ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x✝ : P
h : s ⊆ t
x : ↥(affineSpan 𝕜 s)
hx : x ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' s)
\u22a2 Set.inclusion ⋯ x ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' t)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x✝ : P
h : s ⊆ t
x : ↥(affineSpan 𝕜 s)
hx : x ∈ closure (Subtype.val ⁻¹' s)
\u22a2 Subtype.val ⁻¹' s ⊆ Set.inclusion ⋯ ⁻¹' (Subtype.val ⁻¹' t)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Even.lean
R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
B : Type uB
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : EvenHom Q A
x : CliffordAlgebra Q
x_property : x ∈ even Q
val✝ : CliffordAlgebra Q
property✝ : val✝ ∈ even Q
\u22a2 (aux f) (⟨x, x_property⟩ * ⟨val✝, property✝⟩) = (aux f) ⟨x, x_property⟩ * (aux f) ⟨val✝, property✝⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Even.lean
R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
B : Type uB
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : EvenHom Q A
x : CliffordAlgebra Q
x_property : x ∈ even Q
val✝ : CliffordAlgebra Q
property✝ : val✝ ∈ even Q
\u22a2 (((foldr Q (CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) ⋯) (((foldr Q (CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) ⋯) (1, 0)) ↑⟨val✝, property✝⟩)) ↑⟨x, x_property⟩).1 = (aux f) ⟨x, x_property⟩ * (aux f) ⟨val✝, property✝⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Even.lean
R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
B : Type uB
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : EvenHom Q A
x : CliffordAlgebra Q
x_property : x ∈ even Q
val✝ : CliffordAlgebra Q
property✝ : val✝ ∈ even Q
\u22a2 (((foldr Q (CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) ⋯) (((foldr Q (CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) ⋯) (1, 0)) val✝)) x).1 = (aux f) ⟨x, x_property⟩ * (aux f) ⟨val✝, property✝⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
a : R
x y : M
\u22a2 polar (⇑Q) x (a • y) = a • polar (⇑Q) x y
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
s : Set V
inst✝¹ : Nonempty ↑s
inst✝ : Fintype ↑s
lin_ind : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val
card_eq : s.toFinset.card = finrank K V
\u22a2 ⇑(basisOfLinearIndependentOfCardEqFinrank lin_ind ⋯) = Subtype.val
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
\u22a2 Ici x = {x} ↔ IsTop x
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
h : Ici x = {x}
y : α
\u22a2 y ≤ x
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
h : Ici x = {x}
y : α
H : x < y
\u22a2 False
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
h : Ici x = {x}
y : α
H : x < y
this : y ∈ Ici x
\u22a2 False
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
h : Ici x = {x}
y : α
H : x < y
this : y = x
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/Module.lean
R : Type u_7
S : Type ?u.148131
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : LocalRing R
M : Type ?u.148593
N : Type ?u.148596
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup N
inst✝¹⁵ : Module R M
inst✝¹⁴ : Module R N
P : Type ?u.149736
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
M₃ : Type u_3
N₁ : Type u_4
N₂ : Type u_5
N₃ : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : AddCommGroup N₂
inst✝² : Module R N₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₃
inst✝ : Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₂
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₃
g₁ : N₁ →ₗ[R] N₂
g₂ : N₂ →ₗ[R] N₃
hfexact : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
hfsurj : Surjective ⇑f₂
hgexact : Exact ⇑g₁ ⇑g₂
hgsurj : Surjective ⇑g₂
hfinj : Injective ⇑(LinearMap.rTensor N₃ f₁)
hginj : Injective ⇑(LinearMap.lTensor M₂ g₁)
\u22a2 Injective ⇑(LinearMap.lTensor M₃ g₁)
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/Module.lean
R : Type u_7
S : Type ?u.148131
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : LocalRing R
M : Type ?u.148593
N : Type ?u.148596
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup N
inst✝¹⁵ : Module R M
inst✝¹⁴ : Module R N
P : Type ?u.149736
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
M₃ : Type u_3
N₁ : Type u_4
