ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Chebyshev.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
x : R
n : ℤ
\u22a2 (algebraMap R A) (eval x (U R n)) = eval ((algebraMap R A) x) (U A n)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_3}
\u22a2 a ≤ b + a
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t : M → Set F
n : ℕ∞
s : Set H
hs : IsOpen s
\u22a2 ∃ f, support f = s ∧ Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t : M → Set F
n : ℕ∞
s : Set H
hs : IsOpen s
h's : IsOpen (↑I.symm ⁻¹' s)
\u22a2 ∃ f, support f = s ∧ Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t : M → Set F
n : ℕ∞
s : Set H
hs : IsOpen s
h's : IsOpen (↑I.symm ⁻¹' s)
f : E → ℝ
f_supp : support f = ↑I.symm ⁻¹' s
f_diff : ContDiff ℝ ⊤ f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
\u22a2 ∃ f, support f = s ∧ Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
f g : (i : ι) → α i
\u22a2 (g ∈ univ.pi fun i => {f i}) ↔ g ∈ {f}
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set α
\u22a2 s ∪ ⋂ i, ⋂ j, t i j = ⋂ i, ⋂ j, s ∪ t i j
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Archimedean.lean
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
\u22a2 Dense ↑S ∨ ∃ a, S = closure {a}
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Archimedean.lean
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
h : ¬∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
\u22a2 ∃ a, S = closure {a}
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Archimedean.lean
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
ε : G
ε0 : ε > 0
hε : ∀ g ∈ S, g ∉ Ioo 0 ε
\u22a2 ∃ a, S = closure {a}
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/OneHypercover.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.21217, u_1} A
J : GrothendieckTopology C
S : C
E : PreOneHypercover S
inst✝ : E.HasPullbacks
mem₀ : E.sieve₀ ∈ J.sieves S
mem₁' : ∀ (i₁ i₂ : E.I₀), E.sieve₁' i₁ i₂ ∈ J.sieves (Limits.pullback (E.f i₁) (E.f i₂))
i₁ i₂ : E.I₀
W : C
p₁ : W ⟶ E.X i₁
p₂ : W ⟶ E.X i₂
w : p₁ ≫ E.f i₁ = p₂ ≫ E.f i₂
\u22a2 E.sieve₁ p₁ p₂ ∈ J.sieves W
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/OneHypercover.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.21217, u_1} A
J : GrothendieckTopology C
S : C
E : PreOneHypercover S
inst✝ : E.HasPullbacks
mem₀ : E.sieve₀ ∈ J.sieves S
mem₁' : ∀ (i₁ i₂ : E.I₀), E.sieve₁' i₁ i₂ ∈ J.sieves (Limits.pullback (E.f i₁) (E.f i₂))
i₁ i₂ : E.I₀
W : C
p₁ : W ⟶ E.X i₁
p₂ : W ⟶ E.X i₂
w : p₁ ≫ E.f i₁ = p₂ ≫ E.f i₂
\u22a2 Sieve.pullback (pullback.lift p₁ p₂ w) (E.sieve₁' i₁ i₂) ∈ J.sieves W
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0∞
s : Finset α
h : ∑ a ∈ s, f a = 1
h' : ∀ a ∉ s, f a = 0
a : α
\u22a2 a ∈ (ofFinset f s h h').support ↔ a ∈ ↑s ∩ Function.support f
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List α
f : α → β
\u22a2 map (fun x => (x, f x)) l = l.zip (map f l)
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List α
f : α → β
\u22a2 (map (fun x => x) l).zip (map f l) = l.zip (map f l)
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
P : Type u₁
inst✝ : L.Structure P
g : (i : ι) → G i ↪[L] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
F : DirectLimit G f ↪[L] P
x✝ : DirectLimit G f
i j : ι
hij : i ≤ j
x : G i
\u22a2 ((fun i => F.comp (of L ι G f i)) j) ((f i j hij) x) = ((fun i => F.comp (of L ι G f i)) i) x
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
P : Type u₁
inst✝ : L.Structure P
g : (i : ι) → G i ↪[L] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
F : DirectLimit G f ↪[L] P
x✝ : DirectLimit G f
i : ι
x : G i
\u22a2 F ((of L ι G f i) x) = (lift L ι G f (fun i => F.comp (of L ι G f i)) ⋯) ((of L ι G f i) x)
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
P : Type u₁
inst✝ : L.Structure P
g : (i : ι) → G i ↪[L] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
F : DirectLimit G f ↪[L] P
x✝ : DirectLimit G f
i : ι
x : G i
\u22a2 F ((of L ι G f i) x) = (F.comp (of L ι G f i)) x
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
s : Set Y
h : X ≃ₜ Y
\u22a2 IsPathConnected (⇑h ⁻¹' s) ↔ IsPathConnected s
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
s : Set Y
h : X ≃ₜ Y
\u22a2 IsPathConnected (⇑h.symm '' s) ↔ IsPathConnected s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y
