ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X
F_der_I : ∀ x ∈ Ioo 0 X, HasDerivAt (fun x => ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) (-(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) x
cont : Continuous fun x => (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) x * ↑x ^ s
der_ible : IntervalIntegrable (fun x => -(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) volume 0 X
int_eval : (∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + -∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1)) = -((ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) X * ↑X ^ s - (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) 0 * ↑0 ^ s)
this : (fun x => ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) = fun x => s * ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)
t : ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) = s * ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)
\u22a2 (∫ (x : ℝ) in 0 ..X, s * ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) + (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) 0 * 0 - (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) X * ↑X ^ s = (∫ (x : ℝ) in 0 ..X, s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))) - ↑(rexp (-X)) * ↑X ^ s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X
F_der_I : ∀ x ∈ Ioo 0 X, HasDerivAt (fun x => ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) (-(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) x
cont : Continuous fun x => (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) x * ↑x ^ s
der_ible : IntervalIntegrable (fun x => -(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) volume 0 X
int_eval : (∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s) + -∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1)) = -((ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) X * ↑X ^ s - (ofReal' ∘ fun y => rexp (-y)) 0 * ↑0 ^ s)
this : (fun x => ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) = fun x => s * ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)
t : ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)) = s * ∫ (x : ℝ) in 0 ..X, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)
\u22a2 s ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring K
inst✝³ : CommSemiring L
inst✝² : Algebra K L
E1 E2 : Subalgebra K L
inst✝¹ : Module.Finite K ↥E1
inst✝ : Module.Finite K ↥E2
\u22a2 Module.Finite K ↥(E1 ⊔ E2)
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring K
inst✝³ : CommSemiring L
inst✝² : Algebra K L
E1 E2 : Subalgebra K L
inst✝¹ : Module.Finite K ↥E1
inst✝ : Module.Finite K ↥E2
\u22a2 Module.Finite K ↥(Algebra.TensorProduct.productMap E1.val E2.val).range
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, 1 / x = Real.log (b / a)
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m✝ n a b c d m : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]
\u22a2 a ^ m ≡ b ^ m [MOD n]
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R
\u22a2 W'.dblXYZ (u • P) = u ^ 4 • W'.dblXYZ P
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R
\u22a2 ![(u ^ 4) ^ 2 * W'.dblX P, (u ^ 4) ^ 3 * W'.dblY P, u ^ 4 * W'.dblZ P] = u ^ 4 • W'.dblXYZ P
-- Mathlib/Topology/CompactOpen.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
f g : C(X, Y)
\u22a2 ⇑f ⤳ ⇑g ↔ f ⤳ g
-- Mathlib/Topology/CompactOpen.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
f g : C(X, Y)
h : ⇑f ⤳ ⇑g
\u22a2 f ⤳ g
