ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g : δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hg : ∀ (b : δ), IsLUB (range fun i => f i b) (g b)
a : α
\u22a2 MeasurableSet (g ⁻¹' Ioi a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
g : δ → α
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hg : ∀ (b : δ), IsLUB (range fun i => f i b) (g b)
a : α
\u22a2 MeasurableSet (⋃ i, {x | a < f i x})
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Predicate.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_7, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E✝ : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.62184, u_3} E✝
E : Type u_4
inst✝¹ : Category.{u_5, u_4} E
L' : C ⥤ E
eq : D ≌ E
inst✝ : L.IsLocalization W
e : L ⋙ eq.functor ≅ L'
\u22a2 L'.IsLocalization W
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Predicate.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_7, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E✝ : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.62184, u_3} E✝
E : Type u_4
inst✝¹ : Category.{u_5, u_4} E
L' : C ⥤ E
eq : D ≌ E
inst✝ : L.IsLocalization W
e : L ⋙ eq.functor ≅ L'
h : W.IsInvertedBy L'
\u22a2 L'.IsLocalization W
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Predicate.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_7, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E✝ : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.62184, u_3} E✝
E : Type u_4
inst✝¹ : Category.{u_5, u_4} E
L' : C ⥤ E
eq : D ≌ E
inst✝ : L.IsLocalization W
e : L ⋙ eq.functor ≅ L'
h : W.IsInvertedBy L'
F₁ : W.Localization ⥤ D := Construction.lift L ⋯
\u22a2 L'.IsLocalization W
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Predicate.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_7, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E✝ : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.62184, u_3} E✝
E : Type u_4
inst✝¹ : Category.{u_5, u_4} E
L' : C ⥤ E
eq : D ≌ E
inst✝ : L.IsLocalization W
e : L ⋙ eq.functor ≅ L'
h : W.IsInvertedBy L'
F₁ : W.Localization ⥤ D := Construction.lift L ⋯
F₂ : W.Localization ⥤ E := Construction.lift L' h
e' : F₁ ⋙ eq.functor ≅ F₂ := liftNatIso W.Q W (L ⋙ eq.functor) L' (F₁ ⋙ eq.functor) F₂ e
\u22a2 L'.IsLocalization W
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
x✝ : Cᵒᵖ
\u22a2 (α.hom.app (unop x✝)).op ≫ (α.inv.app (unop x✝)).op = 𝟙 (op (G.obj (unop x✝)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
x✝ : Cᵒᵖ
\u22a2 (α.inv.app (unop x✝) ≫ α.hom.app (unop x✝)).op = 𝟙 (op (G.obj (unop x✝)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
x✝ : Cᵒᵖ
\u22a2 (𝟙 (G.obj (unop x✝))).op = 𝟙 (op (G.obj (unop x✝)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
x✝ : Cᵒᵖ
\u22a2 (α.inv.app (unop x✝)).op ≫ (α.hom.app (unop x✝)).op = 𝟙 (op (F.obj (unop x✝)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
x✝ : Cᵒᵖ
\u22a2 (α.hom.app (unop x✝) ≫ α.inv.app (unop x✝)).op = 𝟙 (op (F.obj (unop x✝)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
x✝ : Cᵒᵖ
\u22a2 (𝟙 (F.obj (unop x✝))).op = 𝟙 (op (F.obj (unop x✝)))
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
\u22a2 trivial G ⊆ Group.closure ∅
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0∞
hp : 0 ≤ p
hp1 : p ≤ 1
hp_pos : 0 < p
\u22a2 (a + b) ^ p ≤ a ^ p + b ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0∞
hp : 0 ≤ p
hp1 : p ≤ 1
hp_pos : 0 < p
h : (a ^ 1 + b ^ 1) ^ (1 / 1) ≤ (a ^ p + b ^ p) ^ (1 / p)
\u22a2 (a + b) ^ p ≤ a ^ p + b ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0∞
hp : 0 ≤ p
hp1 : p ≤ 1
hp_pos : 0 < p
h : (a ^ 1 + b ^ 1) ^ 1 ≤ (a ^ p + b ^ p) ^ p⁻¹
\u22a2 (a + b) ^ p ≤ a ^ p + b ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0∞
hp : 0 ≤ p
hp1 : p ≤ 1
hp_pos : 0 < p
h : a + b ≤ (a ^ p + b ^ p) ^ p⁻¹
\u22a2 (a + b) ^ p ≤ a ^ p + b ^ p
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Group.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : CommGroup α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝¹ : T2Space α
inst✝ : DecidableEq β
hf : Multipliable f
b : β
\u22a2 ∏' (n : β), f n = f b * ∏' (n : β), if n = b then 1 else f n
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Group.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : CommGroup α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝¹ : T2Space α
inst✝ : DecidableEq β
hf : Multipliable f
b : β
\u22a2 ∏' (n : β), f n = f b * ((∏' (b : β), f b) / f b)
-- Mathlib/Data/Complex/Basic.lean
\u22a2 0⁻¹ = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/SingleFunctors.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁸ : Category.{?u.62618, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.62622, u_2} D
inst✝⁶ : Category.{?u.62626, u_3} E
inst✝⁵ : Category.{?u.62630, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝⁴ : AddMonoid A
inst✝³ : HasShift D A
inst✝² : HasShift E A
inst✝¹ : HasShift E' A
F G✝ H : SingleFunctors C D A
G : D ⥤ E
inst✝ : G.CommShift A
a : A
X : C
\u22a2 𝟙 ((shiftFunctor E 0).obj (G.obj ((F.functor a).obj X))) ≫ (G.commShiftIso 0).inv.app ((F.functor a).obj X) ≫ 𝟙 (G.obj ((shiftFunctor D 0).obj ((F.functor a).obj X))) ≫ G.map ((F.shiftIso 0 a a ⋯).hom.app X) = (shiftFunctorZero E A).hom.app (G.obj ((F.functor a).obj X))
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/SingleFunctors.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁸ : Category.{?u.62618, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.62622, u_2} D
inst✝⁶ : Category.{?u.62626, u_3} E
inst✝⁵ : Category.{?u.62630, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝⁴ : AddMonoid A
inst✝³ : HasShift D A
inst✝² : HasShift E A
inst✝¹ : HasShift E' A
F G✝ H : SingleFunctors C D A
G : D ⥤ E
inst✝ : G.CommShift A
n m a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
\u22a2 𝟙 ((shiftFunctor E (m + n)).obj (G.obj ((F.functor a'').obj X))) ≫ (G.commShiftIso (m + n)).inv.app ((F.functor a'').obj X) ≫ 𝟙 (G.obj ((shiftFunctor D (m + n)).obj ((F.functor a'').obj X))) ≫ G.map ((F.shiftIso (m + n) a a'' ⋯).hom.app X) = (shiftFunctorAdd E m n).hom.app (G.obj ((F.functor a'').obj X)) ≫ 𝟙 ((shiftFunctor E n).obj ((shiftFunctor E m).obj (G.obj ((F.functor a'').obj X)))) ≫ (shiftFunctor E n).map (𝟙 ((shiftFunctor E m).obj (G.obj ((F.functor a'').obj X))) ≫ (G.commShiftIso m).inv.app ((F.functor a'').obj X) ≫ 𝟙 (G.obj ((shiftFunctor D m).obj ((F.functor a'').obj X))) ≫ G.map ((F.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app X)) ≫ 𝟙 ((shiftFunctor E n).obj (G.obj ((F.functor a').obj X))) ≫ (G.commShiftIso n).inv.app ((F.functor a').obj X) ≫ 𝟙 (G.obj ((shiftFunctor D n).obj ((F.functor a').obj X))) ≫ G.map ((F.shiftIso n a a' ha').hom.app X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/SingleFunctors.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁸ : Category.{?u.62618, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.62622, u_2} D
inst✝⁶ : Category.{?u.62626, u_3} E
inst✝⁵ : Category.{?u.62630, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝⁴ : AddMonoid A
inst✝³ : HasShift D A
inst✝² : HasShift E A
inst✝¹ : HasShift E' A
F G✝ H : SingleFunctors C D A
G : D ⥤ E
inst✝ : G.CommShift A
n m a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
\u22a2 (shiftFunctorAdd E m n).hom.app (G.obj ((F.functor a'').obj X)) ≫ (shiftFunctor E n).map ((G.commShiftIso m).inv.app ((F.functor a'').obj X)) ≫ (G.commShiftIso n).inv.app ((shiftFunctor D m).obj ((F.functor a'').obj X)) ≫ G.map ((shiftFunctorAdd D m n).inv.app ((F.functor a'').obj X)) ≫ G.map ((shiftFunctorAdd D m n).hom.app ((F.functor a'').obj X)) ≫ G.map ((shiftFunctor D n).map ((F.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app X)) ≫ G.map ((F.shiftIso n a a' ha').hom.app X) = (shiftFunctorAdd E m n).hom.app (G.obj ((F.functor a'').obj X)) ≫ (shiftFunctor E n).map ((G.commShiftIso m).inv.app ((F.functor a'').obj X)) ≫ (G.commShiftIso n).inv.app ((shiftFunctor D m).obj ((F.functor a'').obj X)) ≫ G.map ((shiftFunctor D n).map ((F.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app X)) ≫ G.map ((F.shiftIso n a a' ha').hom.app X)
