ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
\u22a2 Finset.image (⇑(frobenius R p)) ((expand R p) f).roots.toFinset ⊆ f.roots.toFinset
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
\u22a2 Finset.image (⇑(iterateFrobenius R p 1)) ((expand R p) f).roots.toFinset ⊆ f.roots.toFinset
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
\u22a2 p ^ 1 = p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℂ
\u22a2 tan (↑π / 2 - x) = (tan x)⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] M
\u22a2 (trace R (Module.Dual R M)) (Module.Dual.transpose f) = (trace R M) f
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
inst✝¹ : IsIntegral Y
inst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace
U : X.Opens
hU : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
\u22a2 IsDomain ↑Γ(X, U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
inst✝¹ : IsIntegral Y
inst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace
U : X.Opens
hU : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
this : U = f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U
\u22a2 IsDomain ↑Γ(X, U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
inst✝¹ : IsIntegral Y
inst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace
U : X.Opens
hU : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
this : U = f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U
\u22a2 IsDomain ↑Γ(X, f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
inst✝¹ : IsIntegral Y
inst✝ : Nonempty ↑↑X.toPresheafedSpace
U : X.Opens
hU : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
this✝ : U = f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U
this : IsDomain ↑Γ(Y, f ''ᵁ U)
\u22a2 IsDomain ↑Γ(X, f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U)
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/FreeGroupoid.lean
V : Type u
inst✝¹ : Quiver V
V' : Type u'
inst✝ : Groupoid V'
φ✝ φ : V ⥤q V'
\u22a2 of V ⋙q (lift φ).toPrefunctor = φ
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/FreeGroupoid.lean
V : Type u
inst✝¹ : Quiver V
V' : Type u'
inst✝ : Groupoid V'
φ✝ φ : V ⥤q V'
\u22a2 Quiver.Symmetrify.of ⋙q (Paths.of ⋙q (Quotient.functor redStep ⋙ lift φ).toPrefunctor) = φ
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/FreeGroupoid.lean
V : Type u
inst✝¹ : Quiver V
V' : Type u'
inst✝ : Groupoid V'
φ✝ φ : V ⥤q V'
\u22a2 Quiver.Symmetrify.of ⋙q (Paths.of ⋙q (Quotient.functor redStep ⋙ Quotient.lift redStep (Paths.lift (Quiver.Symmetrify.lift φ)) ⋯).toPrefunctor) = φ
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s : Set α
h : ∃ a ∈ s, a ∈ p.support
a : α
\u22a2 (p.filter s h) a = 0 ↔ a ∉ s ∨ a ∉ p.support
-- Mathlib/Algebra/ModEq.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
\u22a2 c + a ≡ b [PMOD p] ↔ a + c ≡ b [PMOD p]
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
S : WSeq (WSeq α)
\u22a2 S.join.destruct = S.destruct.bind destruct_join.aux
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
S : WSeq (WSeq α)
\u22a2 Computation.IsBisimulation fun c1 c2 => c1 = c2 ∨ ∃ S, c1 = S.join.destruct ∧ c2 = S.destruct.bind destruct_join.aux
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Division.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
g : G
\u22a2 of' k G g %ᵒᶠ g = 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u_2
f : ι → Cardinal.{u_2}
c : Cardinal.{u_2}
hι : #ι < c.ord.cof
\u22a2 Cardinal.lift.{?u.33596, u_2} #ι < c.ord.cof
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
g : β → γ
a : Filter α
c : Filter γ
h : Tendsto (g ∘ f) a c
\u22a2 map g (map f a) ≤ c
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
a b : ℝ
\u22a2 EMetric.diam (Icc a b) = ENNReal.ofReal (b - a)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
a b : ℝ
h : a ≤ b
\u22a2 EMetric.diam (Icc a b) = ENNReal.ofReal (b - a)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
a b : ℝ
h : b < a
\u22a2 EMetric.diam (Icc a b) = ENNReal.ofReal (b - a)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
