ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
\u22a2 coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ (whiskerRight (𝟙 M) N).hom = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ (𝟙 (M.tensorBimod N)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
\u22a2 coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (𝟙 M.X ▷ Y.X ▷ N.X) (𝟙 M.X ▷ N.X) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ 𝟙 (TensorBimod.X M N)
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ φ : MulChar R R'
f : R' →+* R''
a✝ : Rˣ
\u22a2 ((χ * φ).ringHomComp f) ↑a✝ = (χ.ringHomComp f * φ.ringHomComp f) ↑a✝
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : HasUpperLowerClosure α
s : Set α
h : IsUpperSet s
\u22a2 IsUpperSet (interior s)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : HasUpperLowerClosure α
s : Set α
h : IsUpperSet s
\u22a2 IsLowerSet (closure sᶜ)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/AdjointFunctorTheorems.lean
J : Type v
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} D
G : D ⥤ C
inst✝ : G.IsRightAdjoint
A : C
B : D
h : A ⟶ G.obj B
\u22a2 (fun x => (Adjunction.ofIsRightAdjoint G).unit.app A) PUnit.unit ≫ G.map (((Adjunction.ofIsRightAdjoint G).homEquiv A B).symm h) = h
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
\u22a2 T.mor₂ = 0 ↔ Epi T.mor₁
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
h : T.invRotate.mor₃ = 0 ↔ Epi T.invRotate.mor₂
\u22a2 T.mor₂ = 0 ↔ Epi T.mor₁
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
h : T.mor₂ ≫ (shiftFunctorCompIsoId C (-1) 1 ⋯).inv.app T.3 = 0 ↔ Epi T.mor₁
\u22a2 T.mor₂ = 0 ↔ Epi T.mor₁
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Basic.lean
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
i : d ⟶ e
\u22a2 (α_ f g (h ≫ i)).hom ≫ f ◁ (α_ g h i).inv ≫ (α_ f (g ≫ h) i).inv = (α_ (f ≫ g) h i).inv ≫ (α_ f g h).hom ▷ i
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Basic.lean
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
i : d ⟶ e
\u22a2 ((α_ f g (h ≫ i)).inv ≫ (α_ f g (h ≫ i)).hom ≫ f ◁ (α_ g h i).inv ≫ (α_ f (g ≫ h) i).inv) ≫ (α_ f g h).inv ▷ i = ((α_ f g (h ≫ i)).inv ≫ (α_ (f ≫ g) h i).inv ≫ (α_ f g h).hom ▷ i) ≫ (α_ f g h).inv ▷ i
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius
\u22a2 ∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius
this : (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
\u22a2 ∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius
this : (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
\u22a2 ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this : (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
h : ∃ i i_1, ∃ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑i ^ n ≤ i_1), ↑r < ↑i
\u22a2 ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this : (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
t : ℝ≥0
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
rt : ↑r < ↑t
\u22a2 ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this : (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
t : ℝ≥0
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
rt : r < t
\u22a2 ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this✝ : (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
t : ℝ≥0
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
rt : ↑r < ↑t
this : 0 < ↑t
\u22a2 ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this✝ : (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
t : ℝ≥0
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
rt : ↑r / ↑t < 1
this : 0 < ↑t
\u22a2 ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
this✝ : (∃ a ∈ Ioo 0 1, (fun n => ‖p n‖ * ↑r ^ n) =o[atTop] fun x => a ^ x) ↔ ∃ a < 1, ∃ C, (0 < C ∨ 0 < 1) ∧ ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
t : ℝ≥0
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑t ^ n ≤ C
rt : ↑r / ↑t < 1
this : 0 < ↑t
n : ℕ
\u22a2 |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * (↑r / ↑t) ^ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
a✝ b✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' g : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntegrableOn g (f '' [[a, b]]) volume
hg2 : IntegrableOn (fun x => (g ∘ f) x * f' x) [[a, b]] volume
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, (g ∘ f) x * f' x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
a✝ b✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
a b : ℝ
f f' g : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioo (min a b) (max a b))
hg1 : IntegrableOn g (f '' [[a, b]]) volume
hg2 : IntegrableOn (fun x => (g ∘ f) x * f' x) [[a, b]] volume
hg2' : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) [[a, b]] volume
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, (g ∘ f) x * f' x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/LeftDerived.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasProjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
