ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
\u22a2 interior s ∈ (𝓤 α).lift' interior
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
h : f.HasEigenvalue μ
n : ℕ
\u22a2 (f ^ n).HasEigenvalue (μ ^ n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
h : f.HasEigenvalue μ
n : ℕ
\u22a2 ∃ x ∈ (f ^ n).eigenspace (μ ^ n), x ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
h : f.HasEigenvalue μ
n : ℕ
m : M
hm : f.HasEigenvector μ m
\u22a2 ∃ x ∈ (f ^ n).eigenspace (μ ^ n), x ≠ 0
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → X → α
f : X → α
S : Set X
x₀ : X
h₁ : ∀ x ∈ S, Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (𝓝 (f x))
h₂ : Tendsto (fun x => F x x₀) l (𝓝 (f x₀))
h₃ : EquicontinuousWithinAt F S x₀
U : Set α
hU : U ∈ 𝓝 (f x₀)
\u22a2 U ∈ map f (𝓝[S] x₀)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → X → α
f : X → α
S : Set X
x₀ : X
h₁ : ∀ x ∈ S, Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (𝓝 (f x))
h₂ : Tendsto (fun x => F x x₀) l (𝓝 (f x₀))
h₃ : EquicontinuousWithinAt F S x₀
U : Set α
hU : U ∈ 𝓝 (f x₀)
\u22a2 f ⁻¹' U ∈ 𝓝[S] x₀
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → X → α
f : X → α
S : Set X
x₀ : X
h₁ : ∀ x ∈ S, Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (𝓝 (f x))
h₂ : Tendsto (fun x => F x x₀) l (𝓝 (f x₀))
h₃ : EquicontinuousWithinAt F S x₀
U : Set α
hU : U ∈ 𝓝 (f x₀)
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVU : ball (f x₀) V ⊆ U
\u22a2 f ⁻¹' U ∈ 𝓝[S] x₀
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → X → α
f : X → α
S : Set X
x₀ : X
h₁ : ∀ x ∈ S, Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (𝓝 (f x))
h₂ : Tendsto (fun x => F x x₀) l (𝓝 (f x₀))
h₃ : EquicontinuousWithinAt F S x₀
U : Set α
hU : U ∈ 𝓝 (f x₀)
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVU : ball (f x₀) V ⊆ U
W : Set (α × α)
hW : W ∈ 𝓤 α
hWclosed : IsClosed W
hWV : W ⊆ V
\u22a2 f ⁻¹' U ∈ 𝓝[S] x₀
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a : α i
\u22a2 update f i '' Ioc a (f i) = Ioc (update f i a) f
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
μs : ι → Measure α
i : ι
hνμ : ν ≪ μs i
\u22a2 ν ≪ sum μs
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
μs : ι → Measure α
i : ι
hνμ : ν ≪ μs i
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : (sum μs) s = 0
\u22a2 ν s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
μs : ι → Measure α
i : ι
hνμ : ν ≪ μs i
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : ∀ (i : ι), (μs i) s = 0
\u22a2 ν s = 0
-- Mathlib/Algebra/QuadraticDiscriminant.lean
K : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField K
a b c : K
h : ∀ (x : K), a * x * x + b * x + c ≤ 0
\u22a2 ∀ (x : K), 0 ≤ -a * x * x + -b * x + -c
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hg : f.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
G : α
G0 : G > 0
hG : ∀ (i : ℕ), abv (↑g i) < G
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, abv (↑f j) < ε / G
j : ℕ
ij : j ≥ i
\u22a2 abv (↑(f * g) j) < ε
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hg : f.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
G : α
G0 : G > 0
hG : ∀ (i : ℕ), abv (↑g i) < G
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, abv (↑f j) < ε / G
j : ℕ
ij : j ≥ i
this : abv (↑f j) * abv (↑g j) < ε / G * G
\u22a2 abv (↑(f * g) j) < ε
-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Limits.lean
α✝ : Type
inst✝¹ : Finite α✝
B : Stonean
X : α✝ → Stonean
α : Type
inst✝ : Finite α
Z : α → Stonean
a : α
\u22a2 OpenEmbedding ⇑(Sigma.ι Z a)
-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Limits.lean
α✝ : Type
inst✝¹ : Finite α✝
B : Stonean
X : α✝ → Stonean
α : Type
inst✝ : Finite α
Z : α → Stonean
a : α
\u22a2 OpenEmbedding (⇑(CompHausLike.homeoOfIso (coproductIsoCoproduct Z).symm) ∘ ⇑(Sigma.ι Z a))
-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Limits.lean
α✝ : Type
inst✝¹ : Finite α✝
B : Stonean
X : α✝ → Stonean
α : Type
inst✝ : Finite α
