ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Indep B
hBmax : ∀ e ∈ M.E \ B, ¬M.Indep (insert e B)
hnb : ¬M.Base B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e✝ f : α
hB : M.Indep B
hBmax : ∀ e ∈ M.E \ B, ¬M.Indep (insert e B)
hnb : ¬M.Base B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
e : α
he : e ∈ B' \ B
h : M.Indep (insert e B)
\u22a2 False
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
I : Set ι
hI : I.Finite
s : (i : ι) → Set (π i)
a : (i : ι) → π i
\u22a2 a ∈ interior (I.pi s) ↔ a ∈ I.pi fun i => interior (s i)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Algebra.lean
α : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace α
R : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
A₂ : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace A₂
inst✝⁵ : Semiring A₂
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : TopologicalSemiring A₂
𝕜 : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
s✝ : Set C(α, 𝕜)
f✝ : ↑s✝
x✝ : α
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : TopologicalRing 𝕜
s : Subalgebra 𝕜 C(α, 𝕜)
h : s.SeparatesPoints
v : α → 𝕜
x y : α
n : ¬x = y
f : C(α, 𝕜)
hf : f ∈ ↑s
hxy : (fun f => ⇑f) f x ≠ (fun f => ⇑f) f y
\u22a2 ∃ f ∈ ↑s, f x = v x ∧ f y = v y
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Algebra.lean
α : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace α
R : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
A₂ : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace A₂
inst✝⁵ : Semiring A₂
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : TopologicalSemiring A₂
𝕜 : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
s✝ : Set C(α, 𝕜)
f✝ : ↑s✝
x✝ : α
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : TopologicalRing 𝕜
s : Subalgebra 𝕜 C(α, 𝕜)
h : s.SeparatesPoints
v : α → 𝕜
x y : α
n : ¬x = y
f : C(α, 𝕜)
hf : f ∈ ↑s
hxy : f x - f y ≠ 0
\u22a2 ∃ f ∈ ↑s, f x = v x ∧ f y = v y
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Algebra.lean
α : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace α
R : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
A₂ : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace A₂
inst✝⁵ : Semiring A₂
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : TopologicalSemiring A₂
𝕜 : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
s✝ : Set C(α, 𝕜)
f✝ : ↑s✝
x✝ : α
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : TopologicalRing 𝕜
s : Subalgebra 𝕜 C(α, 𝕜)
h : s.SeparatesPoints
v : α → 𝕜
x y : α
n : ¬x = y
f : C(α, 𝕜)
hf : f ∈ ↑s
hxy : f x - f y ≠ 0
a : 𝕜 := v x
b : 𝕜 := v y
f' : ↥s := ((b - a) * (f x - f y)⁻¹) • ((algebraMap 𝕜 ↥s) (f x) - ⟨f, hf⟩) + (algebraMap 𝕜 ↥s) a
\u22a2 ∃ f ∈ ↑s, f x = v x ∧ f y = v y
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Algebra.lean
α : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace α
R : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
A₂ : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace A₂
inst✝⁵ : Semiring A₂
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : TopologicalSemiring A₂
𝕜 : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
s✝ : Set C(α, 𝕜)
f✝ : ↑s✝
x✝ : α
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : TopologicalRing 𝕜
s : Subalgebra 𝕜 C(α, 𝕜)
h : s.SeparatesPoints
v : α → 𝕜
x y : α
n : ¬x = y
f : C(α, 𝕜)
hf : f ∈ ↑s
hxy : f x - f y ≠ 0
a : 𝕜 := v x
b : 𝕜 := v y
f' : ↥s := ((b - a) * (f x - f y)⁻¹) • ((algebraMap 𝕜 ↥s) (f x) - ⟨f, hf⟩) + (algebraMap 𝕜 ↥s) a
\u22a2 ↑f' x = v x
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Algebra.lean
α : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace α
R : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
A₂ : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace A₂
