ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
h : s - 1 ≠ 0
h' : ∀ (n : ℕ), s - 1 ≠ -↑n
\u22a2 (s - 1).Gammaℂ * sin (↑π * (s / 2)) * (s - 1).Gammaℝ⁻¹ = (s - 1).Gammaℂ * ((s - 1) / 2 / ↑π) * sin (↑π * (s / 2)) * ((s - 1).Gammaℝ⁻¹ * ((s - 1) / 2 / ↑π)⁻¹)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
h : s - 1 ≠ 0
h' : ∀ (n : ℕ), s - 1 ≠ -↑n
A : ℂ
\u22a2 (s - 1).Gammaℂ * sin (↑π * (s / 2)) * A = (s - 1).Gammaℂ * ((s - 1) / 2 / ↑π) * sin (↑π * (s / 2)) * (A * ((s - 1) / 2 / ↑π)⁻¹)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
h : s - 1 ≠ 0
h' : ∀ (n : ℕ), s - 1 ≠ -↑n
A : ℂ
\u22a2 (s - 1).Gammaℂ * sin (↑π * s / 2) * A * (2 * ↑π * (s - 1)) = (s - 1).Gammaℂ * (s - 1) * sin (↑π * s / 2) * (A * (2 * ↑π))
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α : Sort u
β : α → Sort v
α' : Sort w
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq α'
f✝ g : (a : α) → β a
a✝ : α
b✝ : β a✝
f : (a : α) → β a
a : α
b : β a
p : (a : α) → β a → Prop
\u22a2 (∀ (x : α), p x (update f a b x)) ↔ p a b ∧ ∀ (x : α), x ≠ a → p x (f x)
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α : Sort u
β : α → Sort v
α' : Sort w
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq α'
f✝ g : (a : α) → β a
a✝ : α
b✝ : β a✝
f : (a : α) → β a
a : α
b : β a
p : (a : α) → β a → Prop
\u22a2 (p a b ∧ ∀ (b_1 : α), b_1 ≠ a → p b_1 (update f a b b_1)) ↔ p a b ∧ ∀ (x : α), x ≠ a → p x (f x)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝³ : CommRing P
inst✝² : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
inst✝¹ : Nontrivial P
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R P
I : FractionalIdeal S P
h_nz : ↑I.den ≠ 0
x : ↥I
\u22a2 (Algebra.linearMap R P) ↑((equivNum h_nz) x) = I.den • ↑x
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
s : Finset ι
t : Finset ι'
f : ι × ι' → α
\u22a2 (s.product t).SupIndep f ↔ (s.SupIndep fun i => t.sup fun i' => f (i, i')) ∧ t.SupIndep fun i' => s.sup fun i => f (i, i')
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
s : Finset ι
t : Finset ι'
f : ι × ι' → α
\u22a2 (s.product t).SupIndep f → (s.SupIndep fun i => t.sup fun i' => f (i, i')) ∧ t.SupIndep fun i' => s.sup fun i => f (i, i')
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
s : Finset ι
t : Finset ι'
f : ι × ι' → α
\u22a2 (↑(s.product t)).PairwiseDisjoint f → ((↑s).PairwiseDisjoint fun i => t.sup fun i' => f (i, i')) ∧ (↑t).PairwiseDisjoint fun i' => s.sup fun i => f (i, i')
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
s : Finset ι
t : Finset ι'
f : ι × ι' → α
h : (↑(s.product t)).PairwiseDisjoint f
i : ι
hi : i ∈ ↑s
j : ι
hj : j ∈ ↑s
hij : i ≠ j
i' : ι'
hi' : i' ∈ t
j' : ι'
hj' : j' ∈ t
\u22a2 Disjoint (f (i, i')) (f (j, j'))
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
s : Finset ι
t : Finset ι'
f : ι × ι' → α
h : (↑(s.product t)).PairwiseDisjoint f
i : ι'
hi : i ∈ ↑t
j : ι'
hj : j ∈ ↑t
hij : i ≠ j
i' : ι
hi' : i' ∈ s
j' : ι
hj' : j' ∈ s
\u22a2 Disjoint (f (i', i)) (f (j', j))
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f g : ℝ → ℝ
hfg : f =ᶠ[atTop] g
hg : GrowsPolynomially g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₁ * g x) (c₂ * g x)
\u22a2 ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f g : ℝ → ℝ
hfg : f =ᶠ[atTop] g
hg : GrowsPolynomially g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₁ * g x) (c₂ * g x)
x : ℝ
hx₁ : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₁ * g x) (c₂ * g x)
hx₂ : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → f y = g y
hx₃ : f x = g x
\u22a2 ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f g : ℝ → ℝ
hfg : f =ᶠ[atTop] g
hg : GrowsPolynomially g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₁ * g x) (c₂ * g x)
x : ℝ
hx₁ : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₁ * g x) (c₂ * g x)
hx₂ : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → f y = g y
