ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
ν : Measure α
hle : μ ≤ ν
hf : 0 ≤ᶠ[ae ν] f
hfi : Integrable f ν
hfi' : Integrable f μ
hf' : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
\u22a2 ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫ (a : α), f a ∂ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
ν : Measure α
hle : μ ≤ ν
hf : 0 ≤ᶠ[ae ν] f
hfi : Integrable f ν
hfi' : Integrable f μ
hf' : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
\u22a2 ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
ν : Measure α
hle : μ ≤ ν
hf : 0 ≤ᶠ[ae ν] f
hfi : Integrable f ν
hfi' : Integrable f μ
hf' : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
\u22a2 ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
ν : Measure α
hle : μ ≤ ν
hf : 0 ≤ᶠ[ae ν] f
hfi : Integrable f ν
hfi' : Integrable f μ
hf' : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
\u22a2 ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂ν ≠ ⊤
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : OrderTopology α
\u22a2 𝓝 ⊤ = ⨅ l, ⨅ (_ : l < ⊤), 𝓟 (Ioi l)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
f : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : eval₂ f s p = 0
\u22a2 eval₂ f s p.primPart = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
f : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : f p.content * eval₂ f s p.primPart = 0
\u22a2 eval₂ f s p.primPart = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
f : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : f p.content * eval₂ f s p.primPart = 0
hcont : p.content ≠ 0
\u22a2 eval₂ f s p.primPart = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
f : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : f p.content * eval₂ f s p.primPart = 0
hcont : f p.content ≠ f 0
\u22a2 eval₂ f s p.primPart = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
f : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : f p.content * eval₂ f s p.primPart = 0
hcont : f p.content ≠ 0
\u22a2 eval₂ f s p.primPart = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n✝ n : ℕ
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n = 1 / 2 * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n✝ n : ℕ
\u22a2 (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n) + ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n = ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n✝ n : ℕ
L : IntervalIntegrable (fun b => sin b ^ n) volume 0 (π / 2)
\u22a2 (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n) + ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n = ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n✝ n : ℕ
L : IntervalIntegrable (fun b => sin b ^ n) volume 0 (π / 2)
R : IntervalIntegrable (fun b => sin b ^ n) volume (π / 2) π
\u22a2 (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n) + ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n = ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n✝ n : ℕ
L : IntervalIntegrable (fun b => sin b ^ n) volume 0 (π / 2)
R : IntervalIntegrable (fun b => sin b ^ n) volume (π / 2) π
\u22a2 (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n) + ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n = (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, sin x ^ n) + ∫ (x : ℝ) in π / 2 ..π, sin x ^ n
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Prod.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : AddCancelMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
p q : A × A
n : A
hp : p ∈ antidiagonal n
hq : q ∈ antidiagonal n
\u22a2 p = q ↔ p.1 = q.1
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Prod.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : AddCancelMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
p q : A × A
n : A
hp : p ∈ antidiagonal n
hq : q ∈ antidiagonal n
h : p.1 = q.1
\u22a2 q.1 + p.2 = q.1 + q.2
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Prod.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : AddCancelMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
p q : A × A
n : A
hp : p.1 + p.2 = n
hq : q.1 + q.2 = n
h : p.1 = q.1
\u22a2 q.1 + p.2 = q.1 + q.2
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Linear.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝ : LinearWeights R L M
