ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset ℕ
n✝ n : ℕ
hn : 2 ≤ n
a₁✝ a₂✝ : Finset ℕ
h : (fun s => ∑ i ∈ s, n ^ i) a₁✝ = (fun s => ∑ i ∈ s, n ^ i) a₂✝
\u22a2 a₁✝ = a₂✝
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
pb : PowerBasis R S
\u22a2 (norm R) pb.gen = (-1) ^ pb.dim * (minpoly R pb.gen).coeff 0
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Translations.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v✝ : K
n : ℕ
v : K
\u22a2 (match (IntFractPair.of v, Stream'.Seq.tail ⟨IntFractPair.stream v, ⋯⟩) with | (h, s) => { h := ↑h.b, s := Stream'.Seq.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) s }).s.get? 0 = (IntFractPair.stream v 1).bind (some ∘ fun p => { a := 1, b := ↑p.b })
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Translations.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v✝ : K
n : ℕ
v : K
\u22a2 Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) ((IntFractPair.stream v).tail.get 0) = (IntFractPair.stream v 1).bind (some ∘ fun p => { a := 1, b := ↑p.b })
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Translations.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v✝ : K
n : ℕ
v : K
\u22a2 (match IntFractPair.stream v (Nat.succ 0) with | some x => some { a := 1, b := ↑x.b } | none => none) = (IntFractPair.stream v 1).bind (some ∘ fun p => { a := 1, b := ↑p.b })
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Ring.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : HasAntidiagonal A
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : A → α
inst✝¹ : T3Space α
inst✝ : TopologicalSemiring α
hf : Summable f
hg : Summable g
hfg : Summable fun x => f x.1 * g x.2
\u22a2 (∑' (n : A), f n) * ∑' (n : A), g n = ∑' (n : A), ∑ kl ∈ antidiagonal n, f kl.1 * g kl.2
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Ring.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : HasAntidiagonal A
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : A → α
inst✝¹ : T3Space α
inst✝ : TopologicalSemiring α
hf : Summable f
hg : Summable g
hfg : Summable fun x => f x.1 * g x.2
\u22a2 (∑' (n : A), f n) * ∑' (n : A), g n = ∑' (x : A) (b : ↑↑(antidiagonal x)), f (↑b).1 * g (↑b).2
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Ring.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : HasAntidiagonal A
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : A → α
inst✝¹ : T3Space α
inst✝ : TopologicalSemiring α
hf : Summable f
hg : Summable g
hfg : Summable fun x => f x.1 * g x.2
\u22a2 ∑' (c : (n : A) × { x // x ∈ antidiagonal n }), f (sigmaAntidiagonalEquivProd c).1 * g (sigmaAntidiagonalEquivProd c).2 = ∑' (x : A) (b : ↑↑(antidiagonal x)), f (↑b).1 * g (↑b).2
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e✝ : X ≃ₜ Y
e'✝ : Y ≃ₜ Z
e : X ≃ₜ Y
e' : Y ≃ₜ Z
f'' : PartialHomeomorph Z Z'
\u22a2 (e.trans e').transPartialHomeomorph f'' = e.transPartialHomeomorph (e'.transPartialHomeomorph f'')
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f g : ι → N
s t : Finset ι
h : s ⊆ t
hf : ∀ i ∈ t, i ∉ s → 1 ≤ f i
\u22a2 ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏ i ∈ t, f i
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
\u22a2 ∃ J, M.Basis J X ∧ I ⊆ J
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J✝ X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
J : Set α
hJmax : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {Y | M.Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) J b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b J
hJ : M.Indep J
hIJ : I ⊆ J
hJX : J ⊆ X
\u22a2 ∃ J, M.Basis J X ∧ I ⊆ J
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J✝ X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
