ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
a : ℝ
\u22a2 (fun n => a / 2 / 2 ^ n) = fun i => a / 2 * (1 / 2) ^ i
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
a : ℝ
\u22a2 a = a / 2 * (1 - 1 / 2)⁻¹
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
\u22a2 ↑P.parts.offDiag.card ≤ 1 * ↑P.parts.card ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
\u22a2 ↑(P.parts.card * P.parts.card - P.parts.card) ≤ ↑P.parts.card ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
\u22a2 P.parts.card * P.parts.card - P.parts.card ≤ P.parts.card * P.parts.card
-- Mathlib/Data/Matrix/RowCol.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Unique ι
a b : n → α
x✝ : n
\u22a2 (col ι a * row ι b).diag x✝ = (a * b) x✝
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
f g φ ψ : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i
\u22a2 ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map (-φ)) = -ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map φ)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
f g φ ψ : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i
\u22a2 ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map (-φ)) = ShortComplex.homologyMap (-(shortComplexFunctor C c i).map φ)
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
h : Surjective m
\u22a2 Disjoint (comap m g₁) (comap m g₂) ↔ Disjoint g₁ g₂
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Indicator.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
s✝ t : Set ι
f✝ g✝ : ι → M₀
i : ι
s : Set ι
f g : ι → M₀
\u22a2 (s.indicator fun i => f i * g i) = fun i => s.indicator f i * s.indicator g i
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Indicator.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
s✝ t : Set ι
f✝ g✝ : ι → M₀
i : ι
s : Set ι
f g : ι → M₀
x✝ : ι
\u22a2 s.indicator (fun i => f i * g i) x✝ = s.indicator f x✝ * s.indicator g x✝
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Indicator.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
s✝ t : Set ι
f✝ g✝ : ι → M₀
i : ι
s : Set ι
f g : ι → M₀
x✝ : ι
h✝ : x✝ ∉ s
\u22a2 0 = 0 * 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
\u22a2 eval x p = p.sum fun e a => a * x ^ e
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
\u22a2 (p.sum fun e a => (RingHom.id R) a * x ^ e) = p.sum fun e a => a * x ^ e
-- Mathlib/Algebra/Homology/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i : ι
x : ↑((forget₂ C Ab).obj (K.X i))
hx : ((forget₂ C Ab).map (K.d i (c.next i))) x = 0
\u22a2 ((forget₂ C Ab).map (K.iCycles i)) (K.cyclesMk x (c.next i) ⋯ hx) = x
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : RegularSpace X✝
x : X✝
s : Set X✝
X : Type u_3
T : Set (TopologicalSpace X)
h : ∀ t ∈ T, RegularSpace X
x✝ : TopologicalSpace X := sInf T
\u22a2 RegularSpace X
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : RegularSpace X✝
x : X✝
s : Set X✝
X : Type u_3
T : Set (TopologicalSpace X)
h : ∀ t ∈ T, RegularSpace X
x✝ : TopologicalSpace X := sInf T
this : ∀ (a : X), (𝓝 a).HasBasis (fun If => If.fst.Finite ∧ ∀ (i : ↑If.fst), If.snd i ∈ 𝓝 a ∧ IsClosed (If.snd i)) fun If => ⋂ i, If.snd i
\u22a2 RegularSpace X
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : RegularSpace X✝
x : X✝
s : Set X✝
X : Type u_3
T : Set (TopologicalSpace X)
h : ∀ t ∈ T, RegularSpace X
x✝ : TopologicalSpace X := sInf T
this : ∀ (a : X), (𝓝 a).HasBasis (fun If => If.fst.Finite ∧ ∀ (i : ↑If.fst), If.snd i ∈ 𝓝 a ∧ IsClosed (If.snd i)) fun If => ⋂ i, If.snd i
a : X
If : (I : Set ↑T) × (↑I → Set X)
hIf : If.fst.Finite ∧ ∀ (i : ↑If.fst), If.snd i ∈ 𝓝 a ∧ IsClosed (If.snd i)
i : ↑If.fst
\u22a2 IsClosed (If.snd i)
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
