ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Defs.lean
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
\u22a2 compare a b = Ordering.lt ↔ a < b
-- Mathlib/Order/Defs.lean
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
\u22a2 (if a < b then Ordering.lt else if a = b then Ordering.eq else Ordering.gt) = Ordering.lt ↔ a < b
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s : Set α
\u22a2 StrictMono (⇑toDual ∘ f ∘ ⇑ofDual) ↔ StrictMono f
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
\u22a2 t' 𝒰 f g i j k ≫ pullback.snd (fV 𝒰 f g j k) (fV 𝒰 f g j i) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i) ≫ pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g = pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C✝ : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C✝
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C✝
X✝ Y✝ : C✝
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝³ : HasCokernel f✝
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : f ≫ g = 0
inst✝ : HasCokernel f
\u22a2 colimit.ι (parallelPair f 0) zero ≫ cokernel.desc f g h = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C✝ : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C✝
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C✝
X✝ Y✝ : C✝
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝³ : HasCokernel f✝
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : f ≫ g = 0
inst✝ : HasCokernel f
\u22a2 ((parallelPair f 0).map WalkingParallelPairHom.left ≫ colimit.ι (parallelPair f 0) one) ≫ cokernel.desc f g h = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f
\u22a2 (map f s).SOppSide (f x) (f y) ↔ s.SOppSide x y
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
i : m
\u22a2 diagonal v i ⬝ᵥ w = v i * w i
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
i : m
this : ∀ (j : m), j ≠ i → diagonal v i j * w j = 0
\u22a2 diagonal v i ⬝ᵥ w = v i * w i
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
\u22a2 (𝓝 x).HasBasis (fun s => x ∈ s ∧ IsOpen s) fun s => s
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
\u22a2 (⨅ s ∈ {s | x ∈ s ∧ IsOpen s}, 𝓟 s).HasBasis (fun s => x ∈ s ∧ IsOpen s) fun s => s
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Monoid G
p : MonoidAlgebra k G → Prop
f : MonoidAlgebra k G
hM : ∀ (g : G), p ((of k G) g)
hadd : ∀ (f g : MonoidAlgebra k G), p f → p g → p (f + g)
hsmul : ∀ (r : k) (f : MonoidAlgebra k G), p f → p (r • f)
\u22a2 p f
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Monoid G
p : MonoidAlgebra k G → Prop
f : MonoidAlgebra k G
hM : ∀ (g : G), p ((of k G) g)
hadd : ∀ (f g : MonoidAlgebra k G), p f → p g → p (f + g)
hsmul : ∀ (r : k) (f : MonoidAlgebra k G), p f → p (r • f)
\u22a2 p 0
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Monoid G
p : MonoidAlgebra k G → Prop
f : MonoidAlgebra k G
hM : ∀ (g : G), p ((of k G) g)
hadd : ∀ (f g : MonoidAlgebra k G), p f → p g → p (f + g)
hsmul : ∀ (r : k) (f : MonoidAlgebra k G), p f → p (r • f)
g : G
r : k
\u22a2 p (Finsupp.single g r)
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
ht : 0 ∈ t
hst : ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • s ⊆ t
\u22a2 s ⊆ balancedCore 𝕜 t
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
ht : 0 ∈ t
hst : ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • s ⊆ t
\u22a2 s ⊆ ⋂ r, ⋂ (_ : 1 ≤ ‖r‖), r • t
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
ht : 0 ∈ t
hst : ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • s ⊆ t
a : 𝕜
ha : 1 ≤ ‖a‖
\u22a2 s ⊆ a • t
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
ht : 0 ∈ t
hst : ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • s ⊆ t
a : 𝕜
ha : 1 ≤ ‖a‖
\u22a2 a • a⁻¹ • s ⊆ a • t
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
ht : 0 ∈ t
hst : ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • s ⊆ t
a : 𝕜
ha : 1 ≤ ‖a‖
\u22a2 ‖a⁻¹‖ ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
ht : 0 ∈ t
hst : ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • s ⊆ t
a : 𝕜
ha : 1 ≤ ‖a‖
\u22a2 ‖a‖⁻¹ ≤ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹⁵ : Ring k
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V1
inst✝¹³ : AffineSpace V1 P1
inst✝¹² : AddCommGroup V2
inst✝¹¹ : AffineSpace V2 P2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V3
inst✝⁹ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁸ : Module k V1
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : Module k V3
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
φp : ι → Type u_11
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module k (φv i)