N₂ : Type u_5
N₃ : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : AddCommGroup N₂
inst✝² : Module R N₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₃
inst✝ : Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₂
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₃
g₁ : N₁ →ₗ[R] N₂
g₂ : N₂ →ₗ[R] N₃
hfexact : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
hfsurj : Surjective ⇑f₂
hgexact : Exact ⇑g₁ ⇑g₂
hgsurj : Surjective ⇑g₂
hfinj : Injective ⇑(LinearMap.rTensor N₃ f₁)
hginj : Injective ⇑(LinearMap.lTensor M₂ g₁)
\u22a2 ∀ (a : M₃ ⊗[R] N₁), (LinearMap.lTensor M₃ g₁) a = 0 → a = 0
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/Module.lean
R : Type u_7
S : Type ?u.148131
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : LocalRing R
M : Type ?u.148593
N : Type ?u.148596
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup N
inst✝¹⁵ : Module R M
inst✝¹⁴ : Module R N
P : Type ?u.149736
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
M₃ : Type u_3
N₁ : Type u_4
N₂ : Type u_5
N₃ : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : AddCommGroup N₂
inst✝² : Module R N₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₃
inst✝ : Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₂
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₃
g₁ : N₁ →ₗ[R] N₂
g₂ : N₂ →ₗ[R] N₃
hfexact : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
hfsurj : Surjective ⇑f₂
hgexact : Exact ⇑g₁ ⇑g₂
hgsurj : Surjective ⇑g₂
hfinj : Injective ⇑(LinearMap.rTensor N₃ f₁)
hginj : Injective ⇑(LinearMap.lTensor M₂ g₁)
x : M₃ ⊗[R] N₁
hx : (LinearMap.lTensor M₃ g₁) x = 0
\u22a2 x = 0
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/Module.lean
R : Type u_7
S : Type ?u.148131
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : LocalRing R
M : Type ?u.148593
N : Type ?u.148596
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup N
inst✝¹⁵ : Module R M
inst✝¹⁴ : Module R N
P : Type ?u.149736
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
M₃ : Type u_3
N₁ : Type u_4
N₂ : Type u_5
N₃ : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : AddCommGroup N₂
inst✝² : Module R N₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₃
inst✝ : Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₂
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₃
g₁ : N₁ →ₗ[R] N₂
g₂ : N₂ →ₗ[R] N₃
hfexact : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
hfsurj : Surjective ⇑f₂
hgexact : Exact ⇑g₁ ⇑g₂
hgsurj : Surjective ⇑g₂
hfinj : Injective ⇑(LinearMap.rTensor N₃ f₁)
hginj : Injective ⇑(LinearMap.lTensor M₂ g₁)
x : M₂ ⊗[R] N₁
hx : (LinearMap.lTensor M₃ g₁) ((LinearMap.rTensor N₁ f₂) x) = 0
\u22a2 (LinearMap.rTensor N₁ f₂) x = 0
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/Module.lean
R : Type u_7
S : Type ?u.148131
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : LocalRing R
M : Type ?u.148593
N : Type ?u.148596
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup N
inst✝¹⁵ : Module R M
inst✝¹⁴ : Module R N
P : Type ?u.149736
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
M₃ : Type u_3
N₁ : Type u_4
N₂ : Type u_5
N₃ : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : AddCommGroup N₂
inst✝² : Module R N₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₃
inst✝ : Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₂
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₃
g₁ : N₁ →ₗ[R] N₂
g₂ : N₂ →ₗ[R] N₃
hfexact : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
hfsurj : Surjective ⇑f₂
hgexact : Exact ⇑g₁ ⇑g₂
hgsurj : Surjective ⇑g₂
hfinj : Injective ⇑(LinearMap.rTensor N₃ f₁)
hginj : Injective ⇑(LinearMap.lTensor M₂ g₁)
x : M₂ ⊗[R] N₁
hx : (LinearMap.lTensor M₃ g₁) ((LinearMap.rTensor N₁ f₂) x) = 0
this : (LinearMap.rTensor N₂ f₂) ((LinearMap.lTensor M₂ g₁) x) = 0
\u22a2 (LinearMap.rTensor N₁ f₂) x = 0
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/Module.lean
R : Type u_7
S : Type ?u.148131
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : LocalRing R
M : Type ?u.148593
N : Type ?u.148596
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup N
inst✝¹⁵ : Module R M
inst✝¹⁴ : Module R N
P : Type ?u.149736
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
