ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → c • μ s = ⊤ → μ s = ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
hcμs : c * μ s ≠ ⊤
hT : FinMeasAdditive (c • μ) T ∧ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → c * μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (c.toReal * (μ s).toReal)
\u22a2 C * (c.toReal * (μ s).toReal) = c.toReal * C * (μ s).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
\u22a2 (∀ (n : ℕ), μ (s ∩ spanningSets μ n) = 0) ↔ μ s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
\u22a2 (∀ (n : ℕ), μ (s ∩ spanningSets μ n) = 0) ↔ μ (⋃ n, s ∩ spanningSets μ n) = 0
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
r : R
\u22a2 r ≤ ↑b ^ clog b r
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
r : R
hr : r ≤ 0
\u22a2 r ≤ ↑b ^ clog b r
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
r : R
hr : 0 < r
\u22a2 r ≤ ↑b ^ clog b r
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
r : R
hr : 0 < r
\u22a2 ↑b ^ log b r⁻¹ ≤ r⁻¹
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : 1 < b
r : R
hr : 0 < r
\u22a2 0 < ↑b
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g''✝ : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : ℕ → E
g'' : ℕ → E''
h : f =O[atTop] g''
\u22a2 f =O[cofinite] g''
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}
\u22a2 a * b ≤ max (max a b) ℵ₀
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
b : Cardinal.{u_1}
\u22a2 0 * b ≤ max (max 0 b) ℵ₀
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}
ha0 : a ≠ 0
\u22a2 a * b ≤ max (max a b) ℵ₀
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a : Cardinal.{u_1}
ha0 : a ≠ 0
\u22a2 a * 0 ≤ max (max a 0) ℵ₀
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
\u22a2 a * b ≤ max (max a b) ℵ₀
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
ha : ℵ₀ ≤ a
\u22a2 a * b ≤ max (max a b) ℵ₀
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
ha : a < ℵ₀
\u22a2 a * b ≤ max (max a b) ℵ₀
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x : Part α
\u22a2 x.bind some = x
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x : Part α
\u22a2 map (fun a => a) x = x
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
r : ℝ
hr : 0 < r
A : Matrix m n α
\u22a2 ‖A‖ < r ↔ ∀ (i : m) (j : n), ‖A i j‖ < r
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
s : ι → Set α
t : Set α
tfin : t.Finite
h : t ⊆ ⋃ i, s i
I : Set ι
Ifin : I.Finite
hI : t ⊆ ⋃ i ∈ I, s i
x : α
\u22a2 x ∈ t ↔ x ∈ ⋃ i, (fun x => s ↑x ∩ t) i
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
s : ι → Set α
t : Set α
tfin : t.Finite
h : t ⊆ ⋃ i, s i
I : Set ι
Ifin : I.Finite
hI : t ⊆ ⋃ i ∈ I, s i
x : α
\u22a2 x ∈ t ↔ ∃ i, x ∈ s ↑i ∩ t
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : Monoid γ
inst✝ : FunLike F β γ
s : Finset α
f g : α → β
comm_ff : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (f x) (f y)
comm_gg : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (g y)
comm_gf : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (f y)
x : α
hx : x ∈ ↑s
y : α
hy : y ∈ ↑s
h : x ≠ y
\u22a2 Commute ((f * g) x) ((f * g) y)
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : Monoid γ
inst✝ : FunLike F β γ
s : Finset α
f g : α → β
comm_ff : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (f x) (f y)
comm_gg : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (g y)
comm_gf : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (f y)
x : α
hx : x ∈ ↑s
y : α
hy : y ∈ ↑s
h : x ≠ y
\u22a2 Commute (f x) (f y)
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : Monoid γ
inst✝ : FunLike F β γ
s : Finset α
f g : α → β
comm_ff : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (f x) (f y)
comm_gg : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (g y)
comm_gf : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (f y)
x : α
hx : x ∈ ↑s
y : α
hy : y ∈ ↑s
h : x ≠ y
\u22a2 Commute (f x) (g y)
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : Monoid γ
inst✝ : FunLike F β γ
s : Finset α
f g : α → β
comm_ff : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (f x) (f y)
comm_gg : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (g y)
comm_gf : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (f y)
x : α
hx : x ∈ ↑s
y : α
hy : y ∈ ↑s
h : x ≠ y
\u22a2 Commute (g x) (f y)
