ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
\u22a2 0 ≤ if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else rexp (log x * y)
-- Mathlib/Algebra/Tropical/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : LinearOrder R
x y : Tropical R
\u22a2 x + y = y ↔ y ≤ x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
n : ℤ
x y : E
\u22a2 inner_ 𝕜 (↑n • x) y = (starRingEnd 𝕜) ↑n * inner_ 𝕜 x y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
n : ℤ
x y : E
\u22a2 inner_ 𝕜 (↑(n.sign * ↑n.natAbs) • x) y = (starRingEnd 𝕜) ↑(n.sign * ↑n.natAbs) * inner_ 𝕜 x y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
n : ℤ
x y : E
\u22a2 inner_ 𝕜 (↑n.sign • ↑n.natAbs • x) y = ↑n.sign * ↑n.natAbs * inner_ 𝕜 x y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
n : ℤ
x y : E
hn : n < 0
\u22a2 inner_ 𝕜 (↑n.sign • ↑n.natAbs • x) y = ↑n.sign * ↑n.natAbs * inner_ 𝕜 x y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y : E
\u22a2 inner_ 𝕜 (↑(Int.sign 0) • ↑(Int.natAbs 0) • x) y = ↑(Int.sign 0) * ↑(Int.natAbs 0) * inner_ 𝕜 x y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
n : ℤ
x y : E
hn : 0 < n
\u22a2 inner_ 𝕜 (↑n.sign • ↑n.natAbs • x) y = ↑n.sign * ↑n.natAbs * inner_ 𝕜 x y
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
\u22a2 ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂0 ≠ ⊤
\u22a2 ⨍⁻ (x : α), f x ∂0 < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hμ : μ ≠ 0
\u22a2 ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ < ⊤
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Divisibility.lean
α : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero α
p u : α
h₁ : p * u ≠ 0
\u22a2 p ≠ 0
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
a b : PartENat
\u22a2 a + b = ⊤ ↔ a = ⊤ ∨ b = ⊤
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
a b : PartENat
\u22a2 ∀ (n n_1 : ℕ), ¬↑n_1 + ↑n = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/LinearMap.lean
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁸ : Ring K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module K V₁
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module K V'
inst✝¹ : AddCommGroup V''
inst✝ : Module K V''
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V''
\u22a2 (f ∘ₗ g).rank ≤ f.rank
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/LinearMap.lean
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁸ : Ring K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module K V₁
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module K V'
inst✝¹ : AddCommGroup V''
inst✝ : Module K V''
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V''
\u22a2 range (f ∘ₗ g) ≤ range f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/LinearMap.lean
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁸ : Ring K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module K V₁
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module K V'
inst✝¹ : AddCommGroup V''
inst✝ : Module K V''
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V''
\u22a2 Submodule.map f (range g) ≤ range f
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x : PGame
\u22a2 x + -0 = x + 0
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
hp : 1 < p
M : ℤ
h : LiouvilleWith p ↑M
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
hp : 1 < p
M : ℤ
h : LiouvilleWith p ↑M
n : ℕ
hn : 0 < n
m : ℤ
hne : ↑M ≠ ↑m / ↑n
hlt : |↑M - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-1)
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
hp : 1 < p
M : ℤ
h : LiouvilleWith p ↑M
n : ℕ
hn : 0 < n
m : ℤ
hne : ↑M ≠ ↑m / ↑n
hlt : |↑M - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-1)
hn' : 0 < ↑n
\u22a2 ↑n ^ (-1) ≤ |↑M - ↑m / ↑n|
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
hp : 1 < p
M : ℤ
h : LiouvilleWith p ↑M
n : ℕ
hn : 0 < n
m : ℤ
hne : ↑M ≠ ↑m / ↑n
hlt : |↑M - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-1)
hn' : 0 < ↑n
\u22a2 1 ≤ |↑M * ↑n - ↑m|
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
hp : 1 < p
M : ℤ
h : LiouvilleWith p ↑M
n : ℕ
hn : 0 < n
m : ℤ
hne : ↑M ≠ ↑m / ↑n
hlt : |↑M - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-1)
hn' : 0 < ↑n
\u22a2 1 ≤ |M * ↑n - m|
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
hp : 1 < p
M : ℤ
h : LiouvilleWith p ↑M
n : ℕ
