ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : a < 0
hb : b < 0
\u22a2 1 / a ≤ b ↔ 1 / b ≤ a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hg : AEMeasurable g μ
hgf : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hg : AEMeasurable g μ
hgf : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
this : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < f x + (↑n)⁻¹
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hg : AEMeasurable g μ
hgf : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
this : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < f x + (↑n)⁻¹
x : α
hlt : ∀ (i : ℕ), g x < f x + (↑i)⁻¹
hle : f x ≤ g x
\u22a2 g x ≤ f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hg : AEMeasurable g μ
hgf : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
this : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x < f x + (↑n)⁻¹
x : α
hlt : ∀ (i : ℕ), g x < f x + (↑i)⁻¹
hle : f x ≤ g x
\u22a2 Tendsto (fun n => f x + (↑n)⁻¹) atTop (𝓝 (f x))
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B✝ B' I J D X : Set α
e f : α
B : Set α
\u22a2 B ∈ {B | M.Base B} ↔ B ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → E
h1f : AEStronglyMeasurable f (μ.prod ν)
\u22a2 HasFiniteIntegral f (μ.prod ν) ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, HasFiniteIntegral (fun y => f (x, y)) ν) ∧ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : β), ‖f (x, y)‖ ∂ν) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → E
h1f : AEStronglyMeasurable f (μ.prod ν)
\u22a2 (∀ᵐ (x : α) ∂μ, HasFiniteIntegral (fun y => AEStronglyMeasurable.mk f h1f (x, y)) ν) ∧ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : β), ‖AEStronglyMeasurable.mk f h1f (x, y)‖ ∂ν) μ ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, HasFiniteIntegral (fun y => f (x, y)) ν) ∧ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : β), ‖f (x, y)‖ ∂ν) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → E
h1f : AEStronglyMeasurable f (μ.prod ν)
\u22a2 (∀ᵐ (x : α) ∂μ, HasFiniteIntegral (fun y => AEStronglyMeasurable.mk f h1f (x, y)) ν) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, HasFiniteIntegral (fun y => f (x, y)) ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → E
h1f : AEStronglyMeasurable f (μ.prod ν)
\u22a2 HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : β), ‖AEStronglyMeasurable.mk f h1f (x, y)‖ ∂ν) μ ↔ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : β), ‖f (x, y)‖ ∂ν) μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional K V
b : ι → V
lin_ind : LinearIndependent K b
card_eq : Fintype.card ι = finrank K V
\u22a2 span K (Set.range b) = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional K V
b : ι → V
lin_ind : LinearIndependent K b
card_eq : Fintype.card ι = finrank K V
ne_top : ¬span K (Set.range b) = ⊤
\u22a2 False
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional K V
b : ι → V
lin_ind : LinearIndependent K b
card_eq : finrank K ↥(span K (Set.range b)) = finrank K V
ne_top : ¬span K (Set.range b) = ⊤
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
\u22a2 univ.Nontrivial ↔ Nontrivial α
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
h : I = 0
z : K
\u22a2 ‖{ toFun := __spread✝⁻⁰.toFun, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := __spread✝⁻⁰.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } z‖ = ‖z‖
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
h : I = 0
z : K
\u22a2 ‖{ toFun := __spread✝⁻⁰.toFun, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := __spread✝⁻⁰.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (↑(re z) + ↑(im z) * I)‖ = ‖↑(re z) + ↑(im z) * I‖
-- Mathlib/CategoryTheory/EffectiveEpi/Comp.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_3, u_1} C
B B' : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
i : B ⟶ B'
W : C
e : (a : α) → X a ⟶ W
h : ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂), g₁ ≫ π a₁ ≫ i = g₂ ≫ π a₂ ≫ i → g₁ ≫ e a₁ = g₂ ≫ e a₂
Z : C
a₁ a₂ : α
g₁ : Z ⟶ X a₁
g₂ : Z ⟶ X a₂
hg : g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂
\u22a2 g₁ ≫ π a₁ ≫ i = g₂ ≫ π a₂ ≫ i
-- Mathlib/CategoryTheory/EffectiveEpi/Comp.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_3, u_1} C
B B' : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
i : B ⟶ B'
W : C
e : (a : α) → X a ⟶ W
h : ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂), g₁ ≫ π a₁ ≫ i = g₂ ≫ π a₂ ≫ i → g₁ ≫ e a₁ = g₂ ≫ e a₂
Z : C
a₁ a₂ : α
g₁ : Z ⟶ X a₁
g₂ : Z ⟶ X a₂
hg : g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂
\u22a2 (g₂ ≫ π a₂) ≫ i = g₂ ≫ π a₂ ≫ i
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Teichmuller.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
r : R
n : ℕ
\u22a2 (ghostComponent n) (teichmullerFun p r) = r ^ p ^ n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Teichmuller.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
r : R
n : ℕ
