ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Polynomial.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
n : ℕ
x : Fin n → R
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
q : MvPolynomial (Fin n) R
\u22a2 (fun s => (eval x) (Polynomial.eval q (Fin.cases Polynomial.X (fun k => Polynomial.C (X k)) s))) = fun i => Fin.cases ((eval x) q) x i
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Polynomial.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
σ : Type u_3
n : ℕ
x : Fin n → R
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
q : MvPolynomial (Fin n) R
i : Fin (n + 1)
\u22a2 (eval x) (Polynomial.eval q (Fin.cases Polynomial.X (fun k => Polynomial.C (X k)) i)) = Fin.cases ((eval x) q) x i
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
C : Set α → Prop
S : Set α
h : S.Finite
S0 : Set α
hS0 : S0 ⊆ S
H0 : C S0
H1 : ∀ s ⊂ S, C s → ∃ a ∈ S \ s, C (insert a s)
\u22a2 C S
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
C : Set α → Prop
S : Set α
h : S.Finite
S0 : Set α
hS0 : S0 ⊆ S
H0 : C S0
H1 : ∀ s ⊂ S, C s → ∃ a ∈ S \ s, C (insert a s)
this : Finite ↑S
\u22a2 C S
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
C : Set α → Prop
S : Set α
h : S.Finite
S0 : Set α
hS0 : S0 ⊆ S
H0 : C S0
H1 : ∀ s ⊂ S, C s → ∃ a ∈ S \ s, C (insert a s)
this✝ : Finite ↑S
this : Finite { T // T ⊆ S }
\u22a2 C S
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
C : Set α → Prop
S : Set α
h : S.Finite
S0 : Set α
hS0 : S0 ⊆ S
H0 : C ↑⟨S0, hS0⟩
H1 : ∀ s ⊂ S, C s → ∃ a ∈ S \ s, C (insert a s)
this✝ : Finite ↑S
this : Finite { T // T ⊆ S }
\u22a2 C ↑⟨S, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
C : Set α → Prop
S : Set α
h : S.Finite
S0 : Set α
hS0 : S0 ⊆ S
H0 : C ↑⟨S0, hS0⟩
H1 : ∀ s ⊂ S, C s → ∃ a ∈ S \ s, C (insert a s)
this✝ : Finite ↑S
this : Finite { T // T ⊆ S }
s : { x // x ⊆ S }
hs : ↑s ≠ ↑⟨S, ⋯⟩
hs' : C ↑s
\u22a2 ∃ c > s, C ↑c
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
C : Set α → Prop
S : Set α
h : S.Finite
S0 : Set α
hS0 : S0 ⊆ S
H0 : C ↑⟨S0, hS0⟩
H1 : ∀ s ⊂ S, C s → ∃ a ∈ S \ s, C (insert a s)
this✝ : Finite ↑S
this : Finite { T // T ⊆ S }
s : { x // x ⊆ S }
hs : ↑s ≠ ↑⟨S, ⋯⟩
hs' : C ↑s
a : α
ha' : C (insert a ↑s)
ha1 : a ∈ S
ha2 : a ∉ ↑s
\u22a2 ∃ c > s, C ↑c
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
m✝ : L'
\u22a2 m✝ ∈ f.idealRange ↔ m✝ ∈ LieIdeal.map f ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
m✝ : L'
\u22a2 m✝ ∈ LieSubmodule.lieSpan R L' ↑(LieSubalgebra.map f ⊤) ↔ m✝ ∈ LieIdeal.map f ⊤
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/LinearMap.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
s : Finset ι
h : CompleteLattice.Independent fun i => N ↑i
f : Module.End R M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)
p : Submodule R M
hp : p = ⨆ i ∈ s, N i
hp' : optParam (MapsTo ⇑f ↑p ↑p) ⋯
\u22a2 (trace R ↥p) (restrict f hp') = ∑ i ∈ s, (trace R ↥(N i)) (restrict f ⋯)
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F✝ X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
F : Set α := {x | M.Basis I (insert x I)}
\u22a2 M.closure I = F
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F✝ X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
F : Set α := {x | M.Basis I (insert x I)}
hIF : M.Basis I F
\u22a2 M.closure I = F
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F✝ X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
F : Set α := {x | M.Basis I (insert x I)}
hIF : M.Basis I F
hF : M.Flat F
\u22a2 M.closure I = F
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F✝ X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
F : Set α := {x | M.Basis I (insert x I)}
hIF : M.Basis I F
hF : M.Flat F
\u22a2 ∀ t' ∈ {F | M.Flat F ∧ I ∩ M.E ⊆ F}, F ⊆ t'
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F✝ X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
F : Set α := {x | M.Basis I (insert x I)}
