexAt y₀)
\u22a2 inCoordinates F Z.Fiber F' Z'.Fiber x₀ x y₀ y ϕ = (Z'.coordChange (Z'.indexAt y) (Z'.indexAt y₀) y).comp (ϕ.comp (Z.coordChange (Z.indexAt x₀) (Z.indexAt x) x))
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a b✝ c d b : G₀
h : a ≠ 0
\u22a2 1 / (a * b) * a = 1 / b
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
E : Set α
\u22a2 closure E = ⋂ δ, ⋂ (_ : 0 < δ), thickening δ E
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
E : Set α
\u22a2 cthickening 0 E = ⋂ δ, ⋂ (_ : 0 < δ), thickening δ E
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
\u22a2 (abscissaOfAbsConv fun n => ↑(μ n)) = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
\u22a2 (fun n => ↑n !) ~[atTop] fun n => √(2 * ↑n * π) * (↑n / rexp 1) ^ n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
\u22a2 ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, √(2 * ↑x * π) * (↑x / rexp 1) ^ x = 0 → ↑x ! = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
\u22a2 Tendsto ((fun n => ↑n !) / fun n => √(2 * ↑n * π) * (↑n / rexp 1) ^ n) atTop (𝓝 1)
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
h : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, f a b = f' a b
\u22a2 image2 f ↑s ↑t = image2 f' ↑s ↑t
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/LDL.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder n
inst✝² : IsWellOrder n fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n
S : Matrix n n 𝕜
inst✝ : Fintype n
hS : S.PosDef
\u22a2 lower hS * diag hS * (lower hS)ᴴ = S
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/LDL.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder n
inst✝² : IsWellOrder n fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot n
S : Matrix n n 𝕜
inst✝ : Fintype n
hS : S.PosDef
\u22a2 diag hS = lowerInv hS * S * (lowerInv hS)ᴴ
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
\u22a2 HasDerivAt (fun x => jacobiTheta₂ x τ) (jacobiTheta₂' z τ) z
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
eval_fst_CLM : (ℂ × ℂ →L[ℂ] ℂ) →L[ℂ] ℂ := { toFun := fun f => f (1, 0), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, cont := ⋯ }
\u22a2 HasDerivAt (fun x => jacobiTheta₂ x τ) (jacobiTheta₂' z τ) z
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
eval_fst_CLM : (ℂ × ℂ →L[ℂ] ℂ) →L[ℂ] ℂ := { toFun := fun f => f (1, 0), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, cont := ⋯ }
step1 : HasSum (fun n => (jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ) (1, 0)) ((jacobiTheta₂_fderiv z τ) (1, 0))
\u22a2 HasDerivAt (fun x => jacobiTheta₂ x τ) (jacobiTheta₂' z τ) z
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
eval_fst_CLM : (ℂ × ℂ →L[ℂ] ℂ) →L[ℂ] ℂ := { toFun := fun f => f (1, 0), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, cont := ⋯ }
step1 : HasSum (fun n => (jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ) (1, 0)) ((jacobiTheta₂_fderiv z τ) (1, 0))
step2 : ∀ (n : ℤ), (jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ) (1, 0) = jacobiTheta₂'_term n z τ
\u22a2 HasDerivAt (fun x => jacobiTheta₂ x τ) (jacobiTheta₂' z τ) z
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
eval_fst_CLM : (ℂ × ℂ →L[ℂ] ℂ) →L[ℂ] ℂ := { toFun := fun f => f (1, 0), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, cont := ⋯ }
step1 : HasSum (fun x => jacobiTheta₂'_term x z τ) ((jacobiTheta₂_fderiv z τ) (1, 0))
step2 : ∀ (n : ℤ), (jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ) (1, 0) = jacobiTheta₂'_term n z τ
