ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
\u22a2 ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
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E : Type uE
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F : Type uF
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G : Type uG
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inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
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htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
Ffu : isoF (fu x) = f x
\u22a2 ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
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E : Type uE
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htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
Ffu : isoF (fu x) = f x
hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu s
\u22a2 ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
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hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
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Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
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-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
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F : Type uF
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s✝ s₁ t✝ u : Set E
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s : Set E
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hst : MapsTo f s t
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hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
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Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
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Ffu : isoF (fu x) = f x
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Nfu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖
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-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
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inst✝³ : NormedAddCommGroup F
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hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
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-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
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F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
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C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
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Ffu : isoF (fu x) = f x
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\u22a2 ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
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F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
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G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
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Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
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tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
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Ffu : isoF (fu x) = f x
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-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
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E : Type uE
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F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
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G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
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s : Set E
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-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
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D✝ : Type uD
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C D : ℝ
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
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htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
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-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/IsIntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
P : R[X]
hmo : P.Monic
hP : (Polynomial.aeval s) P = 0
Pmin : ∀ (Q : R[X]), Q.Monic → (Polynomial.aeval s) Q = 0 → P.degree ≤ Q.degree
hs : IsIntegral R s
\u22a2 minpoly R s = P
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/IsIntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
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Pmin : ∀ (Q : R[X]), Q.Monic → (Polynomial.aeval s) Q = 0 → P.degree ≤ Q.degree
hs : IsIntegral R s
\u22a2 minpoly R s - P = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/IsIntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
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Pmin : ∀ (Q : R[X]), Q.Monic → (Polynomial.aeval s) Q = 0 → P.degree ≤ Q.degree
hs : IsIntegral R s
hnz : ¬minpoly R s - P = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/IsIntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
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P : R[X]
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\u22a2 (minpoly R s - P).degree < (minpoly R s).degree
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/IsIntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
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-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/IsIntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
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inst✝⁶ : CommRing R
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Pmin : ∀ (Q : R[X]), Q.Monic → (Polynomial.aeval s) Q = 0 → P.degree ≤ Q.degree
hs : IsIntegral R s
hnz : ¬minpoly R s - P = 0
\u22a2 (minpoly R s).leadingCoeff = P.leadingCoeff
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosReflectLT α β
h : a • b < 0
hb : 0 ≤ b
\u22a2 a • b < 0 • b
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
f : α → α → α
a b : α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
hf : f = HSub.hSub
ra : IsRat a na da
rb : IsRat b nb db
h₁ : (na.mul ↑db).sub (nb.mul ↑da) = (↑k).mul nc
