ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
\u22a2 UniformSpace.comap F (UniformFun.uniformSpace X α) = UniformSpace.comap F (Pi.uniformSpace fun i => α)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
\u22a2 UniformSpace.comap F (Pi.uniformSpace fun i => α) ≤ UniformSpace.comap F (UniformFun.uniformSpace X α)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
\u22a2 comap (fun p => (F p.1, F p.2)) (𝓤 (X → α)) ≤ comap (fun p => (F p.1, F p.2)) (𝓤 (X → α))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
\u22a2 ⨅ i, comap (fun x => (F x.1 i, F x.2 i)) (𝓤 α) ≤ comap (fun p => (F p.1, F p.2)) (𝓤 (X → α))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
\u22a2 ∀ i' ∈ 𝓤 α, Prod.map F F ⁻¹' UniformFun.gen X α i' ∈ ⨅ i, comap (fun x => (F x.1 i, F x.2 i)) (𝓤 α)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
\u22a2 Prod.map F F ⁻¹' UniformFun.gen X α U ∈ ⨅ i, comap (fun x => (F x.1 i, F x.2 i)) (𝓤 α)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
Vsymm : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ○ V ⊆ U
\u22a2 Prod.map F F ⁻¹' UniformFun.gen X α U ∈ ⨅ i, comap (fun x => (F x.1 i, F x.2 i)) (𝓤 α)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
Vsymm : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ○ V ⊆ U
Ω : X → Set X := fun x => {y | ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ V}
\u22a2 Prod.map F F ⁻¹' UniformFun.gen X α U ∈ ⨅ i, comap (fun x => (F x.1 i, F x.2 i)) (𝓤 α)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
Vsymm : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ○ V ⊆ U
Ω : X → Set X := fun x => {y | ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ V}
A : Finset X
Acover : ⋃ x ∈ A, Ω x = ⊤
\u22a2 Prod.map F F ⁻¹' UniformFun.gen X α U ∈ ⨅ i, comap (fun x => (F x.1 i, F x.2 i)) (𝓤 α)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
Vsymm : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ○ V ⊆ U
Ω : X → Set X := fun x => {y | ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ V}
A : Finset X
Acover : ⋃ x ∈ A, Ω x = ⊤
this : ⋂ a ∈ A, {ij | (F ij.1 a, F ij.2 a) ∈ V} ⊆ Prod.map F F ⁻¹' UniformFun.gen X α U
\u22a2 Prod.map F F ⁻¹' UniformFun.gen X α U ∈ ⨅ i, comap (fun x => (F x.1 i, F x.2 i)) (𝓤 α)
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ
\u22a2 rexp (dist z w / 2) = (dist ↑z ↑w + dist (↑z) ((starRingEnd ℂ) ↑w)) / (2 * √(z.im * w.im))
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
\u22a2 1 ∉ setOf Nat.Prime
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
\u22a2 a⁻¹ ≤ 1 ↔ 1 ≤ a
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
\u22a2 a⁻¹ * a ≤ 1 * a ↔ 1 ≤ a
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
k p : ℕ
f : ℕ → α
h : Prime p
\u22a2 ∏ x ∈ (p ^ k).properDivisors, f x = ∏ x ∈ range k, f (p ^ x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Equivs.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ : R
c : CliffordAlgebra (Q c₁ c₂)
\u22a2 toQuaternion (star c) = star (toQuaternion c)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Equivs.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ : R
c : CliffordAlgebra (Q c₁ c₂)
\u22a2 toQuaternion (involute (reverse c)) = star (toQuaternion c)
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e✝ : Pretrivialization F proj
x : Z
e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b✝ : B
y✝ : E b✝
inst✝ : (x : B) → Zero (E x)
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
y : F
\u22a2 ↑e { proj := b, snd := e.symm b y } = (b, y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/EquivMon.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
M : Mon_ (C ⥤ C)
X : C
\u22a2 M.one.app (M.X.obj X) ≫ M.mul.app X = 𝟙 ((𝟭 C).obj (M.X.obj X))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/EquivMon.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
