ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
h₁ : H
w₂ : Word G
h₂ : H
hw₂ : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w₂.toList → g ∈ d.set i
hw₁✝ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ (((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂).toList → g ∈ d.set i_1
hw₁ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ i) (h₁⁻¹ * h₂)) • w₂).toList → g ∈ d.set i_1
this : h₁⁻¹ * h₂ = 1
\u22a2 { toWord := ((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂, head := h₁, normalized := hw₁✝ } = { toWord := w₂, head := h₂, normalized := hw₂ }
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
h₁ : H
w₂ : Word G
h₂ : H
hw₂ : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w₂.toList → g ∈ d.set i
hw₁✝ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ (((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂).toList → g ∈ d.set i_1
hw₁ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ i) (h₁⁻¹ * h₂)) • w₂).toList → g ∈ d.set i_1
this : h₁ = h₂
\u22a2 { toWord := ((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂, head := h₁, normalized := hw₁✝ } = { toWord := w₂, head := h₂, normalized := hw₂ }
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α
\u22a2 bliminf s cofinite p = {x | {n | p n ∧ x ∉ s n}.Finite}
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α
\u22a2 (bliminf s cofinite p)ᶜ = {x | {n | p n ∧ x ∉ s n}.Finite}ᶜ
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α
\u22a2 {x | {n | p n ∧ x ∈ (s n)ᶜ}.Infinite} = {x | {n | p n ∧ x ∉ s n}.Finite}ᶜ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : MeasurableSpace E
inst✝¹¹ : BorelSpace E
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁹ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
s : Set E
ι : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
b : Basis ι ℝ G
v : ι → G
\u22a2 b.addHaar (parallelepiped v) = ENNReal.ofReal |b.det v|
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : MeasurableSpace E
inst✝¹¹ : BorelSpace E
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁹ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
s : Set E
ι : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
b : Basis ι ℝ G
v : ι → G
this : FiniteDimensional ℝ G
\u22a2 b.addHaar (parallelepiped v) = ENNReal.ofReal |b.det v|
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : MeasurableSpace E
inst✝¹¹ : BorelSpace E
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁹ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
s : Set E
ι : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
b : Basis ι ℝ G
v : ι → G
this : FiniteDimensional ℝ G
A : parallelepiped v = ⇑((b.constr ℕ) v) '' parallelepiped ⇑b
\u22a2 b.addHaar (parallelepiped v) = ENNReal.ofReal |b.det v|
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : DivisionSemiring R
f : ArithmeticFunction R
n : ℕ
\u22a2 (f.pdiv ↑ζ) n = f n
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R : Sheaf J RingCat
inst✝ : J.HasSheafCompose (forget₂ RingCat AddCommGrp)
M N : SheafOfModules R
s : M.sections
p : M ⟶ N
\u22a2 N.unitHomEquiv (M.unitHomEquiv.symm s ≫ p) = N.unitHomEquiv (N.unitHomEquiv.symm (sectionsMap p s))
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
a : α
n k : ℕ
\u22a2 ((replicate n a).rotate k).length = n
-- Mathlib/Data/Vector/MapLemmas.lean
α : Type u_2
n : ℕ
β : Type u_1
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ : Type
f : α → σ → σ × β
s₀ : σ
S : Set σ
h₀ : s₀ ∈ S
closure : ∀ (a : α), ∀ s ∈ S, (f a s).1 ∈ S
out : ∀ (a : α) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a s).2 = (f a s').2
\u22a2 (mapAccumr f xs s₀).2 = map (fun x => (f x s₀).2) xs
-- Mathlib/Data/Vector/MapLemmas.lean
α : Type u_2
n : ℕ
β : Type u_1
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ : Type
f : α → σ → σ × β
