ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞
H1 : ∀ x ∈ s, infEdist x t ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, infEdist x s ≤ r
\u22a2 (∀ i ∈ s, infEdist i t ≤ r) ∧ ∀ i ∈ t, infEdist i s ≤ r
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s s₁ s₂ : Finset β
f✝ g : β → α
a : α
P : α → Prop
Pbot : P ⊥
Psup : ∀ ⦃x y : α⦄, P x → P y → P (x ⊔ y)
t : Finset β
f : β → { x // P x }
this✝ : SemilatticeSup { x // P x } := Subtype.semilatticeSup Psup
this : OrderBot { x // P x } := Subtype.orderBot Pbot
\u22a2 ↑(t.sup f) = t.sup fun x => ↑(f x)
-- Mathlib/Order/SuccPred/LinearLocallyFinite.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
hi : i < i0
\u22a2 toZ i0 i < 0
-- Mathlib/Order/SuccPred/LinearLocallyFinite.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
hi : i < i0
\u22a2 toZ i0 i ≤ 0
-- Mathlib/Order/SuccPred/LinearLocallyFinite.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
hi : i < i0
\u22a2 toZ i0 i ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
c : R
m : ℕ
\u22a2 derivative ((X + C c) ^ m) = C ↑m * (X + C c) ^ (m - 1)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
x : L
\u22a2 x ∈ ↑f.ker ↔ f x = 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformRing.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalRing α
x y : α
\u22a2 x - y ∈ closure 0 ↔ x - y ∈ ⊥.closure
-- Mathlib/Order/Filter/Archimedean.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
l : Filter α
\u22a2 Tendsto (fun n => ↑(f n)) l atTop ↔ Tendsto f l atTop
-- Mathlib/Order/Filter/Archimedean.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
l : Filter α
\u22a2 Tendsto (fun n => ↑(f n)) l atTop ↔ Tendsto (Int.cast ∘ f) l atTop
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x : E
hs : Absorbent ℝ s
hr : 0 ≤ r
hsr : s ⊆ closedBall 0 r
\u22a2 ‖x‖ / r ≤ gauge s x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x : E
hs : Absorbent ℝ s
hr : 0 ≤ r
hsr : s ⊆ closedBall 0 r
\u22a2 gauge (closedBall 0 r) x ≤ gauge s x
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallShiftedHom.lean
C : Type u₁
inst✝¹² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹¹ : Category.{v₂, u₂} D
W : MorphismProperty C
M : Type w'
inst✝¹⁰ : AddMonoid M
inst✝⁹ : HasShift C M
inst✝⁸ : HasShift D M
inst✝⁷ : W.IsCompatibleWithShift M
L : C ⥤ D
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : HasShift D M
inst✝⁴ : L.CommShift M
X Y Z T : C
inst✝³ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y
inst✝² : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y Z
inst✝¹ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Z
inst✝ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Z Z
a b c : M
f : SmallShiftedHom W X Y a
g : SmallShiftedHom W Y Z b
h : b + a = c
\u22a2 ((L.commShiftIso c).app Z).homToEquiv ((SmallHom.equiv W L) (SmallHom.comp f (g.shift a c h))) = ((L.commShiftIso a).app Y).homToEquiv ((SmallHom.equiv W L) f) ≫ (shiftFunctor D a).map (((L.commShiftIso b).app Z).homToEquiv ((SmallHom.equiv W L) g)) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a c h).inv.app (L.obj Z)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallShiftedHom.lean
C : Type u₁
inst✝¹² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹¹ : Category.{v₂, u₂} D
W : MorphismProperty C
M : Type w'
inst✝¹⁰ : AddMonoid M
inst✝⁹ : HasShift C M
inst✝⁸ : HasShift D M
inst✝⁷ : W.IsCompatibleWithShift M
L : C ⥤ D
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : HasShift D M
inst✝⁴ : L.CommShift M
X Y Z T : C
inst✝³ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y
inst✝² : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y Z
inst✝¹ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Z
