ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s t : Set α
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
x : α
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
y : α
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
h : x ≤ y
\u22a2 (Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s t : Set α
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
x : α
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
y : α
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
h : y ≤ x
\u22a2 (Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/Lattice.lean
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
\u22a2 LipschitzWith 1 negPart
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f : (x : α) → p x → β
g : (x : α) → ¬p x → β
x : { x // x ∈ filter p s }
\u22a2 p ↑x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f : (x : α) → p x → β
g : (x : α) → ¬p x → β
x : { x // x ∈ filter (fun x => ¬p x) s }
\u22a2 ¬p ↑x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f : (x : α) → p x → β
g : (x : α) → ¬p x → β
\u22a2 (∏ x ∈ s, if hx : p x then f x hx else g x hx) = (∏ x ∈ (filter p s).attach, f ↑x ⋯) * ∏ x ∈ (filter (fun x => ¬p x) s).attach, g ↑x ⋯
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
m n : ℕ
\u22a2 x ^ m * x ^ n * p.smeval x = x ^ m * (x ^ n * p.smeval x)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
\u22a2 a / 1 = a
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
a b : ℝ≥0
h : a < b
\u22a2 a / b < 1
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
a b : ℝ≥0
h : a < b
\u22a2 b ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
p : α
hp : p ≠ 0
\u22a2 (span {p}).IsPrime ↔ Prime p
-- Mathlib/Data/List/Lattice.lean
α : Type u_1
l l₁✝ l₂✝ : List α
p : α → Prop
a : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
l₁ l₂ : List α
\u22a2 (b :: l₁).bagInter l₂ <+ b :: l₁
-- Mathlib/Data/List/Lattice.lean
α : Type u_1
l l₁✝ l₂✝ : List α
p : α → Prop
a : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
l₁ l₂ : List α
h : b ∈ l₂
\u22a2 b :: l₁.bagInter (l₂.erase b) <+ b :: l₁
-- Mathlib/Data/List/Lattice.lean
α : Type u_1
l l₁✝ l₂✝ : List α
p : α → Prop
a : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
l₁ l₂ : List α
h : ¬b ∈ l₂
\u22a2 l₁.bagInter l₂ <+ b :: l₁
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
f : σ → τ
h : Injective f
\u22a2 ((rename f) p).degrees = Multiset.map f p.degrees
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.degree < P.degree
hneg : P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff < 0
\u22a2 Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop atBot
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.degree < P.degree
hneg : P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff < 0
hQ : Q ≠ 0
\u22a2 Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop atBot
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.natDegree < P.natDegree
hneg : P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff < 0
hQ : Q ≠ 0
\u22a2 Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop atBot
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.natDegree < P.natDegree
hneg : P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff < 0
hQ : Q ≠ 0
\u22a2 Tendsto (fun x => P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)) atTop atBot
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.natDegree < P.natDegree
hneg : P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff < 0
hQ : Q ≠ 0
\u22a2 Tendsto (fun x => x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)) atTop atTop
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.natDegree < P.natDegree
hneg : P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff < 0
hQ : Q ≠ 0
\u22a2 0 < ↑P.natDegree - ↑Q.natDegree
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
\u22a2 a ∈ Icc a b ↔ a ≤ b
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableClosure.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
L : IntermediateField F E
h : L ≤ separableClosure F E
x : ↥L
\u22a2 IsSeparable F x
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
\u22a2 image (fun x => c + x) (Ioo a b) = Ioo (c + a) (c + b)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a : ℤ
b p : ℕ
hp : p ∈ b.primeFactorsList
h₁✝ h₂ : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p) := { out := h₂ }
\u22a2 legendreSym p a = legendreSym p (a % ↑b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ
hf : Tendsto f (la' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hu : Tendsto u lt la
hv : Tendsto v lt la
\u22a2 (fun t => ∫ (x : ℝ) in v t..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hns : μ s ≠ 0
