ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
hM : Pairwise fun i j => Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
h✝ : IsEmpty n
\u22a2 M ∈ Set.range ⇑(scalar n)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
hM : Pairwise fun i j => Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
h✝ : Nonempty n
\u22a2 M ∈ Set.range ⇑(scalar n)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
hM : Pairwise fun i j => Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
h✝ : Nonempty n
i : n
\u22a2 M ∈ Set.range ⇑(scalar n)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
hM : Pairwise fun i j => Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
h✝ : Nonempty n
i j k : n
\u22a2 (scalar n) (M i i) j k = M j k
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
hM : Pairwise fun i j => Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
h✝ : Nonempty n
i j k : n
\u22a2 diagonal (fun x => M i i) j k = M j k
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
hM : Pairwise fun i j => Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
h✝ : Nonempty n
i j : n
\u22a2 diagonal (fun x => M i i) j j = M j j
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
hM : Pairwise fun i j => Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
h✝ : Nonempty n
i j k : n
hkl : j ≠ k
\u22a2 diagonal (fun x => M i i) j k = M j k
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
\u22a2 W.addXYZ P Q = addU P Q • ![1, 1, 0]
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R✝ : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
R : Type u_14
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : DistribMulAction R α
x : R
M : o → Matrix m n α
i✝ : m × o
j✝ : n × o
\u22a2 blockDiagonal (x • M) i✝ j✝ = (x • blockDiagonal M) i✝ j✝
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R✝ : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
R : Type u_14
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : DistribMulAction R α
x : R
M : o → Matrix m n α
i✝ : m × o
j✝ : n × o
\u22a2 (if i✝.2 = j✝.2 then x • M i✝.2 i✝.1 j✝.1 else 0) = x • if i✝.2 = j✝.2 then M i✝.2 i✝.1 j✝.1 else 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hq_pos : 0 < q
h0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
\u22a2 eLpNorm (fun x => ‖f x‖ ^ q) p μ = eLpNorm f (p * ENNReal.ofReal q) μ ^ q
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hq_pos : 0 < q
h0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
\u22a2 eLpNorm' (fun x => ‖f x‖ ^ q) p.toReal μ = eLpNorm' f (p * ENNReal.ofReal q).toReal μ ^ q
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hq_pos : 0 < q
h0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
\u22a2 p * ENNReal.ofReal q ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hq_pos : 0 < q
h0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
\u22a2 p * ENNReal.ofReal q ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hq_pos : 0 < q
h0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
\u22a2 eLpNorm' (fun x => ‖f x‖ ^ q) p.toReal μ = eLpNorm' f (p.toReal * q) μ ^ q
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
h : a < succ b
\u22a2 Ioc a (succ b) = insert (succ b) (Ioc a b)
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
s✝ : ℕ → Set Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
μ : Measure Ω
s : ℕ → Set Ω
n : ℕ
\u22a2 predictablePart (process s) ℱ μ n = ∑ k ∈ Finset.range n, μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k]
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
s✝ : ℕ → Set Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
μ : Measure Ω
s : ℕ → Set Ω
n : ℕ
this : martingalePart (process s) ℱ μ n = ∑ k ∈ Finset.range n, ((s (k + 1)).indicator 1 - μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k])
\u22a2 predictablePart (process s) ℱ μ n = ∑ k ∈ Finset.range n, μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k]
