ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
hY : AEMeasurable Y μ
hf_int : Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
\u22a2 Integrable (fun x => ‖∫ (y : Ω), f (x, y) ∂(Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).condKernel x‖) (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).fst
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y✝ x y : ℝ
h : x < y
\u22a2 rexp x < rexp y
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y✝ x y : ℝ
h : x < y
\u22a2 rexp x < rexp (y - x) * rexp x
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Cycle α
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsAntisymm α r
hs : Chain r s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
\u22a2 a = b
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Cycle α
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsAntisymm α r
hs : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, r a b
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
\u22a2 a = b
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq β
i : β → γ
j : γ → β
h : Function.LeftInverse j i
a : β
\u22a2 a ∈ Finset.image j {i a}
-- Mathlib/Data/List/Range.lean
α : Type u
l : List ℕ
n : ℕ
\u22a2 (∃ s ∈ l.ranges, n ∈ s) ↔ n < Nat.sum l
-- Mathlib/Order/Hom/CompleteLattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : InfSet α
inst✝¹ : InfSet β
inst✝ : sInfHomClass F α β
f : F
g : ι → α
\u22a2 f (⨅ i, g i) = ⨅ i, f (g i)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
\u22a2 W.Φ 1 = X
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε✝ δ : 𝕜
u✝ v✝ u v : Finset α
ε : 𝕜
\u22a2 (u, v) ∈ P.sparsePairs G ε ↔ u ∈ P.parts ∧ v ∈ P.parts ∧ u ≠ v ∧ ↑(G.edgeDensity u v) < ε
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
\u22a2 a ⊔ b ⊔ c = c ⊔ b ⊔ a
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M✝ N✝ P Q : Submodule R A
m n : A
M N : Submodule R A
\u22a2 (map₂ (LinearMap.mul R A) M N).toAddSubmonoid = ⨆ s, AddSubmonoid.map (AddMonoidHom.mulLeft ↑s) N.toAddSubmonoid
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M✝ N✝ P Q : Submodule R A
m n : A
M N : Submodule R A
\u22a2 ⨆ i, (map ((LinearMap.mul R A) ↑i) N).toAddSubmonoid = ⨆ s, AddSubmonoid.map (AddMonoidHom.mulLeft ↑s) N.toAddSubmonoid
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
b : ℝ
hb₀ : 0 < b
hb₁ : b < 1
\u22a2 Tendsto (fun x => b ^ x) atBot atTop
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
b : ℝ
hb₀ : 0 < b
hb₁ : b < 1
\u22a2 Tendsto (fun x => rexp (log b * x)) atBot atTop
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
b : ℝ
hb₀ : 0 < b
hb₁ : b < 1
\u22a2 log b < 0
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
f_inj : InjOn f s
ht : autoParam t.Finite _auto✝
\u22a2 s.ncard ≤ t.ncard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
f_inj : InjOn f s
ht : autoParam t.Finite _auto✝
hle : s.encard ≤ t.encard
\u22a2 s.ncard ≤ t.ncard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
f_inj : InjOn f s
ht : autoParam t.Finite _auto✝
hle : s.encard ≤ t.encard
\u22a2 ↑s.ncard ≤ ↑t.ncard
-- Mathlib/Algebra/Homology/QuasiIso.lean
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : K' ⟶ L'
e : Arrow.mk φ ≅ Arrow.mk φ'
inst✝³ : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝² : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), K'.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), L'.HasHomology i
\u22a2 QuasiIso φ ↔ QuasiIso φ'
-- Mathlib/Algebra/Homology/QuasiIso.lean
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : K' ⟶ L'
e : Arrow.mk φ ≅ Arrow.mk φ'
inst✝³ : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝² : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), K'.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), L'.HasHomology i
\u22a2 QuasiIso ((let_fun this := e.inv.left; this) ≫ φ) ↔ QuasiIso (φ' ≫ let_fun this := e.inv.right; this)
-- Mathlib/Algebra/Homology/QuasiIso.lean
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : K' ⟶ L'
e : Arrow.mk φ ≅ Arrow.mk φ'
inst✝³ : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝² : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), K'.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), L'.HasHomology i
\u22a2 QuasiIso ((Arrow.mk φ').hom ≫ e.inv.right) ↔ QuasiIso (φ' ≫ let_fun this := e.inv.right; this)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convolution.lean
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
\u22a2 term (f ⍟ g) s n = ∑' (b : ↑((fun p => p.1 * p.2) ⁻¹' {n})), term f s (↑b).1 * term g s (↑b).2
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convolution.lean
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
\u22a2 term (f ⍟ g) s 0 = ∑' (b : ↑((fun p => p.1 * p.2) ⁻¹' {0})), term f s (↑b).1 * term g s (↑b).2
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convolution.lean
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 term (f ⍟ g) s n = ∑' (b : ↑((fun p => p.1 * p.2) ⁻¹' {n})), term f s (↑b).1 * term g s (↑b).2
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : Div G
m✝ : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
E : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : AddGroup E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : MeasurableSub₂ E
