ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
\u22a2 Submodule.span R (⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}) = Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Covolume.lean
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁸ : MeasurableSpace E
inst✝⁷ : BorelSpace E
L✝ : AddSubgroup E
inst✝⁶ : DiscreteTopology ↥L✝
inst✝⁵ : IsZlattice ℝ L✝
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
inst✝⁴ : Measure.IsAddHaarMeasure μ
ι : Type u_2
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
L : AddSubgroup (ι → ℝ)
inst✝¹ : DiscreteTopology ↥L
inst✝ : IsZlattice ℝ L
b : Basis ι ℤ ↥L
\u22a2 covolume L volume = |(Matrix.of (Subtype.val ∘ ⇑b)).det|
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Covolume.lean
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁸ : MeasurableSpace E
inst✝⁷ : BorelSpace E
L✝ : AddSubgroup E
inst✝⁶ : DiscreteTopology ↥L✝
inst✝⁵ : IsZlattice ℝ L✝
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
inst✝⁴ : Measure.IsAddHaarMeasure μ
ι : Type u_2
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
L : AddSubgroup (ι → ℝ)
inst✝¹ : DiscreteTopology ↥L
inst✝ : IsZlattice ℝ L
b : Basis ι ℤ ↥L
\u22a2 |(Matrix.of ⇑(Basis.ofZlatticeBasis ℝ L b)).det| = |(Matrix.of (Subtype.val ∘ ⇑b)).det|
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Covolume.lean
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁸ : MeasurableSpace E
inst✝⁷ : BorelSpace E
L✝ : AddSubgroup E
inst✝⁶ : DiscreteTopology ↥L✝
inst✝⁵ : IsZlattice ℝ L✝
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
inst✝⁴ : Measure.IsAddHaarMeasure μ
ι : Type u_2
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
L : AddSubgroup (ι → ℝ)
inst✝¹ : DiscreteTopology ↥L
inst✝ : IsZlattice ℝ L
b : Basis ι ℤ ↥L
x✝ : ι
\u22a2 (Basis.ofZlatticeBasis ℝ L b) x✝ = (Subtype.val ∘ ⇑b) x✝
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing R
p q : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hp : ¬IsUnit p
h : 0 ≥ p.degree
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing R
p q : R[X]
hp0 : C (p.coeff 0) ≠ 0
hp : ¬IsUnit (C (p.coeff 0))
h : 0 ≥ p.degree
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
\u22a2 range ⇑abs ⊆ Ici 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
s : Set Ordinal.{u}
hs : Small.{u, u + 1} ↑s
a : Ordinal.{u}
ha : a ∈ s
\u22a2 a ≤ sup fun x => ↑((equivShrink ↑s).symm x)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
s : Set Ordinal.{u}
hs : Small.{u, u + 1} ↑s
a : Ordinal.{u}
ha : a ∈ s
\u22a2 a = ↑((equivShrink ↑s).symm ((equivShrink ↑s) ⟨a, ha⟩))
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
n : ℕ
f : M →ₗ[R] N
m : Fin n → M
\u22a2 (map f) ((ιMulti R n) m) = (ιMulti R n) (⇑f ∘ m)
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
n : ℕ
f : M →ₗ[R] N
m : Fin n → M
\u22a2 (List.map (⇑(map f)) (List.ofFn fun i => (ι R) (m i))).prod = (List.ofFn fun i => (ι R) ((⇑f ∘ m) i)).prod
-- Mathlib/Control/Basic.lean
α✝ β✝ γ✝ : Type u
m✝ : ?m.14964
m : Type u → Type v
h : Applicative m
inst✝ : CommApplicative m
α β γ : Type u
a : m α
b : m β
f : α → β → γ
\u22a2 (Seq.seq (f <$> a) fun x => b) = (fun p => f p.fst p.snd) <$> Seq.seq (Prod.mk <$> a) fun x => b
-- Mathlib/Control/Basic.lean
α✝ β✝ γ✝ : Type u
m✝ : ?m.14964
m : Type u → Type v
h : Applicative m
inst✝ : CommApplicative m
α β γ : Type u
a : m α
b : m β
f : α → β → γ
\u22a2 ((fun p => f p.fst p.snd) <$> Seq.seq (Prod.mk <$> a) fun x => b) = Seq.seq ((fun b a => f a b) <$> b) fun x => a
-- Mathlib/Control/Basic.lean
α✝ β✝ γ✝ : Type u
m✝ : ?m.14964
m : Type u → Type v
h : Applicative m
inst✝ : CommApplicative m
α β γ : Type u
a : m α
b : m β
f : α → β → γ
\u22a2 ((fun p => f p.fst p.snd) <$> Seq.seq ((fun b a => (a, b)) <$> b) fun x => a) = Seq.seq ((fun b a => f a b) <$> b) fun x => a
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
f : α →₀ ℕ
i : α
\u22a2 i ∈ toMultiset f ↔ i ∈ f.support
