ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝⁵ : SmallCategory J
inst✝⁴ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
inst✝² : HasLimitsOfShape K C
inst✝¹ : HasLimit (uncurry.obj F)
inst✝ : HasLimit (F ⋙ lim)
j : J
k : K
\u22a2 (limitUncurryIsoLimitCompLim F).hom ≫ (limitUncurryIsoLimitCompLim F).inv ≫ limit.π (uncurry.obj F) (j, k) = (limitUncurryIsoLimitCompLim F).hom ≫ limit.π (F ⋙ lim) j ≫ limit.π (F.obj j) k
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
p : A[X]
f : A →+* B
hf : Function.Injective ⇑f
hp0 : ¬p = 0
\u22a2 Multiset.map (⇑f) p.roots ≤ (map f p).roots
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p q : Multiset (Associates α)
\u22a2 (∀ a ∈ p, Irreducible a) → (∀ a ∈ q, Irreducible a) → p.prod = q.prod → p = q
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p q : Multiset (Associates α)
\u22a2 ∀ (s : Multiset α), (∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s, Irreducible a) → (∀ a ∈ q, Irreducible a) → (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s).prod = q.prod → Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s = q
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p q : Multiset (Associates α)
\u22a2 ∀ (s s_1 : Multiset α), (∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s_1, Irreducible a) → (∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s, Irreducible a) → (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s_1).prod = (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s).prod → Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s_1 = Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p q : Multiset (Associates α)
s t : Multiset α
hs : ∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) t, Irreducible a
ht : ∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s, Irreducible a
eq : (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) t).prod = (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s).prod
\u22a2 Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) t = Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p q : Multiset (Associates α)
s t : Multiset α
hs : ∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) t, Irreducible a
ht : ∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s, Irreducible a
eq : (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) t).prod = (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s).prod
\u22a2 ∀ x ∈ t, Irreducible x
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p q : Multiset (Associates α)
s t : Multiset α
hs : ∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) t, Irreducible a
ht : ∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s, Irreducible a
eq : (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) t).prod = (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s).prod
\u22a2 ∀ x ∈ s, Irreducible x
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p q : Multiset (Associates α)
s t : Multiset α
hs : ∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) t, Irreducible a
ht : ∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s, Irreducible a
eq : (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) t).prod = (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s).prod
\u22a2 t.prod ~ᵤ s.prod
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p q : Multiset (Associates α)
s t : Multiset α
hs : ∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) t, Irreducible a
ht : ∀ a ∈ Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s, Irreducible a
eq : (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) t).prod = (Multiset.map (Quot.mk Setoid.r) s).prod
eq' : Quot.mk Setoid.r = Associates.mk
\u22a2 t.prod ~ᵤ s.prod
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial R
y : R[X]
\u22a2 (Y - C y).natDegree < W.polynomial.natDegree
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial R
y : R[X]
\u22a2 1 < 2
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
\u22a2 ∑ k ∈ Ico 1 (n + 1), ↑k ^ p = ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli' i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / (↑p + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
\u22a2 ∑ k ∈ Ico 1 (n + 1), ↑k ^ p = ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli' i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / ↑p.succ
