ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/PrimeSeparator.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
Jset : Set α
Jidl : IsIdeal Jset
IJ : ↑I ≤ Jset
JF : Disjoint (↑F) Jset
left✝ : ↑I ⊆ Jset
Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset
J : Ideal α := Jidl.toIdeal
IJ' : I ≤ J
Jpr : J.IsProper
a₁ a₂ : α
ha₁ : a₁ ∉ J
ha₂ : a₂ ∉ J
J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁
J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂
a₁J₁ : a₁ ∈ J₁
a₂J₂ : a₂ ∈ J₂
J₁J : ↑J₁ ≠ Jset
J₂J : ↑J₂ ≠ Jset
J₁S : ↑J₁ ∉ S
J₂S : ↑J₂ ∉ S
J₁F : ¬Disjoint ↑F ↑J₁
J₂F : ¬Disjoint ↑F ↑J₂
c₁ : α
c₁F : c₁ ∈ ↑F
c₁J₁ : c₁ ∈ ↑J₁
c₂ : α
c₂F : c₂ ∈ ↑F
c₂J₂ : c₂ ∈ ↑J₂
b₁ : α
b₁J : b₁ ∈ J
cba₁ : c₁ ≤ b₁ ⊔ a₁
b₂ : α
b₂J : b₂ ∈ J
cba₂ : c₂ ≤ b₂ ⊔ a₂
b : α := b₁ ⊔ b₂
\u22a2 a₁ ⊓ a₂ ∉ J
-- Mathlib/Order/PrimeSeparator.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
Jset : Set α
Jidl : IsIdeal Jset
IJ : ↑I ≤ Jset
JF : Disjoint (↑F) Jset
left✝ : ↑I ⊆ Jset
Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset
J : Ideal α := Jidl.toIdeal
IJ' : I ≤ J
Jpr : J.IsProper
a₁ a₂ : α
ha₁ : a₁ ∉ J
ha₂ : a₂ ∉ J
J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁
J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂
a₁J₁ : a₁ ∈ J₁
a₂J₂ : a₂ ∈ J₂
J₁J : ↑J₁ ≠ Jset
J₂J : ↑J₂ ≠ Jset
J₁S : ↑J₁ ∉ S
J₂S : ↑J₂ ∉ S
J₁F : ¬Disjoint ↑F ↑J₁
J₂F : ¬Disjoint ↑F ↑J₂
c₁ : α
c₁F : c₁ ∈ ↑F
c₁J₁ : c₁ ∈ ↑J₁
c₂ : α
c₂F : c₂ ∈ ↑F
c₂J₂ : c₂ ∈ ↑J₂
b₁ : α
b₁J : b₁ ∈ J
cba₁ : c₁ ≤ b₁ ⊔ a₁
b₂ : α
b₂J : b₂ ∈ J
cba₂ : c₂ ≤ b₂ ⊔ a₂
b : α := b₁ ⊔ b₂
bJ : b ∈ J
\u22a2 a₁ ⊓ a₂ ∉ J
-- Mathlib/Order/PrimeSeparator.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
Jset : Set α
Jidl : IsIdeal Jset
IJ : ↑I ≤ Jset
JF : Disjoint (↑F) Jset
left✝ : ↑I ⊆ Jset
Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset
J : Ideal α := Jidl.toIdeal
IJ' : I ≤ J
Jpr : J.IsProper
a₁ a₂ : α
ha₁ : a₁ ∉ J
ha₂ : a₂ ∉ J
J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁
J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂
a₁J₁ : a₁ ∈ J₁
a₂J₂ : a₂ ∈ J₂
J₁J : ↑J₁ ≠ Jset
J₂J : ↑J₂ ≠ Jset
J₁S : ↑J₁ ∉ S
J₂S : ↑J₂ ∉ S
J₁F : ¬Disjoint ↑F ↑J₁
J₂F : ¬Disjoint ↑F ↑J₂
c₁ : α
c₁F : c₁ ∈ ↑F
c₁J₁ : c₁ ∈ ↑J₁
c₂ : α
c₂F : c₂ ∈ ↑F
c₂J₂ : c₂ ∈ ↑J₂
b₁ : α
b₁J : b₁ ∈ J
cba₁ : c₁ ≤ b₁ ⊔ a₁
b₂ : α
b₂J : b₂ ∈ J
cba₂ : c₂ ≤ b₂ ⊔ a₂
b : α := b₁ ⊔ b₂
bJ : b ∈ J
ineq : c₁ ⊓ c₂ ≤ b ⊔ a₁ ⊓ a₂
\u22a2 a₁ ⊓ a₂ ∉ J
-- Mathlib/Order/PrimeSeparator.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
Jset : Set α
Jidl : IsIdeal Jset
IJ : ↑I ≤ Jset
JF : Disjoint (↑F) Jset
left✝ : ↑I ⊆ Jset
Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset
J : Ideal α := Jidl.toIdeal
IJ' : I ≤ J
Jpr : J.IsProper
a₁ a₂ : α
ha₁ : a₁ ∉ J
ha₂ : a₂ ∉ J
J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁
J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂
a₁J₁ : a₁ ∈ J₁
a₂J₂ : a₂ ∈ J₂
J₁J : ↑J₁ ≠ Jset
J₂J : ↑J₂ ≠ Jset
J₁S : ↑J₁ ∉ S
J₂S : ↑J₂ ∉ S
J₁F : ¬Disjoint ↑F ↑J₁
J₂F : ¬Disjoint ↑F ↑J₂
c₁ : α
c₁F : c₁ ∈ ↑F
c₁J₁ : c₁ ∈ ↑J₁
c₂ : α
c₂F : c₂ ∈ ↑F
c₂J₂ : c₂ ∈ ↑J₂
b₁ : α
b₁J : b₁ ∈ J
cba₁ : c₁ ≤ b₁ ⊔ a₁
b₂ : α
b₂J : b₂ ∈ J
cba₂ : c₂ ≤ b₂ ⊔ a₂
b : α := b₁ ⊔ b₂
bJ : b ∈ J
ineq : c₁ ⊓ c₂ ≤ b ⊔ a₁ ⊓ a₂
ba₁a₂F : b ⊔ a₁ ⊓ a₂ ∈ F
