ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
\u22a2 im ⟪x, y⟫_𝕜 = -im ⟪y, x⟫_𝕜
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hx : 0 < x + 1
n : ℕ
hn : n + 1 + 1 ≠ 0
\u22a2 0 < ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), x ^ i
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hx : 0 < x + 1
n : ℕ
hn : n + 1 + 1 ≠ 0
hx' : x < 0
\u22a2 0 < ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), x ^ i
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hx : 0 < x + 1
n : ℕ
hn : n + 1 + 1 ≠ 0
hx' : 0 ≤ x
\u22a2 0 < ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), x ^ i
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
f✝ : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
a : Ordinal.{u_1}
n : ℕ
\u22a2 f^[n] a ≤ nfp f a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
f✝ : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
a : Ordinal.{u_1}
n : ℕ
\u22a2 f^[n] a ≤ (fun a => sup fun n => f^[n] a) a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) (Iic x) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ Iic x)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(f (a, b)) x) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ Iic x)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → ι
hs : s.SupIndep (f ∘ g)
t : Finset ι
ht : t ⊆ Finset.image g s
i : ι
hi : i ∈ Finset.image g s
hit : i ∉ t
\u22a2 Disjoint (f i) (t.sup f)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → ι
hs : s.SupIndep (f ∘ g)
t : Finset ι
ht : t ⊆ Finset.image g s
i : ι
hi : ∃ a ∈ s, g a = i
hit : i ∉ t
\u22a2 Disjoint (f i) (t.sup f)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → ι
hs : s.SupIndep (f ∘ g)
t : Finset ι
ht : t ⊆ Finset.image g s
i : ι'
hi : i ∈ s
hit : g i ∉ t
this : DecidableEq ι'
\u22a2 Disjoint (f (g i)) (t.sup f)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → ι
hs : s.SupIndep (f ∘ g)
t : Finset ι
ht : t ⊆ Finset.image g s
i : ι'
hi : i ∈ s
hit : g i ∉ t
this : DecidableEq ι'
\u22a2 t ⊆ Finset.image g (s.erase i)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → ι
hs : s.SupIndep (f ∘ g)
t : Finset ι
ht : t ⊆ Finset.image g s
i : ι'
hi : i ∈ s
hit : g i ∉ t
this : DecidableEq ι'
j : ι
hjt : j ∈ t
\u22a2 j ∈ Finset.image g (s.erase i)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → ι
hs : s.SupIndep (f ∘ g)
t : Finset ι
ht : t ⊆ Finset.image g s
i : ι'
hi : i ∈ s
hit : g i ∉ t
this : DecidableEq ι'
j : ι'
hj : j ∈ s
hjt : g j ∈ t
\u22a2 g j ∈ Finset.image g (s.erase i)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n✝ : ℕ
hx : 0 ≤ x
n : ℤ
h : y - ↑n ≠ 0
\u22a2 x ^ (y - ↑n) = x ^ y / x ^ n
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι✝ : Type u_6
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕜
inst✝³ : SMul 𝕜 E
inst✝² : Zero E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
ι : Sort u_7
inst✝ : Finite ι
s : ι → Set E
\u22a2 IsVonNBounded 𝕜 (⋃ i, s i) ↔ ∀ (i : ι), IsVonNBounded 𝕜 (s i)
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter β
s : Set β
\u22a2 map Subtype.val (comap Subtype.val f) = f ⊓ 𝓟 s
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
N✝ : Type w
inst✝⁸ : AddCommGroup N✝
inst✝⁷ : Module R N✝
inst✝⁶ : Small.{v, u} R
flat : Flat R M
N N' N'' : Type v
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup N''
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R N''
f : N →ₗ[R] N'
g : N' →ₗ[R] N''
exact : Function.Exact ⇑f ⇑g
π : N' →ₗ[R] N' ⧸ range f := (range f).mkQ
\u22a2 Function.Exact ⇑(rTensor M f) ⇑(rTensor M g)
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
N✝ : Type w
inst✝⁸ : AddCommGroup N✝