hx₃ : f x = g x
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
\u22a2 f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f g : ℝ → ℝ
hfg : f =ᶠ[atTop] g
hg : GrowsPolynomially g
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₁ * g x) (c₂ * g x)
x : ℝ
hx₁ : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, g u ∈ Set.Icc (c₁ * g x) (c₂ * g x)
hx₂ : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → f y = g y
hx₃ : f x = g x
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x
\u22a2 g u ∈ Set.Icc (c₁ * g x) (c₂ * g x)
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x y
a b : X
γ : Path a b
\u22a2 γ.extend (min 0 1) = a
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x✝ y
a b : X
γ : Path a b
x : ↑I
\u22a2 (γ.truncate 0 1) x = (γ.cast ⋯ ⋯) x
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x✝ y
a b : X
γ : Path a b
x : ↑I
\u22a2 (γ.truncate 0 1) x = γ x
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x✝ y
a b : X
γ : Path a b
x : ↑I
this : ↑x ∈ Icc 0 1
\u22a2 (γ.truncate 0 1) x = γ x
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
\u22a2 (x + y).orderTop = x.orderTop
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
hx : x ≠ 0
\u22a2 (x + y).orderTop = x.orderTop
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
hx : x ≠ 0
g : Γ := ⋯.min ⋯
\u22a2 (x + y).orderTop = x.orderTop
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
hx : x ≠ 0
g : Γ := ⋯.min ⋯
hcxyne : (x + y).coeff g ≠ 0
\u22a2 (x + y).orderTop = x.orderTop
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
hx : x ≠ 0
g : Γ := ⋯.min ⋯
hcxyne : (x + y).coeff g ≠ 0
hxyx : (x + y).orderTop ≤ x.orderTop
\u22a2 (x + y).orderTop = x.orderTop
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SuperpolynomialDecay.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : CommSemiring β
hf : SuperpolynomialDecay l k f
z : ℕ
s : Set β
hs : IsOpen s
hs0 : 0 ∈ s
x : α
hx : x ∈ (fun a => k a ^ (z + 1) * f a) ⁻¹' s
\u22a2 x ∈ (fun a => k a ^ z * (k * f) a) ⁻¹' s
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h✝ : ContravariantClass { x // 0 < x } α (fun x y => y * ↑x) fun x x_1 => x < x_1
a : { x // 0 ≤ x }
b c : α
h : b * ↑a < c * ↑a
\u22a2 b < c
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h✝ : ContravariantClass { x // 0 < x } α (fun x y => y * ↑x) fun x x_1 => x < x_1
a : { x // 0 ≤ x }
b c : α
h : b * ↑a < c * ↑a
ha : 0 = ↑a
\u22a2 b < c
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : MulZeroClass α
inst✝ : PartialOrder α
h✝ : ContravariantClass { x // 0 < x } α (fun x y => y * ↑x) fun x x_1 => x < x_1
a : { x // 0 ≤ x }
b c : α
h : b * ↑a < c * ↑a
ha : 0 < ↑a
\u22a2 b < c
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
p q : α → Prop
x : α
\u22a2 {x | x ∈ s ∧ p x} = {x | x ∈ s ∧ q x} ↔ ∀ x ∈ s, p x ↔ q x
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
\u22a2 Measure.map (fun x => x * c) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
\u22a2 Measure.map (fun x => c * x) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/FiniteField.lean
n : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype K
M : Matrix n n K
\u22a2 (M ^ Fintype.card K).trace = M.trace ^ Fintype.card K
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/FiniteField.lean
n : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype K
M : Matrix n n K
h✝ : IsEmpty n
\u22a2 (M ^ Fintype.card K).trace = M.trace ^ Fintype.card K
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/FiniteField.lean
n : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype K
M : Matrix n n K
h✝ : Nonempty n
\u22a2 (M ^ Fintype.card K).trace = M.trace ^ Fintype.card K
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Trunc.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f g : R⟦X⟧
