ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/IntegralClosure.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : IsDomain A
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹³ : Field L
C : Type u_5
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : Algebra C L
inst✝⁷ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁶ : Algebra A C
inst✝⁵ : IsScalarTower A C L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι K L
hb_int : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
i : ι
y : C
\u22a2 ((traceForm K L).flip (b i)) ((↑A (Algebra.linearMap C L)) y) ∈ 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/IntegralClosure.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : IsDomain A
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹³ : Field L
C : Type u_5
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : Algebra C L
inst✝⁷ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁶ : Algebra A C
inst✝⁵ : IsScalarTower A C L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι K L
hb_int : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
i : ι
y : C
\u22a2 (trace K L) ((algebraMap C L) y * b i) ∈ 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/IntegralClosure.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : IsDomain A
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹³ : Field L
C : Type u_5
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : Algebra C L
inst✝⁷ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁶ : Algebra A C
inst✝⁵ : IsScalarTower A C L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι K L
hb_int : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
i : ι
y : C
\u22a2 IsIntegral A ((trace K L) ((algebraMap C L) y * b i))
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
F : Type u_5
inst✝ : FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
x : N
\u22a2 x ∈ mker (inr M N) ↔ x ∈ ⊥
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
\u22a2 TotallyBounded t
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
\u22a2 ∃ β x F, ∀ (x y : ↑t), F x = F y → dist ↑x ↑y < δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
\u22a2 ∃ β x F, ∀ (x y : ↑t), F x = F y → dist ↑x ↑y < δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
\u22a2 ∃ β x F, ∀ (x y : ↑t), F x = F y → dist ↑x ↑y < δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
\u22a2 ∃ β x F, ∀ (x y : ↑t), F x = F y → dist ↑x ↑y < δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : GHSpace → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n)
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
\u22a2 ∃ β x F, ∀ (x y : ↑t), F x = F y → dist ↑x ↑y < δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : GHSpace → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n)
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin M.succ) := fun p => ⟨⟨N p, ⋯⟩, fun a b => ⟨min M ⌊ε⁻¹ * dist ((E p).symm a) ((E p).symm b)⌋₊, ⋯⟩⟩
\u22a2 ∃ β x F, ∀ (x y : ↑t), F x = F y → dist ↑x ↑y < δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : GHSpace → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n)
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin M.succ) := fun p => ⟨⟨N p, ⋯⟩, fun a b => ⟨min M ⌊ε⁻¹ * dist ((E p).symm a) ((E p).symm b)⌋₊, ⋯⟩⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq : (fun p => F ↑p) ⟨p, pt⟩ = (fun p => F ↑p) ⟨q, qt⟩
\u22a2 dist ↑⟨p, pt⟩ ↑⟨q, qt⟩ < δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : GHSpace → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n)
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin M.succ) := fun p => ⟨⟨N p, ⋯⟩, fun a b => ⟨min M ⌊ε⁻¹ * dist ((E p).symm a) ((E p).symm b)⌋₊, ⋯⟩⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq : (fun p => F ↑p) ⟨p, pt⟩ = (fun p => F ↑p) ⟨q, qt⟩
Npq : N p = N q
\u22a2 dist ↑⟨p, pt⟩ ↑⟨q, qt⟩ < δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam univ ≤ C
hcov : ∀ p ∈ t, ∀ (n : ℕ), ∃ s, #↑s ≤ ↑(K n) ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : GHSpace → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → ↑(s p) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, univ ⊆ ⋃ x ∈ s p, ball x (u n)
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin ↑k → Fin ↑k → Fin M.succ) := fun p => ⟨⟨N p, ⋯⟩, fun a b => ⟨min M ⌊ε⁻¹ * dist ((E p).symm a) ((E p).symm b)⌋₊, ⋯⟩⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq : (fun p => F ↑p) ⟨p, pt⟩ = (fun p => F ↑p) ⟨q, qt⟩
