ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
i : Fin r
this : listTransvecCol M = listTransvecCol (M * (listTransvecRow M).prod)
\u22a2 ((listTransvecCol M).prod * M * (listTransvecRow M).prod) (inl i) (inr ()) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
i : Fin r
this : listTransvecCol M = listTransvecCol (M * (listTransvecRow M).prod)
\u22a2 ((listTransvecCol (M * (listTransvecRow M).prod)).prod * (M * (listTransvecRow M).prod)) (inl i) (inr ()) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
i : Fin r
this : listTransvecCol M = listTransvecCol (M * (listTransvecRow M).prod)
\u22a2 (M * (listTransvecRow M).prod) (inr ()) (inr ()) ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
\u22a2 (↑n).natDegree = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
s' : Fin n → R
f : (MvPolynomial (Fin n) R)[X]
i : ℕ
\u22a2 (Polynomial.map (eval s') f).coeff i = (eval s') (f.coeff i)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
g : M' → M''
hg : ContMDiff I' I'' n g
hf : ContMDiff I I' n f
\u22a2 ContMDiff I I'' n (g ∘ f)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
g : M' → M''
hg : ContMDiffOn I' I'' n g univ
hf : ContMDiffOn I I' n f univ
\u22a2 ContMDiffOn I I'' n (g ∘ f) univ
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
\u22a2 EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ EquicontinuousWithinAt Subtype.val S x₀
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q p : R[X]
n : ℕ
a : R
i : ℕ
h : i ≠ n
\u22a2 (p.update n a).coeff i = p.coeff i
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
\u22a2 (filter p s).prod * (filter (fun a => ¬p a) s).prod = s.prod
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
j : n
h : ∀ (i : n), A i j = 0
\u22a2 A.det = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
j : n
h : ∀ (i : n), A i j = 0
\u22a2 Aᵀ.det = 0
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
a : Fin (n + 2)
b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ last (n + 1)
hb : b ≠ last n
hk : optParam (a.succAbove b ≠ last (n + 1)) ⋯
\u22a2 (a.castPred ha).succAbove (b.castPred hb) = (a.succAbove b).castPred hk
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f : α → M
a : α
inst✝ : DecidableEq α
hf : (mulSupport f).Finite
\u22a2 ∏ᶠ (i : α) (_ : i ≠ a), f i = ∏ i ∈ hf.toFinset.erase a, f i
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f : α → M
a : α
inst✝ : DecidableEq α
hf : (mulSupport f).Finite
\u22a2 ∀ {x : α}, f x ≠ 1 → (x ≠ a ↔ x ∈ hf.toFinset.erase a)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f : α → M
a : α
inst✝ : DecidableEq α
hf : (mulSupport f).Finite
x : α
hx : f x ≠ 1
\u22a2 x ≠ a ↔ x ∈ hf.toFinset.erase a
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f : α → M
a : α
inst✝ : DecidableEq α
hf : (mulSupport f).Finite
x : α
hx : f x ≠ 1
\u22a2 x ≠ a ↔ x ≠ a ∧ f x ≠ 1
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
hab : a < b
\u22a2 Ioo a b ∪ {b} = Ioc a b
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
n : ℤ
x : 𝓞 K
h : hζ.toInteger - ↑n = ↑↑p * x
pB : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
n : ℤ
x : 𝓞 K
h : hζ.toInteger - ↑n = ↑↑p * x
pB : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis
hdim : pB.dim = ↑p ^ k * (↑p - 1)
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
n : ℤ
x : 𝓞 K
h : hζ.toInteger - ↑n = ↑↑p * x
pB : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis
hdim : 1 < pB.dim
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
n : ℤ
x : 𝓞 K
h : hζ.toInteger = ↑↑p * x + ↑n
pB : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis
hdim : 1 < pB.dim
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
