ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ : A
X : C
\u22a2 (shiftFunctorAdd C (a₁ + a₂) a₃ ≪≫ isoWhiskerRight (shiftFunctorAdd C a₁ a₂) (shiftFunctor C a₃) ≪≫ (shiftFunctor C a₁).associator (shiftFunctor C a₂) (shiftFunctor C a₃)).hom.app X = (shiftFunctorAdd' C a₁ (a₂ + a₃) (a₁ + a₂ + a₃) ⋯ ≪≫ isoWhiskerLeft (shiftFunctor C a₁) (shiftFunctorAdd C a₂ a₃)).hom.app X
-- Mathlib/RingTheory/ZMod.lean
n : ℕ
\u22a2 IsReduced (ZMod n) ↔ Squarefree n ∨ n = 0
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X I : Set α
M : Matroid α
\u22a2 (M.restrictSubtype M.E)✶ = M✶.restrictSubtype M.E
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X I : Set α
M : Matroid α
\u22a2 BijOn Subtype.val (M.E ↓∩ (M ↾ M.E).E) (M ↾ M.E).E
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y z : P
h : Wbtw R x y z
\u22a2 Wbtw R x z y ↔ y = z
-- Mathlib/Data/Multiset/Nodup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ t✝ : Multiset α
a : α
f : α → γ
g : β → γ
s : Multiset α
t : Multiset β
hs : s.Nodup
ht : t.Nodup
i : (a : α) → a ∈ s → β
hi : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t
i_inj : ∀ (a₁ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (a₂ : α) (ha₂ : a₂ ∈ s), i a₁ ha₁ = i a₂ ha₂ → a₁ = a₂
i_surj : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), i a ha = b
h : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a = g (i a ha)
this : t = map (fun x => i ↑x ⋯) s.attach
\u22a2 map f s = map g t
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/DensityTheorem.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
x : α
ι : Type u_2
l : Filter ι
w : ι → α
δ : ι → ℝ
δlim : Tendsto δ l (𝓝[>] 0)
xmem : ∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)
\u22a2 Tendsto (fun j => closedBall (w j) (δ j)) l ((vitaliFamily μ K).filterAt x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/DensityTheorem.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
x : α
ι : Type u_2
l : Filter ι
w : ι → α
δ : ι → ℝ
δlim : Tendsto δ l (𝓝[>] 0)
xmem : ∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)
\u22a2 ∀ᶠ (i : ι) in l, closedBall (w i) (δ i) ∈ (vitaliFamily μ K).setsAt x
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/DensityTheorem.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
x : α
ι : Type u_2
l : Filter ι
w : ι → α
δ : ι → ℝ
δlim : Tendsto δ l (𝓝[>] 0)
xmem : ∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)
ε : ℝ
hε : ε > 0
\u22a2 ∀ᶠ (i : ι) in l, closedBall (w i) (δ i) ⊆ closedBall x ε
-- Mathlib/Order/Monotone/Odd.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : OrderedAddCommGroup H
f : G → H
h₁ : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
h₂ : MonotoneOn f (Ici 0)
\u22a2 Monotone f
-- Mathlib/Order/Monotone/Odd.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : OrderedAddCommGroup H
f : G → H
h₁ : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
h₂ : MonotoneOn f (Ici 0)
x : G
hx : x ∈ Iic 0
y : G
hy : y ∈ Iic 0
hxy : x ≤ y
\u22a2 -f y ≤ -f x
-- Mathlib/Order/Monotone/Odd.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : OrderedAddCommGroup H
f : G → H
h₁ : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
h₂ : MonotoneOn f (Ici 0)
x : G
hx : x ∈ Iic 0
y : G
hy : y ∈ Iic 0
hxy : x ≤ y
\u22a2 f (-y) ≤ f (-x)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
π : ι✝ → Type u_5
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
ι : Sort u_6
inst✝ : Nonempty ι
F : ι → Set E
hAF : ∀ (i : ι), IsExtreme 𝕜 A (F i)
i : ι
\u22a2 IsExtreme 𝕜 A (⋂ i, F i)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
π : ι✝ → Type u_5
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x✝ : E
ι : Sort u_6
inst✝ : Nonempty ι
F : ι → Set E
