ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
t : M ⊗[R] N
\u22a2 ∀ (x y : M ⊗[R] N), x ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t} → y ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t} → x + y ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hxz' : 0 < z - x
\u22a2 (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f x) / (z - x)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hxz' : 0 < z - x
\u22a2 (f y - f x) * (z - x) ≤ (f z - f x) * (y - x)
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
\u22a2 ↑ζ * ↑μ = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
\u22a2 k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Subsingleton L
\u22a2 k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Nontrivial L
\u22a2 k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H✝ : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L
α β : Weight K (↥H✝) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Nontrivial L
H : β (coroot α) = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))
\u22a2 k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H✝ : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L
α β : Weight K (↥H✝) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Nontrivial L
H : (k • ⇑α) (coroot α) = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))
\u22a2 k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H✝ : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L
α β : Weight K (↥H✝) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Nontrivial L
H : k • 2 = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))
\u22a2 k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H✝ : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L
α β : Weight K (↥H✝) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Nontrivial L
H : k • 2 = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))
n : ℕ
hn : chainLength α β = n + n
\u22a2 k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H✝ : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L
α β : Weight K (↥H✝) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Nontrivial L
H : k • 2 = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))
n : ℕ
hn : chainLength α β = 2 * n + 1
\u22a2 k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
h✝ : (g - f).LimZero ∨ (-(g - f)).Pos
h : (-(g - f)).Pos
\u22a2 g < f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Linear.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
x : E
\u22a2 0 = e x - e x✝ - e (x - x✝)
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
ι₁ : Sort u_9
ι₂ : Sort u_10
κ₁ : ι₁ → Sort u_11
κ₂ : ι₂ → Sort u_12
f : (i₁ : ι₁) → κ₁ i₁ → (i₂ : ι₂) → κ₂ i₂ → α
\u22a2 ⨅ i₁, ⨅ j₁, ⨅ i₂, ⨅ j₂, f i₁ j₁ i₂ j₂ = ⨅ i₂, ⨅ j₂, ⨅ i₁, ⨅ j₁, f i₁ j₁ i₂ j₂
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
\u22a2 UpperSemicontinuousOn f univ ↔ UpperSemicontinuous f
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ ψ : Angle
h : 2 • θ + 2 • ψ = ↑π
\u22a2 ψ.tan = θ.tan⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
ψ : Angle
x✝ : ℝ
h : 2 • ↑x✝ + 2 • ψ = ↑π
\u22a2 ψ.tan = (↑x✝).tan⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x✝¹ x✝ : ℝ
h : 2 • ↑x✝¹ + 2 • ↑x✝ = ↑π
\u22a2 (↑x✝).tan = (↑x✝¹).tan⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x✝¹ x✝ : ℝ
h : ∃ k, 2 * (x✝¹ + x✝) - π = 2 * π * ↑k
\u22a2 (↑x✝).tan = (↑x✝¹).tan⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x✝¹ x✝ : ℝ
k : ℤ
h : 2 * (x✝¹ + x✝) - π = 2 * π * ↑k
\u22a2 (↑x✝).tan = (↑x✝¹).tan⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x✝¹ x✝ : ℝ
k : ℤ
h : x✝ = ↑k * π + π / 2 - x✝¹
\u22a2 (↑x✝).tan = (↑x✝¹).tan⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x✝¹ x✝ : ℝ
k : ℤ
h : x✝ = ↑k * π + π / 2 - x✝¹
\u22a2 Real.tan (π / 2 - x✝¹ + ↑k * π) = Real.tan (π / 2 - x✝¹)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : StrongRankCondition R
v : M
n : v ≠ 0
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • v = w
