ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MetricSpace α
inst✝² : CompleteSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : Nonempty α
this : MetricSpace (ℕ → ℕ) := metricSpaceNatNat
I0 : 0 < 1 / 2
I1 : 1 / 2 < 1
u : ℕ → α
hu : DenseRange u
s : Set (ℕ → ℕ) := {x | (⋂ n, closedBall (u (x n)) ((1 / 2) ^ n)).Nonempty}
g : ↑s → α := fun x => Set.Nonempty.some ⋯
A : ∀ (x : ↑s) (n : ℕ), dist (g x) (u (↑x n)) ≤ (1 / 2) ^ n
g_cont : Continuous g
g_surj : Surjective g
\u22a2 ∃ f, Continuous f ∧ Surjective f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MetricSpace α
inst✝² : CompleteSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : Nonempty α
this : MetricSpace (ℕ → ℕ) := metricSpaceNatNat
I0 : 0 < 1 / 2
I1 : 1 / 2 < 1
u : ℕ → α
hu : DenseRange u
s : Set (ℕ → ℕ) := {x | (⋂ n, closedBall (u (x n)) ((1 / 2) ^ n)).Nonempty}
g : ↑s → α := fun x => Set.Nonempty.some ⋯
A : ∀ (x : ↑s) (n : ℕ), dist (g x) (u (↑x n)) ≤ (1 / 2) ^ n
g_cont : Continuous g
g_surj : Surjective g
s_closed : IsClosed s
\u22a2 ∃ f, Continuous f ∧ Surjective f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MetricSpace α
inst✝² : CompleteSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : Nonempty α
this : MetricSpace (ℕ → ℕ) := metricSpaceNatNat
I0 : 0 < 1 / 2
I1 : 1 / 2 < 1
u : ℕ → α
hu : DenseRange u
s : Set (ℕ → ℕ) := {x | (⋂ n, closedBall (u (x n)) ((1 / 2) ^ n)).Nonempty}
g : ↑s → α := fun x => Set.Nonempty.some ⋯
A : ∀ (x : ↑s) (n : ℕ), dist (g x) (u (↑x n)) ≤ (1 / 2) ^ n
g_cont : Continuous g
g_surj : Surjective g
s_closed : IsClosed s
f : (ℕ → ℕ) → ↑s
f_surj : Surjective f
f_cont : Continuous f
\u22a2 ∃ f, Continuous f ∧ Surjective f
-- Mathlib/Probability/Density.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ
f : E → ℝ≥0∞
hmf : AEMeasurable f μ
\u22a2 map X ℙ = μ.withDensity f ↔ pdf X ℙ μ =ᶠ[ae μ] f
-- Mathlib/Probability/Density.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ
f : E → ℝ≥0∞
hmf : AEMeasurable f μ
\u22a2 μ.withDensity (pdf X ℙ μ) = μ.withDensity f ↔ pdf X ℙ μ =ᶠ[ae μ] f
-- Mathlib/Probability/Density.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ
f : E → ℝ≥0∞
hmf : AEMeasurable f μ
\u22a2 ∫⁻ (x : E), pdf X ℙ μ x ∂μ ≠ ⊤
-- Mathlib/Probability/Density.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ
f : E → ℝ≥0∞
hmf : AEMeasurable f μ
\u22a2 ℙ Set.univ ≠ ⊤
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Symmetric.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Fintype τ
\u22a2 psum σ R 0 = ↑(Fintype.card σ)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Symmetric.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Fintype τ
\u22a2 ↑univ.card = ↑(Fintype.card σ)
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α✝
α : Type u_6
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
f : Filter α
inst✝ : f.NeBot
b : β
\u22a2 limsup (fun x => b) f = b
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
\u22a2 HasDerivAt Gamma (-↑√π * (↑γ + 2 * log 2)) (1 / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
this : HasDerivAt Gamma ↑(-√π * (γ + 2 * Real.log 2)) ↑(1 / 2)
\u22a2 HasDerivAt Gamma (-↑√π * (↑γ + 2 * log 2)) (1 / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
\u22a2 ∀ (m : ℕ), ↑(1 / 2) ≠ -↑m
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
l : List α
L : List (List α)
h : (l :: L).any isEmpty = true
\u22a2 (l :: L).sections = []
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
l : List α
L : List (List α)
h : l.isEmpty = true ∨ L.any isEmpty = true
\u22a2 (l :: L).sections = []
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
p : PosNum
\u22a2 ↑(pos p).bit1 = ↑(pos p) + ↑(pos p) + 1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
p : PosNum
