ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
a : Primrec fun a => ofNat (ℕ × Code) a.length
k✝ : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.length).1
n✝ : Primrec Prod.snd
k : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.length).1
n : Primrec fun a => a.1.2
k' : Primrec Prod.snd
c : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.length).2
\u22a2 Primrec fun p => (fun p k' => Code.recOn (ofNat (ℕ × Code) p.1.length).2 (some 0) (some p.2.succ) (some (unpair p.2).1) (some (unpair p.2).2) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cf) p.2 let y ← Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cg) p.2 some (Nat.pair x y)) (fun cf cg x x => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cg) p.2 Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cf) x) (fun cf cg x x => let z := (unpair p.2).1; Nat.casesOn (unpair p.2).2 (Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cf) z) fun y => do let i ← Nat.Partrec.Code.lup p.1 (k', (ofNat (ℕ × Code) p.1.length).2) (Nat.pair z y) Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cg) (Nat.pair z (Nat.pair y i))) fun cf x => let z := (unpair p.2).1; let m := (unpair p.2).2; do let x ← Nat.Partrec.Code.lup p.1 ((ofNat (ℕ × Code) p.1.length).1, cf) (Nat.pair z m) Nat.casesOn x (some m) fun x => Nat.Partrec.Code.lup p.1 (k', (ofNat (ℕ × Code) p.1.length).2) (Nat.pair z (m + 1))) p.1 p.2
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
a : Primrec fun a => ofNat (ℕ × Code) a.length
k✝ : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.length).1
n✝ : Primrec Prod.snd
k : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.length).1
n : Primrec fun a => a.1.2
k' : Primrec Prod.snd
c : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.length).2
\u22a2 Primrec fun a => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup a.1.1.1 ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.1) a.1.1.2 let y ← Nat.Partrec.Code.lup a.1.1.1 ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.2.1) a.1.1.2 some (Nat.pair x y)
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
a : Primrec fun a => ofNat (ℕ × Code) a.length
k✝ : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.length).1
n✝ : Primrec Prod.snd
k : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.length).1
n : Primrec fun a => a.1.2
k' : Primrec Prod.snd
c : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.length).2
\u22a2 Primrec fun a => do let x ← Nat.Partrec.Code.lup a.1.1.1 ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.2.1) a.1.1.2 Nat.Partrec.Code.lup a.1.1.1 ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.1) x
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
a : Primrec fun a => ofNat (ℕ × Code) a.length
k✝ : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.length).1
n✝ : Primrec Prod.snd
k : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.length).1
n : Primrec fun a => a.1.2
k' : Primrec Prod.snd
c : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.length).2
\u22a2 Primrec fun a => let z := (unpair a.1.1.2).1; Nat.casesOn (unpair a.1.1.2).2 (Nat.Partrec.Code.lup a.1.1.1 ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.1) z) fun y => do let i ← Nat.Partrec.Code.lup a.1.1.1 (a.1.2, (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).2) (Nat.pair z y) Nat.Partrec.Code.lup a.1.1.1 ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.2.1) (Nat.pair z (Nat.pair y i))
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
a : Primrec fun a => ofNat (ℕ × Code) a.length
k✝ : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.length).1
n✝ : Primrec Prod.snd
k : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.length).1
n : Primrec fun a => a.1.2
k' : Primrec Prod.snd
c : Primrec fun a => (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.length).2
\u22a2 Primrec fun a => let z := (unpair a.1.1.2).1; let m := (unpair a.1.1.2).2; do let x ← Nat.Partrec.Code.lup a.1.1.1 ((ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).1, a.2.1) (Nat.pair z m) Nat.casesOn x (some m) fun x => Nat.Partrec.Code.lup a.1.1.1 (a.1.2, (ofNat (ℕ × Code) a.1.1.1.length).2) (Nat.pair z (m + 1))