inst✝⁷ : Module R N✝
inst✝⁶ : Small.{v, u} R
flat : Flat R M
N N' N'' : Type v
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup N''
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R N''
f : N →ₗ[R] N'
g : N' →ₗ[R] N''
exact : Function.Exact ⇑f ⇑g
π : N' →ₗ[R] N' ⧸ range f := (range f).mkQ
ι : N' ⧸ range f →ₗ[R] N'' := (range g).subtype ∘ₗ ↑g.quotKerEquivRange ∘ₗ ↑((range f).quotEquivOfEq (ker g) ⋯)
\u22a2 Function.Exact ⇑(rTensor M f) ⇑(rTensor M g)
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
N✝ : Type w
inst✝⁸ : AddCommGroup N✝
inst✝⁷ : Module R N✝
inst✝⁶ : Small.{v, u} R
flat : Flat R M
N N' N'' : Type v
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup N''
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R N''
f : N →ₗ[R] N'
g : N' →ₗ[R] N''
exact : Function.Exact ⇑f ⇑g
π : N' →ₗ[R] N' ⧸ range f := (range f).mkQ
ι : N' ⧸ range f →ₗ[R] N'' := (range g).subtype ∘ₗ ↑g.quotKerEquivRange ∘ₗ ↑((range f).quotEquivOfEq (ker g) ⋯)
\u22a2 Function.Exact ⇑(rTensor M f) ⇑(rTensor M π)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
\u22a2 ∃ θ, f = o.rotation θ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
this : Nontrivial V
\u22a2 ∃ θ, f = o.rotation θ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
\u22a2 ∃ θ, f = o.rotation θ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
\u22a2 f = o.rotation (o.oangle x (f x))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
\u22a2 f.toLinearEquiv = (o.rotation (o.oangle x (f x))).toLinearEquiv
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
\u22a2 ↑f.toLinearEquiv = ↑(o.rotation (o.oangle x (f x))).toLinearEquiv
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
\u22a2 ∀ (i : Fin 2), ↑f.toLinearEquiv ((o.basisRightAngleRotation x hx) i) = ↑(o.rotation (o.oangle x (f x))).toLinearEquiv ((o.basisRightAngleRotation x hx) i)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
\u22a2 ↑(o.rotation (o.oangle x (f x))).toLinearEquiv ((o.basisRightAngleRotation x hx) ⟨1, ⋯⟩) = ↑f.toLinearEquiv ((o.basisRightAngleRotation x hx) ⟨1, ⋯⟩)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : o.oangle (o.rightAngleRotation x) (f (o.rightAngleRotation x)) = o.oangle x (f x)
\u22a2 ↑(o.rotation (o.oangle x (f x))).toLinearEquiv ((o.basisRightAngleRotation x hx) ⟨1, ⋯⟩) = ↑f.toLinearEquiv ((o.basisRightAngleRotation x hx) ⟨1, ⋯⟩)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : InvolutiveInv G
inst✝¹ : MeasurableInv G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsInvInvariant
A : Set G
\u22a2 μ A⁻¹ = μ A
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
\u22a2 (cyclotomic n R).natDegree = n.totient
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
\u22a2 WithBot.unbot' 0 ↑n.totient = n.totient
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
i : Fin (n + 1)
h : i ≠ 0
h' : optParam (i.rev ≠ last n) ⋯
\u22a2 (i.pred h).rev = i.rev.castPred h'
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Cast.lean
S : Type u_1
inst✝ : Ring S
a b : ℕ
\u22a2 ↑(a.descFactorial 2) = ↑a * (↑a - 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Cast.lean
S : Type u_1
inst✝ : Ring S
a b : ℕ
\u22a2 Polynomial.eval (↑(a - (2 - 1))) (ascPochhammer S 2) = ↑a * (↑a - 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w✝ : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
f : ℂ → E
z w : ℂ
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
hw : w ∈ ball z R
\u22a2 Continuous (circleTransform R z w f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w✝ : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
f : ℂ → E
z w : ℂ
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
