ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (comap (algebraMap R S) P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(comap (algebraMap R S) P')
hP : (comap (algebraMap R S) P').jacobson = comap (algebraMap R S) P'
\u22a2 P'.jacobson ≤ P'
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (comap (algebraMap R S) P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(comap (algebraMap R S) P')
hP : (comap (algebraMap R S) P').jacobson = comap (algebraMap R S) P'
\u22a2 comap (algebraMap R S) P'.jacobson ≤ comap (algebraMap R S) P'
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (comap (algebraMap R S) P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(comap (algebraMap R S) P')
hP : (comap (algebraMap R S) P').jacobson = comap (algebraMap R S) P'
this : sInf {I | comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I} ≤ comap (algebraMap R S) P'
\u22a2 comap (algebraMap R S) P'.jacobson ≤ comap (algebraMap R S) P'
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (comap (algebraMap R S) P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(comap (algebraMap R S) P')
hP : (comap (algebraMap R S) P').jacobson = comap (algebraMap R S) P'
this : sInf {I | comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I} ≤ comap (algebraMap R S) P'
\u22a2 comap (algebraMap R S) P'.jacobson ≤ sInf {I | comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (comap (algebraMap R S) P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(comap (algebraMap R S) P')
hP : (comap (algebraMap R S) P').jacobson = comap (algebraMap R S) P'
this : sInf {I | comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I} ≤ comap (algebraMap R S) P'
\u22a2 ⨅ I ∈ comap (algebraMap R S) '' {J | P' ≤ J ∧ J.IsMaximal}, I ≤ ⨅ a ∈ {I | comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}, a
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I✝ : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (comap (algebraMap R S) P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(comap (algebraMap R S) P')
hP : (comap (algebraMap R S) P').jacobson = comap (algebraMap R S) P'
this : sInf {I | comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I} ≤ comap (algebraMap R S) P'
I : Ideal R
hI : I ∈ {I | comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}
\u22a2 map (algebraMap R S) I ∈ {J | P' ≤ J ∧ J.IsMaximal}
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I✝ : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (comap (algebraMap R S) P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(comap (algebraMap R S) P')
hP : (comap (algebraMap R S) P').jacobson = comap (algebraMap R S) P'
this : sInf {I | comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I} ≤ comap (algebraMap R S) P'
I : Ideal R
hI : I ∈ {I | comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}
\u22a2 comap (algebraMap R S) (map (algebraMap R S) I) = I
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α
\u22a2 (corec (fun s => s.head) (fun s => s.tail.tail) s).tail = corec (fun s => s.head) (fun s => s.tail.tail) s.tail.tail
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α
\u22a2 (s.head :: corec (fun s => s.head) (fun s => s.tail.tail) s.tail.tail).tail = corec (fun s => s.head) (fun s => s.tail.tail) s.tail.tail
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Antilipschitz.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
\u22a2 edist x y ≤ ↑1 * edist (id x) (id y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝² : HasBinaryCoproduct X Y
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
\u22a2 IsPushout 0 0 coprod.inl coprod.inr
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
S : Finset Λ
k : K
s : StAct k
q : Stmt₂
\u22a2 TM2.SupportsStmt S (stRun s q) ↔ TM2.SupportsStmt S q
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
x : n → 𝕜
\u22a2 (((toLinearMap₂' 𝕜) A) (star x)) x = 0 ↔ (toLin' A) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Star/Pointwise.lean
α : Type u_1
s✝ t✝ : Set α
a : α
inst✝ : InvolutiveStar α
s t : Set α
\u22a2 s⋆ ⊆ t ↔ s ⊆ t⋆
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c c' : E
\u22a2 indicatorConstLp p hs hμs c - indicatorConstLp p hs hμs c' = indicatorConstLp p hs hμs (c - c')
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c c' : E
\u22a2 Memℒp.toLp ((s.indicator fun x => c) - s.indicator fun x => c') ⋯ = Memℒp.toLp (fun a => s.indicator (fun x => c) a - s.indicator (fun x => c') a) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
X Y : D
f f' : X ⟶ Y
\u22a2 f ≫ e.counitInv.app Y = f' ≫ e.counitInv.app Y ↔ f = f'
