ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q : ℚ
n₁ n₂ : ℤ
d₁ d₂ : ℕ
hd₁ : d₁ ≠ 0
hd₂ : d₂ ≠ 0
hnd₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁
hnd₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂
h₁₂ : n₁.natAbs.Coprime d₂
h₂₁ : n₂.natAbs.Coprime d₁
\u22a2 normalize ({ num := n₁, den := d₁, den_nz := hd₁, reduced := hnd₁ }.num * { num := n₂, den := d₂, den_nz := hd₂, reduced := hnd₂ }.num) ({ num := n₁, den := d₁, den_nz := hd₁, reduced := hnd₁ }.den * { num := n₂, den := d₂, den_nz := hd₂, reduced := hnd₂ }.den) ⋯ = { num := n₁ * n₂, den := d₁ * d₂, den_nz := ⋯, reduced := ⋯ }
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q : ℚ
n₁ n₂ : ℤ
d₁ d₂ : ℕ
hd₁ : d₁ ≠ 0
hd₂ : d₂ ≠ 0
hnd₁ : n₁.natAbs.Coprime d₁
hnd₂ : n₂.natAbs.Coprime d₂
h₁₂ : n₁.natAbs.Coprime d₂
h₂₁ : n₂.natAbs.Coprime d₁
\u22a2 normalize (n₁ * n₂) (d₁ * d₂) ⋯ = { num := n₁ * n₂, den := d₁ * d₂, den_nz := ⋯, reduced := ⋯ }
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∈ s
\u22a2 compress u v a ∈ 𝓒 u v s
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∈ s
\u22a2 compress u v a ∈ s ∧ compress u v (compress u v a) ∈ s ∨ compress u v a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = compress u v a
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.30360, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
\u22a2 S.f ≫ 𝟙 S.X₂ = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.30360, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
\u22a2 𝟙 S.X₂ ≫ S.g = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
\u22a2 (p * q).natDegree = p.natDegree + q.natDegree
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EndoFunctor.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
α β : A₁ ⟶ A₂
\u22a2 A₁.str ≫ F.map (α.f + β.f) = (α.f + β.f) ≫ A₂.str
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EndoFunctor.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
\u22a2 A₁.str ≫ F.map 0 = 0 ≫ A₂.str
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EndoFunctor.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
n : ℕ
α : A₁ ⟶ A₂
\u22a2 A₁.str ≫ F.map (n • α.f) = (n • α.f) ≫ A₂.str
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EndoFunctor.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
α : A₁ ⟶ A₂
\u22a2 A₁.str ≫ F.map (-α.f) = (-α.f) ≫ A₂.str
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EndoFunctor.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
α β : A₁ ⟶ A₂
\u22a2 A₁.str ≫ F.map (α.f - β.f) = (α.f - β.f) ≫ A₂.str
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EndoFunctor.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
r : ℤ
α : A₁ ⟶ A₂
\u22a2 A₁.str ≫ F.map (r • α.f) = (r • α.f) ≫ A₂.str
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EndoFunctor.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
a✝ b✝ c✝ : A₁ ⟶ A₂
\u22a2 (a✝ + b✝ + c✝).f = (a✝ + (b✝ + c✝)).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EndoFunctor.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
a✝ : A₁ ⟶ A₂
\u22a2 (0 + a✝).f = a✝.f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EndoFunctor.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
a✝ : A₁ ⟶ A₂
\u22a2 (a✝ + 0).f = a✝.f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EndoFunctor.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
x✝ : A₁ ⟶ A₂
\u22a2 ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) 0 x✝).f = Coalgebra.Hom.f 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EndoFunctor.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
n✝ : ℕ
x✝ : A₁ ⟶ A₂
