ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : UniformSpace γ
f : γ → β
hf : UniformContinuous f
\u22a2 UniformContinuous (⇑(ofFun 𝔖) ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑(toFun 𝔖))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : UniformSpace γ
f : γ → β
hf : UniformContinuous f
\u22a2 uniformSpace α γ 𝔖 ≤ UniformSpace.comap (⇑(ofFun 𝔖) ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace α β 𝔖)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
x : R
hx : IsUnit x
hfx : f x ≠ 0
n : ℕ
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
\u22a2 f (x ^ n) ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
x : R
hx : IsUnit x
hfx : f x ≠ 0
n : ℕ
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
h1 : f 1 ≠ 0
\u22a2 f (x ^ n) ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
x : R
hx : IsUnit x
hfx : f x ≠ 0
n : ℕ
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
h1 : f 1 ≠ 0
hxn : f (x ^ n) = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
x : R
hx : IsUnit x
hfx : f x ≠ 0
n : ℕ
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
h1 : f 1 ≠ 0
hxn : f (x ^ n) = 0
this : f 1 ≤ 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
s : Set α
x : α
hx : x ∈ e.source
\u22a2 x ∈ ↑e ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s) ↔ x ∈ s
-- Mathlib/Logic/Small/Group.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Div α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : Shrink.{u_2, u_1} α
\u22a2 (equivShrink α).symm (x / y) = (equivShrink α).symm x / (equivShrink α).symm y
-- Mathlib/Logic/Small/Group.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Div α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : Shrink.{u_2, u_1} α
\u22a2 (equivShrink α).symm ((equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm x / (equivShrink α).symm y)) = (equivShrink α).symm x / (equivShrink α).symm y
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : MulPosMono α
hb : 0 ≤ b
h : 1 ≤ a
\u22a2 b ≤ a * b
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
r : List α
\u22a2 l₁ ++ drop l₁.length (l₁ ++ r) = l₁ ++ r
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J J' : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ' : J' ≠ 0
\u22a2 I ≤ J / J' ↔ I * J' ≤ J
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J J' : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ' : J' ≠ 0
\u22a2 I ≤ ⟨↑J / ↑J', ⋯⟩ ↔ I * J' ≤ J
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J J' : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ' : J' ≠ 0
\u22a2 I ≤ ⟨↑J / ↑J', ⋯⟩ ↔ ↑I * ↑J' ≤ ↑J
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
n : ℕ∞
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
\u22a2 ContDiff ℝ n ↑univUnitBall
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
n : ℕ∞
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
\u22a2 ContDiff ℝ n fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
n : ℕ∞
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
h : ∀ (x : E), 0 < 1 + ‖x‖ ^ 2
\u22a2 ContDiff ℝ n fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
n : ℕ∞
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
h : ∀ (x : E), 0 < 1 + ‖x‖ ^ 2
\u22a2 ContDiff ℝ n fun x => √(1 + ‖x‖ ^ 2)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
\u22a2 o.oangle x y = ↑π ↔ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-y)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
\u22a2 o.oangle x y = ↑π ↔ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ o.oangle x (-y) = 0
-- Mathlib/Analysis/SumIntegralComparisons.lean
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
\u22a2 ∑ i ∈ Finset.Ico a b, f ↑(i + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑b, f x
-- Mathlib/Analysis/SumIntegralComparisons.lean
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
\u22a2 ∑ i ∈ Finset.Ico a (b - a + a), f ↑(i + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑(b - a) + ↑a, f x
-- Mathlib/Analysis/SumIntegralComparisons.lean
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
\u22a2 ∑ i ∈ Finset.Ico (0 + a) (b - a + a), f ↑(i + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑a + ↑(b - a), f x
-- Mathlib/Analysis/SumIntegralComparisons.lean
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
\u22a2 ∑ x ∈ Finset.range (b - a), f ↑(a + x + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑a + ↑(b - a), f x
-- Mathlib/Analysis/SumIntegralComparisons.lean
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)
\u22a2 ∑ x ∈ Finset.range (b - a), f (↑a + ↑(x + 1)) ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑a + ↑(b - a), f x
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝² : CommRing F
inst✝¹ : Ring K
inst✝ : Algebra F K
x : K
h : IsSeparable F x
\u22a2 IsIntegral F x
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝² : CommRing F
inst✝¹ : Ring K
inst✝ : Algebra F K
x : K
h : IsSeparable F x
h✝ : Subsingleton F
\u22a2 IsIntegral F x
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝² : CommRing F
inst✝¹ : Ring K
inst✝ : Algebra F K
x : K
h : IsSeparable F x
h✝ : Nontrivial F
\u22a2 IsIntegral F x
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.134154, u_2} D
L : C ⥤ D
W✝ : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W✝
W : MorphismProperty Cᵒᵖ
X Y : Cᵒᵖ
z₁ z₂ : W.LeftFraction X Y
Z : Cᵒᵖ
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z
hs : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hf : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
\u22a2 RightFractionRel z₁.unop z₂.unop
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
I : FractionalIdeal S P
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
\u22a2 I = spanSingleton S (generator ↑I)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
l : List α
\u22a2 map Prod.fst l.enum = range l.length
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
\u22a2 W.ΨSq 2 = W.Ψ₂Sq
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l r : List α
h1 : (a :: l).length - 1 - 0 < ((a :: l).reverseAux r).length
x✝ : 0 < (a :: l).length
\u22a2 ((a :: l).reverseAux r)[(a :: l).length - 1 - 0] = (a :: l)[0]
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l r : List α
h1 : (a :: l).length - 1 - 0 < ((a :: l).reverseAux r).length
x✝ : 0 < (a :: l).length
aux : ∀ (h1 : 0 + l.length < (l.reverseAux (a :: r)).length) (h2 : 0 < (a :: r).length), (l.reverseAux (a :: r)).get ⟨0 + l.length, h1⟩ = (a :: r).get ⟨0, h2⟩
\u22a2 ((a :: l).reverseAux r)[(a :: l).length - 1 - 0] = (a :: l)[0]
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l r : List α
h1 : (a :: l).length - 1 - 0 < ((a :: l).reverseAux r).length
x✝ : 0 < (a :: l).length
aux : ∀ (h1 : l.length < (l.reverseAux (a :: r)).length) (h2 : 0 < (a :: r).length), (l.reverseAux (a :: r)).get ⟨l.length, h1⟩ = (a :: r).get ⟨0, h2⟩
\u22a2 ((a :: l).reverseAux r)[(a :: l).length - 1 - 0] = (a :: l)[0]
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
u : UniformSpace E
inst✝ : UniformAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
\u22a2 WithSeminorms p ↔ u = ⨅ i, PseudoMetricSpace.toUniformSpace
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
u : UniformSpace E
inst✝ : UniformAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
\u22a2 𝓝 0 = ⨅ i, comap (⇑(p i)) (𝓝 0) ↔ 𝓝 0 = ⨅ i, 𝓝 0
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
u : UniformSpace E
inst✝ : UniformAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
i : ι
\u22a2 comap (⇑(p i)) (𝓝 0) = 𝓝 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Floor.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
b : ℤ
\u22a2 b ≤ ⌊↑(b + 1)⌋
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Floor.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
b : ℤ
\u22a2 b ≤ b + 1
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Hom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroHomClass F α β
a : α
f : F
neZero : NeZero (f a)
h : a = 0
\u22a2 f 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
\u22a2 f.ker = ⊥ ↔ Function.Injective ⇑f
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x y z : α
h : x ∈ y :: z :: l
hx : x = y
\u22a2 (y :: z :: l).next x h = z
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
this : (a :: const a).tail = const a
\u22a2 (const a).tail = const a
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Lemmas.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocSemiring R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
a✝ a : R
\u22a2 a + a = 0 ↔ a = 0
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeInf γ
F : Filter α
G : Filter β
f : α → γ
g : β → γ
hf : Tendsto f F atBot
hg : Tendsto g G atBot
\u22a2 Tendsto (Prod.map f g) (F ×ˢ G) atBot
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeInf γ
F : Filter α
G : Filter β
f : α → γ
g : β → γ
hf : Tendsto f F atBot
hg : Tendsto g G atBot
\u22a2 Tendsto (Prod.map f g) (F ×ˢ G) (atBot ×ˢ atBot)
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : b ≤ 1
r : R
\u22a2 clog b r = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
s : Finset ι
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α
\u22a2 ∫⁻ (a : α), f a ∂∑ i ∈ s, μ i = ∑ i ∈ s, ∫⁻ (a : α), f a ∂μ i
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
s : Finset ι
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α
\u22a2 ∑' (i : { x // x ∈ s }), ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ↑i = ∑' (x : ↑↑s), ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ↑x
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Monad.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
inst✝ : DecidableEq τ
f : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R
\u22a2 ((bind₁ f) φ).vars ⊆ φ.vars.biUnion fun i => (f i).vars
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Monad.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
inst✝ : DecidableEq τ
f : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R
\u22a2 (φ.support.biUnion fun d => (C (coeff d φ) * ∏ i ∈ d.support, f i ^ d i).vars) ≤ φ.support.biUnion fun d => d.support.biUnion fun i => (f i).vars
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Monad.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
inst✝ : DecidableEq τ
f : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R
\u22a2 (φ.support.biUnion fun d => d.support.biUnion fun i => (f i).vars) ≤ φ.vars.biUnion fun i => (f i).vars
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : Subspace 𝕜 E
f : ↥p →L[𝕜] 𝕜
this✝¹ : Module ℝ E := RestrictScalars.module ℝ 𝕜 E
this✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E := RestrictScalars.isScalarTower ℝ 𝕜 E
this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
fr : ↥p →L[ℝ] ℝ := reCLM.comp (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ f)
\u22a2 ∃ g, (∀ (x : ↥p), g ↑x = f x) ∧ ‖g‖ = ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : Subspace 𝕜 E
f : ↥p →L[𝕜] 𝕜
this✝¹ : Module ℝ E := RestrictScalars.module ℝ 𝕜 E
this✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E := RestrictScalars.isScalarTower ℝ 𝕜 E
this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
fr : ↥p →L[ℝ] ℝ := reCLM.comp (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ f)
g : E →L[ℝ] ℝ
hextends : ∀ (x : ↥(Submodule.restrictScalars ℝ p)), g ↑x = fr x
hnormeq : ‖g‖ = ‖fr‖
\u22a2 ∃ g, (∀ (x : ↥p), g ↑x = f x) ∧ ‖g‖ = ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : Subspace 𝕜 E
f : ↥p →L[𝕜] 𝕜
this✝¹ : Module ℝ E := RestrictScalars.module ℝ 𝕜 E
this✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E := RestrictScalars.isScalarTower ℝ 𝕜 E
this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
fr : ↥p →L[ℝ] ℝ := reCLM.comp (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ f)
g : E →L[ℝ] ℝ
hextends : ∀ (x : ↥(Submodule.restrictScalars ℝ p)), g ↑x = fr x
hnormeq : ‖g‖ = ‖fr‖
h : ∀ (x : ↥p), g.extendTo𝕜 ↑x = f x
\u22a2 (∀ (x : ↥p), g.extendTo𝕜 ↑x = f x) ∧ ‖g.extendTo𝕜‖ = ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : Subspace 𝕜 E
f : ↥p →L[𝕜] 𝕜
this✝¹ : Module ℝ E := RestrictScalars.module ℝ 𝕜 E
this✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E := RestrictScalars.isScalarTower ℝ 𝕜 E
this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
fr : ↥p →L[ℝ] ℝ := reCLM.comp (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ f)
g : E →L[ℝ] ℝ
hextends : ∀ (x : ↥(Submodule.restrictScalars ℝ p)), g ↑x = fr x
hnormeq : ‖g‖ = ‖fr‖
h : ∀ (x : ↥p), g.extendTo𝕜 ↑x = f x
\u22a2 ‖g.extendTo𝕜‖ ≤ ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : Subspace 𝕜 E
f : ↥p →L[𝕜] 𝕜
this✝¹ : Module ℝ E := RestrictScalars.module ℝ 𝕜 E
this✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E := RestrictScalars.isScalarTower ℝ 𝕜 E
this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
fr : ↥p →L[ℝ] ℝ := reCLM.comp (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ f)
g : E →L[ℝ] ℝ
hextends : ∀ (x : ↥(Submodule.restrictScalars ℝ p)), g ↑x = fr x
hnormeq : ‖g‖ = ‖fr‖
h : ∀ (x : ↥p), g.extendTo𝕜 ↑x = f x
\u22a2 ‖f‖ ≤ ‖g.extendTo𝕜‖
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
\u22a2 f ↑n = f 1 + log ↑(n - 1)!
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
IH : f ↑m = f 1 + log ↑(m - 1)!
\u22a2 f ↑(m + 1) = f 1 + log ↑(m + 1 - 1)!
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
IH : f ↑m = f 1 + log ↑(m - 1)!
A : 0 < ↑m
\u22a2 f ↑(m + 1) = f 1 + log ↑(m + 1 - 1)!
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
IH : f ↑m = f 1 + log ↑(m - 1)!
A : 0 < ↑m
\u22a2 f ↑m + log ↑m = f 1 + log ↑m !
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
IH : f ↑m = f 1 + log ↑(m - 1)!
A : 0 < ↑m
\u22a2 f 1 + log ↑((m - 1)! * m) = f 1 + log ↑m !
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
IH : f ↑m = f 1 + log ↑(m - 1)!
A : 0 < ↑m
\u22a2 f 1 + log ↑((m - 1)! * m) = f 1 + log ↑(m.pred ! * (m.pred + 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
IH : f ↑m = f 1 + log ↑(m - 1)!
A : 0 < ↑m
\u22a2 m = m.pred + 1
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
\u22a2 s ⊂ t ↔ ∃ a ∈ t, s ⊆ t \ {a}
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
\u22a2 (∃ a ∉ s, a ∈ t ∧ s ⊆ t) ↔ ∃ a ∈ t, s ⊆ t ∧ a ∉ s
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
x : ↥H
\u22a2 ((traceForm K (↥H) L) (coroot α)) x = 2 • (α ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)))⁻¹ • α x
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
x : ↥H
this : ((cartanEquivDual H) ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))) x = α x
\u22a2 ((traceForm K (↥H) L) (coroot α)) x = 2 • (α ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)))⁻¹ • α x
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
x : ↥H
this : ((cartanEquivDual H) ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))) x = α x
\u22a2 2 • (α ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)))⁻¹ • ((traceForm K (↥H) L) ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))) x = 2 • (α ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)))⁻¹ • α x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
f : X →ᵇ ℝ
\u22a2 Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
f : X →ᵇ ℝ
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) ⊥ ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
\u22a2 Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) ⊥ (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
\u22a2 Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
obs : Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)
\u22a2 Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
obs : Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)
bdd_above : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
bdd_below : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
\u22a2 Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))