ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
\u22a2 MeasurableSpace.generateFrom (range Iio) ≤ MeasurableSpace.generateFrom S
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
\u22a2 MeasurableSet (Iio a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : t.Countable
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t
\u22a2 MeasurableSet (Iio a)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
\u22a2 (o.oangle x (x - y)).sign = -(o.oangle x y).sign
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x✝ : α
hl : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l
\u22a2 l.formPerm x ≠ x ↔ 2 ≤ l.length
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x✝ : α
hl : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l
\u22a2 1 < l.length ↔ 2 ≤ l.length
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
f : ι → α
s : Set α
h : ∀ (x : ι), f x ∈ s
\u22a2 Injective (codRestrict f s h) ↔ Injective f
-- Mathlib/Data/Set/Equitable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → ℕ
\u22a2 s.EquitableOn f ↔ ∃ b, f '' s ⊆ Icc b (b + 1)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
hP : IsLocalAtTarget P
X Y U V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion g
𝒰 : Y.OpenCover
H : ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), P (𝒰.pullbackHom f i)
\u22a2 P f
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
hP : IsLocalAtTarget P
X Y U V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion g
𝒰 : Y.OpenCover
H : ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), P (𝒰.pullbackHom f i)
\u22a2 ∀ (i : 𝒰.J), P (f ∣_ Scheme.Hom.opensRange (𝒰.map i))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
S : Multiset R
r : R
hr : r ∈ S
\u22a2 eval r (derivative (Multiset.map (fun a => X - C a) S).prod) = (Multiset.map (fun a => r - a) (S.erase r)).prod
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
S : Multiset R
r : R
hr : r ∈ S
\u22a2 eval r (derivative (Multiset.map (fun a => X - C a) (r ::ₘ S.erase r)).prod) = (Multiset.map (fun a => r - a) (S.erase r)).prod
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
S : Multiset R
r : R
hr : r ∈ S
this : ↑(evalRingHom r) (Multiset.map (fun a => X - C a) (S.erase r)).prod = (Multiset.map (⇑↑(evalRingHom r)) (Multiset.map (fun a => X - C a) (S.erase r))).prod
\u22a2 eval r (derivative (Multiset.map (fun a => X - C a) (r ::ₘ S.erase r)).prod) = (Multiset.map (fun a => r - a) (S.erase r)).prod
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
n : Type u_8
inst✝ : Fintype n
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x✝ : EuclideanSpace ℝ n
\u22a2 x✝ ∈ Metric.closedBall 0 r ↔ x✝ ∈ {x | ∑ i : n, x i ^ 2 ≤ r ^ 2}
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
P Q R : C
f✝ f' : P ⟶ Q
g✝ g' : Q ⟶ R
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
hc : IsLimit c
h : IsZero c.pt
P✝ : C
g : P✝ ⟶ X
hg : g ≫ f = 0
a : P✝ ⟶ c.pt
ha : a ≫ Fork.ι c = g
\u22a2 g = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c p : P
h : ∠ b p c = π
\u22a2 dist a b ^ 2 * dist c p + dist a c ^ 2 * dist b p = dist b c * (dist a p ^ 2 + dist b p * dist c p)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c p : P
h : ∠ b p c = π
\u22a2 (dist a p * dist a p + dist b p * dist b p - 2 * dist a p * dist b p * -Real.cos (∠ a p c)) * dist c p + (dist a p * dist a p + dist c p * dist c p - 2 * dist a p * dist c p * Real.cos (∠ a p c)) * dist b p = (dist b p + dist c p) * (dist a p ^ 2 + dist b p * dist c p)
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
\u22a2 n.divisors.sum φ = n
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
\u22a2 (divisors 0).sum φ = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
hn : n > 0
\u22a2 n.divisors.sum φ = n
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
hn : n > 0
\u22a2 ∑ d ∈ n.divisors, φ (n / d) = n
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
hn : n > 0
this : n = ∑ d ∈ n.divisors, (filter (fun k => n.gcd k = d) (range n)).card
\u22a2 ∑ d ∈ n.divisors, φ (n / d) = n
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
hn : n > 0
this : n = ∑ d ∈ n.divisors, (filter (fun k => n.gcd k = d) (range n)).card
\u22a2 ∑ d ∈ n.divisors, φ (n / d) = ∑ d ∈ n.divisors, (filter (fun k => n.gcd k = d) (range n)).card
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
t : Set β
\u22a2 univ ×ˢ t = Prod.snd ⁻¹' t
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
