ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/Basic.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
x y : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
r : ℝ
h : ∀ (i : ι), I.upper i - I.lower i = (J.upper i - J.lower i) / r
i : ι
\u22a2 ↑((Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b) / Real.nnabs r) / (Real.nnabs (J.upper i - J.lower i) / Real.nnabs r)) = ↑((Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b)) / Real.nnabs (J.upper i - J.lower i))
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/Basic.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
x y : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
r : ℝ
h : ∀ (i : ι), I.upper i - I.lower i = (J.upper i - J.lower i) / r
i : ι
this : 0 < r
\u22a2 ↑((Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b) / Real.nnabs r) / (Real.nnabs (J.upper i - J.lower i) / Real.nnabs r)) = ↑((Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b)) / Real.nnabs (J.upper i - J.lower i))
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/Basic.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
x y : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
r : ℝ
h : ∀ (i : ι), I.upper i - I.lower i = (J.upper i - J.lower i) / r
i : ι
this : 0 < r
hn0 : Real.nnabs r ≠ 0
\u22a2 ↑((Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b) / Real.nnabs r) / (Real.nnabs (J.upper i - J.lower i) / Real.nnabs r)) = ↑((Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b)) / Real.nnabs (J.upper i - J.lower i))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/CancelLeads.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
comm : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = q.leadingCoeff * p.leadingCoeff
h : p.natDegree ≤ q.natDegree
hq : 0 < q.natDegree
hp : ¬p = 0
\u22a2 (p.cancelLeads q).natDegree < q.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/CancelLeads.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
comm : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = q.leadingCoeff * p.leadingCoeff
h : p.natDegree ≤ q.natDegree
hq : 0 < q.natDegree
hp : ¬p = 0
\u22a2 (C p.leadingCoeff * q + -(C q.leadingCoeff * X ^ (q.natDegree - p.natDegree) * p)).natDegree < q.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/CancelLeads.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
comm : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = q.leadingCoeff * p.leadingCoeff
h : p.natDegree ≤ q.natDegree
hq : 0 < q.natDegree
hp : ¬p = 0
h0 : ¬C p.leadingCoeff * q + -(C q.leadingCoeff * X ^ (q.natDegree - p.natDegree) * p) = 0
\u22a2 (C p.leadingCoeff * q + -(C q.leadingCoeff * X ^ (q.natDegree - p.natDegree) * p)).natDegree < q.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/CancelLeads.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
comm : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = q.leadingCoeff * p.leadingCoeff
h : p.natDegree ≤ q.natDegree
hq : 0 < q.natDegree
hp : ¬p = 0
h0 : ¬C p.leadingCoeff * q + -(C q.leadingCoeff * X ^ (q.natDegree - p.natDegree) * p) = 0
\u22a2 (C p.leadingCoeff * q + -(C q.leadingCoeff * X ^ (q.natDegree - p.natDegree) * p)).natDegree ≤ q.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/CancelLeads.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
comm : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = q.leadingCoeff * p.leadingCoeff
h : p.natDegree ≤ q.natDegree
hq : 0 < q.natDegree
hp : ¬p = 0
h0 : ¬C p.leadingCoeff * q + -(C q.leadingCoeff * X ^ (q.natDegree - p.natDegree) * p) = 0
\u22a2 (C p.leadingCoeff * q + -(C q.leadingCoeff * X ^ (q.natDegree - p.natDegree) * p)).natDegree ≠ q.natDegree
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝¹⁰ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
c : 𝕜
u : E i →L[𝕜] E' i
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
\u22a2 (mapL (update f i (c • u))) x = (c • mapL (update f i u)) x
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 (a \ b) \ b = a \ b
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hPz : P z ≠ 0
\u22a2 W.Nonsingular ![P x / P z ^ 2, W.toAffine.negY (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3), 1]
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t : Finset ι
\u22a2 ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t : Finset ι
\u22a2 ∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι}, a ∉ s → (∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (s.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ s.powerset, f (s.piecewise m m')) → ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f ((insert a s).piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ (insert a s).powerset, f (s.piecewise m m')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
\u22a2 f ((insert i t).piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ (insert i t).powerset, f (s.piecewise m m')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i)
