ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)
H : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {a | (∃ i j, ∃ (H : i ≤ j), ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨ (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨ (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨ ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a})) x = 0
this : (α : Sort ?u.611507) → DecidableEq α
\u22a2 ∀ (a x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)), (∃ j s, ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j), x.IsSupported s ∧ ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) x) = 0) → ∃ j s, ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j), (a • x).IsSupported s ∧ ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (a • x)) = 0
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a b c : α
hc : p * b = a * c
\u22a2 p ∣ a ∨ a ∣ b
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a b c : α
hc : p * b = a * c
h : p ∣ a
\u22a2 p ∣ a ∨ a ∣ b
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
a b x : α
hc : p * b = a * (p * x)
\u22a2 p ∣ a ∨ a ∣ b
-- Mathlib/Data/Setoid/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Setoid α
f : α → β
H : r ≤ ker f
g : Quotient r → β
Hg : f = g ∘ Quotient.mk''
x✝ : Quotient r
x : α
\u22a2 Quotient.lift f H (Quot.mk Setoid.r x) = g (Quot.mk Setoid.r x)
-- Mathlib/Data/Setoid/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Setoid α
f : α → β
H : r ≤ ker f
g : Quotient r → β
Hg : f = g ∘ Quotient.mk''
x✝ : Quotient r
x : α
\u22a2 (g ∘ Quotient.mk'') x = g (Quot.mk Setoid.r x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
s : Set β
hf : Measurable f
hs : MeasurableSet s
c : ℝ≥0∞
\u22a2 ∫⁻ (a : α), s.indicator (fun x => c) (f a) ∂μ = c * μ (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Pointwise.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
S : Type u_4
inst✝³ : Monoid S
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s : Set S
N : Submodule R M
r : S
m : M
mem1 : r ∈ s
mem2 : m ∈ N
\u22a2 r • m ∈ s • N
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Pointwise.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
S : Type u_4
inst✝³ : Monoid S
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s : Set S
N : Submodule R M
r : S
m : M
mem1 : r ∈ s
mem2 : m ∈ N
\u22a2 ∀ p ∈ {p | ∀ ⦃r : S⦄ {n : M}, r ∈ s → n ∈ N → r • n ∈ p}, r • m ∈ p
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
k n✝ : ℕ
\u22a2 (n✝ + 1).ascFactorial k = k ! * (n✝ + 1 + k - 1).choose k
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
k n✝ : ℕ
\u22a2 k ! * (n✝ + k).choose k = k ! * (n✝ + 1 + k - 1).choose k
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → β
x : Part α
g : β → Part γ
\u22a2 (map f x).bind g = x.bind fun y => g (f y)
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → β
x : Part α
g : β → Part γ
\u22a2 (x.bind fun x => ((some ∘ f) x).bind g) = x.bind fun y => g (f y)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
\u22a2 ‖y‖ / (o.oangle y (y - x)).cos = ‖y - x‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1
\u22a2 ‖y‖ / (o.oangle y (y - x)).cos = ‖y - x‖
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : BorelSpace G
g : G → E'' →L[𝕜] E'
hf : LocallyIntegrable f μ
hcg : HasCompactSupport g
hg : Continuous g
x₀ : G
x : E''
\u22a2 ((f ⋆[precompR E'' L, μ] g) x₀) x = (f ⋆[L, μ] fun a => (g a) x) x₀
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : BorelSpace G
g : G → E'' →L[𝕜] E'
hf : LocallyIntegrable f μ
hcg : HasCompactSupport g
hg : Continuous g
x₀ : G
x : E''
this : ConvolutionExistsAt f g x₀ (precompR E'' L) μ
\u22a2 ((f ⋆[precompR E'' L, μ] g) x₀) x = (f ⋆[L, μ] fun a => (g a) x) x₀
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝³ : CompleteSpace F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : BorelSpace G
g : G → E'' →L[𝕜] E'
hf : LocallyIntegrable f μ
hcg : HasCompactSupport g
hg : Continuous g
x₀ : G
x : E''
this : ConvolutionExistsAt f g x₀ (precompR E'' L) μ
\u22a2 ∫ (x_1 : G), (((precompR E'' L) (f x_1)) (g (x₀ - x_1))) x ∂μ = ∫ (t : G), (L (f t)) ((g (x₀ - t)) x) ∂μ
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/ToNat.lean
α : Type u
c✝ d c : Cardinal.{u}
h : c < ℵ₀
\u22a2 ↑(toNat c) = ↑(Classical.choose ⋯)
-- Mathlib/Algebra/Jordan/Basic.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