χ : L → R
x : L
x✝ : ↥↑(shiftedWeightSpace R L M χ)
\u22a2 ↑(((toEnd R L ↥↑(shiftedWeightSpace R L M χ)) x) x✝) = ↑(((shift R L M χ).conj ((toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - χ x • LinearMap.id)) x✝)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : LinearOrder α
u : ι → α
h : Monotone u
H : ¬BddAbove (range u)
b : α
\u22a2 ∃ a, b ≤ u a
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : LinearOrder α
u : ι → α
h : Monotone u
H : ¬BddAbove (range u)
b : α
N : ι
hN : b < u N
\u22a2 ∃ a, b ≤ u a
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
a b P Q : Prop
\u22a2 ¬Xor' P Q ↔ (P ↔ Q)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf
\u22a2 IsFixedPt f x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf
hx : f^[n] x = x
\u22a2 IsFixedPt f x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf
hx : f^[n] x = x
this : dist (f^[n] x) (f^[n] (f x)) ≤ ↑K * dist x (f x)
\u22a2 IsFixedPt f x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf
hx : f^[n] x = x
this : dist x (f x) ≤ ↑K * dist x (f x)
\u22a2 IsFixedPt f x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf
hx : f^[n] x = x
\u22a2 dist x (f x) ≤ ↑K * dist x (f x) → IsFixedPt f x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf
hx : f^[n] x = x
\u22a2 ¬IsFixedPt f x → ↑K * dist x (f x) < dist x (f x)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf
hx : f^[n] x = x
this : ¬IsFixedPt f x
\u22a2 ↑K * dist x (f x) < dist x (f x)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf
hx : f^[n] x = x
this✝ : ¬IsFixedPt f x
this : 0 < dist x (f x)
\u22a2 ↑K * dist x (f x) < dist x (f x)
-- Mathlib/Algebra/CharP/ExpChar.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
q : ℕ
x y : R
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : Fact (Nat.Prime q)
\u22a2 (x + y) ^ q = x ^ q + y ^ q
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
p✝ : PrimeSpectrum R
A : Type u_3
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
p : PrimeSpectrum R
\u22a2 p ∈ support R A ↔ p ∈ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑(RingHom.ker (algebraMap R A))
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
p✝ : PrimeSpectrum R
A : Type u_3
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
p : PrimeSpectrum R
\u22a2 (∃ m, ∀ r ∉ p.asIdeal, ¬r • m = 0) ↔ RingHom.ker (algebraMap R A) ≤ p.asIdeal
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
p✝ : PrimeSpectrum R
A : Type u_3
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
p : PrimeSpectrum R
x✝ : ∃ m, ∀ r ∉ p.asIdeal, ¬r • m = 0
x : R
hx : x ∈ RingHom.ker (algebraMap R A)
m : A
hm : ∀ r ∉ p.asIdeal, ¬r • m = 0
hx' : x ∉ p.asIdeal
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
p✝ : PrimeSpectrum R
A : Type u_3
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
p : PrimeSpectrum R
H : RingHom.ker (algebraMap R A) ≤ p.asIdeal
r : R
hr : r ∉ p.asIdeal
e : r • 1 = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Basic.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
y : 𝕜
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
\u22a2 derivWithin f s x = derivWithin f t x
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
\u22a2 ⊤ / a = if a = ⊤ then 0 else ⊤
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : NoMaxOrder β
u : α → β
h : Tendsto u atTop atTop
a : α
b : β
\u22a2 ∃ a' ≥ a, b < u a'
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : NoMaxOrder β
u : α → β
h : Tendsto u atTop atTop
a : α
b b' : β
hb' : b < b'
\u22a2 ∃ a' ≥ a, b < u a'
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : NoMaxOrder β
u : α → β
h : Tendsto u atTop atTop
a : α
b b' : β
hb' : b < b'
a' : α
ha' : a' ≥ a
ha'' : b' ≤ u a'
\u22a2 ∃ a' ≥ a, b < u a'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f : M →ₗ[R] M₂
x : M × M₂
\u22a2 x ∈ range (inl R M M₂) ↔ x ∈ ker (snd R M M₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f : M →ₗ[R] M₂
x : M × M₂
\u22a2 (∃ y, (inl R M M₂) y = x) ↔ (snd R M M₂) x = 0
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α
a : α
\u22a2 (∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Ici ia, u x ∈ ball a ib) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, edist (u n) a < ε