inst✝⁵ : Semiring A₂
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : TopologicalSemiring A₂
𝕜 : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
s✝ : Set C(α, 𝕜)
f✝ : ↑s✝
x✝ : α
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : TopologicalRing 𝕜
s : Subalgebra 𝕜 C(α, 𝕜)
h : s.SeparatesPoints
v : α → 𝕜
x y : α
n : ¬x = y
f : C(α, 𝕜)
hf : f ∈ ↑s
hxy : f x - f y ≠ 0
a : 𝕜 := v x
b : 𝕜 := v y
f' : ↥s := ((b - a) * (f x - f y)⁻¹) • ((algebraMap 𝕜 ↥s) (f x) - ⟨f, hf⟩) + (algebraMap 𝕜 ↥s) a
\u22a2 ↑f' y = v y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
\u22a2 Function.Injective toFun
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
w : 1 < p
p' : ℕ := p - 2
\u22a2 LucasLehmerTest p → Nat.Prime (mersenne p)
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
w : 1 < p
p' : ℕ := p - 2
z : p = p' + 2
\u22a2 LucasLehmerTest p → Nat.Prime (mersenne p)
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
w✝ : 1 < p
p' : ℕ := p - 2
z : p = p' + 2
w : 1 < p' + 2
\u22a2 LucasLehmerTest p → Nat.Prime (mersenne p)
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
w✝ : 1 < p
p' : ℕ := p - 2
z : p = p' + 2
w : 1 < p' + 2
\u22a2 ¬Nat.Prime (mersenne p) → ¬LucasLehmerTest p
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
w✝ : 1 < p
p' : ℕ := p - 2
z : p = p' + 2
w : 1 < p' + 2
a : ¬Nat.Prime (mersenne (p' + 2))
t : LucasLehmerTest (p' + 2)
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
w✝ : 1 < p
p' : ℕ := p - 2
z : p = p' + 2
w : 1 < p' + 2
a : ¬Nat.Prime (mersenne (p' + 2))
t : LucasLehmerTest (p' + 2)
h₁ : 2 ^ (p' + 2) < ↑(q (p' + 2)) ^ 2
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
w✝ : 1 < p
p' : ℕ := p - 2
z : p = p' + 2
w : 1 < p' + 2
a : ¬Nat.Prime (mersenne (p' + 2))
t : LucasLehmerTest (p' + 2)
h₁ : 2 ^ (p' + 2) < ↑(q (p' + 2)) ^ 2
h₂ : (mersenne (p' + 2)).minFac ^ 2 ≤ mersenne (p' + 2)
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
w✝ : 1 < p
p' : ℕ := p - 2
z : p = p' + 2
w : 1 < p' + 2
a : ¬Nat.Prime (mersenne (p' + 2))
t : LucasLehmerTest (p' + 2)
h₁ : 2 ^ (p' + 2) < ↑(q (p' + 2)) ^ 2
h₂ : (mersenne (p' + 2)).minFac ^ 2 ≤ mersenne (p' + 2)
h : 2 ^ (p' + 2) < mersenne (p' + 2)
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s t : Set A
hst : s ⊆ t
hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val
u : Set A
huai : AlgebraicIndependent R Subtype.val
left✝ : s ⊆ u
hut : u ⊆ t
hsu : s ⊆ u
hx : ∀ a ∈ {u | AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ s ⊆ u ∧ u ⊆ t}, u ⊆ a → a = u
\u22a2 ∃ u, AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ s ⊆ u ∧ u ⊆ t ∧ ∀ (x : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → u ⊆ x → x ⊆ t → x = u
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s t : Set A
hst : s ⊆ t
hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val
u : Set A
huai : AlgebraicIndependent R Subtype.val
left✝ : s ⊆ u
hut : u ⊆ t
hsu : s ⊆ u
hx : ∀ a ∈ {u | AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ s ⊆ u ∧ u ⊆ t}, u ⊆ a → a = u
\u22a2 ∀ (x : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → u ⊆ x → x ⊆ t → x = u
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x✝ : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s t : Set A
hst : s ⊆ t
hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val
u : Set A
huai : AlgebraicIndependent R Subtype.val
left✝ : s ⊆ u
hut : u ⊆ t
hsu : s ⊆ u
hx : ∀ a ∈ {u | AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ s ⊆ u ∧ u ⊆ t}, u ⊆ a → a = u
x : Set A
hxai : AlgebraicIndependent R Subtype.val
huv : u ⊆ x
hxt : x ⊆ t
\u22a2 x = u
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Basic.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : IsFiltered C
