ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j : ↑(atlas H M)
h : (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source ⊆ range ↑I
\u22a2 ContDiffOn 𝕜 ⊤ (fderivWithin 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I)) (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j : ↑(atlas H M)
h : (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source ⊆ range ↑I
x : E
hx : x ∈ (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source
\u22a2 ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (fderivWithin 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I)) (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j : ↑(atlas H M)
h : (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source ⊆ range ↑I
x : E
hx : x ∈ (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source
\u22a2 ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j : ↑(atlas H M)
h : (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source ⊆ range ↑I
x : E
hx : x ∈ (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source
\u22a2 (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source ∈ 𝓝[range ↑I] x
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
b0 : 0 < b
d0 : 0 < d
\u22a2 a / b < c / d ↔ a * d < c * b
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α✝ α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
h : Commute x y
n✝ : ℕ
\u22a2 ∑ i ∈ range (n✝ + 1), x ^ i * y ^ (n✝ + 1 - 1 - i) = ∑ i ∈ range (n✝ + 1), y ^ i * x ^ (n✝ + 1 - 1 - i)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α✝ α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
h : Commute x y
n✝ : ℕ
\u22a2 ∑ x_1 ∈ range (n✝ + 1), x ^ x_1 * y ^ (n✝ - x_1) = ∑ x_1 ∈ range (n✝ + 1), y ^ x_1 * x ^ (n✝ - x_1)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α✝ α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
h : Commute x y
n✝ : ℕ
\u22a2 ∑ r ∈ range (n✝ + 1), x ^ (n✝ - r) * y ^ (n✝ - (n✝ - r)) = ∑ x_1 ∈ range (n✝ + 1), y ^ x_1 * x ^ (n✝ - x_1)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α✝ α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
h : Commute x y
n✝ i : ℕ
hi : i ∈ range (n✝ + 1)
\u22a2 x ^ (n✝ - i) * y ^ (n✝ - (n✝ - i)) = y ^ i * x ^ (n✝ - i)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
\u22a2 x \ y = x ↔ Disjoint x y
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝² : Fintype α
f : α → β
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : Fintype { a // p a }
\u22a2 Multiset.map (Subtype.restrict p f) univ.val = Multiset.map f (filter p univ).val
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : a ≤ b
hb : 0 ≤ b
\u22a2 b⁻¹ * a ≤ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
s₁ s₂ : Simplex k P n
h : Set.range s₁.points = Set.range s₂.points
\u22a2 centroid k univ s₁.points = centroid k univ s₂.points
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
s₁ s₂ : Simplex k P n
h : s₁.points '' ↑univ = s₂.points '' ↑univ
\u22a2 centroid k univ s₁.points = centroid k univ s₂.points
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
\u22a2 cfc (fun x => -x) a = -a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
s t : Set β
κ : Kernel α β
hs : MeasurableSet s
a : α
f : β → ℝ≥0∞
\u22a2 ∫⁻ (b : β), f b ∂(κ.restrict hs) a = ∫⁻ (b : β) in s, f b ∂κ a
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
x : R
hx : x ∈ ⊥.jacobson
y z : R
hz : z * y * x + z - 1 ∈ ⊥
\u22a2 (x * y + 1) * z = 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
\u22a2 G.IsNClique n {a} ↔ n = 1
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K
\u22a2 √(normSq z) = ‖z‖
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
\u22a2 (condCount s) u * (condCount (s ∪ t)) s + (condCount t) u * (condCount (s ∪ t)) t = (condCount (s ∪ t)) u
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
u : Set Ω
hs ht : ∅.Finite
hst : Disjoint ∅ ∅
\u22a2 (condCount ∅) u * (condCount (∅ ∪ ∅)) ∅ + (condCount ∅) u * (condCount (∅ ∪ ∅)) ∅ = (condCount (∅ ∪ ∅)) u
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
t u : Set Ω
ht : t.Finite
hs : ∅.Finite
