ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K✝ K : Set F
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
x : ℝ
hx : x ∈ D f K
n : ℕ → ℕ
L : ℕ → ℕ → ℕ → F
hn : ∀ (e p q : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → L e p q ∈ K ∧ x ∈ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
M : ∀ (e p q e' p' q' : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → n e' ≤ p' → n e' ≤ q' → e ≤ e' → ‖L e p q - L e' p' q'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
L0 : ℕ → F := fun e => L e (n e) (n e)
this✝ : CauchySeq L0
f' : F
f'K : derivWithin f (Ici x) x ∈ K
hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')
Lf' : ∀ (e p : ℕ), n e ≤ p → ‖L e (n e) p - f'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
this : HasDerivWithinAt f f' (Ici x) x
\u22a2 x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x : PGame
\u22a2 x ⧏ 0 ↔ ∃ j, x.moveRight j ≤ 0
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x : PGame
\u22a2 ((∃ i, x ≤ moveLeft 0 i) ∨ ∃ j, x.moveRight j ≤ 0) ↔ ∃ j, x.moveRight j ≤ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/Finite/Matrix.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type w
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : Ring S
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module.Free R M
inst✝⁷ : Module.Finite R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Module S N
inst✝³ : SMulCommClass R S N
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : StrongRankCondition S
inst✝ : Module.Free S N
\u22a2 finrank S (M →ₗ[R] N) = finrank R M * finrank S N
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q p₁ p₂ q₁ q₂ : R[X]
hp₁ : p₁ ≠ 0
hq₁ : q₁ ≠ 0
hp₂ : p₂ ≠ 0
hq₂ : q₂ ≠ 0
h_eq : p₁ * q₂ = p₂ * q₁
\u22a2 ↑p₁.natDegree - ↑q₁.natDegree = ↑p₂.natDegree - ↑q₂.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q p₁ p₂ q₁ q₂ : R[X]
hp₁ : p₁ ≠ 0
hq₁ : q₁ ≠ 0
hp₂ : p₂ ≠ 0
hq₂ : q₂ ≠ 0
h_eq : p₁ * q₂ = p₂ * q₁
\u22a2 ↑p₁.natDegree + ↑q₂.natDegree = ↑p₂.natDegree + ↑q₁.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q p₁ p₂ q₁ q₂ : R[X]
hp₁ : p₁ ≠ 0
hq₁ : q₁ ≠ 0
hp₂ : p₂ ≠ 0
hq₂ : q₂ ≠ 0
h_eq : p₁ * q₂ = p₂ * q₁
\u22a2 p₁.natDegree + q₂.natDegree = p₂.natDegree + q₁.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
ha : a ≠ 0
\u22a2 a * b ≤ a * c ↔ b ≤ c
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
ha : a ≠ 0
\u22a2 b * a ≤ c * a ↔ b ≤ c
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Defs.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
\u22a2 count p n.primeFactorsList = n.factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Defs.lean
a b m n p✝ p : ℕ
\u22a2 count p (primeFactorsList 0) = (factorization 0) p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Defs.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hn0 : n > 0
\u22a2 count p n.primeFactorsList = n.factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Defs.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hn0 : n > 0
pp : Prime p
\u22a2 count p n.primeFactorsList = n.factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Defs.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hn0 : n > 0
pp : Prime p
\u22a2 count p n.primeFactorsList = padicValNat p n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Defs.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hn0 : n > 0
pp : Prime p
\u22a2 count p n.primeFactorsList ≤ padicValNat p n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Defs.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hn0 : n > 0
pp : Prime p
\u22a2 padicValNat p n ≤ count p n.primeFactorsList
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : α → E
s✝ : Set α
f : α → ℝ
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a : α
as : a ∈ s
b : α
bs : b ∈ s
c : α
cs : c ∈ s
bc : b ≤ c
\u22a2 (variationOnFromTo f s a - f) b ≤ (variationOnFromTo f s a - f) c
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : α → E
s✝ : Set α
f : α → ℝ
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a : α
as : a ∈ s
b : α
bs : b ∈ s
c : α
cs : c ∈ s
bc : b ≤ c
\u22a2 f c - f b ≤ variationOnFromTo f s a c - variationOnFromTo f s a b
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f g : α → β