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
f : ℕ → ℚ := fun i => bernoulli i * ↑(p.succ.succ.choose i) * ↑n ^ (p.succ.succ - i) / ↑p.succ.succ
f' : ℕ → ℚ := fun i => bernoulli' i * ↑(p.succ.succ.choose i) * ↑n ^ (p.succ.succ - i) / ↑p.succ.succ
\u22a2 ∑ k ∈ Ico 1 n.succ, ↑k ^ p.succ = ∑ i ∈ range p.succ.succ, f' i
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
f : ℕ → ℚ := fun i => bernoulli i * ↑(p.succ.succ.choose i) * ↑n ^ (p.succ.succ - i) / ↑p.succ.succ
f' : ℕ → ℚ := fun i => bernoulli' i * ↑(p.succ.succ.choose i) * ↑n ^ (p.succ.succ - i) / ↑p.succ.succ
hle : 1 ≤ n + 1
\u22a2 ∑ k ∈ Ico 1 n.succ, ↑k ^ p.succ = ∑ i ∈ range p.succ.succ, f' i
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
f : ℕ → ℚ := fun i => bernoulli i * ↑(p.succ.succ.choose i) * ↑n ^ (p.succ.succ - i) / ↑p.succ.succ
f' : ℕ → ℚ := fun i => bernoulli' i * ↑(p.succ.succ.choose i) * ↑n ^ (p.succ.succ - i) / ↑p.succ.succ
hle : 1 ≤ n + 1
hne : ↑p + 1 + 1 ≠ 0
\u22a2 ∑ k ∈ Ico 1 n.succ, ↑k ^ p.succ = ∑ i ∈ range p.succ.succ, f' i
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
f : ℕ → ℚ := fun i => bernoulli i * ↑(p.succ.succ.choose i) * ↑n ^ (p.succ.succ - i) / ↑p.succ.succ
f' : ℕ → ℚ := fun i => bernoulli' i * ↑(p.succ.succ.choose i) * ↑n ^ (p.succ.succ - i) / ↑p.succ.succ
hle : 1 ≤ n + 1
hne : ↑p + 1 + 1 ≠ 0
h1 : ∀ (r : ℚ), r * (↑p + 1 + 1) * ↑n ^ p.succ / (↑p + 1 + 1) = r * ↑n ^ p.succ
\u22a2 ∑ k ∈ Ico 1 n.succ, ↑k ^ p.succ = ∑ i ∈ range p.succ.succ, f' i
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
f : ℕ → ℚ := fun i => bernoulli i * ↑(p.succ.succ.choose i) * ↑n ^ (p.succ.succ - i) / ↑p.succ.succ
f' : ℕ → ℚ := fun i => bernoulli' i * ↑(p.succ.succ.choose i) * ↑n ^ (p.succ.succ - i) / ↑p.succ.succ
hle : 1 ≤ n + 1
hne : ↑p + 1 + 1 ≠ 0
h1 : ∀ (r : ℚ), r * (↑p + 1 + 1) * ↑n ^ p.succ / (↑p + 1 + 1) = r * ↑n ^ p.succ
h2 : f 1 + ↑n ^ p.succ = 1 / 2 * ↑n ^ p.succ
\u22a2 ∑ k ∈ Ico 1 n.succ, ↑k ^ p.succ = ∑ i ∈ range p.succ.succ, f' i
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
f : ℕ → ℚ := fun i => bernoulli i * ↑(p.succ.succ.choose i) * ↑n ^ (p.succ.succ - i) / ↑p.succ.succ
f' : ℕ → ℚ := fun i => bernoulli' i * ↑(p.succ.succ.choose i) * ↑n ^ (p.succ.succ - i) / ↑p.succ.succ
hle : 1 ≤ n + 1
hne : ↑p + 1 + 1 ≠ 0
h1 : ∀ (r : ℚ), r * (↑p + 1 + 1) * ↑n ^ p.succ / (↑p + 1 + 1) = r * ↑n ^ p.succ
h2 : f 1 + ↑n ^ p.succ = 1 / 2 * ↑n ^ p.succ
this : ∑ i ∈ range p, bernoulli (i + 2) * ↑((p + 2).choose (i + 2)) * ↑n ^ (p - i) / ↑(p + 2) = ∑ i ∈ range p, bernoulli' (i + 2) * ↑((p + 2).choose (i + 2)) * ↑n ^ (p - i) / ↑(p + 2)
\u22a2 ∑ k ∈ Ico 1 n.succ, ↑k ^ p.succ = ∑ i ∈ range p.succ.succ, f' i
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame
\u22a2 (-x).IsOption (-y) ↔ x.IsOption y
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
t✝ : TopologicalSpace α
β : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set (Set α)
hs : IsTopologicalBasis s
t : Set (Set β)
ht : IsTopologicalBasis t
\u22a2 IsTopologicalBasis ((fun u => Sum.inl '' u) '' s ∪ (fun u => Sum.inr '' u) '' t)
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
t✝ : TopologicalSpace α
β : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set (Set α)
hs : IsTopologicalBasis s
t : Set (Set β)
ht : IsTopologicalBasis t
\u22a2 ∀ u ∈ (fun u => Sum.inl '' u) '' s ∪ (fun u => Sum.inr '' u) '' t, IsOpen u
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
t✝ : TopologicalSpace α
β : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set (Set α)
hs : IsTopologicalBasis s
t : Set (Set β)
ht : IsTopologicalBasis t
\u22a2 ∀ (a : α ⊕ β) (u : Set (α ⊕ β)), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ (fun u => Sum.inl '' u) '' s ∪ (fun u => Sum.inr '' u) '' t, a ∈ v ∧ v ⊆ u
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z₁ z₂ : Cochain F G 0
h : ∀ (p : ℤ), z₁.v p p ⋯ = z₂.v p p ⋯
p q : ℤ
hpq : p + 0 = q
\u22a2 z₁.v p q hpq = z₂.v p q hpq
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z₁ z₂ : Cochain F G 0
h : ∀ (p : ℤ), z₁.v p p ⋯ = z₂.v p p ⋯
q : ℤ
hpq : q + 0 = q
\u22a2 z₁.v q q hpq = z₂.v q q hpq
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
\u22a2 arctan 0 = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
h : Disjoint s t
\u22a2 ⨆ a ∈ s, LinearMap.range (lsingle a) ≤ ⨅ a ∈ t, ker (lapply a)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
