ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
c : E
hc : c ≠ 0
a✝ : AEStronglyMeasurable f μ
\u22a2 ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ * ↑‖c‖₊ ∂μ < ⊤ ↔ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
c : E
hc : c ≠ 0
a✝ : AEStronglyMeasurable f μ
\u22a2 ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤ ∧ ↑‖c‖₊ < ⊤ ∨ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ = 0 ∨ ↑‖c‖₊ = 0 ↔ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
c : E
hc : c ≠ 0
a✝ : AEStronglyMeasurable f μ
this : ∀ (x : ℝ≥0∞), x = 0 → x < ⊤
\u22a2 ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤ ∧ ↑‖c‖₊ < ⊤ ∨ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ = 0 ∨ ↑‖c‖₊ = 0 ↔ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
f : α → β
g : α → γ
g' : β → γ
\u22a2 (range f)ᶜ.restrict (extend f g g') = g' ∘ Subtype.val
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
X : Type u₇
Y : Type u₈
Z : Type u₉
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} F
inst✝² : Category.{v₇, u₇} X
inst✝¹ : Category.{v₈, u₈} Y
inst✝ : Category.{v₉, u₉} Z
G₁ : A ⥤ D
H₁ : B ⥤ E
K₁ : C ⥤ F
G₂ : D ⥤ X
H₂ : E ⥤ Y
K₂ : F ⥤ Z
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : B ⥤ C
R₂ : C ⥤ B
L₃ : D ⥤ E
R₃ : E ⥤ D
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
L₅ : X ⥤ Y
R₅ : Y ⥤ X
L₆ : Y ⥤ Z
R₆ : Z ⥤ Y
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
adj₅ : L₅ ⊣ R₅
adj₆ : L₆ ⊣ R₆
α : R₁ ⋙ G₁ ⟶ H₁ ⋙ R₃
β : R₂ ⋙ H₁ ⟶ K₁ ⋙ R₄
γ : R₃ ⋙ G₂ ⟶ H₂ ⋙ R₅
δ : R₄ ⋙ H₂ ⟶ K₂ ⋙ R₆
c : C
\u22a2 ({ app := fun X_1 => G₂.map (({ app := fun X => α.app (R₂.obj X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => R₃.map (β.app X), naturality := ⋯ }).app X_1), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X_1 => ({ app := fun X_2 => γ.app (R₄.obj X_2), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X_2 => R₅.map (δ.app X_2), naturality := ⋯ }).app (K₁.obj X_1), naturality := ⋯ }).app c = ({ app := fun X_1 => ({ app := fun X_2 => G₂.map (α.app X_2), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X_2 => γ.app (H₁.obj X_2), naturality := ⋯ }).app (R₂.obj X_1), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X_1 => R₅.map (({ app := fun X => H₂.map (β.app X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => δ.app (K₁.obj X), naturality := ⋯ }).app X_1), naturality := ⋯ }).app c
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
X : Type u₇
Y : Type u₈
Z : Type u₉
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} F
inst✝² : Category.{v₇, u₇} X
inst✝¹ : Category.{v₈, u₈} Y
inst✝ : Category.{v₉, u₉} Z
G₁ : A ⥤ D
H₁ : B ⥤ E
K₁ : C ⥤ F
G₂ : D ⥤ X
H₂ : E ⥤ Y
K₂ : F ⥤ Z
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : B ⥤ C
R₂ : C ⥤ B
L₃ : D ⥤ E
R₃ : E ⥤ D
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
L₅ : X ⥤ Y
R₅ : Y ⥤ X
L₆ : Y ⥤ Z
R₆ : Z ⥤ Y
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
adj₅ : L₅ ⊣ R₅
adj₆ : L₆ ⊣ R₆
α : R₁ ⋙ G₁ ⟶ H₁ ⋙ R₃
β : R₂ ⋙ H₁ ⟶ K₁ ⋙ R₄
γ : R₃ ⋙ G₂ ⟶ H₂ ⋙ R₅
δ : R₄ ⋙ H₂ ⟶ K₂ ⋙ R₆
c : C
\u22a2 G₂.map (α.app (R₂.obj c)) ≫ G₂.map (R₃.map (β.app c)) ≫ γ.app (R₄.obj (K₁.obj c)) ≫ R₅.map (δ.app (K₁.obj c)) = G₂.map (α.app (R₂.obj c)) ≫ γ.app (H₁.obj (R₂.obj c)) ≫ R₅.map (H₂.map (β.app c)) ≫ R₅.map (δ.app (K₁.obj c))
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
X : Type u₇
Y : Type u₈
Z : Type u₉
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} F
inst✝² : Category.{v₇, u₇} X
inst✝¹ : Category.{v₈, u₈} Y
