ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/SchroederBernstein.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f
hg : Injective g
hβ : Nonempty β
F : Set α →o Set α := { toFun := fun s => (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ, monotone' := ⋯ }
s : Set α := OrderHom.lfp F
hs : (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ = s
hns : g '' (f '' s)ᶜ = sᶜ
g' : α → β := invFun g
\u22a2 ∃ h, Bijective h
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/SchroederBernstein.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f
hg : Injective g
hβ : Nonempty β
F : Set α →o Set α := { toFun := fun s => (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ, monotone' := ⋯ }
s : Set α := OrderHom.lfp F
hs : (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ = s
hns : g '' (f '' s)ᶜ = sᶜ
g' : α → β := invFun g
g'g : LeftInverse g' g
\u22a2 ∃ h, Bijective h
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/SchroederBernstein.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f
hg : Injective g
hβ : Nonempty β
F : Set α →o Set α := { toFun := fun s => (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ, monotone' := ⋯ }
s : Set α := OrderHom.lfp F
hs : (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ = s
hns : g '' (f '' s)ᶜ = sᶜ
g' : α → β := invFun g
g'g : LeftInverse g' g
hg'ns : g' '' sᶜ = (f '' s)ᶜ
\u22a2 ∃ h, Bijective h
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/SchroederBernstein.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f
hg : Injective g
hβ : Nonempty β
F : Set α →o Set α := { toFun := fun s => (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ, monotone' := ⋯ }
s : Set α := OrderHom.lfp F
hs : (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ = s
hns : g '' (f '' s)ᶜ = sᶜ
g' : α → β := invFun g
g'g : LeftInverse g' g
hg'ns : g' '' sᶜ = (f '' s)ᶜ
h : α → β := s.piecewise f g'
\u22a2 ∃ h, Bijective h
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/SchroederBernstein.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f
hg : Injective g
hβ : Nonempty β
F : Set α →o Set α := { toFun := fun s => (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ, monotone' := ⋯ }
s : Set α := OrderHom.lfp F
hs : (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ = s
hns : g '' (f '' s)ᶜ = sᶜ
g' : α → β := invFun g
g'g : LeftInverse g' g
hg'ns : g' '' sᶜ = (f '' s)ᶜ
h : α → β := s.piecewise f g'
this : Surjective h
\u22a2 ∃ h, Bijective h
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α ≃ β
a✝ : β
\u22a2 (equivMapDomain f 0) a✝ = 0 a✝
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommGroup G
n : ℕ
f : ℕ → G
h : ((fun x => x⁻¹) ∘ fun k => f (k + 1) / f k) = fun k => f k / f (k + 1)
\u22a2 (map (fun k => f (k + 1) / f k) (range n)).prod = f n / f 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Conformal.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
u v : E
c : ℝ
hc : c ≠ 0
li : E →ₗᵢ[ℝ] F
\u22a2 angle ((c • li.toContinuousLinearMap) u) ((c • li.toContinuousLinearMap) v) = angle u v
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n : ℤ
n✝ : ℕ
h : 0 < n✝ + 1
\u22a2 ↑(n✝ + 1 - 1) = ↑(n✝ + 1) - 1
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Fact (Splits (algebraMap F E) p)
\u22a2 Function.Injective ⇑(galActionHom p E)
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Fact (Splits (algebraMap F E) p)
\u22a2 ∀ (a : p.Gal), (galActionHom p E) a = 1 → a = 1
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Fact (Splits (algebraMap F E) p)
ϕ : p.Gal
hϕ : (galActionHom p E) ϕ = 1
x : p.SplittingField
hx : x ∈ p.rootSet p.SplittingField
\u22a2 ϕ x = 1 x
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Fact (Splits (algebraMap F E) p)
ϕ : p.Gal
hϕ : (galActionHom p E) ϕ = 1
x : p.SplittingField
hx : x ∈ p.rootSet p.SplittingField
key : ((galActionHom p E) ϕ) ((rootsEquivRoots p E) ⟨x, hx⟩) = 1 ((rootsEquivRoots p E) ⟨x, hx⟩)
\u22a2 ϕ x = 1 x
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Fact (Splits (algebraMap F E) p)
ϕ : p.Gal
hϕ : (galActionHom p E) ϕ = 1
x : p.SplittingField
hx : x ∈ p.rootSet p.SplittingField
key : (rootsEquivRoots p E) (ϕ • (rootsEquivRoots p E).symm ((rootsEquivRoots p E) ⟨x, hx⟩)) = (rootsEquivRoots p E) ⟨x, hx⟩
\u22a2 ϕ x = 1 x
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Fact (Splits (algebraMap F E) p)
ϕ : p.Gal
hϕ : (galActionHom p E) ϕ = 1