Z : α → Stonean
a : α
e_2✝ : ↑(finiteCoproduct Z).toTop = (forget Stonean).obj (finiteCoproduct Z)
\u22a2 ⇑(CompHausLike.homeoOfIso (coproductIsoCoproduct Z).symm) ∘ ⇑(Sigma.ι Z a) = ⇑(finiteCoproduct.ι Z a)
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p
y : R
m : ℕ
\u22a2 ((X ^ p - C y) ^ m).roots = (m * p) • {(frobeniusEquiv R p).symm y}
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p
y : R
m : ℕ
H : ((X ^ p ^ 1 - C y) ^ m).roots = (m * p ^ 1) • {(iterateFrobeniusEquiv R p 1).symm y}
\u22a2 ((X ^ p - C y) ^ m).roots = (m * p) • {(frobeniusEquiv R p).symm y}
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0∞
\u22a2 ∑' (n : ℕ), r ^ n = (1 - r)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0∞
hr : r < 1
\u22a2 ∑' (n : ℕ), r ^ n = (1 - r)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0∞
hr : 1 ≤ r
\u22a2 ∑' (n : ℕ), r ^ n = (1 - r)⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R✝ : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : Ring R✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R✝ M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝² : StrongRankCondition R✝
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : StrongRankCondition R
n m : ℕ
v : Fin m → Fin n → R
h : LinearIndependent R v
\u22a2 m ≤ n
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
z : ℂ
a : A
\u22a2 ℑ (z • a) = z.re • ℑ a + z.im • ℜ a
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
z : ℂ
a : A
this : ℑ (z • a) = ℑ ((↑z.re + ↑z.im * I) • a)
\u22a2 ℑ (z • a) = z.re • ℑ a + z.im • ℜ a
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C Y
U : Opens ↑X
x : ↥U
V : Opens ↑Y
hV : unop (op U) ≤ (Opens.map f).obj V
\u22a2 ((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app (op V) ≫ ((pullback C f).obj F).map (homOfLE hV).op ≫ germToPullbackStalk C f F U x ≫ stalkPullbackHom C f F ↑x = ((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app (op V) ≫ ((pullback C f).obj F).map (homOfLE hV).op ≫ ((pullback C f).obj F).germ x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
y : F
t : Set F
hl : DifferentiableWithinAt 𝕜 l t (f x)
hf : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
hs : MapsTo f s t
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hy : y = f x
\u22a2 derivWithin (l ∘ f) s x = (fderivWithin 𝕜 l t (f x)) (derivWithin f s x)
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : LinearOrder γ
a b : γ
s : Set γ
hs : IsLeast s b
\u22a2 IsLeast (insert a s) (min a b)
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : LinearOrder γ
a b : γ
s : Set γ
hs : IsLeast s b
\u22a2 IsLeast ({a} ∪ s) (min a b)
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
\u22a2 ∃ a, a ≠ 1 ∧ a ≠ -1
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
prop : x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1
hy : y ≠ 0
\u22a2 ∃ a, a ≠ 1 ∧ a ≠ -1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors
\u22a2 (X ^ d - 1) * ∏ x ∈ n.divisors \ d.divisors, cyclotomic x R = X ^ n - 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors
hd : d ∣ n
hdn : d < n
\u22a2 (X ^ d - 1) * ∏ x ∈ n.divisors \ d.divisors, cyclotomic x R = X ^ n - 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors
hd : d ∣ n
hdn : d < n
h0n : 0 < n
\u22a2 (X ^ d - 1) * ∏ x ∈ n.divisors \ d.divisors, cyclotomic x R = X ^ n - 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors
hd : d ∣ n
hdn : d < n
h0n : 0 < n
h0d : 0 < d
\u22a2 (X ^ d - 1) * ∏ x ∈ n.divisors \ d.divisors, cyclotomic x R = X ^ n - 1
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Truncated.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℤ
x : 𝕎 R
\u22a2 truncateFun n (m • x) = m • truncateFun n x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ExpDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 ℂ
\u22a2 ∀ {n : ℕ∞}, ContDiff 𝕜 n cexp
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ExpDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 ℂ