hIF : M.Basis I F
hF : M.Flat F
\u22a2 F ∈ {F | M.Flat F ∧ I ∩ M.E ⊆ F}
-- Mathlib/NumberTheory/EllipticDivisibilitySequence.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
\u22a2 preNormEDS b c d 4 = d
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Matrix.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝ : UniformSpace 𝕜
\u22a2 𝓤 (Matrix m n 𝕜) = ⨅ i, ⨅ j, Filter.comap (fun a => (a.1 i j, a.2 i j)) (𝓤 𝕜)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Matrix.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝ : UniformSpace 𝕜
\u22a2 ⨅ i, Filter.comap (fun a => (a.1 i, a.2 i)) (𝓤 (n → 𝕜)) = ⨅ i, ⨅ j, Filter.comap (fun a => (a.1 i j, a.2 i j)) (𝓤 𝕜)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Matrix.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝ : UniformSpace 𝕜
\u22a2 ⨅ i, ⨅ i_1, Filter.comap ((fun a => (a.1 i_1, a.2 i_1)) ∘ fun a => (a.1 i, a.2 i)) (𝓤 𝕜) = ⨅ i, ⨅ j, Filter.comap (fun a => (a.1 i j, a.2 i j)) (𝓤 𝕜)
-- Mathlib/Algebra/Order/Monovary.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
\u22a2 MonovaryOn f (⇑OrderDual.toDual ∘ g) s ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → (f j - f i) • (g j - g i) ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Monovary.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
\u22a2 (∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → 0 ≤ (f j - f i) • ((⇑OrderDual.toDual ∘ g) j - (⇑OrderDual.toDual ∘ g) i)) ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → (f j - f i) • (g j - g i) ≤ 0
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x : 𝓞 K
\u22a2 ↑η ^ 2 + ↑η + 1 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x : 𝓞 K
\u22a2 -↑η - 1 + ↑η + 1 = 0
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
p : α
hp0 : ¬p = 0
\u22a2 Irreducible p ↔ Prime p
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
p : α
hp0 : ¬p = 0
h : Irreducible p
\u22a2 Prime p
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
p : α
hp0 : ¬p = 0
h : Irreducible p
f : Multiset α
hf : (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ p
\u22a2 Prime p
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
p : α
hp0 : ¬p = 0
h : Irreducible p
q : α
hq : p ~ᵤ q
hf : (∀ b ∈ {q}, Prime b) ∧ {q}.prod ~ᵤ p
\u22a2 Prime p
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
pf : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
p : α
hp0 : ¬p = 0
h : Irreducible p
q : α
hq : p ~ᵤ q
hf : (∀ b ∈ {q}, Prime b) ∧ {q}.prod ~ᵤ p
\u22a2 Prime q
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → ℝ
h : Memℒp f 2 μ
\u22a2 Integrable (fun x => f x ^ 2) μ
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
h : ∀ (R : Type u) [_Rcr : CommRing R] (x y : 𝕎 R) (n : ℕ), (ghostComponent n) (f x y) = (ghostComponent n) (g x y)
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (g x y).coeff = fun n => peval (ψ n) ![x.coeff, y.coeff]
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ y✝ : 𝕎 R✝
n : ℕ
\u22a2 (f x✝ y✝).coeff n = (g x✝ y✝).coeff n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
h : ∀ (R : Type u) [_Rcr : CommRing R] (x y : 𝕎 R) (n : ℕ), (ghostComponent n) (f x y) = (ghostComponent n) (g x y)
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (g x y).coeff = fun n => peval (ψ n) ![x.coeff, y.coeff]
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ y✝ : 𝕎 R✝
n : ℕ
\u22a2 ∀ (n : ℕ), (bind₁ φ) (wittPolynomial p ℤ n) = (bind₁ ψ) (wittPolynomial p ℤ n)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
h : ∀ (R : Type u) [_Rcr : CommRing R] (x y : 𝕎 R) (n : ℕ), (ghostComponent n) (f x y) = (ghostComponent n) (g x y)
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (g x y).coeff = fun n => peval (ψ n) ![x.coeff, y.coeff]
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ y✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
