ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
I : Set ι
\u22a2 (pi f ⊓ 𝓟 (I.pi s)).NeBot ↔ ∀ i ∈ I, (f i ⊓ 𝓟 (s i)).NeBot
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z✝ : TopCat
Z : C
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C Y
U : Opens ↑X
φ ψ : ((pullback C f).obj F).obj (op U) ⟶ Z
h : ∀ (V : Opens ↑Y) (hV : unop (op U) ≤ (Opens.map f).obj V), ((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app (op V) ≫ ((pullback C f).obj F).map (homOfLE hV).op ≫ φ = ((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app (op V) ≫ ((pullback C f).obj F).map (homOfLE hV).op ≫ ψ
\u22a2 φ = ψ
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z✝ : TopCat
Z : C
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C Y
U : Opens ↑X
φ ψ : ((pullback C f).obj F).obj (op U) ⟶ Z
h : ∀ (V : Opens ↑Y) (hV : unop (op U) ≤ (Opens.map f).obj V), ((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app (op V) ≫ ((pullback C f).obj F).map (homOfLE hV).op ≫ φ = ((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app (op V) ≫ ((pullback C f).obj F).map (homOfLE hV).op ≫ ψ
\u22a2 ∀ (j : CostructuredArrow (Opens.map f).op (op U)), ((Functor.LeftExtension.mk ((Opens.map f).op.lan.obj F) ((Opens.map f).op.lanUnit.app F)).coconeAt (op U)).ι.app j ≫ φ = ((Functor.LeftExtension.mk ((Opens.map f).op.lan.obj F) ((Opens.map f).op.lanUnit.app F)).coconeAt (op U)).ι.app j ≫ ψ
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z✝ : TopCat
Z : C
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C Y
U : Opens ↑X
φ ψ : ((pullback C f).obj F).obj (op U) ⟶ Z
h : ∀ (V : Opens ↑Y) (hV : unop (op U) ≤ (Opens.map f).obj V), ((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app (op V) ≫ ((pullback C f).obj F).map (homOfLE hV).op ≫ φ = ((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app (op V) ≫ ((pullback C f).obj F).map (homOfLE hV).op ≫ ψ
V : Opens ↑Y
as✝ : PUnit.{1}
b : unop ((Functor.fromPUnit (op U)).obj { as := as✝ }) ⟶ unop ((Opens.map f).op.obj (op V))
\u22a2 ((Functor.LeftExtension.mk ((Opens.map f).op.lan.obj F) ((Opens.map f).op.lanUnit.app F)).coconeAt (op U)).ι.app { left := op V, right := { as := as✝ }, hom := op b } ≫ φ = ((Functor.LeftExtension.mk ((Opens.map f).op.lan.obj F) ((Opens.map f).op.lanUnit.app F)).coconeAt (op U)).ι.app { left := op V, right := { as := as✝ }, hom := op b } ≫ ψ
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
γ : Type u_7
s : Finset (α × β × γ)
f : α × β × γ → M
\u22a2 ∏ᶠ (abc : α × β × γ) (_ : abc ∈ s), f abc = ∏ᶠ (a : α) (b : β) (c : γ) (_ : (a, b, c) ∈ s), f (a, b, c)
-- Mathlib/Control/Traversable/Equiv.lean
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝¹ : Functor t
inst✝ : LawfulFunctor t
α β γ : Type u
g : α → β
h : β → γ
x : t' α
\u22a2 Equiv.map eqv (h ∘ g) x = Equiv.map eqv h (Equiv.map eqv g x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasRightDual X
inst✝ : HasRightDual Y
f : X ⟶ Y
g : Xᘁ ⟶ Z
\u22a2 ((ρ_ Yᘁ).inv ≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ ≫ (α_ Yᘁ Y Xᘁ).inv ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Xᘁ ≫ (λ_ Xᘁ).hom) ≫ g = 𝟙 Yᘁ ⊗≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ ⊗≫ (ε_ Y Yᘁ ▷ Xᘁ ≫ 𝟙_ C ◁ g) ⊗≫ 𝟙 Z
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasRightDual X
inst✝ : HasRightDual Y
f : X ⟶ Y
g : Xᘁ ⟶ Z
\u22a2 𝟙 Yᘁ ⊗≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ ⊗≫ (ε_ Y Yᘁ ▷ Xᘁ ≫ 𝟙_ C ◁ g) ⊗≫ 𝟙 Z = (ρ_ Yᘁ).inv ≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ (f ⊗ g) ≫ (α_ Yᘁ Y Z).inv ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Z ≫ (λ_ Z).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasRightDual X
inst✝ : HasRightDual Y
f : X ⟶ Y
g : Xᘁ ⟶ Z
\u22a2 𝟙 Yᘁ ⊗≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ ⊗≫ ((Yᘁ ⊗ Y) ◁ g ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Z) ⊗≫ 𝟙 Z = (ρ_ Yᘁ).inv ≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ (f ▷ Xᘁ ≫ Y ◁ g) ≫ (α_ Yᘁ Y Z).inv ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Z ≫ (λ_ Z).hom
