ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
φ ψ : R⟦X⟧
this : antidiagonal 1 = {(0, 1), (1, 0)}
\u22a2 (coeff R 1) (φ * ψ) = (coeff R 1) φ * (constantCoeff R) ψ + (coeff R 1) ψ * (constantCoeff R) φ
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
φ ψ : R⟦X⟧
this : antidiagonal 1 = {(0, 1), (1, 0)}
\u22a2 (0, 1) ∉ {(1, 0)}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
y₁ y₂ : β
\u22a2 edist ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (0, y₁)) ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (0, y₂)) = edist y₁ y₂
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ : Finset α
u✝ v✝ a b : α
inst✝ : DecidableEq α
u v : α
s : Finset α
h : filter (fun x => compress u v x ∉ 𝓒 u v s) (𝓒 u v s) = ∅
\u22a2 𝓒 u v (𝓒 u v s) = 𝓒 u v s
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ : Finset α
u✝ v✝ a b : α
inst✝ : DecidableEq α
u v : α
s : Finset α
h : filter (fun x => compress u v x ∉ 𝓒 u v s) (𝓒 u v s) = ∅
\u22a2 filter (fun x => compress u v x ∈ 𝓒 u v s) (𝓒 u v s) ∪ filter (fun x => compress u v x ∉ 𝓒 u v s) (𝓒 u v s) = 𝓒 u v s
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
g : G
q : orbitRel.Quotient (↥(zpowers g)) (G ⧸ H)
k : ℤ
\u22a2 (H.quotientEquivSigmaZMod g) (g ^ k • Quotient.out' q) = ⟨q, ↑k⟩
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
n : ℕ
\u22a2 wittPolynomial p R n = ∑ i ∈ range (n + 1), C (↑p ^ i) * X i ^ p ^ (n - i)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
n : ℕ
\u22a2 ∀ x ∈ range (n + 1), (monomial (single x (p ^ (n - x)))) (↑p ^ x) = C (↑p ^ x) * X x ^ p ^ (n - x)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
n i : ℕ
\u22a2 (monomial (single i (p ^ (n - i)))) (↑p ^ i) = C (↑p ^ i) * X i ^ p ^ (n - i)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
n i : ℕ
\u22a2 X i ^ 0 = 1
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
e : α
hB₁ : M.Base B₁
hB₂ : M.Base B₂
hxB₁ : e ∈ B₁
hxB₂ : e ∉ B₂
\u22a2 ∃ y, (y ∈ B₂ ∧ y ∉ B₁) ∧ M.Base (insert y (B₁ \ {e}))
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
\u22a2 (q - r).num * ↑q.den * ↑r.den = (q.num * ↑r.den - r.num * ↑q.den) * ↑(q - r).den
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp' : p ≠ 2
n : ℕ
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
\u22a2 Irreducible (X ^ p ^ n - C a)
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp' : p ≠ 2
n : ℕ
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
\u22a2 ∀ (p_1 : ℕ), Nat.Prime p_1 → p_1 ∣ p ^ n → ∀ (b : K), b ^ p_1 ≠ a
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp' : p ≠ 2
n : ℕ
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
q : ℕ
hq : Nat.Prime q
hq' : q ∣ p ^ n
\u22a2 ∀ (b : K), b ^ q ≠ a
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p q : ℕ
hp0 : p = 0
\u22a2 ∑ a ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * q / p = (filter (fun x => x.2 * p ≤ x.1 * q) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ)).card
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p q : ℕ
hp0 : ¬p = 0
x : ℕ
hx : x ∈ Ico 1 (p / 2).succ
\u22a2 x * q / p ≤ p / 2 * q / p
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p q : ℕ
hp0 : ¬p = 0
x : ℕ
hx : x ∈ Ico 1 (p / 2).succ
this : x ≤ p / 2
\u22a2 x * q / p ≤ p / 2 * q / p
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p q : ℕ
hp0 : ¬p = 0
