ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Int/AbsoluteValue.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommRing S
abv : AbsoluteValue ℤ S
x : ℤˣ
\u22a2 abv ↑x = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff ≠ 0
\u22a2 f.eraseLead.natDegree + 1 = f.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff ≠ 0
\u22a2 1 ≤ f.natDegree
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Trifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{?u.4909, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{?u.4913, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.4917, u_3} C₃
inst✝² : Category.{?u.4921, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.4925, u_5} C₁₂
inst✝ : Category.{?u.4929, u_6} C₂₃
F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂
G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
X₁ Y₁ : C₁
φ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ Y₂ : C₂
ψ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ : C₃
\u22a2 (G.map ((F₁₂.obj X₁).map ψ)).app X₃ ≫ (G.map ((F₁₂.map φ).app Y₂)).app X₃ = (G.map ((F₁₂.map φ).app X₂)).app X₃ ≫ (G.map ((F₁₂.obj Y₁).map ψ)).app X₃
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
C K r✝ : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s t : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
r : ℝ≥0
f : X → Y
hr : 0 < r
hf : ∀ (x : X), ∃ C, ∃ s ∈ 𝓝 x, HolderOnWith C r f s
\u22a2 dimH (range f) ≤ dimH univ / ↑r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
C K r✝ : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s t : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
r : ℝ≥0
f : X → Y
hr : 0 < r
hf : ∀ (x : X), ∃ C, ∃ s ∈ 𝓝 x, HolderOnWith C r f s
\u22a2 dimH (f '' univ) ≤ dimH univ / ↑r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
C K r✝ : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s t : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
r : ℝ≥0
f : X → Y
hr : 0 < r
hf : ∀ (x : X), ∃ C, ∃ s ∈ 𝓝 x, HolderOnWith C r f s
x : X
x✝ : x ∈ univ
\u22a2 ∃ C, ∃ t ∈ 𝓝[univ] x, HolderOnWith C r f t
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a a' : α
s✝ : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (pure a).toMeasure s = (Measure.dirac a) s
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a a' : α
s✝ : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (if a ∈ s then 1 else 0) = s.indicator 1 a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
f : X → 𝕜
hf : Integrable f μ
\u22a2 ∫ (x : X), ↑(re (f x)) ∂μ + (∫ (x : X), ↑(im (f x)) ∂μ) * I = ∫ (x : X), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
f : X → 𝕜
hf : Integrable f μ
\u22a2 ∫ (a : X), ↑(re (f a)) + I • ↑(im (f a)) ∂μ = ∫ (x : X), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
f : X → 𝕜
hf : Integrable f μ
\u22a2 Integrable (fun x => ↑(re (f x))) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
f : X → 𝕜
hf : Integrable f μ
\u22a2 Integrable (fun a => I • ↑(im (f a))) μ
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
hr : 0 < r
\u22a2 (turanGraph n r).CliqueFree (r + 1)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
hr : 0 < r
\u22a2 IsEmpty (⊤ ↪g turanGraph n r)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
hr : 0 < r
h : ¬IsEmpty (⊤ ↪g turanGraph n r)
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
hr : 0 < r
h : Nonempty (⊤ ↪g turanGraph n r)
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
hr : 0 < r
f : Fin (r + 1) ↪ Fin n
ha : ∀ {a b : Fin (r + 1)}, (turanGraph n r).Adj (f a) (f b) ↔ ⊤.Adj a b
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
hr : 0 < r
f : Fin (r + 1) ↪ Fin n
ha : ∀ {a b : Fin (r + 1)}, ↑(f a) % r ≠ ↑(f b) % r ↔ a ≠ b
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
hr : 0 < r
f : Fin (r + 1) ↪ Fin n
ha : ∀ {a b : Fin (r + 1)}, ↑(f a) % r ≠ ↑(f b) % r ↔ a ≠ b
x y : Fin (r + 1)
d : x ≠ y
c : ⟨↑(f x) % r, ⋯⟩ = ⟨↑(f y) % r, ⋯⟩
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
hr : 0 < r
f : Fin (r + 1) ↪ Fin n
ha : ∀ {a b : Fin (r + 1)}, ↑(f a) % r ≠ ↑(f b) % r ↔ a ≠ b
x y : Fin (r + 1)
d : x ≠ y
c : ↑(f x) % r = ↑(f y) % r
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Star/SelfAdjoint.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : StarAddMonoid R
