ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring S
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R P
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
l : ↥(supported M R s)
a : α
h : a ∉ s
\u22a2 ↑((restrictDom M R s ∘ₗ (supported M R s).subtype) l) a = ↑(LinearMap.id l) a
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Pochhammer.lean
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n : ℕ
h : n ≠ 0
\u22a2 eval 0 (ascPochhammer S n) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Endofunctor/Algebra.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ C
A A₀ A₁ A₂ : Algebra F
f : A₀ ⟶ A₁
g : A₁ ⟶ A₂
h : Limits.IsInitial A
\u22a2 A.str ≫ strInv h = 𝟙 (F.obj A.a)
-- Mathlib/CategoryTheory/Endofunctor/Algebra.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ C
A A₀ A₁ A₂ : Algebra F
f : A₀ ⟶ A₁
g : A₁ ⟶ A₂
h : Limits.IsInitial A
\u22a2 F.map ((h.to { a := F.obj A.a, str := F.map A.str }).f ≫ A.str) = F.map (𝟙 A.a)
-- Mathlib/CategoryTheory/Endofunctor/Algebra.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ C
A A₀ A₁ A₂ : Algebra F
f : A₀ ⟶ A₁
g : A₁ ⟶ A₂
h : Limits.IsInitial A
\u22a2 (h.to { a := F.obj A.a, str := F.map A.str }).f ≫ A.str = 𝟙 A.a
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
\u22a2 (o.kahler x) (o.rightAngleRotation y) = Complex.I * (o.kahler x) y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
\u22a2 -↑((o.areaForm x) y) + ↑⟪x, y⟫_ℝ * Complex.I = Complex.I * (↑⟪x, y⟫_ℝ + ↑((o.areaForm x) y) * Complex.I)
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
\u22a2 Splits φ P.toPoly ↔ ∃ x y z, (map φ P).roots = {x, y, z}
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s s' : Finset α
hs : Disjoint s s'
t : Finset β
\u22a2 Disjoint (interedges r s t) (interedges r s' t)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s s' : Finset α
hs : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ s'
t : Finset β
\u22a2 ∀ ⦃a : α × β⦄, a ∈ interedges r s t → a ∉ interedges r s' t
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s s' : Finset α
hs : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ s'
t : Finset β
a✝ : α × β
hx : a✝ ∈ interedges r s t
hy : a✝ ∈ interedges r s' t
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s s' : Finset α
hs : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ s'
t : Finset β
a✝ : α × β
hx : a✝.1 ∈ s ∧ a✝.2 ∈ t ∧ r a✝.1 a✝.2
hy : a✝.1 ∈ s' ∧ a✝.2 ∈ t ∧ r a✝.1 a✝.2
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Pi.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
n : ℕ
f : ι → ℕ
\u22a2 f ∈ map { toFun := fun m a => Multiset.count a ↑m, inj' := ⋯ } (s.sym n) ↔ f ∈ s.piAntidiag n
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Pi.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
n : ℕ
f : ι → ℕ
\u22a2 (∃ s_1, (∀ a ∈ s_1, a ∈ s) ∧ Multiset.card s_1 = n ∧ ∀ (a : ι), Multiset.count a s_1 = f a) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), ¬f i = 0 → i ∈ s
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
hR : autoParam (R ⊆ M.E) _auto✝
\u22a2 (M ↾ R).Basis I X ↔ M.Basis I X ∧ X ⊆ R
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
hR : autoParam (R ⊆ M.E) _auto✝
\u22a2 X ⊆ R → (M.Basis I (X ∩ M.E) ↔ M.Basis I X)
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
hR : autoParam (R ⊆ M.E) _auto✝
hXR : X ⊆ R
\u22a2 M.Basis I (X ∩ M.E) ↔ M.Basis I X
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/RieszMarkovKakutani.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K : Compacts X
