ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s t : ℂ
hs : 0 < s.re
ht : 0 < t.re
conv_int : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∫ (t_1 : ℝ) in 0 ..x, ((ContinuousLinearMap.mul ℝ ℂ) (↑(rexp (-t_1)) * ↑t_1 ^ (s - 1))) (↑(rexp (-(x - t_1))) * ↑(x - t_1) ^ (t - 1)) ∂volume = ((ContinuousLinearMap.mul ℝ ℂ) (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1) ∂volume)) (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (t - 1) ∂volume)
\u22a2 Gamma s * Gamma t = Gamma (s + t) * s.betaIntegral t
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s t : ℂ
hs : 0 < s.re
ht : 0 < t.re
conv_int : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∫ (t_1 : ℝ) in 0 ..x, ↑(rexp (-t_1)) * ↑t_1 ^ (s - 1) * (↑(rexp (-(x - t_1))) * ↑(x - t_1) ^ (t - 1)) ∂volume = (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1) ∂volume) * ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (t - 1) ∂volume
\u22a2 Gamma s * Gamma t = Gamma (s + t) * s.betaIntegral t
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s t : ℂ
hs : 0 < s.re
ht : 0 < t.re
conv_int : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∫ (t_1 : ℝ) in 0 ..x, ↑(rexp (-t_1)) * ↑t_1 ^ (s - 1) * (↑(rexp (-(x - t_1))) * ↑(x - t_1) ^ (t - 1)) ∂volume = (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1) ∂volume) * ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (t - 1) ∂volume
hst : 0 < (s + t).re
\u22a2 Gamma s * Gamma t = Gamma (s + t) * s.betaIntegral t
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s t : ℂ
hs : 0 < s.re
ht : 0 < t.re
conv_int : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∫ (t_1 : ℝ) in 0 ..x, ↑(rexp (-t_1)) * ↑t_1 ^ (s - 1) * (↑(rexp (-(x - t_1))) * ↑(x - t_1) ^ (t - 1)) ∂volume = (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1) ∂volume) * ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (t - 1) ∂volume
hst : 0 < (s + t).re
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∫ (t_1 : ℝ) in 0 ..x, ↑(rexp (-t_1)) * ↑t_1 ^ (s - 1) * (↑(rexp (-(x - t_1))) * ↑(x - t_1) ^ (t - 1)) ∂volume = ∫ (a : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-a)) * ↑a ^ (s + t - 1) * s.betaIntegral t
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s t : ℂ
hs : 0 < s.re
ht : 0 < t.re
conv_int : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∫ (t_1 : ℝ) in 0 ..x, ↑(rexp (-t_1)) * ↑t_1 ^ (s - 1) * (↑(rexp (-(x - t_1))) * ↑(x - t_1) ^ (t - 1)) ∂volume = (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1) ∂volume) * ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (t - 1) ∂volume
hst : 0 < (s + t).re
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
\u22a2 ∫ (t_1 : ℝ) in 0 ..x, ↑(rexp (-t_1)) * ↑t_1 ^ (s - 1) * (↑(rexp (-(x - t_1))) * ↑(x - t_1) ^ (t - 1)) = ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s + t - 1) * s.betaIntegral t
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s t : ℂ
hs : 0 < s.re
ht : 0 < t.re
conv_int : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∫ (t_1 : ℝ) in 0 ..x, ↑(rexp (-t_1)) * ↑t_1 ^ (s - 1) * (↑(rexp (-(x - t_1))) * ↑(x - t_1) ^ (t - 1)) ∂volume = (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1) ∂volume) * ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (t - 1) ∂volume
hst : 0 < (s + t).re
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
\u22a2 ∫ (t_1 : ℝ) in 0 ..x, ↑(rexp (-t_1)) * ↑t_1 ^ (s - 1) * (↑(rexp (-(x - t_1))) * ↑(x - t_1) ^ (t - 1)) = ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..x, ↑(rexp (-x)) * (↑x_1 ^ (s - 1) * (↑x - ↑x_1) ^ (t - 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s t : ℂ
hs : 0 < s.re
ht : 0 < t.re
conv_int : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∫ (t_1 : ℝ) in 0 ..x, ↑(rexp (-t_1)) * ↑t_1 ^ (s - 1) * (↑(rexp (-(x - t_1))) * ↑(x - t_1) ^ (t - 1)) ∂volume = (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1) ∂volume) * ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (t - 1) ∂volume
hst : 0 < (s + t).re
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
y : ℝ
