ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
\u22a2 ↑r ≤ (q.comp p).radius
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
n : ℕ
\u22a2 ‖q.comp p n‖₊ * r ^ n ≤ ∑' (i : (n : ℕ) × Composition n), ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s : Set (WithTop α)
\u22a2 IsLUB s (sSup s)
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s : Set (WithTop α)
hs : s = ∅
\u22a2 IsLUB s (sSup s)
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s : Set (WithTop α)
hs : s.Nonempty
\u22a2 IsLUB s (sSup s)
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/PowerSeries.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
f g : HahnSeries ℕ R
n : ℕ
\u22a2 (PowerSeries.coeff R n) ({ toFun := fun f => PowerSeries.mk f.coeff, invFun := fun f => { coeff := fun n => (PowerSeries.coeff R n) f, isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (f * g)) = (PowerSeries.coeff R n) ({ toFun := fun f => PowerSeries.mk f.coeff, invFun := fun f => { coeff := fun n => (PowerSeries.coeff R n) f, isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun f * { toFun := fun f => PowerSeries.mk f.coeff, invFun := fun f => { coeff := fun n => (PowerSeries.coeff R n) f, isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun g)
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/PowerSeries.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
f g : HahnSeries ℕ R
n : ℕ
\u22a2 ∑ ij ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ n, f.coeff ij.1 * g.coeff ij.2 = ∑ x ∈ antidiagonal n, f.coeff x.1 * g.coeff x.2
-- Mathlib/Algebra/Group/Hom/Instances.lean
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* N
\u22a2 ((fun g => { toFun := g.comp, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }) 1) f = 1 f
-- Mathlib/Algebra/Group/Hom/Instances.lean
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : CommMonoid P
g₁ g₂ : N →* P
f : M →* N
\u22a2 ({ toFun := fun g => { toFun := g.comp, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }, map_one' := ⋯ }.toFun (g₁ * g₂)) f = ({ toFun := fun g => { toFun := g.comp, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }, map_one' := ⋯ }.toFun g₁ * { toFun := fun g => { toFun := g.comp, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }, map_one' := ⋯ }.toFun g₂) f
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n p : ℕ
pp : Prime p
k a : ℕ
\u22a2 a ∈ (p ^ k).divisors ↔ a ∈ map { toFun := fun x => p ^ x, inj' := ⋯ } (range (k + 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n p : ℕ
pp : Prime p
k a : ℕ
\u22a2 (∃ j ≤ k, a = p ^ j) ↔ a ∈ map { toFun := fun x => p ^ x, inj' := ⋯ } (range (k + 1))
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Construction.lean
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
F₁ F₂ : W.Localization ⥤ D
τ : W.Q ⋙ F₁ ⟶ W.Q ⋙ F₂
X : C
\u22a2 app τ (W.Q.obj X) = τ.app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Construction.lean
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
F₁ F₂ : W.Localization ⥤ D
τ : W.Q ⋙ F₁ ⟶ W.Q ⋙ F₂
X : C
\u22a2 τ.app ((objEquiv W).invFun (W.Q.obj X)) = τ.app X
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Mirror.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
\u22a2 p.mirror.trailingCoeff = p.leadingCoeff
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Grading.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
i j : ZMod 2
\u22a2 evenOdd Q i * evenOdd Q j ≤ evenOdd Q (i + j)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Grading.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
i j : ZMod 2
\u22a2 Submodule.span R ((⋃ i_1, ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i_1)) * ⋃ i, ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i)) ≤ Submodule.span R (⋃ i_1, ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i_1))
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Grading.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
i j : ZMod 2
\u22a2 (⋃ i_1, ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i_1)) * ⋃ i, ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i) ⊆ ⋃ i_1, ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i_1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Grading.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
