ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
J : Type w
inst✝¹ : Category.{t, w} J
F : J ⥤ C
inst✝ : PreservesLimit F (forget C)
D : Cone F
hD : IsLimit D
E : Cone (F ⋙ forget C) := (forget C).mapCone D
hE : IsLimit E := isLimitOfPreserves (forget C) hD
G : Cone (F ⋙ forget C) := Types.limitCone (F ⋙ forget C)
hG : IsLimit (Types.limitCone (F ⋙ forget C)) := Types.limitConeIsLimit (F ⋙ forget C)
T : E.pt ≅ G.pt := hE.conePointUniqueUpToIso hG
h : Function.Injective T.hom
\u22a2 Function.Injective (T.hom ≫ fun x j => G.π.app j x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
J : Type w
inst✝¹ : Category.{t, w} J
F : J ⥤ C
inst✝ : PreservesLimit F (forget C)
D : Cone F
hD : IsLimit D
E : Cone (F ⋙ forget C) := (forget C).mapCone D
hE : IsLimit E := isLimitOfPreserves (forget C) hD
G : Cone (F ⋙ forget C) := Types.limitCone (F ⋙ forget C)
hG : IsLimit (Types.limitCone (F ⋙ forget C)) := Types.limitConeIsLimit (F ⋙ forget C)
T : E.pt ≅ G.pt := hE.conePointUniqueUpToIso hG
h : Function.Injective T.hom
\u22a2 Function.Injective fun x j => G.π.app j x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
f : ι → α
\u22a2 (∏ j : ι, if j = i then f j else 1) = f i
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M
s : Set M
\u22a2 closure s = mrange (FreeMonoid.lift Subtype.val)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → E
h : s =ᶠ[ae μ] t
\u22a2 ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b b' : β a
\u22a2 insert a b (singleton a b') = singleton a b
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝¹ : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommGroup M✝¹
inst✝¹² : Module R✝ M✝¹
N✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommGroup N✝
inst✝¹⁰ : Module R✝ N✝
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R M✝
inst✝⁶ : IsNoetherianRing R
M : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Finite R N
hf : Function.Injective ⇑f
\u22a2 Function.Injective ⇑(AlgebraTensorModule.map LinearMap.id f)
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝¹ : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommGroup M✝¹
inst✝¹² : Module R✝ M✝¹
N✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommGroup N✝
inst✝¹⁰ : Module R✝ N✝
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R M✝
inst✝⁶ : IsNoetherianRing R
M : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Finite R N
hf : Function.Injective ⇑f
\u22a2 Function.Injective ⇑(↑(ofTensorProductEquivOfFiniteNoetherian I N).symm ∘ₗ map I f ∘ₗ ↑(ofTensorProductEquivOfFiniteNoetherian I M))
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝¹ : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommGroup M✝¹
inst✝¹² : Module R✝ M✝¹
N✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommGroup N✝
inst✝¹⁰ : Module R✝ N✝
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R M✝
inst✝⁶ : IsNoetherianRing R
M : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Finite R N
hf : Function.Injective ⇑f
\u22a2 Function.Injective ⇑(map I f)
-- Mathlib/Logic/Relation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
\u22a2 ReflTransGen (ReflGen r) = ReflTransGen r
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : UniformContinuous fun x => f ↑x
ha : s ∈ 𝓝 a
\u22a2 Tendsto f (𝓝 a) (𝓝 (f a))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : UniformContinuous fun x => f ↑x
ha : s ∈ 𝓝 a
\u22a2 Tendsto f (map Subtype.val (𝓝 ⟨a, ⋯⟩)) (𝓝 (f a))
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι✝ : Type u_5
π : ι✝ → Type u_6
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
ι : Sort u_7
f : α → β
s : ι → Set α
hs : ∀ (x : α), ∃ i, s i ∈ 𝓝 x
hf : ∀ (i : ι), ContinuousOn f (s i)
x : α
i : ι
hi : s i ∈ 𝓝 x
\u22a2 ContinuousAt f x
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι✝ : Type u_5
π : ι✝ → Type u_6
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
ι : Sort u_7
f : α → β
s : ι → Set α
hs : ∀ (x : α), ∃ i, s i ∈ 𝓝 x
hf : ∀ (i : ι), ContinuousOn f (s i)
x : α
i : ι
hi : s i ∈ 𝓝 x
\u22a2 Tendsto f (𝓝[s i] x) (𝓝 (f x))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
r : R
x : PrimeSpectrum R
\u22a2 x ∈ ↑(basicOpen r) ↔ x ∈ (zeroLocus {r})ᶜ
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