y : R
\u22a2 seminormFromBounded' f (x * y) = seminormFromBounded' f x * seminormFromBounded' f y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y
y : R
\u22a2 seminormFromBounded' f (x * y) = f x * seminormFromBounded' f y
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
q : R[X]
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f ((fun a => eval a q) '' spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
\u22a2 cfc (fun x => f (eval x q)) a = cfc f ((aeval a) q)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V✝ : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V✝
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
V : Type u
G : SimpleGraph V
u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
\u22a2 p.support ⊆ (p.append q).support
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
\u22a2 0 ≤ z ↔ 0 ≤ re z ∧ im z = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
ι✝ : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
μ : Measure ℝ
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
F : ι → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
hF_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (F n) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ Ι a b → ‖F n x‖ ≤ bound x
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_lim : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ Ι a b → Tendsto (fun n => F n x) l (𝓝 (f x))
\u22a2 Tendsto (fun n => ∫ (x : ℝ) in a..b, F n x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
ι✝ : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
μ : Measure ℝ
ι : Type u_5
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
F : ι → ℝ → E
bound : ℝ → ℝ
hF_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (F n) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ‖F n x‖ ≤ bound x
bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ
h_lim : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), Tendsto (fun n => F n x) l (𝓝 (f x))
\u22a2 Tendsto (fun n => (if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (x : ℝ) in Ι a b, F n x ∂μ) l (𝓝 ((if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ))
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N✝ : Type u_5
inst✝ : Group N✝
N : Subgroup G
hn : N.Normal
g g' : G
hg : g ∈ N
hg' : g' ∈ N
hc : IsConj g g'
ht : normalClosure {⟨g, hg⟩} = ⊤
\u22a2 normalClosure {⟨g', hg'⟩} = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N✝ : Type u_5
inst✝ : Group N✝
N : Subgroup G
hn : N.Normal
g : G
hg : g ∈ N
ht : normalClosure {⟨g, hg⟩} = ⊤
c : G
hg' : c * g * c⁻¹ ∈ N
hc : IsConj g (c * g * c⁻¹)
\u22a2 normalClosure {⟨c * g * c⁻¹, hg'⟩} = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N✝ : Type u_5
inst✝ : Group N✝
N : Subgroup G
hn : N.Normal
g : G
hg : g ∈ N
ht : normalClosure {⟨g, hg⟩} = ⊤
c : G
hg' : c * g * c⁻¹ ∈ N
hc : IsConj g (c * g * c⁻¹)
h : ∀ (x : ↥N), (MulAut.conj c) ↑x ∈ N
\u22a2 normalClosure {⟨c * g * c⁻¹, hg'⟩} = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N✝ : Type u_5
inst✝ : Group N✝
N : Subgroup G
hn : N.Normal
g : G
hg : g ∈ N
ht : normalClosure {⟨g, hg⟩} = ⊤
c : G
hg' : c * g * c⁻¹ ∈ N
hc : IsConj g (c * g * c⁻¹)
h : ∀ (x : ↥N), (MulAut.conj c) ↑x ∈ N
hs : Surjective ⇑(((MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj c)).restrict N).codRestrict N h)
\u22a2 normalClosure {⟨c * g * c⁻¹, hg'⟩} = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N✝ : Type u_5
inst✝ : Group N✝
N : Subgroup G
hn : N.Normal
g : G
hg : g ∈ N
ht : normalClosure {⟨g, hg⟩} = ⊤
c : G
hg' : c * g * c⁻¹ ∈ N
hc : IsConj g (c * g * c⁻¹)
h : ∀ (x : ↥N), (MulAut.conj c) ↑x ∈ N
hs : Surjective ⇑(((MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj c)).restrict N).codRestrict N h)
\u22a2 map (((MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj c)).restrict N).codRestrict N h) ⊤ ≤ normalClosure {⟨c * g * c⁻¹, hg'⟩}
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N✝ : Type u_5
inst✝ : Group N✝
N : Subgroup G
hn : N.Normal
g : G
hg : g ∈ N
ht : normalClosure {⟨g, hg⟩} = ⊤
c : G
hg' : c * g * c⁻¹ ∈ N
hc : IsConj g (c * g * c⁻¹)
h : ∀ (x : ↥N), (MulAut.conj c) ↑x ∈ N
hs : Surjective ⇑(((MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj c)).restrict N).codRestrict N h)