M₃ : Type u_3
N₁ : Type u_4
N₂ : Type u_5
N₃ : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : AddCommGroup N₂
inst✝² : Module R N₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₃
inst✝ : Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₂
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₃
g₁ : N₁ →ₗ[R] N₂
g₂ : N₂ →ₗ[R] N₃
hfexact : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
hfsurj : Surjective ⇑f₂
hgexact : Exact ⇑g₁ ⇑g₂
hgsurj : Surjective ⇑g₂
hfinj : Injective ⇑(LinearMap.rTensor N₃ f₁)
hginj : Injective ⇑(LinearMap.lTensor M₂ g₁)
x : M₂ ⊗[R] N₁
hx : (LinearMap.lTensor M₃ g₁) ((LinearMap.rTensor N₁ f₂) x) = 0
this : (LinearMap.rTensor N₂ f₂) ((LinearMap.lTensor M₂ g₁) x) = 0
y : M₁ ⊗[R] N₂
hy : (LinearMap.rTensor N₂ f₁) y = (LinearMap.lTensor M₂ g₁) x
\u22a2 (LinearMap.rTensor N₁ f₂) x = 0
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/Module.lean
R : Type u_7
S : Type ?u.148131
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : LocalRing R
M : Type ?u.148593
N : Type ?u.148596
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup N
inst✝¹⁵ : Module R M
inst✝¹⁴ : Module R N
P : Type ?u.149736
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
M₃ : Type u_3
N₁ : Type u_4
N₂ : Type u_5
N₃ : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : AddCommGroup N₂
inst✝² : Module R N₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₃
inst✝ : Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₂
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₃
g₁ : N₁ →ₗ[R] N₂
g₂ : N₂ →ₗ[R] N₃
hfexact : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
hfsurj : Surjective ⇑f₂
hgexact : Exact ⇑g₁ ⇑g₂
hgsurj : Surjective ⇑g₂
hfinj : Injective ⇑(LinearMap.rTensor N₃ f₁)
hginj : Injective ⇑(LinearMap.lTensor M₂ g₁)
x : M₂ ⊗[R] N₁
hx : (LinearMap.lTensor M₃ g₁) ((LinearMap.rTensor N₁ f₂) x) = 0
this✝ : (LinearMap.rTensor N₂ f₂) ((LinearMap.lTensor M₂ g₁) x) = 0
y : M₁ ⊗[R] N₂
hy : (LinearMap.rTensor N₂ f₁) y = (LinearMap.lTensor M₂ g₁) x
this : (LinearMap.lTensor M₁ g₂) y = 0
\u22a2 (LinearMap.rTensor N₁ f₂) x = 0
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/Module.lean
R : Type u_7
S : Type ?u.148131
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : LocalRing R
M : Type ?u.148593
N : Type ?u.148596
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup N
inst✝¹⁵ : Module R M
inst✝¹⁴ : Module R N
P : Type ?u.149736
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
M₃ : Type u_3
N₁ : Type u_4
N₂ : Type u_5
N₃ : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : AddCommGroup N₂
inst✝² : Module R N₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₃
inst✝ : Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₂
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₃
g₁ : N₁ →ₗ[R] N₂
g₂ : N₂ →ₗ[R] N₃
hfexact : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
hfsurj : Surjective ⇑f₂
hgexact : Exact ⇑g₁ ⇑g₂
hgsurj : Surjective ⇑g₂
hfinj : Injective ⇑(LinearMap.rTensor N₃ f₁)
hginj : Injective ⇑(LinearMap.lTensor M₂ g₁)
x : M₂ ⊗[R] N₁
hx : (LinearMap.lTensor M₃ g₁) ((LinearMap.rTensor N₁ f₂) x) = 0
this✝ : (LinearMap.rTensor N₂ f₂) ((LinearMap.lTensor M₂ g₁) x) = 0
z : M₁ ⊗[R] N₁
hy : (LinearMap.rTensor N₂ f₁) ((LinearMap.lTensor M₁ g₁) z) = (LinearMap.lTensor M₂ g₁) x
this : (LinearMap.lTensor M₁ g₂) ((LinearMap.lTensor M₁ g₁) z) = 0
\u22a2 (LinearMap.rTensor N₁ f₂) x = 0
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/Module.lean
R : Type u_7
S : Type ?u.148131
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : LocalRing R
M : Type ?u.148593
N : Type ?u.148596
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup N
inst✝¹⁵ : Module R M
inst✝¹⁴ : Module R N
P : Type ?u.149736
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
M₃ : Type u_3
N₁ : Type u_4
N₂ : Type u_5
N₃ : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : AddCommGroup N₂
inst✝² : Module R N₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₃
inst✝ : Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₂
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₃
g₁ : N₁ →ₗ[R] N₂
g₂ : N₂ →ₗ[R] N₃
hfexact : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
