ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Order/OrderClosed.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIciTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
h : a < b
\u22a2 ContinuousWithinAt f (Ioc a b) a ↔ ContinuousWithinAt f (Ioi a) a
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
hτ : τ.im ≤ 0
\u22a2 jacobiTheta₂_fderiv z τ = 0
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
hτ : τ.im ≤ 0
\u22a2 ¬Summable fun b => jacobiTheta₂_term_fderiv b z τ
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
hτ : τ.im ≤ 0
\u22a2 ¬0 < τ.im
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
a b : ℕ
h₁ : delta * a < b
h₂ : delta * b < a
\u22a2 a ≤ delta * (delta * a)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A B C : Matrix n n R
hC : C.det = 1
hA : A = B * C
\u22a2 B.det * C.det = B.det
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝² : AddMonoid α
inst✝¹ : Group γ
inst✝ : DistribMulAction γ α
h : Periodic f c
a : γ
\u22a2 Periodic (fun x => f (a⁻¹ • x)) (a • c)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s t : Set α
h : ∀ (u : Set α), (s ∩ u).Nonempty → (t ∩ u).Nonempty → m u = ⊤
\u22a2 (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) (s ∪ t) = (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) s + (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) t
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s t : Set α
h : ∀ (u : Set α), (s ∩ u).Nonempty → (t ∩ u).Nonempty → m u = ⊤
f : ℕ → Set α
hf : s ∪ t ⊆ ⋃ i, f i
\u22a2 (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) s + (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) t ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s t : Set α
h : ∀ (u : Set α), (s ∩ u).Nonempty → (t ∩ u).Nonempty → m u = ⊤
f : ℕ → Set α
hf : s ∪ t ⊆ ⋃ i, f i
μ : OuterMeasure α := OuterMeasure.ofFunction m m_empty
\u22a2 μ s + μ t ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s t : Set α
h : ∀ (u : Set α), (s ∩ u).Nonempty → (t ∩ u).Nonempty → m u = ⊤
f : ℕ → Set α
hf : s ∪ t ⊆ ⋃ i, f i
μ : OuterMeasure α := OuterMeasure.ofFunction m m_empty
i : ℕ
hs : (s ∩ f i).Nonempty
ht : (t ∩ f i).Nonempty
\u22a2 μ s + μ t ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s t : Set α
h : ∀ (u : Set α), (s ∩ u).Nonempty → (t ∩ u).Nonempty → m u = ⊤
f : ℕ → Set α
hf : s ∪ t ⊆ ⋃ i, f i
μ : OuterMeasure α := OuterMeasure.ofFunction m m_empty
he : ¬∃ i, (s ∩ f i).Nonempty ∧ (t ∩ f i).Nonempty
\u22a2 μ s + μ t ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s t : Set α
h : ∀ (u : Set α), (s ∩ u).Nonempty → (t ∩ u).Nonempty → m u = ⊤
f : ℕ → Set α
hf : s ∪ t ⊆ ⋃ i, f i
μ : OuterMeasure α := OuterMeasure.ofFunction m m_empty
he : ¬∃ i, (s ∩ f i).Nonempty ∧ (t ∩ f i).Nonempty
I : Set α → Set ℕ := fun s => {i | (s ∩ f i).Nonempty}
\u22a2 μ s + μ t ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s t : Set α
h : ∀ (u : Set α), (s ∩ u).Nonempty → (t ∩ u).Nonempty → m u = ⊤
f : ℕ → Set α
hf : s ∪ t ⊆ ⋃ i, f i
μ : OuterMeasure α := OuterMeasure.ofFunction m m_empty
he : ¬∃ i, (s ∩ f i).Nonempty ∧ (t ∩ f i).Nonempty
I : Set α → Set ℕ := fun s => {i | (s ∩ f i).Nonempty}
hd : Disjoint (I s) (I t)
\u22a2 μ s + μ t ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s t : Set α
h : ∀ (u : Set α), (s ∩ u).Nonempty → (t ∩ u).Nonempty → m u = ⊤
f : ℕ → Set α
hf : s ∪ t ⊆ ⋃ i, f i
μ : OuterMeasure α := OuterMeasure.ofFunction m m_empty
he : ¬∃ i, (s ∩ f i).Nonempty ∧ (t ∩ f i).Nonempty
I : Set α → Set ℕ := fun s => {i | (s ∩ f i).Nonempty}
hd : Disjoint (I s) (I t)
hI : ∀ u ⊆ s ∪ t, μ u ≤ ∑' (i : ↑(I u)), μ (f ↑i)
