ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Lie/EngelSubalgebra.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
\u22a2 ∃ n, (0 ^ n) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/EngelSubalgebra.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
\u22a2 (0 ^ 1) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hg : S.g = 0
c : CokernelCofork S.f
hc : IsColimit c
\u22a2 (ofIsColimitCokernelCofork S hg c hc).g' = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → β
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
\u22a2 ∫⁻ (a : α), edist (f a) (0 a) ∂μ < ⊤ ∧ ∫⁻ (a : α), edist (g a) (0 a) ∂μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → β
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
\u22a2 HasFiniteIntegral f μ ∧ HasFiniteIntegral g μ
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
hp : p ∈ support R M
\u22a2 annihilator R M ≤ p.asIdeal
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
hp : p ∈ support R M
m : M
hm : (Submodule.span R {m}).annihilator ≤ p.asIdeal
\u22a2 annihilator R M ≤ p.asIdeal
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
g : G
K : Compacts G
\u22a2 (fun s => ↑((haarContent K₀).toFun s)) (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = (fun s => ↑((haarContent K₀).toFun s)) K
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/Down.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a✝ a : α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
\u22a2 image (fun s => s.erase a) (filter (fun s => a ∈ s) (𝒜 ∩ ℬ)) = image (fun s => s.erase a) (filter (fun s => a ∈ s) 𝒜) ∩ image (fun s => s.erase a) (filter (fun s => a ∈ s) ℬ)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/Down.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a✝ a : α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
\u22a2 ↑(filter (fun s => a ∈ s) 𝒜) ∪ ↑(filter (fun s => a ∈ s) ℬ) ⊆ {s | a ∈ s}
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
ι : Type u_1
f : ι → R
\u22a2 ⨆ i, basicOpen (f i) = ⊤ ↔ Ideal.span (Set.range f) = ⊤
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
ι : Type u_1
f : ι → R
\u22a2 ⋃ i, ↑(basicOpen (f i)) = ↑⊤ ↔ Ideal.span (Set.range f) = ⊤
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
ι : Type u_1
f : ι → R
\u22a2 (zeroLocus (⋃ i, {f i}))ᶜ = Set.univ ↔ Ideal.span (Set.range f) = ⊤
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
ι : Type u_1
f : ι → R
\u22a2 zeroLocus (⋃ i, {f i}) = Set.univᶜ ↔ zeroLocus ↑(Ideal.span (Set.range f)) = ∅
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime x (z * x + y)
\u22a2 IsCoprime x y
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime x (y + z * x)
\u22a2 IsCoprime x y
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
\u22a2 1 ≤ a / b ↔ 0 < b ∧ b ≤ a ∨ b < 0 ∧ a ≤ b
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0
\u22a2 1 ≤ a / b ↔ 0 < b ∧ b ≤ a ∨ b < 0 ∧ a ≤ b
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a c d : α
n : ℤ
\u22a2 1 ≤ a / 0 ↔ 0 < 0 ∧ 0 ≤ a ∨ 0 < 0 ∧ a ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : 0 < b
\u22a2 1 ≤ a / b ↔ 0 < b ∧ b ≤ a ∨ b < 0 ∧ a ≤ b
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Finite α
\u22a2 IsCyclic α ↔ ∃ g, orderOf g = Nat.card α
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Finite α
h : ∃ g, orderOf g = Nat.card α
\u22a2 IsCyclic α
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Finite α
g : α
hg : orderOf g = Nat.card α
\u22a2 IsCyclic α
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Finite α
g : α
hg : orderOf g = Nat.card α
val✝ : Fintype α
\u22a2 IsCyclic α
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Finite α
g : α
hg : orderOf g = Nat.card α
val✝ : Fintype α
\u22a2 orderOf g = Fintype.card α
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Real.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
t : ℝ
ht : 0 ≤ t
x : E
\u22a2 ‖t • x‖ = t * ‖x‖
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Differentials/Basic.lean
A B : CommRingCat
f : A ⟶ B