\u22a2 ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) (n✝ + 1) x✝).f = ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) n✝ x✝ + x✝).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EndoFunctor.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
a✝ b✝ : A₁ ⟶ A₂
\u22a2 (a✝ - b✝).f = (a✝ + -b✝).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EndoFunctor.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
a✝ : A₁ ⟶ A₂
\u22a2 ((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) 0 a✝).f = Coalgebra.Hom.f 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EndoFunctor.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
n✝ : ℕ
a✝ : A₁ ⟶ A₂
\u22a2 ↑(n✝ + 1) • a✝.f = ({ f := ↑n✝ • a✝.f, h := ⋯ } + a✝).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EndoFunctor.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
n✝ : ℕ
a✝ : A₁ ⟶ A₂
\u22a2 n✝ • a✝.f + a✝.f = ({ f := n✝ • a✝.f, h := ⋯ } + a✝).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EndoFunctor.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
n✝ : ℕ
a✝ : A₁ ⟶ A₂
\u22a2 ((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (Int.negSucc n✝) a✝).f = (-(fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (↑n✝.succ) a✝).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EndoFunctor.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
a✝ : A₁ ⟶ A₂
\u22a2 (-a✝ + a✝).f = Coalgebra.Hom.f 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EndoFunctor.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Coalgebra F
a✝ b✝ : A₁ ⟶ A₂
\u22a2 (a✝ + b✝).f = (b✝ + a✝).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EndoFunctor.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
P✝ Q✝ R✝ : Coalgebra F
f✝ f'✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ : Q✝ ⟶ R✝
\u22a2 ((f✝ + f'✝) ≫ g✝).f = (f✝ ≫ g✝ + f'✝ ≫ g✝).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EndoFunctor.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
P✝ Q✝ R✝ : Coalgebra F
f✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ g'✝ : Q✝ ⟶ R✝
\u22a2 (f✝ ≫ (g✝ + g'✝)).f = (f✝ ≫ g✝ + f✝ ≫ g'✝).f
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
ι : Sort u_1
ι' : Sort u_2
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
f : ι → ℝ≥0
g : ι' → ℝ≥0
a : ℝ≥0
h : ∀ (i : ι) (j : ι'), a ≤ f i + g j
\u22a2 a ≤ (⨅ i, f i) + ⨅ j, g j
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
ι : Sort u_1
ι' : Sort u_2
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
f : ι → ℝ≥0
g : ι' → ℝ≥0
a : ℝ≥0
h : ∀ (i : ι) (j : ι'), a ≤ f i + g j
\u22a2 ↑a ≤ (⨅ i, ↑(f i)) + ⨅ i, ↑(g i)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : x ≤ y ∧ Disjoint x z
\u22a2 x ≤ y \ z
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : x ≤ y ∧ Disjoint x z
\u22a2 x \ z ≤ y \ z
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
\u22a2 f.closure.HasCore f.domain
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
\u22a2 (f.closure.domRestrict f.domain).closure = f.closure
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
x : ↥(f.closure.domRestrict f.domain).domain
y : ↥f.domain
hxy : ↑x = ↑y
\u22a2 ↑(f.closure.domRestrict f.domain) x = ↑f y
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
x : ↥(f.closure.domRestrict f.domain).domain
y : ↥f.domain
hxy : ↑x = ↑y
z : ↥f.closure.domain := ⟨↑y, ⋯⟩
\u22a2 ↑(f.closure.domRestrict f.domain) x = ↑f y
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
x : ↥(f.closure.domRestrict f.domain).domain
y : ↥f.domain
hxy : ↑x = ↑y
z : ↥f.closure.domain := ⟨↑y, ⋯⟩
hyz : ↑y = ↑z
\u22a2 ↑(f.closure.domRestrict f.domain) x = ↑f y
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
x : ↥(f.closure.domRestrict f.domain).domain
y : ↥f.domain
hxy : ↑x = ↑y
z : ↥f.closure.domain := ⟨↑y, ⋯⟩
hyz : ↑y = ↑z