\u22a2 𝓝[univ] a = 𝓝 a
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
S : Set (Submonoid M)
s : Submonoid M
hs : s ∈ S
\u22a2 ∀ {x : M}, x ∈ s → x ∈ sSup S
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
S : Set (Submonoid M)
s : Submonoid M
hs : s ∈ S
\u22a2 s ≤ sSup S
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ x y p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hyx : y < x
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 padicValNat p (x ^ n - y ^ n) = padicValNat p (x - y) + padicValNat p n
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ x y p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hyx : y < x
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 ↑(padicValNat p (x ^ n - y ^ n)) = ↑(padicValNat p (x - y)) + ↑(padicValNat p n)
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ x y p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hyx : y < x
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 multiplicity p (x ^ n - y ^ n) = multiplicity p (x - y) + multiplicity p n
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ x y p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hyx : y < x
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 0 < n
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ x y p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hyx : y < x
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 0 < x - y
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ x y p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hyx : y < x
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 0 < x ^ n - y ^ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntervalIntegrable f μ b₁ b₂
ha : a ∈ [[b₁, b₂]]
x✝¹ : ℝ
x✝ : x✝¹ ∈ [[b₁, b₂]]
\u22a2 ContinuousWithinAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) [[b₁, b₂]] x✝¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntervalIntegrable f μ b₁ b₂
ha : a ∈ [[b₁, b₂]]
x✝¹ : ℝ
x✝ : x✝¹ ∈ [[b₁, b₂]]
\u22a2 IntervalIntegrable f μ (min a (b₁ ⊓ b₂)) (max a (b₁ ⊔ b₂))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntervalIntegrable f μ b₁ b₂
ha : a ∈ [[b₁, b₂]]
x✝¹ : ℝ
x✝ : x✝¹ ∈ [[b₁, b₂]]
\u22a2 IntervalIntegrable f μ (b₁ ⊓ b₂) (b₁ ⊔ b₂)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c
hc' : c ≠ ℵ₀
a : Ordinal.{u}
hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c.ord, f i b < c.ord
\u22a2 lift.{u, u} #ι < c
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/BinaryProducts.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
P X Y Z : C
f : P ⟶ X
g : P ⟶ Y
inst✝² : HasBinaryProduct X Y
inst✝¹ : HasBinaryProduct (G.obj X) (G.obj Y)
inst✝ : PreservesLimit (pair X Y) G
\u22a2 (iso G X Y).inv ≫ G.map prod.fst = prod.fst
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/BinaryProducts.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
P X Y Z : C
f : P ⟶ X
g : P ⟶ Y
inst✝² : HasBinaryProduct X Y
inst✝¹ : HasBinaryProduct (G.obj X) (G.obj Y)
inst✝ : PreservesLimit (pair X Y) G
\u22a2 𝟙 (G.obj (X ⨯ Y)) ≫ G.map prod.fst = (iso G X Y).hom ≫ prod.fst
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Unitization.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Mul A
inst✝² : SMulWithZero R A
inst✝¹ : StarAddMonoid R
inst✝ : Star A
a : A
\u22a2 IsSelfAdjoint ↑a ↔ IsSelfAdjoint a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y z✝ : ℝ
n : ℕ
x z : ℝ
hx : 1 ≤ x
hz : z ≤ 0
\u22a2 x ^ z ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y z✝ : ℝ
n : ℕ
x z : ℝ
hx : 1 ≤ x
hz : z ≤ 0
\u22a2 1 = x ^ 0
-- Mathlib/CategoryTheory/NatIso.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
X : C
Z : D
g g' : G.obj X ⟶ Z
\u22a2 α.hom.app X ≫ g = α.hom.app X ≫ g' ↔ g = g'
