ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
\u22a2 (∀ i ∈ ∅, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ ∅, w i → (∀ i ∈ ∅, z i ∈ s) → ∅.centerMass w z ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht : (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ t, w i → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ s
\u22a2 (∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1) → 0 < ∑ i ∈ insert i t, w i → (∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s) → (insert i t).centerMass w z ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht : (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ t, w i → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < ∑ i ∈ insert i t, w i
hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s
\u22a2 (insert i t).centerMass w z ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht : (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ t, w i → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < ∑ i ∈ insert i t, w i
hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
\u22a2 (insert i t).centerMass w z ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht : (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ t, w i → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < ∑ i ∈ insert i t, w i
hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ j ∈ t, 0 ≤ w j
\u22a2 (insert i t).centerMass w z ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hs : Convex R s
i : ι
t : Finset ι
hi : i ∉ t
ht : (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → 0 < ∑ i ∈ t, w i → (∀ i ∈ t, z i ∈ s) → t.centerMass w z ∈ s
h₀ : ∀ i_1 ∈ insert i t, 0 ≤ w i_1
hpos : 0 < w i + ∑ x ∈ t, w x
hmem : ∀ i_1 ∈ insert i t, z i_1 ∈ s
zi : z i ∈ s
hs₀ : ∀ j ∈ t, 0 ≤ w j
\u22a2 (insert i t).centerMass w z ∈ s
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
\u22a2 (∀ (x : FamilyOfElements P S.arrows), x.Compatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t) ↔ ∀ (f : S.functor ⟶ P), ∃! g, S.functorInclusion ≫ g = f
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
\u22a2 (∀ (x : FamilyOfElements P S.arrows), x.Compatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t) ↔ ∀ (f : S.functor ⟶ P), ∃! g, (↑(natTransEquivCompatibleFamily f)).IsAmalgamation (yonedaEquiv g)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
\u22a2 (∀ (x : FamilyOfElements P S.arrows), x.Compatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t) ↔ ∀ (b : { x // x.Compatible }), ∃! g, (↑(natTransEquivCompatibleFamily (natTransEquivCompatibleFamily.symm b))).IsAmalgamation (yonedaEquiv g)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
\u22a2 (∀ (x : FamilyOfElements P S.arrows), x.Compatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t) ↔ ∀ (a : FamilyOfElements P S.arrows) (b : a.Compatible), ∃! g, (↑(natTransEquivCompatibleFamily (natTransEquivCompatibleFamily.symm ⟨a, b⟩))).IsAmalgamation (yonedaEquiv g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝³ : SMul R ℝ≥0
inst✝² : SMul R ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
μ : FiniteMeasure Ω
A : Set Ω
\u22a2 μ.restrict A ≠ 0 ↔ μ A ≠ 0
-- Mathlib/Data/Nat/Bits.lean
m n✝ n : ℕ
\u22a2 (bif n.succ.bodd then 1 else 0) + 2 * n.succ.div2 = n.succ
-- Mathlib/Data/Nat/Bits.lean
m n✝ n : ℕ
\u22a2 (bif n.bodd then 0 else 1) + (bif n.bodd then n.div2.succ else n.div2) * 2 = n.succ
-- Mathlib/Data/Nat/Bits.lean
m n✝ n : ℕ
\u22a2 (bif n.bodd then 0 else 1) + (bif n.bodd then n.div2.succ else n.div2) * 2 = ((bif n.bodd then 1 else 0) + 2 * n.div2).succ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
i : Fin r ⊕ Unit
k : ℕ
hk : k ≤ r
\u22a2 ((List.drop k (listTransvecCol M)).prod * M) (inr ()) i = M (inr ()) i
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v x < 1
\u22a2 v (1 - x) = 1
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v (-x) < v 1
\u22a2 v (1 - x) = 1
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v (-x) < v 1
\u22a2 v (1 + -x) = 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/WhitneyEmbedding.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
y : M
a✝ : y ∈ s
h : f.embeddingPiTangent x = f.embeddingPiTangent y
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Geometry/Manifold/WhitneyEmbedding.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
y : M
a✝ : y ∈ s