\u22a2 cexp (-↑x) = cexp (-↑y) * cexp (-(↑x - ↑y))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s t : ℂ
hs : 0 < s.re
ht : 0 < t.re
conv_int : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∫ (t_1 : ℝ) in 0 ..x, ↑(rexp (-t_1)) * ↑t_1 ^ (s - 1) * (↑(rexp (-(x - t_1))) * ↑(x - t_1) ^ (t - 1)) ∂volume = (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1) ∂volume) * ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (t - 1) ∂volume
hst : 0 < (s + t).re
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
y : ℝ
\u22a2 cexp (-↑x) = cexp (-↑y + -(↑x - ↑y))
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁹ : PartialOrder Γ✝
inst✝⁸ : PartialOrder Γ'
inst✝⁷ : VAdd Γ✝ Γ'
inst✝⁶ : IsOrderedCancelVAdd Γ✝ Γ'
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
Γ : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid Γ
inst✝³ : AddAction Γ Γ'
inst✝² : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
r : R
x : HahnModule Γ' R V
x✝ : Γ'
\u22a2 ((of R).symm ((HahnSeries.single 0) r • x)).coeff x✝ = ((of R).symm (r • x)).coeff x✝
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹ : (i : o) → Fintype (n' i)
inst✝ : Fintype o
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
N : (i : o) → Matrix (n' i) (p' i) α
k : o
i : m' k
k' : o
j : p' k'
\u22a2 blockDiagonal' (fun k => M k * N k) ⟨k, i⟩ ⟨k', j⟩ = (blockDiagonal' M * blockDiagonal' N) ⟨k, i⟩ ⟨k', j⟩
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹ : (i : o) → Fintype (n' i)
inst✝ : Fintype o
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
N : (i : o) → Matrix (n' i) (p' i) α
k : o
i : m' k
k' : o
j : p' k'
\u22a2 (if h : k = k' then ∑ j_1 : n' k, M k i j_1 * N k j_1 (cast ⋯ j) else 0) = ∑ x : o, ∑ x_1 : n' x, (if h : k = x then M k i (cast ⋯ x_1) else 0) * if h : x = k' then N x x_1 (cast ⋯ j) else 0
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹ : (i : o) → Fintype (n' i)
inst✝ : Fintype o
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
N : (i : o) → Matrix (n' i) (p' i) α
k : o
i : m' k
k' : o
j : p' k'
\u22a2 (if h : k = k' then ∑ j_1 : n' k, M k i j_1 * N k j_1 (cast ⋯ j) else 0) = ∑ x : n' k, (if h : k = k then M k i (cast ⋯ x) else 0) * if h : k = k' then N k x (cast ⋯ j) else 0
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹ : (i : o) → Fintype (n' i)
inst✝ : Fintype o
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
N : (i : o) → Matrix (n' i) (p' i) α
k : o
i : m' k
k' : o
j : p' k'
\u22a2 ∀ (x : o), x ≠ k → (∑ x_1 : n' x, (if h : k = x then M k i (cast ⋯ x_1) else 0) * if h : x = k' then N x x_1 (cast ⋯ j) else 0) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Finset ι
t : ι → Set α
h : ∀ i ∈ s, NullMeasurableSet (t i) μ
H : μ univ < ∑ i ∈ s, μ (t i)
\u22a2 ∃ i ∈ s, ∃ j ∈ s, ∃ (_ : i ≠ j), (t i ∩ t j).Nonempty
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Finset ι
t : ι → Set α
h : ∀ i ∈ s, NullMeasurableSet (t i) μ
H : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → t i ∩ t j = ∅
\u22a2 ∑ i ∈ s, μ (t i) ≤ μ univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Finset ι
t : ι → Set α
h : ∀ i ∈ s, NullMeasurableSet (t i) μ
H : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → t i ∩ t j = ∅
\u22a2 (↑s).Pairwise (AEDisjoint μ on t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Finset ι
t : ι → Set α
h : ∀ i ∈ s, NullMeasurableSet (t i) μ
H : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → t i ∩ t j = ∅
i : ι
hi : i ∈ ↑s
j : ι
hj : j ∈ ↑s
hij : i ≠ j
\u22a2 (AEDisjoint μ on t) i j
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
der1 : ∀ x ∈ uIcc 0 (π / 2), HasDerivAt (fun y => ↑(sin y) * ↑(cos y) ^ (n - 1)) (↑(cos x) ^ n - (↑n - 1) * ↑(sin x) ^ 2 * ↑(cos x) ^ (n - 2)) x
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.sin (2 * z * ↑x) * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1) = (↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) - (↑n - 1) / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (n - 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