inst✝ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Z Z
a b c : M
f : SmallShiftedHom W X Y a
g : SmallShiftedHom W Y Z b
h : b + a = c
\u22a2 ((SmallHom.equiv W L) f ≫ (SmallHom.equiv W L) (g.shift a c h)) ≫ ((L.commShiftIso c).app Z).hom = ((SmallHom.equiv W L) f ≫ ((L.commShiftIso a).app Y).hom) ≫ (shiftFunctor D a).map ((SmallHom.equiv W L) g ≫ ((L.commShiftIso b).app Z).hom) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a c h).inv.app (L.obj Z)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallShiftedHom.lean
C : Type u₁
inst✝¹² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹¹ : Category.{v₂, u₂} D
W : MorphismProperty C
M : Type w'
inst✝¹⁰ : AddMonoid M
inst✝⁹ : HasShift C M
inst✝⁸ : HasShift D M
inst✝⁷ : W.IsCompatibleWithShift M
L : C ⥤ D
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : HasShift D M
inst✝⁴ : L.CommShift M
X Y Z T : C
inst✝³ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y
inst✝² : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y Z
inst✝¹ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Z
inst✝ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Z Z
a b c : M
f : SmallShiftedHom W X Y a
g : SmallShiftedHom W Y Z b
h : b + a = c
\u22a2 (SmallHom.equiv W L) f ≫ (L.commShiftIso a).hom.app Y ≫ (shiftFunctor D a).map ((SmallHom.equiv W L) g) ≫ (shiftFunctor D a).map ((L.commShiftIso b).hom.app Z) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a c h).inv.app (L.obj Z) = (SmallHom.equiv W L) f ≫ (L.commShiftIso a).hom.app Y ≫ (shiftFunctor D a).map ((SmallHom.equiv W L) g) ≫ (shiftFunctor D a).map ((L.commShiftIso b).hom.app Z) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a c h).inv.app (L.obj Z)
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
\u22a2 s = trivial G ↔ ∀ x ∈ s, x = 1
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
\u22a2 (∀ (x : G), x ∈ s ↔ x = 1) ↔ ∀ x ∈ s, x = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K✝ L : Subgroup G
f : G' →* G
K : Subgroup G'
\u22a2 (comap f H).relindex K = H.relindex (map f K)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Inv.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hd : HasStrictDerivAt d d' x
hx : d x ≠ 0
\u22a2 HasStrictDerivAt (fun y => c y / d y) ((c' * d x - c x * d') / d x ^ 2) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Inv.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hd : HasStrictDerivAt d d' x
hx : d x ≠ 0
\u22a2 (fun y => c y / d y) = fun y => c y * (Inv.inv ∘ d) y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Inv.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hd : HasStrictDerivAt d d' x
hx : d x ≠ 0
\u22a2 (c' * d x - c x * d') / d x ^ 2 = c' * (Inv.inv ∘ d) x + c x * (-(d x ^ 2)⁻¹ * d')
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m₁ m₂ : ι
h : m₁ ≤ m₂
h' : ∃ j ∈ Set.Icc n m₁, u j ω ∈ s
\u22a2 hitting u s n m₁ ω = hitting u s n m₂ ω
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m₁ m₂ : ι
h : m₁ ≤ m₂
h' : ∃ j ∈ Set.Icc n m₁, u j ω ∈ s
\u22a2 sInf (Set.Icc n m₁ ∩ {i | u i ω ∈ s}) = if ∃ j ∈ Set.Icc n m₂, u j ω ∈ s then sInf (Set.Icc n m₂ ∩ {i | u i ω ∈ s}) else m₂
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m₁ m₂ : ι
h : m₁ ≤ m₂
j : ι
hj₁ : j ∈ Set.Icc n m₁
hj₂ : u j ω ∈ s
\u22a2 sInf (Set.Icc n m₁ ∩ {i | u i ω ∈ s}) = if ∃ j ∈ Set.Icc n m₂, u j ω ∈ s then sInf (Set.Icc n m₂ ∩ {i | u i ω ∈ s}) else m₂
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m₁ m₂ : ι
h : m₁ ≤ m₂
j : ι
hj₁ : j ∈ Set.Icc n m₁
hj₂ : u j ω ∈ s
\u22a2 sInf (Set.Icc n m₁ ∩ {i | u i ω ∈ s}) = sInf (Set.Icc n m₂ ∩ {i | u i ω ∈ s})
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m₁ m₂ : ι
h : m₁ ≤ m₂
j : ι
hj₁ : j ∈ Set.Icc n m₁
