ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/NullMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
h : NullMeasurableSet s μ
\u22a2 toMeasurable μ s =ᶠ[ae μ] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/NullMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
h : NullMeasurableSet s μ
\u22a2 ?hc.choose =ᶠ[ae μ] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/NullMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
h : NullMeasurableSet s μ
\u22a2 ∃ t ⊇ s, MeasurableSet t ∧ t =ᶠ[ae μ] s
-- Mathlib/Algebra/Group/Defs.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m✝ n✝ : ℕ
a : M
m n : ℕ
\u22a2 a ^ (m * n) = (a ^ n) ^ m
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Derivative.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : R⟦X⟧
n : ℕ
\u22a2 trunc (n - 1) ((d⁄dX R) f) = Polynomial.derivative (trunc n f)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BoundedLinearMaps.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 G
R : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
𝕜' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
M : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
G' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜' G'
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜₂ 𝕜' G'
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ρ₁₂ : R →+* 𝕜'
f : M →SL[ρ₁₂] F →SL[σ₁₂] G'
x x' : M
y : F
\u22a2 (f (x + x')) y = (f x) y + (f x') y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
\u22a2 ⟪x, o.rightAngleRotationAux₁ y⟫_ℝ = -(o.areaForm x) y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
\u22a2 ⟪o.rightAngleRotationAux₁ y, x⟫_ℝ = -(o.areaForm x) y
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
x : X
s✝ s t : Set X
r : RegularSpace X
inst✝ : LindelofSpace X
s_cl : IsClosed s
t_cl : IsClosed t
st_dis : Disjoint s t
\u22a2 _root_.HasSeparatingCover s t
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
x : X
s✝ s t : Set X
r : RegularSpace X
inst✝ : LindelofSpace X
s_cl : IsClosed s
t_cl : IsClosed t
st_dis : Disjoint s t
empty_X : IsEmpty X
\u22a2 _root_.HasSeparatingCover s t
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
x : X
s✝ s t : Set X
r : RegularSpace X
inst✝ : LindelofSpace X
s_cl : IsClosed s
t_cl : IsClosed t
st_dis : Disjoint s t
nonempty_X : Nonempty X
\u22a2 _root_.HasSeparatingCover s t
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
x : X
s✝ s t : Set X
r : RegularSpace X
inst✝ : LindelofSpace X
s_cl : IsClosed s
t_cl : IsClosed t
st_dis : Disjoint s t
nonempty_X : Nonempty X
u : X → Set X
u_open : ∀ (a : X), IsOpen (u a)
u_dis : ∀ (a : X), Disjoint (closure (u a)) t
u_nhd : ∀ a ∈ s, a ∈ u a
\u22a2 _root_.HasSeparatingCover s t
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
x : X
s✝ s t : Set X
r : RegularSpace X
inst✝ : LindelofSpace X
s_cl : IsClosed s
t_cl : IsClosed t
st_dis : Disjoint s t
nonempty_X : Nonempty X
u : X → Set X
u_open : ∀ (a : X), IsOpen (u a)
u_dis : ∀ (a : X), Disjoint (closure (u a)) t
u_nhd : ∀ a ∈ s, a ∈ u a
f : ℕ → X
f_cov : s ⊆ ⋃ n, u (f n)
\u22a2 _root_.HasSeparatingCover s t
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_ind : ∀ J ≤ I, (∀ (s : Set ι), p (J.splitCenterBox s)) → p J
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
\u22a2 p I
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_ind : ∀ J ≤ I, (∀ (s : Set ι), p (J.splitCenterBox s)) → p J
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
hpI : ¬p I
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
hpI : ¬p I
H_ind : ∀ J ≤ I, ¬p J → ¬∀ (s : Set ι), p (J.splitCenterBox s)
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
hpI : ¬p I
H_ind : ∀ J ≤ I, ¬p J → ∃ x, ¬p (J.splitCenterBox x)
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
hpI : ¬p I
s : Box ι → Set ι
hs : ∀ J ≤ I, ¬p J → ¬p (J.splitCenterBox (s J))
J : ℕ → Box ι := fun m => (fun J => J.splitCenterBox (s J))^[m] I
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
hpI : ¬p I
s : Box ι → Set ι
hs : ∀ J ≤ I, ¬p J → ¬p (J.splitCenterBox (s J))
J : ℕ → Box ι := fun m => (fun J => J.splitCenterBox (s J))^[m] I
J_succ : ∀ (m : ℕ), J (m + 1) = (J m).splitCenterBox (s (J m))
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
hpI : ¬p I
s : Box ι → Set ι
hs : ∀ J ≤ I, ¬p J → ¬p (J.splitCenterBox (s J))
J : ℕ → Box ι := fun m => (fun J => J.splitCenterBox (s J))^[m] I
J_succ : ∀ (m : ℕ), J (m + 1) = (J m).splitCenterBox (s (J m))
hJmono : Antitone J
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
hpI : ¬p I
s : Box ι → Set ι
