ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
m : M
p : ι →₀ N
\u22a2 ∀ (f g : ι →₀ N), ((finsuppRight R M N ι) (m ⊗ₜ[R] f) = f.sum fun i n => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)) → ((finsuppRight R M N ι) (m ⊗ₜ[R] g) = g.sum fun i n => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)) → (finsuppRight R M N ι) (m ⊗ₜ[R] (f + g)) = (f + g).sum fun i n => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
m : M
p : ι →₀ N
\u22a2 ∀ (a : ι) (b : N), (finsuppRight R M N ι) (m ⊗ₜ[R] Finsupp.single a b) = (Finsupp.single a b).sum fun i n => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)
-- Mathlib/Data/List/OfFn.lean
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
a : α
\u22a2 a ∈ ofFn f ↔ a ∈ Set.range f
-- Mathlib/Data/List/OfFn.lean
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
a : α
\u22a2 (∃ n_1, f (Fin.cast ⋯ n_1) = a) ↔ ∃ y, f y = a
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
x : RelSeries r
\u22a2 List.Chain' r x.toList
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
x : RelSeries r
\u22a2 ∀ (i : ℕ) (h : i < x.toList.length - 1), r (x.toList.get ⟨i, ⋯⟩) (x.toList.get ⟨i + 1, ⋯⟩)
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
x : RelSeries r
i : ℕ
h : i < x.toList.length - 1
\u22a2 r (x.toList.get ⟨i, ⋯⟩) (x.toList.get ⟨i + 1, ⋯⟩)
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
a : α
\u22a2 LipschitzWith 1 (Prod.mk a)
-- Mathlib/LinearAlgebra/PerfectPairing.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
\u22a2 Bijective ⇑(Dual.eval R N)
-- Mathlib/LinearAlgebra/PerfectPairing.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
\u22a2 Bijective ⇑↑(e ≪≫ₗ e.flip.symm.dualMap)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : 0 < r
\u22a2 Tendsto (fun x => f x * r) l atBot ↔ Tendsto f l atBot
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
ha : ¬IsUnit a
hb : IsUnit b
\u22a2 a ^ 0 ∣ b
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
ha : ¬IsUnit a
hb : IsUnit b
\u22a2 ¬a ^ (0 + 1) ∣ b
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
ha : ¬IsUnit a
hb : IsUnit b
\u22a2 ¬a ∣ b
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : y.orderTop < x.orderTop
\u22a2 (x + y).orderTop = y.orderTop
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
\u22a2 (p.comp q).smeval x = p.smeval (q.smeval x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/FDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E
\u22a2 mfderiv 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f x = fderiv 𝕜 f x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/FDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E
\u22a2 mfderivWithin 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f Set.univ x = fderivWithin 𝕜 f Set.univ x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
ζ : (𝓞 K)ˣ := x * (∏ i : Fin (rank K), fundSystem K i ^ ((basisModTorsion K).repr (Additive.ofMul ↑x)) i)⁻¹
\u22a2 ∃! ζe, x = ↑ζe.1 * ∏ i : Fin (rank K), fundSystem K i ^ ζe.2 i
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
ζ : (𝓞 K)ˣ := x * (∏ i : Fin (rank K), fundSystem K i ^ ((basisModTorsion K).repr (Additive.ofMul ↑x)) i)⁻¹
h_tors : ζ ∈ torsion K
\u22a2 ∃! ζe, x = ↑ζe.1 * ∏ i : Fin (rank K), fundSystem K i ^ ζe.2 i
-- Mathlib/Data/Finset/Density.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s✝ t✝ : Finset α
a b : α
s t : Finset α
h : _root_.Disjoint s t
\u22a2 (s.disjUnion t h).dens = s.dens + t.dens
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : SemilinearMapClass 𝓕 σ₁₂ E F
f : 𝓕
hf : Continuous ⇑f
x : E
hx : ‖x‖ = 0
\u22a2 ‖f x‖ = 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : SemilinearMapClass 𝓕 σ₁₂ E F
f : 𝓕
hf : Continuous ⇑f
x : E
hx : 0 ⤳ x
\u22a2 f 0 ⤳ f x
