ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/ModelTheory/FinitelyGenerated.lean
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
h : CG L M
f : M →[L] N
hs : f.range = ⊤
\u22a2 f.range.CG
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁹ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
\u22a2 (mapL f) x = (map fun i => ↑(f i)) x
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁹ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
r✝ : 𝕜
f✝ : (i : ι) → E i
\u22a2 (mapL f) (r✝ • (tprod 𝕜) f✝) = (map fun i => ↑(f i)) (r✝ • (tprod 𝕜) f✝)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁹ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
x✝ y✝ : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
hx : (mapL f) x✝ = (map fun i => ↑(f i)) x✝
hy : (mapL f) y✝ = (map fun i => ↑(f i)) y✝
\u22a2 (mapL f) (x✝ + y✝) = (map fun i => ↑(f i)) (x✝ + y✝)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑(sa * s₁) = ra * ↑s₂
\u22a2 (r₃ /ₒ s₃) • ((sa • r₁ + ra • r₂) /ₒ (sa * s₁)) = (r₃ /ₒ s₃) • (r₁ /ₒ s₁) + (r₃ /ₒ s₃) • (r₂ /ₒ s₂)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑(sa * s₁) = ra * ↑s₂
\u22a2 (r₃ /ₒ s₃) • ((sa • r₁ + ra • r₂) /ₒ (sa * s₁)) = (r₃ /ₒ s₃) • (sa • r₁ /ₒ (sa * s₁)) + (r₃ /ₒ s₃) • (r₂ /ₒ s₂)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑(sa * s₁) = ra * ↑s₂
\u22a2 (r₃ /ₒ s₃) • ((sa • r₁ + ra • r₂) /ₒ (sa * s₁)) = (r₃ /ₒ s₃) • (sa • r₁ /ₒ (sa * s₁)) + (r₃ /ₒ s₃) • (ra • r₂ /ₒ ⟨ra * ↑s₂, ⋯⟩)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑(sa * s₁) = ra * ↑s₂
\u22a2 (r₃ /ₒ s₃) • ((sa • r₁ + ra • r₂) /ₒ (sa * s₁)) = (r₃ /ₒ s₃) • (sa • r₁ /ₒ (sa * s₁)) + (r₃ /ₒ s₃) • (ra • r₂ /ₒ (sa * s₁))
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : R
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑(sa * s₁) = ra * ↑s₂
\u22a2 oreNum r₃ (sa * s₁) • (sa • r₁ + ra • r₂) /ₒ (oreDenom r₃ (sa * s₁) * s₃) = oreNum r₃ (sa * s₁) • sa • r₁ /ₒ (oreDenom r₃ (sa * s₁) * s₃) + oreNum r₃ (sa * s₁) • ra • r₂ /ₒ (oreDenom r₃ (sa * s₁) * s₃)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure β
s : Set β
t : Set α
ht : MeasurableSet t
\u22a2 (Measure.comap f (μ.restrict s)) t = ((Measure.comap f μ).restrict (f ⁻¹' s)) t
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 ≤ a
hb₀ : 0 < b
hb₁ : b ≤ 1
\u22a2 a ≤ a / b
-- Mathlib/Algebra/Homology/QuasiIso.lean
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝¹² : Category.{v, u} C
inst✝¹¹ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K✝ L✝ M K' L' : HomologicalComplex C c
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} C₁
inst✝⁹ : Category.{u_5, u_3} C₂
inst✝⁸ : Preadditive C₁
inst✝⁷ : Preadditive C₂
K L : HomologicalComplex C₁ c
φ : K ⟶ L
F : C₁ ⥤ C₂
inst✝⁶ : F.Additive
inst✝⁵ : F.PreservesHomology
inst✝⁴ : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝³ : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝² : ∀ (i : ι), ((F.mapHomologicalComplex c).obj K).HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), ((F.mapHomologicalComplex c).obj L).HasHomology i
inst✝ : F.ReflectsIsomorphisms
\u22a2 QuasiIso ((F.mapHomologicalComplex c).map φ) ↔ QuasiIso φ
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Defs.lean
n a b : ℕ
a1 : a ≠ 1
b1 : b ≠ 1