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Semigroup α
x y z : α
\u22a2 ((fun x_1 => x_1 * x) ∘ fun x => x * y) z = z * (y * x)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
a✝ : PosNum
\u22a2 -(neg a✝).succ = (-neg a✝).pred
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
a✝ : PosNum
\u22a2 a✝.pred'.toZNum = (-neg a✝).pred
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
a✝ : α
l✝ : List α
inst✝¹ : Inhabited α
inst✝ : Preorder α
a : α
l : List α
h : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) l
ha : a ∈ l
\u22a2 l.head! ≤ a
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
a✝ : α
l✝ : List α
inst✝¹ : Inhabited α
inst✝ : Preorder α
a : α
l : List α
h : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (l.head! :: l.tail)
ha : a ∈ l.head! :: l.tail
\u22a2 l.head! ≤ a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type w
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
M : Matrix n n R
\u22a2 f M.det = (f.mapMatrix M).det
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
y : ℕ
\u22a2 2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1 ∣ yz a1 0 * (↑a - ↑y) + ↑(y ^ 0) - xz a1 0
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
y : ℕ
\u22a2 2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1 ∣ yz a1 1 * (↑a - ↑y) + ↑(y ^ 1) - xz a1 1
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
y n : ℕ
\u22a2 2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1 ∣ yz a1 (n + 2) * (↑a - ↑y) + ↑(y ^ (n + 2)) - xz a1 (n + 2)
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
y n : ℕ
this : 2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1 ∣ ↑(y ^ (n + 2)) - ↑(2 * a) * ↑(y ^ (n + 1)) + ↑(y ^ n)
\u22a2 2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1 ∣ yz a1 (n + 2) * (↑a - ↑y) + ↑(y ^ (n + 2)) - xz a1 (n + 2)
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
y n : ℕ
this : 2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1 ∣ ↑(y ^ (n + 2)) - ↑(2 * a) * ↑(y ^ (n + 1)) + ↑(y ^ n)
\u22a2 2 * ↑a * ↑y - ↑y * ↑y - 1 ∣ ↑(y ^ (n + 2)) - ↑(2 * a) * ↑(y ^ (n + 1)) + ↑(y ^ n) + ↑(2 * a) * (yz a1 (n + 1) * (↑a - ↑y) + ↑(y ^ (n + 1)) - xz a1 (n + 1)) - (yz a1 n * (↑a - ↑y) + ↑(y ^ n) - xz a1 n)
-- Mathlib/Order/Disjoint.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderBot α
a b c d : α
\u22a2 Disjoint (a ⊓ b) c ↔ Disjoint a (b ⊓ c)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : R[X]
a : R
a✝ : Nontrivial R
\u22a2 p %ₘ (X - C a) = C (eval a p)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : R[X]
a : R
a✝ : Nontrivial R
h : eval a (p %ₘ (X - C a)) = eval a p
\u22a2 p %ₘ (X - C a) = C (eval a p)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : R[X]
a : R
a✝ : Nontrivial R
h : eval a (p %ₘ (X - C a)) = eval a p
this : (p %ₘ (X - C a)).degree < 1
\u22a2 p %ₘ (X - C a) = C (eval a p)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : R[X]
a : R
a✝ : Nontrivial R
h : eval a (p %ₘ (X - C a)) = eval a p
this✝ : (p %ₘ (X - C a)).degree < 1
this : (p %ₘ (X - C a)).degree ≤ 0
\u22a2 p %ₘ (X - C a) = C (eval a p)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : R[X]
a : R
a✝ : Nontrivial R
h : (p %ₘ (X - C a)).coeff 0 = eval a p
this✝ : (p %ₘ (X - C a)).degree < 1
this : (p %ₘ (X - C a)).degree ≤ 0
\u22a2 p %ₘ (X - C a) = C (eval a p)
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
\u22a2 a - c ≤ a - b + (b - c)
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
\u22a2 a ≤ c + (b - c) + (a - b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
\u22a2 ∀ (x y : A), (↑{ toFun := fun a => a ᵍ⊗ₜ[R] 1, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (x + y) = (↑{ toFun := fun a => a ᵍ⊗ₜ[R] 1, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun x + (↑{ toFun := fun a => a ᵍ⊗ₜ[R] 1, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun y
