ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreUnitCounit F G
X : C
Y : D
g : X ⟶ G.obj Y
\u22a2 adj.unit.app X ≫ G.map (F.map g ≫ adj.counit.app Y) = g
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreUnitCounit F G
X : C
Y : D
g : X ⟶ G.obj Y
\u22a2 (𝟭 C).map g ≫ adj.unit.app (G.obj Y) ≫ G.map (adj.counit.app Y) = g
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreUnitCounit F G
X : C
Y : D
g : X ⟶ G.obj Y
e_4✝ : (𝟭 C).obj (G.obj Y) = G.obj Y
\u22a2 adj.unit.app (G.obj Y) ≫ G.map (adj.counit.app Y) = 𝟙 (G.obj Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreUnitCounit F G
X : C
Y : D
g : X ⟶ G.obj Y
e_4✝ : (𝟭 C).obj (G.obj Y) = G.obj Y
t : (fun t => t.app Y) (whiskerLeft G adj.unit ≫ (G.associator F G).inv ≫ whiskerRight adj.counit G) = (fun t => t.app Y) (NatTrans.id (G ⋙ 𝟭 C))
\u22a2 adj.unit.app (G.obj Y) ≫ G.map (adj.counit.app Y) = 𝟙 (G.obj Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreUnitCounit F G
X : C
Y : D
g : X ⟶ G.obj Y
e_4✝ : (𝟭 C).obj (G.obj Y) = G.obj Y
t : adj.unit.app (G.obj Y) ≫ 𝟙 (G.obj (F.obj (G.obj Y))) ≫ G.map (adj.counit.app Y) = 𝟙 (G.obj Y)
\u22a2 adj.unit.app (G.obj Y) ≫ G.map (adj.counit.app Y) = 𝟙 (G.obj Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreUnitCounit F G
X : C
Y : D
g : X ⟶ G.obj Y
e_4✝ : (𝟭 C).obj (G.obj Y) = G.obj Y
t : adj.unit.app (G.obj Y) ≫ G.map (adj.counit.app Y) = 𝟙 (G.obj Y)
\u22a2 adj.unit.app (G.obj Y) ≫ G.map (adj.counit.app Y) = 𝟙 (G.obj Y)
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
\u22a2 QuotientAddGroup.mk '' Ioc a (a + p) = univ
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
\u22a2 (range fun x => ↑↑x) = univ
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝ : Preorder α
f : ℤ → α
hf : Monotone f
n a : ℤ
h1 : f n < f a
h2 : f a < f (n + 1)
\u22a2 False
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
inst✝ : Invertible 2
x y : M
\u22a2 LinearMap.IsOrtho (associated Q) x y ↔ Q.IsOrtho x y
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Currying.lean
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
F₁ F₂ : B ⥤ C ⥤ D
h : uncurry.obj F₁ = uncurry.obj F₂
\u22a2 F₁ = F₂
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
c : Char
cs t : List Char
i : Nat
\u22a2 go₂ (c :: cs ++ t) { byteIdx := i } { byteIdx := utf8Len (c :: cs) + i } = c :: cs
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
c : Char
cs t : List Char
i : Nat
\u22a2 go₂ (cs ++ t) { byteIdx := i + c.utf8Size } { byteIdx := utf8Len cs + c.utf8Size + i } = cs
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
c : Char
cs t : List Char
i : Nat
\u22a2 utf8Len cs + c.utf8Size + i = utf8Len cs + (i + c.utf8Size)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
op : Ordinal.{u} → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
a o : Ordinal.{u}
hao : a < o
H : IsNormal (op a)
ho : Principal op o
ho' : o.IsLimit
\u22a2 op a o = o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
op : Ordinal.{u} → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
a o : Ordinal.{u}
hao : a < o
H : IsNormal (op a)
ho : Principal op o
ho' : o.IsLimit
\u22a2 op a o ≤ o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
op : Ordinal.{u} → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
a o : Ordinal.{u}
hao : a < o
H : IsNormal (op a)
ho : Principal op o
ho' : o.IsLimit
\u22a2 ∀ i < o, op a i ≤ o
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/WellKnown.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
\u22a2 ∑ k ∈ Finset.range n, exp A ^ k = mk fun p => ∑ k ∈ Finset.range n, ↑k ^ p * (algebraMap ℚ A) (↑p !)⁻¹
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/WellKnown.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
\u22a2 ∑ x ∈ Finset.range n, { toFun := fun f => mk fun n => ↑x ^ n * (coeff A n) f, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ } (exp A) = mk fun p => ∑ k ∈ Finset.range n, ↑k ^ p * (algebraMap ℚ A) (↑p !)⁻¹
