ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : Module.Free R M
inst✝¹⁰ : Module.Finite R M
inst✝⁹ : Module.Free R L
inst✝⁸ : Module.Finite R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : LieModule K L M
inst✝³ : FiniteDimensional K M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : LinearWeights K L M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
x y : L
\u22a2 ((traceForm K L M) x) y = ∑ χ : Weight K L M, finrank K ↥↑(weightSpace M ⇑χ) • (χ x * χ y)
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : Module.Free R M
inst✝¹⁰ : Module.Finite R M
inst✝⁹ : Module.Free R L
inst✝⁸ : Module.Finite R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : LieModule K L M
inst✝³ : FiniteDimensional K M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : LinearWeights K L M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
x y : L
hxy : ∀ (χ : Weight K L M), MapsTo ⇑((toEnd K L M) x ∘ₗ (toEnd K L M) y) ↑(weightSpace M ⇑χ) ↑(weightSpace M ⇑χ)
\u22a2 ((traceForm K L M) x) y = ∑ χ : Weight K L M, finrank K ↥↑(weightSpace M ⇑χ) • (χ x * χ y)
-- Mathlib/Topology/Irreducible.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ht : IsPreirreducible t
f : Y → X
hf : OpenEmbedding f
U V : Set Y
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
x : Y
hx : x ∈ f ⁻¹' t
hx' : x ∈ U
y : Y
hy : y ∈ f ⁻¹' t
hy' : y ∈ V
\u22a2 (f ⁻¹' t ∩ (U ∩ V)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Irreducible.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ht : IsPreirreducible t
f : Y → X
hf : OpenEmbedding f
U V : Set Y
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
x : Y
hx : x ∈ f ⁻¹' t
hx' : x ∈ U
y✝ : Y
hy : y✝ ∈ f ⁻¹' t
hy' : y✝ ∈ V
y : Y
h₂ : y ∈ U
h₁ : f y ∈ t
y' : Y
h₃ : y' ∈ V
h₄ : f y' = f y
\u22a2 (f ⁻¹' t ∩ (U ∩ V)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Irreducible.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
ht : IsPreirreducible t
f : Y → X
hf : OpenEmbedding f
U V : Set Y
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
x : Y
hx : x ∈ f ⁻¹' t
hx' : x ∈ U
y✝ : Y
hy : y✝ ∈ f ⁻¹' t
hy' : y✝ ∈ V
y : Y
h₂ : y ∈ U
h₁ : f y ∈ t
h₃ : y ∈ V
h₄ : f y = f y
\u22a2 (f ⁻¹' t ∩ (U ∩ V)).Nonempty
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
β : Type u_4
s : SummableFamily Γ R α
f : α ↪ β
a : α
b : β
g : Γ
\u22a2 (s.embDomain f).hsum.coeff g = s.hsum.coeff g
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
β : Type u_4
s : SummableFamily Γ R α
f : α ↪ β
a : α
b : β
g : Γ
\u22a2 (∑ᶠ (i : β), if h : i ∈ Set.range ⇑f then (s (Classical.choose ⋯)).coeff g else 0) = ∑ᶠ (i : α), (s i).coeff g
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w u v : V
p : G.Walk v u
h : G.Adj u v
\u22a2 (cons h p).IsCycle ↔ p.IsPath ∧ s(u, v) ∉ p.edges
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w u v : V
p : G.Walk v u
h : G.Adj u v
\u22a2 (s(u, v) ∉ p.edges ∧ p.edges.Nodup) ∧ cons h p ≠ nil ∧ p.support.Nodup ↔ p.support.Nodup ∧ s(u, v) ∉ p.edges
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w u v : V
p : G.Walk v u
h : G.Adj u v
this : p.support.Nodup → p.edges.Nodup
\u22a2 (s(u, v) ∉ p.edges ∧ p.edges.Nodup) ∧ cons h p ≠ nil ∧ p.support.Nodup ↔ p.support.Nodup ∧ s(u, v) ∉ p.edges
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Uniform.lean
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
f : E → F
C : ℝ≥0
\u22a2 LipschitzOnWith C f s ↔ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ‖f x / f y‖ ≤ ↑C * ‖x / y‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
γ : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : AddMonoid γ
P : (α →ₛ γ) → Prop
h_ind : ∀ (c : γ) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s), P (piecewise s hs (const α c) (const α 0))
h_add : ∀ ⦃f g : α →ₛ γ⦄, Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P f → P g → P (f + g)
f : α →ₛ γ
s : Finset γ
h : f.range \ {0} = s
\u22a2 P f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
γ : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : AddMonoid γ
P : (α →ₛ γ) → Prop
h_ind : ∀ (c : γ) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s), P (piecewise s hs (const α c) (const α 0))
h_add : ∀ ⦃f g : α →ₛ γ⦄, Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P f → P g → P (f + g)
f : α →ₛ γ
s : Finset γ
h : range ↑f \ {0} = ↑s
\u22a2 P f
-- Mathlib/Data/List/OfFn.lean
α : Type u
C : List α → Sort u_1
h : (n : ℕ) → (f : Fin n → α) → C (ofFn f)
n : ℕ
f : Fin n → α
\u22a2 ofFnRec h (ofFn f) = h n f
-- Mathlib/Data/List/OfFn.lean
α : Type u
C : List α → Sort u_1
h : (n : ℕ) → (f : Fin n → α) → C (ofFn f)
n : ℕ
f : Fin n → α
this : Function.RightInverse ⇑equivSigmaTuple.symm ⇑equivSigmaTuple
\u22a2 ofFnRec h (ofFn f) = h n f
-- Mathlib/Data/List/OfFn.lean
α : Type u
C : List α → Sort u_1
