ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Sub.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
h_meas_s : MeasurableSet s
\u22a2 (μ - ν).restrict s = μ.restrict s - ν.restrict s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Sub.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
h_meas_s : MeasurableSet s
\u22a2 (sInf {d | μ ≤ d + ν}).restrict s = sInf {d | μ.restrict s ≤ d + ν.restrict s}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Sub.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
h_meas_s : MeasurableSet s
h_nonempty : {d | μ ≤ d + ν}.Nonempty
\u22a2 (sInf {d | μ ≤ d + ν}).restrict s = sInf {d | μ.restrict s ≤ d + ν.restrict s}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Sub.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
h_meas_s : MeasurableSet s
h_nonempty : {d | μ ≤ d + ν}.Nonempty
\u22a2 sInf ((fun μ => μ.restrict s) '' {d | μ ≤ d + ν}) = sInf {d | μ.restrict s ≤ d + ν.restrict s}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Sub.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
h_meas_s : MeasurableSet s
h_nonempty : {d | μ ≤ d + ν}.Nonempty
\u22a2 sInf ((fun μ => μ.restrict s) '' {d | μ ≤ d + ν}) ≤ sInf {d | μ.restrict s ≤ d + ν.restrict s}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Sub.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
h_meas_s : MeasurableSet s
h_nonempty : {d | μ ≤ d + ν}.Nonempty
\u22a2 sInf {d | μ.restrict s ≤ d + ν.restrict s} ≤ sInf ((fun μ => μ.restrict s) '' {d | μ ≤ d + ν})
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
\u22a2 x ≤ y ^ z ↔ log x ≤ z * log y
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Units.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
y z a b : α
ha : a ∣ y
hb : b ∣ z
H1 : IsRelPrime (a * b) z
H2 : a * b ∣ y * z
h : IsPrimal (a * b)
\u22a2 a * b ∣ y
-- Mathlib/Order/Sublattice.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
L M : Sublattice α
f✝ : LatticeHom α β
s t : Set α
a : α
f : ι → Sublattice α
\u22a2 a ∈ ⨅ i, f i ↔ ∀ (i : ι), a ∈ f i
-- Mathlib/Order/Sublattice.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
L M : Sublattice α
f✝ : LatticeHom α β
s t : Set α
a : α
f : ι → Sublattice α
\u22a2 a ∈ ↑(⨅ i, f i) ↔ ∀ (i : ι), a ∈ f i
-- Mathlib/Data/Matrix/PEquiv.lean
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix l m α
f : m ≃. n
i : l
j : n
\u22a2 (M * f.toMatrix) i j = Option.casesOn (f.symm j) 0 fun fj => M i fj
-- Mathlib/Data/Matrix/PEquiv.lean
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix l m α
f : m ≃. n
i : l
j : n
\u22a2 (∑ j_1 : m, M i j_1 * if j ∈ f j_1 then 1 else 0) = Option.rec 0 (fun val => M i val) (f.symm j)
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
n : ℕ+
m : ℕ
u : PrimeMultiset := n.factorMultiset
\u22a2 (n ^ m).factorMultiset = m • n.factorMultiset
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
n : ℕ+
m : ℕ
u : PrimeMultiset := n.factorMultiset
this : n = u.prod
\u22a2 (n ^ m).factorMultiset = m • n.factorMultiset
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
n : ℕ+
m : ℕ
u : PrimeMultiset := n.factorMultiset
this : n = u.prod
\u22a2 (m • u).prod.factorMultiset = m • u.prod.factorMultiset
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
\u22a2 padicValNat p (p * n)! = padicValNat p n ! + n
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
\u22a2 ↑(padicValNat p (p * n)!) = ↑(padicValNat p n ! + n)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
\u22a2 multiplicity p (p * n)! = multiplicity p n ! + ↑n
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹³ : Field A
inst✝¹² : Ring B
inst✝¹¹ : Algebra A B
x : B
R : Type u_3
S : Type u_4
K : Type u_5
L : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CommRing L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsScalarTower R S L
s : S
\u22a2 minpoly K ((algebraMap S L) s) ∣ map (algebraMap R K) (minpoly R s)
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹³ : Field A
inst✝¹² : Ring B
inst✝¹¹ : Algebra A B
x : B
R : Type u_3
S : Type u_4
K : Type u_5
L : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CommRing L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsScalarTower R S L
s : S
\u22a2 (Polynomial.aeval ((algebraMap S L) s)) (map (algebraMap R K) (minpoly R s)) = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹³ : Field A
inst✝¹² : Ring B
inst✝¹¹ : Algebra A B
x : B
R : Type u_3
S : Type u_4
K : Type u_5
L : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CommRing L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsScalarTower R S L
s : S
\u22a2 (algebraMap K L).comp (algebraMap R K) = (algebraMap S L).comp (algebraMap R S)
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ k
\u22a2 ζ ^ ↑k = 1
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ k
\u22a2 ζ ^ k = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
