ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompactConvergence.lean
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f✝ : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
f : C(α, β)
\u22a2 (∀ (K : Set α), IsCompact K → ∀ (U : Set β), IsOpen U → MapsTo (⇑f) K U → ∀ᶠ (a : ι) in p, MapsTo (⇑(F a)) K U) ↔ ∀ (K : Set α), IsCompact K → TendstoUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p K
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x
\u22a2 Associated p q
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x
\u22a2 ∀ {p : R}, Irreducible p → Associated p ϖ
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x
p : R
hp : Irreducible p
\u22a2 Associated p ϖ
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x
p : R
hp : Irreducible p
n : ℕ
hn : Associated (ϖ ^ n) p
\u22a2 Associated p ϖ
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x
p : R
hp : Irreducible p
n : ℕ
hn : Associated (ϖ ^ n) p
this : Irreducible (ϖ ^ n)
\u22a2 Associated p ϖ
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x
p : R
hp : Irreducible p
n : ℕ
hn : Associated (ϖ ^ n) p
this : Irreducible (ϖ ^ n)
H : n < 1
\u22a2 Associated p ϖ
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x
p : R
hp : Irreducible p
hn : Associated (ϖ ^ 1) p
this : Irreducible (ϖ ^ 1)
\u22a2 Associated p ϖ
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x
p : R
hp : Irreducible p
n : ℕ
hn : Associated (ϖ ^ n) p
this : Irreducible (ϖ ^ n)
H : 1 < n
\u22a2 Associated p ϖ
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Set β)
h_pi : IsPiSystem S
f : α → β
s : Set β
hs_mem : s ∈ S
t : Set β
ht_mem : t ∈ S
hst : (f ⁻¹' s ∩ f ⁻¹' t).Nonempty
\u22a2 f ⁻¹' s ∩ f ⁻¹' t ∈ {s | ∃ t ∈ S, f ⁻¹' t = s}
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Set β)
h_pi : IsPiSystem S
f : α → β
s : Set β
hs_mem : s ∈ S
t : Set β
ht_mem : t ∈ S
hst : (f ⁻¹' (s ∩ t)).Nonempty
\u22a2 f ⁻¹' (s ∩ t) ∈ {s | ∃ t ∈ S, f ⁻¹' t = s}
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Basic.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
x : E
\u22a2 ↑f (c - x) = ↑f (c + x)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m✝ n✝ : ℤ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
mn : m < n
\u22a2 1 / a ^ n < 1 / a ^ m
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromConst.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
\u22a2 BddBelow (Set.range (seminormFromConst_seq c f x))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromConst.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
\u22a2 0 ∈ lowerBounds (Set.range (seminormFromConst_seq c f x))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromConst.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
n : ℕ
\u22a2 0 ≤ seminormFromConst_seq c f x n
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
hs : f.IsCycleOn s
\u22a2 s.Countable
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
t : Set α
a b x y : α
hs : f.IsCycleOn ∅
\u22a2 ∅.Countable
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a✝ b x y : α
hs : f.IsCycleOn s
a : α
ha : a ∈ s
\u22a2 s.Countable
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : CommRing K
inst✝¹¹ : CommRing L
inst✝¹⁰ : CommRing M
inst✝⁹ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁸ : ExpChar K p
inst✝⁷ : ExpChar L p
inst✝⁶ : ExpChar M p
inst✝⁵ : ExpChar N p
inst✝⁴ : PerfectRing M p
inst✝³ : IsPRadical i p
inst✝² : PerfectRing N p
inst✝¹ : IsPRadical j p
inst✝ : PerfectRing L p
x : L
\u22a2 (lift j i p) ((lift i j p) x) = x
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝⁴ : MulOneClass α
