ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0
\u22a2 constantCoeff (xInTermsOfW p R n) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0
\u22a2 ⅟↑p ^ n * ∑ x ∈ range n, constantCoeff (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0
\u22a2 ⅟↑p ^ n * ∑ x ∈ range n, constantCoeff (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x)) = ⅟↑p ^ n * 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0
\u22a2 ∑ x ∈ range n, constantCoeff (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0
\u22a2 ∀ x ∈ range n, constantCoeff (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0
m : ℕ
H : m ∈ range n
\u22a2 constantCoeff (C (↑p ^ m) * xInTermsOfW p R m ^ p ^ (n - m)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0
m : ℕ
H : m < n
\u22a2 constantCoeff (C (↑p ^ m) * xInTermsOfW p R m ^ p ^ (n - m)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0
m : ℕ
H : m < n
\u22a2 ↑p ^ m * 0 ^ p ^ (n - m) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0
m : ℕ
H : m < n
\u22a2 p ^ (n - m) ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K L : CochainComplex C ℕ
φ : K ⟶ L
inst✝¹ : HomologicalComplex.HasHomology K 0
inst✝ : HomologicalComplex.HasHomology L 0
\u22a2 HomologicalComplex.homologyMap φ 0 ≫ L.isoHomologyπ₀.inv = K.isoHomologyπ₀.inv ≫ HomologicalComplex.cyclesMap φ 0
-- Mathlib/Order/KrullDimension.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Unique α
\u22a2 krullDim α = 0
-- Mathlib/Order/KrullDimension.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Unique α
\u22a2 (LTSeries.longestOf α).length = 0
-- Mathlib/Order/KrullDimension.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Unique α
q : LTSeries α
\u22a2 q.length ≤ 0
-- Mathlib/Order/KrullDimension.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Unique α
q : LTSeries α
r : ¬q.length ≤ 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Ring/Multiset.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
m : Multiset R
l : List R
\u22a2 0 < prod (Quot.mk Setoid.r l) ↔ ∀ x ∈ Quot.mk Setoid.r l, 0 < x
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Ring/Multiset.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
m : Multiset R
l : List R
\u22a2 0 < l.prod ↔ ∀ x ∈ ↑l, 0 < x
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
\u22a2 ⋃ y ∈ range f, f ⁻¹' {y} = univ
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/ClosureSwap.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Finite α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ σ ∈ S, σ.IsSwap
inst✝ : IsPretransitive (↥(closure S)) α
\u22a2 closure S = ⊤
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
v : V
hv : v ∈ s.direction
\u22a2 s.SSameSide (v +ᵥ x) y ↔ s.SSameSide x y
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/IsPrincipal.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
\u22a2 ↑↑((associatesNonZeroDivisorsEquivIsPrincipal R) 1) = 1
-- Mathlib/Order/Birkhoff.lean
α : Type u_1
inst✝³ : SemilatticeInf α
inst✝² : OrderTop α
inst✝¹ : Finite α
s : { s // InfIrred s }
inst✝ : Fintype ↥↑s
\u22a2 infIrredUpperSet.symm s = (↑↑s).toFinset.inf id
-- Mathlib/Algebra/Homology/Single.lean
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
inst✝ : HasZeroObject V
A B : V
f : A ⟶ B
\u22a2 ((single₀ V).map f).f 0 = f
-- Mathlib/Algebra/Homology/Single.lean
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
inst✝ : HasZeroObject V
A B : V
f : A ⟶ B
\u22a2 (HomologicalComplex.singleObjXSelf (ComplexShape.down ℕ) 0 A).hom ≫ f ≫ (HomologicalComplex.singleObjXSelf (ComplexShape.down ℕ) 0 B).inv = f
-- Mathlib/Algebra/Homology/Single.lean
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
inst✝ : HasZeroObject V
A B : V
f : A ⟶ B
\u22a2 𝟙 A ≫ f ≫ 𝟙 B = f
-- Mathlib/GroupTheory/Submonoid/Center.lean
M : Type u_1
inst✝ : Monoid M
z : M
\u22a2 z ∈ center M ↔ ∀ (g : M), g * z = z * g
-- Mathlib/GroupTheory/Submonoid/Center.lean