i j : ZMod 2
\u22a2 ∀ (i_1 : { n // ↑n = i }) (i_2 : { n // ↑n = j }), ∀ x ∈ ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i_1), ∀ y ∈ ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i_2), x * y ∈ ⋃ i_3, ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i_3)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Grading.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
xi yi : ℕ
x : CliffordAlgebra Q
hx : x ∈ ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑⟨xi, ⋯⟩)
y : CliffordAlgebra Q
hy : y ∈ ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑⟨yi, ⋯⟩)
\u22a2 x * y ∈ ⋃ i, ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Grading.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
xi yi : ℕ
x : CliffordAlgebra Q
hx : x ∈ ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑⟨xi, ⋯⟩)
y : CliffordAlgebra Q
hy : y ∈ ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑⟨yi, ⋯⟩)
\u22a2 x * y ∈ ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑⟨xi + yi, ⋯⟩)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Grading.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
xi yi : ℕ
x : CliffordAlgebra Q
hx : x ∈ ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑⟨xi, ⋯⟩)
y : CliffordAlgebra Q
hy : y ∈ ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ ↑⟨yi, ⋯⟩)
\u22a2 x * y ∈ ↑(LinearMap.range (ι Q) ^ xi * LinearMap.range (ι Q) ^ yi)
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ f : α → β
hf : LocallyLipschitz f
g : α → γ
hg : LocallyLipschitz g
x : α
Kf : ℝ≥0
t₁ : Set α
h₁t : t₁ ∈ 𝓝 x
hfL : LipschitzOnWith Kf f t₁
Kg : ℝ≥0
t₂ : Set α
h₂t : t₂ ∈ 𝓝 x
hgL : LipschitzOnWith Kg g t₂
\u22a2 ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith K (fun x => (f x, g x)) t
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ f : α → β
hf : LocallyLipschitz f
g : α → γ
hg : LocallyLipschitz g
x : α
Kf : ℝ≥0
t₁ : Set α
h₁t : t₁ ∈ 𝓝 x
hfL : LipschitzOnWith Kf f t₁
Kg : ℝ≥0
t₂ : Set α
h₂t : t₂ ∈ 𝓝 x
hgL : LipschitzOnWith Kg g t₂
\u22a2 LipschitzOnWith (max Kf Kg) (fun x => (f x, g x)) (t₁ ∩ t₂)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
x y : γ
\u22a2 dist x y ≤ 0 ↔ x = y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α → β
x✝ y✝ z : α
s : Set α
h : Isometry f
x y : α
\u22a2 edist x y ≤ ↑1 * edist (f x) (f y)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/DirectLimit.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
ι : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
M : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
m : M
g : G i
\u22a2 (directLimitRight f M) (m ⊗ₜ[R] (of R ι G f i) g) = (of R ι (fun x => M ⊗[R] G x) (fun i j h => LinearMap.lTensor M (f i j h)) i) (m ⊗ₜ[R] g)
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝ : Infinite α
s : Set α
hs : sᶜ.Finite
h : s.Finite
\u22a2 univ.Finite
-- Mathlib/Data/PNat/Basic.lean
m k : ℕ+
\u22a2 ↑(m.mod k) + m.div k * ↑k = ↑m
-- Mathlib/Data/PNat/Basic.lean
m k : ℕ+
\u22a2 ↑(m.mod k) + ↑k * m.div k = ↑m
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
f g h : Perm α
x : α
hffx : f (f x) = x
n : ℕ
\u22a2 (f ^ Int.negSucc n) x = x ∨ (f ^ Int.negSucc n) x = f x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
f g h : Perm α
x : α
hffx : f (f x) = x
n : ℕ
\u22a2 (f ^ (n + 1 + 1)) x = x ∨ (f ^ (n + 1 + 1)) x = f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
\u22a2 ∑' (g : G), ∫⁻ (x : α) in s ∩ g • t, f x ∂μ = ∑' (g : G), ∫⁻ (x : α) in g • t ∩ s, f (g⁻¹ • x) ∂μ
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : (i : ι) → ι' i → Set α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α
\u22a2 t ∈ ⨅ i ∈ dom, l i ↔ ∃ i, (i.fst ∈ dom ∧ p i.fst i.snd) ∧ s i.fst i.snd ⊆ t
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : (i : ι) → ι' i → Set α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α
\u22a2 (∃ i ∈ dom, t ∈ l i) ↔ ∃ a b, (⟨a, b⟩.fst ∈ dom ∧ p ⟨a, b⟩.fst ⟨a, b⟩.snd) ∧ s ⟨a, b⟩.fst ⟨a, b⟩.snd ⊆ t
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i✝ : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : (i : ι) → ι' i → Set α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α
i : ι
\u22a2 i ∈ dom ∧ t ∈ l i → ∃ b, (⟨i, b⟩.fst ∈ dom ∧ p ⟨i, b⟩.fst ⟨i, b⟩.snd) ∧ s ⟨i, b⟩.fst ⟨i, b⟩.snd ⊆ t
