ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasStrictFDerivAt c c' x
hd : HasStrictFDerivAt d d' x
z : E
\u22a2 (d x • c') z = (c'.smulRight (d x)) z
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
n : ℕ
fι : Fin n → ι
fA : (a : Fin n) → A (fι a)
\u22a2 (List.ofFn fun a => (of A (fι a)) (fA a)).prod = (of A ((List.finRange n).dProdIndex fι)) ((List.finRange n).dProd fι fA)
-- Mathlib/Logic/Hydra.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : IsIrrefl α r
s' s : Multiset α
\u22a2 CutExpand r s' s ↔ ∃ t a, (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s ∧ s' = s.erase a + t
-- Mathlib/Logic/Hydra.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : IsIrrefl α r
s' s : Multiset α
\u22a2 (∃ t a, (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s + t ∧ s' = (s + t).erase a) ↔ ∃ t a, (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s ∧ s' = s.erase a + t
-- Mathlib/Logic/Hydra.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : IsIrrefl α r
s' s t : Multiset α
a : α
\u22a2 (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s + t ∧ s' = (s + t).erase a → (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s ∧ s' = s.erase a + t
-- Mathlib/Logic/Hydra.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : IsIrrefl α r
s' s t : Multiset α
a : α
\u22a2 (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s ∧ s' = s.erase a + t → (∀ a' ∈ t, r a' a) ∧ a ∈ s + t ∧ s' = (s + t).erase a
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hn : 1 ≤ n
\u22a2 MDifferentiableWithinAt I I' f s x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hn : 1 ≤ n
\u22a2 MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hn : 1 ≤ n
\u22a2 ContinuousWithinAt f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasureCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
s : Set α
t : Set β
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
\u22a2 (μ ⊗ₘ κ) (s ×ˢ t) = ∫⁻ (a : α) in s, (κ a) t ∂μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasureCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
s : Set α
t : Set β
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
\u22a2 ∫⁻ (a : α), (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' s ×ˢ t) ∂μ = ∫⁻ (a : α), s.indicator (fun a => (κ a) t) a ∂μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasureCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
s : Set α
t : Set β
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
a : α
\u22a2 (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' s ×ˢ t) = s.indicator (fun a => (κ a) t) a
-- Mathlib/LinearAlgebra/SymplecticGroup.lean
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A ∈ symplecticGroup l R
\u22a2 IsUnit A.det
-- Mathlib/LinearAlgebra/SymplecticGroup.lean
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A ∈ symplecticGroup l R
\u22a2 ∃ b, A.det * b = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/SymplecticGroup.lean
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A ∈ symplecticGroup l R
\u22a2 A.det * A.det = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/SymplecticGroup.lean
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A ∈ symplecticGroup l R
\u22a2 (J l R).det * (A.det * A.det) = (J l R).det * 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/SymplecticGroup.lean
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A ∈ symplecticGroup l R
\u22a2 (J l R).det * (A.det * A.det) = (J l R).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/SymplecticGroup.lean
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A * J l R * Aᵀ = J l R
\u22a2 (J l R).det * (A.det * A.det) = (J l R).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/SymplecticGroup.lean
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : (A * J l R * Aᵀ).det = (J l R).det