s₀ : σ
S : Set σ
h₀ : s₀ ∈ S
closure : ∀ (a : α), ∀ s ∈ S, (f a s).1 ∈ S
out : ∀ (a : α) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a s).2 = (f a s').2
\u22a2 (mapAccumr f xs s₀).2 = (mapAccumr (fun x x_1 => ((), (f x s₀).2)) xs ()).2
-- Mathlib/Data/Vector/MapLemmas.lean
α : Type u_2
n : ℕ
β : Type u_1
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ : Type
f : α → σ → σ × β
s₀ : σ
S : Set σ
h₀ : s₀ ∈ S
closure : ∀ (a : α), ∀ s ∈ S, (f a s).1 ∈ S
out : ∀ (a : α) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a s).2 = (f a s').2
\u22a2 ∃ R, R s₀ () ∧ ∀ {s : σ} {q : Unit} (a : α), R s q → R (f a s).1 ((), (f a s₀).2).1 ∧ (f a s).2 = ((), (f a s₀).2).2
-- Mathlib/Data/Vector/MapLemmas.lean
α : Type u_2
n : ℕ
β : Type u_1
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ : Type
f : α → σ → σ × β
s₀ : σ
S : Set σ
h₀ : s₀ ∈ S
closure : ∀ (a : α), ∀ s ∈ S, (f a s).1 ∈ S
out : ∀ (a : α) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a s).2 = (f a s').2
\u22a2 ∀ {s : σ} {q : Unit} (a : α), s ∈ S → (f a s).1 ∈ S ∧ (f a s).2 = ((), (f a s₀).2).2
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Restrict.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²² : Semifield R
inst✝²¹ : StarRing R
inst✝²⁰ : MetricSpace R
inst✝¹⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁸ : ContinuousStar R
inst✝¹⁷ : Field S
inst✝¹⁶ : StarRing S
inst✝¹⁵ : MetricSpace S
inst✝¹⁴ : TopologicalRing S
inst✝¹³ : ContinuousStar S
inst✝¹² : TopologicalSpace A
inst✝¹¹ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Module S A
inst✝⁸ : IsScalarTower S A A
inst✝⁷ : SMulCommClass S A A
inst✝⁶ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R S A
inst✝² : StarModule R S
inst✝¹ : ContinuousSMul R S
inst✝ : CompleteSpace R
a : A
φ : C(↑(σₙ S a), S)₀ →⋆ₙₐ[S] A
hφ : ClosedEmbedding ⇑φ
f : C(S, R)
h : QuasispectrumRestricts a ⇑f
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
h_cpct : CompactSpace ↑(σₙ S a)
\u22a2 ClosedEmbedding ⇑(nonUnitalStarAlgHom φ h)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Restrict.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²² : Semifield R
inst✝²¹ : StarRing R
inst✝²⁰ : MetricSpace R
inst✝¹⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁸ : ContinuousStar R
inst✝¹⁷ : Field S
inst✝¹⁶ : StarRing S
inst✝¹⁵ : MetricSpace S
inst✝¹⁴ : TopologicalRing S
inst✝¹³ : ContinuousStar S
inst✝¹² : TopologicalSpace A
inst✝¹¹ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Module S A
inst✝⁸ : IsScalarTower S A A
inst✝⁷ : SMulCommClass S A A
inst✝⁶ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R S A
inst✝² : StarModule R S
inst✝¹ : ContinuousSMul R S
inst✝ : CompleteSpace R
a : A
φ : C(↑(σₙ S a), S)₀ →⋆ₙₐ[S] A
hφ : ClosedEmbedding ⇑φ
f : C(S, R)
h : QuasispectrumRestricts a ⇑f
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
h_cpct : CompactSpace ↑(σₙ S a)
this : CompactSpace ↑(σₙ R a)
\u22a2 ClosedEmbedding ⇑(nonUnitalStarAlgHom φ h)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Restrict.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²² : Semifield R
inst✝²¹ : StarRing R
inst✝²⁰ : MetricSpace R
inst✝¹⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁸ : ContinuousStar R
inst✝¹⁷ : Field S
inst✝¹⁶ : StarRing S
inst✝¹⁵ : MetricSpace S
inst✝¹⁴ : TopologicalRing S
inst✝¹³ : ContinuousStar S
inst✝¹² : TopologicalSpace A
inst✝¹¹ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Module S A
inst✝⁸ : IsScalarTower S A A
inst✝⁷ : SMulCommClass S A A
inst✝⁶ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R S A
inst✝² : StarModule R S
inst✝¹ : ContinuousSMul R S
inst✝ : CompleteSpace R
a : A
φ : C(↑(σₙ S a), S)₀ →⋆ₙₐ[S] A
hφ : ClosedEmbedding ⇑φ
f : C(S, R)
h : QuasispectrumRestricts a ⇑f
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