hs : ∀ J ≤ I, ¬p J → ¬p (J.splitCenterBox (s J))
J : ℕ → Box ι := fun m => (fun J => J.splitCenterBox (s J))^[m] I
J_succ : ∀ (m : ℕ), J (m + 1) = (J m).splitCenterBox (s (J m))
hJmono : Antitone J
hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
J : ℕ → Box ι
hJmono : Antitone J
hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I
hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)
hJsub : ∀ (m : ℕ) (i : ι), (J m).upper i - (J m).lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m
h0 : J 0 = I
z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
J : ℕ → Box ι
hJmono : Antitone J
hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I
hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)
hJsub : ∀ (m : ℕ) (i : ι), (J m).upper i - (J m).lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m
h0 : J 0 = I
z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower
hzJ : ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc (J m)
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
J : ℕ → Box ι
hJmono : Antitone J
hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I
hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)
hJsub : ∀ (m : ℕ) (i : ι), (J m).upper i - (J m).lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m
h0 : J 0 = I
z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower
hzJ : ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc (J m)
hJl_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).lower ∈ Box.Icc I
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
J : ℕ → Box ι
hJmono : Antitone J
hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I
hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)
hJsub : ∀ (m : ℕ) (i : ι), (J m).upper i - (J m).lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m
h0 : J 0 = I
z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower
hzJ : ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc (J m)
hJl_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).lower ∈ Box.Icc I
hJu_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).upper ∈ Box.Icc I
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
J : ℕ → Box ι
hJmono : Antitone J
hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I
hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)
hJsub : ∀ (m : ℕ) (i : ι), (J m).upper i - (J m).lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m
h0 : J 0 = I
z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower
hzJ : ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc (J m)
hJl_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).lower ∈ Box.Icc I
hJu_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).upper ∈ Box.Icc I
hJlz : Tendsto (fun m => (J m).lower) atTop (𝓝 z)
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
J : ℕ → Box ι
hJmono : Antitone J
hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I
hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)
hJsub : ∀ (m : ℕ) (i : ι), (J m).upper i - (J m).lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m
h0 : J 0 = I
z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower
hzJ : ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc (J m)
hJl_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).lower ∈ Box.Icc I
hJu_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).upper ∈ Box.Icc I
hJlz : Tendsto (fun m => (J m).lower) atTop (𝓝 z)
hJuz : Tendsto (fun m => (J m).upper) atTop (𝓝 z)
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
J : ℕ → Box ι
hJmono : Antitone J
hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I
hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)
hJsub : ∀ (m : ℕ) (i : ι), (J m).upper i - (J m).lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m
h0 : J 0 = I
z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower
hzJ : ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc (J m)
hJl_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).lower ∈ Box.Icc I
hJu_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).upper ∈ Box.Icc I
hJuz : Tendsto (fun m => (J m).upper) atTop (𝓝 z)
hJlz : Tendsto (fun m => (J m).lower) atTop (𝓝[Set.Icc I.lower I.upper] z)
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
J : ℕ → Box ι
hJmono : Antitone J
hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I
hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)
hJsub : ∀ (m : ℕ) (i : ι), (J m).upper i - (J m).lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m
h0 : J 0 = I
z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower
hzJ : ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc (J m)
hJl_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).lower ∈ Box.Icc I
hJu_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).upper ∈ Box.Icc I
hJlz : Tendsto (fun m => (J m).lower) atTop (𝓝[Set.Icc I.lower I.upper] z)
hJuz : Tendsto (fun m => (J m).upper) atTop (𝓝[Set.Icc I.lower I.upper] z)
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
J : ℕ → Box ι
hJmono : Antitone J
hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I
hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)
hJsub : ∀ (m : ℕ) (i : ι), (J m).upper i - (J m).lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m
h0 : J 0 = I
z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower
hzJ : ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc (J m)
hJl_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).lower ∈ Box.Icc I
hJu_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).upper ∈ Box.Icc I
hJlz : Tendsto (fun m => (J m).lower) atTop (𝓝[Set.Icc I.lower I.upper] z)
hJuz : Tendsto (fun m => (J m).upper) atTop (𝓝[Set.Icc I.lower I.upper] z)
U : Set (ι → ℝ)
hUz : U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z
hU : ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
J : ℕ → Box ι
hJmono : Antitone J
hJle : ∀ (m : ℕ), J m ≤ I
hJp : ∀ (m : ℕ), ¬p (J m)
hJsub : ∀ (m : ℕ) (i : ι), (J m).upper i - (J m).lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m
h0 : J 0 = I
z : ι → ℝ := ⨆ m, (J m).lower
hzJ : ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc (J m)
hJl_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).lower ∈ Box.Icc I
hJu_mem : ∀ (m : ℕ), (J m).upper ∈ Box.Icc I
hJlz : Tendsto (fun m => (J m).lower) atTop (𝓝[Set.Icc I.lower I.upper] z)
hJuz : Tendsto (fun m => (J m).upper) atTop (𝓝[Set.Icc I.lower I.upper] z)
U : Set (ι → ℝ)
hUz : U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z
hU : ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
m : ℕ
hUm : Set.Icc (J m).lower (J m).upper ∈ 𝒫 U
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I : Ideal R
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S
H : K.IsMaximal
\u22a2 (comap f K).IsMaximal
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I : Ideal R
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S
H : K.IsMaximal
J : Ideal R
hJ : comap f K < J
\u22a2 J = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I : Ideal R
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S
H : K.IsMaximal
J : Ideal R
hJ : comap f K < J
\u22a2 map f J = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I : Ideal R
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S
H : K.IsMaximal
J : Ideal R
hJ : comap f K < J
h : K = map f J
\u22a2 comap f (map f J) = J
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I : Ideal R
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S
H : K.IsMaximal
J : Ideal R
hJ : comap f K < J
h : K = map f J
\u22a2 comap f ⊥ ≤ J
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hg : IsMulFreimanHom n B C g
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = n
ht : card t = n
h : s.prod = t.prod
\u22a2 (map (g ∘ f) s).prod = (map (g ∘ f) t).prod
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hg : IsMulFreimanHom n B C g
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = n
ht : card t = n
h : s.prod = t.prod
\u22a2 (map g (map f s)).prod = (map g (map f t)).prod
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hg : IsMulFreimanHom n B C g
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = n
ht : card t = n
h : s.prod = t.prod
\u22a2 ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ map f s → x ∈ B
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hg : IsMulFreimanHom n B C g
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = n
ht : card t = n
h : s.prod = t.prod
\u22a2 ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ map f t → x ∈ B
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁹ : Field F
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁶ : Field F
inst✝¹⁵ : Field K₁
inst✝¹⁴ : Field K₂
inst✝¹³ : Field K₃
inst✝¹² : Algebra F K₁
inst✝¹¹ : Algebra F K₂
inst✝¹⁰ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E✝ : Type u_6
inst✝⁹ : Field E✝
inst✝⁸ : Algebra F E✝
inst✝⁷ : Algebra E✝ K₁
inst✝⁶ : Algebra E✝ K₂
inst✝⁵ : Algebra E✝ K₃
inst✝⁴ : IsScalarTower F E✝ K₁
inst✝³ : IsScalarTower F E✝ K₂
inst✝² : IsScalarTower F E✝ K₃
inst✝¹ : Algebra F K
E : IntermediateField F K
inst✝ : Normal F ↥E
f : ↥E →ₐ[F] K
