ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₂' : Mono (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯)
h₀ : Epi (app' φ 1 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 2 ⋯)
ψ : mk₃ 0 (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) ⟶ mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯) := homMk₃ (𝟙 ((mk₃ 0 (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)).obj' 0 ⋯)) (app' φ 0 ⋯) (app' φ 1 ⋯) (app' φ 2 ⋯) ⋯ ⋯ ⋯
\u22a2 Epi (app' φ 0 ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₂' : Mono (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯)
h₀ : Epi (app' φ 1 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 2 ⋯)
ψ : mk₃ 0 (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) ⟶ mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯) := homMk₃ (𝟙 ((mk₃ 0 (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)).obj' 0 ⋯)) (app' φ 0 ⋯) (app' φ 1 ⋯) (app' φ 2 ⋯) ⋯ ⋯ ⋯
\u22a2 (ShortComplex.mk ((mk₂ ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₂ ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯) ⋯).Exact
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₂' : Mono (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯)
h₀ : Epi (app' φ 1 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 2 ⋯)
ψ : mk₃ 0 (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) ⟶ mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯) := homMk₃ (𝟙 ((mk₃ 0 (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)).obj' 0 ⋯)) (app' φ 0 ⋯) (app' φ 1 ⋯) (app' φ 2 ⋯) ⋯ ⋯ ⋯
\u22a2 (mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
C : ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
hu : Monotone u
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
n : ℕ
\u22a2 ∑ k ∈ range (n + 1), (u (k + 1) - u k) • f (u k) ≤ (u 1 - u 0) • f (u 0) + C • ∑ k ∈ Ico (u 0 + 1) (u n + 1), f k
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
C : ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
hu : Monotone u
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
n : ℕ
\u22a2 (u (0 + 1) - u 0) • f (u 0) + ∑ k ∈ range n, (u (k + 1 + 1) - u (k + 1)) • f (u (k + 1)) ≤ (u 1 - u 0) • f (u 0) + C • ∑ k ∈ Ico (u 0 + 1) (u n + 1), f k
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
C : ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
hu : Monotone u
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
n : ℕ
\u22a2 ∑ k ∈ range n, (u (k + 1 + 1) - u (k + 1)) • f (u (k + 1)) ≤ C • ∑ k ∈ Ico (u 0 + 1) (u n + 1), f k
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
C : ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
hu : Monotone u
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
n : ℕ
\u22a2 ∑ k ∈ range n, (u (k + 2) - u (k + 1)) • f (u (k + 1)) ≤ C • ∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u (k + 1))
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
C : ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
hu : Monotone u
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
n : ℕ
this : ∀ k ∈ range n, (u (k + 2) - u (k + 1)) • f (u (k + 1)) ≤ C • (u (k + 1) - u k) • f (u (k + 1))
\u22a2 ∑ k ∈ range n, (u (k + 2) - u (k + 1)) • f (u (k + 1)) ≤ C • ∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u (k + 1))
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
M : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
f : ℕ → M
u : ℕ → ℕ
C : ℕ
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
hu : Monotone u
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u
n : ℕ
this : ∀ k ∈ range n, (u (k + 2) - u (k + 1)) • f (u (k + 1)) ≤ C • (u (k + 1) - u k) • f (u (k + 1))
\u22a2 C • ∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u (k + 1)) = ∑ i ∈ range n, C • (u (i + 1) - u i) • f (u (i + 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Gal.lean
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
\u22a2 (fromZetaAut hμ h) (zeta n K L) = μ
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Gal.lean
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
\u22a2 ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K ⋯) ⋯) (zeta n K L) = μ
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Gal.lean
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n
h : ∃ i < ↑n, zeta n K L ^ i = μ
pf✝¹ : h.choose.Coprime ↑n
hμ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑(ZMod.unitOfCoprime h.choose pf✝¹)).val) ↑n
pf✝ : minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hμ).gen
\u22a2 ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hμ) pf✝) (zeta n K L) = μ
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Gal.lean
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n
h : ∃ i < ↑n, zeta n K L ^ i = μ
pf✝¹ : h.choose.Coprime ↑n
hμ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑(ZMod.unitOfCoprime h.choose pf✝¹)).val) ↑n
pf✝ : minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hμ).gen
\u22a2 ((IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).equivOfMinpoly (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hμ) pf✝) (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = μ
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Gal.lean
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n
h : ∃ i < ↑n, zeta n K L ^ i = μ