h : ∀ (a : ι), (↑(f.toFun a) x • ↑(extChartAt I (f.c a)) x, ↑(f.toFun a) x) = (↑(f.toFun a) y • ↑(extChartAt I (f.c a)) y, ↑(f.toFun a) y)
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Geometry/Manifold/WhitneyEmbedding.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
y : M
a✝ : y ∈ s
h : ∀ (a : ι), (↑(f.toFun a) x • ↑(extChartAt I (f.c a)) x, ↑(f.toFun a) x) = (↑(f.toFun a) y • ↑(extChartAt I (f.c a)) y, ↑(f.toFun a) y)
h₁ : ↑(f.toFun (f.ind x hx)) x • ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx))) x = ↑(f.toFun (f.ind x hx)) y • ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx))) y
h₂ : ↑(f.toFun (f.ind x hx)) x = ↑(f.toFun (f.ind x hx)) y
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Geometry/Manifold/WhitneyEmbedding.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
y : M
a✝ : y ∈ s
h : ∀ (a : ι), (↑(f.toFun a) x • ↑(extChartAt I (f.c a)) x, ↑(f.toFun a) x) = (↑(f.toFun a) y • ↑(extChartAt I (f.c a)) y, ↑(f.toFun a) y)
h₁ : ↑(f.toFun (f.ind x hx)) x • ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx))) x = ↑(f.toFun (f.ind x hx)) y • ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx))) y
h₂ : 1 = ↑(f.toFun (f.ind x hx)) y
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Geometry/Manifold/WhitneyEmbedding.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
y : M
a✝ : y ∈ s
h : ∀ (a : ι), (↑(f.toFun a) x • ↑(extChartAt I (f.c a)) x, ↑(f.toFun a) x) = (↑(f.toFun a) y • ↑(extChartAt I (f.c a)) y, ↑(f.toFun a) y)
h₁ : ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx))) x = ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx))) y
h₂ : 1 = ↑(f.toFun (f.ind x hx)) y
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Geometry/Manifold/WhitneyEmbedding.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : T2Space M
hi : Fintype ι
s : Set M
f : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
y : M
a✝ : y ∈ s
h : ∀ (a : ι), (↑(f.toFun a) x • ↑(extChartAt I (f.c a)) x, ↑(f.toFun a) x) = (↑(f.toFun a) y • ↑(extChartAt I (f.c a)) y, ↑(f.toFun a) y)
h₁ : ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx))) x = ↑(extChartAt I (f.c (f.ind x hx))) y
h₂ : 1 = ↑(f.toFun (f.ind x hx)) y
this : y ∈ (extChartAt I (f.c (f.ind x hx))).source
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Lemmas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
hn : 0 < n
c : F
\u22a2 iteratedDerivWithin n (fun z => c - f z) s x = iteratedDerivWithin n (fun z => -f z) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Lemmas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : F
n : ℕ
hn : 0 < n.succ
\u22a2 iteratedDerivWithin n.succ (fun z => c - f z) s x = iteratedDerivWithin n.succ (fun z => -f z) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Lemmas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : F
n : ℕ
hn : 0 < n.succ
\u22a2 iteratedDerivWithin n (derivWithin (fun z => c - f z) s) s x = iteratedDerivWithin n (derivWithin (fun z => -f z) s) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Lemmas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : F
n : ℕ
hn : 0 < n.succ
\u22a2 Set.EqOn (derivWithin (fun z => c - f z) s) (derivWithin (fun z => -f z) s) s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Lemmas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : F
n : ℕ
hn : 0 < n.succ
y : 𝕜
hy : y ∈ s
\u22a2 derivWithin (fun z => c - f z) s y = derivWithin (fun z => -f z) s y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Lemmas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : F
n : ℕ
hn : 0 < n.succ
y : 𝕜
hy : y ∈ s
this : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s y
\u22a2 derivWithin (fun z => c - f z) s y = derivWithin (fun z => -f z) s y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Lemmas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : F
n : ℕ
hn : 0 < n.succ
y : 𝕜
hy : y ∈ s
this : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s y
\u22a2 derivWithin (fun z => c - f z) s y = -derivWithin f s y
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
N : Matroid α
h : N <r M
\u22a2 N.E ⊂ M.E
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y R : Set α
h : M ↾ R <r M
\u22a2 (M ↾ R).E ⊂ M.E
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y R : Set α
h : M ↾ R <r M
h' : (M ↾ R).E = M.E
\u22a2 M = M ↾ R ↾ R
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F✝ : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f✝ g : ι → α
