ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
α : Type u_5
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
hd : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 y)
A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)
B : Tendsto (fun n => ‖c n • d n‖) l (𝓝 ‖y‖)
\u22a2 Tendsto d l (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
α : Type u_5
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
hd : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 y)
A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)
B : Tendsto (fun n => ‖c n • d n‖) l (𝓝 ‖y‖)
C : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖) l (𝓝 (0 * ‖y‖))
\u22a2 Tendsto d l (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
α : Type u_5
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
hd : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 y)
A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)
B : Tendsto (fun n => ‖c n • d n‖) l (𝓝 ‖y‖)
C : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖) l (𝓝 0)
\u22a2 Tendsto d l (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
α : Type u_5
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
hd : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 y)
A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)
B : Tendsto (fun n => ‖c n • d n‖) l (𝓝 ‖y‖)
C : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖) l (𝓝 0)
this : ∀ᶠ (n : α) in l, ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖ = ‖d n‖
\u22a2 Tendsto d l (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
α : Type u_5
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
hd : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 y)
A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)
B : Tendsto (fun n => ‖c n • d n‖) l (𝓝 ‖y‖)
C : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖) l (𝓝 0)
this : ∀ᶠ (n : α) in l, ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖ = ‖d n‖
D : Tendsto (fun n => ‖d n‖) l (𝓝 0)
\u22a2 Tendsto d l (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
α : Type u_5
l : Filter α
c : α → 𝕜
d : α → E
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
hd : Tendsto (fun n => c n • d n) l (𝓝 y)
A : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹) l (𝓝 0)
B : Tendsto (fun n => ‖c n • d n‖) l (𝓝 ‖y‖)
C : Tendsto (fun n => ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖) l (𝓝 0)
this : ∀ᶠ (n : α) in l, ‖c n‖⁻¹ * ‖c n • d n‖ = ‖d n‖
D : Tendsto (fun n => ‖d n‖) l (𝓝 0)
\u22a2 Tendsto (fun x => ‖d x‖) l (𝓝 0)
-- Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a✝ b✝ c d a b : α
hc : c ≠ 0
\u22a2 (a + b / c) * c = a * c + b
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
p : Prop
f : p → α
hp : ¬p
\u22a2 (range fun h => f h) = ∅
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
\u22a2 p.nextCoeff = 0 ↔ p.natDegree = 0 ∨ 0 < p.natDegree ∧ p.coeff (p.natDegree - 1) = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
\u22a2 ¬p.natDegree = 0 → p.coeff (p.natDegree - 1) = 0 ↔ ¬p.natDegree = 0 → ¬p.natDegree = 0 ∧ p.coeff (p.natDegree - 1) = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Units/Hom.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike G N M
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
f : F
y : Mˣ
\u22a2 IsUnit (f ↑y)
-- Mathlib/Data/Fintype/Pi.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
t : (a : α) → Finset (δ a)
a : α
inst✝ : DecidableEq (δ a)
ht : ∀ (b : α), a ≠ b → (t b).Nonempty
\u22a2 image (fun f => f a) (piFinset t) = t a
-- Mathlib/Data/Fintype/Pi.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
t : (a : α) → Finset (δ a)
a : α
inst✝ : DecidableEq (δ a)
ht : ∀ (b : α), a ≠ b → (t b).Nonempty
x : δ a
h : x ∈ t a
\u22a2 ∃ a_1 ∈ piFinset t, a_1 a = x
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝ : IsRefl α r
hs : s.Finite
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
\u22a2 ∃ m n, m < n ∧ r (f m) (f n)
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝ : IsRefl α r
hs : s.Finite
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
m n : ℕ
hmn : m < n
h : f m = f n
\u22a2 ∃ m n, m < n ∧ r (f m) (f n)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
\u22a2 ⟪x + y, x + y⟫_𝕜 = ⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪x, y⟫_𝕜 + ⟪y, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
