ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : l.IsCountablyGenerated
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b✝ : ι → ℝ
f : ℝ → E
b : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Iic b) μ
ha : Tendsto a l atBot
φ : ι → Set ℝ := fun i => Ioi (a i)
hφ : AECover (μ.restrict (Iic b)) l φ
i : ι
hai : a i ≤ b
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in φ i ∩ Iic b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) b, f x ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Add.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hg : HasStrictDerivAt g g' x
\u22a2 HasStrictDerivAt (fun y => f y + g y) (f' + g') x
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ A B : Triangle C
iso₁ : A.obj₁ ≅ B.obj₁
iso₂ : A.obj₂ ≅ B.obj₂
iso₃ : A.obj₃ ≅ B.obj₃
comm₁ : autoParam (A.mor₁ ≫ iso₂.hom = iso₁.hom ≫ B.mor₁) _auto✝
comm₂ : autoParam (A.mor₂ ≫ iso₃.hom = iso₂.hom ≫ B.mor₂) _auto✝
comm₃ : autoParam (A.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map iso₁.hom = iso₃.hom ≫ B.mor₃) _auto✝
\u22a2 B.mor₁ ≫ iso₂.inv = iso₁.inv ≫ A.mor₁
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ A B : Triangle C
iso₁ : A.obj₁ ≅ B.obj₁
iso₂ : A.obj₂ ≅ B.obj₂
iso₃ : A.obj₃ ≅ B.obj₃
comm₁ : autoParam (A.mor₁ ≫ iso₂.hom = iso₁.hom ≫ B.mor₁) _auto✝
comm₂ : autoParam (A.mor₂ ≫ iso₃.hom = iso₂.hom ≫ B.mor₂) _auto✝
comm₃ : autoParam (A.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map iso₁.hom = iso₃.hom ≫ B.mor₃) _auto✝
\u22a2 B.mor₂ ≫ iso₃.inv = iso₂.inv ≫ A.mor₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ A B : Triangle C
iso₁ : A.obj₁ ≅ B.obj₁
iso₂ : A.obj₂ ≅ B.obj₂
iso₃ : A.obj₃ ≅ B.obj₃
comm₁ : autoParam (A.mor₁ ≫ iso₂.hom = iso₁.hom ≫ B.mor₁) _auto✝
comm₂ : autoParam (A.mor₂ ≫ iso₃.hom = iso₂.hom ≫ B.mor₂) _auto✝
comm₃ : autoParam (A.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map iso₁.hom = iso₃.hom ≫ B.mor₃) _auto✝
\u22a2 B.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map iso₁.inv = iso₃.inv ≫ A.mor₃
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
\u22a2 x ∈ LinearMap.ker (killingForm K L)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
\u22a2 (killingForm K L) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
y : L
\u22a2 ((killingForm K L) x) y = 0 y
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
y : L
hy : y ∈ ⨆ β, rootSpace H β
\u22a2 ((killingForm K L) x) y = 0 y
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K
\u22a2 (x * y).denom ∣ x.denom * y.denom
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K
\u22a2 ∃ p, x * y = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.denom * y.denom)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
\u22a2 Tendsto (fun s => s * completedHurwitzZetaEven a s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (if a = 0 then -1 else 0))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
h1 : Tendsto (fun s => s * (hurwitzEvenFEPair a).Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (-if a = 0 then 1 else 0))
\u22a2 Tendsto (fun s => s * completedHurwitzZetaEven a s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (if a = 0 then -1 else 0))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
h1 : Tendsto (fun s => s * (hurwitzEvenFEPair a).Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (-if a = 0 then 1 else 0))
this : (-if a = 0 then 1 else 0) = if a = 0 then -1 else 0
\u22a2 Tendsto (fun s => s * completedHurwitzZetaEven a s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (if a = 0 then -1 else 0))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
this : (-if a = 0 then 1 else 0) = if a = 0 then -1 else 0
h1 : Tendsto (fun s => s * (hurwitzEvenFEPair a).Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (if a = 0 then -1 else 0))
\u22a2 Tendsto (fun s => s * completedHurwitzZetaEven a s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (if a = 0 then -1 else 0))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
this : (-if a = 0 then 1 else 0) = if a = 0 then -1 else 0
h1 : Tendsto (fun s => s * (hurwitzEvenFEPair a).Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (if a = 0 then -1 else 0))
s : ℂ
\u22a2 ((fun s => s * (hurwitzEvenFEPair a).Λ s) ∘ fun s => s / 2) s = s * completedHurwitzZetaEven a s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X 𝕜
