ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Module.lean
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A
α : ι → Type u_2
v : (i : ι) → Basis (α i) R ↥(A i)
a : (i : ι) × α i
\u22a2 (toModule R ι M fun i => (A i).subtype) (DFinsupp.mapRange (fun i x => (v i).repr.symm x) ⋯ (DFinsupp.single a.fst (Finsupp.single a.snd 1))) = ↑((v a.fst) a.snd)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Module.lean
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A
α : ι → Type u_2
v : (i : ι) → Basis (α i) R ↥(A i)
a : (i : ι) × α i
\u22a2 ((DFinsupp.lsum ℕ) fun i => (A i).subtype) (DFinsupp.single a.fst ((v a.fst) a.snd)) = ↑((v a.fst) a.snd)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Module.lean
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A
α : ι → Type u_2
v : (i : ι) → Basis (α i) R ↥(A i)
a : (i : ι) × α i
\u22a2 (A a.fst).subtype ((v a.fst) a.snd) = ↑((v a.fst) a.snd)
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r r' : R
eq1 : r • y = r' • y
\u22a2 (extendIdealTo i f h y) r = (extendIdealTo i f h y) r'
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r r' : R
eq1 : r • y = r' • y
\u22a2 (extendIdealTo i f h y) (r - r') = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r r' : R
eq1 : r • y = r' • y
\u22a2 (r - r') • y = 0
-- Mathlib/Data/List/Join.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidablePred fun l => l ≠ []
L : List (List α)
\u22a2 (filter (fun l => decide (l ≠ [])) L).join = L.join
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
hs : TotallyBounded s
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
\u22a2 ∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ U}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
hs : TotallyBounded s
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
r : Set (α × α)
hr : r ∈ 𝓤 α
rs : ∀ {a b : α}, (a, b) ∈ r → (b, a) ∈ r
rU : r ○ r ⊆ U
\u22a2 ∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ U}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
hs : TotallyBounded s
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
r : Set (α × α)
hr : r ∈ 𝓤 α
rs : ∀ {a b : α}, (a, b) ∈ r → (b, a) ∈ r
rU : r ○ r ⊆ U
k : Set α
fk : k.Finite
ks : s ⊆ ⋃ y ∈ k, {x | (x, y) ∈ r}
u : Set α := k ∩ {y | ∃ x ∈ s, (x, y) ∈ r}
\u22a2 ∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ U}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
hs : TotallyBounded s
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
r : Set (α × α)
hr : r ∈ 𝓤 α
rs : ∀ {a b : α}, (a, b) ∈ r → (b, a) ∈ r
rU : r ○ r ⊆ U
k : Set α
fk : k.Finite
ks : s ⊆ ⋃ y ∈ k, {x | (x, y) ∈ r}
u : Set α := k ∩ {y | ∃ x ∈ s, (x, y) ∈ r}
f : ↑u → α
hfs : ∀ (x : ↑u), f x ∈ s
hfr : ∀ (x : ↑u), (f x, ↑x) ∈ r
\u22a2 ∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ U}
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
f : α → Computation β
g : β → Computation γ
\u22a2 (s.bind f).bind g = s.bind fun x => (f x).bind g
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
f : α → Computation β
g : β → Computation γ
\u22a2 IsBisimulation fun c₁ c₂ => c₁ = c₂ ∨ ∃ s, c₁ = (s.bind f).bind g ∧ c₂ = s.bind fun x => (f x).bind g
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
f : α → Computation β
g : β → Computation γ
\u22a2 ((s.bind f).bind g = s.bind fun x => (f x).bind g) ∨ ∃ s_1, (s.bind f).bind g = (s_1.bind f).bind g ∧ (s.bind fun x => (f x).bind g) = s_1.bind fun x => (f x).bind g
-- Mathlib/Tactic/Sat/FromLRAT.lean
p : Prop
as ps as₁ : List Prop
\u22a2 as = as₁.reverseAux ps → (mk as).implies p ps as₁.length → p
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝⁷ : Algebra R S
A : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra A S
inst✝³ : IsScalarTower R A S
inst✝² : IsIntegralClosure A R S
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : Nontrivial R
I : Ideal A
\u22a2 comap (algebraMap R A) I = ⊥ → I = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝⁷ : Algebra R S
A : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra A S
inst✝³ : IsScalarTower R A S
inst✝² : IsIntegralClosure A R S
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : Nontrivial R
I : Ideal A
\u22a2 ¬I = ⊥ → ¬comap (algebraMap R A) I = ⊥
-- Mathlib/Topology/Sets/Opens.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
U : Opens α
\u22a2 U ≠ ⊥ ↔ (↑U).Nonempty
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : 0 ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ this : IsFiniteMeasure μ
