ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
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-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
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-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
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-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
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-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
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-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
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-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
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-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
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-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
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I : ∀ (i : (n : ℕ) × Composition n), ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst ≤ Cq / 4 ^ i.fst
this : ∀ (n : ℕ), HasSum (fun c => (4 ^ n)⁻¹) (2 ^ (n - 1) / 4 ^ n)
\u22a2 (fun i => ∑' (y : Composition (i + 1)), (4 ^ ⟨i + 1, y⟩.fst)⁻¹) = fun i => 1 / 4 * (1 / 2) ^ i
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
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inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
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hp : 0 < p.radius
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r_pos : 0 < r
I : ∀ (i : (n : ℕ) × Composition n), ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst ≤ Cq / 4 ^ i.fst
this : ∀ (n : ℕ), HasSum (fun c => (4 ^ n)⁻¹) (2 ^ (n - 1) / 4 ^ n)
n : ℕ
\u22a2 ∑' (y : Composition (n + 1)), (4 ^ ⟨n + 1, y⟩.fst)⁻¹ = 1 / 4 * (1 / 2) ^ n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hq : 0 < q.radius
hp : 0 < p.radius
rq rp : ℝ≥0
hrp : rp < 1 ∧ ↑rp < p.radius
hrq : rq < 1 ∧ ↑rq < q.radius
rp_pos : 0 < rp
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Cq : ℝ≥0
_hCq0 : Cq > 0
hCq : ∀ (n : ℕ), ‖q n‖₊ * rq ^ n ≤ Cq
Cp : ℝ≥0
hCp1 : Cp ≥ 1
hCp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖₊ * rp ^ n ≤ Cp
r0 : ℝ≥0 := (4 * Cp)⁻¹
r0_pos : 0 < r0
r : ℝ≥0 := rp * rq * r0
r_pos : 0 < r
I : ∀ (i : (n : ℕ) × Composition n), ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst ≤ Cq / 4 ^ i.fst
this : ∀ (n : ℕ), HasSum (fun c => (4 ^ n)⁻¹) (2 ^ (n - 1) / 4 ^ n)
n : ℕ
\u22a2 2 ^ n / 4 ^ (n + 1) = 1 / 4 * (1 / 2) ^ n
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
p : PMF α
s✝ t✝ s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
h : s ∩ p.support = t ∩ p.support
\u22a2 p.toMeasure s = p.toMeasure t
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b✝ c✝ : Ordinal.{u}
a b c : Ordinal.{u_1}
\u22a2 a ♯ b ♯ c = a ♯ (b ♯ c)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b✝ c✝ : Ordinal.{u}
a b c : Ordinal.{u_1}
\u22a2 max (a.blsub fun a' ha' => a' ♯ b ♯ c) (max (b.blsub fun b' hb' => a ♯ b' ♯ c) (c.blsub fun b' x => a ♯ b ♯ b')) = max (a.blsub fun a' x => a' ♯ (b ♯ c)) (max (b.blsub fun a' ha' => a ♯ (a' ♯ c)) (c.blsub fun b' hb' => a ♯ (b ♯ b')))
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b✝ c✝ : Ordinal.{u}
a b c : Ordinal.{u_1}
\u22a2 ∀ {i j : Ordinal.{u_1}}, i < b ♯ c → j < b ♯ c → i ≤ j → a ♯ i ≤ a ♯ j
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b✝ c✝ : Ordinal.{u}
a b c : Ordinal.{u_1}
\u22a2 ∀ {i j : Ordinal.{u_1}}, i < a ♯ b → j < a ♯ b → i ≤ j → i ♯ c ≤ j ♯ c
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Add.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
c : F
\u22a2 deriv (fun y => f y - c) x = deriv f x
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Units.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x y z : α
hu : IsUnit x
\u22a2 IsRelPrime (y * x) (z * x) ↔ IsRelPrime y z
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
f g : M₁ →ₗ[R] M₁
\u22a2 (toMatrix v₁ v₁) (f * g) = (toMatrix v₁ v₁) f * (toMatrix v₁ v₁) g
-- Mathlib/Order/Compare.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : LE α
inst✝¹ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x y : α
xy : ¬x ≤ y
yx : ¬y ≤ x
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Int/ModEq.lean
m n a b c d : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]
\u22a2 c * a ≡ c * b [ZMOD c * n]
-- Mathlib/Data/Int/ModEq.lean
