ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Module/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulZeroClass R M
s : Set α
r : α → R
f : α → M
a : α
h✝ : a ∉ s
\u22a2 0 = r a • 0
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
u : α
h : ∀ (a : (P F).A) (f : (P F).B a → α), abs ⟨a, f⟩ = x → u ∈ f '' univ
p : α → Prop
\u22a2 Liftp p x → p u
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
u : α
h : ∀ (a : (P F).A) (f : (P F).B a → α), abs ⟨a, f⟩ = x → u ∈ f '' univ
p : α → Prop
\u22a2 (∃ a f, x = abs ⟨a, f⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), p (f i)) → p u
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
u : α
h : ∀ (a : (P F).A) (f : (P F).B a → α), abs ⟨a, f⟩ = x → u ∈ f '' univ
p : α → Prop
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : x = abs ⟨a, f⟩
h' : ∀ (i : (P F).B a), p (f i)
\u22a2 p u
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
u : α
h : ∀ (a : (P F).A) (f : (P F).B a → α), abs ⟨a, f⟩ = x → u ∈ f '' univ
p : α → Prop
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : x = abs ⟨a, f⟩
h' : ∀ (i : (P F).B a), p (f i)
i : (P F).B a
left✝ : i ∈ univ
hi : f i = u
\u22a2 p u
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
G' : Type u_2
inst✝ : Group G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
n : ℕ
hn : upperCentralSeries G n = ⊤
\u22a2 Group.IsNilpotent G'
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
G' : Type u_2
inst✝ : Group G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
n : ℕ
hn : upperCentralSeries G n = ⊤
\u22a2 upperCentralSeries G' n = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
G' : Type u_2
inst✝ : Group G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
n : ℕ
hn : upperCentralSeries G n = ⊤
\u22a2 ⊤ ≤ upperCentralSeries G' n
-- Mathlib/Data/Bool/Count.lean
l : List Bool
hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l
b : Bool
\u22a2 l.length / 2 ≤ count b l
-- Mathlib/Data/Bool/Count.lean
l : List Bool
hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l
b : Bool
\u22a2 l.length - (2 - 1) ≤ 2 * count b l
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
R : Type u
inst✝ : Semiring R
M : Mat R
i j : ↑M
h : i ≠ j
\u22a2 𝟙 M i j = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
\u22a2 Y - W.negPolynomial = W.polynomialY
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/UnitizationL1.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
x : A
\u22a2 ‖(WithLp.equiv 1 (Unitization 𝕜 A)).symm ↑x‖₊ = ‖x‖₊
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/RankNullity.lean
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
s t : Submodule R M
\u22a2 Module.rank R ↥(s ⊔ t) ≤ Module.rank R ↥s + Module.rank R ↥t
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/RankNullity.lean
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
s t : Submodule R M
\u22a2 Module.rank R ↥(s ⊔ t) ≤ Module.rank R ↥(s ⊔ t) + Module.rank R ↥(s ⊓ t)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Vandermonde.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
p : Fin n → R[X]
h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree = ↑i
h_monic : ∀ (i : Fin n), (p i).Monic
\u22a2 (vandermonde v).det = (of fun i j => eval (v i) (p j)).det
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x : P
\u22a2 (intrinsicClosure 𝕜 s).Nonempty → s.Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x : P
\u22a2 intrinsicClosure 𝕜 s ≠ ∅ → s ≠ ∅
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
t : Set P
x : P
h : intrinsicClosure 𝕜 ∅ ≠ ∅
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f : ℝ → α
\u22a2 Tendsto (fun x => f (rexp x)) atTop l ↔ Tendsto f atTop l
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU : U ∈ p.basisSets
\u22a2 ∃ V ∈ p.basisSets, V + V ⊆ U
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
\u22a2 ∃ V ∈ p.basisSets, V + V ⊆ U
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
\u22a2 (s.sup p).ball 0 (r / 2) ∈ p.basisSets ∧ (s.sup p).ball 0 (r / 2) + (s.sup p).ball 0 (r / 2) ⊆ U
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
\u22a2 (s.sup p).ball 0 (r / 2) + (s.sup p).ball 0 (r / 2) ⊆ U
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
\u22a2 (s.sup p).ball (0 + 0) (r / 2 + r / 2) ⊆ U
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : Mul α
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LE.le
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c d : α
\u22a2 ↑(Icc a b * Icc c d) ⊆ ↑(Icc (a * c) (b * d))
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : 0 < b
\u22a2 a * b⁻¹ ≤ c ↔ a ≤ c * b
