ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K✝ : ℝ≥0
f : α → β
x✝ y✝ : α
r K : ℝ
h : ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) ≤ K * dist x y
x y : α
\u22a2 K ≤ ↑K.toNNReal
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Array/Lemmas.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
as : Array α
bs : Array β
i : Nat
cs : Array γ
hia : i ≤ as.size
hib : i ≤ bs.size
h : ¬(i = as.size ∨ i = bs.size)
\u22a2 (if h : i < as.size then let a := as[i]; if h : i < bs.size then let b := bs[i]; zipWithAux f as bs (i + 1) (cs.push (f a b)) else cs else cs).data = cs.data ++ List.zipWith f (List.drop i as.data) (List.drop i bs.data)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
\u22a2 IsCompact s ↔ ∀ (f : Ultrafilter X), s ∈ f → ∃ x ∈ s, ↑f ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E✝
inst✝⁵ : HasOrthogonalProjection K✝
E : Type u_4
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E ≃ₗᵢ[𝕜] E'
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
x : E'
\u22a2 (reflection (Submodule.map (↑f.toLinearEquiv) K)) x = f ((reflection K) (f.symm x))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Fintype ι
x✝ : ι → R
\u22a2 (MultilinearMap.mkPiRing R ι 0) x✝ = 0 x✝
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
\u22a2 ↑↑0 = 0
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n : ℕ
\u22a2 ↑↑(n + 1) = n + 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
f₁ f₂ : X ⟶ Y
\u22a2 L.map (f₁ + f₂) = L.map f₁ + L.map f₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
f₁ f₂ : X ⟶ Y
\u22a2 L.map (f₁ + f₂) = add W (Iso.refl (L.obj X)) (Iso.refl (L.obj Y)) (L.map f₁) (L.map f₂)
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
S : Type u_2
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f
H : IsNoetherianRing R
\u22a2 IsNoetherianRing S
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
S : Type u_2
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f
H : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
\u22a2 WellFounded fun x x_1 => x > x_1
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
\u22a2 J₁ ∈ π.restrict J ↔ ∃ J' ∈ π, ↑J₁ = ↑J ⊓ ↑J'
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.22533, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ z₃ : W.LeftFraction X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
Z₄ : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z₄
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z₄
hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
Z₅ : C
u₂ : z₂.Y' ⟶ Z₅
u₃ : z₃.Y' ⟶ Z₅
hsu : z₂.s ≫ u₂ = z₃.s ≫ u₃
hfu : z₂.f ≫ u₂ = z₃.f ≫ u₃
hu : W (z₂.s ≫ u₂)
\u22a2 LeftFractionRel z₁ z₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.22533, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ z₃ : W.LeftFraction X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
Z₄ : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z₄
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z₄
hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
Z₅ : C
u₂ : z₂.Y' ⟶ Z₅
u₃ : z₃.Y' ⟶ Z₅
hsu : z₂.s ≫ u₂ = z₃.s ≫ u₃
hfu : z₂.f ≫ u₂ = z₃.f ≫ u₃
hu : W (z₂.s ≫ u₂)
Y'✝ : C
v₄ : Z₄ ⟶ Y'✝
v₅ : Z₅ ⟶ Y'✝
hv₅ : W v₅
fac : (RightFraction.mk (z₁.s ≫ t₁) ht (z₃.s ≫ u₃)).f ≫ (LeftFraction.mk v₄ v₅ hv₅).s = (RightFraction.mk (z₁.s ≫ t₁) ht (z₃.s ≫ u₃)).s ≫ (LeftFraction.mk v₄ v₅ hv₅).f
\u22a2 LeftFractionRel z₁ z₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.22533, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ z₃ : W.LeftFraction X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
Z₄ : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z₄
