ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
\u22a2 ∫⁻ (x_1 : α) in t, ↑‖↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) x_1‖₊ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
\u22a2 μ (s ∩ t) * ↑‖x‖₊ ≤ μ s * ↑‖x‖₊
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
\u22a2 s ∩ t ⊆ s
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Multinomial.lean
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≠ b
\u22a2 multinomial {a, b} f = (f a + f b).choose (f a)
-- Mathlib/RepresentationTheory/Maschke.lean
k : Type u
inst✝⁷ : Field k
G : Type u
inst✝⁶ : Fintype G
inst✝⁵ : Invertible ↑(Fintype.card G)
inst✝⁴ : Group G
V : Type u
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module (MonoidAlgebra k G) V
W : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) W
f : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W
hf : LinearMap.ker f = ⊥
A : Type u := MonoidAlgebra k G
this✝ : Module k W := Module.compHom W (algebraMap k A)
this : Module k V := Module.compHom V (algebraMap k A)
\u22a2 ∃ g, g ∘ₗ f = LinearMap.id
-- Mathlib/RepresentationTheory/Maschke.lean
k : Type u
inst✝⁷ : Field k
G : Type u
inst✝⁶ : Fintype G
inst✝⁵ : Invertible ↑(Fintype.card G)
inst✝⁴ : Group G
V : Type u
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module (MonoidAlgebra k G) V
W : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) W
f : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W
hf : LinearMap.ker f = ⊥
A : Type u := MonoidAlgebra k G
this✝¹ : Module k W := Module.compHom W (algebraMap k A)
this✝ : Module k V := Module.compHom V (algebraMap k A)
this : IsScalarTower k A W
\u22a2 ∃ g, g ∘ₗ f = LinearMap.id
-- Mathlib/RepresentationTheory/Maschke.lean
k : Type u
inst✝⁷ : Field k
G : Type u
inst✝⁶ : Fintype G
inst✝⁵ : Invertible ↑(Fintype.card G)
inst✝⁴ : Group G
V : Type u
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module (MonoidAlgebra k G) V
W : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) W
f : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W
hf : LinearMap.ker f = ⊥
A : Type u := MonoidAlgebra k G
this✝² : Module k W := Module.compHom W (algebraMap k A)
this✝¹ : Module k V := Module.compHom V (algebraMap k A)
this✝ : IsScalarTower k A W
this : IsScalarTower k A V
\u22a2 ∃ g, g ∘ₗ f = LinearMap.id
-- Mathlib/RepresentationTheory/Maschke.lean
k : Type u
inst✝⁷ : Field k
G : Type u
inst✝⁶ : Fintype G
inst✝⁵ : Invertible ↑(Fintype.card G)
inst✝⁴ : Group G
V : Type u
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module (MonoidAlgebra k G) V
W : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) W
f : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W
hf : LinearMap.ker f = ⊥
A : Type u := MonoidAlgebra k G
this✝² : Module k W := Module.compHom W (algebraMap k A)
this✝¹ : Module k V := Module.compHom V (algebraMap k A)
this✝ : IsScalarTower k A W
this : IsScalarTower k A V
φ : W →ₗ[k] V
hφ : φ ∘ₗ ↑k f = LinearMap.id
\u22a2 ∃ g, g ∘ₗ f = LinearMap.id
-- Mathlib/RepresentationTheory/Maschke.lean
k : Type u
inst✝⁷ : Field k
G : Type u
inst✝⁶ : Fintype G
inst✝⁵ : Invertible ↑(Fintype.card G)
inst✝⁴ : Group G
V : Type u
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module (MonoidAlgebra k G) V
W : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) W
f : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W
hf : LinearMap.ker f = ⊥
A : Type u := MonoidAlgebra k G
this✝² : Module k W := Module.compHom W (algebraMap k A)
this✝¹ : Module k V := Module.compHom V (algebraMap k A)
this✝ : IsScalarTower k A W
this : IsScalarTower k A V
φ : W →ₗ[k] V
hφ : φ ∘ₗ ↑k f = LinearMap.id
\u22a2 ∀ (x : V), (LinearMap.equivariantProjection G φ ∘ₗ f) x = LinearMap.id x
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsDomain B
h₁ : Finite ↑S
h₂ : IsCyclotomicExtension S A B
\u22a2 Module.Finite A B
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsDomain B
h₁ : Finite ↑S
h₂ : IsCyclotomicExtension S A B
h : Fintype ↑S
\u22a2 Module.Finite A B
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
K : Type w
L : Type z
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h₁ : Finite ↑S
h : Fintype ↑S