x : p.SplittingField
hx : x ∈ p.rootSet p.SplittingField
key : (rootsEquivRoots p E) (ϕ • ⟨x, hx⟩) = (rootsEquivRoots p E) ⟨x, hx⟩
\u22a2 ϕ x = 1 x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/AbstractCompletion.lean
α : Type u_1
inst✝³ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion α
γ : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T3Space γ
f : α → γ
cont_f : Continuous f
x✝¹ : UniformSpace pkg'.space := pkg'.uniformStruct
x✝ : UniformSpace pkg.space := pkg.uniformStruct
h : ∀ (a : pkg.space), Tendsto f (comap pkg.coe (𝓝 a)) (𝓝 (⋯.extend f a))
\u22a2 ⋯.extend f ∘ pkg'.compare pkg = ⋯.extend f
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/AbstractCompletion.lean
α : Type u_1
inst✝³ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion α
γ : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T3Space γ
f : α → γ
cont_f : Continuous f
x✝¹ : UniformSpace pkg'.space := pkg'.uniformStruct
x✝ : UniformSpace pkg.space := pkg.uniformStruct
h : ∀ (a : pkg.space), Tendsto f (comap pkg.coe (𝓝 a)) (𝓝 (⋯.extend f a))
this : ∀ (x : α), (⋯.extend f ∘ pkg'.compare pkg) (pkg'.coe x) = f x
\u22a2 ⋯.extend f ∘ pkg'.compare pkg = ⋯.extend f
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/AbstractCompletion.lean
α : Type u_1
inst✝³ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion α
γ : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T3Space γ
f : α → γ
cont_f : Continuous f
x✝¹ : UniformSpace pkg'.space := pkg'.uniformStruct
x✝ : UniformSpace pkg.space := pkg.uniformStruct
h : ∀ (a : pkg.space), Tendsto f (comap pkg.coe (𝓝 a)) (𝓝 (⋯.extend f a))
this : ∀ (x : α), (⋯.extend f ∘ pkg'.compare pkg) (pkg'.coe x) = f x
\u22a2 Continuous (⋯.extend f)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/AbstractCompletion.lean
α : Type u_1
inst✝³ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion α
γ : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T3Space γ
f : α → γ
cont_f : Continuous f
x✝¹ : UniformSpace pkg'.space := pkg'.uniformStruct
x✝ : UniformSpace pkg.space := pkg.uniformStruct
h : ∀ (a : pkg.space), Tendsto f (comap pkg.coe (𝓝 a)) (𝓝 (⋯.extend f a))
this : ∀ (x : α), (⋯.extend f ∘ pkg'.compare pkg) (pkg'.coe x) = f x
\u22a2 ∀ (b : pkg.space), ∃ c, Tendsto f (comap pkg.coe (𝓝 b)) (𝓝 c)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
I : Type u_3
𝕜 : Type u_4
B : I → Type u_5
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : (i : I) → NormedRing (B i)
inst✝¹ : (i : I) → NormedAlgebra 𝕜 (B i)
inst✝ : ∀ (i : I), NormOneClass (B i)
k : 𝕜
\u22a2 Memℓp ((algebraMap 𝕜 ((i : I) → B i)) k) ⊤
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
I : Type u_3
𝕜 : Type u_4
B : I → Type u_5
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : (i : I) → NormedRing (B i)
inst✝¹ : (i : I) → NormedAlgebra 𝕜 (B i)
inst✝ : ∀ (i : I), NormOneClass (B i)
k : 𝕜
\u22a2 Memℓp (k • 1) ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Lattice.lean
α : Type u
J : Type w
inst✝⁴ : SmallCategory J
inst✝³ : FinCategory J
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
f : ι → α
\u22a2 Finset.univ.sup (f ∘ ⇑discreteEquiv.toEmbedding) = Fintype.elems.sup f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Lattice.lean
α : Type u
J : Type w
inst✝⁴ : SmallCategory J
inst✝³ : FinCategory J
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
f : ι → α
\u22a2 Finset.univ.sup f = Fintype.elems.sup f
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (last n)
q✝ : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α i✝.castSucc
z : α (last n)
β : Type u_1
q : Fin (n + 2) → β
i : Fin n
\u22a2 tail (init q) i = init (tail q) i
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
g : ?m.758269
hf : Function.Injective ⇑f
x y : A
\u22a2 (baseChange W B).toAffine.Equation (f x) (f y) ↔ (baseChange W A).toAffine.Equation x y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
g : ?m.758269
hf : Function.Injective ⇑f
x y : A
\u22a2 (baseChange W B).toAffine.Equation (f x) (f y) ↔ (baseChange W B).toAffine.Equation (f.toRingHom x) (f.toRingHom y)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Decomposition.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
ℳ : ι → Submodule R M
inst✝² : Decomposition ℳ
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
f g : M →ₗ[R] N
h : ∀ (i : ι), f ∘ₗ (ℳ i).subtype = g ∘ₗ (ℳ i).subtype
i : ι
