ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ p : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
\u22a2 coeff m p ≠ 0 → (weight w) m = 0 ↔ m ∈ p.support → (weight w) m = 0
-- Mathlib/Topology/DiscreteQuotient.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
g : C(Y, Z)
f : C(X, Y)
A B : DiscreteQuotient Y
h : A ≤ B
\u22a2 comap f A ≤ comap f B
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 weightedTotalDegree w p = 0 ↔ ∀ m ∈ p.support, ∀ (x : σ), m x = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 (∀ ⦃d : σ →₀ ℕ⦄, coeff d p ≠ 0 → (weight w) d = 0) ↔ ∀ m ∈ p.support, ∀ (x : σ), m x = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 ∀ (a : σ →₀ ℕ), coeff a p ≠ 0 → (weight w) a = 0 ↔ a ∈ p.support → ∀ (x : σ), a x = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
p : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
\u22a2 coeff m p ≠ 0 → (weight w) m = 0 ↔ m ∈ p.support → ∀ (x : σ), m x = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
p : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
\u22a2 coeff m p ≠ 0 → (weight w) m = 0 ↔ coeff m p ≠ 0 → ∀ (x : σ), m x = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
p : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
\u22a2 coeff m p ≠ 0 → ((weight w) m = 0 ↔ ∀ (x : σ), m x = 0)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
p : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
a✝ : coeff m p ≠ 0
\u22a2 (weight w) m = 0 ↔ ∀ (x : σ), m x = 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/SInteger.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
S : Set (HeightOneSpectrum R)
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x✝ : Kˣ
\u22a2 x✝ ∈ {x | ∀ v ∉ S, v.valuation ↑x = 1} ↔ x✝ ∈ ↑(⨅ v, ⨅ (_ : v ∉ S), v.valuation.valuationSubring.unitGroup)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l✝ l' l : Filter α
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hμ : μ.FiniteAtFilter l
hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ f)
\u22a2 IntegrableAtFilter f l μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l✝ l' l : Filter α
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hμ : μ.FiniteAtFilter l
hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ f)
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (s : Set α) in l.smallSets, ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C
\u22a2 IntegrableAtFilter f l μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s✝ t : Set α
μ ν : Measure α
l✝ l' l : Filter α
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
hfm✝ : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hμ✝ : μ.FiniteAtFilter l
hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ f)
C : ℝ
hC✝ : ∀ᶠ (s : Set α) in l.smallSets, ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C
s : Set α
hsl : s ∈ l
hsm : MeasurableSet s
hfm : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
hμ : μ s < ⊤
hC : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C
\u22a2 IntegrableAtFilter f l μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s✝ t : Set α
μ ν : Measure α
l✝ l' l : Filter α
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
hfm✝ : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hμ✝ : μ.FiniteAtFilter l
hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ f)
C : ℝ
hC✝ : ∀ᶠ (s : Set α) in l.smallSets, ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C
s : Set α
hsl : s ∈ l
hsm : MeasurableSet s
hfm : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
hμ : μ s < ⊤
hC : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ C
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s✝ t : Set α
μ ν : Measure α
l✝ l' l : Filter α
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
hfm✝ : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hμ✝ : μ.FiniteAtFilter l
hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ f)
C : ℝ
hC✝ : ∀ᶠ (s : Set α) in l.smallSets, ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C
s : Set α
hsl : s ∈ l
hsm : MeasurableSet s
hfm : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
hμ : μ s < ⊤