inst✝³ : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)
fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i
fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i
f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2
inst✝ : Nonempty ι
h : ∀ (i : ι) (x : φv i), f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)
\u22a2 f = g
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹⁵ : Ring k
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V1
inst✝¹³ : AffineSpace V1 P1
inst✝¹² : AddCommGroup V2
inst✝¹¹ : AffineSpace V2 P2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V3
inst✝⁹ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁸ : Module k V1
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : Module k V3
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
φp : ι → Type u_11
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module k (φv i)
inst✝³ : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)
fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i
fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i
f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2
inst✝ : Nonempty ι
h : ∀ (i : ι) (x : φv i), f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)
\u22a2 f 0 = g 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹⁵ : Ring k
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V1
inst✝¹³ : AffineSpace V1 P1
inst✝¹² : AddCommGroup V2
inst✝¹¹ : AffineSpace V2 P2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V3
inst✝⁹ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁸ : Module k V1
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : Module k V3
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
φp : ι → Type u_11
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module k (φv i)
inst✝³ : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)
fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i
fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i
f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2
inst✝ : Nonempty ι
h : ∀ (i : ι) (x : φv i), f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)
inhabited_h : Inhabited ι
\u22a2 f 0 = g 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹⁵ : Ring k
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V1
inst✝¹³ : AffineSpace V1 P1
inst✝¹² : AddCommGroup V2
inst✝¹¹ : AffineSpace V2 P2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V3
inst✝⁹ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁸ : Module k V1
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : Module k V3
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
φp : ι → Type u_11
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module k (φv i)
inst✝³ : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)
fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i
fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i
f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2
inst✝ : Nonempty ι
h : ∀ (i : ι) (x : φv i), f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)
inhabited_h : Inhabited ι
\u22a2 f (Pi.single default 0) = g (Pi.single default 0)
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
F : Type u
inst✝ : Field F
p q : F[X]
f g : RatFunc F
P : F[X]
\u22a2 (ofPowerSeries ℤ F) ↑P = ↑↑P
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
b : ℝ≥0∞
\u22a2 (↑a * b).toNNReal = a * b.toNNReal
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
n m : ℕ
H : Raised n m
\u22a2 n.dist m ≤ 1
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
n m : ℕ
H : Raised n m
H1 : n ≤ m
H2 : m ≤ n + 1
\u22a2 n.dist m ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g : ι → α
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : LinearOrder ι
s : Finset ι
f : ι → α
\u22a2 ∏ i ∈ s, (1 - f i) = 1 - ∑ i ∈ s, f i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (1 - f j)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g : ι → α
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : LinearOrder ι
s : Finset ι
f : ι → α
\u22a2 ∏ i ∈ s, 1 - ∑ i ∈ s, (f i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (1 - f j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, 1 = 1 - ∑ i ∈ s, f i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (1 - f j)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Ray.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
h : ‖x‖ = ‖y‖
\u22a2 SameRay ℝ x y ↔ x = y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Ray.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : F
h : ‖x‖ = ‖0‖
\u22a2 SameRay ℝ x 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Ray.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
