ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.318794, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 4
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁ = app₀ ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂ = app₁ ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃ = app₂ ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄ = app₃ ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯
\u22a2 3 < 4 + 1
-- Mathlib/NumberTheory/EllipticDivisibilitySequence.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
\u22a2 normEDS b c d 0 = 0
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
\u22a2 ENNReal.ofReal (p + q) = ENNReal.ofReal p + ENNReal.ofReal q
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
hK : K ≠ ⊤
\u22a2 1 ∉ comap f K
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
hK : K ≠ ⊤
\u22a2 1 ∉ K
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x₁ x₂ : α
\u22a2 edist ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (x₁, 0)) ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (x₂, 0)) = edist x₁ x₂
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : IsOpen t
\u22a2 closure s ∩ t ⊆ closure (s ∩ t)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : SizeOf α
x : α
s : Multiset α
hx : x ∈ s
\u22a2 sizeOf x < sizeOf s
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : SizeOf α
x : α
l : List α
hx : x ∈ Quot.mk Setoid.r l
\u22a2 sizeOf x < sizeOf (Quot.mk Setoid.r l)
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
\u22a2 preimage Eq s = s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hx : x ≠ 0
\u22a2 (∃ r, 0 ≤ r ∧ r • x = y) ↔ SameRay R x y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hx : x ≠ 0
h : ∃ r, 0 ≤ r ∧ r • x = y
\u22a2 SameRay R x y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x : M
hx : x ≠ 0
r : R
hr : 0 ≤ r
\u22a2 SameRay R x (r • x)
-- Mathlib/Order/WithBot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
\u22a2 ((StrictMono fun a => map f ↑a) ∧ ∀ (x : α), map f ↑x < map f ⊤) ↔ StrictMono f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
x : G
\u22a2 (condexpInd G hm μ (s ∪ t)) x = (⇑(condexpInd G hm μ s) + ⇑(condexpInd G hm μ t)) x
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hY : AEMeasurable Y μ
hf_int : Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
\u22a2 Integrable (fun x => ∫ (y : Ω), ‖f (x, y)‖ ∂(condDistrib Y X μ) x) (Measure.map X μ)
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hY : AEMeasurable Y μ
hf_int : Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
\u22a2 Integrable (fun x => ∫ (y : Ω), ‖f (x, y)‖ ∂(Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).condKernel x) (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).fst
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
\u22a2 (q + r).num * ↑q.den * ↑r.den = (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) * ↑(q + r).den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
\u22a2 (q + r).num * ↑q.den * ↑r.den = (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) * ↑(q + r).den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
\u22a2 (q + r).num * ↑q.den * ↑r.den = (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) * ↑(q + r).den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
\u22a2 ↑q.den * ↑r.den * (q + r).num = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
\u22a2 c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
\u22a2 c * (↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num) = c * ((↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den)
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
\u22a2 ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num = (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den ∨ c = 0
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
\u22a2 ¬c = 0 → ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num = (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
\u22a2 ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num = (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
h : q.num /. ↑q.den + r.num /. ↑r.den = s
\u22a2 ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num = (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
h : q + r = s
\u22a2 ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q + r).num = (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q + r).den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
h : q + r = s
\u22a2 ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * s.num = (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑s.den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
h : q + r = s
\u22a2 s.num * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den = (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑s.den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den = c * (↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
h : q + r = s
\u22a2 s = ↑(q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) / ↑(↑q.den * ↑r.den)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
