ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
f g : ↥(lp G 2)
\u22a2 ∀ (i : ι), ‖⟪↑f i, ↑g i⟫_𝕜‖ ≤ (fun i => ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖) i
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
f g : ↥(lp G 2)
i : ι
\u22a2 ‖⟪↑f i, ↑g i⟫_𝕜‖ ≤ (fun i => ‖↑f i‖ * ‖↑g i‖) i
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
s : Set ℝ
huX : IsUniform X s ℙ volume
\u22a2 ∫ (x : Ω), X x ∂ℙ = (volume s)⁻¹.toReal * ∫ (x : ℝ) in s, x
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
s : Set ℝ
huX : IsUniform X s ℙ volume
\u22a2 ∫ (x : Ω), X x ∂ℙ = ∫ (x : ℝ), x ∂(volume s)⁻¹ • volume.restrict s
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
v2 v3 : ℕ
\u22a2 padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) = padicNorm p (↑f (max (stationaryPoint hf) (max v2 v3)))
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
v2 v3 : ℕ
\u22a2 stationaryPoint hf ≤ max (stationaryPoint hf) (max v2 v3)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
v2 v3 : ℕ
\u22a2 stationaryPoint hf ≤ stationaryPoint hf
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y x : ℝ
hx : x ≤ -1
\u22a2 arcsin x = -(π / 2)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Rename.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 (rename f) p = Finsupp.mapDomain (Finsupp.mapDomain f) p
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Rename.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 (sum p fun s a => (monomial (s.sum fun a => Finsupp.single (f a))) a) = sum p fun a => Finsupp.single (a.sum fun a => Finsupp.single (f a))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
hx : 0 < x
\u22a2 log x ≤ y ↔ x ≤ rexp y
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
b : EReal
h : b < 0
h' : b ≠ ⊥
a a' : EReal
a_lt_a' : a < a'
\u22a2 a' / b < a / b
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
b : EReal
h : b < 0
h' : b ≠ ⊥
a a' : EReal
a_lt_a' : a < a'
\u22a2 a' / b ≠ a / b
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
b : EReal
h : b < 0
h' : b ≠ ⊥
a a' : EReal
a_lt_a' : a < a'
hyp : a' / b = a / b
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
b : EReal
h : b < 0
h' : b ≠ ⊥
a a' : EReal
a_lt_a' : a < a'
hyp : a' / b = a / b
\u22a2 a = a'
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
\u22a2 Ioc a b ∪ Ioc b a = Ioc (min a b) (max a b)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
\u22a2 Ioc a b ∪ Ioc b a = Ioc (min a b) (max b a)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι✝
g : ι✝ → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
ι : Sort u_5
p : ι → Prop
V : ι → Set (β × β)
h : (𝓤 β).HasBasis p V
\u22a2 𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β) = ⨅ s ∈ 𝔖, ⨅ i, ⨅ (_ : p i), 𝓟 (UniformOnFun.gen 𝔖 s (V i))
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1
\u22a2 finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) ≤ n
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
\u22a2 ∀ (α : ↥(solvableByRad F E)), IsSolvable (minpoly F α).Gal
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
\u22a2 ∀ (α : F), IsSolvable (minpoly F ((algebraMap F ↥(solvableByRad F E)) α)).Gal
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
\u22a2 ∀ (α β : ↥(solvableByRad F E)), IsSolvable (minpoly F α).Gal → IsSolvable (minpoly F β).Gal → IsSolvable (minpoly F (α + β)).Gal
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
\u22a2 ∀ (α : ↥(solvableByRad F E)), IsSolvable (minpoly F α).Gal → IsSolvable (minpoly F (-α)).Gal
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
\u22a2 ∀ (α β : ↥(solvableByRad F E)), IsSolvable (minpoly F α).Gal → IsSolvable (minpoly F β).Gal → IsSolvable (minpoly F (α * β)).Gal
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
\u22a2 ∀ (α : ↥(solvableByRad F E)), IsSolvable (minpoly F α).Gal → IsSolvable (minpoly F α⁻¹).Gal
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
\u22a2 ∀ (α : ↥(solvableByRad F E)) (n : ℕ), n ≠ 0 → IsSolvable (minpoly F (α ^ n)).Gal → IsSolvable (minpoly F α).Gal
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
hsplit : Splits i p
\u22a2 map i p = C (i p.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
hsplit : Splits i p
\u22a2 map i p = C (map i p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
hsplit : Splits i p
