ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)
\u22a2 (z - y) / (z - x) * f x + (y - x) / (z - x) * f z = ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀
dt : ℝ
\u22a2 IsIntegralCurveAt (γ ∘ fun x => x + dt) v (t₀ - dt)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : ∃ ε > 0, IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)
dt : ℝ
\u22a2 ∃ ε > 0, IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x + dt) v (Metric.ball (t₀ - dt) ε)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt ε : ℝ
hε : ε > 0
h : IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)
\u22a2 IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x + dt) v (Metric.ball (t₀ - dt) ε)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt ε : ℝ
hε : ε > 0
h : IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)
\u22a2 Metric.ball (t₀ - dt) ε = {t | t + dt ∈ Metric.ball t₀ ε}
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt ε : ℝ
hε : ε > 0
h : IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)
t : ℝ
\u22a2 t ∈ Metric.ball (t₀ - dt) ε ↔ t ∈ {t | t + dt ∈ Metric.ball t₀ ε}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
a : R
a0 : a ≠ 0
\u22a2 (C a * p).degree = p.degree
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
x x' : PGame
x_num : x.Numeric
x'_num : x'.Numeric
h : x ≤ x'
\u22a2 (x.insertRight x').Numeric
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
x x' : PGame
x_num : x.Numeric
x'_num : x'.Numeric
h : x ≤ x'
\u22a2 (-(-x).insertLeft (-x')).Numeric
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
x x' : PGame
x_num : x.Numeric
x'_num : x'.Numeric
h : x ≤ x'
\u22a2 ((-x).insertLeft (-x')).Numeric
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
l : List ℕ
n : ℕ
\u22a2 (∃ s ∈ l.ranges, n ∈ s) ↔ n < l.sum
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
U : Submodule 𝕜 E
V : Set (Submodule 𝕜 E)
\u22a2 (∀ Uᵢ ∈ V, Uᵢ ⟂ U) ↔ ∀ Vᵢ ∈ V, U ⟂ Vᵢ
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
\u22a2 toUnitHom ((changeLevel ⋯) χ) = toUnitHom χ
-- Mathlib/Order/WellFounded.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r' r : α → α → Prop
\u22a2 WellFounded r ↔ ∀ (s : Set α), s.Nonempty → ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬r x m
-- Mathlib/Order/WellFounded.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r' r : α → α → Prop
h : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬r x m
x : α
\u22a2 Acc r x
-- Mathlib/Order/WellFounded.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r' r : α → α → Prop
h : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬r x m
x : α
hx : ¬Acc r x
\u22a2 False
-- Mathlib/Order/WellFounded.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r' r : α → α → Prop
h : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬r x m
x : α
hx : ¬Acc r x
m : α
hm : m ∈ {x | ¬Acc r x}
hm' : ∀ x ∈ {x | ¬Acc r x}, ¬r x m
y : α
hy : r y m
\u22a2 Acc r y
-- Mathlib/Order/WellFounded.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r' r : α → α → Prop
h : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬r x m
x : α
hx : ¬Acc r x
m : α
hm : m ∈ {x | ¬Acc r x}
hm' : ∀ x ∈ {x | ¬Acc r x}, ¬r x m
y : α
hy : r y m
hy' : ¬Acc r y
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Nat/EvenOddRec.lean
P : ℕ → Sort u_1
h0 : P 0
h_even : (i : ℕ) → P i → P (2 * i)
h_odd : (i : ℕ) → P i → P (2 * i + 1)
H : h_even 0 h0 = h0
n : ℕ
\u22a2 evenOddRec h0 h_even h_odd (2 * n) = h_even n (evenOddRec h0 h_even h_odd n)
-- Mathlib/Data/Nat/EvenOddRec.lean
P : ℕ → Sort u_1
h0 : P 0
h_even : (i : ℕ) → P i → P (2 * i)
h_odd : (i : ℕ) → P i → P (2 * i + 1)
H : h_even 0 h0 = h0
n : ℕ
