ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
J : Ideal R[X]
j : Ideal R
hj : j ∈ {J | J.IsMaximal} ∧ map C j = J
this : j.IsMaximal
\u22a2 ⊥.jacobson = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
J : Ideal R[X]
j : Ideal R
hj : j ∈ {J | J.IsMaximal} ∧ map C j = J
this : j.IsMaximal
f : (R ⧸ j)[X]
hf : f ∈ ⊥.jacobson
\u22a2 f ∈ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
J : Ideal R[X]
j : Ideal R
hj : j ∈ {J | J.IsMaximal} ∧ map C j = J
this : j.IsMaximal
f : (R ⧸ j)[X]
hf : f ∈ ⊥.jacobson
r1 : X ≠ 0
\u22a2 f ∈ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
J : Ideal R[X]
j : Ideal R
hj : j ∈ {J | J.IsMaximal} ∧ map C j = J
this : j.IsMaximal
f : (R ⧸ j)[X]
hf : f ∈ ⊥.jacobson
r1 : X ≠ 0
r2 : f * X + 1 = C ((f * X + 1).coeff 0)
\u22a2 f ∈ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
J : Ideal R[X]
j : Ideal R
hj : j ∈ {J | J.IsMaximal} ∧ map C j = J
this : j.IsMaximal
f : (R ⧸ j)[X]
hf : f ∈ ⊥.jacobson
r1 : X ≠ 0
r2 : f * X + 1 = C 1
\u22a2 f ∈ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
J : Ideal R[X]
j : Ideal R
hj : j ∈ {J | J.IsMaximal} ∧ map C j = J
this : j.IsMaximal
f : (R ⧸ j)[X]
hf : f ∈ ⊥.jacobson
r1 : X ≠ 0
r2 : f * X = 0
\u22a2 f ∈ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Localization/InvSubmonoid.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
x : S
\u22a2 x ∈ invSubmonoid M S ↔ ∃ m, mk' S 1 m = x
-- Mathlib/RingTheory/Localization/InvSubmonoid.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
x : S
\u22a2 x ∈ invSubmonoid M S ↔ ∃ m, ↑((toInvSubmonoid M S) m) = x
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Cast.lean
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
p : Path u v
\u22a2 HEq (cast hu hv p) p
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Cast.lean
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
p : Path u v
\u22a2 HEq (_root_.cast ⋯ p) p
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Basic.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} D
P : MorphismProperty C
inst✝¹ : P.RespectsIso
F : C ⥤ D
inst✝ : F.IsEquivalence
\u22a2 (P.map F).inverseImage F = P
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n✝ : σ →₀ ℕ
φ ψ φ₁ φ₂ φ₃ : MvPowerSeries σ R
n : σ →₀ ℕ
\u22a2 (coeff R n) (φ₁ * φ₂ * φ₃) = (coeff R n) (φ₁ * (φ₂ * φ₃))
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
\u22a2 WithBot.some ∘ WithTop.some ⁻¹' Iio ↑⊤ = univ
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
\u22a2 WithTop.some ⁻¹' (WithBot.some ⁻¹' Iio ↑⊤) = univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/OneDim.lean
x y : ℝ
hxy : x < y
\u22a2 Icc x y ∈ (vitaliFamily volume 1).setsAt y
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/OneDim.lean
x y : ℝ
hxy : x < y
\u22a2 Metric.closedBall ((x + y) / 2) ((y - x) / 2) ∈ (vitaliFamily volume 1).setsAt y
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/OneDim.lean
x y : ℝ
hxy : x < y
\u22a2 dist y ((x + y) / 2) ≤ 1 * ((y - x) / 2)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → β
l : β →₀ M
hf : Set.BijOn f (f ⁻¹' ↑l.support) ↑l.support
\u22a2 comapDomain f l ⋯ = 0 → l = 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → β
l : β →₀ M
hf : Set.BijOn f (f ⁻¹' ↑l.support) ↑l.support
\u22a2 { support := l.support.preimage f ⋯, toFun := fun a => l (f a), mem_support_toFun := ⋯ }.support = ∅ → l.support = ∅
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → β
l : β →₀ M
hf : Set.BijOn f (f ⁻¹' ↑l.support) ↑l.support
\u22a2 (∀ (a : α), f a ∉ l.support) → ∀ (a : β), a ∉ l.support
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → β
l : β →₀ M
hf : Set.BijOn f (f ⁻¹' ↑l.support) ↑l.support
h : ∀ (a : α), f a ∉ l.support
a : β
ha : a ∈ l.support
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → β
l : β →₀ M
hf : Set.BijOn f (f ⁻¹' ↑l.support) ↑l.support
h : ∀ (a : α), f a ∉ l.support
a : β
ha : a ∈ l.support
b : α