-- Mathlib/Topology/CompactOpen.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
f g : C(X, Y)
h : ⇑f ⤳ ⇑g
\u22a2 ∀ (K : Set X), IsCompact K → ∀ (U : Set Y), IsOpen U → MapsTo (⇑g) K U → MapsTo (⇑f) K U
-- Mathlib/Topology/RestrictGenTopology.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
t : Set X
x : X
inst✝ : SequentialSpace X
h : ∀ ⦃u : ℕ → X⦄ ⦃x : X⦄, Tendsto u atTop (𝓝 x) → insert x (range u) ∈ S
\u22a2 RestrictGenTopology S
-- Mathlib/Topology/RestrictGenTopology.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
t✝ : Set X
x✝ : X
inst✝ : SequentialSpace X
h : ∀ ⦃u : ℕ → X⦄ ⦃x : X⦄, Tendsto u atTop (𝓝 x) → insert x (range u) ∈ S
t : Set X
ht : ∀ s ∈ S, IsClosed (Subtype.val ⁻¹' t)
u : ℕ → X
x : X
hut : ∀ (n : ℕ), u n ∈ t
hux : Tendsto u atTop (𝓝 x)
\u22a2 x ∈ t
-- Mathlib/Topology/RestrictGenTopology.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
t✝ : Set X
x✝ : X
inst✝ : SequentialSpace X
h : ∀ ⦃u : ℕ → X⦄ ⦃x : X⦄, Tendsto u atTop (𝓝 x) → insert x (range u) ∈ S
t : Set X
ht : ∀ s ∈ S, IsClosed (Subtype.val ⁻¹' t)
u : ℕ → X
x : X
hut : ∀ (n : ℕ), u n ∈ t
hux : Tendsto u atTop (𝓝 x)
s : Set X
hsc : IsClosed s
hst : Subtype.val ⁻¹' s = Subtype.val ⁻¹' t
\u22a2 x ∈ t
-- Mathlib/Topology/RestrictGenTopology.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
t✝ : Set X
x✝ : X
inst✝ : SequentialSpace X
h : ∀ ⦃u : ℕ → X⦄ ⦃x : X⦄, Tendsto u atTop (𝓝 x) → insert x (range u) ∈ S
t : Set X
ht : ∀ s ∈ S, IsClosed (Subtype.val ⁻¹' t)
u : ℕ → X
x : X
hut : ∀ (n : ℕ), u n ∈ t
hux : Tendsto u atTop (𝓝 x)
s : Set X
hsc : IsClosed s
hst : ∀ (x_1 : X), x_1 ∈ insert x (range u) ∩ s ↔ x_1 ∈ insert x (range u) ∩ t
\u22a2 x ∈ t
-- Mathlib/Topology/RestrictGenTopology.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
t✝ : Set X
x✝ : X
inst✝ : SequentialSpace X
h : ∀ ⦃u : ℕ → X⦄ ⦃x : X⦄, Tendsto u atTop (𝓝 x) → insert x (range u) ∈ S
t : Set X
ht : ∀ s ∈ S, IsClosed (Subtype.val ⁻¹' t)
u : ℕ → X
x : X
hut : ∀ (n : ℕ), u n ∈ t
hux : Tendsto u atTop (𝓝 x)
s : Set X
hsc : IsClosed s
hst : ∀ (x_1 : X), x_1 ∈ insert x (range u) ∩ s ↔ x_1 ∈ insert x (range u) ∩ t
\u22a2 x ∈ s
-- Mathlib/Topology/RestrictGenTopology.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
t✝ : Set X
x✝ : X
inst✝ : SequentialSpace X
h : ∀ ⦃u : ℕ → X⦄ ⦃x : X⦄, Tendsto u atTop (𝓝 x) → insert x (range u) ∈ S
t : Set X
ht : ∀ s ∈ S, IsClosed (Subtype.val ⁻¹' t)
u : ℕ → X
x : X
hut : ∀ (n : ℕ), u n ∈ t
hux : Tendsto u atTop (𝓝 x)
s : Set X
hsc : IsClosed s
hst : ∀ (x_1 : X), x_1 ∈ insert x (range u) ∩ s ↔ x_1 ∈ insert x (range u) ∩ t
k : ℕ
\u22a2 u k ∈ s
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G✝ : Type u
inst✝² : Monoid G✝
G : Type u_1
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : Nontrivial G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
\u22a2 exponent G = p ↔ ∀ (g : G), g ≠ 1 → orderOf g = p
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G✝ : Type u
inst✝² : Monoid G✝
G : Type u_1
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : Nontrivial G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hG : exponent G = p
g : G
hg : g ≠ 1
\u22a2 orderOf g = p
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G✝ : Type u
inst✝² : Monoid G✝
G : Type u_1
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : Nontrivial G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : ∀ (g : G), g ≠ 1 → orderOf g = p
\u22a2 exponent G ∣ p
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G✝ : Type u
inst✝² : Monoid G✝