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c < b
x : α
\u22a2 x ∈ Ioo a b ∪ Ioi c ↔ x ∈ Ioi (min a c)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c < b
x : α
\u22a2 a < x ∧ x < b ∨ c < x ↔ a < x ∨ c < x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Completion.lean
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s : Set (α × α)
x✝ : α × α
a₁ a₂ : α
\u22a2 (a₁, a₂) ∈ ((preimage fun x => (pureCauchy x.1, pureCauchy x.2)) ∘ gen) s ↔ (a₁, a₂) ∈ id s
-- Mathlib/Algebra/Lie/Normalizer.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
\u22a2 x ∈ H.normalizer ↔ ∀ y ∈ H, ⁅x, y⁆ ∈ H
-- Mathlib/Algebra/Lie/Normalizer.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
\u22a2 (∀ y ∈ H, ⁅y, x⁆ ∈ H) ↔ ∀ y ∈ H, ⁅x, y⁆ ∈ H
-- Mathlib/Algebra/Lie/Normalizer.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x y : L
hy : y ∈ H
\u22a2 ⁅y, x⁆ ∈ H ↔ ⁅x, y⁆ ∈ H
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero α β
inst✝ : DecidableEq β
s✝ : Finset α
t s : Finset β
h : s.Nonempty
\u22a2 ↑(0 • s) = ↑0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
x : M
\u22a2 x ∈ N ⊓ N' ↔ x ∈ N ∧ x ∈ N'
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x✝ : E
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformly f' g' l
hf✝ : ∀ (n : ι) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg✝ : ∀ (x : E), Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
x : E
hf : ∀ (n : ι), ∀ x ∈ Set.univ, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ Set.univ, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
\u22a2 HasFDerivAt g (g' x) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x✝ : E
inst✝ : l.NeBot
hf'✝ : TendstoUniformly f' g' l
hf✝ : ∀ (n : ι) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg✝ : ∀ (x : E), Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
x : E
hf : ∀ (n : ι), ∀ x ∈ Set.univ, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ Set.univ, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hf' : TendstoUniformlyOn f' g' l Set.univ
\u22a2 HasFDerivAt g (g' x) x
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s
x✝ : Set α
\u22a2 x✝ ∈ l ↔ ∃ i, p i ∧ x✝ ∈ 𝓟 (s i)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
l : LocalizedModule S M →ₗ[R] M''
hl : l ∘ₗ mkLinearMap S M = g
m : M
s : ↥S
\u22a2 (lift S g h) (mk m s) = l (mk m s)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
l : LocalizedModule S M →ₗ[R] M''
hl : l ∘ₗ mkLinearMap S M = g
m : M
s : ↥S
\u22a2 ↑⋯.unit⁻¹ (g m) = l (mk m s)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
l : LocalizedModule S M →ₗ[R] M''
hl : l ∘ₗ mkLinearMap S M = g
m : M
s : ↥S
\u22a2 l (mk m 1) = l (mk (↑s • m) s)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
l : LocalizedModule S M →ₗ[R] M''
hl : l ∘ₗ mkLinearMap S M = g
m : M
s : ↥S
\u22a2 mk m 1 = mk (↑s • m) s
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
l : LocalizedModule S M →ₗ[R] M''
hl : l ∘ₗ mkLinearMap S M = g
m : M
s : ↥S
\u22a2 ∃ u, u • s • m = u • 1 • ↑s • m
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
l : LocalizedModule S M →ₗ[R] M''
hl : l ∘ₗ mkLinearMap S M = g
m : M
s : ↥S
\u22a2 1 • s • m = 1 • 1 • ↑s • m
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Factorization.lean
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p
\u22a2 (n.choose k).factorization p = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Factorization.lean
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p
hp : ¬Prime p
\u22a2 (n.choose k).factorization p = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Factorization.lean
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p
hp : Prime p
\u22a2 (n.choose k).factorization p = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Factorization.lean
