ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
p : TangentBundle I M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
h : MDifferentiableWithinAt I I' f univ p.proj
\u22a2 tangentMapWithin I I' f s p = tangentMapWithin I I' f univ p
-- Mathlib/Analysis/Convex/Normed.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
z : E
hs : Convex ℝ s
\u22a2 ConvexOn ℝ s fun z' => dist z' z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
n : ℕ
\u22a2 0 ≤ log ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s t : Finset ι
hs : s.Nonempty
Hle : ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏ i ∈ s, g i
\u22a2 ∃ i ∈ s, f i ≤ g i
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s t : Finset ι
hs : s.Nonempty
Hlt : ∀ i ∈ s, g i < f i
\u22a2 ∏ i ∈ s, g i < ∏ i ∈ s, f i
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure α
s t : Set β
ht : MeasurableSet t
\u22a2 ((Measure.map f μ).restrict s) t = (Measure.map f (μ.restrict (f ⁻¹' s))) t
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
\u22a2 0 < 1
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
\u22a2 ¬Irreducible 1
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
m : M
a : α
\u22a2 m ^ period m a • a = a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
\u22a2 Tendsto (⇑μ ∘ s) (𝓝[>] a) (𝓝 (μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
l : ℝ≥0∞
hl : l < μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
\u22a2 ∀ᶠ (b : ι) in 𝓝[>] a, l < (⇑μ ∘ s) b
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
\u22a2 ∀ᶠ (b : ι) in 𝓝[>] a, (⇑μ ∘ s) b < L
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
\u22a2 ∀ᶠ (b : ι) in 𝓝[>] a, (⇑μ ∘ s) b < L
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)))
B : ⋂ n, s (u n) = ⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r
\u22a2 ∀ᶠ (b : ι) in 𝓝[>] a, (⇑μ ∘ s) b < L
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)))
B : ⋂ n, s (u n) = ⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r
n : ℕ
hn : μ (s (u n)) < L
\u22a2 ∀ᶠ (b : ι) in 𝓝[>] a, (⇑μ ∘ s) b < L
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : TopologicalSpace ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : DenselyOrdered ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
s : ι → Set α
a : ι
hs : ∀ r > a, MeasurableSet (s r)
hm : ∀ (i j : ι), a < i → i ≤ j → s i ⊆ s j
hf : ∃ r > a, μ (s r) ≠ ⊤
L : ℝ≥0∞
hL : L > μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)
u : ℕ → ι
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), a < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 a)
A : Tendsto (⇑μ ∘ s ∘ u) atTop (𝓝 (μ (⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r)))
B : ⋂ n, s (u n) = ⋂ r, ⋂ (_ : r > a), s r
n : ℕ
hn : μ (s (u n)) < L
this : Ioc a (u n) ∈ 𝓝[>] a
\u22a2 ∀ᶠ (b : ι) in 𝓝[>] a, (⇑μ ∘ s) b < L
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
g : δ → β
\u22a2 (fun b => (a, g b)) ⁻¹' s ×ˢ t = if a ∈ s then g ⁻¹' t else ∅
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
\u22a2 (T⁻¹ • z).im = z.im
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
\u22a2 Irreducible (X ^ p - C a)
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
this : ¬IsUnit (X ^ p - C a)
\u22a2 Irreducible (X ^ p - C a)
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
this : ¬IsUnit (X ^ p - C a)
g : K[X]
hg : Irreducible g
hg' : g ∣ X ^ p - C a
\u22a2 Irreducible (X ^ p - C a)
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
this : ¬IsUnit (X ^ p - C a)
g : K[X]
hg : Irreducible g
hg' : g ∣ X ^ p - C a
