ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Fourier/PoissonSummation.lean
f : C(ℝ, ℂ)
h_norm : ∀ (K : Compacts ℝ), Summable fun n => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖
h_sum : Summable fun n => 𝓕 ⇑f ↑n
x : ℝ
F : C(UnitAddCircle, ℂ) := { toFun := ⋯.lift, continuous_toFun := ⋯ }
\u22a2 ∑' (n : ℤ), f (x + ↑n) = ∑' (n : ℤ), 𝓕 ⇑f ↑n * (fourier n) ↑x
-- Mathlib/Analysis/Fourier/PoissonSummation.lean
f : C(ℝ, ℂ)
h_norm : ∀ (K : Compacts ℝ), Summable fun n => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖
h_sum : Summable fun n => 𝓕 ⇑f ↑n
x : ℝ
F : C(UnitAddCircle, ℂ) := { toFun := ⋯.lift, continuous_toFun := ⋯ }
this : Summable (fourierCoeff ⇑F)
\u22a2 ∑' (n : ℤ), f (x + ↑n) = ∑' (n : ℤ), 𝓕 ⇑f ↑n * (fourier n) ↑x
-- Mathlib/Analysis/Fourier/PoissonSummation.lean
f : C(ℝ, ℂ)
h_norm : ∀ (K : Compacts ℝ), Summable fun n => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖
h_sum : Summable fun n => 𝓕 ⇑f ↑n
x : ℝ
F : C(UnitAddCircle, ℂ) := { toFun := ⋯.lift, continuous_toFun := ⋯ }
this : Summable (fourierCoeff ⇑F)
\u22a2 ∑' (n : ℤ), f (x + ↑n) = F ↑x
-- Mathlib/Analysis/Fourier/PoissonSummation.lean
f : C(ℝ, ℂ)
h_norm : ∀ (K : Compacts ℝ), Summable fun n => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight ↑n))‖
h_sum : Summable fun n => 𝓕 ⇑f ↑n
x : ℝ
F : C(UnitAddCircle, ℂ) := { toFun := ⋯.lift, continuous_toFun := ⋯ }
this : Summable (fourierCoeff ⇑F)
\u22a2 ∑' (n : ℤ), 𝓕 ⇑f ↑n * (fourier n) ↑x = ∑' (b : ℤ), fourierCoeff (⇑F) b • (fourier b) ↑x
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
F : Type u
inst✝ : Field F
p q : F[X]
f g : RatFunc F
\u22a2 (algebraMap (RatFunc F) (LaurentSeries F)) ((algebraMap F[X] (RatFunc F)) p / (algebraMap F[X] (RatFunc F)) q) = (algebraMap F[X] (LaurentSeries F)) p / (algebraMap F[X] (LaurentSeries F)) q
-- Mathlib/Analysis/Convex/AmpleSet.lean
F : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module ℝ F
inst✝³ : TopologicalSpace F
E : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set F
h : AmpleSet s
L : E ≃ᵃL[ℝ] F
\u22a2 AmpleSet (⇑L ⁻¹' s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/AmpleSet.lean
F : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module ℝ F
inst✝³ : TopologicalSpace F
E : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set F
h : AmpleSet s
L : E ≃ᵃL[ℝ] F
\u22a2 AmpleSet (⇑L.symm '' s)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
b b' x : F
\u22a2 (tangentBundleCore 𝓘(𝕜, F) F).coordChange (achart F b) (achart F b') x = 1
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
\u22a2 Disjoint x yᶜ ↔ x ≤ y
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
h : f =ᶠ[ae μ] g
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
\u22a2 μ[f|m] =ᶠ[ae μ] μ[g|m]
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≤ b
\u22a2 Icc a b \ Ioo a b = {a, b}
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d : ℕ
\u22a2 a ≡ b [MOD 0] ↔ a = b
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
\u22a2 y ⊓ (x ⊔ z) ⊔ y \ x ⊓ y \ z = (y ⊓ (x ⊔ z) ⊔ y \ x) ⊓ (y ⊓ (x ⊔ z) ⊔ y \ z)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
\u22a2 (y ⊓ (x ⊔ z) ⊔ y \ x) ⊓ (y ⊓ (x ⊔ z) ⊔ y \ z) = (y ⊓ x ⊔ y ⊓ z ⊔ y \ x) ⊓ (y ⊓ x ⊔ y ⊓ z ⊔ y \ z)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
\u22a2 (y ⊓ z ⊔ (y ⊓ x ⊔ y \ x)) ⊓ (y ⊓ x ⊔ (y ⊓ z ⊔ y \ z)) = (y ⊓ z ⊔ y) ⊓ (y ⊓ x ⊔ y)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
\u22a2 (y ⊔ y ⊓ z) ⊓ (y ⊔ y ⊓ x) = y
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
\u22a2 y ⊓ (x ⊔ z) ⊓ (y \ x ⊓ y \ z) = (y ⊓ x ⊔ y ⊓ z) ⊓ (y \ x ⊓ y \ z)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