M : Mon_ (C ⥤ C)
X : C
\u22a2 (MonoidalCategory.rightUnitor M.X).hom.app X = 𝟙 ((𝟭 C).obj (M.X.obj X))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/EquivMon.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
M : Mon_ (C ⥤ C)
X : C
\u22a2 M.X.map (M.one.app X) ≫ M.mul.app X = 𝟙 (M.X.obj ((𝟭 C).obj X))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/EquivMon.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
M : Mon_ (C ⥤ C)
X : C
\u22a2 (MonoidalCategory.leftUnitor M.X).hom.app X = 𝟙 (M.X.obj ((𝟭 C).obj X))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/EquivMon.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
M : Mon_ (C ⥤ C)
X : C
\u22a2 M.X.map (M.mul.app X) ≫ M.mul.app X = M.mul.app (M.X.obj X) ≫ M.mul.app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/EquivMon.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
M : Mon_ (C ⥤ C)
X : C
\u22a2 (whiskerRight M.mul M.X ≫ M.mul).app X = (whiskerLeft M.X M.mul).app X ≫ M.mul.app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/EquivMon.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
M : Mon_ (C ⥤ C)
X : C
\u22a2 ((MonoidalCategory.associator M.X M.X M.X).hom ≫ MonoidalCategory.whiskerLeft M.X M.mul ≫ M.mul).app X = (whiskerLeft M.X M.mul).app X ≫ M.mul.app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/HasPullback.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : HasPushout f g
\u22a2 pushout.inr g f ≫ (pushoutSymmetry f g).inv = pushout.inl f g
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
ε : ℚ
hε : 0 < ε
\u22a2 ∃ k, ↑p ^ (-↑k) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
ε : ℚ
hε : 0 < ε
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ↑ε
\u22a2 ∃ k, ↑p ^ (-↑k) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
ε : ℚ
hε : 0 < ε
k : ℕ
hk : ↑p ^ (-↑k) < ↑ε
\u22a2 ↑p ^ (-↑k) < ε
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogDeriv.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
h₁ : HasDerivAt f f' x
h₂ : f x ∈ slitPlane
\u22a2 HasDerivAt (fun t => log (f t)) (f' / f x) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogDeriv.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
h₁ : HasDerivAt f f' x
h₂ : f x ∈ slitPlane
\u22a2 HasDerivAt (fun t => log (f t)) ((f x)⁻¹ * f') x
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
r : ℝ
\u22a2 ↑(ℜ ↑r) = ↑r
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
r : ℝ
\u22a2 2⁻¹ • 2 • ↑r = ↑r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
s : Finset ι
μ : ι → Measure α
\u22a2 (sum fun i => μ ↑i) = ∑ i ∈ s, μ i
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasLimits C
j : J
k : K
\u22a2 (((limitIsoLimitCurryCompLim (Prod.swap K J ⋙ G)).inv ≫ (HasLimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (Iso.refl ((Prod.braiding K J).functor ⋙ G))).hom) ≫ (limitIsoLimitCurryCompLim G).hom) ≫ limit.π (curry.obj G ⋙ lim) j ≫ limit.π ((curry.obj G).obj j) k = limit.π (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ lim) k ≫ limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasLimits C
j : J
k : K
\u22a2 (limitIsoLimitCurryCompLim (Prod.swap K J ⋙ G)).inv ≫ limit.π (Prod.swap K J ⋙ G) ((Prod.braiding K J).inverse.obj (j, k)) ≫ (𝟙 ((Prod.braiding K J).functor ⋙ G)).app ((Prod.braiding K J).inverse.obj (j, k)) ≫ G.map (𝟙 j, 𝟙 k) = limit.π (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ lim) k ≫ limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasLimits C
j : J
k : K
\u22a2 (limitIsoLimitCurryCompLim (Prod.swap K J ⋙ G)).inv ≫ limit.π (Prod.swap K J ⋙ G) ((Prod.braiding K J).inverse.obj (j, k)) ≫ 𝟙 ((Prod.swap K J ⋙ G).obj ((Prod.braiding K J).inverse.obj (j, k))) ≫ G.map (𝟙 j, 𝟙 k) = limit.π (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ lim) k ≫ limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasLimits C