\u22a2 Tendsto (fun s => riemannZeta ↑s - 1 / (↑s - 1)) (𝓝[>] 1) (𝓝 ↑γ)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
\u22a2 Tendsto (fun s => ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s - 1 / (s - 1)) (𝓝[>] 1) (𝓝 γ)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
\u22a2 Tendsto (fun s => ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s - 1 / (s - 1)) (𝓝[>] 1) (𝓝 (1 - term_tsum 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
\u22a2 ?f₁ =ᶠ[𝓝[>] 1] fun s => ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s - 1 / (s - 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
\u22a2 Tendsto ?f₁ (𝓝[>] 1) (𝓝 (1 - term_tsum 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
\u22a2 ℝ → ℝ
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
m n : Num
h : m = n
\u22a2 ↑m < ↑n ↔ Ordering.eq = Ordering.lt
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
m n : Num
h : Ordering.casesOn Ordering.gt (↑m < ↑n) (m = n) (↑n < ↑m)
\u22a2 ↑m < ↑n ↔ Ordering.gt = Ordering.lt
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S
S' : Type u_1
inst✝² : CommSemiring S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R S
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
Z : Set (PrimeSpectrum S)
\u22a2 IsClosed Z ↔ IsClosed Z
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S
S' : Type u_1
inst✝² : CommSemiring S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R S
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
Z : Set (PrimeSpectrum S)
\u22a2 (∃ s, zeroLocus s = Z) ↔ ∃ a, zeroLocus (⇑(algebraMap R S) '' a) = Z
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α →ₛ E
g : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable (↑f) μ
hg0 : g 0 = 0
ht : ∀ (b : E), g b ≠ ⊤
\u22a2 integral μ (map (ENNReal.toReal ∘ g) f) = (∫⁻ (a : α), g (↑f a) ∂μ).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α →ₛ E
g : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable (↑f) μ
hg0 : g 0 = 0
ht : ∀ (b : E), g b ≠ ⊤
hf' : f.FinMeasSupp μ
\u22a2 integral μ (map (ENNReal.toReal ∘ g) f) = (∫⁻ (a : α), g (↑f a) ∂μ).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α →ₛ E
g : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable (↑f) μ
hg0 : g 0 = 0
ht : ∀ (b : E), g b ≠ ⊤
hf' : f.FinMeasSupp μ
\u22a2 integral μ (map (ENNReal.toReal ∘ g) f) = ((map g f).lintegral μ).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α →ₛ E
g : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable (↑f) μ
hg0 : g 0 = 0
ht : ∀ (b : E), g b ≠ ⊤
hf' : f.FinMeasSupp μ
\u22a2 ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • (ENNReal.toReal ∘ g) x = ∑ a ∈ f.range, (g a * μ (↑f ⁻¹' {a})).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α →ₛ E
g : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable (↑f) μ
hg0 : g 0 = 0
ht : ∀ (b : E), g b ≠ ⊤
hf' : f.FinMeasSupp μ
\u22a2 ∀ a ∈ f.range, g a * μ (↑f ⁻¹' {a}) ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α →ₛ E
g : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable (↑f) μ
hg0 : g 0 = 0
ht : ∀ (b : E), g b ≠ ⊤
hf' : f.FinMeasSupp μ
\u22a2 (ENNReal.toReal ∘ g) 0 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a b : ℕ
ha : a % 4 = 1
hb : Odd b
\u22a2 J(↑a | b) = J(↑b | a)
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
x y : ℤ[i]
\u22a2 (toComplex (x / y)).im = ↑(round (toComplex x / toComplex y).im)
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
x y : ℤ[i]
\u22a2 (toComplex { re := round ↑(↑(x * star y).re / ↑(norm y)), im := round ↑(↑(x * star y).im / ↑(norm y)) }).im = ↑(round (toComplex x / toComplex y).im)
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s t : Set α
h : Semiconj f fa fb
ha : Injective fa
hf : InjOn f (range fa)
\u22a2 InjOn fb (range f)
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s t : Set α
h : Semiconj f fa fb
ha : Injective fa
hf : InjOn f (fa '' univ)
\u22a2 InjOn fb (f '' univ)
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
α₁ α₂ : Ext X Y n
m : ℕ
β : Ext Y Z m
p : ℕ
h : n + m = p
this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C
\u22a2 ((α₁ + α₂).comp β h).hom = (α₁.comp β h + α₂.comp β h).hom
-- Mathlib/Data/Set/Sigma.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x✝ : (i : ι) × α i
i j : ι
a : α i
x : ι
y : α x
\u22a2 ⟨x, y⟩ ∈ s₁.sigma t₁ ∩ s₂.sigma t₂ ↔ ⟨x, y⟩ ∈ (s₁ ∩ s₂).sigma fun i => t₁ i ∩ t₂ i
