ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/ZMod/Factorial.lean
n p : ℕ
h : n ≤ p
\u22a2 ∀ x ∈ range n, ↑(p - 1 - x) = -1 * ↑(x + 1)
-- Mathlib/Data/ZMod/Factorial.lean
n p : ℕ
h : n ≤ p
x : ℕ
hx : x ∈ range n
\u22a2 ↑(p - 1 - x) = -1 * ↑(x + 1)
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
\u22a2 (pullback f g).topologicalSpace_coe = induced (⇑(prod.lift (pullback.fst f g) (pullback.snd f g))) (X ⨯ Y).topologicalSpace_coe
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/PInfty.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
\u22a2 (QInfty ≫ QInfty).f n = QInfty.f n
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
a b : FactorSet α
\u22a2 a.prod ≤ b.prod ↔ a ≤ b
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
a b : FactorSet α
h : a.prod ≤ b.prod
\u22a2 a ≤ b
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
a b : FactorSet α
h : a.prod ≤ b.prod
this : a.prod.factors ≤ b.prod.factors
\u22a2 a ≤ b
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/MeasurePreserving.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
g : β → γ
f : α → β
hg : MeasurePreserving g μb μc
hf : MeasurePreserving f μa μb
\u22a2 map (g ∘ f) μa = μc
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
ih' : ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P24 x₁ x₂ y) → P124 a
\u22a2 ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P24 x₂ x₁ y) → P124 a
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
ih' : ∀ (a : Args), TransGen (CutExpand IsOption) (match a with | Args.P1 x y => {y, x} | Args.P24 x₁ x₂ y => {x₁, y, x₂}) {x₁, y, x₂} → P124 a
\u22a2 ∀ (a : Args), TransGen (CutExpand IsOption) (match a with | Args.P1 x y => {y, x} | Args.P24 x₁ x₂ y => {x₁, y, x₂}) {x₂, y, x₁} → P124 a
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
ih' : ∀ (a : Args), TransGen (CutExpand IsOption) (match a with | Args.P1 x y => {y, x} | Args.P24 x₁ x₂ y => {x₁, y, x₂}) {x₁, y, x₂} → P124 a
\u22a2 {x₁, y, x₂} = {x₂, y, x₁}
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
ih' : ∀ (a : Args), TransGen (CutExpand IsOption) (match a with | Args.P1 x y => {y} + {x} | Args.P24 x₁ x₂ y => {x₁} + ({y} + {x₂})) ({x₁} + ({y} + {x₂})) → P124 a
\u22a2 {x₁} + ({y} + {x₂}) = {x₂} + ({y} + {x₁})
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : ι → E
inst✝ : Fintype ι'
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
i' : ι'
\u22a2 (b.reindex e) i' = b (e.symm i')
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Defs.lean
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
m k : R
\u22a2 m % k + m / k * k = m
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Defs.lean
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
m k : R
\u22a2 m % k + k * (m / k) = m
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
inst✝ : IsEmpty ι
μ : ι → Measure α
\u22a2 sum μ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d✝ : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ
\u22a2 c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x - d) = ∫ (x : ℝ) in c * a - d..c * b - d, f x
-- Mathlib/ModelTheory/Encoding.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
t : L.Term α
\u22a2 (fun l => (do let a ← (listDecode l).head? pure (some a)).join) t.listEncode = some t
-- Mathlib/ModelTheory/Encoding.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
t : L.Term α
h : listDecode ([t].bind listEncode) = [t]
\u22a2 (fun l => (do let a ← (listDecode l).head? pure (some a)).join) t.listEncode = some t
-- Mathlib/ModelTheory/Encoding.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
t : L.Term α
h : listDecode t.listEncode = [t]
\u22a2 (fun l => (do let a ← (listDecode l).head? pure (some a)).join) t.listEncode = some t
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
\u22a2 ⌊a + 1⌋₊ = ⌊a⌋₊ + 1
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k✝ : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring k✝
inst✝¹¹ : Monoid G
inst✝¹⁰ : Monoid H
A✝ : Type u₃
inst✝⁹ : Semiring A✝
inst✝⁸ : Algebra k✝ A✝
B : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra k✝ B
k : Type u_4
A : Type u_5
G₁ : Type u_6
G₂ : Type u_7
G₃ : Type u_8
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra k A
inst✝² : Monoid G₁
inst✝¹ : Monoid G₂