\u22a2 (J l R).det * (A.det * A.det) = (J l R).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/SymplecticGroup.lean
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A.det * (J l R).det * A.det = (J l R).det
\u22a2 (J l R).det * (A.det * A.det) = (J l R).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/SymplecticGroup.lean
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : (J l R).det * (A.det * A.det) = (J l R).det
\u22a2 (J l R).det * (A.det * A.det) = (J l R).det
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
x : ℂ
\u22a2 1 ^ x = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
x : ℂ
\u22a2 (if 1 = 0 then if x = 0 then 1 else 0 else cexp (log 1 * x)) = 1
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : IsBigOWith c l f g
\u22a2 f =O[l] g
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : IsBigOWith c l f g
\u22a2 ∃ c, IsBigOWith c l f g
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableClosure.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
\u22a2 sepDegree F F = 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
\u22a2 t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j = 𝟙 (pullback (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
\u22a2 (t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j) ≫ pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) = pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
\u22a2 (t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j) ≫ pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) = pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k)
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
a : ℤ
inst✝ : NeZero n
\u22a2 ↑(↑a).val = a % ↑n
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
a : ℤ
inst✝ : NeZero n
hle : 0 ≤ ↑(↑a).val
\u22a2 ↑(↑a).val = a % ↑n
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
a : ℤ
inst✝ : NeZero n
hle : 0 ≤ ↑(↑a).val
hlt : ↑(↑a).val < ↑n
\u22a2 ↑(↑a).val = a % ↑n
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
a : ℤ
inst✝ : NeZero n
hle : 0 ≤ ↑(↑a).val
hlt : ↑(↑a).val < ↑n
\u22a2 ↑(↑a).val % ↑n = a % ↑n
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t✝ : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ s t : Set α
\u22a2 IsSeparable (s ∪ t) ↔ IsSeparable s ∧ IsSeparable t
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Basic.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s✝ t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
x₀ : 𝕜
s : Set 𝕜
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s
\u22a2 ‖deriv f x₀‖ ≤ ↑C
-- Mathlib/Algebra/Lie/Free.lean
R : Type u
X : Type v
inst✝² : CommRing R
L : Type w
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
f : X → L
a b : lib R X
h : Rel R X a b
\u22a2 (liftAux R f) a = (liftAux R f) b
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
x✝¹ x✝ : Fin (n + 1)
h : x✝¹.succAbove = x✝.succAbove
\u22a2 x✝¹ = x✝
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
s : Finset ι
f : ι → Set α
\u22a2 (⋃ i ∈ s, f i).WellFoundedOn r ↔ ∀ i ∈ s, (f i).WellFoundedOn r
-- Mathlib/Analysis/Convex/GaugeRescale.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
x : E
\u22a2 gaugeRescale s t (c • x) = c • gaugeRescale s t x
-- Mathlib/Analysis/Convex/GaugeRescale.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
x : E
\u22a2 (c * gauge s x / (c * gauge t x) * c) • x = (c * (gauge s x / gauge t x)) • x
-- Mathlib/Analysis/Complex/Liouville.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
hf : Differentiable ℂ f
c : F
hb : Tendsto f (cocompact E) (𝓝 c)
\u22a2 f = const E c
-- Mathlib/Analysis/Complex/Liouville.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
hf : Differentiable ℂ f
c : F
hb : Tendsto f (cocompact E) (𝓝 c)