this : Algebra ↥E ↥E := Algebra.id ↥E
g : ↥E ≃ₐ[F] ↥E := f.restrictNormal' ↥E
\u22a2 f.fieldRange = E
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : β → ℝ≥0
hf : Summable fun i => ↑(f i)
g : β → ℝ≥0
hgf : ∀ (b : β), (fun i => ↑(g i)) b ≤ (fun i => ↑(f i)) b
\u22a2 Summable fun i => ↑(g i)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : β → ℝ≥0
hf : Summable f
g : β → ℝ≥0
hgf : ∀ (b : β), (fun i => ↑(g i)) b ≤ (fun i => ↑(f i)) b
\u22a2 Summable g
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
h' : ∀ (x : α), l ≠ [x]
\u22a2 {x | l.formPerm x ≠ x} = ↑l.toFinset
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
h' : ∀ (x : α), l ≠ [x]
\u22a2 {x | l.formPerm x ≠ x} ≤ ↑l.toFinset
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
h' : ∀ (x : α), l ≠ [x]
\u22a2 ↑l.toFinset ≤ {x | l.formPerm x ≠ x}
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Integrals.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSingletonClass α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : Fintype α
p : PMF α
f : α → E
\u22a2 ∫ (a : α), f a ∂p.toMeasure = ∑ a : α, (p a).toReal • f a
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Integrals.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSingletonClass α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : Fintype α
p : PMF α
f : α → E
\u22a2 ∑ x : α, (p.toMeasure {x}).toReal • f x = ∑ a : α, (p a).toReal • f a
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Integrals.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSingletonClass α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : Fintype α
p : PMF α
f : α → E
x : α
\u22a2 p.toMeasure {x} = p x
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/PosPart.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
\u22a2 mabs a / a = a⁻ᵐ ^ 2
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
\u22a2 c * ⨆ i, f i = ⨆ i, c * f i
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
\u22a2 ⨆ i, f i * c = ⨆ i, c * f i
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : AddCommMonoid γ
φ : (i : ι) → β i →+ γ
f : (i : ι) → β i
support'✝ : Trunc { s // ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0 }
s : Multiset ι
hf : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0
\u22a2 ∑ i ∈ (↑⟨s, hf⟩).toFinset, (φ i) ({ toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } i) = ∑ i ∈ Finset.filter (fun i => { toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } i ≠ 0) (↑⟨s, hf⟩).toFinset, (fun x => ⇑(φ x)) i ({ toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } i)
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : AddCommMonoid γ
φ : (i : ι) → β i →+ γ
f : (i : ι) → β i
support'✝ : Trunc { s // ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0 }
s : Multiset ι
hf : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0
\u22a2 ∀ x ∈ (↑⟨s, hf⟩).toFinset, (φ x) ({ toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } x) = if { toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } x ≠ 0 then (fun x => ⇑(φ x)) x ({ toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } x) else 0
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : AddCommMonoid γ
φ : (i : ι) → β i →+ γ
f : (i : ι) → β i
support'✝ : Trunc { s // ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0 }
s : Multiset ι
hf : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0
i : ι
a✝ : i ∈ (↑⟨s, hf⟩).toFinset
\u22a2 (φ i) ({ toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } i) = if { toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } i ≠ 0 then (fun x => ⇑(φ x)) i ({ toFun := f, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s, hf⟩ } i) else 0
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : AddCommMonoid γ
φ : (i : ι) → β i →+ γ
f : (i : ι) → β i
support'✝ : Trunc { s // ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0 }
s : Multiset ι
hf : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0
i : ι
a✝ : i ∈ s.toFinset
\u22a2 (φ i) (f i) = if f i ≠ 0 then (φ i) (f i) else 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ
x✝ : 2 ≤ k + 2
\u22a2 (n + 1).ascFactorial (k + 2) < (n + (k + 2)) ^ (k + 2)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ
x✝ : 2 ≤ k + 2
\u22a2 (n + (k + 1).succ) * (n + 1).ascFactorial (k + 1) < (n + (k + 2)) * (n + (k + 2)) ^ (k + 1)
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Equiv.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
h₁ : X ≃ₕ Y
h₂ : Y ≃ₕ Z
\u22a2 ((h₁.invFun.comp h₂.invFun).comp (h₂.toFun.comp h₁.toFun)).Homotopic (ContinuousMap.id X)