ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
\u22a2 Disjoint s t ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ t → a ∉ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) μ
As_disj : Pairwise (AEDisjoint μ on As)
\u22a2 ∑' (i : ι), μ (As i) ≤ μ (⋃ i, As i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) μ
As_disj : Pairwise (AEDisjoint μ on As)
\u22a2 ∀ (i : Finset ι), ∑ a ∈ i, μ (As a) ≤ μ (⋃ i, As i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) μ
As_disj : Pairwise (AEDisjoint μ on As)
s : Finset ι
\u22a2 ∑ a ∈ s, μ (As a) ≤ μ (⋃ i, As i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) μ
As_disj : Pairwise (AEDisjoint μ on As)
s : Finset ι
\u22a2 μ (⋃ b ∈ s, As b) ≤ μ (⋃ i, As i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) μ
As_disj : Pairwise (AEDisjoint μ on As)
s : Finset ι
i✝ : ι
\u22a2 ⋃ (_ : i✝ ∈ s), As i✝ ⊆ As i✝
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exponential.lean
x : ℝ
\u22a2 rexp x = NormedSpace.exp ℝ x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
\u22a2 convexBodySumFactor K ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
\u22a2 2 ^ NrRealPlaces K * (NNReal.pi / 2) ^ NrComplexPlaces K ≠ 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a✝ b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
a : Cardinal.{u_1}
h : ¬ℵ₀ ≤ a
\u22a2 IsPrimePow a ↔ ℵ₀ ≤ a ∨ ∃ n, a = ↑n ∧ IsPrimePow n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a✝ b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
a : Cardinal.{u_1}
h : ¬ℵ₀ ≤ a
\u22a2 IsPrimePow a ↔ ∃ n, a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ¬ℵ₀ ≤ ↑a
\u22a2 IsPrimePow ↑a ↔ ∃ n, ↑a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ¬ℵ₀ ≤ ↑a
\u22a2 (∃ p k, Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = ↑a) ↔ ∃ n, ↑a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ¬ℵ₀ ≤ ↑a
\u22a2 (∃ p k, Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = ↑a) → ∃ n, ↑a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ¬ℵ₀ ≤ ↑a
p : Cardinal.{u_1}
k : ℕ
hp : Prime p
hk : 0 < k
hpk : p ^ k = ↑a
\u22a2 ∃ n, ↑a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ¬ℵ₀ ≤ ↑a
p : Cardinal.{u_1}
k : ℕ
hp : Prime p
hk : 0 < k
hpk : p ^ k = ↑a
key : p ^ 1 ≤ ↑a
\u22a2 ∃ n, ↑a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ¬ℵ₀ ≤ ↑a
p : Cardinal.{u_1}
k : ℕ
hp : Prime p
hk : 0 < k
hpk : p ^ k = ↑a
key : p ≤ ↑a
\u22a2 ∃ n, ↑a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ¬ℵ₀ ≤ ↑a
k : ℕ
hk : 0 < k
p : ℕ
hp : Prime ↑p
hpk : ↑p ^ k = ↑a
key : ↑p ≤ ↑a
\u22a2 ∃ n, ↑a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
\u22a2 ⊥ < affineSpan k s ↔ s.Nonempty
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
\u22a2 affineSpan k s ≠ ⊥ ↔ s ≠ ∅
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Gradient/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
h : DifferentiableAt 𝕜 f x
\u22a2 HasGradientAt f (∇ f x) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Gradient/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
h : DifferentiableAt 𝕜 f x
\u22a2 HasFDerivAt f (fderiv 𝕜 f x) x
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pb : PowerBasis R S
I : Ideal R
g : R[X]
\u22a2 (pb.quotientEquivQuotientMinpolyMap I) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (algebraMap R S) I)) ((aeval pb.gen) g)) = (Ideal.Quotient.mk (span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R pb.gen)})) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) g)
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
\u22a2 #↑Set.univ = 𝔠
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X X' Y Y' Z Z' : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : X ⟶ Z ⊗ Y'
g : X' ⟶ Z'
\u22a2 (tensorRightHomEquiv (X' ⊗ X) Y Y' (Z' ⊗ Z)).symm ((g ⊗ f) ≫ (α_ Z' Z Y').inv) = (α_ X' X Y).hom ≫ (g ⊗ (tensorRightHomEquiv X Y Y' Z).symm f)
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
x✝ : α✝ 0
q : (i : Fin (n✝ + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n✝) → α✝ i.succ
