ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : Associates α
ha0 : a ≠ 0
a0 : α
hm : p ∈ ↑(factors' a0)
nza : a0 ≠ 0
ha' : Associates.mk a0 = a
\u22a2 ∃ a ∈ factors' a0, ↑a = p
-- Mathlib/Algebra/Star/CHSH.lean
R : Type u
\u22a2 (√2)⁻¹ * (√2)⁻¹ = 2⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Star/CHSH.lean
R : Type u
\u22a2 (√2 * √2)⁻¹ = 2⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finrank.lean
R✝ : Type u
M✝ : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : Ring R✝
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R✝ N
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
f : M ≃ₗ[R] M₂
\u22a2 toNat (Module.rank R M) = toNat (Module.rank R M₂)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f✝ g✝ : α →ᵇ β
x✝ : α
C✝ : ℝ
G : β → γ
C : ℝ≥0
H : LipschitzWith C G
f g : α →ᵇ β
x : α
\u22a2 dist (f x) (g x) ≤ dist f g
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
h : SecondCountableTopologyEither α β
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
\u22a2 AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
h : SecondCountableTopologyEither α β
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
\u22a2 IsSeparable (f '' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
h : SecondCountableTopologyEither α β
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
h✝ : SecondCountableTopology α
\u22a2 IsSeparable (f '' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
h : SecondCountableTopologyEither α β
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
h✝ : SecondCountableTopology β
\u22a2 IsSeparable (f '' s)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
\u22a2 cosh ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (cosh x)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
\u22a2 (starRingEnd ℂ) (cexp x + cexp (-x)) / 2 = (starRingEnd ℂ) (cexp x + cexp (-x)) / (starRingEnd ℂ) 2
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LE α
inst✝¹ : MulOneClass α
i : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : MulLECancellable a
\u22a2 a ≤ b * a ↔ 1 ≤ b
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Functor.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
A B : C
\u22a2 prod.map (𝟙 (F.obj A)) ((expComparison F A).app B) ≫ (exp.ev (F.obj A)).app (F.obj B) = inv (prodComparison F A (A ⟹ B)) ≫ F.map ((exp.ev A).app B)
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Functor.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
A B : C
e_1✝ : (F.obj A ⨯ (exp A ⋙ F).obj B ⟶ (𝟭 D).obj (F.obj B)) = ((prod.functor.obj (F.obj A)).obj ((exp A ⋙ F).obj B) ⟶ (𝟭 D).obj (F.obj B))
e_3✝ : (F.obj A ⨯ F.obj (A ⟹ B)) = (F ⋙ prod.functor.obj (F.obj A)).obj (A ⟹ B)
e_4✝ : F.obj (A ⨯ A ⟹ B) = (prod.functor.obj A ⋙ F).obj (A ⟹ B)
\u22a2 inv (prodComparison F A (A ⟹ B)) = (prodComparisonNatIso F A).inv.app (A ⟹ B)
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Functor.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
A B : C
e_1✝ : (F.obj A ⨯ (exp A ⋙ F).obj B ⟶ (𝟭 D).obj (F.obj B)) = ((prod.functor.obj (F.obj A)).obj ((exp A ⋙ F).obj B) ⟶ (𝟭 D).obj (F.obj B))
e_3✝ : (F.obj A ⨯ F.obj (A ⟹ B)) = (F ⋙ prod.functor.obj (F.obj A)).obj (A ⟹ B)
e_4✝ : F.obj (A ⨯ A ⟹ B) = (prod.functor.obj A ⋙ F).obj (A ⟹ B)
\u22a2 prodComparison F A (A ⟹ B) ≫ (prodComparisonNatIso F A).inv.app (A ⟹ B) = 𝟙 (F.obj (A ⨯ A ⟹ B))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
e : R
\u22a2 IsIdempotentElem (toSpanSingleton R R e) ↔ IsIdempotentElem e
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
e : R
\u22a2 (∀ (x : R), x * (e * e) = x * e) ↔ e * e = e
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ : E
inst✝ : Invertible 2
x y : E
\u22a2 midpoint 𝕜 x y ∈ [x-[𝕜]y]
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ : E
inst✝ : Invertible 2
x y : E
\u22a2 midpoint 𝕜 x y ∈ ⇑(AffineMap.lineMap x y) '' Icc 0 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : LiftPropWithinAt P g s x
hs : s ∈ 𝓝 x
\u22a2 LiftPropAt P g x
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
\u22a2 ⋯.measurableSpace = hτ.measurableSpace ⊓ ↑f i
-- Mathlib/Algebra/Group/Center.lean
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : DivisionMonoid M
a b : M
ha : a ∈ center M
hb : b ∈ center M
\u22a2 a / b ∈ center M
-- Mathlib/Algebra/Group/Center.lean
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : DivisionMonoid M
a b : M
ha : a ∈ center M
hb : b ∈ center M
\u22a2 a * b⁻¹ ∈ center M
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
\u22a2 (modifyNth f n l)[n]? = f <$> l[n]?
