ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R✝ R : Presieve X
\u22a2 (IsSeparatedFor P R ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) ↔ IsSeparatedFor P R ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P (generate R).arrows), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R✝ R : Presieve X
\u22a2 (∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) ↔ ∀ (x : FamilyOfElements P (generate R).arrows), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
-- Mathlib/Order/Filter/Archimedean.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
hr : r < 0
hf : Tendsto f l atBot
\u22a2 Tendsto (fun x => f x • r) l atTop
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
t : Set γ
ht : MeasurableSet t
\u22a2 κ ⊗ₖ η.restrict ht = (κ ⊗ₖ η).restrict ⋯
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
t : Set γ
ht : MeasurableSet t
\u22a2 κ ⊗ₖ η.restrict ht = κ.restrict ?hs ⊗ₖ η.restrict ?ht
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
t : Set γ
ht : MeasurableSet t
\u22a2 MeasurableSet Set.univ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
t : Set γ
ht : MeasurableSet t
\u22a2 MeasurableSet t
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A : Rep k G✝
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : MulAction G M
f : G → M
hf : IsMulOneCocycle f
g : G
\u22a2 g • f g⁻¹ = (f g)⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
\u22a2 toIcoDiv hp a (m • p + b) = m + toIcoDiv hp a b
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ∣ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : (↑η - 1) * λ ∣ (↑η - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ^ 2 ∣ S.a + ↑η ^ 2 * S.b
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Ring/Rat.lean
x : ℤ
hx : x ≠ 0
n d : ℤ
\u22a2 n /. x / (d /. x) = n /. d
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NNNorm 𝕜
inst✝² : Nonempty 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : SMulZeroClass 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
\u22a2 egauge 𝕜 0 x = ⊤ ↔ x ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Inversion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
a b : M
inst✝¹ : Invertible ((ι Q) a)
inst✝ : Invertible (Q a)
\u22a2 (ι Q) a * (ι Q) b * ⅟((ι Q) a) = (ι Q) ((⅟(Q a) * QuadraticMap.polar (⇑Q) a b) • a - b)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝⁵ : NormedRing R
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 R
𝕜' : Type u_4
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f g : E → 𝕜
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g s x
hx : g x ≠ 0
\u22a2 ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => f x / g x) s x
-- Mathlib/Algebra/Group/Hom/Defs.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : One N
inst✝² : FunLike F M N
inst✝¹ : Subsingleton M
inst✝ : OneHomClass F M N
f g : F
x : M
\u22a2 f x = g x
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p d n : ℕ
h : d ∣ n
\u22a2 (n / d).factorization = n.factorization - d.factorization
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p n : ℕ
h : 0 ∣ n
\u22a2 (n / 0).factorization = n.factorization - factorization 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p d n : ℕ
h : d ∣ n
hd : d ≠ 0
\u22a2 (n / d).factorization = n.factorization - d.factorization
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n p d : ℕ
hd : d ≠ 0
h : d ∣ 0
\u22a2 (0 / d).factorization = factorization 0 - d.factorization
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p d n : ℕ
h : d ∣ n
hd : d ≠ 0
hn : n ≠ 0
\u22a2 (n / d).factorization = n.factorization - d.factorization
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p d n : ℕ
h : d ∣ n
hd : d ≠ 0
hn : n ≠ 0
\u22a2 (fun x => x + d.factorization) (n / d).factorization = (fun x => x + d.factorization) (n.factorization - d.factorization)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p d n : ℕ
