ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s
\u22a2 ContDiffOn 𝕜 ⊤ f s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (fun y => fderiv 𝕜 f y) s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : IsOpen s
\u22a2 DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (fun y => fderiv 𝕜 f y) s
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Dyadic.lean
m : ℤ
n k : ℕ
\u22a2 ↑m * 2 ^ n * powHalf (n + k) = ↑m * powHalf k
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Dyadic.lean
m : ℤ
n k : ℕ
\u22a2 ↑m * (2 ^ n * powHalf (n + k)) = ↑m * powHalf k
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Dyadic.lean
m : ℤ
n k : ℕ
\u22a2 2 ^ n * powHalf (n + k) = powHalf k
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
p : ι → LieSubmodule R L M
x : M
\u22a2 x ∈ ⨅ i, p i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ p i
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
p : ι → LieSubmodule R L M
x : M
\u22a2 (∀ (i : ι), x ∈ ↑(p i)) ↔ ∀ (i : ι), x ∈ p i
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝³ : AddMonoid α
inst✝² : Neg β
inst✝¹ : Group γ
inst✝ : DistribMulAction γ α
h : Antiperiodic f c
a : γ
x : α
\u22a2 (fun x => f (a • x)) (x + a⁻¹ • c) = -(fun x => f (a • x)) x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMul 𝕜 α
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
g✝ : β → α
g : E → β
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfg : EqOn f g s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
\u22a2 g (a • x + b • y) < a • g x + b • g y
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hf : Measurable f
hg : Measurable g
\u22a2 ∫⁻ (a : β), f a ∂Measure.map g μ = ∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hf : Measurable f
hg : Measurable g
\u22a2 ⨆ n, (eapprox f n).lintegral (Measure.map g μ) = ⨆ n, (eapprox (f ∘ g) n).lintegral μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hf : Measurable f
hg : Measurable g
n : ℕ
\u22a2 (eapprox f n).lintegral (Measure.map g μ) = (eapprox (f ∘ g) n).lintegral μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hf : Measurable f
hg : Measurable g
n : ℕ
\u22a2 eapprox (f ∘ g) n = (eapprox f n).comp g hg
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
hf : Measurable f
hg : Measurable g
n : ℕ
x : α
\u22a2 ↑(eapprox (f ∘ g) n) x = ↑((eapprox f n).comp g hg) x
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
h : Continuous f
\u22a2 ContinuousOn f s
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
h : ContinuousOn f univ
\u22a2 ContinuousOn f s
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ closure U
\u22a2 ‖f z‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ frontier U ∨ z ∈ U
\u22a2 ‖f z‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
\u22a2 ‖f z‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
\u22a2 ‖f z‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)
\u22a2 ‖f z‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
\u22a2 ‖f z‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
hd : DiffContOnCl ℂ f U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hL : AntilipschitzWith (nndist z w)⁻¹ e
\u22a2 ‖f z‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hL : AntilipschitzWith (nndist z w)⁻¹ e
hd : DiffContOnCl ℂ (f ∘ e) (e ⁻¹' U)
\u22a2 ‖f z‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hL : AntilipschitzWith (nndist z w)⁻¹ e
hd : DiffContOnCl ℂ (f ∘ e) (e ⁻¹' U)
h₀ : 0 ∈ e ⁻¹' U
\u22a2 ‖f z‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : Nontrivial E
f : E → F
U : Set E
hU : Bornology.IsBounded U
C : ℝ
hC : ∀ z ∈ frontier U, ‖f z‖ ≤ C
z : E
hz : z ∈ U
w : E
hne : w ≠ z
e : ℂ → E := ⇑(lineMap z w)
hde : Differentiable ℂ e
hL : AntilipschitzWith (nndist z w)⁻¹ e
hd : DiffContOnCl ℂ (f ∘ e) (e ⁻¹' U)
h₀ : 0 ∈ e ⁻¹' U
ζ : ℂ
hζU : ζ ∈ frontier (e ⁻¹' U)
hζ : IsMaxOn (norm ∘ f ∘ e) (closure (e ⁻¹' U)) ζ
\u22a2 ‖f z‖ ≤ C
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s✝ : Set α
hs✝ : MeasurableSet s✝
hμs✝ : μ s✝ ≠ ⊤
c✝ : E
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
c : E
\u22a2 ↑↑(indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c) =ᶠ[ae μ] ↑↑(indicatorConstLp p hs hμs c + indicatorConstLp p ht hμt c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s✝ : Set α
hs✝ : MeasurableSet s✝
hμs✝ : μ s✝ ≠ ⊤
c✝ : E
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
c : E
\u22a2 ((s ∪ t).indicator fun x => c) =ᶠ[ae μ] ↑↑(indicatorConstLp p hs hμs c) + ↑↑(indicatorConstLp p ht hμt c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s✝ : Set α
