ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
B : K[X] := ∏ i ∈ k.properDivisors, cyclotomic' i K
Bmo : B.Monic
B₁ : ℤ[X]
hB₁ : map (Int.castRingHom K) B₁ = B
left✝ : B₁.degree = B.degree
hB₁mo : B₁.Monic
Q₁ : ℤ[X] := (X ^ k - 1) /ₘ B₁
huniq : (X ^ k - 1) /ₘ B = cyclotomic' k K ∧ (X ^ k - 1) %ₘ B = 0
\u22a2 cyclotomic' k K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
B : K[X] := ∏ i ∈ k.properDivisors, cyclotomic' i K
Bmo : B.Monic
B₁ : ℤ[X]
hB₁ : map (Int.castRingHom K) B₁ = B
left✝ : B₁.degree = B.degree
hB₁mo : B₁.Monic
Q₁ : ℤ[X] := (X ^ k - 1) /ₘ B₁
huniq : (X ^ k - 1) /ₘ B = cyclotomic' k K ∧ (X ^ k - 1) %ₘ B = 0
\u22a2 ∃ x, (mapRingHom (Int.castRingHom K)) x = cyclotomic' k K
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
B : K[X] := ∏ i ∈ k.properDivisors, cyclotomic' i K
Bmo : B.Monic
B₁ : ℤ[X]
hB₁ : map (Int.castRingHom K) B₁ = B
left✝ : B₁.degree = B.degree
hB₁mo : B₁.Monic
Q₁ : ℤ[X] := (X ^ k - 1) /ₘ B₁
huniq : (X ^ k - 1) /ₘ B = cyclotomic' k K ∧ (X ^ k - 1) %ₘ B = 0
\u22a2 (mapRingHom (Int.castRingHom K)) Q₁ = cyclotomic' k K
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
B : K[X] := ∏ i ∈ k.properDivisors, cyclotomic' i K
Bmo : B.Monic
B₁ : ℤ[X]
hB₁ : map (Int.castRingHom K) B₁ = B
left✝ : B₁.degree = B.degree
hB₁mo : B₁.Monic
Q₁ : ℤ[X] := (X ^ k - 1) /ₘ B₁
huniq : (X ^ k - 1) /ₘ B = cyclotomic' k K ∧ (X ^ k - 1) %ₘ B = 0
\u22a2 map (Int.castRingHom K) (X ^ k - 1) /ₘ B = (X ^ k - 1) /ₘ B
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c < b
x : α
\u22a2 x ∈ Iic b ∪ Ioc c d ↔ x ∈ Iic (max b d)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c < b
x : α
\u22a2 x ≤ b ∨ c < x ∧ x ≤ d ↔ x ≤ b ∨ x ≤ d
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
\u22a2 (2 * X ^ 6 + C W.b₂ * X ^ 5 + 5 * C W.b₄ * X ^ 4 + 10 * C W.b₆ * X ^ 3 + 10 * C W.b₈ * X ^ 2 + C (W.b₂ * W.b₈ - W.b₄ * W.b₆) * X + C (W.b₄ * W.b₈ - W.b₆ ^ 2)).coeff 6 = 2
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shadow.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k✝ r k : ℕ
\u22a2 ∂ ^[k] ∅ = ∅
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p a b n : ℕ
ha : Nat.Prime a
hb : b ≠ 0
\u22a2 n ≤ padicValNat a b ↔ replicate n a <+~ b.primeFactorsList
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
r r' : ι → ι → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder ι r
inst✝ : IsWellOrder ι r'
f : ι → Ordinal.{max u v}
\u22a2 (type r).blsub (bfamilyOfFamily' r f) = (type r').blsub (bfamilyOfFamily' r' f)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
f g : E → F
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
hg : ContDiffOn 𝕜 n g s
\u22a2 ContDiffOn 𝕜 n (fun x => f x - g x) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 MeasurableSet (μ.everywherePosSubset s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
hs : MeasurableSet s
u : Set α
u_open : IsOpen u
hu : μ.everywherePosSubset s = s \ u
\u22a2 MeasurableSet (μ.everywherePosSubset s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
hs : MeasurableSet s
u : Set α
u_open : IsOpen u
hu : μ.everywherePosSubset s = s \ u
\u22a2 MeasurableSet (s \ u)
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a✝ b✝ a b : α
\u22a2 pred a ≤ b ∧ b ≤ a ↔ b = a ∨ b = pred a
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a✝ b✝ a b : α
\u22a2 b = a ∨ b = pred a → pred a ≤ b ∧ b ≤ a
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N✝ : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N✝
inst✝¹ : Module R N✝
inst✝ : IsSemisimpleModule R M
N : Submodule R M
