ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝ : ∀ (a : α), IsFiniteMeasure (κ a)
t : Set Ω
h_indep : IndepSet t t κ μα
a : α
h_0_1_top : (κ a) t = 0 ∨ (κ a) t = 1 ∨ (κ a) t = ⊤
\u22a2 (κ a) t = 0 ∨ (κ a) t = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LogLikelihoodRatio.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : Integrable f μ
h_int : Integrable (llr μ ν) μ
hfμ : Integrable (fun x => rexp (f x)) μ
hfν : AEMeasurable f ν
\u22a2 Integrable (llr (μ.tilted f) ν) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LogLikelihoodRatio.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : Integrable f μ
h_int : Integrable (llr μ ν) μ
hfμ : Integrable (fun x => rexp (f x)) μ
hfν : AEMeasurable f ν
\u22a2 Integrable (fun x => f x - log (∫ (z : α), rexp (f z) ∂μ) + llr μ ν x) μ
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
u₁ u₂ : UniformSpace α
h : u₁ ≤ u₂
a : α
\u22a2 𝓝 a ≤ 𝓝 a
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
u₁ u₂ : UniformSpace α
h : u₁ ≤ u₂
a : α
\u22a2 (𝓤 α).lift' (ball a) ≤ (𝓤 α).lift' (ball a)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : IsKilling R L
inst✝⁴ : Module.Finite R L
inst✝³ : Module.Free R L
inst✝² : IsNoetherian R L
inst✝¹ : IsArtinian R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝ : H.IsCartanSubalgebra
\u22a2 (LieModule.traceForm R (↥H) L).Nondegenerate
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
x : Rˣ
\u22a2 (x • γ).leftShift a n' hn' = x • γ.leftShift a n' hn'
-- Mathlib/Analysis/Convex/Hull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
x y : E
\u22a2 x ∈ (convexHull 𝕜) s ↔ ∀ (t : Set E), s ⊆ t → Convex 𝕜 t → x ∈ t
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Basic.lean
h : IsField ℤ
a : ℤ
\u22a2 2 * a = 1 → 1 = a + a
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Basic.lean
h : IsField ℤ
a : ℤ
\u22a2 2 * a = 1 → 1 = 2 * a
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P✝ Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
P : Cubic R
\u22a2 P.toPoly = 0 ↔ P = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
h : Fintype.card ι = finrank R M
\u22a2 (map ι f) x = x ↔ 0 < LinearMap.det ↑f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
h : Fintype.card ι = finrank R M
h✝ : IsEmpty ι
\u22a2 (map ι f) x = x ↔ 0 < LinearMap.det ↑f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
h : Fintype.card ι = finrank R M
h✝ : Nonempty ι
\u22a2 (map ι f) x = x ↔ 0 < LinearMap.det ↑f
-- Mathlib/Data/Real/Pointwise.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : 0 ≤ a
s : Set ℝ
\u22a2 sSup (a • s) = a • sSup s
-- Mathlib/Data/Real/Pointwise.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : 0 ≤ a
\u22a2 sSup (a • ∅) = a • sSup ∅
-- Mathlib/Data/Real/Pointwise.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : 0 ≤ a
s : Set ℝ
hs : s.Nonempty
\u22a2 sSup (a • s) = a • sSup s
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
\u22a2 Indep (limsup s atBot) (limsup s atBot) κ μα
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)
\u22a2 Indep (limsup s atBot) (limsup s atBot) κ μα
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)
\u22a2 ∀ (t : Set ι), BddBelow t → tᶜ ∈ atBot
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)
\u22a2 Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Ici
hnsp : ∀ (i : ι), BddBelow (ns i)
\u22a2 ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
k : ℕ
ih : lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M) k = baseChange A (lowerCentralSeries R L M k)
\u22a2 lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M) (k + 1) = baseChange A (lowerCentralSeries R L M (k + 1))
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.233529}
x : α
\u22a2 2 ≤ #α ↔ ∃ y, y ≠ x
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
p : α → Prop
hp : ComputablePred p
\u22a2 RePred p
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
f : α → Bool
hf : Computable f
hp : ComputablePred fun a => f a = true
\u22a2 RePred fun a => f a = true
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
f : α → Bool
hf : Computable f
hp : ComputablePred fun a => f a = true
\u22a2 Partrec fun a => Part.assert (f a = true) fun x => Part.some ()
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
