ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/CauchyDavenport.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x✝ y x : Finset α × Finset α
hs : x.1.Nonempty
ht : x.2.Nonempty
\u22a2 ∀ y ∈ {x | x.1.Nonempty ∧ x.2.Nonempty}, (∀ z ∈ {x | x.1.Nonempty ∧ x.2.Nonempty}, DevosMulRel z y → (fun x => min (minOrder α) ↑(x.1.card + x.2.card - 1) ≤ ↑(x.1 * x.2).card) z) → (fun x => min (minOrder α) ↑(x.1.card + x.2.card - 1) ≤ ↑(x.1 * x.2).card) y
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/CauchyDavenport.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : (s, t).1.Nonempty
ht : (s, t).2.Nonempty
ih : ∀ z ∈ {x | x.1.Nonempty ∧ x.2.Nonempty}, DevosMulRel z (s, t) → (fun x => min (minOrder α) ↑(x.1.card + x.2.card - 1) ≤ ↑(x.1 * x.2).card) z
\u22a2 min (minOrder α) ↑((s, t).1.card + (s, t).2.card - 1) ≤ ↑((s, t).1 * (s, t).2).card
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/CauchyDavenport.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
\u22a2 minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/CauchyDavenport.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
hts : t.card < s.card
\u22a2 minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/CauchyDavenport.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
hst : s.card ≤ t.card
\u22a2 minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/CauchyDavenport.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
t : Finset α
ht : t.Nonempty
a : α
hs : {a}.Nonempty
ih : ∀ (a_1 b : Finset α), a_1.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a_1, b) ({a}, t) → minOrder α ≤ ↑(a_1 * b).card ∨ a_1.card + b.card ≤ (a_1 * b).card + 1
hst : {a}.card ≤ t.card
\u22a2 minOrder α ≤ ↑({a} * t).card ∨ {a}.card + t.card ≤ ({a} * t).card + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/CauchyDavenport.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
hst : s.card ≤ t.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
\u22a2 minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/CauchyDavenport.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
hst : s.card ≤ t.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
g : α
hg : g ≠ 1
hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty
\u22a2 minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/CauchyDavenport.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
hst : s.card ≤ t.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
g : α
hg : g ≠ 1
hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty
hsg : op g • s = s
\u22a2 minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/CauchyDavenport.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
hst : s.card ≤ t.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
g : α
hg : g ≠ 1
hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty
hsg : op g • s ≠ s
\u22a2 minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/CauchyDavenport.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
hst : s.card ≤ t.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
g : α
hg : g ≠ 1
hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty
hsg : (s ∩ op g • s).card < s.card
\u22a2 minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/CauchyDavenport.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
hst : s.card ≤ t.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
g : α
hg : g ≠ 1
hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty
hsg : (s ∩ op g • s).card < s.card
aux1 : ((mulETransformLeft g (s, t)).1 * (mulETransformLeft g (s, t)).2).card ≤ ((s, t).1 * (s, t).2).card
\u22a2 minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/CauchyDavenport.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
hst : s.card ≤ t.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
g : α
hg : g ≠ 1
hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty
hsg : (s ∩ op g • s).card < s.card
aux1 : ((mulETransformLeft g (s, t)).1 * (mulETransformLeft g (s, t)).2).card ≤ ((s, t).1 * (s, t).2).card
aux2 : ((mulETransformRight g (s, t)).1 * (mulETransformRight g (s, t)).2).card ≤ ((s, t).1 * (s, t).2).card
