ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z : E
\u22a2 StrictConvex 𝕜 ((fun x => z + x) '' s)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
x✝ : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
\u22a2 ‖((↑lift).flip x ∘ₗ ContinuousMultilinearMap.toMultilinearMapLinear) x✝‖ ≤ projectiveSeminorm x * ‖x✝‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
x✝ : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
\u22a2 ‖(lift x✝.toMultilinearMap) x‖ ≤ projectiveSeminorm x * ‖x✝‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x y : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
x✝ : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
\u22a2 ((fun x => ((↑lift).flip x ∘ₗ ContinuousMultilinearMap.toMultilinearMapLinear).mkContinuous (projectiveSeminorm x) ⋯) (x + y)) x✝ = ((fun x => ((↑lift).flip x ∘ₗ ContinuousMultilinearMap.toMultilinearMapLinear).mkContinuous (projectiveSeminorm x) ⋯) x + (fun x => ((↑lift).flip x ∘ₗ ContinuousMultilinearMap.toMultilinearMapLinear).mkContinuous (projectiveSeminorm x) ⋯) y) x✝
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
a : 𝕜
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
x✝ : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
\u22a2 ({ toFun := fun x => ((↑lift).flip x ∘ₗ ContinuousMultilinearMap.toMultilinearMapLinear).mkContinuous (projectiveSeminorm x) ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (a • x)) x✝ = ((RingHom.id 𝕜) a • { toFun := fun x => ((↑lift).flip x ∘ₗ ContinuousMultilinearMap.toMultilinearMapLinear).mkContinuous (projectiveSeminorm x) ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun x) x✝
-- Mathlib/GroupTheory/Finiteness.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : AddMonoid N
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup H
s : Finset G
\u22a2 Group.rank ↥(closure ↑s) ≤ s.card
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
\u22a2 WithBot.map (⇑toDual) s.max = (image (⇑toDual) s).min
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
\u22a2 WithBot.map (⇑toDual) s.max = s.inf (WithTop.some ∘ ⇑toDual)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/Quasicategory.lean
S : SSet
filler : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃i : Fin (n + 3)⦄ (σ₀ : Λ[n + 2, i] ⟶ S), 0 < i → i < Fin.last (n + 2) → ∃ σ, ∀ (j : Fin (n + 3)) (h : j ≠ i), SimplicialObject.δ S j σ = σ₀.app (Opposite.op [n + 1]) (horn.face i j h)
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
σ₀ : Λ[n + 2, i] ⟶ S
h₀ : 0 < i
hₙ : i < Fin.last (n + 2)
σ : S _[n + 2]
h : ∀ (j : Fin (n + 3)) (h : j ≠ i), SimplicialObject.δ S j σ = σ₀.app (Opposite.op [n + 1]) (horn.face i j h)
\u22a2 σ₀ = hornInclusion (n + 2) i ≫ (S.yonedaEquiv [n + 2]).symm σ
-- Mathlib/AlgebraicTopology/Quasicategory.lean
S : SSet
filler : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃i : Fin (n + 3)⦄ (σ₀ : Λ[n + 2, i] ⟶ S), 0 < i → i < Fin.last (n + 2) → ∃ σ, ∀ (j : Fin (n + 3)) (h : j ≠ i), SimplicialObject.δ S j σ = σ₀.app (Opposite.op [n + 1]) (horn.face i j h)
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
σ₀ : Λ[n + 2, i] ⟶ S
h₀ : 0 < i
hₙ : i < Fin.last (n + 2)
σ : S _[n + 2]
h : ∀ (j : Fin (n + 3)) (h : j ≠ i), SimplicialObject.δ S j σ = σ₀.app (Opposite.op [n + 1]) (horn.face i j h)
\u22a2 ∀ (j : Fin (n + 1 + 2)) (h : j ≠ i), σ₀.app (Opposite.op [n + 1]) (horn.face i j h) = (hornInclusion (n + 2) i ≫ (S.yonedaEquiv [n + 2]).symm σ).app (Opposite.op [n + 1]) (horn.face i j h)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/Quasicategory.lean
