ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → α → E
f_ℒp : ∀ (n : ι), Memℒp (f n) p μ
f_lim : α → E
f_lim_ℒp : Memℒp f_lim p μ
n : ι
\u22a2 ↑↑(Memℒp.toLp (f n) ⋯) - ↑↑(Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp) =ᶠ[ae μ] f n - f_lim
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → α → E
f_ℒp : ∀ (n : ι), Memℒp (f n) p μ
f_lim : α → E
f_lim_ℒp : Memℒp f_lim p μ
n : ι
a✝ : α
hx₁ : ↑↑(Memℒp.toLp (f n - f_lim) ⋯) a✝ = (f n - f_lim) a✝
hx₂ : ↑↑(Memℒp.toLp (f n) ⋯ - Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp) a✝ = (↑↑(Memℒp.toLp (f n) ⋯) - ↑↑(Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp)) a✝
\u22a2 (↑↑(Memℒp.toLp (f n) ⋯) - ↑↑(Memℒp.toLp f_lim f_lim_ℒp)) a✝ = (f n - f_lim) a✝
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
a : α
l : List α
H₁ : ∀ a' ∈ l, R a a'
H₂ : Pairwise R l
\u22a2 Pairwise (Lex (swap R)) (a :: l).sublists'
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
a : α
l : List α
H₁ : ∀ a' ∈ l, R a a'
H₂ : Pairwise R l
\u22a2 Pairwise (Lex (swap R)) l.sublists' ∧ Pairwise (fun a_1 b => Lex (swap R) (a :: a_1) (a :: b)) l.sublists' ∧ ∀ (a_1 : List α), a_1 <+ l → ∀ (b x : List α), x <+ l → a :: x = b → Lex (swap R) a_1 b
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
a : α
l : List α
H₁ : ∀ a' ∈ l, R a a'
H₂ : Pairwise R l
\u22a2 ∀ (a_1 : List α), a_1 <+ l → ∀ (b x : List α), x <+ l → a :: x = b → Lex (swap R) a_1 b
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
a : α
l : List α
H₁ : ∀ a' ∈ l, R a a'
H₂ : Pairwise R l
l₂ : List α
a✝ : l₂ <+ l
b : α
l₁ : List α
sl₁ : b :: l₁ <+ l
\u22a2 Lex (swap R) (b :: l₁) (a :: l₂)
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
h : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
\u22a2 Red [(x1, !b1), (x2, b2)] L ↔ L = [(x1, !b1), (x2, b2)]
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
h : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
\u22a2 ∀ (b : List (α × Bool)), ¬Step [(x1, !b1), (x2, b2)] b
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
h : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
L₁✝ L₂✝ : List (α × Bool)
x✝ : α
b✝ : Bool
eq : [(x1, !b1), (x2, b2)] = L₁✝ ++ (x✝, b✝) :: (x✝, !b✝) :: L₂✝
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
h : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
L₁✝ L₂✝ : List (α × Bool)
x✝ : α
b✝ : Bool
eq : L₁✝ = [] ∧ (x✝ = x1 ∧ b✝ = !b1) ∧ (x✝ = x2 ∧ (!b✝) = b2) ∧ L₂✝ = []
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Lie/Normalizer.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
h : N₁ ≤ N₂
m : M
hm : m ∈ N₁.normalizer
\u22a2 m ∈ N₂.normalizer
-- Mathlib/Algebra/Lie/Normalizer.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
h : N₁ ≤ N₂
m : M
hm : ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ ∈ N₁
\u22a2 ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ ∈ N₂
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/MeasurePreserving.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
μ : Measure α
f : α → α
s : Set α
hf : MeasurePreserving f μ μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
hvol : μ univ < ↑n * μ s
\u22a2 ∃ x ∈ s, ∃ m ∈ Ioo 0 n, f^[m] x ∈ s
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/MeasurePreserving.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
μ : Measure α
f : α → α
s : Set α
hf : MeasurePreserving f μ μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
hvol : μ univ < ↑n * μ s
A : ∀ (m : ℕ), NullMeasurableSet (f^[m] ⁻¹' s) μ
\u22a2 ∃ x ∈ s, ∃ m ∈ Ioo 0 n, f^[m] x ∈ s
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/MeasurePreserving.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
μ : Measure α
f : α → α
s : Set α
hf : MeasurePreserving f μ μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
hvol : μ univ < ↑n * μ s
A : ∀ (m : ℕ), NullMeasurableSet (f^[m] ⁻¹' s) μ
B : ∀ (m : ℕ), μ (f^[m] ⁻¹' s) = μ s
\u22a2 ∃ x ∈ s, ∃ m ∈ Ioo 0 n, f^[m] x ∈ s
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/MeasurePreserving.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
μ : Measure α
f : α → α
s : Set α
