ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1
\u22a2 (∡ p₃ p₁ p₂).tan * dist p₁ p₂ = dist p₃ p₂
-- Mathlib/Tactic/Ring/Basic.lean
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a a' a₁ a₂ a₃ b b' b₁✝ b₂ b₃ c₁ c₂ b₁ : R
\u22a2 a + (b₁ + b₂) = b₁ + (a + b₂)
-- Mathlib/Data/DFinsupp/NeLocus.lean
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → AddGroup (N a)
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : Π₀ (a : α), N a
\u22a2 f.neLocus (f - g) = g.support
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
hn : Squarefree n
t : Finset ℕ
ht : t ⊆ n.primeFactors
\u22a2 ∏ a ∈ n.primeFactors \ t, a = n / ∏ a ∈ t, a
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
hn : Squarefree n
t : Finset ℕ
ht : t ⊆ n.primeFactors
\u22a2 n = (∏ a ∈ n.primeFactors \ t, a) * ∏ a ∈ t, a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Basic.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
\u22a2 ‖derivWithin f s x‖ = ‖fderivWithin 𝕜 f s x‖
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/Killing.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : LieAlgebra.IsKilling R L
x : L
h : (ad R L) x = 0
\u22a2 x = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
hb : 0 < b.re
x w : V
\u22a2 𝓕 (fun v => cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪x, v⟫_ℝ)) w = (↑π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑‖x - w‖ ^ 2 / b)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
hb : 0 < b.re
x w : V
\u22a2 ∫ (v : V), cexp (-(2 * ↑π * ↑⟪w, v⟫_ℝ * I) + (-(b * ↑‖v‖ ^ 2) + 2 * ↑π * I * ↑⟪x, v⟫_ℝ)) = (↑π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2) * cexp (-(↑π ^ 2 * ↑‖x - w‖ ^ 2) / b)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
hb : 0 < b.re
x w v : V
\u22a2 cexp (-(2 * ↑π * ↑⟪w, v⟫_ℝ * I) + (-(b * ↑‖v‖ ^ 2) + 2 * ↑π * I * ↑⟪x, v⟫_ℝ)) = cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + 2 * ↑π * I * ↑⟪x - w, v⟫_ℝ)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
hb : 0 < b.re
x w : V
\u22a2 -(↑π ^ 2 * ↑‖x - w‖ ^ 2) / b = (2 * ↑π * I) ^ 2 * ↑‖x - w‖ ^ 2 / (4 * b)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Basic.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
f' : F
x₀ : 𝕜
hf : HasDerivAt f f' x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzWith C f
\u22a2 ‖f'‖ ≤ ↑C
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
k : ℕ
a t : ℝ
ht : 0 < t
\u22a2 Summable (f_nat k a t)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
k : ℕ
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : Summable fun n => ↑n ^ k * rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)
\u22a2 Summable (f_nat k a t)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
k : ℕ
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : Summable fun n => ↑n ^ k * rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)
\u22a2 ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, ‖f_nat k a t i‖ ≤ 2 ^ k * (↑i ^ k * rexp (-π * (↑i + a) ^ 2 * t))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
k : ℕ
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : Summable fun n => ↑n ^ k * rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)
\u22a2 ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, |↑i + a| ^ k ≤ (↑i + ↑i) ^ k
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
k : ℕ
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : Summable fun n => ↑n ^ k * rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)
n : ℕ
hn : ⌈|a|⌉₊ ≤ n
\u22a2 |↑n + a| ^ k ≤ (↑n + ↑n) ^ k
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
ϖ : R
h : maximalIdeal R = span {ϖ}
e : ϖ = 0
\u22a2 maximalIdeal R = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Prod.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J✝ J' : Ideal S
I : Ideal R
J : Ideal S
x : S
