ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle
\u22a2 ↑θ.cos * (o.kahler x) y + ↑θ.sin * (-I * (o.kahler x) y) = (↑θ.cos + ↑θ.sin * -I) * (o.kahler x) y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Circulant.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : Semiring α
\u22a2 ∀ (v w : Fin 0 → α), circulant v * circulant w = circulant (circulant v *ᵥ w)
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p
y : R
m : ℕ
\u22a2 ((X ^ p ^ n - C y) ^ m).roots = (m * p ^ n) • {(iterateFrobeniusEquiv R p n).symm y}
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m✝ n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n m : ℕ
\u22a2 n.pred - m = (n - m).pred
-- Mathlib/Data/Sum/Basic.lean
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
x y : α ⊕ β
\u22a2 x.getLeft?.isSome = true ↔ x.isLeft = true
-- Mathlib/Data/Sum/Basic.lean
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
x y : α ⊕ β
\u22a2 (∃ a, x.getLeft? = some a) ↔ ∃ y, x = inl y
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
t : Set Y
x✝ : X × Y
a : X
b : Y
\u22a2 (a, b) ∈ interior (s ×ˢ t) ↔ (a, b) ∈ interior s ×ˢ interior t
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x : WithLp 2 (α × β)
\u22a2 ‖x‖ ^ 2 = ‖x.1‖ ^ 2 + ‖x.2‖ ^ 2
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x : WithLp 2 (α × β)
\u22a2 ‖x‖₊ ^ 2 = ‖x.1‖₊ ^ 2 + ‖x.2‖₊ ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/WithTop.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b : WithTop α
a✝¹ : α
ha : ¬↑a✝¹ = 0
a✝ : α
hb : ¬↑a✝ = 0
\u22a2 untop' 0 (↑a✝¹ * ↑a✝) = untop' 0 ↑a✝¹ * untop' 0 ↑a✝
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f
c₁ : ℝ
left✝¹ : c₁ > 0
c₂ : ℝ
left✝ : c₂ > 0
h : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
\u22a2 (∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x) ∨ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x ≤ 0
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α : TypeVec.{u} n
x : F α
p : (i : Fin2 n) → α i → Prop
\u22a2 LiftP p x ↔ ∀ (i : Fin2 n), ∀ u ∈ supp x i, p i u
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α : TypeVec.{u} n
x : F α
p : (i : Fin2 n) → α i → Prop
\u22a2 (∃ a f, abs (repr x) = abs ⟨a, f⟩ ∧ ∀ (i : Fin2 n) (j : (P F).B a i), p i (f i j)) ↔ ∀ (i : Fin2 n), ∀ u ∈ supp (abs (repr x)) i, p i u
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α : TypeVec.{u} n
x : F α
p : (i : Fin2 n) → α i → Prop
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
h' : ∀ (i : Fin2 n), ∀ u ∈ supp (abs ⟨a, f⟩) i, p i u
x✝ : Fin2 n
i : (P F).B a x✝
\u22a2 f x✝ i ∈ supp (abs ⟨a, f⟩) x✝
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α : TypeVec.{u} n
x : F α
p : (i : Fin2 n) → α i → Prop
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
h' : ∀ (i : Fin2 n), ∀ u ∈ supp (abs ⟨a, f⟩) i, p i u
x✝ : Fin2 n
i : (P F).B a x✝
\u22a2 f x✝ i ∈ f x✝ '' univ
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/UniqueDifferential.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
e : PartialHomeomorph M M'
he : PartialHomeomorph.MDifferentiable I I' e
hx : x ∈ e.source
\u22a2 UniqueMDiffWithinAt I' (e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/UniqueDifferential.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
e : PartialHomeomorph M M'
he : PartialHomeomorph.MDifferentiable I I' e
hx : x ∈ e.source
\u22a2 UniqueMDiffWithinAt I' (↑e '' (s ∩ e.source)) (↑e x)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
h : c ∣ b
\u22a2 a % b % c = a % c
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
h : c ∣ b
\u22a2 a % b % c = (b * (a / b) + a % b) % c
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a c d : Ordinal.{u_4}
\u22a2 a % (c * d) % c = (c * d * (a / (c * d)) + a % (c * d)) % c
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
f : β ≃ α
\u22a2 (type fun x y => r (f x) (f y)) = type r
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ < ⊤
\u22a2 eLpNorm f p μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ < ⊤
hp' : 0 < p.toReal
\u22a2 eLpNorm f p μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ < ⊤
hp' : 0 < p.toReal
