ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
inst✝ : NormalSpace X
p : (X → ℝ) → Prop
h01 : ∀ (s t : Set X), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hf : LocallyFinite U
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
V : ι → Set X
hsV : s ⊆ iUnion V
hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)
hVU : ∀ (i : ι), closure (V i) ⊆ U i
hVU' : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i
\u22a2 ∃ f, (∀ (i : ι), p ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
inst✝ : NormalSpace X
p : (X → ℝ) → Prop
h01 : ∀ (s t : Set X), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hf : LocallyFinite U
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
V : ι → Set X
hsV : s ⊆ iUnion V
hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)
hVU : ∀ (i : ι), closure (V i) ⊆ U i
hVU' : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i
W : ι → Set X
hsW : s ⊆ iUnion W
hWo : ∀ (i : ι), IsOpen (W i)
hWV : ∀ (i : ι), closure (W i) ⊆ V i
\u22a2 ∃ f, (∀ (i : ι), p ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
f✝ : BumpCovering ι X s
inst✝ : NormalSpace X
p : (X → ℝ) → Prop
h01 : ∀ (s t : Set X), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hf : LocallyFinite U
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
V : ι → Set X
hsV : s ⊆ iUnion V
hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)
hVU : ∀ (i : ι), closure (V i) ⊆ U i
hVU' : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i
W : ι → Set X
hsW : s ⊆ iUnion W
hWo : ∀ (i : ι), IsOpen (W i)
hWV : ∀ (i : ι), closure (W i) ⊆ V i
f : ι → C(X, ℝ)
hfp : ∀ (i : ι), p ⇑(f i)
hf0 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 0 (V i)ᶜ
hf1 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 1 (closure (W i))
hf01 : ∀ (i : ι) (x : X), (f i) x ∈ Icc 0 1
\u22a2 ∃ f, (∀ (i : ι), p ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
f✝ : BumpCovering ι X s
inst✝ : NormalSpace X
p : (X → ℝ) → Prop
h01 : ∀ (s t : Set X), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hf : LocallyFinite U
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
V : ι → Set X
hsV : s ⊆ iUnion V
hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)
hVU : ∀ (i : ι), closure (V i) ⊆ U i
hVU' : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i
W : ι → Set X
hsW : s ⊆ iUnion W
hWo : ∀ (i : ι), IsOpen (W i)
hWV : ∀ (i : ι), closure (W i) ⊆ V i
f : ι → C(X, ℝ)
hfp : ∀ (i : ι), p ⇑(f i)
hf0 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 0 (V i)ᶜ
hf1 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 1 (closure (W i))
hf01 : ∀ (i : ι) (x : X), (f i) x ∈ Icc 0 1
hsupp : ∀ (i : ι), support ⇑(f i) ⊆ V i
\u22a2 ∃ f, (∀ (i : ι), p ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
f✝ : BumpCovering ι X s
inst✝ : NormalSpace X
p : (X → ℝ) → Prop
h01 : ∀ (s t : Set X), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hf : LocallyFinite U
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
V : ι → Set X
hsV : s ⊆ iUnion V
hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)
hVU : ∀ (i : ι), closure (V i) ⊆ U i
hVU' : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i
W : ι → Set X
hsW : s ⊆ iUnion W
hWo : ∀ (i : ι), IsOpen (W i)
hWV : ∀ (i : ι), closure (W i) ⊆ V i
f : ι → C(X, ℝ)
hfp : ∀ (i : ι), p ⇑(f i)
hf0 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 0 (V i)ᶜ
hf1 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 1 (closure (W i))
hf01 : ∀ (i : ι) (x : X), (f i) x ∈ Icc 0 1
hsupp : ∀ (i : ι), support ⇑(f i) ⊆ V i
x : X
hx : x ∈ s
\u22a2 ∃ i, ⇑(f i) =ᶠ[𝓝 x] 1
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
f✝ : BumpCovering ι X s
inst✝ : NormalSpace X
p : (X → ℝ) → Prop
h01 : ∀ (s t : Set X), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hf : LocallyFinite U
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
V : ι → Set X
hsV : s ⊆ iUnion V
hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)
hVU : ∀ (i : ι), closure (V i) ⊆ U i
hVU' : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i
W : ι → Set X
hsW : s ⊆ iUnion W
hWo : ∀ (i : ι), IsOpen (W i)
hWV : ∀ (i : ι), closure (W i) ⊆ V i
f : ι → C(X, ℝ)
hfp : ∀ (i : ι), p ⇑(f i)
hf0 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 0 (V i)ᶜ
hf1 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 1 (closure (W i))