\u22a2 a₁ ⊓ a₂ ∉ J
-- Mathlib/Order/PrimeSeparator.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
Jset : Set α
Jidl : IsIdeal Jset
IJ : ↑I ≤ Jset
left✝ : ↑I ⊆ Jset
Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset
J : Ideal α := Jidl.toIdeal
IJ' : I ≤ J
Jpr : J.IsProper
a₁ a₂ : α
ha₁ : a₁ ∉ J
ha₂ : a₂ ∉ J
J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁
J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂
a₁J₁ : a₁ ∈ J₁
a₂J₂ : a₂ ∈ J₂
J₁J : ↑J₁ ≠ Jset
J₂J : ↑J₂ ≠ Jset
J₁S : ↑J₁ ∉ S
J₂S : ↑J₂ ∉ S
J₁F : ¬Disjoint ↑F ↑J₁
J₂F : ¬Disjoint ↑F ↑J₂
c₁ : α
c₁F : c₁ ∈ ↑F
c₁J₁ : c₁ ∈ ↑J₁
c₂ : α
c₂F : c₂ ∈ ↑F
c₂J₂ : c₂ ∈ ↑J₂
b₁ : α
b₁J : b₁ ∈ J
cba₁ : c₁ ≤ b₁ ⊔ a₁
b₂ : α
b₂J : b₂ ∈ J
cba₂ : c₂ ≤ b₂ ⊔ a₂
b : α := b₁ ⊔ b₂
bJ : b ∈ J
ineq : c₁ ⊓ c₂ ≤ b ⊔ a₁ ⊓ a₂
ba₁a₂F : b ⊔ a₁ ⊓ a₂ ∈ F
ha₁a₂ : a₁ ⊓ a₂ ∈ J
\u22a2 ¬Disjoint (↑F) Jset
-- Mathlib/Order/PrimeSeparator.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
Jset : Set α
Jidl : IsIdeal Jset
IJ : ↑I ≤ Jset
left✝ : ↑I ⊆ Jset
Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset
J : Ideal α := Jidl.toIdeal
IJ' : I ≤ J
Jpr : J.IsProper
a₁ a₂ : α
ha₁ : a₁ ∉ J
ha₂ : a₂ ∉ J
J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁
J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂
a₁J₁ : a₁ ∈ J₁
a₂J₂ : a₂ ∈ J₂
J₁J : ↑J₁ ≠ Jset
J₂J : ↑J₂ ≠ Jset
J₁S : ↑J₁ ∉ S
J₂S : ↑J₂ ∉ S
J₁F : ¬Disjoint ↑F ↑J₁
J₂F : ¬Disjoint ↑F ↑J₂
c₁ : α
c₁F : c₁ ∈ ↑F
c₁J₁ : c₁ ∈ ↑J₁
c₂ : α
c₂F : c₂ ∈ ↑F
c₂J₂ : c₂ ∈ ↑J₂
b₁ : α
b₁J : b₁ ∈ J
cba₁ : c₁ ≤ b₁ ⊔ a₁
b₂ : α
b₂J : b₂ ∈ J
cba₂ : c₂ ≤ b₂ ⊔ a₂
b : α := b₁ ⊔ b₂
bJ : b ∈ J
ineq : c₁ ⊓ c₂ ≤ b ⊔ a₁ ⊓ a₂
ba₁a₂F : b ⊔ a₁ ⊓ a₂ ∈ F
ha₁a₂ : a₁ ⊓ a₂ ∈ J
\u22a2 ∃ x ∈ ↑F, x ∈ Jset
-- Mathlib/Order/PrimeSeparator.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
F : PFilter α
I : Ideal α
hFI : Disjoint ↑F ↑I
S : Set (Set α) := {J | IsIdeal J ∧ ↑I ≤ J ∧ Disjoint (↑F) J}
Jset : Set α
Jidl : IsIdeal Jset
IJ : ↑I ≤ Jset
left✝ : ↑I ⊆ Jset
Jmax : ∀ a ∈ S, Jset ⊆ a → a = Jset
J : Ideal α := Jidl.toIdeal
IJ' : I ≤ J
Jpr : J.IsProper
a₁ a₂ : α
ha₁ : a₁ ∉ J
ha₂ : a₂ ∉ J
J₁ : Ideal α := J ⊔ principal a₁
J₂ : Ideal α := J ⊔ principal a₂
a₁J₁ : a₁ ∈ J₁
a₂J₂ : a₂ ∈ J₂
J₁J : ↑J₁ ≠ Jset
J₂J : ↑J₂ ≠ Jset
J₁S : ↑J₁ ∉ S
J₂S : ↑J₂ ∉ S
J₁F : ¬Disjoint ↑F ↑J₁
J₂F : ¬Disjoint ↑F ↑J₂
c₁ : α
c₁F : c₁ ∈ ↑F
c₁J₁ : c₁ ∈ ↑J₁
c₂ : α
c₂F : c₂ ∈ ↑F
c₂J₂ : c₂ ∈ ↑J₂
b₁ : α
b₁J : b₁ ∈ J
cba₁ : c₁ ≤ b₁ ⊔ a₁
b₂ : α
b₂J : b₂ ∈ J
cba₂ : c₂ ≤ b₂ ⊔ a₂
b : α := b₁ ⊔ b₂
bJ : b ∈ J
ineq : c₁ ⊓ c₂ ≤ b ⊔ a₁ ⊓ a₂
ba₁a₂F : b ⊔ a₁ ⊓ a₂ ∈ F
ha₁a₂ : a₁ ⊓ a₂ ∈ J
\u22a2 b ⊔ a₁ ⊓ a₂ ∈ ↑F ∧ b ⊔ a₁ ⊓ a₂ ∈ Jset
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
s : Multiset (Multiset α)
t : Multiset (Multiset β)
h : Rel (Rel r) s t
\u22a2 Rel r s.join t.join
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/Gluing.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
\u22a2 (D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ D.ιInvApp U ≫ D.diagramOverOpenπ U j) ≫ (componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).map (Quiver.Hom.op (WalkingMultispan.Hom.snd (i, j))) ≫ 𝟙 ((componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).obj (op (WalkingMultispan.left (i, j)))) = D.diagramOverOpenπ U j ≫ (componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).map (Quiver.Hom.op (WalkingMultispan.Hom.snd (i, j))) ≫ 𝟙 ((componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).obj (op (WalkingMultispan.left (i, j))))
