ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Pointwise/Stabilizer.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction G α
a : G
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
\u22a2 a ∈ stabilizer G s ↔ a • s ⊆ s
-- Mathlib/Data/Finsupp/Fin.lean
n : ℕ
i : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M
h : y ≠ 0
\u22a2 cons y s ≠ 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Fin.lean
n : ℕ
i : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M
c : cons y s = 0
\u22a2 y = 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ b
\u22a2 a * b ≤ max a b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : 0 < z
\u22a2 x ^ (1 / z) ≤ y ↔ x ≤ y ^ z
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
\u22a2 Continuous fun a => ‖a‖
-- Mathlib/GroupTheory/CosetCover.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Infinite k
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module k E
s : Finset (Subspace k E)
hs : ∀ p ∈ s, p ≠ ⊤
hcovers : ⋃ p ∈ s, ↑p = Set.univ
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/CosetCover.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Infinite k
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module k E
s : Finset (Subspace k E)
hs : ∀ p ∈ s, p ≠ ⊤
hcovers : ⋃ p ∈ s, ↑p = Set.univ
p : Subspace k E
hp : p ∈ s
hfi : (Submodule.toAddSubgroup p).FiniteIndex
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/CosetCover.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Infinite k
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module k E
s : Finset (Subspace k E)
hs : ∀ p ∈ s, p ≠ ⊤
hcovers : ⋃ p ∈ s, ↑p = Set.univ
p : Subspace k E
hp : p ∈ s
hfi : (Submodule.toAddSubgroup p).FiniteIndex
this : Finite (E ⧸ p)
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/CosetCover.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Infinite k
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module k E
s : Finset (Subspace k E)
hs : ∀ p ∈ s, p ≠ ⊤
hcovers : ⋃ p ∈ s, ↑p = Set.univ
p : Subspace k E
hp : p ∈ s
hfi : (Submodule.toAddSubgroup p).FiniteIndex
this✝ : Finite (E ⧸ p)
this : Nontrivial (E ⧸ p)
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/CosetCover.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Infinite k
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module k E
s : Finset (Subspace k E)
hs : ∀ p ∈ s, p ≠ ⊤
hcovers : ⋃ p ∈ s, ↑p = Set.univ
p : Subspace k E
hp : p ∈ s
hfi : (Submodule.toAddSubgroup p).FiniteIndex
this✝¹ : Finite (E ⧸ p)
this✝ : Nontrivial (E ⧸ p)
this : Infinite (E ⧸ p)
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
\u22a2 1 < a * b⁻¹ ↔ b < a
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FunctorCategory.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
J : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} K
F : J ⥤ K ⥤ C
c : (k : K) → ColimitCocone (F.flip.obj k)
j₁ j₂ : J
g : j₁ ⟶ j₂
k : K
\u22a2 (F.map g ≫ (fun j => { app := fun k => (c k).cocone.ι.app j, naturality := ⋯ }) j₂).app k = ((fun j => { app := fun k => (c k).cocone.ι.app j, naturality := ⋯ }) j₁ ≫ ((const J).obj { obj := fun k => (c k).cocone.pt, map := fun {k₁ k₂} f => (c k₁).isColimit.desc { pt := (c k₂).cocone.pt, ι := F.flip.map f ≫ (c k₂).cocone.ι }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).map g).app k
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
x✝ : Fintype G
g : G
hg : g ≠ 1
hp : Fact (Nat.Prime (Fintype.card G))
\u22a2 zpowers g = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
x✝ : Fintype G
g : G
hg : g ≠ 1
hp : Fact (Nat.Prime (Fintype.card G))
this : zpowers g = ⊥ ∨ zpowers g = ⊤
\u22a2 zpowers g = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