\u22a2 ⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪y, x⟫_𝕜 + (⟪x, y⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜) = ⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪x, y⟫_𝕜 + ⟪y, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Degree.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p : K[X]
\u22a2 ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p).intDegree = ↑p.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
\u22a2 1 ≤ a / b ↔ b ≤ a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedRing 𝔸
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝ : Fintype ι
l : List ι
x : ι → 𝔸
\u22a2 HasStrictFDerivAt (fun x => (List.map x l).prod) (∑ i : Fin l.length, (List.map x (List.take (↑i) l)).prod • (proj (l.get i)).smulRight (List.map x (List.drop (↑i).succ l)).prod) x
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
hf : IsOpenMap f
finv : β → α
hleft : LeftInverse finv f
\u22a2 ContinuousOn finv (range f)
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
hf : IsOpenMap f
finv : β → α
hleft : LeftInverse finv f
\u22a2 ContinuousOn finv (f '' univ)
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame
\u22a2 -y < x ↔ -x < y
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f : ArithmeticFunction M
x : ℕ
\u22a2 (↑ζ • f) x = ∑ i ∈ x.divisors, f i
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f : ArithmeticFunction M
x : ℕ
\u22a2 ∑ x ∈ x.divisorsAntidiagonal, ↑ζ x.1 • f x.2 = ∑ i ∈ x.divisors, f i
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y R : Set α
hR : R ⊆ M.E
hI : (M ↾ R).Basis I X
\u22a2 M.Basis I X
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Basic.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : IsCofiltered C
O : Finset C
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
J : Type w
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : FinCategory J
F : J ⥤ C
\u22a2 Nonempty (Cone F)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ = p₂ ∨ p₃ ≠ p₂
\u22a2 Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₃ p₂ = dist p₁ p₂
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₁ = p₂ ∨ p₃ ≠ p₂
\u22a2 Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₃ p₂ = dist p₁ p₂
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ = 0
\u22a2 Real.tan (∠ p₂ p₃ p₁) * dist p₃ p₂ = dist p₁ p₂
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing A
inst✝¹² : CommRing B
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra A K
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : Algebra B L
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra A L
inst✝³ : IsScalarTower A B L
inst✝² : IsScalarTower A K L
inst✝¹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝ : FiniteDimensional K L
σ : L →ₐ[K] L
x : B
\u22a2 (algebraMap B L) (((galRestrictHom A K L B) σ) x) = σ ((algebraMap B L) x)
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Monotone u
n : ℕ
\u22a2 ∑ k ∈ range (u n), f k ≤ ∑ k ∈ range (u 0), f k + ∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u k)
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Monotone u
n : ℕ
\u22a2 ∑ k ∈ range (u n), f k = ∑ k ∈ range (u 0), f k + ∑ k ∈ Ico (u 0) (u n), f k
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
\u22a2 LeftInverse ⇑trunc ⇑toLaurent
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
\u22a2 ∀ (p q : R[X]), trunc (toLaurent p) = p → trunc (toLaurent q) = q → trunc (toLaurent (p + q)) = p + q
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
\u22a2 ∀ (n : ℕ) (a : R), trunc (toLaurent ((monomial n) a)) = (monomial n) a
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Terminal.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : PreservesLimit (Functor.empty C) G
F : Discrete PEmpty.{1} ⥤ D
\u22a2 HasLimit F
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Terminal.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : PreservesLimit (Functor.empty C) G
F : Discrete PEmpty.{1} ⥤ D
this : HasLimit (Functor.empty D)
\u22a2 HasLimit F
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I✝ : Ideal R
F F' : I✝.Filtration M
I : Ideal R
N : Submodule R M
\u22a2 (I.stableFiltration N).Stable
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I✝ : Ideal R
F F' : I✝.Filtration M
I : Ideal R
N : Submodule R M
\u22a2 ∀ n ≥ 0, I • (I.stableFiltration N).N n = (I.stableFiltration N).N (n + 1)
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I✝ : Ideal R