\u22a2 (y ⊓ x ⊔ y ⊓ z) ⊓ (y \ x ⊓ y \ z) = y ⊓ x ⊓ (y \ x ⊓ y \ z) ⊔ y ⊓ z ⊓ (y \ x ⊓ y \ z)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
\u22a2 y ⊓ x ⊓ y \ x ⊓ y \ z ⊔ y \ x ⊓ (y \ z ⊓ (y ⊓ z)) = ⊥
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t s : Finset α
\u22a2 filter (fun x => x ∈ s) univ = s
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K 0
m₁ : ℤ
h₁ : n₁ + 1 = m₁
\u22a2 δ n₁ m₁ (z₁.comp z₂ ⋯) = z₁.comp (δ 0 1 z₂) h₁ + (δ n₁ m₁ z₁).comp z₂ ⋯
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
H1 : ∀ x ∈ s, infDist x t ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, infDist x s ≤ r
h1 : ¬hausdorffEdist s t = ⊤
\u22a2 hausdorffDist s t ≤ r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
H1 : ∀ x ∈ s, infDist x t ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, infDist x s ≤ r
h1 : ¬hausdorffEdist s t = ⊤
hs : s = ∅
\u22a2 hausdorffDist s t ≤ r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
H1 : ∀ x ∈ s, infDist x t ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, infDist x s ≤ r
h1 : ¬hausdorffEdist s t = ⊤
hs : s.Nonempty
\u22a2 hausdorffDist s t ≤ r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
H1 : ∀ x ∈ s, infDist x t ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, infDist x s ≤ r
h1 : ¬hausdorffEdist s t = ⊤
hs : s.Nonempty
ht : t = ∅
\u22a2 hausdorffDist s t ≤ r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
H1 : ∀ x ∈ s, infDist x t ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, infDist x s ≤ r
h1 : ¬hausdorffEdist s t = ⊤
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
\u22a2 hausdorffDist s t ≤ r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
H1 : ∀ x ∈ s, infDist x t ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, infDist x s ≤ r
h1 : ¬hausdorffEdist s t = ⊤
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
this : hausdorffEdist s t ≤ ENNReal.ofReal r
\u22a2 hausdorffDist s t ≤ r
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
hp : 0 < p.radius
\u22a2 0 < (p.rightInv i).radius
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
\u22a2 0 < (p.rightInv i).radius
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
\u22a2 0 < (p.rightInv i).radius
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
\u22a2 0 < (p.rightInv i).radius
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i k‖
IRec : ∀ (n : ℕ), 1 ≤ n → S n ≤ (I + 1) * a
a' : NNReal := ⟨a, ⋯⟩
\u22a2 0 < (p.rightInv i).radius
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i k‖
IRec : ∀ (n : ℕ), 1 ≤ n → S n ≤ (I + 1) * a
a' : NNReal := ⟨a, ⋯⟩
\u22a2 ↑a' ≤ (p.rightInv i).radius
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i k‖
IRec : ∀ (n : ℕ), 1 ≤ n → S n ≤ (I + 1) * a
a' : NNReal := ⟨a, ⋯⟩
n : ℕ
\u22a2 ‖p.rightInv i n‖ * ↑a' ^ n ≤ (I + 1) * a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
\u22a2 cos π = -1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
\u22a2 2 * 0 ^ 2 - 1 = -1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q p : R[X]
hp : p.Monic
hp1 : p ≠ 1
\u22a2 Irreducible p ↔ ∀ (q : R[X]), q.Monic → q.natDegree ∈ Ioc 0 (p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q p : R[X]
hp : p.Monic
hp1 : p ≠ 1
\u22a2 (∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → g.natDegree ∉ Ioc 0 (p.natDegree / 2)) ↔ ∀ (q : R[X]), q.Monic → q.natDegree ∈ Ioc 0 (p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b c : σ
h₁ : Reaches₁ f a c
h₂ : b ∈ f a
\u22a2 Reaches f b c
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b c : σ
h₁ : Reaches₁ f a c
h₂ : b ∈ f a
b' : σ
hab : b' ∈ f a
hbc : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f a) b' c
