ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiffMFDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : H) (y : H'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hn : 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
x : H := ↑I.symm 0
y : H' := ↑I'.symm 0
\u22a2 ContinuousOn (fderivWithin 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)) (↑I '' s)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiffMFDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : H) (y : H'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hn : 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
x : H := ↑I.symm 0
y : H' := ↑I'.symm 0
A : ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
\u22a2 ContinuousOn (fderivWithin 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)) (↑I '' s)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiffMFDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : H) (y : H'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hn : 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
x : H := ↑I.symm 0
y : H' := ↑I'.symm 0
A : ContDiffOn 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
\u22a2 ContinuousOn (fderivWithin 𝕜 (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiffMFDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : H) (y : H'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hn : 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
x : H := ↑I.symm 0
y : H' := ↑I'.symm 0
A : ContDiffOn 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
\u22a2 UniqueDiffOn 𝕜 (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiffMFDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContinuousOn f s ∧ ∀ (x : H) (y : H'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
hn : 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
x : H := ↑I.symm 0
y : H' := ↑I'.symm 0
A : ContDiffOn 𝕜 n (↑I' ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
\u22a2 ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I = (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx : x ≠ 1
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
\u22a2 ∑ i ∈ Ico m n, x ^ i = (x ^ m - x ^ n) / (1 - x)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx : x ≠ 1
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
\u22a2 (x ^ n - x ^ m) / (x - 1) = (x ^ m - x ^ n) / (1 - x)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
H : Subgroup G
B : Set X
hfB : IsBlock G B
\u22a2 IsBlock (↥H) B
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
H : Subgroup G
B : Set X
hfB : IsBlock G B
\u22a2 ∀ (g : ↥H), g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
H : Subgroup G
B : Set X
hfB : IsBlock G B
g : G
property✝ : g ∈ H
\u22a2 ⟨g, property✝⟩ • B = B ∨ Disjoint (⟨g, property✝⟩ • B) B
-- Mathlib/Data/Nat/Find.lean
a b c d m n✝ k : ℕ
p q P Q : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ
\u22a2 findGreatest P k = 0 ↔ ∀ ⦃n : ℕ⦄, 0 < n → n ≤ k → ¬P n
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
\u22a2 a ⊔ b ⊔ c = a ⊔ c ⊔ (b ⊔ c)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/FilteredColimits.lean
R : Type u
inst✝² : Ring R
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
r : R
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
h : Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ forget (ModuleCat R)) x y
\u22a2 colimitSMulAux F r x = colimitSMulAux F r y
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/FilteredColimits.lean
R : Type u
inst✝² : Ring R
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
r : R
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
h : Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ forget (ModuleCat R)) x y
\u22a2 ∃ k f g, (F.map f) ⟨x.fst, r • x.snd⟩.snd = (F.map g) ⟨y.fst, r • y.snd⟩.snd
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/FilteredColimits.lean
R : Type u
inst✝² : Ring R
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
r : R
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
k : J
f : x.fst ⟶ k
g : y.fst ⟶ k
hfg : (F ⋙ forget (ModuleCat R)).map f x.snd = (F ⋙ forget (ModuleCat R)).map g y.snd
\u22a2 ∃ k f g, (F.map f) ⟨x.fst, r • x.snd⟩.snd = (F.map g) ⟨y.fst, r • y.snd⟩.snd
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/FilteredColimits.lean
R : Type u
inst✝² : Ring R
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