a : Multiset α
i : Multiset (Multiset α)
\u22a2 a.Disjoint i.sum ↔ ∀ b ∈ i, a.Disjoint b
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x y : ZFSet
x✝¹ x✝ : PSet
α : Type u
A : α → PSet
β : Type u
B : β → PSet
\u22a2 PSet.mk β B ∈ (PSet.mk α A).powerset ↔ ⟦PSet.mk β B⟧ ⊆ ⟦PSet.mk α A⟧
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
\u22a2 b - toIocMod hp a b = toIocDiv hp a b • p
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i✝ j✝ : n
\u22a2 toMatrix' id i✝ j✝ = 1 i✝ j✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/OpenPos.lean
X✝ : Type u_1
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace X✝
m✝ : MeasurableSpace X✝
μ✝ : Measure X✝
inst✝³ : μ✝.IsOpenPosMeasure
X : Type u_2
inst✝² : MetricSpace X
m : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : NoAtoms μ
x : X
r : ℝ
\u22a2 0 < μ (closedBall x r) ↔ 0 < r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/OpenPos.lean
X✝ : Type u_1
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace X✝
m✝ : MeasurableSpace X✝
μ✝ : Measure X✝
inst✝³ : μ✝.IsOpenPosMeasure
X : Type u_2
inst✝² : MetricSpace X
m : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : NoAtoms μ
x : X
r : ℝ
h : 0 < μ (closedBall x r)
\u22a2 0 < r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/OpenPos.lean
X✝ : Type u_1
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace X✝
m✝ : MeasurableSpace X✝
μ✝ : Measure X✝
inst✝³ : μ✝.IsOpenPosMeasure
X : Type u_2
inst✝² : MetricSpace X
m : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : NoAtoms μ
x : X
r : ℝ
h : r ≤ 0
\u22a2 μ (closedBall x r) ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Defs.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
x : A
r : R
y : A
\u22a2 x * (algebraMap R A) r * y = x * y * (algebraMap R A) r
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
\u22a2 (cyclotomic n R).degree = ↑n.totient
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
\u22a2 (map (Int.castRingHom R) (cyclotomic n ℤ)).degree = ↑n.totient
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
\u22a2 (cyclotomic n ℤ).degree = ↑n.totient
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
\u22a2 (Int.castRingHom R) (cyclotomic n ℤ).leadingCoeff ≠ 0
-- Mathlib/Data/Complex/Determinant.lean
\u22a2 LinearEquiv.det conjAe.toLinearEquiv = -1
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Submodule.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
y : R
m : ↥M
\u22a2 ↑(M.rTensorOne' (m ⊗ₜ[R] (algebraMap R ↥⊥) y)) = ↑(y • m)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Submodule.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
y : R
m : ↥M
\u22a2 (M.mulMap 1) (m ⊗ₜ[R] (algebraMap R ↥⊥) y) = y • ↑m
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Submodule.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
y : R
m : ↥M
\u22a2 (M.mulMap 1) (m ⊗ₜ[R] (algebraMap R ↥⊥) y) = ↑m * (algebraMap R S) y
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
h : ¬SameRay ℝ x y
\u22a2 |‖x‖ - ‖y‖| < ‖x - y‖
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
h : ¬SameRay ℝ x y
\u22a2 ‖y‖ - ‖x‖ < ‖x - y‖
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
h : ¬SameRay ℝ x y
\u22a2 ‖y‖ - ‖x‖ < ‖y - x‖
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
inst✝ : Fact (0 < T)
n : ℤ
\u22a2 ‖fourier n‖ = 1
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
inst✝ : Fact (0 < T)
n : ℤ
\u22a2 ⨆ x, ‖(fourier n) x‖ = 1
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
inst✝ : Fact (0 < T)
n : ℤ
this : ∀ (x : AddCircle T), ‖(fourier n) x‖ = 1
\u22a2 ⨆ x, ‖(fourier n) x‖ = 1
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
inst✝ : Fact (0 < T)
n : ℤ
this : ∀ (x : AddCircle T), ‖(fourier n) x‖ = 1
\u22a2 ⨆ x, 1 = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
x : ι → R
\u22a2 b.equivFun.symm x = ∑ i : ι, x i • b i
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LE α
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : IsSimpleOrder α
\u22a2 ⊥ ≠ ⊤
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LE α
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : IsSimpleOrder α
a b : α
h : a ≠ b
\u22a2 ⊥ ≠ ⊤