n : ℕ
X : C
inst✝ : Projective X
\u22a2 IsZero ((F.leftDerived (n + 1)).obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/LeftDerived.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasProjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
n : ℕ
X : C
inst✝ : Projective X
\u22a2 IsZero ((HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) (n + 1)).obj ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj (ProjectiveResolution.self X).complex))
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/LeftDerived.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasProjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
n : ℕ
X : C
inst✝ : Projective X
\u22a2 ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj (ProjectiveResolution.self X).complex).ExactAt (n + 1)
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
\u22a2 x ∈ closedBall y ε ↔ y ∈ closedBall x ε
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Grothendieck.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
i : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso i
S : Sieve Y
\u22a2 Sieve.pullback i S ∈ J.sieves X ↔ S ∈ J.sieves Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Grothendieck.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
i : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso i
S : Sieve Y
H : Sieve.pullback i S ∈ J.sieves X
\u22a2 S ∈ J.sieves Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Grothendieck.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
i : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso i
S : Sieve Y
H : Sieve.pullback i S ∈ J.sieves X
\u22a2 S = Sieve.pullback (inv i) (Sieve.pullback i S)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
hs : Dense s
ht : IsOpen t
\u22a2 t = t ∩ closure s
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : b₂ < b₁
\u22a2 Ioo a₁ b₁ ∩ Ioc a₂ b₂ = Ioc (max a₁ a₂) b₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/Embedding/Boundary.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
inst✝ : e.IsRelIff
j k : ι
hk : c.Rel j k
\u22a2 ¬(c'.Rel (c'.prev (e.f k)) (e.f k) ∧ ∀ (i : ι), ¬c'.Rel (e.f i) (e.f k))
-- Mathlib/Algebra/Homology/Embedding/Boundary.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
inst✝ : e.IsRelIff
j k : ι
hk : c.Rel j k
\u22a2 c'.Rel (c'.prev (e.f k)) (e.f k) → ∃ x, c'.Rel (e.f x) (e.f k)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Embedding/Boundary.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
inst✝ : e.IsRelIff
j k : ι
hk : c.Rel j k
a✝ : c'.Rel (c'.prev (e.f k)) (e.f k)
\u22a2 ∃ x, c'.Rel (e.f x) (e.f k)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
inst✝³ : SecondCountableTopology G
μ ν : Measure G
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsHaarMeasure
K : PositiveCompacts G
\u22a2 μ ≪ ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
inst✝³ : SecondCountableTopology G
μ ν : Measure G
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsHaarMeasure
K : PositiveCompacts G
h : haarMeasure K = ↑((haarMeasure K).haarScalarFactor ν) • ν
\u22a2 μ ≪ ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
inst✝³ : SecondCountableTopology G
μ ν : Measure G
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsHaarMeasure
K : PositiveCompacts G
h : haarMeasure K = ↑((haarMeasure K).haarScalarFactor ν) • ν
\u22a2 (μ ↑K * ↑((haarMeasure K).haarScalarFactor ν)) • ν ≪ ν
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι✝ : Type u_3
inst✝⁶ : LinearOrder ι✝
inst✝⁵ : LocallyFiniteOrderBot ι✝
inst✝⁴ : IsWellOrder ι✝ fun x x_1 => x < x_1
ι : Type u_4
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : LocallyFiniteOrder ι
inst✝¹ : OrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
\u22a2 gramSchmidt 𝕜 f ⊥ = f ⊥
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
\u22a2 (o.oangle y (y - x)).cos = ‖y‖ / ‖y - x‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1
\u22a2 (o.oangle y (y - x)).cos = ‖y‖ / ‖y - x‖
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V
v : V
\u22a2 (∀ φ ∈ dualAnnihilator W, φ v = 0) ↔ v ∈ W
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g f : α → E
\u22a2 ⨍ (x : α), f x ∂μ = (μ univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂μ
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPushout f.op g.op
\u22a2 pushout.inr f.op g.op ≫ (pullbackIsoUnopPushout f g).hom.op = (pullback.snd f g).op
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPushout f.op g.op
\u22a2 (pushout.inr f.op g.op ≫ (pullbackIsoUnopPushout f g).hom.op).unop = (pullback.snd f g).op.unop
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPushout f.op g.op
\u22a2 (pullbackIsoUnopPushout f g).hom ≫ (pushout.inr f.op g.op).unop = pullback.snd f g
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
b a✝ : α