f : α → Bool
hf : Computable f
hp : ComputablePred fun a => f a = true
n : α
a : Unit
\u22a2 (a ∈ bif f n then Part.some () else Part.none) ↔ a ∈ Part.assert (f n = true) fun x => Part.some ()
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
\u22a2 Group.IsNilpotent G ↔ ∃ n H, IsDescendingCentralSeries H ∧ H n = ⊥
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
\u22a2 (∃ n H, IsAscendingCentralSeries H ∧ H n = ⊤) ↔ ∃ n H, IsDescendingCentralSeries H ∧ H n = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
ι : Type u_3
R : Type u_4
M : Type u_5
v : ι → M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
hv : CompleteLattice.Independent fun i => Submodule.span R {v i}
h_ne_zero : ∀ (i : ι), torsionOf R M (v i) = ⊥
\u22a2 LinearIndependent R v
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
ι : Type u_3
R : Type u_4
M : Type u_5
v : ι → M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
hv : CompleteLattice.Independent fun i => Submodule.span R {v i}
h_ne_zero : ∀ (i : ι), torsionOf R M (v i) = ⊥
i : ι
r : R
hi : r • v i ∈ Submodule.span R (v '' (Set.univ \ {i}))
\u22a2 r = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
ι : Type u_3
R : Type u_4
M : Type u_5
v : ι → M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h_ne_zero : ∀ (i : ι), torsionOf R M (v i) = ⊥
i : ι
r : R
hi : r • v i ∈ Submodule.span R (v '' (Set.univ \ {i}))
hv : Disjoint (Submodule.span R {v i}) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), Submodule.span R {v j})
\u22a2 r = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
ι : Type u_3
R : Type u_4
M : Type u_5
v : ι → M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h_ne_zero : ∀ (i : ι), torsionOf R M (v i) = ⊥
i : ι
r : R
hi : r • v i ∈ Submodule.span R (v '' (Set.univ \ {i}))
hv : Submodule.span R {v i} ⊓ Submodule.span R (Set.range fun i_1 => v ↑i_1) = ⊥
\u22a2 r = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
ι : Type u_3
R : Type u_4
M : Type u_5
v : ι → M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h_ne_zero : ∀ (i : ι), torsionOf R M (v i) = ⊥
i : ι
r : R
hi : r • v i ∈ Submodule.span R (v '' (Set.univ \ {i}))
hv : Submodule.span R {v i} ⊓ Submodule.span R (Set.range fun i_1 => v ↑i_1) = ⊥
this : r • v i ∈ ⊥
\u22a2 r = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
ι : Type u_3
R : Type u_4
M : Type u_5
v : ι → M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h_ne_zero : ∀ (i : ι), torsionOf R M (v i) = ⊥
i : ι
r : R
hi : r • v i ∈ Submodule.span R (v '' (Set.univ \ {i}))
hv : Submodule.span R {v i} ⊓ Submodule.span R (Set.range fun i_1 => v ↑i_1) = ⊥
this : r • v i ∈ ⊥
\u22a2 r ∈ torsionOf R M (v i)
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
\u22a2 Filter.coprodᵢ f = ⊥ ↔ (∃ i, IsEmpty (α i)) ∨ f = ⊥
-- Mathlib/Topology/Algebra/GroupWithZero.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝³ : GroupWithZero G₀
inst✝² : TopologicalSpace G₀
inst✝¹ : HasContinuousInv₀ G₀
inst✝ : ContinuousMul G₀
f g : α → G₀
l : Filter α
a b : G₀
hf : Tendsto f l (𝓝 a)
hg : Tendsto g l (𝓝 b)
hy : b ≠ 0
\u22a2 Tendsto (f / g) l (𝓝 (a / b))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
x : ℂ
hx : x ≠ 0
\u22a2 cexp (log x) = x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
L : F
r ε x r' : ℝ
rr' : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ Icc x (x + r'), ∀ z ∈ Icc x (x + r'), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
\u22a2 A f L r ε ∈ 𝓝[>] x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
L : F
r ε x r' : ℝ
rr' : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ Icc x (x + r'), ∀ z ∈ Icc x (x + r'), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
\u22a2 ∃ u ∈ Ioi x, Ioo x u ⊆ A f L r ε
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
L : F
r ε x r' : ℝ
rr' : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ Icc x (x + r'), ∀ z ∈ Icc x (x + r'), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
s : ℝ
s_gt : r / 2 < s
s_lt : s < r'
\u22a2 ∃ u ∈ Ioi x, Ioo x u ⊆ A f L r ε
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
L : F
r ε x r' : ℝ
rr' : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ Icc x (x + r'), ∀ z ∈ Icc x (x + r'), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