\u22a2 c⁻¹ * a < b ↔ a < b * c
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 a ∆ b \ c = a \ (b ⊔ c) ⊔ b \ (a ⊔ c)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C✝ C : Finset α
hA : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card
\u22a2 (A * B * C).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C : Finset α
hA : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card
\u22a2 (A * B * ∅).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * ∅).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C✝ : Finset α
hA : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card
x : α
C : Finset α
a✝ : x ∉ C
ih : (A * B * C).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C).card
\u22a2 (A * B * insert x C).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * insert x C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C✝ : Finset α
hA : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card
x : α
C : Finset α
a✝ : x ∉ C
ih : (A * B * C).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C).card
A' : Finset α := A ∩ (A * C / {x})
hA' : A' = A ∩ (A * C / {x})
C' : Finset α := insert x C
hC' : C' = insert x C
\u22a2 (A * B * C').card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C').card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C✝ : Finset α
hA : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card
x : α
C : Finset α
a✝ : x ∉ C
ih : (A * B * C).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C).card
A' : Finset α := A ∩ (A * C / {x})
hA' : A' = A ∩ (A * C / {x})
C' : Finset α := insert x C
hC' : C' = insert x C
h₀ : A' * {x} = A * {x} ∩ (A * C)
\u22a2 (A * B * C').card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C').card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C✝ : Finset α
hA : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card
x : α
C : Finset α
a✝ : x ∉ C
ih : (A * B * C).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C).card
A' : Finset α := A ∩ (A * C / {x})
hA' : A' = A ∩ (A * C / {x})
C' : Finset α := insert x C
hC' : C' = insert x C
h₀ : A' * {x} = A * {x} ∩ (A * C)
h₁ : A * B * C' = A * B * C ∪ (A * B * {x}) \ (A' * B * {x})
\u22a2 (A * B * C').card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C').card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C✝ : Finset α
hA : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card
x : α
C : Finset α
a✝ : x ∉ C
ih : (A * B * C).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C).card
A' : Finset α := A ∩ (A * C / {x})
hA' : A' = A ∩ (A * C / {x})
C' : Finset α := insert x C
hC' : C' = insert x C
h₀ : A' * {x} = A * {x} ∩ (A * C)
h₁ : A * B * C' = A * B * C ∪ (A * B * {x}) \ (A' * B * {x})
h₂ : A' * B * {x} ⊆ A * B * {x}
\u22a2 (A * B * C').card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C').card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C✝ : Finset α
hA : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card
x : α
C : Finset α
a✝ : x ∉ C
ih : (A * B * C).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C).card
A' : Finset α := A ∩ (A * C / {x})
hA' : A' = A ∩ (A * C / {x})
C' : Finset α := insert x C
hC' : C' = insert x C
h₀ : A' * {x} = A * {x} ∩ (A * C)
h₁ : A * B * C' = A * B * C ∪ (A * B * {x}) \ (A' * B * {x})
h₂ : A' * B * {x} ⊆ A * B * {x}
h₃ : (A * B * C').card ≤ (A * B * C).card + (A * B).card - (A' * B).card
\u22a2 (A * B * C').card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C').card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C✝ : Finset α
hA : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card
x : α
C : Finset α
a✝ : x ∉ C
ih : (A * B * C).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C).card