n : ℕ
\u22a2 ContDiff 𝕜 ↑n cexp
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ExpDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 ℂ
n : ℕ
this : ContDiff ℂ ↑n cexp
\u22a2 ContDiff 𝕜 ↑n cexp
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
h₁ : a ≤ b
h₂ : ¬IsMax b
\u22a2 Ico a (succ b) = insert b (Ico a b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≤ μ
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
\u22a2 eLpNorm f p ν ≤ eLpNorm f p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≤ μ
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
\u22a2 eLpNorm' f p.toReal ν ≤ eLpNorm' f p.toReal μ
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
hX : s ∈ P.parts
\u22a2 ↑(Fintype.card α) / (2 * ↑(bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊)) ≤ ↑s.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
hX : s ∈ P.parts
h✝ : IsEmpty α
\u22a2 ↑(Fintype.card α) / (2 * ↑(bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊)) ≤ ↑s.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
hX : s ∈ P.parts
h✝ : Nonempty α
\u22a2 ↑(Fintype.card α) / (2 * ↑(bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊)) ≤ ↑s.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
hX : s ∈ P.parts
h✝ : Nonempty α
this : 0 < P.parts.card
\u22a2 ↑(Fintype.card α) / (2 * ↑(bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊)) ≤ ↑s.card
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X
s : Set X
\u22a2 IsClosed s ↔ ∀ ⦃K : Set X⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X
s : Set X
h : ∀ ⦃K : Set X⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)
\u22a2 IsClosed s
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X
s : Set X
h : ∀ ⦃K : Set X⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)
\u22a2 ∀ (x : X) (F : Filter X), F.NeBot → F ≤ 𝓟 s → F ≤ 𝓝 x → x ∈ s
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X
s : Set X
h : ∀ ⦃K : Set X⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)
x : X
ℱ : Filter X
hℱ₁ : ℱ.NeBot
hℱ₂ : ℱ ≤ 𝓟 s
hℱ₃ : ℱ ≤ 𝓝 x
\u22a2 x ∈ s
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X
s : Set X
h : ∀ ⦃K : Set X⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)
x : X
ℱ : Filter X
hℱ₁ : ℱ.NeBot
hℱ₂ : ℱ ≤ 𝓟 s
hℱ₃ : ℱ ≤ 𝓝 x
K : Set X
hK : IsCompact K
K_mem : K ∈ 𝓝 x
\u22a2 x ∈ s
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f : Filter α
s : Set α
\u22a2 Disjoint f (𝓟 s) ↔ sᶜ ∈ f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : Differentiable 𝕜 fun y => -f y
\u22a2 Differentiable 𝕜 f
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/RieszLemma.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝ : NormedSpace ℝ F✝
F : Subspace 𝕜 E
hFc : IsClosed ↑F
hF : ∃ x, x ∉ F
r : ℝ
hr : r < 1
\u22a2 ∃ x₀ ∉ F, ∀ y ∈ F, r * ‖x₀‖ ≤ ‖x₀ - y‖
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
s : Set α
\u22a2 ∀ (x : α), x ∈ 1 • s ↔ x ∈ s
-- Mathlib/GroupTheory/Submonoid/Inverses.lean
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S
\u22a2 ↥S.leftInv
-- Mathlib/GroupTheory/Submonoid/Inverses.lean
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S
x' : Mˣ
hx : ↑x' = ↑x
\u22a2 ↥S.leftInv
-- Mathlib/GroupTheory/Submonoid/Inverses.lean
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S.leftInv
h : ∃ u, ↑u = ↑((↑S.fromCommLeftInv).toFun x)
\u22a2 (Classical.choose h).inv = ↑x
-- Mathlib/GroupTheory/Submonoid/Inverses.lean
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S.leftInv
h : ∃ u, ↑u = ↑((↑S.fromCommLeftInv).toFun x)
\u22a2 (Classical.choose h).inv * ↑h.choose = ↑x * ↑h.choose
-- Mathlib/GroupTheory/Submonoid/Inverses.lean
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S.leftInv
h : ∃ u, ↑u = ↑((↑S.fromCommLeftInv).toFun x)
\u22a2 (Classical.choose h).inv * ↑h.choose = ↑x * ↑((↑S.fromCommLeftInv).toFun x)
-- Mathlib/GroupTheory/Submonoid/Inverses.lean
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S
