ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : ∃ᶠ (x : α) in l, ‖f' x‖ ≠ 0
ho : f' =o[l] f'
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : ∃ᶠ (x : α) in l, ‖f' x‖ ≠ 0
ho : f' =o[l] f'
x : α
hle : ‖f' x‖ ≤ 1 / 2 * ‖f' x‖
hne : ‖f' x‖ ≠ 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : ∃ᶠ (x : α) in l, ‖f' x‖ ≠ 0
ho : f' =o[l] f'
x : α
hle : ‖f' x‖ ≤ ‖f' x‖ / 2
hne : ‖f' x‖ ≠ 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Group/Action/Defs.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G✝ : Type u_3
H : Type u_4
A✝ : Type u_5
B✝ : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁶ : Monoid M
inst✝⁵ : MulAction M α
A : Type u_11
B : Type u_12
G : Type u_13
inst✝⁴ : CommMonoid G
inst✝³ : SMul A G
inst✝² : SMul B G
inst✝¹ : IsScalarTower A G G
inst✝ : IsScalarTower B G G
r : A
s : B
x : G
\u22a2 r • s • x = s • r • x
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
s : Submonoid α
a : α
ha : op a • ↑s = ↑s
\u22a2 a ∈ s
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
s : Submonoid α
a : α
ha : op a • ↑s = ↑s
\u22a2 a ∈ op a • ↑s
-- Mathlib/Order/Filter/Archimedean.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
hr : r < 0
hf : Tendsto f l atTop
\u22a2 Tendsto (fun x => f x • r) l atBot
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, (|p| * x ^ (p - 1)) • g (x ^ p) = ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, g y
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t => t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, (|p| * x ^ (p - 1)) • g (x ^ p) = ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, g y
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t => t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S
a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, (|p| * x ^ (p - 1)) • g (x ^ p) = ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, g y
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t => t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S
a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S
this : ∫ (x : ℝ) in (fun t => t ^ p) '' Ioi 0, g x = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, |p * x ^ (p - 1)| • g (x ^ p)
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, (|p| * x ^ (p - 1)) • g (x ^ p) = ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, g y
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t => t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S
a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S
this : ∫ (x : ℝ) in S, g x = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, |p * x ^ (p - 1)| • g (x ^ p)
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, (|p| * x ^ (p - 1)) • g (x ^ p) = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, |p * x ^ (p - 1)| • g (x ^ p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t => t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S
a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S
this : ∫ (x : ℝ) in S, g x = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, |p * x ^ (p - 1)| • g (x ^ p)
\u22a2 EqOn (fun x => (|p| * x ^ (p - 1)) • g (x ^ p)) (fun x => |p * x ^ (p - 1)| • g (x ^ p)) (Ioi 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t => t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S
a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S
this : ∫ (x : ℝ) in S, g x = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, |p * x ^ (p - 1)| • g (x ^ p)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
\u22a2 (|p| * x ^ (p - 1)) • g (x ^ p) = |p * x ^ (p - 1)| • g (x ^ p)
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f g : R[X]
hf : f.Separable
hg : g.Separable
h : IsCoprime f g
\u22a2 (f * g).Separable
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f g : R[X]
hf : f.Separable
hg : g.Separable
h : IsCoprime f g
\u22a2 IsCoprime (f * g) (derivative f * g + f * derivative g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : Group H
inst✝⁷ : MulAction G α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MulAction H β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
h : IsFundamentalDomain G s μ
g g' : G
\u22a2 (fun g' => g * g' * g⁻¹) ((fun g' => g⁻¹ * g' * g) g') = g'
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : Group H
inst✝⁷ : MulAction G α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MulAction H β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
h : IsFundamentalDomain G s μ
g g' : G
\u22a2 (fun g' => g⁻¹ * g' * g) ((fun g' => g * g' * g⁻¹) g') = g'
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : Group H
inst✝⁷ : MulAction G α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MulAction H β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
h : IsFundamentalDomain G s μ
g g' : G
x : α
\u22a2 (MulAction.toPerm g) ((fun x => { toFun := fun g' => g⁻¹ * g' * g, invFun := fun g' => g * g' * g⁻¹, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } g' • x) x) = (fun x => g' • x) ((MulAction.toPerm g) x)