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : PosMulReflectLE α
a0 : 0 < a
\u22a2 a * b ≤ a ↔ a * b ≤ a * 1
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
\u22a2 { toFun := map f, map_zero' := ⋯ }.toFun 1 = 1
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
\u22a2 map f ⊤ = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
\u22a2 toIocMod hp a b = b ↔ b ∈ Set.Ioc a (a + p)
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
\u22a2 ∃ z, b = b + z • p
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
\u22a2 image2 f s t = (f '' s).seq t
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u : Set α
p : Prop
inst✝ : Decidable p
t : p → Set α
x : α
\u22a2 (x ∈ if h : p then t h else ∅) ↔ ∃ (h : p), x ∈ t h
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u : Set α
p : Prop
inst✝ : Decidable p
t : p → Set α
x : α
\u22a2 (∀ (h : p), x ∈ t h) ∧ p ↔ ∃ (h : p), x ∈ t h
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
c : β
\u22a2 Integrable (fun x => c) μ ↔ c = 0 ∨ μ univ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
c : β
this : AEStronglyMeasurable (fun x => c) μ
\u22a2 Integrable (fun x => c) μ ↔ c = 0 ∨ μ univ < ⊤
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
ι : Type u
f✝ : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
f : ι → Ordinal.{max u u_1} → Ordinal.{max u u_1}
a : Ordinal.{max u u_1}
h : ∀ (i : ι), f i a = a
l : List ι
\u22a2 List.foldr f a l ≤ a
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α
h : a * b = 1
\u22a2 b = 1 / a
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
h : a ⋖ b
\u22a2 Iio b = Iic a
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
K : Type u_1
L : Type ?u.592984
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p q : K[X]
hpq : q ∣ p
\u22a2 (algHomOfDvd hpq) (root p) = root q
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
c : Cardinal.{u_3}
\u22a2 toPartENat c < ↑n ↔ c < ↑n
-- Mathlib/Data/NNRat/Lemmas.lean
p q✝ q : ℚ
\u22a2 q⁻¹.toNNRat = q.toNNRat⁻¹
-- Mathlib/Data/NNRat/Lemmas.lean
p q✝ q : ℚ
hq : q ≤ 0
\u22a2 q⁻¹.toNNRat = q.toNNRat⁻¹
-- Mathlib/Data/NNRat/Lemmas.lean
p q✝ q : ℚ
hq : 0 ≤ q
\u22a2 q⁻¹.toNNRat = q.toNNRat⁻¹
-- Mathlib/Tactic/Positivity/Core.lean
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (0 < n) = true
\u22a2 0 < e
-- Mathlib/Tactic/Positivity/Core.lean
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (0 < n) = true
pos_invOf_d : 0 < ⅟↑d
\u22a2 0 < e
-- Mathlib/Tactic/Positivity/Core.lean
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (0 < n) = true
pos_invOf_d : 0 < ⅟↑d
pos_n : 0 < ↑n
\u22a2 0 < e
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
\u22a2 W.φ 2 = C X * W.ψ₂ ^ 2 - C W.Ψ₃
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : Γ.rightOp.obj X ⟶ op (CommRingCat.of R)
U : (Opens ↑↑(Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op (CommRingCat.of R))).toPresheafedSpace)ᵒᵖ
\u22a2 toOpen R (unop U) ≫ ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X (op (CommRingCat.of R))) f).val.c.app U = f.unop ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : Γ.rightOp.obj X ⟶ op (CommRingCat.of R)
U : (Opens ↑↑(Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op (CommRingCat.of R))).toPresheafedSpace)ᵒᵖ
\u22a2 (locallyRingedSpaceAdjunction.counit.app (op (CommRingCat.of R))).unop ≫ ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X (op (CommRingCat.of R))) f).val.c.app (op ⊤) ≫ ((pushforward CommRingCat ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X (op (CommRingCat.of R))) f).val.base).obj X.presheaf).map (homOfLE ⋯).op = f.unop ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : Γ.rightOp.obj X ⟶ op (CommRingCat.of R)