\u22a2 HasDerivAt (fun x => jacobiTheta₂ x τ) (jacobiTheta₂' z τ) z
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
eval_fst_CLM : (ℂ × ℂ →L[ℂ] ℂ) →L[ℂ] ℂ := { toFun := fun f => f (1, 0), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, cont := ⋯ }
step1 : HasSum (fun x => jacobiTheta₂'_term x z τ) ((jacobiTheta₂_fderiv z τ) (1, 0))
step2 : ∀ (n : ℤ), (jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ) (1, 0) = jacobiTheta₂'_term n z τ
step3 : HasDerivAt (fun x => jacobiTheta₂ x τ) ((jacobiTheta₂_fderiv z τ) (1, 0)) z
\u22a2 HasDerivAt (fun x => jacobiTheta₂ x τ) (jacobiTheta₂' z τ) z
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
𝕜 : ?m.59015
h : I * I = -1
\u22a2 im I = 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
\u22a2 ‖iteratedFDeriv 𝕜 n f x‖ = ‖iteratedDeriv n f x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/TorusIntegral.lean
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
hg : TorusIntegrable g c R
\u22a2 (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x - g x) = (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x) - ∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), g x
-- Mathlib/GroupTheory/FreeAbelianGroupFinsupp.lean
X : Type u_1
a b : FreeAbelianGroup X
\u22a2 (a + b).support ⊆ a.support ∪ b.support
-- Mathlib/GroupTheory/FreeAbelianGroupFinsupp.lean
X : Type u_1
a b : FreeAbelianGroup X
\u22a2 (toFinsupp a + toFinsupp b).support ⊆ (toFinsupp a).support ∪ (toFinsupp b).support
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/HomologicalFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.49293, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
\u22a2 F.shiftMap T.mor₃ n₀ n₁ ⋯ ≫ (F.shift n₁).map T.mor₁ = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : NonUnitalSemiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
f : F
x : R
hx : IsQuasiregular x
\u22a2 IsQuasiregular (f x)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : NonUnitalSemiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
f : F
x : R
hx : ∃ y, y + x + x * y = 0 ∧ x + y + y * x = 0
\u22a2 ∃ y, y + f x + f x * y = 0 ∧ f x + y + y * f x = 0
-- Mathlib/NumberTheory/FunctionField.lean
Fq F : Type
inst✝² : Field Fq
inst✝¹ : Field F
inst✝ : DecidableEq (RatFunc Fq)
p : Fq[X]
hp : p ≠ 0
\u22a2 inftyValuationDef Fq ((algebraMap Fq[X] (RatFunc Fq)) p) = ↑(Multiplicative.ofAdd ↑p.natDegree)
-- Mathlib/NumberTheory/FunctionField.lean
Fq F : Type
inst✝² : Field Fq
inst✝¹ : Field F
inst✝ : DecidableEq (RatFunc Fq)
p : Fq[X]
hp : p ≠ 0
hp' : (algebraMap Fq[X] (RatFunc Fq)) p ≠ 0
\u22a2 inftyValuationDef Fq ((algebraMap Fq[X] (RatFunc Fq)) p) = ↑(Multiplicative.ofAdd ↑p.natDegree)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
v : ι → E
e : ι' ≃ ι
K : (ι' → ℝ) ≃ (ι → ℝ) := Equiv.piCongrLeft' (fun _a => ℝ) e
this : Icc 0 1 = ⇑K '' Icc 0 1
\u22a2 (fun t => ∑ i : ι', t i • (v ∘ ⇑e) i) '' Icc 0 1 = (fun t => ∑ i : ι, t i • v i) '' Icc 0 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
v : ι → E
e : ι' ≃ ι
K : (ι' → ℝ) ≃ (ι → ℝ) := Equiv.piCongrLeft' (fun _a => ℝ) e
this : Icc 0 1 = ⇑K '' Icc 0 1
\u22a2 (fun t => ∑ i : ι', t i • (v ∘ ⇑e) i) '' Icc 0 1 = (fun t => ∑ i : ι, t i • v i) ∘ ⇑K '' Icc 0 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
v : ι → E
e : ι' ≃ ι
K : (ι' → ℝ) ≃ (ι → ℝ) := Equiv.piCongrLeft' (fun _a => ℝ) e
this : Icc 0 1 = ⇑K '' Icc 0 1
x : E