this : 0 < 1 / p.toReal
\u22a2 eLpNorm f p μ < ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : Group G'
inst✝⁵ : Group G''
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝³ : DivInvMonoid M
inst✝² : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H K : S
inst✝¹ : SetLike S G
inst✝ : SubgroupClass S G
x y : G
h : x ∈ H
hab : x * y ∈ H
\u22a2 y ∈ H
-- Mathlib/Algebra/Free.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semigroup β
f✝ f : α → β
x y : FreeSemigroup α
\u22a2 (fun x => List.foldl (fun a b => a * f b) (f x.head) x.tail) (x * y) = (fun x => List.foldl (fun a b => a * f b) (f x.head) x.tail) x * (fun x => List.foldl (fun a b => a * f b) (f x.head) x.tail) y
-- Mathlib/Algebra/Group/Action/Defs.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G✝ : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : MulAction M α
E : Type u_11
F : Type u_12
G : Type u_13
inst✝³ : Monoid E
inst✝² : Monoid F
inst✝¹ : MulAction F G
inst✝ : IsPretransitive F G
f : E →* F
hf : Surjective ⇑f
x✝ : MulAction E G := compHom G f
x y : G
\u22a2 ∃ g, g • x = y
-- Mathlib/Algebra/Group/Action/Defs.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G✝ : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : MulAction M α
E : Type u_11
F : Type u_12
G : Type u_13
inst✝³ : Monoid E
inst✝² : Monoid F
inst✝¹ : MulAction F G
inst✝ : IsPretransitive F G
f : E →* F
hf : Surjective ⇑f
x✝ : MulAction E G := compHom G f
x : G
m : F
\u22a2 ∃ g, g • x = m • x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
\u22a2 l.formPerm.IsCycleOn {a | a ∈ l}
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
a : α
ha : a ∈ {a | a ∈ l}
b : α
hb : b ∈ {a | a ∈ l}
\u22a2 l.formPerm.SameCycle a b
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
a : α
ha : indexOf a l < l.length
b : α
hb : indexOf b l < l.length
\u22a2 l.formPerm.SameCycle a b
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
a : α
ha : indexOf a l < l.length
b : α
hb : indexOf b l < l.length
\u22a2 l.formPerm.SameCycle (l.get ⟨indexOf a l, ha⟩) (l.get ⟨indexOf b l, hb⟩)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
a : α
ha : indexOf a l < l.length
b : α
hb : indexOf b l < l.length
\u22a2 (l.formPerm ^ (↑(indexOf b l) - ↑(indexOf a l))) (l.get ⟨indexOf a l, ha⟩) = l.get ⟨indexOf b l, hb⟩
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
h : l.Nodup
a : α
ha : indexOf a l < l.length
b : α
hb : indexOf b l < l.length
\u22a2 l.get ⟨(indexOf a l + indexOf b l) % l.length, ⋯⟩ = l.get ⟨(indexOf b l + indexOf a l) % l.length, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
r s t : ℝ
\u22a2 (↑r).IsSt s → (↑s).IsSt t → (↑r).IsSt t
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
r s t : ℝ
\u22a2 r = s → s = t → r = t
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
\u22a2 (polynomialFunctions I).topologicalClosure = ⊤
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
\u22a2 ⊤ ≤ (polynomialFunctions I).topologicalClosure
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
f : C(↑I, ℝ)
\u22a2 ∃ᶠ (x : C(↑I, ℝ)) in nhds f, x ∈ ↑(polynomialFunctions I).toSubsemiring
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
f : C(↑I, ℝ)
\u22a2 ∃ᶠ (x : ℕ) in atTop, bernsteinApproximation x f ∈ ↑(polynomialFunctions I).toSubsemiring
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
f : C(↑I, ℝ)
\u22a2 ∀ (x : ℕ), bernsteinApproximation x f ∈ ↑(polynomialFunctions I).toSubsemiring
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
f : C(↑I, ℝ)
n : ℕ
\u22a2 bernsteinApproximation n f ∈ ↑(polynomialFunctions I).toSubsemiring
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
f : C(↑I, ℝ)
n : ℕ
\u22a2 bernsteinApproximation n f ∈ (polynomialFunctions I).toSubsemiring
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
f : C(↑I, ℝ)
n : ℕ
\u22a2 ∀ x ∈ Finset.univ, f (bernstein.z x) • bernstein n ↑x ∈ polynomialFunctions I
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
f : C(↑I, ℝ)
n✝ : ℕ
n : Fin (n✝ + 1)
\u22a2 f (bernstein.z n) • bernstein n✝ ↑n ∈ polynomialFunctions I
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
f : C(↑I, ℝ)
n✝ : ℕ
