ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R✝ S : Type u
M✝ : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ M'✝
inst✝³ : Module R✝ M₁
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
M' : Submodule R M
hN : M' ≤ torsion R M
a✝ : Nontrivial R
this : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
x✝ : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
s : Set M
hs✝ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
hs : ∀ (s_1 : Finset { x // x ∈ s }) (g : { x // x ∈ s } → R), ∑ i ∈ s_1, g i • ↑i = 0 → ∀ i ∈ s_1, g i = 0
t : Finset ↑s
g : ↑s → R
hg✝ : ∑ x ∈ t, g x • ↑x ∈ M'
i : ↑s
hi : i ∈ t
r : ↥(nonZeroDivisors R)
hg : ∑ x ∈ t, (↑r * g x) • ↑x = 0
\u22a2 g i = 0
-- Mathlib/Logic/Hydra.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsIrrefl α r
s : Multiset α
hs : ∀ a ∈ s, Acc (CutExpand r) {a}
\u22a2 Acc (CutExpand r) s
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
p : ι → Prop
q : ι → ι' → Prop
s : (x : ι) → (y : ι') → p x ∧ q x y → Set α
\u22a2 ⋂ x, ⋂ y, ⋂ (h : p x ∧ q x y), s x y h = ⋂ x, ⋂ (hx : p x), ⋂ y, ⋂ (hy : q x y), s x y ⋯
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
\u22a2 a * b⁻¹ = 1 ↔ a = b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
β : Type u_1
s : Finset β
f : n → β → α
i : n
\u22a2 (∑ x ∈ s, A.cramer fun j => f j x) i = A.cramer (fun j => ∑ x ∈ s, f j x) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
β : Type u_1
s : Finset β
f : n → β → α
i : n
\u22a2 (A.updateColumn i (∑ x ∈ s, fun j => f j x)).det = (A.updateColumn i fun j => ∑ x ∈ s, f j x).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
β : Type u_1
s : Finset β
f : n → β → α
i j x✝ : n
\u22a2 (∑ x ∈ s, fun j => f j x) j = ∑ x ∈ s, f j x
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/InitTail.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℤ
x : 𝕎 R
n : ℕ
\u22a2 init n (m • x) = init n (m • init n x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
C : VariableChange R
\u22a2 { u := (Units.map ↑φ) 1, r := φ 0, s := φ 0, t := φ 0 } = { u := 1, r := 0, s := 0, t := 0 }
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
i : ℕ
f : R[X]
m : M
n : ℕ
\u22a2 (f • (single R i) m) n = if i ≤ n then f.coeff (n - i) • m else 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
i : ℕ
m : M
n : ℕ
p q : R[X]
hp : (p • (single R i) m) n = if i ≤ n then p.coeff (n - i) • m else 0
hq : (q • (single R i) m) n = if i ≤ n then q.coeff (n - i) • m else 0
\u22a2 ((p + q) • (single R i) m) n = if i ≤ n then (p + q).coeff (n - i) • m else 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
i : ℕ
m : M
n n✝ : ℕ
a✝ : R
\u22a2 ((monomial n✝) a✝ • (single R i) m) n = if i ≤ n then ((monomial n✝) a✝).coeff (n - i) • m else 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
\u22a2 W.Φ (↑n + 1) = (X * W.preΨ' (n + 1) ^ 2 * if Even n then 1 else W.Ψ₂Sq) - W.preΨ' (n + 2) * W.preΨ' n * if Even n then W.Ψ₂Sq else 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
\u22a2 ((X * W.preΨ' (n + 1) ^ 2 * if Even (n + 1) then W.Ψ₂Sq else 1) - W.preΨ' (n + 1 + 1) * W.preΨ' n * if Even (↑n + 1) then 1 else W.Ψ₂Sq) = (X * W.preΨ' (n + 1) ^ 2 * if Even n then 1 else W.Ψ₂Sq) - W.preΨ' (n + 2) * W.preΨ' n * if Even n then W.Ψ₂Sq else 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
inst✝ : MeasurableSpace β
μb : Measure β
g : β →ₘ[μb] E
hg : g ∈ Lp E p μb
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μ μb
\u22a2 g.compMeasurePreserving f hf ∈ Lp E p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
inst✝ : MeasurableSpace β
μb : Measure β
g : β →ₘ[μb] E
hg : eLpNorm (↑g) p μb < ⊤
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μ μb
\u22a2 eLpNorm (↑(g.compMeasurePreserving f hf)) p μ < ⊤
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ
\u22a2 sinh (x - y) = sinh x * cosh y - cosh x * sinh y
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
c : E
hd : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
\u22a2 ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 c, ‖f y‖ = ‖f c‖
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
c : E
hd : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ closedBall c r → DifferentiableAt ℂ f x ∧ (norm ∘ f) x ≤ (norm ∘ f) c
\u22a2 ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 c, ‖f y‖ = ‖f c‖
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
\u22a2 a / b < 0 ↔ 0 < a ∧ b < 0 ∨ a < 0 ∧ 0 < b
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y : T
f : X ⟶ Y
\u22a2 map f ⋙ forget Y = forget X
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y : T
f : X ⟶ Y
\u22a2 ∀ (X_1 : Over X), (map f ⋙ forget Y).obj X_1 = (forget X).obj X_1
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y : T
f : X ⟶ Y
\u22a2 autoParam (∀ (X_1 Y_1 : Over X) (f_1 : X_1 ⟶ Y_1), (map f ⋙ forget Y).map f_1 = eqToHom ⋯ ≫ (forget X).map f_1 ≫ eqToHom ⋯) _auto✝
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin b
\u22a2 Icc a (pred b) = Ico a b
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g✝ : γ → α
