ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Oscillation.lean
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
K : Set E
comp : IsCompact K
f : E → F
D : Set E
ε : ℝ≥0∞
hK : ∀ x ∈ K, oscillationWithin f D x < ε
S : ℝ → Set E := fun r => {x | ∃ a > r, diam (f '' (ball x (ENNReal.ofReal a) ∩ D)) ≤ ε}
S_open : ∀ r > 0, IsOpen (S r)
\u22a2 ∃ δ > 0, ∀ x ∈ K, diam (f '' (ball x (ENNReal.ofReal δ) ∩ D)) ≤ ε
-- Mathlib/Analysis/Oscillation.lean
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
K : Set E
comp : IsCompact K
f : E → F
D : Set E
ε : ℝ≥0∞
hK : ∀ x ∈ K, oscillationWithin f D x < ε
S : ℝ → Set E := fun r => {x | ∃ a > r, diam (f '' (ball x (ENNReal.ofReal a) ∩ D)) ≤ ε}
S_open : ∀ r > 0, IsOpen (S r)
S_cover : K ⊆ ⋃ r, ⋃ (_ : r > 0), S r
\u22a2 ∃ δ > 0, ∀ x ∈ K, diam (f '' (ball x (ENNReal.ofReal δ) ∩ D)) ≤ ε
-- Mathlib/Analysis/Oscillation.lean
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
K : Set E
comp : IsCompact K
f : E → F
D : Set E
ε : ℝ≥0∞
hK : ∀ x ∈ K, oscillationWithin f D x < ε
S : ℝ → Set E := fun r => {x | ∃ a > r, diam (f '' (ball x (ENNReal.ofReal a) ∩ D)) ≤ ε}
S_open : ∀ r > 0, IsOpen (S r)
S_cover : K ⊆ ⋃ r, ⋃ (_ : r > 0), S r
S_antitone : ∀ (r₁ r₂ : ℝ), r₁ ≤ r₂ → S r₂ ⊆ S r₁
\u22a2 ∃ δ > 0, ∀ x ∈ K, diam (f '' (ball x (ENNReal.ofReal δ) ∩ D)) ≤ ε
-- Mathlib/Analysis/Oscillation.lean
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
K : Set E
comp : IsCompact K
f : E → F
D : Set E
ε : ℝ≥0∞
hK : ∀ x ∈ K, oscillationWithin f D x < ε
S : ℝ → Set E := fun r => {x | ∃ a > r, diam (f '' (ball x (ENNReal.ofReal a) ∩ D)) ≤ ε}
S_open : ∀ r > 0, IsOpen (S r)
S_cover : K ⊆ ⋃ r, ⋃ (_ : r > 0), S r
S_antitone : ∀ (r₁ r₂ : ℝ), r₁ ≤ r₂ → S r₂ ⊆ S r₁
δ : ℝ
δ0 : δ > 0
hδ : K ⊆ S δ
\u22a2 ∃ δ > 0, ∀ x ∈ K, diam (f '' (ball x (ENNReal.ofReal δ) ∩ D)) ≤ ε
-- Mathlib/Analysis/Oscillation.lean
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
K : Set E
comp : IsCompact K
f : E → F
D : Set E
ε : ℝ≥0∞
hK : ∀ x ∈ K, oscillationWithin f D x < ε
S : ℝ → Set E := fun r => {x | ∃ a > r, diam (f '' (ball x (ENNReal.ofReal a) ∩ D)) ≤ ε}
S_open : ∀ r > 0, IsOpen (S r)
S_cover : K ⊆ ⋃ r, ⋃ (_ : r > 0), S r
S_antitone : ∀ (r₁ r₂ : ℝ), r₁ ≤ r₂ → S r₂ ⊆ S r₁
δ : ℝ
δ0 : δ > 0
hδ : K ⊆ S δ
\u22a2 ∀ x ∈ K, diam (f '' (ball x (ENNReal.ofReal δ) ∩ D)) ≤ ε
-- Mathlib/Analysis/Oscillation.lean
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
K : Set E
comp : IsCompact K
f : E → F
D : Set E
ε : ℝ≥0∞
hK : ∀ x ∈ K, oscillationWithin f D x < ε
S : ℝ → Set E := fun r => {x | ∃ a > r, diam (f '' (ball x (ENNReal.ofReal a) ∩ D)) ≤ ε}
S_open : ∀ r > 0, IsOpen (S r)
S_cover : K ⊆ ⋃ r, ⋃ (_ : r > 0), S r
S_antitone : ∀ (r₁ r₂ : ℝ), r₁ ≤ r₂ → S r₂ ⊆ S r₁
δ : ℝ
δ0 : δ > 0
hδ : K ⊆ S δ
x : E
xK : x ∈ K
a : ℝ
δa : a > δ
ha : diam (f '' (ball x (ENNReal.ofReal a) ∩ D)) ≤ ε
\u22a2 diam (f '' (ball x (ENNReal.ofReal δ) ∩ D)) ≤ ε
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
x✝ : E
\u22a2 (reflection ⊥) x✝ = (LinearIsometryEquiv.neg 𝕜) x✝
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/PerpBisector.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MetricSpace P
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V P
V' : Type u_3
P' : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup V'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : MetricSpace P'
inst✝ : NormedAddTorsor V' P'
f : P → P'
h : Isometry f
p₁ p₂ x : P
\u22a2 x ∈ f ⁻¹' ↑(perpBisector (f p₁) (f p₂)) ↔ x ∈ ↑(perpBisector p₁ p₂)
-- Mathlib/Algebra/ModEq.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroupWithOne α
inst✝ : CharZero α
a b z : ℤ
\u22a2 ↑a ≡ ↑b [PMOD ↑z] ↔ a ≡ b [PMOD z]