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/EvenEquiv.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' : QuadraticForm R M
h : Q' = -Q
h' : Q = -Q'
m₁ m₂ : M
\u22a2 (((even.ι Q).compr₂ ((evenToNeg Q' Q h').comp (evenToNeg Q Q' h))).bilin m₁) m₂ = (((even.ι Q).compr₂ (AlgHom.id R ↥(even Q))).bilin m₁) m₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/EvenEquiv.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' : QuadraticForm R M
h : Q' = -Q
h' : Q = -Q'
m₁ m₂ : M
\u22a2 (evenToNeg Q' Q h') ((evenToNeg Q Q' h) (((even.ι Q).bilin m₁) m₂)) = ((even.ι Q).bilin m₁) m₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/EvenEquiv.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' : QuadraticForm R M
h : Q' = -Q
h' : Q = -Q'
m₁ m₂ : M
\u22a2 (evenToNeg Q' Q h') (-((even.ι Q').bilin m₁) m₂) = ((even.ι Q).bilin m₁) m₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
\u22a2 (ρ_ X₁).hom ⊗ (ρ_ X₂).hom = ((α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).inv ≫ X₁ ◁ (β_ (𝟙_ C) X₂).hom ▷ 𝟙_ C ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ (α_ X₁ X₂ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).inv) ≫ (X₁ ⊗ X₂) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (ρ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
this : (ρ_ X₁).hom ⊗ (ρ_ X₂).hom = (α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).inv ≫ X₁ ◁ (ρ_ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫ X₁ ◁ (λ_ X₂).hom
\u22a2 (ρ_ X₁).hom ⊗ (ρ_ X₂).hom = ((α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).inv ≫ X₁ ◁ (β_ (𝟙_ C) X₂).hom ▷ 𝟙_ C ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ (α_ X₁ X₂ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).inv) ≫ (X₁ ⊗ X₂) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (ρ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
\u22a2 (α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).inv ≫ X₁ ◁ (ρ_ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫ X₁ ◁ (λ_ X₂).hom = ((α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).inv ≫ X₁ ◁ (β_ (𝟙_ C) X₂).hom ▷ 𝟙_ C ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ (α_ X₁ X₂ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).inv) ≫ (X₁ ⊗ X₂) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (ρ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
\u22a2 (α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).inv ≫ X₁ ◁ (ρ_ (𝟙_ C ⊗ X₂)).hom ≫ X₁ ◁ ((β_ (𝟙_ C) X₂).hom ≫ (ρ_ X₂).hom) = ((α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).inv ≫ X₁ ◁ (β_ (𝟙_ C) X₂).hom ▷ 𝟙_ C ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ (α_ X₁ X₂ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).inv) ≫ (X₁ ⊗ X₂) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (ρ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : Group α
h₁ : UniformContinuous fun p => p.1 * p.2
h₂ : UniformContinuous fun p => p⁻¹
\u22a2 UniformContinuous fun p => p.1 / p.2
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d x y : ℕ
a : ℤ√↑d
ha : a.Nonneg
\u22a2 ({ re := ↑x, im := ↑y } * a).Nonneg
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d x y : ℕ
a : ℤ√↑d
ha : a.Nonneg
this : { re := ↑x, im := ↑y } * a = ↑x * a + sqrtd * (↑y * a)
\u22a2 ({ re := ↑x, im := ↑y } * a).Nonneg
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d x y : ℕ
a : ℤ√↑d
ha : a.Nonneg
this : { re := ↑x, im := ↑y } * a = ↑x * a + sqrtd * (↑y * a)
\u22a2 (↑x * a + sqrtd * (↑y * a)).Nonneg
-- Mathlib/Data/Nat/Fib/Basic.lean
m n : ℕ
h : m ∣ n
\u22a2 fib m ∣ fib n
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : Monoid γ
s : Finset α
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
p : β → Prop
hom : ∀ (a b : β), p a → p b → p (a * b)
unit : p 1
base : ∀ x ∈ s, p (f x)
\u22a2 p (s.noncommProd f comm)
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : Monoid γ
s : Finset α
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
p : β → Prop
hom : ∀ (a b : β), p a → p b → p (a * b)
unit : p 1
base : ∀ x ∈ s, p (f x)
b : β
hb : b ∈ Multiset.map f s.val
\u22a2 p b
