ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Basic.lean
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝²² : NontriviallyNormedField R
inst✝²¹ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝²⁰ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace R F
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁶ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
𝕜₁ : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
B' : Type u_7
inst✝¹³ : TopologicalSpace B'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜₁ F
inst✝¹¹ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E x)
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
F' : Type u_8
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂ F'
E' : B' → Type u_9
inst✝⁷ : (x : B') → AddCommMonoid (E' x)
inst✝⁶ : (x : B') → Module 𝕜₂ (E' x)
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F' E')
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜₁ F E
inst✝² : (x : B') → TopologicalSpace (E' x)
inst✝¹ : FiberBundle F' E'
inst✝ : VectorBundle 𝕜₂ F' E'
x₀ x : B
y₀ y : B'
ϕ : E x →SL[σ] E' y
hx : x ∈ (trivializationAt F E x₀).baseSet
hy : y ∈ (trivializationAt F' E' y₀).baseSet
x✝ : F
\u22a2 (inCoordinates F E F' E' x₀ x y₀ y ϕ) x✝ = ((↑(Trivialization.continuousLinearEquivAt 𝕜₂ (trivializationAt F' E' y₀) y hy)).comp (ϕ.comp ↑(Trivialization.continuousLinearEquivAt 𝕜₁ (trivializationAt F E x₀) x hx).symm)) x✝
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalSemiring R
u : (PreQuasiregular R)ˣ
\u22a2 (↑u⁻¹).val + (↑u).val + (↑u).val * (↑u⁻¹).val = 0
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
h : RingHom.ker f ≤ I
\u22a2 map f I.radical = (map f I).radical
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
h : RingHom.ker f ≤ I
\u22a2 map f (sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}) = sInf {J | map f I ≤ J ∧ J.IsPrime}
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
h : RingHom.ker f ≤ I
this : ∀ J ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}, RingHom.ker f ≤ J
\u22a2 map f (sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}) = sInf {J | map f I ≤ J ∧ J.IsPrime}
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
h : RingHom.ker f ≤ I
this : ∀ J ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}, RingHom.ker f ≤ J
\u22a2 {J | map f I ≤ J ∧ J.IsPrime} = map f '' {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
h : RingHom.ker f ≤ I
this : ∀ J ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}, RingHom.ker f ≤ J
j : Ideal S
\u22a2 {J | map f I ≤ J ∧ J.IsPrime} j → (map f '' {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}) j
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
h : RingHom.ker f ≤ I
this : ∀ J ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}, RingHom.ker f ≤ J
j : Ideal S
\u22a2 (map f '' {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}) j → {J | map f I ≤ J ∧ J.IsPrime} j
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
\u22a2 a ∈ {a}
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
\u22a2 a ∈ a ::ₘ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Action.lean
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
c✝ : G
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
c : G
\u22a2 NullMeasurableSet (c • s) μ
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
this : TopologicalSpace α := generateFrom s
\u22a2 IsTopologicalBasis ((fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s})
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
this : TopologicalSpace α := generateFrom s
\u22a2 ∀ t₁ ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}, ∀ t₂ ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}, ∀ x ∈ t₁ ∩ t₂, ∃ t₃ ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}, x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ t₁ ∩ t₂
