ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/GlueData.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
i j : D.J
eq₁ : D.t' i i j ≫ pullback.snd (D.f i j) (D.f i i) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
eq₂ : pullback.fst (D.f i i) (D.f i j) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
\u22a2 D.t' i i j = (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/GlueData.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
i j : D.J
eq₁ : D.t' i i j ≫ pullback.snd (D.f i j) (D.f i i) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
eq₂ : pullback.fst (D.f i i) (D.f i j) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
eq₃ : (D.t' i i j ≫ pullback.snd (D.f i j) (D.f i i)) ≫ D.f i i = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j
\u22a2 D.t' i i j = (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/GlueData.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
i j : D.J
eq₁ : D.t' i i j ≫ pullback.snd (D.f i j) (D.f i i) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
eq₂ : pullback.fst (D.f i i) (D.f i j) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
eq₃ : (D.t' i i j ≫ pullback.fst (D.f i j) (D.f i i)) ≫ D.f i j = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j
\u22a2 D.t' i i j = (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
\u22a2 A₁ ∈ skewAdjointMatricesSubmodule J ↔ J.IsSkewAdjoint A₁
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
\u22a2 (-J).IsAdjointPair J A₁ A₁ ↔ J.IsSkewAdjoint A₁
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t μ
hs₀ : μ s ≠ 0
ht₀ : μ t ≠ 0
hsμ : μ s ≠ ⊤
htμ : μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s μ
hft : IntegrableOn f t μ
\u22a2 ⨍ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ ∈ openSegment ℝ (⨍ (x : α) in s, f x ∂μ) (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t μ
ht₀ : μ t ≠ 0
hsμ : μ s ≠ ⊤
htμ : μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s μ
hft : IntegrableOn f t μ
hs₀ : 0 < (μ s).toReal
\u22a2 ⨍ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ ∈ openSegment ℝ (⨍ (x : α) in s, f x ∂μ) (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t✝ : Set α
f✝ g f : α → E
s t : Set α
hd : AEDisjoint μ s t
ht : NullMeasurableSet t μ
hsμ : μ s ≠ ⊤
htμ : μ t ≠ ⊤
hfs : IntegrableOn f s μ
hft : IntegrableOn f t μ
hs₀ : 0 < (μ s).toReal
ht₀ : 0 < (μ t).toReal
\u22a2 ⨍ (x : α) in s ∪ t, f x ∂μ ∈ openSegment ℝ (⨍ (x : α) in s, f x ∂μ) (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ)
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
α β : Ext X Y n
\u22a2 (α + β).hom = α.hom + β.hom
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
α β : Ext X Y n
α' : Ext (X ⊞ X) Y n := (mk₀ biprod.fst).comp α ⋯
\u22a2 (α + β).hom = α.hom + β.hom
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
α β : Ext X Y n
α' : Ext (X ⊞ X) Y n := (mk₀ biprod.fst).comp α ⋯
β' : Ext (X ⊞ X) Y n := (mk₀ biprod.snd).comp β ⋯
\u22a2 (α + β).hom = α.hom + β.hom
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
α β : Ext X Y n
α' : Ext (X ⊞ X) Y n := (mk₀ biprod.fst).comp α ⋯
β' : Ext (X ⊞ X) Y n := (mk₀ biprod.snd).comp β ⋯
eq₁ : α + β = (mk₀ (biprod.lift (𝟙 X) (𝟙 X))).comp (α' + β') ⋯
\u22a2 (α + β).hom = α.hom + β.hom
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
α β : Ext X Y n
α' : Ext (X ⊞ X) Y n := (mk₀ biprod.fst).comp α ⋯
β' : Ext (X ⊞ X) Y n := (mk₀ biprod.snd).comp β ⋯
eq₁ : α + β = (mk₀ (biprod.lift (𝟙 X) (𝟙 X))).comp (α' + β') ⋯
eq₂ : α' + β' = homEquiv.symm (α'.hom + β'.hom)
\u22a2 (α + β).hom = α.hom + β.hom
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
α β : Ext X Y n
α' : Ext (X ⊞ X) Y n := (mk₀ biprod.fst).comp α ⋯