-- Mathlib/Data/Int/Order/Lemmas.lean
Mathlib/Data/Int/Lemmas.lean
a✝ b✝ : ℤ
n : ℕ
a b : ℤ
\u22a2 a.natAbs < b.natAbs ↔ a * a < b * b
-- Mathlib/Data/Int/Order/Lemmas.lean
a✝ b✝ : ℤ
n : ℕ
a b : ℤ
\u22a2 a.natAbs < b.natAbs ↔ ↑a.natAbs < ↑b.natAbs
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Deriv.lean
f : ℕ → ℂ
\u22a2 abscissaOfAbsConv (logMul f) = abscissaOfAbsConv f
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Deriv.lean
f : ℕ → ℂ
s : ℝ
hs : abscissaOfAbsConv f < ↑s
\u22a2 LSeriesSummable (logMul f) ↑s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Deriv.lean
f : ℕ → ℂ
s : ℝ
hs : abscissaOfAbsConv (logMul f) < ↑s
\u22a2 LSeriesSummable f ↑s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ
\u22a2 completedCosZeta₀ (-a) s = completedCosZeta₀ a s
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
v : Fin n → E
\u22a2 (q.removeZero.comp p n) v = (q.comp p n) v
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
v : Fin n → E
\u22a2 ∑ x : Composition n, (q.removeZero x.length) (p.applyComposition x v) = ∑ x : Composition n, (q x.length) (p.applyComposition x v)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
v : Fin n → E
c : Composition n
_hc : c ∈ Finset.univ
\u22a2 (q.removeZero c.length) (p.applyComposition c v) = (q c.length) (p.applyComposition c v)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Circulant.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
\u22a2 ∀ (v : Fin 0 → α), (circulant v)ᵀ = circulant fun i => v (-i)
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Basic.lean
G : Type u''
S : Type u'
R : Type u
M : Type v
ι : Type w
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : AddCommGroup M
module_M : Module R M
p p' : Submodule R M
r : R
x y : M
hx : x ∈ p
\u22a2 x - y ∈ p ↔ y ∈ p
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Pseudofunctor.lean
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ F : Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
\u22a2 whiskerLeftIso (F.map f) (F.mapId b) = (F.mapComp f (𝟙 b)).symm ≪≫ F.map₂Iso (ρ_ f) ≪≫ (ρ_ (F.map f)).symm
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
k : K
o : StAct k
q : Stmt₂
v : σ
S : List (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hL : ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some S).reverse
n : ℕ
IH : n ≤ S.length → Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) } { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }
H : n + 1 ≤ S.length
\u22a2 Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) } { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n + 1] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
k : K
o : StAct k
q : Stmt₂
v : σ
S : List (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hL : ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some S).reverse
n : ℕ
IH : n ≤ S.length → Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) } { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }
H : n + 1 ≤ S.length
\u22a2 { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n + 1] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) } ∈ TM1.step (tr M) { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
k : K
o : StAct k
q : Stmt₂
v : σ
S : List (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hL : ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some S).reverse
n : ℕ
IH : n ≤ S.length → Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) } { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }
H : n + 1 ≤ S.length
\u22a2 { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.move Dir.right ((Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) } ∈ TM1.step (tr M) { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
k : K
o : StAct k
q : Stmt₂
v : σ
S : List (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hL : ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some S).reverse
n : ℕ
