ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Module/PID.lean
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
\u22a2 DirectSum.IsInternal fun p => torsionBy R M (IsPrincipal.generator ↑p ^ Multiset.count (↑p) (factors ⊤.annihilator))
-- Mathlib/Algebra/Module/PID.lean
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
x✝ : { x // x ∈ (factors ⊤.annihilator).toFinset }
\u22a2 torsionBy R M (IsPrincipal.generator ↑x✝ ^ Multiset.count (↑x✝) (factors ⊤.annihilator)) = torsionBySet R M ↑(↑x✝ ^ Multiset.count (↑x✝) (factors ⊤.annihilator))
-- Mathlib/Algebra/Module/PID.lean
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
x✝ : { x // x ∈ (factors ⊤.annihilator).toFinset }
p : M
\u22a2 p ∈ torsionBy R M (IsPrincipal.generator ↑x✝ ^ Multiset.count (↑x✝) (factors ⊤.annihilator)) ↔ p ∈ torsionBySet R M ↑(↑x✝ ^ Multiset.count (↑x✝) (factors ⊤.annihilator))
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Residual.lean
x : ℝ
\u22a2 x ∈ {x | Liouville x} ↔ x ∈ ⋂ n, ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n) \ {↑a / ↑b}
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : Monoid α
x : α
h : ¬IsUnit x
this : (p : Prop) → Decidable p
\u22a2 Irreducible x ∨ ∃ a b, ¬IsUnit a ∧ ¬IsUnit b ∧ a * b = x
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : Monoid α
x : α
h : ¬IsUnit x
this : (p : Prop) → Decidable p
H : ¬∃ a b, ¬IsUnit a ∧ ¬IsUnit b ∧ a * b = x
\u22a2 Irreducible x
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : Monoid α
x : α
h : ¬IsUnit x
this : (p : Prop) → Decidable p
H : ∀ (x_1 : α), ¬IsUnit x_1 → ∀ (x_2 : α), ¬IsUnit x_2 → ¬x_1 * x_2 = x
\u22a2 ∀ (a b : α), x = a * b → IsUnit a ∨ IsUnit b
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : Monoid α
x : α
h✝ : ¬IsUnit x
this : (p : Prop) → Decidable p
H : ∀ (x_1 : α), ¬IsUnit x_1 → ∀ (x_2 : α), ¬IsUnit x_2 → ¬x_1 * x_2 = x
a b : α
h : x = a * b
o : ¬(IsUnit a ∨ IsUnit b)
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : Monoid α
x : α
h✝ : ¬IsUnit x
this : (p : Prop) → Decidable p
H : ∀ (x_1 : α), ¬IsUnit x_1 → ∀ (x_2 : α), ¬IsUnit x_2 → ¬x_1 * x_2 = x
a b : α
h : x = a * b
o : ¬IsUnit a ∧ ¬IsUnit b
\u22a2 False
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable σ
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
hp : PrimrecPred p
this : Primcodable (Subtype p) := Primcodable.subtype hp
\u22a2 Primrec Subtype.val
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable σ
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
hp : PrimrecPred p
this : Primcodable (Subtype p) := Primcodable.subtype hp
n : ℕ
\u22a2 encode (decode n) = encode (Option.map Subtype.val (decode n))
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b c x : α
u₁ u₂ : αˣ
\u22a2 x /ₚ u₁ /ₚ u₂ = x /ₚ (u₂ * u₁)
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Prime.lean
n k : ℕ
h1 : MinFacHelper n k
h2 : 0 = n % k
\u22a2 IsNat n.minFac k
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Prime.lean
n k : ℕ
h1 : MinFacHelper n k
h2 : k ∣ n
\u22a2 IsNat n.minFac k
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
c : E
hf : Integrable f μ
\u22a2 Integrable (fun x => ⟪c, f x⟫_𝕜) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
c : E
hf : Memℒp f 1 μ
\u22a2 Memℒp (fun x => ⟪c, f x⟫_𝕜) 1 μ
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s✝ : Set M
p : M → Prop
x : M
s : Set M
hs : (closure L).toFun s = ⊤
Hs : ∀ x ∈ s, p x
Hfun : ∀ {n : ℕ} (f : L.Functions n), ClosedUnder f (setOf p)
\u22a2 p x
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s✝ : Set M
p : M → Prop
x : M
s : Set M
hs : (closure L).toFun s = ⊤
Hs : ∀ x ∈ s, p x
Hfun : ∀ {n : ℕ} (f : L.Functions n), ClosedUnder f (setOf p)
this : ∀ x ∈ (closure L).toFun s, p x
\u22a2 p x
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t✝ : Set α
f : α → β
t : Set β
\u22a2 f '' (f ⁻¹' t) = t ∩ range f
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/Equivalence.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
e : C ≌ D
inst✝¹ : Preregular C
A : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
\u22a2 IsSheaf (regularTopology C) F ↔ IsSheaf (regularTopology D) (e.inverse.op ⋙ F)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/Equivalence.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
e : C ≌ D
inst✝¹ : Preregular C
A : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : IsSheaf (regularTopology D) (e.inverse.op ⋙ F)
\u22a2 IsSheaf (regularTopology C) F
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/Equivalence.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
e : C ≌ D
inst✝¹ : Preregular C
A : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : IsSheaf (regularTopology D) (e.inverse.op ⋙ F)
\u22a2 IsSheaf (regularTopology C) (e.functor.op ⋙ e.inverse.op ⋙ F)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/Equivalence.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
e : C ≌ D
inst✝¹ : Preregular C
A : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : IsSheaf (regularTopology D) (e.inverse.op ⋙ F)
\u22a2 F ≅ e.functor.op ⋙ e.inverse.op ⋙ F
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompactConvergence.lean
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
X : Set (C(α, β) × C(α, β))
\u22a2 X ∈ 𝓤 C(α, β) ↔ ∃ K V, IsCompact K ∧ V ∈ 𝓤 β ∧ {fg | ∀ x ∈ K, (fg.1 x, fg.2 x) ∈ V} ⊆ X
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
h₁ : a₁ ≤ a₂
h₂ : b₁ < b₂
\u22a2 (a₁, b₁) < (a₂, b₂)
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R✝ : α → β → Prop
C✝ : Computation α → Computation β → Prop
R : α → β → Prop
C : Computation α → Computation β → Prop
b : β
ca : Computation α
\u22a2 LiftRelAux R C ca.destruct (Sum.inl b) ↔ ∃ a, a ∈ ca ∧ R a b
-- Mathlib/Algebra/Ring/Commute.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
a b : R
h : Commute a b
\u22a2 a * a - b * b = (a + b) * (a - b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y z : M
\u22a2 Q (x + y + z) + (Q x + Q y + Q z) = Q (x + y) + Q (y + z) + Q (z + x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y z : M
B : BilinMap R M N
h : ∀ (x y : M), Q (x + y) = Q x + Q y + (B x) y
\u22a2 Q (x + y + z) + (Q x + Q y + Q z) = Q (x + y) + Q (y + z) + Q (z + x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y z : M
B : BilinMap R M N
h : ∀ (x y : M), Q (x + y) = Q x + Q y + (B x) y
\u22a2 Q (x + y + z) + (Q x + Q y + Q z) = Q (x + y) + Q (y + z) + Q (x + z)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y z : M
B : BilinMap R M N
h : ∀ (x y : M), Q (x + y) = Q x + Q y + (B x) y
\u22a2 Q x + Q y + (B x) y + Q z + ((B x) z + (B y) z) + (Q x + Q y + Q z) = Q x + Q y + (B x) y + (Q y + Q z + (B y) z) + (Q x + Q z + (B x) z)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Fintype ι
q : P
\u22a2 ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) fun i => (b.coord i) q) = q
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Fintype ι
q : P
hq : q ∈ affineSpan k (range ⇑b)
\u22a2 ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) fun i => (b.coord i) q) = q
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Fintype ι
w : ι → k
hw : ∑ i : ι, w i = 1
hq : (Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w ∈ affineSpan k (range ⇑b)
\u22a2 ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) fun i => (b.coord i) ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w)) = (Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i✝ j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Fintype ι
w : ι → k
hw : ∑ i : ι, w i = 1
hq : (Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w ∈ affineSpan k (range ⇑b)
i : ι
\u22a2 (b.coord i) ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) w) = w i
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Support.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : One γ
c : α
hc : c ≠ 0
f : β → γ
x : β
\u22a2 (x ∈ mulSupport fun x => f (c⁻¹ • x)) ↔ x ∈ c • mulSupport f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
\u22a2 (monomial n) a * C b = (monomial n) (a * b)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h : a₁ < a₂