pf✝¹ : h.choose.Coprime ↑n
hμ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑(ZMod.unitOfCoprime h.choose pf✝¹)).val) ↑n
pf✝ : minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hμ).gen
\u22a2 zeta n K L ^ (↑(ZMod.unitOfCoprime h.choose pf✝¹)).val = μ
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Gal.lean
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ✝ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h✝ : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L) ↑n
h : ∃ i < ↑n, zeta n K L ^ i = μ
pf✝¹ : h.choose.Coprime ↑n
hμ : IsPrimitiveRoot (zeta n K L ^ (↑(ZMod.unitOfCoprime h.choose pf✝¹)).val) ↑n
pf✝ : minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen = minpoly K (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hμ).gen
\u22a2 (↑(ZMod.unitOfCoprime h.choose pf✝¹)).val = h.choose
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
x : AddCircle p
hx : x ≠ ↑a
\u22a2 ContinuousAt (⇑(equivIco p a)) x
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
x : AddCircle p
z✝ : 𝕜
hx : ↑z✝ ≠ ↑a
\u22a2 ContinuousAt ⇑(equivIco p a) ↑z✝
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
x : AddCircle p
z✝ : 𝕜
hx : ↑z✝ ≠ ↑a
\u22a2 Filter.map (⇑(equivIco p a) ∘ QuotientAddGroup.mk) (𝓝 z✝) ≤ 𝓝 ((equivIco p a) ↑z✝)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
\u22a2 MeasurableSet (limsup s atTop)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
i j : ι
hij : i ≠ j
a : (fun _i => 𝕜) i
b : (fun _i => 𝕜) j
\u22a2 ⟪((fun i => LinearIsometry.toSpanSingleton 𝕜 E ⋯) i) a, ((fun i => LinearIsometry.toSpanSingleton 𝕜 E ⋯) j) b⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
\u22a2 ↑(((decompose 𝒜) 0) 0) = 0
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
\u22a2 ↑(0 0) = 0
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
x✝¹ x✝ : A
\u22a2 ↑(((decompose 𝒜) (x✝¹ + x✝)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) x✝¹) 0) + ↑(((decompose 𝒜) x✝) 0)
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
x✝¹ x✝ : A
\u22a2 ↑(((decompose 𝒜) x✝¹ + (decompose 𝒜) x✝) 0) = ↑(((decompose 𝒜) x✝¹) 0) + ↑(((decompose 𝒜) x✝) 0)
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
\u22a2 ∀ (x y : A), { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun y
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
x : A
\u22a2 { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun (0 * x) = { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun 0 * { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun x
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
\u22a2 ∀ {i : ι} (m : ↥(𝒜 i)) (y : A), { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun (↑m * y) = { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun ↑m * { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun y
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
\u22a2 ∀ (m m' : A), (∀ (y : A), { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun (m * y) = { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun m * { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun y) → (∀ (y : A), { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun (m' * y) = { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun m' * { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun y) → ∀ (y : A), { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun ((m + m') * y) = { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun (m + m') * { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
K : ℝ≥0
hK : ‖f'‖₊ < K
\u22a2 ∃ s ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith K f s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
K : ℝ≥0
hK : ‖f'‖₊ < K
this : IsBigOWith ((fun a => ↑a) K) (𝓝 (x, x)) (fun x => f x.1 - f x.2 - f' (x.1 - x.2) + f' (x.1 - x.2)) fun p => p.1 - p.2
\u22a2 ∃ s ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith K f s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
K : ℝ≥0
hK : ‖f'‖₊ < K
this : ∀ᶠ (x : E × E) in 𝓝 (x, x), ‖f x.1 - f x.2‖ ≤ ↑K * ‖x.1 - x.2‖
\u22a2 ∃ s ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith K f s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
K : ℝ≥0
hK : ‖f'‖₊ < K
this : ∀ᶠ (x : E × E) in 𝓝 (x, x), ‖f x.1 - f x.2‖ ≤ ↑K * ‖x.1 - x.2‖
U : Set E
Uo : IsOpen U
xU : x ∈ U
hU : U ×ˢ U ⊆ {x | (fun x => ‖f x.1 - f x.2‖ ≤ ↑K * ‖x.1 - x.2‖) x}
\u22a2 ∃ s ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith K f s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
i j : n
\u22a2 (toMatrix v₁ v₁) id i j = 1 i j
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
\u22a2 IsComplete s ↔ ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → ↑l ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ↑l ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
H : ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → ↑l ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ↑l ≤ 𝓝 x
l : Filter α
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s
\u22a2 ∃ x ∈ s, ClusterPt x l
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
H : ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → ↑l ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ↑l ≤ 𝓝 x
l : Filter α
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s
this : l.NeBot
\u22a2 ∃ x ∈ s, ClusterPt x l
