ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
G : SimpleGraph V
i✝ j✝ : G.ConnectedComponent
h : i✝ ≠ j✝
a : V
hsx : G.connectedComponentMk a = i✝
hsy : G.connectedComponentMk a = j✝
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Monoidal/Closed.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R
\u22a2 (ihom.ev M).app N = (TensorProduct.uncurry R (↑M) (↑M →ₗ[R] ↑N) ↑N) LinearMap.id.flip
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Monoidal/Closed.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R
\u22a2 ∀ (x : ↑M) (y : ↑((ihom M).obj N)), ((ihom.ev M).app N) (x ⊗ₜ[R] y) = ((TensorProduct.uncurry R (↑M) (↑M →ₗ[R] ↑N) ↑N) LinearMap.id.flip) (x ⊗ₜ[R] y)
-- Mathlib/Algebra/Regular/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Monoid R
a b : R
h : b * a = 1
\u22a2 IsLeftRegular 1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
\u22a2 o.oangle ((o.rotation θ) x) y = o.oangle x y - θ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
\u22a2 ↑(↑(-θ).expMapCircle * (o.kahler x) y).arg = ↑((o.kahler x) y).arg - θ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
\u22a2 -θ + ↑((o.kahler x) y).arg = ↑((o.kahler x) y).arg - θ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
\u22a2 ↑(-θ).expMapCircle ≠ 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
n d : F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hd : d ≠ 0
\u22a2 W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (n / (P z * Q z * d)) = (n ^ 2 + W.a₁ * n * P z * Q z * d - W.a₂ * P z ^ 2 * Q z ^ 2 * d ^ 2 - P x * Q z ^ 2 * d ^ 2 - Q x * P z ^ 2 * d ^ 2) / (P z * Q z * d) ^ 2
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
n d : F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hd : d ≠ 0
\u22a2 (((n ^ 2 * (P z * Q z * d) + W.toAffine.a₁ * n * (P z * Q z * d) ^ 2 - (P z * Q z * d) ^ 2 * (P z * Q z * d) * W.toAffine.a₂) * P z ^ 2 - (P z * Q z * d) ^ 2 * (P z * Q z * d) * P x) * Q z ^ 2 - (P z * Q z * d) ^ 2 * (P z * Q z * d) * P z ^ 2 * Q x) * (P z * Q z * d) ^ 2 = (n ^ 2 + W.a₁ * n * P z * Q z * d - W.a₂ * P z ^ 2 * Q z ^ 2 * d ^ 2 - P x * Q z ^ 2 * d ^ 2 - Q x * P z ^ 2 * d ^ 2) * ((P z * Q z * d) ^ 2 * (P z * Q z * d) * P z ^ 2 * Q z ^ 2)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
a b : α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
h : a ≤ b
\u22a2 f b * ∏ x ∈ Ico a b, f x = ∏ x ∈ Icc a b, f x
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a : α
x✝ : ℕ
\u22a2 x✝ ∈ Nat.cast ⁻¹' Iio a ↔ x✝ ∈ Iio ⌈a⌉₊
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : β → α
x : Filter β
a : α
\u22a2 Tendsto f x (𝓝 a) ↔ Tendsto (fun b => dist (f b) a) x (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
a : α
\u22a2 ContinuousWithinAt f {a} a
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
M : Type u
inst✝² : Monoid M
α : Type v
inst✝¹ : MulAction M α
β : Type u_1
inst✝ : MulAction M β
y : α × β
g : M
\u22a2 ((fun m => m • y) g).2 ∈ orbit M y.2
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
nonzero : μ ≠ 0
s : Set Ω
_s_mble : MeasurableSet s
\u22a2 ↑μ.normalize s = (μ.mass⁻¹ • ↑μ) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
nonzero : μ ≠ 0
s : Set Ω
_s_mble : MeasurableSet s
\u22a2 ↑μ.mass⁻¹ * ↑μ s = (μ.mass⁻¹ • ↑μ) s
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Schur.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : HasKernels C
X Y : C
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
f : X ⟶ Y
I : IsIso f
h : f = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Schur.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : HasKernels C
X Y : C
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
f : X ⟶ Y
I : IsIso f
h : f = 0
\u22a2 𝟙 X = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : CommRing B
p : A[X]
f : A →+* B
hf : Function.Injective ⇑f
a : A
hp0 : ¬p = 0
\u22a2 rootMultiplicity a p = rootMultiplicity (f a) (map f p)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : CommRing B
p : A[X]
f : A →+* B
hf : Function.Injective ⇑f
a : A
hp0 : ¬p = 0
\u22a2 rootMultiplicity (f a) (map f p) ≤ rootMultiplicity a p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : CommRing B
p : A[X]
f : A →+* B
hf : Function.Injective ⇑f
a : A
hp0 : ¬p = 0
