ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
r : R
\u22a2 r ∈ quasispectrum R a ↔ r ∈ spectrum R ↑a
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
r : R
this : {0} ⊆ spectrum R ↑a
\u22a2 r ∈ quasispectrum R a ↔ r ∈ spectrum R ↑a
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
r : R
this : {0} ⊆ spectrum R ↑a
\u22a2 r ∈ quasispectrum R a ↔ r ∈ quasispectrum R ↑a
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
r : R
this : {0} ⊆ spectrum R ↑a
x : IsUnit r
\u22a2 ¬IsQuasiregular (-(x.unit⁻¹ • a)) ↔ ¬IsQuasiregular (-(x.unit⁻¹ • ↑a))
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Filter X
h : x ∈ s
o : IsOpen s
sf : 𝓟 s ≤ f
\u22a2 𝓝 x ≤ f
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Filter X
h : x ∈ s
o : IsOpen s
sf : 𝓟 s ≤ f
\u22a2 ⨅ s ∈ {s | x ∈ s ∧ IsOpen s}, 𝓟 s ≤ f
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
hB₀ : B.IsRefl
\u22a2 IsCompl W (B.orthogonal W) ↔ Disjoint W (B.orthogonal W)
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
hB₀ : B.IsRefl
h : Disjoint W (B.orthogonal W)
\u22a2 Codisjoint W (B.orthogonal W)
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
hB₀ : B.IsRefl
h : Disjoint W (B.orthogonal W)
\u22a2 W ⊔ B.orthogonal W = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
hB₀ : B.IsRefl
h : Disjoint W (B.orthogonal W)
\u22a2 finrank K V ≤ finrank K ↥(W ⊔ B.orthogonal W)
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
hB₀ : B.IsRefl
h : Disjoint W (B.orthogonal W)
\u22a2 finrank K V + finrank K ↥(W ⊓ B.orthogonal ⊤) ≤ finrank K ↥(W ⊔ B.orthogonal W) + finrank K ↥(W ⊓ B.orthogonal W)
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
B : Finset (Finset α)
n : ℕ
s : Finset ι
f : ι → Finset α
hs : (↑s).PairwiseDisjoint f
hf : ∀ i ∈ s, (f i).Nonempty
\u22a2 s.card ≤ (s.biUnion f).card
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
B : Finset (Finset α)
n : ℕ
s : Finset ι
f : ι → Finset α
hs : (↑s).PairwiseDisjoint f
hf : ∀ i ∈ s, (f i).Nonempty
\u22a2 ∑ x ∈ s, 1 ≤ ∑ u ∈ s, (f u).card
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
K : α
K0 : K > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, K ≤ abv (↑f j)
j : ℕ
ij : j ≥ i
\u22a2 abv (↑(f.inv hf * f - 1) j) < ε
-- Mathlib/Data/Seq/Parallel.lean
α : Type u
β : Type v
S : WSeq (Computation α)
a : α
H : ∀ (s : Computation α), s ∈ S → s ~> a
c : Computation α
cs : c ∈ S
ac : a ∈ c
\u22a2 a ∈ parallel S
-- Mathlib/Data/Seq/Parallel.lean
α : Type u
β : Type v
S : WSeq (Computation α)
a : α
H : ∀ (s : Computation α), s ∈ S → s ~> a
c : Computation α
cs : c ∈ S
ac : a ∈ c
this : c.Terminates
\u22a2 a ∈ parallel S
-- Mathlib/Data/Seq/Parallel.lean
α : Type u
β : Type v
S : WSeq (Computation α)
a : α
H : ∀ (s : Computation α), s ∈ S → s ~> a
c : Computation α
cs : c ∈ S
ac : a ∈ c
this✝ : c.Terminates
this : (parallel S).Terminates
\u22a2 a ∈ parallel S
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝ : MulOneClass M
s t : Set α
f✝ g✝ : α → M
a : α
f g : α → M
h : Disjoint (mulSupport f) (mulSupport g)
\u22a2 (mulSupport g).mulIndicator (f * g) = g
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝ : MulOneClass M
s t : Set α
f✝ g✝ : α → M
a : α
f g : α → M
h : Disjoint (mulSupport f) (mulSupport g)
x : α
hx : x ∈ mulSupport g
\u22a2 (f * g) x = g x
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝ : MulOneClass M
s t : Set α
f✝ g✝ : α → M
a : α
f g : α → M
h : Disjoint (mulSupport f) (mulSupport g)
x : α
hx : x ∈ mulSupport g
this : f x = 1
\u22a2 (f * g) x = g x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
\u22a2 Collinear k ∅
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
\u22a2 Module.rank k ↥⊥ ≤ 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
h : f + g ≈ 0
this : (f + g - 0).LimZero
\u22a2 f.norm = g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
h : f + g ≈ 0
this✝ : (f + g - 0).LimZero
this : f ≈ -g
\u22a2 f.norm = g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
h : f + g ≈ 0
this✝¹ : (f + g - 0).LimZero
this✝ : f ≈ -g
this : f.norm = (-g).norm
\u22a2 f.norm = g.norm
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/NormedSpace.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → F
R : ℝ
hR : 0 ≤ R
