ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s✝ s : Set M
p : (x : M) → x ∈ (closure L).toFun s → Prop
Hs : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯
Hfun : ∀ {n : ℕ} (f : L.Functions n), ClosedUnder f {x | ∃ (hx : x ∈ (closure L).toFun s), p x hx}
x : M
hx : x ∈ (closure L).toFun s
\u22a2 ∃ (x_1 : x ∈ (closure L).toFun s), p x x_1
-- Mathlib/Algebra/Ring/InjSurj.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹³ : Zero β
inst✝¹² : One β
inst✝¹¹ : Add β
inst✝¹⁰ : Mul β
inst✝⁹ : Neg β
inst✝⁸ : Sub β
inst✝⁷ : SMul ℕ β
inst✝⁶ : SMul ℤ β
inst✝⁵ : Pow β ℕ
inst✝⁴ : NatCast β
inst✝³ : IntCast β
f : β → α
hf : Injective f
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : Add α
inst✝ : LeftDistribClass α
add : ∀ (x y : β), f (x + y) = f x + f y
mul : ∀ (x y : β), f (x * y) = f x * f y
x y z : β
\u22a2 f (x * (y + z)) = f (x * y + x * z)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Lemmas.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
b : ℝ
\u22a2 {b} = ⋂ r, ⋂ (_ : r > 0), Icc (b - r) (b + r)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ q
H₁ : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑' (i : ι), g i ^ q) ^ (1 / q)
bdd : BddAbove (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, f i * g i)
\u22a2 (Summable fun i => f i * g i) ∧ ∑' (i : ι), f i * g i ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑' (i : ι), g i ^ q) ^ (1 / q)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ q
H₁ : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑' (i : ι), g i ^ q) ^ (1 / q)
bdd : BddAbove (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, f i * g i)
H₂ : Summable fun i => f i * g i
\u22a2 (Summable fun i => f i * g i) ∧ ∑' (i : ι), f i * g i ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑' (i : ι), g i ^ q) ^ (1 / q)
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n : ℤ
a : G
\u22a2 a / a = 1
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
p : ℕ
inst✝ : Nontrivial R
h : CharP R p
hp : p ≠ 2
\u22a2 IsPrimitiveRoot (-1) 2
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
p : ℕ
inst✝ : Nontrivial R
h : CharP R p
hp : p ≠ 2
\u22a2 2 = orderOf (-1)
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
p : ℕ
inst✝ : Nontrivial R
h : CharP R p
hp : p ≠ 2
\u22a2 ¬ringChar R = 2
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
\u22a2 Continuous fun f => posPart (-f)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Fintype α
hG : G.Colorable (card α)
\u22a2 G.chromaticNumber = ↑(card α) ↔ ∀ (C : G.Coloring α), Surjective ⇑C
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : mabs a = b
\u22a2 a = b ∨ a = b⁻¹
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
Hd : a ∣ b
\u22a2 a * (b / a) = b
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x : Z
\u22a2 x ∈ e.source ↔ proj x ∈ e.baseSet
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
M M₁ M₂ M₃ : ModuleCat R
l₁₂ : M₁ ⟶ M₂
l₂₃ : M₂ ⟶ M₃
x : ↑(obj' f M₁)
\u22a2 (LinearMap.baseChange S (l₁₂ ≫ l₂₃)) x = (LinearMap.baseChange S l₁₂ ≫ LinearMap.baseChange S l₂₃) x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
M M₁ M₂ M₃ : ModuleCat R
l₁₂ : M₁ ⟶ M₂
l₂₃ : M₂ ⟶ M₃
\u22a2 (LinearMap.baseChange S (l₁₂ ≫ l₂₃)) 0 = (LinearMap.baseChange S l₁₂ ≫ LinearMap.baseChange S l₂₃) 0
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
M M₁ M₂ M₃ : ModuleCat R
l₁₂ : M₁ ⟶ M₂
l₂₃ : M₂ ⟶ M₃
x✝ : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))
y✝ : ↑M₁
\u22a2 (LinearMap.baseChange S (l₁₂ ≫ l₂₃)) (x✝ ⊗ₜ[R] y✝) = (LinearMap.baseChange S l₁₂ ≫ LinearMap.baseChange S l₂₃) (x✝ ⊗ₜ[R] y✝)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
M M₁ M₂ M₃ : ModuleCat R
l₁₂ : M₁ ⟶ M₂
l₂₃ : M₂ ⟶ M₃
x y : ↑((restrictScalars f).obj (mk S)) ⊗[R] ↑M₁
ihx : (LinearMap.baseChange S (l₁₂ ≫ l₂₃)) x = (LinearMap.baseChange S l₁₂ ≫ LinearMap.baseChange S l₂₃) x
ihy : (LinearMap.baseChange S (l₁₂ ≫ l₂₃)) y = (LinearMap.baseChange S l₁₂ ≫ LinearMap.baseChange S l₂₃) y
\u22a2 (LinearMap.baseChange S (l₁₂ ≫ l₂₃)) (x + y) = (LinearMap.baseChange S l₁₂ ≫ LinearMap.baseChange S l₂₃) (x + y)
-- Mathlib/Algebra/AddConstMap/Basic.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddCommMonoid G
