ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
l : List α
x : Multiset α × Multiset α
h : ∃ a ∈ l.sublists'.revzip, Prod.map ofList ofList a = x
\u22a2 x.1 + x.2 = ↑l
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
l : List α
x : Multiset α × Multiset α
h : ∃ a b, (a, b) ∈ l.sublists'.revzip ∧ (↑a, ↑b) = x
\u22a2 x.1 + x.2 = ↑l
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
l l₁ l₂ : List α
h : (l₁, l₂) ∈ l.sublists'.revzip
\u22a2 (↑l₁, ↑l₂).1 + (↑l₁, ↑l₂).2 = ↑l
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hs : Splits i f
hf0 : (map i f).natDegree ≠ 0
x : L
hx : eval₂ i x f = 0
h : (map i f).roots = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hs : Splits i f
hf0 : (map i f).natDegree ≠ 0
x : L
hx : eval x (map i f) = 0
h : (map i f).roots = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hs : Splits i f
hf0 : (map i f).natDegree ≠ 0
x : L
hx : eval x (map i f) = 0
h : (map i f).roots = 0
this : map i f ≠ 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
a b : α
h : a ∈ s
\u22a2 (b ::ₘ s).erase a = b ::ₘ s.erase a
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
a : α
h : a ∈ s
\u22a2 (a ::ₘ s).erase a = a ::ₘ s.erase a
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
a b : α
h : a ∈ s
hab : a ≠ b
\u22a2 (b ::ₘ s).erase a = b ::ₘ s.erase a
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Hamiltonian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p✝ : G.Walk a b
p : G.Walk a a
hp : p.IsHamiltonianCycle
h : a ≠ b
\u22a2 List.count b p.support = 1
-- Mathlib/Data/NNRat/Lemmas.lean
p q : ℚ
hp : 0 ≤ p
\u22a2 (p / q).toNNRat = p.toNNRat / q.toNNRat
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b✝ : α
s : Set α
b c : α
H₁ : (Iio c).Nonempty
H₂ : b ≤ c
\u22a2 b ∈ closure (Iio c)
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : CompleteSpace E
f : Ω → E
inst✝⁶ : atTop.IsCountablyGenerated
inst✝⁵ : TopologicalSpace ι
inst✝⁴ : OrderTopology ι
inst✝³ : MeasurableSpace ι
inst✝² : SecondCountableTopology ι
inst✝¹ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
this : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
\u22a2 μ[f|⋯.measurableSpace] =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x ≤ σ x})] μ[f|hτ.measurableSpace]
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : CompleteSpace E
f : Ω → E
inst✝⁶ : atTop.IsCountablyGenerated
inst✝⁵ : TopologicalSpace ι
inst✝⁴ : OrderTopology ι
inst✝³ : MeasurableSpace ι
inst✝² : SecondCountableTopology ι
inst✝¹ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
this : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
t : Set Ω
\u22a2 MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ σ ω} ∩ t) ↔ MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ σ ω} ∩ t)
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : CompleteSpace E
f : Ω → E
inst✝⁶ : atTop.IsCountablyGenerated
inst✝⁵ : TopologicalSpace ι
inst✝⁴ : OrderTopology ι
inst✝³ : MeasurableSpace ι
inst✝² : SecondCountableTopology ι
inst✝¹ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
this : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
t : Set Ω
\u22a2 IsStoppingTime ℱ σ
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : p %ₘ q = 0
\u22a2 q ∣ p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : p %ₘ q = 0
\u22a2 q ∣ q * (p /ₘ q)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : q ∣ p
a✝ : Nontrivial R
\u22a2 p %ₘ q = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : q ∣ p
a✝ : Nontrivial R
r : R[X]
hr : p = q * r
\u22a2 p %ₘ q = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : q ∣ p
a✝ : Nontrivial R
r : R[X]
hr : p = q * r
hpq0 : ¬p %ₘ q = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : q ∣ p
