ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ : A
X : C
\u22a2 (shiftFunctorAdd C (a₁ + a₂) a₃).hom.app X ≫ (shiftFunctor C a₃).map ((shiftFunctorAdd C a₁ a₂).hom.app X) = ((eqToHom ⋯).app X ≫ (shiftFunctorAdd C a₁ (a₂ + a₃)).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd C a₂ a₃).hom.app ((shiftFunctor C a₁).obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ : A
X : C
\u22a2 (shiftFunctorAdd C (a₁ + a₂) a₃).hom.app X ≫ (shiftFunctor C a₃).map ((shiftFunctorAdd C a₁ a₂).hom.app X) = (eqToHom ⋯ ≫ (shiftFunctorAdd C a₁ (a₂ + a₃)).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd C a₂ a₃).hom.app ((shiftFunctor C a₁).obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ : A
X : C
\u22a2 ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₁ + a₂ } { as := a₃ }).inv.app X ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a₃ }).map (((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₁ } { as := a₂ }).inv.app X) = (eqToHom ⋯ ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₁ } { as := a₂ + a₃ }).inv.app X) ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₂ } { as := a₃ }).inv.app (((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a₁ }).obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ : A
X : C
\u22a2 ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₁ + a₂ } { as := a₃ }).inv.app X ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μ (MonoidalCategory.tensorObj { as := a₁ } { as := a₂ }) { as := a₃ }).app X ≫ eqToHom ⋯ ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₁ } (MonoidalCategory.tensorObj { as := a₂ } { as := a₃ })).inv.app X ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₂ } { as := a₃ }).inv.app (((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a₁ }).obj X) = (eqToHom ⋯ ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₁ } { as := a₂ + a₃ }).inv.app X) ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₂ } { as := a₃ }).inv.app (((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a₁ }).obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ : A
X : C
\u22a2 eqToHom ⋯ ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₁ } (MonoidalCategory.tensorObj { as := a₂ } { as := a₃ })).inv.app X ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₂ } { as := a₃ }).inv.app (((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a₁ }).obj X) = eqToHom ⋯ ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₁ } { as := a₂ + a₃ }).inv.app X ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a₂ } { as := a₃ }).inv.app (((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a₁ }).obj X)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower S R N
a : S
x y : M
\u22a2 polar (⇑Q) (a • x) y = a • polar (⇑Q) x y
-- Mathlib/Tactic/NormNum/DivMod.lean
a : ℤ
b : ℕ
h : IsInt a (Int.negOfNat b)
\u22a2 -a = ↑b
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
s : Set α
\u22a2 (const α c).lintegral (μ.restrict s) = c * μ s
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G
h1 : 1 ∈ T
\u22a2 ↑(hST.equiv g).2 = 1 ↔ g ∈ S
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : Type u_8
m : MeasurableSpace β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : MeasurableMul₂ β
f : ι → Ω → β
inst✝ : IsMarkovKernel κ
hf_Indep : iIndepFun (fun x => m) f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
\u22a2 IndepFun (∏ j ∈ s, f j) (f i) κ μ
-- Mathlib/Order/Bounded.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
\u22a2 Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a ≤ b}) ↔ Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
-- Mathlib/Order/Bounded.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
\u22a2 Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a ≤ b}) → Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
-- Mathlib/Order/Bounded.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
\u22a2 Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a ≤ b}) → Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a < b})
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : DecidableEq β
b : β
a : α
\u22a2 ∏' (b' : β), Pi.mulSingle b a b' = a
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : DecidableEq β
b : β
a : α
\u22a2 Pi.mulSingle b a b = a
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : DecidableEq β
b : β
a : α
\u22a2 ∀ (b' : β), b' ≠ b → Pi.mulSingle b a b' = 1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Continuum.lean
\u22a2 𝔠 ^ ℵ₀ = 𝔠
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝³ : Nonempty α
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : NoMaxOrder β
f : α → β
h : Tendsto f atTop atTop
M : β
hM : M ∈ upperBounds (range f)
\u22a2 False
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝³ : Nonempty α
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : NoMaxOrder β
f : α → β
h : Tendsto f atTop atTop
M : β
hM : M ∈ upperBounds (range f)
a : α
ha : ∀ b ≥ a, b ∈ f ⁻¹' Ioi M
\u22a2 False
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝³ : Nonempty α
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : NoMaxOrder β
f : α → β
h : Tendsto f atTop atTop
M : β
hM : M ∈ upperBounds (range f)
a : α
ha : ∀ b ≥ a, b ∈ f ⁻¹' Ioi M
