ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : WSeq α
\u22a2 ∃ s_1, (map f s).destruct = (map f s_1).destruct ∧ Computation.map (Option.map (Prod.map f (map f))) s.destruct = Computation.map (Option.map (Prod.map f (map f))) s_1.destruct
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a : α
s : Multiset α
\u22a2 (map (fun x => a * x) s).gcd = normalize a * s.gcd
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a : α
s : Multiset α
\u22a2 (map (fun x => a * x) 0).gcd = normalize a * gcd 0
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a : α
s✝ : Multiset α
b : α
s : Multiset α
ih : (map (fun x => a * x) s).gcd = normalize a * s.gcd
\u22a2 (map (fun x => a * x) (b ::ₘ s)).gcd = normalize a * (b ::ₘ s).gcd
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
i j : ℕ
\u22a2 (i, j) ∈ (ofRowLens μ.rowLens ⋯).cells ↔ (i, j) ∈ μ.cells
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
i j : ℕ
\u22a2 (∃ (h : i < μ.colLen 0), j < μ.rowLens.get ⟨i, ⋯⟩) ↔ (i, j) ∈ μ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
x n : ℂ
hx : x.arg ≠ π
\u22a2 x⁻¹ ^ n = (x ^ n)⁻¹
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Products.lean
β✝ : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
β : Type w
f : β → C
inst✝ : HasCoproduct f
P : C
p : (b : β) → f b ⟶ P
b : β
\u22a2 ι f b ≫ desc p = p b
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : Associates α
a✝ : Nontrivial α
\u22a2 (a.factors ⊔ b.factors).prod * (a.factors ⊓ b.factors).prod = a * b
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : Associates α
a✝ : Nontrivial α
\u22a2 ((a.factors ⊔ b.factors).prod * (a.factors ⊓ b.factors).prod).factors = (a * b).factors
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
a : ℤ
\u22a2 (↑a)⁻¹.num = a.sign
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
a : ℤ
lt : a < 0
\u22a2 (↑a)⁻¹.num = a.sign
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
\u22a2 (↑0)⁻¹.num = Int.sign 0
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
a : ℤ
gt : 0 < a
\u22a2 (↑a)⁻¹.num = a.sign
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P (generate R).arrows
t : x.Compatible
\u22a2 (FamilyOfElements.restrict ⋯ x).sieveExtend = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P (generate R).arrows
t : x.SieveCompatible
\u22a2 (FamilyOfElements.restrict ⋯ x).sieveExtend = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P (generate R).arrows
t : x.SieveCompatible
x✝¹ : C
x✝ : x✝¹ ⟶ X
h : (generate R).arrows x✝
\u22a2 (FamilyOfElements.restrict ⋯ x).sieveExtend x✝ h = x x✝ h
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P (generate R).arrows
t : x.SieveCompatible
x✝¹ : C
x✝ : x✝¹ ⟶ X
h : (generate R).arrows x✝
\u22a2 x (⋯.choose ≫ ⋯.choose) ⋯ = x x✝ h
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P (generate R).arrows
t : x.SieveCompatible
x✝¹ : C
x✝ : x✝¹ ⟶ X
h : (generate R).arrows x✝
\u22a2 ⋯.choose ≫ ⋯.choose = x✝
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
hI : M.Basis I X
hXY : X ⊆ Y
\u22a2 (M ↾ Y).Basis I X
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
e : M ≃L[R] M₂
h : ∃ e', ↑e' = ↑e
\u22a2 (↑e).inverse = ↑e.symm
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
e : M ≃L[R] M₂
h : ∃ e', ↑e' = ↑e
\u22a2 ↑(Classical.choose h).symm = ↑e.symm
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
e : M ≃L[R] M₂
h : ∃ e', ↑e' = ↑e
\u22a2 Classical.choose h = e
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : MeasurableSpace F
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : BorelSpace F
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SigmaCompactSpace F
b : Basis ι ℝ E
f : E ≃L[ℝ] F
\u22a2 Measure.map (⇑f) b.addHaar = (b.map f.toLinearEquiv).addHaar
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : MeasurableSpace F
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : BorelSpace F