inst✝¹ : AddMonoid H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
n : ℕ
x : G
\u22a2 f (n • a + x) = f x + n • b
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
\u22a2 essSup f (c • μ) = essSup f μ
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : {X : Type u} → (Cofix F α → X) → (β → X) → β → F (α ::: X)
x : β
h : ∀ (X Y : Type u) (f : Cofix F α → X) (f' : β → X) (k : X → Y), g (k ∘ f) (k ∘ f') x = (TypeVec.id ::: k) <$$> g f f' x
\u22a2 (corec₁ g x).dest = g _root_.id (corec₁ g) x
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : {X : Type u} → (Cofix F α → X) → (β → X) → β → F (α ::: X)
x : β
h : ∀ (X Y : Type u) (f : Cofix F α → X) (f' : β → X) (k : X → Y), g (k ∘ f) (k ∘ f') x = (TypeVec.id ::: k) <$$> g f f' x
\u22a2 g (Sum.elim _root_.id (corec' fun x => g Sum.inl Sum.inr x) ∘ Sum.inl) (Sum.elim _root_.id (corec' fun x => g Sum.inl Sum.inr x) ∘ Sum.inr) x = g _root_.id (corec₁ g) x
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x : ℝ≥0∞
\u22a2 x.toReal = 1 ↔ x = 1
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
hf : Function.Injective ⇑f
\u22a2 CompleteOrthogonalIdempotents (⇑f ∘ e) ↔ CompleteOrthogonalIdempotents e
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
f g h : Perm α
\u22a2 f.Disjoint g⁻¹ ↔ f.Disjoint g
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
xs : List α
h : xs.Nodup
n : ℕ
hn : n + 1 < xs.length
\u22a2 xs.formPerm (xs.nthLe n ⋯) = xs.nthLe (n + 1) hn
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z X Y : C
\u22a2 X ◁ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
h : T.IsComplete
φ : L.Sentence
M : Type u_1
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Nonempty M
\u22a2 M ⊨ φ ↔ T ⊨ᵇ φ
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
h : T.IsComplete
φ : L.Sentence
M : Type u_1
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Nonempty M
hφ : T ⊨ᵇ φ
\u22a2 M ⊨ φ ↔ T ⊨ᵇ φ
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
h : T.IsComplete
φ : L.Sentence
M : Type u_1
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Nonempty M
hφn : T ⊨ᵇ Formula.not φ
\u22a2 M ⊨ φ ↔ T ⊨ᵇ φ
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ n' a : ℤ
γ : Cocycle ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj K) L n'
n : ℤ
hn : n + a = n'
\u22a2 δ n (n + 1) ((↑γ).leftUnshift n hn) = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Holder.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
C r : ℝ≥0
f : X → Y
b : X
\u22a2 edist (f b) (f b) ≤ ↑C * edist b b ^ ↑r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Holder.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
C r : ℝ≥0
f : X → Y
b : X
\u22a2 0 ≤ ↑C * edist b b ^ ↑r
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
f : ι → α
\u22a2 (∏ j : ι, if i = j then f j else 1) = f i
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AffineIsometry.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁴ : NormedField 𝕜
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝²⁰ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁷ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁶ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹³ : MetricSpace P₁'
inst✝¹² : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝⁹ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₄
inst✝ : NormedAddTorsor V₄ P₄
f : P →ᵃ[𝕜] P₂
inhabited_h : Inhabited P
this : ⇑f.linear = ⇑(AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 (f default)).toHomeomorph.symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 default).toHomeomorph
\u22a2 Continuous (⇑(AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 (f default)).toHomeomorph.symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 default).toHomeomorph) ↔ Continuous ⇑f
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ center R L
h₂ : IsNilpotent R (L ⧸ I)
\u22a2 IsNilpotent R L
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ center R L
h₂ : IsNilpotent R (L ⧸ I)
\u22a2 LieModule.IsNilpotent R L (L ⧸ I)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ center R L
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (L ⧸ I) (L ⧸ I) k = ⊥
