ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x₀ : E
hf : HasFDerivAt f f' x₀
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (a : E) in 𝓝 0, ‖f (x₀ + a) - f x₀‖ ≤ C * ‖x₀ + a - x₀‖
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
y : E
hy : ‖f (x₀ + y) - f x₀ - f' y‖ ≤ ε * ‖y‖
hyC : ‖f (x₀ + y) - f x₀‖ ≤ C * ‖y‖
\u22a2 ‖f' y‖ ≤ (C + ε) * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y x : ℝ
h : x ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
\u22a2 sin x ∈ Ioo (-1) 1
-- Mathlib/Data/PNat/Basic.lean
k : ℕ+
q : ℕ
x✝ : ¬(0 = 0 ∧ q + 1 = 0)
\u22a2 ↑k + ↑k * (q + 1).pred = 0 + ↑k * (q + 1)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BoundedLinearMaps.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ : E × F → G
f : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
x : E
y : F
\u22a2 ‖f‖ * ‖x‖ * ‖y‖ ≤ max ‖f‖ 1 * ‖x‖ * ‖y‖
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p x : α
hx : ¬IsUnit x
\u22a2 ¬IsUnit (p * x)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
s✝ : Set E
x✝ : E
ι : Sort u_5
s : ι → Set E
hdir : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
hc : ∀ ⦃i : ι⦄, Convex 𝕜 (s i)
x : E
hx : x ∈ ⋃ i, s i
y : E
hy : y ∈ ⋃ i, s i
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
\u22a2 a • x + b • y ∈ ⋃ i, s i
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
s✝ : Set E
x✝ : E
ι : Sort u_5
s : ι → Set E
hdir : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
hc : ∀ ⦃i : ι⦄, Convex 𝕜 (s i)
x : E
hx : ∃ i, x ∈ s i
y : E
hy : ∃ i, y ∈ s i
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
\u22a2 ∃ i, a • x + b • y ∈ s i
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
p q : ℤ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
\u22a2 ∃ p < 0, ∃ q > 0, weightSpace M (p • χ₁ + χ₂) = ⊥ ∧ weightSpace M (q • χ₁ + χ₂) = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
p q✝ : ℤ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
q : ℕ
hq₀ : q > 0
hq : weightSpace M (q • χ₁ + χ₂) = ⊥
\u22a2 ∃ p < 0, ∃ q > 0, weightSpace M (p • χ₁ + χ₂) = ⊥ ∧ weightSpace M (q • χ₁ + χ₂) = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
p✝ q✝ : ℤ
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hχ₁ : χ₁ ≠ 0
q : ℕ
hq₀ : q > 0
hq : weightSpace M (q • χ₁ + χ₂) = ⊥
p : ℕ
hp₀ : p > 0
hp : weightSpace M (p • -χ₁ + χ₂) = ⊥
\u22a2 ∃ p < 0, ∃ q > 0, weightSpace M (p • χ₁ + χ₂) = ⊥ ∧ weightSpace M (q • χ₁ + χ₂) = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Lattice.lean
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S✝ M
inst✝¹ : SMul S✝ R
inst✝ : IsScalarTower S✝ R M
p q S T : Submodule R M
\u22a2 ∀ {x : M}, x ∈ T → x ∈ S ⊔ T
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Lattice.lean
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S✝ M
inst✝¹ : SMul S✝ R
inst✝ : IsScalarTower S✝ R M
p q S T : Submodule R M
this : T ≤ S ⊔ T
\u22a2 ∀ {x : M}, x ∈ T → x ∈ S ⊔ T
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : Field 𝕜
inst✝¹⁷ : CharZero 𝕜
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Algebra 𝕜 R
inst✝¹³ : Module 𝕜 M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁰ : IsCentralScalar R M
inst✝⁹ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup M
inst✝⁴ : ContinuousSMul R M
inst✝³ : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝² : T2Space R
inst✝¹ : T2Space M
x : tsze R M
inst✝ : Invertible x.fst
\u22a2 x = x.fst • exp 𝕜 (⅟x.fst • inr x.snd)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
\u22a2 M.LinearDisjoint N ↔ (equivOpposite.symm (MulOpposite.op N)).LinearDisjoint (equivOpposite.symm (MulOpposite.op M))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁹ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁸ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝¹³ : AddCommMonoid S
inst✝¹² : AddCommMonoid T
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : Module R P
