ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.LocallyLinear
\u22a2 ∀ b ∈ G.cliqueFinset 3, (bipartiteBelow (fun e s => e ∈ s.sym2) G.edgeFinset b).card ≤ 3
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.LocallyLinear
\u22a2 ∀ (b : Finset α) (x x_1 x_2 : α), G.Adj x x_1 → G.Adj x x_2 → G.Adj x_1 x_2 → b = {x, x_1, x_2} → (bipartiteBelow (fun e s => e ∈ s.sym2) G.edgeFinset b).card ≤ 3
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.LocallyLinear
a b c : α
hab : G.Adj a b
hac : G.Adj a c
hbc : G.Adj b c
\u22a2 (bipartiteBelow (fun e s => e ∈ s.sym2) G.edgeFinset {a, b, c}).card ≤ 3
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.LocallyLinear
a b c : α
hab : G.Adj a b
hac : G.Adj a c
hbc : G.Adj b c
\u22a2 bipartiteBelow (fun e s => e ∈ s.sym2) G.edgeFinset {a, b, c} ⊆ {s(a, b), s(a, c), s(b, c)}
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hG : G.LocallyLinear
a b c : α
hab : G.Adj a b
hac : G.Adj a c
hbc : G.Adj b c
\u22a2 ∀ (x y : α), G.Adj x y → x = a ∨ x = b ∨ x = c → y = a ∨ y = b ∨ y = c → s(x, y) = s(a, b) ∨ s(x, y) = s(a, c) ∨ s(x, y) = s(b, c)
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
l L : List M
\u22a2 Monotone fun i => (take i L).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
l L : List M
n : ℕ
\u22a2 (take n L).prod ≤ (take (n + 1) L).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
l L : List M
n : ℕ
h : n < L.length
\u22a2 (take n L).prod ≤ (take (n + 1) L).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
l L : List M
n : ℕ
h : L.length ≤ n
\u22a2 (take n L).prod ≤ (take (n + 1) L).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
\u22a2 |a| = a ↔ 0 ≤ a
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]
\u22a2 a.re * b.imI + a.imI * b.re - -1 * a.imJ * b.imK + -1 * a.imK * b.imJ = a.re * b.imI + a.imI * b.re + a.imJ * b.imK - a.imK * b.imJ
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I : Ideal A
\u22a2 I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J
\u22a2 (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) M
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
\u22a2 ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
x : A
hx : x ∉ M
y : A
hy : y ∉ M
h_xy : x * y ∈ M
\u22a2 ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
x : A
hx : x ∉ M
y : A
hy : y ∉ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}
\u22a2 ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
x : A
hx : x ∉ M
y : A
hy : y ∉ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥
\u22a2 ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
x : A
hx : x ∉ M
y : A
hy : y ∉ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne✝ : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + span A {y}
h_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥
\u22a2 ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
x : A
hx : x ∉ M
y : A
hy : y ∉ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne✝ : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + span A {y}
h_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥
\u22a2 (Multiset.map asIdeal (Wx + Wy)).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal (Wx + Wy)).prod ≠ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
x : A
hx : x ∉ M
y : A
hy : y ∉ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne✝ : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + span A {y}
h_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥
\u22a2 (Multiset.map asIdeal Wx).prod * (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal Wx).prod * (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
x : A
hx : x ∉ M
y : A
hy : y ∉ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne✝ : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + span A {y}
h_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥
\u22a2 (M + span A {x}) * (M + span A {y}) ≤ M
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R✝ : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : CommSemiring S
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsNoetherianRing R
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
x : A
hx : x ∉ M
y : A
hy : y ∉ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne✝ : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + span A {y}
h_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥
\u22a2 ¬((Multiset.map asIdeal Wx).prod = ⊥ ∨ (Multiset.map asIdeal Wy).prod = ⊥)
-- Mathlib/Algebra/IsPrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ
\u22a2 IsPrimePow n ↔ ∃ p ≤ n, ∃ k ≤ n, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
-- Mathlib/Algebra/IsPrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ
\u22a2 (∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n) ↔ ∃ p ≤ n, ∃ k ≤ n, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
-- Mathlib/Algebra/IsPrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ
\u22a2 (∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n) → ∃ p ≤ n, ∃ k ≤ n, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
-- Mathlib/Algebra/IsPrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hk : 0 < k
\u22a2 ∃ p_1 ≤ p ^ k, ∃ k_1 ≤ p ^ k, Nat.Prime p_1 ∧ 0 < k_1 ∧ p_1 ^ k_1 = p ^ k
-- Mathlib/Algebra/IsPrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hk : 0 < k
\u22a2 p ≤ p ^ k
-- Mathlib/Algebra/IsPrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hk : 0 < k
\u22a2 p ^ 1 ≤ p ^ k
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f p : R[X]
n : ℕ
h : p.natDegree < n
\u22a2 (hasseDeriv n) p = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f p : R[X]
n : ℕ
h : p.natDegree < n
\u22a2 ∑ n_1 ∈ p.support, (monomial (n_1 - n)) (↑(n_1.choose n) * p.coeff n_1) = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f p : R[X]
n : ℕ
h : p.natDegree < n
x : ℕ
hx : x ∈ p.support
\u22a2 (monomial (x - n)) (↑(x.choose n) * p.coeff x) = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n m : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hn : n ≠ 0
\u22a2 x ^ n + y ^ n ≤ (x + y) ^ n
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
m : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
k : ℕ
hn : k + 1 ≠ 0
\u22a2 x ^ (k + 1) + y ^ (k + 1) ≤ (x + y) ^ (k + 1)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/Quasicategory.lean
S : SSet
inst✝ : S.Quasicategory
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
h0 : 0 < i
hn : i < Fin.last n
σ₀ : Λ[n, i] ⟶ S
\u22a2 ∃ σ, σ₀ = hornInclusion n i ≫ σ
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : Set α
t : Set β
\u22a2 kernImage f (f ⁻¹' t ∪ s) = t ∪ kernImage f s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
\u22a2 sin (2 * π) = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hPz : P z ≠ 0
\u22a2 toAffine W P = Affine.Point.some ⋯
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
x : α
\u22a2 x ∈ Iic b ∪ Icc c d ↔ x ∈ Iic (max b d)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
x : α
\u22a2 x ≤ b ∨ c ≤ x ∧ x ≤ d ↔ x ≤ b ∨ x ≤ d
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝
\u22a2 x✝.isEmpty = true ↔ x✝.toString = ""
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
f✝ g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Finite ι
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
\u22a2 ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
f✝ g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Finite ι
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
\u22a2 ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
f✝ g✝ : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Finite ι
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
g : Fin n → α → β := f ∘ ⇑hn.some.symm
hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ
\u22a2 ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
f✝ g✝ : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Finite ι
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
g : Fin n → α → β := f ∘ ⇑hn.some.symm
hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
hfε : ∀ (i : Fin n), eLpNorm (sᶜ.indicator (g i)) p μ ≤ ↑ε
\u22a2 ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
f✝ g✝ : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Finite ι
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : Nonempty (ι ≃ Fin n)
g : Fin n → α → β := f ∘ ⇑hn.some.symm
hg : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
hfε : ∀ (i : Fin n), eLpNorm (sᶜ.indicator (g i)) p μ ≤ ↑ε
i : ι
\u22a2 eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Pseudofunctor.lean
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ F : Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b
\u22a2 (F.mapComp (𝟙 a) f).inv = (F.mapId a).hom ▷ F.map f ≫ (λ_ (F.map f)).hom ≫ F.map₂ (λ_ f).inv
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
x✝ : ℤ
\u22a2 x✝ ∈ Int.cast ⁻¹' Ici a ↔ x✝ ∈ Ici ⌈a⌉
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α
\u22a2 a / (b * c) = a / c / b
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/Injective.lean
A : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : DivisibleBy A ℤ
I : Ideal ℤ
g : ↥I →ₗ[ℤ] A
\u22a2 ∃ g', ∀ (x : ℤ) (mem : x ∈ I), g' x = g ⟨x, mem⟩
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/Injective.lean
A : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : DivisibleBy A ℤ
m : ℤ
g : ↥(Submodule.span ℤ {m}) →ₗ[ℤ] A
\u22a2 ∃ g', ∀ (x : ℤ) (mem : x ∈ Submodule.span ℤ {m}), g' x = g ⟨x, mem⟩
