ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
\u22a2 f x < f y
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t
\u22a2 f x < f y
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t
hst : s ≤ t
\u22a2 f x < f y
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t
hst : s ≤ t
hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t) ∨ StrictAntiOn f (Icc s t)
\u22a2 f x < f y
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t
hst : s ≤ t
hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t) ∨ StrictAntiOn f (Icc s t)
this : StrictAntiOn f (Icc s t) → False
\u22a2 f x < f y
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t
hst : s ≤ t
this : StrictAntiOn f (Icc s t) → False
hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t)
\u22a2 f x < f y
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t
hst : s ≤ t
this : StrictAntiOn f (Icc s t) → False
hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t)
hsx : s ≤ x
\u22a2 f x < f y
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t
hst : s ≤ t
this : StrictAntiOn f (Icc s t) → False
hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t)
hsx : s ≤ x
hyt : y ≤ t
\u22a2 f x < f y
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t
hst : s ≤ t
hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t)
hsx : s ≤ x
hyt : y ≤ t
this : Icc x y ⊆ Icc s t
\u22a2 f x < f y
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t
hst : s ≤ t
hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t)
hsx : s ≤ x
hyt : y ≤ t
this : StrictMonoOn f (Icc x y)
\u22a2 f x < f y
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Bifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.42329, u_1} C₁
inst✝² : Category.{?u.42333, u_2} C₂
inst✝¹ : Category.{?u.42337, u_3} C₃
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃
I : Type u_4
J : Type u_5
K : Type u_6
p : I × J → K
inst✝ : ∀ (X : GradedObject I C₁) (Y : GradedObject J C₂), (((mapBifunctor F I J).obj X).obj Y).HasMap p
X₁ X₂ : GradedObject I C₁
φ : X₁ ⟶ X₂
Y₁ Y₂ : GradedObject J C₂
ψ : Y₁ ⟶ Y₂
\u22a2 mapMap (((mapBifunctor F I J).map (𝟙 X₁)).app Y₁ ≫ ((mapBifunctor F I J).obj X₁).map ψ) p ≫ mapMap (((mapBifunctor F I J).map φ).app Y₂ ≫ ((mapBifunctor F I J).obj X₂).map (𝟙 Y₂)) p = mapMap (((mapBifunctor F I J).map φ).app Y₁ ≫ ((mapBifunctor F I J).obj X₂).map (𝟙 Y₁)) p ≫ mapMap (((mapBifunctor F I J).map (𝟙 X₂)).app Y₁ ≫ ((mapBifunctor F I J).obj X₂).map ψ) p
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
hc : c ≠ 0
\u22a2 a / c * (c / b) = a / b
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x : E
i : ι
\u22a2 (b.toBasis.repr x) i = b.repr x i
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x : E
i : ι
\u22a2 b.repr.toLinearEquiv x i = b.repr x i
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
s✝ t : Set E
x : E
s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : y ∈ balancedCore 𝕜 s
\u22a2 (fun x => a • x) y ∈ balancedCore 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
s✝ t : Set E
x : E
s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : ∃ t, Balanced 𝕜 t ∧ t ⊆ s ∧ y ∈ t
\u22a2 (fun x => a • x) y ∈ balancedCore 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
s✝ t✝ : Set E
x : E
s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
t : Set E
ht1 : Balanced 𝕜 t
ht2 : t ⊆ s
hy : y ∈ t
\u22a2 (fun x => a • x) y ∈ balancedCore 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_17
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, IsBigOWith (C i) l (A i) g
\u22a2 IsBigOWith (∑ i ∈ s, C i) l (fun x => ∑ i ∈ s, A i x) g
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_17
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ ∅, IsBigOWith (C i) l (A i) g
\u22a2 IsBigOWith (∑ i ∈ ∅, C i) l (fun x => ∑ i ∈ ∅, A i x) g
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_17
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s✝ : Finset ι
i : ι
s : Finset ι
is : i ∉ s
IH : (∀ i ∈ s, IsBigOWith (C i) l (A i) g) → IsBigOWith (∑ i ∈ s, C i) l (fun x => ∑ i ∈ s, A i x) g
h : ∀ i_1 ∈ insert i s, IsBigOWith (C i_1) l (A i_1) g
\u22a2 IsBigOWith (∑ i ∈ insert i s, C i) l (fun x => ∑ i ∈ insert i s, A i x) g
-- Mathlib/Order/Heyting/Boundary.lean
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b a : α
\u22a2 ￢￢a ⊔ ∂ a = a
-- Mathlib/Order/Heyting/Boundary.lean
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b a : α
\u22a2 ￢￢a ≤ a
