ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
i : X.basicOpen f ⟶ U
\u22a2 IsLocalization.Away f ↑Γ(X, X.basicOpen f)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
x : X
f : Filter X
hf : f.NeBot
hfa : f ≤ 𝓟 {x}
\u22a2 𝓟 {x} ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
γ' : Path y z
t : ↑I
\u22a2 (γ.trans γ').symm t = (γ'.symm.trans γ.symm) t
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
γ' : Path y z
t : ↑I
\u22a2 (if h : ↑(σ t) ≤ 1 / 2 then γ ⟨2 * ↑(σ t), ⋯⟩ else γ' ⟨2 * ↑(σ t) - 1, ⋯⟩) = if h : ↑t ≤ 1 / 2 then γ' (σ ⟨2 * ↑t, ⋯⟩) else γ (σ ⟨2 * ↑t - 1, ⋯⟩)
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
γ' : Path y z
t : ↑I
h✝ : ↑(σ t) ≤ 1 / 2
h : 1 - ↑t ≤ 1 / 2
h₁ : ↑t ≤ 1 / 2
\u22a2 γ ⟨2 * ↑(σ t), ⋯⟩ = γ' (σ ⟨2 * ↑t, ⋯⟩)
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
γ' : Path y z
t : ↑I
h✝ : ↑(σ t) ≤ 1 / 2
h : 1 - ↑t ≤ 1 / 2
h₁ : ¬↑t ≤ 1 / 2
\u22a2 γ ⟨2 * ↑(σ t), ⋯⟩ = γ (σ ⟨2 * ↑t - 1, ⋯⟩)
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
γ' : Path y z
t : ↑I
h✝ : ¬↑(σ t) ≤ 1 / 2
h : ¬1 - ↑t ≤ 1 / 2
h₂ : ↑t ≤ 1 / 2
\u22a2 γ' ⟨2 * ↑(σ t) - 1, ⋯⟩ = γ' (σ ⟨2 * ↑t, ⋯⟩)
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
γ' : Path y z
t : ↑I
h✝ : ¬↑(σ t) ≤ 1 / 2
h : ¬1 - ↑t ≤ 1 / 2
h₂ : ¬↑t ≤ 1 / 2
\u22a2 γ' ⟨2 * ↑(σ t) - 1, ⋯⟩ = γ (σ ⟨2 * ↑t - 1, ⋯⟩)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/AEStabilizer.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
g✝ : G
s t : Set α
h : s =ᶠ[ae μ] t
g : G
\u22a2 g ∈ aestabilizer G μ s ↔ g ∈ aestabilizer G μ t
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l init tail : List α
\u22a2 (init, tail) ∈ l.inits.zip l.tails ↔ init ++ tail = l
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
init tail : List α
\u22a2 (init, tail) ∈ ([], []) :: [].zip [] ↔ init ++ tail = []
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
hd : α
tl : List α
ih : ∀ {init tail : List α}, (init, tail) ∈ tl.inits.zip tl.tails ↔ init ++ tail = tl
init tail : List α
\u22a2 (init, tail) ∈ ([], hd :: tl) :: (map (fun t => hd :: t) tl.inits).zip tl.tails ↔ init ++ tail = hd :: tl
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x y : L
hy : y ∈ I
hy' : optParam (∀ m ∈ N, (φ x ∘ₗ φ y) m ∈ N) ⋯
\u22a2 (trace R M) (φ x ∘ₗ φ y) = (trace R ↥↑N) ((φ x ∘ₗ φ y).restrict hy')
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x y : L
hy : y ∈ I
hy' : optParam (∀ m ∈ N, (φ x ∘ₗ φ y) m ∈ N) ⋯
\u22a2 ∀ (m : M), ⁅x, ⁅y, m⁆⁆ ∈ N
-- Mathlib/Analysis/Convex/Jensen.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : ConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
\u22a2 f (∑ i ∈ t, w i • p i) ≤ ∑ i ∈ t, w i • f (p i)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ
hr : |r| < 1
\u22a2 Tendsto (fun n => ↑n * r ^ n) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
x : ℝ
hx : 0 < x
hx' : x < π / 2
\u22a2 2 / π * x < sin x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
x : ℝ
hx : 0 < x
hx' : x < π / 2
\u22a2 (π / 2)⁻¹ * x < sin x
-- Mathlib/Algebra/Ring/Commute.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : HasDistribNeg R
n : ℕ
h : (-1) ^ n = -1
\u22a2 (-1) ^ (n + 1) = 1
-- Mathlib/Algebra/Ring/Commute.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : HasDistribNeg R
n : ℕ
h : (-1) ^ n = 1
\u22a2 (-1) ^ (n + 1) = -1
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
h : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
\u22a2 Measurable (μ.rnDeriv ν) ∧ μ.singularPart ν ⟂ₘ ν ∧ μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
h : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
\u22a2 Measurable (Classical.choose ⋯).2 ∧ (Classical.choose ⋯).1 ⟂ₘ ν ∧ μ = (Classical.choose ⋯).1 + ν.withDensity (Classical.choose ⋯).2
