ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
\u22a2 Splits φ P.toPoly ↔ card (map φ P).roots = 3
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : (map φ P).a ≠ 0
\u22a2 Splits φ P.toPoly ↔ card (map φ P).roots = 3
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : (map φ P).a ≠ 0
\u22a2 Splits ((RingHom.id K).comp φ) P.toPoly ↔ card (map φ P).roots = 3
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
\u22a2 ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) < ↑(rothNumberNat N)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
\u22a2 ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) < ↑(rothNumberNat N)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
\u22a2 ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) < ↑(rothNumberNat N)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
\u22a2 ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) < ↑(rothNumberNat N)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n
\u22a2 ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) < ↑(rothNumberNat N)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n
this : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N
\u22a2 ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) < ↑(rothNumberNat N)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n
this : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N
\u22a2 ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ (↑N ^ (↑(nValue N))⁻¹ / rexp 1) ^ (n - 2) / ↑n
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n
this : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N
\u22a2 ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ ↑N * (↑N ^ (2 / ↑n) * (rexp (↑n - 2) * ↑n))⁻¹
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n
this : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N
\u22a2 rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ (↑N ^ (2 / ↑n) * (rexp (↑n - 2) * ↑n))⁻¹
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n
this : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N
\u22a2 rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ ↑N ^ (-(2 / ↑n)) * (rexp (2 - ↑n) / ↑n)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n
this✝ : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N
this : rexp (-4 * √(log ↑N)) = rexp (-2 * √(log ↑N)) * rexp (-2 * √(log ↑N))
\u22a2 rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ ↑N ^ (-(2 / ↑n)) * (rexp (2 - ↑n) / ↑n)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n
this✝ : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N
this : rexp (-4 * √(log ↑N)) = rexp (-2 * √(log ↑N)) * rexp (-2 * √(log ↑N))
\u22a2 rexp (-2 * √(log ↑N)) * rexp (-2 * √(log ↑N)) ≤ ↑N ^ (-(2 / ↑n)) * (rexp (2 - ↑n) / ↑n)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n
this✝ : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N
this : rexp (-4 * √(log ↑N)) = rexp (-2 * √(log ↑N)) * rexp (-2 * √(log ↑N))
\u22a2 rexp (-2 * √(log ↑N)) ≤ ↑N ^ (-(2 / ↑n))
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n
this✝ : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N
this : rexp (-4 * √(log ↑N)) = rexp (-2 * √(log ↑N)) * rexp (-2 * √(log ↑N))
\u22a2 1 < ↑N
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f g s t : ι → α
a b : α
inst✝ : Nonempty ι
\u22a2 ⨆ x, a = a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module.Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module.Free R M₁
cnd : lift.{v', v} (Module.rank R M) = lift.{v, v'} (Module.rank R M')
\u22a2 Nonempty (M ≃ₗ[R] M')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module.Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module.Free R M₁
cnd : lift.{v', v} (Module.rank R M) = lift.{v, v'} (Module.rank R M')
α : Type v
B : Basis α R M
\u22a2 Nonempty (M ≃ₗ[R] M')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module.Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module.Free R M₁
cnd : lift.{v', v} (Module.rank R M) = lift.{v, v'} (Module.rank R M')
α : Type v
B : Basis α R M
β : Type v'
B' : Basis β R M'
\u22a2 Nonempty (M ≃ₗ[R] M')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module.Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module.Free R M₁
cnd : lift.{v', v} (Module.rank R M) = lift.{v, v'} (Module.rank R M')
α : Type v
B : Basis α R M
β : Type v'
B' : Basis β R M'
this : lift.{v', v} #α = lift.{v, v'} #β
\u22a2 Nonempty (M ≃ₗ[R] M')
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/BigOperators.lean
ι : Type u_1
x : ℕ
t : Finset ι
s : ι → ℕ
\u22a2 x.Coprime (∏ i ∈ t, s i) ↔ ∀ i ∈ t, x.Coprime (s i)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
m : (i : ι) → E i
\u22a2 (tprodL 𝕜).toMultilinearMap m = (tprod 𝕜) m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
\u22a2 CompleteLattice.IsCompactElement (span R {x})
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
\u22a2 ∀ (s : Set (Submodule R M)), s.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s → span R {x} ≤ sSup s → ∃ x_1 ∈ s, span R {x} ≤ x_1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
d : Set (Submodule R M)
hemp : d.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d
hsup : span R {x} ≤ sSup d
