ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁵ : Module R N₂
inst✝¹⁴ : Semiring R₁
inst✝¹³ : Semiring R₂
inst✝¹² : SMulCommClass R R N₂
inst✝¹¹ : Semiring S₁
inst✝¹⁰ : Semiring S₂
inst✝⁹ : Module S₁ N₂
inst✝⁸ : Module S₂ N₂
inst✝⁷ : SMulCommClass S₁ R N₂
inst✝⁶ : SMulCommClass S₂ R N₂
inst✝⁵ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq m
T : Type u_17
inst✝ : CommSemiring T
M : Matrix n m T
v : n → T
w : m → T
x✝³ : n
x✝² : x✝³ ∈ univ
x✝¹ : m
x✝ : x✝¹ ∈ univ
\u22a2 v x✝³ •> w x✝¹ •> M x✝³ x✝¹ = v x✝³ * (M x✝³ x✝¹ * w x✝¹)
-- Mathlib/Data/List/Indexes.lean
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
as : List α
\u22a2 indexesValues (fun b => decide (p b)) as = filter ((fun b => decide (p b)) ∘ Prod.snd) as.enum
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : c < 0
\u22a2 (fun x => x * c) ⁻¹' Ico a b = Ioc (b / c) (a / c)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
ho : o ≠ 0
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max v u}
b : Ordinal.{max u v}
h : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi b < o.nfpBFamily f a
\u22a2 b < o.nfpBFamily f a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
ho : o ≠ 0
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max v u}
b : Ordinal.{max u v}
h : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi b < o.nfpBFamily f a
this : Nonempty (Quotient.out o).α
\u22a2 b < o.nfpBFamily f a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
ho : o ≠ 0
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max v u}
b : Ordinal.{max u v}
h : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi b < o.nfpBFamily f a
this : Nonempty (Quotient.out o).α
\u22a2 ∀ (i : (Quotient.out o).α), IsNormal (o.familyOfBFamily f i)
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s✝ : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
hf : ∀ (x y : X), (x ~ᵢ y) → f x = f y
s : Set (SeparationQuotient X)
\u22a2 ContinuousOn (lift f hf) s ↔ ContinuousOn f (mk ⁻¹' s)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
\u22a2 X.σ i ≫ X.δ i.castSucc = 𝟙 (X _[n])
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝ : Fin l → M
m n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
g : α → β ⊕ Fin m
v : β → M
xs : Fin (m + n) → M
\u22a2 (relabel g φ).Realize v xs ↔ φ.Realize (Sum.elim v (xs ∘ castAdd n) ∘ g) (xs ∘ natAdd m)
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
x : ↥(extensionOfMax i f).domain
x' : ↥(extensionOfMaxAdjoin i f h y).domain
EQ : ↑x = ↑x'
\u22a2 ExtensionOfMaxAdjoin.extensionToFun i f h x' = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap x
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : H.IsComplement' K
\u22a2 IsCompl H K
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : H.IsComplement' K
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
\u22a2 g ∈ H ⊔ K
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h✝ : H.IsComplement' K
h : ↑↑H
k : ↑↑K
x✝ : (fun x => ↑x.1 * ↑x.2) (h, k) ∈ ⊤
\u22a2 (fun x => ↑x.1 * ↑x.2) (h, k) ∈ H ⊔ K
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Elements.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
A : C ⥤ Type w
I : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} I
inst✝² : Small.{w, u₁} I
F : I ⥤ A.Elements
inst✝¹ : HasLimitsOfShape I C
inst✝ : PreservesLimitsOfShape I A
c : Cone F
\u22a2 A.map (limit.lift (F ⋙ π A) ((π A).mapCone c)) c.pt.snd = liftedConeElement F
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Elements.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
A : C ⥤ Type w
I : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} I
inst✝² : Small.{w, u₁} I
F : I ⥤ A.Elements
inst✝¹ : HasLimitsOfShape I C
inst✝ : PreservesLimitsOfShape I A
c : Cone F
\u22a2 (preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).toEquiv (A.map (limit.lift (F ⋙ π A) ((π A).mapCone c)) c.pt.snd) = (preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).toEquiv (liftedConeElement F)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Elements.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
A : C ⥤ Type w
I : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} I
inst✝² : Small.{w, u₁} I
F : I ⥤ A.Elements
inst✝¹ : HasLimitsOfShape I C
inst✝ : PreservesLimitsOfShape I A
c : Cone F
i : I
\u22a2 limit.π ((F ⋙ π A) ⋙ A) i ((preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).toEquiv (A.map (limit.lift (F ⋙ π A) ((π A).mapCone c)) c.pt.snd)) = limit.π ((F ⋙ π A) ⋙ A) i ((preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).toEquiv (liftedConeElement F))
