ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
\u22a2 (weightSpace M 0).normalizer ≤ weightSpace M 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
m : M
hm : m ∈ (weightSpace M 0).normalizer
\u22a2 m ∈ weightSpace M 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
m : M
hm : ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ ∈ weightSpace M 0
\u22a2 m ∈ weightSpace M 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
m : M
hm : ∀ (x x_1 : L), ∃ k, ((toEnd R L M) x_1 ^ k) ⁅x, m⁆ = 0
\u22a2 ∀ (x : L), ∃ k, ((toEnd R L M) x ^ k) m = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
m : M
hm : ∀ (x x_1 : L), ∃ k, ((toEnd R L M) x_1 ^ k) ⁅x, m⁆ = 0
y : L
k : ℕ
hk : ((toEnd R L M) y ^ k) ⁅y, m⁆ = 0
\u22a2 ∃ k, ((toEnd R L M) y ^ k) m = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
m : M
hm : ∀ (x x_1 : L), ∃ k, ((toEnd R L M) x_1 ^ k) ⁅x, m⁆ = 0
y : L
k : ℕ
hk : ((toEnd R L M) y ^ k) ⁅y, m⁆ = 0
\u22a2 ((toEnd R L M) y ^ (k + 1)) m = 0
-- Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
hc : c ≠ 0
\u22a2 b + a / c = (b * c + a) / c
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
a b : ℕ
\u22a2 φ (a.gcd b) * φ (a * b) = φ a * φ b * a.gcd b
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
a b : ℕ
shuffle : ∀ (a1 a2 b1 b2 c1 c2 : ℕ), b1 ∣ a1 → b2 ∣ a2 → a1 / b1 * c1 * (a2 / b2 * c2) = a1 * a2 / (b1 * b2) * (c1 * c2)
\u22a2 φ (a.gcd b) * φ (a * b) = φ a * φ b * a.gcd b
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
a b : ℕ
shuffle : ∀ (a1 a2 b1 b2 c1 c2 : ℕ), b1 ∣ a1 → b2 ∣ a2 → a1 / b1 * c1 * (a2 / b2 * c2) = a1 * a2 / (b1 * b2) * (c1 * c2)
\u22a2 ((a.gcd b / ∏ p ∈ (a.gcd b).primeFactors, p) * ∏ p ∈ (a.gcd b).primeFactors, (p - 1)) * ((a * b / ∏ p ∈ (a * b).primeFactors, p) * ∏ p ∈ (a * b).primeFactors, (p - 1)) = ((a / ∏ p ∈ a.primeFactors, p) * ∏ p ∈ a.primeFactors, (p - 1)) * ((b / ∏ p ∈ b.primeFactors, p) * ∏ p ∈ b.primeFactors, (p - 1)) * a.gcd b
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
a b : ℕ
shuffle : ∀ (a1 a2 b1 b2 c1 c2 : ℕ), b1 ∣ a1 → b2 ∣ a2 → a1 / b1 * c1 * (a2 / b2 * c2) = a1 * a2 / (b1 * b2) * (c1 * c2)
\u22a2 ∏ p ∈ a.primeFactors, p ∣ a
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
a b : ℕ
shuffle : ∀ (a1 a2 b1 b2 c1 c2 : ℕ), b1 ∣ a1 → b2 ∣ a2 → a1 / b1 * c1 * (a2 / b2 * c2) = a1 * a2 / (b1 * b2) * (c1 * c2)
\u22a2 ∏ p ∈ b.primeFactors, p ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
a b : ℕ
shuffle : ∀ (a1 a2 b1 b2 c1 c2 : ℕ), b1 ∣ a1 → b2 ∣ a2 → a1 / b1 * c1 * (a2 / b2 * c2) = a1 * a2 / (b1 * b2) * (c1 * c2)
\u22a2 ∏ p ∈ (a.gcd b).primeFactors, p ∣ a.gcd b
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
a b : ℕ
shuffle : ∀ (a1 a2 b1 b2 c1 c2 : ℕ), b1 ∣ a1 → b2 ∣ a2 → a1 / b1 * c1 * (a2 / b2 * c2) = a1 * a2 / (b1 * b2) * (c1 * c2)
\u22a2 ∏ p ∈ (a * b).primeFactors, p ∣ a * b
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
a b : ℕ
shuffle : ∀ (a1 a2 b1 b2 c1 c2 : ℕ), b1 ∣ a1 → b2 ∣ a2 → a1 / b1 * c1 * (a2 / b2 * c2) = a1 * a2 / (b1 * b2) * (c1 * c2)
\u22a2 a.gcd b * (a * b) / ((∏ p ∈ (a.gcd b).primeFactors, p) * ∏ p ∈ (a * b).primeFactors, p) * ((∏ p ∈ (a.gcd b).primeFactors, (p - 1)) * ∏ p ∈ (a * b).primeFactors, (p - 1)) = a * b / ((∏ p ∈ a.primeFactors, p) * ∏ p ∈ b.primeFactors, p) * ((∏ p ∈ a.primeFactors, (p - 1)) * ∏ p ∈ b.primeFactors, (p - 1)) * a.gcd b
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
a b : ℕ
shuffle : ∀ (a1 a2 b1 b2 c1 c2 : ℕ), b1 ∣ a1 → b2 ∣ a2 → a1 / b1 * c1 * (a2 / b2 * c2) = a1 * a2 / (b1 * b2) * (c1 * c2)
\u22a2 a.gcd b * (a * b) / ((∏ p ∈ a.primeFactors, p) * ∏ p ∈ b.primeFactors, p) * ((∏ p ∈ a.primeFactors, (p - 1)) * ∏ p ∈ b.primeFactors, (p - 1)) = a * b / ((∏ p ∈ a.primeFactors, p) * ∏ p ∈ b.primeFactors, p) * ((∏ p ∈ a.primeFactors, (p - 1)) * ∏ p ∈ b.primeFactors, (p - 1)) * a.gcd b
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
a b : ℕ
shuffle : ∀ (a1 a2 b1 b2 c1 c2 : ℕ), b1 ∣ a1 → b2 ∣ a2 → a1 / b1 * c1 * (a2 / b2 * c2) = a1 * a2 / (b1 * b2) * (c1 * c2)
\u22a2 (∏ p ∈ a.primeFactors, p) * ∏ p ∈ b.primeFactors, p ∣ a * b
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p✝ p n : ℕ
hp : 1 < p
hn : 0 < n
h : multiplicity.Finite p n
\u22a2 p.maxPowDiv n = (multiplicity p n).get h
