ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
\u22a2 ∀ (x y : A), (↑{ toFun := fun a => a ⊗ₜ[R] 1, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (x + y) = (↑{ toFun := fun a => a ⊗ₜ[R] 1, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun x + (↑{ toFun := fun a => a ⊗ₜ[R] 1, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun y
-- Mathlib/Algebra/Tropical/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : LinearOrder R
x y z : Tropical R
\u22a2 x + y = z ↔ x = z ∧ x ≤ y ∨ y = z ∧ y ≤ x
-- Mathlib/Algebra/Tropical/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : LinearOrder R
x y z : Tropical R
\u22a2 min (untrop x) (untrop y) = untrop z ↔ x = z ∧ x ≤ y ∨ y = z ∧ y ≤ x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/EuclideanDist.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
\u22a2 (𝓝 x).HasBasis (fun r => 0 < r) (ball x)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/EuclideanDist.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
\u22a2 (Filter.comap (⇑toEuclidean.toHomeomorph) (𝓝 (toEuclidean.toHomeomorph x))).HasBasis (fun r => 0 < r) (ball x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional k V
h : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank k V + 1
\u22a2 Nonempty (AffineBasis ι k P)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional k V
h : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank k V + 1
s : Set P
b : AffineBasis (↑s) k P
hb : ⇑b = Subtype.val
\u22a2 Nonempty (AffineBasis ι k P)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional k V
h : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank k V + 1
s : Finset P
b : AffineBasis (↑↑s) k P
hb : ⇑b = Subtype.val
\u22a2 Nonempty (AffineBasis ι k P)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional k V
h : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank k V + 1
s : Finset P
b : AffineBasis (↑↑s) k P
hb : ⇑b = Subtype.val
\u22a2 Fintype.card ↑↑s = Fintype.card ι
-- Mathlib/Data/Finset/Sigma.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Finset (α i)
inst✝ : DecidableEq ((i : ι) × α i)
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (α i)
x : ι
y : α x
\u22a2 ⟨x, y⟩ ∈ s.sigma t ↔ ⟨x, y⟩ ∈ s.biUnion fun i => map (Embedding.sigmaMk i) (t i)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
S s : Subsemigroup M
x : M × N
\u22a2 x ∈ s.prod ⊤ ↔ x ∈ comap (MulHom.fst M N) s
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
\u22a2 ∫⁻ (x : ℝ), ENNReal.ofReal (gaussianPDFReal μ v x) = 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
\u22a2 (∫⁻ (x : ℝ), ENNReal.ofReal (gaussianPDFReal μ v x)).toReal = 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
hfm : AEStronglyMeasurable (gaussianPDFReal μ v) ℙ
\u22a2 (∫⁻ (x : ℝ), ENNReal.ofReal (gaussianPDFReal μ v x)).toReal = 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
hfm : AEStronglyMeasurable (gaussianPDFReal μ v) ℙ
hf : 0 ≤ᶠ[ae ℙ] gaussianPDFReal μ v
\u22a2 (∫⁻ (x : ℝ), ENNReal.ofReal (gaussianPDFReal μ v x)).toReal = 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
hfm : AEStronglyMeasurable (gaussianPDFReal μ v) ℙ
hf : 0 ≤ᶠ[ae ℙ] gaussianPDFReal μ v
\u22a2 ∫ (a : ℝ), gaussianPDFReal μ v a = 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
hfm : AEStronglyMeasurable (gaussianPDFReal μ v) ℙ
hf : 0 ≤ᶠ[ae ℙ] gaussianPDFReal μ v
\u22a2 (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * ∫ (a : ℝ), rexp (-(a - μ) ^ 2 / (2 * ↑v)) = 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
hfm : AEStronglyMeasurable (gaussianPDFReal μ v) ℙ
hf : 0 ≤ᶠ[ae ℙ] gaussianPDFReal μ v
\u22a2 (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * ∫ (x : ℝ), rexp (-x ^ 2 / (2 * ↑v)) = 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
hfm : AEStronglyMeasurable (gaussianPDFReal μ v) ℙ
hf : 0 ≤ᶠ[ae ℙ] gaussianPDFReal μ v
\u22a2 (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * ∫ (x : ℝ), rexp (-((↑v)⁻¹ * 2⁻¹ * x ^ 2)) = 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
hfm : AEStronglyMeasurable (gaussianPDFReal μ v) ℙ
hf : 0 ≤ᶠ[ae ℙ] gaussianPDFReal μ v
\u22a2 (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * ∫ (x : ℝ), rexp (-(↑v)⁻¹ * 2⁻¹ * x ^ 2) = 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
hfm : AEStronglyMeasurable (gaussianPDFReal μ v) ℙ
hf : 0 ≤ᶠ[ae ℙ] gaussianPDFReal μ v
\u22a2 √((2 * π * ↑v)⁻¹ * (π / ((↑v)⁻¹ * 2⁻¹))) = 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
hfm : AEStronglyMeasurable (gaussianPDFReal μ v) ℙ
hf : 0 ≤ᶠ[ae ℙ] gaussianPDFReal μ v
\u22a2 0 ≤ (2 * π * ↑v)⁻¹
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/IsPrincipal.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
\u22a2 ↑((associatesEquivIsPrincipal R) 0) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
\u22a2 eval (v i) ((interpolate s v) r) = r i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