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
this : TopologicalSpace α := generateFrom s
\u22a2 ⋃₀ ((fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}) = univ
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
this : TopologicalSpace α := generateFrom s
\u22a2 ∀ s_1 ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}, IsOpen s_1
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
this : TopologicalSpace α := generateFrom s
t : Set α
ht : t ∈ s
\u22a2 t ∈ (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ s}
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q x : ℝ≥0
hx : ↑x ≠ 0
y : ℝ≥0
hy : 1 < ↑y
\u22a2 ∃ n, ↑x ∈ Ioc (↑y ^ n) (↑y ^ (n + 1))
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q x : ℝ≥0
hx : ↑x ≠ 0
y : ℝ≥0
hy : 1 < ↑y
A : y ≠ 0
\u22a2 ∃ n, ↑x ∈ Ioc (↑y ^ n) (↑y ^ (n + 1))
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q x : ℝ≥0
hx : ↑x ≠ 0
y : ℝ≥0
hy : 1 < ↑y
A : y ≠ 0
n : ℤ
hn : y ^ n < x
h'n : x ≤ y ^ (n + 1)
\u22a2 ∃ n, ↑x ∈ Ioc (↑y ^ n) (↑y ^ (n + 1))
-- Mathlib/CategoryTheory/GlueData.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
F : C ⥤ C'
H : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
inst✝¹ : HasMulticoequalizer D.diagram
inst✝ : PreservesColimit D.diagram.multispan F
i : D.J
this : HasColimit (D.mapGlueData F).diagram.multispan
\u22a2 colimit.ι (D.diagram.multispan ⋙ F) (WalkingMultispan.right i) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso (D.diagramIso F)).hom = (D.mapGlueData F).ι i
-- Mathlib/CategoryTheory/GlueData.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
F : C ⥤ C'
H : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
inst✝¹ : HasMulticoequalizer D.diagram
inst✝ : PreservesColimit D.diagram.multispan F
i : D.J
this : HasColimit (D.mapGlueData F).diagram.multispan
\u22a2 (D.diagramIso F).hom.app (WalkingMultispan.right i) ≫ colimit.ι (D.mapGlueData F).diagram.multispan (WalkingMultispan.right i) = (D.mapGlueData F).ι i
-- Mathlib/CategoryTheory/GlueData.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
F : C ⥤ C'
H : (i j k : D.J) → PreservesLimit (cospan (D.f i j) (D.f i k)) F
inst✝¹ : HasMulticoequalizer D.diagram
inst✝ : PreservesColimit D.diagram.multispan F
i : D.J
this : HasColimit (D.mapGlueData F).diagram.multispan
\u22a2 colimit.ι (D.mapGlueData F).diagram.multispan (WalkingMultispan.right i) = (D.mapGlueData F).ι i
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
r : ℝ
\u22a2 ∏ i ∈ s, ↑(f i) ^ r = ↑(∏ i ∈ s, f i) ^ r
-- Mathlib/Algebra/IsPrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n m : ℕ
hn : IsPrimePow n
hm : m ∣ n
hm₁ : m ≠ 1
\u22a2 IsPrimePow m
-- Mathlib/Algebra/IsPrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n m : ℕ
hn : ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
hm : m ∣ n
hm₁ : m ≠ 1
\u22a2 ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = m
-- Mathlib/Algebra/IsPrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ m : ℕ
hm₁ : m ≠ 1
p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
_hk : 0 < k
hm : m ∣ p ^ k
\u22a2 ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = m
-- Mathlib/Algebra/IsPrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
_hk : 0 < k
i : ℕ
hik : i ≤ k
hm₁ : p ^ i ≠ 1
hm : p ^ i ∣ p ^ k
\u22a2 ∃ p_1 k, Nat.Prime p_1 ∧ 0 < k ∧ p_1 ^ k = p ^ i
-- Mathlib/Algebra/IsPrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
_hk : 0 < k
i : ℕ
hik : i ≤ k
hm₁ : p ^ i ≠ 1
hm : p ^ i ∣ p ^ k
\u22a2 0 < i
-- Mathlib/Algebra/IsPrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
_hk : 0 < k
i : ℕ
hik : i ≤ k
hm₁ : p ^ i ≠ 1
hm : p ^ i ∣ p ^ k
\u22a2 i ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/IsPrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
_hk : 0 < k
hik : 0 ≤ k
hm₁ : p ^ 0 ≠ 1
hm : p ^ 0 ∣ p ^ k