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ
hn : 0 < n
\u22a2 p.degree = ↑n ↔ p.natDegree = n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
hn : 0 < n
\u22a2 degree 0 = ↑n ↔ natDegree 0 = n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ
hn : 0 < n
h : p ≠ 0
\u22a2 p.degree = ↑n ↔ p.natDegree = n
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν μ : Measure α
f : α → E
hf : StronglyMeasurable f
a : α
\u22a2 ∫ (a : α) in {a}, f a ∂μ = (μ {a}).toReal • f a
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
K : Type u_1
p : ℕ
inst✝² : Field K
inst✝¹ : ExpChar K p
inst✝ : PerfectRing K p
hp : Nat.Prime p
hchar✝ : CharP K p
f✝ : K[X]
hf : Irreducible f✝
\u22a2 f✝.Separable
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
K : Type u_1
p : ℕ
inst✝² : Field K
inst✝¹ : ExpChar K p
inst✝ : PerfectRing K p
hp : Nat.Prime p
hchar✝ : CharP K p
f✝ : K[X]
hf : Irreducible f✝
h : f✝.Separable
\u22a2 f✝.Separable
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
K : Type u_1
p : ℕ
inst✝² : Field K
inst✝¹ : ExpChar K p
inst✝ : PerfectRing K p
hp : Nat.Prime p
hchar✝ : CharP K p
g : K[X]
hf : Irreducible ((expand K p) g)
\u22a2 ((expand K p) g).Separable
-- Mathlib/ModelTheory/Definability.lean
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝¹ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s✝ : Set (α → M)
s : Set (β → M)
h : A.Definable L s
f : α ↪ β
inst✝ : Finite β
\u22a2 A.Definable L ((fun g => g ∘ ⇑f) '' s)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
n : ℕ
hn : n < (pmap f l h).length
\u22a2 (pmap f l h).get ⟨n, hn⟩ = f (l.get ⟨n, ⋯⟩) ⋯
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
n : ℕ
hn : n < (pmap f l h).length
\u22a2 (pmap f l h)[n] = f l[n] ⋯
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : L → R
m : M
\u22a2 m ∈ weightSpace M χ ↔ ∀ (x : L), ∃ k, (((toEnd R L M) x - χ x • 1) ^ k) m = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L✝ L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
L : G ≃L[𝕜] G'
f : E → F →L[𝕜] G
x : E
\u22a2 fderiv 𝕜 (fun x => (↑L).comp (f x)) x = (↑((ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 F).arrowCongr L)).comp (fderiv 𝕜 f x)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Nontrivial R
s : σ
\u22a2 X s ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Nontrivial R
s : σ
\u22a2 ∃ d, coeff d (X s) ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Nontrivial R
s : σ
\u22a2 coeff (Finsupp.single s 1) (X s) ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Derivative.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : R[X]
\u22a2 (↑f * ↑g).derivativeFun = ↑f * ↑(derivative g) + ↑g * ↑(derivative f)
-- Mathlib/Data/Prod/Lex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LE β
t c : Lex (α × β)
h : t ≤ c
\u22a2 (ofLex t).1 ≤ (ofLex c).1
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α : Sort u_2
inst✝ : DecidableEq α
β : Sort u_1
i j : α
f : α → β
\u22a2 f ∘ ⇑(swap i j) = update (update f j (f i)) i (f j)
-- Mathlib/Algebra/Jordan/Basic.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
\u22a2 ⁅L (a + b + c), L (a * a + a * b + a * c + (b * a + b * b + b * c) + (c * a + c * b + c * c))⁆ = ⁅L a + L b + L c, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + 2 • L (a * b) + 2 • L (c * a) + 2 • L (b * c)⁆
-- Mathlib/Algebra/Jordan/Basic.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
\u22a2 ⁅L a + L b + L c, L (a * a) + L (a * b) + L (a * c) + (L (b * a) + L (b * b) + L (b * c)) + (L (c * a) + L (c * b) + L (c * c))⁆ = ⁅L a + L b + L c, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + 2 • L (a * b) + 2 • L (c * a) + 2 • L (b * c)⁆
-- Mathlib/Algebra/Jordan/Basic.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
