ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : PreservesColimit (span f g) F
s : IsPushout f g h i
\u22a2 ((Cocones.precompose (spanCompIso F f g).inv).obj (F.mapCocone s.cocone)).ι.app WalkingCospan.right ≫ ?refine_1.hom = ⋯.cocone.ι.app WalkingCospan.right
-- Mathlib/GroupTheory/Transfer.lean
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝³ : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(leftTransversals ↑H)
p : ℕ
P : Sylow p G
hP : (↑P).normalizer ≤ centralizer ↑P
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Finite (Sylow p G)
inst✝ : (↑P).FiniteIndex
\u22a2 (transferSylow P hP).ker.IsComplement' ↑P
-- Mathlib/GroupTheory/Transfer.lean
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝³ : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(leftTransversals ↑H)
p : ℕ
P : Sylow p G
hP : (↑P).normalizer ≤ centralizer ↑P
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Finite (Sylow p G)
inst✝ : (↑P).FiniteIndex
hf : Function.Bijective ⇑((transferSylow P hP).restrict ↑P)
\u22a2 (transferSylow P hP).ker.IsComplement' ↑P
-- Mathlib/GroupTheory/Transfer.lean
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝³ : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(leftTransversals ↑H)
p : ℕ
P : Sylow p G
hP : (↑P).normalizer ≤ centralizer ↑P
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Finite (Sylow p G)
inst✝ : (↑P).FiniteIndex
hf : Function.Injective ⇑((transferSylow P hP).restrict ↑P) ∧ map (transferSylow P hP) ↑P = ⊤
\u22a2 (transferSylow P hP).ker.IsComplement' ↑P
-- Mathlib/GroupTheory/Transfer.lean
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝³ : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(leftTransversals ↑H)
p : ℕ
P : Sylow p G
hP : (↑P).normalizer ≤ centralizer ↑P
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Finite (Sylow p G)
inst✝ : (↑P).FiniteIndex
hf : Function.Injective ⇑((transferSylow P hP).restrict ↑P) ∧ map (transferSylow P hP) ↑P = ⊤
this : Function.Surjective ⇑(transferSylow P hP)
\u22a2 (transferSylow P hP).ker.IsComplement' ↑P
-- Mathlib/GroupTheory/Transfer.lean
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝³ : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(leftTransversals ↑H)
p : ℕ
P : Sylow p G
hP : (↑P).normalizer ≤ centralizer ↑P
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Finite (Sylow p G)
inst✝ : (↑P).FiniteIndex
hf : (transferSylow P hP).ker ⊓ ↑P = ⊥ ∧ ↑(transferSylow P hP).ker * ↑↑P = Set.univ
this : Function.Surjective ⇑(transferSylow P hP)
\u22a2 (transferSylow P hP).ker.IsComplement' ↑P
-- Mathlib/ModelTheory/ElementaryMaps.lean
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
f : M ↪ₑ[L] N
T : L.Theory
\u22a2 M ⊨ T ↔ N ⊨ T
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g✝ f g : α → E
h : f =ᶠ[ae μ] g
\u22a2 ⨍ (x : α), f x ∂μ = ⨍ (x : α), g x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
\u22a2 Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
this : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n - g) p μ = eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ - AEStronglyMeasurable.mk g ⋯) p μ
\u22a2 Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
this : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n - g) p μ = eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ - AEStronglyMeasurable.mk g ⋯) p μ
\u22a2 Tendsto (fun n => eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ - AEStronglyMeasurable.mk g ⋯) p μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
this : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n - g) p μ = eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ - AEStronglyMeasurable.mk g ⋯) p μ
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x) atTop (𝓝 (AEStronglyMeasurable.mk g ⋯ x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
this : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n - g) p μ = eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ - AEStronglyMeasurable.mk g ⋯) p μ
h_ae_forall_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), f n x = AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x) atTop (𝓝 (AEStronglyMeasurable.mk g ⋯ x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
this : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n - g) p μ = eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ - AEStronglyMeasurable.mk g ⋯) p μ