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/EpiMono.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : PreservesLimit (cospan f f) F
inst✝ : Mono f
this : let_fun this := ⋯; IsLimit (PullbackCone.mk (F.map (𝟙 X)) (F.map (𝟙 X)) this)
\u22a2 Mono (F.map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/EpiMono.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : PreservesLimit (cospan f f) F
inst✝ : Mono f
this : IsLimit (PullbackCone.mk (𝟙 (F.obj X)) (𝟙 (F.obj X)) ⋯)
\u22a2 Mono (F.map f)
-- Mathlib/NumberTheory/VonMangoldt.lean
n k : ℕ
hk : k ≠ 0
\u22a2 Λ (n ^ k) = Λ n
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁶ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁵ : ConcreteCategory D
inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)
inst✝³ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
R : Sheaf J D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ (sheafToPresheaf J D).obj R
\u22a2 J.sheafifyMap η ≫ J.sheafifyLift γ ⋯ = J.sheafifyLift (η ≫ γ) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁶ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁵ : ConcreteCategory D
inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)
inst✝³ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
X✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
Y✝ Y'✝ : Sheaf J D
η : (plusPlusSheaf J D).obj X✝ ⟶ Y✝
γ : Y✝ ⟶ Y'✝
\u22a2 J.toSheafify X✝ ≫ η.val ≫ γ.val = (J.toSheafify X✝ ≫ η.val) ≫ γ.val
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
ha : 1 < a.x
hy : a.y = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
ha : 1 < a.x
hy : a.y = 0
prop : a.x ^ 2 - d * a.y ^ 2 = 1
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
ha : 1 < a.x
hy : a.y = 0
prop : a.x ^ 2 = 1
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
s : Multiset α
\u22a2 s.prod = ∏ m ∈ s.toFinset, m ^ Multiset.count m s
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
s : Multiset α
\u22a2 s = Multiset.map id s
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S R✝ : Sieve X
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
R : Sieve (F.obj X)
Y✝ Z✝ : C
f : Y✝ ⟶ X
hf : Presieve.functorPullback F R.arrows f
g : Z✝ ⟶ Y✝
\u22a2 R.arrows (F.map (g ≫ f))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S R✝ : Sieve X
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
R : Sieve (F.obj X)
Y✝ Z✝ : C
f : Y✝ ⟶ X
hf : Presieve.functorPullback F R.arrows f
g : Z✝ ⟶ Y✝
\u22a2 R.arrows (F.map g ≫ F.map f)
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
x : ℤ[i]
\u22a2 ↑(norm x).natAbs = ↑(norm x)
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set β
\u22a2 ⊥.preimage s = ∅
-- Mathlib/Algebra/Ring/Int.lean
m n : ℤ
\u22a2 Even (m - n) ↔ (Odd m ↔ Odd n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/PerfectPairing.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : PerfectPairing R M N
x : M
f : Dual R M
\u22a2 (p x) (p.toDualRight.symm f) = f x
-- Mathlib/LinearAlgebra/PerfectPairing.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : PerfectPairing R M N
x : M
f : Dual R M
h : p.toDualRight (p.toDualRight.symm f) = f
\u22a2 (p x) (p.toDualRight.symm f) = f x
-- Mathlib/LinearAlgebra/PerfectPairing.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : PerfectPairing R M N
x : M
f : Dual R M
h : p.flip (p.toDualRight.symm f) = f
\u22a2 (p x) (p.toDualRight.symm f) = f x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/HashMap/WF.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → Option γ
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
H : m.WF
g₁ : AssocList α β → List (α × γ) := fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList
\u22a2 (Imp.filterMap f m).WF
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/HashMap/WF.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → Option γ
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
H : m.WF
g₁ : AssocList α β → List (α × γ) := fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList
H1 : ∀ (l : AssocList α β) (n : ULift Nat) (acc : AssocList α γ), filterMap.go f acc l n = (((g₁ l).reverse ++ acc.toList).toAssocList, { down := n.down + (g₁ l).length })