hb : b ∈ f ⁻¹' ↑l.support ∧ f b = a
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q r : R[X]
S : Type u_1
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
n : ℤ
\u22a2 eval₂ f (↑n) p = f (eval (↑n) p)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q r : R[X]
S : Type u_1
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
n : ℤ
\u22a2 ↑n = f ↑n
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : NonUnitalSemiring α
s✝ : Multiset α
a x : α
s : Multiset α
ih : (∀ x ∈ s, a ∣ x) → a ∣ s.sum
h : ∀ x_1 ∈ x ::ₘ s, a ∣ x_1
\u22a2 a ∣ (x ::ₘ s).sum
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : NonUnitalSemiring α
s✝ : Multiset α
a x : α
s : Multiset α
ih : (∀ x ∈ s, a ∣ x) → a ∣ s.sum
h : ∀ x_1 ∈ x ::ₘ s, a ∣ x_1
\u22a2 a ∣ x + s.sum
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : autoParam (B ⊆ M.E) _auto✝
\u22a2 M.Base B ↔ M✶.Base (M.E \ B)
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : N ⊨ L.completeTheory M
φ : L.Sentence
\u22a2 N ⊨ φ ↔ M ⊨ φ
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : N ⊨ L.completeTheory M
φ : L.Sentence
h : N ⊨ φ
\u22a2 M ⊨ φ
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : N ⊨ L.completeTheory M
φ : L.Sentence
h : ¬M ⊨ φ
\u22a2 ¬N ⊨ φ
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : N ⊨ L.completeTheory M
φ : L.Sentence
h : M ⊨ Formula.not φ
\u22a2 N ⊨ Formula.not φ
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/MonoidWithZero.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero P
p : Type u_4
f : M → ↥S → p
H : ∀ {a c : M} {b d : ↥S}, (r S) (a, b) (c, d) → f a b = f c d
\u22a2 liftOn 0 f H = f 0 1
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
j : (mk xl xr xL xR).RightMoves
\u22a2 (xR j).Subsequent (mk xl xr xL xR)
-- Mathlib/Control/Traversable/Lemmas.lean
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f : β → γ
x✝ : t β
x : t (F (G α))
\u22a2 sequence (Comp.mk <$> x) = Comp.mk (sequence <$> sequence x)
-- Mathlib/Control/Traversable/Lemmas.lean
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f : β → γ
x✝ : t β
x : t (F (G α))
\u22a2 traverse Comp.mk x = Comp.mk (traverse id <$> traverse id x)
-- Mathlib/Control/Traversable/Lemmas.lean
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f : β → γ
x✝ : t β
x : t (F (G α))
\u22a2 traverse Comp.mk x = traverse (Comp.mk ∘ map id ∘ id) x
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s : Seq α
S : Seq (Seq1 α)
\u22a2 (cons (a, s) S).join = cons a (s.append S.join)
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s : Seq α
S : Seq (Seq1 α)
\u22a2 IsBisimulation fun s1 s2 => s1 = s2 ∨ ∃ a s S, s1 = (cons (a, s) S).join ∧ s2 = cons a (s.append S.join)
-- Mathlib/Algebra/Star/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
s : Set A
p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop
a : A
ha : a ∈ adjoin R s
mem : ∀ (x : A) (hx : x ∈ s), p x ⋯
add : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
zero : p 0 ⋯
mul : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
smul : ∀ (r : R) (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (r • x) ⋯
star : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (Star.star x) ⋯
\u22a2 p a ha
-- Mathlib/Algebra/Star/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
s : Set A
p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop
a : A
ha : a ∈ adjoin R s
mem : ∀ (x : A) (hx : x ∈ s), p x ⋯
add : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
zero : p 0 ⋯
mul : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
smul : ∀ (r : R) (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (r • x) ⋯
star : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (Star.star x) ⋯
x : A
hx : x ∈ s ∪ Star.star s
\u22a2 p x ⋯
-- Mathlib/Algebra/Star/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
s : Set A
p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop
a : A
ha : a ∈ adjoin R s
