ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
\u22a2 2 * (↑C.u⁻¹ ^ 4 * (W.a₄ - C.s * W.a₃ + 2 * C.r * W.a₂ - (C.t + C.r * C.s) * W.a₁ + 3 * C.r ^ 2 - 2 * C.s * C.t)) + ↑C.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C.s) * (↑C.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C.r * W.a₁ + 2 * C.t)) = ↑C.u⁻¹ ^ 4 * (2 * W.a₄ + W.a₁ * W.a₃ + C.r * (W.a₁ ^ 2 + 4 * W.a₂) + 6 * C.r ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
f g : ι → ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hf_sum : Summable fun a => f a ^ p
hg_sum : Summable fun a => g a ^ p
\u22a2 (Summable fun a => (f a + g a) ^ p) ∧ (∑' (a : ι), (f a + g a) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (a : ι), f a ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (a : ι), g a ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s✝ t : Set α
f✝ g : α → M
a : α
s : Set α
f : α → M
\u22a2 (s ∩ mulSupport f).mulIndicator f = s.mulIndicator f
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X → Bool
b : Bool
\u22a2 Continuous f ↔ IsClopen (f ⁻¹' {b})
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MonoidWithZero α
a : α
h : a ~ᵤ 0
\u22a2 a = 0
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MonoidWithZero α
a : α
h✝ : a ~ᵤ 0
u : αˣ
h : 0 * ↑u = a
\u22a2 a = 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Fin/Lemmas.lean
α : Sort u_1
n m : Nat
f : α → Fin (n + 1) → α
x : α
h : m < n + 1
\u22a2 foldl.loop (n + 1) f x m = foldl.loop n (fun x i => f x i.succ) (f x ⟨m, h⟩) m
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
M : Type ?u.50075
inst✝ : Monoid M
x : M
hx : IsOfFinOrder x
\u22a2 x * x ^ (orderOf x - 1) = 1
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
M : Type ?u.50075
inst✝ : Monoid M
x : M
hx : IsOfFinOrder x
\u22a2 x ^ (orderOf x - 1) * x = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ι → ℂ
\u22a2 ∫ (v : ι → ℝ), cexp (-b * ∑ i : ι, ↑(v i) ^ 2 + ∑ i : ι, c i * ↑(v i)) = (↑π / b) ^ (↑(Fintype.card ι) / 2) * cexp ((∑ i : ι, c i ^ 2) / (4 * b))
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ VectorMeasure.restrict s u
hw₁ : ↑s w = 0
hw₂ : w ⊆ u
hwt : v ⊆ w
\u22a2 ↑s v = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ VectorMeasure.restrict s u
hw₁ : ↑s w = 0
hw₂ : w ⊆ u
hwt : v ⊆ w
this : ↑s v + ↑s (w \ v) = 0
\u22a2 ↑s v = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ VectorMeasure.restrict s u
hw₁ : ↑s w = 0
hw₂ : w ⊆ u
hwt : v ⊆ w
this : ↑s v + ↑s (w \ v) = 0
h₁ : 0 ≤ ↑s v
\u22a2 ↑s v = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ VectorMeasure.restrict s u
hw₁ : ↑s w = 0
hw₂ : w ⊆ u
hwt : v ⊆ w
this : ↑s v + ↑s (w \ v) = 0
h₁ : 0 ≤ ↑s v
h₂ : 0 ≤ ↑s (w \ v)
\u22a2 ↑s v = 0
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
N : Matroid α
h : N <r M
\u22a2 N = M ↾ N.E
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hy : y ≤ x
h : x \ y = z
\u22a2 x \ z = y
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnected.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ↪o β
he : (range ⇑e).OrdConnected
x y : α
\u22a2 ⇑e '' Ioo x y = Ioo (e x) (e y)
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
h : ∀ x ∈ s, f x ∈ t
\u22a2 t.disjiUnion (fun a => filter (fun x => f x = a) s) ⋯ = s
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : 0 < ‖k‖
\u22a2 k • p.closedBall 0 r = p.closedBall 0 (‖k‖ * r)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : 0 < ‖k‖
\u22a2 p.closedBall 0 (‖k‖ * r) ⊆ k • p.closedBall 0 r
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x✝ : E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : 0 < ‖k‖
x : E
\u22a2 x ∈ p.closedBall 0 (‖k‖ * r) → x ∈ k • p.closedBall 0 r
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x✝ : E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : 0 < ‖k‖
x : E
\u22a2 p x ≤ ‖k‖ * r → ∃ y ∈ p.closedBall 0 r, k • y = x
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x✝ : E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : 0 < ‖k‖
x : E
hx : p x ≤ ‖k‖ * r
\u22a2 k • k⁻¹ • x = x
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x✝ : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
\u22a2 ((fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯) (f + g)) x✝ = ((fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯) f + (fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯) g) x✝
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a : 𝕜