Npq : N p = N q
Ψ : ↑(s p) → ↑(s q) := fun x => (E q).symm (Fin.cast Npq ((E p) x))
Φ : ↑(s p) → q.Rep := fun x => ↑(Ψ x)
main : ghDist p.Rep q.Rep ≤ ε + ε / 2 + ε
\u22a2 dist ↑⟨p, pt⟩ ↑⟨q, qt⟩ < δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
\u22a2 ‖f‖ = ∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
\u22a2 (∫⁻ (x : α), ↑‖↑(toSimpleFunc f) x‖₊ ∂μ).toReal = ∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
\u22a2 (∫⁻ (x : α), ↑‖↑(toSimpleFunc f) x‖₊ ∂μ).toReal = ∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
\u22a2 (∫⁻ (x : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) x ∂μ).toReal = ∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
\u22a2 ∑ a ∈ (toSimpleFunc f).range, (↑‖a‖₊ * μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {a})).toReal = ∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
\u22a2 ∀ a ∈ (toSimpleFunc f).range, ↑‖a‖₊ * μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {a}) ≠ ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime (x + z * y) y
\u22a2 IsCoprime x y
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime (x + y * z) y
\u22a2 IsCoprime x y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/PolarCoord.lean
a : ℂ
\u22a2 ↑Complex.polarCoord a = (abs a, a.arg)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/PolarCoord.lean
a : ℂ
\u22a2 ↑Complex.polarCoord a = (√(a.re ^ 2 + a.im ^ 2), a.arg)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
\u22a2 Scheme.Hom.app hU.fromSpec U = (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).inv ≫ (Spec Γ(X, U)).presheaf.map (eqToHom ⋯).op
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
σ : ι → Type u_12
s : Set (Sigma σ)
x : (i : ι) × σ i
\u22a2 x ∈ ⋃ i, Sigma.mk i '' (Sigma.mk i ⁻¹' s) ↔ x ∈ s
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
σ : ι → Type u_12
s : Set (Sigma σ)
x : (i : ι) × σ i
\u22a2 (∃ i x_1, ⟨i, x_1⟩ ∈ s ∧ ⟨i, x_1⟩ = x) ↔ x ∈ s
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
\u22a2 Num.ofNat' ↑1 = Num.pos 1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
\u22a2 (bif true then Num.bit1 else Num.bit0) 0 = Num.pos 1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
p : PosNum
\u22a2 Num.ofNat' ↑p.bit0 = Num.pos p.bit0
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
p : PosNum
\u22a2 Num.ofNat' ↑p.bit1 = Num.pos p.bit1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
\u22a2 (AffineIndependent k fun p => ↑p) ↔ LinearIndependent k fun (v : ↑((fun p => p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁}))) => ↑v
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
\u22a2 (LinearIndependent k fun i => ↑↑i -ᵥ ↑⟨p₁, hp₁⟩) ↔ LinearIndependent k fun (v : ↑((fun p => p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁}))) => ↑v
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
h : p ≠ 0
\u22a2 ↑(Nat.factorial 1) ∈ nonZeroDivisors R
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
h : p ≠ 0
\u22a2 1 ∈ nonZeroDivisors R
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Ker.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f g : M →ₗ[R] M
h : Commute f g
\u22a2 ker f ⊔ ker g ≤ ker (f ∘ₗ g)
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Ker.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f g : M →ₗ[R] M
h : Commute f g
\u22a2 ker f ≤ ker (f ∘ₗ g)
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Ker.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f g : M →ₗ[R] M
h : Commute f g
\u22a2 ker f ≤ ker (g ∘ₗ f)
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Pow.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
n✝ : ℕ
x : M
hn : 0 < n✝
h : x < 1
n : ℕ
x✝ : Nat.succ 0 ≤ n
ih : x ^ n < 1
\u22a2 x ^ (n + 1) < 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Pow.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
n✝ : ℕ
x : M
hn : 0 < n✝
h : x < 1
n : ℕ
x✝ : Nat.succ 0 ≤ n
ih : x ^ n < 1
\u22a2 x ^ n * x < 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Scheme.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : Z.Opens
V : Y.Opens
W : X.Opens
e₁ : V ≤ g ⁻¹ᵁ U
e₂ : W ≤ f ⁻¹ᵁ V
\u22a2 (Hom.app g U ≫ Y.presheaf.map (homOfLE e₁).op) ≫ Hom.app f V ≫ X.presheaf.map (homOfLE e₂).op = (Hom.app g U ≫ Hom.app f (g ⁻¹ᵁ U)) ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Scheme.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : Z.Opens