\u22a2 (bind₁ φ) (wittPolynomial p ℤ k) = (bind₁ ψ) (wittPolynomial p ℤ k)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
h : ∀ (R : Type u) [_Rcr : CommRing R] (x y : 𝕎 R) (n : ℕ), (ghostComponent n) (f x y) = (ghostComponent n) (g x y)
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (g x y).coeff = fun n => peval (ψ n) ![x.coeff, y.coeff]
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ y✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
\u22a2 ∀ (x : Fin 2 × ℕ → ℤ), (MvPolynomial.eval x) ((bind₁ φ) (wittPolynomial p ℤ k)) = (MvPolynomial.eval x) ((bind₁ ψ) (wittPolynomial p ℤ k))
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
h : ∀ (R : Type u) [_Rcr : CommRing R] (x y : 𝕎 R) (n : ℕ), (ghostComponent n) (f x y) = (ghostComponent n) (g x y)
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (g x y).coeff = fun n => peval (ψ n) ![x.coeff, y.coeff]
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ y✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
x : Fin 2 × ℕ → ℤ
\u22a2 (MvPolynomial.eval x) ((bind₁ φ) (wittPolynomial p ℤ k)) = (MvPolynomial.eval x) ((bind₁ ψ) (wittPolynomial p ℤ k))
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
h : ∀ (R : Type u) [_Rcr : CommRing R] (x y : 𝕎 R) (n : ℕ), (ghostComponent n) (f x y) = (ghostComponent n) (g x y)
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (g x y).coeff = fun n => peval (ψ n) ![x.coeff, y.coeff]
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ y✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
x : Fin 2 × ℕ → ℤ
\u22a2 (eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (φ i)) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (ψ i)) (wittPolynomial p ℤ k)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (g x y).coeff = fun n => peval (ψ n) ![x.coeff, y.coeff]
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ y✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
x : Fin 2 × ℕ → ℤ
h : (ghostComponent k) (f (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })) = (ghostComponent k) (g (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) }))
\u22a2 (eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (φ i)) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (ψ i)) (wittPolynomial p ℤ k)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (g x y).coeff = fun n => peval (ψ n) ![x.coeff, y.coeff]
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ y✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
x : Fin 2 × ℕ → ℤ
h : (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (f (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (g (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)
\u22a2 (eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (φ i)) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (ψ i)) (wittPolynomial p ℤ k)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (g x y).coeff = fun n => peval (ψ n) ![x.coeff, y.coeff]
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ y✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
x : Fin 2 × ℕ → ℤ
h : (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (f (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (g (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)
\u22a2 ULift.ringEquiv.symm ((eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (φ i)) (wittPolynomial p ℤ k)) = ULift.ringEquiv.symm ((eval₂Hom ((MvPolynomial.eval x).comp C) fun i => (MvPolynomial.eval x) (ψ i)) (wittPolynomial p ℤ k))
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (g x y).coeff = fun n => peval (ψ n) ![x.coeff, y.coeff]
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ y✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
x : Fin 2 × ℕ → ℤ
h : (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (f (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (g (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)