\u22a2 g.natDegree = p
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
this : ¬IsUnit (X ^ p - C a)
g : K[X]
hg : Irreducible g
hg' : g ∣ X ^ p - C a
h : ¬g.natDegree = p
\u22a2 False
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
this✝ : ¬IsUnit (X ^ p - C a)
g : K[X]
hg : Irreducible g
hg' : g ∣ X ^ p - C a
h : ¬g.natDegree = p
this : Fact (Irreducible g)
key : (Algebra.norm K) (root g) ^ p = a ^ g.natDegree
\u22a2 False
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
this✝¹ : ¬IsUnit (X ^ p - C a)
g : K[X]
hg : Irreducible g
hg' : g ∣ X ^ p - C a
h : ¬g.natDegree = p
this✝ : Fact (Irreducible g)
key : (Algebra.norm K) (root g) ^ p = a ^ g.natDegree
this : p.Coprime g.natDegree
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
p : ℕ
inst✝ : Fintype (ZMod p)ˣ
\u22a2 Prime p ↔ Fintype.card (ZMod p)ˣ = p - 1
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
p : ℕ
inst✝ : Fintype (ZMod p)ˣ
hp : p = 0
\u22a2 Prime p ↔ Fintype.card (ZMod p)ˣ = p - 1
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
p : ℕ
inst✝ : Fintype (ZMod p)ˣ
hp : NeZero p
\u22a2 Prime p ↔ Fintype.card (ZMod p)ˣ = p - 1
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Variables.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ → S
p : MvPolynomial σ R
hp : ∀ i ∈ p.vars, g i = 0
\u22a2 (eval₂Hom f g) p = f (constantCoeff p)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Variables.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ → S
p : MvPolynomial σ R
hp : ∀ i ∈ p.vars, g i = 0
\u22a2 (eval₂Hom f g) (∑ v ∈ p.support, (monomial v) (coeff v p)) = f (constantCoeff p)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Variables.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ → S
p : MvPolynomial σ R
hp : ∀ i ∈ p.vars, g i = 0
\u22a2 (∑ x ∈ p.support, f (coeff x p) * x.prod fun i k => g i ^ k) = f (constantCoeff p)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Variables.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ → S
p : MvPolynomial σ R
hp : ∀ i ∈ p.vars, g i = 0
h0 : constantCoeff p = 0
\u22a2 (∑ x ∈ p.support, f (coeff x p) * x.prod fun i k => g i ^ k) = f (constantCoeff p)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Variables.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ → S
p : MvPolynomial σ R
hp : ∀ i ∈ p.vars, g i = 0
h0 : ¬constantCoeff p = 0
\u22a2 (∑ x ∈ p.support, f (coeff x p) * x.prod fun i k => g i ^ k) = f (constantCoeff p)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Variables.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ → S
p : MvPolynomial σ R
hp : ∀ i ∈ p.vars, g i = 0
h0 : constantCoeff p = 0
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ p.support
\u22a2 (f (coeff d p) * d.prod fun i k => g i ^ k) = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Variables.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ → S
p : MvPolynomial σ R
hp : ∀ i ∈ p.vars, g i = 0
h0 : ¬constantCoeff p = 0
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ p.support
hd0 : d ≠ 0
\u22a2 (f (coeff d p) * d.prod fun i k => g i ^ k) = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Variables.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ → S
p : MvPolynomial σ R
hp : ∀ i ∈ p.vars, g i = 0
h0 : ¬constantCoeff p = 0
\u22a2 0 ∉ p.support → (f (coeff 0 p) * Finsupp.prod 0 fun i k => g i ^ k) = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : ↑(G.cliqueFinset 3).card < triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3
