ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
a : Cardinal.{u}
h : ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) a
ι : Type (u + 1) := { c // ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) c }
f : ι → Cardinal.{u} := Subtype.val
hι : Nonempty ι
c : Cardinal.{u}
hc : ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) c
h_1 : (j : ι) → Quotient.out (f ⟨c, hc⟩) ↪ Quotient.out (f j)
j : Cardinal.{u}
h' : j < c
hj : ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) j
\u22a2 Quotient.liftOn₂ c j (fun α β => Nonempty (α ↪ β)) instLE.proof_1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
a : Cardinal.{u}
h : ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) a
ι : Type (u + 1) := { c // ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) c }
f : ι → Cardinal.{u} := Subtype.val
hι : Nonempty ι
c : Cardinal.{u}
hc : ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) c
h_1 : (j : ι) → Quotient.out (f ⟨c, hc⟩) ↪ Quotient.out (f j)
j : Cardinal.{u}
h' : j < c
hj : ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) j
this : #(Quotient.out (f ⟨c, hc⟩)) ≤ #(Quotient.out (f ⟨j, hj⟩))
\u22a2 Quotient.liftOn₂ c j (fun α β => Nonempty (α ↪ β)) instLE.proof_1
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Hom.lean
M : Type u_1
inst✝²⁴ : Monoid M
N : Type u_2
inst✝²³ : Monoid N
P : Type u_3
inst✝²² : Monoid P
φ : M →* N
φ' : N →* M
ψ : N →* P
χ : M →* P
A : Type u_4
inst✝²¹ : AddMonoid A
inst✝²⁰ : DistribMulAction M A
B : Type u_5
inst✝¹⁹ : AddMonoid B
inst✝¹⁸ : DistribMulAction N B
B₁ : Type u_6
inst✝¹⁷ : AddMonoid B₁
inst✝¹⁶ : DistribMulAction M B₁
C : Type u_7
inst✝¹⁵ : AddMonoid C
inst✝¹⁴ : DistribMulAction P C
A' : Type u_8
inst✝¹³ : AddGroup A'
inst✝¹² : DistribMulAction M A'
B' : Type u_9
inst✝¹¹ : AddGroup B'
inst✝¹⁰ : DistribMulAction N B'
R : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : MulSemiringAction M R
R' : Type u_11
inst✝⁷ : Ring R'
inst✝⁶ : MulSemiringAction M R'
S : Type u_12
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : MulSemiringAction N S
S' : Type u_13
inst✝³ : Ring S'
inst✝² : MulSemiringAction N S'
T : Type u_14
inst✝¹ : Semiring T
inst✝ : MulSemiringAction P T
f : R →ₑ+*[φ] S
x : R
\u22a2 ((MulSemiringActionHom.id N).comp f) x = f x
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SeminormedAddCommGroup G
x₀ : G
R : ℝ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, g x = g x₀
h2 : ∀ (t : G), (L (f t)) (g (x₀ - t)) = (L (f t)) (g x₀)
\u22a2 (f ⋆[L, μ] g) x₀ = ∫ (t : G), (L (f t)) (g x₀) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g (μ.withDensity f)
f' : α → ℝ≥0∞ := AEMeasurable.mk f hf
\u22a2 ∫⁻ (a : α), g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g (μ.withDensity f)
f' : α → ℝ≥0∞ := AEMeasurable.mk f hf
this : μ.withDensity f = μ.withDensity f'
\u22a2 ∫⁻ (a : α), g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/NielsenSchreier.lean
G : Type u
inst✝³ : Groupoid G
inst✝² : IsFreeGroupoid G
T : WideSubquiver (Symmetrify (Generators G))
inst✝¹ : Arborescence (WideSubquiver.toType (Symmetrify (Generators G)) T)
X : Type u
inst✝ : Group X
f : ↑(wideSubquiverEquivSetTotal (wideSubquiverSymmetrify T))ᶜ → X
f' : Labelling (Generators G) X := fun a b e => if h : e ∈ wideSubquiverSymmetrify T a b then 1 else f ⟨{ left := a, right := b, hom := e }, h⟩
\u22a2 ∃! F, ∀ (a : ↑(wideSubquiverEquivSetTotal (wideSubquiverSymmetrify T))ᶜ), F ((fun e => loopOfHom T (of (↑e).hom)) a) = f a
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/NielsenSchreier.lean
G : Type u
inst✝³ : Groupoid G
inst✝² : IsFreeGroupoid G
T : WideSubquiver (Symmetrify (Generators G))
inst✝¹ : Arborescence (WideSubquiver.toType (Symmetrify (Generators G)) T)
X : Type u
inst✝ : Group X
f : ↑(wideSubquiverEquivSetTotal (wideSubquiverSymmetrify T))ᶜ → X
f' : Labelling (Generators G) X := fun a b e => if h : e ∈ wideSubquiverSymmetrify T a b then 1 else f ⟨{ left := a, right := b, hom := e }, h⟩
F' : G ⥤ CategoryTheory.SingleObj X
hF' : ∀ (a b : Generators G) (g : a ⟶ b), F'.map (of g) = f' g
uF' : ∀ (y : G ⥤ CategoryTheory.SingleObj X), (fun F => ∀ (a b : Generators G) (g : a ⟶ b), F.map (of g) = f' g) y → y = F'
\u22a2 ∃! F, ∀ (a : ↑(wideSubquiverEquivSetTotal (wideSubquiverSymmetrify T))ᶜ), F ((fun e => loopOfHom T (of (↑e).hom)) a) = f a
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Algebra/LeftInvariantDerivation.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : ChartedSpace H G
inst✝³ : Monoid G
inst✝² : SmoothMul I G
g h✝ : G
M : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M
r : 𝕜
X Y : LeftInvariantDerivation I G