\u22a2 (Imp.filterMap f m).WF
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/HashMap/WF.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → Option γ
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
H : m.WF
g₁ : AssocList α β → List (α × γ) := fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList
H1 : ∀ (l : AssocList α β) (n : ULift Nat) (acc : AssocList α γ), filterMap.go f acc l n = (((g₁ l).reverse ++ acc.toList).toAssocList, { down := n.down + (g₁ l).length })
g : AssocList α β → AssocList α γ := fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList
M : Type (max u_3 u_1) → Type (max u_3 u_1) := StateT (ULift Nat) Id
H2 : ∀ (l : List (AssocList α β)) (n : ULift Nat), List.mapM (filterMap.go f AssocList.nil) l n = (List.map g l, { down := n.down + Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (List.map g l)) })
H3 : ∀ (l : List (α × β)), (List.map (fun a => a.fst) (List.filterMap (fun x => match x with | (a, b) => Option.map (fun x => (a, x)) (f a b)) l)).Sublist (List.map (fun x => x.fst) l)
\u22a2 ∀ (bk : List (AssocList α γ)) (sz : Nat) (h : 0 < bk.length), Array.mapM (filterMap.go f AssocList.nil) m.buckets.val { down := 0 } = ({ data := bk }, { down := sz }) → { size := sz, buckets := ⟨{ data := bk }, h⟩ }.WF
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/HashMap/WF.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → Option γ
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
H : m.WF
g₁ : AssocList α β → List (α × γ) := fun l => List.filterMap (fun x => Option.map (fun x_1 => (x.fst, x_1)) (f x.fst x.snd)) l.toList
H1 : ∀ (l : AssocList α β) (n : ULift Nat) (acc : AssocList α γ), filterMap.go f acc l n = (((g₁ l).reverse ++ acc.toList).toAssocList, { down := n.down + (g₁ l).length })
g : AssocList α β → AssocList α γ := fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList
M : Type (max u_3 u_1) → Type (max u_3 u_1) := StateT (ULift Nat) Id
H2 : ∀ (l : List (AssocList α β)) (n : ULift Nat), List.mapM (filterMap.go f AssocList.nil) l n = (List.map g l, { down := n.down + Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (List.map g l)) })
H3 : ∀ (l : List (α × β)), (List.map (fun a => a.fst) (List.filterMap (fun x => match x with | (a, b) => Option.map (fun x => (a, x)) (f a b)) l)).Sublist (List.map (fun x => x.fst) l)
\u22a2 ∀ (bk : List (AssocList α γ)) (sz : Nat) (h : 0 < bk.length), pure { data := List.map (fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data } { down := Nat.sum (List.map ((fun x => x.toList.length) ∘ fun l => (g₁ l).reverse.toAssocList) m.buckets.val.data) } = ({ data := bk }, { down := sz }) → { size := sz, buckets := ⟨{ data := bk }, h⟩ }.WF
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
𝕜₁ : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁵ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜₁ A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜₂ A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜₁ 𝕜₂
inst✝ : IsScalarTower 𝕜₁ 𝕜₂ A
f : 𝕜₂ → 𝕜₁
a : A
h : SpectrumRestricts a f
\u22a2 ⨆ k ∈ spectrum 𝕜₁ a, ↑‖k‖₊ = ⨆ k ∈ spectrum 𝕜₂ a, ↑‖k‖₊
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
𝕜₁ : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁵ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜₁ A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜₂ A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜₁ 𝕜₂
inst✝ : IsScalarTower 𝕜₁ 𝕜₂ A
f : 𝕜₂ → 𝕜₁
a : A
h : SpectrumRestricts a f
this : ∀ (x : 𝕜₁), ‖(algebraMap 𝕜₁ 𝕜₂) x‖₊ = ‖x‖₊
\u22a2 ⨆ k ∈ spectrum 𝕜₁ a, ↑‖k‖₊ = ⨆ k ∈ spectrum 𝕜₂ a, ↑‖k‖₊
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
𝕜₁ : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁵ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜₁ A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜₂ A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜₁ 𝕜₂
inst✝ : IsScalarTower 𝕜₁ 𝕜₂ A
f : 𝕜₂ → 𝕜₁
a : A
h : SpectrumRestricts a f
