ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Push.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : Quiver V
W : Type u_2
σ : V → W
W' : Type u_3
inst✝ : Quiver W'
φ : V ⥤q W'
τ : W → W'
h : ∀ (x : V), φ.obj x = τ (σ x)
\u22a2 ∀ (X Y : V) (f : X ⟶ Y), (of σ ⋙q lift σ φ τ h).map f = Eq.recOn ⋯ (Eq.recOn ⋯ (φ.map f))
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Polynomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
x✝ a✝ : R
\u22a2 ((↑↑{ toFun := fun p => p.toContinuousMap, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }).toFun ((algebraMap R R[X]) x✝)) a✝ = ((algebraMap R C(R, R)) x✝) a✝
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
ι : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulWithZero R M
s : ι → X → R
h✝ : LocallyFinite fun i => support (s i)
f : ι → X → M
i : ι
x : X
h : s i x = 0
\u22a2 (s i • f i) x = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : LaxMonoidalFunctor C D
G : LaxMonoidalFunctor D E
X Y : C
f : X ⟶ Y
X' : C
\u22a2 __src✝.map f ▷ __src✝.obj X' ≫ (fun X Y => G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ G.map (F.μ X Y)) Y X' = (fun X Y => G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ G.map (F.μ X Y)) X X' ≫ __src✝.map (f ▷ X')
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : LaxMonoidalFunctor C D
G : LaxMonoidalFunctor D E
X Y f : C
X' : X ⟶ Y
\u22a2 __src✝.obj f ◁ __src✝.map X' ≫ (fun X Y => G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ G.map (F.μ X Y)) f Y = (fun X Y => G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ G.map (F.μ X Y)) f X ≫ __src✝.map (f ◁ X')
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : LaxMonoidalFunctor C D
G : LaxMonoidalFunctor D E
X Y Z : C
\u22a2 (G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ G.map (F.μ X Y)) ▷ G.obj (F.obj Z) ≫ (G.μ (F.obj (X ⊗ Y)) (F.obj Z) ≫ G.map (F.μ (X ⊗ Y) Z)) ≫ G.map (F.map (α_ X Y Z).hom) = (α_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y)) (G.obj (F.obj Z))).hom ≫ G.obj (F.obj X) ◁ (G.μ (F.obj Y) (F.obj Z) ≫ G.map (F.μ Y Z)) ≫ G.μ (F.obj X) (F.obj (Y ⊗ Z)) ≫ G.map (F.μ X (Y ⊗ Z))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : LaxMonoidalFunctor C D
G : LaxMonoidalFunctor D E
X Y Z : C
\u22a2 G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ▷ G.obj (F.obj Z) ≫ G.μ (F.obj X ⊗ F.obj Y) (F.obj Z) ≫ G.map (F.μ X Y ▷ F.obj Z) ≫ G.map (F.μ (X ⊗ Y) Z) ≫ G.map (F.map (α_ X Y Z).hom) = (α_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y)) (G.obj (F.obj Z))).hom ≫ G.obj (F.obj X) ◁ G.μ (F.obj Y) (F.obj Z) ≫ G.μ (F.obj X) (F.obj Y ⊗ F.obj Z) ≫ G.map (F.obj X ◁ F.μ Y Z) ≫ G.map (F.μ X (Y ⊗ Z))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : LaxMonoidalFunctor C D
G : LaxMonoidalFunctor D E
X Y Z : C
\u22a2 G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ▷ G.obj (F.obj Z) ≫ G.μ (F.obj X ⊗ F.obj Y) (F.obj Z) ≫ G.map (F.μ X Y ▷ F.obj Z) ≫ G.map (F.μ (X ⊗ Y) Z) ≫ G.map (F.map (α_ X Y Z).hom) = ((G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ▷ G.obj (F.obj Z) ≫ G.μ (F.obj X ⊗ F.obj Y) (F.obj Z) ≫ G.map (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom) ≫ G.map (F.obj X ◁ F.μ Y Z)) ≫ G.map (F.μ X (Y ⊗ Z))
-- Mathlib/Algebra/CharP/Two.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CharP R 2
s : Finset ι
f : ι → R
\u22a2 (∑ i ∈ s, f i) * ∑ i ∈ s, f i = ∑ i ∈ s, f i * f i
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : (α → ℕ) → ℤ
hf : IsPoly f
hg : IsPoly g
\u22a2 IsPoly (f + g)
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : (α → ℕ) → ℤ
hf : IsPoly f
hg : IsPoly g
\u22a2 IsPoly (f - -g)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring α