\u22a2 a✝ ∈ insert b (Iio b) ↔ a✝ ∈ Iic b
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : NumberField k
inst✝ : IsGalois k K
\u22a2 (filter (IsUnramified k) univ)ᶜ.card = (filter (IsUnramifiedIn K) univ)ᶜ.card * (finrank k K / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : NumberField k
inst✝ : IsGalois k K
this : Module.Finite k K := Module.Finite.of_restrictScalars_finite ℚ k K
\u22a2 (filter (IsUnramified k) univ)ᶜ.card = (filter (IsUnramifiedIn K) univ)ᶜ.card * (finrank k K / 2)
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
S : L[[α]].Theory
\u22a2 {p | S ⊆ ↑p} = ∅ ↔ ¬((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ S).IsSatisfiable
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
S : L[[α]].Theory
\u22a2 ((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ S).IsSatisfiable ↔ ∃ x, x ∈ {p | S ⊆ ↑p}
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
S : L[[α]].Theory
\u22a2 (∃ x, x ∈ {p | S ⊆ ↑p}) → ((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ S).IsSatisfiable
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
S : L[[α]].Theory
p : T.CompleteType α
hp : p ∈ {p | S ⊆ ↑p}
\u22a2 ((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ S).IsSatisfiable
-- Mathlib/RingTheory/Regular/IsSMulRegular.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : AddCommGroup M''
inst✝ : Module R M''
I : Ideal R
N : Submodule R M
r : R
\u22a2 IsSMulRegular (M ⧸ N) r → r • ⊤ ⊓ N ≤ r • N
-- Mathlib/RingTheory/Regular/IsSMulRegular.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : AddCommGroup M''
inst✝ : Module R M''
I : Ideal R
N : Submodule R M
r : R
a✝ : IsSMulRegular (M ⧸ N) r
\u22a2 r • ⊤ ⊓ N = map (DistribMulAction.toLinearMap R M r) (comap ((LinearMap.lsmul R M) r) N)
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
z : ℂ
\u22a2 |z.re| ≤ abs z
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
z : ℂ
\u22a2 z.re * z.re ≤ normSq z
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
j : Fin n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ 0
\u22a2 j < i.pred hi ↔ j.succ < i
-- Mathlib/Analysis/Convex/Exposed.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B✝ C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A B : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A B
\u22a2 ∃ l a, B = {x | x ∈ A ∧ a ≤ l x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Exposed.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A ∅
\u22a2 ∃ l a, ∅ = {x | x ∈ A ∧ a ≤ l x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Exposed.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B✝ C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A B : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A B
hB : B.Nonempty
\u22a2 ∃ l a, B = {x | x ∈ A ∧ a ≤ l x}
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c d a b : G
\u22a2 a / (a * b) = b⁻¹
-- Mathlib/RepresentationTheory/Character.lean
k : Type u
inst✝¹ : Field k
G : Type u
inst✝ : Group G
V W : FDRep k G
g : G
\u22a2 (of (linHom V.ρ W.ρ)).character g = V.character g⁻¹ * W.character g
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∈ s
\u22a2 a * (s.erase a).prod = s.prod
-- Mathlib/Data/DFinsupp/WellFounded.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)
inst✝ : DecidableEq ι
i✝ i : ι
h✝ : ∀ (y : ι), (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y i → Acc (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y
ih : ∀ (y : ι), (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y i → ∀ (a : α y), Acc (DFinsupp.Lex r s) (single y a)
\u22a2 ∀ (a : α i), Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i a)
-- Mathlib/Data/DFinsupp/WellFounded.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)
inst✝ : DecidableEq ι
i✝ i : ι
h✝ : ∀ (y : ι), (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y i → Acc (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y
ih : ∀ (y : ι), (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y i → ∀ (a : α y), Acc (DFinsupp.Lex r s) (single y a)
a✝ a : α i
ha : ∀ (y : α i), s i y a → (fun x => Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i x)) y
\u22a2 (fun x => Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i x)) a
-- Mathlib/Data/DFinsupp/WellFounded.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
hs✝ : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)
inst✝ : DecidableEq ι
i✝ i : ι
h✝ : ∀ (y : ι), (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y i → Acc (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y
ih : ∀ (y : ι), (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y i → ∀ (a : α y), Acc (DFinsupp.Lex r s) (single y a)
a✝ a : α i
ha : ∀ (y : α i), s i y a → (fun x => Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i x)) y
x : Π₀ (i : ι), α i
k : ι
hr : ∀ (j : ι), r j k → x j = (single i a) j
hs : s k (x k) ((single i a) k)
\u22a2 Acc (DFinsupp.Lex r s) x