\u22a2 x ∈ map (RingHom.snd R S) (I.prod J) ↔ x ∈ J
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Prod.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J✝ J' : Ideal S
I : Ideal R
J : Ideal S
x : S
\u22a2 (∃ x_1 ∈ I.prod J, (RingHom.snd R S) x_1 = x) ↔ x ∈ J
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}
c : Ordinal.{u}
ho : o.card < c.cof
\u22a2 Cardinal.lift.{u, u} o.card < c.cof
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
n : ℕ
\u22a2 ConvexOn 𝕜 (Ioi 0) fun x => x ^ ↑n
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
n : ℕ
\u22a2 ConvexOn 𝕜 (Ioi 0) fun x => x ^ n
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
n : ℕ
\u22a2 ConvexOn 𝕜 (Ioi 0) fun x => x ^ -[n+1]
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
n : ℕ
\u22a2 ConvexOn 𝕜 (Ioi 0) fun x => x⁻¹ ^ (n + 1)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
n : ℕ
\u22a2 ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ Ioi 0 → ∀ ⦃y : 𝕜⦄, y ∈ Ioi 0 → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → (a • x + b • y)⁻¹ ≤ a • x⁻¹ + b • y⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
n : ℕ
x : 𝕜
hx : 0 < x
y : 𝕜
hy : 0 < y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
\u22a2 1 / (a * x + b * y) ≤ (a * y + b * x) / (x * y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
n : ℕ
x : 𝕜
hx : 0 < x
y : 𝕜
hy : 0 < y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
\u22a2 0 ≤ (a * y + b * x) * (a * x + b * y) - 1 * (x * y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
n : ℕ
x : 𝕜
hx : 0 < x
y : 𝕜
hy : 0 < y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
\u22a2 0 < a * x + b * y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
n : ℕ
x : 𝕜
hx : 0 < x
y : 𝕜
hy : 0 < y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
\u22a2 0 < x * y
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
h : ∃ α, F⟮α⟯ = ⊤
\u22a2 Finite (IntermediateField F E)
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
h : ∃ α, F⟮α⟯ = ⊤
this : FiniteDimensional F E
\u22a2 Finite (IntermediateField F E)
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
this : FiniteDimensional F E
α : E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
f : F[X] := minpoly F α
G : Type u_2 := { g // g.Monic ∧ g ∣ Polynomial.map (algebraMap F E) f }
\u22a2 Finite (IntermediateField F E)
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
this : FiniteDimensional F E
α : E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
f : F[X] := minpoly F α
G : Type u_2 := { g // g.Monic ∧ g ∣ Polynomial.map (algebraMap F E) f }
hfin : Finite G
\u22a2 Finite (IntermediateField F E)
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
this : FiniteDimensional F E
α : E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
f : F[X] := minpoly F α
G : Type u_2 := { g // g.Monic ∧ g ∣ Polynomial.map (algebraMap F E) f }
hfin : Finite G
g : IntermediateField F E → G := fun K => ⟨Polynomial.map (algebraMap (↥K) E) (minpoly (↥K) α), ⋯⟩
\u22a2 Finite (IntermediateField F E)
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
this : FiniteDimensional F E
α : E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
f : F[X] := minpoly F α
G : Type u_2 := { g // g.Monic ∧ g ∣ Polynomial.map (algebraMap F E) f }
hfin : Finite G
g : IntermediateField F E → G := fun K => ⟨Polynomial.map (algebraMap (↥K) E) (minpoly (↥K) α), ⋯⟩
hinj : Function.Injective g
\u22a2 Finite (IntermediateField F E)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
F G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hG : G.IsHomogeneous n
h : ∀ (r : σ → R), (eval r) F = (eval r) G
hnR : ↑n ≤ #R
\u22a2 F = G
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
F G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hG : G.IsHomogeneous n
h : ∀ (r : σ → R), (eval r) F = (eval r) G
hnR : ↑n ≤ #R