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
\u22a2 ∃ f, (∀ x ∈ K, 1 ≤ f x) ∧ Λ f < rieszContentAux Λ K + ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/RieszMarkovKakutani.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K : Compacts X
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
α : ℝ≥0
α_hyp : α < rieszContentAux Λ K + ε
f : X →ᵇ ℝ≥0
f_hyp : f ∈ {f | ∀ x ∈ K, 1 ≤ f x} ∧ Λ f = α
\u22a2 ∃ f, (∀ x ∈ K, 1 ≤ f x) ∧ Λ f < rieszContentAux Λ K + ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/RieszMarkovKakutani.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K : Compacts X
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
α : ℝ≥0
α_hyp : α < rieszContentAux Λ K + ε
f : X →ᵇ ℝ≥0
f_hyp : f ∈ {f | ∀ x ∈ K, 1 ≤ f x} ∧ Λ f = α
\u22a2 Λ f < rieszContentAux Λ K + ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/RieszMarkovKakutani.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K : Compacts X
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
α : ℝ≥0
α_hyp : α < rieszContentAux Λ K + ε
f : X →ᵇ ℝ≥0
f_hyp : f ∈ {f | ∀ x ∈ K, 1 ≤ f x} ∧ Λ f = α
\u22a2 α < rieszContentAux Λ K + ε
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ✝ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
u : Set γ
x✝ : (α × β) × γ
\u22a2 x✝ ∈ ⇑(prodAssoc α β γ) ⁻¹' s ×ˢ t ×ˢ u ↔ x✝ ∈ (s ×ˢ t) ×ˢ u
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
x : α 0
p : (j : Fin n) → α (succAbove 0 j)
\u22a2 insertNth 0 x p = cons x fun j => _root_.cast ⋯ (p j)
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
x : α 0
p : (j : Fin n) → α (succAbove 0 j)
\u22a2 p = removeNth 0 (cons x fun j => _root_.cast ⋯ (p j))
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
x : α 0
p : (j : Fin n) → α (succAbove 0 j)
j : Fin n
\u22a2 p j = removeNth 0 (cons x fun j => _root_.cast ⋯ (p j)) j
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/InnerDual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
\u22a2 univ.innerDualCone = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/InnerDual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
\u22a2 ∀ x ∈ univ.innerDualCone, x = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.2418, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝¹ : HasWeakSheafify J D
inst✝ : J.HasSheafCompose F
adj : G ⊣ F
X : Sheaf J E
Y : Sheaf J D
A : (whiskeringRight Cᵒᵖ E D).obj G ⊣ (whiskeringRight Cᵒᵖ D E).obj F := Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj
η : (composeAndSheafify J G).obj X ⟶ Y
\u22a2 η.val = sheafifyLift J ((A.homEquiv X.val Y.val).symm ((A.homEquiv X.val Y.val) (toSheafify J (X.val ⋙ G) ≫ η.val))) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.2418, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝¹ : HasWeakSheafify J D
inst✝ : J.HasSheafCompose F
adj : G ⊣ F
X : Sheaf J E
Y : Sheaf J D
A : (whiskeringRight Cᵒᵖ E D).obj G ⊣ (whiskeringRight Cᵒᵖ D E).obj F := Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj
η : (composeAndSheafify J G).obj X ⟶ Y
\u22a2 toSheafify J (X.val ⋙ G) ≫ η.val = (A.homEquiv X.val Y.val).symm ((A.homEquiv X.val Y.val) (toSheafify J (X.val ⋙ G) ≫ η.val))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.2418, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝¹ : HasWeakSheafify J D
inst✝ : J.HasSheafCompose F
adj : G ⊣ F
X : Sheaf J E
Y : Sheaf J D
A : (whiskeringRight Cᵒᵖ E D).obj G ⊣ (whiskeringRight Cᵒᵖ D E).obj F := Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj
γ : X ⟶ (sheafCompose J F).obj Y