i : Fin n✝
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
n : ℕ
x : α
b : Fin n → α
\u22a2 Set.range (cons x b) = insert x (Set.range b)
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → Filter α
g : Filter β
\u22a2 (⨅ i, f i).prod g = ⨅ i, (f i).prod g
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → Filter α
g : Filter β
\u22a2 ⨅ x, comap Prod.fst (f x) ⊓ comap Prod.snd g = ⨅ i, (f i).prod g
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
g : β → γ
hg : Inducing g
s : Set α
x : α
\u22a2 ContinuousWithinAt f s x ↔ ContinuousWithinAt (g ∘ f) s x
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
g : β → γ
hg : Inducing g
s : Set α
x : α
\u22a2 Tendsto (g ∘ f) (𝓝[s] x) (𝓝 (g (f x))) ↔ Tendsto (g ∘ f) (𝓝[s] x) (𝓝 ((g ∘ f) x))
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g : α → α
h : Function.Commute f g
hco : (minimalPeriod f x).Coprime (minimalPeriod g x)
\u22a2 minimalPeriod (f ∘ g) x = minimalPeriod f x * minimalPeriod g x
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g : α → α
h : Function.Commute f g
hco : (minimalPeriod f x).Coprime (minimalPeriod g x)
\u22a2 minimalPeriod f x * minimalPeriod g x ∣ minimalPeriod (f ∘ g) x
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g : α → α
h : Function.Commute f g
hco : (minimalPeriod f x).Coprime (minimalPeriod g x)
\u22a2 ∀ {f g : α → α}, Function.Commute f g → (minimalPeriod f x).Coprime (minimalPeriod g x) → minimalPeriod f x ∣ minimalPeriod (f ∘ g) x
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g✝ : α → α
h✝ : Function.Commute f✝ g✝
hco✝ : (minimalPeriod f✝ x).Coprime (minimalPeriod g✝ x)
f g : α → α
h : Function.Commute f g
hco : (minimalPeriod f x).Coprime (minimalPeriod g x)
\u22a2 minimalPeriod f x ∣ minimalPeriod (f ∘ g) x
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g✝ : α → α
h✝ : Function.Commute f✝ g✝
hco✝ : (minimalPeriod f✝ x).Coprime (minimalPeriod g✝ x)
f g : α → α
h : Function.Commute f g
hco : (minimalPeriod f x).Coprime (minimalPeriod g x)
\u22a2 IsPeriodicPt (f ∘ g) (minimalPeriod g x * minimalPeriod (f ∘ g) x) x
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g✝ : α → α
h✝ : Function.Commute f✝ g✝
hco✝ : (minimalPeriod f✝ x).Coprime (minimalPeriod g✝ x)
f g : α → α
h : Function.Commute f g
hco : (minimalPeriod f x).Coprime (minimalPeriod g x)
\u22a2 IsPeriodicPt g (minimalPeriod g x * minimalPeriod (f ∘ g) x) x
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
\u22a2 (frontier s)ᶜ = interior s ∪ interior sᶜ
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
\u22a2 ((interior s)ᶜ ∩ (interior sᶜ)ᶜ)ᶜ = interior s ∪ interior sᶜ
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Bilinear.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₂] F
g : E →SL[σ₁₃] G
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ = ‖g x‖
x : E
\u22a2 ‖g x‖ ≤ ‖g‖ * ‖x‖
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
\u22a2 (fun x => a + x) '' [[b, c]] = [[a + b, a + c]]
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S✝ : Sieve X
R : Presieve X
S : Sieve X
x : FamilyOfElements P S.arrows
t : x.Compatible
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
Z : C
g : Z ⟶ Y
\u22a2 x (g ≫ f) ⋯ = P.map g.op (x f hf)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
\u22a2 cyclotomic 3 R = X ^ 2 + X + 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/InverseDeriv.lean
x : ℝ
h : x ≠ -1
\u22a2 HasDerivWithinAt arcsin (1 / √(1 - x ^ 2)) (Ici x) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/InverseDeriv.lean
h : 1 ≠ -1
\u22a2 HasDerivWithinAt arcsin (1 / √(1 - 1 ^ 2)) (Ici 1) 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/InverseDeriv.lean
x : ℝ
h : x ≠ -1
h' : x ≠ 1
\u22a2 HasDerivWithinAt arcsin (1 / √(1 - x ^ 2)) (Ici x) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
x✝ : C
