ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
u : 𝕜 → E
v : 𝕜 → F
u' : E
v' : F
hu : HasDerivAt u u' x
hv : HasDerivAt v v' x
\u22a2 HasDerivAt (fun x => (B (u x)) (v x)) ((B (u x)) v' + (B u') (v x)) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
\u22a2 (f + g) ≫ h = f ≫ h + g ≫ h
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ rtakeWhile p l
\u22a2 p x = true
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ takeWhile p l.reverse
\u22a2 p x = true
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
hl : -(2 * π) ≤ x
hr : x ≤ 0
\u22a2 sin (x / 2) = -√((1 - cos x) / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
hl : -(2 * π) ≤ x
hr : x ≤ 0
\u22a2 sin (x / 2) ≤ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ENNRealLogExp.lean
x : ℝ≥0∞
hx_top : ¬x = ⊤
hx_zero : ¬x = 0
\u22a2 x.log.exp = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ENNRealLogExp.lean
x : ℝ≥0∞
hx_top : ¬x = ⊤
hx_zero : ¬x = 0
hx_pos : 0 < x.toReal
\u22a2 x.log.exp = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x m : M
\u22a2 b.repr m ∈ Finsupp.supported R R ↑(b.repr m).support ∧ (Finsupp.total ι M R ⇑b) (b.repr m) = m
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddBelow s
\u22a2 IsClosed ↑(upperClosure s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddBelow s
val✝ : Fintype ι
\u22a2 IsClosed ↑(upperClosure s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddBelow s
val✝ : Fintype ι
f : ℕ → ι → ℝ
x : ι → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ ↑(upperClosure s)
hx : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds x)
\u22a2 x ∈ ↑(upperClosure s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddBelow s
val✝ : Fintype ι
f : ℕ → ι → ℝ
x : ι → ℝ
hx : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds x)
g : ℕ → ι → ℝ
hg : ∀ (n : ℕ), g n ∈ s
hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f n
\u22a2 x ∈ ↑(upperClosure s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddBelow s
val✝ : Fintype ι
f : ℕ → ι → ℝ
x : ι → ℝ
hx : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds x)
g : ℕ → ι → ℝ
hg : ∀ (n : ℕ), g n ∈ s
hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f n
a : ι → ℝ
ha : a ∈ upperBounds (range f)
\u22a2 x ∈ ↑(upperClosure s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddBelow s
val✝ : Fintype ι
f : ℕ → ι → ℝ
x : ι → ℝ
hx : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds x)
g : ℕ → ι → ℝ
hg : ∀ (n : ℕ), g n ∈ s
hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f n
a : ι → ℝ
ha : a ∈ upperBounds (range f)
b : ι → ℝ
hb : b ∈ closure (s ∩ Iic a)
φ : ℕ → ℕ
hφ : StrictMono φ
hbf : Filter.Tendsto (g ∘ φ) Filter.atTop (nhds b)
\u22a2 x ∈ ↑(upperClosure s)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d a b n : α
a_nonneg : 0 ≤ a
a_le_n : a ≤ n
b_nonneg : 0 ≤ b
b_le_n : b ≤ n
\u22a2 |a - b| ≤ n
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d a b n : α
a_nonneg : 0 ≤ a
a_le_n : a ≤ n
b_nonneg : 0 ≤ b
b_le_n : b ≤ n
\u22a2 a ≤ n + b ∧ b ≤ n + a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(↑(σₙ R a), R)₀
f' : C(↑(σₙ R a), ↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)))₀
hff' : ∀ (x : ↑(σₙ R a)), f x = ↑(f' x)
g : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀
ψ : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀ →⋆ₙₐ[R] C(↑(σₙ R a), R)₀ := { toFun := fun x => x.comp f', map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_star' := ⋯ }
φ : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀ →⋆ₙₐ[R] A := (cfcₙHom ha).comp ψ
\u22a2 (cfcₙHom ha) (g.comp f') = (cfcₙHom ⋯) g
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(↑(σₙ R a), R)₀
f' : C(↑(σₙ R a), ↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)))₀
hff' : ∀ (x : ↑(σₙ R a)), f x = ↑(f' x)
g : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀
ψ : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀ →⋆ₙₐ[R] C(↑(σₙ R a), R)₀ := { toFun := fun x => x.comp f', map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_star' := ⋯ }
φ : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀ →⋆ₙₐ[R] A := (cfcₙHom ha).comp ψ
\u22a2 cfcₙHom ⋯ = φ
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(↑(σₙ R a), R)₀
f' : C(↑(σₙ R a), ↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)))₀
hff' : ∀ (x : ↑(σₙ R a)), f x = ↑(f' x)
g : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀
ψ : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀ →⋆ₙₐ[R] C(↑(σₙ R a), R)₀ := { toFun := fun x => x.comp f', map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_star' := ⋯ }
φ : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀ →⋆ₙₐ[R] A := (cfcₙHom ha).comp ψ
\u22a2 Continuous ⇑φ
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(↑(σₙ R a), R)₀
f' : C(↑(σₙ R a), ↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)))₀
hff' : ∀ (x : ↑(σₙ R a)), f x = ↑(f' x)
g : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀
ψ : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀ →⋆ₙₐ[R] C(↑(σₙ R a), R)₀ := { toFun := fun x => x.comp f', map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_star' := ⋯ }
φ : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀ →⋆ₙₐ[R] A := (cfcₙHom ha).comp ψ
\u22a2 φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ R ((cfcₙHom ha) f)) (ContinuousMap.id R), map_zero' := ⋯ } = (cfcₙHom ha) f
-- Mathlib/RingTheory/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → Semiring (A i)
inst✝⁴ : Algebra R' R
inst✝³ : (i : ι) → Algebra R (A i)
inst✝² : (i : ι) → Algebra R' (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R' R (A i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
\u22a2 (fun a => (tprod R) ((MonoidHom.mulSingle A i) a)) 1 = 1
-- Mathlib/RingTheory/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → Semiring (A i)
inst✝⁴ : Algebra R' R
inst✝³ : (i : ι) → Algebra R (A i)
inst✝² : (i : ι) → Algebra R' (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R' R (A i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
\u22a2 (tprod R) 1 = 1
-- Mathlib/RingTheory/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → Semiring (A i)
inst✝⁴ : Algebra R' R
inst✝³ : (i : ι) → Algebra R (A i)
inst✝² : (i : ι) → Algebra R' (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R' R (A i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
r : R
\u22a2 tprodCoeff R 1 ((MonoidHom.mulSingle A i) ((algebraMap R (A i)) r)) = r • tprodCoeff R 1 1
-- Mathlib/RingTheory/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → Semiring (A i)
inst✝⁴ : Algebra R' R
inst✝³ : (i : ι) → Algebra R (A i)
inst✝² : (i : ι) → Algebra R' (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R' R (A i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
r : R
\u22a2 tprodCoeff R 1 ((MonoidHom.mulSingle A i) (r • 1)) = r • tprodCoeff R 1 1
-- Mathlib/RingTheory/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → Semiring (A i)
inst✝⁴ : Algebra R' R
inst✝³ : (i : ι) → Algebra R (A i)
inst✝² : (i : ι) → Algebra R' (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R' R (A i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
r : R
\u22a2 tprodCoeff R (r • 1) 1 = r • tprodCoeff R 1 1
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hb : ∃ C, ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ, ContinuousAt f x
l : IntegrationParams
\u22a2 HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, f x ∂μ)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hb : ∃ C, ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ, ContinuousAt f x
l : IntegrationParams
y : E
hy : HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul y