a✝ : Nontrivial R
r : R[X]
hr : p = q * r
hpq0 : ¬p %ₘ q = 0
hmod : p %ₘ q = q * (r - p /ₘ q)
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : q ∣ p
a✝ : Nontrivial R
r : R[X]
hr : p = q * r
hpq0 : ¬p %ₘ q = 0
hmod : p %ₘ q = q * (r - p /ₘ q)
this : (q * (r - p /ₘ q)).degree < q.degree
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : q ∣ p
a✝ : Nontrivial R
r : R[X]
hr : p = q * r
hpq0 : ¬p %ₘ q = 0
hmod : p %ₘ q = q * (r - p /ₘ q)
this : (q * (r - p /ₘ q)).degree < q.degree
hrpq0 : (r - p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : q ∣ p
a✝ : Nontrivial R
r : R[X]
hr : p = q * r
hpq0 : ¬p %ₘ q = 0
hmod : p %ₘ q = q * (r - p /ₘ q)
this : (q * (r - p /ₘ q)).degree < q.degree
hrpq0 : (r - p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0
hlc : q.leadingCoeff * (r - p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : q ∣ p
a✝ : Nontrivial R
r : R[X]
hr : p = q * r
hpq0 : ¬p %ₘ q = 0
hmod : p %ₘ q = q * (r - p /ₘ q)
this : ↑q.natDegree + ↑(r - p /ₘ q).natDegree < ↑q.natDegree
hrpq0 : (r - p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0
hlc : q.leadingCoeff * (r - p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0
\u22a2 False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s : Set α
p : α →₀ M
this : DecidablePred fun x => x ∈ s
\u22a2 p ∈ supported M R s ↔ ∀ x ∉ s, p x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
\u22a2 (span R s).toAddSubmonoid = closure (univ • s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
\u22a2 univ • s ⊆ ↑(span R s).toAddSubmonoid
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
x : M
hx : x ∈ (span R s).toAddSubmonoid
r : R
m : M
hm : m ∈ closure (univ • s)
\u22a2 ∀ x ∈ univ • s, r • x ∈ closure (univ • s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
x : M
hx : x ∈ (span R s).toAddSubmonoid
r : R
m : M
hm : m ∈ closure (univ • s)
\u22a2 r • 0 ∈ closure (univ • s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝² : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
x : M
hx : x ∈ (span R s).toAddSubmonoid
r : R
m : M
hm : m ∈ closure (univ • s)
x✝¹ x✝ : M
h : r • x✝¹ ∈ closure (univ • s)
h' : r • x✝ ∈ closure (univ • s)
\u22a2 r • (x✝¹ + x✝) ∈ closure (univ • s)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ
x : α
\u22a2 (fun f => f.toFun) 0 x ≤ (fun f => f.toFun) (f + const α ‖f‖) x
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ
x : α
\u22a2 0 ≤ f x + ‖f‖
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/CharZero.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
d₁0 : d₁ ≠ 0
c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
d₂0 : d₂ ≠ 0
c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂
h : ↑{ num := n₁, den := d₁, den_nz := d₁0, reduced := c₁ } = ↑{ num := n₂, den := d₂, den_nz := d₂0, reduced := c₂ }
\u22a2 { num := n₁, den := d₁, den_nz := d₁0, reduced := c₁ } = { num := n₂, den := d₂, den_nz := d₂0, reduced := c₂ }
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/CharZero.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
d₁0 : d₁ ≠ 0
c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
d₂0 : d₂ ≠ 0
c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂
h : ↑{ num := n₁, den := d₁, den_nz := d₁0, reduced := c₁ } = ↑{ num := n₂, den := d₂, den_nz := d₂0, reduced := c₂ }
d₁a : ↑d₁ ≠ 0
\u22a2 { num := n₁, den := d₁, den_nz := d₁0, reduced := c₁ } = { num := n₂, den := d₂, den_nz := d₂0, reduced := c₂ }
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/CharZero.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
d₁0 : d₁ ≠ 0
c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
d₂0 : d₂ ≠ 0
