ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t t' : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
f : A
hf : f ∈ (vanishingIdeal t).toIdeal
g : A
hg : g ∈ (vanishingIdeal t').toIdeal
x : ProjectiveSpectrum 𝒜
hxt : x ∈ t
hxt' : x ∈ t'
\u22a2 f + g ∈ x.asHomogeneousIdeal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t t' : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
f : A
hf : ∀ x ∈ t, f ∈ x.asHomogeneousIdeal
g : A
hg : ∀ x ∈ t', g ∈ x.asHomogeneousIdeal
x : ProjectiveSpectrum 𝒜
hxt : x ∈ t
hxt' : x ∈ t'
\u22a2 f + g ∈ x.asHomogeneousIdeal
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
f g : Code
k : Cont'
\u22a2 codeSupp (f.case g) k = trStmts₁ (trNormal (f.case g) k) ∪ (codeSupp f k ∪ codeSupp g k)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
\u22a2 Function.Antiperiodic sin π
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ≥0
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
htendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 ↑I)
\u22a2 Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 (ENNReal.ofReal ↑I))
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuationTopology.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
s : Set R
x : R
\u22a2 s ∈ 𝓝 x ↔ ∃ γ, {y | v (y - x) < ↑γ} ⊆ s
-- Mathlib/Algebra/AddConstMap/Basic.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : AddGroup H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
x : G
\u22a2 f (x - a) = f x - b
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
x : α
\u22a2 s.encard - 1 ≤ (s \ {x}).encard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
x : α
\u22a2 s.encard - {x}.encard ≤ (s \ {x}).encard
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/ZeroAtInfty.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β
C : ℝ
f g : α →C₀ β
\u22a2 Isometry toBCF
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
a : R
n : ℕ
h : p.natDegree ≤ n
\u22a2 (p /ₘ (X - C a)).coeff n = ∑ i ∈ Icc (n + 1) p.natDegree, a ^ (i - (n + 1)) * p.coeff i
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
a : R
n : ℕ
h : p.natDegree ≤ n
\u22a2 (p /ₘ (X - C a)).coeff n = 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
\u22a2 c • ball 0 1 = ball 0 ‖c‖
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁴ : OrderedRing α
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
ha : a < 0
\u22a2 a • b < 0 ↔ 0 < b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
t : ℝ
ht : t ≠ -1
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, x * (1 + x ^ 2) ^ t = (1 + b ^ 2) ^ (t + 1) / (2 * (t + 1)) - (1 + a ^ 2) ^ (t + 1) / (2 * (t + 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
t : ℝ
ht : t ≠ -1
this : ∀ (x s : ℝ), ↑((1 + x ^ 2) ^ s) = (1 + ↑x ^ 2) ^ ↑s
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, x * (1 + x ^ 2) ^ t = (1 + b ^ 2) ^ (t + 1) / (2 * (t + 1)) - (1 + a ^ 2) ^ (t + 1) / (2 * (t + 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
t : ℝ
ht : t ≠ -1
this : ∀ (x s : ℝ), ↑((1 + x ^ 2) ^ s) = (1 + ↑x ^ 2) ^ ↑s
\u22a2 ↑(∫ (x : ℝ) in a..b, x * (1 + x ^ 2) ^ t) = ↑((1 + b ^ 2) ^ (t + 1) / (2 * (t + 1)) - (1 + a ^ 2) ^ (t + 1) / (2 * (t + 1)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
t : ℝ
ht : t ≠ -1
this : ∀ (x s : ℝ), ↑((1 + x ^ 2) ^ s) = (1 + ↑x ^ 2) ^ ↑s
\u22a2 ↑(∫ (x : ℝ) in a..b, x * (1 + x ^ 2) ^ t) = ∫ (x : ℝ) in ?convert_1..?convert_2, ↑x * (1 + ↑x ^ 2) ^ ↑t
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