-- Mathlib/Algebra/AddConstMap/Basic.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : AddCommGroup H
a : G
b : H
f : G →+c[a, b] H
x✝ : G
\u22a2 (fun x => -f (-x)) (x✝ + a) = (fun x => -f (-x)) x✝ + b
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/SeparableDegree.lean
F✝ : Type u_1
inst✝² : Field F✝
q✝ : ℕ
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
q : ℕ
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction q f
hq : NeZero q
inst✝ : CharP F q
g g' : F[X]
m m' : ℕ
h_expand : (expand F (q ^ m)) g = (expand F (q ^ m')) g'
hg : g.Separable
hg' : g'.Separable
hm : m ≤ m'
\u22a2 g.natDegree = g'.natDegree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/SeparableDegree.lean
F✝ : Type u_1
inst✝² : Field F✝
q✝ : ℕ
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
q : ℕ
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction q f
hq : NeZero q
inst✝ : CharP F q
g g' : F[X]
m : ℕ
hg : g.Separable
hg' : g'.Separable
s : ℕ
h_expand : (expand F (q ^ m)) g = (expand F (q ^ (m + s))) g'
hm : m ≤ m + s
\u22a2 g.natDegree = g'.natDegree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/SeparableDegree.lean
F✝ : Type u_1
inst✝² : Field F✝
q✝ : ℕ
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
q : ℕ
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction q f
hq : NeZero q
inst✝ : CharP F q
g g' : F[X]
m : ℕ
hg : g.Separable
hg' : g'.Separable
s : ℕ
h_expand : g = (expand F (q ^ s)) g'
hm : m ≤ m + s
\u22a2 g.natDegree = g'.natDegree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/SeparableDegree.lean
F✝ : Type u_1
inst✝² : Field F✝
q✝ : ℕ
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
q : ℕ
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction q f
hq : NeZero q
inst✝ : CharP F q
g' : F[X]
m : ℕ
hg' : g'.Separable
s : ℕ
hm : m ≤ m + s
hg : ((expand F (q ^ s)) g').Separable
\u22a2 ((expand F (q ^ s)) g').natDegree = g'.natDegree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/SeparableDegree.lean
F✝ : Type u_1
inst✝² : Field F✝
q✝ : ℕ
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
q : ℕ
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction q f
hq : NeZero q
inst✝ : CharP F q
g' : F[X]
m : ℕ
hg' : g'.Separable
s : ℕ
hm : m ≤ m + s
hg : ((expand F (q ^ s)) g').Separable
h : IsUnit g'
\u22a2 ((expand F (q ^ s)) g').natDegree = g'.natDegree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/SeparableDegree.lean
F✝ : Type u_1
inst✝² : Field F✝
q✝ : ℕ
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
q : ℕ
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction q f
hq : NeZero q
inst✝ : CharP F q
g' : F[X]
m : ℕ
hg' : g'.Separable
hm : m ≤ m + 0
hg : ((expand F (q ^ 0)) g').Separable
\u22a2 ((expand F (q ^ 0)) g').natDegree = g'.natDegree
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
a : α
\u22a2 Multiset.count a (toMultiset f) = f.sum fun x n => Multiset.count a (n • {x})
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
a : α
\u22a2 Multiset.count a (f.sum fun a n => n • {a}) = f.sum fun x n => Multiset.count a (n • {x})
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
a : α
\u22a2 (f.sum fun x n => Multiset.count a (n • {x})) = f.sum fun x n => n * Multiset.count a {x}
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
a a' : α
x✝ : f a' ≠ 0
H : a' ≠ a
\u22a2 f a' * Multiset.count a {a'} = 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
a : α
\u22a2 f a * Multiset.count a {a} = f a
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/DualNumber.lean
𝕜 : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : CharZero 𝕜
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Algebra 𝕜 R
inst✝³ : UniformSpace R
inst✝² : TopologicalRing R
inst✝¹ : CompleteSpace R
inst✝ : T2Space R
r : R
\u22a2 exp 𝕜 (r • ε) = 1 + r • ε
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
\u22a2 LiftRel R s.think t ↔ LiftRel R s t
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
\u22a2 Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.think.destruct t.destruct ↔ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β✝ γ✝ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
β : Type u
p : Poly (α ⊕ β)
pe : ∀ (v : α → ℕ), S v ↔ ∃ t, p (v ⊗ t) = 0
γ : Type u
q : Poly (α ⊕ γ)
qe : ∀ (v : α → ℕ), S' v ↔ ∃ t, q (v ⊗ t) = 0
v : α → ℕ
\u22a2 (S ∪ S') v ↔ ∃ t, (Poly.map (inl ⊗ inr ∘ inl) p * Poly.map (inl ⊗ inr ∘ inr) q) (v ⊗ t) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β✝ γ✝ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