\u22a2 ¬Prime (a * b)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Predicate.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_5, u_3} E
inst✝ : L.IsLocalization W
F₁ F₂ F₃ : C ⥤ E
F₁' F₂' F₃' : D ⥤ E
h₁ : Lifting L W F₁ F₁'
h₂ : Lifting L W F₂ F₂'
h₃ : Lifting L W F₃ F₃'
τ : F₁ ⟶ F₂
τ' : F₂ ⟶ F₃
X : C
\u22a2 (liftNatTrans L W F₁ F₂ F₁' F₂' τ ≫ liftNatTrans L W F₂ F₃ F₂' F₃' τ').app (L.obj X) = (liftNatTrans L W F₁ F₃ F₁' F₃' (τ ≫ τ')).app (L.obj X)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Symmetric.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Fintype τ
n : ℕ
f : R →+* S
\u22a2 (map f) (esymm σ R n) = esymm σ S n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius
\u22a2 Summable fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C * a ^ n
\u22a2 Summable fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n
-- Mathlib/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a : α
l✝ l : List α
r : α → α → Prop
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (b : α), b ∈ l → r a b
\u22a2 Pairwise r l
-- Mathlib/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a : α
l✝ l : List α
r : α → α → Prop
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (b : α), b ∈ l → r a b
\u22a2 ∀ {a b : α}, [a, b] <+ l → r a b
-- Mathlib/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a✝ : α
l✝ l : List α
r : α → α → Prop
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (b : α), b ∈ l → r a b
a b : α
hab : [a, b] <+ l
\u22a2 r a b
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
a₁ a₂ : α
h_mon : Monotone f
h_fa : f a₁ = f a₂
i : α
h₁ : a₁ ≤ i
h₂ : i ≤ a₂
\u22a2 f i = f a₁
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
a₁ a₂ : α
h_mon : Monotone f
h_fa : f a₁ = f a₂
i : α
h₁ : a₁ ≤ i
h₂ : i ≤ a₂
\u22a2 f i ≤ f a₁
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
a₁ a₂ : α
h_mon : Monotone f
h_fa : f a₁ = f a₂
i : α
h₁ : a₁ ≤ i
h₂ : i ≤ a₂
\u22a2 f a₁ ≤ f i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
c : E
\u22a2 a * c ∈ closedBall (b * c) r ↔ a ∈ closedBall b r
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S
a : T
\u22a2 (C a).aroots S = 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
\u22a2 #(List α) ≤ max ℵ₀ #α
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
h✝ : Finite α
\u22a2 #(List α) ≤ max ℵ₀ #α
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
h✝ : Infinite α
\u22a2 #(List α) ≤ max ℵ₀ #α
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
i : n
this : Nonempty n
\u22a2 A.det = ∑ j : n, A i j * A.adjugate j i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
i : n
this : Nonempty n
n' : ℕ
hn' : Fintype.card n = n'.succ
\u22a2 A.det = ∑ j : n, A i j * A.adjugate j i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
i : n
this : Nonempty n
n' : ℕ
hn' : Fintype.card n = n'.succ
x✝ : Trunc (n ≃ Fin n'.succ)
e : n ≃ Fin n'.succ
A' : Matrix (Fin n'.succ) (Fin n'.succ) α := (reindex e e) A
\u22a2 A.det = ∑ j : n, A i j * A.adjugate j i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
i : n
this : Nonempty n
n' : ℕ
hn' : Fintype.card n = n'.succ
x✝ : Trunc (n ≃ Fin n'.succ)
e : n ≃ Fin n'.succ
A' : Matrix (Fin n'.succ) (Fin n'.succ) α := (reindex e e) A
\u22a2 A'.det = ∑ j : Fin n'.succ, A' (e i) j * A'.adjugate j (e i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
