ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x✝⁴ x✝³ x✝² : M × ↥S
m1 : M
s1 : ↥S
m2 : M
s2 : ↥S
x✝¹ : r S M (m1, s1) (m2, s2)
m3 : M
s3 : ↥S
x✝ : r S M (m2, s2) (m3, s3)
u1 : ↥S
hu1 : u1 • (m2, s2).2 • (m1, s1).1 = u1 • (m1, s1).2 • (m2, s2).1
u2 : ↥S
hu2 : u2 • (m3, s3).2 • (m2, s2).1 = u2 • (m2, s2).2 • (m3, s3).1
hu1' : (s1 * (s3 * (u1 * u2))) • m2 = (s2 * (s3 * (u1 * u2))) • m1
hu2' : (s1 * (s2 * (u1 * u2))) • m3 = (s1 * (s3 * (u1 * u2))) • m2
\u22a2 (s2 * (s3 * (u1 * u2))) • m1 = (s1 * (s2 * (u1 * u2))) • m3
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/ZModChar.lean
n : ℕ
hn : n % 4 = 1
\u22a2 χ₄ ↑n = 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/ZModChar.lean
n : ℕ
hn : n % 4 = 1
\u22a2 χ₄ ↑1 = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq P
s : Finset P
w : P → k
f : { x // x ∈ s } → P
hf : Function.Injective f
\u22a2 (affineCombination k s.attach f) (w ∘ f) = (affineCombination k (image f univ) id) w
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq P
s : Finset P
w : P → k
f : { x // x ∈ s } → P
hf : Function.Injective f
\u22a2 ∑ x ∈ s.attach, w (f x) • (f x -ᵥ Classical.choice ⋯) = ∑ x ∈ image f univ, w x • (x -ᵥ Classical.choice ⋯)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq P
s : Finset P
w : P → k
f : { x // x ∈ s } → P
hf : Function.Injective f
g₁ : { x // x ∈ s } → V := fun i => w (f i) • (f i -ᵥ Classical.choice ⋯)
\u22a2 ∑ x ∈ s.attach, w (f x) • (f x -ᵥ Classical.choice ⋯) = ∑ x ∈ image f univ, w x • (x -ᵥ Classical.choice ⋯)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq P
s : Finset P
w : P → k
f : { x // x ∈ s } → P
hf : Function.Injective f
g₁ : { x // x ∈ s } → V := fun i => w (f i) • (f i -ᵥ Classical.choice ⋯)
g₂ : P → V := fun i => w i • (i -ᵥ Classical.choice ⋯)
\u22a2 ∑ x ∈ s.attach, w (f x) • (f x -ᵥ Classical.choice ⋯) = ∑ x ∈ image f univ, w x • (x -ᵥ Classical.choice ⋯)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq P
s : Finset P
w : P → k
f : { x // x ∈ s } → P
hf : Function.Injective f
g₁ : { x // x ∈ s } → V := fun i => w (f i) • (f i -ᵥ Classical.choice ⋯)
g₂ : P → V := fun i => w i • (i -ᵥ Classical.choice ⋯)
hgf : g₁ = g₂ ∘ f
\u22a2 univ.sum g₁ = (image f univ).sum g₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq P
s : Finset P
w : P → k
f : { x // x ∈ s } → P
hf : Function.Injective f
g₁ : { x // x ∈ s } → V := fun i => w (f i) • (f i -ᵥ Classical.choice ⋯)
g₂ : P → V := fun i => w i • (i -ᵥ Classical.choice ⋯)
hgf : g₁ = g₂ ∘ f
\u22a2 univ.sum (g₂ ∘ f) = ∑ x : { x // x ∈ s }, w (f x) • (f x -ᵥ Classical.choice ⋯)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq P
s : Finset P
w : P → k
f : { x // x ∈ s } → P
hf : Function.Injective f
g₁ : { x // x ∈ s } → V := fun i => w (f i) • (f i -ᵥ Classical.choice ⋯)
g₂ : P → V := fun i => w i • (i -ᵥ Classical.choice ⋯)
hgf : g₁ = g₂ ∘ f
\u22a2 ∀ x ∈ univ, ∀ y ∈ univ, f x = f y → x = y
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → LiftR' (α.RelLast' r) x.dest y.dest
x✝ y✝ : Cofix F α
a✝ : r x✝ y✝
\u22a2 LiftR (fun {i} => α.RelLast r) x✝.dest y✝.dest
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → LiftR' (α.RelLast' r) x.dest y.dest
x✝ y✝ : Cofix F α
a✝ : r x✝ y✝
\u22a2 LiftR' (α.RelLast' r) x✝.dest y✝.dest
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
c : C