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
g : γ → ℝ≥0∞
hg : Measurable g
\u22a2 ∫⁻ (c : γ), g c ∂κ.snd a = ∫⁻ (bc : β × γ), g bc.2 ∂κ a
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
\u22a2 XIdeal W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (XYIdeal W x₁ (C y₁) * XYIdeal W x₂ (C y₂)) = YIdeal W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * XYIdeal W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) (C (W.addY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
sup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c
\u22a2 XIdeal W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (XYIdeal W x₁ (C y₁) * XYIdeal W x₂ (C y₂)) = YIdeal W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * XYIdeal W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) (C (W.addY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
sup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c
\u22a2 span {XClass W x₁ * XClass W x₂, XClass W x₁ * YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)), YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * XClass W x₂, YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} * span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} = YIdeal W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (span {(mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔ span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))})
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
sup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c
\u22a2 span {XClass W x₁ * XClass W x₂ * XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔ span {YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔ span {XClass W x₁ * YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔ span {YClass W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * XClass W x₂ * XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} = YIdeal W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (span {(mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔ span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))})
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
sup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c
\u22a2 span {(mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) * (mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔ span {(mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) * (mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) * XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔ span {XClass W x₁ * (mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) * XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔ span {(mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) * XClass W x₂ * XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} = YIdeal W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (span {(mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔ span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))})
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
sup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c
\u22a2 span {(mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} * (span {(mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔ span {(mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} * span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔ span {XClass W x₁} * span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} ⊔ span {XClass W x₂} * span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))}) = YIdeal W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (span {(mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔ span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))})
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
sup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c
\u22a2 span {(mk W) (Y - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} * (span {(mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔ (span {XClass W x₁} ⊔ (span {XClass W x₂} ⊔ span {(mk W) (Y - W.negPolynomial)})) * span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))}) = YIdeal W (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (span {(mk W) (W.negPolynomial - C (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} ⊔ span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))})
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
sup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c
\u22a2 (span {XClass W x₁} ⊔ (span {XClass W x₂} ⊔ span {(mk W) (Y - W.negPolynomial)})) * span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))} = span {XClass W (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))}
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
sup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c
\u22a2 span {XClass W x₁} ⊔ (span {XClass W x₂} ⊔ span {(mk W) (Y - W.negPolynomial)}) = ⊤
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
sup_rw : ∀ (a b c d : Ideal W.CoordinateRing), a ⊔ (b ⊔ (c ⊔ d)) = a ⊔ d ⊔ b ⊔ c
