ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
n : ℕ
\u22a2 ∑ x ∈ range (n + 1), (map f) ((monomial (single x (p ^ (n - x)))) (↑p ^ x)) = ∑ i ∈ range (n + 1), (monomial (single i (p ^ (n - i)))) (↑p ^ i)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
n i : ℕ
x✝ : i ∈ range (n + 1)
\u22a2 (map f) ((monomial (single i (p ^ (n - i)))) (↑p ^ i)) = (monomial (single i (p ^ (n - i)))) (↑p ^ i)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Unitization.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : SetLike S R
hSR : NonUnitalSubringClass S R
s : S
\u22a2 (unitization s).range = subalgebraOfSubring (Subring.closure ↑s)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Unitization.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : SetLike S R
hSR : NonUnitalSubringClass S R
s : S
this : SMulMemClass S ℤ R
\u22a2 (unitization s).range = subalgebraOfSubring (Subring.closure ↑s)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
\u22a2 f.eraseLead.support = f.support.erase f.natDegree
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
n : ℕ+
\u22a2 1 ∣ n
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
p q : R[X]
hpq : p • 1 + q • (mk W) Y = 0
\u22a2 p = 0 ∧ q = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
p q : R[X]
hpq : p • 1 + q • (mk W) Y = 0
h : ∑ i : Fin 2, ![p, q] i • (CoordinateRing.basis W) i = 0 → ∀ (i : Fin 2), ![p, q] i = 0
\u22a2 p = 0 ∧ q = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
p q : R[X]
hpq : p • 1 + q • (mk W) Y = 0
h : ![p, q] 0 • 1 + ![p, q] (Fin.succ 0) • (mk W) Y = 0 → ∀ (i : Fin 2), ![p, q] i = 0
\u22a2 p = 0 ∧ q = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f✝ : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
f : X ⟶ Z
\u22a2 𝟙 X ≫ f = f ≫ 𝟙 Z
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
S : ι → Submonoid M
i : ι
\u22a2 ∀ {x : M}, x ∈ S i → x ∈ iSup S
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
S : ι → Submonoid M
i : ι
\u22a2 S i ≤ iSup S
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
p : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := X.toΓSpecFun x
S : CommRingCat := (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).presheaf.stalk p
t : ↑S
ht : IsUnit ((PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) t)
\u22a2 IsUnit t
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
p : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := X.toΓSpecFun x
S : CommRingCat := (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).presheaf.stalk p
t : ↑S
ht : IsUnit ((PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) t)
r : ↑(Γ.obj (op X))
s : ↥p.asIdeal.primeCompl
he : t * (algebraMap ↑(Γ.obj (op X)) ↑S) ↑(r, s).2 = (algebraMap ↑(Γ.obj (op X)) ↑S) (r, s).1
\u22a2 IsUnit t
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
p : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := X.toΓSpecFun x
S : CommRingCat := (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).presheaf.stalk p
t : ↑S
ht : IsUnit ((PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) t)
r : ↑(Γ.obj (op X))
s : ↥p.asIdeal.primeCompl
t' : ↑S := (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) ↑s
he : t * t' = (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) r
\u22a2 IsUnit t
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
p : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := X.toΓSpecFun x
S : CommRingCat := (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).presheaf.stalk p
t : ↑S
ht : IsUnit ((PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) t)
r : ↑(Γ.obj (op X))
s : ↥p.asIdeal.primeCompl
t' : ↑S := (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) ↑s
he : t * t' = (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) r
\u22a2 IsUnit (t * t')
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
p : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := X.toΓSpecFun x
S : CommRingCat := (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).presheaf.stalk p
t : ↑S
ht : IsUnit ((PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) t)
r : ↑(Γ.obj (op X))
s : ↥p.asIdeal.primeCompl
t' : ↑S := (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) ↑s
he : t * t' = (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) r
\u22a2 IsUnit ((algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) r)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
p : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := X.toΓSpecFun x
S : CommRingCat := (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).presheaf.stalk p
