ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : StrongRankCondition K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
W : Submodule K V
inst✝¹ : Module.Free K ↥W
inst✝ : Module.Finite K ↥W
\u22a2 finrank K ↥W ≤ 1 ↔ W.IsPrincipal
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n✝ : ℕ
x : G
hx : IsOfFinOrder x
n : ℕ
hn : ∃ m, x ^ m = x ^ n
\u22a2 (finEquivPowers x hx).symm ⟨x ^ n, hn⟩ = ⟨n % orderOf x, ⋯⟩
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
\u22a2 ↑(B ^ m / B ^ n).card ≤ (↑(A / B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
\u22a2 ↑(B⁻¹ ^ m / B⁻¹ ^ n).card ≤ (↑(A * B⁻¹).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : α ≃ β
e' : β ≃ γ
\u22a2 (e.trans e').toPartialEquiv.source = (e.toPartialEquiv.trans e'.toPartialEquiv).source
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
n : ℕ
hns : n ≤ s.ncard
\u22a2 ∃ t ⊆ s, t.ncard = n
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
\u22a2 (κ.singularPart η) a = 0 ↔ ((κ.singularPart η) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
\u22a2 ((κ.singularPart η) a) univ = 0 ↔ ((κ.singularPart η) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
this : univ = κ.mutuallySingularSetSlice η a ∪ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ
\u22a2 ((κ.singularPart η) a) univ = 0 ↔ ((κ.singularPart η) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/ColimitLimit.lean
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J × K ⥤ C
inst✝² : HasLimitsOfShape J C
inst✝¹ : HasColimitsOfShape K C
G : J ⥤ K ⥤ C
inst✝ : HasLimit G
j : J
k : K
\u22a2 colimit.ι (limit G) k ≫ (colimMap (limitIsoSwapCompLim G).hom ≫ colimitLimitToLimitColimit (uncurry.obj G) ≫ limMap (whiskerRight (currying.unitIso.inv.app G) colim)) ≫ limit.π (G ⋙ colim) j = colimit.ι (limit G) k ≫ colimMap (limit.π G j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/ColimitLimit.lean
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J × K ⥤ C
inst✝² : HasLimitsOfShape J C
inst✝¹ : HasColimitsOfShape K C
G : J ⥤ K ⥤ C
inst✝ : HasLimit G
j : J
k : K
\u22a2 (limitObjIsoLimitCompEvaluation G k).hom ≫ limit.π (G.flip.obj k) j ≫ colimit.ι (G.obj j) k = (limit.π G j).app k ≫ colimit.ι (G.obj j) k
-- Mathlib/CategoryTheory/EffectiveEpi/Extensive.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : FinitaryPreExtensive C
α : Type
inst✝ : Finite α
B : C
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
\u22a2 EffectiveEpi (Sigma.desc π) ↔ EffectiveEpiFamily X π
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metrizable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
ι : Type u_3
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Nonempty ι
μ : Measure α
f : ι → α → β
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 l)
inhabited_h : Inhabited ι
\u22a2 ∃ f_lim, Measurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 (f_lim x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metrizable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
ι : Type u_3
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Nonempty ι
μ : Measure α
f : ι → α → β
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
inhabited_h : Inhabited ι
inst✝ : ⊥.IsCountablyGenerated
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) ⊥ (𝓝 l)
\u22a2 ∃ f_lim, Measurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) ⊥ (𝓝 (f_lim x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metrizable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
ι : Type u_3
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Nonempty ι
μ : Measure α
f : ι → α → β
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 l)
inhabited_h : Inhabited ι
hL : L.NeBot
\u22a2 ∃ f_lim, Measurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 (f_lim x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metrizable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
ι : Type u_3
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Nonempty ι
μ : Measure α
f : ι → α → β
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 l)
inhabited_h : Inhabited ι
hL : L.NeBot
p : α → (ι → β) → Prop := fun x f' => ∃ l, Tendsto (fun n => f' n) L (𝓝 l)
\u22a2 ∃ f_lim, Measurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 (f_lim x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metrizable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
ι : Type u_3
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Nonempty ι
μ : Measure α
f : ι → α → β
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 l)
inhabited_h : Inhabited ι
hL : L.NeBot
p : α → (ι → β) → Prop := fun x f' => ∃ l, Tendsto (fun n => f' n) L (𝓝 l)
hp_mem : ∀ x ∈ aeSeqSet hf p, p x fun n => f n x
\u22a2 ∃ f_lim, Measurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 (f_lim x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metrizable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
ι : Type u_3