-- Mathlib/Order/SupClosed.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : DistribLattice β
s : Set α
hs : s.Finite
\u22a2 (_root_.latticeClosure s).Finite
-- Mathlib/Order/SupClosed.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : DistribLattice β
s : Set α
hs : s.Finite
\u22a2 (supClosure (infClosure s)).Finite
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Order.lean
S : Type u_1
G : Type u_2
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : LinearOrder G
x✝ : SetLike S G
inst✝ : NegMemClass S G
H : S
x : G
\u22a2 |x| ∈ H ↔ x ∈ H
-- Mathlib/Order/ModularLattice.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsWeakUpperModularLattice α
a b : α
\u22a2 a ⊓ b ⋖ a → a ⊓ b ⋖ b → b ⋖ a ⊔ b
-- Mathlib/Order/ModularLattice.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsWeakUpperModularLattice α
a b : α
\u22a2 b ⊓ a ⋖ a → b ⊓ a ⋖ b → b ⋖ b ⊔ a
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
\u22a2 IsCompl W (B.orthogonal W)
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
this : W ⊓ B.orthogonal W = ⊥
\u22a2 IsCompl W (B.orthogonal W)
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
this : W ⊓ B.orthogonal W = ⊥
\u22a2 finrank K V ≤ finrank K ↥(W ⊔ B.orthogonal W)
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
this : W ⊓ B.orthogonal W = ⊥
\u22a2 finrank K V ≤ finrank K ↥(W ⊔ B.orthogonal W) + 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
b₂ : (B.restrict W).Nondegenerate
this : W ⊓ B.orthogonal W = ⊥
\u22a2 finrank K V ≤ finrank K V + finrank K ↥(W ⊓ B.orthogonal ⊤)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
a : R
H : a ≠ 0
\u22a2 ((monomial n) a).support = {n}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
a : R
H : a ≠ 0
\u22a2 (match { toFinsupp := Finsupp.single n a } with | { toFinsupp := p } => p.support) = {n}
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K
\u22a2 normSq (-z) = normSq z
-- Mathlib/Algebra/Group/Action/Defs.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
g✝ : G
a✝ b : α
g : G
a : α
\u22a2 g • g⁻¹ • a = a
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
\u22a2 (l.node4L x m y r).dual = r.dual.node4R y m.dual x l.dual
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasureCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ✝ : Measure α
κ✝ η✝ : Kernel α β
μ : Measure α
inst✝² : SFinite μ
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
\u22a2 μ ⊗ₘ (κ + η) = μ ⊗ₘ κ + μ ⊗ₘ η
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasureCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ✝ : Measure α
κ✝ η✝ : Kernel α β
μ : Measure α
inst✝² : SFinite μ
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
\u22a2 (Kernel.const Unit μ ⊗ₖ Kernel.prodMkLeft Unit κ + Kernel.const Unit μ ⊗ₖ Kernel.prodMkLeft Unit η) () = μ ⊗ₘ κ + μ ⊗ₘ η
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b x y : ℕ
hb : 1 < b
h : b ^ x ≤ y
\u22a2 x ≤ log b y
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b x y : ℕ
hb : 1 < b
h : b ^ x ≤ y
hy : y ≠ 0
\u22a2 x ≤ log b y
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b x : ℕ
hb : 1 < b
h : b ^ x ≤ 0
\u22a2 x ≤ log b 0
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
t : α → Finset β
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → Disjoint (t x) (t y)
\u22a2 ∑ a ∈ s, ∑ _i ∈ t a, 1 = ∑ u ∈ s, (t u).card
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : IsBasis p s
U : Set α
\u22a2 U ∈ h.filter ↔ ∃ i, p i ∧ s i ⊆ U
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
\u22a2 ω ^ e.repr ≤ (e.oadd n a).repr
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
\u22a2 ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
\u22a2 Tendsto f atBot (𝓝 (limUnder atBot f))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