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Elements.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
A : C ⥤ Type w
I : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} I
inst✝² : Small.{w, u₁} I
F : I ⥤ A.Elements
inst✝¹ : HasLimitsOfShape I C
inst✝ : PreservesLimitsOfShape I A
c : Cone F
i : I
h₁ : ((preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).hom ≫ limit.π ((F ⋙ π A) ⋙ A) i) (A.map (limit.lift (F ⋙ π A) ((π A).mapCone c)) c.pt.snd) = A.map (limit.π (F ⋙ π A) i) (A.map (limit.lift (F ⋙ π A) ((π A).mapCone c)) c.pt.snd)
\u22a2 limit.π ((F ⋙ π A) ⋙ A) i ((preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).toEquiv (A.map (limit.lift (F ⋙ π A) ((π A).mapCone c)) c.pt.snd)) = limit.π ((F ⋙ π A) ⋙ A) i ((preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).toEquiv (liftedConeElement F))
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Elements.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
A : C ⥤ Type w
I : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} I
inst✝² : Small.{w, u₁} I
F : I ⥤ A.Elements
inst✝¹ : HasLimitsOfShape I C
inst✝ : PreservesLimitsOfShape I A
c : Cone F
i : I
h₁ : ((preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).hom ≫ limit.π ((F ⋙ π A) ⋙ A) i) (A.map (limit.lift (F ⋙ π A) ((π A).mapCone c)) c.pt.snd) = A.map (limit.π (F ⋙ π A) i) (A.map (limit.lift (F ⋙ π A) ((π A).mapCone c)) c.pt.snd)
h₂ : A.map (↑(c.π.app i)) (((Functor.const I).obj c.pt).obj i).snd = (F.obj i).snd
\u22a2 limit.π ((F ⋙ π A) ⋙ A) i ((preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).toEquiv (A.map (limit.lift (F ⋙ π A) ((π A).mapCone c)) c.pt.snd)) = limit.π ((F ⋙ π A) ⋙ A) i ((preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).toEquiv (liftedConeElement F))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Slope.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
\u22a2 HasDerivAt f f' x ↔ Tendsto (fun t => t⁻¹ • (f (x + t) - f x)) (𝓝[≠] 0) (𝓝 f')
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Slope.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
this : 𝓝[≠] x = map (fun t => x + t) (𝓝[≠] 0)
\u22a2 HasDerivAt f f' x ↔ Tendsto (fun t => t⁻¹ • (f (x + t) - f x)) (𝓝[≠] 0) (𝓝 f')
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
X Y Z : Scheme
e : X ≅ Y
f : Y ⟶ Z
hf : stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f
\u22a2 stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) (e.hom ≫ f)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
X Y Z : Scheme
e : X ≅ Y
f : Y ⟶ Z
hf : stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f
\u22a2 ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), P (Scheme.Hom.stalkMap (e.hom ≫ f) x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
X Y Z : Scheme
e : X ≅ Y
f : Y ⟶ Z
hf : stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
\u22a2 P (Scheme.Hom.stalkMap (e.hom ≫ f) x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
X Y Z : Scheme
e : X ≅ Y
f : Y ⟶ Z
hf : stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
\u22a2 P (Scheme.Hom.stalkMap f (e.hom.val.base x) ≫ Scheme.Hom.stalkMap e.hom x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
X Y Z : Scheme
e : Y ≅ Z
f : X ⟶ Y
hf : stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f
\u22a2 stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) (f ≫ e.hom)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
X Y Z : Scheme
e : Y ≅ Z
f : X ⟶ Y
hf : stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f
\u22a2 ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), P (Scheme.Hom.stalkMap (f ≫ e.hom) x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
X Y Z : Scheme
e : Y ≅ Z
f : X ⟶ Y
hf : stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
\u22a2 P (Scheme.Hom.stalkMap (f ≫ e.hom) x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
X Y Z : Scheme
e : Y ≅ Z
f : X ⟶ Y
hf : stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
\u22a2 P (Scheme.Hom.stalkMap e.hom (f.val.base x) ≫ Scheme.Hom.stalkMap f x)
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 a \ a ∆ b = a ⊓ b
-- Mathlib/Algebra/Category/FGModuleCat/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
V W : FGModuleCat K
\u22a2 FGModuleCatCoevaluation K V ▷ V ≫ (α_ V (FGModuleCatDual K V) V).hom ≫ V ◁ FGModuleCatEvaluation K V = (λ_ V).hom ≫ (ρ_ V).inv
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
U : ι → Set α
h : (𝓝 1).HasBasis p U
\u22a2 (𝓤 α).HasBasis p fun i => {x | x.2 / x.1 ∈ U i}
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