A' : Finset α := A ∩ (A * C / {x})
hA' : A' = A ∩ (A * C / {x})
C' : Finset α := insert x C
hC' : C' = insert x C
h₀ : A' * {x} = A * {x} ∩ (A * C)
h₁ : A * B * C' = A * B * C ∪ (A * B * {x}) \ (A' * B * {x})
h₂ : A' * B * {x} ⊆ A * B * {x}
h₃ : (A * B * C').card ≤ (A * B * C).card + (A * B).card - (A' * B).card
\u22a2 ((A * B * C).card + (A * B).card - (A' * B).card) * A.card ≤ (A * B).card * (A * C').card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C✝ : Finset α
hA : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card
x : α
C : Finset α
a✝ : x ∉ C
ih : (A * B * C).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C).card
A' : Finset α := A ∩ (A * C / {x})
hA' : A' = A ∩ (A * C / {x})
C' : Finset α := insert x C
hC' : C' = insert x C
h₀ : A' * {x} = A * {x} ∩ (A * C)
h₁ : A * B * C' = A * B * C ∪ (A * B * {x}) \ (A' * B * {x})
h₂ : A' * B * {x} ⊆ A * B * {x}
h₃ : (A * B * C').card ≤ (A * B * C).card + (A * B).card - (A' * B).card
\u22a2 (A * B * C).card * A.card + (A * B).card * A.card - (A' * B).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C').card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C✝ : Finset α
hA : ∀ A' ⊆ A, (A * B).card * A'.card ≤ (A' * B).card * A.card
x : α
C : Finset α
a✝ : x ∉ C
ih : (A * B * C).card * A.card ≤ (A * B).card * (A * C).card
A' : Finset α := A ∩ (A * C / {x})
hA' : A' = A ∩ (A * C / {x})
C' : Finset α := insert x C
hC' : C' = insert x C
h₀ : A' * {x} = A * {x} ∩ (A * C)
h₁ : A * B * C' = A * B * C ∪ (A * B * {x}) \ (A' * B * {x})
h₂ : A' * B * {x} ⊆ A * B * {x}
h₃ : (A * B * C').card ≤ (A * B * C).card + (A * B).card - (A' * B).card
\u22a2 (A * B).card * (A * C).card + (A * B).card * A.card - (A * B).card * (A ∩ (A * C / {x})).card = (A * B).card * (A * C').card
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝⁴ : Countable G
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
𝓕 : Set α
h𝓕 : IsFundamentalDomain G 𝓕 ν
μ : Measure (Quotient α_mod_G)
inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
this : HasFundamentalDomain G α ν
\u22a2 Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (ν.restrict 𝓕) = μ
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
W X Y : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
Z : C
\u22a2 (f ≫ g) ▷ Z = f ▷ Z ≫ g ▷ Z
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c : Cardinal.{u_1}
co : ℵ₀ ≤ c
\u22a2 c.ord.IsLimit
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c : Cardinal.{u_1}
co : ℵ₀ ≤ c
h : c.ord = 0
\u22a2 ℵ₀ = 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c : Cardinal.{u_1}
co : ℵ₀ ≤ c
a : Ordinal.{u_1}
h : c.ord ≤ succ a
\u22a2 c.ord ≤ a
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → E
hf : AEStronglyMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
\u22a2 Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a) ↔ (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, Integrable (fun y => f (x, y)) (η (a, x))) ∧ Integrable (fun x => ∫ (y : γ), ‖f (x, y)‖ ∂η (a, x)) (κ a)
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame
\u22a2 -x ‖ -y ↔ x ‖ y
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m : ℕ
\u22a2 1 < ack (m + 1 + 1) 0
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m : ℕ
\u22a2 1 < ack (m + 1) 1
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m n : ℕ
\u22a2 1 < ack (m + 1 + 1) (n + 1)
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m n : ℕ
\u22a2 1 < ack (m + 1) (ack (m + 1 + 1) n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
v : V
\u22a2 v ∈ s.direction ↔ ∃ p2 ∈ s, v = p2 -ᵥ p
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
v : V
\u22a2 v ∈ (fun x => x -ᵥ p) '' ↑s ↔ ∃ p2 ∈ s, v = p2 -ᵥ p