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SigmaCompactSpace F
b : Basis ι ℝ E
f : E ≃L[ℝ] F
this : (Measure.map (⇑f) b.addHaar).IsAddHaarMeasure
\u22a2 Measure.map (⇑f) b.addHaar = (b.map f.toLinearEquiv).addHaar
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : MeasurableSpace F
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : BorelSpace F
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SigmaCompactSpace F
b : Basis ι ℝ E
f : E ≃L[ℝ] F
this : (Measure.map (⇑f) b.addHaar).IsAddHaarMeasure
\u22a2 b.addHaar (⇑f ⁻¹' _root_.parallelepiped (⇑f.toLinearEquiv ∘ ⇑b)) = 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gamma.lean
a r x : ℝ
hx : x < 0
\u22a2 gammaPDF a r x = 0
-- Mathlib/Order/Hom/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : OrderIsoClass F α β
f : F
a : α
b : β
\u22a2 EquivLike.inv f b < a ↔ b < f a
-- Mathlib/Order/Hom/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : OrderIsoClass F α β
f : F
a : α
b : β
\u22a2 f (EquivLike.inv f b) < f a ↔ b < f a
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
p✝ : ?m.47193
u v : V
H : SimpleGraph V
p : G.Walk u v
q : G.Walk u u
qc : q.IsCycle
hq : ∀ e ∈ q.edges, e ∈ H.edgeSet
\u22a2 (q.transfer H hq).IsCycle
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s✝ : Subgroup α
a b : α
N : Subgroup α
s : Set α
x : α
\u22a2 x ∈ mk ⁻¹' (mk '' s) ↔ x ∈ ⋃ x, (fun x_1 => x_1 * ↑x) ⁻¹' s
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s✝ : Subgroup α
a b : α
N : Subgroup α
s : Set α
x : α
\u22a2 (∃ x_1 ∈ s, x_1⁻¹ * x ∈ N) ↔ ∃ x_1 ∈ N, x * x_1 ∈ s
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hB : M.Base B
\u22a2 M.closure B = M.E
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hB : M.Basis B M.E
\u22a2 M.closure B = M.E
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : LinearWeights R L M
χ : L → R
x y : L
d : ℕ := finrank R ↥↑(weightSpace M χ)
\u22a2 ((traceForm R L ↥↑(weightSpace M χ)) x) y = d • (χ x * χ y)
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : LinearWeights R L M
χ : L → R
x y : L
d : ℕ := finrank R ↥↑(weightSpace M χ)
h₁ : χ y • d • χ x - χ y • χ x • ↑d = 0
\u22a2 ((traceForm R L ↥↑(weightSpace M χ)) x) y = d • (χ x * χ y)
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : LinearWeights R L M
χ : L → R
x y : L
d : ℕ := finrank R ↥↑(weightSpace M χ)
h₁ : χ y • d • χ x - χ y • χ x • ↑d = 0
h₂ : χ x • d • χ y = d • (χ x * χ y)
\u22a2 ((traceForm R L ↥↑(weightSpace M χ)) x) y = d • (χ x * χ y)
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : LinearWeights R L M
χ : L → R
x y : L
d : ℕ := finrank R ↥↑(weightSpace M χ)
h₁ : χ y • d • χ x - χ y • χ x • ↑d = 0
h₂ : χ x • d • χ y = d • (χ x * χ y)
this : traceForm R L ↥↑(shiftedWeightSpace R L M χ) = 0
\u22a2 ((traceForm R L ↥↑(weightSpace M χ)) x) y = d • (χ x * χ y)
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : LinearWeights R L M
χ : L → R
x y : L
d : ℕ := finrank R ↥↑(weightSpace M χ)
h₁ : χ y • d • χ x - χ y • χ x • ↑d = 0
h₂ : χ x • d • χ y = d • (χ x * χ y)
this : ((traceForm R L ↥↑(shiftedWeightSpace R L M χ)) x) y = (0 x) y
\u22a2 ((traceForm R L ↥↑(weightSpace M χ)) x) y = d • (χ x * χ y)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a : ℤ
n : ℕ
h : J(a | n) = -1
\u22a2 ∃ p, Nat.Prime p ∧ p ∣ n ∧ J(a | p) = -1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a : ℤ
n : ℕ
h : J(a | n) = -1
hn₀ : n ≠ 0
\u22a2 ∃ p, Nat.Prime p ∧ p ∣ n ∧ J(a | p) = -1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a : ℤ
n : ℕ
h : J(a | n) = -1
hn₀ : n ≠ 0
hf₀ : ∀ p ∈ n.primeFactorsList, p ≠ 0
\u22a2 ∃ p, Nat.Prime p ∧ p ∣ n ∧ J(a | p) = -1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a : ℤ
n : ℕ
h : (List.map (fun n => J(a | n)) n.primeFactorsList).prod = -1
hn₀ : n ≠ 0
hf₀ : ∀ p ∈ n.primeFactorsList, p ≠ 0