O : Finset C
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
J : Type w
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : FinCategory J
F : J ⥤ C
\u22a2 Nonempty (Cocone F)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/StrictInitial.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : C
h : ∀ (A : C) (f : I ⟶ A), IsIso f
I' A : C
f : I' ⟶ A
hI' : IsTerminal I'
this : IsIso (hI'.from I ≫ f)
\u22a2 (inv (hI'.from I ≫ f) ≫ hI'.from I) ≫ f = 𝟙 A
-- Mathlib/Analysis/ConstantSpeed.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : ℝ → E
s✝ : Set ℝ
l : ℝ≥0
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a : α
as : a ∈ s
\u22a2 HasConstantSpeedOnWith (naturalParameterization f s a) (variationOnFromTo f s a '' s) 1
-- Mathlib/Analysis/ConstantSpeed.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : ℝ → E
s✝ : Set ℝ
l : ℝ≥0
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a : α
as : a ∈ s
\u22a2 ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ variationOnFromTo f s a '' s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ variationOnFromTo f s a '' s → x ≤ y → eVariationOn (naturalParameterization f s a) (variationOnFromTo f s a '' s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑1 * (y - x))
-- Mathlib/Analysis/ConstantSpeed.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : ℝ → E
s✝ : Set ℝ
l : ℝ≥0
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a : α
as : a ∈ s
b : α
bs : b ∈ s
c : α
cs : c ∈ s
h : variationOnFromTo f s a b ≤ variationOnFromTo f s a c
\u22a2 eVariationOn (naturalParameterization f s a) (variationOnFromTo f s a '' s ∩ Icc (variationOnFromTo f s a b) (variationOnFromTo f s a c)) = ENNReal.ofReal (↑1 * (variationOnFromTo f s a c - variationOnFromTo f s a b))
-- Mathlib/Analysis/ConstantSpeed.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : ℝ → E
s✝ : Set ℝ
l : ℝ≥0
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a : α
as : a ∈ s
b : α
bs : b ∈ s
c : α
cs : c ∈ s
h : variationOnFromTo f s a b ≤ variationOnFromTo f s a c
cb : c ≤ b
\u22a2 eVariationOn (naturalParameterization f s a) (variationOnFromTo f s a '' s ∩ Icc (variationOnFromTo f s a b) (variationOnFromTo f s a c)) = ENNReal.ofReal (↑1 * (variationOnFromTo f s a c - variationOnFromTo f s a b))
-- Mathlib/Analysis/ConstantSpeed.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : ℝ → E
s✝ : Set ℝ
l : ℝ≥0
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a : α
as : a ∈ s
b : α
bs : b ∈ s
c : α
cs : c ∈ s
h : variationOnFromTo f s a b ≤ variationOnFromTo f s a c
bc : b ≤ c
\u22a2 eVariationOn (naturalParameterization f s a) (variationOnFromTo f s a '' s ∩ Icc (variationOnFromTo f s a b) (variationOnFromTo f s a c)) = ENNReal.ofReal (↑1 * (variationOnFromTo f s a c - variationOnFromTo f s a b))
-- Mathlib/Algebra/Star/SelfAdjoint.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : StarAddMonoid R
x : R
\u22a2 IsSelfAdjoint (star x + x)
-- Mathlib/Data/Nat/PrimeFin.lean
a b k m n p : ℕ
\u22a2 p ∈ n.primeFactors ↔ p ∈ n.primeFactorsList
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R✝ : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : Semiring S
ι✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_3
inst✝ : Finite ι
I : ι → Ideal R
hf : Pairwise fun i j => IsCoprime (I i) (I j)
x : (i : ι) → R ⧸ I i
\u22a2 ∃ r, ∀ (i : ι), (Quotient.mk (I i)) r = x i
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R✝ : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : Semiring S
ι✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_3
inst✝ : Finite ι
I : ι → Ideal R
hf : Pairwise fun i j => IsCoprime (I i) (I j)
y : R ⧸ ⨅ i, I i
\u22a2 ∃ r, ∀ (i : ι), (Quotient.mk (I i)) r = (quotientInfToPiQuotient I) y i
