ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
v : V
n : ℕ
m : Fin n → W
\u22a2 ‖(fourierPowSMulRight L f v n) m‖ ≤ (2 * π * ‖L‖) ^ n * ‖v‖ ^ n * ‖f v‖ * ∏ i : Fin n, ‖m i‖
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Terminal.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
I : C
hI : IsInitial I
h : ∀ (X : C), Mono (hI.to X)
I' X : C
hI' : IsInitial I'
\u22a2 Mono (hI'.to X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Terminal.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
I : C
hI : IsInitial I
h : ∀ (X : C), Mono (hI.to X)
I' X : C
hI' : IsInitial I'
\u22a2 Mono ((hI'.uniqueUpToIso hI).hom ≫ hI.to X)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
a : α
\u22a2 (condCDF ρ a).measure univ = 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
a : α
\u22a2 (condCDF ρ a).measure univ = ENNReal.ofReal (1 - 0)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Spectrum.lean
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹² : NormedRing A
inst✝¹¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹⁰ : CompleteSpace A
inst✝⁹ : StarRing A
inst✝⁸ : CstarRing A
inst✝⁷ : NormedRing B
inst✝⁶ : NormedAlgebra ℂ B
inst✝⁵ : CompleteSpace B
inst✝⁴ : StarRing B
inst✝³ : CstarRing B
inst✝² : EquivLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgEquivClass F ℂ A B
inst✝ : StarAlgEquivClass F ℂ A B
φ : F
a : A
\u22a2 ‖a‖₊ ≤ ‖φ a‖₊
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
a : ℝ
ha : a < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
\u22a2 ∫ (t : ℝ) in Ioi c, t ^ a = -c ^ (a + 1) / (a + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
a : ℝ
ha : a < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
hd : ∀ x ∈ Ici c, HasDerivAt (fun t => t ^ (a + 1) / (a + 1)) (x ^ a) x
\u22a2 ∫ (t : ℝ) in Ioi c, t ^ a = -c ^ (a + 1) / (a + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
a : ℝ
ha : a < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
hd : ∀ x ∈ Ici c, HasDerivAt (fun t => t ^ (a + 1) / (a + 1)) (x ^ a) x
ht : Tendsto (fun t => t ^ (a + 1) / (a + 1)) atTop (𝓝 (0 / (a + 1)))
\u22a2 ∫ (t : ℝ) in Ioi c, t ^ a = -c ^ (a + 1) / (a + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
a : ℝ
ha : a < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
hd : ∀ x ∈ Ici c, HasDerivAt (fun t => t ^ (a + 1) / (a + 1)) (x ^ a) x
ht : Tendsto (fun t => t ^ (a + 1) / (a + 1)) atTop (𝓝 (0 / (a + 1)))
\u22a2 -c ^ (a + 1) / (a + 1) = 0 / (a + 1) - c ^ (a + 1) / (a + 1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
J : Type
inst✝¹ : Finite J
f : J → C
inst✝ : HasCoproduct f
\u22a2 HasBiproduct f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
J : Type
inst✝¹ : Finite J
f : J → C
inst✝ : HasCoproduct f
val✝ : Fintype J
\u22a2 HasBiproduct f
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊ + 1
\u22a2 DifferentiableAt ℂ Gamma s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊ + 1
hn : 1 - s.re < ↑n
\u22a2 DifferentiableAt ℂ Gamma s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊ + 1
hn : 1 - s.re < ↑n
\u22a2 Gamma =ᶠ[𝓝 s] GammaAux n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊ + 1
hn : 1 - s.re < ↑n
S : Set ℂ := {t | 1 - t.re < ↑n}
\u22a2 Gamma =ᶠ[𝓝 s] GammaAux n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊ + 1
hn : 1 - s.re < ↑n
S : Set ℂ := {t | 1 - t.re < ↑n}
this : S ∈ 𝓝 s
\u22a2 Gamma =ᶠ[𝓝 s] GammaAux n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊ + 1
hn : 1 - s.re < ↑n
S : Set ℂ := {t | 1 - t.re < ↑n}
this : S ∈ 𝓝 s
\u22a2 EqOn Gamma (GammaAux n) S
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊ + 1
hn : 1 - s.re < ↑n
S : Set ℂ := {t | 1 - t.re < ↑n}
this : S ∈ 𝓝 s
t : ℂ
ht : t ∈ S
\u22a2 Gamma t = GammaAux n t
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊ + 1
hn : 1 - s.re < ↑n
S : Set ℂ := {t | 1 - t.re < ↑n}
this : S ∈ 𝓝 s
t : ℂ
ht : 1 - t.re < ↑n
\u22a2 Gamma t = GammaAux n t
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : ∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊ + 1
hn : 1 - s.re < ↑n
S : Set ℂ := {t | 1 - t.re < ↑n}
this : S ∈ 𝓝 s
t : ℂ
ht : 1 - t.re < ↑n
\u22a2 -t.re < ↑n
-- Mathlib/Analysis/Convex/Quasiconvex.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
hf : QuasiconvexOn 𝕜 s f
r : β
x : E
hx : x ∈ {x | x ∈ s ∧ f x < r}
y : E
hy : y ∈ {x | x ∈ s ∧ f x < r}
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
\u22a2 a • x + b • y ∈ {x | x ∈ s ∧ f x < r}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Quasiconvex.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
hf : QuasiconvexOn 𝕜 s f
r : β
x : E
hx : x ∈ {x | x ∈ s ∧ f x < r}
y : E
hy : y ∈ {x | x ∈ s ∧ f x < r}
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h : a • x + b • y ∈ {x_1 | x_1 ∈ s ∧ f x_1 ≤ max (f x) (f y)}
\u22a2 a • x + b • y ∈ {x | x ∈ s ∧ f x < r}
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
x y : PGame
ox : x.Numeric
oy : y.Numeric
\u22a2 x < y ↔ (∃ i, (∀ (i' : x.LeftMoves), x.moveLeft i' < y.moveLeft i) ∧ ∀ (j : (y.moveLeft i).RightMoves), x < (y.moveLeft i).moveRight j) ∨ ∃ j, (∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i < y) ∧ ∀ (j' : y.RightMoves), x.moveRight j < y.moveRight j'
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
x y : PGame
ox : x.Numeric
