ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
p✝ : α → Bool
b : α
l✝ : List α
p : α → Bool
l : List α
n : Nat
\u22a2 findIdx.go p l (n + 1) = findIdx.go p l n + 1
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Monad.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : R →+* S
g : σ → S
r : R
\u22a2 ((eval₂Hom f g).comp C) r = f r
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atBot
\u22a2 Tendsto (fun x => f x / r) l atBot ↔ 0 < r
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/StructureSheaf.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
a b : (x : ↥(unop U)) → at ↑x
ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a
hb : (isLocallyFraction 𝒜).pred b
x : ↥(unop U)
Va : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
ma : ↑x ∈ Va
ia : Va ⟶ unop U
ja : ℕ
ra : A
ra_mem : ra ∈ 𝒜 ja
sa : A
sa_mem : sa ∈ 𝒜 ja
hwa : ∀ (x : ↥Va), ↑⟨sa, sa_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wa : ∀ (x : ↥Va), (fun x => a ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja, num := ⟨ra, ra_mem⟩, den := ⟨sa, sa_mem⟩, den_mem := ⋯ }
Vb : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
mb : ↑x ∈ Vb
ib : Vb ⟶ unop U
jb : ℕ
rb : A
rb_mem : rb ∈ 𝒜 jb
sb : A
sb_mem : sb ∈ 𝒜 jb
hwb : ∀ (x : ↥Vb), ↑⟨sb, sb_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wb : ∀ (x : ↥Vb), (fun x => b ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := jb, num := ⟨rb, rb_mem⟩, den := ⟨sb, sb_mem⟩, den_mem := ⋯ }
\u22a2 ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ i, (isFractionPrelocal 𝒜).pred fun x => (a * b) ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/StructureSheaf.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
a b : (x : ↥(unop U)) → at ↑x
ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a
hb : (isLocallyFraction 𝒜).pred b
x : ↥(unop U)
Va : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
ma : ↑x ∈ Va
ia : Va ⟶ unop U
ja : ℕ
ra : A
ra_mem : ra ∈ 𝒜 ja
sa : A
sa_mem : sa ∈ 𝒜 ja
hwa : ∀ (x : ↥Va), ↑⟨sa, sa_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wa : ∀ (x : ↥Va), (fun x => a ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja, num := ⟨ra, ra_mem⟩, den := ⟨sa, sa_mem⟩, den_mem := ⋯ }
Vb : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
mb : ↑x ∈ Vb
ib : Vb ⟶ unop U
jb : ℕ
rb : A
rb_mem : rb ∈ 𝒜 jb
sb : A
sb_mem : sb ∈ 𝒜 jb
hwb : ∀ (x : ↥Vb), ↑⟨sb, sb_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wb : ∀ (x : ↥Vb), (fun x => b ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := jb, num := ⟨rb, rb_mem⟩, den := ⟨sb, sb_mem⟩, den_mem := ⋯ }
y : ↥(Va ⊓ Vb)
\u22a2 (fun x => (a * b) ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) y = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja + jb, num := ⟨ra * rb, ⋯⟩, den := ⟨sa * sb, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/StructureSheaf.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
a b : (x : ↥(unop U)) → at ↑x
ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a
hb : (isLocallyFraction 𝒜).pred b
x : ↥(unop U)
Va : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
ma : ↑x ∈ Va
ia : Va ⟶ unop U
ja : ℕ
ra : A
ra_mem : ra ∈ 𝒜 ja
sa : A
sa_mem : sa ∈ 𝒜 ja
hwa : ∀ (x : ↥Va), ↑⟨sa, sa_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wa : ∀ (x : ↥Va), (fun x => a ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja, num := ⟨ra, ra_mem⟩, den := ⟨sa, sa_mem⟩, den_mem := ⋯ }
Vb : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
mb : ↑x ∈ Vb
ib : Vb ⟶ unop U
jb : ℕ
rb : A
rb_mem : rb ∈ 𝒜 jb
sb : A
sb_mem : sb ∈ 𝒜 jb
hwb : ∀ (x : ↥Vb), ↑⟨sb, sb_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wb : ∀ (x : ↥Vb), (fun x => b ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := jb, num := ⟨rb, rb_mem⟩, den := ⟨sb, sb_mem⟩, den_mem := ⋯ }
y : ↥(Va ⊓ Vb)
\u22a2 Localization.mk (ra * rb) (⟨sa, ⋯⟩ * ⟨sb, ⋯⟩) = Localization.mk (ra * rb) ⟨sa * sb, ⋯⟩
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
\u22a2 IsFiniteAdele 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
\u22a2 {x | 0 x ∉ adicCompletionIntegers K x}.Finite
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
h_empty : {v | 0 ∉ adicCompletionIntegers K v} = ∅