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
\u22a2 StrictAnti fun p => ∑ i : α, a i * b i ^ p
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
\u22a2 StrictAnti (∑ c : α, fun p => a c * b c ^ p)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
\u22a2 ∀ x ∈ univ, StrictAnti fun p => a x * b x ^ p
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
x✝ : i ∈ univ
\u22a2 StrictAnti (HPow.hPow (b i))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
h : Convex 𝕜 s
x : E
zero_mem : 0 ∈ s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht : 1 ≤ t
\u22a2 x ∈ t • s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
h : Convex 𝕜 s
x : E
zero_mem : 0 ∈ s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht : 1 ≤ t
\u22a2 t⁻¹ • x ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
\u22a2 ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, u n ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
\u22a2 ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, u n ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
T' : Set (Set X) := insert ∅ T
\u22a2 ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, u n ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
T' : Set (Set X) := insert ∅ T
T'_count : T'.Countable
\u22a2 ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, u n ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
T' : Set (Set X) := insert ∅ T
T'_count : T'.Countable
T'_ne : T'.Nonempty
\u22a2 ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, u n ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
T' : Set (Set X) := insert ∅ T
T'_count : T'.Countable
T'_ne : T'.Nonempty
u : ℕ → Set X
hu : T' = range u
\u22a2 ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, u n ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Defs.lean
K : Type u
inst✝ : CommRing K
P : Sort v
x : RatFunc K
f : K[X] → K[X] → P
H : ∀ {p q p' q' : K[X]}, q ∈ K[X]⁰ → q' ∈ K[X]⁰ → q' * p = q * p' → f p q = f p' q'
p p' : K[X]
q q' : ↥K[X]⁰
h : (Localization.r K[X]⁰) (p, q) (p', q')
\u22a2 (fun p q => f p ↑q) p q = (fun p q => f p ↑q) p' q'
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
\u22a2 ThreeAPFree (sphere x r)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x : E
\u22a2 ThreeAPFree (sphere x 0)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
\u22a2 ThreeAPFree (sphere x r)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I
\u22a2 (eval₂RingHom (C.comp (Quotient.mk I)) X) a = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I
\u22a2 (eval₂RingHom (C.comp (Quotient.mk I)) X) (a.sum fun n a => (monomial n) a) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I
\u22a2 eval₂ (C.comp (Quotient.mk I)) X (a.sum fun n a => (monomial n) a) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I
\u22a2 (a.sum fun n a => eval₂ (C.comp (Quotient.mk I)) X ((monomial n) a)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I
n : ℕ
x✝ : n ∈ a.support
\u22a2 (fun n a => eval₂ (C.comp (Quotient.mk I)) X ((monomial n) a)) n (a.coeff n) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I
n : ℕ
x✝ : n ∈ a.support
\u22a2 eval₂ (C.comp (Quotient.mk I)) X ((monomial n) (a.coeff n)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I
n : ℕ
x✝ : n ∈ a.support
\u22a2 (C.comp (Quotient.mk I)) (a.coeff n) * X ^ n = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I
n : ℕ
x✝ : n ∈ a.support
m : ℕ
\u22a2 ((C.comp (Quotient.mk I)) (a.coeff n)).coeff m = coeff 0 m
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I
n : ℕ
x✝ : n ∈ a.support
m : ℕ
\u22a2 (if m = 0 then (Quotient.mk I) (a.coeff n) else 0) = coeff 0 m
-- Mathlib/Algebra/Pointwise/Stabilizer.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Finset α
\u22a2 a ∈ stabilizer G ↑s ↔ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ ↑s → a • b ∈ ↑s
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
\u22a2 spectrum R (cfc f a) = f '' spectrum R a
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
\u22a2 toIcoDiv hp (p + a) b = toIcoDiv hp a b - 1
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l : List Γ
i j : ℕ
h : (l ++ List.replicate i default).length ≤ (l ++ List.replicate j default).length
\u22a2 BlankExtends (l ++ List.replicate i default) (l ++ List.replicate j default)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l : List Γ
i j : ℕ
h : (l ++ List.replicate i default).length ≤ (l ++ List.replicate j default).length
\u22a2 l ++ List.replicate j default = l ++ List.replicate i default ++ List.replicate (j - i) default
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l : List Γ