mem : ∀ (x : A) (hx : x ∈ s), p x ⋯
add : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
zero : p 0 ⋯
mul : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
smul : ∀ (r : R) (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (r • x) ⋯
star : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (Star.star x) ⋯
x : A
hx✝ : x ∈ s ∪ Star.star s
hx : x ∈ s ∨ Star.star x ∈ s
\u22a2 p x ⋯
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
u : ℕ → α
\u22a2 ⨅ i, ⨅ (_ : True), sSup (u '' Ici i) = ⨅ n, ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), u i
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
u : ℕ → α
\u22a2 ⨅ i, ⨆ a ∈ Ici i, u a = ⨅ n, ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), u i
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Bernstein.lean
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
n : ℕ
x : ↑I
k : Fin (n + 1)
m : k ∈ (S f ε h n x)ᶜ
\u22a2 1 ≤ δ f ε h ^ (-2) * (↑x - ↑k/ₙ) ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Bernstein.lean
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
n : ℕ
x : ↑I
k : Fin (n + 1)
m : δ f ε h ≤ dist k/ₙ x
\u22a2 1 ≤ δ f ε h ^ (-2) * (↑x - ↑k/ₙ) ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Bernstein.lean
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
n : ℕ
x : ↑I
k : Fin (n + 1)
m : δ f ε h ≤ dist k/ₙ x
\u22a2 δ f ε h ≤ |↑x - ↑k/ₙ|
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ
\u22a2 op ((1 - x) * ∑ i ∈ range n, x ^ i) = op (1 - x ^ n)
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/ApproximationCorollaries.lean
K : Type u_1
v : K
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
\u22a2 (of v).convs (n + 1) = ↑⌊v⌋ + 1 / (of (Int.fract v)⁻¹).convs n
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
X : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace X
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
F : Set X
x : X
hxF : x ∈ closure F
\u22a2 1 ≤ (thickenedIndicator δ_pos F) x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H : G.Subgraph
h : H.Connected
\u22a2 H.verts.Nonempty
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H : G.Subgraph
h : H.Preconnected ∧ H.verts.Nonempty
\u22a2 H.verts.Nonempty
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
c : R
u : s i →ₗ[R] t i
x : (i : ι) → s i
\u22a2 ((map (update f i (c • u))).compMultilinearMap (tprod R)) x = ((c • map (update f i u)).compMultilinearMap (tprod R)) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
\u22a2 Measurable fun μ => ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
\u22a2 Measurable fun μ => ⨆ n, ∑ x ∈ (SimpleFunc.eapprox f n).range, x * μ (↑(SimpleFunc.eapprox f n) ⁻¹' {x})
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
n : ℕ
i : ℝ≥0∞
x✝ : i ∈ (SimpleFunc.eapprox f n).range
\u22a2 Measurable fun μ => i * μ (↑(SimpleFunc.eapprox f n) ⁻¹' {i})
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
n : ℕ
i : ℝ≥0∞
x✝ : i ∈ (SimpleFunc.eapprox f n).range
\u22a2 Measurable fun μ => μ (↑(SimpleFunc.eapprox f n) ⁻¹' {i})
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Functor.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
h : L ⊣ F
A : C
i : IsIso (expComparison F A)
\u22a2 IsIso (frobeniusMorphism F h A)
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Functor.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
h : L ⊣ F
A : C
i : IsIso ((conjugateEquiv (h.comp (exp.adjunction A)) ((exp.adjunction (F.obj A)).comp h)) (frobeniusMorphism F h A))
\u22a2 IsIso (frobeniusMorphism F h A)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
\u22a2 ↑p ^ padicValInt p a ∣ a
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
\u22a2 a = 0 ∨ padicValInt p a ≤ padicValInt p a
-- Mathlib/Order/Filter/Cofinite.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
p : ℕ → Prop
\u22a2 (∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p n) ↔ {n | p n}.Infinite