\u22a2 minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/CauchyDavenport.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
hst : s.card ≤ t.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
g : α
hg : g ≠ 1
hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty
hsg : (s ∩ op g • s).card < s.card
aux1 : ((mulETransformLeft g (s, t)).1 * (mulETransformLeft g (s, t)).2).card ≤ ((s, t).1 * (s, t).2).card
aux2 : ((mulETransformRight g (s, t)).1 * (mulETransformRight g (s, t)).2).card ≤ ((s, t).1 * (s, t).2).card
hgt : Disjoint t (g⁻¹ • t)
\u22a2 minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/CauchyDavenport.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
hst : s.card ≤ t.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
g : α
hg : g ≠ 1
hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty
hsg : (s ∩ op g • s).card < s.card
aux1 : ((mulETransformLeft g (s, t)).1 * (mulETransformLeft g (s, t)).2).card ≤ ((s, t).1 * (s, t).2).card
aux2 : ((mulETransformRight g (s, t)).1 * (mulETransformRight g (s, t)).2).card ≤ ((s, t).1 * (s, t).2).card
hgt : (t ∩ g⁻¹ • t).Nonempty
\u22a2 minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/CauchyDavenport.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
hst : s.card ≤ t.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
g : α
hg : g ≠ 1
hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty
hsg : (s ∩ op g • s).card < s.card
aux1 : ((mulETransformLeft g (s, t)).1 * (mulETransformLeft g (s, t)).2).card ≤ ((s, t).1 * (s, t).2).card
aux2 : ((mulETransformRight g (s, t)).1 * (mulETransformRight g (s, t)).2).card ≤ ((s, t).1 * (s, t).2).card
hgt : (t ∩ g⁻¹ • t).Nonempty
hstg : (s, t).1.card + (s, t).2.card ≤ (mulETransformLeft g (s, t)).1.card + (mulETransformLeft g (s, t)).2.card
\u22a2 minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/CauchyDavenport.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
ih : ∀ (a b : Finset α), a.Nonempty → b.Nonempty → DevosMulRel (a, b) (s, t) → minOrder α ≤ ↑(a * b).card ∨ a.card + b.card ≤ (a * b).card + 1
hst : s.card ≤ t.card
a : α
ha : a ∈ ↑s
b : α
hb : b ∈ ↑s
hab : a ≠ b
g : α
hg : g ≠ 1
hgs : (s ∩ op g • s).Nonempty
hsg : (s ∩ op g • s).card < s.card
aux1 : ((mulETransformLeft g (s, t)).1 * (mulETransformLeft g (s, t)).2).card ≤ ((s, t).1 * (s, t).2).card
aux2 : ((mulETransformRight g (s, t)).1 * (mulETransformRight g (s, t)).2).card ≤ ((s, t).1 * (s, t).2).card
hgt : (t ∩ g⁻¹ • t).Nonempty
hstg : (s, t).1.card + (s, t).2.card < (mulETransformRight g (s, t)).1.card + (mulETransformRight g (s, t)).2.card
\u22a2 minOrder α ≤ ↑(s * t).card ∨ s.card + t.card ≤ (s * t).card + 1
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
h : minkowskiBound K 1 < volume (convexBodyLT K f)
\u22a2 ∃ a, a ≠ 0 ∧ ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑a < ↑(f w)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
h : minkowskiBound K 1 < volume (convexBodyLT K f)
w✝ : K
h_mem : w✝ ∈ ↑1
h_nz : w✝ ≠ 0
h_bd : ∀ (w : InfinitePlace K), w w✝ < ↑(f w)
\u22a2 ∃ a, a ≠ 0 ∧ ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑a < ↑(f w)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
h : minkowskiBound K 1 < volume (convexBodyLT K f)
a : 𝓞 K
h_mem : (algebraMap (𝓞 K) K) a ∈ ↑1
h_nz : (algebraMap (𝓞 K) K) a ≠ 0
h_bd : ∀ (w : InfinitePlace K), w ((algebraMap (𝓞 K) K) a) < ↑(f w)
\u22a2 ∃ a, a ≠ 0 ∧ ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑a < ↑(f w)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q
\u22a2 (z₁.comp 0 h).v p q hpq = v 0 p q hpq
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y✝ z x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
\u22a2 ↑‖x ^ y‖₊ = ↑(‖x‖₊ ^ y)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w a✝ : V
\u22a2 a✝ ∈ (G.neighborFinset v)ᶜ \ {v} ∩ ((G.neighborFinset w)ᶜ \ {w}) ↔ a✝ ∈ ((G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ) \ ({w} ∪ {v})
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w a✝ : V
\u22a2 a✝ ∉ (G.neighborFinset v)ᶜ \ {v} ∩ ((G.neighborFinset w)ᶜ \ {w}) ↔ a✝ ∉ ((G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ) \ ({w} ∪ {v})
