ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Truncated.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n₁ n₂ n₃ : ℕ
h1 : n₁ ≤ n₂
h2 : n₂ ≤ n₃
x : TruncatedWittVector p n₃ R
\u22a2 ((truncate h1).comp (truncate h2)) x = (truncate ⋯) x
-- Mathlib/AlgebraicTopology/AlternatingFaceMapComplex.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
A : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.75369, u_2} A
inst✝ : Abelian A
X Y : CosimplicialObject C
n : ℕ
\u22a2 objD X n ≫ objD X (n + 1) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
\u22a2 cosZeta (↑x) (2 * ↑k) = (-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k) / 2 / ↑(2 * k)! * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
\u22a2 ∑' (b : ℕ), ↑(Real.cos (2 * π * x * ↑b)) / ↑b ^ (2 * ↑k) = (-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k) / 2 / ↑(2 * k)! * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
\u22a2 1 < (2 * ↑k).re
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u a : αˣ
\u22a2 ↑a = 1 ↔ a = 1
-- Mathlib/Algebra/Group/AddChar.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid B
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
ψ✝ : AddChar A M
f : M →* N
hf : Injective ⇑f
ψ χ : AddChar B M
h : (fun ψ => f.compAddChar ψ) ψ = (fun ψ => f.compAddChar ψ) χ
\u22a2 ψ = χ
-- Mathlib/Algebra/Group/AddChar.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid B
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
ψ✝ : AddChar A M
f : M →* N
hf : Injective ⇑f
ψ χ : AddChar B M
h : ⇑((fun ψ => f.compAddChar ψ) ψ) = ⇑((fun ψ => f.compAddChar ψ) χ)
\u22a2 ⇑ψ = ⇑χ
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
x y : α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : SemilatticeInf β
hf : AntitoneOn f s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
\u22a2 f (x ⊔ y) = f x ⊓ f y
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
t : Finset β
e : α ≃ β
hst : ∀ (i : α), i ∈ s ↔ e i ∈ t
\u22a2 s.card = t.card
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
f : α ≃ₜ β
K : Set β
hK : IsCompact K
\u22a2 (Measure.map (⇑f) μ) K < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
f : α ≃ₜ β
K : Set β
hK : IsCompact K
\u22a2 μ (⇑f.toMeasurableEquiv ⁻¹' K) < ⊤
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ b a : α
s t : Multiset α
h : a ∉ t
\u22a2 (s + t).erase a = s.erase a + t
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
\u22a2 Continuous ⊥
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
\u22a2 Continuous (sSup ∅)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
ha₀ : 0 < a
ha₁ : a ≠ 1
\u22a2 Injective fun x => a ^ x
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
ha₀ : 0 < a
ha₁✝ : a ≠ 1
ha₁ : a < 1
\u22a2 Injective fun x => a ^ x
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
ha₀ : 0 < a
ha₁✝ : a ≠ 1
ha₁ : 1 < a
\u22a2 Injective fun x => a ^ x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
x : n → R
\u22a2 0 ≤ star x ⬝ᵥ 1 *ᵥ x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
x : n → R
\u22a2 0 ≤ star x ⬝ᵥ x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y z : E
\u22a2 ⟪x - y, z⟫_𝕜 = ⟪x, z⟫_𝕜 - ⟪y, z⟫_𝕜
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
l : List α
a : α
\u22a2 [a] <+~ l ↔ a ∈ l
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
l : List α
a : α
x✝ : [a] <+~ l
s : List α
hla : s ~ [a]
h : s <+ l
\u22a2 a ∈ l
-- Mathlib/GroupTheory/CommutingProbability.lean
M : Type u_1
inst✝² : Mul M
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Mul β
\u22a2 commProb (α → β) = commProb β ^ card α
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/PInfty.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
\u22a2 𝟙 (X _[0]) - 𝟙 (X _[0]) = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x : E
hA : Convex 𝕜 A
\u22a2 x ∈ extremePoints 𝕜 A ↔ x ∈ A ∧ Convex 𝕜 (A \ {x})
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x : E
hA : Convex 𝕜 A