inst✝⁸ : Module R Q
inst✝⁷ : Module R S
inst✝⁶ : Module R T
inst✝⁵ : DistribMulAction R' M
inst✝⁴ : Module R'' M
P' : Type u_10
Q' : Type u_11
inst✝³ : AddCommMonoid P'
inst✝² : Module R P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
f₁ f₂ : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
x✝¹ : M
x✝ : N
\u22a2 (((mk R M N).compr₂ (map (f₁ + f₂) g)) x✝¹) x✝ = (((mk R M N).compr₂ (map f₁ g + map f₂ g)) x✝¹) x✝
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α✝ : Type u
β : Type v
α : Type u_1
σ : Perm α
m n : ℤ
x : α
\u22a2 (σ ^ m) ((σ ^ n) x) = (σ ^ n) ((σ ^ m) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Pi.lean
R✝ : Type u
K : Type u'
M✝ : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι✝ : Type x
ι' : Type x'
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : Module R✝ M₃
φ : ι✝ → Type i
inst✝⁶ : (i : ι✝) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝⁵ : (i : ι✝) → Module R✝ (φ i)
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : CommRing R
M : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
x : (i : ι) → M i
\u22a2 ((lsum R M R) single) x = id x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
j j' : J
h : j ≠ j'
\u22a2 ι f j ≫ π f j' = 0
-- Mathlib/Logic/Function/Iterate.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → α
n : ℕ
hn : 0 < n
\u22a2 f^[n.pred] ∘ f = f^[n]
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hi : Disjoint x z
hs : x ⊔ z = y
h : y ⊓ x = x
\u22a2 y ⊓ x ⊓ z = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Group/Prod.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
f : M →* N × P
x : M
\u22a2 (((fst N P).comp f).prod ((snd N P).comp f)) x = f x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
P : PresheafOfModules R
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x✝ : ↑(P.obj X)
\u22a2 (P.map (f ≫ g)) x✝ = ((P.map g).comp (P.map f)) x✝
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/GroupRingAction.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype G
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction G R
x : R
g : G
n : ℕ
\u22a2 g • (prodXSubSMul G R x).coeff n = (prodXSubSMul G R x).coeff n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
t : Set α
ht : MeasurableSet t
\u22a2 ((μ.withDensity f).restrict s) t = ((μ.restrict s).withDensity f) t
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
hq0 : q ≠ 0
h : p.degree < q.degree
\u22a2 p % q = p
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
s✝ s t : Set (Sym2 V)
v w : V
\u22a2 (fromEdgeSet (s ∩ t)).Adj v w ↔ (fromEdgeSet s ⊓ fromEdgeSet t).Adj v w
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
s✝ s t : Set (Sym2 V)
v w : V
\u22a2 (s(v, w) ∈ s ∧ s(v, w) ∈ t) ∧ ¬v = w ↔ (s(v, w) ∈ s ∧ ¬v = w) ∧ s(v, w) ∈ t ∧ ¬v = w
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
a : Ordinal.{u_1}
\u22a2 a ^ 1 = a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
a : Ordinal.{u_1}
\u22a2 a ^ 0 * a = a
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
f✝ f : Bool → Bool → Bool
h : autoParam (f false false = false) _auto✝
a : Bool
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ
\u22a2 (if bit a m = 0 then if f false true = true then bit b n else 0 else if bit b n = 0 then if f true false = true then bit a m else 0 else let n' := bit a m / 2; let m' := bit b n / 2; let b₁ := bit a m % 2 = 1; let b₂ := bit b n % 2 = 1; let r := bitwise f n' m'; if f (decide b₁) (decide b₂) = true then r + r + 1 else r + r) = bit (f a b) (bitwise f m n)
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
f✝ f : Bool → Bool → Bool
h : autoParam (f false false = false) _auto✝
a : Bool
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ
\u22a2 (if (if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) = 0 then if f false true = true then if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n else 0 else if (if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) = 0 then if f true false = true then if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m else 0 else if f (decide ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) % 2 = 1)) (decide ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) % 2 = 1)) = true then bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2) + bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2) + 1 else bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2) + bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2)) = if f a b = true then 2 * bitwise f m n + 1 else 2 * bitwise f m n
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
f✝ f : Bool → Bool → Bool
h : autoParam (f false false = false) _auto✝
a : Bool
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ
h2 : ∀ (x : ℕ), (x + x + 1) % 2 = 1
\u22a2 (if (if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) = 0 then if f false true = true then if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n else 0 else if (if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) = 0 then if f true false = true then if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m else 0 else if f (decide ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) % 2 = 1)) (decide ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) % 2 = 1)) = true then bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2) + bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2) + 1 else bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2) + bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2)) = if f a b = true then 2 * bitwise f m n + 1 else 2 * bitwise f m n
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
f✝ f : Bool → Bool → Bool
h : autoParam (f false false = false) _auto✝
a : Bool
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ
h2 : ∀ (x : ℕ), (x + x + 1) % 2 = 1
h4 : ∀ (x : ℕ), (x + x + 1) / 2 = x
\u22a2 (if (if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) = 0 then if f false true = true then if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n else 0 else if (if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) = 0 then if f true false = true then if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m else 0 else if f (decide ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) % 2 = 1)) (decide ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) % 2 = 1)) = true then bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2) + bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2) + 1 else bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2) + bitwise f ((if a = true then 2 * m + 1 else 2 * m) / 2) ((if b = true then 2 * n + 1 else 2 * n) / 2)) = if f a b = true then 2 * bitwise f m n + 1 else 2 * bitwise f m n
-- Mathlib/Topology/IsLocalHomeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
f : X → Y
s : Set X
t : Set Y
h : ∀ x ∈ s, ∃ e, x ∈ e.source ∧ Set.EqOn f (↑e) e.source
x : X
hx✝ : x ∈ s
e : PartialHomeomorph X Y
hx : x ∈ e.source
he : Set.EqOn f (↑e) e.source
\u22a2 ∃ e, x ∈ e.source ∧ f = ↑e
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝² : OrderedRing E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : OrderClosedTopology E
l : E
f : ℕ → E
hfl : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i) atTop (𝓝 l)
hfa : Antitone f
k : ℕ
\u22a2 ∑ i ∈ Finset.range (2 * k), (-1) ^ i * f i ≤ l
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝² : OrderedRing E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : OrderClosedTopology E
l : E
f : ℕ → E
hfl : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i) atTop (𝓝 l)
hfa : Antitone f
k : ℕ
hm : Monotone fun n => ∑ i ∈ Finset.range (2 * n), (-1) ^ i * f i
\u22a2 ∑ i ∈ Finset.range (2 * k), (-1) ^ i * f i ≤ l