hfsurj : Surjective ⇑f₂
hgexact : Exact ⇑g₁ ⇑g₂
hgsurj : Surjective ⇑g₂
hfinj : Injective ⇑(LinearMap.rTensor N₃ f₁)
hginj : Injective ⇑(LinearMap.lTensor M₂ g₁)
z : M₁ ⊗[R] N₁
this✝ : (LinearMap.lTensor M₁ g₂) ((LinearMap.lTensor M₁ g₁) z) = 0
hx : (LinearMap.lTensor M₃ g₁) ((LinearMap.rTensor N₁ f₂) ((LinearMap.rTensor N₁ f₁) z)) = 0
this : (LinearMap.rTensor N₂ f₂) ((LinearMap.lTensor M₂ g₁) ((LinearMap.rTensor N₁ f₁) z)) = 0
hy : (LinearMap.rTensor N₂ f₁) ((LinearMap.lTensor M₁ g₁) z) = (LinearMap.lTensor M₂ g₁) ((LinearMap.rTensor N₁ f₁) z)
\u22a2 (LinearMap.rTensor N₁ f₂) ((LinearMap.rTensor N₁ f₁) z) = 0
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/Module.lean
R : Type u_7
S : Type ?u.148131
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : CommRing S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : LocalRing R
M : Type ?u.148593
N : Type ?u.148596
inst✝¹⁷ : AddCommGroup M
inst✝¹⁶ : AddCommGroup N
inst✝¹⁵ : Module R M
inst✝¹⁴ : Module R N
P : Type ?u.149736
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
M₃ : Type u_3
N₁ : Type u_4
N₂ : Type u_5
N₃ : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : AddCommGroup N₂
inst✝² : Module R N₂
inst✝¹ : AddCommGroup N₃
inst✝ : Module R N₃
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₂
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₃
g₁ : N₁ →ₗ[R] N₂
g₂ : N₂ →ₗ[R] N₃
hfexact : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
hfsurj : Surjective ⇑f₂
hgexact : Exact ⇑g₁ ⇑g₂
hgsurj : Surjective ⇑g₂
hfinj : Injective ⇑(LinearMap.rTensor N₃ f₁)
hginj : Injective ⇑(LinearMap.lTensor M₂ g₁)
z : M₁ ⊗[R] N₁
this✝ : (LinearMap.lTensor M₁ g₂) ((LinearMap.lTensor M₁ g₁) z) = 0
hx : (LinearMap.lTensor M₃ g₁) ((LinearMap.rTensor N₁ f₂) ((LinearMap.rTensor N₁ f₁) z)) = 0
this : (LinearMap.rTensor N₂ f₂) ((LinearMap.lTensor M₂ g₁) ((LinearMap.rTensor N₁ f₁) z)) = 0
hy : (LinearMap.rTensor N₂ f₁) ((LinearMap.lTensor M₁ g₁) z) = (LinearMap.lTensor M₂ g₁) ((LinearMap.rTensor N₁ f₁) z)
\u22a2 (LinearMap.rTensor N₁ 0) z = 0
-- Mathlib/Order/Interval/Set/UnorderedInterval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Lattice β
f : α → β
s : Set α
a b : α
hf : AntitoneOn f [[a, b]]
\u22a2 MapsTo f [[a, b]] [[f a, f b]]
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
\u22a2 dist (dist x y) (dist x z) ≤ dist y z
-- Mathlib/Algebra/Quandle.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Rack R
G : Type u_2
inst✝ : Group G
f : R →◃ Quandle.Conj G
a b c : PreEnvelGroup R
\u22a2 mapAux f ((a.mul b).mul c) = mapAux f (a.mul (b.mul c))
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
a : A 0
\u22a2 (of A 0) (a ^ 0) = (of A 0) a ^ 0
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
a : A 0
n : ℕ
\u22a2 (of A 0) (a ^ (n + 1)) = (of A 0) a ^ (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeriesSummable f s
\u22a2 LSeriesSummable ((fun n => χ ↑n) * f) s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeriesSummable f s
n : ℕ
\u22a2 ‖((fun n => χ ↑n) * f) n‖ ≤ ‖f n‖
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeriesSummable f s
n : ℕ
\u22a2 ‖χ ↑n‖ * ‖f n‖ ≤ ‖f n‖
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Discrete.lean
C : Type u_1
inst✝¹⁵ : Category.{u_6, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} A
inst✝¹³ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹² : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝¹¹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_5, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁹ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁸ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁷ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁶ : (constantSheaf J A).Full
inst✝⁵ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J B).Full
inst✝³ : J.PreservesSheafification U
inst✝² : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A
inst✝¹ : (sheafCompose J U).ReflectsIsomorphisms
inst✝ : IsDiscrete J ht ((sheafCompose J U).obj F)
f : (sheafCompose J U).obj (((sheafSections J A).obj (op t) ⋙ constantSheaf J A).obj F) ⟶ (sheafCompose J U).obj ((𝟭 (Sheaf J A)).obj F) := (sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)
