ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
U : ↥(unitary E)
A : E
a✝ : Nontrivial E
\u22a2 ‖↑U * A‖ ≤ ‖A‖
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
U : ↥(unitary E)
A : E
a✝ : Nontrivial E
\u22a2 ‖A‖ ≤ ‖↑U * A‖
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
h : Odd n
\u22a2 n / 2 * 2 + 1 = n
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
\u22a2 W.Ψ 4 = C W.preΨ₄ * W.ψ₂
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x✝ y : E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
x : E
\u22a2 s * closedBall x δ = x • cthickening δ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
f g : M₁ →ₗ[R] M₁
\u22a2 (toMatrixAlgEquiv v₁) (f * g) = (toMatrixAlgEquiv v₁) f * (toMatrixAlgEquiv v₁) g
-- Mathlib/Algebra/Tropical/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : LinearOrder R
x y : Tropical R
\u22a2 x + y = x ↔ x ≤ y
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
\u22a2 ⊥ ∥ s ↔ s = ⊥
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f g : WithLp ⊤ (α × β)
\u22a2 edist f.1 g.1 ⊔ edist f.2 g.2 < ⊤
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a b x y : α
s : Finset α
hx : x ∈ s
\u22a2 s.erase x = s.erase y ↔ x = y
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a b x y : α
s : Finset α
hx : x ∈ s
h : s.erase x = s.erase y
\u22a2 x ∉ s.erase y
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
a : M
\u22a2 IsUnit a ↔ ∃ b, b * a = 1
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompactConvergence.lean
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
δ : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (δ i)
φ : (i : ι) → C(δ i, α)
h_proper : ∀ (i : ι), IsProperMap ⇑(φ i)
h_lf : LocallyFinite fun i => range ⇑(φ i)
h_cover : ⋃ i, range ⇑(φ i) = univ
𝔖 : Set (Set α) := {K | IsCompact K}
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i)) := fun i => {K | IsCompact K}
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => ⇑(φ i) '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => ⇑(φ i) ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
\u22a2 inferInstanceAs (UniformSpace C(α, β)) = ⨅ i, UniformSpace.comap (fun x => x.comp (φ i)) inferInstance
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompactConvergence.lean
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
δ : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (δ i)
φ : (i : ι) → C(δ i, α)
h_proper : ∀ (i : ι), IsProperMap ⇑(φ i)
h_lf : LocallyFinite fun i => range ⇑(φ i)
h_cover : ⋃ i, range ⇑(φ i) = univ
𝔖 : Set (Set α) := {K | IsCompact K}
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i)) := fun i => {K | IsCompact K}
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => ⇑(φ i) '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => ⇑(φ i) ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover' : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range ⇑(φ i)
\u22a2 inferInstanceAs (UniformSpace C(α, β)) = ⨅ i, UniformSpace.comap (fun x => x.comp (φ i)) inferInstance
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompactConvergence.lean
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
δ : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (δ i)
φ : (i : ι) → C(δ i, α)
h_proper : ∀ (i : ι), IsProperMap ⇑(φ i)
h_lf : LocallyFinite fun i => range ⇑(φ i)
h_cover : ⋃ i, range ⇑(φ i) = univ
𝔖 : Set (Set α) := {K | IsCompact K}
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i)) := fun i => {K | IsCompact K}
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => ⇑(φ i) '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => ⇑(φ i) ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover' : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range ⇑(φ i)
\u22a2 ⨅ i, ⨅ i_1 ∈ 𝔗 i, UniformSpace.comap (((⇑UniformFun.ofFun ∘ i_1.restrict ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun (𝔗 i))) ∘ ⇑(UniformOnFun.ofFun (𝔗 i)) ∘ (fun x => x ∘ ⇑(φ i)) ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖)) ∘ toUniformOnFunIsCompact) (UniformFun.uniformSpace (↑i_1) β) = ⨅ i, ⨅ i_1 ∈ {K | IsCompact K}, UniformSpace.comap (((⇑UniformFun.ofFun ∘ i_1.restrict ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun {K | IsCompact K})) ∘ toUniformOnFunIsCompact) ∘ fun x => x.comp (φ i)) (UniformFun.uniformSpace (↑i_1) β)
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
\u22a2 evariance X μ < ⊤ ↔ Memℒp X 2 μ
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
\u22a2 evariance X μ < ⊤ → Memℒp X 2 μ
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
\u22a2 ¬Memℒp X 2 μ → ¬evariance X μ < ⊤
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
\u22a2 ¬Memℒp X 2 μ → evariance X μ = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Unitization.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Mul A
inst✝² : SMulWithZero R A