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R✝ : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : Semiring S
ι✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_3
inst✝ : Finite ι
I : ι → Ideal R
hf : Pairwise fun i j => IsCoprime (I i) (I j)
r : R
\u22a2 ∃ r_1, ∀ (i : ι), (Quotient.mk (I i)) r_1 = (quotientInfToPiQuotient I) ((Quotient.mk (⨅ i, I i)) r) i
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ ν : YoungDiagram
h_le : μ.transpose ≤ ν
c : ℕ × ℕ
hc : c ∈ μ.cells
\u22a2 c ∈ ν.transpose.cells
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ ν : YoungDiagram
h_le : μ.transpose ≤ ν
c : ℕ × ℕ
hc : c ∈ μ.cells
\u22a2 c.swap ∈ ν
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α✝ : Type u_1
dflt : α✝
acc : Array α✝
n✝ : Nat
\u22a2 takeDTR.go dflt (n✝ + 1) [] acc = acc.data ++ takeD (n✝ + 1) [] dflt
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → β
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
\u22a2 Integrable (f - g) μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/ToTensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
x : Fin n → M
\u22a2 toDirectSum ((tprod R M n) x) = (DirectSum.of (fun i => ⨂[R]^i M) n) ((PiTensorProduct.tprod R) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/ToTensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
x : Fin n → M
\u22a2 (List.ofFn (⇑toDirectSum ∘ fun i => (ι R) (x i))).prod = (DirectSum.of (fun i => ⨂[R]^i M) n) ((PiTensorProduct.tprod R) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/ToTensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
x : Fin n → M
\u22a2 (List.ofFn fun x_1 => (DirectSum.of (fun n => ⨂[R]^n M) 1) ((PiTensorProduct.tprod R) fun x_2 => x x_1)).prod = (DirectSum.of (fun i => ⨂[R]^i M) n) ((PiTensorProduct.tprod R) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/ToTensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
x : Fin n → M
\u22a2 (DirectSum.of (fun n => ⨂[R]^n M) ((List.finRange n).dProdIndex fun x => 1)) ((List.finRange n).dProd (fun x => 1) fun x_1 => (PiTensorProduct.tprod R) fun x_2 => x x_1) = (DirectSum.of (fun i => ⨂[R]^i M) n) ((PiTensorProduct.tprod R) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/ToTensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
x : Fin n → M
\u22a2 GradedMonoid.mk ((List.finRange n).dProdIndex fun x => 1) ((List.finRange n).dProd (fun x => 1) fun x_1 => (PiTensorProduct.tprod R) fun x_2 => x x_1) = GradedMonoid.mk n ((PiTensorProduct.tprod R) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/ToTensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
x : Fin n → M
\u22a2 (List.map (fun a => GradedMonoid.mk 1 ((PiTensorProduct.tprod R) fun x_1 => x a)) (List.finRange n)).prod = GradedMonoid.mk n ((PiTensorProduct.tprod R) x)
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
p n k : ℕ
hp : Prime p
\u22a2 p ∣ (p ^ n).choose k ↔ k ≠ 0 ∧ k ≠ p ^ n
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R✝ M
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
\u22a2 span R ↑{1} = Subalgebra.toSubmodule ⊥
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
\u22a2 W.negMap ⟦P⟧ = ⟦![P x / P z ^ 2, W.toAffine.negY (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3), 1]⟧
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
hs : ∀ (i : ι), IsPreconnected (s i)
u v : Set ((i : ι) → π i)
uo : IsOpen u
vo : IsOpen v
hsuv : univ.pi s ⊆ u ∪ v
f : (i : ι) → π i
hfs : f ∈ univ.pi s
hfu : f ∈ u
g : (i : ι) → π i
hgs : g ∈ univ.pi s
hgv : g ∈ v
\u22a2 (univ.pi s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
hs : ∀ (i : ι), IsPreconnected (s i)
u v : Set ((i : ι) → π i)
uo : IsOpen u
vo : IsOpen v
hsuv : univ.pi s ⊆ u ∪ v
f : (i : ι) → π i