x : R
\u22a2 IsSelfAdjoint (x + star x)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
\u22a2 ⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖) = -1 ↔ x ≠ 0 ∧ ∃ r < 0, y = r • x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
\u22a2 (x ≠ 0 ∧ ∃ x_1, 0 < -x_1 ∧ -y = -x_1 • x) ↔ x ≠ 0 ∧ ∃ r < 0, y = r • x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
r : ℝ
\u22a2 0 < -r ∧ -y = -r • x ↔ r < 0 ∧ y = r • x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
\u22a2 ∑' (i : ι), ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2 ≤ ‖x‖ ^ 2
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
\u22a2 0 ≤ ‖x‖ ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
\u22a2 toIcoDiv hp (-a) b = -(toIocDiv hp a (-b) + 1)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Basic.lean
n : ℕ
\u22a2 (hermite (2 * (n + 1) + 0)).coeff 0 = (-1) ^ (n + 1) * ↑(2 * (n + 1) - 1)‼ * ↑((2 * (n + 1) + 0).choose 0)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Basic.lean
n : ℕ
\u22a2 (-1) ^ (n + 1) * ↑(2 * (n + 1) - 1)‼ * ↑((2 * (n + 1) + 0).choose 0) = -(hermite (2 * n + 1)).coeff 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Basic.lean
n : ℕ
\u22a2 (-1) ^ n * -1 * ↑((2 * n + 1) * (2 * n - 1)‼) * ↑1 = -((-1) ^ n * ↑(2 * n - 1)‼ * ↑(2 * n + 1))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Basic.lean
n k : ℕ
hermite_explicit : ℕ → ℕ → ℤ := fun n k => (-1) ^ n * ↑(2 * n - 1)‼ * ↑((2 * n + k).choose k)
\u22a2 (hermite (2 * (n + 1) + (k + 1))).coeff (k + 1) = (-1) ^ (n + 1) * ↑(2 * (n + 1) - 1)‼ * ↑((2 * (n + 1) + (k + 1)).choose (k + 1))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Basic.lean
n k : ℕ
hermite_explicit : ℕ → ℕ → ℤ := fun n k => (-1) ^ n * ↑(2 * n - 1)‼ * ↑((2 * n + k).choose k)
hermite_explicit_recur : ∀ (n k : ℕ), hermite_explicit (n + 1) (k + 1) = hermite_explicit (n + 1) k - (↑k + 2) * hermite_explicit n (k + 2)
\u22a2 (hermite (2 * (n + 1) + (k + 1))).coeff (k + 1) = (-1) ^ (n + 1) * ↑(2 * (n + 1) - 1)‼ * ↑((2 * (n + 1) + (k + 1)).choose (k + 1))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Basic.lean
n k : ℕ
hermite_explicit : ℕ → ℕ → ℤ := fun n k => (-1) ^ n * ↑(2 * n - 1)‼ * ↑((2 * n + k).choose k)
hermite_explicit_recur : ∀ (n k : ℕ), hermite_explicit (n + 1) (k + 1) = hermite_explicit (n + 1) k - (↑k + 2) * hermite_explicit n (k + 2)
\u22a2 (hermite (2 * (n + 1) + (k + 1))).coeff (k + 1) = hermite_explicit (n + 1) (k + 1)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Basic.lean
n k : ℕ
hermite_explicit : ℕ → ℕ → ℤ := fun n k => (-1) ^ n * ↑(2 * n - 1)‼ * ↑((2 * n + k).choose k)
hermite_explicit_recur : ∀ (n k : ℕ), hermite_explicit (n + 1) (k + 1) = hermite_explicit (n + 1) k - (↑k + 2) * hermite_explicit n (k + 2)
\u22a2 (hermite (2 * (n + 1) + k)).coeff k - (↑k + 2) * (hermite (2 * (n + 1) + k)).coeff (k + 2) = hermite_explicit (n + 1) k - (↑k + 2) * hermite_explicit n (k + 2)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
h : G.Adj s t
\u22a2 G ⊔ edge s t = G
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Trace.lean
ι✝ : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
α : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype p
ι : Type u_8
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
a b : n → R
\u22a2 (col ι a * row ι b).trace = a ⬝ᵥ b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Trace.lean
ι✝ : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
α : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype p
ι : Type u_8
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
a b : n → R
\u22a2 ∀ x ∈ Finset.univ, (col ι a * row ι b).diag x = a x * b x
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basis.lean
ι : Type u_4
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
bm : Basis ι R M
x : M
\u22a2 (Q.toBilin bm).toQuadraticMap x = Q x
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basis.lean
ι : Type u_4
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
bm : Basis ι R M
x : M
\u22a2 ((Q.toBilin bm) (∑ a ∈ (bm.repr x).support, (bm.repr x) a • bm a)) (∑ a ∈ (bm.repr x).support, (bm.repr x) a • bm a) = Q (∑ a ∈ (bm.repr x).support, (bm.repr x) a • bm a)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basis.lean