\u22a2 (match false, 0, h0 with | false, i, hi => h_even i hi | true, i, hi => h_odd i hi) = h0 ∨ (n = 0 → false = true)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
\u22a2 (W.Φ n).coeff (n.natAbs ^ 2) = 1
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ : Path x y
a b c : X
γ₁ : Path a b
γ₂ : Path b c
\u22a2 range ⇑{ toFun := (fun t => if t ≤ 1 / 2 then γ₁.extend (2 * t) else γ₂.extend (2 * t - 1)) ∘ Subtype.val, continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ } = range ⇑γ₁ ∪ range ⇑γ₂
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ : Path x y
a b c : X
γ₁ : Path a b
γ₂ : Path b c
\u22a2 range ⇑{ toFun := (fun t => if t ≤ 1 / 2 then γ₁.extend (2 * t) else γ₂.extend (2 * t - 1)) ∘ Subtype.val, continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ } ⊆ range ⇑γ₁ ∪ range ⇑γ₂
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ : Path x y
a b c : X
γ₁ : Path a b
γ₂ : Path b c
\u22a2 range ⇑γ₁ ∪ range ⇑γ₂ ⊆ range ⇑{ toFun := (fun t => if t ≤ 1 / 2 then γ₁.extend (2 * t) else γ₂.extend (2 * t - 1)) ∘ Subtype.val, continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ }
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
f : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso f
\u22a2 X ◁ inv f ≫ X ◁ f = 𝟙 (X ⊗ Z)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Units.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring α
a✝ b✝ a b : α
u : αˣ
\u22a2 a /ₚ u + b = (a + b * ↑u) /ₚ u
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Mirror.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
h : p.mirror = 0
\u22a2 p = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Mirror.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
h : p = 0
\u22a2 p.mirror = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M : Matrix m n R
v : M₁
\u22a2 v₂.equivFun.symm ((toLin' M) ⇑(v₁.repr v)) = ∑ j : m, (M *ᵥ ⇑(v₁.repr v)) j • v₂ j
-- Mathlib/Data/Int/CardIntervalMod.lean
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
x : ℤ
\u22a2 x ∈ map castEmbedding (filter (fun x => x ≡ v [MOD r]) (Ioc a b)) ↔ x ∈ filter (fun x => x ≡ ↑v [ZMOD ↑r]) (Ioc ↑a ↑b)
-- Mathlib/Data/Int/CardIntervalMod.lean
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
x : ℤ
\u22a2 (∃ a_1, ((a < a_1 ∧ a_1 ≤ b) ∧ a_1 ≡ v [MOD r]) ∧ ↑a_1 = x) ↔ (↑a < x ∧ x ≤ ↑b) ∧ x ≡ ↑v [ZMOD ↑r]
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
hx : ↑x ≠ ↑a
\u22a2 IsOpen {x | (fun x => toIcoMod hp a x = toIocMod hp a x) x}
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
hx : ↑x ≠ ↑a
\u22a2 IsOpen (⋃ z, Ioo (a + z • p) (a + p + z • p))
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
K : IntermediateField F E
\u22a2 ∃ α, F⟮α⟯ = K
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
K : IntermediateField F E
this : FiniteDimensional F E
\u22a2 ∃ α, F⟮α⟯ = K
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
K : IntermediateField F E
this : FiniteDimensional F E
h✝ : Finite F
\u22a2 ∃ α, F⟮α⟯ = K
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
K : IntermediateField F E
this : FiniteDimensional F E
h✝ : Infinite F
\u22a2 ∃ α, F⟮α⟯ = K
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Sum.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
x : Finset α
\u22a2 ∑ m ∈ x.powerset, (-1) ^ m.card = if x = ∅ then 1 else 0
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Sum.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
x : Finset α
\u22a2 ∑ m ∈ range (x.card + 1), x.card.choose m • (-1) ^ m = if x = ∅ then 1 else 0
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n : ℕ
\u22a2 (n + 1) * (n + 1 - 1) / 2 = n * (n - 1) / 2 + n