inst✝ : Monoid G₃
f : G₁ →* G₂
g : G₂ →* G₃
x✝ : MonoidAlgebra A G₁
\u22a2 (mapDomainAlgHom k A (g.comp f)) x✝ = ((mapDomainAlgHom k A g).comp (mapDomainAlgHom k A f)) x✝
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A[X]
\u22a2 (toFunAlgHom R A) (invFun R A x) = x
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A[X]
\u22a2 ∀ (p q : A[X]), (toFunAlgHom R A) (invFun R A p) = p → (toFunAlgHom R A) (invFun R A q) = q → (toFunAlgHom R A) (invFun R A (p + q)) = p + q
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A[X]
\u22a2 ∀ (n : ℕ) (a : A), (toFunAlgHom R A) (invFun R A ((monomial n) a)) = (monomial n) a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A✝ B A : Matrix n n α
inst✝ : Invertible A
u v : n → α
hM : u = A *ᵥ v
\u22a2 A⁻¹ *ᵥ u = v
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s t u : Set α
f : α → β
ι : Type u_11
Es : ι → Set α
Es_union : ⋃ i, Es i = univ
Es_disj : Pairwise fun i j => Disjoint (Es i) (Es j)
I : Set ι
x : α
\u22a2 x ∈ (⋃ i ∈ I, Es i)ᶜ ↔ x ∈ ⋃ i ∈ Iᶜ, Es i
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s t u : Set α
f : α → β
ι : Type u_11
Es : ι → Set α
Es_union : ⋃ i, Es i = univ
Es_disj : Pairwise fun i j => Disjoint (Es i) (Es j)
I : Set ι
x : α
i : ι
hix : x ∈ Es i
\u22a2 x ∈ (⋃ i ∈ I, Es i)ᶜ ↔ x ∈ ⋃ i ∈ Iᶜ, Es i
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s t u : Set α
f : α → β
ι : Type u_11
Es : ι → Set α
Es_union : ⋃ i, Es i = univ
Es_disj : Pairwise fun i j => Disjoint (Es i) (Es j)
I : Set ι
x : α
i : ι
hix : x ∈ Es i
obs : ∀ (J : Set ι), x ∈ ⋃ j ∈ J, Es j ↔ i ∈ J
\u22a2 x ∈ (⋃ i ∈ I, Es i)ᶜ ↔ x ∈ ⋃ i ∈ Iᶜ, Es i
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s t u : Set α
f : α → β
ι : Type u_11
Es : ι → Set α
Es_union : ⋃ i, Es i = univ
Es_disj : Pairwise fun i j => Disjoint (Es i) (Es j)
I : Set ι
x : α
i : ι
hix : x ∈ Es i
obs : ∀ (J : Set ι), x ∈ ⋃ j ∈ J, Es j ↔ i ∈ J
obs' : ∀ (J : Set ι), x ∈ (⋃ j ∈ J, Es j)ᶜ ↔ i ∉ J
\u22a2 x ∈ (⋃ i ∈ I, Es i)ᶜ ↔ x ∈ ⋃ i ∈ Iᶜ, Es i
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : MeasurableAdd₂ G
inst✝² : MeasurableNeg G
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.IsAddRightInvariant
h1 : f =ᶠ[ae μ] f'
h2 : g =ᶠ[ae μ] g'
x : G
\u22a2 (f ⋆[L, μ] g) x = (f' ⋆[L, μ] g') x
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : MeasurableAdd₂ G
inst✝² : MeasurableNeg G
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.IsAddRightInvariant
h1 : f =ᶠ[ae μ] f'
h2 : g =ᶠ[ae μ] g'
x : G
\u22a2 (fun a => (L (f a)) (g (x - a))) =ᶠ[ae μ] fun a => (L (f' a)) (g' (x - a))
-- Mathlib/Data/List/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
\u22a2 @iterate = @iterateTR
-- Mathlib/Data/List/Defs.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
α : Type u_7
f : α → α
a : α
n : ℕ
\u22a2 iterate f a n = iterateTR f a n
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : CompactSpace α
f : α → β
h : Continuous f
\u22a2 map (Prod.map f f) (𝓤 α) = map (Prod.map f f) (𝓝ˢ (diagonal α))
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/HashMap/WF.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Hashable α
data : Buckets α β
a : α
b : β
\u22a2 (reinsertAux data a b).size = data.size.succ
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/HashMap/WF.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Hashable α
data : Buckets α β
a : α
b : β
\u22a2 Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (data.update (mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val (AssocList.cons a b data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat]) ⋯).val.data) = Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) data.val.data) + 1
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/HashMap/WF.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Hashable α
data : Buckets α β
a : α
b : β
l₁ l₂ : List (AssocList α β)
h₁ : data.val.data = l₁ ++ data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val] :: l₂
left✝ : l₁.length = (mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat
eq : (data.update (mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val (AssocList.cons a b data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat]) ⋯).val.data = l₁ ++ AssocList.cons a b data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat] :: l₂