\u22a2 x ∈ (fun t => ∑ i : ι', t i • (v ∘ ⇑e) i) '' Icc 0 1 ↔ x ∈ (fun t => ∑ i : ι, t i • v i) ∘ ⇑K '' Icc 0 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
v : ι → E
e : ι' ≃ ι
K : (ι' → ℝ) ≃ (ι → ℝ) := Equiv.piCongrLeft' (fun _a => ℝ) e
this✝ : Icc 0 1 = ⇑K '' Icc 0 1
x : E
this : ∀ (z : ι' → ℝ), ∑ i : ι, z (e.symm i) • v (e (e.symm i)) = ∑ i : ι', z i • v (e i)
\u22a2 x ∈ (fun t => ∑ i : ι', t i • (v ∘ ⇑e) i) '' Icc 0 1 ↔ x ∈ (fun t => ∑ i : ι, t i • v i) ∘ ⇑K '' Icc 0 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
v : ι → E
e : ι' ≃ ι
K : (ι' → ℝ) ≃ (ι → ℝ) := Equiv.piCongrLeft' (fun _a => ℝ) e
this✝ : Icc 0 1 = ⇑K '' Icc 0 1
x : E
this : ∀ (z : ι' → ℝ), ∑ x : ι, z (e.symm x) • v x = ∑ i : ι', z i • v (e i)
\u22a2 x ∈ (fun t => ∑ i : ι', t i • (v ∘ ⇑e) i) '' Icc 0 1 ↔ x ∈ (fun t => ∑ i : ι, t i • v i) ∘ ⇑K '' Icc 0 1
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/LocallyRingedSpace.lean
X✝ X Y Z : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
e : X ≅ Y
x : ↑X.toTopCat
\u22a2 Hom.stalkMap e.inv (e.hom.val.base x) ≫ Hom.stalkMap e.hom x = X.presheaf.stalkSpecializes ⋯
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/LocallyRingedSpace.lean
X✝ X Y Z : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
e : X ≅ Y
x : ↑X.toTopCat
\u22a2 X.presheaf.stalkSpecializes ⋯ ≫ Hom.stalkMap (𝟙 X) x = X.presheaf.stalkSpecializes ⋯
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1
\u22a2 finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) = n
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Group.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
hg : Multipliable g
hfg : Multipliable fun b => f b / g b
\u22a2 Multipliable f
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
y : Y
hf : Tendsto f (coLindelof X) (𝓝 y)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
hle : l ≤ 𝓟 (insert y (range f))
hy : ¬ClusterPt y l
\u22a2 ∃ x ∈ insert y (range f), ClusterPt x l
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
y : Y
hf : Tendsto f (coLindelof X) (𝓝 y)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
hle : l ≤ 𝓟 (insert y (range f))
hy : ∃ x, ∃ (_ : x ∈ 𝓝 y), ∃ x_1, ∃ (_ : x_1 ∈ l), Disjoint x x_1
\u22a2 ∃ x ∈ insert y (range f), ClusterPt x l
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
f : X → Y
y : Y
hf : Tendsto f (coLindelof X) (𝓝 y)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
hle : l ≤ 𝓟 (insert y (range f))
s : Set Y
hsy : s ∈ 𝓝 y
t : Set Y
htl : t ∈ l
hd : Disjoint s t
\u22a2 ∃ x ∈ insert y (range f), ClusterPt x l
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
f : X → Y
y : Y
hf : Tendsto f (coLindelof X) (𝓝 y)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
hle : l ≤ 𝓟 (insert y (range f))
s : Set Y
hsy : s ∈ 𝓝 y
t : Set Y
htl : t ∈ l
hd : Disjoint s t
K : Set X
hKc : IsLindelof K
hKs : Kᶜ ⊆ f ⁻¹' s
\u22a2 ∃ x ∈ insert y (range f), ClusterPt x l
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
f : X → Y
y : Y
hf : Tendsto f (coLindelof X) (𝓝 y)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
hle : l ≤ 𝓟 (insert y (range f))
s : Set Y
hsy : s ∈ 𝓝 y
t : Set Y
htl : t ∈ l
hd : Disjoint s t
K : Set X
hKc : IsLindelof K
hKs : Kᶜ ⊆ f ⁻¹' s
this : f '' K ∈ l
\u22a2 ∃ x ∈ insert y (range f), ClusterPt x l
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
f : X → Y
y✝ : Y
hf : Tendsto f (coLindelof X) (𝓝 y✝)
hfc : Continuous f
l : Filter Y
hne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
