ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderBot α
n : α
a✝ : List α
h : ∀ x ∈ ⟦a✝⟧, x ≤ n
\u22a2 fold max ⊥ ⟦a✝⟧ ≤ n
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : (i : ι) → Field (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
p : Ring.DirectLimit G f
i : ι
x : G i
H : (Ring.DirectLimit.of G f i) x ≠ 0
\u22a2 (Ring.DirectLimit.of G f i) x * (Ring.DirectLimit.of G f i) x⁻¹ = 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
\u22a2 ∃ f, EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
this : ∀ x ∈ t, sᶜ ∈ 𝓝 x
\u22a2 ∃ f, EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι✝ : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
this : ∀ x ∈ t, sᶜ ∈ 𝓝 x
ι : Type uM
f : SmoothBumpCovering ι I M t
hf : f.IsSubordinate fun x => sᶜ
\u22a2 ∃ f, EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι✝ : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
this : ∀ x ∈ t, sᶜ ∈ 𝓝 x
ι : Type uM
f : SmoothBumpCovering ι I M t
hf : f.IsSubordinate fun x => sᶜ
g : SmoothPartitionOfUnity ι I M t := f.toSmoothPartitionOfUnity
\u22a2 ∃ f, EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι✝ : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
this : ∀ x ∈ t, sᶜ ∈ 𝓝 x
ι : Type uM
f : SmoothBumpCovering ι I M t
hf : f.IsSubordinate fun x => sᶜ
g : SmoothPartitionOfUnity ι I M t := f.toSmoothPartitionOfUnity
x : M
hx : x ∈ s
\u22a2 ⟨fun x => ∑ᶠ (i : ι), (g i) x, ⋯⟩ x = 0 x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι✝ : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
this : ∀ x ∈ t, sᶜ ∈ 𝓝 x
ι : Type uM
f : SmoothBumpCovering ι I M t
hf : f.IsSubordinate fun x => sᶜ
g : SmoothPartitionOfUnity ι I M t := f.toSmoothPartitionOfUnity
x : M
hx : x ∈ s
\u22a2 ∀ (i : ι), (g i) x = 0
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι✝ : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
this : ∀ x ∈ t, sᶜ ∈ 𝓝 x
ι : Type uM
f : SmoothBumpCovering ι I M t
hf : f.IsSubordinate fun x => sᶜ
g : SmoothPartitionOfUnity ι I M t := f.toSmoothPartitionOfUnity
x : M
hx : x ∈ s
i : ι
\u22a2 ↑(f.toFun i) x = 0
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p✝ : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b✝ : β
p : β → Prop
hf : BijOn f s t
b : β
hb : b ∈ t
h : p b
\u22a2 ∃ a ∈ s, p (f a)
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p✝ : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b : β
p : β → Prop
hf : BijOn f s t
a : α
ha : a ∈ s
hb : f a ∈ t
h : p (f a)
\u22a2 ∃ a ∈ s, p (f a)
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p✝ : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b : β
p : β → Prop
hf : BijOn f s t
a : α
ha : a ∈ s
h : p (f a)
\u22a2 ∃ b ∈ t, p b
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R✝
S : Submonoid R✝
P : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing P
inst✝⁹ : Algebra R✝ P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R₁
K✝ : Type u_4
inst✝⁷ : Field K✝
inst✝⁶ : Algebra R₁ K✝
inst✝⁵ : IsFractionRing R₁ K✝
inst✝⁴ : IsDomain R₁
R : Type u_6
inst✝³ : CommRing R
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
h : J = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R✝
S : Submonoid R✝
P : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing P
inst✝⁹ : Algebra R✝ P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R₁
K✝ : Type u_4
inst✝⁷ : Field K✝
inst✝⁶ : Algebra R₁ K✝
inst✝⁵ : IsFractionRing R₁ K✝
inst✝⁴ : IsDomain R₁
R : Type u_6
inst✝³ : CommRing R
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = 0
h : J = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α → σ
h : α → ℕ →. σ
hf : Computable f
hg : Computable g
hh : Partrec₂ h
a : α
\u22a2 Nat.rec (↑g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h (a, y, i).1 (f (a, y, i).1).pred) (f a) = Nat.casesOn (f a) (Part.some (g a)) (h a)
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α → σ
h : α → ℕ →. σ
hf : Computable f
hg : Computable g
hh : Partrec₂ h
a : α