t : ↑S
ht : IsUnit ((PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) t)
r : ↑(Γ.obj (op X))
s : ↥p.asIdeal.primeCompl
t' : ↑S := (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) ↑s
he : t * t' = (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) r
\u22a2 r ∈ p.asIdeal.primeCompl
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
p : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := X.toΓSpecFun x
S : CommRingCat := (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).presheaf.stalk p
t : ↑S
ht : IsUnit ((PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) t)
r : ↑(Γ.obj (op X))
s : ↥p.asIdeal.primeCompl
t' : ↑S := (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) ↑s
he : t * t' = (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) r
\u22a2 IsUnit ((X.presheaf.Γgerm x) r)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
p : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := X.toΓSpecFun x
S : CommRingCat := (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).presheaf.stalk p
t : ↑S
ht : IsUnit ((PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) t)
r : ↑(Γ.obj (op X))
s : ↥p.asIdeal.primeCompl
t' : ↑S := (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) ↑s
he : t * t' = (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) r
\u22a2 IsUnit ((toStalk (↑(unop (op (Γ.obj (op X))))) (X.toΓSpecSheafedSpace.base x) ≫ PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) r)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
p : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := X.toΓSpecFun x
S : CommRingCat := (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).presheaf.stalk p
t : ↑S
ht : IsUnit ((PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) t)
r : ↑(Γ.obj (op X))
s : ↥p.asIdeal.primeCompl
t' : ↑S := (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) ↑s
he : t * t' = (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) r
\u22a2 IsUnit ((PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) (t * t'))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r✝ : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
p : PrimeSpectrum ↑(Γ.obj (op X)) := X.toΓSpecFun x
S : CommRingCat := (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).presheaf.stalk p
t : ↑S
ht : IsUnit ((PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) t)
r : ↑(Γ.obj (op X))
s : ↥p.asIdeal.primeCompl
t' : ↑S := (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) ↑s
he : t * t' = (algebraMap ↑(X.presheaf.obj (op ⊤)) ↑S) r
\u22a2 IsUnit ((PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) t * (PresheafedSpace.Hom.stalkMap X.toΓSpecSheafedSpace x) t')
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
\u22a2 closure E ⊆ thickening δ E
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
\u22a2 cthickening 0 E ⊆ thickening δ E
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g✝ s t : ι → α
a b : α
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : (i : ι) → p i → α
g : (i : ι) → ¬p i → α
\u22a2 (⨆ i, if h : p i then f i h else g i h) = (⨆ i, ⨆ (h : p i), f i h) ⊔ ⨆ i, ⨆ (h : ¬p i), g i h
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g✝ s t : ι → α
a b : α
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : (i : ι) → p i → α
g : (i : ι) → ¬p i → α
\u22a2 (⨆ i, if h : p i then f i h else g i h) = ⨆ x, (⨆ (h : p x), f x h) ⊔ ⨆ (h : ¬p x), g x h
-- Mathlib/Condensed/TopCatAdjunction.lean
X✝ X : CondensedSet
S : CompHausᵒᵖ
x : X.val.obj S
\u22a2 ∀ (i : (T : CompHaus) × X.val.obj (Opposite.op T)), Continuous fun a => CondensedSet.coinducingCoprod X ⟨i, a⟩
-- Mathlib/Condensed/TopCatAdjunction.lean
X✝ X : CondensedSet
S : CompHausᵒᵖ
x : X.val.obj S
\u22a2 Continuous (CondensedSet.coinducingCoprod X)
-- Mathlib/Condensed/TopCatAdjunction.lean
X✝ X : CondensedSet
x✝² x✝¹ : CompHausᵒᵖ
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
a✝ : X.val.obj x✝²
\u22a2 (X.val.map x✝ ≫ (fun S x => { toFun := fun s => X.val.map (CompHaus.const (Opposite.unop S) s).op x, continuous_toFun := ⋯ }) x✝¹) a✝ = ((fun S x => { toFun := fun s => X.val.map (CompHaus.const (Opposite.unop S) s).op x, continuous_toFun := ⋯ }) x✝² ≫ X.toTopCat.toCondensedSet.val.map x✝) a✝
-- Mathlib/Condensed/TopCatAdjunction.lean
X✝ X : CondensedSet
x✝² x✝¹ : CompHausᵒᵖ
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
a✝ : X.val.obj x✝²
\u22a2 { toFun := fun s => X.val.map (x✝ ≫ (CompHaus.const (Opposite.unop x✝¹) s).op) a✝, continuous_toFun := ⋯ } = { toFun := fun s => X.val.map (CompHaus.const (Opposite.unop x✝²) s).op a✝, continuous_toFun := ⋯ }.comp x✝.unop