hAF : ∀ (i : ι), IsExtreme 𝕜 A (F i)
i : ι
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hxF : x ∈ ⋂ i, F i
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
\u22a2 x₁ ∈ ⋂ i, F i ∧ x₂ ∈ ⋂ i, F i
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
π : ι✝ → Type u_5
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x✝ : E
ι : Sort u_6
inst✝ : Nonempty ι
F : ι → Set E
hAF : ∀ (i : ι), IsExtreme 𝕜 A (F i)
i : ι
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
hxF : ∀ (i : ι), x ∈ F i
\u22a2 (∀ (i : ι), x₁ ∈ F i) ∧ ∀ (i : ι), x₂ ∈ F i
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
π : ι✝ → Type u_5
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x✝ : E
ι : Sort u_6
inst✝ : Nonempty ι
F : ι → Set E
hAF : ∀ (i : ι), IsExtreme 𝕜 A (F i)
i : ι
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
hxF : ∀ (i : ι), x ∈ F i
h : ∀ (i : ι), x₁ ∈ F i ∧ x₂ ∈ F i
\u22a2 (∀ (i : ι), x₁ ∈ F i) ∧ ∀ (i : ι), x₂ ∈ F i
-- Mathlib/Data/List/Join.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
L : List (List α)
s : List α
hs : s ∈ L
\u22a2 s <+ L.join
-- Mathlib/Data/Set/Equitable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → ℕ
a : α
\u22a2 (↑s).EquitableOn f ↔ ∀ a ∈ s, (∑ i ∈ s, f i) / s.card ≤ f a ∧ f a ≤ (∑ i ∈ s, f i) / s.card + 1
-- Mathlib/Data/Set/Equitable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → ℕ
a : α
\u22a2 (∃ b, ∀ a ∈ ↑s, b ≤ f a ∧ f a ≤ b + 1) ↔ ∀ a ∈ s, (∑ i ∈ s, f i) / s.card ≤ f a ∧ f a ≤ (∑ i ∈ s, f i) / s.card + 1
-- Mathlib/Data/Set/Equitable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → ℕ
a : α
b : ℕ
hb : ∀ a ∈ ↑s, b ≤ f a ∧ f a ≤ b + 1
x : α
hx₁ : x ∈ s
hx₂ : f x ≠ b + 1
\u22a2 (∑ i ∈ s, f i) / s.card = b
-- Mathlib/Data/Set/Equitable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → ℕ
a : α
b : ℕ
hb : ∀ a ∈ ↑s, b ≤ f a ∧ f a ≤ b + 1
x : α
hx₁ : x ∈ s
hx₂ : f x ≠ b + 1
\u22a2 ∑ i ∈ s, (b + 1) ≤ (b + 1) * s.card
-- Mathlib/Data/Set/Equitable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → ℕ
a : α
b : ℕ
hb : ∀ a ∈ ↑s, b ≤ f a ∧ f a ≤ b + 1
x : α
hx₁ : x ∈ s
hx₂ : f x ≠ b + 1
\u22a2 ∀ x ∈ s, b + 1 = b + 1
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝² : MulZeroClass α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
hb : b ≤ 0
\u22a2 a * b ≤ 0
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : ∀ (u : Set ι), u.Countable ∧ (s ∩ ⋂ i ∈ u, t i).Nonempty
\u22a2 (s ∩ ⋂ i, t i).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅
\u22a2 ∃ u, u.Countable → s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hs : IsLindelof s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅
u : Set ι
left✝ : u.Countable
husub : s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅
\u22a2 ∃ u, u.Countable → s ∩ ⋂ i ∈ u, t i = ∅
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n k : ℕ
\u22a2 (n + 1).multichoose (k + 1) = (n + 1 + (k + 1) - 1).choose (k + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n k : ℕ
this : n + (k + 1) < n + 1 + (k + 1)
\u22a2 (n + 1).multichoose (k + 1) = (n + 1 + (k + 1) - 1).choose (k + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n k : ℕ
this✝ : n + (k + 1) < n + 1 + (k + 1)
this : n + 1 + k < n + 1 + (k + 1)
\u22a2 (n + 1).multichoose (k + 1) = (n + 1 + (k + 1) - 1).choose (k + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n k : ℕ
this✝ : n + (k + 1) < n + 1 + (k + 1)
this : n + 1 + k < n + 1 + (k + 1)
\u22a2 (n + 1).multichoose k + n.multichoose (k + 1) = (n + k).choose k + (n + k).choose k.succ
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Multiequalizer.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
K : Multifork I
hK : IsLimit K
T : C
f g : T ⟶ K.pt