\u22a2 {x | 0 x ∉ adicCompletionIntegers K x}.Finite
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
\u22a2 ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ = ‖⟪y, x⟫_𝕜‖
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FinallySmall.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
\u22a2 InitiallySmall J ↔ ∃ s, ∃ (_ : Small.{v, u} ↑s), ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (j ⟶ i)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FinallySmall.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : ∃ s, ∃ (_ : Small.{v, u} ↑s), ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (j ⟶ i)
\u22a2 InitiallySmall J
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FinallySmall.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
s : Set J
hs : Small.{v, u} ↑s
hs' : ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (j ⟶ i)
\u22a2 InitiallySmall J
-- Mathlib/Order/JordanHolder.lean
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
h : s₁.Equivalent s₂
\u22a2 s₁.length = s₂.length
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/SpecificFunctions.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x✝ : M
f : M → M'
g : M → M''
x : M
hf : MDifferentiableAt I I' f x
hg : MDifferentiableAt I I'' g x
\u22a2 mfderiv I (I'.prod I'') (fun x => (f x, g x)) x = (mfderiv I I' f x).prod (mfderiv I I'' g x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
c : 𝕜
\u22a2 HasLineDerivAt 𝕜 f (c • f') x (c • v)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
c : 𝕜
h : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' univ x v
\u22a2 HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (c • f') univ x (c • v)
-- Mathlib/Data/Multiset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
\u22a2 count a s ≤ count a (fold max 0 (map (fun a => count a s) s) • s.dedup)
-- Mathlib/Data/Multiset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
\u22a2 count a s ≤ fold max 0 (map (fun a => count a s) s) * count a s.dedup
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
\u22a2 H.relindex ⊤ = H.index
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
x : 𝓞 K
w : InfinitePlace K
h₁ : x ≠ 0
h₂ : ∀ ⦃w' : InfinitePlace K⦄, w' ≠ w → w' ↑x < 1
h₃ : w.IsReal ∨ |(w.embedding ↑x).re| < 1
\u22a2 Algebra.adjoin ℚ {↑x} = ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
x : 𝓞 K
w : InfinitePlace K
h₁ : x ≠ 0
h₂ : ∀ ⦃w' : InfinitePlace K⦄, w' ≠ w → w' ↑x < 1
h₃ : w.IsReal ∨ |(w.embedding ↑x).re| < 1
\u22a2 ℚ⟮↑x⟯.toSubalgebra = ⊤
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : LinearOrderedField R
A : Matrix m n R
x : n → R
\u22a2 x ∈ LinearMap.ker (Aᵀ * A).mulVecLin ↔ x ∈ LinearMap.ker A.mulVecLin
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : LinearOrderedField R
A : Matrix m n R
x : n → R
\u22a2 Aᵀ *ᵥ A *ᵥ x = 0 ↔ A *ᵥ x = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
a✝ : Nontrivial R
\u22a2 IsOpen {x | IsUnit x}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
a✝ : Nontrivial R
\u22a2 ∀ x ∈ {x | IsUnit x}, ∃ ε > 0, Metric.ball x ε ⊆ {x | IsUnit x}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
a✝ : Nontrivial R
x : Rˣ
\u22a2 ∃ ε > 0, Metric.ball (↑x) ε ⊆ {x | IsUnit x}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
a✝ : Nontrivial R
x : Rˣ
y : R
hy : y ∈ Metric.ball ↑x ‖↑x⁻¹‖⁻¹
\u22a2 y ∈ {x | IsUnit x}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
a✝ : Nontrivial R
x : Rˣ
y : R
hy : ‖y - ↑x‖ < ‖↑x⁻¹‖⁻¹
\u22a2 y ∈ {x | IsUnit x}
-- Mathlib/Order/PiLex.lean
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), IsTrichotomous (β i) s
wf : WellFounded r
a b : (i : ι) → β i
\u22a2 Pi.Lex r s a b ∨ a = b ∨ Pi.Lex r s b a
-- Mathlib/Order/PiLex.lean
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), IsTrichotomous (β i) s
wf : WellFounded r
a b : (i : ι) → β i
hab : a = b
\u22a2 Pi.Lex r s a b ∨ a = b ∨ Pi.Lex r s b a
-- Mathlib/Order/PiLex.lean
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), IsTrichotomous (β i) s
wf : WellFounded r
a b : (i : ι) → β i
hab : a ≠ b
\u22a2 Pi.Lex r s a b ∨ a = b ∨ Pi.Lex r s b a
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f : Filter α
s : Set α
\u22a2 Disjoint (𝓟 s) f ↔ sᶜ ∈ f