h₂ : da.mul db = k.mul dc
\u22a2 IsRat (f a b) nc dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
f : α → α → α
a b : α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
hf : f = HSub.hSub
ra : IsRat a na da
rb : IsRat b nb db
h₁ : (na.mul ↑db).sub (nb.mul ↑da) = (↑k).mul nc
h₂ : da.mul db = k.mul dc
\u22a2 IsRat (a + -b) nc dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
f : α → α → α
a b : α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
hf : f = HSub.hSub
ra : IsRat a na da
rb : IsRat b nb db
h₁ : (na.mul ↑db).sub (nb.mul ↑da) = (↑k).mul nc
h₂ : da.mul db = k.mul dc
\u22a2 (na.mul ↑db).add ((-nb).mul ↑da) = (↑k).mul nc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
f : α → α → α
a b : α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
hf : f = HSub.hSub
ra : IsRat a na da
rb : IsRat b nb db
h₁ : (na.mul ↑db).sub (nb.mul ↑da) = (↑k).mul nc
h₂ : da.mul db = k.mul dc
\u22a2 (na.mul ↑db).add (-(nb * ↑da)) = (↑k).mul nc
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hfi : Integrable f μ
y : ℝ
\u22a2 HasSum (fun n => ∫ (x : ℝ) in y + ↑n..y + ↑n + 1, f x ∂μ) (∫ (x : ℝ), f x ∂μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hfi : Integrable f μ
y : ℝ
\u22a2 HasSum (fun n => ∫ (x : ℝ) in Ioc (y + ↑n) (y + ↑n + 1), f x ∂μ) (∫ (x : ℝ), f x ∂μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hfi : Integrable f μ
y : ℝ
\u22a2 HasSum (fun n => ∫ (x : ℝ) in Ioc (y + ↑n) (y + ↑n + 1), f x ∂μ) (∫ (x : ℝ) in ⋃ n, Ioc (y + ↑n) (y + ↑n + 1), f x ∂μ)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
t : Set Y
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
\u22a2 𝓝ˢ (s ×ˢ t) = 𝓝ˢ s ×ˢ 𝓝ˢ t
-- Mathlib/Order/Bounded.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
\u22a2 Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s ↔ ∀ (a : α), ∃ b ∈ s, a ≤ b
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivAt c c' x
hd : HasDerivAt d d' x
\u22a2 HasDerivAt (fun y => c y * d y) (c' * d x + c x * d') x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x
hd : HasDerivWithinAt d d' univ x
\u22a2 HasDerivWithinAt (fun y => c y * d y) (c' * d x + c x * d') univ x
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Finite F
hF : ringChar F ≠ 2
\u22a2 ∃ a, ¬IsSquare a
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Finite F
hF : ringChar F ≠ 2
h : ¬Function.Injective fun x => x * x
\u22a2 ∃ a, ¬IsSquare a
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
h : weightedTotalDegree w φ < n
\u22a2 (weightedHomogeneousComponent w n) φ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁹ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid P
inst✝¹³ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N'
inst✝⁹ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
R' : Type u_10
M'' : Type u_11
M₂'' : Type u_12
N'' : Type u_13
N₂'' : Type u_14
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁵ : AddCommMonoid N''
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂''
inst✝³ : Module R' M''
inst✝² : Module R' M₂''
inst✝¹ : Module R' N''
inst✝ : Module R' N₂''
n : ℕ
f : M'' [⋀^Fin n.succ]→ₗ[R'] N''
m : M''
v : Fin n → M''
i j : Fin n
hv : v i = v j
hij : i ≠ j
\u22a2 Matrix.vecCons m v i.succ = Matrix.vecCons m v j.succ
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m✝ n✝ : ℤ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
mn : m < n
\u22a2 (a ^ n)⁻¹ < (a ^ m)⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
u : R[X]ˣ
n : ℕ
\u22a2 ((↑u).coeff n)⁻¹ = (↑u⁻¹).coeff n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
u : R[X]ˣ
n : ℕ
\u22a2 (1 / if n = 0 then (↑u).coeff 0 else 0) = if n = 0 then (↑u⁻¹).coeff 0 else 0
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
ι : Sort u_2
inst✝ : Countable ι
s c : ι → Set α
hc : ∀ (i : ι), (c i).Countable
h'c : ∀ (i : ι), s i ⊆ closure (c i)
\u22a2 IsSeparable (⋃ i, s i)
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
ι : Sort u_2
inst✝ : Countable ι
s c : ι → Set α
hc : ∀ (i : ι), (c i).Countable
h'c : ∀ (i : ι), s i ⊆ closure (c i)
i : ι
\u22a2 s i ⊆ closure (⋃ i, c i)
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 a
u : α
hu : a < u
\u22a2 ∃ u' ∈ Ioc a u, Ico a u' ⊆ s
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b a : α
s t : Finset α
\u22a2 s ∪ insert a t = insert a (s ∪ t)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l₁ l₂ : ι →₀ 𝕜
\u22a2 ⟪(Finsupp.total ι E 𝕜 v) l₁, (Finsupp.total ι E 𝕜 v) l₂⟫_𝕜 = l₂.sum fun i y => (starRingEnd 𝕜) (l₁ i) * y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f p : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hp_nonneg : ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x
hp_dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
S : Set (E →ₗ.[ℝ] ℝ) := {p | ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x}
hSc : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ S, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
\u22a2 ∃ q ≥ p, q.domain = ⊤ ∧ ∀ (x : ↥q.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑q x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f p : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hp_nonneg : ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x
hp_dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
S : Set (E →ₗ.[ℝ] ℝ) := {p | ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x}
hSc : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ S, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
q : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hqs : q ∈ S
hpq : p ≤ q
hq : ∀ z ∈ S, q ≤ z → z = q
\u22a2 ∃ q ≥ p, q.domain = ⊤ ∧ ∀ (x : ↥q.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑q x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f p : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hp_nonneg : ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x
hp_dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
S : Set (E →ₗ.[ℝ] ℝ) := {p | ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x}
hSc : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ S, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
q : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hqs : q ∈ S
hpq : p ≤ q
hq : ∀ z ∈ S, q ≤ z → z = q
\u22a2 q.domain = ⊤