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/WellKnown.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n n✝ : ℕ
\u22a2 (coeff A n✝) (∑ x ∈ Finset.range n, { toFun := fun f => mk fun n => ↑x ^ n * (coeff A n) f, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ } (exp A)) = (coeff A n✝) (mk fun p => ∑ k ∈ Finset.range n, ↑k ^ p * (algebraMap ℚ A) (↑p !)⁻¹)
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : MulZeroClass α
s✝ t s : Finset α
\u22a2 0 * s ⊆ 0
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalSampling.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
inst✝⁹ : LocallyFiniteOrder ι
inst✝⁸ : OrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : DiscreteTopology ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n✝ : ι
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
n : ι
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
h_sf_min : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
\u22a2 (stoppedValue f fun x => min (σ x) (τ x)) =ᶠ[ae μ] μ[stoppedValue f τ|hσ.measurableSpace]
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalSampling.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
inst✝⁹ : LocallyFiniteOrder ι
inst✝⁸ : OrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : DiscreteTopology ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n✝ : ι
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
n : ι
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
h_sf_min : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
\u22a2 μ[stoppedValue f τ|⋯.measurableSpace] =ᶠ[ae μ] μ[stoppedValue f τ|hσ.measurableSpace]
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalSampling.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
inst✝⁹ : LocallyFiniteOrder ι
inst✝⁸ : OrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : DiscreteTopology ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n✝ : ι
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
n : ι
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
h_sf_min : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
\u22a2 ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ.restrict {x | σ x ≤ τ x}, (μ[stoppedValue f τ|⋯.measurableSpace]) x = (μ[stoppedValue f τ|hσ.measurableSpace]) x
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalSampling.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
inst✝⁹ : LocallyFiniteOrder ι
inst✝⁸ : OrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : DiscreteTopology ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n✝ : ι
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
n : ι
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
h_sf_min : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
\u22a2 ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ.restrict {x | σ x ≤ τ x}ᶜ, (μ[stoppedValue f τ|⋯.measurableSpace]) x = (μ[stoppedValue f τ|hσ.measurableSpace]) x
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : Ring α
h : Periodic f c
n : ℕ
\u22a2 f (↑n * c - x) = f (-x)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/BaseChange.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
\u22a2 IsLocalizedModule S f ↔ IsBaseChange A f
-- Mathlib/RingTheory/Localization/BaseChange.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
\u22a2 IsLocalizedModule S f
-- Mathlib/RingTheory/Localization/BaseChange.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
this : IsBaseChange A (LocalizedModule.mkLinearMap S M)
\u22a2 IsLocalizedModule S f
-- Mathlib/RingTheory/Localization/BaseChange.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
this : IsBaseChange A (LocalizedModule.mkLinearMap S M)
e : LocalizedModule S M ≃ₗ[R] M' := LinearEquiv.restrictScalars R (this.equiv.symm ≪≫ₗ h.equiv)
\u22a2 IsLocalizedModule S f
-- Mathlib/RingTheory/Localization/BaseChange.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
this : IsBaseChange A (LocalizedModule.mkLinearMap S M)
e : LocalizedModule S M ≃ₗ[R] M' := LinearEquiv.restrictScalars R (this.equiv.symm ≪≫ₗ h.equiv)
\u22a2 f = ↑e ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap S M
-- Mathlib/RingTheory/Localization/BaseChange.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module A M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
this : IsBaseChange A (LocalizedModule.mkLinearMap S M)
e : LocalizedModule S M ≃ₗ[R] M' := LinearEquiv.restrictScalars R (this.equiv.symm ≪≫ₗ h.equiv)
x✝ : M
\u22a2 f x✝ = (↑e ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap S M) x✝
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
\u22a2 ContDiffAt 𝕜 1 f x ↔ ∃ f', ∃ u ∈ 𝓝 x, ContinuousOn f' u ∧ ∀ x ∈ u, HasFDerivAt f (f' x) x
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Unitization.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
s : NonUnitalSubalgebra R A
\u22a2 Subalgebra.toSubmodule (adjoin R ↑s) = span R {1} ⊔ s.toSubmodule
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : DivisionRing k
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : CharZero k
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
\u22a2 (b.coord i) (Finset.centroid k s ⇑b) = (↑s.card)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
\u22a2 ((liftIsometry 𝕜 E F) f) x = (lift f.toMultilinearMap) x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
E : Set α
\u22a2 closure E = ⋂ δ, ⋂ (_ : 0 < δ), cthickening δ E
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
E : Set α
\u22a2 cthickening 0 E = ⋂ δ, ⋂ (_ : 0 < δ), cthickening δ E
-- Mathlib/Order/JordanHolder.lean
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
h : ∀ (x : X), x ∈ s₁ ↔ x ∈ s₂
\u22a2 (toList s₁).Perm (toList s₂)
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 3
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r
\u22a2 jacobiSymNat a b = -r
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 3
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r
\u22a2 jacobiSym (↑a) b = -jacobiSym (↑a / 2) b
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 3
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r
\u22a2 b % 2 = 1
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 3
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r
\u22a2 2 ∣ 8
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
\u22a2 cexp (-x) = (cexp x)⁻¹
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
\u22a2 cexp (x + -x) = cexp x * (cexp x)⁻¹
-- Mathlib/Data/Quot.lean
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
ι : Type u_3
α : ι → Sort u_4
s : (i : ι) → Setoid (α i)
p : ((i : ι) → Quotient (s i)) → Prop
f : (i : ι) → Quotient (s i)
h : ∀ (a : (i : ι) → α i), p fun i => ⟦a i⟧
\u22a2 p f
-- Mathlib/Data/Quot.lean
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
ι : Type u_3
α : ι → Sort u_4
s : (i : ι) → Setoid (α i)
p : ((i : ι) → Quotient (s i)) → Prop
f : (i : ι) → Quotient (s i)
h : ∀ (a : (i : ι) → α i), p fun i => ⟦a i⟧
\u22a2 p fun i => ⟦(f i).out⟧
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c : Ordinal.{u}
\u22a2 a < b ♯ c ↔ (∃ b' < b, a ≤ b' ♯ c) ∨ ∃ c' < c, a ≤ b ♯ c'
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c : Ordinal.{u}
\u22a2 a < max (b.blsub fun a' x => a' ♯ c) (c.blsub fun b' x => b ♯ b') ↔ (∃ b' < b, a ≤ b' ♯ c) ∨ ∃ c' < c, a ≤ b ♯ c'
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x : ℝ≥0∞
n : ℤ
z : ℝ
\u22a2 x ^ (↑n * z) = (x ^ n) ^ z
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f g : K[X]
hf : Splits i f
hg : Splits i g
this : DecidableEq L := Classical.decEq L
h : ¬map i (f * g) = 0
p : L[X]
hp : Irreducible p
hpf : p ∣ map i (f * g)