\u22a2 ↑p.bit1 = ↑p + ↑p + 1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
p : PosNum
\u22a2 ↑(neg p).bit1 = ↑(neg p) + ↑(neg p) + 1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
p : PosNum
\u22a2 -↑(Num.casesOn p.pred' 1 bit1) = -↑p + -↑p + 1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
p : PosNum
e : p.pred' = Num.zero
ep : p = Num.zero.succ'
\u22a2 -↑(Num.casesOn Num.zero 1 bit1) = -↑p + -↑p + 1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
p a : PosNum
e : p.pred' = Num.pos a
ep : p = (Num.pos a).succ'
\u22a2 -↑(Num.casesOn (Num.pos a) 1 bit1) = -↑p + -↑p + 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : AddChar (ZMod n) C
\u22a2 ψ ≠ 1 ↔ ψ 1 ≠ 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : AddChar (ZMod n) C
\u22a2 (∃ x, ψ x ≠ 1) ↔ ψ 1 ≠ 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : AddChar (ZMod n) C
\u22a2 (∃ x, ψ x ≠ 1) → ψ 1 ≠ 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : AddChar (ZMod n) C
\u22a2 ψ 1 = 1 → ∀ (x : ZMod n), ψ x = 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : AddChar (ZMod n) C
h₁ : ψ 1 = 1
a : ZMod n
\u22a2 ψ a = 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
C : Type v
inst✝¹ : CommMonoid C
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
ψ : AddChar (ZMod n) C
h₁ : ψ 1 = 1
a : ZMod n
ha₁ : a = a.val • 1
\u22a2 ψ a = 1
-- Mathlib/Algebra/Group/Center.lean
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Group M
a b : M
ha : a ∈ S.centralizer
g : M
hg : g ∈ S
\u22a2 g * a⁻¹ = a⁻¹ * g
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
θ : [n + 1] ⟶ [n]
inst✝ : Epi θ
\u22a2 ∃ i, θ = σ i
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
θ : [n + 1] ⟶ [n]
inst✝ : Epi θ
i : Fin (n + 1)
θ' : [n] ⟶ [n]
h : θ = σ i ≫ θ'
\u22a2 ∃ i, θ = σ i
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
θ : [n + 1] ⟶ [n]
inst✝ : Epi θ
i : Fin (n + 1)
θ' : [n] ⟶ [n]
h : θ = σ i ≫ θ'
\u22a2 θ = σ i
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
θ : [n + 1] ⟶ [n]
inst✝ : Epi θ
i : Fin (n + 1)
θ' : [n] ⟶ [n]
h : θ = σ i ≫ θ'
this : Epi (σ i ≫ θ')
\u22a2 θ = σ i
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
θ : [n + 1] ⟶ [n]
inst✝ : Epi θ
i : Fin (n + 1)
θ' : [n] ⟶ [n]
h : θ = σ i ≫ θ'
this✝ : Epi (σ i ≫ θ')
this : Epi θ'
\u22a2 θ = σ i
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
hq : q.natDegree ≠ 0
P : F[X] → Prop := fun r => Splits (algebraMap F (r.comp q).SplittingField) r
key1 : ∀ {r : F[X]}, Irreducible r → P r
key2 : ∀ {p₁ p₂ : F[X]}, P p₁ → P p₂ → P (p₁ * p₂)
\u22a2 Splits (algebraMap F (p.comp q).SplittingField) p
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
\u22a2 gaussianReal μ v ≪ ℙ
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
\u22a2 ℙ.withDensity (gaussianPDF μ v) ≪ ℙ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Minpoly.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
\u22a2 ((leftMulMatrix h.basis) h.gen).charpoly = minpoly R h.gen
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Minpoly.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Subsingleton R
\u22a2 ((leftMulMatrix h.basis) h.gen).charpoly = minpoly R h.gen
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Minpoly.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Nontrivial R
\u22a2 ((leftMulMatrix h.basis) h.gen).charpoly = minpoly R h.gen
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Minpoly.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Nontrivial R
\u22a2 (aeval h.gen) ((leftMulMatrix h.basis) h.gen).charpoly = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Minpoly.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Nontrivial R
