ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²³ : RCLike 𝕜
inst✝²² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝²¹ : InnerProductSpace 𝕜 E✝
inst✝²⁰ : CompleteSpace E✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E'
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹⁰ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁹ : RCLike 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝⁶ : CompleteSpace E''
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E''
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
E : Type u_10
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ E
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E
hx : 0 ≤ x
\u22a2 0 ≤ᶠ[ae μ] fun a => ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²³ : RCLike 𝕜
inst✝²² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝²¹ : InnerProductSpace 𝕜 E✝
inst✝²⁰ : CompleteSpace E✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E'
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹⁰ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁹ : RCLike 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝⁶ : CompleteSpace E''
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E''
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
E : Type u_10
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ E
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E
hx : 0 ≤ x
a : α
ha : 0 a ≤ ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a
\u22a2 0 a ≤ ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
\u22a2 x ∈ span K (insert y s) → x ∉ span K s → y ∈ span K (insert x s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
\u22a2 ∀ (x_1 : K), ∀ x_2 ∈ span K s, x = x_1 • y + x_2 → x ∉ span K s → ∃ a, ∃ z ∈ span K s, y = a • x + z
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
y z✝ : V
a : K
z : V
hz : z ∈ span K s
h : a • y + z ∉ span K s
\u22a2 ∃ a_1, ∃ z_1 ∈ span K s, y = a_1 • (a • y + z) + z_1
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
y z✝ : V
a : K
z : V
hz : z ∈ span K s
h : a • y + z ∉ span K s
\u22a2 y = a⁻¹ • (a • y + z) + -a⁻¹ • z
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
y z✝ : V
a : K
z : V
hz : z ∈ span K s
h : a • y + z ∉ span K s
a0 : a ≠ 0
\u22a2 y = a⁻¹ • (a • y + z) + -a⁻¹ • z
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
\u22a2 Memℒp (fun x => c) p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
\u22a2 eLpNorm (fun x => c) p μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h0 : ¬p = 0
hμ : ¬μ = 0
\u22a2 eLpNorm (fun x => c) p μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h0 : ¬p = 0
hμ : ¬μ = 0
\u22a2 ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal) < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h0 : ¬p = 0
hμ : ¬μ = 0
\u22a2 μ Set.univ ^ (1 / p.toReal) ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
c : E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h0 : ¬p = 0
hμ : ¬μ = 0
\u22a2 0 ≤ 1 / p.toReal
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
\u22a2 a / b ≤ c ↔ a ≤ b * c
-- Mathlib/GroupTheory/QuotientGroup.lean
G : Type u
inst✝⁵ : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝⁴ : Group H
M✝ : Type x
inst✝³ : Monoid M✝
I : Type u_1
inst✝² : Group I
M : Subgroup H
O : Subgroup I
inst✝¹ : M.Normal
inst✝ : O.Normal
f : G →* H
g : H →* I
hf : N ≤ Subgroup.comap f M
hg : M ≤ Subgroup.comap g O
hgf : optParam (N ≤ Subgroup.comap (g.comp f) O) ⋯
x : G ⧸ N
\u22a2 (map M O g hg) ((map N M f hf) x) = (map N O (g.comp f) hgf) x
-- Mathlib/GroupTheory/QuotientGroup.lean
G : Type u
inst✝⁵ : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝⁴ : Group H
M✝ : Type x
inst✝³ : Monoid M✝
I : Type u_1
inst✝² : Group I
M : Subgroup H
O : Subgroup I
inst✝¹ : M.Normal
inst✝ : O.Normal
f : G →* H
g : H →* I
hf : N ≤ Subgroup.comap f M