U : ι → Set α
h : (𝓝 1).HasBasis p U
\u22a2 (Filter.comap (fun x => x.2 / x.1) (𝓝 1)).HasBasis p fun i => {x | x.2 / x.1 ∈ U i}
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
n : ℕ
h : lowerCentralSeries G n ≤ center G
\u22a2 lowerCentralSeries G (n + 1) = ⊥
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
n : ℕ
h : lowerCentralSeries G n ≤ center G
\u22a2 ∀ y ∈ {x | ∃ p ∈ lowerCentralSeries G n, ∃ q ∈ ⊤, p * q * p⁻¹ * q⁻¹ = x}, y = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
n : ℕ
h : lowerCentralSeries G n ≤ center G
y : G
hy1 : y ∈ lowerCentralSeries G n
z : G
\u22a2 y * z * y⁻¹ * z⁻¹ = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
n : ℕ
h : lowerCentralSeries G n ≤ center G
y : G
hy1 : y ∈ lowerCentralSeries G n
z : G
\u22a2 z * y = y * z
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : _root_.Finite K
inst✝ : FiniteDimensional K V
\u22a2 _root_.Finite V
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : _root_.Finite K
inst✝ : FiniteDimensional K V
val✝ : Fintype K
\u22a2 _root_.Finite V
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
inst✝ : l.NeBot
s : Set 𝕜
hs : IsOpen s
hf' : TendstoLocallyUniformlyOn (deriv ∘ f) g' l s
hf : ∀ᶠ (n : ι) in l, DifferentiableOn 𝕜 (f n) s
hfg : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hx : x ∈ s
\u22a2 HasDerivAt g (g' x) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
inst✝ : l.NeBot
s : Set 𝕜
hs : IsOpen s
hf' : TendstoLocallyUniformlyOn (deriv ∘ f) g' l s
hf : ∀ᶠ (n : ι) in l, DifferentiableOn 𝕜 (f n) s
hfg : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hx : x ∈ s
\u22a2 ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ x ∈ s, HasDerivAt (f n) ((deriv ∘ f) n x) x
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b✝ c d : α
h : IsUnit a
b : α
\u22a2 a / (a * b) = b⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i
\u22a2 ((gradedMul R 𝒜 ℬ) x) 1 = x
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Complex.lean
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : i.Coprime n
\u22a2 IsPrimitiveRoot (cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n))) n
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Complex.lean
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : i.Coprime n
\u22a2 cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) ^ n = 1 ∧ ∀ (l : ℕ), cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) ^ l = 1 → n ∣ l
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Complex.lean
i n : ℕ
h0 : n ≠ 0
hi : i.Coprime n
\u22a2 (∃ n_1, ↑n * (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ↑n_1 * (2 * ↑π * I)) ∧ ∀ (l : ℕ), (∃ n_1, ↑l * (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ↑n_1 * (2 * ↑π * I)) → n ∣ l
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
h0x : 0 < x
hxp : x < π / 2
\u22a2 0 < tan x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
h0x : 0 < x
hxp : x < π / 2
\u22a2 0 < sin x / cos x
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x✝ y : G
i : ℤ
x : G
\u22a2 IsOfFinOrder x⁻¹ ↔ IsOfFinOrder x
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n : ℕ
\u22a2 orderOf x ∣ card G
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
a : R
\u22a2 (coeff R n) ((C R) a) = if n = 0 then a else 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Hasse.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
x y : α × β
\u22a2 (hasse (α × β)).Adj x y ↔ (hasse α □ hasse β).Adj x y
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Derivative.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
r : R
f : R⟦X⟧
\u22a2 (r • f).derivativeFun = r • f.derivativeFun
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/MeasurePreserving.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μa μb
hfe : MeasurableEmbedding f
s : Set β
\u22a2 μa (f ⁻¹' s) = μb s
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
H : Surjective f
\u22a2 f '' s ∪ f '' sᶜ = univ
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
H : Surjective f
\u22a2 f '' (s ∪ sᶜ) = univ
-- Mathlib/Order/Antichain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ : α
hs : IsStrongAntichain r s
f : α → β
hf : Surjective f
h : ∀ (a b : α), r' (f a) (f b) → r a b
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : f a ≠ f b
c : α
\u22a2 ¬r' (f a) (f c) ∨ ¬r' (f b) (f c)
-- Mathlib/Data/Matrix/Invertible.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
A : Matrix n n α
B : Matrix n m α
inst✝ : Invertible A
\u22a2 A * (⅟A * B) = B
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
