ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d✝ : ℕ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
d : ℕ := m.gcd c
hmd : m.gcd c ∣ m
hcd : m.gcd c ∣ c
\u22a2 ↑(m / m.gcd c) ∣ ↑b - ↑a
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d✝ : ℕ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
d : ℕ := m.gcd c
hmd : m.gcd c ∣ m
hcd : m.gcd c ∣ c
\u22a2 ↑m / ↑d ∣ ↑c / ↑d * (↑b - ↑a)
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d✝ : ℕ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
d : ℕ := m.gcd c
hmd : m.gcd c ∣ m
hcd : m.gcd c ∣ c
\u22a2 (↑m / ↑d).gcd (↑c / ↑d) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
K : Type u_1
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : NumberField K
b : Basis ι ℚ K
b' : Basis ι' ℚ K
h : ∀ (i : ι) (j : ι'), IsIntegral ℤ (b.toMatrix (⇑b') i j)
h' : ∀ (i : ι') (j : ι), IsIntegral ℤ (b'.toMatrix (⇑b) i j)
\u22a2 discr ℚ ⇑b = discr ℚ ⇑b'
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
K : Type u_1
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : NumberField K
b : Basis ι ℚ K
b' : Basis ι' ℚ K
h : ∀ (i : ι) (j : ι'), IsIntegral ℤ (b.toMatrix (⇑b') i j)
h' : ∀ (i j : ι'), IsIntegral ℤ (b'.toMatrix (⇑(b.reindex (b.indexEquiv b'))) i j)
\u22a2 discr ℚ ⇑b = discr ℚ ⇑b'
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f✝ g✝ : ι → α
inst✝ : CommMonoid β
s : Multiset ι
r : α → β → Prop
f : ι → α
g : ι → β
h₁ : r 1 1
h₂ : ∀ ⦃a : ι⦄ ⦃b : α⦄ ⦃c : β⦄, r b c → r (f a * b) (g a * c)
l : List ι
\u22a2 r (map f ⟦l⟧).prod (map g ⟦l⟧).prod
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
F : Finset (Set E)
h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ F.card
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_inter : ∀ G ⊆ F, G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
\u22a2 (⋂₀ ↑F).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
F : Finset (Set E)
h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ F.card
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_inter : ∀ G ⊆ F, G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
\u22a2 ∀ G ⊆ F, G.card ≤ finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
F : Finset (Set E)
h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ F.card
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_inter : ∀ G ⊆ F, G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
I : Finset (Set E)
hI_ss : I ⊆ F
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1
\u22a2 (⋂₀ ↑I).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
F : Finset (Set E)
h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ F.card
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_inter : ∀ G ⊆ F, G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
I : Finset (Set E)
hI_ss : I ⊆ F
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1
J : Finset (Set E)
left✝ : I ⊆ J
hJ_ss : J ⊆ F
hJ_card : J.card = finrank 𝕜 E + 1
\u22a2 (⋂₀ ↑I).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
F : Finset (Set E)
h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ F.card
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_inter : ∀ G ⊆ F, G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
I : Finset (Set E)
hI_ss : I ⊆ F
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1
J : Finset (Set E)
left✝ : I ⊆ J
hJ_ss : J ⊆ F
hJ_card : J.card = finrank 𝕜 E + 1
this : ⋂₀ ↑J ⊆ ⋂₀ ↑I
\u22a2 (⋂₀ ↑I).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
F : Finset (Set E)
h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ F.card
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_inter : ∀ G ⊆ F, G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
I : Finset (Set E)
hI_ss : I ⊆ F
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1
J : Finset (Set E)
left✝ : I ⊆ J
hJ_ss : J ⊆ F
hJ_card : J.card = finrank 𝕜 E + 1
this : ⋂₀ ↑J ⊆ ⋂₀ ↑I
\u22a2 (⋂₀ ↑J).Nonempty
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝² : Group N
inst✝¹ : Group P
K : Subgroup G
M : Type u_7
inst✝ : MulOneClass M
f : G →* M
h : f.ker = ⊥
x y : G
hxy : f x = f y
\u22a2 x = y
-- Mathlib/GroupTheory/FreeAbelianGroupFinsupp.lean
X : Type u_1