G : Type u_1
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : Nontrivial G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : ∀ (g : G), g ≠ 1 → orderOf g = p
\u22a2 p ∣ exponent G
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
h : LinearIndependent R v
f : ι' → ι
hf : Injective f
\u22a2 LinearIndependent R (v ∘ f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
h : LinearIndependent R v
f : ι' → ι
hf : Injective f
\u22a2 ∀ (l : ι' →₀ R), (Finsupp.total ι M R v ∘ₗ Finsupp.lmapDomain R R f) l = 0 → l = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
h : LinearIndependent R v
f : ι' → ι
hf : Injective f
l : ι' →₀ R
hl : (Finsupp.total ι M R v ∘ₗ Finsupp.lmapDomain R R f) l = 0
\u22a2 l = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
h : LinearIndependent R v
f : ι' → ι
hf : Injective f
l : ι' →₀ R
hl : (Finsupp.total ι M R v ∘ₗ Finsupp.lmapDomain R R f) l = 0
h_map_domain : ∀ (x : ι'), (Finsupp.mapDomain f l) (f x) = 0
\u22a2 l = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
h : LinearIndependent R v
f : ι' → ι
hf : Injective f
l : ι' →₀ R
hl : (Finsupp.total ι M R v ∘ₗ Finsupp.lmapDomain R R f) l = 0
h_map_domain : ∀ (x : ι'), (Finsupp.mapDomain f l) (f x) = 0
x : ι'
\u22a2 l x = (Finsupp.mapDomain f l) (f x)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x : α
\u22a2 f x ∈ f.support ↔ x ∈ f.support
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : ℕ →. ℕ
\u22a2 Partrec f ↔ Nat.Partrec f
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t : Set G
ht : IsOpen t
\u22a2 IsOpen (s / t)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t : Set G
ht : IsOpen t
\u22a2 IsOpen (⋃ a ∈ s, (fun x => a / x) '' t)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
u v : ℂ
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (v - 1) * (1 - ↑x) ^ (u - 1) = ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
u v : ℂ
this : ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑(-1 * x + 1) ^ (u - 1) * (1 - ↑(-1 * x + 1)) ^ (v - 1) = (-1)⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in -1 * 0 + 1 ..-1 * 1 + 1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (v - 1) * (1 - ↑x) ^ (u - 1) = ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
u v : ℂ
this : ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑(-1 * x + 1) ^ (u - 1) * (1 - ↑(-1 * x + 1)) ^ (v - 1) = ∫ (x : ℝ) in -1 * 1 + 1 ..-1 * 0 + 1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (v - 1) * (1 - ↑x) ^ (u - 1) = ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
u v : ℂ
this : ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, (-↑x + 1) ^ (u - 1) * ↑x ^ (v - 1) = ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (v - 1) * (1 - ↑x) ^ (u - 1) = ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
u v : ℂ
this : ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (v - 1) * (1 - ↑x) ^ (u - 1) = ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (v - 1) * (1 - ↑x) ^ (u - 1) = ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
t : Finset M
h : finrank R M < t.card
\u22a2 ∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
t : Finset M
h : finrank R M < t.card
g : { x // x ∈ t } → R
sum : ∑ i : { x // x ∈ t }, g i • ↑i = 0
z : { x // x ∈ t }
nonzero : g z ≠ 0
\u22a2 ∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
t : Finset M
h : finrank R M < t.card
g : { x // x ∈ t } → R
sum : ∑ i : { x // x ∈ t }, g i • ↑i = 0
z : { x // x ∈ t }
nonzero : g z ≠ 0