\u22a2 ∀ (A : Type u) (B : Type v) [inst : CommRing A] [inst_1 : CommRing B] [inst_2 : Algebra A B] [inst_3 : IsDomain B] [h₂ : IsCyclotomicExtension S A B], Module.Finite A B
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
K : Type w
L : Type z
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h₁ : Finite ↑S
h : Fintype ↑S
A : Type u
B : Type v
\u22a2 ∀ [inst : CommRing A] [inst_1 : CommRing B] [inst_2 : Algebra A B] [inst_3 : IsDomain B] [h₂ : IsCyclotomicExtension ∅ A B], Module.Finite A B
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n✝ : ℕ+
S✝ T : Set ℕ+
K : Type w
L : Type z
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h₁ : Finite ↑S✝
h : Fintype ↑S✝
n : ℕ+
S : Set ℕ+
x✝¹ : n ∉ S
x✝ : S.Finite
H : ∀ (A : Type u) (B : Type v) [inst : CommRing A] [inst_1 : CommRing B] [inst_2 : Algebra A B] [inst_3 : IsDomain B] [h₂ : IsCyclotomicExtension S A B], Module.Finite A B
A : Type u
B : Type v
\u22a2 ∀ [inst : CommRing A] [inst_1 : CommRing B] [inst_2 : Algebra A B] [inst_3 : IsDomain B] [h₂ : IsCyclotomicExtension (insert n S) A B], Module.Finite A B
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u + 1}
h : c < univ.{u, u + 1}
\u22a2 ∃ c', c = lift.{u + 1, u} c'
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u + 1}
h : c < univ.{u, u + 1}
this : c.ord < univ.{u, u + 1}.ord
\u22a2 ∃ c', c = lift.{u + 1, u} c'
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u + 1}
h : c < univ.{u, u + 1}
this : c.ord < Ordinal.univ.{u, u + 1}
\u22a2 ∃ c', c = lift.{u + 1, u} c'
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u + 1}
h : c < univ.{u, u + 1}
this : c.ord < Ordinal.univ.{u, u + 1}
o : Ordinal.{u}
e : lift.principalSeg.toRelEmbedding o = c.ord
\u22a2 ∃ c', c = lift.{u + 1, u} c'
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u + 1}
h : c < univ.{u, u + 1}
this✝ : c.ord < Ordinal.univ.{u, u + 1}
o : Ordinal.{u}
e : lift.principalSeg.toRelEmbedding o = c.ord
this : c.ord.card = c
\u22a2 ∃ c', c = lift.{u + 1, u} c'
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u + 1}
h : c < univ.{u, u + 1}
this✝ : c.ord < Ordinal.univ.{u, u + 1}
o : Ordinal.{u}
e : lift.principalSeg.toRelEmbedding o = c.ord
this : lift.{u + 1, u} o.card = c
\u22a2 ∃ c', c = lift.{u + 1, u} c'
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
\u22a2 (p.dropUntil u h).length ≤ p.length
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
this : ((p.takeUntil u h).append (p.dropUntil u h)).length = p.length
\u22a2 (p.dropUntil u h).length ≤ p.length
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
this : (p.dropUntil u h).length + (p.takeUntil u h).length = p.length
\u22a2 (p.dropUntil u h).length ≤ p.length
-- Mathlib/NumberTheory/Primorial.lean
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn : Odd n
\u22a2 (n + 1)# = n#
-- Mathlib/NumberTheory/Primorial.lean
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn : Odd n
\u22a2 filter Nat.Prime (range (n + 1 + 1)) = filter Nat.Prime (range (n + 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Primorial.lean
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn : Odd n
\u22a2 Nat.Prime (n + 1) → Even n
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : ℝ≥0
f : ↥(Lp E p μ)
g : ↥(Lp F p μ)
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖₊ ≤ c * ‖↑↑g x‖₊
\u22a2 ‖f‖₊ ≤ c * ‖g‖₊
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : ℝ≥0
f : ↥(Lp E p μ)
g : ↥(Lp F p μ)
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖₊ ≤ c * ‖↑↑g x‖₊
\u22a2 (eLpNorm (↑↑f) p μ).toNNReal ≤ c * (eLpNorm (↑↑g) p μ).toNNReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : ℝ≥0
f : ↥(Lp E p μ)
g : ↥(Lp F p μ)
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖₊ ≤ c * ‖↑↑g x‖₊
this : eLpNorm (↑↑f) p μ ≤ c • eLpNorm (↑↑g) p μ
\u22a2 (eLpNorm (↑↑f) p μ).toNNReal ≤ c * (eLpNorm (↑↑g) p μ).toNNReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : ℝ≥0
f : ↥(Lp E p μ)
g : ↥(Lp F p μ)
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖₊ ≤ c * ‖↑↑g x‖₊
this : eLpNorm (↑↑f) p μ ≤ c • eLpNorm (↑↑g) p μ
\u22a2 eLpNorm (↑↑f) p μ ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : ℝ≥0
f : ↥(Lp E p μ)
g : ↥(Lp F p μ)
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖₊ ≤ c * ‖↑↑g x‖₊
this : eLpNorm (↑↑f) p μ ≤ c • eLpNorm (↑↑g) p μ
