ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w t : W
\u22a2 cs.IsLeftInversion w⁻¹ t ↔ cs.IsRightInversion w t
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w t : W
\u22a2 w = w⁻¹⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
hs : s ∈ measurableCylinders α
ht : t ∈ measurableCylinders α
\u22a2 s \ t ∈ measurableCylinders α
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
hs : s ∈ measurableCylinders α
ht : t ∈ measurableCylinders α
\u22a2 tᶜ ∩ s ∈ measurableCylinders α
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K✝ : Type u_3
M✝ : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M✝
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M''
inst✝⁸ : Module R M✝
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M''
a b : R
x y : M✝
K : Type u_8
M : Type u_9
L : Type u_10
inst✝⁵ : CommSemiring K
inst✝⁴ : Semiring M
inst✝³ : Algebra K M
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
\u22a2 LinearIndependent L AlgHom.toLinearMap
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K✝ : Type u_3
M✝ : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M✝
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M''
inst✝⁸ : Module R M✝
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M''
a b : R
x y : M✝
K : Type u_8
M : Type u_9
L : Type u_10
inst✝⁵ : CommSemiring K
inst✝⁴ : Semiring M
inst✝³ : Algebra K M
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
\u22a2 LinearIndependent L (⇑(ltoFun K M L) ∘ AlgHom.toLinearMap)
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
i j : Fin n
\u22a2 i < j.rev ↔ j < i.rev
-- Mathlib/Tactic/NormNum/BigOperators.lean
u v : Level
n : ℕ
pn : NormNum.IsNat n 0
\u22a2 Finset.range n = ∅
-- Mathlib/Topology/Connected/LocallyConnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
\u22a2 LocallyConnectedSpace α ↔ ∀ (x : α), (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 x ∧ IsPreconnected s) id
-- Mathlib/Topology/Connected/LocallyConnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
\u22a2 (∀ (x : α), ∀ U ∈ 𝓝 x, ∃ V ∈ 𝓝 x, IsPreconnected V ∧ V ⊆ U) ↔ ∀ (x : α), (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 x ∧ IsPreconnected s) id
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
\u22a2 ⟪x, y⟫_𝕜 = (↑‖x + y‖ ^ 2 - ↑‖x - y‖ ^ 2 + (↑‖x - I • y‖ ^ 2 - ↑‖x + I • y‖ ^ 2) * I) / 4
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
\u22a2 ↑((‖x + y‖ * ‖x + y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 4) + ↑((‖x - I • y‖ * ‖x - I • y‖ - ‖x + I • y‖ * ‖x + I • y‖) / 4) * I = (↑‖x + y‖ ^ 2 - ↑‖x - y‖ ^ 2 + (↑‖x - I • y‖ ^ 2 - ↑‖x + I • y‖ ^ 2) * I) / 4
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
\u22a2 (↑‖x + y‖ * ↑‖x + y‖ - ↑‖x - y‖ * ↑‖x - y‖) / 4 + (↑‖x - I • y‖ * ↑‖x - I • y‖ - ↑‖x + I • y‖ * ↑‖x + I • y‖) / 4 * I = (↑‖x + y‖ ^ 2 - ↑‖x - y‖ ^ 2 + (↑‖x - I • y‖ ^ 2 - ↑‖x + I • y‖ ^ 2) * I) / 4
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s t : Set α
\u22a2 p.toOuterMeasure (s ∩ p.support) = p.toOuterMeasure s
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/SheafComparison.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.60827, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝³ : Preregular C
inst✝² : FinitaryExtensive C
inst✝¹ : ∀ (X : C), Projective X
inst✝ : PreservesFiniteProducts s
hF : IsSheaf (coherentTopology C) F
\u22a2 IsSheaf (coherentTopology C) (F ⋙ s)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/SheafComparison.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.60827, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝³ : Preregular C
inst✝² : FinitaryExtensive C
inst✝¹ : ∀ (X : C), Projective X
inst✝ : PreservesFiniteProducts s
hF : Nonempty (PreservesFiniteProducts F)
\u22a2 Nonempty (PreservesFiniteProducts (F ⋙ s))
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
S : Subalgebra R A
a : A
ha : a ∈ (S ⊔ star S).carrier
\u22a2 star a ∈ (S ⊔ star S).carrier