\u22a2 ∑ e ∈ t, Function.extend Subtype.val g 0 e • e = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
t : Finset M
h : finrank R M < t.card
g : { x // x ∈ t } → R
sum : ∑ i : { x // x ∈ t }, g i • ↑i = 0
z : { x // x ∈ t }
nonzero : g z ≠ 0
\u22a2 ∑ i : ↑↑t, Function.extend Subtype.val g 0 ↑i • ↑i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
t : Finset M
h : finrank R M < t.card
g : { x // x ∈ t } → R
sum : ∑ i : { x // x ∈ t }, g i • ↑i = 0
z : { x // x ∈ t }
nonzero : g z ≠ 0
x✝ : ↑↑t
a✝ : x✝ ∈ Finset.univ
\u22a2 Function.extend Subtype.val g 0 ↑x✝ = g x✝
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hb : 1 < b
hr : 0 < r
\u22a2 ↑b ^ log b r ≤ r
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hb : 1 < b
hr : 0 < r
hr1 : 1 ≤ r
\u22a2 ↑b ^ log b r ≤ r
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hb : 1 < b
hr : 0 < r
hr1 : r ≤ 1
\u22a2 ↑b ^ log b r ≤ r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : PolishSpace G
ν : Measure G
Γ : Subgroup G
inst✝⁴ : Countable ↥Γ
inst✝³ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝² : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
g : G
A : Set (G ⧸ Γ)
hA : MeasurableSet A
\u22a2 μ ((fun x => g • x) ⁻¹' A) = μ A
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : PolishSpace G
ν : Measure G
Γ : Subgroup G
inst✝⁴ : Countable ↥Γ
inst✝³ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝² : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
g : G
A : Set (G ⧸ Γ)
hA : MeasurableSet A
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk
\u22a2 μ ((fun x => g • x) ⁻¹' A) = μ A
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : PolishSpace G
ν : Measure G
Γ : Subgroup G
inst✝⁴ : Countable ↥Γ
inst✝³ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝² : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
g : G
A : Set (G ⧸ Γ)
hA : MeasurableSet A
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
\u22a2 μ ((fun x => g • x) ⁻¹' A) = μ A
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : PolishSpace G
ν : Measure G
Γ : Subgroup G
inst✝⁴ : Countable ↥Γ
inst✝³ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝² : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
g : G
A : Set (G ⧸ Γ)
hA : MeasurableSet A
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
h𝓕_translate_fundom : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) (g • 𝓕) ν
\u22a2 μ ((fun x => g • x) ⁻¹' A) = μ A
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : PolishSpace G
ν : Measure G
Γ : Subgroup G
inst✝⁴ : Countable ↥Γ
inst✝³ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝² : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
g : G
A : Set (G ⧸ Γ)
hA : MeasurableSet A
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
h𝓕_translate_fundom : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) (g • 𝓕) ν
\u22a2 ν (Quotient.mk (MulAction.orbitRel (↥Γ.op) G) ⁻¹' ((fun x => g • x) ⁻¹' A) ∩ 𝓕) = ν (Quotient.mk (MulAction.orbitRel (↥Γ.op) G) ⁻¹' A ∩ g • 𝓕)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : PolishSpace G
ν : Measure G
Γ : Subgroup G
inst✝⁴ : Countable ↥Γ
inst✝³ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝² : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
g : G
A : Set (G ⧸ Γ)
hA : MeasurableSet A
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
h𝓕_translate_fundom : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) (g • 𝓕) ν
π_preA : Set G := QuotientGroup.mk ⁻¹' A