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
g : ι' → Cardinal.{v}
\u22a2 (⨆ i, f i) * ⨆ j, g j = ⨆ i, ⨆ j, f i * g j
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀
\u22a2 (cfcₙAux ⋯ a ha) f ∈ NonUnitalStarAlgHom.range (Unitization.inrNonUnitalStarAlgHom 𝕜 A)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀
h₁ : (cfcₙAux ⋯ a ha) f ∈ closure (⇑(cfcₙAux ⋯ a ha) '' ↑(NonUnitalStarAlgebra.adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id ⋯}))
\u22a2 (cfcₙAux ⋯ a ha) f ∈ NonUnitalStarAlgHom.range (Unitization.inrNonUnitalStarAlgHom 𝕜 A)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀
h₁ : (cfcₙAux ⋯ a ha) f ∈ closure (⇑(cfcₙAux ⋯ a ha) '' ↑(NonUnitalStarAlgebra.adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id ⋯}))
\u22a2 (cfcₙAux ⋯ a ha) f ∈ ↑(NonUnitalStarAlgHom.range (Unitization.inrNonUnitalStarAlgHom 𝕜 A))
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀
h₁ : (cfcₙAux ⋯ a ha) f ∈ closure (⇑(cfcₙAux ⋯ a ha) '' ↑(NonUnitalStarAlgebra.adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id ⋯}))
\u22a2 ⇑(cfcₙAux ⋯ a ha) '' ↑(NonUnitalStarAlgebra.adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id ⋯}) ⊆ ↑(NonUnitalStarAlgHom.range (Unitization.inrNonUnitalStarAlgHom 𝕜 A))
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀
h₁ : (cfcₙAux ⋯ a ha) f ∈ closure (⇑(cfcₙAux ⋯ a ha) '' ↑(NonUnitalStarAlgebra.adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id ⋯}))
\u22a2 IsClosed ↑(NonUnitalStarAlgHom.range (Unitization.inrNonUnitalStarAlgHom 𝕜 A))
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι → P
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
c : k
\u22a2 (affineCombination k s p) (affineCombinationLineMapWeights i j c) = (AffineMap.lineMap (p i) (p j)) c
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝ : Finset α
t : Finset β
a✝ : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
f : α ↪ β
s : Finset α
a : α
\u22a2 map f (s.erase a) = (map f s).erase (f a)
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝ : Finset α
t : Finset β
a✝ : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
f : α ↪ β
s : Finset α
a : α
\u22a2 image (⇑f) (s.erase a) = (image (⇑f) s).erase (f a)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ ψ : Angle
h : θ.sign = ψ.sign
\u22a2 θ = ψ ↔ |θ.toReal| = |ψ.toReal|
-- Mathlib/Data/List/NodupEquivFin.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
H : l.Nodup
i : Fin l.length
\u22a2 (fun x => ⟨indexOf (↑x) l, ⋯⟩) ((fun i => ⟨l.get i, ⋯⟩) i) = i
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : IsAlgClosure F E
H : IsPurelyInseparable F E
\u22a2 IsSepClosed F
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : IsAlgClosure F E
H : IsPurelyInseparable F E
this : IsAlgClosed E
\u22a2 IsSepClosed F
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.support.card ≤ 1
\u22a2 (monomial p.natDegree) p.leadingCoeff = p
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type ?u.5630
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
x x' : X
x✝ : f x = f x'
\u22a2 (x ≠ x' → ∃ s₁ s₂, IsOpen s₁ ∧ IsOpen s₂ ∧ x ∈ s₁ ∧ x' ∈ s₂ ∧ Disjoint s₁ s₂) ↔ x ≠ x' → Disjoint (𝓝 x) (𝓝 x')
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
hf' : f.IsClosable
hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥
\u22a2 f.inverse.closure = f.closure.inverse
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
hf' : f.IsClosable
hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥
\u22a2 f.inverse.closure.graph = f.closure.inverse.graph
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A✝ B : Matrix n n α
A : (Matrix n n α)ˣ
this : Invertible ↑A := A.invertible
\u22a2 ↑A⁻¹ = (↑A)⁻¹
