ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Symmetric.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
\u22a2 (f'' v) w = (f'' w) v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Symmetric.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
\u22a2 (f'' v) w = (f'' w) v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Symmetric.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
C : ∀ (m : E), (f'' m) z = (f'' z) m
\u22a2 (f'' v) w = (f'' w) v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Symmetric.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
C : ∀ (m : E), (f'' m) z = (f'' z) m
this : (f'' (z + t v • v)) (z + t w • w) = (f'' (z + t w • w)) (z + t v • v)
\u22a2 (f'' v) w = (f'' w) v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Symmetric.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
C : ∀ (m : E), (f'' m) z = (f'' z) m
this : (f'' z) z + t v • (f'' z) v + (t w • (f'' z) w + (t w * t v) • (f'' v) w) = (f'' z) z + t w • (f'' z) w + (t v • (f'' z) v + (t v * t w) • (f'' w) v)
\u22a2 (f'' v) w = (f'' w) v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Symmetric.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
C : ∀ (m : E), (f'' m) z = (f'' z) m
this : (t v * t w) • (f'' v) w = (t v * t w) • (f'' w) v
\u22a2 (f'' v) w = (f'' w) v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Symmetric.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
s_conv✝ : Convex ℝ s✝
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s✝, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x✝ : E
xs✝ : x✝ ∈ s✝
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s✝) x✝
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Filter.Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
C : ∀ (m : E), (f'' m) z = (f'' z) m
this : (t v * t w) • (f'' v) w = (t v * t w) • (f'' w) v
\u22a2 t v * t w ≠ 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
\u22a2 o ≤ lsub (typein fun x x_1 => x < x_1)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
h : lsub (typein fun x x_1 => x < x_1) < o
\u22a2 False
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
h : lsub (typein fun x x_1 => x < x_1) < type fun x x_1 => x < x_1
\u22a2 False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℤ
A : M
h : IsUnit A.det
\u22a2 A ^ (-n) * A ^ n = 1
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝² : LinearOrder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f : α → γ
\u22a2 ContinuousOn f s ↔ LowerSemicontinuousOn f s ∧ UpperSemicontinuousOn f s
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝² : LinearOrder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f : α → γ
\u22a2 (∀ x ∈ s, LowerSemicontinuousWithinAt f s x ∧ UpperSemicontinuousWithinAt f s x) ↔ LowerSemicontinuousOn f s ∧ UpperSemicontinuousOn f s
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
\u22a2 cosh x - sinh x = cexp (-x)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f✝ f : α × β → StieltjesFunction
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
\u22a2 ∫ (b : β), ↑(f (a, b)) x ∂ν a = ((κ a) (univ ×ˢ Iic x)).toReal
-- Mathlib/Topology/Order/UpperLowerSetTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Topology.IsUpperSet α
s : Set α
\u22a2 IsClosed s ↔ IsLowerSet s
-- Mathlib/Order/Heyting/Boundary.lean
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b a : α
\u22a2 ∂ (￢￢a) = ∂ (￢a)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : R
x : X
\u22a2 r • (x /ₒ 1) = r • x /ₒ 1
-- Mathlib/Order/Filter/Ultrafilter.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f g : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
h : s.Finite
h' : s ∈ f
\u22a2 ∃ x ∈ s, f = pure x
-- Mathlib/Order/Filter/Ultrafilter.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f g : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
h : s.Finite
h' : ⋃ x ∈ s, {x} ∈ f
\u22a2 ∃ x ∈ s, f = pure x
-- Mathlib/Order/Filter/Ultrafilter.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f g : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
h : s.Finite
h' : ⋃ x ∈ s, {x} ∈ f
a : α
has : a ∈ s
haf : {a} ∈ f
\u22a2 ∃ x ∈ s, f = pure x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ComplexShapeSigns.lean
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
I : Type u_4
inst✝¹ : AddMonoid I
c : ComplexShape I
inst✝ : c.TensorSigns
\u22a2 c.ε 0 = 1
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α
\u22a2 rdropWhile p [x] = if p x = true then [] else [x]
-- Mathlib/Order/InitialSeg.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : r ≼i s
a✝ : α