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
H : ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → ↑l ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ↑l ≤ 𝓝 x
l : Filter α
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s
this : l.NeBot
x : α
hxs : x ∈ s
hxl : ↑(Ultrafilter.of l) ≤ 𝓝 x
\u22a2 ∃ x ∈ s, ClusterPt x l
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpOrder.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup E
f g : ↥(Lp E p μ)
\u22a2 ↑↑f ≤ᶠ[ae μ] ↑↑g ↔ f ≤ g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹¹ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace β
inst✝⁹ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
M : Type u_5
G : Type u_6
G₀ : Type u_7
inst✝⁸ : Monoid M
inst✝⁷ : MulAction M β
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul M β
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G β
inst✝³ : ContinuousConstSMul G β
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : MulAction G₀ β
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ β
c : G
h : AEStronglyMeasurable (fun x => c • f x) μ
\u22a2 AEStronglyMeasurable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
π : ι → Type u_4
inst✝ : Unique ι
m : (i : ι) → MeasurableSpace (π i)
μ : (i : ι) → Measure (π i)
e : ((i : ι) → π i) ≃ᵐ π default := MeasurableEquiv.piUnique π
\u22a2 Measure.map (⇑e) (Measure.pi μ) = μ default
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
π : ι → Type u_4
inst✝ : Unique ι
m : (i : ι) → MeasurableSpace (π i)
μ : (i : ι) → Measure (π i)
e : ((i : ι) → π i) ≃ᵐ π default := MeasurableEquiv.piUnique π
this : (piPremeasure fun i => (μ i).toOuterMeasure) = ⇑(Measure.map (⇑e.symm) (μ default))
\u22a2 Measure.map (⇑e) (Measure.pi μ) = μ default
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
i : σ
f : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
h_m : m ∈ f.support
\u22a2 m i ≤ degreeOf i f
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
i : σ
f : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
h_m : m ∈ f.support
\u22a2 m i ≤ f.support.sup fun m => m i
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableRel r
inst✝ : DecidableEq α
L : List α
a b : α
\u22a2 count a (orderedInsert r b L) = count a L + if a = b then 1 else 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Logic.lean
α : Sort u_1
a : α
motive : (a' : α) → a = a' → Sort u_2
x : motive a ⋯
β : Sort u_2
y : β
\u22a2 HEq (⋯ ▸ x) y ↔ HEq x y
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
\u22a2 μ {a | ε ≤ f a} < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
\u22a2 {a | ε ≤ f a} ⊆ {x | ε ≤ ‖f x‖}
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
x : α
hx : x ∈ {a | ε ≤ f a}
\u22a2 x ∈ {x | ε ≤ ‖f x‖}
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
x : α
hx : ε ≤ f x
\u22a2 ε ≤ |f x|
-- Mathlib/Control/Traversable/Lemmas.lean
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f✝ : β → γ
x : t β
f : β → γ
x✝ : t β
\u22a2 traverse (pure ∘ f) x✝ = (pure ∘ map f) x✝
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝ a : α
z : ℤ
\u22a2 ⌊a - ↑z⌋ = ⌊a + ↑(-z)⌋
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq α
i j x : α
\u22a2 (swap i j) x = update (update id j i) i j x
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
f : G ⧸ H → G
hf : ∀ (q : G ⧸ H), ↑(f q) = q
q : G ⧸ H
\u22a2 ↑((toEquiv ⋯) q) = f q
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
f : G ⧸ H → G
hf : ∀ (q : G ⧸ H), ↑(f q) = q
q : G ⧸ H
\u22a2 (toEquiv ⋯) q = ⟨f q, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
s : Set ℝ
t : Set ℝ≥0
h : s.OrdConnected
\u22a2 (toNNReal '' s).OrdConnected
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
s : Set ℝ
t : Set ℝ≥0
h : s.OrdConnected
x : ℝ
hx : x ∈ s
y : ℝ
hy : y ∈ s
z : ℝ≥0
hz : z ∈ Icc x.toNNReal y.toNNReal
\u22a2 z ∈ toNNReal '' s
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
s : Set ℝ
t : Set ℝ≥0
h : s.OrdConnected
x : ℝ
hx : x ∈ s
y : ℝ
hy : y ∈ s
z : ℝ≥0
hz : z ∈ Icc x.toNNReal y.toNNReal
hy₀ : y ≤ 0
\u22a2 z ∈ toNNReal '' s
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
s : Set ℝ
t : Set ℝ≥0
h : s.OrdConnected
x : ℝ
hx : x ∈ s
y : ℝ
hy : y ∈ s
z : ℝ≥0
hz : z ∈ Icc x.toNNReal y.toNNReal
hy₀ : 0 ≤ y
\u22a2 z ∈ toNNReal '' s
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
R : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel R
neg_trans : ∀ {x y z : α}, R x z → R x y ∨ R y z
a : α
l : List α
\u22a2 (∀ (b : α), b ∈ pwFilter R l → R a b) ↔ ∀ (b : α), b ∈ l → R a b
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
R : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel R
neg_trans : ∀ {x y z : α}, R x z → R x y ∨ R y z
a : α
l : List α
\u22a2 (∀ (b : α), b ∈ pwFilter R l → R a b) → ∀ (b : α), b ∈ l → R a b
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
\u22a2 (freeOn E).Basis I X ↔ I = X ∧ X ⊆ E
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
\u22a2 I = X ∧ X ⊆ E → (freeOn E).Basis I X
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I R J : Set α
hIE : I ⊆ E
\u22a2 (freeOn E).Basis I I
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
\u22a2 0 < ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ
\u22a2 0 < ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