ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/PrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k n : ℕ
hn : n ≠ 1
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
h : n / p ^ n.factorization p = 1
\u22a2 ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/PrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k n p : ℕ
hn : p ^ n.factorization p ≠ 1
pp : Nat.Prime p
h : n / p ^ n.factorization p = 1
\u22a2 ∃ p_1 k, Nat.Prime p_1 ∧ 0 < k ∧ p_1 ^ k = p ^ n.factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/PrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k n p : ℕ
hn : p ^ n.factorization p ≠ 1
pp : Nat.Prime p
h : n / p ^ n.factorization p = 1
\u22a2 0 < n.factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/PrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k n p : ℕ
pp : Nat.Prime p
h : n / p ^ n.factorization p = 1
hn : n.factorization p ≤ 0
\u22a2 p ^ n.factorization p = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
\u22a2 cs.simple i * (cs.simple i * w) = w
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneConvergence.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝ : InfConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_mono : Monotone f
hbdd : BddBelow (range f)
\u22a2 Tendsto f atBot (𝓝 (⨅ i, f i))
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
head✝ : Sigma β
l₁ : List (Sigma β)
l₂ : List (Sigma β)
h : a ∉ (head✝ :: l₁).keys
\u22a2 kerase a (head✝ :: l₁ ++ l₂) = head✝ :: l₁ ++ kerase a l₂
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
head✝ : Sigma β
l₁ : List (Sigma β)
l₂ : List (Sigma β)
h : ¬a = head✝.fst ∧ a ∉ l₁.keys
\u22a2 kerase a (head✝ :: l₁ ++ l₂) = head✝ :: l₁ ++ kerase a l₂
-- Mathlib/Probability/Kernel/Condexp.lean
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
\u22a2 AEStronglyMeasurable' m (fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂(condexpKernel μ m) ω) μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Condexp.lean
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
\u22a2 AEStronglyMeasurable' m (fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂((condDistrib id id μ).comap id ⋯) ω) μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Condexp.lean
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h : AEStronglyMeasurable' (MeasurableSpace.comap id (m ⊓ mΩ)) (fun a => ∫ (y : Ω), f (id a, y).2 ∂(condDistrib id id μ) (id a)) μ
\u22a2 AEStronglyMeasurable' m (fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂((condDistrib id id μ).comap id ⋯) ω) μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Condexp.lean
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h : AEStronglyMeasurable' (m ⊓ mΩ) (fun a => ∫ (y : Ω), f (id a, y).2 ∂(condDistrib id id μ) (id a)) μ
\u22a2 AEStronglyMeasurable' m (fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂((condDistrib id id μ).comap id ⋯) ω) μ
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
o : Ordinal.{u_1}
\u22a2 o.toPGame.Numeric
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, k.toPGame.Numeric
\u22a2 o.toPGame.Numeric
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, k.toPGame.Numeric
\u22a2 ∀ (i : o.toPGame.LeftMoves), (o.toPGame.moveLeft i).Numeric
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
k : 𝕜
a : A
ha : (σ a).Nonempty
\u22a2 σ (k • a) = k • σ a
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
ha : (σ a).Nonempty
\u22a2 σ (0 • a) = 0 • σ a
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
k : 𝕜
a : A
ha : (σ a).Nonempty
h : k ≠ 0
\u22a2 σ (k • a) = k • σ a
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Ker.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
\u22a2 ker f = ⊥ ↔ ∀ (m : M), f m = 0 → m = 0
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : IsDomain K
L : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero L
φ : K[X] →*₀ L
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰
p q : K[X]
\u22a2 (liftMonoidWithZeroHom φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q) = φ p / φ q
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : IsDomain K
L : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero L
φ : K[X] →*₀ L
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰
p : K[X]
\u22a2 (liftMonoidWithZeroHom φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) 0) = φ p / φ 0
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : IsDomain K
L : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero L
φ : K[X] →*₀ L
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
\u22a2 (liftMonoidWithZeroHom φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q) = φ p / φ q
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
a : ℂ
r : ℝ
\u22a2 volume (Metric.ball a r) = ENNReal.ofReal r ^ 2 * ↑NNReal.pi
-- Mathlib/Data/Finset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s✝ : Finset α
a : α
g : γ ↪ α
s : Finset γ
\u22a2 fold op b f (map g s) = fold op b (f ∘ ⇑g) s
-- Mathlib/Algebra/Tropical/BigOperators.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder R
inst✝ : Fintype S
f : S → WithTop R
\u22a2 trop (⨅ i, f i) = ∑ i : S, trop (f i)
-- Mathlib/Topology/Order/Category/FrameAdjunction.lean
L : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice L
a b : L
\u22a2 (fun u => {x | x u}) (a ⊓ b) = (fun u => {x | x u}) a ⊓ (fun u => {x | x u}) b
-- Mathlib/Topology/Order/Category/FrameAdjunction.lean
L : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice L
S : Set L
x✝ : PT L
\u22a2 x✝ ∈ { toFun := fun u => {x | x u}, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯ }.toFun (sSup S) ↔ x✝ ∈ sSup ({ toFun := fun u => {x | x u}, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯ }.toFun '' S)
-- Mathlib/Data/Real/ConjExponents.lean
a b p q : ℝ≥0
h✝ : p.IsConjExponent q
h : 1 < p
\u22a2 p.IsConjExponent q ↔ q = p / (p - 1)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α
n : ℕ
a : α
h : l₁.length = n
\u22a2 takeD l₁.length (l₁ ++ l₂) a = l₁
-- Mathlib/CategoryTheory/CommSq.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
s : CommSq f g h i
\u22a2 F.map f ≫ F.map h = F.map g ≫ F.map i
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/InducedMaps.lean
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
x : ↑X
\u22a2 ⟦H.evalAt x⟧ = eqToHom ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map ((prodToProdTop (TopCat.of (ULift.{u, 0} ↑I)) X).map (⟦unitInterval.upath01⟧, 𝟙 (fromTop x))) ≫ eqToHom ⋯
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/InducedMaps.lean
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
x : ↑X
\u22a2 HEq ⟦H.evalAt x⟧ ((π.map H.uliftMap).map ((prodToProdTop (TopCat.of (ULift.{u, 0} ↑I)) X).map (⟦unitInterval.upath01⟧, 𝟙 (fromTop x))))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/InducedMaps.lean
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
x : ↑X
\u22a2 HEq ⟦H.evalAt x⟧ (Path.Homotopic.Quotient.mapFn ((prodToProdTop (TopCat.of (ULift.{u, 0} ↑I)) X).map (⟦unitInterval.upath01⟧, 𝟙 (fromTop x))) H.uliftMap)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/InducedMaps.lean
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
x : ↑X
\u22a2 ∀ (t : ↑I), (H.evalAt x) t = ((fun q => q.map ⋯) (unitInterval.upath01.prod (Path.refl (fromTop x).as))) t
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
i : m
\u22a2 (v ⬝ᵥ fun j => diagonal w j i) = v i * w i
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
i : m
this : ∀ (j : m), j ≠ i → v j * diagonal w j i = 0
\u22a2 (v ⬝ᵥ fun j => diagonal w j i) = v i * w i
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
t : Set R
ht : Ideal.span t = ⊤
Mₚ : ↑t → Type u_1
inst✝⁵ : (g : ↑t) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁴ : (g : ↑t) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : ↑t → Type u
inst✝³ : (g : ↑t) → CommRing (Rₚ g)
inst✝² : (g : ↑t) → Algebra R (Rₚ g)
h₁ : ∀ (g : ↑t), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝¹ : (g : ↑t) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝ : ∀ (g : ↑t), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : ↑t) → M →ₗ[R] Mₚ g
h₂ : ∀ (g : ↑t), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : ↑t), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
\u22a2 Finite R M
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
t : Set R
ht : ∃ s', ↑s' ⊆ t ∧ Ideal.span ↑s' = ⊤
Mₚ : ↑t → Type u_1
inst✝⁵ : (g : ↑t) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁴ : (g : ↑t) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : ↑t → Type u
inst✝³ : (g : ↑t) → CommRing (Rₚ g)
inst✝² : (g : ↑t) → Algebra R (Rₚ g)
h₁ : ∀ (g : ↑t), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝¹ : (g : ↑t) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝ : ∀ (g : ↑t), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : ↑t) → M →ₗ[R] Mₚ g
h₂ : ∀ (g : ↑t), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : ↑t), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
