ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
\u22a2 (∃ x, x ∈ s) ∧ b = c ↔ s.Nonempty ∧ b = c
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hg : HasStrictDerivAt g₁ g₁' (h x)
hh : HasStrictDerivAt h h' x
hy : y = h x
\u22a2 HasStrictDerivAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') x
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → γ
g : β → γ
s : Multiset α
t : Multiset β
\u22a2 (map f s).Disjoint (map g t) ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, f a ≠ g b
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
\u22a2 sinh (x * I) = sin x * I
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
x : m.ToType
\u22a2 m.coeEmbedding x ∈ m.toEnumFinset
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
x : m.ToType
\u22a2 (m.coeEmbedding x).2 < count (m.coeEmbedding x).1 m
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
x : { x // x ∈ m.toEnumFinset }
\u22a2 (↑x).2 < count (↑x).1 m
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
x : { x // x ∈ m.toEnumFinset }
\u22a2 ↑x ∈ m.toEnumFinset
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
a : A
\u22a2 Prime (span {a}) ↔ Prime a
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
\u22a2 Prime (span {0}) ↔ Prime 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
a : A
ha : a ≠ 0
\u22a2 Prime (span {a}) ↔ Prime a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : IsUnit A.det
\u22a2 A⁻¹ = ↑h.unit⁻¹ • A.adjugate
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Semiring α
i : m
j : n
c : α
i' : m
j' : n
h : ¬(i = i' ∧ j = j')
\u22a2 stdBasisMatrix i j c i' j' = 0
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Semiring α
i : m
j : n
c : α
i' : m
j' : n
h : ¬(i = i' ∧ j = j')
\u22a2 i = i' → j = j' → c = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
M : Matrix n n R
hM : M.PosDef
\u22a2 Mᵀ.PosDef
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
M : Matrix n n R
hM : M.PosDef
x : n → R
hx : x ≠ 0
\u22a2 0 < star x ⬝ᵥ Mᵀ *ᵥ x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
M : Matrix n n R
hM : M.PosDef
x : n → R
hx : x ≠ 0
\u22a2 star x ⬝ᵥ Mᵀ *ᵥ x = star (star x) ⬝ᵥ M *ᵥ star x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Images.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝⁵ : HasEqualizers A
inst✝⁴ : HasImages A
inst✝³ : StrongEpiCategory B
inst✝² : HasImages B
L : A ⥤ B
inst✝¹ : {X Y Z : A} → (f : X ⟶ Z) → (g : Y ⟶ Z) → PreservesLimit (cospan f g) L
inst✝ : {X Y Z : A} → (f : X ⟶ Y) → (g : X ⟶ Z) → PreservesColimit (span f g) L
X Y : A
f : X ⟶ Y
\u22a2 L.map (factorThruImage f) ≫ L.map (image.ι f) = L.map f
-- Mathlib/Topology/ExtremallyDisconnected.lean
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
\u22a2 IsOpen (closure U)
-- Mathlib/Topology/ExtremallyDisconnected.lean
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂
\u22a2 IsOpen (closure U)
-- Mathlib/Topology/ExtremallyDisconnected.lean
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂
hZ₁ : IsClosed Z₁
\u22a2 IsOpen (closure U)
-- Mathlib/Topology/ExtremallyDisconnected.lean
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂
hZ₁ : IsClosed Z₁
hZ₂ : IsClosed Z₂
\u22a2 IsOpen (closure U)
-- Mathlib/Topology/ExtremallyDisconnected.lean
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂
hZ₁ : IsClosed Z₁
hZ₂ : IsClosed Z₂
hZ : IsClosed Z
\u22a2 IsOpen (closure U)
-- Mathlib/Topology/ExtremallyDisconnected.lean
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂
hZ₁ : IsClosed Z₁
hZ₂ : IsClosed Z₂
hZ : IsClosed Z
f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val
\u22a2 IsOpen (closure U)
-- Mathlib/Topology/ExtremallyDisconnected.lean
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂
hZ₁ : IsClosed Z₁
hZ₂ : IsClosed Z₂
hZ : IsClosed Z
f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val
f_cont : Continuous f
\u22a2 IsOpen (closure U)
-- Mathlib/Topology/ExtremallyDisconnected.lean