h : ∀ (a : I.L), f ≫ K.ι a = g ≫ K.ι a
\u22a2 f = g
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Multiequalizer.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
K : Multifork I
hK : IsLimit K
T : C
f g : T ⟶ K.pt
h : ∀ (a : I.L), f ≫ K.ι a = g ≫ K.ι a
\u22a2 ∀ (j : WalkingMulticospan I.fstTo I.sndTo), f ≫ K.π.app j = g ≫ K.π.app j
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
l : List α
f : α → β
\u22a2 image (fun i => f l[↑i]) univ = (List.map f l).toFinset
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderBot α
a b x : α
h : IsAtom a
\u22a2 x ≤ a ↔ x = ⊥ ∨ x = a
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : Associates α
h : a.factors = b.factors
this : a.factors.prod = b.factors.prod
\u22a2 a = b
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
g : S →+* T
u : Set S
x : S
hx : x ∈ Subring.closure u
\u22a2 g x ∈ Subring.closure (⇑g '' u)
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
g : S →+* T
u : Set S
x : S
hx : ∀ (S_1 : Subring S), u ⊆ ↑S_1 → x ∈ S_1
\u22a2 ∀ (S_1 : Subring T), ⇑g '' u ⊆ ↑S_1 → g x ∈ S_1
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
g : S →+* T
u : Set S
x : S
hx : ∀ (S_1 : Subring S), u ⊆ ↑S_1 → x ∈ S_1
T₁ : Subring T
h₁ : ⇑g '' u ⊆ ↑T₁
\u22a2 g x ∈ T₁
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
g : S →+* T
u : Set S
x : S
hx : ∀ (S_1 : Subring S), u ⊆ ↑S_1 → x ∈ S_1
T₁ : Subring T
h₁ : ⇑g '' u ⊆ ↑T₁
\u22a2 x ∈ Subring.comap g T₁
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
g : S →+* T
u : Set S
x : S
hx : ∀ (S_1 : Subring S), u ⊆ ↑S_1 → x ∈ S_1
T₁ : Subring T
h₁ : ⇑g '' u ⊆ ↑T₁
\u22a2 u ⊆ ↑(Subring.comap g T₁)
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
g : S →+* T
u : Set S
x : S
hx : ∀ (S_1 : Subring S), u ⊆ ↑S_1 → x ∈ S_1
T₁ : Subring T
h₁ : ⇑g '' u ⊆ ↑T₁
\u22a2 ⇑g '' u ⊆ ↑T₁
-- Mathlib/Algebra/GradedMonoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
A : ι → Type u_3
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GMonoid A
n : ℕ
f : Fin n → GradedMonoid A
\u22a2 (List.ofFn f).prod = mk ((List.finRange n).dProdIndex fun i => (f i).fst) ((List.finRange n).dProd (fun i => (f i).fst) fun i => (f i).snd)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/VectorSpace.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x✝ y z : V
x : ↑(ofVectorSpaceIndex K V)
\u22a2 (extend ⋯) x = ↑x
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n)
f : α → List β
g : α → σ
h : α → σ × β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
this : Primcodable (List β) := prim H
G : α → σ × List β → σ × List β := fun a IH => List.casesOn IH.2 IH fun b l => (h a (IH.1, b), l)
\u22a2 Primrec fun a => List.foldl (fun s b => h a (s, b)) (g a) (f a)
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n)
f : α → List β
g : α → σ
h : α → σ × β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
this : Primcodable (List β) := prim H
G : α → σ × List β → σ × List β := fun a IH => List.casesOn IH.2 IH fun b l => (h a (IH.1, b), l)
hG : Primrec₂ G
\u22a2 Primrec fun a => List.foldl (fun s b => h a (s, b)) (g a) (f a)
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n)
f : α → List β
g : α → σ
h : α → σ × β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
this : Primcodable (List β) := prim H
G : α → σ × List β → σ × List β := fun a IH => List.casesOn IH.2 IH fun b l => (h a (IH.1, b), l)
hG : Primrec₂ G
F : α → ℕ → σ × List β := fun a n => (G a)^[n] (g a, f a)
\u22a2 Primrec fun a => List.foldl (fun s b => h a (s, b)) (g a) (f a)
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n)
f : α → List β
g : α → σ
h : α → σ × β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
this : Primcodable (List β) := prim H