\u22a2 (X - C (f a)) ^ rootMultiplicity (f a) (map f p) ∣ map f p
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrderIso.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
a b : α
\u22a2 ⇑e '' Ioo a b = Ioo (e a) (e b)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
\u22a2 (coeff R n) (X ^ n) = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : Countable G
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : IsFundamentalDomain G s μ
\u22a2 μ s ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : Countable G
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : IsFundamentalDomain G s μ
hc : 0 < μ univ
\u22a2 μ s ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : Countable G
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : IsFundamentalDomain G s μ
hc : μ s = 0
\u22a2 μ univ ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : Countable G
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : IsFundamentalDomain G s μ
hc : μ s = 0
\u22a2 μ (⋃ g, g • s) ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : Countable G
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : IsFundamentalDomain G s μ
hc : μ s = 0
\u22a2 ∑' (i : G), μ (i • s) ≤ 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0
\u22a2 W'.dblX P = (P x ^ 2) ^ 2
-- Mathlib/Topology/Order/Monotone.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : CompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : Nonempty γ
f : α → β
s : Set α
Cf : ContinuousAt f (sSup s)
Mf : Monotone f
fbot : f ⊥ = ⊥
\u22a2 f (sSup s) = sSup (f '' s)
-- Mathlib/Topology/Order/Monotone.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : CompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : Nonempty γ
f : α → β
s : Set α
Cf : ContinuousAt f (sSup s)
Mf : Monotone f
fbot : f ⊥ = ⊥
h : s = ∅
\u22a2 f (sSup s) = sSup (f '' s)
-- Mathlib/Topology/Order/Monotone.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : CompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : Nonempty γ
f : α → β
s : Set α
Cf : ContinuousAt f (sSup s)
Mf : Monotone f
fbot : f ⊥ = ⊥
h : s.Nonempty
\u22a2 f (sSup s) = sSup (f '' s)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
g : G
x : Quotient G α
\u22a2 Set.MapsTo (fun x => g • x) x.orbit x.orbit
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
g : G
x : Quotient G α
\u22a2 Set.MapsTo (fun x => g • x) (MulAction.orbit G (Quotient.out' x)) (MulAction.orbit G (Quotient.out' x))
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
a✝ : Nontrivial A
\u22a2 pb.minpolyGen = minpoly A pb.gen
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
a✝ : Nontrivial A
q : A[X]
hq : q.degree < pb.minpolyGen.degree
hn0 : ¬q = 0
h0 : (aeval pb.gen) q = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i : ι
x : F
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i
\u22a2 eval x ((interpolate s v) r) = eval x (nodal s v) * ∑ i ∈ s, nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ * r i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i : ι
x : F
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i
\u22a2 ∑ x_1 ∈ s, r x_1 * eval x (Lagrange.basis s v x_1) = ∑ i ∈ s, eval x (nodal s v) * (nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ * r i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i✝ : ι
x : F
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i
i : ι
hi : i ∈ s
\u22a2 r i * eval x (Lagrange.basis s v i) = eval x (nodal s v) * (nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ * r i)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
r : ℝ
\u22a2 (fun x => (ofReal' ∘ oddKernel a) x - 0) =O[atTop] fun x => x ^ r
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : oddKernel a =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)
\u22a2 (fun x => (ofReal' ∘ oddKernel a) x - 0) =O[atTop] fun x => x ^ r
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : (fun x => ‖oddKernel a x‖) =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)
\u22a2 (fun x => ‖(ofReal' ∘ oddKernel a) x - 0‖) =O[atTop] fun x => x ^ r
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : (fun x => ‖oddKernel a x‖) =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)
\u22a2 (fun x => ‖oddKernel a x‖) =O[atTop] fun x => x ^ r