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z₄
hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
Z₅ : C
u₂ : z₂.Y' ⟶ Z₅
u₃ : z₃.Y' ⟶ Z₅
hsu : z₂.s ≫ u₂ = z₃.s ≫ u₃
hfu : z₂.f ≫ u₂ = z₃.f ≫ u₃
hu : W (z₂.s ≫ u₂)
Y'✝ : C
v₄ : Z₄ ⟶ Y'✝
v₅ : Z₅ ⟶ Y'✝
hv₅ : W v₅
fac : z₃.s ≫ u₃ ≫ v₅ = z₁.s ≫ t₁ ≫ v₄
\u22a2 LeftFractionRel z₁ z₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.22533, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ z₃ : W.LeftFraction X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
Z₄ : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z₄
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z₄
hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
Z₅ : C
u₂ : z₂.Y' ⟶ Z₅
u₃ : z₃.Y' ⟶ Z₅
hsu : z₂.s ≫ u₂ = z₃.s ≫ u₃
hfu : z₂.f ≫ u₂ = z₃.f ≫ u₃
hu : W (z₂.s ≫ u₂)
Y'✝ : C
v₄ : Z₄ ⟶ Y'✝
v₅ : Z₅ ⟶ Y'✝
hv₅ : W v₅
fac : z₃.s ≫ u₃ ≫ v₅ = z₁.s ≫ t₁ ≫ v₄
eq : z₂.s ≫ u₂ ≫ v₅ = z₂.s ≫ t₂ ≫ v₄
\u22a2 LeftFractionRel z₁ z₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.22533, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ z₃ : W.LeftFraction X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
Z₄ : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z₄
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z₄
hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
Z₅ : C
u₂ : z₂.Y' ⟶ Z₅
u₃ : z₃.Y' ⟶ Z₅
hsu : z₂.s ≫ u₂ = z₃.s ≫ u₃
hfu : z₂.f ≫ u₂ = z₃.f ≫ u₃
hu : W (z₂.s ≫ u₂)
Y'✝ : C
v₄ : Z₄ ⟶ Y'✝
v₅ : Z₅ ⟶ Y'✝
hv₅ : W v₅
fac : z₃.s ≫ u₃ ≫ v₅ = z₁.s ≫ t₁ ≫ v₄
eq : z₂.s ≫ u₂ ≫ v₅ = z₂.s ≫ t₂ ≫ v₄
Z₇ : C
w : Y'✝ ⟶ Z₇
hw : W w
fac' : (u₂ ≫ v₅) ≫ w = (t₂ ≫ v₄) ≫ w
\u22a2 LeftFractionRel z₁ z₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.22533, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ z₃ : W.LeftFraction X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
Z₄ : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z₄
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z₄
hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
Z₅ : C
u₂ : z₂.Y' ⟶ Z₅
u₃ : z₃.Y' ⟶ Z₅
hsu : z₂.s ≫ u₂ = z₃.s ≫ u₃
hfu : z₂.f ≫ u₂ = z₃.f ≫ u₃
hu : W (z₂.s ≫ u₂)
Y'✝ : C
v₄ : Z₄ ⟶ Y'✝
v₅ : Z₅ ⟶ Y'✝
hv₅ : W v₅
fac : z₃.s ≫ u₃ ≫ v₅ = z₁.s ≫ t₁ ≫ v₄
eq : z₂.s ≫ u₂ ≫ v₅ = z₂.s ≫ t₂ ≫ v₄
Z₇ : C
w : Y'✝ ⟶ Z₇
hw : W w
fac' : u₂ ≫ v₅ ≫ w = t₂ ≫ v₄ ≫ w
\u22a2 LeftFractionRel z₁ z₃
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
\u22a2 min a b = if b ≤ a then b else a
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
\u22a2 (if a ≤ b then a else b) = if b ≤ a then b else a
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
lt : a < b
\u22a2 (if a ≤ b then a else b) = if b ≤ a then b else a
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
eq : a = b
\u22a2 (if a ≤ b then a else b) = if b ≤ a then b else a
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
gt : b < a
\u22a2 (if a ≤ b then a else b) = if b ≤ a then b else a
-- Mathlib/Data/Finset/Update.lean
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
x : (i : ι) → π i
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
hst : Disjoint s t
y : (i : { x // x ∈ s }) → π ↑i
z : (i : { x // x ∈ t }) → π ↑i
e : { x // x ∈ s } ⊕ { x // x ∈ t } ≃ { x // x ∈ s ∪ t } := Finset.union s t hst
i : ι
\u22a2 updateFinset (updateFinset x s y) t z i = updateFinset x (s ∪ t) ((piFinsetUnion π hst) (y, z)) i
-- Mathlib/Data/Finset/Update.lean
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
x : (i : ι) → π i
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
hst : Disjoint s t
y : (i : { x // x ∈ s }) → π ↑i
z : (i : { x // x ∈ t }) → π ↑i
e : { x // x ∈ s } ⊕ { x // x ∈ t } ≃ { x // x ∈ s ∪ t } := Finset.union s t hst
