ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
hE : CompleteSpace E✝
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ
h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
\u22a2 (∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ).toReal ≤ ((∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q)).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
hE : CompleteSpace E✝
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ
h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
\u22a2 (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
hE : CompleteSpace E✝
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E✝
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E✝
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ
h_left : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ * ‖g a‖) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ
h_right_f : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ
h_right_g : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖g a‖ ^ q) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
\u22a2 ∫⁻ (a : α), ((fun x => ↑‖f x‖₊) * fun x => ↑‖g x‖₊) a ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
h2 : s ≠ 0
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊
\u22a2 Gamma (s + 1) = s * Gamma s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
h2 : s ≠ 0
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊
t1 : -s.re < ↑n
\u22a2 Gamma (s + 1) = s * Gamma s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
h2 : s ≠ 0
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊
t1 : -s.re < ↑n
t2 : -(s + 1).re < ↑n
\u22a2 Gamma (s + 1) = s * Gamma s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
h2 : s ≠ 0
n : ℕ := ⌊1 - s.re⌋₊
t1 : -s.re < ↑n
t2 : -(s + 1).re < ↑n
\u22a2 GammaAux n (s + 1) = s * (GammaAux n (s + 1) / s)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x c : ℂ
\u22a2 ((g x * f x ^ (g x - 1)) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 f' + (f x ^ g x * log (f x)) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 g') 1 = g x * f x ^ (g x - 1) * f' + f x ^ g x * log (f x) * g'
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
\u22a2 Orthonormal 𝕜 fun i => single i 1
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
\u22a2 ι → ι → True
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m✝ m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hfg : μ.withDensity f = μ.withDensity g
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m✝ m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hfg : μ.withDensity f = μ.withDensity g
\u22a2 ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m✝ m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hfg : μ.withDensity f = μ.withDensity g
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x✝ : μ s < ⊤
\u22a2 ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Compatibility.lean
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_6, u_1} A
inst✝² : Category.{u_5, u_2} A'
inst✝¹ : Category.{u_8, u_3} B
inst✝ : Category.{u_7, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
G : B ⥤ A
hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor
η : G ⋙ F ≅ eB.functor
ε : eA.functor ≅ F ⋙ e'.inverse
hε : υ hF = ε
X : A
\u22a2 (equivalence₂ eB hF).unitIso.hom.app X ≫ ((𝟙 (eA.inverse.obj (e'.inverse.obj (eB.functor.obj (eB.inverse.obj (F.obj X))))) ≫ eA.inverse.map (hG.hom.app (eB.inverse.obj (F.obj X)))) ≫ eA.unitIso.inv.app (G.obj (eB.inverse.obj (F.obj X)))) ≫ 𝟙 (G.obj (eB.inverse.obj (F.obj X))) = (equivalenceUnitIso hG ε).hom.app X
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Compatibility.lean
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_6, u_1} A
inst✝² : Category.{u_5, u_2} A'
inst✝¹ : Category.{u_8, u_3} B
inst✝ : Category.{u_7, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
G : B ⥤ A
hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor
η : G ⋙ F ≅ eB.functor
ε : eA.functor ≅ F ⋙ e'.inverse
hε : υ hF = ε
X : A
\u22a2 (equivalence₂ eB hF).unitIso.hom.app X ≫ 𝟙 (eA.inverse.obj (e'.inverse.obj (eB.functor.obj (eB.inverse.obj (F.obj X))))) ≫ eA.inverse.map (hG.hom.app (eB.inverse.obj (F.obj X))) ≫ eA.unitIso.inv.app (G.obj (eB.inverse.obj (F.obj X))) = eA.unitIso.hom.app X ≫ eA.inverse.map (ε.hom.app X) ≫ eA.inverse.map (e'.inverse.map (eB.counitIso.inv.app (F.obj X))) ≫ eA.inverse.map (hG.hom.app (eB.inverse.obj (F.obj X))) ≫ eA.unitIso.inv.app (G.obj (eB.inverse.obj (F.obj X)))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Compatibility.lean
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_6, u_1} A
inst✝² : Category.{u_5, u_2} A'
inst✝¹ : Category.{u_8, u_3} B