i : n
this : Nonempty n
n' : ℕ
hn' : Fintype.card n = n'.succ
x✝ : Trunc (n ≃ Fin n'.succ)
e : n ≃ Fin n'.succ
A' : Matrix (Fin n'.succ) (Fin n'.succ) α := (reindex e e) A
\u22a2 ∑ j : Fin n'.succ, (-1) ^ (↑(e i) + ↑j) * A' (e i) j * (A'.submatrix (e i).succAbove j.succAbove).det = ∑ j : Fin n'.succ, A' (e i) j * A'.adjugate j (e i)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Monotone.lean
f : ℝ → ℝ
x a c d : ℝ
l : Filter ℝ
hl : l ≤ 𝓝[≠] x
hf : Tendsto (fun y => (f y - d) / (y - x)) l (𝓝 a)
h' : Tendsto (fun y => y + c * (y - x) ^ 2) l l
\u22a2 Tendsto (fun y => (f (y + c * (y - x) ^ 2) - d) / (y - x)) l (𝓝 a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Monotone.lean
f : ℝ → ℝ
x a c d : ℝ
l : Filter ℝ
hl : l ≤ 𝓝[≠] x
hf : Tendsto (fun y => (f y - d) / (y - x)) l (𝓝 a)
h' : Tendsto (fun y => y + c * (y - x) ^ 2) l l
L : Tendsto (fun y => (y + c * (y - x) ^ 2 - x) / (y - x)) l (𝓝 1)
\u22a2 Tendsto (fun y => (f (y + c * (y - x) ^ 2) - d) / (y - x)) l (𝓝 a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Monotone.lean
f : ℝ → ℝ
x a c d : ℝ
l : Filter ℝ
hl : l ≤ 𝓝[≠] x
hf : Tendsto (fun y => (f y - d) / (y - x)) l (𝓝 a)
h' : Tendsto (fun y => y + c * (y - x) ^ 2) l l
L : Tendsto (fun y => (y + c * (y - x) ^ 2 - x) / (y - x)) l (𝓝 1)
Z : Tendsto (fun x_1 => ((fun y => (f y - d) / (y - x)) ∘ fun y => y + c * (y - x) ^ 2) x_1 * ((x_1 + c * (x_1 - x) ^ 2 - x) / (x_1 - x))) l (𝓝 (a * 1))
\u22a2 Tendsto (fun y => (f (y + c * (y - x) ^ 2) - d) / (y - x)) l (𝓝 a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Monotone.lean
f : ℝ → ℝ
x a c d : ℝ
l : Filter ℝ
hl : l ≤ 𝓝[≠] x
hf : Tendsto (fun y => (f y - d) / (y - x)) l (𝓝 a)
h' : Tendsto (fun y => y + c * (y - x) ^ 2) l l
L : Tendsto (fun y => (y + c * (y - x) ^ 2 - x) / (y - x)) l (𝓝 1)
Z : Tendsto (fun x_1 => ((fun y => (f y - d) / (y - x)) ∘ fun y => y + c * (y - x) ^ 2) x_1 * ((x_1 + c * (x_1 - x) ^ 2 - x) / (x_1 - x))) l (𝓝 a)
\u22a2 Tendsto (fun y => (f (y + c * (y - x) ^ 2) - d) / (y - x)) l (𝓝 a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Monotone.lean
f : ℝ → ℝ
x a c d : ℝ
l : Filter ℝ
hl : l ≤ 𝓝[≠] x
hf : Tendsto (fun y => (f y - d) / (y - x)) l (𝓝 a)
h' : Tendsto (fun y => y + c * (y - x) ^ 2) l l
L : Tendsto (fun y => (y + c * (y - x) ^ 2 - x) / (y - x)) l (𝓝 1)
Z : Tendsto (fun x_1 => ((fun y => (f y - d) / (y - x)) ∘ fun y => y + c * (y - x) ^ 2) x_1 * ((x_1 + c * (x_1 - x) ^ 2 - x) / (x_1 - x))) l (𝓝 a)
\u22a2 (fun x_1 => ((fun y => (f y - d) / (y - x)) ∘ fun y => y + c * (y - x) ^ 2) x_1 * ((x_1 + c * (x_1 - x) ^ 2 - x) / (x_1 - x))) =ᶠ[l] fun y => (f (y + c * (y - x) ^ 2) - d) / (y - x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Monotone.lean
f : ℝ → ℝ
x a c d : ℝ
l : Filter ℝ
hl : l ≤ 𝓝[≠] x
hf : Tendsto (fun y => (f y - d) / (y - x)) l (𝓝 a)
h' : Tendsto (fun y => y + c * (y - x) ^ 2) l l
L : Tendsto (fun y => (y + c * (y - x) ^ 2 - x) / (y - x)) l (𝓝 1)
Z : Tendsto (fun x_1 => ((fun y => (f y - d) / (y - x)) ∘ fun y => y + c * (y - x) ^ 2) x_1 * ((x_1 + c * (x_1 - x) ^ 2 - x) / (x_1 - x))) l (𝓝 a)
this : ∀ᶠ (y : ℝ) in l, y + c * (y - x) ^ 2 ≠ x