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
hk : k ≠ 0
n : ℤ
\u22a2 bernoulliFourierCoeff k n = -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
hk : k ≠ 0
\u22a2 bernoulliFourierCoeff k 0 = -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑0) ^ k
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
hk : k ≠ 0
n : ℤ
hn : n ≠ 0
\u22a2 bernoulliFourierCoeff k n = -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
hk : k ≠ 0
n : ℤ
hn : n ≠ 0
\u22a2 bernoulliFourierCoeff 1 n = -↑1! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ 1
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k✝ : ℕ
hk✝ : k✝ ≠ 0
n : ℤ
hn : n ≠ 0
k : ℕ
hk : 1 ≤ k
h'k : bernoulliFourierCoeff k n = -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k
\u22a2 bernoulliFourierCoeff (k + 1) n = -↑(k + 1)! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ (k + 1)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.229352}
f : α → β
s : Set β
h : Injective f
\u22a2 #↑(f ⁻¹' s) ≤ #↑s
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.229352}
f : α → β
s : Set β
h : Injective f
\u22a2 lift.{u, u} #↑(f ⁻¹' s) ≤ lift.{u, u} #↑s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z✝ w x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hw : w ≠ 0
h : y + z = w
\u22a2 x ^ w = x ^ y * x ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z✝ w x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hw : w ≠ 0
h : y + z = w
\u22a2 y + z ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
x y : ℕ
hp✝ : x * x - Pell.d a1 * y * y = 1
hp : 0 - Pell.d a1 * y * y = 1
\u22a2 1 ≤ { re := ↑0, im := ↑y }
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
x y : ℕ
hp✝ : x * x - Pell.d a1 * y * y = 1
hp : 0 = 1
\u22a2 1 ≤ { re := ↑0, im := ↑y }
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
n : ℕ
hn : a ∈ 𝒜 (n * m)
\u22a2 f ^ n ∈ 𝒜 (m * n)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
n : ℕ
hn : a ∈ 𝒜 (n * m)
\u22a2 f ^ n ∈ 𝒜 (n * m)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
n : ℕ
hn : a ∈ 𝒜 (n * m)
\u22a2 a ∈ carrier f_deg q ↔ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨a, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
n : ℕ
hn : a ∈ 𝒜 (n * m)
\u22a2 (HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨a, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ^ m ∈ q.asIdeal) = (HomogeneousLocalization.mk { deg := m * (n * m), num := ⟨a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ (n * m), ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
n : ℕ
hn : a ∈ 𝒜 (n * m)
\u22a2 HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨a, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ^ m = HomogeneousLocalization.mk { deg := m * (n * m), num := ⟨a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ (n * m), ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
n : ℕ
hn : a ∈ 𝒜 (n * m)
\u22a2 HomogeneousLocalization.val (HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨a, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ^ m) = (HomogeneousLocalization.mk { deg := m * (n * m), num := ⟨a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ (n * m), ⋯⟩, den_mem := ⋯ }).val
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
n : ℕ
hn : a ∈ 𝒜 (n * m)
\u22a2 Localization.mk (a ^ m) (⟨f ^ n, ⋯⟩ ^ m) = Localization.mk (a ^ m) ⟨(f ^ n) ^ m, ⋯⟩
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean
x : ℝ
h1 : 0 ≤ x
h2 : x ≤ 1
\u22a2 0 ≤ x.negMulLog
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w✝ : σ → M
n : M
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
m : M
\u22a2 (weightedHomogeneousComponent w m) φ ∈ weightedHomogeneousSubmodule R w m
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w✝ : σ → M
n : M
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
m : M
\u22a2 IsWeightedHomogeneous w ((weightedHomogeneousComponent w m) φ) m
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
x : α
\u22a2 (insert x s).encard ≤ s.encard + 1
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
x : α
\u22a2 (s ∪ {x}).encard ≤ s.encard + {x}.encard
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
a : ↥(𝒜 0)
\u22a2 ↑((projZeroRingHom' 𝒜) ↑a) = ↑a