hle : l ≤ 𝓟 (insert y✝ (range f))
s : Set Y
hsy : s ∈ 𝓝 y✝
t : Set Y
htl : t ∈ l
hd : Disjoint s t
K : Set X
hKc : IsLindelof K
hKs : Kᶜ ⊆ f ⁻¹' s
this : f '' K ∈ l
y : Y
hy : y ∈ f '' K
hyl : ClusterPt y l
\u22a2 ∃ x ∈ insert y✝ (range f), ClusterPt x l
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompleteSeparated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : T0Space α
s : Set α
h : IsComplete s
a : α
ha : ClusterPt a (𝓟 s)
f : Filter α := 𝓝[s] a
\u22a2 a ∈ s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompleteSeparated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : T0Space α
s : Set α
h : IsComplete s
a : α
ha : ClusterPt a (𝓟 s)
f : Filter α := 𝓝[s] a
this : Cauchy f
\u22a2 a ∈ s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompleteSeparated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : T0Space α
s : Set α
h : IsComplete s
a : α
ha : ClusterPt a (𝓟 s)
f : Filter α := 𝓝[s] a
this : Cauchy f
y : α
ys : y ∈ s
fy : f ≤ 𝓝 y
\u22a2 a ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α →ₘ[μ] β
\u22a2 MeasureTheory.Integrable (↑f) μ ↔ f.Integrable
-- Mathlib/Analysis/SumIntegralComparisons.lean
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑b, f x ≤ ∑ x ∈ Finset.Ico a b, f ↑x
-- Mathlib/Analysis/SumIntegralComparisons.lean
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑(b - a) + ↑a, f x ≤ ∑ x ∈ Finset.Ico a (b - a + a), f ↑x
-- Mathlib/Analysis/SumIntegralComparisons.lean
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑a + ↑(b - a), f x ≤ ∑ x ∈ Finset.Ico (0 + a) (b - a + a), f ↑x
-- Mathlib/Analysis/SumIntegralComparisons.lean
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑a + ↑(b - a), f x ≤ ∑ x ∈ Finset.range (b - a), f ↑(a + x)
-- Mathlib/Analysis/SumIntegralComparisons.lean
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑a + ↑(b - a), f x ≤ ∑ x ∈ Finset.range (b - a), f (↑a + ↑x)
-- Mathlib/Analysis/SumIntegralComparisons.lean
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
\u22a2 AntitoneOn f (Icc (↑a) (↑a + ↑(b - a)))
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
h : ∀ (g : G), 0 < orderOf g
h✝ : ExponentExists G
\u22a2 exponent G = sSup (Set.range fun g => orderOf g)
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
h : ∀ (g : G), 0 < orderOf g
h✝ : ¬ExponentExists G
\u22a2 exponent G = sSup (Set.range fun g => orderOf g)
-- Mathlib/Topology/Order/PartialSups.lean
L : Type u_1
inst✝³ : SemilatticeSup L
inst✝² : TopologicalSpace L
inst✝¹ : ContinuousSup L
X : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
f : ℕ → X → L
n : ℕ
s : Set X
x : X
hf : ∀ k ≤ n, ContinuousWithinAt (f k) s x
\u22a2 ContinuousWithinAt ((partialSups f) n) s x
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x✝ : Z
s : Set B
x : B
y : F
\u22a2 (x, y) ∈ ↑e.symm ⁻¹' (proj ⁻¹' s) ∩ e.baseSet ×ˢ univ ↔ (x, y) ∈ (s ∩ e.baseSet) ×ˢ univ
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x✝ : Z
s : Set B
x : B
y : F
\u22a2 x ∈ e.baseSet → (proj (↑e.symm (x, y)) ∈ s ↔ x ∈ s)
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x✝ : Z
s : Set B
x : B
y : F
h : x ∈ e.baseSet
\u22a2 proj (↑e.symm (x, y)) ∈ s ↔ x ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : Injective ⇑f
\u22a2 LieSubmodule.comap f (weightSpace M₂ χ) = weightSpace M χ
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : Injective ⇑f
m : M
hm : m ∈ LieSubmodule.comap f (weightSpace M₂ χ)
\u22a2 m ∈ weightSpace M χ