ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a✝ b : R
x y : M
hv✝ hv : LinearIndependent R v
i : ι
a : R
ha : ∃ y ∈ Finsupp.supported R R (univ \ {i}), (Finsupp.total ι M R v) y = a • v i
\u22a2 a = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a✝ b : R
x y : M
hv✝ hv : LinearIndependent R v
i : ι
a : R
l : ι →₀ R
hl : l ∈ Finsupp.supported R R (univ \ {i})
e : (Finsupp.total ι M R v) l = a • v i
\u22a2 a = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a✝ b : R
x y : M
hv✝ hv : LinearIndependent R v
i : ι
a : R
l : ι →₀ R
hl : Finsupp.single i a ∈ Finsupp.supported R R (univ \ {i})
e : (Finsupp.total ι M R v) l = a • v i
\u22a2 a = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a✝ b : R
x y : M
hv✝ hv : LinearIndependent R v
i : ι
a : R
l : ι →₀ R
hl : Finsupp.single i a ∈ Finsupp.supported R R (univ \ {i})
e : (Finsupp.total ι M R v) l = a • v i
hn : ¬a = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
H : ∀ (i : ι) (a : R), a • v i ∈ span R (v '' (univ \ {i})) → a = 0
l : ι →₀ R
hl : (Finsupp.total ι M R v) l = 0
i : ι
\u22a2 l i = 0 i
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
H : ∀ (i : ι) (a : R), a • v i ∈ span R (v '' (univ \ {i})) → a = 0
l : ι →₀ R
hl : (Finsupp.total ι M R v) l = 0
i : ι
\u22a2 l i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
H : ∀ (i : ι) (a : R), a • v i ∈ span R (v '' (univ \ {i})) → a = 0
l : ι →₀ R
hl : (Finsupp.total ι M R v) l = 0
i : ι
hn : ¬l i = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
H : ∀ (i : ι) (a : R), a • v i ∈ span R (v '' (univ \ {i})) → a = 0
l : ι →₀ R
hl : (Finsupp.total ι M R v) l = 0
i : ι
hn : ¬l i = 0
\u22a2 l i • v i ∈ span R (v '' (univ \ {i}))
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
H : ∀ (i : ι) (a : R), a • v i ∈ span R (v '' (univ \ {i})) → a = 0
l : ι →₀ R
hl : (Finsupp.total ι M R v) l = 0
i : ι
hn : ¬l i = 0
\u22a2 Finsupp.single i (l i) - l ∈ Finsupp.supported R R (univ \ {i})
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
H : ∀ (i : ι) (a : R), a • v i ∈ span R (v '' (univ \ {i})) → a = 0
l : ι →₀ R
hl : (Finsupp.total ι M R v) l = 0
i : ι
hn : ¬l i = 0
\u22a2 (Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.single i (l i) - l) = l i • v i
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : IsSemisimpleModule R M
inst✝ : Nontrivial M
\u22a2 ∃ m, IsSimpleModule R ↥m
-- Mathlib/Topology/Algebra/FilterBasis.lean
G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G
x₀ : G
\u22a2 (𝓝 x₀).HasBasis (fun V => V ∈ B) fun V => (fun y => x₀ * y) '' V
-- Mathlib/Topology/Algebra/FilterBasis.lean
G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G
x₀ : G
\u22a2 (B.N x₀).HasBasis (fun V => V ∈ B) fun V => (fun y => x₀ * y) '' V
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
hx : x ≠ 0
\u22a2 (algebraMap A K) (num A x⁻¹ * num A x) / (algebraMap A K) (↑(den A x⁻¹) * ↑(den A x)) = 1
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
hx : x ≠ 0
\u22a2 (algebraMap A K) (num A x * num A x⁻¹) / (algebraMap A K) (↑(den A x) * ↑(den A x⁻¹)) = 1
-- Mathlib/Data/Finset/Density.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : _root_.Disjoint s t
\u22a2 (s ∪ t).dens = s.dens + t.dens
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
v : E
hv : v ∈ (⨆ μ, eigenspace T μ)ᗮ
\u22a2 T v ∈ (⨆ μ, eigenspace T μ)ᗮ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
v : E
hv : v ∈ ⨅ i, (eigenspace T i)ᗮ
\u22a2 T v ∈ ⨅ i, (eigenspace T i)ᗮ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
\u22a2 ∏ _i : ι, ↑1 * EMetric.diam s = EMetric.diam s ^ Fintype.card ι
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
f : R →+* T
r : R → R → Prop
w : ∀ ⦃x y : R⦄, r x y → f x = f y
x : R
\u22a2 (lift ⟨f, w⟩) ((mkRingHom r) x) = f x
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
f : R →+* T
r : R → R → Prop
w : ∀ ⦃x y : R⦄, r x y → f x = f y
x : R
\u22a2 ({ toFun := fun f => { toFun := fun x => Quot.lift ⇑↑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }, invFun := fun F => ⟨F.comp { toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ⟨f, w⟩) ({ toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ } x) = f x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
s n : Nat
\u22a2 range.loop (s + 1) (range' (s + 1) n) = range' 0 (n + (s + 1))
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
s n : Nat
\u22a2 range.loop (s + 1) (range' (s + 1) n) = range' 0 (n + 1 + s)
-- Mathlib/NumberTheory/EllipticDivisibilitySequence.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
n : ℕ
\u22a2 f (preNormEDS' b c d n) = preNormEDS' (f b) (f c) (f d) n
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
E : Type u_3
inst✝¹ : Norm E
F : Type u_4
inst✝ : Norm F
e : PartialHomeomorph α β
b : β
hb : b ∈ e.target
f : β → E
g : β → F
C : ℝ
h : IsBigOWith C (𝓝 b) f g
\u22a2 Tendsto (↑e) (𝓝 (↑e.symm b)) (𝓝 b)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
E : Type u_3
inst✝¹ : Norm E
F : Type u_4
inst✝ : Norm F
e : PartialHomeomorph α β
b : β
hb : b ∈ e.target
f : β → E
g : β → F
C : ℝ
h : IsBigOWith C (𝓝 b) f g
this : ContinuousAt (↑e) (↑e.symm b)
\u22a2 Tendsto (↑e) (𝓝 (↑e.symm b)) (𝓝 b)
-- Mathlib/Data/List/FinRange.lean
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
hf : Function.Injective f
\u22a2 (ofFn f).Nodup
-- Mathlib/Data/List/FinRange.lean