hc : c ∈ S.objs
d : C
hd : d ∈ S.objs
f : ↑⟨c, hc⟩ ⟶ ↑⟨d, hd⟩
hf : f ∈ S.arrows ↑⟨c, hc⟩ ↑⟨d, hd⟩
g : ↑⟨c, hc⟩ ⟶ ↑⟨d, hd⟩
hg : g ∈ S.arrows ↑⟨c, hc⟩ ↑⟨d, hd⟩
hfg : (fun f => S.hom.map f) ⟨f, hf⟩ = (fun f => S.hom.map f) ⟨g, hg⟩
\u22a2 ⟨f, hf⟩ = ⟨g, hg⟩
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
hx : IsIntegral A x
\u22a2 0 < (minpoly A x).natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
hx : IsIntegral A x
\u22a2 (minpoly A x).natDegree ≠ 0
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
hx : IsIntegral A x
ndeg_eq_zero : (minpoly A x).natDegree = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
hx : IsIntegral A x
ndeg_eq_zero : (minpoly A x).natDegree = 0
eq_one : minpoly A x = 1
\u22a2 False
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
x✝ : Game
x : PGame
y✝ : Game
y : PGame
\u22a2 ¬Quot.mk Setoid.r x ≤ Quot.mk Setoid.r y ↔ Quot.mk Setoid.r y ⧏ Quot.mk Setoid.r x
-- Mathlib/Data/Set/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
x : α
\u22a2 x ∈ range l.get ↔ x ∈ {x | x ∈ l}
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/QuasiIso.lean
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
\u22a2 QuasiIso φ ↔ IsIso (rightHomologyMap' φ h₁ h₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f : Y ≅ X
g g' : Y ⟶ Z
\u22a2 f.inv ≫ g = f.inv ≫ g' ↔ g = g'
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
p : S[X]
\u22a2 ∃ b, ∀ (i : ℕ), (algebraMap R S) ((integerNormalization M p).coeff i) = ↑b • p.coeff i
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
p : S[X]
\u22a2 ∀ (i : ℕ), (algebraMap R S) ((integerNormalization M p).coeff i) = ↑(Classical.choose ⋯) • p.coeff i
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
p : S[X]
i : ℕ
\u22a2 (algebraMap R S) ((integerNormalization M p).coeff i) = ↑(Classical.choose ⋯) • p.coeff i
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
p : S[X]
i : ℕ
\u22a2 (algebraMap R S) (if hi : i ∈ p.support then Classical.choose ⋯ else 0) = ↑(Classical.choose ⋯) • p.coeff i
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
ε : ℚ
hε : 0 < ε
\u22a2 ∃ i, ∀ j ≥ i, padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat 1 - 1) j) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
ε : ℚ
hε : 0 < ε
\u22a2 ∀ j ≥ 1, padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat 1 - 1) j) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
ε : ℚ
hε : 0 < ε
j : ℕ
hj : j ≥ 1
\u22a2 padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat 1 - 1) j) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
ε : ℚ
hε : 0 < ε
j : ℕ
hj : j ≥ 1
this : Fact (1 < p ^ j)
\u22a2 padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat 1 - 1) j) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
ε : ℚ
hε : 0 < ε
j : ℕ
hj : j ≥ 1
this : Fact (1 < p ^ j)
\u22a2 ZMod.cast 1 = 1
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h : ∀ (x y : P.M α), R x y → ∃ a f f₁ f₂, dest P x = ⟨a, splitFun f f₁⟩ ∧ dest P y = ⟨a, splitFun f f₂⟩ ∧ ∀ (i : (P.B a).last), R (f₁ i) (f₂ i)
a₁ : P.mp.A
f₁ : P.mp.B a₁ ⟹ α
a₂ : P.mp.A
f₂ : P.mp.B a₂ ⟹ α
r : R ⟨a₁, f₁⟩ ⟨a₂, f₂⟩
\u22a2 ⟨a₁, f₁⟩ = ⟨a₂, f₂⟩
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h : ∀ (x y : P.M α), R x y → ∃ a f f₁ f₂, dest P x = ⟨a, splitFun f f₁⟩ ∧ dest P y = ⟨a, splitFun f f₂⟩ ∧ ∀ (i : (P.B a).last), R (f₁ i) (f₂ i)