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Bilinear.lean
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p : Submodule R M
q : Submodule R N
\u22a2 map₂ f p q = span R (image2 (fun m n => (f m) n) ↑p ↑q)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
\u22a2 Module.rank K (V →ₗ[K] K) = #(V →ₗ[K] K)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
ι : Type u_3
b : Basis ι K V
\u22a2 Module.rank K (V →ₗ[K] K) = #(V →ₗ[K] K)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ι : Type u_3
h : Infinite ι
b : Basis ι K V
\u22a2 Module.rank K (V →ₗ[K] K) = #(V →ₗ[K] K)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ι : Type u_3
h : Infinite ι
b : Basis ι K V
e : (V →ₗ[K] K) ≃ₗ[K] ι → K
\u22a2 Module.rank K (V →ₗ[K] K) = #(V →ₗ[K] K)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ι : Type u_3
h : Infinite ι
b : Basis ι K V
e : (V →ₗ[K] K) ≃ₗ[K] ι → K
\u22a2 Module.rank K (ι → K) = #(ι → K)
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α → δ → ε
g : β → γ → δ
f' : α → γ → δ'
g' : β → δ' → ε
h_left_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f a (g b c) = g' b (f' a c)
\u22a2 image2 f s (image2 g t u) = image2 g' t (image2 f' s u)
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α → δ → ε
g : β → γ → δ
f' : α → γ → δ'
g' : β → δ' → ε
h_left_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f a (g b c) = g' b (f' a c)
\u22a2 image2 (fun a b => f b a) (image2 g t u) s = image2 g' t (image2 (fun a b => f' b a) u s)
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
\u22a2 (p.bindOnSupport fun a x => pure a) = p
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
M : Matrix ι ι ℝ
hM : M.det ≠ 0
\u22a2 Measure.map (⇑(toLin' M)) volume = ofReal |M.det⁻¹| • volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
M : Matrix ι ι ℝ
hM : M.det ≠ 0
\u22a2 ∀ (D : ι → ℝ), (Matrix.diagonal D).det ≠ 0 → Measure.map (⇑(toLin' (Matrix.diagonal D))) volume = ofReal |(Matrix.diagonal D).det⁻¹| • volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
M : Matrix ι ι ℝ
hM : M.det ≠ 0
\u22a2 ∀ (t : TransvectionStruct ι ℝ), Measure.map (⇑(toLin' t.toMatrix)) volume = ofReal |t.toMatrix.det⁻¹| • volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
M : Matrix ι ι ℝ
hM : M.det ≠ 0
\u22a2 ∀ (A B : Matrix ι ι ℝ), A.det ≠ 0 → B.det ≠ 0 → Measure.map (⇑(toLin' A)) volume = ofReal |A.det⁻¹| • volume → Measure.map (⇑(toLin' B)) volume = ofReal |B.det⁻¹| • volume → Measure.map (⇑(toLin' (A * B))) volume = ofReal |(A * B).det⁻¹| • volume
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
X₁ X₂ : C
inst✝¹ : HasBinaryProduct X₁ X₂
inst✝ : PreservesLimit (pair X₁ X₂) (forget C)
x : (forget C).obj X₁ × (forget C).obj X₂
\u22a2 prod.snd ((prodEquiv X₁ X₂).symm x) = x.2
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
X₁ X₂ : C
inst✝¹ : HasBinaryProduct X₁ X₂
inst✝ : PreservesLimit (pair X₁ X₂) (forget C)
y : (forget C).obj (X₁ ⨯ X₂)
\u22a2 prod.snd ((prodEquiv X₁ X₂).symm ((prodEquiv X₁ X₂) y)) = ((prodEquiv X₁ X₂) y).2
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
a b : Cauchy abs
\u22a2 ({ cauchy := a } - { cauchy := b }).cauchy = { cauchy := a }.cauchy - { cauchy := b }.cauchy
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
a b : Cauchy abs
\u22a2 ({ cauchy := a } - { cauchy := b }).cauchy = ({ cauchy := a } + -{ cauchy := b }).cauchy
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod n)ˣ
\u22a2 ↑u * (↑u)⁻¹ = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β
abv : β → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv
G : Type u_3
inst✝¹ : SMul G β
inst✝ : IsScalarTower G β β
f1 f2 : CauSeq β abv
c : G
hf : f1 ≈ f2
\u22a2 c • f1 ≈ c • f2
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
p : α → Bool
a : List α
l : List (List α)
\u22a2 countP p (a :: l).join = (map (countP p) (a :: l)).sum
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p✝ : G.Walk u v
p : G.Walk u u
hinj : Injective ⇑f
\u22a2 (Walk.map f p).IsCycle ↔ p.IsCycle
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
finj : Injective f
a : α
l : List α
this : (fun x => a == x) = fun x => f a == f x
\u22a2 map f (l.erase a) = (map f l).erase (f a)