\u22a2 ∃ x_1 ∈ d, span R {x} ≤ x_1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
d : Set (Submodule R M)
hemp : d.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d
hsup : span R {x} ≤ sSup d
this : x ∈ sSup d
\u22a2 ∃ x_1 ∈ d, span R {x} ≤ x_1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
d : Set (Submodule R M)
hemp : d.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d
hsup : span R {x} ≤ sSup d
this : x ∈ sSup d
y : Submodule R M
hyd : y ∈ d
hxy : x ∈ y
\u22a2 ∃ x_1 ∈ d, span R {x} ≤ x_1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
hi : i ∉ s
w : ι → k
hw : s.sum w = 1
\u22a2 (b.coord i) ((Finset.affineCombination k s ⇑b) w) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/IsConnected.lean
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝ : IsPreconnected J
r : J → J → Prop
hr : _root_.Equivalence r
h : ∀ {j₁ j₂ : J}, (j₁ ⟶ j₂) → r j₁ j₂
j₁ j₂ : J
\u22a2 r j₁ j₂
-- Mathlib/CategoryTheory/IsConnected.lean
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝ : IsPreconnected J
r : J → J → Prop
hr : _root_.Equivalence r
h : ∀ {j₁ j₂ : J}, (j₁ ⟶ j₂) → r j₁ j₂
j₁ j₂ : J
z : ∀ (j : J), r j₁ j
\u22a2 r j₁ j₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
\u22a2 ∫ (x : X) in univ, f x ∂μ = ∫ (x : X), f x ∂μ
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ t : Finset ι
f✝ : ι → α
i✝ i : ι
f : ι → α
s : Finset ι
hs : s ⊆ {i}
j : ι
hji : j ∈ {i}
hj : j ∉ s
\u22a2 Disjoint (f j) (s.sup f)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ t : Finset ι
f✝ : ι → α
i✝ i : ι
f : ι → α
s : Finset ι
hs : s ⊆ {i}
j : ι
hji : j ∈ {i}
hj : j ∉ s
\u22a2 Disjoint (f j) ⊥
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∈ s
\u22a2 (insert a s).card = s.card
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y : ℂ
x : ℝ
\u22a2 (cexp (↑x * I)).im = Real.sin x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Reverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
\u22a2 f.reverse.coeff 1 = f.nextCoeff
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Reverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
\u22a2 f.coeff ((revAt f.natDegree) 1) = if f.natDegree = 0 then 0 else f.coeff (f.natDegree - 1)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
A : Set Y
u : Y → X → α
S : Set X
hA : EquicontinuousOn (u ∘ Subtype.val) S
hu : Continuous (S.restrict ∘ u)
x : X
hx : x ∈ S
\u22a2 Continuous (eval x ∘ u)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
hx : x ∈ s
t : R
ht0 : 0 ≤ t
\u22a2 s.WSameSide ((lineMap x z) t) z
-- Mathlib/Order/RelIso/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
f : r ↪r s
g : t ↪r u
\u22a2 ∀ {a b : α × γ}, Prod.Lex s u ({ toFun := Prod.map ⇑f ⇑g, inj' := ⋯ } a) ({ toFun := Prod.map ⇑f ⇑g, inj' := ⋯ } b) ↔ Prod.Lex r t a b
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Filter.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
π₀ : Prepartition I
hc₁ : π₀.distortion ≤ c
hc₂ : π₀.compl.distortion ≤ c
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
\u22a2 ∃ π, l.MemBaseSet I c r π ∧ π.toPrepartition ≤ π₀ ∧ π.iUnion = π₀.iUnion
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Filter.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π✝ π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
π₀ : Prepartition I
hc₁ : π₀.distortion ≤ c
hc₂ : π₀.compl.distortion ≤ c
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π : TaggedPrepartition I
hle : π.toPrepartition ≤ π₀
hH : π.IsHenstock
hr : π.IsSubordinate r
hd : π.distortion = π₀.distortion
hU : π.iUnion = π₀.iUnion
\u22a2 ∃ π, l.MemBaseSet I c r π ∧ π.toPrepartition ≤ π₀ ∧ π.iUnion = π₀.iUnion
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Filter.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π✝ π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
π₀ : Prepartition I
hc₁ : π₀.distortion ≤ c
hc₂ : π₀.compl.distortion ≤ c
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π : TaggedPrepartition I
hle : π.toPrepartition ≤ π₀
hH : π.IsHenstock
hr : π.IsSubordinate r
hd : π.distortion = π₀.distortion
hU : π.iUnion = π₀.iUnion
x✝ : l.bDistortion = true
\u22a2 π₀.compl.iUnion = ↑I \ π.iUnion
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Pseudofunctor.lean
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ F : Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
\u22a2 whiskerRightIso (F.mapId a) (F.map f) = (F.mapComp (𝟙 a) f).symm ≪≫ F.map₂Iso (λ_ f) ≪≫ (λ_ (F.map f)).symm
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset A), (AlgebraicIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n
s : Set A
li : AlgebraicIndependent R Subtype.val
\u22a2 Cardinal.mk ↑s ≤ ↑n
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset A), (AlgebraicIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n
s : Set A
li : AlgebraicIndependent R Subtype.val
\u22a2 ∀ (s_1 : Finset ↑s), s_1.card ≤ n
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset A), (AlgebraicIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n
s : Set A
li : AlgebraicIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
\u22a2 t.card ≤ n