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Nonempty ι
μ : Measure α
f : ι → α → β
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 l)
inhabited_h : Inhabited ι
hL : L.NeBot
p : α → (ι → β) → Prop := fun x f' => ∃ l, Tendsto (fun n => f' n) L (𝓝 l)
hp_mem : ∀ x ∈ aeSeqSet hf p, p x fun n => f n x
h_ae_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ι), aeSeq hf p n x = f n x
\u22a2 ∃ f_lim, Measurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 (f_lim x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metrizable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
ι : Type u_3
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Nonempty ι
μ : Measure α
f : ι → α → β
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 l)
inhabited_h : Inhabited ι
hL : L.NeBot
p : α → (ι → β) → Prop := fun x f' => ∃ l, Tendsto (fun n => f' n) L (𝓝 l)
hp_mem : ∀ x ∈ aeSeqSet hf p, p x fun n => f n x
h_ae_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ι), aeSeq hf p n x = f n x
f_lim : α → β := fun x => if h : x ∈ aeSeqSet hf p then Exists.choose ⋯ else ⋯.some
hf_lim : ∀ (x : α), Tendsto (fun n => aeSeq hf p n x) L (𝓝 (f_lim x))
\u22a2 ∃ f_lim, Measurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 (f_lim x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metrizable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
ι : Type u_3
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Nonempty ι
μ : Measure α
f : ι → α → β
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 l)
inhabited_h : Inhabited ι
hL : L.NeBot
p : α → (ι → β) → Prop := fun x f' => ∃ l, Tendsto (fun n => f' n) L (𝓝 l)
hp_mem : ∀ x ∈ aeSeqSet hf p, p x fun n => f n x
h_ae_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ι), aeSeq hf p n x = f n x
f_lim : α → β := fun x => if h : x ∈ aeSeqSet hf p then Exists.choose ⋯ else ⋯.some
hf_lim : ∀ (x : α), Tendsto (fun n => aeSeq hf p n x) L (𝓝 (f_lim x))
h_ae_tendsto_f_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 (f_lim x))
\u22a2 ∃ f_lim, Measurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 (f_lim x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metrizable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
ι : Type u_3
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Nonempty ι
μ : Measure α
f : ι → α → β
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 l)
inhabited_h : Inhabited ι
hL : L.NeBot
p : α → (ι → β) → Prop := fun x f' => ∃ l, Tendsto (fun n => f' n) L (𝓝 l)
hp_mem : ∀ x ∈ aeSeqSet hf p, p x fun n => f n x
h_ae_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (n : ι), aeSeq hf p n x = f n x
f_lim : α → β := fun x => if h : x ∈ aeSeqSet hf p then Exists.choose ⋯ else ⋯.some
hf_lim : ∀ (x : α), Tendsto (fun n => aeSeq hf p n x) L (𝓝 (f_lim x))
h_ae_tendsto_f_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 (f_lim x))
h_f_lim_meas : Measurable f_lim
\u22a2 ∃ f_lim, Measurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) L (𝓝 (f_lim x))
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
hf : IsNormal f
a o : Ordinal.{u}
ha : a.IsLimit
g : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hg : a.IsFundamentalSequence o g
\u22a2 (f a).IsFundamentalSequence o fun b hb => f (g b hb)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
hf : IsNormal f
a o : Ordinal.{u}
ha : a.IsLimit
g : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hg : a.IsFundamentalSequence o g
\u22a2 o ≤ (f a).cof.ord
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
hf : IsNormal f
a o : Ordinal.{u}
ha : a.IsLimit
g : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hg : a.IsFundamentalSequence o g
\u22a2 (o.blsub fun b hb => f (g b hb)) = f a
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a b : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
hc' : c ≠ ⊤
\u22a2 a * c / (b * c) = a / b
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/PrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ
\u22a2 IsPrimePow n ↔ n.primeFactors.card = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Bivariate.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X][Y]
q : R[X]
r : R
\u22a2 eval (f r) (eval (map f q) (map (mapRingHom f) p)) = f (eval r (eval q p))
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommSemigroup α
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
\u22a2 a + b - (a + c) = b - c
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
\u22a2 x ∈ ball y ε ↔ y ∈ ball x ε
-- Mathlib/Algebra/Module/Projective.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
P : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
\u22a2 Projective R P ↔ ∃ s, Finsupp.total P P R id ∘ₗ s = LinearMap.id
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂ := rightHomologyMapData φ h₁ h₂
\u22a2 (rightHomologyMap' φ h₁ h₂).op = leftHomologyMap' (opMap φ) h₂.op h₁.op
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Bounded.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y z : α