IH : n ≤ S.length → Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) } { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }
H : n + 1 ≤ S.length
\u22a2 some (bif (L.nth n k).isNone then TM1.stepAux (trStAct (goto fun x x => ret q) o) v ((Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) else { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.move Dir.right ((Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) }) = some { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.move Dir.right ((Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) }
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
k : K
o : StAct k
q : Stmt₂
v : σ
S : List (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hL : ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some S).reverse
n : ℕ
IH : n ≤ S.length → Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) } { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }
H : n + 1 ≤ S.length
\u22a2 some (bif (some (S.reverse.get ⟨n, ?succ⟩)).isNone then TM1.stepAux (trStAct (goto fun x x => ret q) o) v ((Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) else { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.move Dir.right ((Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) }) = some { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.move Dir.right ((Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) }
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
k : K
o : StAct k
q : Stmt₂
v : σ
S : List (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hL : ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some S).reverse
n : ℕ
IH : n ≤ S.length → Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L) } { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[n] (Tape.mk' ∅ (addBottom L)) }
H : n + 1 ≤ S.length
\u22a2 n < S.reverse.length
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
m₂ m₁ : List Char
x✝ : Substring
h : x✝.Valid
e : x✝.toString.data = m₁.reverse ++ m₂
\u22a2 ∀ (n : Nat), x✝.prevn n { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len (List.drop n m₁) }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
m₂ m₁ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
e : x✝.toString.data = m₁.reverse ++ m₂
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝
\u22a2 ∀ (n : Nat), x✝.prevn n { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len (List.drop n m₁) }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
m₂ m₁ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝
e : m = m₁.reverse ++ m₂
\u22a2 ∀ (n : Nat), x✝.prevn n { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len (List.drop n m₁) }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
m₂ m₁ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l r : List Char
h : ValidFor l (m₁.reverse ++ m₂) r x✝
\u22a2 ∀ (n : Nat), x✝.prevn n { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len (List.drop n m₁) }
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
U V : Opens X
hU : Nonempty ↥U
hV : Nonempty ↥V
hUV : U ≤ V
i : ↑↑U → ↑↑V := inclusion hUV
y : Y
hy : y ∈ (e.subtypeRestr hU).target
\u22a2 ↑(e.subtypeRestr hV).symm y = (i ∘ ↑(e.subtypeRestr hU).symm) y
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
U V : Opens X
hU : Nonempty ↥U
hV : Nonempty ↥V
hUV : U ≤ V
i : ↑↑U → ↑↑V := inclusion hUV
y : Y
hy : y ∈ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (U.partialHomeomorphSubtypeCoe hU).target
\u22a2 ↑(V.partialHomeomorphSubtypeCoe hV).symm (↑e.symm y) = i (↑(U.partialHomeomorphSubtypeCoe hU).symm (↑e.symm y))
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
U V : Opens X
hU : Nonempty ↥U
hV : Nonempty ↥V
hUV : U ≤ V
i : ↑↑U → ↑↑V := inclusion hUV
y : Y
hy : y ∈ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (U.partialHomeomorphSubtypeCoe hU).target
hyV : ↑e.symm y ∈ (V.partialHomeomorphSubtypeCoe hV).target
\u22a2 ↑(V.partialHomeomorphSubtypeCoe hV).symm (↑e.symm y) = i (↑(U.partialHomeomorphSubtypeCoe hU).symm (↑e.symm y))
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
U V : Opens X
hU : Nonempty ↥U
hV : Nonempty ↥V
