ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
\u22a2 ∀ (a : α) (s : Multiset α), (s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod) → a ::ₘ s ≠ ∅ → (∀ a_2 ∈ a ::ₘ s, p a_2) → f (a ::ₘ s).prod ≤ (map f (a ::ₘ s)).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
\u22a2 f (a ::ₘ s).prod ≤ (map f (a ::ₘ s)).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
\u22a2 f (a * s.prod) ≤ f a * (map f s).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hs_empty : ¬s = ∅
\u22a2 f (a * s.prod) ≤ f a * (map f s).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hs_empty : ¬s = ∅
hsa_restrict : ∀ x ∈ s, p x
\u22a2 f (a * s.prod) ≤ f a * (map f s).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hs_empty : ¬s = ∅
hsa_restrict : ∀ x ∈ s, p x
hp_sup : p s.prod
\u22a2 f (a * s.prod) ≤ f a * (map f s).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hs_empty : ¬s = ∅
hsa_restrict : ∀ x ∈ s, p x
hp_sup : p s.prod
hp_a : p a
\u22a2 f (a * s.prod) ≤ f a * (map f s).prod
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Period.lean
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
m : M
a : α
\u22a2 period m a ∣ Monoid.exponent M
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
a : α
hs : s✝.Finite
ht : t.Finite
s : Finset α
\u22a2 s ⊂ ht.toFinset ↔ ↑s ⊂ t
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d✝ : ℤ
c d a b : ℕ
\u22a2 Nonnegg c d (↑a) (-↑b) ↔ SqLe b c a d
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d✝ : ℤ
c d a b : ℕ
\u22a2 Nonnegg d c (-↑b) ↑a ↔ SqLe b c a d
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Int.lean
a b : ℤ
H1 : 0 ≤ a
H2✝ : a < |b|
n : ℕ
H2 : a < ↑-[n+1].natAbs
\u22a2 -(a / -[n+1]) = -0
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Int.lean
a b : ℤ
H1 : 0 ≤ a
H2✝ : a < |b|
n : ℕ
H2 : a < ↑-[n+1].natAbs
\u22a2 a / - -[n+1] = -0
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ
\u22a2 completedHurwitzZetaEven₀ a (1 - s) = completedCosZeta₀ a s
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
g : SL(2, ℝ)
hc : ↑↑g 1 0 = 0
\u22a2 ∃ u v, (fun x => g • x) = (fun x => v +ᵥ x) ∘ fun x => u • x
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
a b : ℝ
ha : a ≠ 0
hc : ↑↑⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ 1 0 = 0
\u22a2 ∃ u v, (fun x => ⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ • x) = (fun x => v +ᵥ x) ∘ fun x => u • x
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
a b : ℝ
ha : a ≠ 0
hc : ↑↑⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ 1 0 = 0
\u22a2 (fun x => ⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ • x) = (fun x => b * a +ᵥ x) ∘ fun x => ⟨a * a, ⋯⟩ • x
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
a b : ℝ
ha : a ≠ 0
hc : ↑↑⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ 1 0 = 0
z : ℂ
hz : 0 < z.im
\u22a2 ↑(⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ • ⟨z, hz⟩) = ↑(((fun x => b * a +ᵥ x) ∘ fun x => ⟨a * a, ⋯⟩ • x) ⟨z, hz⟩)
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
a b : ℝ
ha : a ≠ 0
hc : ↑↑⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ 1 0 = 0
z : ℂ
hz : 0 < z.im
\u22a2 ↑a * z * ↑a + ↑b * ↑a = ↑b * ↑a + ↑a * ↑a * z
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
b a : α
\u22a2 some (b, s) ∈ (cons b s).destruct
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
a : R
\u22a2 (p - C a).natDegree = p.natDegree
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q✝ q : ℚ
n : ℕ
\u22a2 q.den ^ n ≠ 0
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q✝ q : ℚ
n : ℕ
\u22a2 (q.num ^ n).natAbs.Coprime (q.den ^ n)
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q✝ q : ℚ
n : ℕ
\u22a2 (q.num.natAbs ^ n).Coprime (q.den ^ n)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
b : α
l : List α
a : α
h : a ∈ (b :: l).head?