inst✝ : Category.{v₉, u₉} Z
G₁ : A ⥤ D
H₁ : B ⥤ E
K₁ : C ⥤ F
G₂ : D ⥤ X
H₂ : E ⥤ Y
K₂ : F ⥤ Z
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : B ⥤ C
R₂ : C ⥤ B
L₃ : D ⥤ E
R₃ : E ⥤ D
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
L₅ : X ⥤ Y
R₅ : Y ⥤ X
L₆ : Y ⥤ Z
R₆ : Z ⥤ Y
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
adj₅ : L₅ ⊣ R₅
adj₆ : L₆ ⊣ R₆
α : R₁ ⋙ G₁ ⟶ H₁ ⋙ R₃
β : R₂ ⋙ H₁ ⟶ K₁ ⋙ R₄
γ : R₃ ⋙ G₂ ⟶ H₂ ⋙ R₅
δ : R₄ ⋙ H₂ ⟶ K₂ ⋙ R₆
c : C
\u22a2 G₂.map (α.app (R₂.obj c)) ≫ G₂.map (R₃.map (β.app c)) ≫ γ.app (R₄.obj (K₁.obj c)) ≫ R₅.map (δ.app (K₁.obj c)) = G₂.map (α.app (R₂.obj c)) ≫ ((R₃ ⋙ G₂).map (β.app c) ≫ γ.app (R₄.obj (K₁.obj c))) ≫ R₅.map (δ.app (K₁.obj c))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
H : μ.ContentRegular
K : Compacts G
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
\u22a2 ∃ K', K.carrier ⊆ interior K'.carrier ∧ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K' ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
H : μ.ContentRegular
K : Compacts G
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
hc : ¬∃ K', K.carrier ⊆ interior K'.carrier ∧ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K' ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
H : μ.ContentRegular
K : Compacts G
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
hc : ∀ (x : Compacts G), K.carrier ⊆ interior x.carrier → ↑(μ.toFun K) + ↑ε < ↑(μ.toFun x)
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
H : μ.ContentRegular
K : Compacts G
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
hc : ∀ (x : Compacts G), K.carrier ⊆ interior x.carrier → ↑(μ.toFun K) + ↑ε < ↑(μ.toFun x)
lower_bound_iInf : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε ≤ ⨅ K', ⨅ (_ : ↑K ⊆ interior ↑K'), (fun s => ↑(μ.toFun s)) K'
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
H : μ.ContentRegular
K : Compacts G
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
hc : ∀ (x : Compacts G), K.carrier ⊆ interior x.carrier → ↑(μ.toFun K) + ↑ε < ↑(μ.toFun x)
lower_bound_iInf : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
\u22a2 False
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/FiberwiseLinear.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup EB
inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace HB
inst✝ : ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)
h : ∀ p ∈ e.source, ∃ s, IsOpen s ∧ p ∈ s ∧ ∃ φ u, ∃ (hu : IsOpen u) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) u) (h2φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) u), (e.restr s).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hu ⋯ ⋯)
\u22a2 ∃ U, e.source = U ×ˢ univ ∧ ∀ x ∈ U, ∃ φ u, ∃ (hu : IsOpen u) (_ : u ⊆ U) (_ : x ∈ u) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) u) (h2φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) u), (e.restr (u ×ˢ univ)).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hu ⋯ ⋯)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/FiberwiseLinear.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup EB
inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace HB
inst✝ : ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)
h : ∀ (x : ↑e.source), ∃ s, IsOpen s ∧ ↑x ∈ s ∧ ∃ φ u, ∃ (hu : IsOpen u) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) u) (h2φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) u), (e.restr s).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hu ⋯ ⋯)