inst✝² : LinearOrder α
a b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
b c : α
ha : 0 ≤ a
hd : 0 ≤ d
ba : b * a ≤ max d b * max c a
cd : c * d ≤ max a c * max b d
\u22a2 a * b ≤ max a c * max d b
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring α
inst✝² : LinearOrder α
a b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
b c : α
ha : 0 ≤ a
hd : 0 ≤ d
ba : b * a ≤ max d b * max c a
cd : c * d ≤ max a c * max b d
\u22a2 d * c ≤ max a c * max d b
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n✝ : ℕ
c : Composition n✝
n : ℕ
h : 0 < n
i : Fin (single n h).length
\u22a2 (single n h).blocksFun i = n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/PolynomialExp.lean
p : ℝ[X]
\u22a2 Tendsto (fun x => eval x p / rexp x) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Frobenius.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
\u22a2 (bind₁ (frobeniusPoly p)) (wittPolynomial p ℤ n) = wittPolynomial p ℤ (n + 1)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Frobenius.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
\u22a2 (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ((bind₁ (frobeniusPoly p)) (wittPolynomial p ℤ n)) = (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfHasFiniteProducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C
\u22a2 (α_ X Y Z).inv ≫ prod.fst ≫ prod.snd = prod.snd ≫ prod.fst
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnected.lean
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
\u22a2 ¬(s ∩ Icc x y).OrdConnected ↔ ∃ z ∉ s, z ∈ Ioo x y
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
a : Aˣ
h : ↑r ∈ resolventSet R ↑a
\u22a2 ↑r⁻¹ ∈ resolventSet R ↑a⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
a : Aˣ
h : IsUnit (r • 1 - ↑a)
\u22a2 IsUnit (r⁻¹ • 1 - ↑a⁻¹)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
a : Aˣ
h : IsUnit (r • 1 - ↑a)
\u22a2 IsUnit (r • ↑a⁻¹ - 1)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
a : Aˣ
h : IsUnit (r • 1 - ↑a)
h₁ : ↑a * (r • ↑a⁻¹ - 1) = r • 1 - ↑a
\u22a2 IsUnit (r • ↑a⁻¹ - 1)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
a : Aˣ
h : IsUnit (r • 1 - ↑a)
h₁ : ↑a * (r • ↑a⁻¹ - 1) = r • 1 - ↑a
h₂ : (r • ↑a⁻¹ - 1) * ↑a = r • 1 - ↑a
\u22a2 IsUnit (r • ↑a⁻¹ - 1)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
a : Aˣ
h : IsUnit (r • 1 - ↑a)
h₁ : ↑a * (r • ↑a⁻¹ - 1) = r • 1 - ↑a
h₂ : (r • ↑a⁻¹ - 1) * ↑a = r • 1 - ↑a
hcomm : Commute (↑a) (r • ↑a⁻¹ - 1)
\u22a2 IsUnit (r • ↑a⁻¹ - 1)
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/ResidueField/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LocalRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : LocalRing S
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
x : R
\u22a2 (residue R) x = 0 ↔ x ∈ maximalIdeal R
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
ε : ℚ
hε : 0 < ε
\u22a2 ∃ N, ∀ i ≥ N, (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
ε : ℚ
hε : 0 < ε
h : ∀ (N : ℕ), ∃ i ≥ N, ε ≤ (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
ε : ℚ
hε : 0 < ε
h : ∀ (N : ℕ), ∃ i ≥ N, ε ≤ (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
ε : ℚ
hε : 0 < ε
h : ∀ (N : ℕ), ∃ i ≥ N, ε ≤ (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
i : ℕ
hi : i ≥ N
hge : ε ≤ (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
ε : ℚ
hε : 0 < ε
h : ∀ (N : ℕ), ∃ i ≥ N, ε ≤ (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
i : ℕ
hi : i ≥ N
hge : ε ≤ (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm
hne : ¬f - const (padicNorm p) (↑f i) ≈ 0
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
