ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hp0 : 0 ≤ p
hp1 : p ≤ 1
hp : 0 < p
\u22a2 (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ 2 ^ (1 / p - 1) * ((∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
b : Basis ι ℝ E
\u22a2 parallelepiped ⇑b = {x | ∀ (i : ι), (b.repr x) i ∈ Icc 0 1}
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
hp : p ≠ 0
\u22a2 weightedTotalDegree' w p = ↑(weightedTotalDegree w p)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
hp : ∃ a, ↑a = weightedTotalDegree' w p
\u22a2 weightedTotalDegree' w p = ↑(weightedTotalDegree w p)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
m : M
hm : ↑m = weightedTotalDegree' w p
\u22a2 weightedTotalDegree' w p = ↑(weightedTotalDegree w p)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
m : M
hm : ↑m = weightedTotalDegree' w p
\u22a2 weightedTotalDegree' w p ≤ ↑(weightedTotalDegree w p)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
m : M
hm : ↑m = weightedTotalDegree' w p
\u22a2 ↑(weightedTotalDegree w p) ≤ weightedTotalDegree' w p
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
g₁ g₂ : StoneCech α → β
h₁ : Continuous g₁
h₂ : Continuous g₂
h : g₁ ∘ stoneCechUnit = g₂ ∘ stoneCechUnit
\u22a2 g₁ = g₂
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
g₁ g₂ : StoneCech α → β
h₁ : Continuous g₁
h₂ : Continuous g₂
h : g₁ ∘ stoneCechUnit = g₂ ∘ stoneCechUnit
\u22a2 EqOn g₁ g₂ (range stoneCechUnit)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
s : Set E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ
h : 0 ≤ r
\u22a2 μ (closedBall x r) = μ (ball x r)
-- Mathlib/Data/List/OfFn.lean
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
i : ℕ
h : i < (ofFn f).length
\u22a2 (ofFn f)[i]? = ofFnNthVal f i
-- Mathlib/Data/List/OfFn.lean
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
i : ℕ
h : i < (ofFn f).length
\u22a2 some (f ⟨i, ⋯⟩) = ofFnNthVal f i
-- Mathlib/Data/List/OfFn.lean
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
i : ℕ
h : ¬i < (ofFn f).length
\u22a2 (ofFn f)[i]? = ofFnNthVal f i
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/AssocList.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : BEq α
a : α
l : AssocList α β
\u22a2 find? a l = Option.map (fun x => x.snd) (findEntry? a l)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/AssocList.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : BEq α
a key✝ : α
value✝ : β
tail✝ : AssocList α β
tail_ih✝ : find? a tail✝ = Option.map (fun x => x.snd) (findEntry? a tail✝)
\u22a2 (match key✝ == a with | true => some value✝ | false => find? a tail✝) = Option.map (fun x => x.snd) (match key✝ == a with | true => some (key✝, value✝) | false => List.find? (fun x => x.fst == a) tail✝.toList)
-- Mathlib/CategoryTheory/NatIso.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
X : C
Z : D
g g' : F.obj X ⟶ Z
\u22a2 α.inv.app X ≫ g = α.inv.app X ≫ g' ↔ g = g'
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
n : Nat
\u22a2 range' 0 (0 + n) = range' 0 n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hn : 1 ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p u
\u22a2 DifferentiableWithinAt 𝕜 f (insert x s) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hn : 1 ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p u
t : Set E
t_open : IsOpen t
xt : x ∈ t
tu : t ∩ insert x s ⊆ u
\u22a2 DifferentiableWithinAt 𝕜 f (insert x s) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hn : 1 ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p u
t : Set E
t_open : IsOpen t
xt : x ∈ t
tu : insert x s ∩ t ⊆ u
\u22a2 DifferentiableWithinAt 𝕜 f (insert x s) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t✝ u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hn : 1 ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p u
t : Set E
t_open : IsOpen t
xt : x ∈ t
tu : insert x s ∩ t ⊆ u
this : DifferentiableWithinAt 𝕜 f (insert x s ∩ t) x
\u22a2 DifferentiableWithinAt 𝕜 f (insert x s) x
-- Mathlib/Data/Real/ConjExponents.lean
