ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Constructions.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c => 1 - c / z
feq : f1 ∘ f2 ∘ f3 = Inv.inv
f3val : f3 z = 0
\u22a2 AnalyticAt 𝕜 Inv.inv z
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Constructions.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
z : 𝕝
hz : z ≠ 0
f1 : 𝕝 → 𝕝 := fun a => 1 / z * a
f2 : 𝕝 → 𝕝 := fun b => (1 - b)⁻¹
f3 : 𝕝 → 𝕝 := fun c => 1 - c / z
feq : f1 ∘ f2 ∘ f3 = Inv.inv
f3val : f3 z = 0
f3an : AnalyticAt 𝕜 f3 z
\u22a2 AnalyticAt 𝕜 Inv.inv z
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β → G
hf : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hf_int : Integrable f μ
\u22a2 ∫ (x : β), f x ∂μ = ∫ (x : β), f x ∂μ.trim hm
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β → G
hf : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hf_int : Integrable f μ
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
\u22a2 ∫ (x : β), f x ∂μ = ∫ (x : β), f x ∂μ.trim hm
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β → G
hf : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hf_int : Integrable f μ
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
f_seq : ℕ → β →ₛ G := SimpleFunc.approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯
\u22a2 ∫ (x : β), f x ∂μ = ∫ (x : β), f x ∂μ.trim hm
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β → G
hf : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hf_int : Integrable f μ
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
f_seq : ℕ → β →ₛ G := SimpleFunc.approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯
hf_seq_meas : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable ↑(f_seq n)
\u22a2 ∫ (x : β), f x ∂μ = ∫ (x : β), f x ∂μ.trim hm
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β → G
hf : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hf_int : Integrable f μ
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
f_seq : ℕ → β →ₛ G := SimpleFunc.approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯
hf_seq_meas : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable ↑(f_seq n)
hf_seq_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (↑(f_seq n)) μ
\u22a2 ∫ (x : β), f x ∂μ = ∫ (x : β), f x ∂μ.trim hm
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β → G
hf : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hf_int : Integrable f μ
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
f_seq : ℕ → β →ₛ G := SimpleFunc.approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯
hf_seq_meas : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable ↑(f_seq n)
hf_seq_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (↑(f_seq n)) μ
hf_seq_int_m : ∀ (n : ℕ), Integrable (↑(f_seq n)) (μ.trim hm)
\u22a2 ∫ (x : β), f x ∂μ = ∫ (x : β), f x ∂μ.trim hm
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β → G
hf : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hf_int : Integrable f μ
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
f_seq : ℕ → β →ₛ G := SimpleFunc.approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯
hf_seq_meas : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable ↑(f_seq n)
hf_seq_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (↑(f_seq n)) μ
hf_seq_int_m : ∀ (n : ℕ), Integrable (↑(f_seq n)) (μ.trim hm)
hf_seq_eq : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : β), ↑(f_seq n) x ∂μ = ∫ (x : β), ↑(f_seq n) x ∂μ.trim hm
\u22a2 ∫ (x : β), f x ∂μ = ∫ (x : β), f x ∂μ.trim hm
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β → G
hf : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hf_int : Integrable f μ
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
f_seq : ℕ → β →ₛ G := SimpleFunc.approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯
hf_seq_meas : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable ↑(f_seq n)
hf_seq_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (↑(f_seq n)) μ
hf_seq_int_m : ∀ (n : ℕ), Integrable (↑(f_seq n)) (μ.trim hm)
hf_seq_eq : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : β), ↑(f_seq n) x ∂μ = ∫ (x : β), ↑(f_seq n) x ∂μ.trim hm
h_lim_1 : Tendsto (fun n => ∫ (x : β), ↑(f_seq n) x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : β), f x ∂μ))
\u22a2 ∫ (x : β), f x ∂μ = ∫ (x : β), f x ∂μ.trim hm
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β → G
hf : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hf_int : Integrable f μ
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
f_seq : ℕ → β →ₛ G := SimpleFunc.approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯
hf_seq_meas : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable ↑(f_seq n)
hf_seq_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (↑(f_seq n)) μ
hf_seq_int_m : ∀ (n : ℕ), Integrable (↑(f_seq n)) (μ.trim hm)
hf_seq_eq : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : β), ↑(f_seq n) x ∂μ = ∫ (x : β), ↑(f_seq n) x ∂μ.trim hm
h_lim_1 : Tendsto (fun n => ∫ (x : β), ↑(f_seq n) x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : β), f x ∂μ))
h_lim_2 : Tendsto (fun n => ∫ (x : β), ↑(f_seq n) x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : β), f x ∂μ.trim hm))
\u22a2 ∫ (x : β), f x ∂μ = ∫ (x : β), f x ∂μ.trim hm
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Plus.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
γ : J.plusObj P ⟶ Q
hγ : J.toPlus P ≫ γ = η
\u22a2 γ = J.plusMap η ≫ (J.isoToPlus Q hQ).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Plus.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
γ : J.plusObj P ⟶ Q
hγ : J.toPlus P ≫ γ = η
\u22a2 γ ≫ (J.isoToPlus Q hQ).hom = J.plusMap (J.toPlus P) ≫ J.plusMap γ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
x✝ : E
a✝⁵ : x✝ ∈ ↑K
y✝ : E
a✝⁴ : y✝ ∈ ↑K
a✝³ b✝ : 𝕜
a✝² : 0 ≤ a✝³
a✝¹ : 0 ≤ b✝
a✝ : a✝³ + b✝ = 1
\u22a2 a✝³ • x✝ + b✝ • y✝ ∈ ↑K
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x : R
y : P
\u22a2 y ∈ ↑(Ideal.span {x}) ↔ y ∈ spanSingleton S ((algebraMap R P) x)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x : R
y : P
\u22a2 (∃ x' ∈ Ideal.span {x}, (algebraMap R P) x' = y) ↔ ∃ z, z • (algebraMap R P) x = y
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
\u22a2 (μ.singularPart ν).singularPart ν = μ.singularPart ν
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/EpiMono.lean
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
hx : x ∈ MonoidHom.range f
b : ↑B
hb : b ∉ MonoidHom.range f
\u22a2 (((Equiv.symm τ).trans (g x)).trans τ) (fromCoset ⟨b • ↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) = fromCoset ⟨(x * b) • ↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/EpiMono.lean
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
hx : x ∈ MonoidHom.range f
b : ↑B
hb : b ∉ MonoidHom.range f
\u22a2 (Equiv.swap (fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) ∞) ((g x) ((Equiv.symm (Equiv.swap (fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) ∞)) (fromCoset ⟨b • ↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩))) = fromCoset ⟨(x * b) • ↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/EpiMono.lean
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
hx : x ∈ MonoidHom.range f
b : ↑B
hb : b ∉ MonoidHom.range f
\u22a2 (Equiv.swap (fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) ∞) ((g x) (fromCoset ⟨b • ↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩)) = fromCoset ⟨(x * b) • ↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/EpiMono.lean
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
hx : x ∈ MonoidHom.range f
b : ↑B
hb : b ∉ MonoidHom.range f
\u22a2 (Equiv.swap (fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) ∞) (fromCoset ⟨(x * b) • ↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) = fromCoset ⟨(x * b) • ↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/EpiMono.lean
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
hx : x ∈ MonoidHom.range f
b : ↑B
hb : b ∉ MonoidHom.range f
r : x * b ∈ MonoidHom.range f
\u22a2 b ∈ MonoidHom.range f
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/EpiMono.lean
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : ↑B
hx : x ∈ MonoidHom.range f
b : ↑B
hb : b ∉ MonoidHom.range f
r : x * b ∈ MonoidHom.range f
\u22a2 b = x⁻¹ * (x * b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B C : Matrix n n α
h : A * B = 1
g : C * A = 1
\u22a2 B = C
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M
fst✝ : α
snd✝ : M
\u22a2 (fst✝, snd✝) ∈ f.graph ↔ f (fst✝, snd✝).1 = (fst✝, snd✝).2 ∧ (fst✝, snd✝).2 ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : TopologicalSpace E
S : Set (Set E)
hS : S.Finite
\u22a2 IsVonNBounded 𝕜 (⋃₀ S) ↔ ∀ s ∈ S, IsVonNBounded 𝕜 s
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Ker.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[τ₂₁] M
h : g.comp f = id
m : M
hm : f m = 0
\u22a2 m = 0
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x y z : PartENat
h : x < y
hz : z ≠ ⊤
\u22a2 x + z < y + z
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
y z : PartENat
hz : z ≠ ⊤
m : ℕ
h : ↑m < y
\u22a2 ↑m + z < y + z
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
y : PartENat
m : ℕ
h : ↑m < y
k : ℕ
hz : ↑k ≠ ⊤
\u22a2 ↑m + ↑k < y + ↑k
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
m k : ℕ
hz : ↑k ≠ ⊤
h : ↑m < ⊤
\u22a2 ↑m + ↑k < ⊤ + ↑k
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
m k : ℕ
hz : ↑k ≠ ⊤
n : ℕ
h : ↑m < ↑n
\u22a2 ↑m + ↑k < ↑n + ↑k
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
m k : ℕ
hz : ↑k ≠ ⊤
n : ℕ
h : m < n
\u22a2 m + k < n + k
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MulOneClass α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : a * b < a
\u22a2 a * b < a * 1
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
n : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
hf : Primrec' f
\u22a2 Primrec' fun v => (unpair (f v)).2
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
n : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
hf : Primrec' f
s : Primrec' fun v => (f v).sqrt
\u22a2 Primrec' fun v => (unpair (f v)).2
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
n : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
hf : Primrec' f
s : Primrec' fun v => (f v).sqrt
fss : Primrec' fun v => f v - (f v).sqrt * (f v).sqrt
\u22a2 Primrec' fun v => (unpair (f v)).2
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
n : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
hf : Primrec' f
s : Primrec' fun v => (f v).sqrt
fss : Primrec' fun v => f v - (f v).sqrt * (f v).sqrt
v : Vector ℕ n
\u22a2 (if f v - (f v).sqrt * (f v).sqrt < (f v).sqrt then (f v).sqrt else f v - (f v).sqrt * (f v).sqrt - (f v).sqrt) = (unpair (f v)).2
-- Mathlib/SetTheory/Game/State.lean
S : Type u
inst✝ : State S
s t : S
m : t ∈ r s
h : turnBound s = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/SetTheory/Game/State.lean
S : Type u
inst✝ : State S
s t✝ : S
m : t✝ ∈ r s
h : turnBound s = 0
t : turnBound t✝ < turnBound s
\u22a2 False
-- Mathlib/SetTheory/Game/State.lean
S : Type u
inst✝ : State S
s t✝ : S
m : t✝ ∈ r s
h : turnBound s = 0
t : turnBound t✝ < 0
\u22a2 False
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
cs cs' : List Char
\u22a2 { data := cs ++ cs' }.prev { byteIdx := utf8Len cs } = { byteIdx := utf8Len cs.dropLast }
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Normed.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
\u22a2 (support fun x => ↑f x / ∫ (x : E), ↑f x ∂μ) = ball c f.rOut
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a : α
n : ℕ
h : s.think.Results a (n + 1)
\u22a2 s.Results a n
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a : α
n : ℕ
h : s.think.Results a (n + 1)
n' : ℕ
r : s.Results a n'
e : n + 1 = n' + 1
\u22a2 s.Results a n
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ : ℤ
γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝
n' a : ℤ
γ : Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'
n : ℤ
hn : n' + a = n
\u22a2 (rightShiftAddEquiv K L n a n' hn).symm (-γ) = -γ.rightUnshift n hn
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : AddMonoid A
s✝ t u : Set M
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x : N
hx : x ∈ closure s
\u22a2 ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : AddMonoid A
s✝ t u : Set M
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x : N
hx : x ∈ closure s
\u22a2 ∀ x ∈ s, (fun x => ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)) x
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : AddMonoid A
s✝ t u : Set M
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x : N
hx : x ∈ closure s
\u22a2 (fun x => ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)) 1
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : AddMonoid A
s✝ t u : Set M
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x : N
hx : x ∈ closure s
\u22a2 ∀ (x y : N), (fun x => ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)) x → (fun x => ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)) y → (fun x => ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)) (x * y)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : Fintype ι'
F' : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
p' : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
P' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E ((i : ι) → F' i)
inst✝ : DecidableEq ι
k : ℕ∞
x : (i : ι) → F' i
i : ι
\u22a2 ContDiff 𝕜 k (update x i)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : Fintype ι'
F' : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
p' : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
P' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E ((i : ι) → F' i)
inst✝ : DecidableEq ι
k : ℕ∞
x : (i : ι) → F' i
i : ι
\u22a2 ∀ (i_1 : ι), ContDiff 𝕜 k fun x_1 => update x i x_1 i_1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Taylor.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
r✝ : R✝
f : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
r : R
p q : R[X]
\u22a2 (taylor r) (p * q) = (taylor r) p * (taylor r) q
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : Filter (α × β)
\u22a2 Cauchy F ↔ Cauchy (map Prod.fst F) ∧ Cauchy (map Prod.snd F)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
\u22a2 ENNReal.ofReal (∏ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ENNReal.ofReal (f i)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
\u22a2 (∏ i ∈ s, f i).toNNReal = ∏ a ∈ s, (f a).toNNReal
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Iso.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso g
\u22a2 inv (pullback.fst f g) ≫ pullback.snd f g = f ≫ inv g
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hg : DifferentiableAt 𝕜' g₁ (h x)
hh : DifferentiableAt 𝕜 h x
hy : y = h x
\u22a2 deriv (g₁ ∘ h) x = deriv h x • deriv g₁ (h x)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/ZModChar.lean
n : ℤ
\u22a2 χ₈ ↑n = χ₈ ↑(n % 8)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]
H : (p + q).natDegree < p.natDegree
\u22a2 p.natDegree = q.natDegree