G : α → σ × List β → σ × List β := fun a IH => List.casesOn IH.2 IH fun b l => (h a (IH.1, b), l)
hG : Primrec₂ G
F : α → ℕ → σ × List β := fun a n => (G a)^[n] (g a, f a)
hF : Primrec fun a => (F a (encode (f a))).1
\u22a2 Primrec fun a => List.foldl (fun s b => h a (s, b)) (g a) (f a)
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n)
f : α → List β
g : α → σ
h : α → σ × β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
this : Primcodable (List β) := prim H
G : α → σ × List β → σ × List β := fun a IH => List.casesOn IH.2 IH fun b l => (h a (IH.1, b), l)
hG : Primrec₂ G
F : α → ℕ → σ × List β := fun a n => (G a)^[n] (g a, f a)
hF : Primrec fun a => (F a (encode (f a))).1
\u22a2 ∀ (a : α) (n : ℕ), F a n = (List.foldl (fun s b => h a (s, b)) (g a) (List.take n (f a)), List.drop n (f a))
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n)
f : α → List β
g : α → σ
h : α → σ × β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
this : Primcodable (List β) := prim H
G : α → σ × List β → σ × List β := fun a IH => List.casesOn IH.2 IH fun b l => (h a (IH.1, b), l)
hG : Primrec₂ G
F : α → ℕ → σ × List β := fun a n => (G a)^[n] (g a, f a)
hF : Primrec fun a => (F a (encode (f a))).1
a : α
n : ℕ
IH : ∀ (l : List β) (x : σ), (G a)^[n] (x, l) = (List.foldl (fun s b => h a (s, b)) x (List.take n l), List.drop n l)
l : List β
x : σ
\u22a2 (G a)^[n + 1] (x, l) = (List.foldl (fun s b => h a (s, b)) x (List.take (n + 1) l), List.drop (n + 1) l)
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n)
f : α → List β
g : α → σ
h : α → σ × β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
this : Primcodable (List β) := prim H
G : α → σ × List β → σ × List β := fun a IH => List.casesOn IH.2 IH fun b l => (h a (IH.1, b), l)
hG : Primrec₂ G
F : α → ℕ → σ × List β := fun a n => (G a)^[n] (g a, f a)
hF : Primrec fun a => (F a (encode (f a))).1
a : α
n : ℕ
IH : ∀ (l : List β) (x : σ), (G a)^[n] (x, l) = (List.foldl (fun s b => h a (s, b)) x (List.take n l), List.drop n l)
l : List β
x : σ
\u22a2 (G a)^[n] (G a (x, l)) = (List.foldl (fun s b => h a (s, b)) x (List.take (n + 1) l), List.drop (n + 1) l)
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α
h : s ∈ 𝓝[t] a
\u22a2 𝓝[s ∩ t] a = 𝓝[t] a
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α
h : s ∈ 𝓝[t] a
\u22a2 𝓝[t] a ≤ 𝓝[s] a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalRing R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
hf : autoParam (ContinuousOn f ((fun x => -x) '' spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
\u22a2 cfc (fun x => f (-x)) a = cfc f (-a)
-- Mathlib/Order/Filter/Cofinite.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
p : α → Prop
\u22a2 (∃ᶠ (x : α) in cofinite, p x) ↔ {x | p x}.Infinite
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
point✝¹ : PointClass F
a✝¹ : Fin 3 → F
hP : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r a✝¹)
point✝ : PointClass F
a✝ : Fin 3 → F
hQ : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r a✝)
\u22a2 (mk hP + mk hQ).toAffineLift = (mk hP).toAffineLift + (mk hQ).toAffineLift
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
M : ℝ
hM : M ≤ 1
z : ℂ
\u22a2 z ∈ stolzSet M ↔ z ∈ ∅
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
M : ℝ
hM : M ≤ 1
z : ℂ
\u22a2 0 < 1 - ‖z‖ → M * (1 - ‖z‖) ≤ ‖1 - z‖
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
M : ℝ
hM : M ≤ 1
z : ℂ
zn : 0 < 1 - ‖z‖
\u22a2 M * (1 - ‖z‖) ≤ ‖1 - z‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DivergenceTheorem.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc I) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