\u22a2 ∃ a, Tendsto f atBot (𝓝 a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g✝ g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
g : ℝ → E := f ∘ fun x => -x
\u22a2 ∃ a, Tendsto f atBot (𝓝 a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g✝ g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
g : ℝ → E := f ∘ fun x => -x
hdg : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt g (-f' (-x)) x
\u22a2 ∃ a, Tendsto f atBot (𝓝 a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g✝ g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
g : ℝ → E := f ∘ fun x => -x
hdg : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt g (-f' (-x)) x
L : Tendsto g atTop (𝓝 (limUnder atTop g))
\u22a2 ∃ a, Tendsto f atBot (𝓝 a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g✝ g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
g : ℝ → E := f ∘ fun x => -x
hdg : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt g (-f' (-x)) x
L : Tendsto g atTop (𝓝 (limUnder atTop g))
\u22a2 Tendsto f atBot (𝓝 (limUnder atTop g))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g✝ g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
g : ℝ → E := f ∘ fun x => -x
hdg : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt g (-f' (-x)) x
L : Tendsto g atTop (𝓝 (limUnder atTop g))
this : Tendsto (fun x => g (-x)) atBot (𝓝 (limUnder atTop g))
\u22a2 Tendsto f atBot (𝓝 (limUnder atTop g))
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Inverse.lean
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
\u22a2 normUnit X = 1
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
r : R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
\u22a2 cfc (fun x => r) a = (algebraMap R A) r
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
r : R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
\u22a2 (cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict fun x => r, continuous_toFun := ⋯ } = (cfcHom ha) ((algebraMap R C(↑(spectrum R a), R)) r)
-- Mathlib/Data/List/AList.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ s₃ : AList β
\u22a2 ∀ (x : α) (y : β x), y ∈ dlookup x (s₁ ∪ s₂ ∪ s₃).entries ↔ y ∈ dlookup x (s₁ ∪ (s₂ ∪ s₃)).entries
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
\u22a2 HasFPowerSeriesAt f p z₀ ↔ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + z))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
\u22a2 (∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + z))) → HasFPowerSeriesAt f p z₀
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
\u22a2 (∃ ε > 0, ∀ ⦃y : 𝕜⦄, dist y 0 < ε → HasSum (fun n => y ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + y))) → HasFPowerSeriesAt f p z₀
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
\u22a2 (AdjoinRoot.isAdjoinRoot f).root = root f
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : SecondCountableTopology α
hclosed : IsClosed C
\u22a2 ∃ V D, V.Countable ∧ Perfect D ∧ C = V ∪ D
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : SecondCountableTopology α
hclosed : IsClosed C
b : Set (Set α)
bct : b.Countable
left✝ : ∅ ∉ b
bbasis : IsTopologicalBasis b
\u22a2 ∃ V D, V.Countable ∧ Perfect D ∧ C = V ∪ D
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Antilipschitz.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
Kg : ℝ≥0
g : β → γ
hg : AntilipschitzWith Kg g
Kf : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith Kf f
x y : α
\u22a2 ↑Kf * (↑Kg * edist (g (f x)) (g (f y))) = ↑(Kf * Kg) * edist ((g ∘ f) x) ((g ∘ f) y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Antilipschitz.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
Kg : ℝ≥0
g : β → γ
hg : AntilipschitzWith Kg g
