ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
z : ℂ
\u22a2 abs z ^ 2 - z.im ^ 2 = z.re ^ 2
-- Mathlib/Order/Filter/IndicatorFunction.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
E : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝ : One β
s : ι → Set α
f : α → β
a : α
\u22a2 (fun n => (⋃ i ∈ n, s i).mulIndicator f a) =ᶠ[atTop] fun x => (iUnion s).mulIndicator f a
-- Mathlib/Order/Filter/IndicatorFunction.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
E : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝ : One β
s : ι → Set α
f : α → β
a : α
\u22a2 (fun n => (⋃ i ∈ n, s i).mulIndicator f a) =ᶠ[atTop] fun x => (⋃ t, ⋃ i ∈ t, s i).mulIndicator f a
-- Mathlib/Order/Filter/IndicatorFunction.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
E : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝ : One β
s : ι → Set α
f : α → β
a : α
\u22a2 Monotone fun i => ⋃ i_1 ∈ i, s i_1
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Evaluation.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : ∀ (a b : C), HasCoproductsOfShape (a ⟶ b) D
c : C
d : D
F : C ⥤ D
f : (evaluationLeftAdjoint D c).obj d ⟶ F
x : C
g : c ⟶ x
\u22a2 (Sigma.ι (fun x => d) g ≫ Sigma.desc fun h => (Sigma.ι (fun x => d) (𝟙 c) ≫ f.app c) ≫ F.map h) = Sigma.ι (fun x => d) g ≫ f.app x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y z✝ : ℝ
n : ℕ
x z : ℝ
hx : 1 ≤ x
hz : 0 ≤ z
\u22a2 1 ≤ x ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y z✝ : ℝ
n : ℕ
x z : ℝ
hx : 1 ≤ x
hz : 0 ≤ z
\u22a2 1 ^ z ≤ x ^ z
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
\u22a2 (∃'θ).Realize v xs ↔ ∃ a, θ.Realize v (snoc xs a)
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
\u22a2 (∃ x, ¬(∼θ).Realize v (snoc xs x)) ↔ ∃ a, θ.Realize v (snoc xs a)
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b : α
\u22a2 variationOnFromTo f s a b = -variationOnFromTo f s b a
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b : α
ab : a < b
\u22a2 variationOnFromTo f s a b = -variationOnFromTo f s b a
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a : α
\u22a2 variationOnFromTo f s a a = -variationOnFromTo f s a a
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
a b : α
ba : b < a
\u22a2 variationOnFromTo f s a b = -variationOnFromTo f s b a
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i✝ : ι
a : α
f✝ g✝ : ι → α
inst✝ : CommSemiring α
s : Finset ι
i : ι
f g h : ι → α
hi : i ∈ s
h1 : g i + h i = f i
h2 : ∀ j ∈ s, j ≠ i → g j = f j
h3 : ∀ j ∈ s, j ≠ i → h j = f j
\u22a2 ∏ i ∈ s, g i + ∏ i ∈ s, h i = ∏ i ∈ s, f i
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : Group G
A✝ A : Rep k G
inst✝ : A.IsTrivial
\u22a2 oneCoboundaries A = ⊥
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : Group G
A✝ A : Rep k G
inst✝ : A.IsTrivial
\u22a2 LinearMap.range (LinearMap.codRestrict (oneCocycles A) 0 ⋯) = ⊥
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/ZModChar.lean
n : ℤ
\u22a2 χ₄ ↑n = χ₄ ↑(n % 4)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
m n : ZNum
\u22a2 ↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
m n : ZNum
\u22a2 ¬↑n < ↑m ↔ m ≤ n
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
S : F →L[𝕜] E
\u22a2 IsSelfAdjoint ((adjoint S).comp (T.comp S))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : adjoint T = T
S : F →L[𝕜] E
\u22a2 adjoint ((adjoint S).comp (T.comp S)) = (adjoint S).comp (T.comp S)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : adjoint T = T
S : F →L[𝕜] E
\u22a2 ((adjoint S).comp T).comp S = (adjoint S).comp (T.comp S)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ModuleCat.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
\u22a2 S.Exact ↔ LinearMap.range S.f = LinearMap.ker S.g
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ModuleCat.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
\u22a2 LinearMap.ker S.g ≤ LinearMap.range S.f ↔ LinearMap.range S.f = LinearMap.ker S.g
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/MDifferentiable.lean
k : ℤ
a : Fin 2 → ℤ
\u22a2 DifferentiableOn ℂ (fun z => (↑(a 0) * z + ↑(a 1)) ^ (-k)) {z | 0 < z.im}
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/MDifferentiable.lean