\u22a2 (f ∘ₗ ↑(decomposeLinearEquiv ℳ).symm) ∘ₗ lof R ι (fun i => ↥(ℳ i)) i = (g ∘ₗ ↑(decomposeLinearEquiv ℳ).symm) ∘ₗ lof R ι (fun i => ↥(ℳ i)) i
-- Mathlib/Algebra/Order/CompleteField.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b : β
q : ℚ
\u22a2 ∀ (x : α), 0 < x → (inducedAddHom α β) (x * x) = (inducedAddHom α β) x * (inducedAddHom α β) x
-- Mathlib/Algebra/Order/CompleteField.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b : β
q : ℚ
x : α
hx : 0 < x
\u22a2 ∀ a ∈ cutMap β (x * x), a ≤ (inducedAddHom α β) x * (inducedAddHom α β) x
-- Mathlib/Algebra/Order/CompleteField.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b : β
q : ℚ
x : α
hx : 0 < x
\u22a2 ∀ w < (inducedAddHom α β) x * (inducedAddHom α β) x, ∃ a ∈ cutMap β (x * x), w < a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
p : α → Prop
f : β → α
hs : NullMeasurableSet s μ
\u22a2 μ sᶜ = 0 ↔ μ s = 1
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
ι : Sort u_4
U : Submodule 𝕜 E
V : ι → Submodule 𝕜 E
\u22a2 (∀ (i : ι), V i ⟂ U) ↔ ∀ (i : ι), U ⟂ V i
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Indicator.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
\u22a2 μ[f|m] =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Indicator.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
hm : m ≤ m0
hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
this : SigmaFinite ((μ.restrict s).trim hm)
\u22a2 μ[f|m] =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Indicator.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
hm : m ≤ m0
hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
this : SigmaFinite ((μ.restrict s).trim hm)
hf_int : Integrable f μ
\u22a2 μ[f|m] =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Indicator.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
hm : m ≤ m0
hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
this : SigmaFinite ((μ.restrict s).trim hm)
hf_int : Integrable f μ
\u22a2 ∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → (μ.restrict s) s_1 < ⊤ → IntegrableOn (μ[f|m]) s_1 (μ.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Indicator.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
hm : m ≤ m0
hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
this : SigmaFinite ((μ.restrict s).trim hm)
hf_int : Integrable f μ
\u22a2 ∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → (μ.restrict s) s_1 < ⊤ → IntegrableOn 0 s_1 (μ.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Indicator.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
hm : m ≤ m0
hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
this : SigmaFinite ((μ.restrict s).trim hm)
hf_int : Integrable f μ
\u22a2 ∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → (μ.restrict s) s_1 < ⊤ → ∫ (x : α) in s_1, (μ[f|m]) x ∂μ.restrict s = ∫ (x : α) in s_1, 0 x ∂μ.restrict s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Indicator.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
hm : m ≤ m0
hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
this : SigmaFinite ((μ.restrict s).trim hm)
hf_int : Integrable f μ
\u22a2 AEStronglyMeasurable' m (μ[f|m]) (μ.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Indicator.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0
hm : m ≤ m0
hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
this : SigmaFinite ((μ.restrict s).trim hm)
hf_int : Integrable f μ
\u22a2 AEStronglyMeasurable' m 0 (μ.restrict s)
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
\u22a2 ⌊a⌋₊ = 0 ↔ a < 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
\u22a2 ⌊a⌋₊ < 1 ↔ a < ↑1
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : CharP R n
inst✝ : Fintype R
h : Fintype.card R = n
\u22a2 Bijective ⇑(castHom ⋯ R)
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : CharP R n
inst✝ : Fintype R
h : Fintype.card R = n
this : NeZero n
\u22a2 Bijective ⇑(castHom ⋯ R)
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : CharP R n
inst✝ : Fintype R
h : Fintype.card R = n
this : NeZero n
\u22a2 Injective ⇑(castHom ⋯ R)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
hx1 : 0 < x
hx2 : x ≤ 1
hz : z < 0
\u22a2 1 ≤ x ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
z : ℝ
hz : z < 0
x : ℝ≥0
hx1 : 0 < ↑x
hx2 : ↑x ≤ 1
\u22a2 1 ≤ ↑x ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
z : ℝ
hz : z < 0
x : ℝ≥0
hx1 : 0 < x
hx2 : x ≤ 1