M : ModuleCat ↑B
D : M.Derivation f
b : ↑B
this✝ : Algebra ↑A ↑B := RingHom.toAlgebra f
this : Module ↑A ↑M := Module.compHom (↑M) f
\u22a2 D.desc (CommRingCat.KaehlerDifferential.d b) = D.d b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g✝ : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
f g : α → E
hf : IntegrableAtFilter f l μ
hg : IntegrableAtFilter g l μ
\u22a2 IntegrableAtFilter (f - g) l μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g✝ : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
f g : α → E
hf : IntegrableAtFilter f l μ
hg : IntegrableAtFilter g l μ
\u22a2 IntegrableAtFilter (f + -g) l μ
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
\u22a2 (l.node3L x m y r).dual = r.dual.node3R y m.dual x l.dual
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Pow.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
n✝ : ℕ
x : M
hn : 0 < n✝
h : x < 1
n : ℕ
x✝ : Nat.succ 0 ≤ n
ih : x ^ n < 1
\u22a2 x ^ (n + 1) < 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Pow.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
n✝ : ℕ
x : M
hn : 0 < n✝
h : x < 1
n : ℕ
x✝ : Nat.succ 0 ≤ n
ih : x ^ n < 1
\u22a2 x ^ n * x < 1
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
s : Set X
hs : IsCompact s
ι : Type u_3
t : Finset ι
U : ι → Set X
hU : ∀ i ∈ t, IsOpen (U i)
hsC : s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
\u22a2 ∃ K, (∀ (i : ι), IsCompact (K i)) ∧ (∀ (i : ι), K i ⊆ U i) ∧ s = ⋃ i ∈ t, K i
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
ι : Type u_3
s : Set X
hs : IsCompact s
U : ι → Set X
hU : ∀ i ∈ ∅, IsOpen (U i)
hsC : s ⊆ ⋃ i ∈ ∅, U i
\u22a2 ∃ K, (∀ (i : ι), IsCompact (K i)) ∧ (∀ (i : ι), K i ⊆ U i) ∧ s = ⋃ i ∈ ∅, K i
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x✝ y : X
ι : Type u_3
x : ι
t : Finset ι
hx : x ∉ t
ih : ∀ {s : Set X}, IsCompact s → ∀ (U : ι → Set X), (∀ i ∈ t, IsOpen (U i)) → s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i → ∃ K, (∀ (i : ι), IsCompact (K i)) ∧ (∀ (i : ι), K i ⊆ U i) ∧ s = ⋃ i ∈ t, K i
s : Set X
hs : IsCompact s
U : ι → Set X
hU : ∀ i ∈ insert x t, IsOpen (U i)
hsC : s ⊆ ⋃ i ∈ insert x t, U i
\u22a2 ∃ K, (∀ (i : ι), IsCompact (K i)) ∧ (∀ (i : ι), K i ⊆ U i) ∧ s = ⋃ i ∈ insert x t, K i
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x✝ y : X
ι : Type u_3
x : ι
t : Finset ι
hx : x ∉ t
ih : ∀ {s : Set X}, IsCompact s → ∀ (U : ι → Set X), (∀ i ∈ t, IsOpen (U i)) → s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i → ∃ K, (∀ (i : ι), IsCompact (K i)) ∧ (∀ (i : ι), K i ⊆ U i) ∧ s = ⋃ i ∈ t, K i
s : Set X
hs : IsCompact s
U : ι → Set X
hU : ∀ i ∈ insert x t, IsOpen (U i)
hsC : s ⊆ U x ∪ ⋃ x ∈ t, U x
\u22a2 ∃ K, (∀ (i : ι), IsCompact (K i)) ∧ (∀ (i : ι), K i ⊆ U i) ∧ s = ⋃ i ∈ insert x t, K i
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x✝ y : X
ι : Type u_3
x : ι
t : Finset ι
hx : x ∉ t
ih : ∀ {s : Set X}, IsCompact s → ∀ (U : ι → Set X), (∀ i ∈ t, IsOpen (U i)) → s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i → ∃ K, (∀ (i : ι), IsCompact (K i)) ∧ (∀ (i : ι), K i ⊆ U i) ∧ s = ⋃ i ∈ t, K i
s : Set X
hs : IsCompact s
U : ι → Set X
hsC : s ⊆ U x ∪ ⋃ x ∈ t, U x
hU : IsOpen (U x) ∧ ∀ x ∈ t, IsOpen (U x)
\u22a2 ∃ K, (∀ (i : ι), IsCompact (K i)) ∧ (∀ (i : ι), K i ⊆ U i) ∧ s = ⋃ i ∈ insert x t, K i
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x✝ y : X
ι : Type u_3
x : ι
t : Finset ι
hx : x ∉ t
ih : ∀ {s : Set X}, IsCompact s → ∀ (U : ι → Set X), (∀ i ∈ t, IsOpen (U i)) → s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i → ∃ K, (∀ (i : ι), IsCompact (K i)) ∧ (∀ (i : ι), K i ⊆ U i) ∧ s = ⋃ i ∈ t, K i
s : Set X
hs : IsCompact s
U : ι → Set X
hsC : s ⊆ U x ∪ ⋃ x ∈ t, U x
hU : IsOpen (U x) ∧ ∀ x ∈ t, IsOpen (U x)
hU' : ∀ i ∈ t, IsOpen (U i)
\u22a2 ∃ K, (∀ (i : ι), IsCompact (K i)) ∧ (∀ (i : ι), K i ⊆ U i) ∧ s = ⋃ i ∈ insert x t, K i
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x✝ y : X
ι : Type u_3
x : ι
t : Finset ι
hx : x ∉ t