\u22a2 Module.rank R M = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : StrongRankCondition R
v : M
n : v ≠ 0
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • v = w
this : Nontrivial R
\u22a2 Module.rank R M = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : StrongRankCondition R
v : M
n : v ≠ 0
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • v = w
this : Nontrivial R
b : Basis PUnit.{u + 1} R M
\u22a2 Module.rank R M = 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 2 ≠ 0
\u22a2 W.preΨ₄.coeff 6 ≠ 0
-- Mathlib/Data/W/Basic.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
a b : α
ha : Nonempty (β a)
he : IsEmpty (β b)
hf : Finite (WType β)
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/W/Basic.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
a b : α
ha : Nonempty (β a)
he : IsEmpty (β b)
hf : Finite (WType β)
hba : b ≠ a
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/W/Basic.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
a b : α
ha : Nonempty (β a)
he : IsEmpty (β b)
hf : Finite (WType β)
hba : b ≠ a
\u22a2 Function.Injective fun n => let_fun this := Nat.recOn n (mk b he.elim') fun x ih => mk a fun x => ih; this
-- Mathlib/Algebra/Group/Defs.lean
G : Type u_1
M : Type u
one₁ : M
mul₁ : M → M → M
one_mul₁ : ∀ (a : M), 1 * a = a
mul_one₁ : ∀ (a : M), a * 1 = a
one₂ : M
one_mul₂ : ∀ (a : M), 1 * a = a
mul_one₂ : ∀ (a : M), a * 1 = a
\u22a2 one₁ = one₂
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n✝ n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
hpos : 0 < n
inst✝ : CharZero K
\u22a2 cyclotomic n ℚ = minpoly ℚ μ
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n✝ n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
hpos : 0 < n
inst✝ : CharZero K
\u22a2 map (Int.castRingHom ℚ) (minpoly ℤ μ) = minpoly ℚ μ
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i k₀ : ι
hk₀ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel k₀ l
hk₀' : ∀ (l : ι), ¬c.Rel l k₀
h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)
\u22a2 (nullHomotopicMap fun i j => dite (c.Rel j i) (h i j) fun x => 0).f k₀ = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n : ℕ
hpos : 0 < n
\u22a2 Irreducible (cyclotomic n ℚ)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n : ℕ
hpos : 0 < n
\u22a2 Irreducible (map (Int.castRingHom ℚ) (cyclotomic n ℤ))
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
s : A → A → Prop
\u22a2 ↑(mkAlgHom S s) = mkRingHom s
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
s : A → A → Prop
\u22a2 ↑{ toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel s) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ } = { toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel s) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α →ₛ E
hfi : Integrable (↑f) μ
\u22a2 ∫ (x : α), ↑f x ∂μ = ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α →ₛ E
hfi : Integrable (↑f) μ
\u22a2 setToSimpleFunc (weightedSMul μ) f = integral μ f
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
G✝ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Inv G✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace G✝
inst✝³ : MeasurableInv G✝
m : MeasurableSpace α
f✝ : α → G✝
μ : Measure α
G : Type u_4
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : MeasurableInv G
f : α → G
h : Measurable fun x => (f x)⁻¹
\u22a2 Measurable f
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
s : ℂ
hs : 1 < s.re
\u22a2 1 - ↑p ^ (-s) ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
s : ℂ
hs : 1 < s.re
H : 1 = ↑p ^ (-s)
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
s : ℂ
hs : 1 < s.re
H : 1 = ↑p ^ (-s)
this : ‖↑↑⟨p, hp⟩ ^ (-s)‖ ≤ 1 / 2
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
s : ℂ
hs : 1 < s.re
H : 1 = ↑p ^ (-s)
this : ‖↑p ^ (-s)‖ ≤ 1 / 2
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
s : ℂ
hs : 1 < s.re
H : 1 = ↑p ^ (-s)
this : 1 ≤ 1 / 2