ε : ℚ
hε : 0 < ε
h : ∀ (N : ℕ), ∃ i ≥ N, ε ≤ (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
i : ℕ
hi : i ≥ N
hne : ¬f - const (padicNorm p) (↑f i) ≈ 0
hge : ε ≤ padicNorm p (↑(f - const (padicNorm p) (↑f i)) (stationaryPoint hne))
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
ε : ℚ
hε : 0 < ε
h : ∀ (N : ℕ), ∃ i ≥ N, ε ≤ (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
i : ℕ
hi : i ≥ N
hne : ¬f - const (padicNorm p) (↑f i) ≈ 0
hge : ε ≤ padicNorm p (↑(f - const (padicNorm p) (↑f i)) (stationaryPoint hne))
\u22a2 ε > padicNorm p (↑(f - const (padicNorm p) (↑f i)) (stationaryPoint hne))
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Ring α
inst✝⁴ : LinearOrder α
a b : α
inst✝³ : PosMulStrictMono α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
\u22a2 0 ≤ a * b ↔ (a < 0 → b ≤ 0) ∧ (b < 0 → a ≤ 0)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Ring α
inst✝⁴ : LinearOrder α
a b : α
inst✝³ : PosMulStrictMono α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
\u22a2 (0 < -a → 0 ≤ -b) ∧ (0 < -b → 0 ≤ -a) ↔ (a < 0 → b ≤ 0) ∧ (b < 0 → a ≤ 0)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
n : ℕ∞
\u22a2 ContDiff 𝕜 n f ↔ ∀ (i : ι), ContDiff 𝕜 n fun x => f x i
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
n : ℕ∞
\u22a2 (∀ (i : ι), ContDiff 𝕜 n fun x => (⇑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜) ∘ f) x i) ↔ ∀ (i : ι), ContDiff 𝕜 n fun x => f x i
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
n : ℕ
m : M
a : α
\u22a2 m ^ (period m a + n) • a = m ^ n • a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝² : Ring R
p✝ q : R[X]
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p : R[X]
a : R
\u22a2 (fun h => Nat.find ⋯) = fun h => Nat.find ⋯
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝² : Ring R
p✝ q : R[X]
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p : R[X]
a : R
x✝ : ¬p = 0
\u22a2 Nat.find ⋯ = Nat.find ⋯
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
hx : x ≠ 0
\u22a2 Associated (num A x) ↑(den A x⁻¹)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
hx : x ≠ 0
this : Associated (num A x⁻¹⁻¹) ↑(den A x⁻¹)
\u22a2 Associated (num A x) ↑(den A x⁻¹)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
hx : x ≠ 0
this : Associated (num A x) ↑(den A x⁻¹)
\u22a2 Associated (num A x) ↑(den A x⁻¹)
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝¹ : Monoid G
H : Type u_1
inst✝ : Monoid H
e : G →* H
e_inj : Function.Injective ⇑e
g : G
\u22a2 e (g ^ exponent H) = e 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
z : ℂ
hz : 0 < z.re
\u22a2 ContinuousAt (fun x => x.1 ^ x.2) (0, z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
z : ℂ
hz : 0 < z.re
hz₀ : z ≠ 0
\u22a2 ContinuousAt (fun x => x.1 ^ x.2) (0, z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
z : ℂ
hz : 0 < z.re
hz₀ : z ≠ 0
\u22a2 Tendsto (fun x => ‖x.1 ^ x.2‖) (𝓝 (0, z)) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
z : ℂ
hz : 0 < z.re
hz₀ : z ≠ 0
\u22a2 Tendsto (fun x => abs x.1 ^ x.2.re / rexp (x.1.arg * x.2.im)) (𝓝 (0, z)) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
z : ℂ
hz : 0 < z.re
hz₀ : z ≠ 0
\u22a2 Tendsto (fun x => abs x.1 ^ x.2.re * rexp (-(x.1.arg * x.2.im))) (𝓝 (0, z)) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
z : ℂ
hz : 0 < z.re
hz₀ : z ≠ 0
\u22a2 Tendsto (fun x => abs x.1 ^ x.2.re) (𝓝 (0, z)) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
z : ℂ
hz : 0 < z.re
hz₀ : z ≠ 0
\u22a2 IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (𝓝 (0, z)) ((fun x => ‖x‖) ∘ fun x => rexp (-(x.1.arg * x.2.im)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Order/UpperLower.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : s.OrdConnected