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/Gluing.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
\u22a2 D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ D.ιInvApp U ≫ D.diagramOverOpenπ U j ≫ (componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).map (Quiver.Hom.op (WalkingMultispan.Hom.snd (i, j))) ≫ 𝟙 ((componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).obj (op (WalkingMultispan.left (i, j)))) = D.diagramOverOpenπ U j ≫ (componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).map (Quiver.Hom.op (WalkingMultispan.Hom.snd (i, j))) ≫ 𝟙 ((componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).obj (op (WalkingMultispan.left (i, j))))
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/Gluing.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
\u22a2 D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ { pt := (D.U i).presheaf.obj (op U), π := { app := fun j => D.ιInvAppπApp U (unop j), naturality := ⋯ } }.π.app (op (WalkingMultispan.left (i, j))) ≫ 𝟙 ((componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).obj (op (WalkingMultispan.left (i, j)))) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j))) ≫ 𝟙 ((componentwiseDiagram D.diagram.multispan (⋯.functor.obj U)).obj (op (WalkingMultispan.left (i, j))))
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/Gluing.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
\u22a2 D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ { pt := (D.U i).presheaf.obj (op U), π := { app := fun j => D.ιInvAppπApp U (unop j), naturality := ⋯ } }.π.app (op (WalkingMultispan.left (i, j))) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/Gluing.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
\u22a2 D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ ((D.f i i).c.app (op U) ≫ (D.t i i).c.app ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)) ≫ invApp (D.f i i) (unop (op ((Opens.map (D.t i i).base).toPrefunctor.1 (unop ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)))))) ≫ (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯).op) ≫ (D.f i j).c.app (op ((Opens.map (D.ι i).base).obj (⋯.functor.obj U))) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/Gluing.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
\u22a2 D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ ((D.f i i).c.app (op U) ≫ ((D.V (i, i)).presheaf.map (𝟙 ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U))) ≫ (D.V (i, i)).presheaf.map (eqToHom ⋯)) ≫ invApp (D.f i i) (unop (op ((Opens.map (D.t i i).base).toPrefunctor.1 (unop ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)))))) ≫ (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯).op) ≫ (D.f i j).c.app (op ((Opens.map (D.ι i).base).obj (⋯.functor.obj U))) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/Gluing.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
