ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f g : (ℕ → ℕ) → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
h : Disjoint (range f) (range g)
hfg : ¬MeasurablySeparable (range f) (range g)
I : ∀ (n : ℕ) (x y : ℕ → ℕ), ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x n) (g '' cylinder y n) → ∃ x' y', x' ∈ cylinder x n ∧ y' ∈ cylinder y n ∧ ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x' (n + 1)) (g '' cylinder y' (n + 1))
A : Type := { p // ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder p.2.1 p.1) (g '' cylinder p.2.2 p.1) }
F : A → A
hFn : ∀ (p : A), (↑(F p)).1 = (↑p).1 + 1
hFx : ∀ (p : A), (↑(F p)).2.1 ∈ cylinder (↑p).2.1 (↑p).1
hFy : ∀ (p : A), (↑(F p)).2.2 ∈ cylinder (↑p).2.2 (↑p).1
p0 : A := ⟨(0, fun x => 0, fun x => 0), ⋯⟩
p : ℕ → A := fun n => F^[n] p0
prec : ∀ (n : ℕ), p (n + 1) = F (p n)
pn_fst : ∀ (n : ℕ), (↑(p n)).1 = n
Ix : ∀ (m n : ℕ), m + 1 ≤ n → (↑(p n)).2.1 m = (↑(p (m + 1))).2.1 m
Iy : ∀ (m n : ℕ), m + 1 ≤ n → (↑(p n)).2.2 m = (↑(p (m + 1))).2.2 m
x : ℕ → ℕ := fun n => (↑(p (n + 1))).2.1 n
hx : x = fun n => (↑(p (n + 1))).2.1 n
y : ℕ → ℕ := fun n => (↑(p (n + 1))).2.2 n
hy : y = fun n => (↑(p (n + 1))).2.2 n
M : ∀ (n : ℕ), ¬MeasurablySeparable (f '' cylinder x n) (g '' cylinder y n)
u v : Set α
u_open : IsOpen u
v_open : IsOpen v
xu : f x ∈ u
yv : g y ∈ v
huv : Disjoint u v
this : MetricSpace (ℕ → ℕ) := metricSpaceNatNat
εx : ℝ
εxpos : εx > 0
hεx : ball x εx ⊆ f ⁻¹' u
εy : ℝ
εypos : εy > 0
hεy : ball y εy ⊆ g ⁻¹' v
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < min εx εy
\u22a2 False
-- Mathlib/Order/RelClasses.lean
α : Type u
β : Type v
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsIrrefl α r
inst✝ : Subsingleton α
\u22a2 ∀ (a b : α), r a b = EmptyRelation a b
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Group G
x y : G
hx : orderOf x = 2
hy : orderOf y = 2
hxy : x ≠ y
\u22a2 x * y ∉ {x, y, 1}
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Group G
x y : G
hx : orderOf x = 2
hy : orderOf y = 2
hxy : x ≠ y
\u22a2 ¬y = 1 ∧ ¬x = 1 ∧ ¬x = y
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (μ.restrict s) t = 0 ↔ μ (t ∩ s) = 0
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
h'f : 0 ≤ f
A : ℝ
\u22a2 ∫ (x : α), truncation f A x ∂μ ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
h'f : 0 ≤ f
A : ℝ
x : α
\u22a2 0 x ≤ truncation f A x
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
h'f : 0 ≤ f
A : ℝ
x : α
\u22a2 truncation f A x ≤ f x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Monoidal/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M : ModuleCat R
N : ModuleCat R
\u22a2 tensorHom (𝟙 M) (𝟙 N) = 𝟙 (of R (↑M ⊗[R] ↑N))
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Monoidal/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M : ModuleCat R
N : ModuleCat R
\u22a2 (TensorProduct.mk R ↑M ↑N).compr₂ (tensorHom (𝟙 M) (𝟙 N)) = (TensorProduct.mk R ↑M ↑N).compr₂ (𝟙 (of R (↑M ⊗[R] ↑N)))
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ : R⟦X⟧
h : φ.order.Dom
n : ℕ
\u22a2 (coeff R n) φ = (coeff R n) (X ^ φ.order.get h * mk fun n => (coeff R (n + φ.order.get h)) φ)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ : R⟦X⟧
h : φ.order.Dom
n : ℕ
\u22a2 (coeff R n) φ = ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => x.1 = φ.order.get h) (antidiagonal n), (coeff R (x.2 + φ.order.get h)) φ