\u22a2 ↑(f.closure.domRestrict f.domain) x = ↑f.closure z
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → PGame
x : PGame := mk ((i : Shrink.{u, u_1} ι) × (f ((equivShrink ι).symm i)).LeftMoves) PEmpty.{u + 1} (fun x => (f ((equivShrink ι).symm x.fst)).moveLeft x.snd) PEmpty.elim
\u22a2 BddAbove (Set.range f)
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → PGame
x : PGame := mk ((i : Shrink.{u, u_1} ι) × (f ((equivShrink ι).symm i)).LeftMoves) PEmpty.{u + 1} (fun x => (f ((equivShrink ι).symm x.fst)).moveLeft x.snd) PEmpty.elim
i : ι
\u22a2 f i ≤ x
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → PGame
x : PGame := mk ((i : Shrink.{u, u_1} ι) × (f ((equivShrink ι).symm i)).LeftMoves) PEmpty.{u + 1} (fun x => (f ((equivShrink ι).symm x.fst)).moveLeft x.snd) PEmpty.elim
i : ι
\u22a2 (∀ (i_1 : (f ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i))).LeftMoves), (f ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i))).moveLeft i_1 ⧏ x) ∧ ∀ (j : x.RightMoves), f ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i)) ⧏ x.moveRight j
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Divisibility.lean
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
x y : α
x✝¹ : x ∣ y ∧ ¬y ∣ x
d : α
hd : y = x * d
hyx : ¬y ∣ x
x✝ : d ∣ 1
e : α
he : 1 = d * e
\u22a2 x = y * e
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Divisibility.lean
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
x y : α
x✝¹ : DvdNotUnit x y
hx0 : x ≠ 0
d : α
hdu : ¬IsUnit d
hdx : y = x * d
x✝ : y ∣ x
e : α
he : x = y * e
\u22a2 x * 1 = x * (d * e)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m K
\u22a2 Function.Injective A.mulVec ↔ IsUnit A
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m K
\u22a2 Function.Injective A.mulVec ↔ Function.Injective fun v => v ᵥ* Aᵀ
-- Mathlib/Order/Filter/Ultrafilter.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : Filter α
s : Set α
a : α
inst✝ : LinearOrder α
x : α
hx : IsTop x
this : Nonempty α
\u22a2 atTop = pure x
-- Mathlib/Order/Filter/Ultrafilter.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : Filter α
s : Set α
a : α
inst✝ : LinearOrder α
x : α
hx : IsTop x
this : Nonempty α
\u22a2 {x} ∈ atTop
-- Mathlib/Order/Filter/Ultrafilter.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : Filter α
s : Set α
a : α
inst✝ : LinearOrder α
x : α
hx : IsTop x
this : Nonempty α
\u22a2 {x} = Ici x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
f : α → E
\u22a2 ⨍ (x : α), f x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ
-- Mathlib/Topology/Order/IsLUB.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
s : Set α
a : α
hsa : a ∈ upperBounds s
hsf : a ∈ closure s
\u22a2 IsLUB s a
-- Mathlib/Topology/Order/IsLUB.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
s : Set α
a : α
hsa : a ∈ upperBounds s
hsf : (𝓟 s ⊓ 𝓝 a).NeBot
\u22a2 IsLUB s a
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x✝ y✝ z x y : E
\u22a2 insert x (insert y (openSegment 𝕜 x y)) = [x-[𝕜]y]
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x✝ y✝ z x y : E
\u22a2 [x-[𝕜]y] ⊆ insert x (insert y (openSegment 𝕜 x y))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x✝ y✝ z x y : E
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
\u22a2 a • x + b • y ∈ insert x (insert y (openSegment 𝕜 x y))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x✝ y✝ z x y : E
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
\u22a2 b = 0 → a • x + b • y = x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x✝ y✝ z x y : E
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hb' : 0 < b
\u22a2 a = 0 → a • x + b • y = y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x✝ y✝ z x y : E