hfs : f ∈ univ.pi s
hfu : f ∈ u
g : (i : ι) → π i
hgs : g ∈ univ.pi s
hgv : g ∈ v
I : Finset ι
hI : I.piecewise f g ∈ u
\u22a2 (univ.pi s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
hs : ∀ (i : ι), IsPreconnected (s i)
u v : Set ((i : ι) → π i)
uo : IsOpen u
vo : IsOpen v
hsuv : univ.pi s ⊆ u ∪ v
f : (i : ι) → π i
hfs : f ∈ univ.pi s
hfu : f ∈ u
g : (i : ι) → π i
hgs : g ∈ univ.pi s
hgv : g ∈ v
hI : ∅.piecewise f g ∈ u
\u22a2 (univ.pi s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
hs : ∀ (i : ι), IsPreconnected (s i)
u v : Set ((i : ι) → π i)
uo : IsOpen u
vo : IsOpen v
hsuv : univ.pi s ⊆ u ∪ v
f : (i : ι) → π i
hfs : f ∈ univ.pi s
hfu : f ∈ u
g : (i : ι) → π i
hgs : g ∈ univ.pi s
hgv : g ∈ v
i : ι
I : Finset ι
a✝ : i ∉ I
ihI : I.piecewise f g ∈ u → (univ.pi s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
hI : (insert i I).piecewise f g ∈ u
\u22a2 (univ.pi s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
easy : ¬↑P G < ε
ε_top : ¬ε = ⊤
\u22a2 {Q | ↑P G < ↑Q G + ε} ∈ 𝓝 P
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
ε_top : ¬ε = ⊤
easy : ε ≤ ↑P G
\u22a2 {Q | ↑P G < ↑Q G + ε} ∈ 𝓝 P
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
ε_top : ¬ε = ⊤
easy : ε ≤ ↑P G
aux : ↑P G - ε < liminf (fun Q => ↑Q G) (𝓝 P)
\u22a2 {Q | ↑P G < ↑Q G + ε} ∈ 𝓝 P
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
ε_top : ¬ε = ⊤
easy : ε ≤ ↑P G
aux : ↑P G - ε < liminf (fun Q => ↑Q G) (𝓝 P)
Q : ProbabilityMeasure Ω
hQ : Q ∈ (fun Q => ↑Q G) ⁻¹' {x | ↑P G - ε < x}
\u22a2 ↑P G < ↑Q G + ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
ε_top : ¬ε = ⊤
easy : ε ≤ ↑P G
aux : ↑P G - ε < liminf (fun Q => ↑Q G) (𝓝 P)
Q : ProbabilityMeasure Ω
hQ : ↑P G - ε < ↑Q G
\u22a2 ↑P G < ↑Q G + ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
P : ProbabilityMeasure Ω
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
ε_top : ¬ε = ⊤
easy : ε ≤ ↑P G
aux : ↑P G - ε < liminf (fun Q => ↑Q G) (𝓝 P)
Q : ProbabilityMeasure Ω
hQ : ↑P G - ε < ↑Q G
\u22a2 ↑P G = ↑P G - ε + ε
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
x : α
xs : List α
y : α
inst✝ : BEq α
\u22a2 findIdx (fun x => x == y) (x :: xs) = bif x == y then 0 else findIdx (fun x => x == y) xs + 1
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
I : Set ι
hI : I.Nonempty
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α
\u22a2 (⨅ i ∈ I, m i) s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i ∈ I, (m i) (t n)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
I : Set ι
hI : I.Nonempty
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α
this : Nonempty ↑I
\u22a2 (⨅ i ∈ I, m i) s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i ∈ I, (m i) (t n)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Curry.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G
m : (i : Fin n) → Ei i.castSucc
x : Ei (last n)
\u22a2 ‖f‖ * ∏ i : Fin (n + 1), ‖snoc m x i‖ = (‖f‖ * ∏ i : Fin n, ‖m i‖) * ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Curry.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G
m : (i : Fin n) → Ei i.castSucc
x : Ei (last n)
\u22a2 ‖f‖ * ((∏ i : Fin n, ‖snoc m x i.castSucc‖) * ‖snoc m x (last n)‖) = (‖f‖ * ∏ i : Fin n, ‖m i‖) * ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
ι₁ : Type u_5
ι₂ : Type u_6
b₁ : Basis ι₁ 𝕜 E
b₂ : Basis ι₂ 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
\u22a2 A = adjoint B ↔ ∀ (i₁ : ι₁) (i₂ : ι₂), ⟪A (b₁ i₁), b₂ i₂⟫_𝕜 = ⟪b₁ i₁, B (b₂ i₂)⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
ι₁ : Type u_5
ι₂ : Type u_6
b₁ : Basis ι₁ 𝕜 E
b₂ : Basis ι₂ 𝕜 F
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : ∀ (i₁ : ι₁) (i₂ : ι₂), ⟪A (b₁ i₁), b₂ i₂⟫_𝕜 = ⟪b₁ i₁, B (b₂ i₂)⟫_𝕜
\u22a2 A = adjoint B