ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
g : β → γ
h : QuotientMap f
s : Set β
hs : IsOpen s
\u22a2 ContinuousOn g s ↔ ContinuousOn (g ∘ f) (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
g : β → γ
h : QuotientMap f
s : Set β
hs : IsOpen s
\u22a2 Continuous (s.restrict g ∘ s.restrictPreimage f) ↔ Continuous ((f ⁻¹' s).restrict (g ∘ f))
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/HomLift.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝² : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b c : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝¹ : p.IsHomLift f φ
T : 𝒮
ψ : b ⟶ c
inst✝ : p.IsHomLift (𝟙 T) ψ
\u22a2 p.IsHomLift f (φ ≫ ψ)
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/HomLift.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝² : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b c : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝¹ : p.IsHomLift f φ
ψ : b ⟶ c
inst✝ : p.IsHomLift (𝟙 S) ψ
\u22a2 p.IsHomLift f (φ ≫ ψ)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
φ✝ : R✝⟦X⟧
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ↑n < ψ.order
\u22a2 (coeff R n) (φ * (1 - ψ)) = (coeff R n) φ
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s : Finset α
\u22a2 ↑s = ∅ ↔ s = ∅
-- Mathlib/FieldTheory/ChevalleyWarning.lean
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Fintype K
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
this : DecidableEq K
\u22a2 ∑ x : σ → K, (eval x) f = 0
-- Mathlib/FieldTheory/ChevalleyWarning.lean
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Fintype K
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
this : DecidableEq K
\u22a2 ∀ x ∈ f.support, ∑ x_1 : σ → K, coeff x f * ∏ i : σ, x_1 i ^ x i = 0
-- Mathlib/FieldTheory/ChevalleyWarning.lean
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Fintype K
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
this : DecidableEq K
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ f.support
\u22a2 ∑ x : σ → K, coeff d f * ∏ i : σ, x i ^ d i = 0
-- Mathlib/FieldTheory/ChevalleyWarning.lean
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Fintype K
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
this : DecidableEq K
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ f.support
i : σ
hi : d i < q - 1
\u22a2 ∑ x : σ → K, coeff d f * ∏ i : σ, x i ^ d i = 0
-- Mathlib/FieldTheory/ChevalleyWarning.lean
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Fintype K
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
this : DecidableEq K
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ f.support
i : σ
hi : d i < q - 1
\u22a2 ∑ x : σ → K, ∏ i : σ, x i ^ d i = 0
-- Mathlib/FieldTheory/ChevalleyWarning.lean
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Fintype K
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
this : DecidableEq K
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ f.support
i : σ
hi : d i < q - 1
\u22a2 ∀ (a : { j // j ≠ i } → K), ∑ x : { x // x ∘ Subtype.val = a }, ∏ j : σ, ↑x j ^ d j = 0
-- Mathlib/FieldTheory/ChevalleyWarning.lean
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Fintype K
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
this : DecidableEq K
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ f.support
i : σ
hi : d i < q - 1
x₀ : { j // j ≠ i } → K
e : K ≃ { x // x ∘ Subtype.val = x₀ } := (Equiv.subtypeEquivCodomain x₀).symm
\u22a2 ∑ x : { x // x ∘ Subtype.val = x₀ }, ∏ j : σ, ↑x j ^ d j = 0
-- Mathlib/FieldTheory/ChevalleyWarning.lean
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Fintype K
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
this : DecidableEq K
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ f.support
i : σ
hi : d i < q - 1
x₀ : { j // j ≠ i } → K
e : K ≃ { x // x ∘ Subtype.val = x₀ } := (Equiv.subtypeEquivCodomain x₀).symm
\u22a2 ∀ (a : K), ∏ j : σ, ↑(e a) j ^ d j = (∏ j : { j // j ≠ i }, x₀ j ^ d ↑j) * a ^ d i
-- Mathlib/FieldTheory/ChevalleyWarning.lean
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Fintype K
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
this : DecidableEq K
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ f.support
i : σ
hi : d i < q - 1
x₀ : { j // j ≠ i } → K
e : K ≃ { x // x ∘ Subtype.val = x₀ } := (Equiv.subtypeEquivCodomain x₀).symm
a : K
e' : { j // j = i } ⊕ { j // j ≠ i } ≃ σ := Equiv.sumCompl fun j => j = i
\u22a2 ∏ j : σ, ↑(e a) j ^ d j = (∏ j : { j // j ≠ i }, x₀ j ^ d ↑j) * a ^ d i