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
S : Subalgebra R A
a : A
ha : a ∈ Algebra.adjoin R (↑S ⊔ ↑(star S))
\u22a2 star a ∈ Algebra.adjoin R (↑S ⊔ ↑(star S))
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
S : Subalgebra R A
a : A
ha : a ∈ Algebra.adjoin R (↑S ⊔ ↑(star S))
\u22a2 a ∈ Algebra.adjoin R (star (↑(star S) ⊔ ↑S))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : N ⊗[R] Q
\u22a2 (inverse_of_rightInverse Q hfg hgh) ((rTensor Q g) y) = Submodule.Quotient.mk y
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : N ⊗[R] Q
\u22a2 (inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ rTensor Q g) y = (range (rTensor Q f)).mkQ y
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : N ⊗[R] Q
\u22a2 inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ rTensor Q g = (range (rTensor Q f)).mkQ
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : N ⊗[R] Q
\u22a2 ∀ (x : N) (y : Q), (inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ rTensor Q g) (x ⊗ₜ[R] y) = (range (rTensor Q f)).mkQ (x ⊗ₜ[R] y)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : N ⊗[R] Q
n : N
q : Q
\u22a2 (inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ rTensor Q g) (n ⊗ₜ[R] q) = (range (rTensor Q f)).mkQ (n ⊗ₜ[R] q)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : N ⊗[R] Q
n : N
q : Q
\u22a2 Submodule.Quotient.mk (h (g n) ⊗ₜ[R] q) = Submodule.Quotient.mk (n ⊗ₜ[R] q)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : N ⊗[R] Q
n : N
q : Q
\u22a2 (h (g n) - n) ⊗ₜ[R] q ∈ range (rTensor Q f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : N ⊗[R] Q
n : N
q : Q
\u22a2 h (g n) - n ∈ range f
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r p : ℝ≥0
h : r ≠ 0
\u22a2 r⁻¹ ≤ p ↔ 1 ≤ r * p
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
n : ℕ
hx : orderOf x ≠ 0
hn : n ∣ orderOf x
\u22a2 orderOf (x ^ (orderOf x / n)) = n
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
n : ℕ
hx : orderOf x ≠ 0
hn : n ∣ orderOf x
\u22a2 orderOf x / n ≠ 0
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
n : ℕ
hx : orderOf x / n * n ≠ 0
hn : n ∣ orderOf x
\u22a2 orderOf x / n ≠ 0
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
B : Set α
hB : M.Base B
f : α → β
hf : InjOn f M.E
\u22a2 (M.map f hf).Base (f '' B)
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
B : Set α
hB : M.Base B
f : α → β
hf : InjOn f M.E
\u22a2 ∃ B₀, M.Base B₀ ∧ f '' B = f '' B₀
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K
\u22a2 w.IsComplex ↔ ¬ComplexEmbedding.IsReal w.embedding
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K
\u22a2 w.IsComplex → ¬ComplexEmbedding.IsReal w.embedding
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
hφ : ¬ComplexEmbedding.IsReal φ
\u22a2 ¬ComplexEmbedding.IsReal (mk φ).embedding
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
hφ : ComplexEmbedding.IsReal (mk φ).embedding
\u22a2 ComplexEmbedding.IsReal φ
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h0 : ¬0 = 1
\u22a2 (p * q).Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
this✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
h0 : ¬0 = 1
this : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
\u22a2 (p * q).Monic
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
\u22a2 (eval P) W.polynomial / P z ^ 6 = Polynomial.evalEval (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3) W.toAffine.polynomial
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j k : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i
\u22a2 ShortComplex.cyclesMap ((shortComplexFunctor C c i).map (φ ≫ ψ)) = ShortComplex.cyclesMap ((shortComplexFunctor C c i).map φ) ≫ ShortComplex.cyclesMap ((shortComplexFunctor C c i).map ψ)
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
x : (i : ι) → α i
\u22a2 (x ∈ s.pi fun i => t i ∩ t₁ i) ↔ x ∈ s.pi t ∩ s.pi t₁
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α
\u22a2 s - s ∩ t + s ∩ t = s - t + s ∩ t