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂
hZ₁ : IsClosed Z₁
hZ₂ : IsClosed Z₂
hZ : IsClosed Z
f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val
f_cont : Continuous f
f_sur : Surjective f
\u22a2 IsOpen (closure U)
-- Mathlib/Topology/ExtremallyDisconnected.lean
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂
hZ₁ : IsClosed Z₁
hZ₂ : IsClosed Z₂
hZ : IsClosed Z
f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val
f_cont : Continuous f
f_sur : Surjective f
this : CompactSpace ↑Z
\u22a2 IsOpen (closure U)
-- Mathlib/Topology/ExtremallyDisconnected.lean
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂
hZ₁ : IsClosed Z₁
hZ₂ : IsClosed Z₂
hZ : IsClosed Z
f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val
f_cont : Continuous f
f_sur : Surjective f
this : CompactSpace ↑Z
g : X → ↑Z
hg : Continuous g
g_sec : f ∘ g = id
\u22a2 IsOpen (closure U)
-- Mathlib/Topology/ExtremallyDisconnected.lean
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂
hZ₁ : IsClosed Z₁
hZ₂ : IsClosed Z₂
hZ : IsClosed Z
f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val
f_cont : Continuous f
f_sur : Surjective f
this : CompactSpace ↑Z
g : X → ↑Z
hg : Continuous g
g_sec : f ∘ g = id
φ : X → X × Bool := Subtype.val ∘ g
\u22a2 IsOpen (closure U)
-- Mathlib/Topology/ExtremallyDisconnected.lean
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂
hZ₁ : IsClosed Z₁
hZ₂ : IsClosed Z₂
hZ : IsClosed Z
f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val
f_cont : Continuous f
f_sur : Surjective f
this : CompactSpace ↑Z
g : X → ↑Z
hg : Continuous g
g_sec : f ∘ g = id
φ : X → X × Bool := Subtype.val ∘ g
hφ : Continuous φ
\u22a2 IsOpen (closure U)
-- Mathlib/Topology/ExtremallyDisconnected.lean
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂
hZ₁ : IsClosed Z₁
hZ₂ : IsClosed Z₂
hZ : IsClosed Z
f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val
f_cont : Continuous f
f_sur : Surjective f
this : CompactSpace ↑Z
g : X → ↑Z
hg : Continuous g
g_sec : f ∘ g = id
φ : X → X × Bool := Subtype.val ∘ g
hφ : Continuous φ
hφ₁ : ∀ (x : X), (φ x).1 = x
\u22a2 closure U = φ ⁻¹' Z₂
-- Mathlib/Topology/ExtremallyDisconnected.lean
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂
hZ₁ : IsClosed Z₁
hZ₂ : IsClosed Z₂
hZ : IsClosed Z
f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val
f_cont : Continuous f
f_sur : Surjective f
this : CompactSpace ↑Z
g : X → ↑Z
hg : Continuous g
g_sec : f ∘ g = id
φ : X → X × Bool := Subtype.val ∘ g
hφ : Continuous φ
hφ₁ : ∀ (x : X), (φ x).1 = x
\u22a2 U ⊆ φ ⁻¹' Z₂
-- Mathlib/Topology/ExtremallyDisconnected.lean
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
h : Projective X
U : Set X
hU : IsOpen U
Z₁ : Set (X × Bool) := Uᶜ ×ˢ {true}
Z₂ : Set (X × Bool) := closure U ×ˢ {false}
Z : Set (X × Bool) := Z₁ ∪ Z₂
hZ₁₂ : Disjoint Z₁ Z₂
hZ₁ : IsClosed Z₁
hZ₂ : IsClosed Z₂
hZ : IsClosed Z
f : ↑Z → X := Prod.fst ∘ Subtype.val
f_cont : Continuous f
f_sur : Surjective f
this : CompactSpace ↑Z
g : X → ↑Z
hg : Continuous g
g_sec : f ∘ g = id
φ : X → X × Bool := Subtype.val ∘ g
hφ : Continuous φ
hφ₁ : ∀ (x : X), (φ x).1 = x
x : X
hx : x ∈ φ ⁻¹' Z₂
\u22a2 x ∈ closure U
-- Mathlib/Data/Finset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f✝ : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
f g : α → β
b₁ b₂ : β
\u22a2 fold op (op b₁ b₂) (fun x => op (f x) (g x)) s = op (fold op b₁ f s) (fold op b₂ g s)
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ✝ : Type w
ι : Sort x
γ : Type u_1
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β
g : β → γ
hf : BddAbove (range f)
hg : Monotone g
\u22a2 BddAbove (range (g ∘ f))
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → ‖x + y‖ = 2 → SameRay ℝ x y
\u22a2 StrictConvexSpace ℝ E
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → ‖x + y‖ = 2 → SameRay ℝ x y
x : E
hx : x ∈ sphere 0 1
y : E
