ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.73452, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ : ComposableArrows C n
F G : ComposableArrows C 1
left : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
right : F.obj' 1 ⋯ ≅ G.obj' 1 ⋯
w : autoParam (F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ right.hom = left.hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯) _auto✝
\u22a2 G.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ right.inv = left.inv ≫ F.map' 0 1 ⋯ ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.73452, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ : ComposableArrows C n
F G : ComposableArrows C 1
left : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
right : F.obj' 1 ⋯ ≅ G.obj' 1 ⋯
w : autoParam (F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ right.hom = left.hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯) _auto✝
\u22a2 G.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ 𝟙 (G.obj' 1 ⋯) = G.map' 0 1 ⋯ ⋯
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
x : ↑(range f)
\u22a2 rangeFactorization f (rangeSplitting f x) = x
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
x : ↑(range f)
\u22a2 ↑(rangeFactorization f (rangeSplitting f x)) = ↑x
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
x : ↑(range f)
\u22a2 f (rangeSplitting f x) = ↑x
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝⁴ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝² : (i : ι) → Zero (β₂ i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : (i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i → β i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 0 = 0
g₁ : Π₀ (i : ι), β₁ i
g₂ : Π₀ (i : ι), β₂ i
\u22a2 (zipWith f hf g₁ g₂).support ⊆ g₁.support ∪ g₂.support
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
hr : Symmetric r
\u22a2 (s.Pairwise r ∧ t.Pairwise r ∧ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a ≠ b → r a b ∧ r b a) ↔ s.Pairwise r ∧ t.Pairwise r ∧ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a ≠ b → r a b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
\u22a2 ∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t < f a}).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}
\u22a2 ∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t < f a}).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}
lhs_finite : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ < ⊤
\u22a2 ∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t < f a}).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}
lhs_finite : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ < ⊤
rhs_finite : ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} < ⊤
\u22a2 ∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t < f a}).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}
lhs_finite : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ < ⊤
rhs_finite : ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} < ⊤
rhs_integrand_finite : ∀ t > 0, μ {a | t < f a} < ⊤
\u22a2 ∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t < f a}).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}
lhs_finite : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ < ⊤
rhs_finite : ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} < ⊤
rhs_integrand_finite : ∀ t > 0, μ {a | t < f a} < ⊤
\u22a2 ∫ (ω : α), f ω ∂μ = (∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}
lhs_finite : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ < ⊤
rhs_finite : ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} < ⊤
rhs_integrand_finite : ∀ t > 0, μ {a | t < f a} < ⊤
\u22a2 ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t < f a}).toReal = (∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}).toReal
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Univ.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
M : n × n → S
\u22a2 Polynomial.map (eval₂Hom f M) (univ R n) = (of (Function.curry M)).charpoly
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Univ.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
M : n × n → S