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset A), (AlgebraicIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n
s : Set A
li : AlgebraicIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
\u22a2 (Finset.map (Embedding.subtype s) t).card ≤ n
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset A), (AlgebraicIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n
s : Set A
li : AlgebraicIndependent R Subtype.val
t : Finset ↑s
\u22a2 AlgebraicIndependent R fun i => ↑i
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x y : ℝ
h : 0 ≤ x
\u22a2 √x * √x = x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
v w : VectorMeasure α M
\u22a2 v = w ↔ ∀ (i : Set α), ↑v i = ↑w i
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
k : ℕ
\u22a2 riemannZeta (-↑k) = -↑(bernoulli' (k + 1)) / (↑k + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
\u22a2 riemannZeta (-↑0) = -↑(bernoulli' (0 + 1)) / (↑0 + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
k : ℕ
hk : k ≠ 0
\u22a2 riemannZeta (-↑k) = -↑(bernoulli' (k + 1)) / (↑k + 1)
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
this : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced f t
\u22a2 IsClosed s ↔ ∃ t_1, IsClosed t_1 ∧ f ⁻¹' t_1 = s
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
this : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced f t
\u22a2 (∃ t_1, IsOpen t_1 ∧ f ⁻¹' t_1 = sᶜ) ↔ ∃ t_1, IsOpen t_1ᶜ ∧ f ⁻¹' t_1 = s
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
w₀ : { w // w.IsComplex }
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
hx : x ∈ convexBodyLT' K f w₀
\u22a2 -x ∈ convexBodyLT' K f w₀
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
w₀ : { w // w.IsComplex }
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
hx : (∀ (a : InfinitePlace K) (b : a.IsReal), |x.1 ⟨a, b⟩| < ↑(f a)) ∧ ∀ (a : InfinitePlace K) (b : a.IsComplex), x.2 ⟨a, b⟩ ∈ if ⟨a, b⟩ = w₀ then {x | |x.re| < 1 ∧ |x.im| < ↑(f a) ^ 2} else ball 0 ↑(f a)
\u22a2 (∀ (a : InfinitePlace K) (b : a.IsReal), |x.1 ⟨a, b⟩| < ↑(f a)) ∧ ∀ (a : InfinitePlace K) (b : a.IsComplex), -x.2 ⟨a, b⟩ ∈ if ⟨a, b⟩ = w₀ then {x | |x.re| < 1 ∧ |x.im| < ↑(f a) ^ 2} else ball 0 ↑(f a)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g✝ : β → α
a a₁ a₂ : α
g : γ → β
hg : Injective g
f : β → α
hf : mulSupport f ⊆ Set.range g
\u22a2 ∏' (c : γ), f (g c) = ∏' (b : β), f b
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g✝ : β → α
a a₁ a₂ : α
g : γ → β
hg : Injective g
f : β → α
hf : mulSupport f ⊆ Set.range g
this : mulSupport f = g '' mulSupport (f ∘ g)
\u22a2 ∏' (c : γ), f (g c) = ∏' (b : β), f b
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g✝ : β → α
a a₁ a₂ : α
g : γ → β
hg : Injective g
f : β → α
hf : mulSupport f ⊆ Set.range g
this : mulSupport f = g '' mulSupport (f ∘ g)
\u22a2 tprod (f ∘ g) = ∏' (b : β), f b
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Localization.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_3
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : Away r S
\u22a2 (IsLocalization.Away.auxInv S r).comp (IsLocalization.Away.auxHom S r).toRingHom = RingHom.id (MvPolynomial Unit R ⧸ Ideal.span {C r * X () - 1})
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Localization.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_3
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : Away r S
\u22a2 ((IsLocalization.Away.auxInv S r).comp (IsLocalization.Away.auxHom S r).toRingHom).comp (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {C r * X () - 1})) = (RingHom.id (MvPolynomial Unit R ⧸ Ideal.span {C r * X () - 1})).comp (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {C r * X () - 1}))
-- Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
ε : ℝ
hε : ε > 0
\u22a2 abs (invInterpStrip f z ε) = (ε + sSupNormIm f 0) ^ (z.re - 1) * (ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z.re)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
ε : ℝ
hε : ε > 0
\u22a2 abs ((↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (z - 1)) * abs ((↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-z)) = (ε + sSupNormIm f 0) ^ (z.re - 1) * (ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z.re)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
ε : ℝ
hε : ε > 0
\u22a2 abs (↑(ε + sSupNormIm f 0) ^ (z - 1)) * abs (↑(ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z)) = (ε + sSupNormIm f 0) ^ (z.re - 1) * (ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z.re)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
ε : ℝ
hε : ε > 0
\u22a2 (ε + sSupNormIm f 0) ^ (z - 1).re * (ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z).re = (ε + sSupNormIm f 0) ^ (z.re - 1) * (ε + sSupNormIm f 1) ^ (-z.re)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal I
\u22a2 Integrable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal I
\u22a2 Tendsto (fun c => ∫⁻ (x : α) in φ c, ↑‖f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ))
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0
x : E
\u22a2 ↑‖x‖₊ / ↑r ≤ egauge 𝕜 (closedBall 0 ↑r) x
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0
x : E
\u22a2 ∀ (c : 𝕜), x ∈ c • closedBall 0 ↑r → ↑‖x‖₊ / ↑r ≤ ↑‖c‖₊