\u22a2 x ∈ A ∧ Convex 𝕜 (A \ {x}) → x ∈ extremePoints 𝕜 A
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x : E
hA : Convex 𝕜 A
hxA : x ∈ A
hAx : Convex 𝕜 (A \ {x})
\u22a2 x ∈ extremePoints 𝕜 A
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x : E
hA : Convex 𝕜 A
hxA : x ∈ A
hAx : Convex 𝕜 (A \ {x})
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ A
hx : x ∈ [x₁-[𝕜]x₂]
\u22a2 x₁ = x ∨ x₂ = x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x : E
hA : Convex 𝕜 A
hxA : x ∈ A
hAx : ∀ ⦃x_1 : E⦄, x_1 ∈ A \ {x} → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ A \ {x} → [x_1-[𝕜]y] ⊆ A \ {x}
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ A
hx : x ∈ [x₁-[𝕜]x₂]
\u22a2 x₁ = x ∨ x₂ = x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x : E
hA : Convex 𝕜 A
hxA : x ∈ A
hAx : ∀ ⦃x_1 : E⦄, x_1 ∈ A \ {x} → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ A \ {x} → [x_1-[𝕜]y] ⊆ A \ {x}
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ A
hx : x ∈ [x₁-[𝕜]x₂]
h : x₁ ≠ x ∧ x₂ ≠ x
\u22a2 False
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
s t : Set α
\u22a2 s.WellFoundedOn r ↔ ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ s
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
s t : Set α
\u22a2 Nonempty ((fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun a b => r a b ∧ a ∈ s ∧ b ∈ s) ↔ ∃ x, ∀ (n : ℕ), x n ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Marginal.lean
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y✝ : (i : δ) → π i
i✝ i : δ
hi : i ∈ s
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x : (i : δ) → π i
y : π i
\u22a2 (∫⋯∫⁻_s, f ∂μ) (update x i y) = (∫⋯∫⁻_s, f ∂μ) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Marginal.lean
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y✝ : (i : δ) → π i
i✝ i : δ
hi : i ∈ s
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x : (i : δ) → π i
y : π i
\u22a2 ∀ i_1 ∉ s, update x i y i_1 = x i_1
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Marginal.lean
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y✝ : (i : δ) → π i
i✝ i : δ
hi : i ∈ s
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x : (i : δ) → π i
y : π i
j : δ
hj : j ∉ s
this : j ≠ i
\u22a2 update x i y j = x j
-- Mathlib/Data/Finset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
n : ℕ
\u22a2 (s.sym n).Nonempty ↔ n = 0 ∨ s.Nonempty
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
k : ℕ
r : ℝ
hr : |r| < 1
h0 : ¬r = 0
\u22a2 Tendsto (fun n => ↑n ^ k * r ^ n) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
k : ℕ
r : ℝ
hr : |r| < 1
h0 : ¬r = 0
hr' : 1 < |r|⁻¹
\u22a2 Tendsto (fun n => ↑n ^ k * r ^ n) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
k : ℕ
r : ℝ
hr : |r| < 1
h0 : ¬r = 0
hr' : 1 < |r|⁻¹
\u22a2 Tendsto (fun x => ‖↑x ^ k * r ^ x‖) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Algebra/Group/Commute/Defs.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : DivisionMonoid G
a b c d : G
hab : Commute a b
\u22a2 (a * b)⁻¹ = a⁻¹ * b⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
\u22a2 s.SSameSide x y ↔ x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
\u22a2 x ∉ s → (y ∉ s ∧ (x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)) ↔ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
hx : x ∉ s
\u22a2 y ∉ s ∧ (x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)) ↔ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
M₁ : Type v
M₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
f m : Dual R M₁
\u22a2 m ∈ range (dualMap f) ↔ m ∈ Submodule.span R {f}
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
M₁ : Type v
M₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
f m : Dual R M₁
\u22a2 m ∈ range (dualMap f) ↔ ∃ a, a • f = m
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Sum.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
x : Finset α
h0 : x.Nonempty
\u22a2 ∑ m ∈ x.powerset, (-1) ^ m.card = 0