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p
hp : Prime p
hnk : n < k
\u22a2 (n.choose k).factorization p = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Factorization.lean
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
\u22a2 (n.choose k).factorization p = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Factorization.lean
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
\u22a2 (multiplicity p (n.choose k)).get ⋯ = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Factorization.lean
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
\u22a2 ∀ ⦃x : ℕ⦄, x ∈ Finset.Ico 1 (log p n + 1) → k % p ^ x + (n - k) % p ^ x < p ^ x
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Factorization.lean
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.Ico 1 (log p n + 1)
\u22a2 k % p ^ i + (n - k) % p ^ i < p ^ i
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Factorization.lean
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
hi : 1 ∈ Finset.Ico 1 (log p n + 1)
\u22a2 k % p ^ 1 + (n - k) % p ^ 1 < p ^ 1
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Factorization.lean
p n k : ℕ
hp' : p ≠ 2
hk : p ≤ k
hk' : p ≤ n - k
hn : n < 3 * p
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
i : ℕ
hi✝ : i ∈ Finset.Ico 1 (log p n + 1)
hi : 1 < i
\u22a2 k % p ^ i + (n - k) % p ^ i < p ^ i
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Adjunction.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
H : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_5, u_3} H
inst✝ : ∀ (F : C ⥤ H), L.HasLeftKanExtension F
G : D ⥤ H
\u22a2 L.lanUnit.app (L ⋙ G) ≫ whiskerLeft L ((L.lanAdjunction H).counit.app G) = 𝟙 (L ⋙ G)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Ring α
I : Ideal α
a b x x✝ : α
\u22a2 x✝ ∈ span {-x} ↔ x✝ ∈ span {x}
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Ring α
I : Ideal α
a b x x✝ : α
\u22a2 (∃ a, a * -x = x✝) ↔ ∃ a, a * x = x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/NatIso.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
X : C
\u22a2 α.hom.app X ≫ α.inv.app X = 𝟙 (F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/NatIso.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
X : C
\u22a2 (𝟙 F).app X = 𝟙 (F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/NatIso.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
X : C
\u22a2 α.inv.app X ≫ α.hom.app X = 𝟙 (G.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/NatIso.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
X : C
\u22a2 (𝟙 G).app X = 𝟙 (G.obj X)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝¹ : CommRing R
P : R[X]
inst✝ : IsReduced R
p : R[X]
hpl : 0 < p.natDegree
\u22a2 ¬IsUnit p
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝¹ : CommRing R
P : R[X]
inst✝ : IsReduced R
p : R[X]
hpl : 0 < p.natDegree
\u22a2 IsUnit (p.coeff 0) → ∃ x, ¬x = 0 ∧ ¬p.coeff x = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝¹ : CommRing R
P : R[X]
inst✝ : IsReduced R
p : R[X]
hpl : 0 < p.natDegree
a✝ : IsUnit (p.coeff 0)
\u22a2 ∃ x, ¬x = 0 ∧ ¬p.coeff x = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝¹ : CommRing R
P : R[X]
inst✝ : IsReduced R
p : R[X]
hpl : 0 < p.natDegree
a✝ : IsUnit (p.coeff 0)
\u22a2 ¬p.coeff p.natDegree = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝¹ : CommRing R
P : R[X]
inst✝ : IsReduced R
p : R[X]
a✝ : IsUnit (p.coeff 0)
hpl : p.coeff p.natDegree = 0
\u22a2 p.natDegree ≤ 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝¹ : CommRing R
P : R[X]
inst✝ : IsReduced R
p : R[X]
a✝ : IsUnit (p.coeff 0)
hpl : p = 0
\u22a2 p.natDegree ≤ 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/ENorm.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
x : V