hg : M ≤ Subgroup.comap g O
hgf : optParam (N ≤ Subgroup.comap (g.comp f) O) ⋯
x✝ : G ⧸ N
x : G
\u22a2 (map M O g hg) ((map N M f hf) ↑x) = (map N O (g.comp f) hgf) ↑x
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : IsDomain R✝
R : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
hp : p ≠ 2
\u22a2 ∏ μ ∈ primitiveRoots 2 R, (X - C μ) = X + 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : IsDomain R✝
R : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
hp : p ≠ 2
prim_root_two : primitiveRoots 2 R = {-1}
\u22a2 ∏ μ ∈ primitiveRoots 2 R, (X - C μ) = X + 1
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
hx : x ∈ nonZeroDivisorsRight R
\u22a2 IsNilpotent (x * y) ↔ IsNilpotent y
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
hx : x ∈ nonZeroDivisorsRight R
\u22a2 IsNilpotent (x * y) → IsNilpotent y
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
hx : x ∈ nonZeroDivisorsRight R
k : ℕ
hk : (x * y) ^ k = 0
\u22a2 IsNilpotent y
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
hx : x ∈ nonZeroDivisorsRight R
k : ℕ
hk : x ^ k * y ^ k = 0
\u22a2 IsNilpotent y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 3 ≠ 0
\u22a2 W.Ψ₃.coeff 4 ≠ 0
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s
U : Set α
\u22a2 U ∈ ⋯.filter ↔ U ∈ l
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
f : Fin n → α
i : Fin n
\u22a2 (ofFn f).get i = f i
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
f : Fin n → α
i : Fin n
\u22a2 (ofFn f).get i = (List.ofFn f).get ⟨↑i, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
f : Fin n → α
i : Fin n
\u22a2 (ofFn f).toList.get (Fin.cast ⋯ i) = (List.ofFn f).get ⟨↑i, ⋯⟩
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : PosSMulMono α β
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b₁
\u22a2 0 ≤ a • b₁
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
\u22a2 torsionBySet R M s = torsionBySet R M ↑(Ideal.span s)
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
x : M
hx : x ∈ torsionBySet R M s
\u22a2 x ∈ torsionBySet R M ↑(Ideal.span s)
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
x : M
hx : ∀ (a : ↑s), ↑a • x = 0
\u22a2 ∀ (a : ↑↑(Ideal.span s)), ↑a • x = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
x : M
hx : ∀ (a : ↑s), ↑a • x = 0
\u22a2 Ideal.span s ≤ Ideal.torsionOf R M x
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
x : M
hx : ∀ (a : ↑s), ↑a • x = 0
\u22a2 s ⊆ ↑(Ideal.torsionOf R M x)
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n : ℕ
hst : s ⊆ t
\u22a2 s ^ 0 ⊆ t ^ 0
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n✝ : ℕ
hst : s ⊆ t
n : ℕ
\u22a2 s ^ (n + 1) ⊆ t ^ (n + 1)
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n✝ : ℕ
hst : s ⊆ t
n : ℕ
\u22a2 s ^ n * s ⊆ t ^ (n + 1)
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
refl : ∀ (x : α), R x x
symm : ∀ {x y : α}, R x y → R y x
trans : ∀ {x y z : α}, R x y → R y z → R x z
\u22a2 ∀ {x y : Computation α}, LiftRel R x y → LiftRel R y x
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
refl : ∀ (x : α), R x x
symm : ∀ {x y : α}, R x y → R y x
trans : ∀ {x y z : α}, R x y → R y z → R x z
\u22a2 Symmetric R
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
refl : ∀ (x : α), R x x
symm : ∀ {x y : α}, R x y → R y x
trans : ∀ {x y z : α}, R x y → R y z → R x z
\u22a2 ∀ {x y z : Computation α}, LiftRel R x y → LiftRel R y z → LiftRel R x z
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
refl : ∀ (x : α), R x x
symm : ∀ {x y : α}, R x y → R y x
trans : ∀ {x y z : α}, R x y → R y z → R x z
\u22a2 Transitive R
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a r : ℝ
\u22a2 volume (Metric.closedBall a r) = ofReal (2 * r)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
\u22a2 o.oangle y (y - x) = ↑(Real.arcsin (‖x‖ / ‖y - x‖))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1