der1 : ∀ x ∈ uIcc 0 (π / 2), HasDerivAt (fun y => ↑(sin y) * ↑(cos y) ^ (n - 1)) (↑(cos x) ^ n - (↑n - 1) * ↑(sin x) ^ 2 * ↑(cos x) ^ (n - 2)) x
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.sin (2 * z * ↑x) * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1) = ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1) * Complex.sin (2 * z * ↑x)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
der1 : ∀ x ∈ uIcc 0 (π / 2), HasDerivAt (fun y => ↑(sin y) * ↑(cos y) ^ (n - 1)) (↑(cos x) ^ n - (↑n - 1) * ↑(sin x) ^ 2 * ↑(cos x) ^ (n - 2)) x
\u22a2 (↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) - (↑n - 1) / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (n - 2) = ↑(sin (π / 2)) * ↑(cos (π / 2)) ^ (n - 1) * (-Complex.cos (2 * z * ↑(π / 2)) / (2 * z)) - ↑(sin 0) * ↑(cos 0) ^ (n - 1) * (-Complex.cos (2 * z * ↑0) / (2 * z)) - ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, (↑(cos x) ^ n - (↑n - 1) * ↑(sin x) ^ 2 * ↑(cos x) ^ (n - 2)) * (-Complex.cos (2 * z * ↑x) / (2 * z))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
der1 : ∀ x ∈ uIcc 0 (π / 2), HasDerivAt (fun y => ↑(sin y) * ↑(cos y) ^ (n - 1)) (↑(cos x) ^ n - (↑n - 1) * ↑(sin x) ^ 2 * ↑(cos x) ^ (n - 2)) x
\u22a2 IntervalIntegrable (fun x => ↑(cos x) ^ n - (↑n - 1) * ↑(sin x) ^ 2 * ↑(cos x) ^ (n - 2)) volume 0 (π / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
der1 : ∀ x ∈ uIcc 0 (π / 2), HasDerivAt (fun y => ↑(sin y) * ↑(cos y) ^ (n - 1)) (↑(cos x) ^ n - (↑n - 1) * ↑(sin x) ^ 2 * ↑(cos x) ^ (n - 2)) x
\u22a2 IntervalIntegrable (fun x => Complex.sin (2 * z * ↑x)) volume 0 (π / 2)
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroup α
n : ℕ
hn : (Nat.card α).Coprime n
a : α
\u22a2 n • (↑n)⁻¹.val • a = a
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.123995, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.123999, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.124003, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseRightKanExtension F
Y₁ Y₂ : D
f : Y₁ ⟶ Y₂
g₁ g₂ : StructuredArrow Y₂ L
φ : g₁ ⟶ g₂
\u22a2 ((const (StructuredArrow Y₂ L)).obj (limit (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F))).map φ ≫ (fun g => limit.π (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F) ((StructuredArrow.map f).obj g)) g₂ = (fun g => limit.π (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F) ((StructuredArrow.map f).obj g)) g₁ ≫ (StructuredArrow.proj Y₂ L ⋙ F).map φ
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.123995, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.123999, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.124003, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseRightKanExtension F
Y : D
j : StructuredArrow Y L
\u22a2 limit.lift (StructuredArrow.proj Y L ⋙ F) { pt := limit (StructuredArrow.proj Y L ⋙ F), π := { app := fun g => limit.π (StructuredArrow.proj Y L ⋙ F) ((StructuredArrow.map (𝟙 Y)).obj g), naturality := ⋯ } } ≫ limit.π (StructuredArrow.proj Y L ⋙ F) j = 𝟙 (limit (StructuredArrow.proj Y L ⋙ F)) ≫ limit.π (StructuredArrow.proj Y L ⋙ F) j
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.123995, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.123999, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.124003, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseRightKanExtension F
Y : D
j : StructuredArrow Y L
\u22a2 limit.π (StructuredArrow.proj Y L ⋙ F) ((StructuredArrow.map (𝟙 Y)).obj j) = limit.π (StructuredArrow.proj Y L ⋙ F) j
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.123995, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.123999, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.124003, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseRightKanExtension F
Y : D
j : StructuredArrow Y L
\u22a2 (StructuredArrow.map (𝟙 Y)).obj j = j
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.123995, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.123999, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.124003, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseRightKanExtension F
Y₁ Y₂ Y₃ : D