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ht : t ∈ P.parts
hat : a ∈ t
\u22a2 P.part a = t
-- Mathlib/Data/Complex/FiniteDimensional.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℂ E
\u22a2 Cardinal.lift.{?u.4805, u_1} (Module.rank ℝ E) = Cardinal.lift.{?u.4805, u_1} (2 * Module.rank ℂ E)
-- Mathlib/Data/Complex/FiniteDimensional.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℂ E
\u22a2 2 * Cardinal.lift.{0, u_1} (Module.rank ℂ E) = Cardinal.lift.{0, u_1} (2 * Module.rank ℂ E)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝ : Preorder ι
x : α
\u22a2 x ∈ notConvergentSeq f g n j ↔ ∃ k ≥ j, 1 / (↑n + 1) < dist (f k x) (g x)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hI : M.Indep I
\u22a2 I ⊆ M.E
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B✝ B' I J D X : Set α
e f : α
hI : M.Indep I
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B
\u22a2 I ⊆ M.E
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
R' : Type v
inst✝¹ : CommMonoid R'
inst✝ : Finite R
e : AddChar R R'
r : R
hr : ¬IsUnit r
\u22a2 ¬(e.mulShift r).IsPrimitive
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
R' : Type v
inst✝¹ : CommMonoid R'
inst✝ : Finite R
e : AddChar R R'
r : R
hr : ¬IsUnit r
\u22a2 ∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), ¬(e.mulShift r).mulShift x ≠ 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
R' : Type v
inst✝¹ : CommMonoid R'
inst✝ : Finite R
e : AddChar R R'
r : R
hr : ∃ x, ∃ (_ : x * r = 0), ¬x = 0
\u22a2 ∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), ¬(e.mulShift r).mulShift x ≠ 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
R' : Type v
inst✝¹ : CommMonoid R'
inst✝ : Finite R
e : AddChar R R'
r x : R
h : x * r = 0
h' : ¬x = 0
\u22a2 ∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), ¬(e.mulShift r).mulShift x ≠ 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
\u22a2 ConvexOn 𝕜 univ ⇑f.symm
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
\u22a2 f.symm (a • x + b • y) ≤ a • f.symm x + b • f.symm y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
\u22a2 f.symm (a • x + b • y) ≤ a • f.symm x + b • f.symm y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
\u22a2 f.symm (a • x + b • y) ≤ a • f.symm x + b • f.symm y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
\u22a2 f.symm (a • f x' + b • f y') ≤ a • x' + b • y'
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
\u22a2 a • f x' + b • f y' ≤ f (a • x' + b • y')
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f f₁ : E → F
f' f₀' f₁' : F
s t : Set E
x v : E
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
\u22a2 lineDeriv 𝕜 f x v = f'
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n : PosNum
d : ZNum
\u22a2 ↑(Num.pos n % d.abs) = ↑(pos n) % ↑d
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n : PosNum
d : ZNum
\u22a2 ↑(↑(Num.pos n) % (↑d).natAbs) = ↑↑n % ↑d
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n : PosNum
d : ZNum
\u22a2 ↑d.abs - ↑(n.pred' % d.abs).succ = ↑(neg n) % ↑d
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n : PosNum
d : ZNum
\u22a2 subNatNat (↑d).natAbs (↑n.pred' % (↑d).natAbs + 1) = -(↑↑n.pred' + 1) % ↑d
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.42589, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.42593, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
ψ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : h₁.IsPreservedBy F
inst✝ : h₂.IsPreservedBy F
\u22a2 (h₁.map F).p ≫ F.map ψ.φQ = (F.mapShortComplex.map φ).τ₂ ≫ (h₂.map F).p
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.42589, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.42593, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
ψ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : h₁.IsPreservedBy F
inst✝ : h₂.IsPreservedBy F
\u22a2 F.map ψ.φQ ≫ (h₂.map F).g' = (h₁.map F).g' ≫ (F.mapShortComplex.map φ).τ₃