ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
u v : R
\u22a2 u ^ 2 * P x * (v ^ 2 * Q x) ^ 2 * (u * P z) ^ 2 - 2 * (u ^ 3 * P y) * (v ^ 3 * Q y) * (u * P z) * (v * Q z) + (u ^ 2 * P x) ^ 2 * (v ^ 2 * Q x) * (v * Q z) ^ 2 - W'.a₁ * (u ^ 2 * P x) * (v ^ 3 * Q y) * (u * P z) ^ 2 * (v * Q z) - W'.a₁ * (u ^ 3 * P y) * (v ^ 2 * Q x) * (u * P z) * (v * Q z) ^ 2 + 2 * W'.a₂ * (u ^ 2 * P x) * (v ^ 2 * Q x) * (u * P z) ^ 2 * (v * Q z) ^ 2 - W'.a₃ * (v ^ 3 * Q y) * (u * P z) ^ 4 * (v * Q z) - W'.a₃ * (u ^ 3 * P y) * (u * P z) * (v * Q z) ^ 4 + W'.a₄ * (v ^ 2 * Q x) * (u * P z) ^ 4 * (v * Q z) ^ 2 + W'.a₄ * (u ^ 2 * P x) * (u * P z) ^ 2 * (v * Q z) ^ 4 + 2 * W'.a₆ * (u * P z) ^ 4 * (v * Q z) ^ 4 = ((u * v) ^ 2) ^ 2 * (P x * Q x ^ 2 * P z ^ 2 - 2 * P y * Q y * P z * Q z + P x ^ 2 * Q x * Q z ^ 2 - W'.a₁ * P x * Q y * P z ^ 2 * Q z - W'.a₁ * P y * Q x * P z * Q z ^ 2 + 2 * W'.a₂ * P x * Q x * P z ^ 2 * Q z ^ 2 - W'.a₃ * Q y * P z ^ 4 * Q z - W'.a₃ * P y * P z * Q z ^ 4 + W'.a₄ * Q x * P z ^ 4 * Q z ^ 2 + W'.a₄ * P x * P z ^ 2 * Q z ^ 4 + 2 * W'.a₆ * P z ^ 4 * Q z ^ 4)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x✝¹ y : E
r✝ : ℝ
p : Seminorm 𝕜 E
c : ℝ≥0
hc : 0 < c
r : ℝ
x x✝ : E
\u22a2 x✝ ∈ (c • p).closedBall x r ↔ x✝ ∈ p.closedBall x (r / ↑c)
-- Mathlib/Data/Nat/PrimeFin.lean
a b k m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
a✝ : ℕ
\u22a2 a✝ ∈ (a * b).primeFactors ↔ a✝ ∈ a.primeFactors ∪ b.primeFactors
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.natDegree < n
\u22a2 p.content = (Finset.range n).gcd p.coeff
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.natDegree < n
\u22a2 p.content ∣ (Finset.range n).gcd p.coeff
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.natDegree < n
\u22a2 (Finset.range n).gcd p.coeff ∣ p.content
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f σ : Perm α
s : Finset (Perm α)
\u22a2 σ.cycleFactorsFinset = s ↔ (∀ f ∈ s, f.IsCycle) ∧ ∃ (h : (↑s).Pairwise Disjoint), s.noncommProd id ⋯ = σ
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f σ : Perm α
l : List (Perm α)
hl : l.Nodup
\u22a2 σ.cycleFactorsFinset = l.toFinset ↔ (∀ f ∈ l.toFinset, f.IsCycle) ∧ ∃ (h : (↑l.toFinset).Pairwise Disjoint), l.toFinset.noncommProd id ⋯ = σ
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t K : Set G
hK : IsCompact K
\u22a2 K * closure {1} = closure K
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t K : Set G
hK : IsCompact K
\u22a2 K * closure {1} ⊆ closure K
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t K : Set G
hK : IsCompact K
\u22a2 closure K ⊆ K * closure {1}
-- Mathlib/Data/Setoid/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r s : Setoid α
\u22a2 r ⊔ s = EqvGen.Setoid fun x y => r.Rel x y ∨ s.Rel x y
-- Mathlib/Data/Setoid/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r s : Setoid α
\u22a2 r ⊔ s = sInf {s_1 | ∀ ⦃x y : α⦄, r.Rel x y ∨ s.Rel x y → s_1.Rel x y}
-- Mathlib/Data/Setoid/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r s : Setoid α
\u22a2 {x | r ≤ x ∧ s ≤ x} = {s_1 | ∀ ⦃x y : α⦄, r.Rel x y ∨ s.Rel x y → s_1.Rel x y}
-- Mathlib/Order/SuccPred/LinearLocallyFinite.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
n : ℕ
\u22a2 -↑n ≤ toZ i0 (pred^[n] i0)
-- Mathlib/Order/SuccPred/LinearLocallyFinite.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
n : ℕ
h : i0 ≤ pred^[n] i0
\u22a2 -↑n ≤ toZ i0 (pred^[n] i0)
-- Mathlib/Order/SuccPred/LinearLocallyFinite.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
n : ℕ
h : pred^[n] i0 < i0
\u22a2 -↑n ≤ toZ i0 (pred^[n] i0)
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
b : ↥B
\u22a2 of ↑b * t = t * of ↑(φ.symm b)
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
b : ↥B
\u22a2 of ↑b * t = of ↑(φ (φ.symm b)) * t
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t u : Multiset α
\u22a2 (s + t).Disjoint u ↔ s.Disjoint u ∧ t.Disjoint u
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h1 : (↑s1).Nonempty
h2 : (↑s2).Nonempty
hd : s1.direction ⊔ s2.direction = ⊤
\u22a2 (↑s1 ∩ ↑s2).Nonempty
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h1 : (↑s1).Nonempty
h2 : (↑s2).Nonempty
hd : s1.direction ⊔ s2.direction = ⊤
h : ¬(↑s1 ∩ ↑s2).Nonempty
\u22a2 False
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h1 : (↑s1).Nonempty
h2 : (↑s2).Nonempty
hd : s1.direction ⊔ s2.direction = ⊤
h : ↑s1 ∩ ↑s2 = ∅
\u22a2 False
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h1 : (↑s1).Nonempty
h2 : (↑s2).Nonempty
hd : s1.direction ⊔ s2.direction = ⊤
h : ↑s1 ∩ ↑s2 = ∅
hlt : s1.direction ⊔ s2.direction < (s1 ⊔ s2).direction
\u22a2 False
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h1 : (↑s1).Nonempty
h2 : (↑s2).Nonempty
hd : s1.direction ⊔ s2.direction = ⊤
h : ↑s1 ∩ ↑s2 = ∅
hlt : ⊤ < (s1 ⊔ s2).direction
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β
f : α → α
hf : map f μ = μ
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
\u22a2 μ (f ⁻¹' s) = μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Embedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
e : α ≃ᵐ β
s : Set β
\u22a2 ⇑e '' (⇑e ⁻¹' s) = s
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
inst✝¹ : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
i : (a : ι) → a ∈ s → κ
j : (a : κ) → a ∈ t → ι
hi : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t
hj : ∀ (a : κ) (ha : a ∈ t), j a ha ∈ s
left_inv : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), j (i a ha) ⋯ = a
right_inv : ∀ (a : κ) (ha : a ∈ t), i (j a ha) ⋯ = a
h : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), f a = g (i a ha)
\u22a2 ∏ x ∈ s, f x = ∏ x ∈ t, g x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
inst✝¹ : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
i : (a : ι) → a ∈ s → κ
j : (a : κ) → a ∈ t → ι
hi : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t
hj : ∀ (a : κ) (ha : a ∈ t), j a ha ∈ s
left_inv : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), j (i a ha) ⋯ = a
right_inv : ∀ (a : κ) (ha : a ∈ t), i (j a ha) ⋯ = a
h : ∀ (a : ι) (ha : a ∈ s), f a = g (i a ha)
a1 : ι
h1 : a1 ∈ s
a2 : ι
h2 : a2 ∈ s
eq : i a1 h1 = i a2 h2
\u22a2 a1 = a2
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Limits.lean
R : Type u
inst✝⁶ : Ring R
J : Type v
inst✝⁵ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : DecidableEq ι
x✝¹ x✝ : ι
hij : x✝¹ ⟶ x✝
\u22a2 (directLimitDiagram G f).map hij ≫ DirectLimit.of R ι G f x✝ = DirectLimit.of R ι G f x✝¹ ≫ ((Functor.const ι).obj (of R (DirectLimit G f))).map hij
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Limits.lean
R : Type u
inst✝⁶ : Ring R
J : Type v
inst✝⁵ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : DecidableEq ι
x✝¹ x✝ : ι
hij : x✝¹ ⟶ x✝
\u22a2 ∀ (x : ↑((directLimitDiagram G f).obj x✝¹)), ((directLimitDiagram G f).map hij ≫ DirectLimit.of R ι G f x✝) x = (DirectLimit.of R ι G f x✝¹ ≫ ((Functor.const ι).obj (of R (DirectLimit G f))).map hij) x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Limits.lean
R : Type u
inst✝⁶ : Ring R
J : Type v
inst✝⁵ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : DecidableEq ι
x✝¹ x✝ : ι
hij : x✝¹ ⟶ x✝
x : ↑((directLimitDiagram G f).obj x✝¹)
\u22a2 ((directLimitDiagram G f).map hij ≫ DirectLimit.of R ι G f x✝) x = (DirectLimit.of R ι G f x✝¹ ≫ ((Functor.const ι).obj (of R (DirectLimit G f))).map hij) x
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α₁ : Type ?u.41768
β₁ : Type ?u.41767
β₂ : Type ?u.41769
e : α₁ → β₁ ≃ β₂
α₂ : Type ?u.41770
e₁ : α₁ ≃ α₂
e₂ : α₁ → β₁ ≃ β₂
x₁ : α₁
y₁ : β₁
\u22a2 (fun y => (e₁.symm y.1, (e₂ (e₁.symm y.1)).symm y.2)) ((fun x => (e₁ x.1, (e₂ x.1) x.2)) (x₁, y₁)) = (x₁, y₁)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α₁ : Type ?u.41768
β₁ : Type ?u.41767
β₂ : Type ?u.41769
e : α₁ → β₁ ≃ β₂
α₂ : Type ?u.41770
e₁ : α₁ ≃ α₂
e₂ : α₁ → β₁ ≃ β₂
x₁ : α₂
y₁ : β₂
\u22a2 (fun x => (e₁ x.1, (e₂ x.1) x.2)) ((fun y => (e₁.symm y.1, (e₂ (e₁.symm y.1)).symm y.2)) (x₁, y₁)) = (x₁, y₁)
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : Nontrivial R
x : R
\u22a2 (aeval ((algebraMap R A) x)) (X - C x) = 0
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x x' : M
h : x' ∈ (extChartAt I x).source
ht : t ∈ 𝓝 x'
\u22a2 x' ∈ (chartAt H x).source
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
hf : f p.leadingCoeff ≠ 0
\u22a2 (map f p).coeff (map f p).natDegree = f (p.coeff p.natDegree)
-- Mathlib/Order/Filter/ModEq.lean
\u22a2 ∃ᶠ (m : ℕ) in atTop, Even m
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
inst✝ : Semiring T
h : Commute (f a) x
\u22a2 eval₂ f x (p * C a) = eval₂ f x p * f a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
inst✝ : Semiring T
h : Commute (f a) x
\u22a2 ∀ (k : ℕ), Commute (f ((C a).coeff k)) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
g : α → F
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖flip b (g x) (f x)‖₊ ≤ ‖g x‖₊ * ‖f x‖₊
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f✝ : Dual K V₁
hf : f✝ ≠ 0
f g : Dual K V₁
x : V₁
h : LinearMap.ker f = LinearMap.ker g
h' : f x = g x
hx : f x ≠ 0
p : Submodule K V₁ := Submodule.span K {x}
hp : p ≠ ⊥
\u22a2 f = g
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f✝ : Dual K V₁
hf : f✝ ≠ 0
f g : Dual K V₁
x : V₁
h : LinearMap.ker f = LinearMap.ker g
h' : f x = g x
hx : f x ≠ 0
p : Submodule K V₁ := Submodule.span K {x}
hp : p ≠ ⊥
hpf : Disjoint (LinearMap.ker f) p
\u22a2 f = g
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f✝ : Dual K V₁
hf✝ : f✝ ≠ 0
f g : Dual K V₁
x : V₁
h : LinearMap.ker f = LinearMap.ker g
h' : f x = g x
hx : f x ≠ 0
p : Submodule K V₁ := Submodule.span K {x}
hp : p ≠ ⊥
hpf : Disjoint (LinearMap.ker f) p
hf : f ≠ 0
v : V₁
\u22a2 f v = g v
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f✝ : Dual K V₁
hf✝ : f✝ ≠ 0
f g : Dual K V₁
x : V₁
h : LinearMap.ker f = LinearMap.ker g
h' : f x = g x
hx : f x ≠ 0
p : Submodule K V₁ := Submodule.span K {x}
hp : p ≠ ⊥
hpf : Disjoint (LinearMap.ker f) p