f : Y₁ ⟶ Y₂
f' : Y₂ ⟶ Y₃
j : StructuredArrow Y₃ L
\u22a2 limit.lift (StructuredArrow.proj Y₃ L ⋙ F) { pt := limit (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F), π := { app := fun g => limit.π (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F) ((StructuredArrow.map (f ≫ f')).obj g), naturality := ⋯ } } ≫ limit.π (StructuredArrow.proj Y₃ L ⋙ F) j = (limit.lift (StructuredArrow.proj Y₂ L ⋙ F) { pt := limit (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F), π := { app := fun g => limit.π (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F) ((StructuredArrow.map f).obj g), naturality := ⋯ } } ≫ limit.lift (StructuredArrow.proj Y₃ L ⋙ F) { pt := limit (StructuredArrow.proj Y₂ L ⋙ F), π := { app := fun g => limit.π (StructuredArrow.proj Y₂ L ⋙ F) ((StructuredArrow.map f').obj g), naturality := ⋯ } }) ≫ limit.π (StructuredArrow.proj Y₃ L ⋙ F) j
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.123995, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.123999, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.124003, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseRightKanExtension F
Y₁ Y₂ Y₃ : D
f : Y₁ ⟶ Y₂
f' : Y₂ ⟶ Y₃
j : StructuredArrow Y₃ L
\u22a2 limit.π (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F) ((StructuredArrow.map (f ≫ f')).obj j) = limit.π (StructuredArrow.proj Y₁ L ⋙ F) ((StructuredArrow.map f).obj ((StructuredArrow.map f').obj j))
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.123995, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.123999, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.124003, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseRightKanExtension F
Y₁ Y₂ Y₃ : D
f : Y₁ ⟶ Y₂
f' : Y₂ ⟶ Y₃
j : StructuredArrow Y₃ L
\u22a2 (StructuredArrow.map (f ≫ f')).obj j = (StructuredArrow.map f).obj ((StructuredArrow.map f').obj j)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
e : F ≃L[𝕜] G
\u22a2 ContDiff 𝕜 n (⇑e ∘ f) ↔ ContDiff 𝕜 n f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Normed.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
x : E
\u22a2 f.normed μ x ≤ 1 / (μ (closedBall c f.rIn)).toReal
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Normed.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
x : E
\u22a2 ↑f x / ∫ (x : E), ↑f x ∂μ ≤ 1 / (μ (closedBall c f.rIn)).toReal
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
\u22a2 M.E = ∅ ↔ M = emptyOn α
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
\u22a2 M.E = ∅ → ∀ I ⊆ M.E, M.Indep I ↔ I = ∅
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Lemmas.lean
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
x✝ y✝ : R✝
inst✝¹ : CommSemiring R✝
x y : R✝
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
\u22a2 sInf {J | ⊥ ≤ J ∧ J.IsPrime} = sInf {J | J.IsPrime}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y x : ℝ
\u22a2 x < sin (π / 2) ↔ x < 1
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
\u22a2 (p.succAbove i).rev = p.rev.succAbove i.rev
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
x : E
\u22a2 iteratedFDeriv 𝕜 n (fun x => 0) x = 0 x
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ✝ ε δ : ℝ
s : Set E
x : E
\u22a2 infEdist x (cthickening δ s) = infEdist x s - ENNReal.ofReal δ
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ✝ ε δ : ℝ
s : Set E
x : E
hδ : δ ≤ 0
\u22a2 infEdist x (cthickening δ s) = infEdist x s - ENNReal.ofReal δ
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ✝ ε δ : ℝ
s : Set E
x : E
hδ : 0 < δ
\u22a2 infEdist x (cthickening δ s) = infEdist x s - ENNReal.ofReal δ
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
\u22a2 M.Basis I (insert e I) ↔ M.Dep (insert e I) ∨ e ∈ I
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
\u22a2 e ∉ I → ¬M.Indep (insert e I) ∧ e ∈ M.E ↔ ¬M.Indep (insert e I) ∧ e ∈ M.E ∨ e ∈ I
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n : ℕ
\u22a2 (2 * n)! ≤ (2 * n) ^ n * n !
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n : ℕ
\u22a2 (n + 1).ascFactorial n * n ! ≤ (n + n) ^ n * n !