\u22a2 o.oangle y (y - x) = ↑(Real.arcsin (‖x‖ / ‖y - x‖))
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Indicator.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
f g : ι → M₀
x : ι
hfg : x ∈ support fun x => f x * g x
hf : f x = 0
\u22a2 (fun x => f x * g x) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Pretriangulated.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.101289, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.101293, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
φ₃ : K₃ ⟶ L₃
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
comm : φ₁ ≫ b = a ≫ φ₂
a' : K₂ ⟶ K₃
b' : L₂ ⟶ L₃
comm' : φ₂ ≫ b' = a' ≫ φ₃
\u22a2 φ₁ ≫ b ≫ b' = (a ≫ a') ≫ φ₃
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Pretriangulated.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.101293, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
φ₃ : K₃ ⟶ L₃
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
comm : φ₁ ≫ b = a ≫ φ₂
a' : K₂ ⟶ K₃
b' : L₂ ⟶ L₃
comm' : φ₂ ≫ b' = a' ≫ φ₃
n : ℤ
\u22a2 (map φ₁ φ₃ (a ≫ a') (b ≫ b') ⋯).f n = (map φ₁ φ₂ a b comm ≫ map φ₂ φ₃ a' b' comm').f n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K✝ L L' M : Set V
K : (Finset V)ᵒᵖ
C : G.componentComplFunctor.obj K
\u22a2 (ComponentCompl.supp C).Infinite ↔ C ∈ G.componentComplFunctor.eventualRange K
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K✝ L L' M : Set V
K : (Finset V)ᵒᵖ
C : G.componentComplFunctor.obj K
\u22a2 (∀ (L : Finset V) (h : Opposite.unop K ⊆ L), ∃ D, ComponentCompl.hom h D = C) ↔ ∀ (i : (Finset V)ᵒᵖ) (i_1 : i ⟶ K), ∃ y, ComponentCompl.hom ⋯ y = C
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x y : R
x✝ : ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
c : ↥M
h : (algebraMap R S) (↑c * x) = (algebraMap R S) (↑c * y)
\u22a2 (algebraMap R S) x = (algebraMap R S) y
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x y : R
x✝ : ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
c : ↥M
h : (algebraMap R S) ↑c * (algebraMap R S) x = (algebraMap R S) ↑c * (algebraMap R S) y
\u22a2 (algebraMap R S) x = (algebraMap R S) y
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Prorepresentability.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
A : PointedGaloisObject F
σ : Aut A.obj
this : ∀ (i : PointedGaloisObject F), Finite ((autGaloisSystem F ⋙ forget Grp).obj i)
\u22a2 ∃ a, (π F A) a = σ
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
hh : Function.Injective h
k : κ
x : β (h k)
i : κ
\u22a2 (comapDomain h hh (single (h k) x)) i = (single k x) i
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
hh : Function.Injective h
k : κ
x : β (h k)
i : κ
\u22a2 (single (h k) x) (h i) = (single k x) i
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
hh : Function.Injective h
i : κ
x : β (h i)
\u22a2 (single (h i) x) (h i) = (single i x) i
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
hh : Function.Injective h
k : κ
x : β (h k)
i : κ
hik : i ≠ k
\u22a2 (single (h k) x) (h i) = (single k x) i
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁵ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : S₁.HasRightHomology
inst✝² : S₂.HasRightHomology
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S₂
\u22a2 rightHomologyMap' (F.mapShortComplex.map φ) (F.mapShortComplex.obj S₁).rightHomologyData (F.mapShortComplex.obj S₂).rightHomologyData ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S₂.map F)) (S₂.map F).rightHomologyData (S₂.rightHomologyData.map F) = rightHomologyMap' (𝟙 (S₁.map F)) (S₁.map F).rightHomologyData (S₁.rightHomologyData.map F) ≫ F.map (rightHomologyMap' φ S₁.rightHomologyData S₂.rightHomologyData)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
f : ι → ℝ≥0∞
g : ι' → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι) (j : ι'), f i + g j ≤ a
