ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
s : Fin n → R
y : R
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
φ : (MvPolynomial (Fin n) R)[X] →ₐ[R] R[X] := let __src := mapRingHom (eval s); { toRingHom := __src, commutes' := ⋯ }
\u22a2 ∀ (i : Fin (n + 1)), (aeval (Fin.cons y s)) (X i) = ((Polynomial.aeval y).comp (φ.comp ↑(finSuccEquiv R n))) (X i)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
s : Fin n → R
y : R
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
φ : (MvPolynomial (Fin n) R)[X] →ₐ[R] R[X] := let __src := mapRingHom (eval s); { toRingHom := __src, commutes' := ⋯ }
\u22a2 (aeval (Fin.cons y s)) (X 0) = ((Polynomial.aeval y).comp (φ.comp ↑(finSuccEquiv R n))) (X 0) ∧ ∀ (i : Fin n), (aeval (Fin.cons y s)) (X i.succ) = ((Polynomial.aeval y).comp (φ.comp ↑(finSuccEquiv R n))) (X i.succ)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
\u22a2 M.Coindep X ↔ ∃ B, M.Base B ∧ B ⊆ M.E \ X
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
\u22a2 a⁻¹ * b = 1 ↔ a = b
-- Mathlib/Algebra/Pointwise/Stabilizer.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Subgroup Gᵐᵒᵖ
\u22a2 stabilizer G ↑s = s.unop
-- Mathlib/Algebra/Pointwise/Stabilizer.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Subgroup Gᵐᵒᵖ
\u22a2 ∀ (x : G), (∀ (b : Gᵐᵒᵖ), x • b ∈ ↑s ↔ b ∈ ↑s) ↔ x ∈ s.unop
-- Mathlib/Algebra/Pointwise/Stabilizer.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
s : Subgroup Gᵐᵒᵖ
a : G
h : ∀ (b : Gᵐᵒᵖ), a • b ∈ ↑s ↔ b ∈ ↑s
\u22a2 a ∈ s.unop
-- Mathlib/Algebra/Pointwise/Stabilizer.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
s : Subgroup Gᵐᵒᵖ
a : G
h : ∀ (b : Gᵐᵒᵖ), a • b ∈ ↑s ↔ b ∈ ↑s
this : 1 * op a ∈ s
\u22a2 a ∈ s.unop
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.82622, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasLeftHomology
hg : S.g = 0
\u22a2 S.cycles ≅ S.X₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.82622, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasLeftHomology
hg : S.g = 0
this : IsIso S.iCycles
\u22a2 S.cycles ≅ S.X₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
n : ℕ
\u22a2 ((hasseDeriv k) f).coeff n = ↑((n + k).choose k) * f.coeff (n + k)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
n : ℕ
\u22a2 (if n + k - k = n then ↑((n + k).choose k) * f.coeff (n + k) else 0) = ↑((n + k).choose k) * f.coeff (n + k)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
n : ℕ
\u22a2 ∀ b ∈ f.support, b ≠ n + k → ((monomial (b - k)) (↑(b.choose k) * f.coeff b)).coeff n = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
n : ℕ
\u22a2 n + k ∉ f.support → ((monomial (n + k - k)) (↑((n + k).choose k) * f.coeff (n + k))).coeff n = 0
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
ha : ∀ (x : α), x ∈ zpowers a
\u22a2 image (fun i => a ^ i) (range (Fintype.card α)) = univ
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
\u22a2 (Algebra.leftMulMatrix pb.basis) pb.gen = Matrix.of fun i j => if ↑j + 1 = pb.dim then -pb.minpolyGen.coeff ↑i else if ↑i = ↑j + 1 then 1 else 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
h✝ : Subsingleton A
\u22a2 (Algebra.leftMulMatrix pb.basis) pb.gen = Matrix.of fun i j => if ↑j + 1 = pb.dim then -pb.minpolyGen.coeff ↑i else if ↑i = ↑j + 1 then 1 else 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
h✝ : Nontrivial A
\u22a2 (Algebra.leftMulMatrix pb.basis) pb.gen = Matrix.of fun i j => if ↑j + 1 = pb.dim then -pb.minpolyGen.coeff ↑i else if ↑i = ↑j + 1 then 1 else 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
h✝ : Nontrivial A
\u22a2 (Algebra.lmul A S) pb.gen = (Matrix.toLin pb.basis pb.basis) (Matrix.of fun i j => if ↑j + 1 = pb.dim then -pb.minpolyGen.coeff ↑i else if ↑i = ↑j + 1 then 1 else 0)
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
h✝ : Nontrivial A
k : Fin pb.dim