hC : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C
-- Mathlib/Topology/Clopen.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
\u22a2 IsClopen s ↔ frontier s = ∅
-- Mathlib/Topology/Clopen.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
\u22a2 closure s = s ∧ interior s = s ↔ closure s ⊆ interior s
-- Mathlib/Topology/Clopen.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
h : closure s ⊆ interior s
\u22a2 closure s = s ∧ interior s = s
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Basic.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
s : Set A
\u22a2 centralizer R s.centralizer.centralizer = centralizer R s
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Basic.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
s : Set A
\u22a2 ↑(centralizer R s.centralizer.centralizer) = ↑(centralizer R s)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : Differentiable 𝕜 g
\u22a2 (Differentiable 𝕜 fun y => f y - g y) ↔ Differentiable 𝕜 f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
T U : C
f : T ⟶ X
g : T ⟶ Y
h : X ⟶ U
i : Y ⟶ U
\u22a2 lift f g ≫ desc h i = f ≫ h + g ≫ i
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
\u22a2 toIcoMod hp (a + m • p) b = toIcoMod hp a b + m • p
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q a b c : ℚ
\u22a2 0 + a = a
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
\u22a2 ↑(ℜ (I • a)) = ↑(-ℑ a)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
n : ℕ
\u22a2 (pmap f l h).get? n = Option.pmap f (l.get? n) ⋯
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
n : ℕ
\u22a2 (pmap f l h)[n]? = Option.pmap f l[n]? ⋯
-- Mathlib/Data/PEquiv.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : DecidableEq γ
inst✝ : Subsingleton α
a b i j : α
\u22a2 (j ∈ if i = a then some b else none) ↔ j ∈ some i
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
c : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
\u22a2 mixedEmbedding.norm (c • x) = |c| ^ finrank ℚ K * mixedEmbedding.norm x
-- Mathlib/Tactic/CongrExclamation.lean
α β : Sort u
inst✝ : FastSubsingleton α
h₂ : α = β
a : α
b : β
\u22a2 HEq a b
-- Mathlib/Tactic/CongrExclamation.lean
α β : Sort u
inst✝ : FastSubsingleton α
h₂ : α = β
a : α
b : β
this : Subsingleton α
\u22a2 HEq a b
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/CocompactMap.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
h : ∀ (s : Set β), IsCompact s → IsCompact (f ⁻¹' s)
s : Set β
hs : s ∈ cocompact β
t : Set β
ht : IsCompact t
hts : tᶜ ⊆ s
\u22a2 (f ⁻¹' t)ᶜ ⊆ f ⁻¹' s
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
\u22a2 ((aeval f) F).natDegree ≤ m * n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
\u22a2 (Finsupp.sum F fun s a => (algebraMap R R[X]) a * s.prod fun n e => f n ^ e).natDegree ≤ m * n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
\u22a2 fold max 0 (natDegree ∘ fun i => (fun s a => (algebraMap R R[X]) a * s.prod fun n e => f n ^ e) i (F i)) F.support ≤ m * n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support
\u22a2 (natDegree ∘ fun i => (fun s a => (algebraMap R R[X]) a * s.prod fun n e => f n ^ e) i (F i)) d ≤ m * n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support
\u22a2 (Polynomial.C (F d) * d.prod fun n e => f n ^ e).natDegree ≤ m * n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support
\u22a2 (d.prod fun n e => f n ^ e).natDegree ≤ m * n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support
\u22a2 ∑ i ∈ d.support, ((fun n e => f n ^ e) i (d i)).natDegree ≤ m * n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support
this : ∑ i ∈ d.support, d i * n ≤ m * n
\u22a2 ∑ i ∈ d.support, ((fun n e => f n ^ e) i (d i)).natDegree ≤ m * n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support
this : ∑ i ∈ d.support, d i * n ≤ m * n
\u22a2 ∀ i ∈ d.support, ((fun n e => f n ^ e) i (d i)).natDegree ≤ d i * n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support
this : ∑ i ∈ d.support, d i * n ≤ m * n
i : σ
\u22a2 ((fun n e => f n ^ e) i (d i)).natDegree ≤ d i * n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support
this : ∑ i ∈ d.support, d i * n ≤ m * n