\u22a2 f ((insert i t).piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ (insert i t).powerset, f (s.piecewise m m')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i)
B : update (t.piecewise (m + m') m') i (m' i) = t.piecewise (m + m') m'
m'' : (a : ι) → M₁ a := update m' i (m i)
C : update (t.piecewise (m + m') m') i (m i) = t.piecewise (m + m'') m''
\u22a2 f ((insert i t).piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ (insert i t).powerset, f (s.piecewise m m')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i)
B : update (t.piecewise (m + m') m') i (m' i) = t.piecewise (m + m') m'
m'' : (a : ι) → M₁ a := update m' i (m i)
C : update (t.piecewise (m + m') m') i (m i) = t.piecewise (m + m'') m''
\u22a2 ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m') + ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m'') = ∑ t ∈ t.powerset, f (t.piecewise m m') + ∑ t ∈ t.powerset, f ((insert i t).piecewise m m')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i)
B : update (t.piecewise (m + m') m') i (m' i) = t.piecewise (m + m') m'
m'' : (a : ι) → M₁ a := update m' i (m i)
C : update (t.piecewise (m + m') m') i (m i) = t.piecewise (m + m'') m''
\u22a2 ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m'') = ∑ t ∈ t.powerset, f ((insert i t).piecewise m m')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i)
B : update (t.piecewise (m + m') m') i (m' i) = t.piecewise (m + m') m'
m'' : (a : ι) → M₁ a := update m' i (m i)
C : update (t.piecewise (m + m') m') i (m i) = t.piecewise (m + m'') m''
s : Finset ι
hs : s ∈ t.powerset
\u22a2 f (s.piecewise m m'') = f ((insert i s).piecewise m m')
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
M : Matrix n n α
v : n → α
\u22a2 M = (diagonal v)ᵀ ↔ M = diagonal v
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
f : Filter α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
u : α → β
b : β
h : b < liminf u f
hu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝
\u22a2 ∀ᶠ (a : α) in f, b < u a
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
f : Filter α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
u : α → β
b : β
h : b < liminf u f
hu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝
c : β
hc : c ∈ {c | ∀ᶠ (n : α) in f, c ≤ u n}
hbc : b < c
\u22a2 ∀ᶠ (a : α) in f, b < u a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℚ
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
\u22a2 ∫⁻ (x : α), preCDF ρ r x ∂ρ.fst = (ρ.IicSnd ↑r) univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
hf : ¬Integrable f μ
\u22a2 ∫ (x : α), (μ[f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : IsCompact s
h's : MeasurableSet s
this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
\u22a2 AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : IsCompact s
h's : MeasurableSet s
this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
\u22a2 AEMeasurable f (μ.restrict s) ∧ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x ∈ t
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : IsCompact s
h's : MeasurableSet s
this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
\u22a2 IsSeparable (f '' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : IsCompact s
h's : MeasurableSet s
this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x ∈ f '' s
-- Mathlib/Order/WellFounded.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r' r : α → α → Prop
wf : WellFounded r
x : α
h : ∃ y, r x y
\u22a2 r x (wf.succ x)
-- Mathlib/Order/WellFounded.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r' r : α → α → Prop
wf : WellFounded r
x : α
h : ∃ y, r x y
\u22a2 r x (wf.min {y | r x y} h)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
\u22a2 (-s).toJordanDecomposition = -s.toJordanDecomposition
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
\u22a2 (-s).toJordanDecomposition.toSignedMeasure = (-s.toJordanDecomposition).toSignedMeasure
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
\u22a2 TopologicalSpace.IsTopologicalBasis {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
\u22a2 ∀ (a : α) (u : Set α), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}, a ∈ v ∧ v ⊆ u
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
x : α
s : Set α
xs : x ∈ s
hs : IsOpen s
\u22a2 ∃ v ∈ {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}, x ∈ v ∧ v ⊆ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
x : α
s : Set α
xs : x ∈ s
hs : IsOpen s
v : Set α
xv : x ∈ v
hv : IsOpen v
μv : μ v < ⊤
\u22a2 ∃ v ∈ {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}, x ∈ v ∧ v ⊆ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
x : α
s : Set α
xs : x ∈ s
hs : IsOpen s
v : Set α
xv : x ∈ v
hv : IsOpen v
μv : μ v < ⊤
\u22a2 μ (v ∩ s) ≤ μ v
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Ring.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : ℕ → α
inst✝¹ : T3Space α
inst✝ : TopologicalSemiring α
hf : Summable f
hg : Summable g
hfg : Summable fun x => f x.1 * g x.2