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid A
inst✝⁵ : AddCommMonoid B
inst✝⁴ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝³ : Zero M
inst✝² : Zero M'
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ M
a : α
b : α → M → N
\u22a2 (∏ a_1 ∈ f.support, if a_1 = a then b a_1 (f a_1) else 1) = if a ∈ f.support then b a (f a) else 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
s : (i : ι) → Set (α i)
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
\u22a2 (Measure.pi μ) (univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
s : (i : ι) → Set (α i)
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
\u22a2 (Measure.pi μ) (univ.pi s) ≤ ∏ i : ι, (μ i) (s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
s : (i : ι) → Set (α i)
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
\u22a2 ∏ i : ι, (μ i) (s i) ≤ (Measure.pi μ) (univ.pi s)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
inst✝ : Subsingleton α
this : Fintype α := Fintype.ofSubsingleton a
\u22a2 Nat.card α = 1
-- Mathlib/Algebra/Ring/Equiv.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
S' : Type u_6
inst✝¹ : NonAssocRing R
inst✝ : NonAssocRing S
f : R ≃+* S
x✝ y x : R
\u22a2 f x = -1 ↔ x = -1
-- Mathlib/Probability/Density.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → E
ℙ : Measure Ω
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
hX : HasPDF X ℙ μ
\u22a2 map X ℙ = withDensity μ (pdf X ℙ μ)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ : α → β
x✝ y✝ z : α
s : Set α
δ : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace δ
f : α → β
g : γ → δ
hf : Isometry f
hg : Isometry g
x y : α × γ
\u22a2 edist (Prod.map f g x) (Prod.map f g y) = edist x y
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α : Type u_1
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
a : α
\u22a2 sign a = -1 ↔ a < 0
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α : Type u_1
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
a : α
h : sign a = -1
\u22a2 a < 0
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α : Type u_1
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
a : α
h : (if 0 < a then 1 else if a < 0 then -1 else 0) = -1
\u22a2 a < 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Fin/Lemmas.lean
n : Nat
i : Fin (list n).length
\u22a2 (list n).get i = cast ⋯ i
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c✝ d : R
n m : ℕ
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Ring S
c : S
\u22a2 (X - C c).nextCoeff = -c
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Transfer.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v, u₂} D
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
inst✝¹ : G.PreservesZeroMorphisms
i : F ⋙ G ≅ 𝟭 C
adj : G ⊣ F
inst✝ : PreservesFiniteLimits G
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 HasKernel f
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Transfer.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v, u₂} D
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
inst✝¹ : G.PreservesZeroMorphisms
i : F ⋙ G ≅ 𝟭 C
adj : G ⊣ F
inst✝ : PreservesFiniteLimits G
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
this : i.inv.app X✝ ≫ (F ⋙ G).map f ≫ i.hom.app Y✝ = (𝟭 C).map f
\u22a2 HasKernel f
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Transfer.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v, u₂} D
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
inst✝¹ : G.PreservesZeroMorphisms
i : F ⋙ G ≅ 𝟭 C
adj : G ⊣ F
inst✝ : PreservesFiniteLimits G
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
this : i.inv.app X✝ ≫ G.map (F.map f) ≫ i.hom.app Y✝ = f
\u22a2 HasKernel f
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
i j k : ℤ
\u22a2 (↑(i.lcm j)).lcm k = i.lcm ↑(j.lcm k)
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