\u22a2 ∑ a ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (filter (fun x => x * p ≤ a * q) (Ico 1 (q / 2).succ)).card = (filter (fun x => x.2 * p ≤ x.1 * q) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ)).card
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p q : ℕ
hp0 : ¬p = 0
\u22a2 ((Ico 1 (p / 2).succ).sigma fun a => filter (fun x => x * p ≤ a * q) (Ico 1 (q / 2).succ)).card = (filter (fun x => x.2 * p ≤ x.1 * q) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ)).card
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Algebra.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
r : AdicCauchySequence I R
x : AdicCauchySequence I M
\u22a2 ↑r n • Submodule.Quotient.mk (↑x n) = ↑r m • Submodule.Quotient.mk (↑x m)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : H × E
q : TM
\u22a2 p ∈ (chartAt (ModelProd H E) q).target ↔ p.1 ∈ (chartAt H q.proj).target
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : H × E
q : TM
\u22a2 p.1 ∈ (chartAt H q.proj).target ∧ (↑((chartAt H q.proj).prod (PartialEquiv.refl E)).symm p).1 ∈ (chartAt H q.proj).source ↔ p.1 ∈ (chartAt H q.proj).target
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : H × E
q : TM
\u22a2 p.1 ∈ (chartAt H q.proj).target ∧ (↑((chartAt H q.proj).symm.prod (PartialEquiv.refl E).symm) p).1 ∈ (chartAt H q.proj).source ↔ p.1 ∈ (chartAt H q.proj).target
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : CompactIccSpace α
\u22a2 cocompact α ≤ atBot
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : CompactIccSpace α
x✝ : Set α
hs : x✝ ∈ atBot
h✝ : IsEmpty α
\u22a2 ∃ t, IsCompact t ∧ tᶜ ⊆ x✝
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : CompactIccSpace α
x✝ : Set α
hs : x✝ ∈ atBot
h✝ : Nonempty α
\u22a2 ∃ t, IsCompact t ∧ tᶜ ⊆ x✝
-- Mathlib/Algebra/Group/Semiconj/Defs.lean
S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : Group G
a✝ x✝ y✝ a x y b : G
\u22a2 b * a * b⁻¹ * (b * x * b⁻¹) = b * y * b⁻¹ * (b * a * b⁻¹) ↔ a * x = y * a
-- Mathlib/Algebra/Group/Semiconj/Defs.lean
S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : Group G
a✝ x✝ y✝ a x y b : G
\u22a2 b * a * x * b⁻¹ = b * y * a * b⁻¹ ↔ a * x = y * a
-- Mathlib/Algebra/Group/Semiconj/Defs.lean
S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : Group G
a✝ x✝ y✝ a x y b : G
\u22a2 b * (a * (x * b⁻¹)) = b * (y * (a * b⁻¹)) ↔ a * x = y * a
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
b : β
\u22a2 (insert b s).sup' ⋯ f = f b ⊔ s.sup' H f
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
b : β
\u22a2 ↑((insert b s).sup' ⋯ f) = ↑(f b ⊔ s.sup' H f)
-- Mathlib/Data/Multiset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Multiset α
a b : α
xs : List α
\u22a2 s(a, b) ∈ Multiset.sym2 ⟦xs⟧ ↔ a ∈ ⟦xs⟧ ∧ b ∈ ⟦xs⟧
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
r : 𝕜
x : E
θ : ℝ
\u22a2 θ ∈ {r_1 | 0 < r_1 ∧ ‖r‖ • x ∈ r_1 • s} ↔ θ ∈ {r_1 | 0 < r_1 ∧ r • x ∈ r_1 • s}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
r : 𝕜
x : E
θ : ℝ
\u22a2 θ ∈ {r_1 | 0 < r_1 ∧ ↑‖r‖ • x ∈ r_1 • s} ↔ θ ∈ {r_1 | 0 < r_1 ∧ r • x ∈ r_1 • s}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
r : 𝕜
x : E
θ : ℝ
hθ : 0 < θ
\u22a2 ‖↑‖r‖‖ = ‖r‖
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
q : R[X]
n : ℕ
r : R[X]
\u22a2 q ^ (n - 1) ∣ derivative (q ^ n * r)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