m n a b c d : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]
hc : c < 0
\u22a2 c * a ≡ c * b [ZMOD c * n]
-- Mathlib/Data/Int/ModEq.lean
m n a b d : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]
\u22a2 0 * a ≡ 0 * b [ZMOD 0 * n]
-- Mathlib/Data/Int/ModEq.lean
m n a b c d : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]
hc : 0 < c
\u22a2 c * a ≡ c * b [ZMOD c * n]
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite ν'
h1 : μ ≪ μ'
h2 : ν ≪ ν'
\u22a2 μ.prod ν ≪ μ'.prod ν'
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite ν'
h1 : μ ≪ μ'
h2 : ν ≪ ν'
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : (μ'.prod ν') s = 0
\u22a2 (μ.prod ν) s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite ν'
h1 : μ ≪ μ'
h2 : ν ≪ ν'
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : (fun x => ν' (Prod.mk x ⁻¹' s)) =ᶠ[ae μ'] 0
\u22a2 (fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/Geometry/Manifold/InteriorBoundary.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners J N
x : M
y : N
inst✝ : J.Boundaryless
\u22a2 (I.prod J).boundary (M × N) = (I.boundary M).prod univ
-- Mathlib/Geometry/Manifold/InteriorBoundary.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners J N
x : M
y : N
inst✝ : J.Boundaryless
\u22a2 univ.prod ∅ ∪ (I.boundary M).prod univ = (I.boundary M).prod univ
-- Mathlib/Geometry/Manifold/InteriorBoundary.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners J N
x : M
y : N
inst✝ : J.Boundaryless
this : univ.prod ∅ = ∅
\u22a2 univ.prod ∅ ∪ (I.boundary M).prod univ = (I.boundary M).prod univ
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q : R[X]
x✝ : R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
x : S
\u22a2 eval₂ f x (p.comp q) = eval₂ f (eval₂ f x q) p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q : R[X]
x✝ : R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
x : S
\u22a2 eval₂ f x (eval₂ C q (∑ i ∈ range (p.natDegree + 1), (monomial i) (p.coeff i))) = eval₂ f (eval₂ f x q) (∑ i ∈ range (p.natDegree + 1), (monomial i) (p.coeff i))
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
h : a ∉ s
\u22a2 s ⊆ insert a t ↔ s ⊆ t
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
f : CauSeq ℝ abs
S : Set ℝ := {x | const abs x < f}
\u22a2 ∃ x, f ≈ const abs x
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
f : CauSeq ℝ abs
S : Set ℝ := {x | const abs x < f}
lb : ∃ x, x ∈ S
\u22a2 ∃ x, f ≈ const abs x
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
f : CauSeq ℝ abs
S : Set ℝ := {x | const abs x < f}
lb : ∃ x, x ∈ S
ub' : ∀ (x : ℝ), f < const abs x → ∀ y ∈ S, y ≤ x
\u22a2 ∃ x, f ≈ const abs x
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
f : CauSeq ℝ abs
S : Set ℝ := {x | const abs x < f}
lb : ∃ x, x ∈ S
ub' : ∀ (x : ℝ), f < const abs x → ∀ y ∈ S, y ≤ x
ub : ∃ x, ∀ y ∈ S, y ≤ x
\u22a2 ∃ x, f ≈ const abs x
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
f : CauSeq ℝ abs
S : Set ℝ := {x | const abs x < f}
lb : ∃ x, x ∈ S
ub' : ∀ (x : ℝ), f < const abs x → ∀ y ∈ S, y ≤ x
ub : ∃ x, ∀ y ∈ S, y ≤ x
h : f < const abs (sSup S)
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
f : CauSeq ℝ abs
S : Set ℝ := {x | const abs x < f}
lb : ∃ x, x ∈ S
ub' : ∀ (x : ℝ), f < const abs x → ∀ y ∈ S, y ≤ x
ub : ∃ x, ∀ y ∈ S, y ≤ x
h : const abs (sSup S) < f
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l l₁ l₂ : List (Sigma β)
L : List (List (Sigma β))
\u22a2 L.join.NodupKeys ↔ (∀ l ∈ L, l.NodupKeys) ∧ Pairwise Disjoint (map keys L)
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l l₁ l₂ : List (Sigma β)
L : List (List (Sigma β))
\u22a2 (∀ l ∈ L, Pairwise (fun s s' => s.fst ≠ s'.fst) l) ∧ Pairwise (fun l₁ l₂ => ∀ x ∈ l₁, ∀ y ∈ l₂, x.fst ≠ y.fst) L ↔ (∀ l ∈ L, l.NodupKeys) ∧ Pairwise (fun a b => a.keys.Disjoint b.keys) L
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l l₁ l₂ : List (Sigma β)
L : List (List (Sigma β))
\u22a2 Pairwise (fun l₁ l₂ => ∀ x ∈ l₁, ∀ y ∈ l₂, x.fst ≠ y.fst) L ↔ Pairwise (fun a b => a.keys.Disjoint b.keys) L
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l l₁ l₂ : List (Sigma β)
L : List (List (Sigma β))
\u22a2 Pairwise (fun l₁ l₂ => ∀ x ∈ l₁, ∀ y ∈ l₂, x.fst ≠ y.fst) L = Pairwise (fun a b => a.keys.Disjoint b.keys) L
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
L : List (List (Sigma β))
l₁ l₂ : List (Sigma β)
\u22a2 (∀ x ∈ l₁, ∀ y ∈ l₂, x.fst ≠ y.fst) ↔ l₁.keys.Disjoint l₂.keys