h : d ∣ n
hd : d ≠ 0
hn : n ≠ 0
\u22a2 (n / d).factorization + d.factorization = n.factorization - d.factorization + d.factorization
-- Mathlib/Data/Quot.lean
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
α : Sort u_3
r : α → α → Prop
iseqv✝¹ : Equivalence r
p : α → α → Prop
iseqv✝ : Equivalence p
Eq : ∀ (a b : α), Setoid.r a b ↔ Setoid.r a b
\u22a2 { r := r, iseqv := iseqv✝¹ } = { r := p, iseqv := iseqv✝ }
-- Mathlib/Data/Quot.lean
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
α : Sort u_3
r : α → α → Prop
iseqv✝¹ : Equivalence r
p : α → α → Prop
iseqv✝ : Equivalence p
Eq : ∀ (a b : α), Setoid.r a b ↔ Setoid.r a b
this : r = p
\u22a2 { r := r, iseqv := iseqv✝¹ } = { r := p, iseqv := iseqv✝ }
-- Mathlib/Order/Filter/CountableSeparatingOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝¹ : CountableInterFilter l
f g : α → β
p : Set α → Prop
s : Set α
inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p s
hs : s ∈ l
hne : s.Nonempty
hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l
\u22a2 ∃ a ∈ s, {a} ∈ l
-- Mathlib/Order/Filter/CountableSeparatingOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝¹ : CountableInterFilter l
f g : α → β
p : Set α → Prop
s : Set α
inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p s
hs : s ∈ l
hne : s.Nonempty
hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l
t : Set α
hts : t ⊆ s
ht : t.Subsingleton
htl : t ∈ l
\u22a2 ∃ a ∈ s, {a} ∈ l
-- Mathlib/Order/Filter/CountableSeparatingOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝¹ : CountableInterFilter l
f g : α → β
p : Set α → Prop
s : Set α
inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p s
hs : s ∈ l
hne : s.Nonempty
hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l
hts : ∅ ⊆ s
ht : ∅.Subsingleton
htl : ∅ ∈ l
\u22a2 ∃ a ∈ s, {a} ∈ l
-- Mathlib/Order/Filter/CountableSeparatingOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝¹ : CountableInterFilter l
f g : α → β
p : Set α → Prop
s : Set α
inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p s
hs : s ∈ l
hne : s.Nonempty
hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l
x : α
hts : {x} ⊆ s
ht : {x}.Subsingleton
htl : {x} ∈ l
\u22a2 ∃ a ∈ s, {a} ∈ l
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z X' : C
f : X ⟶ X'
\u22a2 (f ⊗ 𝟙 (Y ⊗ Z)) ≫ (α_ X' Y Z).inv = (α_ X Y Z).inv ≫ ((f ⊗ 𝟙 Y) ⊗ 𝟙 Z)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
x : E
hr : 0 < r
\u22a2 Absorbent 𝕜 (Metric.ball 0 r)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
x : E
hr : 0 < r
\u22a2 Absorbent 𝕜 ((normSeminorm 𝕜 E).ball 0 r)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
\u22a2 (B₁ \ B₂).encard ≤ (B₂ \ B₁).encard
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
he : B₂ \ B₁ = ∅
\u22a2 (B₁ \ B₂).encard ≤ (B₂ \ B₁).encard
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
hinf : (B₂ \ B₁).encard = ⊤
\u22a2 (B₁ \ B₂).encard ≤ (B₂ \ B₁).encard
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
e : α
he : e ∈ B₂ \ B₁
hcard : ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard < (B₂ \ B₁).encard
\u22a2 (B₁ \ B₂).encard ≤ (B₂ \ B₁).encard
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
e : α
he : e ∈ B₂ \ B₁
hcard : ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard < (B₂ \ B₁).encard
f : α
hf : f ∈ B₁ \ B₂
hB' : Base (insert f (B₂ \ {e}))
\u22a2 (B₁ \ B₂).encard ≤ (B₂ \ B₁).encard
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
e : α
he : e ∈ B₂ \ B₁
hcard : ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard < (B₂ \ B₁).encard
f : α
hf : f ∈ B₁ \ B₂
hB' : Base (insert f (B₂ \ {e}))
this : (insert f (B₂ \ {e}) \ B₁).encard < (B₂ \ B₁).encard
\u22a2 (B₁ \ B₂).encard ≤ (B₂ \ B₁).encard
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
e : α
he : e ∈ B₂ \ B₁
hcard : ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard < (B₂ \ B₁).encard
f : α
hf : f ∈ B₁ \ B₂