\u22a2 M < M
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T : Triangle Cᵒᵖ
\u22a2 T ∈ distinguishedTriangles C ↔ Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
H : 1 = 0
\u22a2 X.support = ∅
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Catalan.lean
n : ℕ
\u22a2 catalan n = n.centralBinom / (n + 1)
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Catalan.lean
n : ℕ
\u22a2 ↑(catalan n) = ↑n.centralBinom / (↑n + 1)
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Catalan.lean
\u22a2 ↑(catalan 0) = ↑(Nat.centralBinom 0) / (↑0 + 1)
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Catalan.lean
d : ℕ
hd : ∀ m ≤ d, ↑(catalan m) = ↑m.centralBinom / (↑m + 1)
\u22a2 ↑(catalan d.succ) = ↑d.succ.centralBinom / (↑d.succ + 1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y
\u22a2 -(a + b) = -a - b
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
inst✝ : DecidableEq β
c : α
\u22a2 (s₁ ∪ s₂).sup f ≤ c ↔ s₁.sup f ⊔ s₂.sup f ≤ c
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
\u22a2 [x-[𝕜]y] = (fun θ => x + θ • (y - x)) '' Icc 0 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
a✝¹ : 𝕜
a✝ : a✝¹ ∈ Icc 0 1
\u22a2 x + a✝¹ • (y - x) = (1 - a✝¹) • x + a✝¹ • y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
a✝¹ : 𝕜
a✝ : a✝¹ ∈ Icc 0 1
\u22a2 x + (a✝¹ • y - a✝¹ • x) = x - a✝¹ • x + a✝¹ • y
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Extend.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
fr : F →ₗ[ℝ] ℝ
x : F
\u22a2 re (fr.extendTo𝕜' x) = fr x
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
\u22a2 (1 + x) * ∑' (i : ℕ), x ^ i = 2 * ∑' (i : ℕ), x ^ i - 1
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
U : X → Set X
hU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
\u22a2 ∃ t, ⋃ x ∈ t, U x = ⊤
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
inst✝ : CompactSpace X
U : X → Set X
hU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
t : Finset X
s : univ ⊆ ⋃ x ∈ t, U x
\u22a2 ∃ t, ⋃ x ∈ t, U x = ⊤
-- Mathlib/AlgebraicTopology/ExtraDegeneracy.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
f : Arrow C
inst✝ : ∀ (n : ℕ), HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
S : SplitEpi f.hom
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
\u22a2 WidePullback.lift (WidePullback.base fun x => f.hom) (fun i => if x : i = 0 then (WidePullback.base fun x => f.hom) ≫ S.section_ else WidePullback.π (fun x => f.hom) (i.pred x)) ⋯ ≫ WidePullback.π (fun x => f.hom) i.succ = WidePullback.π (fun x => f.hom) i
-- Mathlib/AlgebraicTopology/ExtraDegeneracy.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
f : Arrow C
inst✝ : ∀ (n : ℕ), HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
S : SplitEpi f.hom
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
\u22a2 (if x : i.succ = 0 then (WidePullback.base fun x => f.hom) ≫ S.section_ else WidePullback.π (fun x => f.hom) (i.succ.pred x)) = WidePullback.π (fun x => f.hom) i
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l : ListBlank Γ
\u22a2 (map f l).head = f.f l.head
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l : ListBlank Γ
\u22a2 (map f (cons l.head l.tail)).head = f.f l.head
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q a : MvPolynomial σ R
n : ℕ
\u22a2 (a ^ n).totalDegree ≤ n * a.totalDegree
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q a : MvPolynomial σ R
n : ℕ
\u22a2 (∏ _k ∈ Finset.range n, a).totalDegree ≤ ∑ _k ∈ Finset.range n, a.totalDegree
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q a : MvPolynomial σ R
n : ℕ
x✝¹ x✝ : σ →₀ ℕ
\u22a2 ((x✝¹ + x✝).sum fun x e => e) = (x✝¹.sum fun x e => e) + x✝.sum fun x e => e
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Module.lean
R : Type u
inst✝² : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
\u22a2 (IsInternal fun i => A ↑i) ↔ IsInternal A
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Module.lean
R : Type u
inst✝² : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
\u22a2 (CompleteLattice.Independent fun i => A ↑i) ∧ ⨆ i, A ↑i = ⊤ ↔ CompleteLattice.Independent A ∧ iSup A = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projectivization/Basic.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v w : V
hv : v ≠ 0
hw : w ≠ 0
\u22a2 mk K v hv = mk K w hw ↔ ∃ a, a • w = v
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projectivization/Basic.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v w : V
hv : v ≠ 0
hw : w ≠ 0
\u22a2 (∃ a, a • w = v) ↔ ∃ a, a • w = v
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
\u22a2 S.disconnect.IsTotallyDisconnected
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
\u22a2 ∀ (c d : C), (S.disconnect.arrows c d).Nonempty → c = d
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
n : ℕ
\u22a2 (fun x => x ^ n) '' σ a ⊆ σ (a ^ n)
-- Mathlib/Algebra/Group/Defs.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n : ℕ
a : M
\u22a2 a ^ 3 = a * (a * a)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
hs : s.Finite
\u22a2 (convexHull R) s = {x | ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ hs.toFinset, w y = 1 ∧ hs.toFinset.centerMass w id = x}