hn : 0 < n
m : ℤ
hne : ↑M ≠ ↑m / ↑n
hlt : |↑M - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-1)
hn' : 0 < ↑n
\u22a2 M * ↑n ≠ m
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
hp : 1 < p
M : ℤ
h : LiouvilleWith p ↑M
n : ℕ
hn : 0 < n
m : ℤ
hne : ¬↑M * ↑n = ↑m
hlt : |↑M - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-1)
hn' : 0 < ↑n
\u22a2 M * ↑n ≠ m
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
\u22a2 Function.Injective ⇑(quotientMap (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P) (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⋯)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
\u22a2 comap (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P) = P
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
\u22a2 P ⊔ comap (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⊥ = P
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
\u22a2 comap (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⊥ ≤ P
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
p : R[X]
hp : p ∈ comap (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⊥
n : ℕ
\u22a2 (Quotient.mk (comap C P)) (p.coeff n) = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Identities.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x y : R
\u22a2 eval₂ (RingHom.id R) (x + y) f = f.sum fun e a => a * (x ^ e + ↑e * x ^ (e - 1) * y + ↑(Polynomial.polyBinomAux1 x y e a) * y ^ 2)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Identities.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x y : R
\u22a2 (f.sum fun e a => (RingHom.id R) a * (x + y) ^ e) = f.sum fun e a => a * (x ^ e + ↑e * x ^ (e - 1) * y + ↑(Polynomial.polyBinomAux1 x y e a) * y ^ 2)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Identities.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x y : R
n : ℕ
z : R
\u22a2 (RingHom.id R) z * (x + y) ^ n = z * (x ^ n + ↑n * x ^ (n - 1) * y + ↑(Polynomial.polyBinomAux1 x y n z) * y ^ 2)
-- Mathlib/Combinatorics/Derangements/Finite.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
\u22a2 card ↑(derangements (Fin (n + 2))) = (n + 1) * card ↑(derangements (Fin n)) + (n + 1) * card ↑(derangements (Fin (n + 1)))
-- Mathlib/Combinatorics/Derangements/Finite.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
h1 : ∀ (a : Fin (n + 1)), card ↑{a}ᶜ = card (Fin n)
\u22a2 card ↑(derangements (Fin (n + 2))) = (n + 1) * card ↑(derangements (Fin n)) + (n + 1) * card ↑(derangements (Fin (n + 1)))
-- Mathlib/Combinatorics/Derangements/Finite.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
h1 : ∀ (a : Fin (n + 1)), card ↑{a}ᶜ = card (Fin n)
h2 : card (Fin (n + 2)) = card (Option (Fin (n + 1)))
\u22a2 card ↑(derangements (Fin (n + 2))) = (n + 1) * card ↑(derangements (Fin n)) + (n + 1) * card ↑(derangements (Fin (n + 1)))
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f : β → α
s✝ t : Set α
x y : α
s : Set β
\u22a2 (f '' s).WellFoundedOn r ↔ s.WellFoundedOn (r on f)
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f : β → α
s✝ t : Set α
x y : α
s : Set β
\u22a2 (range fun x => f ↑x).WellFoundedOn r ↔ s.WellFoundedOn (r on f)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
x : α
xC : x ∈ C
\u22a2 let D := closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C); Perfect D ∧ D.Nonempty ∧ D ⊆ C ∧ EMetric.diam D ≤ ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
x : α
xC : x ∈ C
this : x ∈ EMetric.ball x (ε / 2)
\u22a2 let D := closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C); Perfect D ∧ D.Nonempty ∧ D ⊆ C ∧ EMetric.diam D ≤ ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
x : α
xC : x ∈ C
this✝ : x ∈ EMetric.ball x (ε / 2)
this : Perfect (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)) ∧ (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)).Nonempty
\u22a2 let D := closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C); Perfect D ∧ D.Nonempty ∧ D ⊆ C ∧ EMetric.diam D ≤ ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
x : α
xC : x ∈ C
this✝ : x ∈ EMetric.ball x (ε / 2)
this : Perfect (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)) ∧ (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)).Nonempty
\u22a2 closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C) ⊆ C
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
