ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Functor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : HasShift D ℤ
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : HasZeroObject D
inst✝⁹ : Preadditive C
inst✝⁸ : Preadditive D
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.CommShift ℤ
inst✝² : F.IsTriangulated
inst✝¹ : (F.mapComposableArrows 2).EssSurj
inst✝ : IsTriangulated C
Y₁ Y₂ Y₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : D
u₁₂ : Y₁ ⟶ Y₂
u₂₃ : Y₂ ⟶ Y₃
u₁₃ : Y₁ ⟶ Y₃
comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : Y₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁
h₁₂ : Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles
v₂₃ : Y₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₂
h₂₃ : Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles
v₁₃ : Y₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁
h₁₃ : Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles
X₁ X₂ X₃ : C
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
e : (F.mapComposableArrows 2).obj (ComposableArrows.mk₂ f g) ≅ ComposableArrows.mk₂ u₁₂ u₂₃
w✝⁵ : C
w✝⁴ : X₂ ⟶ w✝⁵
w✝³ : w✝⁵ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂' : Triangle.mk f w✝⁴ w✝³ ∈ distinguishedTriangles
w✝² : C
w✝¹ : X₃ ⟶ w✝²
w✝ : w✝² ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃' : Triangle.mk g w✝¹ w✝ ∈ distinguishedTriangles
\u22a2 Nonempty (Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Functor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : HasShift D ℤ
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : HasZeroObject D
inst✝⁹ : Preadditive C
inst✝⁸ : Preadditive D
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.CommShift ℤ
inst✝² : F.IsTriangulated
inst✝¹ : (F.mapComposableArrows 2).EssSurj
inst✝ : IsTriangulated C
Y₁ Y₂ Y₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : D
u₁₂ : Y₁ ⟶ Y₂
u₂₃ : Y₂ ⟶ Y₃
u₁₃ : Y₁ ⟶ Y₃
comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : Y₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁
h₁₂ : Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles
v₂₃ : Y₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₂
h₂₃ : Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles
v₁₃ : Y₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁
h₁₃ : Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles
X₁ X₂ X₃ : C
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
e : (F.mapComposableArrows 2).obj (ComposableArrows.mk₂ f g) ≅ ComposableArrows.mk₂ u₁₂ u₂₃
w✝⁸ : C
w✝⁷ : X₂ ⟶ w✝⁸
w✝⁶ : w✝⁸ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂' : Triangle.mk f w✝⁷ w✝⁶ ∈ distinguishedTriangles
w✝⁵ : C
w✝⁴ : X₃ ⟶ w✝⁵
w✝³ : w✝⁵ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃' : Triangle.mk g w✝⁴ w✝³ ∈ distinguishedTriangles
w✝² : C
w✝¹ : X₃ ⟶ w✝²
w✝ : w✝² ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃' : Triangle.mk (f ≫ g) w✝¹ w✝ ∈ distinguishedTriangles
\u22a2 Nonempty (Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} D
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M N : Mat_ C
f : M ⟶ N
i : N.ι
\u22a2 (F.map f ≫ (additiveObjIsoBiproduct F N).hom) ≫ biproduct.π (fun i => F.obj ((embedding C).obj (N.X i))) i = ((additiveObjIsoBiproduct F M).hom ≫ biproduct.matrix fun i j => F.map ((embedding C).map (f i j))) ≫ biproduct.π (fun i => F.obj ((embedding C).obj (N.X i))) i
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} D
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M N : Mat_ C
f : M ⟶ N
i : N.ι
\u22a2 ((additiveObjIsoBiproduct F M).inv ≫ F.map f ≫ F.map fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) = biproduct.desc fun j => F.map ((embedding C).map (f j i))
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} D
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M N : Mat_ C
f : M ⟶ N
i : N.ι
j : M.ι