\u22a2 volume (frontier s) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Order/UpperLower.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : s.OrdConnected
\u22a2 volume (frontier (↑(upperClosure s) ∩ ↑(lowerClosure s))) = 0
-- Mathlib/Data/Sigma/Basic.lean
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
f₁ : α₁ → α₂
f₂ : (a : α₁) → β₁ a → β₂ (f₁ a)
h₁ : Surjective f₁
h₂ : ∀ (a : α₁), Surjective (f₂ a)
\u22a2 Surjective (Sigma.map f₁ f₂)
-- Mathlib/Data/Sigma/Basic.lean
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
f₁ : α₁ → α₂
f₂ : (a : α₁) → β₁ a → β₂ (f₁ a)
h₁ : Surjective f₁
h₂ : ∀ (a : α₁), Surjective (f₂ a)
\u22a2 ∀ (x : α₁) (b : β₂ (f₁ x)), ∃ a, Sigma.map f₁ f₂ a = ⟨f₁ x, b⟩
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
g : β → γ
f : α → β
l : List α
n✝ : ℕ
a✝ : γ
\u22a2 a✝ ∈ ((map g ∘ map f) l)[n✝]? ↔ a✝ ∈ (map (g ∘ f) l)[n✝]?
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
\u22a2 Perm ∘r Perm = Perm
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a✝ : α
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
a c : List α
\u22a2 (Perm ∘r Perm) a c = (a ~ c)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ : Set E
x✝ : E
s : Set F
hs : Convex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
\u22a2 a • x + b • y ∈ ⇑f ⁻¹' s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ : Set E
x✝ : E
s : Set F
hs : Convex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
\u22a2 a • f x + b • f y ∈ s
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Classes/Order.lean
cmp✝ : ?m.2679 → ?m.2679 → Ordering
inst✝¹ : TransCmp cmp✝
x✝ : Sort ?u.2677
cmp : x✝ → x✝ → Ordering
inst✝ : TransCmp cmp
x y z : x✝
h₁ : cmp x y ≠ Ordering.lt
h₂ : cmp y z ≠ Ordering.lt
\u22a2 cmp x z ≠ Ordering.lt
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Classes/Order.lean
cmp✝ : ?m.2679 → ?m.2679 → Ordering
inst✝¹ : TransCmp cmp✝
x✝ : Sort ?u.2677
cmp : x✝ → x✝ → Ordering
inst✝ : TransCmp cmp
x y z : x✝
h₁ : cmp x y ≠ Ordering.lt
h₂ : cmp y z ≠ Ordering.lt
this : cmp z y ≠ Ordering.gt → cmp y x ≠ Ordering.gt → cmp z x ≠ Ordering.gt
\u22a2 cmp x z ≠ Ordering.lt
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Classes/Order.lean
cmp✝ : ?m.2679 → ?m.2679 → Ordering
inst✝¹ : TransCmp cmp✝
x✝ : Sort ?u.2677
cmp : x✝ → x✝ → Ordering
inst✝ : TransCmp cmp
x y z : x✝
h₁ : ¬cmp x y = Ordering.lt
h₂ : ¬cmp y z = Ordering.lt
this : ¬cmp y z = Ordering.lt → ¬cmp x y = Ordering.lt → ¬cmp x z = Ordering.lt
\u22a2 ¬cmp x z = Ordering.lt
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot T f
\u22a2 (h.aequiv h') h.root = h'.root
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y y' : M
\u22a2 polar (⇑Q) x (y - y') = polar (⇑Q) x y - polar (⇑Q) x y'
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
\u22a2 toDFinsupp s ≤ toDFinsupp t ↔ s ≤ t
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
h : Disjoint s t
hs : MeasurableSet s
\u22a2 μ.restrict (s ∪ t) = μ.restrict s + μ.restrict t
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Trifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁸ : Category.{u_14, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_13, u_2} C₂
inst✝⁶ : Category.{u_12, u_3} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_11, u_4} C₄
inst✝⁴ : Category.{u_15, u_5} C₁₂
inst✝³ : Category.{?u.187592, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂
G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₁₂ : BifunctorComp₁₂IndexData r