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
f : ι → UpperSet α
\u22a2 a ∈ ⨆ i, f i ↔ ∀ (i : ι), a ∈ f i
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
f : ι → UpperSet α
\u22a2 a ∈ ⋂ i, ↑(f i) ↔ ∀ (i : ι), a ∈ f i
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
P Q : ChainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
\u22a2 P.d 0 ((ComplexShape.down ℕ).next 0) ≫ f ((ComplexShape.down ℕ).next 0) 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
P Q : ChainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
\u22a2 ¬(ComplexShape.down ℕ).Rel 0 ((ComplexShape.down ℕ).next 0)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
P Q : ChainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
\u22a2 ¬(ComplexShape.down ℕ).Rel 0 0
-- Mathlib/Data/Nat/BitIndices.lean
a n✝ n : ℕ
\u22a2 (2 * n + 1).bitIndices = 0 :: map (fun x => x + 1) n.bitIndices
-- Mathlib/Probability/Independence/Basic.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
m₁ m₂ _mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
s✝ t : Set Ω
S T : Set (Set Ω)
s : ι → Set Ω
\u22a2 iIndepSets (fun i => {s i}) μ ↔ ∀ (t : Finset ι), μ (⋂ i ∈ t, s i) = ∏ i ∈ t, μ (s i)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
\u22a2 o.oangle x x = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
\u22a2 ↑(↑(‖x‖ ^ 2)).arg = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
e_1✝ : Real.Angle = (ℝ ⧸ AddSubgroup.zmultiples (2 * π))
\u22a2 (↑(‖x‖ ^ 2)).arg = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
e_1✝ : Real.Angle = (ℝ ⧸ AddSubgroup.zmultiples (2 * π))
\u22a2 0 ≤ ‖x‖ ^ 2
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/FactorThru.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y Z : C
P : Subobject Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P.Factors g
\u22a2 P.Factors (f ≫ g)
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/FactorThru.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
P : MonoOver Z
h : Factors (Quotient.mk'' P) g
\u22a2 Factors (Quotient.mk'' P) (f ≫ g)
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n : ℕ
\u22a2 l.rotate n ~ l
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n : ℕ
\u22a2 l.rotate' n ~ l
-- Mathlib/Algebra/Category/GrpWithZero.lean
α β : GrpWithZero
e : ↑α ≃* ↑β
x✝ : (forget GrpWithZero).obj α
\u22a2 (↑e ≫ ↑e.symm) x✝ = (𝟙 α) x✝
-- Mathlib/Algebra/Category/GrpWithZero.lean
α β : GrpWithZero
e : ↑α ≃* ↑β
x✝ : (forget GrpWithZero).obj β
\u22a2 (↑e.symm ≫ ↑e) x✝ = (𝟙 β) x✝
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Mirror.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
p q : R[X]
inst✝ : NoZeroDivisors R
hp : ¬p = 0
\u22a2 (p * p.mirror).natDegree = 2 * p.natDegree
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
\u22a2 ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 0 f s x‖ = ‖f x‖
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f✝ f : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
N : Submodule R M
hfn : (map f N).FG
t : Finset P
ht : span R ↑t = map f N
\u22a2 map f (span R ↑(t.preimage ⇑f ⋯)) = map f N
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f✝ f : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
N : Submodule R M
hfn : (map f N).FG
t : Finset P
ht : span R ↑t = map f N
\u22a2 ↑t ⊆ range ⇑f
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f✝ f : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
N : Submodule R M
hfn : (map f N).FG
t : Finset P
ht : span R ↑t = map f N
\u22a2 map f N ≤ map f ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
\u22a2 ↑(padicNormE ↑q) = ↑(padicNorm p q)
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
\u22a2 Submodule.span ℤ (eval {fun x => false} '' {nil}) = ⊤
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
\u22a2 ⊤ ≤ Submodule.span ℤ {eval {fun x => false} nil}
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
f : LocallyConstant ↑{fun x => false} ℤ
a✝ : f ∈ ⊤
\u22a2 f ∈ Submodule.span ℤ {eval {fun x => false} nil}
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
f : LocallyConstant ↑{fun x => false} ℤ
a✝ : f ∈ ⊤
\u22a2 ∃ a, a • eval {fun x => false} nil = f
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
f : LocallyConstant ↑{fun x => false} ℤ
a✝ : f ∈ ⊤
\u22a2 f default • eval {fun x => false} nil = f
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
f : LocallyConstant ↑{fun x => false} ℤ
a✝ : f ∈ ⊤
\u22a2 ↑(f default) = f
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
f : LocallyConstant ↑{fun x => false} ℤ
a✝ : f ∈ ⊤
x : ↑{fun x => false}
\u22a2 ↑(f default) x = f x
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
f : LocallyConstant ↑{fun x => false} ℤ
a✝ : f ∈ ⊤
\u22a2 ↑(f default) default = f default
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/PolarCoord.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℂ → E
\u22a2 ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (↑Complex.polarCoord.symm p) = ∫ (p : ℂ), f p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/PolarCoord.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℂ → E