h_cpct : CompactSpace ↑(σₙ S a)
this✝ : CompactSpace ↑(σₙ R a)
this : h.homeomorph.symm 0 = 0
\u22a2 ClosedEmbedding ⇑(nonUnitalStarAlgHom φ h)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : α → Prop
\u22a2 (∃ x ∈ ∅, p x) ↔ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Minpoly.lean
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
p : K[X]
μ : K
x : V
h : f.HasEigenvector μ x
\u22a2 ((aeval f) p) x = eval μ p • x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Minpoly.lean
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
p : K[X]
μ : K
x : V
h : f.HasEigenvector μ x
\u22a2 ∀ (a : K), ((aeval f) (C a)) x = eval μ (C a) • x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Minpoly.lean
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
p : K[X]
μ : K
x : V
h : f.HasEigenvector μ x
\u22a2 ∀ (p q : K[X]), ((aeval f) p) x = eval μ p • x → ((aeval f) q) x = eval μ q • x → ((aeval f) (p + q)) x = eval μ (p + q) • x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Minpoly.lean
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
p : K[X]
μ : K
x : V
h : f.HasEigenvector μ x
\u22a2 ∀ (n : ℕ) (a : K), ((aeval f) (C a * X ^ n)) x = eval μ (C a * X ^ n) • x → ((aeval f) (C a * X ^ (n + 1))) x = eval μ (C a * X ^ (n + 1)) • x
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
\u22a2 (f.pmul g) (m * n) = (f.pmul g) m * (f.pmul g) n
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
\u22a2 f m * f n * (g m * g n) = f m * g m * (f n * g n)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
h : f.SameCycle x y
hx : x ∈ f.support
\u22a2 ∃ i < (f.cycleOf x).support.card, (f ^ i) x = y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
h : f.SameCycle x y
hx : f x ≠ x
\u22a2 ∃ i < (f.cycleOf x).support.card, (f ^ i) x = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : OplaxMonoidalFunctor C D
G : OplaxMonoidalFunctor D E
X Y : C
f : X ⟶ Y
X' : C
\u22a2 (fun X Y => G.map (F.δ X Y) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y)) X X' ≫ __src✝.map f ▷ __src✝.obj X' = __src✝.map (f ▷ X') ≫ (fun X Y => G.map (F.δ X Y) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y)) Y X'
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : OplaxMonoidalFunctor C D
G : OplaxMonoidalFunctor D E
X Y f : C
X' : X ⟶ Y
\u22a2 (fun X Y => G.map (F.δ X Y) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y)) f X ≫ __src✝.obj f ◁ __src✝.map X' = __src✝.map (f ◁ X') ≫ (fun X Y => G.map (F.δ X Y) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y)) f Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : OplaxMonoidalFunctor C D
G : OplaxMonoidalFunctor D E
X Y Z : C
\u22a2 (G.map (F.δ (X ⊗ Y) Z) ≫ G.δ (F.obj (X ⊗ Y)) (F.obj Z)) ≫ (G.map (F.δ X Y) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y)) ▷ G.obj (F.obj Z) ≫ (α_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y)) (G.obj (F.obj Z))).hom = G.map (F.map (α_ X Y Z).hom) ≫ (G.map (F.δ X (Y ⊗ Z)) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj (Y ⊗ Z))) ≫ G.obj (F.obj X) ◁ (G.map (F.δ Y Z) ≫ G.δ (F.obj Y) (F.obj Z))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : OplaxMonoidalFunctor C D
G : OplaxMonoidalFunctor D E
X Y Z : C
\u22a2 G.map (F.δ (X ⊗ Y) Z) ≫ G.map (F.δ X Y ▷ F.obj Z) ≫ G.δ (F.obj X ⊗ F.obj Y) (F.obj Z) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y) ▷ G.obj (F.obj Z) ≫ (α_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y)) (G.obj (F.obj Z))).hom = G.map (F.map (α_ X Y Z).hom) ≫ G.map (F.δ X (Y ⊗ Z)) ≫ G.map (F.obj X ◁ F.δ Y Z) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y ⊗ F.obj Z) ≫ G.obj (F.obj X) ◁ G.δ (F.obj Y) (F.obj Z)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : OplaxMonoidalFunctor C D
G : OplaxMonoidalFunctor D E
X Y Z : C
