ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
y : ModP K v O hv p
hy0 : ¬y = 0
r : O
hx0 : ¬(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r = 0
hxy0 : ¬(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r + y = 0
\u22a2 preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r + y) ≤ max (preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r)) (preVal K v O hv p y)
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
r : O
hx0 : ¬(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r = 0
s : O
hy0 : ¬(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s = 0
hxy0 : ¬(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r + (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s = 0
\u22a2 preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r + (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s) ≤ max (preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r)) (preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s))
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
r : O
hx0 : ¬(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r = 0
s : O
hy0 : ¬(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s = 0
hxy0 : ¬(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) (r + s) = 0
\u22a2 preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) (r + s)) ≤ max (preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r)) (preVal K v O hv p ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s))
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
r : O
hx0 : ¬(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) r = 0
s : O
hy0 : ¬(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) s = 0
hxy0 : ¬(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) (r + s) = 0
\u22a2 v ((algebraMap O K) r + (algebraMap O K) s) ≤ max (v ((algebraMap O K) r)) (v ((algebraMap O K) s))
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i → β i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 0 = 0
i : ι
b₁ : β₁ i
b₂ : β₂ i
j : ι
\u22a2 (zipWith f hf (single i b₁) (single i b₂)) j = (single i (f i b₁ b₂)) j
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i → β i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 0 = 0
i : ι
b₁ : β₁ i
b₂ : β₂ i
j : ι
\u22a2 f j ((single i b₁) j) ((single i b₂) j) = (single i (f i b₁ b₂)) j
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i → β i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 0 = 0
i : ι
b₁ : β₁ i
b₂ : β₂ i
\u22a2 f i ((single i b₁) i) ((single i b₂) i) = (single i (f i b₁ b₂)) i
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i → β i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 0 = 0
i : ι
b₁ : β₁ i
b₂ : β₂ i
j : ι
hij : i ≠ j
\u22a2 f j ((single i b₁) j) ((single i b₂) j) = (single i (f i b₁ b₂)) j
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
hfi : Integrable f μ
h : Tendsto (fun i => ∫ (x : α), (φ i).indicator f x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ))
x✝ : ι
\u22a2 ∫ (x : α) in φ x✝, f x ∂μ = ∫ (x : α), (φ x✝).indicator f x ∂μ
-- Mathlib/RingTheory/NonUnitalSubsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T
F : Type u_1
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S
s : NonUnitalSubsemiring R
x : R × S
\u22a2 x ∈ s.prod ⊤ ↔ x ∈ comap (NonUnitalRingHom.fst R S) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ
\u22a2 ↑‖toL1 f hf‖₊ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ
-- Mathlib/Data/Nat/ChineseRemainder.lean
ι : Type u_1
a s : ι → ℕ
l : List ι
co : List.Pairwise (Coprime on s) l
hs : ∀ i ∈ l, s i ≠ 0
\u22a2 ↑(chineseRemainderOfList a s l co) < (List.map s l).prod
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : Group β
u₁ u₂ : UniformSpace β
h₁ : UniformGroup β
h₂ : UniformGroup β
\u22a2 UniformGroup β
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : Group β
u₁ u₂ : UniformSpace β
h₁ : UniformGroup β
h₂ : UniformGroup β
b : Bool
\u22a2 UniformGroup β
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : CompleteSpace (α × β)
h : Nonempty β
f✝ : Filter α
hf : Cauchy f✝
y : β
a : α
b : β
hab : f✝ ×ˢ pure y ≤ 𝓝 (a, b)
\u22a2 f✝ ≤ 𝓝 a
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
\u22a2 W.Equation (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