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x : AdicCompletion I M
\u22a2 ∃ a, (mk I M) a = x
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x : AdicCompletion I M
a : ℕ → M
ha : ∀ (n : ℕ), Submodule.Quotient.mk (a n) = ↑x n
\u22a2 ∃ a, (mk I M) a = x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsHaarMeasure
hG : LocallyCompactSpace G
\u22a2 μ.haarScalarFactor μ = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsHaarMeasure
hG : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
\u22a2 μ.haarScalarFactor μ = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsHaarMeasure
hG : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_ne_zero : ∫ (x : G), g x ∂μ ≠ 0
\u22a2 μ.haarScalarFactor μ = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsHaarMeasure
hG : LocallyCompactSpace G
g : G → ℝ
g_cont : Continuous g
g_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_nonneg : 0 ≤ { toFun := g, continuous_toFun := g_cont }
g_one : { toFun := g, continuous_toFun := g_cont } 1 ≠ 0
int_g_ne_zero : ∫ (x : G), g x ∂μ ≠ 0
\u22a2 ↑(μ.haarScalarFactor μ) = ↑1
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
\u22a2 ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ
\u22a2 ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ
Y : ℕ → Ω → E := fun i => AEStronglyMeasurable.mk (X i) ⋯
\u22a2 ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ
Y : ℕ → Ω → E := fun i => AEStronglyMeasurable.mk (X i) ⋯
B : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
\u22a2 ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ
Y : ℕ → Ω → E := fun i => AEStronglyMeasurable.mk (X i) ⋯
B : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
Yint : Integrable (Y 0) ℙ
\u22a2 ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ
Y : ℕ → Ω → E := fun i => AEStronglyMeasurable.mk (X i) ⋯
B : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
Yint : Integrable (Y 0) ℙ
C : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y 0 a))
\u22a2 ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ
Y : ℕ → Ω → E := fun i => AEStronglyMeasurable.mk (X i) ⋯
B : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
Yint : Integrable (Y 0) ℙ
C : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y 0 a))
ω : Ω
h₁ : ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
h₂ : Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y 0 a))
\u22a2 Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ
Y : ℕ → Ω → E := fun i => AEStronglyMeasurable.mk (X i) ⋯
B : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
Yint : Integrable (Y 0) ℙ
C : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y 0 a))
ω : Ω
h₁ : ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
h₂ : Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y 0 a))
this : ∫ (a : Ω), X 0 a = ∫ (a : Ω), Y 0 a
\u22a2 Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ
Y : ℕ → Ω → E := fun i => AEStronglyMeasurable.mk (X i) ⋯
B : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
Yint : Integrable (Y 0) ℙ
C : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y 0 a))
ω : Ω
h₁ : ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
h₂ : Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y 0 a))
this : ∫ (a : Ω), X 0 a = ∫ (a : Ω), Y 0 a
\u22a2 Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y 0 a))
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ
Y : ℕ → Ω → E := fun i => AEStronglyMeasurable.mk (X i) ⋯
B : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
Yint : Integrable (Y 0) ℙ
C : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y 0 a))
ω : Ω
h₁ : ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
h₂ : Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y 0 a))
this : ∫ (a : Ω), X 0 a = ∫ (a : Ω), Y 0 a
n : ℕ
\u22a2 (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω = (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
A : ∀ (i : ℕ), Integrable (X i) ℙ
Y : ℕ → Ω → E := fun i => AEStronglyMeasurable.mk (X i) ⋯
B : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
Yint : Integrable (Y 0) ℙ
C : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y 0 a))
ω : Ω
h₁ : ∀ (n : ℕ), X n ω = Y n ω
h₂ : Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y 0 a))
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n i : ℕ
\u22a2 Y i ω = X i ω
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : b ≠ 0
\u22a2 a / b ≠ 0 ↔ b ≤ a