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
k n : ℕ
f : 𝓢(ℝ, F)
M : ℝ
hMp : 0 ≤ M
hM : ∀ (x : ℝ), |x| ^ k * ‖iteratedDeriv n (⇑f) x‖ ≤ M
\u22a2 (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k n) f ≤ M
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
k n : ℕ
f : 𝓢(ℝ, F)
M : ℝ
hMp : 0 ≤ M
hM : ∀ (x : ℝ), |x| ^ k * ‖iteratedDeriv n (⇑f) x‖ ≤ M
\u22a2 ∀ (x : ℝ), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ M
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
\u22a2 ‖iteratedFDeriv 𝕜 0 f x‖ = ‖f x‖
-- Mathlib/Data/Finset/Preimage.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
t : Finset β
hf : InjOn f (f ⁻¹' ↑t)
\u22a2 (∀ x ∈ s, f x ∈ t) ↔ s ⊆ t.preimage f hf
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Sized
hr : r.Sized
\u22a2 (l.rotateR x r).dual.Sized
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Sized
hr : r.Sized
\u22a2 (r.dual.rotateL x l.dual).Sized
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
z : ℤ
h : ¬↑p ∣ z
\u22a2 (if h : p ≠ 1 ∧ 0 < z.natAbs then (multiplicity p z.natAbs).get ⋯ else 0) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Karoubi.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.23384, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
P Q : Karoubi C
\u22a2 0 = P.p ≫ 0 ≫ Q.p
-- Mathlib/Computability/DFA.lean
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
α' : Type u_1
σ' : Type u_2
f : α' → α
s : σ
x : List α'
\u22a2 (comap f M).evalFrom s x = M.evalFrom s (List.map f x)
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
m : ι → MeasurableSpace Ω
hm : ∀ (i : ι), m i ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
\u22a2 iCondIndep m' hm' m μ ↔ ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, MeasurableSet (f i)) → μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
m : ι → MeasurableSpace Ω
hm : ∀ (i : ι), m i ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
\u22a2 (∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, f i ∈ {s | MeasurableSet s}) → μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']) ↔ ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, MeasurableSet (f i)) → μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
m : ι → MeasurableSpace Ω
hm : ∀ (i : ι), m i ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
\u22a2 ∀ (i : ι), ∀ s ∈ {s | MeasurableSet s}, MeasurableSet s
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
x✝ : p ∣ a
b : α
hb : a = p * b
hb0 : b ≠ 0
\u22a2 p * b ~ᵤ (p ::ₘ normalizedFactors b).prod
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
x✝ : p ∣ a
b : α
hb : a = p * b
hb0 : b ≠ 0
\u22a2 p * b ~ᵤ p * (normalizedFactors b).prod
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
hf : BddBelow (f '' Ioi x)
hf_mono : Monotone f
\u22a2 ⨅ r, f ↑r = ⨅ q, f ↑↑q
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
hf : BddBelow (f '' Ioi x)
hf_mono : Monotone f
\u22a2 ⨅ r, f ↑r ≤ ⨅ q, f ↑↑q
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
hf : BddBelow (f '' Ioi x)
hf_mono : Monotone f
\u22a2 ⨅ q, f ↑↑q ≤ ⨅ r, f ↑r
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x + d) = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in c * a + d..c * b + d, f x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
\u22a2 PseudoMetricSpace.toUniformSpace = ⊥ ↔ ∃ r, 0 < r ∧ Pairwise fun x x_1 => r ≤ dist x x_1
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
x : F
m : MeasurableSpace α
\u22a2 setToSimpleFunc T (const α x) = (T Set.univ) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
x : F
m : MeasurableSpace α
h✝ : IsEmpty α
\u22a2 setToSimpleFunc T (const α x) = (T Set.univ) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
x : F
m : MeasurableSpace α
h✝ : Nonempty α
\u22a2 setToSimpleFunc T (const α x) = (T Set.univ) x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
n : ℕ
p : G.Walk v w
h : G.Adj u v
hn : n ≠ 0
\u22a2 (cons h p).getVert n = p.getVert (n - 1)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
n : ℕ
p : G.Walk v w
h : G.Adj u v
hn : n ≠ 0
i : ℕ
hi : i.succ = n
\u22a2 (cons h p).getVert n = p.getVert (n - 1)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
n : ℕ
p : G.Walk v w
h : G.Adj u v
hn : n ≠ 0