k : ℕ
h : k ≠ 0
a : FreeAbelianGroup X
\u22a2 (k • a).support = a.support
-- Mathlib/GroupTheory/FreeAbelianGroupFinsupp.lean
X : Type u_1
k : ℕ
h : k ≠ 0
a : FreeAbelianGroup X
\u22a2 ↑k ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝³ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝² : GradedAlgebra ℬ
C : Type ?u.815509
inst✝¹ : Ring C
inst✝ : Algebra R C
i j : ι
a : ↥(𝒜 i)
b : ↥(ℬ j)
\u22a2 (auxEquiv R ℬ 𝒜) ((comm 𝒜 ℬ) (↑a ᵍ⊗ₜ[R] ↑b)) = (auxEquiv R ℬ 𝒜) ((-1) ^ (j * i) • ↑b ᵍ⊗ₜ[R] ↑a)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝³ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝² : GradedAlgebra ℬ
C : Type ?u.815509
inst✝¹ : Ring C
inst✝ : Algebra R C
i j : ι
a : ↥(𝒜 i)
b : ↥(ℬ j)
\u22a2 ↑↑((-1) ^ (j * i)) • (lof R ι (fun x => ↥(ℬ x)) j) b ⊗ₜ[R] (lof R ι (fun x => ↥(𝒜 x)) i) a = (auxEquiv R ℬ 𝒜) (↑↑((-1) ^ (j * i)) • ↑b ᵍ⊗ₜ[R] ↑a)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝³ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝² : GradedAlgebra ℬ
C : Type ?u.815509
inst✝¹ : Ring C
inst✝ : Algebra R C
i j : ι
a : ↥(𝒜 i)
b : ↥(ℬ j)
\u22a2 ↑↑((-1) ^ (j * i)) • (lof R ι (fun x => ↥(ℬ x)) j) b ⊗ₜ[R] (lof R ι (fun x => ↥(𝒜 x)) i) a = ↑↑((-1) ^ (j * i)) • (decompose ℬ) ↑b ⊗ₜ[R] (decompose 𝒜) ↑a
-- Mathlib/Algebra/Homology/Localization.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹¹ : Category.{u_6, u_2} D
F : C ⥤ D
ι : Type u_3
c : ComplexShape ι
inst✝¹⁰ : Preadditive C
inst✝⁹ : Preadditive D
inst✝⁸ : CategoryWithHomology C
inst✝⁷ : CategoryWithHomology D
inst✝⁶ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
inst✝⁵ : (HomologicalComplex.quasiIso D c).HasLocalization
inst✝⁴ : F.Additive
inst✝³ : F.PreservesHomology
inst✝² : c.QFactorsThroughHomotopy C
inst✝¹ : c.QFactorsThroughHomotopy D
inst✝ : (HomotopyCategory.quotient C c).IsLocalization (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c)
K : HomologicalComplex C c
\u22a2 (Localization.liftNatTrans (HomotopyCategory.quotient C c) (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c) (HomotopyCategory.quotient C c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh ⋙ F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c) (HomotopyCategory.quotient C c ⋙ F.mapHomotopyCategory c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh) (HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh ⋙ F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c) (F.mapHomotopyCategory c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh) (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom).app ((HomotopyCategory.quotient C c).obj K) = (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c).map ((HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso C c).hom.app K) ≫ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K ≫ (HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso D c).inv.app ((F.mapHomologicalComplex c).obj K) ≫ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.map ((F.mapHomotopyCategoryFactors c).inv.app K)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Localization.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹¹ : Category.{u_6, u_2} D
F : C ⥤ D
ι : Type u_3
c : ComplexShape ι
inst✝¹⁰ : Preadditive C
inst✝⁹ : Preadditive D
inst✝⁸ : CategoryWithHomology C
inst✝⁷ : CategoryWithHomology D
inst✝⁶ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
inst✝⁵ : (HomologicalComplex.quasiIso D c).HasLocalization
inst✝⁴ : F.Additive
inst✝³ : F.PreservesHomology
inst✝² : c.QFactorsThroughHomotopy C
inst✝¹ : c.QFactorsThroughHomotopy D
inst✝ : (HomotopyCategory.quotient C c).IsLocalization (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c)
K : HomologicalComplex C c