\u22a2 Nat.rec (Part.some (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (f a - 1)) (f a) = Nat.rec (Part.some (g a)) (fun n n_ih => h a n) (f a)
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α → σ
h : α → ℕ →. σ
hf : Computable f
hg : Computable g
hh : Partrec₂ h
a : α
n : ℕ
\u22a2 ((Nat.rec (Part.some (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => h a n) n).bind fun i => h a n) = h a n
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α → σ
h : α → ℕ →. σ
hf : Computable f
hg : Computable g
hh : Partrec₂ h
a : α
n : ℕ
b : σ
H : b ∈ (Nat.rec (Part.some (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => h a n) n).bind fun i => h a n
\u22a2 b ∈ h a n
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α → σ
h : α → ℕ →. σ
hf : Computable f
hg : Computable g
hh : Partrec₂ h
a : α
n : ℕ
b : σ
H : b ∈ h a n
\u22a2 b ∈ (Nat.rec (Part.some (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => h a n) n).bind fun i => h a n
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
inst✝ : DecidableEq K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
hd : P.disc ≠ 0
\u22a2 (map φ P).roots.toFinset.card = 3
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
inst✝ : DecidableEq K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
hd : P.disc ≠ 0
\u22a2 ∃ x y z, (map φ P).roots = {x, y, z}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : ι → Set α
t : Set ι
ht : t.Countable
hd : DirectedOn ((fun x x_1 => x ⊆ x_1) on s) t
this : Encodable ↑t
\u22a2 μ (⋃ i ∈ t, s i) = ⨆ i ∈ t, μ (s i)
-- Mathlib/RepresentationTheory/Character.lean
k : Type u
inst✝¹ : Field k
G : Type u
inst✝ : Monoid G
V : FDRep k G
\u22a2 V.character 1 = ↑(finrank k (CoeSort.coe V))
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_3}
\u22a2 a ≤ 1 ↔ a = 0 ∨ a = 1
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
IF : Type u_2 := { K // ∃ x, K = F⟮x⟯ }
\u22a2 FiniteDimensional F E
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
IF : Type u_2 := { K // ∃ x, K = F⟮x⟯ }
this : Algebra.IsAlgebraic F E
\u22a2 FiniteDimensional F E
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
IF : Type u_2 := { K // ∃ x, K = F⟮x⟯ }
this✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
this : ∀ (K : IF), FiniteDimensional F ↥↑K
\u22a2 FiniteDimensional F E
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
IF : Type u_2 := { K // ∃ x, K = F⟮x⟯ }
this✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
this : ∀ (K : IF), FiniteDimensional F ↥↑K
hfin : FiniteDimensional F ↥(⨆ i, ↑i)
\u22a2 FiniteDimensional F E
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
IF : Type u_2 := { K // ∃ x, K = F⟮x⟯ }
this✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
this : ∀ (K : IF), FiniteDimensional F ↥↑K
hfin : FiniteDimensional F ↥(⨆ i, ↑i)
htop : ⨆ K, ↑K = ⊤
\u22a2 FiniteDimensional F E
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
IF : Type u_2 := { K // ∃ x, K = F⟮x⟯ }
this✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
this : ∀ (K : IF), FiniteDimensional F ↥↑K
hfin : FiniteDimensional F ↥⊤
htop : ⨆ K, ↑K = ⊤
\u22a2 FiniteDimensional F E
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/EvenEquiv.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
\u22a2 (ofEven Q) ((toEven Q) ((ι Q) m)) = (ofEven Q) ⟨↑((toEven Q) ((ι Q) m)), ⋯⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/EvenEquiv.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
\u22a2 (ofEven Q) ⟨↑((toEven Q) ((ι Q) m)), ⋯⟩ = ((ι Q) 0 + (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) 1) * ((ι Q) m - (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) 0)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/EvenEquiv.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
\u22a2 (ofEven Q) ⟨e0 Q * (v Q) m, ⋯⟩ = ((ι Q) 0 + (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) 1) * ((ι Q) m - (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) 0)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/EvenEquiv.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