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p✝ p n : ℕ
hp : 1 < p
hn : 0 < n
h : multiplicity.Finite p n
\u22a2 multiplicity p n = ↑(p.maxPowDiv n)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/EquivReindex.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : 𝓞 K
i : K →+* ℂ
\u22a2 ((basisMatrix K)ᵀ⁻¹ *ᵥ fun j => (canonicalEmbedding K) ((algebraMap (𝓞 K) K) α) j) i = ↑((((integralBasis K).reindex (equivReindex K).symm).repr ↑α) i)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x : M'
m : M
s : ↥S
eq1 : (m, s).2 • x = f (m, s).1
\u22a2 (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m s) = x
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
m : α → EReal
f : Filter α
\u22a2 (∀ (i : ℝ), True → ∀ᶠ (x : α) in f, m x ∈ Iio ↑i) ↔ ∀ (x : ℝ), ∀ᶠ (a : α) in f, m a < ↑x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
l : List (Perm α)
h : f ∈ l
hl : List.Pairwise Disjoint l
x : α
hx : x ∈ f.support
\u22a2 x ∈ l.prod.support
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝² : MulZeroClass α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : MulPosMono α
ha : a ≤ 0
hb : 0 ≤ b
\u22a2 a * b ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
\u22a2 ∑ x ∈ f.range, ‖T (↑f ⁻¹' {x})‖ * ‖x‖ ≤ ∑ x ∈ f.range, C * (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
b : E
hb : b ∈ f.range
\u22a2 ‖T (↑f ⁻¹' {b})‖ * ‖b‖ ≤ C * (μ (↑f ⁻¹' {b})).toReal * ‖b‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
hb : 0 ∈ f.range
\u22a2 ‖T (↑f ⁻¹' {0})‖ * ‖0‖ ≤ C * (μ (↑f ⁻¹' {0})).toReal * ‖0‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
b : E
hb✝ : b ∈ f.range
hb : b ≠ 0
\u22a2 ‖T (↑f ⁻¹' {b})‖ * ‖b‖ ≤ C * (μ (↑f ⁻¹' {b})).toReal * ‖b‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
b : E
hb✝ : b ∈ f.range
hb : b ≠ 0
\u22a2 ‖T (↑f ⁻¹' {b})‖ ≤ C * (μ (↑f ⁻¹' {b})).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
\u22a2 ∑ x ∈ f.range, C * (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ ≤ C * ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
\u22a2 ∑ x ∈ f.range, C * (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ ≤ ∑ x ∈ f.range, C * (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F✝ : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q✝ : MvQPF F✝
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : Cofix F α
R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun x y => abs y.repr = x
\u22a2 Quot.mk Mcongr x.repr = x
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F✝ : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q✝ : MvQPF F✝
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : Cofix F α
R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun x y => abs y.repr = x
\u22a2 ∀ (x y : Cofix F α), R x y → LiftR' (α.RelLast' R) x.dest y.dest
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F✝ : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q✝ : MvQPF F✝
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun x y => abs y.repr = x
a✝ : (P F).M α
\u22a2 LiftR' (α.RelLast' R) ((TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) (repr (Quot.mk Mcongr a✝)))) (Quot.lift (fun x => (TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) x)) ⋯ (Quot.mk Mcongr a✝))
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F✝ : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q✝ : MvQPF F✝
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun x y => abs y.repr = x
a✝ : (P F).M α
\u22a2 LiftR' (α.RelLast' R) ((TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> (TypeVec.id ::: M.corec (P F) fun x => MvQPF.repr x.dest) <$$> dest (Quot.mk Mcongr a✝)) ((TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) a✝))
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F✝ : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q✝ : MvQPF F✝
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun x y => abs y.repr = x
a✝ : (P F).M α
\u22a2 LiftR' (α.RelLast' R) ((TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> (TypeVec.id ::: M.corec (P F) fun x => MvQPF.repr (Quot.lift (fun x => (TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) x)) ⋯ x)) <$$> Quot.lift (fun x => (TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) x)) ⋯ (Quot.mk Mcongr a✝)) ((TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) a✝))