hs✝ : MeasurableSet s✝
hμs✝ : μ s✝ ≠ ⊤
c✝ : E
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅
c : E
\u22a2 ((s ∪ t).indicator fun x => c) =ᶠ[ae μ] fun x => s.indicator (fun x => c) x + t.indicator (fun x => c) x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
hs : s.einfsep < ⊤
\u22a2 s.Nontrivial
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
hs : s.einfsep < ⊤
w✝¹ : α
hx : w✝¹ ∈ s
w✝ : α
hy : w✝ ∈ s
hxy : w✝¹ ≠ w✝
right✝ : edist w✝¹ w✝ < ⊤
\u22a2 s.Nontrivial
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
\u22a2 ((Algebra.norm R[X]) (p • 1 + q • (mk W) Y)).degree = max (2 • p.degree) (2 • q.degree + 3)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hdp : (p ^ 2).degree = 2 • p.degree
\u22a2 ((Algebra.norm R[X]) (p • 1 + q • (mk W) Y)).degree = max (2 • p.degree) (2 • q.degree + 3)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hdp : (p ^ 2).degree = 2 • p.degree
hdpq : (p * q * (C W.a₁ * X + C W.a₃)).degree ≤ p.degree + q.degree + 1
\u22a2 ((Algebra.norm R[X]) (p • 1 + q • (mk W) Y)).degree = max (2 • p.degree) (2 • q.degree + 3)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hdp : (p ^ 2).degree = 2 • p.degree
hdpq : (p * q * (C W.a₁ * X + C W.a₃)).degree ≤ p.degree + q.degree + 1
hdq : (q ^ 2 * (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)).degree = 2 • q.degree + 3
\u22a2 ((Algebra.norm R[X]) (p • 1 + q • (mk W) Y)).degree = max (2 • p.degree) (2 • q.degree + 3)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hdp : (p ^ 2).degree = 2 • p.degree
hdpq : (p * q * (C W.a₁ * X + C W.a₃)).degree ≤ p.degree + q.degree + 1
hdq : (q ^ 2 * (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)).degree = 2 • q.degree + 3
\u22a2 (p ^ 2 - p * q * (C W.a₁ * X + C W.a₃) - q ^ 2 * (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)).degree = max (2 • p.degree) (2 • q.degree + 3)
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
\u22a2 f '' s = t ↔ SurjOn f s t ∧ MapsTo f s t
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
\u22a2 f '' s = t → SurjOn f s t ∧ MapsTo f s t
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
\u22a2 SurjOn f s (f '' s) ∧ MapsTo f s (f '' s)
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : AddMonoid β
f : ℕ →+ β
n : ℕ
\u22a2 f n = n • f 1
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : Semifield R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : HasContinuousInv₀ R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a✝ : A
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
a : Aˣ
n : ℤ
ha : autoParam (p ↑a) _auto✝
\u22a2 cfc (fun x => x ^ n) ↑a = ↑(a ^ n)
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
f : Bool → Bool → Bool
n : ℕ
\u22a2 (if n = 0 then if f false true = true then 0 else 0 else if 0 = 0 then if f true false = true then n else 0 else let n' := n / 2; let m' := 0 / 2; let b₁ := n % 2 = 1; let b₂ := 0 % 2 = 1; let r := bitwise f n' m'; if f (decide b₁) (decide b₂) = true then r + r + 1 else r + r) = if f true false = true then n else 0
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
f : Bool → Bool → Bool
n : ℕ
\u22a2 n = 0 → 0 = if f true false = true then n else 0
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
hg : ∀ i ∈ s, 0 ≤ g i
\u22a2 ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
n : ℕ
\u22a2 a + ↑n = b + ↑n ↔ a = b
-- Mathlib/Algebra/Group/Conj.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Monoid α
a b : α
h : conjugatesOf a = conjugatesOf b
\u22a2 IsConj a b
-- Mathlib/Algebra/Group/Conj.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Monoid α
a b : α
h : conjugatesOf a = conjugatesOf b
ha : b ∈ conjugatesOf b
\u22a2 IsConj a b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Free R M
n : ℕ
h : Module.rank R M = ↑n
a✝ : Nontrivial R
\u22a2 Finite R M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Free R M
n : ℕ
h : Module.rank R M = ↑n
a✝ : Nontrivial R
ι : Type v
b : Basis ι R M
\u22a2 Finite R M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Free R M
n : ℕ
h : Module.rank R M = ↑n
a✝ : Nontrivial R
ι : Type v
b : Basis ι R M
this : _root_.Finite ι
\u22a2 Finite R M
-- Mathlib/FieldTheory/SplittingField/IsSplittingField.lean
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra F L
inst✝² : IsScalarTower F K L
f g : F[X]
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
inst✝¹ : IsSplittingField F K f