J : Set α
hJmax : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {Y | M.Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) J b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b J
hJ : M.Indep J
hIJ : I ⊆ J
hJX : J ⊆ X
\u22a2 M.Basis J X ∧ I ⊆ J
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J✝ X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
J : Set α
hJmax : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {Y | M.Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) J b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b J
hJ : M.Indep J
hIJ : I ⊆ J
hJX : J ⊆ X
\u22a2 ∀ (J_1 : Set α), M.Indep J_1 → J ⊆ J_1 → J_1 ⊆ X → J = J_1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
\u22a2 Subsingleton (LieSubmodule R L M) ↔ Subsingleton (Submodule R M)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Products.lean
β : Type w
α : Type w₂
γ✝ : Type w₃
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
γ : Type w'
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasProduct f
inst✝ : HasProduct (f ∘ ⇑ε)
b : β
\u22a2 (HasLimit.isoOfEquivalence (Discrete.equivalence ε) (Discrete.natIso fun x => Iso.refl (f (ε x.as)))).hom ≫ π f (ε b) = π (f ∘ ⇑ε) b
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Products.lean
β : Type w
α : Type w₂
γ✝ : Type w₃
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
γ : Type w'
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasProduct f
inst✝ : HasProduct (f ∘ ⇑ε)
b : β
\u22a2 limit.π (Discrete.functor (f ∘ ⇑ε)) { as := ε.symm (ε b) } ≫ (Discrete.functor f).map ((Discrete.equivalence ε).counit.app { as := ε b }) = π (f ∘ ⇑ε) b
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
\u22a2 Continuous fun f => ∫ (x : β), ∫ (y : γ), ↑↑f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
\u22a2 ∀ (x : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))), ContinuousAt (fun f => ∫ (x : β), ∫ (y : γ), ↑↑f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a) x
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
\u22a2 ContinuousAt (fun f => ∫ (x : β), ∫ (y : γ), ↑↑f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a) g
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
\u22a2 Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : β), ↑‖∫ (y : γ), ↑↑i (x, y) ∂η (a, x) - ∫ (y : γ), ↑↑g (x, y) ∂η (a, x)‖₊ ∂κ a) (𝓝 g) (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
\u22a2 Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : β), ↑‖∫ (y : γ), ↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y) ∂η (a, x)‖₊ ∂κ a) (𝓝 g) (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
\u22a2 ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a)) → ℝ≥0∞
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
\u22a2 Tendsto ?m.51003 (𝓝 g) (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
\u22a2 (fun i => ∫⁻ (x : β), ↑‖∫ (y : γ), ↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y) ∂η (a, x)‖₊ ∂κ a) ≤ ?m.51003
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
\u22a2 Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), ↑‖↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y)‖₊ ∂η (a, x) ∂κ a) (𝓝 g) (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
this : ∀ (i : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))), Measurable fun z => ↑‖↑↑i z - ↑↑g z‖₊
\u22a2 Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), ↑‖↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y)‖₊ ∂η (a, x) ∂κ a) (𝓝 g) (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
this : ∀ (i : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))), Measurable fun z => ↑‖↑↑i z - ↑↑g z‖₊