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : Monoid γ
inst✝ : FunLike F β γ
s : Finset α
f g : α → β
comm_ff : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (f x) (f y)
comm_gg : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (g y)
comm_gf : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (f y)
x : α
hx : x ∈ ↑s
y : α
hy : y ∈ ↑s
h : x ≠ y
\u22a2 Commute (g x) (g y)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
\u22a2 (hasseDeriv 1) f = derivative f
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : 0 < b
\u22a2 b⁻¹ * a < c ↔ a < c * b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
\u22a2 ↑π ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
\u22a2 π ≠ 0
-- Mathlib/Topology/Compactness/SigmaCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
S : Set (Set X)
hc : S.Countable
hcomp : ∀ s ∈ S, IsCompact s
\u22a2 IsSigmaCompact (⋃₀ S)
-- Mathlib/Topology/Compactness/SigmaCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
S : Set (Set X)
hc : S.Countable
hcomp : ∀ s ∈ S, IsCompact s
this : Countable ↑S
\u22a2 IsSigmaCompact (⋃₀ S)
-- Mathlib/Topology/Compactness/SigmaCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
S : Set (Set X)
hc : S.Countable
hcomp : ∀ s ∈ S, IsCompact s
this : Countable ↑S
\u22a2 IsSigmaCompact (⋃ i, ↑i)
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f g : ArithmeticFunction R
h : ArithmeticFunction M
n : ℕ
\u22a2 ((f * g) • h) n = (f • g • h) n
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f g : ArithmeticFunction R
h : ArithmeticFunction M
n : ℕ
\u22a2 ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal.sigma fun a => a.1.divisorsAntidiagonal, f x.snd.1 • g x.snd.2 • h x.fst.2 = ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal.sigma fun a => a.2.divisorsAntidiagonal, f x.fst.1 • g x.snd.1 • h x.snd.2
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Filter.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l l₁ l₂ : IntegrationParams
hπ : l.MemBaseSet I c r π
p : Box ι → Prop
\u22a2 l.MemBaseSet I c r (π.filter p)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Filter.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l l₁ l₂ : IntegrationParams
hπ : l.MemBaseSet I c r π
p : Box ι → Prop
hD : l.bDistortion = true
\u22a2 ∃ π', π'.iUnion = ↑I \ (π.filter p).iUnion ∧ π'.distortion ≤ c
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Filter.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁✝ π₂ : TaggedPrepartition I
l l₁ l₂ : IntegrationParams
hπ : l.MemBaseSet I c r π
p : Box ι → Prop
hD : l.bDistortion = true
π₁ : Prepartition I
hπ₁U : π₁.iUnion = ↑I \ π.iUnion
hc : π₁.distortion ≤ c
\u22a2 ∃ π', π'.iUnion = ↑I \ (π.filter p).iUnion ∧ π'.distortion ≤ c
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Filter.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁✝ π₂✝ : TaggedPrepartition I
l l₁ l₂ : IntegrationParams
hπ : l.MemBaseSet I c r π
p : Box ι → Prop
hD : l.bDistortion = true
π₁ : Prepartition I
hπ₁U : π₁.iUnion = ↑I \ π.iUnion
hc : π₁.distortion ≤ c
π₂ : TaggedPrepartition I := π.filter fun J => ¬p J
\u22a2 ∃ π', π'.iUnion = ↑I \ (π.filter p).iUnion ∧ π'.distortion ≤ c
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Filter.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁✝ π₂✝ : TaggedPrepartition I
l l₁ l₂ : IntegrationParams
hπ : l.MemBaseSet I c r π
p : Box ι → Prop
hD : l.bDistortion = true
π₁ : Prepartition I
hπ₁U : π₁.iUnion = ↑I \ π.iUnion
hc : π₁.distortion ≤ c
π₂ : TaggedPrepartition I := π.filter fun J => ¬p J
this : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
\u22a2 ∃ π', π'.iUnion = ↑I \ (π.filter p).iUnion ∧ π'.distortion ≤ c
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : C ⥤ D
ε : 𝟙_ D ⟶ F.obj (𝟙_ C)
μ : (X Y : C) → F.obj X ⊗ F.obj Y ⟶ F.obj (X ⊗ Y)
μ_natural : autoParam (∀ {X Y X' Y' : C} (f : X ⟶ Y) (g : X' ⟶ Y'), (F.map f ⊗ F.map g) ≫ μ Y Y' = μ X X' ≫ F.map (f ⊗ g)) _auto✝
associativity : autoParam (∀ (X Y Z : C), (μ X Y ⊗ 𝟙 (F.obj Z)) ≫ μ (X ⊗ Y) Z ≫ F.map (α_ X Y Z).hom = (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom ≫ (𝟙 (F.obj X) ⊗ μ Y Z) ≫ μ X (Y ⊗ Z)) _auto✝
left_unitality : autoParam (∀ (X : C), (λ_ (F.obj X)).hom = (ε ⊗ 𝟙 (F.obj X)) ≫ μ (𝟙_ C) X ≫ F.map (λ_ X).hom) _auto✝
right_unitality : autoParam (∀ (X : C), (ρ_ (F.obj X)).hom = (𝟙 (F.obj X) ⊗ ε) ≫ μ X (𝟙_ C) ≫ F.map (ρ_ X).hom) _auto✝