h : EMetric.diam s ≠ ⊤
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
\u22a2 dist x y ≤ diam s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Bounded.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y z : α
h : EMetric.diam s ≠ ⊤
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
\u22a2 (edist x y).toReal ≤ (EMetric.diam s).toReal
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Bounded.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y z : α
h : EMetric.diam s ≠ ⊤
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
\u22a2 edist x y ≤ EMetric.diam s
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
hf : (mulSupport f).Infinite
\u22a2 ∏ᶠ (i : α), f i = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type v₁
inst✝² : Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
\u22a2 F.Initial ↔ ∀ (d : D), IsCofiltered (CostructuredArrow F d)
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type v₁
inst✝² : Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
\u22a2 F.Initial → ∀ (d : D), IsCofiltered (CostructuredArrow F d)
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type v₁
inst✝² : Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
\u22a2 ((∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)) ∧ ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s') → ∀ (d : D), IsCofiltered (CostructuredArrow F d)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
inst✝ : DivisionCommMonoid G
f g : α → G
hf : (mulSupport f).Finite
hg : (mulSupport g).Finite
\u22a2 ∏ᶠ (i : α), f i / g i = (∏ᶠ (i : α), f i) / ∏ᶠ (i : α), g i
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Basic.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
hx : x ∈ closedBall c f.rIn
\u22a2 ↑f x = 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Basic.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
hx : x ∈ closedBall c f.rIn
\u22a2 ‖(fun x => f.rIn⁻¹ • (x - c)) x‖ ≤ 1
-- Mathlib/FieldTheory/SplittingField/Construction.lean
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
f : K[X]
hf1 : ¬IsUnit f
hf2 : ¬f = 0
\u22a2 f.factor ∣ f
-- Mathlib/FieldTheory/SplittingField/Construction.lean
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
f : K[X]
hf1 : ¬IsUnit f
hf2 : ¬f = 0
\u22a2 Classical.choose ⋯ ∣ f
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m✝ n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n m : ℕ
h : 0 < m
\u22a2 1 ≤ m ^ n
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
\u22a2 univ = ∅ ↔ IsEmpty α
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
x y : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
h : SameRay R x (-x)
a✝ : Nontrivial M
\u22a2 x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
x y : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
h : SameRay R x (-x)
a✝ : Nontrivial M
this : Nontrivial R
\u22a2 x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
x y : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
h : SameRay R x (-x)
a✝ : Nontrivial M
this : Nontrivial R
\u22a2 SameRay R x (-1 • x)
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n✝ b n m r : ℕ
l : List ℕ
e : r + b * m = n
hr : r < b
h : b.digits m = l
b2 : 1 < b
m0 : 0 < m
b0 : 0 < b
n0 : 0 < n
\u22a2 b.digits n = r :: l
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n✝ b n : ℕ
l : List ℕ
b2 : 1 < b
b0 : 0 < b
n0 : 0 < n
h : b.digits (n / b) = l
m0 : 0 < n / b
hr : n % b < b
e : n % b + b * (n / b) = n
\u22a2 b.digits n = n % b :: l
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n✝ b n : ℕ
b2 : 1 < b
b0 : 0 < b
n0 : 0 < n
m0 : 0 < n / b
hr : n % b < b
e : n % b + b * (n / b) = n
\u22a2 b.digits n = n % b :: b.digits (n / b)
-- Mathlib/Analysis/Convex/AmpleSet.lean
F : Type u_1
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module ℝ F
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E✝ : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup E✝
inst✝³ : Module ℝ E✝
inst✝² : TopologicalSpace E✝
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
E : Submodule ℝ F
hcodim : 1 < Module.rank ℝ (F ⧸ E)
x : F
hx : x ∈ (↑E)ᶜ
\u22a2 (convexHull ℝ) (connectedComponentIn (↑E)ᶜ x) = univ
-- Mathlib/Analysis/Convex/AmpleSet.lean
F : Type u_1
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module ℝ F
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E✝ : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup E✝
inst✝³ : Module ℝ E✝
inst✝² : TopologicalSpace E✝
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
E : Submodule ℝ F
hcodim : 1 < Module.rank ℝ (F ⧸ E)
x : F
hx : x ∈ (↑E)ᶜ
\u22a2 ∀ (x : F), x ∈ (convexHull ℝ) (↑E)ᶜ
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a t : α
ts is : List α
IH1 : ∀ l ∈ ts.permutationsAux (t :: is), l ~ ts ++ t :: is
IH2 : ∀ l ∈ is.permutationsAux [], l ~ is ++ []
l : List α
m : l ∈ (t :: ts).permutationsAux is
\u22a2 l ~ t :: ts ++ is