n : ℤ
x : 𝓞 K
pB : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis
hdim : 1 < pB.dim
h : (pB.basis.repr hζ.toInteger) ⟨1, hdim⟩ = (pB.basis.repr (↑↑p * x + ↑n)) ⟨1, hdim⟩
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
n : ℤ
x : 𝓞 K
pB : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis
hdim : 1 < pB.dim
h : (pB.basis.repr hζ.toInteger) ⟨1, hdim⟩ = (pB.basis.repr (↑↑p * x + ↑n)) ⟨1, hdim⟩
this : pB.basis ⟨1, hdim⟩ = pB.gen ^ ↑⟨1, hdim⟩
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
n : ℤ
x : 𝓞 K
pB : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis
hdim : 1 < pB.dim
h : (pB.basis.repr hζ.toInteger) ⟨1, hdim⟩ = (pB.basis.repr (↑↑p * x + ↑n)) ⟨1, hdim⟩
this : pB.basis ⟨1, hdim⟩ = hζ.toInteger ^ ↑⟨1, hdim⟩
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
n : ℤ
x : 𝓞 K
pB : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis
hdim : 1 < pB.dim
h : (pB.basis.repr hζ.toInteger) ⟨1, hdim⟩ = (pB.basis.repr (↑↑p * x + ↑n)) ⟨1, hdim⟩
this : pB.gen = hζ.toInteger
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
n : ℤ
x : 𝓞 K
pB : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis
hdim : 1 < pB.dim
h : (if ⟨1, hdim⟩ = ⟨1, hdim⟩ then 1 else 0) = (pB.basis.repr (↑↑p * x + ↑n)) ⟨1, hdim⟩
this : pB.gen = hζ.toInteger
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
n : ℤ
x : 𝓞 K
pB : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis
hdim : 1 < pB.dim
this : pB.gen = hζ.toInteger
h : 1 = (pB.basis.repr (↑↑p * x)) ⟨1, hdim⟩ + (pB.basis.repr ↑n) ⟨1, hdim⟩
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
n : ℤ
x : 𝓞 K
pB : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis
hdim : 1 < pB.dim
this : pB.gen = hζ.toInteger
h : 1 = ↑↑p • (pB.basis.repr x) ⟨1, hdim⟩ + n • if ⟨0, ⋯⟩ = ⟨1, hdim⟩ then 1 else 0
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
n : ℤ
x : 𝓞 K
pB : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis
hdim : 1 < pB.dim
this : pB.gen = hζ.toInteger
h : 1 = ↑↑p * (pB.basis.repr x) ⟨1, hdim⟩
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/PosPart.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Group α
a✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
\u22a2 a⁻ᵐ / a⁺ᵐ = a⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m : ℕ
hm : n ∣ m
a : (ZMod m)ˣ
\u22a2 ((changeLevel hm) χ) ↑a = χ (↑a).cast
-- Mathlib/Algebra/Order/Monovary.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : OrderedCommGroup α
inst✝ : OrderedCommGroup β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β
\u22a2 MonovaryOn f g⁻¹ s ↔ AntivaryOn f g s
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Constructions.lean
B : Type u
F : Type v
E : B → Type w₁
B' : Type w₂
f✝ : B' → B
inst✝⁵ : TopologicalSpace B'
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝ : FiberBundle F E
f : B' → B
x : B'
\u22a2 Continuous (TotalSpace.mk x)
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Constructions.lean
B : Type u
F : Type v
E : B → Type w₁
B' : Type w₂
f✝ : B' → B
inst✝⁵ : TopologicalSpace B'
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝ : FiberBundle F E
f : B' → B
x : B'
\u22a2 instTopologicalSpacePullback E f x ≤ induced (fun x_1 => Pullback.lift f { proj := x, snd := x_1 }) inst✝⁴
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
f : α → α
h : EqOn f id s
\u22a2 f '' s = s
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Semigroup α
x : Holor α ds₁
y : Holor α ds₂
z : Holor α ds₃
t : HolorIndex (ds₁ ++ ds₂ ++ ds₃)
\u22a2 x t.take.take * y t.take.drop * z t.drop = cast ⋯ (fun t => x t.take * (y t.drop.take * z t.drop.drop)) t