hj₂ : u j ω ∈ s
\u22a2 ∃ j ∈ Set.Icc n m₂, u j ω ∈ s
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝¹ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X✝ I✝ : Set α
M : Matroid α
Y : Set α
I X : Set ↑Y
\u22a2 (M.restrictSubtype Y).Basis I X ↔ M.Basis' ↑I ↑X
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝¹ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X✝ I✝ : Set α
M : Matroid α
Y : Set α
I X : Set ↑Y
\u22a2 M.Basis (↑I) (↑X ∩ M.E) ∧ ↑X ⊆ Y ↔ M.Basis (↑I) (↑X ∩ M.E)
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝¹ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X✝ I✝ : Set α
M : Matroid α
Y : Set α
I X : Set ↑Y
\u22a2 (M ↾ Y).Basis ↑I ↑X → I ⊆ X
-- Mathlib/Data/Finset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
\u22a2 (image f s).sym2 = image (Sym2.map f) s.sym2
-- Mathlib/Data/Finset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
\u22a2 (image f s).sym2.val = (image (Sym2.map f) s.sym2).val
-- Mathlib/Data/Finset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
\u22a2 (Multiset.map f s.val).dedup.sym2 = (Multiset.map (Sym2.map f) s.val.sym2).dedup
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a < b * c
\u22a2 a < b / c⁻¹
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
inst✝ : Fintype ι
κ : ι → Kernel α β
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ((Kernel.sum κ) a) s = ((∑ i : ι, κ i) a) s
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s : Set X
hs : s.Finite
f : X → Y
\u22a2 ContinuousOn f s
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s : Set X
hs : s.Finite
f : X → Y
\u22a2 Continuous (s.restrict f)
-- Mathlib/Probability/Independence/Basic.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
m₁ m₂ _mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
S T : Set (Set Ω)
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
f : ι → Set Ω
hf : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)
\u22a2 iIndepSet f μ ↔ ∀ (s : Finset ι), μ (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, μ (f i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : Module R E
F : Type u_10
inst✝² : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
e : ι ≃ ι₂
m : (i : ι) → s i
\u22a2 (((map fun i => f (e.symm i)) ∘ₗ ↑(reindex R s e)).compMultilinearMap (tprod R)) m = ((↑(reindex R t e) ∘ₗ map f).compMultilinearMap (tprod R)) m
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
x✝ : FractionRing K[X]
x : K[X] × ↥K[X]⁰
\u22a2 { toFractionRing := Localization.mk x.1 x.2 } = (IsLocalization.algEquiv K[X]⁰ (FractionRing K[X]) (RatFunc K)) (Localization.mk x.1 x.2)
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
x✝ : FractionRing K[X]
x : K[X] × ↥K[X]⁰
\u22a2 IsLocalization.mk' (RatFunc K) x.1 x.2 = IsLocalization.mk' (RatFunc K) ((RingHom.id K[X]) x.1) ⟨(RingHom.id K[X]) ↑x.2, ⋯⟩
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x : G
hfg : ConvolutionExistsAt f g x L μ
hfg' : ConvolutionExistsAt f g' x L μ
\u22a2 (f ⋆[L, μ] (g + g')) x = (f ⋆[L, μ] g) x + (f ⋆[L, μ] g') x
-- Mathlib/Order/Filter/Ring.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : MulZeroClass β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : PosMulMono β
inst✝ : MulPosMono β
l : Filter α
f₁ f₂ g₁ g₂ : α → β
hf : f₁ ≤ᶠ[l] f₂
hg : g₁ ≤ᶠ[l] g₂
hg₀ : 0 ≤ᶠ[l] g₁
hf₀ : 0 ≤ᶠ[l] f₂
\u22a2 f₁ * g₁ ≤ᶠ[l] f₂ * g₂
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMinOn f s a
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
\u22a2 0 ≤ f' y
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I✝ X R J I : Set α
\u22a2 uniqueBaseOn ∅ I = loopyOn I
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.151867, u_2} D