R : CommRingCat
\u22a2 Spec.map (Scheme.ΓSpecIso R).hom = adjunction.unit.app (Spec R)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
R : CommRingCat
this : adjunction.unit.app (Scheme.Spec.obj (op R)) ≫ Scheme.Spec.map (adjunction.counit.app (op R)) = 𝟙 (Scheme.Spec.obj (op R))
\u22a2 Spec.map (Scheme.ΓSpecIso R).hom = adjunction.unit.app (Spec R)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
R : CommRingCat
this : adjunction.unit.app (Spec R) ≫ Spec.map (Scheme.ΓSpecIso R).inv = 𝟙 (Spec R)
\u22a2 Spec.map (Scheme.ΓSpecIso R).hom = adjunction.unit.app (Spec R)
-- Mathlib/Data/Multiset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
b a : α
s : Multiset α
\u22a2 fold op b (a ::ₘ s) = fold op (op b a) s
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
\u22a2 im ⟪x, y⟫_𝕜 = -im ⟪y, x⟫_𝕜
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
\u22a2 ∫⁻ (x : α), max (f x) (g x) ∂μ = ∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, g x ∂μ + ∫⁻ (x : α) in {x | g x < f x}, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hm : MeasurableSet {x | f x ≤ g x}
\u22a2 ∫⁻ (x : α), max (f x) (g x) ∂μ = ∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, g x ∂μ + ∫⁻ (x : α) in {x | g x < f x}, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hm : MeasurableSet {x | f x ≤ g x}
\u22a2 ∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, max (f x) (g x) ∂μ + ∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}ᶜ, max (f x) (g x) ∂μ = ∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, g x ∂μ + ∫⁻ (x : α) in {x | g x < f x}, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hm : MeasurableSet {x | f x ≤ g x}
\u22a2 ∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, max (f x) (g x) ∂μ + ∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}ᶜ, max (f x) (g x) ∂μ = ∫⁻ (x : α) in {x | f x ≤ g x}, g x ∂μ + ∫⁻ (x : α) in {a | f a ≤ g a}ᶜ, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hm : MeasurableSet {x | f x ≤ g x}
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ {x | f x ≤ g x} → max (f x) (g x) = g x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hm : MeasurableSet {x | f x ≤ g x}
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ {x | f x ≤ g x}ᶜ → max (f x) (g x) = f x
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
hg : Measurable g
a : γ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ((κ ∘ₖ deterministic g hg) a) s = ((κ.comap g hg) a) s
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/FunctionSeries.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
f : α → β → F
hu : Summable u
hfu : ∀ (n : α) (x : β), ‖f n x‖ ≤ u n
\u22a2 TendstoUniformly (fun t x => ∑ n ∈ t, f n x) (fun x => ∑' (n : α), f n x) atTop
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/FunctionSeries.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
f : α → β → F
hu : Summable u
hfu : ∀ (n : α) (x : β), ‖f n x‖ ≤ u n
\u22a2 TendstoUniformlyOn (fun t x => ∑ n ∈ t, f n x) (fun x => ∑' (n : α), f n x) atTop univ
-- Mathlib/Algebra/Group/Hom/Defs.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
g : OneHom N P
f₁ f₂ : OneHom M N
hg : Function.Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
x : M
\u22a2 g (f₁ x) = g (f₂ x)
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightNhds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : DenselyOrdered α
a : α
s : Set α
\u22a2 (∃ u, toDual a < toDual u ∧ Icc (toDual a) (toDual u) ⊆ ⇑ofDual ⁻¹' s) ↔ ∃ l < a, Icc l a ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightNhds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : DenselyOrdered α
a : α
s : Set α
\u22a2 (∃ u, toDual a < toDual u ∧ ⇑ofDual ⁻¹' Icc u a ⊆ ⇑ofDual ⁻¹' s) ↔ ∃ l < a, Icc l a ⊆ s
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Factorisation.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
d₁ d₂ d₃ : Factorisation f✝
f : d₁.Hom d₂
g : d₂.Hom d₃
\u22a2 d₁.ι ≫ f.h ≫ g.h = d₃.ι
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Factorisation.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
d₁ d₂ d₃ : Factorisation f✝
f : d₁.Hom d₂
g : d₂.Hom d₃
\u22a2 (f.h ≫ g.h) ≫ d₃.π = d₁.π
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
q : ℚ
\u22a2 re ↑q = ↑q
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
e : X ≃ᵢ Y
s : Set Y
\u22a2 dimH (⇑e ⁻¹' s) = dimH s
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ Z : C
f✝ : Y✝ ⟶ X✝
S R : Sieve X✝
X : C
hX : IsTerminal X
I : Type u_1
Y : I → C
f : (i : I) → Y i ⟶ X
\u22a2 ofArrows Y f = ofObjects Y X