ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Operations.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : OuterMeasure α
R : Type u_3
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
f : ι → OuterMeasure α
c : R
s : Set α
\u22a2 (c • ⨆ i, f i) s = (⨆ i, c • f i) s
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : AddCommSemigroup α
inst✝⁶ : PartialOrder α
inst✝⁵ : ExistsAddOfLE α
inst✝⁴ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝¹ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α HAdd.hAdd LE.le
h : c ≤ b
\u22a2 a - (b - c) = a + c - b
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : AddCommSemigroup α
inst✝⁶ : PartialOrder α
inst✝⁵ : ExistsAddOfLE α
inst✝⁴ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
a c d✝ : α
inst✝¹ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α HAdd.hAdd LE.le
d : α
h : c ≤ c + d
\u22a2 a - (c + d - c) = a + c - (c + d)
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : EReal
\u22a2 ↑x.abs * ↑(sign x) = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Deriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
x✝ : ℂ
\u22a2 logDeriv cosh x✝ = tanh x✝
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : β → E
g : α → β
a : α
hg : Measurable g
hf : StronglyMeasurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s
inst✝ : Decidable (g a ∈ s)
\u22a2 ∫ (x : β) in s, f x ∂(deterministic g hg) a = if g a ∈ s then f (g a) else 0
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
\u22a2 I.radical = I.jacobson ↔ ⊥.radical = ⊥.jacobson
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
hf : Function.Surjective ⇑(Quotient.mk I)
\u22a2 I.radical = I.jacobson ↔ ⊥.radical = ⊥.jacobson
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 μ.withDensity (s.indicator 1) = μ.restrict s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
\u22a2 ∀ᵐ (x : G) ∂μ', ν' ((fun y => y * x) ⁻¹' s) < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
\u22a2 ae μ' ≤ ae ν'
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
\u22a2 ν' ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
\u22a2 ν' = 0 → ν' s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
hν : ν' = 0
\u22a2 ν' s = 0
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
\u22a2 sign a = 0 ↔ a = 0
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
h : sign a = 0
\u22a2 a = 0
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
h : (if 0 < a then 1 else if a < 0 then -1 else 0) = 0
\u22a2 a = 0
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
h_1 : ¬0 < a
h_2 : ¬a < 0
\u22a2 a = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
M : MvPolynomial σ R → Prop
h_C : ∀ (a : R), M (C a)
h_X : ∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ), M p → M (p * X n)
s : σ →₀ ℕ
a : R
\u22a2 M ((monomial s) a)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
M : MvPolynomial σ R → Prop
h_C : ∀ (a : R), M (C a)
h_X : ∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ), M p → M (p * X n)
s : σ →₀ ℕ
a : R
\u22a2 M ((monomial 0) a)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
M : MvPolynomial σ R → Prop
h_C : ∀ (a : R), M (C a)
h_X : ∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ), M p → M (p * X n)
s : σ →₀ ℕ
a : R
\u22a2 ∀ (a_1 : σ) (b : ℕ) (f : σ →₀ ℕ), a_1 ∉ f.support → b ≠ 0 → M ((monomial f) a) → M ((monomial (Finsupp.single a_1 b + f)) a)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
h✝ h : α ≃ᵢ β
x : β
r : ℝ
\u22a2 ⇑h ⁻¹' Metric.ball x r = Metric.ball (h.symm x) r
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : Algebra R S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f✝ : σ → S₁
f : R →+* S₂
g : σ → S₂
φ : MvPolynomial σ R
h : ∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d φ ≠ 0 → ∃ i ∈ d.support, g i = 0
\u22a2 (eval₂Hom f g) φ = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : Algebra R S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f✝ : σ → S₁
f : R →+* S₂
g : σ → S₂
φ : MvPolynomial σ R
h : ∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d φ ≠ 0 → ∃ i ∈ d.support, g i = 0
\u22a2 ∑ x ∈ φ.support, (eval₂Hom f g) ((monomial x) (coeff x φ)) = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : Algebra R S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f✝ : σ → S₁