\u22a2 N = ⊥ ∨ ∃ m ≤ N, IsSimpleModule R ↥m
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
X Y : C
f f' : X ⟶ e.inverse.obj (e.functor.obj Y)
\u22a2 f ≫ e.unitInv.app Y = f' ≫ e.unitInv.app Y ↔ f = f'
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
h : y + 1 ≠ 0
\u22a2 x ^ (y + 1) = x ^ y * x
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
\u22a2 a - b + b = max a b
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
h : a ≤ b
\u22a2 a - b + b = max a b
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
h : b ≤ a
\u22a2 a - b + b = max a b
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
m n : ℕ
\u22a2 ↑m < ↑n ↔ m < n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
m n : ℕ
\u22a2 ↑m ≤ ↑n ∧ ¬↑n ≤ ↑m ↔ ¬n ≤ m
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
m n : ℕ
\u22a2 m < n → m ≤ n
-- Mathlib/Data/List/AList.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a a' : α
b : β a
b' : β a'
s : AList β
h : a ≠ a'
\u22a2 (insert a' b' (insert a b s)).entries ~ (insert a b (insert a' b' s)).entries
-- Mathlib/Data/List/AList.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a a' : α
b : β a
b' : β a'
s : AList β
h : a ≠ a'
\u22a2 ⟨a', b'⟩ :: kerase a' (⟨a, b⟩ :: kerase a s.entries) ~ ⟨a, b⟩ :: kerase a (⟨a', b'⟩ :: kerase a' s.entries)
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Pi.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
n✝ : μ
s : Finset ι
n : μ
f : ι → μ
hn : n ≠ 0
\u22a2 ∀ (x : ι → μ), x ∉ ∅.piAntidiag n
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f : ι → α
a : α
\u22a2 a < s.sup' H f ↔ ∃ b ∈ s, a < f b
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f : ι → α
a : α
\u22a2 (∃ b ∈ s, ↑a < (WithBot.some ∘ f) b) ↔ ∃ b ∈ s, a < f b
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
hs : MeasurableSet s
H : μ.restrict s = ν.restrict s
t : Set α
hts : t ⊆ s
ht : MeasurableSet t
\u22a2 μ t = ν t
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
hs : MeasurableSet s
H : ∀ t ⊆ s, MeasurableSet t → μ t = ν t
t : Set α
ht : MeasurableSet t
\u22a2 (μ.restrict s) t = (ν.restrict s) t
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q✝ : α✝ → Prop
α : Sort u_3
p : α → Sort u_4
inst✝ : ∀ (x : α), Subsingleton (p x)
q : (x : α) → p x → Prop
h : ∃! x, ∃! hx, q x hx
y₁ y₂ : α
hpy₁ : p y₁
hqy₁ : q y₁ hpy₁
hpy₂ : p y₂
hqy₂ : q y₂ hpy₂
\u22a2 y₁ = y₂
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q✝ : α✝ → Prop
α : Sort u_3
p : α → Sort u_4
inst✝ : ∀ (x : α), Subsingleton (p x)
q : (x : α) → p x → Prop
y₁ y₂ : α
hpy₁ : p y₁
hqy₁ : q y₁ hpy₁
hpy₂ : p y₂
hqy₂ : q y₂ hpy₂
h : ∃! x, ∃ hx, q x hx
\u22a2 y₁ = y₂
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
\u22a2 (pi f).NeBot ↔ ∀ (i : ι), (f i).NeBot
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
p : Submodule R M
hp : MapsTo ⇑f ↑p ↑p
hf : f.IsSemisimple
\u22a2 IsSemisimple (LinearMap.restrict f hp)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
p : Submodule R M
hp : MapsTo ⇑f ↑p ↑p
hf : ∀ p ≤ Submodule.comap f p, ∃ q ≤ Submodule.comap f q, IsCompl p q
\u22a2 ∀ p_1 ≤ Submodule.comap (LinearMap.restrict f hp) p_1, ∃ q ≤ Submodule.comap (LinearMap.restrict f hp) q, IsCompl p_1 q
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
p : Submodule R M
hp : MapsTo ⇑f ↑p ↑p
hf : ∀ p ≤ Submodule.comap f p, ∃ q ≤ Submodule.comap f q, IsCompl p q
q : Submodule R ↥p
hq : MapsTo ⇑f ↑(Submodule.map p.subtype q) ↑(Submodule.map p.subtype q)
r : Submodule R M
hr₁ : r ≤ Submodule.comap f r
hr₂ : IsCompl (Submodule.map p.subtype q) r
