ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/RelIso/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
f : r ↪r s
g : t ↪r u
\u22a2 ∀ {a b : α ⊕ γ}, Sum.Lex s u ({ toFun := Sum.map ⇑f ⇑g, inj' := ⋯ } a) ({ toFun := Sum.map ⇑f ⇑g, inj' := ⋯ } b) ↔ Sum.Lex r t a b
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y x : ℝ
hx : cos x ≠ 0
\u22a2 tan x ^ 2 / (1 + tan x ^ 2) = sin x ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N N₂ : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L M'
m : M'
\u22a2 m ∈ map f ⊥ ↔ m ∈ ⊥
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/OfBiproducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X Y : C
f g h k : X ⟶ Y
diag : X ⊞ X ⟶ Y ⊞ Y := biprod.lift (biprod.desc f g) (biprod.desc h k)
hd₁ : biprod.inl ≫ diag = biprod.lift f h
hd₂ : biprod.inr ≫ diag = biprod.lift g k
h₁ : biprod.lift (rightAdd X Y f g) (rightAdd X Y h k) = biprod.lift (𝟙 X) (𝟙 X) ≫ diag
h₂ : diag ≫ biprod.desc (𝟙 Y) (𝟙 Y) = biprod.desc (leftAdd X Y f h) (leftAdd X Y g k)
\u22a2 leftAdd X Y (rightAdd X Y f g) (rightAdd X Y h k) = rightAdd X Y (leftAdd X Y f h) (leftAdd X Y g k)
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
d : ℕ
u : PrimeMultiset
\u22a2 (d • u).prod = u.prod ^ d
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t✝ : Set α
μ ν : Measure α
inst✝ : Finite β
t : β → Set α
\u22a2 IntegrableOn f (⋃ i, t i) μ ↔ ∀ (i : β), IntegrableOn f (t i) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t✝ : Set α
μ ν : Measure α
inst✝ : Finite β
t : β → Set α
val✝ : Fintype β
\u22a2 IntegrableOn f (⋃ i, t i) μ ↔ ∀ (i : β), IntegrableOn f (t i) μ
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : PartialHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
\u22a2 G.IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) s x ↔ x ∈ s → ∃ e ∈ G, e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : PartialHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
\u22a2 (x ∈ s → ∃ e ∈ G, e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source) ↔ x ∈ s → ∃ e ∈ G, e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝² : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : PartialHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
x✝¹ : x ∈ s
e : PartialHomeomorph H H
x✝ : e ∈ G
\u22a2 e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source ↔ e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e' : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝² : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : PartialHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
x✝¹ : x ∈ s
e : PartialHomeomorph H H
x✝ : e ∈ G
h2e : e.source ⊆ f.source
\u22a2 EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source ↔ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : AEFinStronglyMeasurable f μ
t : Set α := hf.sigmaFiniteSet
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : AEFinStronglyMeasurable f μ
t : Set α := hf.sigmaFiniteSet
\u22a2 f =ᶠ[ae (μ.restrict t)] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : AEFinStronglyMeasurable f μ
t : Set α := hf.sigmaFiniteSet
this : SigmaFinite (μ.restrict t)
\u22a2 f =ᶠ[ae (μ.restrict t)] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : AEFinStronglyMeasurable f μ
t : Set α := hf.sigmaFiniteSet
this : SigmaFinite (μ.restrict t)
\u22a2 ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → (μ.restrict t) s < ⊤ → IntegrableOn f s (μ.restrict t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf : AEFinStronglyMeasurable f μ
t : Set α := hf.sigmaFiniteSet
this : SigmaFinite (μ.restrict t)
\u22a2 ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → (μ.restrict t) s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ.restrict t = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H : G.Subgraph
h : H.Connected
\u22a2 H.Preconnected
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H : G.Subgraph
h : H.Preconnected ∧ H.verts.Nonempty
\u22a2 H.Preconnected
-- Mathlib/RingTheory/EssentialFiniteness.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
h₁ : EssFiniteType R S
h₂ : EssFiniteType S T
\u22a2 EssFiniteType R T
-- Mathlib/RingTheory/EssentialFiniteness.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