r : R
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
k : J
f : x.fst ⟶ k
g : y.fst ⟶ k
hfg : (F ⋙ forget (ModuleCat R)).map f x.snd = (F ⋙ forget (ModuleCat R)).map g y.snd
\u22a2 (F.map f) ⟨x.fst, r • x.snd⟩.snd = (F.map g) ⟨y.fst, r • y.snd⟩.snd
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/FilteredColimits.lean
R : Type u
inst✝² : Ring R
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
r : R
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
k : J
f : x.fst ⟶ k
g : y.fst ⟶ k
hfg : (F.map f) x.snd = (F.map g) y.snd
\u22a2 (F.map f) ⟨x.fst, r • x.snd⟩.snd = (F.map g) ⟨y.fst, r • y.snd⟩.snd
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
\u22a2 μ.toSignedMeasure.toMeasureOfZeroLE univ ⋯ ⋯ = μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i
\u22a2 (μ.toSignedMeasure.toMeasureOfZeroLE univ ⋯ ⋯) i = μ i
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i
m : ℝ≥0
hm : ↑m = μ i
\u22a2 (μ.toSignedMeasure.toMeasureOfZeroLE univ ⋯ ⋯) i = ↑m
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i
m : ℝ≥0
hm : ↑m = μ i
\u22a2 ⟨↑μ.toSignedMeasure (univ ∩ i), ⋯⟩ = m
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
inst✝¹ : Fintype ↑s
inst✝ : Fintype ↑t
\u22a2 Disjoint s.toFinset t.toFinset ↔ Disjoint s t
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/DivergenceTheorem.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc I) x
\u22a2 HasIntegral I GP (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (Pi.single i 1) i) BoxAdditiveMap.volume (∑ i : Fin (n + 1), (integral (I.face i) GP (fun x => f (i.insertNth (I.upper i) x) i) BoxAdditiveMap.volume - integral (I.face i) GP (fun x => f (i.insertNth (I.lower i) x) i) BoxAdditiveMap.volume))
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/DivergenceTheorem.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
i✝ : Fin (n + 1)
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hs : ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc I) x
i : Fin (n + 1)
x✝ : i ∈ Finset.univ
\u22a2 HasIntegral I GP (fun x => (f' x) (Pi.single i 1) i) BoxAdditiveMap.volume (integral (I.face i) GP (fun x => f (i.insertNth (I.upper i) x) i) BoxAdditiveMap.volume - integral (I.face i) GP (fun x => f (i.insertNth (I.lower i) x) i) BoxAdditiveMap.volume)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/DivergenceTheorem.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : CompleteSpace E
I : Box (Fin (n + 1))
i✝ : Fin (n + 1)
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
i : Fin (n + 1)
x✝ : i ∈ Finset.univ
Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∀ (i : Fin (n + 1)), HasFDerivWithinAt (fun x => f x i) ((ContinuousLinearMap.proj i).comp (f' x)) (Box.Icc I) x
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ (i : Fin (n + 1)), ContinuousWithinAt (fun y => f y i) (Box.Icc I) x
\u22a2 HasIntegral I GP (fun x => (f' x) (Pi.single i 1) i) BoxAdditiveMap.volume (integral (I.face i) GP (fun x => f (i.insertNth (I.upper i) x) i) BoxAdditiveMap.volume - integral (I.face i) GP (fun x => f (i.insertNth (I.lower i) x) i) BoxAdditiveMap.volume)
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
nd : l.NodupKeys
h : ⟨a, b⟩ ∈ l
\u22a2 kreplace a b l = l
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
nd : l.NodupKeys
h : ⟨a, b⟩ ∈ l
\u22a2 ∀ a_1 ∈ l, (if a = a_1.fst then some ⟨a, b⟩ else none) = Option.guard (fun s => a = s.fst) a_1
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
nd : l.NodupKeys
h : ⟨a, b⟩ ∈ l
\u22a2 ∀ (a_1 b : Sigma β), b ∈ Option.guard (fun s => a = s.fst) a_1 → a_1 = b
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
nH : H.Normal
n : G
hn : n ∈ H
g : G
\u22a2 g⁻¹ * n * g ∈ H
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
nH : H.Normal
n : G
hn : n ∈ H
g : G
\u22a2 g = g⁻¹⁻¹
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
\u22a2 z < 0 ↔ ∃ x < 0, ↑x = z
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
\u22a2 re z < 0 ∧ im z = 0 ↔ ∃ x < 0, re ↑x = re z ∧ im ↑x = im z
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
step s m n : Nat
h : range' s m step <+ range' s n step
\u22a2 m ≤ n
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
step s m n : Nat
h : m ≤ n
\u22a2 range' s m step <+ range' s n step
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
step s m n : Nat