\u22a2 eLpNorm f 1 μ ≤ 2 * μ univ * ↑r
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : ∫ (a : α), ↑(-f a).toNNReal ∂μ ≤ ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ this : IsFiniteMeasure μ
\u22a2 eLpNorm f 1 μ ≤ 2 * μ univ * ↑r
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : ∫ (a : α), ↑(-f a).toNNReal ∂μ ≤ ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ this : IsFiniteMeasure μ
hposbdd : ∫ (ω : α), max (f ω) 0 ∂μ ≤ (μ univ).toReal • ↑r
\u22a2 eLpNorm f 1 μ ≤ 2 * μ univ * ↑r
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : ∫ (a : α), ↑(-f a).toNNReal ∂μ ≤ ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ this : IsFiniteMeasure μ
hposbdd : ∫ (ω : α), max (f ω) 0 ∂μ ≤ (μ univ).toReal • ↑r
\u22a2 (∫ (a : α), ‖f a‖ ^ ENNReal.toReal 1 ∂μ) ^ (ENNReal.toReal 1)⁻¹ ≤ (2 * μ univ * ↑r).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : ∫ (a : α), ↑(-f a).toNNReal ∂μ ≤ ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ this : IsFiniteMeasure μ
hposbdd : ∫ (ω : α), max (f ω) 0 ∂μ ≤ (μ univ).toReal • ↑r
\u22a2 ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal + ↑(-f a).toNNReal ∂μ ≤ (2 * μ univ * ↑r).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : ∫ (a : α), ↑(-f a).toNNReal ∂μ ≤ ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ this : IsFiniteMeasure μ
hposbdd : ∫ (ω : α), max (f ω) 0 ∂μ ≤ (μ univ).toReal • ↑r
\u22a2 ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal ∂μ + ∫ (a : α), ↑(-f a).toNNReal ∂μ ≤ (2 * μ univ * ↑r).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : ∫ (a : α), ↑(-f a).toNNReal ∂μ ≤ ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ this : IsFiniteMeasure μ
hposbdd : ∫ (ω : α), max (f ω) 0 ∂μ ≤ (μ univ).toReal • ↑r
\u22a2 Integrable (fun a => ↑(-f a).toNNReal) μ
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b c d a : α
\u22a2 |a| = max a 0 + max (-a) 0
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s : Set X
x : X
\u22a2 𝓝 x ≤ 𝓝ˢ s ↔ x ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a : α
b : α ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
\u22a2 (fun x => ↑↑x) ((fun b => ⟨⋯.lift b, ⋯⟩) b) = b
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a z✝ : α
\u22a2 (fun x => ↑↑x) ((fun b => ⟨⋯.lift b, ⋯⟩) ↑z✝) = ↑z✝
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a z✝ : α
\u22a2 ↑(toIocMod hp a z✝) = ↑z✝
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a z✝ : α
\u22a2 -toIocDiv hp a z✝ • p ∈ AddSubgroup.zmultiples p
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
c : ι → R
\u22a2 ⇑(b.repr (∑ i : ι, c i • b i)) = c
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
k n : ℕ
\u22a2 (C x * X ^ k).coeff n = if n = k then x else 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
k n : ℕ
\u22a2 (if k = n then x else 0) = if n = k then x else 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
k n : ℕ
\u22a2 (k = n) = (n = k)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b a₁ b₁ a₂ b₂ : α
h : a₁ < b₁
\u22a2 Ico a₁ b₁ ⊆ Ico a₂ b₂ ↔ a₂ ≤ a₁ ∧ b₁ ≤ b₂
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
\u22a2 DifferentiableOn 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
H : DifferentiableOn 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s)
y : F
hy : y ∈ s
\u22a2 DifferentiableWithinAt 𝕜 f s y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
H : DifferentiableOn 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s)
y : F
hy : y ∈ s
\u22a2 DifferentiableWithinAt 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) (iso.symm y)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
H : DifferentiableOn 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s)
y : F
hy : y ∈ s
\u22a2 iso.symm y ∈ ⇑iso ⁻¹' s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monomial.lean
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
i j : ℕ
\u22a2 (monomial i) 1 = (monomial j) 1 ↔ i = j
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monomial.lean
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
i j : ℕ
\u22a2 Finsupp.single i 1 = Finsupp.single j 1 ↔ i = j
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
h_ne_bot : ∀ (i : ι), t i ≠ ⊥
\u22a2 Injective t
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
h_ne_bot : ∀ (i : ι), t i ≠ ⊥
\u22a2 univ = {i | t i ≠ ⊥}
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.87228, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
i j k : ℤ