i j k : ℤ
\u22a2 (i.natAbs.lcm j.natAbs).lcm k.natAbs = i.natAbs.lcm (j.natAbs.lcm k.natAbs)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
x : ⨁ (i : ι), ↥(V i)
i : ι
inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)
\u22a2 (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) x) = x i
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
i : ι
inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)
\u22a2 (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) 0) = 0 i
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
i : ι
inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)
j : ι
x : ↥(V j)
\u22a2 (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) ((of (fun i => ↥(V i)) j) x)) = ((of (fun i => ↥(V i)) j) x) i
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
i : ι
inst✝ : CompleteSpace ↥(V i)
x y : ⨁ (i : ι), ↥(V i)
hx : (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) x) = x i
hy : (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) y) = y i
\u22a2 (orthogonalProjection (V i)) ((DirectSum.coeAddMonoidHom V) (x + y)) = (x + y) i
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
C : EReal
h : C ≠ ⊥
h' : C ≠ ⊤
\u22a2 Tendsto (fun n => C / ↑n) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
C : EReal
h : C ≠ ⊥
h' : C ≠ ⊤
this : (fun n => C / ↑n) = fun n => ↑(C.toReal / ↑n)
\u22a2 Tendsto (fun n => C / ↑n) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
C : EReal
h : C ≠ ⊥
h' : C ≠ ⊤
this : (fun n => C / ↑n) = fun n => ↑(C.toReal / ↑n)
\u22a2 Tendsto (fun n => C.toReal / ↑n) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Positive.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace F
U : Submodule 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
inst✝ : CompleteSpace ↥U
\u22a2 (U.subtypeL.comp ((orthogonalProjection U).comp (T.comp (U.subtypeL.comp (orthogonalProjection U))))).IsPositive
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Positive.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace F
U : Submodule 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
inst✝ : CompleteSpace ↥U
this : ((U.subtypeL.comp (orthogonalProjection U)).comp (T.comp (adjoint (U.subtypeL.comp (orthogonalProjection U))))).IsPositive
\u22a2 (U.subtypeL.comp ((orthogonalProjection U).comp (T.comp (U.subtypeL.comp (orthogonalProjection U))))).IsPositive
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
fst✝ : ι
snd✝ : σ fst✝
\u22a2 𝓝 ⟨fst✝, snd✝⟩ = Filter.map (mk ⟨fst✝, snd✝⟩.fst) (𝓝 ⟨fst✝, snd✝⟩.snd)
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
l₁ : List α
l₂ : List β
z : γ
i : ℕ
\u22a2 (zipWith f l₁ l₂).get? i = some z ↔ ∃ x y, l₁.get? i = some x ∧ l₂.get? i = some y ∧ f x y = z
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
\u22a2 Ioi a \ Ici b = Ioo a b
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝³ : SMul R ℝ≥0
inst✝² : SMul R ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
μ : FiniteMeasure Ω
A : Set Ω
\u22a2 (μ.restrict A).mass = μ A
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m✝ : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x✝¹ : Nontrivial M ∧ ∀ (x : M), x ≠ 0 → Function.Surjective ⇑(LinearMap.toSpanSingleton R M x)
left✝ : Nontrivial M
h : ∀ (x : M), x ≠ 0 → Function.Surjective ⇑(LinearMap.toSpanSingleton R M x)
m : Submodule R M
ne_bot : ¬m = ⊥
x : M
hxm : x ∈ m
hx0 : x ≠ 0
y : R
x✝ : (LinearMap.toSpanSingleton R M x) y ∈ ⊤
\u22a2 (LinearMap.toSpanSingleton R M x) y ∈ m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Hermitian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝³ : RCLike α
inst✝² : RCLike β
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n α
\u22a2 A.IsHermitian ↔ (toEuclideanLin A).IsSymmetric