\u22a2 ∃ U, e.source = U ×ˢ univ ∧ ∀ x ∈ U, ∃ φ u, ∃ (hu : IsOpen u) (_ : u ⊆ U) (_ : x ∈ u) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) u) (h2φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) u), (e.restr (u ×ˢ univ)).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hu ⋯ ⋯)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/FiberwiseLinear.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup EB
inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace HB
inst✝ : ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)
s : ↑e.source → Set (B × F)
hs : ∀ (x : ↑e.source), IsOpen (s x)
hsp : ∀ (x : ↑e.source), ↑x ∈ s x
φ : ↑e.source → B → F ≃L[𝕜] F
u : ↑e.source → Set B
hu : ∀ (x : ↑e.source), IsOpen (u x)
hφ : ∀ (x : ↑e.source), SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x_1 => ↑(φ x x_1)) (u x)
h2φ : ∀ (x : ↑e.source), SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x_1 => ↑(φ x x_1).symm) (u x)
heφ : ∀ (x : ↑e.source), (e.restr (s x)).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph (φ x) ⋯ ⋯ ⋯)
\u22a2 ∃ U, e.source = U ×ˢ univ ∧ ∀ x ∈ U, ∃ φ u, ∃ (hu : IsOpen u) (_ : u ⊆ U) (_ : x ∈ u) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) u) (h2φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) u), (e.restr (u ×ˢ univ)).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hu ⋯ ⋯)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/FiberwiseLinear.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup EB
inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace HB
inst✝ : ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)
s : ↑e.source → Set (B × F)
hs : ∀ (x : ↑e.source), IsOpen (s x)
hsp : ∀ (x : ↑e.source), ↑x ∈ s x
φ : ↑e.source → B → F ≃L[𝕜] F
u : ↑e.source → Set B
hu : ∀ (x : ↑e.source), IsOpen (u x)
hφ : ∀ (x : ↑e.source), SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x_1 => ↑(φ x x_1)) (u x)
h2φ : ∀ (x : ↑e.source), SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x_1 => ↑(φ x x_1).symm) (u x)
heφ : ∀ (x : ↑e.source), (e.restr (s x)).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph (φ x) ⋯ ⋯ ⋯)
hesu : ∀ (p : ↑e.source), e.source ∩ s p = u p ×ˢ univ
\u22a2 ∃ U, e.source = U ×ˢ univ ∧ ∀ x ∈ U, ∃ φ u, ∃ (hu : IsOpen u) (_ : u ⊆ U) (_ : x ∈ u) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) u) (h2φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) u), (e.restr (u ×ˢ univ)).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hu ⋯ ⋯)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/FiberwiseLinear.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup EB
inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace HB
inst✝ : ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)
s : ↑e.source → Set (B × F)
hs : ∀ (x : ↑e.source), IsOpen (s x)
hsp : ∀ (x : ↑e.source), ↑x ∈ s x
φ : ↑e.source → B → F ≃L[𝕜] F
u : ↑e.source → Set B
hu : ∀ (x : ↑e.source), IsOpen (u x)
hφ : ∀ (x : ↑e.source), SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x_1 => ↑(φ x x_1)) (u x)
h2φ : ∀ (x : ↑e.source), SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x_1 => ↑(φ x x_1).symm) (u x)
heφ : ∀ (x : ↑e.source), (e.restr (s x)).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph (φ x) ⋯ ⋯ ⋯)
hesu : ∀ (p : ↑e.source), e.source ∩ s p = u p ×ˢ univ
hu' : ∀ (p : ↑e.source), (↑p).1 ∈ u p