\u22a2 ∀ (q : R[X]), q.degree < ((leftMulMatrix h.basis) h.gen).charpoly.degree → q = 0 ∨ (aeval h.gen) q ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Minpoly.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Nontrivial R
q : R[X]
hq : q.degree < ((leftMulMatrix h.basis) h.gen).charpoly.degree
h0 : ¬q = 0
\u22a2 (aeval h.gen) q ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Minpoly.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Nontrivial R
q : R[X]
hq : q.degree < ↑h.dim
h0 : ¬q = 0
\u22a2 (aeval h.gen) q ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Minpoly.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
n : Type v
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
N : Type w
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
h : PowerBasis R S
h✝ : Nontrivial R
q : R[X]
h0 : ¬q = 0
hq : (aeval h.gen) q = 0
\u22a2 ↑h.dim ≤ q.degree
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Ring/Finset.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
f g : ι → R
s t : Finset ι
h0 : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
h1 : ∀ i ∈ s, f i ≤ 1
\u22a2 ∏ i ∈ s, f i ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Ring/Finset.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
f g : ι → R
s t : Finset ι
h0 : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
h1 : ∀ i ∈ s, f i ≤ 1
\u22a2 ∏ i ∈ s, 1 = 1
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
S : Set L
hS : ∀ x ∈ S, IsIntegral K x
\u22a2 Algebra.IsAlgebraic K ↥(adjoin K S)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
S : Set L
hS : ∀ x ∈ S, IsIntegral K x
\u22a2 Algebra.IsAlgebraic K ↥(⨆ i, K⟮↑i⟯)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
\u22a2 a * b⁻¹ < c ↔ a < c * b
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
τ π : Ω → ℕ
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
i : ℕ
ω : Ω
\u22a2 ω ∈ {ω | (τ + π) ω ≤ i} ↔ ω ∈ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ i), {ω | π ω = k} ∩ {ω | τ ω + k ≤ i}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
τ π : Ω → ℕ
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
i : ℕ
ω : Ω
\u22a2 τ ω + π ω ≤ i ↔ ∃ i_1 ≤ i, π ω = i_1 ∧ τ ω + i_1 ≤ i
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
\u22a2 #↑{o' | o' < o} = Cardinal.lift.{u + 1, u} o.card
-- Mathlib/Order/Hom/CompleteLattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : CompleteLattice α
inst✝² : CompleteLattice β
inst✝¹ : CompleteLattice γ
inst✝ : CompleteLattice δ
g : CompleteLatticeHom β γ
f₁ f₂ : CompleteLatticeHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
\u22a2 g (f₁ a) = g (f₂ a)
-- Mathlib/Topology/LocallyConstant/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PreconnectedSpace X
inst✝ : Nonempty Y
f : LocallyConstant X Y
\u22a2 ∃ y, f = const X y
-- Mathlib/Topology/LocallyConstant/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PreconnectedSpace X
inst✝ : Nonempty Y
f : LocallyConstant X Y
x : X
\u22a2 ∃ y, f = const X y
-- Mathlib/Topology/LocallyConstant/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : PreconnectedSpace X
inst✝ : Nonempty Y
f : LocallyConstant X Y
hX : ¬Nonempty X
\u22a2 ∃ y, f = const X y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f f₁ : E → F
f' f₀' f₁' : F
s t : Set E
x v : E
\u22a2 HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v ↔ (fun t => f (x + t • v) - f x - t • f') =o[𝓝 0] fun t => t
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P✝ P : R[X]
N : ℕ
hN : P.natDegree ≤ N
\u22a2 IsNilpotent (reflect N P) ↔ IsNilpotent P
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P✝ P : R[X]
N : ℕ
hN : P.natDegree ≤ N
\u22a2 (∀ (i : ℕ), IsNilpotent ((reflect N P).coeff i)) ↔ ∀ (i : ℕ), IsNilpotent (P.coeff i)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P✝ P : R[X]