this✝ : QuotientGroup.mk ⁻¹' ((fun x => g • x) ⁻¹' A) = (fun x => g * x) ⁻¹' π_preA
this : ν ((fun x => g * x) ⁻¹' π_preA ∩ 𝓕) = ν (π_preA ∩ (fun x => g⁻¹ * x) ⁻¹' 𝓕)
\u22a2 ν ((fun x => g * x) ⁻¹' π_preA ∩ 𝓕) = ν (π_preA ∩ g • 𝓕)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : PolishSpace G
ν : Measure G
Γ : Subgroup G
inst✝⁴ : Countable ↥Γ
inst✝³ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝² : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
g : G
A : Set (G ⧸ Γ)
hA : MeasurableSet A
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
h𝓕_translate_fundom : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) (g • 𝓕) ν
π_preA : Set G := QuotientGroup.mk ⁻¹' A
this✝ : QuotientGroup.mk ⁻¹' ((fun x => g • x) ⁻¹' A) = (fun x => g * x) ⁻¹' π_preA
this : ν ((fun x => g * x) ⁻¹' π_preA ∩ 𝓕) = ν (π_preA ∩ (fun x => g⁻¹ * x) ⁻¹' 𝓕)
\u22a2 ν (π_preA ∩ (fun x => g⁻¹ * x) ⁻¹' 𝓕) = ν (π_preA ∩ (fun x => g⁻¹ • x) ⁻¹' 𝓕)
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
\u22a2 (ωSup c₀) (ωSup c₁) = Prod.apply (ωSup (c₀.zip c₁))
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
hs : 0 < s.re
\u22a2 HasMellin ((Ioc 0 1).indicator fun x => 1) s (1 / s)
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
hs : 0 < s.re
aux1 : -1 < (s - 1).re
\u22a2 HasMellin ((Ioc 0 1).indicator fun x => 1) s (1 / s)
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
hs : 0 < s.re
aux1 : -1 < (s - 1).re
aux2 : s ≠ 0
\u22a2 HasMellin ((Ioc 0 1).indicator fun x => 1) s (1 / s)
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
hs : 0 < s.re
aux1 : -1 < (s - 1).re
aux2 : s ≠ 0
aux3 : MeasurableSet (Ioc 0 1)
\u22a2 HasMellin ((Ioc 0 1).indicator fun x => 1) s (1 / s)
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
hs : 0 < s.re
aux1 : -1 < (s - 1).re
aux2 : s ≠ 0
aux3 : MeasurableSet (Ioc 0 1)
\u22a2 Integrable (fun a => ↑a ^ (s - 1)) (volume.restrict (Ioc 0 1)) ∧ ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 1, ↑a ^ (s - 1) ∂volume = 1 / s
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
hs : 0 < s.re
aux1 : -1 < (s - 1).re
aux2 : s ≠ 0
aux3 : MeasurableSet (Ioc 0 1)
\u22a2 IntervalIntegrable (fun a => ↑a ^ (s - 1)) volume 0 1 ∧ ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 1, ↑a ^ (s - 1) ∂volume = 1 / s
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s : ℂ
hs : 0 < s.re
aux1 : -1 < (s - 1).re
aux2 : s ≠ 0
aux3 : MeasurableSet (Ioc 0 1)
\u22a2 ∫ (a : ℝ) in Ioc 0 1, ↑a ^ (s - 1) ∂volume = 1 / s
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
\u22a2 a ∈ Ioc a b ↔ False
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H (-α)
y : M
hy : y ∈ weightSpaceChain M α χ p q
\u22a2 ⁅x, y⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
x : L
hx : x ∈ rootSpace H (-α)
y : M
hy : y ∈ weightSpaceChain M α χ p q
hp : weightSpace M (-p • -α + χ) = ⊥
\u22a2 ⁅x, y⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
x : L
hx : x ∈ rootSpace H (-α)
y : M
hy : y ∈ weightSpaceChain M (-α) χ (-q) (-p)
hp : weightSpace M (-p • -α + χ) = ⊥
\u22a2 ⁅x, y⁆ ∈ weightSpaceChain M (-α) χ (-q) (-p)
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : (Cᵒᵖ ⥤ D)ᵒᵖ
η : F ⟶ G
\u22a2 η ≫ (unop G).rightOpLeftOpIso.hom.op = (unop F).rightOpLeftOpIso.hom.op ≫ (NatTrans.leftOp (NatTrans.rightOp η.unop)).op
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : (Cᵒᵖ ⥤ D)ᵒᵖ
η : F ⟶ G
\u22a2 ((unop G).rightOpLeftOpIso.hom ≫ η.unop).op = (NatTrans.leftOp (NatTrans.rightOp η.unop.op.unop) ≫ (unop F).rightOpLeftOpIso.hom).op