ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Shift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
this : IsIso (((shiftFunctorZero (CochainComplex C ℤ) ℤ).inv.app K).f n)
\u22a2 ((shiftFunctorZero (CochainComplex C ℤ) ℤ).hom.app K).f n = (XIsoOfEq K ⋯).hom
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Shift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
this : IsIso (((shiftFunctorZero (CochainComplex C ℤ) ℤ).inv.app K).f n)
\u22a2 𝟙 (((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 0).obj K).X n) = (XIsoOfEq K ⋯).hom ≫ (XIsoOfEq K ⋯).hom
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
z : ℤ
\u22a2 ↑z = 1 ⊗ₜ[R] ↑z
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivAt f f' x
hf' : ∃ C, ∀ (z : E), ‖z‖ ≤ C * ‖f' z‖
\u22a2 ∀ᶠ (z : E) in 𝓝[≠] x, f z ≠ f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/BesicovitchVectorSpace.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
\u22a2 1 - δ ≤ ‖a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/BesicovitchVectorSpace.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
\u22a2 1 - δ ≤ ‖a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/BesicovitchVectorSpace.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
\u22a2 1 - δ ≤ ‖a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/BesicovitchVectorSpace.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
\u22a2 1 - δ ≤ ‖a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/BesicovitchVectorSpace.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
I : a.r i ≤ 2
\u22a2 1 - δ ≤ ‖a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/BesicovitchVectorSpace.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
I : a.r i ≤ 2
J : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
\u22a2 1 - δ ≤ ‖a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/BesicovitchVectorSpace.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
I : a.r i ≤ 2
J : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
A : a.r j - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
d : E := (2 / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (2 / ‖a.c j‖) • a.c j
\u22a2 1 - δ ≤ ‖a.c i - d‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/BesicovitchVectorSpace.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
I : a.r i ≤ 2
J : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
A : a.r j - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
d : E := (2 / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (2 / ‖a.c j‖) • a.c j
this : a.r j - δ ≤ ‖a.c i - d‖ + (a.r j - 1)
\u22a2 1 - δ ≤ ‖a.c i - d‖
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
\u22a2 Tendsto (fun s => s • P.Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (-P.f₀))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
\u22a2 Tendsto (fun s => s • P.Λ₀ s - s • (1 / s) • P.f₀ - s • (P.ε / (↑P.k - s)) • P.g₀) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (0 • P.Λ₀ 0 - P.f₀ - 0))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
\u22a2 Tendsto (fun s => s • P.Λ₀ s) (𝓝 0) (𝓝 (0 • P.Λ₀ 0))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
\u22a2 Tendsto (fun s => s • (1 / s) • P.f₀) (𝓝[≠] 0) (𝓝 P.f₀)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
\u22a2 Tendsto (fun s => s • (P.ε / (↑P.k - s)) • P.g₀) (𝓝[≠] 0) (𝓝 0)
-- Mathlib/GroupTheory/Torsion.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : Monoid G
\u22a2 ¬IsTorsionFree G ↔ ∃ g, g ≠ 1 ∧ IsOfFinOrder g
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set (PrimeSpectrum R)
\u22a2 vanishingIdeal s = ⊤ ↔ s = ∅
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Submodule.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommRing P
s : Set R
\u22a2 coeSubmodule S (Ideal.span s) = Submodule.span R (⇑(algebraMap R S) '' s)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Submodule.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommRing P
s : Set R
\u22a2 Submodule.span R (⇑(Algebra.linearMap R S) '' s) = Submodule.span R (⇑(algebraMap R S) '' s)
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
h : c ≠ 0
hab : a * c ≤ b * c
\u22a2 a ≤ b
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : Associates α
hp : Irreducible p
inst✝ : (n : ℕ) → Decidable (a ∣ p ^ n)
n : ℕ
h : a ∣ p ^ n
\u22a2 a = p ^ Nat.find ⋯
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : Associates α
hp : Irreducible p
inst✝ : (n : ℕ) → Decidable (a ∣ p ^ n)
n : ℕ
h : a ∣ p ^ n
\u22a2 a ∣ p ^ ?m.494287
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : Associates α
hp : Irreducible p
inst✝ : (n : ℕ) → Decidable (a ∣ p ^ n)
n : ℕ
h : a ∣ p ^ n
\u22a2 ℕ
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝ : Fintype ι
\u22a2 fundamentalDomain b ⊆ parallelepiped ⇑b
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝ : Fintype ι
\u22a2 ∀ (a : E), (∀ (i : ι), (b.repr a) i ∈ Set.Ico 0 1) → ∀ (i : ι), (b.repr a) i ∈ Set.Icc 0 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Abelian.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
inst✝ : LieModule.IsTrivial L M