hnt : μ s ≠ ⊤
hu : IsUniform X s ℙ μ
A : Set E
hA : MeasurableSet A
\u22a2 ℙ (X ⁻¹' A) = μ (s ∩ A) / μ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/PerfectPairing.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
p : Submodule R M
x✝ : N
\u22a2 x✝ ∈ (map e.flip p).dualCoannihilator ↔ x✝ ∈ map e.symm p.dualAnnihilator
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IndYoneda.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
D : I ⥤ C
F : C ⥤ Type u₂
inst✝¹ : HasColimit (D.op ⋙ coyoneda)
inst✝ : HasLimitsOfShape I (Type (max u₁ u₂))
f : colimit (D.op ⋙ coyoneda) ⟶ F
i : I
\u22a2 ((colimitCoyonedaHomIsoLimit' D F).hom ≫ limit.π (D ⋙ F ⋙ uliftFunctor.{u₁, u₂}) i) f = { down := f.app (D.obj i) ((colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i)).app (D.obj i) (𝟙 (D.obj i))) }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IndYoneda.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
D : I ⥤ C
F : C ⥤ Type u₂
inst✝¹ : HasColimit (D.op ⋙ coyoneda)
inst✝ : HasLimitsOfShape I (Type (max u₁ u₂))
f : colimit (D.op ⋙ coyoneda) ⟶ F
i : I
\u22a2 ((colimitHomIsoLimitYoneda' (D.op ⋙ coyoneda) F).hom ≫ limit.π ((D.op ⋙ coyoneda).rightOp ⋙ yoneda.obj F) i ≫ (isoWhiskerLeft (D ⋙ Prod.sectl C F) (coyonedaLemma C)).hom.app i) f = { down := f.app (D.obj i) ((colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i)).app (D.obj i) (𝟙 (D.obj i))) }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IndYoneda.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
D : I ⥤ C
F : C ⥤ Type u₂
inst✝¹ : HasColimit (D.op ⋙ coyoneda)
inst✝ : HasLimitsOfShape I (Type (max u₁ u₂))
f : colimit (D.op ⋙ coyoneda) ⟶ F
i : I
\u22a2 ((coyoneda.map (colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i)).op).app F ≫ (isoWhiskerLeft (D ⋙ Prod.sectl C F) (coyonedaLemma C)).hom.app i) f = { down := f.app (D.obj i) ((colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i)).app (D.obj i) (𝟙 (D.obj i))) }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IndYoneda.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
D : I ⥤ C
F : C ⥤ Type u₂
inst✝¹ : HasColimit (D.op ⋙ coyoneda)
inst✝ : HasLimitsOfShape I (Type (max u₁ u₂))
f : colimit (D.op ⋙ coyoneda) ⟶ F
i : I
\u22a2 Equiv.ulift.symm (coyonedaEquiv (colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i) ≫ f)) = { down := f.app (D.obj i) ((colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i)).app (D.obj i) (𝟙 (D.obj i))) }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IndYoneda.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
D : I ⥤ C
F : C ⥤ Type u₂
inst✝¹ : HasColimit (D.op ⋙ coyoneda)
inst✝ : HasLimitsOfShape I (Type (max u₁ u₂))
f : colimit (D.op ⋙ coyoneda) ⟶ F
i : I
\u22a2 Equiv.ulift.symm (f.app (D.obj i) ((colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i)).app (D.obj i) (𝟙 (D.obj i)))) = { down := f.app (D.obj i) ((colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i)).app (D.obj i) (𝟙 (D.obj i))) }
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b✝ : α
f : β → α
a b : β
\u22a2 ⨆ x ∈ {a, b}, f x = f a ⊔ f b
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/TFAE.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬IsField R
\u22a2 [DiscreteValuationRing R, ValuationRing R, IsDedekindDomain R, IsIntegrallyClosed R ∧ ∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime, Submodule.IsPrincipal (maximalIdeal R), finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1, ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊥ → ∃ n, I = maximalIdeal R ^ n].TFAE
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/TFAE.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬IsField R
this : finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1 ↔ finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1
\u22a2 [DiscreteValuationRing R, ValuationRing R, IsDedekindDomain R, IsIntegrallyClosed R ∧ ∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime, Submodule.IsPrincipal (maximalIdeal R), finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1, ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊥ → ∃ n, I = maximalIdeal R ^ n].TFAE
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/TFAE.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬IsField R
this : finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1 ↔ finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1
\u22a2 [DiscreteValuationRing R, ValuationRing R, IsDedekindDomain R, IsIntegrallyClosed R ∧ ∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime, Submodule.IsPrincipal (maximalIdeal R), finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1, ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊥ → ∃ n, I = maximalIdeal R ^ n].TFAE