\u22a2 ∃ U, e.source = U ×ˢ univ ∧ ∀ x ∈ U, ∃ φ u, ∃ (hu : IsOpen u) (_ : u ⊆ U) (_ : x ∈ u) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) u) (h2φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) u), (e.restr (u ×ˢ univ)).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hu ⋯ ⋯)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/FiberwiseLinear.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup EB
inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace HB
inst✝ : ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)
s : ↑e.source → Set (B × F)
hs : ∀ (x : ↑e.source), IsOpen (s x)
hsp : ∀ (x : ↑e.source), ↑x ∈ s x
φ : ↑e.source → B → F ≃L[𝕜] F
u : ↑e.source → Set B
hu : ∀ (x : ↑e.source), IsOpen (u x)
hφ : ∀ (x : ↑e.source), SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x_1 => ↑(φ x x_1)) (u x)
h2φ : ∀ (x : ↑e.source), SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x_1 => ↑(φ x x_1).symm) (u x)
heφ : ∀ (x : ↑e.source), (e.restr (s x)).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph (φ x) ⋯ ⋯ ⋯)
hesu : ∀ (p : ↑e.source), e.source ∩ s p = u p ×ˢ univ
hu' : ∀ (p : ↑e.source), (↑p).1 ∈ u p
heu : ∀ (p : ↑e.source) (q : B × F), q.1 ∈ u p → q ∈ e.source
\u22a2 ∃ U, e.source = U ×ˢ univ ∧ ∀ x ∈ U, ∃ φ u, ∃ (hu : IsOpen u) (_ : u ⊆ U) (_ : x ∈ u) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) u) (h2φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) u), (e.restr (u ×ˢ univ)).EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hu ⋯ ⋯)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
\u22a2 comap abs atTop = atBot ⊔ atTop
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
\u22a2 ∀ (i' : α × α), True ∧ True → ∃ i, True ∧ abs ⁻¹' Ici i ⊆ Iic i'.1 ∪ Ici i'.2
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b : α
\u22a2 ∃ i, True ∧ abs ⁻¹' Ici i ⊆ Iic (a, b).1 ∪ Ici (a, b).2
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b x : α
hx : x ∈ abs ⁻¹' Ici (max (-a) b)
\u22a2 x ∈ Iic (a, b).1 ∪ Ici (a, b).2
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b x : α
hx : x ≤ a ∧ x ≤ -b ∨ -a ≤ x ∧ b ≤ x
\u22a2 x ∈ Iic (a, b).1 ∪ Ici (a, b).2
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
U : ι → Set α
h : (𝓝 1).HasBasis p U
\u22a2 (𝓤 α).HasBasis p fun i => {x | x.1⁻¹ * x.2 ∈ U i}
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
U : ι → Set α
h : (𝓝 1).HasBasis p U
\u22a2 (Filter.comap (fun x => x.1⁻¹ * x.2) (𝓝 1)).HasBasis p fun i => {x | x.1⁻¹ * x.2 ∈ U i}
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CommRing S
x y z : S
\u22a2 (X - C x) * (X - C y) * (X - C z) = { a := 1, b := -(x + y + z), c := x * y + x * z + y * z, d := -(x * y * z) }.toPoly
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
p : ExactPairing X Y
\u22a2 (rightDualIso p p).hom = (Iso.refl Y).hom
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
\u22a2 cosh x + sinh x = cexp x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s : ℂ
\u22a2 (Gamma s)⁻¹ = s * (Gamma (s + 1))⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s : ℂ
h : s ≠ 0
\u22a2 (Gamma s)⁻¹ = s * (Gamma (s + 1))⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
\u22a2 (Gamma 0)⁻¹ = 0 * (Gamma (0 + 1))⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
s : ι → Set α
S : Set ι
s' : Set α
\u22a2 s' ∈ piiUnionInter (fun i => {s i}) S ↔ s' ∈ {s' | ∃ t, ∃ (_ : ↑t ⊆ S), s' = ⋂ i ∈ t, s i}
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
s : ι → Set α
S : Set ι
s' : Set α
\u22a2 (∃ t, ↑t ⊆ S ∧ ∃ f, (∀ x ∈ t, f x = s x) ∧ s' = ⋂ x ∈ t, f x) ↔ ∃ t, ↑t ⊆ S ∧ s' = ⋂ i ∈ t, s i
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Fin/Lemmas.lean
