ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
t✝ : Multiset α
b : α
t : Multiset α
IH : ∀ (s : Multiset α), count a (s - t) = count a s - count a t
s : Multiset α
\u22a2 count a (s.erase b) - count a t = count a s - count a (b ::ₘ t)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
t✝ t : Multiset α
IH : ∀ (s : Multiset α), count a (s - t) = count a s - count a t
s : Multiset α
\u22a2 count a (s.erase a) - count a t = count a s - count a (a ::ₘ t)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
t✝ : Multiset α
b : α
t : Multiset α
IH : ∀ (s : Multiset α), count a (s - t) = count a s - count a t
s : Multiset α
ab : a ≠ b
\u22a2 count a (s.erase b) - count a t = count a s - count a (b ::ₘ t)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Circulant.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : CommSemigroup α
inst✝² : AddCommMonoid α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : AddCommGroup n
v w : n → α
i j : n
\u22a2 (circulant v * circulant w) i j = (circulant w * circulant v) i j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Circulant.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : CommSemigroup α
inst✝² : AddCommMonoid α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : AddCommGroup n
v w : n → α
i j : n
\u22a2 ∑ x : n, v (i - x) * w (x - j) = ∑ x : n, w (i - x) * v (x - j)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Circulant.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : CommSemigroup α
inst✝² : AddCommMonoid α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : AddCommGroup n
v w : n → α
i j : n
\u22a2 ∀ (x : n), v (i - x) * w (x - j) = w (i - ((Equiv.subLeft i).trans (Equiv.addRight j)) x) * v (((Equiv.subLeft i).trans (Equiv.addRight j)) x - j)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Circulant.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : CommSemigroup α
inst✝² : AddCommMonoid α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : AddCommGroup n
v w : n → α
i j x : n
\u22a2 v (i - x) * w (x - j) = w (i - ((Equiv.subLeft i).trans (Equiv.addRight j)) x) * v (((Equiv.subLeft i).trans (Equiv.addRight j)) x - j)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Circulant.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : CommSemigroup α
inst✝² : AddCommMonoid α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : AddCommGroup n
v w : n → α
i j x : n
\u22a2 v (i - x) * w (x - j) = v (i - x) * w (i - (i - x + j))
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
\u22a2 WellFounded fun x x_1 => x < x_1
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : DecidableEq α
hf : Injective2 f
\u22a2 image2 f (↑s ∩ ↑s') ↑t = image2 f ↑s ↑t ∩ image2 f ↑s' ↑t
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/PrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ p k : ℕ
hp : Prime p
hk : 0 < k
\u22a2 (p ^ k).minFac ^ (p ^ k).factorization (p ^ k).minFac = p ^ k
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/PrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hk : 0 < k
\u22a2 (p ^ k).minFac ^ (p ^ k).factorization (p ^ k).minFac = p ^ k
-- Mathlib/Analysis/Calculus/SmoothSeries.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
ht : IsOpen t
h't : IsPreconnected t
hg : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, HasDerivAt (g n) (g' n y) y
hg' : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, ‖g' n y‖ ≤ u n
hy₀ : y₀ ∈ t
hg0 : Summable fun n => g n y₀
hy : y ∈ t
\u22a2 HasDerivAt (fun z => ∑' (n : α), g n z) (∑' (n : α), g' n y) y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/SmoothSeries.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
ht : IsOpen t
h't : IsPreconnected t
hg' : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, ‖g' n y‖ ≤ u n
hy₀ : y₀ ∈ t
hg0 : Summable fun n => g n y₀
hy : y ∈ t
hg : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, HasFDerivAt (g n) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' n y)) y
\u22a2 HasFDerivAt (fun z => ∑' (n : α), g n z) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (∑' (n : α), g' n y)) y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/SmoothSeries.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
ht : IsOpen t
h't : IsPreconnected t
hg' : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, ‖g' n y‖ ≤ u n