k : ℤ
a : Fin 2 → ℤ
ha : a ≠ 0
\u22a2 DifferentiableOn ℂ (fun z => (↑(a 0) * z + ↑(a 1)) ^ (-k)) {z | 0 < z.im}
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/MDifferentiable.lean
k : ℤ
\u22a2 DifferentiableOn ℂ (fun z => (↑(0 0) * z + ↑(0 1)) ^ (-k)) {z | 0 < z.im}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
ι : Type u_4
F : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace β
h : Equicontinuous F
\u22a2 UniformEquicontinuous F
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
ι : Type u_4
F : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace β
h : Continuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ Function.swap F)
\u22a2 UniformEquicontinuous F
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
ι : Type u_4
F : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace β
h : Continuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ Function.swap F)
\u22a2 UniformContinuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ Function.swap F)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Trunc.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n m : ℕ
\u22a2 (trunc n 0).coeff m = Polynomial.coeff 0 m
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Trunc.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n m : ℕ
\u22a2 (if m < n then 0 else 0) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Preorder β
s : Set α
f g : α →ₛ β
H : f ≤ g
hs : MeasurableSet s
x : α
\u22a2 ↑(f.restrict s) x ≤ ↑(g.restrict s) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Preorder β
s : Set α
f g : α →ₛ β
H : f ≤ g
hs : ¬MeasurableSet s
\u22a2 f.restrict s ≤ g.restrict s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
s : Set E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
\u22a2 Balanced 𝕜 ((convexHull ℝ) s)
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
s : Set E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
\u22a2 Convex ℝ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
s : Set E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}
y : E
hy : y ∈ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}
u v : ℝ
hu : 0 ≤ u
hv : 0 ≤ v
huv : u + v = 1
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
\u22a2 a • (u • x + v • y) ∈ (convexHull ℝ) s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
s : Set E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}
y : E
hy : y ∈ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}
u v : ℝ
hu : 0 ≤ u
hv : 0 ≤ v
huv : u + v = 1
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
\u22a2 u • a • x + v • a • y ∈ (convexHull ℝ) s
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
leq : lift.{v, u} #α = lift.{u, v} #β'
\u22a2 #(α ≃ β') = #(α → β')
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
leq : lift.{v, u} #α = lift.{u, v} #β'
e : α ≃ β'
\u22a2 #(α ≃ β') = #(α → β')
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
leq : lift.{v, u} #α = lift.{u, v} #β'
e : α ≃ β'
e₁ : lift.{max u v, u} #(α ≃ α) = lift.{u, max u v} #(α ≃ β')
\u22a2 #(α ≃ β') = #(α → β')
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
leq : lift.{v, u} #α = lift.{u, v} #β'
e : α ≃ β'
e₁ : lift.{max u v, u} #(α ≃ α) = lift.{u, max u v} #(α ≃ β')
e₂ : lift.{max u v, u} #(α → α) = lift.{u, max u v} #(α → β')
\u22a2 #(α ≃ β') = #(α → β')
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
leq : lift.{v, u} #α = lift.{u, v} #β'
e : α ≃ β'
e₁ : lift.{max u v, u} #(α ≃ α) = #(α ≃ β')
e₂ : lift.{max u v, u} #(α → α) = #(α → β')
\u22a2 #(α ≃ β') = #(α → β')
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
a b c : ⨁ (i : ι), A i
\u22a2 a * b * c = a * (b * c)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
a b c : ⨁ (i : ι), A i
\u22a2 (compHom (mulHom A)).comp (mulHom A) = ((compHom flipHom) ((compHom (mulHom A).flip).comp (mulHom A))).flip
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
a b c : ⨁ (i : ι), A i
ai : ι
ax : A ai
bi : ι
bx : A bi
ci : ι
cx : A ci
\u22a2 (((((((compHom (mulHom A)).comp (mulHom A)).comp (of A ai)) ax).comp (of A bi)) bx).comp (of A ci)) cx = (((((((compHom flipHom) ((compHom (mulHom A).flip).comp (mulHom A))).flip.comp (of A ai)) ax).comp (of A bi)) bx).comp (of A ci)) cx