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
x : M
h : x ∈ f.source
ht : t ∈ 𝓝 x
\u22a2 ↑(f.extend I).symm ⁻¹' t ∈ 𝓝 (↑(f.extend I) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
x : M
h : x ∈ f.source
ht : t ∈ 𝓝 x
\u22a2 t ∈ 𝓝 (↑(f.extend I).symm (↑(f.extend I) x))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
x : M
h : x ∈ f.source
ht : t ∈ 𝓝 x
\u22a2 x ∈ (f.extend I).source
-- Mathlib/Algebra/Lie/CartanExists.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra K L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Finite K L
inst✝³ : Module.Finite R L
inst✝² : Module.Free R L
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Free R M
x y : L
\u22a2 (LieAlgebra.engel_isBot_of_isMin.lieCharpoly R M x y).natDegree = finrank R M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
\u22a2 supported M R (s ∪ t) = supported M R s ⊔ supported M R t
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s1
hp2 : p2 ∈ s2
\u22a2 (s1 ⊔ s2).direction = s1.direction ⊔ s2.direction ⊔ Submodule.span k {p2 -ᵥ p1}
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s1
hp2 : p2 ∈ s2
\u22a2 (s1 ⊔ s2).direction ≤ s1.direction ⊔ s2.direction ⊔ Submodule.span k {p2 -ᵥ p1}
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s1
hp2 : p2 ∈ s2
\u22a2 s1.direction ⊔ s2.direction ⊔ Submodule.span k {p2 -ᵥ p1} ≤ (s1 ⊔ s2).direction
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y✝ z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
p : α → Prop
x : α
H : ∃ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ y ∈ closedBall x R, p y
y : α
\u22a2 p y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y✝ z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
p : α → Prop
x : α
H : ∃ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ y ∈ closedBall x R, p y
y : α
R : ℝ
hR : R ≥ dist y x
h : ∀ z ∈ closedBall x R, p z
\u22a2 p y
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b : α
h : gcd a b = 0
\u22a2 a = 0 ∧ b = 0
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b : α
h : gcd a b = 0
ca : α
ha : a = gcd a b * ca
\u22a2 a = 0 ∧ b = 0
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b : α
h : gcd a b = 0
ca : α
ha : a = gcd a b * ca
cb : α
hb : b = gcd a b * cb
\u22a2 a = 0 ∧ b = 0
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b : α
h : gcd a b = 0
ca : α
ha : a = 0
cb : α
hb : b = 0
\u22a2 a = 0 ∧ b = 0
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b : α
x✝ : a = 0 ∧ b = 0
ha : a = 0
hb : b = 0
\u22a2 gcd a b = 0
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b : α
x✝ : a = 0 ∧ b = 0
ha : a = 0
hb : b = 0
\u22a2 0 ∣ gcd 0 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Defs.lean
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M✝ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
c : ℕ
x : M
\u22a2 c • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Defs.lean
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M✝ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
c : ℕ
x : M
\u22a2 ↑c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ
\u22a2 ‖toL1 f hf‖ = (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ).toReal
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Basic.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
\u22a2 tsupport ↑f = closedBall c f.rOut
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
H : (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q) ≠ 0
H' : ¬((∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) = ⊤ ∨ (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q) = ⊤)
\u22a2 ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
H : (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q) ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, f i ≠ ⊤) ∧ ∀ i ∈ s, g i ≠ ⊤
\u22a2 ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
H : (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q) ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, f i ≠ ⊤) ∧ ∀ i ∈ s, g i ≠ ⊤
this : ↑(∑ i ∈ s, (fun i => (f i).toNNReal) i * (fun i => (g i).toNNReal) i) ≤ ↑((∑ i ∈ s, (fun i => (f i).toNNReal) i ^ p) ^ (1 / p) * (∑ i ∈ s, (fun i => (g i).toNNReal) i ^ q) ^ (1 / q))
\u22a2 ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
H : (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q) ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, f i ≠ ⊤) ∧ ∀ i ∈ s, g i ≠ ⊤
this : ∑ x ∈ s, ↑(f x).toNNReal * ↑(g x).toNNReal ≤ (∑ x ∈ s, ↑(f x).toNNReal ^ p) ^ p⁻¹ * (∑ x ∈ s, ↑(g x).toNNReal ^ q) ^ q⁻¹
\u22a2 ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Nonempty V
n : ℕ
hc : G.Colorable n