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
\u22a2 ∫ (x : E), w D x ∂μ = 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
\u22a2 ((∫ (x : E), u x ∂μ) * |D| ^ finrank ℝ E)⁻¹ • ∫ (a : E), u (D⁻¹ • a) ∂μ = 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
\u22a2 (D ^ finrank ℝ E * ∫ (x : E), u x ∂μ)⁻¹ • D ^ finrank ℝ E • ∫ (x : E), u x ∂μ = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/PartialFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
X✝ Y✝ : Type ?u.20146
f : X✝ ⟶ Y✝
a✝ : ((typeToPartialFun ⋙ partialFunToPointed).obj X✝).X
a : typeToPartialFun.obj X✝
\u22a2 ((typeToPartialFun ⋙ partialFunToPointed).map f ≫ ((fun X => { hom := { toFun := id, map_point := ⋯ }, inv := { toFun := id, map_point := ⋯ }, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ }) Y✝).hom).toFun (some a) = (((fun X => { hom := { toFun := id, map_point := ⋯ }, inv := { toFun := id, map_point := ⋯ }, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ }) X✝).hom ≫ typeToPointed.map f).toFun (some a)
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/PartialFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
X✝ Y✝ : Type ?u.20146
f : X✝ ⟶ Y✝
a✝ : ((typeToPartialFun ⋙ partialFunToPointed).obj X✝).X
a : typeToPartialFun.obj X✝
\u22a2 ((typeToPartialFun ⋙ partialFunToPointed).map f ≫ ((fun X => { hom := { toFun := id, map_point := ⋯ }, inv := { toFun := id, map_point := ⋯ }, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ }) Y✝).hom).toFun (some a) = (Part.some (f a)).toOption
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/ScaleRoots.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Field K
p q : R[X]
r : R
inst✝ : NoZeroDivisors R
hp : ¬p = 0
hq : ¬q = 0
\u22a2 (p * q).scaleRoots r = p.scaleRoots r * q.scaleRoots r
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/ScaleRoots.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Field K
p q : R[X]
r : R
inst✝ : NoZeroDivisors R
hp : ¬p = 0
hq : ¬q = 0
\u22a2 p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
K : ℕ → Set X
hc : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
huniv : ⋃ n, K n = s
\u22a2 IsLindelof (⋃ n, K n)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
K : ℕ → Set X
hc : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
huniv : ⋃ n, K n = s
hl : ∀ (n : ℕ), IsLindelof (K n)
\u22a2 IsLindelof (⋃ n, K n)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set X
\u22a2 DiscreteTopology ↑S ↔ ∀ x ∈ S, 𝓝[≠] x ⊓ 𝓟 S = ⊥
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
\u22a2 f a = f b ↔ a * b⁻¹ ∈ ker f
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
\u22a2 f a = f b ↔ f (a * b⁻¹) = 1
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ i i' : ι
b : β i
h : i ≠ i'
\u22a2 (single i b) i' = 0
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
a b : α
f : α → δ
hab : a ≤ b
hfab : f a ≤ f b
hf_c : ContinuousOn f (Icc a b)
hf_i : InjOn f (Icc a b)
this : CompleteLinearOrder ↑(Icc a b) := Icc.completeLinearOrder hab
g : ↑(Icc a b) → δ := (Icc a b).restrict f
hgab : g ⊥ ≤ g ⊤
\u22a2 StrictMono g
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPushout f.op g.op
\u22a2 (PushoutCocone.unop (colimit.cocone (span f.op g.op))).π.app WalkingCospan.right = (pushout.inr f.op g.op).unop
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ≃ β
B : Set β
\u22a2 (M.mapEquiv f).Base B ↔ M.Base (⇑f.symm '' B)
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ≃ β
B : Set β
\u22a2 (∃ B₀, M.Base B₀ ∧ B = ⇑f '' B₀) ↔ M.Base (⇑f.symm '' B)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ : PresheafedSpace CommRingCat
Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝.toPresheafedSpace
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
\u22a2 toScheme Y f.val = X
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ : PresheafedSpace CommRingCat
Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝.toPresheafedSpace