h : (n : ℕ) → (f : Fin n → α) → C (ofFn f)
n : ℕ
f : Fin n → α
this : Function.RightInverse (fun f => ofFn f.snd) fun l => ⟨l.length, l.get⟩
\u22a2 ofFnRec h (ofFn f) = h n f
-- Mathlib/Data/List/OfFn.lean
α : Type u
C : List α → Sort u_1
h : (n : ℕ) → (f : Fin n → α) → C (ofFn f)
n : ℕ
f : Fin n → α
this✝ : Function.RightInverse (fun f => ofFn f.snd) fun l => ⟨l.length, l.get⟩
this : cast ⋯ (h ⟨(ofFn ⟨n, f⟩.snd).length, (ofFn ⟨n, f⟩.snd).get⟩.fst ⟨(ofFn ⟨n, f⟩.snd).length, (ofFn ⟨n, f⟩.snd).get⟩.snd) = h ⟨n, f⟩.fst ⟨n, f⟩.snd
\u22a2 ofFnRec h (ofFn f) = h n f
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
h : ↑S.topologicalClosure ≠ univ
\u22a2 ‖S.normedMk‖ = 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
h : ↑S.topologicalClosure ≠ univ
\u22a2 1 ≤ ‖S.normedMk‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
h : ↑S.topologicalClosure ≠ univ
x : M
hx : 0 < ‖↑x‖
\u22a2 1 ≤ ‖S.normedMk‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
h : ↑S.topologicalClosure ≠ univ
x : M
hx : 0 < ‖↑x‖
\u22a2 ‖↑x‖ ≤ ‖S.normedMk‖ * ‖↑x‖
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
dt t : ℝ
ht : t ∈ {t | t + dt ∈ s}
\u22a2 HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I (γ ∘ fun x => x + dt) t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v ((γ ∘ fun x => x + dt) t)))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
dt t : ℝ
ht : t ∈ {t | t + dt ∈ s}
\u22a2 HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I (γ ∘ fun x => x + dt) t ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ (t + dt)))).comp (ContinuousLinearMap.id ℝ ℝ))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
dt t : ℝ
ht : t ∈ {t | t + dt ∈ s}
\u22a2 HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, ℝ) (fun x => x + dt) t (ContinuousLinearMap.id ℝ ℝ)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
dt t : ℝ
ht : t ∈ {t | t + dt ∈ s}
\u22a2 HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, ℝ) t fun x => x + dt) (ContinuousLinearMap.id ℝ ℝ) (range ↑𝓘(ℝ, ℝ)) (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, ℝ) t) t)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
dt t : ℝ
ht : t ∈ {t | t + dt ∈ s}
\u22a2 HasFDerivAt (fun x => x + dt) (ContinuousLinearMap.id ℝ ℝ) t
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Integers.lean
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
x : O
hvx : v ((algebraMap O F) x) = 1
\u22a2 IsUnit x
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Integers.lean
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
x : O
hvx : v ((algebraMap O F) x) = 1
\u22a2 (algebraMap O F) x ≠ 0
-- Mathlib/GroupTheory/Submonoid/Centralizer.lean
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Monoid M
s : Set M
\u22a2 centralizer s.centralizer.centralizer = centralizer s
-- Mathlib/GroupTheory/Submonoid/Centralizer.lean
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Monoid M
s : Set M
\u22a2 ↑(centralizer s.centralizer.centralizer) = ↑(centralizer s)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Epi f
i : IsZero X
\u22a2 IsZero Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Epi f
i : IsZero X
hf : f = 0
\u22a2 IsZero Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
i : IsZero X
inst✝ : Epi 0
\u22a2 IsZero Y
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x : R
\u22a2 lcm 0 x = 0
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hs : MeasurableSet s
hu : IsUniform X s ℙ μ
\u22a2 (fun x => s.indicator ((μ s)⁻¹ • 1) x) =ᶠ[ae μ] pdf X ℙ μ
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : ArithmeticFunction R
k : ℕ
kpos : 0 < k
x : ℕ
\u22a2 (f.ppow (k + 1)) x = ((f.ppow k).pmul f) x
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : ArithmeticFunction R
k : ℕ
kpos : 0 < k
x : ℕ
\u22a2 f x ^ k * f x = ((f.ppow k).pmul f) x
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f✝ f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
f : (i : ι) → Filter (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
i : ι
\u22a2 map (eval i) (pi f) = f i
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f✝ f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s✝ : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
f : (i : ι) → Filter (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
i : ι
s : Set (α i)
hs : s ∈ map (eval i) (pi f)
\u22a2 s ∈ f i
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f✝ f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s✝ : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
f : (i : ι) → Filter (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
i : ι
s : Set (α i)
hs : s ∈ map (eval i) (pi f)
I : Set ι
hIf : I.Finite
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hI : I.pi t ⊆ eval i ⁻¹' s
\u22a2 s ∈ f i