inst✝ : IsSplittingField K L (Polynomial.map (algebraMap F K) g)
\u22a2 Algebra.adjoin F ((f * g).rootSet L) = ⊤
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneContinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : StrictMonoOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioc (f a) b
\u22a2 ContinuousWithinAt f (Ici a) a
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneContinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : StrictMonoOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioc (f a) b
ha : a ∈ Ici a
\u22a2 ContinuousWithinAt f (Ici a) a
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneContinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : StrictMonoOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioc (f a) b
ha : a ∈ Ici a
has : a ∈ s
\u22a2 ContinuousWithinAt f (Ici a) a
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneContinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : StrictMonoOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioc (f a) b
ha : a ∈ Ici a
has : a ∈ s
b : β
hb : b < f a
\u22a2 ∀ᶠ (b_1 : α) in 𝓝[≥] a, b < f b_1
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneContinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : StrictMonoOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioc (f a) b
ha : a ∈ Ici a
has : a ∈ s
b : β
hb : b > f a
\u22a2 ∀ᶠ (b_1 : α) in 𝓝[≥] a, f b_1 < b
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v (y - x) < v x
\u22a2 v y = v x
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v (y - x) < v x
this : v (y - x + x) = max (v (y - x)) (v x)
\u22a2 v y = v x
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v (y - x) < v x
this : v (y - x + x) = v x
\u22a2 v y = v x
-- Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : SMulWithZero α β
f : Filter α
g : Filter β
hg : g.NeBot
s : Set β
hs : s ∈ g
\u22a2 (fun x => 0 • x) '' s ∈ 0
-- Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : SMulWithZero α β
f : Filter α
g : Filter β
hg : g.NeBot
s : Set β
hs : s ∈ g
\u22a2 {0} ∈ 0
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hq : 0 ≤ q
\u22a2 ENNReal.ofReal (p - q) = ENNReal.ofReal p - ENNReal.ofReal q
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hq : 0 ≤ q
h : p ≤ q
\u22a2 ENNReal.ofReal (p - q) = ENNReal.ofReal p - ENNReal.ofReal q
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hq : 0 ≤ q
h : q ≤ p
\u22a2 ENNReal.ofReal (p - q) = ENNReal.ofReal p - ENNReal.ofReal q
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hq : 0 ≤ q
h : q ≤ p
\u22a2 ENNReal.ofReal (p - q) + ENNReal.ofReal q = ENNReal.ofReal p
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Basic.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x y : 𝕎 R
\u22a2 WittVector.ghostFun (x + y) = WittVector.ghostFun x + WittVector.ghostFun y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card
\u22a2 IsConj σ τ
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card
\u22a2 ∀ (x : α) (hx : x ∈ ↑σ.support), ↑((hσ.zpowersEquivSupport.symm.trans ((zpowersEquivZPowers ⋯).trans hτ.zpowersEquivSupport)) ⟨σ x, ⋯⟩) = τ ↑((hσ.zpowersEquivSupport.symm.trans ((zpowersEquivZPowers ⋯).trans hτ.zpowersEquivSupport)) ⟨x, hx⟩)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card
x : α
hx : x ∈ ↑σ.support
\u22a2 ↑((hσ.zpowersEquivSupport.symm.trans ((zpowersEquivZPowers ⋯).trans hτ.zpowersEquivSupport)) ⟨σ x, ⋯⟩) = τ ↑((hσ.zpowersEquivSupport.symm.trans ((zpowersEquivZPowers ⋯).trans hτ.zpowersEquivSupport)) ⟨x, hx⟩)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card
x : α
hx : x ∈ ↑σ.support
\u22a2 ↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) (hσ.zpowersEquivSupport.symm ⟨σ x, ⋯⟩))) = τ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) (hσ.zpowersEquivSupport.symm ⟨x, hx⟩)))
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card
n : ℕ
hx : (σ ^ n) (Classical.choose hσ) ∈ ↑σ.support
\u22a2 ↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) (hσ.zpowersEquivSupport.symm ⟨σ ((σ ^ n) (Classical.choose hσ)), ⋯⟩))) = τ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) (hσ.zpowersEquivSupport.symm ⟨(σ ^ n) (Classical.choose hσ), hx⟩)))
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card
n : ℕ
hx : (σ ^ n) (Classical.choose hσ) ∈ ↑σ.support
\u22a2 ↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) (hσ.zpowersEquivSupport.symm ⟨σ ((σ ^ n) (Classical.choose hσ)), ⋯⟩))) = τ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) ⟨σ ^ n, ⋯⟩))