ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
\u22a2 HasSum (fun n => (1 / (↑n + ↑a) ^ s + 1 / (↑n + 1 - ↑a) ^ s) / 2) (hurwitzZetaEven (↑a) s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
\u22a2 (1 / (↑n + ↑a) ^ s + 1 / (↑n + 1 - ↑a) ^ s) / 2 = (1 / ↑|↑n + a| ^ s + 1 / ↑|↑n + 1 - a| ^ s) / 2
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
\u22a2 IsNoetherianRing R
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
\u22a2 ∀ (f : ℕ →o Submodule R R), ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f n = f m
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
I : ℕ →o Submodule R R
floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)
suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}
minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)
\u22a2 ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → I n = I m
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
I : ℕ →o Submodule R R
floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)
suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}
minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)
hSuit : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ∈ suitableN ↑s
\u22a2 ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → I n = I m
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
I : ℕ →o Submodule R R
floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)
suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}
minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)
hSuit : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ∈ suitableN ↑s
N : ℕ := S.sup minN
\u22a2 ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → I n = I m
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
I : ℕ →o Submodule R R
floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)
suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}
minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)
hSuit : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ∈ suitableN ↑s
N : ℕ := S.sup minN
\u22a2 ∀ (m : ℕ), N ≤ m → I N = I m
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN✝ : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
I : ℕ →o Submodule R R
floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)
suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}
minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)
hSuit : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ∈ suitableN ↑s
N : ℕ := S.sup minN
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ≤ N
\u22a2 ∀ (m : ℕ), N ≤ m → I N = I m
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN✝ : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
I : ℕ →o Submodule R R
floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)
suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}
minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)
hSuit : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ∈ suitableN ↑s
N : ℕ := S.sup minN
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ≤ N
n : ℕ
hn : N ≤ n
\u22a2 I N = I n
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN✝ : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
I : ℕ →o Submodule R R
floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)
suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}
minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)
hSuit : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ∈ suitableN ↑s
N : ℕ := S.sup minN
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ≤ N
n : ℕ
hn : N ≤ n
\u22a2 ⨅ x, Ideal.comap (algebraMap R (Localization.Away ↑x)) (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away ↑x)) (I N)) = ⨅ x, Ideal.comap (algebraMap R (Localization.Away ↑x)) (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away ↑x)) (I n))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN✝ : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
I : ℕ →o Submodule R R
floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)
suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}
minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)
hSuit : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ∈ suitableN ↑s
N : ℕ := S.sup minN
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ≤ N
n : ℕ
hn : N ≤ n
\u22a2 ∀ (i : { f // f ∈ S }), Ideal.comap (algebraMap R (Localization.Away ↑i)) (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away ↑i)) (I N)) = Ideal.comap (algebraMap R (Localization.Away ↑i)) (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away ↑i)) (I n))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN✝ : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
I : ℕ →o Submodule R R
floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)
suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}
minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)
hSuit : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ∈ suitableN ↑s
N : ℕ := S.sup minN
