ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
z w : ℂ
h₂ : 0 < (z, w).2.re
h₁ : 0 < (z, w).1.re ∨ (z, w).1.im ≠ 0
\u22a2 ContinuousAt (fun x => x.1 ^ x.2) (z, w)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
w : ℂ
h₂ : 0 < (0, w).2.re
\u22a2 ContinuousAt (fun x => x.1 ^ x.2) (0, w)
-- Mathlib/RingTheory/Derivation/ToSquareZero.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
\u22a2 Derivation R A ↥I ≃ { f // (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f = IsScalarTower.toAlgHom R A (B ⧸ I) }
-- Mathlib/RingTheory/Derivation/ToSquareZero.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
d : Derivation R A ↥I
\u22a2 (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp (liftOfDerivationToSquareZero I hI d) = IsScalarTower.toAlgHom R A (B ⧸ I)
-- Mathlib/RingTheory/Derivation/ToSquareZero.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
\u22a2 Function.LeftInverse (fun f => derivationToSquareZeroOfLift I hI ↑f ⋯) fun d => ⟨liftOfDerivationToSquareZero I hI d, ⋯⟩
-- Mathlib/RingTheory/Derivation/ToSquareZero.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
\u22a2 Function.RightInverse (fun f => derivationToSquareZeroOfLift I hI ↑f ⋯) fun d => ⟨liftOfDerivationToSquareZero I hI d, ⋯⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Trace.lean
ι : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
α : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype p
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : AddCommMonoidWithOne R
\u22a2 trace 1 = ↑(Fintype.card n)
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type ?u.17551
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
y : Y
\u22a2 DiscreteTopology X ↔ IsLocallyInjective fun x => y
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type ?u.17551
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
y : Y
\u22a2 (∀ (x : X), {x} ∈ 𝓝 x) ↔ ∀ (x : X), ∃ U ∈ 𝓝 x, Set.InjOn (fun x => y) U
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type ?u.17551
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
y : Y
x : X
x✝ : ∃ U ∈ 𝓝 x, Set.InjOn (fun x => y) U
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
inj : Set.InjOn (fun x => y) U
\u22a2 {x} ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type ?u.17551
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
y : Y
x : X
x✝ : ∃ U ∈ 𝓝 x, Set.InjOn (fun x => y) U
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
inj : Set.InjOn (fun x => y) U
x' : X
\u22a2 x' ∈ {x} ↔ x' ∈ U
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type ?u.17551
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
y : Y
x : X
x✝ : ∃ U ∈ 𝓝 x, Set.InjOn (fun x => y) U
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
inj : Set.InjOn (fun x => y) U
x' : X
\u22a2 x' ∈ {x} → x' ∈ U
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type ?u.17551
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
y : Y
U : Set X
inj : Set.InjOn (fun x => y) U
x' : X
x✝ : ∃ U ∈ 𝓝 x', Set.InjOn (fun x => y) U
hU : U ∈ 𝓝 x'
\u22a2 x' ∈ U
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NNNorm.lean
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
\u22a2 sSup ((fun x => ‖f x‖₊) '' ball 0 1) = ‖f‖₊
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NNNorm.lean
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
\u22a2 ∀ a ∈ (fun x => ‖f x‖₊) '' ball 0 1, a ≤ ‖f‖₊
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NNNorm.lean
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
ub : ℝ≥0
hub : ub < ‖f‖₊
\u22a2 ∃ a ∈ (fun x => ‖f x‖₊) '' ball 0 1, ub < a
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x n r
hg : HasFiniteFPowerSeriesOnBall g pg x m r
N : ℕ
hN : max n m ≤ N
\u22a2 (pf + pg) N = 0
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x y : M
hy : y ∈ (extChartAt I x).source
\u22a2 y ∈ (chartAt H x).source
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Integral.lean
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f : G → E
g : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
hf' : ∀ (x : G), f (x * g) = -f x
\u22a2 ∫ (x : G), f x ∂μ = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
s : Finset ι
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
a : ι → ι → 𝕜
\u22a2 ∑ i ∈ s, ∑ j ∈ s, a i j • ⟪v j, v i⟫_𝕜 = ∑ k ∈ s, a k k
-- Mathlib/Topology/Instances/Irrational.lean
x : ℝ
hx : Irrational x
n : ℕ
ε : ℝ
H : ∀ k ≤ n, ∀ (m : ℤ), ε ≤ dist x (↑m / ↑k)
r : ℚ
hr : r.den ≤ n
\u22a2 ε ≤ dist x ↑r
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
n : ℤ
x : AddCircle T
\u22a2 (fourier (-n)) x = (starRingEnd ℂ) ((fourier n) x)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
n : ℤ
z✝ : ℝ
\u22a2 (fourier (-n)) ↑z✝ = (starRingEnd ℂ) ((fourier n) ↑z✝)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
n : ℤ
z✝ : ℝ
\u22a2 ↑(⋯.lift (-n • ↑z✝)) = (starRingEnd ℂ) ↑(⋯.lift (n • ↑z✝))
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
n : ℤ
z✝ : ℝ
\u22a2 ↑(⋯.lift ↑(-n • z✝)) = (starRingEnd ℂ) ↑(⋯.lift ↑(n • z✝))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
u : 𝕜 → E
v : 𝕜 → F
u' : E
v' : F
hu : HasDerivWithinAt u u' s x
hv : HasDerivWithinAt v v' s x