M : Type u_1
inst✝ : Monoid M
z : M
\u22a2 z ∈ center M ↔ z ∈ Set.center M
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
h : 1 + y ≠ 0
\u22a2 x ^ (1 + y) = x * x ^ y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
X : Cᵒᵖ
x : F.obj X
property✝ : x ∈ G.obj X
\u22a2 F.map (𝟙 X) x = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
X Y Z : Cᵒᵖ
i : X ⟶ Y
j : Y ⟶ Z
x : F.obj X
property✝ : x ∈ G.obj X
\u22a2 F.map (i ≫ j) x = F.map j (F.map i x)
-- Mathlib/ModelTheory/Skolem.lean
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : L.Structure M
\u22a2 #((n : ℕ) × (L.sum L.skolem₁).Functions n) = #((n : ℕ) × L.BoundedFormula Empty (n + 1))
-- Mathlib/ModelTheory/Skolem.lean
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : L.Structure M
\u22a2 ((sum fun i => lift.{max u v, u} #(L.Functions i)) + sum fun i => lift.{u, max u v} #(L.BoundedFormula Empty (i + 1))) = sum fun i => #(L.BoundedFormula Empty (i + 1))
-- Mathlib/ModelTheory/Skolem.lean
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : L.Structure M
\u22a2 ((sum fun i => lift.{max u v, u} #(L.Functions i)) + sum fun i => #(L.BoundedFormula Empty (i + 1))) = sum fun i => #(L.BoundedFormula Empty (i + 1))
-- Mathlib/ModelTheory/Skolem.lean
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : L.Structure M
\u22a2 (sum fun i => lift.{max u v, u} #(L.Functions i)) ≤ sum fun i => #(L.BoundedFormula Empty (i + 1))
-- Mathlib/ModelTheory/Skolem.lean
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : L.Structure M
\u22a2 ℵ₀ ≤ sum fun i => #(L.BoundedFormula Empty (i + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
α : Type u_5
β : Type u_6
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : TopologicalSpace β
\u22a2 ∀ (n : ℕ), μ (support ↑(0 n)) < ⊤
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
a b : 𝕜
x y : E
\u22a2 [x-[𝕜]y] ⊆ uIcc x y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
a b : 𝕜
x y : E
h : x ≤ y
\u22a2 [x-[𝕜]y] ⊆ uIcc x y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 E
a b : 𝕜
x y : E
h : y ≤ x
\u22a2 [x-[𝕜]y] ⊆ uIcc x y
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
x : α
r : ι → ℝ
hr : Tendsto r l atTop
\u22a2 ∀ᵐ (x_1 : α) ∂μ, ∀ᶠ (i : ι) in l, x_1 ∈ Metric.closedBall x (r i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
x : α
r : ι → ℝ
hr : Tendsto r l atTop
y : α
\u22a2 ∀ᶠ (i : ι) in l, y ∈ Metric.closedBall x (r i)
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/TerminatesIffRat.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
q : ℚ
n : ℕ
\u22a2 ∀ {ifp_n : IntFractPair ℚ}, IntFractPair.stream q n = some ifp_n → ifp_n.fr.num ≤ (IntFractPair.of q).fr.num - ↑n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝ x : 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
\u22a2 iteratedDerivWithin (n + 1) f s x = derivWithin (iteratedDerivWithin n f s) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝ x : 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
\u22a2 (((↑{ toLinearEquiv := (ContinuousMultilinearMap.piFieldEquiv 𝕜 (Fin n) F).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).comp (fderivWithin 𝕜 (iteratedDerivWithin n f s) s x)) 1) (Fin.tail fun x => 1) = (fderivWithin 𝕜 (iteratedDerivWithin n f s) s x) 1
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : i ≤ j.castSucc
\u22a2 δ (i.castLT ⋯) ≫ δ j.succ = δ j ≫ δ i
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : i ≤ j.castSucc
\u22a2 δ j ≫ δ (i.castLT ⋯).castSucc = δ j ≫ δ i
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : i ≤ j.castSucc
\u22a2 i.castLT ⋯ ≤ j
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
\u22a2 μ (s ∪ t) = 0 ↔ μ s = 0 ∧ μ t = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/EuclideanDist.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
r : ℝ
h : r ≠ 0
\u22a2 closure (ball x r) = closedBall x r
-- Mathlib/ModelTheory/FinitelyGenerated.lean