inst✝² : CommMonoid β
s : Multiset α
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F
l : List α
\u22a2 (map ⇑f ⟦l⟧).prod = f (prod ⟦l⟧)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
\u22a2 a⁻¹ < 1 ↔ 1 < a
-- Mathlib/Analysis/ODE/PicardLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
\u22a2 dist t v.t₀ ≤ v.tDist
-- Mathlib/Analysis/ODE/PicardLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
\u22a2 |↑t - ↑v.t₀| ≤ v.tDist
-- Mathlib/Analysis/ODE/PicardLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
ht : t ≤ v.t₀
\u22a2 |↑t - ↑v.t₀| ≤ v.tDist
-- Mathlib/Analysis/ODE/PicardLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
ht : v.t₀ ≤ t
\u22a2 |↑t - ↑v.t₀| ≤ v.tDist
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
\u22a2 μ (closedBall 0 1) = μ (ball 0 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
\u22a2 μ (closedBall 0 1) ≤ μ (ball 0 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
A : Tendsto (fun r => ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 1)) (𝓝[<] 1) (𝓝 (ENNReal.ofReal (1 ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 1)))
\u22a2 μ (closedBall 0 1) ≤ μ (ball 0 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
A : Tendsto (fun r => ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 1)) (𝓝[<] 1) (𝓝 (μ (closedBall 0 1)))
\u22a2 μ (closedBall 0 1) ≤ μ (ball 0 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
A : Tendsto (fun r => ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 1)) (𝓝[<] 1) (𝓝 (μ (closedBall 0 1)))
\u22a2 ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[<] 1, ENNReal.ofReal (c ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 1) ≤ μ (ball 0 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
A : Tendsto (fun r => ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 1)) (𝓝[<] 1) (𝓝 (μ (closedBall 0 1)))
r : ℝ
hr : r ∈ Ioo 0 1
\u22a2 r ∈ {x | (fun c => ENNReal.ofReal (c ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 1) ≤ μ (ball 0 1)) x}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
A : Tendsto (fun r => ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 1)) (𝓝[<] 1) (𝓝 (μ (closedBall 0 1)))
r : ℝ
hr : r ∈ Ioo 0 1
\u22a2 ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 1) ≤ μ (ball 0 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
A : Tendsto (fun r => ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 1)) (𝓝[<] 1) (𝓝 (μ (closedBall 0 1)))
r : ℝ
hr : r ∈ Ioo 0 1
\u22a2 μ (closedBall 0 r) ≤ μ (ball 0 1)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : i ≤ j.castSucc
\u22a2 X.map (SimplexCategory.δ j.succ).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ (i.castLT ⋯)).op = X.map (SimplexCategory.δ i).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ j).op
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
\u22a2 ∃ x, IsLeast s x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
\u22a2 ∃ x, IsLeast s x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
\u22a2 (s ∩ ⋂ x ∈ s, Iic x).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
\u22a2 (s ∩ ⋂ x, Iic ↑x).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
H : ¬(s ∩ ⋂ x, Iic ↑x).Nonempty
\u22a2 False
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
H : s ∩ ⋂ x, Iic ↑x = ∅
\u22a2 False
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
H : s ∩ ⋂ x, Iic ↑x = ∅
x : ↑s
hx : s ∩ Iic ↑x = ∅
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
s t u v A B : Set E
\u22a2 (∃ i, True ∧ ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ norm ⁻¹' Ici i → B ⊆ x • A) ↔ ∃ r, ∀ (c : 𝕜), r ≤ ‖c‖ → B ⊆ c • A
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
s t u v A B : Set E
\u22a2 (∃ i, ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ norm ⁻¹' Ici i → B ⊆ x • A) ↔ ∃ r, ∀ (c : 𝕜), r ≤ ‖c‖ → B ⊆ c • A
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
x : β
\u22a2 x ∈ r.inv.dom ↔ x ∈ r.codom
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Limits.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝² : HasImage f
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroObject C
\u22a2 (imageSubobject 0).arrow = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Limits.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝² : HasImage f
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroObject C
\u22a2 (imageSubobjectIso 0).hom ≫ image.ι 0 = 0