a₁ : P.mp.A
f₁ : P.mp.B a₁ ⟹ α
a₂ : P.mp.A
f₂ : P.mp.B a₂ ⟹ α
r : R ⟨a₁, f₁⟩ ⟨a₂, f₂⟩
this : a₁ = a₂
\u22a2 ⟨a₁, f₁⟩ = ⟨a₂, f₂⟩
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h : ∀ (x y : P.M α), R x y → ∃ a f f₁ f₂, dest P x = ⟨a, splitFun f f₁⟩ ∧ dest P y = ⟨a, splitFun f f₂⟩ ∧ ∀ (i : (P.B a).last), R (f₁ i) (f₂ i)
a₁ : P.mp.A
f₁ f₂ : P.mp.B a₁ ⟹ α
r : R ⟨a₁, f₁⟩ ⟨a₁, f₂⟩
i : Fin2 n
p : P.mp.B a₁ i
\u22a2 f₁ i p = f₂ i p
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h : ∀ (x y : P.M α), R x y → ∃ a f f₁ f₂, dest P x = ⟨a, splitFun f f₁⟩ ∧ dest P y = ⟨a, splitFun f f₂⟩ ∧ ∀ (i : (P.B a).last), R (f₁ i) (f₂ i)
a₁ : P.mp.A
i✝ : Fin2 n
x : P.last.M
a : P.A
f : P.last.B a → P.last.M
h' : x.dest = ⟨a, f⟩
i : Fin2 n
c : P.drop.B a i
f₁ f₂ : P.mp.B x ⟹ α
r : R ⟨x, f₁⟩ ⟨x, f₂⟩
e₁' : x.dest = ⟨a, f⟩
e₁ : dest P ⟨x, f₁⟩ = ⟨a, splitFun (pathDestLeft P e₁' f₁) fun x_1 => ⟨f x_1, pathDestRight P e₁' f₁ x_1⟩⟩
e₂' : x.dest = ⟨a, f⟩
e₃ : pathDestLeft P e₁' f₁ = pathDestLeft P e₂' f₂
e₂ : dest P ⟨x, f₂⟩ = ⟨a, splitFun (pathDestLeft P e₁' f₁) fun x_1 => ⟨f x_1, pathDestRight P e₂' f₂ x_1⟩⟩
h'' : ∀ (i : (P.B a).last), R ((fun x_1 => ⟨f x_1, pathDestRight P e₁' f₁ x_1⟩) i) ((fun x_1 => ⟨f x_1, pathDestRight P e₂' f₂ x_1⟩) i)
\u22a2 f₁ i (Path.root x a f h' i c) = f₂ i (Path.root x a f h' i c)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h : ∀ (x y : P.M α), R x y → ∃ a f f₁ f₂, dest P x = ⟨a, splitFun f f₁⟩ ∧ dest P y = ⟨a, splitFun f f₂⟩ ∧ ∀ (i : (P.B a).last), R (f₁ i) (f₂ i)
a₁ : P.mp.A
i✝ : Fin2 n
x : P.last.M
a : P.A
f : P.last.B a → P.last.M
h' : x.dest = ⟨a, f⟩
i : P.last.B a
c : Fin2 n
p : Path P (f i) c
IH : ∀ (f₁ f₂ : P.mp.B (f i) ⟹ α), R ⟨f i, f₁⟩ ⟨f i, f₂⟩ → f₁ c p = f₂ c p
f₁ f₂ : P.mp.B x ⟹ α
r : R ⟨x, f₁⟩ ⟨x, f₂⟩
e₁' : x.dest = ⟨a, f⟩
e₁ : dest P ⟨x, f₁⟩ = ⟨a, splitFun (pathDestLeft P e₁' f₁) fun x_1 => ⟨f x_1, pathDestRight P e₁' f₁ x_1⟩⟩
e₂' : x.dest = ⟨a, f⟩
e₃ : pathDestLeft P e₁' f₁ = pathDestLeft P e₂' f₂
e₂ : dest P ⟨x, f₂⟩ = ⟨a, splitFun (pathDestLeft P e₁' f₁) fun x_1 => ⟨f x_1, pathDestRight P e₂' f₂ x_1⟩⟩
h'' : ∀ (i : (P.B a).last), R ((fun x_1 => ⟨f x_1, pathDestRight P e₁' f₁ x_1⟩) i) ((fun x_1 => ⟨f x_1, pathDestRight P e₂' f₂ x_1⟩) i)
\u22a2 f₁ c (Path.child x a f h' i c p) = f₂ c (Path.child x a f h' i c p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι✝
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
lim : Tendsto f u (𝓝 g)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
\u22a2 StronglyMeasurable g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι✝
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
lim : Tendsto f u (𝓝 g)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
\u22a2 Measurable g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι✝
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
lim : Tendsto f u (𝓝 g)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
\u22a2 IsSeparable (range g)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t✝ u v : Finset α
a b x : α
h : x ∉ s
t : Finset α
\u22a2 s \ insert x t = s \ t
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t✝ u v : Finset α
a b x : α
h : x ∉ s
t : Finset α
y : α
hy : y ∈ s \ t
\u22a2 y ∈ s \ insert x t
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t✝ u v : Finset α
