ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
I : Ideal S
hI : comap (algebraMap R S) I ≤ P
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
Iₚ : Ideal Sₚ := map (algebraMap S Sₚ) I
hI' : Disjoint ↑(Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl) ↑I
this : Iₚ ≠ ⊤
M : Ideal Sₚ
hM : M.IsMaximal
hM' : Iₚ ≤ M
x : R
hx : x ∈ comap (algebraMap R S) (comap (algebraMap S Sₚ) M)
hx' : x ∉ P
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
cd : Fin 2 → ℤ
hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)
mB : ℝ → Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ := fun t => of ![![t, -↑1], Int.cast ∘ cd]
\u22a2 Tendsto (fun g => (lcRow0 cd) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) ↑g)) cofinite (cocompact ℝ)
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
cd : Fin 2 → ℤ
hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)
mB : ℝ → Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ := fun t => of ![![t, -↑1], Int.cast ∘ cd]
hmB : Continuous mB
\u22a2 Tendsto (fun g => (lcRow0 cd) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) ↑g)) cofinite (cocompact ℝ)
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
cd : Fin 2 → ℤ
hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)
mB : ℝ → Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ := fun t => of ![![t, -↑1], Int.cast ∘ cd]
hmB : Continuous mB
\u22a2 Tendsto (mB ∘ fun g => (lcRow0 cd) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) ↑g)) cofinite (cocompact (Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ))
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
cd : Fin 2 → ℤ
hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)
mB : ℝ → Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ := fun t => of ![![t, -↑1], Int.cast ∘ cd]
hmB : Continuous mB
f₁ : SL(2, ℤ) → Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ := fun g => (↑g).map Int.cast
\u22a2 Tendsto (mB ∘ fun g => (lcRow0 cd) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) ↑g)) cofinite (cocompact (Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ))
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
cd : Fin 2 → ℤ
hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)
mB : ℝ → Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ := fun t => of ![![t, -↑1], Int.cast ∘ cd]
hmB : Continuous mB
f₁ : SL(2, ℤ) → Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ := fun g => (↑g).map Int.cast
cocompact_ℝ_to_cofinite_ℤ_matrix : Tendsto (fun m => m.map Int.cast) cofinite (cocompact (Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ))
\u22a2 Tendsto (mB ∘ fun g => (lcRow0 cd) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) ↑g)) cofinite (cocompact (Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ))
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
cd : Fin 2 → ℤ
hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)
mB : ℝ → Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ := fun t => of ![![t, -↑1], Int.cast ∘ cd]
hmB : Continuous mB
f₁ : SL(2, ℤ) → Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ := fun g => (↑g).map Int.cast
cocompact_ℝ_to_cofinite_ℤ_matrix : Tendsto (fun m => m.map Int.cast) cofinite (cocompact (Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ))
hf₁ : Tendsto f₁ cofinite (cocompact (Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ))
\u22a2 Tendsto (mB ∘ fun g => (lcRow0 cd) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) ↑g)) cofinite (cocompact (Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ))
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
cd : Fin 2 → ℤ
hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)