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
a b : ℤ
hb0 : 0 < b
h : a.natAbs.Coprime b.natAbs
\u22a2 ↑(↑a / ↑b).den = b
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
x : ℕ
h : p x
\u22a2 ∃ n, (∀ (hf : (setOf p).Finite), n < hf.toFinset.card) ∧ nth p n = x
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
x : ℕ
h : p x
hf : (setOf p).Finite
\u22a2 ∃ n, (∀ (hf : (setOf p).Finite), n < hf.toFinset.card) ∧ nth p n = x
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
x : ℕ
h : p x
hf : (setOf p).Infinite
\u22a2 ∃ n, (∀ (hf : (setOf p).Finite), n < hf.toFinset.card) ∧ nth p n = x
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : NumDenSameDeg 𝒜 x
h : f.den = 0
\u22a2 mk f = 0
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : NumDenSameDeg 𝒜 x
h : f.den = 0
this : Subsingleton (HomogeneousLocalization 𝒜 x)
\u22a2 mk f = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
re✝¹ im✝¹ re✝ im✝ : ℤ
\u22a2 toComplex { re := re✝¹, im := im✝¹ } = toComplex { re := re✝, im := im✝ } ↔ { re := re✝¹, im := im✝¹ } = { re := re✝, im := im✝ }
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
a : Cauchy abs
\u22a2 (Real.neg { cauchy := a }).cauchy = -{ cauchy := a }.cauchy
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
c : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
\u22a2 ∃ p, ∀ x ∈ Set.Icc a b, |Polynomial.eval x p - f x| < ε
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
c : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
f' : C(↑(Set.Icc a b), ℝ) := { toFun := fun x => f ↑x, continuous_toFun := ⋯ }
\u22a2 ∃ p, ∀ x ∈ Set.Icc a b, |Polynomial.eval x p - f x| < ε
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
a b✝ : ℝ
f : ℝ → ℝ
c : ContinuousOn f (Set.Icc a b✝)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
f' : C(↑(Set.Icc a b✝), ℝ) := { toFun := fun x => f ↑x, continuous_toFun := ⋯ }
p : ℝ[X]
b : ‖p.toContinuousMapOn (Set.Icc a b✝) - f'‖ < ε
\u22a2 ∃ p, ∀ x ∈ Set.Icc a b✝, |Polynomial.eval x p - f x| < ε
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
a b✝ : ℝ
f : ℝ → ℝ
c : ContinuousOn f (Set.Icc a b✝)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
f' : C(↑(Set.Icc a b✝), ℝ) := { toFun := fun x => f ↑x, continuous_toFun := ⋯ }
p : ℝ[X]
b : ‖p.toContinuousMapOn (Set.Icc a b✝) - f'‖ < ε
\u22a2 ∀ x ∈ Set.Icc a b✝, |Polynomial.eval x p - f x| < ε
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
a b✝ : ℝ
f : ℝ → ℝ
c : ContinuousOn f (Set.Icc a b✝)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
f' : C(↑(Set.Icc a b✝), ℝ) := { toFun := fun x => f ↑x, continuous_toFun := ⋯ }
p : ℝ[X]
b : ∀ (x : ↑(Set.Icc a b✝)), ‖(p.toContinuousMapOn (Set.Icc a b✝) - f') x‖ < ε
\u22a2 ∀ x ∈ Set.Icc a b✝, |Polynomial.eval x p - f x| < ε
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Classes/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ord α
inst✝ : Ord β
\u22a2 compare = compareLex (compareOn fun x => x.fst) (compareOn fun x => x.snd)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Classes/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ord α
inst✝ : Ord β
a b : α × β
\u22a2 compare a b = compareLex (compareOn fun x => x.fst) (compareOn fun x => x.snd) a b
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0∞
hf0 : tsum f ≠ 0
hf : tsum f ≠ ⊤
a : α
\u22a2 a ∈ (normalize f hf0 hf).support ↔ a ∈ Function.support f
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
h : 0 < ⌊a⌋₊
ha : a ≤ 0
\u22a2 0 < 0
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
hab : 0 < a * b
\u22a2 0 < a ∧ 0 < b ∨ a < 0 ∧ b < 0
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
hab : 0 < a * b
ha : a < 0
\u22a2 0 < a ∧ 0 < b ∨ a < 0 ∧ b < 0
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
hab : 0 < 0 * b
\u22a2 0 < 0 ∧ 0 < b ∨ 0 < 0 ∧ b < 0
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
hab : 0 < a * b
ha : 0 < a
\u22a2 0 < a ∧ 0 < b ∨ a < 0 ∧ b < 0
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