h : Acc r a✝
a : α
x✝ : ∀ (y : α), r y a → Acc r y
ha : ∀ (y : α), r y a → Acc s (f y)
b : β
hb : s b (f a)
\u22a2 Acc s b
-- Mathlib/Order/InitialSeg.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : r ≼i s
a✝ : α
h : Acc r a✝
a : α
x✝ : ∀ (y : α), r y a → Acc r y
ha : ∀ (y : α), r y a → Acc s (f y)
a' : α
hb : s (f a') (f a)
\u22a2 Acc s (f a')
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
he : e ∈ M.closure X
\u22a2 M.closure (insert e X) = M.closure X
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β
x : α
\u22a2 x ∈ f.Dom ↔ ∃ y, y ∈ f x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ ψ : Angle
h : 2 • θ = 2 • ψ
\u22a2 |θ.sin| = |ψ.sin|
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ ψ : Angle
h : θ = ψ ∨ θ = ψ + ↑π
\u22a2 |θ.sin| = |ψ.sin|
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
hfg : f =ᶠ[𝓝[≠] x] g
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ m • f z) x
\u22a2 AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ (m + 1) • g z) x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
hfg : f =ᶠ[𝓝[≠] x] g
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ m • f z) x
this : AnalyticAt 𝕜 (fun z => z - x) x
\u22a2 AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ (m + 1) • g z) x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
hfg : f =ᶠ[𝓝[≠] x] g
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ m • f z) x
this : AnalyticAt 𝕜 (fun z => z - x) x
\u22a2 (fun x_1 => (x_1 - x) • (x_1 - x) ^ m • f x_1) =ᶠ[𝓝 x] fun z => (z - x) ^ (m + 1) • g z
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
hfg : ∀ᶠ (x_1 : 𝕜) in 𝓝 x, x_1 ∈ {x}ᶜ → f x_1 = g x_1
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ m • f z) x
this : AnalyticAt 𝕜 (fun z => z - x) x
\u22a2 (fun x_1 => (x_1 - x) • (x_1 - x) ^ m • f x_1) =ᶠ[𝓝 x] fun z => (z - x) ^ (m + 1) • g z
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
hfg : ∀ᶠ (x_1 : 𝕜) in 𝓝 x, x_1 ∈ {x}ᶜ → f x_1 = g x_1
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ m • f z) x
this : AnalyticAt 𝕜 (fun z => z - x) x
z : 𝕜
hz : z ∈ {x}ᶜ → f z = g z
\u22a2 (z - x) • (z - x) ^ m • f z = (z - x) ^ (m + 1) • g z
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
m : ℕ
z : 𝕜
hfg : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 z, x ∈ {z}ᶜ → f x = g x
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z_1 => (z_1 - z) ^ m • f z_1) z
this : AnalyticAt 𝕜 (fun z_1 => z_1 - z) z
hz : z ∈ {z}ᶜ → f z = g z
\u22a2 (z - z) • (z - z) ^ m • f z = (z - z) ^ (m + 1) • g z
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
hfg : ∀ᶠ (x_1 : 𝕜) in 𝓝 x, x_1 ∈ {x}ᶜ → f x_1 = g x_1
m : ℕ
hf : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ m • f z) x
this : AnalyticAt 𝕜 (fun z => z - x) x
z : 𝕜
hz : z ∈ {x}ᶜ → f z = g z
hn : z ≠ x
\u22a2 (z - x) • (z - x) ^ m • f z = (z - x) ^ (m + 1) • g z
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'✝
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'✝
inst✝ : Module R M₁
M' : Submodule R M
s : Set M
hs : s ⊆ ↑M'
hs' : LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val
t : Set M
ht : LinearIndependent (ι := ↑t) R (Submodule.Quotient.mk ∘ Subtype.val)
\u22a2 LinearIndependent (ι := ↑(s ∪ t)) R Subtype.val
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'✝
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'✝
inst✝ : Module R M₁
M' : Submodule R M
s : Set M
hs : s ⊆ ↑M'
hs' : LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val
t : Set M
ht : LinearIndependent (ι := ↑t) R (Submodule.Quotient.mk ∘ Subtype.val)
\u22a2 range (Sum.elim (fun x => ↑((s.embeddingOfSubset (↑M') hs) x)) Subtype.val) = s ∪ t
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]
\u22a2 a + star a = 2 * ↑a.re
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
H K : Subgroup G
\u22a2 closure ↑H ⊔ closure ↑K ≤ H ⊔ K
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : PrimeSpectrum ↑S
x : ↑R
\u22a2 (((stalkIso (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) p)).inv ≫ PresheafedSpace.Hom.stalkMap (Spec.sheafedSpaceMap f) p) ≫ (stalkIso (↑S) p).hom) ((algebraMap (↑R) (Localization.AtPrime ((PrimeSpectrum.comap f) p).asIdeal)) x) = (algebraMap (↑S) (Localization.AtPrime p.asIdeal)) (f x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : PrimeSpectrum ↑S
x : ↑R
\u22a2 ((localizationToStalk (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) p) ≫ PresheafedSpace.Hom.stalkMap (Spec.sheafedSpaceMap f) p) ≫ stalkToFiberRingHom (↑S) p) ((algebraMap (↑R) (Localization.AtPrime ((PrimeSpectrum.comap f) p).asIdeal)) x) = (algebraMap (↑S) (Localization.AtPrime p.asIdeal)) (f x)
