ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
D : GlueData
i j : D.J
x : ↑↑(D.U i).toPresheafedSpace
y : ↑↑(D.U j).toPresheafedSpace
\u22a2 (D.ι i).val.base x = (D.ι j).val.base y ↔ D.isoCarrier.inv ((D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι i) x) = D.isoCarrier.inv ((D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι j) y)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
D : GlueData
i j : D.J
x : ↑↑(D.U i).toPresheafedSpace
y : ↑↑(D.U j).toPresheafedSpace
\u22a2 Mono D.isoCarrier.inv
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/SpecificFunctions.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x✝ x : M
\u22a2 HasMFDerivAt I I id x (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/SpecificFunctions.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x✝ x : M
\u22a2 HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I x id) (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/SpecificFunctions.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x✝ x : M
this : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[range ↑I] ↑(extChartAt I x) x, (↑(extChartAt I x) ∘ ↑(extChartAt I x).symm) y = y
\u22a2 HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I x id) (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/SpecificFunctions.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x✝ x : M
this : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[range ↑I] ↑(extChartAt I x) x, (↑(extChartAt I x) ∘ ↑(extChartAt I x).symm) y = y
\u22a2 (↑(extChartAt I x) ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x) x) = id (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g✝ : Perm α
x y : α
hf : f.IsCycle
hx : f x ≠ x
hy : f y ≠ y
g : α
hg : f g ≠ g ∧ ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle g y
a : ℤ
ha : (f ^ a) g = x
b : ℤ
hb : (f ^ b) g = y
\u22a2 (f ^ (b - a)) x = y
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
hpos : 0 < n
\u22a2 IsIntegral ℤ μ
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
hpos : 0 < n
\u22a2 (X ^ n - 1).Monic ∧ eval₂ (algebraMap ℤ K) μ (X ^ n - 1) = 0
-- Mathlib/Topology/DerivedSet.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
U : Set X
\u22a2 Perfect U ↔ U = derivedSet U
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S✝ : Set G
inst✝ : H.FiniteIndex
S : Finset G
hS : closure ↑S = ⊤
this✝ : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex
this : DecidableEq G
\u22a2 ∃ T, T.card ≤ H.index * S.card ∧ closure ↑T = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S✝ : Set G
inst✝ : H.FiniteIndex
S : Finset G
hS : closure ↑S = ⊤
this✝ : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex
this : DecidableEq G
R₀ : Set G
hR : R₀ ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R₀
\u22a2 ∃ T, T.card ≤ H.index * S.card ∧ closure ↑T = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R✝ S✝ : Set G
inst✝ : H.FiniteIndex
S : Finset G
hS : closure ↑S = ⊤
this✝¹ : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex
this✝ : DecidableEq G
R₀ : Set G
hR : R₀ ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R₀
this : Fintype ↑R₀
R : Finset G := R₀.toFinset
\u22a2 ∃ T, T.card ≤ H.index * S.card ∧ closure ↑T = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R✝ S✝ : Set G
inst✝ : H.FiniteIndex
S : Finset G
hS : closure ↑S = ⊤
this✝¹ : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex
this✝ : DecidableEq G
R₀ : Set G
hR1 : 1 ∈ R₀
this : Fintype ↑R₀
R : Finset G := R₀.toFinset
hR : ↑R ∈ rightTransversals ↑H
\u22a2 ∃ T, T.card ≤ H.index * S.card ∧ closure ↑T = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R✝ S✝ : Set G
inst✝ : H.FiniteIndex
S : Finset G
hS : closure ↑S = ⊤
this✝¹ : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex
this✝ : DecidableEq G
R₀ : Set G
this : Fintype ↑R₀
R : Finset G := R₀.toFinset
hR : ↑R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