N : ℕ
hN : P.natDegree ≤ N
h : ∀ (i : ℕ), IsNilpotent ((reflect N P).coeff i)
i : ℕ
hi : i ≤ N
\u22a2 IsNilpotent (P.coeff i)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P✝ P : R[X]
N : ℕ
hN : P.natDegree ≤ N
h : ∀ (i : ℕ), IsNilpotent ((reflect N P).coeff i)
i : ℕ
hi : N < i
\u22a2 IsNilpotent (P.coeff i)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P✝ P : R[X]
N : ℕ
hN : P.natDegree ≤ N
h : ∀ (i : ℕ), IsNilpotent (P.coeff i)
i : ℕ
hi : i ≤ N
\u22a2 IsNilpotent ((reflect N P).coeff i)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P✝ P : R[X]
N : ℕ
hN : P.natDegree ≤ N
h : ∀ (i : ℕ), IsNilpotent (P.coeff i)
i : ℕ
hi : N < i
\u22a2 IsNilpotent ((reflect N P).coeff i)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Semiconj.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
a b x y x' y' : R
h : SemiconjBy a x y
h' : SemiconjBy a x' y'
\u22a2 SemiconjBy a (x - x') (y - y')
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f : β → α
s t : Set α
x y : α
\u22a2 s.WellFoundedOn r ↔ WellFounded fun a b => r a b ∧ a ∈ s ∧ b ∈ s
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f✝ : β → α
s t : Set α
x y : α
f : (fun a b => r ↑a ↑b) ↪r fun a b => r a b ∧ a ∈ s ∧ b ∈ s
\u22a2 s.WellFoundedOn r ↔ WellFounded fun a b => r a b ∧ a ∈ s ∧ b ∈ s
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f✝ : β → α
s t : Set α
x y : α
f : (fun a b => r ↑a ↑b) ↪r fun a b => r a b ∧ a ∈ s ∧ b ∈ s
h : s.WellFoundedOn r
\u22a2 WellFounded fun a b => r a b ∧ a ∈ s ∧ b ∈ s
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f✝ : β → α
s t : Set α
x y : α
f : (fun a b => r ↑a ↑b) ↪r fun a b => r a b ∧ a ∈ s ∧ b ∈ s
h : s.WellFoundedOn r
\u22a2 ∀ (s_1 : Set α), s_1.Nonempty → ∃ m ∈ s_1, ∀ x ∈ s_1, ¬(r x m ∧ x ∈ s ∧ m ∈ s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Exposed.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : OrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
l✝ : E →L[𝕜] 𝕜
A B : Set E
X : Finset E
x w : E
l : E →L[𝕜] 𝕜
hC : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}
hCB : {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x} ⊆ B
hw : w ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}
\u22a2 ∃ l_1, {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x} = {x | x ∈ A ∩ B ∧ ∀ y ∈ A ∩ B, l_1 y ≤ l_1 x}
-- Mathlib/Order/Disjointed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
f d : ℕ → α
hdisj : Pairwise (Disjoint on d)
hsups : partialSups d = partialSups f
n : ℕ
\u22a2 d (n + 1) = disjointed f (n + 1)
-- Mathlib/Order/Disjointed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
f d : ℕ → α
hdisj : Pairwise (Disjoint on d)
hsups : partialSups d = partialSups f
n : ℕ
\u22a2 d n.succ = (partialSups d) n.succ \ (partialSups d) n
-- Mathlib/Order/Disjointed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
f d : ℕ → α
hdisj : Pairwise (Disjoint on d)
hsups : partialSups d = partialSups f
n : ℕ
\u22a2 Disjoint ((partialSups d) n) (d (n + 1))
-- Mathlib/Order/Disjointed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
f d : ℕ → α
hdisj : Pairwise (Disjoint on d)
hsups : partialSups d = partialSups f
n : ℕ
\u22a2 ∀ m ≤ n, Disjoint ((partialSups d) m) (d n.succ)
-- Mathlib/Order/Disjointed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
f d : ℕ → α
hdisj : Pairwise (Disjoint on d)
hsups : partialSups d = partialSups f
n m : ℕ
ih : m ≤ n → Disjoint ((partialSups d) m) (d n.succ)
hm : m + 1 ≤ n
\u22a2 Disjoint ((partialSups d) (m + 1)) (d n.succ)
-- Mathlib/Order/Disjointed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
f d : ℕ → α
hdisj : Pairwise (Disjoint on d)
hsups : partialSups d = partialSups f