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
\u22a2 1 < p.toNNReal
-- Mathlib/Data/Real/ConjExponents.lean
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
\u22a2 p.toNNReal⁻¹ + q.toNNReal⁻¹ = 1
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Bilinear.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : NoZeroDivisors A
x : A
hx : x ≠ 0
this : Nontrivial A := { exists_pair_ne := Exists.intro x (Exists.intro 0 hx) }
\u22a2 Function.Injective ⇑(mulRight R x)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Bilinear.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : NoZeroDivisors A
x : A
hx : x ≠ 0
this✝ : Nontrivial A := { exists_pair_ne := Exists.intro x (Exists.intro 0 hx) }
this : IsDomain A := NoZeroDivisors.to_isDomain A
\u22a2 Function.Injective ⇑(mulRight R x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
a : A
\u22a2 (shiftFunctorComm C a 0).hom.app X = (shiftFunctorZero C A).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor C a).map ((shiftFunctorZero C A).inv.app X)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Classical.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁷ : DecidableEq n
inst✝⁶ : DecidableEq p
inst✝⁵ : DecidableEq q
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Fintype p
inst✝¹ : Fintype q
inst✝ : Fintype l
\u22a2 (PD l R)ᵀ * JD l R * PD l R = 2 • S l R
-- Mathlib/Algebra/Lie/Classical.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁷ : DecidableEq n
inst✝⁶ : DecidableEq p
inst✝⁵ : DecidableEq q
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Fintype p
inst✝¹ : Fintype q
inst✝ : Fintype l
h : (PD l R)ᵀ * JD l R = fromBlocks 1 1 1 (-1)
\u22a2 (PD l R)ᵀ * JD l R * PD l R = 2 • S l R
-- Mathlib/Algebra/Lie/Classical.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁷ : DecidableEq n
inst✝⁶ : DecidableEq p
inst✝⁵ : DecidableEq q
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Fintype p
inst✝¹ : Fintype q
inst✝ : Fintype l
h : (PD l R)ᵀ * JD l R = fromBlocks 1 1 1 (-1)
\u22a2 fromBlocks (1 * 1 + 1 * 1) (1 * -1 + 1 * 1) (1 * 1 + -1 * 1) (1 * -1 + -1 * 1) = fromBlocks (2 • 1) (2 • 0) (2 • 0) (2 • -1)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommGroup α
a : α
\u22a2 [a].alternatingProd = a * [].alternatingProd⁻¹
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommGroup α
a b : α
l : List α
\u22a2 (a :: b :: l).alternatingProd = a * (b :: l).alternatingProd⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ
\u22a2 ↑n.succ • bernoulli n = (monomial n) ↑n.succ - ∑ k ∈ range n, ↑((n + 1).choose k) • bernoulli k
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 s ∈ ae (Measure.map f μ) ↔ f ⁻¹' s ∈ ae μ
-- Mathlib/NumberTheory/VonMangoldt.lean
\u22a2 ↑ζ * Λ = log
-- Mathlib/NumberTheory/VonMangoldt.lean
\u22a2 Λ * ↑ζ = log
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Canonical.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝ : CanonicallyOrderedCommSemiring α
a b c d : α
\u22a2 0 < a * b ↔ 0 < a ∧ 0 < b
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
Ω : Type
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : Measure.map X ℙ = gaussianReal μ v
c : ℝ
\u22a2 Measure.map (fun ω => X ω * c) ℙ = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
Ω : Type
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : Measure.map X ℙ = gaussianReal μ v
c : ℝ
\u22a2 Measure.map (fun ω => c * X ω) ℙ = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
ι : Type u_5
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
\u22a2 trace R M = contractLeft R M ∘ₗ ↑(dualTensorHomEquivOfBasis b).symm
-- Mathlib/Data/Nat/Dist.lean
n m k l : ℕ
h : n + m = k + l
\u22a2 n.dist k = (n + m).dist (k + m)
-- Mathlib/Data/Nat/Dist.lean
n m k l : ℕ
h : n + m = k + l
\u22a2 (k + l).dist (k + m) = l.dist m
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
\u22a2 UnifIntegrable f p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
\u22a2 UnifIntegrable f p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬μ univ = 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