\u22a2 F - G = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
F G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hG : G.IsHomogeneous n
h : ∀ (r : σ → R), (eval r) F = (eval r) G
hnR : ↑n ≤ #R
\u22a2 ∀ (r : σ → R), (eval r) (F - G) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Types.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G H : C ⥤ Type w
X Y Z : C
σ : F ⟶ G
τ : G ⟶ H
a : F.obj X
\u22a2 F.map (𝟙 X) a = a
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD n.gcd m]
hn : n ≠ 0
hm : m ≠ 0
\u22a2 ↑(if hn : n = 0 then ⟨a, ⋯⟩ else if hm : m = 0 then ⟨b, ⋯⟩ else ⟨((↑n * (n.xgcd m).1 * ↑b + ↑m * (n.xgcd m).2 * ↑a) / ↑(n.gcd m) % ↑(n.lcm m)).toNat, ⋯⟩) < n.lcm m
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD n.gcd m]
hn : n ≠ 0
hm : m ≠ 0
\u22a2 ((↑n * (n.gcdA m, n.gcdB m).1 * ↑b + ↑m * (n.gcdA m, n.gcdB m).2 * ↑a) / ↑(n.gcd m) % ↑(↑(n.lcm m)).toNat).toNat < (↑(n.lcm m)).toNat
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD n.gcd m]
hn : n ≠ 0
hm : m ≠ 0
lcm_pos : 0 < ↑(n.lcm m)
\u22a2 ((↑n * (n.gcdA m, n.gcdB m).1 * ↑b + ↑m * (n.gcdA m, n.gcdB m).2 * ↑a) / ↑(n.gcd m) % ↑(↑(n.lcm m)).toNat).toNat < (↑(n.lcm m)).toNat
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
hl : -(π / 2) ≤ x
hu : x ≤ π / 2
\u22a2 cos x = √(1 - sin x ^ 2)
-- Mathlib/Data/List/AList.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a a' : α
s : AList β
\u22a2 a' ∈ erase a s ↔ a' ≠ a ∧ a' ∈ s
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.255779}
a : Cardinal.{u_1}
\u22a2 a ^< 0 = 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.255779}
a : Cardinal.{u_1}
\u22a2 IsEmpty ↑(Iio 0)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/Down.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a✝ : α
𝒜 : Finset (Finset α)
a : α
s : Finset α
\u22a2 s ∈ image (insert a) (memberSubfamily a 𝒜) ↔ s ∈ filter (fun x => a ∈ x) 𝒜
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/Down.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a✝ : α
𝒜 : Finset (Finset α)
a : α
s : Finset α
\u22a2 (∃ a_1, (insert a a_1 ∈ 𝒜 ∧ a ∉ a_1) ∧ insert a a_1 = s) ↔ s ∈ 𝒜 ∧ a ∈ s
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/Down.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a✝ : α
𝒜 : Finset (Finset α)
a : α
s : Finset α
\u22a2 (∃ a_1, (insert a a_1 ∈ 𝒜 ∧ a ∉ a_1) ∧ insert a a_1 = s) → s ∈ 𝒜 ∧ a ∈ s
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/Down.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a✝ : α
𝒜 : Finset (Finset α)
a : α
s : Finset α
x✝ : s ∈ 𝒜 ∧ a ∈ s
hs : s ∈ 𝒜
ha : a ∈ s
\u22a2 insert a (s.erase a) ∈ 𝒜
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P z = 0
hQz : Q z = 0
\u22a2 P ≈ Q
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P z = 0
hQz : Q z = 0
hPx : IsUnit (P x)
\u22a2 P ≈ Q
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P z = 0
hQz : Q z = 0
hPx : IsUnit (P x)
hPy : IsUnit (P y)
\u22a2 P ≈ Q
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P z = 0
hQz : Q z = 0
hPx : IsUnit (P x)
hPy : IsUnit (P y)
hQx : IsUnit (Q x)
\u22a2 P ≈ Q
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P z = 0
hQz : Q z = 0
hPx : IsUnit (P x)
hPy : IsUnit (P y)
hQx : IsUnit (Q x)
hQy : IsUnit (Q y)
\u22a2 P ≈ Q
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z = 0
hQz : Q z = 0
hPx : IsUnit (P x)
hPy : IsUnit (P y)
hQx : IsUnit (Q x)
hQy : IsUnit (Q y)
hP : P y ^ 2 = P x ^ 3 ∧ (3 * P x ^ 2 ≠ 0 ∨ 2 * P y ≠ 0 ∨ W.a₁ * P x * P y ≠ 0)
hQ : Q y ^ 2 = Q x ^ 3 ∧ (3 * Q x ^ 2 ≠ 0 ∨ 2 * Q y ≠ 0 ∨ W.a₁ * Q x * Q y ≠ 0)
\u22a2 P ≈ Q
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z = 0
hQz : Q z = 0
hPx : IsUnit (P x)
hPy : IsUnit (P y)
hQx : IsUnit (Q x)
hQy : IsUnit (Q y)
hP : P y ^ 2 = P x ^ 3 ∧ (3 * P x ^ 2 ≠ 0 ∨ 2 * P y ≠ 0 ∨ W.a₁ * P x * P y ≠ 0)