\u22a2 ((ι Q) 0 + (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) 1) * ((ι Q) m - (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) 0) = (ι Q) m
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b C : ℝ
hf : DifferentiableOn ℝ f (Icc a b)
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖derivWithin f (Icc a b) x‖ ≤ C
\u22a2 ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - f a‖ ≤ C * (x - a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b C : ℝ
hf : DifferentiableOn ℝ f (Icc a b)
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖derivWithin f (Icc a b) x‖ ≤ C
\u22a2 ∀ x ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt f (derivWithin f (Icc a b) x) (Icc a b) x
-- Mathlib/Order/Category/Semilat.lean
α β : SemilatInfCat
e : α.X ≃o β.X
x✝ : (forget SemilatInfCat).obj α
\u22a2 ({ toFun := ⇑e, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e.symm, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝
-- Mathlib/Order/Category/Semilat.lean
α β : SemilatInfCat
e : α.X ≃o β.X
x✝ : (forget SemilatInfCat).obj β
\u22a2 ({ toFun := ⇑e.symm, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
p : α × β → Prop
\u22a2 (∀ᶠ (x : α × β) in f ×ˢ g, p x) ↔ ∃ pa, (∀ᶠ (x : α) in f, pa x) ∧ ∃ pb, (∀ᶠ (y : β) in g, pb y) ∧ ∀ {x : α}, pa x → ∀ {y : β}, pb y → p (x, y)
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω✝ : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
ω : Ω
\u22a2 upcrossingsBefore a b f 0 ω = 0 ω
-- Mathlib/NumberTheory/SiegelsLemma.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v✝ : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
v : β → ℤ
hv : v ∈ T
\u22a2 A *ᵥ v ∈ S
-- Mathlib/NumberTheory/SiegelsLemma.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v✝ : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
v : β → ℤ
hv : 0 ≤ v ∧ v ≤ B'
\u22a2 N ≤ A *ᵥ v ∧ A *ᵥ v ≤ P
-- Mathlib/NumberTheory/SiegelsLemma.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v✝ : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
v : β → ℤ
hv : 0 ≤ v ∧ v ≤ B'
mulVec_def : A *ᵥ v = fun i => ∑ j : β, A i j * v j
i : α
\u22a2 N i ≤ (fun i => ∑ j : β, A i j * v j) i
-- Mathlib/NumberTheory/SiegelsLemma.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v✝ : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
v : β → ℤ
hv : 0 ≤ v ∧ v ≤ B'
mulVec_def : A *ᵥ v = fun i => ∑ j : β, A i j * v j
i : α
\u22a2 (fun i => ∑ j : β, A i j * v j) i ≤ P i
-- Mathlib/NumberTheory/SiegelsLemma.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v✝ : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
v : β → ℤ
hv : 0 ≤ v ∧ v ≤ B'
mulVec_def : A *ᵥ v = fun i => ∑ j : β, A i j * v j
i : α
j : β
a✝ : j ∈ univ
hsign : 0 ≤ A i j
\u22a2 -(↑B * (A i j)⁻) ≤ v j * A i j
-- Mathlib/NumberTheory/SiegelsLemma.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v✝ : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
v : β → ℤ
hv : 0 ≤ v ∧ v ≤ B'
mulVec_def : A *ᵥ v = fun i => ∑ j : β, A i j * v j
i : α
j : β
a✝ : j ∈ univ
hsign : A i j ≤ 0
\u22a2 -(↑B * (A i j)⁻) ≤ v j * A i j
-- Mathlib/NumberTheory/SiegelsLemma.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v✝ : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
v : β → ℤ
hv : 0 ≤ v ∧ v ≤ B'
mulVec_def : A *ᵥ v = fun i => ∑ j : β, A i j * v j
i : α
j : β
a✝ : j ∈ univ
hsign : 0 ≤ A i j
\u22a2 v j * A i j ≤ ↑B * (A i j)⁺
-- Mathlib/NumberTheory/SiegelsLemma.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v✝ : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
v : β → ℤ
hv : 0 ≤ v ∧ v ≤ B'
mulVec_def : A *ᵥ v = fun i => ∑ j : β, A i j * v j
i : α
j : β
a✝ : j ∈ univ
hsign : A i j ≤ 0
\u22a2 v j * A i j ≤ ↑B * (A i j)⁺
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/SmoothTransition.lean
p : ℝ[X]
\u22a2 Tendsto (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x) (𝓝 0) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/SmoothTransition.lean
p : ℝ[X]