f f' : C^⊤⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
h : G
\u22a2 ((X f).comp (𝑳 I g)) h = (X (f.comp (𝑳 I g))) h
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
inst✝ : SeparableSpace α
\u22a2 SecondCountableTopology α
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
inst✝ : SeparableSpace α
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
\u22a2 SecondCountableTopology α
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
inst✝ : SeparableSpace α
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
t : ℕ → Set (α × α)
hto : ∀ (i : ℕ), t i ∈ (𝓤 α).sets ∧ IsOpen (t i) ∧ SymmetricRel (t i)
h_basis : (𝓤 α).HasAntitoneBasis t
\u22a2 SecondCountableTopology α
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
inst✝ : SeparableSpace α
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
t : ℕ → Set (α × α)
h_basis : (𝓤 α).HasAntitoneBasis t
ht_mem : ∀ (i : ℕ), t i ∈ (𝓤 α).sets
hto : ∀ (i : ℕ), IsOpen (t i)
hts : ∀ (i : ℕ), SymmetricRel (t i)
\u22a2 SecondCountableTopology α
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
inst✝ : SeparableSpace α
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
t : ℕ → Set (α × α)
h_basis : (𝓤 α).HasAntitoneBasis t
ht_mem : ∀ (i : ℕ), t i ∈ (𝓤 α).sets
hto : ∀ (i : ℕ), IsOpen (t i)
hts : ∀ (i : ℕ), SymmetricRel (t i)
\u22a2 toTopologicalSpace = generateFrom (⋃ x ∈ s, range fun k => ball x (t k))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
inst✝ : SeparableSpace α
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
t : ℕ → Set (α × α)
h_basis : (𝓤 α).HasAntitoneBasis t
ht_mem : ∀ (i : ℕ), t i ∈ (𝓤 α).sets
hto : ∀ (i : ℕ), IsOpen (t i)
hts : ∀ (i : ℕ), SymmetricRel (t i)
\u22a2 ∀ u ∈ ⋃ x ∈ s, range fun k => ball x (t k), IsOpen u
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
inst✝ : SeparableSpace α
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
t : ℕ → Set (α × α)
h_basis : (𝓤 α).HasAntitoneBasis t
ht_mem : ∀ (i : ℕ), t i ∈ (𝓤 α).sets
hto : ∀ (i : ℕ), IsOpen (t i)
hts : ∀ (i : ℕ), SymmetricRel (t i)
\u22a2 ∀ (a : α) (u : Set α), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ ⋃ x ∈ s, range fun k => ball x (t k), a ∈ v ∧ v ⊆ u
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α →ₛ ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α
\u22a2 f.lintegral (Measure.sum μ) = ∑' (i : ι), f.lintegral (μ i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α →ₛ ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α
\u22a2 ∑' (x : { x // x ∈ f.range }) (i : ι), ↑x * (μ i) (↑f ⁻¹' {↑x}) = ∑' (i : ι) (x : { x // x ∈ f.range }), ↑x * (μ i) (↑f ⁻¹' {↑x})
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Unique αˣ
M : Type u_5
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : Unique Mˣ
p q : M
pp : Prime p
qp : Prime q
\u22a2 p ∣ q ↔ p = q
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
heI : e ∉ I
\u22a2 e ∈ M.closure I ↔ M.Dep (insert e I)
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Indicator.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
f g : ι → M₀
x : ι
hfg : x ∈ support fun x => f x * g x
hg : g x = 0
\u22a2 (fun x => f x * g x) x = 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HomeomorphBall.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
\u22a2 ↑univUnitBall.symm 0 = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Quasiconvex.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → β
inst✝ : LinearOrder β
hf : QuasilinearOn 𝕜 s f
\u22a2 MonotoneOn f s ∨ AntitoneOn f s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Quasiconvex.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → β
inst✝ : LinearOrder β
hf : QuasilinearOn 𝕜 s f
\u22a2 ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ s, c ∈ segment 𝕜 a b → f c ∈ uIcc (f a) (f b)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Quasiconvex.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → β
inst✝ : LinearOrder β
hf : QuasilinearOn 𝕜 s f
a : 𝕜
ha : a ∈ s
b : 𝕜
hb : b ∈ s
c : 𝕜
a✝ : c ∈ s
h : c ∈ segment 𝕜 a b
\u22a2 f c ∈ uIcc (f a) (f b)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntegral.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
F✝ : H → α → E
x₀ : H
bound✝ : α → ℝ
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ H
μ : Measure ℝ
F : H → ℝ → E
F' : ℝ → H →L[ℝ] E
a b : ℝ
bound : ℝ → ℝ
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Ι a b))
h_lip : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound t)) (fun x => F x t) (ball x₀ ε)
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), HasFDerivAt (fun x => F x t) (F' t) x₀
