ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/StandardBorel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : CountablyGenerated γ
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
κ : Kernel α (γ × ℝ)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
s : ℕ → ℚ
hs_mono : Monotone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atTop
\u22a2 Tendsto (fun m => ∫ (c : γ), κ.density κ.fst (a, c).1 (a, c).2 (Iic ↑(s m)) ∂κ.fst a) atTop (𝓝 ((κ.fst a) univ).toReal)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/StandardBorel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : CountablyGenerated γ
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
κ : Kernel α (γ × ℝ)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
s : ℕ → ℚ
hs_mono : Monotone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atTop
\u22a2 Tendsto (fun m => ∫ (c : γ), κ.density κ.fst (a, c).1 (a, c).2 (Iic ↑(s m)) ∂κ.fst a) atTop (𝓝 ((κ a) {p | p.1 ∈ univ}).toReal)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/StandardBorel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : CountablyGenerated γ
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
κ : Kernel α (γ × ℝ)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
s : ℕ → ℚ
hs_mono : Monotone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atTop
s' : ℕ → Set ℝ := fun n => Iic ↑(s n)
\u22a2 Tendsto (fun m => ∫ (c : γ), κ.density κ.fst (a, c).1 (a, c).2 (Iic ↑(s m)) ∂κ.fst a) atTop (𝓝 ((κ a) {p | p.1 ∈ univ}).toReal)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/StandardBorel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : CountablyGenerated γ
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
κ : Kernel α (γ × ℝ)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
s : ℕ → ℚ
hs_mono : Monotone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atTop
s' : ℕ → Set ℝ := fun n => Iic ↑(s n)
\u22a2 Monotone s'
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/StandardBorel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : CountablyGenerated γ
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
κ : Kernel α (γ × ℝ)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
s : ℕ → ℚ
hs_mono : Monotone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atTop
s' : ℕ → Set ℝ := fun n => Iic ↑(s n)
\u22a2 ⋃ i, s' i = univ
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b d m n : ℤ
hb : b ≠ 0
k : ℤ
h : b * a = b * k * d
\u22a2 a = b * k / b * d
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b d m n : ℤ
hb : b ≠ 0
k : ℤ
h : b * a = b * k * d
\u22a2 a = k * d
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝⁸ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : BorelSpace α✝
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : MeasurableSpace δ
α : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
p : Prop
f : δ → α
hf : Measurable f
\u22a2 Measurable fun b => ⨅ (_ : p), f b
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝⁸ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : BorelSpace α✝
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : MeasurableSpace δ
α : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
p : Prop
f : δ → α
hf : Measurable f
\u22a2 Measurable fun b => if h : p then f b else sInf ∅
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
b : ℕ
x✝ : 2 ≤ b + 3
\u22a2 a + (b + 3) ≤ a * (b + 3)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
b : ℕ
x✝ : 2 ≤ b + 3
this : a + (b + 2) ≤ a * (b + 2)
\u22a2 a + (b + 3) ≤ a * (b + 3)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a : ℕ
ha : 2 ≤ a
b : ℕ
x✝ : 2 ≤ b + 3
this : a + (b + 2) ≤ a * (b + 2)
\u22a2 a + (b + 3) ≤ a * (b + 2) + a
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → β → α
S : Set β
\u22a2 UniformEquicontinuousOn F S ↔ UniformContinuousOn (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) S
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → β → α
S : Set β
\u22a2 UniformEquicontinuousOn F S ↔ ∀ i ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x : β × β) in 𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S), ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.2) ∈ UniformFun.gen ι α i
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s t : Finset ι
f : ι → α
i : ι
hs : s.SupIndep f
hts : t ⊆ s
hi : i ∈ s
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊥
\u22a2 f i ≤ t.sup f ↔ i ∈ t
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s t : Finset ι
f : ι → α
i : ι
hs : s.SupIndep f
hts : t ⊆ s
hi : i ∈ s
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊥
h : f i ≤ t.sup f
\u22a2 i ∈ t
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s t : Finset ι
f : ι → α
i : ι
hs : s.SupIndep f
hts : t ⊆ s
hi : i ∈ s
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊥
h : f i ≤ t.sup f
hit : i ∉ t
\u22a2 False
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
\u22a2 t' 𝒰 f g i j k ≫ pullback.fst (fV 𝒰 f g j k) (fV 𝒰 f g j i) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map k) = pullback.snd (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map k)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → β
a : α
h : a ∈ filter p s
\u22a2 f a = if p a then f a else 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → β
a : α
h : a ∈ filter p s
\u22a2 p a
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → β
\u22a2 (∏ a ∈ filter p s, if p a then f a else 1) = ∏ a ∈ s, if p a then f a else 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → β
x : α
hs : x ∈ s
h : x ∉ filter p s
\u22a2 (if p x then f x else 1) = 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → β
x : α
hs : x ∈ s
h : x ∈ s → ¬p x
\u22a2 (if p x then f x else 1) = 1
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/PowerBasis.lean
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x : A
hx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr x) i)
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
\u22a2 ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr (x ^ n)) i)