\u22a2 eval (v i) (C (r i) * Lagrange.basis s v i) + ∑ x ∈ s.erase i, eval (v i) (C (r x) * Lagrange.basis s v x) = r i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
\u22a2 ∑ x ∈ s.erase i, r x * eval (v i) (Lagrange.basis s v x) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j✝ : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
j : ι
H : j ∈ s.erase i
\u22a2 r j * eval (v i) (Lagrange.basis s v j) = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
r : R
m : LocalizedModule S M
a : M
b : ↥S
\u22a2 r • lift' S g h (mk a b) = lift' S g h (r • mk a b)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
r : R
m : LocalizedModule S M
a : M
b : ↥S
\u22a2 r • ↑⋯.unit⁻¹ (g a) = ↑⋯.unit⁻¹ (g (r • a))
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
s : Set P₂
\u22a2 comap (↑f) (affineSpan k s) = affineSpan k (⇑f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : Filter α
u : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
h : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in f, u x ∈ Icc (a - ε) (a + ε)
\u22a2 Tendsto u f (𝓝 a)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : Filter α
u : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
h : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in f, u x ∈ Icc (a - ε) (a + ε)
\u22a2 Tendsto u f (⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 (Icc (a - ε) (a + ε)))
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b
\u22a2 a / b < 1 ↔ a < b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a✝ b : R
n : ℕ
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
q : Submodule R M
m : M
hm : m ∈ q
p : R[X]
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
a : A
hq : q ≤ Submodule.comap ((Algebra.lsmul R R M) a) q
\u22a2 (aeval a) p • m ∈ q
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a✝ b : R
n : ℕ
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
q : Submodule R M
m : M
hm : m ∈ q
p : R[X]
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
a : A
hq : q ≤ Submodule.comap ((Algebra.lsmul R R M) a) q
f₁ f₂ : R[X]
h₁ : (fun f => (aeval a) f • m ∈ q) f₁
h₂ : (fun f => (aeval a) f • m ∈ q) f₂
\u22a2 (fun f => (aeval a) f • m ∈ q) (f₁ + f₂)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a✝ b : R
n✝ : ℕ
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
q : Submodule R M
m : M
hm : m ∈ q
p : R[X]
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
a : A
hq : q ≤ Submodule.comap ((Algebra.lsmul R R M) a) q
n : ℕ
t : R
hmq : (fun f => (aeval a) f • m ∈ q) (C t * X ^ n)
\u22a2 (fun f => (aeval a) f • m ∈ q) (C t * X ^ (n + 1))
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
\u22a2 convexBodySumFun (-x) = convexBodySumFun x
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightNhds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝¹ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
\u22a2 (𝓝 a).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => Ioo (a - ε) (a + ε)
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightNhds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝¹ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
inst✝ : NoMaxOrder α
a x✝ : α
\u22a2 Ioo (a - x✝) (a + x✝) = {b | |b - a| < x✝}
-- Mathlib/Init/Data/Nat/GCD.lean
x y : ℕ
\u22a2 x.gcd y = if x = 0 then y else (y % x).gcd x
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
\u22a2 Mono (ModuleCat.ofHom (πs C o))
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
\u22a2 Function.Injective ⇑(ModuleCat.ofHom (πs C o))
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited Λ
M : Λ → Stmt₁
S : Finset Λ
ss : Supports M S
l₁ : Λ
v : σ
T : Tape Γ
c' : Cfg₁
h₁ : c' ∈ step M { l := some l₁, var := v, Tape := T }
h₂ : { l := some l₁, var := v, Tape := T }.l ∈ Finset.insertNone S
\u22a2 c'.l ∈ Finset.insertNone S
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited Λ
M : Λ → Stmt₁
S : Finset Λ
ss : Supports M S
l₁ : Λ
v : σ
T : Tape Γ
c' : Cfg₁
h₁ : c' ∈ step M { l := some l₁, var := v, Tape := T }
h₂ : SupportsStmt S (M l₁)
\u22a2 c'.l ∈ Finset.insertNone S
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited Λ
M : Λ → Stmt₁
S : Finset Λ
ss : Supports M S
l₁ : Λ
v : σ
T : Tape Γ
c' : Cfg₁
h₂ : SupportsStmt S (M l₁)
h₁ : stepAux (M l₁) v T = c'
\u22a2 c'.l ∈ Finset.insertNone S
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : Zero N
f : α ↪ β
v : α →₀ M
a : β
h : a ∉ Set.range ⇑f
\u22a2 (embDomain f v) a = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : AddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
\u22a2 a - b ≤ 0 ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁸ : Preorder α
inst✝⁷ : Add α
inst✝⁶ : Sub α
inst✝⁵ : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d : α
R : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Preorder R
inst✝² : Sub R
inst✝¹ : OrderedSub R
inst✝ : CovariantClass R R (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : R