\u22a2 Ico a₂ b ⊆ Ioo a₁ b
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h : a₁ < a₂
\u22a2 Set.Ico a₂ b ⊆ Set.Ioo a₁ b
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
s : Set ι
e : α ≃ ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : (i : ι) → E₁ i
\u22a2 ‖f‖ * ∏ _i : { a // a ∉ s }, ‖x‖ = ‖f‖ * ‖x‖ ^ Fintype.card { a // a ∉ s }
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
s : Set ι
e : α ≃ ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : (i : ι) → E₁ i
\u22a2 ‖f‖ * ‖x‖ ^ Fintype.card { a // a ∉ s } = ‖f‖ * ‖x‖ ^ (Fintype.card ι - Fintype.card α)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/FDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
h : LinearMap.range f' = ⊤
f'symm : f'.NonlinearRightInverse := f'.nonlinearRightInverseOfSurjective h
c : ℝ≥0 := f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
hc : c = f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
\u22a2 map f (𝓝 a) = 𝓝 (f a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/FDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
h : LinearMap.range f' = ⊤
f'symm : f'.NonlinearRightInverse := f'.nonlinearRightInverseOfSurjective h
c : ℝ≥0 := f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
hc : c = f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
f'symm_pos : 0 < f'symm.nnnorm
\u22a2 map f (𝓝 a) = 𝓝 (f a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/FDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
h : LinearMap.range f' = ⊤
f'symm : f'.NonlinearRightInverse := f'.nonlinearRightInverseOfSurjective h
c : ℝ≥0 := f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
hc : c = f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
f'symm_pos : 0 < f'symm.nnnorm
cpos : 0 < c
\u22a2 map f (𝓝 a) = 𝓝 (f a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/FDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
h : LinearMap.range f' = ⊤
f'symm : f'.NonlinearRightInverse := f'.nonlinearRightInverseOfSurjective h
c : ℝ≥0 := f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
hc : c = f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
f'symm_pos : 0 < f'symm.nnnorm
cpos : 0 < c
s : Set E
s_nhds : s ∈ 𝓝 a
hs : ApproximatesLinearOn f f' s c
\u22a2 map f (𝓝 a) = 𝓝 (f a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/FDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
h : LinearMap.range f' = ⊤
f'symm : f'.NonlinearRightInverse := f'.nonlinearRightInverseOfSurjective h
c : ℝ≥0 := f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
hc : c = f'symm.nnnorm⁻¹ / 2
f'symm_pos : 0 < f'symm.nnnorm
cpos : 0 < c
s : Set E
s_nhds : s ∈ 𝓝 a
hs : ApproximatesLinearOn f f' s c
\u22a2 f'symm.nnnorm⁻¹ ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
\u22a2 ⨆ a, LinearMap.range (lsingle a) = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : α →₀ M
x✝ : f ∈ ⊤
\u22a2 f ∈ ⨆ a, LinearMap.range (lsingle a)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : α →₀ M
x✝ : f ∈ ⊤
\u22a2 f.sum single ∈ ⨆ a, LinearMap.range (lsingle a)
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Derived/RightDerived.lean
C : Type u_1
C' : Type ?u.85122
D : Type ?u.85125
D' : Type ?u.85128
H : Type u_2
H' : Type ?u.85134
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.85142, ?u.85122} C'
inst✝⁴ : Category.{?u.85146, ?u.85125} D
inst✝³ : Category.{?u.85150, ?u.85128} D'
inst✝² : Category.{u_4, u_2} H
inst✝¹ : Category.{?u.85158, ?u.85134} H'
RF RF' RF'' : D ⥤ H
F F' F'' : C ⥤ H
e : F ≅ F'
L : C ⥤ D
α : F ⟶ L ⋙ RF
α' : F' ⟶ L ⋙ RF'
α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''
α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
\u22a2 F.HasRightDerivedFunctor W ↔ F'.HasRightDerivedFunctor W
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Types.lean
X Y S : Type v
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
c : PullbackCone f g
hc : IsLimit c
x : Types.PullbackObj f g
\u22a2 c.snd ((equivPullbackObj hc).symm x) = (↑x).2