h_bdd : Bornology.IsBounded (range f)
\u22a2 f = const E c
-- Mathlib/Analysis/Complex/Liouville.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
hf : Differentiable ℂ f
c : F
hb : Tendsto f (cocompact E) (𝓝 c)
h_bdd : Bornology.IsBounded (range f)
c' : F
hc' : f = const E c'
\u22a2 f = const E c
-- Mathlib/Analysis/Complex/Liouville.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
hf : Differentiable ℂ f
c : F
hb : Tendsto f (cocompact E) (𝓝 c)
h_bdd : Bornology.IsBounded (range f)
c' : F
hc' : f = const E c'
\u22a2 c = c'
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Polynomial.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Algebra R 𝕜
p : 𝕜[X]
q : R[X]
x : 𝕜
\u22a2 HasStrictDerivAt (fun x => (aeval x) q) ((aeval x) (derivative q)) x
-- Mathlib/Data/Setoid/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
\u22a2 Subsingleton (Quot r) ↔ EqvGen r = ⊤
-- Mathlib/Data/Setoid/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
\u22a2 (∀ (x y : Quot r), x = y) ↔ ∀ (i i_1 : α), ⊤ ≤ EqvGen r i i_1
-- Mathlib/Data/Setoid/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
a : α
\u22a2 (∀ (y : Quot r), mk r a = y) ↔ ∀ (i : α), ⊤ ≤ EqvGen r a i
-- Mathlib/Data/Setoid/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
a b : α
\u22a2 mk r a = mk r b ↔ ⊤ ≤ EqvGen r a b
-- Mathlib/Data/Setoid/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
a b : α
\u22a2 EqvGen r a b ↔ ⊤ ≤ EqvGen r a b
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
\u22a2 Convex ℝ (p.closedBall x r)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
\u22a2 Convex ℝ (⋂ ρ, ⋂ (_ : ρ > r), p.ball x ρ)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ
\u22a2 (n + 1) ^ (k + 2) < (n + 1).ascFactorial (k + 2)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ
\u22a2 (n + 1) * (n + 1) ^ (k + 1) < (n + 1 + (k + 1)) * (n + 1).ascFactorial (k + 1)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
U✝ : TopologicalSpace.Opens ↑↑(sheafedSpaceObj R).toPresheafedSpace
x✝ : (forget CommRingCat).obj ((sheafedSpaceObj R).presheaf.obj (op U✝))
\u22a2 (((sheafedSpaceMap (f ≫ g)).c ≫ whiskerRight (eqToHom ⋯) (sheafedSpaceObj T).presheaf).app (op U✝)) x✝ = ((sheafedSpaceMap g ≫ sheafedSpaceMap f).c.app (op U✝)) x✝
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
U✝ : TopologicalSpace.Opens ↑↑(sheafedSpaceObj R).toPresheafedSpace
x✝ : (forget CommRingCat).obj ((sheafedSpaceObj R).presheaf.obj (op U✝))
\u22a2 (comap (f ≫ g) (unop (op U✝)) ((TopologicalSpace.Opens.map (topMap (f ≫ g))).obj (unop (op U✝))) ⋯ ≫ (sheafedSpaceObj T).presheaf.map ((𝟙 (TopologicalSpace.Opens.map (sheafedSpaceMap (f ≫ g)).base).op).app (op U✝))) x✝ = ((sheafedSpaceMap g ≫ sheafedSpaceMap f).c.app (op U✝)) x✝
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
U✝ : TopologicalSpace.Opens ↑↑(sheafedSpaceObj R).toPresheafedSpace
x✝ : (forget CommRingCat).obj ((sheafedSpaceObj R).presheaf.obj (op U✝))
\u22a2 ((comap g ?w.w.V ((TopologicalSpace.Opens.map (topMap (f ≫ g))).obj (unop (op U✝))) ?w.w.hVW).comp (comap f (unop (op U✝)) ?w.w.V ?w.w.hUV)) x✝ = ((sheafedSpaceMap g ≫ sheafedSpaceMap f).c.app (op U✝)) x✝
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
U✝ : TopologicalSpace.Opens ↑↑(sheafedSpaceObj R).toPresheafedSpace
x✝ : (forget CommRingCat).obj ((sheafedSpaceObj R).presheaf.obj (op U✝))
\u22a2 TopologicalSpace.Opens ↑(PrimeSpectrum.Top ↑S)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
U✝ : TopologicalSpace.Opens ↑↑(sheafedSpaceObj R).toPresheafedSpace
x✝ : (forget CommRingCat).obj ((sheafedSpaceObj R).presheaf.obj (op U✝))
\u22a2 ∀ p ∈ ?w.w.V, (PrimeSpectrum.comap f) p ∈ unop (op U✝)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
U✝ : TopologicalSpace.Opens ↑↑(sheafedSpaceObj R).toPresheafedSpace