\u22a2 (fun x_1 => ((fun y => (f y - d) / (y - x)) ∘ fun y => y + c * (y - x) ^ 2) x_1 * ((x_1 + c * (x_1 - x) ^ 2 - x) / (x_1 - x))) =ᶠ[l] fun y => (f (y + c * (y - x) ^ 2) - d) / (y - x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Monotone.lean
f : ℝ → ℝ
x a c d : ℝ
l : Filter ℝ
hl : l ≤ 𝓝[≠] x
hf : Tendsto (fun y => (f y - d) / (y - x)) l (𝓝 a)
h' : Tendsto (fun y => y + c * (y - x) ^ 2) l l
L : Tendsto (fun y => (y + c * (y - x) ^ 2 - x) / (y - x)) l (𝓝 1)
Z : Tendsto (fun x_1 => ((fun y => (f y - d) / (y - x)) ∘ fun y => y + c * (y - x) ^ 2) x_1 * ((x_1 + c * (x_1 - x) ^ 2 - x) / (x_1 - x))) l (𝓝 a)
this : ∀ᶠ (y : ℝ) in l, y + c * (y - x) ^ 2 ≠ x
y : ℝ
hy : y + c * (y - x) ^ 2 ≠ x
\u22a2 ((fun y => (f y - d) / (y - x)) ∘ fun y => y + c * (y - x) ^ 2) y * ((y + c * (y - x) ^ 2 - x) / (y - x)) = (f (y + c * (y - x) ^ 2) - d) / (y - x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ⊤
I : ∀ (u v : Set E), μ u ≠ 0 → μ u ≠ ⊤ → MeasurableSet v → μ u / μ u - μ (vᶜ ∩ u) / μ u = μ (v ∩ u) / μ u
L : Tendsto (fun r => μ (sᶜ ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
\u22a2 Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ⊤
I : ∀ (u v : Set E), μ u ≠ 0 → μ u ≠ ⊤ → MeasurableSet v → μ u / μ u - μ (vᶜ ∩ u) / μ u = μ (v ∩ u) / μ u
L : Tendsto (fun r => μ (sᶜ ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
L' : Tendsto (fun r => μ (sᶜ ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
\u22a2 Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ⊤
I : ∀ (u v : Set E), μ u ≠ 0 → μ u ≠ ⊤ → MeasurableSet v → μ u / μ u - μ (vᶜ ∩ u) / μ u = μ (v ∩ u) / μ u
L : Tendsto (fun r => μ (sᶜ ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
L' : Tendsto (fun r => μ (sᶜ ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
L'' : Tendsto (fun r => μ ({x} + r • t) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
\u22a2 Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ⊤
I : ∀ (u v : Set E), μ u ≠ 0 → μ u ≠ ⊤ → MeasurableSet v → μ u / μ u - μ (vᶜ ∩ u) / μ u = μ (v ∩ u) / μ u
L : Tendsto (fun r => μ (sᶜ ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
L' : Tendsto (fun r => μ (sᶜ ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
L'' : Tendsto (fun r => μ ({x} + r • t) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
this : Tendsto (fun a => μ ({x} + a • t) / μ ({x} + a • t) - μ (sᶜ ∩ ({x} + a • t)) / μ ({x} + a • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (1 - 0))
\u22a2 Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ⊤
I : ∀ (u v : Set E), μ u ≠ 0 → μ u ≠ ⊤ → MeasurableSet v → μ u / μ u - μ (vᶜ ∩ u) / μ u = μ (v ∩ u) / μ u
L : Tendsto (fun r => μ (sᶜ ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
L' : Tendsto (fun r => μ (sᶜ ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
L'' : Tendsto (fun r => μ ({x} + r • t) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
this : Tendsto (fun a => μ ({x} + a • t) / μ ({x} + a • t) - μ (sᶜ ∩ ({x} + a • t)) / μ ({x} + a • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
\u22a2 Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ⊤
I : ∀ (u v : Set E), μ u ≠ 0 → μ u ≠ ⊤ → MeasurableSet v → μ u / μ u - μ (vᶜ ∩ u) / μ u = μ (v ∩ u) / μ u
L : Tendsto (fun r => μ (sᶜ ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
L' : Tendsto (fun r => μ (sᶜ ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