h_ae_forall_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), f n x = AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x
x : α
hx_tendsto : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
hxf_eq : ∀ (n : ℕ), f n x = AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x
hxg_eq : g x = AEStronglyMeasurable.mk g ⋯ x
\u22a2 Tendsto (fun n => AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x) atTop (𝓝 (AEStronglyMeasurable.mk g ⋯ x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
this : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n - g) p μ = eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ - AEStronglyMeasurable.mk g ⋯) p μ
h_ae_forall_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ℕ), f n x = AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x
x : α
hx_tendsto : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
hxf_eq : ∀ (n : ℕ), f n x = AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x
hxg_eq : g x = AEStronglyMeasurable.mk g ⋯ x
n : ℕ
\u22a2 AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ x = f n x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/LinearMap.lean
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V'
inst✝ : Module K V'
n : ℕ
f : V →ₗ[K] V'
\u22a2 ↑n ≤ f.rank ↔ ∃ s, s.card = n ∧ LinearIndependent K fun (x : ↑↑s) => f ↑x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/LinearMap.lean
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V'
inst✝ : Module K V'
n : ℕ
f : V →ₗ[K] V'
\u22a2 (∃ s, (∃ t, ↑t = s ∧ t.card = n) ∧ LinearIndependent K fun (x : ↑s) => f ↑x) ↔ ∃ s, s.card = n ∧ LinearIndependent K fun (x : ↑↑s) => f ↑x
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n✝ : ℕ
ha : 0 ≤ a
n b : ℕ
\u22a2 ⌈a + ↑n⌉₊ ≤ b ↔ ⌈a⌉₊ + n ≤ b
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n✝ : ℕ
ha : 0 ≤ a
n b : ℕ
\u22a2 ↑b < a + ↑n ↔ b < ⌈a⌉₊ + n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n✝ : ℕ
ha : 0 ≤ a
n b : ℕ
hb : n ≤ b
\u22a2 ↑b < a + ↑n ↔ b < ⌈a⌉₊ + n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n✝ : ℕ
ha : 0 ≤ a
n b : ℕ
hb : b < n
\u22a2 ↑b < a + ↑n ↔ b < ⌈a⌉₊ + n
-- Mathlib/CategoryTheory/Endofunctor/Algebra.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ C
V V₀ V₁ V₂ : Coalgebra F
f✝ : V₀ ⟶ V₁
g : V₁ ⟶ V₂
f : V₀ ⟶ V₁
inst✝ : IsIso f.f
\u22a2 V₁.str ≫ F.map (inv f.f) = inv f.f ≫ V₀.str
-- Mathlib/CategoryTheory/Endofunctor/Algebra.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ C
V V₀ V₁ V₂ : Coalgebra F
f✝ : V₀ ⟶ V₁
g : V₁ ⟶ V₂
f : V₀ ⟶ V₁
inst✝ : IsIso f.f
\u22a2 V₀.str ≫ F.map f.f ≫ F.map (inv f.f) = V₀.str
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Pow.lean
a b c : ℕ
h1 : a.pow b = c
\u22a2 a.pow (2 * b + 1) = c.mul (c.mul a)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/FullyFaithful.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
inst✝ : ∀ (X : C), Mono (h.unit.app X)
X Y : C
f g : X ⟶ Y
hfg : L.map f = L.map g
\u22a2 f = g
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/FullyFaithful.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
inst✝ : ∀ (X : C), Mono (h.unit.app X)
X Y : C
f g : X ⟶ Y
hfg : L.map f = L.map g
\u22a2 f ≫ h.unit.app Y = g ≫ h.unit.app Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/FullyFaithful.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
inst✝ : ∀ (X : C), Mono (h.unit.app X)
X Y : C
f g : X ⟶ Y
hfg : L.map f = L.map g
\u22a2 (h.homEquiv X (L.obj Y)).symm (f ≫ h.unit.app Y) = (h.homEquiv X (L.obj Y)).symm (g ≫ h.unit.app Y)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Basic.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x y : 𝕎 R
i : ℕ
\u22a2 WittVector.ghostFun i.unaryCast = ↑i
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b : α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
a : α
\u22a2 a ⊓ ⨅ x, f x = ⨅ x, a ⊓ f x
-- Mathlib/Init/Order/LinearOrder.lean
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
\u22a2 min a b ≤ b
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
\u22a2 ball x δ * s = x • thickening δ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MutuallySingular.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ ν✝ ν₁ ν₂ μ ν : Measure α
h_ac : μ ≪ ν
h_ms : μ ⟂ₘ ν
\u22a2 μ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MutuallySingular.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ ν✝ ν₁ ν₂ μ ν : Measure α
