ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
h_exists : ∀ (x : ℝ), ∃ q, x - 1 < ↑q ∧ ↑q < x
qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose
\u22a2 Tendsto (↑(hf.stieltjesFunction a)) atTop (𝓝 1)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
h_exists : ∀ (x : ℝ), ∃ q, x - 1 < ↑q ∧ ↑q < x
qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose
hqs_tendsto : Tendsto qs atTop atTop
\u22a2 Tendsto (↑(hf.stieltjesFunction a)) atTop (𝓝 1)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
h_exists : ∀ (x : ℝ), ∃ q, x - 1 < ↑q ∧ ↑q < x
qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose
hqs_tendsto : Tendsto qs atTop atTop
\u22a2 f a ∘ qs ≤ ↑(hf.stieltjesFunction a)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
h_exists : ∀ (x : ℝ), ∃ q, x - 1 < ↑q ∧ ↑q < x
qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose
hqs_tendsto : Tendsto qs atTop atTop
x : ℝ
\u22a2 (f a ∘ qs) x ≤ ↑(hf.stieltjesFunction a) x
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
h_exists : ∀ (x : ℝ), ∃ q, x - 1 < ↑q ∧ ↑q < x
qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose
hqs_tendsto : Tendsto qs atTop atTop
x : ℝ
\u22a2 ↑(hf.stieltjesFunction a) ↑(qs x) ≤ ↑(hf.stieltjesFunction a) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
\u22a2 IsPiSystem (⋃ a, {Ici ↑a})
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
\u22a2 ⋃ a, {Ici ↑a} = Ici '' (Rat.cast '' univ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
x : Set ℝ
\u22a2 x ∈ ⋃ a, {Ici ↑a} ↔ x ∈ Ici '' (Rat.cast '' univ)
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s✝ t s : Subgroup α
\u22a2 Nat.card ↥s ∣ Nat.card α
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C C' : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith K C
H : C ≤ C'
g : V₁
k_in : f g ∈ K
hg : ‖g‖ ≤ C * ‖f g‖
\u22a2 ∃ g_1, f g_1 = f g ∧ ‖g_1‖ ≤ C' * ‖f g‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : AddSubgroup V₂
C C' : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith K C
H : C ≤ C'
g : V₁
k_in : f g ∈ K
hg : ‖g‖ ≤ C * ‖f g‖
\u22a2 ‖g‖ ≤ C' * ‖f g‖
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Basic.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Field L
nf : NumberField K
\u22a2 ¬IsField (𝓞 K)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Basic.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Field L
nf : NumberField K
h_inj : Injective ⇑(algebraMap ℤ (𝓞 K))
\u22a2 ¬IsField (𝓞 K)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Basic.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Field L
nf : NumberField K
h_inj : Injective ⇑(algebraMap ℤ (𝓞 K))
hf : IsField (𝓞 K)
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a b c : EReal
h₁ : c ≠ ⊥
h₂ : c ≠ ⊤
h₃ : c ≠ 0
\u22a2 a * c * (b * c)⁻¹ = a * b⁻¹
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a b c : EReal
h₁ : c ≠ ⊥
h₂ : c ≠ ⊤
h₃ : c ≠ 0
\u22a2 a * (c * (b⁻¹ * c⁻¹)) = a * b⁻¹
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a b c : EReal
h₁ : c ≠ ⊥
h₂ : c ≠ ⊤
h₃ : c ≠ 0
\u22a2 c * (b⁻¹ * c⁻¹) = b⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
u : Finset ι
A : ι → E → F
A' : ι → E →L[𝕜] F
h : ∀ i ∈ u, (fun p => A i p.1 - A i p.2 - (A' i) (p.1 - p.2)) =o[𝓝 (x, x)] fun p => p.1 - p.2
\u22a2 (fun p => ∑ i ∈ u, A i p.1 - ∑ i ∈ u, A i p.2 - (∑ i ∈ u, A' i) (p.1 - p.2)) =o[𝓝 (x, x)] fun p => p.1 - p.2
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
u : Finset ι
A : ι → E → F
A' : ι → E →L[𝕜] F
h : ∀ i ∈ u, (fun p => A i p.1 - A i p.2 - (A' i) (p.1 - p.2)) =o[𝓝 (x, x)] fun p => p.1 - p.2
x✝ : E × E
\u22a2 ∑ i ∈ u, A i x✝.1 - ∑ i ∈ u, A i x✝.2 - (∑ i ∈ u, A' i) (x✝.1 - x✝.2) = ∑ i ∈ u, (A i x✝.1 - A i x✝.2 - (A' i) (x✝.1 - x✝.2))
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Basic.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x y : 𝕎 R
\u22a2 mapFun (⇑f) (-x) = -mapFun (⇑f) x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a✝ : α
f g : ι → α
inst✝ : CommSemiring α
a b : α
s : Finset ι
\u22a2 ∑ t ∈ s.powerset, a ^ t.card * b ^ (s.card - t.card) = (a + b) ^ s.card
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
s : Set EReal
\u22a2 (∃ i, True ∧ Ioi ↑i ⊆ s) ↔ ∃ y, Ioi ↑y ⊆ s
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSemisimpleRing R
I : Ideal R
\u22a2 ∃ e, IsIdempotentElem e ∧ I = Ideal.span {e}
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSemisimpleRing R
I J : Ideal R
h : IsCompl I J
\u22a2 ∃ e, IsIdempotentElem e ∧ I = Ideal.span {e}
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSemisimpleRing R
J : Ideal R
f : Module.End R R
idem : IsIdempotentElem f
h : IsCompl (LinearMap.range f) J
\u22a2 ∃ e, IsIdempotentElem e ∧ LinearMap.range f = Ideal.span {e}
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/NatInt.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝ : CommGroup G