-- Mathlib/Algebra/ModEq.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroupWithOne α
inst✝ : CharZero α
a b z : ℤ
\u22a2 (∃ z_1, ↑b - ↑a = ↑(z_1 * z)) ↔ ∃ z_1, b - a = z_1 • z
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneConvergence.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SupConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_mono : Monotone f
ha : IsLUB (range f) a
\u22a2 Tendsto f atTop (𝓝 a)
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneConvergence.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SupConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_mono : Monotone f
ha : IsLUB (range f) a
\u22a2 Tendsto (rangeFactorization f) atTop atTop
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
u : Aˣ
\u22a2 spectrum R (↑u⁻¹ * a * ↑u) = spectrum R a
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
x : β
ε : α
ε0 : ε > 0
j : ℕ
x✝ : j ≥ 0
\u22a2 abv ((fun x_1 => x) j - (fun x_1 => x) 0) < ε
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
ι : Type u_3
l : Filter ι
l' : Filter β
f f' : ι → β → α
g g' : β → α
s : Set β
hf : UniformCauchySeqOn f l s
hf' : UniformCauchySeqOn f' l s
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
\u22a2 ∀ᶠ (m : ι × ι) in l ×ˢ l, ∀ x ∈ s, ((f / f') m.1 x, (f / f') m.2 x) ∈ u
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
e : M ≃ₗ[R] ι → R
i j : ι
\u22a2 e ((ofEquivFun e) i) j = e (e.symm (update 0 i 1)) j
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
f : PiLp ⊤ β
\u22a2 ‖(WithLp.equiv ⊤ ((i : ι) → β i)) f‖₊ = ‖f‖₊
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
f : PiLp ⊤ β
\u22a2 ⨆ i, ‖(WithLp.equiv ⊤ ((i : ι) → β i)) f i‖₊ = ⨆ i, ‖f i‖₊
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r p q : R[X]
hp : p ≠ 0
hpq : p.degree < q.degree
hq : ¬q = 0
\u22a2 p.natDegree < q.natDegree
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R B)
cl : ∀ {x : B}, IsIntegral R x ↔ ∃ y, (algebraMap R B) y = x
\u22a2 IsIntegrallyClosedIn R A
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R B)
cl : ∀ {x : B}, IsIntegral R x ↔ ∃ y, (algebraMap R B) y = x
\u22a2 Function.Injective (⇑f ∘ ⇑(algebraMap R A))
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R B)
cl : ∀ {x : B}, IsIntegral R x ↔ ∃ y, (algebraMap R B) y = x
x✝ : A
hx : IsIntegral R x✝
\u22a2 ∃ y, (algebraMap R A) y = x✝
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R B)
cl : ∀ {x : B}, IsIntegral R x ↔ ∃ y, (algebraMap R B) y = x
x✝ : A
\u22a2 (∃ y, (algebraMap R A) y = x✝) → IsIntegral R x✝
-- Mathlib/Data/Fintype/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
i : Fin n
\u22a2 Iio i.castSucc = map castSuccEmb (Iio i)
-- Mathlib/Data/Fintype/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
i : Fin n
\u22a2 map valEmbedding (Iio i.castSucc) = map valEmbedding (map castSuccEmb (Iio i))
-- Mathlib/Data/Fintype/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
i : Fin n
\u22a2 Iio ↑i.castSucc = map (castSuccEmb.trans valEmbedding) (Iio i)
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
\u22a2 M.Dep (insert e I) ↔ e ∈ M.closure I \ I
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
\u22a2 e ∈ I → ¬M.Dep (insert e I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
heI : e ∈ I
\u22a2 ¬M.Dep (insert e I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
heI : e ∈ I
\u22a2 ¬M.Dep I
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
c : Cardinal.{u_3}
\u22a2 ↑n ≤ toPartENat c ↔ ↑n ≤ c
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Group.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : CompleteSpace α
hf : Multipliable f
h : ∀ (b : β), g b = 1 ∨ g b = f b
\u22a2 Multipliable g