\u22a2 μ s + μ t ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i)
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasureCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (μ ⊗ₘ κ) s = ∫⁻ (a : α), (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' s) ∂μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasureCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ∫⁻ (b : α), (κ b) {c | (b, c) ∈ s} ∂μ = ∫⁻ (a : α), (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' s) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
H : μ univ < ∑' (i : ι), μ (s i)
\u22a2 ∃ i j, i ≠ j ∧ (s i ∩ s j).Nonempty
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
H : ∀ (i j : ι), i ≠ j → s i ∩ s j = ∅
\u22a2 ∑' (i : ι), μ (s i) ≤ μ univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
H : ∀ (i j : ι), i ≠ j → s i ∩ s j = ∅
\u22a2 Pairwise (AEDisjoint μ on s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
H : ∀ (i j : ι), i ≠ j → s i ∩ s j = ∅
i j : ι
hij : i ≠ j
\u22a2 (AEDisjoint μ on s) i j
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
f : α → β
\u22a2 map (fun i => f ↑i) l.attach = map f l
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
f : α → β
\u22a2 pmap (fun a h => f ↑⟨a, h⟩) l ⋯ = map f l
-- Mathlib/Data/TypeVec.lean
n : ℕ
α α' β β' : TypeVec.{u_1} n
f : α ⟹ β
g : α' ⟹ β'
\u22a2 prod.snd ⊚ (f ⊗' g) = g ⊚ prod.snd
-- Mathlib/Data/TypeVec.lean
n : ℕ
α α' β β' : TypeVec.{u_1} n
f : α ⟹ β
g : α' ⟹ β'
i : Fin2 n
\u22a2 (prod.snd ⊚ (f ⊗' g)) i = (g ⊚ prod.snd) i
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : 0 < n
\u22a2 log p n = padicValNat p n ↔ n < p ^ (padicValNat p n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : 0 < n
\u22a2 n < p ^ (padicValNat p n + 1) → p ^ padicValNat p n ≤ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ι → ℝ
h : a ≤ b
\u22a2 (volume (univ.pi fun i => Ioo (a i) (b i))).toReal = ∏ i : ι, (b i - a i)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/ETransform.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α
\u22a2 mulETransformRight e⁻¹ x = (mulETransformLeft e x.swap).swap
-- Mathlib/Algebra/Star/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : StarRing R
inst✝¹⁵ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹⁴ : StarRing A
inst✝¹³ : Module R A
inst✝¹² : IsScalarTower R A A
inst✝¹¹ : SMulCommClass R A A
inst✝¹⁰ : StarModule R A
inst✝⁹ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁸ : StarRing B
inst✝⁷ : Module R B
inst✝⁶ : IsScalarTower R B B
inst✝⁵ : SMulCommClass R B B
inst✝⁴ : StarModule R B
inst✝³ : FunLike F A B
inst✝² : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝¹ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalStarSubalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →⋆ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
i : ι
x : ↥(K i)
h : K i ≤ iSup K
\u22a2 Set.iUnionLift (fun i => ↑(K i)) (fun i x => (f i) x) ⋯ ↑(iSup K) ⋯ ((inclusion h) x) = (f i) x
-- Mathlib/Algebra/Star/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : StarRing R
inst✝¹⁵ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹⁴ : StarRing A
inst✝¹³ : Module R A
inst✝¹² : IsScalarTower R A A
inst✝¹¹ : SMulCommClass R A A
inst✝¹⁰ : StarModule R A
inst✝⁹ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁸ : StarRing B
inst✝⁷ : Module R B
inst✝⁶ : IsScalarTower R B B
inst✝⁵ : SMulCommClass R B B
inst✝⁴ : StarModule R B
inst✝³ : FunLike F A B
inst✝² : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝¹ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalStarSubalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →⋆ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
