ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/StandardBorel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : CountablyGenerated γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) ℝ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hη : (κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η = κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯
e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
he : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω) := measurableEmbedding_embeddingReal Ω
κ' : Kernel α (β × ℝ) := κ.map (Prod.map id e) ⋯
hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'
h_prod_embed : MeasurableEmbedding (Prod.map id e)
h_fst : κ'.fst = κ.fst
a✝ : α
t : Set (β × Ω)
ht : MeasurableSet t
h_ae : ∀ᵐ (t : β) ∂κ.fst a✝, (a✝, t) ∈ {p | (η p) (range e)ᶜ = 0}
a : β
ha : (η (a✝, a)) (range e)ᶜ = 0
\u22a2 ((piecewise ⋯ η (deterministic (fun x => Exists.choose ⋯) ⋯)) (a✝, a)) (embeddingReal Ω '' {c | (a, c) ∈ t}) = (η (a✝, a)) (embeddingReal Ω '' {c | (a, c) ∈ t})
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/StandardBorel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : CountablyGenerated γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) ℝ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
hη : (κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯).fst ⊗ₖ η = κ.map (Prod.map id (embeddingReal Ω)) ⋯
e : Ω → ℝ := embeddingReal Ω
he : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω) := measurableEmbedding_embeddingReal Ω
κ' : Kernel α (β × ℝ) := κ.map (Prod.map id e) ⋯
hη' : κ'.fst ⊗ₖ η = κ'
h_prod_embed : MeasurableEmbedding (Prod.map id e)
h_fst : κ'.fst = κ.fst
a✝ : α
t : Set (β × Ω)
ht : MeasurableSet t
h_ae : ∀ᵐ (t : β) ∂κ.fst a✝, (a✝, t) ∈ {p | (η p) (range e)ᶜ = 0}
a : β
ha : (η (a✝, a)) (range e)ᶜ = 0
\u22a2 MeasurableSet {c | (a, c) ∈ t}
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiSeparated.lean
X✝ Y : Scheme
f : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
\u22a2 IsQuasiSeparated ↑U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiSeparated.lean
X✝ Y : Scheme
f : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
\u22a2 QuasiSeparatedSpace ↑↑U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiSeparated.lean
X✝ Y : Scheme
f : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
\u22a2 IsOpen ↑U
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R✝ : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R✝
m n : ℕ
inst✝³ : Semiring R✝
p✝ q r : R✝[X]
inst✝² : Semiring S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
p : R[X]
i : ℤ
\u22a2 eval (↑i) (map f p) = f (eval (↑i) p)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
inst✝ : HasZeroObject C
S : ShortComplex C
X Y : C
f : X ⟶ Y
\u22a2 Epi f ↔ Function.Surjective ⇑((forget₂ C Ab).map f)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
inst✝ : HasZeroObject C
S : ShortComplex C
X Y : C
f : X ⟶ Y
\u22a2 Epi f ↔ Epi ((forget₂ C Ab).map f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α
r : ℝ≥0
\u22a2 ↑r • j = r • j
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
\u22a2 (aleph 1).IsRegular
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
\u22a2 (succ ℵ₀).IsRegular
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/PartENat.lean
α : Type u
c' : Cardinal.{u_1}
c : ℕ∞
\u22a2 toPartENat ↑c ≤ toPartENat c' ↔ ↑c ≤ c'
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
n : ℕ
f : Vector ℕ n →. ℕ
g : Vector ℕ (n + 1) → ℕ
hf : Partrec' f
hg : Partrec' ↑g
\u22a2 Partrec' fun v => Part.map (fun a => g (a ::ᵥ v)) (f v)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g✝
X : Scheme
U : X.Opens
f g : ↑Γ(X, U)
𝒰 : X.OpenCover
h : ∀ (i : 𝒰.J), (Scheme.Hom.app (𝒰.map i) U) f = (Scheme.Hom.app (𝒰.map i) U) g
\u22a2 f = g
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g✝
X : Scheme
U : X.Opens
f g : ↑Γ(X, U)
𝒰 : X.OpenCover
h : ∀ (i : 𝒰.J), (Scheme.Hom.app (𝒰.map i) U) f = (Scheme.Hom.app (𝒰.map i) U) g
\u22a2 U ≤ ⨆ i, Hom.opensRange (𝒰.map (𝒰.f i)) ⊓ U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g✝
X : Scheme
U : X.Opens
f g : ↑Γ(X, U)
𝒰 : X.OpenCover
h : ∀ (i : 𝒰.J), (Scheme.Hom.app (𝒰.map i) U) f = (Scheme.Hom.app (𝒰.map i) U) g
\u22a2 ∀ (i : ↑↑X.toPresheafedSpace), (X.sheaf.val.map (homOfLE ⋯).op) f = (X.sheaf.val.map (homOfLE ⋯).op) g
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Preorder M
inst✝¹ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l₁ l₂ : List M
h : l₁ <+ l₂
h₁ : ∀ a ∈ l₂, 1 ≤ a
\u22a2 l₁.prod ≤ l₂.prod
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s t : Set α
a b : α
inst✝ : Nonempty α
\u22a2 BddBelow ∅
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Fintype α
x : α
h : Fintype.card α = 1
\u22a2 {x} = univ
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Fintype α
x : α
h : Fintype.card α = 1
\u22a2 univ.card ≤ {x}.card