n : Fin (n✝ + 1)
\u22a2 bernstein n✝ ↑n ∈ polynomialFunctions I
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
\u22a2 𝓝[s] a ≤ 𝓝 a
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
\u22a2 𝓝[s] a ≤ 𝓝[univ] a
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
\u22a2 univ ∈ 𝓝[s] a
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
hx : 0 < x.orderTop
\u22a2 (1 - x) * (powers x hx).hsum = 1
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
hx : 0 < x.orderTop
\u22a2 (powers x hx).hsum - (powers x hx - ofFinsupp (Finsupp.single 0 1)).hsum = 1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
\u22a2 (∡ p₃ p₁ p₂).tan = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₂
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1
\u22a2 (∡ p₃ p₁ p₂).tan = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₂
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
p : α → Prop
f : α →₀ M
\u22a2 subtypeDomain p f = 0 ↔ ∀ (x : α), p x → f x = 0
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J✝ J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
h✝ : π.IsPartition
hx✝ : x ∈ I
J : Box ι
h : J ∈ π
hx : x ∈ J
\u22a2 ∃! J, J ∈ π ∧ x ∈ J
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β
g : β → α
h : LeftInverse f g
\u22a2 map f (map g []) = []
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β
g : β → α
h : LeftInverse f g
x : β
xs : List β
\u22a2 map f (map g (x :: xs)) = x :: xs
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x✝³ x✝² : α
x✝¹ : ℤ
x✝ : ℕ
h : IsRat (x✝³ * x✝²⁻¹) x✝¹ x✝
\u22a2 IsRat (x✝³ / x✝²) x✝¹ x✝
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/Defs.lean
n : ℕ
Hn : n ≠ 0
\u22a2 0 < ∑ i ∈ Finset.range n, (↑(i + 1))⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/Defs.lean
n : ℕ
Hn : (Finset.range n).Nonempty
\u22a2 0 < ∑ i ∈ Finset.range n, (↑(i + 1))⁻¹
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationSubring.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
A✝ A B : ValuationSubring K
h : A.nonunits = B.nonunits
\u22a2 A = B
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x✝ : S
x : ℕ
\u22a2 x ∈ (normalizeScaleRoots p).support → x ∈ p.support
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x✝ : S
x : ℕ
\u22a2 x ∉ p.support → x ∉ (normalizeScaleRoots p).support
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x✝ : S
x : ℕ
\u22a2 p.coeff x = 0 → ¬p.coeff x = 0 → (if x = p.natDegree then 1 else p.coeff x * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1 - x)) = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c < 0
h : b < a
\u22a2 a / c < b / c
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c < 0
h : b < a
\u22a2 a * (1 / c) < b * (1 / c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
b : Bicone f
hb : b.IsBilimit
\u22a2 lift b.π ≫ desc b.ι = 𝟙 b.pt
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
b : Bicone f
hb : b.IsBilimit
\u22a2 desc b.ι ≫ lift b.π = 𝟙 (⨁ f)
-- Mathlib/Algebra/Group/Defs.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m✝ n : ℕ
a : M
m : ℕ
\u22a2 a ^ (m * 0) = (a ^ m) ^ 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Defs.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m✝ n✝ : ℕ
a : M
m n : ℕ
\u22a2 a ^ (m * (n + 1)) = (a ^ m) ^ (n + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Bernstein.lean
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
n : ℕ
x : ↑I
k : Fin (n + 1)
m : k ∈ S f ε h n x
\u22a2 |f k/ₙ - f x| < ε / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Bernstein.lean
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
n : ℕ
x : ↑I
k : Fin (n + 1)
m : k ∈ S f ε h n x
\u22a2 dist k/ₙ x < f.modulus (ε / 2) ⋯
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalDiffeomorph.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
s : Set M
\u22a2 IsLocalDiffeomorphOn I J n f s ↔ ∀ (x : ↑s), IsLocalDiffeomorphAt I J n f ↑x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/Equalizers.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasBinaryProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
F : WalkingParallelPair ⥤ C