\u22a2 (eval₂Hom ((↑ULift.ringEquiv.symm).comp ((MvPolynomial.eval x).comp C)) fun i => ↑ULift.ringEquiv.symm ((MvPolynomial.eval x) (φ i))) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom ((↑ULift.ringEquiv.symm).comp ((MvPolynomial.eval x).comp C)) fun i => ↑ULift.ringEquiv.symm ((MvPolynomial.eval x) (ψ i))) (wittPolynomial p ℤ k)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (g x y).coeff = fun n => peval (ψ n) ![x.coeff, y.coeff]
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ y✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
x : Fin 2 × ℕ → ℤ
h : (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (f (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (g (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)
\u22a2 (eval₂Hom ((↑ULift.ringEquiv.symm).comp ((MvPolynomial.eval x).comp C)) fun i => ↑ULift.ringEquiv.symm ((MvPolynomial.eval x) (φ i))) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (f (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
ψ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hg : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (g x y).coeff = fun n => peval (ψ n) ![x.coeff, y.coeff]
R✝ : Type u
_Rcr✝ : CommRing R✝
x✝ y✝ : 𝕎 R✝
n k : ℕ
x : Fin 2 × ℕ → ℤ
h : (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (f (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (g (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)
\u22a2 (eval₂Hom ((↑ULift.ringEquiv.symm).comp ((MvPolynomial.eval x).comp C)) fun i => ↑ULift.ringEquiv.symm ((MvPolynomial.eval x) (ψ i))) (wittPolynomial p ℤ k) = (eval₂Hom (algebraMap ℤ (ULift.{u, 0} ℤ)) (g (mk p fun i => { down := x (0, i) }) (mk p fun i => { down := x (1, i) })).coeff) (wittPolynomial p ℤ k)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
n : ℕ
\u22a2 sin (π / 2 ^ (n + 2)) ^ 2 = 1 / 2 - sqrtTwoAddSeries 0 n / 4
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
n : ℕ
\u22a2 1 - 2 / 2 ^ 2 - sqrtTwoAddSeries 0 n / 2 ^ 2 = 1 / 2 - sqrtTwoAddSeries 0 n / 4
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
n : ℕ
\u22a2 0 ≤ 2 + sqrtTwoAddSeries 0 n
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
f_lim : ↥(Lp E p μ)
\u22a2 Tendsto f fi (𝓝 f_lim) ↔ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑f_lim) p μ) fi (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
f_lim : ↥(Lp E p μ)
\u22a2 Tendsto (fun b => dist (f b) f_lim) fi (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑f_lim) p μ) fi (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
f_lim : ↥(Lp E p μ)
\u22a2 Tendsto (fun b => (eLpNorm (↑↑(f b) - ↑↑f_lim) p μ).toReal) fi (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑f_lim) p μ) fi (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
f_lim : ↥(Lp E p μ)
n : ι
\u22a2 eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑f_lim) p μ ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
f_lim : ↥(Lp E p μ)
n : ι
\u22a2 eLpNorm (↑↑(f n - f_lim)) p μ ≠ ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
f : M₁ →ₗ[R] M₁
k : ℕ
\u22a2 (toMatrix v₁ v₁) f ^ k = (toMatrix v₁ v₁) (f ^ k)
-- Mathlib/Data/Multiset/Range.lean
a : ℕ
m : Multiset ℕ
x : ℕ
hxa : x ∈ range a
hxb : x ∈ map (fun x => a + x) m
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Multiset/Range.lean
a : ℕ
m : Multiset ℕ
x : ℕ
hxa : x < a
hxb : x ∈ map (fun x => a + x) m
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Multiset/Range.lean
a : ℕ
m : Multiset ℕ
c : ℕ
left✝ : c ∈ m
hxa : a + c < a
hxb : a + c ∈ map (fun x => a + x) m
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/Basic.lean
P : PFunctor.{u}
α : Type u
p : α → Prop
a : P.A
f : P.B a → α
\u22a2 Liftp p ⟨a, f⟩ ↔ ∀ (i : P.B a), p (f i)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/Basic.lean
P : PFunctor.{u}
α : Type u
p : α → Prop
a : P.A
f : P.B a → α
\u22a2 (∃ a_1 f_1, ⟨a, f⟩ = ⟨a_1, f_1⟩ ∧ ∀ (i : P.B a_1), p (f_1 i)) ↔ ∀ (i : P.B a), p (f i)