ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ p ∈ s, Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => (L (f a)) (g x.1 (x.2 - a))) μ
I2 : Integrable (fun a => (L (f a)) (g q₀.1 (q₀.2 - a))) μ
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => (L (f a)).comp (g' (q₀.1, q₀.2 - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.2}
K'_def : K' = -k + {q₀.2}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U μ
\u22a2 HasFDerivAt (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) ((f ⋆[precompR (P × G) L, μ] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.1, x)) q₀.2) q₀
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ p ∈ s, Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => (L (f a)) (g x.1 (x.2 - a))) μ
I2 : Integrable (fun a => (L (f a)) (g q₀.1 (q₀.2 - a))) μ
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => (L (f a)).comp (g' (q₀.1, q₀.2 - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.2}
K'_def : K' = -k + {q₀.2}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U μ
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
\u22a2 HasFDerivAt (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) ((f ⋆[precompR (P × G) L, μ] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.1, x)) q₀.2) q₀
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ p ∈ s, Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => (L (f a)) (g x.1 (x.2 - a))) μ
I2 : Integrable (fun a => (L (f a)) (g q₀.1 (q₀.2 - a))) μ
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => (L (f a)).comp (g' (q₀.1, q₀.2 - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.2}
K'_def : K' = -k + {q₀.2}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U μ
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := U.indicator fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖((precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.1, x.2 - a))‖ ≤ bound a
\u22a2 HasFDerivAt (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) ((f ⋆[precompR (P × G) L, μ] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.1, x)) q₀.2) q₀
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ p ∈ s, Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => (L (f a)) (g x.1 (x.2 - a))) μ
I2 : Integrable (fun a => (L (f a)) (g q₀.1 (q₀.2 - a))) μ
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => (L (f a)).comp (g' (q₀.1, q₀.2 - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.2}
K'_def : K' = -k + {q₀.2}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U μ
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := U.indicator fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖((precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.1, x.2 - a))‖ ≤ bound a
I5 : Integrable bound μ
\u22a2 HasFDerivAt (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) ((f ⋆[precompR (P × G) L, μ] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.1, x)) q₀.2) q₀
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup P
inst✝ : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 1 (↿g) (s ×ˢ univ)
q₀ : P × G
hq₀ : q₀.1 ∈ s
g' : P × G → P × G →L[𝕜] E' := fderiv 𝕜 ↿g
A : ∀ p ∈ s, Continuous (g p)
A' : ∀ (q : P × G), q.1 ∈ s → s ×ˢ univ ∈ 𝓝 q
g'_zero : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g' (p, x) = 0
ε C : ℝ
εpos : 0 < ε
h₀ε : ball q₀.1 ε ⊆ s
hε : ∀ (p : P) (x : G), ‖p - q₀.1‖ < ε → ‖g' (p, x)‖ ≤ C
I1 : ∀ᶠ (x : P × G) in 𝓝 q₀, AEStronglyMeasurable (fun a => (L (f a)) (g x.1 (x.2 - a))) μ
I2 : Integrable (fun a => (L (f a)) (g q₀.1 (q₀.2 - a))) μ