\u22a2 G.map (F.δ (X ⊗ Y) Z) ≫ G.map (F.δ X Y ▷ F.obj Z) ≫ G.δ (F.obj X ⊗ F.obj Y) (F.obj Z) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y) ▷ G.obj (F.obj Z) ≫ (α_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y)) (G.obj (F.obj Z))).hom = (G.map (F.δ (X ⊗ Y) Z ≫ F.δ X Y ▷ F.obj Z ≫ (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y ⊗ F.obj Z)) ≫ G.obj (F.obj X) ◁ G.δ (F.obj Y) (F.obj Z)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : OplaxMonoidalFunctor C D
G : OplaxMonoidalFunctor D E
X Y Z : C
\u22a2 G.map (F.δ (X ⊗ Y) Z) ≫ G.map (F.δ X Y ▷ F.obj Z) ≫ G.map (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y ⊗ F.obj Z) ≫ G.obj (F.obj X) ◁ G.δ (F.obj Y) (F.obj Z) = (G.map (F.δ (X ⊗ Y) Z ≫ F.δ X Y ▷ F.obj Z ≫ (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y ⊗ F.obj Z)) ≫ G.obj (F.obj X) ◁ G.δ (F.obj Y) (F.obj Z)
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
i j : ι
w : NeWord M i j
\u22a2 w.toList.getLast? = some ⟨j, w.last⟩
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
i j : ι
w : NeWord M i j
\u22a2 ⟨j, w.last⟩ ∈ w.toList.getLast?
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Pow.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : LinearOrder M
inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : M
h : a ^ 2 < b * c
\u22a2 a < max b c
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b : α
inst✝ : IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set α
a : α
\u22a2 BddAbove (insert a s) ↔ BddAbove s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Analytic.lean
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
z : ℂ
x : E
s : Set E
\u22a2 AnalyticOn ℂ cexp univ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Analytic.lean
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
z : ℂ
x : E
s : Set E
\u22a2 Differentiable ℂ cexp
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Range.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : Semiring R₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
inst✝² : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
\u22a2 range f.rangeRestrict = ⊤
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
k : ℕ
hk : range (k + 1) \ {0} = image Nat.succ (range k)
\u22a2 range (k + 1 + 1) \ {0} = image Nat.succ (range (k + 1))
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
k : ℕ
hk : range (k + 1) \ {0} = image Nat.succ (range k)
\u22a2 range (k + 1 + 1) \ {0} = image Nat.succ (insert k (range k))
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
k : ℕ
hk : range (k + 1) \ {0} = image Nat.succ (range k)
\u22a2 k + 1 ∉ {0}
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/StructuredArrow.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
T T' T'' : D
Y Y' Y'' : C
S✝ S' : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} A
B : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} B
F : B ⥤ C
G : C ⥤ D
S : C
X✝ Y✝ : CostructuredArrow F S
f : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 (F ⋙ G).map f.left ≫ ((fun X => mk (G.map X.hom)) Y✝).hom = ((fun X => mk (G.map X.hom)) X✝).hom
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
a : K
\u22a2 root (X ^ n - C a) ^ n = (of (X ^ n - C a)) a
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : Group G
inst✝² : AddGroup A
s : Set G
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulDistribMulAction α G
H : Subgroup G
h : G
hh : h ∈ H
this : {x | x ∈ H} = ↑H
\u22a2 ↑H * {h} = ↑H
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m✝ : OuterMeasure α
ι : Type u_2
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α
\u22a2 (sum fun i => (m i).trim) s ≤ (sum m).trim s
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m✝ : OuterMeasure α
ι : Type u_2
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α
