ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/LapMatrix.lean
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
x : V → ℝ
\u22a2 (toLin' (lapMatrix ℝ G)) x = 0 ↔ ∀ (i j : V), G.Reachable i j → x i = x j
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
\u22a2 f' ≤ slope f x y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
\u22a2 ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[>] x, slope f x c ≤ slope f x y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
\u22a2 ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝 x, x_1 ∈ Ioi x → (f x_1 - f x) / (x_1 - x) ≤ (f y - f x) / (y - x)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
t : ℝ
ht : t < y
ht' : x < t
\u22a2 (f t - f x) / (t - x) ≤ (f y - f x) / (y - x)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
t : ℝ
ht : t < y
ht' : x < t
\u22a2 t ∈ S
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
s t : Set β
κ : Kernel α β
hs : MeasurableSet s
a : α
ht : MeasurableSet t
\u22a2 ((κ.restrict hs) a) t = (κ a) (t ∩ s)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hn : n ≠ 0
t : ℕ
ht : t ∈ Finset.image (fun x => p ^ x) (Finset.range (padicValNat p n + 1))
\u22a2 t ∈ n.divisors
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hn : n ≠ 0
t : ℕ
ht : ∃ a < padicValNat p n + 1, p ^ a = t
\u22a2 t ∈ n.divisors
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hn : n ≠ 0
k : ℕ
hk : k < padicValNat p n + 1
\u22a2 p ^ k ∈ n.divisors
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hn : n ≠ 0
k : ℕ
hk : k < padicValNat p n + 1
\u22a2 p ^ k ∣ n ∧ n ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Units/Hom.lean
α : Type u_1
M : Type u
N : Type v
P : Type w
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
f : M →* N
g : M → Nˣ
h : ∀ (x : M), ↑(g x) = f x
x : M
\u22a2 ↑((liftRight f g h) x)⁻¹ * f x = 1
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
F : Type u_5
inst✝ : FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
g : N →* P
f : M →* N
\u22a2 map g (mrange f) = mrange (g.comp f)
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
h : lucasLehmerResidue (p' + 2) = 0
\u22a2 ω ^ 2 ^ (p' + 1) = -1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
h : lucasLehmerResidue (p' + 2) = 0
k : ℤ
w : ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
\u22a2 ω ^ 2 ^ (p' + 1) = -1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
h : lucasLehmerResidue (p' + 2) = 0
k : ℤ
w : ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * 0 * ω ^ 2 ^ p' - 1
\u22a2 ω ^ 2 ^ (p' + 1) = -1
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝¹ b✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b c a : α
\u22a2 (mabs a)⁻¹ ≤ a⁻¹
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n : ℕ
a : ℤ
b : ℕ
\u22a2 ↑(a % ↑b) = ↑a
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n : ℕ
a : ℤ
b : ℕ
\u22a2 a % ↑b ≡ a [ZMOD ↑b]
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Group α
a b : α
n : ℕ
x✝ : α
\u22a2 (Equiv.mulRight a ^ n) x✝ = (Equiv.mulRight (a ^ n)) x✝
-- Mathlib/Algebra/Star/StarAlgHom.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Star A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Star B
inst✝² : Semiring C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Star C
f : A →⋆ₐ[R] B
g : A →⋆ₐ[R] C
x : A
\u22a2 (↑↑__src✝.toRingHom).toFun (star x) = star ((↑↑__src✝.toRingHom).toFun x)
-- Mathlib/CategoryTheory/SmallObject/Construction.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : Type w
A B : I → C
f : (i : I) → A i ⟶ B i
S X Y Z : C
πX : X ⟶ S
πY : Y ⟶ S
φ : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasColimitsOfShape (Discrete (FunctorObjIndex f πX)) C
inst✝ : HasColimitsOfShape (Discrete (FunctorObjIndex f πY)) C
hφ : φ ≫ πY = πX
i : I
t : A i ⟶ X
b : B i ⟶ S
w : t ≫ πX = f i ≫ b
t' : A i ⟶ Y
fac : t ≫ φ = t'
\u22a2 t' ≫ πY = f i ≫ b
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞
b : ℝ≥0
h : a ≤ ↑b
\u22a2 a.toReal ≤ ↑b
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q b a : ℝ≥0
h : ↑a ≤ ↑b
\u22a2 (↑a).toReal ≤ ↑b
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
\u22a2 finrank ℚ K ≤ rankOfDiscrBdd N
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
\u22a2 finrank ℚ K ≤ rankOfDiscrBdd N
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
\u22a2 finrank ℚ K ≤ rankOfDiscrBdd N
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h : 1 < finrank ℚ K
\u22a2 finrank ℚ K ≤ rankOfDiscrBdd N
