ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x✝ y : G
i : ℤ
x : G
hx : IsOfFinOrder x
n : ℕ
\u22a2 (finEquivZPowers x hx).symm ⟨x ^ n, ⋯⟩ = ⟨n % orderOf x, ⋯⟩
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x✝ y : G
i : ℤ
x : G
hx : IsOfFinOrder x
n : ℕ
\u22a2 (finEquivPowers x hx).symm ((Equiv.Set.ofEq ⋯).symm ⟨x ^ n, ⋯⟩) = ⟨n % orderOf x, ⋯⟩
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝³ : Group α
inst✝² : LE α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ c d a b : α
\u22a2 a ≤ a / b ↔ b ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
\u22a2 HasDerivAt GammaIntegral (∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) * (↑(Real.log t) * ↑(rexp (-t)))) s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
\u22a2 HasDerivAt (mellin fun x => ↑(rexp (-x))) (∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) * (↑(Real.log t) * ↑(rexp (-t)))) s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
\u22a2 LocallyIntegrableOn (fun x => ↑(rexp (-x))) (Ioi 0) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
\u22a2 (fun x => ↑(rexp (-x))) =O[atTop] fun x => x ^ (-(s.re + 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
\u22a2 (fun x => ↑(rexp (-x))) =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
x y z : ℂ
hx : x ≠ 0
\u22a2 x ^ (y + z) = x ^ y * x ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
x y z : ℂ
hx : x ≠ 0
\u22a2 (if x = 0 then if y + z = 0 then 1 else 0 else cexp (log x * (y + z))) = if x = 0 then if z = 0 then if x = 0 then if y = 0 then 1 * 1 else 0 * 1 else cexp (log x * y) * 1 else if x = 0 then if y = 0 then 1 * 0 else 0 * 0 else cexp (log x * y) * 0 else if x = 0 then if y = 0 then 1 * cexp (log x * z) else 0 * cexp (log x * z) else cexp (log x * y) * cexp (log x * z)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Polynomial.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : TopologicalSemiring R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : ContinuousStar R
s : Set R
\u22a2 (polynomialFunctions s).starClosure = adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}
-- Mathlib/Order/Category/Preord.lean
α β : Preord
e : ↑α ≃o ↑β
x : (forget Preord).obj α
\u22a2 (↑e ≫ ↑e.symm) x = (𝟙 α) x
-- Mathlib/Order/Category/Preord.lean
α β : Preord
e : ↑α ≃o ↑β
x : (forget Preord).obj β
\u22a2 (↑e.symm ≫ ↑e) x = (𝟙 β) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/FiniteField.lean
n : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
M : Matrix n n (ZMod p)
\u22a2 (M ^ p).trace = M.trace ^ p
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/FiniteField.lean
n : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
M : Matrix n n (ZMod p)
h : (M ^ Fintype.card (ZMod p)).trace = M.trace ^ Fintype.card (ZMod p)
\u22a2 (M ^ p).trace = M.trace ^ p
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
\u22a2 leftHomologyMap' (-φ) h₁ h₂ = -leftHomologyMap' φ h₁ h₂
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/HomLift.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a b : 𝒳
φ : a ⟶ b
f : p.obj a ⟶ p.obj b
h : p.map φ = eqToHom ⋯ ≫ f ≫ eqToHom ⋯
\u22a2 p.IsHomLift f φ
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/HomLift.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a b : 𝒳
φ : a ⟶ b
h : p.map φ = eqToHom ⋯ ≫ p.map φ ≫ eqToHom ⋯
\u22a2 p.IsHomLift (p.map φ) φ
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Basic.lean
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
i : d ⟶ e
\u22a2 f ◁ (α_ g h i).hom ≫ (α_ f g (h ≫ i)).inv ≫ (α_ (f ≫ g) h i).inv = (α_ f (g ≫ h) i).inv ≫ (α_ f g h).inv ▷ i