\u22a2 0 < G.chromaticNumber
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Nonempty V
n : ℕ
hc : G.Colorable n
\u22a2 0 < sInf {n' | G.Colorable n'}
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Nonempty V
n : ℕ
hc : G.Colorable n
\u22a2 ∀ b ∈ {n | G.Colorable n}, Nat.succ 0 ≤ b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Nonempty V
n : ℕ
hc : G.Colorable n
m : ℕ
hm : m ∈ {n | G.Colorable n}
\u22a2 Nat.succ 0 ≤ m
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Nonempty V
n : ℕ
hc : G.Colorable n
m : ℕ
hm : m ∈ {n | G.Colorable n}
h' : ¬Nat.succ 0 ≤ m
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Nonempty V
n : ℕ
hc : G.Colorable n
m : ℕ
hm : m ∈ {n | G.Colorable n}
h' : m < Nat.succ 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Nonempty V
n : ℕ
hc : G.Colorable n
m : ℕ
hm : m ∈ {n | G.Colorable n}
h' : m < Nat.succ 0
i : ℕ
hi : i < m
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
inst✝ : Nonempty V
n : ℕ
hc : G.Colorable n
m : ℕ
hm : m ∈ {n | G.Colorable n}
h' : m < Nat.succ 0
i : ℕ
hi : i < m
h₁ : i < 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
X : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Zero X
A : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Module ℝ A
inst✝² : IsScalarTower ℝ A A
inst✝¹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝ : TopologicalRing A
φ ψ : C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] A
h : φ.realContinuousMapZeroOfNNReal = ψ.realContinuousMapZeroOfNNReal
f : C(X, ℝ≥0)₀
\u22a2 φ f = ψ f
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
\u22a2 log (2 / (1 - 2 / rexp 1)) * (69 / 50) ≤ √(log ↑N)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
this : ↑12 * log 2 ≤ log ↑N
\u22a2 log (2 / (1 - 2 / rexp 1)) * (69 / 50) ≤ √(log ↑N)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
this : ↑12 * log 2 ≤ log ↑N
\u22a2 0 < 2 / (1 - 2 / rexp 1)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
this : ↑12 * log 2 ≤ log ↑N
\u22a2 log 8 * (69 / 50) ≤ √(log ↑N)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
this : ↑12 * log 2 ≤ log ↑N
l8 : log 8 = ↑3 * log 2
\u22a2 log 8 * (69 / 50) ≤ √(log ↑N)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
this : ↑12 * log 2 ≤ log ↑N
l8 : log 8 = ↑3 * log 2
\u22a2 ↑3 * log 2 * (69 / 50) ≤ √(log ↑N)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
this : ↑12 * log 2 ≤ log ↑N
l8 : log 8 = ↑3 * log 2
\u22a2 (↑3 * log 2 * (69 / 50)) ^ 2 ≤ ↑12 * log 2
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
this : ↑12 * log 2 ≤ log ↑N
l8 : log 8 = ↑3 * log 2
\u22a2 (↑3 * (69 / 50)) ^ 2 * log 2 * log 2 ≤ ↑12 * log 2
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
this : ↑12 * log 2 ≤ log ↑N
l8 : log 8 = ↑3 * log 2
\u22a2 (↑3 * (69 / 50)) ^ 2 * log 2 ≤ ↑12
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
this : ↑12 * log 2 ≤ log ↑N
l8 : log 8 = ↑3 * log 2
\u22a2 log 2 ≤ ↑12 / (↑3 * (69 / 50)) ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
this : ↑12 * log 2 ≤ log ↑N
l8 : log 8 = ↑3 * log 2
\u22a2 0 < (↑3 * (69 / 50)) ^ 2
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R C : ℝ
hf : ∀ z ∈ sphere c |R|, ‖f z‖ ≤ C
θ : ℝ
x✝ : θ ∈ Ι 0 (2 * π)
\u22a2 ‖deriv (circleMap c R) θ • f (circleMap c R θ)‖ = |R| * ‖f (circleMap c R θ)‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R C : ℝ
hf : ∀ z ∈ sphere c |R|, ‖f z‖ ≤ C
\u22a2 |R| * C * |2 * π - 0| = 2 * π * |R| * C
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R C : ℝ
hf : ∀ z ∈ sphere c |R|, ‖f z‖ ≤ C
\u22a2 |R| * C * (2 * π) = 2 * π * |R| * C
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
x₀ : G
\u22a2 ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
x₀ : G
\u22a2 HasCompactSupport fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
x₀ : G
\u22a2 (support fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ support (g ∘ ⇑(Homeomorph.subLeft x₀))
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : BorelSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
x₀ t : G
ht : g (x₀ - t) = 0
\u22a2 (fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) t = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Subsingleton M
\u22a2 finrank R M = 0
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
hf : ¬BddAbove (range f)
\u22a2 ⋃ i, Iic (f i) = univ
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
hf : ¬BddAbove (range f)
\u22a2 ⋃ i, Iio (f i) ⊆ ⋃ i, Iic (f i)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
hf : ¬BddAbove (range f)
i✝ : ι
\u22a2 Iio (f i✝) ⊆ Iic (f i✝)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
e0 : e = 0
\u22a2 a = 0