\u22a2 (biproduct.ι (fun i => F.obj ((embedding C).obj (M.X i))) j ≫ (additiveObjIsoBiproduct F M).inv ≫ F.map f ≫ F.map fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) = biproduct.ι (fun i => F.obj ((embedding C).obj (M.X i))) j ≫ biproduct.desc fun j => F.map ((embedding C).map (f j i))
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} D
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M N : Mat_ C
f : M ⟶ N
i : N.ι
j : M.ι
\u22a2 F.map ((fun j_1 k => if h : j = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ f ≫ fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) = F.map ((embedding C).map (f j i))
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} D
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M N : Mat_ C
f : M ⟶ N
i : N.ι
j : M.ι
\u22a2 ((fun j_1 k => if h : j = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ f ≫ fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) = (embedding C).map (f j i)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} D
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M N : Mat_ C
f : M ⟶ N
i : N.ι
j : M.ι
\u22a2 ((fun j_1 k => if h : j = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ f ≫ fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) PUnit.unit PUnit.unit = (embedding C).map (f j i) PUnit.unit PUnit.unit
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
xs : List α
h : xs.Nodup
i : Fin xs.length
\u22a2 xs.formPerm (xs.get i) = xs.get ⟨(↑i + 1) % xs.length, ⋯⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y
L : C ⥤ D
hL : W.IsInvertedBy L
\u22a2 φ.map L hL ≫ L.map φ.s = L.map φ.f
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y
L : C ⥤ D
hL : W.IsInvertedBy L
this : IsIso (L.map φ.s) := hL φ.s φ.hs
\u22a2 φ.map L hL ≫ L.map φ.s = L.map φ.f
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0✝ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
\u22a2 μ ∅ < ⊤
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : α → β → γ
f : Filter α
g : Filter β
\u22a2 map (fun p => m p.1 p.2) (f ×ˢ g) = map₂ m f g
-- Mathlib/Order/Filter/Extr.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝ : OrderedAddCommGroup β
f g : α → β
a : α
s : Set α
l : Filter α
hf : IsMinFilter f l a
hg : IsMaxFilter g l a
\u22a2 IsMinFilter (fun x => f x - g x) l a
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
\u22a2 coclosedCompact X = cocompact X
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
\u22a2 coclosedCompact X ≤ cocompact X
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
\u22a2 ∀ (i' : Set X), IsCompact i' → ∃ i, (IsClosed i ∧ IsCompact i) ∧ iᶜ ⊆ i'ᶜ
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x z : Class
hz : z ∈ x
w : ZFSet
hw : (⋂₀ x) w
\u22a2 ↑w ∈ z
-- Mathlib/Data/Finset/Sigma.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Finset (α i)
i : ι
a✝¹ : i ∈ ↑s
j : ι
a✝ : j ∈ ↑s
hij : i ≠ j
\u22a2 (_root_.Disjoint on fun i => map (Embedding.sigmaMk i) (t i)) i j
-- Mathlib/Data/Finset/Sigma.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Finset (α i)
i : ι
a✝¹ : i ∈ ↑s
j : ι
a✝ : j ∈ ↑s
hij : i ≠ j
\u22a2 ∀ ⦃a : (x : ι) × α x⦄, a ∈ map (Embedding.sigmaMk i) (t i) → a ∉ map (Embedding.sigmaMk j) (t j)
-- Mathlib/Data/Finset/Sigma.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Finset (α i)
i : ι
a✝¹ : i ∈ ↑s
j : ι
a✝ : j ∈ ↑s
hij : i ≠ j
\u22a2 ∀ ⦃a : (x : ι) × α x⦄, (∃ a_1 ∈ t i, ⟨i, a_1⟩ = a) → ¬∃ a_2 ∈ t j, ⟨j, a_2⟩ = a
-- Mathlib/Data/Finset/Sigma.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Finset (α i)
i : ι
a✝¹ : i ∈ ↑s
j : ι
a✝ : j ∈ ↑s
hij : i ≠ j
y : α i
left✝¹ : y ∈ t i
z : α j
left✝ : z ∈ t j
hz' : ⟨j, z⟩ = ⟨i, y⟩
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Group/Action/Defs.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : MulAction M α
inst✝² : Mul α
r s : M
x y : α
inst✝¹ : IsScalarTower M α α
inst✝ : SMulCommClass M α α
\u22a2 r • x * s • y = (r * s) • (x * y)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s : Finset α
t : Finset β
\u22a2 (interedges r s t).card + (interedges (fun x y => ¬r x y) s t).card = s.card * t.card