h : Disjoint s t
a₁ : α
h₁ : a₁ ∈ s
\u22a2 comap (lsingle a₁) (⨅ a ∈ t, ker (lapply a)) = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
h : Disjoint s t
a₁ : α
h₁ : a₁ ∈ s
\u22a2 ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ ⊤ → ∀ i ∈ t, (lapply i ∘ₗ lsingle a₁) x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
h : Disjoint s t
a₁ : α
h₁ : a₁ ∈ s
b : M
a✝ : b ∈ ⊤
a₂ : α
h₂ : a₂ ∈ t
\u22a2 (lapply a₂ ∘ₗ lsingle a₁) b = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
s t : Set α
h : Disjoint s t
a₁ : α
h₁ : a₁ ∈ s
b : M
a✝ : b ∈ ⊤
a₂ : α
h₂ : a₂ ∈ t
this : a₁ ≠ a₂
\u22a2 (lapply a₂ ∘ₗ lsingle a₁) b = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Embeddings.lean
n : ℕ+
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hn : 2 < n
\u22a2 NrRealPlaces K = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Embeddings.lean
n : ℕ+
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hn : 2 < n
this : NumberField K
\u22a2 NrRealPlaces K = 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Derivative.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
f : R⟦X⟧
inst✝ : Invertible f
\u22a2 (d⁄dX R) ⅟f = -⅟f ^ 2 * (d⁄dX R) f
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
x : ℝ
h : 0 ≤ x
\u22a2 ↑(nnabs x) = ↑x.toNNReal
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Tower.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R A B
x : A
p : R[X]
\u22a2 (aeval ((algebraMap A B) x)) p = (algebraMap A B) ((aeval x) p)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
\u22a2 Tendsto (fun n => ↑(harmonic n) - log ↑n) atTop (𝓝 eulerMascheroniConstant)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
\u22a2 eulerMascheroniSeq' =ᶠ[atTop] fun n => ↑(harmonic n) - log ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 eulerMascheroniSeq' n = ↑(harmonic n) - log ↑n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h_mf : Measurable f
\u22a2 ∀ {g : α → ℝ≥0∞}, Measurable g → ∫⁻ (a : α), g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h_mf : Measurable f
\u22a2 ∀ (c : ℝ≥0∞) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → ∫⁻ (a : α), s.indicator (fun x => c) a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * s.indicator fun x => c) a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h_mf : Measurable f
\u22a2 ∀ ⦃f_1 g : α → ℝ≥0∞⦄, Disjoint (Function.support f_1) (Function.support g) → Measurable f_1 → Measurable g → ∫⁻ (a : α), f_1 a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * f_1) a ∂μ → ∫⁻ (a : α), g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ → ∫⁻ (a : α), (f_1 + g) a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * (f_1 + g)) a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h_mf : Measurable f
\u22a2 ∀ ⦃f_1 : ℕ → α → ℝ≥0∞⦄, (∀ (n : ℕ), Measurable (f_1 n)) → Monotone f_1 → (∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), f_1 n a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * f_1 n) a ∂μ) → ∫⁻ (a : α), (fun x => ⨆ n, f_1 n x) a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * fun x => ⨆ n, f_1 n x) a ∂μ
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a b : Ordinal.{u_1}
\u22a2 a + b ≤ b ↔ a * ω ≤ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a b : Ordinal.{u_1}
\u22a2 a + b ≤ b ↔ a + b = b
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b ≠ 0
\u22a2 P.toPoly.natDegree = 2
-- Mathlib/Logic/IsEmpty.lean
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
α : Sort u_5
E : α → Sort u_4
\u22a2 IsEmpty (PSigma E) ↔ ∀ (a : α), IsEmpty (E a)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SpecialLinearGroup.lean
g : SL(2, ℤ)
\u22a2 ↑(T * g) 1 = ↑g 1
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : Y → Prop
s : Set X
hx : x ∈ e.source
\u22a2 (∀ᶠ (y : Y) in 𝓝[↑e.symm ⁻¹' s] ↑e x, p y) ↔ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, p (↑e x)
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : Y → Prop
s : Set X
hx : x ∈ e.source
\u22a2 (∀ᶠ (y : Y) in 𝓝[↑e.symm ⁻¹' s] ↑e x, p y) ↔ ∀ᶠ (b : Y) in map (↑e) (𝓝[s] x), p b
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
h : S.HomologyData
\u22a2 leftRightHomologyComparison' h.left h.right = h.iso.hom
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice α
h : IsAtomistic αᵒᵈ
b : α
