ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Terminal.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
X Y : C
hX : IsTerminal X
hY : IsTerminal Y
f : X ⟶ Y
\u22a2 hX.from Y ≫ f = 𝟙 Y
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
f_cont : Continuous f
f_inj : Injective f
\u22a2 IsProperMap f ↔ IsClosedMap f
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
f_cont : Continuous f
f_inj : Injective f
h : IsClosedMap f
\u22a2 IsProperMap f
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
f_cont : Continuous f
f_inj : Injective f
h : IsClosedMap f
\u22a2 Continuous f ∧ IsClosedMap f ∧ ∀ (y : Y), IsCompact (f ⁻¹' {y})
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : CommRing C
inst✝⁴ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι'
inst✝ : IsDomain A
b : ι → B
hli : ¬LinearIndependent A b
\u22a2 discr A b = 0
-- Mathlib/Data/Int/Cast/Field.lean
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n : ℤ
hn : ↑n ≠ 0
k : ℤ
this : n ≠ 0
\u22a2 ↑(n * k / n) = ↑(n * k) / ↑n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n✝ : ℕ
hx : 0 ≤ x
n : ℤ
h : y + ↑n ≠ 0
\u22a2 x ^ (y + ↑n) = x ^ y * x ^ n
-- Mathlib/LinearAlgebra/PID.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
p : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (x : M), f x ∈ p
hf' : optParam (∀ x ∈ p, f x ∈ p) ⋯
ι : Type u_2 := Module.Free.ChooseBasisIndex R M
n : ℕ
snf : Basis.SmithNormalForm p ι n
\u22a2 (trace R ↥p) (f.restrict hf') = (trace R M) f
-- Mathlib/LinearAlgebra/PID.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
p : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (x : M), f x ∈ p
hf' : optParam (∀ x ∈ p, f x ∈ p) ⋯
ι : Type u_2 := Module.Free.ChooseBasisIndex R M
n : ℕ
snf : Basis.SmithNormalForm p ι n
\u22a2 ((toMatrix snf.bN snf.bN) (f.restrict hf')).trace = ((toMatrix snf.bM snf.bM) f).trace
-- Mathlib/LinearAlgebra/PID.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
p : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (x : M), f x ∈ p
hf' : optParam (∀ x ∈ p, f x ∈ p) ⋯
ι : Type u_2 := Module.Free.ChooseBasisIndex R M
n : ℕ
snf : Basis.SmithNormalForm p ι n
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R := (toMatrix snf.bN snf.bN) (f.restrict hf')
B : Matrix ι ι R := (toMatrix snf.bM snf.bM) f
\u22a2 A.trace = B.trace
-- Mathlib/LinearAlgebra/PID.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
p : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (x : M), f x ∈ p
hf' : optParam (∀ x ∈ p, f x ∈ p) ⋯
ι : Type u_2 := Module.Free.ChooseBasisIndex R M
n : ℕ
snf : Basis.SmithNormalForm p ι n
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R := (toMatrix snf.bN snf.bN) (f.restrict hf')
B : Matrix ι ι R := (toMatrix snf.bM snf.bM) f
aux : ∀ (i : ι), B i i ≠ 0 → i ∈ Set.range ⇑snf.f
\u22a2 A.trace = B.trace
-- Mathlib/LinearAlgebra/PID.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
p : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (x : M), f x ∈ p
hf' : optParam (∀ x ∈ p, f x ∈ p) ⋯
ι : Type u_2 := Module.Free.ChooseBasisIndex R M
n : ℕ
snf : Basis.SmithNormalForm p ι n
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R := (toMatrix snf.bN snf.bN) (f.restrict hf')
B : Matrix ι ι R := (toMatrix snf.bM snf.bM) f
aux : ∀ (i : ι), B i i ≠ 0 → i ∈ Set.range ⇑snf.f
\u22a2 ∑ i : Fin n, A i i = ∑ i : ι, B i i
-- Mathlib/LinearAlgebra/PID.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
p : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (x : M), f x ∈ p
hf' : optParam (∀ x ∈ p, f x ∈ p) ⋯
ι : Type u_2 := Module.Free.ChooseBasisIndex R M
n : ℕ
snf : Basis.SmithNormalForm p ι n
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R := (toMatrix snf.bN snf.bN) (f.restrict hf')
B : Matrix ι ι R := (toMatrix snf.bM snf.bM) f
aux : ∀ (i : ι), B i i ≠ 0 → i ∈ Set.range ⇑snf.f