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n : ℕ
\u22a2 n * (n + 1) / 2 = n * (n - 1 + 2) / 2
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n : ℕ
\u22a2 0 < 2
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Basic.lean
\u22a2 hermite 1 = X
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Basic.lean
\u22a2 X * C 1 - derivative (C 1) = X
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
\u22a2 ‖x‖ < 1 ↔ ↑p ∣ x
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
this : ‖x‖ ≤ ↑p ^ (-↑1) ↔ x ∈ Ideal.span {↑p ^ 1}
\u22a2 ‖x‖ < 1 ↔ ↑p ∣ x
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
this : ‖x‖ ≤ ↑p ^ (-↑1) ↔ ↑p ∣ x
\u22a2 ‖x‖ < 1 ↔ ↑p ∣ x
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
this : ‖x‖ ≤ ↑p ^ (-↑1) ↔ ↑p ∣ x
\u22a2 ‖x‖ < 1 ↔ ‖x‖ < ↑p ^ (-↑1 + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
\u22a2 tan (π / 2 - x) = (tan x)⁻¹
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x✝ y✝ z✝ t✝ : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y
x y z t : X ⊕ Y
\u22a2 dist (f (x, y)) (f (z, t)) ≤ ↑(2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (x, y) (z, t)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x✝ y✝ z✝ t✝ : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y
x y z t : X ⊕ Y
\u22a2 f (x, y) - f (z, t) ≤ ↑(2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (x, y) (z, t) ∧ f (z, t) - f (x, y) ≤ ↑(2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (x, y) (z, t)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x✝ y✝ z✝ t✝ : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y
x y z t : X ⊕ Y
\u22a2 f (z, t) - f (x, y) ≤ ↑(2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (x, y) (z, t)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x✝ y✝ z✝ t✝ : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y
x y z t : X ⊕ Y
\u22a2 f (z, t) - f (x, y) ≤ ↑(2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (z, t) (x, y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
c : ℝ
c_pos : ¬0 < c
\u22a2 ball 0 c = Ico 0 c.toNNReal
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/NaturalTransformation/Strong.lean
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : StrongOplaxNatTrans F G
θ : StrongOplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : a' ⟶ G.obj a
\u22a2 f ◁ (θ.naturality (𝟙 a)).hom ≫ f ◁ θ.app a ◁ H.mapId a = f ◁ G.mapId a ▷ θ.app a ≫ f ◁ (λ_ (θ.app a)).hom ≫ f ◁ (ρ_ (θ.app a)).inv
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : (s ∩ t).Finite
\u22a2 s.encard = t.encard ↔ (s \ t).encard = (t \ s).encard
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
s : Cycle α
h : s.Nodup
\u22a2 s.Nontrivial ↔ ¬s.Subsingleton
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
s : Cycle α
h : s.Nodup
\u22a2 s.Nontrivial ↔ ¬s.length ≤ 1
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
a✝ : List α
h : Nodup (Quotient.mk'' a✝)
\u22a2 Nontrivial (Quotient.mk'' a✝) ↔ ¬length (Quotient.mk'' a✝) ≤ 1
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
a✝ : List α
h : a✝.Nodup
\u22a2 Nontrivial (Quotient.mk'' a✝) ↔ ¬length (Quotient.mk'' a✝) ≤ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring R₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H✝ H : B.IsRefl
\u22a2 ker B = ⊥ ↔ ker B.flip = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring R₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H✝ H : B.IsRefl
h : ker B.flip = ⊥
\u22a2 ker B = ⊥
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ
hb : 1 < b
hn : n ≠ 0
\u22a2 log b (n * b) = log b n + 1
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ
hb : 1 < b
hn : n ≠ 0
\u22a2 b ^ log b n * b ≤ n * b
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ
hb : 1 < b
hn : n ≠ 0
\u22a2 n * b < b ^ (log b n + 1) * b
-- Mathlib/Topology/Filter.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s
\u22a2 (𝓝 l).HasBasis p fun i => Iic (𝓟 (s i))
-- Mathlib/Topology/Filter.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s
\u22a2 (l.lift' (Iic ∘ 𝓟)).HasBasis p fun i => Iic (𝓟 (s i))
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
\u22a2 M.Basis' I X ↔ M.Basis I (M.closure X) ∧ I ⊆ X
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
\u22a2 M.Basis I (X ∩ M.E) ↔ M.Basis I (M.closure (X ∩ M.E)) ∧ I ⊆ X
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
inst✝ : LinearOrder α
f : α → β
a b : α
\u22a2 AEMeasurable f (μ.restrict (Ι a b)) ↔ AEMeasurable f (μ.restrict (Ioc a b)) ∧ AEMeasurable f (μ.restrict (Ioc b a))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Invariance.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
μ ν : Measure α
κ : Kernel α β
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ((μ + ν).bind ⇑κ) s = (μ.bind ⇑κ + ν.bind ⇑κ) s
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Subfield.lean
α : Type u
s : Set α
inst✝ : DivisionRing α
\u22a2 #(WType (Subfield.Operands s)) ≤ max #↑s ℵ₀
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Subfield.lean
α : Type u
s : Set α
inst✝ : DivisionRing α
\u22a2 max #↑s ℵ₀ = max (lift.{0, u} #(Fin 6 ⊕ ↑s)) ℵ₀
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Subfield.lean
α : Type u
s : Set α
inst✝ : DivisionRing α
\u22a2 ∀ (a : Fin 6 ⊕ ↑s), Finite (Subfield.Operands s a)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
d : σ →₀ ℕ
r : R
n : ℕ
hn : d.degree = n
\u22a2 ((monomial d) r).IsHomogeneous n
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
d : σ →₀ ℕ
r : R
n : ℕ
hn : (weight 1) d = n
\u22a2 ((monomial d) r).IsHomogeneous n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Matching.lean
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
inst✝ : (v : V) → Fintype ↑(M.neighborSet v)
\u22a2 M.IsPerfectMatching ↔ ∀ (v : V), M.degree v = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝² : DecidableEq α
β : Type v
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nontrivial α
a : ℤˣ
h : a = -1
x y : α
hxy : x ≠ y
\u22a2 sign (swap x y) = a
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g₁ g₂ : Fix F α → β
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), (TypeVec.id ::: g₁) <$$> x = (TypeVec.id ::: g₂) <$$> x → g₁ (mk x) = g₂ (mk x)
x : (P F).W α
\u22a2 g₁ (Quot.mk Setoid.r x) = g₂ (Quot.mk Setoid.r x)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g₁ g₂ : Fix F α → β
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), (TypeVec.id ::: g₁) <$$> x = (TypeVec.id ::: g₂) <$$> x → g₁ (mk x) = g₂ (mk x)
x : (P F).W α
\u22a2 ∀ (a : (P F).A) (f' : (P F).drop.B a ⟹ α) (f : (P F).last.B a → (P F).W α), (∀ (i : (P F).last.B a), g₁ (Quot.mk Setoid.r (f i)) = g₂ (Quot.mk Setoid.r (f i))) → g₁ (Quot.mk Setoid.r ((P F).wMk a f' f)) = g₂ (Quot.mk Setoid.r ((P F).wMk a f' f))
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g₁ g₂ : Fix F α → β
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), (TypeVec.id ::: g₁) <$$> x = (TypeVec.id ::: g₂) <$$> x → g₁ (mk x) = g₂ (mk x)
x : (P F).W α
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
ih : ∀ (i : (P F).last.B a), g₁ (Quot.mk Setoid.r (f i)) = g₂ (Quot.mk Setoid.r (f i))
\u22a2 g₁ ⟦(P F).wMk a f' f⟧ = g₂ ⟦(P F).wMk a f' f⟧
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g₁ g₂ : Fix F α → β
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), (TypeVec.id ::: g₁) <$$> x = (TypeVec.id ::: g₂) <$$> x → g₁ (mk x) = g₂ (mk x)
