ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : Tendsto (fun x => f ↑x) atTop (𝓝 0)
him : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hle : ∀ (C' : ℝ), (∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C') → ∀ (z : ℂ), 0 ≤ z.re → ‖f z‖ ≤ max C C'
x₀ : ℝ
hx₀ : 0 ≤ x₀
hmax : ∀ (y : ℝ), 0 ≤ y → ‖f ↑y‖ ≤ ‖f ↑x₀‖
h : ‖f ↑x₀‖ ≤ C
\u22a2 ∀ {z : ℂ}, 0 ≤ z.re → ‖f z‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : Tendsto (fun x => f ↑x) atTop (𝓝 0)
him : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hle : ∀ (C' : ℝ), (∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C') → ∀ (z : ℂ), 0 ≤ z.re → ‖f z‖ ≤ max C C'
x₀ : ℝ
hx₀ : 0 ≤ x₀
hmax : ∀ (y : ℝ), 0 ≤ y → ‖f ↑y‖ ≤ ‖f ↑x₀‖
h : C < ‖f ↑x₀‖
\u22a2 ∀ {z : ℂ}, 0 ≤ z.re → ‖f z‖ ≤ C
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝ : H✝.Normal
H : Subgroup G
hG : Group.IsNilpotent G
\u22a2 Group.nilpotencyClass ↥H ≤ Group.nilpotencyClass G
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝ : H✝.Normal
H : Subgroup G
hG : Group.IsNilpotent G
\u22a2 Nat.find ⋯ ≤ Nat.find ⋯
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝ : H✝.Normal
H : Subgroup G
hG : Group.IsNilpotent G
\u22a2 ∀ (n : ℕ), lowerCentralSeries G n = ⊥ → lowerCentralSeries (↥H) n = ⊥
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝ : H✝.Normal
H : Subgroup G
hG✝ : Group.IsNilpotent G
n : ℕ
hG : lowerCentralSeries G n = ⊥
\u22a2 lowerCentralSeries (↥H) n = ⊥
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝ : H✝.Normal
H : Subgroup G
hG✝ : Group.IsNilpotent G
n : ℕ
hG : lowerCentralSeries G n = ⊥
this : map H.subtype (lowerCentralSeries (↥H) n) ≤ lowerCentralSeries G n
\u22a2 lowerCentralSeries (↥H) n = ⊥
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝ : H✝.Normal
H : Subgroup G
hG✝ : Group.IsNilpotent G
n : ℕ
hG : lowerCentralSeries G n = ⊥
this : ∀ ⦃x : G⦄ (x_1 : ↥H), x_1 ∈ lowerCentralSeries (↥H) n ∧ H.subtype x_1 = x → x ∈ ⊥
\u22a2 lowerCentralSeries (↥H) n = ⊥
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n b : ℕ
l : List ℕ
x✝¹ x✝ : ℕ
\u22a2 x✝ * b ^ (x✝¹ + 1) = b * (x✝ * b ^ x✝¹)
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n b : ℕ
l : List ℕ
x✝¹ x✝ : ℕ
\u22a2 x✝ * (b ^ x✝¹ * b) = b * (x✝ * b ^ x✝¹)
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
f : α → β
a : α
b : β
\u22a2 Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b) ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : α}, x ∈ s → edist x a < δ → edist (f x) b < ε
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
f : α → β
a : α
b : β
\u22a2 (∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → edist x a < δ → f x ∈ univ ∧ edist (f x) b < ε) ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : α}, x ∈ s → edist x a < δ → edist (f x) b < ε
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
\u22a2 Bornology.IsBounded s ↔ ∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
\u22a2 Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s ↔ ∃ a, s ⊆ a • Metric.ball 0 1
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
α : Type u_2
I : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