b c : α
\u22a2 lcm (0 * b) (0 * c) = normalize 0 * lcm b c
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
\u22a2 (partialProd g (j.succ.succAbove k.castSucc))⁻¹ * partialProd g (j.succAbove k).succ = j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g k
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k < ↑j
\u22a2 (partialProd g (j.succ.succAbove k.castSucc))⁻¹ * partialProd g (j.succAbove k).succ = j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g k
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k = ↑j
\u22a2 (partialProd g (j.succ.succAbove k.castSucc))⁻¹ * partialProd g (j.succAbove k).succ = j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g k
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑j < ↑k
\u22a2 (partialProd g (j.succ.succAbove k.castSucc))⁻¹ * partialProd g (j.succAbove k).succ = j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g k
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
e : α ≃* β
hα : UniqueFactorizationMonoid α
\u22a2 UniqueFactorizationMonoid β
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
e : α ≃* β
hα : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
\u22a2 ∀ (a : β), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
e : α ≃* β
hα : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
a : β
ha : a ≠ 0
\u22a2 ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
e : α ≃* β
hα : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
a : β
ha : a ≠ 0
w : Multiset α
hp : ∀ b ∈ w, Prime b
u : αˣ
h : w.prod * ↑u = e.symm a
\u22a2 ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
K : Set E
hK : IsCompact K
hx : x ∈ K
\u22a2 ∃ y ∈ frontier K, infDist x Kᶜ = dist x y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
K : Set E
hK : IsCompact K
hx : x ∈ K
hx' : x ∈ interior K
\u22a2 ∃ y ∈ frontier K, infDist x Kᶜ = dist x y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
K : Set E
hK : IsCompact K
hx : x ∈ K
hx' : x ∈ frontier K
\u22a2 ∃ y ∈ frontier K, infDist x Kᶜ = dist x y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Hermitian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝¹ : Star α
inst✝ : Star β
A : Matrix n n α
h : A.IsHermitian
\u22a2 Aᵀ.IsHermitian
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Hermitian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝¹ : Star α
inst✝ : Star β
A : Matrix n n α
h : A.IsHermitian
\u22a2 (Aᵀ.map star)ᵀ = Aᵀ
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h : x✝.Valid
e : x✝.toString.data = m₁ ++ c :: m₂
\u22a2 x✝.next { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
e : x✝.toString.data = m₁ ++ c :: m₂
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝
\u22a2 x✝.next { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝
e : m = m₁ ++ c :: m₂
\u22a2 x✝.next { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l r : List Char
h : ValidFor l (m₁ ++ c :: m₂) r x✝
\u22a2 x✝.next { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
\u22a2 Filter.map rexp atBot = 𝓝[>] 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : IsPullback fst snd f g
P' X' Y' Z' : C
fst' : P' ⟶ X'
snd' : P' ⟶ Y'
f' : X' ⟶ Z'
g' : Y' ⟶ Z'
e₁ : P ≅ P'
e₂ : X ≅ X'
e₃ : Y ≅ Y'
e₄ : Z ≅ Z'
commfst : fst ≫ e₂.hom = e₁.hom ≫ fst'
commsnd : snd ≫ e₃.hom = e₁.hom ≫ snd'
commf : f ≫ e₄.hom = e₂.hom ≫ f'
commg : g ≫ e₄.hom = e₃.hom ≫ g'
\u22a2 fst' ≫ f' = snd' ≫ g'
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o o' : Ordinal.{max u v}
f : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o → Ordinal.{max u v w}
hf : ∀ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj
g : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o' → Ordinal.{max u v}
hg : o'.blsub g = o
a : Ordinal.{max u v}
ha : a < o'
\u22a2 g a ha < o'.blsub g
-- Mathlib/Order/Filter/Curry.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
l : Filter α
m : Filter β
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : m.NeBot
s : Set α
t : Set β
\u22a2 (∀ᶠ (x : α × β) in l.curry m, x ∈ s ×ˢ t) ↔ s ∈ l ∧ t ∈ m
-- Mathlib/Order/Filter/Curry.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
l : Filter α
m : Filter β
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : m.NeBot