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Rat.lean
a✝ b✝ c✝ p q : ℚ
a b c d : ℤ
b0 : 0 < b
d0 : 0 < d
\u22a2 a /. b ≤ c /. d ↔ a * d ≤ c * b
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Rat.lean
a✝ b✝ c✝ p q : ℚ
a b c d : ℤ
b0 : 0 < b
d0 : 0 < d
\u22a2 0 ≤ c /. d - a /. b ↔ 0 ≤ c * b - a * d
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/ArctanDeriv.lean
x : ℝ
h : cos x = 0
\u22a2 deriv tan x = 1 / cos x ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/ArctanDeriv.lean
x : ℝ
h : cos x = 0
this : ¬DifferentiableAt ℝ tan x
\u22a2 deriv tan x = 1 / cos x ^ 2
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
\u22a2 MeasurableSet {a | IsRatStieltjesPoint f a}
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
h1 : MeasurableSet {a | Monotone (f a)}
\u22a2 MeasurableSet {a | IsRatStieltjesPoint f a}
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
h1 : MeasurableSet {a | Monotone (f a)}
h2 : MeasurableSet {a | Tendsto (f a) atTop (𝓝 1)}
\u22a2 MeasurableSet {a | IsRatStieltjesPoint f a}
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
h1 : MeasurableSet {a | Monotone (f a)}
h2 : MeasurableSet {a | Tendsto (f a) atTop (𝓝 1)}
h3 : MeasurableSet {a | Tendsto (f a) atBot (𝓝 0)}
\u22a2 MeasurableSet {a | IsRatStieltjesPoint f a}
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
h1 : MeasurableSet {a | Monotone (f a)}
h2 : MeasurableSet {a | Tendsto (f a) atTop (𝓝 1)}
h3 : MeasurableSet {a | Tendsto (f a) atBot (𝓝 0)}
h4 : MeasurableSet {a | ∀ (t : ℚ), ⨅ r, f a ↑r = f a t}
\u22a2 MeasurableSet {a | IsRatStieltjesPoint f a}
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
h1 : MeasurableSet {a | Monotone (f a)}
h2 : MeasurableSet {a | Tendsto (f a) atTop (𝓝 1)}
h3 : MeasurableSet {a | Tendsto (f a) atBot (𝓝 0)}
h4 : MeasurableSet {a | ∀ (t : ℚ), ⨅ r, f a ↑r = f a t}
\u22a2 {a | IsRatStieltjesPoint f a} = {a | Monotone (f a)} ∩ {a | Tendsto (f a) atTop (𝓝 1)} ∩ {a | Tendsto (f a) atBot (𝓝 0)} ∩ {a | ∀ (t : ℚ), ⨅ r, f a ↑r = f a t}
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
h1 : MeasurableSet {a | Monotone (f a)}
h2 : MeasurableSet {a | Tendsto (f a) atTop (𝓝 1)}
h3 : MeasurableSet {a | Tendsto (f a) atBot (𝓝 0)}
h4 : MeasurableSet {a | ∀ (t : ℚ), ⨅ r, f a ↑r = f a t}
a : α
\u22a2 a ∈ {a | IsRatStieltjesPoint f a} ↔ a ∈ {a | Monotone (f a)} ∩ {a | Tendsto (f a) atTop (𝓝 1)} ∩ {a | Tendsto (f a) atBot (𝓝 0)} ∩ {a | ∀ (t : ℚ), ⨅ r, f a ↑r = f a t}
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
h1 : MeasurableSet {a | Monotone (f a)}
h2 : MeasurableSet {a | Tendsto (f a) atTop (𝓝 1)}
h3 : MeasurableSet {a | Tendsto (f a) atBot (𝓝 0)}
h4 : MeasurableSet {a | ∀ (t : ℚ), ⨅ r, f a ↑r = f a t}
a : α
\u22a2 IsRatStieltjesPoint f a ↔ ((Monotone (f a) ∧ Tendsto (f a) atTop (𝓝 1)) ∧ Tendsto (f a) atBot (𝓝 0)) ∧ ∀ (t : ℚ), ⨅ r, f a ↑r = f a t
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
m n : PosNum
\u22a2 ↑(m * n) = ↑m * ↑n
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
x✝ : G
\u22a2 x✝ ∈ upperCentralSeries G 1 ↔ x✝ ∈ center G
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
x✝ : G
\u22a2 (∀ (y : G), x✝ * y * x✝⁻¹ * y⁻¹ = 1) ↔ ∀ (g : G), g * x✝ = x✝ * g
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
hp : p ≠ 0
n : ℕ
\u22a2 (p * X ^ n).natTrailingDegree = p.natTrailingDegree + n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
hp : p ≠ 0
n : ℕ
\u22a2 (p * X ^ n).natTrailingDegree ≤ p.natTrailingDegree + n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
hp : p ≠ 0
n : ℕ
\u22a2 p.natTrailingDegree + n ≤ (p * X ^ n).natTrailingDegree
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Matching.lean
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
h : M.IsMatching
hv : v ∈ M.verts
hvw : M.Adj v w
\u22a2 h.toEdge ⟨v, hv⟩ = ⟨s(v, w), hvw⟩
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Matching.lean