hf01 : ∀ (i : ι) (x : X), (f i) x ∈ Icc 0 1
hsupp : ∀ (i : ι), support ⇑(f i) ⊆ V i
x : X
hx : x ∈ s
i : ι
hi : x ∈ W i
\u22a2 ∃ i, ⇑(f i) =ᶠ[𝓝 x] 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
α : Type u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℝ≥0
ht : 1 < t
A : μ s = μ (s ∩ f ⁻¹' {0}) + μ (s ∩ f ⁻¹' Ioi 0)
B : μ (s ∩ f ⁻¹' Ioi 0) = μ (s ∩ f ⁻¹' {⊤}) + μ (s ∩ f ⁻¹' Ioo 0 ⊤)
C : μ (s ∩ f ⁻¹' Ioo 0 ⊤) = ∑' (n : ℤ), μ (s ∩ f ⁻¹' Ico (↑t ^ n) (↑t ^ (n + 1)))
\u22a2 μ s = μ (s ∩ f ⁻¹' {0}) + μ (s ∩ f ⁻¹' {⊤}) + ∑' (n : ℤ), μ (s ∩ f ⁻¹' Ico (↑t ^ n) (↑t ^ (n + 1)))
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
\u22a2 (Function.support fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ).Finite
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
\u22a2 (Function.support fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ) ⊆ (fun d => (weight w) d) '' ↑φ.support
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m : M
hm : m ∈ Function.support fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ
\u22a2 m ∈ (fun d => (weight w) d) '' ↑φ.support
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m : M
hm : m ∈ Function.support fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ
hm' : m ∉ (fun d => (weight w) d) '' ↑φ.support
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m : M
hm : m ∈ Function.support fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ
hm' : m ∉ (fun d => (weight w) d) '' ↑φ.support
\u22a2 (fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ) m = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m : M
hm' : m ∉ (fun d => (weight w) d) '' ↑φ.support
hm : ¬(weightedHomogeneousComponent w m) φ = 0
\u22a2 (fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ) m = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m : M
hm : ¬(weightedHomogeneousComponent w m) φ = 0
hm' : ∀ x ∈ ↑φ.support, ¬(weight w) x = m
\u22a2 (fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ) m = 0
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H₁ : OpenEmbedding ⇑f
H₂ : OpenEmbedding ⇑g
\u22a2 OpenEmbedding ⇑(limit.π (cospan f g) WalkingCospan.one)
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H₁ : OpenEmbedding ⇑f
H₂ : OpenEmbedding ⇑g
e_2✝ : ↑((cospan f g).obj WalkingCospan.one) = ↑S
\u22a2 ⇑(limit.π (cospan f g) WalkingCospan.one) = ⇑g ∘ ⇑(pullback.snd f g)
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H₁ : OpenEmbedding ⇑f
H₂ : OpenEmbedding ⇑g
e_2✝ : ↑((cospan f g).obj WalkingCospan.one) = ↑S
\u22a2 ⇑(limit.π (cospan f g) WalkingCospan.one) = ⇑(pullback.snd f g ≫ g)
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H₁ : OpenEmbedding ⇑f
H₂ : OpenEmbedding ⇑g
e_2✝ : ↑((cospan f g).obj WalkingCospan.one) = ↑S
\u22a2 ⇑(limit.π (cospan f g) WalkingCospan.right ≫ (cospan f g).map WalkingCospan.Hom.inr) = ⇑(pullback.snd f g ≫ g)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J✝ : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
J : Box ι
hJ : ↑J ≤ ↑I
π : Prepartition J
hπ : π.IsPartition
\u22a2 ∑ Ji ∈ π.boxes, (fun J => integral J l f vol) Ji = (fun J => integral J l f vol) J
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J✝ : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
J : Box ι
hJ : ↑J ≤ ↑I
π : Prepartition J
hπ : π.iUnion = ↑J
\u22a2 ∑ Ji ∈ π.boxes, (fun J => integral J l f vol) Ji = (fun J => integral J l f vol) J
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J✝ : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
J : Box ι
hJ : ↑J ≤ ↑I
π : Prepartition J
hπ : π.iUnion = ⊤.iUnion
\u22a2 ∑ Ji ∈ π.boxes, (fun J => integral J l f vol) Ji = (fun J => integral J l f vol) J
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set (α × α)
\u22a2 s ∈ 𝓤 α ↔ s ∈ comap (fun p => dist p.1 p.2) (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set (α × α)
\u22a2 (∃ ε > 0, ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ s) ↔ ∃ i, 0 < i ∧ (fun p => dist p.1 p.2) ⁻¹' ball 0 i ⊆ s
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
n : ℕ
h : n.Coprime (orderOf σ)
\u22a2 (σ ^ n).support = σ.support
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
n : ℕ
h : n.Coprime (orderOf σ)
m : ℕ
hm : (σ ^ n) ^ m = σ
\u22a2 (σ ^ n).support = σ.support
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝¹ : SetLike M R
inst✝ : MulMemClass M R