x : α
xC : x ∈ C
this✝ : x ∈ EMetric.ball x (ε / 2)
this : Perfect (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)) ∧ (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)).Nonempty
\u22a2 EMetric.diam (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)) ≤ ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
x : α
xC : x ∈ C
this✝ : x ∈ EMetric.ball x (ε / 2)
this : Perfect (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)) ∧ (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)).Nonempty
\u22a2 EMetric.diam (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C) ≤ ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
x : α
xC : x ∈ C
this✝ : x ∈ EMetric.ball x (ε / 2)
this : Perfect (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)) ∧ (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)).Nonempty
\u22a2 EMetric.diam (EMetric.ball x (ε / 2)) ≤ ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
x : α
xC : x ∈ C
this✝ : x ∈ EMetric.ball x (ε / 2)
this : Perfect (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)) ∧ (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)).Nonempty
\u22a2 ε = 2 * (ε / 2)
-- Mathlib/Topology/Order/OrderClosed.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
l : Filter β
a : α
h : Tendsto f l (𝓝[>] a)
\u22a2 Tendsto (fun i => max (f i) a) l (𝓝[>] a)
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderTopology α
\u22a2 𝓝 ⊥ = ⨅ l, ⨅ (_ : ⊥ < l), 𝓟 (Iio l)
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
\u22a2 max a b = if b ≤ a then a else b
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
\u22a2 (if a ≤ b then b else a) = if b ≤ a then a else b
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
lt : a < b
\u22a2 (if a ≤ b then b else a) = if b ≤ a then a else b
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
eq : a = b
\u22a2 (if a ≤ b then b else a) = if b ≤ a then a else b
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
gt : b < a
\u22a2 (if a ≤ b then b else a) = if b ≤ a then a else b
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Basic.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasKernels C
inst✝ : HasCokernels C
X Y : C
f : X ⟶ Y
\u22a2 kernel.lift (cokernel.π f) f ⋯ ≫ equalizer.ι (cokernel.π f) 0 = (cokernel.π (kernel.ι f) ≫ coimageImageComparison f) ≫ equalizer.ι (cokernel.π f) 0
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
inst✝³ : FirstCountableTopology X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : T2Space Y
f : X → Y
hf : Continuous f
g : t2Quotient X → Y
hfg : g ∘ mk = f
\u22a2 g = lift hf
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
inst✝³ : FirstCountableTopology X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : T2Space Y
f : X → Y
hf : Continuous f
g : t2Quotient X → Y
hfg : g ∘ mk = f
\u22a2 ∀ (x : X), (g ∘ mk) x = (lift hf ∘ mk) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Marginal.lean
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y : (i : δ) → π i
i : δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hst : Disjoint s t
x : (i : δ) → π i
e : ((i : { x // x ∈ s }) → π ↑i) × ((i : { x // x ∈ t }) → π ↑i) ≃ᵐ ((i : { x // x ∈ s ∪ t }) → π ↑i) := MeasurableEquiv.piFinsetUnion π hst
\u22a2 (∫⋯∫⁻_s ∪ t, f ∂μ) x = (∫⋯∫⁻_s, ∫⋯∫⁻_t, f ∂μ ∂μ) x
-- Mathlib/Algebra/CharP/Two.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CharP R 2
x : R
\u22a2 x + x = 0
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Inv.lean
u : Lean.Level
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n d : ℕ
inv✝ : Invertible ↑d
\u22a2 IsRat (↑(Int.negOfNat n.succ) * ⅟↑d)⁻¹ (Int.negOfNat d) n.succ
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Inv.lean
u : Lean.Level
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n d : ℕ
inv✝ : Invertible ↑d
\u22a2 IsRat (↑(-Int.ofNat n.succ) * ⅟↑d)⁻¹ (-Int.ofNat d) n.succ
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Inv.lean
u : Lean.Level
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n d : ℕ
inv✝ : Invertible ↑d
this : Invertible ↑n.succ
\u22a2 IsRat (↑(-Int.ofNat n.succ) * ⅟↑d)⁻¹ (-Int.ofNat d) n.succ
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Inv.lean
u : Lean.Level
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n✝ d : ℕ
inv✝ : Invertible ↑d
n : ℕ
this : Invertible ↑n