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/TFAE.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬IsField R
this✝ : finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1 ↔ finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1
this : maximalIdeal R ≠ ⊥
\u22a2 [DiscreteValuationRing R, ValuationRing R, IsDedekindDomain R, IsIntegrallyClosed R ∧ ∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime, Submodule.IsPrincipal (maximalIdeal R), finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1, ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊥ → ∃ n, I = maximalIdeal R ^ n].TFAE
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/TFAE.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬IsField R
this✝ : finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1 ↔ finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1
this : maximalIdeal R ≠ ⊥
\u22a2 DiscreteValuationRing R ↔ IsPrincipalIdealRing R
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/TFAE.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬IsField R
this✝ : finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1 ↔ finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1
this : maximalIdeal R ≠ ⊥
\u22a2 (∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) ↔ ∀ (P : Ideal R), P ≠ ⊥ → P.IsPrime → P = maximalIdeal R
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → Filter α
g : Set α → Filter β
hg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t
\u22a2 (iInf f).lift g = ⨅ i, (f i).lift g
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → Filter α
g : Set α → Filter β
hg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t
s : Set β
\u22a2 s ∈ (iInf f).lift g → s ∈ ⨅ i, (f i).lift g
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → Filter α
g : Set α → Filter β
hg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t
s : Set β
H : ∀ t ∈ iInf f, ⨅ i, (f i).lift g ≤ g t
\u22a2 s ∈ (iInf f).lift g → s ∈ ⨅ i, (f i).lift g
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → Filter α
g : Set α → Filter β
hg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t
s : Set β
H : ∀ t ∈ iInf f, ⨅ i, (f i).lift g ≤ g t
\u22a2 ∀ x ∈ iInf f, s ∈ g x → s ∈ ⨅ i, (f i).lift g
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x y : M
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
\u22a2 SameRay R x y ∨ SameRay R x (-y) ↔ ¬LinearIndependent R ![x, y]
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x y : M
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
\u22a2 SameRay R x y ∨ SameRay R x (-y) ↔ ∃ g, ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, g i • ![x, y] i = 0 ∧ ∃ i, g i ≠ 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.225789}
α : Type u_1
P Q : Set α
\u22a2 #↑(P ∪ Q) ≤ ℵ₀ ↔ #↑P ≤ ℵ₀ ∧ #↑Q ≤ ℵ₀
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
p q : R[X]
inst✝ : Semiring S
hq : q.Monic
p₁ p₂ : R[X]
a✝ : Nontrivial R
f : R[X]
sub_eq : p₁ - p₂ = q * f
\u22a2 p₁ %ₘ q = p₂ %ₘ q
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
p q : R[X]
inst✝ : Semiring S
hq : q.Monic
p₁ p₂ : R[X]
a✝ : Nontrivial R
f : R[X]
sub_eq : p₁ - p₂ = q * f
\u22a2 p₂ %ₘ q + q * (p₂ /ₘ q + f) = p₁
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K✝ K : Set F
hK : IsComplete K
\u22a2 MeasurableSet {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K✝ K : Set F
hK : IsComplete K
\u22a2 MeasurableSet (⋂ e, ⋃ n, ⋂ p, ⋂ (_ : p ≥ n), ⋂ q, ⋂ (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K✝ K : Set F
hK : IsComplete K
b✝⁵ b✝⁴ b✝³ : ℕ
b✝² : b✝³ ≥ b✝⁴
b✝¹ : ℕ
b✝ : b✝¹ ≥ b✝⁴
\u22a2 MeasurableSet (B f K ((1 / 2) ^ b✝³) ((1 / 2) ^ b✝¹) ((1 / 2) ^ b✝⁵))
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
\u22a2 a⁻¹ ≤ 1 ↔ 1 ≤ a
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
l : List α
a : α
\u22a2 (a :: l).rotate 1 = l ++ [a]
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuationTopology.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
s : Set R
\u22a2 s ∈ 𝓝 0 ↔ ∃ γ, {x | v x < ↑γ} ⊆ s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 ≤ z
\u22a2 (x / y) ^ z = x ^ z / y ^ z
-- Mathlib/Data/List/Enum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n i : ℕ
x : α
l : List α
\u22a2 (i, x) ∈ enumFrom n l ↔ n ≤ i ∧ l.get? (i - n) = some x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strong.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
hφ : 0 ≤ φ
\u22a2 ConvexOn ℝ s f
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/InverseDeriv.lean
x : ℝ
\u22a2 DifferentiableWithinAt ℝ arcsin (Iic x) x ↔ x ≠ 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/InverseDeriv.lean