S : SSet
filler : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃i : Fin (n + 3)⦄ (σ₀ : Λ[n + 2, i] ⟶ S), 0 < i → i < Fin.last (n + 2) → ∃ σ, ∀ (j : Fin (n + 3)) (h : j ≠ i), SimplicialObject.δ S j σ = σ₀.app (Opposite.op [n + 1]) (horn.face i j h)
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
σ₀ : Λ[n + 2, i] ⟶ S
h₀ : 0 < i
hₙ : i < Fin.last (n + 2)
σ : S _[n + 2]
h : ∀ (j : Fin (n + 3)) (h : j ≠ i), SimplicialObject.δ S j σ = σ₀.app (Opposite.op [n + 1]) (horn.face i j h)
j : Fin (n + 1 + 2)
hj : j ≠ i
\u22a2 σ₀.app (Opposite.op [n + 1]) (horn.face i j hj) = (hornInclusion (n + 2) i ≫ (S.yonedaEquiv [n + 2]).symm σ).app (Opposite.op [n + 1]) (horn.face i j hj)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/Quasicategory.lean
S : SSet
filler : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃i : Fin (n + 3)⦄ (σ₀ : Λ[n + 2, i] ⟶ S), 0 < i → i < Fin.last (n + 2) → ∃ σ, ∀ (j : Fin (n + 3)) (h : j ≠ i), SimplicialObject.δ S j σ = σ₀.app (Opposite.op [n + 1]) (horn.face i j h)
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
σ₀ : Λ[n + 2, i] ⟶ S
h₀ : 0 < i
hₙ : i < Fin.last (n + 2)
σ : S _[n + 2]
h : ∀ (j : Fin (n + 3)) (h : j ≠ i), SimplicialObject.δ S j σ = σ₀.app (Opposite.op [n + 1]) (horn.face i j h)
j : Fin (n + 1 + 2)
hj : j ≠ i
\u22a2 SimplicialObject.δ S j σ = ((hornInclusion (n + 2) i).app (Opposite.op [n + 1]) ≫ ((S.yonedaEquiv [n + 2]).symm σ).app (Opposite.op [n + 1])) (horn.face i j hj)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Hom.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type u₁
D : Type v₁
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Semiring C
inst✝⁴ : Semiring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
φ : A →ₐ[R] B
f : A →ₗ[R] B
map_one : f 1 = 1
map_mul : ∀ (x y : A), f (x * y) = f x * f y
c : R
\u22a2 (↑↑{ toFun := ⇑f, map_one' := map_one, map_mul' := map_mul, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }).toFun ((algebraMap R A) c) = (algebraMap R B) c
-- Mathlib/Order/Bounds/OrderIso.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α ≃o β
s : Set β
x : β
\u22a2 IsLUB (⇑f ⁻¹' s) (f.symm x) ↔ IsLUB s x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Univ.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
\u22a2 Polynomial.map (MvPolynomial.map f) (univ R n) = univ S n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Univ.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
\u22a2 (of (Function.curry MvPolynomial.X)).charpoly = univ S n
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HomeomorphBall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
\u22a2 Continuous ↑(univBall c r)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
hx₁ : -π < x
hx₂ : x < π
h : sin x = 0
\u22a2 x = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
hx₁ : -π < x
hx₂ : x < π
h : x ≠ 0
\u22a2 sin x ≠ 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l : List Char
\u22a2 utf8Len l = 0 ↔ l = []
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Midpoint.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z x y : P
\u22a2 y = midpoint R x y ↔ x = y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d✝ : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasDerivAt c c' x
d : 𝕜'
\u22a2 HasDerivAt (fun x => c x / d) (c' / d) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R✝ : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M✝ : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹⁰ : Semiring R✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