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
h : p.last = q.head
i : Fin q.length
\u22a2 (p.smash q h).toFun (Fin.natAdd p.length i).succ = q.toFun i.succ
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
h : p.last = q.head
i : Fin q.length
\u22a2 (if H : ↑(Fin.natAdd p.length i).succ < p.length then p.toFun ⟨↑(Fin.natAdd p.length i).succ, ⋯⟩ else q.toFun ⟨↑(Fin.natAdd p.length i).succ - p.length, ⋯⟩) = q.toFun i.succ
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
m n : ℕ
hm : 0 < m
\u22a2 IsCoprime (x ^ m) y ↔ IsCoprime x y
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
m n : ℕ
hm : 0 < m
h : IsCoprime (x ^ m) y
\u22a2 IsCoprime x y
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
m n : ℕ
hm : 0 < m
h : IsCoprime (∏ _x ∈ range m, x) y
\u22a2 IsCoprime x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Completion.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : Completion α
\u22a2 dist x z ≤ dist x y + dist y z
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Completion.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : Completion α
\u22a2 IsClosed {x | dist x.1 x.2.2 ≤ dist x.1 x.2.1 + dist x.2.1 x.2.2}
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Completion.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : Completion α
\u22a2 ∀ (a b c : α), dist (↑α a) (↑α c) ≤ dist (↑α a) (↑α b) + dist (↑α b) (↑α c)
-- Mathlib/Data/Matrix/DualNumber.lean
R n : Type
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
r : R
\u22a2 { toFun := fun A => (of fun i j => fst (A i j), of fun i j => snd (A i j)), invFun := fun d => of fun i j => (fst d i j, snd d i j), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun ((algebraMap R (Matrix n n (DualNumber R))) r) = (algebraMap R (DualNumber (Matrix n n R))) r
-- Mathlib/Data/Matrix/DualNumber.lean
R n : Type
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
r : R
\u22a2 (of fun i j => diagonal (fun m => r) i j, of fun i j => 0) = inl (diagonal fun m => r)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k✝ : D ⟶ E
i✝ : ι
e f g : C ⟶ D
h : Homotopy e f
k : Homotopy f g
i j : ι
w : ¬c.Rel j i
\u22a2 (h.hom + k.hom) i j = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k✝ : D ⟶ E
i✝ : ι
e f g : C ⟶ D
h : Homotopy e f
k : Homotopy f g
i : ι
\u22a2 e.f i = (dNext i) (h.hom + k.hom) + (prevD i) (h.hom + k.hom) + g.f i
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k✝ : D ⟶ E
i✝ : ι
e f g : C ⟶ D
h : Homotopy e f
k : Homotopy f g
i : ι
\u22a2 (dNext i) h.hom + (prevD i) h.hom + ((dNext i) k.hom + (prevD i) k.hom + g.f i) = (dNext i) h.hom + (dNext i) k.hom + ((prevD i) h.hom + (prevD i) k.hom) + g.f i
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Tilted.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : SigmaFinite μ
hf : AEMeasurable f μ
\u22a2 (μ.tilted f).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] fun x => ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Tilted.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : SigmaFinite μ
hf : AEMeasurable f μ
\u22a2 (fun x => ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * μ.rnDeriv μ x) =ᶠ[ae μ] fun x => ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Tilted.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : SigmaFinite μ
hf : AEMeasurable f μ
x : α
hx : μ.rnDeriv μ x = 1
\u22a2 ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * μ.rnDeriv μ x = ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a✝ b : α
s✝ : Finset β
inst✝ : ContinuousMul α
ι : Type u_5
s : Finset ι
t : ι → Set β
a : ι → α
hs : (↑s).Pairwise (Disjoint on t)