h : G.Colorable 0
v : V
i : ℕ
hi : i < 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : SMul ℝ E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
\u22a2 ConvexOn ℝ univ ⇑p
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : SMul ℝ E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x : E
x✝² : x ∈ univ
y : E
x✝¹ : y ∈ univ
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
x✝ : a + b = 1
\u22a2 p (a • x + b • y) ≤ a • p x + b • p y
-- Mathlib/Analysis/Complex/RealDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z✝ : ℂ
f✝ : ℂ → E
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
\u22a2 ConformalAt f z ↔ (DifferentiableAt ℂ f z ∨ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z)) ∧ fderiv ℝ f z ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/Complex/RealDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z✝ : ℂ
f✝ : ℂ → E
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
\u22a2 IsConformalMap (fderiv ℝ f z) ↔ (DifferentiableAt ℂ f z ∨ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z)) ∧ fderiv ℝ f z ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/Complex/RealDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z✝ : ℂ
f✝ : ℂ → E
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
\u22a2 ((∃ map, restrictScalars ℝ map = fderiv ℝ f z) ∨ ∃ map, restrictScalars ℝ map = (fderiv ℝ f z).comp ↑conjCLE) ∧ fderiv ℝ f z ≠ 0 ↔ (DifferentiableAt ℂ f z ∨ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z)) ∧ fderiv ℝ f z ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/Complex/RealDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z✝ : ℂ
f✝ : ℂ → E
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
\u22a2 fderiv ℝ f z ≠ 0 → (((∃ map, restrictScalars ℝ map = fderiv ℝ f z) ∨ ∃ map, restrictScalars ℝ map = (fderiv ℝ f z).comp ↑conjCLE) ↔ DifferentiableAt ℂ f z ∨ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z))
-- Mathlib/Analysis/Complex/RealDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z✝ : ℂ
f✝ : ℂ → E
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
h : fderiv ℝ f z ≠ 0
\u22a2 ((∃ map, restrictScalars ℝ map = fderiv ℝ f z) ∨ ∃ map, restrictScalars ℝ map = (fderiv ℝ f z).comp ↑conjCLE) ↔ DifferentiableAt ℂ f z ∨ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/RealDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z✝ : ℂ
f✝ : ℂ → E
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
h : fderiv ℝ f z ≠ 0
h_diff : DifferentiableAt ℝ f z
\u22a2 ((∃ map, restrictScalars ℝ map = fderiv ℝ f z) ∨ ∃ map, restrictScalars ℝ map = (fderiv ℝ f z).comp ↑conjCLE) ↔ DifferentiableAt ℂ f z ∨ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/RealDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z✝ : ℂ
f✝ : ℂ → E
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
h : fderiv ℝ f z ≠ 0
h_diff : DifferentiableAt ℝ f z
\u22a2 (∃ map, restrictScalars ℝ map = fderiv ℝ f z) ↔ DifferentiableAt ℂ f z
-- Mathlib/Analysis/Complex/RealDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z✝ : ℂ
f✝ : ℂ → E
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
h : fderiv ℝ f z ≠ 0
h_diff : DifferentiableAt ℝ f z
\u22a2 (∃ map, restrictScalars ℝ map = (fderiv ℝ f z).comp ↑conjCLE) ↔ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/RealDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z✝ : ℂ
f✝ : ℂ → E
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
h : fderiv ℝ f z ≠ 0
h_diff : DifferentiableAt ℝ f ((starRingEnd ℂ) ((starRingEnd ℂ) z))
\u22a2 (∃ map, restrictScalars ℝ map = (fderiv ℝ f z).comp ↑conjCLE) ↔ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/RealDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z✝ : ℂ
f✝ : ℂ → E
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
h : fderiv ℝ f z ≠ 0
h_diff : DifferentiableAt ℝ f ((starRingEnd ℂ) ((starRingEnd ℂ) z))
\u22a2 (∃ map, restrictScalars ℝ map = (fderiv ℝ f z).comp ↑conjCLE) ↔ ∃ g', restrictScalars ℝ g' = fderiv ℝ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/RealDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z✝ : ℂ