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a t : α
ts is : List α
IH1 : ∀ l ∈ ts.permutationsAux (t :: is), l ~ ts ++ t :: is
IH2 : ∀ l ∈ is.permutationsAux [], l ~ is ++ []
l : List α
m : l ∈ ts.permutationsAux (t :: is) ∨ ∃ l₁ l₂, l₁ ++ l₂ ∈ is :: is.permutationsAux [] ∧ l₂ ≠ [] ∧ l = l₁ ++ t :: l₂ ++ ts
\u22a2 l ~ t :: ts ++ is
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝¹⁷ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁶ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁵ : IsDedekindDomain S
inst✝¹⁴ : Algebra R S
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : IsDedekindDomain R
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra S L
inst✝⁷ : IsFractionRing S L
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R S L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsNoetherian R S
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : p.IsMaximal
hp0 : p ≠ ⊥
e : Ideal S → ℕ := ramificationIdx (algebraMap R S) p
f : Ideal S → [inst : p.IsMaximal] → ℕ := inertiaDeg (algebraMap R S) p
\u22a2 ∑ P ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset, e P * f P = finrank K L
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝¹⁷ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁶ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁵ : IsDedekindDomain S
inst✝¹⁴ : Algebra R S
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : IsDedekindDomain R
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra S L
inst✝⁷ : IsFractionRing S L
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R S L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsNoetherian R S
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : p.IsMaximal
hp0 : p ≠ ⊥
e : Ideal S → ℕ := ramificationIdx (algebraMap R S) p
f : Ideal S → [inst : p.IsMaximal] → ℕ := inertiaDeg (algebraMap R S) p
inj_RL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
\u22a2 ∑ P ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset, e P * f P = finrank K L
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝¹⁷ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁶ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁵ : IsDedekindDomain S
inst✝¹⁴ : Algebra R S
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : IsDedekindDomain R
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra S L
inst✝⁷ : IsFractionRing S L
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R S L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsNoetherian R S
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : p.IsMaximal
hp0 : p ≠ ⊥
e : Ideal S → ℕ := ramificationIdx (algebraMap R S) p
f : Ideal S → [inst : p.IsMaximal] → ℕ := inertiaDeg (algebraMap R S) p
inj_RL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
inj_RS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
\u22a2 ∑ P ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset, e P * f P = finrank K L
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝¹⁷ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁶ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁵ : IsDedekindDomain S
inst✝¹⁴ : Algebra R S
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : IsDedekindDomain R
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra S L
inst✝⁷ : IsFractionRing S L
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R S L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsNoetherian R S
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : p.IsMaximal
hp0 : p ≠ ⊥
e : Ideal S → ℕ := ramificationIdx (algebraMap R S) p
f : Ideal S → [inst : p.IsMaximal] → ℕ := inertiaDeg (algebraMap R S) p
inj_RL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
inj_RS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
\u22a2 ∑ P ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset, e P * f P = ∑ P ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset.attach, finrank (R ⧸ p) (S ⧸ ↑P ^ e ↑P)
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝¹⁷ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁶ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁵ : IsDedekindDomain S
inst✝¹⁴ : Algebra R S
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : IsDedekindDomain R
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra S L
inst✝⁷ : IsFractionRing S L
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R S L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsNoetherian R S
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : p.IsMaximal
hp0 : p ≠ ⊥
e : Ideal S → ℕ := ramificationIdx (algebraMap R S) p
f : Ideal S → [inst : p.IsMaximal] → ℕ := inertiaDeg (algebraMap R S) p
inj_RL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
inj_RS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
\u22a2 finrank (R ⧸ p) ((P : { x // x ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset }) → S ⧸ ↑P ^ e ↑P) = finrank (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p)