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝⁴ : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₂ : S₂.Exact
inst✝³ : Epi S₁.g
inst✝² : Epi S₂.g
inst✝¹ : Epi φ.τ₁
inst✝ : Epi φ.τ₃
this✝² : Mono S₁.op.f
this✝¹ : Mono S₂.op.f
this✝ : Mono (opMap φ).τ₁
this : Mono (opMap φ).τ₃
\u22a2 Epi φ.τ₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.151867, u_2} D
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝⁴ : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₂ : S₂.Exact
inst✝³ : Epi S₁.g
inst✝² : Epi S₂.g
inst✝¹ : Epi φ.τ₁
inst✝ : Epi φ.τ₃
this✝³ : Mono S₁.op.f
this✝² : Mono S₂.op.f
this✝¹ : Mono (opMap φ).τ₁
this✝ : Mono (opMap φ).τ₃
this : Mono (opMap φ).τ₂
\u22a2 Epi φ.τ₂
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Int.lean
m n : ℤ
even : Even (n - m)
\u22a2 m + 2 ≤ n ↔ m < n
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Int.lean
m n : ℤ
even : Even (n - m)
\u22a2 2 + m ≤ n ↔ m < n
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g : α →ₘ[μ] β
\u22a2 f ≤ f ⊔ g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g : α →ₘ[μ] β
\u22a2 ↑f ≤ᶠ[ae μ] ↑(f ⊔ g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g : α →ₘ[μ] β
a✝ : α
ha : ↑(f ⊔ g) a✝ = ↑f a✝ ⊔ ↑g a✝
\u22a2 ↑f a✝ ≤ ↑(f ⊔ g) a✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g : α →ₘ[μ] β
a✝ : α
ha : ↑(f ⊔ g) a✝ = ↑f a✝ ⊔ ↑g a✝
\u22a2 ↑f a✝ ≤ ↑f a✝ ⊔ ↑g a✝
-- Mathlib/FieldTheory/Extension.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : Algebra F K
hA : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
x : K
a : L
\u22a2 (a ∈ Set.range fun ψ => ψ x) ↔ a ∈ (minpoly F x).rootSet L
-- Mathlib/FieldTheory/Extension.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : Algebra F K
hA : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
x : K
a : L
\u22a2 (a ∈ Set.range fun ψ => ψ x) ↔ (aeval a) (minpoly F x) = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Extension.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : Algebra F K
hA : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
x : K
a : L
x✝ : a ∈ Set.range fun ψ => ψ x
ψ : K →ₐ[F] L
hψ : (fun ψ => ψ x) ψ = a
\u22a2 (aeval a) (minpoly F x) = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Semiconj/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a x y : G
h : SemiconjBy a x y
\u22a2 x = 1 ↔ y = 1
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a b : α
s : Seq α
S : Seq (Seq1 α)
\u22a2 (match (Seq.cons b s).destruct with | none => (a, S.join) | some s' => (a, (Seq.cons s' S).join)) = (a, (Seq.cons (b, s) S).join)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens
\u22a2 f ''ᵁ f ⁻¹ᵁ U = f.opensRange ⊓ U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens
\u22a2 ↑(f ''ᵁ f ⁻¹ᵁ U) = ↑(f.opensRange ⊓ U)
-- Mathlib/Data/Int/Cast/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R
n : ℕ
x✝ : 0 < n + 1
\u22a2 ↑(n + 1 - 1) = ↑(n + 1) - 1
-- Mathlib/Data/Int/Cast/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R
n : ℕ
x✝ : 0 < n + 1
\u22a2 ↑(n + 1 - 1) = ↑n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x y z : ℝ
ι : Type u_1
s : Multiset ι
f : ι → ℝ
hs : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
r : ℝ
\u22a2 (Multiset.map (fun x => f x ^ r) s).prod = (Multiset.map f s).prod ^ r
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x y z : ℝ
ι : Type u_1
f : ι → ℝ
r : ℝ
l : List ι
hs : ∀ i ∈ ⟦l⟧, 0 ≤ f i
\u22a2 (Multiset.map (fun x => f x ^ r) ⟦l⟧).prod = (Multiset.map f ⟦l⟧).prod ^ r
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : Zero Γ
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : MulZeroOneClass R
\u22a2 order 1 = 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : Zero Γ