-- Mathlib/CategoryTheory/WithTerminal.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.82998, u_1} D
F G : C ⥤ D
η : F ⟶ G
X Y : WithTerminal C
f : X ⟶ Y
\u22a2 (map F).map f ≫ (fun X => match X with | of x => η.app x | star => 𝟙 star) Y = (fun X => match X with | of x => η.app x | star => 𝟙 star) X ≫ (map G).map f
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
x : γ
s : (i : ι) → κ i → Set γ
\u22a2 x ∈ ⋂ i, ⋂ j, s i j ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), x ∈ s i j
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
p : ZFSet → Prop
x y : ZFSet
\u22a2 Hereditarily p x → p ∅
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
p : ZFSet → Prop
x y : ZFSet
\u22a2 ∀ (x : ZFSet), (∀ y ∈ x, Hereditarily p y → p ∅) → Hereditarily p x → p ∅
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
p : ZFSet → Prop
x y✝ y : ZFSet
IH : ∀ y_1 ∈ y, Hereditarily p y_1 → p ∅
h : Hereditarily p y
\u22a2 p ∅
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
p : ZFSet → Prop
x y : ZFSet
IH : ∀ y ∈ ∅, Hereditarily p y → p ∅
h : Hereditarily p ∅
\u22a2 p ∅
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
p : ZFSet → Prop
x y✝ y : ZFSet
IH : ∀ y_1 ∈ y, Hereditarily p y_1 → p ∅
h : Hereditarily p y
a : ZFSet
ha : a ∈ y.toSet
\u22a2 p ∅
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
i j : Fin (n + 1)
h : i < j
x : α i
p : (k : Fin n) → α (i.succAbove k)
\u22a2 i.insertNth x p j = Eq.recOn ⋯ (p (j.pred ⋯))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : E
\u22a2 ↑((orthogonalProjection (Submodule.span 𝕜 {v})) w) = ⟪v, w⟫_𝕜 • v
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : E
\u22a2 ↑((orthogonalProjection (Submodule.span 𝕜 {v})) w) = ↑(‖v‖ ^ 2) • ↑((orthogonalProjection (Submodule.span 𝕜 {v})) w)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : s ∈ 𝓝 x
\u22a2 mfderivWithin I I' f s x = mfderiv I I' f x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
\u22a2 P.IsUniform G 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
\u22a2 (P.nonUniforms G 1).card ≤ P.parts.card * (P.parts.card - 1)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
\u22a2 P.parts.offDiag.card ≤ P.parts.card * (P.parts.card - 1)
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
a : R
\u22a2 (coeff R m) ((monomial R n) a * φ) = if n ≤ m then a * (coeff R (m - n)) φ else 0
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
r : R
hnil : IsNilpotent r
\u22a2 IsUnit (r + 1)
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
r : R
hnil : IsNilpotent r
\u22a2 IsUnit (-r - 1)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : (lineMap x z) t ∈ s
ht1' : t < 1
ht0' : 0 < t
\u22a2 SameRay R (x -ᵥ (lineMap x z) t) ((lineMap x z) t -ᵥ z)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : (lineMap x z) t ∈ s
ht1' : t < 1
ht0' : 0 < t
\u22a2 (1 - t) • (x -ᵥ (lineMap x z) t) = t • ((lineMap x z) t -ᵥ z)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : (lineMap x z) t ∈ s
ht1' : t < 1
ht0' : 0 < t
\u22a2 (-(1 - t) * t) • (z -ᵥ x) = (t * (t + -1)) • (z -ᵥ x)
-- Mathlib/Algebra/Regular/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Mul R
a : R
ca : ∀ (b : R), Commute a b
h : IsRightRegular a
\u22a2 IsLeftRegular a
-- Mathlib/Algebra/Regular/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Mul R
a : R
h : IsRightRegular a
ca : ∀ (b : R), Commute b a
\u22a2 IsLeftRegular a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
x : R
hx : f x = 0
y : R
f_mul : f (x * y) ≤ 0
\u22a2 f (x * y) = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
t : Finset β
\u22a2 edgeDensity r ∅ t = 0
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝¹ : Finset α
f : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
s✝ : Finset ι
g : ι → α →₀ M
h : α → M → N
h_zero : ∀ (a : α), h a 0 = 1
h_add : ∀ (a : α) (b₁ b₂ : M), h a (b₁ + b₂) = h a b₁ * h a b₂