\u22a2 ∫ (x : E), f (R⁻¹ • x) ∂μ = R ^ finrank ℝ E • ∫ (x : E), f x ∂μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
\u22a2 comp Q₁ ↑(TensorProduct.rid R M₁) = Q₁.tmul QuadraticMap.sq
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
\u22a2 (associatedHom R) (comp Q₁ ↑(TensorProduct.rid R M₁)) = (associatedHom R) (Q₁.tmul QuadraticMap.sq)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
m₁ m₁' : M₁
\u22a2 ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (comp Q₁ ↑(TensorProduct.rid R M₁)))) m₁) 1)) m₁') 1 = ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (Q₁.tmul QuadraticMap.sq))) m₁) 1)) m₁') 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
m₁ m₁' : M₁
\u22a2 (((associatedHom R) (comp Q₁ ↑(TensorProduct.rid R M₁))) (m₁ ⊗ₜ[R] 1)) (m₁' ⊗ₜ[R] 1) = (((associatedHom R) (Q₁.tmul QuadraticMap.sq)) (m₁ ⊗ₜ[R] 1)) (m₁' ⊗ₜ[R] 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
m₁ m₁' : M₁
\u22a2 ((LinearMap.compl₁₂ ((associatedHom R) Q₁) ↑(TensorProduct.rid R M₁) ↑(TensorProduct.rid R M₁)) (m₁ ⊗ₜ[R] 1)) (m₁' ⊗ₜ[R] 1) = (((associated Q₁).tmul (associated QuadraticMap.sq)) (m₁ ⊗ₜ[R] 1)) (m₁' ⊗ₜ[R] 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁✝ : QuadraticForm R M₁
Q₂✝ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
f : Q₁ →qᵢ Q₂
g : Q₂ →qᵢ Q₁
h : LeftInverse ⇑g ⇑f
x : CliffordAlgebra Q₁
\u22a2 (map g) ((map f) x) = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁✝ : QuadraticForm R M₁
Q₂✝ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
f : Q₁ →qᵢ Q₂
g : Q₂ →qᵢ Q₁
x : CliffordAlgebra Q₁
h : g.comp f = QuadraticMap.Isometry.id Q₁
\u22a2 (map g) ((map f) x) = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Decomposition.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F
X A : C
inst✝¹ : IsConnected A
u : A ⟶ CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProd F X
inst✝ : Mono u
a : ↑(F.obj A)
h : F.map u a = CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X
b : ↑(F.obj A)
\u22a2 ∀ (i : ↑(F.obj X)), (F.map (Pi.π (fun x => X) i)) (F.map u b) = (F.map (Pi.π (fun x => X) i)) (F.map (CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProdPermIncl h b) a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → α → E
hf : ∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ
\u22a2 (setToFun μ T hT fun a => ∑ i ∈ s, f i a) = ∑ i ∈ s, setToFun μ T hT (f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → α → E
hf : ∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ
a : α
\u22a2 ∑ i ∈ s, f i a = (∑ i ∈ s, f i) a
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
int : IsIntegral A x
\u22a2 2 ≤ (minpoly A x).natDegree ↔ x ∉ (algebraMap A B).range
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
int : IsIntegral A x
\u22a2 (minpoly A x).natDegree = 1 ↔ (minpoly A x).natDegree < 2
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
d : D
\u22a2 IsCofiltered (CostructuredArrow F d)
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
d : D
\u22a2 IsFiltered (CostructuredArrow F d)ᵒᵖ
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
d : D
\u22a2 IsFiltered (StructuredArrow (op d) F.op)
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
d : D
\u22a2 ∀ (d : Dᵒᵖ), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.op.obj c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
d : D
\u22a2 ∀ {d : Dᵒᵖ} {c : Cᵒᵖ} (s s' : d ⟶ F.op.obj c), ∃ c' t, s ≫ F.op.map t = s' ≫ F.op.map t
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/WellKnown.lean
A : Type u_1
A' : Type u_2
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring A'
inst✝⁵ : Algebra ℚ A
inst✝⁴ : Algebra ℚ A'
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring A'
inst✝¹ : Algebra ℚ A
inst✝ : Algebra ℚ A'
n : ℕ
f : A →+* A'
n✝ : ℕ
\u22a2 (coeff A' n✝) ((map f) (sin A)) = (coeff A' n✝) (sin A')
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype n
v : n → α
A : Matrix m n α
x✝ : m
\u22a2 (A *ᵥ -v) x✝ = (-(A *ᵥ v)) x✝
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
\u22a2 (∏ i ∈ s, f i).leadingCoeff = ∏ i ∈ s, (f i).leadingCoeff
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
\u22a2 Set.range ⇑(pullback.snd f g).val.base = (g ⁻¹ᵁ Scheme.Hom.opensRange f).carrier
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