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h : finrank ℚ K ≤ 1
\u22a2 finrank ℚ K ≤ rankOfDiscrBdd N
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
x y : α
hx : Irreducible x
\u22a2 gcd x y = 1 ↔ ¬x ∣ y
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
h : succ (sup (typein fun x x_1 => x < x_1)) = lsub (typein fun x x_1 => x < x_1)
\u22a2 sup (typein fun x x_1 => x < x_1) = o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
h : succ (sup (typein fun x x_1 => x < x_1)) = lsub (typein fun x x_1 => x < x_1)
\u22a2 lsub (typein fun x x_1 => x < x_1) = succ o
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁸ : PseudoEMetricSpace Ω✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
L : Filter ι
inst✝⁵ : L.NeBot
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure Ω
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
\u22a2 μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) L
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁸ : PseudoEMetricSpace Ω✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
L : Filter ι
inst✝⁵ : L.NeBot
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure Ω
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
\u22a2 limsup (fun i => (μs i) Gᶜ) L ≤ μ Gᶜ
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
\u22a2 toIocDiv hp (a - m • p) b = toIocDiv hp a b + m
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P s → s ⊆ t → P t
\u22a2 s ∈ minimals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {t | P t} ↔ P s ∧ ∀ x ∈ s, ¬P (s \ {x})
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P s → s ⊆ t → P t
\u22a2 P s → ((∀ ⦃y : Set α⦄, P y → y ⊆ s → s = y) ↔ ∀ x ∈ s, ¬P (s \ {x}))
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x✝¹ : α
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P s → s ⊆ t → P t
x✝ : P s
h : ∀ ⦃y : Set α⦄, P y → y ⊆ s → s = y
x : α
hx : x ∈ s
hxs : P (s \ {x})
\u22a2 False
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t✝ : Set α
a b x✝¹ : α
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P s → s ⊆ t → P t
x✝ : P s
h : ∀ x ∈ s, ¬P (s \ {x})
t : Set α
ht : P t
hst : t ⊆ s
x : α
hxs : x ∈ s
\u22a2 x ∈ t
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NegZeroClass β
h : Antiperiodic f c
hi : f 0 = 0
\u22a2 f (↑0 * c) = 0
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e✝ : α
M : Matroid α
e : α
X : Set α
\u22a2 M.closure (insert e (M.closure X)) = M.closure (insert e X)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
j : n
u v : n → R
\u22a2 (M.updateColumn j (u + v)).det = (M.updateColumn j u).det + (M.updateColumn j v).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
j : n
u v : n → R
\u22a2 (Mᵀ.updateRow j u).det + (Mᵀ.updateRow j v).det = (M.updateColumn j u).det + (M.updateColumn j v).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A
h : f.toLinearMap ∘ₗ ι Q = g.toLinearMap ∘ₗ ι Q
\u22a2 f = g
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A
h : f.toLinearMap ∘ₗ ι Q = g.toLinearMap ∘ₗ ι Q
\u22a2 (lift Q).symm f = (lift Q).symm g
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A
h : f.toLinearMap ∘ₗ ι Q = g.toLinearMap ∘ₗ ι Q
\u22a2 ⟨f.toLinearMap ∘ₗ ι Q, ⋯⟩ = ⟨g.toLinearMap ∘ₗ ι Q, ⋯⟩
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T✝ : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : CommSemiring A'
inst✝⁸ : Semiring B
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Algebra R A'
inst✝⁵ : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x : A
S : Type u_3
T : Type u_4
U : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring T
inst✝² : Semiring U
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra T U
φ : R →+* T
ψ : S →+* U
h : (algebraMap T U).comp φ = ψ.comp (algebraMap R S)
p : R[X]
a : S
\u22a2 ψ ((aeval a) p) = (aeval (ψ a)) (map φ p)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T✝ : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : CommSemiring A'
inst✝⁸ : Semiring B
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Algebra R A'
inst✝⁵ : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x : A
S : Type u_3
T : Type u_4
U : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring T
inst✝² : Semiring U
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra T U
φ : R →+* T
ψ : S →+* U
h : (algebraMap T U).comp φ = ψ.comp (algebraMap R S)
p : R[X]
a : S
\u22a2 ψ ((aeval a) p) = eval (ψ a) (map (algebraMap T U) (map φ p))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityFinite.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
