ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Limits.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X✝ Y Z : C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : X✝ ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : HasKernels C
X : C
A B : Cᵒᵖ
g : B ⟶ op X
hg : Mono g
i : A ≅ B
hf : Mono (i.hom ≫ g)
\u22a2 ?refine_1.hom ≫ kernel.ι g.unop = kernel.ι (i.hom ≫ g).unop
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Limits.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X✝ Y Z : C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f✝ : X✝ ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f✝
inst✝ : HasKernels C
X : C
A B : Cᵒᵖ
f : A ⟶ op X
g : B ⟶ op X
hf : Mono f
hg : Mono g
h : Subobject.mk f ≤ Subobject.mk g
\u22a2 Subobject.lift (fun A f x => Subobject.mk (kernel.ι f.unop)) ⋯ (Subobject.mk f) ≤ Subobject.lift (fun A f x => Subobject.mk (kernel.ι f.unop)) ⋯ (Subobject.mk g)
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Limits.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X✝ Y Z : C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f✝ : X✝ ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f✝
inst✝ : HasKernels C
X : C
A B : Cᵒᵖ
f : A ⟶ op X
g : B ⟶ op X
hf : Mono f
hg : Mono g
h : Subobject.mk f ≤ Subobject.mk g
\u22a2 Subobject.mk (kernel.ι f.unop) ≤ Subobject.mk (kernel.ι g.unop)
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Limits.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X✝ Y Z : C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f✝ : X✝ ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f✝
inst✝ : HasKernels C
X : C
A B : Cᵒᵖ
f : A ⟶ op X
g : B ⟶ op X
hf : Mono f
hg : Mono g
h : Subobject.mk f ≤ Subobject.mk g
\u22a2 kernel.ι f.unop ≫ g.unop = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Limits.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X✝ Y Z : C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f✝ : X✝ ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f✝
inst✝ : HasKernels C
X : C
A B : Cᵒᵖ
f : A ⟶ op X
g : B ⟶ op X
hf : Mono f
hg : Mono g
h : Subobject.mk f ≤ Subobject.mk g
\u22a2 kernel.lift g.unop (kernel.ι f.unop) ?refine_1 ≫ kernel.ι g.unop = kernel.ι f.unop
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/Basic.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
p : R
x : S
hx : (aeval x) f = 0
hmo : f.Monic
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt (Submodule.span R {p})
i : ℕ
hi : (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree ≤ i
\u22a2 ∃ y ∈ adjoin R {x}, (algebraMap R S) p * y = x ^ i
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/Basic.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
p : R
x : S
hx : (aeval x) f = 0
hmo : f.Monic
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt (Submodule.span R {p})
i : ℕ
hi : (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree ≤ i
k : ℕ
hk : i = (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree + k
\u22a2 ∃ y ∈ adjoin R {x}, (algebraMap R S) p * y = x ^ i
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/Basic.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
p : R
x : S
hx : (aeval x) f = 0
hmo : f.Monic
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt (Submodule.span R {p})
i : ℕ
hi : (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree ≤ i
k : ℕ
hk : i = (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree + k
\u22a2 ∃ y ∈ adjoin R {x}, (algebraMap R S) p * y = x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree * x ^ k
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/Basic.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
p : R
x : S
hx : (aeval x) f = 0
hmo : f.Monic
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt (Submodule.span R {p})
i : ℕ
hi : (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree ≤ i
k : ℕ
hk : i = (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree + k
y : S
hy : y ∈ adjoin R {x}
H : (algebraMap R S) p * y = x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree
\u22a2 ∃ y ∈ adjoin R {x}, (algebraMap R S) p * y = x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree * x ^ k
-- Mathlib/CategoryTheory/IsConnected.lean
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝ : IsPreconnected J
α : Type u₂
F : J → α
h : ∀ (j₁ j₂ : J), (j₁ ⟶ j₂) → F j₁ = F j₂
j j' : J
\u22a2 F j = F j'
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
h0 : ¬r = 0
\u22a2 ∃ u, ↑u = (C r).primPart
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
h0 : ¬r = 0
\u22a2 ↑{ val := C ↑(normUnit r)⁻¹, inv := C ↑(normUnit r), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ } = (C r).primPart
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
h0 : ¬C (normalize r) = 0
\u22a2 ↑{ val := C ↑(normUnit r)⁻¹, inv := C ↑(normUnit r), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ } = (C r).primPart
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
h0 : ¬C (normalize r) = 0
\u22a2 C (normalize r) * ↑{ val := C ↑(normUnit r)⁻¹, inv := C ↑(normUnit r), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ } = C (normalize r) * (C r).primPart
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
h0 : ¬C (normalize r) = 0
\u22a2 C (normalize r) * ↑{ val := C ↑(normUnit r)⁻¹, inv := C ↑(normUnit r), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ } = C r