a b x : α
h : x ∉ s
t : Finset α
y : α
hy : y ∈ s ∧ y ∉ t
\u22a2 y ∈ s ∧ ¬y = x ∧ y ∉ t
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Free R M₁
h : 0 < finrank R M
\u22a2 Finite R M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Free R M₁
h : ¬Finite R M
\u22a2 ¬0 < finrank R M
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : CommRing α
x y : α
n : ℕ
h : Odd n
\u22a2 x + y ∣ x ^ n + y ^ n
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : CommRing α
x y : α
n : ℕ
h : Odd n
h₁ : (∑ i ∈ range n, x ^ i * (-y) ^ (n - 1 - i)) * (x - -y) = x ^ n - (-y) ^ n
\u22a2 x + y ∣ x ^ n + y ^ n
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : CommRing α
x y : α
n : ℕ
h : Odd n
h₁ : (∑ i ∈ range n, x ^ i * (-y) ^ (n - 1 - i)) * (x + y) = x ^ n + y ^ n
\u22a2 x + y ∣ x ^ n + y ^ n
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Division.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
g : G
x : k[G]
\u22a2 of' k G g * x %ᵒᶠ g = 0
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Division.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
g : G
x : k[G]
g' : G
\u22a2 (of' k G g * x %ᵒᶠ g) g' = 0 g'
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Division.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
g : G
x : k[G]
g' : G
\u22a2 (of' k G g * x %ᵒᶠ g) g' = 0
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
eif : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Irreducible b) ∧ f.prod ~ᵤ a
uif : ∀ (f g : Multiset α), (∀ x ∈ f, Irreducible x) → (∀ x ∈ g, Irreducible x) → f.prod ~ᵤ g.prod → Multiset.Rel Associated f g
p : α
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
hpi : Irreducible p
a b : α
x✝ : p ∣ a * b
x : α
hx : a * b = p * x
hab0 : ¬a * b = 0
hx0 : x ≠ 0
\u22a2 p ∣ a ∨ p ∣ b
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
eif : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Irreducible b) ∧ f.prod ~ᵤ a
uif : ∀ (f g : Multiset α), (∀ x ∈ f, Irreducible x) → (∀ x ∈ g, Irreducible x) → f.prod ~ᵤ g.prod → Multiset.Rel Associated f g
p : α
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
hpi : Irreducible p
a b : α
x✝ : p ∣ a * b
x : α
hx : a * b = p * x
hab0 : ¬a * b = 0
hx0 : x ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
\u22a2 p ∣ a ∨ p ∣ b
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
eif : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Irreducible b) ∧ f.prod ~ᵤ a
uif : ∀ (f g : Multiset α), (∀ x ∈ f, Irreducible x) → (∀ x ∈ g, Irreducible x) → f.prod ~ᵤ g.prod → Multiset.Rel Associated f g
p : α
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
hpi : Irreducible p
a b : α
x✝ : p ∣ a * b
x : α
hx : a * b = p * x
hab0 : ¬a * b = 0
hx0 : x ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
\u22a2 p ∣ a ∨ p ∣ b
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
eif : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Irreducible b) ∧ f.prod ~ᵤ a
uif : ∀ (f g : Multiset α), (∀ x ∈ f, Irreducible x) → (∀ x ∈ g, Irreducible x) → f.prod ~ᵤ g.prod → Multiset.Rel Associated f g
p : α
this : DecidableEq α := Classical.decEq α
hpi : Irreducible p
a b : α
x✝ : p ∣ a * b
x : α
hx : a * b = p * x
hab0 : ¬a * b = 0
hx0 : x ≠ 0
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
fx : Multiset α
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ fx.prod ~ᵤ x