β : Type u
p : Poly (α ⊕ β)
pe : ∀ (v : α → ℕ), S v ↔ ∃ t, p (v ⊗ t) = 0
γ : Type u
q : Poly (α ⊕ γ)
qe : ∀ (v : α → ℕ), S' v ↔ ∃ t, q (v ⊗ t) = 0
v : α → ℕ
\u22a2 (∃ t, p (v ⊗ t) = 0) ↔ ∃ x, p ((v ⊗ x) ∘ (inl ⊗ inr ∘ inl)) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β✝ γ✝ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
β : Type u
p : Poly (α ⊕ β)
pe : ∀ (v : α → ℕ), S v ↔ ∃ t, p (v ⊗ t) = 0
γ : Type u
q : Poly (α ⊕ γ)
qe : ∀ (v : α → ℕ), S' v ↔ ∃ t, q (v ⊗ t) = 0
v : α → ℕ
\u22a2 (∃ t, q (v ⊗ t) = 0) ↔ ∃ x, q ((v ⊗ x) ∘ (inl ⊗ inr ∘ inr)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/ScaleRoots.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p : R[X]
r : R
hr : IsUnit r
a : R[X]
\u22a2 p.scaleRoots r ∣ (p * a).scaleRoots r
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/ScaleRoots.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p : R[X]
r : R
hr : IsUnit r
a : R[X]
\u22a2 p.scaleRoots r ∣ p.scaleRoots r * a.scaleRoots r
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : IsDomain α
x y : α
\u22a2 span {x} < span {y} ↔ DvdNotUnit y x
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n✝ m✝ n : ℤ
f : F ⟶ G
z : Cochain G K n
m : ℤ
\u22a2 δ n m ((Cochain.ofHom f).comp z ⋯) = (Cochain.ofHom f).comp (δ n m z) ⋯
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
t : ↑I
\u22a2 γ (σ (σ t)) = γ t
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)
\u22a2 (map Prod.swap ρ).snd = ρ.fst
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)
\u22a2 map (Prod.snd ∘ Prod.swap) ρ = ρ.fst
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Rolle.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁵ : DenselyOrdered X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : LinearOrder Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : OrderTopology Y
f : X → Y
a b : X
l : Y
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Ioo a b)
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 l)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 l)
\u22a2 ∃ c ∈ Ioo a b, IsExtrOn f (Ioo a b) c
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Rolle.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁵ : DenselyOrdered X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : LinearOrder Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : OrderTopology Y
f : X → Y
a b : X
l : Y
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Ioo a b)
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 l)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 l)
h : EqOn (extendFrom (Ioo a b) f) f (Ioo a b)
\u22a2 ∃ c ∈ Ioo a b, IsExtrOn f (Ioo a b) c
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Rolle.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁵ : DenselyOrdered X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : LinearOrder Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : OrderTopology Y
f : X → Y
a b : X
l : Y
hab : a < b
hfc✝ : ContinuousOn f (Ioo a b)
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 l)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 l)
h : EqOn (extendFrom (Ioo a b) f) f (Ioo a b)
c : X
hc : c ∈ Ioo a b
hfc : IsExtrOn (extendFrom (Ioo a b) f) (Icc a b) c
\u22a2 ∃ c ∈ Ioo a b, IsExtrOn f (Ioo a b) c
-- Mathlib/Algebra/Lie/OfAssociative.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
k : ℕ
x : L
\u22a2 ((toEnd R L M₂) x ^ k) ∘ₗ ↑f = ↑f ∘ₗ (toEnd R L M) x ^ k
-- Mathlib/Algebra/Lie/OfAssociative.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
k : ℕ
x : L
\u22a2 (toEnd R L M₂) x ∘ₗ ↑f = ↑f ∘ₗ (toEnd R L M) x
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
\u22a2 ⌊a⌋ + ⌊b⌋ ≤ ⌊a + b⌋
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
\u22a2 ↑⌊a⌋ + ↑⌊b⌋ ≤ a + b
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
l : List α
\u22a2 (map Prod.fst l.enum).Nodup
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
g : (b : β) → b ∈ (p.bindOnSupport f).support → PMF γ
\u22a2 (p.bindOnSupport f).bindOnSupport g = p.bindOnSupport fun a ha => (f a ha).bindOnSupport fun b hb => g b ⋯
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
g : (b : β) → b ∈ (p.bindOnSupport f).support → PMF γ
a : γ
\u22a2 ((p.bindOnSupport f).bindOnSupport g) a = (p.bindOnSupport fun a ha => (f a ha).bindOnSupport fun b hb => g b ⋯) a