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
h : FG L M
f : M →[L] N
hs : Function.Surjective ⇑f
\u22a2 FG L N
-- Mathlib/ModelTheory/FinitelyGenerated.lean
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
h : FG L M
f : M →[L] N
hs : f.range = ⊤
\u22a2 FG L N
-- Mathlib/ModelTheory/FinitelyGenerated.lean
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
h : FG L M
f : M →[L] N
hs : f.range = ⊤
\u22a2 f.range.FG
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
\u22a2 (s1 ⊓ s2).direction ≤ s1.direction ⊓ s2.direction
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
\u22a2 Submodule.span k (↑(s1 ⊓ s2) -ᵥ ↑(s1 ⊓ s2)) ≤ Submodule.span k (↑s1 -ᵥ ↑s1) ⊓ Submodule.span k (↑s2 -ᵥ ↑s2)
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
t₁ : ι → TopologicalSpace α
t₂ : TopologicalSpace β
\u22a2 Continuous f ↔ ∀ (i : ι), Continuous f
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Real.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α✝
f✝ : ℕ → α✝
a : α✝
α : Type u_3
β : Type u_4
f : β → ℝ
hf : 0 ≤ f
s : α → Set β
hs : ∀ (i : β), ∃! j, i ∈ s j
\u22a2 Summable f ↔ (∀ (j : α), Summable fun i => f ↑i) ∧ Summable fun j => ∑' (i : ↑(s j)), f ↑i
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s t : 𝕜 → 𝕜
f g : 𝕜 → E
U : Set 𝕜
hs : MeromorphicOn s U
ht : MeromorphicOn t U
hf : MeromorphicOn f U
hg : MeromorphicOn g U
h : MeromorphicOn s⁻¹ U
\u22a2 MeromorphicOn s U
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Adjunction.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_3
D₂ : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.45088, u_3} D₁
inst✝² : Category.{?u.45092, u_4} D₂
G : C₁ ⥤ C₂
F : C₂ ⥤ C₁
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
W : MorphismProperty C₁ := (MorphismProperty.isomorphisms C₂).inverseImage G
hG : W.IsInvertedBy G
\u22a2 G.IsLocalization ((MorphismProperty.isomorphisms C₂).inverseImage G)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Adjunction.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_3
D₂ : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.45088, u_3} D₁
inst✝² : Category.{?u.45092, u_4} D₂
G : C₁ ⥤ C₂
F : C₂ ⥤ C₁
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
W : MorphismProperty C₁ := (MorphismProperty.isomorphisms C₂).inverseImage G
hG : W.IsInvertedBy G
this : ∀ (X : C₁), IsIso ((whiskerRight adj.unit W.Q).app X)
\u22a2 G.IsLocalization ((MorphismProperty.isomorphisms C₂).inverseImage G)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Adjunction.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_3
D₂ : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.45088, u_3} D₁
inst✝² : Category.{?u.45092, u_4} D₂
G : C₁ ⥤ C₂
F : C₂ ⥤ C₁
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
W : MorphismProperty C₁ := (MorphismProperty.isomorphisms C₂).inverseImage G
hG : W.IsInvertedBy G
this✝ : ∀ (X : C₁), IsIso ((whiskerRight adj.unit W.Q).app X)
this : IsIso (whiskerRight adj.unit W.Q)
\u22a2 G.IsLocalization ((MorphismProperty.isomorphisms C₂).inverseImage G)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Adjunction.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_3
D₂ : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.45088, u_3} D₁
inst✝² : Category.{?u.45092, u_4} D₂
G : C₁ ⥤ C₂
F : C₂ ⥤ C₁
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
W : MorphismProperty C₁ := (MorphismProperty.isomorphisms C₂).inverseImage G
hG : W.IsInvertedBy G
this✝ : ∀ (X : C₁), IsIso ((whiskerRight adj.unit W.Q).app X)
this : IsIso (whiskerRight adj.unit W.Q)
e : W.Localization ≌ C₂ := Equivalence.mk (lift G hG W.Q) (F ⋙ W.Q) (liftNatIso W.Q W W.Q (G ⋙ F ⋙ W.Q) (𝟭 W.Localization) (lift G hG W.Q ⋙ F ⋙ W.Q) (W.Q.leftUnitor.symm ≪≫ asIso (whiskerRight adj.unit W.Q))) (F.associator W.Q (lift G hG W.Q) ≪≫ isoWhiskerLeft F (fac G hG W.Q) ≪≫ asIso adj.counit)
\u22a2 G.IsLocalization ((MorphismProperty.isomorphisms C₂).inverseImage G)