hw : w ∈ ball z R
\u22a2 Continuous (deriv (circleMap z R))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w✝ : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
f : ℂ → E
z w : ℂ
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
hw : w ∈ ball z R
\u22a2 Continuous fun x => (circleMap z R x - w)⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w✝ : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
f : ℂ → E
z w : ℂ
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
hw : w ∈ ball z R
\u22a2 Continuous fun x => f (circleMap z R x)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/GammaCompN.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
\u22a2 (N₁Γ₀.app K).inv = (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (Γ₀NondegComplexIso K).inv ≫ (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.hom
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/GammaCompN.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
\u22a2 ((Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.symm ≪≫ (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).mapIso (Γ₀NondegComplexIso K)).inv = (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (Γ₀NondegComplexIso K).inv ≫ (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.hom
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
\u22a2 S.L₀.Exact
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
\u22a2 ∀ ⦃A : C⦄ (x₂ : A ⟶ S.L₀.X₂), x₂ ≫ S.L₀.g = 0 → ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.L₀.f
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₂ : A ⟶ S.L₀.X₂
hx₂ : x₂ ≫ S.L₀.g = 0
\u22a2 ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.L₀.f
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₂ : A ⟶ S.L₀.X₂
hx₂ : x₂ ≫ S.L₀.g = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
hπ₁ : Epi π₁
y₁ : A₁ ⟶ S.L₁.X₁
hy₁ : π₁ ≫ x₂ ≫ S.v₀₁.τ₂ = y₁ ≫ S.L₁.f
\u22a2 ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.L₀.f
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₂ : A ⟶ S.L₀.X₂
hx₂ : x₂ ≫ S.L₀.g = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
hπ₁ : Epi π₁
y₁ : A₁ ⟶ S.L₁.X₁
hy₁ : π₁ ≫ x₂ ≫ S.v₀₁.τ₂ = y₁ ≫ S.L₁.f
hy₁' : y₁ ≫ S.v₁₂.τ₁ = 0
\u22a2 ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.L₀.f
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₂ : A ⟶ S.L₀.X₂
hx₂ : x₂ ≫ S.L₀.g = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
hπ₁ : Epi π₁
y₁ : A₁ ⟶ S.L₁.X₁
hy₁ : π₁ ≫ x₂ ≫ S.v₀₁.τ₂ = y₁ ≫ S.L₁.f
hy₁' : y₁ ≫ S.v₁₂.τ₁ = 0
x₁ : A₁ ⟶ S.L₀.X₁
hx₁ : x₁ ≫ S.v₀₁.τ₁ = y₁
\u22a2 ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.L₀.f
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₂ : A ⟶ S.L₀.X₂
hx₂ : x₂ ≫ S.L₀.g = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
hπ₁ : Epi π₁
y₁ : A₁ ⟶ S.L₁.X₁
hy₁ : π₁ ≫ x₂ ≫ S.v₀₁.τ₂ = y₁ ≫ S.L₁.f
hy₁' : y₁ ≫ S.v₁₂.τ₁ = 0
x₁ : A₁ ⟶ S.L₀.X₁
hx₁ : x₁ ≫ S.v₀₁.τ₁ = y₁
\u22a2 π₁ ≫ x₂ = x₁ ≫ S.L₀.f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
l : ι →₀ R
i : ι
\u22a2 (ε i) (lc e l) = l i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
l : ι →₀ R
i : ι
\u22a2 (ε i) (l i • e i) = l i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
l : ι →₀ R
i : ι
\u22a2 ∀ (b : ι), l b ≠ 0 → b ≠ i → (ε i) (l b • e b) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
l : ι →₀ R
i : ι
\u22a2 l i = 0 → (ε i) (0 • e i) = 0
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
f✝ : α✝ → β✝
α : Sort u
β : α → Sort v
f : (a : α) → β a
β' : α → Sort v
f' : (a : α) → β' a
h : ∀ (a a' : α), HEq a a' → HEq (f a) (f' a')
this : ∀ (a : α), HEq (f a) (f' a)
\u22a2 HEq f f'
