ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
E : K ⥤ J
inst✝ : HasColimit (E ⋙ F)
k : K
\u22a2 ι (E ⋙ F) k ≫ pre F E = ι F (E.obj k)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
E : K ⥤ J
inst✝ : HasColimit (E ⋙ F)
k : K
\u22a2 (Cocone.whisker E (cocone F)).ι.app k = ι F (E.obj k)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
\u22a2 IsBounded s ↔ ∃ C, ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → nndist x y ≤ C
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c : CauSeq α abs
εa : α
εa0 : εa > 0
ia : ℕ
ha : ∀ j ≥ ia, εa ≤ ↑(c - a) j
εb : α
εb0 : εb > 0
ib : ℕ
hb : ∀ j ≥ ib, εb ≤ ↑(c - b) j
\u22a2 a ⊔ b < c
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c : CauSeq α abs
εa : α
εa0 : εa > 0
ia : ℕ
ha : ∀ j ≥ ia, εa ≤ ↑(c - a) j
εb : α
εb0 : εb > 0
ib : ℕ
hb : ∀ j ≥ ib, εb ≤ ↑(c - b) j
i : ℕ
hi : i ≥ ia ⊔ ib
\u22a2 εa ⊓ εb ≤ ↑(c - a ⊔ b) i
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c : CauSeq α abs
εa : α
εa0 : εa > 0
ia : ℕ
ha : ∀ j ≥ ia, εa ≤ ↑(c - a) j
εb : α
εb0 : εb > 0
ib : ℕ
hb : ∀ j ≥ ib, εb ≤ ↑(c - b) j
i : ℕ
hi : i ≥ ia ⊔ ib
this : min εa εb ≤ min (↑(c - a) i) (↑(c - b) i)
\u22a2 εa ⊓ εb ≤ ↑(c - a ⊔ b) i
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Commute.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
r : M₀
\u22a2 inverse r ^ 0 = inverse (r ^ 0)
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Commute.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
r : M₀
n : ℕ
\u22a2 inverse r ^ (n + 1) = inverse (r ^ (n + 1))
-- Mathlib/Topology/Algebra/Field.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : TopologicalSpace K
𝕜 : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : TopologicalRing 𝕜
a b : 𝕜
h : a ≠ 0
x : 𝕜
\u22a2 (fun y => (y - b) / a) ((fun x => a * x + b) x) = x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Field.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : TopologicalSpace K
𝕜 : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : TopologicalRing 𝕜
a b : 𝕜
h : a ≠ 0
x : 𝕜
\u22a2 a * x / a = x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Field.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : TopologicalSpace K
𝕜 : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : TopologicalRing 𝕜
a b : 𝕜
h : a ≠ 0
y : 𝕜
\u22a2 (fun x => a * x + b) ((fun y => (y - b) / a) y) = y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
\u22a2 f.Disjoint g ↔ _root_.Disjoint f.support g.support
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
h : ‖a‖ * ‖1‖ < ‖k‖
\u22a2 k ∈ ρ a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
h : ‖a‖ * ‖1‖ < ‖k‖
\u22a2 IsUnit (k • 1 - a)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
h : ‖a‖ * ‖1‖ < ‖k‖
a✝ : Nontrivial A
\u22a2 IsUnit (k • 1 - a)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
h : ‖a‖ * ‖1‖ < ‖k‖
a✝ : Nontrivial A
hk : k ≠ 0
\u22a2 IsUnit (k • 1 - a)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
h : ‖a‖ * ‖1‖ < ‖k‖
a✝ : Nontrivial A
hk : k ≠ 0
ku : Aˣ := (Units.map ↑↑ₐ) (Units.mk0 k hk)
\u22a2 IsUnit (k • 1 - a)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
h : ‖a‖ < ‖1‖⁻¹ * ‖k‖
a✝ : Nontrivial A
hk : k ≠ 0
ku : Aˣ := (Units.map ↑↑ₐ) (Units.mk0 k hk)
\u22a2 IsUnit (k • 1 - a)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
h : ‖a‖ < ‖1‖⁻¹ * ‖k‖
a✝ : Nontrivial A
hk : k ≠ 0
ku : Aˣ := (Units.map ↑↑ₐ) (Units.mk0 k hk)
hku : ‖-a‖ < ‖↑ku⁻¹‖⁻¹
\u22a2 IsUnit (k • 1 - a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasureProd.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β
s : Set α
t : Set β
\u22a2 (μ.prod ν) (s ×ˢ t) = μ s * ν t
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L
\u22a2 ((traceForm R L M) ⁅x, y⁆) z = -((traceForm R L M) ⁅y, x⁆) z
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L
\u22a2 -((traceForm R L M) ⁅y, x⁆) z = -((traceForm R L M) y) ⁅x, z⁆
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.45702, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.45706, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : h.left.IsPreservedBy F
inst✝ : h.right.IsPreservedBy F
\u22a2 (h.left.map F).π ≫ (F.mapIso h.iso).hom ≫ (h.right.map F).ι = (h.left.map F).i ≫ (h.right.map F).p
-- Mathlib/Data/Multiset/Sort.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝³ : DecidableRel r
inst✝² : IsTrans α r
inst✝¹ : IsAntisymm α r
inst✝ : IsTotal α r
s : Multiset α
a : α
\u22a2 a ∈ sort r s ↔ a ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
n : ℕ
p q : R[X]
pn : p.natDegree ≤ n
\u22a2 (p + q).natDegree ≤ n ↔ q.natDegree ≤ n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
n : ℕ
p q : R[X]
pn : p.natDegree ≤ n
\u22a2 (q + p).natDegree ≤ n ↔ q.natDegree ≤ n
-- Mathlib/Algebra/Group/Commute/Defs.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : Semigroup S
a✝ b c : S
hbc : Commute b c
a d : S
