ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c < 0
\u22a2 a < b / c ↔ b < c * a
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 log 2 n ≠ padicValNat 2 (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 ¬(2 ^ padicValNat 2 (n + 1) ≤ n ∧ n < 2 ^ (padicValNat 2 (n + 1) + 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hn : n ≠ 0
h1 : 2 ^ padicValNat 2 (n + 1) ≤ n
h2 : n < 2 ^ (padicValNat 2 (n + 1) + 1)
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hn : n ≠ 0
h1 : 2 ^ padicValNat 2 (n + 1) * 1 < n + 1
h2 : n < 2 ^ (padicValNat 2 (n + 1) + 1)
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hn : n ≠ 0
h1 : 2 ^ padicValNat 2 (n + 1) * 1 < n + 1
h2 : n + 1 ≤ 2 ^ padicValNat 2 (n + 1) * 2
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hn : n ≠ 0
h1 : 2 ^ padicValNat 2 (n + 1) * 1 < n + 1
h2 : n + 1 ≤ 2 ^ padicValNat 2 (n + 1) * 2
\u22a2 2 ^ padicValNat 2 (n + 1) * (1 + 1) ≠ n + 1
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
f : α → β → γ
Kα Kβ : ℝ≥0
hα : ∀ (b : β), LipschitzWith Kα fun a => f a b
hβ : ∀ (a : α), LipschitzWith Kβ (f a)
a₁ : α
b₁ : β
a₂ : α
b₂ : β
\u22a2 edist (uncurry f (a₁, b₁)) (uncurry f (a₂, b₂)) ≤ ↑(Kα + Kβ) * edist (a₁, b₁) (a₂, b₂)
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
f : α → β → γ
Kα Kβ : ℝ≥0
hα : ∀ (b : β), LipschitzWith Kα fun a => f a b
hβ : ∀ (a : α), LipschitzWith Kβ (f a)
a₁ : α
b₁ : β
a₂ : α
b₂ : β
\u22a2 edist (f a₁ b₁) (f a₂ b₂) ≤ ↑Kα * edist (a₁, b₁) (a₂, b₂) + ↑Kβ * edist (a₁, b₁) (a₂, b₂)
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
f : α → β → γ
Kα Kβ : ℝ≥0
hα : ∀ (b : β), LipschitzWith Kα fun a => f a b
hβ : ∀ (a : α), LipschitzWith Kβ (f a)
a₁ : α
b₁ : β
a₂ : α
b₂ : β
\u22a2 edist (f a₁ b₁) (f a₂ b₁) + edist (f a₂ b₁) (f a₂ b₂) ≤ ↑Kα * edist (a₁, b₁) (a₂, b₂) + ↑Kβ * edist (a₁, b₁) (a₂, b₂)
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α (n + 1)
h : T.SemanticallyEquivalent φ ψ
\u22a2 T.SemanticallyEquivalent (∀'φ) (∀'ψ)
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α (n + 1)
h : T.SemanticallyEquivalent φ ψ
\u22a2 ∀ (M : T.ModelType) (v : α → ↑M) (xs : Fin n → ↑M), (∀ (a : ↑M), φ.Realize v (Fin.snoc xs a)) ↔ ∀ (a : ↑M), ψ.Realize v (Fin.snoc xs a)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α β : TypeVec.{u_1} n
F' : TypeVec.{u_1} n → Type u
inst✝¹ : MvFunctor F'
inst✝ : LawfulMvFunctor F'
R : β ⊗ β ⟹ repeat n Prop
x : F' α
f g : α ⟹ β
h : α ⟹ Subtype_ R
hh : subtypeVal R ⊚ h = (f ⊗' g) ⊚ prod.diag
\u22a2 LiftR' R (f <$$> x) (g <$$> x)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α β : TypeVec.{u_1} n
F' : TypeVec.{u_1} n → Type u
inst✝¹ : MvFunctor F'
inst✝ : LawfulMvFunctor F'
R : β ⊗ β ⟹ repeat n Prop
x : F' α
f g : α ⟹ β
h : α ⟹ Subtype_ R
hh : subtypeVal R ⊚ h = (f ⊗' g) ⊚ prod.diag
\u22a2 ∃ u, (prod.fst ⊚ subtypeVal R) <$$> u = f <$$> x ∧ (prod.snd ⊚ subtypeVal R) <$$> u = g <$$> x
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α β : TypeVec.{u_1} n
F' : TypeVec.{u_1} n → Type u
inst✝¹ : MvFunctor F'
inst✝ : LawfulMvFunctor F'
R : β ⊗ β ⟹ repeat n Prop
x : F' α
f g : α ⟹ β
h : α ⟹ Subtype_ R
hh : subtypeVal R ⊚ h = (f ⊗' g) ⊚ prod.diag
\u22a2 (prod.fst ⊚ subtypeVal R) <$$> h <$$> x = f <$$> x ∧ (prod.snd ⊚ subtypeVal R) <$$> h <$$> x = g <$$> x
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α β : TypeVec.{u_1} n
F' : TypeVec.{u_1} n → Type u
inst✝¹ : MvFunctor F'
inst✝ : LawfulMvFunctor F'