t : ℝ
ht : t ≠ -1
this : ∀ (x s : ℝ), ↑((1 + x ^ 2) ^ s) = (1 + ↑x ^ 2) ^ ↑s
\u22a2 ↑((1 + b ^ 2) ^ (t + 1) / (2 * (t + 1)) - (1 + a ^ 2) ^ (t + 1) / (2 * (t + 1))) = (1 + ↑?convert_2 ^ 2) ^ (↑t + 1) / (2 * (↑t + 1)) - (1 + ↑?convert_1 ^ 2) ^ (↑t + 1) / (2 * (↑t + 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
t : ℝ
ht : t ≠ -1
this : ∀ (x s : ℝ), ↑((1 + x ^ 2) ^ s) = (1 + ↑x ^ 2) ^ ↑s
\u22a2 ℝ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
t : ℝ
ht : t ≠ -1
this : ∀ (x s : ℝ), ↑((1 + x ^ 2) ^ s) = (1 + ↑x ^ 2) ^ ↑s
\u22a2 ↑t ≠ -1
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
inst✝ : Preorder α
a : α
ha : ∀ b ∈ s, b < a
\u22a2 (insert a s).chainHeight = s.chainHeight + 1
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
inst✝ : Preorder α
a : α
ha : ∀ b ∈ s, b < a
\u22a2 (⇑ofDual ⁻¹' insert a s).chainHeight = (⇑ofDual ⁻¹' s).chainHeight + 1
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s t : Set α
inst✝¹ : Subsingleton α
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
\u22a2 l = ⊤
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : Subsingleton α
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
s : Set α
hs : s ∈ l
\u22a2 s ∈ ⊤
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s t : Set α
inst✝¹ : Subsingleton α
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
hs : univ ∈ l
\u22a2 univ ∈ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
hi : ¬MeasurableSet i
\u22a2 v.restrict i ≤ restrict 0 i
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
hf : Inducing f
\u22a2 f x ⤳ f y ↔ x ⤳ y
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
\u22a2 NumberField.discr K = (-1) ^ (↑p ^ k * (↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ k * ((↑p - 1) * (k + 1) - 1))
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
u : ℤˣ
w : NormalWord d
h2 : ∀ u' ∈ Option.map Prod.fst w.toList.head?, w.head ∈ toSubgroup A B u → u = u'
\u22a2 ¬Cancels u w
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
u : ℤˣ
w : NormalWord d
h2 : ∀ u' ∈ Option.map Prod.fst w.toList.head?, w.head ∈ toSubgroup A B u → u = u'
\u22a2 w.head ∈ toSubgroup A B u → ∀ (x : G), ¬w.toList.head? = some (-u, x)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
a : R
ha : a ≠ 0
\u22a2 (C a * X).natDegree = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ i ∈ s, w₁ i = w₂ i
p₁ p₂ : ι → P
hp : ∀ i ∈ s, p₁ i = p₂ i
b : P
\u22a2 (s.weightedVSubOfPoint p₁ b) w₁ = (s.weightedVSubOfPoint p₂ b) w₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ i ∈ s, w₁ i = w₂ i
p₁ p₂ : ι → P
hp : ∀ i ∈ s, p₁ i = p₂ i
b : P
\u22a2 ∑ i ∈ s, w₁ i • (p₁ i -ᵥ b) = ∑ i ∈ s, w₂ i • (p₂ i -ᵥ b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ i ∈ s, w₁ i = w₂ i
p₁ p₂ : ι → P
hp : ∀ i ∈ s, p₁ i = p₂ i
b : P
i : ι
hi : i ∈ s
\u22a2 w₁ i • (p₁ i -ᵥ b) = w₂ i • (p₂ i -ᵥ b)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Classical.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁷ : DecidableEq n
inst✝⁶ : DecidableEq p
inst✝⁵ : DecidableEq q
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Fintype p
inst✝¹ : Fintype q
inst✝ : Fintype l
\u22a2 (PB l R)ᵀ * JB l R * PB l R = 2 • fromBlocks 1 0 0 (S l R)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
\u22a2 0 < p ^ n.factorization p
-- Mathlib/RepresentationTheory/Rep.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X : Action (Type u) (MonCat.of G)
g : G