i : σ
\u22a2 d i * (f i).natDegree ≤ d i * n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Gradient/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
g : 𝕜 → 𝕜
g' u : 𝕜
L' : Filter 𝕜
h : HasGradientAt g g' u
\u22a2 HasDerivAt g ((starRingEnd 𝕜) g') u
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Gradient/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
g : 𝕜 → 𝕜
g' u : 𝕜
L' : Filter 𝕜
h : HasDerivAt g (((toDual 𝕜 𝕜) g') 1) u
\u22a2 HasDerivAt g ((starRingEnd 𝕜) g') u
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
S : Set ℝ
hS : ∀ x ∈ S, 0 ≤ x
\u22a2 0 ≤ sInf S
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
hS : ∀ x ∈ ∅, 0 ≤ x
\u22a2 0 ≤ sInf ∅
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
S : Set ℝ
hS : ∀ x ∈ S, 0 ≤ x
hS₂ : S.Nonempty
\u22a2 0 ≤ sInf S
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → G
s✝ : Set α
x : α
s : Set G
hs : s ∈ 𝓝 1
\u22a2 ∃ V ∈ 𝓝 1, ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v / w ∈ s
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → G
s✝ : Set α
x : α
s : Set G
hs : s ∈ 𝓝 1
this : (fun p => p.1 * p.2⁻¹) ⁻¹' s ∈ 𝓝 (1, 1)
\u22a2 ∃ V ∈ 𝓝 1, ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v / w ∈ s
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁✝ t₂✝ : Set β
u✝ : Set γ
v✝ : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : δ → γ → ε
n : α → β → δ
m₁ : α → γ → α'
m₂ : β → γ → β'
n' : α' → β' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m (n a b) c = n' (m₁ a c) (m₂ b c)
s : Set ε
t₁ : Set α'
u : Set α
hu : u ∈ f
w₁ : Set γ
hw₁ : w₁ ∈ h
ht₁ : image2 m₁ u w₁ ⊆ t₁
t₂ : Set β'
hs : image2 n' t₁ t₂ ⊆ s
v : Set β
hv : v ∈ g
w₂ : Set γ
hw₂ : w₂ ∈ h
ht₂ : image2 m₂ v w₂ ⊆ t₂
\u22a2 s ∈ map₂ m (map₂ n f g) h
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁✝ t₂✝ : Set β
u✝ : Set γ
v✝ : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : δ → γ → ε
n : α → β → δ
m₁ : α → γ → α'
m₂ : β → γ → β'
n' : α' → β' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m (n a b) c = n' (m₁ a c) (m₂ b c)
s : Set ε
t₁ : Set α'
u : Set α
hu : u ∈ f
w₁ : Set γ
hw₁ : w₁ ∈ h
ht₁ : image2 m₁ u w₁ ⊆ t₁
t₂ : Set β'
hs : image2 n' t₁ t₂ ⊆ s
v : Set β
hv : v ∈ g
w₂ : Set γ
hw₂ : w₂ ∈ h
ht₂ : image2 m₂ v w₂ ⊆ t₂
\u22a2 image2 m (image2 n u v) (w₁ ∩ w₂) ⊆ s
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁✝ t₂✝ : Set β
u✝ : Set γ
v✝ : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : δ → γ → ε
n : α → β → δ
m₁ : α → γ → α'
m₂ : β → γ → β'
n' : α' → β' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m (n a b) c = n' (m₁ a c) (m₂ b c)
s : Set ε
t₁ : Set α'
u : Set α
hu : u ∈ f
w₁ : Set γ
hw₁ : w₁ ∈ h
ht₁ : image2 m₁ u w₁ ⊆ t₁
t₂ : Set β'
hs : image2 n' t₁ t₂ ⊆ s
v : Set β
hv : v ∈ g
w₂ : Set γ
hw₂ : w₂ ∈ h
ht₂ : image2 m₂ v w₂ ⊆ t₂
\u22a2 image2 m₁ u (w₁ ∩ w₂) ⊆ t₁
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁✝ t₂✝ : Set β
u✝ : Set γ
v✝ : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : δ → γ → ε
n : α → β → δ
m₁ : α → γ → α'
m₂ : β → γ → β'
n' : α' → β' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m (n a b) c = n' (m₁ a c) (m₂ b c)
s : Set ε
t₁ : Set α'
u : Set α
hu : u ∈ f
w₁ : Set γ
hw₁ : w₁ ∈ h
ht₁ : image2 m₁ u w₁ ⊆ t₁
t₂ : Set β'
hs : image2 n' t₁ t₂ ⊆ s
v : Set β
hv : v ∈ g
w₂ : Set γ
hw₂ : w₂ ∈ h
ht₂ : image2 m₂ v w₂ ⊆ t₂
\u22a2 image2 m₂ v (w₁ ∩ w₂) ⊆ t₂
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n k : ℕ+
h : k.Coprime n
\u22a2 (k * m).gcd n = m.gcd n
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n k : ℕ+
h : k.Coprime n
\u22a2 ↑((k * m).gcd n) = ↑(m.gcd n)
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n k : ℕ+
h : k.Coprime n
\u22a2 (↑k * ↑m).gcd ↑n = (↑m).gcd ↑n
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n k : ℕ+
h : k.Coprime n
\u22a2 (↑k).Coprime ↑n
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝ : MetricSpace X
p q : NonemptyCompacts X
\u22a2 dist p.toGHSpace q.toGHSpace ≤ dist p q
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝ : MetricSpace X
p q : NonemptyCompacts X
ha : Isometry Subtype.val
\u22a2 dist p.toGHSpace q.toGHSpace ≤ dist p q