\u22a2 (A.homEquiv X.val Y.val) (toSheafify J (X.val ⋙ G) ≫ sheafifyLift J ((A.homEquiv X.val Y.val).symm γ.val) ⋯) = γ.val
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/ENat.lean
m : ℕ∞
\u22a2 ↑m ≤ 1 ↔ m ≤ 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : ↥(Lp E 1 μ)
\u22a2 (setToL1 ⋯) f = (setToL1 hT) f + (setToL1 hT') f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : ↥(Lp E 1 μ)
\u22a2 setToL1 ⋯ = setToL1 hT + setToL1 hT'
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : ↥(Lp E 1 μ)
\u22a2 (setToL1 hT + setToL1 hT').comp (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
\u22a2 ((setToL1 hT + setToL1 hT').comp (coeToLp α E ℝ)) f = (setToL1SCLM α E μ ⋯) f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
\u22a2 (setToL1 hT) ↑f + (setToL1 hT') ↑f = (setToL1SCLM α E μ ⋯) f
-- Mathlib/Data/Real/ConjExponents.lean
a b p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q
\u22a2 p / q = p - 1
-- Mathlib/Data/Real/ConjExponents.lean
a b p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q
\u22a2 p = (p - 1) * q
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
\u22a2 p.succAbove i < p ↔ i.castSucc < p
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
H : i.castSucc < p
\u22a2 p.succAbove i < p ↔ i.castSucc < p
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
H : p < i.succ
\u22a2 p.succAbove i < p ↔ i.castSucc < p
-- Mathlib/Logic/Small/Group.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Neg α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x : Shrink.{u_2, u_1} α
\u22a2 (equivShrink α).symm (-x) = -(equivShrink α).symm x
-- Mathlib/Logic/Small/Group.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Neg α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x : Shrink.{u_2, u_1} α
\u22a2 (equivShrink α).symm ((equivShrink α).symm.symm (-(equivShrink α).symm x)) = -(equivShrink α).symm x
-- Mathlib/Order/Filter/Archimedean.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
l : Filter α
\u22a2 Tendsto (fun n => ↑(f n)) l atBot ↔ Tendsto f l atBot
-- Mathlib/Order/Filter/Archimedean.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
l : Filter α
\u22a2 Tendsto (fun n => ↑(f n)) l atBot ↔ Tendsto (Int.cast ∘ f) l atBot
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Lemmas.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionSemiring R
inst✝ : NeZero 2
a : R
\u22a2 (a + a) / 2 = a
-- Mathlib/FieldTheory/NormalClosure.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra F L
ne : Nonempty (K →ₐ[F] L)
h : Normal F L
φ : K →ₐ[F] L
\u22a2 normalClosure F K L = ⨆ x, adjoin F ((minpoly F x).rootSet L)
-- Mathlib/FieldTheory/NormalClosure.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra F L
ne : Nonempty (K →ₐ[F] L)
h : Normal F L
φ : K →ₐ[F] L
x : K
\u22a2 Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
-- Mathlib/FieldTheory/NormalClosure.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra F L
ne : Nonempty (K →ₐ[F] L)
h : Normal F L
φ : K →ₐ[F] L
x : K
\u22a2 Splits (algebraMap F L) (minpoly F (φ x))
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasurableIntegral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : β × γ → E
hf : StronglyMeasurable f
\u22a2 StronglyMeasurable ((fun x => ∫ (y : γ), (fun u => f (u.1.2, u.2)) (x, y) ∂η x) ∘ fun x => (a, x))
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasurableIntegral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : β × γ → E
hf : StronglyMeasurable f