\u22a2 Tendsto (fun i => ENNReal.ofReal ‖i - g‖) (𝓝 g) (𝓝 (ENNReal.ofReal 0))
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
this : ∀ (i : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))), Measurable fun z => ↑‖↑↑i z - ↑↑g z‖₊
\u22a2 Tendsto (fun i => ‖i - g‖) (𝓝 g) (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))
this : ∀ (i : ↥(Lp E 1 ((κ ⊗ₖ η) a))), Measurable fun z => ↑‖↑↑i z - ↑↑g z‖₊
\u22a2 Tendsto (fun i => i) (𝓝 g) (𝓝 g)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
P Q : PresheafOfModules R
T : PresheafOfModules R
hom✝¹ : P.presheaf ⟶ Q.presheaf
map_smul✝¹ : ∀ (X : Cᵒᵖ) (r : ↑(R.obj X)) (x : ↑(P.presheaf.obj X)), (hom✝¹.app X) (r • x) = r • (hom✝¹.app X) x
hom✝ : P.presheaf ⟶ Q.presheaf
map_smul✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ) (r : ↑(R.obj X)) (x : ↑(P.presheaf.obj X)), (hom✝.app X) (r • x) = r • (hom✝.app X) x
w : ∀ (X : Cᵒᵖ), { hom := hom✝¹, map_smul := map_smul✝¹ }.app X = { hom := hom✝, map_smul := map_smul✝ }.app X
X : Cᵒᵖ
x : ↑(P.presheaf.obj X)
\u22a2 (hom✝¹.app X) x = (hom✝.app X) x
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
x : CofiniteTopology X
U : Set (CofiniteTopology X)
\u22a2 U ∈ 𝓝 x ↔ U ∈ pure x ⊔ cofinite
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
x : CofiniteTopology X
U : Set (CofiniteTopology X)
\u22a2 (∃ t ⊆ U, IsOpen t ∧ x ∈ t) ↔ U ∈ pure x ⊔ cofinite
-- Mathlib/ModelTheory/FinitelyGenerated.lean
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
\u22a2 CG L M ↔ ∃ S, S.Countable ∧ (closure L).toFun S = ⊤
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
f : α ↪ β
hG : G.LocallyLinear
\u22a2 (SimpleGraph.map f G).LocallyLinear
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
f : α ↪ β
hG : G.LocallyLinear
\u22a2 ∀ ⦃x y : β⦄, (SimpleGraph.map f G).Adj x y → ∃ s, (SimpleGraph.map f G).IsNClique 3 s ∧ x ∈ s ∧ y ∈ s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
f : α ↪ β
hG : G.LocallyLinear
a b : α
h : G.Adj a b
\u22a2 ∃ s, (SimpleGraph.map f G).IsNClique 3 s ∧ f a ∈ s ∧ f b ∈ s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s✝ : Finset α
f : α ↪ β
hG : G.LocallyLinear
a b : α
h : G.Adj a b
s : Finset α
hs : G.IsNClique 3 s
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
\u22a2 ∃ s, (SimpleGraph.map f G).IsNClique 3 s ∧ f a ∈ s ∧ f b ∈ s
-- Mathlib/Control/LawfulFix.lean
α✝ : Type u_1
β : α✝ → Type u_2
α : Type u_3
f : ((a : α✝) → Part (β a)) →o (a : α✝) → Part (β a)
X : (a : α✝) → Part (β a)
hX : f X ≤ X
\u22a2 Part.fix ⇑f ≤ X
-- Mathlib/Control/LawfulFix.lean
α✝ : Type u_1
β : α✝ → Type u_2
α : Type u_3
f : ((a : α✝) → Part (β a)) →o (a : α✝) → Part (β a)
X : (a : α✝) → Part (β a)
hX : f X ≤ X
\u22a2 ωSup (approxChain f) ≤ X
-- Mathlib/Control/LawfulFix.lean
α✝ : Type u_1
β : α✝ → Type u_2
α : Type u_3
f : ((a : α✝) → Part (β a)) →o (a : α✝) → Part (β a)
X : (a : α✝) → Part (β a)
hX : f X ≤ X
\u22a2 ∀ (i : ℕ), (approxChain f) i ≤ X
-- Mathlib/Control/LawfulFix.lean
α✝ : Type u_1
β : α✝ → Type u_2
α : Type u_3
f : ((a : α✝) → Part (β a)) →o (a : α✝) → Part (β a)
X : (a : α✝) → Part (β a)
hX : f X ≤ X
\u22a2 ∀ (i : ℕ), { toFun := approx ⇑f, monotone' := ⋯ } i ≤ X
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝ : CommRing S
J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
H : J ≤ comap f I
x : R
\u22a2 ((quotientMap I f H).comp (Quotient.mk J)) x = ((Quotient.mk I).comp f) x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Positive.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T S : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
hS : S.IsPositive
\u22a2 (T + S).IsPositive