hy : y ∈ sphere 0 1
h₂ : ‖x + y‖ = 2
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ (x y : E), ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → ‖x + y‖ = 2 → SameRay ℝ x y
x : E
hx : ‖x‖ = 1
y : E
hy : ‖y‖ = 1
h₂ : ‖x + y‖ = 2
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
\u22a2 (fun p => dist p.1 p.2) ∈ candidates X Y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
\u22a2 (∀ (x y : X), dist (inl x) (inl y) = dist x y) ∧ ∀ (x y : Y), dist (inr x) (inr y) = dist x y
-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Limits.lean
X✝ Y✝ Z✝ : Stonean
f✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
x : (forget Stonean).obj X
h : x ∈ ⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i
\u22a2 (fst f hi ≫ f) ⟨x, h⟩ = (snd f hi ≫ i) ⟨x, h⟩
-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Limits.lean
X✝ Y✝ Z✝ : Stonean
f✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
x : (forget Stonean).obj X
h✝ : x ∈ ⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i
h : f x ∈ Set.range ⇑i
\u22a2 (fst f hi ≫ f) ⟨x, h✝⟩ = (snd f hi ≫ i) ⟨x, h✝⟩
-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Limits.lean
X✝ Y✝ Z✝ : Stonean
f✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
x : (forget Stonean).obj X
h : x ∈ ⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i
y : (forget Stonean).obj Y
hy : i y = f x
\u22a2 (fst f hi ≫ f) ⟨x, h⟩ = (snd f hi ≫ i) ⟨x, h⟩
-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Limits.lean
X✝ Y✝ Z✝ : Stonean
f✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
x : (forget Stonean).obj X
h : x ∈ ⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i
y : (forget Stonean).obj Y
hy : i y = f x
\u22a2 f ({ toFun := Subtype.val, continuous_toFun := ⋯ } ⟨x, h⟩) = i ({ toFun := ⇑(Homeomorph.ofEmbedding ⇑i ⋯).symm ∘ Set.MapsTo.restrict (⇑f) (⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i) (Set.range ⇑i) ⋯, continuous_toFun := ⋯ } ⟨x, h⟩)
-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Limits.lean
X✝ Y✝ Z✝ : Stonean
f✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
x : (forget Stonean).obj X
h : x ∈ ⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i
y : (forget Stonean).obj Y
hy : i y = f x
t : TopologicalSpace ↑(pullback f hi).toTop := inferInstance
\u22a2 f x = i ({ toFun := ⇑(Homeomorph.ofEmbedding ⇑i ⋯).symm ∘ Set.MapsTo.restrict (⇑f) (⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i) (Set.range ⇑i) ⋯, continuous_toFun := ⋯ } ⟨x, h⟩)
-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Limits.lean
X✝ Y✝ Z✝ : Stonean
f✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
x : (forget Stonean).obj X
h : x ∈ ⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i
y : (forget Stonean).obj Y
hy : i y = f x
t : TopologicalSpace ↑(pullback f hi).toTop := inferInstance
\u22a2 i y = i ((⇑(Homeomorph.ofEmbedding ⇑i ⋯).symm ∘ Set.MapsTo.restrict (⇑f) (⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i) (Set.range ⇑i) ⋯) ⟨x, h⟩)
-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Limits.lean
X✝ Y✝ Z✝ : Stonean
f✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
x : (forget Stonean).obj X
h : x ∈ ⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i
y : (forget Stonean).obj Y
hy : i y = f x
t : TopologicalSpace ↑(pullback f hi).toTop := inferInstance
\u22a2 Continuous (⇑(Homeomorph.ofEmbedding ⇑i ⋯).symm ∘ Set.MapsTo.restrict (⇑f) (⇑f ⁻¹' Set.range ⇑i) (Set.range ⇑i) ⋯)
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
h : ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q] [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', ↑R g' ∘ₗ f = g
g : N →ₗ[S] ULift.{v₂, max v₁ v₃} (S ⊗[R] M)
hg : ↑R g ∘ₗ f = ↑ULift.moduleEquiv.symm ∘ₗ (mk R S M) 1
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N := TensorProduct.lift (↑R ((Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))).toLinearMap.flip f))