\u22a2 Finite R M
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
t : Set R
Mₚ : ↑t → Type u_1
inst✝⁵ : (g : ↑t) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁴ : (g : ↑t) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : ↑t → Type u
inst✝³ : (g : ↑t) → CommRing (Rₚ g)
inst✝² : (g : ↑t) → Algebra R (Rₚ g)
h₁ : ∀ (g : ↑t), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝¹ : (g : ↑t) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝ : ∀ (g : ↑t), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : ↑t) → M →ₗ[R] Mₚ g
h₂ : ∀ (g : ↑t), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : ↑t), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
t' : Finset R
hc : ↑t' ⊆ t
ht' : Ideal.span ↑t' = ⊤
\u22a2 Finite R M
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
t : Set R
Mₚ : ↑t → Type u_1
inst✝⁵ : (g : ↑t) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁴ : (g : ↑t) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : ↑t → Type u
inst✝³ : (g : ↑t) → CommRing (Rₚ g)
inst✝² : (g : ↑t) → Algebra R (Rₚ g)
h₁ : ∀ (g : ↑t), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝¹ : (g : ↑t) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝ : ∀ (g : ↑t), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : ↑t) → M →ₗ[R] Mₚ g
h₂ : ∀ (g : ↑t), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : ↑t), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
t' : Finset R
hc : ↑t' ⊆ t
ht' : Ideal.span ↑t' = ⊤
this : ∀ (g : { x // x ∈ t' }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ ⟨↑g, ⋯⟩)
\u22a2 Finite R M
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
t : Set R
Mₚ : ↑t → Type u_1
inst✝⁵ : (g : ↑t) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁴ : (g : ↑t) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : ↑t → Type u
inst✝³ : (g : ↑t) → CommRing (Rₚ g)
inst✝² : (g : ↑t) → Algebra R (Rₚ g)
h₁ : ∀ (g : ↑t), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝¹ : (g : ↑t) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝ : ∀ (g : ↑t), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : ↑t) → M →ₗ[R] Mₚ g
h₂ : ∀ (g : ↑t), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : ↑t), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
t' : Finset R
hc : ↑t' ⊆ t
ht' : Ideal.span ↑t' = ⊤
this✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t' }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ ⟨↑g, ⋯⟩)
this : ∀ (g : { x // x ∈ t' }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) ((fun g => f ⟨↑g, ⋯⟩) g)
\u22a2 Finite R M
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : Num
\u22a2 ↑↑n = ↑n
-- Mathlib/Data/Fin/VecNotation.lean
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
x : α
u : Fin 0 → α
\u22a2 Set.range (vecCons x u) = {x}
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Prod.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : AddCancelCommMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
p q : A × A
n : A
hp : p ∈ antidiagonal n
hq : q ∈ antidiagonal n
\u22a2 p = q ↔ p.2 = q.2
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Prod.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : AddCancelCommMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
p q : A × A
n : A
hp : p ∈ antidiagonal n
hq : q ∈ antidiagonal n
\u22a2 p.swap = q.swap ↔ p.2 = q.2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
\u22a2 G.IsNClique 3 {a, b, c} ↔ G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
\u22a2 (((↑{c}).Pairwise G.Adj ∧ ∀ b_1 ∈ ↑{c}, b ≠ b_1 → G.Adj b b_1) ∧ ∀ b_1 ∈ insert b ↑{c}, a ≠ b_1 → G.Adj a b_1) ∧ {a, b, c}.card = 3 ↔ G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Product.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
c₁ c₂ : α × β
p : Homotopic.Quotient (a₁, b₁) (a₂, b₂)
\u22a2 prod (projLeft p) (projRight p) = p
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Product.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
c₁ c₂ : α × β
a✝ : Path (a₁, b₁) (a₂, b₂)
\u22a2 prod (projLeft ⟦a✝⟧) (projRight ⟦a✝⟧) = ⟦a✝⟧
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Product.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
c₁ c₂ : α × β
a✝ : Path (a₁, b₁) (a₂, b₂)
\u22a2 prod ⟦a✝.map ⋯⟧ ⟦a✝.map ⋯⟧ = ⟦a✝⟧
-- Mathlib/Algebra/Module/Defs.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r✝ s : R
x✝ y✝ : M
x y : R
r : M
\u22a2 (x + y) • r = x • r + y • r