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k✝ : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : NumberField K
k : ℕ+
hk : 1 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
\u22a2 Nat.card (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1}) = ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1)).natAbs
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k✝ : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : NumberField K
k : ℕ+
hk : 1 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
this : Finite (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1})
\u22a2 Nat.card (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1}) = ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1)).natAbs
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k✝ : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : NumberField K
k : ℕ+
hk : 1 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
this : Finite (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1})
x✝ : Fintype (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1}) := Fintype.ofFinite (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1})
\u22a2 Nat.card (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1}) = ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1)).natAbs
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
\u22a2 toDual (s.max' hs) = (image (⇑toDual) s).min' ⋯
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
\u22a2 ↑(toDual (s.max' hs)) = ↑((image (⇑toDual) s).min' ⋯)
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
\u22a2 s.inf (WithTop.some ∘ fun x => toDual x) = s.inf ((WithTop.some ∘ fun x => x) ∘ ⇑toDual)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
i : (nim 1).LeftMoves
\u22a2 toLeftMovesNim.symm i = ⟨0, ⋯⟩
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
\u22a2 IsClosedMap f ↔ ∀ (s : Set X) (y : Y), MapClusterPt y (𝓟 s) f → ∃ x, f x = y ∧ ClusterPt x (𝓟 s)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J K L I : Ideal R
r : R
hr : r ∈ sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}
hri : r ∉ I.radical
hrm : r ∉ ⊤.radical
him : I ≤ ⊤
hm : ∀ z ∈ {K | r ∉ K.radical}, ⊤ ≤ z → z = ⊤
this : ∀ x ∉ ⊤, r ∈ (⊤ ⊔ span {x}).radical
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J K L I : Ideal R
r : R
hr : r ∈ sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}
hri : r ∉ I.radical
hrm : r ∉ ⊤
him : I ≤ ⊤
hm : ∀ z ∈ {K | r ∉ K.radical}, ⊤ ≤ z → z = ⊤
this : ∀ x ∉ ⊤, r ∈ (⊤ ⊔ span {x}).radical
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J K L I : Ideal R
r : R
hr : r ∈ sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}
hri : r ∉ I.radical
m : Ideal R
hrm : r ∉ m.radical
him : I ≤ m
hm : ∀ z ∈ {K | r ∉ K.radical}, m ≤ z → z = m
this : ∀ x ∉ m, r ∈ (m ⊔ span {x}).radical
x y : R
hxym : x * y ∈ m
hxm : x ∉ m
hym : y ∉ m
n : ℕ
hrn : r ^ n ∈ m ⊔ span {x}
p : R
hpm : p ∈ m
q : R
hq : q ∈ span {x}
hpqrn : p + q = r ^ n
c : R
hcxq : c * x = q
k : ℕ
hrk : r ^ k ∈ m ⊔ span {y}
f : R
hfm : f ∈ m
g : R
hg : g ∈ span {y}
hfgrk : f + g = r ^ k
d : R
hdyg : d * y = g
\u22a2 r ^ (n + k) ∈ m
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J K L I : Ideal R
r : R
hr : r ∈ sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}
hri : r ∉ I.radical
m : Ideal R
hrm : r ∉ m.radical
him : I ≤ m
hm : ∀ z ∈ {K | r ∉ K.radical}, m ≤ z → z = m
this : ∀ x ∉ m, r ∈ (m ⊔ span {x}).radical
x y : R
hxym : x * y ∈ m
hxm : x ∉ m
hym : y ∉ m
n : ℕ
hrn : r ^ n ∈ m ⊔ span {x}
p : R
hpm : p ∈ m
q : R
hq : q ∈ span {x}
hpqrn : p + q = r ^ n
c : R
hcxq : c * x = q
k : ℕ
hrk : r ^ k ∈ m ⊔ span {y}
f : R
hfm : f ∈ m
g : R
hg : g ∈ span {y}
hfgrk : f + g = r ^ k
d : R
hdyg : d * y = g