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
h0 : ¬C (normalize r) = 0
\u22a2 C r * C ↑(normUnit r) * C ↑(normUnit r)⁻¹ = C r
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ inst✝ : NumberField K
\u22a2 finrank ℤ (Additive ((𝓞 K)ˣ ⧸ torsion K)) = rank K
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
s t : NonemptyInterval α
a : α
\u22a2 (s - t).length = s.length + t.length
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
\u22a2 cos (angle x y) = -1 ↔ angle x y = π
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
\u22a2 cos (angle x y) = cos π ↔ angle x y = π
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
hf : AntilipschitzWith K f
s : Set Y
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
\u22a2 dimH (f ⁻¹' s) ≤ dimH s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
hf : AntilipschitzWith K f
s : Set Y
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f ⁻¹' s) = ⊤
\u22a2 μH[↑d] s = ⊤
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
hf : AntilipschitzWith K f
s : Set Y
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f ⁻¹' s) = ⊤
this : μH[↑d] (f ⁻¹' s) ≤ ↑K ^ ↑d * μH[↑d] s
\u22a2 μH[↑d] s = ⊤
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
hf : AntilipschitzWith K f
s : Set Y
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f ⁻¹' s) = ⊤
this : ↑K ^ ↑d * μH[↑d] s = ⊤
\u22a2 μH[↑d] s = ⊤
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
hf : AntilipschitzWith K f
s : Set Y
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f ⁻¹' s) = ⊤
this : μH[↑d] s ≠ ⊤
\u22a2 ↑K ^ ↑d * μH[↑d] s ≠ ⊤
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/ShortExact.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
T : Triangle (CochainComplex C ℤ)
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
\u22a2 (homologyFunctor C (up ℤ) 0).homologySequenceδ ((quotient C (up ℤ)).mapTriangle.obj T) n₀ n₁ h = (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₀).hom.app T.obj₃ ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap T.mor₃ n₀ n₁ ⋯ ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₁).inv.app T.obj₁
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
\u22a2 map (fun x => x + c) (Icc a b) = Icc (a + c) (b + c)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Defs.lean
α : Type u
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α
\u22a2 ∃ a, 1 < a
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Defs.lean
α : Type u
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α
y : α
hy : y ≠ 1
\u22a2 ∃ a, 1 < a
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Defs.lean
α : Type u
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α
y : α
hy : y ≠ 1
h : y < 1
\u22a2 ∃ a, 1 < a
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Defs.lean
α : Type u
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α
y : α
hy : y ≠ 1
h : 1 < y
\u22a2 ∃ a, 1 < a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NonUnitalNormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
x : E
\u22a2 x⋆ * x = 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NonUnitalNormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
x : E
\u22a2 ‖x‖ * ‖x‖ = 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
i : σ
h : Finsupp.single i 1 = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
hx : x ∈ convexBodySum K B
\u22a2 -x ∈ convexBodySum K B
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
hx : x ∈ convexBodySum K B
\u22a2 convexBodySumFun x ≤ B
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableClosure.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
i : E ≃ₐ[F] K
\u22a2 finInsepDegree F E = finInsepDegree F K
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r : X
s : ↥S
r' : X
s' : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s = ra * ↑s'
ha' : r /ₒ s + r' /ₒ s' = (sa • r + ra • r') /ₒ (sa * s)
\u22a2 r /ₒ s + r' /ₒ s' = r' /ₒ s' + r /ₒ s
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r : X
s : ↥S
r' : X
s' : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s = ra * ↑s'
ha' : r /ₒ s + r' /ₒ s' = (sa • r + ra • r') /ₒ (sa * s)
\u22a2 (ra • r' + sa • r) /ₒ (sa * s) = (ra • r' + ↑sa • r) /ₒ ⟨ra * ↑s', ⋯⟩
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s✝ s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0
hp : 1 < p
\u22a2 ∑ i ∈ s, w i * f i ≤ (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s✝ s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0
hp : 1 < p
\u22a2 ∑ i ∈ s, w i * f i = ∑ i ∈ s, w i ^ (1 - p⁻¹) * (w i ^ p⁻¹ * f i)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s✝ s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0
hp : 1 < p
\u22a2 (∑ i ∈ s, (w i ^ (1 - p⁻¹)) ^ (1 - p⁻¹)⁻¹) ^ (1 / (1 - p⁻¹)⁻¹) * (∑ i ∈ s, (w i ^ p⁻¹ * f i) ^ p) ^ (1 / p) = (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit
\u22a2 (hb.isLimit.conePointUniqueUpToIso (BinaryBiproduct.isLimit X Y)).inv = desc b.inl b.inr
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit
j : Discrete WalkingPair
\u22a2 (inl ≫ (hb.isLimit.conePointUniqueUpToIso (BinaryBiproduct.isLimit X Y)).inv) ≫ b.toCone.π.app j = (inl ≫ desc b.inl b.inr) ≫ b.toCone.π.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit
j : Discrete WalkingPair
\u22a2 (inr ≫ (hb.isLimit.conePointUniqueUpToIso (BinaryBiproduct.isLimit X Y)).inv) ≫ b.toCone.π.app j = (inr ≫ desc b.inl b.inr) ≫ b.toCone.π.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit
\u22a2 inl ≫ (BinaryBiproduct.bicone X Y).toCone.π.app { as := WalkingPair.left } = inl ≫ desc b.inl b.inr ≫ b.toCone.π.app { as := WalkingPair.left }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit
\u22a2 inl ≫ (BinaryBiproduct.bicone X Y).toCone.π.app { as := WalkingPair.right } = inl ≫ desc b.inl b.inr ≫ b.toCone.π.app { as := WalkingPair.right }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit
\u22a2 inr ≫ (BinaryBiproduct.bicone X Y).toCone.π.app { as := WalkingPair.left } = inr ≫ desc b.inl b.inr ≫ b.toCone.π.app { as := WalkingPair.left }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit
\u22a2 inr ≫ (BinaryBiproduct.bicone X Y).toCone.π.app { as := WalkingPair.right } = inr ≫ desc b.inl b.inr ≫ b.toCone.π.app { as := WalkingPair.right }
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
w : ReducedWord G A B
g : G
hg : of g = ReducedWord.prod φ w
\u22a2 w.toList = []
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
w : ReducedWord G A B
g : G
hg : of g = ReducedWord.prod φ w
w' : ReducedWord G A B := let __src := ReducedWord.empty G A B; { head := g, toList := __src.toList, chain := ⋯ }
\u22a2 w.toList = []
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
w : ReducedWord G A B
g : G
hg : of g = ReducedWord.prod φ w
w' : ReducedWord G A B := let __src := ReducedWord.empty G A B; { head := g, toList := __src.toList, chain := ⋯ }
this : ReducedWord.prod φ w = ReducedWord.prod φ w'
\u22a2 w.toList = []
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
f : ι → ι'
hf : Injective f
m : ι → Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (sum (Function.extend f m 0)) s = (sum m) s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
\u22a2 b.sumCoords (b i) = 1
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l : ℕ
\u22a2 ∀ (a : ℕ), a ∉ Ico n m ∩ Ico m l
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l a : ℕ
\u22a2 a ∉ Ico n m ∩ Ico m l
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l a : ℕ
\u22a2 n ≤ a → a < m → m ≤ a → l ≤ a
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l a : ℕ
a✝ : n ≤ a
h₂ : a < m
h₃ : m ≤ a
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : Stream' (Option α)
al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, s n = some a → s (n + 1) = some a
\u22a2 map f (think ⟨s, al⟩) = (map f ⟨s, al⟩).think
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : Stream' (Option α)
al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, s n = some a → s (n + 1) = some a
\u22a2 ↑(map f (think ⟨s, al⟩)) = ↑(map f ⟨s, al⟩).think
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : Stream' (Option α)
al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, s n = some a → s (n + 1) = some a
\u22a2 Stream'.map (fun o => Option.rec none (fun val => some (f val)) o) (Stream'.cons none s) = Stream'.cons none (Stream'.map (fun o => Option.rec none (fun val => some (f val)) o) s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
\u22a2 f =ᶠ[ae (μ.restrict t)] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
\u22a2 f ≤ᶠ[ae (μ.restrict t)] 0 ∧ 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict t)] f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
\u22a2 f ≤ᶠ[ae (μ.restrict t)] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
\u22a2 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict t)] -f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
\u22a2 0 ≤ ∫ (x : α) in s, (-f) x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
\u22a2 0 ≤ ∫ (x : α) in s, -f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
\u22a2 ∫ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
t : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
\u22a2 ⇑(toSpec 𝒜 f).val.base ⁻¹' ↑(sbo HomogeneousLocalization.mk t) = ↑((Opens.comap { toFun := Subtype.val, continuous_toFun := ⋯ }) (pbo ↑t.num))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
t : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
\u22a2 ⇑(toSpec 𝒜 f).val.base = ProjIsoSpecTopComponent.ToSpec.toFun f
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β → σ
\u22a2 (Computable₂ fun a n => Option.map (f a) (decode n)) ↔ Computable₂ f
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β → σ
x✝¹ : α
x✝ : ℕ
\u22a2 Option.map (f x✝¹) (decode x✝) = (decode x✝).bind (Option.some ∘ f x✝¹)
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Ordinal.lean
x y✝ z✝ : ZFSet
H : ∀ y ∈ x, y.IsTransitive
y : ZFSet
hy : y ∈ ⋃₀ x
z : ZFSet
hz : z ∈ y
\u22a2 z ∈ ⋃₀ x
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Ordinal.lean
x y✝ z✝ : ZFSet
H : ∀ y ∈ x, y.IsTransitive
y : ZFSet
hy : y ∈ ⋃₀ x
z : ZFSet
hz : z ∈ y
w : ZFSet
hw : w ∈ x
hw' : y ∈ w
\u22a2 z ∈ ⋃₀ x
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
hf : Injective f
s : Set α
\u22a2 ∃ a, f ⁻¹' a = s
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
hf : Injective f
s : Set α
\u22a2 f ⁻¹' (f '' s) = s
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n : ℕ
a : M
h : m ≤ n
\u22a2 a ^ m * a ^ (n - m) = a ^ n
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
hY : AEMeasurable Y μ
hf_int : Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
\u22a2 Integrable (fun x => ‖∫ (y : Ω), f (x, y) ∂(condDistrib Y X μ) x‖) (Measure.map X μ)