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i✝ : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : (i : ι) → ι' i → Set α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α
i : ι
\u22a2 (∃ b, (⟨i, b⟩.fst ∈ dom ∧ p ⟨i, b⟩.fst ⟨i, b⟩.snd) ∧ s ⟨i, b⟩.fst ⟨i, b⟩.snd ⊆ t) → i ∈ dom ∧ t ∈ l i
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
H : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H
H' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace H'
G : Type u_8
inst✝¹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_9
inst✝ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
\u22a2 range ↑(I.prod J) = range ↑I ×ˢ range ↑J
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
H : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H
H' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace H'
G : Type u_8
inst✝¹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_9
inst✝ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
\u22a2 (I.prod J).target = I.target ×ˢ J.target
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
T : Set α
hx : x ∈ T
S : Set α
\u22a2 𝓝[S] x = comap (Prod.mk x) (𝓤 α ⊓ 𝓟 (T ×ˢ S))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Join.lean
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ s₁ s₂ t₁ t₂ u : Set E
x y : E
s t : Set E
\u22a2 ⋃ i₂ ∈ t, ⋃ i₁ ∈ s, segment 𝕜 i₁ i₂ = convexJoin 𝕜 t s
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
α : Type u_11
β : Type u_12
f : α → β
x : β
\u22a2 x ∈ ⋃ x, {f x} ↔ x ∈ range f
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/ShiftedHom.lean
C : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{?u.61156, u_3} E
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
inst✝² : HasShift D M
inst✝¹ : HasShift E M
X Y Z T : C
a b c : M
f : ShiftedHom X Y a
g : ShiftedHom Y Z b
h : b + a = c
F : C ⥤ D
inst✝ : F.CommShift M
\u22a2 F.map (f ≫ (shiftFunctor C a).map g ≫ (shiftFunctorAdd' C b a c h).inv.app Z) ≫ (F.commShiftIso c).hom.app Z = (F.map f ≫ (F.commShiftIso a).hom.app Y) ≫ (shiftFunctor D a).map (F.map g ≫ (F.commShiftIso b).hom.app Z) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a c h).inv.app (F.obj Z)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/ShiftedHom.lean
C : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{?u.61156, u_3} E
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
inst✝² : HasShift D M
inst✝¹ : HasShift E M
X Y Z T : C
a b c : M
f : ShiftedHom X Y a
g : ShiftedHom Y Z b
h : b + a = c
F : C ⥤ D
inst✝ : F.CommShift M
\u22a2 F.map f ≫ F.map ((shiftFunctor C a).map g) ≫ F.map ((shiftFunctorAdd' C b a c h).inv.app Z) ≫ (F.commShiftIso c).hom.app Z = F.map f ≫ (F.commShiftIso a).hom.app Y ≫ (shiftFunctor D a).map (F.map g) ≫ (shiftFunctor D a).map ((F.commShiftIso b).hom.app Z) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a c h).inv.app (F.obj Z)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/ShiftedHom.lean
C : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{?u.61156, u_3} E
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
inst✝² : HasShift D M
inst✝¹ : HasShift E M
X Y Z T : C
a b c : M
f : ShiftedHom X Y a
g : ShiftedHom Y Z b
h : b + a = c
F : C ⥤ D
inst✝ : F.CommShift M
\u22a2 F.map f ≫ F.map ((shiftFunctor C a).map g) ≫ F.map ((shiftFunctorAdd' C b a c h).inv.app Z) ≫ (F.commShiftIso c).hom.app Z = F.map f ≫ (shiftFunctor C a ⋙ F).map g ≫ (F.commShiftIso a).hom.app ((shiftFunctor C b).obj Z) ≫ (shiftFunctor D a).map ((F.commShiftIso b).hom.app Z) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a c h).inv.app (F.obj Z)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r f g : R[X]
\u22a2 (f * g).coeff (f.natDegree + g.natDegree) = f.coeff f.natDegree * g.coeff g.natDegree
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Preadditive C
β γ : Type
inst✝² : Finite β
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct (f ∘ ⇑ε)
\u22a2 ((lift fun b => π f (ε b)) ≫ desc fun b => ι f (ε b)) = 𝟙 (⨁ f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Preadditive C
β γ : Type
inst✝² : Finite β
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct (f ∘ ⇑ε)
val✝ : Fintype β
\u22a2 ((lift fun b => π f (ε b)) ≫ desc fun b => ι f (ε b)) = 𝟙 (⨁ f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Preadditive C