i : ι
x : ↥(K i)
h : K i ≤ iSup K
\u22a2 ↑(K i) ⊆ ↑(iSup K)
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
a✝ : Rˣ
\u22a2 (1 * χ) ↑a✝ = χ ↑a✝
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
finj : Injective f
l₁ l₂ : List α
\u22a2 map f (l₁.diff l₂) = (map f l₁).diff (map f l₂)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≤ b
\u22a2 Icc a b \ Ico a b = {b}
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Lemmas.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : Fintype Rˣ
a : Rˣ
χ : MulChar R R'
\u22a2 (equivToUnitHom χ) a ∈ rootsOfUnity ⟨Fintype.card Rˣ, ⋯⟩ R'
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ : Seminorm 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
\u22a2 (s.sup p).closedBall x r = s.inf fun i => (p i).closedBall x r
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ : Seminorm 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
\u22a2 (s.sup p).closedBall x r = ⨅ a ∈ s, (p a).closedBall x r
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
x : α
adhs : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ f, t ×ˢ t ⊆ s ∧ ∃ y, (x, y) ∈ s ∧ y ∈ t
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 x
\u22a2 s ∈ f
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
x : α
adhs : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ f, t ×ˢ t ⊆ s ∧ ∃ y, (x, y) ∈ s ∧ y ∈ t
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 x
U : Set (α × α)
U_mem : U ∈ 𝓤 α
hU : U ○ U ⊆ {p | p.1 = x → p.2 ∈ s}
\u22a2 s ∈ f
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
x : α
adhs : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ f, t ×ˢ t ⊆ s ∧ ∃ y, (x, y) ∈ s ∧ y ∈ t
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 x
U : Set (α × α)
U_mem : U ∈ 𝓤 α
hU : U ○ U ⊆ {p | p.1 = x → p.2 ∈ s}
t : Set α
t_mem : t ∈ f
ht : t ×ˢ t ⊆ U
y : α
hxy : (x, y) ∈ U
hy : y ∈ t
\u22a2 s ∈ f
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
x : α
adhs : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ f, t ×ˢ t ⊆ s ∧ ∃ y, (x, y) ∈ s ∧ y ∈ t
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 x
U : Set (α × α)
U_mem : U ∈ 𝓤 α
hU : U ○ U ⊆ {p | p.1 = x → p.2 ∈ s}
t : Set α
t_mem : t ∈ f
ht : t ×ˢ t ⊆ U
y : α
hxy : (x, y) ∈ U
hy : y ∈ t
\u22a2 t ⊆ s
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
\u22a2 map g (I * J) = map g I * map g J
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
\u22a2 map g ⟨↑I * ↑J, ⋯⟩ = ⟨↑(map g I) * ↑(map g J), ⋯⟩
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
\u22a2 b ∈ Icc a b ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s : ℝ
\u22a2 Gamma s * Gamma (1 - s) = π / sin (π * s)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s : ℝ
\u22a2 Complex.Gamma ↑s * Complex.Gamma (1 - ↑s) = ↑π / Complex.sin (↑π * ↑s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : OrderedAddCommMonoid M
inst✝¹ : OrderClosedTopology M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hf₁ : ∀ (b : β), MeasurableSet (f b)
hf₂ : ∀ (b : β), v.restrict (f b) ≤ w.restrict (f b)
\u22a2 v.restrict (⋃ b, f b) ≤ w.restrict (⋃ b, f b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : OrderedAddCommMonoid M
inst✝¹ : OrderClosedTopology M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hf₁ : ∀ (b : β), MeasurableSet (f b)
hf₂ : ∀ (b : β), v.restrict (f b) ≤ w.restrict (f b)
val✝ : Encodable β
\u22a2 v.restrict (⋃ b, f b) ≤ w.restrict (⋃ b, f b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : OrderedAddCommMonoid M