c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂
h : ↑{ num := n₁, den := d₁, den_nz := d₁0, reduced := c₁ } = ↑{ num := n₂, den := d₂, den_nz := d₂0, reduced := c₂ }
d₁a : ↑d₁ ≠ 0
d₂a : ↑d₂ ≠ 0
\u22a2 { num := n₁, den := d₁, den_nz := d₁0, reduced := c₁ } = { num := n₂, den := d₂, den_nz := d₂0, reduced := c₂ }
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/CharZero.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
d₁0 : d₁ ≠ 0
c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
d₂0 : d₂ ≠ 0
c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂
h : ↑(n₁ /. ↑d₁) = ↑(n₂ /. ↑d₂)
d₁a : ↑d₁ ≠ 0
d₂a : ↑d₂ ≠ 0
\u22a2 n₁ /. ↑d₁ = n₂ /. ↑d₂
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/CharZero.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
d₁0 : d₁ ≠ 0
c₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
d₂0 : d₂ ≠ 0
c₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂
d₁a : ↑d₁ ≠ 0
d₂a : ↑d₂ ≠ 0
h : ↑n₁ / ↑d₁ = ↑n₂ / ↑d₂
\u22a2 mkRat n₁ d₁ = mkRat n₂ d₂
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeInf α
a b c d : α
\u22a2 a ⊓ b ≤ a ∧ a ≤ a ⊓ b ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq l
d : m → α
e : l → m
he : Function.Injective e
i j : l
\u22a2 (diagonal d).submatrix e e i j = diagonal (d ∘ e) i j
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq l
d : m → α
e : l → m
he : Function.Injective e
i j : l
\u22a2 diagonal d (e i) (e j) = diagonal (d ∘ e) i j
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : R[X]
a : R
hp : p ≠ 0
\u22a2 eval a (p /ₘ (X - C a) ^ rootMultiplicity a p) ≠ 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
\u22a2 Function.Injective supp
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
\u22a2 ∀ (v w : ↑Kᶜ), supp ((induce Kᶜ G).connectedComponentMk v) = supp ((induce Kᶜ G).connectedComponentMk w) → (induce Kᶜ G).connectedComponentMk v = (induce Kᶜ G).connectedComponentMk w
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
v : V
hv : v ∈ Kᶜ
w : V
hw : w ∈ Kᶜ
h : supp ((induce Kᶜ G).connectedComponentMk ⟨v, hv⟩) = supp ((induce Kᶜ G).connectedComponentMk ⟨w, hw⟩)
\u22a2 (induce Kᶜ G).connectedComponentMk ⟨v, hv⟩ = (induce Kᶜ G).connectedComponentMk ⟨w, hw⟩
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
v : V
hv : v ∈ Kᶜ
w : V
hw : w ∈ Kᶜ
h : ∀ (x : V), (∃ (h : x ∉ K), (induce Kᶜ G).Reachable ⟨x, ⋯⟩ ⟨v, hv⟩) ↔ ∃ (h : x ∉ K), (induce Kᶜ G).Reachable ⟨x, ⋯⟩ ⟨w, hw⟩
\u22a2 (induce Kᶜ G).Reachable ⟨v, hv⟩ ⟨w, hw⟩
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
\u22a2 (minpoly A x).degree = 1 ↔ x ∈ (algebraMap A B).range
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
\u22a2 x ∈ (algebraMap A B).range → (minpoly A x).degree = 1
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Nontrivial B
x : A
\u22a2 (minpoly A ((algebraMap A B) x)).degree = 1
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Nontrivial B
x : A
this : Nontrivial A
\u22a2 (minpoly A ((algebraMap A B) x)).degree = 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
v : V
inst✝ : Fintype ↑(G.neighborSet v)
\u22a2 0 < G.degree v ↔ ∃ w, G.Adj v w
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
hn : n ≠ 0
\u22a2 primitiveCharacter 1 = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Matrix.lean
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Finite ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : b.toMatrix p * A = 1
\u22a2 AffineIndependent k p
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Matrix.lean
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Finite ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : b.toMatrix p * A = 1
val✝ : Fintype ι'
\u22a2 AffineIndependent k p