\u22a2 IsCompl q (Submodule.comap p.subtype r)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
p : Submodule R M
hp : MapsTo ⇑f ↑p ↑p
hf : ∀ p ≤ Submodule.comap f p, ∃ q ≤ Submodule.comap f q, IsCompl p q
q : Submodule R ↥p
hq : MapsTo ⇑f ↑(Submodule.map p.subtype q) ↑(Submodule.map p.subtype q)
r : Submodule R M
hr₁ : r ≤ Submodule.comap f r
hr₂ : IsCompl (Submodule.map p.subtype q) r
\u22a2 IsCompl (Submodule.comap p.subtype (Submodule.map p.subtype q)) (Submodule.comap p.subtype r)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
s t : Set M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
h : t ⊆ s
hst : s ⊆ ↑(span R t)
\u22a2 s = t
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
s t : Set M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
h : t ⊆ s
hst : s ⊆ ↑(span R t)
f : ↑t ↪ ↑s := { toFun := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩, inj' := ⋯ }
\u22a2 s = t
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
s t : Set M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
h : t ⊆ s
hst : s ⊆ ↑(span R t)
f : ↑t ↪ ↑s := { toFun := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩, inj' := ⋯ }
h_surj : Surjective ⇑f
\u22a2 s = t
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
s t : Set M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
h : t ⊆ s
hst : s ⊆ ↑(span R t)
f : ↑t ↪ ↑s := { toFun := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩, inj' := ⋯ }
h_surj : Surjective ⇑f
\u22a2 s ⊆ t
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ : M
inst✝ : Nontrivial R
s t : Set M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
h : t ⊆ s
hst : s ⊆ ↑(span R t)
f : ↑t ↪ ↑s := { toFun := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩, inj' := ⋯ }
h_surj : Surjective ⇑f
x : M
hx : x ∈ s
y : ↑t
hy : f y = ⟨x, hx⟩
\u22a2 x ∈ t
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ : M
inst✝ : Nontrivial R
s t : Set M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
h : t ⊆ s
hst : s ⊆ ↑(span R t)
f : ↑t ↪ ↑s := { toFun := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩, inj' := ⋯ }
h_surj : Surjective ⇑f
x : M
hx : x ∈ s
y : ↑t
hy : f y = ⟨x, hx⟩
\u22a2 x = ↑y
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.20097, u_1} D
P : MorphismProperty C
inst✝ : P.RespectsIso
\u22a2 P.isoClosure = P
-- Mathlib/Order/Sublattice.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
L M✝ : Sublattice α
f : LatticeHom α β
s t : Set α
a : α
M : Sublattice β
e : β ≃o α
\u22a2 map { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } L = M ↔ L = map { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } M
-- Mathlib/Order/Sublattice.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
L M✝ : Sublattice α
f : LatticeHom α β
s t : Set α
a : α
M : Sublattice β
e : β ≃o α
\u22a2 ↑(map { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } L) = ↑M ↔ ↑L = ↑(map { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } M)
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ : C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ≅ Y
\u22a2 f.hom.unop ≫ f.inv.unop = 𝟙 (Opposite.unop Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ : C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ≅ Y
\u22a2 f.inv.unop ≫ f.hom.unop = 𝟙 (Opposite.unop X)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
x y z : ℂ
h₁ : -π < (log x * y).im
h₂ : (log x * y).im ≤ π
\u22a2 x ^ (y * z) = (x ^ y) ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
x y z : ℂ
h₁ : -π < (log x * y).im
h₂ : (log x * y).im ≤ π