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
h₂ : MeasurableSet s₂
\u22a2 MeasurableSet (s₁ ⇨ s₂)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
h₂ : MeasurableSet s₂
\u22a2 MeasurableSet (s₂ ⊔ s₁ᶜ)
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
x y : M × ↥S
\u22a2 (r S) x y ↔ ∃ c, ↑c * (↑y.2 * x.1) = ↑c * (↑x.2 * y.1)
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
x y : M × ↥S
\u22a2 (r' S) x y ↔ ∃ c, ↑c * (↑y.2 * x.1) = ↑c * (↑x.2 * y.1)
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hf : Injective ⇑f
\u22a2 f ζ ^ k = 1
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hf : Injective ⇑f
\u22a2 ∀ (l : ℕ), f ζ ^ l = 1 → k ∣ l
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hf : Injective ⇑f
\u22a2 ∀ (l : ℕ), f ζ ^ l = 1 → orderOf ζ ∣ l
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hf : Injective ⇑f
l : ℕ
hl : f ζ ^ l = 1
\u22a2 orderOf ζ ∣ l
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hf : Injective ⇑f
l : ℕ
hl : f (ζ ^ l) = f 1
\u22a2 orderOf ζ ∣ l
-- Mathlib/Geometry/Manifold/BumpFunction.lean
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
\u22a2 dist (↑(extChartAt I c) c) (↑(extChartAt I c) c) < f.rIn
-- Mathlib/Geometry/Manifold/BumpFunction.lean
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
\u22a2 0 < f.rIn
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
\u22a2 IsLeast {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖} ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
\u22a2 IsClosed {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖}
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
\u22a2 IsClosed ({a | 0 ≤ a} ∩ ⋂ i, {x | ‖f i‖ ≤ x * ‖i‖})
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
\u22a2 (fun x => x - a) ⁻¹' [[b, c]] = [[b + a, c + a]]
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a : α
l l₁' l₂' : List α
h : (a :: l).split = (l₁', l₂')
l₁ l₂ : List α
e : l.split = (l₁, l₂)
\u22a2 l₁'.length ≤ (a :: l).length ∧ l₂'.length ≤ (a :: l).length
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a : α
l l₁' l₂' : List α
h : (a :: l).split = (l₁', l₂')
l₁ l₂ : List α
e : l.split = (l₁, l₂)
fst_eq✝ : a :: l₂ = l₁'
snd_eq✝ : l₁ = l₂'
\u22a2 l₁'.length ≤ (a :: l).length ∧ l₂'.length ≤ (a :: l).length
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a : α
l l₁ l₂ : List α
e : l.split = (l₁, l₂)
h : (a :: l).split = (a :: l₂, l₁)
h₁ : l₁.length ≤ l.length
h₂ : l₂.length ≤ l.length
\u22a2 (a :: l₂).length ≤ (a :: l).length ∧ l₁.length ≤ (a :: l).length
-- Mathlib/Algebra/Group/Semiconj/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝ : DivisionMonoid G
a x y : G
\u22a2 SemiconjBy a⁻¹ x⁻¹ y⁻¹ ↔ SemiconjBy a y x
-- Mathlib/Data/Finset/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
s t : Finset α
f : Finset α → β
\u22a2 Monotone f ↔ ∀ (s : Finset α) ⦃a : α⦄ (ha : a ∉ s), f s ≤ f (cons a s ha)
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝³ : AddCommMonoid α
inst✝² : Neg β
inst✝¹ : DivisionSemiring γ
inst✝ : Module γ α
h : Antiperiodic f c
a : γ
ha : a ≠ 0
\u22a2 Antiperiodic (fun x => f (a⁻¹ • x)) (a • c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Karoubi.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.17320, u_1} C
X : C
\u22a2 𝟙 X ≫ 𝟙 X = 𝟙 X
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Karoubi.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.17320, u_1} C
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 f = ((fun X => { X := X, p := 𝟙 X, idem := ⋯ }) X✝).p ≫ f ≫ ((fun X => { X := X, p := 𝟙 X, idem := ⋯ }) Y✝).p
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ht : t ∈ 𝓝 x
\u22a2 DifferentiableWithinAt 𝕜 f (s ∩ t) x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
inst✝ : IsSymm α r
\u22a2 maximals r s = minimals r s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffAt 𝕜 n f x
hg : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
\u22a2 f₁ =ᶠ[𝓝[univ] x] f