S : M
a : R
ha : a ∈ AddSubmonoid.closure ↑S
\u22a2 ∀ {b : R}, b ∈ S → a * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝¹ : SetLike M R
inst✝ : MulMemClass M R
S : M
\u22a2 ∀ x ∈ ↑S, ∀ b ∈ S, x * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝¹ : SetLike M R
inst✝ : MulMemClass M R
S : M
\u22a2 ∀ b ∈ S, 0 * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝¹ : SetLike M R
inst✝ : MulMemClass M R
S : M
\u22a2 ∀ (x y : R), (∀ b ∈ S, x * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S) → (∀ b ∈ S, y * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S) → ∀ b ∈ S, (x + y) * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Support.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁶ : Group H
inst✝⁵ : SMul G α
inst✝⁴ : SMul G β
inst✝³ : MulAction H α
inst✝² : SMul H β
inst✝¹ : SMulCommClass G H β
inst✝ : SMulCommClass G H α
s t : Set α
b : β
g : H
h : Supports G s b
g' : G
hg' : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ g • s → g' • a = a
\u22a2 g' • g • b = g • b
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Support.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁶ : Group H
inst✝⁵ : SMul G α
inst✝⁴ : SMul G β
inst✝³ : MulAction H α
inst✝² : SMul H β
inst✝¹ : SMulCommClass G H β
inst✝ : SMulCommClass G H α
s t : Set α
b : β
g : H
h : Supports G s b
g' : G
hg' : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ g • s → g' • a = a
\u22a2 ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → g' • a = a
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Support.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁶ : Group H
inst✝⁵ : SMul G α
inst✝⁴ : SMul G β
inst✝³ : MulAction H α
inst✝² : SMul H β
inst✝¹ : SMulCommClass G H β
inst✝ : SMulCommClass G H α
s t : Set α
b : β
g : H
h : Supports G s b
g' : G
hg' : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ g • s → g' • a = a
a : α
ha : a ∈ s
\u22a2 g' • a = a
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Support.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁶ : Group H
inst✝⁵ : SMul G α
inst✝⁴ : SMul G β
inst✝³ : MulAction H α
inst✝² : SMul H β
inst✝¹ : SMulCommClass G H β
inst✝ : SMulCommClass G H α
s t : Set α
b : β
g : H
h : Supports G s b
g' : G
hg' : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ g • s → g' • a = a
a : α
ha : a ∈ s
this : g' • g • a = g • a
\u22a2 g' • a = a
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α
\u22a2 Tendsto (fun p => (u p.1, u p.2)) (atTop ×ˢ atTop) (𝓤 α) ↔ Tendsto (Prod.map u u) atTop (𝓤 α)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Bounded.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r✝ : ℝ
inst✝ : ProperSpace α
c : α
r : ℝ
h : (closedBall c r)ᶜ ⊆ s
\u22a2 s ∈ cocompact α
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Bounded.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r✝ : ℝ
inst✝ : ProperSpace α
c : α
r : ℝ
h : (closedBall c r)ᶜ ⊆ s
\u22a2 ∃ t, IsCompact t ∧ tᶜ ⊆ s
-- Mathlib/Order/Category/BddLat.lean
α β : BddLat
e : ↑α.toLat ≃o ↑β.toLat
x✝ : (forget BddLat).obj α
\u22a2 ((let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝
-- Mathlib/Order/Category/BddLat.lean
α β : BddLat
e : ↑α.toLat ≃o ↑β.toLat
x✝ : (forget BddLat).obj β
\u22a2 ((let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
\u22a2 W'.negAddY P (W'.neg P) = W'.dblZ P ^ 3
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
\u22a2 -P y * P x ^ 3 * P z ^ 3 + 2 * P y * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) ^ 2 * P z ^ 3 - 3 * P x ^ 2 * P x * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 2 * P z + 3 * P x * P y * P x ^ 2 * P z * P z ^ 2 + P x ^ 3 * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 3 - 2 * P y ^ 2 * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 3 + W'.a₁ * P x * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) ^ 2 * P z ^ 4 + W'.a₁ * P y * P x * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 3 * P z - W'.a₁ * P x * P y * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z * P z ^ 3 - W'.a₁ * P y ^ 2 * P x * P z ^ 4 - 2 * W'.a₂ * P x * P x * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 4 * P z + 2 * W'.a₂ * P x * P y * P x * P z * P z ^ 4 + W'.a₃ * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) ^ 2 * P z ^ 6 - W'.a₃ * P y ^ 2 * P z ^ 6 - W'.a₄ * P x * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 6 * P z - W'.a₄ * P x * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 4 * P z ^ 3 + W'.a₄ * P y * P x * P z ^ 3 * P z ^ 4 + W'.a₄ * P x * P y * P z * P z ^ 6 - 2 * W'.a₆ * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 6 * P z ^ 3 + 2 * W'.a₆ * P y * P z ^ 3 * P z ^ 6 = (P z * (P y - (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3))) ^ 3