this : ∀ (x : 𝕜₁), ‖(algebraMap 𝕜₁ 𝕜₂) x‖₊ = ‖x‖₊
\u22a2 ⨆ k ∈ spectrum 𝕜₁ a, ↑‖k‖₊ ≤ ⨆ k ∈ spectrum 𝕜₂ a, ↑‖k‖₊
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
𝕜₁ : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁵ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜₁ A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜₂ A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜₁ 𝕜₂
inst✝ : IsScalarTower 𝕜₁ 𝕜₂ A
f : 𝕜₂ → 𝕜₁
a : A
h : SpectrumRestricts a f
this : ∀ (x : 𝕜₁), ‖(algebraMap 𝕜₁ 𝕜₂) x‖₊ = ‖x‖₊
\u22a2 ⨆ k ∈ spectrum 𝕜₂ a, ↑‖k‖₊ ≤ ⨆ k ∈ spectrum 𝕜₁ a, ↑‖k‖₊
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
𝕜₁ : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁵ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜₁ A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜₂ A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜₁ 𝕜₂
inst✝ : IsScalarTower 𝕜₁ 𝕜₂ A
f : 𝕜₂ → 𝕜₁
a : A
h : SpectrumRestricts a f
this : ∀ (x : 𝕜₁), ‖(algebraMap 𝕜₁ 𝕜₂) x‖₊ = ‖x‖₊
x : 𝕜₁
hx : x ∈ spectrum 𝕜₁ a
\u22a2 ↑‖x‖₊ ≤ ⨆ k ∈ spectrum 𝕜₂ a, ↑‖k‖₊
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
𝕜₁ : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁵ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜₁ A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜₂ A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜₁ 𝕜₂
inst✝ : IsScalarTower 𝕜₁ 𝕜₂ A
f : 𝕜₂ → 𝕜₁
a : A
h : SpectrumRestricts a f
this : ∀ (x : 𝕜₁), ‖(algebraMap 𝕜₁ 𝕜₂) x‖₊ = ‖x‖₊
x : 𝕜₂
hx : x ∈ spectrum 𝕜₂ a
\u22a2 ↑‖x‖₊ ≤ ⨆ k ∈ spectrum 𝕜₁ a, ↑‖k‖₊
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α✝ : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α✝
α : Type u
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : CompleteSpace α
f : Filter α
hf : Cauchy f
x✝ : f ≤ 𝓟 univ
\u22a2 ∃ x ∈ univ, f ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α✝ : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α✝
α : Type u
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : CompleteSpace α
f : Filter α
hf : Cauchy f
x✝ : f ≤ 𝓟 univ
x : α
hx : f ≤ 𝓝 x
\u22a2 ∃ x ∈ univ, f ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
\u22a2 (W.variableChange C).b₂ = ↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.b₂ + 12 * C.r)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
\u22a2 (↑C.u⁻¹ * (W.a₁ + 2 * C.s)) ^ 2 + 4 * (↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.a₂ - C.s * W.a₁ + 3 * C.r - C.s ^ 2)) = ↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.a₁ ^ 2 + 4 * W.a₂ + 12 * C.r)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx1 : 0 < x
hx2 : x ≤ 1
hz : z ≤ 0
\u22a2 1 ≤ x ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx1 : 0 < x
hx2 : x ≤ 1
hz : z ≤ 0
\u22a2 1 = x ^ 0
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : Module R M✝
P : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R P
f : M✝ →ₗ[R] P
ι : Type u_4
M : ι → Type u_5
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
p : (i : ι) → Submodule R (M i)
hsb : ∀ (i : ι), (p i).FG
\u22a2 (pi univ p).FG
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]
n : ℕ
a : R
n✝ : ℕ
\u22a2 (PowerSeries.coeff R n✝) ↑((monomial n) a) = (PowerSeries.coeff R n✝) ((PowerSeries.monomial R n) a)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
\u22a2 (AffineSubspace.map f s).WOppSide (f x) (f y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
\u22a2 SameRay R (f x -ᵥ f p₁) (f p₂ -ᵥ f y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
\u22a2 SameRay R (f.linear (x -ᵥ p₁)) (f.linear (p₂ -ᵥ y))
-- Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionRing K
a✝ b c d a : K
h : a ≠ 0
\u22a2 a / -a = -1
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : InvolutiveStar R
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
r : R
a : A
\u22a2 star r ∈ resolventSet R a ↔ r ∈ resolventSet R (star a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
\u22a2 essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) (c • μ) = essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
\u22a2 r.preimage ∅ = ∅