f'' : S ⊗[R] M →ₗ[S] N := { toAddHom := f'.toAddHom, map_smul' := ⋯ }
\u22a2 Function.Bijective ⇑f'
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
h : ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ v₃)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module S Q] [inst_3 : IsScalarTower R S Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', ↑R g' ∘ₗ f = g
g : N →ₗ[S] ULift.{v₂, max v₁ v₃} (S ⊗[R] M)
f' : S ⊗[R] M →ₗ[R] N := TensorProduct.lift (↑R ((Algebra.ofId S (Module.End S (M →ₗ[R] N))).toLinearMap.flip f))
f'' : S ⊗[R] M →ₗ[S] N := { toAddHom := f'.toAddHom, map_smul' := ⋯ }
hg : ∀ (x : M), g (f x) = ↑ULift.moduleEquiv.symm (((mk R S M) 1) x)
\u22a2 Function.Bijective ⇑f'
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
P : Subgroup G
hP : IsPGroup p ↥P
Q : Sylow p G
\u22a2 Q ∈ fixedPoints (↥P) (Sylow p G) ↔ P ≤ ↑Q
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ : R⟦X⟧
n : PartENat
h : ∀ (i : ℕ), ↑i < n → (coeff R i) φ = 0
\u22a2 n ≤ φ.order
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ : R⟦X⟧
h : ∀ (i : ℕ), ↑i < ⊤ → (coeff R i) φ = 0
\u22a2 ⊤ ≤ φ.order
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ : R⟦X⟧
n✝ : ℕ
h : ∀ (i : ℕ), ↑i < ↑n✝ → (coeff R i) φ = 0
\u22a2 ↑n✝ ≤ φ.order
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/ConjAct.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
G₀ : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
g : G
h : ↥H
\u22a2 ofConjAct (toConjAct.toMonoidHom g)⁻¹ * ↑h * (toConjAct.toMonoidHom g)⁻¹⁻¹ = g⁻¹ * ↑h * g
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/ConjAct.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
G₀ : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
g : G
h : ↥H
\u22a2 ofConjAct (toConjAct.toMonoidHom g)⁻¹ * ↑h * toConjAct.toMonoidHom g = g⁻¹ * ↑h * g
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Completeness.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
u : ℕ → E
hu : Summable fun x => ‖u x‖
\u22a2 ∃ a, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 a)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Completeness.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
u : ℕ → E
hu : Summable fun x => ‖u x‖
\u22a2 Summable fun n => dist (∑ i ∈ range n, u i) (∑ i ∈ range n.succ, u i)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/InvSubmonoid.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
a : R
ha : a ∈ ↑M
\u22a2 (algebraMap R S) a ∈ IsUnit.submonoid S
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty
\u22a2 edgeDensity r s₂ t₂ - edgeDensity r s₁ t₁ ≤ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty
\u22a2 edgeDensity r s₂ t₂ - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card) * edgeDensity r s₂ t₂ ≤ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty
\u22a2 edgeDensity r s₂ t₂ - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card) * edgeDensity r s₂ t₂ ≤ (1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)) * edgeDensity r s₂ t₂
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty
\u22a2 0 ≤ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty
\u22a2 ↑s₂.card / ↑s₁.card ≤ 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty
\u22a2 0 ≤ ↑t₂.card / ↑t₁.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty
\u22a2 ↑t₂.card / ↑t₁.card ≤ 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallySurjective.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F ⟶ G
\u22a2 IsLocallySurjective J f ↔ Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f) = ⊤
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
\u22a2 ∀ (a b : ZNum), a * b = b * a
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c
n : ℤ
\u22a2 Periodic f ((2 * n) • c)
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c
n : ℤ
\u22a2 Periodic f (n • 2 • c)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b x y : α
\u22a2 span {x, y} = span {y, x}