\u22a2 ∃ T, T.card ≤ H.index * S.card ∧ closure ↑T = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R✝ S✝ : Set G
inst✝ : H.FiniteIndex
S : Finset G
hS : closure ↑S = ⊤
this✝¹ : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex
this✝ : DecidableEq G
R₀ : Set G
this : Fintype ↑R₀
R : Finset G := R₀.toFinset
hR : ↑R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
\u22a2 (Finset.image (fun g => ⟨g * (↑(toFun hR g))⁻¹, ⋯⟩) (R * S)).card ≤ H.index * S.card
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R✝ S✝ : Set G
inst✝ : H.FiniteIndex
S : Finset G
hS : closure ↑S = ⊤
this✝¹ : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex
this✝ : DecidableEq G
R₀ : Set G
this : Fintype ↑R₀
R : Finset G := R₀.toFinset
hR : ↑R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
\u22a2 R.card = H.index
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
x✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : Fintype.card G = p
g g' : G
hg : g ≠ 1
\u22a2 g' ∈ zpowers g
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s : Set α
a : α
hs : ∀ i ∈ s, i < a
\u22a2 ThreeGPFree (insert a s) ↔ ThreeGPFree s ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s : Set α
a : α
hs : ∀ i ∈ s, i < a
\u22a2 (ThreeGPFree s ∧ (∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → b * c = a * a → b = a) ↔ ThreeGPFree s ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s : Set α
a : α
hs : ∀ i ∈ s, i < a
\u22a2 ((ThreeGPFree s ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → b * c = a * a → b = a) ↔ ThreeGPFree s ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p'✝ : Filter α
g : ι → α
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
inst✝ : UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
f' : α' → β'
p' : Filter ι'
h : TendstoUniformly F f p
h' : TendstoUniformly F' f' p'
\u22a2 TendstoUniformly (fun i => Prod.map (F i.1) (F' i.2)) (Prod.map f f') (p ×ˢ p')
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p'✝ : Filter α
g : ι → α
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
inst✝ : UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
f' : α' → β'
p' : Filter ι'
h : TendstoUniformlyOn F f p univ
h' : TendstoUniformlyOn F' f' p' univ
\u22a2 TendstoUniformlyOn (fun i => Prod.map (F i.1) (F' i.2)) (Prod.map f f') (p ×ˢ p') (univ ×ˢ univ)
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
hK : IsPGroup p ↥K
hHK : H ≤ K
a b : ↥H
h : (Subgroup.inclusion hHK) a = (Subgroup.inclusion hHK) b
\u22a2 ↑((Subgroup.inclusion hHK) a) = ↑((Subgroup.inclusion hHK) b)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : T3Space α
γ : β → Type u_5
f : (b : β) × γ b → α
g : β → α
a : α
ha : HasProd g a
hf : ∀ (b : β), HasProd (fun c => f ⟨b, c⟩) (g b)
hf' : Multipliable f
\u22a2 HasProd f a
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Action.lean
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
c : G
s : Set α
\u22a2 μ (c • s) = μ s
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
h : ∀ (x y : X), Inseparable x y → ∃ s, x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ T0Space ↑s
s : Set X
hs : T0Space ↑s
x y : { x // x ∈ s }
hxy : Inseparable ↑x ↑y
\u22a2 ↑x = ↑y
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
h : ∀ (x y : X), Inseparable x y → ∃ s, x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ T0Space ↑s
s : Set X
hs : T0Space ↑s
x y : { x // x ∈ s }
hxy : Inseparable x y
\u22a2 ↑x = ↑y
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α
\u22a2 c ∈ s ○ t ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = c
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
s : Multiset α
x y z : α
\u22a2 (fun x x_1 => x * x_1) ((fun x x_1 => x * x_1) x y) z = (fun x x_1 => x * x_1) ((fun x x_1 => x * x_1) x z) y
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
s : Multiset α