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x✝ : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
\u22a2 ({ toFun := fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (a • f)) x✝ = ((RingHom.id 𝕜) a • { toFun := fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun f) x✝
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
l : (⨂[𝕜] (i : ι), E i) →L[𝕜] F
x : (i : ι) → E i
\u22a2 ‖(lift.symm ↑l) x‖ ≤ ‖l‖ * ∏ i : ι, ‖x i‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
l : (⨂[𝕜] (i : ι), E i) →L[𝕜] F
x : (i : ι) → E i
\u22a2 ‖l ((tprod 𝕜) x)‖ ≤ ‖l‖ * ∏ i : ι, ‖x i‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
l : (⨂[𝕜] (i : ι), E i) →L[𝕜] F
x : (i : ι) → E i
\u22a2 ‖(tprod 𝕜) x‖ ≤ ∏ i : ι, ‖x i‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
\u22a2 ((fun l => (lift.symm ↑l).mkContinuous ‖l‖ ⋯) ({ toFun := fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun f)) x = f x
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
l : (⨂[𝕜] (i : ι), E i) →L[𝕜] F
\u22a2 { toFun := fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun l => (lift.symm ↑l).mkContinuous ‖l‖ ⋯) l) = l
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
l : (⨂[𝕜] (i : ι), E i) →L[𝕜] F
\u22a2 ↑({ toFun := fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun l => (lift.symm ↑l).mkContinuous ‖l‖ ⋯) l)) = ↑l
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
l : (⨂[𝕜] (i : ι), E i) →L[𝕜] F
\u22a2 (↑({ toFun := fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun l => (lift.symm ↑l).mkContinuous ‖l‖ ⋯) l))).compMultilinearMap (tprod 𝕜) = (↑l).compMultilinearMap (tprod 𝕜)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
l : (⨂[𝕜] (i : ι), E i) →L[𝕜] F
m : (i : ι) → E i
\u22a2 ((↑({ toFun := fun f => (lift f.toMultilinearMap).mkContinuous ‖f‖ ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun l => (lift.symm ↑l).mkContinuous ‖l‖ ⋯) l))).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) m = ((↑l).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) m
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
\u22a2 ⌈1⌉ = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : FiniteDimensional k V
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
a✝ : Nontrivial ι
inhabited_h : Inhabited ι
\u22a2 _root_.Finite ι
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : FiniteDimensional k V
p : ι → P
a✝ : Nontrivial ι
inhabited_h : Inhabited ι
hi : LinearIndependent k fun i => p ↑i -ᵥ p default
\u22a2 _root_.Finite ι
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : FiniteDimensional k V
p : ι → P
a✝ : Nontrivial ι
inhabited_h : Inhabited ι
hi : LinearIndependent k fun i => p ↑i -ᵥ p default
this : IsNoetherian k V := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance
\u22a2 _root_.Finite ι
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → ℝ
v : ι → E
\u22a2 ∀ᵐ (x : E) ∂μ, lineDeriv ℝ f x (∑ i ∈ s, a i • v i) = ∑ i ∈ s, a i • lineDeriv ℝ f x (v i)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g✝ : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → ℝ
v : ι → E
g : E → ℝ
g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g
g_comp : HasCompactSupport g
\u22a2 ∫ (x : E), g x • lineDeriv ℝ f x (∑ i ∈ s, a i • v i) ∂μ = ∫ (x : E), g x • ∑ i ∈ s, (a i • fun x => lineDeriv ℝ f x (v i)) x ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g✝ : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → ℝ
v : ι → E
g : E → ℝ
g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g
g_comp : HasCompactSupport g
\u22a2 ∫ (x : E), g x • lineDeriv ℝ f x (∑ i ∈ s, a i • v i) ∂μ = ∫ (x : E), ∑ x_1 ∈ s, g x • (a x_1 • fun x => lineDeriv ℝ f x (v x_1)) x ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g✝ : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → ℝ
v : ι → E
g : E → ℝ
g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g
g_comp : HasCompactSupport g
A : ∀ i ∈ s, Integrable (fun x => g x • (a i • fun x => lineDeriv ℝ f x (v i)) x) μ
\u22a2 ∫ (x : E), g x • lineDeriv ℝ f x (∑ i ∈ s, a i • v i) ∂μ = ∫ (x : E), ∑ x_1 ∈ s, g x • (a x_1 • fun x => lineDeriv ℝ f x (v x_1)) x ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g✝ : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → ℝ
v : ι → E
g : E → ℝ
g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g
g_comp : HasCompactSupport g
A : ∀ i ∈ s, Integrable (fun x => g x • (a i • fun x => lineDeriv ℝ f x (v i)) x) μ