mB : ℝ → Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ := fun t => of ![![t, -↑1], Int.cast ∘ cd]
hmB : Continuous mB
f₁ : SL(2, ℤ) → Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ := fun g => (↑g).map Int.cast
cocompact_ℝ_to_cofinite_ℤ_matrix : Tendsto (fun m => m.map Int.cast) cofinite (cocompact (Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ))
hf₁ : Tendsto f₁ cofinite (cocompact (Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ))
hf₂ : ClosedEmbedding ⇑(lcRow0Extend hcd)
\u22a2 Tendsto (mB ∘ fun g => (lcRow0 cd) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) ↑g)) cofinite (cocompact (Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ))
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
cd : Fin 2 → ℤ
hcd : IsCoprime (cd 0) (cd 1)
mB : ℝ → Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ := fun t => of ![![t, -↑1], Int.cast ∘ cd]
hmB : Continuous mB
f₁ : SL(2, ℤ) → Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ := fun g => (↑g).map Int.cast
cocompact_ℝ_to_cofinite_ℤ_matrix : Tendsto (fun m => m.map Int.cast) cofinite (cocompact (Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ))
hf₁ : Tendsto f₁ cofinite (cocompact (Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℝ))
hf₂ : ClosedEmbedding ⇑(lcRow0Extend hcd)
\u22a2 (mB ∘ fun g => (lcRow0 cd) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) ↑g)) = ⇑(lcRow0Extend hcd) ∘ f₁ ∘ fun a => ↑a
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
T : E →ₗ[𝕜] E
x y : E
\u22a2 ⟪(adjoint T * T) x, y⟫_𝕜 = ⟪x, (adjoint T * T) y⟫_𝕜
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
hl : l.Sized
hm : m.Sized
hr : r.Sized
\u22a2 (l.node4L x m y r).Sized
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Dist E
l : Filter ι
f f' : ι → α → E
g g' : α → E
h_left : ∀ᶠ (i : ι) in l, f i =ᶠ[ae μ] f' i
h_right : g =ᶠ[ae μ] g'
h_tendsto : TendstoInMeasure μ f l g
ε : ℝ
hε : 0 < ε
\u22a2 Tendsto (fun i => μ {x | ε ≤ dist (f' i x) (g' x)}) l (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Dist E
l : Filter ι
f f' : ι → α → E
g g' : α → E
h_left : ∀ᶠ (i : ι) in l, f i =ᶠ[ae μ] f' i
h_right : g =ᶠ[ae μ] g'
h_tendsto : TendstoInMeasure μ f l g
ε : ℝ
hε : 0 < ε
\u22a2 (fun i => μ {x | ε ≤ dist (f' i x) (g' x)}) =ᶠ[l] fun i => μ {x | ε ≤ dist (f i x) (g x)}
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Dist E
l : Filter ι
f f' : ι → α → E
g g' : α → E
h_left : ∀ᶠ (i : ι) in l, f i =ᶠ[ae μ] f' i
h_right : g =ᶠ[ae μ] g'
h_tendsto : TendstoInMeasure μ f l g
ε : ℝ
hε : 0 < ε
i : ι
h_ae_eq : f i =ᶠ[ae μ] f' i
\u22a2 μ {x | ε ≤ dist (f' i x) (g' x)} = μ {x | ε ≤ dist (f i x) (g x)}
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Dist E
l : Filter ι
f f' : ι → α → E
g g' : α → E
h_left : ∀ᶠ (i : ι) in l, f i =ᶠ[ae μ] f' i
h_right : g =ᶠ[ae μ] g'
h_tendsto : TendstoInMeasure μ f l g
ε : ℝ
hε : 0 < ε
i : ι
h_ae_eq : f i =ᶠ[ae μ] f' i
\u22a2 {x | ε ≤ dist (f' i x) (g' x)} =ᶠ[ae μ] {x | ε ≤ dist (f i x) (g x)}
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Dist E
l : Filter ι
f f' : ι → α → E
g g' : α → E
h_left : ∀ᶠ (i : ι) in l, f i =ᶠ[ae μ] f' i
h_right : g =ᶠ[ae μ] g'
h_tendsto : TendstoInMeasure μ f l g
ε : ℝ
hε : 0 < ε
i : ι
h_ae_eq : f i =ᶠ[ae μ] f' i
x : α
hxf : f i x = f' i x
hxg : g x = g' x
\u22a2 {x | ε ≤ dist (f' i x) (g' x)} x = {x | ε ≤ dist (f i x) (g x)} x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Dist E
l : Filter ι
f f' : ι → α → E
g g' : α → E
h_left : ∀ᶠ (i : ι) in l, f i =ᶠ[ae μ] f' i
h_right : g =ᶠ[ae μ] g'
h_tendsto : TendstoInMeasure μ f l g
ε : ℝ
hε : 0 < ε
i : ι
h_ae_eq : f i =ᶠ[ae μ] f' i
x : α
hxf : f i x = f' i x