β' : Ext (X ⊞ X) Y n := (mk₀ biprod.snd).comp β ⋯
eq₁ : α + β = (mk₀ (biprod.lift (𝟙 X) (𝟙 X))).comp (α' + β') ⋯
eq₂ : α' + β' = homEquiv.symm (α'.hom + β'.hom)
\u22a2 (mk₀ (biprod.lift (𝟙 X) (𝟙 X))).hom.comp α'.hom ⋯ + (mk₀ (biprod.lift (𝟙 X) (𝟙 X))).hom.comp β'.hom ⋯ = α.hom + β.hom
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
v : E
L : ℝ →L[ℝ] E := ContinuousLinearMap.smulRight 1 v
\u22a2 ∀ᵐ (p : E) ∂μ, LineDifferentiableAt ℝ f p v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
v : E
L : ℝ →L[ℝ] E := ContinuousLinearMap.smulRight 1 v
\u22a2 ∀ (p : E), ∀ᵐ (t : ℝ), LineDifferentiableAt ℝ f (p + t • v) v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
v : E
L : ℝ →L[ℝ] E := ContinuousLinearMap.smulRight 1 v
p : E
\u22a2 ∀ᵐ (t : ℝ), LineDifferentiableAt ℝ f (p + t • v) v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
v : E
L : ℝ →L[ℝ] E := ContinuousLinearMap.smulRight 1 v
p : E
this : ∀ᵐ (s : ℝ), DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + t • v)) s
\u22a2 ∀ᵐ (t : ℝ), LineDifferentiableAt ℝ f (p + t • v) v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
v : E
L : ℝ →L[ℝ] E := ContinuousLinearMap.smulRight 1 v
p : E
this : ∀ᵐ (s : ℝ), DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + t • v)) s
s : ℝ
hs : DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + t • v)) s
\u22a2 LineDifferentiableAt ℝ f (p + s • v) v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
v : E
L : ℝ →L[ℝ] E := ContinuousLinearMap.smulRight 1 v
p : E
this : ∀ᵐ (s : ℝ), DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + t • v)) s
s : ℝ
hs : DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + t • v)) s
h's : DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + t • v)) (s + 0)
\u22a2 LineDifferentiableAt ℝ f (p + s • v) v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
v : E
L : ℝ →L[ℝ] E := ContinuousLinearMap.smulRight 1 v
p : E
this✝ : ∀ᵐ (s : ℝ), DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + t • v)) s
s : ℝ
hs : DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + t • v)) s
h's : DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + t • v)) (s + 0)
this : DifferentiableAt ℝ (fun t => s + t) 0
\u22a2 LineDifferentiableAt ℝ f (p + s • v) v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
v : E
L : ℝ →L[ℝ] E := ContinuousLinearMap.smulRight 1 v
p : E
this✝ : ∀ᵐ (s : ℝ), DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + t • v)) s
s : ℝ
hs : DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + t • v)) s
h's : DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + t • v)) (s + 0)
this : DifferentiableAt ℝ (fun t => s + t) 0
\u22a2 DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + s • v + t • v)) 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
v : E
L : ℝ →L[ℝ] E := ContinuousLinearMap.smulRight 1 v
p : E
this✝ : ∀ᵐ (s : ℝ), DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + t • v)) s
s : ℝ
hs : DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + t • v)) s
h's : DifferentiableAt ℝ (fun t => f (p + t • v)) (s + 0)
this : DifferentiableAt ℝ (fun t => s + t) 0
t : ℝ
\u22a2 f (p + s • v + t • v) = ((fun t => f (p + t • v)) ∘ HAdd.hAdd s) t
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
inst✝ : Finite I
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
\u22a2 Function.Surjective ⇑(Pi.ringHom fun i => Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {1 - e i}))
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
inst✝ : Finite I
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
\u22a2 Pairwise fun i j => IsCoprime (Ideal.span {1 - e i}) (Ideal.span {1 - e j})
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