\u22a2 ∃ p, Nat.Prime p ∧ p ∣ n ∧ J(a | p) = -1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a : ℤ
n : ℕ
h : (List.map (fun n => J(a | n)) n.primeFactorsList).prod = -1
hn₀ : n ≠ 0
hf₀ : ∀ p ∈ n.primeFactorsList, p ≠ 0
p : ℕ
hmem : p ∈ n.primeFactorsList
hj : J(a | p) = -1
\u22a2 ∃ p, Nat.Prime p ∧ p ∣ n ∧ J(a | p) = -1
-- Mathlib/Order/BoundedOrder.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
a b : α
\u22a2 a ⊔ b = ⊥ ↔ a = ⊥ ∧ b = ⊥
-- Mathlib/Order/BoundedOrder.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
a b : α
\u22a2 a ≤ ⊥ ∧ b ≤ ⊥ ↔ a = ⊥ ∧ b = ⊥
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Deriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
x✝ : ℝ
\u22a2 logDeriv cos x✝ = (-tan) x✝
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
\u22a2 ∡ p₁ p₂ p₃ ≠ 0 ∧ ∡ p₁ p₂ p₃ ≠ ↑π ↔ AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
\u22a2 LinearIndependent ℝ ![p₁ -ᵥ p₂, p₃ -ᵥ p₂] ↔ LinearIndependent ℝ ((fun i => ![p₁, p₂, p₃] ↑i -ᵥ ![p₁, p₂, p₃] 1) ∘ ⇑(finSuccAboveEquiv 1))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
\u22a2 (fun i => ![p₁, p₂, p₃] ↑i -ᵥ ![p₁, p₂, p₃] 1) ∘ ⇑(finSuccAboveEquiv 1) = ![p₁ -ᵥ p₂, p₃ -ᵥ p₂]
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
f g : C(X, ℝ)
\u22a2 { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯ }.toFun (f * g) = { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯ }.toFun f * { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯ }.toFun g
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
f g : C(X, ℝ)
this : φ ((f * g).toNNReal + (-f).toNNReal * g.toNNReal + f.toNNReal * (-g).toNNReal) = φ ((-(f * g)).toNNReal + f.toNNReal * g.toNNReal + (-f).toNNReal * (-g).toNNReal)
\u22a2 { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯ }.toFun (f * g) = { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯ }.toFun f * { toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯ }.toFun g
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
f g : C(X, ℝ)
this : φ (f * g).toNNReal + φ (-f).toNNReal * φ g.toNNReal + φ f.toNNReal * φ (-g).toNNReal = φ (-(f * g)).toNNReal + φ f.toNNReal * φ g.toNNReal + φ (-f).toNNReal * φ (-g).toNNReal
\u22a2 φ (f * g).toNNReal - φ (-(f * g)).toNNReal = φ f.toNNReal * φ g.toNNReal - φ (-f).toNNReal * φ g.toNNReal - (φ f.toNNReal * φ (-g).toNNReal - φ (-f).toNNReal * φ (-g).toNNReal)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
f g : C(X, ℝ)
this : φ (f * g).toNNReal + φ (-f).toNNReal * φ g.toNNReal + φ f.toNNReal * φ (-g).toNNReal - (φ (-(f * g)).toNNReal + φ f.toNNReal * φ g.toNNReal + φ (-f).toNNReal * φ (-g).toNNReal) = 0
\u22a2 φ (f * g).toNNReal - φ (-(f * g)).toNNReal - (φ f.toNNReal * φ g.toNNReal - φ (-f).toNNReal * φ g.toNNReal - (φ f.toNNReal * φ (-g).toNNReal - φ (-f).toNNReal * φ (-g).toNNReal)) = 0
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
f g : C(X, ℝ)
\u22a2 (↑{ toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (f + g) = (↑{ toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun f + (↑{ toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun g
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
f g : C(X, ℝ)
this : φ ((f + g).toNNReal + (-f).toNNReal + (-g).toNNReal) = φ ((-(f + g)).toNNReal + f.toNNReal + g.toNNReal)
\u22a2 (↑{ toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (f + g) = (↑{ toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun f + (↑{ toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun g
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
f g : C(X, ℝ)
this : φ (f + g).toNNReal + φ (-f).toNNReal + φ (-g).toNNReal = φ (-(f + g)).toNNReal + φ f.toNNReal + φ g.toNNReal
\u22a2 φ (f + g).toNNReal - φ (-(f + g)).toNNReal = φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal + (φ g.toNNReal - φ (-g).toNNReal)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