inst✝ : Category.{u_7, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
G : B ⥤ A
hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor
η : G ⋙ F ≅ eB.functor
ε : eA.functor ≅ F ⋙ e'.inverse
hε : υ hF = ε
X : A
\u22a2 (equivalence₂ eB hF).unitIso.hom.app X ≫ eA.inverse.map (hG.hom.app (eB.inverse.obj (F.obj X))) ≫ eA.unitIso.inv.app (G.obj (eB.inverse.obj (F.obj X))) = eA.unitIso.hom.app X ≫ eA.inverse.map (ε.hom.app X) ≫ eA.inverse.map (e'.inverse.map (eB.counitIso.inv.app (F.obj X))) ≫ eA.inverse.map (hG.hom.app (eB.inverse.obj (F.obj X))) ≫ eA.unitIso.inv.app (G.obj (eB.inverse.obj (F.obj X)))
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
z : S
i : ℕ
hi : i < f.natDegree
\u22a2 h.coeff z i = (h.basis.repr z) ⟨i, hi⟩
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
z : S
i : ℕ
hi : i < f.natDegree
\u22a2 { toFun := Polynomial.coeff, map_add' := ⋯ } (h.modByMonicHom z) i = (h.modByMonicHom z).coeff i
-- Mathlib/Algebra/Group/Pi/Basic.lean
I : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : I → Type v₁
g✝ : I → Type v₂
h : I → Type v₃
x y : (i : I) → f✝ i
i : I
inst✝¹ : One β
inst✝ : One γ
f : α → β
g : β → γ
hg : Injective g
hg0 : g 1 = 1
\u22a2 g ∘ f = 1 ↔ f = 1
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : SizeOf α
x : α
val✝ : Multiset α
nodup✝ : val✝.Nodup
hx : x ∈ { val := val✝, nodup := nodup✝ }
\u22a2 sizeOf x < 1 + Quot.liftOn val✝ (fun m => m._sizeOf_1) ⋯
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : SizeOf α
x : α
val✝ : Multiset α
nodup✝ : val✝.Nodup
hx : x ∈ { val := val✝, nodup := nodup✝ }
\u22a2 sizeOf x < Quot.liftOn val✝ (fun m => m._sizeOf_1) ⋯ + 1
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : SizeOf α
x : α
val✝ : Multiset α
nodup✝ : val✝.Nodup
hx : x ∈ { val := val✝, nodup := nodup✝ }
\u22a2 sizeOf x < Quot.liftOn val✝ (fun m => m._sizeOf_1) ⋯
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : P.toProperty.RespectsIso
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso f
inst✝ : IsAffine Z
\u22a2 P (f ≫ g) ↔ P g
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n✝ n a : ℕ
\u22a2 a ≤ ⌊↑n⌋₊ ↔ a ≤ n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n✝ n a : ℕ
\u22a2 0 ≤ ↑n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
f : R[X]
hp : p ≠ 0
n✝ : ℕ
\u22a2 (contract p ((expand R p) f)).coeff n✝ = f.coeff n✝
-- Mathlib/Geometry/Manifold/InteriorBoundary.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
\u22a2 Disjoint (I.interior M) (I.boundary M)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/InteriorBoundary.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
h : ¬Disjoint (I.interior M) (I.boundary M)
\u22a2 False
-- Mathlib/Geometry/Manifold/InteriorBoundary.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
h : ¬Disjoint (I.interior M) (I.boundary M)
x : M
h1 : x ∈ I.interior M
h2 : x ∈ I.boundary M
\u22a2 False
-- Mathlib/Geometry/Manifold/InteriorBoundary.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
h : ¬Disjoint (I.interior M) (I.boundary M)
x : M
h1 : x ∈ I.interior M
h2 : x ∈ I.boundary M
\u22a2 ↑(extChartAt I x) x ∈ interior (range ↑I) ∧ ↑(extChartAt I x) x ∈ frontier (range ↑I)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
h_anti : StrictAntiOn (deriv f) (interior D)
\u22a2 StrictMonoOn (deriv (-f)) (interior D)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
h : b ≤ a
hb : b ≤ 0
\u22a2 a / b ≤ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Ordered.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a a' b b' : E
r r' : k
hb : b < b'
hr : 0 < r
\u22a2 (lineMap a b) r < (lineMap a b') r
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Ordered.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a a' b b' : E
r r' : k
hb : b < b'
hr : 0 < r
\u22a2 (1 - r) • a + r • b < (1 - r) • a + r • b'
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ unop U
f₂ : Y₂ ⟶ unop U
h₁ : (G.sieveOfSection s).arrows f₁
h₂ : (G.sieveOfSection s).arrows f₂
e : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
\u22a2 G.toPresheaf.map g₁.op (G.familyOfElementsOfSection s f₁ h₁) = G.toPresheaf.map g₂.op (G.familyOfElementsOfSection s f₂ h₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ unop U
f₂ : Y₂ ⟶ unop U
h₁ : (G.sieveOfSection s).arrows f₁
h₂ : (G.sieveOfSection s).arrows f₂
e : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
\u22a2 ↑(G.toPresheaf.map g₁.op (G.familyOfElementsOfSection s f₁ h₁)) = ↑(G.toPresheaf.map g₂.op (G.familyOfElementsOfSection s f₂ h₂))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ unop U
f₂ : Y₂ ⟶ unop U
h₁ : (G.sieveOfSection s).arrows f₁
h₂ : (G.sieveOfSection s).arrows f₂
e : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
\u22a2 F.map g₁.op (F.map f₁.op s) = F.map g₂.op (F.map f₂.op s)
-- Mathlib/Data/Finset/Option.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
p : Option α → Prop
\u22a2 (∀ a ∈ insertNone s, p a) ↔ p none ∧ ∀ a ∈ s, p (some a)
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r₁ r₂ : R
h₀ : 0 < r₁
h : r₁ ≤ r₂
\u22a2 clog b r₁ ≤ clog b r₂
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r₁ r₂ : R
h₀ : 0 < r₁
h : r₁ ≤ r₂
\u22a2 log b r₂⁻¹ ≤ log b r₁⁻¹
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : Fintype G
\u22a2 Finset.univ.lcm orderOf ∣ exponent G
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : Fintype G
\u22a2 ∀ b ∈ Finset.univ, orderOf b ∣ exponent G
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : Fintype G
g : G
a✝ : g ∈ Finset.univ
\u22a2 orderOf g ∣ exponent G
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
h : Acc r a
\u22a2 h.rank = sup fun b => succ ⋯.rank
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
h : Acc r a
\u22a2 ⋯.rank = sup fun b => succ ⋯.rank
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Complex.lean
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
\u22a2 EqOn (norm ∘ f) (const M ‖f c‖) U
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Complex.lean
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
\u22a2 U ⊆ V
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Complex.lean
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
hVo : IsOpen V
hVne : (U ∩ V).Nonempty
W : Set M := U ∩ {z | ‖f z‖ = ‖f c‖}ᶜ
\u22a2 U ⊆ V
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Complex.lean
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
hVo : IsOpen V
hVne : (U ∩ V).Nonempty
W : Set M := U ∩ {z | ‖f z‖ = ‖f c‖}ᶜ
hWo : IsOpen W
\u22a2 U ⊆ V
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Complex.lean
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
hVo : IsOpen V
hVne : (U ∩ V).Nonempty
W : Set M := U ∩ {z | ‖f z‖ = ‖f c‖}ᶜ
hWo : IsOpen W
hdVW : Disjoint V W
\u22a2 U ⊆ V
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Complex.lean
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
hVo : IsOpen V
hVne : (U ∩ V).Nonempty
W : Set M := U ∩ {z | ‖f z‖ = ‖f c‖}ᶜ
hWo : IsOpen W
hdVW : Disjoint V W
hUVW : U ⊆ V ∪ W
\u22a2 U ⊆ V
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
\u22a2 IsConnected s ↔ ∀ (U : Finset (Set α)), (∀ (u v : Set α), u ∈ U → v ∈ U → (s ∩ (u ∩ v)).Nonempty → u = v) → (∀ u ∈ U, IsOpen u) → s ⊆ ⋃₀ ↑U → ∃ u ∈ U, s ⊆ u
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
\u22a2 (s.Nonempty ∧ ∀ (u v : Set α), IsOpen u → IsOpen v → s ⊆ u ∪ v → s ∩ (u ∩ v) = ∅ → s ⊆ u ∨ s ⊆ v) ↔ ∀ (U : Finset (Set α)), (∀ (u v : Set α), u ∈ U → v ∈ U → (s ∩ (u ∩ v)).Nonempty → u = v) → (∀ u ∈ U, IsOpen u) → s ⊆ ⋃₀ ↑U → ∃ u ∈ U, s ⊆ u
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
h : n < l.length
\u22a2 modifyNth f n l = take n l ++ f l[n] :: drop (n + 1) l
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
h : n < l.length
\u22a2 take n l ++ modifyHead f (l[n] :: drop (n + 1) l) = take n l ++ f l[n] :: drop (n + 1) l
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/ENat.lean
x : Cardinal.{u_1}
n : ℕ
\u22a2 x.toENatAux = ↑n ↔ x = ↑n
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z w : ℍ
r R : ℝ
\u22a2 dist z w ≤ r ↔ dist ↑z ↑w / (2 * √(z.im * w.im)) ≤ sinh (r / 2)
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
f : ι' ≃ ι
t : (i : ι) → Set (α i)
\u22a2 ⇑(piCongrLeft α f) ⁻¹' univ.pi t = univ.pi fun i => t (f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)
\u22a2 ENNReal.ofReal ‖f - g‖ = ∫⁻ (x : α), ↑‖↑↑f x - ↑↑g x‖₊ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)
\u22a2 ∫⁻ (x : α), edist (↑↑(f - g) x) 0 ∂μ = ∫⁻ (x : α), edist (↑↑f x - ↑↑g x) 0 ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)
\u22a2 (fun a => edist (↑↑(f - g) a) 0) =ᶠ[ae μ] fun a => edist (↑↑f a - ↑↑g a) 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)
a✝ : α
ha : ↑↑(f - g) a✝ = (↑↑f - ↑↑g) a✝
\u22a2 edist (↑↑(f - g) a✝) 0 = edist (↑↑f a✝ - ↑↑g a✝) 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
r : R
\u22a2 (contractRight ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)) d = 0
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
n : ℕ
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝ : AddGroup A
f✝ f : { f // f ↑n = 0 }
\u22a2 Injective ⇑((lift n) f) ↔ ∀ (m : ℤ), ↑f m = 0 → ↑m = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
\u22a2 dimH univ = ↑n
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
\u22a2 x ∈ seminormFromBounded' f ⁻¹' {0} ↔ x ∈ f ⁻¹' {0}