\u22a2 eval (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) (-((X - C x₁) * (X - C x₂) * (X - C (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))))) = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
\u22a2 -((W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - x₁) * (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - x₂) * (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ContinuousFunctionalCalculus/ExpLog.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : CompactSpace α
f : C(α, 𝕜)
a : α
\u22a2 (exp 𝕜 f) a = { toFun := exp 𝕜 ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯ } a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ContinuousFunctionalCalculus/ExpLog.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : CompactSpace α
f : C(α, 𝕜)
a : α
\u22a2 (∑' (n : ℕ), (expSeries 𝕜 C(α, 𝕜) n) fun x => f) a = { toFun := exp 𝕜 ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯ } a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ContinuousFunctionalCalculus/ExpLog.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : CompactSpace α
f : C(α, 𝕜)
a : α
h_sum : Summable fun n => (expSeries 𝕜 C(α, 𝕜) n) fun x => f
\u22a2 (∑' (n : ℕ), (expSeries 𝕜 C(α, 𝕜) n) fun x => f) a = { toFun := exp 𝕜 ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯ } a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ContinuousFunctionalCalculus/ExpLog.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : CompactSpace α
f : C(α, 𝕜)
a : α
h_sum : Summable fun n => (expSeries 𝕜 C(α, 𝕜) n) fun x => f
\u22a2 ∑' (i : ℕ), ((↑i.factorial)⁻¹ • f ^ i) a = { toFun := exp 𝕜 ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯ } a
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a b : α
n : ℕ
\u22a2 count a (replicate n b) = if a = b then n else 0
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a b : α
n : ℕ
\u22a2 count a (replicate n b) = List.count a (List.replicate n b)
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : SMulPosStrictMono α β
inst✝ : SMulPosReflectLT α β
hb : 0 < b
\u22a2 0 < a • b ↔ 0 < a
-- Mathlib/Algebra/Lie/Sl2.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
h e f : L
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
t : IsSl2Triple h e f
m : M
μ ρ : R
hm : m ≠ 0
hm' : ⁅h, m⁆ = μ • m
he : ⁅e, m⁆ = ρ • m
\u22a2 2 • ⁅e, m⁆ = 0
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
ι : Sort u_1
ι' : Sort u_2
p : ι → Prop
p' : ι' → Prop
s : ι → Set (α × α)
s' : ι' → Set (β × β)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
h' : (𝓤 β).HasBasis p' s'
f : α → β
\u22a2 UniformEmbedding f ↔ Injective f ∧ (∀ (i : ι'), p' i → ∃ j, p j ∧ ∀ (x y : α), (x, y) ∈ s j → (f x, f y) ∈ s' i) ∧ ∀ (j : ι), p j → ∃ i, p' i ∧ ∀ (x y : α), (f x, f y) ∈ s' i → (x, y) ∈ s j
-- Mathlib/Algebra/Star/Pointwise.lean
S : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : InvolutiveStar α
inst✝¹ : SetLike S α
inst✝ : StarMemClass S α
s : S
x : α
\u22a2 x ∈ star ↑s ↔ x ∈ ↑s
-- Mathlib/Algebra/Star/Pointwise.lean
S : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : InvolutiveStar α
inst✝¹ : SetLike S α
inst✝ : StarMemClass S α
s : S
x : α
\u22a2 star x ∈ s ↔ x ∈ s
-- Mathlib/Topology/ClopenBox.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : CompactSpace X
W : Clopens (X × Y)
\u22a2 ∃ I, W = I.sup fun i => i.1 ×ˢ i.2
-- Mathlib/Topology/ClopenBox.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : CompactSpace X
W : Clopens (X × Y)
U : X × Y → Clopens X
hxU : ∀ x ∈ W, x.1 ∈ U x
V : X × Y → Clopens Y
hxV : ∀ x ∈ W, x.2 ∈ V x
hUV : ∀ x ∈ W, U x ×ˢ V x ≤ W
\u22a2 ∃ I, W = I.sup fun i => i.1 ×ˢ i.2
-- Mathlib/Topology/ClopenBox.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : CompactSpace X
W : Clopens (X × Y)
U : X × Y → Clopens X
hxU : ∀ x ∈ W, x.1 ∈ U x
V : X × Y → Clopens Y
hxV : ∀ x ∈ W, x.2 ∈ V x
hUV : ∀ x ∈ W, U x ×ˢ V x ≤ W
I : Finset (X × Y)
hIW : ∀ x ∈ I, x ∈ W.carrier
hWI : W.carrier ⊆ ⋃ x ∈ I, ↑(U x) ×ˢ ↑(V x)
\u22a2 ∃ I, W = I.sup fun i => i.1 ×ˢ i.2
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/EpiMono.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.ReflectsEpimorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Epi (G.map f)