g : X → E
hg : IntegrableOn g K μ
f : X → 𝕜
hf : ContinuousOn f K
hK : IsCompact K
\u22a2 IntegrableOn (fun x => f x • g x) K μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X 𝕜
g : X → E
hg : IntegrableOn g K μ
f : X → 𝕜
hf : ContinuousOn f K
hK : IsCompact K
\u22a2 Integrable (fun a => ‖f a • g a‖) (μ.restrict K)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X 𝕜
g : X → E
hg : IntegrableOn g K μ
f : X → 𝕜
hf : ContinuousOn f K
hK : IsCompact K
\u22a2 AEStronglyMeasurable (fun x => f x • g x) (μ.restrict K)
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝ ys✝ : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs ys : List α
h : xs <+ ys
n : ℕ
\u22a2 List.sym (n + 1) [] <+ List.sym (n + 1) []
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys✝ : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs✝ ys : List α
h✝ : xs✝ <+ ys
xs : List α
n : ℕ
l₂✝ : List α
a : α
h : xs <+ l₂✝
\u22a2 List.sym (n + 1) xs <+ List.sym (n + 1) (a :: l₂✝)
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys✝ : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs✝ ys : List α
h✝ : xs✝ <+ ys
xs : List α
n : ℕ
l₂✝ : List α
a : α
h : xs <+ l₂✝
\u22a2 [] ++ List.sym (n + 1) xs <+ List.map (fun p => a ::ₛ p) (List.sym n (a :: l₂✝)) ++ List.sym (n + 1) l₂✝
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys✝ : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs✝ ys : List α
h✝ : xs✝ <+ ys
xs : List α
n : ℕ
l₂✝ : List α
a : α
h : xs <+ l₂✝
\u22a2 List.sym (n + 1) xs <+ List.sym (n + 1) l₂✝
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝ ys✝ : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs ys : List α
h✝ : xs <+ ys
n : ℕ
l₁✝ l₂✝ : List α
a : α
h : l₁✝ <+ l₂✝
\u22a2 List.map (fun p => a ::ₛ p) (List.sym n (a :: l₁✝)) ++ List.sym (n + 1) l₁✝ <+ List.map (fun p => a ::ₛ p) (List.sym n (a :: l₂✝)) ++ List.sym (n + 1) l₂✝
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝ ys✝ : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs ys : List α
h✝ : xs <+ ys
n : ℕ
l₁✝ l₂✝ : List α
a : α
h : l₁✝ <+ l₂✝
\u22a2 List.map (fun p => a ::ₛ p) (List.sym n (a :: l₁✝)) <+ List.map (fun p => a ::ₛ p) (List.sym n (a :: l₂✝))
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝ ys✝ : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs ys : List α
h✝ : xs <+ ys
n : ℕ
l₁✝ l₂✝ : List α
a : α
h : l₁✝ <+ l₂✝
\u22a2 List.sym (n + 1) l₁✝ <+ List.sym (n + 1) l₂✝
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f
N : Type u_6
N' : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S g
h : M →ₗ[R] N
x : M
s : ↥S
\u22a2 ((map S f g) h) (mk' f x s) = mk' g (h x) s
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f
N : Type u_6
N' : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S g
h : M →ₗ[R] N
x : M
s : ↥S
\u22a2 (LocalizedModule.lift S (g ∘ₗ h) ⋯) ((iso S f).symm (mk' f x s)) = mk' g (h x) s
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f
N : Type u_6
N' : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S g
h : M →ₗ[R] N
x : M
s : ↥S
\u22a2 ↑⋯.unit⁻¹ ((g ∘ₗ h) x) = mk' g (h x) s
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
s : Set Surreal
inst✝ : Small.{u, u + 1} ↑s
\u22a2 BddAbove s
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β → α
a : α
l : List β
L : List (List β)
\u22a2 foldl f a (l :: L).join = foldl (foldl f) a (l :: L)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
n : Nat
\u22a2 iota (n + 1) = (range' 1 (n + 1)).reverse
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
\u22a2 ⟪x, y⟫_𝕜 = 0 ↔ ⟪y, x⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
\u22a2 (starRingEnd 𝕜) ⟪y, x⟫_𝕜 = 0 ↔ ⟪y, x⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : Ideal R
H : p ∈ minimalPrimes R
\u22a2 ∃ p', p'.IsPrime ∧ comap f p' = p
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : Ideal R
H : p ∈ minimalPrimes R
this : p.IsPrime
\u22a2 ∃ p', p'.IsPrime ∧ comap f p' = p
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : Ideal R
H : p ∈ minimalPrimes R
this✝ : p.IsPrime
this : Nontrivial (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
\u22a2 ∃ p', p'.IsPrime ∧ comap f p' = p
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : Ideal R
H : p ∈ minimalPrimes R