\u22a2 ((Algebra.lmul A S) pb.gen) (pb.basis k) = ((Matrix.toLin pb.basis pb.basis) (Matrix.of fun i j => if ↑j + 1 = pb.dim then -pb.minpolyGen.coeff ↑i else if ↑i = ↑j + 1 then 1 else 0)) (pb.basis k)
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
h✝ : Nontrivial A
k : Fin pb.dim
\u22a2 ((Algebra.lmul A S) pb.gen) (pb.gen ^ ↑k) = ∑ x : Fin pb.dim, (if ↑k + 1 = pb.dim then -pb.minpolyGen.coeff ↑x else if ↑x = ↑k + 1 then 1 else 0) • pb.gen ^ ↑x
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
h✝ : Nontrivial A
k : Fin pb.dim
\u22a2 pb.gen ^ (↑k + 1) = ∑ x : Fin pb.dim, (if ↑k + 1 = pb.dim then -pb.minpolyGen.coeff ↑x else if ↑x = ↑k + 1 then 1 else 0) • pb.gen ^ ↑x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/StrictInitial.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasStrictInitialObjects C
I X : C
inst✝ : HasBinaryProduct I X
hI : IsInitial I
\u22a2 I ⨯ X ≅ I
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/StrictInitial.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasStrictInitialObjects C
I X : C
inst✝ : HasBinaryProduct I X
hI : IsInitial I
this : IsIso prod.fst
\u22a2 I ⨯ X ≅ I
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m K
h : IsUnit A
\u22a2 Function.Injective ⇑A.vecMulLinear
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m K
h : IsUnit A
\u22a2 ∀ (m_1 : m → K), A.vecMulLinear m_1 = 0 → m_1 = 0
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
x y z : α
\u22a2 (swap x y * f) z = (f * swap (f⁻¹ x) (f⁻¹ y)) z
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
x y z : α
\u22a2 (if f z = x then y else if f z = y then x else f z) = f (if z = f⁻¹ x then f⁻¹ y else if z = f⁻¹ y then f⁻¹ x else z)
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
x✝ : Y
\u22a2 (h.symm.trans h) x✝ = (Homeomorph.refl Y) x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
fst✝ : E
snd✝ : F
\u22a2 (fst✝, snd✝) ∈ f.graph ↔ ∃ y, ↑y = (fst✝, snd✝).1 ∧ ↑f y = (fst✝, snd✝).2
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Currying.lean
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
F₁ F₂ : C × D ⥤ E
h : curry.obj F₁ = curry.obj F₂
\u22a2 F₁ = F₂
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ : Path x y
a : X
x✝ : ↑I
\u22a2 ((refl a).trans (refl a)) x✝ = (refl a) x✝
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ : Path x y
a : X
x✝ : ↑I
\u22a2 { toFun := (fun t => a) ∘ Subtype.val, continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ } x✝ = (refl a) x✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
t : Set β
ht : 0 ∈ t
hs : MeasurableSet s
\u22a2 t ∈ Filter.map (s.indicator f) (ae μ) ↔ t ∈ Filter.map f (ae (μ.restrict s))
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)
q : ℕ → Prop := fun i => p i ∧ 0 < r i
\u22a2 blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)
q : ℕ → Prop := fun i => p i ∧ 0 < r i
h₁ : blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p = blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop q
\u22a2 blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)
q : ℕ → Prop := fun i => p i ∧ 0 < r i
h₁ : blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p = blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop q
h₂ : blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p = blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop q
\u22a2 blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)
q : ℕ → Prop := fun i => p i ∧ 0 < r i
h₁ : blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p = blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop q
h₂ : blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p = blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop q
\u22a2 blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop q =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop q