x✝ : (forget CommRingCat).obj ((sheafedSpaceObj R).presheaf.obj (op U✝))
\u22a2 ∀ p ∈ (TopologicalSpace.Opens.map (topMap (f ≫ g))).obj (unop (op U✝)), (PrimeSpectrum.comap g) p ∈ ?w.w.V
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
h : Fintype.card n = 0
M : Matrix n n R
\u22a2 M.det = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
h : IsEmpty n
M : Matrix n n R
\u22a2 M.det = 1
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
κ : ι → Type u_2
t : (i : ι) → Set (κ i)
ht : ∀ (i : ι), (t i).Finite
\u22a2 (univ.pi t).Finite
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
κ : ι → Type u_2
t : (i : ι) → Set (κ i)
ht : ∀ (i : ι), (t i).Finite
val✝ : Fintype ι
\u22a2 (univ.pi t).Finite
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
κ : ι → Type u_2
val✝ : Fintype ι
t : (i : ι) → Finset (κ i)
\u22a2 (univ.pi fun i => ↑(t i)).Finite
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
h : lucasLehmerResidue (p' + 2) = 0
\u22a2 ω ^ 2 ^ (p' + 2) = (ω ^ 2 ^ (p' + 1)) ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
h : lucasLehmerResidue (p' + 2) = 0
\u22a2 (ω ^ 2 ^ (p' + 1)) ^ 2 = (-1) ^ 2
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Lemmas.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝⁷ : MonoidWithZero M₀
inst✝⁶ : GroupWithZero G₀
inst✝⁵ : Nontrivial M₀
inst✝⁴ : MonoidWithZero M₀'
inst✝³ : FunLike F G₀ M₀
inst✝² : MonoidWithZeroHomClass F G₀ M₀
inst✝¹ : FunLike F' G₀ M₀'
f✝ : F
a : G₀
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F' G₀ M₀'
f g : F'
h : f a = g a
\u22a2 f a⁻¹ = g a⁻¹
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Lemmas.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝⁷ : MonoidWithZero M₀
inst✝⁶ : GroupWithZero G₀
inst✝⁵ : Nontrivial M₀
inst✝⁴ : MonoidWithZero M₀'
inst✝³ : FunLike F G₀ M₀
inst✝² : MonoidWithZeroHomClass F G₀ M₀
inst✝¹ : FunLike F' G₀ M₀'
f✝ : F
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F' G₀ M₀'
f g : F'
h : f 0 = g 0
\u22a2 f 0⁻¹ = g 0⁻¹
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Lemmas.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝⁷ : MonoidWithZero M₀
inst✝⁶ : GroupWithZero G₀
inst✝⁵ : Nontrivial M₀
inst✝⁴ : MonoidWithZero M₀'
inst✝³ : FunLike F G₀ M₀
inst✝² : MonoidWithZeroHomClass F G₀ M₀
inst✝¹ : FunLike F' G₀ M₀'
f✝ : F
a : G₀
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F' G₀ M₀'
f g : F'
h : f a = g a
ha : a ≠ 0
\u22a2 f a⁻¹ = g a⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → β
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
a : α
\u22a2 ↑‖f a + g a‖₊ ≤ ↑‖f a‖₊ + ↑‖g a‖₊
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Module.lean
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A
α : ι → Type u_2
v : (i : ι) → Basis (α i) R ↥(A i)
\u22a2 ⇑(h.collectedBasis v) = fun a => ↑((v a.fst) a.snd)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Module.lean
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A
α : ι → Type u_2
v : (i : ι) → Basis (α i) R ↥(A i)
a : (i : ι) × α i
\u22a2 (h.collectedBasis v) a = ↑((v a.fst) a.snd)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Module.lean
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A
α : ι → Type u_2
v : (i : ι) → Basis (α i) R ↥(A i)
a : (i : ι) × α i
\u22a2 (toModule R ι M fun i => (A i).subtype) ((DFinsupp.mapRange.linearEquiv fun i => (v i).repr).symm (DFinsupp.single a.fst (Finsupp.single a.snd 1))) = ↑((v a.fst) a.snd)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Module.lean
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A
α : ι → Type u_2
v : (i : ι) → Basis (α i) R ↥(A i)
a : (i : ι) × α i
\u22a2 (toModule R ι M fun i => (A i).subtype) ((DFinsupp.mapRange.linearEquiv fun i => (v i).repr.symm) (DFinsupp.single a.fst (Finsupp.single a.snd 1))) = ↑((v a.fst) a.snd)