-- Mathlib/FieldTheory/ChevalleyWarning.lean
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Fintype K
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
this✝ : DecidableEq K
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ f.support
i : σ
hi : d i < q - 1
x₀ : { j // j ≠ i } → K
e : K ≃ { x // x ∘ Subtype.val = x₀ } := (Equiv.subtypeEquivCodomain x₀).symm
a : K
e' : { j // j = i } ⊕ { j // j ≠ i } ≃ σ := Equiv.sumCompl fun j => j = i
this : Unique { j // j = i } := { default := ⟨i, ⋯⟩, uniq := ⋯ }
\u22a2 ∏ j : σ, ↑(e a) j ^ d j = (∏ j : { j // j ≠ i }, x₀ j ^ d ↑j) * a ^ d i
-- Mathlib/FieldTheory/ChevalleyWarning.lean
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Fintype K
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
this✝ : DecidableEq K
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ f.support
i : σ
hi : d i < q - 1
x₀ : { j // j ≠ i } → K
e : K ≃ { x // x ∘ Subtype.val = x₀ } := (Equiv.subtypeEquivCodomain x₀).symm
a : K
e' : { j // j = i } ⊕ { j // j ≠ i } ≃ σ := Equiv.sumCompl fun j => j = i
this : Unique { j // j = i } := { default := ⟨i, ⋯⟩, uniq := ⋯ }
\u22a2 ∀ (a_1 : { j // j ≠ i }), ↑(e a) ↑a_1 ^ d ↑a_1 = x₀ a_1 ^ d ↑a_1
-- Mathlib/FieldTheory/ChevalleyWarning.lean
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Fintype K
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
this✝ : DecidableEq K
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ f.support
i : σ
hi : d i < q - 1
x₀ : { j // j ≠ i } → K
e : K ≃ { x // x ∘ Subtype.val = x₀ } := (Equiv.subtypeEquivCodomain x₀).symm
a : K
e' : { j // j = i } ⊕ { j // j ≠ i } ≃ σ := Equiv.sumCompl fun j => j = i
this : Unique { j // j = i } := { default := ⟨i, ⋯⟩, uniq := ⋯ }
j : σ
hj : j ≠ i
\u22a2 ↑(e a) j ^ d j = x₀ ⟨j, hj⟩ ^ d j
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M✝ : Type uM
inst✝⁸ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁷ : ChartedSpace H M✝
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M✝
inst✝⁵ : SigmaCompactSpace M✝
inst✝⁴ : T2Space M✝
t : M✝ → Set F
n : ℕ∞
M : Type u_1
inst✝³ : EMetricSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
K U : ι → Set M
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
\u22a2 ∃ δ, (∀ (x : M), 0 < δ x) ∧ ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, EMetric.closedBall x (ENNReal.ofReal (δ x)) ⊆ U i
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
\u22a2 |a - b| < c ↔ a - b < c ∧ b - a < c
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
s✝ t u : Finset α
P : Finpartition s✝
a : α
inst✝¹ : Fintype α
s : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
b : α
\u22a2 b ∈ (ofSetoid s).part a ↔ Setoid.r a b
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
s✝ t u : Finset α
P : Finpartition s✝
a : α
inst✝¹ : Fintype α
s : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
b : α
\u22a2 b ∈ choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) ⋯ ↔ Setoid.r a b
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
s✝ t u : Finset α
P : Finpartition s✝
a : α
inst✝¹ : Fintype α
s : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
b : α
H : ∃! a_1, a_1 ∈ image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ ∧ a ∈ a_1
\u22a2 b ∈ choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H ↔ Setoid.r a b
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
s✝ t u : Finset α
P : Finpartition s✝
a : α
inst✝¹ : Fintype α
s : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
b : α
H : ∃! a_1, a_1 ∈ image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ ∧ a ∈ a_1
this : choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H ∈ image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ ∧ a ∈ choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H
\u22a2 b ∈ choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H ↔ Setoid.r a b
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
s✝ t u : Finset α
P : Finpartition s✝
a : α
inst✝¹ : Fintype α
s : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
b : α
H : ∃! a_1, a_1 ∈ image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ ∧ a ∈ a_1
this : (∃ a_1, filter (Setoid.r a_1) univ = choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H) ∧ a ∈ choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H
\u22a2 b ∈ choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H ↔ Setoid.r a b
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
s✝ t u : Finset α