\u22a2 a * b * (c * d) = a * c * (b * d)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
\u22a2 ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k = posFittingComp R L M
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
\u22a2 ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k ≤ posFittingComp R L M
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
\u22a2 IsNilpotent R L (M ⧸ posFittingComp R L M)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
\u22a2 ∀ (x : L), _root_.IsNilpotent ((toEnd R L (M ⧸ posFittingComp R L M)) x)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
\u22a2 _root_.IsNilpotent ((toEnd R L (M ⧸ posFittingComp R L M)) x)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
hk : ∀ b ≥ k, ⨅ m, LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ m) = LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ b)
\u22a2 _root_.IsNilpotent ((toEnd R L (M ⧸ posFittingComp R L M)) x)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
hk : ∀ b ≥ k, ⨅ m, LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ m) = LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ b)
\u22a2 (toEnd R L (M ⧸ posFittingComp R L M)) x ^ k = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
hk : ∀ b ≥ k, ⨅ m, LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ m) = LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ b)
m : M
F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x✝ : M ⧸ F
\u22a2 ((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) (Quot.mk Setoid.r m) = 0 (Quot.mk Setoid.r m)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
m : M
F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x✝ : M ⧸ F
hk : ((toEnd R L M) x ^ k) m ∈ F
\u22a2 ((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) (Quot.mk Setoid.r m) = 0 (Quot.mk Setoid.r m)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
m : M
F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x✝ : M ⧸ F
hk : ((toEnd R L M) x ^ k) m ∈ F
\u22a2 ((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) (LieSubmodule.Quotient.mk m) = LieSubmodule.Quotient.mk (((toEnd R L M) x ^ k) m)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
m : M
F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x✝ : M ⧸ F
hk : ((toEnd R L M) x ^ k) m ∈ F
this : (((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) ∘ₗ ↑(LieSubmodule.Quotient.mk' F)) m = (↑(LieSubmodule.Quotient.mk' F) ∘ₗ (toEnd R L M) x ^ k) m
\u22a2 ((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) (LieSubmodule.Quotient.mk m) = LieSubmodule.Quotient.mk (((toEnd R L M) x ^ k) m)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Triangularizable.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
h' : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
\u22a2 p = ⨆ μ, ⨆ k, p ⊓ (f.genEigenspace μ) k
-- Mathlib/Data/Finset/MulAntidiagonal.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
u : Set α
hu : u.IsPWO
x : α × α
\u22a2 x.swap ∈ mulAntidiagonal hs ht a ↔ x ∈ mulAntidiagonal ht hs a
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c.ord, f i b < c.ord
a : Ordinal.{u}
\u22a2 lift.{u, u} #ι < c
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
\u22a2 μ s = μ t
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e : S
he : e ∈ f.range
he' : IsIdempotentElem e
\u22a2 ∃! e', IsIdempotentElem e' ∧ f e' = e
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e' : R
he₂ : IsIdempotentElem e'
he : f e' ∈ f.range
he' : IsIdempotentElem (f e')
\u22a2 ∃! e'_1, IsIdempotentElem e'_1 ∧ f e'_1 = f e'
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K
\u22a2 y ∈ closure K ↔ ∃ x ∈ K, Inseparable x y
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K
hy : y ∈ closure K
\u22a2 ∃ x ∈ K, Inseparable x y
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K
hy : ∀ x ∈ K, ¬Inseparable x y
\u22a2 y ∉ closure K
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K
hy : ∀ x ∈ K, ¬Inseparable x y
this : Disjoint (𝓝 y) (𝓝ˢ K)
\u22a2 y ∉ closure K
-- Mathlib/Algebra/Ring/Ext.lean
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonAssocSemiring R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
h : toNonUnitalNonAssocSemiring = toNonUnitalNonAssocSemiring
\u22a2 inst₁ = inst₂
-- Mathlib/Algebra/Ring/Ext.lean
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonAssocSemiring R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
h : toNonUnitalNonAssocSemiring = toNonUnitalNonAssocSemiring
h_zero : Zero.zero = Zero.zero
\u22a2 inst₁ = inst₂
-- Mathlib/Algebra/Ring/Ext.lean
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonAssocSemiring R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
h : toNonUnitalNonAssocSemiring = toNonUnitalNonAssocSemiring
h_zero : Zero.zero = Zero.zero
h_one' : MulOneClass.toOne = MulOneClass.toOne
\u22a2 inst₁ = inst₂
-- Mathlib/Algebra/Ring/Ext.lean