hf : MeasurePreserving f μ μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
hvol : μ univ < ↑n * μ s
A : ∀ (m : ℕ), NullMeasurableSet (f^[m] ⁻¹' s) μ
B : ∀ (m : ℕ), μ (f^[m] ⁻¹' s) = μ s
this : μ univ < ∑ m ∈ Finset.range n, μ (f^[m] ⁻¹' s)
\u22a2 ∃ x ∈ s, ∃ m ∈ Ioo 0 n, f^[m] x ∈ s
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/MeasurePreserving.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
μ : Measure α
f : α → α
s : Set α
hf : MeasurePreserving f μ μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
hvol : μ univ < ↑n * μ s
A : ∀ (m : ℕ), NullMeasurableSet (f^[m] ⁻¹' s) μ
B : ∀ (m : ℕ), μ (f^[m] ⁻¹' s) = μ s
this : μ univ < ∑ m ∈ Finset.range n, μ (f^[m] ⁻¹' s)
i : ℕ
hi : i < n
j : ℕ
hj : j < n
hij : i ≠ j
x : α
hxi : f^[i] x ∈ s
hxj : f^[j] x ∈ s
\u22a2 ∃ x ∈ s, ∃ m ∈ Ioo 0 n, f^[m] x ∈ s
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/MeasurePreserving.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
μ : Measure α
f : α → α
s : Set α
hf : MeasurePreserving f μ μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
hvol : μ univ < ↑n * μ s
A : ∀ (m : ℕ), NullMeasurableSet (f^[m] ⁻¹' s) μ
B : ∀ (m : ℕ), μ (f^[m] ⁻¹' s) = μ s
this : μ univ < ∑ m ∈ Finset.range n, μ (f^[m] ⁻¹' s)
x : α
i : ℕ
hi : i < n
j : ℕ
hj : j < n
hij : i ≠ j
hxi : f^[i] x ∈ s
hxj : f^[j] x ∈ s
hlt : i < j
\u22a2 ∃ x ∈ s, ∃ m ∈ Ioo 0 n, f^[m] x ∈ s
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/MeasurePreserving.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
μ : Measure α
f : α → α
s : Set α
hf : MeasurePreserving f μ μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
hvol : μ univ < ↑n * μ s
A : ∀ (m : ℕ), NullMeasurableSet (f^[m] ⁻¹' s) μ
B : ∀ (m : ℕ), μ (f^[m] ⁻¹' s) = μ s
this : μ univ < ∑ m ∈ Finset.range n, μ (f^[m] ⁻¹' s)
x : α
i : ℕ
hi : i < n
j : ℕ
hj : j < n
hij : i ≠ j
hxi : f^[i] x ∈ s
hxj : f^[j] x ∈ s
hlt : i < j
\u22a2 f^[j - i] (f^[i] x) ∈ s
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
k : ℕ
x✝ : 2 ≤ k + 2
\u22a2 n.descFactorial (k + 2) < n ^ (k + 2)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
k : ℕ
x✝ : 2 ≤ k + 2
\u22a2 n.descFactorial (k + 1) * (n - (k + 1)) < n ^ (k + 1) * n
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : s.card = t.card
\u22a2 (fun x => x + t.card) (s \ t).card = (fun x => x + t.card) (t \ s).card
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F✝ : ℕ → α → β
f✝ : α → β
bound✝ : α → ℝ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
F_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (F n) μ
bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
\u22a2 Tendsto (fun n => ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖ ∂μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F✝ : ℕ → α → β
f✝ : α → β
bound✝ : α → ℝ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
F_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (F n) μ
bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
\u22a2 Tendsto (fun n => ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖ ∂μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F✝ : ℕ → α → β
f✝ : α → β
bound✝ : α → ℝ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
F_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (F n) μ
bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
b : α → ℝ≥0∞ := fun a => 2 * ENNReal.ofReal (bound a)
hb : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖ ≤ b a
\u22a2 Tendsto (fun n => ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖ ∂μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F✝ : ℕ → α → β
f✝ : α → β
bound✝ : α → ℝ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
F_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (F n) μ
bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
b : α → ℝ≥0∞ := fun a => 2 * ENNReal.ofReal (bound a)
hb : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖ ≤ b a
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖) atTop (𝓝 0)
\u22a2 Tendsto (fun n => ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖ ∂μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F✝ : ℕ → α → β
f✝ : α → β