g g' : G
f : ℤ → M
hf : HasProd f m
this : Injective Int.negSucc
\u22a2 HasProd (fun n => f ↑n * f (Int.negSucc n)) m
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/NatInt.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝ : CommGroup G
g g' : G
f : ℤ → M
hf : HasProd f m
this : Injective Int.negSucc
u : Finset ℤ
\u22a2 ∃ v, ∀ (v' : Finset ℕ), v ⊆ v' → ∃ u', u ⊆ u' ∧ ∏ x ∈ u', f x = ∏ b ∈ v', f ↑b * f (Int.negSucc b)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/NatInt.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝ : CommGroup G
g g' : G
f : ℤ → M
hf : HasProd f m
this : Injective Int.negSucc
u : Finset ℤ
v' : Finset ℕ
hv' : u.preimage Nat.cast ⋯ ∪ u.preimage Int.negSucc ⋯ ⊆ v'
x : ℤ
hx : x ∈ u
\u22a2 x ∈ image Nat.cast v' ∪ image Int.negSucc v'
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/NatInt.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝ : CommGroup G
g g' : G
f : ℤ → M
hf : HasProd f m
this : Injective Int.negSucc
u : Finset ℤ
v' : Finset ℕ
hv' : u.preimage Nat.cast ⋯ ∪ u.preimage Int.negSucc ⋯ ⊆ v'
\u22a2 ∏ x ∈ image Nat.cast v' ∪ image Int.negSucc v', f x = ∏ b ∈ v', f ↑b * f (Int.negSucc b)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Expand.lean
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
hdiv : p ∣ n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
\u22a2 (expand R p) (cyclotomic n R) = cyclotomic (n * p) R
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Expand.lean
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hdiv : p ∣ 0
\u22a2 (expand R p) (cyclotomic 0 R) = cyclotomic (0 * p) R
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Expand.lean
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
hdiv : p ∣ n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hzero : n > 0
\u22a2 (expand R p) (cyclotomic n R) = cyclotomic (n * p) R
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Expand.lean
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
hdiv : p ∣ n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hzero : n > 0
this : NeZero n
\u22a2 (expand R p) (cyclotomic n R) = cyclotomic (n * p) R
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Expand.lean
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
hdiv : p ∣ n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hzero : n > 0
this : NeZero n
\u22a2 (expand ℤ p) (cyclotomic n ℤ) = cyclotomic (n * p) ℤ
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Expand.lean
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
hdiv : p ∣ n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hzero : n > 0
this : NeZero n
\u22a2 cyclotomic (n * p) ℤ ∣ (expand ℤ p) (cyclotomic n ℤ)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Expand.lean
p n : ℕ
hp : Nat.Prime p
hdiv : p ∣ n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hzero : n > 0
this : NeZero n
\u22a2 ((expand ℤ p) (cyclotomic n ℤ)).natDegree ≤ (cyclotomic (n * p) ℤ).natDegree
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
\u22a2 dist x y ≤ dist x z + dist y z
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Box.lean
n : ℕ
x : ℤ × ℤ
\u22a2 x ∈ box 0 ↔ max x.1.natAbs x.2.natAbs = 0
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Box.lean
n✝ : ℕ
x : ℤ × ℤ
n : ℕ
\u22a2 x ∈ box (n + 1) ↔ max x.1.natAbs x.2.natAbs = n + 1
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Box.lean
n✝ : ℕ
x : ℤ × ℤ
n : ℕ
\u22a2 ((-1 ≤ x.1 + ↑n ∧ -1 ≤ x.2 + ↑n) ∧ x.1 ≤ ↑n + 1 ∧ x.2 ≤ ↑n + 1) ∧ (-↑n ≤ x.1 → -↑n ≤ x.2 → x.1 ≤ ↑n → ↑n < x.2) ↔ max x.1.natAbs x.2.natAbs = n + 1
-- Mathlib/Order/Filter/Subsingleton.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝ : Nonempty α
\u22a2 l.Subsingleton ↔ ∃ a, l ≤ pure a
-- Mathlib/Order/Filter/Subsingleton.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Nonempty α
\u22a2 ⊥.Subsingleton ↔ ∃ a, ⊥ ≤ pure a
-- Mathlib/Order/Filter/Subsingleton.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝ : Nonempty α
hbot : l.NeBot
\u22a2 l.Subsingleton ↔ ∃ a, l ≤ pure a
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Rename.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
d : σ →₀ ℕ
r : R
\u22a2 (rename f) ((monomial d) r) = (monomial (Finsupp.mapDomain f d)) r
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Rename.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
d : σ →₀ ℕ
r : R
\u22a2 ((algebraMap R (MvPolynomial τ R)) r * d.prod fun i k => (X ∘ f) i ^ k) = C r * d.prod fun a m => X (f a) ^ m
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Rename.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
d : σ →₀ ℕ
r : R
\u22a2 ∀ (b : τ), X b ^ 0 = 1
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Rename.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