\u22a2 (∀ i ∈ t, IsRelPrime x (s i)) → IsRelPrime x (∏ i ∈ t, s i)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Abelian.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
\u22a2 IsLieAbelian ↥↑I ↔ ⁅I, I⁆ = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Abelian.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
\u22a2 IsLieAbelian ↥↑I ↔ ∀ (y : L) (x : ↥I) (x_1 : ↥I), ⁅↑x, ↑x_1⁆ = y → y = 0
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
g : γ → δ
f' : α' → β' → δ
g₁ : α → α'
g₂ : β → β'
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ a) (g₂ b)
\u22a2 g '' image2 f ↑s ↑t = image2 f' (g₁ '' ↑s) (g₂ '' ↑t)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
U V : Set α
this : Setoid α := orbitRel G α
f : α → Quotient (orbitRel G α) := Quotient.mk'
\u22a2 Disjoint (f '' U) (f '' V) ↔ ∀ x ∈ U, ∀ (g : G), g • x ∉ V
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
U V : Set α
this : Setoid α := orbitRel G α
f : α → Quotient (orbitRel G α) := Quotient.mk'
h : Disjoint (f '' U) (f '' V)
a : α
a_in_U : a ∈ U
g : G
g_in_V : g • a ∈ V
\u22a2 (fun m => m • g • a) g⁻¹ = a
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
U V : Set α
this : Setoid α := orbitRel G α
f : α → Quotient (orbitRel G α) := Quotient.mk'
\u22a2 (∀ x ∈ U, ∀ (g : G), g • x ∉ V) → Disjoint (f '' U) (f '' V)
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
z : ℤ
\u22a2 clog b (↑b ^ z) = z
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b✝ c d : α
h : IsUnit a
b : α
\u22a2 a * b / a = b
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
\u22a2 n ≤ 0 ↔ n = 0
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ
\u22a2 dist z w ≤ dist ↑z ↑w / √(z.im * w.im)
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ
\u22a2 0 ≤ dist ↑z ↑w / (2 * √(z.im * w.im))
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter β
m : α → β
inj : Injective m
large : range m ∈ f
S : Set α
\u22a2 S ∈ comap m f ↔ m '' S ∈ f
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
t : Set G
\u22a2 μ' t = ((μ' s / ν' s) • ν') t
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : H
s : Set H
\u22a2 map (↑I.symm) (𝓝[↑I '' s] ↑I x) = 𝓝[s] x
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationSubring.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
A✝ A B : ValuationSubring K
h : A.unitGroup = B.unitGroup
\u22a2 A = B
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
\u22a2 A.det = ∑ i : Fin n.succ, (-1) ^ ↑i * A i 0 * (A.submatrix i.succAbove Fin.succ).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
\u22a2 ∑ σ ∈ Finset.map decomposeFin.symm.toEmbedding (univ ×ˢ univ), sign σ • ∏ i : Fin n.succ, A (σ i) i = ∑ i : Fin n.succ, (-1) ^ ↑i * A i 0 * (A.submatrix i.succAbove Fin.succ).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
\u22a2 ∑ x : Fin n.succ, ∑ y : Perm (Fin n), sign (decomposeFin.symm (x, y)) • ∏ x_1 : Fin n.succ, A ((decomposeFin.symm (x, y)) x_1) x_1 = ∑ x : Fin n.succ, (-1) ^ ↑x * A x 0 * (of fun i j => A (x.succAbove i) j.succ).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i : Fin n.succ
x✝ : i ∈ univ
\u22a2 ∑ y : Perm (Fin n), sign (decomposeFin.symm (0, y)) • ∏ x : Fin n.succ, A ((decomposeFin.symm (0, y)) x) x = (-1) ^ ↑0 * A 0 0 * (of fun i j => A (Fin.succAbove 0 i) j.succ).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i✝ : Fin n.succ