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝ : MetricSpace X
p q : NonemptyCompacts X
ha : Isometry Subtype.val
hb : Isometry Subtype.val
\u22a2 dist p.toGHSpace q.toGHSpace ≤ dist p q
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝ : MetricSpace X
p q : NonemptyCompacts X
ha : Isometry Subtype.val
hb : Isometry Subtype.val
A : dist p q = hausdorffDist ↑p ↑q
\u22a2 dist p.toGHSpace q.toGHSpace ≤ dist p q
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝ : MetricSpace X
p q : NonemptyCompacts X
ha : Isometry Subtype.val
hb : Isometry Subtype.val
A : dist p q = hausdorffDist ↑p ↑q
I : ↑p = range Subtype.val
\u22a2 dist p.toGHSpace q.toGHSpace ≤ dist p q
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝ : MetricSpace X
p q : NonemptyCompacts X
ha : Isometry Subtype.val
hb : Isometry Subtype.val
A : dist p q = hausdorffDist ↑p ↑q
I : ↑p = range Subtype.val
J : ↑q = range Subtype.val
\u22a2 dist p.toGHSpace q.toGHSpace ≤ dist p q
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝ : MetricSpace X
p q : NonemptyCompacts X
ha : Isometry Subtype.val
hb : Isometry Subtype.val
A : dist p q = hausdorffDist ↑p ↑q
I : ↑p = range Subtype.val
J : ↑q = range Subtype.val
\u22a2 dist p.toGHSpace q.toGHSpace ≤ hausdorffDist (range Subtype.val) (range Subtype.val)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
x y z : ℝ
p : ℝ × ℝ
hp : 0 < p.1
\u22a2 HasStrictFDerivAt (fun x => x.1 ^ x.2) ((p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (p.1 ^ p.2 * log p.1) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
x y z : ℝ
p : ℝ × ℝ
hp : 0 < p.1
this : (fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => rexp (log x.1 * x.2)
\u22a2 HasStrictFDerivAt (fun x => x.1 ^ x.2) ((p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (p.1 ^ p.2 * log p.1) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
x y z : ℝ
p : ℝ × ℝ
hp : 0 < p.1
this : (fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => rexp (log x.1 * x.2)
\u22a2 HasStrictFDerivAt (fun x => rexp (log x.1 * x.2)) ((p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (p.1 ^ p.2 * log p.1) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
x y z : ℝ
p : ℝ × ℝ
hp : 0 < p.1
this : (fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => rexp (log x.1 * x.2)
\u22a2 (p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (p.1 ^ p.2 * log p.1) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ = rexp (log p.1 * p.2) • (log p.1 • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ + p.2 • p.1⁻¹ • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α
\u22a2 MeasurableSingletonClass α
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α
f : α → ℕ → Bool
fmeas : Measurable f
finj : Injective f
\u22a2 MeasurableSingletonClass α
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α
f : α → ℕ → Bool
fmeas : Measurable f
finj : Injective f
x : α
\u22a2 MeasurableSet {x}
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α
f : α → ℕ → Bool
fmeas : Measurable f
finj : Injective f
x : α
\u22a2 MeasurableSet (f ⁻¹' {f x})
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : (i : ι) → β i
i : ι
s : Set (β i)
y : (a : ι) → β a
\u22a2 y ∈ update x i '' s ↔ y ∈ univ.pi (update (fun j => {x j}) i s)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
m : Multiset R[X]
L : List R[X]
\u22a2 0 ∉ Quot.mk Setoid.r L → (prod (Quot.mk Setoid.r L)).roots = Multiset.bind (Quot.mk Setoid.r L) roots
-- Mathlib/Data/Setoid/Partition.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
s : Set (Set α)
h₁ : s.PairwiseDisjoint id
h₂ : ∀ (a : α), ∃ x ∈ s, a ∈ x
h₃ : ∅ ∉ s
\u22a2 IsPartition s
-- Mathlib/Data/Setoid/Partition.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
s : Set (Set α)
h₁ : s.PairwiseDisjoint id
h₂ : ∀ (a : α), ∃ x ∈ s, a ∈ x
h₃ : ∅ ∉ s
a : α
\u22a2 ∀ (y₁ y₂ : Set α), y₁ ∈ s ∧ a ∈ y₁ → y₂ ∈ s ∧ a ∈ y₂ → y₁ = y₂
-- Mathlib/Data/Setoid/Partition.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
s : Set (Set α)
h₁ : s.PairwiseDisjoint id
h₂ : ∀ (a : α), ∃ x ∈ s, a ∈ x
h₃ : ∅ ∉ s
a : α
b₁ b₂ : Set α
hb₁ : b₁ ∈ s ∧ a ∈ b₁
hb₂ : b₂ ∈ s ∧ a ∈ b₂
\u22a2 b₁ = b₂