f✝ : ℂ → E
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
h : fderiv ℝ f z ≠ 0
h_diff : DifferentiableAt ℝ f ((starRingEnd ℂ) ((starRingEnd ℂ) z))
g : ℂ →L[ℂ] ℂ
\u22a2 (fderiv ℝ f z).comp ↑conjCLE = fderiv ℝ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/RealDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z✝ : ℂ
f✝ : ℂ → E
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
h : fderiv ℝ f z ≠ 0
h_diff : DifferentiableAt ℝ f ((starRingEnd ℂ) ((starRingEnd ℂ) z))
g : ℂ →L[ℂ] ℂ
this : fderiv ℝ (⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z) = ↑conjCLE
\u22a2 (fderiv ℝ f z).comp ↑conjCLE = fderiv ℝ (f ∘ ⇑(starRingEnd ℂ)) ((starRingEnd ℂ) z)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : Fintype ι
l : (i : ι) → G i
i : ι
v : G i
\u22a2 ⟪(V i) v, ∑ j : ι, (V j) (l j)⟫_𝕜 = ⟪v, l i⟫_𝕜
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x * c) = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a * c..b * c, f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
A : MeasurableEmbedding fun x => x * c
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x * c) = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a * c..b * c, f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
A : MeasurableEmbedding fun x => x * c
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x * c) = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a * c..b * c, f x ∂ENNReal.ofReal |c| • Measure.map (fun x => x * c) volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
A : MeasurableEmbedding fun x => x * c
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, f (x * c) ∂volume - ∫ (x : ℝ) in Ioc b a, f (x * c) ∂volume = c⁻¹ • |c| • (∫ (x : ℝ) in (fun x => x * c) ⁻¹' Ioc (a * c) (b * c), f (x * c) ∂volume - ∫ (x : ℝ) in (fun x => x * c) ⁻¹' Ioc (b * c) (a * c), f (x * c) ∂volume)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
A : MeasurableEmbedding fun x => x * c
h : c < 0
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, f (x * c) ∂volume - ∫ (x : ℝ) in Ioc b a, f (x * c) ∂volume = c⁻¹ • |c| • (∫ (x : ℝ) in (fun x => x * c) ⁻¹' Ioc (a * c) (b * c), f (x * c) ∂volume - ∫ (x : ℝ) in (fun x => x * c) ⁻¹' Ioc (b * c) (a * c), f (x * c) ∂volume)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
A : MeasurableEmbedding fun x => x * c
h : 0 < c
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, f (x * c) ∂volume - ∫ (x : ℝ) in Ioc b a, f (x * c) ∂volume = c⁻¹ • |c| • (∫ (x : ℝ) in (fun x => x * c) ⁻¹' Ioc (a * c) (b * c), f (x * c) ∂volume - ∫ (x : ℝ) in (fun x => x * c) ⁻¹' Ioc (b * c) (a * c), f (x * c) ∂volume)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P : R[X]
\u22a2 IsUnit P ↔ IsUnit (eval 0 P) ∧ IsNilpotent (P /ₘ X)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P : R[X]
\u22a2 P = C (eval 0 P) + X * (P /ₘ X)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P : R[X]
\u22a2 P %ₘ X + X * (P /ₘ X) = C (eval 0 P) + X * (P /ₘ X)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
F : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : Ring E
inst✝³ : Algebra F E
inst✝² : StrongRankCondition F
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors F E
inst✝ : Nontrivial E
\u22a2 Module.rank F ↥(toSubmodule ⊥) = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
F : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : Ring E
inst✝³ : Algebra F E
inst✝² : StrongRankCondition F
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors F E
inst✝ : Nontrivial E
\u22a2 LinearIndependent F fun (x : ↑{1}) => ↑x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
F : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : Ring E
inst✝³ : Algebra F E
inst✝² : StrongRankCondition F
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors F E
inst✝ : Nontrivial E
this : Nontrivial F := Module.nontrivial F E
\u22a2 LinearIndependent F fun (x : ↑{1}) => ↑x
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : Preorder β
u : α → β