\u22a2 (∑' (n : ℕ), f n) * ∑' (n : ℕ), g n = ∑' (n : ℕ), ∑ k ∈ range (n + 1), f k * g (n - k)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Ring.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : ℕ → α
inst✝¹ : T3Space α
inst✝ : TopologicalSemiring α
hf : Summable f
hg : Summable g
hfg : Summable fun x => f x.1 * g x.2
\u22a2 (∑' (n : ℕ), f n) * ∑' (n : ℕ), g n = ∑' (n : ℕ), ∑ ij ∈ antidiagonal n, f ij.1 * g ij.2
-- Mathlib/CategoryTheory/GlueData.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
F✝ : C ⥤ C'
H : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F✝
inst✝³ : HasMulticoequalizer D.diagram
inst✝² : PreservesColimit D.diagram.multispan F✝
F : C ⥤ Type v
inst✝¹ : PreservesColimit D.diagram.multispan F
inst✝ : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
x : F.obj D.glued
e : F.obj D.glued ≅ (D.mapGlueData F).glued := D.gluedIso F
\u22a2 ∃ i y, F.map (D.ι i) y = x
-- Mathlib/CategoryTheory/GlueData.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
F✝ : C ⥤ C'
H : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F✝
inst✝³ : HasMulticoequalizer D.diagram
inst✝² : PreservesColimit D.diagram.multispan F✝
F : C ⥤ Type v
inst✝¹ : PreservesColimit D.diagram.multispan F
inst✝ : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
x : F.obj D.glued
e : F.obj D.glued ≅ (D.mapGlueData F).glued := D.gluedIso F
i : (D.mapGlueData F).J
y : (D.mapGlueData F).U i
eq : (D.mapGlueData F).ι i y = e.hom x
\u22a2 ∃ i y, F.map (D.ι i) y = x
-- Mathlib/CategoryTheory/GlueData.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
F✝ : C ⥤ C'
H : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F✝
inst✝³ : HasMulticoequalizer D.diagram
inst✝² : PreservesColimit D.diagram.multispan F✝
F : C ⥤ Type v
inst✝¹ : PreservesColimit D.diagram.multispan F
inst✝ : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
x : F.obj D.glued
e : F.obj D.glued ≅ (D.mapGlueData F).glued := D.gluedIso F
i : (D.mapGlueData F).J
y : (D.mapGlueData F).U i
eq : ((D.mapGlueData F).ι i ≫ e.inv) y = (e.hom ≫ e.inv) x
\u22a2 ∃ i y, F.map (D.ι i) y = x
-- Mathlib/CategoryTheory/GlueData.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
F✝ : C ⥤ C'
H : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F✝
inst✝³ : HasMulticoequalizer D.diagram
inst✝² : PreservesColimit D.diagram.multispan F✝
F : C ⥤ Type v
inst✝¹ : PreservesColimit D.diagram.multispan F
inst✝ : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
x : F.obj D.glued
e : F.obj D.glued ≅ (D.mapGlueData F).glued := D.gluedIso F
i : (D.mapGlueData F).J
y : (D.mapGlueData F).U i
eq : F.map (D.ι i) y = 𝟙 (F.obj D.glued) x
\u22a2 ∃ i y, F.map (D.ι i) y = x
-- Mathlib/Topology/Metrizable/Uniformity.lean
X : Type u_1
d : X → X → ℝ≥0
dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0
dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x
hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄))
x y : X
\u22a2 ↑(d x y) ≤ 2 * dist x y
-- Mathlib/Topology/Metrizable/Uniformity.lean
X : Type u_1
d : X → X → ℝ≥0
dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0
dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x
hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄))
x y : X
\u22a2 d x y ≤ ⨅ i, 2 * (zipWith d (x :: i) (i ++ [y])).sum
-- Mathlib/Topology/Metrizable/Uniformity.lean
X : Type u_1
d : X → X → ℝ≥0
dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0
dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x
hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄))
x y : X
l : List X
\u22a2 d x y ≤ 2 * (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])).sum
-- Mathlib/Topology/Metrizable/Uniformity.lean
X : Type u_1
d : X → X → ℝ≥0
dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0
dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x
hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄))
x y : X
l : List X
hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0
\u22a2 d x y ≤ 2 * (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])).sum
-- Mathlib/Topology/Metrizable/Uniformity.lean
X : Type u_1
d : X → X → ℝ≥0
dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0
dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x
hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄))
x y : X
l : List X
hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0
this : IsTrans X fun x y => d x y = 0
\u22a2 d x y ≤ 2 * (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])).sum
-- Mathlib/Topology/Metrizable/Uniformity.lean
X : Type u_1
d : X → X → ℝ≥0
dist_self : ∀ (x : X), d x x = 0
dist_comm : ∀ (x y : X), d x y = d y x
hd : ∀ (x₁ x₂ x₃ x₄ : X), d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄))
hd₀_trans : Transitive fun x y => d x y = 0
this : IsTrans X fun x y => d x y = 0
n : ℕ
ihn : ∀ m < n, ∀ (x y : X) (l : List X), l.length = m → d x y ≤ 2 * (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])).sum
x y : X
l : List X
hn : l.length = n
\u22a2 d x y ≤ 2 * (zipWith d (x :: l) (l ++ [y])).sum