\u22a2 ∑ i : Fin n, A i i = ∑ x ∈ Finset.filter (fun j => j ∈ Set.range ⇑snf.f) Finset.univ, B x x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Add.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
c : F
\u22a2 deriv (fun y => c + f y) x = deriv f x
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
ι : Sort u_2
S : ι → NonUnitalSubalgebra R A
x : A
\u22a2 x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R✝ : Type u_1
inst✝³ : CommRing R✝
n : ℕ
inst✝² : IsDomain R✝
h : 0 < n
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
\u22a2 ζ ^ n = 1 ↔ ∃ i ∈ n.divisors, (cyclotomic i R).IsRoot ζ
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
\u22a2 toIcoDiv hp a (b - m • p) = toIcoDiv hp a b - m
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
G_obj : D → C
e : (X : C) → (Y : D) → (F.obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G_obj Y)
he : ∀ (X' X : C) (Y : D) (f : X' ⟶ X) (g : F.obj X ⟶ Y), (e X' Y) (F.map f ≫ g) = f ≫ (e X Y) g
Y Y' Y'' : D
g : Y ⟶ Y'
g' : Y' ⟶ Y''
\u22a2 { obj := G_obj, map := fun {Y Y'} g => (e (G_obj Y) Y') ((e (G_obj Y) Y).symm (𝟙 (G_obj Y)) ≫ g) }.map (g ≫ g') = { obj := G_obj, map := fun {Y Y'} g => (e (G_obj Y) Y') ((e (G_obj Y) Y).symm (𝟙 (G_obj Y)) ≫ g) }.map g ≫ { obj := G_obj, map := fun {Y Y'} g => (e (G_obj Y) Y') ((e (G_obj Y) Y).symm (𝟙 (G_obj Y)) ≫ g) }.map g'
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
G_obj : D → C
e : (X : C) → (Y : D) → (F.obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G_obj Y)
he : ∀ (X' X : C) (Y : D) (f : X' ⟶ X) (g : F.obj X ⟶ Y), (e X' Y) (F.map f ≫ g) = f ≫ (e X Y) g
Y Y' Y'' : D
g : Y ⟶ Y'
g' : Y' ⟶ Y''
\u22a2 (e (G_obj Y) Y).symm (𝟙 (G_obj Y)) ≫ g ≫ g' = F.map ({ obj := G_obj, map := fun {Y Y'} g => (e (G_obj Y) Y') ((e (G_obj Y) Y).symm (𝟙 (G_obj Y)) ≫ g) }.map g) ≫ (e (G_obj Y') Y').symm (𝟙 (G_obj Y')) ≫ g'
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
G_obj : D → C
e : (X : C) → (Y : D) → (F.obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G_obj Y)
he : ∀ (X' X : C) (Y : D) (f : X' ⟶ X) (g : F.obj X ⟶ Y), (e X' Y) (F.map f ≫ g) = f ≫ (e X Y) g
Y Y' Y'' : D
g : Y ⟶ Y'
g' : Y' ⟶ Y''
\u22a2 (e (G_obj Y) Y).symm (𝟙 (G_obj Y)) ≫ g ≫ g' = ((e (G_obj Y) Y).symm (𝟙 (G_obj Y)) ≫ g) ≫ g'
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ✝ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
γ : Type u_1
hf : UniformCauchySeqOnFilter F p p'
g : γ → α
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
\u22a2 ∀ᶠ (m : (ι × ι) × γ) in (p ×ˢ p) ×ˢ comap g p', ((fun n => F n ∘ g) m.1.1 m.2, (fun n => F n ∘ g) m.1.2 m.2) ∈ u
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ✝ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
γ : Type u_1
hf : UniformCauchySeqOnFilter F p p'
g : γ → α
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
pa : ι × ι → Prop
hpa : ∀ᶠ (x : ι × ι) in p ×ˢ p, pa x
pb : α → Prop
hpb : ∀ᶠ (y : α) in p', pb y
hpapb : ∀ {x : ι × ι}, pa x → ∀ {y : α}, pb y → (F (x, y).1.1 (x, y).2, F (x, y).1.2 (x, y).2) ∈ u
\u22a2 ∀ᶠ (m : (ι × ι) × γ) in (p ×ˢ p) ×ˢ comap g p', ((fun n => F n ∘ g) m.1.1 m.2, (fun n => F n ∘ g) m.1.2 m.2) ∈ u
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ✝ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
γ : Type u_1
hf : UniformCauchySeqOnFilter F p p'
g : γ → α
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
pa : ι × ι → Prop
hpa : ∀ᶠ (x : ι × ι) in p ×ˢ p, pa x
pb : α → Prop
hpb : ∀ᶠ (y : α) in p', pb y
hpapb : ∀ {x : ι × ι}, pa x → ∀ {y : α}, pb y → (F (x, y).1.1 (x, y).2, F (x, y).1.2 (x, y).2) ∈ u
\u22a2 ∃ pa, (∀ᶠ (x : ι × ι) in p ×ˢ p, pa x) ∧ ∃ pb, (∀ᶠ (y : γ) in comap g p', pb y) ∧ ∀ {x : ι × ι}, pa x → ∀ {y : γ}, pb y → ((fun n => F n ∘ g) (x, y).1.1 (x, y).2, (fun n => F n ∘ g) (x, y).1.2 (x, y).2) ∈ u