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : ∏ i ∈ s, (g i).prod h = (∑ i ∈ s, g i).prod h
\u22a2 ∏ i ∈ Finset.cons a s has, (g i).prod h = (∑ i ∈ Finset.cons a s has, g i).prod h
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
V : Type uV
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Free K V
v : V
\u22a2 (∀ (φ : Dual K V), φ v = 0) ↔ v = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
V : Type uV
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Free K V
v : V
\u22a2 (∀ (φ : Dual K V), φ v = 0) ↔ ∀ (x : Dual K V), ((eval K V) v) x = 0 x
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Ring.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : DivisionSemiring α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSemiring α
f g : ι → α
a a₁ a₂ : α
h : a ≠ 0
H : Summable fun i => a * f i
\u22a2 Summable f
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set R
\u22a2 IsClosed (zeroLocus s)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set R
\u22a2 ∃ s_1, zeroLocus s = zeroLocus s_1
-- Mathlib/Data/Int/ModEq.lean
m n a✝ b✝ c d a b : ℤ
hb : 0 < b
z : ℤ
hz1 : 0 ≤ z
hz2 : z < b
hz3 : z ≡ a [ZMOD b]
\u22a2 ↑z.natAbs < b ∧ ↑z.natAbs ≡ a [ZMOD b]
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q : R[X]
S : Type u_1
inst✝ : AddCommMonoid S
p : R[X]
f g : ℕ → R → S
\u22a2 p.sum (f + g) = p.sum f + p.sum g
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n b : ℕ
h : 1 < b
x y : ℕ
hxb : x < b
hxy : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
\u22a2 b.digits (x + b * y) = x :: b.digits y
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n x y : ℕ
hxy : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
b : ℕ
h : 1 < b + 2
hxb : x < b + 2
\u22a2 (b + 2).digits (x + (b + 2) * y) = x :: (b + 2).digits y
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n x b : ℕ
h : 1 < b + 2
hxb : x < b + 2
n✝ : ℕ
hxy : x ≠ 0 ∨ n✝ + 1 ≠ 0
\u22a2 (b + 2).digitsAux ⋯ (x + (b + 2) * (n✝ + 1)) = x :: (b + 2).digitsAux ⋯ (n✝ + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n x b : ℕ
h : 1 < b + 2
hxb : x < b + 2
n✝ : ℕ
hxy : x ≠ 0 ∨ n✝ + 1 ≠ 0
\u22a2 (x + (b + 2) * (n✝ + 1)) % (b + 2) :: (b + 2).digitsAux ⋯ ((x + (b + 2) * (n✝ + 1)) / (b + 2)) = x :: (b + 2).digitsAux ⋯ (n✝ + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n x b : ℕ
h : 1 < b + 2
hxb : x < b + 2
n✝ : ℕ
hxy : x ≠ 0 ∨ n✝ + 1 ≠ 0
\u22a2 0 < x + (b + 2) * (n✝ + 1)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atTop
\u22a2 Tendsto (fun x => f x * r) l atBot ↔ r < 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
a : R
m : ℕ
\u22a2 (coeff R m) ((monomial R n) a) = (coeff R m) (mk fun m => if m = n then a else 0)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.28063, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
z₁ : W.LeftFraction X Y
z₂ : W.LeftFraction Y Z
z₃ z₃' : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'
h₃ : z₂.f ≫ z₃.s = z₁.s ≫ z₃.f
h₃' : z₂.f ≫ z₃'.s = z₁.s ≫ z₃'.f
\u22a2 LeftFractionRel (z₁.comp₀ z₂ z₃) (z₁.comp₀ z₂ z₃')
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.28063, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
z₁ : W.LeftFraction X Y
z₂ : W.LeftFraction Y Z
z₃ z₃' : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'
h₃ : z₂.f ≫ z₃.s = z₁.s ≫ z₃.f
h₃' : z₂.f ≫ z₃'.s = z₁.s ≫ z₃'.f
z₄ : W.LeftFraction z₃.Y' z₃'.Y'
fac : (RightFraction.mk z₃.s ⋯ z₃'.s).f ≫ z₄.s = (RightFraction.mk z₃.s ⋯ z₃'.s).s ≫ z₄.f
\u22a2 LeftFractionRel (z₁.comp₀ z₂ z₃) (z₁.comp₀ z₂ z₃')
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.28063, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
z₁ : W.LeftFraction X Y
z₂ : W.LeftFraction Y Z
z₃ z₃' : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'
h₃ : z₂.f ≫ z₃.s = z₁.s ≫ z₃.f
h₃' : z₂.f ≫ z₃'.s = z₁.s ≫ z₃'.f
z₄ : W.LeftFraction z₃.Y' z₃'.Y'
fac : z₃'.s ≫ z₄.s = z₃.s ≫ z₄.f