\u22a2 {⟨g, hg⟩} ⊆ ↑(comap (((MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj c)).restrict N).codRestrict N h) (normalClosure {⟨c * g * c⁻¹, hg'⟩}))
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N✝ : Type u_5
inst✝ : Group N✝
N : Subgroup G
hn : N.Normal
g : G
hg : g ∈ N
ht : normalClosure {⟨g, hg⟩} = ⊤
c : G
hg' : c * g * c⁻¹ ∈ N
hc : IsConj g (c * g * c⁻¹)
h : ∀ (x : ↥N), (MulAut.conj c) ↑x ∈ N
hs : Surjective ⇑(((MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj c)).restrict N).codRestrict N h)
\u22a2 ⟨g, hg⟩ ∈ comap (((MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj c)).restrict N).codRestrict N h) (normalClosure {⟨c * g * c⁻¹, hg'⟩})
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N✝ : Type u_5
inst✝ : Group N✝
N : Subgroup G
hn : N.Normal
g : G
hg : g ∈ N
ht : normalClosure {⟨g, hg⟩} = ⊤
c : G
hg' : c * g * c⁻¹ ∈ N
hc : IsConj g (c * g * c⁻¹)
h : ∀ (x : ↥N), (MulAut.conj c) ↑x ∈ N
hs : Surjective ⇑(((MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj c)).restrict N).codRestrict N h)
\u22a2 ⟨c * g * c⁻¹, ⋯⟩ ∈ normalClosure {⟨c * g * c⁻¹, hg'⟩}
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Radical.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : I.IsPrime
\u22a2 (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toIdeal.IsPrime
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Radical.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : I.IsPrime
\u22a2 (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule ≠ ⊤
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Radical.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : I.IsPrime
\u22a2 ∀ {x y : A}, Homogeneous 𝒜 x → Homogeneous 𝒜 y → x * y ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule → x ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule ∨ y ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Radical.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : I.IsPrime
x y : A
hx : Homogeneous 𝒜 x
hy : Homogeneous 𝒜 y
hxy : x * y ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule
\u22a2 x ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule ∨ y ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Radical.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : I.IsPrime
x y : A
hx : Homogeneous 𝒜 x
hy : Homogeneous 𝒜 y
hxy : x * y ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule
H : x ∈ I ∨ y ∈ I
\u22a2 x ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule ∨ y ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Radical.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : I.IsPrime
x y : A
hx : Homogeneous 𝒜 x
hy : Homogeneous 𝒜 y
hxy : x * y ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule
H : x ∈ I ∨ y ∈ I
\u22a2 x ∈ I → x ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Radical.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : I.IsPrime
x y : A
hx : Homogeneous 𝒜 x
hy : Homogeneous 𝒜 y
hxy : x * y ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule
H : x ∈ I ∨ y ∈ I
\u22a2 y ∈ I → y ∈ (Ideal.homogeneousCore 𝒜 I).toSubmodule
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
ha : a.Nonneg
hb : b.Nonneg
\u22a2 (a + b).Nonneg
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d x y : ℕ
ha : { re := ↑x, im := ↑y }.Nonneg
z w : ℕ
hb : { re := ↑z, im := ↑w }.Nonneg
\u22a2 ({ re := ↑x, im := ↑y } + { re := ↑z, im := ↑w }).Nonneg
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d x y : ℕ
ha : { re := ↑x, im := ↑y }.Nonneg
z w : ℕ
hb : { re := ↑z, im := -↑w }.Nonneg
\u22a2 ({ re := ↑x, im := ↑y } + { re := ↑z, im := -↑w }).Nonneg
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d x y : ℕ
ha : { re := ↑x, im := ↑y }.Nonneg
z w : ℕ
hb : { re := -↑z, im := ↑w }.Nonneg
\u22a2 ({ re := ↑x, im := ↑y } + { re := -↑z, im := ↑w }).Nonneg
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d x y : ℕ
ha : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg
z w : ℕ
hb : { re := ↑z, im := ↑w }.Nonneg
\u22a2 ({ re := ↑x, im := -↑y } + { re := ↑z, im := ↑w }).Nonneg
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d x y : ℕ
ha : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg
z w : ℕ
hb : { re := ↑z, im := -↑w }.Nonneg