\u22a2 ∃ G' ≤ G, ∃ x, ↑G.edgeFinset.card - ↑G'.edgeFinset.card < ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ∧ G'.CliqueFree 3
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : ↑(G.cliqueFinset 3).card < triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3
h : ∀ G' ≤ G, ∀ (x : DecidableRel G'.Adj), ↑G.edgeFinset.card - ↑G'.edgeFinset.card < ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) → ¬G'.CliqueFree 3
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : ↑(G.cliqueFinset 3).card < triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3
h : ∀ G' ≤ G, ∀ (x : DecidableRel G'.Adj), ↑G.edgeFinset.card - ↑G'.edgeFinset.card < ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) → ¬G'.CliqueFree 3
\u22a2 ∀ ⦃H : SimpleGraph α⦄ [inst : DecidableRel H.Adj], H ≤ G → H.CliqueFree 3 → ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑G.edgeFinset.card - ↑H.edgeFinset.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG✝ : ↑(G.cliqueFinset 3).card < triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3
h : ∀ G' ≤ G, ∀ (x : DecidableRel G'.Adj), ↑G.edgeFinset.card - ↑G'.edgeFinset.card < ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) → ¬G'.CliqueFree 3
G' : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G'.Adj
hG : G' ≤ G
hG' : G'.CliqueFree 3
\u22a2 ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑G.edgeFinset.card - ↑G'.edgeFinset.card
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c : α
\u22a2 Ico a b \ Ico a c = Ico (max a c) b
-- Mathlib/Algebra/Homology/Single.lean
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasZeroObject V
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
j : ι
A : V
φ : K.X j ⟶ A
hφ : ∀ (i : ι), c.Rel i j → K.d i j ≫ φ = 0
\u22a2 (if hi : j = j then 𝟙 (K.X j) ≫ φ ≫ (singleObjXIsoOfEq c j A j hi).inv else 0) = φ ≫ (singleObjXSelf c j A).inv
-- Mathlib/Algebra/Homology/Single.lean
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasZeroObject V
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
j : ι
A : V
φ : K.X j ⟶ A
hφ : ∀ (i : ι), c.Rel i j → K.d i j ≫ φ = 0
\u22a2 φ ≫ (singleObjXIsoOfEq c j A j ⋯).inv = φ ≫ (singleObjXSelf c j A).inv
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Order.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Sub (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), OrderedSub (α i)
f✝ g✝ : Π₀ (i : ι), α i
i✝ : ι
a b : α i✝
f g : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
\u22a2 (f - g) i = (⇑f - ⇑g) i
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
\u22a2 μ (f '' s) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
\u22a2 ∀ (R : ℝ), μ (f '' (s ∩ closedBall 0 R)) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
R : ℝ
\u22a2 μ (f '' (s ∩ closedBall 0 R)) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
R : ℝ
A : ∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → μ (f '' (s ∩ closedBall 0 R)) ≤ ↑ε * μ (closedBall 0 R)
\u22a2 μ (f '' (s ∩ closedBall 0 R)) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
R : ℝ
A : ∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → μ (f '' (s ∩ closedBall 0 R)) ≤ ↑ε * μ (closedBall 0 R)
B : Tendsto (fun ε => ↑ε * μ (closedBall 0 R)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
\u22a2 μ (f '' (s ∩ closedBall 0 R)) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
R : ℝ
A : ∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → μ (f '' (s ∩ closedBall 0 R)) ≤ ↑ε * μ (closedBall 0 R)
B : Tendsto (fun ε => ↑ε * μ (closedBall 0 R)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