h : ‖x‖ = ‖y‖
hy : y ≠ 0
\u22a2 SameRay ℝ x y ↔ x = y
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : liminf u f = ⊤
h' : liminf v f ≠ ⊥
\u22a2 liminf (u + v) f = ⊤
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : liminf u f = ⊤
h' : liminf v f ≠ ⊥
\u22a2 ∀ (z : ℝ), ↑z < ⊤ → ↑z ≤ liminf (u + v) f
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : liminf u f = ⊤
h' : liminf v f ≠ ⊥
x : ℝ
\u22a2 ↑x < ⊤ → ↑x ≤ liminf (u + v) f
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : liminf u f = ⊤
h' : liminf v f ≠ ⊥
x y : ℝ
left✝ : ⊥ < ↑y
hy : ↑y < liminf v f
\u22a2 ↑x < ⊤ → ↑x ≤ liminf (u + v) f
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : liminf u f = ⊤
h' : liminf v f ≠ ⊥
x y : ℝ
left✝ : ⊥ < ↑y
hy : ↑y < liminf v f
a✝ : ↑x < ⊤
\u22a2 ↑x ≤ liminf (u + v) f
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : liminf u f = ⊤
h' : liminf v f ≠ ⊥
x y : ℝ
left✝ : ⊥ < ↑y
hy : ↑y < liminf v f
a✝ : ↑x < ⊤
\u22a2 ↑(x - y) + ↑y ≤ liminf (u + v) f
-- Mathlib/Data/Finsupp/NeLocus.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq α
inst✝⁴ : DecidableEq M
inst✝³ : Zero M
inst✝² : DecidableEq P
inst✝¹ : Zero P
inst✝ : Zero N
F : M → N → P
F0 : F 0 0 = 0
f₁ f₂ : α →₀ M
g : α →₀ N
hF : ∀ (g : N), Function.Injective fun f => F f g
a✝ : α
\u22a2 a✝ ∈ (zipWith F F0 f₁ g).neLocus (zipWith F F0 f₂ g) ↔ a✝ ∈ f₁.neLocus f₂
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂
\u22a2 dist p₁ p₂ / (∡ p₂ p₁ s.center).cos = 2 * s.radius
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝¹ n✝ a n : ℕ
x y : ℤ
he : ↑x = ↑y
hl : x.natAbs ≤ n / 2
\u22a2 x.natAbs ≤ y.natAbs
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝¹ n✝ a n : ℕ
x y : ℤ
he : ↑n ∣ y - x
hl : x.natAbs ≤ n / 2
\u22a2 x.natAbs ≤ y.natAbs
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x y : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
he : y - x = ↑n * m
\u22a2 x.natAbs ≤ y.natAbs
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x y : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
he : y = ↑n * m + x
\u22a2 x.natAbs ≤ y.natAbs
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
\u22a2 x.natAbs ≤ (↑n * m + x).natAbs
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
\u22a2 x.natAbs ≤ (↑n * 0 + x).natAbs
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
hm : m ≠ 0
\u22a2 x.natAbs ≤ (↑n * m + x).natAbs
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
hm : m ≠ 0
\u22a2 n / 2 ≤ (↑n * m + x).natAbs
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
hm : m ≠ 0
\u22a2 n / 2 + x.natAbs ≤ (↑n * m + x).natAbs + x.natAbs
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
hm : m ≠ 0
\u22a2 n / 2 + n / 2 ≤ (↑n * m + x - x).natAbs
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
hm : m ≠ 0
\u22a2 n / 2 + n / 2 ≤ n * m.natAbs
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
hm : m ≠ 0
\u22a2 n / 2 + n / 2 ≤ n
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
hm : m ≠ 0
\u22a2 n / 2 * 2 ≤ n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
x : R
y : R[X]
\u22a2 y ∈ RingHom.ker (evalRingHom x) ↔ y ∈ Ideal.span {X - C x}
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Tower.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommSemiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R A B
x : σ → A
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 (aeval (⇑(algebraMap A B) ∘ x)) p = (algebraMap A B) ((aeval x) p)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Tower.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommSemiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R A B
x : σ → A
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 (eval₂Hom (algebraMap R B) (⇑(algebraMap A B) ∘ x)) p = (eval₂Hom (algebraMap R B) fun i => (algebraMap A B) (x i)) p
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
\u22a2 Differentiable 𝕜 (f ∘ ⇑iso) ↔ Differentiable 𝕜 f
-- Mathlib/Algebra/CharP/ExpChar.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
q n : ℕ
x y : R
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : Fact (Nat.Prime q)
\u22a2 (x + y) ^ q ^ n = x ^ q ^ n + y ^ q ^ n
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α →₀ M
\u22a2 filter p f = f ↔ ∀ (x : α), f x ≠ 0 → p x
-- Mathlib/Analysis/Quaternion.lean
a : ℝ
\u22a2 ‖↑a‖ = ‖a‖
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s✝ : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : DiscreteTopology α
β : Type u_2
x : α
s : Set α
\u22a2 s ∈ 𝓝 x ↔ x ∈ s
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Types.lean
S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u
hs : IsSheaf typesGrothendieckTopology S