\u22a2 ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.lower i) x) i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DivergenceTheorem.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc I) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
\u22a2 ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in ↑I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ x : Fin (n + 1), ((∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in ↑(I.face x), f (x.insertNth (I.upper x) x_1) x) - ∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in ↑(I.face x), f (x.insertNth (I.lower x) x_1) x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DivergenceTheorem.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc I) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
A : HasIntegral I ⊥ (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) volume.toBoxAdditive.toSMul (∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in ↑I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i ∂volume)
\u22a2 ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in ↑I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ x : Fin (n + 1), ((∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in ↑(I.face x), f (x.insertNth (I.upper x) x_1) x) - ∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in ↑(I.face x), f (x.insertNth (I.lower x) x_1) x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DivergenceTheorem.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc I) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
A : HasIntegral I ⊥ (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) volume.toBoxAdditive.toSMul (∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in ↑I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i ∂volume)
B : HasIntegral I IntegrationParams.GP (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) BoxAdditiveMap.volume (∑ i : Fin (n + 1), (BoxIntegral.integral (I.face i) IntegrationParams.GP (fun x => f (i.insertNth (I.upper i) x) i) BoxAdditiveMap.volume - BoxIntegral.integral (I.face i) IntegrationParams.GP (fun x => f (i.insertNth (I.lower i) x) i) BoxAdditiveMap.volume))
\u22a2 ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in ↑I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ x : Fin (n + 1), ((∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in ↑(I.face x), f (x.insertNth (I.upper x) x_1) x) - ∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in ↑(I.face x), f (x.insertNth (I.lower x) x_1) x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DivergenceTheorem.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ∀ (i : Fin (n + 1)), ContinuousOn (fun y => f y i) (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc I) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
A : HasIntegral I ⊥ (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) volume.toBoxAdditive.toSMul (∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in ↑I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i ∂volume)
B : HasIntegral I IntegrationParams.GP (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) BoxAdditiveMap.volume (∑ i : Fin (n + 1), (BoxIntegral.integral (I.face i) IntegrationParams.GP (fun x => f (i.insertNth (I.upper i) x) i) BoxAdditiveMap.volume - BoxIntegral.integral (I.face i) IntegrationParams.GP (fun x => f (i.insertNth (I.lower i) x) i) BoxAdditiveMap.volume))
\u22a2 ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in ↑I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ x : Fin (n + 1), ((∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in ↑(I.face x), f (x.insertNth (I.upper x) x_1) x) - ∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in ↑(I.face x), f (x.insertNth (I.lower x) x_1) x)