\u22a2 ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬μ univ = 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
\u22a2 ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬μ univ = 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * ↑C)) ^ p.toReal)
\u22a2 eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
a b r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
\u22a2 r * a ≤ b ↔ a ≤ r⁻¹ * b
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
a b r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
this : 0 < r
\u22a2 r * a ≤ b ↔ a ≤ r⁻¹ * b
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
a : α
s : Set (β × Ω)
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ∫⁻ (x : β), (κ.condKernel (a, x)) {y | (x, y) ∈ s} ∂κ.fst a = (κ a) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
a : α
s : Set (β × Ω)
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ∫⁻ (x : β), (κ.condKernel (a, x)) {y | (x, y) ∈ s} ∂κ.fst a = ((κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a) s
-- Mathlib/Probability/Independence/Basic.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
π : ι → Set (Set Ω)
m : ι → MeasurableSpace Ω
x✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
S : Finset ι
s✝ s : ι → Set Ω
μ : Measure Ω
\u22a2 iIndepSet s μ ↔ ∀ (s' : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s', MeasurableSet (f i)) → μ (⋂ i ∈ s', f i) = ∏ i ∈ s', μ (f i)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
h : G.Adj u v
p : G.Walk v w
\u22a2 ∃ x q, ∃ (h' : G.Adj x w), cons h p = q.concat h'
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
R : Type u_1
p m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : PerfectRing R p
x : R
\u22a2 (iterateFrobeniusEquiv R p 1) x = x ^ p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizationMonoid R
\u22a2 X = normalize X
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Bound.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
\u22a2 0 < m
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x : ℝ
\u22a2 (↑x).tan = Real.tan x
-- Mathlib/Data/Rat/Floor.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
z n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
\u22a2 z ≤ { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }.floor ↔ ↑z ≤ { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
-- Mathlib/Data/Rat/Floor.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
z n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
\u22a2 z ≤ n / ↑d ↔ ↑z ≤ { num := n, den := d, den_nz := h, reduced := c }
-- Mathlib/Data/Rat/Floor.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
z n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
\u22a2 z ≤ n / ↑d ↔ ↑z ≤ n /. ↑d
-- Mathlib/Data/Rat/Floor.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
z n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
h' : ↑0 < ↑d
\u22a2 z ≤ n / ↑d ↔ ↑z ≤ n /. ↑d
-- Mathlib/Data/Rat/Floor.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
z n : ℤ
d : ℕ
h : d ≠ 0
c : n.natAbs.Coprime d
h' : ↑0 < ↑d
\u22a2 z ≤ n / ↑d ↔ z * ↑d ≤ n
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
s : σ
a : R
n : ℕ
\u22a2 C a * X s ^ n = (monomial (Finsupp.single s n)) a
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
ha : a₂ ≤ a₁
hb : b₁ ≤ b₂
\u22a2 Icc a₁ b₁ ⊆ Icc a₂ b₂
-- Mathlib/Data/List/Range.lean
α : Type u
a : ℕ
l : List ℕ
\u22a2 (a :: l).ranges.join = range (Nat.sum (a :: l))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
\u22a2 (map f p).support = p.support
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
e : ↑s ≃ ↑t
\u22a2 s.encard = t.encard
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N n : ℕ
ih : ∀ {x : Fin n → ℕ} ⦃x₁ : Fin n → ℕ⦄, x₁ ∈ {x | ∀ (i : Fin n), x i < d} → ∀ ⦃x₂ : Fin n → ℕ⦄, x₂ ∈ {x | ∀ (i : Fin n), x i < d} → (map d) x₁ = (map d) x₂ → x₁ = x₂
x x₁ : Fin (n + 1) → ℕ
hx₁ : x₁ ∈ {x | ∀ (i : Fin (n + 1)), x i < d}
x₂ : Fin (n + 1) → ℕ
hx₂ : x₂ ∈ {x | ∀ (i : Fin (n + 1)), x i < d}