j : J
k : K
\u22a2 (limitIsoLimitCurryCompLim (Prod.swap K J ⋙ G)).inv ≫ limit.π (Prod.swap K J ⋙ G) (k, j) ≫ 𝟙 (G.obj (j, k)) ≫ G.map (𝟙 j, 𝟙 k) = limit.π (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ lim) k ≫ limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasLimits C
j : J
k : K
\u22a2 (limitIsoLimitCurryCompLim (Prod.swap K J ⋙ G)).inv ≫ limit.π (Prod.swap K J ⋙ G) (k, j) ≫ 𝟙 (G.obj (j, k)) ≫ 𝟙 (G.obj (j, k)) = limit.π (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ lim) k ≫ limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
g : R[X]
inst✝ : Field K
f : K[X]
hf : f ≠ 0
\u22a2 minpoly K (root f) = f * C f.leadingCoeff⁻¹
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
g : R[X]
inst✝ : Field K
f : K[X]
hf : f ≠ 0
f'_monic : (f * C f.leadingCoeff⁻¹).Monic
\u22a2 minpoly K (root f) = f * C f.leadingCoeff⁻¹
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
g : R[X]
inst✝ : Field K
f : K[X]
hf : f ≠ 0
f'_monic : (f * C f.leadingCoeff⁻¹).Monic
\u22a2 (aeval (root f)) (f * C f.leadingCoeff⁻¹) = 0
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
g : R[X]
inst✝ : Field K
f : K[X]
hf : f ≠ 0
f'_monic : (f * C f.leadingCoeff⁻¹).Monic
\u22a2 ∀ (q : K[X]), q.Monic → (aeval (root f)) q = 0 → (f * C f.leadingCoeff⁻¹).degree ≤ q.degree
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
g : R[X]
inst✝ : Field K
f : K[X]
hf : f ≠ 0
f'_monic : (f * C f.leadingCoeff⁻¹).Monic
q : K[X]
q_monic : q.Monic
q_aeval : (aeval (root f)) q = 0
commutes : (lift (algebraMap K (AdjoinRoot f)) (root f) q_aeval).comp (mk q) = mk f
\u22a2 (f * C f.leadingCoeff⁻¹).degree ≤ q.degree
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
g : R[X]
inst✝ : Field K
f : K[X]
hf : f ≠ 0
f'_monic : (f * C f.leadingCoeff⁻¹).Monic
q : K[X]
q_monic : q.Monic
q_aeval : (aeval (root f)) q = 0
commutes : (lift (algebraMap K (AdjoinRoot f)) (root f) q_aeval).comp (mk q) = mk f
\u22a2 f.natDegree ≤ q.natDegree
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
g : R[X]
inst✝ : Field K
f : K[X]
hf : f ≠ 0
f'_monic : (f * C f.leadingCoeff⁻¹).Monic
q : K[X]
q_monic : q.Monic
q_aeval : (aeval (root f)) q = 0
commutes : (lift (algebraMap K (AdjoinRoot f)) (root f) q_aeval).comp (mk q) = mk f
\u22a2 C f.leadingCoeff⁻¹ ≠ 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
f : Arrow D
\u22a2 f ∈ L.mapArrow.essImage
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
f : Arrow D
this : L.EssSurj
\u22a2 f ∈ L.mapArrow.essImage
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
f : Arrow D
this : L.EssSurj
X : C
eX : L.obj X ≅ f.left
Y : C
eY : L.obj Y ≅ f.right
\u22a2 f ∈ L.mapArrow.essImage
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
f : Arrow D
this : L.EssSurj
X : C
eX : L.obj X ≅ f.left
Y : C
eY : L.obj Y ≅ f.right
φ : W.LeftFraction X Y
hφ : eX.hom ≫ f.hom ≫ eY.inv = φ.map L ⋯
\u22a2 f ∈ L.mapArrow.essImage
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
f : Arrow D
this : L.EssSurj
X : C
eX : L.obj X ≅ f.left
Y : C
eY : L.obj Y ≅ f.right
φ : W.LeftFraction X Y
hφ : eX.hom ≫ f.hom ≫ eY.inv = φ.map L ⋯
\u22a2 f ≅ L.mapArrow.obj (Arrow.mk φ.f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
f : Arrow D
this : L.EssSurj
X : C
eX : L.obj X ≅ f.left
Y : C
eY : L.obj Y ≅ f.right
φ : W.LeftFraction X Y
hφ : eX.hom ≫ f.hom ≫ eY.inv = φ.map L ⋯
\u22a2 eX.symm.hom ≫ (L.mapArrow.obj (Arrow.mk φ.f)).hom = f.hom ≫ (eY.symm ≪≫ isoOfHom L W φ.s ⋯).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
f : Arrow D
this : L.EssSurj
X : C
eX : L.obj X ≅ f.left
Y : C
eY : L.obj Y ≅ f.right
φ : W.LeftFraction X Y
hφ : eX.hom ≫ f.hom ≫ eY.inv = φ.map L ⋯
\u22a2 eX.inv ≫ L.map φ.f = f.hom ≫ eY.inv ≫ L.map φ.s
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t s : Set α
f : Filter α
\u22a2 𝓟 s ≤ f ↔ ∀ V ∈ f, s ⊆ V