\u22a2 c • eLpNorm (↑↑g) p μ ≠ ⊤
-- Mathlib/Computability/Language.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l m : Language α
a b x : List α
\u22a2 reverse 1 = 1
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDedekindDomain R
inst✝⁷ : Module.Free ℤ R
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K
inst✝¹ : Algebra ℚ K
inst✝ : Module.Finite ℚ K
x : K
\u22a2 absNorm (spanSingleton R⁰ x) = |(Algebra.norm ℚ) x|
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDedekindDomain R
inst✝⁷ : Module.Free ℤ R
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K
inst✝¹ : Algebra ℚ K
inst✝ : Module.Finite ℚ K
x : K
this : IsDomain K
\u22a2 absNorm (spanSingleton R⁰ x) = |(Algebra.norm ℚ) x|
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDedekindDomain R
inst✝⁷ : Module.Free ℤ R
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K
inst✝¹ : Algebra ℚ K
inst✝ : Module.Finite ℚ K
x : K
this : IsDomain K
d : ↥R⁰
r : R
hr : (algebraMap R K) r = ↑d • x
\u22a2 absNorm (spanSingleton R⁰ x) = |(Algebra.norm ℚ) x|
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDedekindDomain R
inst✝⁷ : Module.Free ℤ R
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K
inst✝¹ : Algebra ℚ K
inst✝ : Module.Finite ℚ K
x : K
this : IsDomain K
d : ↥R⁰
r : R
hr : (algebraMap R K) r = ↑d • x
\u22a2 ↑(Ideal.absNorm (Ideal.span {r})) / ↑|(Algebra.norm ℤ) ↑d| = |(Algebra.norm ℚ) x|
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDedekindDomain R
inst✝⁷ : Module.Free ℤ R
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K
inst✝¹ : Algebra ℚ K
inst✝ : Module.Finite ℚ K
x : K
this : IsDomain K
d : ↥R⁰
r : R
hr : (algebraMap R K) r = ↑d • x
\u22a2 d • ↑(spanSingleton R⁰ x) = Submodule.map (Algebra.linearMap R K) (Ideal.span {r})
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
\u22a2 a⁻¹ = 1 ↔ a = 1
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a : α
s : Set α
\u22a2 ({a} ∩ s).ncard ≤ 1
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a : α
s : Set α
\u22a2 ({a} ∩ s).encard ≤ 1
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Cotangent.lean
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I✝ I : Ideal R
\u22a2 I.cotangentIdeal ^ 2 = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Cotangent.lean
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I✝ I : Ideal R
\u22a2 I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal ≤ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Cotangent.lean
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I✝ I : Ideal R
x : R ⧸ I ^ 2
hx : x ∈ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal
\u22a2 x ∈ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Cotangent.lean
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I✝ I : Ideal R
x : R ⧸ I ^ 2
hx : x ∈ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal
\u22a2 ∀ r ∈ I.cotangentIdeal, ∀ n ∈ I.cotangentIdeal, r • n ∈ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Cotangent.lean
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I✝ I : Ideal R
x : R ⧸ I ^ 2
hx : x ∈ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal
\u22a2 ∀ (x y : R ⧸ I ^ 2), x ∈ ⊥ → y ∈ ⊥ → x + y ∈ ⊥
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
a b : Cauchy abs
\u22a2 { cauchy := a - b } = { cauchy := a } - { cauchy := b }
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
a b : Cauchy abs
\u22a2 { cauchy := a } + -{ cauchy := b } = { cauchy := a } - { cauchy := b }
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
h : angle x y = π
\u22a2 ⟪x, y⟫_ℝ = -(‖x‖ * ‖y‖)
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Conservative.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
\u22a2 μ {x | x ∈ s ∧ ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s} = 0
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Conservative.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
H : ¬μ {x | x ∈ s ∧ ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s} = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Conservative.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
H : ¬μ {x | x ∈ s ∧ ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s} = 0
this : NullMeasurableSet (s ∩ {x | ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s}) μ