α : Type u
f : α → S.obj (op PUnit.{u + 1})
\u22a2 eval S α (typesGlue S hs α f) = f
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Types.lean
S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u
hs : IsSheaf typesGrothendieckTopology S
α : Type u
f : α → S.obj (op PUnit.{u + 1})
x : α
\u22a2 eval S α (typesGlue S hs α f) x = f x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Types.lean
S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u
hs : IsSheaf typesGrothendieckTopology S
α : Type u
f : α → S.obj (op PUnit.{u + 1})
x : α
\u22a2 S.map (↾fun x => PUnit.unit).op (f ((↾fun x_1 => x) (Classical.choose ⋯))) = f x
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
\u22a2 (a₁, b) ⋖ (a₂, b) ↔ a₁ ⋖ a₂
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hn : n ≠ 0
\u22a2 (x ^ n) ^ (↑n)⁻¹ = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
\u22a2 (x ^ n) ^ (↑n)⁻¹ = x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ ≠ ⊤
hG : CompleteSpace G
\u22a2 ∫ (a : α), ∑' (i : ι), f i a ∂μ = ∑' (i : ι), ∫ (a : α), f i a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ ≠ ⊤
hG : CompleteSpace G
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable (fun x => ↑‖f i x‖₊) μ
\u22a2 ∫ (a : α), ∑' (i : ι), f i a ∂μ = ∑' (i : ι), ∫ (a : α), f i a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ ≠ ⊤
hG : CompleteSpace G
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable (fun x => ↑‖f i x‖₊) μ
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
\u22a2 ∫ (a : α), ∑' (i : ι), f i a ∂μ = ∑' (i : ι), ∫ (a : α), f i a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ ≠ ⊤
hG : CompleteSpace G
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable (fun x => ↑‖f i x‖₊) μ
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
\u22a2 ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f n a‖ ≤ (fun i a => ↑‖f i a‖₊) n a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ ≠ ⊤
hG : CompleteSpace G
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable (fun x => ↑‖f i x‖₊) μ
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
\u22a2 AEStronglyMeasurable (fun a => ∑' (n : ι), (fun i a => ↑‖f i a‖₊) n a) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ ≠ ⊤
hG : CompleteSpace G
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable (fun x => ↑‖f i x‖₊) μ
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
\u22a2 HasFiniteIntegral (fun a => ∑' (n : ι), (fun i a => ↑‖f i a‖₊) n a) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ ≠ ⊤
hG : CompleteSpace G
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable (fun x => ↑‖f i x‖₊) μ
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
\u22a2 ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => f n a) (∑' (i : ι), f i a)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
h : n ≠ 0
\u22a2 (C a).coeff n = 0
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g✝ g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
x✝ : ∃ g, ∀ (x : ↑s), f ↑x = ↑(g x)
x : α
hx : x ∈ s
g : ↑s → ↑t
hg : ∀ (x : ↑s), f ↑x = ↑(g x)
\u22a2 ↑(g ⟨x, hx⟩) ∈ t
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Indicator.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : LinearOrder M
s : Set α
f : α → M
a : α
\u22a2 s.indicator f a ≤ {a | 0 ≤ f a}.indicator f a
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x y : PartENat
hx : x ≠ ⊤
\u22a2 x + 1 ≤ y ↔ x < y
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x y : PartENat
hx : x ≠ ⊤
h : x + 1 ≤ y
\u22a2 x < y
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
y : PartENat
m : ℕ
hx : ↑m ≠ ⊤
h : ↑m + 1 ≤ y
\u22a2 ↑m < y
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
m : ℕ
hx : ↑m ≠ ⊤
h : ↑m + 1 ≤ ⊤
\u22a2 ↑m < ⊤
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
m : ℕ
hx : ↑m ≠ ⊤
n : ℕ
h : ↑m + 1 ≤ ↑n
\u22a2 ↑m < ↑n
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
m : ℕ
hx : ↑m ≠ ⊤
n : ℕ
h : ↑m + 1 ≤ ↑n
\u22a2 m < n
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
m : ℕ
hx : ↑m ≠ ⊤
n : ℕ
h : ↑m + 1 ≤ ↑n
\u22a2 m.succ ≤ n
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
p n : ℕ
hp : p ≠ 0
e : ℕ
hn : n ∈ p.smoothNumbers
this : NoZeroDivisors ℕ
\u22a2 p ^ e * n ∈ p.succ.smoothNumbers
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
p n : ℕ
hp : p ≠ 0
e : ℕ
hn : n ∈ p.smoothNumbers
this : NoZeroDivisors ℕ
hp' : p ^ e ≠ 0
\u22a2 p ^ e * n ∈ p.succ.smoothNumbers
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
p n : ℕ
hp : p ≠ 0
e : ℕ
hn : n ∈ p.smoothNumbers
this : NoZeroDivisors ℕ
hp' : p ^ e ≠ 0
q : ℕ
hq : q ∈ (p ^ e * n).primeFactorsList
\u22a2 q < p.succ