ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x : R
I J : Ideal R
\u22a2 I = span {x} * J ↔ (∀ zI ∈ I, ∃ zJ ∈ J, x * zJ = zI) ∧ ∀ z ∈ J, x * z ∈ I
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_f_lt : f.degree < ↑s.card
degree_g_lt : g.degree < ↑s.card
eval_fg : ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g
\u22a2 f = g
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_f_lt : f ∈ degreeLT R s.card
degree_g_lt : g ∈ degreeLT R s.card
eval_fg : ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g
\u22a2 f = g
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_f_lt : f ∈ degreeLT R s.card
degree_g_lt : g ∈ degreeLT R s.card
eval_fg : ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g
\u22a2 (f - g).degree < ↑s.card
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_f_lt : f ∈ degreeLT R s.card
degree_g_lt : g ∈ degreeLT R s.card
eval_fg : ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g
\u22a2 f - g ∈ degreeLT R s.card
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Biproducts.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
J : Type w
f : J → ModuleCat R
s : Cone (Discrete.functor f)
m : s.pt ⟶ { pt := of R ((j : J) → ↑(f j)), π := Discrete.natTrans fun j => LinearMap.proj j.as }.pt
w : ∀ (j : Discrete J), m ≫ { pt := of R ((j : J) → ↑(f j)), π := Discrete.natTrans fun j => LinearMap.proj j.as }.π.app j = s.π.app j
x : ↑s.pt
\u22a2 m x = (lift f s) x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Biproducts.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
J : Type w
f : J → ModuleCat R
s : Cone (Discrete.functor f)
m : s.pt ⟶ { pt := of R ((j : J) → ↑(f j)), π := Discrete.natTrans fun j => LinearMap.proj j.as }.pt
w : ∀ (j : Discrete J), m ≫ { pt := of R ((j : J) → ↑(f j)), π := Discrete.natTrans fun j => LinearMap.proj j.as }.π.app j = s.π.app j
x : ↑s.pt
j : J
\u22a2 m x j = (lift f s) x j
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hα : ((fun x => (ofLex x).1) '' s).IsPWO
hβ : ∀ (a : α), {y | toLex (a, y) ∈ s}.IsPWO
f : ℕ → Lex (α × β)
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
\u22a2 ∃ m n, m < n ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f m) (f n)
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hα : ∀ (f : ℕ → α), (∀ (n : ℕ), f n ∈ (fun x => (ofLex x).1) '' s) → ∃ g, Monotone (f ∘ ⇑g)
hβ : ∀ (a : α), {y | toLex (a, y) ∈ s}.IsPWO
f : ℕ → Lex (α × β)
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
\u22a2 ∃ m n, m < n ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f m) (f n)
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hα : ∀ (f : ℕ → α), (∀ (n : ℕ), f n ∈ (fun x => (ofLex x).1) '' s) → ∃ g, Monotone (f ∘ ⇑g)
hβ : ∀ (a : α), {y | toLex (a, y) ∈ s}.IsPWO
f : ℕ → Lex (α × β)
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ ↪o ℕ
hg : Monotone fun n => (ofLex f (g n)).1
\u22a2 ∃ m n, m < n ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f m) (f n)
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
s : Set (Lex (α × β))
hα : ∀ (f : ℕ → α), (∀ (n : ℕ), f n ∈ (fun x => (ofLex x).1) '' s) → ∃ g, Monotone (f ∘ ⇑g)
hβ : ∀ (a : α), {y | toLex (a, y) ∈ s}.IsPWO
f : ℕ → Lex (α × β)
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
g : ℕ ↪o ℕ
hg : Monotone fun n => (ofLex f (g n)).1
hhg : ∀ (n : ℕ), (ofLex f (g 0)).1 ≤ (ofLex f (g n)).1
\u22a2 ∃ m n, m < n ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f m) (f n)
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b c : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
hb : b ∈ s
\u22a2 eVariationOn f (s ∩ Icc a b) + eVariationOn f (s ∩ Icc b c) = eVariationOn f (s ∩ Icc a c)
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b c : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