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f✝ f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s✝ : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
f : (i : ι) → Filter (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
i : ι
s : Set (α i)
hs : s ∈ map (eval i) (pi f)
I : Set ι
hIf : I.Finite
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hI : eval i '' I.pi t ⊆ s
\u22a2 s ∈ f i
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f✝ f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s✝ : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
f : (i : ι) → Filter (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
i : ι
s : Set (α i)
hs : s ∈ map (eval i) (pi f)
I : Set ι
hIf : I.Finite
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hI : eval i '' I.pi t ⊆ s
\u22a2 (I.pi t).Nonempty
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n m : ℕ
i : [m] ⟶ [n]
hi : Mono i
h₁ : [m].len ≠ n
h₂ : ¬Isδ₀ i
\u22a2 PInfty.f n ≫ X.map i.op = 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n m : ℕ
i : [m] ⟶ [n]
hi : Mono i
h₁ : [m].len ≠ n
h₂ : ¬Isδ₀ i
k : ℕ
hk : [n].len = [m].len + k + 1
\u22a2 PInfty.f n ≫ X.map i.op = 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n m : ℕ
i : [m] ⟶ [n]
hi : Mono i
h₁ : [m].len ≠ n
h₂ : ¬Isδ₀ i
k : ℕ
hk : n = m + k + 1
\u22a2 PInfty.f n ≫ X.map i.op = 0
-- Mathlib/Data/Matrix/Notation.lean
α : Type u
o n m : ℕ
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
a b : ℕ
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype n'
v : n' → α
A : Fin m → n' → α
B : Matrix n' o' α
i : Fin m.succ
j : o'
\u22a2 ∀ (i : Fin m), (of (vecCons v A) * B) i.succ j = of (vecCons (v ᵥ* B) (of.symm (of A * B))) i.succ j
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
h : G.IsNClique n s
f : α ↪ β
\u22a2 (SimpleGraph.map f G).IsClique ↑(map f s)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
h : G.IsNClique n s
f : α ↪ β
\u22a2 (SimpleGraph.map f G).IsClique (⇑f '' ↑s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
p : ι → P
v : V
\u22a2 (s.weightedVSub (v +ᵥ p)) w = (s.weightedVSub p) w
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Compare.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
hm : n ≤ m
x : TruncatedWittVector p m (ZMod p)
\u22a2 (zmodEquivTrunc p n).symm ((truncate hm) x) = (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ n))) ((zmodEquivTrunc p m).symm x)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Compare.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
hm : n ≤ m
x : TruncatedWittVector p m (ZMod p)
\u22a2 (zmodEquivTrunc p n) ((zmodEquivTrunc p n).symm ((truncate hm) x)) = (zmodEquivTrunc p n) ((ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ n))) ((zmodEquivTrunc p m).symm x))
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Compare.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
hm : n ≤ m
x : TruncatedWittVector p m (ZMod p)
\u22a2 (zmodEquivTrunc p n) ((zmodEquivTrunc p n).symm ((truncate hm) x)) = (truncate hm) ((zmodEquivTrunc p m) ((zmodEquivTrunc p m).symm x))
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Rank.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝³ : Module.Free R ↥A
inst✝² : Module.Free R ↥B
inst✝¹ : Module.Free ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
inst✝ : Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)
\u22a2 Module.rank R ↥(A ⊔ B) = Module.rank R ↥A * Module.rank ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Rank.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝³ : Module.Free R ↥A
inst✝² : Module.Free R ↥B
inst✝¹ : Module.Free ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
inst✝ : Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)
h✝ : Subsingleton R
\u22a2 Module.rank R ↥(A ⊔ B) = Module.rank R ↥A * Module.rank ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Rank.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝³ : Module.Free R ↥A
inst✝² : Module.Free R ↥B
inst✝¹ : Module.Free ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
inst✝ : Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)
h✝ : Nontrivial R
\u22a2 Module.rank R ↥(A ⊔ B) = Module.rank R ↥A * Module.rank ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Rank.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝³ : Module.Free R ↥A
inst✝² : Module.Free R ↥B
inst✝¹ : Module.Free ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
inst✝ : Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)
h✝ : Nontrivial R
a✝ : Nontrivial S
\u22a2 Module.rank R ↥(A ⊔ B) = Module.rank R ↥A * Module.rank ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Rank.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝³ : Module.Free R ↥A
inst✝² : Module.Free R ↥B
inst✝¹ : Module.Free ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