hxg : g x = g' x
\u22a2 {x | ε ≤ dist (f' i x) (g' x)} x ↔ {x | ε ≤ dist (f i x) (g x)} x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Dist E
l : Filter ι
f f' : ι → α → E
g g' : α → E
h_left : ∀ᶠ (i : ι) in l, f i =ᶠ[ae μ] f' i
h_right : g =ᶠ[ae μ] g'
h_tendsto : TendstoInMeasure μ f l g
ε : ℝ
hε : 0 < ε
i : ι
h_ae_eq : f i =ᶠ[ae μ] f' i
x : α
hxf : f i x = f' i x
hxg : g x = g' x
\u22a2 ε ≤ dist (f' i x) (g' x) ↔ ε ≤ dist (f i x) (g x)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
\u22a2 HasDerivAt Gamma (-↑γ) 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Group α
inst✝² : LinearOrder α
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : a ≤ 1
hab : b ≤ a
\u22a2 mabs a ≤ mabs b
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Group α
inst✝² : LinearOrder α
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : a ≤ 1
hab : b ≤ a
\u22a2 a⁻¹ ≤ b⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
inst✝ : S.HasHomology
\u22a2 leftHomologyMap' (𝟙 S) S.homologyData.left S.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S) S.leftHomologyData S.leftHomologyData = leftHomologyMap' (𝟙 S) S.homologyData.left S.leftHomologyData
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α
\u22a2 op x • ↑s = op y • ↑s ↔ y * x⁻¹ ∈ s
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α
\u22a2 (∀ (x_1 : α), x_1 ∈ op x • ↑s ↔ x_1 ∈ op y • ↑s) ↔ y * x⁻¹ ∈ s
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α
\u22a2 (∀ (x_1 : α), x_1 * x⁻¹ ∈ s ↔ x_1 * y⁻¹ ∈ s) ↔ y * x⁻¹ ∈ s
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
\u22a2 ¬Tendsto f l₁ l₂ ↔ ∃ s ∈ l₂, ∃ᶠ (x : α) in l₁, f x ∉ s
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]
x✝¹ x✝ : R
\u22a2 (algebraMap R ℍ[R,c₁,c₂]) x✝¹ = (algebraMap R ℍ[R,c₁,c₂]) x✝ → x✝¹ = x✝
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
n : ℕ
\u22a2 filter p (n • s) = n • filter p s
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
n : ℕ
\u22a2 filter p (n • 0) = n • filter p 0
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
n : ℕ
\u22a2 ∀ (a : α) (s : Multiset α), filter p (n • s) = n • filter p s → filter p (n • (a ::ₘ s)) = n • filter p (a ::ₘ s)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M → N → P
hf : f 0 0 = 0
a : α
m : M
n : N
a' : α
\u22a2 (zipWith f hf (single a m) (single a n)) a' = (single a (f m n)) a'
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M → N → P
hf : f 0 0 = 0
a : α
m : M
n : N
a' : α
\u22a2 f ((single a m) a') ((single a n) a') = (single a (f m n)) a'
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M → N → P
hf : f 0 0 = 0
a : α
m : M
n : N
\u22a2 f ((single a m) a) ((single a n) a) = (single a (f m n)) a
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M → N → P
hf : f 0 0 = 0
a : α
m : M
n : N
a' : α
ha' : a ≠ a'
\u22a2 f ((single a m) a') ((single a n) a') = (single a (f m n)) a'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Finset M
\u22a2 Module.rank R ↥(span R ↑s) ≤ ↑s.card
-- Mathlib/Algebra/Ring/BooleanRing.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : BooleanRing α
a b : α
\u22a2 a = -b ↔ a = b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹² : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace Y
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
L : F →L[𝕜] G →L[𝕜] E
f : X → Y → G
s : Set X
k : Set Y
g : Y → F
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ univ)
hfs : ∀ (p : X) (x : Y), p ∈ s → x ∉ k → f p x = 0
hg : IntegrableOn g k μ
\u22a2 ContinuousOn (fun x => ∫ (y : Y), (L (g y)) (f x y) ∂μ) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹² : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace Y