hB' : Base (insert f (B₂ \ {e}))
this : (insert f (B₂ \ {e}) \ B₁).encard < (B₂ \ B₁).encard
hencard : (B₁ \ insert f (B₂ \ {e})).encard ≤ (insert f (B₂ \ {e}) \ B₁).encard
\u22a2 (B₁ \ B₂).encard ≤ (B₂ \ B₁).encard
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
e : α
he : e ∈ B₂ \ B₁
hcard : ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard < (B₂ \ B₁).encard
f : α
hf : f ∈ B₁ \ B₂
hB' : Base (insert f (B₂ \ {e}))
this : (insert f (B₂ \ {e}) \ B₁).encard < (B₂ \ B₁).encard
hencard : ((B₁ \ B₂) \ {f}).encard ≤ ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard
\u22a2 (B₁ \ B₂).encard ≤ (B₂ \ B₁).encard
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
e : α
he : e ∈ B₂ \ B₁
hcard : ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard < (B₂ \ B₁).encard
f : α
hf : f ∈ B₁ \ B₂
hB' : Base (insert f (B₂ \ {e}))
this : (insert f (B₂ \ {e}) \ B₁).encard < (B₂ \ B₁).encard
hencard : ((B₁ \ B₂) \ {f}).encard ≤ ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard
\u22a2 ((B₁ \ B₂) \ {f}).encard + 1 ≤ ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard + 1
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
h : num A x = 0
\u22a2 0 * (algebraMap ?m.26953 K) ↑(den ?m.26953 x) = (algebraMap ?m.26953 K) (num ?m.26953 x)
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
S✝ : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Ring S✝
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Surjective ⇑f
S : Submodule R N
hI : (comap f S).IsPrincipal
\u22a2 S = span R {f (generator (comap f S))}
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/NaturalTransformation/Strong.lean
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : StrongOplaxNatTrans F G
θ : StrongOplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : a' ⟶ G.obj a
g : a ⟶ b
h : b ⟶ c
\u22a2 f ◁ (θ.naturality (g ≫ h)).hom ≫ f ◁ θ.app a ◁ H.mapComp g h = f ◁ G.mapComp g h ▷ θ.app c ≫ f ◁ (α_ (G.map g) (G.map h) (θ.app c)).hom ≫ f ◁ G.map g ◁ (θ.naturality h).hom ≫ f ◁ (α_ (G.map g) (θ.app b) (H.map h)).inv ≫ f ◁ (θ.naturality g).hom ▷ H.map h ≫ f ◁ (α_ (θ.app a) (H.map g) (H.map h)).hom
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : TopologicalSpace α
f✝ g✝ : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝² : T2Space α
α' : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α'
inst✝ : TopologicalSpace α'
e : α' → α
hes : Surjective e
h1 : e 1 = 1
f : β → α
g : γ → α'
h : ∀ {a : α'}, HasProd f (e a) ↔ HasProd g a
hg : ¬Multipliable g
\u22a2 ∏' (b : β), f b = e (∏' (c : γ), g c)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : TopologicalSpace α
f✝ g✝ : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝² : T2Space α
α' : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α'
inst✝ : TopologicalSpace α'
e : α' → α
hes : Surjective e
h1 : e 1 = 1
f : β → α
g : γ → α'
h : ∀ {a : α'}, HasProd f (e a) ↔ HasProd g a
hg : ¬Multipliable g
hf : ¬Multipliable f
\u22a2 ∏' (b : β), f b = e (∏' (c : γ), g c)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Skyscraper.lean
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝² : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} C
inst✝ : HasTerminal C
A a : C
U : Opens ↑X
\u22a2 (map' p₀ (𝟙 a)).app (op U) = (𝟙 (skyscraperPresheaf p₀ a)).app (op U)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Skyscraper.lean
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝² : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} C
inst✝ : HasTerminal C
A a : C
U : Opens ↑X
\u22a2 (if h : p₀ ∈ U then eqToHom ⋯ ≫ 𝟙 a ≫ eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from ((skyscraperPresheaf p₀ a).obj (op U))) = (𝟙 (skyscraperPresheaf p₀ a)).app (op U)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/NormedSpace.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁸ : TopologicalSpace M
inst✝²⁷ : ChartedSpace H M