\u22a2 iSup f + iSup g ≤ a
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
f : ι → ℝ≥0∞
g : ι' → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι) (j : ι'), f i + g j ≤ a
\u22a2 ⨆ b, ⨆ b_1, f b + g b_1 ≤ a
-- Mathlib/Topology/Order/OrderClosed.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
h : a < b
\u22a2 ContinuousWithinAt f (Icc a b) b ↔ ContinuousWithinAt f (Iic b) b
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Isometry.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
M₄ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Module R N
Q₁ : QuadraticMap R M₁ N
Q₂ : QuadraticMap R M₂ N
Q₃ : QuadraticMap R M₃ N
Q₄ : QuadraticMap R M₄ N
g : Q₂ →qᵢ Q₃
f : Q₁ →qᵢ Q₂
x : M₁
\u22a2 Q₃ ({ toFun := fun x => g (f x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x) = Q₁ x
-- Mathlib/Control/Traversable/Lemmas.lean
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f : β → γ
x✝ : t β
η : ApplicativeTransformation F G
x : t (F α)
\u22a2 (fun {α} => η.app α) (sequence x) = sequence ((fun {α} => η.app α) <$> x)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
ι : Type u
f✝ : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
f : ι → Ordinal.{max u u_1} → Ordinal.{max u u_1}
o : Ordinal.{max u_1 u}
\u22a2 derivFamily f o < derivFamily f (succ o)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
ι : Type u
f✝ : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
f : ι → Ordinal.{max u u_1} → Ordinal.{max u u_1}
o : Ordinal.{max u_1 u}
\u22a2 succ (derivFamily f o) ≤ nfpFamily f (succ (derivFamily f o))
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
ι : Type u
f✝ : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
f : ι → Ordinal.{max u u_1} → Ordinal.{max u u_1}
o : Ordinal.{max u_1 u}
l : o.IsLimit
a : Ordinal.{max u_1 u}
\u22a2 derivFamily f o ≤ a ↔ ∀ b < o, derivFamily f b ≤ a
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
p : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 ENNReal.ofReal p < ↑n ↔ p < ↑n
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/RCLike.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
\u22a2 Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/RCLike.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
x✝ : ℕ
\u22a2 (↑x✝)⁻¹ = (⇑(algebraMap ℝ 𝕜) ∘ fun n => (↑n)⁻¹) x✝
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
hxy : ‖x + y‖ ^ 2 ≠ 0
\u22a2 angle x (x + y) = Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
hxy : ‖x + y‖ ^ 2 ≠ 0
\u22a2 Real.arcsin √((‖x + y‖ ^ 2 - ‖x‖ ^ 2) / ‖x + y‖ ^ 2) = Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
hxy : ‖x + y‖ ^ 2 ≠ 0
\u22a2 Real.arcsin √((‖x + y‖ * ‖x + y‖ - ‖x‖ ^ 2) / ‖x + y‖ ^ 2) = Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖)
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
p : Finset α
\u22a2 p ∈ filter (fun p => ¬p.card = s.card / P.parts.card + 1) P.parts ↔ p ∈ filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card) P.parts
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
p : Finset α
\u22a2 p ∈ P.parts → (¬p.card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ p.card = s.card / P.parts.card)
-- Mathlib/Combinatorics/Configuration.lean
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p : P
\u22a2 lineCount L p = order P L + 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
j : Subtype pᶜ
k : Subtype p
\u22a2 biproduct.ι (Subtype.restrict p f) k ≫ (biproduct.fromSubtype f p ≫ biproduct.toSubtype f pᶜ) ≫ biproduct.π (Subtype.restrict pᶜ f) j = biproduct.ι (Subtype.restrict p f) k ≫ 0 ≫ biproduct.π (Subtype.restrict pᶜ f) j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
j : Subtype pᶜ
k : Subtype p
\u22a2 (if h : (p ↑k)ᶜ then biproduct.ι (Subtype.restrict pᶜ f) ⟨↑k, ⋯⟩ else 0) ≫ biproduct.π (Subtype.restrict pᶜ f) j = 0