d : σ →₀ ℕ
r : R
\u22a2 ∀ (b : τ) (m₁ m₂ : ℕ), X b ^ (m₁ + m₂) = X b ^ m₁ * X b ^ m₂
-- Mathlib/Data/Complex/Basic.lean
z : ℂ
\u22a2 ↑z.im = (z - (starRingEnd ℂ) z) / (2 * I)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
\u22a2 (span ℕ s).toAddSubmonoid = AddSubmonoid.closure s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
\u22a2 (span ℕ s).toAddSubmonoid ≤ AddSubmonoid.closure s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
\u22a2 span ℕ s ≤ AddSubmonoid.toNatSubmodule.symm.symm (AddSubmonoid.closure s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
\u22a2 s ⊆ ↑(AddSubmonoid.toNatSubmodule.symm.symm (AddSubmonoid.closure s))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
m n : ℕ
\u22a2 p.smeval x * x ^ m * x ^ n = p.smeval x * (x ^ m * x ^ n)
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Basic.lean
F : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
\u22a2 ∀ {x y : C(X, Y)}, x.Homotopic y → y.Homotopic x
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Basic.lean
F : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
\u22a2 ∀ {x y z : C(X, Y)}, x.Homotopic y → y.Homotopic z → x.Homotopic z
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ b : Basis ι R M
N : Submodule R M
ϕ : M →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : M →ₗ[R] R), ¬map ϕ N < map ψ N
inst✝ : (map ϕ N).IsPrincipal
hgen : generator (map ϕ N) = 0
\u22a2 N = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ b : Basis ι R M
N : Submodule R M
ϕ : M →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : M →ₗ[R] R), ¬map ϕ N < map ψ N
inst✝ : (map ϕ N).IsPrincipal
hgen : generator (map ϕ N) = 0
\u22a2 ∀ x ∈ N, x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ b : Basis ι R M
N : Submodule R M
ϕ : M →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : M →ₗ[R] R), ¬map ϕ N < map ψ N
inst✝ : (map ϕ N).IsPrincipal
hgen : generator (map ϕ N) = 0
x : M
hx : x ∈ N
i : ι
\u22a2 (b.repr x) i = (b.repr 0) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ b : Basis ι R M
N : Submodule R M
ϕ : M →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : M →ₗ[R] R), ¬⊥ < map ψ N
inst✝ : (map ϕ N).IsPrincipal
hgen : generator (map ϕ N) = 0
x : M
hx : x ∈ N
i : ι
\u22a2 (b.repr x) i = (b.repr 0) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ b : Basis ι R M
N : Submodule R M
ϕ : M →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : M →ₗ[R] R), ¬⊥ < map ψ N
inst✝ : (map ϕ N).IsPrincipal
hgen : generator (map ϕ N) = 0
x : M
hx : x ∈ N
i : ι
\u22a2 (b.repr x) i = 0
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
inst✝¹ : Infinite α
inst✝ : Finite β
f : α → β
\u22a2 ∃ x y, x ≠ y ∧ f x = f y
-- Mathlib/Order/Filter/EventuallyConst.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f : α → β
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : Nonempty α
\u22a2 (∃ i, True ∧ ∀ y ∈ Ici i, f y = f i) ↔ ∃ i, ∀ (j : α), i ≤ j → f j = f i
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
a : ℕ
ha1 : a % 2 = 1
ha0 : ↑a ≠ 0
\u22a2 legendreSym p ↑a = (-1) ^ ∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, x * a / p
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
a : ℕ
ha1 : a % 2 = 1
ha0 : ↑a ≠ 0
hp' : Fact (p % 2 = 1)
\u22a2 legendreSym p ↑a = (-1) ^ ∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, x * a / p
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
a : ℕ
ha1 : a % 2 = 1
ha0 : ↑a ≠ 0
hp' : Fact (p % 2 = 1)
ha0' : ↑↑a ≠ 0
\u22a2 legendreSym p ↑a = (-1) ^ ∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, x * a / p
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Comma.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
A : CostructuredArrow S T
P Q : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ
f : P ⟶ op A
g : Q ⟶ op A
inst✝¹ : Mono f.unop.left.op
inst✝ : Mono g.unop.left.op
h : Subobject.mk f.unop.left.op ≤ Subobject.mk g.unop.left.op
\u22a2 g.unop.left ≫ (Subobject.ofMkLEMk f.unop.left.op g.unop.left.op h).unop = f.unop.left
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Comma.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
A : CostructuredArrow S T
P Q : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ
f : P ⟶ op A
g : Q ⟶ op A
inst✝¹ : Mono f.unop.left.op
inst✝ : Mono g.unop.left.op
h : Subobject.mk f.unop.left.op ≤ Subobject.mk g.unop.left.op
\u22a2 g.unop.left.op.unop ≫ (Subobject.ofMkLEMk f.unop.left.op g.unop.left.op h).unop = f.unop.left
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Comma.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
A : CostructuredArrow S T
P Q : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ
f : P ⟶ op A
g : Q ⟶ op A
inst✝¹ : Mono f.unop.left.op
inst✝ : Mono g.unop.left.op
h : Subobject.mk f.unop.left.op ≤ Subobject.mk g.unop.left.op