fa : Multiset α
hfa : (∀ b ∈ fa, Irreducible b) ∧ fa.prod ~ᵤ a
fb : Multiset α
hfb : (∀ b ∈ fb, Irreducible b) ∧ fb.prod ~ᵤ b
h : Multiset.Rel Associated (p ::ₘ fx) (fa + fb)
\u22a2 p ∣ a ∨ p ∣ b
-- Mathlib/GroupTheory/Order/Min.lean
α : Type u_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn₁ : n ≠ 1
\u22a2 minOrder (ZMod n) = ↑n.minFac
-- Mathlib/GroupTheory/Order/Min.lean
α : Type u_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn₁ : n ≠ 1
this : Fact (1 < n)
\u22a2 minOrder (ZMod n) = ↑n.minFac
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ
hb : 1 < b
hn : 2 ≤ n
\u22a2 0 < clog b n
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ
hb : 1 < b
hn : 2 ≤ n
\u22a2 0 < clog b ((n + b - 1) / b) + 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
h : l.prod ≠ 1
\u22a2 ∃ x ∈ l, x ≠ 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
\u22a2 tan (π / 3) = √3
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
\u22a2 √3 / 2 / (1 / 2) = √3
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
\u22a2 cos (angle x y) = 0 ↔ angle x y = π / 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
\u22a2 cos (angle x y) = cos (π / 2) ↔ angle x y = π / 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
\u22a2 π / 2 ∈ Icc 0 π
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm_not : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
\u22a2 μ[f|m] = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm_not : ¬SigmaFinite (μ.trim hm)
\u22a2 ¬(SigmaFinite (μ.trim hm) ∧ Integrable f μ)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
\u22a2 ∑ᶠ (m : M), (weightedHomogeneousComponent w m) φ = φ
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
t✝ : Finset κ
f✝ : ι → α
g✝ : κ → α
a : α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
\u22a2 s.sup f ⊓ t.sup g = (s ×ˢ t).sup fun i => f i.1 ⊓ g i.2
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
J : Ideal R
hJ : J ≠ 0
\u22a2 count K v ↑J = ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk J).factors)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
J : Ideal R
hJ : J ≠ 0
\u22a2 ↑J ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
J : Ideal R
hJ : J ≠ 0
\u22a2 ↑J = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) 1)⁻¹ * ↑J
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l✝ l₁ l₂ : List α
a b x : α
l : List α
h : Chain' R (x :: l)
y : α
hy : y ∈ l.head?
\u22a2 R x y
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l✝ l₁ l₂ : List α
a b x : α
l : List α
y : α
h : Chain' R (x :: y :: l.tail)
hy : y ∈ l.head?
\u22a2 R x y
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
o : Ordinal.{u_1}
\u22a2 o < ω ↔ ∃ n, o = ↑n
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
\u22a2 IsBounded s → IsBounded s⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
\u22a2 (∃ C, ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ‖x‖ ≤ C) → ∃ C, ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ‖x‖ ≤ C
-- Mathlib/Data/Sum/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
\u22a2 Ioc (inlₗ a₁) (inlₗ a₂) = map (Embedding.inl.trans toLex.toEmbedding) (Ioc a₁ a₂)
-- Mathlib/Data/Sum/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
\u22a2 Ioc (inlₗ a₁) (inlₗ a₂) = map toLex.toEmbedding (map Embedding.inl (Ioc a₁ a₂))