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonAssocSemiring R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
h : toNonUnitalNonAssocSemiring = toNonUnitalNonAssocSemiring
h_zero : Zero.zero = Zero.zero
h_one' : MulOneClass.toOne = MulOneClass.toOne
h_one : One.one = One.one
\u22a2 inst₁ = inst₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ✝ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ✝
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
ρ : Measure α := μ.withDensity f
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ✝ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ✝
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
ρ : Measure α := μ.withDensity f
this : IsFiniteMeasure ρ
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ✝ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ✝
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
ρ : Measure α := μ.withDensity f
this : IsFiniteMeasure ρ
x : α
hx : Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
h'x : (μ.withDensity f).rnDeriv μ x = f x
\u22a2 Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ✝ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ✝
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
ρ : Measure α := μ.withDensity f
this : IsFiniteMeasure ρ
x : α
hx : Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
h'x : (μ.withDensity f).rnDeriv μ x = f x
\u22a2 Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 ((μ.withDensity f).rnDeriv μ x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ✝ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ✝
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
ρ : Measure α := μ.withDensity f
this : IsFiniteMeasure ρ
x : α
hx : Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
h'x : (μ.withDensity f).rnDeriv μ x = f x
\u22a2 (fun a => ρ a / μ a) =ᶠ[v.filterAt x] fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ✝ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ✝
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
ρ : Measure α := μ.withDensity f
this : IsFiniteMeasure ρ
x : α
hx : Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
h'x : (μ.withDensity f).rnDeriv μ x = f x
a : Set α
ha : MeasurableSet a
\u22a2 ρ a / μ a = (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l
\u22a2 ‖p.changeOriginSeriesTerm k l s hs‖₊ = ‖p (k + l)‖₊
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r✝ : ℝ
p q : Seminorm 𝕜 E
e : E
r : ℝ
\u22a2 (p ⊔ q).ball e r = p.ball e r ∩ q.ball e r
-- Mathlib/Algebra/Order/Hom/Monoid.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Preorder β
inst✝⁵ : Preorder γ
inst✝⁴ : Preorder δ
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : MulOneClass β
inst✝¹ : MulOneClass γ
inst✝ : MulOneClass δ
f g✝ : α →*o β
g : β →*o γ
f₁ f₂ : α →*o β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
\u22a2 g (f₁ a) = g (f₂ a)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : ι → α
i : { x // x ∈ s }
\u22a2 ∏ j ∈ s.attach.erase i, f ↑j = ∏ j ∈ s.erase ↑i, f j
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : ι → α
i : { x // x ∈ s }
\u22a2 ∏ x ∈ map (Embedding.subtype fun x => x ∈ s) (s.attach.erase i), f x = ∏ j ∈ s.erase ((Embedding.subtype fun x => x ∈ s) i), f j
-- Mathlib/Data/Nat/Count.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ
\u22a2 count p n = Fintype.card { k // k < n ∧ p k }
-- Mathlib/Data/Nat/Count.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ
\u22a2 (Fintype.card ↑fun x => x < n ∧ p x) = Fintype.card { k // k < n ∧ p k }
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.214930}
α : Type u
s : Set α
a : α
h : a ∉ s
\u22a2 #↑(insert a s) = #↑s + 1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.214930}
α : Type u
s : Set α
a : α
h : a ∉ s
\u22a2 Disjoint s {a}
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
\u22a2 M.comul ≫ M.comul ▷ M.X = M.comul ≫ M.X ◁ M.comul ≫ (α_ M.X M.X M.X).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Limits.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f
\u22a2 (kernelSubobject f).arrow ≫ f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Limits.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f
\u22a2 ((kernelSubobjectIso f).hom ≫ kernel.ι f) ≫ f = 0
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R
x : R
h : Irreducible x
y z : R
hz : x = y * y * z
\u22a2 IsUnit y
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R
x : R
h : Irreducible x
y z : R
hz : x = y * (y * z)
\u22a2 IsUnit y
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R
x : R
h : Irreducible x
y z : R
hz : x = y * (y * z)
hu : IsUnit y
\u22a2 IsUnit y
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R
x : R
h : Irreducible x
y z : R
hz : x = y * (y * z)
hu : IsUnit (y * z)
\u22a2 IsUnit y
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m d : ℕ
hm : n ∣ m
hd : m ∣ d
\u22a2 (changeLevel ⋯) χ = (changeLevel hd) ((changeLevel hm) χ)