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f g : R
\u22a2 basicOpen f ≤ basicOpen g ↔ f ∈ (Ideal.span {g}).radical
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a✝ : α
m n✝ : ℕ
a : α
n : ℕ
\u22a2 a ∈ s ^ n ↔ ∃ f, (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod = a
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
f : ℕ → ℝ
r : ℝ
hr : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, |f i|) atTop (𝓝 r)
\u22a2 Summable f
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
f : ℕ → ℝ
r : ℝ
hr : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, |f i|) atTop (𝓝 r)
\u22a2 ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ‖f i‖
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
f : ℕ → ℝ
r : ℝ
hr : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, |f i|) atTop (𝓝 r)
\u22a2 Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, ‖f i‖) atTop (𝓝 r)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
p q : ℤ
hpq : p + n = q
\u22a2 ((γ.rightShift a n' hn').rightUnshift n hn').v p q hpq = γ.v p q hpq
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : LeftInvOn f' f s
\u22a2 f '' (s₁ ∩ s) = f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : LeftInvOn f' f s
\u22a2 f '' (s₁ ∩ s) ⊆ f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : LeftInvOn f' f s
\u22a2 f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s ⊆ f '' (s₁ ∩ s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
E' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)
\u22a2 ↑(toSimpleFunc (posPart (-f))) =ᶠ[ae μ] ↑(-toSimpleFunc f).posPart
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
E' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)
\u22a2 ∀ (a : α), ↑(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = ↑(toSimpleFunc (-f)).posPart a → ↑(toSimpleFunc (-f)) a = (-↑(toSimpleFunc f)) a → ↑(toSimpleFunc (posPart (-f))) a = ↑(-toSimpleFunc f).posPart a
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Algebra/Monoid.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G✝ : Type u_4
inst✝¹² : Mul G✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G✝
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H G✝
inst✝⁹ : SmoothMul I G✝
E' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M
g✝ h✝ : G✝
G : Type u_8
inst✝³ : Semigroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : ChartedSpace H G
inst✝ : SmoothMul I G
g h x✝ : G
\u22a2 (𝑹 I (g * h)) x✝ = ((𝑹 I h).comp (𝑹 I g)) x✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
hp : p ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
\u22a2 ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp : 0 ≠ ⊤
\u22a2 ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun x => c) 0 μ ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
hp : p ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h'p : p ≠ 0
\u22a2 ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
hp : p ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h'p : p ≠ 0
hp₀ : 0 < p
\u22a2 ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
hp : p ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h'p : p ≠ 0
hp₀ : 0 < p
hp₀' : 0 ≤ 1 / p.toReal
\u22a2 ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
hp : p ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h'p : p ≠ 0
hp₀ : 0 < p
hp₀' : 0 ≤ 1 / p.toReal
hp₀'' : 0 < p.toReal
\u22a2 ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
hp : p ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h'p : p ≠ 0
hp₀ : 0 < p
hp₀' : 0 ≤ 1 / p.toReal
hp₀'' : 0 < p.toReal
η : ℝ≥0
hη_pos : 0 < η
hη_le : ↑‖c‖₊ * ↑η ^ (1 / p.toReal) ≤ ε
\u22a2 ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s✝ : Set α
hp : p ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h'p : p ≠ 0
hp₀ : 0 < p
hp₀' : 0 ≤ 1 / p.toReal
hp₀'' : 0 < p.toReal
η : ℝ≥0
hη_pos : 0 < η
hη_le : ↑‖c‖₊ * ↑η ^ (1 / p.toReal) ≤ ε
s : Set α
hs : μ s ≤ ↑η
\u22a2 eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s✝ : Set α
hp : p ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
h'p : p ≠ 0
hp₀ : 0 < p
hp₀' : 0 ≤ 1 / p.toReal
hp₀'' : 0 < p.toReal
η : ℝ≥0
hη_pos : 0 < η
hη_le : ↑‖c‖₊ * ↑η ^ (1 / p.toReal) ≤ ε
s : Set α
hs : μ s ≤ ↑η
\u22a2 ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑‖c‖₊ * ↑η ^ (1 / p.toReal)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → E
hs : MeasurableSet s
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x
\u22a2 ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in s, g x ∂μ
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Nat/Lemmas.lean
l₁ l₂ : List Nat
\u22a2 Nat.sum (l₁ ++ l₂) = Nat.sum l₁ + Nat.sum l₂
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f✝ : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : ι → Y
l : Filter ι
y : Y
hg : Inducing g
\u22a2 Tendsto f l (𝓝 y) ↔ Tendsto (g ∘ f) l (𝓝 (g y))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p k : ℕ
hn : Fact (Nat.Prime p)
\u22a2 eval 1 (cyclotomic (p ^ (k + 1)) R) = ↑p
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Infinite α
inst✝ : Finite β
f : α → β
\u22a2 ∃ y, Infinite ↑(f ⁻¹' {y})
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
H : ∀ (x : G), x ≠ 1 → ∃ U ∈ 𝓝 1, x ∉ U
\u22a2 T1Space G