f : R →+* S₂
g : σ → S₂
φ : MvPolynomial σ R
h : ∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d φ ≠ 0 → ∃ i ∈ d.support, g i = 0
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
\u22a2 (eval₂Hom f g) ((monomial d) (coeff d φ)) = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : Algebra R S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f✝ : σ → S₁
f : R →+* S₂
g : σ → S₂
φ : MvPolynomial σ R
h : ∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d φ ≠ 0 → ∃ i ∈ d.support, g i = 0
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
i : σ
hi : i ∈ d.support
hgi : g i = 0
\u22a2 (eval₂Hom f g) ((monomial d) (coeff d φ)) = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : Algebra R S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f✝ : σ → S₁
f : R →+* S₂
g : σ → S₂
φ : MvPolynomial σ R
h : ∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d φ ≠ 0 → ∃ i ∈ d.support, g i = 0
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
i : σ
hi : i ∈ d.support
hgi : g i = 0
\u22a2 g i ^ d i = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : Algebra R S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f✝ : σ → S₁
f : R →+* S₂
g : σ → S₂
φ : MvPolynomial σ R
h : ∀ (d : σ →₀ ℕ), coeff d φ ≠ 0 → ∃ i ∈ d.support, g i = 0
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support
i : σ
hi : i ∈ d.support
hgi : g i = 0
\u22a2 d i ≠ 0
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
\u22a2 |cos x - (1 - x ^ 2 / 2)| = Complex.abs (Complex.cos ↑x - (1 - ↑x ^ 2 / 2))
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
\u22a2 Complex.abs ↑(cos x - (1 - x ^ 2 / 2)) = Complex.abs (Complex.cos ↑x - (1 - ↑x ^ 2 / 2))
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
\u22a2 Complex.abs (Complex.cos ↑x - (1 - ↑x ^ 2 / 2)) = Complex.abs ((cexp (↑x * I) + cexp (-↑x * I) - (2 - ↑x ^ 2)) / 2)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
\u22a2 cexp (↑x * I) + cexp (-↑x * I) - (2 - ↑x ^ 2) = cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial + (cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
\u22a2 cexp (↑x * I) + cexp (-(↑x * I)) - (2 - 1 * ↑x * ↑x) = cexp (↑x * I) - (1 / (↑0 + 1) + 1 * (↑x * I) / (↑0 + 1) + 1 * (↑x * I) * (↑x * I) / (↑0 + 1 + 1) + 1 * (↑x * I) * (↑x * I) * (↑x * I) / (↑0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)) + (cexp (-(↑x * I)) - (1 / (↑0 + 1) + -(1 * (↑x * I)) / (↑0 + 1) + 1 * (↑x * I) * (↑x * I) / (↑0 + 1 + 1) + -(1 * (↑x * I) * (↑x * I) * (↑x * I)) / (↑0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)))
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
\u22a2 Complex.abs ((cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial + (cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial)) / 2) ≤ Complex.abs ((cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2) + Complex.abs ((cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
\u22a2 Complex.abs ((cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2 + (cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2) ≤ Complex.abs ((cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2) + Complex.abs ((cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
\u22a2 Complex.abs ((cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2) + Complex.abs ((cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2) = Complex.abs (cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2 + Complex.abs (cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝³ : LocallyCompactSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
f g : X → R
s : Set X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
hg : ContinuousOn g s
hs : IsOpen s
\u22a2 LocallyIntegrableOn (fun x => f x * g x) s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝³ : LocallyCompactSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
f g : X → R
s : Set X
hf : ∀ k ⊆ s, IsCompact k → IntegrableOn f k μ
hg : ContinuousOn g s
hs : IsOpen s
\u22a2 ∀ k ⊆ s, IsCompact k → IntegrableOn (fun x => f x * g x) k μ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : z ≠ 0
\u22a2 x ^ z⁻¹ = y ↔ x = y ^ z
-- Mathlib/SetTheory/Game/Domineering.lean