hb : b ∈ s
A : IsGreatest (s ∩ Icc a b) b
\u22a2 eVariationOn f (s ∩ Icc a b) + eVariationOn f (s ∩ Icc b c) = eVariationOn f (s ∩ Icc a c)
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b c : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c
hb : b ∈ s
A : IsGreatest (s ∩ Icc a b) b
B : IsLeast (s ∩ Icc b c) b
\u22a2 eVariationOn f (s ∩ Icc a b) + eVariationOn f (s ∩ Icc b c) = eVariationOn f (s ∩ Icc a c)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/Gluing.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
\u22a2 ↑((Opens.map (D.ι j).base).obj (⋯.functor.obj U)) = ↑((opensFunctor (D.f j i)).obj ((Opens.map (D.t j i).base).obj ((Opens.map (D.f i j).base).obj U)))
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/Gluing.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
\u22a2 ⇑(D.ι j).base ⁻¹' (⇑(D.ι i).base '' ↑U) = ⇑(D.f j i).base '' (⇑(D.t j i).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base ⁻¹' ↑U))
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/Gluing.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
\u22a2 ⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι j ≫ (D.gluedIso (forget C)).inv) ⁻¹' (⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι i ≫ (D.gluedIso (forget C)).inv) '' ↑U) = ⇑(D.f j i).base '' (⇑(D.t j i).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base ⁻¹' ↑U))
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/Gluing.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
\u22a2 (⇑(preservesColimitIso (forget C) D.diagram.multispan).inv ∘ ⇑(HasColimit.isoOfNatIso (D.diagramIso (forget C))).inv) ∘ ⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι j) ⁻¹' (⇑(D.gluedIso (forget C)).inv ∘ ⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι i) '' ↑U) = ⇑(D.f j i).base '' (⇑(D.t j i).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base ⁻¹' ↑U))
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/Gluing.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
\u22a2 ⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι j) ⁻¹' (⇑(preservesColimitIso (forget C) D.diagram.multispan).inv ∘ ⇑(HasColimit.isoOfNatIso (D.diagramIso (forget C))).inv ⁻¹' (⇑(D.gluedIso (forget C)).inv '' (⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι i) '' ↑U))) = ⇑(D.f j i).base '' (⇑(D.t j i).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base ⁻¹' ↑U))
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/Gluing.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
\u22a2 ⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι j) ⁻¹' (⇑((D.mapGlueData (forget C)).ι i) '' ↑U) = ⇑(D.f j i).base '' (⇑(D.t j i).base ⁻¹' (⇑(D.f i j).base ⁻¹' ↑U))
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/Gluing.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
inst✝ : HasLimits C
i j : D.J
U : Opens ↑↑(D.U i)
\u22a2 Function.Injective (⇑(preservesColimitIso (forget C) D.diagram.multispan).inv ∘ ⇑(HasColimit.isoOfNatIso (D.diagramIso (forget C))).inv)
-- Mathlib/Topology/Instances/Irrational.lean
\u22a2 Dense {x | Irrational x}
-- Mathlib/Topology/Instances/Irrational.lean
\u22a2 ∀ o ∈ ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : a < b), {Ioo ↑a ↑b}, o.Nonempty → (o ∩ {x | Irrational x}).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Instances/Irrational.lean
\u22a2 ∀ (o : Set ℝ) (x x_1 : ℚ), x < x_1 → o = Ioo ↑x ↑x_1 → o.Nonempty → (o ∩ {x | Irrational x}).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Instances/Irrational.lean
a b : ℚ
hlt : a < b
a✝ : (Ioo ↑a ↑b).Nonempty
\u22a2 (Ioo ↑a ↑b ∩ {x | Irrational x}).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Instances/Irrational.lean
a b : ℚ
hlt : a < b
a✝ : (Ioo ↑a ↑b).Nonempty
\u22a2 ({x | Irrational x} ∩ Ioo ↑a ↑b).Nonempty
