ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ V = n
hc : Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps
r : Sphere P
hr : ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumsphere = r
\u22a2 sx₁.circumsphere = sx₂.circumsphere
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PreconnectedSpace X
inst✝ : DiscreteTopology X
\u22a2 Subsingleton X
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PreconnectedSpace X
inst✝ : DiscreteTopology X
\u22a2 ¬Nontrivial X
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PreconnectedSpace X
inst✝ : DiscreteTopology X
x y : X
hxy : x ≠ y
\u22a2 False
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PreconnectedSpace X
inst✝ : DiscreteTopology X
x y : X
hxy : x ∉ univ
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p : α → ℕ → Prop
inst✝ : (x : α) → DecidablePred (p x)
hp : ∀ (x : α), ∃ N, p x N
hm : ∀ (k : ℕ), MeasurableSet {x | p x k}
\u22a2 Measurable fun x => Nat.find ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p : α → ℕ → Prop
inst✝ : (x : α) → DecidablePred (p x)
hp : ∀ (x : α), ∃ N, p x N
hm : ∀ (k : ℕ), MeasurableSet {x | p x k}
x : α
\u22a2 MeasurableSet ((fun x => Nat.find ⋯) ⁻¹' {Nat.find ⋯})
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p : α → ℕ → Prop
inst✝ : (x : α) → DecidablePred (p x)
hp : ∀ (x : α), ∃ N, p x N
hm : ∀ (k : ℕ), MeasurableSet {x | p x k}
x : α
\u22a2 MeasurableSet (disjointed (fun k => {x | p x k}) (Nat.find ⋯))
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
x✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : Fintype.card G = p
g : G
hg : g ≠ 1
x : G
\u22a2 x ∈ Submonoid.powers g ↔ x ∈ ⊤
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C U : Set α
hC : Preperfect C
hU : IsOpen U
x : α
xU : x ∈ U
xC : x ∈ C
\u22a2 AccPt x (𝓟 (U ∩ C))
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C U : Set α
hC : Preperfect C
hU : IsOpen U
x : α
xU : x ∈ U
xC : x ∈ C
\u22a2 U ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
D : SnakeInput C
x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₀.X₃)
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₁.X₂)
x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₂.X₁)
h₂ : ((forget₂ C Ab).map D.L₁.g) x₂ = ((forget₂ C Ab).map D.v₀₁.τ₃) x₃
h₁ : ((forget₂ C Ab).map D.L₂.f) x₁ = ((forget₂ C Ab).map D.v₁₂.τ₂) x₂
\u22a2 ((forget₂ C Ab).map D.δ) x₃ = ((forget₂ C Ab).map D.v₂₃.τ₁) x₁
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
D : SnakeInput C
x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₀.X₃)
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₁.X₂)
x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₂.X₁)
h₂ : ((forget₂ C Ab).map D.L₁.g) x₂ = ((forget₂ C Ab).map D.v₀₁.τ₃) x₃
h₁ : ((forget₂ C Ab).map D.L₂.f) x₁ = ((forget₂ C Ab).map D.v₁₂.τ₂) x₂
e : forget₂ C Ab ⋙ forget Ab ≅ forget C
\u22a2 ((forget₂ C Ab).map D.δ) x₃ = ((forget₂ C Ab).map D.v₂₃.τ₁) x₁
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
D : SnakeInput C
x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₀.X₃)
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₁.X₂)
x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₂.X₁)
h₂ : ((forget₂ C Ab).map D.L₁.g) x₂ = ((forget₂ C Ab).map D.v₀₁.τ₃) x₃
h₁ : ((forget₂ C Ab).map D.L₂.f) x₁ = ((forget₂ C Ab).map D.v₁₂.τ₂) x₂
e : forget₂ C Ab ⋙ forget Ab ≅ forget C
\u22a2 e.hom.app D.L₃.X₁ (((forget₂ C Ab).map D.δ) x₃) = e.hom.app D.L₃.X₁ (((forget₂ C Ab).map D.v₂₃.τ₁) x₁)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
D : SnakeInput C
x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₀.X₃)
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₁.X₂)
x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₂.X₁)
h₂ : ((forget₂ C Ab).map D.L₁.g) x₂ = ((forget₂ C Ab).map D.v₀₁.τ₃) x₃
h₁ : ((forget₂ C Ab).map D.L₂.f) x₁ = ((forget₂ C Ab).map D.v₁₂.τ₂) x₂
e : forget₂ C Ab ⋙ forget Ab ≅ forget C
\u22a2 D.L₁.g (e.hom.app D.L₁.X₂ x₂) = D.v₀₁.τ₃ (e.hom.app D.L₀.X₃ x₃)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
D : SnakeInput C
x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₀.X₃)
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₁.X₂)