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
L : F →L[𝕜] G →L[𝕜] E
f : X → Y → G
s : Set X
k : Set Y
g : Y → F
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ univ)
hfs : ∀ (p : X) (x : Y), p ∈ s → x ∉ k → f p x = 0
hg : IntegrableOn g k μ
A : ∀ p ∈ s, Continuous (f p)
\u22a2 ContinuousOn (fun x => ∫ (y : Y), (L (g y)) (f x y) ∂μ) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹² : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace Y
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
L : F →L[𝕜] G →L[𝕜] E
f : X → Y → G
s : Set X
k : Set Y
g : Y → F
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ univ)
hfs : ∀ (p : X) (x : Y), p ∈ s → x ∉ k → f p x = 0
hg : IntegrableOn g k μ
A : ∀ p ∈ s, Continuous (f p)
q : X
hq : q ∈ s
\u22a2 ContinuousWithinAt (fun x => ∫ (y : Y), (L (g y)) (f x y) ∂μ) s q
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹² : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace Y
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
L : F →L[𝕜] G →L[𝕜] E
f : X → Y → G
s : Set X
k : Set Y
g : Y → F
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ univ)
hfs : ∀ (p : X) (x : Y), p ∈ s → x ∉ k → f p x = 0
hg : IntegrableOn g k μ
A : ∀ p ∈ s, Continuous (f p)
q : X
hq : q ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
\u22a2 ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] q, dist (∫ (y : Y), (L (g y)) (f x y) ∂μ) (∫ (y : Y), (L (g y)) (f q y) ∂μ) < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹² : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace Y
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
L : F →L[𝕜] G →L[𝕜] E
f : X → Y → G
s : Set X
k : Set Y
g : Y → F
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ univ)
hfs : ∀ (p : X) (x : Y), p ∈ s → x ∉ k → f p x = 0
hg : IntegrableOn g k μ
A : ∀ p ∈ s, Continuous (f p)
q : X
hq : q ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : ∫ (x : Y) in k, ‖L‖ * ‖g x‖ * δ ∂μ < ε
\u22a2 ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] q, dist (∫ (y : Y), (L (g y)) (f x y) ∂μ) (∫ (y : Y), (L (g y)) (f q y) ∂μ) < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹² : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace Y
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
L : F →L[𝕜] G →L[𝕜] E
f : X → Y → G
s : Set X
k : Set Y
g : Y → F
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ univ)
hfs : ∀ (p : X) (x : Y), p ∈ s → x ∉ k → f p x = 0
hg : IntegrableOn g k μ
A : ∀ p ∈ s, Continuous (f p)
q : X
hq : q ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : ∫ (x : Y) in k, ‖L‖ * ‖g x‖ * δ ∂μ < ε
v : Set X
v_mem : v ∈ 𝓝[s] q
hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ k, dist (f p x) (f q x) < δ
\u22a2 ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] q, dist (∫ (y : Y), (L (g y)) (f x y) ∂μ) (∫ (y : Y), (L (g y)) (f q y) ∂μ) < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹² : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace Y
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
L : F →L[𝕜] G →L[𝕜] E
f : X → Y → G
s : Set X
k : Set Y
g : Y → F
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ univ)
hfs : ∀ (p : X) (x : Y), p ∈ s → x ∉ k → f p x = 0
hg : IntegrableOn g k μ
A : ∀ p ∈ s, Continuous (f p)
q : X
hq : q ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : ∫ (x : Y) in k, ‖L‖ * ‖g x‖ * δ ∂μ < ε
v : Set X
v_mem : v ∈ 𝓝[s] q
hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ k, ‖f p x - f q x‖ < δ
I : ∀ p ∈ s, IntegrableOn (fun y => (L (g y)) (f p y)) k μ