h : m ≤ n
\u22a2 range' s m step <+ range' s m step ++ range' (s + step * m) (n - m) step
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Product.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
c₁ c₂ : α × β
\u22a2 projRight (prod q₁ q₂) = q₂
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Product.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
c₁ c₂ : α × β
a✝ : Path a₁ a₂
b✝ : Path b₁ b₂
\u22a2 projRight (prod ⟦a✝⟧ ⟦b✝⟧) = ⟦b✝⟧
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Product.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
c₁ c₂ : α × β
a✝ : Path a₁ a₂
b✝ : Path b₁ b₂
\u22a2 ⟦(a✝.prod b✝).map ⋯⟧ = ⟦b✝⟧
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a x y : R
h : x * y = 1
\u22a2 eval (x + y) (dickson 1 1 0) = x ^ 0 + y ^ 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a x y : R
h : x * y = 1
\u22a2 eval (x + y) (3 - ↑1) = 1 + 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a x y : R
h : x * y = 1
\u22a2 eval (x + y) (dickson 1 1 1) = x ^ 1 + y ^ 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a x y : R
h : x * y = 1
n : ℕ
\u22a2 eval (x + y) (dickson 1 1 (n + 2)) = x ^ (n + 2) + y ^ (n + 2)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a x y : R
h : x * y = 1
n : ℕ
\u22a2 (x + y) * (x ^ (n + 1) + y ^ (n + 1)) - 1 * (x ^ n + y ^ n) = x ^ (n + 2) + y ^ (n + 2)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a x y : R
h : x * y = 1
n : ℕ
\u22a2 x * x * x ^ n + x ^ n + (y ^ n + y * y * y ^ n) - (x ^ n + y ^ n) = x ^ (n + 2) + y ^ (n + 2)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AffineIsometry.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁶ : NormedField 𝕜
inst✝²⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²³ : PseudoMetricSpace P
inst✝²² : NormedAddTorsor V P
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁹ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁸ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹⁵ : MetricSpace P₁'
inst✝¹⁴ : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝¹¹ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝¹⁰ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝³ : PseudoMetricSpace P₄
inst✝² : NormedAddTorsor V₄ P₄
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
α : Type u_14
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : NormedSpace ℝ V
x y : P
\u22a2 dist ((pointReflection ℝ x) y) y = 2 * dist x y
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Multinomial.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommSemiring R
f✝ : α → R
s✝ s : Finset α
f : α → R
n : ℕ
\u22a2 (∑ i ∈ s, f i) ^ n = ∑ k ∈ s.piAntidiag n, ↑(multinomial s k) * ∏ i ∈ s, f i ^ k i
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Multinomial.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommSemiring R
f✝ : α → R
s✝ s : Finset α
f : α → R
n : ℕ
\u22a2 (∑ i ∈ s, f i) ^ n = ∑ x ∈ s.piAntidiag n, ↑(multinomial s x) * s.noncommProd (fun i => f i ^ x i) ⋯
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
m : MultilinearMap R (fun x => M) N'
v : ι → M
\u22a2 (alternatization m) v = ∑ σ : Perm ι, Perm.sign σ • (domDomCongr σ m) v
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝¹ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝ : PreservesColimit F G
c₁ c₂ : Cocone F
t : IsColimit c₁
\u22a2 ∀ (j : J), (G.mapCocone c₁).ι.app j ≫ G.map (t.desc c₂) = (G.mapCocone c₂).ι.app j
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
m : Set (Measure α)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
m : Set (Measure α)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
\u22a2 OuterMeasure.sInfGen (toOuterMeasure '' m) (t ∩ s) + OuterMeasure.sInfGen (toOuterMeasure '' m) (t \ s) ≤ OuterMeasure.sInfGen (toOuterMeasure '' m) t
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
m : Set (Measure α)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
\u22a2 ∀ ⦃x : Measure α⦄, x ∈ m → ∀ (i : Set α), t ⊆ i → MeasurableSet i → (⨅ μ ∈ toOuterMeasure '' m, μ (t ∩ s)) + ⨅ μ ∈ toOuterMeasure '' m, μ (t \ s) ≤ x i
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
m : Set (Measure α)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
μ : Measure α
hμ : μ ∈ m
u : Set α
htu : t ⊆ u
_hu : MeasurableSet u
\u22a2 (⨅ μ ∈ toOuterMeasure '' m, μ (t ∩ s)) + ⨅ μ ∈ toOuterMeasure '' m, μ (t \ s) ≤ μ u