\u22a2 ⁅L a + L b + L c, L (a * a) + L (a * b) + L (a * c) + (L (a * b) + L (b * b) + L (b * c)) + (L (a * c) + L (b * c) + L (c * c))⁆ = ⁅L a + L b + L c, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + 2 • L (a * b) + 2 • L (a * c) + 2 • L (b * c)⁆
-- Mathlib/Algebra/Jordan/Basic.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
\u22a2 ⁅L a + L b + L c, L (a * a) + L (a * b) + L (a * c) + (L (a * b) + L (b * b) + L (b * c)) + (L (a * c) + L (b * c) + L (c * c))⁆ = ⁅L a + L b + L c, L (a * a) + L (b * b) + L (c * c) + (L (a * b) + L (a * b)) + (L (a * c) + L (a * c)) + (L (b * c) + L (b * c))⁆
-- Mathlib/Algebra/Jordan/Basic.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A
\u22a2 ⁅L a, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆ + ⁅L c, L (a * b)⁆) + (⁅L a, L (a * c)⁆ + ⁅L b, L (a * c)⁆ + ⁅L c, L (a * c)⁆) + (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆ + ⁅L c, L (a * b)⁆ + (⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (b * b)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆) + (⁅L a, L (b * c)⁆ + ⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆)) + (⁅L a, L (a * c)⁆ + ⁅L b, L (a * c)⁆ + ⁅L c, L (a * c)⁆ + (⁅L a, L (b * c)⁆ + ⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (c * c)⁆)) = ⁅L a, L (a * a)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L c, L (a * a)⁆ + (⁅L a, L (b * b)⁆ + ⁅L b, L (b * b)⁆ + ⁅L c, L (b * b)⁆) + (⁅L a, L (c * c)⁆ + ⁅L b, L (c * c)⁆ + ⁅L c, L (c * c)⁆) + (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆ + ⁅L c, L (a * b)⁆ + (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆ + ⁅L c, L (a * b)⁆)) + (⁅L a, L (a * c)⁆ + ⁅L b, L (a * c)⁆ + ⁅L c, L (a * c)⁆ + (⁅L a, L (a * c)⁆ + ⁅L b, L (a * c)⁆ + ⁅L c, L (a * c)⁆)) + (⁅L a, L (b * c)⁆ + ⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆ + (⁅L a, L (b * c)⁆ + ⁅L b, L (b * c)⁆ + ⁅L c, L (b * c)⁆))
-- Mathlib/Algebra/Ring/Int.lean
m n✝ n : ℤ
\u22a2 Even (n * (n - 1))
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing A'
inst✝⁴ : CommRing A''
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R A'
inst✝¹ : Algebra R A''
a b : R
η : Type u_9
inst✝ : Nonempty η
s : η → Set A
hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ (i : η), AlgebraicIndependent R Subtype.val
\u22a2 AlgebraicIndependent R Subtype.val
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing A'
inst✝⁴ : CommRing A''
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R A'
inst✝¹ : Algebra R A''
a b : R
η : Type u_9
inst✝ : Nonempty η
s : η → Set A
hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ (i : η), AlgebraicIndependent R Subtype.val
t : Set A
ht : t ⊆ ⋃ i, s i
ft : t.Finite
\u22a2 AlgebraicIndependent R Subtype.val
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing A'
inst✝⁴ : CommRing A''
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R A'
inst✝¹ : Algebra R A''
a b : R
η : Type u_9
inst✝ : Nonempty η
s : η → Set A
hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ (i : η), AlgebraicIndependent R Subtype.val
t : Set A
ht : t ⊆ ⋃ i, s i
ft : t.Finite
I : Set η
fi : I.Finite
hI : t ⊆ ⋃ i ∈ I, s i
\u22a2 AlgebraicIndependent R Subtype.val
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing A'
inst✝⁴ : CommRing A''
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R A'
inst✝¹ : Algebra R A''
a b : R
η : Type u_9
inst✝ : Nonempty η
s : η → Set A
hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ (i : η), AlgebraicIndependent R Subtype.val
t : Set A
ht : t ⊆ ⋃ i, s i
ft : t.Finite
I : Set η
fi : I.Finite
hI : t ⊆ ⋃ i ∈ I, s i
i : η
hi : ∀ i_1 ∈ fi.toFinset, s i_1 ⊆ s i
\u22a2 AlgebraicIndependent R Subtype.val