n : Nat
\u22a2 list (n + 1) = List.map castSucc (list n) ++ [last n]
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Fin/Lemmas.lean
n : Nat
\u22a2 0 :: List.map succ (list n) = List.map castSucc (list n) ++ [last n]
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiSeparated.lean
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
S : ↑X.affineOpens
U₁ U₂ : X.Opens
n₁ n₂ : ℕ
y₁ : ↑Γ(X, U₁)
y₂ : ↑Γ(X, U₂)
f : ↑Γ(X, U₁ ⊔ U₂)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
h₁ : ↑S ≤ U₁
h₂ : ↑S ≤ U₂
e₁ : (y₁ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ = ((f |_ U₁) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ ^ n₁ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯
e₂ : (y₂ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ = ((f |_ U₂) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ ^ n₂ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯
n : ℕ
e : ↑⟨(fun x => (f |_ ↑S) ⋯ ^ x) n, ⋯⟩ * (((f |_ U₁) ⋯ ^ n₂ * y₁) |_ ↑S) h₁ = ↑⟨(fun x => (f |_ ↑S) ⋯ ^ x) n, ⋯⟩ * (((f |_ U₂) ⋯ ^ n₁ * y₂) |_ ↑S) h₂
\u22a2 ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → (((f |_ U₁) ⋯ ^ (m + n₂) * y₁) |_ ↑S) h₁ = (((f |_ U₂) ⋯ ^ (m + n₁) * y₂) |_ ↑S) h₂
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiSeparated.lean
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
S : ↑X.affineOpens
U₁ U₂ : X.Opens
n₁ n₂ : ℕ
y₁ : ↑Γ(X, U₁)
y₂ : ↑Γ(X, U₂)
f : ↑Γ(X, U₁ ⊔ U₂)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
h₁ : ↑S ≤ U₁
h₂ : ↑S ≤ U₂
e₁ : (y₁ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ = ((f |_ U₁) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ ^ n₁ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯
e₂ : (y₂ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ = ((f |_ U₂) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ ^ n₂ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯
n : ℕ
e : ↑⟨(fun x => (f |_ ↑S) ⋯ ^ x) n, ⋯⟩ * (((f |_ U₁) ⋯ ^ n₂ * y₁) |_ ↑S) h₁ = ↑⟨(fun x => (f |_ ↑S) ⋯ ^ x) n, ⋯⟩ * (((f |_ U₂) ⋯ ^ n₁ * y₂) |_ ↑S) h₂
\u22a2 ∀ (m : ℕ), n ≤ m → (((f |_ U₁) ⋯ ^ (m + n₂) * y₁) |_ ↑S) h₁ = (((f |_ U₂) ⋯ ^ (m + n₁) * y₂) |_ ↑S) h₂
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiSeparated.lean
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
S : ↑X.affineOpens
U₁ U₂ : X.Opens
n₁ n₂ : ℕ
y₁ : ↑Γ(X, U₁)
y₂ : ↑Γ(X, U₂)
f : ↑Γ(X, U₁ ⊔ U₂)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
h₁ : ↑S ≤ U₁
h₂ : ↑S ≤ U₂
e₁ : (y₁ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ = ((f |_ U₁) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ ^ n₁ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯
e₂ : (y₂ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ = ((f |_ U₂) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ ^ n₂ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯
n : ℕ
e : ↑⟨(fun x => (f |_ ↑S) ⋯ ^ x) n, ⋯⟩ * (((f |_ U₁) ⋯ ^ n₂ * y₁) |_ ↑S) h₁ = ↑⟨(fun x => (f |_ ↑S) ⋯ ^ x) n, ⋯⟩ * (((f |_ U₂) ⋯ ^ n₁ * y₂) |_ ↑S) h₂
m : ℕ
hm : n ≤ m
\u22a2 (((f |_ U₁) ⋯ ^ (m + n₂) * y₁) |_ ↑S) h₁ = (((f |_ U₂) ⋯ ^ (m + n₁) * y₂) |_ ↑S) h₂
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiSeparated.lean
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
S : ↑X.affineOpens
U₁ U₂ : X.Opens
n₁ n₂ : ℕ
y₁ : ↑Γ(X, U₁)
y₂ : ↑Γ(X, U₂)
f : ↑Γ(X, U₁ ⊔ U₂)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
h₁ : ↑S ≤ U₁
h₂ : ↑S ≤ U₂