x✝ : M✝
p✝ p'✝ : Submodule R✝ M✝
inst✝⁷ : Semiring R₂
σ₁₂ : R✝ →+* R₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F M✝ M₂
inst✝³ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M✝ M₂
s t : Set M✝
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' : Submodule R M
x : M
\u22a2 x ∈ (p ⊔ p').toAddSubgroup ↔ x ∈ p.toAddSubgroup ⊔ p'.toAddSubgroup
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R✝ : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M✝ : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹⁰ : Semiring R✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
x✝ : M✝
p✝ p'✝ : Submodule R✝ M✝
inst✝⁷ : Semiring R₂
σ₁₂ : R✝ →+* R₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F M✝ M₂
inst✝³ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M✝ M₂
s t : Set M✝
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' : Submodule R M
x : M
\u22a2 (∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = x) ↔ ∃ y ∈ p.toAddSubgroup, ∃ z ∈ p'.toAddSubgroup, y + z = x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
x y : G.Subgraph
h✝ : x ≤ y
v w : ↑x.verts
h : (inclusion h✝) v = (inclusion h✝) w
\u22a2 v = w
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
x y : G.Subgraph
h✝ : x ≤ y
v w : ↑x.verts
h : ↑(RelHom.instFunLike.1 { toFun := fun v => ⟨↑v, ⋯⟩, map_rel' := ⋯ } v) = ↑(RelHom.instFunLike.1 { toFun := fun v => ⟨↑v, ⋯⟩, map_rel' := ⋯ } w)
\u22a2 v = w
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : PredOrder α
a : α
\u22a2 pred a = ⨆ b, ⨆ (_ : b < a), b
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : PredOrder α
a : α
\u22a2 pred a ≤ ⨆ b, ⨆ (_ : b < a), b
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : PredOrder α
\u22a2 pred ⊥ ≤ ⨆ b, ⨆ (_ : b < ⊥), b
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : PredOrder α
a : α
ha : a ≠ ⊥
\u22a2 pred a ≤ ⨆ b, ⨆ (_ : b < a), b
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ m • f z) x
n : ℕ
hg : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ n • g z) x
\u22a2 AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ max m n • (f + g) z) x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ m • f z) x
n : ℕ
hg : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ n • g z) x
this : (fun z => (z - x) ^ max m n • (f + g) z) = fun z => (z - x) ^ (max m n - m) • (z - x) ^ m • f z + (z - x) ^ (max m n - n) • (z - x) ^ n • g z
\u22a2 AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ max m n • (f + g) z) x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ m • f z) x
n : ℕ
hg : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ n • g z) x
this : (fun z => (z - x) ^ max m n • (f + g) z) = fun z => (z - x) ^ (max m n - m) • (z - x) ^ m • f z + (z - x) ^ (max m n - n) • (z - x) ^ n • g z
\u22a2 AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ (max m n - m) • (z - x) ^ m • f z + (z - x) ^ (max m n - n) • (z - x) ^ n • g z) x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
\u22a2 @fillNones = @fillNonesTR
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
as : List (Option α)
as' : List α
\u22a2 as.fillNones as' = as.fillNonesTR as'
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
as✝ : List (Option α)
as' : List α
acc : Array α
as : List (Option α)
\u22a2 fillNonesTR.go (none :: as) [] acc = acc.data ++ (none :: as).fillNones []
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → α → β
comm : ∀ (x y : α), f x y = f y x
l l' : List α
