ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Uniqueness.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2
\u22a2 x ∈ u
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Uniqueness.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F := p.changeOrigin (y - x)
\u22a2 x ∈ u
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Uniqueness.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F := p.changeOrigin (y - x)
has_series : HasFPowerSeriesOnBall f q y (r / 2)
\u22a2 x ∈ u
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Uniqueness.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F := p.changeOrigin (y - x)
has_series : HasFPowerSeriesOnBall f q y (r / 2)
M : EMetric.ball y (r / 2) ∈ 𝓝 x
\u22a2 x ∈ u
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Uniqueness.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F := p.changeOrigin (y - x)
has_series : HasFPowerSeriesOnBall f q y (r / 2)
M : EMetric.ball y (r / 2) ∈ 𝓝 x
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball y (r / 2)
\u22a2 f z = 0 z
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Uniqueness.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F := p.changeOrigin (y - x)
has_series : HasFPowerSeriesOnBall f q y (r / 2)
M : EMetric.ball y (r / 2) ∈ 𝓝 x
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball y (r / 2)
A : HasSum (fun n => (q n) fun x => z - y) (f z)
\u22a2 f z = 0 z
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Uniqueness.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F := p.changeOrigin (y - x)
has_series : HasFPowerSeriesOnBall f q y (r / 2)
M : EMetric.ball y (r / 2) ∈ 𝓝 x
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball y (r / 2)
A : HasSum (fun n => (q n) fun x => z - y) (f z)
B : HasSum (fun n => (q n) fun x => z - y) 0
\u22a2 f z = 0 z
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
n : ℕ
hp : p ≠ 0
\u22a2 (p * X).natDegree = p.natDegree + 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ A B : Triangle C
e : A ≅ B
\u22a2 e.hom.hom₂ ≫ e.inv.hom₂ = 𝟙 A.obj₂
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gamma.lean
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
x : ℝ
\u22a2 ↑(gammaCDFReal a r) x = ∫ (x : ℝ) in Iic x, gammaPDFReal a r x
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gamma.lean
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
x : ℝ
this : IsProbabilityMeasure (gammaMeasure a r)
\u22a2 ↑(gammaCDFReal a r) x = ∫ (x : ℝ) in Iic x, gammaPDFReal a r x
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gamma.lean
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
x : ℝ
this : IsProbabilityMeasure (gammaMeasure a r)
\u22a2 (∫⁻ (a_1 : ℝ) in Iic x, gammaPDF a r a_1).toReal = ∫ (x : ℝ) in Iic x, gammaPDFReal a r x
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gamma.lean
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
x : ℝ
this : IsProbabilityMeasure (gammaMeasure a r)
\u22a2 0 ≤ᶠ[ae (ℙ.restrict (Iic x))] gammaPDFReal a r
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gamma.lean
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r
x : ℝ
this : IsProbabilityMeasure (gammaMeasure a r)
\u22a2 AEStronglyMeasurable (gammaPDFReal a r) (ℙ.restrict (Iic x))
-- Mathlib/GroupTheory/FiniteAbelian.lean
G : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Finite G
\u22a2 ∃ ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Nat.Prime (p i)), ∃ e, Nonempty (G ≃+ ⨁ (i : ι), ZMod (p i ^ e i))
-- Mathlib/GroupTheory/FiniteAbelian.lean
G : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Finite G
val✝ : Fintype G
\u22a2 ∃ ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Nat.Prime (p i)), ∃ e, Nonempty (G ≃+ ⨁ (i : ι), ZMod (p i ^ e i))
-- Mathlib/GroupTheory/FiniteAbelian.lean
G : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Finite G
val✝ : Fintype G
n : ℕ
ι : Type
fι : Fintype ι
p : ι → ℕ
hp : ∀ (i : ι), Nat.Prime (p i)
e : ι → ℕ
f : G ≃+ (Fin n →₀ ℤ) × ⨁ (i : ι), ZMod (p i ^ e i)
\u22a2 ∃ ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Nat.Prime (p i)), ∃ e, Nonempty (G ≃+ ⨁ (i : ι), ZMod (p i ^ e i))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
\u22a2 LinearMap.range (mfderiv 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, E) Subtype.val v) = (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
\u22a2 LinearMap.range (fderivWithin ℝ (writtenInExtChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, E) v Subtype.val) (Set.range ↑𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n))) (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v) v)) = (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
\u22a2 LinearMap.range (fderivWithin ℝ (Subtype.val ∘ ↑(ChartedSpace.chartAt v).symm) (Set.range id) (↑(ChartedSpace.chartAt v) v)) = (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
\u22a2 LinearMap.range (fderiv ℝ (Subtype.val ∘ ↑(ChartedSpace.chartAt v).symm) (↑(ChartedSpace.chartAt v) v)) = (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
\u22a2 LinearMap.range (fderiv ℝ (Subtype.val ∘ ↑(ChartedSpace.chartAt v).symm) (↑(ChartedSpace.chartAt v) v)) = (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
\u22a2 LinearMap.range (fderiv ℝ ((stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) ∘ ⇑U.symm) 0) = (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