h_ac : μ ≪ ν
h_ms : μ ⟂ₘ ν
\u22a2 μ ⟂ₘ μ
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z x : K
\u22a2 ∃ c, ‖c‖ = 1 ∧ c * ↑‖x‖ = x
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
\u22a2 ∃ c, ‖c‖ = 1 ∧ c * ↑‖0‖ = 0
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z x : K
hx : x ≠ 0
\u22a2 ∃ c, ‖c‖ = 1 ∧ c * ↑‖x‖ = x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
\u22a2 (S.leftHomologyπ ≫ S.leftHomologyIso.hom) ≫ S.leftHomologyIso.inv = S.leftHomologyπ
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F✝
inst✝¹⁰ : Field E✝
inst✝⁹ : Algebra F✝ E✝
inst✝⁸ : FiniteDimensional F✝ E✝
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝
F : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
inst✝³ : FiniteDimensional F E
inst✝² : Algebra.IsSeparable F E
A : Type u_5
inst✝¹ : Field A
inst✝ : Algebra F A
hA : ∀ (x : E), Splits (algebraMap F A) (minpoly F x)
α : E
\u22a2 F⟮α⟯ = ⊤ ↔ Function.Injective fun φ => φ α
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F U W : Set X
hWU : W ⊆ U
x : X
x_in : x ∈ W
hx : ∀ {y : X}, y ∈ W → JoinedIn W x y
\u22a2 IsPathConnected (Subtype.val ⁻¹' W)
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F U W : Set X
hWU : W ⊆ U
x : X
x_in : x ∈ W
hx : ∀ {y : X}, y ∈ W → JoinedIn W x y
\u22a2 ∀ {y : { x // x ∈ U }}, y ∈ Subtype.val ⁻¹' W → JoinedIn (Subtype.val ⁻¹' W) ⟨x, ⋯⟩ y
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y✝ z : X
ι : Type u_3
F U W : Set X
hWU : W ⊆ U
x : X
x_in : x ∈ W
hx : ∀ {y : X}, y ∈ W → JoinedIn W x y
y : X
hyU : y ∈ U
hyW : ⟨y, hyU⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' W
\u22a2 JoinedIn (Subtype.val ⁻¹' W) ⟨x, ⋯⟩ ⟨y, hyU⟩
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s t : Set A
p : A → A → Prop
a b : A
ha : a ∈ adjoin R s
hb : b ∈ adjoin R s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)
Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x
Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
\u22a2 p a b
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s t : Set A
p : A → A → Prop
a b : A
ha : a ∈ adjoin R s
hb : b ∈ adjoin R s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)
Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x
Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
\u22a2 ∀ x ∈ s, p a x
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s t : Set A
p : A → A → Prop
a b : A
ha : a ∈ adjoin R s
hb : b ∈ adjoin R s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)
Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x
Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
r : R
\u22a2 p a ((algebraMap R A) r)
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n k : ℕ
\u22a2 m.gcd (n + k * m) = m.gcd n
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/ClosureSwap.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set G
T : Set α
a : α
hS : ∀ g ∈ S, g⁻¹ ∈ S
subset : T ⊆ orbit (↥(closure S)) a
not_mem : a ∉ T
nonempty : T.Nonempty
\u22a2 ∃ σ ∈ S, ∃ a ∈ T, σ • a ∉ T
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/ClosureSwap.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set G
T : Set α
a : α
hS : ∀ g ∈ S, g⁻¹ ∈ S
subset : T ⊆ orbit (↥(closure S)) a
not_mem : a ∉ T
nonempty : T.Nonempty
key0 : ¬closure S ≤ stabilizer G T
\u22a2 ∃ σ ∈ S, ∃ a ∈ T, σ • a ∉ T
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/ClosureSwap.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set G
T : Set α
a : α
hS : ∀ g ∈ S, g⁻¹ ∈ S
subset : T ⊆ orbit (↥(closure S)) a
not_mem : a ∉ T
nonempty : T.Nonempty
key0 : ∀ σ ∈ S, ∀ a ∈ T, σ • a ∈ T
\u22a2 closure S ≤ stabilizer G T
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/ClosureSwap.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set G
T : Set α
a : α
hS : ∀ g ∈ S, g⁻¹ ∈ S
subset : T ⊆ orbit (↥(closure S)) a
not_mem : a ∉ T
nonempty : T.Nonempty
key0 : ∀ σ ∈ S, ∀ a ∈ T, σ • a ∈ T
σ : G
hσ : σ ∈ S
\u22a2 σ ∈ ↑(stabilizer G T)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/ClosureSwap.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set G
T : Set α
a : α
hS : ∀ g ∈ S, g⁻¹ ∈ S
subset : T ⊆ orbit (↥(closure S)) a
not_mem : a ∉ T
nonempty : T.Nonempty
key0 : ∀ σ ∈ S, ∀ a ∈ T, σ • a ∈ T
σ : G
hσ : σ ∈ S
\u22a2 ∀ (x : α), σ⁻¹ • x ∈ T ↔ x ∈ T
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/EpiMono.lean