oy : y.Numeric
\u22a2 ((∃ i, (∀ (i' : x.LeftMoves), x.moveLeft i' ⧏ y.moveLeft i) ∧ ∀ (j : (y.moveLeft i).RightMoves), x ⧏ (y.moveLeft i).moveRight j) ∨ ∃ j, (∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i ⧏ y) ∧ ∀ (j' : y.RightMoves), x.moveRight j ⧏ y.moveRight j') ↔ (∃ i, (∀ (i' : x.LeftMoves), x.moveLeft i' < y.moveLeft i) ∧ ∀ (j : (y.moveLeft i).RightMoves), x < (y.moveLeft i).moveRight j) ∨ ∃ j, (∀ (i : (x.moveRight j).LeftMoves), (x.moveRight j).moveLeft i < y) ∧ ∀ (j' : y.RightMoves), x.moveRight j < y.moveRight j'
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 ≤ p
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_zero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = 0
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 ≤ p
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_zero : (fun x => f x ^ p) =ᶠ[ae μ] 0
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 ≤ p
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_zero : (fun x => f x ^ p) =ᶠ[ae μ] 0
x : α
\u22a2 f x ^ p = 0 x → f x = 0 x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 ≤ p
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_zero : (fun x => f x ^ p) =ᶠ[ae μ] 0
x : α
\u22a2 ¬f x = 0 → ¬f x ^ p = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝³ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a✝ b✝ c d : α
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
\u22a2 a - (a - b) = min a b
-- Mathlib/Data/Rat/Sqrt.lean
q : ℚ
\u22a2 sqrt (q * q) = |q|
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
r : R
i j : ℕ
h : i ≤ j
f_compat : (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ i))).comp (f j) = f i
\u22a2 ↑p ^ i ∣ nthHom f r j - nthHom f r i
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
r : R
i j : ℕ
h : i ≤ j
f_compat : (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ i))).comp (f j) = f i
\u22a2 ↑(nthHom f r j) - ↑(nthHom f r i) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
r : R
i j : ℕ
h : i ≤ j
f_compat : (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ i))).comp (f j) = f i
\u22a2 ↑↑((f j) r).val - ↑↑((f i) r).val = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
r : R
i j : ℕ
h : i ≤ j
f_compat : (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ i))).comp (f j) = f i
\u22a2 ↑↑((f j) r).val - ↑↑((ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ i))) ((f j) r)).val = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
p q : ℤ
hpq : p + n = q
\u22a2 ((γ.leftShift a n' hn').leftUnshift n hn').v p q hpq = γ.v p q hpq
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h₁₂₄₅ : affineSpan ℝ {p₁, p₂} ∥ affineSpan ℝ {p₄, p₅}
h₃₂₆₅ : affineSpan ℝ {p₃, p₂} ∥ affineSpan ℝ {p₆, p₅}
\u22a2 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₄ p₅ p₆
-- Mathlib/GroupTheory/DoubleCoset.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H : Subgroup G
a b : G
\u22a2 (setoid ↑H ↑⊥).Rel a b ↔ (QuotientGroup.rightRel H).Rel a b
-- Mathlib/GroupTheory/DoubleCoset.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H : Subgroup G
a b : G
\u22a2 (∃ a_1 ∈ H, ∃ b_1 ∈ ⊥, b = a_1 * a * b_1) ↔ b * a⁻¹ ∈ H
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
\u22a2 vectorSpan k s = Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p) '' (s \ {p}))
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
\u22a2 Submodule.span k (insert (p -ᵥ p) ((fun x => x -ᵥ p) '' (s \ {p}))) = Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p) '' (s \ {p}))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
\u22a2 (((whiskeringLeft (SimplicialObject C) (Karoubi (SimplicialObject C)) (Karoubi (SimplicialObject C))).obj (toKaroubi (SimplicialObject C))).preimage (Γ₂N₂ToKaroubiIso.hom ≫ Γ₂N₁.natTrans)).app P = (N₂ ⋙ Γ₂).map P.decompId_i ≫ (Γ₂N₂ToKaroubiIso.hom ≫ Γ₂N₁.natTrans).app P.X ≫ P.decompId_p
-- Mathlib/Order/Filter/CardinalInter.lean
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
S : Set ι
hS : #↑S < c
s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α
h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ≤ᶠ[l] t i hi
\u22a2 ⋃ i, ⋃ (h : i ∈ S), s i h ≤ᶠ[l] ⋃ i, ⋃ (h : i ∈ S), t i h
-- Mathlib/Order/Filter/CardinalInter.lean
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
S : Set ι
hS : #↑S < c
s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α
h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ≤ᶠ[l] t i hi
\u22a2 ⋃ x, s ↑x ⋯ ≤ᶠ[l] ⋃ x, t ↑x ⋯
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
m n : ℕ
h : m < n
\u22a2 (fun x => x ^ n) =o[𝓝 0] fun x => x ^ m
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
m p : ℕ
hp0 : 0 < p
h : m < m + p
\u22a2 (fun x => x ^ (m + p)) =o[𝓝 0] fun x => x ^ m
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
m p : ℕ
hp0 : 0 < p
h : m < m + p
\u22a2 (fun x => x ^ m * x ^ p) =o[𝓝 0] fun x => x ^ m * 1 ^ p
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
m : ℕ∞
f : M → E
hf : ContMDiff I 𝓘(ℝ, E) m f
hf' : ∀ (x : M), f x ∈ sphere 0 1
\u22a2 ContMDiff I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) m (Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf')
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
m : ℕ∞
f : M → E
hf : ContMDiff I 𝓘(ℝ, E) m f
hf' : ∀ (x : M), f x ∈ sphere 0 1