s : Set α
t : Set β
h : ∀ᶠ (x : α) in l, ∀ᶠ (y : β) in m, (x, y) ∈ s ×ˢ t
\u22a2 s ∈ l
-- Mathlib/Order/Filter/Curry.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
l : Filter α
m : Filter β
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : m.NeBot
s : Set α
t : Set β
h : ∀ᶠ (x : α) in l, ∀ᶠ (y : β) in m, (x, y) ∈ s ×ˢ t
\u22a2 t ∈ m
-- Mathlib/Order/Filter/Curry.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
l : Filter α
m : Filter β
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : m.NeBot
s : Set α
t : Set β
h : ∀ᶠ (x : α) in l, ∀ᶠ (y : β) in m, (x, y) ∈ s ×ˢ t
w✝ : α
hx : ∀ᶠ (y : β) in m, (w✝, y) ∈ s ×ˢ t
\u22a2 t ∈ m
-- Mathlib/Order/Filter/Curry.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
l : Filter α
m : Filter β
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : m.NeBot
s : Set α
t : Set β
h : ∀ᶠ (x : α) in l, ∀ᶠ (y : β) in m, (x, y) ∈ s ×ˢ t
w✝ : α
hx : ∀ᶠ (y : β) in m, (w✝, y) ∈ s ×ˢ t
\u22a2 {x | (fun y => (w✝, y) ∈ s ×ˢ t) x} ⊆ t
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
s : Set A
\u22a2 IsClosed (zeroLocus 𝒜 s)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
s : Set A
\u22a2 ∃ s_1, zeroLocus 𝒜 s = zeroLocus 𝒜 s_1
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/ShiftedHom.lean
C : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.38390, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{?u.38397, u_3} E
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
inst✝² : HasShift D M
inst✝¹ : HasShift E M
X Y Z T : C
inst✝ : Preadditive C
a b c : M
α₁ α₂ : ShiftedHom X Y a
β : ShiftedHom Y Z b
h : b + a = c
\u22a2 (α₁ + α₂).comp β h = α₁.comp β h + α₂.comp β h
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
xpos : 0 < x
hx : x ≤ 1
ypos : 0 < y
hy : y < 1
\u22a2 ∃ n, y ^ (n + 1) < x ∧ x ≤ y ^ n
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
xpos : 0 < x
hx : x ≤ 1
ypos : 0 < y
hy : y < 1
n : ℕ
hn : y⁻¹ ^ n ≤ x⁻¹
h'n : x⁻¹ < y⁻¹ ^ (n + 1)
\u22a2 ∃ n, y ^ (n + 1) < x ∧ x ≤ y ^ n
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
hk : 1 < k
\u22a2 ζ ^ k.pred = -∑ i ∈ range k.pred, ζ ^ i
-- Mathlib/GroupTheory/SchurZassenhaus.lean
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup ↥N
inst✝ : (map N.subtype K).Normal
\u22a2 K = ⊥ ∨ K = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/SchurZassenhaus.lean
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup ↥N
inst✝ : (map N.subtype K).Normal
key : map N.subtype K = ⊥ ∨ map N.subtype K = N
\u22a2 K = ⊥ ∨ K = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/SchurZassenhaus.lean
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup ↥N
inst✝ : (map N.subtype K).Normal
key : map N.subtype K = map N.subtype ⊥ ∨ map N.subtype K = N
\u22a2 K = ⊥ ∨ K = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/SchurZassenhaus.lean
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup ↥N
inst✝ : (map N.subtype K).Normal
key : map N.subtype K = map N.subtype ⊥ ∨ map N.subtype K = map N.subtype ⊤
\u22a2 K = ⊥ ∨ K = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/SchurZassenhaus.lean
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : Finite G
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup ↥N
inst✝ : (map N.subtype K).Normal
key : map N.subtype K = map N.subtype ⊥ ∨ map N.subtype K = map N.subtype ⊤
inj : Function.Injective (map N.subtype)
\u22a2 K = ⊥ ∨ K = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Ring/Units.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : CommRing α
a b : α
u₁ u₂ : αˣ
\u22a2 a /ₚ u₁ - b /ₚ u₂ = (a * ↑u₂ - ↑u₁ * b) /ₚ (u₁ * u₂)
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD m]
hdm : d ∣ m
\u22a2 d ∣ a ↔ d ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD m]
hdm : d ∣ m
\u22a2 a ≡ 0 [MOD d] ↔ b ≡ 0 [MOD d]
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d : ℕ
hdm : d ∣ m
h : a ≡ b [MOD d]
\u22a2 a ≡ 0 [MOD d] ↔ b ≡ 0 [MOD d]
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
mb : MeasurableSpace β
ν : Measure β
g : α → β
hg : MeasurePreserving g μ ν
hge : MeasurableEmbedding g
f : β → ℝ≥0∞
s : Set β
\u22a2 ∫⁻ (a : α) in g ⁻¹' s, f (g a) ∂μ = ∫⁻ (b : β) in s, f b ∂ν