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Types.lean
X Y S : Type v
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
c : PullbackCone f g
hc : IsLimit c
x : c.pt
\u22a2 c.snd ((equivPullbackObj hc).symm ((equivPullbackObj hc) x)) = (↑((equivPullbackObj hc) x)).2
-- Mathlib/Algebra/IsPrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ
\u22a2 IsPrimePow n ↔ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
f : α → α
a : α
\u22a2 (iterate f a).get n.succ = (iterate f (f a)).get n
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/StrongTopology.lean
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁴ : RingHomSurjective σ
inst✝³ : RingHomIsometric σ
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜₂ F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖₃ : ∀ S ∈ 𝔖, Bornology.IsVonNBounded 𝕜₁ S
this : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
\u22a2 ContinuousSMul 𝕜₂ (UniformConvergenceCLM σ F 𝔖)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/StrongTopology.lean
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁴ : RingHomSurjective σ
inst✝³ : RingHomIsometric σ
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜₂ F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖₃ : ∀ S ∈ 𝔖, Bornology.IsVonNBounded 𝕜₁ S
this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this : UniformAddGroup F
\u22a2 ContinuousSMul 𝕜₂ (UniformConvergenceCLM σ F 𝔖)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/StrongTopology.lean
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₁
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁴ : RingHomSurjective σ
inst✝³ : RingHomIsometric σ
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜₂ F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖₃ : ∀ S ∈ 𝔖, Bornology.IsVonNBounded 𝕜₁ S
this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this : UniformAddGroup F
φ : UniformConvergenceCLM σ F 𝔖 →ₗ[𝕜₂] E → F := { toFun := DFunLike.coe, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
\u22a2 ContinuousSMul 𝕜₂ (UniformConvergenceCLM σ F 𝔖)
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
i : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
\u22a2 (erase i f + single i (f i)) i = f i
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
i : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
i' : ι
h : ¬i = i'
\u22a2 (erase i f + single i (f i)) i' = f i'
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
\u22a2 ∃ r, r.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ r, U i
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
hmono : ∀ ⦃s t : Set X⦄, s ⊆ t → (∃ r, r.Countable ∧ t ⊆ ⋃ i ∈ r, U i) → ∃ r, r.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ r, U i
\u22a2 ∃ r, r.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ r, U i
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
hmono : ∀ ⦃s t : Set X⦄, s ⊆ t → (∃ r, r.Countable ∧ t ⊆ ⋃ i ∈ r, U i) → ∃ r, r.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ r, U i
hcountable_union : ∀ (S : Set (Set X)), S.Countable → (∀ s ∈ S, ∃ r, r.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ r, U i) → ∃ r, r.Countable ∧ ⋃₀ S ⊆ ⋃ i ∈ r, U i
\u22a2 ∃ r, r.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ r, U i
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
U : ι → Set X
hUo : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hsU : s ⊆ ⋃ i, U i
hmono : ∀ ⦃s t : Set X⦄, s ⊆ t → (∃ r, r.Countable ∧ t ⊆ ⋃ i ∈ r, U i) → ∃ r, r.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ r, U i
hcountable_union : ∀ (S : Set (Set X)), S.Countable → (∀ s ∈ S, ∃ r, r.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ r, U i) → ∃ r, r.Countable ∧ ⋃₀ S ⊆ ⋃ i ∈ r, U i
h_nhds : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∃ r, r.Countable ∧ t ⊆ ⋃ i ∈ r, U i
\u22a2 ∃ r, r.Countable ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ r, U i
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
k : ℕ
hk : k ∉ A
\u22a2 schnirelmannDensity A ≤ 1 - (↑k)⁻¹