hf : f ≠ 0
y : V₁
hy : y ∈ LinearMap.ker f
z : V₁
hz : z ∈ p
\u22a2 f (y + z) = g (y + z)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f✝ : Dual K V₁
hf✝ : f✝ ≠ 0
f g : Dual K V₁
x : V₁
h : LinearMap.ker f = LinearMap.ker g
h' : f x = g x
hx : f x ≠ 0
p : Submodule K V₁ := Submodule.span K {x}
hp : p ≠ ⊥
hpf : Disjoint (LinearMap.ker f) p
hf : f ≠ 0
y : V₁
hy : y ∈ LinearMap.ker f
z : V₁
hz : z ∈ p
hy' : g y = 0
\u22a2 f (y + z) = g (y + z)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f✝ : Dual K V₁
hf✝ : f✝ ≠ 0
f g : Dual K V₁
x : V₁
h : LinearMap.ker f = LinearMap.ker g
h' : f x = g x
hx : f x ≠ 0
p : Submodule K V₁ := Submodule.span K {x}
hp : p ≠ ⊥
hpf : Disjoint (LinearMap.ker f) p
hf : f ≠ 0
y z : V₁
hz : z ∈ p
hy' : g y = 0
hy : f y = 0
\u22a2 f (y + z) = g (y + z)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f✝ : Dual K V₁
hf✝ : f✝ ≠ 0
f g : Dual K V₁
x : V₁
h : LinearMap.ker f = LinearMap.ker g
h' : f x = g x
hx : f x ≠ 0
p : Submodule K V₁ := Submodule.span K {x}
hp : p ≠ ⊥
hpf : Disjoint (LinearMap.ker f) p
hf : f ≠ 0
y : V₁
hy' : g y = 0
hy : f y = 0
t : K
hz : t • x ∈ p
\u22a2 f (y + t • x) = g (y + t • x)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Classes/Order.lean
α✝ : Sort u_1
cmp : α✝ → α✝ → Ordering
x y : α✝
inst✝ : OrientedCmp cmp
\u22a2 cmp x y = Ordering.eq ↔ cmp y x = Ordering.eq
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Classes/Order.lean
α✝ : Sort u_1
cmp : α✝ → α✝ → Ordering
x y : α✝
inst✝ : OrientedCmp cmp
\u22a2 cmp y x = Ordering.eq.swap ↔ cmp y x = Ordering.eq
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
l : Filter Y
inst✝ : l.NeBot
c d : X
\u22a2 Tendsto (fun x => c) l (𝓝 d) ↔ c = d
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSpace H
inst✝¹ : DivInvMonoid G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G
\u22a2 Measure.map (fun x => x / g) μ = μ
-- Mathlib/Data/Multiset/Lattice.lean
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
\u22a2 (ndinsert a s).sup = a ⊔ s.sup
-- Mathlib/Data/Multiset/Lattice.lean
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
\u22a2 ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ ndinsert a s ↔ a_1 ∈ a ::ₘ s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : Field 𝕜
inst✝¹⁷ : CharZero 𝕜
inst✝¹⁶ : Ring R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Algebra 𝕜 R
inst✝¹³ : Module 𝕜 M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁹ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁸ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁷ : TopologicalSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : TopologicalRing R
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : T2Space R
inst✝ : T2Space M
x : R
\u22a2 exp 𝕜 (inl x) = inl (exp 𝕜 x)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : Field 𝕜
inst✝¹⁷ : CharZero 𝕜
inst✝¹⁶ : Ring R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Algebra 𝕜 R
inst✝¹³ : Module 𝕜 M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁹ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁸ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁷ : TopologicalSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : TopologicalRing R
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : T2Space R
inst✝ : T2Space M
x : R