\u22a2 ∃ s, b = sInf s ∧ ∀ a ∈ s, IsCoatom a
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice α
h : IsCoatomistic α
b : αᵒᵈ
\u22a2 ∃ s, b = sSup s ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
x : S
i : Fin f.natDegree
\u22a2 (h.basis.repr x) i = (h.modByMonicHom x).coeff ↑i
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
x : S
i : Fin f.natDegree
\u22a2 (Finsupp.comapDomain Fin.val (h.modByMonicHom x).toFinsupp ⋯) i = (h.modByMonicHom x).coeff ↑i
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : Nonempty ι
s : ι → Set α
f : α → β
h : InjOn f (⋃ i, s i)
inhabited_h : Inhabited ι
\u22a2 f '' ⋂ i, s i = ⋂ i, f '' s i
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : Nonempty ι
s : ι → Set α
f : α → β
h : InjOn f (⋃ i, s i)
inhabited_h : Inhabited ι
y : β
hy : y ∈ ⋂ i, f '' s i
\u22a2 y ∈ f '' ⋂ i, s i
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : Nonempty ι
s : ι → Set α
f : α → β
h : InjOn f (⋃ i, s i)
inhabited_h : Inhabited ι
y : β
hy : ∀ (i : ι), ∃ x ∈ s i, f x = y
\u22a2 y ∈ f '' ⋂ i, s i
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : Nonempty ι
s : ι → Set α
f : α → β
h : InjOn f (⋃ i, s i)
inhabited_h : Inhabited ι
y : β
x : ι → α
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
hy : ∀ (i : ι), f (x i) = y
\u22a2 y ∈ f '' ⋂ i, s i
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : Nonempty ι
s : ι → Set α
f : α → β
h : InjOn f (⋃ i, s i)
inhabited_h : Inhabited ι
y : β
x : ι → α
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
hy : ∀ (i : ι), f (x i) = y
i : ι
\u22a2 x default ∈ s i
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : Nonempty ι
s : ι → Set α
f : α → β
h : InjOn f (⋃ i, s i)
inhabited_h : Inhabited ι
y : β
x : ι → α
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
hy : ∀ (i : ι), f (x i) = y
i : ι
\u22a2 x default = x i
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : Nonempty ι
s : ι → Set α
f : α → β
h : InjOn f (⋃ i, s i)
inhabited_h : Inhabited ι
y : β
x : ι → α
hy : ∀ (i : ι), f (x i) = y
i : ι
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ ⋃ j, s j
\u22a2 x default = x i
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α
h : a⁻¹ * b = 1
\u22a2 a = b
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq m
a : α
\u22a2 MulOpposite.op a • 1 = diagonal fun x => a
-- Mathlib/AlgebraicTopology/AlternatingFaceMapComplex.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
A : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.74494, u_2} A
inst✝ : Abelian A
X Y : CosimplicialObject C
n : ℕ
\u22a2 objD X n = (AlternatingFaceMapComplex.objD ((cosimplicialSimplicialEquiv C).functor.obj (op X)) n).unop
-- Mathlib/AlgebraicTopology/AlternatingFaceMapComplex.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
A : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.74494, u_2} A
inst✝ : Abelian A
X Y : CosimplicialObject C
n : ℕ
\u22a2 ∑ i : Fin (n + 2), (-1) ^ ↑i • X.δ i = ∑ x : Fin (n + 2), (-1) ^ ↑x • (((cosimplicialSimplicialEquiv C).functor.obj (op X)).δ x).unop
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : ¬c = 0
\u22a2 setToFun μ T hT f = setToFun (c • μ) T hT_smul f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : ¬c = 0
\u22a2 c⁻¹ ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_smul : DominatedFinMeasAdditive (c • μ) T C'
f : α → E
hc0 : ¬c = 0
\u22a2 μ = c⁻¹ • c • μ
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β α : Type u
h : #α = ℵ₀
\u22a2 Nonempty (Denumerable α)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β α : Type u
h : #α = ℵ₀
f : α ≃ ULift.{u, 0} ℕ
\u22a2 Nonempty (Denumerable α)
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
\u22a2 (↑t).Pairwise (IsCoprime on s) → (∀ i ∈ t, s i ∣ z) → ∏ x ∈ t, s x ∣ z
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
g : β → γ
f : α → β
hg : QuasiMeasurePreserving g μb μc
hf : QuasiMeasurePreserving f μa μb
\u22a2 map (g ∘ f) μa ≪ μc
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
g : β → γ
f : α → β
hg : QuasiMeasurePreserving g μb μc
hf : QuasiMeasurePreserving f μa μb
\u22a2 map g (map f μa) ≪ μc
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Verschiebung.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
\u22a2 (bind₁ verschiebungPoly) (wittPolynomial p ℤ n) = if n = 0 then 0 else ↑p * wittPolynomial p ℤ (n - 1)