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ : R⟦X⟧
h : φ.order.Dom
n : ℕ
\u22a2 (coeff R n) φ = ∑ x ∈ if φ.order.get h ≤ n then {(φ.order.get h, n - φ.order.get h)} else ∅, (coeff R (x.2 + φ.order.get h)) φ
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
inst✝ : NeZero n
a : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0
\u22a2 a.succAbove 0 = 0
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
inst✝ : NeZero n
a : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0
\u22a2 castSucc 0 = 0
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
inst✝ : NeZero n
a : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0
\u22a2 castSucc 0 < a
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ n' a : ℤ
γ : Cocycle K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'
n : ℤ
hn : n' + a = n
\u22a2 δ n (n + 1) ((↑γ).rightUnshift n hn) = 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
d n n' : Int
d' : Nat
z' : d' ≠ 0
c : n'.natAbs.Coprime d'
z : d ≠ 0
h : n /. d = { num := n', den := d', den_nz := z', reduced := c }
\u22a2 ∃ m, m ≠ 0 ∧ n = n' * m ∧ d = ↑d' * m
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
n n' : Int
d' : Nat
z' : d' ≠ 0
c : n'.natAbs.Coprime d'
w✝ : Nat
z : ¬w✝ = 0
h : mkRat n w✝ = { num := n', den := d', den_nz := z', reduced := c }
\u22a2 ∃ m, ¬m = 0 ∧ n = n' * m ∧ ↑w✝ = ↑d' * m
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
n n' : Int
d' : Nat
z' : d' ≠ 0
c : n'.natAbs.Coprime d'
w✝ : Nat
z : ¬w✝ = 0
h : mkRat (-n) w✝ = { num := n', den := d', den_nz := z', reduced := c }
\u22a2 ∃ m, ¬m = 0 ∧ n = n' * m ∧ -↑w✝ = ↑d' * m
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Translations.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
b✝ : ℤ
fr✝ : K
stream_nth_eq : IntFractPair.stream v n = some { b := b✝, fr := fr✝ }
nth_fr_ne_zero : { b := b✝, fr := fr✝ }.fr ≠ 0
\u22a2 IntFractPair.stream v (n + 1) = some (IntFractPair.of { b := b✝, fr := fr✝ }.fr⁻¹)
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Translations.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
b✝ : ℤ
fr✝ : K
stream_nth_eq : IntFractPair.stream v n = some { b := b✝, fr := fr✝ }
nth_fr_ne_zero : { b := b✝, fr := fr✝ }.fr ≠ 0
\u22a2 fr✝ = 0 → False
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
n : ℤ
h : ¬3 ∣ n
\u22a2 ↑n ^ 3 = 1 ∨ ↑n ^ 3 = 8
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
n : ℤ
h : ¬3 ∣ n
\u22a2 (castHom ⋯ (ZMod 3)) ↑n ≠ 0
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → LiftR (fun {i} => α.RelLast r) x.dest y.dest
\u22a2 ∀ (x y : Cofix F α), r x y → x = y
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → LiftR (fun {i} => α.RelLast r) x.dest y.dest
\u22a2 ∀ (x y : Cofix F α), r x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> y.dest
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → LiftR (fun {i} => α.RelLast r) x.dest y.dest
x y : Cofix F α
rxy : r x y
\u22a2 (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> y.dest
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → LiftR (fun {i} => α.RelLast r) x.dest y.dest
x y : Cofix F α
rxy : r x y
a : (P F).A
f₀ f₁ : (P F).B a ⟹ fun {i} => (α ::: Cofix F α) i
dxeq : x.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₀⟩