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : FaithfulSMul G α
inst✝ : FaithfulSMul M α
m : M
\u22a2 fixedBy α m = Set.univ ↔ m = 1
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : FaithfulSMul G α
inst✝ : FaithfulSMul M α
m : M
\u22a2 (∀ (x : α), x ∈ fixedBy α m) ↔ (fun x => m • x) = fun x => 1 • x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEMeasurableOrder.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∀ (p q : ℝ≥0), p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < ↑p} ⊆ u ∧ {x | ↑q < f x} ⊆ v ∧ μ (u ∩ v) = 0
\u22a2 AEMeasurable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEMeasurableOrder.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∀ (p q : ℝ≥0), p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < ↑p} ⊆ u ∧ {x | ↑q < f x} ⊆ v ∧ μ (u ∩ v) = 0
s : Set ℝ≥0∞
s_count : s.Countable
s_dense : Dense s
left✝ : 0 ∉ s
s_top : ⊤ ∉ s
\u22a2 AEMeasurable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEMeasurableOrder.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∀ (p q : ℝ≥0), p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < ↑p} ⊆ u ∧ {x | ↑q < f x} ⊆ v ∧ μ (u ∩ v) = 0
s : Set ℝ≥0∞
s_count : s.Countable
s_dense : Dense s
left✝ : 0 ∉ s
s_top : ⊤ ∉ s
I : ∀ x ∈ s, x ≠ ⊤
\u22a2 AEMeasurable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEMeasurableOrder.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∀ (p q : ℝ≥0), p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < ↑p} ⊆ u ∧ {x | ↑q < f x} ⊆ v ∧ μ (u ∩ v) = 0
s : Set ℝ≥0∞
s_count : s.Countable
s_dense : Dense s
left✝ : 0 ∉ s
s_top : ⊤ ∉ s
I : ∀ x ∈ s, x ≠ ⊤
\u22a2 ∀ p ∈ s, ∀ q ∈ s, p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < p} ⊆ u ∧ {x | q < f x} ⊆ v ∧ μ (u ∩ v) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEMeasurableOrder.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∀ (p q : ℝ≥0), p < q → ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < ↑p} ⊆ u ∧ {x | ↑q < f x} ⊆ v ∧ μ (u ∩ v) = 0
s : Set ℝ≥0∞
s_count : s.Countable
s_dense : Dense s
left✝ : 0 ∉ s
s_top : ⊤ ∉ s
I : ∀ x ∈ s, x ≠ ⊤
p : ℝ≥0
hp : ↑p ∈ s
q : ℝ≥0
hq : ↑q ∈ s
hpq : ↑p < ↑q
\u22a2 ∃ u v, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v ∧ {x | f x < ↑p} ⊆ u ∧ {x | ↑q < f x} ⊆ v ∧ μ (u ∩ v) = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
a : R
\u22a2 ↑n ≤ (C a * X ^ n).trailingDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
a : R
\u22a2 ↑n ≤ ((monomial n) a).trailingDegree
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f : β → α
s t : Set α
x y : α
f' : β → ↑(range f) := fun c => ⟨f c, ⋯⟩
\u22a2 (range f).WellFoundedOn r ↔ WellFounded (r on f)
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f : β → α
s t : Set α
x y : α
f' : β → ↑(range f) := fun c => ⟨f c, ⋯⟩
h : WellFounded (r on f)
\u22a2 ∀ (a : ↑(range f)), Acc (fun a b => r ↑a ↑b) a
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f : β → α
s t : Set α
x y : α
f' : β → ↑(range f) := fun c => ⟨f c, ⋯⟩
h : WellFounded (r on f)
c : β
\u22a2 Acc (fun a b => r ↑a ↑b) ⟨f c, ⋯⟩
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f : β → α
s t : Set α
x y : α
f' : β → ↑(range f) := fun c => ⟨f c, ⋯⟩
h : WellFounded (r on f)
c : β
\u22a2 ∀ {a : β} {b : ↑(range f)}, r ↑b ↑(f' a) → ∃ c, f' c = b
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f : β → α
s t : Set α
x y : α
f' : β → ↑(range f) := fun c => ⟨f c, ⋯⟩
h : WellFounded (r on f)
c : β
\u22a2 Acc (InvImage (fun a b => r ↑a ↑b) f') c
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a✝ b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : ∀ (a b : ℝ), IntervalIntegrable f μ a b
a : ℝ
\u22a2 Continuous fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