\u22a2 μ (f '' (s ∩ closedBall 0 R)) ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
R : ℝ
A : ∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → μ (f '' (s ∩ closedBall 0 R)) ≤ ↑ε * μ (closedBall 0 R)
B : Tendsto (fun ε => ↑ε * μ (closedBall 0 R)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
\u22a2 ∀ᶠ (c : ℝ≥0) in 𝓝[>] 0, μ (f '' (s ∩ closedBall 0 R)) ≤ ↑c * μ (closedBall 0 R)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
R : ℝ
A : ∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → μ (f '' (s ∩ closedBall 0 R)) ≤ ↑ε * μ (closedBall 0 R)
B : Tendsto (fun ε => ↑ε * μ (closedBall 0 R)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
\u22a2 ∀ a ∈ Ioi 0, μ (f '' (s ∩ closedBall 0 R)) ≤ ↑a * μ (closedBall 0 R)
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
g : G
u : ℤˣ
w : NormalWord d
h1 : w.head ∈ d.set u
h2 : ∀ u' ∈ Option.map Prod.fst w.toList.head?, w.head ∈ toSubgroup A B u → u = u'
u' : ℤˣ
g' : G
h' : (u', g') ∈ { head := g, toList := (u, w.head) :: w.toList, chain := ⋯ }.toList
\u22a2 g' ∈ d.set u'
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
g : G
u : ℤˣ
w : NormalWord d
h1 : w.head ∈ d.set u
h2 : ∀ u' ∈ Option.map Prod.fst w.toList.head?, w.head ∈ toSubgroup A B u → u = u'
u' : ℤˣ
g' : G
h' : u' = u ∧ g' = w.head ∨ (u', g') ∈ w.toList
\u22a2 g' ∈ d.set u'
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
g : G
u : ℤˣ
w : NormalWord d
h1 : w.head ∈ d.set u
h2 : ∀ u' ∈ Option.map Prod.fst w.toList.head?, w.head ∈ toSubgroup A B u → u = u'
\u22a2 List.Chain' (fun a b => a.2 ∈ toSubgroup A B a.1 → a.1 = b.1) ((u, w.head) :: w.toList)
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
g : G
u : ℤˣ
w : NormalWord d
h1 : w.head ∈ d.set u
h2 : ∀ u' ∈ Option.map Prod.fst w.toList.head?, w.head ∈ toSubgroup A B u → u = u'
\u22a2 ∀ y ∈ w.toList.head?, (u, w.head).2 ∈ toSubgroup A B (u, w.head).1 → (u, w.head).1 = y.1
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
Mathlib/Data/Real/EReal.lean
m n : ℕ
\u22a2 ↑m = ↑n ↔ m = n
-- Mathlib/Tactic/Group.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a b : G
m : ℤ
\u22a2 a * b * b ^ m = a * b ^ (m + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
x✝ : ℕ
hk : x✝ ≤ 0
\u22a2 choose 0 x✝ * x✝! * (0 - x✝)! = 0!
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n k : ℕ
hk : k.succ ≤ n + 1
\u22a2 (n + 1).choose k.succ * k.succ ! * (n + 1 - k.succ)! = (n + 1)!
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n k : ℕ
hk : k.succ ≤ n + 1
hk₁ : k.succ < n + 1
\u22a2 (n + 1).choose k.succ * k.succ ! * (n + 1 - k.succ)! = (n + 1)!
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n k : ℕ
hk : k.succ ≤ n + 1
hk₁ : k.succ = n + 1
\u22a2 (n + 1).choose k.succ * k.succ ! * (n + 1 - k.succ)! = (n + 1)!
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
\u22a2 Disjoint (sSup s) a ↔ ∀ b ∈ s, Disjoint b a
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 a ⇔ ⊤ = a
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : SuccOrder β
inst✝ : IsSuccArchimedean β
s : β → Set α
t : Set β
ht : t.OrdConnected
H : ∀ n ∈ t, IsPreconnected (s n)
K : ∀ n ∈ t, succ n ∈ t → (s n ∩ s (succ n)).Nonempty
\u22a2 IsPreconnected (⋃ n ∈ t, s n)
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : SuccOrder β
inst✝ : IsSuccArchimedean β
s : β → Set α
t : Set β
ht : t.OrdConnected
H : ∀ n ∈ t, IsPreconnected (s n)
K : ∀ n ∈ t, succ n ∈ t → (s n ∩ s (succ n)).Nonempty
h1 : ∀ {i j k : β}, i ∈ t → j ∈ t → k ∈ Ico i j → k ∈ t
\u22a2 IsPreconnected (⋃ n ∈ t, s n)