s : ℝ
s_gt : r / 2 < s
s_lt : s < r'
this : s ∈ Ioc (r / 2) r
\u22a2 ∃ u ∈ Ioi x, Ioo x u ⊆ A f L r ε
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
L : F
r ε x r' : ℝ
rr' : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ Icc x (x + r'), ∀ z ∈ Icc x (x + r'), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
s : ℝ
s_gt : r / 2 < s
s_lt : s < r'
this : s ∈ Ioc (r / 2) r
x' : ℝ
hx' : x' ∈ Ioo x (x + r' - s)
\u22a2 ∀ y ∈ Icc x' (x' + s), ∀ z ∈ Icc x' (x' + s), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
L : F
r ε x r' : ℝ
rr' : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ Icc x (x + r'), ∀ z ∈ Icc x (x + r'), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
s : ℝ
s_gt : r / 2 < s
s_lt : s < r'
this : s ∈ Ioc (r / 2) r
x' : ℝ
hx' : x' ∈ Ioo x (x + r' - s)
A : Icc x' (x' + s) ⊆ Icc x (x + r')
\u22a2 ∀ y ∈ Icc x' (x' + s), ∀ z ∈ Icc x' (x' + s), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)
i : Fin (n + 1)
x : α i
p : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
q : (j : Fin (n + 1)) → α j
\u22a2 i.insertNth x p ≤ q ↔ x ≤ q i ∧ p ≤ fun j => q (i.succAbove j)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x y : ℝ
h : x * y < 1
hy : y ≤ 0
\u22a2 arctan x + arctan y < π / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x y : ℝ
h : x * y < 1
hy : 0 < y
\u22a2 arctan x + arctan y < π / 2
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : NonAssocSemiring R
inst✝³ : Semiring k
inst✝² : One G
g_hom : Type u_3
inst✝¹ : FunLike g_hom G R
inst✝ : OneHomClass g_hom G R
f : k →+* R
g : g_hom
\u22a2 (liftNC ↑f ⇑g) 1 = 1
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Dilation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DilationClass F α β
f : F
x y : α
r : ℝ≥0
h₀ : edist x y ≠ 0
htop : edist x y ≠ ⊤
hr : edist (f x) (f y) = ↑r * edist x y
\u22a2 r = ratio f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
f : F
\u22a2 HasDerivWithinAt (fun y => c y • f) (c' • f) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
f : F
this : HasDerivWithinAt (fun y => c y • f) (c x • 0 + c' • f) s x
\u22a2 HasDerivWithinAt (fun y => c y • f) (c' • f) s x
-- Mathlib/Data/Option/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
x✝ : Option α
g : γ → α
x : Option γ
H : ∀ (a : α), a ∈ Option.map g x → p a
\u22a2 pmap f (Option.map g x) H = pmap (fun a h => f (g a) h) x ⋯
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
q : R[X]
hq : q ≠ 0
h : ¬p = 1
\u22a2 q * p ≠ 0
-- Mathlib/Logic/Encodable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Encodable α
n : ℕ
a : α
\u22a2 a ∈ decode₂ α n ↔ a ∈ decode n ∧ encode a = n
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/DualLattice.lean
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι S M
\u22a2 B.flip.dualSubmodule (B.dualSubmodule (Submodule.span R (Set.range ⇑b))) = Submodule.span R (Set.range ⇑b)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
\u22a2 cos (angle x y) * (‖x‖ * ‖y‖) = ⟪x, y⟫_ℝ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
\u22a2 ‖x‖ * ‖y‖ = 0 → ⟪x, y⟫_ℝ = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
o : Ordinal.{u}
h : o < ω
\u22a2 o < ℵ₀.ord
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
o : Ordinal.{0}
h' : o < type fun x x_1 => x < x_1
h : Ordinal.lift.{u, 0} o < ω
\u22a2 Ordinal.lift.{u, 0} o < ℵ₀.ord
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
o : Ordinal.{0}
h' : o < type fun x x_1 => x < x_1
h : Ordinal.lift.{u, 0} o < ω
\u22a2 (typein (fun x x_1 => x < x_1) (enum (fun x x_1 => x < x_1) o h')).card < ℵ₀
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
C : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : StarRing R
inst✝¹¹ : Semiring A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarModule R A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : StarRing B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : StarModule R B
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : StarRing C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : StarModule R C
S T : StarSubalgebra R A
h : S.toSubalgebra = T.toSubalgebra
x : A
\u22a2 x ∈ S ↔ x ∈ T
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hXp : 0 ≤ X
hYp : 0 ≤ Y
hXm : AEMeasurable X μ
hYm : AEMeasurable Y μ