ι : Type u_4
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
bm : Basis ι R M
x : M
\u22a2 (∑ x_1 ∈ (bm.repr x).support, (bm.repr x) x_1 • (bm.repr x) x_1 • Q (bm x_1) + ∑ x_1 ∈ (bm.repr x).support.offDiag, if x_1.1 = x_1.2 then (bm.repr x) x_1.1 • (bm.repr x) x_1.2 • Q (bm x_1.1) else if x_1.1 < x_1.2 then (bm.repr x) x_1.1 • (bm.repr x) x_1.2 • polar (⇑Q) (bm x_1.1) (bm x_1.2) else 0) = Q (∑ a ∈ (bm.repr x).support, (bm.repr x) a • bm a)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basis.lean
ι : Type u_4
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
bm : Basis ι R M
x : M
\u22a2 ∑ x_1 ∈ (bm.repr x).support, (bm.repr x) x_1 • (bm.repr x) x_1 • Q (bm x_1) + ∑ a ∈ Finset.filter (fun x => x.1 < x.2) (bm.repr x).support.offDiag, (bm.repr x) a.1 • (bm.repr x) a.2 • polar (⇑Q) (bm a.1) (bm a.2) = ∑ i ∈ (bm.repr x).support, Q ((bm.repr x) i • bm i) + ∑ ij ∈ Finset.filter (fun x => ¬x.IsDiag) (bm.repr x).support.sym2, Sym2.lift ⟨fun i j => polar (⇑Q) ((bm.repr x) i • bm i) ((bm.repr x) j • bm j), ⋯⟩ ij
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basis.lean
ι : Type u_4
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
bm : Basis ι R M
x : M
\u22a2 ∀ x_1 ∈ (bm.repr x).support.offDiag, ¬x_1.1 = x_1.2
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Expand.lean
m k p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
hp : Fact (Nat.Prime p)
hchar : CharP R p
μ : R
inst✝ : NeZero ↑m
\u22a2 (cyclotomic (p ^ k * m) R).IsRoot μ ↔ IsPrimitiveRoot μ m
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Expand.lean
m p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
hp : Fact (Nat.Prime p)
hchar : CharP R p
μ : R
inst✝ : NeZero ↑m
\u22a2 (cyclotomic (p ^ 0 * m) R).IsRoot μ ↔ IsPrimitiveRoot μ m
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Expand.lean
m k p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
hp : Fact (Nat.Prime p)
hchar : CharP R p
μ : R
inst✝ : NeZero ↑m
hk : k > 0
\u22a2 (cyclotomic (p ^ k * m) R).IsRoot μ ↔ IsPrimitiveRoot μ m
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
n : ℕ
\u22a2 sin (π / 2 ^ (n + 2)) = √(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
n : ℕ
\u22a2 1 / 2 * 2 ^ 2 - sqrtTwoAddSeries 0 n / 4 * 2 ^ 2 = 2 - sqrtTwoAddSeries 0 n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
n : ℕ
\u22a2 0 ≤ 2 - sqrtTwoAddSeries 0 n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
n : ℕ
\u22a2 0 ≤ sin (π / 2 ^ (n + 2)) * 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
n : ℕ
\u22a2 0 ≤ π / 2 ^ (n + 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
n : ℕ
\u22a2 π / 2 ^ (n + 2) ≤ π
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
x : R
p : R[X]
\u22a2 eval 0 p = p.coeff 0 * 0 ^ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
x : R
p : R[X]
\u22a2 (p.sum fun e a => a * 0 ^ e) = p.coeff 0 * 0 ^ 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
\u22a2 IsCompact ↑U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
\u22a2 ↑U = ⇑hU.fromSpec.val.base '' Set.univ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
\u22a2 ⇑hU.fromSpec.val.base '' Set.univ = Set.range ⇑hU.fromSpec.val.base
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hP' : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
\u22a2 ↑(P.parts.biUnion offDiag).card ≤ ε / 2 * ↑A.card ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hε : 0 < ε
P : Finpartition ⊥
hP : P.IsEquipartition
hP' : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
\u22a2 ↑(P.parts.biUnion offDiag).card ≤ ε / 2 * ↑⊥.card ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hP' : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
hA : A.Nonempty
\u22a2 ↑(P.parts.biUnion offDiag).card ≤ ε / 2 * ↑A.card ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hP' : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
hA : A.Nonempty
\u22a2 ↑A.card * (↑A.card + ↑P.parts.card) / ↑P.parts.card ≤ ε / 2 * ↑A.card ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hP' : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
hA : A.Nonempty