\u22a2 ((mvPolynomialX n n R).map (eval₂ f M)).charpoly = ((mvPolynomialX n n R).map (eval₂ f fun p => of (Function.curry M) p.1 p.2)).charpoly
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
μ ν : Measure α
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α
\u22a2 AEMeasurable f 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : Nonempty α
f : ↥(lp E ⊤)
\u22a2 IsLUB (Set.range fun i => ‖↑f i‖) ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : Nonempty α
f : ↥(lp E ⊤)
\u22a2 IsLUB (Set.range fun i => ‖↑f i‖) (⨆ i, ‖↑f i‖)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : ↥(oneCocycles A)
g : G
\u22a2 (A.ρ g) (↑f g⁻¹) = -↑f g
-- Mathlib/Analysis/Quaternion.lean
x : ℍ
\u22a2 ‖(WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x)‖ = ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/Quaternion.lean
x : ℍ
\u22a2 √(⟪(WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 0, (WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 0⟫_ℝ + ⟪(WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 1, (WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 1⟫_ℝ + ⟪(WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 2, (WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 2⟫_ℝ + ⟪(WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 3, (WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 3⟫_ℝ) = √(x.re ^ 2 + x.imI ^ 2 + x.imJ ^ 2 + x.imK ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/Quaternion.lean
x : ℍ
\u22a2 √((WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 0 ^ 2 + (WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 1 ^ 2 + (WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 2 ^ 2 + (WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 3 ^ 2) = √(x.re ^ 2 + x.imI ^ 2 + x.imJ ^ 2 + x.imK ^ 2)
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hX : ¬Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
\u22a2 cgf X μ t = 0
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
\u22a2 (algebraMap R S) (∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m) ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
\u22a2 ¬∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m = 0
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
\u22a2 ∀ (x : R), ¬(x ∈ finsetApprox bS adm ∧ x = 0)
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
hx : 0 ∈ finsetApprox bS adm
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝² : AddMonoid M
inst✝¹ : AddMonoid N
inst✝ : LinearOrder N
f : M → N
h0 : f 0 ≤ 0
hadd : ∀ (x y : M), f (x + y) ≤ max (f x) (f y)
hd : M
tl : List M
IH : f tl.sum ≤ foldr max 0 (map f tl)
\u22a2 f (hd :: tl).sum ≤ foldr max 0 (map f (hd :: tl))
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝² : AddMonoid M
inst✝¹ : AddMonoid N
inst✝ : LinearOrder N
f : M → N
h0 : f 0 ≤ 0
hadd : ∀ (x y : M), f (x + y) ≤ max (f x) (f y)
hd : M
tl : List M
IH : f tl.sum ≤ foldr (fun x y => max (f x) y) 0 tl
\u22a2 f (hd + tl.sum) ≤ max (f hd) (foldr (fun x y => max (f x) y) 0 tl)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X
y : Y
\u22a2 𝓝 (x, y) = map Prod.swap (𝓝 (y, x))
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X
y : Y
\u22a2 map (fun p => (p.2, p.1)) (𝓝 y ×ˢ 𝓝 x) = map Prod.swap (𝓝 y ×ˢ 𝓝 x)
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : OrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s t : Finset ι
inst✝ : DecidableEq ι
\u22a2 ∏ i ∈ s \ t, f i < ∏ i ∈ t \ s, f i ↔ ∏ i ∈ s, f i < ∏ i ∈ t, f i
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : OrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s t : Finset ι
inst✝ : DecidableEq ι
\u22a2 Disjoint (t \ s) (s ∩ t)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Uniform.lean
𝓕 : Type u_1
α✝ : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : SeminormedCommGroup E✝
inst✝² : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E✝
r r₁ r₂ : ℝ
α : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
K Kf Kg : ℝ≥0
f g : α → E
s : Set α
x : α
hf : AntilipschitzWith Kf f
hg : LipschitzWith Kg (g / f)
hK : Kg < Kf⁻¹
\u22a2 AntilipschitzWith (Kf⁻¹ - Kg)⁻¹ g
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