\u22a2 Reaches f b c
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b c : σ
h₁ : Reaches₁ f a c
h₂ hab : b ∈ f a
hbc : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f a) b c
\u22a2 Reaches f b c
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
hst : Disjoint s t
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
ht : (t ∩ mulSupport f).Finite
\u22a2 ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
A : Mon_ C
\u22a2 (F.ε ≫ F.map A.one) ▷ F.obj A.X ≫ F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul = (λ_ (F.obj A.X)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
A : Mon_ C
\u22a2 F.ε ▷ F.obj A.X ≫ F.μ (𝟙_ C) A.X ≫ F.map (A.one ▷ A.X) ≫ F.map A.mul = F.ε ▷ F.obj A.X ≫ F.μ (𝟙_ C) A.X ≫ F.map (λ_ A.X).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
A : Mon_ C
\u22a2 F.obj A.X ◁ (F.ε ≫ F.map A.one) ≫ F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul = (ρ_ (F.obj A.X)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
A : Mon_ C
\u22a2 F.obj A.X ◁ F.ε ≫ F.μ A.X (𝟙_ C) ≫ F.map (A.X ◁ A.one) ≫ F.map A.mul = F.obj A.X ◁ F.ε ≫ F.μ A.X (𝟙_ C) ≫ F.map (ρ_ A.X).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
A : Mon_ C
\u22a2 (F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul) ▷ F.obj A.X ≫ F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul = (α_ (F.obj A.X) (F.obj A.X) (F.obj A.X)).hom ≫ F.obj A.X ◁ (F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul) ≫ F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
A : Mon_ C
\u22a2 F.μ A.X A.X ▷ F.obj A.X ≫ F.μ (A.X ⊗ A.X) A.X ≫ F.map (A.mul ▷ A.X) ≫ F.map A.mul = (α_ (F.obj A.X) (F.obj A.X) (F.obj A.X)).hom ≫ F.obj A.X ◁ F.μ A.X A.X ≫ F.μ A.X (A.X ⊗ A.X) ≫ F.map (A.X ◁ A.mul) ≫ F.map A.mul
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
A : Mon_ C
\u22a2 F.μ A.X A.X ▷ F.obj A.X ≫ F.μ (A.X ⊗ A.X) A.X ≫ F.map ((α_ A.X A.X A.X).hom ≫ A.X ◁ A.mul ≫ A.mul) = (α_ (F.obj A.X) (F.obj A.X) (F.obj A.X)).hom ≫ F.obj A.X ◁ F.μ A.X A.X ≫ F.μ A.X (A.X ⊗ A.X) ≫ F.map (A.X ◁ A.mul) ≫ F.map A.mul
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
X✝ Y✝ : Mon_ C
f : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 (F.ε ≫ F.map X✝.one) ≫ F.map f.hom = F.ε ≫ F.map Y✝.one
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
X✝ Y✝ : Mon_ C
f : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 (F.μ X✝.X X✝.X ≫ F.map X✝.mul) ≫ F.map f.hom = (F.map f.hom ⊗ F.map f.hom) ≫ F.μ Y✝.X Y✝.X ≫ F.map Y✝.mul
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
i j : ℕ
hi : i < k
hj : j < k
H : ζ ^ i = ζ ^ j
hij : i ≤ j
\u22a2 i = j
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
i j : ℕ
hi : i < k
hj : j < k
H : ζ ^ i = ζ ^ j
hij : i ≤ j
\u22a2 j ≤ i
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
i j : ℕ
hi : i < k
hj : j < k
H : ζ ^ i = ζ ^ j
hij : i ≤ j
\u22a2 j - i = 0
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
i j : ℕ
hi : i < k
hj : j < k
H : ζ ^ i = ζ ^ j
hij : i ≤ j
\u22a2 k ∣ j - i
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
i j : ℕ
hi : i < k
hj : j < k
H : ζ ^ i = ζ ^ j
hij : i ≤ j
\u22a2 ζ ^ (j - i) = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Dual.lean
K : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : Module K V₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K V₂
inst✝³ : Fintype ι₁
inst✝² : Fintype ι₂
inst✝¹ : DecidableEq ι₁
inst✝ : DecidableEq ι₂
B₁ : Basis ι₁ K V₁
B₂ : Basis ι₂ K V₂
u : V₁ →ₗ[K] V₂
i : ι₁
j : ι₂
\u22a2 (toMatrix B₂.dualBasis B₁.dualBasis) (Module.Dual.transpose u) i j = ((toMatrix B₁ B₂) u)ᵀ i j
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x y : ℝ