\u22a2 a * c - b * c ≤ (a - b) * c
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s t a b : Set α
f : α → β
h : a ⊆ b
\u22a2 f '' a ⊆ f '' b
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s t a b : Set α
f : α → β
h : a ⊆ b
\u22a2 ∀ (x : β), (∃ x_1 ∈ a, f x_1 = x) → ∃ x_1 ∈ b, f x_1 = x
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
\u22a2 (x ~ᵢ y) ↔ ∀ (s : Set X), IsClosed s → (x ∈ s ↔ y ∈ s)
-- Mathlib/Control/Traversable/Instances.lean
σ : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝¹ : Applicative F
inst✝ : Applicative G
α β γ : Type u
g : α → β
f : β → G γ
x : σ ⊕ α
\u22a2 Sum.traverse f (g <$> x) = Sum.traverse (f ∘ g) x
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K
\u22a2 (starRingEnd K) z * z = ↑‖z‖ ^ 2
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
b : PosNum
\u22a2 1 + b.succ = (1 + b).succ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/QuadraticMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : QuadraticMap 𝕜 E F
a b : E
\u22a2 lineDeriv 𝕜 (⇑f) a b = polar (⇑f) a b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace β
φ : α → β
hφ : Measurable φ
f : β → G
hfm : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (Measure.map φ μ)
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
\u22a2 ∫ (y : β), f y ∂Measure.map φ μ = ∫ (x : α), f (φ x) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace β
φ : α → β
hφ : Measurable φ
f : β → G
hfm : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (Measure.map φ μ)
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
\u22a2 ∫ (y : β), f y ∂Measure.map φ μ = ∫ (x : α), f (φ x) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace β
φ : α → β
hφ : Measurable φ
f : β → G
hfm : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (Measure.map φ μ)
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
\u22a2 Tendsto (fun n => SimpleFunc.integral (Measure.map φ μ) (approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ n)) atTop (𝓝 (∫ (x : α), f (φ x) ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace β
φ : α → β
hφ : Measurable φ
f : β → G
hfm : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (Measure.map φ μ)
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
\u22a2 (fun n => SimpleFunc.integral (Measure.map φ μ) (approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ n)) = fun n => SimpleFunc.integral μ (approxOn (f ∘ φ) ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace β
φ : α → β
hφ : Measurable φ
f : β → G
hfm : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (Measure.map φ μ)
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
i : ℕ
\u22a2 SimpleFunc.integral (Measure.map φ μ) (approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i) = SimpleFunc.integral μ (approxOn (f ∘ φ) ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace β
φ : α → β
hφ : Measurable φ
f : β → G
hfm : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (Measure.map φ μ)
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
i : ℕ
\u22a2 ∑ x ∈ (approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i).range, (μ (↑(approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i) ∘ φ ⁻¹' {x})).toReal • x = ∑ x ∈ (approxOn (f ∘ φ) ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i).range, (μ (↑(approxOn (f ∘ φ) ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i) ⁻¹' {x})).toReal • x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace β
φ : α → β
hφ : Measurable φ
f : β → G
hfm : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (Measure.map φ μ)
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
i : ℕ
y : G
x✝ : y ∈ (approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i).range
hy : y ∉ ((approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i).comp φ hφ).range
\u22a2 (μ (↑(approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i) ∘ φ ⁻¹' {y})).toReal • y = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : MeasurableSpace β
φ : α → β
hφ : Measurable φ
f : β → G
hfm : StronglyMeasurable f
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (Measure.map φ μ)
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
this : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
i : ℕ
y : G
x✝ : y ∈ (approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i).range
hy : ↑(approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i) ∘ φ ⁻¹' {y} = ∅
\u22a2 (μ (↑(approxOn f ⋯ (range f ∪ {0}) 0 ⋯ i) ∘ φ ⁻¹' {y})).toReal • y = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
V : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
S T : V →ₗ[ℂ] V
\u22a2 (∀ (x : V), ⟪S x, x⟫_ℂ = ⟪T x, x⟫_ℂ) ↔ S = T
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
V : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
S T : V →ₗ[ℂ] V
\u22a2 (∀ (x : V), ⟪S x, x⟫_ℂ = ⟪T x, x⟫_ℂ) ↔ ∀ (x : V), ⟪(S - T) x, x⟫_ℂ = 0