\u22a2 ⁅L a, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L a, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ + (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L b, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L b, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L b, 2 • L (b * c)⁆) + (⁅L c, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + ⁅L c, L (c * c)⁆ + ⁅L c, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L c, 2 • L (b * c)⁆) = ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (c * a)⁆)) + (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • (⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆)) + (2 • ⁅L a, L (b * c)⁆ + 2 • ⁅L b, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L c, L (a * b)⁆)
-- Mathlib/Algebra/Jordan/Basic.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
\u22a2 ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L a, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L a, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L a, 2 • L (b * c)⁆ + (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L b, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L b, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L b, 2 • L (b * c)⁆) + (⁅L c, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (a * b)⁆ + ⁅L c, 2 • L (c * a)⁆ + ⁅L c, 2 • L (b * c)⁆) = ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (c * a)⁆)) + (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • (⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆)) + (2 • ⁅L a, L (b * c)⁆ + 2 • ⁅L b, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L c, L (a * b)⁆)
-- Mathlib/Algebra/Jordan/Basic.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
\u22a2 ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L a, L (c * c)⁆ + 2 • ⁅L a, L (a * b)⁆ + 2 • ⁅L a, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L a, L (b * c)⁆ + (⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + 2 • ⁅L b, L (a * b)⁆ + 2 • ⁅L b, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L b, L (b * c)⁆) + (⁅L c, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • ⁅L c, L (a * b)⁆ + 2 • ⁅L c, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L c, L (b * c)⁆) = ⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + 2 • (⁅L a, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (c * a)⁆)) + (⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆ + 2 • (⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆)) + (2 • ⁅L a, L (b * c)⁆ + 2 • ⁅L b, L (c * a)⁆ + 2 • ⁅L c, L (a * b)⁆)
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i j : n
k : ℕ
x : R
\u22a2 matPolyEquiv (stdBasisMatrix i j ((monomial k) x)) = (monomial k) (stdBasisMatrix i j x)
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i j : n
k : ℕ
x : R
\u22a2 (polyEquivTensor R (Matrix n n R)).symm ((Algebra.TensorProduct.comm R R[X] (Matrix n n R)) ((monomial k) x ⊗ₜ[R] stdBasisMatrix i j 1)) = (monomial k) (stdBasisMatrix i j x)
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i j : n
k : ℕ
x : R
\u22a2 (polyEquivTensor R (Matrix n n R)) ((polyEquivTensor R (Matrix n n R)).symm ((Algebra.TensorProduct.comm R R[X] (Matrix n n R)) ((monomial k) x ⊗ₜ[R] stdBasisMatrix i j 1))) = (polyEquivTensor R (Matrix n n R)) ((monomial k) (stdBasisMatrix i j x))
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i j : n
k : ℕ
x : R
\u22a2 stdBasisMatrix i j 1 ⊗ₜ[R] (monomial k) x = ↑includeLeft (stdBasisMatrix i j x) * 1 ⊗ₜ[R] X ^ k
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i j : n
k : ℕ
x : R
\u22a2 stdBasisMatrix i j 1 ⊗ₜ[R] (monomial k) x = ↑includeLeft (stdBasisMatrix i j x) * 1 ⊗ₜ[R] (X ^ k)
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i j : n
k : ℕ
x : R
\u22a2 (x • stdBasisMatrix i j 1) ⊗ₜ[R] (X ^ k) = ↑includeLeft (stdBasisMatrix i j x) * 1 ⊗ₜ[R] (X ^ k)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : Memℒp f p μ
\u22a2 Tendsto (fun n => Memℒp.toLp ↑(approxOn f fmeas (Set.range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) ⋯) atTop (𝓝 (Memℒp.toLp f hf))
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
a : α
\u22a2 {a}.prod = a
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
q : β → Prop
inst✝ : DecidablePred q
\u22a2 filter (fun x => q x.2) (s ×ˢ t) = s ×ˢ filter q t
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Compare.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
\u22a2 (toPadicInt p).comp (fromPadicInt p) = RingHom.id ℤ_[p]
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Compare.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