\u22a2 pullbackFst F = pullback.snd (prod.lift (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.zero)) (F.map WalkingParallelPairHom.left)) (prod.lift (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.zero)) (F.map WalkingParallelPairHom.right))
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → LinearOrder (α i)
x y x' y' a : (i : ι) → α i
ha' : a ∉ univ.pi fun i => Ioo (x' i) (y' i)
hxa : x ≤ a
hay : a ≤ y
\u22a2 a ∈ (⋃ i, Icc x (update y i (x' i))) ∪ ⋃ i, Icc (update x i (y' i)) y
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → LinearOrder (α i)
x y x' y' a : (i : ι) → α i
hxa : x ≤ a
hay : a ≤ y
ha' : ∃ x, ¬(x' x < a x ∧ a x < y' x)
\u22a2 a ∈ (⋃ i, Icc x (update y i (x' i))) ∪ ⋃ i, Icc (update x i (y' i)) y
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → LinearOrder (α i)
x y x' y' a : (i : ι) → α i
hxa : x ≤ a
hay : a ≤ y
ha' : ∃ x, ¬(x' x < a x ∧ a x < y' x)
\u22a2 ∃ x, (True ∧ a x ≤ x' x ∧ ∀ (j : ι), j ≠ x → True) ∨ (y' x ≤ a x ∧ ∀ (j : ι), j ≠ x → True) ∧ True
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → LinearOrder (α i)
x y x' y' a : (i : ι) → α i
hxa : x ≤ a
hay : a ≤ y
w : ι
hw : ¬(x' w < a w ∧ a w < y' w)
\u22a2 (True ∧ a w ≤ x' w ∧ ∀ (j : ι), j ≠ w → True) ∨ (y' w ≤ a w ∧ ∀ (j : ι), j ≠ w → True) ∧ True
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y : NumDenSameDeg 𝒜 x
n : ℕ
\u22a2 (Quotient.mk'' y ^ n).val = val (Quotient.mk'' y) ^ n
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y : NumDenSameDeg 𝒜 x
n : ℕ
\u22a2 Localization.mk ↑(y ^ n).num ⟨↑(y ^ n).den, ⋯⟩ = Localization.mk (↑y.num ^ n) (⟨↑y.den, ⋯⟩ ^ n)
-- Mathlib/Data/Prod/TProd.lean
ι : Type u
α : ι → Type v
i✝ j : ι
l : List ι
f : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
hnd : l.Nodup
h : ∀ (i : ι), i ∈ l
v : TProd α l
i : ι
hi : i ∈ l
\u22a2 (TProd.mk l (TProd.elim' h v)).elim hi = v.elim hi
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
l✝ : List α
inst✝ : Fintype α
l l' : List α
x : α
hx : x ∈ (zipWith swap l l').prod.support
hx' : x ∈ {x | (zipWith swap l l').prod x ≠ x}
\u22a2 x ∈ l.toFinset ⊔ l'.toFinset
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Reflexive.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
A✝ B✝ : C
f✝ g✝ : A✝ ⟶ B✝
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : HasCoreflexiveEqualizers C
A B : C
f g : A ⟶ B
r : B ⟶ A
fr : f ≫ r = 𝟙 A
gr : g ≫ r = 𝟙 A
\u22a2 HasEqualizer f g
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Reflexive.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
A✝ B✝ : C
f✝ g✝ : A✝ ⟶ B✝
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : HasCoreflexiveEqualizers C
A B : C
f g : A ⟶ B
r : B ⟶ A
fr : f ≫ r = 𝟙 A
gr : g ≫ r = 𝟙 A
this : IsCoreflexivePair f g := IsCoreflexivePair.mk' r fr gr
\u22a2 HasEqualizer f g
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s : Set α
hs : s.Nonempty
h's : BddBelow s
\u22a2 ↑(sInf s) = ⨅ a ∈ s, ↑a
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
i : ι
x : β i
h : ¬p i
\u22a2 filter p (single i x) = 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
hg : x.orderTop = ↑g
\u22a2 x.coeff g ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
hg : x.orderTop = ↑g
h : x.orderTop ≠ ⊤
\u22a2 x.coeff g ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
hg : x.orderTop = ↑g
h : x.orderTop ≠ ⊤
hx : x ≠ 0
\u22a2 x.coeff g ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
h : x.orderTop ≠ ⊤
hx : x ≠ 0
hg : ⋯.min ⋯ = g
\u22a2 x.coeff g ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
h : x.orderTop ≠ ⊤
hx : x ≠ 0
hg : ⋯.min ⋯ = g
\u22a2 x.coeff (⋯.min ⋯) ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/RiemannZeta.lean
s : ℂ
\u22a2 completedCosZeta 0 s = completedRiemannZeta s
-- Mathlib/Analysis/Oscillation.lean
E : Type u
F : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace F
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
K✝ : Set E
comp✝ : IsCompact K✝
f✝ : E → F
D : Set E
ε✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
K : Set E
comp : IsCompact K
f : E → F
ε : ℝ≥0∞
hK : ∀ x ∈ K, oscillation f x < ε
\u22a2 ∃ δ > 0, ∀ x ∈ K, diam (f '' ball x (ENNReal.ofReal δ)) ≤ ε