R : β ⊗ β ⟹ repeat n Prop
x : F' α
f g : α ⟹ β
h : α ⟹ Subtype_ R
hh : subtypeVal R ⊚ h = (f ⊗' g) ⊚ prod.diag
\u22a2 (f ⊚ TypeVec.id) <$$> x = f <$$> x ∧ (prod.snd ⊚ subtypeVal R) <$$> h <$$> x = g <$$> x
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α β : TypeVec.{u_1} n
F' : TypeVec.{u_1} n → Type u
inst✝¹ : MvFunctor F'
inst✝ : LawfulMvFunctor F'
R : β ⊗ β ⟹ repeat n Prop
x : F' α
f g : α ⟹ β
h : α ⟹ Subtype_ R
hh : subtypeVal R ⊚ h = (f ⊗' g) ⊚ prod.diag
\u22a2 (f ⊚ TypeVec.id) <$$> x = f <$$> x ∧ (g ⊚ TypeVec.id) <$$> x = g <$$> x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
\u22a2 (↑(Real.log x)).re = (log ↑x).re
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
\u22a2 (↑(Real.log x)).im = (log ↑x).im
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α →. σ
h : Nat.Partrec fun n => (↑(decode₂ α n)).bind fun a => Part.map encode (f a)
\u22a2 Partrec fun a => Part.map encode (f a)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/MetricSeparated.lean
X : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace X
s✝ t✝ : Set X
x y : X
ι : Type u_2
I : Set ι
hI : I.Finite
s : ι → Set X
t : Set X
\u22a2 IsMetricSeparated (⋃ i ∈ I, s i) t ↔ ∀ i ∈ I, IsMetricSeparated (s i) t
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/MetricSeparated.lean
X : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace X
s✝ t✝ : Set X
x y : X
ι : Type u_2
I✝ : Set ι
hI✝ : I✝.Finite
s : ι → Set X
t : Set X
i : ι
I : Set ι
x✝¹ : i ∉ I
x✝ : I.Finite
hI : IsMetricSeparated (⋃ i ∈ I, s i) t ↔ ∀ i ∈ I, IsMetricSeparated (s i) t
\u22a2 IsMetricSeparated (⋃ i_1 ∈ insert i I, s i_1) t ↔ ∀ i_1 ∈ insert i I, IsMetricSeparated (s i_1) t
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
\u22a2 toIcoMod hp a b ≤ toIocMod hp a b
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
\u22a2 toIocDiv hp a b • p ≤ toIcoDiv hp a b • p
-- Mathlib/Data/ENat/Lattice.lean
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ
s : Set ℕ
\u22a2 (⨅ i, ↑(f i)).toNat = ⨅ i, f i
-- Mathlib/Data/ENat/Lattice.lean
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ
s : Set ℕ
h✝ : IsEmpty ι
\u22a2 (⨅ i, ↑(f i)).toNat = ⨅ i, f i
-- Mathlib/Data/ENat/Lattice.lean
ι : Sort u_1
f : ι → ℕ
s : Set ℕ
h✝ : Nonempty ι
\u22a2 (⨅ i, ↑(f i)).toNat = ⨅ i, f i
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : h.IsPreservedBy F
\u22a2 (h.map F).g' = F.map h.g'
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
hnontriv : Nontrivial ι
G : Type u_4
inst✝² : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
hcard : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)
α : Type u_6
inst✝ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
\u22a2 Function.Injective ⇑(lift f)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
\u22a2 TendstoUniformly F f p ↔ TendstoUniformlyOnFilter F f p ⊤
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
p q : ℤ
hpq : p + n = q
\u22a2 ((γ.leftShift a n' hn').rightShift a n hn').v p q hpq = ((a * n' + a * (a - 1) / 2).negOnePow • γ.shift a).v p q hpq
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
p q : ℤ
hpq : p + n = q
\u22a2 ((a * n' + a * (a - 1) / 2).negOnePow • (K.shiftFunctorObjXIso a p (p + a) ⋯).hom ≫ γ.v (p + a) (q + a) ⋯) ≫ (L.shiftFunctorObjXIso a q (q + a) ⋯).inv = (a * n' + a * (a - 1) / 2).negOnePow • γ.v (p + a) (q + a) ⋯
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
p q : ℤ
hpq : p + n = q
\u22a2 ((a * n' + a * (a - 1) / 2).negOnePow • 𝟙 (K.X (p + a)) ≫ γ.v (p + a) (q + a) ⋯) ≫ 𝟙 (L.X (q + a)) = (a * n' + a * (a - 1) / 2).negOnePow • γ.v (p + a) (q + a) ⋯
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/WithTop.lean
α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : MonoidWithZero α
inst✝¹ : NoZeroDivisors α
inst✝ : Nontrivial α
n : ℕ
n_pos : 0 < n
m : ℕ
x✝ : Nat.succ 0 ≤ m
hm : ⊤ ^ m = ⊤
\u22a2 ⊤ ^ (m + 1) = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Monoid M
G : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
\u22a2 FiniteType R (MonoidAlgebra R G) ↔ Group.FG G
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
H₁ : S₁.HomologyData
H₂ : S₂.HomologyData
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : h₀ ≫ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : S₁.g ≫ h₃ = 0
\u22a2 homologyMap' (S₁.nullHomotopic S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃) H₁ H₂ = 0
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
\u22a2 x ⊓ y ⊓ z ⊔ y \ z = x ⊓ (y ⊓ z) ⊔ y \ z
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
\u22a2 x ⊓ (y ⊓ z) ⊔ y \ z = (x ⊔ y \ z) ⊓ y
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
\u22a2 (x ⊔ y \ z) ⊓ y = x ⊓ y ⊔ y \ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
α : Type u_1
a b : ℂ
ha : a ≠ 0
\u22a2 (fun x => x ^ b) =ᶠ[𝓝 a] fun x => cexp (Complex.log x * b)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
α : Type u_1
a b : ℂ
ha : a ≠ 0
\u22a2 ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 a, x ≠ 0
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring K
inst✝⁵ : CommSemiring L
inst✝⁴ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝³ : ExpChar K p
inst✝² : ExpChar L p
inst✝¹ : ExpChar M p
inst✝ : PerfectRing L p
x : K
h : x ∈ pNilradical K p
\u22a2 x ∈ ker i
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring K
inst✝⁵ : CommSemiring L
inst✝⁴ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝³ : ExpChar K p
inst✝² : ExpChar L p
inst✝¹ : ExpChar M p
inst✝ : PerfectRing L p
x : K
h✝ : x ∈ pNilradical K p
n : ℕ
h : x ^ p ^ n = 0
\u22a2 x ∈ ker i
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring K
inst✝⁵ : CommSemiring L
inst✝⁴ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝³ : ExpChar K p
inst✝² : ExpChar L p
inst✝¹ : ExpChar M p
inst✝ : PerfectRing L p
x : K
h✝ : x ∈ pNilradical K p
n : ℕ
h : (iterateFrobeniusEquiv L p n).symm (i (x ^ p ^ n)) = (iterateFrobeniusEquiv L p n).symm (i 0)
\u22a2 x ∈ ker i
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map i ≫ f✝) g✝
s : PullbackCone f✝ g✝
𝒰 : Z.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
i : (openCoverOfLeft (𝒰.pullbackCover f) f g).J
Xᵢ : Scheme := pullback f (𝒰.map i)
Yᵢ : Scheme := pullback g (𝒰.map i)
W : Scheme := pullback (pullback.snd g (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i))
\u22a2 ((openCoverOfLeft (𝒰.pullbackCover f) f g).obj i).OpenCover
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map i ≫ f✝) g✝
s : PullbackCone f✝ g✝
𝒰 : Z.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
i : (openCoverOfLeft (𝒰.pullbackCover f) f g).J
Xᵢ : Scheme := pullback f (𝒰.map i)
Yᵢ : Scheme := pullback g (𝒰.map i)
W : Scheme := pullback (pullback.snd g (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i))
this : IsLimit (PullbackCone.mk (pullback.snd (pullback.snd g (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i))) (pullback.fst (pullback.snd g (𝒰.map i)) (pullback.snd f (𝒰.map i)) ≫ pullback.fst g (𝒰.map i)) ⋯)
\u22a2 ((openCoverOfLeft (𝒰.pullbackCover f) f g).obj i).OpenCover
-- Mathlib/CategoryTheory/EqToHom.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
β : Sort u_1
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hobj : ∀ (X : C), F.obj X = G.obj X
hmap : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), HEq (F.map f) (G.map f)
\u22a2 HEq (F.map (f ≫ g)) (G.map (f ≫ g))
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it
\u22a2 it.hasPrev = true ↔ l ≠ []
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
f : ι → ℝ
hf : f ∈ stdSimplex ℝ ι
\u22a2 f ∈ closedBall 0 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
f : ι → ℝ
hf : f ∈ stdSimplex ℝ ι
\u22a2 ∀ (b : ι), dist (f b) (0 b) ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
f : ι → ℝ
hf : f ∈ stdSimplex ℝ ι
x : ι
\u22a2 dist (f x) (0 x) ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
f : ι → ℝ
hf : f ∈ stdSimplex ℝ ι
x : ι
\u22a2 f x ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Monovary.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
\u22a2 Monovary f (⇑OrderDual.toDual ∘ g) ↔ ∀ (i j : ι), (f j - f i) • (g j - g i) ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Monovary.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
\u22a2 (∀ (i j : ι), 0 ≤ (f j - f i) • ((⇑OrderDual.toDual ∘ g) j - (⇑OrderDual.toDual ∘ g) i)) ↔ ∀ (i j : ι), (f j - f i) • (g j - g i) ≤ 0
-- Mathlib/Data/Finset/Functor.lean
α✝ β✝ : Type u
inst✝ : (P : Prop) → Decidable P
α β γ : Type u
f : α → β → γ
s : Finset α
t : Finset β
a✝ : γ
\u22a2 a✝ ∈ image₂ f s t ↔ a✝ ∈ Seq.seq (f <$> s) fun x => t
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
x y : ℝ
hy : 0 ≤ y
\u22a2 ‖x‖₊ * y.toNNReal = ‖x * y‖₊
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ
\u22a2 Irrational (↑n * x) ↔ n ≠ 0 ∧ Irrational x
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
h : Codisjoint a b
\u22a2 a ⇨ a ⊓ b = b
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MulAction H β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
ν : Measure β
h : IsFundamentalDomain G s μ
f : α ≃ β
hf : QuasiMeasurePreserving (⇑f.symm) ν μ
e : H ≃ G
hef : ∀ (g : H), Semiconj (⇑f) (fun x => e g • x) fun x => g • x
\u22a2 IsFundamentalDomain H (⇑f '' s) ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MulAction H β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
ν : Measure β
h : IsFundamentalDomain G s μ
f : α ≃ β
hf : QuasiMeasurePreserving (⇑f.symm) ν μ
e : H ≃ G
hef : ∀ (g : H), Semiconj (⇑f) (fun x => e g • x) fun x => g • x
\u22a2 IsFundamentalDomain H (⇑f.symm ⁻¹' s) ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MulAction H β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
ν : Measure β
h : IsFundamentalDomain G s μ
f : α ≃ β
hf : QuasiMeasurePreserving (⇑f.symm) ν μ
e : H ≃ G
hef : ∀ (g : H), Semiconj (⇑f) (fun x => e g • x) fun x => g • x
g : G
x : β
\u22a2 f.symm ((fun x => e.symm g • x) x) = (fun x => g • x) (f.symm x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MulAction H β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
ν : Measure β
h : IsFundamentalDomain G s μ
f : α ≃ β
hf : QuasiMeasurePreserving (⇑f.symm) ν μ
e : H ≃ G
hef : ∀ (g : H), Semiconj (⇑f) (fun x => e g • x) fun x => g • x
g : G
x : α
\u22a2 f.symm ((fun x => e.symm g • x) (f x)) = (fun x => g • x) (f.symm (f x))
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
U : Set E
hU : U ∈ p.basisSets
\u22a2 ∃ V ∈ 𝓝 0, ∃ W ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, V • W ⊆ U
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
\u22a2 ∃ V ∈ 𝓝 0, ∃ W ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, V • W ⊆ U
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
\u22a2 ∃ W ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, Metric.ball 0 √r • W ⊆ U
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
\u22a2 Metric.ball 0 √r • (s.sup p).ball 0 √r ⊆ U
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
\u22a2 (s.sup p).ball 0 (√r * √r) ⊆ U
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Finset β
x : β
\u22a2 x ∈ s.sup f ↔ ∃ v ∈ s, x ∈ (f v).val
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Finset β
x : β
\u22a2 x ∈ s.sup f ↔ x ∈ s.sup fun x => (f x).val.toFinset
-- Mathlib/Data/List/Range.lean
α : Type u
n : ℕ
\u22a2 Pairwise (fun x x_1 => x < x_1) (range n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
\u22a2 s₁ ∩ s₂ ⊆ s₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : Module R S
p q : R[X]
x : S
\u22a2 (-p).smeval x = -p.smeval x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Classes/SatisfiesM.lean
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_1
p : α → Prop
α✝ : Type u_1
q : α✝ → Prop
f : α → α✝
inst✝¹ : Functor m
inst✝ : LawfulFunctor m
x : m α
hx✝ : SatisfiesM p x
hf : ∀ {a : α}, p a → q (f a)
x' : m { a // p a }
hx : Subtype.val <$> x' = x
\u22a2 Subtype.val <$> (fun x => match x with | ⟨a, h⟩ => ⟨f a, ⋯⟩) <$> x' = f <$> Subtype.val <$> x'
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α
h : a * b⁻¹ = 1
\u22a2 a = b
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Plus.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : Preadditive D
X : C
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
x✝ : (J.Cover X)ᵒᵖ
\u22a2 (J.diagramNatTrans 0 X).app x✝ = NatTrans.app 0 x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Plus.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : Preadditive D
X : C
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
x✝ : (J.Cover X)ᵒᵖ
i : ((unop x✝).index Q).L
\u22a2 (J.diagramNatTrans 0 X).app x✝ ≫ Multiequalizer.ι ((unop x✝).index Q) i = NatTrans.app 0 x✝ ≫ Multiequalizer.ι ((unop x✝).index Q) i
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Plus.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : Preadditive D
X : C
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
x✝ : (J.Cover X)ᵒᵖ
i : ((unop x✝).index Q).L
\u22a2 Multiequalizer.lift ((unop x✝).index Q) (multiequalizer ((unop x✝).index P)) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop x✝).index P) i ≫ 0) ⋯ ≫ Multiequalizer.ι ((unop x✝).index Q) i = 0 ≫ Multiequalizer.ι ((unop x✝).index Q) i
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
hs : s.Nonempty
a✝ a : α
ha : a ∈ s
\u22a2 ∀ (x : α), x ∈ (uniformOfFinset s ⋯).support ↔ x ∈ ↑s
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
b : β
f : β → α
\u22a2 ∏' (x : ↑{b}), f ↑x = f b
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
X₁₁ X₁₂ X₂₁ X₂₂ X₃₁ X₃₂ : C
h₁₁ : X₁₁ ⟶ X₁₂
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₃₁ : X₃₁ ⟶ X₃₂
v₁₁ : X₁₁ ⟶ X₂₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₁₃ : X₁₂ ⟶ X₃₂
v₂₁ : X₂₁ ⟶ X₃₁
s : IsPushout h₁₁ (v₁₁ ≫ v₂₁) v₁₃ h₃₁
t : IsPushout h₁₁ v₁₁ v₁₂ h₂₁
\u22a2 h₁₁ ≫ v₁₃ = v₁₁ ≫ v₂₁ ≫ h₃₁