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
s✝ : ℕ → Set Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
μ : Measure Ω
s : ℕ → Set Ω
n : ℕ
this : ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 - predictablePart (process s) ℱ μ n = ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 - ∑ x ∈ Finset.range n, μ[(s (x + 1)).indicator 1|↑ℱ x]
\u22a2 predictablePart (process s) ℱ μ n = ∑ k ∈ Finset.range n, μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k]
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Ring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra S A
inst✝² : IsScalarTower R S A
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R K
x : K
hx : ¬x = 0
this : Invertible x := invertibleOfNonzero hx
\u22a2 IsAlgebraic R x⁻¹ ↔ IsAlgebraic R x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
s t : Set M
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
\u22a2 IsCompact (s * t)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
s t : Set M
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
\u22a2 IsCompact ((fun x => x.1 * x.2) '' s ×ˢ t)
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
n : ℕ
\u22a2 (↑s).drop (n + 1) = ↑(s.drop (n + 1))
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
n : ℕ
\u22a2 ((↑s).drop n).tail = ↑(s.drop n).tail
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X' X : C
Y Y' : D
f : X' ⟶ X
g : F.obj X ⟶ Y
\u22a2 (adj.homEquiv X' Y) (F.map f ≫ g) = f ≫ (adj.homEquiv X Y) g
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X' X : C
Y Y' : D
f : X' ⟶ X
g : F.obj X ⟶ Y
\u22a2 F.map f ≫ g = (adj.homEquiv X' Y).symm (f ≫ (adj.homEquiv X Y) g)
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
a : R
ha : ¬IsUnit a
\u22a2 (↑{ toFun := fun x => if IsUnit x then 1 else 0, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun a = 0
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
\u22a2 (if IsUnit 1 then 1 else 0) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
x y : R
\u22a2 { toFun := fun x => if IsUnit x then 1 else 0, map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun x => if IsUnit x then 1 else 0, map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x => if IsUnit x then 1 else 0, map_one' := ⋯ }.toFun y
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
x : α
xs : List α
i : Nat
h : i + 1 < (x :: xs).length
\u22a2 ((x :: xs).eraseIdx (i + 1)).length = (x :: xs).length - 1
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
x : α
xs : List α
i : Nat
h : i + 1 < (x :: xs).length
this : i < xs.length
\u22a2 ((x :: xs).eraseIdx (i + 1)).length = (x :: xs).length - 1
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
x : α
xs : List α
i : Nat
h : i + 1 < (x :: xs).length
this : i < xs.length
\u22a2 (xs.eraseIdx i).length + 1 = xs.length
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
H K L : Subgroup G
inst✝¹ : Finite ↑(commutatorSet G)
inst✝ : Group.FG G
\u22a2 (center G).index ≤ Nat.card ↑(commutatorSet G) ^ Group.rank G
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
H K L : Subgroup G
inst✝¹ : Finite ↑(commutatorSet G)
inst✝ : Group.FG G
S : Finset G
hS1 : S.card = Group.rank G
hS2 : closure ↑S = ⊤
\u22a2 (center G).index ≤ Nat.card ↑(commutatorSet G) ^ Group.rank G
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
H K L : Subgroup G
inst✝¹ : Finite ↑(commutatorSet G)
inst✝ : Group.FG G
S : Finset G
hS1 : S.card = Group.rank G
hS2 : closure ↑S = ⊤
\u22a2 (center G).index ≤ Nat.card (↑↑S → ↑(commutatorSet G))
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≺i s
x✝ : ↑{b | s b f.top}
a : β
h : a ∈ {b | s b f.top}
\u22a2 ∃ a_1, (RelEmbedding.codRestrict {b | s b f.top} { toRelEmbedding := f.toRelEmbedding, init' := ⋯ }.toRelEmbedding ⋯) a_1 = ⟨a, h⟩
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≺i s
x✝ : ↑{b | s b f.top}
b : α