\u22a2 HasDerivWithinAt (fun x => (B (u x)) (v x)) ((B (u x)) v' + (B u') (v x)) s x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
\u22a2 cos (π / 3) = 1 / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
h₁ : (2 * cos (π / 3) - 1) ^ 2 * (2 * cos (π / 3) + 2) = 0
\u22a2 cos (π / 3) = 1 / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
h₁ : (2 * cos (π / 3) - 1) ^ 2 * (2 * cos (π / 3) + 2) = 0
h : (2 * cos (π / 3) - 1) ^ 2 = 0
\u22a2 cos (π / 3) = 1 / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
h₁ : (2 * cos (π / 3) - 1) ^ 2 * (2 * cos (π / 3) + 2) = 0
h : 2 * cos (π / 3) + 2 = 0
\u22a2 cos (π / 3) = 1 / 2
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q✝ q r : ℚ
\u22a2 q * r = mkRat (q.num * r.num) (q.den * r.den)
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
inst✝ : Nonempty α
f : α → β
a : α
b✝ : β
g : β → α
hf : Injective f
hg : RightInverse g f
b : β
\u22a2 f (invFun f b) = b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
i j : ι
h : j ≠ i
\u22a2 (hli.repr ⟨v j, ⋯⟩) i = 0
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
a b r : ℝ≥0∞
hr₀ : r ≠ 0
hr₁ : r ≠ ⊤
\u22a2 r * a ≤ b ↔ a ≤ r⁻¹ * b
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Monoid α
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : MulAction α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
hb : 0 < b
h : 1 < a
\u22a2 b < a • b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ : ONote
n₂ : ℕ+
h₁ : e₁.cmp e₁ = Ordering.eq
h₂ : _root_.cmp ↑n₁ ↑n₂ = Ordering.eq
h : Ordering.eq.orElse (Ordering.eq.orElse (a₁.cmp a₁)) = Ordering.eq
\u22a2 e₁.oadd n₁ a₁ = e₁.oadd n₂ a₁
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ : ONote
n₂ : ℕ+
h₁ : e₁.cmp e₁ = Ordering.eq
h₂ : ¬↑n₁ < ↑n₂ ∧ ¬↑n₂ < ↑n₁
h : Ordering.eq.orElse (Ordering.eq.orElse (a₁.cmp a₁)) = Ordering.eq
\u22a2 e₁.oadd n₁ a₁ = e₁.oadd n₂ a₁
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ : ONote
h₁ : e₁.cmp e₁ = Ordering.eq
h : Ordering.eq.orElse (Ordering.eq.orElse (a₁.cmp a₁)) = Ordering.eq
h₂ : ¬↑n₁ < ↑n₁ ∧ ¬↑n₁ < ↑n₁
\u22a2 e₁.oadd n₁ a₁ = e₁.oadd n₁ a₁
-- Mathlib/Algebra/Group/AddChar.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid B
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
ψ✝ : AddChar A M
f : A →+ B
hf : Surjective ⇑f
ψ χ : AddChar B M
h : (fun ψ => ψ.compAddMonoidHom f) ψ = (fun ψ => ψ.compAddMonoidHom f) χ
\u22a2 ψ = χ
-- Mathlib/Algebra/Group/AddChar.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid B
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
ψ✝ : AddChar A M
f : A →+ B
hf : Surjective ⇑f
ψ χ : AddChar B M
h : ⇑((fun ψ => ψ.compAddMonoidHom f) ψ) = ⇑((fun ψ => ψ.compAddMonoidHom f) χ)
\u22a2 ⇑ψ = ⇑χ
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : SDiff α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b
\u22a2 ma \ mb ∈ a \ b
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : SDiff α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b
\u22a2 ∃ a_1 ∈ a, ∃ a ∈ b, a_1 \ a = ma \ mb
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
e : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) ≃ ChooseBasisIndex ℤ ↥↑↑I
\u22a2 |(latticeBasis K).det (⇑(mixedEmbedding K) ∘ ⇑(basisOfFractionalIdeal K I) ∘ ⇑e)| = ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑I)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
e : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) ≃ ChooseBasisIndex ℤ ↥↑↑I
\u22a2 (latticeBasis K).det (⇑(mixedEmbedding K) ∘ ⇑(basisOfFractionalIdeal K I) ∘ ⇑e) = (algebraMap ℚ ℝ) ((integralBasis K).det (⇑(basisOfFractionalIdeal K I) ∘ ⇑e))
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
e : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) ≃ ChooseBasisIndex ℤ ↥↑↑I
\u22a2 ((latticeBasis K).toMatrix (⇑(mixedEmbedding K) ∘ ⇑(basisOfFractionalIdeal K I) ∘ ⇑e)).det = ((algebraMap ℚ ℝ).mapMatrix ((integralBasis K).toMatrix (⇑(basisOfFractionalIdeal K I) ∘ ⇑e))).det
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
e : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) ≃ ChooseBasisIndex ℤ ↥↑↑I
i j : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
\u22a2 (latticeBasis K).toMatrix (⇑(mixedEmbedding K) ∘ ⇑(basisOfFractionalIdeal K I) ∘ ⇑e) i j = (algebraMap ℚ ℝ).mapMatrix ((integralBasis K).toMatrix (⇑(basisOfFractionalIdeal K I) ∘ ⇑e)) i j
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
e : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) ≃ ChooseBasisIndex ℤ ↥↑↑I
i j : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
\u22a2 ((latticeBasis K).repr ((mixedEmbedding K) ((basisOfFractionalIdeal K I) (e j)))) i = (algebraMap ℚ ℝ) (((integralBasis K).repr ((basisOfFractionalIdeal K I) (e j))) i)
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_ne : (aeval x) p.divX ≠ 0
\u22a2 x⁻¹ = (aeval x) p.divX / ((aeval x) p - (algebraMap K L) (p.coeff 0))
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_ne : (aeval x) p.divX ≠ 0
\u22a2 (aeval x) p = (aeval x) p.divX * x + (algebraMap K L) (p.coeff 0)
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_ne : (aeval x) p.divX ≠ 0
\u22a2 (aeval x) p.divX ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : L
p : K[X]
aeval_ne : (aeval x) p.divX ≠ 0