\u22a2 ((fun β => { app := fun X => (G ⋙ L₂).map (adj₁.unit.app X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => L₂.map ({ app := fun X => β.app (L₁.obj X), naturality := ⋯ }.app X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => adj₂.counit.app ((L₁ ⋙ H).obj X), naturality := ⋯ }) ((fun α => { app := fun X => adj₂.unit.app ((R₁ ⋙ G).obj X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => R₂.map ({ app := fun X => α.app (R₁.obj X), naturality := ⋯ }.app X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => (H ⋙ R₂).map (adj₁.counit.app X), naturality := ⋯ }) α)).app x✝ = α.app x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
x✝ : C
\u22a2 L₂.map (G.map (adj₁.unit.app x✝)) ≫ α.app (R₁.obj (L₁.obj x✝)) ≫ H.map (adj₁.counit.app (L₁.obj x✝)) = α.app x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
x✝ : C
\u22a2 α.app x✝ ≫ 𝟙 (H.obj (L₁.obj x✝)) = α.app x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
β : R₁ ⋙ G ⟶ H ⋙ R₂
x✝ : D
\u22a2 ((fun α => { app := fun X => adj₂.unit.app ((R₁ ⋙ G).obj X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => R₂.map ({ app := fun X => α.app (R₁.obj X), naturality := ⋯ }.app X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => (H ⋙ R₂).map (adj₁.counit.app X), naturality := ⋯ }) ((fun β => { app := fun X => (G ⋙ L₂).map (adj₁.unit.app X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => L₂.map ({ app := fun X => β.app (L₁.obj X), naturality := ⋯ }.app X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => adj₂.counit.app ((L₁ ⋙ H).obj X), naturality := ⋯ }) β)).app x✝ = β.app x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
β : R₁ ⋙ G ⟶ H ⋙ R₂
x✝ : D
\u22a2 G.map (adj₁.unit.app (R₁.obj x✝)) ≫ β.app (L₁.obj (R₁.obj x✝)) ≫ R₂.map (H.map (adj₁.counit.app x✝)) = β.app x✝
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N N₂ : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L M'
\u22a2 comap N.incl N₂ = ⊤ ↔ N ≤ N₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
\u22a2 Measurable dirac
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 Measurable fun b => (dirac b) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 Measurable fun b => s.indicator 1 b
-- Mathlib/Tactic/CancelDenoms/Core.lean
α : Type u_1
inst✝ : Field α
n k e : α
h2 : e ≠ 0
h3 : n * e = k
\u22a2 k * e⁻¹ = n
-- Mathlib/Topology/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
x✝ : α × Vector α n
a : α
l : Vector α n
\u22a2 ContinuousAt (fun p => Vector.insertNth p.1 i p.2) (a, l)
-- Mathlib/Topology/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
x✝ : α × Vector α n
a : α
l : Vector α n
\u22a2 Tendsto (fun p => Vector.insertNth p.1 i p.2) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 (Vector.insertNth (a, l).1 i (a, l).2))
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
r : R
x : HahnSeries Γ R
a b : Γ
\u22a2 ((single b) r * x).coeff (a + b) = r * x.coeff a
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
r : R
x : HahnSeries Γ R
a b : Γ
\u22a2 ((HahnModule.of R).symm ((single b) r • (HahnModule.of R) x)).coeff (b +ᵥ a) = r * x.coeff a
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
s : ι → Set X
x : X
h : (𝓝 x).HasBasis p s
\u22a2 ⋂ i, ⋂ (_ : p i), s i = {x}
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
\u22a2 s ⊆ {a, b} ↔ ∀ x ∈ s, x = a ∨ x = b
-- Mathlib/Algebra/Lie/Basic.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieRingModule L N
inst✝³ : LieRingModule L P
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : LieModule R L N
inst✝ : LieModule R L P
f_inv : N → M
f : M → N
map_add'✝¹ : ∀ (x y : M), f (x + y) = f x + f y
map_smul'✝¹ : ∀ (m : R) (x : M), { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹ }.toFun x
map_lie'✝¹ : ∀ {x : L} {m : M}, { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun m⁆
left_inv✝¹ : LeftInverse f_inv (↑{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹ }).toFun
right_inv✝¹ : Function.RightInverse f_inv (↑{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹ }).toFun
g_inv : N → M
g : M → N
map_add'✝ : ∀ (x y : M), g (x + y) = g x + g y