\u22a2 ∃ x, (∃ a a_1 a_2, a_2 * (Y - W.negPolynomial) = x + a * C (X - C x₁) + a_1 * C (X - C x₂)) ∧ (AdjoinRoot.mk W.polynomial) x = 1
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
A : Fin n → Fq[X]
\u22a2 ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ → ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
A : Fin n → Fq[X]
t : Fin n → Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
ht : ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
\u22a2 ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ → ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f✝ g✝ : α → ℝ
s✝ : Set α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
f_mble : AEMeasurable f μ
g_mble : AEMeasurable g μ
s : Set α
s_mble : NullMeasurableSet s μ
\u22a2 NullMeasurableSet {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ Ioo (f p.1) (g p.1)} (μ.prod volume)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f✝ g✝ : α → ℝ
s✝ : Set α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
f_mble : AEMeasurable f μ
g_mble : AEMeasurable g μ
s : Set α
s_mble : NullMeasurableSet s μ
\u22a2 NullMeasurableSet (fun p => f p.1 < p.2) (μ.prod volume)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f✝ g✝ : α → ℝ
s✝ : Set α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
f_mble : AEMeasurable f μ
g_mble : AEMeasurable g μ
s : Set α
s_mble : NullMeasurableSet s μ
\u22a2 NullMeasurableSet (fun p => p.2 < g p.1) (μ.prod volume)
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g : Filter β
a : α
f : Filter β
\u22a2 pure a ×ˢ f = map (Prod.mk a) f
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
x : M
hx : x ∈ s
\u22a2 x ∈ support ↑(fs.toFun (fs.ind x hx))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Ioi x)
\u22a2 Measurable f
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Ioi x)
\u22a2 inst✝⁸ = MeasurableSpace.generateFrom ?convert_2
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Ioi x)
\u22a2 Set (Set α)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Ioi x)
\u22a2 ∀ t ∈ ?convert_2, MeasurableSet (f ⁻¹' t)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
\u22a2 re ⟪x, x⟫_𝕜 ≤ 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Hermitian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝⁴ : NonUnitalSemiring α
inst✝³ : StarRing α
inst✝² : NonUnitalSemiring β
inst✝¹ : StarRing β
inst✝ : Fintype n
A : Matrix m n α
\u22a2 (A * Aᴴ).IsHermitian
-- Mathlib/Analysis/Complex/Polynomial/Basic.lean
p : ℝ[X]
z : ℂ
h0 : (aeval z) p = 0
hz : z.im ≠ 0
\u22a2 (X - C ((starRingEnd ℂ) z)) * (X - C z) ∣ map (algebraMap ℝ ℂ) p
-- Mathlib/Analysis/Complex/Polynomial/Basic.lean
p : ℝ[X]
z : ℂ
h0 : (aeval z) p = 0
hz : z.im ≠ 0
\u22a2 IsCoprime (X - C ((starRingEnd ℂ) z)) (X - C z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Polynomial/Basic.lean
p : ℝ[X]
z : ℂ
h0 : (aeval z) p = 0
hz : z.im ≠ 0
\u22a2 X - C ((starRingEnd ℂ) z) ∣ map (algebraMap ℝ ℂ) p
-- Mathlib/Analysis/Complex/Polynomial/Basic.lean
p : ℝ[X]
z : ℂ
h0 : (aeval z) p = 0
hz : z.im ≠ 0
\u22a2 X - C z ∣ map (algebraMap ℝ ℂ) p
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
h : x = yᶜ
\u22a2 IsCompl yᶜ y
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
s t : Set α
l : Filter α
\u22a2 s ∩ t =ᶠ[l] t ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, x ∈ t → x ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a la la'
inst✝ : FTCFilter b lb lb'
hab : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la' volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' volume
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
\u22a2 (fun t => ((∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x) - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x) - ((vb t - ub t) • cb - (va t - ua t) • ca)) =o[lt] fun t => ‖va t - ua t‖ + ‖vb t - ub t‖
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l₂ : List α
h : a ∈ l₂
l₁ : List α
\u22a2 (a :: l₁).diff l₂ = l₁.diff (l₂.erase a)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
G : A ⥤ C
H : B ⥤ D
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
L₃ : C ⥤ D
R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
β : L₃ ⟶ L₂
b : B
\u22a2 ((mateEquiv adj₁ adj₃) (leftAdjointSquareConjugate.vcomp α β)).app b = (rightAdjointSquareConjugate.vcomp ((mateEquiv adj₁ adj₂) α) ((conjugateEquiv adj₂ adj₃) β)).app b
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
G : A ⥤ C
H : B ⥤ D
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
L₃ : C ⥤ D
R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
β : L₃ ⟶ L₂
b : B
vcomp : (mateEquiv adj₁ adj₃) (leftAdjointSquare.vcomp α (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv)) = rightAdjointSquare.vcomp ((mateEquiv adj₁ adj₂) α) ((mateEquiv adj₂ adj₃) (L₃.leftUnitor.hom ≫ β ≫ L₂.rightUnitor.inv))
\u22a2 ((mateEquiv adj₁ adj₃) (leftAdjointSquareConjugate.vcomp α β)).app b = (rightAdjointSquareConjugate.vcomp ((mateEquiv adj₁ adj₂) α) ((conjugateEquiv adj₂ adj₃) β)).app b