inst✝¹ : OrderClosedTopology M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hf₁ : ∀ (b : β), MeasurableSet (f b)
hf₂ : ∀ (b : β), v.restrict (f b) ≤ w.restrict (f b)
val✝ : Encodable β
\u22a2 v.restrict (⋃ i, ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b) ≤ w.restrict (⋃ i, ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : OrderedAddCommMonoid M
inst✝¹ : OrderClosedTopology M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hf₁ : ∀ (b : β), MeasurableSet (f b)
hf₂ : ∀ (b : β), v.restrict (f b) ≤ w.restrict (f b)
val✝ : Encodable β
\u22a2 ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β n, f b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : OrderedAddCommMonoid M
inst✝¹ : OrderClosedTopology M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hf₁ : ∀ (b : β), MeasurableSet (f b)
hf₂ : ∀ (b : β), v.restrict (f b) ≤ w.restrict (f b)
val✝ : Encodable β
\u22a2 ∀ (n : ℕ), v.restrict (⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β n, f b) ≤ w.restrict (⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β n, f b)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
a : Ordinal.{max v u}
\u22a2 a < lsub f ↔ ∃ i, a ≤ f i
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/IdealQuotient.lean
ι✝ : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
inst✝¹¹ : IsDomain R
inst✝¹⁰ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁹ : IsDomain S
inst✝⁸ : Finite ι✝
F : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing F
inst✝⁶ : Algebra F R
inst✝⁵ : Algebra F S
inst✝⁴ : IsScalarTower F R S
b✝ : Basis ι✝ R S
I : Ideal S
hI : I ≠ ⊥
ι : Type u_5
inst✝³ : Fintype ι
b : Basis ι R S
inst✝² : Nontrivial F
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free F (R ⧸ span {smithCoeffs b I hI i})
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Finite F (R ⧸ span {smithCoeffs b I hI i})
\u22a2 FiniteDimensional.finrank F (S ⧸ I) = ∑ i : ι, FiniteDimensional.finrank F (R ⧸ span {smithCoeffs b I hI i})
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l : List Char
c : Char
m r : List Char
n : Nat
\u22a2 (if { byteIdx := utf8Len l } ≥ { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } then n else if h : { data := l ++ c :: m ++ r }.atEnd { byteIdx := utf8Len l } = true then n else let_fun this := ⋯; { data := l ++ c :: m ++ r }.offsetOfPosAux { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l }) (n + 1)) = n + (c :: m).length
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l : List Char
c : Char
m r : List Char
n : Nat
\u22a2 (if h : { data := l ++ c :: m ++ r }.atEnd { byteIdx := utf8Len l } = true then n else let_fun this := ⋯; { data := l ++ c :: m ++ r }.offsetOfPosAux { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l }) (n + 1)) = n + (c :: m).length
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l : List Char
c : Char
m r : List Char
n : Nat
\u22a2 (if h : c :: m ++ r = [] then n else { data := l ++ (c :: m ++ r) }.offsetOfPosAux { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } ({ data := l ++ (c :: m ++ r) }.next { byteIdx := utf8Len l }) (n + 1)) = n + (c :: m).length
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l : List Char
c : Char
m r : List Char
n : Nat
\u22a2 (if h : False then n else { data := l ++ c :: (m ++ r) }.offsetOfPosAux { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m + c.utf8Size) } { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size } (n + 1)) = n + (c :: m).length
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