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → Option β
s' s t : Finset α
f_inj : ∀ (a a' : α), ∀ b ∈ f a, b ∈ f a' → a = a'
\u22a2 ∀ (x : β), x ∈ ↑(filterMap f s f_inj) ↔ x ∈ {b | ∃ a ∈ s, f a = some b}
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Inducing f
\u22a2 IsPreconnected (f '' s) ↔ IsPreconnected s
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Inducing f
h : IsPreconnected (f '' s)
\u22a2 IsPreconnected s
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Inducing f
h : IsPreconnected (f '' s)
u v : Set α
hu' : IsOpen u
hv' : IsOpen v
huv : s ⊆ u ∪ v
x : α
hxs : x ∈ s
hxu : x ∈ u
y : α
hys : y ∈ s
hyv : y ∈ v
\u22a2 (s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Inducing f
h : IsPreconnected (f '' s)
v : Set α
hv' : IsOpen v
x : α
hxs : x ∈ s
y : α
hys : y ∈ s
hyv : y ∈ v
u : Set β
hu : IsOpen u
hu' : IsOpen (f ⁻¹' u)
huv : s ⊆ f ⁻¹' u ∪ v
hxu : x ∈ f ⁻¹' u
\u22a2 (s ∩ (f ⁻¹' u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Inducing f
h : IsPreconnected (f '' s)
x : α
hxs : x ∈ s
y : α
hys : y ∈ s
u : Set β
hu : IsOpen u
hu' : IsOpen (f ⁻¹' u)
hxu : x ∈ f ⁻¹' u
v : Set β
hv : IsOpen v
hv' : IsOpen (f ⁻¹' v)
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
huv : s ⊆ f ⁻¹' u ∪ f ⁻¹' v
\u22a2 (s ∩ (f ⁻¹' u ∩ f ⁻¹' v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Inducing f
h : IsPreconnected (f '' s)
x : α
hxs : x ∈ s
y : α
hys : y ∈ s
u : Set β
hu : IsOpen u
hu' : IsOpen (f ⁻¹' u)
hxu : x ∈ f ⁻¹' u
v : Set β
hv : IsOpen v
hv' : IsOpen (f ⁻¹' v)
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
huv : f '' s ⊆ u ∪ v
\u22a2 (s ∩ (f ⁻¹' u ∩ f ⁻¹' v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Inducing f
h : IsPreconnected (f '' s)
x : α
hxs : x ∈ s
y : α
hys : y ∈ s
u : Set β
hu : IsOpen u
hu' : IsOpen (f ⁻¹' u)
hxu : x ∈ f ⁻¹' u
v : Set β
hv : IsOpen v
hv' : IsOpen (f ⁻¹' v)
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
huv : f '' s ⊆ u ∪ v
z : α
hzs : z ∈ s
hzuv : f z ∈ u ∩ v
\u22a2 (s ∩ (f ⁻¹' u ∩ f ⁻¹' v)).Nonempty
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
h : s ⊆ t
\u22a2 μ (toMeasurable (μ.restrict t) s ∩ t) = (μ.restrict t) s
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
\u22a2 M ⊨ L.infiniteTheory ↔ Infinite M
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂
a₁ : σ₁
\u22a2 (∀ ⦃a₂ : σ₂⦄, (fun a b => tr a = b) a₁ a₂ → match f₁ a₁ with | some b₁ => ∃ b₂, (fun a b => tr a = b) b₁ b₂ ∧ Reaches₁ f₂ a₂ b₂ | none => f₂ a₂ = none) ↔ FRespects f₂ tr (tr a₁) (f₁ a₁)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
s n : Nat
\u22a2 range' s n = map (fun x => s + x) (range n)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
s n : Nat
\u22a2 range' s n = range' (s + 0) n
-- Mathlib/Probability/Process/Adapted.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
inst✝³ : MeasurableSpace ι
t : ι → Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : BorelSpace ι
inst✝ : MetrizableSpace ι
h : ProgMeasurable f u
ht : ProgMeasurable f t
ht_le : ∀ (i : ι) (ω : Ω), t i ω ≤ i
i : ι
\u22a2 StronglyMeasurable fun p => (fun i ω => u (t i ω) ω) (↑p.1) p.2
-- Mathlib/Probability/Process/Adapted.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
inst✝³ : MeasurableSpace ι
t : ι → Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : BorelSpace ι
inst✝ : MetrizableSpace ι
h : ProgMeasurable f u
ht : ProgMeasurable f t
ht_le : ∀ (i : ι) (ω : Ω), t i ω ≤ i
i : ι
this : (fun p => u (t (↑p.1) p.2) p.2) = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun p => (⟨t (↑p.1) p.2, ⋯⟩, p.2)
\u22a2 StronglyMeasurable fun p => (fun i ω => u (t i ω) ω) (↑p.1) p.2