a✝ : MeasurableSet s
\u22a2 (Measure.toFiniteAux 0) s = 0 s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z✝ : ℂ
n✝ : ℕ
z : ℂ
n : ℕ
\u22a2 Complex.sin (↑π * z) = ((↑π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (2 * n)) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ (2 * n))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n✝ n : ℕ
\u22a2 Complex.sin (↑π * 0) = ((↑π * 0 * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - 0 ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * 0 * ↑x) * ↑(cos x) ^ (2 * n)) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ (2 * n))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z✝ : ℂ
n✝ : ℕ
z : ℂ
n : ℕ
hz : z ≠ 0
\u22a2 Complex.sin (↑π * z) = ((↑π * z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (2 * n)) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ (2 * n))
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Polar.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
x : E
hx : x ∈ s
y : F
hy : y ∈ B.polar s
\u22a2 ‖(B.flip y) x‖ ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Polar.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
x : E
hx : x ∈ s
y : F
hy : y ∈ B.polar s
\u22a2 ‖(B x) y‖ ≤ 1
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
I : Set ι
hI : I.Finite
h : ∀ i ∈ I, s i ∈ f i
\u22a2 I.pi s ∈ pi f
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
I : Set ι
hI : I.Finite
h : ∀ i ∈ I, s i ∈ f i
\u22a2 ⋂ x, eval ↑x ⁻¹' s ↑x ∈ pi f
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
I : Set ι
hI : I.Finite
h : ∀ i ∈ I, s i ∈ f i
i : ↑I
\u22a2 eval ↑i ⁻¹' s ↑i ∈ comap (eval ↑i) (f ↑i)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
\u22a2 Tendsto (fun x => x ^ (1 / x)) atTop (𝓝 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
x✝ : ℝ
\u22a2 x✝ = 1 * x✝ + 0
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
\u22a2 (fun x => x + a) ⁻¹' Ico b c = Ico (b - a) (c - a)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
h : S.LeftHomologyData
\u22a2 h.π ≫ (S.leftHomologyIso.symm ≪≫ h.leftHomologyIso).inv = h.cyclesIso.inv ≫ S.leftHomologyπ ≫ S.leftHomologyIso.hom
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
n m : ℕ
\u22a2 (nim ↑n + nim ↑m).grundyValue = ↑(n ^^^ m)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
n : ℕ
hn : ∀ m < n, ∀ (m_1 : ℕ), (nim ↑m + nim ↑m_1).grundyValue = ↑(m ^^^ m_1)
m : ℕ
\u22a2 (nim ↑n + nim ↑m).grundyValue = ↑(n ^^^ m)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
n : ℕ
hn : ∀ m < n, ∀ (m_1 : ℕ), (nim ↑m + nim ↑m_1).grundyValue = ↑(m ^^^ m_1)
m : ℕ
hm : ∀ m_1 < m, (nim ↑n + nim ↑m_1).grundyValue = ↑(n ^^^ m_1)
\u22a2 (nim ↑n + nim ↑m).grundyValue = ↑(n ^^^ m)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
n : ℕ
hn : ∀ m < n, ∀ (m_1 : ℕ), (nim ↑m + nim ↑m_1).grundyValue = ↑(m ^^^ m_1)
m : ℕ
hm : ∀ m_1 < m, (nim ↑n + nim ↑m_1).grundyValue = ↑(n ^^^ m_1)
\u22a2 (mex fun i => ((nim ↑n + nim ↑m).moveLeft i).grundyValue) = ↑(n ^^^ m)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
n : ℕ
hn : ∀ m < n, ∀ (m_1 : ℕ), (nim ↑m + nim ↑m_1).grundyValue = ↑(m ^^^ m_1)
m : ℕ
hm : ∀ m_1 < m, (nim ↑n + nim ↑m_1).grundyValue = ↑(n ^^^ m_1)
i : (nim ↑n + nim ↑m).LeftMoves
\u22a2 ((nim ↑n + nim ↑m).moveLeft i).grundyValue ≠ ↑(n ^^^ m)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
n : ℕ
hn : ∀ m < n, ∀ (m_1 : ℕ), (nim ↑m + nim ↑m_1).grundyValue = ↑(m ^^^ m_1)
m : ℕ
hm : ∀ m_1 < m, (nim ↑n + nim ↑m_1).grundyValue = ↑(n ^^^ m_1)
ou : Ordinal.{u}
hu : ou < ↑(n ^^^ m)
\u22a2 ∃ i, ((nim ↑n + nim ↑m).moveLeft i).grundyValue = ou
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1
\u22a2 AffineIndependent k p ↔ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) = n
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b : α
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α
a : α
h : ∃ i, p i
this : Nonempty { i // p i }
\u22a2 (⨆ i, ⨆ (h : p i), f i h) ⊔ a = ⨆ i, ⨆ (h : p i), f i h ⊔ a
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Induced.lean
C : Type u_5
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_5} C
inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D
F : C ⥤ D
A : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift C A
s : A → D ⥤ D
i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F
inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full
inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
a b : A
X : C