bound✝ : α → ℝ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
F_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (F n) μ
bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
b : α → ℝ≥0∞ := fun a => 2 * ENNReal.ofReal (bound a)
hb : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖ ≤ b a
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖) atTop (𝓝 0)
\u22a2 Tendsto (fun n => ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖ ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), 0 ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F✝ : ℕ → α → β
f✝ : α → β
bound✝ : α → ℝ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
F_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (F n) μ
bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
b : α → ℝ≥0∞ := fun a => 2 * ENNReal.ofReal (bound a)
hb : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖ ≤ b a
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖) atTop (𝓝 0)
\u22a2 ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F✝ : ℕ → α → β
f✝ : α → β
bound✝ : α → ℝ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
F_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (F n) μ
bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
b : α → ℝ≥0∞ := fun a => 2 * ENNReal.ofReal (bound a)
hb : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖ ≤ b a
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖) atTop (𝓝 0)
\u22a2 ∫⁻ (a : α), b a ∂μ ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F✝ : ℕ → α → β
f✝ : α → β
bound✝ : α → ℝ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
F_measurable : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (F n) μ
bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
f_measurable : AEStronglyMeasurable f μ
b : α → ℝ≥0∞ := fun a => 2 * ENNReal.ofReal (bound a)
hb : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖ ≤ b a
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖) atTop (𝓝 0)
\u22a2 ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => ENNReal.ofReal ‖F n a - f a‖) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f g : X → ℝ
s t : Set X
hf✝ : IntegrableOn f s μ
hg : IntegrableOn g s μ
c : ℝ
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
hf : ∀ x ∈ s, c ≤ f x
hfint : IntegrableOn (fun x => f x) s μ
\u22a2 c * (μ s).toReal ≤ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f g : X → ℝ
s t : Set X
hf✝ : IntegrableOn f s μ
hg : IntegrableOn g s μ
c : ℝ
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
hf : ∀ x ∈ s, c ≤ f x
hfint : IntegrableOn (fun x => f x) s μ
\u22a2 ∫ (x : X) in s, c ∂μ ≤ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
-- Mathlib/Data/DFinsupp/NeLocus.lean
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → AddGroup (N a)
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : Π₀ (a : α), N a
\u22a2 f.neLocus (f + g) = g.support
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Basic.lean
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
\u22a2 (ρ_ f).inv ▷ g ≫ (α_ f (𝟙 b) g).hom = f ◁ (λ_ g).inv
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
\u22a2 o.oangle (-x) y = o.oangle x y + ↑π
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
\u22a2 ↑((-o.kahler x) y).arg = ↑((o.kahler x) y).arg + ↑π
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
\u22a2 (o.kahler x) y ≠ 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Types.lean
S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u
α β : Type u
f : β ⟶ α
s : S.obj (op α)
x : β
\u22a2 eval S β (S.map f.op s) x = eval S α s (f x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Types.lean
S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u
α β : Type u
f : β ⟶ α
s : S.obj (op α)
x : β
\u22a2 S.map ((↾fun x_1 => x) ≫ f).op s = S.map (↾fun x_1 => f x).op s
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/BigOperators.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : MonoidHomClass F α β
inst✝ : Fintype ι
f : ι → Set α
a : α
\u22a2 a ∈ ∏ i : ι, f i ↔ ∃ g, ∃ (_ : ∀ (i : ι), g i ∈ f i), ∏ i : ι, g i = a