i j : ℕ
h : i ≤ j
\u22a2 l ++ List.replicate j default = l ++ List.replicate i default ++ List.replicate (j - i) default
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f f' : α → E
s : Set α
h : EqOn f f' s
x : α
xs : x ∈ s
\u22a2 edist (f x) (f' x) = 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
s : String
p : Char → Bool
\u22a2 s.all p = true ↔ ∀ (c : Char), c ∈ s.data → p c = true
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
\u22a2 o.oangle (-x) y = o.oangle x (-y)
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (π i)
x y : (i : ι) → π i
i : ι
a b : π i
\u22a2 update x i a ≤ update y i b ↔ a ≤ b ∧ ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ≤ y j
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
E : EllipticCurve R
F : Type u
inst✝¹ : Field F
j : F
inst✝ : DecidableEq F
h2 : 2 = 0
\u22a2 ofJ 1728 = ofJ0 F
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
\u22a2 a / b < c / d ↔ a * d < c * b
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝¹ t✝ : Set α
a b x✝ : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s : Set α
t : Set β
f : ↑s ≃o ↑t
x : α
hx : x ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
\u22a2 ↑(f ⟨x, ⋯⟩) ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝¹ t✝ : Set α
a b x✝ : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s : Set α
t : Set β
f : ↑s ≃o ↑t
x : α
hx✝ : x ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
hx : x ∈ Subtype.val '' minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) univ
\u22a2 ↑(f ⟨x, ⋯⟩) ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝¹ t✝ : Set α
a b x✝ : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s : Set α
t : Set β
f : ↑s ≃o ↑t
x : { x // x ∈ s }
h : x ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) univ
hx : ↑x ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
\u22a2 ↑(f ⟨↑x, ⋯⟩) ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝¹ t✝ : Set α
a b x✝ : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s : Set α
t : Set β
f : ↑s ≃o ↑t
x : { x // x ∈ s }
h : x ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) univ
hx : ↑x ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
\u22a2 t = Subtype.val ∘ ⇑f '' univ
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
j1 j2 : ℕ
hj : j1 ≤ j2
\u22a2 μ.colLen j2 ≤ μ.colLen j1
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : Nonempty α
p : α × α → Prop
\u22a2 (∀ᶠ (x : α × α) in atBot, p x) ↔ ∃ a, ∀ (k l : α), k ≤ a → l ≤ a → p (k, l)
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
hn : p ^ n ≤ Nat.card G
this : Fact (Nat.Prime p)
\u22a2 ∃ H, Nat.card ↥H = p ^ n
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
hn : p ^ n ≤ Nat.card G
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : Finite G
\u22a2 ∃ H, Nat.card ↥H = p ^ n
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
hn : p ^ n ≤ Nat.card G
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : Finite G
m : ℕ
hm : Nat.card G = p ^ m
\u22a2 ∃ H, Nat.card ↥H = p ^ n
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
hn : p ^ n ≤ Nat.card G
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : Finite G
m : ℕ
hm : Nat.card G = p ^ m
\u22a2 p ^ n ∣ Nat.card G
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : Finite G
m : ℕ
hn : p ^ n ≤ p ^ m
hm : Nat.card G = p ^ m
\u22a2 p ^ n ∣ p ^ m
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Asymptotics.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : CompactIccSpace α
g' : α → F
inst✝ : atTop.IsMeasurablyGenerated
hf : LocallyIntegrableOn f (Ici a) μ
ho : f =O[atTop] g
hg : IntegrableAtFilter g atTop μ
\u22a2 IntegrableOn f (Ici a) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Asymptotics.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : CompactIccSpace α
g' : α → F
inst✝ : atTop.IsMeasurablyGenerated
hf : LocallyIntegrableOn f (Ici a) μ
ho : f =O[atTop] g
hg : IntegrableAtFilter g atTop μ
\u22a2 StronglyMeasurableAtFilter f atTop μ
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanHom 2 (↑A) (↑B) f
hf' : Set.BijOn f ↑A ↑B
\u22a2 mulRothNumber B ≤ mulRothNumber A
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanHom 2 (↑A) (↑B) f
hf' : Set.BijOn f ↑A ↑B
s : Finset β
hsB : s ⊆ B
hcard : s.card = mulRothNumber B
hs : ThreeGPFree ↑s
\u22a2 mulRothNumber B ≤ mulRothNumber A
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanHom 2 (↑A) (↑B) f
hf' : Set.BijOn f ↑A ↑B
s : Finset β
hsB : s ⊆ B
hcard : s.card = mulRothNumber B
hs : ThreeGPFree ↑s
hsA : invFunOn f ↑A '' ↑s ⊆ ↑A
\u22a2 mulRothNumber B ≤ mulRothNumber A