\u22a2 (Subobject.ofMkLEMk f.unop.left.op g.unop.left.op h ≫ g.unop.left.op).unop = f.unop.left
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ENNRealLog.lean
x y : ℝ≥0∞
\u22a2 (x * y).log = x.log + y.log
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ENNRealLog.lean
y : ℝ≥0∞
\u22a2 (0 * y).log = log 0 + y.log
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ENNRealLog.lean
y : ℝ≥0∞
\u22a2 (⊤ * y).log = ⊤.log + y.log
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ENNRealLog.lean
x y : ℝ≥0∞
x_real : 0 < x.toReal
\u22a2 (x * y).log = x.log + y.log
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/PInfty.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y
Y₂ : SimplicialObject C := Y.X
Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X
Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)
P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty
P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty
P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty
P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty
\u22a2 (P₁.f n).f = Y.p.app (op [n]) ≫ P₂.f n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/PInfty.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y
Y₂ : SimplicialObject C := Y.X
Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X
Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)
P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty
P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty
P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty
P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty
h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n
\u22a2 (P₁.f n).f = Y.p.app (op [n]) ≫ P₂.f n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/PInfty.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y
Y₂ : SimplicialObject C := Y.X
Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X
Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)
P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty
P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty
P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty
P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty
h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n
h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n
\u22a2 (P₁.f n).f = Y.p.app (op [n]) ≫ P₂.f n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/PInfty.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y
Y₂ : SimplicialObject C := Y.X
Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X
Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)
P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty
P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty
P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty
P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty
h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n
h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n
h₁₄ : (𝟙 (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C) ◫ natTransPInfty_f (Karoubi C) n).app Y = (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C ⋙ alternatingFaceMapComplex (Karoubi C) ⋙ HomologicalComplex.eval (Karoubi C) (ComplexShape.down ℕ) n).map Y.decompId_i ≫ (𝟙 (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C) ◫ natTransPInfty_f (Karoubi C) n).app { X := Y.X, p := 𝟙 Y.X, idem := ⋯ } ≫ (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C ⋙ alternatingFaceMapComplex (Karoubi C) ⋙ HomologicalComplex.eval (Karoubi C) (ComplexShape.down ℕ) n).map Y.decompId_p
\u22a2 (P₁.f n).f = Y.p.app (op [n]) ≫ P₂.f n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/PInfty.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y
Y₂ : SimplicialObject C := Y.X
Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X
Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)
P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty
P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty
P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty
P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty
h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n
h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n
h₁₄ : (𝟙 (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.obj Y _[n]) ≫ PInfty.f n) ≫ 𝟙 (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.obj Y _[n]) = (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_i).app (op [n]) ≫ ((𝟙 (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.obj { X := Y.X, p := 𝟙 Y.X, idem := ⋯ } _[n]) ≫ PInfty.f n) ≫ 𝟙 (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.obj { X := Y.X, p := 𝟙 Y.X, idem := ⋯ } _[n])) ≫ (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_p).app (op [n])
\u22a2 (P₁.f n).f = Y.p.app (op [n]) ≫ P₂.f n