ih : ∀ {s : Set X}, IsCompact s → ∀ (U : ι → Set X), (∀ i ∈ t, IsOpen (U i)) → s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i → ∃ K, (∀ (i : ι), IsCompact (K i)) ∧ (∀ (i : ι), K i ⊆ U i) ∧ s = ⋃ i ∈ t, K i
s : Set X
hs : IsCompact s
U : ι → Set X
hsC : s ⊆ U x ∪ ⋃ x ∈ t, U x
hU : IsOpen (U x) ∧ ∀ x ∈ t, IsOpen (U x)
hU' : ∀ i ∈ t, IsOpen (U i)
K₁ K₂ : Set X
h1K₁ : IsCompact K₁
h1K₂ : IsCompact K₂
h2K₁ : K₁ ⊆ U x
h2K₂ : K₂ ⊆ ⋃ i ∈ fun i => i ∈ t.val, U i
hK : s = K₁ ∪ K₂
\u22a2 ∃ K, (∀ (i : ι), IsCompact (K i)) ∧ (∀ (i : ι), K i ⊆ U i) ∧ s = ⋃ i ∈ insert x t, K i
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y x : ℂ
hx : cos x ≠ 0
\u22a2 tan x * cos x = sin x
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/StructuredArrow.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S S' S'' : D
Y Y' Y'' : C
T T' : C ⥤ D
f f' : StructuredArrow S T
g : f.right ⟶ f'.right
w : autoParam (f.hom ≫ T.map g = f'.hom) _auto✝
\u22a2 𝟙 S ≫ f'.hom = f.hom ≫ T.map g
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
S : Set ι
\u22a2 induced S.restrict topologicalSpace = ⨅ i ∈ S, induced (eval i) (T i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 M
f : M →ₗ[𝕜] M
hf : LinearMap.det f = 0
\u22a2 ⊥ < ker f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 M
f : M →ₗ[𝕜] M
hf : LinearMap.det f = 0
this : FiniteDimensional 𝕜 M
\u22a2 ⊥ < ker f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 M
f : M →ₗ[𝕜] M
this : FiniteDimensional 𝕜 M
hf : ¬⊥ < ker f
\u22a2 ¬LinearMap.det f = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 M
f : M →ₗ[𝕜] M
this : FiniteDimensional 𝕜 M
hf : IsUnit f
\u22a2 ¬LinearMap.det f = 0
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
s : Set (α →o β)
hs : ∀ f ∈ s, Continuous f
c : Chain α
\u22a2 (sSup s) (ωSup c) = ωSup (c.map (sSup s))
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
s : Set (α →o β)
hs : ∀ f ∈ s, Continuous f
c : Chain α
\u22a2 ∀ (c_1 : β), (sSup s) (ωSup c) ≤ c_1 ↔ ωSup (c.map (sSup s)) ≤ c_1
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
s : Set (α →o β)
hs : ∀ f ∈ s, Continuous f
c : Chain α
z : β
\u22a2 (sSup s) (ωSup c) ≤ z ↔ ωSup (c.map (sSup s)) ≤ z
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
s : Set (α →o β)
hs : ∀ f ∈ s, Continuous f
c : Chain α
z : β
\u22a2 (∀ f ∈ s, ∀ (n : ℕ), f (c n) ≤ z) ↔ ∀ (n : ℕ), ∀ f ∈ s, f (c n) ≤ z
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
h : legendreSym p a = -1
x y : ℤ
hxy : ↑p ∣ x ^ 2 - a * y ^ 2
\u22a2 ↑p ∣ x ∧ ↑p ∣ y
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
h : legendreSym p a = -1
x y : ℤ
hxy : ↑(x ^ 2 - a * y ^ 2) = 0
\u22a2 ↑x = 0 ∧ ↑y = 0
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
h : legendreSym p a = -1
x y : ℤ
hxy : ↑x ^ 2 - ↑a * ↑y ^ 2 = 0
\u22a2 ↑x = 0 ∧ ↑y = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Trace.lean
ι : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
α : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype p
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : CommSemigroup R
A : Matrix m n R
B : Matrix n m R
\u22a2 (A * B).trace = (B * A).trace
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g : Filter β
f : β → γ
F : Filter α
G : Filter β
\u22a2 F ×ˢ map f G = map (Prod.map id f) (F ×ˢ G)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝ : CompleteSpace F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
\u22a2 Measurable fun p => fderiv 𝕜 (f p.1) p.2
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝ : CompleteSpace F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
s : Set (E →L[𝕜] F)
hs : IsClosed s
\u22a2 MeasurableSet ((fun p => fderiv 𝕜 (f p.1) p.2) ⁻¹' s)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝ : CompleteSpace F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
s : Set (E →L[𝕜] F)
hs : IsClosed s
this : (fun p => fderiv 𝕜 (f p.1) p.2) ⁻¹' s = {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ s} ∪ {p | ¬DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2} ∩ {_p | 0 ∈ s}