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Translations.lean
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
gp : Pair K
zeroth_s_eq : g.s.get? 0 = some gp
\u22a2 g.dens 1 = gp.b
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
x y : γ
\u22a2 nndist x y = 0 ↔ x = y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y U V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U ⟶ Y
inst✝¹ : IsAffine U
inst✝ : IsOpenImmersion g
iV : V ⟶ X
f' : V ⟶ U
h : IsPullback iV f' f g
H : P.diagonal f
\u22a2 Q.diagonal f'
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y U V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U ⟶ Y
inst✝¹ : IsAffine U
inst✝ : IsOpenImmersion g
iV : V ⟶ X
f' : V ⟶ U
h : IsPullback iV f' f g
H : P.diagonal f
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
\u22a2 Q.diagonal f'
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y U V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U ⟶ Y
inst✝¹ : IsAffine U
inst✝ : IsOpenImmersion g
iV : V ⟶ X
f' : V ⟶ U
h : IsPullback iV f' f g
H : P.diagonal f
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
\u22a2 Q.diagonal (pullback.snd f g)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y U✝ V✝ : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝¹ : IsAffine U✝
inst✝ : IsOpenImmersion g
iV : V✝ ⟶ X
f' : V✝ ⟶ U✝
h : IsPullback iV f' f g
H : P.diagonal f
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
U V : Scheme
f₁ : U ⟶ pullback f g
f₂ : V ⟶ pullback f g
hU : IsAffine U
hV : IsAffine V
hf₁ : IsOpenImmersion f₁
hf₂ : IsOpenImmersion f₂
\u22a2 Q (pullback.mapDesc f₁ f₂ (pullback.snd f g))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y U✝ V✝ : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝¹ : IsAffine U✝
inst✝ : IsOpenImmersion g
iV : V✝ ⟶ X
f' : V✝ ⟶ U✝
h : IsPullback iV f' f g
H : P.diagonal f
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
U V : Scheme
f₁ : U ⟶ pullback f g
f₂ : V ⟶ pullback f g
hU : IsAffine U
hV : IsAffine V
hf₁ : IsOpenImmersion f₁
hf₂ : IsOpenImmersion f₂
\u22a2 Q ((pullbackDiagonalMapIso f g f₁ f₂).hom ≫ pullback.mapDesc f₁ f₂ (pullback.snd f g))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y U✝ V✝ : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝¹ : IsAffine U✝
inst✝ : IsOpenImmersion g
iV : V✝ ⟶ X
f' : V✝ ⟶ U✝
h : IsPullback iV f' f g
H : P.diagonal f
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
U V : Scheme
f₁ : U ⟶ pullback f g
f₂ : V ⟶ pullback f g
hU : IsAffine U
hV : IsAffine V
hf₁ : IsOpenImmersion f₁
hf₂ : IsOpenImmersion f₂
e_1✝ : pullback (pullback.diagonal f) (pullback.map (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g) f f (f₁ ≫ pullback.fst f g) (f₂ ≫ pullback.fst f g) g ⋯ ⋯) = pullback (pullback.diagonal f) (pullback.map (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g) f f (f₁ ≫ pullback.fst f g) (f₂ ≫ pullback.fst f g) g ⋯ ⋯)
e_2✝ : pullback (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g) = pullback (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g)
\u22a2 (pullbackDiagonalMapIso f g f₁ f₂).hom ≫ pullback.mapDesc f₁ f₂ (pullback.snd f g) = pullback.snd (pullback.diagonal f) (pullback.map (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g) f f (f₁ ≫ pullback.fst f g) (f₂ ≫ pullback.fst f g) g ⋯ ⋯)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y U✝ V✝ : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝¹ : IsAffine U✝
inst✝ : IsOpenImmersion g
iV : V✝ ⟶ X
f' : V✝ ⟶ U✝
h : IsPullback iV f' f g
H : P.diagonal f
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
U V : Scheme
f₁ : U ⟶ pullback f g
f₂ : V ⟶ pullback f g
hU : IsAffine U
hV : IsAffine V
hf₁ : IsOpenImmersion f₁
hf₂ : IsOpenImmersion f₂