-- Mathlib/Algebra/Group/Support.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq A
inst✝ : One B
a : A
b b' : B
hb : b ≠ 1
hb' : b' ≠ 1
i j : A
\u22a2 Disjoint (mulSupport (mulSingle i b)) (mulSupport (mulSingle j b')) ↔ i ≠ j
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α✝ : Type u_12
β : Type u_13
inst✝⁴ : DecidableEq o
inst✝³ : Zero α✝
inst✝² : Zero β
α : Type u_14
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : StarAddMonoid α
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
\u22a2 (blockDiagonal' M)ᴴ = blockDiagonal' fun k => (M k)ᴴ
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α✝ : Type u_12
β : Type u_13
inst✝⁴ : DecidableEq o
inst✝³ : Zero α✝
inst✝² : Zero β
α : Type u_14
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : StarAddMonoid α
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
\u22a2 (blockDiagonal' fun k => (M k)ᵀ).map star = blockDiagonal' fun k => (M k)ᵀ.map star
-- Mathlib/Geometry/Manifold/InteriorBoundary.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M
h : I.IsInteriorPoint x
\u22a2 range ↑I ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/InteriorBoundary.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M
h : I.IsInteriorPoint x
\u22a2 ∃ t ⊆ range ↑I, IsOpen t ∧ ↑(extChartAt I x) x ∈ t
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Mul α
inst✝² : Mul β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MulHomClass F α β
m : F
s✝ t✝ : Set α
s t : Set β
hs : s ⊆ range ⇑m
ht : t ⊆ range ⇑m
a : α
ha : m a ∈ s
b : α
hb : m b ∈ t
\u22a2 (fun x x_1 => x * x_1) (m a) (m b) ∈ range ⇑m
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
e : ι' ≃ ι
m : ι → Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (sum (m ∘ ⇑e)) s = (sum m) s
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝⁶ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁵ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝² : Semiring T
B : Type u₄
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra S B
f : A →ₐ[S] B
s : A → A → Prop
w : ∀ ⦃x y : A⦄, s x y → f x = f y
x : A
\u22a2 ((liftAlgHom S) ⟨f, w⟩) ((mkAlgHom S s) x) = f x
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝⁶ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁵ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝² : Semiring T
B : Type u₄
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra S B
f : A →ₐ[S] B
s : A → A → Prop
w : ∀ ⦃x y : A⦄, s x y → f x = f y
x : A
\u22a2 ({ toFun := fun f' => { toFun := fun x => Quot.lift ⇑↑f' ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }, invFun := fun F => ⟨F.comp { toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel s) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ⟨f, w⟩) ({ toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel s) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ } x) = f x
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n
\u22a2 qrSign m n ^ 2 = 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : Field 𝕜
inst✝¹⁶ : CharZero 𝕜
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M
inst✝¹³ : Algebra 𝕜 R
inst✝¹² : Module 𝕜 M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁹ : IsCentralScalar R M
inst✝⁸ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁷ : TopologicalSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : TopologicalRing R
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : T2Space R
inst✝ : T2Space M
x : tsze R M
\u22a2 (exp 𝕜 x).fst = exp 𝕜 x.fst
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h1 : 0 < a
h2 : a ≤ 1
\u22a2 1 ≤ 1 / a
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
g : G i
w : NormalWord d
hmw : w.fstIdx ≠ some i
hgr : g ∉ (φ i).range
\u22a2 cons g w hmw hgr = (of i) g • w
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
g : G i
w : NormalWord d
hmw : w.fstIdx ≠ some i
hgr : g ∉ (φ i).range
\u22a2 CoprodI.of ((φ i) (cons g w hmw hgr).head) • (cons g w hmw hgr).toWord = CoprodI.of ((φ i) ((of i) g • w).head) • ((of i) g • w).toWord
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → F
\u22a2 ∫ (x : E) in f '' s, g x ∂μ = ∫ (x : E) in s, |(f' x).det| • g (f x) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → F
\u22a2 ∫ (x : ↑s), g (s.restrict f x) ∂Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|) = ∫ (x : E) in s, |(f' x).det| • g (f x) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → F
\u22a2 ∫ (x : ↑s), (g ∘ f) ↑x ∂Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ↑|(f' x).det|.toNNReal) = ∫ (x : E) in s, |(f' x).det| • (g ∘ f) x ∂μ