\u22a2 MeasurableSet ((fun p => fderiv 𝕜 (f p.1) p.2) ⁻¹' s)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝ : CompleteSpace F
hf : Continuous (Function.uncurry f)
s : Set (E →L[𝕜] F)
hs : IsClosed s
this : (fun p => fderiv 𝕜 (f p.1) p.2) ⁻¹' s = {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ s} ∪ {p | ¬DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2} ∩ {_p | 0 ∈ s}
\u22a2 MeasurableSet ({p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ s} ∪ {p | ¬DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2} ∩ {_p | 0 ∈ s})
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
\u22a2 (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).support = {k, m, n}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
\u22a2 {k, m, n} ⊆ (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).support
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f✝ f g : ℝ → ℝ
hg : GrowsPolynomially g
hf : f ~[atTop] g
this : f = g + (f - g)
\u22a2 GrowsPolynomially (g + (f - g))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
\u22a2 degree 1 ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
\u22a2 (C 1).degree ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₃ n₁₂ n₂₃ n₁₂₃ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
z₃ : Cochain K L n₃
h₁₂ : n₁ + n₂ = n₁₂
h₂₃ : n₂ + n₃ = n₂₃
h₁₂₃ : n₁ + n₂ + n₃ = n₁₂₃
\u22a2 n₁ + n₂₃ = n₁₂₃
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₃ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
z₃ : Cochain K L n₃
p q : ℤ
hpq : p + (n₁ + n₂ + n₃) = q
\u22a2 ((z₁.comp z₂ ⋯).comp z₃ ⋯).v p q hpq = (z₁.comp (z₂.comp z₃ ⋯) ⋯).v p q hpq
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx0 : 0 < x
hx1 : x < 1
\u22a2 x ^ y ≤ x ^ z ↔ z ≤ y
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableEq V
v : V
\u22a2 ⊤.degree v = Fintype.card V - 1
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
x : ↑F F.M
\u22a2 x.fst = (M.mk x).dest.fst
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
\u22a2 K ⊓ Kᗮ = ⊥
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
\u22a2 K ⊓ Kᗮ ≤ ⊥
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x : E
\u22a2 x ∈ K ⊓ Kᗮ → x ∈ ⊥
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x : E
\u22a2 x ∈ K ∧ x ∈ Kᗮ → x ∈ ⊥
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
\u22a2 ball x δ / s = x • thickening δ s⁻¹
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M₁
inst✝ : Monoid M₂
\u22a2 exponent (M₁ × M₂) = GCDMonoid.lcm (exponent M₁) (exponent M₂)
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M₁
inst✝ : Monoid M₂
\u22a2 exponent (M₁ × M₂) ∣ GCDMonoid.lcm (exponent M₁) (exponent M₂)
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M₁
inst✝ : Monoid M₂
\u22a2 exponent M₁ ∣ exponent (M₁ × M₂)
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
M₁ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M₁
inst✝ : Monoid M₂
\u22a2 exponent M₂ ∣ exponent (M₁ × M₂)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}
h : c < ℵ₀
\u22a2 succ c = c + 1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}
h : c < ℵ₀
n : ℕ
hn : c = ↑n
\u22a2 succ c = c + 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/GaugeRescale.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ s t : Set E
hsc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
hsb : IsVonNBounded ℝ s
htc : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t
\u22a2 interior t ⊆ ⇑(gaugeRescaleHomeomorph s t hsc hs₀ hsb htc ht₀ htb) '' interior s
-- Mathlib/Analysis/Convex/GaugeRescale.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ s t : Set E
hsc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
hsb : IsVonNBounded ℝ s
htc : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t
\u22a2 ⇑(gaugeRescaleHomeomorph s t hsc hs₀ hsb htc ht₀ htb).symm '' interior t ⊆ interior s
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f
\u22a2 (∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x = 0) ∨ (∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 < f x) ∨ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x < 0