\u22a2 D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ (D.f i i).c.app (op U) ≫ (D.V (i, i)).presheaf.map (𝟙 ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U))) ≫ (D.V (i, i)).presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ invApp (D.f i i) ((Opens.map (D.t i i).base).toPrefunctor.1 (unop ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)))) ≫ (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫ (D.f i j).c.app (op ((Opens.map (D.ι i).base).obj (⋯.functor.obj U))) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/Gluing.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
\u22a2 D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ (D.f i i).c.app (op U) ≫ (D.V (i, i)).presheaf.map (𝟙 ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)) ≫ eqToHom ⋯) ≫ invApp (D.f i i) ((Opens.map (D.t i i).base).toPrefunctor.1 (unop ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)))) ≫ (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫ (D.f i j).c.app (op ((Opens.map (D.ι i).base).obj (⋯.functor.obj U))) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/Gluing.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
\u22a2 D.diagramOverOpenπ U i ≫ D.ιInvAppπEqMap U ≫ (D.U i).presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ (D.U i).presheaf.map ((opensFunctor (D.f i i)).op.map (𝟙 ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)) ≫ eqToHom ⋯)) ≫ (D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫ (D.f i j).c.app (op ((Opens.map (D.ι i).base).obj (⋯.functor.obj U))) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/Gluing.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
\u22a2 D.diagramOverOpenπ U i ≫ (D.U i).presheaf.map ((((eqToIso ⋯).inv ≫ (homOfLE ⋯).op) ≫ (opensFunctor (D.f i i)).op.map (𝟙 ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)) ≫ eqToHom ⋯)) ≫ (eqToHom ⋯).op) ≫ (D.f i j).c.app (op ((Opens.map (D.ι i).base).obj (⋯.functor.obj U))) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/Gluing.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
\u22a2 D.diagramOverOpenπ U i ≫ (D.f i j).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι D.diagram.multispan (unop (op (WalkingMultispan.right i)))).base).obj (⋯.functor.obj U))) ≫ ((TopCat.Presheaf.pushforward C (D.f i j).base).obj (D.V (i, j)).presheaf).map ((((eqToIso ⋯).inv ≫ (homOfLE ⋯).op) ≫ (opensFunctor (D.f i i)).op.map (𝟙 ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)) ≫ eqToHom ⋯)) ≫ (eqToHom ⋯).op) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/Gluing.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
\u22a2 D.diagramOverOpenπ U i ≫ (D.f i j).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι D.diagram.multispan (unop (op (WalkingMultispan.right i)))).base).obj (⋯.functor.obj U))) ≫ (D.V (i, j)).presheaf.map ((Opens.map (D.f i j).base).op.map ((((eqToIso ⋯).inv ≫ (homOfLE ⋯).op) ≫ (opensFunctor (D.f i i)).op.map (𝟙 ((Opens.map (D.f i i).base).op.obj (op U)) ≫ eqToHom ⋯)) ≫ (eqToHom ⋯).op) ≫ eqToHom ⋯) = limit.π (D.diagramOverOpen U) (op (WalkingMultispan.left (i, j)))
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f g : α → β → α
a : α
l : List β
H : ∀ (a : α) (b : β), b ∈ l → f a b = g a b
\u22a2 foldl f a l = foldl g a l
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