h : f.toRelEmbedding b ∈ {b | s b f.top}
\u22a2 ∃ a, (RelEmbedding.codRestrict {b | s b f.top} { toRelEmbedding := f.toRelEmbedding, init' := ⋯ }.toRelEmbedding ⋯) a = ⟨f.toRelEmbedding b, h⟩
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Linear.lean
R : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Linear R C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
a : R
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
\u22a2 opcyclesMap' (a • φ) h₁ h₂ = a • opcyclesMap' φ h₁ h₂
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
s : Multiset α
a : α
comm : {x | x ∈ a ::ₘ s}.Pairwise Commute
\u22a2 (a ::ₘ s).noncommProd comm = a * s.noncommProd ⋯
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
a : α
a✝ : List α
comm : {x | x ∈ a ::ₘ ⟦a✝⟧}.Pairwise Commute
\u22a2 (a ::ₘ ⟦a✝⟧).noncommProd comm = a * noncommProd ⟦a✝⟧ ⋯
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
t u v w : V
p : G.Walk u v
p' : G.Walk v w
\u22a2 t ∈ (p.append p').support ↔ t ∈ p.support ∨ t ∈ p'.support
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
t u v w : V
p : G.Walk u v
p' : G.Walk v w
\u22a2 t = u ∨ t ∈ p.support.tail ∨ t ∈ p'.support.tail ↔ (t = u ∨ t ∈ p.support.tail) ∨ t = v ∨ t ∈ p'.support.tail
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
p : β → Prop
s : β → Set (α × α)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
t : Set (α × α)
\u22a2 (∃ i, p i ∧ s i ⊆ t) ↔ ∃ i, p i ∧ ∀ (a b : α), (a, b) ∈ s i → (a, b) ∈ t
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
g : Fin (n + 1) → G
a : Fin (n + 1)
\u22a2 ((diagonalHomEquiv n A).symm f).hom (Finsupp.single (Fin.partialProd g ∘ a.succ.succAbove) 1) = f (a.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
g : Fin (n + 1) → G
a : Fin (n + 1)
\u22a2 (f fun i => (Fin.partialProd g (a.succ.succAbove i.castSucc))⁻¹ * (Fin.partialProd g (a.succAbove i).castSucc * g (a.succAbove i))) = f (a.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
g : Fin (n + 1) → G
a : Fin (n + 1)
x✝ : Fin n
\u22a2 (Fin.partialProd g (a.succ.succAbove x✝.castSucc))⁻¹ * (Fin.partialProd g (a.succAbove x✝).castSucc * g (a.succAbove x✝)) = a.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g x✝
-- Mathlib/Algebra/Regular/SMul.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a b : R
s : S
inst✝⁵ : SMul R M
inst✝⁴ : SMul R S
inst✝³ : SMul S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : IsScalarTower R R M
ab : IsSMulRegular M (a * b)
\u22a2 IsSMulRegular M b
-- Mathlib/Algebra/Regular/SMul.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a b : R
s : S
inst✝⁵ : SMul R M
inst✝⁴ : SMul R S
inst✝³ : SMul S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : IsScalarTower R R M
ab : IsSMulRegular M (a • b)
\u22a2 IsSMulRegular M b
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
n : Int
d : Nat
\u22a2 -mkRat n d = mkRat (-n) d
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/EuclideanDist.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
R : ℝ
s : Set E
x : E
hR : 0 < R
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x R
\u22a2 ∃ r ∈ Ioo 0 R, s ⊆ ball x r
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/EuclideanDist.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
R : ℝ
s : Set E
x : E
hR : 0 < R
hs : IsClosed s
h : ⇑toEuclidean '' s ⊆ Metric.ball (toEuclidean x) R
\u22a2 ∃ r ∈ Ioo 0 R, s ⊆ ball x r
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/EuclideanDist.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
R : ℝ
s : Set E
x : E
hR : 0 < R
hs : IsClosed s
h : ⇑toEuclidean '' s ⊆ Metric.ball (toEuclidean x) R
r : ℝ
hr : r ∈ Ioo 0 R
hsr : ⇑toEuclidean '' s ⊆ Metric.ball (toEuclidean x) r
\u22a2 ∃ r ∈ Ioo 0 R, s ⊆ ball x r
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p i : Fin (n + 1)
h : i ≤ p
hp : p ≠ last n
hi : optParam (i ≠ last n) ⋯
\u22a2 (p.castPred hp).predAbove i = i.castPred hi