h : Tendsto u atTop atTop
a : α
b : β
this : Nonempty α
\u22a2 ∃ a' ≥ a, b ≤ u a'
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : Preorder β
u : α → β
h : Tendsto u atTop atTop
a : α
b : β
this✝ : Nonempty α
this : ∀ᶠ (x : α) in atTop, a ≤ x ∧ b ≤ u x
\u22a2 ∃ a' ≥ a, b ≤ u a'
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w✝ : ℍ
r✝ R : ℝ
z : ℍ
r : ℝ
w : ℂ
h : dist w ↑(z.center r) ≤ z.im * Real.sinh r
\u22a2 dist (↑(z.center r)) w ≤ z.im * Real.sinh r
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a✝ b a : α
\u22a2 (replicate 0 a).Nodup ↔ 0 ≤ 1
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
\u22a2 y ∈ cylinder x n ↔ x ∈ cylinder y n
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
r : Set (β × β)
s : Set α
hs : IsCompact s
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, ContinuousAt f a
hr : r ∈ 𝓤 β
\u22a2 {x | x.1 ∈ s → (f x.1, f x.2) ∈ r} ∈ 𝓤 α
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
r : Set (β × β)
s : Set α
hs : IsCompact s
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, ContinuousAt f a
hr : r ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : SymmetricRel t
htr : t ○ t ⊆ r
\u22a2 {x | x.1 ∈ s → (f x.1, f x.2) ∈ r} ∈ 𝓤 α
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
r : Set (β × β)
s : Set α
hs : IsCompact s
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, ContinuousAt f a
hr : r ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : SymmetricRel t
htr : t ○ t ⊆ r
U : (a : α) → a ∈ s → Set α
hU : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), U a ha ∈ 𝓝 a
T : (a : α) → a ∈ s → Set (α × α)
hT : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), T a ha ∈ 𝓤 α
hb : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), ∀ a' ∈ U a ha, ball a' (T a ha) ⊆ f ⁻¹' {y | (f a, y) ∈ t}
\u22a2 {x | x.1 ∈ s → (f x.1, f x.2) ∈ r} ∈ 𝓤 α
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
r : Set (β × β)
s : Set α
hs : IsCompact s
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, ContinuousAt f a
hr : r ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : SymmetricRel t
htr : t ○ t ⊆ r
U : (a : α) → a ∈ s → Set α
hU : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), U a ha ∈ 𝓝 a
T : (a : α) → a ∈ s → Set (α × α)
hT : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), T a ha ∈ 𝓤 α
hb : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), ∀ a' ∈ U a ha, ball a' (T a ha) ⊆ f ⁻¹' {y | (f a, y) ∈ t}
fs : Finset ↑s
hsU : s ⊆ ⋃ x ∈ fs, U ↑x ⋯
\u22a2 {x | x.1 ∈ s → (f x.1, f x.2) ∈ r} ∈ 𝓤 α
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
r : Set (β × β)
s : Set α
hs : IsCompact s
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, ContinuousAt f a
hr : r ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : SymmetricRel t
htr : t ○ t ⊆ r
U : (a : α) → a ∈ s → Set α
hU : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), U a ha ∈ 𝓝 a
T : (a : α) → a ∈ s → Set (α × α)
hT : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), T a ha ∈ 𝓤 α
hb : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), ∀ a' ∈ U a ha, ball a' (T a ha) ⊆ f ⁻¹' {y | (f a, y) ∈ t}
fs : Finset ↑s
hsU : s ⊆ ⋃ x ∈ fs, U ↑x ⋯
\u22a2 ⋂ i ∈ fs, T ↑i ⋯ ⊆ {x | x.1 ∈ s → (f x.1, f x.2) ∈ r}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
r : Set (β × β)
s : Set α
hs : IsCompact s
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, ContinuousAt f a
hr : r ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : SymmetricRel t
htr : t ○ t ⊆ r
U : (a : α) → a ∈ s → Set α
hU : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), U a ha ∈ 𝓝 a
T : (a : α) → a ∈ s → Set (α × α)
hT : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), T a ha ∈ 𝓤 α
hb : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), ∀ a' ∈ U a ha, ball a' (T a ha) ⊆ f ⁻¹' {y | (f a, y) ∈ t}
fs : Finset ↑s
hsU : s ⊆ ⋃ x ∈ fs, U ↑x ⋯
a₁ a₂ : α
h : (a₁, a₂) ∈ ⋂ i ∈ fs, T ↑i ⋯
h₁ : (a₁, a₂).1 ∈ s
\u22a2 (f (a₁, a₂).1, f (a₁, a₂).2) ∈ r
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