\u22a2 IsAffine (pullback (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y U✝ V✝ : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝¹ : IsAffine U✝
inst✝ : IsOpenImmersion g
iV : V✝ ⟶ X
f' : V✝ ⟶ U✝
h : IsPullback iV f' f g
H : P.diagonal f
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
U V : Scheme
f₁ : U ⟶ pullback f g
f₂ : V ⟶ pullback f g
hU : IsAffine U
hV : IsAffine V
hf₁ : IsOpenImmersion f₁
hf₂ : IsOpenImmersion f₂
\u22a2 IsOpenImmersion (pullback.map (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g) f f (f₁ ≫ pullback.fst f g) (f₂ ≫ pullback.fst f g) g ⋯ ⋯)
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b : β
f : α → β
s : Set α
a : α
has : a ∉ s
\u22a2 InjOn f (insert a s) ↔ InjOn f s ∧ f a ∉ f '' s
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b : β
f : α → β
s : Set α
a : α
has : a ∉ s
\u22a2 (InjOn f s ∧ InjOn f {a} ∧ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ {a}, f x ≠ f y) ↔ InjOn f s ∧ f a ∉ f '' s
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Finite.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
h : Nat.card ↥H = Nat.card G
\u22a2 H = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Finite.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
h : Nat.card ↥H = Nat.card G
this : Nonempty ↥H
\u22a2 H = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Finite.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
h : Nat.card ↥H = Nat.card G
this : Nonempty ↥H
h' : Nat.card ↥H ≠ 0
\u22a2 H = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Finite.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
h : Nat.card ↥H = Nat.card G
this✝ : Nonempty ↥H
h' : Nat.card ↥H ≠ 0
this : Finite G
\u22a2 H = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Finite.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
h : Nat.card ↥H = Nat.card G
this✝² : Nonempty ↥H
h' : Nat.card ↥H ≠ 0
this✝¹ : Finite G
this✝ : Fintype G
this : Fintype ↥H
\u22a2 H = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Finite.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
this✝² : Nonempty ↥H
h' : Nat.card ↥H ≠ 0
this✝¹ : Finite G
this✝ : Fintype G
this : Fintype ↥H
h : Fintype.card ↥H = Fintype.card G
\u22a2 H = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Finite.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
this✝² : Nonempty ↥H
h' : Nat.card ↥H ≠ 0
this✝¹ : Finite G
this✝ : Fintype G
this : Fintype ↥H
h : Fintype.card ↥H = Fintype.card G
\u22a2 Fintype.card ↑↑H = Fintype.card ↥H
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r : X
s : ↥S
t : R
hst : t * ↑s ∈ S
\u22a2 r /ₒ s = t • r /ₒ ⟨t * ↑s, hst⟩
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r : X
s : ↥S
t : R
hst : t * ↑s ∈ S
\u22a2 (r, s) ≈ (t • r, ⟨t * ↑s, hst⟩)
-- Mathlib/Order/Fin/Tuple.lean
α : Type u_1
n : ℕ
r : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α r
f : Fin (n + 1) → α
a : α
\u22a2 ((fun x x_1 => x < x_1) ⇒ r) (vecCons a f) (vecCons a f) ↔ r a (f 0) ∧ ((fun x x_1 => x < x_1) ⇒ r) f f
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Comap.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial σ R →ₐ[R] MvPolynomial σ R
hf : ∀ (φ : MvPolynomial σ R), f φ = φ
x : σ → R
\u22a2 comap f x = x
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Comap.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial σ R →ₐ[R] MvPolynomial σ R
hf : ∀ (φ : MvPolynomial σ R), f φ = φ
x : σ → R
\u22a2 f = AlgHom.id R (MvPolynomial σ R)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Comap.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial σ R →ₐ[R] MvPolynomial σ R
hf : ∀ (φ : MvPolynomial σ R), f φ = φ
x : σ → R
φ : σ
\u22a2 f (X φ) = (AlgHom.id R (MvPolynomial σ R)) (X φ)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
c : 𝕜