\u22a2 False
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Conservative.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
H : ¬μ {x | x ∈ s ∧ ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s} = 0
this : NullMeasurableSet (s ∩ {x | ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s}) μ
m : ℕ
hmn : m > n
hm : μ (s ∩ {x | ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s} ∩ f^[m] ⁻¹' (s ∩ {x | ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s})) ≠ 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Conservative.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
hs : NullMeasurableSet s μ
n : ℕ
H : ¬μ {x | x ∈ s ∧ ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s} = 0
this : NullMeasurableSet (s ∩ {x | ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s}) μ
m : ℕ
hmn : m > n
hm : μ (s ∩ {x | ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s} ∩ f^[m] ⁻¹' (s ∩ {x | ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s})) ≠ 0
x : α
left✝ : x ∈ s
hxn : x ∈ {x | ∀ m ≥ n, f^[m] x ∉ s}
hxm : f^[m] x ∈ s
\u22a2 False
-- Mathlib/Logic/Lemmas.lean
α : Sort u_1
p✝ q r : Prop
inst✝¹ : Decidable p✝
inst✝ : Decidable q
a b c : α
f : Prop → Prop
x✝ : ∃ p, f p
p : Prop
h : f p
\u22a2 f True ∨ f False
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b : ℕ
hb : 1 < b
x y : ℕ
hy : y ≠ 0
\u22a2 b ^ x ≤ y ↔ x ≤ log b y
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b : ℕ
hb : 1 < b
y : ℕ
ih : ∀ m < y, ∀ {x : ℕ}, m ≠ 0 → (b ^ x ≤ m ↔ x ≤ log b m)
x : ℕ
hy : y ≠ 0
\u22a2 b ^ x ≤ y ↔ x ≤ log b y
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
\u22a2 leftHomologyMap' φ₁ h₁ h₂ = leftHomologyMap' φ₂ h₁ h₂
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b
hc : 0 < c
\u22a2 a / b < c ↔ a / c < b
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean
n : ℕ
\u22a2 φ * ↑(Nat.fib (n + 1)) + ↑(Nat.fib n) = φ ^ (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b : A
\u22a2 r • a * b = b * r • a
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
\u22a2 r • a * (b * c) = r • a * b * c
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
\u22a2 b * r • a * c = b * (r • a * c)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
\u22a2 b * c * r • a = b * (c * r • a)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
\u22a2 List.insert a l₁ ~ List.insert a l₂
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
z : ℍ
\u22a2 0 < Complex.normSq ↑z
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
z : ℍ
\u22a2 ↑z ≠ 0
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝² : Preorder ι✝
f✝ : Filtration ι✝ m
τ✝ π : Ω → ι✝
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
hτ : IsStoppingTime f τ
\u22a2 hτ.measurableSpace ≤ m
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝² : Preorder ι✝
f✝ : Filtration ι✝ m
τ✝ π : Ω → ι✝
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
hτ : IsStoppingTime f τ
h✝ : IsEmpty ι
\u22a2 hτ.measurableSpace ≤ m
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝² : Preorder ι✝
f✝ : Filtration ι✝ m
τ✝ π : Ω → ι✝
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
hτ : IsStoppingTime f τ
h✝ : Nonempty ι
\u22a2 hτ.measurableSpace ≤ m
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
m n : ℕ
u : ℕ → α
hu : MonotoneOn u (Icc m n)
us : ∀ i ∈ Icc m n, u i ∈ s
\u22a2 ∑ i ∈ Finset.Ico m n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ eVariationOn f s
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
m n : ℕ
u : ℕ → α
hu : MonotoneOn u (Icc m n)
us : ∀ i ∈ Icc m n, u i ∈ s
hnm : n ≤ m
\u22a2 ∑ i ∈ Finset.Ico m n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ eVariationOn f s
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
m n : ℕ
u : ℕ → α
hu : MonotoneOn u (Icc m n)
us : ∀ i ∈ Icc m n, u i ∈ s
hmn : m ≤ n
\u22a2 ∑ i ∈ Finset.Ico m n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ eVariationOn f s
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
m n : ℕ
u : ℕ → α
hu : MonotoneOn u (Icc m n)
us : ∀ i ∈ Icc m n, u i ∈ s
hmn : m ≤ n
π : ℕ → ↑(Icc m n) := projIcc m n hmn
v : ℕ → α := fun i => u ↑(π i)
\u22a2 ∑ i ∈ Finset.Ico m n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ eVariationOn f s