\u22a2 (o.oangle (x - y) y).sign = (o.oangle x y).sign
-- Mathlib/Topology/Order/LowerUpperTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : CompleteLattice α
inst✝⁴ : CompleteLattice β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : IsLower α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : IsLower β
f : sInfHom α β
\u22a2 Continuous ⇑f
-- Mathlib/Topology/Order/LowerUpperTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : CompleteLattice α
inst✝⁴ : CompleteLattice β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : IsLower α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : IsLower β
f : sInfHom α β
b : β
\u22a2 IsClosed (⇑f ⁻¹' Ici b)
-- Mathlib/Topology/Order/LowerUpperTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : CompleteLattice α
inst✝⁴ : CompleteLattice β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : IsLower α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : IsLower β
f : sInfHom α β
b : β
\u22a2 ⇑f ⁻¹' Ici b = Ici (sInf (⇑f ⁻¹' Ici b))
-- Mathlib/Topology/Order/LowerUpperTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : CompleteLattice α
inst✝⁴ : CompleteLattice β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : IsLower α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : IsLower β
f : sInfHom α β
b : β
a : α
ha : a ∈ Ici (sInf (⇑f ⁻¹' Ici b))
\u22a2 b ≤ ↑f (sInf (⇑f ⁻¹' Ici b))
-- Mathlib/Topology/Order/LowerUpperTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : CompleteLattice α
inst✝⁴ : CompleteLattice β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : IsLower α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : IsLower β
f : sInfHom α β
b : β
a : α
ha : a ∈ Ici (sInf (⇑f ⁻¹' Ici b))
\u22a2 b ≤ sInf (⇑f '' (⇑f ⁻¹' Ici b))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hg : Measurable g
\u22a2 ∫⁻ (a : β), f a ∂Measure.map g μ ≤ ∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hg : Measurable g
\u22a2 ⨆ g_1, ⨆ (_ : Measurable g_1), ⨆ (_ : g_1 ≤ f), ∫⁻ (a : β), g_1 a ∂Measure.map g μ ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : Measurable g_1), ⨆ (_ : g_1 ≤ fun a => f (g a)), ∫⁻ (a : α), g_1 a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hg : Measurable g
i : β → ℝ≥0∞
hi : Measurable i
h'i : i ≤ f
\u22a2 ∫⁻ (a : β), i a ∂Measure.map g μ ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : Measurable g_1), ⨆ (_ : g_1 ≤ fun a => f (g a)), ∫⁻ (a : α), g_1 a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hg : Measurable g
i : β → ℝ≥0∞
hi : Measurable i
h'i : i ≤ f
\u22a2 ∫⁻ (a : β), i a ∂Measure.map g μ ≤ ⨆ (_ : i ∘ g ≤ fun a => f (g a)), ∫⁻ (a : α), (i ∘ g) a ∂μ
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α✝ : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α✝
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
α : Type u_5
f : α → β →𝒄 γ
c✝ : Chain β
x : α
\u22a2 (f x) (ωSup c✝) = ωSup (c✝.map { toFun := fun x y => (f y) x, monotone' := ⋯ }) x
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α✝ : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α✝
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
α : Type u_5
f : α → β →𝒄 γ
c✝ : Chain β
x : α
\u22a2 ωSup (c✝.map ↑(f x)) = ωSup (c✝.map { toFun := fun x y => (f y) x, monotone' := ⋯ }) x
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
ht : IsLowerSet t
\u22a2 Disjoint (↑(upperClosure s)) t ↔ Disjoint s t
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
ht : IsLowerSet t
\u22a2 Disjoint s t → Disjoint (↑(upperClosure s)) t
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
ht : IsLowerSet t
\u22a2 (∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ t) → ∀ ⦃a : α⦄, ∀ x ∈ s, x ≤ a → a ∉ t
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Pi.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCancelCommMonoid μ
inst✝² : HasAntidiagonal μ
inst✝¹ : DecidableEq μ
i : ι
s : Finset ι
inst✝ : DecidableEq (ι → μ)
hi : i ∉ s
n : μ
\u22a2 (insert i s).piAntidiag n = (antidiagonal n).biUnion fun p => image (fun f j => f j + if j = i then p.1 else 0) (s.piAntidiag p.2)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r x : R
\u22a2 x ∈ {r} + σ a ↔ x ∈ σ (↑ₐ r + a)
-- Mathlib/Algebra/Homology/QuasiIso.lean
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
inst✝² : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), M.HasHomology i
hφ : QuasiIso φ'
hφφ' : QuasiIso (φ ≫ φ')
\u22a2 QuasiIso φ
-- Mathlib/Algebra/Homology/QuasiIso.lean
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
inst✝² : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), M.HasHomology i
hφ : QuasiIso φ'
hφφ' : QuasiIso (φ ≫ φ')
\u22a2 QuasiIso (φ ≫ φ')
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : Nonempty ι
l : (i : ι) → Filter (α i)
hl : ∀ (i : ι), Cauchy (l i)
\u22a2 Cauchy (Filter.pi l)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : Nonempty ι
l : (i : ι) → Filter (α i)
hl : ∀ (i : ι), Cauchy (l i)
this : ∀ (i : ι), (l i).NeBot
\u22a2 Cauchy (Filter.pi l)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w x y : V