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
\u22a2 DenseEmbedding Subtype.val
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
\u22a2 DenseRange Subtype.val
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f : ↥(Lp E p μ)
\u22a2 f ∈ closure (Set.range Subtype.val)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f : ↥(Lp E p μ)
\u22a2 ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range Subtype.val) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f : ↥(Lp E p μ)
hfi' : Memℒp (↑↑f) p μ
\u22a2 ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range Subtype.val) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f : ↥(Lp E p μ)
hfi' : Memℒp (↑↑f) p μ
this : SeparableSpace ↑(Set.range ↑↑f ∪ {0})
\u22a2 ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range Subtype.val) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f : ↥(Lp E p μ)
hfi' : Memℒp (↑↑f) p μ
this : SeparableSpace ↑(Set.range ↑↑f ∪ {0})
\u22a2 Tendsto (fun n => ↑(toLp (SimpleFunc.approxOn ↑↑f ⋯ (Set.range ↑↑f ∪ {0}) 0 ⋯ n) ⋯)) atTop (𝓝 f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
f : ↥(Lp E p μ)
hfi' : Memℒp (↑↑f) p μ
this : SeparableSpace ↑(Set.range ↑↑f ∪ {0})
\u22a2 f = Memℒp.toLp (↑↑f) hfi'
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
hq : eval₂ f x q = 0
\u22a2 eval₂ f x (p * q) = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
hq : eval₂ f x q = 0
\u22a2 eval₂ f x p * eval₂ f x q = 0
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h : sSup {m | IsSimpleModule R ↥m} = ⊤
\u22a2 sSup {a | IsAtom a} = ⊤
-- Mathlib/Topology/UrysohnsLemma.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
\u22a2 ∃ f, EqOn (⇑f) 1 s ∧ EqOn (⇑f) 0 t ∧ HasCompactSupport ⇑f ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
-- Mathlib/Topology/UrysohnsLemma.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
k : Set X
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed k
sk : s ⊆ interior k
kt : k ⊆ tᶜ
\u22a2 ∃ f, EqOn (⇑f) 1 s ∧ EqOn (⇑f) 0 t ∧ HasCompactSupport ⇑f ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
-- Mathlib/Topology/UrysohnsLemma.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
k : Set X
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed k
sk : s ⊆ interior k
kt : k ⊆ tᶜ
f : X → ℝ
hf : Continuous f
hfs : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := hf }) 0 s
hft : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := hf }) 1 (interior k)ᶜ
h'f : ∀ (x : X), { toFun := f, continuous_toFun := hf } x ∈ Icc 0 1
\u22a2 ∃ f, EqOn (⇑f) 1 s ∧ EqOn (⇑f) 0 t ∧ HasCompactSupport ⇑f ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
-- Mathlib/Topology/UrysohnsLemma.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
k : Set X
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed k
sk : s ⊆ interior k
kt : k ⊆ tᶜ
f : X → ℝ
hf : Continuous f
hfs : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := hf }) 0 s
hft : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := hf }) 1 (interior k)ᶜ
h'f : ∀ (x : X), { toFun := f, continuous_toFun := hf } x ∈ Icc 0 1
A : t ⊆ (interior k)ᶜ
\u22a2 ∃ f, EqOn (⇑f) 1 s ∧ EqOn (⇑f) 0 t ∧ HasCompactSupport ⇑f ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
-- Mathlib/Topology/UrysohnsLemma.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
k : Set X
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed k
sk : s ⊆ interior k
kt : k ⊆ tᶜ
f : X → ℝ
hf : Continuous f
hfs : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := hf }) 0 s
hft : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := hf }) 1 (interior k)ᶜ
h'f : ∀ (x : X), { toFun := f, continuous_toFun := hf } x ∈ Icc 0 1
A : t ⊆ (interior k)ᶜ
\u22a2 HasCompactSupport ⇑{ toFun := fun x => 1 - f x, continuous_toFun := ⋯ }
-- Mathlib/Topology/UrysohnsLemma.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