\u22a2 HasSum f c ↔ HasSum (fun x => re (f x)) (re c) ∧ HasSum (fun x => im (f x)) (im c)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
c : 𝕜
\u22a2 HasSum (fun x => re (f x)) (re c) ∧ HasSum (fun x => im (f x)) (im c) → HasSum f c
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
c : 𝕜
h₁ : HasSum (fun x => re (f x)) (re c)
h₂ : HasSum (fun x => im (f x)) (im c)
\u22a2 HasSum f c
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
r : R
x✝ : IsUnit (X - C r)
g : R[X]
_hfg : (X - C r) * g = 1
hgf : g * (X - C r) = 1
\u22a2 0 = 1
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : Sym α n
\u22a2 ↑(fill a (filterNe a m).fst (filterNe a m).snd) = ↑m
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : Sym α n
\u22a2 filter (fun x => a ≠ x) ↑m + ↑(replicate (count a ↑m) a) = ↑m
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : Sym α n
b : α
\u22a2 count b (filter (fun x => ¬a = x) ↑m + ↑(replicate (count a ↑m) a)) = count b ↑m
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : Sym α n
b : α
\u22a2 ((if ¬a = b then count b ↑m else 0) + if b = a then count a ↑m else 0) = count b ↑m
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : Sym α n
\u22a2 ((if ¬a = a then count a ↑m else 0) + if a = a then count a ↑m else 0) = count a ↑m
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : Sym α n
b : α
h : a ≠ b
\u22a2 ((if ¬a = b then count b ↑m else 0) + if b = a then count a ↑m else 0) = count b ↑m
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
hr : r ≠ 0
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
\u22a2 ↑𝒜.card / ↑((Fintype.card α).choose r) ≤ ↑(∂ 𝒜).card / ↑((Fintype.card α).choose (r - 1))
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
hr : r ≠ 0
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
hr' : Fintype.card α < r
\u22a2 ↑𝒜.card / ↑((Fintype.card α).choose r) ≤ ↑(∂ 𝒜).card / ↑((Fintype.card α).choose (r - 1))
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
hr : r ≠ 0
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
hr' : r ≤ Fintype.card α
\u22a2 ↑𝒜.card / ↑((Fintype.card α).choose r) ≤ ↑(∂ 𝒜).card / ↑((Fintype.card α).choose (r - 1))
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
hr : r ≠ 0
hr' : r ≤ Fintype.card α
h𝒜 : 𝒜.card * r ≤ (∂ 𝒜).card * (Fintype.card α - r + 1)
\u22a2 ↑𝒜.card / ↑((Fintype.card α).choose r) ≤ ↑(∂ 𝒜).card / ↑((Fintype.card α).choose (r - 1))
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
hr : r ≠ 0
hr' : r ≤ Fintype.card α
h𝒜 : 𝒜.card * r ≤ (∂ 𝒜).card * (Fintype.card α - r + 1)
\u22a2 𝒜.card * (Fintype.card α).choose (r - 1) ≤ (∂ 𝒜).card * (Fintype.card α).choose r
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
hr : r ≠ 0
hr' : r ≤ Fintype.card α
h𝒜 : 𝒜.card * r ≤ (∂ 𝒜).card * (Fintype.card α - r + 1)
\u22a2 0 < (Fintype.card α).choose r
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
hr : r ≠ 0
hr' : r ≤ Fintype.card α
h𝒜 : 𝒜.card * r ≤ (∂ 𝒜).card * (Fintype.card α - r + 1)
\u22a2 0 < (Fintype.card α).choose (r - 1)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
n : ℕ
\u22a2 0 ≤ a ^ ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
n : ℕ
\u22a2 0 ≤ a ^ n
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
n : ℕ
\u22a2 0 ≤ a ^ (-↑(n + 1))
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
n : ℕ
\u22a2 0 ≤ a ^ (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : AddCommMonoid M
s : Finset α
f : α → β →₀ M
\u22a2 (s.sum f).support ⊆ s.biUnion fun x => (f x).support
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : AddCommMonoid M
s : Finset α
f : α → β →₀ M
\u22a2 (s.sum f).support ⊆ s.sup fun x => (f x).support
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → β →₀ M
\u22a2 (∅.sum f).support ⊆ ∅.sup fun x => (f x).support