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hb' : 0 < b
ha' : 0 < a
\u22a2 a • x + b • y ∈ openSegment 𝕜 x y
-- Mathlib/Data/NNRat/Defs.lean
p q✝ : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
q : ℚ≥0
\u22a2 ↑(divNat q.num q.den) = mkRat (↑q).num (↑q).den
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Dihedral.lean
n : ℕ
hn : Odd n
\u22a2 Nat.card { p // Commute p.1 p.2 } = n * (n + 3)
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Dihedral.lean
n : ℕ
hn : Odd n
hn' : NeZero n
\u22a2 Nat.card { p // Commute p.1 p.2 } = n * (n + 3)
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Dihedral.lean
n : ℕ
hn : Odd n
hn' : NeZero n
\u22a2 n + (n + (n + n * n)) = n * (n + 3)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}
\u22a2 (succ o).cof = 1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}
\u22a2 (succ o).cof ≤ 1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}
\u22a2 1 ≤ (succ o).cof
-- Mathlib/Algebra/Group/Defs.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n : ℕ
a : M
\u22a2 a ^ 2 = a * a
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/HomOrthogonal.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α β : Type
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : Finite β
f : α → ι
g : β → ι
z : (⨁ fun a => s (f a)) ⟶ ⨁ fun b => s (g b)
j : β
k : α
\u22a2 biproduct.ι (fun a => s (f a)) k ≫ (fun z => biproduct.matrix fun j k => if h : f j = g k then z (f j) ⟨k, ⋯⟩ ⟨j, ⋯⟩ ≫ eqToHom ⋯ else 0) ((fun z i j k => eqToHom ⋯ ≫ biproduct.components z ↑k ↑j ≫ eqToHom ⋯) z) ≫ biproduct.π (fun b => s (g b)) j = biproduct.ι (fun a => s (f a)) k ≫ z ≫ biproduct.π (fun b => s (g b)) j
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/HomOrthogonal.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α β : Type
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : Finite β
f : α → ι
g : β → ι
z : (⨁ fun a => s (f a)) ⟶ ⨁ fun b => s (g b)
j : β
k : α
\u22a2 (if h : f k = g j then (eqToHom ⋯ ≫ biproduct.components z k j ≫ eqToHom ⋯) ≫ eqToHom ⋯ else 0) = biproduct.ι (fun a => s (f a)) k ≫ z ≫ biproduct.π (fun b => s (g b)) j
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/HomOrthogonal.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α β : Type
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : Finite β
f : α → ι
g : β → ι
z : (i : ι) → Matrix (↑(g ⁻¹' {i})) (↑(f ⁻¹' {i})) (End (s i))
j : β
k : α
w : j ∈ g ⁻¹' {f k}
\u22a2 (fun z i j k => eqToHom ⋯ ≫ biproduct.components z ↑k ↑j ≫ eqToHom ⋯) ((fun z => biproduct.matrix fun j k => if h : f j = g k then z (f j) ⟨k, ⋯⟩ ⟨j, ⋯⟩ ≫ eqToHom ⋯ else 0) z) (f k) ⟨j, w⟩ ⟨k, ⋯⟩ = z (f k) ⟨j, w⟩ ⟨k, ⋯⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/HomOrthogonal.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α β : Type
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : Finite β
f : α → ι
g : β → ι
z : (i : ι) → Matrix (↑(g ⁻¹' {i})) (↑(f ⁻¹' {i})) (End (s i))
j : β
k : α
w : j ∈ g ⁻¹' {f k}
\u22a2 (if h : f k = g j then z (f k) ⟨j, ⋯⟩ ⟨k, ⋯⟩ ≫ eqToHom ⋯ else 0) ≫ eqToHom ⋯ = z (f k) ⟨j, w⟩ ⟨k, ⋯⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeProduct/Basic.lean
I : Type u
inst✝⁵ : DecidableEq I
i✝ : I
R : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : I → Type w
inst✝³ : (i : I) → Semiring (A i)
inst✝² : (i : I) → Algebra R (A i)
B : Type w'
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
maps : {i : I} → A i →ₐ[R] B
f : FreeProduct R A →ₐ[R] B
h : ∀ (i : I), f ∘ₐ ι R A i = maps
i : I
a : A i
\u22a2 (((f ∘ₐ RingQuot.mkAlgHom R (rel R A)).toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R) ∘ₗ DirectSum.lof R I A i) a = (((((lift R A) fun {i} => maps) ∘ₐ RingQuot.mkAlgHom R (rel R A)).toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R) ∘ₗ DirectSum.lof R I A i) a