\u22a2 Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (l₁ ++ AssocList.cons a b data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat] :: l₂)) = Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) data.val.data) + 1
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/HashMap/WF.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Hashable α
data : Buckets α β
a : α
b : β
l₁ l₂ : List (AssocList α β)
h₁ : data.val.data = l₁ ++ data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val] :: l₂
left✝ : l₁.length = (mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat
eq : (data.update (mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val (AssocList.cons a b data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat]) ⋯).val.data = l₁ ++ AssocList.cons a b data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat] :: l₂
\u22a2 Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) l₁) + (data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat].toList.length + Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) l₂) + 1) = Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) l₁) + (data.val[(mkIdx ⋯ (hash a).toUSize).val.toNat].toList.length + Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) l₂)) + 1
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Embedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
e : α ≃ᵐ β
s : Set β
h : MeasurableSet (⇑e ⁻¹' s)
\u22a2 MeasurableSet s
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Unitization.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
s : S
h : ∀ (r : R), r ≠ 0 → (algebraMap R A) r ∉ s
inst✝¹ : FunLike F (Unitization R ↥s) A
inst✝ : AlgHomClass F R (Unitization R ↥s) A
f : F
hf : ∀ (x : ↥s), f ↑x = ↑x
\u22a2 Function.Injective ⇑f
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Unitization.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
s : S
h : ∀ (r : R), r ≠ 0 → (algebraMap R A) r ∉ s
inst✝¹ : FunLike F (Unitization R ↥s) A
inst✝ : AlgHomClass F R (Unitization R ↥s) A
f : F
hf : ∀ (x : ↥s), f ↑x = ↑x
x : Unitization R ↥s
hx : f x = 0
\u22a2 x = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Unitization.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
s : S
h : ∀ (r : R), r ≠ 0 → (algebraMap R A) r ∉ s
inst✝¹ : FunLike F (Unitization R ↥s) A
inst✝ : AlgHomClass F R (Unitization R ↥s) A
f : F
hf : ∀ (x : ↥s), f ↑x = ↑x
r : R
a : ↥s
hx : f (Unitization.inl r + ↑a) = 0
\u22a2 Unitization.inl r + ↑a = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Unitization.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
s : S
h : ∀ (r : R), r ≠ 0 → (algebraMap R A) r ∉ s
inst✝¹ : FunLike F (Unitization R ↥s) A
inst✝ : AlgHomClass F R (Unitization R ↥s) A
f : F
hf : ∀ (x : ↥s), f ↑x = ↑x
r : R
a : ↥s
hx : (algebraMap R A) r + ↑a = 0
\u22a2 Unitization.inl r + ↑a = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Unitization.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
s : S
h : ∀ (r : R), r ≠ 0 → (algebraMap R A) r ∉ s
inst✝¹ : FunLike F (Unitization R ↥s) A
inst✝ : AlgHomClass F R (Unitization R ↥s) A
f : F
hf : ∀ (x : ↥s), f ↑x = ↑x
r : R
a : ↥s
hx : (algebraMap R A) r = -↑a
\u22a2 Unitization.inl r = -↑a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x : A
p : R[X]
\u22a2 (algebraMap R A) (p.coeff 0) = (aeval 0) p
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
\u22a2 N.incl.range = N
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ
\u22a2 completedCosZeta (-a) s = completedCosZeta a s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
\u22a2 W.ΨSq 1 = 1
-- Mathlib/Data/Nat/BitIndices.lean
a n k : ℕ
\u22a2 (2 ^ k).bitIndices = [k]
-- Mathlib/Data/Nat/BitIndices.lean
a n k : ℕ
\u22a2 map (fun x => x + k) (bitIndices 1) = [k]
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
x : Fin (n + 1) → E
\u22a2 o.volumeForm (⇑φ ∘ x) = o.volumeForm x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
x : Fin (n + 1) → E
this : FiniteDimensional ℝ E
\u22a2 o.volumeForm (⇑φ ∘ x) = o.volumeForm x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
x : Fin (n + 1) → E
this : FiniteDimensional ℝ E
\u22a2 o = (map (Fin (n + 1)) φ.toLinearEquiv) o
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
x : Fin (n + 1) → E