\u22a2 integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hXp : 0 ≤ X
hYp : 0 ≤ Y
hXm : AEMeasurable X μ
hYm : AEMeasurable Y μ
h1 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (X a)) μ
\u22a2 integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hXp : 0 ≤ X
hYp : 0 ≤ Y
hXm : AEMeasurable X μ
hYm : AEMeasurable Y μ
h1 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (X a)) μ
h2 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (Y a)) μ
\u22a2 integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hXp : 0 ≤ X
hYp : 0 ≤ Y
hXm : AEMeasurable X μ
hYm : AEMeasurable Y μ
h1 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (X a)) μ
h2 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (Y a)) μ
h3 : AEMeasurable (X * Y) μ
\u22a2 integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hXp : 0 ≤ X
hYp : 0 ≤ Y
hXm : AEMeasurable X μ
hYm : AEMeasurable Y μ
h1 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (X a)) μ
h2 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (Y a)) μ
h3 : AEMeasurable (X * Y) μ
h4 : 0 ≤ᶠ[ae μ] X * Y
\u22a2 integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hXp : 0 ≤ X
hYp : 0 ≤ Y
hXm : AEMeasurable X μ
hYm : AEMeasurable Y μ
h1 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (X a)) μ
h2 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (Y a)) μ
h3 : AEMeasurable (X * Y) μ
h4 : 0 ≤ᶠ[ae μ] X * Y
\u22a2 (∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal ((X * Y) a) ∂μ).toReal = (∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (X a) ∂μ).toReal * (∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (Y a) ∂μ).toReal
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hXp : 0 ≤ X
hYp : 0 ≤ Y
hXm : AEMeasurable X μ
hYm : AEMeasurable Y μ
h1 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (X a)) μ
h2 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (Y a)) μ
h3 : AEMeasurable (X * Y) μ
h4 : 0 ≤ᶠ[ae μ] X * Y
\u22a2 (∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (X a) * ENNReal.ofReal (Y a) ∂μ).toReal = ((∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (X a) ∂μ) * ∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (Y a) ∂μ).toReal
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hXp : 0 ≤ X
hYp : 0 ≤ Y
hXm : AEMeasurable X μ
hYm : AEMeasurable Y μ
h1 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (X a)) μ
h2 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (Y a)) μ
h3 : AEMeasurable (X * Y) μ
h4 : 0 ≤ᶠ[ae μ] X * Y
\u22a2 ∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (X a) * ENNReal.ofReal (Y a) ∂μ = (∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (X a) ∂μ) * ∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (Y a) ∂μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hXp : 0 ≤ X
hYp : 0 ≤ Y
hXm : AEMeasurable X μ
hYm : AEMeasurable Y μ
h1 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (X a)) μ
h2 : AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (Y a)) μ
h3 : AEMeasurable (X * Y) μ
h4 : 0 ≤ᶠ[ae μ] X * Y
\u22a2 IndepFun (fun a => ENNReal.ofReal (X a)) (fun a => ENNReal.ofReal (Y a)) μ
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
f g : CauSeq ℚ abs
\u22a2 mk (f * g) = mk f * mk g
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
\u22a2 x \ z ⊓ y = (x ⊓ y) \ z
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Defs.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid M₂
f g : M →+ M₂
h : f.toNatLinearMap = g.toNatLinearMap
x : M
\u22a2 f x = g x
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/End.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m₁ m₂ : M
X : C
\u22a2 (F.μ (𝟙_ M) m₂).app ((F.obj m₁).obj X) ≫ (F.μ m₁ (𝟙_ M ⊗ m₂)).app X ≫ (F.map (α_ m₁ (𝟙_ M) m₂).inv).app X ≫ (F.μIso (m₁ ⊗ 𝟙_ M) m₂).inv.app X = (F.μ (𝟙_ M) m₂).app ((F.obj m₁).obj X) ≫ (F.map (λ_ m₂).hom).app ((F.obj m₁).obj X) ≫ (F.obj m₂).map ((F.map (ρ_ m₁).inv).app X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/End.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m₁ m₂ : M
X : C
\u22a2 (F.μ (𝟙_ M) m₂).app ((F.obj m₁).obj X) ≫ (F.μ m₁ (𝟙_ M ⊗ m₂)).app X ≫ (F.map (α_ m₁ (𝟙_ M) m₂).inv).app X ≫ (F.μIso (m₁ ⊗ 𝟙_ M) m₂).inv.app X = (F.obj m₂).map (F.εIso.inv.app ((F.obj m₁).obj X) ≫ (F.map (ρ_ m₁).inv).app X)