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ≤ N
n : ℕ
hn : N ≤ n
s : { f // f ∈ S }
\u22a2 Ideal.map (floc ↑s) (I (minN ↑s)) = Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away ↑s)) (I n)
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
\u22a2 (map₂ m f g).NeBot ↔ f.NeBot ∧ g.NeBot
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
κ : ι → Type u_2
t : (i : ι) → Set (κ i)
ht : ∀ (i : ι), (t i).Finite
\u22a2 {f | ∀ (i : ι), f i ∈ t i}.Finite
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
\u22a2 LieModule.IsNilpotent R L M ↔ ∃ k, ucs k ⊥ = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
\u22a2 (∃ k, LieModule.lowerCentralSeries R L M k = ⊥) ↔ ∃ k, ucs k ⊥ = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
s : Set (Ideal α)
hs : s.Nonempty
hs' : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
H : ∀ p ∈ s, p.IsPrime
x✝ y✝ : α
e : x✝ * y✝ ∈ sInf s
hx : x✝ ∉ sInf s
\u22a2 y✝ ∈ sInf s
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
s : Set (Ideal α)
hs : s.Nonempty
hs' : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
H : ∀ p ∈ s, p.IsPrime
x✝ y✝ : α
e : ∀ ⦃I : Ideal α⦄, I ∈ s → x✝ * y✝ ∈ I
hx : ¬∀ ⦃I : Ideal α⦄, I ∈ s → x✝ ∈ I
\u22a2 ∀ ⦃I : Ideal α⦄, I ∈ s → y✝ ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
s : Set (Ideal α)
hs : s.Nonempty
hs' : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
H : ∀ p ∈ s, p.IsPrime
x✝ y✝ : α
e : ∀ ⦃I : Ideal α⦄, I ∈ s → x✝ * y✝ ∈ I
I : Ideal α
hI : I ∈ s
hI' : x✝ ∉ I
J : Ideal α
hJ : J ∈ s
\u22a2 y✝ ∈ J
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
s : Set (Ideal α)
hs : s.Nonempty
hs' : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
H : ∀ p ∈ s, p.IsPrime
x✝ y✝ : α
e : ∀ ⦃I : Ideal α⦄, I ∈ s → x✝ * y✝ ∈ I
I : Ideal α
hI : I ∈ s
hI' : x✝ ∉ I
J : Ideal α
hJ : J ∈ s
h : I ≤ J
\u22a2 y✝ ∈ J
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
s : Set (Ideal α)
hs : s.Nonempty
hs' : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
H : ∀ p ∈ s, p.IsPrime
x✝ y✝ : α
e : ∀ ⦃I : Ideal α⦄, I ∈ s → x✝ * y✝ ∈ I
I : Ideal α
hI : I ∈ s
hI' : x✝ ∉ I
J : Ideal α
hJ : J ∈ s
h : J ≤ I
\u22a2 y✝ ∈ J
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Lemmas.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : Finite Rˣ
χ : MulChar R ℂ
a : R
\u22a2 star (χ a) = χ⁻¹ a
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y✝ : Set α
e : α
M : Matroid α
X Y : Set α
\u22a2 M.closure (X ∪ M.closure Y) = M.closure (X ∪ Y)
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x y : R
\u22a2 star x ≤ star y ↔ x ≤ y
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x y : R
\u22a2 ∀ (x y : R), x ≤ y → star x ≤ star y
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x✝ y✝ x y : R
h : x ≤ y
\u22a2 star x ≤ star y
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x✝ y✝ x y : R
h : ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), y = x + p
\u22a2 ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), star y = star x + p
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x✝ y x d : R
hd : d ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
\u22a2 ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), star (x + d) = star x + p
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x✝ y x d : R
hd : d ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
\u22a2 starAddEquiv d ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x✝ y x d : R
hd : d ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
\u22a2 (range fun s => star s * s) ⊆ ⇑starAddEquiv ⁻¹' range fun s => star s * s
-- Mathlib/Dynamics/FixedPoints/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
f fa g : α → α
x y : α
fb : β → β
m n k : ℕ
e : Perm α
h : Function.Commute f g
\u22a2 Set.BijOn f (fixedPoints (f ∘ g)) (fixedPoints (f ∘ g))
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n : ℕ
\u22a2 (n + 1).descFactorial (0 + 1) = (n + 1) * n.descFactorial 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ
\u22a2 (n + 1).descFactorial (k.succ + 1) = (n + 1) * n.descFactorial k.succ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R : CommRingCat
U✝ : TopologicalSpace.Opens ↑↑(sheafedSpaceObj R).toPresheafedSpace
x✝ : (forget CommRingCat).obj ((sheafedSpaceObj R).presheaf.obj (op U✝))
\u22a2 ((structureSheaf ↑R).val.map (𝟙 (op ((TopologicalSpace.Opens.map (𝟙 (topObj R))).obj U✝)))) ((comap (𝟙 R) U✝ ((TopologicalSpace.Opens.map (𝟙 (topObj R))).obj U✝) ⋯) x✝) = (𝟙 ((structureSheaf ↑R).val.obj (op U✝))) x✝
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R : CommRingCat
U✝ : TopologicalSpace.Opens ↑↑(sheafedSpaceObj R).toPresheafedSpace
x✝ : (forget CommRingCat).obj ((sheafedSpaceObj R).presheaf.obj (op U✝))
\u22a2 ((structureSheaf ↑R).val.map (𝟙 (op ((TopologicalSpace.Opens.map (𝟙 (topObj R))).obj U✝)))) ((eqToHom ⋯) x✝) = (𝟙 ((structureSheaf ↑R).val.obj (op U✝))) x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
i : Fin r
\u22a2 ((listTransvecCol M).prod * M * (listTransvecRow M).prod) (inr ()) (inl i) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
i : Fin r
this : listTransvecRow M = listTransvecRow ((listTransvecCol M).prod * M)
\u22a2 ((listTransvecCol M).prod * M * (listTransvecRow M).prod) (inr ()) (inl i) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
i : Fin r
this : listTransvecRow M = listTransvecRow ((listTransvecCol M).prod * M)
\u22a2 ((listTransvecCol M).prod * M * (listTransvecRow ((listTransvecCol M).prod * M)).prod) (inr ()) (inl i) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
i : Fin r
this : listTransvecRow M = listTransvecRow ((listTransvecCol M).prod * M)
\u22a2 ((listTransvecCol M).prod * M) (inr ()) (inr ()) ≠ 0
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s✝ t s : Set α
σ : Equiv.Perm α
hs : {a | σ a ≠ a} ⊆ s
i : α
\u22a2 i ∈ ⇑σ '' s ↔ i ∈ s
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s✝ t s : Set α
σ : Equiv.Perm α
hs : {a | σ a ≠ a} ⊆ s
i : α
hi : σ i = i
\u22a2 i ∈ ⇑σ '' s ↔ i ∈ s
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s✝ t s : Set α
σ : Equiv.Perm α
hs : {a | σ a ≠ a} ⊆ s
i : α
hi : σ i ≠ i
\u22a2 i ∈ ⇑σ '' s ↔ i ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ai : R
au : ai * a = 1
\u22a2 p.natDegree = (1 * p).natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ai : R
au : ai * a = 1
\u22a2 (1 * p).natDegree = (C ai * (C a * p)).natDegree
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
x✝³ : α
x✝² : x✝³ ∈ s
x✝¹ : Set (β × β)
x✝ : x✝¹ ∈ 𝓤 β
\u22a2 (∃ t ∈ 𝓝[s] x✝³, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ x✝¹) ↔ x✝¹ ∈ map (fun y => (f y.2, F y.1 y.2)) (p ×ˢ 𝓝[s] x✝³)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
x✝³ : α
x✝² : x✝³ ∈ s
x✝¹ : Set (β × β)
x✝ : x✝¹ ∈ 𝓤 β
\u22a2 (∃ t ∈ 𝓝[s] x✝³, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ x✝¹) ↔ ∃ t ∈ 𝓝[s] x✝³, ∀ᶠ (x : ι) in p, ∀ y ∈ t, (x, y) ∈ (fun y => (f y.2, F y.1 y.2)) ⁻¹' x✝¹
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
\u22a2 Finite Rₚ Mₚ
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
\u22a2 Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T) = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
\u22a2 ⊤ ≤ Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
x : Mₚ
\u22a2 x ∈ Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
x : Mₚ
y : M
m : ↥S
hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x
\u22a2 x ∈ Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
x : Mₚ
y : M
m : ↥S
hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x
hy : y ∈ Submodule.span R ↑T
\u22a2 x ∈ Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
x : Mₚ
y : M
m : ↥S
hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x
hy : y ∈ Submodule.span R ↑T
this : f y ∈ Submodule.map f (Submodule.span R ↑T)
\u22a2 x ∈ Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
x : Mₚ
y : M
m : ↥S
hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x
hy : y ∈ Submodule.span R ↑T
this : f y ∈ Submodule.span R (⇑f '' ↑T)
\u22a2 x ∈ Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
x : Mₚ
y : M
m : ↥S
hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x
hy : y ∈ Submodule.span R ↑T
this : f y ∈ Submodule.span R (⇑f '' ↑T)
H : Submodule.span R (⇑f '' ↑T) ≤ Submodule.restrictScalars R (Submodule.span Rₚ (⇑f '' ↑T))
\u22a2 x ∈ Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
x : Mₚ
y : M
m : ↥S
hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x
hy : y ∈ Submodule.span R ↑T
this : f y ∈ Submodule.span R (⇑f '' ↑T)
H : Submodule.span R (⇑f '' ↑T) ≤ Submodule.restrictScalars R (Submodule.span Rₚ (⇑f '' ↑T))
\u22a2 x = IsLocalization.mk' Rₚ 1 m • f y
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
x : Mₚ
y : M
m : ↥S
hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x
hy : y ∈ Submodule.span R ↑T
this : f y ∈ Submodule.span R (⇑f '' ↑T)
H : Submodule.span R (⇑f '' ↑T) ≤ Submodule.restrictScalars R (Submodule.span Rₚ (⇑f '' ↑T))
\u22a2 Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T) = Submodule.span Rₚ (⇑f '' ↑T)
-- Mathlib/RingTheory/NonUnitalSubsemiring/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T
F : Type u_1
inst✝¹ : FunLike F R S✝
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
S : Set (NonUnitalSubsemiring R)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
\u22a2 x ∈ ↑(sSup S) ↔ x ∈ ⋃ s ∈ S, ↑s
-- Mathlib/Deprecated/Subring.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
x : R
hx : x ∈ closure s
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
\u22a2 C x
-- Mathlib/Deprecated/Subring.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
x : R
hx : x ∈ closure s
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
\u22a2 C x
-- Mathlib/Deprecated/Subring.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L : List (List R)
HL : ∀ l ∈ L, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1
hx : (List.map List.prod L).sum ∈ closure s
\u22a2 C (List.map List.prod L).sum