\u22a2 (Localization.Lifting.iso (HomotopyCategory.quotient C c) (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c) (HomotopyCategory.quotient C c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh ⋙ F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c) (HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh ⋙ F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c)).hom.app K ≫ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K ≫ (Localization.Lifting.iso (HomotopyCategory.quotient C c) (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c) (HomotopyCategory.quotient C c ⋙ F.mapHomotopyCategory c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh) (F.mapHomotopyCategory c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh)).inv.app K = (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c).map ((HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso C c).hom.app K) ≫ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K ≫ (HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso D c).inv.app ((F.mapHomologicalComplex c).obj K) ≫ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.map ((F.mapHomotopyCategoryFactors c).inv.app K)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Localization.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹¹ : Category.{u_6, u_2} D
F : C ⥤ D
ι : Type u_3
c : ComplexShape ι
inst✝¹⁰ : Preadditive C
inst✝⁹ : Preadditive D
inst✝⁸ : CategoryWithHomology C
inst✝⁷ : CategoryWithHomology D
inst✝⁶ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
inst✝⁵ : (HomologicalComplex.quasiIso D c).HasLocalization
inst✝⁴ : F.Additive
inst✝³ : F.PreservesHomology
inst✝² : c.QFactorsThroughHomotopy C
inst✝¹ : c.QFactorsThroughHomotopy D
inst✝ : (HomotopyCategory.quotient C c).IsLocalization (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c)
K : HomologicalComplex C c
\u22a2 𝟙 ((F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c).obj (HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.obj ((HomotopyCategory.quotient C c).obj K))) ≫ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K ≫ 𝟙 (HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.obj ((HomotopyCategory.quotient D c).obj ((F.mapHomologicalComplex c).obj ((HomotopyCategory.quotient C c).obj K).as))) = (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c).map ((HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso C c).hom.app K) ≫ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K ≫ (HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso D c).inv.app ((F.mapHomologicalComplex c).obj K) ≫ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.map ((F.mapHomotopyCategoryFactors c).inv.app K)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Localization.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹¹ : Category.{u_6, u_2} D
F : C ⥤ D
ι : Type u_3
c : ComplexShape ι
inst✝¹⁰ : Preadditive C
inst✝⁹ : Preadditive D
inst✝⁸ : CategoryWithHomology C
inst✝⁷ : CategoryWithHomology D
inst✝⁶ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
inst✝⁵ : (HomologicalComplex.quasiIso D c).HasLocalization
inst✝⁴ : F.Additive
inst✝³ : F.PreservesHomology
inst✝² : c.QFactorsThroughHomotopy C
inst✝¹ : c.QFactorsThroughHomotopy D
inst✝ : (HomotopyCategory.quotient C c).IsLocalization (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c)
K : HomologicalComplex C c
\u22a2 (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K = (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c).map ((HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso C c).hom.app K) ≫ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K ≫ (HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso D c).inv.app ((F.mapHomologicalComplex c).obj K) ≫ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.map ((F.mapHomotopyCategoryFactors c).inv.app K)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Localization.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹¹ : Category.{u_6, u_2} D
F : C ⥤ D
ι : Type u_3
c : ComplexShape ι
inst✝¹⁰ : Preadditive C
inst✝⁹ : Preadditive D
inst✝⁸ : CategoryWithHomology C
inst✝⁷ : CategoryWithHomology D
inst✝⁶ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
inst✝⁵ : (HomologicalComplex.quasiIso D c).HasLocalization
inst✝⁴ : F.Additive
inst✝³ : F.PreservesHomology
inst✝² : c.QFactorsThroughHomotopy C
inst✝¹ : c.QFactorsThroughHomotopy D
inst✝ : (HomotopyCategory.quotient C c).IsLocalization (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c)
K : HomologicalComplex C c