\u22a2 IntervalIntegrable F' μ a b ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' t ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntegral.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
F✝ : H → α → E
x₀ : H
bound✝ : α → ℝ
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ H
μ : Measure ℝ
F : H → ℝ → E
F' : ℝ → H →L[ℝ] E
a b : ℝ
bound : ℝ → ℝ
ε_pos : 0 < ε
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
h_lip : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound t)) (fun x => F x t) (ball x₀ ε)
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), HasFDerivAt (fun x => F x t) (F' t) x₀
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Set.Ioc a b)) ∧ AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Set.Ioc b a))
hF_meas : (∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Set.Ioc a b))) ∧ ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Set.Ioc b a))
\u22a2 IntervalIntegrable F' μ a b ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' t ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntegral.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
F✝ : H → α → E
x₀ : H
bound✝ : α → ℝ
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ H
μ : Measure ℝ
F : H → ℝ → E
F' : ℝ → H →L[ℝ] E
a b : ℝ
bound : ℝ → ℝ
ε_pos : 0 < ε
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
h_lip : (∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)) ∧ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc b a), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : (∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc a b), HasFDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀) ∧ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc b a), HasFDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Set.Ioc a b)) ∧ AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Set.Ioc b a))
hF_meas : (∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Set.Ioc a b))) ∧ ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Set.Ioc b a))
\u22a2 IntervalIntegrable F' μ a b ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' t ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntegral.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
F✝ : H → α → E
x₀ : H
bound✝ : α → ℝ
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ H
μ : Measure ℝ
F : H → ℝ → E
F' : ℝ → H →L[ℝ] E
a b : ℝ
bound : ℝ → ℝ
ε_pos : 0 < ε
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
h_lip : (∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)) ∧ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc b a), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : (∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc a b), HasFDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀) ∧ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc b a), HasFDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Set.Ioc a b)) ∧ AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Set.Ioc b a))
hF_meas : (∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Set.Ioc a b))) ∧ ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Set.Ioc b a))
H₁ : Integrable F' (μ.restrict (Set.Ioc a b)) ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : ℝ) in Set.Ioc a b, F x a ∂μ) (∫ (a : ℝ) in Set.Ioc a b, F' a ∂μ) x₀
\u22a2 IntervalIntegrable F' μ a b ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' t ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntegral.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
F✝ : H → α → E
x₀ : H
bound✝ : α → ℝ
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ H
μ : Measure ℝ
F : H → ℝ → E
F' : ℝ → H →L[ℝ] E
a b : ℝ
bound : ℝ → ℝ
ε_pos : 0 < ε
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
h_lip : (∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)) ∧ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc b a), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : (∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc a b), HasFDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀) ∧ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Set.Ioc b a), HasFDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Set.Ioc a b)) ∧ AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Set.Ioc b a))
hF_meas : (∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Set.Ioc a b))) ∧ ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Set.Ioc b a))
H₁ : Integrable F' (μ.restrict (Set.Ioc a b)) ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : ℝ) in Set.Ioc a b, F x a ∂μ) (∫ (a : ℝ) in Set.Ioc a b, F' a ∂μ) x₀