p : G.Walk x y
hp : ¬p.Nil
\u22a2 x :: (p.tail hp).support = p.support
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f✝ f : StieltjesFunction
x : ℝ
\u22a2 rightLim (↑f) x = ↑f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f✝ f : StieltjesFunction
x : ℝ
\u22a2 ContinuousWithinAt (↑f) (Ici x) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y₁ Y₂ : C
f : Y₁ ⟶ Y₂
\u22a2 𝟙 X ⊗ f = X ◁ f
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L✝ : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ : V → E
inst✝² : SecondCountableTopologyEither V (W →L[ℝ] ℝ)
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
μ : Measure V
hf : AEStronglyMeasurable f μ
\u22a2 AEStronglyMeasurable (fun v => VectorFourier.fourierSMulRight L f v) μ
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L✝ : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ : V → E
inst✝² : SecondCountableTopologyEither V (W →L[ℝ] ℝ)
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
μ : Measure V
hf : AEStronglyMeasurable f μ
\u22a2 AEStronglyMeasurable (fun x => (L x).smulRight (f x)) μ
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L✝ : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ : V → E
inst✝² : SecondCountableTopologyEither V (W →L[ℝ] ℝ)
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
μ : Measure V
hf : AEStronglyMeasurable f μ
aux0 : Continuous fun p => p.1.smulRight p.2
\u22a2 AEStronglyMeasurable (fun x => (L x).smulRight (f x)) μ
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L✝ : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ : V → E
inst✝² : SecondCountableTopologyEither V (W →L[ℝ] ℝ)
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
μ : Measure V
hf : AEStronglyMeasurable f μ
aux0 : Continuous fun p => p.1.smulRight p.2
aux1 : AEStronglyMeasurable (fun v => (L v, f v)) μ
\u22a2 AEStronglyMeasurable (fun x => (L x).smulRight (f x)) μ
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
s : Multiset F[X]
hs : ∀ p ∈ s, IsSolvable p.Gal
\u22a2 IsSolvable s.prod.Gal
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
s : Multiset F[X]
hs : ∀ p ∈ s, IsSolvable p.Gal
\u22a2 IsSolvable (Multiset.prod 0).Gal
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
s : Multiset F[X]
hs : ∀ p ∈ s, IsSolvable p.Gal
\u22a2 ∀ {a : F[X]} {s_1 : Multiset F[X]}, a ∈ s → s_1 ⊆ s → IsSolvable s_1.prod.Gal → IsSolvable (insert a s_1).prod.Gal
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/ContinuousAffineMap.lean
𝕜 : Type u_1
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
W₂ : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
Q₂ : Type u_8
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁵ : MetricSpace P
inst✝¹⁴ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : MetricSpace Q
inst✝¹¹ : NormedAddTorsor W Q
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup W₂
inst✝⁹ : MetricSpace Q₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor W₂ Q₂
inst✝⁷ : NormedField R
inst✝⁶ : NormedSpace R V
inst✝⁵ : NormedSpace R W
inst✝⁴ : NormedSpace R W₂
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W₂
f : V →ᴬ[𝕜] W
g : W₂ →ᴬ[𝕜] V
\u22a2 ‖f.comp g‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖ + ‖f 0‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/ContinuousAffineMap.lean
𝕜 : Type u_1
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
W₂ : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
Q₂ : Type u_8
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁵ : MetricSpace P
inst✝¹⁴ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : MetricSpace Q
inst✝¹¹ : NormedAddTorsor W Q
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup W₂
inst✝⁹ : MetricSpace Q₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor W₂ Q₂
inst✝⁷ : NormedField R
inst✝⁶ : NormedSpace R V
inst✝⁵ : NormedSpace R W
inst✝⁴ : NormedSpace R W₂
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W₂
f : V →ᴬ[𝕜] W
g : W₂ →ᴬ[𝕜] V
\u22a2 ‖(f.comp g) 0‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖ + ‖f 0‖ ∧ ‖(f.comp g).contLinear‖ ≤ ‖f‖ * ‖g‖ + ‖f 0‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f✝ : ℝ → E
a✝ b✝ : ℝ
μ✝ : Measure ℝ
f : ℝ → E
a b : ℝ
hab : a ≤ b
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
\u22a2 IntervalIntegrable f μ a b ↔ IntegrableOn f (Icc a b) μ
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Center.lean
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : MulZeroClass M₀
s : Set M₀
\u22a2 0 ∈ s.centralizer
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
i : X ≅ Y
j : Y ≅ Z
\u22a2 (F.mapIso (i ≪≫ j)).hom = (F.mapIso i ≪≫ F.mapIso j).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
hG : IsCoseparator G
X Y : C
f g : X ⟶ Y
hfg : ∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = g ≫ h
H : C
hH : H ∈ {G}
h : Y ⟶ H
\u22a2 f ≫ h = g ≫ h
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
H : C
h : Y ⟶ H
hG : IsCoseparator H
hfg : ∀ (h : Y ⟶ H), f ≫ h = g ≫ h
hH : H ∈ {H}
\u22a2 f ≫ h = g ≫ h