\u22a2 √x ≤ y ↔ 0 ≤ y ∧ x ≤ y ^ 2
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x y : ℝ
\u22a2 0 ≤ y → (√x ≤ y ↔ x ≤ y ^ 2)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R✝ S : Type u
M✝ : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ M'✝
inst✝³ : Module R✝ M₁
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
M' : Submodule R M
hN : M' ≤ torsion R M
a✝ : Nontrivial R
\u22a2 Module.rank R M ≤ Module.rank R (M ⧸ M')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R✝ S : Type u
M✝ : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ M'✝
inst✝³ : Module R✝ M₁
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
M' : Submodule R M
hN : M' ≤ torsion R M
a✝ : Nontrivial R
\u22a2 ⨆ ι, #↑↑ι ≤ Module.rank R (M ⧸ M')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R✝ S : Type u
M✝ : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ M'✝
inst✝³ : Module R✝ M₁
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
M' : Submodule R M
hN : M' ≤ torsion R M
a✝ : Nontrivial R
this : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
\u22a2 ⨆ ι, #↑↑ι ≤ Module.rank R (M ⧸ M')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R✝ S : Type u
M✝ : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ M'✝
inst✝³ : Module R✝ M₁
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
M' : Submodule R M
hN : M' ≤ torsion R M
a✝ : Nontrivial R
this : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
x✝ : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
s : Set M
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
\u22a2 LinearIndependent R fun (x : ↑↑⟨s, hs⟩) => M'.mkQ ↑x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R✝ S : Type u
M✝ : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ M'✝
inst✝³ : Module R✝ M₁
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
M' : Submodule R M
hN : M' ≤ torsion R M
a✝ : Nontrivial R
this : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
x✝ : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
s : Set M
hs✝ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
hs : ∀ (s_1 : Finset { x // x ∈ s }) (g : { x // x ∈ s } → R), ∑ i ∈ s_1, g i • ↑i = 0 → ∀ i ∈ s_1, g i = 0
\u22a2 ∀ (s_1 : Finset ↑↑⟨s, hs✝⟩) (g : ↑↑⟨s, hs✝⟩ → R), ∑ i ∈ s_1, g i • M'.mkQ ↑i = 0 → ∀ i ∈ s_1, g i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R✝ S : Type u
M✝ : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ M'✝
inst✝³ : Module R✝ M₁
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
M' : Submodule R M
hN : M' ≤ torsion R M
a✝ : Nontrivial R
this : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
x✝ : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
s : Set M
hs✝ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
hs : ∀ (s_1 : Finset { x // x ∈ s }) (g : { x // x ∈ s } → R), ∑ i ∈ s_1, g i • ↑i = 0 → ∀ i ∈ s_1, g i = 0
\u22a2 ∀ (s_1 : Finset ↑s) (g : ↑s → R), ∑ x ∈ s_1, g x • ↑x ∈ M' → ∀ i ∈ s_1, g i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R✝ S : Type u
M✝ : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ M'✝
inst✝³ : Module R✝ M₁
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
M' : Submodule R M
hN : M' ≤ torsion R M
a✝ : Nontrivial R
this : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
x✝ : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
s : Set M
hs✝ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
hs : ∀ (s_1 : Finset { x // x ∈ s }) (g : { x // x ∈ s } → R), ∑ i ∈ s_1, g i • ↑i = 0 → ∀ i ∈ s_1, g i = 0
t : Finset ↑s
g : ↑s → R
hg✝ : ∑ x ∈ t, g x • ↑x ∈ M'
i : ↑s
hi : i ∈ t
r : ↥(nonZeroDivisors R)
hg : r • ∑ x ∈ t, g x • ↑x = 0
\u22a2 g i = 0