eq : z₁.s ≫ z₃.f ≫ z₄.f = z₁.s ≫ z₃'.f ≫ z₄.s
\u22a2 LeftFractionRel (z₁.comp₀ z₂ z₃) (z₁.comp₀ z₂ z₃')
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.28063, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y✝ Z : C
z₁ : W.LeftFraction X Y✝
z₂ : W.LeftFraction Y✝ Z
z₃ z₃' : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'
h₃ : z₂.f ≫ z₃.s = z₁.s ≫ z₃.f
h₃' : z₂.f ≫ z₃'.s = z₁.s ≫ z₃'.f
z₄ : W.LeftFraction z₃.Y' z₃'.Y'
fac : z₃'.s ≫ z₄.s = z₃.s ≫ z₄.f
eq : z₁.s ≫ z₃.f ≫ z₄.f = z₁.s ≫ z₃'.f ≫ z₄.s
Y : C
t : z₄.Y' ⟶ Y
ht : W t
fac' : (z₃.f ≫ z₄.f) ≫ t = (z₃'.f ≫ z₄.s) ≫ t
\u22a2 LeftFractionRel (z₁.comp₀ z₂ z₃) (z₁.comp₀ z₂ z₃')
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.28063, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y✝ Z : C
z₁ : W.LeftFraction X Y✝
z₂ : W.LeftFraction Y✝ Z
z₃ z₃' : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'
h₃ : z₂.f ≫ z₃.s = z₁.s ≫ z₃.f
h₃' : z₂.f ≫ z₃'.s = z₁.s ≫ z₃'.f
z₄ : W.LeftFraction z₃.Y' z₃'.Y'
fac : z₃'.s ≫ z₄.s = z₃.s ≫ z₄.f
eq : z₁.s ≫ z₃.f ≫ z₄.f = z₁.s ≫ z₃'.f ≫ z₄.s
Y : C
t : z₄.Y' ⟶ Y
ht : W t
fac' : z₃.f ≫ z₄.f ≫ t = z₃'.f ≫ z₄.s ≫ t
\u22a2 LeftFractionRel (z₁.comp₀ z₂ z₃) (z₁.comp₀ z₂ z₃')
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b c d : α
\u22a2 Ioc a b * Ico c d ⊆ Ioo (a * c) (b * d)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b c d : α
this : ∀ (M : Type ?u.6235) (N : Type ?u.6234) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
\u22a2 Ioc a b * Ico c d ⊆ Ioo (a * c) (b * d)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b c d : α
this : ∀ (M : Type ?u.6235) (N : Type ?u.6234) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
y : α
hya : a < y
hyb : y ≤ b
z : α
hzc : c ≤ z
hzd : z < d
\u22a2 (fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Ioo (a * c) (b * d)
-- Mathlib/RepresentationTheory/Maschke.lean
k : Type u
inst✝¹¹ : CommRing k
G : Type u
inst✝¹⁰ : Group G
V : Type v
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module k V
inst✝⁷ : Module (MonoidAlgebra k G) V
inst✝⁶ : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) V
W : Type w
inst✝⁵ : AddCommGroup W
inst✝⁴ : Module k W
inst✝³ : Module (MonoidAlgebra k G) W
inst✝² : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) W
π : W →ₗ[k] V
i : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W
h : ∀ (v : V), π (i v) = v
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
v : V
\u22a2 (equivariantProjection G π) (i v) = v
-- Mathlib/RepresentationTheory/Maschke.lean
k : Type u
inst✝¹¹ : CommRing k
G : Type u
inst✝¹⁰ : Group G
V : Type v
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module k V
inst✝⁷ : Module (MonoidAlgebra k G) V
inst✝⁶ : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) V
W : Type w
inst✝⁵ : AddCommGroup W
inst✝⁴ : Module k W
inst✝³ : Module (MonoidAlgebra k G) W
inst✝² : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) W
π : W →ₗ[k] V
i : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W
h : ∀ (v : V), π (i v) = v
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
v : V
\u22a2 ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ g : G, (π.conjugate g) (i v) = v
-- Mathlib/RepresentationTheory/Maschke.lean
k : Type u
inst✝¹¹ : CommRing k
G : Type u
inst✝¹⁰ : Group G
V : Type v
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module k V
inst✝⁷ : Module (MonoidAlgebra k G) V
inst✝⁶ : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) V
W : Type w
inst✝⁵ : AddCommGroup W
inst✝⁴ : Module k W
inst✝³ : Module (MonoidAlgebra k G) W
inst✝² : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) W
π : W →ₗ[k] V
i : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W
h : ∀ (v : V), π (i v) = v
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
v : V
\u22a2 ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ x : G, v = v