h₁ : ∃ σ, ∀ (s : S), ∃ t ∈ adjoin R ↑σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ adjoin R ↑σ
h₂ : ∃ σ, ∀ (s : T), ∃ t ∈ adjoin S ↑σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ adjoin S ↑σ
\u22a2 ∃ σ, ∀ (s : T), ∃ t ∈ adjoin R ↑σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ adjoin R ↑σ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
\u22a2 t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j ≫ pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map k) ≫ pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g = pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map k) ≫ pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f g : Perm α
h : f.Disjoint g
\u22a2 _root_.Disjoint f.cycleFactorsFinset g.cycleFactorsFinset
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f g : Perm α
h : _root_.Disjoint f.support g.support
\u22a2 _root_.Disjoint f.cycleFactorsFinset g.cycleFactorsFinset
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f g : Perm α
h : _root_.Disjoint f.support g.support
\u22a2 ∀ ⦃a : Perm α⦄, a ∈ f.cycleFactorsFinset → a ∉ g.cycleFactorsFinset
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f g : Perm α
h : _root_.Disjoint f.support g.support
x : Perm α
hx : x ∈ f.cycleFactorsFinset
hy : x ∈ g.cycleFactorsFinset
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f g : Perm α
h : _root_.Disjoint f.support g.support
x : Perm α
hx : x.IsCycle ∧ ∀ (a : α), x a ≠ a → x a = f a
hy : x.IsCycle ∧ ∀ (a : α), x a ≠ a → x a = g a
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f g : Perm α
h : _root_.Disjoint f.support g.support
x : Perm α
hf : ∀ (a : α), x a ≠ a → x a = f a
a : α
ha : x a ≠ a
hg : ∀ (a : α), x a ≠ a → x a = g a
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f g : Perm α
h : _root_.Disjoint f.support g.support
x : Perm α
hf : ∀ (a : α), x a ≠ a → x a = f a
a : α
ha : x a ≠ a
hg : ∀ (a : α), x a ≠ a → x a = g a
this : a ∈ ⊥
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s : Finmap β
x : (i : α) × β i
\u22a2 (x ∈ s.keys.sigma fun i => (lookup i s).toFinset) ↔ x ∈ { val := s.entries, nodup := ⋯ }
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s : Finmap β
x : (i : α) × β i
this : x ∈ s.entries → x.fst ∈ s.keys
\u22a2 (x ∈ s.keys.sigma fun i => (lookup i s).toFinset) ↔ x ∈ { val := s.entries, nodup := ⋯ }
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
\u22a2 UniqueDiffWithinAt 𝕜 univ x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
\u22a2 Dense ↑(Submodule.span 𝕜 univ) ∧ x ∈ closure univ
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
S : Set (Set α)
\u22a2 lowerClosure (⋃₀ S) = ⨆ s ∈ S, lowerClosure s
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z w : ℍ
r R : ℝ
h : z.re = w.re
h₀ : 0 < z.im / w.im
\u22a2 dist z w = dist (log z.im) (log w.im)
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z w : ℍ
r R : ℝ
h : z.re = w.re
h₀ : 0 < z.im / w.im
\u22a2 dist z.im (w.im * ((z.im / w.im + w.im / z.im) / 2)) = w.im * |(z.im / w.im - w.im / z.im) / 2|
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z w : ℍ
r R : ℝ
h : z.re = w.re
h₀ : 0 < z.im / w.im
\u22a2 dist z.im (w.im * ((z.im / w.im + w.im / z.im) / 2)) = |w.im| * |(z.im / w.im - w.im / z.im) / 2|
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z w : ℍ
r R : ℝ
h : z.re = w.re
h₀ : 0 < z.im / w.im
\u22a2 |z.im - w.im * ((z.im / w.im + w.im / z.im) / 2)| = |w.im * ((z.im / w.im - w.im / z.im) / 2)|
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
v : V
w : W
\u22a2 |(L v) w| ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) w‖ ≤ (2 * π) ^ n * (|(L v) w| ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) w‖)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
v : V
w : W
\u22a2 1 ≤ (2 * π) ^ n
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
v : V
w : W
\u22a2 1 ≤ 2 * π
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
v : V
w : W
\u22a2 (2 * π) ^ n * (|(L v) w| ^ n * ‖iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) w‖) = ‖(fourierPowSMulRight (-L.flip) (iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f)) w n) fun x => v‖
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
v : V
w : W
\u22a2 ((2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ) * ‖v‖ ^ n = ‖v‖ ^ n * (2 * π * ‖L‖) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