\u22a2 LieModule.IsNilpotent R L (L ⧸ I)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I : LieIdeal R L
h₁ : I ≤ center R L
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (L ⧸ I) (L ⧸ I) k = ⊥
\u22a2 lowerCentralSeries R L (L ⧸ I) k = ⊥
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Scheme.lean
R : CommRingCat
\u22a2 map (eqToHom ⋯) = eqToHom ⋯
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Translations.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
\u22a2 (of v).convs' (n + 1) = ↑⌊v⌋ + 1 / (of (fract v)⁻¹).convs' n
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Translations.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
h : fract v = 0
\u22a2 (of v).convs' (n + 1) = ↑⌊v⌋ + 1 / (of (fract v)⁻¹).convs' n
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Translations.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
h : fract v ≠ 0
\u22a2 (of v).convs' (n + 1) = ↑⌊v⌋ + 1 / (of (fract v)⁻¹).convs' n
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝ : MulOneClass M
s t : Set α
f✝ g : α → M
a : α
h : a ∉ s ∩ t
f : α → M
\u22a2 (s ∪ t).mulIndicator f a = s.mulIndicator f a * t.mulIndicator f a
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ : ℤ
γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝
a n' : ℤ
γ : Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'
n : ℤ
hn : n' + a = n
m m' : ℤ
hm' : m' + a = m
\u22a2 δ n m (γ.rightUnshift n hn) = a.negOnePow • (δ n' m' γ).rightUnshift m hm'
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝
a n' n : ℤ
hn : n' + a = n
m m' : ℤ
hm' : m' + a = m
γ' : Cochain K L n
\u22a2 δ n m (((rightShiftAddEquiv K L n a n' hn) γ').rightUnshift n hn) = a.negOnePow • (δ n' m' ((rightShiftAddEquiv K L n a n' hn) γ')).rightUnshift m hm'
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝
a n' n : ℤ
hn : n' + a = n
m m' : ℤ
hm' : m' + a = m
γ' : Cochain K L n
\u22a2 δ n m ((γ'.rightShift a n' hn).rightUnshift n hn) = a.negOnePow • (δ n' m' (γ'.rightShift a n' hn)).rightUnshift m hm'
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
\u22a2 W.Equation x y ↔ y ^ 2 + W.a₁ * x * y + W.a₃ * y - (x ^ 3 + W.a₂ * x ^ 2 + W.a₄ * x + W.a₆) = 0
-- Mathlib/Analysis/Hofer.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
\u22a2 ∃ ε' > 0, ∃ x', ε' ≤ ε ∧ d x' x ≤ 2 * ε ∧ ε * ϕ x ≤ ε' * ϕ x' ∧ ∀ (y : X), d x' y ≤ ε' → ϕ y ≤ 2 * ϕ x'
-- Mathlib/Analysis/Hofer.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
H : ¬∃ ε' > 0, ∃ x', ε' ≤ ε ∧ d x' x ≤ 2 * ε ∧ ε * ϕ x ≤ ε' * ϕ x' ∧ ∀ (y : X), d x' y ≤ ε' → ϕ y ≤ 2 * ϕ x'
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Hofer.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
H : ¬∃ ε' > 0, ∃ x', ε' ≤ ε ∧ d x' x ≤ 2 * ε ∧ ε * ϕ x ≤ ε' * ϕ x' ∧ ∀ (y : X), d x' y ≤ ε' → ϕ y ≤ 2 * ϕ x'
reformulation : ∀ (x' : X) (k : ℕ), ε * ϕ x ≤ ε / 2 ^ k * ϕ x' ↔ 2 ^ k * ϕ x ≤ ϕ x'
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Hofer.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
reformulation : ∀ (x' : X) (k : ℕ), ε * ϕ x ≤ ε / 2 ^ k * ϕ x' ↔ 2 ^ k * ϕ x ≤ ϕ x'
H : ∀ (k : ℕ) (x' : X), d x' x ≤ 2 * ε ∧ 2 ^ k * ϕ x ≤ ϕ x' → ∃ y, d x' y ≤ ε / 2 ^ k ∧ 2 * ϕ x' < ϕ y
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Hofer.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
this : Nonempty X
F : ℕ → X → X
u : ℕ → X := fun n => Nat.recOn n x F
hu : ∀ (n : ℕ), d (u n) x ≤ 2 * ε ∧ 2 ^ n * ϕ x ≤ ϕ (u n) → d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / 2 ^ n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key : ∀ (n : ℕ), d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / 2 ^ n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Hofer.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
this : Nonempty X
F : ℕ → X → X
u : ℕ → X := fun n => Nat.recOn n x F
hu : ∀ (n : ℕ), d (u n) x ≤ 2 * ε ∧ 2 ^ n * ϕ x ≤ ϕ (u n) → d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / 2 ^ n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key : ∀ (n : ℕ), d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / 2 ^ n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key₁ : ∀ (x : ℕ), d (u x) (u (x + 1)) ≤ ε / 2 ^ x
key₂ : ∀ (x : ℕ), 2 * ϕ (u x) < ϕ (u (x + 1))