\u22a2 Continuous (Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf') ∧ ∀ (y : ↑(sphere 0 1)), ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) m (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) y) ∘ Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf') (Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf' ⁻¹' (extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) y).source)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
m : ℕ∞
f : M → E
hf : ContMDiff I 𝓘(ℝ, E) m f
hf' : ∀ (x : M), f x ∈ sphere 0 1
\u22a2 ∀ (y : ↑(sphere 0 1)), ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) m (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) y) ∘ Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf') (Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf' ⁻¹' (extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) y).source)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
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\u22a2 ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) m (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v) ∘ Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf') (Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf' ⁻¹' (extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v).source)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
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H : Type u_3
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M : Type u_4
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U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
\u22a2 ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) m (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v) ∘ Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf') (Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf' ⁻¹' (extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v).source)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
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F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
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inst✝³ : TopologicalSpace M
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h : ContDiffOn ℝ ⊤ (⇑U) Set.univ
\u22a2 ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) m (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v) ∘ Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf') (Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf' ⁻¹' (extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v).source)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
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inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
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inst✝³ : TopologicalSpace M
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h : ContDiffOn ℝ ⊤ (⇑U) Set.univ
H₁ : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, E) 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) ⊤ (⇑U ∘ stereoToFun ↑(-v)) ({x | ((innerSL ℝ) ↑(-v)) x ≠ 1} ∩ stereoToFun ↑(-v) ⁻¹' Set.univ)
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-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
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inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
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H₁ : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, E) 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) ⊤ (⇑U ∘ stereoToFun ↑(-v)) ({x | ((innerSL ℝ) ↑(-v)) x ≠ 1} ∩ stereoToFun ↑(-v) ⁻¹' Set.univ)
H₂ : ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, E) m f Set.univ
\u22a2 ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) m (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v) ∘ Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf') (Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf' ⁻¹' (extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v).source)
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E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
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inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
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h : ContDiffOn ℝ ⊤ (⇑U) Set.univ
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\u22a2 Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf' ⁻¹' (extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v).source = Set.univ ∩ f ⁻¹' ({x | ((innerSL ℝ) ↑(-v)) x ≠ 1} ∩ stereoToFun ↑(-v) ⁻¹' Set.univ)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
m : ℕ∞
f : M → E
hf : ContMDiff I 𝓘(ℝ, E) m f
hf' : ∀ (x : M), f x ∈ sphere 0 1
v : ↑(sphere 0 1)
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h : ContDiffOn ℝ ⊤ (⇑U) Set.univ
H₁ : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, E) 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) ⊤ (⇑U ∘ stereoToFun ↑(-v)) ({x | ((innerSL ℝ) ↑(-v)) x ≠ 1} ∩ stereoToFun ↑(-v) ⁻¹' Set.univ)
H₂ : ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, E) m f Set.univ
x : M
\u22a2 x ∈ Set.codRestrict f (sphere 0 1) hf' ⁻¹' (extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v).source ↔ x ∈ Set.univ ∩ f ⁻¹' ({x | ((innerSL ℝ) ↑(-v)) x ≠ 1} ∩ stereoToFun ↑(-v) ⁻¹' Set.univ)