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : MulZeroOneClass R
h✝ : Subsingleton R
\u22a2 order 1 = 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : Zero Γ
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : MulZeroOneClass R
h✝ : Nontrivial R
\u22a2 order 1 = 0
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
c : Computation (WSeq α)
\u22a2 (flatten c).destruct = c >>= destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
c : Computation (WSeq α)
\u22a2 Computation.IsBisimulation fun c1 c2 => c1 = c2 ∨ ∃ c, c1 = (flatten c).destruct ∧ c2 = c.bind destruct
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ
hb : b ≠ 0
he : Even n
this : a ^ n > -b ^ n
\u22a2 a ^ n = -b ^ n ↔ a = -b ∧ Odd n
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ
hb : b ≠ 0
he : Even n
\u22a2 -b ^ n < 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ
hb : b ≠ 0
ho : Odd n
\u22a2 a ^ n = -b ^ n ↔ a = -b ∧ Odd n
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Dyadic.lean
n : ℕ
\u22a2 powHalf (n + 1) + powHalf (n + 1) ≈ powHalf n
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Dyadic.lean
n : ℕ
hn : ∀ m < n, powHalf (m + 1) + powHalf (m + 1) ≈ powHalf m
\u22a2 powHalf (n + 1) + powHalf (n + 1) ≈ powHalf n
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Dyadic.lean
n : ℕ
hn : ∀ m < n, powHalf (m + 1) + powHalf (m + 1) ≈ powHalf m
\u22a2 ∀ (i : (powHalf (n + 1) + powHalf (n + 1)).LeftMoves), (powHalf (n + 1) + powHalf (n + 1)).moveLeft i ⧏ powHalf n
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Dyadic.lean
n : ℕ
hn : ∀ m < n, powHalf (m + 1) + powHalf (m + 1) ≈ powHalf m
\u22a2 ∀ (j : (powHalf n).RightMoves), powHalf (n + 1) + powHalf (n + 1) ⧏ (powHalf n).moveRight j
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Dyadic.lean
n : ℕ
hn : ∀ m < n, powHalf (m + 1) + powHalf (m + 1) ≈ powHalf m
\u22a2 ∀ (i : (powHalf n).LeftMoves), (powHalf n).moveLeft i ⧏ powHalf (n + 1) + powHalf (n + 1)
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Dyadic.lean
n : ℕ
hn : ∀ m < n, powHalf (m + 1) + powHalf (m + 1) ≈ powHalf m
\u22a2 ∀ (j : (powHalf (n + 1) + powHalf (n + 1)).RightMoves), powHalf n ⧏ (powHalf (n + 1) + powHalf (n + 1)).moveRight j
-- Mathlib/Order/Interval/Set/UnorderedInterval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
\u22a2 MonotoneOn f s ∨ AntitoneOn f s ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ s, c ∈ [[a, b]] → f c ∈ [[f a, f b]]
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
\u22a2 ∫⁻ (a : α), f a * r ∂μ = (∫⁻ (a : α), f a ∂μ) * r
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Quaternion.lean
n : ℕ
\u22a2 orderOf (a 1) = 2 * n
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Quaternion.lean
n : ℕ
hn : n = 0
\u22a2 orderOf (a 1) = 2 * n
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Quaternion.lean
n : ℕ
hn : NeZero n
\u22a2 orderOf (a 1) = 2 * n
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Quaternion.lean
n : ℕ
hn : NeZero n
\u22a2 ¬orderOf (a 1) < 2 * n
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Quaternion.lean
n : ℕ
hn : NeZero n
h : orderOf (a 1) < 2 * n
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Quaternion.lean
n : ℕ
hn : NeZero n
h : orderOf (a 1) < 2 * n
h1 : a 1 ^ orderOf (a 1) = 1
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Quaternion.lean
n : ℕ
hn : NeZero n
h : orderOf (a 1) < 2 * n
h1 : a ↑(orderOf (a 1)) = 1
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Quaternion.lean
n : ℕ
hn : NeZero n
h : orderOf (a 1) < 2 * n
h2 : ↑(orderOf (a 1)) = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Quaternion.lean
n : ℕ
hn : NeZero n
h : orderOf (a 1) < 2 * n
h2 : orderOf (a 1) = 0
\u22a2 False