\u22a2 C (map i p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod = map i p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
hsplit : Splits i p
\u22a2 Multiset.card (map i p).roots = (map i p).natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
hsplit : Splits i p
\u22a2 Multiset.card (map i p).roots = p.natDegree
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
right✝ : t ≤ 1
\u22a2 SameRay R ((lineMap x z) t -ᵥ x) (z -ᵥ x)
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid α
a b c : α
\u22a2 Finite a (b * c) → Finite a c
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid α
a b c : α
\u22a2 Finite a (c * b) → Finite a c
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Mono.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Epi f
\u22a2 (pushoutSymmetry f f).hom = 𝟙 (pushout f f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f : ℝ → E
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, f (-x) = ∫ (x : ℝ) in -b..-a, f x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Field.lean
K : Type u_1
inst✝⁷ : DivisionRing K
inst✝⁶ : TopologicalSpace K
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f g : α → 𝕜
S : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : T1Space 𝕜
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : HasContinuousInv₀ 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hg : ContinuousOn g S
hsq : EqOn (f ^ 2) (g ^ 2) S
hg_ne : ∀ {x : α}, x ∈ S → g x ≠ 0
\u22a2 EqOn f g S ∨ EqOn f (-g) S
-- Mathlib/Topology/Algebra/Field.lean
K : Type u_1
inst✝⁷ : DivisionRing K
inst✝⁶ : TopologicalSpace K
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f g : α → 𝕜
S : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : T1Space 𝕜
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : HasContinuousInv₀ 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hg : ContinuousOn g S
hsq✝ : EqOn (f ^ 2) (g ^ 2) S
hg_ne : ∀ {x : α}, x ∈ S → g x ≠ 0
hsq : EqOn ((f / g) ^ 2) 1 S
\u22a2 EqOn f g S ∨ EqOn f (-g) S
-- Mathlib/Algebra/FreeAlgebra.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
g : FreeAlgebra R X →ₐ[R] A
\u22a2 (lift R) (⇑g ∘ ι R) = g
-- Mathlib/Algebra/FreeAlgebra.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
g : FreeAlgebra R X →ₐ[R] A
\u22a2 (lift R) ((lift R).symm g) = g
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroupWithTop Γ₀
inst✝ : Ring R
v : AddValuation R Γ₀
x✝ y✝ z x y : R
h : v x < v y
\u22a2 v (x + y) = v x
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/EquivalencePseudoabelian.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : IsIdempotentComplete C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
\u22a2 Compatibility.τ₀.hom.app K = (Compatibility.τ₁ isoN₁ isoΓ₀ N₁Γ₀).hom.app K
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/EquivalencePseudoabelian.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : IsIdempotentComplete C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
\u22a2 Preadditive.DoldKan.equivalence.counitIso.hom.app ((toKaroubiEquivalence (ChainComplex C ℕ)).functor.obj K) = Preadditive.DoldKan.equivalence.functor.map (isoΓ₀.hom.app K) ≫ isoN₁.hom.app (Γ.obj K) ≫ N₁Γ₀.hom.app K
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : 1 < s.encard
a : α
\u22a2 ∃ b ∈ s, b ≠ a
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : 1 < s.encard
a : α
h' : ∀ b ∈ s, b = a
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : 1 < s.encard
a : α
h' : ∀ b ∈ s, b = a
b b' : α
hb : b ∈ s
hb' : b' ∈ s
hne : b ≠ b'
\u22a2 False
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : β → ℝ≥0
\u22a2 ∑' (b : β), ↑(f b) ≠ ⊤ ↔ Summable f
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : β → ℝ≥0
h : ∑' (b : β), ↑(f b) ≠ ⊤
\u22a2 Summable f
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : β → ℝ≥0
a : ℝ≥0
ha : ↑a = ∑' (b : β), ↑(f b)
\u22a2 Summable f
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : β → ℝ≥0
a : ℝ≥0
ha : ↑a = ∑' (b : β), ↑(f b)
\u22a2 HasSum (fun a => ↑(f a)) ↑a
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : β → ℝ≥0
a : ℝ≥0
ha : ↑a = ∑' (b : β), ↑(f b)
\u22a2 HasSum (fun a => ↑(f a)) (∑' (b : β), ↑(f b))
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x✝ : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b✝ : B
y : E b✝
e : Trivialization F proj
b : B
h : b ∈ e.baseSet
x : F