\u22a2 foldl (fun x y => y * x) ⋯ 1 s = foldl (fun x x_1 => x * x_1) ⋯ 1 s
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Contractible.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : ContractibleSpace X
inst✝ : ContractibleSpace Y
\u22a2 Nonempty (X ≃ₕ Y)
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Contractible.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : ContractibleSpace X
inst✝ : ContractibleSpace Y
h : X ≃ₕ Unit
\u22a2 Nonempty (X ≃ₕ Y)
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Contractible.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : ContractibleSpace X
inst✝ : ContractibleSpace Y
h : X ≃ₕ Unit
h' : Y ≃ₕ Unit
\u22a2 Nonempty (X ≃ₕ Y)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p q : α → Prop
l✝ : List α
x : α
l : List α
\u22a2 Forall p (x :: l) ↔ ∀ (x_1 : α), x_1 ∈ x :: l → p x_1
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
G : Type u_4
x : E
\u22a2 ⟪x, I • x⟫_ℝ = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝² : Group N
P : Type u_6
inst✝¹ : Group P
η : Type u_7
f : η → Type u_8
inst✝ : (i : η) → Group (f i)
I : Set η
x : (i : η) → f i
\u22a2 (x ∈ pi I fun i => ⊤) ↔ x ∈ ⊤
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Preorder M
inst✝¹ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l : List M
n : M
h : ∀ x ∈ l, x ≤ n
\u22a2 l.prod ≤ n ^ l.length
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_3
Y : ?m.22013
A✝ : Type ?u.22022
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace A✝
E : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace A
p : E → X
sep : IsSeparatedMap p
inj : IsLocallyInjective p
s : Set A
hs : IsPreconnected s
g g₁ g₂ : A → E
h₁ : ContinuousOn g₁ s
h₂ : ContinuousOn g₂ s
he : Set.EqOn (p ∘ g₁) (p ∘ g₂) s
a : A
has : a ∈ s
ha : g₁ a = g₂ a
\u22a2 Set.EqOn g₁ g₂ s
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_3
Y : ?m.22013
A✝ : Type ?u.22022
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace A✝
E : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace A
p : E → X
sep : IsSeparatedMap p
inj : IsLocallyInjective p
s : Set A
hs : IsPreconnected s
g g₁ g₂ : A → E
h₁ : ContinuousOn g₁ s
h₂ : ContinuousOn g₂ s
he : s.restrict (p ∘ g₁) = s.restrict (p ∘ g₂)
a : A
has : a ∈ s
ha : g₁ a = g₂ a
\u22a2 s.restrict g₁ = s.restrict g₂
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_3
Y : ?m.22013
A✝ : Type ?u.22022
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace A✝
E : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace A
p : E → X
sep : IsSeparatedMap p
inj : IsLocallyInjective p
s : Set A
hs : IsPreconnected s
g g₁ g₂ : A → E
h₁ : Continuous (s.restrict g₁)
h₂ : Continuous (s.restrict g₂)
he : s.restrict (p ∘ g₁) = s.restrict (p ∘ g₂)
a : A
has : a ∈ s
ha : g₁ a = g₂ a
\u22a2 s.restrict g₁ = s.restrict g₂
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_3
Y : ?m.22013
A✝ : Type ?u.22022
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace A✝
E : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace A
p : E → X
sep : IsSeparatedMap p
inj : IsLocallyInjective p
s : Set A
hs : PreconnectedSpace ↑s
g g₁ g₂ : A → E
h₁ : Continuous (s.restrict g₁)
h₂ : Continuous (s.restrict g₂)
he : s.restrict (p ∘ g₁) = s.restrict (p ∘ g₂)
a : A
has : a ∈ s
ha : g₁ a = g₂ a
\u22a2 s.restrict g₁ = s.restrict g₂
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
h₀ : m ∅ = 0
hs : ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t
\u22a2 MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
h₀ : m ∅ = 0
hs : ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t
\u22a2 ∀ (t : Set α), (OuterMeasure.ofFunction m h₀) (t ∩ s) + (OuterMeasure.ofFunction m h₀) (t \ s) ≤ (OuterMeasure.ofFunction m h₀) t
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
h₀ : m ∅ = 0
hs : ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t
t : Set α
f : ℕ → Set α
hf : t ⊆ ⋃ i, f i