B : Finset (Finset α)
n : ℕ
h : ∀ a ∈ s, (filter (fun x => a ∈ x) B).card ≤ n
\u22a2 ∑ t ∈ B, (s ∩ t).card ≤ s.card * n
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
B : Finset (Finset α)
n : ℕ
h : ∀ a ∈ s, (filter (fun x => a ∈ x) B).card ≤ n
\u22a2 ∑ t ∈ B, (s ∩ t).card ≤ ∑ x ∈ s, (filter (fun x_1 => x ∈ x_1) B).card
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
B : Finset (Finset α)
n : ℕ
h : ∀ a ∈ s, (filter (fun x => a ∈ x) B).card ≤ n
\u22a2 (∑ x ∈ B, ∑ a ∈ s, if a ∈ x then 1 else 0) ≤ ∑ x ∈ s, ∑ a ∈ B, if x ∈ a then 1 else 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/AsSubring.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
S : Submonoid A
hS : S ≤ A⁰
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsFractionRing A K
B : Type u_3
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsLocalization S B
x : K
\u22a2 x ∈ (mapToFractionRing K S B hS).range ↔ ∃ a s, ∃ (_ : s ∈ S), x = (algebraMap A K) a * ((algebraMap A K) s)⁻¹
-- Mathlib/RingTheory/Localization/AsSubring.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
S : Submonoid A
hS : S ≤ A⁰
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsFractionRing A K
B : Type u_3
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsLocalization S B
x : K
\u22a2 (∃ a s, ∃ (hs : s ∈ S), x = IsLocalization.mk' K a ⟨s, ⋯⟩) ↔ ∃ a s, ∃ (_ : s ∈ S), x = (algebraMap A K) a * ((algebraMap A K) s)⁻¹
-- Mathlib/RingTheory/Localization/AsSubring.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
S : Submonoid A
hS : S ≤ A⁰
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsFractionRing A K
B : Type u_3
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsLocalization S B
x : K
x✝² x✝¹ : A
x✝ : x✝¹ ∈ S
\u22a2 (algebraMap A K) x✝² * ((algebraMap A K) x✝¹)⁻¹ = IsLocalization.mk' K x✝² ⟨x✝¹, ⋯⟩
-- Mathlib/RingTheory/Localization/AsSubring.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
S : Submonoid A
hS : S ≤ A⁰
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsFractionRing A K
B : Type u_3
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsLocalization S B
x : K
x✝² x✝¹ : A
x✝ : x✝¹ ∈ S
\u22a2 ((algebraMap A K) x✝¹)⁻¹ = ↑((IsUnit.liftRight ((IsLocalization.toLocalizationMap A⁰ K).toMap.restrict A⁰) ⋯) ⟨x✝¹, ⋯⟩)⁻¹
-- Mathlib/RingTheory/Localization/AsSubring.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
S : Submonoid A
hS : S ≤ A⁰
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsFractionRing A K
B : Type u_3
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsLocalization S B
x : K
x✝² x✝¹ : A
x✝ : x✝¹ ∈ S
\u22a2 ((algebraMap A K) x✝¹)⁻¹ = (↑((IsUnit.liftRight ((IsLocalization.toLocalizationMap A⁰ K).toMap.restrict A⁰) ⋯) ⟨x✝¹, ⋯⟩))⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
\u22a2 setToSimpleFunc T (piecewise s hs (const α x) (const α 0)) = (T s) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
x : F
hs : MeasurableSet ∅
\u22a2 setToSimpleFunc T (piecewise ∅ hs (const α x) (const α 0)) = (T ∅) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : s.Nonempty
\u22a2 setToSimpleFunc T (piecewise s hs (const α x) (const α 0)) = (T s) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : s.Nonempty
\u22a2 ∑ x_1 ∈ (piecewise s hs (const α x) (const α 0)).range, (T (↑(piecewise s hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x_1})) x_1 = (T s) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
x : F
hs : MeasurableSet Set.univ
hs_empty : Set.univ.Nonempty
\u22a2 ∑ x_1 ∈ (piecewise Set.univ hs (const α x) (const α 0)).range, (T (↑(piecewise Set.univ hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x_1})) x_1 = (T Set.univ) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
m : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : F
hs_empty : s.Nonempty
hs_univ : s ≠ Set.univ
\u22a2 ∑ x_1 ∈ (piecewise s hs (const α x) (const α 0)).range, (T (↑(piecewise s hs (const α x) (const α 0)) ⁻¹' {x_1})) x_1 = (T s) x