\u22a2 (aeval x) (p.divX * X + C (p.coeff 0)) = (aeval x) p.divX * x + (algebraMap K L) (p.coeff 0)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Idempotents.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
S : Type u_3
M₀ : Type u_4
M₁ : Type u_5
R : Type u_6
G : Type u_7
G₀ : Type u_8
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : Monoid N
inst✝⁵ : Semigroup S
inst✝⁴ : MulZeroClass M₀
inst✝³ : MulOneClass M₁
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Group G
inst✝ : CancelMonoidWithZero G₀
p q : S
h : Commute p q
h₁ : IsIdempotentElem p
h₂ : IsIdempotentElem q
\u22a2 IsIdempotentElem (p * q)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Monoid α✝
s t : Set α✝
a : α✝
m n✝ : ℕ
α : Type u_5
inst✝ : AddMonoid α
n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0
\u22a2 (n + 2) • univ = univ
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b : ι → M
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
d : R := generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})
\u22a2 generator (ϕ.submoduleImage N) ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b : ι → M
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
d : R := generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})
d_dvd_left : d ∣ a
\u22a2 generator (ϕ.submoduleImage N) ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b : ι → M
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
d : R := generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})
d_dvd_left : d ∣ a
d_dvd_right : d ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩
\u22a2 generator (ϕ.submoduleImage N) ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b : ι → M
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
d : R := generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})
d_dvd_left : d ∣ a
d_dvd_right : d ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩
\u22a2 generator (ϕ.submoduleImage N) ∣ d
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b : ι → M
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
d : R := generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})
d_dvd_left : d ∣ a
d_dvd_right : d ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩
\u22a2 span R {generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})} = span R {generator (ϕ.submoduleImage N)}
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b : ι → M
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
d : R := generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})
d_dvd_left : d ∣ a
d_dvd_right : d ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩
\u22a2 generator (ϕ.submoduleImage N) ∈ span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩}
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/FG.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : (Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)).FG
h2 : (Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t)).FG
\u22a2 (Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (s ∪ t))).FG
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/FG.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : (Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)).FG
h2 : (Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t)).FG
p : Set A
hp : p.Finite
hp' : span R p = Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
\u22a2 (Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (s ∪ t))).FG
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/FG.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : (Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)).FG
h2 : (Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t)).FG
p : Set A
hp : p.Finite
hp' : span R p = Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : q.Finite
hq' : span (↥(adjoin R s)) q = Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t)
\u22a2 (Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (s ∪ t))).FG
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/FG.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : (Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)).FG
h2 : (Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t)).FG
p : Set A
hp : p.Finite
hp' : span R p = Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : q.Finite
hq' : span (↥(adjoin R s)) q = Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t)
\u22a2 span R (p * q) ≤ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (s ∪ t))
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/FG.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : (Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)).FG
h2 : (Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t)).FG
p : Set A
hp : p.Finite
hp' : span R p = Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : q.Finite
hq' : span (↥(adjoin R s)) q = Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t)
\u22a2 Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (s ∪ t)) ≤ span R (p * q)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SpecialFunctions/Inner.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
μ : MeasureTheory.Measure α
f g : α → E
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
\u22a2 AEMeasurable (fun x => ⟪f x, g x⟫_𝕜) μ