\u22a2 ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (↑Complex.polarCoord.symm p) = ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (measurableEquivRealProd.symm (↑polarCoord.symm p))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
θ : ℝ
\u22a2 (cos ↑θ + sin ↑θ * I).arg = toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Inverse.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
h : HasDerivAt f f' x
hf' : f' ≠ 0
z : 𝕜
\u22a2 ‖z‖ ≤ ‖f'‖⁻¹ * ‖(ContinuousLinearMap.smulRight 1 f') z‖
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Ring R
p✝ p q : R[X]
hq : q.leadingCoeff = -1
hpq : p.degree < q.degree
\u22a2 (p - q).Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Ring R
p✝ p q : R[X]
hq : q.leadingCoeff = -1
hpq : p.degree < q.degree
this : (-q).coeff (-q).natDegree = 1
\u22a2 (p - q).Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Ring R
p✝ p q : R[X]
hq : q.leadingCoeff = -1
hpq : p.degree < q.degree
this : (-q).coeff (-q).natDegree = 1
\u22a2 (p + -q).Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Ring R
p✝ p q : R[X]
hq : q.leadingCoeff = -1
hpq : p.degree < q.degree
this : (-q).coeff (-q).natDegree = 1
\u22a2 p.degree < (-q).degree
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α
q : ℚ
\u22a2 Measurable fun t => f (a, t) q
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α
q : ℚ
h : Measurable f := hf.measurable
\u22a2 Measurable fun t => f (a, t) q
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α
q : ℚ
h : ∀ (a : ℚ), Measurable fun x => f x a
\u22a2 Measurable fun t => f (a, t) q
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
j : Subtype p
k : Subtype pᶜ
\u22a2 biproduct.ι (Subtype.restrict pᶜ f) k ≫ (biproduct.fromSubtype f pᶜ ≫ biproduct.toSubtype f p) ≫ biproduct.π (Subtype.restrict p f) j = biproduct.ι (Subtype.restrict pᶜ f) k ≫ 0 ≫ biproduct.π (Subtype.restrict p f) j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
j : Subtype p
k : Subtype pᶜ
\u22a2 (if h : p ↑k then biproduct.ι (Subtype.restrict p f) ⟨↑k, h⟩ else 0) ≫ biproduct.π (Subtype.restrict p f) j = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
j : Subtype p
k : Subtype pᶜ
\u22a2 0 ≫ biproduct.π (Subtype.restrict p f) j = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
W' : C
g' : W' ⟶ ⨁ f
w : g' ≫ biproduct.toSubtype f p = 0
j : K
\u22a2 ((fun {W} g x => g ≫ biproduct.toSubtype f pᶜ) g' w ≫ biproduct.fromSubtype f pᶜ) ≫ biproduct.π f j = g' ≫ biproduct.π f j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
W' : C
g' : W' ⟶ ⨁ f
w : g' ≫ biproduct.toSubtype f p = 0
j : K
\u22a2 (g' ≫ biproduct.π f j ≫ if (p j)ᶜ then 𝟙 (f j) else 0) = g' ≫ biproduct.π f j
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a : α
ha : a ≠ 0
b c : α
h : a < 0
\u22a2 (fun x => x * a) ⁻¹' [[b, c]] = [[b / a, c / a]]
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a : α
ha✝ : a ≠ 0
b c : α
ha : 0 < a
\u22a2 (fun x => x * a) ⁻¹' [[b, c]] = [[b / a, c / a]]
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 1
\u22a2 g = T ^ ↑g 0 0 * S * T ^ ↑g 1 1
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 1
hg : 1 = (↑g).det
\u22a2 g = T ^ ↑g 0 0 * S * T ^ ↑g 1 1
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 1
hg : ↑g 0 1 = ↑g 0 0 * ↑g 1 1 - 1
\u22a2 g = T ^ ↑g 0 0 * S * T ^ ↑g 1 1
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 1
hg : ↑g 0 1 = ↑g 0 0 * ↑g 1 1 - 1
\u22a2 ↑g = ↑(T ^ ↑g 0 0 * S * T ^ ↑g 1 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 1
hg : ↑g 0 1 = ↑g 0 0 * ↑g 1 1 - 1
\u22a2 !![↑g 0 0, ↑g 0 1; ↑g 1 0, ↑g 1 1] = ↑(T ^ ↑g 0 0 * S * T ^ ↑g 1 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 1
hg : ↑g 0 1 = ↑g 0 0 * ↑g 1 1 - 1
\u22a2 !![↑g 0 0, ↑g 0 0 * ↑g 1 1 - 1; 1, ↑g 1 1] = ↑(T ^ ↑g 0 0 * S * T ^ ↑g 1 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 1
hg : ↑g 0 1 = ↑g 0 0 * ↑g 1 1 - 1
\u22a2 !![↑g 0 0, ↑g 0 0 * ↑g 1 1 - 1; 1, ↑g 1 1] = !![(1 * 0 + ↑g 0 0 * 1) * 1 + (1 * -1 + ↑g 0 0 * 0) * 0, (1 * 0 + ↑g 0 0 * 1) * ↑g 1 1 + (1 * -1 + ↑g 0 0 * 0) * 1; (0 * 0 + 1 * 1) * 1 + (0 * -1 + 1 * 0) * 0, (0 * 0 + 1 * 1) * ↑g 1 1 + (0 * -1 + 1 * 0) * 1]
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs_nonempty : s.Nonempty
hs_ne_univ : s ≠ univ
x y : β
\u22a2 (piecewise s hs (const α x) (const α y)).range = {x, y}
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝³ : Group α
inst✝² : LT α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
\u22a2 a⁻¹ < b⁻¹ ↔ b < a
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝³ : Group α
inst✝² : LT α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
\u22a2 a * a⁻¹ * b < a * b⁻¹ * b ↔ b < a
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
\u22a2 Submonoid.closure (Set.range cs.simple) = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
this : Set.range cs.simple = Set.range cs.simple ∪ (Set.range cs.simple)⁻¹
\u22a2 Submonoid.closure (Set.range cs.simple) = ⊤