\u22a2 p * (f + d * y) + (c * x * f + c * d * (x * y)) ∈ m
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
g g₁ g₂ : Perm α
s t : Set α
h : LeftInvOn (⇑g₁) (⇑g₂) s
a : α
ha : a ∈ s
\u22a2 (g₁.extendDomain f) ((g₂.extendDomain f) ((Subtype.val ∘ ⇑f) a)) = (Subtype.val ∘ ⇑f) a
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
\u22a2 IsIntegralClosure (CyclotomicRing (p ^ k) ℤ ℚ) ℤ (CyclotomicField (p ^ k) ℚ)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta (p ^ k) ℚ (CyclotomicField (p ^ k) ℚ)) ↑(p ^ k)
\u22a2 IsIntegralClosure (CyclotomicRing (p ^ k) ℤ ℚ) ℤ (CyclotomicField (p ^ k) ℚ)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta (p ^ k) ℚ (CyclotomicField (p ^ k) ℚ)) ↑(p ^ k)
x : CyclotomicField (p ^ k) ℚ
h : IsIntegral ℤ x
\u22a2 x ∈ adjoin ℤ {b | b ^ ↑(p ^ k) = 1}
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta (p ^ k) ℚ (CyclotomicField (p ^ k) ℚ)) ↑(p ^ k)
x : CyclotomicField (p ^ k) ℚ
\u22a2 (∃ y, (algebraMap (CyclotomicRing (p ^ k) ℤ ℚ) (CyclotomicField (p ^ k) ℚ)) y = x) → IsIntegral ℤ x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E
\u22a2 0 < ‖a / b‖ ↔ a ≠ b
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E
\u22a2 ‖a / b‖ ≠ 0 ↔ a ≠ b
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
L' L₁' L₂' : LieSubalgebra R L
h : L₁'.toSubmodule = L₂'.toSubmodule
\u22a2 L₁' = L₂'
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
L' L₁' L₂' : LieSubalgebra R L
h : ↑L₁'.toSubmodule = ↑L₂'.toSubmodule
\u22a2 L₁' = L₂'
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
L' L₁' L₂' : LieSubalgebra R L
h : ↑L₁'.toSubmodule = ↑L₂'.toSubmodule
\u22a2 ↑L₁' = ↑L₂'
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t u : Seq α
\u22a2 (s.append t).append u = s.append (t.append u)
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t u : Seq α
\u22a2 IsBisimulation fun s1 s2 => ∃ s t u, s1 = (s.append t).append u ∧ s2 = s.append (t.append u)
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t u : Seq α
\u22a2 ∃ s_1 t_1 u_1, (s.append t).append u = (s_1.append t_1).append u_1 ∧ s.append (t.append u) = s_1.append (t_1.append u_1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
x : M₃
\u22a2 x ∈ range (f.coprod g) ↔ x ∈ range f ⊔ range g
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
h : S.HomologyData
inst✝ : S.HasHomology
\u22a2 h.right.homologyIso = h.left.homologyIso ≪≫ h.iso
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
h : S.HomologyData
inst✝ : S.HasHomology
\u22a2 h.iso = h.left.homologyIso.symm ≪≫ h.right.homologyIso
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
h : S.HomologyData
inst✝ : S.HasHomology
\u22a2 h.iso.hom = h.left.homologyIso.inv ≫ h.right.homologyIso.hom
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x✝ y x : ℝ
hx : 0 < x
\u22a2 sinh (log x) = (x - x⁻¹) / 2
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shatter.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
h : 𝒜 ⊆ ℬ
x✝ : Finset α
\u22a2 x✝ ∈ 𝒜.shatterer → x✝ ∈ ℬ.shatterer
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a : R
\u22a2 (monomial n) (-a) = -(monomial n) a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
b c : ℝ
n : ℕ
hb : 0 ≠ b
\u22a2 Tendsto (fun x => x ^ n / (b * rexp x + c)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
b c : ℝ
n : ℕ
hb : 0 ≠ b
H : ∀ (d e : ℝ), 0 < d → Tendsto (fun x => x ^ n / (d * rexp x + e)) atTop (𝓝 0)
\u22a2 Tendsto (fun x => x ^ n / (b * rexp x + c)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
b c : ℝ
n : ℕ
hb : 0 ≠ b
H : ∀ (d e : ℝ), 0 < d → Tendsto (fun x => x ^ n / (d * rexp x + e)) atTop (𝓝 0)
h : 0 < b
\u22a2 Tendsto (fun x => x ^ n / (b * rexp x + c)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