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
a₁ a₂ : A
\u22a2 (a₁ * a₂) ᵍ⊗ₜ[R] 1 = a₁ ᵍ⊗ₜ[R] 1 * a₂ ᵍ⊗ₜ[R] 1
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.99905, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ✝ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i
A : C
k : L.X i ⟶ A
j : ι
hj : c.prev i = j
hk : L.d j i ≫ k = 0
φ : K ⟶ L
\u22a2 K.d j i ≫ φ.f i ≫ k = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ✝ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i
A : C
k : L.X i ⟶ A
j : ι
hj : c.prev i = j
hk : L.d j i ≫ k = 0
φ : K ⟶ L
\u22a2 opcyclesMap φ i ≫ L.descOpcycles k j hj hk = K.descOpcycles (φ.f i ≫ k) j hj ⋯
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
n : ℕ
\u22a2 (Computation.pure none).bind (aux n) = Computation.pure none
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x y : ℕ∞
\u22a2 ↑x ≤ ↑y ↔ x ≤ y
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
x : E
a b : 𝕜
h₀ : 0 ∈ s
\u22a2 Absorbs 𝕜 s t ↔ ∀ᶠ (c : 𝕜) in 𝓝 0, MapsTo (fun x => c • x) t s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
x : E
a b : 𝕜
h₀ : 0 ∈ s
\u22a2 MapsTo (fun x => 0 • x) t s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
x✝ : E
a b : 𝕜
h₀ : 0 ∈ s
x : E
a✝ : x ∈ t
\u22a2 (fun x => 0 • x) x ∈ s
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hf : Adapted ℱ f
hab : a < b
\u22a2 Measurable (upcrossingsBefore a b f N)
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hf : Adapted ℱ f
hab : a < b
this : upcrossingsBefore a b f N = fun ω => ∑ i ∈ Finset.Ico 1 (N + 1), {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i
\u22a2 Measurable (upcrossingsBefore a b f N)
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hf : Adapted ℱ f
hab : a < b
this : upcrossingsBefore a b f N = fun ω => ∑ i ∈ Finset.Ico 1 (N + 1), {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i
\u22a2 Measurable fun ω => ∑ i ∈ Finset.Ico 1 (N + 1), {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
\u22a2 map (addRightEmbedding c) (Ico a b) = Ico (a + c) (b + c)
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
\u22a2 ⇑(addRightEmbedding c) '' Set.Ico a b = Set.Ico (a + c) (b + c)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
\u22a2 s ⊆ interior s ↔ IsOpen s
-- Mathlib/LinearAlgebra/RootSystem/Defs.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
v : M
h : P.pairing i j = 0 ∧ P.pairing j i = 0
\u22a2 (P.reflection i * P.reflection j) v = (P.reflection j * P.reflection i) v
-- Mathlib/LinearAlgebra/RootSystem/Defs.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
v : M
h : P.pairing i j = 0 ∧ P.pairing j i = 0
\u22a2 ↑(P.reflection i) (↑(P.reflection j) v) = ↑(P.reflection j) (↑(P.reflection i) v)
-- Mathlib/LinearAlgebra/RootSystem/Defs.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
v : M
h : P.pairing i j = 0 ∧ P.pairing j i = 0
\u22a2 v - (P.toLin v) (P.coroot i) • P.root i - (P.toLin v) (P.coroot j) • P.root j = v - (P.toLin v) (P.coroot j) • P.root j - (P.toLin v) (P.coroot i) • P.root i
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : EDist α
x y : α
s t : Set α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype ↑s
\u22a2 s.einfsep = s.offDiag.toFinset.inf (uncurry edist)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : EDist α
x y : α
s t : Set α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype ↑s
x✝ : ℝ≥0∞
\u22a2 x✝ ≤ s.einfsep ↔ x✝ ≤ s.offDiag.toFinset.inf (uncurry edist)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
\u22a2 LSeriesHasSum (fun x => ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑x))) s (sinZeta (↑a) s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
\u22a2 LSeries.term (fun x => ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑x))) s n = ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
\u22a2 LSeries.term (fun x => ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑x))) s 0 = ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑0)) / ↑0 ^ s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 LSeries.term (fun x => ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑x))) s n = ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n✝ : ℕ