hf : ∀ i ∈ s, HasProd (f ∘ Subtype.val) (a i)
\u22a2 HasProd (f ∘ Subtype.val) (∏ i ∈ s, a i)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a✝ b : α
s✝ : Finset β
inst✝ : ContinuousMul α
ι : Type u_5
s : Finset ι
t : ι → Set β
a : ι → α
hs : (↑s).Pairwise (Disjoint on t)
hf : ∀ i ∈ s, HasProd ((t i).mulIndicator f) (a i)
\u22a2 HasProd ((⋃ i ∈ s, t i).mulIndicator f) (∏ i ∈ s, a i)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a✝ b : α
s✝ : Finset β
inst✝ : ContinuousMul α
ι : Type u_5
s : Finset ι
t : ι → Set β
a : ι → α
hs : (↑s).Pairwise (Disjoint on t)
hf : ∀ i ∈ s, HasProd ((t i).mulIndicator f) (a i)
\u22a2 HasProd (fun a => ∏ i ∈ s, (t i).mulIndicator f a) (∏ i ∈ s, a i)
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : Monoid α
x : α
n : ℕ
hn : n ≠ 1
\u22a2 ¬Irreducible (x ^ n)
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
hf : Injective f
\u22a2 Injective (image f)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
h : i₁ ≠ i₂
\u22a2 dist t.orthocenter ((EuclideanGeometry.reflection (affineSpan ℝ (t.points '' ↑{i₁, i₂}))) (circumcenter t)) = circumradius t
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Lemmas.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
\u22a2 IsNilpotent (mulRight R a) ↔ IsNilpotent a
-- Mathlib/Algebra/Lie/Free.lean
R : Type u
X : Type v
inst✝ : CommRing R
a b : lib R X
h : Rel R X a b
\u22a2 Rel R X (-a) (-b)
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α
\u22a2 {a} ○ {b} = if Disjoint a b then {a ⊔ b} else ∅
-- Mathlib/Algebra/CharP/Two.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CharP R 2
x y : R
\u22a2 (x + y) * (x + y) = x * x + y * y
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
\u22a2 ∫⁻ (b : β), ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) univ ∂ν a = (κ a) univ
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
a : M₀
m n✝ : ℕ
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
n : ℕ
ha : a ^ (n + 1) = 0
\u22a2 a = 0
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
a : M₀
m n✝ : ℕ
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
n : ℕ
ha : a ^ n = 0 ∨ a = 0
\u22a2 a = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M'✝
inst✝² : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B : BilinForm R M
e : M ≃ₗ[R] M'
h : ((congr e) B).Nondegenerate
\u22a2 B.Nondegenerate
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M'✝
inst✝² : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B : BilinForm R M
e : M ≃ₗ[R] M'
h : ((congr e) B).Nondegenerate
\u22a2 B = (congr e.symm) ((congr e) B)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
\u22a2 M.Coindep X ↔ (∃ B, M.Base B ∧ B ⊆ M.E \ X) ∧ X ⊆ M.E
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
\u22a2 X ⊆ M.E → ((∃ B, M.Base B ∧ Disjoint X B) ↔ ∃ B, M.Base B ∧ B ⊆ M.E ∧ Disjoint B X)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : Ideal R₁
x y : R₁
hy : y ∈ R₁⁰
\u22a2 spanSingleton R₁⁰ (mk' K x ⟨y, hy⟩) * ↑I = ↑J ↔ Ideal.span {x} * I = Ideal.span {y} * J
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : Ideal R₁
x y : R₁
hy : y ∈ R₁⁰
this : spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩) * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) y) = 1
\u22a2 spanSingleton R₁⁰ (mk' K x ⟨y, hy⟩) * ↑I = ↑J ↔ Ideal.span {x} * I = Ideal.span {y} * J
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : Ideal R₁
x y : R₁
hy : y ∈ R₁⁰
this : spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩) * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) y) = 1