hy₀ : y₀ ∈ t
hg0 : Summable fun n => g n y₀
hy : y ∈ t
hg : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, HasFDerivAt (g n) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' n y)) y
\u22a2 ContinuousLinearMap.smulRight 1 (∑' (n : α), g' n y) = ∑' (n : α), ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' n y)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/SmoothSeries.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
ht : IsOpen t
h't : IsPreconnected t
hg' : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, ‖g' n y‖ ≤ u n
hy₀ : y₀ ∈ t
hg0 : Summable fun n => g n y₀
hy : y ∈ t
hg : ∀ (n : α), ∀ y ∈ t, HasFDerivAt (g n) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' n y)) y
\u22a2 ∀ (n : α), ∀ x ∈ t, ‖ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' n x)‖ ≤ u n
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty
ht : s ⊆ t
\u22a2 (condCount s) t = 1
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty
ht : s ⊆ t
this : IsProbabilityMeasure (condCount s)
\u22a2 (condCount s) t = 1
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty
ht : s ⊆ t
this : IsProbabilityMeasure (condCount s)
\u22a2 ¬(condCount s) t < 1
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty
ht : s ⊆ t
this : IsProbabilityMeasure (condCount s)
\u22a2 (condCount s) s ≤ (condCount s) t
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f g : E →ₗ.[R] F
hfg : g ≤ f
f' : E →ₗ.[R] F
hf : f.graph.topologicalClosure = f'.graph
\u22a2 g.IsClosable
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f g : E →ₗ.[R] F
hfg : g ≤ f
f' : E →ₗ.[R] F
hf : f.graph.topologicalClosure = f'.graph
this : g.graph.topologicalClosure ≤ f'.graph
\u22a2 g.IsClosable
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f g : E →ₗ.[R] F
hfg : g ≤ f
f' : E →ₗ.[R] F
hf : f.graph.topologicalClosure = f'.graph
this : g.graph.topologicalClosure ≤ f'.graph
\u22a2 g.graph.topologicalClosure = g.graph.topologicalClosure.toLinearPMap.graph
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f g : E →ₗ.[R] F
hfg : g ≤ f
f' : E →ₗ.[R] F
hf : f.graph.topologicalClosure = f'.graph
this : g.graph.topologicalClosure ≤ f'.graph
\u22a2 ∀ x ∈ g.graph.topologicalClosure, x.1 = 0 → x.2 = 0
-- Mathlib/RingTheory/ZMod.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f g : R →+* ZMod n
h : RingHom.ker f = RingHom.ker g
\u22a2 f = g
-- Mathlib/RingTheory/ZMod.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f g : R →+* ZMod n
h : RingHom.ker f = RingHom.ker g
this : ((f.liftOfRightInverse cast ⋯) ⟨g, ⋯⟩).comp f = ↑⟨g, ⋯⟩
\u22a2 f = g
-- Mathlib/RingTheory/ZMod.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f g : R →+* ZMod n
h : RingHom.ker f = RingHom.ker g
this : ((f.liftOfRightInverse cast ⋯) ⟨g, ⋯⟩).comp f = g
\u22a2 f = g
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b c : ℕ
\u22a2 Fintype.card ↑(Set.Iic b) = b + 1
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y : ℂ
x : ℝ
\u22a2 (tanh ↑x).im = 0
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
F : Set α
\u22a2 IsConnected (connectedComponentIn F x) ↔ x ∈ F
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
\u22a2 chainLength 0 β = 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : AddCommMonoid P
F : Type u_13
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : AddMonoidHomClass F M N
f : N →+ P
f₂ : M →+ N
\u22a2 (⇑f ∘ ⇑f₂) 0 = 0
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/MvPolynomial.lean
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : CommSemiring N
inst✝ : Algebra R N
e : σ →₀ ℕ
s : S
n : N
d : σ →₀ ℕ
\u22a2 coeff d (rTensorAlgHom ((monomial e) s ⊗ₜ[R] n)) = if e = d then s ⊗ₜ[R] n else 0
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hf : GrowsPolynomially f
\u22a2 ∃ c > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * ↑n) ↑n, f u ≤ c * f ↑n
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hf : GrowsPolynomially f
c : ℝ
hc_mem : c > 0
hc : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ≤ c * f x
\u22a2 ∃ c > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * ↑n) ↑n, f u ≤ c * f ↑n
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r p : ℝ
hr : 0 ≤ r
hp : 0 ≤ p
\u22a2 r.toNNReal = p.toNNReal ↔ r = p
-- Mathlib/Computability/ContextFreeGrammar.lean
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