\u22a2 (add F s i a b).hom.app (F.obj X) = (i (a + b)).hom.app X ≫ F.map ((shiftFunctorAdd C a b).hom.app X) ≫ (i b).inv.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (s b).map ((i a).inv.app X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Induced.lean
C : Type u_5
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_5} C
inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D
F : C ⥤ D
A : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift C A
s : A → D ⥤ D
i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F
inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full
inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
a b : A
X : C
h : whiskerLeft F (add F s i a b).hom = (i (a + b) ≪≫ isoWhiskerRight (shiftFunctorAdd C a b) F ≪≫ (shiftFunctor C a).associator (shiftFunctor C b) F ≪≫ isoWhiskerLeft (shiftFunctor C a) (i b).symm ≪≫ ((shiftFunctor C a).associator F (s b)).symm ≪≫ isoWhiskerRight (i a).symm (s b) ≪≫ F.associator (s a) (s b)).hom
\u22a2 (add F s i a b).hom.app (F.obj X) = (i (a + b)).hom.app X ≫ F.map ((shiftFunctorAdd C a b).hom.app X) ≫ (i b).inv.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (s b).map ((i a).inv.app X)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
\u22a2 (W.Φ n).natDegree ≤ n.natAbs ^ 2
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
a b : α
s : Set α
f : ι → α
\u22a2 (sSup s)ᶜ = ⨅ i ∈ s, iᶜ
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
n : ℕ
h : I ⊔ J = ⊤
\u22a2 I ⊔ J ^ n = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
n : ℕ
h : I ⊔ J = ⊤
\u22a2 I ⊔ ∏ _x ∈ Finset.range n, J = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι✝ : Type u_4
s✝ : Finset ι✝
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
ι : Type u_6
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → V
hw : s.sum w = 0
\u22a2 (s.weightedVSub p) w = ∑ i ∈ s, w i • p i
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s₂ : Seq α
a : α
ss : Seq α
h : a ∈ ss
\u22a2 ∀ {s₁ : Seq α}, a ∈ s₁.append s₂ → s₁.append s₂ = ss → a ∈ s₁ ∨ a ∈ s₂
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s₂ : Seq α
a : α
ss : Seq α
h : a ∈ ss
\u22a2 ∀ (b : α) (s' : Seq α), (a = b ∨ ∀ {s₁ : Seq α}, a ∈ s₁.append s₂ → s₁.append s₂ = s' → a ∈ s₁ ∨ a ∈ s₂) → ∀ {s₁ : Seq α}, a ∈ s₁.append s₂ → s₁.append s₂ = cons b s' → a ∈ s₁ ∨ a ∈ s₂
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
b✝ : α
l : List α
a : α
al✝ : a ∈ b✝ :: l
pa : p a = true
b : α
al : Mem a l
pb : ¬p b = true
c : α
l₁ l₂ : List α
h₁ : ∀ (b : α), b ∈ l₁ → ¬p b = true
h₂ : p c = true
h₃ : l = l₁ ++ c :: l₂
h₄ : eraseP p l = l₁ ++ l₂
\u22a2 b :: l = b :: l₁ ++ c :: l₂
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : AddCommMonoid N
inst✝²¹ : CommSemiring R
inst✝²⁰ : CommSemiring S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : Module R M
inst✝¹⁷ : Module R N
inst✝¹⁶ : Module S N
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid P
inst✝¹³ : Module R P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁰ : CommSemiring T
inst✝⁹ : Algebra R T
inst✝⁸ : Algebra S T
inst✝⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝⁶ : AddCommMonoid O
inst✝⁵ : Module R O
inst✝⁴ : Module S O
inst✝³ : Module T O
inst✝² : IsScalarTower S T O
inst✝¹ : IsScalarTower R S O
inst✝ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
\u22a2 IsBaseChange T (↑R g ∘ₗ f)
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : AddCommMonoid N
inst✝²¹ : CommSemiring R
inst✝²⁰ : CommSemiring S
inst✝¹⁹ : Algebra R S
inst✝¹⁸ : Module R M
inst✝¹⁷ : Module R N
inst✝¹⁶ : Module S N
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid P
inst✝¹³ : Module R P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁰ : CommSemiring T
inst✝⁹ : Algebra R T
inst✝⁸ : Algebra S T
inst✝⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝⁶ : AddCommMonoid O
inst✝⁵ : Module R O
inst✝⁴ : Module S O
inst✝³ : Module T O
inst✝² : IsScalarTower S T O
inst✝¹ : IsScalarTower R S O
inst✝ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
\u22a2 ∀ (Q : Type (max v₁ u_5 u_4)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module T Q] [inst_3 : IsScalarTower R T Q] (g_1 : M →ₗ[R] Q), ∃! g', ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f = g_1
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommSemiring R
inst✝²⁴ : CommSemiring S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommSemiring T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
\u22a2 ∃! g', ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f = i