\u22a2 ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] q, ‖∫ (y : Y), (L (g y)) (f x y) ∂μ - ∫ (y : Y), (L (g y)) (f q y) ∂μ‖ < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹² : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace Y
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
L : F →L[𝕜] G →L[𝕜] E
f : X → Y → G
s : Set X
k : Set Y
g : Y → F
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ univ)
hfs : ∀ (p : X) (x : Y), p ∈ s → x ∉ k → f p x = 0
hg : IntegrableOn g k μ
A : ∀ p ∈ s, Continuous (f p)
q : X
hq : q ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : ∫ (x : Y) in k, ‖L‖ * ‖g x‖ * δ ∂μ < ε
v : Set X
v_mem : v ∈ 𝓝[s] q
hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ k, ‖f p x - f q x‖ < δ
I : ∀ p ∈ s, IntegrableOn (fun y => (L (g y)) (f p y)) k μ
p : X
hp : p ∈ v
h'p : p ∈ s
\u22a2 ‖∫ (y : Y), (L (g y)) (f p y) ∂μ - ∫ (y : Y), (L (g y)) (f q y) ∂μ‖ < ε
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α✝ : Type u
β✝ : Type v
inst✝¹ : Group α✝
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
inst✝ : Group β
f : α → β
\u22a2 Continuous f
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α✝ : Type u
β✝ : Type v
inst✝¹ : Group α✝
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
inst✝ : Group β
f : α → β
\u22a2 ∀ t_1 ∈ toTopologicalSpace '' {b | TopologicalSpace.coinduced f t ≤ b.toTopologicalSpace}, Continuous f
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α✝ : Type u
β✝ : Type v
inst✝¹ : Group α✝
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace α
inst✝ : Group β
f : α → β
t' : GroupTopology β
ht' : t' ∈ {b | TopologicalSpace.coinduced f t ≤ b.toTopologicalSpace}
\u22a2 Continuous f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁵ : Module R N₂
inst✝¹⁴ : Semiring R₁
inst✝¹³ : Semiring R₂
inst✝¹² : SMulCommClass R R N₂
inst✝¹¹ : Semiring S₁
inst✝¹⁰ : Semiring S₂
inst✝⁹ : Module S₁ N₂
inst✝⁸ : Module S₂ N₂
inst✝⁷ : SMulCommClass S₁ R N₂
inst✝⁶ : SMulCommClass S₂ R N₂
inst✝⁵ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq m
T : Type u_17
inst✝ : CommSemiring T
M : Matrix n m T
v : n → T
w : m → T
\u22a2 (((toLinearMap₂' T) M) v) w = v ⬝ᵥ M *ᵥ w
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁵ : Module R N₂
inst✝¹⁴ : Semiring R₁
inst✝¹³ : Semiring R₂
inst✝¹² : SMulCommClass R R N₂
inst✝¹¹ : Semiring S₁
inst✝¹⁰ : Semiring S₂
inst✝⁹ : Module S₁ N₂
inst✝⁸ : Module S₂ N₂
inst✝⁷ : SMulCommClass S₁ R N₂
inst✝⁶ : SMulCommClass S₂ R N₂
inst✝⁵ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq m
T : Type u_17
inst✝ : CommSemiring T
M : Matrix n m T
v : n → T
w : m → T
\u22a2 ∑ i : n, ∑ j : m, v i •> w j •> M i j = ∑ x : n, v x * ∑ x_1 : m, M x x_1 * w x_1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁵ : Module R N₂
inst✝¹⁴ : Semiring R₁
inst✝¹³ : Semiring R₂
inst✝¹² : SMulCommClass R R N₂
inst✝¹¹ : Semiring S₁
inst✝¹⁰ : Semiring S₂
inst✝⁹ : Module S₁ N₂
inst✝⁸ : Module S₂ N₂
inst✝⁷ : SMulCommClass S₁ R N₂
inst✝⁶ : SMulCommClass S₂ R N₂
inst✝⁵ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq m
T : Type u_17
inst✝ : CommSemiring T
M : Matrix n m T
v : n → T
w : m → T
x✝¹ : n
x✝ : x✝¹ ∈ univ
\u22a2 ∑ j : m, v x✝¹ •> w j •> M x✝¹ j = v x✝¹ * ∑ x : m, M x✝¹ x * w x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁵ : Module R N₂
inst✝¹⁴ : Semiring R₁
inst✝¹³ : Semiring R₂
inst✝¹² : SMulCommClass R R N₂
inst✝¹¹ : Semiring S₁
inst✝¹⁰ : Semiring S₂
inst✝⁹ : Module S₁ N₂
inst✝⁸ : Module S₂ N₂
inst✝⁷ : SMulCommClass S₁ R N₂
inst✝⁶ : SMulCommClass S₂ R N₂
inst✝⁵ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq m
T : Type u_17
inst✝ : CommSemiring T
M : Matrix n m T
v : n → T
w : m → T
x✝¹ : n
x✝ : x✝¹ ∈ univ
\u22a2 ∑ j : m, v x✝¹ •> w j •> M x✝¹ j = ∑ i : m, v x✝¹ * (M x✝¹ i * w i)