F F' : I✝.Filtration M
I : Ideal R
N : Submodule R M
n : ℕ
a✝ : n ≥ 0
\u22a2 I • I ^ n • N = I ^ (n + 1) • N
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Reverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ : R[X]
N : ℕ
f : R[X]
\u22a2 reflect N f = 0 ↔ f = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]
\u22a2 ((monomial n) ({ toFinsupp := toFinsupp✝ }.coeff n) + erase n { toFinsupp := toFinsupp✝ }).toFinsupp = { toFinsupp := toFinsupp✝ }.toFinsupp
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]
\u22a2 Finsupp.single n ((match (motive := R[X] → ℕ → R) { toFinsupp := toFinsupp✝ } with | { toFinsupp := p } => ⇑p) n) + Finsupp.erase n { toFinsupp := toFinsupp✝ }.toFinsupp = { toFinsupp := toFinsupp✝ }.toFinsupp
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
hd : p ∣ a
\u22a2 ⟨Associates.mk p, ⋯⟩ ∈ factors' a
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
hd : p ∣ a
q : α
hq : q ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a
hpq : p ~ᵤ q
\u22a2 ⟨Associates.mk p, ⋯⟩ ∈ factors' a
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
hd : p ∣ a
q : α
hq : q ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a
hpq : p ~ᵤ q
\u22a2 ∃ a_1, ∃ (h : a_1 ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a), ⟨Associates.mk a_1, ⋯⟩ = ⟨Associates.mk p, ⋯⟩
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
hd : p ∣ a
q : α
hq : q ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a
hpq : p ~ᵤ q
\u22a2 ∃ (h : q ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a), ⟨Associates.mk q, ⋯⟩ = ⟨Associates.mk p, ⋯⟩
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
hd : p ∣ a
q : α
hq : q ∈ UniqueFactorizationMonoid.factors a
hpq : p ~ᵤ q
\u22a2 ⟨Associates.mk q, ⋯⟩ = ⟨Associates.mk p, ⋯⟩
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Polish.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
s : ℕ → Set α
m : ℕ → TopologicalSpace α
mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t
m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α
h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)
m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
\u22a2 IsClopenable (⋃ n, s n)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Polish.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
s : ℕ → Set α
m : ℕ → TopologicalSpace α
mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t
m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α
h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)
m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
t' : TopologicalSpace α
t'm : ∀ (n : ℕ), t' ≤ m n
t'_polish : PolishSpace α
\u22a2 IsClopenable (⋃ n, s n)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Polish.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
s : ℕ → Set α
m : ℕ → TopologicalSpace α
mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t
m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α
h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)
m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
t' : TopologicalSpace α
t'm : ∀ (n : ℕ), t' ≤ m n
t'_polish : PolishSpace α
A : IsOpen (⋃ n, s n)
\u22a2 IsClopenable (⋃ n, s n)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Polish.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
s : ℕ → Set α
m : ℕ → TopologicalSpace α
mt : ∀ (n : ℕ), m n ≤ t
m_polish : ∀ (n : ℕ), PolishSpace α
h✝ : ∀ (n : ℕ), IsClosed (s n)
m_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
t' : TopologicalSpace α
t'm : ∀ (n : ℕ), t' ≤ m n
t'_polish : PolishSpace α
A : IsOpen (⋃ n, s n)
t'' : TopologicalSpace α
t''_le : t'' ≤ t'
t''_polish : PolishSpace α
h1 : IsClosed (⋃ n, s n)
h2 : IsOpen (⋃ n, s n)
\u22a2 IsClopenable (⋃ n, s n)
-- Mathlib/FieldTheory/IntermediateField.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S✝ : IntermediateField K L
S : Subalgebra K L
inv_mem : ∀ x ∈ S, x⁻¹ ∈ S
x✝ : L
\u22a2 x✝ ∈ (S.toIntermediateField inv_mem).toSubalgebra ↔ x✝ ∈ S
-- Mathlib/GroupTheory/Commutator.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ g₃ g : G
\u22a2 ⁅g₁, g₂⁆ = 1 ↔ g₁ * g₂ = g₂ * g₁
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R : Type u_1
inst✝³ : AddGroup R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ ≠ 1
\u22a2 ∑ a : R, ψ a = 0
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R : Type u_1
inst✝³ : AddGroup R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ ≠ 1