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/BigOperators.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : MonoidHomClass F α β
inst✝ : Fintype ι
f : ι → Set α
a : α
\u22a2 (∃ g, ∃ (_ : ∀ {i : ι}, i ∈ Finset.univ → g i ∈ f i), ∏ i : ι, g i = a) ↔ ∃ g, ∃ (_ : ∀ (i : ι), g i ∈ f i), ∏ i : ι, g i = a
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w u' v' : V
p : G.Walk u' v'
\u22a2 (p.copy ⋯ ⋯).IsPath ↔ p.IsPath
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
h : IsPurelyInseparable F K
\u22a2 IsPurelyInseparable E K
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
h : IsPurelyInseparable F K
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
\u22a2 IsPurelyInseparable E K
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
h : IsPurelyInseparable F K
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
this : ExpChar E q
\u22a2 IsPurelyInseparable E K
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
q : ℕ
h : ∀ (x : K), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F K).range
h✝ : ExpChar F q
this : ExpChar E q
\u22a2 ∀ (x : K), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap E K).range
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
q : ℕ
h✝¹ : ∀ (x : K), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F K).range
h✝ : ExpChar F q
this : ExpChar E q
x : K
n : ℕ
y : F
h : (algebraMap F K) y = x ^ q ^ n
\u22a2 ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap E K).range
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
hf : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : f' ≤ 0
x : ℝ
\u22a2 deriv f x ≤ 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
hf : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : f' ≤ 0
x : ℝ
\u22a2 f' x ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ≥0
\u22a2 ↑R ≤ (cauchyPowerSeries f c ↑R).radius
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ≥0
n : ℕ
\u22a2 ‖cauchyPowerSeries f c (↑R) n‖ * ↑R ^ n ≤ (2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c (↑R) θ)‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ≥0
n : ℕ
\u22a2 ((2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c (↑R) θ)‖) * |↑R|⁻¹ ^ n * ↑R ^ n ≤ (2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c (↑R) θ)‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ≥0
n : ℕ
\u22a2 ((2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c (↑R) θ)‖) * (↑R)⁻¹ ^ n * ↑R ^ n ≤ (2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c (↑R) θ)‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ≥0
n : ℕ
hR : ↑R ^ n = 0
\u22a2 ((2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c (↑R) θ)‖) * (↑R)⁻¹ ^ n * ↑R ^ n ≤ (2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c (↑R) θ)‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ≥0
n : ℕ
hR : ↑R ^ n ≠ 0
\u22a2 ((2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c (↑R) θ)‖) * (↑R)⁻¹ ^ n * ↑R ^ n ≤ (2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c (↑R) θ)‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/TriangleInequality.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hq1 : 1 ≤ q
a : α
\u22a2 ↑‖(f + g) a‖₊ ≤ ((fun a => ↑‖f a‖₊) + fun a => ↑‖g a‖₊) a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
R : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
c : R
hf : HasDerivAtFilter f f' x L
\u22a2 HasDerivAtFilter (fun y => c • f y) (c • f') x L
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
ha : a < 0
k : ℕ
\u22a2 a ^ (2 * k + 1) < 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
ha : a < 0
k : ℕ
\u22a2 a ^ (2 * k) * a < 0
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
f : j ⟶ i
x : F.obj j
hx : x ∈ F.eventualRange j
\u22a2 F.map f x ∈ F.eventualRange i
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
f : j ⟶ i
x : F.obj j
hx : ∀ ⦃i : J⦄ (f : i ⟶ j), x ∈ range (F.map f)
\u22a2 ∀ ⦃i_1 : J⦄ (f_1 : i_1 ⟶ i), F.map f x ∈ range (F.map f_1)
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k✝ : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
f : j ⟶ i
x : F.obj j
hx : ∀ ⦃i : J⦄ (f : i ⟶ j), x ∈ range (F.map f)
k : J
f' : k ⟶ i
\u22a2 F.map f x ∈ range (F.map f')