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
\u22a2 (fun x => x - a) '' [[b, c]] = [[b - a, c - a]]
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
hr : 0 ≤ r
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
i : ℕ
\u22a2 ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, stoppedValue f (leastGE f r i) ω ≤ r + ↑R
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
hr : 0 ≤ r
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
i : ℕ
ω : Ω
hbddω : ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
\u22a2 stoppedValue f (leastGE f r i) ω ≤ r + ↑R
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
g : γ → δ
f' : β' → α → δ
g' : β → β'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g' b) a
\u22a2 image2 f' (g' '' t) ((fun a => a) '' s) = image2 f' (g' '' t) s
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Field.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : C < 0
hf : Tendsto f l (𝓝 C)
hg : Tendsto g l atBot
\u22a2 Tendsto (fun x => f x * g x) l atTop
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
\u22a2 y ∈ closedBall x ε ↔ edist x y ≤ ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
\u22a2 ∃ y, closedBall y (δ / 4) ⊆ closedBall x δ ∧ closedBall y (δ / 4) ⊆ interior s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
\u22a2 δ / 4 + dist (x - const ι (3 / 4 * δ)) x ≤ δ
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
\u22a2 closedBall (x - const ι (3 / 4 * δ)) (δ / 4) ⊆ interior s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
hxy : dist x y < δ / 4
\u22a2 closedBall (x - const ι (3 / 4 * δ)) (δ / 4) ⊆ interior s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
hxy : dist x y < δ / 4
z : ι → ℝ
hz : z ∈ closedBall (x - const ι (3 / 4 * δ)) (δ / 4)
i : ι
\u22a2 z i < y i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
hxy : dist x y < δ / 4
z : ι → ℝ
hz : ‖x - const ι (3 / 4 * δ) - z‖ ≤ δ / 4
i : ι
\u22a2 z i < y i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
hxy : ‖x - y‖ < δ / 4
z : ι → ℝ
hz : ‖x - const ι (3 / 4 * δ) - z‖ ≤ δ / 4
i : ι
\u22a2 z i < y i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
z : ι → ℝ
hz : ‖x - const ι (3 / 4 * δ) - z‖ ≤ δ / 4
i : ι
hxy : ‖(x - y) i‖ ≤ δ / 4
\u22a2 z i < y i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
z : ι → ℝ
i : ι
hxy : ‖(x - y) i‖ ≤ δ / 4
hz : ‖(x - const ι (3 / 4 * δ) - z) i‖ ≤ δ / 4
\u22a2 z i < y i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
z : ι → ℝ
i : ι
hxy : |x i - y i| ≤ δ / 4
hz : |x i - 3 / 4 * δ - z i| ≤ δ / 4
\u22a2 z i < y i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
z : ι → ℝ
i : ι
hxy : x i - y i ≤ δ / 4 ∧ y i - x i ≤ δ / 4
hz : x i - 3 / 4 * δ - z i ≤ δ / 4 ∧ z i - (x i - 3 / 4 * δ) ≤ δ / 4
\u22a2 z i < y i
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀✝ x₀ : X
i : ι
\u22a2 i ∈ ρ.finsupport x₀ ↔ i ∈ support fun i => (ρ i) x₀
-- Mathlib/Algebra/Order/Pointwise.lean
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K
\u22a2 x ∈ r • Icc a b ↔ x ∈ Icc (r • a) (r • b)
-- Mathlib/Algebra/Order/Pointwise.lean
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K
\u22a2 (∃ y, (a ≤ y ∧ y ≤ b) ∧ r * y = x) ↔ r * a ≤ x ∧ x ≤ r * b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K V : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
\u22a2 Module.rank K V < Module.rank K (V →ₗ[K] K)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K V : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
\u22a2 Module.rank K V = lift.{u, u} (Module.rank K V)
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t : Set α
f : α → β
a : α
s : Set α
x✝ : β
\u22a2 x✝ ∈ f '' insert a s ↔ x✝ ∈ insert (f a) (f '' s)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
S : Set (Set V)
Snd : ∀ {s t : Set V}, s ∈ S → t ∈ S → (s ∩ t).Nonempty
Sc : ∀ {s : Set V}, s ∈ S → (induce s G).Connected
s : Set V
sS : s ∈ S
\u22a2 (induce (⋃₀ S) G).Connected