\u22a2 1 ≤ ↑x ^ z
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 ≤ a
hc : 0 < c
h : c ≤ b
\u22a2 a / b ≤ a / c
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 ≤ a
hc : 0 < c
h : c ≤ b
\u22a2 a * b⁻¹ ≤ a * c⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Ring/Rat.lean
n : ℕ
\u22a2 ↑n = ↑n /. 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
P' : C
inl' : X ⟶ P'
inr' : Y ⟶ P'
h : IsPushout f g inl inr
h' : IsPushout f g inl' inr'
\u22a2 inl' ≫ (isoIsPushout X Y h h').inv = inl
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hy : y ≠ 0
\u22a2 (∃ r, 0 < r ∧ x = r • y) ↔ SameRay R x y ∧ x ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hy : y ≠ 0
\u22a2 (∃ r, 0 < r ∧ x = r • y) ↔ SameRay R y x ∧ x ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hy : y ≠ 0
\u22a2 (∃ r, 0 < r ∧ r • y = x) ↔ SameRay R y x ∧ x ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ X₂ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
d₁ : X₂ ⟶ X₁
s : d₁ ≫ d₀ = 0
succ : (S : ShortComplex V) → (X₃ : V) ×' (d₂ : X₃ ⟶ S.X₁) ×' d₂ ≫ S.f = 0
\u22a2 (if 2 = 1 + 1 then 𝟙 X₂ ≫ d₁ else 0) = d₁
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C✝ C' C'' C : VariableChange R
\u22a2 C.comp id = C
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
\u22a2 interior (f.extend I).target ⊆ interior (range ↑I)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
\u22a2 ↑I.symm ⁻¹' f.target ∩ interior (range ↑I) ⊆ interior (range ↑I)
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
x : ℤ
\u22a2 ∃ a b, a ≤ p / 2 ∧ b ≤ p / 2 ∧ ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ x [ZMOD ↑p]
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
x : ℤ
a b : ZMod p
hx : a ^ 2 + b ^ 2 = ↑x
\u22a2 ∃ a b, a ≤ p / 2 ∧ b ≤ p / 2 ∧ ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ x [ZMOD ↑p]
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
x : ℤ
a b : ZMod p
hx : a ^ 2 + b ^ 2 = ↑x
\u22a2 ↑a.valMinAbs.natAbs ^ 2 + ↑b.valMinAbs.natAbs ^ 2 ≡ x [ZMOD ↑p]
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
x : ℤ
a b : ZMod p
hx : ↑a.valMinAbs ^ 2 + ↑b.valMinAbs ^ 2 = ↑x
\u22a2 ↑a.valMinAbs.natAbs ^ 2 + ↑b.valMinAbs.natAbs ^ 2 ≡ x [ZMOD ↑p]
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
x : ℤ
a b : ZMod p
hx : ↑a.valMinAbs ^ 2 + ↑b.valMinAbs ^ 2 = ↑x
\u22a2 |a.valMinAbs| ^ 2 + |b.valMinAbs| ^ 2 ≡ x [ZMOD ↑p]
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
x : ℤ
a b : ZMod p
hx : ↑a.valMinAbs ^ 2 + ↑b.valMinAbs ^ 2 = ↑x
\u22a2 ↑(a.valMinAbs ^ 2 + b.valMinAbs ^ 2) = ↑x
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
g : G
h : g ∈ H.normalizer
n : G
\u22a2 n * g ∈ H ↔ g * n ∈ H
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
g : G
h : ∀ (n : G), n * g ∈ H ↔ g * n ∈ H
n : G
\u22a2 n ∈ H ↔ g * n * g⁻¹ ∈ H
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Exact.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
\u22a2 S.Exact ↔ imageSubobject S.f = kernelSubobject S.g
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Exact.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
\u22a2 IsIso (imageToKernel S.f S.g ⋯) ↔ imageSubobject S.f = kernelSubobject S.g
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
hdeg : 1 < f.natDegree
\u22a2 h.basis ⟨1, hdeg⟩ = h.root
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hy : 0 < y
\u22a2 x < logb b y ↔ y < b ^ x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f ≠ 0
c : ℕ := f.support.card
hc : c = f.support.card
h₁ : c = 0
\u22a2 f.eraseLead.support.card + 1 = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f ≠ 0
c : ℕ := f.support.card
hc : c = f.support.card
n✝ : ℕ
h₁ : c = n✝ + 1
\u22a2 f.eraseLead.support.card + 1 = n✝ + 1
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
x : E
\u22a2 cthickening ε (Metric.closedBall x δ) = Metric.closedBall x (ε + δ)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
p₁ p₂ x : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : 0 ≤ t
\u22a2 SameRay R (t • (x -ᵥ p₁) +ᵥ p₂ -ᵥ p₂) (x -ᵥ p₁)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
p₁ p₂ x : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : 0 ≤ t
\u22a2 SameRay R (t • (x -ᵥ p₁)) (x -ᵥ p₁)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
p✝ : ?m.46544
u v : V
H : SimpleGraph V
p : G.Walk u v
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∈ H.edgeSet
pp : p.IsPath
\u22a2 (p.transfer H hp).IsPath