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Semigroup α
x : Holor α ds₁
y : Holor α ds₂
z : Holor α ds₃
t : HolorIndex (ds₁ ++ ds₂ ++ ds₃)
\u22a2 x t.assocRight.take * (y t.assocRight.drop.take * z t.assocRight.drop.drop) = (fun t => x (cast ⋯ t).take * (y (cast ⋯ t).drop.take * z (cast ⋯ t).drop.drop)) t
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Semigroup α
x : Holor α ds₁
y : Holor α ds₂
z : Holor α ds₃
t : HolorIndex (ds₁ ++ ds₂ ++ ds₃)
\u22a2 ds₁ ++ (ds₂ ++ ds₃) = ds₁ ++ ds₂ ++ ds₃
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i✝ : Fact (finrank ℝ E = n)
o : Orientation ℝ E (Fin n)
_i : Fact (finrank ℝ E = 0)
\u22a2 Nat.casesAuxOn (motive := fun a => 0 = a → E [⋀^Fin 0]→ₗ[ℝ] ℝ) 0 (fun h => if hp : -rayOfNeZero ℝ (AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) ⋯ = rayOfNeZero ℝ (AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) ⋯ then AlternatingMap.constOfIsEmpty ℝ E (Fin 0) 1 else -AlternatingMap.constOfIsEmpty ℝ E (Fin 0) 1) (fun n h => Eq.rec (motive := fun x x_1 => [_i : Fact (finrank ℝ E = x)] → Orientation ℝ E (Fin x) → E [⋀^Fin x]→ₗ[ℝ] ℝ) (fun [Fact (finrank ℝ E = n + 1)] o => (Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o).toBasis.det) ⋯ (-rayOfNeZero ℝ (AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) ⋯)) ⋯ = -AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i✝ : Fact (finrank ℝ E = n)
o : Orientation ℝ E (Fin n)
_i : Fact (finrank ℝ E = 0)
\u22a2 ¬-rayOfNeZero ℝ (AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) ⋯ = rayOfNeZero ℝ (AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) ⋯
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i✝ : Fact (finrank ℝ E = n)
o : Orientation ℝ E (Fin n)
_i : Fact (finrank ℝ E = 0)
\u22a2 ¬rayOfNeZero ℝ (-AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) ⋯ = rayOfNeZero ℝ (AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) ⋯
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i✝ : Fact (finrank ℝ E = n)
o : Orientation ℝ E (Fin n)
_i : Fact (finrank ℝ E = 0)
\u22a2 ¬SameRay ℝ (AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) (-AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i✝ : Fact (finrank ℝ E = n)
o : Orientation ℝ E (Fin n)
_i : Fact (finrank ℝ E = 0)
h : SameRay ℝ (AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1) (-AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1)
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
r : ℝ≥0∞
\u22a2 a ∈ EMetric.ball 1 r ↔ ↑‖a‖₊ < r
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NonUnitalNormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
x : E
\u22a2 x * x⋆ = 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P ≃ₗ[R] Q
f✝ : N ≃ₗ[R] P
m : M
n✝ : N
p : P
x : M ⊗[R] N
y : N ⊗[R] M
f : N ≃ₗ[R] N
n : ℤ
\u22a2 lTensor M f ^ n = lTensor M (f ^ n)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x r y : ℝ
\u22a2 y ∈ closedBall x r ↔ y ∈ Icc (x - r) (x + r)
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid M
f✝ g : ι → M
s t : Finset ι
f : ι → M
h₁ : ∏ i ∈ s, f i = 1
h₂ : ∃ i ∈ s, f i ≠ 1
\u22a2 ∃ i ∈ s, 1 < f i
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid M
f✝ g : ι → M
s t : Finset ι
f : ι → M
h₂ : ∃ i ∈ s, f i ≠ 1
h₁ : ∀ i ∈ s, f i ≤ 1
\u22a2 ∏ i ∈ s, f i ≠ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid M
f✝ g : ι → M
s t : Finset ι
f : ι → M
h₁ : ∀ i ∈ s, f i ≤ 1
i : ι
m : i ∈ s
i_ne : f i ≠ 1
\u22a2 ∏ i ∈ s, f i ≠ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid M
f✝ g : ι → M
s t : Finset ι
f : ι → M
h₁ : ∀ i ∈ s, f i ≤ 1
i : ι
m : i ∈ s
i_ne : f i ≠ 1
\u22a2 ∏ i ∈ s, f i < 1
-- Mathlib/Algebra/Group/Int.lean
u v m n : ℤ