\u22a2 zipWith f l l' = zipWith f l' l
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → α → β
comm : ∀ (x y : α), f x y = f y x
l l' : List α
\u22a2 zipWith (fun b a => f a b) l' l = zipWith f l' l
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ k₁ k₂ : C
f₁ : j₁ ⟶ k₁
g₁ : j₁ ⟶ k₂
f₂ : j₂ ⟶ k₁
g₂ : j₂ ⟶ k₂
\u22a2 ∃ s α β, f₁ ≫ α = g₁ ≫ β ∧ f₂ ≫ α = g₂ ≫ β
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ k₁ k₂ : C
f₁ : j₁ ⟶ k₁
g₁ : j₁ ⟶ k₂
f₂ : j₂ ⟶ k₁
g₂ : j₂ ⟶ k₂
t : C
k₁t : k₁ ⟶ t
k₂t : k₂ ⟶ t
ht : f₁ ≫ k₁t = g₁ ≫ k₂t
\u22a2 ∃ s α β, f₁ ≫ α = g₁ ≫ β ∧ f₂ ≫ α = g₂ ≫ β
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ k₁ k₂ : C
f₁ : j₁ ⟶ k₁
g₁ : j₁ ⟶ k₂
f₂ : j₂ ⟶ k₁
g₂ : j₂ ⟶ k₂
t : C
k₁t : k₁ ⟶ t
k₂t : k₂ ⟶ t
ht : f₁ ≫ k₁t = g₁ ≫ k₂t
s : C
ts : t ⟶ s
hs : (f₂ ≫ k₁t) ≫ ts = (g₂ ≫ k₂t) ≫ ts
\u22a2 ∃ s α β, f₁ ≫ α = g₁ ≫ β ∧ f₂ ≫ α = g₂ ≫ β
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ k₁ k₂ : C
f₁ : j₁ ⟶ k₁
g₁ : j₁ ⟶ k₂
f₂ : j₂ ⟶ k₁
g₂ : j₂ ⟶ k₂
t : C
k₁t : k₁ ⟶ t
k₂t : k₂ ⟶ t
ht : f₁ ≫ k₁t = g₁ ≫ k₂t
s : C
ts : t ⟶ s
hs : f₂ ≫ k₁t ≫ ts = g₂ ≫ k₂t ≫ ts
\u22a2 ∃ s α β, f₁ ≫ α = g₁ ≫ β ∧ f₂ ≫ α = g₂ ≫ β
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f✝ g✝ : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G'
x✝ : ℝ≥0
\u22a2 ‖f.prod g‖₊ ≤ x✝ ↔ max ‖f‖₊ ‖g‖₊ ≤ x✝
-- Mathlib/Topology/Compactness/LocallyCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LocallyCompactPair X Y
f : X → Y
K : Set X
U : Set Y
hf : Continuous f
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : MapsTo f K U
\u22a2 ∃ L ∈ 𝓝ˢ K, IsCompact L ∧ MapsTo f L U
-- Mathlib/Topology/Compactness/LocallyCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LocallyCompactPair X Y
f : X → Y
K : Set X
U : Set Y
hf : Continuous f
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : MapsTo f K U
V : X → Set X
hxV : ∀ x ∈ K, V x ∈ 𝓝 x
hVc : ∀ x ∈ K, IsCompact (V x)
hVU : ∀ x ∈ K, MapsTo f (V x) U
\u22a2 ∃ L ∈ 𝓝ˢ K, IsCompact L ∧ MapsTo f L U
-- Mathlib/Topology/Compactness/LocallyCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : LocallyCompactPair X Y
f : X → Y
K : Set X
U : Set Y
hf : Continuous f
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : MapsTo f K U
V : X → Set X
hxV : ∀ x ∈ K, V x ∈ 𝓝 x
hVc : ∀ x ∈ K, IsCompact (V x)
hVU : ∀ x ∈ K, MapsTo f (V x) U
s : Finset X
hsK : ∀ x ∈ s, x ∈ K
hKs : ⋃ x ∈ s, V x ∈ 𝓝ˢ K
\u22a2 ∃ L ∈ 𝓝ˢ K, IsCompact L ∧ MapsTo f L U
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n✝ : ℕ
x : List α
n : ℕ
hn : n < x.length
w✝ : List α
\u22a2 x[n] = (x ++ w✝)[n]
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
\u22a2 0 ≤ (of v).dens n
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
\u22a2 0 ≤ ((of v).contsAux (n + 1)).b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R
\u22a2 (M * N).det = ∑ p : n → n, ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, M (σ i) (p i) * N (p i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R
\u22a2 ∑ x : Perm n, ∑ i : n → n, ↑↑(sign x) * ∏ i_1 : n, M (x i_1) (i i_1) * N (i i_1) i_1 = ∑ p : n → n, ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, M (σ i) (p i) * N (p i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R
f : n → n
x✝ : f ∈ univ
hbij : f ∉ filter Bijective univ
\u22a2 ¬Bijective f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R
\u22a2 ∑ τ : Perm n, ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, M (σ i) (τ i) * N (τ i) i = ∑ σ : Perm n, ∑ τ : Perm n, (∏ i : n, N (σ i) i) * ↑↑(sign τ) * ∏ j : n, M (τ j) (σ j)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R
