ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b v : (i : ι) → M₁ i
s : Finset ι
\u22a2 f (s.piecewise a v) - f (s.piecewise b v) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s then if j < i then a j else if j = i then a j - b j else b j else v j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b v : (i : ι) → M₁ i
s : Finset ι
\u22a2 (∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then s.piecewise a v j else if i = j then s.piecewise a v j - b j else b j) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s then if j < i then a j else if j = i then a j - b j else b j else v j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b v : (i : ι) → M₁ i
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
\u22a2 (if j ∈ s → j < i then s.piecewise a v j else if i = j then s.piecewise a v j - b j else b j) = if j ∈ s then if j < i then a j else if j = i then a j - b j else b j else v j
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/ScaleRoots.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p : S[X]
f : S →+* A
a : A
s : S
hsa : Commute (f s) a
hf : ∀ (s₁ s₂ : S), Commute (f s₁) (f s₂)
\u22a2 eval₂ f (f s * a) (p.scaleRoots s) = f s ^ p.natDegree * eval₂ f a p
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
u : ι → Ω → β
s : Set β
f : Filtration ℕ m
i n : ι
ω : Ω
hx : ∃ j ≤ n, u j ω ∈ s
\u22a2 hitting u s ⊥ n ω ≤ i ↔ ∃ j ≤ i, u j ω ∈ s
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
u : ι → Ω → β
s : Set β
f : Filtration ℕ m
i n : ι
ω : Ω
hx : ∃ j ≤ n, u j ω ∈ s
hi : i < n
\u22a2 hitting u s ⊥ n ω ≤ i ↔ ∃ j ≤ i, u j ω ∈ s
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
u : ι → Ω → β
s : Set β
f : Filtration ℕ m
i n : ι
ω : Ω
hx : ∃ j ≤ n, u j ω ∈ s
hi : n ≤ i
\u22a2 hitting u s ⊥ n ω ≤ i ↔ ∃ j ≤ i, u j ω ∈ s
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
a : R
\u22a2 a ∈ ker f → f a = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
S : Submonoid R
\u22a2 Subsingleton (LocalizedModule S M) ↔ ∀ (m : M), ∃ r ∈ S, r • m = 0
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/RingHom/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
h : IsLocalRingHom f
a : Sˣ
b : R
hb : f b = ↑a
\u22a2 ∃ a_1, (Units.map ↑f) a_1 = a
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/RingHom/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
h : IsLocalRingHom f
a : Sˣ
b : R
hb : f b = ↑a
\u22a2 (Units.map ↑f) ⋯.unit = a
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a b : α
ha : a ∉ s
hb : b ∈ s
\u22a2 (insert a s \ {b}).encard = s.encard
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
s✝ : ℕ → Set Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
μ : Measure Ω
s : ℕ → Set Ω
n : ℕ
\u22a2 martingalePart (process s) ℱ μ n = ∑ k ∈ Finset.range n, ((s (k + 1)).indicator 1 - μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k])
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
s✝ : ℕ → Set Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
μ : Measure Ω
s : ℕ → Set Ω
n : ℕ
\u22a2 ∑ i ∈ Finset.range n, (process s (i + 1) - process s i - μ[process s (i + 1) - process s i|↑ℱ i]) = ∑ k ∈ Finset.range n, ((s (k + 1)).indicator 1 - μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k])
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
s✝ : ℕ → Set Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
μ : Measure Ω
s : ℕ → Set Ω
n k : ℕ
x✝ : k ∈ Finset.range n
\u22a2 process s (k + 1) - process s k - μ[process s (k + 1) - process s k|↑ℱ k] = (s (k + 1)).indicator 1 - μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k]
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Division.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
g : G
\u22a2 x %ᵒᶠ g + of' k G g * (x /ᵒᶠ g) = x
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d✝ a b c d : α
\u22a2 d ≤ a ⇨ b ⊓ c ↔ d ≤ (a ⇨ b) ⊓ (a ⇨ c)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H
\u22a2 ContDiffWithinAtProp I I n id univ x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H
\u22a2 ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H
this : ContDiffWithinAt 𝕜 n id (range ↑I) (↑I x)
\u22a2 ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H
this : ContDiffWithinAt 𝕜 n id (range ↑I) (↑I x)
y : E
hy : y ∈ range ↑I
\u22a2 (↑I ∘ ↑I.symm) y = id y
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H
this : ContDiffWithinAt 𝕜 n id (range ↑I) (↑I x)
\u22a2 (↑I ∘ ↑I.symm) (↑I x) = id (↑I x)
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
\u22a2 a - b - c = a - c - b
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
\u22a2 ∃ J, M.Basis J Y ∧ J ∩ X = I
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J✝ X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
J : Set α
hJ : M.Basis J Y
hIJ : I ⊆ J
\u22a2 ∃ J, M.Basis J Y ∧ J ∩ X = I
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J✝ X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
J : Set α
hJ : M.Basis J Y
hIJ : I ⊆ J
\u22a2 J ∩ X ⊆ I
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
\u22a2 eulerMascheroniSeq 0 = 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β✝ : Type u