H : ∀ {a : α} {m n : ℕ}, m ≤ n → a ∈ f m → a ∈ f n
a : α
x✝ : ∃ n, a ∈ f n
n : ℕ
h : a ∈ f n
\u22a2 a ∈ rfindOpt f
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
H : ∀ {a : α} {m n : ℕ}, m ≤ n → a ∈ f m → a ∈ f n
a : α
x✝ : ∃ n, a ∈ f n
n : ℕ
h : a ∈ f n
h' : (rfindOpt f).Dom
\u22a2 a ∈ rfindOpt f
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
H : ∀ {a : α} {m n : ℕ}, m ≤ n → a ∈ f m → a ∈ f n
a : α
x✝ : ∃ n, a ∈ f n
n : ℕ
h : a ∈ f n
h' : (rfindOpt f).Dom
k : ℕ
hk : (rfindOpt f).get h' ∈ f k
\u22a2 a ∈ rfindOpt f
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
H : ∀ {a : α} {m n : ℕ}, m ≤ n → a ∈ f m → a ∈ f n
a : α
x✝ : ∃ n, a ∈ f n
n : ℕ
h : a ∈ f n
h' : (rfindOpt f).Dom
k : ℕ
hk : (rfindOpt f).get h' ∈ f k
this : Option.some a = Option.some ((rfindOpt f).get h')
\u22a2 a ∈ rfindOpt f
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
H : ∀ {a : α} {m n : ℕ}, m ≤ n → a ∈ f m → a ∈ f n
a : α
x✝ : ∃ n, a ∈ f n
n : ℕ
h : a ∈ f n
h' : (rfindOpt f).Dom
k : ℕ
hk : (rfindOpt f).get h' ∈ f k
this : a = (rfindOpt f).get h'
\u22a2 a ∈ rfindOpt f
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : LinearOrder S
inst✝ : F.NeBot
t : R
ht : ∀ (a : R), (∀ᶠ (x : R) in F, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) t a
tbot : ¬IsBot t
\u22a2 ∃ l, ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : LinearOrder S
inst✝ : F.NeBot
t : R
ht : ∀ (a : R), (∀ᶠ (x : R) in F, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) t a
tbot : ¬IsBot t
t' : R
ht' : t' < t
\u22a2 ∃ l, ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : LinearOrder S
inst✝ : F.NeBot
t : R
ht : ∀ (a : R), (∀ᶠ (x : R) in F, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) t a
tbot : ¬IsBot t
t' : R
ht' : t' < t
ev : ∀ᶠ (x : R) in F, ¬(fun x => t' ≤ x) x
\u22a2 False
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : LinearOrder S
inst✝ : F.NeBot
t : R
tbot : ¬IsBot t
t' : R
ht' : t' < t
ev : ∀ᶠ (x : R) in F, ¬(fun x => t' ≤ x) x
ht : t ≤ t'
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S✝
inst✝¹⁶ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K✝ : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
R : Type u_6
S : Type u_7
K : Type u_8
L : Type u_9
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CommRing L
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsFractionRing S L
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
x : L
\u22a2 IsAlgebraic K x
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S✝
inst✝¹⁶ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K✝ : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
R : Type u_6
S : Type u_7
K : Type u_8
L : Type u_9
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CommRing L
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsFractionRing S L
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
x : S
s : ↥S⁰
\u22a2 IsAlgebraic K (mk' L x s)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S✝
inst✝¹⁶ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K✝ : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
R : Type u_6
S : Type u_7
K : Type u_8
L : Type u_9
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CommRing L