\u22a2 ↑(S.fromLeftInv ⟨(Classical.choose ⋯).inv, ⋯⟩) = ↑x
-- Mathlib/GroupTheory/Submonoid/Inverses.lean
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S
\u22a2 ↑⟨(Classical.choose ⋯).inv, ⋯⟩ * ↑x = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Submonoid/Inverses.lean
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S
\u22a2 ↑x = ↑(Exists.choose ⋯)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x y : R
m : ↥M
\u22a2 x • mk' S y m = mk' S (x * y) m
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x y : R
m : ↥M
\u22a2 x • mk' S y m = mk' S (x * y) (1 * m)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
θ : Cardinal.{u}
hθ : θ ≤ #β
h₁ : ℵ₀ ≤ θ
h₂ : #α < θ.ord.cof
\u22a2 ∃ a, θ ≤ #↑(f ⁻¹' {a})
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
s : Set β
hθ : #↑s ≤ #β
h₁ : ℵ₀ ≤ #↑s
h₂ : #α < (#↑s).ord.cof
\u22a2 ∃ a, #↑s ≤ #↑(f ⁻¹' {a})
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
s : Set β
hθ : #↑s ≤ #β
h₁ : ℵ₀ ≤ #↑s
h₂ : #α < (#↑s).ord.cof
a : α
ha : #↑(f ∘ Subtype.val ⁻¹' {a}) = #↑s
\u22a2 ∃ a, #↑s ≤ #↑(f ⁻¹' {a})
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
s : Set β
hθ : #↑s ≤ #β
h₁ : ℵ₀ ≤ #↑s
h₂ : #α < (#↑s).ord.cof
a : α
ha : #↑(f ∘ Subtype.val ⁻¹' {a}) = #↑s
\u22a2 #↑s ≤ #↑(f ⁻¹' {a})
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
s : Set β
hθ : #↑s ≤ #β
h₁ : ℵ₀ ≤ #↑s
h₂ : #α < (#↑s).ord.cof
a : α
ha : #↑(f ∘ Subtype.val ⁻¹' {a}) = #↑s
\u22a2 #↑(Subtype.val ⁻¹' (f ⁻¹' {a})) ≤ #↑(f ⁻¹' {a})
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K L : Set X
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
h'L : IsClosed L
hd : Disjoint K L
\u22a2 SeparatedNhds K L
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K L : Set X
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
h'L : IsClosed L
hd : Disjoint K L
\u22a2 ∀ x ∈ K, ∀ x_1 ∈ L, ¬Inseparable x x_1
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x✝ y✝ : X
K L : Set X
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
h'L : IsClosed L
hd : Disjoint K L
x : X
hx : x ∈ K
y : X
hy : y ∈ L
h : Inseparable x y
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n k : ℕ
\u22a2 (n + k).choose k • choose (r + ↑k) (n + k) = choose (r + ↑k) k * choose r n
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√↑(Pell.d a1)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
\u22a2 Pell.d a1 ≤ a * a
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√↑(Pell.d a1)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
ha : { re := ↑a, im := 1 } ≤ b
\u22a2 { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } ≤ b * { re := ↑a, im := -1 }
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√↑(Pell.d a1)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
ha : { re := ↑a, im := 1 } ≤ b
\u22a2 b * { re := ↑a, im := -1 } ≤ pellZd a1 n
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√↑(Pell.d a1)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
ha : { re := ↑a, im := 1 } ≤ b
t : b * { re := ↑a, im := -1 } ≤ pellZd a1 (n + 1) * { re := ↑a, im := -1 }
\u22a2 b * { re := ↑a, im := -1 } ≤ pellZd a1 n
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√↑(Pell.d a1)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
ha : { re := ↑a, im := 1 } ≤ b
m : ℕ
e : b * { re := ↑a, im := -1 } = pellZd a1 m
\u22a2 b = pellZd a1 (m + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := 1 }
am1p : 0 ≤ { re := ↑a, im := -1 }
a1m : { re := ↑a, im := 1 } * { re := ↑a, im := -1 } = 1
x y : ℤ
h1 : 1 ≤ { re := x, im := y }
hp : IsPell { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬{ re := ↑a, im := 1 } ≤ { re := x, im := y }
h1l : 1 < { re := x, im := y }
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
V : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
x y : V
\u22a2 ⟪T x, y⟫_ℂ = (⟪T (x + y), x + y⟫_ℂ - ⟪T (x - y), x - y⟫_ℂ - Complex.I * ⟪T (x + Complex.I • y), x + Complex.I • y⟫_ℂ + Complex.I * ⟪T (x - Complex.I • y), x - Complex.I • y⟫_ℂ) / 4