H₂ : Integrable F' (μ.restrict (Set.Ioc b a)) ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : ℝ) in Set.Ioc b a, F x a ∂μ) (∫ (a : ℝ) in Set.Ioc b a, F' a ∂μ) x₀
\u22a2 IntervalIntegrable F' μ a b ∧ HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' t ∂μ) x₀
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
n : ℕ
\u22a2 s.tail.drop n = s.drop (n + 1)
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
n : ℕ
\u22a2 s.tail.drop n = s.drop (1 + n)
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
n : ℕ
\u22a2 s.drop (1 + n) = s.tail.drop n
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
v : Basis ι 𝕜 E
\u22a2 ∃ C > 0, ∀ {u : E →L[𝕜] F} (M : ℝ≥0), (∀ (i : ι), ‖u (v i)‖₊ ≤ M) → ‖u‖₊ ≤ C * M
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
v : Basis ι 𝕜 E
val✝ : Fintype ι
\u22a2 ∃ C > 0, ∀ {u : E →L[𝕜] F} (M : ℝ≥0), (∀ (i : ι), ‖u (v i)‖₊ ≤ M) → ‖u‖₊ ≤ C * M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
ι : Type u_5
ι₁ : Type u_6
ι₂ : Type u_7
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι₁
inst✝³ : Fintype ι₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableEq ι₁
inst✝ : DecidableEq ι₂
b : Basis ι R M
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
k : ι₁
this : DecidableEq ι₂
i : ι₂
j : ι₁
\u22a2 ((b₁.linearMap b₂) (i, j)) (b₁ k) = if (i, j).2 = k then b₂ (i, j).1 else 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
ι : Type u_5
ι₁ : Type u_6
ι₂ : Type u_7
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι₁
inst✝³ : Fintype ι₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableEq ι₁
inst✝ : DecidableEq ι₂
b : Basis ι R M
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
k : ι₁
this : DecidableEq ι₂
i : ι₂
j : ι₁
\u22a2 ∑ j_1 : ι₂, stdBasisMatrix i j 1 j_1 k • b₂ j_1 = if (i, j).2 = k then b₂ (i, j).1 else 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
ι : Type u_5
ι₁ : Type u_6
ι₂ : Type u_7
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι₁
inst✝³ : Fintype ι₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableEq ι₁
inst✝ : DecidableEq ι₂
b : Basis ι R M
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
k : ι₁
this : DecidableEq ι₂
i : ι₂
j : ι₁
\u22a2 ∑ j_1 : ι₂, (if i = j_1 ∧ j = k then 1 else 0) • b₂ j_1 = if j = k then b₂ i else 0
-- Mathlib/Algebra/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ p₃ : P
\u22a2 p₁ -ᵥ p₂ + (p₂ -ᵥ p₃) = p₁ -ᵥ p₃
-- Mathlib/Algebra/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ p₃ : P
\u22a2 p₁ -ᵥ p₂ + (p₂ -ᵥ p₃) +ᵥ p₃ = p₁ -ᵥ p₃ +ᵥ p₃
-- Mathlib/Tactic/CancelDenoms/Core.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a b ad bd a' b' gcd : α
ha : ad * a = a'
hb : bd * b = b'
had : 0 < ad
hbd : 0 < bd
hgcd : 0 < gcd
\u22a2 (a ≤ b) = (1 / gcd * (bd * a') ≤ 1 / gcd * (ad * b'))
-- Mathlib/Tactic/CancelDenoms/Core.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a b ad bd a' b' gcd : α
ha : ad * a = a'
hb : bd * b = b'
had : 0 < ad
hbd : 0 < bd
hgcd : 0 < gcd
\u22a2 0 < ad * bd
-- Mathlib/Tactic/CancelDenoms/Core.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a b ad bd a' b' gcd : α
ha : ad * a = a'
hb : bd * b = b'
had : 0 < ad
hbd : 0 < bd
hgcd : 0 < gcd
\u22a2 0 < 1 / gcd
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.EdgeDisjointTriangles
\u22a2 3 * (G.cliqueFinset 3).card ≤ G.edgeFinset.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.EdgeDisjointTriangles
\u22a2 (G.cliqueFinset 3).card * 3 ≤ G.edgeFinset.card * 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.EdgeDisjointTriangles
\u22a2 ∀ a ∈ G.cliqueFinset 3, 3 ≤ (bipartiteAbove (fun s e => e ∈ s.sym2) G.edgeFinset a).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.EdgeDisjointTriangles
e : Sym2 α
he : e ∈ G.edgeFinset
\u22a2 (bipartiteBelow (fun s e => e ∈ s.sym2) (G.cliqueFinset 3) e).card ≤ 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Countable ↥Γ
inst✝⁷ : Γ.Normal
inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : ν.IsHaarMeasure
inst✝² : ν.IsMulRightInvariant
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
V : Set (G ⧸ Γ)
hV : (interior V).Nonempty
meas_V : MeasurableSet V
hμK : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ 𝓕)
neTopV : μ V ≠ ⊤
\u22a2 QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Countable ↥Γ
inst✝⁷ : Γ.Normal
inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁴ : SigmaFinite ν
inst✝³ : ν.IsHaarMeasure
inst✝² : ν.IsMulRightInvariant
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
V : Set (G ⧸ Γ)
hV : (interior V).Nonempty
meas_V : MeasurableSet V
hμK : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ 𝓕)
neTopV : μ V ≠ ⊤
\u22a2 μ V ≠ 0