L'' : Tendsto (fun r => μ ({x} + r • t) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
this : Tendsto (fun a => μ ({x} + a • t) / μ ({x} + a • t) - μ (sᶜ ∩ ({x} + a • t)) / μ ({x} + a • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
\u22a2 (fun a => μ ({x} + a • t) / μ ({x} + a • t) - μ (sᶜ ∩ ({x} + a • t)) / μ ({x} + a • t)) =ᶠ[𝓝[>] 0] fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
hs : MeasurableSet s
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
t : Set E
ht : MeasurableSet t
h't : μ t ≠ 0
h''t : μ t ≠ ⊤
I : ∀ (u v : Set E), μ u ≠ 0 → μ u ≠ ⊤ → MeasurableSet v → μ u / μ u - μ (vᶜ ∩ u) / μ u = μ (v ∩ u) / μ u
L : Tendsto (fun r => μ (sᶜ ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
L' : Tendsto (fun r => μ (sᶜ ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
L'' : Tendsto (fun r => μ ({x} + r • t) / μ ({x} + r • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
this : Tendsto (fun a => μ ({x} + a • t) / μ ({x} + a • t) - μ (sᶜ ∩ ({x} + a • t)) / μ ({x} + a • t)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
\u22a2 ∀ a ∈ Ioi 0, μ ({x} + a • t) / μ ({x} + a • t) - μ (sᶜ ∩ ({x} + a • t)) / μ ({x} + a • t) = μ (s ∩ ({x} + a • t)) / μ ({x} + a • t)
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
h : Normal F K
inst✝ : FiniteDimensional F K
s : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K)) F K := Basis.ofVectorSpace F K
\u22a2 ∃ p, IsSplittingField F K p
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
h : Normal F K
inst✝ : FiniteDimensional F K
s : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K)) F K := Basis.ofVectorSpace F K
\u22a2 Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin F ((∏ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K), minpoly F (s x)).rootSet K)) = Subalgebra.toSubmodule ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
h : Normal F K
inst✝ : FiniteDimensional F K
s : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K)) F K := Basis.ofVectorSpace F K
\u22a2 ∀ (y : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K)), s y ∈ ↑(Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin F ((∏ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K), minpoly F (s x)).rootSet K)))
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
h : Normal F K
inst✝ : FiniteDimensional F K
s : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K)) F K := Basis.ofVectorSpace F K
x✝¹ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K)
x✝ : x ∈ Finset.univ
\u22a2 minpoly F (s x) ≠ 0
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
h : Normal F K
inst✝ : FiniteDimensional F K
s : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K)) F K := Basis.ofVectorSpace F K
x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K)
\u22a2 (map (algebraMap F K) (∏ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K), minpoly F (s x))).IsRoot (s x)
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
h : Normal F K
inst✝ : FiniteDimensional F K
s : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K)) F K := Basis.ofVectorSpace F K
x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K)
\u22a2 ∏ x_1 : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex F K), (aeval (s x)) (minpoly F (s x_1)) = 0