\u22a2 e.coordChange e b x = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Multiequalizer.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap
\u22a2 ((I.ofSigmaCoforkFunctor ⋙ I.toSigmaCoforkFunctor).obj K).π ≫ (Iso.refl ((I.ofSigmaCoforkFunctor ⋙ I.toSigmaCoforkFunctor).obj K).pt).hom = ((𝟭 (Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap)).obj K).π
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Multiequalizer.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap
\u22a2 ∀ (j : Discrete I.R), colimit.ι (Discrete.functor I.right) j ≫ ((I.ofSigmaCoforkFunctor ⋙ I.toSigmaCoforkFunctor).obj K).π ≫ (Iso.refl ((I.ofSigmaCoforkFunctor ⋙ I.toSigmaCoforkFunctor).obj K).pt).hom = colimit.ι (Discrete.functor I.right) j ≫ ((𝟭 (Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap)).obj K).π
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Multiequalizer.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap
j : I.R
\u22a2 colimit.ι (Discrete.functor I.right) { as := j } ≫ Sigma.desc (Multicofork.ofSigmaCofork I K).π ≫ 𝟙 K.pt = colimit.ι (Discrete.functor I.right) { as := j } ≫ K.π
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Multiequalizer.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap
j : I.R
\u22a2 (Multicofork.ofSigmaCofork I K).π j = colimit.ι (Discrete.functor I.right) { as := j } ≫ K.π
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : a < 0
hb : b < 0
\u22a2 a ≤ 1 / b ↔ b ≤ 1 / a
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} D
inst✝¹ : Preadditive D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M : Mat_ C
i : M.ι
\u22a2 biproduct.ι (fun i => F.obj ((embedding C).obj (M.X i))) i ≫ (biproduct.desc fun j => F.map (biproduct.ι (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) j)) ≫ F.map (biproduct.desc fun i j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0) = F.map (biproduct.ι (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) i ≫ biproduct.desc fun i j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel α γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ((κ ×ₖ η) a) s = ∫⁻ (b : β), (η a) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i j : n
p : R[X]
k : ℕ
\u22a2 (matPolyEquiv (stdBasisMatrix i j p)).coeff k = stdBasisMatrix i j (p.coeff k)
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i j : n
p : R[X]
k : ℕ
\u22a2 ∀ (p q : R[X]), (matPolyEquiv (stdBasisMatrix i j p)).coeff k = stdBasisMatrix i j (p.coeff k) → (matPolyEquiv (stdBasisMatrix i j q)).coeff k = stdBasisMatrix i j (q.coeff k) → (matPolyEquiv (stdBasisMatrix i j (p + q))).coeff k = stdBasisMatrix i j ((p + q).coeff k)
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i j : n
p : R[X]
k : ℕ
\u22a2 ∀ (n_1 : ℕ) (a : R), (matPolyEquiv (stdBasisMatrix i j ((monomial n_1) a))).coeff k = stdBasisMatrix i j (((monomial n_1) a).coeff k)
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
\u22a2 ↑r ≤ 1 ↔ r ≤ 1
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
l m : List α
o : Ordinal.{u}
hl : Sorted (fun x x_1 => x > x_1) l
hm : Sorted (fun x x_1 => x > x_1) m
hlt : ∀ i ∈ l, Ordinal.typein (fun x x_1 => x < x_1) i < o
hmltl : Lex (fun x x_1 => x < x_1) m l
\u22a2 ∀ i ∈ m, Ordinal.typein (fun x x_1 => x < x_1) i < o
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Algebra.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : OrderedCommSemiring α
inst✝² : StrictOrderedSemiring β
inst✝¹ : Algebra α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
a a₁✝ a₂✝ a₁ a₂ : α
ha : a₁ < a₂
\u22a2 (algebraMap α β) a₁ < (algebraMap α β) a₂
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
\u22a2 |(o.areaForm x) y| = ‖x‖ * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
\u22a2 ∏ i : Fin 2, ‖![x, y] i‖ = ‖x‖ * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
\u22a2 Pairwise fun i j => ⟪![x, y] i, ![x, y] j⟫_ℝ = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Dslope.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ : 𝕜 → E
a✝ b✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
\u22a2 (b - a) • dslope f a b = f b - f a
-- Mathlib/Analysis/Quaternion.lean
\u22a2 Continuous fun q => q.im
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
hs : s.chainHeight ≠ ⊤
this : IsTrans { x // x ∈ s } fun x x_1 => x < x_1
\u22a2 WellFoundedGT ↑s
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
hs : s.chainHeight ≠ ⊤