\u22a2 ∫⁻ (a : α), ⨆ b, f b a ∂μ = ⨆ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
val✝ : Encodable β
\u22a2 ∫⁻ (a : α), ⨆ b, f b a ∂μ = ⨆ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
val✝ : Encodable β
h✝ : IsEmpty β
\u22a2 ∫⁻ (a : α), ⨆ b, f b a ∂μ = ⨆ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
val✝ : Encodable β
h✝ : Nonempty β
\u22a2 ∫⁻ (a : α), ⨆ b, f b a ∂μ = ⨆ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
val✝ : Encodable β
h✝ : Nonempty β
inhabited_h : Inhabited β
\u22a2 ∫⁻ (a : α), ⨆ b, f b a ∂μ = ⨆ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f
val✝ : Encodable β
h✝ : Nonempty β
inhabited_h : Inhabited β
this : ∀ (a : α), ⨆ b, f b a = ⨆ n, f (Directed.sequence f h_directed n) a
\u22a2 ∫⁻ (a : α), ⨆ b, f b a ∂μ = ⨆ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
\u22a2 ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
\u22a2 ∀ (c : F') {s_1 : Set α} (hs : MeasurableSet s_1) (hμs : μ s_1 < ⊤), (fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ) ↑(simpleFunc.indicatorConst 1 hs ⋯ c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
\u22a2 ∀ ⦃f g : α → F'⦄ (hf : Memℒp f 1 μ) (hg : Memℒp g 1 μ), Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → (fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ) (Memℒp.toLp f hf) → (fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ) (Memℒp.toLp g hg) → (fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ) (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
\u22a2 Continuous fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f) x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
\u22a2 Continuous fun f => ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
\u22a2 Tendsto μs F (𝓝 μ) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => (μs i).toWeakDualBCNN f) F (𝓝 (μ.toWeakDualBCNN f))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
\u22a2 (∀ (y : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ((topDualPairing ℝ≥0 (Ω →ᵇ ℝ≥0)) (μs i).toWeakDualBCNN) y) F (𝓝 (((topDualPairing ℝ≥0 (Ω →ᵇ ℝ≥0)) μ.toWeakDualBCNN) y))) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => (μs i).toWeakDualBCNN f) F (𝓝 (μ.toWeakDualBCNN f))
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime (x * y) z
\u22a2 IsCoprime y z
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime (y * x) z
\u22a2 IsCoprime y z
-- Mathlib/RingTheory/Presentation.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Presentation R S
i : P.rels
\u22a2 (aeval P.val) (P.relation i) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Presentation.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Presentation R S
i : P.rels
\u22a2 P.relation i ∈ Ideal.span (Set.range P.relation)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0
\u22a2 Tendsto arg (𝓝[{z | z.im < 0}] z) (𝓝 (-π))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0
\u22a2 Tendsto (fun x => Real.arcsin ((-x).im / abs x) - π) (𝓝[{z | z.im < 0}] z) (𝓝 (-π))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0
\u22a2 𝓝 (-π) = 𝓝 ((Real.arcsin ∘ (im ∘ Neg.neg / ⇑abs)) z - π)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im = 0
\u22a2 abs z ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : f.ker = ⊥
\u22a2 comap f (map f N) = N
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : f.ker = ⊥
\u22a2 ↑(comap f (map f N)) = ↑N
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Lemmas.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : NonAssocSemiring R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
ϕ : R →+* S
inst✝ : CharZero S
a b : ℕ
h : ↑a = ↑b
\u22a2 ↑a = ↑b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/Bilinear.lean
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
S : Type u_5
S₂ : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Rₗ : Type u_10
Mₗ : Type u_11
Nₗ : Type u_12
Pₗ : Type u_13
inst✝¹⁸ : Semiring R
inst✝¹⁷ : Semiring S
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring S₂
inst✝¹⁴ : CommSemiring Rₗ
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Mₗ
inst✝⁹ : AddCommMonoid Nₗ
inst✝⁸ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module S N
inst✝⁵ : Module R₂ P
inst✝⁴ : Module S₂ P
inst✝³ : Module Rₗ Mₗ
inst✝² : Module Rₗ Nₗ
inst✝¹ : Module Rₗ Pₗ
inst✝ : SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
b₁ : Basis ι₁ R M
b₂ : Basis ι₂ S N
b₁' : Basis ι₁ Rₗ Mₗ
b₂' : Basis ι₂ Rₗ Nₗ
B : M →ₛₗ[ρ₁₂] N →ₛₗ[σ₁₂] P
x : M
y : N
\u22a2 ((b₁.repr x).sum fun i xi => (b₂.repr y).sum fun j yj => ρ₁₂ xi • σ₁₂ yj • (B (b₁ i)) (b₂ j)) = (B x) y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/Bilinear.lean
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
S : Type u_5
S₂ : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Rₗ : Type u_10
Mₗ : Type u_11
Nₗ : Type u_12
Pₗ : Type u_13