this : HasFDerivAt (stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL (U.symm 0)
\u22a2 LinearMap.range (fderiv ℝ ((stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) ∘ ⇑U.symm) 0) = (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
this : HasFDerivAt (stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL (U.symm 0)
\u22a2 (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ = LinearMap.range ((Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL.comp ↑U.symm.toContinuousLinearEquiv)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
this : HasFDerivAt (stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL (U.symm 0)
\u22a2 LinearMap.range ((Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL.comp ↑U.symm.toContinuousLinearEquiv) = (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
this : HasFDerivAt (stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL (U.symm 0)
\u22a2 (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ = LinearMap.range (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtype
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
this : HasFDerivAt (stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL (U.symm 0)
\u22a2 (Submodule.span ℝ {↑v})ᗮ = (Submodule.span ℝ {-↑v})ᗮ
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
this : HasFDerivAt (stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL (U.symm 0)
\u22a2 Submodule.span ℝ {↑v} = Submodule.span ℝ {-↑v}
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
this : HasFDerivAt (stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL (U.symm 0)
\u22a2 {↑v} ⊆ ↑(Submodule.span ℝ {-↑v})
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
this : HasFDerivAt (stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL (U.symm 0)
\u22a2 {-↑v} ⊆ ↑(Submodule.span ℝ {↑v})
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
i : ι
b : β i
hb : b ≠ 0
j : ι
h : ¬i = j
\u22a2 j ∈ (single i b).support ↔ j ∈ {i}
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s✝ s : Set α
c : G
hμs : μ s ≠ 0
\u22a2 eLpNormEssSup (s.indicator fun x => c) μ = ↑‖c‖₊
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s✝ s : Set α
c : G
hμs : μ s ≠ 0
\u22a2 ↑‖c‖₊ ≤ eLpNormEssSup (s.indicator fun x => c) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s✝ s : Set α
c : G
hμs : μ s ≠ 0
h : eLpNormEssSup (s.indicator fun x => c) μ < ↑‖c‖₊
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s✝ s : Set α
c : G
hμs : μ s ≠ 0
h : eLpNormEssSup (s.indicator fun x => c) μ < ↑‖c‖₊
h' : μ {a | ¬↑‖s.indicator (fun x => c) a‖₊ < ↑‖c‖₊} = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s✝ s : Set α
c : G
hμs : μ s ≠ 0
h : eLpNormEssSup (s.indicator fun x => c) μ < ↑‖c‖₊
h' : μ {a | ↑‖c‖₊ ≤ ↑‖s.indicator (fun x => c) a‖₊} = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s✝ s : Set α
c : G
hμs : μ s ≠ 0
h : eLpNormEssSup (s.indicator fun x => c) μ < ↑‖c‖₊
h' : μ {a | ↑‖c‖₊ ≤ ↑‖s.indicator (fun x => c) a‖₊} = 0
x : α
hx_mem : x ∈ s
\u22a2 x ∈ {a | ↑‖c‖₊ ≤ ↑‖s.indicator (fun x => c) a‖₊}
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n : ℕ
\u22a2 [] = l.rotate n ↔ [] = l
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
a : R
x : σ
\u22a2 degreeOf x (C a) = 0
-- Mathlib/Data/Finset/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder β
s t : Finset α
f : Finset α → β
inst✝ : DecidableEq α
\u22a2 StrictMono f ↔ ∀ (s : Finset α) ⦃a : α⦄, a ∉ s → f s < f (insert a s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x
hab : a < b
\u22a2 IntegrableOn g' (Ioc a b) volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x
hab : a < b
\u22a2 IntegrableOn g' (Ioo a b) volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g' (volume.restrict (Ioo a b))
\u22a2 IntegrableOn g' (Ioo a b) volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g' (volume.restrict (Ioo a b))
\u22a2 ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊ ≤ ENNReal.ofReal (g b - g a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g' (volume.restrict (Ioo a b))
H : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g' (volume.restrict (Ioo a b))
H : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊
f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0
fle : ∀ (x : ℝ), ↑f x ≤ ‖g' x‖₊
fint : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) < ⊤
hf : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x)
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g' (volume.restrict (Ioo a b))
H : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊
f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0
fle : ∀ (x : ℝ), ↑f x ≤ ‖g' x‖₊
fint : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) < ⊤
hf : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x)
F : ℝ → ℝ := NNReal.toReal ∘ ↑f
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
g'pos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 ≤ g' x
hab : a < b
meas_g' : AEMeasurable g' (volume.restrict (Ioo a b))
H : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑‖g' x‖₊
f : SimpleFunc ℝ ℝ≥0
fle : ∀ (x : ℝ), ↑f x ≤ ‖g' x‖₊
fint : ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x) < ⊤
hf : ENNReal.ofReal (g b - g a) < ∫⁻ (x : ℝ) in Ioo a b, ↑(↑f x)
F : ℝ → ℝ := NNReal.toReal ∘ ↑f
intF : IntegrableOn F (Ioo a b) volume
\u22a2 False