k : Set X
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed k
sk : s ⊆ interior k
kt : k ⊆ tᶜ
f : X → ℝ
hf : Continuous f
hfs : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := hf }) 0 s
hft : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := hf }) 1 (interior k)ᶜ
h'f : ∀ (x : X), { toFun := f, continuous_toFun := hf } x ∈ Icc 0 1
A : t ⊆ (interior k)ᶜ
x : X
\u22a2 { toFun := fun x => 1 - f x, continuous_toFun := ⋯ } x ∈ Icc 0 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/PerfectPairing.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
x✝¹ : N
x✝ : Dual R N
\u22a2 (↑(e ≪≫ₗ e.flip.symm.dualMap) x✝¹) x✝ = ((Dual.eval R N) x✝¹) x✝
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Finite.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
S : Set G
inst✝ : (k : ℕ) → DecidablePred fun x => x ∈ S ^ k
\u22a2 ∀ (k : ℕ), Fintype.card G ≤ k → Fintype.card ↑(S ^ k) = Fintype.card ↑(S ^ Fintype.card G)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Finite.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
S : Set G
inst✝ : (k : ℕ) → DecidablePred fun x => x ∈ S ^ k
hG : 0 < Fintype.card G
\u22a2 ∀ (k : ℕ), Fintype.card G ≤ k → Fintype.card ↑(S ^ k) = Fintype.card ↑(S ^ Fintype.card G)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Finite.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
hG : 0 < Fintype.card G
inst✝ : (k : ℕ) → DecidablePred fun x => x ∈ ∅ ^ k
\u22a2 ∀ (k : ℕ), Fintype.card G ≤ k → Fintype.card ↑(∅ ^ k) = Fintype.card ↑(∅ ^ Fintype.card G)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Finite.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
S : Set G
inst✝ : (k : ℕ) → DecidablePred fun x => x ∈ S ^ k
hG : 0 < Fintype.card G
a : G
ha : a ∈ S
\u22a2 ∀ (k : ℕ), Fintype.card G ≤ k → Fintype.card ↑(S ^ k) = Fintype.card ↑(S ^ Fintype.card G)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Finite.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
S : Set G
inst✝ : (k : ℕ) → DecidablePred fun x => x ∈ S ^ k
hG : 0 < Fintype.card G
a : G
ha : a ∈ S
key : ∀ (a : G) (s t : Set G) [inst : Fintype ↑s] [inst_1 : Fintype ↑t], (∀ b ∈ s, b * a ∈ t) → Fintype.card ↑s ≤ Fintype.card ↑t
\u22a2 ∀ (k : ℕ), Fintype.card G ≤ k → Fintype.card ↑(S ^ k) = Fintype.card ↑(S ^ Fintype.card G)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Finite.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
S : Set G
inst✝ : (k : ℕ) → DecidablePred fun x => x ∈ S ^ k
hG : 0 < Fintype.card G
a : G
ha : a ∈ S
key : ∀ (a : G) (s t : Set G) [inst : Fintype ↑s] [inst_1 : Fintype ↑t], (∀ b ∈ s, b * a ∈ t) → Fintype.card ↑s ≤ Fintype.card ↑t
mono : Monotone fun n => Fintype.card ↑(S ^ n)
\u22a2 ∀ (k : ℕ), Fintype.card G ≤ k → Fintype.card ↑(S ^ k) = Fintype.card ↑(S ^ Fintype.card G)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Finite.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
S : Set G
inst✝ : (k : ℕ) → DecidablePred fun x => x ∈ S ^ k
hG : 0 < Fintype.card G
a : G
ha : a ∈ S
key : ∀ (a : G) (s t : Set G) [inst : Fintype ↑s] [inst_1 : Fintype ↑t], (∀ b ∈ s, b * a ∈ t) → Fintype.card ↑s ≤ Fintype.card ↑t
mono : Monotone fun n => Fintype.card ↑(S ^ n)
n : ℕ
h : Fintype.card ↑(S ^ n) = Fintype.card ↑(S ^ (n + 1))
\u22a2 ∀ b ∈ S ^ (n + 2), b * a⁻¹ ∈ S ^ (n + 1)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Finite.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
S : Set G
inst✝ : (k : ℕ) → DecidablePred fun x => x ∈ S ^ k
hG : 0 < Fintype.card G
a : G
ha : a ∈ S
key : ∀ (a : G) (s t : Set G) [inst : Fintype ↑s] [inst_1 : Fintype ↑t], (∀ b ∈ s, b * a ∈ t) → Fintype.card ↑s ≤ Fintype.card ↑t
mono : Monotone fun n => Fintype.card ↑(S ^ n)
n : ℕ
h : Fintype.card ↑(S ^ n) = Fintype.card ↑(S ^ (n + 1))
h₂ : S ^ n * {a} = S ^ (n + 1)
\u22a2 ∀ b ∈ S ^ (n + 2), b * a⁻¹ ∈ S ^ (n + 1)