hUV : U ≤ V
i : ↑↑U → ↑↑V := inclusion hUV
y : Y
hy : y ∈ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (U.partialHomeomorphSubtypeCoe hU).target
hyV : ↑e.symm y ∈ (V.partialHomeomorphSubtypeCoe hV).target
\u22a2 ↑(V.partialHomeomorphSubtypeCoe hV).symm (↑e.symm y) ∈ (V.partialHomeomorphSubtypeCoe hV).source
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
U V : Opens X
hU : Nonempty ↥U
hV : Nonempty ↥V
hUV : U ≤ V
i : ↑↑U → ↑↑V := inclusion hUV
y : Y
hy : y ∈ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (U.partialHomeomorphSubtypeCoe hU).target
hyV : ↑e.symm y ∈ (V.partialHomeomorphSubtypeCoe hV).target
\u22a2 ↑(V.partialHomeomorphSubtypeCoe hV) (↑(V.partialHomeomorphSubtypeCoe hV).symm (↑e.symm y)) = ↑(V.partialHomeomorphSubtypeCoe hV) (i (↑(U.partialHomeomorphSubtypeCoe hU).symm (↑e.symm y)))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
i j k : n
\u22a2 A i k * A.adjugate k j = Aᵀ.cramer (Pi.single k (A i k)) j
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
f : R[X]
n : WithBot ℕ
\u22a2 f.degree ≤ n ↔ ∀ (m : ℕ), n < ↑m → f.coeff m = 0
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x y : EReal
\u22a2 -x * y = -(x * y)
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set (Set α)
\u22a2 ⋂₀ ⋃ i, s i = ⋂ i, ⋂₀ s i
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
a : R
ha : a ∈ nonZeroDivisors R
b : S
e : b * (algebraMap R S) a = 0
\u22a2 b = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
a : R
ha : a ∈ nonZeroDivisors R
x : R
s : ↥M
e : mk' S x s * (algebraMap R S) a = 0
\u22a2 mk' S x s = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
a : R
ha : a ∈ nonZeroDivisors R
x : R
s : ↥M
e : ∃ c, ↑c * (↑1 * (x * a)) = ↑c * (↑(s * 1) * 0)
\u22a2 mk' S x s = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
a : R
ha : a ∈ nonZeroDivisors R
x : R
s c : ↥M
e : ↑c * (↑1 * (x * a)) = ↑c * (↑(s * 1) * 0)
\u22a2 mk' S x s = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
a : R
ha : a ∈ nonZeroDivisors R
x : R
s c : ↥M
e : ↑c * x * a = 0
\u22a2 mk' S x s = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
a : R
ha : a ∈ nonZeroDivisors R
x : R
s c : ↥M
e : ↑c * x * a = 0
\u22a2 ∃ m, ↑m * x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
φ : MultilinearMap R s E
f : (i : ι) → s i
\u22a2 (liftAux φ) ((tprod R) f) = φ f
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
φ : MultilinearMap R s E
f : (i : ι) → s i
\u22a2 ((addConGen (Eqv R s)).lift (FreeAddMonoid.lift fun p => p.1 • φ p.2) ⋯) ↑(FreeAddMonoid.of (1, f)) = φ f
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
φ : MultilinearMap R s E
f : (i : ι) → s i
\u22a2 (FreeAddMonoid.lift fun p => p.1 • φ p.2) (FreeAddMonoid.of (1, f)) = φ f
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
φ : MultilinearMap R s E
f : (i : ι) → s i
\u22a2 (FreeAddMonoid.lift fun p => p.1 • φ p.2) ((Equiv.refl (List (R × ((i : ι) → s i)))) [(1, f)]) = φ f
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
φ : MultilinearMap R s E
f : (i : ι) → s i
\u22a2 (FreeAddMonoid.lift fun p => p.1 • φ p.2) ((Equiv.refl (List (R × ((i : ι) → s i)))) [(1, f)]) = 1 • φ f
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
φ : MultilinearMap R s E
f : (i : ι) → s i
\u22a2 (FreeAddMonoid.sumAux.match_1 (fun x => E) (List.map (fun p => p.1 • φ p.2) (FreeAddMonoid.toList ((Equiv.refl (List (R × ((i : ι) → s i)))) [(1, f)]))) (fun _ => 0) fun x xs => List.foldl (fun x x_1 => x + x_1) x xs) = 1 • φ f
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
φ : MultilinearMap R s E
f : (i : ι) → s i
\u22a2 1 • φ f = φ f
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p a b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
\u22a2 padicValNat p (p ^ n) = n
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
hr : Symmetric r
ha : a ∉ s
\u22a2 (insert a s).Pairwise r ↔ s.Pairwise r ∧ ∀ b ∈ s, r a b
-- Mathlib/RingTheory/Regular/RegularSequence.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Module.Flat R M₂
rs : List R
h : IsWeaklyRegular M rs
\u22a2 IsWeaklyRegular (M ⊗[R] M₂) rs