-- Mathlib/Algebra/Star/Unitary.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : GroupWithZero R
inst✝ : StarMul R
U₁ U₂ : ↥(unitary R)
\u22a2 ↑(U₁ / U₂) = ↑U₁ / ↑U₂
-- Mathlib/Topology/Sober.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
x y : α
S U Z : Set α
h : IsGenericPoint x S
f : α → β
hf : Continuous f
\u22a2 IsGenericPoint (f x) (closure (f '' S))
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationSubring.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
x✝ : K
\u22a2 x✝ ∈ A.valuation.valuationSubring ↔ x✝ ∈ A
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationSubring.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
x✝ : K
\u22a2 x✝ ∈ A.valuation.valuationSubring ↔ A.valuation x✝ ≤ 1
-- Mathlib/Data/List/AList.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : List (Sigma β)
\u22a2 lookup a s.toAList = dlookup a s
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
k : K
\u22a2 Valued.v (↑K k) = v.valuation k
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
N M' : Matroid α
h : M ≤r M'
h' : M' ≤r M
\u22a2 M = M'
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Linear R V
h : Homotopy f g
a : R
i j : ι
hij : ¬c.Rel j i
\u22a2 a • h.hom i j = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Linear R V
h : Homotopy f g
a : R
i : ι
\u22a2 a • f.f i = (C.dFrom i ≫ (fromNext i) fun i j => a • h.hom i j) + ((toPrev i) fun i j => a • h.hom i j) ≫ D.dTo i + a • g.f i
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Linear R V
h : Homotopy f g
a : R
i : ι
\u22a2 a • ((dNext i) h.hom + (prevD i) h.hom + g.f i) = (C.dFrom i ≫ (fromNext i) fun i j => a • h.hom i j) + ((toPrev i) fun i j => a • h.hom i j) ≫ D.dTo i + a • g.f i
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Linear R V
h : Homotopy f g
a : R
i : ι
\u22a2 a • (C.dFrom i ≫ h.hom (c.next i) i + h.hom i (c.prev i) ≫ D.dTo i + g.f i) = C.dFrom i ≫ (a • h.hom (c.next i) i) + (a • h.hom i (c.prev i)) ≫ D.dTo i + a • g.f i
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
\u22a2 dual A K I ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
b : B
hb : b ∈ B⁰
hb' : ∀ b_1 ∈ ↑I, IsInteger B (b • b_1)
\u22a2 dual A K I ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
b : B
hb : b ∈ B⁰
hb' : ∀ b_1 ∈ ↑I, IsInteger B (b • b_1)
\u22a2 (algebraMap B L) b ∈ dual A K I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
b : B
hb : b ∈ B⁰
hb' : ∀ b_1 ∈ ↑I, IsInteger B (b • b_1)
\u22a2 ∀ a ∈ I, ((traceForm K L) ((algebraMap B L) b)) a ∈ (algebraMap A K).range
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
b : B
hb : b ∈ B⁰
hb' : ∀ b_1 ∈ ↑I, IsInteger B (b • b_1)
a : L
ha : a ∈ I
\u22a2 ((traceForm K L) ((algebraMap B L) b)) a ∈ (algebraMap A K).range
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
b : B
hb : b ∈ B⁰
hb' : ∀ b_1 ∈ ↑I, IsInteger B (b • b_1)
a : L
ha : a ∈ I
\u22a2 IsIntegral A (((traceForm K L) ((algebraMap B L) b)) a)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
b : B
hb : b ∈ B⁰
hb' : ∀ b_1 ∈ ↑I, IsInteger B (b • b_1)
a : L
ha : a ∈ I
\u22a2 IsIntegral A (((lmul K L).toLinearMap ((algebraMap B L) b)) a)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
\u22a2 ContDiffOn ℝ ⊤ (stereoToFun v) {x | ((innerSL ℝ) v) x ≠ 1}
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
\u22a2 ContDiffOn ℝ ⊤ (fun x => 2 / (1 - ((innerSL ℝ) v) x)) {x | ((innerSL ℝ) v) x ≠ 1}
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
\u22a2 ContDiffOn ℝ ⊤ (fun x => 1 - ((innerSL ℝ) v) x) {x | ((innerSL ℝ) v) x ≠ 1}
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
\u22a2 ∀ x ∈ {x | ((innerSL ℝ) v) x ≠ 1}, 1 - ((innerSL ℝ) v) x ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
m n : ℕ
\u22a2 |↑m / ↑n - ↑(round (↑m / ↑n))| = ↑(min (m % n) (n - m % n)) / ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
m : ℕ
\u22a2 |↑m / ↑0 - ↑(round (↑m / ↑0))| = ↑(min (m % 0) (0 - m % 0)) / ↑0
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
m n : ℕ
hn : n > 0
\u22a2 |↑m / ↑n - ↑(round (↑m / ↑n))| = ↑(min (m % n) (n - m % n)) / ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
m n : ℕ
hn : n > 0
hn' : 0 < ↑n
\u22a2 |↑m / ↑n - ↑(round (↑m / ↑n))| = ↑(min (m % n) (n - m % n)) / ↑n
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
x : F
hx : ¬x = 0
\u22a2 IsSolvable (X ^ n - C x).Gal