x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj D.L₂.X₁)
h₂ : ((forget₂ C Ab).map D.L₁.g) x₂ = ((forget₂ C Ab).map D.v₀₁.τ₃) x₃
h₁ : ((forget₂ C Ab).map D.L₂.f) x₁ = ((forget₂ C Ab).map D.v₁₂.τ₂) x₂
e : forget₂ C Ab ⋙ forget Ab ≅ forget C
\u22a2 D.L₂.f (e.hom.app D.L₂.X₁ x₁) = D.v₁₂.τ₂ (e.hom.app D.L₁.X₂ x₂)
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
hnc : ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
\u22a2 (↑P).normalizer = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
hnc : ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
heq : (↑P).normalizer = ⊤
\u22a2 (↑P).normalizer = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
hnc : ∀ (H : Subgroup G), IsCoatom H → H.Normal
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
K : Subgroup G
hK : IsCoatom K
hNK : (↑P).normalizer ≤ K
\u22a2 (↑P).normalizer = ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coverage.lean
C : Type u_2
D : Type ?u.77901
inst✝¹ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝ : Category.{?u.77909, ?u.77901} D
K L : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
\u22a2 IsSheaf (toGrothendieck C (K ⊔ L)) P ↔ IsSheaf (toGrothendieck C K) P ∧ IsSheaf (toGrothendieck C L) P
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coverage.lean
C : Type u_2
D : Type ?u.77901
inst✝¹ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝ : Category.{?u.77909, ?u.77901} D
K L : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
h : IsSheaf (toGrothendieck C K) P ∧ IsSheaf (toGrothendieck C L) P
\u22a2 IsSheaf (toGrothendieck C (K ⊔ L)) P
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coverage.lean
C : Type u_2
D : Type ?u.77901
inst✝¹ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝ : Category.{?u.77909, ?u.77901} D
K L : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
h : (∀ {X : C}, ∀ R ∈ K.covering X, IsSheafFor P R) ∧ ∀ {X : C}, ∀ R ∈ L.covering X, IsSheafFor P R
\u22a2 IsSheaf (toGrothendieck C (K ⊔ L)) P
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coverage.lean
C : Type u_2
D : Type ?u.77901
inst✝¹ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝ : Category.{?u.77909, ?u.77901} D
K L : Coverage C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_1
h : (∀ {X : C}, ∀ R ∈ K.covering X, IsSheafFor P R) ∧ ∀ {X : C}, ∀ R ∈ L.covering X, IsSheafFor P R
\u22a2 ∀ {X : C}, ∀ R ∈ (K ⊔ L).covering X, IsSheafFor P R
-- Mathlib/NumberTheory/SumPrimeReciprocals.lean
N k : ℕ
\u22a2 ↑(N.roughNumbersUpTo k).card ≤ ↑N * ∑ p ∈ N.succ.primesBelow \ k.primesBelow, 1 / ↑p
-- Mathlib/NumberTheory/SumPrimeReciprocals.lean
N k : ℕ
\u22a2 ↑(N.roughNumbersUpTo k).card ≤ ∑ x ∈ N.succ.primesBelow \ k.primesBelow, ↑N / ↑x
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
n : ℕ
d : σ →₀ ℕ
\u22a2 (coeff R d) (f ^ n) = ∑ l ∈ (range n).finsuppAntidiag d, ∏ i ∈ range n, (coeff R (l i)) f
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
n : ℕ
d : σ →₀ ℕ
\u22a2 f ^ n = ∏ x ∈ range n, f
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l r : List α
i : ℕ
\u22a2 ∀ (h1 : i + (a :: l).length < ((a :: l).reverseAux r).length) (h2 : i < r.length), ((a :: l).reverseAux r).get ⟨i + (a :: l).length, h1⟩ = r.get ⟨i, h2⟩
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l r : List α
i : ℕ
\u22a2 ∀ (h1 : i + 1 + l.length < ((a :: l).reverseAux r).length) (h2 : i < r.length), ((a :: l).reverseAux r).get ⟨i + 1 + l.length, h1⟩ = r.get ⟨i, h2⟩
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : α × β → E
F : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable f (μ.prod ν)
hg : Integrable g (μ.prod ν)
\u22a2 ∫⁻ (x : α), F (∫ (y : β), f (x, y) - g (x, y) ∂ν) ∂μ = ∫⁻ (x : α), F (∫ (y : β), f (x, y) ∂ν - ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : α × β → E
F : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable f (μ.prod ν)
hg : Integrable g (μ.prod ν)
\u22a2 (fun x => F (∫ (y : β), f (x, y) - g (x, y) ∂ν)) =ᶠ[ae μ] fun x => F (∫ (y : β), f (x, y) ∂ν - ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : α × β → E
F : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable f (μ.prod ν)
hg : Integrable g (μ.prod ν)
a✝ : α
h2f : Integrable (fun y => f (a✝, y)) ν