this✝ : p.IsPrime
this : Nontrivial (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
M : Ideal (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
hM : M.IsMaximal
\u22a2 ∃ p', p'.IsPrime ∧ comap f p' = p
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : Ideal R
H : p ∈ minimalPrimes R
this✝ : p.IsPrime
this : Nontrivial (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
M : Ideal (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
hM : M.IsMaximal
\u22a2 comap f (comap (algebraMap S (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))) M) = p
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : Ideal R
H : p ∈ minimalPrimes R
this✝ : p.IsPrime
this : Nontrivial (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
M : Ideal (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
hM : M.IsMaximal
\u22a2 comap (algebraMap R (Localization p.primeCompl)) (comap (IsLocalization.map (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl)) f ⋯) M) = p
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : Ideal R
H : p ∈ minimalPrimes R
this✝ : p.IsPrime
this : Nontrivial (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
M : Ideal (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
hM : M.IsMaximal
\u22a2 comap (algebraMap R (Localization p.primeCompl)) (comap (IsLocalization.map (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl)) f ⋯) M) ≤ p
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : Ideal R
H : p ∈ minimalPrimes R
this✝ : p.IsPrime
this : Nontrivial (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
M : Ideal (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
hM : M.IsMaximal
x : R
hx : x ∈ comap (algebraMap R (Localization p.primeCompl)) (comap (IsLocalization.map (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl)) f ⋯) M)
\u22a2 x ∈ p
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : Ideal R
H : p ∈ minimalPrimes R
this✝ : p.IsPrime
this : Nontrivial (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
M : Ideal (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
hM : M.IsMaximal
x : R
hx : x ∈ comap (algebraMap R (Localization p.primeCompl)) (comap (IsLocalization.map (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl)) f ⋯) M)
h : x ∉ p
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : Ideal R
H : p ∈ minimalPrimes R
this✝ : p.IsPrime
this : Nontrivial (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
M : Ideal (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
hM : M.IsMaximal
x : R
hx : x ∈ comap (algebraMap R (Localization p.primeCompl)) (comap (IsLocalization.map (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl)) f ⋯) M)
h : x ∉ p
\u22a2 M = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : Ideal R
H : p ∈ minimalPrimes R
this✝ : p.IsPrime
this : Nontrivial (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
M : Ideal (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
hM : M.IsMaximal
x : R
hx : x ∈ comap (algebraMap R (Localization p.primeCompl)) (comap (IsLocalization.map (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl)) f ⋯) M)
h : x ∉ p
\u22a2 IsUnit ((IsLocalization.map (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl)) f ⋯) ((algebraMap R (Localization p.primeCompl)) x))
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p : Ideal R
H : p ∈ minimalPrimes R
this✝ : p.IsPrime
this : Nontrivial (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
M : Ideal (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl))
hM : M.IsMaximal
x : R
hx : x ∈ comap (algebraMap R (Localization p.primeCompl)) (comap (IsLocalization.map (Localization (Submonoid.map f p.primeCompl)) f ⋯) M)
h : x ∉ p
\u22a2 IsUnit ((algebraMap R (Localization p.primeCompl)) x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hst : μ s = μ t
x : F
\u22a2 (weightedSMul μ s) x = (weightedSMul μ t) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hst : μ s = μ t
x : F
\u22a2 (μ s).toReal • x = (μ t).toReal • x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Monotone.lean
f : ℝ → ℝ
hf : Monotone f
\u22a2 ∀ᵐ (x : ℝ), HasDerivAt f (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Monotone.lean
f : ℝ → ℝ
hf : Monotone f
x : ℝ