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
a b c : ⨁ (i : ι), A i
ai : ι
ax : A ai
bi : ι
bx : A bi
ci : ι
cx : A ci
\u22a2 ((mulHom A) (((mulHom A) ((of A ai) ax)) ((of A bi) bx))) ((of A ci) cx) = ((mulHom A) ((of A ai) ax)) (((mulHom A) ((of A bi) bx)) ((of A ci) cx))
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
a b c : ⨁ (i : ι), A i
ai : ι
ax : A ai
bi : ι
bx : A bi
ci : ι
cx : A ci
\u22a2 (of A (ai + bi + ci)) (GradedMonoid.GMul.mul (GradedMonoid.GMul.mul ax bx) cx) = (of A (ai + (bi + ci))) (GradedMonoid.GMul.mul ax (GradedMonoid.GMul.mul bx cx))
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
E B I : Set α
h : SurjOn f E N.E
\u22a2 (N.comapOn E f).Base B ↔ N.Base (f '' B) ∧ InjOn f B ∧ B ⊆ E
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f g : α → β
s : Multiset α
h : ∀ x ∈ s, f x = g x
\u22a2 map f s = map g s
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f g : α → β
a✝ : List α
h : ∀ x ∈ Quot.mk Setoid.r a✝, f x = g x
\u22a2 map f (Quot.mk Setoid.r a✝) = map g (Quot.mk Setoid.r a✝)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
S : Finset Λ
ss : TM2.Supports M S
l' : Λ'
h : l' ∈ trSupp M S
\u22a2 TM1.SupportsStmt (trSupp M S) (tr M l')
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
S : Finset Λ
ss : TM2.Supports M S
l' : Λ'
h : l' ∈ trSupp M S
\u22a2 ∀ (q : Stmt₂), TM2.SupportsStmt S q → (∀ x ∈ trStmts₁ q, x ∈ trSupp M S) → TM1.SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal q) ∧ ∀ l' ∈ trStmts₁ q, TM1.SupportsStmt (trSupp M S) (tr M l')
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c✝ : ℝ≥0
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
𝕜' : Type u_6
inst✝³ : NormedRing 𝕜'
inst✝² : Module 𝕜' F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜' F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜'
L : E →L[𝕜] F
f : ↥(Lp E p μ)
\u22a2 ↑↑((c • L).compLp f) =ᶠ[ae μ] ↑↑(c • L.compLp f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c✝ : ℝ≥0
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
𝕜' : Type u_6
inst✝³ : NormedRing 𝕜'
inst✝² : Module 𝕜' F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜' F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜'
L : E →L[𝕜] F
f : ↥(Lp E p μ)
\u22a2 (fun a => (c • L) (↑↑f a)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(c • L.compLp f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c✝ : ℝ≥0
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
𝕜' : Type u_6
inst✝³ : NormedRing 𝕜'
inst✝² : Module 𝕜' F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜' F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜'
L : E →L[𝕜] F
f : ↥(Lp E p μ)
\u22a2 (fun a => (c • L) (↑↑f a)) =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(L.compLp f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c✝ : ℝ≥0
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
𝕜' : Type u_6
inst✝³ : NormedRing 𝕜'
inst✝² : Module 𝕜' F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜' F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜'
L : E →L[𝕜] F
f : ↥(Lp E p μ)
x : α
hx : ↑↑(L.compLp f) x = (fun a => L (↑↑f a)) x
\u22a2 (fun a => (c • L) (↑↑f a)) x = (c • ↑↑(L.compLp f)) x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
n : ℕ
a : Composition n
b : Composition a.length
i : Fin b.length
\u22a2 (a.blocks.splitWrtComposition b)[↑i].length = b.blocksFun i
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
n : ℕ
a : Composition n
b : Composition a.length
i : Fin b.length
\u22a2 b.blocks[↑i] = b.blocksFun i
-- Mathlib/Algebra/Module/CharacterModule.lean
R : Type uR
inst✝⁶ : CommRing R
A : Type uA
inst✝⁵ : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝³ : AddCommGroup B
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R A'
inst✝ : Module R B
f : A →ₗ[R] A'
\u22a2 Function.Injective ⇑(LinearMap.rTensor B f) ↔ Function.Surjective ⇑(LinearMap.lcomp R (CharacterModule B) f)
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
gp : Pair K
nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp
\u22a2 gp.a = 1 ∧ ∃ z, gp.b = ↑z
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
gp : Pair K
nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp
ifp : IntFractPair K
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp
\u22a2 gp.a = 1 ∧ ∃ z, gp.b = ↑z
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
gp : Pair K
nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp
ifp : IntFractPair K
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp
this : gp = { a := 1, b := ↑ifp.b }
\u22a2 gp.a = 1 ∧ ∃ z, gp.b = ↑z
-- Mathlib/Algebra/Lie/OfAssociative.lean
A : Type v
inst✝⁶ : Ring A
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Algebra R A
B : Type w
C : Type w₁
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Ring C
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : Algebra R C
f✝ : A →ₐ[R] B
g✝ : B →ₐ[R] C
f g : A →ₐ[R] B
h : f.toLieHom = g.toLieHom
a : A
\u22a2 f a = g a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
inst✝ : Countable ι
κ : ι → Kernel α β
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ((Kernel.sum κ) a) s = ∑' (n : ι), ((κ n) a) s
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
H : ∀ m < n, (bind₁ (W_ R)) (xInTermsOfW p R m) = X m
\u22a2 (bind₁ (W_ R)) (xInTermsOfW p R n) = X n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
H : ∀ m < n, (bind₁ (W_ R)) (xInTermsOfW p R m) = X m
\u22a2 (W_ R n - ∑ x ∈ range n, (bind₁ (W_ R)) (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x))) * (algebraMap R (MvPolynomial ℕ R)) (⅟↑p ^ n) = X n * C (↑p ^ n) * C (⅟↑p ^ n)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
H : ∀ m < n, (bind₁ (W_ R)) (xInTermsOfW p R m) = X m
\u22a2 W_ R n - ∑ x ∈ range n, (bind₁ (W_ R)) (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x)) = X n * C (↑p ^ n)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
H : ∀ m < n, (bind₁ (W_ R)) (xInTermsOfW p R m) = X m
\u22a2 ∑ x ∈ range n, C (↑p ^ x) * X x ^ p ^ (n - x) = ∑ x ∈ range n, (bind₁ (W_ R)) (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x))
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
H : ∀ m < n, (bind₁ (W_ R)) (xInTermsOfW p R m) = X m
\u22a2 ∀ x ∈ range n, C (↑p ^ x) * X x ^ p ^ (n - x) = (bind₁ (W_ R)) (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x))
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
H : ∀ m < n, (bind₁ (W_ R)) (xInTermsOfW p R m) = X m
i : ℕ
h : i ∈ range n
\u22a2 C (↑p ^ i) * X i ^ p ^ (n - i) = (bind₁ (W_ R)) (C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p R i ^ p ^ (n - i))
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
H : ∀ m < n, (bind₁ (W_ R)) (xInTermsOfW p R m) = X m
i : ℕ
h : i < n
\u22a2 C (↑p ^ i) * X i ^ p ^ (n - i) = (bind₁ (W_ R)) (C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p R i ^ p ^ (n - i))
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
T : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring T
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : IsLocalization S T
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : T
p₁ p₂ : LocalizedModule S A
\u22a2 p₁ * x • p₂ = x • (p₁ * p₂)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
T : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring T
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : IsLocalization S T
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : T
a₁ s₁ : A
a₂ s₂ : ↥S
\u22a2 mk a₁ a₂ * x • mk s₁ s₂ = x • (mk a₁ a₂ * mk s₁ s₂)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝ : T2Space M
a b : ℝ
hγt : ∀ (t : ℝ), I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurve γ v
hγ' : IsIntegralCurve γ' v
h : γ t₀ = γ' t₀
t : ℝ
\u22a2 γ t = γ' t
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x₀ : M
inst✝ : T2Space M
a b : ℝ
hγt : ∀ (t : ℝ), I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurve γ v
hγ' : IsIntegralCurve γ' v
h : γ t₀ = γ' t₀
t T : ℝ
ht₀ : t ∈ Ioo (-T) T
ht : t₀ ∈ Ioo (-T) T
\u22a2 γ t = γ' t
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
x : α
\u22a2 x ∈ Ioc a b ∪ Ioi c ↔ x ∈ Ioi (min a c)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
x : α
\u22a2 a < x ∧ x ≤ b ∨ c < x ↔ a < x ∨ c < x
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
r : ℝ
hr : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p = r
\u22a2 p = s.circumcenter