hst : Disjoint ∅ t
ht' : t.Nonempty
\u22a2 (condCount ∅) u * (condCount (∅ ∪ t)) ∅ + (condCount t) u * (condCount (∅ ∪ t)) t = (condCount (∅ ∪ t)) u
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s u : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty
ht : ∅.Finite
hst : Disjoint s ∅
\u22a2 (condCount s) u * (condCount (s ∪ ∅)) s + (condCount ∅) u * (condCount (s ∪ ∅)) ∅ = (condCount (s ∪ ∅)) u
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
\u22a2 (condCount s) u * (condCount (s ∪ t)) s + (condCount t) u * (condCount (s ∪ t)) t = (condCount (s ∪ t)) u
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
\u22a2 (Measure.count s)⁻¹ * Measure.count (s ∩ u) * ((Measure.count (s ∪ t))⁻¹ * Measure.count ((s ∪ t) ∩ s)) + (Measure.count t)⁻¹ * Measure.count (t ∩ u) * ((Measure.count (s ∪ t))⁻¹ * Measure.count ((s ∪ t) ∩ t)) = (Measure.count (s ∪ t))⁻¹ * Measure.count ((s ∪ t) ∩ u)
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
\u22a2 Measure.count s * (Measure.count s)⁻¹ * Measure.count (s ∩ u) * (Measure.count (s ∪ t))⁻¹ + Measure.count t * (Measure.count t)⁻¹ * Measure.count (t ∩ u) * (Measure.count (s ∪ t))⁻¹ = (Measure.count (s ∪ t))⁻¹ * Measure.count ((s ∪ t) ∩ u)
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
\u22a2 Disjoint (s ∩ u) (t ∩ u)
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
\u22a2 MeasurableSet (t ∩ u)
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
\u22a2 Measure.count t ≠ 0
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
\u22a2 Measure.count t ≠ ⊤
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
\u22a2 Measure.count s ≠ 0
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
\u22a2 Measure.count s ≠ ⊤
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : r₁ ≤ 0
hr₂ : 0 ≤ r₂
\u22a2 Wbtw R (r₁ • v +ᵥ x) x (r₂ • v +ᵥ x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ∞
f : E → F →L[𝕜] G
s : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
\u22a2 ContDiffOn 𝕜 n f s ↔ ∀ (y : F), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x) y) s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ∞
f : E → F →L[𝕜] G
s : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
h : ∀ (y : F), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x) y) s
\u22a2 ContDiffOn 𝕜 n f s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ∞
f : E → F →L[𝕜] G
s : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
h : ∀ (y : F), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x) y) s
d : ℕ := finrank 𝕜 F
\u22a2 ContDiffOn 𝕜 n f s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ∞
f : E → F →L[𝕜] G
s : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
h : ∀ (y : F), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x) y) s
d : ℕ := finrank 𝕜 F
hd : d = finrank 𝕜 (Fin d → 𝕜)
\u22a2 ContDiffOn 𝕜 n f s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ∞
f : E → F →L[𝕜] G
s : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
h : ∀ (y : F), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x) y) s
d : ℕ := finrank 𝕜 F
hd : d = finrank 𝕜 (Fin d → 𝕜)
e₁ : F ≃L[𝕜] Fin d → 𝕜 := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq hd
e₂ : (F →L[𝕜] G) ≃L[𝕜] Fin d → G := (e₁.arrowCongr 1).trans (ContinuousLinearEquiv.piRing (Fin d))
\u22a2 ContDiffOn 𝕜 n f s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ∞
f : E → F →L[𝕜] G
s : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
h : ∀ (y : F), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x) y) s
d : ℕ := finrank 𝕜 F
hd : d = finrank 𝕜 (Fin d → 𝕜)
e₁ : F ≃L[𝕜] Fin d → 𝕜 := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq hd
e₂ : (F →L[𝕜] G) ≃L[𝕜] Fin d → G := (e₁.arrowCongr 1).trans (ContinuousLinearEquiv.piRing (Fin d))
\u22a2 ContDiffOn 𝕜 n ((⇑e₂.symm ∘ ⇑e₂) ∘ f) s
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
h : Injective ⇑(algebraMap R A)
\u22a2 ∃ s, IsTranscendenceBasis R Subtype.val
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
h : Injective ⇑(algebraMap R A)
s : Set A
hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ ∅ ⊆ s ∧ s ⊆ univ ∧ ∀ (x : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → s ⊆ x → x ⊆ univ → x = s
\u22a2 ∃ s, IsTranscendenceBasis R Subtype.val
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
h : Injective ⇑(algebraMap R A)
s : Set A
hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ ∅ ⊆ s ∧ s ⊆ univ ∧ ∀ (x : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → s ⊆ x → x ⊆ univ → x = s
\u22a2 ∀ (s_1 : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → range Subtype.val ≤ s_1 → range Subtype.val = s_1
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
h : Injective ⇑(algebraMap R A)
s : Set A
hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ ∅ ⊆ s ∧ s ⊆ univ ∧ ∀ (x : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → s ⊆ x → x ⊆ univ → x = s
t : Set A
ht : AlgebraicIndependent R Subtype.val
hr : range Subtype.val ≤ t
\u22a2 range Subtype.val = t
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
h : Injective ⇑(algebraMap R A)
s : Set A
hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ ∅ ⊆ s ∧ s ⊆ univ ∧ ∀ (x : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → s ⊆ x → x ⊆ univ → x = s
t : Set A
ht : AlgebraicIndependent R Subtype.val
hr : s ≤ t
\u22a2 s = t
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
g✝ : σ → S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
φ : S₁ →+* S₂
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 φ ((eval₂Hom f g) p) = (eval₂Hom (φ.comp f) fun i => φ (g i)) p
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : R →+* S₁
g✝ : σ → S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
φ : S₁ →+* S₂
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 φ ((eval₂Hom f g) p) = (φ.comp (eval₂Hom f g)) p
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝ : Fintype ι
h : PowerBasis R S
i✝ j✝ : Fin h.dim
\u22a2 (BilinForm.toMatrix h.basis) (traceForm R S) i✝ j✝ = of (fun i j => (trace R S) (h.gen ^ (↑i + ↑j))) i✝ j✝
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Add.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F
\u22a2 derivWithin (fun y => c + f y) s x = derivWithin f s x
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x
\u22a2 DifferentiableAt ℝ ε x
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x
this : log x ≠ 0
\u22a2 DifferentiableAt ℝ ε x
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x
this : log x ≠ 0
\u22a2 DifferentiableAt ℝ (fun z => 1 / log z) x
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x
this : log x ≠ 0
\u22a2 DifferentiableAt ℝ (fun z => (log z)⁻¹) x
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ i < c.ord, f i < c.ord
a : Ordinal.{u}
\u22a2 lift.{u, 0} #Unit < c
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : range v ≤ ↑(span R w)
\u22a2 #ι ≤ ↑(Fintype.card ↑w)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : range v ≤ ↑(span R w)
this : Finite ι
\u22a2 #ι ≤ ↑(Fintype.card ↑w)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : range v ≤ ↑(span R w)
this✝ : Finite ι
this : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι
\u22a2 #ι ≤ ↑(Fintype.card ↑w)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : range v ≤ ↑(span R w)
this✝ : Finite ι
this : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι
\u22a2 ↑(Fintype.card ι) ≤ ↑(Fintype.card ↑w)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : range v ≤ ↑(span R w)
this✝ : Finite ι
this : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι
\u22a2 Fintype.card ι ≤ Fintype.card ↑w
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : ℝ
rpos : 0 < r
h : IsCompact (closedBall 0 r)
\u22a2 FiniteDimensional 𝕜 E
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : ℝ
rpos : 0 < r
h : IsCompact (closedBall 0 r)
hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : ℝ
rpos : 0 < r
h : IsCompact (closedBall 0 r)
hfin : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
R : ℝ
f : ℕ → E
Rgt : 1 < R
fle : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R
lef : Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖
\u22a2 False