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Matrix.lean
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Finite ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : b.toMatrix p * A = 1
val✝ : Fintype ι'
\u22a2 ∀ (w1 w2 : ι' → k), ∑ i : ι', w1 i = 1 → ∑ i : ι', w2 i = 1 → (Finset.affineCombination k Finset.univ p) w1 = (Finset.affineCombination k Finset.univ p) w2 → w1 = w2
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Matrix.lean
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : AffineSpace V P
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Finite ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : b.toMatrix p * A = 1
val✝ : Fintype ι'
w₁ w₂ : ι' → k
hw₁ : ∑ i : ι', w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i : ι', w₂ i = 1
hweq : (Finset.affineCombination k Finset.univ p) w₁ = (Finset.affineCombination k Finset.univ p) w₂
hweq' : (fun w => w ᵥ* A) (w₁ ᵥ* b.toMatrix p) = (fun w => w ᵥ* A) (w₂ ᵥ* b.toMatrix p)
\u22a2 w₁ = w₂
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : TopologicalSpace E
q : ι → Prop
s : ι → Set E
A : Set E
h : (𝓝 0).HasBasis q s
\u22a2 IsVonNBounded 𝕜 A ↔ ∀ (i : ι), q i → Absorbs 𝕜 (s i) A
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : TopologicalSpace E
q : ι → Prop
s : ι → Set E
A : Set E
h : (𝓝 0).HasBasis q s
hA : ∀ (i : ι), q i → Absorbs 𝕜 (s i) A
V : Set E
hV : V ∈ 𝓝 0
\u22a2 Absorbs 𝕜 V A
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : TopologicalSpace E
q : ι → Prop
s : ι → Set E
A : Set E
h : (𝓝 0).HasBasis q s
hA : ∀ (i : ι), q i → Absorbs 𝕜 (s i) A
V : Set E
hV✝ : V ∈ 𝓝 0
i : ι
hi : q i
hV : s i ⊆ V
\u22a2 Absorbs 𝕜 V A
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
\u22a2 ∃ u b, v ⊆ ↑u ∧ ⇑b = Subtype.val
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
u₀ : Set E
hu₀s : u₀ ⊇ v
hu₀ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
hu₀_max : ∀ u ⊇ u₀, Orthonormal 𝕜 Subtype.val → u = u₀
\u22a2 ∃ u b, v ⊆ ↑u ∧ ⇑b = Subtype.val
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
u₀ : Set E
hu₀s : u₀ ⊇ v
hu₀ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
hu₀_max : (span 𝕜 u₀)ᗮ = ⊥
\u22a2 ∃ u b, v ⊆ ↑u ∧ ⇑b = Subtype.val
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
u₀ : Set E
hu₀s : u₀ ⊇ v
hu₀ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
hu₀_max : (span 𝕜 u₀)ᗮ = ⊥
hu₀_finite : u₀.Finite
\u22a2 ∃ u b, v ⊆ ↑u ∧ ⇑b = Subtype.val
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
u₀ : Set E
hu₀s : u₀ ⊇ v
hu₀ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
hu₀_max : (span 𝕜 u₀)ᗮ = ⊥
hu₀_finite : u₀.Finite
u : Finset E := hu₀_finite.toFinset
fu : { x // x ∈ u } ≃ ↑u₀ := hu₀_finite.subtypeEquivToFinset.symm
\u22a2 ∃ u b, v ⊆ ↑u ∧ ⇑b = Subtype.val
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
u₀ : Set E
hu₀s : u₀ ⊇ v
hu₀ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
hu₀_max : (span 𝕜 u₀)ᗮ = ⊥
hu₀_finite : u₀.Finite
u : Finset E := hu₀_finite.toFinset
fu : { x // x ∈ u } ≃ ↑u₀ := hu₀_finite.subtypeEquivToFinset.symm
hu : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
\u22a2 ∃ u b, v ⊆ ↑u ∧ ⇑b = Subtype.val
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
𝔸' : Type u_3
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
f' : ι → 𝔸'
hf : ∀ i ∈ u, HasDerivWithinAt (f i) (f' i) s x
\u22a2 HasDerivWithinAt (fun x => ∏ i ∈ u, f i x) (∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, f j x) • f' i) s x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
\u22a2 toLaurent X = T 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
this : X = (monomial 1) 1
\u22a2 toLaurent X = T 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → E
\u22a2 ⨍ (x : α), 0 ∂μ = 0