q : R[X]
n : ℕ
r : R[X]
\u22a2 q ^ (n - 1) ∣ C ↑n * q ^ (n - 1) * derivative q * r + q ^ n * derivative r
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ : List α✝
a : α✝
x✝ : l₁ <:+: l₂
L₁ L₂ : List α✝
h : L₁ ++ l₁ ++ L₂ = l₂
\u22a2 L₁ ++ l₁ ++ L₂.concat a = l₂.concat a
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i
\u22a2 x * 1 = x
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i
\u22a2 (mulHom A).flip One.one = AddMonoidHom.id (⨁ (i : ι), A i)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i
\u22a2 ∀ (i : ι) (y : A i), ((mulHom A).flip One.one) ((of A i) y) = (AddMonoidHom.id (⨁ (i : ι), A i)) ((of A i) y)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i
i : ι
xi : A i
\u22a2 ((mulHom A).flip ((of A 0) GradedMonoid.GOne.one)) ((of A i) xi) = (AddMonoidHom.id (⨁ (i : ι), A i)) ((of A i) xi)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i
i : ι
xi : A i
\u22a2 (of A (i + 0)) (GradedMonoid.GMul.mul xi GradedMonoid.GOne.one) = (AddMonoidHom.id (⨁ (i : ι), A i)) ((of A i) xi)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
\u22a2 (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod = ∏ a ∈ p.roots.toFinset, (X - C a) ^ rootMultiplicity a p
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
lawful : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
ι ι' : Type u
R : ι' → ι' → Prop
x : F (α ::: ι)
f g : ι → ι'
hh : ∀ (x : ι), R (f x) (g x)
h : ι → { x // uncurry R x } := fun x => ⟨(f x, g x), ⋯⟩
b : α ::: ι ⟹ Subtype_ α.repeatEq ::: { x // uncurry R x } := diagSub ::: h
c : Subtype_ α.repeatEq ::: { x // uncurry R x } ⟹ (fun i => { x // ofRepeat (α.RelLast' R i.fs x) }) ::: Subtype (uncurry R) := ofSubtype α.repeatEq ::: _root_.id
\u22a2 subtypeVal (α.RelLast' R) ⊚ toSubtype (α.RelLast' R) ⊚ fromAppend1DropLast ⊚ c ⊚ (diagSub ::: h) = ((TypeVec.id ::: f) ⊗' (TypeVec.id ::: g)) ⊚ prod.diag
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
lawful : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
ι ι' : Type u
R : ι' → ι' → Prop
x : F (α ::: ι)
f g : ι → ι'
hh : ∀ (x : ι), R (f x) (g x)
h : ι → { x // uncurry R x } := fun x => ⟨(f x, g x), ⋯⟩
b : α ::: ι ⟹ Subtype_ α.repeatEq ::: { x // uncurry R x } := diagSub ::: h
c : Subtype_ α.repeatEq ::: { x // uncurry R x } ⟹ (fun i => { x // ofRepeat (α.RelLast' R i.fs x) }) ::: Subtype (uncurry R) := ofSubtype α.repeatEq ::: _root_.id
\u22a2 dropFun (subtypeVal (α.RelLast' R) ⊚ toSubtype (α.RelLast' R) ⊚ fromAppend1DropLast ⊚ c ⊚ (diagSub ::: h)) = dropFun (((TypeVec.id ::: f) ⊗' (TypeVec.id ::: g)) ⊚ prod.diag)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
lawful : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
ι ι' : Type u
R : ι' → ι' → Prop
x : F (α ::: ι)
f g : ι → ι'
hh : ∀ (x : ι), R (f x) (g x)
h : ι → { x // uncurry R x } := fun x => ⟨(f x, g x), ⋯⟩
b : α ::: ι ⟹ Subtype_ α.repeatEq ::: { x // uncurry R x } := diagSub ::: h
c : Subtype_ α.repeatEq ::: { x // uncurry R x } ⟹ (fun i => { x // ofRepeat (α.RelLast' R i.fs x) }) ::: Subtype (uncurry R) := ofSubtype α.repeatEq ::: _root_.id
\u22a2 lastFun (subtypeVal (α.RelLast' R) ⊚ toSubtype (α.RelLast' R) ⊚ fromAppend1DropLast ⊚ c ⊚ (diagSub ::: h)) = lastFun (((TypeVec.id ::: f) ⊗' (TypeVec.id ::: g)) ⊚ prod.diag)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