Kf : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith Kf f
x y : α
\u22a2 ↑Kf * (↑Kg * edist (g (f x)) (g (f y))) = ↑Kf * (↑Kg * edist ((g ∘ f) x) ((g ∘ f) y))
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
\u22a2 (coeff R n) X = if n = 1 then 1 else 0
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a : Subtype p
hp : ∀ ⦃a x : α⦄, x ≤ a → p a → p x
\u22a2 map (Embedding.subtype p) (Iio a) = Iio ↑a
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a : Subtype p
hp : ∀ ⦃a x : α⦄, x ≤ a → p a → p x
\u22a2 map (Embedding.subtype p) (Finset.subtype p (Iio ↑a)) = Iio ↑a
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
\u22a2 ∫ (x : α), (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν = (μ Set.univ).toReal
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : 0 < z
\u22a2 x ^ z⁻¹ < y ↔ x < y ^ z
-- Mathlib/Algebra/Lie/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : Module.Free R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : IsKilling R L
\u22a2 LinearMap.ker (killingForm R L) = ⊥
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
a n : ℕ
\u22a2 ∑ i ∈ Ico 1 (n + 1), a / b ^ i ≤ a / (b - 1)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
a n : ℕ
\u22a2 a + ∑ i ∈ Ico 1 (n + 1), a / b ^ i ≤ a + a / (b - 1)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
\u22a2 1 < a / b ↔ b < a
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
\u22a2 Function.Commute ⇑f fun x => x - ↑n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R✝ : Type u_1
r : R✝
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
a b : S
hb : IsUnit ((aeval b) P)
hab : IsNilpotent (a - b)
\u22a2 IsUnit ((aeval a) P)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R✝ : Type u_1
r : R✝
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
a b : S
hb : IsUnit ((aeval b) P)
hab : IsNilpotent (a - b)
\u22a2 IsUnit ((aeval b) P + ((aeval a) P - (aeval b) P))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R✝ : Type u_1
r : R✝
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
a b : S
hb : IsUnit ((aeval b) P)
hab : IsNilpotent (a - b)
\u22a2 IsNilpotent ((aeval a) P - (aeval b) P)
-- Mathlib/Data/List/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
l : List α
o : Option α
a m : α
tl : List α
hd : α
\u22a2 (foldl (argAux r) o tl = none ↔ tl = [] ∧ o = none) → (foldl (argAux r) o (tl ++ [hd]) = none ↔ tl ++ [hd] = [] ∧ o = none)
-- Mathlib/Data/List/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
l : List α
o : Option α
a m : α
tl : List α
hd : α
\u22a2 (foldl (argAux r) o tl = none ↔ tl = [] ∧ o = none) → ¬Option.rec (some hd) (fun val => if r hd val then some hd else some val) (foldl (argAux r) o tl) = none
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder α
p : α → Prop
\u22a2 (∀ᶠ (x : α) in atTop, ∀ (y : α), x ≤ y → p y) ↔ ∀ᶠ (x : α) in atTop, p x
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder α
p : α → Prop
h : ∀ᶠ (x : α) in atTop, p x
\u22a2 ∀ᶠ (x : α) in atTop, ∀ (y : α), x ≤ y → p y
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder α
p : α → Prop
h : ∀ᶠ (x : α) in atTop, p x
S : Set α
hSf : S.Finite
hS : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ ⋂ i ∈ S, Ici i → p x
\u22a2 ∀ᶠ (x : α) in atTop, ∀ (y : α), x ≤ y → p y
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder α
p : α → Prop
h : ∀ᶠ (x : α) in atTop, p x
S : Set α
hSf : S.Finite
hS : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ ⋂ i ∈ S, Ici i → p x
x : α
hx : x ∈ ⋂ i, (fun x => Ici ↑x) i
y : α
hy : x ≤ y
\u22a2 p y
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder α
p : α → Prop
h : ∀ᶠ (x : α) in atTop, p x
S : Set α
hSf : S.Finite
x y : α
hy : x ≤ y
hS : ∀ ⦃x : α⦄, (∀ i ∈ S, x ∈ Ici i) → p x
hx : ∀ (i : ↑S), x ∈ Ici ↑i
\u22a2 p y