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : AlgebraicGeometry.IsOpenImmersion f
\u22a2 (toScheme Y f.val).toLocallyRingedSpace = X.toLocallyRingedSpace
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Pointwise.lean
α✝ : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Monoid α✝
inst✝⁶ : DistribMulAction α✝ M
inst✝⁵ : SMulCommClass α✝ R M
α : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring α
inst✝³ : Module α R
inst✝² : Module α M
inst✝¹ : SMulCommClass α R M
inst✝ : IsScalarTower α R M
a : α
S : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ ↑S
\u22a2 (DistribMulAction.toLinearMap R M a) x ∈ S
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
\u22a2 τ (f ^ (n + 1)) = ↑(n + 1) * τ f
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Classification.lean
R L K : Type u
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsAlgClosed K
ι : Type u
v : ι → K
hv✝ hv : IsTranscendenceBasis R v
\u22a2 max #↥(Algebra.adjoin R (Set.range v)) ℵ₀ = max #(MvPolynomial ι R) ℵ₀
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Classification.lean
R L K : Type u
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsAlgClosed K
ι : Type u
v : ι → K
hv✝ hv : IsTranscendenceBasis R v
\u22a2 max (max (max #R #ι) ℵ₀) ℵ₀ = max (max #R #ι) ℵ₀
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s : Set α
hxy : x ≠ y
\u22a2 {x, y}.infsep ≤ (edist x y ⊓ edist y x).toReal
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s : Set α
hxy : x ≠ y
\u22a2 (edist x y ⊓ edist y x).toReal ≤ (edist x y ⊓ edist y x).toReal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Scheme.lean
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
U U' : Y.Opens
V V' : X.Opens
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ U
i : op V ⟶ op V'
\u22a2 f.appLE U V e ≫ X.presheaf.map i = f.appLE U V' ⋯
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Scheme.lean
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
U U' : Y.Opens
V V' : X.Opens
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ U
i : op V ⟶ op V'
\u22a2 f.app U ≫ X.presheaf.map ((homOfLE e).op ≫ i) = f.appLE U V' ⋯
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
\u22a2 ∡ p₃ p₁ p₂ = ↑(Real.arctan (dist p₃ p₂ / dist p₁ p₂))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1
\u22a2 ∡ p₃ p₁ p₂ = ↑(Real.arctan (dist p₃ p₂ / dist p₁ p₂))
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
p : LocalizedModule S M
m : M
t : ↥S
\u22a2 ((algebraMap R (Module.End R (LocalizedModule S M))) ↑s) ((divBy s) (mk m t)) = mk m t
-- Mathlib/RingTheory/Presentation.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Presentation R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
\u22a2 Ideal.span (Set.range fun x => C r * X () - 1) = (Generators.localizationAway r).ker
-- Mathlib/RingTheory/Presentation.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Presentation R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
\u22a2 Ideal.span {C r * X () - 1} = (Generators.localizationAway r).ker
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
i j k : n
M : Matrix n n α
hM : Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
hkj : k ≠ j
\u22a2 M j k = 0
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
i j k : n
M : Matrix n n α
hM : Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
hkj : k ≠ j
this : (stdBasisMatrix i j 1 * M) i k = (M * stdBasisMatrix i j 1) i k
\u22a2 M j k = 0
-- Mathlib/Data/Matroid/IndepAxioms.lean
α : Type u_1
I B✝ X E : Set α
Base : Set α → Prop
base_exchange : ExchangeProperty Base
subset_ground : ∀ (B : Set α), Base B → B ⊆ E
B : Set α
h : Base B ∧ B.Finite
\u22a2 ∃ B, Base B
-- Mathlib/Data/Matroid/IndepAxioms.lean
α : Type u_1
I B✝ X E : Set α
Base : Set α → Prop
base_exchange : ExchangeProperty Base
subset_ground : ∀ (B : Set α), Base B → B ⊆ E
B : Set α
hB : Base B
hfin : B.Finite
\u22a2 ∀ X ⊆ E, ExistsMaximalSubsetProperty (fun x => ∃ B, Base B ∧ x ⊆ B) X