P : Finpartition s✝
a : α
inst✝¹ : Fintype α
s : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
b : α
H : ∃! a_1, a_1 ∈ image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ ∧ a ∈ a_1
this : a ∈ choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H
w✝ : α
hc : filter (Setoid.r w✝) univ = choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H
\u22a2 b ∈ choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H ↔ Setoid.r a b
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
s✝ t u : Finset α
P : Finpartition s✝
a : α
inst✝¹ : Fintype α
s : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
b : α
H : ∃! a_1, a_1 ∈ image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ ∧ a ∈ a_1
w✝ : α
hc : filter (Setoid.r w✝) univ = choose (Membership.mem a) (image (fun a => filter (Setoid.r a) univ) univ) H
this : Setoid.r w✝ a
\u22a2 Setoid.r w✝ b ↔ Setoid.r a b
-- Mathlib/GroupTheory/Frattini.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
\u22a2 frattini G ≤ comap φ (frattini H)
-- Mathlib/GroupTheory/Frattini.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
\u22a2 ∀ i ∈ {H_1 | IsCoatom H_1}, ⨅ a ∈ {H | IsCoatom H}, a ≤ comap φ i
-- Mathlib/GroupTheory/Frattini.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
M : Subgroup H
hM : M ∈ {H_1 | IsCoatom H_1}
\u22a2 ⨅ a ∈ {H | IsCoatom H}, a ≤ comap φ M
-- Mathlib/GroupTheory/Frattini.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
M : Subgroup H
hM : M ∈ {H_1 | IsCoatom H_1}
\u22a2 comap φ M ∈ {H | IsCoatom H}
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
\u22a2 {a, b}.card = 1 ∨ {a, b}.card = 2
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
\u22a2 a = b ∨ ¬a = b
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
a : ℝ≥0
h : ∀ i ∈ s, (p i) x ≤ ↑a
\u22a2 (s.sup p) x ≤ ↑a
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
a : ℝ≥0
h : ∀ i ∈ s, (p i) x ≤ ↑a
\u22a2 (s.sup fun i => ⟨(p i) x, ⋯⟩) ≤ a
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
inst✝ : Fintype α
hc : Fintype.card α < n
\u22a2 G.CliqueFree n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
inst✝ : Fintype α
hc : Fintype.card α < n
h : ¬G.CliqueFree n
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
inst✝ : Fintype α
hc : Fintype.card α < n
h : ¬G.CliqueFree n
\u22a2 n ≤ Fintype.card α
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
inst✝ : Fintype α
hc : Fintype.card α < n
h : Nonempty (⊤ ↪g G)
\u22a2 n ≤ Fintype.card α
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Gradient/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
f₀ f₁ : F → 𝕜
f₀' f₁' x₀ x₁ : F
s₀ s₁ t : Set F
L₀ L₁ : Filter F
h : HasGradientAtFilter f f' x L
hL : f₁ =ᶠ[L] f
hx : f₁ x = f x
\u22a2 HasGradientAtFilter f₁ f' x L
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
x : α
\u22a2 (stoneCechExtend hg ∘ stoneCechUnit) x = g x
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
x : α
\u22a2 preStoneCechExtend hg (preStoneCechUnit x) = g x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Ring T
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S T
inst✝⁵ : Algebra R T
inst✝⁴ : IsScalarTower R S T
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
b : Basis m R S
c : Basis n S T
x : T
ik jk : m × n
\u22a2 (leftMulMatrix (b.smulTower c)) x ik jk = (leftMulMatrix b) ((leftMulMatrix c) x ik.2 jk.2) ik.1 jk.1
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
o : Ordinal.{u_1}
\u22a2 let_fun this := ⋯; HEq (nim o).moveRight fun i => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) i)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
o : Ordinal.{u_1}
\u22a2 let_fun this := ⋯; HEq (mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)).moveRight fun i => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) i)
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
k : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : ¬k = 0
\u22a2 φ k = (primitiveRoots k R).card
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
k : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : ¬k = 0
\u22a2 ∀ (a : ℕ) (ha : a ∈ filter k.Coprime (range k)), (fun i x => ζ ^ i) a ha ∈ primitiveRoots k R
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
k : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : ¬k = 0
\u22a2 ∀ (a₁ : ℕ) (ha₁ : a₁ ∈ filter k.Coprime (range k)) (a₂ : ℕ) (ha₂ : a₂ ∈ filter k.Coprime (range k)), (fun i x => ζ ^ i) a₁ ha₁ = (fun i x => ζ ^ i) a₂ ha₂ → a₁ = a₂