\u22a2 Even (m + n) ↔ (Even m ↔ Even n)
-- Mathlib/Algebra/Group/Pi/Lemmas.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y : (i : I) → f i
i✝ j : I
α : Type u_3
β : α → Type u_4
γ : (a : α) → β a → Type u_5
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (β a)
inst✝ : (a : α) → (b : β a) → One (γ a b)
i : (a : α) × β a
x : γ i.fst i.snd
\u22a2 curry (Pi.mulSingle i x) = Pi.mulSingle i.fst (Pi.mulSingle i.snd x)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
r : R
p : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : MulActionWithZero R S
x : S
\u22a2 eval r p = p.smeval r
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
r : R
p : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : MulActionWithZero R S
x : S
\u22a2 (p.sum fun e a => a * r ^ e) = p.sum (smul_pow r)
-- Mathlib/GroupTheory/CommutingProbability.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : Finite M
h : Nonempty M
this : Fintype M
\u22a2 commProb M = 1 ↔ Commutative fun x x_1 => x * x_1
-- Mathlib/GroupTheory/CommutingProbability.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : Finite M
h : Nonempty M
this : Fintype M
\u22a2 ↑(card ↑{x | Commute x.1 x.2}) / ↑(card M) ^ 2 = 1 ↔ Commutative fun x x_1 => x * x_1
-- Mathlib/GroupTheory/CommutingProbability.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : Finite M
h : Nonempty M
this : Fintype M
\u22a2 (∀ (x : M × M), x ∈ {x | Commute x.1 x.2}) ↔ Commutative fun x x_1 => x * x_1
-- Mathlib/GroupTheory/CommutingProbability.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : Finite M
h : Nonempty M
this : Fintype M
\u22a2 ↑(card M) ^ 2 ≠ 0
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
\u22a2 { ofColex := {a} } ≤ { ofColex := s } ↔ ∃ x ∈ s, a ≤ x
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
\u22a2 (a ∉ s → ∃ b ∈ s, ¬b = a ∧ a ≤ b) ↔ ∃ x ∈ s, a ≤ x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : a.re < 0
b : ℂ
s : ℝ
\u22a2 (fun x => cexp (a * ↑x ^ 2 + b * ↑x)) =o[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : a.re < 0
b : ℂ
s : ℝ
\u22a2 ((fun x => cexp (a * ↑x ^ 2 + b * ↑x)) =o[atBot] fun x => |x| ^ s) ∧ (fun x => cexp (a * ↑x ^ 2 + b * ↑x)) =o[atTop] fun x => |x| ^ s
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n k : ℕ
h : n < k
\u22a2 multichoose (-↑n) k = 0
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n k : ℕ
h : n < k
\u22a2 (fun x => k.factorial • x) (multichoose (-↑n) k) = (fun x => k.factorial • x) 0
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n k : ℕ
h : n < k
\u22a2 k.factorial • multichoose (-↑n) k = k.factorial • 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b c a : α
h : n ≠ 0
\u22a2 |a ^ n| = 1 ↔ |a| = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b c a : α
h : n ≠ 0
\u22a2 |a ^ n| = |a| ^ n
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b c a : α
h : n ≠ 0
\u22a2 1 = 1 ^ n
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/BaseChange.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
z : A
\u22a2 (algebraMap A (CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q))) z * (ofBaseChangeAux A Q) 1 = (algebraMap A (CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q))) z
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
\u22a2 (id n % 2 == 1) = n.bodd
-- Mathlib/Data/Multiset/Dedup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
a : α
x✝ : List α
\u22a2 count a (dedup (Quot.mk Setoid.r x✝)) = if a ∈ Quot.mk Setoid.r x✝ then 1 else 0
-- Mathlib/Data/Multiset/Dedup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
a : α
x✝ : List α
\u22a2 List.count a x✝.dedup = if a ∈ x✝ then 1 else 0