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ right b
\u22a2 2 ≤ Finset.card b
-- Mathlib/SetTheory/Game/Domineering.lean
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ right b
w₁ : m ∈ b
\u22a2 2 ≤ Finset.card b
-- Mathlib/SetTheory/Game/Domineering.lean
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ right b
w₁ : m ∈ b
w₂ : (m.1 - 1, m.2) ∈ Finset.erase b m
\u22a2 2 ≤ Finset.card b
-- Mathlib/SetTheory/Game/Domineering.lean
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ right b
w₁ : m ∈ b
w₂ : (m.1 - 1, m.2) ∈ Finset.erase b m
i₁ : (Finset.erase b m).card < Finset.card b
\u22a2 2 ≤ Finset.card b
-- Mathlib/SetTheory/Game/Domineering.lean
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ right b
w₁ : m ∈ b
w₂ : (m.1 - 1, m.2) ∈ Finset.erase b m
i₁ : (Finset.erase b m).card < Finset.card b
i₂ : 0 < (Finset.erase b m).card
\u22a2 2 ≤ Finset.card b
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ
\u22a2 cosh (dist z w) = 1 + dist ↑z ↑w ^ 2 / (2 * z.im * w.im)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheafification.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.42009, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P : Sheaf J D
\u22a2 ({ val := (isoSheafify J ⋯).hom } ≫ { val := (isoSheafify J ⋯).inv }).val = (𝟙 P).val
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheafification.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.42009, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P : Sheaf J D
\u22a2 ({ val := (isoSheafify J ⋯).inv } ≫ { val := (isoSheafify J ⋯).hom }).val = (𝟙 ((presheafToSheaf J D).obj P.val)).val
-- Mathlib/Topology/Algebra/Field.lean
K : Type u_1
inst✝⁷ : DivisionRing K
inst✝⁶ : TopologicalSpace K
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f g : α → 𝕜
S : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : T1Space 𝕜
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : HasContinuousInv₀ 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hg : ContinuousOn g S
hsq : EqOn (f ^ 2) (g ^ 2) S
hg_ne : ∀ {x : α}, x ∈ S → g x ≠ 0
y : α
hy : y ∈ S
hy' : f y = g y
x : α
hx : x ∈ S
\u22a2 f x = g x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Field.lean
K : Type u_1
inst✝⁷ : DivisionRing K
inst✝⁶ : TopologicalSpace K
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f g : α → 𝕜
S : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : T1Space 𝕜
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : HasContinuousInv₀ 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hg : ContinuousOn g S
hsq : EqOn (f ^ 2) (g ^ 2) S
hg_ne : ∀ {x : α}, x ∈ S → g x ≠ 0
y : α
hy : y ∈ S
hy' : f y = g y
x : α
hx : x ∈ S
h : EqOn f g S
\u22a2 f x = g x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Field.lean
K : Type u_1
inst✝⁷ : DivisionRing K
inst✝⁶ : TopologicalSpace K
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f g : α → 𝕜
S : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : T1Space 𝕜
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : HasContinuousInv₀ 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hg : ContinuousOn g S
hsq : EqOn (f ^ 2) (g ^ 2) S
hg_ne : ∀ {x : α}, x ∈ S → g x ≠ 0
y : α
hy : y ∈ S
hy' : f y = g y
x : α
hx : x ∈ S
h : EqOn f (-g) S
\u22a2 f x = g x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
x✝ : z ∈ openSegment 𝕜 x y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hz : a • x + b • y = z
\u22a2 (fun θ => (a + b - θ) • x + θ • y) b = a • x + b • y
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
\u22a2 f.mk' (↑y * x) y = f.toMap x
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a✝ a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : SemilatticeSup δ
g : γ → δ
a : δ
h : (image₂ f s t).Nonempty
\u22a2 (image₂ f s t).sup' h g ≤ a ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, g (f x y) ≤ a
-- Mathlib/LinearAlgebra/AnnihilatingPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A
\u22a2 annIdealGenerator 𝕜 a = 0 ↔ annIdeal 𝕜 a = ⊥
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
x y : α
s t : Stream' α
h : x :: s = y :: t
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
x y : α
s t : Stream' α
h : x :: s = y :: t
n : ℕ
\u22a2 s.get n = t.get n