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Fintype α
x : α
h : Fintype.card α = 1
\u22a2 univ.card = {x}.card
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
n : ℕ
\u22a2 ↑n < o.card ↔ ↑n < o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
n : ℕ
\u22a2 ↑n.succ ≤ o ↔ succ ↑n ≤ o
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hε : 0 < ε
h : dist x z < ε + δ
\u22a2 ∃ y, dist x y ≤ δ ∧ dist y z < ε
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y✝ z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hε : 0 < ε
h : dist x z < ε + δ
y : E
hy : dist x y = δ / (ε + δ) * dist x z ∧ dist y z = ε / (ε + δ) * dist x z
\u22a2 dist x y ≤ δ ∧ dist y z < ε
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y✝ z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hε : 0 < ε
h : dist x z < ε + δ
y : E
hy : dist x y = δ / (ε + δ) * dist x z ∧ dist y z = ε / (ε + δ) * dist x z
\u22a2 dist x z / (ε + δ) * δ ≤ δ ∧ dist x z / (ε + δ) * ε < ε
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y✝ z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hε : 0 < ε
h : dist x z / (ε + δ) < 1
y : E
hy : dist x y = δ / (ε + δ) * dist x z ∧ dist y z = ε / (ε + δ) * dist x z
\u22a2 dist x z / (ε + δ) * δ ≤ δ ∧ dist x z / (ε + δ) * ε < ε
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F
hf : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
\u22a2 fderivWithin 𝕜 (fun y => f y + c) s x = fderivWithin 𝕜 f s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F
hf : ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
\u22a2 ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => f y + c) s x
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a b : α
m : ℕ
ha : (fun b => some a = b) ((↑s).get m)
n : ℕ
hb : (fun b_1 => some b = b_1) ((↑s).get n)
\u22a2 a = b
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Prod.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P✝ : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝³ : Module R P✝
P : Type u_10
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
\u22a2 (∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), 0 ≤ (pi Q) x) ↔ ∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Prod.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P✝ : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝³ : Module R P✝
P : Type u_10
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
\u22a2 (∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), 0 ≤ ∑ x_1 : ι, (Q x_1) (x x_1)) ↔ ∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x
-- Mathlib/Algebra/Group/NatPowAssoc.lean
M : Type u_1
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : Pow M ℕ
inst✝ : NatPowAssoc M
x : M
m n : ℕ
\u22a2 x ^ (m * n) = (x ^ n) ^ m
-- Mathlib/Algebra/Group/NatPowAssoc.lean
M : Type u_1
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : Pow M ℕ
inst✝ : NatPowAssoc M
x : M
m n : ℕ
\u22a2 x ^ (n * m) = (x ^ n) ^ m
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
s : Set α
a✝ b : α
f : (i : ι) → κ i → α
a : α
\u22a2 a ⊓ ⨆ i, ⨆ j, f i j = ⨆ i, ⨆ j, a ⊓ f i j
-- Mathlib/Topology/Algebra/Ring/Ideal.lean
R : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : CommRing R
N : Ideal R
inst✝ : TopologicalRing R
s : Set R
s_op : IsOpen s
\u22a2 IsOpen (⇑(mk N) ⁻¹' (⇑(mk N) '' s))
-- Mathlib/Topology/Algebra/Ring/Ideal.lean
R : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : CommRing R
N : Ideal R
inst✝ : TopologicalRing R
s : Set R
s_op : IsOpen s
\u22a2 IsOpen (⋃ x, (fun y => ↑x + y) '' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
hs : s.Subsingleton
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
\u22a2 μH[d] s ≤ 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hs : ∅.Subsingleton
\u22a2 μH[d] ∅ ≤ 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
hs : s.Subsingleton
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
x : X
hx : x ∈ s
\u22a2 μH[d] s ≤ 1
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Set α → Filter β
m : β → γ
hg : Monotone g
this : Monotone (map m ∘ g)
s : Set γ
\u22a2 s ∈ map m (f.lift g) ↔ s ∈ f.lift (map m ∘ g)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntervalIntegral.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : H → ℝ → E
F' : H → ℝ → H →L[𝕜] E
x₀ : H
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F' x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → ∀ x ∈ ball x₀ ε, HasFDerivAt (fun x => F x t) (F' x t) x
\u22a2 HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' x₀ t ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntervalIntegral.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : H → ℝ → E
F' : H → ℝ → H →L[𝕜] E
x₀ : H
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, ‖F' x_1 x‖ ≤ bound x
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, HasFDerivAt (fun x_2 => F x_2 x) (F' x_1 x) x_1