\u22a2 (OuterMeasure.ofFunction m h₀) (t ∩ s) + (OuterMeasure.ofFunction m h₀) (t \ s) ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
h₀ : m ∅ = 0
hs : ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t
t : Set α
f : ℕ → Set α
hf : t ⊆ ⋃ i, f i
\u22a2 t ∩ s ⊆ ⋃ i, (fun i => f i ∩ s) i
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
h₀ : m ∅ = 0
hs : ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t
t : Set α
f : ℕ → Set α
hf : t ⊆ ⋃ i, f i
\u22a2 t \ s ⊆ ⋃ i, (fun i => f i \ s) i
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
h₀ : m ∅ = 0
hs : ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t
t : Set α
f : ℕ → Set α
hf : t ⊆ ⋃ i, f i
\u22a2 ∑' (i : ℕ), m ((fun i => f i ∩ s) i) + ∑' (i : ℕ), m ((fun i => f i \ s) i) ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf : Integrable f μ
\u22a2 (ν.withDensityᵥ fun x => (μ.rnDeriv ν x).toReal • f x) = μ.withDensityᵥ f
-- Mathlib/Order/Interval/Set/ProjIcc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x✝ : α
f : α → β
ha : ∀ x < a, f x = f a
hb : ∀ (x : α), b < x → f x = f b
x : α
\u22a2 IccExtend h (f ∘ Subtype.val) x = f x
-- Mathlib/Order/Interval/Set/ProjIcc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x✝ : α
f : α → β
ha : ∀ x < a, f x = f a
hb : ∀ (x : α), b < x → f x = f b
x : α
hxa : x < a
\u22a2 IccExtend h (f ∘ Subtype.val) x = f x
-- Mathlib/Order/Interval/Set/ProjIcc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x✝ : α
f : α → β
ha : ∀ x < a, f x = f a
hb : ∀ (x : α), b < x → f x = f b
x : α
hax : a ≤ x
\u22a2 IccExtend h (f ∘ Subtype.val) x = f x
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
α a : K
e : α ^ n = a
\u22a2 Splits (RingHom.id K) (X ^ n - C a)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/WithTop.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : LT α
s : Finset ι
f : ι → WithBot α
\u22a2 ∑ i ∈ s, f i = ⊥ ↔ ∃ i ∈ s, f i = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
M✝ N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : LinearOrder m
M : Matrix m m R
h : M.BlockTriangular ⇑toDual
\u22a2 M.det = ∏ i : m, M i i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
M✝ N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : LinearOrder m
M : Matrix m m R
h : M.BlockTriangular ⇑toDual
\u22a2 Mᵀ.det = ∏ i : m, M i i
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
\u22a2 maximalIdeal ℤ_[p] = Ideal.span {↑p}
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
\u22a2 maximalIdeal ℤ_[p] ≤ Ideal.span {↑p}
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
\u22a2 Ideal.span {↑p} ≤ maximalIdeal ℤ_[p]
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
\u22a2 (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ 𝟙_ C ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv = (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ 𝟙_ C ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
\u22a2 (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ 𝟙 (𝟙_ C) ▷ 𝟙_ C = (λ_ (𝟙_ C)).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
\u22a2 (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ 𝟙_ C ◁ 𝟙 (𝟙_ C) = (ρ_ (𝟙_ C)).inv
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
p : TangentBundle I M
q : TangentBundle I H
h : q.proj ∈ (chartAt H p.proj).target
\u22a2 { proj := ↑(chartAt H p.proj).symm q.proj, snd := (mfderiv I I (↑(chartAt H p.proj).symm) q.proj) q.snd } = ↑(chartAt (ModelProd H E) p).symm ((TotalSpace.toProd H E) q)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
p : TangentBundle I M
q : TangentBundle I H
h : q.proj ∈ (chartAt H p.proj).target
\u22a2 { proj := ↑(chartAt H p.proj).symm q.proj, snd := (fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I I q.proj ↑(chartAt H p.proj).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I q.proj) q.proj)) q.snd } = ↑(chartAt (ModelProd H E) p).symm ((TotalSpace.toProd H E) q)