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : CommSemiring S
inst✝¹² : Algebra R S
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : Module S N
inst✝⁸ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : AddCommMonoid Q✝
inst✝⁴ : Module S Q✝
h : IsBaseChange S f
Q : Type (max v₁ v₂ v₃)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module S Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
\u22a2 ∃! g', ↑R g' ∘ₗ f = g
-- Mathlib/Logic/Encodable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Encodable α
n : ℕ
\u22a2 decode₂ α n ≠ none ↔ n ∈ Set.range encode
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
R : Type
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
d : ℤ
r : { r // r * r = ↑d }
hd : ∀ (n : ℤ), d ≠ n * n
a : ℤ√d
ha : (lift r) a = 0
\u22a2 a = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
R : Type
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
d : ℤ
r : { r // r * r = ↑d }
hd : ∀ (n : ℤ), d ≠ n * n
a : ℤ√d
ha : (lift r) a = 0
h_inj : Function.Injective Int.cast
\u22a2 a = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
R : Type
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
d : ℤ
r : { r // r * r = ↑d }
hd : ∀ (n : ℤ), d ≠ n * n
a : ℤ√d
ha : (lift r) a = 0
h_inj : Function.Injective Int.cast
\u22a2 (lift r) ↑a.norm = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
\u22a2 rexp (log 1) = rexp 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
\u22a2 posFittingCompOf R M x ≤ ⨆ x, posFittingCompOf R M x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
inst✝ : S.HasLeftHomology
\u22a2 h.π ≫ h.leftHomologyIso.inv = h.cyclesIso.inv ≫ S.leftHomologyπ
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H1 : x ∣ z
H2 : y ∣ z
a b : R
h : a * x + b * y = 1
\u22a2 x * y ∣ z
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H1 : x ∣ z
H2 : y ∣ z
a b : R
h : a * x + b * y = 1
\u22a2 x * y ∣ z * (a * x) + z * (b * y)
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H1 : x ∣ z
H2 : y ∣ z
a b : R
h : a * x + b * y = 1
\u22a2 x * y ∣ z * (a * x)
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H1 : x ∣ z
H2 : y ∣ z
a b : R
h : a * x + b * y = 1
\u22a2 x * y ∣ z * (b * y)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
\u22a2 (type fun x x_1 => x < x_1).card = o.card
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ
\u22a2 W.ΨSq (2 * (↑m + 2) + 1) = ((W.preΨ' (m + 4) * W.preΨ' (m + 2) ^ 3 * if Even m then W.Ψ₂Sq ^ 2 else 1) - W.preΨ' (m + 1) * W.preΨ' (m + 3) ^ 3 * if Even m then 1 else W.Ψ₂Sq ^ 2) ^ 2
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
A B : SemilatticeSup α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
\u22a2 A = B
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
A B : SemilatticeSup α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
ss : toSup = toSup
\u22a2 A = B
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
toSup✝¹ : Sup α
toPartialOrder✝¹ : PartialOrder α
le_sup_left✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ a ⊔ b
le_sup_right✝¹ : ∀ (a b : α), b ≤ a ⊔ b
sup_le✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ c → b ≤ c → a ⊔ b ≤ c
toSup✝ : Sup α
toPartialOrder✝ : PartialOrder α
le_sup_left✝ : ∀ (a b : α), a ≤ a ⊔ b
le_sup_right✝ : ∀ (a b : α), b ≤ a ⊔ b
sup_le✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ c → b ≤ c → a ⊔ b ≤ c
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
ss : toSup = toSup
\u22a2 mk le_sup_left✝¹ le_sup_right✝¹ sup_le✝¹ = mk le_sup_left✝ le_sup_right✝ sup_le✝
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
toSup✝¹ : Sup α
toPartialOrder✝ : PartialOrder α
le_sup_left✝¹ : ∀ (a b : α), a ≤ a ⊔ b
le_sup_right✝¹ : ∀ (a b : α), b ≤ a ⊔ b
sup_le✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ c → b ≤ c → a ⊔ b ≤ c
toSup✝ : Sup α
le_sup_left✝ : ∀ (a b : α), a ≤ a ⊔ b
le_sup_right✝ : ∀ (a b : α), b ≤ a ⊔ b
sup_le✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ c → b ≤ c → a ⊔ b ≤ c
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
ss : toSup = toSup
\u22a2 mk le_sup_left✝¹ le_sup_right✝¹ sup_le✝¹ = mk le_sup_left✝ le_sup_right✝ sup_le✝
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
x✝ : ?m.181632
inst✝ : I.Boundaryless
x : M
hx : s ∈ 𝓝 x
\u22a2 ↑((chartAt H x).extend I) '' s ∈ 𝓝 (↑((chartAt H x).extend I) x)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedCommGroup α
m n : ℤ
a✝ b✝ : α
hn : 0 < n
a b : α
hab : a < b
\u22a2 (fun x => x ^ n) a < (fun x => x ^ n) b