\u22a2 ∀ (n : ℕ), (PadicInt.toZModPow n).comp ((toPadicInt p).comp (fromPadicInt p)) = (PadicInt.toZModPow n).comp (RingHom.id ℤ_[p])
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Compare.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
\u22a2 (PadicInt.toZModPow n).comp ((toPadicInt p).comp (fromPadicInt p)) = (PadicInt.toZModPow n).comp (RingHom.id ℤ_[p])
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Compare.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
\u22a2 (toZModPow p n).comp (fromPadicInt p) = (PadicInt.toZModPow n).comp (RingHom.id ℤ_[p])
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Compare.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
\u22a2 ((zmodEquivTrunc p n).symm.toRingHom.comp (truncate n)).comp (lift (fun k => (zmodEquivTrunc p k).toRingHom.comp (PadicInt.toZModPow k)) ⋯) = PadicInt.toZModPow n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Compare.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
\u22a2 ((zmodEquivTrunc p n).symm.toRingHom.comp (zmodEquivTrunc p n).toRingHom).comp (PadicInt.toZModPow n) = PadicInt.toZModPow n
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
K : CochainComplex C ℤ
\u22a2 (subcategoryAcyclic C).P ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K) ↔ ∀ (n : ℤ), HomologicalComplex.ExactAt K n
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
K : CochainComplex C ℤ
\u22a2 (∀ (n : ℤ), IsZero ((homologyFunctor C (ComplexShape.up ℤ) n).obj ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K))) ↔ ∀ (n : ℤ), HomologicalComplex.ExactAt K n
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
K : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
\u22a2 IsZero ((homologyFunctor C (ComplexShape.up ℤ) n).obj ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K)) ↔ HomologicalComplex.ExactAt K n
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
K : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
\u22a2 IsZero ((homologyFunctor C (ComplexShape.up ℤ) n).obj ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj K)) ↔ IsZero (HomologicalComplex.homology K n)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Extension.lean
𝕜 : Type v
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
h : x ≠ 0
\u22a2 ‖↑‖x‖ • coord 𝕜 x h‖ = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n✝ m : ℕ
h : 1 ≤ a
n : ℕ
\u22a2 a ^ n ≤ a ^ (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n✝ m : ℕ
h : 1 ≤ a
n : ℕ
\u22a2 a ^ n ≤ a * a ^ n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
k : ℕ
\u22a2 C r ^ k = 0 ↔ r ^ k = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ : Measure Ω
\u22a2 levyProkhorovEDist μ μ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ : Measure Ω
\u22a2 levyProkhorovEDist μ μ ≤ sInf (Ioo 0 ⊤)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ : Measure Ω
ε : ℝ≥0∞
x✝¹ : ε ∈ Ioo 0 ⊤
B : Set Ω
x✝ : MeasurableSet B
hε₀ : 0 < ε
hε_top : ε < ⊤
\u22a2 μ B ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ : Measure Ω
ε : ℝ≥0∞
x✝¹ : ε ∈ Ioo 0 ⊤
B : Set Ω
x✝ : MeasurableSet B
hε₀ : 0 < ε
hε_top : ε < ⊤
\u22a2 0 < ε.toReal
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Bound.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
hP : P.IsEquipartition
hu : u ∈ P.parts
hucard : ¬u.card = m * 4 ^ P.parts.card + a
\u22a2 (4 ^ P.parts.card - (a + 1)) * m + (a + 1) * (m + 1) = u.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Bound.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
hP : P.IsEquipartition
hu : u ∈ P.parts
hucard : ¬u.card = m * 4 ^ P.parts.card + a
this : m * 4 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α / P.parts.card
\u22a2 (4 ^ P.parts.card - (a + 1)) * m + (a + 1) * (m + 1) = u.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Bound.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
hP : P.IsEquipartition
hu : u ∈ P.parts
hucard : ¬u.card = Fintype.card α / P.parts.card
this : m * 4 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α / P.parts.card
\u22a2 (4 ^ P.parts.card - (a + 1)) * m + (a + 1) * (m + 1) = u.card
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonAssocSemiring R
x y : R
\u22a2 { toFun := ⇑(single 0), map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := ⇑(single 0), map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := ⇑(single 0), map_one' := ⋯ }.toFun y
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
\u22a2 dist p₃ p₂ / (∡ p₃ p₁ p₂).sin = dist p₁ p₃
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1
\u22a2 dist p₃ p₂ / (∡ p₃ p₁ p₂).sin = dist p₁ p₃