\u22a2 HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, f x ∂μ)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hb : ∃ C, ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ, ContinuousAt f x
l : IntegrationParams
y : E
hy : HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul y
\u22a2 ∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, f x ∂μ = y
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hb : ∃ C, ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
hc : ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ, ContinuousAt f x
l : IntegrationParams
y : E
hy : HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul y
\u22a2 IntegrableOn f (↑I) μ
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Finite
x : ℕ
h : p x
\u22a2 ∃ n < hf.toFinset.card, nth p n = x
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
\u22a2 cgf X 0 t = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x y : α
h : edist x y ≠ ⊤
this : edist x y ≤ edist x (f x) + edist y (f y) + ↑K * edist x y
\u22a2 edist x y ≤ (edist x (f x) + edist y (f y)) / (1 - ↑K)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x y : α
h : edist x y ≠ ⊤
\u22a2 edist x (f x) + edist (f x) (f y) + edist (f y) y = edist x (f x) + edist y (f y) + edist (f x) (f y)
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_1
K : Type ?u.12922
L : Type ?u.12925
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x : S
hx✝ : IsIntegral R x
hx : ¬IsIntegral R x
\u22a2 map (algebraMap R S) (if hx : IsIntegral R x then ⋯.min (fun x_1 => x_1.Monic ∧ eval₂ (algebraMap R S) x x_1 = 0) hx else 0) /ₘ (X - C x) = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
\u22a2 a • X ^ n = (monomial n) a
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
hX : Measurable X
hY : AEMeasurable Y μ
hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
hf_int : Integrable (fun a => f (X a, Y a)) μ
\u22a2 Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
-- Mathlib/Algebra/Group/Nat.lean
m n : ℕ
\u22a2 Even (m + n) ↔ (Even m ↔ Even n)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a✝ : Nontrivial R
\u22a2 (∑ i ∈ range n, X ^ i).Monic
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a✝ : Nontrivial R
\u22a2 0 < X.natDegree
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
\u22a2 num A 0 = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
this : (algebraMap A K) (num A 0) / (algebraMap A K) ↑(den A 0) = 0
\u22a2 num A 0 = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
this : (algebraMap A K) (num A 0) = 0 ∨ (algebraMap A K) ↑(den A 0) = 0
\u22a2 num A 0 = 0
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f g : α → β
p : α → Prop
inst✝ : (x : α) → Decidable (p x)
h₀ : Tendsto f (l₁ ⊓ 𝓟 {x | p x}) l₂
h₁ : Tendsto g (l₁ ⊓ 𝓟 {x | ¬p x}) l₂
\u22a2 Tendsto (fun x => if p x then f x else g x) l₁ l₂
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f g : α → β
p : α → Prop
inst✝ : (x : α) → Decidable (p x)
h₀ : ∀ s ∈ l₂, {x | x ∈ {x | p x} → x ∈ f ⁻¹' s} ∈ l₁
h₁ : ∀ s ∈ l₂, {x | x ∈ {x | ¬p x} → x ∈ g ⁻¹' s} ∈ l₁
\u22a2 ∀ s ∈ l₂, (fun x => if p x then f x else g x) ⁻¹' s ∈ l₁
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f g : α → β
p : α → Prop
inst✝ : (x : α) → Decidable (p x)
h₀ : ∀ s ∈ l₂, {x | x ∈ {x | p x} → x ∈ f ⁻¹' s} ∈ l₁
h₁ : ∀ s ∈ l₂, {x | x ∈ {x | ¬p x} → x ∈ g ⁻¹' s} ∈ l₁
s : Set β
hs : s ∈ l₂
\u22a2 (fun x => if p x then f x else g x) ⁻¹' s ∈ l₁
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f g : α → β
p : α → Prop
inst✝ : (x : α) → Decidable (p x)
h₀ : ∀ s ∈ l₂, {x | x ∈ {x | p x} → x ∈ f ⁻¹' s} ∈ l₁
h₁ : ∀ s ∈ l₂, {x | x ∈ {x | ¬p x} → x ∈ g ⁻¹' s} ∈ l₁
s : Set β
hs : s ∈ l₂
x : α
hp₀ : p x → x ∈ f ⁻¹' s
hp₁ : ¬p x → x ∈ g ⁻¹' s
\u22a2 x ∈ (fun x => if p x then f x else g x) ⁻¹' s