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
X' : C
\u22a2 { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map f ▷ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X' ≫ μ Y✝ X' = μ X✝ X' ≫ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map (f ▷ X')
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : C ⥤ D
ε : 𝟙_ D ⟶ F.obj (𝟙_ C)
μ : (X Y : C) → F.obj X ⊗ F.obj Y ⟶ F.obj (X ⊗ Y)
μ_natural : autoParam (∀ {X Y X' Y' : C} (f : X ⟶ Y) (g : X' ⟶ Y'), (F.map f ⊗ F.map g) ≫ μ Y Y' = μ X X' ≫ F.map (f ⊗ g)) _auto✝
associativity : autoParam (∀ (X Y Z : C), (μ X Y ⊗ 𝟙 (F.obj Z)) ≫ μ (X ⊗ Y) Z ≫ F.map (α_ X Y Z).hom = (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom ≫ (𝟙 (F.obj X) ⊗ μ Y Z) ≫ μ X (Y ⊗ Z)) _auto✝
left_unitality : autoParam (∀ (X : C), (λ_ (F.obj X)).hom = (ε ⊗ 𝟙 (F.obj X)) ≫ μ (𝟙_ C) X ≫ F.map (λ_ X).hom) _auto✝
right_unitality : autoParam (∀ (X : C), (ρ_ (F.obj X)).hom = (𝟙 (F.obj X) ⊗ ε) ≫ μ X (𝟙_ C) ≫ F.map (ρ_ X).hom) _auto✝
X✝ Y✝ X' : C
f : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X' ◁ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map f ≫ μ X' Y✝ = μ X' X✝ ≫ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map (X' ◁ f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : C ⥤ D
ε : 𝟙_ D ⟶ F.obj (𝟙_ C)
μ : (X Y : C) → F.obj X ⊗ F.obj Y ⟶ F.obj (X ⊗ Y)
μ_natural : autoParam (∀ {X Y X' Y' : C} (f : X ⟶ Y) (g : X' ⟶ Y'), (F.map f ⊗ F.map g) ≫ μ Y Y' = μ X X' ≫ F.map (f ⊗ g)) _auto✝
associativity : autoParam (∀ (X Y Z : C), (μ X Y ⊗ 𝟙 (F.obj Z)) ≫ μ (X ⊗ Y) Z ≫ F.map (α_ X Y Z).hom = (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom ≫ (𝟙 (F.obj X) ⊗ μ Y Z) ≫ μ X (Y ⊗ Z)) _auto✝
left_unitality : autoParam (∀ (X : C), (λ_ (F.obj X)).hom = (ε ⊗ 𝟙 (F.obj X)) ≫ μ (𝟙_ C) X ≫ F.map (λ_ X).hom) _auto✝
right_unitality : autoParam (∀ (X : C), (ρ_ (F.obj X)).hom = (𝟙 (F.obj X) ⊗ ε) ≫ μ X (𝟙_ C) ≫ F.map (ρ_ X).hom) _auto✝
X Y Z : C
\u22a2 μ X Y ▷ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj Z ≫ μ (X ⊗ Y) Z ≫ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map (α_ X Y Z).hom = (α_ ({ obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X) ({ obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj Y) ({ obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj Z)).hom ≫ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X ◁ μ Y Z ≫ μ X (Y ⊗ Z)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : C ⥤ D
ε : 𝟙_ D ⟶ F.obj (𝟙_ C)
μ : (X Y : C) → F.obj X ⊗ F.obj Y ⟶ F.obj (X ⊗ Y)
μ_natural : autoParam (∀ {X Y X' Y' : C} (f : X ⟶ Y) (g : X' ⟶ Y'), (F.map f ⊗ F.map g) ≫ μ Y Y' = μ X X' ≫ F.map (f ⊗ g)) _auto✝
associativity : autoParam (∀ (X Y Z : C), (μ X Y ⊗ 𝟙 (F.obj Z)) ≫ μ (X ⊗ Y) Z ≫ F.map (α_ X Y Z).hom = (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom ≫ (𝟙 (F.obj X) ⊗ μ Y Z) ≫ μ X (Y ⊗ Z)) _auto✝
left_unitality : autoParam (∀ (X : C), (λ_ (F.obj X)).hom = (ε ⊗ 𝟙 (F.obj X)) ≫ μ (𝟙_ C) X ≫ F.map (λ_ X).hom) _auto✝
right_unitality : autoParam (∀ (X : C), (ρ_ (F.obj X)).hom = (𝟙 (F.obj X) ⊗ ε) ≫ μ X (𝟙_ C) ≫ F.map (ρ_ X).hom) _auto✝
X : C
\u22a2 (λ_ ({ obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X)).hom = ε ▷ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X ≫ μ (𝟙_ C) X ≫ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map (λ_ X).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : C ⥤ D
ε : 𝟙_ D ⟶ F.obj (𝟙_ C)
μ : (X Y : C) → F.obj X ⊗ F.obj Y ⟶ F.obj (X ⊗ Y)
μ_natural : autoParam (∀ {X Y X' Y' : C} (f : X ⟶ Y) (g : X' ⟶ Y'), (F.map f ⊗ F.map g) ≫ μ Y Y' = μ X X' ≫ F.map (f ⊗ g)) _auto✝
associativity : autoParam (∀ (X Y Z : C), (μ X Y ⊗ 𝟙 (F.obj Z)) ≫ μ (X ⊗ Y) Z ≫ F.map (α_ X Y Z).hom = (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom ≫ (𝟙 (F.obj X) ⊗ μ Y Z) ≫ μ X (Y ⊗ Z)) _auto✝
left_unitality : autoParam (∀ (X : C), (λ_ (F.obj X)).hom = (ε ⊗ 𝟙 (F.obj X)) ≫ μ (𝟙_ C) X ≫ F.map (λ_ X).hom) _auto✝
right_unitality : autoParam (∀ (X : C), (ρ_ (F.obj X)).hom = (𝟙 (F.obj X) ⊗ ε) ≫ μ X (𝟙_ C) ≫ F.map (ρ_ X).hom) _auto✝
X : C
\u22a2 (ρ_ ({ obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X)).hom = { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj X ◁ ε ≫ μ X (𝟙_ C) ≫ { obj := F.obj, map := fun {X Y} => F.map, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.map (ρ_ X).hom