\u22a2 IsRat (↑(-Int.ofNat n) * ⅟↑d)⁻¹ (-Int.ofNat d) n
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Inv.lean
u : Lean.Level
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n✝ d : ℕ
inv✝ : Invertible ↑d
n : ℕ
this : Invertible ↑n
\u22a2 (↑(-Int.ofNat n) * ⅟↑d)⁻¹ = ↑(-Int.ofNat d) * ⅟↑n
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α x : E
\u22a2 x ∈ adjoin F {α} ↔ ∃ r s, x = (aeval α) r / (aeval α) s
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α x : E
\u22a2 (∃ a a_1, (aeval α) a / (aeval α) a_1 = x) ↔ ∃ r s, x = (aeval α) r / (aeval α) s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
s : Set E
t : Set 𝕜'
x : E
hh : HasDerivWithinAt h₂ h₂' t (f x)
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x
hst : MapsTo f s t
hy : y = f x
\u22a2 HasFDerivWithinAt (h₂ ∘ f) (h₂' • f') s x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
m n : ℤ
\u22a2 T (m - n) = T m * T (-n)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b : α
s t : Finset α
a : α
\u22a2 s.erase a ∩ t = s ∩ t.erase a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : Field 𝕜
inst✝¹⁷ : CharZero 𝕜
inst✝¹⁶ : Ring R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Algebra 𝕜 R
inst✝¹³ : Module 𝕜 M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁹ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁸ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁷ : TopologicalSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : TopologicalRing R
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : T2Space R
inst✝ : T2Space M
m : M
\u22a2 exp 𝕜 (inr m) = 1 + inr m
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : Field 𝕜
inst✝¹⁷ : CharZero 𝕜
inst✝¹⁶ : Ring R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Algebra 𝕜 R
inst✝¹³ : Module 𝕜 M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁹ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁸ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁷ : TopologicalSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : TopologicalRing R
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : T2Space R
inst✝ : T2Space M
m : M
\u22a2 MulOpposite.op (inr m).fst • (inr m).snd = (inr m).fst • (inr m).snd
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : p.IsMaximal
inst✝ : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
i : ℕ
hi : i < e
this : Field (R ⧸ p) := Quotient.field p
\u22a2 Module.rank (R ⧸ p) ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) = Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P) + Module.rank (R ⧸ p) ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ (i + 1)))
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : p.IsMaximal
inst✝ : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
i : ℕ
hi : i < e
this : Field (R ⧸ p) := Quotient.field p
\u22a2 Module.rank (R ⧸ p) ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) = Module.rank (R ⧸ p) (↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) ⧸ LinearMap.range (powQuotSuccInclusion f p P i)) + Module.rank (R ⧸ p) ↥(LinearMap.range (powQuotSuccInclusion f p P i))
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₀ : γ
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
ff : δ × δ → γ × γ := fun u => (f u.1, f u.2)
\u22a2 ∃ U ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∃ V ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀), ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₀ : γ
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
ff : δ × δ → γ × γ := fun u => (f u.1, f u.2)
lim_φ : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, 0)) (𝓝 0)
\u22a2 ∃ U ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∃ V ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀), ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₀ : γ
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
ff : δ × δ → γ × γ := fun u => (f u.1, f u.2)
lim_φ : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, 0)) (𝓝 0)
lim_φ_sub_sub : Tendsto (fun p => (fun p => (φ p.1) p.2) (p.1.2 - p.1.1, p.2.2 - p.2.1)) (comap ee (𝓝 (x₀, x₀)) ×ˢ comap ff (𝓝 (y₀, y₀))) (𝓝 0)
\u22a2 ∃ U ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∃ V ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀), ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'