\u22a2 a :: (b :: l).tail = b :: l
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
b : α
l : List α
a : α
h : b = a
\u22a2 a :: (b :: l).tail = b :: l
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
hn : 0 < n
h : x ^ n = 1
\u22a2 IsPeriodicPt (fun x_1 => x * x_1) n 1
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
h : IdentDistrib f g μ ν
p : γ → Prop
pmeas : MeasurableSet {x | p x}
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p (f x)
\u22a2 ∀ᵐ (x : β) ∂ν, p (g x)
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
h : IdentDistrib f g μ ν
p : γ → Prop
pmeas : MeasurableSet {x | p x}
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p (f x)
\u22a2 ∀ᵐ (y : γ) ∂Measure.map g ν, p y
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
h : IdentDistrib f g μ ν
p : γ → Prop
pmeas : MeasurableSet {x | p x}
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p (f x)
\u22a2 ∀ᵐ (y : γ) ∂Measure.map f μ, p y
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
\u22a2 Nat.card ↑s = s.ncard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
h : s.Finite
\u22a2 Nat.card ↑s = s.ncard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
h : s.Infinite
\u22a2 Nat.card ↑s = s.ncard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
h : s.Infinite
this : Infinite ↑s
\u22a2 Nat.card ↑s = s.ncard
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : Unique Rˣ
p₁ p₂ : R
k₁ k₂ : ℕ
hp₁ : Prime p₁
hp₂ : Prime p₂
hk₁ : 0 < k₂
h : p₁ ^ k₁ = p₂ ^ k₂
\u22a2 p₁ = p₂
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : Unique Rˣ
p₁ p₂ : R
k₁ k₂ : ℕ
hp₁ : Prime p₁
hp₂ : Prime p₂
hk₁ : 0 < k₂
h : p₁ ^ k₁ ~ᵤ p₂ ^ k₂
\u22a2 p₁ ~ᵤ p₂
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
z x✝ y x p : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p
\u22a2 HasDerivAt (fun x => x ^ p) (p * x ^ (p - 1)) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
z x✝ y x p : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p
hx : x ≠ 0
\u22a2 HasDerivAt (fun x => x ^ p) (p * x ^ (p - 1)) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
z x y p : ℝ
h : 0 ≠ 0 ∨ 1 ≤ p
\u22a2 HasDerivAt (fun x => x ^ p) (p * 0 ^ (p - 1)) 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
z x y p : ℝ
h : 1 ≤ p
\u22a2 HasDerivAt (fun x => x ^ p) (p * 0 ^ (p - 1)) 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
z x y p : ℝ
h : 1 ≤ p
\u22a2 ContinuousAt (fun x => x ^ p) 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
z x y p : ℝ
h : 1 ≤ p
\u22a2 ContinuousAt (fun x => p * x ^ (p - 1)) 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
f g : PiLp p β
\u22a2 edist f g = edist g f
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
f g : PiLp 0 β
\u22a2 edist f g = edist g f
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
f g : PiLp ⊤ β
\u22a2 edist f g = edist g f
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
f g : PiLp p β
h : 0 < p.toReal
\u22a2 edist f g = edist g f
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
\u22a2 rdropWhile p l <+: l
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
\u22a2 dropWhile p l.reverse <:+ l.reverse
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E✝ : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
p q : Submodule ℝ E
hpq : IsCompl p q
hpc : IsPathConnected {0}ᶜ
\u22a2 IsPathConnected (↑q)ᶜ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E✝ : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
p q : Submodule ℝ E
hpq : IsCompl p q
hpc : {0}ᶜ.Nonempty ∧ ∀ x ∈ {0}ᶜ, ∀ y ∈ {0}ᶜ, JoinedIn {0}ᶜ x y
\u22a2 (↑q)ᶜ.Nonempty ∧ ∀ x ∈ (↑q)ᶜ, ∀ y ∈ (↑q)ᶜ, JoinedIn (↑q)ᶜ x y
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Trails.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.IsEulerian
\u22a2 p.IsTrail
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Trails.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.IsEulerian
\u22a2 ∀ (a : Sym2 V), List.count a p.edges ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
u : Finset ι
A : ι → E → F
A' : ι → E →L[𝕜] F
h : ∀ i ∈ u, HasFDerivAtFilter (A i) (A' i) x L
\u22a2 HasFDerivAtFilter (fun y => ∑ i ∈ u, A i y) (∑ i ∈ u, A' i) x L
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
u : Finset ι
A : ι → E → F
A' : ι → E →L[𝕜] F