\u22a2 Epi f
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/EpiMono.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.ReflectsEpimorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Epi (G.map f)
\u22a2 Epi (F.map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/EpiMono.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.ReflectsEpimorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Epi (G.map f)
this : Epi (G.map f ≫ (α.app Y).inv)
\u22a2 Epi (F.map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/EpiMono.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.ReflectsEpimorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Epi (G.map f)
this : Epi (G.map f ≫ (α.app Y).inv)
\u22a2 F.map f = (α.app X).hom ≫ G.map f ≫ (α.app Y).inv
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f : α → β
\u22a2 Tendsto f l₁ l₂ ↔ RTendsto (Function.graph f) l₁ l₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : CommSemiring R₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M
\u22a2 B.SeparatingRight ↔ ker B.flip = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/IntegralNormalization.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
i : ℕ
hi : f.degree = ↑i
\u22a2 f.integralNormalization.coeff i = 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs₂ : IsOpen s
x : E
hx : x ∈ s
\u22a2 x ∈ interior s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
\u22a2 (((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) ⍟ fun n => χ ↑n) = (fun n => χ ↑n) * fun n => Complex.log ↑n
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
x y : ℝ
\u22a2 abs (↑x + ↑y * I) = √(x ^ 2 + y ^ 2)
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
x y : ℝ
\u22a2 abs (↑x + ↑y * I) = √(normSq (↑x + ↑y * I))
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
i : ι
\u22a2 Function.Injective ⇑of
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
\u22a2 { ofColex := {a} } < { ofColex := {b} } ↔ a < b
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.18276, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S✝ S₁ S₂ : ShortComplex C
S : ShortComplex Cᵒᵖ
h : S.HomologyData
z : IsZero h.left.H
\u22a2 S.unop.Exact
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{u}
\u22a2 lift.{v, u} c ≤ ℵ₀ ↔ c ≤ ℵ₀
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
\u22a2 Tendsto (↑(hf.stieltjesFunction a)) atBot (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
h_exists : ∀ (x : ℝ), ∃ q, x < ↑q ∧ ↑q < x + 1
\u22a2 Tendsto (↑(hf.stieltjesFunction a)) atBot (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
h_exists : ∀ (x : ℝ), ∃ q, x < ↑q ∧ ↑q < x + 1
qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose
\u22a2 Tendsto (↑(hf.stieltjesFunction a)) atBot (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
h_exists : ∀ (x : ℝ), ∃ q, x < ↑q ∧ ↑q < x + 1
qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose
hqs_tendsto : Tendsto qs atBot atBot
\u22a2 Tendsto (↑(hf.stieltjesFunction a)) atBot (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
h_exists : ∀ (x : ℝ), ∃ q, x < ↑q ∧ ↑q < x + 1
qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose
hqs_tendsto : Tendsto qs atBot atBot
x : ℝ
\u22a2 ↑(hf.stieltjesFunction a) x ≤ (f a ∘ qs) x
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
h_exists : ∀ (x : ℝ), ∃ q, x < ↑q ∧ ↑q < x + 1
qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose
hqs_tendsto : Tendsto qs atBot atBot
x : ℝ
\u22a2 ↑(hf.stieltjesFunction a) x ≤ ↑(hf.stieltjesFunction a) ↑(qs x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Decomposition.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
\u22a2 ∃ A a, IsGalois A ∧ Function.Bijective fun f => F.map f a
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Decomposition.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X A : C
u : A ⟶ CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProd F X
a : ↑(F.obj A)
h1 : F.map u a = CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X
h2 : IsConnected A
h3 : Mono u
\u22a2 ∃ A a, IsGalois A ∧ Function.Bijective fun f => F.map f a
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Decomposition.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X A : C