\u22a2 TendstoLocallyUniformly F f p ↔ ∀ (x : α), Tendsto (fun y => (f y.2, F y.1 y.2)) (p ×ˢ 𝓝 x) (𝓤 β)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : StrictOrderedSemiring R
a x y : R
n✝ m : ℕ
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1
n : ℕ
\u22a2 a ^ (n + 1) < a ^ n
-- Mathlib/Order/Bounded.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : NoMinOrder α
a : α
\u22a2 Bounded (fun x x_1 => x > x_1) (Ici a)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Group.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
s : Set β
hf : HasProd (f ∘ Subtype.val) a₁
\u22a2 HasProd f (a₁ * (a₂ / a₁)) ↔ HasProd f a₂
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
\u22a2 ⌊a + 1⌋ = ⌊a⌋ + 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Monovary.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
f g : ι → α
s : Set ι
a b c d : α
\u22a2 AntivaryOn f g s ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → (f j - f i) * (g j - g i) ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
ha : AddLECancellable a
h₁ : 0 < a
h₂ : 0 < b
\u22a2 a - b < a
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
ha : AddLECancellable a
h₁ : 0 < a
h₂ : 0 < b
h : a - b = a
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
ha : AddLECancellable a
h₁ : b < a
h₂ : 0 < b
h : a - b = a
\u22a2 False
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : Fin 2 → V
\u22a2 LinearIndependent K f ↔ f 1 ≠ 0 ∧ ∀ (a : K), a • f 1 ≠ f 0
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
s : Set X
\u22a2 ⇑h '' closure s = closure (⇑h '' s)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
n : σ
\u22a2 eval₂ f g (X n) = g n
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : Disjoint s t
\u22a2 (s ∪ t).encard = s.encard + t.encard
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x y : ℝ≥0
\u22a2 sqrt x = 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module ℝ W
L : V →ₗ[ℝ] W →ₗ[ℝ] ℝ
μ : Measure V
f : V → E
w : W
\u22a2 VectorFourier.fourierIntegral 𝐞 μ L f w = ∫ (v : V), Complex.exp (↑(-2 * π * (L v) w) * Complex.I) • f v ∂μ
-- Mathlib/Data/Int/Cast/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R
m n : ℕ
h : m ≤ n
\u22a2 ↑(n - m) + ↑m = ↑n
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a.succ ≠ last (n + 1)
\u22a2 b < a.succ.castPred ha ↔ b ≤ a
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
\u22a2 card α = 1 ↔ ∃ x, ∀ (y : α), y = x
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
\u22a2 Nonempty (α ≃ Unit) ↔ ∃ x, ∀ (y : α), y = x
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
x : α
y : β
\u22a2 (x, y) ∈ s ×ˢ t ∩ s' ×ˢ t' ↔ (x, y) ∈ (s ∩ s') ×ˢ (t ∩ t')
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
f✝ : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
H : IsNormal f
a : Ordinal.{u_1}
\u22a2 f a ≤ a ↔ ∃ o, derivFamily (fun x => f) o = a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
f✝ : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
H : IsNormal f
a : Ordinal.{u_1}
\u22a2 f a ≤ a ↔ Unit → f a ≤ a
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
\u22a2 (∑ i ∈ range n, ↑p ^ i * wittMul p i ^ p ^ (n - i)).vars ⊆ univ ×ˢ range n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
\u22a2 ((range n).biUnion fun i => (↑p ^ i * wittMul p i ^ p ^ (n - i)).vars) ⊆ univ ×ˢ range n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
\u22a2 ∀ x ∈ range n, (↑p ^ x * wittMul p x ^ p ^ (n - x)).vars ⊆ univ ×ˢ range n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n x : ℕ
hx : x ∈ range n
\u22a2 (↑p ^ x * wittMul p x ^ p ^ (n - x)).vars ⊆ univ ×ˢ range n