this : FiniteDimensional ℝ E
\u22a2 x = ⇑φ.symm ∘ ⇑φ ∘ x
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
α : Type u_9
s : Set (α → Prop)
a : α
\u22a2 sInf s a ↔ ∀ r ∈ s, r a
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
α : Type u_9
s : Set (α → Prop)
a : α
\u22a2 ⨅ f, ↑f a ↔ ∀ r ∈ s, r a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
s b : ℝ
hb : 0 < b
\u22a2 Tendsto (fun x => rexp (b * x) / x ^ s) atTop atTop
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
s b : ℝ
hb : 0 < b
\u22a2 ((fun x => x ^ b) ∘ fun x => rexp x / x ^ (s / b)) =ᶠ[atTop] fun x => rexp (b * x) / x ^ s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
s b : ℝ
hb : 0 < b
x : ℝ
hx₀ : 0 ≤ x
\u22a2 ((fun x => x ^ b) ∘ fun x => rexp x / x ^ (s / b)) x = rexp (b * x) / x ^ s
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
s : AffineSubspace 𝕜 Q
\u22a2 IsClosed ↑s.direction ↔ IsClosed ↑s
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
\u22a2 IsClosed ↑⊥.direction ↔ IsClosed ↑⊥
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
s : AffineSubspace 𝕜 Q
x : Q
hx : x ∈ ↑s
\u22a2 IsClosed ↑s.direction ↔ IsClosed ↑s
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
s : AffineSubspace 𝕜 Q
x : Q
hx : x ∈ ↑s
\u22a2 IsClosed ((fun x_1 => x_1 -ᵥ x) '' ↑s) ↔ IsClosed (⇑(IsometryEquiv.vaddConst x).toHomeomorph.symm '' ↑s)
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
a : α
b₁ b₂ : β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
h : a < 0
\u22a2 b₁ < a⁻¹ • b₂ ↔ b₂ < a • b₁
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
α : Type u
A : α → PSet
y : PSet
x✝ : y ∈ ⋃₀ mk α A
a : (mk α A).Type
c : ((mk α A).Func a).Type
e : y.Equiv ((A a).Func c)
this : (A a).Func c ∈ mk (A a).Type (A a).Func
\u22a2 (A a).Func c ∈ A (?m.17187 α A y x✝ a c e this)
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
α : Type u
A : α → PSet
y : PSet
x✝ : ∃ z ∈ mk α A, y ∈ z
β : Type u
B : β → PSet
a : (mk α A).Type
e : (mk β B).Equiv (A a)
b : (mk β B).Type
yb : y.Equiv ((mk β B).Func b)
\u22a2 y ∈ ⋃₀ mk α A
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
α : Type u
A : α → PSet
y : PSet
x✝ : ∃ z ∈ mk α A, y ∈ z
β : Type u
B : β → PSet
a : (mk α A).Type
e : (mk β B).Equiv (mk (A a).Type (A a).Func)
b : (mk β B).Type
yb : y.Equiv ((mk β B).Func b)
\u22a2 y ∈ ⋃₀ mk α A
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m : ι
hin : n ≤ i
him : i ≤ m
his : u i ω ∈ s
h_exists : ∃ k ∈ Set.Icc n m, u k ω ∈ s
\u22a2 hitting u s n m ω ≤ i
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m : ι
hin : n ≤ i
him : i ≤ m
his : u i ω ∈ s
h_exists : ∃ k ∈ Set.Icc n m, u k ω ∈ s
\u22a2 sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}) ≤ i
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Inverse.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
k✝ : Type u_3
inst✝ : Field k✝
φ₁ φ₂ φ₃ : MvPowerSeries σ k✝
h : (constantCoeff σ k✝) φ₃ ≠ 0
k : φ₁ = φ₂ * φ₃⁻¹
\u22a2 φ₁ * φ₃ = φ₂
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Inverse.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
k✝ : Type u_3
inst✝ : Field k✝
φ₁ φ₂ φ₃ : MvPowerSeries σ k✝
h : (constantCoeff σ k✝) φ₃ ≠ 0
k : φ₁ * φ₃ = φ₂
\u22a2 φ₁ = φ₂ * φ₃⁻¹
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ x y : List α
\u22a2 x ++ y = x ↔ y = []
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p q : ℕ
p_prime : Fact (Nat.Prime p)
q_prime : Fact (Nat.Prime q)
neq : p ≠ q
\u22a2 padicNorm p ↑q = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p✝ q : ℕ
p_prime : Fact (Nat.Prime p✝)
q_prime : Fact (Nat.Prime q)
neq : p✝ ≠ q
p : padicValRat p✝ ↑q = 0
\u22a2 padicNorm p✝ ↑q = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p✝ q : ℕ
p_prime : Fact (Nat.Prime p✝)
q_prime : Fact (Nat.Prime q)
neq : p✝ ≠ q
p : padicValRat p✝ ↑q = 0
\u22a2 (if ↑q = 0 then 0 else ↑p✝ ^ (-0)) = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
β : Type u_5
inst✝ : MeasurableSpace β
ν : Measure β
f : α → ℝ≥0∞
g : β → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g ν
\u22a2 ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f x * g y ∂ν ∂μ = (∫⁻ (x : α), f x ∂μ) * ∫⁻ (y : β), g y ∂ν
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m n R
i : m
j : n
\u22a2 ((LinearMap.stdBasis R (fun x => R) i) 1 ᵥ* M) j = M i j