this : IsTrans { x // x ∈ s } fun x x_1 => x < x_1
n : ℕ
hn : ↑n = s.chainHeight
\u22a2 WellFoundedGT ↑s
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
hs : s.chainHeight ≠ ⊤
this : IsTrans { x // x ∈ s } fun x x_1 => x < x_1
n : ℕ
hn : ↑n = s.chainHeight
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x > x_1
\u22a2 False
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
hs : s.chainHeight ≠ ⊤
this : IsTrans { x // x ∈ s } fun x x_1 => x < x_1
n : ℕ
hn : ↑n = s.chainHeight
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x > x_1
\u22a2 ↑n.succ ≤ s.chainHeight
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
hs : s.chainHeight ≠ ⊤
this : IsTrans { x // x ∈ s } fun x x_1 => x < x_1
n : ℕ
hn : ↑n = s.chainHeight
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x > x_1
i : α
h : i ∈ map Subtype.val (ofFn fun i => f ↑i)
\u22a2 i ∈ s
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
hs : s.chainHeight ≠ ⊤
this : IsTrans { x // x ∈ s } fun x x_1 => x < x_1
n : ℕ
hn : ↑n = s.chainHeight
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x > x_1
\u22a2 ↑n.succ ≤ ↑(map Subtype.val (ofFn fun i => f ↑i)).length
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
f✝ g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
h : univ ⊆ s ∪ t
hc : StronglyMeasurable fun a => f ↑a
hd : StronglyMeasurable fun a => f ↑a
a✝ : Nontrivial β
inhabited_h : Inhabited β
\u22a2 StronglyMeasurable f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
f✝ g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
h : univ ⊆ s ∪ t
hc : StronglyMeasurable fun a => f ↑a
hd : StronglyMeasurable fun a => f ↑a
a✝ : Nontrivial β
inhabited_h : Inhabited β
\u22a2 Function.extend Subtype.val (fun x => f ↑x) (Function.extend Subtype.val (fun x => f ↑x) fun x => default) = f
-- Mathlib/Control/Fold.lean
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : t α
\u22a2 (foldl (fun l x => { down := l.down + 1 }) { down := 0 } xs).down = (toList xs).length
-- Mathlib/Control/Fold.lean
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : t α
\u22a2 (List.foldl (fun l x => { down := l.down + 1 }) { down := 0 } (toList xs)).down = (toList xs).length
-- Mathlib/Control/Fold.lean
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : t α
ys : List α
\u22a2 (List.foldl (fun l x => { down := l.down + 1 }) { down := 0 } ys).down = ys.length
-- Mathlib/Control/Fold.lean
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : t α
ys : List α
\u22a2 (List.foldl (fun l x => { down := l.down + 1 }) { down := 0 } ys).down = ys.length + 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/NormedSpace.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
g : ℝ → F
a : ℝ
\u22a2 ∫ (x : ℝ), g (x * a⁻¹) = |a| • ∫ (y : ℝ), g y
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Gamma.lean
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
\u22a2 ∫ (x : ℂ), rexp (-‖x‖ ^ p) = π * Real.Gamma (2 / p + 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Gamma.lean
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
\u22a2 ∫ (x : ℂ), rexp (-‖x‖ ^ p) = ∫ (x : ℂ), ‖x‖ ^ 0 * rexp (-‖x‖ ^ p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Gamma.lean
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
\u22a2 π * Real.Gamma (2 / p + 1) = 2 * π / p * Real.Gamma ((0 + 2) / p)
-- Mathlib/Data/List/Destutter.lean
α : Type u_1
l : List α
R : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel R
a b : α
h : ¬R b a
\u22a2 destutter' R b (a :: l) = destutter' R b l
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
k : ℕ
\u22a2 riemannZeta (-↑k) = (-1) ^ k * ↑(bernoulli (k + 1)) / (↑k + 1)
-- Mathlib/ModelTheory/Order.lean
L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝³ : L.IsOrdered
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : LE M
inst✝ : L.OrderedStructure M
a b : M
\u22a2 RelMap leSymb ![a, b] ↔ a ≤ b
-- Mathlib/ModelTheory/Order.lean
L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝³ : L.IsOrdered
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : LE M
inst✝ : L.OrderedStructure M
a b : M
\u22a2 RelMap (L.orderLHom.onRelation leSymb) ![a, b] ↔ a ≤ b
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hsep : p.Separable
x : R
\u22a2 Multiset.count x p.roots ≤ 1
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hsep : p.Separable
x : R
\u22a2 rootMultiplicity x p ≤ 1