\u22a2 (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K = (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c).map (𝟙 (HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.obj ((HomotopyCategory.quotient C c).obj K))) ≫ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K ≫ 𝟙 (HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.obj ((F.mapHomotopyCategory c).obj ((HomotopyCategory.quotient C c).obj K))) ≫ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.map (𝟙 ((F.mapHomotopyCategory c).obj ((HomotopyCategory.quotient C c).obj K)))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
\u22a2 BddAbove (Set.range fun y => f (x * y) / f y)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
\u22a2 c * f x ∈ upperBounds (Set.range fun y => f (x * y) / f y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Cat/Limit.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X Y Z : limit (F ⋙ objects)
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
j j' : J
h : j ⟶ j'
\u22a2 (homDiagram X Z).map h ((fun j => limit.π (homDiagram X Y) j f ≫ limit.π (homDiagram Y Z) j g) j) = (fun j => limit.π (homDiagram X Y) j f ≫ limit.π (homDiagram Y Z) j g) j'
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Cat/Limit.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X✝ Y✝ : limit (F ⋙ objects)
x✝ : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 𝟙 X✝ ≫ x✝ = x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Cat/Limit.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X✝ Y✝ : limit (F ⋙ objects)
x✝ : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 ∀ (j : J), limit.π (homDiagram X✝ Y✝) j (𝟙 X✝ ≫ x✝) = limit.π (homDiagram X✝ Y✝) j x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Cat/Limit.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X✝ Y✝ : limit (F ⋙ objects)
x✝ : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 x✝ ≫ 𝟙 Y✝ = x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Cat/Limit.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X✝ Y✝ : limit (F ⋙ objects)
x✝ : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 ∀ (j : J), limit.π (homDiagram X✝ Y✝) j (x✝ ≫ 𝟙 Y✝) = limit.π (homDiagram X✝ Y✝) j x✝
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : IsCyclotomicExtension (S ∪ T) A B
this : {b | ∃ n ∈ S ∪ T, b ^ ↑n = 1} = {b | ∃ n ∈ S, b ^ ↑n = 1} ∪ {b | ∃ n ∈ T, b ^ ↑n = 1}
\u22a2 IsCyclotomicExtension T (↥(adjoin A {b | ∃ a ∈ S, b ^ ↑a = 1})) B
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : IsCyclotomicExtension (S ∪ T) A B
this : {b | ∃ n ∈ S ∪ T, b ^ ↑n = 1} = {b | ∃ n ∈ S, b ^ ↑n = 1} ∪ {b | ∃ n ∈ T, b ^ ↑n = 1}
b : B
\u22a2 b ∈ adjoin ↥(adjoin A {b | ∃ a ∈ S, b ^ ↑a = 1}) {b | ∃ n ∈ T, b ^ ↑n = 1}
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
this : {b | ∃ n ∈ S ∪ T, b ^ ↑n = 1} = {b | ∃ n ∈ S, b ^ ↑n = 1} ∪ {b | ∃ n ∈ T, b ^ ↑n = 1}
b : B
h : b ∈ adjoin A {b | ∃ n ∈ S ∪ T, b ^ ↑n = 1}
\u22a2 b ∈ adjoin ↥(adjoin A {b | ∃ a ∈ S, b ^ ↑a = 1}) {b | ∃ n ∈ T, b ^ ↑n = 1}
-- Mathlib/Order/Filter/Extr.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝ : OrderedAddCommGroup β
f g : α → β
a : α
s : Set α
l : Filter α
hf : IsMinOn f s a
hg : IsMaxOn g s a
\u22a2 IsMinOn (fun x => f x - g x) s a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : Infinite R
p : R[X]
h : ∀ (x : R), eval x p = 0
\u22a2 p = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Normed.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
a : E
r : ℝ
\u22a2 Convex ℝ (closedBall a r)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
\u22a2 ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) + μ.singularPart ν = μ
-- Mathlib/Order/RelIso/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
f : r ↪r s
b : β
a : α
H : ∀ (y : β), s y (f a) → Acc s y
IH : ∀ (y : β), s y (f a) → ∀ (a : α), f a = y → Acc r a
\u22a2 Acc r a
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b b' : M
hb : b ≠ 0
hb' : b' ≠ 0
i j : α
\u22a2 Disjoint (single i b).support (single j b').support ↔ i ≠ j
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
s : Set E
\u22a2 μ (r • s) = ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ s
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c