b c : ℝ
n : ℕ
hb : 0 ≠ b
H : ∀ (d e : ℝ), 0 < d → Tendsto (fun x => x ^ n / (d * rexp x + e)) atTop (𝓝 0)
h : 0 > b
\u22a2 Tendsto (fun x => x ^ n / (b * rexp x + c)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Data/PNat/Interval.lean
a b : ℕ+
\u22a2 Fintype.card ↑(Set.Ico a b) = ↑b - ↑a
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
\u22a2 a ≤ b⁻¹ ↔ b ≤ a⁻¹
-- Mathlib/CategoryTheory/Simple.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
X Y : C
inst✝ : Simple Y
f : X ⟶ Y
w : f ≠ 0
\u22a2 cokernel.π f = 0
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t
\u22a2 HasSum (fun n => rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)) (evenKernel (↑a) t)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t
\u22a2 HasSum (fun x => ↑(rexp (-π * (↑x + a) ^ 2 * t))) (cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑t) * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑t) (I * ↑t))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : ∀ (n : ℤ), ↑(rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)) = cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑t) * jacobiTheta₂_term n (↑a * I * ↑t) (I * ↑t)
\u22a2 HasSum (fun x => ↑(rexp (-π * (↑x + a) ^ 2 * t))) (cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑t) * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑t) (I * ↑t))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : ∀ (n : ℤ), ↑(rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)) = cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑t) * jacobiTheta₂_term n (↑a * I * ↑t) (I * ↑t)
\u22a2 HasSum (fun x => cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑t) * jacobiTheta₂_term x (↑a * I * ↑t) (I * ↑t)) (cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑t) * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑t) (I * ↑t))
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ 0
hr_ne_top : r ≠ ⊤
\u22a2 ν.rnDeriv (r • μ) =ᶠ[ae μ] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ 0
hr_ne_top : r ≠ ⊤
h : ν.rnDeriv (r.toNNReal • μ) =ᶠ[ae μ] r.toNNReal⁻¹ • ν.rnDeriv μ
\u22a2 ν.rnDeriv (r • μ) =ᶠ[ae μ] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝ b✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
\u22a2 1 < mabs a ↔ a ≠ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝ b✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
ha : a < 1
\u22a2 1 < mabs a ↔ a ≠ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
a b✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
b c : α
\u22a2 1 < mabs 1 ↔ 1 ≠ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝ b✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
ha : 1 < a
\u22a2 1 < mabs a ↔ a ≠ 1
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁵ : UniformSpace α✝
inst✝⁴ : UniformSpace β
inst✝³ : UniformSpace γ
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : DiscreteTopology α
inst✝ : T0Space β
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s
\u22a2 ClosedEmbedding f
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : UniformSpace α✝
inst✝³ : UniformSpace β
inst✝² : UniformSpace γ
α : Type u_1
inst✝¹ : T0Space β
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s
inst✝ : DiscreteTopology α
\u22a2 ClosedEmbedding f
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : UniformSpace α✝
inst✝³ : UniformSpace β
inst✝² : UniformSpace γ
α : Type u_1
inst✝¹ : T0Space β
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s
inst✝ : DiscreteTopology α
x✝ : UniformSpace α := ⊥
\u22a2 ClosedEmbedding f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
\u22a2 ∃ B ε, 0 < ε ∧ ball x ε ⊆ ball z R ∧ ∀ (t : ℝ), ∀ y ∈ ball x ε, ‖circleTransformDeriv R z y f t‖ ≤ B