inst✝¹⁸ : Semiring R
inst✝¹⁷ : Semiring S
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring S₂
inst✝¹⁴ : CommSemiring Rₗ
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Mₗ
inst✝⁹ : AddCommMonoid Nₗ
inst✝⁸ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module S N
inst✝⁵ : Module R₂ P
inst✝⁴ : Module S₂ P
inst✝³ : Module Rₗ Mₗ
inst✝² : Module Rₗ Nₗ
inst✝¹ : Module Rₗ Pₗ
inst✝ : SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
b₁ : Basis ι₁ R M
b₂ : Basis ι₂ S N
b₁' : Basis ι₁ Rₗ Mₗ
b₂' : Basis ι₂ Rₗ Nₗ
B : M →ₛₗ[ρ₁₂] N →ₛₗ[σ₁₂] P
x : M
y : N
\u22a2 ((b₁.repr x).sum fun i xi => (b₂.repr y).sum fun j yj => ρ₁₂ xi • σ₁₂ yj • (B (b₁ i)) (b₂ j)) = (B ((Finsupp.total ι₁ M R ⇑b₁) (b₁.repr x))) ((Finsupp.total ι₂ N S ⇑b₂) (b₂.repr y))
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Basic.lean
k : Type u
inst✝⁶ : Field k
F : Type u_1
K : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field A
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra F A
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
L : IntermediateField F A
hL : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F ↥L) (minpoly F x)
f : K →ₐ[F] A
x : K
\u22a2 Splits (algebraMap F ↥L) (minpoly F (f x))
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Basic.lean
k : Type u
inst✝⁶ : Field k
F : Type u_1
K : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field A
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra F A
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
L : IntermediateField F A
hL : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F ↥L) (minpoly F x)
f : K →ₐ[F] A
x : K
\u22a2 Splits (algebraMap F ↥L) (minpoly F x)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a✝ b✝ : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q : R[X]
S : Type u_1
inst✝ : SMulZeroClass S R
a : S
n : ℕ
b : R
\u22a2 a • Finsupp.single n b = Finsupp.single n (a • b)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/ZModChar.lean
n : ℤ
hn : n % 4 = 3
\u22a2 χ₄ ↑n = -1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/ZModChar.lean
n : ℤ
hn : n % 4 = 3
\u22a2 χ₄ ↑3 = -1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : AddCommMonoid F
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
\u22a2 ConcaveOn 𝕜 s (-f) ↔ ConvexOn 𝕜 s f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Contraction.lean
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R
\u22a2 ↑(rTensorHomEquivHomRTensor R M P Q) = rTensorHomToHomRTensor R M P Q
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
\u22a2 T ⊨ᵇ φ ∨ T ⊨ᵇ Formula.not φ
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
\u22a2 T ⊨ᵇ φ ∨ T ⊨ᵇ Formula.not φ
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
\u22a2 (∀ (M : T.ModelType), ↑M ⊨ φ) ∨ ∀ (M : T.ModelType), ↑M ⊨ Formula.not φ
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
con : (∃ M, ¬↑M ⊨ φ) ∧ ∃ M, ¬↑M ⊨ Formula.not φ
\u22a2 False
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ¬↑MT ⊨ Formula.not φ
\u22a2 False
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ↑MT ⊨ φ
\u22a2 False
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ↑MT ⊨ φ
this✝ : Infinite ↑MT
this : Infinite ↑MF
\u22a2 ↑MF ⊨ φ
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ↑MT ⊨ φ
this✝ : Infinite ↑MT
this : Infinite ↑MF
NT : Bundled L.Structure
MNT : ↑MT ≅[L] ↑NT
hNT : #↑NT = κ
\u22a2 ↑MF ⊨ φ
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ↑MT ⊨ φ
this✝ : Infinite ↑MT
this : Infinite ↑MF
NT : Bundled L.Structure
MNT : ↑MT ≅[L] ↑NT
hNT : #↑NT = κ
NF : Bundled L.Structure
MNF : ↑MF ≅[L] ↑NF
hNF : #↑NF = κ
\u22a2 ↑MF ⊨ φ
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T : L.Theory
h : κ.Categorical T
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
hS : T.IsSatisfiable
hT : ∀ (M : T.ModelType), Infinite ↑M
φ : L.Sentence
w✝ : T.ModelType
h✝ : #↑w✝ = κ
MF : T.ModelType
hMF : ¬↑MF ⊨ φ
MT : T.ModelType
hMT : ↑MT ⊨ φ
this✝ : Infinite ↑MT
this : Infinite ↑MF
NT : Bundled L.Structure
MNT : ↑MT ≅[L] ↑NT
hNT : #↑NT = κ
NF : Bundled L.Structure
MNF : ↑MF ≅[L] ↑NF
hNF : #↑NF = κ
TF : ↑(ElementarilyEquivalent.toModel T MNT) ≃[L] ↑(ElementarilyEquivalent.toModel T MNF)
\u22a2 ↑MF ⊨ φ
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : SuccOrder α
a b : α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : NoMaxOrder α
\u22a2 a < succ ⊥ ↔ a = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Quotient.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a b : R
S : Type v
x✝ y x : R
\u22a2 (mk (span {x})) x = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℤ
this : ‖↑k‖ < 1 ↔ ↑p ∣ k
\u22a2 ‖↑k‖ < 1 ↔ ↑p ∣ k
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Functoriality.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
x : AdicCompletion I (Fin n → R)
\u22a2 (piEquivFin I n) x = (pi I fun x => R) x