inst✝ : Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)
h✝ : Nontrivial R
a✝ : Nontrivial S
this✝ : Algebra ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B) := (Algebra.adjoin ↥A ↑B).algebra
this : SMul ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B) := Algebra.toSMul
\u22a2 Module.rank R ↥(A ⊔ B) = Module.rank R ↥A * Module.rank ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Rank.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝³ : Module.Free R ↥A
inst✝² : Module.Free R ↥B
inst✝¹ : Module.Free ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
inst✝ : Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)
h✝ : Nontrivial R
a✝ : Nontrivial S
this✝¹ : Algebra ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B) := (Algebra.adjoin ↥A ↑B).algebra
this✝ : SMul ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B) := Algebra.toSMul
this : IsScalarTower R ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
\u22a2 Module.rank R ↥(A ⊔ B) = Module.rank R ↥A * Module.rank ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Rank.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝³ : Module.Free R ↥A
inst✝² : Module.Free R ↥B
inst✝¹ : Module.Free ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
inst✝ : Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)
h✝ : Nontrivial R
a✝ : Nontrivial S
this✝¹ : Algebra ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B) := (Algebra.adjoin ↥A ↑B).algebra
this✝ : SMul ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B) := Algebra.toSMul
this : IsScalarTower R ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
\u22a2 Module.rank R ↥(A ⊔ B) = Module.rank R ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Rank.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝³ : Module.Free R ↥A
inst✝² : Module.Free R ↥B
inst✝¹ : Module.Free ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
inst✝ : Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)
h✝ : Nontrivial R
a✝ : Nontrivial S
this✝¹ : Algebra ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B) := (Algebra.adjoin ↥A ↑B).algebra
this✝ : SMul ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B) := Algebra.toSMul
this : IsScalarTower R ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
\u22a2 Module.rank R ↥(A ⊔ B) = Module.rank R ↥(restrictScalars R (Algebra.adjoin ↥A ↑B))
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Rank.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝³ : Module.Free R ↥A
inst✝² : Module.Free R ↥B
inst✝¹ : Module.Free ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
inst✝ : Module.Free ↥B ↥(Algebra.adjoin ↥B ↑A)
h✝ : Nontrivial R
a✝ : Nontrivial S
this✝¹ : Algebra ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B) := (Algebra.adjoin ↥A ↑B).algebra
this✝ : SMul ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B) := Algebra.toSMul
this : IsScalarTower R ↥A ↥(Algebra.adjoin ↥A ↑B)
\u22a2 Module.rank R ↥(A ⊔ B) = Module.rank R ↥(Algebra.adjoin R (↑A ∪ ↑B))
-- Mathlib/Logic/Small/Group.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Neg α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x : α
\u22a2 (equivShrink α) (-x) = -(equivShrink α) x
-- Mathlib/Logic/Small/Group.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Neg α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x : α
\u22a2 (equivShrink α) (-x) = (equivShrink α).symm.symm (-(equivShrink α).symm ((equivShrink α) x))
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Defs.lean
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
\u22a2 a⁻¹ < a ↔ 1 < a
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
x : R
p q : ℤ
hpq : p + n' = q
\u22a2 ((x • γ).leftShift a n' hn').v p q hpq = x • (γ.leftShift a n' hn').v p q hpq
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n : ℕ
IH : n.multichoose 1 = n
\u22a2 (n + 1).multichoose 1 = n + 1
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R n
\u22a2 Injective ⇑(castHom ⋯ R)
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R n
\u22a2 ∀ (a : ZMod n), (castHom ⋯ R) a = 0 → a = 0
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R n
x : ZMod n
\u22a2 (castHom ⋯ R) x = 0 → x = 0
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R n
k : ℤ
\u22a2 (castHom ⋯ R) ↑k = 0 → ↑k = 0
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R n
k : ℤ
\u22a2 ↑n ∣ k → ↑n ∣ k
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g : δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hg : ∀ (b : δ), IsLUB (range fun i => f i b) (g b)
\u22a2 Measurable g
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g : δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hg : ∀ (b : δ), IsLUB (range fun i => f i b) (g b)
\u22a2 ∀ t ∈ range Ioi, MeasurableSet (g ⁻¹' t)