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f g : α → β
p : α → Prop
inst✝ : (x : α) → Decidable (p x)
h₀ : ∀ s ∈ l₂, {x | x ∈ {x | p x} → x ∈ f ⁻¹' s} ∈ l₁
h₁ : ∀ s ∈ l₂, {x | x ∈ {x | ¬p x} → x ∈ g ⁻¹' s} ∈ l₁
s : Set β
hs : s ∈ l₂
x : α
hp₀ : p x → x ∈ f ⁻¹' s
hp₁ : ¬p x → x ∈ g ⁻¹' s
\u22a2 (if p x then f x else g x) ∈ s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
a b : ℝ
nb ne : ℕ
pb : IsNat b nb
pe' : IsInt (a ^ nb) (Int.negOfNat ne)
\u22a2 IsInt (a ^ b) (Int.negOfNat ne)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
x y : PGame
i : x.LeftMoves
j : y.LeftMoves
\u22a2 x * y.moveLeft j = x * (- -y).moveLeft (toLeftMovesNeg (toRightMovesNeg j))
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
x y : PGame
i : x.LeftMoves
j : y.LeftMoves
\u22a2 y.moveLeft j = (- -y).moveLeft (toLeftMovesNeg (toRightMovesNeg j))
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n p : ℕ
pp : Prime p
m i : ℕ
\u22a2 i ∣ p ^ m ↔ ∃ k ≤ m, i = p ^ k
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ a b : α
\u22a2 (a ⊔ b) / (a ⊓ b) = mabs (b / a)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ a b : α
\u22a2 a / b ⊔ b / a ⊔ 1 = mabs (b / a)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ a b : α
\u22a2 1 ≤ mabs (b / a)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
\u22a2 IsSquare (-1) ↔ p % 4 ≠ 3
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : F
\u22a2 ContDiff 𝕜 n fun x => c
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : F
\u22a2 ContDiff 𝕜 ⊤ fun x => c
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : F
\u22a2 (Differentiable 𝕜 fun x => c) ∧ ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => fderiv 𝕜 (fun x => c) y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : F
\u22a2 ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => fderiv 𝕜 (fun x => c) y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : F
\u22a2 ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => 0 y
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
\u22a2 Disjoint a (⨆ i, f i) ↔ ∀ (i : ι), Disjoint a (f i)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Maps.lean
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v✝ : V
f : G ≃g G'
v : V
w : ↑(G'.neighborSet (f v))
\u22a2 f.symm ↑w ∈ G.neighborSet v
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AddContent.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
m✝ m' m : AddContent C
hC : IsSetRing C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
\u22a2 m s - m t ≤ m (s \ t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AddContent.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
m✝ m' m : AddContent C
hC : IsSetRing C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
\u22a2 m (s ∩ t ∪ s \ t) - m t ≤ m (s \ t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AddContent.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
m✝ m' m : AddContent C
hC : IsSetRing C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
\u22a2 m (s \ t) + m (s ∩ t) - m t ≤ m (s \ t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AddContent.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
m✝ m' m : AddContent C
hC : IsSetRing C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
\u22a2 m (s \ t) + (m (s ∩ t) - m t) = m (s \ t)
-- Mathlib/Topology/Order/UpperLowerSetTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Topology.IsLowerSet α
inst✝ : Topology.IsLowerSet β
f : α → β
\u22a2 Monotone f ↔ Continuous f
-- Mathlib/Topology/Order/UpperLowerSetTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Topology.IsLowerSet α
inst✝ : Topology.IsLowerSet β
f : α → β
\u22a2 Monotone (⇑toDual ∘ f ∘ ⇑ofDual) ↔ Continuous f
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
\u22a2 cs.leftInvSeq ω.reverse = (cs.rightInvSeq ω).reverse