x : (P F).W α
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
ih : ∀ (i : (P F).last.B a), g₁ (Quot.mk Setoid.r (f i)) = g₂ (Quot.mk Setoid.r (f i))
\u22a2 g₁ (mk (abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩)) = g₂ (mk (abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩))
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g₁ g₂ : Fix F α → β
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), (TypeVec.id ::: g₁) <$$> x = (TypeVec.id ::: g₂) <$$> x → g₁ (mk x) = g₂ (mk x)
x : (P F).W α
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
ih : ∀ (i : (P F).last.B a), g₁ (Quot.mk Setoid.r (f i)) = g₂ (Quot.mk Setoid.r (f i))
\u22a2 (TypeVec.id ::: g₁) <$$> abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩ = (TypeVec.id ::: g₂) <$$> abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g₁ g₂ : Fix F α → β
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), (TypeVec.id ::: g₁) <$$> x = (TypeVec.id ::: g₂) <$$> x → g₁ (mk x) = g₂ (mk x)
x : (P F).W α
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
ih : ∀ (i : (P F).last.B a), g₁ (Quot.mk Setoid.r (f i)) = g₂ (Quot.mk Setoid.r (f i))
\u22a2 abs ⟨a, (TypeVec.id ::: g₁) ⊚ (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩ = abs ⟨a, (TypeVec.id ::: g₂) ⊚ (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g₁ g₂ : Fix F α → β
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), (TypeVec.id ::: g₁) <$$> x = (TypeVec.id ::: g₂) <$$> x → g₁ (mk x) = g₂ (mk x)
x : (P F).W α
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
ih : ∀ (i : (P F).last.B a), g₁ (Quot.mk Setoid.r (f i)) = g₂ (Quot.mk Setoid.r (f i))
\u22a2 ((TypeVec.id ::: g₁) ⊚ (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧) = (TypeVec.id ::: g₂) ⊚ (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g₁ g₂ : Fix F α → β
h : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), (TypeVec.id ::: g₁) <$$> x = (TypeVec.id ::: g₂) <$$> x → g₁ (mk x) = g₂ (mk x)
x : (P F).W α
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
ih : ∀ (i : (P F).last.B a), g₁ (Quot.mk Setoid.r (f i)) = g₂ (Quot.mk Setoid.r (f i))
\u22a2 splitFun (TypeVec.id ⊚ f') (g₁ ∘ fun x => ⟦f x⟧) = splitFun (TypeVec.id ⊚ f') (g₂ ∘ fun x => ⟦f x⟧)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
hx_re : x.re < 0
hx_im : 0 < x.im
\u22a2 arg =ᶠ[𝓝 x] fun x => Real.arcsin ((-x).im / abs x) + π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
hx_re : x.re < 0
hx_im : 0 < x.im
\u22a2 ∀ᶠ (y : ℂ) in 𝓝 x, y.re < 0 ∧ 0 < y.im
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
hx_re : x.re < 0
hx_im : 0 < x.im
\u22a2 IsOpen fun y => y.re < 0 ∧ 0 < y.im
-- Mathlib/Data/Matrix/RowCol.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Unique ι
w : m → α
v : n → α
i✝ : m
j✝ : n
\u22a2 vecMulVec w v i✝ j✝ = (col ι w * row ι v) i✝ j✝
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
n₁ n₂ : Int
d₁ d₂ : Nat
z₁ : d₁ ≠ 0
z₂ : d₂ ≠ 0
num✝ : Int
den✝ : Nat
den_nz✝ : den✝ ≠ 0
reduced✝ : num✝.natAbs.Coprime den✝
e₁ : normalize n₁ d₁ z₁ = { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ }
\u22a2 { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ } * normalize n₂ d₂ z₂ = normalize (n₁ * n₂) (d₁ * d₂) ⋯
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
n₂ : Int
d₂ : Nat
z₂ : d₂ ≠ 0
num✝ : Int
den✝ : Nat
den_nz✝ : den✝ ≠ 0
reduced✝ : num✝.natAbs.Coprime den✝
g₁ : Nat
zg₁ : g₁ ≠ 0
z₁ : den✝ * g₁ ≠ 0
e₁ : normalize (num✝ * ↑g₁) (den✝ * g₁) z₁ = { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ }
\u22a2 { num := num✝, den := den✝, den_nz := den_nz✝, reduced := reduced✝ } * normalize n₂ d₂ z₂ = normalize (num✝ * ↑g₁ * n₂) (den✝ * g₁ * d₂) ⋯