i : ℕ
hi : i.succ = n
\u22a2 (cons h p).getVert i.succ = p.getVert (i.succ - 1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsFilteredOrEmpty D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)
\u22a2 F.Final
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsFilteredOrEmpty D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)
this : IsFilteredOrEmpty C
\u22a2 F.Final
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsFilteredOrEmpty D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)
this : IsFilteredOrEmpty C
d : D
c : C
s s' : d ⟶ F.obj c
\u22a2 ∃ c' t, s ≫ F.map t = s' ≫ F.map t
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsFilteredOrEmpty D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)
this : IsFilteredOrEmpty C
d : D
c : C
s s' : d ⟶ F.obj c
c₀ : C
f : IsFiltered.coeq s s' ⟶ F.obj c₀
\u22a2 s ≫ F.map (F.preimage (IsFiltered.coeqHom s s' ≫ f)) = s' ≫ F.map (F.preimage (IsFiltered.coeqHom s s' ≫ f))
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
C : Set (Set α)
t : Set β
\u22a2 ⋃₀ C ×ˢ t = ⋃₀ ((fun s => s ×ˢ t) '' C)
-- Mathlib/Order/RelIso/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
f : r ↪r s
g : t ↪r u
\u22a2 ∀ {a b : α ⊕ γ}, Sum.LiftRel s u ({ toFun := Sum.map ⇑f ⇑g, inj' := ⋯ } a) ({ toFun := Sum.map ⇑f ⇑g, inj' := ⋯ } b) ↔ Sum.LiftRel r t a b
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Constructions.lean
B : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
\u22a2 topologicalSpace B F = induced (⇑(TotalSpace.toProd B F)) instTopologicalSpaceProd
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Constructions.lean
B : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
\u22a2 topologicalSpace B F = induced (Prod.fst ∘ ⇑(TotalSpace.toProd B F)) inst✝¹ ⊓ induced (Prod.snd ∘ ⇑(TotalSpace.toProd B F)) inst✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
H : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
\u22a2 ∑' (i : ι), μ (s i) ≤ μ univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
H : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
\u22a2 ⨆ s_1, ∑ a ∈ s_1, μ (s a) ≤ μ univ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
x n : ℂ
hx : x.arg ≠ π
\u22a2 x ^ (starRingEnd ℂ) n = (starRingEnd ℂ) ((starRingEnd ℂ) x ^ n)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : G → E
f'✝ g'✝ : G →L[ℝ] E
s✝ : Set G
x✝ : G
n : ℕ∞
f g : ℝ → E
f' g' : E
s : Set ℝ
x : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hg : HasDerivWithinAt g g' s x
\u22a2 HasDerivWithinAt (fun t => ⟪f t, g t⟫_𝕜) (⟪f x, g'⟫_𝕜 + ⟪f', g x⟫_𝕜) s x
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
sm : MeasurableSet s
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
f : G → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : G → ℝ≥0∞ := fun y => f y⁻¹ / ν' ((fun x => x * y⁻¹) ⁻¹' s)
\u22a2 μ' s * lintegral ν' g = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ'
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
sm : MeasurableSet s
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
f : G → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : G → ℝ≥0∞ := fun y => f y⁻¹ / ν' ((fun x => x * y⁻¹) ⁻¹' s)
hg : Measurable g
\u22a2 μ' s * lintegral ν' g = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ'
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
sm : MeasurableSet s
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
f : G → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : G → ℝ≥0∞ := fun y => f y⁻¹ / ν' ((fun x => x * y⁻¹) ⁻¹' s)
hg : Measurable g
\u22a2 ∫⁻ (x : G), ν' ((fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' s) * (f x / ν' ((fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' s)) ∂μ' = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ'
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
sm : MeasurableSet s
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
f : G → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : G → ℝ≥0∞ := fun y => f y⁻¹ / ν' ((fun x => x * y⁻¹) ⁻¹' s)
hg : Measurable g
\u22a2 (fun x => ν' ((fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' s) * (f x / ν' ((fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' s))) =ᶠ[ae μ'] f