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Skyscraper.lean
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝² : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} C
inst✝ : HasTerminal C
A : C
U V : (Opens ↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V
h : p₀ ∈ unop V
\u22a2 (if p₀ ∈ unop U then A else ⊤_ C) = if p₀ ∈ unop V then A else ⊤_ C
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 eval₂ C X p = p
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRoot S f
p : R[X]
\u22a2 p ∈ RingHom.ker h.map ↔ f ∣ p
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteKernel κ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : α
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (Set.univ ×ˢ t) (κ a)
\u22a2 ∫ (b : β), ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (x : β × Ω) in Set.univ ×ˢ t, f x ∂κ a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteKernel κ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : α
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (Set.univ ×ˢ t) (κ a)
\u22a2 ∫ (b : β), ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (b : β) in Set.univ, ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a
-- Mathlib/Algebra/Group/Support.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M
k : Set α
h : mulSupport f ⊆ k
\u22a2 range f = f '' k ∨ range f = insert 1 (f '' k)
-- Mathlib/Algebra/Group/Support.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M
k : Set α
h : mulSupport f ⊆ k
\u22a2 range f ≤ insert 1 (f '' k)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Unique.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
f g : ↥(Lp E' p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑f) s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑g) s μ
hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑g x ∂μ
hf_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
hg_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑g) μ
\u22a2 ↑↑f =ᶠ[ae μ] ↑↑g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Unique.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
f g : ↥(Lp E' p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑f) s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑g) s μ
hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑g x ∂μ
hf_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
hg_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑g) μ
\u22a2 ↑↑(f - g) =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Unique.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
f g : ↥(Lp E' p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑f) s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑g) s μ
hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑g x ∂μ
hf_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
hg_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑g) μ
hfg' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑(f - g) x ∂μ = 0
\u22a2 ↑↑(f - g) =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Unique.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
f g : ↥(Lp E' p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑f) s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑g) s μ
hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑g x ∂μ
hf_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
hg_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑g) μ
hfg' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑(f - g) x ∂μ = 0
hfg_int : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑(f - g)) s μ
\u22a2 ↑↑(f - g) =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Unique.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
f g : ↥(Lp E' p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑f) s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑g) s μ
hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑g x ∂μ
hf_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
hg_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑g) μ
hfg' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑(f - g) x ∂μ = 0
hfg_int : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑(f - g)) s μ
hfg_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑(f - g)) μ
\u22a2 ↑↑(f - g) =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n✝ : ℕ
s : Finset α
n : ℕ
\u22a2 G.CliqueFree n ↔ IsEmpty (⊤ ↪g G)