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
hs : s.Infinite
ht : t.Finite
\u22a2 ∃ a ∈ s, a ∉ t
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
hs : s.Infinite
ht : t.Finite
h : ∀ a ∈ s, a ∈ t
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/OneVariable.lean
\u22a2 (fun τ => jacobiTheta τ - 1) =O[comap im atTop] fun τ => rexp (-π * τ.im)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/OneVariable.lean
\u22a2 ∃ c a, ∀ b ≥ a, ∀ (a : ℂ), a.im = b → ‖jacobiTheta a - 1‖ ≤ c * ‖rexp (-π * a.im)‖
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/OneVariable.lean
y : ℝ
hy : y ≥ 1
τ : ℂ
hτ : τ.im = y
\u22a2 2 / (1 - rexp (-π * τ.im)) * rexp (-π * τ.im) ≤ 2 / (1 - rexp (-π)) * ‖rexp (-π * τ.im)‖
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/OneVariable.lean
y : ℝ
hy : y ≥ 1
τ : ℂ
hτ : τ.im = y
\u22a2 2 / (1 - rexp (-π * τ.im)) * rexp (-π * τ.im) ≤ 2 / (1 - rexp (-π)) * rexp (-π * τ.im)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/OneVariable.lean
y : ℝ
hy : y ≥ 1
τ : ℂ
hτ : τ.im = y
\u22a2 2 / (1 - rexp (-π * τ.im)) ≤ 2 / (1 - rexp (-π))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/OneVariable.lean
y : ℝ
hy : y ≥ 1
τ : ℂ
hτ : τ.im = y
\u22a2 π ≤ π * τ.im
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/OneVariable.lean
y : ℝ
hy : y ≥ 1
τ : ℂ
hτ : τ.im = y
\u22a2 0 < 1 - rexp (-π * τ.im)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/OneVariable.lean
y : ℝ
hy : y ≥ 1
τ : ℂ
hτ : τ.im = y
\u22a2 0 < 1 - rexp (-π)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ
\u22a2 (-x).coeff n = peval (wittNeg p n) ![x.coeff]
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n✝ b m d n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, ∀ {d : ℕ}, d ∈ (b + 2).digits m → d < b + 2
hd : d ∈ (b + 2).digits (n + 1)
\u22a2 d < b + 2
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n✝ b m d n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, ∀ {d : ℕ}, d ∈ (b + 2).digits m → d < b + 2
hd : d ∈ (n + 1) % (b + 2) :: (b + 2).digits ((n + 1) / (b + 2))
\u22a2 d < b + 2
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Ring α
a : α
\u22a2 Odd |a| ↔ Odd a
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
t : Set Y
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
\u22a2 IsCompact (s ×ˢ t)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
t : Set Y
hs : ∀ (f : Ultrafilter X), s ∈ f → ∃ x ∈ s, ↑f ≤ 𝓝 x
ht : ∀ (f : Ultrafilter Y), t ∈ f → ∃ x ∈ t, ↑f ≤ 𝓝 x
\u22a2 ∀ (f : Ultrafilter (X × Y)), s ×ˢ t ∈ f → ∃ x ∈ s ×ˢ t, ↑f ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
t : Set Y
hs : ∀ (f : Ultrafilter X), s ∈ f → ∃ x ∈ s, ↑f ≤ 𝓝 x
ht : ∀ (f : Ultrafilter Y), t ∈ f → ∃ x ∈ t, ↑f ≤ 𝓝 x
f : Ultrafilter (X × Y)
hfs : s ×ˢ t ∈ f
\u22a2 ∃ x ∈ s ×ˢ t, ↑f ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
t : Set Y
hs : ∀ (f : Ultrafilter X), s ∈ f → ∃ x ∈ s, ↑f ≤ 𝓝 x
ht : ∀ (f : Ultrafilter Y), t ∈ f → ∃ x ∈ t, ↑f ≤ 𝓝 x
f : Ultrafilter (X × Y)
hfs : s ×ˢ t ∈ f
x : X
sx : x ∈ s
hx : map Prod.fst ↑f ≤ 𝓝 x
\u22a2 ∃ x ∈ s ×ˢ t, ↑f ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
t : Set Y
hs : ∀ (f : Ultrafilter X), s ∈ f → ∃ x ∈ s, ↑f ≤ 𝓝 x
ht : ∀ (f : Ultrafilter Y), t ∈ f → ∃ x ∈ t, ↑f ≤ 𝓝 x
f : Ultrafilter (X × Y)
hfs : s ×ˢ t ∈ f
x : X
sx : x ∈ s
hx : map Prod.fst ↑f ≤ 𝓝 x
y : Y
ty : y ∈ t
hy : map Prod.snd ↑f ≤ 𝓝 y
\u22a2 ∃ x ∈ s ×ˢ t, ↑f ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
t : Set Y
hs : ∀ (f : Ultrafilter X), s ∈ f → ∃ x ∈ s, ↑f ≤ 𝓝 x
ht : ∀ (f : Ultrafilter Y), t ∈ f → ∃ x ∈ t, ↑f ≤ 𝓝 x
f : Ultrafilter (X × Y)
hfs : s ×ˢ t ∈ f
x : X
sx : x ∈ s
hx : ↑f ≤ comap Prod.fst (𝓝 x)
y : Y
ty : y ∈ t
hy : ↑f ≤ comap Prod.snd (𝓝 y)
\u22a2 ∃ x ∈ s ×ˢ t, ↑f ≤ 𝓝 x