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ✝ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
γ : Type u_1
hf : UniformCauchySeqOnFilter F p p'
g : γ → α
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
pa : ι × ι → Prop
hpa : ∀ᶠ (x : ι × ι) in p ×ˢ p, pa x
pb : α → Prop
hpb : ∀ᶠ (y : α) in p', pb y
hpapb : ∀ {x : ι × ι}, pa x → ∀ {y : α}, pb y → (F (x, y).1.1 (x, y).2, F (x, y).1.2 (x, y).2) ∈ u
\u22a2 ∀ᶠ (y : γ) in comap g p', (pb ∘ g) y
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/LazyList.lean
α : Type u_1
xs ys zs : LazyList α
\u22a2 (xs.append { fn := fun x => ys }).append { fn := fun x => zs } = xs.append { fn := fun x => ys.append { fn := fun x => zs } }
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
a : ↥S
\u22a2 1 = mk (↑a) a
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
a : ↥S
\u22a2 (r S) (1, 1) (↑a, a)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
x : α
hx : r x x
n : Nat
\u22a2 Pairwise r (replicate (n + 1) x)
-- Mathlib/Analysis/SumIntegralComparisons.lean
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Icc ↑a ↑b)
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑b, f x ≤ ∑ i ∈ Finset.Ico a b, f ↑(i + 1)
-- Mathlib/Analysis/SumIntegralComparisons.lean
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Icc ↑a ↑b)
\u22a2 ∑ x ∈ Finset.Ico a b, -f ↑(x + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑b, -f x
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/AdditiveFunctor.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
F : C ⥤ D
inst✝² : HasBinaryProducts C
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
\u22a2 F.Additive
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/AdditiveFunctor.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
F : C ⥤ D
inst✝² : HasBinaryProducts C
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
this : HasBinaryBiproducts C
\u22a2 F.Additive
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/AdditiveFunctor.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
F : C ⥤ D
inst✝² : HasBinaryProducts C
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
this✝ : HasBinaryBiproducts C
this : PreservesBinaryBiproducts F
\u22a2 F.Additive
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) 1 μ ≤ ↑R
\u22a2 ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (a b : ℚ), a < b → upcrossings (↑a) (↑b) f ω < ⊤
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) 1 μ ≤ ↑R
\u22a2 ∀ (i i_1 : ℚ), i < i_1 → ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, upcrossings (↑i) (↑i_1) f x < ⊤
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a✝ b✝ : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) 1 μ ≤ ↑R
a b : ℚ
hab : a < b
\u22a2 ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, upcrossings (↑a) (↑b) f x < ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n✝ : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq n✝
inst✝ : Fintype n✝
n : ℕ
p : Fin n → R[X]
h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree = ↑i
h_monic : ∀ (i : Fin n), (p i).Monic
\u22a2 (of fun i j => (p j).coeff ↑i).det = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n✝ : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq n✝
inst✝ : Fintype n✝
n : ℕ
p : Fin n → R[X]
h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree = ↑i
h_monic : ∀ (i : Fin n), (p i).Monic
\u22a2 ∏ i : Fin n, of (fun i j => (p j).coeff ↑i) i i = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n✝ : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq n✝
inst✝ : Fintype n✝
n : ℕ
p : Fin n → R[X]
h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree = ↑i
h_monic : ∀ (i : Fin n), (p i).Monic
x : Fin n
a✝ : x ∈ univ
\u22a2 of (fun i j => (p j).coeff ↑i) x x = 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' G'' : G.Subgraph