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝² : (((mapBifunctor F₁₂ I₁ I₂).obj X₁).obj X₂).HasMap ρ₁₂.p
inst✝¹ : (((mapBifunctor G ρ₁₂.I₁₂ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂)).obj X₃).HasMap ρ₁₂.q
H : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃
inst✝ : ((((mapTrifunctor (bifunctorComp₁₂ F₁₂ G) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap r
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : r (i₁, i₂, i₃) = j
\u22a2 ιMapTrifunctorMapObj (bifunctorComp₁₂ F₁₂ G) r X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ (CofanMapObjFun.iso (isColimitCofan₃MapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ j)).inv = ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h
-- Mathlib/MeasureTheory/SetSemiring.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
\u22a2 (insert t ↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id
-- Mathlib/MeasureTheory/SetSemiring.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
h : (↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id
\u22a2 (insert t ↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id
-- Mathlib/MeasureTheory/SetSemiring.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
h : (↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id
u : Set α
hu : u ∈ ↑(hC.diffFinset hs ht)
\u22a2 Disjoint (id t) (id u)
-- Mathlib/MeasureTheory/SetSemiring.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
h : (↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id
u : Set α
hu : u ∈ ↑(hC.diffFinset hs ht)
\u22a2 Disjoint t u
-- Mathlib/MeasureTheory/SetSemiring.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
h : (↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id
u : Set α
hu : u ∈ ↑(hC.diffFinset hs ht)
\u22a2 u ≤ ⋃₀ ↑(hC.diffFinset hs ht)
-- Mathlib/MeasureTheory/SetSemiring.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
h : (↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id
u : Set α
hu : u ∈ ↑(hC.diffFinset hs ht)
\u22a2 u ⊆ ⋃₀ ↑(hC.diffFinset hs ht)
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ✝
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ✝
g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u✝ u' : Finset γ✝
a a' : α
b b' : β
c : γ✝
γ : Type u_14
u : Finset γ
f : δ → γ → ε
g : α → β → δ
f₁ : α → γ → α'
f₂ : β → γ → β'
g' : α' → β' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = g' (f₁ a c) (f₂ b c)
\u22a2 image2 f (image2 g ↑s ↑t) ↑u ⊆ image2 g' (image2 f₁ ↑s ↑u) (image2 f₂ ↑t ↑u)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/SMul.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : SMul αᵐᵒᵖ β
inst✝¹ : SMul β γ
inst✝ : SMul α γ
a : α
s : Set β
t : Set γ
h : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), (op a • b) • c = b • a • c
x✝ : γ
\u22a2 x✝ ∈ (op a • s) • t ↔ x✝ ∈ s • a • t
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝² : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
α : Type u_1
x : α → Σˣ f
i j : ι
ij : i ≤ j
h : i ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ x))
a : α
\u22a2 (⇑(f i j ij) ∘ unify f x i h) a = unify f x j ⋯ a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x✝ y : E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
x : E
\u22a2 s / closedBall x δ = x⁻¹ • cthickening δ s
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
q : ι → R
hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)
\u22a2 ⨆ i ∈ S, torsionBy R M (q i) = torsionBy R M (∏ i ∈ S, q i)
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
q : ι → R
hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)
\u22a2 ⨆ i ∈ S, torsionBy R M (q i) = ⨆ i ∈ S, torsionBySet R M ↑(Ideal.span {q i})