lawful : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
ι ι' : Type u
R : ι' → ι' → Prop
x : F (α ::: ι)
f g : ι → ι'
hh : ∀ (x : ι), R (f x) (g x)
h : ι → { x // uncurry R x } := fun x => ⟨(f x, g x), ⋯⟩
b : α ::: ι ⟹ Subtype_ α.repeatEq ::: { x // uncurry R x } := diagSub ::: h
c : Subtype_ α.repeatEq ::: { x // uncurry R x } ⟹ (fun i => { x // ofRepeat (α.RelLast' R i.fs x) }) ::: Subtype (uncurry R) := ofSubtype α.repeatEq ::: _root_.id
\u22a2 Subtype.val ∘ lastFun c ∘ h = Prod.map f g ∘ lastFun prod.diag
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
\u22a2 ↑(hU.fromSpec ⁻¹ᵁ U) = ↑⊤
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
\u22a2 ⇑hU.fromSpec.val.base ⁻¹' (⇑hU.fromSpec.val.base '' Set.univ) = Set.univ
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n : ℕ
h : m ≤ n
\u22a2 (n - m).Coprime m ↔ n.Coprime m
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x✝ y✝ : α
h : f.IsCycleOn s
x : α
hx : x ∈ ⇑g '' s
y : α
hy : y ∈ ⇑g '' s
\u22a2 (g * f * g⁻¹).SameCycle x y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x✝ y✝ : α
h : f.IsCycleOn s
x : α
hx : x ∈ ⇑g⁻¹ ⁻¹' s
y : α
hy : y ∈ ⇑g⁻¹ ⁻¹' s
\u22a2 (g * f * g⁻¹).SameCycle x y
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
\u22a2 opcyclesMap' (φ - φ') h₁ h₂ = opcyclesMap' φ h₁ h₂ - opcyclesMap' φ' h₁ h₂
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
f : ι → Set α
s t : Set ι
h₀ : (s ∪ t).PairwiseDisjoint f
h₁ : ∀ i ∈ s, (f i).Nonempty
h : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i ∈ t, f i
i : ι
hi : i ∈ s
a : α
hai : a ∈ f i
\u22a2 i ∈ t
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
f : ι → Set α
s t : Set ι
h₀ : (s ∪ t).PairwiseDisjoint f
h₁ : ∀ i ∈ s, (f i).Nonempty
h : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i ∈ t, f i
i : ι
hi : i ∈ s
a : α
hai : a ∈ f i
j : ι
hj : j ∈ t
haj : a ∈ f j
\u22a2 i ∈ t
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝⁶ : CommRing K
G₀ : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : MonoidHomClass F R[X] S[X]
φ : F
hφ : R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ S[X]⁰
hf : Function.Injective ⇑φ
x y : FractionRing R[X]
h : (map φ hφ) { toFractionRing := x } = (map φ hφ) { toFractionRing := y }
\u22a2 { toFractionRing := x } = { toFractionRing := y }
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝⁶ : CommRing K
G₀ : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : MonoidHomClass F R[X] S[X]
φ : F
hφ : R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ S[X]⁰
hf : Function.Injective ⇑φ
y : FractionRing R[X]
y✝ : R[X] × ↥R[X]⁰
h : (map φ hφ) { toFractionRing := Localization.mk y✝.1 y✝.2 } = (map φ hφ) { toFractionRing := y }
\u22a2 { toFractionRing := Localization.mk y✝.1 y✝.2 } = { toFractionRing := y }
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝⁶ : CommRing K
G₀ : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : MonoidHomClass F R[X] S[X]
φ : F
hφ : R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ S[X]⁰
hf : Function.Injective ⇑φ
y✝¹ y✝ : R[X] × ↥R[X]⁰
h : (map φ hφ) { toFractionRing := Localization.mk y✝¹.1 y✝¹.2 } = (map φ hφ) { toFractionRing := Localization.mk y✝.1 y✝.2 }
\u22a2 { toFractionRing := Localization.mk y✝¹.1 y✝¹.2 } = { toFractionRing := Localization.mk y✝.1 y✝.2 }
-- Mathlib/Order/Heyting/Boundary.lean