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F✝ : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q✝ : MvQPF F✝
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun x y => abs y.repr = x
a✝ : (P F).M α
\u22a2 LiftR' (α.RelLast' R) ((TypeVec.id ::: (Quot.mk Mcongr ∘ M.corec (P F) fun x => MvQPF.repr (Quot.lift (fun x => (TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) x)) ⋯ x)) ∘ Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) a✝)) ((TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) a✝))
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F✝ : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q✝ : MvQPF F✝
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun x y => abs y.repr = x
a✝ : (P F).M α
\u22a2 ∀ (x : (P F).M α), R (((Quot.mk Mcongr ∘ M.corec (P F) fun x => MvQPF.repr (Quot.lift (fun x => (TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) x)) ⋯ x)) ∘ Quot.mk Mcongr) x) (Quot.mk Mcongr x)
-- Mathlib/Topology/Algebra/ProperAction.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MulAction G X
inst✝⁸ : MulAction G Y
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
H : Type u_5
inst✝³ : Group H
inst✝² : MulAction H X
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : ProperSMul G X
f : H →* G
f_clemb : ClosedEmbedding ⇑f
f_compat : ∀ (h : H) (x : X), f h • x = h • x
\u22a2 IsProperMap fun gx => (gx.1 • gx.2, gx.2)
-- Mathlib/Topology/Algebra/ProperAction.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MulAction G X
inst✝⁸ : MulAction G Y
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
H : Type u_5
inst✝³ : Group H
inst✝² : MulAction H X
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : ProperSMul G X
f : H →* G
f_clemb : ClosedEmbedding ⇑f
f_compat : ∀ (h : H) (x : X), f h • x = h • x
this : IsProperMap ⇑f
\u22a2 IsProperMap fun gx => (gx.1 • gx.2, gx.2)
-- Mathlib/Topology/Algebra/ProperAction.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MulAction G X
inst✝⁸ : MulAction G Y
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
H : Type u_5
inst✝³ : Group H
inst✝² : MulAction H X
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : ProperSMul G X
f : H →* G
f_clemb : ClosedEmbedding ⇑f
f_compat : ∀ (h : H) (x : X), f h • x = h • x
this : IsProperMap ⇑f
h : IsProperMap (Prod.map ⇑f fun x => x)
\u22a2 IsProperMap fun gx => (gx.1 • gx.2, gx.2)
-- Mathlib/Topology/Algebra/ProperAction.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MulAction G X
inst✝⁸ : MulAction G Y
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
H : Type u_5
inst✝³ : Group H
inst✝² : MulAction H X
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : ProperSMul G X
f : H →* G
f_clemb : ClosedEmbedding ⇑f
f_compat : ∀ (h : H) (x : X), f h • x = h • x
this✝ : IsProperMap ⇑f
h : IsProperMap (Prod.map ⇑f fun x => x)
this : (fun hx => (hx.1 • hx.2, hx.2)) = fun hx => (f hx.1 • hx.2, hx.2)
\u22a2 IsProperMap fun hx => (f hx.1 • hx.2, hx.2)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero α
s : Multiset α
h : 0 ∈ s
\u22a2 s.prod = 0
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero α
s : Multiset α
h : 0 ∈ s
s' : Multiset α
hs' : s = 0 ::ₘ s'
\u22a2 s.prod = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLinearEquiv.lean
n : Type u_1
inst✝⁹ : Fintype n
R : Type u_2
M✝ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M✝
inst✝⁶ : Module R M✝
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
\u22a2 (∃ v, v ≠ 0 ∧ M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLinearEquiv.lean
n : Type u_1
inst✝⁹ : Fintype n
R : Type u_2
M✝ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M✝
inst✝⁶ : Module R M✝
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ ((algebraMap A K).mapMatrix M).det = 0
\u22a2 (∃ v, v ≠ 0 ∧ M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLinearEquiv.lean
n : Type u_1
inst✝⁹ : Fintype n
R : Type u_2
M✝ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M✝
inst✝⁶ : Module R M✝
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
\u22a2 (∃ v, v ≠ 0 ∧ M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLinearEquiv.lean
n : Type u_1
inst✝⁹ : Fintype n
R : Type u_2