h : ∀ i ∈ u, (fun x' => A i x' - A i x - (A' i) (x' - x)) =o[L] fun x' => x' - x
\u22a2 (fun x' => ∑ i ∈ u, A i x' - ∑ i ∈ u, A i x - (∑ i ∈ u, A' i) (x' - x)) =o[L] fun x' => x' - x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
u : Finset ι
A : ι → E → F
A' : ι → E →L[𝕜] F
h : ∀ i ∈ u, (fun x' => A i x' - A i x - (A' i) (x' - x)) =o[L] fun x' => x' - x
x✝ : E
\u22a2 ∑ i ∈ u, A i x✝ - ∑ i ∈ u, A i x - (∑ i ∈ u, A' i) (x✝ - x) = ∑ i ∈ u, (A i x✝ - A i x - (A' i) (x✝ - x))
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Conjugation.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
x : CliffordAlgebra Q
h : x ∈ evenOdd Q 1
\u22a2 involute x = -x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/IsometricSMul.lean
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace X
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G X
inst✝³ : IsometricSMul G X
inst✝² : PseudoEMetricSpace G
inst✝¹ : IsometricSMul G G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
\u22a2 edist a⁻¹ b⁻¹ = edist a b
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l₁ : List α
\u22a2 map Prod.swap (l₁.zip []) = [].zip l₁
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l₁ : List α
\u22a2 map Prod.swap [] = [].zip l₁
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
a : α
l₁ : List α
b : β
l₂ : List β
\u22a2 map Prod.swap ((a :: l₁).zip (b :: l₂)) = (b :: l₂).zip (a :: l₁)
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/FinitePresentation.lean
R S : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
\u22a2 (algebraMap R S).FinitePresentation
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/FinitePresentation.lean
R S : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
\u22a2 Algebra.FinitePresentation R S
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MutuallySingular.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hs : μ s = 0
ht : ν t = 0
hst : univ ⊆ s ∪ t
\u22a2 μ ⟂ₘ ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MutuallySingular.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hs : μ s = 0
ht : ν t = 0
hst : univ ⊆ s ∪ t
\u22a2 ν (toMeasurable μ s)ᶜ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MutuallySingular.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hs : μ s = 0
ht : ν t = 0
hst : univ ⊆ s ∪ t
x : α
hx : x ∈ (toMeasurable μ s)ᶜ
hxs : x ∈ s
\u22a2 x ∈ toMeasurable μ s
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
h : IsNilpotent R L (M ⧸ N)
\u22a2 ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k ≤ N
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
h : IsNilpotent R L (M ⧸ N)
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L M k ≤ N
\u22a2 ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k ≤ N
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Prelax.lean
B : Type u₁
inst✝³ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝² : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝¹ : Bicategory D
F : PrelaxFunctor B C
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ⟶ g
inst✝ : IsIso η
\u22a2 F.map₂ (inv η) = inv (F.map₂ η)
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Prelax.lean
B : Type u₁
inst✝³ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝² : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝¹ : Bicategory D
F : PrelaxFunctor B C
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ⟶ g
inst✝ : IsIso η
\u22a2 F.map₂ η ≫ F.map₂ (inv η) = 𝟙 (F.map f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Contraction.lean
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R
x : P ⊗[R] (M →ₗ[R] Q)
\u22a2 (lTensorHomEquivHomLTensor R M P Q) x = (lTensorHomToHomLTensor R M P Q) x
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hf : IsMulFreimanHom 2 A B f
a b c d : α
ha : a ∈ A
hb : b ∈ A
hc : c ∈ A
hd : d ∈ A
h : a * b = c * d
\u22a2 f a * f b = f c * f d
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hf : IsMulFreimanHom 2 A B f
a b c d : α
ha : a ∈ A
hb : b ∈ A
hc : c ∈ A
hd : d ∈ A
h : {a, b}.prod = {c, d}.prod
\u22a2 {f a, f b}.prod = {f c, f d}.prod
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a : α
ha : a ≠ 0
b c : α
\u22a2 (fun x => x / a) ⁻¹' [[b, c]] = [[b * a, c * a]]
-- Mathlib/RepresentationTheory/Action/Basic.lean
V : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory V
G : MonCat
M N : Action V G
f : M ≅ N
g : ↑G
\u22a2 N.ρ g = ((forget V G).mapIso f).conj (M.ρ g)
-- Mathlib/RepresentationTheory/Action/Basic.lean
V : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory V
G : MonCat
M N : Action V G
f : M ≅ N
g : ↑G
\u22a2 ((forget V G).mapIso f).hom ≫ N.ρ g = M.ρ g ≫ ((forget V G).mapIso f).hom
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Integral.lean
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MeasurableMul G
inst✝² : MeasurableInv G
f : G → F
inst✝¹ : μ.IsInvInvariant
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
\u22a2 Integrable (fun t => f (g / t)) μ ↔ Integrable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Integral.lean
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MeasurableMul G
inst✝² : MeasurableInv G
f : G → F
inst✝¹ : μ.IsInvInvariant
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
h : Integrable (fun t => f (g / t)) μ
\u22a2 Integrable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Integral.lean
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MeasurableMul G
inst✝² : MeasurableInv G
f : G → F
inst✝¹ : μ.IsInvInvariant
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
h : Integrable (fun t => f (g / t)) μ
x✝ : G
\u22a2 x✝ = g / (g⁻¹ * x✝)⁻¹
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
\u22a2 ∃ x, f x = x + τ f
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
a : ℝ
ha : f a ≤ a + τ f
\u22a2 ∃ x, f x = x + τ f
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
a : ℝ
ha : f a ≤ a + τ f
b : ℝ
hb : b + τ f ≤ f b
\u22a2 ∃ x, f x = x + τ f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
s : Set ι
hs : s.Countable
t : ι → Set X
this : Encodable ↑s
\u22a2 dimH (⋃ i ∈ s, t i) = ⨆ i ∈ s, dimH (t i)
-- Mathlib/Computability/NFA.lean
α : Type u
σ σ' : Type v
M : NFA α σ
S : Set σ
x : List α
a : α
\u22a2 M.evalFrom S (x ++ [a]) = M.stepSet (M.evalFrom S x) a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : NoAtoms μ
a : α
\u22a2 μ.restrict {a} = 0
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
\u22a2 tan (x * I) = tanh x * I
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝³ : Group α
inst✝² : LE α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ c d a b : α
\u22a2 a / b ≤ a ↔ 1 ≤ b
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
f : ℕ → ℝ
hf : Tendsto f atTop (𝓝 0)
r✝ : ℝ
hr : 0 < r✝
hg : Tendsto (fun x => -f x) atTop (𝓝 (-0))
\u22a2 -ofSeq f < ↑r✝
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
f : ℕ → ℝ
hf : Tendsto f atTop (𝓝 0)
r✝ : ℝ
hr : 0 < r✝
hg : Tendsto (fun x => -f x) atTop (𝓝 0)
\u22a2 -ofSeq f < ↑r✝
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x✝ : M × ↥S
m : M
s : ↥S
\u22a2 1 • (m, s).2 • (m, s).1 = 1 • (m, s).2 • (m, s).1
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x✝⁴ x✝³ x✝² : M × ↥S
m1 : M
s1 : ↥S
m2 : M
s2 : ↥S
x✝¹ : r S M (m1, s1) (m2, s2)
m3 : M
s3 : ↥S
x✝ : r S M (m2, s2) (m3, s3)
u1 : ↥S
hu1 : u1 • (m2, s2).2 • (m1, s1).1 = u1 • (m1, s1).2 • (m2, s2).1
u2 : ↥S
hu2 : u2 • (m3, s3).2 • (m2, s2).1 = u2 • (m2, s2).2 • (m3, s3).1
\u22a2 r S M (m1, s1) (m3, s3)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x✝⁴ x✝³ x✝² : M × ↥S
m1 : M
s1 : ↥S
m2 : M
s2 : ↥S
x✝¹ : r S M (m1, s1) (m2, s2)
m3 : M
s3 : ↥S
x✝ : r S M (m2, s2) (m3, s3)
u1 : ↥S
hu1 : u1 • (m2, s2).2 • (m1, s1).1 = u1 • (m1, s1).2 • (m2, s2).1
u2 : ↥S
hu2 : u2 • (m3, s3).2 • (m2, s2).1 = u2 • (m2, s2).2 • (m3, s3).1
\u22a2 (u1 * u2 * s2) • (m3, s3).2 • (m1, s1).1 = (u1 * u2 * s2) • (m1, s1).2 • (m3, s3).1
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x✝⁴ x✝³ x✝² : M × ↥S
m1 : M
s1 : ↥S
m2 : M
s2 : ↥S
x✝¹ : r S M (m1, s1) (m2, s2)
m3 : M
s3 : ↥S
x✝ : r S M (m2, s2) (m3, s3)
u1 : ↥S
hu1 : u1 • (m2, s2).2 • (m1, s1).1 = u1 • (m1, s1).2 • (m2, s2).1
u2 : ↥S
hu2 : u2 • (m3, s3).2 • (m2, s2).1 = u2 • (m2, s2).2 • (m3, s3).1
hu1' : (fun x => (u2 * s3) • x) (u1 • (m1, s1).2 • (m2, s2).1) = (fun x => (u2 * s3) • x) (u1 • (m2, s2).2 • (m1, s1).1)
hu2' : (fun x => (u1 * s1) • x) (u2 • (m2, s2).2 • (m3, s3).1) = (fun x => (u1 * s1) • x) (u2 • (m3, s3).2 • (m2, s2).1)
\u22a2 (u1 * u2 * s2) • (m3, s3).2 • (m1, s1).1 = (u1 * u2 * s2) • (m1, s1).2 • (m3, s3).1