\u22a2 f.measure (Icc a b) = ofReal (↑f b - leftLim (↑f) a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
hab : a ≤ b
\u22a2 f.measure (Icc a b) = ofReal (↑f b - leftLim (↑f) a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
hab : b < a
\u22a2 f.measure (Icc a b) = ofReal (↑f b - leftLim (↑f) a)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v : α → ℝ
\u22a2 IsBigOWith c l (fun x => ‖f' x‖) g ↔ IsBigOWith c l f' g
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : 0 ∈ s
\u22a2 balancedCore 𝕜 s = ⋂ r, ⋂ (_ : 1 ≤ ‖r‖), r • s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : 0 ∈ s
\u22a2 balancedCoreAux 𝕜 s ⊆ balancedCore 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
hs : 0 ∈ s
\u22a2 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
P : PFunctor.{u}
α : Type u_2
g : α → ↑P α
x : α
\u22a2 (M.corec g x).dest = P.map (M.corec g) (g x)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
f g h σ τ : Perm α
hστ : σ.Disjoint τ
a : α
\u22a2 (σ * τ) a = a ↔ σ a = a ∧ τ a = a
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
f g h✝ σ τ : Perm α
hστ : σ.Disjoint τ
a : α
h : (σ * τ) a = a
\u22a2 σ a = a ∧ τ a = a
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
\u22a2 (fun x => a • x) y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
y : E
hy : y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
ha : ‖0‖ ≤ 1
\u22a2 (fun x => 0 • x) y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
h : a ≠ 0
\u22a2 (fun x => a • x) y ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → y ∈ r • s
h : a ≠ 0
\u22a2 ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → (fun x => a • x) y ∈ r • s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → y ∈ r • s
h : a ≠ 0
r : 𝕜
hr : 1 ≤ ‖r‖
\u22a2 (fun x => a • x) y ∈ r • s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → y ∈ r • s
h : a ≠ 0
r : 𝕜
hr : 1 ≤ ‖r‖
h'' : 1 ≤ ‖a⁻¹ • r‖
\u22a2 (fun x => a • x) y ∈ r • s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h0 : 0 ∈ balancedCoreAux 𝕜 s
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : ∀ (r : 𝕜), 1 ≤ ‖r‖ → y ∈ r • s
h : a ≠ 0
r : 𝕜
hr : 1 ≤ ‖r‖
h'' : 1 ≤ ‖a⁻¹ • r‖
h' : y ∈ (a⁻¹ • r) • s
\u22a2 (fun x => a • x) y ∈ r • s
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Cones.lean
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
A : Cocone F
X✝ Y✝ : J
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 (F ⋙ G).map f✝ ≫ (fun j => G.map (A.ι.app j)) Y✝ = (fun j => G.map (A.ι.app j)) X✝ ≫ ((const J).obj (G.obj A.pt)).map f✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Cones.lean
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
A : Cocone F
X✝ Y✝ : J
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 G.map (F.map f✝ ≫ A.ι.app Y✝) = (fun j => G.map (A.ι.app j)) X✝ ≫ ((const J).obj (G.obj A.pt)).map f✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Cones.lean
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
X✝ Y✝ : Cocone F
f : X✝ ⟶ Y✝
j✝ : J
\u22a2 ((fun A => { pt := G.obj A.pt, ι := { app := fun j => G.map (A.ι.app j), naturality := ⋯ } }) X✝).ι.app j✝ ≫ G.map f.hom = ((fun A => { pt := G.obj A.pt, ι := { app := fun j => G.map (A.ι.app j), naturality := ⋯ } }) Y✝).ι.app j✝
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b c : Cardinal.{u_1}
hc : ℵ₀ ≤ c
h1 : a < c
h2 : b < c
h : ℵ₀ ≤ max a b
\u22a2 max a b + max a b < c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b c : Cardinal.{u_1}
hc : ℵ₀ ≤ c
h1 : a < c
h2 : b < c
h : ℵ₀ ≤ max a b
\u22a2 max a b < c
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
hf : (map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o = Complex.orientation
x : V
\u22a2 f ((o.rotation θ) x) = ↑θ.expMapCircle * f x
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Factorization.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C
W₁ W₂ : MorphismProperty C
data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
J : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J
f : Arrow (J ⥤ C)
j : J
\u22a2 data.mapZ { left := f.left.map (𝟙 j), right := f.right.map (𝟙 j), w := ⋯ } = 𝟙 (data.factorizationData (f.hom.app j)).Z