x✝ : i✝ ∈ univ
i : Fin n
\u22a2 ∑ y : Perm (Fin n), sign (decomposeFin.symm (i.succ, y)) • ∏ x : Fin n.succ, A ((decomposeFin.symm (i.succ, y)) x) x = (-1) ^ ↑i.succ * A i.succ 0 * (of fun i_1 j => A (i.succ.succAbove i_1) j.succ).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i✝ : Fin n.succ
x✝ : i✝ ∈ univ
i : Fin n
this : (-1) ^ ↑i = ↑↑(sign i.cycleRange)
\u22a2 ∑ y : Perm (Fin n), sign (decomposeFin.symm (i.succ, y)) • ∏ x : Fin n.succ, A ((decomposeFin.symm (i.succ, y)) x) x = (-1) ^ ↑i.succ * A i.succ 0 * (of fun i_1 j => A (i.succ.succAbove i_1) j.succ).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i✝ : Fin n.succ
x✝ : i✝ ∈ univ
i : Fin n
this : (-1) ^ ↑i = ↑↑(sign i.cycleRange)
\u22a2 ∑ y : Perm (Fin n), sign (decomposeFin.symm (i.succ, y)) • ∏ x : Fin n.succ, A ((decomposeFin.symm (i.succ, y)) x) x = ∑ i_1 : Perm (Fin n), -1 * (A i.succ 0 * sign i_1 • ∏ i_2 : Fin n, (of fun i_3 j => A (i.succ.succAbove i_3) j.succ).submatrix (⇑i.cycleRange) id (i_1 i_2) i_2)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i✝ : Fin n.succ
x✝¹ : i✝ ∈ univ
i : Fin n
this : (-1) ^ ↑i = ↑↑(sign i.cycleRange)
σ : Perm (Fin n)
x✝ : σ ∈ univ
\u22a2 sign (decomposeFin.symm (i.succ, σ)) • ∏ x : Fin n.succ, A ((decomposeFin.symm (i.succ, σ)) x) x = -1 * (A i.succ 0 * sign σ • ∏ i_1 : Fin n, (of fun i_2 j => A (i.succ.succAbove i_2) j.succ).submatrix (⇑i.cycleRange) id (σ i_1) i_1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i✝ : Fin n.succ
x✝¹ : i✝ ∈ univ
i : Fin n
this : (-1) ^ ↑i = ↑↑(sign i.cycleRange)
σ : Perm (Fin n)
x✝ : σ ∈ univ
\u22a2 (-1 * sign σ) • ∏ x : Fin n.succ, A ((decomposeFin.symm (i.succ, σ)) x) x = -1 * (A i.succ 0 * sign σ • ∏ i_1 : Fin n, (of fun i_2 j => A (i.succ.succAbove i_2) j.succ).submatrix (⇑i.cycleRange) id (σ i_1) i_1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
x y : ℂ
\u22a2 x ^ y = 0 ↔ x = 0 ∧ y ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
x y : ℂ
\u22a2 (if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else cexp (log x * y)) = 0 ↔ x = 0 ∧ y ≠ 0
-- Mathlib/Data/List/Indexes.lean
α : Type u
β : Type v
p : List α → Prop
base : p []
ind : ∀ (l : List α) (e : α), p l → p (l ++ [e])
q : List α → Prop := fun l => p l.reverse
\u22a2 ∀ (l : List α), p l
-- Mathlib/Data/List/Indexes.lean
α : Type u
β : Type v
p : List α → Prop
base : p []
ind : ∀ (l : List α) (e : α), p l → p (l ++ [e])
q : List α → Prop := fun l => p l.reverse
pq : ∀ (l : List α), p l.reverse → q l
\u22a2 ∀ (l : List α), p l
-- Mathlib/Data/List/Indexes.lean
α : Type u
β : Type v
p : List α → Prop
base : p []
ind : ∀ (l : List α) (e : α), p l → p (l ++ [e])
q : List α → Prop := fun l => p l.reverse
pq : ∀ (l : List α), p l.reverse → q l
qp : ∀ (l : List α), q l.reverse → p l
\u22a2 ∀ (l : List α), p l
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
\u22a2 ((toLinearMap₂ b₁ b₁) J).IsAdjointPair ((toLinearMap₂ b₂ b₂) J') ((toLin b₁ b₂) A) ((toLin b₂ b₁) A') ↔ J.IsAdjointPair J' A A'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
\u22a2 (toLinearMap₂ b₂ b₂) J' ∘ₗ (toLin b₁ b₂) A = ((toLinearMap₂ b₁ b₁) J).compl₂ ((toLin b₂ b₁) A') ↔ J.IsAdjointPair J' A A'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
