ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
p q r : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp0_ne : p ≠ 0
\u22a2 (∫⁻ (a : α), (f * g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * (∫⁻ (a : α), g a ^ r ∂μ) ^ (1 / r)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
p q r : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp0_ne : p ≠ 0
hp0 : 0 ≤ p
\u22a2 (∫⁻ (a : α), (f * g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * (∫⁻ (a : α), g a ^ r ∂μ) ^ (1 / r)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
p q r : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp0_ne : p ≠ 0
hp0 : 0 ≤ p
hq0_lt : 0 < q
\u22a2 (∫⁻ (a : α), (f * g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * (∫⁻ (a : α), g a ^ r ∂μ) ^ (1 / r)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
p q r : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp0_ne : p ≠ 0
hp0 : 0 ≤ p
hq0_lt : 0 < q
hq0_ne : q ≠ 0
\u22a2 (∫⁻ (a : α), (f * g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * (∫⁻ (a : α), g a ^ r ∂μ) ^ (1 / r)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
p q r : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp0_ne : p ≠ 0
hp0 : 0 ≤ p
hq0_lt : 0 < q
hq0_ne : q ≠ 0
h_one_div_r : 1 / r = 1 / p - 1 / q
p2 : ℝ := q / p
q2 : ℝ := p2.conjExponent
\u22a2 (∫⁻ (a : α), (f * g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * (∫⁻ (a : α), g a ^ r ∂μ) ^ (1 / r)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
p q r : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp0_ne : p ≠ 0
hp0 : 0 ≤ p
hq0_lt : 0 < q
hq0_ne : q ≠ 0
h_one_div_r : 1 / r = 1 / p - 1 / q
p2 : ℝ := q / p
q2 : ℝ := p2.conjExponent
hp2q2 : p2.IsConjExponent q2
\u22a2 (∫⁻ (a : α), (f * g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * (∫⁻ (a : α), g a ^ r ∂μ) ^ (1 / r)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
\u22a2 arccos (⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖)) = arccos (⟪y, x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖x‖))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
\u22a2 fderivWithin 𝕜 _root_.id s x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 E
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
\u22a2 fderiv 𝕜 _root_.id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 E
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
r : ℝ
c : ℂ
\u22a2 { toFun := __src✝.toFun, map_add' := ⋯ }.toFun (r • c) = (RingHom.id ℝ) r • { toFun := __src✝.toFun, map_add' := ⋯ }.toFun c
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/PosPart.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
\u22a2 a ≤ b ↔ a⁺ᵐ ≤ b⁺ᵐ ∧ b⁻ᵐ ≤ a⁻ᵐ
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/PosPart.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : a⁺ᵐ ≤ b⁺ᵐ ∧ b⁻ᵐ ≤ a⁻ᵐ
\u22a2 a ≤ b
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/PosPart.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : a⁺ᵐ ≤ b⁺ᵐ ∧ b⁻ᵐ ≤ a⁻ᵐ
\u22a2 a⁺ᵐ / a⁻ᵐ ≤ b⁺ᵐ / b⁻ᵐ
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
\u22a2 (fun x => x + a) ⁻¹' Ioc b c = Ioc (b - a) (c - a)
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m : ℕ
_h : 0 < m + 1
\u22a2 ack 0 0 < ack (m + 1) 0
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m n : ℕ
h : 0 < m + 1
\u22a2 ack 0 (n + 1) < ack (m + 1) (n + 1)
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m n : ℕ
h : 0 < m + 1
\u22a2 n + 1 + 1 < ack m (ack (m + 1) n)
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m n : ℕ
h : 0 < m + 1
\u22a2 n + 1 + 1 ≤ m + (m + 1 + n + 1)
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m₁ m₂ : ℕ
h : m₁ + 1 < m₂ + 1
\u22a2 ack (m₁ + 1) 0 < ack (m₂ + 1) 0
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m₁ m₂ n : ℕ
h : m₁ + 1 < m₂ + 1
\u22a2 ack (m₁ + 1) (n + 1) < ack (m₂ + 1) (n + 1)
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m₁ m₂ n : ℕ
h : m₁ + 1 < m₂ + 1
\u22a2 ack m₁ (ack (m₁ + 1) n) < ack m₂ (ack (m₂ + 1) n)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l₁ l₂ : List Γ
\u22a2 append l₁ (mk l₂) = mk (l₁ ++ l₂)
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ
\u22a2 multiplicity p n ! ≤ ↑(n / (p - 1))
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ
\u22a2 ∑ i ∈ Ico 1 (log p n).succ, n / p ^ i ≤ n / (p - 1)
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