I3 : AEStronglyMeasurable (fun a => (L (f a)).comp (g' (q₀.1, q₀.2 - a))) μ
K' : Set G := -k + {q₀.2}
K'_def : K' = -k + {q₀.2}
hK' : IsCompact K'
U : Set G
U_open : IsOpen U
K'U : K' ⊆ U
hU : IntegrableOn f U μ
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
δε : δ ≤ ε
hδ : K' + ball 0 δ ⊆ U
this : Norm (E →L[𝕜] (P × G →L[𝕜] E') →L[𝕜] P × G →L[𝕜] F) := hasOpNorm
bound : G → ℝ := U.indicator fun t => ‖precompR (P × G) L‖ * ‖f t‖ * C
I4 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → ‖((precompR (P × G) L) (f a)) (g' (x.1, x.2 - a))‖ ≤ bound a
I5 : Integrable bound μ
I6 : ∀ᵐ (a : G) ∂μ, ∀ (x : P × G), dist x q₀ < δ → HasFDerivAt (fun x => (L (f a)) (g x.1 (x.2 - a))) ((L (f a)).comp (g' (x.1, x.2 - a))) x
\u22a2 HasFDerivAt (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) ((f ⋆[precompR (P × G) L, μ] fun x => fderiv 𝕜 (↿g) (q₀.1, x)) q₀.2) q₀
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
γ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T2Space γ
f : α → γ
this✝ : TopologicalSpace α := ⊥
this : DiscreteTopology α
\u22a2 Ultrafilter.extend f ∘ pure = f
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set α
t : Set β
hs : μ s ≠ 0
u : Set (α × β)
hum : MeasurableSet u
hu : s ×ˢ t =ᶠ[ae (μ.prod ν)] u
\u22a2 NullMeasurableSet t ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set α
t : Set β
hs : μ s ≠ 0
u : Set (α × β)
hum : MeasurableSet u
hu : s ×ˢ t =ᶠ[ae (μ.prod ν)] u
x : α
hxs : x ∈ s
hx : Prod.mk x ⁻¹' s ×ˢ t =ᶠ[ae ν] Prod.mk x ⁻¹' u
\u22a2 NullMeasurableSet t ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set α
t : Set β
hs : μ s ≠ 0
u : Set (α × β)
hum : MeasurableSet u
hu : s ×ˢ t =ᶠ[ae (μ.prod ν)] u
x : α
hxs : x ∈ s
hx : Prod.mk x ⁻¹' s ×ˢ t =ᶠ[ae ν] Prod.mk x ⁻¹' u
\u22a2 t =ᶠ[ae ν] Prod.mk x ⁻¹' u
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
\u22a2 Measurable fun x => derivWithin f (Ici x) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
s : Set F
hs : IsClosed s
\u22a2 MeasurableSet ((fun x => derivWithin f (Ici x) x) ⁻¹' s)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
s : Set F
hs : IsClosed s
this : (fun x => derivWithin f (Ici x) x) ⁻¹' s = {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ s} ∪ {x | ¬DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x} ∩ {_x | 0 ∈ s}
\u22a2 MeasurableSet ((fun x => derivWithin f (Ici x) x) ⁻¹' s)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
s : Set F
hs : IsClosed s
this : (fun x => derivWithin f (Ici x) x) ⁻¹' s = {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ s} ∪ {x | ¬DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x} ∩ {_x | 0 ∈ s}
\u22a2 MeasurableSet ({x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ s} ∪ {x | ¬DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x} ∩ {_x | 0 ∈ s})
-- Mathlib/Control/Fold.lean
m : Type u → Type u
inst✝¹ : Monad m
α β : Type u
inst✝ : LawfulMonad m
f : α → β → m β
x✝ y✝ : FreeMonoid α
\u22a2 { toFun := fun xs => flip (List.foldrM f) (FreeMonoid.toList xs), map_one' := ⋯ }.toFun (x✝ * y✝) = { toFun := fun xs => flip (List.foldrM f) (FreeMonoid.toList xs), map_one' := ⋯ }.toFun x✝ * { toFun := fun xs => flip (List.foldrM f) (FreeMonoid.toList xs), map_one' := ⋯ }.toFun y✝
-- Mathlib/Control/Fold.lean
m : Type u → Type u
inst✝¹ : Monad m
α β : Type u
inst✝ : LawfulMonad m
f : α → β → m β
x✝¹ y✝ : FreeMonoid α
x✝ : KleisliCat.mk m β