\u22a2 ⁅I, N⁆ = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Abelian.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
inst✝ : LieModule.IsTrivial L M
\u22a2 ⁅I, N⁆ ≤ ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Abelian.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
inst✝ : LieModule.IsTrivial L M
\u22a2 {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Abelian.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
inst✝ : LieModule.IsTrivial L M
m : M
x : ↥I
n : ↥N
h : ⁅↑x, ↑n⁆ = m
\u22a2 m ∈ ↑⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Abelian.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
inst✝ : LieModule.IsTrivial L M
m : M
x : ↥I
n : ↥N
h : 0 = m
\u22a2 m ∈ ↑⊥
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
n : ℕ
h : 2 ≤ n
\u22a2 dickson k a n = X * dickson k a (n - 1) - C a * dickson k a (n - 2)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
n : ℕ
h : 2 ≤ 2 + n
\u22a2 dickson k a (2 + n) = X * dickson k a (2 + n - 1) - C a * dickson k a (2 + n - 2)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
n : ℕ
h : 2 ≤ 2 + n
\u22a2 dickson k a (n + 2) = X * dickson k a (n + 2 - 1) - C a * dickson k a (n + 2 - 2)
-- Mathlib/Data/Int/ModEq.lean
m n a✝ b✝ c d : ℤ
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
hgcd : a.gcd b = 1
\u22a2 ↑a * a.gcdA b + ↑b * a.gcdB b ≡ 1 [ZMOD ↑b]
-- Mathlib/Data/Int/ModEq.lean
m n a✝ b✝ c d : ℤ
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
hgcd : a.gcd b = 1
\u22a2 ↑1 ≡ 1 [ZMOD ↑b]
-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
ι : Type u_1
inst✝¹⁴ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
s : Set E
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : support u ⊆ s
p : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
h2p : p < ↑(finrank ℝ E)
hs : Bornology.IsBounded s
\u22a2 eLpNorm u (↑p) μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfLeConst F μ s p p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ
-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
ι : Type u_1
inst✝¹⁴ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
s : Set E
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : support u ⊆ s
p : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
h2p : p < ↑(finrank ℝ E)
hs : Bornology.IsBounded s
\u22a2 ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹ ≤ (↑p)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
ι : Type u_1
inst✝¹⁴ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
s : Set E
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : support u ⊆ s
p : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
h2p : p < ↑(finrank ℝ E)
hs : Bornology.IsBounded s
\u22a2 ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹ ≤ ↑p⁻¹
-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
ι : Type u_1
inst✝¹⁴ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
s : Set E
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : support u ⊆ s
p : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
h2p : p < ↑(finrank ℝ E)
hs : Bornology.IsBounded s
\u22a2 0 ≤ (↑(finrank ℝ E))⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
w : InfinitePlace K
x : K
\u22a2 (normAtPlace w) ((mixedEmbedding K) x) = w x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f : α → ℝ
\u22a2 ((fun x => rexp (f x)) =O[l] fun x => 1) ↔ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l f
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
inst✝ : DecidableEq α
x : FreeGroup α
\u22a2 x⁻¹.norm = x.norm
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℚ
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
\u22a2 ∫ (x : α), (preCDF ρ r x).toReal ∂ρ.fst = ((ρ.IicSnd ↑r) univ).toReal
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Preorder α
t : OrderTopology α
s : Set α
\u22a2 IsOpen s ↔ GenerateOpen {s | ∃ a, s = Ioi a ∨ s = Iio a} s
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
\u22a2 ∑' (j : ℕ), ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioi ↑j} < ⊤
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
\u22a2 ∀ (K : ℕ), ∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioi ↑j} ≤ ENNReal.ofReal ((∫ (a : Ω), X a) + 1)
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K : ℕ
A : Tendsto (fun N => ∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioc ↑j ↑N}) atTop (𝓝 (∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioi ↑j}))
\u22a2 ∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioi ↑j} ≤ ENNReal.ofReal ((∫ (a : Ω), X a) + 1)
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K : ℕ
A : Tendsto (fun N => ∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioc ↑j ↑N}) atTop (𝓝 (∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioi ↑j}))
\u22a2 (fun N => ∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioc ↑j ↑N}) ≤ᶠ[atTop] fun x => ENNReal.ofReal ((∫ (a : Ω), X a) + 1)
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K : ℕ
A : Tendsto (fun N => ∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioc ↑j ↑N}) atTop (𝓝 (∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioi ↑j}))