U : (Opens ↑↑(Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op (CommRingCat.of R))).toPresheafedSpace)ᵒᵖ
\u22a2 (locallyRingedSpaceAdjunction.counit.app (op (CommRingCat.of R))).unop ≫ Γ.map ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X (op (CommRingCat.of R))) f).op ≫ ((pushforward CommRingCat ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X (op (CommRingCat.of R))) f).val.base).obj X.presheaf).map (homOfLE ⋯).op = f.unop ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : Γ.rightOp.obj X ⟶ op (CommRingCat.of R)
U : (Opens ↑↑(Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op (CommRingCat.of R))).toPresheafedSpace)ᵒᵖ
\u22a2 f.unop ≫ ((pushforward CommRingCat ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X (op (CommRingCat.of R))) f).val.base).obj X.presheaf).map (homOfLE ⋯).op = f.unop ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/SheafHom.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
hG : IsSheaf J G
\u22a2 IsSheaf J (presheafHom F G)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/SheafHom.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
hG : IsSheaf J G
\u22a2 Presieve.IsSheaf J (presheafHom F G)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/SheafHom.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
hG : IsSheaf J G
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
\u22a2 Presieve.IsSheafFor (presheafHom F G) S.arrows
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : TopologicalSpace β
f g : α → β
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
f' : α → β
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hff' : f =ᶠ[ae μ] f'
\u22a2 AEStronglyMeasurable' m g μ
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
\u22a2 (fun x => a + x) '' Iio b = Iio (a + b)
-- Mathlib/Data/Set/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : SemilatticeInf α
s t : Set α
a : α
\u22a2 a ∈ ↑(lowerClosure (s ⊼ t)) ↔ a ∈ ↑(lowerClosure s ⊓ lowerClosure t)
-- Mathlib/Data/Set/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : SemilatticeInf α
s t : Set α
a : α
\u22a2 (∃ a_1, (∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, a ⊓ b = a_1) ∧ a ≤ a_1) ↔ a ∈ lowerClosure s ⊓ lowerClosure t
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
\u22a2 multiplicity.Finite (↑p) a ↔ a ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Pi.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (φ i)
f : (i : ι) → M₂ →ₗ[R] φ i
c : M₂
\u22a2 c ∈ ker (pi f) ↔ c ∈ ⨅ i, ker (f i)
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x y : ℝ
\u22a2 √x ≤ 1 ↔ x ≤ 1
-- Mathlib/GroupTheory/Submonoid/Inverses.lean
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S
\u22a2 ↑((S.leftInvEquiv hS).symm x) * ↑x = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Submonoid/Inverses.lean
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S
\u22a2 x = (S.leftInvEquiv hS) ((S.leftInvEquiv hS).symm x)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
\u22a2 a ≤ 1 / b ↔ b ≤ 1 / a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
z : ℂ
\u22a2 ↑x ^ (↑y * z) = ↑(x ^ y) ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
z : ℂ
\u22a2 -π < (log ↑x * ↑y).im
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
z : ℂ
\u22a2 (log ↑x * ↑y).im ≤ π
-- Mathlib/CategoryTheory/Dialectica/Monoidal.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : Dial C
f : X₁ ⟶ X₂
g : Y₁ ⟶ Y₂