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Group G✝
inst✝³ : TopologicalGroup G✝
inst✝² : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalSpace G
hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hinv : Tendsto (fun x => x⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
hconj : ∀ (x₀ : G), Tendsto (fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
\u22a2 TopologicalGroup G
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Group G✝
inst✝³ : TopologicalGroup G✝
inst✝² : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalSpace G
hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hinv : Tendsto (fun x => x⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
hconj : ∀ (x₀ : G), Tendsto (fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
x₀ : G
\u22a2 𝓝 x₀ = map (fun x => x * x₀) (𝓝 1)
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
\u22a2 FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S ^ 3 * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₁ S) * λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) + FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * λ * ↑η + FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₃ S) * λ * ↑η ^ 2 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
\u22a2 S.a + S.b + (S.a + ↑η * S.b) * ↑η + (S.a + (-↑η - 1) * S.b) * (-↑η - 1) = 0
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
\u22a2 Fintype.card (ClassGroup R) = 1
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
\u22a2 ∃ x, ∀ (y : ClassGroup R), y = x
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
\u22a2 ∀ (y : ClassGroup R), y = 1
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
\u22a2 ClassGroup.mk I = 1
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s t : Set α
f : α → α
n : ℕ
\u22a2 image f^[n] = (image f)^[n]
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup N✝
N : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
f : NormedAddGroupHom M N
hf : ∀ s ∈ S, f s = 0
fb : f.NormNoninc
x : M ⧸ S
\u22a2 ‖(lift S f hf) x‖ ≤ ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup N✝
N : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
f : NormedAddGroupHom M N
hf : ∀ s ∈ S, f s = 0
fb : f.NormNoninc
x : M ⧸ S
fb' : ‖f‖ ≤ ↑1
\u22a2 ‖(lift S f hf) x‖ ≤ ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BanachSteinhaus.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
ι : Type u_5
inst✝ : CompleteSpace E
g : ι → E →SL[σ₁₂] F
h : ∀ (x : E), ⨆ i, ↑‖(g i) x‖₊ < ⊤
\u22a2 ⨆ i, ↑‖g i‖₊ < ⊤
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BanachSteinhaus.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
ι : Type u_5
inst✝ : CompleteSpace E
g : ι → E →SL[σ₁₂] F
h : ∀ (x : E), ⨆ i, ↑‖(g i) x‖₊ < ⊤
\u22a2 UniformEquicontinuous (DFunLike.coe ∘ g)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BanachSteinhaus.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
ι : Type u_5
inst✝ : CompleteSpace E
g : ι → E →SL[σ₁₂] F
h : ∀ (x : E), ⨆ i, ↑‖(g i) x‖₊ < ⊤
x✝ : Fin 1
x : E
\u22a2 BddAbove (range fun i => (normSeminorm 𝕜₂ F) ((g i) x))
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
eq : #α = #β
\u22a2 #(α ≃ β) = 2 ^ #α
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
\u22a2 (T n).degree = (C 1 * T n).degree
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Polynomial.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
\u22a2 (D R R[X]) P = derivative P • (D R R[X]) X
-- Mathlib/Order/Interval/Set/ProjIcc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x : α
f : ↑(Ici a) → β
\u22a2 range (IciExtend f) = range f
-- Mathlib/Data/Finsupp/Order.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
f✝ g✝ f g : ι →₀ α
h : f ≤ g
a : ι
ha : a ∈ f.support
\u22a2 a ∈ g.support
-- Mathlib/Data/Finsupp/Order.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
f✝ g✝ f g : ι →₀ α
h : f ≤ g
a : ι
ha : 0 < f a
\u22a2 0 < g a
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝³ : Group α
inst✝² : LT α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a✝ b✝ c d a b : α