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Finset ℕ
\u22a2 schnirelmannDensity ↑A = 0
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Finset ℕ
\u22a2 schnirelmannDensity ↑A ≤ 0
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Finset ℕ
\u22a2 ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ n, 0 < n ∧ ↑(filter (fun x => x ∈ ↑A) (Ioc 0 n)).card / ↑n < ε
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Finset ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε₁ : ε ≤ 1
n : ℕ := ⌊↑A.card / ε⌋₊ + 1
\u22a2 ∃ n, 0 < n ∧ ↑(filter (fun x => x ∈ ↑A) (Ioc 0 n)).card / ↑n < ε
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Finset ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε₁ : ε ≤ 1
n : ℕ := ⌊↑A.card / ε⌋₊ + 1
hn : 0 < n
\u22a2 ∃ n, 0 < n ∧ ↑(filter (fun x => x ∈ ↑A) (Ioc 0 n)).card / ↑n < ε
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Finset ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε₁ : ε ≤ 1
n : ℕ := ⌊↑A.card / ε⌋₊ + 1
hn : 0 < n
\u22a2 ↑(filter (fun x => x ∈ ↑A) (Ioc 0 n)).card / ↑n < ε
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Finset ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε₁ : ε ≤ 1
n : ℕ := ⌊↑A.card / ε⌋₊ + 1
hn : 0 < n
\u22a2 ↑(filter (fun x => x ∈ ↑A) (Ioc 0 n)).card / ε < ↑⌊↑A.card / ε⌋₊ + 1
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
\u22a2 toIocMod hp a b ≤ toIcoMod hp a b + p
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
\u22a2 toIcoDiv hp a b ≤ toIocDiv hp a b + 1
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z w : K
\u22a2 normSq (z - w) = normSq z + normSq w - 2 * re (z * (starRingEnd K) w)
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m✝ n : ℤ
m : ℕ
\u22a2 ↑m ∣ n ↔ m ∣ n.natAbs
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SupSet α
s : Set α
hs : BddAbove s
\u22a2 ↑(sSup s) = if ⊤ ∈ (fun a => ↑a) '' s then ⊤ else if BddAbove ((fun a => ↑a) ⁻¹' ((fun a => ↑a) '' s)) then ↑(sSup ((fun a => ↑a) ⁻¹' ((fun a => ↑a) '' s))) else ⊤
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SupSet α
s : Set α
hs : BddAbove s
\u22a2 Injective fun a => ↑a
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SupSet α
s : Set α
hs : BddAbove s
\u22a2 ⊤ ∉ (fun a => ↑a) '' s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ENNRealLog.lean
x : ℝ
\u22a2 (ENNReal.ofReal x).log = if x ≤ 0 then ⊥ else ↑(Real.log x)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ENNRealLog.lean
x : ℝ
\u22a2 (if x ≤ 0 then ⊥ else if False then ⊤ else ↑(Real.log (ENNReal.ofReal x).toReal)) = if x ≤ 0 then ⊥ else ↑(Real.log x)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
L R : ListBlank Γ
n : ℕ
\u22a2 (mk' L R).nth ↑n = R.nth n
-- Mathlib/CategoryTheory/Yoneda.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : C ⥤ Type v₁
t : F.obj X
\u22a2 coyonedaEquiv.symm (F.map f t) = coyoneda.map f.op ≫ coyonedaEquiv.symm t
-- Mathlib/CategoryTheory/Yoneda.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : C ⥤ Type v₁
u : coyoneda.obj (op X) ⟶ F
\u22a2 coyonedaEquiv.symm (F.map f (coyonedaEquiv u)) = coyoneda.map f.op ≫ coyonedaEquiv.symm (coyonedaEquiv u)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
z : ℂ
\u22a2 Gamma z * Gamma (1 - z) = ↑π / sin (↑π * z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
z : ℂ
pi_ne : ↑π ≠ 0
\u22a2 Gamma z * Gamma (1 - z) = ↑π / sin (↑π * z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
z : ℂ
pi_ne : ↑π ≠ 0
hs : ¬sin (↑π * z) = 0
\u22a2 Gamma z * Gamma (1 - z) = ↑π / sin (↑π * z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
z : ℂ
pi_ne : ↑π ≠ 0
hs : ¬sin (↑π * z) = 0
\u22a2 Tendsto (fun x => z.GammaSeq x * (1 - z).GammaSeq x) atTop (𝓝 (↑π / sin (↑π * z)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
z : ℂ
pi_ne : ↑π ≠ 0
hs : ¬sin (↑π * z) = 0
this : ↑π / sin (↑π * z) = 1 * (↑π / sin (↑π * z))
\u22a2 Tendsto (fun x => z.GammaSeq x * (1 - z).GammaSeq x) atTop (𝓝 (↑π / sin (↑π * z)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