v w : List (Symbol T g.NT)
hvw : g.Derives v w
p : List (Symbol T g.NT)
\u22a2 g.Derives (v ++ p) (w ++ p)
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
\u22a2 LiouvilleWith p (↑m - x) ↔ LiouvilleWith p x
-- Mathlib/Tactic/NormNum/GCD.lean
x y d m : ℕ
hd : x.gcd y = d
d0 : d.beq 0 = false
dm : x * y = d * m
\u22a2 d * x.lcm y = d * m
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hs : MeasurableSet s
\u22a2 MeasurableSet {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ Ioc (f p.1) (g p.1)}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hs : MeasurableSet s
\u22a2 MeasurableSet ({a | a.1 ∈ s} ∩ {a | a.2 ∈ {a_1 | f a.1 < a_1} ∩ {a_1 | a_1 ≤ g a.1}})
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hs : MeasurableSet s
\u22a2 MeasurableSet {a | a.1 ∈ s}
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
b : Basis ι R M
h : Module.rank R M < ℵ₀
\u22a2 Nonempty (Fintype ι)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosDef
i : n
\u22a2 0 < ⋯.eigenvalues i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosDef
i : n
\u22a2 0 < RCLike.re (star ((WithLp.equiv 2 (n → 𝕜)) (⋯.eigenvectorBasis i)) ⬝ᵥ A *ᵥ (WithLp.equiv 2 (n → 𝕜)) (⋯.eigenvectorBasis i))
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
a b : α
s : Set α
f : ι → α
\u22a2 (sInf s)ᶜ = ⨆ i ∈ s, iᶜ
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
𝓐 : Filter ((α →ᵤ β) × (α →ᵤ β))
𝓕 : Filter (β × β)
\u22a2 𝓐 ≤ (fun 𝓕 => UniformFun.filter α β 𝓕) 𝓕 ↔ (fun 𝓐 => map (UniformFun.phi α β) (𝓐 ×ˢ ⊤)) 𝓐 ≤ 𝓕
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
f : X → Y
g : Z → W
\u22a2 induced Prod.fst (induced f inst✝⁴) ⊓ induced Prod.snd (induced g inst✝²) = induced (fun p => (f p.1, g p.2)) (induced Prod.fst inst✝⁴ ⊓ induced Prod.snd inst✝²)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
f : X → Y
g : Z → W
\u22a2 induced (f ∘ Prod.fst) inst✝⁴ ⊓ induced (g ∘ Prod.snd) inst✝² = induced (Prod.fst ∘ fun p => (f p.1, g p.2)) inst✝⁴ ⊓ induced (Prod.snd ∘ fun p => (f p.1, g p.2)) inst✝²
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : Zero N
f : α ↪ β
l₁ l₂ : α →₀ M
h : embDomain f l₁ = embDomain f l₂
a : α
\u22a2 l₁ a = l₂ a
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Operations.lean
X : TopCat
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ConcreteCategory C
F : Presheaf CommRingCat X
G : F.SubmonoidPresheaf
S : (x : ↑X) → Submonoid ↑(F.stalk x)
U V : (Opens ↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
s : (forget CommRingCat).obj (F.obj U)
hs : s ∈ (fun U => ⨅ x, Submonoid.comap (F.germ x) (S ↑x)) U
\u22a2 s ∈ Submonoid.comap (F.map i) ((fun U => ⨅ x, Submonoid.comap (F.germ x) (S ↑x)) V)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Operations.lean
X : TopCat
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ConcreteCategory C
F : Presheaf CommRingCat X
G : F.SubmonoidPresheaf
S : (x : ↑X) → Submonoid ↑(F.stalk x)
U V : (Opens ↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
s : (forget CommRingCat).obj (F.obj U)
hs : ∀ (i : ↥(unop U)), (F.germ i) s ∈ S ↑i
\u22a2 ∀ (i_1 : ↥(unop V)), (F.germ i_1) ((F.map i) s) ∈ S ↑i_1
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Operations.lean
X : TopCat
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ConcreteCategory C
F : Presheaf CommRingCat X
G : F.SubmonoidPresheaf
S : (x : ↑X) → Submonoid ↑(F.stalk x)
U V : (Opens ↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
s : (forget CommRingCat).obj (F.obj U)
hs : ∀ (i : ↥(unop U)), (F.germ i) s ∈ S ↑i
x : ↥(unop V)
\u22a2 (F.map i.unop.op ≫ F.germ x) s ∈ S ↑x
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Operations.lean
X : TopCat
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ConcreteCategory C
F : Presheaf CommRingCat X
G : F.SubmonoidPresheaf
S : (x : ↑X) → Submonoid ↑(F.stalk x)
U V : (Opens ↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
s : (forget CommRingCat).obj (F.obj U)
hs : ∀ (i : ↥(unop U)), (F.germ i) s ∈ S ↑i
x : ↥(unop V)
\u22a2 (F.germ ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) s ∈ S ↑x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompactConvergence.lean
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
inst✝ : CompactSpace α
\u22a2 Tendsto F p (𝓝 f) ↔ TendstoUniformly (fun i a => (F i) a) (⇑f) p
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompactConvergence.lean