h2g : Integrable (fun y => g (a✝, y)) ν
\u22a2 F (∫ (y : β), f (a✝, y) - g (a✝, y) ∂ν) = F (∫ (y : β), f (a✝, y) ∂ν - ∫ (y : β), g (a✝, y) ∂ν)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Deriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
x✝ : ℝ
\u22a2 logDeriv cosh x✝ = tanh x✝
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝⁴ : Group α
H : Type u_1
G : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : FunLike F H G
inst✝ : MonoidHomClass F H G
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
x : H
hx : ∀ (x_1 : H), x_1 ∈ zpowers x
n : ℤ
\u22a2 f ((fun x_1 => x ^ x_1) n) ∈ zpowers (f x)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
\u22a2 cosh x ^ 2 - sinh x ^ 2 = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K✝ : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁴ : CommRing L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : Algebra K✝ L
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : Algebra K L
hodd : Odd ↑n
\u22a2 (Algebra.norm K) ζ = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K✝ : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁴ : CommRing L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : Algebra K✝ L
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : Algebra K L
hodd : Odd ↑n
hz : (Algebra.norm K) (ζ ^ ↑n) = (Algebra.norm K) 1
\u22a2 (Algebra.norm K) ζ = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K✝ : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁴ : CommRing L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : Algebra K✝ L
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : Algebra K L
hodd : Odd ↑n
hz : (Algebra.norm K) ζ ^ ↑n = 1 ^ ↑n
\u22a2 (Algebra.norm K) ζ = 1
-- Mathlib/Data/Multiset/Dedup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : List α
h : t ⊆ s
\u22a2 (s ++ t).dedup ~ s.dedup
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Prod.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
s' : Set ((i : ι) → F' i)
\u22a2 DifferentiableOn 𝕜 (fun f => f i) s'
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Prod.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
s' : Set ((i : ι) → F' i)
h : DifferentiableOn 𝕜 (fun f i' => f i') s' → ∀ (i : ι), DifferentiableOn 𝕜 (fun x => x i) s'
\u22a2 DifferentiableOn 𝕜 (fun f => f i) s'
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Prod.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
s' : Set ((i : ι) → F' i)
h : DifferentiableOn 𝕜 (fun f i' => f i') s' → ∀ (i : ι), DifferentiableOn 𝕜 (fun x => x i) s'
\u22a2 DifferentiableOn 𝕜 (fun f i' => f i') s'
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I J : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
\u22a2 map f I = map f J ↔ I ⊔ RingHom.ker f = J ⊔ RingHom.ker f
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Semiring T
inst✝¹ : FunLike F R S
rcf : RingHomClass F R S
inst✝ : FunLike G T S
rcg : RingHomClass G T S
f✝ : F
g✝ : G
f : S →+* R
g : T →+* S
\u22a2 Ideal.comap g (ker f) = ker (f.comp g)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/FiberwiseLinear.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup EB
inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace HB
inst✝ : ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)
U : Set B
hU : e.source = U ×ˢ univ
h : ∀ x ∈ U, ∃ φ u, ∃ (hu : IsOpen u) (_ : u ⊆ U) (_ : x ∈ u) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) u) (h2φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) u), (e.restr (u ×ˢ univ)).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hu ⋯ ⋯)
\u22a2 ∃ Φ U, ∃ (hU₀ : IsOpen U) (hΦ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(Φ x)) U) (h2Φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(Φ x).symm) U), e.EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph Φ hU₀ ⋯ ⋯)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalSubalgebra R A
h : S = ⊤
x : A
\u22a2 x ∈ ⊤
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalSubalgebra R A
h : ∀ (x : A), x ∈ S
x : A
\u22a2 x ∈ S ↔ x ∈ ⊤
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α✝ : Type u
β : Type v
α : Type u_1
a : α
f : Filter α
t : TopologicalSpace α