y' : (FractionalIdeal R₁⁰ K)ˣ := Units.mkOfMulEqOne (spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩)) (spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) y)) this
coe_y' : ↑y' = spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩)
\u22a2 spanSingleton R₁⁰ (mk' K x ⟨y, hy⟩) * ↑I = ↑J ↔ Ideal.span {x} * I = Ideal.span {y} * J
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : Ideal R₁
x y : R₁
hy : y ∈ R₁⁰
this : spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩) * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) y) = 1
y' : (FractionalIdeal R₁⁰ K)ˣ := Units.mkOfMulEqOne (spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩)) (spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) y)) this
coe_y' : ↑y' = spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩)
\u22a2 spanSingleton R₁⁰ (mk' K x ⟨y, hy⟩) * ↑I = ↑J ↔ ↑y' * ↑(Ideal.span {x} * I) = ↑y' * ↑(Ideal.span {y} * J)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/LinearMap.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝³ : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝² : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
inst✝ : Fintype ι
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)
b : (i : ι) → Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R ↥(N i)) R ↥(N i) := fun i => Module.Free.chooseBasis R ↥(N i)
\u22a2 (trace R M) f = ∑ i : ι, (trace R ↥(N i)) (f.restrict ⋯)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
a b c d : R
x : R × R
\u22a2 ((toLin (Basis.finTwoProd R) (Basis.finTwoProd R)) !![a, b; c, d]) x = (a * x.1 + b * x.2, c * x.1 + d * x.2)
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
B A₁ A₂ : C
f : A₁ ⟶ B
inst✝¹ : Mono f
X : Subobject B
g : A₂ ⟶ B
inst✝ : Mono g
h₁ : mk f ≤ X
h₂ : X ≤ mk g
\u22a2 ofMkLE f X h₁ ≫ X.ofLEMk g h₂ = ofMkLEMk f g ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
B A₁ A₂ : C
f : A₁ ⟶ B
inst✝¹ : Mono f
X : Subobject B
g : A₂ ⟶ B
inst✝ : Mono g
h₁ : mk f ≤ X
h₂ : X ≤ mk g
\u22a2 (underlyingIso f).inv ≫ underlying.map (h₁.hom ≫ h₂.hom) ≫ (underlyingIso g).hom = (underlyingIso f).inv ≫ underlying.map ⋯.hom ≫ (underlyingIso g).hom
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), f i < sup f
\u22a2 (sup f).cof ≤ Cardinal.lift.{v, u} #ι
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
H : sup f = lsub f
\u22a2 (sup f).cof ≤ Cardinal.lift.{v, u} #ι
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
H : sup f = lsub f
\u22a2 (lsub f).cof ≤ Cardinal.lift.{v, u} #ι
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
c : ℝ
\u22a2 cgf (fun x => c) μ t = log (μ Set.univ).toReal + t * c
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
c : ℝ
\u22a2 log ((μ Set.univ).toReal * rexp (t * c)) = log (μ Set.univ).toReal + t * c
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
c : ℝ
\u22a2 log (μ Set.univ).toReal + log (rexp (t * c)) = log (μ Set.univ).toReal + t * c
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
c : ℝ
\u22a2 (μ Set.univ).toReal ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Tropical/BigOperators.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder R
s : Finset S
f : S → Tropical (WithTop R)
\u22a2 untrop (∑ i ∈ s, f i) = ⨅ i, untrop (f ↑i)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hd : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s j, (x, y) ∈ U → i = j
S : Set α := ⋃ i, s i
l : Filter α
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 S
\u22a2 ∃ x ∈ S, l ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hd : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s j, (x, y) ∈ U → i = j
S : Set α := ⋃ i, s i
l : Filter α
hl : Cauchy l