\u22a2 HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' x₀ t ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntervalIntegral.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : H → ℝ → E
F' : H → ℝ → H →L[𝕜] E
x₀ : H
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, ‖F' x_1 x‖ ≤ bound x
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, HasFDerivAt (fun x_2 => F x_2 x) (F' x_1 x) x_1
hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ
bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ
\u22a2 HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' x₀ t ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntervalIntegral.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : H → ℝ → E
F' : H → ℝ → H →L[𝕜] E
x₀ : H
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, ‖F' x_1 x‖ ≤ bound x
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, HasFDerivAt (fun x_2 => F x_2 x) (F' x_1 x) x_1
hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ
bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ
\u22a2 HasFDerivAt (fun x => (if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F x t ∂μ) ((if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F' x₀ t ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : IsBigOWith c l f g
\u22a2 IsBigOWith (Nat.casesOn 0 ‖1‖ fun n => c ^ (n + 1)) l (fun x => f x ^ 0) fun x => g x ^ 0
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : IsBigOWith c l f g
n : ℕ
\u22a2 IsBigOWith (Nat.casesOn (n + 2) ‖1‖ fun n => c ^ (n + 1)) l (fun x => f x ^ (n + 2)) fun x => g x ^ (n + 2)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
y : F
\u22a2 integral μ (const α y) = (μ Set.univ).toReal • y
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d : D
\u22a2 𝟙 d ∈ (map φ hφ S).arrows d d
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
\u22a2 𝟙 (φ.obj c) ∈ (map φ hφ S).arrows (φ.obj c) (φ.obj c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
\u22a2 Map.Arrows φ hφ S (φ.obj c) (φ.obj c) (𝟙 (φ.obj c))
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
\u22a2 Map.Arrows φ hφ S (φ.obj c) (φ.obj c) (φ.map (𝟙 c))
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
\u22a2 𝟙 c ∈ S.arrows c c
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d d' : D
g : d ⟶ d'
δ : d ⟶ d
hδ : δ ∈ (map φ hφ S).arrows d d
\u22a2 Groupoid.inv g ≫ δ ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows d' d'
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d d' : D
g : d ⟶ d'
δ : d ⟶ d
hδ : ∃ a b g, ∃ (ha : φ.obj a = d) (hb : φ.obj b = d) (_ : g ∈ S.arrows a b), δ = eqToHom ⋯ ≫ φ.map g ≫ eqToHom hb
\u22a2 Groupoid.inv g ≫ δ ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows d' d'
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d' : D
c : C
g : φ.obj c ⟶ d'
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
\u22a2 Groupoid.inv g ≫ (eqToHom ⋯ ≫ φ.map γ ≫ eqToHom cd') ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows d' d'
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d' : D
c : C
g : φ.obj c ⟶ d'
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
this : d' ∈ (im φ hφ).objs
\u22a2 Groupoid.inv g ≫ (eqToHom ⋯ ≫ φ.map γ ≫ eqToHom cd') ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows d' d'
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d' : D
c : C
g : φ.obj c ⟶ d'
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
this : ∃ c, φ.obj c = d'
\u22a2 Groupoid.inv g ≫ (eqToHom ⋯ ≫ φ.map γ ≫ eqToHom cd') ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows d' d'
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
c' : C
g : φ.obj c ⟶ φ.obj c'
this : g ∈ (im φ hφ).arrows (φ.obj c) (φ.obj c')
\u22a2 Groupoid.inv g ≫ (eqToHom ⋯ ≫ φ.map γ ≫ eqToHom cd') ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows (φ.obj c') (φ.obj c')
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
c' : C
g : φ.obj c ⟶ φ.obj c'
this : ∃ a b g_1, ∃ (ha : φ.obj a = φ.obj c) (hb : φ.obj b = φ.obj c'), g = eqToHom ⋯ ≫ φ.map g_1 ≫ eqToHom hb
\u22a2 Groupoid.inv g ≫ (eqToHom ⋯ ≫ φ.map γ ≫ eqToHom cd') ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows (φ.obj c') (φ.obj c')
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
c' : C
hb : φ.obj c = φ.obj c
hb' : φ.obj c' = φ.obj c'
f : c ⟶ c'
\u22a2 Map.Arrows φ hφ S (φ.obj c') (φ.obj c') (Groupoid.inv (eqToHom ⋯ ≫ φ.map f ≫ eqToHom hb') ≫ (eqToHom ⋯ ≫ φ.map γ ≫ eqToHom cd') ≫ eqToHom ⋯ ≫ φ.map f ≫ eqToHom hb')
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
c' : C
hb : φ.obj c = φ.obj c
hb' : φ.obj c' = φ.obj c'
f : c ⟶ c'
\u22a2 Map.Arrows φ hφ S (φ.obj c') (φ.obj c') (inv (φ.map f) ≫ φ.map γ ≫ φ.map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
c' : C
hb : φ.obj c = φ.obj c
hb' : φ.obj c' = φ.obj c'
f : c ⟶ c'
\u22a2 Map.Arrows φ hφ S (φ.obj c') (φ.obj c') (φ.map (Groupoid.inv f ≫ γ ≫ f))