x : X.V
r : k
\u22a2 (((linearization k G).obj X).ρ g) (Finsupp.single x r) = Finsupp.single (X.ρ g x) r
-- Mathlib/Tactic/Positivity/Core.lean
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
inst✝ : StrictOrderedSemiring A
h : NormNum.IsNat e n
w : Nat.ble 1 n = true
\u22a2 0 < e
-- Mathlib/Tactic/Positivity/Core.lean
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
inst✝ : StrictOrderedSemiring A
h : NormNum.IsNat e n
w : Nat.ble 1 n = true
\u22a2 0 < ↑n
-- Mathlib/Tactic/Positivity/Core.lean
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
inst✝ : StrictOrderedSemiring A
h : NormNum.IsNat e n
w : Nat.ble 1 n = true
\u22a2 0 < n
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Theta.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
R : Type u_12
R' : Type u_13
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l l' : Filter α
h : f' =Θ[l] g'
\u22a2 Tendsto (norm ∘ f') l atTop ↔ Tendsto (norm ∘ g') l atTop
-- Mathlib/Algebra/Order/Hom/Monoid.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝¹ : OrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderedAddCommMonoid β
i : FunLike F α β
f : F
iamhc : AddMonoidHomClass F α β
h : Monotone ⇑f
a : α
\u22a2 0 ≤ a → 0 ≤ f a
-- Mathlib/Algebra/Order/Hom/Monoid.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝¹ : OrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderedAddCommMonoid β
i : FunLike F α β
f : F
iamhc : AddMonoidHomClass F α β
h : Monotone ⇑f
a : α
\u22a2 0 ≤ a → f 0 ≤ f a
-- Mathlib/Algebra/Order/Hom/Monoid.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝¹ : OrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderedAddCommMonoid β
i : FunLike F α β
f : F
iamhc : AddMonoidHomClass F α β
h : ∀ (a : α), 0 ≤ a → 0 ≤ f a
a b : α
hl : a ≤ b
\u22a2 f a ≤ f b
-- Mathlib/Algebra/Order/Hom/Monoid.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝¹ : OrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderedAddCommMonoid β
i : FunLike F α β
f : F
iamhc : AddMonoidHomClass F α β
h : ∀ (a : α), 0 ≤ a → 0 ≤ f a
a b : α
hl : a ≤ b
\u22a2 f a ≤ f (b - a) + f a
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a : α
\u22a2 ⌈a⌉₊ ≤ ⌊a⌋₊ + 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a : α
\u22a2 a ≤ ↑⌊a⌋₊ + 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
\u22a2 reindex R M (Equiv.refl ι) = Equiv.refl (Orientation R M ι)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : β → E
g : α → β
a : α
hg : Measurable g
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
\u22a2 ∫ (x : β), f x ∂(deterministic g hg) a = f (g a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Basic.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
h : DifferentiableAt 𝕜 f x
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
\u22a2 (fderivWithin 𝕜 f s x) 1 = (fderiv 𝕜 f x) 1
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R B
h : S ≤ f.range
\u22a2 map f (comap f S) = S
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : Semiring R
f g : MonoidAlgebra k G →+* R
h₁ : ∀ (b : k), f (single 1 b) = g (single 1 b)
h_of : ∀ (a : G), f (single a 1) = g (single a 1)
a : G
b : k
\u22a2 ((fun f => ↑f) f) (Finsupp.single a b) = ((fun f => ↑f) g) (Finsupp.single a b)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : Semiring R
f g : MonoidAlgebra k G →+* R
h₁ : ∀ (b : k), f (single 1 b) = g (single 1 b)
h_of : ∀ (a : G), f (single a 1) = g (single a 1)
a : G
b : k