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Factorization.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C
W₁ W₂ : MorphismProperty C
data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
J : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J
f : Arrow (J ⥤ C)
j : J
\u22a2 data.mapZ { left := f.left.map (𝟙 j), right := f.right.map (𝟙 j), w := ⋯ } = data.mapZ (𝟙 (Arrow.mk (f.hom.app j)))
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Factorization.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C
W₁ W₂ : MorphismProperty C
data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
J : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J
f : Arrow (J ⥤ C)
X✝ Y✝ Z✝ : J
x✝¹ : X✝ ⟶ Y✝
x✝ : Y✝ ⟶ Z✝
\u22a2 data.mapZ { left := f.left.map (x✝¹ ≫ x✝), right := f.right.map (x✝¹ ≫ x✝), w := ⋯ } = data.mapZ { left := f.left.map x✝¹, right := f.right.map x✝¹, w := ⋯ } ≫ data.mapZ { left := f.left.map x✝, right := f.right.map x✝, w := ⋯ }
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Factorization.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C
W₁ W₂ : MorphismProperty C
data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
J : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J
f : Arrow (J ⥤ C)
X✝ Y✝ Z✝ : J
x✝¹ : X✝ ⟶ Y✝
x✝ : Y✝ ⟶ Z✝
\u22a2 data.mapZ { left := f.left.map (x✝¹ ≫ x✝), right := f.right.map (x✝¹ ≫ x✝), w := ⋯ } = data.mapZ ({ left := f.left.map x✝¹, right := f.right.map x✝¹, w := ⋯ } ≫ { left := f.left.map x✝, right := f.right.map x✝, w := ⋯ })
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Factorization.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C
W₁ W₂ : MorphismProperty C
data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
J : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J
X✝ Y✝ : Arrow (J ⥤ C)
τ : X✝ ⟶ Y✝
x✝¹ x✝ : J
α : x✝¹ ⟶ x✝
\u22a2 data.mapZ { left := X✝.left.map α, right := X✝.right.map α, w := ⋯ } ≫ data.mapZ { left := τ.left.app x✝, right := τ.right.app x✝, w := ⋯ } = data.mapZ { left := τ.left.app x✝¹, right := τ.right.app x✝¹, w := ⋯ } ≫ data.mapZ { left := Y✝.left.map α, right := Y✝.right.map α, w := ⋯ }
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Factorization.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C
W₁ W₂ : MorphismProperty C
data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
J : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J
X✝ Y✝ : Arrow (J ⥤ C)
τ : X✝ ⟶ Y✝
x✝¹ x✝ : J
α : x✝¹ ⟶ x✝
\u22a2 data.mapZ ({ left := X✝.left.map α, right := X✝.right.map α, w := ⋯ } ≫ { left := τ.left.app x✝, right := τ.right.app x✝, w := ⋯ }) = data.mapZ ({ left := τ.left.app x✝¹, right := τ.right.app x✝¹, w := ⋯ } ≫ { left := Y✝.left.map α, right := Y✝.right.map α, w := ⋯ })
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Factorization.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C
W₁ W₂ : MorphismProperty C
data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
J : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J
f : Arrow (J ⥤ C)
j : J
\u22a2 data.mapZ { left := 𝟙 (f.left.obj j), right := 𝟙 (f.right.obj j), w := ⋯ } = 𝟙 (data.factorizationData (f.hom.app j)).Z
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Factorization.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C
W₁ W₂ : MorphismProperty C
data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
J : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J
f : Arrow (J ⥤ C)
j : J
\u22a2 data.mapZ { left := 𝟙 (f.left.obj j), right := 𝟙 (f.right.obj j), w := ⋯ } = data.mapZ (𝟙 (Arrow.mk (f.hom.app j)))
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Factorization.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C
W₁ W₂ : MorphismProperty C
data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
J : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J
X✝ Y✝ Z✝ : Arrow (J ⥤ C)
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
j : J
\u22a2 data.mapZ { left := f.left.app j ≫ g.left.app j, right := f.right.app j ≫ g.right.app j, w := ⋯ } = data.mapZ { left := f.left.app j, right := f.right.app j, w := ⋯ } ≫ data.mapZ { left := g.left.app j, right := g.right.app j, w := ⋯ }