\u22a2 MulOpposite.op (inl x).fst • (inl x).snd = (inl x).fst • (inl x).snd
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightNhds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
\u22a2 {x | 𝓝[>] x = ⊥}.Countable
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightNhds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
\u22a2 ({a | IsTop a} ∪ {a | ∃ b, a ⋖ b}).Countable
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
x y : PGame
L : x.LeftMoves ≃ y.LeftMoves
R : x.RightMoves ≃ y.RightMoves
hl : ∀ (i : x.LeftMoves), ⟦x.moveLeft i⟧ = ⟦y.moveLeft (L i)⟧
hr : ∀ (j : x.RightMoves), ⟦x.moveRight j⟧ = ⟦y.moveRight (R j)⟧
\u22a2 ⟦x⟧ = ⟦y⟧
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℤ
hn : n ≠ 0
\u22a2 0 < (W.Φ n).natDegree
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
\u22a2 OpenEmbedding (e.source.restrict ↑e)
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
V : Set ↑e.source
hV : IsOpen V
\u22a2 IsOpen (e.source.restrict ↑e '' V)
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
V : Set ↑e.source
hV : IsOpen V
\u22a2 IsOpen (↑e '' (Subtype.val '' V))
-- Mathlib/Analysis/Complex/ReImTopology.lean
a : ℝ
\u22a2 closure {z | z.im < a} = {z | z.im ≤ a}
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
s : Set α
ho : Ioi a ⊆ s
hc : s ⊆ Ici a
h : a ∈ s
\u22a2 Ici a ⊆ s
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
s : Set α
ho : Ioi a ⊆ s
hc : s ⊆ Ici a
h : a ∈ s
\u22a2 Ioi a ⊆ s ∧ {a} ⊆ s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → β → α
S : Set β
\u22a2 (∀ U ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (xy : ↑S × ↑S) in 𝓤 ↑S, ∀ (i : ι), ((S.restrict ∘ F) i xy.1, (S.restrict ∘ F) i xy.2) ∈ U) ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (xy : β × β) in 𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S), ∀ (i : ι), (F i xy.1, F i xy.2) ∈ U
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → β → α
S : Set β
\u22a2 (∀ U ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (xy : ↑S × ↑S) in 𝓤 ↑S, ∀ (i : ι), ((S.restrict ∘ F) i xy.1, (S.restrict ∘ F) i xy.2) ∈ U) ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (xy : β × β) in map (Prod.map Subtype.val Subtype.val) (Filter.comap (Prod.map Subtype.val Subtype.val) (𝓤 β)), ∀ (i : ι), (F i xy.1, F i xy.2) ∈ U
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/RegularTopology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preregular C
X : C
S : Sieve X
Y : C
π : Y ⟶ X
h : EffectiveEpi π ∧ S.arrows π
\u22a2 S ∈ (regularTopology C).sieves X
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/RegularTopology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preregular C
X : C
S : Sieve X
Y : C
π : Y ⟶ X
h : EffectiveEpi π ∧ S.arrows π
h_le : Sieve.generate (Presieve.ofArrows (fun x => Y) fun x => π) ≤ S
\u22a2 S ∈ (regularTopology C).sieves X
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/RegularTopology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preregular C
X : C
S : Sieve X
Y : C
π : Y ⟶ X
h : EffectiveEpi π ∧ S.arrows π
h_le : Sieve.generate (Presieve.ofArrows (fun x => Y) fun x => π) ≤ S
\u22a2 (regularCoverage C).Saturate X (Sieve.generate (Presieve.ofArrows (fun x => Y) fun x => π))
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
hp : p.IsPath
hp' : ¬p.Nil
\u22a2 (p.tail hp').IsPath