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
r : ℝ
\u22a2 (fun x => (ofReal' ∘ sinKernel a) x - 0) =O[atTop] fun x => x ^ r
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : sinKernel a =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)
\u22a2 (fun x => (ofReal' ∘ sinKernel a) x - 0) =O[atTop] fun x => x ^ r
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : (fun x => ‖sinKernel a x‖) =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)
\u22a2 (fun x => ‖(ofReal' ∘ sinKernel a) x - 0‖) =O[atTop] fun x => x ^ r
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
r v : ℝ
hv : 0 < v
hv' : (fun x => ‖sinKernel a x‖) =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)
\u22a2 (fun x => ‖sinKernel a x‖) =O[atTop] fun x => x ^ r
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
\u22a2 (ofReal' ∘ oddKernel a) (1 / x) = (1 * ↑(x ^ (3 / 2))) • (ofReal' ∘ sinKernel a) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Sub.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s✝ : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
h₁ : ν ≤ μ
s : Set α
h_s_meas : MeasurableSet s
\u22a2 (μ - ν + ν) s = μ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct.lean
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module A M₁
inst✝⁵ : SMulCommClass R A M₁
inst✝⁴ : SMulCommClass A R M₁
inst✝³ : IsScalarTower R A M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm A M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
\u22a2 polarBilin (Q₁.tmul Q₂) = ⅟2 • (polarBilin Q₁).tmul (polarBilin Q₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct.lean
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module A M₁
inst✝⁵ : SMulCommClass R A M₁
inst✝⁴ : SMulCommClass A R M₁
inst✝³ : IsScalarTower R A M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm A M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
\u22a2 2 • (associated Q₁).tmul (associated Q₂) = ⅟2 • 2 • 2 • (BilinMap.tensorDistrib R A) ((associatedHom A) Q₁ ⊗ₜ[R] (associatedHom R) Q₂)
-- Mathlib/Algebra/Group/Support.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq A
inst✝ : One B
a : A
b : B
h : b ≠ 1
x : A
hx : x = a
\u22a2 x ∈ mulSupport (mulSingle a b)
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
X Y : Submodule R M
x✝ : X ⋖ X ⊔ Y
\u22a2 (↥(X, X ⊔ Y).2 ⧸ Submodule.comap (X, X ⊔ Y).2.subtype (X, X ⊔ Y).1) ≃ₗ[R] ↥(X ⊓ Y, Y).2 ⧸ Submodule.comap (X ⊓ Y, Y).2.subtype (X ⊓ Y, Y).1
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
X Y : Submodule R M
x✝ : X ⋖ X ⊔ Y
\u22a2 (↥(X, Y ⊔ X).2 ⧸ Submodule.comap (X, Y ⊔ X).2.subtype (X, Y ⊔ X).1) ≃ₗ[R] ↥(Y ⊓ X, Y).2 ⧸ Submodule.comap (Y ⊓ X, Y).2.subtype (Y ⊓ X, Y).1
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
\u22a2 ∀ (a : α), Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a) (𝓝 (v.limRatio ρ a)) → v.limRatio ρ a = AEMeasurable.mk (v.limRatio ρ) ⋯ a → Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ a))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Free/Basic.lean
C : Type u
motive : {X Y : F C} → (X ⟶ Y) → Prop
X Y : F C
t : X ⟶ Y
id : ∀ (X : F C), motive (𝟙 X)
α_hom : ∀ (X Y Z : F C), motive (α_ X Y Z).hom
α_inv : ∀ (X Y Z : F C), motive (α_ X Y Z).inv
l_hom : ∀ (X : F C), motive (λ_ X).hom
l_inv : ∀ (X : F C), motive (λ_ X).inv
ρ_hom : ∀ (X : F C), motive (ρ_ X).hom
ρ_inv : ∀ (X : F C), motive (ρ_ X).inv
comp : ∀ {X Y Z : F C} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), motive f → motive g → motive (f ≫ g)
whiskerLeft : ∀ (X : F C) {Y Z : F C} (f : Y ⟶ Z), motive f → motive (X ◁ f)
whiskerRight : ∀ {X Y : F C} (f : X ⟶ Y) (Z : F C), motive f → motive (f ▷ Z)
\u22a2 motive t
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Free/Basic.lean
C : Type u
motive : {X Y : F C} → (X ⟶ Y) → Prop
X Y : F C
t : X ⟶ Y
id : ∀ (X : F C), motive (𝟙 X)
α_hom : ∀ (X Y Z : F C), motive (α_ X Y Z).hom
α_inv : ∀ (X Y Z : F C), motive (α_ X Y Z).inv
l_hom : ∀ (X : F C), motive (λ_ X).hom
l_inv : ∀ (X : F C), motive (λ_ X).inv
ρ_hom : ∀ (X : F C), motive (ρ_ X).hom
ρ_inv : ∀ (X : F C), motive (ρ_ X).inv
comp : ∀ {X Y Z : F C} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), motive f → motive g → motive (f ≫ g)
whiskerLeft : ∀ (X : F C) {Y Z : F C} (f : Y ⟶ Z), motive f → motive (X ◁ f)