\u22a2 ⇑(pullback.snd (Scheme.forgetToTop.map f) (Scheme.forgetToTop.map g)) '' (⇑(pullback.fst f.val.base g.val.base) ⁻¹' Set.univ) = (g ⁻¹ᵁ Scheme.Hom.opensRange f).carrier
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
\u22a2 Function.Surjective ⇑(PreservesPullback.iso Scheme.forgetToTop f g).hom
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
\u22a2 Epi (PreservesPullback.iso Scheme.forgetToTop f g).hom
-- Mathlib/LinearAlgebra/SModEq.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
hxy : x ≡ y [SMOD U]
\u22a2 -x ≡ -y [SMOD U]
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n k : ℕ
h : k < count p n
\u22a2 nth p k < n
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n k : ℕ
h : k < count p n
\u22a2 count p (nth p k) < count p n
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n k : ℕ
h : k < count p n
\u22a2 ∀ (hf : (setOf p).Finite), k < hf.toFinset.card
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : StrictOrderedCommSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
a b : E
\u22a2 Convex 𝕜 (openSegment 𝕜 a b)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : StrictOrderedCommSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
a b : E
\u22a2 ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ openSegment 𝕜 a b → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ openSegment 𝕜 a b → openSegment 𝕜 x y ⊆ openSegment 𝕜 a b
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
i j : Fin (n + 1)
h : j < i
x : α i
p : (k : Fin n) → α (i.succAbove k)
\u22a2 i.insertNth x p j = Eq.recOn ⋯ (p (j.castPred ⋯))
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
x✝ : ℤ
\u22a2 x✝ ∈ Int.cast ⁻¹' Ioc a b ↔ x✝ ∈ Ioc ⌊a⌋ ⌊b⌋
-- Mathlib/Data/Finset/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
\u22a2 (Icc s t).card = 2 ^ (t.card - s.card)
-- Mathlib/Data/Finset/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
\u22a2 Set.InjOn (fun x => s ∪ x) ↑(t \ s).powerset
-- Mathlib/Data/Finset/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
u : Finset α
hu : u ∈ ↑(t \ s).powerset
v : Finset α
hv : v ∈ ↑(t \ s).powerset
huv : s ⊔ u = s ⊔ v
\u22a2 u = v
-- Mathlib/Data/Finset/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
u : Finset α
hu : u ⊆ t \ s
v : Finset α
hv : v ⊆ t \ s
huv : s ⊔ u = s ⊔ v
\u22a2 u = v
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
\u22a2 r.preimage Set.univ = r.dom
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
h : WellFounded fun x x_1 => x < x_1
x✝³ x✝² x✝¹ x✝ : Associates α
\u22a2 DvdNotUnit x✝¹ x✝ ↔ x✝¹ < x✝
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Group.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : DecidableEq β
hf : HasProd f a
b : β
\u22a2 HasProd (fun n => if n = b then 1 else f n) (a / f b)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Group.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : DecidableEq β
hf : HasProd f a
b : β
\u22a2 (fun n => if n = b then 1 else f n) = update f b 1
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Group.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : DecidableEq β
hf : HasProd f a
b : β
\u22a2 a / f b = 1 / f b * a
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X✝ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
inst✝³ : TopologicalSpace Y
s t : Set X✝
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : Infinite X
\u22a2 ∃ z, (𝓝[≠] z).NeBot
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Bounded.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r : ℝ
f : β → α
hf : Tendsto (Prod.map f f) (Filter.cofinite ×ˢ Filter.cofinite) (𝓤 α)
\u22a2 IsBounded (range f)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Bounded.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s✝ t : Set α
r : ℝ
f : β → α
hf : Tendsto (Prod.map f f) (Filter.cofinite ×ˢ Filter.cofinite) (𝓤 α)
s : Set β
hsf : s.Finite
hs1 : ∀ x ∈ sᶜ ×ˢ sᶜ, Prod.map f f x ∈ {p | dist p.1 p.2 < 1}
\u22a2 IsBounded (range f)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Bounded.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s✝ t : Set α
r : ℝ
f : β → α
hf : Tendsto (Prod.map f f) (Filter.cofinite ×ˢ Filter.cofinite) (𝓤 α)
s : Set β
hsf : s.Finite
hs1 : ∀ x ∈ sᶜ ×ˢ sᶜ, Prod.map f f x ∈ {p | dist p.1 p.2 < 1}
\u22a2 IsBounded (f '' ?m.14806 ∪ f '' ?m.14806ᶜ)