h : (map d) x₁ = (map d) x₂
\u22a2 x₁ = x₂
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N n : ℕ
ih : ∀ ⦃x₁ : Fin n → ℕ⦄, x₁ ∈ {x | ∀ (i : Fin n), x i < d} → ∀ ⦃x₂ : Fin n → ℕ⦄, x₂ ∈ {x | ∀ (i : Fin n), x i < d} → (map d) x₁ = (map d) x₂ → x₁ = x₂
x x₁ : Fin (n + 1) → ℕ
hx₁ : x₁ ∈ {x | ∀ (i : Fin (n + 1)), x i < d}
x₂ : Fin (n + 1) → ℕ
hx₂ : x₂ ∈ {x | ∀ (i : Fin (n + 1)), x i < d}
h : (map d) x₁ = (map d) x₂
\u22a2 x₁ = x₂
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N n : ℕ
ih : ∀ ⦃x₁ : Fin n → ℕ⦄, x₁ ∈ {x | ∀ (i : Fin n), x i < d} → ∀ ⦃x₂ : Fin n → ℕ⦄, x₂ ∈ {x | ∀ (i : Fin n), x i < d} → (map d) x₁ = (map d) x₂ → x₁ = x₂
x x₁ : Fin (n + 1) → ℕ
hx₁ : x₁ ∈ {x | ∀ (i : Fin (n + 1)), x i < d}
x₂ : Fin (n + 1) → ℕ
hx₂ : x₂ ∈ {x | ∀ (i : Fin (n + 1)), x i < d}
h : (map d) x₁ = (map d) x₂
i : Fin (n + 1)
\u22a2 x₁ i = x₂ i
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N n : ℕ
ih : ∀ ⦃x₁ : Fin n → ℕ⦄, x₁ ∈ {x | ∀ (i : Fin n), x i < d} → ∀ ⦃x₂ : Fin n → ℕ⦄, x₂ ∈ {x | ∀ (i : Fin n), x i < d} → (map d) x₁ = (map d) x₂ → x₁ = x₂
x✝ x₁ : Fin (n + 1) → ℕ
hx₁ : x₁ ∈ {x | ∀ (i : Fin (n + 1)), x i < d}
x₂ : Fin (n + 1) → ℕ
hx₂ : x₂ ∈ {x | ∀ (i : Fin (n + 1)), x i < d}
h : (map d) x₁ = (map d) x₂
i : Fin (n + 1)
x : x₁ 0 = x₂ 0 ∧ (map d) (x₁ ∘ Fin.succ) = (map d) (x₂ ∘ Fin.succ)
\u22a2 x₁ i = x₂ i
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N n : ℕ
ih : ∀ ⦃x₁ : Fin n → ℕ⦄, x₁ ∈ {x | ∀ (i : Fin n), x i < d} → ∀ ⦃x₂ : Fin n → ℕ⦄, x₂ ∈ {x | ∀ (i : Fin n), x i < d} → (map d) x₁ = (map d) x₂ → x₁ = x₂
x✝¹ x₁ : Fin (n + 1) → ℕ
hx₁ : x₁ ∈ {x | ∀ (i : Fin (n + 1)), x i < d}
x₂ : Fin (n + 1) → ℕ
hx₂ : x₂ ∈ {x | ∀ (i : Fin (n + 1)), x i < d}
h : (map d) x₁ = (map d) x₂
i : Fin (n + 1)
x : x₁ 0 = x₂ 0 ∧ (map d) (x₁ ∘ Fin.succ) = (map d) (x₂ ∘ Fin.succ)
x✝ : Fin n
\u22a2 x₁ x✝.succ < d
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N n : ℕ
ih : ∀ ⦃x₁ : Fin n → ℕ⦄, x₁ ∈ {x | ∀ (i : Fin n), x i < d} → ∀ ⦃x₂ : Fin n → ℕ⦄, x₂ ∈ {x | ∀ (i : Fin n), x i < d} → (map d) x₁ = (map d) x₂ → x₁ = x₂
x✝¹ x₁ : Fin (n + 1) → ℕ
hx₁ : x₁ ∈ {x | ∀ (i : Fin (n + 1)), x i < d}
x₂ : Fin (n + 1) → ℕ
hx₂ : x₂ ∈ {x | ∀ (i : Fin (n + 1)), x i < d}
h : (map d) x₁ = (map d) x₂
i : Fin (n + 1)
x : x₁ 0 = x₂ 0 ∧ (map d) (x₁ ∘ Fin.succ) = (map d) (x₂ ∘ Fin.succ)
x✝ : Fin n
\u22a2 x₂ x✝.succ < d
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
H : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [inst : IsAffine Y] (𝒰 : X.OpenCover), Q f ↔ ∀ (i : 𝒰.J), Q (𝒰.map i ≫ f)
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : X.OpenCover
\u22a2 P f ↔ ∀ (i : 𝒰.J), P (𝒰.map i ≫ f)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
H : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [inst : IsAffine Y] (𝒰 : X.OpenCover), Q f ↔ ∀ (i : 𝒰.J), Q (𝒰.map i ≫ f)
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : X.OpenCover
\u22a2 (∀ (i : ↑Y.affineOpens), P (f ∣_ ↑i)) ↔ ∀ (i : 𝒰.J) (i_1 : ↑Y.affineOpens), P ((𝒰.map i ≫ f) ∣_ ↑i_1)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
H : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [inst : IsAffine Y] (𝒰 : X.OpenCover), Q f ↔ ∀ (i : 𝒰.J), Q (𝒰.map i ≫ f)
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : X.OpenCover
\u22a2 (∀ (i : ↑Y.affineOpens), P (f ∣_ ↑i)) ↔ ∀ (b : ↑Y.affineOpens) (a : 𝒰.J), P ((𝒰.map a ≫ f) ∣_ ↑b)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
H : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [inst : IsAffine Y] (𝒰 : X.OpenCover), Q f ↔ ∀ (i : 𝒰.J), Q (𝒰.map i ≫ f)
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : X.OpenCover
U : ↑Y.affineOpens
\u22a2 P (f ∣_ ↑U) ↔ ∀ (a : 𝒰.J), P ((𝒰.map a ≫ f) ∣_ ↑U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
H : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [inst : IsAffine Y] (𝒰 : X.OpenCover), Q f ↔ ∀ (i : 𝒰.J), Q (𝒰.map i ≫ f)
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : X.OpenCover
U : ↑Y.affineOpens
\u22a2 Q (f ∣_ ↑U) ↔ ∀ (a : 𝒰.J), Q (𝒰.map a ∣_ f ⁻¹ᵁ ↑U ≫ f ∣_ ↑U)