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsFractionRing S L
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
x : S
s : ↥S⁰
\u22a2 IsIntegral K (mk' L x s)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S✝
inst✝¹⁶ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K✝ : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
R : Type u_6
S : Type u_7
K : Type u_8
L : Type u_9
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CommRing L
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsFractionRing S L
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
x : S
s : ↥S⁰
\u22a2 IsIntegral K ((algebraMap S L) x * mk' L 1 s)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S✝
inst✝¹⁶ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K✝ : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
R : Type u_6
S : Type u_7
K : Type u_8
L : Type u_9
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CommRing L
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsFractionRing S L
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
x : S
s : ↥S⁰
\u22a2 (algebraMap K L).IsIntegralElem ((algebraMap S L) x)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S✝
inst✝¹⁶ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K✝ : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
R : Type u_6
S : Type u_7
K : Type u_8
L : Type u_9
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : CommRing L
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsFractionRing S L
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
x : S
s : ↥S⁰
\u22a2 (algebraMap K L).IsIntegralElem (mk' L 1 s)
-- Mathlib/Algebra/Group/Int.lean
u v m n✝ : ℤ
n : ℕ
\u22a2 Even ↑n ↔ Even n
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : b ≠ 0
\u22a2 b * (a / b) + a % b < b * (a / b) + b
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x : M'
\u22a2 ∃ a, Function.uncurry (mk' f) a = x
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x : M'
m : M
s : ↥S
e : s • x = f m
\u22a2 ∃ a, Function.uncurry (mk' f) a = x
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
t : Set Ω
h_indep : IndepSet t t κ μα
\u22a2 ∀ᵐ (a : α) ∂μα, (κ a) t = 0 ∨ (κ a) t = 1 ∨ (κ a) t = ⊤
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
t : Set Ω
h_indep : ∀ᵐ (a : α) ∂μα, (κ a) (t ∩ t) = (κ a) t * (κ a) t
\u22a2 ∀ᵐ (a : α) ∂μα, (κ a) t = 0 ∨ (κ a) t = 1 ∨ (κ a) t = ⊤
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
t : Set Ω
h_indep : ∀ᵐ (a : α) ∂μα, (κ a) (t ∩ t) = (κ a) t * (κ a) t
a : α
ha : (κ a) (t ∩ t) = (κ a) t * (κ a) t
\u22a2 (κ a) t = 0 ∨ (κ a) t = 1 ∨ (κ a) t = ⊤
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
t : Set Ω
h_indep : ∀ᵐ (a : α) ∂μα, (κ a) (t ∩ t) = (κ a) t * (κ a) t
a : α
ha : (κ a) (t ∩ t) = (κ a) t * (κ a) t
h0 : ¬(κ a) t = 0
h_top : ¬(κ a) t = ⊤
\u22a2 (κ a) t = 0 ∨ (κ a) t = 1 ∨ (κ a) t = ⊤
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
t : Set Ω
h_indep : ∀ᵐ (a : α) ∂μα, (κ a) (t ∩ t) = (κ a) t * (κ a) t
a : α
ha : 1 = (κ a) t
h0 : ¬(κ a) t = 0
h_top : ¬(κ a) t = ⊤
\u22a2 (κ a) t = 0 ∨ (κ a) t = 1 ∨ (κ a) t = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v✝ : Valuation R Γ₀
x✝ y z : R
v : Valuation K Γ₀
x : K
h : x ≠ 0
\u22a2 v x ≤ 1 ↔ 1 ≤ v x⁻¹