x : ℝ
h : DifferentiableWithinAt ℝ arcsin (Iic x) x
\u22a2 x ≠ 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/InverseDeriv.lean
x : ℝ
h : DifferentiableWithinAt ℝ arcsin (Neg.neg '' Ici (-x)) (- -x)
\u22a2 x ≠ 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/InverseDeriv.lean
x : ℝ
h : DifferentiableWithinAt ℝ arcsin (Neg.neg '' Ici (-x)) (- -x)
this : DifferentiableWithinAt ℝ (fun y => -(arcsin ∘ Neg.neg) y) (Ici (-x)) (-x)
\u22a2 x ≠ 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Ring 𝕜
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
\u22a2 (basisFun p 𝕜 ι) i = (WithLp.equiv p (ι → 𝕜)).symm (Pi.single i 1)
-- Mathlib/FieldTheory/ChevalleyWarning.lean
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
\u22a2 p ∣ Fintype.card { x // ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0 }
-- Mathlib/FieldTheory/ChevalleyWarning.lean
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
\u22a2 p ∣ Fintype.card { x // ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0 }
-- Mathlib/FieldTheory/ChevalleyWarning.lean
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) := {x | x ∈ univ ∧ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0}.toFinset
\u22a2 p ∣ Fintype.card { x // ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0 }
-- Mathlib/FieldTheory/ChevalleyWarning.lean
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) := {x | x ∈ univ ∧ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0}.toFinset
hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0
\u22a2 p ∣ Fintype.card { x // ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0 }
-- Mathlib/FieldTheory/ChevalleyWarning.lean
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) := {x | x ∈ univ ∧ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0}.toFinset
hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0
F : MvPolynomial σ K := ∏ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1))
hF : ∀ (x : σ → K), (eval x) F = if x ∈ S then 1 else 0
\u22a2 p ∣ Fintype.card { x // ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0 }
-- Mathlib/FieldTheory/ChevalleyWarning.lean
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) := {x | x ∈ univ ∧ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0}.toFinset
hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0
F : MvPolynomial σ K := ∏ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1))
hF : ∀ (x : σ → K), (eval x) F = if x ∈ S then 1 else 0
key : ∑ x : σ → K, (eval x) F = ↑(Fintype.card { x // ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0 })
\u22a2 p ∣ Fintype.card { x // ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0 }
-- Mathlib/FieldTheory/ChevalleyWarning.lean
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) := {x | x ∈ univ ∧ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0}.toFinset
hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0
F : MvPolynomial σ K := ∏ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1))
hF : ∀ (x : σ → K), (eval x) F = if x ∈ S then 1 else 0
key : ∑ x : σ → K, (eval x) F = ↑(Fintype.card { x // ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0 })
\u22a2 ∑ x : σ → K, (eval x) F = 0
-- Mathlib/FieldTheory/ChevalleyWarning.lean
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) := {x | x ∈ univ ∧ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0}.toFinset
hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0
F : MvPolynomial σ K := ∏ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1))
hF : ∀ (x : σ → K), (eval x) F = if x ∈ S then 1 else 0
key : ∑ x : σ → K, (eval x) F = ↑(Fintype.card { x // ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0 })
\u22a2 F.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
-- Mathlib/FieldTheory/ChevalleyWarning.lean
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype K
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) := {x | x ∈ univ ∧ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0}.toFinset
hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0
F : MvPolynomial σ K := ∏ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1))
hF : ∀ (x : σ → K), (eval x) F = if x ∈ S then 1 else 0
key : ∑ x : σ → K, (eval x) F = ↑(Fintype.card { x // ∀ i ∈ s, (eval x) (f i) = 0 })
i : ι
x✝ : i ∈ s
\u22a2 (1 - f i ^ (q - 1)).totalDegree ≤ (q - 1) * (f i).totalDegree
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α
n : ℕ
a : α
\u22a2 n • (a ::ₘ s) = n • {a} + n • s
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
h : IsOpenMap (s.restrict f)
finv : β → α
hleft : LeftInvOn finv f s
\u22a2 ContinuousOn finv (f '' s)