\u22a2 { toFun := fun xs => flip (List.foldrM f) (FreeMonoid.toList xs), map_one' := ⋯ }.toFun (x✝¹ * y✝) x✝ = ({ toFun := fun xs => flip (List.foldrM f) (FreeMonoid.toList xs), map_one' := ⋯ }.toFun x✝¹ * { toFun := fun xs => flip (List.foldrM f) (FreeMonoid.toList xs), map_one' := ⋯ }.toFun y✝) x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
ι : Type u_2
v : ι → R
s : Finset ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
degree_fg_lt : (f - g).degree < ↑s.card
eval_fg : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = eval (v i) g
\u22a2 f = g
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
ι : Type u_2
v : ι → R
s : Finset ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
degree_fg_lt : (f - g).degree < ↑s.card
eval_fg : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = eval (v i) g
\u22a2 f - g = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
ι : Type u_2
v : ι → R
s : Finset ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
degree_fg_lt : (f - g).degree < ↑s.card
eval_fg : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = eval (v i) g
\u22a2 ∀ i ∈ s, eval (v i) (f - g) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
ι : Type u_2
v : ι → R
s : Finset ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
degree_fg_lt : (f - g).degree < ↑s.card
eval_fg : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = eval (v i) g
\u22a2 ∀ i ∈ s, eval (v i) f = eval (v i) g
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
x : ↥(map (LinearMap.fst R E F) g)
\u22a2 (↑x, ↑g.toLinearPMap x) ∈ g
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
x : ↥(map (LinearMap.fst R E F) g)
\u22a2 (↑x, valFromGraph hg ⋯) ∈ g
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
X Y : R
\u22a2 W'.Equation ![X, Y, 1] ↔ W'.toAffine.Equation X Y
-- Mathlib/Algebra/Ring/NegOnePow.lean
k : ℤ
\u22a2 (2 * k + 1).negOnePow = -1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
\u22a2 μ.withDensity f ≤ μ.withDensity g
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (μ.withDensity f) s ≤ (μ.withDensity g) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrderIso.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
a b : α
\u22a2 ⇑e '' Ioc a b = Ioc (e a) (e b)
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
m : ℕ
inst✝ : CharP R m
n✝ : ℕ
h : m ∣ n✝ + 1
a b : ZMod (n✝ + 1)
\u22a2 ↑a.val * ↑b.val = ↑(val (a * b))
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
m : ℕ
inst✝ : CharP R m
n✝ : ℕ
h : m ∣ n✝ + 1
a b : ZMod (n✝ + 1)
\u22a2 m ∣ a.val * b.val - a.val * b.val % n✝.succ
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
p : Sort u_4
f : M → ↥S → M → ↥S → p
H : ∀ {a a' : M} {b b' : ↥S} {c c' : M} {d d' : ↥S}, (r S) (a, b) (a', b') → (r S) (c, d) (c', d') → f a b c d = f a' b' c' d'
a c : M
b d : ↥S
\u22a2 ((monoidOf S).mk' a b).liftOn₂ ((monoidOf S).mk' c d) f H = f a b c d
-- Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b a : K
\u22a2 a / -b = -(a / b)
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
φ ψ : A →ₐ[R] B
s : Set A
\u22a2 Set.EqOn ⇑φ ⇑ψ ↑(adjoin R s) ↔ Set.EqOn (⇑φ) (⇑ψ) s
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
φ ψ : A →ₐ[R] B
s : Set A
this : ∀ (S : Set A), S ≤ ↑(equalizer φ ψ) ↔ Set.EqOn (⇑φ) (⇑ψ) S
\u22a2 Set.EqOn ⇑φ ⇑ψ ↑(adjoin R s) ↔ Set.EqOn (⇑φ) (⇑ψ) s
-- Mathlib/Order/Chain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a b x y : α
hs : IsChain r s
h : ¬∃ t, IsChain r s ∧ SuperChain r s t
\u22a2 IsChain r (SuccChain r s)
-- Mathlib/Order/Chain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a b x y : α
hs : IsChain r s
h : ¬(IsChain r s ∧ ∃ x, SuperChain r s x)