\u22a2 IsDiscrete J ht F
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Discrete.lean
C : Type u_1
inst✝¹⁵ : Category.{u_6, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} A
inst✝¹³ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹² : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝¹¹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_5, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁹ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁸ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁷ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁶ : (constantSheaf J A).Full
inst✝⁵ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J B).Full
inst✝³ : J.PreservesSheafification U
inst✝² : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A
inst✝¹ : (sheafCompose J U).ReflectsIsomorphisms
inst✝ : IsDiscrete J ht ((sheafCompose J U).obj F)
f : (sheafCompose J U).obj (((sheafSections J A).obj (op t) ⋙ constantSheaf J A).obj F) ⟶ (sheafCompose J U).obj ((𝟭 (Sheaf J A)).obj F) := (sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)
this : IsIso ((sheafToPresheaf J B).map f)
\u22a2 IsDiscrete J ht F
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Discrete.lean
C : Type u_1
inst✝¹⁵ : Category.{u_6, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} A
inst✝¹³ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹² : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝¹¹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_5, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁹ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁸ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁷ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁶ : (constantSheaf J A).Full
inst✝⁵ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J B).Full
inst✝³ : J.PreservesSheafification U
inst✝² : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A
inst✝¹ : (sheafCompose J U).ReflectsIsomorphisms
inst✝ : IsDiscrete J ht ((sheafCompose J U).obj F)
f : (sheafCompose J U).obj (((sheafSections J A).obj (op t) ⋙ constantSheaf J A).obj F) ⟶ (sheafCompose J U).obj ((𝟭 (Sheaf J A)).obj F) := (sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)
this✝ : IsIso ((sheafToPresheaf J B).map f)
this : IsIso f
\u22a2 IsDiscrete J ht F
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Set α
a b : α
\u22a2 (fun x => x * b) ⁻¹' 1 = {b⁻¹}
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderTop α
inst✝ : DecidableEq α
a a✝ : α
\u22a2 a✝ ∈ insert a (Ioi a) ↔ a✝ ∈ Ici a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
\u22a2 ⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a), g.lintegral μ ≤ ⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => f a), g.lintegral (μ.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
\u22a2 g.lintegral μ ≤ ⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => f a), g.lintegral (μ.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
this : ↑g ≤ f
\u22a2 g.lintegral μ ≤ ⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => f a), g.lintegral (μ.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
this : ↑g ≤ f
\u22a2 g.lintegral μ = g.lintegral (μ.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
this : ↑g ≤ f
\u22a2 ∑ x ∈ g.range, x * μ (↑g ⁻¹' {x}) = ∑ y ∈ g.range, y * μ (↑g ⁻¹' {y} ∩ s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
this : ↑g ≤ f
t : ℝ≥0∞
H : ¬t = 0
x : α
\u22a2 x ∈ ↑g ⁻¹' {t} ↔ x ∈ ↑g ⁻¹' {t} ∩ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
this : ↑g ≤ f
t : ℝ≥0∞
H : ¬t = 0
x : α
\u22a2 ↑g x = t → x ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
this : ↑g ≤ f
x : α
H : ¬↑g x = 0
\u22a2 x ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
this : ↑g ≤ f
x : α
H : x ∉ s
\u22a2 ↑g x = 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
\u22a2 count a l = l.length ↔ ∀ (b : α), b ∈ l → a = b
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
\u22a2 (∀ (a_1 : α), a_1 ∈ l → (a_1 == a) = true) ↔ ∀ (b : α), b ∈ l → a = b
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
h : ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ l → (a_1 == a) = true
b : α
hb : b ∈ l
\u22a2 b = a