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
hf : Function.Injective f
\u22a2 (pmap (fun i hi => f ⟨i, hi⟩) (range n) ⋯).Nodup
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/AsymptoticEquivalent.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
h : u ~[l] v
\u22a2 v =O[l] u
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/AsymptoticEquivalent.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
h : u ~[l] v
x✝ : α
\u22a2 u x✝ = (u - v) x✝ + v x✝
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
ψ : (p : ℤ) → F.X p ⟶ G.X p
p' p q : ℤ
hpq : p + 0 = q
\u22a2 F.d p' p ≫ (ofHoms ψ).v p q hpq = F.d p' q ≫ ψ q
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
ψ : (p : ℤ) → F.X p ⟶ G.X p
p' p q : ℤ
hpq✝ : p + 0 = q
hpq : p = q
\u22a2 F.d p' p ≫ (ofHoms ψ).v p q hpq✝ = F.d p' q ≫ ψ q
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
ψ : (p : ℤ) → F.X p ⟶ G.X p
p' p : ℤ
hpq : p + 0 = p
\u22a2 F.d p' p ≫ (ofHoms ψ).v p p hpq = F.d p' p ≫ ψ p
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
\u22a2 rtakeWhile p l <:+ l
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
\u22a2 takeWhile p l.reverse <+: l.reverse
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
\u22a2 ℙ ≪ gaussianReal μ v
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
\u22a2 ℙ ≪ ℙ.withDensity (gaussianPDF μ v)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
\u22a2 AEMeasurable (gaussianPDF μ v) ℙ
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
\u22a2 ∀ᵐ (x : ℝ), gaussianPDF μ v x ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig α N τ
i : Fin N.succ
\u22a2 dist (a.c i) (a.c (last N)) ≤ a.r i + a.r (last N)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig α N τ
i : Fin N.succ
H : i < last N
\u22a2 dist (a.c i) (a.c (last N)) ≤ a.r i + a.r (last N)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig α N τ
i : Fin N.succ
H : last N ≤ i
\u22a2 dist (a.c i) (a.c (last N)) ≤ a.r i + a.r (last N)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/BesicovitchVectorSpace.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
a : SatelliteConfig E (multiplicity E) (goodτ E)
b : SatelliteConfig E (multiplicity E) (goodτ E) := a.centerAndRescale
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/BesicovitchVectorSpace.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
a : SatelliteConfig E (multiplicity E) (goodτ E)
b : SatelliteConfig E (multiplicity E) (goodτ E) := a.centerAndRescale
c' : Fin (multiplicity E).succ → E
c'_le_two : ∀ (n : Fin (multiplicity E).succ), ‖c' n‖ ≤ 2
hc' : Pairwise fun i j => 1 - goodδ E ≤ ‖c' i - c' j‖
\u22a2 False
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a : Subtype p
hp : ∀ ⦃a x : α⦄, a ≤ x → p a → p x
\u22a2 map (Embedding.subtype p) (Ioi a) = Ioi ↑a
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a : Subtype p
hp : ∀ ⦃a x : α⦄, a ≤ x → p a → p x
\u22a2 map (Embedding.subtype p) (Finset.subtype p (Ioi ↑a)) = Ioi ↑a
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
i j : A
\u22a2 (shiftComm X i j).hom ≫ (shiftFunctor C i).map ((shiftFunctor C j).map f) = (shiftFunctor C j).map ((shiftFunctor C i).map f) ≫ (shiftComm Y i j).hom
-- Mathlib/Analysis/Complex/ReImTopology.lean
a : ℝ
\u22a2 frontier {z | z.im < a} = {z | z.im = a}
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.337009, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 4
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ≅ g.obj' 4 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.hom = app₀.hom ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.hom = app₁.hom ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.hom = app₂.hom ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄.hom = app₃.hom ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯
\u22a2 g.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.inv = app₀.inv ≫ f.map' 0 1 ⋯ ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.337009, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 4
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ≅ g.obj' 4 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.hom = app₀.hom ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.hom = app₁.hom ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.hom = app₂.hom ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄.hom = app₃.hom ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯
\u22a2 g.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.inv = app₁.inv ≫ f.map' 1 2 ⋯ ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.337009, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 4
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ≅ g.obj' 4 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.hom = app₀.hom ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.hom = app₁.hom ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.hom = app₂.hom ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄.hom = app₃.hom ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯
\u22a2 g.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.inv = app₂.inv ≫ f.map' 2 3 ⋯ ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.337009, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 4