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeProduct/Basic.lean
I : Type u
inst✝⁵ : DecidableEq I
i✝ : I
R : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : I → Type w
inst✝³ : (i : I) → Semiring (A i)
inst✝² : (i : I) → Algebra R (A i)
B : Type w'
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
maps : {i : I} → A i →ₐ[R] B
f : FreeProduct R A →ₐ[R] B
i : I
a : A i
h : ∀ (i : I) (x : A i), (f ∘ₐ ι R A i) x = maps x
\u22a2 (((f ∘ₐ RingQuot.mkAlgHom R (rel R A)).toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R) ∘ₗ DirectSum.lof R I A i) a = (((((lift R A) fun {i} => maps) ∘ₐ RingQuot.mkAlgHom R (rel R A)).toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R) ∘ₗ DirectSum.lof R I A i) a
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeProduct/Basic.lean
I : Type u
inst✝⁵ : DecidableEq I
i✝ : I
R : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : I → Type w
inst✝³ : (i : I) → Semiring (A i)
inst✝² : (i : I) → Algebra R (A i)
B : Type w'
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
maps : {i : I} → A i →ₐ[R] B
f : FreeProduct R A →ₐ[R] B
i : I
a : A i
h : (f ∘ₐ ι R A i) a = maps a
\u22a2 (((f ∘ₐ RingQuot.mkAlgHom R (rel R A)).toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R) ∘ₗ DirectSum.lof R I A i) a = (((((lift R A) fun {i} => maps) ∘ₐ RingQuot.mkAlgHom R (rel R A)).toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R) ∘ₗ DirectSum.lof R I A i) a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Order.lean
A : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : CstarRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : PartialOrder A
inst✝ : StarOrderedRing A
a : A
ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
\u22a2 -(algebraMap ℝ A) ‖a‖ ≤ a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Order.lean
A : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : CstarRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : PartialOrder A
inst✝ : StarOrderedRing A
a : A
ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
this : -a ≤ (algebraMap ℝ A) ‖a‖
\u22a2 -(algebraMap ℝ A) ‖a‖ ≤ a
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b : α
n : ℤ
a : α
\u22a2 mabs (a ^ n) = mabs a ^ |n|
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b : α
n : ℤ
a : α
n0 : 0 ≤ n
\u22a2 mabs (a ^ n) = mabs a ^ |n|
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b : α
n : ℤ
a : α
n0 : n ≤ 0
\u22a2 mabs (a ^ n) = mabs a ^ |n|
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/CocompactMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
f✝ : 𝓕
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
\u22a2 Tendsto f (cocompact E) (cocompact F)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/CocompactMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
f✝ : 𝓕
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
\u22a2 ∀ s ∈ cocompact F, f ⁻¹' s ∈ cocompact E
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/CocompactMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
f✝ : 𝓕
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
\u22a2 f ⁻¹' s ∈ cocompact E
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/CocompactMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
f✝ : 𝓕
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s
\u22a2 f ⁻¹' s ∈ cocompact E
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/CocompactMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
f✝ : 𝓕
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s
r : ℝ
hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
\u22a2 f ⁻¹' s ∈ cocompact E