\u22a2 (if x = 0 then if y * z = 0 then 1 else 0 else cexp (log x * (y * z))) = if (if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else cexp (log x * y)) = 0 then if z = 0 then 1 else 0 else cexp (log (if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else cexp (log x * y)) * z)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
s : Set P
inst✝ : FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)
\u22a2 Collinear k s ↔ finrank k ↥(vectorSpan k s) ≤ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
s : Set P
inst✝ : FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)
h : Collinear k s ↔ Module.rank k ↥(vectorSpan k s) ≤ 1
\u22a2 Collinear k s ↔ finrank k ↥(vectorSpan k s) ≤ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
s : Set P
inst✝ : FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)
h : Collinear k s ↔ ↑(finrank k ↥(vectorSpan k s)) ≤ 1
\u22a2 Collinear k s ↔ finrank k ↥(vectorSpan k s) ≤ 1
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
\u22a2 T1Space (SeparationQuotient X) ↔ R0Space X
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
\u22a2 (∀ ⦃x y : SeparationQuotient X⦄, x ⤳ y → x = y) ↔ Symmetric Specializes
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
n : ℕ
e : PartENat
\u22a2 ↑n.succ ≤ e ↔ ↑n < e
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
X : Type u_1
Y : Sort u_2
Z : ?m.78767
f : X → Y
\u22a2 range (toPullbackDiag f) = pullbackDiagonal f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
h : p.Monic
q : R[X]
\u22a2 p * q = 0 ↔ q = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q✝ : ℕ
p q : R[X]
hq : ¬IsUnit q
hsep : p.Separable
\u22a2 multiplicity q p ≤ 1
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q✝ : ℕ
p q : R[X]
hsep : p.Separable
hq : 1 < multiplicity q p
\u22a2 IsUnit q
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q✝ : ℕ
p q : R[X]
hsep : p.Separable
hq : 1 < multiplicity q p
\u22a2 q * q ∣ p
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q✝ : ℕ
p q : R[X]
hsep : p.Separable
hq : 1 < multiplicity q p
\u22a2 q ^ 2 ∣ p
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q✝ : ℕ
p q : R[X]
hsep : p.Separable
hq : 1 < multiplicity q p
\u22a2 ↑2 ≤ multiplicity q p
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q✝ : ℕ
p q : R[X]
hsep : p.Separable
hq : 1 < multiplicity q p
h : { Dom := Part.Dom 1 ∧ Part.Dom 1, get := fun x => 2 } ≤ multiplicity q p
\u22a2 ↑2 ≤ multiplicity q p
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q✝ : ℕ
p q : R[X]
hsep : p.Separable
hq : 1 < multiplicity q p
h : { Dom := Part.Dom 1, get := fun x => 2 } ≤ multiplicity q p
\u22a2 ↑2 ≤ multiplicity q p
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Acyclic.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
h : ∀ (v w : V) (p q : G.Path v w), p = q
v : V
c : G.Walk v v
hc : c.IsCycle
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Acyclic.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
h : ∀ (v w : V) (p q : G.Path v w), p = q
v : V
c : G.Walk v v
hc : c.IsTrail ∧ ¬c = nil ∧ c.support.tail.Nodup
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Restrict.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²⁰ : Semifield R
inst✝¹⁹ : StarRing R
inst✝¹⁸ : MetricSpace R
inst✝¹⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁶ : ContinuousStar R
inst✝¹⁵ : Semifield S
inst✝¹⁴ : StarRing S
inst✝¹³ : MetricSpace S
inst✝¹² : TopologicalSemiring S
inst✝¹¹ : ContinuousStar S
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Ring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : Algebra S A