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ≅ g.obj' 4 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.hom = app₀.hom ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.hom = app₁.hom ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.hom = app₂.hom ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄.hom = app₃.hom ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯
\u22a2 g.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄.inv = app₃.inv ≫ f.map' 3 4 ⋯ ⋯
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
S : Multiset α
\u22a2 S.toFinset.prod id ∣ S.prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
S : Multiset α
\u22a2 (map id S.toFinset.val).prod ∣ S.prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
S : Multiset α
\u22a2 map id S.toFinset.val ≤ S
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Mul α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
h : a * b ≤ c * d
\u22a2 min a b ≤ max c d
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Mul α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
h : a * b ≤ c * d
\u22a2 (a ≤ c ∨ a ≤ d) ∨ b ≤ c ∨ b ≤ d
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Mul α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
h : (c < a ∧ d < a) ∧ c < b ∧ d < b
\u22a2 c * d < a * b
-- Mathlib/Algebra/CharP/ExpChar.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
q n : ℕ
x y : R
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : Fact (Nat.Prime q)
\u22a2 (x - y) ^ q ^ n = x ^ q ^ n - y ^ q ^ n
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → E
h1f : AEStronglyMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
\u22a2 HasFiniteIntegral f ((κ ⊗ₖ η) a) ↔ (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, HasFiniteIntegral (fun y => f (x, y)) (η (a, x))) ∧ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : γ), ‖f (x, y)‖ ∂η (a, x)) (κ a)
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → E
h1f : AEStronglyMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
\u22a2 (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, HasFiniteIntegral (fun y => AEStronglyMeasurable.mk f h1f (x, y)) (η (a, x))) ∧ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : γ), ‖AEStronglyMeasurable.mk f h1f (x, y)‖ ∂η (a, x)) (κ a) ↔ (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, HasFiniteIntegral (fun y => f (x, y)) (η (a, x))) ∧ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : γ), ‖f (x, y)‖ ∂η (a, x)) (κ a)
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → E
h1f : AEStronglyMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
\u22a2 (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, HasFiniteIntegral (fun y => AEStronglyMeasurable.mk f h1f (x, y)) (η (a, x))) ↔ ∀ᵐ (x : β) ∂κ a, HasFiniteIntegral (fun y => f (x, y)) (η (a, x))
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → E
h1f : AEStronglyMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
\u22a2 HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : γ), ‖AEStronglyMeasurable.mk f h1f (x, y)‖ ∂η (a, x)) (κ a) ↔ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : γ), ‖f (x, y)‖ ∂η (a, x)) (κ a)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set (OuterMeasure α)
s : Set α
hm : m.Nonempty
\u22a2 (restrict s) (sInf m) = sInf (⇑(restrict s) '' m)
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : DivisionSemiring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : x.fst ≠ 0
\u22a2 x⁻¹⁻¹ = 1 * x⁻¹⁻¹
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : DivisionSemiring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : x.fst ≠ 0
\u22a2 1 * x⁻¹⁻¹ = x * x⁻¹ * x⁻¹⁻¹
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : DivisionSemiring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : x.fst ≠ 0
\u22a2 x * x⁻¹ * x⁻¹⁻¹ = x
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : DivisionSemiring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : x.fst ≠ 0
\u22a2 x⁻¹.fst ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : DivisionSemiring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : x.fst ≠ 0
\u22a2 x.fst⁻¹ ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/IsolatedZeros.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f z₀
hg : AnalyticAt 𝕜 g z₀
\u22a2 (∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = g z) ∨ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ g z
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
s : Set β
\u22a2 ContinuousOn f s ↔ ∀ b ∈ s, ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : β) in 𝓝[s] b, dist (f x) (f b) < ε
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
\u22a2 ℵ₀ < univ.{u, v}
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
c : Cardinal.{max (u + 1) v}
h : c < univ.{u, v}
\u22a2 2 ^ c < univ.{u, v}
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
c : Cardinal.{u}
h : lift.{max (u + 1) v, u} c < univ.{u, v}
\u22a2 2 ^ lift.{max (u + 1) v, u} c < univ.{u, v}
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
c : Cardinal.{u}
h : lift.{max (u + 1) v, u} c < univ.{u, v}
\u22a2 lift.{max (u + 1) v, u} (2 ^ c) < univ.{u, v}
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/InjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasInjectiveResolutions C
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0
\u22a2 (injectiveResolutions C).map f ≫ J.iso.hom = I.iso.hom ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℕ)).map φ