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b a : α
\u22a2 ￢∂ a = ⊤
-- Mathlib/Order/GaloisConnection.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
\u22a2 IsLUB (l '' {a₁, a₂}) (l a₁ ⊔ l a₂)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/ConcreteColorings.lean
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
c : G.Coloring Bool
u v : α
p : G.Walk u v
\u22a2 Odd p.length ↔ (¬c u = true ↔ c v = true)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/ConcreteColorings.lean
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
c : G.Coloring Bool
u v : α
p : G.Walk u v
\u22a2 ¬(c u = true ↔ c v = true) ↔ (¬c u = true ↔ c v = true)
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
x✝ : f < f
h : f < f := x✝
\u22a2 (f - f).LimZero
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
\u22a2 (rightShiftAddEquiv K L n a n' hn').symm 0 = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u_3}
α : Type u_3
\u22a2 (ord ⟦α⟧).card = ⟦α⟧
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u_3}
α : Type u_3
r : α → α → Prop
w✝ : IsWellOrder α r
e : (#α).ord = type r
\u22a2 (ord ⟦α⟧).card = ⟦α⟧
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean
r : ℝ
\u22a2 r.sign⁻¹ = r.sign
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean
r : ℝ
hn : r.sign = -1
\u22a2 r.sign⁻¹ = r.sign
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean
r : ℝ
hz : r.sign = 0
\u22a2 r.sign⁻¹ = r.sign
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean
r : ℝ
hp : r.sign = 1
\u22a2 r.sign⁻¹ = r.sign
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Dist α
inst✝ : Dist β
f g : WithLp 0 (α × β)
\u22a2 dist f g = (if dist f.1 g.1 = 0 then 0 else 1) + if dist f.2 g.2 = 0 then 0 else 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ : E
inst✝ : Invertible 2
x y : E
\u22a2 x ∈ [x - y-[𝕜]x + y]
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ : E
inst✝ : Invertible 2
x y : E
\u22a2 x = midpoint 𝕜 (x - y) (x + y)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
\u22a2 LinearIndependent 𝕜 v
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
\u22a2 ∀ (l : ι →₀ 𝕜), (Finsupp.total ι E 𝕜 v) l = 0 → l = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l : ι →₀ 𝕜
hl : (Finsupp.total ι E 𝕜 v) l = 0
i : ι
key : ⟪v i, (Finsupp.total ι E 𝕜 v) l⟫_𝕜 = ⟪v i, 0⟫_𝕜
\u22a2 l i = 0 i
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
u v : E
\u22a2 (reflection (Submodule.span 𝕜 {u})) v = 2 • (⟪u, v⟫_𝕜 / ↑‖u‖ ^ 2) • u - v
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set α
hA : MeasurableSet A
hA' : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
\u22a2 ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ μ U < ⊤ ∧ μ (U \ A) < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set α
hA : MeasurableSet A
hA' : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
U : Set α
hAU : U ⊇ A
hUo : IsOpen U
hU : μ U < μ A + ε
\u22a2 ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ μ U < ⊤ ∧ μ (U \ A) < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set α
hA : MeasurableSet A
hA' : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
U : Set α
hAU : U ⊇ A
hUo : IsOpen U
hU : μ U < μ A + ε
\u22a2 μ (U \ A) < ε
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
x : ℂ
\u22a2 log ((starRingEnd ℂ) x) = if x.arg = π then log x else (starRingEnd ℂ) (log x)