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
inst✝ : CompactSpace α
\u22a2 (∀ (K : Set α), IsCompact K → TendstoUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p K) ↔ TendstoUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p univ
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq R
n : ℕ
\u22a2 degreeLE R ↑n = Submodule.span R ↑(image (fun n => X ^ n) (range (n + 1)))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq R
n : ℕ
\u22a2 degreeLE R ↑n ≤ Submodule.span R ↑(image (fun n => X ^ n) (range (n + 1)))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq R
n : ℕ
\u22a2 Submodule.span R ↑(image (fun n => X ^ n) (range (n + 1))) ≤ degreeLE R ↑n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq R
n : ℕ
\u22a2 ↑(range (n + 1)) ⊆ (fun n => X ^ n) ⁻¹' ↑(degreeLE R ↑n)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq R
n k : ℕ
hk : k ∈ ↑(range (n + 1))
\u22a2 k ∈ (fun n => X ^ n) ⁻¹' ↑(degreeLE R ↑n)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq R
n k : ℕ
hk : k ∈ ↑(range (n + 1))
\u22a2 ((fun n => X ^ n) k).degree ≤ ↑n
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
l : List α
\u22a2 count a ((c :: l).erase b) = count a (c :: l) - if a = b then 1 else 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
l : List α
\u22a2 count a (if (c == b) = true then l else c :: l.erase b) = count a (c :: l) - if a = b then 1 else 0
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
hg : ∀ i ∈ s, 0 ≤ g i
\u22a2 (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : ContinuousConstSMul α α
s t : Set α
a b : α
h : s ∈ 𝓝 b
\u22a2 {a} * s ∈ 𝓝 (a * b)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : ContinuousConstSMul α α
s t : Set α
a b : α
h : s ∈ 𝓝 b
this : a • s ∈ 𝓝 (a • b)
\u22a2 {a} * s ∈ 𝓝 (a * b)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ : ℝ≥0∞
\u22a2 (x✝ ^ 0)⁻¹ = x✝⁻¹ ^ 0
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
n : ℕ
\u22a2 (⊤ ^ (n + 1))⁻¹ = ⊤⁻¹ ^ (n + 1)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
n : ℕ
\u22a2 (↑a ^ (n + 1))⁻¹ = (↑a)⁻¹ ^ (n + 1)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
n : ℕ
\u22a2 (↑0 ^ (n + 1))⁻¹ = (↑0)⁻¹ ^ (n + 1)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
n : ℕ
ha : a ≠ 0
\u22a2 (↑a ^ (n + 1))⁻¹ = (↑a)⁻¹ ^ (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
p : (x : G) → x ∈ closure s → Prop
one : p 1 ⋯
mul_right : ∀ (x : G) (hx : x ∈ closure s) (y : G) (hy : y ∈ s), p x hx → p (x * y) ⋯
mul_right_inv : ∀ (x : G) (hx : x ∈ closure s) (y : G) (hy : y ∈ s), p x hx → p (x * y⁻¹) ⋯
x : G
h : x ∈ closure s
m : Gᵐᵒᵖ
hm : m ∈ closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)
\u22a2 MulOpposite.unop m ∈ closure s
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
p : (x : G) → x ∈ closure s → Prop
one : p 1 ⋯
mul_right : ∀ (x : G) (hx : x ∈ closure s) (y : G) (hy : y ∈ s), p x hx → p (x * y) ⋯
mul_right_inv : ∀ (x : G) (hx : x ∈ closure s) (y : G) (hy : y ∈ s), p x hx → p (x * y⁻¹) ⋯
x : G
h : x ∈ closure s
\u22a2 { unop' := x } ∈ closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q ≠ 0
\u22a2 p ∣ q.primPart ↔ p ∣ q
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q ≠ 0
h : p ∣ q
\u22a2 p ∣ q.primPart
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p.IsPrimitive
r : R[X]
hq : p * r ≠ 0
\u22a2 p ∣ (p * r).primPart
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p.IsPrimitive
r : R[X]
hq : p * r ≠ 0
\u22a2 p * ?m.99628 = (p * r).primPart
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p.IsPrimitive
r : R[X]
hq : p * r ≠ 0
\u22a2 R[X]
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y x : ℝ
\u22a2 π / 2 - arcsin x ≤ π
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁹ : Ring R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M'
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : Module R M'
inst✝¹² : Module R M₁
inst✝¹¹ : StrongRankCondition R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition S
inst✝⁹ : Module S M
inst✝⁸ : Module.Free S M
inst✝⁷ : Module S M'
inst✝⁶ : Module.Free S M'
inst✝⁵ : Module S M₁
inst✝⁴ : Module.Free S M₁
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : Module.Free R M
\u22a2 Module.rank R (M ⊗[S] M') = Cardinal.lift.{v', v} (Module.rank R M) * Cardinal.lift.{v, v'} (Module.rank S M')