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedCommGroup α
m n : ℤ
a✝ b✝ : α
hn : 0 < n
a b : α
hab : a < b
\u22a2 1 < (b / a) ^ n
-- Mathlib/Data/Vector/Mem.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a a' : α
b : β
v : Vector α 0
f : α → β
\u22a2 b ∉ (map f v).toList
-- Mathlib/Data/Matrix/Kronecker.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero γ
inst✝ : DecidableEq l
f : α → β → γ
hf : ∀ (b : β), f 0 b = 0
a : l → α
B : Matrix m n β
i₁ : l
i₂ : m
j₁ : l
j₂ : n
\u22a2 kroneckerMap f (diagonal a) B (i₁, i₂) (j₁, j₂) = (reindex (Equiv.prodComm m l) (Equiv.prodComm n l)) (blockDiagonal fun i => B.map fun b => f (a i) b) (i₁, i₂) (j₁, j₂)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Shift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
n i i' : ℤ
hi : n + i = i'
K : CochainComplex C ℤ
\u22a2 i + n = i'
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
p q : TangentBundle I M
h : q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
\u22a2 { proj := ↑(chartAt H p.proj) q.proj, snd := (mfderiv I I (↑(chartAt H p.proj)) q.proj) q.snd } = (TotalSpace.toProd H E).symm (↑(chartAt (ModelProd H E) p) q)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
p q : TangentBundle I M
h : q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
\u22a2 { proj := ↑(chartAt H p.proj) q.proj, snd := (fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I I q.proj ↑(chartAt H p.proj)) (range ↑I) (↑(extChartAt I q.proj) q.proj)) q.snd } = (TotalSpace.toProd H E).symm (↑(chartAt (ModelProd H E) p) q)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
p q : TangentBundle I M
h : q.proj ∈ (chartAt H p.proj).source
\u22a2 MDifferentiableAt I I (↑(chartAt H p.proj)) q.proj
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : StandardBorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
this : UpgradedStandardBorel α := upgradeStandardBorel α
\u22a2 ∃ x, BorelSpace α ∧ PolishSpace α ∧ IsClosed s ∧ IsOpen s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : StandardBorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
this : UpgradedStandardBorel α := upgradeStandardBorel α
t : TopologicalSpace α
hle : t ≤ UpgradedStandardBorel.toTopologicalSpace
ht : PolishSpace α
s_clopen : IsClosed s ∧ IsOpen s
\u22a2 ∃ x, BorelSpace α ∧ PolishSpace α ∧ IsClosed s ∧ IsOpen s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : StandardBorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
this : UpgradedStandardBorel α := upgradeStandardBorel α
t : TopologicalSpace α
hle : t ≤ UpgradedStandardBorel.toTopologicalSpace
ht : PolishSpace α
s_clopen : IsClosed s ∧ IsOpen s
\u22a2 inst✝¹ = borel α
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : StandardBorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
this : UpgradedStandardBorel α := upgradeStandardBorel α
t : TopologicalSpace α
hle : t ≤ UpgradedStandardBorel.toTopologicalSpace
ht : PolishSpace α
s_clopen : IsClosed s ∧ IsOpen s
\u22a2 PolishSpace α
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid γ
S : ι → AddSubmonoid γ
\u22a2 iSup S = AddMonoidHom.mrange (sumAddHom fun i => (S i).subtype)
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid γ
S : ι → AddSubmonoid γ
\u22a2 iSup S ≤ AddMonoidHom.mrange (sumAddHom fun i => (S i).subtype)
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid γ
S : ι → AddSubmonoid γ
\u22a2 AddMonoidHom.mrange (sumAddHom fun i => (S i).subtype) ≤ iSup S
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/BinaryProducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y : C
inst✝¹ : HasTerminal C
P : C
inst✝ : HasBinaryProduct P (⊤_ C)
\u22a2 fst ≫ lift (𝟙 P) (terminal.from P) = 𝟙 (P ⨯ ⊤_ C)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsDomain B
ζ : B
n : ℕ+
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
\u22a2 adjoin A ((cyclotomic (↑n) A).rootSet B) = adjoin A {b | ∃ a ∈ {n}, b ^ ↑a = 1}
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsDomain B
ζ : B
n : ℕ+
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
\u22a2 adjoin A ((cyclotomic (↑n) A).rootSet B) = adjoin A {b | b ^ ↑n = 1}
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsDomain B
ζ : B
n : ℕ+
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
x : B
hx : x ∈ (cyclotomic (↑n) A).rootSet B
\u22a2 x ∈ {b | b ^ ↑n = 1}
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsDomain B
ζ : B
n : ℕ+
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
x : B
hx : x ∈ {b | b ^ ↑n = 1}
\u22a2 x ∈ ↑(adjoin A ((cyclotomic (↑n) A).rootSet B))