\u22a2 Tendsto (fun x => if x ≤ 0 then 0 else Polynomial.eval x⁻¹ p * rexp (-x⁻¹)) (𝓝 0) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/SmoothTransition.lean
p : ℝ[X]
\u22a2 Tendsto (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * rexp (-x⁻¹)) (𝓝 0 ⊓ 𝓟 {x | ¬x ≤ 0}) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/SmoothTransition.lean
p : ℝ[X]
\u22a2 Tendsto (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * rexp (-x⁻¹)) (𝓝 0 ⊓ 𝓟 {x | 0 < x}) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/SmoothTransition.lean
p : ℝ[X]
this : Tendsto (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p / rexp x⁻¹) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
\u22a2 Tendsto (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * rexp (-x⁻¹)) (𝓝 0 ⊓ 𝓟 {x | 0 < x}) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/SmoothTransition.lean
p : ℝ[X]
this : Tendsto (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p / rexp x⁻¹) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
x : ℝ
hx : x ∈ {x | 0 < x}
\u22a2 x ∈ {x | (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p / rexp x⁻¹ = (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * rexp (-x⁻¹)) x) x}
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
\u22a2 iteratedDeriv (n + 1) f = iteratedDeriv n (deriv f)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
\u22a2 deriv^[n + 1] f = deriv^[n] (deriv f)
-- Mathlib/Algebra/Group/Support.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M'
g : α → N
hf : Injective f
x : α
hx : x ∈ mulSupport g
\u22a2 f x ∈ mulSupport (extend f g 1)
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
a : M
ha : a ∈ S
\u22a2 ⟨a, ha⟩ = 1 ↔ a = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
hl : 1 < l.length
\u22a2 l.formPerm (l.get ⟨0, ⋯⟩) = l.get ⟨1, hl⟩
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
β : Type u_5
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup β
f : α → β
hf : Integrable f μ
\u22a2 Integrable (fun a => |f a|) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
β : Type u_5
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup β
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
\u22a2 Memℒp (fun a => |f a|) 1 μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
\u22a2 affineSpan k s = ⊥ ↔ s = ∅
-- Mathlib/Order/Filter/Extr.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
δ : Type x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
h : IsMinFilter f l a ∨ IsMaxFilter f l a
heq : f =ᶠ[l] g
hfga : f a = g a
\u22a2 IsMinFilter g l a ∨ IsMaxFilter g l a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S N
inst✝³ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝² : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
inst✝ : IsDomain R
M' : Submodule R M
\u22a2 Module.rank R (M ⧸ M') + Module.rank R ↥M' = Module.rank R M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S N
inst✝³ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝² : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
inst✝ : IsDomain R
M' : Submodule R M
\u22a2 lift.{max u v, v} (Module.rank R (M ⧸ M') + Module.rank R ↥M') = lift.{max u v, v} (Module.rank R M)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
\u22a2 f.outer (Ioc a b) = ofReal (↑f b - ↑f a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
\u22a2 ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑' (i : ℕ), f.length (s i) + ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
δ : ℝ≥0 := ε / 2
\u22a2 ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑' (i : ℕ), f.length (s i) + ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
δ : ℝ≥0 := ε / 2
δpos : 0 < ↑δ
\u22a2 ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑' (i : ℕ), f.length (s i) + ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
δ : ℝ≥0 := ε / 2
δpos : 0 < ↑δ
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑δ
\u22a2 ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑' (i : ℕ), f.length (s i) + ↑ε