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
μ ν : Measure α✝
α : Sort u_3
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
m : ℕ
a : α
c : ℝ≥0∞ := ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
hc : c = ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
d : ℝ≥0∞ := f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a
hd : d = f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a
\u22a2 c = d
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
μ ν : Measure α✝
α : Sort u_3
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
m : ℕ
a : α
c : ℝ≥0∞ := ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
hc : c = ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
d : ℝ≥0∞ := f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a
hd : d = f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a
\u22a2 ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a ≤ f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a ∧ f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a ≤ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ t : Set α
h : (s ∩ mulSupport f).Finite
\u22a2 (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s \ t), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ t : Set α
h : (s ∩ mulSupport f).Finite
\u22a2 Disjoint (s ∩ t) (s \ t)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ t : Set α
h : (s ∩ mulSupport f).Finite
\u22a2 (s ∩ t ∩ mulSupport f).Finite
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ t : Set α
h : (s ∩ mulSupport f).Finite
\u22a2 (s \ t ∩ mulSupport f).Finite
-- Mathlib/Data/Fintype/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
a : α
l : List α
\u22a2 (permsOfList (a :: l)).length = (a :: l).length !
-- Mathlib/Data/Fintype/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
a : α
l : List α
\u22a2 (permsOfList (a :: l)).length = (l.length + 1) * l.length !
-- Mathlib/Data/Fintype/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
a : α
l : List α
\u22a2 l.length ! + l.length * l.length ! = l.length * l.length ! + l.length !
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationRing.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : ValuationRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
\u22a2 Associated p q
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationRing.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : ValuationRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
this : p ∣ q ∨ q ∣ p
\u22a2 Associated p q
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationRing.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : ValuationRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
this : q ∣ p
\u22a2 Associated p q
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ
\u22a2 ↑(cos x + cos y) = ↑(2 * cos ((x + y) / 2) * cos ((x - y) / 2))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
r : ℝ
hr : r < 0
\u22a2 angle (r • x) y = angle (-x) y
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J J₁ J₂ : LieIdeal R L'
h : J₁ ≤ J₂
\u22a2 comap f J₁ ≤ comap f J₂
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J J₁ J₂ : LieIdeal R L'
h : ↑J₁ ⊆ ↑J₂
\u22a2 ↑(comap f J₁) ⊆ ↑(comap f J₂)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J J₁ J₂ : LieIdeal R L'
h : ↑J₁ ⊆ ↑J₂
\u22a2 (↑(comap f J₁)).carrier ⊆ (↑(comap f J₂)).carrier
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
q : ℤ[X]
k✝ k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hk : k✝ ∈ (trinomial k m n ↑u ↑v ↑w).support
\u22a2 IsUnit ((trinomial k m n ↑u ↑v ↑w).coeff k✝)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
q : ℤ[X]
k✝ k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hk : k✝ ∈ (trinomial k m n ↑u ↑v ↑w).support
this : k✝ ∈ {k, m, n}
\u22a2 IsUnit ((trinomial k m n ↑u ↑v ↑w).coeff k✝)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
q : ℤ[X]
k✝ k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hk : k✝ ∈ (trinomial k m n ↑u ↑v ↑w).support
this : k✝ = k ∨ k✝ = m ∨ k✝ = n
\u22a2 IsUnit ((trinomial k m n ↑u ↑v ↑w).coeff k✝)
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s t : Set α
\u22a2 IsOpen s → IsOpen t → s ∪ t = univ → s.Nonempty → t.Nonempty → (s ∩ t).Nonempty