\u22a2 map i f * map i g = map i (f * g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Vitali.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set α
t : Set ι
C : ℝ≥0
r : ι → ℝ
c : ι → α
B : ι → Set α
hB : ∀ a ∈ t, B a ⊆ closedBall (c a) (r a)
μB : ∀ a ∈ t, μ (closedBall (c a) (3 * r a)) ≤ ↑C * μ (B a)
ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty
h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)
hf : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ a ∈ t, r a ≤ ε ∧ c a = x
\u22a2 ∃ u ⊆ t, u.Countable ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ μ (s \ ⋃ a ∈ u, B a) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Vitali.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set α
t : Set ι
C : ℝ≥0
r : ι → ℝ
c : ι → α
B : ι → Set α
hB : ∀ a ∈ t, B a ⊆ closedBall (c a) (r a)
μB : ∀ a ∈ t, μ (closedBall (c a) (3 * r a)) ≤ ↑C * μ (B a)
ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty
h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)
hf : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ a ∈ t, r a ≤ ε ∧ c a = x
this : ∀ (x : α), ∃ R, 0 < R ∧ R ≤ 1 ∧ μ (closedBall x (20 * R)) < ⊤
\u22a2 ∃ u ⊆ t, u.Countable ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ μ (s \ ⋃ a ∈ u, B a) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Vitali.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set α
t : Set ι
C : ℝ≥0
r : ι → ℝ
c : ι → α
B : ι → Set α
hB : ∀ a ∈ t, B a ⊆ closedBall (c a) (r a)
μB : ∀ a ∈ t, μ (closedBall (c a) (3 * r a)) ≤ ↑C * μ (B a)
ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty
h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)
hf : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ a ∈ t, r a ≤ ε ∧ c a = x
R : α → ℝ
hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x
hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1
hRμ : ∀ (x : α), μ (closedBall x (20 * R x)) < ⊤
t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ r a ≤ R (c a)}
\u22a2 ∃ u ⊆ t, u.Countable ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ μ (s \ ⋃ a ∈ u, B a) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Vitali.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set α
t : Set ι
C : ℝ≥0
r : ι → ℝ
c : ι → α
B : ι → Set α
hB : ∀ a ∈ t, B a ⊆ closedBall (c a) (r a)
μB : ∀ a ∈ t, μ (closedBall (c a) (3 * r a)) ≤ ↑C * μ (B a)
ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty
h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)
hf : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ a ∈ t, r a ≤ ε ∧ c a = x
R : α → ℝ
hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x
hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1
hRμ : ∀ (x : α), μ (closedBall x (20 * R x)) < ⊤
t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ r a ≤ R (c a)}
u : Set ι
ut' : u ⊆ t'
u_disj : u.PairwiseDisjoint B
hu : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ r a ≤ 2 * r b
\u22a2 ∃ u ⊆ t, u.Countable ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ μ (s \ ⋃ a ∈ u, B a) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Vitali.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set α
t : Set ι
C : ℝ≥0
r : ι → ℝ
c : ι → α
B : ι → Set α
hB : ∀ a ∈ t, B a ⊆ closedBall (c a) (r a)
μB : ∀ a ∈ t, μ (closedBall (c a) (3 * r a)) ≤ ↑C * μ (B a)
ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty
h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)
hf : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ a ∈ t, r a ≤ ε ∧ c a = x
R : α → ℝ
hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x
hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1
hRμ : ∀ (x : α), μ (closedBall x (20 * R x)) < ⊤
t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ r a ≤ R (c a)}
u : Set ι
ut' : u ⊆ t'
u_disj : u.PairwiseDisjoint B
hu : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ r a ≤ 2 * r b
ut : u ⊆ t