\u22a2 (Subobject.pullback π(π₁, π(prod.map π₁ π₁ ≫ f.F, prod.map π₂ π₂ ≫ g.F))).obj (X₁.tensorObj Y₁).rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map (prod.map f.f g.f) (𝟙 (X₂.tensorObj Y₂).tgt))).obj (X₂.tensorObj Y₂).rel
-- Mathlib/CategoryTheory/Dialectica/Monoidal.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : Dial C
f : X₁ ⟶ X₂
g : Y₁ ⟶ Y₂
\u22a2 (Subobject.pullback π(π₁, π(prod.map π₁ π₁ ≫ f.F, prod.map π₂ π₂ ≫ g.F))).obj ((Subobject.pullback (prod.map π₁ π₁)).obj X₁.rel) ⊓ (Subobject.pullback π(π₁, π(prod.map π₁ π₁ ≫ f.F, prod.map π₂ π₂ ≫ g.F))).obj ((Subobject.pullback (prod.map π₂ π₂)).obj Y₁.rel) ≤ (Subobject.pullback (prod.map (prod.map f.f g.f) (𝟙 (X₂.tgt ⨯ Y₂.tgt)))).obj ((Subobject.pullback (prod.map π₁ π₁)).obj X₂.rel) ⊓ (Subobject.pullback (prod.map (prod.map f.f g.f) (𝟙 (X₂.tgt ⨯ Y₂.tgt)))).obj ((Subobject.pullback (prod.map π₂ π₂)).obj Y₂.rel)
-- Mathlib/CategoryTheory/Dialectica/Monoidal.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : Dial C
f : X₁ ⟶ X₂
g : Y₁ ⟶ Y₂
\u22a2 (Subobject.pullback (π(π₁, π(prod.map π₁ π₁ ≫ f.F, prod.map π₂ π₂ ≫ g.F)) ≫ prod.map π₁ π₁)).obj X₁.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map (prod.map f.f g.f) (𝟙 (X₂.tgt ⨯ Y₂.tgt)) ≫ prod.map π₁ π₁)).obj X₂.rel
-- Mathlib/CategoryTheory/Dialectica/Monoidal.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : Dial C
f : X₁ ⟶ X₂
g : Y₁ ⟶ Y₂
\u22a2 (Subobject.pullback (π(π₁, π(prod.map π₁ π₁ ≫ f.F, prod.map π₂ π₂ ≫ g.F)) ≫ prod.map π₂ π₂)).obj Y₁.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map (prod.map f.f g.f) (𝟙 (X₂.tgt ⨯ Y₂.tgt)) ≫ prod.map π₂ π₂)).obj Y₂.rel
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε r : ℝ
hr : 0 < r
\u22a2 r • ball 0 1 = ball 0 r
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Completion.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x : β
\u22a2 const abv x⁻¹ = if h : (const abv x).LimZero then 0 else (const abv x).inv h
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
h0 : 0 < type r
a : α
\u22a2 ¬r a (enum r 0 h0)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
h0 : 0 < type r
a : α
\u22a2 0 ≤ typein r a
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Basic.lean
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
\u22a2 f ◁ (λ_ g).inv ≫ (α_ f (𝟙 b) g).inv = (ρ_ f).inv ▷ g
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : fs.card = m + 1
\u22a2 ∃ r, ∀ (i : Fin (m + 1)), dist ((s.face h).points i) s.circumcenter = r
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : fs.card = m + 1
\u22a2 ∀ (i : Fin (m + 1)), dist ((s.face h).points i) s.circumcenter = s.circumradius
-- Mathlib/RepresentationTheory/Action/Basic.lean
V : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory V
G : MonCat
M N : Action V G
f : M.V ≅ N.V
comm : autoParam (∀ (g : ↑G), M.ρ g ≫ f.hom = f.hom ≫ N.ρ g) _auto✝
g : ↑G
\u22a2 N.ρ g ≫ f.inv = f.inv ≫ M.ρ g
-- Mathlib/RepresentationTheory/Action/Basic.lean
V : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory V
G : MonCat
M N : Action V G
f : M.V ≅ N.V
comm : autoParam (∀ (g : ↑G), M.ρ g ≫ f.hom = f.hom ≫ N.ρ g) _auto✝
g : ↑G
w : (M.ρ g ≫ f.hom) ≫ f.inv = (f.hom ≫ N.ρ g) ≫ f.inv
\u22a2 N.ρ g ≫ f.inv = f.inv ≫ M.ρ g
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
f : α → β
\u22a2 (∏ i ∈ s, if i ∈ t then f i else 1) = ∏ i ∈ s ∩ t, f i
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
a : R[ℕ]
\u22a2 { toFinsupp := a } = 0 ↔ a = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
f g : α → E
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s