map_smul'✝ : ∀ (m : R) (x : M), { toFun := g, map_add' := map_add'✝ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := g, map_add' := map_add'✝ }.toFun x
map_lie'✝ : ∀ {x : L} {m : M}, { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun m⁆
left_inv✝ : LeftInverse g_inv (↑{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝ }).toFun
right_inv✝ : Function.RightInverse g_inv (↑{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝ }).toFun
h : { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹, invFun := f_inv, left_inv := left_inv✝¹, right_inv := right_inv✝¹ }.toEquiv = { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝, invFun := g_inv, left_inv := left_inv✝, right_inv := right_inv✝ }.toEquiv
\u22a2 { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹, invFun := f_inv, left_inv := left_inv✝¹, right_inv := right_inv✝¹ } = { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝, invFun := g_inv, left_inv := left_inv✝, right_inv := right_inv✝ }
-- Mathlib/Algebra/Lie/Basic.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieRingModule L N
inst✝³ : LieRingModule L P
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : LieModule R L N
inst✝ : LieModule R L P
f_inv : N → M
f : M → N
map_add'✝¹ : ∀ (x y : M), f (x + y) = f x + f y
map_smul'✝¹ : ∀ (m : R) (x : M), { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹ }.toFun x
map_lie'✝¹ : ∀ {x : L} {m : M}, { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun m⁆
left_inv✝¹ : LeftInverse f_inv (↑{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹ }).toFun
right_inv✝¹ : Function.RightInverse f_inv (↑{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹ }).toFun
g_inv : N → M
g : M → N
map_add'✝ : ∀ (x y : M), g (x + y) = g x + g y
map_smul'✝ : ∀ (m : R) (x : M), { toFun := g, map_add' := map_add'✝ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := g, map_add' := map_add'✝ }.toFun x
map_lie'✝ : ∀ {x : L} {m : M}, { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun m⁆
left_inv✝ : LeftInverse g_inv (↑{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝ }).toFun
right_inv✝ : Function.RightInverse g_inv (↑{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝ }).toFun
h : f = g ∧ f_inv = g_inv
\u22a2 { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹, invFun := f_inv, left_inv := left_inv✝¹, right_inv := right_inv✝¹ } = { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝, invFun := g_inv, left_inv := left_inv✝, right_inv := right_inv✝ }
-- Mathlib/Algebra/Lie/Basic.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieRingModule L N
inst✝³ : LieRingModule L P
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : LieModule R L N
inst✝ : LieModule R L P
f_inv : N → M
f : M → N
map_add'✝¹ : ∀ (x y : M), f (x + y) = f x + f y
map_smul'✝¹ : ∀ (m : R) (x : M), { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹ }.toFun x
map_lie'✝¹ : ∀ {x : L} {m : M}, { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, { toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun m⁆
left_inv✝¹ : LeftInverse f_inv (↑{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹ }).toFun
right_inv✝¹ : Function.RightInverse f_inv (↑{ toFun := f, map_add' := map_add'✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹, map_lie' := map_lie'✝¹ }).toFun
g_inv : N → M
g : M → N
map_add'✝ : ∀ (x y : M), g (x + y) = g x + g y
map_smul'✝ : ∀ (m : R) (x : M), { toFun := g, map_add' := map_add'✝ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := g, map_add' := map_add'✝ }.toFun x
map_lie'✝ : ∀ {x : L} {m : M}, { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun ⁅x, m⁆ = ⁅x, { toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun m⁆
left_inv✝ : LeftInverse g_inv (↑{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝ }).toFun
right_inv✝ : Function.RightInverse g_inv (↑{ toFun := g, map_add' := map_add'✝, map_smul' := map_smul'✝, map_lie' := map_lie'✝ }).toFun
h : f = g ∧ f_inv = g_inv
\u22a2 f = g