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Positive.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T S : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
hS : S.IsPositive
x : E
\u22a2 0 ≤ (T + S).reApplyInnerSelf x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Positive.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T S : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
hS : S.IsPositive
x : E
\u22a2 0 ≤ re ⟪T x, x⟫_𝕜 + re ⟪S x, x⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : ℝ
f : ℕ → ℝ
z : ℕ → E
n : ℕ
\u22a2 ‖∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i‖ ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : ℝ
f : ℕ → ℝ
z : ℕ → E
n : ℕ
\u22a2 ‖if Even n then 0 else 1‖ ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
a : M
b : ↥S
a' : M
b' : ↥S
eq1 : (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk a b) = (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk a' b')
\u22a2 LocalizedModule.mk a b = LocalizedModule.mk a' b'
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
a : M
b : ↥S
a' : M
b' : ↥S
eq1 : ↑⋯.unit⁻¹ (f a) = ↑⋯.unit⁻¹ (f a')
\u22a2 LocalizedModule.mk a b = LocalizedModule.mk a' b'
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
a : M
b : ↥S
a' : M
b' : ↥S
eq1 : ↑b • f a' = ↑b' • f a
\u22a2 LocalizedModule.mk a b = LocalizedModule.mk a' b'
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strong.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s✝ : Set E
a b m✝ : ℝ
x y : E
f✝ g : E → ℝ
s : Set E
f : E → ℝ
m n : ℝ
\u22a2 StrongConcaveOn s 0 f ↔ ConcaveOn ℝ s f
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
v : V
\u22a2 v +ᵥ p₂ ∈ affineSpan k {p₁, p₂} ↔ ∃ r, r • (p₁ -ᵥ p₂) = v
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i✝ : M →ₗ[R] N
f✝ : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i✝)
h : Baer R Q
X Y : Type v
x✝³ : AddCommGroup X
x✝² : AddCommGroup Y
x✝¹ : Module R X
x✝ : Module R Y
i : X →ₗ[R] Y
hi : Function.Injective ⇑i
f : X →ₗ[R] Q
\u22a2 ∃ h, ∀ (x : X), h (i x) = f x
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i✝ : M →ₗ[R] N
f✝ : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i✝)
h✝ : Baer R Q
X Y : Type v
x✝³ : AddCommGroup X
x✝² : AddCommGroup Y
x✝¹ : Module R X
x✝ : Module R Y
i : X →ₗ[R] Y
hi : Function.Injective ⇑i
f : X →ₗ[R] Q
h : Y →ₗ[R] Q
H : h ∘ₗ i = f
\u22a2 ∃ h, ∀ (x : X), h (i x) = f x
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
M : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
C : (⨁ (i : ι), M i) → Prop
x : ⨁ (i : ι), M i
H_zero : C 0
H_basic : ∀ (i : ι) (x : M i), C ((lof R ι M i) x)
H_plus : ∀ (x y : ⨁ (i : ι), M i), C x → C y → C (x + y)
\u22a2 C x
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ι → α → M
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, Measurable (f i)
\u22a2 Measurable fun a => ∏ i ∈ s, f i a
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
\u22a2 image Prod.snd n.divisorsAntidiagonal = n.divisors
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
\u22a2 image (Prod.snd ∘ ⇑(Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding) n.divisorsAntidiagonal = n.divisors
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N✝ N₂ : LieSubmodule R L M
N'✝ : LieSubmodule R L M'
hf : Function.Injective ⇑f
N N' : LieSubmodule R L M
h : map f N = map f N'
\u22a2 ⇑f '' ↑N = ⇑f '' ↑N'
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p₁ p₂ : P
hx : x ∉ s
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : t < 0
\u22a2 s.SOppSide (t • (x -ᵥ p₁) +ᵥ p₂) x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p₁ p₂ : P
hx : x ∉ s
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : t < 0
h : t • (x -ᵥ p₁) +ᵥ p₂ ∈ s
\u22a2 x ∈ s