ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
α : Type u
A : α → PSet
β : Type u
B : β → PSet
H✝ : (mk α A).Equiv (mk β B)
γ : Type u
C : γ → PSet
b : (mk β B).Type
hc : (mk γ C).Equiv ((mk β B).Func b)
a : (mk α A).Type
ha : ((mk α A).Func a).Equiv ((mk β B).Func b)
H : ((mk α A).Func a).Equiv (mk γ C)
\u22a2 Acc (fun x x_1 => x ∈ x_1) (mk γ C)
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
α : Type u
A : α → PSet
β : Type u
B : β → PSet
H✝ : (mk α A).Equiv (mk β B)
γ : Type u
C : γ → PSet
b : (mk β B).Type
hc : (mk γ C).Equiv ((mk β B).Func b)
a : (mk α A).Type
ha : ((mk α A).Func a).Equiv ((mk β B).Func b)
H : (A a).Equiv (mk γ C)
\u22a2 Acc (fun x x_1 => x ∈ x_1) (mk γ C)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝ : Nonempty α
f : α →ᵇ β
M : ℝ
\u22a2 ‖f‖ ≤ M ↔ ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ M
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝ : Nonempty α
f : α →ᵇ β
M : ℝ
\u22a2 dist f 0 ≤ M ↔ ∀ (x : α), dist (f x) 0 ≤ M
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x₁ x₂ : M
y₁ y₂ : ↥S
H : f.mk' x₁ y₁ = f.mk' x₂ y₂
\u22a2 f.toMap (↑y₂ * x₁) = f.toMap (↑y₁ * x₂)
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x₁ x₂ : M
y₁ y₂ : ↥S
H : f.toMap (↑y₂ * x₁) = f.toMap (↑y₁ * x₂)
\u22a2 f.mk' x₁ y₁ = f.mk' x₂ y₂
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Defs.lean
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S✝ : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁹ : Semiring R✝
inst✝¹⁸ : Semiring S✝
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₁
inst✝¹² : AddCommMonoid N₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₃
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : Module R✝ M₂
inst✝⁸ : Module S✝ M₃
σ : R✝ →+* S✝
fₗ gₗ : M →ₗ[R✝] M₂
f✝ g : M →ₛₗ[σ] M₃
R : Type u_17
S : Type u_18
inst✝⁷ : Semiring S
inst✝⁶ : SMul R M
inst✝⁵ : Module S M
inst✝⁴ : SMul R M₂
inst✝³ : Module S M₂
inst✝² : SMul R S
inst✝¹ : CompatibleSMul M M₂ R S
inst✝ : IsScalarTower R S M₂
f : M →ₗ[S] M₂
hf : Injective ⇑f
r : R
s : S
x✝ : M
\u22a2 f ((r • s) • x✝) = f (r • s • x✝)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
this : 0 ≤ ∫ (a : α), ‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ ∂μ
\u22a2 ‖condexpIndL1Fin hm hs hμs x‖ ≤ (μ s).toReal * ‖x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
this : 0 ≤ ∫ (a : α), ‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ ∂μ
\u22a2 ∫⁻ (x_1 : α), ↑‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) x_1‖₊ ∂μ ≤ μ s * ENNReal.ofReal ‖x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
this : 0 ≤ ∫ (a : α), ‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ ∂μ
\u22a2 Integrable (↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
this : 0 ≤ ∫ (a : α), ‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ ∂μ
h_eq : ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖₊ ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) a‖₊ ∂μ
\u22a2 ∫⁻ (x_1 : α), ↑‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) x_1‖₊ ∂μ ≤ μ s * ENNReal.ofReal ‖x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
this : 0 ≤ ∫ (a : α), ‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ ∂μ
h_eq : ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖₊ ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) a‖₊ ∂μ
\u22a2 ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) a‖₊ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S
\u22a2 rootSet 1 S = ∅
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H✝ : s✝.Nonempty
x a : α
s : Finset α
H : s.Nonempty
\u22a2 IsGreatest (↑(insert a s)) (max (s.max' H) a)
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H✝ : s✝.Nonempty
x a : α
s : Finset α
H : s.Nonempty
\u22a2 IsGreatest (insert a ↑s) (max a (s.max' H))
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a : α
h : a ∈ s
hs : autoParam s.Finite _auto✝
\u22a2 (s \ {a}).ncard < s.ncard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a : α
h : a ∈ s
hs : autoParam s.Finite _auto✝
\u22a2 (s \ {a}).ncard < (s \ {a}).ncard + 1
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
hne : a ≠ b
\u22a2 {a, b} \ {a} = {b}
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : CommMonoid α
x y : α
u : αˣ
\u22a2 x /ₚ u * y = x * y /ₚ u
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
x z : ℂ
\u22a2 z * x = x * z
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
\u22a2 setToFun μ T hT (f - g) = setToFun μ T hT f - setToFun μ T hT g
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
\u22a2 P.parts.card ≤ s.card
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
\u22a2 P.parts.card ≤ ⊥.parts.card
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁵ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : MetricSpace Q
inst✝² : NormedAddTorsor W Q
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : NormedSpace ℝ W
p₁ p₂ p₃ p₄ : V
\u22a2 dist (midpoint ℝ p₁ p₂) (midpoint ℝ p₃ p₄) ≤ (dist p₁ p₃ + dist p₂ p₄) / 2
-- Mathlib/Algebra/Homology/Embedding/Extend.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
i' j' : ι'
i j : ι
hi : e.f i = i'
hj : e.f j = j'
\u22a2 (K.extend e).d i' j' = (K.extendXIso e hi).hom ≫ K.d i j ≫ (K.extendXIso e hj).inv
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
\u22a2 LinearMap.range g.toLinearPMap.toFun = map (LinearMap.snd R E F) g
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R
\u22a2 (W.variableChange C).b₄ = ↑C.u⁻¹ ^ 4 * (W.b₄ + C.r * W.b₂ + 6 * C.r ^ 2)