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/Bases.lean
A : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Nonempty ι
B : ι → AddSubgroup A
hB : RingSubgroupsBasis B
this : TopologicalSpace A := hB.topology
U : Set A
hU : U ∈ 𝓝 0
\u22a2 ∃ V, ↑V ⊆ U
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/Bases.lean
A : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Nonempty ι
B : ι → AddSubgroup A
hB : RingSubgroupsBasis B
this : TopologicalSpace A := hB.topology
U : Set A
hU : U ∈ 𝓝 0
i : ι
hi : ↑(B i) ⊆ U
\u22a2 ∃ V, ↑V ⊆ U
-- Mathlib/Data/Fin/VecNotation.lean
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
i : ℕ
h : i.succ < m.succ
x : α
u : Fin m → α
\u22a2 vecCons x u ⟨i.succ, h⟩ = u ⟨i, ⋯⟩
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
\u22a2 content 0 = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
s : Finset M
x : M
hx : x ∈ span R ↑s
\u22a2 x ∈ span R (_root_.id '' ↑s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Bounded.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
\u22a2 comap norm atTop = cobounded E
-- Mathlib/Data/List/OfFn.lean
α : Type u
\u22a2 (ofFn fun i => [][↑i]) = []
-- Mathlib/Data/List/OfFn.lean
α : Type u
a : α
l : List α
\u22a2 (ofFn fun i => (a :: l)[↑i]) = a :: l
-- Mathlib/Data/List/OfFn.lean
α : Type u
a : α
l : List α
\u22a2 ((a :: l)[↑0] :: ofFn fun i => (a :: l)[↑i.succ]) = a :: l
-- Mathlib/Data/List/OfFn.lean
α : Type u
a : α
l : List α
\u22a2 (ofFn fun i => (a :: l)[↑i.succ]) = l
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a : R
ha : 0 < a
c : R
hc : IsRegular c
\u22a2 0 < c * a * star c
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' g : ℝ → ℝ
a : ℝ
hf : ContinuousOn f (Ici a)
hft : Tendsto f atTop atTop
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)
hg1 : IntegrableOn g (f '' Ici a) volume
hg2 : IntegrableOn (fun x => (g ∘ f) x * f' x) (Ici a) volume
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioi a, (g ∘ f) x * f' x = ∫ (u : ℝ) in Ioi (f a), g u
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' g : ℝ → ℝ
a : ℝ
hf : ContinuousOn f (Ici a)
hft : Tendsto f atTop atTop
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)
hg1 : IntegrableOn g (f '' Ici a) volume
hg2 : IntegrableOn (fun x => (g ∘ f) x * f' x) (Ici a) volume
hg2' : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) (Ici a) volume
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioi a, (g ∘ f) x * f' x = ∫ (u : ℝ) in Ioi (f a), g u
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
P : Submodule R M
\u22a2 P.toAddSubgroup = ⊤ ↔ P = ⊤
-- Mathlib/ModelTheory/Definability.lean
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
\u22a2 ∅.Definable L s ↔ ∃ φ, s = setOf φ.Realize
-- Mathlib/ModelTheory/Definability.lean
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
\u22a2 (∃ φ, s = setOf φ.Realize) ↔ ∃ b, s = setOf ((LEquiv.addEmptyConstants L ↑∅).onFormula.symm b).Realize
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, deriv f x < 0
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
\u22a2 y ∈ D → x < y → f y < f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
hf' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x ≠ ⊤
\u22a2 (⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ).toReal = ⨍ (x : α) in s, (f x).toReal ∂μ
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/ExtensiveSheaves.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.1522, u_2} D
inst✝² : FinitaryPreExtensive C
X : C
S : Presieve X
inst✝¹ : S.Extensive
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
inst✝ : PreservesFiniteProducts F
\u22a2 IsSheafFor F S
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/ExtensiveSheaves.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.1522, u_2} D
inst✝² : FinitaryPreExtensive C
X : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F
α : Type
w✝ : Finite α
Z : α → C
π : (a : α) → Z a ⟶ X
inst✝ : (ofArrows Z π).Extensive
hc : IsColimit (Cofan.mk X π)
\u22a2 IsSheafFor F (ofArrows Z π)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/ExtensiveSheaves.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.1522, u_2} D
inst✝² : FinitaryPreExtensive C
X : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
inst✝¹ : PreservesFiniteProducts F
α : Type
w✝ : Finite α
Z : α → C
π : (a : α) → Z a ⟶ X
inst✝ : (ofArrows Z π).Extensive
hc : IsColimit (Cofan.mk X π)
this : (ofArrows Z (Cofan.mk X π).inj).hasPullbacks
\u22a2 IsSheafFor F (ofArrows Z π)