\u22a2 a / b < a ↔ 1 < b
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.135628, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
A : C
x₃ : A ⟶ S.X₃.X i
hx₃ : x₃ ≫ S.X₃.d i j = 0
x₂ : A ⟶ S.X₂.X i
hx₂ : x₂ ≫ S.g.f i = x₃
x₁ : A ⟶ S.X₁.X j
hx₁ : x₁ ≫ S.f.f j = x₂ ≫ S.X₂.d i j
k : ι
hk : c.next j = k
\u22a2 x₁ ≫ S.X₁.d j k = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.135628, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
A : C
x₃ : A ⟶ S.X₃.X i
hx₃ : x₃ ≫ S.X₃.d i j = 0
x₂ : A ⟶ S.X₂.X i
hx₂ : x₂ ≫ S.g.f i = x₃
x₁ : A ⟶ S.X₁.X j
hx₁ : x₁ ≫ S.f.f j = x₂ ≫ S.X₂.d i j
k : ι
hk : c.next j = k
this : Mono S.f
\u22a2 x₁ ≫ S.X₁.d j k = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
A : C
x₃ : A ⟶ S.X₃.X i
hx₃ : x₃ ≫ S.X₃.d i j = 0
x₂ : A ⟶ S.X₂.X i
hx₂ : x₂ ≫ S.g.f i = x₃
x₁ : A ⟶ S.X₁.X j
hx₁ : x₁ ≫ S.f.f j = x₂ ≫ S.X₂.d i j
k : ι
hk : c.next j = k
\u22a2 S.X₃.liftCycles x₃ j ⋯ hx₃ ≫ S.X₃.homologyπ i ≫ hS.δ i j hij = S.X₁.liftCycles x₁ k hk ⋯ ≫ S.X₁.homologyπ j
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α
inst✝ : f.NeBot
a : α
\u22a2 a \ limsup u f = liminf (fun b => a \ u b) f
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α
inst✝ : f.NeBot
a : α
\u22a2 (a \ limsup u f)ᶜ = (liminf (fun b => a \ u b) f)ᶜ
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Continuum.lean
c : Cardinal.{u}
\u22a2 𝔠 ≤ lift.{v, u} c ↔ 𝔠 ≤ c
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hBX : M.Basis (B ∩ X) X
\u22a2 M✶.Basis (M.E \ B ∩ (M.E \ X)) (M.E \ X)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hBX : M.Basis (B ∩ X) X
\u22a2 M✶.Indep (M.E \ B ∩ (M.E \ X))
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hBX : M.Basis (B ∩ X) X
e : α
he : e ∈ (M.E \ X) \ (M.E \ B ∩ (M.E \ X))
\u22a2 M✶.Dep (insert e (M.E \ B ∩ (M.E \ X)))
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hBX : M.Basis (B ∩ X) X
e : α
he : (e ∈ M.E ∧ e ∉ X) ∧ e ∈ B
\u22a2 M✶.Dep (insert e (M.E \ B ∩ (M.E \ X)))
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hBX : M.Basis (B ∩ X) X
e : α
he : (e ∈ M.E ∧ e ∉ X) ∧ e ∈ B
\u22a2 ∀ (B_1 : Set α), M.Base B_1 → (insert e (M.E \ B ∩ (M.E \ X)) ∩ B_1).Nonempty
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hBX : M.Basis (B ∩ X) X
e : α
he : (e ∈ M.E ∧ e ∉ X) ∧ e ∈ B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hem : ¬(insert e (M.E \ B ∩ (M.E \ X)) ∩ B').Nonempty
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hBX : M.Basis (B ∩ X) X
e : α
he : (e ∈ M.E ∧ e ∉ X) ∧ e ∈ B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hem : B' ⊆ B ∪ X ∧ e ∉ B'
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hBX : M.Basis (B ∩ X) X
e : α
he : (e ∈ M.E ∧ e ∉ X) ∧ e ∈ B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hem : B' ⊆ B ∪ X ∧ e ∉ B'
f : α
hfb : f ∈ B' \ B
hBf : M.Base (insert f (B \ {e}))
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : M.Base B
hBX : M.Basis (B ∩ X) X
e : α
he : (e ∈ M.E ∧ e ∉ X) ∧ e ∈ B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hem : B' ⊆ B ∪ X ∧ e ∉ B'
f : α
hfb : f ∈ B' \ B
hBf : M.Base (insert f (B \ {e}))
hi : M.Indep (insert f (B ∩ X))
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f : R[X]
k l i : ℕ
\u22a2 ((hasseDeriv k ∘ₗ hasseDeriv l) ∘ₗ monomial i) 1 = (((k + l).choose k • hasseDeriv (k + l)) ∘ₗ monomial i) 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f : R[X]
k l i : ℕ
\u22a2 (monomial (i - (k + l))) (↑((i - l).choose k) * ↑(i.choose l)) = (monomial (i - (k + l))) ((k + l).choose k • ↑(i.choose (k + l)))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f : R[X]
k l i : ℕ
\u22a2 (monomial (i - (k + l))) ↑((i - l).choose k * i.choose l) = (monomial (i - (k + l))) (↑((k + l).choose k) * ↑(i.choose (k + l)))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f : R[X]
k l i : ℕ
\u22a2 (monomial (i - (k + l))) ↑((i - l).choose k * i.choose l) = (monomial (i - (k + l))) ↑((k + l).choose k * i.choose (k + l))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f : R[X]
k l i : ℕ
hikl : k + l ≤ i
\u22a2 (i - l).choose k * i.choose l = (k + l).choose k * i.choose (k + l)