i : ι
his : i ∈ s
hit : i ∈ t
\u22a2 z ⟨i, ⋯⟩ = (piFinsetUnion π hst) (y, z) ⟨i, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/Finset/Update.lean
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
x : (i : ι) → π i
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
hst : Disjoint s t
y : (i : { x // x ∈ s }) → π ↑i
z : (i : { x // x ∈ t }) → π ↑i
e : { x // x ∈ s } ⊕ { x // x ∈ t } ≃ { x // x ∈ s ∪ t } := Finset.union s t hst
i : ι
his : i ∈ s
hit : i ∉ t
\u22a2 y ⟨i, ⋯⟩ = (piFinsetUnion π hst) (y, z) ⟨i, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/Finset/Update.lean
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
x : (i : ι) → π i
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
hst : Disjoint s t
y : (i : { x // x ∈ s }) → π ↑i
z : (i : { x // x ∈ t }) → π ↑i
e : { x // x ∈ s } ⊕ { x // x ∈ t } ≃ { x // x ∈ s ∪ t } := Finset.union s t hst
i : ι
his : i ∉ s
hit : i ∈ t
\u22a2 z ⟨i, ⋯⟩ = (piFinsetUnion π hst) (y, z) ⟨i, ⋯⟩
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/AdicTopology.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
U : Set R
\u22a2 U ∈ 𝓝 0 ↔ ∃ i, True ∧ ↑(I ^ i) ⊆ U
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/AdicTopology.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
U : Set R
\u22a2 (∃ i ∈ RingFilterBasis.toAddGroupFilterBasis, id i ⊆ U) ↔ ∃ i, True ∧ ↑(I ^ i) ⊆ U
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
\u22a2 pullbackConeOfLeftLift f g s ≫ (pullbackConeOfLeft f g).fst = s.fst
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
\u22a2 (pullbackConeOfLeftLift f g s ≫ (pullbackConeOfLeft f g).fst).base = s.fst.base
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
x : (Opens ↑↑X)ᵒᵖ
\u22a2 ((pullbackConeOfLeftLift f g s ≫ (pullbackConeOfLeft f g).fst).c ≫ whiskerRight (eqToHom ⋯) s.pt.presheaf).app x = s.fst.c.app x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p P : R[X]
\u22a2 P ∈ R[X]⁰ ↔ ∀ (a : R), a • P = 0 → a = 0
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι✝ → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
ι : Type u_9
f : ι → A
hf : AlgebraicIndependent R f
a✝ : Nontrivial R
\u22a2 AlgebraicIndependent R Subtype.val
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
y : F
hl : DifferentiableAt 𝕜 l (f x)
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
hy : y = f x
\u22a2 deriv (l ∘ f) x = (fderiv 𝕜 l (f x)) (deriv f x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
S : Type u_10
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M'
inst✝ : SMulCommClass R S M'
f : M' →ₗ[R] M'
v : ι → M'
i : ι
\u22a2 ((b.constr S) (⇑f ∘ v)) (b i) = (f ∘ₗ (b.constr S) v) (b i)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x : ℝ≥0∞
\u22a2 x.toReal = 0 ↔ x = 0 ∨ x = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : Group G'
inst✝⁵ : Group G''
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : Group N
inst✝² : Group P
K : Subgroup G
M✝ : Type u_7
inst✝¹ : MulOneClass M✝
M : Type u_8
inst✝ : Monoid M
f : G →* M
x : G
\u22a2 x ∈ f.toHomUnits.ker ↔ x ∈ f.ker
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : x + y ≠ 0
\u22a2 min (⋯.min ⋯) (⋯.min ⋯) ≤ ⋯.min ⋯
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : x + y ≠ 0
\u22a2 ⋯.min ⋯ ≤ ⋯.min ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IndYoneda.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝¹ : Category.{v₂, v₁} I
F : Iᵒᵖ ⥤ C
inst✝ : HasColimit F
i : I
\u22a2 (limitRightOpIsoOpColimit F).hom ≫ (colimit.ι F (op i)).op = limit.π F.rightOp i
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : α → E
hf : Integrable f (μ + μ')