z : ℂ
pi_ne : ↑π ≠ 0
hs : ¬sin (↑π * z) = 0
this : ↑π / sin (↑π * z) = 1 * (↑π / sin (↑π * z))
\u22a2 Tendsto (fun n => ↑n / (↑n + 1 - z)) atTop (𝓝 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
z : ℂ
pi_ne : ↑π ≠ 0
hs : ¬sin (↑π * z) = 0
this : ↑π / sin (↑π * z) = 1 * (↑π / sin (↑π * z))
\u22a2 Tendsto (fun n => 1 / (z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2))) atTop (𝓝 (↑π / sin (↑π * z)))
-- Mathlib/Analysis/Complex/RealDeriv.lean
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
h : HasStrictDerivAt e e' ↑z
\u22a2 HasStrictDerivAt (fun x => (e ↑x).re) e'.re z
-- Mathlib/Analysis/Complex/RealDeriv.lean
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
h : HasStrictDerivAt e e' ↑z
A : HasStrictFDerivAt ofReal' ofRealCLM z
\u22a2 HasStrictDerivAt (fun x => (e ↑x).re) e'.re z
-- Mathlib/Analysis/Complex/RealDeriv.lean
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
h : HasStrictDerivAt e e' ↑z
A : HasStrictFDerivAt ofReal' ofRealCLM z
B : HasStrictFDerivAt e (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 e')) (ofRealCLM z)
\u22a2 HasStrictDerivAt (fun x => (e ↑x).re) e'.re z
-- Mathlib/Analysis/Complex/RealDeriv.lean
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
h : HasStrictDerivAt e e' ↑z
A : HasStrictFDerivAt ofReal' ofRealCLM z
B : HasStrictFDerivAt e (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 e')) (ofRealCLM z)
C : HasStrictFDerivAt re reCLM (e (ofRealCLM z))
\u22a2 HasStrictDerivAt (fun x => (e ↑x).re) e'.re z
-- Mathlib/Analysis/Complex/RealDeriv.lean
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
h : HasStrictDerivAt e e' ↑z
A : HasStrictFDerivAt ofReal' ofRealCLM z
B : HasStrictFDerivAt e (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 e')) (ofRealCLM z)
C : HasStrictFDerivAt re reCLM (e (ofRealCLM z))
\u22a2 e'.re = (reCLM.comp ((ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 e')).comp ofRealCLM)) 1
-- Mathlib/Analysis/Complex/RealDeriv.lean
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
h : HasStrictDerivAt e e' ↑z
A : HasStrictFDerivAt ofReal' ofRealCLM z
B : HasStrictFDerivAt e (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 e')) (ofRealCLM z)
C : HasStrictFDerivAt re reCLM (e (ofRealCLM z))
\u22a2 e'.re = reCLM ((ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 e')) (ofRealCLM 1))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] E
\u22a2 A.IsSymmetric ↔ IsSelfAdjoint A
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] E
\u22a2 A = adjoint A ↔ adjoint A = A
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
\u22a2 Injective ⇑f ↔ Surjective ⇑f
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K ↥(range f) + finrank K ↥(ker f) = finrank K V
\u22a2 Injective ⇑f ↔ Surjective ⇑f
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
this : finrank K ↥(range f) + finrank K ↥(ker f) = finrank K V
\u22a2 ker f = ⊥ ↔ range f = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
x : Module.Dual R M ⊗[R] M
\u22a2 (trace R M) ((dualTensorHom R M M) x) = (contractLeft R M) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Pullback.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
φ : A →+ B
inst✝ : HasShift C B
X : PullbackShift C φ
a₁ a₂ a₃ : A
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : B
h₁ : b₁ = φ a₁
h₂ : b₂ = φ a₂
h₃ : b₃ = φ a₃
\u22a2 HasShift.shift.map (eqToHom ⋯) = (pullbackShiftIso C φ 0 0 ⋯).inv
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/ClosureSwap.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : DecidableEq α
a b c : α
C : Type u_3
inst✝¹ : SetLike C (Equiv.Perm α)
inst✝ : SubmonoidClass C (Equiv.Perm α)
M : C
hab : swap a b ∈ M
hbc : swap b c ∈ M
\u22a2 swap a c ∈ M
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/ClosureSwap.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : DecidableEq α
a c : α
C : Type u_3