inst✝ : Finite I
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
i j : I
hij : i ≠ j
\u22a2 IsCoprime (Ideal.span {1 - e i}) (Ideal.span {1 - e j})
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
inst✝ : Finite I
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
i j : I
hij : i ≠ j
\u22a2 IsCoprime (1 - e i) (1 - e j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/CoherenceLemmas.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
\u22a2 (α_ (𝟙_ C) X Y).hom ≫ (λ_ (X ⊗ Y)).hom = (λ_ X).hom ⊗ 𝟙 Y
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPointApproximants.lean
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
\u22a2 lfpApprox f ⊥ (succ #α).ord = lfp f
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPointApproximants.lean
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
\u22a2 lfpApprox f ⊥ (succ #α).ord ≤ lfp f
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPointApproximants.lean
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
\u22a2 lfp f ≤ lfpApprox f ⊥ (succ #α).ord
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/MaximalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : LocalRing R
J : Ideal R
hJ : J ≠ ⊤
\u22a2 J ≤ maximalIdeal R
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/MaximalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : LocalRing R
J : Ideal R
hJ : J ≠ ⊤
M : Ideal R
hM1 : M.IsMaximal
hM2 : J ≤ M
\u22a2 J ≤ maximalIdeal R
-- Mathlib/Order/Irreducible.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : DistribLattice α
a b✝ c✝ : α
h : ∀ ⦃b c : α⦄, b ⊔ c = a → b = a ∨ c = a
b c : α
\u22a2 a ≤ b ⊔ c → a ≤ b ∨ a ≤ c
-- Mathlib/Order/Irreducible.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : DistribLattice α
a b✝ c✝ : α
h : ∀ ⦃b c : α⦄, b ⊔ c = a → b = a ∨ c = a
b c : α
\u22a2 a ⊓ b ⊔ a ⊓ c = a → a ⊓ b = a ∨ a ⊓ c = a
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
p : ℕ
fp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
\u22a2 legendreSym p a = J(a | p)
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h✝ : CovariantClass { x // 0 < x } α (fun x y => y * ↑x) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : { x // 0 ≤ x }
b c : α
h : b ≤ c
\u22a2 b * ↑a ≤ c * ↑a
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h✝ : CovariantClass { x // 0 < x } α (fun x y => y * ↑x) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : { x // 0 ≤ x }
b c : α
h : b ≤ c
ha : 0 = ↑a
\u22a2 b * ↑a ≤ c * ↑a
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h✝ : CovariantClass { x // 0 < x } α (fun x y => y * ↑x) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : { x // 0 ≤ x }
b c : α
h : b ≤ c
ha : 0 < ↑a
\u22a2 b * ↑a ≤ c * ↑a
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasTerminal C
X : C
f : ⊤_ C ⟶ X
\u22a2 f = default
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : N →ₗ[R] P
Q : QuadraticMap R M N
b : R
x : M
\u22a2 (fun x => f (Q x)) (b • x) = (b * b) • (fun x => f (Q x)) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : N →ₗ[R] P
Q : QuadraticMap R M N
B : BilinMap R M N
h : ∀ (x y : M), Q (x + y) = Q x + Q y + (B x) y
x y : M
\u22a2 (fun x => f (Q x)) (x + y) = (fun x => f (Q x)) x + (fun x => f (Q x)) y + ((LinearMap.compr₂ B f) x) y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
R S T : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
\u22a2 (pullbackSpecIso R S T).hom ≫ Spec.map (ofHom includeLeftRingHom) = pullback.fst (Spec.map (ofHom (algebraMap R S))) (Spec.map (ofHom (algebraMap R T)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N P : Bimod X Y
f : M ⟶ N
g : N ⟶ P
Q : Bimod Y Z
\u22a2 (whiskerRight (f ≫ g) Q).hom = (whiskerRight f Q ≫ whiskerRight g Q).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N P : Bimod X Y