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M✝ : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝³ : T2Space M✝
v✝ : VectorMeasure α M✝
f : ℕ → Set α
M : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
A B : Set α
hA : MeasurableSet A
hB : MeasurableSet B
h : A ⊆ B
\u22a2 ↑v (B \ A) = ↑v B - ↑v A
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
ε : ℝ
\u22a2 closedBall x ε =ᶠ[ae volume] ball x ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
ε : ℝ
hε : ε ≤ 0
\u22a2 closedBall x ε =ᶠ[ae volume] ball x ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
ε : ℝ
hε : 0 < ε
\u22a2 closedBall x ε =ᶠ[ae volume] ball x ε
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
β : ι → Type u_3
m : (i : ι) → α i → β i
\u22a2 map (fun k i => m i (k i)) (Filter.coprodᵢ f) ≤ Filter.coprodᵢ fun i => map (m i) (f i)
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
β : ι → Type u_3
m : (i : ι) → α i → β i
\u22a2 ∀ (x : Set ((i : ι) → β i)), (∀ (i : ι), ∃ t₁, m i ⁻¹' t₁ ∈ f i ∧ eval i ⁻¹' t₁ ⊆ x) → ∀ (i : ι), ∃ t₁ ∈ f i, eval i ⁻¹' t₁ ⊆ (fun k i => m i (k i)) ⁻¹' x
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
\u22a2 (x \ y)ᶜ = x ⇨ y
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
hf : Module.Flat R ↥M ∨ Module.Flat R ↥N
hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ N)), Commute ↑m ↑n
a✝ : Nontrivial R
\u22a2 Module.rank R ↥(M ⊓ N) ≤ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
hf : Module.Flat R ↥M ∨ Module.Flat R ↥N
hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ N)), Commute ↑m ↑n
a✝ : Nontrivial R
s : Finset ↥(M ⊓ N)
h : LinearIndependent R fun i => ↑i
\u22a2 s.card ≤ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
hf : Module.Flat R ↥M ∨ Module.Flat R ↥N
hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ N)), Commute ↑m ↑n
a✝ : Nontrivial R
s : Finset ↥(M ⊓ N)
h : LinearIndependent R fun i => ↑i
hs : ¬s.card ≤ 1
\u22a2 False
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
hf : Module.Flat R ↥M ∨ Module.Flat R ↥N
hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ N)), Commute ↑m ↑n
a✝ : Nontrivial R
s : Finset ↥(M ⊓ N)
h : LinearIndependent R fun i => ↑i
hs : Nontrivial { x // x ∈ s }
\u22a2 False
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
hf : Module.Flat R ↥M ∨ Module.Flat R ↥N
hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ N)), Commute ↑m ↑n
a✝ : Nontrivial R
s : Finset ↥(M ⊓ N)
h : LinearIndependent R fun i => ↑i
hs : Nontrivial { x // x ∈ s }
a b : { x // x ∈ s }
hab : a ≠ b
\u22a2 False
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
hf : Module.Flat R ↥M ∨ Module.Flat R ↥N
hc : ∀ (m n : ↥(M ⊓ N)), Commute ↑m ↑n
a✝ : Nontrivial R
s : Finset ↥(M ⊓ N)
h : LinearIndependent R fun i => ↑i
hs : Nontrivial { x // x ∈ s }
a b : { x // x ∈ s }
hab : a ≠ b
\u22a2 LinearIndependent R ![↑a, ↑b]
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Ordinal.{u_1}
\u22a2 a < b → beth a < beth b
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
b : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < b, ∀ ⦃a : Ordinal.{u_1}⦄, a < k → beth a < beth k
a : Ordinal.{u_1}
\u22a2 a < b → beth a < beth b
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
b : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < b, ∀ ⦃a : Ordinal.{u_1}⦄, a < k → beth a < beth k
a : Ordinal.{u_1}
h : a < b
\u22a2 beth a < beth b
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < 0, ∀ ⦃a : Ordinal.{u_1}⦄, a < k → beth a < beth k
h : a < 0
\u22a2 beth a < beth 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a c : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < succ c, ∀ ⦃a : Ordinal.{u_1}⦄, a < k → beth a < beth k
h : a < succ c
\u22a2 beth a < beth (succ c)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
b : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < b, ∀ ⦃a : Ordinal.{u_1}⦄, a < k → beth a < beth k
a : Ordinal.{u_1}
h : a < b
hb : b.IsLimit
\u22a2 beth a < beth b