N : ℕ
hN : N ∈ Set.Ici K
\u22a2 ∑ j ∈ range K, ℙ {ω | X ω ∈ Set.Ioc ↑j ↑N} ≤ ENNReal.ofReal ((∫ (a : Ω), X a) + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
hp : 1 < p
\u22a2 padicNorm p ↑p < 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
hp : 1 < p
\u22a2 ↑p ≤ 0 ∨ 1 < ↑p
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf_ne_top : ∀ (a : α) (b : β), f a b ≠ ⊤
hf : Measurable (Function.uncurry f)
fs : ℕ → α → β → ℝ≥0∞ := fun n a b => min (f a b) (↑n + 1) - min (f a b) ↑n
h_le : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → f a b ≤ ↑n
\u22a2 IsSFiniteKernel (κ.withDensity f)
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf_ne_top : ∀ (a : α) (b : β), f a b ≠ ⊤
hf : Measurable (Function.uncurry f)
fs : ℕ → α → β → ℝ≥0∞ := fun n a b => min (f a b) (↑n + 1) - min (f a b) ↑n
h_le : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → f a b ≤ ↑n
h_zero : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → fs n a b = 0
\u22a2 IsSFiniteKernel (κ.withDensity f)
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf_ne_top : ∀ (a : α) (b : β), f a b ≠ ⊤
hf : Measurable (Function.uncurry f)
fs : ℕ → α → β → ℝ≥0∞ := fun n a b => min (f a b) (↑n + 1) - min (f a b) ↑n
h_le : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → f a b ≤ ↑n
h_zero : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → fs n a b = 0
hf_eq_tsum : f = ∑' (n : ℕ), fs n
\u22a2 IsSFiniteKernel (κ.withDensity f)
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf_ne_top : ∀ (a : α) (b : β), f a b ≠ ⊤
hf : Measurable (Function.uncurry f)
fs : ℕ → α → β → ℝ≥0∞ := fun n a b => min (f a b) (↑n + 1) - min (f a b) ↑n
h_le : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → f a b ≤ ↑n
h_zero : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → fs n a b = 0
hf_eq_tsum : f = ∑' (n : ℕ), fs n
\u22a2 IsSFiniteKernel (Kernel.sum fun n => κ.withDensity (fs n))
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf_ne_top : ∀ (a : α) (b : β), f a b ≠ ⊤
hf : Measurable (Function.uncurry f)
fs : ℕ → α → β → ℝ≥0∞ := fun n a b => min (f a b) (↑n + 1) - min (f a b) ↑n
h_le : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → f a b ≤ ↑n
h_zero : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → fs n a b = 0
hf_eq_tsum : f = ∑' (n : ℕ), fs n
\u22a2 ∀ (n : ℕ), Measurable (Function.uncurry (fs n))
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf_ne_top : ∀ (a : α) (b : β), f a b ≠ ⊤
hf : Measurable (Function.uncurry f)
fs : ℕ → α → β → ℝ≥0∞ := fun n a b => min (f a b) (↑n + 1) - min (f a b) ↑n
h_le : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → f a b ≤ ↑n
h_zero : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → fs n a b = 0
hf_eq_tsum : f = ∑' (n : ℕ), fs n
n : ℕ
\u22a2 IsSFiniteKernel (κ.withDensity (fs n))
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf_ne_top : ∀ (a : α) (b : β), f a b ≠ ⊤
hf : Measurable (Function.uncurry f)
fs : ℕ → α → β → ℝ≥0∞ := fun n a b => min (f a b) (↑n + 1) - min (f a b) ↑n
h_le : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → f a b ≤ ↑n
h_zero : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → fs n a b = 0
hf_eq_tsum : f = ∑' (n : ℕ), fs n
n : ℕ
\u22a2 IsFiniteKernel (κ.withDensity (fs n))
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf_ne_top : ∀ (a : α) (b : β), f a b ≠ ⊤
hf : Measurable (Function.uncurry f)
fs : ℕ → α → β → ℝ≥0∞ := fun n a b => min (f a b) (↑n + 1) - min (f a b) ↑n
h_le : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → f a b ≤ ↑n
h_zero : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → fs n a b = 0
hf_eq_tsum : f = ∑' (n : ℕ), fs n
n : ℕ
a : α
b : β
\u22a2 fs n a b ≤ ↑((fun x x_1 => x + x_1) (↑n) 1)
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf_ne_top : ∀ (a : α) (b : β), f a b ≠ ⊤
hf : Measurable (Function.uncurry f)
fs : ℕ → α → β → ℝ≥0∞ := fun n a b => min (f a b) (↑n + 1) - min (f a b) ↑n
h_le : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → f a b ≤ ↑n
h_zero : ∀ (a : α) (b : β) (n : ℕ), ⌈(f a b).toReal⌉₊ ≤ n → fs n a b = 0
hf_eq_tsum : f = ∑' (n : ℕ), fs n
n : ℕ
a : α
b : β
\u22a2 fs n a b ≤ ↑(n + 1)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Expand.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : MvPolynomial σ R
\u22a2 (expand 1) f = f
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
hr : 0 < r
h : Tendsto f l atTop
\u22a2 Tendsto (fun x => r⁻¹ * (r * f x)) l atTop
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l : ℕ
hnm : n ≤ m
hml : m ≤ l
\u22a2 range' n (m - n) ++ range' m (l - m) = range' n (l - n)
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l : ℕ
hnm : n ≤ m
hml : m ≤ l
\u22a2 range' m (l - m) = range' (n + 1 * (m - n)) (l - m)
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l : ℕ
hnm : n ≤ m
hml : m ≤ l
\u22a2 l - n = l - m + (m - n)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Semiconj.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Distrib R
a b x y : R
ha : SemiconjBy a x y
hb : SemiconjBy b x y
\u22a2 SemiconjBy (a + b) x y