\u22a2 ∀ (i : Set α), s ⊆ i → MeasurableSet i → ∑' (i : ι), ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), (m i) t ≤ ∑' (i_3 : ι), (m i_3) i
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/InnerProductSpace.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
\u22a2 o.volumeForm.measure (parallelepiped ⇑b) = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/InnerProductSpace.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
e : ι ≃ Fin n
\u22a2 o.volumeForm.measure (parallelepiped ⇑b) = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/InnerProductSpace.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
e : ι ≃ Fin n
A : ⇑b = ⇑(b.reindex e) ∘ ⇑e
\u22a2 o.volumeForm.measure (parallelepiped ⇑b) = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Torsion.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : Monoid G
\u22a2 ¬IsTorsion G ↔ ∃ g, ¬IsOfFinOrder g
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x : M
\u22a2 Q.IsOrtho x 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H H' : G.Subgraph
hle : H ≤ H'
hv : H.verts = H'.verts
h : H.Connected
\u22a2 H'.Connected
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H H' : G.Subgraph
hle : H ≤ H'
hv : H.verts = H'.verts
h : H.Connected
\u22a2 (H'.copy H.verts hv H'.Adj ⋯).Connected
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H H' : G.Subgraph
hle : H ≤ H'
hv : H.verts = H'.verts
h : H.Connected
\u22a2 H.coe ≤ (H'.copy H.verts hv H'.Adj ⋯).coe
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H H' : G.Subgraph
hle : H ≤ H'
hv✝ : H.verts = H'.verts
h : H.Connected
v : V
hv : v ∈ H.verts
w : V
hw : w ∈ H.verts
hvw : H.coe.Adj ⟨v, hv⟩ ⟨w, hw⟩
\u22a2 (H'.copy H.verts hv✝ H'.Adj ⋯).coe.Adj ⟨v, hv⟩ ⟨w, hw⟩
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n✝ : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
n : ℕ∞
h : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → DifferentiableOn 𝕜 (iteratedDerivWithin m f s) s
\u22a2 ContDiffOn 𝕜 n f s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n✝ : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
n : ℕ∞
h : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → DifferentiableOn 𝕜 (iteratedDerivWithin m f s) s
\u22a2 ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → DifferentiableOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s) s
-- Mathlib/Algebra/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
g₁ g₂ : G
p : P
h : g₁ +ᵥ p = g₂ +ᵥ p
\u22a2 g₁ = g₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/StructuredArrow.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
S✝ S' S'' : D
Y Y' Y'' : C
T T' : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} A
B : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} B
S : C
F : B ⥤ C
G : C ⥤ D
X✝ Y✝ : StructuredArrow S F
f : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 ((fun X => mk (G.map X.hom)) X✝).hom ≫ (F ⋙ G).map f.right = ((fun X => mk (G.map X.hom)) Y✝).hom
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/Basic.lean
x : 𝓞 ℚ
\u22a2 IsUnit x ↔ ↑x = 1 ∨ ↑x = -1
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/Basic.lean
x : 𝓞 ℚ
\u22a2 ↑x = ↑1 ∨ ↑x = ↑(-1) ↔ ↑x = 1 ∨ ↑x = -1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.IsThreeCycle
\u22a2 σ.support.card = 3
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Bernstein.lean
n ν : ℕ
x : ↑I
\u22a2 0 ≤ (bernstein n ν) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Bernstein.lean
n ν : ℕ
x : ↑I
\u22a2 0 ≤ ↑(n.choose ν) * ↑x ^ ν * (1 - ↑x) ^ (n - ν)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Bernstein.lean
n ν : ℕ
x : ↑I
h₁ : 0 ≤ ↑x
\u22a2 0 ≤ ↑(n.choose ν) * ↑x ^ ν * (1 - ↑x) ^ (n - ν)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Bernstein.lean
n ν : ℕ
x : ↑I
h₁ : 0 ≤ ↑x
h₂ : 0 ≤ 1 - ↑x
\u22a2 0 ≤ ↑(n.choose ν) * ↑x ^ ν * (1 - ↑x) ^ (n - ν)