s s' : Set V
\u22a2 G'.induce s ≤ G'.induce (s ∪ s')
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a a' : α
s✝ : Finmap β
s : AList β
\u22a2 (erase a (erase a' ⟦s⟧)).entries = (erase a' (erase a ⟦s⟧)).entries
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝ : DecidableEq α
hxy : x ≠ y
\u22a2 (swap x y) y ≠ y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝ : DecidableEq α
hxy : x ≠ y
a : α
ha : (if a = x then y else if a = y then x else a) ≠ a
hya : ¬y = a
\u22a2 (swap x y ^ 1) y = a
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝ : DecidableEq α
hxy : x ≠ y
a : α
ha : (if a = x then y else if a = y then x else a) ≠ a
hya : ¬y = a
\u22a2 (if y = x then y else if y = y then x else y) = a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
o o' : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
h : o.split = (o', m)
a : ONote
n : ℕ
e : o.split' = (a, n)
\u22a2 o'.NF ∧ o.repr = o'.repr + ↑m
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
o o' : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
h : o.split = (o', m)
a : ONote
n : ℕ
e : o.split' = (a, n)
s₁ : a.NF
s₂ : o.repr = ω * a.repr + ↑n
\u22a2 o'.NF ∧ o.repr = o'.repr + ↑m
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
o o' : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
a : ONote
n : ℕ
h : (scale 1 a, n) = (o', m)
e : o.split' = (a, n)
s₁ : a.NF
s₂ : o.repr = ω * a.repr + ↑n
\u22a2 o'.NF ∧ o.repr = o'.repr + ↑m
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
o : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
a : ONote
s₁ : a.NF
e : o.split' = (a, m)
s₂ : o.repr = ω * a.repr + ↑m
\u22a2 (scale 1 a).NF ∧ o.repr = (scale 1 a).repr + ↑m
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
o : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
a : ONote
s₁ : a.NF
e : o.split' = (a, m)
s₂ : o.repr = ω * a.repr + ↑m
\u22a2 (scale 1 a).NF
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : NonUnitalSeminormedRing α
β : Type u_5
inst✝¹ : NormedRing β
inst✝ : Nontrivial β
\u22a2 ‖1‖ ≤ ‖1‖ * ‖1‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
\u22a2 eLpNorm f q μ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal - 1 / q.toReal) = eLpNorm f q μ
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 ⌈a⌉₊ = n ↔ ↑(n - 1) < a ∧ a ≤ ↑n
-- Mathlib/Data/Multiset/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
\u22a2 (uIcc s t).card = ∏ i ∈ s.toFinset ∪ t.toFinset, ((↑(count i t) - ↑(count i s)).natAbs + 1)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
\u22a2 x ∈ sphere y ε ↔ y ∈ sphere x ε
-- Mathlib/ModelTheory/Definability.lean
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s✝ s : Set (α → M)
φ : L[[↑A]].Formula α
hφ : s = setOf φ.Realize
v : α → M
\u22a2 v ∈ sᶜ ↔ v ∈ setOf φ.not.Realize
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ
A : Set ℝ
A_finmeas : volume A ≠ ⊤
μ : ProbabilityMeasure Ω
\u22a2 Tendsto (fun ε => ∫ (t : ℝ) in A, (↑(μ (thickening ε {a | t ≤ f a}))).toReal) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (t : ℝ) in A, (↑(μ {a | t ≤ f a})).toReal))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ
A : Set ℝ
A_finmeas : volume A ≠ ⊤
μ : ProbabilityMeasure Ω
\u22a2 ∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, AEStronglyMeasurable (fun t => ↑(μ (thickening n {a | t ≤ f a}))) (volume.restrict A)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ
A : Set ℝ
A_finmeas : volume A ≠ ⊤
μ : ProbabilityMeasure Ω
\u22a2 ∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict A, ‖↑(μ (thickening n {a_1 | a ≤ f a_1}))‖ ≤ 1 a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ
A : Set ℝ
A_finmeas : volume A ≠ ⊤
μ : ProbabilityMeasure Ω
\u22a2 Integrable 1 (volume.restrict A)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ
A : Set ℝ
A_finmeas : volume A ≠ ⊤