f : M ⟶ N
g : N ⟶ P
Q : Bimod Y Z
\u22a2 coequalizer.π (M.actRight ▷ Q.X) ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ M.X ◁ Q.actLeft) ≫ (whiskerRight (f ≫ g) Q).hom = coequalizer.π (M.actRight ▷ Q.X) ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ M.X ◁ Q.actLeft) ≫ (whiskerRight f Q ≫ whiskerRight g Q).hom
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³¹ : CommRing A
inst✝³⁰ : CommRing B
inst✝²⁹ : Algebra A B
inst✝²⁸ : Field K
inst✝²⁷ : Field L
inst✝²⁶ : Algebra A K
inst✝²⁵ : IsFractionRing A K
inst✝²⁴ : Algebra B L
inst✝²³ : Algebra K L
inst✝²² : Algebra A L
inst✝²¹ : IsScalarTower A B L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.592608
Bₘ : Type ?u.592611
inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ
inst✝¹³ : Algebra B Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
\u22a2 (intNorm A B) 0 = 0
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³¹ : CommRing A
inst✝³⁰ : CommRing B
inst✝²⁹ : Algebra A B
inst✝²⁸ : Field K
inst✝²⁷ : Field L
inst✝²⁶ : Algebra A K
inst✝²⁵ : IsFractionRing A K
inst✝²⁴ : Algebra B L
inst✝²³ : Algebra K L
inst✝²² : Algebra A L
inst✝²¹ : IsScalarTower A B L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.592608
Bₘ : Type ?u.592611
inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ
inst✝¹³ : Algebra B Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
\u22a2 (intNorm A B) 0 = 0
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³¹ : CommRing A
inst✝³⁰ : CommRing B
inst✝²⁹ : Algebra A B
inst✝²⁸ : Field K
inst✝²⁷ : Field L
inst✝²⁶ : Algebra A K
inst✝²⁵ : IsFractionRing A K
inst✝²⁴ : Algebra B L
inst✝²³ : Algebra K L
inst✝²² : Algebra A L
inst✝²¹ : IsScalarTower A B L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.592608
Bₘ : Type ?u.592611
inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ
inst✝¹³ : Algebra B Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
this✝¹ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
this : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
\u22a2 (intNorm A B) 0 = 0
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³¹ : CommRing A
inst✝³⁰ : CommRing B
inst✝²⁹ : Algebra A B
inst✝²⁸ : Field K
inst✝²⁷ : Field L
inst✝²⁶ : Algebra A K
inst✝²⁵ : IsFractionRing A K
inst✝²⁴ : Algebra B L
inst✝²³ : Algebra K L
inst✝²² : Algebra A L
inst✝²¹ : IsScalarTower A B L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.592608
Bₘ : Type ?u.592611
inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ
inst✝¹³ : Algebra B Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
this✝¹ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
this : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
\u22a2 (algebraMap A (FractionRing A)) ((intNorm A B) 0) = (algebraMap A (FractionRing A)) 0
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P✝ : Ideal S
P_prime✝ : P✝.IsPrime
hP✝ : P✝ ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
a b : S
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
ab_mem : a * b ∈ P ^ (i + 1)
\u22a2 b ∈ P
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P✝ : Ideal S
P_prime✝ : P✝.IsPrime
hP✝ : P✝ ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
a b : S
a_not_mem : ¬P ^ i * P ∣ span {a}
ab_mem : P ^ i * P ∣ span {a} * span {b}
\u22a2 P ∣ span {b}
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n : ℕ
\u22a2 2 ^ (n + 1) * (n + 1)! ≤ (2 * (n + 1))!
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n : ℕ
\u22a2 (n + 1)! * 2 ^ (n + 1) ≤ (n + 1 + (n + 1))!
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x : A
φ : R[X] →ₐ[R] A
p : R[X]
\u22a2 φ p = eval₂ (algebraMap R A) (φ X) p