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
\u22a2 ((resolution k G).d (n + 1) n).hom = d k G (n + 1)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n✝ : ℕ
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
x : ((classifyingSpaceUniversalCover G).obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk (n + 1)))).V
\u22a2 (((resolution k G).d (n + 1) n).hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 = (d k G (n + 1) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n✝ : ℕ
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
x : ((classifyingSpaceUniversalCover G).obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk (n + 1)))).V
\u22a2 (((alternatingFaceMapComplex (Rep k G)).obj (classifyingSpaceUniversalCover G ⋙ (Rep.linearization k G).toFunctor)).d (n + 1) n).hom (Finsupp.single x 1) = (d k G (n + 1)) (Finsupp.single x 1)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n✝ : ℕ
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
x : ((classifyingSpaceUniversalCover G).obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk (n + 1)))).V
\u22a2 (∑ x : Fin (n + 2), (-1) ^ ↑x • Finsupp.lmapDomain k k ((classifyingSpaceUniversalCover G).map (SimplexCategory.δ x).op).hom) (Finsupp.single x 1) = (d k G (n + 1)) (Finsupp.single x 1)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n✝ : ℕ
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
x : ((classifyingSpaceUniversalCover G).obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk (n + 1)))).V
\u22a2 ∑ c : Fin (n + 2), ((-1) ^ ↑c • Finsupp.lmapDomain k k ((classifyingSpaceUniversalCover G).map (SimplexCategory.δ c).op).hom) (Finsupp.single x 1) = (d k G (n + 1)) (Finsupp.single x 1)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n✝ : ℕ
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
x : ((classifyingSpaceUniversalCover G).obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk (n + 1)))).V
\u22a2 ∑ c : Fin (n + 2), ((-1) ^ ↑c • Finsupp.lmapDomain k k ((classifyingSpaceUniversalCover G).map (SimplexCategory.δ c).op).hom) (Finsupp.single x 1) = ∑ p : Fin ((Opposite.unop (Opposite.op (SimplexCategory.mk (n + 1)))).len + 1), Finsupp.single (x ∘ p.succAbove) ((-1) ^ ↑p)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n✝ : ℕ
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
x : ((classifyingSpaceUniversalCover G).obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk (n + 1)))).V
x✝¹ : Fin (n + 2)
x✝ : x✝¹ ∈ Finset.univ
\u22a2 ((-1) ^ ↑x✝¹ • Finsupp.lmapDomain k k ((classifyingSpaceUniversalCover G).map (SimplexCategory.δ x✝¹).op).hom) (Finsupp.single x 1) = Finsupp.single (x ∘ x✝¹.succAbove) ((-1) ^ ↑x✝¹)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n✝ : ℕ
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
x : ((classifyingSpaceUniversalCover G).obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk (n + 1)))).V
x✝¹ : Fin (n + 2)
x✝ : x✝¹ ∈ Finset.univ
\u22a2 (-1) ^ ↑x✝¹ • (Finsupp.lmapDomain k k ((classifyingSpaceUniversalCover G).map (SimplexCategory.δ x✝¹).op).hom) (Finsupp.single x 1) = Finsupp.single (x ∘ x✝¹.succAbove) ((-1) ^ ↑x✝¹)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n✝ : ℕ
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
x : ((classifyingSpaceUniversalCover G).obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk (n + 1)))).V
x✝¹ : Fin (n + 2)
x✝ : x✝¹ ∈ Finset.univ
\u22a2 Finsupp.single (((classifyingSpaceUniversalCover G).map (SimplexCategory.δ x✝¹).op).hom x) ((-1) ^ ↑x✝¹) = Finsupp.single (x ∘ x✝¹.succAbove) ((-1) ^ ↑x✝¹)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
α : Type u_1
f : Char → α → α
init : α
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
w✝² w✝¹ w✝ : List Char
h : ValidFor w✝² w✝¹ w✝ x✝
\u22a2 Substring.foldr f init x✝ = List.foldr f init x✝.toString.data