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : NonUnitalCommSemiring α
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
A : Matrix m n α
B : Matrix m o α
x : n → α
\u22a2 (A *ᵥ x) ᵥ* B = x ᵥ* (Aᵀ * B)
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : Module.Free R M
inst✝¹⁰ : Module.Finite R M
inst✝⁹ : Module.Free R L
inst✝⁸ : Module.Finite R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : LieModule K L M
inst✝³ : FiniteDimensional K M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : LinearWeights K L M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
x : L
\u22a2 (traceForm K L M) x ∈ span K (range (Weight.toLinear K L M))
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : Module.Free R M
inst✝¹⁰ : Module.Finite R M
inst✝⁹ : Module.Free R L
inst✝⁸ : Module.Finite R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : LieModule K L M
inst✝³ : FiniteDimensional K M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : LinearWeights K L M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
x : L
\u22a2 ∑ c : Weight K L M, (finrank K ↥↑(weightSpace M ⇑c) • (Weight.toLinear K L M c).smulRight (Weight.toLinear K L M c)) x ∈ span K (range (Weight.toLinear K L M))
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : Module.Free R M
inst✝¹⁰ : Module.Finite R M
inst✝⁹ : Module.Free R L
inst✝⁸ : Module.Finite R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : LieModule K L M
inst✝³ : FiniteDimensional K M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : LinearWeights K L M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
x : L
χ : Weight K L M
x✝ : χ ∈ Finset.univ
\u22a2 (finrank K ↥↑(weightSpace M ⇑χ) • (Weight.toLinear K L M χ).smulRight (Weight.toLinear K L M χ)) x ∈ span K (range (Weight.toLinear K L M))
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : Module.Free R M
inst✝¹⁰ : Module.Finite R M
inst✝⁹ : Module.Free R L
inst✝⁸ : Module.Finite R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : LieModule K L M
inst✝³ : FiniteDimensional K M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : LinearWeights K L M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
x : L
χ : Weight K L M
x✝ : χ ∈ Finset.univ
\u22a2 ↑(finrank K ↥↑(weightSpace M ⇑χ)) • χ x • Weight.toLinear K L M χ ∈ span K (range (Weight.toLinear K L M))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜✝ : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜✝
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜✝ E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜✝ E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
𝕜 : Type u_8
inst✝¹ : _root_.RCLike 𝕜
n : Type u_9
inst✝ : Fintype n
x : EuclideanSpace 𝕜 n
\u22a2 ‖x‖ = √(∑ i : n, ‖x i‖ ^ 2)
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
h : upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω ≠ N
\u22a2 b ≤ stoppedValue f (upperCrossingTime a b f N (n + 1)) ω
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
h : upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω ≠ N
j : ℕ
hj₁ : j ∈ Set.Icc (lowerCrossingTimeAux a f (upperCrossingTime a b f N n ω) N ω) (upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω)
hj₂ : f j ω ∈ Set.Ici b
\u22a2 b ≤ stoppedValue f (upperCrossingTime a b f N (n + 1)) ω
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Generator.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsSeparating 𝒢
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = 0
\u22a2 ∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = h ≫ 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Generator.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
𝒢 : Set C
h𝒢 : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), (∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = 0) → f = 0
X Y : C
f g : X ⟶ Y
hfg : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g
\u22a2 ∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ (f - g) = 0