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g
\u22a2 MeasurableSet {x | f x = g x}
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : Div G
m✝ : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
E : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : AddGroup E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : MeasurableSub₂ E
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g
\u22a2 {x | f x = g x} = {x | (f - g) x = 0}
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : Div G
m✝ : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
E : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : AddGroup E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : MeasurableSub₂ E
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g
x✝ : α
\u22a2 x✝ ∈ {x | f x = g x} ↔ x✝ ∈ {x | (f - g) x = 0}
-- Mathlib/Logic/Relation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
hab : ReflTransGen r a b
hbc : TransGen r b c
\u22a2 TransGen r a c
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
\u22a2 (∀ (f : ℕ →o (Submodule R M)ᵒᵈ), ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f n = f m) ↔ IsArtinian R M
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
\u22a2 (∀ (f : ℕ →o (Submodule R M)ᵒᵈ), ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f n = f m) ↔ WellFounded fun x x_1 => x < x_1
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
\u22a2 restrictScalars F (adjoin (↥(adjoin F S)) T) = adjoin F (S ∪ T)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
\u22a2 ↑(restrictScalars F (adjoin (↥(adjoin F S)) T)) = ↑(adjoin F (S ∪ T))
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
\u22a2 ↑(adjoin (↥(adjoin F S)) T) = ↑(adjoin F (S ∪ T))
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
\u22a2 Set.range ⇑(algebraMap (↥(adjoin F S)) E) ⊆ ↑(adjoin F (S ∪ T))
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
\u22a2 T ⊆ ↑(adjoin F (S ∪ T))
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
\u22a2 Set.range ⇑(algebraMap F E) ⊆ ↑(adjoin (↥(adjoin F S)) T)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E
\u22a2 S ∪ T ⊆ ↑(adjoin (↥(adjoin F S)) T)
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Type u_1
inst1 inst2 : BEq α
inst✝¹ : LawfulBEq α
inst✝ : LawfulBEq α
\u22a2 inst1 = inst2
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Type u_1
inst1 inst2 : BEq α
inst✝¹ : LawfulBEq α
inst✝ : LawfulBEq α
\u22a2 ∀ (x y : α), (x == y) = (x == y)
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Type u_1
inst1 inst2 : BEq α
inst✝¹ : LawfulBEq α
inst✝ : LawfulBEq α
x y : α
\u22a2 (x == y) = (x == y)
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
hBf : ∃ c < a, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hBg : ∃ c < a, ∃ B, g =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
\u22a2 ∃ c < a, ∃ B, (f - g) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
hBf : ∃ c < a, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hBg : ∃ c < a, ∃ B, g =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → (fun z => expR (B₁ * Complex.abs z ^ c₁)) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B₂ * Complex.abs z ^ c₂)
\u22a2 ∃ c < a, ∃ B, (f - g) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → (fun z => expR (B₁ * Complex.abs z ^ c₁)) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B₂ * Complex.abs z ^ c₂)
cf : ℝ
hcf : cf < a
Bf : ℝ
hOf : f =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bf * Complex.abs z ^ cf)
cg : ℝ
hcg : cg < a
Bg : ℝ
hOg : g =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bg * Complex.abs z ^ cg)
\u22a2 ∃ c < a, ∃ B, (f - g) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → (fun z => expR (B₁ * Complex.abs z ^ c₁)) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B₂ * Complex.abs z ^ c₂)
cf : ℝ
hcf : cf < a
Bf : ℝ
hOf : f =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bf * Complex.abs z ^ cf)
cg : ℝ
hcg : cg < a
Bg : ℝ
hOg : g =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bg * Complex.abs z ^ cg)
\u22a2 (f - g) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (max 0 (max Bf Bg) * Complex.abs z ^ max cf cg)
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → (fun z => expR (B₁ * Complex.abs z ^ c₁)) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B₂ * Complex.abs z ^ c₂)
cf : ℝ
hcf : cf < a
Bf : ℝ
hOf : f =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bf * Complex.abs z ^ cf)
cg : ℝ
hcg : cg < a
Bg : ℝ
hOg : g =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bg * Complex.abs z ^ cg)
\u22a2 cf ≤ max cf cg
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → (fun z => expR (B₁ * Complex.abs z ^ c₁)) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B₂ * Complex.abs z ^ c₂)
cf : ℝ
hcf : cf < a
Bf : ℝ
hOf : f =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bf * Complex.abs z ^ cf)
cg : ℝ
hcg : cg < a
Bg : ℝ
hOg : g =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bg * Complex.abs z ^ cg)
\u22a2 0 ≤ max 0 (max Bf Bg)
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → (fun z => expR (B₁ * Complex.abs z ^ c₁)) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B₂ * Complex.abs z ^ c₂)