inst✝²⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²² : TopologicalSpace M'
inst✝²¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁰ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_17
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
f✝ f₁ : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : E → E'
s : Set E
x : E
\u22a2 ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') n f s x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/NormedSpace.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁸ : TopologicalSpace M
inst✝²⁷ : ChartedSpace H M
inst✝²⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²² : TopologicalSpace M'
inst✝²¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁰ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_17
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
f✝ f₁ : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : E → E'
s : Set E
x : E
\u22a2 ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x → ContinuousWithinAt f s x
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : DivisionCommMonoid β✝
A : Set α
B : Set β✝
f : α → β✝
m n : ℕ
β : Type u_5
inst✝ : DivisionCommMonoid β
B₁ B₂ : Set β
f₁ f₂ : α → β
h₁ : IsMulFreimanHom n A B₁ f₁
h₂ : IsMulFreimanHom n A B₂ f₂
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = n
ht : card t = n
h : s.prod = t.prod
\u22a2 (map (f₁ / f₂) s).prod = (map (f₁ / f₂) t).prod
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
hfg_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
\u22a2 f =ᶠ[ae (μ.restrict t)] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
hfg_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
\u22a2 f - g =ᶠ[ae (μ.restrict t)] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
hfg_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
hfg' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (f - g) x ∂μ = 0
\u22a2 f - g =ᶠ[ae (μ.restrict t)] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
hfg_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
hfg' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (f - g) x ∂μ = 0
hfg_int : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (f - g) s μ
\u22a2 f - g =ᶠ[ae (μ.restrict t)] 0
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Finset α
a b : α
\u22a2 preimage 1 (fun x => x * b⁻¹) ⋯ = {b}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
t : Set α
\u22a2 t ∈ 𝓝 x ↔ ∃ i, (i ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel i) ∧ ball x i ⊆ t
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
\u22a2 (fun t => (1 - rexp (-π * t))⁻¹) =O[atTop] fun x => 1
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
\u22a2 Tendsto (fun x => rexp (-π * x)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
ht : autoParam t.Finite _auto✝
\u22a2 s.ncard < t.ncard ↔ (s \ t).ncard < (t \ s).ncard
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hc : c ≤ a % c + b % c
hc0 : 0 < c
\u22a2 (a + b) / c = a / c + b / c + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v w : V
p : G.Walk u v
\u22a2 p.toSubgraph ≤ ⊤.induce {v_1 | v_1 ∈ p.support}
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v w : V
p : G.Walk u v
\u22a2 {v_1 | v_1 ∈ p.support} = p.toSubgraph.verts
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
p q : ℤ
hpq : p + n' = q
p' : ℤ
hp' : p + n = p'
\u22a2 p' = q + a
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
p q : ℤ
hpq : p + n' = q
\u22a2 (mk fun p q hpq => γ.v p (p + n) ⋯ ≫ (L.shiftFunctorObjXIso a q (p + n) ⋯).inv).v p q hpq = γ.v p (p + n) ⋯ ≫ (L.shiftFunctorObjXIso a q (p + n) ⋯).inv
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
a b c : Fin n
\u22a2 a < b ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
a b c : Fin n
\u22a2 a < b ↔ a ≤ b ∧ ↑a ≠ ↑b
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
a : G
b : α
n : ℤ
\u22a2 a ^ n • b = b ↔ ↑(minimalPeriod (fun x => a • x) b) ∣ n