n m : ℕ
ih : m ≤ n → Disjoint ((partialSups d) m) (d n.succ)
hm : m + 1 ≤ n
\u22a2 Disjoint ((partialSups d) m) (d n.succ) ∧ Disjoint (d (m + 1)) (d n.succ)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∑' (i : α), f i ≠ ⊤
\u22a2 Summable (ENNReal.toNNReal ∘ f)
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableClosure.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
\u22a2 sepDegree F ↥⊥ = 1
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableClosure.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
this : Cardinal.lift.{u, v} (sepDegree F ↥⊥) = Cardinal.lift.{v, u} (sepDegree F F)
\u22a2 sepDegree F ↥⊥ = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
hα' : weightSpace M α ≠ ⊥
e : (chainTop α β).IsZero
\u22a2 weightSpace M α = ⊥
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : Cocone F
hc : IsColimit c
s : Cone F.unop
m : s.pt ⟶ (coneUnopOfCocone c).pt
w : ∀ (j : J), m ≫ (coneUnopOfCocone c).π.app j = s.π.app j
\u22a2 m = (fun s => (hc.desc (coconeOfConeUnop s)).unop) s
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : Cocone F
hc : IsColimit c
s : Cone F.unop
m : s.pt ⟶ (coneUnopOfCocone c).pt
w : ∀ (j : J), m ≫ (coneUnopOfCocone c).π.app j = s.π.app j
j : Jᵒᵖ
\u22a2 (c.ι.app j ≫ m.op).unop = (c.ι.app j ≫ ((fun s => (hc.desc (coconeOfConeUnop s)).unop) s).op).unop
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/LocallyRingedSpace.lean
X✝ X Y Z : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
e : X ≅ Y
y : ↑Y.toTopCat
\u22a2 Hom.stalkMap e.hom (e.inv.val.base y) ≫ Hom.stalkMap e.inv y = Y.presheaf.stalkSpecializes ⋯
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/LocallyRingedSpace.lean
X✝ X Y Z : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
e : X ≅ Y
y : ↑Y.toTopCat
\u22a2 Y.presheaf.stalkSpecializes ⋯ ≫ Hom.stalkMap (𝟙 Y) y = Y.presheaf.stalkSpecializes ⋯
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/OfAlternating.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
m : M
x : ExteriorAlgebra R M
\u22a2 (((foldl 0 (LinearMap.mk₂ R (fun m f i => (f (i + 1)).curryLeft m) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) ⋯) f) ((ι R) m * x) 0) 0 = (((foldl 0 (LinearMap.mk₂ R (fun m f i => (f (i + 1)).curryLeft m) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) ⋯) fun i => (f (i + 1)).curryLeft m) x 0) 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/OfAlternating.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
m : M
x : ExteriorAlgebra R M
\u22a2 (((foldl 0 (LinearMap.mk₂ R (fun m f i => (f (i + 1)).curryLeft m) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) ⋯) (((LinearMap.mk₂ R (fun m f i => (f (i + 1)).curryLeft m) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) m) f)) x 0) 0 = (((foldl 0 (LinearMap.mk₂ R (fun m f i => (f (i + 1)).curryLeft m) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) ⋯) fun i => (f (i + 1)).curryLeft m) x 0) 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Ker.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : Ring R₂
inst✝⁹ : Ring R₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
\u22a2 ker f = ⊥ ↔ Injective ⇑f
-- Mathlib/Data/Tree/Basic.lean
α : Type u
x : Tree α
\u22a2 0 < x.numLeaves
-- Mathlib/Data/Tree/Basic.lean
α : Type u
x : Tree α
\u22a2 0 < x.numNodes + 1
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Field.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : C < 0
hf : Tendsto f l (𝓝 C)
hg : Tendsto g l atTop
\u22a2 Tendsto (fun x => f x * g x) l atBot
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Ici a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
hf : Tendsto f atTop (𝓝 m)
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x = m - f a