β γ : Type
inst✝² : Finite β
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct (f ∘ ⇑ε)
val✝ : Fintype β
g g' : γ
\u22a2 ι f g' ≫ ((lift fun b => π f (ε b)) ≫ desc fun b => ι f (ε b)) ≫ π f g = ι f g' ≫ 𝟙 (⨁ f) ≫ π f g
-- Mathlib/Init/Order/LinearOrder.lean
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a : α
\u22a2 min a a = a
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
m : ℤ
n : ℕ
hn : Even n
hm : m ∉ Ico 0 ↑n
\u22a2 0 < ∏ k ∈ Finset.range n, (m - ↑k)
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
m : ℤ
n : ℕ
hn : Even n
hm : m ∉ Ico 0 ↑n
h : 0 = ∏ k ∈ Finset.range n, (m - ↑k)
\u22a2 m ∈ Ico 0 ↑n
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
m : ℤ
n : ℕ
hn : Even n
hm : m ∉ Ico 0 ↑n
h : ∃ a ∈ Finset.range n, m - ↑a = 0
\u22a2 m ∈ Ico 0 ↑n
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
m : ℤ
n : ℕ
hn : Even n
hm : m ∉ Ico 0 ↑n
a : ℕ
ha : a ∈ Finset.range n
h : m - ↑a = 0
\u22a2 m ∈ Ico 0 ↑n
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
m : ℤ
n : ℕ
hn : Even n
hm : m ∉ Ico 0 ↑n
a : ℕ
ha : a ∈ Finset.range n
h : m - ↑a = 0
\u22a2 ↑a ∈ Ico 0 ↑n
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b✝ : α
f : β → α
a b : β
\u22a2 ⨅ x ∈ {a, b}, f x = f a ⊓ f b
-- Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝³ : One α
f : Filter α
s : Set α
inst✝² : One β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : OneHomClass F α β
φ : F
\u22a2 map (⇑φ) 1 = 1
-- Mathlib/Data/Multiset/Nodup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s t : Multiset α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : Multiset α
d : l.Nodup
\u22a2 a ∈ l.erase b ↔ a ≠ b ∧ a ∈ l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/AffineMap.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 →ᵃ[𝕜] E
a b : E
L : Filter 𝕜
s : Set 𝕜
x : 𝕜
\u22a2 HasStrictDerivAt (⇑(lineMap a b)) (b - a) x
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x : PGame
\u22a2 -x < 0 ↔ 0 < x
-- Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
f g f₁ g₁ : Filter α
f₂ g₂ : Filter β
h : f.NeBot
s t₁ : Set α
h₁ : t₁ ∈ f
t₂ : Set α
h₂ : t₂ ∈ f
hs : t₁ / t₂ ⊆ s
\u22a2 s ∈ 1
-- Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
f g f₁ g₁ : Filter α
f₂ g₂ : Filter β
h : f.NeBot
s t₁ : Set α
h₁ : t₁ ∈ f
t₂ : Set α
h₂ : t₂ ∈ f
hs : t₁ / t₂ ⊆ s
a : α
ha₁ : a ∈ t₁
ha₂ : a ∈ t₂
\u22a2 s ∈ 1
-- Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
f g f₁ g₁ : Filter α
f₂ g₂ : Filter β
h : f.NeBot
s t₁ : Set α
h₁ : t₁ ∈ f
t₂ : Set α
h₂ : t₂ ∈ f
hs : t₁ / t₂ ⊆ s
a : α
ha₁ : a ∈ t₁
ha₂ : a ∈ t₂
\u22a2 a / a ∈ s
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
H : Submonoid G
x : ↥H
\u22a2 IsOfFinOrder ↑x ↔ IsOfFinOrder x
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
H : Submonoid G
x : ↥H
\u22a2 (∃ n, 0 < n ∧ ↑x ^ n = 1) ↔ ∃ n, 0 < n ∧ x ^ n = 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
a : F
ha : a ≠ 0
\u22a2 (quadraticChar F) (a ^ 2) = 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
\u22a2 (C 4 * X ^ 3 + C W.b₂ * X ^ 2 + C (2 * W.b₄) * X + C W.b₆).coeff 3 = 4
-- Mathlib/CategoryTheory/Products/Bifunctor.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C × D ⥤ E
X X' : C
f : X ⟶ X'
Y Y' : D
g : Y ⟶ Y'
\u22a2 F.map (f, 𝟙 Y) ≫ F.map (𝟙 X', g) = F.map (f, g)
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Currying.lean
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
F₁ F₂ : B ⥤ C ⥤ D
h : F₁.flip = F₂.flip
\u22a2 F₁ = F₂
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
n : ℕ
a : Composition n
b : Composition a.length
i : Fin b.length
j : Fin (b.blocksFun i)
\u22a2 ((a.blocks.splitWrtComposition b).get ⟨↑⟨↑i, ⋯⟩, ⋯⟩).get ⟨↑j, ⋯⟩ = a.blocks.get ⟨↑((Fin.natAddOrderEmb (b.sizeUpTo ↑i)).toEmbedding j), ⋯⟩
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
n : ℕ
a : Composition n
b : Composition a.length
i : Fin b.length
j : Fin (b.blocksFun i)
\u22a2 a.blocks.get ⟨↑⟨b.sizeUpTo ↑⟨↑⟨↑i, ⋯⟩, ⋯⟩ + ↑⟨↑⟨↑j, ⋯⟩, ⋯⟩, ⋯⟩, ⋯⟩ = a.blocks.get ⟨↑((Fin.natAddOrderEmb (b.sizeUpTo ↑i)).toEmbedding j), ⋯⟩
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
\u22a2 Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
\u22a2 ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε