ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : (i : η) → AddCommGroup (φ i)
inst✝² : (i : η) → Module R (φ i)
inst✝¹ : ∀ (i : η), Module.Free R (φ i)
inst✝ : Finite η
val✝ : Fintype η
B : (i : η) → Basis (ChooseBasisIndex R (φ i)) R (φ i) := fun i => chooseBasis R (φ i)
b : Basis ((j : η) × ChooseBasisIndex R (φ j)) R ((i : η) → φ i) := Pi.basis fun i => B i
\u22a2 Module.rank R ((i : η) → φ i) = sum fun i => Module.rank R (φ i)
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
s : Set X
\u22a2 IsOpen (⇑h '' s) ↔ IsOpen s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, deriv g x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) atBot l
\u22a2 Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, deriv g x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) atBot l
hdg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, DifferentiableAt ℝ g x
\u22a2 Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, deriv g x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) atBot l
hdg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, DifferentiableAt ℝ g x
hdf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, HasDerivAt f (deriv f x) x
\u22a2 Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, deriv g x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) atBot l
hdg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, DifferentiableAt ℝ g x
hdf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, HasDerivAt f (deriv f x) x
hdg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, HasDerivAt g (deriv g x) x
\u22a2 Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
m : α → β
f : Filter α
g : Filter β
i : γ → α
h : range i ∈ f
\u22a2 Tendsto (m ∘ i) (comap i f) g ↔ Tendsto m f g
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
m : α → β
f : Filter α
g : Filter β
i : γ → α
h : range i ∈ f
\u22a2 (map m ∘ map i) (comap i f) ≤ g ↔ Tendsto m f g
-- Mathlib/Algebra/Order/Pointwise.lean
α : Type u_1
inst✝³ : CompleteLattice α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ t s : Set α
\u22a2 sInf s⁻¹ = (sSup s)⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Order/Pointwise.lean
α : Type u_1
inst✝³ : CompleteLattice α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ t s : Set α
\u22a2 ⨅ a ∈ s, a⁻¹ = (sSup s)⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_zero : c ≠ 0
hT : FinMeasAdditive μ T
\u22a2 FinMeasAdditive (c • μ) T
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_zero : c ≠ 0
hT : FinMeasAdditive μ T
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : μ s = ⊤
\u22a2 (c • μ) s = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_zero : c ≠ 0
hT : FinMeasAdditive μ T
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : μ s = ⊤
\u22a2 c ≠ 0 ∧ μ s = ⊤ ∨ c = ⊤ ∧ μ s ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_zero : c ≠ 0
hT : FinMeasAdditive μ T
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : μ s = ⊤
\u22a2 μ s = ⊤ ∨ c = ⊤ ∧ ¬μ s = 0
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s : Set α
\u22a2 StrictMonoOn (⇑toDual ∘ f ∘ ⇑ofDual) s ↔ StrictMonoOn f s
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I J : Ideal R
\u22a2 (quotQuotEquivComm I J).symm = quotQuotEquivComm J I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I J : Ideal R
\u22a2 (((quotQuotEquivQuotSup I J).trans (quotEquivOfEq ⋯)).trans (quotQuotEquivQuotSup J I).symm).symm = ((quotQuotEquivQuotSup J I).trans (quotEquivOfEq ⋯)).trans (quotQuotEquivQuotSup I J).symm
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Integral.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
c : ℝ
f : ℝ → E
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Iic c, f (-x) = ∫ (x : ℝ) in Ioi (-c), f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Integral.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
c : ℝ
f : ℝ → E
A : MeasurableEmbedding fun x => -x
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Iic c, f (-x) = ∫ (x : ℝ) in Ioi (-c), f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Integral.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
c : ℝ
f : ℝ → E
A : MeasurableEmbedding fun x => -x
this : ∫ (y : ℝ) in Ici (-c), f y ∂Measure.map (fun x => -x) volume = ∫ (x : ℝ) in (fun x => -x) ⁻¹' Ici (-c), f (-x)
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Iic c, f (-x) = ∫ (x : ℝ) in Ioi (-c), f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Integral.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
c : ℝ
f : ℝ → E
A : MeasurableEmbedding fun x => -x
this : ∫ (y : ℝ) in Ici (-c), f y ∂volume = ∫ (x : ℝ) in (fun x => -x) ⁻¹' Ici (-c), f (-x)
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Iic c, f (-x) = ∫ (x : ℝ) in Ioi (-c), f x
-- Mathlib/Topology/LocallyConstant/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : C(X, Y)
hfs : Function.Surjective f.toFun
a b : LocallyConstant Y Z
h : comap f a = comap f b
y : Y
x : X
hx : f.toFun x = y
\u22a2 a y = b y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Option.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
x✝ : Option α × Perm α
x : Option α
σ : Perm α
\u22a2 (fun σ => (σ none, removeNone σ)) ((fun i => swap none i.1 * optionCongr i.2) (x, σ)) = (x, σ)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Option.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
x✝ : Option α × Perm α
x : Option α
σ : Perm α
this : removeNone (swap none x * optionCongr σ) = σ
\u22a2 (fun σ => (σ none, removeNone σ)) ((fun i => swap none i.1 * optionCongr i.2) (x, σ)) = (x, σ)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ M' ≤ M, M'.FG → M'.LinearDisjoint N
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
\u22a2 x = y
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ M' ≤ M, M'.FG → M'.LinearDisjoint N
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
M' : Submodule R S
hM : M' ≤ M
hFG : Module.Finite R ↥M'
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion hM)))
\u22a2 x = y
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ M' ≤ M, M'.FG → M'.LinearDisjoint N
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
M' : Submodule R S
hM : M' ≤ M
hFG : M'.FG
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion hM)))
\u22a2 x = y
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ M' ≤ M, M'.FG → M'.LinearDisjoint N
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
M' : Submodule R S
hM : M' ≤ M
hFG : M'.FG
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion hM)))
x' : ↥M' ⊗[R] ↥N
hx' : (LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion hM)) x' = x
y' : ↥M' ⊗[R] ↥N
hy' : (LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion hM)) y' = y
\u22a2 x' = y'
-- Mathlib/Order/Chain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a b x y : α
hc : ChainClosure r c
\u22a2 IsChain r c
-- Mathlib/Tactic/ReduceModChar.lean
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
n : ℕ
inst : CharP α n
a b : α
na : ℕ
na' : α
p : IsNat ((↑n - 1) * a) na
pa : ↑na = na'
\u22a2 -(a * b) = na' * b
-- Mathlib/Tactic/ReduceModChar.lean
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
n : ℕ
inst : CharP α n
a b : α
na : ℕ
na' : α
p : IsNat ((↑n - 1) * a) na
pa : ↑na = na'
\u22a2 -1 * (a * b) = (↑n - 1) * a * b
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
x y : ι → ℝ
\u22a2 dist (x ⊓ y) (x ⊔ y) = dist x y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝¹ y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
x y : ι → ℝ
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ
\u22a2 nndist ((x ⊓ y) i) ((x ⊔ y) i) = nndist (x i) (y i)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
S : Set α
a b : α
\u22a2 swap a b ∈ MulAction.stabilizer (Perm α) S ↔ (a ∈ S ↔ b ∈ S)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
S : Set α
a b : α
\u22a2 (∀ (x : α), x ∈ (swap a b)⁻¹ • S ↔ x ∈ S) ↔ (a ∈ S ↔ b ∈ S)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
S : Set α
a b : α
\u22a2 (∀ (x : α), (if x = a then b else if x = b then a else x) ∈ S ↔ x ∈ S) ↔ (a ∈ S ↔ b ∈ S)
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a✝ b : α
m n : ℕ
a : α
l : List α
\u22a2 (a :: l).inits = (map reverse (a :: l).reverse.tails).reverse
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/LinearPMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
hT : Dense ↑T.domain
inst✝ : CompleteSpace E
y : F
w : E
hw : ∀ (x : ↥T.domain), ⟪w, ↑x⟫_𝕜 = ⟪y, ↑T x⟫_𝕜
\u22a2 y ∈ T†.domain
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/LinearPMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
hT : Dense ↑T.domain
inst✝ : CompleteSpace E
y : F
w : E
hw : ∀ (x : ↥T.domain), ⟪w, ↑x⟫_𝕜 = ⟪y, ↑T x⟫_𝕜
\u22a2 Continuous ⇑((innerₛₗ 𝕜) y ∘ₗ T.toFun)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/LinearPMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
hT : Dense ↑T.domain
inst✝ : CompleteSpace E
y : F
w : E
hw : ∀ (x : ↥T.domain), ⟪w, ↑x⟫_𝕜 = ⟪y, ↑T x⟫_𝕜
this : Continuous ⇑(((innerSL 𝕜) w).comp T.domain.subtypeL)
\u22a2 ⇑((innerₛₗ 𝕜) y ∘ₗ T.toFun) = ⇑(((innerSL 𝕜) w).comp T.domain.subtypeL)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t s : Set α
hm : MeasurableSet t
h_fin : μ t ≠ ⊤
\u22a2 μ (s \ t) + μ t = μ (s ∪ t)
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexBetween.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
hp₁ : dist p₁ p = r
hp₂ : dist p₂ p ≤ r
hp₃ : dist p₃ p = r
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
\u22a2 Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexBetween.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
hp₁ : dist p₁ p = r
hp₂ : dist p₂ p ≤ r
hp₃ : dist p₃ p = r
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hw : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
\u22a2 Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexBetween.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
hp₁ : dist p₁ p = r
hp₂ : dist p₂ p ≤ r
hp₃ : dist p₃ p = r
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hw : Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁
\u22a2 Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexBetween.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
hp₁ : dist p₁ p = r
hp₂ : dist p₂ p ≤ r
hp₃ : dist p₃ p = r
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hw : Wbtw ℝ p₃ p₁ p₂
\u22a2 Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
\u22a2 (o.kahler (o.rightAngleRotation x)) (o.rightAngleRotation y) = (o.kahler x) y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
\u22a2 Complex.I * (-Complex.I * (o.kahler x) y) = (o.kahler x) y
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : LE α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
\u22a2 a * b ≤ a ↔ a * b ≤ a * 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Group α
inst✝² : LinearOrder α
a✝¹ b✝¹ : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ c : α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
\u22a2 max a b / min a b = mabs (a / b)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Group α
inst✝² : LinearOrder α
a✝¹ b✝¹ : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ c : α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ab : a ≤ b
\u22a2 max a b / min a b = mabs (a / b)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Group α
inst✝² : LinearOrder α
a✝¹ b✝¹ : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ c : α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ba : b ≤ a
\u22a2 max a b / min a b = mabs (a / b)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
F G : Filter X
\u22a2 AccPt x (F ⊔ G) ↔ AccPt x F ∨ AccPt x G
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f✝ g : C(α, β)
f : C(β, γ)
g₁ g₂ : C(α, β)
hf : Injective ⇑f
h : f.comp g₁ = f.comp g₂
a : α
\u22a2 f (g₁ a) = f (g₂ a)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
X Y : F
h : W.Nonsingular ![X, Y, 1]
\u22a2 toAffine W ![X, Y, 1] = Affine.Point.some ⋯
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s : Set α
\u22a2 StrictAnti (⇑toDual ∘ f ∘ ⇑ofDual) ↔ StrictAnti f
-- Mathlib/Algebra/Ring/Int.lean
m n : ℤ
\u22a2 Even n.natAbs ↔ Even n
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
p q : ℝ
hq_pos : 0 < q
\u22a2 (∫⁻ (a : α), ↑‖‖f a‖ ^ q‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) = ((∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ (p * q) ∂μ) ^ (1 / (p * q))) ^ q
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
p q : ℝ
hq_pos : 0 < q
\u22a2 (∫⁻ (a : α), ↑‖‖f a‖ ^ q‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) = (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ (p * q) ∂μ) ^ (1 / p * (1 / q) * q)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
p q : ℝ
hq_pos : 0 < q
\u22a2 (∫⁻ (a : α), ↑‖‖f a‖ ^ q‖₊ ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ = (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ (p * q) ∂μ) ^ (p⁻¹ * q⁻¹ * q)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
p q : ℝ
hq_pos : 0 < q
\u22a2 (∫⁻ (a : α), ↑‖‖f a‖ ^ q‖₊ ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ = (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ (p * q) ∂μ) ^ p⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
p q : ℝ
hq_pos : 0 < q
x : α
\u22a2 ↑‖‖f x‖ ^ q‖₊ ^ p = ↑‖f x‖₊ ^ (p * q)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
p q : ℝ
hq_pos : 0 < q
x : α
\u22a2 ENNReal.ofReal ‖‖f x‖ ^ q‖ ^ p = ENNReal.ofReal ‖f x‖ ^ (p * q)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
δ : Type u_7
s : δ → Set α
\u22a2 supported M R (⋃ i, s i) = ⨆ i, supported M R (s i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
δ : Type u_7
s : δ → Set α
\u22a2 supported M R (⋃ i, s i) ≤ ⨆ i, supported M R (s i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
δ : Type u_7
s : δ → Set α
this : DecidablePred fun x => x ∈ ⋃ i, s i
\u22a2 supported M R (⋃ i, s i) ≤ ⨆ i, supported M R (s i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
δ : Type u_7
s : δ → Set α
this : DecidablePred fun x => x ∈ ⋃ i, s i
\u22a2 LinearMap.range ((supported M R (⋃ i, s i)).subtype ∘ₗ restrictDom M R (⋃ i, s i)) ≤ ⨆ i, supported M R (s i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
δ : Type u_7
s : δ → Set α
this : DecidablePred fun x => x ∈ ⋃ i, s i
\u22a2 ⊤ ≤ comap ((supported M R (⋃ i, s i)).subtype ∘ₗ restrictDom M R (⋃ i, s i)) (⨆ i, supported M R (s i))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
δ : Type u_7
s : δ → Set α
this : DecidablePred fun x => x ∈ ⋃ i, s i
l : α →₀ M
\u22a2 l ∈ comap ((supported M R (⋃ i, s i)).subtype ∘ₗ restrictDom M R (⋃ i, s i)) (⨆ i, supported M R (s i))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
δ : Type u_7
s : δ → Set α
this : DecidablePred fun x => x ∈ ⋃ i, s i
l : α →₀ M
\u22a2 0 ∈ comap ((supported M R (⋃ i, s i)).subtype ∘ₗ restrictDom M R (⋃ i, s i)) (⨆ i, supported M R (s i))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
δ : Type u_7
s : δ → Set α
this : DecidablePred fun x => x ∈ ⋃ i, s i
l : α →₀ M
\u22a2 ∀ (a : α) (b : M) (f : α →₀ M), a ∉ f.support → b ≠ 0 → f ∈ comap ((supported M R (⋃ i, s i)).subtype ∘ₗ restrictDom M R (⋃ i, s i)) (⨆ i, supported M R (s i)) → single a b + f ∈ comap ((supported M R (⋃ i, s i)).subtype ∘ₗ restrictDom M R (⋃ i, s i)) (⨆ i, supported M R (s i))
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Girth.lean
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
\u22a2 (∃ a w, w.IsCycle ∧ G.girth = w.length) ↔ ¬G.IsAcyclic
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Girth.lean
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
h : ¬G.IsAcyclic
\u22a2 ∃ a w, w.IsCycle ∧ G.girth = w.length
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Girth.lean
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
h : ¬G.IsAcyclic
w✝¹ : α
w✝ : G.Walk w✝¹ w✝¹
h✝ : w✝.IsCycle ∧ G.egirth = ↑w✝.length
\u22a2 ∃ a w, w.IsCycle ∧ G.girth = w.length