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
h : M.IsMatching
hv : v ∈ M.verts
hvw : M.Adj v w
\u22a2 s(v, Exists.choose ⋯) = s(v, w)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Matching.lean
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
h : M.IsMatching
hv : v ∈ M.verts
hvw : M.Adj v w
\u22a2 Exists.choose ⋯ = w
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
h : Periodic f c
hc : c ≠ 0
a : α
\u22a2 f '' uIcc a (a + c) = range f
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
x : E
y : F
\u22a2 (sesqFormOfInner (A x)) y = (sesqFormOfInner x) ((adjoint A) y)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Reverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
\u22a2 f.reverse.natTrailingDegree = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Reverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
\u22a2 f = 0 ∨ f ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/VonMangoldt.lean
n a b : ℕ
ha' : 1 < a
hb' : 1 < b
hab : a.Coprime b
ha : ∑ i ∈ a.divisors, Λ i = Real.log ↑a
hb : ∑ i ∈ b.divisors, Λ i = Real.log ↑b
\u22a2 ∑ i ∈ (a * b).divisors, Λ i = Real.log ↑(a * b)
-- Mathlib/NumberTheory/VonMangoldt.lean
n a b : ℕ
ha' : 1 < a
hb' : 1 < b
hab : a.Coprime b
ha : ∑ a ∈ filter IsPrimePow a.divisors, Real.log ↑a.minFac = Real.log ↑a
hb : ∑ a ∈ filter IsPrimePow b.divisors, Real.log ↑a.minFac = Real.log ↑b
\u22a2 ∑ a ∈ filter IsPrimePow (a * b).divisors, Real.log ↑a.minFac = Real.log ↑(a * b)
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Lemmas.lean
R✝ : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne R✝
inst✝² : CharZero R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CharZero R
q n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 ↑q ^ n = 1 ↔ q = 1
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Lemmas.lean
R✝ : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne R✝
inst✝² : CharZero R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CharZero R
q n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 q ^ n = 1 ↔ q = 1
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : DecidableEq ι
hi : i ∉ s
f : (j : ι) → α j
a : α i
t : (j : ι) → α j → Set (β j)
j : ι
hj : j ∈ s
\u22a2 t j (update f i a j) = t j (f j)
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : DecidableEq ι
hi : i ∉ s
f : (j : ι) → α j
a : α i
t : (j : ι) → α j → Set (β j)
j : ι
hj : j ∈ s
\u22a2 j ≠ i
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableClosure.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
\u22a2 finInsepDegree F ↥⊤ = finInsepDegree F K
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Fintype ι
\u22a2 ¬LinearIndependent R v ↔ ∃ g, ∑ i : ι, g i • v i = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R✝ : Type u
R'✝ : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : Ring R'✝
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : Module R✝ M'
inst✝⁸ : Module R✝ M₁
inst✝⁷ : Module R'✝ M'
inst✝⁶ : Module R'✝ M₁
R : Type w
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v'
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra R' S'
i : R ≃+* R'
j : S ≃+* S'
hc : (algebraMap R' S').comp i.toRingHom = j.toRingHom.comp (algebraMap R S)
\u22a2 lift.{v', v} (Module.rank R S) = lift.{v, v'} (Module.rank R' S')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R✝ : Type u
R'✝ : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : Ring R'✝
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : Module R✝ M'
inst✝⁸ : Module R✝ M₁
inst✝⁷ : Module R'✝ M'
inst✝⁶ : Module R'✝ M₁
R : Type w
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v'
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra R' S'
i : R ≃+* R'
j : S ≃+* S'
hc : (algebraMap R' S').comp i.toRingHom = j.toRingHom.comp (algebraMap R S)
r : R
x✝ : S
\u22a2 ↑j (r • x✝) = ↑i r • ↑j x✝