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Hofer.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
this : Nonempty X
F : ℕ → X → X
u : ℕ → X := fun n => Nat.recOn n x F
key₁ : ∀ (x : ℕ), d (u x) (u (x + 1)) ≤ ε / 2 ^ x
key₂ : ∀ (x : ℕ), 2 * ϕ (u x) < ϕ (u (x + 1))
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Hofer.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
this : Nonempty X
F : ℕ → X → X
u : ℕ → X := fun n => Nat.recOn n x F
key₁ : ∀ (x : ℕ), d (u x) (u (x + 1)) ≤ ε / 2 ^ x
key₂ : ∀ (x : ℕ), 2 * ϕ (u x) < ϕ (u (x + 1))
cauchy_u : CauchySeq u
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Hofer.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
this : Nonempty X
F : ℕ → X → X
u : ℕ → X := fun n => Nat.recOn n x F
key₁ : ∀ (x : ℕ), d (u x) (u (x + 1)) ≤ ε / 2 ^ x
key₂ : ∀ (x : ℕ), 2 * ϕ (u x) < ϕ (u (x + 1))
cauchy_u : CauchySeq u
y : X
limy : Tendsto u atTop (𝓝 y)
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Hofer.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
this : Nonempty X
F : ℕ → X → X
u : ℕ → X := fun n => Nat.recOn n x F
key₁ : ∀ (x : ℕ), d (u x) (u (x + 1)) ≤ ε / 2 ^ x
key₂ : ∀ (x : ℕ), 2 * ϕ (u x) < ϕ (u (x + 1))
cauchy_u : CauchySeq u
y : X
limy : Tendsto u atTop (𝓝 y)
lim_top : Tendsto (ϕ ∘ u) atTop atTop
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Hofer.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
this : Nonempty X
F : ℕ → X → X
u : ℕ → X := fun n => Nat.recOn n x F
key₁ : ∀ (x : ℕ), d (u x) (u (x + 1)) ≤ ε / 2 ^ x
key₂ : ∀ (x : ℕ), 2 * ϕ (u x) < ϕ (u (x + 1))
cauchy_u : CauchySeq u
y : X
limy : Tendsto u atTop (𝓝 y)
lim_top : Tendsto (ϕ ∘ u) atTop atTop
lim : Tendsto (ϕ ∘ u) atTop (𝓝 (ϕ y))
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
m : ℕ
a : α
\u22a2 (replicate (m + 1) a).getLast ⋯ = a
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
m : ℕ
a : α
\u22a2 (replicate m a ++ [a]).getLast ⋯ = a
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Equiv.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
p : Submodule R N
hf : Injective ⇑f
h : p ≤ LinearMap.range f
x y : ↥(comap f p)
hxy : (LinearMap.codRestrict p (f ∘ₗ (comap f p).subtype) ⋯) x = (LinearMap.codRestrict p (f ∘ₗ (comap f p).subtype) ⋯) y
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Equiv.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
p : Submodule R N
hf : Injective ⇑f
h : p ≤ LinearMap.range f
x✝ : ↥p
y : M
hx : f y ∈ p
\u22a2 ∃ a, (LinearMap.codRestrict p (f ∘ₗ (comap f p).subtype) ⋯) a = ⟨f y, hx⟩
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
s : Set ℝ≥0∞
hf : ∀ r ∈ s, r ≠ ⊤
\u22a2 (sInf s).toReal = sInf (ENNReal.toReal '' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace β✝
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
β : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → β
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
\u22a2 AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s) ↔ AEStronglyMeasurable f (sum fun g => μ.restrict (g • t ∩ s))
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace β✝
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
β : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → β
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
\u22a2 AEStronglyMeasurable f (sum fun g => μ.restrict (g • t ∩ s)) ↔ ∀ (g : G), AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g • (g⁻¹ • s ∩ t)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace β✝
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
β : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → β
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
\u22a2 (∀ (g : G), AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g⁻¹ • (g⁻¹⁻¹ • s ∩ t)))) ↔ ∀ (g : G), AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g⁻¹ • (g • s ∩ t)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace β✝
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
β : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → β
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
\u22a2 (∀ (g : G), AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g⁻¹ • (g • s ∩ t)))) ↔ ∀ (g : G), AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (g • s ∩ t))