e₁ : (y₁ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ = ((f |_ U₁) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ ^ n₁ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯
e₂ : (y₂ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ = ((f |_ U₂) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ ^ n₂ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯
n : ℕ
e : ↑⟨(fun x => (f |_ ↑S) ⋯ ^ x) n, ⋯⟩ * (((f |_ U₁) ⋯ ^ n₂ * y₁) |_ ↑S) h₁ = ↑⟨(fun x => (f |_ ↑S) ⋯ ^ x) n, ⋯⟩ * (((f |_ U₂) ⋯ ^ n₁ * y₂) |_ ↑S) h₂
m : ℕ
hm : n ≤ m
\u22a2 (((f |_ U₁) ⋯ ^ (m - n + n + n₂) * y₁) |_ ↑S) h₁ = (((f |_ U₂) ⋯ ^ (m - n + n + n₁) * y₂) |_ ↑S) h₂
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiSeparated.lean
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
S : ↑X.affineOpens
U₁ U₂ : X.Opens
n₁ n₂ : ℕ
y₁ : ↑Γ(X, U₁)
y₂ : ↑Γ(X, U₂)
f : ↑Γ(X, U₁ ⊔ U₂)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
h₁ : ↑S ≤ U₁
h₂ : ↑S ≤ U₂
e₁ : (y₁ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ = ((f |_ U₁) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ ^ n₁ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯
e₂ : (y₂ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ = ((f |_ U₂) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ ^ n₂ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯
n m : ℕ
hm : n ≤ m
e : (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₂ * (X.presheaf.map (homOfLE h₁).op) y₁) = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₁ * (X.presheaf.map (homOfLE h₂).op) y₂)
\u22a2 (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ (m - n) * ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₂ * (X.presheaf.map (homOfLE h₁).op) y₁)) = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ (m - n) * ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n₁ * (X.presheaf.map (homOfLE h₂).op) y₂))
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Floor.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedRing α
inst✝⁴ : FloorRing α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : β → α → γ
h : ContinuousOn (uncurry f) (univ ×ˢ Icc 0 1)
hf : ∀ (s : β), f s 0 = f s 1
\u22a2 Continuous (uncurry f ∘ Prod.map id fract)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Floor.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedRing α
inst✝⁴ : FloorRing α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : β → α → γ
h : ContinuousOn (uncurry f) (univ ×ˢ Icc 0 1)
hf : ∀ (s : β), f s 0 = f s 1
\u22a2 ∀ (x : β × α), ContinuousAt (uncurry f ∘ Prod.map id fract) x
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n✝ m n : ℕ
a b : Fin n
\u22a2 ↑(a + b) = if n ≤ ↑a + ↑b then ↑a + ↑b - n else ↑a + ↑b
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
r : R
x : ℍ[R,c₁,c₂]
\u22a2 q.lift (r • x) = r • q.lift x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²³ : RCLike 𝕜
inst✝²² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝²¹ : InnerProductSpace 𝕜 E✝
inst✝²⁰ : CompleteSpace E✝
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E'
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹⁰ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁹ : RCLike 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝⁶ : CompleteSpace E''
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E''
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
E : Type u_10
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ E
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E
hx : 0 ≤ x
\u22a2 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)