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
f✝ : α✝ → β✝
α : Sort u
β : α → Sort v
f : (a : α) → β a
β' : α → Sort v
f' : (a : α) → β' a
h : ∀ (a a' : α), HEq a a' → HEq (f a) (f' a')
this✝ : ∀ (a : α), HEq (f a) (f' a)
this : β = β'
\u22a2 HEq f f'
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
f✝ : α✝ → β✝
α : Sort u
β : α → Sort v
f f' : (a : α) → β a
h : ∀ (a a' : α), HEq a a' → HEq (f a) (f' a')
this : ∀ (a : α), HEq (f a) (f' a)
\u22a2 HEq f f'
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
f✝ : α✝ → β✝
α : Sort u
β : α → Sort v
f f' : (a : α) → β a
h : ∀ (a a' : α), HEq a a' → HEq (f a) (f' a')
this : ∀ (a : α), HEq (f a) (f' a)
\u22a2 f = f'
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
f✝ : α✝ → β✝
α : Sort u
β : α → Sort v
f f' : (a : α) → β a
h : ∀ (a a' : α), HEq a a' → HEq (f a) (f' a')
this : ∀ (a : α), HEq (f a) (f' a)
a : α
\u22a2 f a = f' a
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X
\u22a2 (colimMap (J.diagramPullback P f) ≫ colimit.pre (J.diagram P Y) (J.pullback f).op) ((colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x)) = (colimit.ι (J.diagram P Y) (op (S.pullback f))) ((Meq.equiv P (S.pullback f)).symm (x.pullback f))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X
\u22a2 (colimit.ι (J.diagram P Y) ((J.pullback f).op.obj (op S))) (((J.diagramPullback P f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x)) = (colimit.ι (J.diagram P Y) (op (S.pullback f))) ((Meq.equiv P (S.pullback f)).symm (x.pullback f))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X
\u22a2 ((J.diagramPullback P f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x) = (Meq.equiv P (S.pullback f)).symm (x.pullback f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X
\u22a2 (Meq.equiv P (unop ((J.pullback f).op.obj (op S)))) (((J.diagramPullback P f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x)) = (Meq.equiv P (unop ((J.pullback f).op.obj (op S)))) ((Meq.equiv P (S.pullback f)).symm (x.pullback f))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X
\u22a2 (Meq.equiv P (unop ((J.pullback f).op.obj (op S)))) (((J.diagramPullback P f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x)) = x.pullback f
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X
i : (unop ((J.pullback f).op.obj (op S))).Arrow
\u22a2 ↑((Meq.equiv P (unop ((J.pullback f).op.obj (op S)))) (((J.diagramPullback P f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x))) i = ↑(x.pullback f) i
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X
i : (unop ((J.pullback f).op.obj (op S))).Arrow
\u22a2 (Multiequalizer.ι ((S.pullback f).index P) i) ((Multiequalizer.lift ((S.pullback f).index P) (multiequalizer (S.index P)) (fun I => Multiequalizer.ι (S.index P) (Cover.Arrow.base I)) ⋯) ((Meq.equiv P S).symm x)) = ↑x { Y := i.Y, f := i.f ≫ f, hf := ⋯ }
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X
i : (unop ((J.pullback f).op.obj (op S))).Arrow
\u22a2 ↑x i.base = ↑x { Y := i.Y, f := i.f ≫ f, hf := ⋯ }
-- Mathlib/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DenselyOrdered α
\u22a2 Ioo a b = 0 ↔ ¬a < b
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : F
h0 : p ≠ 0
hμ : μ ≠ 0
h_top : ¬p = ⊤
\u22a2 eLpNorm (fun x => c) p μ = ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/DegreewiseSplit.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
σ : (n : ℤ) → (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
n : ℤ
\u22a2 ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map S.f ≫ (mappingConeHomOfDegreewiseSplitIso S σ).inv).f n = (-mappingCone.inr (homOfDegreewiseSplit S σ)).f n