inst✝¹ : StarAddMonoid R
inst✝ : Star A
a : A
\u22a2 IsStarNormal ↑a ↔ IsStarNormal a
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
hf : f ≠ 0
\u22a2 f.natSepDegree = f.natDegree ↔ f.Separable
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
hf : f ≠ 0
\u22a2 f.natSepDegree = f.natDegree ↔ (f.aroots f.SplittingField).toFinset.card = f.natDegree
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
ha : IsUnit A.det
m n : ℤ
\u22a2 A ^ (m + n) = A ^ m * A ^ n
-- Mathlib/Data/Sum/Basic.lean
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
x : α ⊕ β
y : γ ⊕ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ
h₁ : LiftRel r s x y
h₂ : x.isLeft = true
\u22a2 ∃ a c, r a c ∧ x = inl a ∧ y = inl c
-- Mathlib/Data/Sum/Basic.lean
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
y : γ ⊕ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ
w✝ : α
h₁ : LiftRel r s (inl w✝) y
h₂ : (inl w✝).isLeft = true
\u22a2 ∃ a c, r a c ∧ inl w✝ = inl a ∧ y = inl c
-- Mathlib/Data/Sum/Basic.lean
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
y : γ ⊕ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ
w✝ : α
h₂ : (inl w✝).isLeft = true
h₁ : ∃ a c, r a c ∧ inl w✝ = inl a ∧ y = inl c
\u22a2 ∃ a c, r a c ∧ inl w✝ = inl a ∧ y = inl c
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Separation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space β
f : α → β
h : UniformContinuous f
a : α
\u22a2 lift' f (mk a) = f a
-- Mathlib/Topology/Order/OrderClosed.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIciTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
h : a < b
\u22a2 ContinuousWithinAt f (Ico a b) a ↔ ContinuousWithinAt f (Ici a) a
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hz_re : z.re ≤ 0
hz_im : 0 ≤ z.im
\u22a2 ‖f z‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
z : ℂ
hz_re : (z * I).re ≤ 0
hz_im : 0 ≤ (z * I).im
\u22a2 ‖f (z * I)‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
z : ℂ
hz_re : 0 ≤ z.im
hz_im : 0 ≤ z.re
\u22a2 ‖f (z * I)‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
z : ℂ
hz_re : 0 ≤ z.im
hz_im : 0 ≤ z.re
H : MapsTo (fun x => x * I) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0) (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)
c : ℝ
hc : c < 2
B : ℝ
hO : f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
\u22a2 ‖(f ∘ fun x => x * I) z‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
z : ℂ
hz_re : 0 ≤ z.im
hz_im : 0 ≤ z.re
H : MapsTo (fun x => x * I) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0) (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)
c : ℝ
hc : c < 2
B : ℝ
hO : f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
\u22a2 (f ∘ fun x => x * I) =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
z : ℂ
hz_re : 0 ≤ z.im
hz_im : 0 ≤ z.re
H : MapsTo (fun x => x * I) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0) (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)
c : ℝ
hc : c < 2
B : ℝ
hO : f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
\u22a2 ‖(f ∘ fun x => x * I) (↑x * I)‖ ≤ C
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
J : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} E
X Y✝ : GradedObject J C
e : X ≅ Y✝
F : C ⥤ D ⥤ E
j : J
Y : D
\u22a2 (F.map (e.inv j)).app Y ≫ (F.map (e.hom j)).app Y = 𝟙 ((F.obj (Y✝ j)).obj Y)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLinearEquiv.lean
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j => A i j < 0
h2 : ∀ (i : n), 0 < ∑ j : n, A i j
\u22a2 A.det ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLinearEquiv.lean
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j => A i j < 0
h2 : ∀ (i : n), 0 < ∑ j : n, A i j
\u22a2 Aᵀ.det ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLinearEquiv.lean
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j => A i j < 0
h2 : ∀ (i : n), 0 < ∑ j : n, A i j
\u22a2 Pairwise fun i j => Aᵀ i j < 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLinearEquiv.lean
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j => A i j < 0
h2 : ∀ (i : n), 0 < ∑ j : n, A i j
\u22a2 ∀ (j : n), 0 < ∑ i : n, Aᵀ i j
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.trailingCoeff * q.trailingCoeff ≠ 0
\u22a2 (p * q).trailingDegree = p.trailingDegree + q.trailingDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.trailingCoeff * q.trailingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
\u22a2 (p * q).trailingDegree = p.trailingDegree + q.trailingDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.trailingCoeff * q.trailingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
\u22a2 (p * q).trailingDegree = p.trailingDegree + q.trailingDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.trailingCoeff * q.trailingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