v : PrimeMultiset
\u22a2 Multiset.map Subtype.val (Multiset.map Coe.coe v) = Multiset.map Subtype.val v
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
v : PrimeMultiset
\u22a2 Multiset.map (Subtype.val ∘ Coe.coe) v = Multiset.map Subtype.val v
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
a b n : ℕ
n0 : n ≠ 0
\u22a2 a ^ n ∣ b ^ n ↔ a ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
a b n : ℕ
n0 : n ≠ 0
h : a ^ n ∣ b ^ n
\u22a2 a ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
a b n : ℕ
n0 : n ≠ 0
h : a ^ n ∣ b ^ n
g0 : a.gcd b = 0
\u22a2 a ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
a b n : ℕ
n0 : n ≠ 0
h : a ^ n ∣ b ^ n
g0 : a.gcd b > 0
\u22a2 a ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
g a' b' : ℕ
g0' : 0 < g
co : a'.Coprime b'
h : (a' * g) ^ n ∣ (b' * g) ^ n
g0 : (a' * g).gcd (b' * g) > 0
\u22a2 a' * g ∣ b' * g
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
g a' b' : ℕ
g0' : 0 < g
co : a'.Coprime b'
h : a' ^ n * g ^ n ∣ b' ^ n * g ^ n
g0 : (a' * g).gcd (b' * g) > 0
\u22a2 a' * g ∣ b' * g
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
g a' b' : ℕ
g0' : 0 < g
co : a'.Coprime b'
g0 : (a' * g).gcd (b' * g) > 0
h : a' ^ n ∣ b' ^ n
\u22a2 a' * g ∣ b' * g
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
g a' b' : ℕ
g0' : 0 < g
co : a'.Coprime b'
g0 : (a' * g).gcd (b' * g) > 0
h : a' ^ n ∣ b' ^ n
this : a' ^ succ 0 ∣ a' ^ n
\u22a2 a' * g ∣ b' * g
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
g a' b' : ℕ
g0' : 0 < g
co : a'.Coprime b'
g0 : (a' * g).gcd (b' * g) > 0
h : a' ^ n ∣ b' ^ n
this : a' ∣ 1
\u22a2 a' * g ∣ b' * g
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
x : ONote
inst✝ : x.NF
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
\u22a2 (x + e).oadd n (x.scale a) = Mul.mul (x.oadd 1 0) (e.oadd n a)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
x : ONote
inst✝ : x.NF
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
this : a.NF
\u22a2 (x + e).oadd n (x.scale a) = Mul.mul (x.oadd 1 0) (e.oadd n a)
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
\u22a2 SpecializingMap f ↔ ∀ (x : X), closure {f x} ⊆ f '' closure {x}
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
\u22a2 (∀ ⦃a : X⦄ ⦃b : Y⦄, b ∈ closure {f a} → ∃ a' ∈ closure {a}, f a' = b) ↔ ∀ (x : X), closure {f x} ⊆ f '' closure {x}
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
\u22a2 (∀ n > 3, P.toPoly.coeff n = 0) ∧ P.toPoly.coeff 3 = P.a ∧ P.toPoly.coeff 2 = P.b ∧ P.toPoly.coeff 1 = P.c ∧ P.toPoly.coeff 0 = P.d
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
\u22a2 (∀ n > 3, ((((if n = 3 then P.a else 0) + if n = 2 then P.b else 0) + if n = 1 then P.c else 0) + if n = 0 then P.d else 0) = 0) ∧ ((((if True then P.a else 0) + if 3 = 2 then P.b else 0) + if 3 = 1 then P.c else 0) + if False then P.d else 0) = P.a ∧ ((((if 2 = 3 then P.a else 0) + if True then P.b else 0) + if 2 = 1 then P.c else 0) + if False then P.d else 0) = P.b ∧ ((((if 1 = 3 then P.a else 0) + if 1 = 2 then P.b else 0) + if True then P.c else 0) + if False then P.d else 0) = P.c ∧ ((((if False then P.a else 0) + if False then P.b else 0) + if False then P.c else 0) + if True then P.d else 0) = P.d
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 3 < n
\u22a2 ((((if n = 3 then P.a else 0) + if n = 2 then P.b else 0) + if n = 1 then P.c else 0) + if n = 0 then P.d else 0) = 0
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 3 < n
\u22a2 0 + 0 + 0 + 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 3 < n
\u22a2 ¬n = 0
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 3 < n
\u22a2 ¬n = 1
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 3 < n
\u22a2 ¬n = 2
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 3 < n
\u22a2 ¬n = 3
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame
\u22a2 -y < -x ↔ x < y
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
b : Basis ι ℝ E
\u22a2 b.addHaar (_root_.parallelepiped ⇑b) = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
b : Basis ι ℝ E
\u22a2 (addHaarMeasure b.parallelepiped) (_root_.parallelepiped ⇑b) = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : Monic 0
\u22a2 p %ₘ 0 = p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
this✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : Monic 0