\u22a2 (teichmullerFun p r).coeff 0 ^ p ^ n = r ^ p ^ n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Teichmuller.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
r : R
n : ℕ
\u22a2 ∀ b ∈ Finset.range (n + 1), b ≠ 0 → ↑p ^ b * (teichmullerFun p r).coeff b ^ p ^ (n - b) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Teichmuller.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
r : R
n : ℕ
\u22a2 0 ∉ Finset.range (n + 1) → ↑p ^ 0 * (teichmullerFun p r).coeff 0 ^ p ^ (n - 0) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (μ.restrict s).singularPart ν = (μ.singularPart ν).restrict s
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 Measurable (s.indicator (μ.rnDeriv ν))
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (μ.singularPart ν).restrict s ⟂ₘ ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 μ.restrict s = (μ.singularPart ν).restrict s + ν.withDensity (s.indicator (μ.rnDeriv ν))
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w x y : V
p : G.Walk x y
hp : ¬p.Nil
\u22a2 (p.tail hp).length + 1 = p.length
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Integral.lean
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
f : G → E
g : G
\u22a2 ∫ (x : G), f (g * x) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Integral.lean
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
f : G → E
g : G
h_mul : MeasurableEmbedding fun x => g * x
\u22a2 ∫ (x : G), f (g * x) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Diffeomorph.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, E')⟯ E'
x : M
\u22a2 (extChartAt (I.transDiffeomorph e) x).target = ⇑e.symm ⁻¹' (extChartAt I x).target
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Diffeomorph.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
e : E ≃ₘ⟮𝓘(𝕜, E), 𝓘(𝕜, E')⟯ E'
x : M
\u22a2 ⇑e.symm ⁻¹' range ↑I ∩ ↑I.symm ∘ ⇑e.symm ⁻¹' (chartAt H x).target = ⇑e.symm ⁻¹' range ↑I ∩ (fun x => ↑I.symm (e.symm x)) ⁻¹' (chartAt H x).target
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m K
\u22a2 (LinearIndependent K fun i => Aᵀ i) ↔ IsUnit A
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
f : α →₀ ℕ
g : α → β
\u22a2 Multiset.map g (toMultiset f) = toMultiset (mapDomain g f)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
f : α →₀ ℕ
g : α → β
\u22a2 Multiset.map g (toMultiset 0) = toMultiset (mapDomain g 0)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
f : α →₀ ℕ
g : α → β
\u22a2 ∀ (a : α) (b : ℕ) (f : α →₀ ℕ), a ∉ f.support → b ≠ 0 → Multiset.map g (toMultiset f) = toMultiset (mapDomain g f) → Multiset.map g (toMultiset (single a b + f)) = toMultiset (mapDomain g (single a b + f))
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/ConcreteColorings.lean
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
c : G.Coloring Bool
u v : α
p : G.Walk u v
\u22a2 Even p.length ↔ (c u = true ↔ c v = true)
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s : Set (Set A)
hsn : s.Nonempty
hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ a ∈ s, AlgebraicIndependent R Subtype.val
\u22a2 AlgebraicIndependent R Subtype.val
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s : Set (Set A)
hsn : s.Nonempty
hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ a ∈ s, AlgebraicIndependent R Subtype.val
this : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype hsn
\u22a2 AlgebraicIndependent R Subtype.val
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
hz : ↑a ≠ 0
\u22a2 ↑a / 2 < ↑a
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
hz : a ≠ 0
\u22a2 ↑a / 2 < ↑a
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
hz : a ≠ 0
\u22a2 a / 2 < a
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
hz : a ≠ 0
\u22a2 2 ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
r : Finset (α × γ)
s : Finset γ
t : γ → Finset α
h : ∀ (p : α × γ), p ∈ r ↔ p.2 ∈ s ∧ p.1 ∈ t p.2
f : α × γ → β
\u22a2 ∏ p ∈ r, f p = ∏ c ∈ s, ∏ a ∈ t c, f (a, c)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
r : Finset (α × γ)
s : Finset γ
t : γ → Finset α
h : ∀ (p : α × γ), p ∈ r ↔ p.2 ∈ s ∧ p.1 ∈ t p.2
f : α × γ → β
\u22a2 ∏ p ∈ r, f p = ∏ x ∈ s.sigma t, f (x.snd, x.fst)
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²³ : CommRing R
inst✝²² : CommRing S
inst✝²¹ : CommRing T
inst✝²⁰ : Algebra R S
inst✝¹⁹ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁵ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹⁴ : Field F
inst✝¹³ : Algebra R L
inst✝¹² : Algebra L F
inst✝¹¹ : Algebra R F
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : CommRing C
inst✝⁵ : Algebra A C
E : Type z
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : IsAlgClosed E
b : κ → L
pb : PowerBasis K L
i j : κ
\u22a2 (traceMatrix K b).map (⇑(algebraMap K E)) i j = (embeddingsMatrix K E b * (embeddingsMatrix K E b)ᵀ) i j
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
m n : ℤ
\u22a2 a ^ (m - n) = a ^ m * (a ^ n)⁻¹
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
a : Bool
m : ℤ
b : Bool
n : ℤ