hQ : Q y ^ 2 = Q x ^ 3 ∧ (3 * Q x ^ 2 ≠ 0 ∨ 2 * Q y ≠ 0 ∨ W.a₁ * Q x * Q y ≠ 0)
\u22a2 (fun m => m • Q) (hPy.unit / hPx.unit * (hQx.unit / hQy.unit)) = P
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z = 0
hQz : Q z = 0
hPx : IsUnit (P x)
hPy : IsUnit (P y)
hQx : IsUnit (Q x)
hQy : IsUnit (Q y)
hP : P y ^ 2 = P x ^ 3 ∧ (3 * P x ^ 2 ≠ 0 ∨ 2 * P y ≠ 0 ∨ W.a₁ * P x * P y ≠ 0)
hQ : Q y ^ 2 = Q x ^ 3 ∧ (3 * Q x ^ 2 ≠ 0 ∨ 2 * Q y ≠ 0 ∨ W.a₁ * Q x * Q y ≠ 0)
\u22a2 ![P y ^ 2 / P x ^ 2 * (Q x ^ 2 / Q y ^ 2) * Q x, P y ^ 3 / P x ^ 3 * (Q x ^ 3 / Q y ^ 3) * Q y, 0] = P
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z = 0
hQz : Q z = 0
hPx : IsUnit (P x)
hPy : IsUnit (P y)
hQx : IsUnit (Q x)
hQy : IsUnit (Q y)
hP : P y ^ 2 = P x ^ 3 ∧ (3 * P x ^ 2 ≠ 0 ∨ 2 * P y ≠ 0 ∨ W.a₁ * P x * P y ≠ 0)
hQ : Q y ^ 2 = Q x ^ 3 ∧ (3 * Q x ^ 2 ≠ 0 ∨ 2 * Q y ≠ 0 ∨ W.a₁ * Q x * Q y ≠ 0)
\u22a2 ![P y ^ 2 / P x ^ 2 * (Q x ^ 2 / Q y ^ 2) * Q x, P y ^ 3 / P x ^ 3 * (Q x ^ 3 / Q y ^ 3) * Q y, 0] = ![P x, P y, 0]
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
\u22a2 o.oangle x (x + y) = ↑(Real.arctan (‖y‖ / ‖x‖))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1
\u22a2 o.oangle x (x + y) = ↑(Real.arctan (‖y‖ / ‖x‖))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
P : α → Prop
\u22a2 (∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (Ι a b), P x) ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (Ioc a b), P x) ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (Ioc b a), P x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Normed.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : HasContDiffBump E
inst✝ : MeasurableSpace E
c : E
f✝ : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
f : ContDiffBump 0
x : E
\u22a2 f.normed μ (-x) = f.normed μ x
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
a b : α
H₁ : (Ioi a).Nonempty
H₂ : a ≤ b
\u22a2 b ∈ closure (Ioi a)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
inst✝ : IsEmpty V
\u22a2 G.chromaticNumber = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
inst✝ : IsEmpty V
\u22a2 G.Colorable 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
n : ℕ
IH : ∀ m < n, p.removeZero.rightInv i m = p.rightInv i m
\u22a2 p.removeZero.rightInv i n = p.rightInv i n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
θ : ℂ
\u22a2 sin θ ≠ 0 ↔ ∀ (k : ℤ), θ ≠ ↑k * ↑π
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x y : A
\u22a2 (baseChange W B).toAffine.negY (f x) (f y) = f ((baseChange W A).toAffine.negY x y)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x y : A
\u22a2 (baseChange W B).toAffine.negY (f x) (f y) = (baseChange W B).toAffine.negY (f.toRingHom x) (f.toRingHom y)
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x z : EReal
h : x < z
\u22a2 ∃ y, x < ↑y ∧ ↑y < z
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x z : EReal
h : x < z
a : EReal
ha₁ : x < a
ha₂ : a < z
\u22a2 ∃ y, x < ↑y ∧ ↑y < z
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Shift.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
x a : 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup 𝕜'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
hh : HasDerivAt h h' (x + a)
\u22a2 HasDerivAt (fun x => h (x + a)) h' x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
h₁ : f₁ =o[l] g₁
h₂ : f₂ =O[l] g₂
\u22a2 (fun x => f₁ x * f₂ x) =o[l] fun x => g₁ x * g₂ x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
h₂ : f₂ =O[l] g₂
h₁ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f₁ g₁
\u22a2 ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l (fun x => f₁ x * f₂ x) fun x => g₁ x * g₂ x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
h₂ : f₂ =O[l] g₂
h₁ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f₁ g₁
c : ℝ
cpos : 0 < c
\u22a2 IsBigOWith c l (fun x => f₁ x * f₂ x) fun x => g₁ x * g₂ x