h : ∀ (B B' : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R), B = B' ↔ (toMatrix₂ b₁ b₂) B = (toMatrix₂ b₁ b₂) B'
\u22a2 (toLinearMap₂ b₂ b₂) J' ∘ₗ (toLin b₁ b₂) A = ((toLinearMap₂ b₁ b₁) J).compl₂ ((toLin b₂ b₁) A') ↔ J.IsAdjointPair J' A A'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
h : ∀ (B B' : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R), B = B' ↔ (toMatrix₂ b₁ b₂) B = (toMatrix₂ b₁ b₂) B'
\u22a2 Aᵀ * J' = J * A' ↔ J.IsAdjointPair J' A A'
-- Mathlib/Data/Vector/MapLemmas.lean
α : Type
n : ℕ
xs : Vector α n
β σ₁ γ σ₂ : Type
f₁ : α → β → σ₁ → σ₁ × γ
f₂ : α → β → σ₂ → σ₂ × γ
R : σ₁ → σ₂ → Prop
hR : ∀ {s : σ₁} {q : σ₂} (a : α) (b : β), R s q → R (f₁ a b s).1 (f₂ a b q).1 ∧ (f₁ a b s).2 = (f₂ a b q).2
n✝ : ℕ
xs✝ : Vector α n✝
ys✝ : Vector β n✝
x✝ : α
y✝ : β
a✝ : ∀ {s₁ : σ₁} {s₂ : σ₂}, R s₁ s₂ → R (mapAccumr₂ f₁ xs✝ ys✝ s₁).1 (mapAccumr₂ f₂ xs✝ ys✝ s₂).1 ∧ (mapAccumr₂ f₁ xs✝ ys✝ s₁).2 = (mapAccumr₂ f₂ xs✝ ys✝ s₂).2
s₁ : σ₁
s₂ : σ₂
h₀ : R s₁ s₂
\u22a2 R (mapAccumr₂ f₁ (xs✝.snoc x✝) (ys✝.snoc y✝) s₁).1 (mapAccumr₂ f₂ (xs✝.snoc x✝) (ys✝.snoc y✝) s₂).1 ∧ (mapAccumr₂ f₁ (xs✝.snoc x✝) (ys✝.snoc y✝) s₁).2 = (mapAccumr₂ f₂ (xs✝.snoc x✝) (ys✝.snoc y✝) s₂).2
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m : ι
h : m < n
\u22a2 (if ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s then sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}) else m) = m
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m : ι
h : m < n
h_not : ¬∃ j, ∃ (_ : j ∈ Set.Icc n m), u j ω ∈ s
\u22a2 (if ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s then sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}) else m) = m
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m : ι
h : m < n
h_not : ¬∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s
\u22a2 (if ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s then sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}) else m) = m
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
f : α → β
l : Filter β
\u22a2 Tendsto (fun x => f ↑x) atTop l ↔ Tendsto f atTop l
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
P' : C
inl' : X ⟶ P'
inr' : Y ⟶ P'
h : IsPushout f g inl inr
h' : IsPushout f g inl' inr'
\u22a2 inr' ≫ (isoIsPushout X Y h h').inv = inr
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
\u22a2 ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂c • μ = c * ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
f : X → E
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
\u22a2 Memℒp f p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
f : X → E
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
this : Memℒp f ⊤ μ
\u22a2 Memℒp f p μ
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
S₁ S₂ : Split C
F₁ : S₁.X ⟶ S₂.X
f₁ : (n : ℕ) → S₁.s.N n ⟶ S₂.s.N n
c₁ : ∀ (n : ℕ), S₁.s.ι n ≫ F₁.app (op [n]) = f₁ n ≫ S₂.s.ι n
F₂ : S₁.X ⟶ S₂.X
c₂ : ∀ (n : ℕ), S₁.s.ι n ≫ F₂.app (op [n]) = f₁ n ≫ S₂.s.ι n
h : ∀ (n : ℕ), { F := F₁, f := f₁, comm := c₁ }.f n = { F := F₂, f := f₁, comm := c₂ }.f n
\u22a2 { F := F₁, f := f₁, comm := c₁ } = { F := F₂, f := f₁, comm := c₂ }