\u22a2 t ≤ nhdsAdjoint a f ↔ 𝓝 a ≤ pure a ⊔ f ∧ ∀ (b : α), b ≠ a → IsOpen {b}
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite E
\u22a2 ∃ α, F⟮α⟯ = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite E
α : Eˣ
hα : ∀ (x : Eˣ), x ∈ Subgroup.zpowers α
\u22a2 ∃ α, F⟮α⟯ = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite E
α : Eˣ
hα : ∀ (x : Eˣ), x ∈ Subgroup.zpowers α
\u22a2 F⟮↑α⟯ = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite E
α : Eˣ
hα : ∀ (x : Eˣ), x ∈ Subgroup.zpowers α
\u22a2 ⊤ ≤ F⟮↑α⟯
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/ProjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p q : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
\u22a2 projectiveSeminormAux (p + q) ≤ projectiveSeminormAux p + projectiveSeminormAux q
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/ProjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p q : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
\u22a2 (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) (p + q)).sum ≤ (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p).sum + (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) q).sum
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/ProjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p q : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
\u22a2 (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) (FreeAddMonoid.toList p) ++ List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) (FreeAddMonoid.toList q)).sum ≤ (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p).sum + (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) q).sum
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/ProjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p q : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
\u22a2 (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) (FreeAddMonoid.toList p)).sum + (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) (FreeAddMonoid.toList q)).sum ≤ (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p).sum + (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) q).sum
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
\u22a2 ↑((piEquivOfFintype I fun x => R).trans (piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι).symm) ∘ₗ ofTensorProduct I (ι → R) = LinearMap.id
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
\u22a2 ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι).symm ∘ₗ ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι) = LinearMap.id
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R : ℝ
z w : ℂ
f : ℂ → E
\u22a2 ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, circleTransform R z w f θ = (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(z, R), (z - w)⁻¹ • f z
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R : ℝ
z w : ℂ
f : ℂ → E
\u22a2 ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, (2 * ↑π * I)⁻¹ • ((0 + ↑R * cexp (↑θ * I)) * I) • (z + ↑R * cexp (↑θ * I) - w)⁻¹ • f (z + ↑R * cexp (↑θ * I)) = (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ((0 + ↑R * cexp (↑θ * I)) * I) • (z + ↑R * cexp (↑θ * I) - w)⁻¹ • f (z + ↑R * cexp (↑θ * I))
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u : XgcdType
a b : ℕ+
\u22a2 (1 * (↑a - 1 + 1) + 0 * (↑b - 1 + 1), 0 * (↑a - 1 + 1) + 1 * (↑b - 1 + 1)) = (↑a, ↑b)
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u : XgcdType
a b : ℕ+
\u22a2 (↑a - 1 + 1 + 0, 0 + (↑b - 1 + 1)) = (↑a, ↑b)
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u : XgcdType
a b : ℕ+
this : 0 < ↑a
\u22a2 (↑a - 1 + 1 + 0, 0 + (↑b - 1 + 1)) = (↑a, ↑b)
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u : XgcdType
a b : ℕ+
this✝ : 0 < ↑a
this : 0 < ↑b
\u22a2 (↑a - 1 + 1 + 0, 0 + (↑b - 1 + 1)) = (↑a, ↑b)
-- Mathlib/Probability/Density.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → E
ℙ : Measure Ω
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
s : Set E
\u22a2 ∫⁻ (x : E) in s, pdf X ℙ μ x ∂μ ≤ (map X ℙ) s
-- Mathlib/Probability/Density.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → E
ℙ : Measure Ω
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
s : Set E
\u22a2 (withDensity μ (pdf X ℙ μ)) s ≤ (map X ℙ) s