\u22a2 StronglyMeasurable fun x => ∫ (y : γ), (fun u => f (u.1.2, u.2)) (x, y) ∂η x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
f' : G' →g G''
u✝ v✝ u' v' : V
p✝ : G.Walk u✝ v✝
u v : V
p : G.Walk u v
H : SimpleGraph V
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∈ H.edgeSet
K : SimpleGraph V
hp' : ∀ e ∈ (p.transfer H hp).edges, e ∈ K.edgeSet
\u22a2 (p.transfer H hp).transfer K hp' = p.transfer K ⋯
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β γ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
f : (α → ℕ) → ℕ
\u22a2 DiophFn f = DiophPFun ↑f
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β γ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
f : (α → ℕ) → ℕ
v : Option α → ℕ
\u22a2 v ∈ {v | f (v ∘ some) = v none} ↔ v ∈ {v | (↑f).graph (v ∘ some, v none)}
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
p : TangentBundle I M
hg : MDifferentiableAt I' I'' g (f p.proj)
hf : MDifferentiableAt I I' f p.proj
\u22a2 (mfderiv I I'' (g ∘ f) p.proj) p.snd = (mfderiv I' I'' g (f p.proj)) ((mfderiv I I' f p.proj) p.snd)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
p : TangentBundle I M
hg : MDifferentiableAt I' I'' g (f p.proj)
hf : MDifferentiableAt I I' f p.proj
\u22a2 ((mfderiv I' I'' g (f p.proj)).comp (mfderiv I I' f p.proj)) p.snd = (mfderiv I' I'' g (f p.proj)) ((mfderiv I I' f p.proj) p.snd)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Finset ι
g : α → ℝ≥0∞
f : ι → α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ
q : ℝ
p : ι → ℝ
hpq : q + ∑ i ∈ s, p i = 1
hq : 0 ≤ q
hp : ∀ i ∈ s, 0 ≤ p i
\u22a2 ∫⁻ (t : α), ∏ j ∈ insertNone s, (j.elim (g t) fun j => f j t) ^ j.elim q p ∂μ ≤ ∏ j ∈ insertNone s, (∫⁻ (t : α), j.elim (g t) fun j => f j t ∂μ) ^ j.elim q p
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Finset ι
g : α → ℝ≥0∞
f : ι → α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ
q : ℝ
p : ι → ℝ
hpq : q + ∑ i ∈ s, p i = 1
hq : 0 ≤ q
hp : ∀ i ∈ s, 0 ≤ p i
\u22a2 ∀ i ∈ insertNone s, AEMeasurable (fun t => i.elim (g t) fun j => f j t) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Finset ι
g : α → ℝ≥0∞
f : ι → α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ
q : ℝ
p : ι → ℝ
hpq : q + ∑ i ∈ s, p i = 1
hq : 0 ≤ q
hp : ∀ i ∈ s, 0 ≤ p i
\u22a2 ∑ i ∈ insertNone s, i.elim q p = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Finset ι
g : α → ℝ≥0∞
f : ι → α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ
q : ℝ
p : ι → ℝ
hpq : q + ∑ i ∈ s, p i = 1
hq : 0 ≤ q
hp : ∀ i ∈ s, 0 ≤ p i
\u22a2 ∀ i ∈ insertNone s, 0 ≤ i.elim q p
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
a : α
s : Multiset α
l : List α
\u22a2 (a ::ₘ ⟦l⟧).powerset = powerset ⟦l⟧ + map (cons a) (powerset ⟦l⟧)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hg : HasMFDerivAt I' I'' g (f x) g'
hf : HasMFDerivAt I I' f x f'
\u22a2 HasMFDerivAt I I'' (g ∘ f) x (g'.comp f')
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hg : HasMFDerivWithinAt I' I'' g univ (f x) g'
hf : HasMFDerivWithinAt I I' f univ x f'
\u22a2 HasMFDerivWithinAt I I'' (g ∘ f) univ x (g'.comp f')
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/CotangentComplex.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
i : P.vars
\u22a2 P.toKaehler (P.cotangentSpaceBasis i) = (D R S) (P.val i)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V
G'✝ : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
φ : G ≃g G'
u : V
v : V'
\u22a2 G.Reachable (φ.symm v) u ↔ G'.Reachable v (φ u)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
S : Set (LieSubalgebra R L)
\u22a2 IsGLB S (sInf S)