inst✝¹ : SetLike C (Equiv.Perm α)
inst✝ : SubmonoidClass C (Equiv.Perm α)
M : C
hab : swap a a ∈ M
hbc : swap a c ∈ M
\u22a2 swap a c ∈ M
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/ClosureSwap.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : DecidableEq α
a b c : α
C : Type u_3
inst✝¹ : SetLike C (Equiv.Perm α)
inst✝ : SubmonoidClass C (Equiv.Perm α)
M : C
hab : swap a b ∈ M
hbc : swap b c ∈ M
hab' : a ≠ b
\u22a2 swap a c ∈ M
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/ClosureSwap.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : DecidableEq α
a b : α
C : Type u_3
inst✝¹ : SetLike C (Equiv.Perm α)
inst✝ : SubmonoidClass C (Equiv.Perm α)
M : C
hab : swap a b ∈ M
hab' : a ≠ b
hbc : swap b a ∈ M
\u22a2 swap a a ∈ M
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/ClosureSwap.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : DecidableEq α
a b c : α
C : Type u_3
inst✝¹ : SetLike C (Equiv.Perm α)
inst✝ : SubmonoidClass C (Equiv.Perm α)
M : C
hab : swap a b ∈ M
hbc : swap b c ∈ M
hab' : a ≠ b
hac : a ≠ c
\u22a2 swap a c ∈ M
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/ClosureSwap.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : DecidableEq α
a b c : α
C : Type u_3
inst✝¹ : SetLike C (Equiv.Perm α)
inst✝ : SubmonoidClass C (Equiv.Perm α)
M : C
hab : swap a b ∈ M
hbc : swap b c ∈ M
hab' : a ≠ b
hac : a ≠ c
\u22a2 swap b c * swap a b * swap b c ∈ M
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ShortExact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.1347, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.ShortExact
\u22a2 Mono S₂.f
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ShortExact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.1347, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.ShortExact
\u22a2 Mono (S₂.f ≫ e.inv.τ₂)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ShortExact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.1347, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.ShortExact
this : Mono S₁.f
\u22a2 Mono (S₂.f ≫ e.inv.τ₂)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ShortExact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.1347, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.ShortExact
this : Mono S₁.f
\u22a2 Mono (e.inv.τ₁ ≫ S₁.f)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ShortExact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.1347, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.ShortExact
\u22a2 Epi S₂.g
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ShortExact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.1347, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.ShortExact
\u22a2 Epi (e.hom.τ₂ ≫ S₂.g)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ShortExact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.1347, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.ShortExact
this : Epi S₁.g
\u22a2 Epi (e.hom.τ₂ ≫ S₂.g)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ShortExact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.1347, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h : S₁.ShortExact
this : Epi S₁.g
\u22a2 Epi (S₁.g ≫ e.hom.τ₃)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0
l : Filter α
\u22a2 Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝 ⊤) ↔ Tendsto f l atTop
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0
l : Filter α
\u22a2 (∀ (x : ℝ≥0), ∀ᶠ (a : α) in l, ↑x < ↑(f a)) ↔ ∀ (i : ℝ≥0), True → ∀ᶠ (x : α) in l, f x ∈ Ioi i
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Box.lean
n✝ : ℕ
x : ℤ × ℤ
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0
\u22a2 (box (n + 1)).card = 8 * (n + 1)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Box.lean
n✝ : ℕ
x : ℤ × ℤ
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0
\u22a2 (↑n.succ + 1 + ↑n.succ).toNat * (↑n.succ + 1 + ↑n.succ).toNat - (↑n + 1 + ↑n).toNat * (↑n + 1 + ↑n).toNat = 8 * (n + 1)