dyeq : y.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₁⟩
h' : ∀ (i : Fin2 (n + 1)) (j : (P F).B a i), α.RelLast r (f₀ i j) (f₁ i j)
\u22a2 (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> y.dest
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → LiftR (fun {i} => α.RelLast r) x.dest y.dest
x y : Cofix F α
rxy : r x y
a : (P F).A
f₀ f₁ : (P F).B a ⟹ fun {i} => (α ::: Cofix F α) i
dxeq : x.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₀⟩
dyeq : y.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₁⟩
h' : ∀ (i : Fin2 (n + 1)) (j : (P F).B a i), α.RelLast r (f₀ i j) (f₁ i j)
\u22a2 MvQPF.abs ⟨a, (TypeVec.id ::: Quot.mk r) ⊚ f₀⟩ = MvQPF.abs ⟨a, (TypeVec.id ::: Quot.mk r) ⊚ f₁⟩
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → LiftR (fun {i} => α.RelLast r) x.dest y.dest
x y : Cofix F α
rxy : r x y
a : (P F).A
f₀ f₁ : (P F).B a ⟹ fun {i} => (α ::: Cofix F α) i
dxeq : x.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₀⟩
dyeq : y.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₁⟩
h' : ∀ (i : Fin2 (n + 1)) (j : (P F).B a i), α.RelLast r (f₀ i j) (f₁ i j)
\u22a2 MvQPF.abs ⟨a, (TypeVec.id ::: Quot.mk r) ⊚ splitFun (dropFun f₀) (lastFun f₀)⟩ = MvQPF.abs ⟨a, (TypeVec.id ::: Quot.mk r) ⊚ splitFun (dropFun f₁) (lastFun f₁)⟩
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → LiftR (fun {i} => α.RelLast r) x.dest y.dest
x y : Cofix F α
rxy : r x y
a : (P F).A
f₀ f₁ : (P F).B a ⟹ fun {i} => (α ::: Cofix F α) i
dxeq : x.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₀⟩
dyeq : y.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₁⟩
h' : ∀ (i : Fin2 (n + 1)) (j : (P F).B a i), α.RelLast r (f₀ i j) (f₁ i j)
\u22a2 MvQPF.abs ⟨a, splitFun (TypeVec.id ⊚ dropFun f₀) (Quot.mk r ∘ lastFun f₀)⟩ = MvQPF.abs ⟨a, splitFun (TypeVec.id ⊚ dropFun f₁) (Quot.mk r ∘ lastFun f₁)⟩
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → LiftR (fun {i} => α.RelLast r) x.dest y.dest
x y : Cofix F α
rxy : r x y
a : (P F).A
f₀ f₁ : (P F).B a ⟹ fun {i} => (α ::: Cofix F α) i
dxeq : x.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₀⟩
dyeq : y.dest = MvQPF.abs ⟨a, f₁⟩
h' : ∀ (i : Fin2 (n + 1)) (j : (P F).B a i), α.RelLast r (f₀ i j) (f₁ i j)
\u22a2 MvQPF.abs ⟨a, splitFun (dropFun f₀) (Quot.mk r ∘ lastFun f₀)⟩ = MvQPF.abs ⟨a, splitFun (dropFun f₁) (Quot.mk r ∘ lastFun f₁)⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
f : Y ⟶ X
\u22a2 f ≫ α.hom = 𝟙 Y ↔ f = α.inv
-- Mathlib/Data/Sym/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n k : ℕ
\u22a2 Fintype.card (Sym (Fin 0) (k + 1)) = multichoose 0 (k + 1)
-- Mathlib/Data/Sym/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n k : ℕ
\u22a2 Fintype.card (Sym (Fin 0) (k + 1)) = 0
-- Mathlib/Data/Sym/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ n k : ℕ
\u22a2 Fintype.card (Sym (Fin (n + 2)) (k + 1)) = (n + 2).multichoose (k + 1)
-- Mathlib/Data/Sym/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ n k : ℕ
\u22a2 Fintype.card (Sym (Fin (n + 2)) (k + 1)) = Fintype.card (Sym (Fin (n + 2)) k ⊕ Sym (Fin (n + 1)) (k + 1))
-- Mathlib/Data/Sym/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ n k : ℕ
\u22a2 Sym (Fin (n + 2)) k ⊕ Sym (Fin (n + 1)) (k + 1) ≃ Sym (Fin (n + 2)) (k + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℂ
hy : y.re ≠ 0
\u22a2 abs (↑x ^ y) = x ^ y.re
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
\u22a2 ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, 0 ≤ 1 + ε ↑n
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : 0 < 1 + ε ↑n
\u22a2 0 ≤ 1 + ε ↑n
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
\u22a2 (o.oangle (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x)).tan = r⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n p : ℕ
\u22a2 eval (↑n) (bernoulli p.succ) = _root_.bernoulli p.succ + (↑p + 1) * ∑ k ∈ range n, ↑k ^ p
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n p : ℕ
\u22a2 eval (↑n) (bernoulli p.succ) - _root_.bernoulli p.succ = (↑p + 1) * ∑ k ∈ range n, ↑k ^ p
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
k : ℕ
\u22a2 ↑(((AlgebraTensorModule.curry (↑(piEquivOfFintype I fun x => R) ∘ₗ ofTensorProduct I (ι → R))) 1 ∘ₗ LinearMap.single i) 1 j) k = ↑(((AlgebraTensorModule.curry ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι)) 1 ∘ₗ LinearMap.single i) 1 j) k
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
k : ℕ
\u22a2 (if j = i then 1 else 0) = ↑(if j = i then 1 else 0) k
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
p₁ p₂ p₃ : ι
h₁₂ : p₁ = p₂
h₂₃ : p₂ = p₃
\u22a2 eqToHom ⋯ ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
f g : R[X]
\u22a2 derivative (f * g) = derivative f * g + f * derivative g
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
\u22a2 coeff 1 0 = 1
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x : E
\u22a2 ∑ i : ι, ⟪b i, x⟫_𝕜 • b i = x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x : E
\u22a2 ∑ i : ι, ⟪b i, x⟫_𝕜 • b i = ∑ i : ι, b.repr x i • b i
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LeftExact.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
K : Type (max v u)
inst✝ : SmallCategory K
F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D
W : J.Cover X
i : W.Arrow
E : Cone (F ⋙ J.diagramFunctor D X ⋙ (evaluation (J.Cover X)ᵒᵖ D).obj (op W))
a b : K
f : a ⟶ b
\u22a2 𝟙 E.pt ≫ E.π.app b ≫ Multiequalizer.ι (W.index (F.obj b)) i = (E.π.app a ≫ Multiequalizer.ι (W.index (F.obj a)) i) ≫ (F.map f).app (op i.Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LeftExact.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
K : Type (max v u)
inst✝ : SmallCategory K
F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D
W : J.Cover X
i : W.Arrow
E : Cone (F ⋙ J.diagramFunctor D X ⋙ (evaluation (J.Cover X)ᵒᵖ D).obj (op W))
a b : K
f : a ⟶ b
\u22a2 (E.π.app a ≫ (F ⋙ J.diagramFunctor D X ⋙ (evaluation (J.Cover X)ᵒᵖ D).obj (op W)).map f) ≫ Multiequalizer.ι (W.index (F.obj b)) i = E.π.app a ≫ Multiequalizer.ι (W.index (F.obj a)) i ≫ (F.map f).app (op i.Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LeftExact.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
K : Type (max v u)
inst✝ : SmallCategory K
F : K ⥤ Cᵒᵖ ⥤ D
W : J.Cover X
i : W.Arrow
E : Cone (F ⋙ J.diagramFunctor D X ⋙ (evaluation (J.Cover X)ᵒᵖ D).obj (op W))
a b : K
f : a ⟶ b
\u22a2 (E.π.app a ≫ Multiequalizer.lift (W.index (F.obj b)) (multiequalizer (W.index (F.obj a))) (fun i => Multiequalizer.ι (W.index (F.obj a)) i ≫ (F.map f).app (op i.Y)) ⋯) ≫ Multiequalizer.ι (W.index (F.obj b)) i = E.π.app a ≫ Multiequalizer.ι (W.index (F.obj a)) i ≫ (F.map f).app (op i.Y)
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : WfDvdMonoid R
r : R
hr : ∃ x, Irreducible x
\u22a2 Squarefree r ↔ ∀ (x : R), Irreducible x → ¬x * x ∣ r
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : WfDvdMonoid R
r : R
hr : ∃ x, Irreducible x
\u22a2 Squarefree r ↔ (r = 0 ∧ ¬∃ x, Irreducible x) ∨ Squarefree r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Sub.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
h : μ ≤ ν
\u22a2 μ ≤ 0 + ν
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : EReal
h : x ≠ ⊥
\u22a2 x + ⊤ = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] f
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 0 ↔ f =ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Assoc.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C
g₁ : Z₁ ⟶ X₁
g₂ : Z₁ ⟶ X₂
g₃ : Z₂ ⟶ X₂
g₄ : Z₂ ⟶ X₃
inst✝³ : HasPushout g₁ g₂
inst✝² : HasPushout g₃ g₄
inst✝¹ : HasPushout (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄
inst✝ : HasPushout g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)
\u22a2 pushout.inr g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄) ≫ (pushoutAssoc g₁ g₂ g₃ g₄).inv = pushout.inr (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Assoc.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C
g₁ : Z₁ ⟶ X₁
g₂ : Z₁ ⟶ X₂
g₃ : Z₂ ⟶ X₂
g₄ : Z₂ ⟶ X₃
inst✝³ : HasPushout g₁ g₂
inst✝² : HasPushout g₃ g₄
inst✝¹ : HasPushout (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄
inst✝ : HasPushout g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)
\u22a2 pushout.inr g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄) ≫ (pushoutAssoc g₁ g₂ g₃ g₄).inv = pushout.inr g₃ g₄ ≫ pushout.desc (pushout.inr g₁ g₂ ≫ pushout.inl (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄) (pushout.inr (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Assoc.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C
g₁ : Z₁ ⟶ X₁
g₂ : Z₁ ⟶ X₂
g₃ : Z₂ ⟶ X₂
g₄ : Z₂ ⟶ X₃
inst✝³ : HasPushout g₁ g₂
inst✝² : HasPushout g₃ g₄
inst✝¹ : HasPushout (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄
inst✝ : HasPushout g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)
\u22a2 pushout.inr g₃ g₄ ≫ pushout.desc (pushout.inr g₁ g₂ ≫ pushout.inl (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄) (pushout.inr (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄) ⋯ = pushout.inr (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZeta.lean
a b : UnitAddCircle
\u22a2 Differentiable ℂ fun s => hurwitzZeta a s - hurwitzZeta b s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZeta.lean
a b : UnitAddCircle
\u22a2 Differentiable ℂ fun s => hurwitzZetaEven a s - hurwitzZetaEven b s + (hurwitzZetaOdd a s - hurwitzZetaOdd b s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZeta.lean
a b : UnitAddCircle
\u22a2 Differentiable ℂ (hurwitzZetaOdd a)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZeta.lean
a b : UnitAddCircle
\u22a2 Differentiable ℂ (hurwitzZetaOdd b)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMulWithZero 𝕜 E
s : Set E
\u22a2 StarConvex 𝕜 0 s ↔ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃a : 𝕜⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMulWithZero 𝕜 E
s : Set E
x : E
x✝ : x ∈ s
h : ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • 0 + b • x ∈ s
a : 𝕜
ha₀ : 0 ≤ a
