ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Finite m
inst✝⁷ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
G : Type u_7
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G M₁
inst✝ : SMulCommClass G R M₁
g : G
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i✝ : m
j✝ : n
\u22a2 (v₂.repr (f ((g • v₁) j✝))) i✝ = (v₂.repr ((f ∘ₗ DistribMulAction.toLinearMap R M₁ g) (v₁ j✝))) i✝
-- Mathlib/Topology/Algebra/ConstMulAction.lean
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Γ : Type u_4
inst✝³ : Group Γ
T : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : MulAction Γ T
inst✝ : ContinuousConstSMul Γ T
U : Set T
hU : IsOpen U
\u22a2 IsOpen (Quotient.mk' '' U)
-- Mathlib/Topology/Algebra/ConstMulAction.lean
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Γ : Type u_4
inst✝³ : Group Γ
T : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : MulAction Γ T
inst✝ : ContinuousConstSMul Γ T
U : Set T
hU : IsOpen U
\u22a2 IsOpen (⋃ g, (fun x => g • x) '' U)
-- Mathlib/Data/List/Join.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α → Bool
a : List α
l : List (List α)
\u22a2 countP p (a :: l).join = Nat.sum (map (countP p) (a :: l))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
\u22a2 ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ = ‖⟪y, x⟫_𝕜‖
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i : ↑(atlas H M)
x : M
hx : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
v : E
\u22a2 (fderivWithin 𝕜 (↑((↑i).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)) v = v
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i : ↑(atlas H M)
x : M
hx : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
v : E
\u22a2 UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i : ↑(atlas H M)
x : M
hx : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
v : E
\u22a2 ↑((↑i).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm =ᶠ[𝓝[range ↑I] ↑((↑i).extend I) x] fun x => x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i : ↑(atlas H M)
x : M
hx : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
v : E
\u22a2 (↑((↑i).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (↑((↑i).extend I) x) = ↑((↑i).extend I) x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j : ↑(atlas H M)
\u22a2 ContinuousOn ((fun i j x => fderivWithin 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)) i j) ((fun i => (↑i).source) i ∩ (fun i => (↑i).source) j)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j : ↑(atlas H M)
\u22a2 (fun i => (↑i).source) i ∩ (fun i => (↑i).source) j ⊆ ((↑i).extend I).source
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j : ↑(atlas H M)
\u22a2 MapsTo (↑((↑i).extend I)) ((fun i => (↑i).source) i ∩ (fun i => (↑i).source) j) (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j k : ↑(atlas H M)
x : M
hxk : x ∈ (fun i => (↑i).source) k
hxi : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
hxj : x ∈ (fun i => (↑i).source) j
v : E
\u22a2 ((fun i j x => fderivWithin 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)) j k x) (((fun i j x => fderivWithin 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)) i j x) v) = ((fun i j x => fderivWithin 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)) i k x) v
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j k : ↑(atlas H M)
x : M
hxk : x ∈ (fun i => (↑i).source) k
hxi : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
hxj : x ∈ (fun i => (↑i).source) j
v : E
\u22a2 (↑((↑k).extend I) ∘ ↑((↑j).extend I).symm) ∘ ↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm =ᶠ[𝓝[range ↑I] ↑((↑i).extend I) x] ↑((↑k).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j k : ↑(atlas H M)
x : M
hxk : x ∈ (fun i => (↑i).source) k
hxi : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
hxj : x ∈ (fun i => (↑i).source) j
v : E
\u22a2 ((↑((↑k).extend I) ∘ ↑((↑j).extend I).symm) ∘ ↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (↑((↑i).extend I) x) = (↑((↑k).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (↑((↑i).extend I) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j k : ↑(atlas H M)
x : M
hxk : x ∈ (fun i => (↑i).source) k
hxi : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
hxj : x ∈ (fun i => (↑i).source) j
v : E
\u22a2 DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑((↑k).extend I) ∘ ↑((↑j).extend I).symm) (range ↑I) (↑((↑j).extend I) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j k : ↑(atlas H M)
x : M
hxk : x ∈ (fun i => (↑i).source) k
hxi : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
hxj : x ∈ (fun i => (↑i).source) j
v : E
\u22a2 DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j k : ↑(atlas H M)
x : M
hxk : x ∈ (fun i => (↑i).source) k
hxi : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
hxj : x ∈ (fun i => (↑i).source) j
v : E
\u22a2 MapsTo (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) (range ↑I)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j k : ↑(atlas H M)
x : M
hxk : x ∈ (fun i => (↑i).source) k
hxi : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
hxj : x ∈ (fun i => (↑i).source) j
v : E
\u22a2 UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j k : ↑(atlas H M)
x : M
hxk : x ∈ (fun i => (↑i).source) k
hxi : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