σ : Perm n
x✝ : σ ∈ univ
τ : Perm n
\u22a2 (∏ i : n, N (σ i) i) * ↑↑(sign τ) * ∏ j : n, M (τ j) (σ j) = (∏ i : n, N (σ i) i) * (↑↑(sign σ) * ↑↑(sign ((Equiv.mulRight σ⁻¹) τ))) * ∏ i : n, M (((Equiv.mulRight σ⁻¹) τ) i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R
σ : Perm n
x✝ : σ ∈ univ
τ : Perm n
this : ∏ j : n, M (τ j) (σ j) = ∏ j : n, M ((τ * σ⁻¹) j) j
\u22a2 (∏ i : n, N (σ i) i) * ↑↑(sign τ) * ∏ j : n, M (τ j) (σ j) = (∏ i : n, N (σ i) i) * (↑↑(sign σ) * ↑↑(sign ((Equiv.mulRight σ⁻¹) τ))) * ∏ i : n, M (((Equiv.mulRight σ⁻¹) τ) i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R
σ : Perm n
x✝ : σ ∈ univ
τ : Perm n
this : ∏ j : n, M (τ j) (σ j) = ∏ j : n, M ((τ * σ⁻¹) j) j
h : ↑↑(sign σ) * ↑↑(sign (τ * σ⁻¹)) = ↑↑(sign τ)
\u22a2 (∏ i : n, N (σ i) i) * ↑↑(sign τ) * ∏ j : n, M (τ j) (σ j) = (∏ i : n, N (σ i) i) * (↑↑(sign σ) * ↑↑(sign ((Equiv.mulRight σ⁻¹) τ))) * ∏ i : n, M (((Equiv.mulRight σ⁻¹) τ) i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R
σ : Perm n
x✝ : σ ∈ univ
τ : Perm n
this : ∏ j : n, M (τ j) (σ j) = ∏ j : n, M ((τ * σ⁻¹) j) j
h : ↑↑(sign σ) * ↑↑(sign (τ * σ⁻¹)) = ↑↑(sign τ)
\u22a2 (∏ i : n, N (σ i) i) * ↑↑(sign τ) * ∏ j : n, M (τ j) (σ j) = (∏ i : n, N (σ i) i) * ↑↑(sign τ) * ∏ x : n, M ((τ * σ⁻¹) x) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R
\u22a2 ∑ σ : Perm n, ∑ τ : Perm n, (∏ i : n, N (σ i) i) * (↑↑(sign σ) * ↑↑(sign τ)) * ∏ i : n, M (τ i) i = M.det * N.det
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
ha : ∃ u, a < u
\u22a2 𝓝[≥] a = ⨅ u, ⨅ (_ : a < u), 𝓟 (Ico a u)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
\u22a2 (Summable fun i => (f i + g i) ^ p) ∧ (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
pos : 0 < p
\u22a2 (Summable fun i => (f i + g i) ^ p) ∧ (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
pos : 0 < p
H₁ : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p ≤ ((∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p
\u22a2 (Summable fun i => (f i + g i) ^ p) ∧ (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
pos : 0 < p
H₁ : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p ≤ ((∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p
bdd : BddAbove (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p)
\u22a2 (Summable fun i => (f i + g i) ^ p) ∧ (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
pos : 0 < p
H₁ : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p ≤ ((∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p
bdd : BddAbove (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p)
H₂ : Summable fun i => (f i + g i) ^ p
\u22a2 (Summable fun i => (f i + g i) ^ p) ∧ (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
pos : 0 < p
H₁ : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p ≤ ((∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p
bdd : BddAbove (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p)
H₂ : Summable fun i => (f i + g i) ^ p
\u22a2 (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : Summable fun i => f i ^ p
hg : Summable fun i => g i ^ p
pos : 0 < p
H₁ : ∀ (s : Finset ι), ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p ≤ ((∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p
bdd : BddAbove (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p)
H₂ : Summable fun i => (f i + g i) ^ p
\u22a2 ∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p ≤ ((∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)) ^ p