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Semifield R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a✝ : A
a : Aˣ
ha : autoParam (p ↑a) _auto✝
\u22a2 cfc (fun x => x⁻¹) ↑a = ↑a⁻¹
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Semifield R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a✝ : A
a : Aˣ
ha : autoParam (p ↑a) _auto✝
\u22a2 cfc (fun x => x⁻¹) ↑a = Ring.inverse ↑a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Semifield R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a✝ : A
a : Aˣ
ha : autoParam (p ↑a) _auto✝
\u22a2 ↑a = cfc id ↑a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Semifield R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a✝ : A
a : Aˣ
ha : autoParam (p ↑a) _auto✝
\u22a2 ∀ x ∈ spectrum R ↑a, id x ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
D : ℤ
f : LaurentSeries K
\u22a2 Valued.v f ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd (-D)) ↔ ∀ n < D, f.coeff n = 0
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
D : ℤ
f : LaurentSeries K
h_val_f : ∀ n < D, f.coeff n = 0
\u22a2 Valued.v f ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd (-D))
-- Mathlib/Data/Real/ConjExponents.lean
a b p q : ℝ
h✝ h : p.IsConjExponent q
\u22a2 q = p / (p - 1)
-- Mathlib/Data/Real/ConjExponents.lean
a b p q : ℝ
h✝ h : p.IsConjExponent q
this : p⁻¹ + q⁻¹ = 1
\u22a2 q = p / (p - 1)
-- Mathlib/Data/Real/ConjExponents.lean
a b p q : ℝ
h✝ h : p.IsConjExponent q
this : q = (1 - p⁻¹)⁻¹
\u22a2 q = p / (p - 1)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
\u22a2 ∃ p, 0 < p ∧ (fun x => evenKernel a x - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
b : ℝ
\u22a2 ∃ p, 0 < p ∧ (fun x => evenKernel (↑b) x - if ↑b = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
b p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_int 0 (↑b) t - if ↑b = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
\u22a2 ∃ p, 0 < p ∧ (fun x => evenKernel (↑b) x - if ↑b = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
b p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_int 0 (↑b) t - if ↑b = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
\u22a2 (fun x => evenKernel (↑b) x - if ↑b = 0 then 1 else 0) =ᶠ[atTop] fun t => HurwitzKernelBounds.F_int 0 (↑b) t - if ↑b = 0 then 1 else 0
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
b p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_int 0 (↑b) t - if ↑b = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
t : ℝ
ht : 0 < t
\u22a2 (evenKernel (↑b) t - if ↑b = 0 then 1 else 0) = HurwitzKernelBounds.F_int 0 (↑b) t - if ↑b = 0 then 1 else 0
-- Mathlib/Data/PNat/Find.lean
p q : ℕ+ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h✝ : ∃ n, p n
n m : ℕ+
h : ∃ n, p n
h₂ : ∃ n, p (n + 1)
h1 : ¬p 1
\u22a2 PNat.find h = PNat.find h₂ + 1
-- Mathlib/Data/PNat/Find.lean
p q : ℕ+ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h✝ : ∃ n, p n
n✝ m : ℕ+
h : ∃ n, p n
h₂ : ∃ n, p (n + 1)
h1 : ¬p 1
n : ℕ+
\u22a2 1 < PNat.find h₂ + 1 → ¬p 1
-- Mathlib/Data/PNat/Find.lean
p q : ℕ+ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h✝ : ∃ n, p n
n✝ m : ℕ+
h : ∃ n, p n
h₂ : ∃ n, p (n + 1)
h1 : ¬p 1
n : ℕ+
\u22a2 ∀ (n : ℕ+), (n < PNat.find h₂ + 1 → ¬p n) → n + 1 < PNat.find h₂ + 1 → ¬p (n + 1)
-- Mathlib/Data/PNat/Find.lean
p q : ℕ+ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h✝ : ∃ n, p n
n✝ m✝ : ℕ+
h : ∃ n, p n
h₂ : ∃ n, p (n + 1)
h1 : ¬p 1
n m : ℕ+
a✝ : m < PNat.find h₂ + 1 → ¬p m
hm : m + 1 < PNat.find h₂ + 1
\u22a2 ¬p (m + 1)
-- Mathlib/Data/PNat/Find.lean
p q : ℕ+ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h✝ : ∃ n, p n
n✝ m✝ : ℕ+
h : ∃ n, p n
h₂ : ∃ n, p (n + 1)
h1 : ¬p 1
n m : ℕ+
a✝ : m < PNat.find h₂ + 1 → ¬p m
hm : ∀ m_1 ≤ m, ¬p (m_1 + 1)
\u22a2 ¬p (m + 1)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/StrongTopology.lean
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁹ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜₂ F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : T2Space F
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖 : ⋃₀ 𝔖 = Set.univ
this : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
\u22a2 T2Space (UniformConvergenceCLM σ F 𝔖)