v : V
w : W
\u22a2 (2 ^ k * π ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ) * ‖v‖ ^ n = ‖v‖ ^ n * (2 ^ k * π ^ k * ‖L‖ ^ k) * (2 * ↑k + 2) ^ n * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Equalizers.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y : C
f✝ g : X✝ ⟶ Y
X : C
f : X ⟶ X
hf : f ≫ f = f
c : Fork (𝟙 X) f
i : IsLimit c
\u22a2 c.ι ≫ i.lift (Fork.ofι f ⋯) = 𝟙 (((Functor.const WalkingParallelPair).obj c.pt).obj zero)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Equalizers.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y : C
f✝ g : X✝ ⟶ Y
X : C
f : X ⟶ X
hf : f ≫ f = f
c : Fork (𝟙 X) f
i : IsLimit c
this : Mono c.ι := mono_of_isLimit_fork i
\u22a2 c.ι ≫ i.lift (Fork.ofι f ⋯) = 𝟙 (((Functor.const WalkingParallelPair).obj c.pt).obj zero)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Equalizers.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y : C
f✝ g : X✝ ⟶ Y
X : C
f : X ⟶ X
hf : f ≫ f = f
c : Fork (𝟙 X) f
i : IsLimit c
this : Mono c.ι := mono_of_isLimit_fork i
\u22a2 c.ι ≫ 𝟙 X = c.ι
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableClosure.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
\u22a2 insepDegree F ↥⊥ = 1
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableClosure.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
this : Cardinal.lift.{u, v} (insepDegree F ↥⊥) = Cardinal.lift.{v, u} (insepDegree F F)
\u22a2 insepDegree F ↥⊥ = 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
a✝ : Nontrivial R
\u22a2 cyclotomic n R = (X ^ n - 1) /ₘ ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
a✝ : Nontrivial R
\u22a2 cyclotomic n R = (cyclotomic n R * ∏ x ∈ n.properDivisors, cyclotomic x R) /ₘ ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
a✝ : Nontrivial R
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).Monic
\u22a2 cyclotomic n R = (cyclotomic n R * ∏ x ∈ n.properDivisors, cyclotomic x R) /ₘ ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
a✝ : Nontrivial R
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).Monic
\u22a2 0 + (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R) * cyclotomic n R = cyclotomic n R * ∏ x ∈ n.properDivisors, cyclotomic x R ∧ degree 0 < (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).degree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
a✝ : Nontrivial R
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).Monic
\u22a2 (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R) * cyclotomic n R = cyclotomic n R * ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R ∧ ⊥ < (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).degree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
a✝ : Nontrivial R
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).Monic
\u22a2 ⊥ < (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).degree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
a✝ : Nontrivial R
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).Monic
\u22a2 (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).degree ≠ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
a✝ : Nontrivial R
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).Monic
h : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).degree = ⊥
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
h : G.Adj u v
p : G.Walk v w
\u22a2 (cons h p).IsPath ↔ p.IsPath ∧ u ∉ p.support
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
i j : ℤ
\u22a2 i.gcd j = 0 ↔ i = 0 ∧ j = 0
-- Mathlib/Order/Filter/Archimedean.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atBot
\u22a2 Tendsto (fun x => f x * r) l atBot
-- Mathlib/Order/Filter/Archimedean.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Tendsto (fun x => -f x) l atTop
\u22a2 Tendsto (fun x => -f x * r) l atTop
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Ordered.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a a' b b' : E
r r' : k
h : r < 1
\u22a2 (lineMap a b) r < b ↔ (lineMap a b) r < (lineMap a b) 1
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
s : ↥S
\u22a2 s • mk' f m s = f m
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atTop
\u22a2 Tendsto (fun x => r * f x) l atTop ↔ 0 < r