inst✝⁶ : ContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : IsScalarTower R S A
inst✝² : StarModule R S
inst✝¹ : ContinuousSMul R S
inst✝ : CompleteSpace R
f : C(S, R)
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
h0 : p 0
h : ∀ (a : A), p a ↔ q a ∧ SpectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : ∀ (a : A), q a → CompactSpace ↑(spectrum S a)
a : A
ha : p a
\u22a2 ∃ φ, ClosedEmbedding ⇑φ ∧ φ (ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R)) = a ∧ (∀ (f : C(↑(spectrum R a), R)), spectrum R (φ f) = range ⇑f) ∧ ∀ (f : C(↑(spectrum R a), R)), p (φ f)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Restrict.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²⁰ : Semifield R
inst✝¹⁹ : StarRing R
inst✝¹⁸ : MetricSpace R
inst✝¹⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁶ : ContinuousStar R
inst✝¹⁵ : Semifield S
inst✝¹⁴ : StarRing S
inst✝¹³ : MetricSpace S
inst✝¹² : TopologicalSemiring S
inst✝¹¹ : ContinuousStar S
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Ring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : Algebra S A
inst✝⁶ : ContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : IsScalarTower R S A
inst✝² : StarModule R S
inst✝¹ : ContinuousSMul R S
inst✝ : CompleteSpace R
f : C(S, R)
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
h0 : p 0
h : ∀ (a : A), p a ↔ q a ∧ SpectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : ∀ (a : A), q a → CompactSpace ↑(spectrum S a)
a : A
ha : p a
\u22a2 ClosedEmbedding ⇑(starAlgHom (cfcHom ⋯) ⋯)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Restrict.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²⁰ : Semifield R
inst✝¹⁹ : StarRing R
inst✝¹⁸ : MetricSpace R
inst✝¹⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁶ : ContinuousStar R
inst✝¹⁵ : Semifield S
inst✝¹⁴ : StarRing S
inst✝¹³ : MetricSpace S
inst✝¹² : TopologicalSemiring S
inst✝¹¹ : ContinuousStar S
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Ring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : Algebra S A
inst✝⁶ : ContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : IsScalarTower R S A
inst✝² : StarModule R S
inst✝¹ : ContinuousSMul R S
inst✝ : CompleteSpace R
f : C(S, R)
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
h0 : p 0
h : ∀ (a : A), p a ↔ q a ∧ SpectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : ∀ (a : A), q a → CompactSpace ↑(spectrum S a)
a : A
ha : p a
\u22a2 (starAlgHom (cfcHom ⋯) ⋯) (ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R)) = a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Restrict.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²⁰ : Semifield R
inst✝¹⁹ : StarRing R
inst✝¹⁸ : MetricSpace R
inst✝¹⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁶ : ContinuousStar R
inst✝¹⁵ : Semifield S
inst✝¹⁴ : StarRing S
inst✝¹³ : MetricSpace S
inst✝¹² : TopologicalSemiring S
inst✝¹¹ : ContinuousStar S
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Ring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : Algebra S A
inst✝⁶ : ContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : IsScalarTower R S A
inst✝² : StarModule R S
inst✝¹ : ContinuousSMul R S
inst✝ : CompleteSpace R
f : C(S, R)
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
h0 : p 0
h : ∀ (a : A), p a ↔ q a ∧ SpectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : ∀ (a : A), q a → CompactSpace ↑(spectrum S a)
a : A
ha : p a
\u22a2 ∀ (f_1 : C(↑(spectrum R a), R)), spectrum R ((starAlgHom (cfcHom ⋯) ⋯) f_1) = range ⇑f_1