\u22a2 trunc n (f * ↑(trunc n g)) = trunc n (f * g)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Equalizers.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s : Cofork f g
\u22a2 s.ι.app zero = g ≫ s.π
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
\u22a2 (if hp : p = 0 then Eq.rec (motive := fun x x_1 => ↥(lp E x) → ℝ) (fun f => ↑⋯.toFinset.card) ⋯ f else if p = ⊤ then ⨆ i, ‖↑f i‖ else (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)) = (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p ∧ p < ⊤
f : ↥(lp E p)
\u22a2 (if hp : p = 0 then Eq.rec (motive := fun x x_1 => ↥(lp E x) → ℝ) (fun f => ↑⋯.toFinset.card) ⋯ f else if p = ⊤ then ⨆ i, ‖↑f i‖ else (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)) = (∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal)
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x y : L
hy : y ∈ I
inst✝ : LieModule.IsTrivial ↥↑I ↥↑N
\u22a2 (trace R M) (φ x ∘ₗ φ y) = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x y : L
hy : y ∈ I
inst✝ : LieModule.IsTrivial ↥↑I ↥↑N
hy' : ∀ m ∈ N, (φ x ∘ₗ φ y) m ∈ N := fun m x_1 => N.lie_mem ((mem_idealizer N).mp (h hy) m)
\u22a2 (trace R M) (φ x ∘ₗ φ y) = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x y : L
hy : y ∈ I
inst✝ : LieModule.IsTrivial ↥↑I ↥↑N
hy' : ∀ m ∈ N, (φ x ∘ₗ φ y) m ∈ N := fun m x_1 => N.lie_mem ((mem_idealizer N).mp (h hy) m)
\u22a2 (φ x ∘ₗ φ y).restrict hy' = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x y : L
hy : y ∈ I
inst✝ : LieModule.IsTrivial ↥↑I ↥↑N
hy' : ∀ m ∈ N, (φ x ∘ₗ φ y) m ∈ N := fun m x_1 => N.lie_mem ((mem_idealizer N).mp (h hy) m)
n : ↥↑N
\u22a2 ⁅y, ↑n⁆ = 0
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
f : R →+* S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R A
h' : FiniteType R A
s : Finset A
hs : adjoin R ↑s = ⊤
\u22a2 ⊤.FG
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Doubling.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
K : ℝ
C : ℝ≥0 := doublingConstant μ
hμ : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), μ (closedBall x (2 ^ n * ε)) ≤ ↑(C ^ n) * μ (closedBall x ε)
\u22a2 ∃ C, ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), ∀ t ≤ K, μ (closedBall x (t * ε)) ≤ ↑C * μ (closedBall x ε)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Doubling.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
K : ℝ
C : ℝ≥0 := doublingConstant μ
hμ : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), μ (closedBall x (2 ^ n * ε)) ≤ ↑(C ^ n) * μ (closedBall x ε)
hK : K < 1
\u22a2 ∃ C, ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), ∀ t ≤ K, μ (closedBall x (t * ε)) ≤ ↑C * μ (closedBall x ε)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Doubling.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
K : ℝ
C : ℝ≥0 := doublingConstant μ
hμ : ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), μ (closedBall x (2 ^ n * ε)) ≤ ↑(C ^ n) * μ (closedBall x ε)
hK : 1 ≤ K
\u22a2 ∃ C, ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), ∀ t ≤ K, μ (closedBall x (t * ε)) ≤ ↑C * μ (closedBall x ε)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ContinuousFunctionalCalculus/ExpLog.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : PartialOrder A
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
n : ℕ
a : A
ha₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 < x
ha₁ : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
\u22a2 log (a ^ n) = n • log a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ContinuousFunctionalCalculus/ExpLog.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : PartialOrder A
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
n : ℕ
a : A
ha₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 < x
ha₁ : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
this : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, x ≠ 0