\u22a2 ∃ u ⊆ t, u.Countable ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ μ (s \ ⋃ a ∈ u, B a) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Vitali.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set α
t : Set ι
C : ℝ≥0
r : ι → ℝ
c : ι → α
B : ι → Set α
hB : ∀ a ∈ t, B a ⊆ closedBall (c a) (r a)
μB : ∀ a ∈ t, μ (closedBall (c a) (3 * r a)) ≤ ↑C * μ (B a)
ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty
h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)
hf : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ a ∈ t, r a ≤ ε ∧ c a = x
R : α → ℝ
hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x
hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1
hRμ : ∀ (x : α), μ (closedBall x (20 * R x)) < ⊤
t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ r a ≤ R (c a)}
u : Set ι
ut' : u ⊆ t'
u_disj : u.PairwiseDisjoint B
hu : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ r a ≤ 2 * r b
ut : u ⊆ t
u_count : u.Countable
\u22a2 ∃ u ⊆ t, u.Countable ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ μ (s \ ⋃ a ∈ u, B a) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Vitali.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set α
t : Set ι
C : ℝ≥0
r : ι → ℝ
c : ι → α
B : ι → Set α
hB : ∀ a ∈ t, B a ⊆ closedBall (c a) (r a)
μB : ∀ a ∈ t, μ (closedBall (c a) (3 * r a)) ≤ ↑C * μ (B a)
ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty
h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)
hf : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ a ∈ t, r a ≤ ε ∧ c a = x
R : α → ℝ
hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x
hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1
hRμ : ∀ (x : α), μ (closedBall x (20 * R x)) < ⊤
t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ r a ≤ R (c a)}
u : Set ι
ut' : u ⊆ t'
u_disj : u.PairwiseDisjoint B
hu : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ r a ≤ 2 * r b
ut : u ⊆ t
u_count : u.Countable
\u22a2 μ (s \ ⋃ a ∈ u, B a) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Vitali.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set α
t : Set ι
C : ℝ≥0
r : ι → ℝ
c : ι → α
B : ι → Set α
hB : ∀ a ∈ t, B a ⊆ closedBall (c a) (r a)
μB : ∀ a ∈ t, μ (closedBall (c a) (3 * r a)) ≤ ↑C * μ (B a)
ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty
h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)
hf : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ a ∈ t, r a ≤ ε ∧ c a = x
R : α → ℝ
hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x
hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1
hRμ : ∀ (x : α), μ (closedBall x (20 * R x)) < ⊤
t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ r a ≤ R (c a)}
u : Set ι
ut' : u ⊆ t'
u_disj : u.PairwiseDisjoint B
hu : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ r a ≤ 2 * r b
ut : u ⊆ t
u_count : u.Countable
x : α
x✝ : x ∈ s \ ⋃ a ∈ u, B a
\u22a2 ∃ u_1 ∈ 𝓝[s \ ⋃ a ∈ u, B a] x, μ u_1 = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Vitali.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : MetricSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set α
t : Set ι
C : ℝ≥0
r : ι → ℝ
c : ι → α
B : ι → Set α
hB : ∀ a ∈ t, B a ⊆ closedBall (c a) (r a)
μB : ∀ a ∈ t, μ (closedBall (c a) (3 * r a)) ≤ ↑C * μ (B a)
ht : ∀ a ∈ t, (interior (B a)).Nonempty
h't : ∀ a ∈ t, IsClosed (B a)
hf : ∀ x ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ a ∈ t, r a ≤ ε ∧ c a = x
R : α → ℝ
hR0 : ∀ (x : α), 0 < R x
hR1 : ∀ (x : α), R x ≤ 1
hRμ : ∀ (x : α), μ (closedBall x (20 * R x)) < ⊤
t' : Set ι := {a | a ∈ t ∧ r a ≤ R (c a)}
u : Set ι
ut' : u ⊆ t'
u_disj : u.PairwiseDisjoint B
hu : ∀ a ∈ t', ∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ r a ≤ 2 * r b
ut : u ⊆ t
u_count : u.Countable
x : α
x✝ : x ∈ s \ ⋃ a ∈ u, B a
v : Set ι := {a | a ∈ u ∧ (B a ∩ ball x (R x)).Nonempty}
\u22a2 ∃ u_1 ∈ 𝓝[s \ ⋃ a ∈ u, B a] x, μ u_1 = 0