\u22a2 eLpNormEssSup (s.piecewise f g) μ = max (eLpNormEssSup f (μ.restrict s)) (eLpNormEssSup g (μ.restrict sᶜ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
f g : α → E
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s
\u22a2 essSup (fun x => ↑‖s.piecewise f g x‖₊) μ = essSup (s.piecewise (fun x => ↑‖f x‖₊) fun x => ↑‖g x‖₊) μ
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NonUnitalNormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
x : E
\u22a2 x * x⋆ ≠ 0 ↔ x ≠ 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfChosenFiniteProducts/Basic.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
\u22a2 (ℬ (tensorObj ℬ Y₁ Y₂) Y₃).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (tensorObj ℬ X₁ X₂) X₃).cone ≫ (ℬ Y₁ Y₂).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X₁ X₂).cone ≫ f₁) (BinaryFan.snd (ℬ X₁ X₂).cone ≫ f₂))) (BinaryFan.snd (ℬ (tensorObj ℬ X₁ X₂) X₃).cone ≫ f₃)) ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ Y₁ Y₂ Y₃).hom = (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X₁ X₂ X₃).hom ≫ (ℬ Y₁ (tensorObj ℬ Y₂ Y₃)).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X₁ (ℬ X₂ X₃).cone.pt).cone ≫ f₁) (BinaryFan.snd (ℬ X₁ (ℬ X₂ X₃).cone.pt).cone ≫ (ℬ Y₂ Y₃).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X₂ X₃).cone ≫ f₂) (BinaryFan.snd (ℬ X₂ X₃).cone ≫ f₃))))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfChosenFiniteProducts/Basic.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
\u22a2 ∀ (j : Discrete WalkingPair), ((ℬ (tensorObj ℬ Y₁ Y₂) Y₃).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (tensorObj ℬ X₁ X₂) X₃).cone ≫ (ℬ Y₁ Y₂).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X₁ X₂).cone ≫ f₁) (BinaryFan.snd (ℬ X₁ X₂).cone ≫ f₂))) (BinaryFan.snd (ℬ (tensorObj ℬ X₁ X₂) X₃).cone ≫ f₃)) ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ Y₁ Y₂ Y₃).hom) ≫ (ℬ Y₁ (ℬ Y₂ Y₃).cone.pt).cone.π.app j = ((BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X₁ X₂ X₃).hom ≫ (ℬ Y₁ (tensorObj ℬ Y₂ Y₃)).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X₁ (ℬ X₂ X₃).cone.pt).cone ≫ f₁) (BinaryFan.snd (ℬ X₁ (ℬ X₂ X₃).cone.pt).cone ≫ (ℬ Y₂ Y₃).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X₂ X₃).cone ≫ f₂) (BinaryFan.snd (ℬ X₂ X₃).cone ≫ f₃))))) ≫ (ℬ Y₁ (ℬ Y₂ Y₃).cone.pt).cone.π.app j
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
S : L.Substructure (DirectLimit G f)
S_fg : S.FG
A : Finset (DirectLimit G f)
A_closure : (Substructure.closure L).toFun ↑A = S
\u22a2 ∃ i T, Substructure.map (of L ι G f i).toHom T = S
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
S : L.Substructure (DirectLimit G f)
S_fg : S.FG
A : Finset (DirectLimit G f)
A_closure : (Substructure.closure L).toFun ↑A = S
i : ι
y : { x // x ∈ A } → G i
eq_y : (fun a => ↑a) = fun a => ⟦Structure.Sigma.mk f i (y a)⟧
\u22a2 ∃ i T, Substructure.map (of L ι G f i).toHom T = S
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
S : L.Substructure (DirectLimit G f)
S_fg : S.FG
A : Finset (DirectLimit G f)
A_closure : (Substructure.closure L).toFun ↑A = S
i : ι
y : { x // x ∈ A } → G i
eq_y : (fun a => ↑a) = fun a => ⟦Structure.Sigma.mk f i (y a)⟧
\u22a2 ∃ T, Substructure.map (of L ι G f i).toHom T = S
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
S : L.Substructure (DirectLimit G f)
S_fg : S.FG
A : Finset (DirectLimit G f)
A_closure : (Substructure.closure L).toFun ↑A = S
i : ι
y : { x // x ∈ A } → G i
eq_y : (fun a => ↑a) = fun a => ⟦Structure.Sigma.mk f i (y a)⟧
\u22a2 Substructure.map (of L ι G f i).toHom ((Substructure.closure L).toFun (range y)) = S