\u22a2 c = aleph (c.alephIdx - ω)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c
\u22a2 ω ≤ c.alephIdx
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
F : Type u_7
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
f : F
x y : M
u : Mˣ
ha : x * ↑u = y
\u22a2 f x ~ᵤ f y
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i✝ j✝ : Fin n✝
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
\u22a2 i.castSucc.succAbove j.castSucc = (i.succAbove j).castSucc
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i✝ j✝ : Fin n✝
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
h : i ≤ j.castSucc
\u22a2 i.castSucc.succAbove j.castSucc = (i.succAbove j).castSucc
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i✝ j✝ : Fin n✝
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
h : j.castSucc < i
\u22a2 i.castSucc.succAbove j.castSucc = (i.succAbove j).castSucc
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Finite R S
inst✝¹ : Module.Free R S
I J : Ideal S
inst✝ : Nontrivial R
\u22a2 spanNorm R (I * J) = spanNorm R I * spanNorm R J
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Finite R S
inst✝¹ : Module.Free R S
I J : Ideal S
inst✝ : Nontrivial R
h✝ : Subsingleton S
\u22a2 spanNorm R (I * J) = spanNorm R I * spanNorm R J
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Finite R S
inst✝¹ : Module.Free R S
I J : Ideal S
inst✝ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
\u22a2 spanNorm R (I * J) = spanNorm R I * spanNorm R J
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Finite R S
inst✝¹ : Module.Free R S
I J : Ideal S
inst✝ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
\u22a2 ∀ (P : Ideal R) (x : P.IsMaximal), map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R (I * J)) = map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R I * spanNorm R J)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Finite R S
inst✝¹ : Module.Free R S
I J : Ideal S
inst✝ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
hP0 : ¬P = ⊥
P' : Submonoid S := Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
this : Algebra (Localization.AtPrime P) (Localization P') := localizationAlgebra P.primeCompl S
\u22a2 map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R (I * J)) = map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R I * spanNorm R J)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Finite R S
inst✝¹ : Module.Free R S
I J : Ideal S
inst✝ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
hP0 : ¬P = ⊥
P' : Submonoid S := Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
this✝ : Algebra (Localization.AtPrime P) (Localization P') := localizationAlgebra P.primeCompl S
this : IsScalarTower R (Localization.AtPrime P) (Localization P')
\u22a2 map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R (I * J)) = map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R I * spanNorm R J)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Finite R S
inst✝¹ : Module.Free R S
I J : Ideal S
inst✝ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
hP0 : ¬P = ⊥
P' : Submonoid S := Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
this✝ : Algebra (Localization.AtPrime P) (Localization P') := localizationAlgebra P.primeCompl S
this : IsScalarTower R (Localization.AtPrime P) (Localization P')
h : P' ≤ S⁰
\u22a2 map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R (I * J)) = map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R I * spanNorm R J)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Finite R S
inst✝¹ : Module.Free R S
I J : Ideal S
inst✝ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
hP0 : ¬P = ⊥
P' : Submonoid S := Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
this✝¹ : Algebra (Localization.AtPrime P) (Localization P') := localizationAlgebra P.primeCompl S
this✝ : IsScalarTower R (Localization.AtPrime P) (Localization P')
h : P' ≤ S⁰
this : IsDomain (Localization P')
\u22a2 map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R (I * J)) = map (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (spanNorm R I * spanNorm R J)