\u22a2 log (a ^ n) = n • log a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ContinuousFunctionalCalculus/ExpLog.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : PartialOrder A
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
n : ℕ
a : A
ha₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 < x
ha₁ : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
this : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, x ≠ 0
ha₂' : ContinuousOn Real.log (spectrum ℝ a)
ha₂'' : ContinuousOn Real.log ((fun x => x ^ n) '' spectrum ℝ a)
\u22a2 cfc (fun x => Real.log (x ^ n)) a = n • cfc Real.log a
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hfp : eLpNorm f p μ < ⊤
\u22a2 ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hfp : eLpNorm f p μ < ⊤
\u22a2 0 < p.toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hfp : eLpNorm f p μ < ⊤
\u22a2 eLpNorm' f p.toReal μ < ⊤
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m k : ι
hk₁ : k < hitting u s n m ω
hk₂ : n ≤ k
\u22a2 u k ω ∉ s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f g : R
\u22a2 ↑(basicOpen (f * g)) = ↑(basicOpen f ⊓ basicOpen g)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrderEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
e : α ↪o β
x y : α
\u22a2 ⇑e ⁻¹' Ι (e x) (e y) = Ι x y
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/OneDim.lean
x y : ℝ
hxy : x < y
\u22a2 Icc x y ∈ (vitaliFamily volume 1).setsAt x
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/OneDim.lean
x y : ℝ
hxy : x < y
\u22a2 Metric.closedBall ((x + y) / 2) ((y - x) / 2) ∈ (vitaliFamily volume 1).setsAt x
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/OneDim.lean
x y : ℝ
hxy : x < y
\u22a2 dist x ((x + y) / 2) ≤ 1 * ((y - x) / 2)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
\u22a2 TendstoInMeasure μ f atTop g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ≥0∞
hδ : δ > 0
\u22a2 ∃ N, ∀ n ≥ N, μ {x | ε ≤ dist (f n x) (g x)} ≤ δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ≥0
hδ : ↑δ > 0
\u22a2 ∃ N, ∀ n ≥ N, μ {x | ε ≤ dist (f n x) (g x)} ≤ ↑δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ≥0
hδ : 0 < ↑δ
\u22a2 ∃ N, ∀ n ≥ N, μ {x | ε ≤ dist (f n x) (g x)} ≤ ↑δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ≥0
hδ : 0 < ↑δ
t : Set α
left✝ : MeasurableSet t
ht : μ t ≤ ENNReal.ofReal ↑δ
hunif : TendstoUniformlyOn f g atTop tᶜ
\u22a2 ∃ N, ∀ n ≥ N, μ {x | ε ≤ dist (f n x) (g x)} ≤ ↑δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ≥0
hδ : 0 < ↑δ
t : Set α
left✝ : MeasurableSet t
ht : μ t ≤ ↑δ
hunif : TendstoUniformlyOn f g atTop tᶜ
\u22a2 ∃ N, ∀ n ≥ N, μ {x | ε ≤ dist (f n x) (g x)} ≤ ↑δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ≥0
hδ : 0 < ↑δ
t : Set α
left✝ : MeasurableSet t
ht : μ t ≤ ↑δ
hunif : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f n x) < ε
\u22a2 ∃ N, ∀ n ≥ N, μ {x | ε ≤ dist (f n x) (g x)} ≤ ↑δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ≥0
hδ : 0 < ↑δ
t : Set α
left✝ : MeasurableSet t
ht : μ t ≤ ↑δ
hunif : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f n x) < ε
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f b x) < ε
\u22a2 ∃ N, ∀ n ≥ N, μ {x | ε ≤ dist (f n x) (g x)} ≤ ↑δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ≥0
hδ : 0 < ↑δ
t : Set α
left✝ : MeasurableSet t
ht : μ t ≤ ↑δ
hunif : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f n x) < ε
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f b x) < ε
n : ℕ
hn : n ≥ N
\u22a2 μ {x | ε ≤ dist (f n x) (g x)} ≤ ↑δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ≥0
hδ : 0 < ↑δ
t : Set α
left✝ : MeasurableSet t
ht : μ t ≤ ↑δ
hunif : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f n x) < ε
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ x ∈ tᶜ, dist (g x) (f b x) < ε
n : ℕ
hn : n ≥ N
\u22a2 {x | ε ≤ dist (f n x) (g x)} ⊆ t