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p : Ω (↑(Ω^ { j // j ≠ i } X x)) const
y : N → ↑I
j : N
Hj : y j = 0 ∨ y j = 1
\u22a2 (({ toFun := Subtype.val, continuous_toFun := ⋯ }.comp p.toContinuousMap).uncurry.comp (Cube.splitAt i).toContinuousMap) y = x
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p : Ω (↑(Ω^ { j // j ≠ i } X x)) const
y : N → ↑I
j : N
Hj : y j = 0 ∨ y j = 1
\u22a2 (↑(p.toContinuousMap (y i)) fun j => y ↑j) = x
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
y : N → ↑I
j : N
Hj : y j = 0 ∨ y j = 1
p : Ω (↑(Ω^ { j_1 // j_1 ≠ j } X x)) const
\u22a2 (↑(p.toContinuousMap (y j)) fun j_1 => y ↑j_1) = x
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p : Ω (↑(Ω^ { j // j ≠ i } X x)) const
y : N → ↑I
j : N
Hj : y j = 0 ∨ y j = 1
Hne : j ≠ i
\u22a2 (↑(p.toContinuousMap (y i)) fun j => y ↑j) = x
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
\u22a2 IsOpen s ↔ ∀ (x y : α), x ⤳ y → y ∈ s → x ∈ s
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
hs : ∀ (x y : α), x ⤳ y → y ∈ s → x ∈ s
\u22a2 IsOpen s
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
hs : ∀ (x y : α), exterior {x} ⊆ exterior {y} → y ∈ s → x ∈ s
\u22a2 IsOpen s
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
hs : ∀ (x y : α), exterior {x} ⊆ exterior {y} → y ∈ s → x ∈ s
\u22a2 ∀ x ∈ s, ∃ t ⊆ s, IsOpen t ∧ x ∈ t
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a✝ x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
hs : ∀ (x y : α), exterior {x} ⊆ exterior {y} → y ∈ s → x ∈ s
a : α
ha : a ∈ s
\u22a2 ∃ t ⊆ s, IsOpen t ∧ a ∈ t
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a✝ x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
hs : ∀ (x y : α), exterior {x} ⊆ exterior {y} → y ∈ s → x ∈ s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ exterior {a}
\u22a2 exterior {b} ⊆ exterior {a}
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
\u22a2 ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fderivWithin 𝕜 f s) s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) f s x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
p : α → Prop
hp : NullMeasurableSet {x | p x} (μ.restrict s)
\u22a2 (∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → p x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
p : α → Prop
hp : NullMeasurableSet {x | p x} (μ.restrict s)
\u22a2 μ ({x | p x}ᶜ ∩ s) = 0 ↔ μ {x | x ∈ s → p x}ᶜ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
p : α → Prop
hp : NullMeasurableSet {x | p x} (μ.restrict s)
\u22a2 (μ ({x | p x}ᶜ ∩ s) = 0) = (μ {x | x ∈ s → p x}ᶜ = 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
p : α → Prop
hp : NullMeasurableSet {x | p x} (μ.restrict s)
x : α
\u22a2 x ∈ {x | p x}ᶜ ∩ s ↔ x ∈ {x | x ∈ s → p x}ᶜ
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
r : ℝ
\u22a2 ↑(ℑ ↑r) = ↑0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
\u22a2 finrank R (ULift.{u_2, v} M) = finrank R M
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, 0 < f' x
x : ℝ
hx : x ∈ interior D
\u22a2 0 < deriv f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, 0 < f' x
x : ℝ
hx : x ∈ interior D
\u22a2 0 < f' x
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
x : α
this : (a : Prop) → Decidable a
\u22a2 ∃ fl, ∀ (z : ℤ), z ≤ fl ↔ ↑z ≤ x
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
x : α
this✝ : (a : Prop) → Decidable a
this : ∃ ub, ↑ub ≤ x ∧ ∀ (z : ℤ), ↑z ≤ x → z ≤ ub
\u22a2 ∃ fl, ∀ (z : ℤ), z ≤ fl ↔ ↑z ≤ x
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
x : α
this✝ : (a : Prop) → Decidable a
this : ∃ ub, ↑ub ≤ x ∧ ∀ (z : ℤ), ↑z ≤ x → z ≤ ub
fl : ℤ
h : ↑fl ≤ x ∧ ∀ (z : ℤ), ↑z ≤ x → z ≤ fl
z : ℤ
\u22a2 z ≤ fl ↔ ↑z ≤ x
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
x : α
this✝ : (a : Prop) → Decidable a
this : ∃ ub, ↑ub ≤ x ∧ ∀ (z : ℤ), ↑z ≤ x → z ≤ ub
fl z : ℤ
h₁ : ↑fl ≤ x
h₂ : ∀ (z : ℤ), ↑z ≤ x → z ≤ fl
\u22a2 z ≤ fl ↔ ↑z ≤ x