\u22a2 (p * q).trailingDegree ≤ p.trailingDegree + q.trailingDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.trailingCoeff * q.trailingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
\u22a2 (p * q).trailingDegree ≤ ↑(p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.trailingCoeff * q.trailingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
\u22a2 (p * q).coeff (p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree) ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
\u22a2 (⨆ i, p i).toAddSubmonoid = ⨆ i, (p i).toAddSubmonoid
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x : M
\u22a2 x ∈ (⨆ i, p i).toAddSubmonoid → x ∈ ⨆ i, (p i).toAddSubmonoid
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x : M
\u22a2 x ∈ span R (⋃ i, ↑(p i)) → x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x : M
hx : x ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
\u22a2 x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝¹ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
x : M
hx : x ∈ ⋃ i, ↑(p i)
\u22a2 x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x : M
hx : x ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
\u22a2 0 ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝¹ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
x y : M
hx : x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
hy : y ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
\u22a2 x + y ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝¹ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
r : R
x : M
hx : x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
\u22a2 r • x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
f : α → β
l : Filter β
p : α → Prop
s : Set α
\u22a2 (∃ᶠ (a : α) in comap f l, p a) ↔ ∃ᶠ (b : β) in l, ∃ a, f a = b ∧ p a
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b c : α
\u22a2 ⊥ᶜ = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0
f : ℕ → α → E
hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑R
hp' : ¬p = ⊤
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0
f : ℕ → α → E
hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑R
hp' : ¬p = ⊤
x : α
hx : liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal) atTop < ⊤
\u22a2 liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0
f : ℕ → α → E
hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑R
hp' : ¬p = ⊤
x : α
hx : liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal) atTop < ⊤
hppos : 0 < p.toReal
\u22a2 liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0
f : ℕ → α → E
hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑R
hp' : ¬p = ⊤
x : α
hx : liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal) atTop < ⊤
hppos : 0 < p.toReal
this : liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal) atTop = liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop ^ p.toReal
\u22a2 liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0
f : ℕ → α → E
hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑R
hp' : ¬p = ⊤
x : α
hx : liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop ^ p.toReal < ⊤
hppos : 0 < p.toReal
this : liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal) atTop = liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop ^ p.toReal
\u22a2 liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0
f : ℕ → α → E
hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑R
hp' : ¬p = ⊤
x : α
hx : liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop ^ p.toReal < ⊤
hppos : 0 < p.toReal
this : liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal) atTop = liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop ^ p.toReal
\u22a2 (liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop ^ p.toReal) ^ p.toReal⁻¹ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
inst✝ : Nonempty ι
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
n : ℕ
\u22a2 μ (s ∩ ⋂ j, notConvergentSeq f g n j) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
hfg : μ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)} = 0
\u22a2 μ (s ∩ ⋂ j, notConvergentSeq f g n j) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
hfg : μ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)} = 0
\u22a2 μ (s ∩ ⋂ j, notConvergentSeq f g n j) ≤ μ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)}
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
hfg : μ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)} = 0
x : α
\u22a2 x ∈ s ∩ ⋂ j, notConvergentSeq f g n j → x ∈ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)}
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
hfg : μ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)} = 0
x : α
\u22a2 (x ∈ s ∧ ∀ (i : ι), ∃ k ≥ i, 1 / (↑n + 1) < dist (f k x) (g x)) → x ∈ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)}