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
k : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : ¬k = 0
\u22a2 ∀ b ∈ primitiveRoots k R, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ filter k.Coprime (range k)), (fun i x => ζ ^ i) a ha = b
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
r : α → α → Prop
hr : Symmetric r
\u22a2 (∀ (a : α), ∃! b, r a b) ↔ ∃ f, Involutive f ∧ r = fun x x_1 => f x = x_1
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
r : α → α → Prop
hr : Symmetric r
h : ∀ (a : α), ∃! b, r a b
\u22a2 ∃ f, Involutive f ∧ r = fun x x_1 => f x = x_1
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
f : α → α
hr : Symmetric fun x x_1 => f x = x_1
h : ∀ (a : α), ∃! b, (fun x x_1 => f x = x_1) a b
\u22a2 ∃ f_1, Involutive f_1 ∧ (fun x x_1 => f x = x_1) = fun x x_1 => f_1 x = x_1
-- Mathlib/Algebra/Field/Power.lean
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n : ℤ
h : Odd n
a : α
\u22a2 (-a) ^ n = -a ^ n
-- Mathlib/Algebra/Field/Power.lean
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n : ℤ
h : Odd n
a : α
hn : n ≠ 0
\u22a2 (-a) ^ n = -a ^ n
-- Mathlib/Algebra/Field/Power.lean
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
a : α
k : ℤ
hn : 2 * k + 1 ≠ 0
\u22a2 (-a) ^ (2 * k + 1) = -a ^ (2 * k + 1)
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i✝ j : Fin n✝
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : Fin (n + 1)
\u22a2 i.succ.succAbove 1 = (i.succAbove 0).succ
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i✝ j : Fin n✝
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : Fin (n + 1)
\u22a2 i.succ.succAbove (succ 0) = (i.succAbove 0).succ
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
\u22a2 List.beq = fun a b => decide (a = b)
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁✝ l₂✝ : List α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
\u22a2 l₁.beq l₂ = decide (l₁ = l₂)
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁✝ l₂✝ : List α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
\u22a2 (l₁ == l₂) = decide (l₁ = l₂)
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
M : Matrix m n R
i : m
\u22a2 (M.toMvPolynomial i).IsHomogeneous 1
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
M : Matrix m n R
i : m
\u22a2 ∀ i_1 ∈ Finset.univ, ((monomial (Finsupp.single i_1 1)) (M i i_1)).IsHomogeneous 1
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
M : Matrix m n R
i : m
j : n
\u22a2 ((monomial (Finsupp.single j 1)) (M i j)).IsHomogeneous 1
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
M : Matrix m n R
i : m
j : n
\u22a2 (Finsupp.single j 1).degree = 1
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p a : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
inst✝ : Archimedean 𝕜
f : 𝕜 → B
x : 𝕜
hx : x ∈ Ico 0 p
\u22a2 x ∈ Ico 0 (0 + p)
-- Mathlib/Data/Nat/Count.lean
p : ℕ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
q : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred q
n : ℕ
hpq : ∀ (k : ℕ), p k → q k
\u22a2 count p n ≤ count q n
-- Mathlib/Data/Nat/Count.lean
p : ℕ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
q : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred q
n : ℕ
hpq : ∀ (k : ℕ), p k → q k
\u22a2 (filter p (range n)).card ≤ (filter q (range n)).card
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
x : L
m : M
\u22a2 m ∈ ((toEnd R L M) x).maxGenEigenspace 0 ↔ m ∈ ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
x : L
m : M
\u22a2 ∃ k, ((toEnd R L M) x ^ k) m = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
x : L
m : M
k : ℕ
hk : ∀ (x : L), (toEnd R L M) x ^ k = 0
\u22a2 ∃ k, ((toEnd R L M) x ^ k) m = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x : ℂ
\u22a2 (-x).arg = x.arg - π ↔ 0 < x.im ∨ x.im = 0 ∧ x.re < 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x : ℂ
hi : x.im < 0
\u22a2 (-x).arg = x.arg - π ↔ 0 < x.im ∨ x.im = 0 ∧ x.re < 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x : ℂ
hi : x.im = 0
\u22a2 (-x).arg = x.arg - π ↔ 0 < x.im ∨ x.im = 0 ∧ x.re < 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x : ℂ
hi : 0 < x.im
\u22a2 (-x).arg = x.arg - π ↔ 0 < x.im ∨ x.im = 0 ∧ x.re < 0
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A✝ : Rep k G✝
G : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : MulAction G A
f : G → A
hf : IsOneCocycle f
\u22a2 f 1 = 0
-- Mathlib/Analysis/Quaternion.lean
α : Type u_1
f : α → ℝ
\u22a2 (Summable fun a => ↑(f a)) ↔ Summable f