cf : ℝ
hcf : cf < a
Bf : ℝ
hOf : f =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bf * Complex.abs z ^ cf)
cg : ℝ
hcg : cg < a
Bg : ℝ
hOg : g =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bg * Complex.abs z ^ cg)
\u22a2 Bf ≤ max 0 (max Bf Bg)
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → (fun z => expR (B₁ * Complex.abs z ^ c₁)) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B₂ * Complex.abs z ^ c₂)
cf : ℝ
hcf : cf < a
Bf : ℝ
hOf : f =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bf * Complex.abs z ^ cf)
cg : ℝ
hcg : cg < a
Bg : ℝ
hOg : g =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bg * Complex.abs z ^ cg)
\u22a2 cg ≤ max cf cg
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → (fun z => expR (B₁ * Complex.abs z ^ c₁)) =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (B₂ * Complex.abs z ^ c₂)
cf : ℝ
hcf : cf < a
Bf : ℝ
hOf : f =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bf * Complex.abs z ^ cf)
cg : ℝ
hcg : cg < a
Bg : ℝ
hOg : g =O[cobounded ℂ ⊓ l] fun z => expR (Bg * Complex.abs z ^ cg)
\u22a2 Bg ≤ max 0 (max Bf Bg)
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
\u22a2 a ^ 2 = -↑(normSq a) ↔ a.re = 0
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
\u22a2 a ^ 2 = -↑(normSq a) ↔ star a = -a
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
\u22a2 0 ^ 2 = -↑(normSq 0) ↔ star 0 = -0
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
hq0 : a ≠ 0
\u22a2 a ^ 2 = -↑(normSq a) ↔ star a = -a
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f✝ f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : Finite ι
f : (i : ι) → α i
\u22a2 (pi fun x => pure (f x)) = pure f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
\u22a2 ∃ g, eLpNorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ P g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
μ : Measure α
P : (α → E) → Prop
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_ne_top : 0 ≠ ⊤
h0P : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) 0 μ ≤ ε ∧ P g
hf : Memℒp f 0 μ
\u22a2 ∃ g, eLpNorm (f - g) 0 μ ≤ ε ∧ P g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
\u22a2 ∃ g, eLpNorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ P g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
\u22a2 ∀ (f' : α →ₛ E) (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f') p μ → ∃ g, eLpNorm (↑f' - g) p μ ≤ δ ∧ P g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
\u22a2 ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))) p μ → ∃ g, eLpNorm (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) - g) p μ ≤ δ ∧ P g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
\u22a2 ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄, Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → (∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑f) p μ → ∃ g, eLpNorm (↑f - g) p μ ≤ δ ∧ P g) → (∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑g) p μ → ∃ g_1, eLpNorm (↑g - g_1) p μ ≤ δ ∧ P g_1) → ∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → Memℒp (↑(f + g)) p μ → ∃ g_1, eLpNorm (↑(f + g) - g_1) p μ ≤ δ ∧ P g_1
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
f : Filter α
g : Filter β
s : Set α
t : Set β
\u22a2 (𝓟 s).coprod (𝓟 t) = 𝓟 (sᶜ ×ˢ tᶜ)ᶜ
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
n : ℕ
b : Bool
\u22a2 bit b n ≠ 0 ↔ n = 0 → b = true
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t : Set α
f✝ g f : α → E
s : Set α
\u22a2 ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ = (μ s).toReal⁻¹ • ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
z : R
f : (i : ι) → s i
\u22a2 tprodCoeff R z f = z • (tprod R) f
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
z : R
f : (i : ι) → s i
this : z = z • 1
\u22a2 tprodCoeff R z f = z • (tprod R) f
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
m n : M
\u22a2 weightedHomogeneousSubmodule R w m * weightedHomogeneousSubmodule R w n ≤ weightedHomogeneousSubmodule R w (m + n)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Bilinear.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : FunLike 𝓕 E F
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
L : E →L[𝕜] Fₗ →L[𝕜] Gₗ
\u22a2 ‖precompL Eₗ L‖ ≤ ‖L‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Bilinear.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝³ : FunLike 𝓕 E F
inst✝² : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
L : E →L[𝕜] Fₗ →L[𝕜] Gₗ
\u22a2 ‖precompR Eₗ L.flip‖ ≤ ‖L.flip‖
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Within.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s t : Set E
x : E
hs : s ⊆ t
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFPowerSeriesWithinAt f p t x
\u22a2 AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
inst✝ : NoMaxOrder α
a b : α
\u22a2 interior (Ioc a b) = Ioo a b
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module A N
inst✝ : IsScalarTower R A N
l : M →ₗ[R] N
\u22a2 range (liftBaseChange A l) = Submodule.span A ↑(range l)
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module A N
inst✝ : IsScalarTower R A N
l : M →ₗ[R] N
\u22a2 range (liftBaseChange A l) ≤ Submodule.span A ↑(range l)