hx : HasDerivAt (↑hf.stieltjesFunction) (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal x
h'x : ¬¬ContinuousAt f x
\u22a2 HasDerivAt f (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Monotone.lean
f : ℝ → ℝ
hf : Monotone f
x : ℝ
hx : HasDerivAt (↑hf.stieltjesFunction) (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal x
h'x : ¬¬ContinuousAt f x
A : ↑hf.stieltjesFunction x = f x
\u22a2 HasDerivAt f (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Monotone.lean
f : ℝ → ℝ
hf : Monotone f
x : ℝ
hx : Tendsto (fun b => (↑hf.stieltjesFunction b - f x) / (b - x)) (𝓝[<] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal) ∧ Tendsto (fun b => (↑hf.stieltjesFunction b - f x) / (b - x)) (𝓝[>] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal)
h'x : ¬¬ContinuousAt f x
A : ↑hf.stieltjesFunction x = f x
\u22a2 HasDerivAt f (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Monotone.lean
f : ℝ → ℝ
hf : Monotone f
x : ℝ
hx : Tendsto (fun b => (↑hf.stieltjesFunction b - f x) / (b - x)) (𝓝[<] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal) ∧ Tendsto (fun b => (↑hf.stieltjesFunction b - f x) / (b - x)) (𝓝[>] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal)
h'x : ¬¬ContinuousAt f x
A : ↑hf.stieltjesFunction x = f x
L1 : Tendsto (fun y => (f y - f x) / (y - x)) (𝓝[>] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal)
L2 : Tendsto (fun y => (f y - f x) / (y - x)) (𝓝[<] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal)
\u22a2 HasDerivAt f (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Monotone.lean
f : ℝ → ℝ
hf : Monotone f
x : ℝ
hx : Tendsto (fun b => (↑hf.stieltjesFunction b - f x) / (b - x)) (𝓝[<] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal) ∧ Tendsto (fun b => (↑hf.stieltjesFunction b - f x) / (b - x)) (𝓝[>] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal)
h'x : ¬¬ContinuousAt f x
A : ↑hf.stieltjesFunction x = f x
L1 : Tendsto (fun y => (f y - f x) / (y - x)) (𝓝[>] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal)
L2 : Tendsto (fun y => (f y - f x) / (y - x)) (𝓝[<] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal)
\u22a2 Tendsto (fun b => (f b - f x) / (b - x)) (𝓝[<] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal) ∧ Tendsto (fun b => (f b - f x) / (b - x)) (𝓝[>] x) (𝓝 (hf.stieltjesFunction.measure.rnDeriv volume x).toReal)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
ι : Sort u_4
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set X
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X
\u22a2 dimH (⋃ i, s i) = ⨆ i, dimH (s i)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
ι : Sort u_4
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set X
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (⋃ i, s i) = ⊤
\u22a2 ↑d ≤ ⨆ i, dimH (s i)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
ι : Sort u_4
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set X
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X
d : ℝ≥0
hd : ⨆ i, dimH (s i) < ↑d
\u22a2 μH[↑d] (⋃ i, s i) ≠ ⊤
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
ι : Sort u_4
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set X
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X
d : ℝ≥0
hd : ⨆ i, dimH (s i) < ↑d
this : ∀ (i : ι), μH[↑d] (s i) = 0
\u22a2 μH[↑d] (⋃ i, s i) ≠ ⊤
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
ι : Sort u_4
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set X
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X
d : ℝ≥0
hd : ⨆ i, dimH (s i) < ↑d
this : ∀ (i : ι), μH[↑d] (s i) = 0
\u22a2 0 ≠ ⊤
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LagrangeMultipliers.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f' : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀
hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
\u22a2 ∃ Λ Λ₀, (Λ, Λ₀) ≠ 0 ∧ ∀ (x : E), Λ (f' x) + Λ₀ • φ' x = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LagrangeMultipliers.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f' : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀
hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
Λ' : F × ℝ →ₗ[ℝ] ℝ
h0 : Λ' ≠ 0
hΛ' : LinearMap.range (f'.prod φ') ≤ LinearMap.ker Λ'
\u22a2 ∃ Λ Λ₀, (Λ, Λ₀) ≠ 0 ∧ ∀ (x : E), Λ (f' x) + Λ₀ • φ' x = 0