\u22a2 ∫ (x : E), g x • lineDeriv ℝ f x (∑ i ∈ s, a i • v i) ∂μ = ∑ i ∈ s, ∫ (a_1 : E), g a_1 • (a i • fun x => lineDeriv ℝ f x (v i)) a_1 ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g✝ : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → ℝ
v : ι → E
g : E → ℝ
g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g
g_comp : HasCompactSupport g
A : ∀ i ∈ s, Integrable (fun x => g x • (a i • fun x => lineDeriv ℝ f x (v i)) x) μ
\u22a2 ∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x (∑ i ∈ s, a i • v i) * g x ∂μ = ∑ i ∈ s, a i * ∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x (v i) * g x ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g✝ : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → ℝ
v : ι → E
g : E → ℝ
g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g
g_comp : HasCompactSupport g
A : ∀ i ∈ s, Integrable (fun x => g x • (a i • fun x => lineDeriv ℝ f x (v i)) x) μ
\u22a2 ∫ (x : E), (∑ i ∈ s, a i * (fderiv ℝ g x) (v i)) * f x ∂μ = ∑ i ∈ s, a i * ∫ (x : E), (fderiv ℝ g x) (v i) * f x ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g✝ : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → ℝ
v : ι → E
g : E → ℝ
g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g
g_comp : HasCompactSupport g
A : ∀ i ∈ s, Integrable (fun x => g x • (a i • fun x => lineDeriv ℝ f x (v i)) x) μ
\u22a2 ∀ i ∈ s, Integrable (fun x => a i * ((fderiv ℝ g x) (v i) * f x)) μ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g✝ : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → ℝ
v : ι → E
g : E → ℝ
g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g
g_comp : HasCompactSupport g
A : ∀ i ∈ s, Integrable (fun x => g x • (a i • fun x => lineDeriv ℝ f x (v i)) x) μ
i : ι
_hi : i ∈ s
L : (E →L[ℝ] ℝ) → ℝ := fun f => f (v i)
\u22a2 Integrable (fun x => a i * ((L ∘ fderiv ℝ g) x * f x)) μ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g✝ : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → ℝ
v : ι → E
g : E → ℝ
g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g
g_comp : HasCompactSupport g
A : ∀ i ∈ s, Integrable (fun x => g x • (a i • fun x => lineDeriv ℝ f x (v i)) x) μ
i : ι
_hi : i ∈ s
L : (E →L[ℝ] ℝ) → ℝ := fun f => f (v i)
\u22a2 Continuous fun x => (L ∘ fderiv ℝ g) x * f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g✝ : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
ι : Type u_3
s : Finset ι
a : ι → ℝ
v : ι → E
g : E → ℝ
g_smooth : ContDiff ℝ ⊤ g
g_comp : HasCompactSupport g
A : ∀ i ∈ s, Integrable (fun x => g x • (a i • fun x => lineDeriv ℝ f x (v i)) x) μ
i : ι
_hi : i ∈ s
L : (E →L[ℝ] ℝ) → ℝ := fun f => f (v i)
\u22a2 HasCompactSupport fun x => (L ∘ fderiv ℝ g) x * f x
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
n : ℕ
\u22a2 ↑(B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ n * ↑A.card
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq H
f : G →ₙ* H
hf : ∀ ⦃a b c d : G⦄, a * b = c * d → f a = f c ∧ f b = f d → a = c ∧ b = d
h : UniqueMul (Finset.image (⇑f) A) (Finset.image (⇑f) B) (f a0) (f b0)
a b : G
ha : a ∈ A
hb : b ∈ B
ab : a * b = a0 * b0
\u22a2 f a * f b = f a0 * f b0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : T2Space β
\u22a2 StronglyMeasurable f ↔ ∃ c, f = fun x => c
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : T2Space β
hα : IsEmpty α
\u22a2 StronglyMeasurable f ↔ ∃ c, f = fun x => c
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : T2Space β
hα : Nonempty α
\u22a2 StronglyMeasurable f ↔ ∃ c, f = fun x => c
-- Mathlib/Algebra/Star/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
h : S = ⊤
x : A
\u22a2 x ∈ ⊤
-- Mathlib/Algebra/Star/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
h : ∀ (x : A), x ∈ S
x : A
\u22a2 x ∈ S ↔ x ∈ ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Products.lean
β : Type w
α✝ : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
f : α✝ → C
g : β → C
inst✝ : HasProduct f
e : β ≃ α✝
iso : (j : β) → g j ≅ f (e j)
this : HasLimit ((Discrete.equivalence e).functor ⋙ Discrete.functor f)
α : Discrete.functor g ≅ (Discrete.equivalence e).functor ⋙ Discrete.functor f
\u22a2 HasProduct g
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
\u22a2 Tendsto (↑(hf.stieltjesFunction a)) atTop (𝓝 1)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
h_exists : ∀ (x : ℝ), ∃ q, x - 1 < ↑q ∧ ↑q < x
\u22a2 Tendsto (↑(hf.stieltjesFunction a)) atTop (𝓝 1)