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
S R✝ : Sieve X
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
R : Sieve ((F ⋙ G).obj X)
Y✝ : C
f✝ : Y✝ ⟶ X
\u22a2 (functorPullback (F ⋙ G) R).arrows f✝ ↔ (functorPullback F (functorPullback G R)).arrows f✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : C
p : X ⟶ X
hp : p ≫ p = p
\u22a2 (𝟙 X - p) ≫ (𝟙 X - p) = 𝟙 X - p
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
\u22a2 l.rotate l.length = l
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
s : Set α
t : Set β
x : β
y : α
\u22a2 (x, y) ∈ Prod.swap ⁻¹' s ×ˢ t ↔ (x, y) ∈ t ×ˢ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
\u22a2 ConcaveOn 𝕜 s f
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
\u22a2 ConvexOn 𝕜 s (-f)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
x✝ y✝ z✝ : 𝕜
hx : x✝ ∈ s
hz : z✝ ∈ s
hxy : x✝ < y✝
hyz : y✝ < z✝
\u22a2 ((-f) y✝ - (-f) x✝) / (y✝ - x✝) ≤ ((-f) z✝ - (-f) y✝) / (z✝ - y✝)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
x✝ y✝ z✝ : 𝕜
hx : x✝ ∈ s
hz : z✝ ∈ s
hxy : x✝ < y✝
hyz : y✝ < z✝
\u22a2 -(((-f) z✝ - (-f) y✝) / (z✝ - y✝)) ≤ -(((-f) y✝ - (-f) x✝) / (y✝ - x✝))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
x✝ y✝ z✝ : 𝕜
hx : x✝ ∈ s
hz : z✝ ∈ s
hxy : x✝ < y✝
hyz : y✝ < z✝
\u22a2 (f z✝ - f y✝) / (z✝ - y✝) ≤ (f y✝ - f x✝) / (y✝ - x✝)
-- Mathlib/RingTheory/Generators.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u_4
S'' : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
g : P'.Hom P''
x : P.Cotangent
\u22a2 ((map (g.comp f)) x).val = ((↑S (map g) ∘ₗ map f) x).val
-- Mathlib/RingTheory/Generators.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u_4
S'' : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
g : P'.Hom P''
x : ↥P.ker
\u22a2 ((map (g.comp f)) (mk x)).val = ((↑S (map g) ∘ₗ map f) (mk x)).val
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r C : ℝ
f u : ℕ → α
n : ℕ
\u22a2 dist (∑ k ∈ Finset.range (n + 1), u k) (∑ k ∈ Finset.range n, u k) = ‖u n‖
-- Mathlib/Logic/Nontrivial/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
\u22a2 ¬Subsingleton α ↔ Nontrivial α
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Pochhammer.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
r : R
n : ℕ
\u22a2 eval r (descPochhammer R n) = eval (r - ↑n + 1) (ascPochhammer R n)
-- Mathlib/Order/BooleanGenerators.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S
\u22a2 sSup (T₁ ∩ T₂) = sSup T₁ ⊓ sSup T₂
-- Mathlib/Order/BooleanGenerators.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S
\u22a2 sSup (T₁ ∩ T₂) ≤ sSup T₁ ⊓ sSup T₂
-- Mathlib/Order/BooleanGenerators.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S
\u22a2 sSup T₁ ⊓ sSup T₂ ≤ sSup (T₁ ∩ T₂)
-- Mathlib/Order/BooleanGenerators.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S
X : Set α
hX : X ⊆ S
hX' : sSup T₁ ⊓ sSup T₂ = sSup X
\u22a2 sSup T₁ ⊓ sSup T₂ ≤ sSup (T₁ ∩ T₂)
-- Mathlib/Order/BooleanGenerators.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S
X : Set α
hX : X ⊆ S
hX' : sSup T₁ ⊓ sSup T₂ = sSup X
\u22a2 sSup X ≤ sSup (T₁ ∩ T₂)
-- Mathlib/Order/BooleanGenerators.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S
X : Set α
hX : X ⊆ S
hX' : sSup T₁ ⊓ sSup T₂ = sSup X
\u22a2 ∀ b ∈ X, b ≤ sSup (T₁ ∩ T₂)
-- Mathlib/Order/BooleanGenerators.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S
X : Set α
hX : X ⊆ S
hX' : sSup T₁ ⊓ sSup T₂ = sSup X
I : α
hI : I ∈ X
\u22a2 I ≤ sSup (T₁ ∩ T₂)
-- Mathlib/Order/BooleanGenerators.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S
X : Set α
hX : X ⊆ S
hX' : sSup T₁ ⊓ sSup T₂ = sSup X
I : α
hI : I ∈ X
\u22a2 I ∈ T₁ ∩ T₂
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
h : ∀ (a : α) (f : β → ℝ≥0∞), Measurable f → ∫⁻ (b : β), f b ∂κ a = ∫⁻ (b : β), f b ∂η a
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (κ a) s = (η a) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
h : ∫⁻ (b : β), s.indicator (fun x => 1) b ∂κ a = ∫⁻ (b : β), s.indicator (fun x => 1) b ∂η a
\u22a2 (κ a) s = (η a) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
h : (κ a) s = (η a) s
\u22a2 (κ a) s = (η a) s
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
\u22a2 HasSum (fun n => (1 / 2) ^ n) 2
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n : ℕ
\u22a2 (n + 0).descFactorial 0 = (n + 1).ascFactorial 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ
\u22a2 (n + k.succ).descFactorial k.succ = (n + 1).ascFactorial k.succ