\u22a2 ↑e (-x) = ↑‖-1‖₊ * ↑e x
-- Mathlib/Order/Iterate.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n
\u22a2 f^[n] x < g^[n] x ↔ f x < g x
-- Mathlib/Order/Iterate.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n
H : f x < g x
\u22a2 f^[n] x < g^[n] x ↔ f x < g x
-- Mathlib/Order/Iterate.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n
H : f x = g x
\u22a2 f^[n] x < g^[n] x ↔ f x < g x
-- Mathlib/Order/Iterate.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n
H : g x < f x
\u22a2 f^[n] x < g^[n] x ↔ f x < g x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ
\u22a2 ↑(sin x - sin y) = ↑(2 * sin ((x - y) / 2) * cos ((x + y) / 2))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
β : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x : PiLp 2 β
\u22a2 ‖x‖ ^ 2 = ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ 2
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
β : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x : PiLp 2 β
\u22a2 ‖x‖₊ ^ 2 = ∑ i : ι, ‖x i‖₊ ^ 2
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
S : Set Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
ha : a ∈ S
hb : enumOrd S b < a
\u22a2 enumOrd S (succ b) ≤ a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
S : Set Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
ha : a ∈ S
hb : enumOrd S b < a
\u22a2 sInf (S ∩ {b_1 | ∀ c < succ b, enumOrd S c < b_1}) ≤ a
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : IndepFun X Y μ
hX : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
hY : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ
\u22a2 mgf (X + Y) μ t = mgf X μ t * mgf Y μ t
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : IndepFun X Y μ
hX : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
hY : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ
\u22a2 ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) * rexp (t * Y x) ∂μ = (∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ) * ∫ (x : Ω), rexp (t * Y x) ∂μ
-- Mathlib/Topology/Sets/Opens.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
U : Opens α
\u22a2 ¬(↑U).Nonempty ↔ U = ⊥
-- Mathlib/Data/Set/Subsingleton.lean
α : Type u
a : α
s✝ t s : Set α
\u22a2 Nontrivial ↑s ↔ s.Nontrivial
-- Mathlib/Topology/IsLocalHomeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
s : Set X
t : Set Y
x : X
hx : x ∈ s
f : PartialHomeomorph X Y
hxf : x ∈ f.source
hgf✝ : IsLocalHomeomorphOn (g ∘ ↑f) s
hf : IsLocalHomeomorphOn (↑f) s
gf : PartialHomeomorph X Z
hgf : x ∈ gf.source
he : g ∘ ↑f = ↑gf
\u22a2 ∃ e, ↑f x ∈ e.source ∧ Set.EqOn g (↑e) e.source
-- Mathlib/Topology/IsLocalHomeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
s : Set X
t : Set Y
x : X
hx : x ∈ s
f : PartialHomeomorph X Y
hxf : x ∈ f.source
hgf✝ : IsLocalHomeomorphOn (g ∘ ↑f) s
hf : IsLocalHomeomorphOn (↑f) s
gf : PartialHomeomorph X Z
hgf : x ∈ gf.source
he : g ∘ ↑f = ↑gf
\u22a2 ↑f x ∈ ↑f.symm.symm.symm ⁻¹' gf.source
-- Mathlib/Topology/IsLocalHomeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
s : Set X
t : Set Y
x : X
hx : x ∈ s
f : PartialHomeomorph X Y
hxf : x ∈ f.source
hgf✝ : IsLocalHomeomorphOn (g ∘ ↑f) s
hf : IsLocalHomeomorphOn (↑f) s
gf : PartialHomeomorph X Z
hgf : x ∈ gf.source
he : g ∘ ↑f = ↑gf
y : Y
hy : y ∈ (f.symm.trans gf).source
\u22a2 g y = ↑(f.symm.trans gf) y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
\u22a2 Scheme.Γ.map (f ∣_ U).op = Y.presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫ Scheme.Hom.app f U ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
\u22a2 Scheme.Hom.app f (U.ι ''ᵁ ⊤) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op = Scheme.Hom.app f (⋯.functor.obj ⊤) ≫ X.presheaf.map (((Opens.map f.val.base).map (eqToHom ⋯).op.unop).op ≫ (eqToHom ⋯).op)