ha₁ : a ≤ 1
\u22a2 a • x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMulWithZero 𝕜 E
s : Set E
x : E
x✝ : x ∈ s
h : ∀ ⦃a : 𝕜⦄, 0 ≤ a → a ≤ 1 → a • x ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
\u22a2 a • 0 + b • x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x : ℝ≥0
h : x ≠ 0
y : ℝ
\u22a2 ↑x ^ y = ↑(x ^ y)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x : ℝ≥0
h : x ≠ 0
y : ℝ
\u22a2 some x ^ y = ↑(x ^ y)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hda : d ∣ a
hdb : d ∣ b
\u22a2 a / d = b / d ↔ a = b
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hda : d ∣ a
hdb : d ∣ b
h : a / d = b / d
\u22a2 a = b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Cotangent.lean
z : ℂ
\u22a2 (cexp (z * I) + cexp (-(z * I))) / ((cexp (-(z * I)) - cexp (z * I)) * I) = (cexp (2 * I * z) + 1) / (I * (1 - cexp (2 * I * z)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Cotangent.lean
z : ℂ
h1 : cexp (z * I) + cexp (-(z * I)) = cexp (-(z * I)) * (cexp (2 * I * z) + 1)
\u22a2 (cexp (z * I) + cexp (-(z * I))) / ((cexp (-(z * I)) - cexp (z * I)) * I) = (cexp (2 * I * z) + 1) / (I * (1 - cexp (2 * I * z)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Cotangent.lean
z : ℂ
h1 : cexp (z * I) + cexp (-(z * I)) = cexp (-(z * I)) * (cexp (2 * I * z) + 1)
h2 : (cexp (-(z * I)) - cexp (z * I)) * I = cexp (-(z * I)) * (I * (1 - cexp (2 * I * z)))
\u22a2 (cexp (z * I) + cexp (-(z * I))) / ((cexp (-(z * I)) - cexp (z * I)) * I) = (cexp (2 * I * z) + 1) / (I * (1 - cexp (2 * I * z)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/HomOrthogonal.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α : Type
inst✝ : Finite α
f : α → ι
b a : α
j_property : a ∈ f ⁻¹' {f b}
\u22a2 o.matrixDecomposition (𝟙 (⨁ fun a => s (f a))) (f b) ⟨b, ⋯⟩ ⟨a, j_property⟩ = 1 ⟨b, ⋯⟩ ⟨a, j_property⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/HomOrthogonal.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α : Type
inst✝ : Finite α
f : α → ι
b a : α
j_property✝ : a ∈ f ⁻¹' {f b}
j_property : f a = f b
\u22a2 o.matrixDecomposition (𝟙 (⨁ fun a => s (f a))) (f b) ⟨b, ⋯⟩ ⟨a, j_property✝⟩ = 1 ⟨b, ⋯⟩ ⟨a, j_property✝⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/HomOrthogonal.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α : Type
inst✝ : Finite α
f : α → ι
b a : α
j_property✝ : a ∈ f ⁻¹' {f b}
j_property : f a = f b
\u22a2 eqToHom ⋯ ≫ biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ biproduct.π (fun b => s (f b)) b = if ⟨b, ⋯⟩ = ⟨a, j_property✝⟩ then 𝟙 (s (f b)) else 0
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Action/Prod.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁶ : SMul M α✝
inst✝⁵ : SMul M β
inst✝⁴ : SMul N α✝
inst✝³ : SMul N β
a✝ : M
x : α✝ × β
α : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : DistribMulAction M α
a : M
c : β
\u22a2 a • (0, c) = (0, a • c)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ : R⟦X⟧
\u22a2 (coeff R 0) φ = (constantCoeff R) φ
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
hp : p.degree ≠ 0
a : R
inst✝ : Nontrivial R
\u22a2 (p /ₘ (X - C a)).leadingCoeff = p.leadingCoeff
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
hp : p.degree ≠ 0
a : R
inst✝ : Nontrivial R
hd : p.degree < 0
\u22a2 (p /ₘ (X - C a)).leadingCoeff = p.leadingCoeff