hxj : x ∈ (fun i => (↑i).source) j
v : E
\u22a2 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (↑((↑i).extend I) x) = ↑((↑j).extend I) x
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : α → β
s : Set β
x : α
\u22a2 x ∈ (↑f).core s ↔ x ∈ f ⁻¹' s
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
\u22a2 affineSpan ℝ {t₁.points i₁, t₁.points i₂} = altitude t₂ j₂
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
\u22a2 t₁.points i₁ ≠ t₂.points j₂ ∧ t₁.points i₁ ∈ affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) ∧ t₁.points i₁ -ᵥ t₂.points j₂ ∈ (affineSpan ℝ (t₂.points '' ↑(univ.erase j₂))).directionᗮ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
\u22a2 t₁.points i₁ ≠ t₁.points i₂ ∧ t₁.points i₁ ∈ affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) ∧ t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ (affineSpan ℝ (t₂.points '' ↑(univ.erase j₂))).directionᗮ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
\u22a2 t₁.points i₁ ∈ affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) ∧ t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ (affineSpan ℝ (t₂.points '' ↑(univ.erase j₂))).directionᗮ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
he : affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) = affineSpan ℝ (Set.range t₁.points)
\u22a2 t₁.points i₁ ∈ affineSpan ℝ (Set.range t₁.points) ∧ t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ (affineSpan ℝ (t₂.points '' ↑(univ.erase j₂))).directionᗮ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
he : affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) = affineSpan ℝ (Set.range t₁.points)
\u22a2 t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ (affineSpan ℝ (t₂.points '' ↑(univ.erase j₂))).directionᗮ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
he : affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) = affineSpan ℝ (Set.range t₁.points)
hu : univ.erase j₂ = {j₁, j₃}
\u22a2 t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ (affineSpan ℝ (t₂.points '' ↑(univ.erase j₂))).directionᗮ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
he : affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) = affineSpan ℝ (Set.range t₁.points)
hu : univ.erase j₂ = {j₁, j₃}
\u22a2 t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ (affineSpan ℝ {t₁.orthocenter, t₁.points i₃}).directionᗮ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
he : affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) = affineSpan ℝ (Set.range t₁.points)
hu : univ.erase j₂ = {j₁, j₃}
hle : (altitude t₁ i₃).directionᗮ ≤ (affineSpan ℝ {t₁.orthocenter, t₁.points i₃}).directionᗮ
\u22a2 t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ (affineSpan ℝ {t₁.orthocenter, t₁.points i₃}).directionᗮ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
he : affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) = affineSpan ℝ (Set.range t₁.points)
hu : univ.erase j₂ = {j₁, j₃}
hle : (altitude t₁ i₃).directionᗮ ≤ (affineSpan ℝ {t₁.orthocenter, t₁.points i₃}).directionᗮ
\u22a2 t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ vectorSpan ℝ (t₁.points '' ↑(univ.erase i₃))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
he : affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) = affineSpan ℝ (Set.range t₁.points)
hu : univ.erase j₂ = {j₁, j₃}
hle : (altitude t₁ i₃).directionᗮ ≤ (affineSpan ℝ {t₁.orthocenter, t₁.points i₃}).directionᗮ
hui : univ.erase i₃ = {i₁, i₂}
\u22a2 t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ vectorSpan ℝ (t₁.points '' ↑(univ.erase i₃))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ j₁ j₂ j₃ : Fin 3
hi₁₂ : i₁ ≠ i₂
hi₁₃ : i₁ ≠ i₃
hi₂₃ : i₂ ≠ i₃
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₁ : t₂.points j₁ = t₁.orthocenter
h₂ : t₂.points j₂ = t₁.points i₂
h₃ : t₂.points j₃ = t₁.points i₃
he : affineSpan ℝ (Set.range t₂.points) = affineSpan ℝ (Set.range t₁.points)
hu : univ.erase j₂ = {j₁, j₃}
hle : (altitude t₁ i₃).directionᗮ ≤ (affineSpan ℝ {t₁.orthocenter, t₁.points i₃}).directionᗮ
hui : univ.erase i₃ = {i₁, i₂}
\u22a2 t₁.points i₁ -ᵥ t₁.points i₂ ∈ vectorSpan ℝ {t₁.points i₁, t₁.points i₂}
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝¹ : CommMonoid M
a✝ : M
l✝ l₁ l₂ : List M
inst✝ : DecidableEq α
f : α → M
a b : α
l : List α
h : a ∈ b :: l
\u22a2 f a * (map f ((b :: l).erase a)).prod = (map f (b :: l)).prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝¹ : CommMonoid M
a✝ : M
l✝ l₁ l₂ : List M
inst✝ : DecidableEq α
f : α → M
a : α
l : List α
h : a ∈ a :: l
\u22a2 f a * (map f ((a :: l).erase a)).prod = (map f (a :: l)).prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝¹ : CommMonoid M
a✝ : M
l✝ l₁ l₂ : List M
inst✝ : DecidableEq α
f : α → M
a b : α
l : List α
h✝ : a ∈ b :: l
ne : a ≠ b
h : a ∈ l
\u22a2 f a * (map f ((b :: l).erase a)).prod = (map f (b :: l)).prod
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Variables.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
h : Disjoint p.vars q.vars
\u22a2 (p + q).vars = p.vars ∪ q.vars
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Variables.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
h : Disjoint p.vars q.vars
x : σ
hx : x ∈ p.vars ∪ q.vars
\u22a2 x ∈ (p + q).vars