r : Set (β × β)
s : Set α
hs : IsCompact s
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, ContinuousAt f a
hr : r ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : SymmetricRel t
htr : t ○ t ⊆ r
U : (a : α) → a ∈ s → Set α
hU : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), U a ha ∈ 𝓝 a
T : (a : α) → a ∈ s → Set (α × α)
hT : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), T a ha ∈ 𝓤 α
hb : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), ∀ a' ∈ U a ha, ball a' (T a ha) ⊆ f ⁻¹' {y | (f a, y) ∈ t}
fs : Finset ↑s
hsU : s ⊆ ⋃ x ∈ fs, U ↑x ⋯
a₁ a₂ : α
h : (a₁, a₂) ∈ ⋂ i ∈ fs, T ↑i ⋯
h₁ : (a₁, a₂).1 ∈ s
a : ↑s
ha : a ∈ fs
haU : (a₁, a₂).1 ∈ U ↑a ⋯
\u22a2 (f (a₁, a₂).1, f (a₁, a₂).2) ∈ r
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
r : Set (β × β)
s : Set α
hs : IsCompact s
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, ContinuousAt f a
hr : r ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : SymmetricRel t
htr : t ○ t ⊆ r
U : (a : α) → a ∈ s → Set α
hU : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), U a ha ∈ 𝓝 a
T : (a : α) → a ∈ s → Set (α × α)
hT : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), T a ha ∈ 𝓤 α
hb : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), ∀ a' ∈ U a ha, ball a' (T a ha) ⊆ f ⁻¹' {y | (f a, y) ∈ t}
fs : Finset ↑s
hsU : s ⊆ ⋃ x ∈ fs, U ↑x ⋯
a₁ a₂ : α
h : (a₁, a₂) ∈ ⋂ i ∈ fs, T ↑i ⋯
h₁ : (a₁, a₂).1 ∈ s
a : ↑s
ha : a ∈ fs
haU : (a₁, a₂).1 ∈ U ↑a ⋯
\u22a2 (f (a₁, a₂).1, f (a₁, a₂).2) ∈ t ○ t
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
r : Set (β × β)
s : Set α
hs : IsCompact s
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, ContinuousAt f a
hr : r ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : SymmetricRel t
htr : t ○ t ⊆ r
U : (a : α) → a ∈ s → Set α
hU : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), U a ha ∈ 𝓝 a
T : (a : α) → a ∈ s → Set (α × α)
hT : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), T a ha ∈ 𝓤 α
hb : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), ∀ a' ∈ U a ha, ball a' (T a ha) ⊆ f ⁻¹' {y | (f a, y) ∈ t}
fs : Finset ↑s
hsU : s ⊆ ⋃ x ∈ fs, U ↑x ⋯
a₁ a₂ : α
h : (a₁, a₂) ∈ ⋂ i ∈ fs, T ↑i ⋯
h₁ : (a₁, a₂).1 ∈ s
a : ↑s
ha : a ∈ fs
haU : (a₁, a₂).1 ∈ U ↑a ⋯
\u22a2 (a₁, a₂).1 ∈ ball (a₁, a₂).1 (T ↑a ⋯)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
r : Set (β × β)
s : Set α
hs : IsCompact s
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, ContinuousAt f a
hr : r ∈ 𝓤 β
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
htsymm : SymmetricRel t
htr : t ○ t ⊆ r
U : (a : α) → a ∈ s → Set α
hU : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), U a ha ∈ 𝓝 a
T : (a : α) → a ∈ s → Set (α × α)
hT : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), T a ha ∈ 𝓤 α
hb : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), ∀ a' ∈ U a ha, ball a' (T a ha) ⊆ f ⁻¹' {y | (f a, y) ∈ t}
fs : Finset ↑s
hsU : s ⊆ ⋃ x ∈ fs, U ↑x ⋯
a₁ a₂ : α
h : (a₁, a₂) ∈ ⋂ i ∈ fs, T ↑i ⋯
h₁ : (a₁, a₂).1 ∈ s
a : ↑s
ha : a ∈ fs
haU : (a₁, a₂).1 ∈ U ↑a ⋯
\u22a2 (a₁, a₂).2 ∈ ball (a₁, a₂).1 (T ↑a ⋯)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
x' : Dual 𝕜 E
c : 𝕜
hc : ∀ z ∈ s, ‖x' z‖ ≤ ‖c‖
c_zero : ¬c = 0
\u22a2 c⁻¹ • x' ∈ polar 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
x' : Dual 𝕜 E
c : 𝕜
hc : ∀ z ∈ s, ‖x' z‖ ≤ ‖c‖
c_zero : ¬c = 0
eq : ∀ (z : E), ‖c⁻¹ • x' z‖ = ‖c⁻¹‖ * ‖x' z‖
\u22a2 c⁻¹ • x' ∈ polar 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
x' : Dual 𝕜 E
c : 𝕜
hc : ∀ z ∈ s, ‖x' z‖ ≤ ‖c‖
c_zero : ¬c = 0
eq : ∀ (z : E), ‖c⁻¹ • x' z‖ = ‖c⁻¹‖ * ‖x' z‖
le : ∀ z ∈ s, ‖c⁻¹ • x' z‖ ≤ ‖c⁻¹‖ * ‖c‖
\u22a2 c⁻¹ • x' ∈ polar 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
x' : Dual 𝕜 E
c : 𝕜
hc : ∀ z ∈ s, ‖x' z‖ ≤ ‖c‖
c_zero : ¬c = 0
eq : ∀ (z : E), ‖c⁻¹ • x' z‖ = ‖c⁻¹‖ * ‖x' z‖
le : ∀ z ∈ s, ‖c⁻¹ • x' z‖ ≤ ‖c⁻¹‖ * ‖c‖
cancel : ‖c⁻¹‖ * ‖c‖ = 1
\u22a2 c⁻¹ • x' ∈ polar 𝕜 s
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
\u22a2 (f.extend I).source = f.source