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
S₁ S₂ : Split C
F₁ : S₁.X ⟶ S₂.X
f₁ : (n : ℕ) → S₁.s.N n ⟶ S₂.s.N n
c₁ : ∀ (n : ℕ), S₁.s.ι n ≫ F₁.app (op [n]) = f₁ n ≫ S₂.s.ι n
F₂ : S₁.X ⟶ S₂.X
c₂ : ∀ (n : ℕ), S₁.s.ι n ≫ F₂.app (op [n]) = f₁ n ≫ S₂.s.ι n
h : ∀ (n : ℕ), { F := F₁, f := f₁, comm := c₁ }.f n = { F := F₂, f := f₁, comm := c₂ }.f n
\u22a2 F₁ = F₂
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
S₁ S₂ : Split C
F₁ : S₁.X ⟶ S₂.X
f₁ : (n : ℕ) → S₁.s.N n ⟶ S₂.s.N n
c₁ : ∀ (n : ℕ), S₁.s.ι n ≫ F₁.app (op [n]) = f₁ n ≫ S₂.s.ι n
F₂ : S₁.X ⟶ S₂.X
c₂ : ∀ (n : ℕ), S₁.s.ι n ≫ F₂.app (op [n]) = f₁ n ≫ S₂.s.ι n
h : ∀ (n : ℕ), { F := F₁, f := f₁, comm := c₁ }.f n = { F := F₂, f := f₁, comm := c₂ }.f n
\u22a2 ∀ (n : ℕ), S₁.s.φ F₁ n = S₁.s.φ F₂ n
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : RegularSpace X
K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
\u22a2 ∃ V, IsOpen V ∧ K ⊆ V ∧ closure V ⊆ U ∧ IsCompact (closure V)
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : RegularSpace X
K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
L : Set X
L_compact : IsCompact L
L_closed : IsClosed L
KL : K ⊆ interior L
LU : L ⊆ U
\u22a2 ∃ V, IsOpen V ∧ K ⊆ V ∧ closure V ⊆ U ∧ IsCompact (closure V)
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : RegularSpace X
K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
L : Set X
L_compact : IsCompact L
L_closed : IsClosed L
KL : K ⊆ interior L
LU : L ⊆ U
A : closure (interior L) ⊆ L
\u22a2 ∃ V, IsOpen V ∧ K ⊆ V ∧ closure V ⊆ U ∧ IsCompact (closure V)
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : RegularSpace X
K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
L : Set X
L_compact : IsCompact L
L_closed : IsClosed L
KL : K ⊆ interior L
LU : L ⊆ U
A : closure (interior L) ⊆ L
\u22a2 IsCompact (closure (interior L))
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/DirichletLSeries.lean
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re
\u22a2 Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, (1 - χ ↑p * ↑p ^ (-s))⁻¹) atTop (𝓝 (L (fun n => χ ↑n) s))
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/DirichletLSeries.lean
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re
\u22a2 Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, (1 - χ ↑p * ↑p ^ (-s))⁻¹) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), (dirichletSummandHom χ ⋯) n))
-- Mathlib/CategoryTheory/SmallObject/Construction.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
I : Type w
A B : I → C
f : (i : I) → A i ⟶ B i
S X Y Z : C
πX : X ⟶ S
πY : Y ⟶ S
φ : X ⟶ Y
inst✝² : HasColimitsOfShape (Discrete (FunctorObjIndex f πX)) C
inst✝¹ : HasColimitsOfShape (Discrete (FunctorObjIndex f πY)) C
inst✝ : HasPushout (functorObjTop f πX) (functorObjLeft f πX)
x : FunctorObjIndex f πX
\u22a2 f x.i ≫ Sigma.ι (functorObjTgtFamily f πX) x ≫ ρFunctorObj f πX = x.t ≫ ιFunctorObj f πX
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}
\u22a2 a + b ≤ max (max a b) ℵ₀
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}
ha : ℵ₀ ≤ a
\u22a2 a + b ≤ max (max a b) ℵ₀
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}
ha : a < ℵ₀
\u22a2 a + b ≤ max (max a b) ℵ₀