\u22a2 ↑A.card * (↑A.card + ↑P.parts.card) ≤ ε / 2 * ↑A.card ^ 2 * ↑P.parts.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hP' : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
hA : A.Nonempty
this : ↑A.card + ↑P.parts.card ≤ 2 * ↑A.card
\u22a2 ↑A.card * (↑A.card + ↑P.parts.card) ≤ ε / 2 * ↑A.card ^ 2 * ↑P.parts.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hP' : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
hA : A.Nonempty
this : ↑A.card + ↑P.parts.card ≤ 2 * ↑A.card
\u22a2 ↑A.card * (2 * ↑A.card) ≤ ε / 2 * ↑A.card ^ 2 * ↑P.parts.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hP' : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
hA : A.Nonempty
this : ↑A.card + ↑P.parts.card ≤ 2 * ↑A.card
\u22a2 1 ≤ ε / 4 * ↑P.parts.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hP' : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
hA : A.Nonempty
this : ↑A.card + ↑P.parts.card ≤ 2 * ↑A.card
\u22a2 0 < ε / 4
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x✝ y✝ x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
\u22a2 x < √y ↔ x ^ 2 < y
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
\u22a2 ((expand R p) f).natDegree = f.natDegree * p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
hp : p = 0
\u22a2 ((expand R p) f).natDegree = f.natDegree * p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
hp : p > 0
\u22a2 ((expand R p) f).natDegree = f.natDegree * p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
hp : p > 0
hf : ¬f = 0
\u22a2 ((expand R p) f).natDegree = f.natDegree * p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
hp : p > 0
hf : ¬f = 0
hf1 : (expand R p) f ≠ 0
\u22a2 ((expand R p) f).natDegree = f.natDegree * p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
hp : p > 0
hf : ¬f = 0
hf1 : (expand R p) f ≠ 0
\u22a2 ↑((expand R p) f).natDegree = ↑(f.natDegree * p)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
hp : p > 0
hf : ¬f = 0
hf1 : (expand R p) f ≠ 0
\u22a2 ↑(f.natDegree * p) = ((expand R p) f).degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
hp : p > 0
hf : ¬f = 0
hf1 : (expand R p) f ≠ 0
\u22a2 ((expand R p) f).degree = ↑(f.natDegree * p)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
hp : p > 0
hf : ¬f = 0
hf1 : (expand R p) f ≠ 0
n : ℕ
hn : ↑(f.natDegree * p) < ↑n
\u22a2 ((expand R p) f).coeff n = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
f : R[X]
hp : p > 0
hf : ¬f = 0
hf1 : (expand R p) f ≠ 0
\u22a2 ↑(f.natDegree * p) ≤ ((expand R p) f).degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h0 : p.comp q = 0
\u22a2 (p.comp q).natDegree ≤ p.natDegree * q.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h0 : p.comp q = 0
\u22a2 0 ≤ p.natDegree * q.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h0 : ¬p.comp q = 0
n : ℕ
hn : n ∈ p.support
\u22a2 ↑(C (p.coeff n)).natDegree + n • ↑q.natDegree = ↑(n * q.natDegree)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h0 : ¬p.comp q = 0
n : ℕ
hn : n ∈ p.support
\u22a2 ↑n * ↑q.natDegree = ↑(n * q.natDegree)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi✝ πi₁ πi₂ πi : (J : Box ι) → Prepartition J
π' : Prepartition I
\u22a2 π' ≤ π.biUnion πi ↔ π' ≤ π ∧ ∀ J ∈ π, π'.restrict J ≤ πi J
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J✝ J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi✝ πi₁ πi₂ πi : (J : Box ι) → Prepartition J
π' : Prepartition I
H : π' ≤ π.biUnion πi
J : Box ι
hJ : J ∈ π
\u22a2 π'.restrict J ≤ πi J
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi✝ πi₁ πi₂ πi : (J : Box ι) → Prepartition J
π' : Prepartition I
\u22a2 (π' ≤ π ∧ ∀ J ∈ π, π'.restrict J ≤ πi J) → π' ≤ π.biUnion πi
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
h : f.HasGenEigenvalue μ 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/LapMatrix.lean
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
\u22a2 Fintype.card G.ConnectedComponent = FiniteDimensional.finrank ℝ ↥(LinearMap.ker (toLin' (lapMatrix ℝ G)))
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
\u22a2 (c.embedding (c.index j)) (c.invEmbedding j) = j
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
\u22a2 ↑((c.embedding (c.index j)) (c.invEmbedding j)) = ↑j
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.Finite
\u22a2 s.encard < ⊤