M✝ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M✝
inst✝⁶ : Module R M✝
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Nontrivial A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
M : Matrix n n A
this : (∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0) ↔ M.det = 0
\u22a2 (∃ v, v ≠ 0 ∧ M *ᵥ v = 0) ↔ ∃ v, v ≠ 0 ∧ (algebraMap A K).mapMatrix M *ᵥ v = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
b : α
\u22a2 toIcoMod hp 0 b = Int.fract (b / p) * p
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/SheafHom.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
hG : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → IsLimit (G.mapCone (Sieve.pullback f S).arrows.cocone.op)
x : Presieve.FamilyOfElements (presheafHom F G) S.arrows
hx : x.Compatible
\u22a2 ∃! t, x.IsAmalgamation t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/SheafHom.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
hG : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → IsLimit (G.mapCone (Sieve.pullback f S).arrows.cocone.op)
x : Presieve.FamilyOfElements (presheafHom F G) S.arrows
hx : x.Compatible
\u22a2 ∃ x_1, x.IsAmalgamation x_1
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/SheafHom.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
hG : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → IsLimit (G.mapCone (Sieve.pullback f S).arrows.cocone.op)
x : Presieve.FamilyOfElements (presheafHom F G) S.arrows
hx : x.Compatible
\u22a2 ∀ (y₁ y₂ : (presheafHom F G).obj (op X)), x.IsAmalgamation y₁ → x.IsAmalgamation y₂ → y₁ = y₂
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x : X
s : Set X
\u22a2 Disjoint (𝓝ˢ s) (𝓝 x) ↔ x ∉ closure s
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x : X
s : Set X
h : RegularSpace X ↔ ∀ (x : X) (s : Set X), Disjoint (𝓝ˢ s) (𝓝 x) ↔ x ∉ closure s
\u22a2 Disjoint (𝓝ˢ s) (𝓝 x) ↔ x ∉ closure s
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ l
\u22a2 l[indexOf a l]? = some a
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
f : α →₀ ℕ
\u22a2 Multiset.card (toMultiset f) = f.sum fun x => id
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α
s t : Finset α
f : α → β
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidablePred fun y => y ∈ Set.range f
inst✝ : DecidableEq β
this : DecidablePred fun y => ∃ x, f x = y := inst✝¹
\u22a2 filter (fun y => y ∈ Set.range f) univ = image f univ
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
x : S
p q : R[X]
\u22a2 eval₂ (algebraMap R S) x (p.comp q) = eval₂ (algebraMap R S) (eval₂ (algebraMap R S) x q) p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
\u22a2 p.comp 0 = C (eval 0 p)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EilenbergMoore.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
α β : F ⟶ G
\u22a2 F.a ≫ U.map (α.f + β.f) = (α.f + β.f) ≫ G.a
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EilenbergMoore.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
\u22a2 F.a ≫ U.map 0 = 0 ≫ G.a
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EilenbergMoore.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
n : ℕ
α : F ⟶ G
\u22a2 F.a ≫ U.map (n • α.f) = (n • α.f) ≫ G.a
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EilenbergMoore.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
α : F ⟶ G
\u22a2 F.a ≫ U.map (-α.f) = (-α.f) ≫ G.a
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EilenbergMoore.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
α β : F ⟶ G
\u22a2 F.a ≫ U.map (α.f - β.f) = (α.f - β.f) ≫ G.a
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EilenbergMoore.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
r : ℤ
α : F ⟶ G
\u22a2 F.a ≫ U.map (r • α.f) = (r • α.f) ≫ G.a
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EilenbergMoore.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ b✝ c✝ : F ⟶ G
\u22a2 (a✝ + b✝ + c✝).f = (a✝ + (b✝ + c✝)).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EilenbergMoore.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ : F ⟶ G
\u22a2 (0 + a✝).f = a✝.f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EilenbergMoore.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ : F ⟶ G
\u22a2 (a✝ + 0).f = a✝.f