\u22a2 (bit a m).lor (bit b n) = bit (a || b) (m.lor n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Integral.lean
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
g : G
\u22a2 ∫ (x : G), f (x / g) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Integral.lean
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
g : G
\u22a2 ∫ (x : G), f (x * g⁻¹) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
\u22a2 Module.rank R ↥(span R (range v)) = #↑(range v)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
this : Nontrivial R
\u22a2 Module.rank R ↥(span R (range v)) = #↑(range v)
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ✝
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ✝
g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u✝ u' : Finset γ✝
a a' : α
b b' : β
c : γ✝
γ : Type u_14
u : Finset γ
f : α → δ → ε
g : β → γ → δ
f₁ : α → β → β'
f₂ : α → γ → γ'
g' : β' → γ' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f a (g b c) = g' (f₁ a b) (f₂ a c)
\u22a2 image2 f (↑s) (image2 g ↑t ↑u) ⊆ image2 g' (image2 f₁ ↑s ↑t) (image2 f₂ ↑s ↑u)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]
\u22a2 (erase n { toFinsupp := toFinsupp✝ }).toFinsupp = Finsupp.erase n { toFinsupp := toFinsupp✝ }.toFinsupp
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Canonical.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring α
b c d : α
inst✝ : Nontrivial α
k : α
\u22a2 0 < 2 * k + 1
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
i : (nim 1).RightMoves
\u22a2 toRightMovesNim.symm i = ⟨0, ⋯⟩
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.4862, u_2} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
inst✝¹ : S.HasHomology
inst✝ : HasZeroObject C
\u22a2 S.Exact ↔ Nonempty (S.homology ≅ 0)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.4862, u_2} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
inst✝¹ : S.HasHomology
inst✝ : HasZeroObject C
\u22a2 IsZero S.homology ↔ Nonempty (S.homology ≅ 0)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
K : Subgroup G
f : G →* N
s : Set N
x : G
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
\u22a2 x ∈ ↑(comap f (closure s))
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
K : Subgroup G
f : G →* N
s : Set N
x : G
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
\u22a2 f x ∈ closure s
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
inst✝⁸ : CommMonoid G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : ChartedSpace H G
inst✝⁵ : SmoothMul I G
E' : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H' M
s : Set M
x x₀ : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
p : ι → Prop
hc : ∀ (i : ι), p i → ContMDiff I' I n (f i)
hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)
\u22a2 ContMDiff I' I n fun x => ∏ᶠ (i : ι) (_ : p i), f i x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
inst✝⁸ : CommMonoid G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : ChartedSpace H G
inst✝⁵ : SmoothMul I G
E' : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H' M
s : Set M
x x₀ : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
p : ι → Prop
hc : ∀ (i : ι), p i → ContMDiff I' I n (f i)
hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)
\u22a2 ContMDiff I' I n fun x => ∏ᶠ (j : Subtype p), f (↑j) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sigma/Basic.lean
I : Type w₁
C : I → Type u₁
inst✝¹ : (i : I) → Category.{v₁, u₁} (C i)
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : (i : I) → C i ⥤ D
i : I
X : C i
\u22a2 { obj := fun X => (F X.fst).obj X.snd, map := fun {X Y} g => descMap F X Y g }.map (𝟙 ⟨i, X⟩) = 𝟙 ({ obj := fun X => (F X.fst).obj X.snd, map := fun {X Y} g => descMap F X Y g }.obj ⟨i, X⟩)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sigma/Basic.lean
I : Type w₁
C : I → Type u₁
inst✝¹ : (i : I) → Category.{v₁, u₁} (C i)
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : (i : I) → C i ⥤ D
i : I
X Y✝¹ : C i
f : X ⟶ Y✝¹
Y✝ : C i
g : Y✝¹ ⟶ Y✝
\u22a2 { obj := fun X => (F X.fst).obj X.snd, map := fun {X Y} g => descMap F X Y g }.map (SigmaHom.mk f ≫ SigmaHom.mk g) = { obj := fun X => (F X.fst).obj X.snd, map := fun {X Y} g => descMap F X Y g }.map (SigmaHom.mk f) ≫ { obj := fun X => (F X.fst).obj X.snd, map := fun {X Y} g => descMap F X Y g }.map (SigmaHom.mk g)
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
x✝ y✝ z✝ : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x : α
y : β
r : ℝ≥0∞
z : α × β
\u22a2 z ∈ closedBall x r ×ˢ closedBall y r ↔ z ∈ closedBall (x, y) r
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = π
\u22a2 ∠ p2 p3 p1 = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : ∠ p3 p2 p1 = π
\u22a2 ∠ p2 p3 p1 = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x✝ : V₁
\u22a2 ‖0 x✝‖ = 0 * ‖x✝‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x✝ : V₁
\u22a2 ‖0 x✝‖ = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulZeroClass R M
s : Set α
r : α → R
f : α → M
a : α
h✝ : a ∈ s
\u22a2 r a • f a = r a • f a