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
σ : α → Type u_4
a✝ : α
s✝ : Multiset α
t✝ : (a : α) → Multiset (σ a)
a : α
s : Multiset α
IH : ∀ (t u : (a : α) → Multiset (σ a)), (s.sigma fun a => t a + u a) = s.sigma t + s.sigma u
t u : (a : α) → Multiset (σ a)
\u22a2 ((a ::ₘ s).sigma fun a => t a + u a) = (a ::ₘ s).sigma t + (a ::ₘ s).sigma u
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
σ : α → Type u_4
a✝ : α
s✝ : Multiset α
t✝ : (a : α) → Multiset (σ a)
a : α
s : Multiset α
IH : ∀ (t u : (a : α) → Multiset (σ a)), (s.sigma fun a => t a + u a) = s.sigma t + s.sigma u
t u : (a : α) → Multiset (σ a)
\u22a2 map (Sigma.mk a) (t a + u a) + (s.sigma t + s.sigma u) = (a ::ₘ s).sigma t + (a ::ₘ s).sigma u
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fintype.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq β
e : Perm α
f : α ↪ β
b : β
h : b ∈ Set.range ⇑f
\u22a2 (e.extendDomain f.toEquivRange) b = f (e (⋯.invOfMemRange ⟨b, h⟩))
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fintype.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq β
e : Perm α
f : α ↪ β
b : β
h : b ∈ Set.range ⇑f
\u22a2 ↑(f.toEquivRange (e (f.toEquivRange.symm ⟨b, ?h⟩))) = f (e (⋯.invOfMemRange ⟨b, h⟩))
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fintype.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq β
e : Perm α
f : α ↪ β
b : β
h : b ∈ Set.range ⇑f
\u22a2 b ∈ Set.range ⇑f
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : α
n : Nat
l : List α
h : n < l.length
\u22a2 (l.set n a)[n]? = some a
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : α
n : Nat
l : List α
h : n < l.length
\u22a2 (fun x => a) <$> some l[n] = some a
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
inst✝¹ : L[[α]].Structure M
inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
φ : L.Formula α
\u22a2 M ⊨ equivSentence φ ↔ φ.Realize fun a => ↑(L.con a)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f g : α → ℝ
hf : LocallyLipschitz f
a : ℝ
\u22a2 LocallyLipschitz fun x => max a (f x)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hf : IntegrableOn f (↑I) μ
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
\u22a2 HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, f x ∂μ)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hf : IntegrableOn f (↑I) μ
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] g
\u22a2 HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, f x ∂μ)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hf : IntegrableOn f (↑I) μ
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
\u22a2 HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, f x ∂μ)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hf : IntegrableOn f (↑I) μ
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
\u22a2 HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hf : IntegrableOn f (↑I) μ
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
hgi : IntegrableOn g (↑I) μ
\u22a2 HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
hf : IntegrableOn f (↑I) μ
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
hgi : IntegrableOn g (↑I) μ
\u22a2 HasIntegral I l g μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
hgi : IntegrableOn g (↑I) μ
\u22a2 HasIntegral I l g μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
hgi : IntegrableOn g (↑I) μ
f : ℕ → SimpleFunc (ι → ℝ) E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (Set.range g ∪ {0}) 0 ⋯
\u22a2 HasIntegral I l g μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
this : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
hgi : IntegrableOn g (↑I) μ
f : ℕ → SimpleFunc (ι → ℝ) E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (Set.range g ∪ {0}) 0 ⋯
hfi : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (↑(f n)) (↑I) μ
\u22a2 HasIntegral I l g μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ (a : ι → ℝ) in ↑I, g a ∂μ)