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
x : ONote
inst✝¹ : x.NF
o : ONote
inst✝ : o.NF
\u22a2 (x.scale o).repr = ω ^ x.repr * o.repr
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder B
inst✝¹ : OrderTopology B
inst✝ : FiberBundle F E
a b : B
\u22a2 ∃ e, Icc a b ⊆ e.baseSet
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder B
inst✝¹ : OrderTopology B
inst✝ : FiberBundle F E
a b : B
ea : Trivialization F TotalSpace.proj
hea : a ∈ ea.baseSet
\u22a2 ∃ e, Icc a b ⊆ e.baseSet
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder B
inst✝¹ : OrderTopology B
inst✝ : FiberBundle F E
a b : B
ea : Trivialization F TotalSpace.proj
hea : a ∈ ea.baseSet
hab : b < a
\u22a2 ∃ e, Icc a b ⊆ e.baseSet
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder B
inst✝¹ : OrderTopology B
inst✝ : FiberBundle F E
a b : B
ea : Trivialization F TotalSpace.proj
hea : a ∈ ea.baseSet
hab : a ≤ b
\u22a2 ∃ e, Icc a b ⊆ e.baseSet
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder B
inst✝¹ : OrderTopology B
inst✝ : FiberBundle F E
a b : B
ea : Trivialization F TotalSpace.proj
hea : a ∈ ea.baseSet
hab : a ≤ b
s : Set B := {x | x ∈ Icc a b ∧ ∃ e, Icc a x ⊆ e.baseSet}
\u22a2 ∃ e, Icc a b ⊆ e.baseSet
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder B
inst✝¹ : OrderTopology B
inst✝ : FiberBundle F E
a b : B
ea : Trivialization F TotalSpace.proj
hea : a ∈ ea.baseSet
hab : a ≤ b
s : Set B := {x | x ∈ Icc a b ∧ ∃ e, Icc a x ⊆ e.baseSet}
ha : a ∈ s
\u22a2 ∃ e, Icc a b ⊆ e.baseSet
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder B
inst✝¹ : OrderTopology B
inst✝ : FiberBundle F E
a b : B
ea : Trivialization F TotalSpace.proj
hea : a ∈ ea.baseSet
hab : a ≤ b
s : Set B := {x | x ∈ Icc a b ∧ ∃ e, Icc a x ⊆ e.baseSet}
ha : a ∈ s
sne : s.Nonempty
\u22a2 ∃ e, Icc a b ⊆ e.baseSet
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder B
inst✝¹ : OrderTopology B
inst✝ : FiberBundle F E
a b : B
ea : Trivialization F TotalSpace.proj
hea : a ∈ ea.baseSet
hab : a ≤ b
s : Set B := {x | x ∈ Icc a b ∧ ∃ e, Icc a x ⊆ e.baseSet}
ha : a ∈ s
sne : s.Nonempty
hsb : b ∈ upperBounds s
\u22a2 ∃ e, Icc a b ⊆ e.baseSet
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder B
inst✝¹ : OrderTopology B
inst✝ : FiberBundle F E
a b : B
ea : Trivialization F TotalSpace.proj
hea : a ∈ ea.baseSet
hab : a ≤ b
s : Set B := {x | x ∈ Icc a b ∧ ∃ e, Icc a x ⊆ e.baseSet}
ha : a ∈ s
sne : s.Nonempty
hsb : b ∈ upperBounds s
sbd : BddAbove s
c : B := sSup s
\u22a2 ∃ e, Icc a b ⊆ e.baseSet
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder B
inst✝¹ : OrderTopology B
inst✝ : FiberBundle F E
a b : B
ea : Trivialization F TotalSpace.proj
hea : a ∈ ea.baseSet
hab : a ≤ b
s : Set B := {x | x ∈ Icc a b ∧ ∃ e, Icc a x ⊆ e.baseSet}
ha : a ∈ s
sne : s.Nonempty
hsb : b ∈ upperBounds s
sbd : BddAbove s
c : B := sSup s
hsc : IsLUB s c
\u22a2 ∃ e, Icc a b ⊆ e.baseSet
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder B
inst✝¹ : OrderTopology B
inst✝ : FiberBundle F E
a b : B
ea : Trivialization F TotalSpace.proj
hea : a ∈ ea.baseSet
hab : a ≤ b
s : Set B := {x | x ∈ Icc a b ∧ ∃ e, Icc a x ⊆ e.baseSet}
ha : a ∈ s
sne : s.Nonempty
hsb : b ∈ upperBounds s
sbd : BddAbove s
c : B := sSup s
hsc : IsLUB s c
hc : c ∈ Icc a b
\u22a2 ∃ e, Icc a b ⊆ e.baseSet
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝³ : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder B
inst✝¹ : OrderTopology B
inst✝ : FiberBundle F E
a b : B
ea : Trivialization F TotalSpace.proj
hea : a ∈ ea.baseSet
hab : a ≤ b
s : Set B := {x | x ∈ Icc a b ∧ ∃ e, Icc a x ⊆ e.baseSet}
ha : a ∈ s
sne : s.Nonempty
hsb : b ∈ upperBounds s
sbd : BddAbove s
c : B := sSup s
hsc : IsLUB s c
hc : c ∈ Icc a b
ec : Trivialization F TotalSpace.proj
hec : Icc a c ⊆ ec.baseSet
\u22a2 ∃ e, Icc a b ⊆ e.baseSet