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Hermitian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝³ : RCLike α
inst✝² : RCLike β
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n α
\u22a2 A.IsHermitian ↔ ∀ (x₁ x₂ : n → α), ⟪(toEuclideanLin A) ((WithLp.equiv 2 (n → α)).symm x₁), (WithLp.equiv 2 (n → α)).symm x₂⟫_α = ⟪(WithLp.equiv 2 (n → α)).symm x₁, (toEuclideanLin A) ((WithLp.equiv 2 (n → α)).symm x₂)⟫_α
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Hermitian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝³ : RCLike α
inst✝² : RCLike β
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n α
\u22a2 A.IsHermitian ↔ ∀ (x₁ x₂ : n → α), star x₁ ᵥ* Aᴴ ⬝ᵥ x₂ = star x₁ ᵥ* A ⬝ᵥ x₂
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Semiring β
a b : α
m : ℕ
inst✝ : IsCancelAdd α
hab : a + b = 0
k : ℕ
ih : a ^ (2 * k + 1) + b ^ (2 * k + 1) = 0
\u22a2 a ^ (2 * (k + 1) + 1) + b ^ (2 * (k + 1) + 1) = 0
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Semiring β
a b : α
m : ℕ
inst✝ : IsCancelAdd α
hab : a + b = 0
k : ℕ
ih : a ^ (2 * k + 1) + b ^ (2 * k + 1) = 0
this : a ^ 2 = b ^ 2
\u22a2 a ^ (2 * (k + 1) + 1) + b ^ (2 * (k + 1) + 1) = 0
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Semiring β
a b : α
m : ℕ
inst✝ : IsCancelAdd α
hab : a + b = 0
k : ℕ
ih : a ^ (2 * k + 1) + b ^ (2 * k + 1) = 0
this : a ^ 2 = b ^ 2
\u22a2 a ^ (2 * (k + 1) + 1) + b ^ (2 * (k + 1) + 1) + b ^ (2 * k + 1) * a ^ 2 = 0 + b ^ (2 * k + 1) * a ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d✝ k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
n d : ℕ
\u22a2 ∃ k ∈ range (n * (d - 1) ^ 2 + 1), ↑(d ^ n) / (↑(n * (d - 1) ^ 2) + 1) ≤ ↑(sphere n d k).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d✝ k N : ℕ
x✝ : Fin n✝ → ℕ
n d : ℕ
x : Fin n → ℕ
hx : x ∈ box n d
\u22a2 ∑ i : Fin n, x i ^ 2 ∈ range (n * (d - 1) ^ 2 + 1)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d✝ k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
n d : ℕ
\u22a2 (range (n * (d - 1) ^ 2 + 1)).card • (↑(d ^ n) / (↑(n * (d - 1) ^ 2) + 1)) ≤ ↑(box n d).card
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsEmpty n
x✝ : Matrix n n R
\u22a2 x✝.det = const (Matrix n n R) 1 x✝
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l₁ l₂ : List α
f : α → β
H : l₁ ⊆ l₂
x : β
\u22a2 x ∈ map f l₁ → x ∈ map f l₂
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l₁ l₂ : List α
f : α → β
H : l₁ ⊆ l₂
x : β
\u22a2 (∃ a, a ∈ l₁ ∧ f a = x) → ∃ a, a ∈ l₂ ∧ f a = x
-- Mathlib/Algebra/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p : P
\u22a2 p -ᵥ p = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t s : Set α
ht : NullMeasurableSet t μ
\u22a2 μ.restrict (s ∪ t) + μ.restrict (s ∩ t) = μ.restrict s + μ.restrict t
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
hp : ∀ x ∈ s, f x ≠ 1 → p x
x : α
\u22a2 x ∈ s → x ∉ filter p s → f x = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
\u22a2 f.SameCycle (f⁻¹ x) y ↔ f.SameCycle x y
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f g : ℍ → ℂ
x✝ : ℍ
\u22a2 ((f + g) ∣[k]A) x✝ = (f ∣[k]A + g ∣[k]A) x✝
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f g : ℍ → ℂ
x✝ : ℍ
\u22a2 (f (A • x✝) + g (A • x✝)) * ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * ((↑(↑↑A 1 0) * ↑x✝ + ↑(↑↑A 1 1)) ^ k)⁻¹ = f (A • x✝) * ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * ((↑(↑↑A 1 0) * ↑x✝ + ↑(↑↑A 1 1)) ^ k)⁻¹ + g (A • x✝) * ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * ((↑(↑↑A 1 0) * ↑x✝ + ↑(↑↑A 1 1)) ^ k)⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι✝ : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι✝
inst✝⁵ : Fintype ι✝
e : Basis ι✝ R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
ι : Type u_7
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Nonempty ι
b : Basis ι A M
this : DecidableEq ι
\u22a2 LinearMap.det 0 = 0