b : R
hb : ψ b ≠ 1
\u22a2 ∑ a : R, ψ a = 0
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R : Type u_1
inst✝³ : AddGroup R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ ≠ 1
b : R
hb : ψ b ≠ 1
h₁ : ∑ a : R, ψ (b + a) = ∑ a : R, ψ a
\u22a2 ∑ a : R, ψ a = 0
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R : Type u_1
inst✝³ : AddGroup R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ ≠ 1
b : R
hb : ψ b ≠ 1
h₁ : ∑ x : R, ψ b * ψ x = ∑ a : R, ψ a
\u22a2 ∑ a : R, ψ a = 0
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R : Type u_1
inst✝³ : AddGroup R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ ≠ 1
b : R
hb : ψ b ≠ 1
h₁ : ∑ x : R, ψ b * ψ x = ∑ a : R, ψ a
h₂ : ∑ a : R, ψ a = Finset.univ.sum ⇑ψ
\u22a2 ∑ a : R, ψ a = 0
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R : Type u_1
inst✝³ : AddGroup R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ ≠ 1
b : R
hb : ψ b ≠ 1
h₁ : ψ b * Finset.univ.sum ⇑ψ = Finset.univ.sum ⇑ψ
h₂ : ∑ a : R, ψ a = Finset.univ.sum ⇑ψ
\u22a2 ∑ a : R, ψ a = 0
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
hs : IsOpen s
hse : s ⊆ e.source
\u22a2 IsOpen (↑e '' s)
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
hs : IsOpen s
hse : s ⊆ e.source
\u22a2 IsOpen (e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' s)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
s : Finset α
n : ℤ
f : α → ℤ
\u22a2 (Multiset.map (fun x => x % n) (Multiset.map (fun i => f i) s.val)).sum % n = (∑ i ∈ s, f i % n) % n
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
s : Finset α
n : ℤ
f : α → ℤ
\u22a2 (Multiset.map ((fun x => x % n) ∘ fun i => f i) s.val).sum % n = (Multiset.map (fun i => f i % n) s.val).sum % n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
x : Dual R M'
\u22a2 x ∈ ker f.dualMap ↔ x ∈ (range (Dual.eval R M' ∘ₗ f)).dualCoannihilator
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℤ
x : ℤ√d
\u22a2 ↑(star x).norm = ↑x.norm
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α →₀ M
\u22a2 filter p 0 = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Assoc.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₁
f₃ : X₂ ⟶ Y₂
f₄ : X₃ ⟶ Y₂
inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂
inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄
inst✝³ : HasPullback (sorryAx (?m.158489 ⟶ X₂) true ≫ f₃) f₄
inst✝² : HasPullback f₁ (sorryAx (?m.163940 ⟶ X₂) true ≫ f₂)
inst✝¹ : HasPullback (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄
inst✝ : HasPullback f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)
\u22a2 (pullbackAssoc f₁ f₂ f₃ f₄).hom ≫ pullback.snd f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂) ≫ pullback.snd f₃ f₄ = pullback.snd (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Assoc.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₁
f₃ : X₂ ⟶ Y₂
f₄ : X₃ ⟶ Y₂
inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂
inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄
inst✝³ : HasPullback (sorryAx (?m.158489 ⟶ X₂) true ≫ f₃) f₄
inst✝² : HasPullback f₁ (sorryAx (?m.163940 ⟶ X₂) true ≫ f₂)
inst✝¹ : HasPullback (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄
inst✝ : HasPullback f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)
\u22a2 (pullbackAssoc f₁ f₂ f₃ f₄).hom ≫ pullback.snd f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂) ≫ pullback.snd f₃ f₄ = pullback.lift (pullback.fst (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄ ≫ pullback.snd f₁ f₂) (pullback.snd (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄) ⋯ ≫ pullback.snd f₃ f₄
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Assoc.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₁
f₃ : X₂ ⟶ Y₂
f₄ : X₃ ⟶ Y₂
inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂
inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄
inst✝³ : HasPullback (sorryAx (?m.158489 ⟶ X₂) true ≫ f₃) f₄
inst✝² : HasPullback f₁ (sorryAx (?m.163940 ⟶ X₂) true ≫ f₂)
inst✝¹ : HasPullback (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄
inst✝ : HasPullback f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)
\u22a2 pullback.lift (pullback.fst (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄ ≫ pullback.snd f₁ f₂) (pullback.snd (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄) ⋯ ≫ pullback.snd f₃ f₄ = pullback.snd (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