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/Injective.lean
A : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : DivisibleBy A ℤ
g : ↥(Submodule.span ℤ {0}) →ₗ[ℤ] A
\u22a2 ∃ g', ∀ (x : ℤ) (mem : x ∈ Submodule.span ℤ {0}), g' x = g ⟨x, mem⟩
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/Injective.lean
A : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : DivisibleBy A ℤ
m : ℤ
g : ↥(Submodule.span ℤ {m}) →ₗ[ℤ] A
h0 : m ≠ 0
\u22a2 ∃ g', ∀ (x : ℤ) (mem : x ∈ Submodule.span ℤ {m}), g' x = g ⟨x, mem⟩
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/Injective.lean
A : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : DivisibleBy A ℤ
m : ℤ
g : ↥(Submodule.span ℤ {m}) →ₗ[ℤ] A
h0 : m ≠ 0
gₘ : A := g ⟨m, ⋯⟩
\u22a2 ∃ g', ∀ (x : ℤ) (mem : x ∈ Submodule.span ℤ {m}), g' x = g ⟨x, mem⟩
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/Injective.lean
A : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : DivisibleBy A ℤ
m : ℤ
g : ↥(Submodule.span ℤ {m}) →ₗ[ℤ] A
h0 : m ≠ 0
gₘ : A := g ⟨m, ⋯⟩
n : ℤ
hn : n ∈ Submodule.span ℤ {m}
\u22a2 (LinearMap.toSpanSingleton ℤ A (DivisibleBy.div gₘ m)) n = g ⟨n, hn⟩
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/Injective.lean
A : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : DivisibleBy A ℤ
m : ℤ
g : ↥(Submodule.span ℤ {m}) →ₗ[ℤ] A
h0 : m ≠ 0
gₘ : A := g ⟨m, ⋯⟩
n : ℤ
hn : n • m ∈ Submodule.span ℤ {m}
\u22a2 (LinearMap.toSpanSingleton ℤ A (DivisibleBy.div gₘ m)) (n • m) = g ⟨n • m, hn⟩
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hmax : ∀ ⦃J : Set α⦄, M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ X → J ⊆ I
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
\u22a2 M.Basis I X
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hmax : ∀ ⦃J : Set α⦄, M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ X → J ⊆ I
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
\u22a2 ∀ (J : Set α), M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ X → I = J
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
\u22a2 (o.kahler x) y ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
\u22a2 ¬(x = 0 ∨ y = 0)
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ : ℕ
β : Type u_3
f : α → β
n✝ : ℕ
xs✝ : List α
n : ℕ
x : α
xs : List α
\u22a2 List.sym (n + 1) (map f (x :: xs)) = map (Sym.map f) (List.sym (n + 1) (x :: xs))
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ : ℕ
β : Type u_3
f : α → β
n✝ : ℕ
xs✝ : List α
n : ℕ
x : α
xs : List α
\u22a2 map (fun p => f x ::ₛ p) (map (Sym.map f) (List.sym n (x :: xs))) ++ map (Sym.map f) (List.sym (n + 1) xs) = map (Sym.map f) (List.sym (n + 1) (x :: xs))
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ : ℕ
β : Type u_3
f : α → β
n✝ : ℕ
xs✝ : List α
n : ℕ
x : α
xs : List α
\u22a2 map ((fun p => f x ::ₛ p) ∘ Sym.map f) (List.sym n (x :: xs)) = map (Sym.map f ∘ fun p => x ::ₛ p) (List.sym n (x :: xs))
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ : ℕ
β : Type u_3
f : α → β
n✝ : ℕ
xs✝ : List α
n : ℕ
x : α
xs : List α
s : Sym α n
\u22a2 ↑(((fun p => f x ::ₛ p) ∘ Sym.map f) s) = ↑((Sym.map f ∘ fun p => x ::ₛ p) s)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
ι'' : Type u_6
E' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'
E'' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E''
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v
i : ι
\u22a2 (hv.equiv hv (Equiv.refl ι)) (v i) = (LinearIsometryEquiv.refl 𝕜 E) (v i)
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : PartialOrder α
a b✝ : α
b : ↑(Ici a)
\u22a2 IsAtom b ↔ a ⋖ ↑b
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : PartialOrder α
a b✝ : α
b : ↑(Ici a)
\u22a2 ⊥ ⋖ b ↔ a ⋖ ↑b
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : PartialOrder α
a b✝ : α
b : ↑(Ici a)
\u22a2 (range ⇑(OrderEmbedding.subtype fun c => a ≤ c)).OrdConnected
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulZeroClass α β
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
ha : 0 < a
\u22a2 0 < a • b ↔ 0 < b
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
k : S.X₂ ⟶ A
x : S.X₃ ⟶ A
hx : k = S.g ≫ x
\u22a2 S.f ≫ k = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
k : S.X₂ ⟶ A
x : S.X₃ ⟶ A
hx : k = S.g ≫ x
\u22a2 (S.rightHomologyIso.inv ≫ S.rightHomologyι) ≫ S.descOpcycles k ⋯ = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/ShiftSequence.lean
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.83401, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.83405, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
X Y : C
m : M
f : X ⟶ (shiftFunctor C m).obj Y
n mn : M
hnm : m + n = mn
a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
\u22a2 mn + a = a''