\u22a2 ((fun f => ↑f) f) (single 1 b * single a 1) = ((fun f => ↑f) g) (single 1 b * single a 1)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : Semiring R
f g : MonoidAlgebra k G →+* R
h₁ : ∀ (b : k), f (single 1 b) = g (single 1 b)
h_of : ∀ (a : G), f (single a 1) = g (single a 1)
a : G
b : k
\u22a2 f (single 1 b * single a 1) = g (single 1 b * single a 1)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddMonoid M
α : Type u_13
β : Type u_14
x✝ y✝ : α ⊕ β →₀ M
\u22a2 __src✝.toFun (x✝ + y✝) = __src✝.toFun x✝ + __src✝.toFun y✝
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalSemiring R
x y z : HahnSeries Γ R
b : Γ
\u22a2 (x * y * z).coeff b = (x * (y * z)).coeff b
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalSemiring R
x y z : HahnSeries Γ R
b : Γ
\u22a2 ∑ ij ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ b, (x * y).coeff ij.1 * z.coeff ij.2 = ∑ ij ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ b, x.coeff ij.1 * (y * z).coeff ij.2
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalSemiring R
x y z : HahnSeries Γ R
b : Γ
\u22a2 ∑ x_1 ∈ (addAntidiagonal ⋯ ⋯ b).sigma fun a => addAntidiagonal ⋯ ⋯ a.1, x.coeff x_1.snd.1 * y.coeff x_1.snd.2 * z.coeff x_1.fst.2 = ∑ x_1 ∈ (addAntidiagonal ⋯ ⋯ b).sigma fun a => addAntidiagonal ⋯ ⋯ a.2, x.coeff x_1.fst.1 * (y.coeff x_1.snd.1 * z.coeff x_1.snd.2)
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n)
f : α → List β
g : α → σ
h : α → β × List β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
this✝ : Primcodable (List β) := prim H
this : Primrec fun a => Option.map (fun o => Option.casesOn o (g a) (h a)) (decode (encode (f a)))
a : α
\u22a2 Option.map (fun o => Option.casesOn o (g a) (h a)) (decode (encode (f a))) = some (List.casesOn (f a) (g a) fun b l => h a (b, l))
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a : α
f : Multiset α
ha : Irreducible a
pfa : (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
this : DecidableEq α
\u22a2 ∃ p, a ~ᵤ p ∧ f = {p}
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a : α
f : Multiset α
ha : Irreducible a
pfa : (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
this : DecidableEq α
\u22a2 (fun g => g.prod ~ᵤ a → (∀ b ∈ g, Prime b) → ∃ p, a ~ᵤ p ∧ g = {p}) 0
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a : α
f : Multiset α
ha : Irreducible a
pfa : (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
this : DecidableEq α
\u22a2 ∀ (a_1 : α) (s : Multiset α), (fun g => g.prod ~ᵤ a → (∀ b ∈ g, Prime b) → ∃ p, a ~ᵤ p ∧ g = {p}) s → (fun g => g.prod ~ᵤ a → (∀ b ∈ g, Prime b) → ∃ p, a ~ᵤ p ∧ g = {p}) (a_1 ::ₘ s)
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
p : α → ℕ →. Bool
hp : Partrec₂ p
n : ℕ
\u22a2 (Nat.rfind fun n_1 => (fun m => decide (m = 0)) <$> (↑(decode (Nat.pair n n_1))).bind fun a => Part.map encode ((fun a => Part.map (fun b => bif (a, b).2 then 0 else 1) (p a.1 a.2)) a)) = (↑(decode n)).bind fun a => Part.map encode ((fun a => Nat.rfind (p a)) a)
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
p : α → ℕ →. Bool
hp : Partrec₂ p
n : ℕ
a : α
e : decode n = Option.some a
\u22a2 (Nat.rfind fun n => Part.map (fun m => decide (m = 0)) (Part.map (fun b => bif b then 0 else 1) (p a n))) = Nat.rfind (p a)
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
p : α → ℕ →. Bool
hp : Partrec₂ p
n : ℕ
a : α
e : decode n = Option.some a
\u22a2 (fun n => Part.map (fun m => decide (m = 0)) (Part.map (fun b => bif b then 0 else 1) (p a n))) = p a