a✝ : Cardinal.{u_1}
α : Type u_1
b✝ : Cardinal.{u_1}
β : Type u_1
c✝ : Cardinal.{u_1}
γ : Type u_1
hα : Quot.mk Setoid.r α ≠ 0
e : β ↪ γ
\u22a2 Quot.mk Setoid.r α ^ Quot.mk Setoid.r β ≤ Quot.mk Setoid.r α ^ Quot.mk Setoid.r γ
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β✝ : Type u
a✝ : Cardinal.{u_1}
α : Type u_1
b✝ : Cardinal.{u_1}
β : Type u_1
c✝ : Cardinal.{u_1}
γ : Type u_1
hα : Quot.mk Setoid.r α ≠ 0
e : β ↪ γ
a : α
\u22a2 Quot.mk Setoid.r α ^ Quot.mk Setoid.r β ≤ Quot.mk Setoid.r α ^ Quot.mk Setoid.r γ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Trim.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
\u22a2 SigmaFinite (μ.trim ⋯) ↔ IsFiniteMeasure μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Trim.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
\u22a2 IsFiniteMeasure (μ.trim ⋯) ↔ IsFiniteMeasure μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Trim.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
h : IsFiniteMeasure (μ.trim ⋯)
h_univ : (μ.trim ⋯) Set.univ < ⊤
\u22a2 μ Set.univ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Trim.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
h : IsFiniteMeasure μ
h_univ : μ Set.univ < ⊤
\u22a2 (μ.trim ⋯) Set.univ < ⊤
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] E
\u22a2 HasFDerivWithinAt (⇑iso ∘ f) ((↑iso).comp f') s x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] E
H : HasFDerivWithinAt (⇑iso ∘ f) ((↑iso).comp f') s x
\u22a2 HasFDerivWithinAt f f' s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] E
H : HasFDerivWithinAt (⇑iso ∘ f) ((↑iso).comp f') s x
A : f = ⇑iso.symm ∘ ⇑iso ∘ f
\u22a2 HasFDerivWithinAt f f' s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] E
H : HasFDerivWithinAt (⇑iso ∘ f) ((↑iso).comp f') s x
A : f = ⇑iso.symm ∘ ⇑iso ∘ f
B : f' = (↑iso.symm).comp ((↑iso).comp f')
\u22a2 HasFDerivWithinAt f f' s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] E
H : HasFDerivWithinAt (⇑iso ∘ f) ((↑iso).comp f') s x
A : f = ⇑iso.symm ∘ ⇑iso ∘ f
B : f' = (↑iso.symm).comp ((↑iso).comp f')
\u22a2 HasFDerivWithinAt (⇑iso.symm ∘ ⇑iso ∘ f) ((↑iso.symm).comp ((↑iso).comp f')) s x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
a : R
hp0 : 0 < p.degree
h : p = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
\u22a2 (fun n => 1 / log n) =o[atTop] fun x => 1
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
\u22a2 Tendsto (fun x => 1 / log x / 1) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
\u22a2 Tendsto (fun x => (log x)⁻¹) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : P1
\u22a2 (lineMap p₀ p₁) 0 = p₀
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : α → E
s✝ t : Set α
μ✝ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
e : α ≃ᵐ β
f : β → E
μ : Measure α
s : Set β
\u22a2 IntegrableOn f s (Measure.map (⇑e) μ) ↔ IntegrableOn (f ∘ ⇑e) (⇑e ⁻¹' s) μ
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightNhds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : DenselyOrdered α
a : α
s : Set α
\u22a2 s ∈ 𝓝[<] a ↔ ∃ l ∈ Iio a, Ico l a ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightNhds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : DenselyOrdered α
a : α
s : Set α
this : ⇑ofDual ⁻¹' s ∈ 𝓝[>] toDual a ↔ ∃ u ∈ Ioi (toDual a), Ioc (toDual a) u ⊆ ⇑ofDual ⁻¹' s
\u22a2 s ∈ 𝓝[<] a ↔ ∃ l ∈ Iio a, Ico l a ⊆ s
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z w : ℍ
r R a y₁ y₂ : ℝ
\u22a2 dist (mk { re := a, im := rexp y₁ } ⋯) (mk { re := a, im := rexp y₂ } ⋯) = dist y₁ y₂
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z w : ℍ
r R a y₁ y₂ : ℝ
\u22a2 dist (log (mk { re := a, im := rexp y₁ } ⋯).im) (log (mk { re := a, im := rexp y₂ } ⋯).im) = dist y₁ y₂
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z w : ℍ
r R a y₁ y₂ : ℝ
\u22a2 (mk { re := a, im := rexp y₁ } ⋯).re = (mk { re := a, im := rexp y₂ } ⋯).re
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Truncated.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : Semiring S
f : (k : ℕ) → S →+* TruncatedWittVector p k R
f_compat : ∀ (k₁ k₂ : ℕ) (hk : k₁ ≤ k₂), (TruncatedWittVector.truncate hk).comp (f k₂) = f k₁
g : S →+* 𝕎 R
g_compat : ∀ (k : ℕ), (truncate k).comp g = f k
x : S
\u22a2 (lift f f_compat) x = g x
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Truncated.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : Semiring S
f : (k : ℕ) → S →+* TruncatedWittVector p k R
f_compat : ∀ (k₁ k₂ : ℕ) (hk : k₁ ≤ k₂), (TruncatedWittVector.truncate hk).comp (f k₂) = f k₁
g : S →+* 𝕎 R
g_compat : ∀ (k : ℕ), (truncate k).comp g = f k
x : S
\u22a2 ∀ (i : ℕ), (lift f f_compat) x - g x ∈ RingHom.ker (truncate i)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Truncated.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : Semiring S
f : (k : ℕ) → S →+* TruncatedWittVector p k R
f_compat : ∀ (k₁ k₂ : ℕ) (hk : k₁ ≤ k₂), (TruncatedWittVector.truncate hk).comp (f k₂) = f k₁
g : S →+* 𝕎 R
g_compat : ∀ (k : ℕ), (truncate k).comp g = f k
x : S
i : ℕ
\u22a2 (lift f f_compat) x - g x ∈ RingHom.ker (truncate i)