hls : S ∈ l
\u22a2 ∃ x ∈ S, l ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hd : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s j, (x, y) ∈ U → i = j
S : Set α := ⋃ i, s i
l : Filter α
hl : Cauchy l
hls : S ∈ l
hl_ne : l.NeBot
hl' : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ l, t ×ˢ t ⊆ s
\u22a2 ∃ x ∈ S, l ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hd : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s j, (x, y) ∈ U → i = j
S : Set α := ⋃ i, s i
l : Filter α
hl : Cauchy l
hls : S ∈ l
hl_ne : l.NeBot
hl' : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ l, t ×ˢ t ⊆ s
t : Set α
htS : t ⊆ S
htl : t ∈ l
htU : t ×ˢ t ⊆ U
\u22a2 ∃ x ∈ S, l ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hd : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s j, (x, y) ∈ U → i = j
S : Set α := ⋃ i, s i
l : Filter α
hl : Cauchy l
hls : S ∈ l
hl_ne : l.NeBot
hl' : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ l, t ×ˢ t ⊆ s
t : Set α
htS : t ⊆ S
htl : t ∈ l
htU : t ×ˢ t ⊆ U
i : ι
hi : t ⊆ s i
\u22a2 ∃ x ∈ S, l ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hd : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s j, (x, y) ∈ U → i = j
S : Set α := ⋃ i, s i
l : Filter α
hl : Cauchy l
hls : S ∈ l
hl_ne : l.NeBot
hl' : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ l, t ×ˢ t ⊆ s
t : Set α
htS : t ⊆ S
htl : t ∈ l
htU : t ×ˢ t ⊆ U
i : ι
hi : t ⊆ s i
x : α
hxs : x ∈ s i
hlx : l ≤ 𝓝 x
\u22a2 ∃ x ∈ S, l ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{?u.110262}
x : ↑(Iio o)
\u22a2 ↑x < type fun x x_1 => x < x_1
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{?u.110262}
x : ↑(Iio o)
\u22a2 ↑x < o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o a : Ordinal.{?u.110262}
property✝¹ : a ∈ Iio o
b : Ordinal.{?u.110262}
property✝ : b ∈ Iio o
\u22a2 { toFun := fun x => enum (fun x x_1 => x < x_1) ↑x ⋯, invFun := fun x => ⟨typein (fun x x_1 => x < x_1) x, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ⟨a, property✝¹⟩ ≤ { toFun := fun x => enum (fun x x_1 => x < x_1) ↑x ⋯, invFun := fun x => ⟨typein (fun x x_1 => x < x_1) x, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ⟨b, property✝⟩ ↔ ⟨a, property✝¹⟩ ≤ ⟨b, property✝⟩
-- Mathlib/Order/WithBot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : LT α
a✝ b✝ : α
a b : WithTop α
\u22a2 a < b ↔ ∃ p, a = ↑p ∧ ↑p < b
-- Mathlib/Order/WithBot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : LT α
a✝ b✝ : α
a b : WithTop α
\u22a2 (∃ a_1, WithTop.toDual a = ↑(toDual a_1) ∧ WithTop.toDual b < ↑(toDual a_1)) ↔ ∃ p, a = ↑p ∧ ↑p < b
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
x✝¹ : Finmap β
x✝ : α
\u22a2 lookup x✝ (keysLookupEquiv.symm (keysLookupEquiv x✝¹)) = (↑(keysLookupEquiv x✝¹)).2 x✝
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
\u22a2 @sections = @sectionsTR
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
L : List (List α)
\u22a2 L.sections = L.sectionsTR
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
L : List (List α)
\u22a2 L.sections = bif L.any isEmpty then [] else (foldr sectionsTR.go #[[]] L).data
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
L : List (List α)
e : L.any isEmpty = false
\u22a2 L.sections = (foldr sectionsTR.go #[[]] L).data
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
l : List α
L : List (List α)
IH : L.sections = (foldr sectionsTR.go #[[]] L).data
\u22a2 ((foldr sectionsTR.go #[[]] L).data.bind fun s => map (fun a => a :: s) l) = (Array.foldl (fun acc' l' => foldl (fun acc' a => acc'.push (a :: l')) acc' l) #[] (foldr sectionsTR.go #[[]] L) 0).data