this : Subsingleton R
\u22a2 p %ₘ 0 = p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : ¬Monic 0
\u22a2 (if h : Monic 0 then (if h_1 : degree 0 ≤ p.degree ∧ p ≠ 0 then let z := C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - natDegree 0); let_fun _wf := ⋯; let dm := (p - 0 * z).divModByMonicAux ⋯; (z + dm.1, dm.2) else (0, p)).2 else p) = p
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
\u22a2 a₁ * b₁ ≤ a₂ * b₂ → a₁ ≤ a₂ ∨ b₁ ≤ b₂
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
\u22a2 a₂ < a₁ ∧ b₂ < b₁ → a₂ * b₂ < a₁ * b₁
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'
h : Surjective ⇑f
\u22a2 Module.rank R ↥(LinearMap.range f) = Module.rank R M'
-- Mathlib/Data/List/Duplicate.lean
α : Type u_1
l : List α
x y : α
hne : x ≠ y
\u22a2 x ∈+ y :: l ↔ x ∈+ l
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SpecialLinearGroup.lean
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SL(2, R)
i✝ j✝ : Fin 2
\u22a2 ↑A⁻¹ i✝ j✝ = ↑⟨![![↑A 1 1, -↑A 0 1], ![-↑A 1 0, ↑A 0 0]], ⋯⟩ i✝ j✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SpecialLinearGroup.lean
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SL(2, R)
i✝ j✝ : Fin 2
this : (↑A).adjugate = !![↑A 1 1, -↑A 0 1; -↑A 1 0, ↑A 0 0]
\u22a2 ↑A⁻¹ i✝ j✝ = ↑⟨![![↑A 1 1, -↑A 0 1], ![-↑A 1 0, ↑A 0 0]], ⋯⟩ i✝ j✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SpecialLinearGroup.lean
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SL(2, R)
i✝ j✝ : Fin 2
this : (↑A).adjugate = !![↑A 1 1, -↑A 0 1; -↑A 1 0, ↑A 0 0]
\u22a2 !![↑A 1 1, -↑A 0 1; -↑A 1 0, ↑A 0 0] i✝ j✝ = ↑⟨![![↑A 1 1, -↑A 0 1], ![-↑A 1 0, ↑A 0 0]], ⋯⟩ i✝ j✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommMonoid L
inst✝⁷ : TopologicalSpace L
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : TopologicalSpace N
v✝ : VectorMeasure α M✝
w✝ : VectorMeasure α N
M : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
v : VectorMeasure α M
w : VectorMeasure α N
h : v ≪ᵥ w
s : Set α
hs : ↑w s = 0
\u22a2 ↑(-v) s = 0
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s s₁ s₂ : UpperSet α
t t₁ t₂ : UpperSet β
x : α × β
\u22a2 s ×ˢ t = ⊤ ↔ s = ⊤ ∨ t = ⊤
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s s₁ s₂ : UpperSet α
t t₁ t₂ : UpperSet β
x : α × β
\u22a2 ↑(s ×ˢ t) = ↑⊤ ↔ ↑s = ↑⊤ ∨ ↑t = ↑⊤
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
p : α → Prop
hom : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
unit : p 1
base : ∀ x ∈ s, p x
\u22a2 p (s.noncommProd comm)
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
p : α → Prop
hom : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
unit : p 1
l : List α
comm : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
base : ∀ x ∈ ⟦l⟧, p x
\u22a2 p (noncommProd ⟦l⟧ comm)
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
p : α → Prop
hom : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
unit : p 1
l : List α
comm : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
base : ∀ x ∈ l, p x
\u22a2 p l.prod
-- Mathlib/Topology/Bornology/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s t : Set α
x : α
\u22a2 IsBounded (s ∪ t) ↔ IsBounded s ∧ IsBounded t
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
n✝ : ℕ
i j : Fin (n✝ + 1).succ
h : j ≤ i
\u22a2 i.cycleRange j = if j = i then 0 else j + 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
n✝ : ℕ
i j : Fin (n✝ + 1).succ
h : j ≤ i
this : j = castLE ⋯ ⟨↑j, ⋯⟩
\u22a2 i.cycleRange j = if j = i then 0 else j + 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
n✝ : ℕ
i j : Fin (n✝ + 1).succ
h : j ≤ i
this : j = castLE ⋯ ⟨↑j, ⋯⟩
\u22a2 ↑(i.cycleRange j) = ↑(if j = i then 0 else j + 1)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
n✝ : ℕ
i j : Fin (n✝ + 1).succ
h : j ≤ i
this : j = castLE ⋯ ⟨↑j, ⋯⟩
\u22a2 (if ⟨↑j, ⋯⟩ = last ↑i then 0 else ↑⟨↑j, ⋯⟩ + 1) = ↑(if castLE ⋯ ⟨↑j, ⋯⟩ = i then 0 else castLE ⋯ ⟨↑j, ⋯⟩ + 1)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
n✝ : ℕ
i j : Fin (n✝ + 1).succ
h : j ≤ i
this : j = castLE ⋯ ⟨↑j, ⋯⟩
\u22a2 (if ↑j = ↑i then 0 else ↑j + 1) = ↑(if ↑j = ↑i then 0 else j + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1
\u22a2 f (↑n + x) ≤ f ↑n + x * log ↑n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1
hn' : 0 < ↑n
\u22a2 f (↑n + x) ≤ f ↑n + x * log ↑n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1