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
p : α → ℕ →. Bool
hp : Partrec₂ p
n✝ : ℕ
a : α
e : decode n✝ = Option.some a
n : ℕ
\u22a2 Part.map (fun m => decide (m = 0)) (Part.map (fun b => bif b then 0 else 1) (p a n)) = p a n
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
p : α → ℕ →. Bool
hp : Partrec₂ p
n✝ : ℕ
a : α
e : decode n✝ = Option.some a
n : ℕ
\u22a2 Part.map (fun x => decide ((bif x then 0 else 1) = 0)) (p a n) = p a n
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
p : α → ℕ →. Bool
hp : Partrec₂ p
n✝ : ℕ
a : α
e : decode n✝ = Option.some a
n : ℕ
b : Bool
\u22a2 decide ((bif b then 0 else 1) = 0) = b
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
a : ι → ℝ≥0∞
tsum_ne_top : ∑' (i : ι), a i ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε_ne_zero : ε ≠ 0
\u22a2 {i | ε ≤ a i}.Finite
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
a : ι → ℝ≥0∞
tsum_ne_top : ∑' (i : ι), a i ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε_ne_zero : ε ≠ 0
h : ¬{i | ε ≤ a i}.Finite
\u22a2 False
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
a : ι → ℝ≥0∞
tsum_ne_top : ∑' (i : ι), a i ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε_ne_zero : ε ≠ 0
h : ¬{i | ε ≤ a i}.Finite
this : Infinite ↑{i | ε ≤ a i}
\u22a2 False
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
a : ι → ℝ≥0∞
tsum_ne_top : ∑' (i : ι), a i ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε_ne_zero : ε ≠ 0
h : ¬{i | ε ≤ a i}.Finite
this : Infinite ↑{i | ε ≤ a i}
\u22a2 ⊤ ≤ ∑' (i : ι), a i
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Ideals.lean
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
I : Ideal C(X, R)
x : X
\u22a2 x ∉ setOfIdeal I ↔ ∀ ⦃f : C(X, R)⦄, f ∈ I → f x = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
hK : (H.subgroupOf K).Normal
HK : H ≤ K
x : G
hx : x ∈ K
y : G
yH : x * y * x⁻¹ ∈ H
\u22a2 y ∈ H
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
\u22a2 μ.rowLens.length = μ.colLen 0
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P t → s ⊆ t → P s
\u22a2 s ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {t | P t} ↔ P s ∧ ∀ x ∉ s, ¬P (insert x s)
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P t → s ⊆ t → P s
\u22a2 P s → ((∀ ⦃y : Set α⦄, P y → s ⊆ y → s = y) ↔ ∀ x ∉ s, ¬P (insert x s))
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t✝ : Set α
a b x✝¹ : α
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P t → s ⊆ t → P s
x✝ : P s
h : ∀ x ∉ s, ¬P (insert x s)
t : Set α
ht : P t
hst : s ⊆ t
x : α
hxt : x ∈ t
\u22a2 x ∈ s
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/Algebra/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝¹ : R →+* S
f✝ : R →+* B
f : R →+* S
x y : S
hx : f.IsIntegralElem x
hy : f.IsIntegralElem y
\u22a2 f.IsIntegralElem (x - y)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
\u22a2 HasFTaylorSeriesUpTo ⊤ f p ↔ (∀ (x : E), (p x 0).uncurry0 = f x) ∧ ∀ (m : ℕ) (x : E), HasFDerivAt (fun y => p y m) (p x m.succ).curryLeft x
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁶ : LinearOrder ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : SecondCountableTopology ι
inst✝¹ : BorelSpace ι
inst✝ : TopologicalSpace β
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
h : ProgMeasurable f u
hτ : IsStoppingTime f τ
n : ι
hτ_le : ∀ (ω : Ω), τ ω ≤ n
\u22a2 StronglyMeasurable (stoppedValue u τ)