V : Y.Opens
W : X.Opens
e₁ : V ≤ g ⁻¹ᵁ U
e₂ : W ≤ f ⁻¹ᵁ V
\u22a2 Hom.app g U ≫ Hom.app f (g ⁻¹ᵁ U) ≫ X.presheaf.map (((Opens.map f.val.base).map (homOfLE e₁).op.unop).op ≫ (homOfLE e₂).op) = (Hom.app g U ≫ Hom.app f (g ⁻¹ᵁ U)) ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atBot
\u22a2 Tendsto (fun x => r * f x) l atBot ↔ 0 < r
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
r : R
f g : M →ₗ[R] N
x✝ : M
\u22a2 ((AlgebraTensorModule.curry (baseChange A (r • f))) 1) x✝ = ((AlgebraTensorModule.curry (r • baseChange A f)) 1) x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
K : GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
G : D ⥤ C
A✝ : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} A✝
inst✝⁴ : TransportsGrothendieckTopology J K e
inst✝³ : HasSheafify K A✝
A : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} A
B : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} B
F : A ⥤ B
inst✝ : K.HasSheafCompose F
P : Cᵒᵖ ⥤ A
hP : Presheaf.IsSheaf J P
\u22a2 Presheaf.IsSheaf J (P ⋙ F)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
K : GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
G : D ⥤ C
A✝ : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} A✝
inst✝⁴ : TransportsGrothendieckTopology J K e
inst✝³ : HasSheafify K A✝
A : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} A
B : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} B
F : A ⥤ B
inst✝ : K.HasSheafCompose F
P : Cᵒᵖ ⥤ A
hP : Presheaf.IsSheaf J P
hP' : Presheaf.IsSheaf K (e.inverse.op ⋙ P ⋙ F)
\u22a2 Presheaf.IsSheaf J (P ⋙ F)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
K : GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
G : D ⥤ C
A✝ : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} A✝
inst✝⁴ : TransportsGrothendieckTopology J K e
inst✝³ : HasSheafify K A✝
A : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} A
B : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} B
F : A ⥤ B
inst✝ : K.HasSheafCompose F
P : Cᵒᵖ ⥤ A
hP : Presheaf.IsSheaf J P
hP' : Presheaf.IsSheaf J (e.functor.op ⋙ e.inverse.op ⋙ P ⋙ F)
\u22a2 Presheaf.IsSheaf J (P ⋙ F)
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
\u22a2 (s.erase ⊥).sup id = s.sup id
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
a : α
ha : a ∈ s
\u22a2 id a ≤ (s.erase ⊥).sup id
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
ha : ⊥ ∈ s
\u22a2 id ⊥ ≤ (s.erase ⊥).sup id
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
a : α
ha : a ∈ s
ha' : a ≠ ⊥
\u22a2 id a ≤ (s.erase ⊥).sup id
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
u : ℕ → ℝ
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
h : ∀ k < n, u (k + 1) ≤ c * u k
\u22a2 u n ≤ c ^ n * u 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
k : ℕ
\u22a2 posFittingCompOf R M x ≤ lowerCentralSeries R L M k
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
k : ℕ
\u22a2 ∀ (m : M) (l : ℕ), ((toEnd R L M) x ^ l) m ∈ lowerCentralSeries R L M l
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
k : ℕ
m : M
l : ℕ
ih : ((toEnd R L M) x ^ l) m ∈ lowerCentralSeries R L M l
\u22a2 ((toEnd R L M) x ^ (l + 1)) m ∈ lowerCentralSeries R L M (l + 1)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
k : ℕ
m : M
l : ℕ
ih : ((toEnd R L M) x ^ l) m ∈ lowerCentralSeries R L M l
\u22a2 ((toEnd R L M) x) (((toEnd R L M) x ^ l) m) ∈ ⁅⊤, lowerCentralSeries R L M l⁆
-- Mathlib/Tactic/LinearCombination.lean
α : Type u_1
a a' a₁ a₂ b b' b₁ b₂ c : α
inst✝ : AddGroup α
p : a = b
H : a' - b' - (a - b) = 0
\u22a2 a' = b'
-- Mathlib/Tactic/LinearCombination.lean
α : Type u_1
a a' a₁ a₂ b b' b₁ b₂ c : α
inst✝ : AddGroup α
p : a - b = 0
H : a' - b' - (a - b) = 0
\u22a2 a' - b' = 0
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
h : ↑j < ↑k
\u22a2 j.contractNth op g k = g k.succ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Projective.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)
μ ν : Measure ((i : ι) → α i)
inst✝ : ∀ (i : Finset ι), IsFiniteMeasure (P i)
hμ : IsProjectiveLimit μ P
\u22a2 μ univ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Projective.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)
μ ν : Measure ((i : ι) → α i)
inst✝ : ∀ (i : Finset ι), IsFiniteMeasure (P i)
hμ : IsProjectiveLimit μ P
\u22a2 (P ∅) univ < ⊤