hn' : 0 < ↑n
this : f ↑n + x * log ↑n = (1 - x) * f ↑n + x * f (↑n + 1)
\u22a2 f ((1 - x) * ↑n + x * (↑n + 1)) ≤ (1 - x) * f ↑n + x * f (↑n + 1)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : Irreducible J
n : ℕ
\u22a2 J ^ n ⊔ I = J ^ min (count J (normalizedFactors I)) n
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
this : s.diag.card + s.offDiag.card = s.card * s.card
\u22a2 s.offDiag.card = s.card * s.card - s.card
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
this : s.card + s.offDiag.card = s.card * s.card
\u22a2 s.offDiag.card = s.card * s.card - s.card
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
\u22a2 s.diag.card + s.offDiag.card = s.card * s.card
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
\u22a2 (filter (fun a => a.1 = a.2) (s ×ˢ s)).card + (filter (fun a => a.1 ≠ a.2) (s ×ˢ s)).card = (s ×ˢ s).card
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
a b : X
\u22a2 orbit G a = orbit G b ∨ Disjoint (orbit G a) (orbit G b)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
a b : X
\u22a2 ¬Disjoint (orbit G a) (orbit G b) → orbit G a = orbit G b
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Monoidal/Symmetric.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : ModuleCat R
\u22a2 (α_ X Y Z).inv ≫ ((X ⊗ Y).braiding Z).hom ≫ (α_ Z X Y).inv = X ◁ (Y.braiding Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (X.braiding Z).hom ▷ Y
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Monoidal/Symmetric.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : ModuleCat R
\u22a2 (α_ X Y Z).hom ≫ (α_ X Y Z).inv ≫ ((X ⊗ Y).braiding Z).hom ≫ (α_ Z X Y).inv = (α_ X Y Z).hom ≫ X ◁ (Y.braiding Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (X.braiding Z).hom ▷ Y
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Monoidal/Symmetric.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : ModuleCat R
\u22a2 ∀ (x : ↑X) (y : ↑Y) (z : ↑Z), ((α_ X Y Z).hom ≫ (α_ X Y Z).inv ≫ ((X ⊗ Y).braiding Z).hom ≫ (α_ Z X Y).inv) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z) = ((α_ X Y Z).hom ≫ X ◁ (Y.braiding Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (X.braiding Z).hom ▷ Y) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
x : σ →₀ ℕ
\u22a2 x ∈ ((map f) p).support → x ∈ p.support
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
x : σ →₀ ℕ
\u22a2 coeff x ((map f) p) ≠ 0 → coeff x p ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
x : σ →₀ ℕ
\u22a2 coeff x p = 0 → coeff x ((map f) p) = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
x : σ →₀ ℕ
\u22a2 coeff x p = 0 → f (coeff x p) = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
p : MvPolynomial σ R
x : σ →₀ ℕ
hx : coeff x p = 0
\u22a2 f 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Polynomial.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
n : ℕ
x : Fin n → R
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
q : MvPolynomial (Fin n) R
\u22a2 (eval x) (Polynomial.eval q ((finSuccEquiv R n) f)) = (eval fun i => Fin.cases ((eval x) q) x i) f
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Polynomial.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
n : ℕ
x : Fin n → R
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
q : MvPolynomial (Fin n) R
\u22a2 eval₂ ((eval x).comp ((Polynomial.evalRingHom q).comp (Polynomial.C.comp C))) (fun s => (eval x) (Polynomial.eval q (Fin.cases Polynomial.X (fun k => Polynomial.C (X k)) s))) f = (eval fun i => Fin.cases ((eval x) q) x i) f
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Polynomial.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
n : ℕ
x : Fin n → R
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
q : MvPolynomial (Fin n) R
\u22a2 eval₂ (RingHom.id R) (fun s => (eval x) (Polynomial.eval q (Fin.cases Polynomial.X (fun k => Polynomial.C (X k)) s))) f = (eval fun i => Fin.cases ((eval x) q) x i) f
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Polynomial.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
n : ℕ
x : Fin n → R
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
q : MvPolynomial (Fin n) R
\u22a2 (eval fun s => (eval x) (Polynomial.eval q (Fin.cases Polynomial.X (fun k => Polynomial.C (X k)) s))) f = (eval fun i => Fin.cases ((eval x) q) x i) f