\u22a2 IsChain r (SuccChain r s)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.Exact
hR₁' : Epi (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 1 ⋯)
\u22a2 R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
h'f : Function.HasTemperateGrowth (fderiv ℝ f)
hf : Differentiable ℝ f
k : ℕ
C : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
\u22a2 Function.HasTemperateGrowth f
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
h'f : Function.HasTemperateGrowth (fderiv ℝ f)
hf : Differentiable ℝ f
k : ℕ
C : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
n : ℕ
\u22a2 ∃ k C, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv ℝ n f x‖ ≤ C * (1 + ‖x‖) ^ k
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
\u22a2 (-p).radius = p.radius
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
a b : α
h : IsLUB s a
\u22a2 a ≤ b ↔ b ∈ upperBounds s
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
a b : α
h : IsLUB s a
\u22a2 a ≤ b ↔ b ∈ Ici a
-- Mathlib/Data/Nat/Find.lean
a b c d m n✝ k : ℕ
p q P Q : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ
\u22a2 0 < findGreatest P k ↔ ∃ n, 0 < n ∧ n ≤ k ∧ P n
-- Mathlib/Data/Nat/Find.lean
a b c d m n✝ k : ℕ
p q P Q : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ
\u22a2 (¬∀ ⦃n : ℕ⦄, 0 < n → n ≤ k → ¬P n) ↔ ∃ n, 0 < n ∧ n ≤ k ∧ P n
-- Mathlib/Data/Nat/Find.lean
a b c d m n✝ k : ℕ
p q P Q : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ
\u22a2 (Exists fun ⦃n⦄ => 0 < n ∧ n ≤ k ∧ P n) ↔ ∃ n, 0 < n ∧ n ≤ k ∧ P n
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
p : Associates M
h₁ : p ≠ 0
hp : IsAtom p
\u22a2 ¬IsUnit p
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
p : Associates M
h₁ : p ≠ 0
hp : IsAtom p
a b : Associates M
h : p = p * b
ha : a = p
\u22a2 IsUnit b
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
p : Associates M
h₁ : p ≠ 0
hp : Irreducible p
\u22a2 p ≠ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
p : Associates M
h₁ : p ≠ 0
hp : Irreducible p
b : Associates M
x✝ : b < p
a : Associates M
hab : p = b * a
hb✝ : ¬p ∣ b
hb : IsUnit b
\u22a2 b = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
p : Associates M
h₁ : p ≠ 0
hp : Irreducible p
b : Associates M
x✝ : b < p
a : Associates M
hab : p = b * a
hb : ¬p ∣ b
ha : IsUnit a
\u22a2 b = p * ↑ha.unit⁻¹
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
\u22a2 Ioi b ⊆ Ioi a ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : Ioi b ⊆ Ioi a
\u22a2 a ≤ b
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : Ioi b ⊆ Ioi a
ba : ¬a ≤ b
\u22a2 False
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
U : Set (PrimeSpectrum R)
\u22a2 IsOpen U ↔ ∃ s, Uᶜ = zeroLocus s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
U : Set (PrimeSpectrum R)
\u22a2 IsOpen U ↔ ∃ s, zeroLocus s = Uᶜ
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : LinearOrder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : R →* M
x : R
\u22a2 f (-x) = f x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
hx✝ : 0 ≤ x
hx : 0 < x
\u22a2 log x ≤ 0 ↔ x ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
x n : ℂ
\u22a2 x⁻¹ ^ n = if x.arg = π then (starRingEnd ℂ) (x ^ (starRingEnd ℂ) n)⁻¹ else (x ^ n)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
x n : ℂ
\u22a2 (if x = 0 then if n = 0 then 1 else 0 else if x.arg = π then (cexp ((starRingEnd ℂ) (log x) * n))⁻¹ else (cexp (log x * n))⁻¹) = if x.arg = π then if x = 0 then if n = 0 then 1 else 0 else (cexp ((starRingEnd ℂ) (log x) * n))⁻¹ else if x = 0 then if n = 0 then 1 else 0 else (cexp (log x * n))⁻¹