hij : i + -1 = j
hik : k + -1 = i
\u22a2 homotopyCofiber.inlX φ i j ⋯ ≫ homotopyCofiber.d φ j i = φ.f i ≫ homotopyCofiber.inrX φ i - F.d i k ≫ homotopyCofiber.inlX φ k i ⋯
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.87228, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
i j k : ℤ
hij : i + -1 = j
hik : k + -1 = i
\u22a2 -F.d i k ≫ homotopyCofiber.inlX φ k i ⋯ + φ.f i ≫ homotopyCofiber.inrX φ i = φ.f i ≫ homotopyCofiber.inrX φ i - F.d i k ≫ homotopyCofiber.inlX φ k i ⋯
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Monoidal/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : ModuleCat R
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat R
Z : ModuleCat R
\u22a2 whiskerRight (associator W X Y).hom Z ≫ (associator W (tensorObj X Y) Z).hom ≫ whiskerLeft W (associator X Y Z).hom = (associator (tensorObj W X) Y Z).hom ≫ (associator W X (tensorObj Y Z)).hom
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x : E
r : β
hx : (x, r).1 ∈ s
hr : f (x, r).1 ≤ (x, r).2
y : E
t : β
hy : (y, t).1 ∈ s
ht : f (y, t).1 ≤ (y, t).2
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
\u22a2 a • (x, r) + b • (y, t) ∈ {p | p.1 ∈ s ∧ f p.1 ≤ p.2}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x : E
r : β
hx : (x, r).1 ∈ s
hr : f (x, r).1 ≤ (x, r).2
y : E
t : β
hy : (y, t).1 ∈ s
ht : f (y, t).1 ≤ (y, t).2
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
\u22a2 f (a • (x, r) + b • (y, t)).1 ≤ (a • (x, r) + b • (y, t)).2
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k✝ : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
A : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra k A
inst✝ : AddMonoid G
x✝ : A[G]
\u22a2 (mapDomainAlgHom k A (AddMonoidHom.id G)) x✝ = (AlgHom.id k A[G]) x✝
-- Mathlib/Order/RelClasses.lean
α : Type u
β : Type v
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
r : α → α → Prop
s : Set α
\u22a2 ¬Unbounded r s ↔ Bounded r s
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K
\u22a2 (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.num / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.denom = x
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
\u22a2 (algebraMap K[X] (RatFunc K)) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).num / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).denom = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
q_div_ne_zero : q / gcd p q ≠ 0
\u22a2 (algebraMap K[X] (RatFunc K)) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).num / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).denom = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
q_div_ne_zero : q / gcd p q ≠ 0
\u22a2 gcd p q ∣ q
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
q_div_ne_zero : q / gcd p q ≠ 0
\u22a2 gcd p q ∣ p
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
q_div_ne_zero : q / gcd p q ≠ 0
\u22a2 (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (q / gcd p q) ≠ 0
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
q_div_ne_zero : q / gcd p q ≠ 0
\u22a2 (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q ≠ 0
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
q_div_ne_zero : q / gcd p q ≠ 0
\u22a2 (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (C (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹) ≠ 0
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
δ' : Type u_2
inst✝⁴ : UniformSpace α
inst✝³ : UniformSpace β
inst✝² : UniformSpace γ
inst✝¹ : UniformSpace δ
inst✝ : UniformSpace δ'
f : α × β → γ
\u22a2 UniformContinuous₂ (curry f) ↔ UniformContinuous f
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a : α
m : M
f : α →₀ M
\u22a2 (a, m) ∈ f.graph ↔ f a = m ∧ m ≠ 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a : α
m : M
f : α →₀ M
\u22a2 (∃ a_1, f a_1 ≠ 0 ∧ { toFun := fun a => (a, f a), inj' := ⋯ } a_1 = (a, m)) ↔ f a = m ∧ m ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
\u22a2 IsOpen {L | Injective ⇑L}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
\u22a2 ∀ x ∈ {L | Injective ⇑L}, ∀ᶠ (y : E →L[𝕜] F) in 𝓝 x, y ∈ {L | Injective ⇑L}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
φ₀ : E →L[𝕜] F
hφ₀ : φ₀ ∈ {L | Injective ⇑L}
\u22a2 ∀ᶠ (y : E →L[𝕜] F) in 𝓝 φ₀, y ∈ {L | Injective ⇑L}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
φ₀ : E →L[𝕜] F
hφ₀ : φ₀ ∈ {L | Injective ⇑L}
K : ℝ≥0
K_pos : K > 0
H : AntilipschitzWith K ⇑↑φ₀
\u22a2 ∀ᶠ (y : E →L[𝕜] F) in 𝓝 φ₀, y ∈ {L | Injective ⇑L}