u : A ⟶ CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProd F X
a : ↑(F.obj A)
h1 : F.map u a = CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X
h2 : IsConnected A
h3 : Mono u
\u22a2 ∃ a, IsGalois A ∧ Function.Bijective fun f => F.map f a
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Decomposition.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X A : C
u : A ⟶ CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProd F X
a : ↑(F.obj A)
h1 : F.map u a = CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X
h2 : IsConnected A
h3 : Mono u
\u22a2 IsGalois A ∧ Function.Bijective fun f => F.map f a
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
b : α
\u22a2 sSup {a | IsAtom a ∧ a ≤ b} = b
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
s : Set α
hs : ∀ a ∈ s, IsAtom a
\u22a2 sSup {a | IsAtom a ∧ a ≤ sSup s} = sSup s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
p_ne_zero : p ≠ 0
hsplit : Splits i p
\u22a2 p.degree = ↑(Multiset.card (map i p).roots)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s : Multiset α
n : ℕ
x : α
\u22a2 s ∩ replicate n x = replicate (min (count x s) n) x
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : A → A → Prop
a b : A
ha : a ∈ adjoin R s
hb : b ∈ adjoin R s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)
Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x
Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
Hstar : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) (star y)
Hstar_left : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) y
Hstar_right : ∀ (x y : A), p x y → p x (star y)
\u22a2 p a b
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : A → A → Prop
a b : A
ha : a ∈ adjoin R s
hb : b ∈ adjoin R s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)
Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x
Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
Hstar : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) (star y)
Hstar_left : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) y
Hstar_right : ∀ (x y : A), p x y → p x (star y)
x : A
hx : x ∈ s ∪ star s
y : A
hy : y ∈ s ∪ star s
\u22a2 p x y
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : A → A → Prop
a b : A
ha : a ∈ adjoin R s
hb : b ∈ adjoin R s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)
Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x
Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
Hstar : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) (star y)
Hstar_left : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) y
Hstar_right : ∀ (x y : A), p x y → p x (star y)
r : R
x : A
hx : x ∈ s ∪ star s
\u22a2 p ((algebraMap R A) r) x
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : A → A → Prop
a b : A
ha : a ∈ adjoin R s
hb : b ∈ adjoin R s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)
Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x
Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
Hstar : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) (star y)
Hstar_left : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) y
Hstar_right : ∀ (x y : A), p x y → p x (star y)
r : R
x : A
hx : x ∈ s ∪ star s
\u22a2 p x ((algebraMap R A) r)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Basic.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
hx : x ∈ ball c f.rOut
\u22a2 ↑f x ≠ 0
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
h0 : ↑a ≠ 0
\u22a2 StrictMono fun x => ↑a * x
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
h0 : a ≠ 0
\u22a2 StrictMono fun x => ↑a * x
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
h0 : a ≠ 0
x y : ℝ≥0∞
h : x < y
\u22a2 (fun x => ↑a * x) x < (fun x => ↑a * x) y
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
h0 : a ≠ 0
x y : ℝ≥0∞
h : ↑a * y ≤ ↑a * x
\u22a2 y ≤ x
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c d : Ordinal.{u}
\u22a2 a ⨳ (b ⨳ c) ≤ d ↔ ∀ a' < a, ∀ b' < b, ∀ c' < c, a' ⨳ (b ⨳ c) ♯ a ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a ⨳ (b ⨳ c') ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c') < d ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a' ⨳ (b ⨳ c') ♯ a ⨳ (b' ⨳ c')