A B : Grp
f : A ⟶ B
b b' : ↑B
x : X'
y : ↑(Set.range fun x => x • ↑(MonoidHom.range f))
\u22a2 fromCoset ⟨(b * b') • ↑y, ⋯⟩ = fromCoset ⟨b • ↑⟨b' • ↑y, ⋯⟩, ⋯⟩
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
h : Associated p q
u : R[X]ˣ
hu : p * ↑u = q
\u22a2 p.degree = q.degree
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
h : b ∈ ball a r
\u22a2 ‖b / a‖ < r
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
s : A → A → Prop
x y : A
w : s x y
\u22a2 (mkAlgHom S s) x = (mkAlgHom S s) y
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCommMonoid M
a b : M
l : List M
hl₁ : ∀ x ∈ a :: b :: l, 1 < x
x✝ : a :: b :: l ≠ []
\u22a2 1 < (a :: b :: l).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCommMonoid M
a b : M
l : List M
x✝ : a :: b :: l ≠ []
hl₁ : 1 < a ∧ 1 < b ∧ ∀ a ∈ l, 1 < a
\u22a2 1 < (a :: b :: l).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCommMonoid M
a b : M
l : List M
x✝ : a :: b :: l ≠ []
hl₁ : 1 < a ∧ 1 < b ∧ ∀ a ∈ l, 1 < a
\u22a2 1 < a * (b :: l).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCommMonoid M
a b : M
l : List M
x✝ : a :: b :: l ≠ []
hl₁ : 1 < a ∧ 1 < b ∧ ∀ a ∈ l, 1 < a
\u22a2 1 ≤ (b :: l).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : OrderedCommMonoid M
a b : M
l : List M
x✝ : a :: b :: l ≠ []
hl₁ : 1 < a ∧ 1 < b ∧ ∀ a ∈ l, 1 < a
\u22a2 ∀ x ∈ b :: l, 1 < x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹³ : Group G
inst✝¹² : MeasurableSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
inst✝¹⁰ : TopologicalGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁷ : Countable ↥Γ
inst✝⁶ : Γ.Normal
inst✝⁵ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁴ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝³ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝² : ν.IsMulRightInvariant
inst✝¹ : SigmaFinite ν
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
x : G ⧸ Γ
A : Set (G ⧸ Γ)
hA : MeasurableSet A
\u22a2 (map (fun x_1 => x * x_1) μ) A = μ A
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹³ : Group G
inst✝¹² : MeasurableSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
inst✝¹⁰ : TopologicalGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁷ : Countable ↥Γ
inst✝⁶ : Γ.Normal
inst✝⁵ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁴ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝³ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝² : ν.IsMulRightInvariant
inst✝¹ : SigmaFinite ν
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
x : G ⧸ Γ
A : Set (G ⧸ Γ)
hA : MeasurableSet A
x₁ : G
h : ⟦x₁⟧ = x
\u22a2 (map (fun x_1 => x * x_1) μ) A = μ A
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹³ : Group G
inst✝¹² : MeasurableSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
inst✝¹⁰ : TopologicalGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁷ : Countable ↥Γ
inst✝⁶ : Γ.Normal
inst✝⁵ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁴ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝³ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝² : ν.IsMulRightInvariant
inst✝¹ : SigmaFinite ν
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
x : G ⧸ Γ
A : Set (G ⧸ Γ)
hA : MeasurableSet A
x₁ : G
h : ⟦x₁⟧ = x
\u22a2 (map (fun x_1 => x * x_1) μ) A = μ ((fun x => x₁ • x) ⁻¹' A)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹³ : Group G
inst✝¹² : MeasurableSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
inst✝¹⁰ : TopologicalGroup G
inst✝⁹ : BorelSpace G
inst✝⁸ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁷ : Countable ↥Γ
inst✝⁶ : Γ.Normal
inst✝⁵ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁴ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝³ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝² : ν.IsMulRightInvariant
inst✝¹ : SigmaFinite ν
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
x : G ⧸ Γ
A : Set (G ⧸ Γ)
hA : MeasurableSet A
x₁ : G
h : ⟦x₁⟧ = x
\u22a2 SMulInvariantMeasure G (G ⧸ Γ) μ
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
\u22a2 map (fun x => c + x) (Ioc a b) = Ioc (c + a) (c + b)
-- Mathlib/Data/Matrix/RowCol.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i✝ : m
j : n
b✝ : n → α
c : m → α
inst✝ : Subsingleton m
A : Matrix m n R
i : m
b : n → R
x : m
y : n
\u22a2 A.updateRow i b x y = (row (Fin 1) b).submatrix (Function.const m 0) id x y