\u22a2 setToFun (μ + μ') T hT_add f = setToFun μ T hT f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : α → E
hf : Integrable f (μ + μ')
\u22a2 μ ≤ 1 • (μ + μ')
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : α → E
hf : Integrable f (μ + μ')
\u22a2 μ ≤ μ + μ'
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : α → E
hf : Integrable f (μ + μ')
\u22a2 μ + 0 ≤ μ + μ'
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/SmoothTransition.lean
p : ℝ[X]
x : ℝ
\u22a2 HasDerivAt (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x) (Polynomial.eval x⁻¹ (X ^ 2 * (p - derivative p)) * expNegInvGlue x) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/SmoothTransition.lean
p : ℝ[X]
x : ℝ
hx : x < 0
\u22a2 HasDerivAt (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x) (Polynomial.eval x⁻¹ (X ^ 2 * (p - derivative p)) * expNegInvGlue x) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/SmoothTransition.lean
p : ℝ[X]
\u22a2 HasDerivAt (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x) (Polynomial.eval 0⁻¹ (X ^ 2 * (p - derivative p)) * expNegInvGlue 0) 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/SmoothTransition.lean
p : ℝ[X]
x : ℝ
hx : 0 < x
\u22a2 HasDerivAt (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x) (Polynomial.eval x⁻¹ (X ^ 2 * (p - derivative p)) * expNegInvGlue x) x
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
\u22a2 toIcoDiv hp (a - c) b = toIcoDiv hp a (b + c)
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Range.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
p p'✝ : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_11
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
p' : Submodule R ↥p
\u22a2 map p.subtype p' ≤ p
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
x✝ : Iterator
h : x✝.Valid
hn : x✝.hasNext = true
\u22a2 x✝.next.Valid
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
x✝ : Iterator
h✝ : x✝.Valid
hn : x✝.hasNext = true
l r : List Char
h : ValidFor l r x✝
\u22a2 x✝.next.Valid
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
x✝ : Iterator
h✝ : x✝.Valid
hn : x✝.hasNext = true
l : List Char
c : Char
r : List Char
h : ValidFor l (c :: r) x✝
\u22a2 x✝.next.Valid
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
\u22a2 A.rank = finrank R ↥(LinearMap.range ((toLin v₂ v₁) A))
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
\u22a2 A.rank = finrank R ↥(LinearMap.range ((toLin v₂ v₁) A))
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
\u22a2 A.rank = finrank R ↥(LinearMap.range ((toLin v₂ v₁) A))
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤
\u22a2 A.rank = finrank R ↥(LinearMap.range ((toLin v₂ v₁) A))
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤
\u22a2 Submodule.map (↑e₁) (LinearMap.range A.mulVecLin) = LinearMap.range ((toLin v₂ v₁) A)
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤
\u22a2 LinearMap.range (↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin) = LinearMap.range ((toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂)
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤
\u22a2 ↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin = (toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤
\u22a2 ∀ (i : n), (↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin) ∘ₗ LinearMap.single i = ((toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂) ∘ₗ LinearMap.single i
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤
i : n
\u22a2 (↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin) ∘ₗ LinearMap.single i = ((toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂) ∘ₗ LinearMap.single i