μ : ProbabilityMeasure Ω
\u22a2 ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict A, Tendsto (fun n => ↑(μ (thickening n {a_1 | a ≤ f a_1}))) (𝓝[>] 0) (𝓝 ↑(μ {a_1 | a ≤ f a_1}))
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A✝ B✝ : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq H
f : G →ₙ* H
A B : Finset G
aG bG : G
aH bH : H
hae : f aG = aH
hbe : f bG = bH
huH : UniqueMul (image (⇑f) A) (image (⇑f) B) aH bH
huG : UniqueMul (filter (fun x => f x = aH) A) (filter (fun x => f x = bH) B) aG bG
a b : G
ha : a ∈ A
hb : b ∈ B
he : a * b = aG * bG
\u22a2 a = aG ∧ b = bG
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A✝ B✝ : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq H
f : G →ₙ* H
A B : Finset G
aG bG : G
aH bH : H
hae : f aG = aH
hbe : f bG = bH
huG : UniqueMul (filter (fun x => f x = aH) A) (filter (fun x => f x = bH) B) aG bG
a b : G
ha : a ∈ A
hb : b ∈ B
he : a * b = aG * bG
huH : f a * f b = aH * bH → f a = aH ∧ f b = bH
\u22a2 a = aG ∧ b = bG
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A✝ B✝ : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq H
f : G →ₙ* H
A B : Finset G
aG bG : G
aH bH : H
hae : f aG = aH
hbe : f bG = bH
huG : UniqueMul (filter (fun x => f x = aH) A) (filter (fun x => f x = bH) B) aG bG
a b : G
ha : a ∈ A
hb : b ∈ B
he : a * b = aG * bG
huH : aH * bH = aH * bH → f a = aH ∧ f b = bH
\u22a2 a = aG ∧ b = bG
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A✝ B✝ : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq H
f : G →ₙ* H
A B : Finset G
aG bG : G
aH bH : H
hae : f aG = aH
hbe : f bG = bH
huG : UniqueMul (filter (fun x => f x = aH) A) (filter (fun x => f x = bH) B) aG bG
a b : G
ha : a ∈ A
hb : b ∈ B
he : a * b = aG * bG
huH : aH * bH = aH * bH → f a = aH ∧ f b = bH
\u22a2 a ∈ A ∧ f a = aH
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A✝ B✝ : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq H
f : G →ₙ* H
A B : Finset G
aG bG : G
aH bH : H
hae : f aG = aH
hbe : f bG = bH
huG : UniqueMul (filter (fun x => f x = aH) A) (filter (fun x => f x = bH) B) aG bG
a b : G
ha : a ∈ A
hb : b ∈ B
he : a * b = aG * bG
huH : aH * bH = aH * bH → f a = aH ∧ f b = bH
\u22a2 b ∈ B ∧ f b = bH
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p✝ q p : R[X]
hq : q ≠ 0
\u22a2 (p.mod q).degree < q.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p✝ q p : R[X]
hq : q ≠ 0
\u22a2 (p.mod q).degree < (q * C q.leadingCoeff⁻¹).degree
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Comp.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g✝ : E → F
f' f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
g : F → G
g' : F →L[𝕜] G
hg : HasStrictFDerivAt g g' (f x)
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
\u22a2 (fun x => g' (((fun p => (f p.1, f p.2)) x).1 - ((fun p => (f p.1, f p.2)) x).2) - (g'.comp f') (x.1 - x.2)) =o[𝓝 (x, x)] fun p => p.1 - p.2
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
i : Fin (n + 2)
hi : i ≠ last (n + 1)
\u22a2 (last n).predAbove i = i.castPred hi
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
i : Fin (n + 2)
hi✝ : i ≠ last (n + 1)
hi : ∃ j, j.castSucc = i
\u22a2 (last n).predAbove i = i.castPred hi✝
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
y : Fin (n + 1)
hi : y.castSucc ≠ last (n + 1)
\u22a2 (last n).predAbove y.castSucc = y.castSucc.castPred hi
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
X : Type u
α : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
s : Set α
hs : IsPreconnected s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
\u22a2 Icc a b ⊆ s
-- Mathlib/Order/Monotone/Odd.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : OrderedAddCommGroup H
f : G → H
h₁ : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
h₂ : StrictMonoOn f (Ici 0)
\u22a2 StrictMono f