f g : C(X, ℝ)
this : φ (f + g).toNNReal + φ (-f).toNNReal + φ (-g).toNNReal - (φ (-(f + g)).toNNReal + φ f.toNNReal + φ g.toNNReal) = 0
\u22a2 φ (f + g).toNNReal - φ (-(f + g)).toNNReal - (φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal + (φ g.toNNReal - φ (-g).toNNReal)) = 0
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
r : ℝ
\u22a2 φ ((algebraMap ℝ C(X, ℝ)) r).toNNReal - φ (-(algebraMap ℝ C(X, ℝ)) r).toNNReal = (algebraMap ℝ A) r
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
\u22a2 φ ((algebraMap ℝ C(X, ℝ)) r).toNNReal - φ (-(algebraMap ℝ C(X, ℝ)) r).toNNReal = (algebraMap ℝ A) r
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
r : ℝ
hr : r ≤ 0
\u22a2 φ ((algebraMap ℝ C(X, ℝ)) r).toNNReal - φ (-(algebraMap ℝ C(X, ℝ)) r).toNNReal = (algebraMap ℝ A) r
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
f : C(X, ℝ)
\u22a2 (↑↑{ toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }.toRingHom).toFun (star f) = star ((↑↑{ toFun := fun f => φ f.toNNReal - φ (-f).toNNReal, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }.toRingHom).toFun f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
\u22a2 (μ.restrict s).prod ν = (μ.prod ν).restrict (s ×ˢ univ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
this : ν = ν.restrict univ
\u22a2 (μ.restrict s).prod ν = (μ.prod ν).restrict (s ×ˢ univ)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
S R✝ : Sieve X
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
R : Sieve X
Y✝ : E
f✝ : Y✝ ⟶ (F ⋙ G).obj X
\u22a2 (functorPushforward (F ⋙ G) R).arrows f✝ ↔ (functorPushforward G (functorPushforward F R)).arrows f✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Equalizers.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h✝ : Y ⟶ Z
w : f ≫ h✝ = g ≫ h✝
inst✝³ : HasCoequalizer f g
inst✝² : HasCoequalizer (G.map f) (G.map g)
inst✝¹ : PreservesColimit (parallelPair f g) G
X' Y' : D
f' g' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasCoequalizer f' g'
p : G.obj X ⟶ X'
q : G.obj Y ⟶ Y'
wf : G.map f ≫ q = p ≫ f'
wg : G.map g ≫ q = p ≫ g'
Z' : D
h : Y' ⟶ Z'
wh : f' ≫ h = g' ≫ h
\u22a2 G.map (coequalizer.π f g) ≫ (PreservesCoequalizer.iso G f g).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (G.map f) (G.map g) f' g' p q wf wg) ≫ coequalizer.desc h wh = q ≫ h
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Equalizers.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h✝ : Y ⟶ Z
w : f ≫ h✝ = g ≫ h✝
inst✝³ : HasCoequalizer f g
inst✝² : HasCoequalizer (G.map f) (G.map g)
inst✝¹ : PreservesColimit (parallelPair f g) G
X' Y' : D
f' g' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasCoequalizer f' g'
p : G.obj X ⟶ X'
q : G.obj Y ⟶ Y'
wf : G.map f ≫ q = p ≫ f'
wg : G.map g ≫ q = p ≫ g'
Z' : D
h : Y' ⟶ Z'
wh : f' ≫ h = g' ≫ h
\u22a2 (q ≫ coequalizer.π f' g') ≫ coequalizer.desc h wh = q ≫ h
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
\u22a2 Function.Antiperiodic (fun x => cexp (x * I)) ↑π
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq σ
m n : σ →₀ ℕ
a : R
\u22a2 (coeff R m) ((monomial R n) a) = if m = n then a else 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq σ
m n : σ →₀ ℕ
a : R
\u22a2 (LinearMap.stdBasis R (fun x => R) n) a m = if m = n then a else 0
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α : Sort u
β : α → Sort v
α' : Sort w
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq α'
f✝ g : (a : α) → β a
a : α
b : β a
f : (a : α) → β a
a' : α
v v' : β a'
h : update f a' v = update f a' v'
this : update f a' v a' = update f a' v' a'
\u22a2 v = v'
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderBot α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α
ha : ⊥ < a
c : ι
t : Finset ι
hc : c ∉ t
\u22a2 ((∀ b ∈ t, f b < a) → t.sup f < a) → (∀ b ∈ cons c t hc, f b < a) → (cons c t hc).sup f < a