\u22a2 ({ re := ↑x, im := -↑y } + { re := ↑z, im := -↑w }).Nonneg
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d x y : ℕ
ha : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg
z w : ℕ
hb : { re := -↑z, im := ↑w }.Nonneg
\u22a2 ({ re := ↑x, im := -↑y } + { re := -↑z, im := ↑w }).Nonneg
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d x y : ℕ
ha : { re := -↑x, im := ↑y }.Nonneg
z w : ℕ
hb : { re := ↑z, im := ↑w }.Nonneg
\u22a2 ({ re := -↑x, im := ↑y } + { re := ↑z, im := ↑w }).Nonneg
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d x y : ℕ
ha : { re := -↑x, im := ↑y }.Nonneg
z w : ℕ
hb : { re := ↑z, im := -↑w }.Nonneg
\u22a2 ({ re := -↑x, im := ↑y } + { re := ↑z, im := -↑w }).Nonneg
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d x y : ℕ
ha : { re := -↑x, im := ↑y }.Nonneg
z w : ℕ
hb : { re := -↑z, im := ↑w }.Nonneg
\u22a2 ({ re := -↑x, im := ↑y } + { re := -↑z, im := ↑w }).Nonneg
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
ha : a ≠ 0
\u22a2 IsSquare a ↔ a ^ (p / 2) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
ha : a ≠ 0
\u22a2 (∃ y, y ^ 2 = Units.mk0 a ha) ↔ IsSquare a
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
ha : a ≠ 0
\u22a2 (∃ y, ↑y * ↑y = a) ↔ IsSquare a
-- Mathlib/Data/Nat/Lattice.lean
ι : Sort u_1
inst✝ : IsEmpty ι
f : ι → ℕ
\u22a2 iInf f = 0
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : MulOneClass G
x y : k
\u22a2 { toFun := (↑__src✝).toFun, map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := (↑__src✝).toFun, map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := (↑__src✝).toFun, map_one' := ⋯ }.toFun y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
\u22a2 (W.variableChange C).c₆ = ↑C.u⁻¹ ^ 6 * W.c₆
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
\u22a2 -(↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.b₂ + 12 * C.r)) ^ 3 + 36 * (↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.b₂ + 12 * C.r)) * (↑C.u⁻¹ ^ 4 * (W.b₄ + C.r * W.b₂ + 6 * C.r ^ 2)) - 216 * (↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.b₆ + 2 * C.r * W.b₄ + C.r ^ 2 * W.b₂ + 4 * C.r ^ 3)) = ↑C.u⁻¹ ^ 6 * (-W.b₂ ^ 3 + 36 * W.b₂ * W.b₄ - 216 * W.b₆)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f ⊤ μ
hmeas : StronglyMeasurable f
\u22a2 ∃ M, eLpNormEssSup ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) μ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f ⊤ μ
hmeas : StronglyMeasurable f
hbdd : eLpNormEssSup f μ < ⊤
\u22a2 ∃ M, eLpNormEssSup ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) μ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f ⊤ μ
hmeas : StronglyMeasurable f
hbdd : eLpNormEssSup f μ < ⊤
\u22a2 eLpNormEssSup ({x | (eLpNorm f ⊤ μ + 1).toReal ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) μ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f ⊤ μ
hmeas : StronglyMeasurable f
hbdd : eLpNormEssSup f μ < ⊤
\u22a2 eLpNormEssSup f (μ.restrict {x | (eLpNorm f ⊤ μ + 1).toReal ≤ ↑‖f x‖₊}) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f ⊤ μ
hmeas : StronglyMeasurable f
hbdd : eLpNormEssSup f μ < ⊤
\u22a2 MeasurableSet {x | (eLpNorm f ⊤ μ + 1).toReal ≤ ↑‖f x‖₊}
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
w✝ w₁ w₂ : ι → k
p : ι → V
s : Finset V
hp : AffineIndependent k Subtype.val
w : V → k
hw₀ : ∑ x ∈ s, w x = 0
hw₁ : ∑ x ∈ s, w x • x = 0
\u22a2 ∀ x ∈ s, w x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
w✝ w₁ w₂ : ι → k
p : ι → V
s : Finset V
hp : AffineIndependent k Subtype.val
w : V → k
hw₀ : ∑ x ∈ s.attach, w ↑x = 0
hw₁ : ∑ x ∈ s.attach, w ↑x • ↑x = 0
\u22a2 ∀ x ∈ s, w x = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
c x : E
hx : x ∈ (fun z => c + z) ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ (fun z => c + z) ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
\u22a2 f (c + (a • x + b • y)) = f (a • (c + x) + b • (c + y))
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
f₀ : 𝕜 → E
g₀ : 𝕜 → E'
n : ℕ∞
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : CompleteSpace F
μ : Measure 𝕜
inst✝² : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.IsNegInvariant
hcf : HasCompactSupport f₀
hf : ContDiff 𝕜 1 f₀
hg : LocallyIntegrable g₀ μ
x₀ : 𝕜
\u22a2 HasDerivAt (f₀ ⋆[L, μ] g₀) ((deriv f₀ ⋆[L, μ] g₀) x₀) x₀