whiskerRight : ∀ {X Y : F C} (f : X ⟶ Y) (Z : F C), motive f → motive (f ▷ Z)
\u22a2 ∀ (a : X ⟶ᵐ Y), motive ⟦a⟧
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Free/Basic.lean
C : Type u
motive : {X Y : F C} → (X ⟶ Y) → Prop
X Y : F C
t : X ⟶ Y
id : ∀ (X : F C), motive (𝟙 X)
α_hom : ∀ (X Y Z : F C), motive (α_ X Y Z).hom
α_inv : ∀ (X Y Z : F C), motive (α_ X Y Z).inv
l_hom : ∀ (X : F C), motive (λ_ X).hom
l_inv : ∀ (X : F C), motive (λ_ X).inv
ρ_hom : ∀ (X : F C), motive (ρ_ X).hom
ρ_inv : ∀ (X : F C), motive (ρ_ X).inv
comp : ∀ {X Y Z : F C} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), motive f → motive g → motive (f ≫ g)
whiskerLeft : ∀ (X : F C) {Y Z : F C} (f : Y ⟶ Z), motive f → motive (X ◁ f)
whiskerRight : ∀ {X Y : F C} (f : X ⟶ Y) (Z : F C), motive f → motive (f ▷ Z)
f : X ⟶ᵐ Y
\u22a2 motive ⟦f⟧
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b : M
f : α → β
hf : Injective f
x z : α
y : M
\u22a2 (single (f x) y) (f z) = (single x y) z
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂✝ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj (e₁ i)
e₂ : ∀ (i : J), map i = (e₂✝ i).hom ≫ 𝒰.map (e₁ i)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
\u22a2 x ∈ Set.range ⇑(map ((fun x => e₁.symm (𝒰.f x)) x)).val.base
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂✝ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj (e₁ i)
e₂ : ∀ (i : J), map i = (e₂✝ i).hom ≫ 𝒰.map (e₁ i)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
\u22a2 x ∈ Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f x)).val.base
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂✝ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj (e₁ i)
e₂ : ∀ (i : J), map i = (e₂✝ i).hom ≫ 𝒰.map (e₁ i)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
\u22a2 Function.Surjective ⇑(e₂✝ ((fun x => e₁.symm (𝒰.f x)) x)).hom.val.base
-- Mathlib/Algebra/Regular/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass R
b : R
inst✝ : Nontrivial R
ra : IsRightRegular 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Regular/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass R
b : R
inst✝ : Nontrivial R
ra : IsRightRegular 0
x y : R
xy : x ≠ y
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Regular/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass R
b : R
inst✝ : Nontrivial R
ra : IsRightRegular 0
x y : R
xy : x ≠ y
\u22a2 x * 0 = y * 0
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
x✝ : DecidablePred p
i : Fin (n + 1)
hi : i ∈ Option.casesOn (find fun i => p (i.castLT ⋯)) (if x : p (last n) then some (last n) else none) fun i => some (i.castLT ⋯)
j : ℕ
hjn : j < n + 1
hj : ⟨j, hjn⟩ < i
hpj : p ⟨j, hjn⟩
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
x✝ : DecidablePred p
i : Fin (n + 1)
hi : i ∈ Option.casesOn (find fun i => p (i.castLT ⋯)) (if x : p (last n) then some (last n) else none) fun i => some (i.castLT ⋯)
j : ℕ
hjn : j < n + 1
hj : ⟨j, hjn⟩ < i
hpj : p ⟨j, hjn⟩
h : (find fun i => p (i.castLT ⋯)) = none
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
x✝ : DecidablePred p
i : Fin (n + 1)
hi : i ∈ Option.casesOn (find fun i => p (i.castLT ⋯)) (if x : p (last n) then some (last n) else none) fun i => some (i.castLT ⋯)
j : ℕ
hjn : j < n + 1
hj : ⟨j, hjn⟩ < i
hpj : p ⟨j, hjn⟩
k : Fin n
h : (find fun i => p (i.castLT ⋯)) = some k
\u22a2 False
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : b ≠ 0
\u22a2 a < b * (a / b) + b
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
h_nhds : ∀ (a : α), (𝓝 a).HasBasis (fun t => t ∈ s ∧ a ∈ t) id
t₁ : Set α
ht₁ : t₁ ∈ s
t₂ : Set α
ht₂ : t₂ ∈ s
x : α
hx : x ∈ t₁ ∩ t₂
\u22a2 ∃ t₃ ∈ s, x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ t₁ ∩ t₂
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
h_nhds : ∀ (a : α), (𝓝 a).HasBasis (fun t => t ∈ s ∧ a ∈ t) id
x : α
\u22a2 𝓝 x = 𝓝 x
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t✝ : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
h : IsFundamentalDomain G s μ
t : Set α
\u22a2 μ t = ∑' (g : G), μ (g • t ∩ s)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
n : ℤ
hn : 0 ≤ n
\u22a2 ‖↑n‖ = ↑n
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ha : a ∈ s
\u22a2 a ∈ P.part a