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
p q : α → Prop
h : ∀ᶠ (x : α) in f, p x ↔ q x
hq : ∀ᶠ (x : α) in f, q x
\u22a2 ∀ᶠ (x : α) in f, q x ↔ p x
-- Mathlib/RingTheory/Etale/Basic.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
B : Type u
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
\u22a2 FormallyEtale R A ↔ FormallyUnramified R A ∧ FormallySmooth R A
-- Mathlib/RingTheory/Etale/Basic.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
B : Type u
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B
\u22a2 (∀ ⦃B : Type u⦄ [inst : CommRing B] [inst_1 : Algebra R B] (I : Ideal B), I ^ 2 = ⊥ → Function.Bijective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp) ↔ (∀ ⦃B : Type u⦄ [inst : CommRing B] [inst_1 : Algebra R B] (I : Ideal B), I ^ 2 = ⊥ → Function.Injective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp) ∧ ∀ ⦃B : Type u⦄ [inst : CommRing B] [inst_1 : Algebra R B] (I : Ideal B), I ^ 2 = ⊥ → Function.Surjective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T T' : L.Theory
h : M ⊨ T
h' : M ⊨ T'
\u22a2 M ⊨ T ∪ T'
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T T' : L.Theory
h : ∀ φ ∈ T, M ⊨ φ
h' : ∀ φ ∈ T', M ⊨ φ
\u22a2 ∀ (φ : L.Sentence), φ ∈ T ∨ φ ∈ T' → M ⊨ φ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/SmoothTransition.lean
x : ℝ
\u22a2 x.smoothTransition = 0 ↔ x ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (μ.restrict (⋃ i, spanningSets μ i)) s = μ s
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
hf : Injective2 f
\u22a2 image2 f s (t ∩ t') = image2 f s t ∩ image2 f s t'
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
hk : 0 < k
\u22a2 (hasseDeriv k) 1 = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s → f x = 0
\u22a2 Integrable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s → f x = 0
\u22a2 IntegrableOn f univ μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s → f x = 0
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ univ \ s → f x = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t✝ t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
htμ' : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
\u22a2 t = s.singularPart μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t✝ t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t.toJordanDecomposition.posPart ⟂ₘ μ ∧ t.toJordanDecomposition.negPart ⟂ₘ μ
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
htμ' : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
\u22a2 t = s.singularPart μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t✝ t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t.toJordanDecomposition.posPart ⟂ₘ μ ∧ t.toJordanDecomposition.negPart ⟂ₘ μ
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
htμ' : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
\u22a2 t.toJordanDecomposition.posPart.toSignedMeasure - t.toJordanDecomposition.negPart.toSignedMeasure = (s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ).toSignedMeasure - (s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ).toSignedMeasure
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Maps.lean
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
G : SimpleGraph W
e : V ≃ W
\u22a2 SimpleGraph.map e.symm.toEmbedding G = SimpleGraph.comap (⇑e.toEmbedding) G
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
\u22a2 ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
\u22a2 ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
this : ∃ n x, x ∈ interior (closure (⇑f '' ball 0 ↑n))
\u22a2 ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
this : ∃ n x, ∃ ε > 0, ball x ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
\u22a2 ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
\u22a2 ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
\u22a2 ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
\u22a2 ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