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/PowerBasis.lean
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x : A
hx : ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr x) i)
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
a✝ : Nontrivial A
\u22a2 ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr (x ^ n)) i)
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/PowerBasis.lean
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x : A
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
a✝ : Nontrivial A
\u22a2 (∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr x) i)) → ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr (x ^ n)) i)
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/PowerBasis.lean
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x : A
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n : ℕ
a✝ : Nontrivial A
\u22a2 (fun n => (∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr x) i)) → ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr (x ^ n)) i)) 0
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/PowerBasis.lean
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra K S
R : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsScalarTower R K S
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
B : PowerBasis S A
hB : IsIntegral R B.gen
inst✝ : IsDomain S
x : A
hmin : minpoly S B.gen = Polynomial.map (algebraMap R S) (minpoly R B.gen)
n✝ : ℕ
a✝ : Nontrivial A
n : ℕ
hn : ∀ m ≤ n, (fun n => (∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr x) i)) → ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr (x ^ n)) i)) m
\u22a2 (fun n => (∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr x) i)) → ∀ (i : Fin B.dim), IsIntegral R ((B.basis.repr (x ^ n)) i)) n.succ
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
h : s.Finite
\u22a2 h.toFinset = s.toFinset
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
h : s.Finite
this : h.fintype = inst✝
\u22a2 h.toFinset = s.toFinset
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/UniqueGluing.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms
inst✝ : PreservesLimits ConcreteCategory.forget
X : TopCat
F : Sheaf C X
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
V : Opens ↑X
iUV : (i : ι) → U i ⟶ V
hcover : V ≤ iSup U
sf : (i : ι) → (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (U i)))
h : IsCompatible F.val U sf
\u22a2 ∃! s, ∀ (i : ι), (F.val.map (iUV i).op) s = sf i
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/UniqueGluing.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms
inst✝ : PreservesLimits ConcreteCategory.forget
X : TopCat
F : Sheaf C X
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
V : Opens ↑X
iUV : (i : ι) → U i ⟶ V
hcover : V ≤ iSup U
sf : (i : ι) → (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (U i)))
h : IsCompatible F.val U sf
V_eq_supr_U : V = iSup U
\u22a2 ∃! s, ∀ (i : ι), (F.val.map (iUV i).op) s = sf i
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/UniqueGluing.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms
inst✝ : PreservesLimits ConcreteCategory.forget
X : TopCat
F : Sheaf C X
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
V : Opens ↑X
iUV : (i : ι) → U i ⟶ V
hcover : V ≤ iSup U
sf : (i : ι) → (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (U i)))
h : IsCompatible F.val U sf
V_eq_supr_U : V = iSup U
gl : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (iSup U)))
gl_spec : IsGluing F.val U sf gl
gl_uniq : ∀ (y : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (iSup U)))), (fun s => IsGluing F.val U sf s) y → y = gl
\u22a2 ∃! s, ∀ (i : ι), (F.val.map (iUV i).op) s = sf i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : LinearIndependent S v
\u22a2 ∃ w, LinearIndependent R w
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : LinearIndependent S v
sec : N → M × ↥p
hsec : ∀ (y : N), (sec y).2 • y = f (sec y).1
\u22a2 ∃ w, LinearIndependent R w
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : LinearIndependent S v
sec : N → M × ↥p
hsec : ∀ (y : N), (sec y).2 • y = f (sec y).1
\u22a2 LinearIndependent R fun i => (sec (v i)).1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → S), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
sec : N → M × ↥p
hsec : ∀ (y : N), (sec y).2 • y = f (sec y).1
\u22a2 ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • (sec (v i)).1 = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → S), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
sec : N → M × ↥p
hsec : ∀ (y : N), (sec y).2 • y = f (sec y).1
t : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ t, g i • (sec (v i)).1 = 0
i : ι
hit : i ∈ t
\u22a2 g i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → S), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
sec : N → M × ↥p
hsec : ∀ (y : N), (sec y).2 • y = f (sec y).1
t : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ t, g i • (sec (v i)).1 = 0
i : ι
hit : i ∈ t
\u22a2 g i * ↑(sec (v i)).2 = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → S), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
sec : N → M × ↥p
hsec : ∀ (y : N), (sec y).2 • y = f (sec y).1
t : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ t, g i • (sec (v i)).1 = 0
i : ι
hit : i ∈ t
\u22a2 (algebraMap R S) (g i * ↑(sec (v i)).2) = (algebraMap R S) 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → S), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
sec : N → M × ↥p
hsec : ∀ (y : N), (sec y).2 • y = f (sec y).1
t : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ t, g i • (sec (v i)).1 = 0
i : ι
hit : i ∈ t
\u22a2 (algebraMap R S) (g i * ↑(sec (v i)).2) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → S), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
sec : N → M × ↥p
hsec : ∀ (y : N), (sec y).2 • y = f (sec y).1
t : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ t, g i • (sec (v i)).1 = 0
i : ι
hit : i ∈ t
\u22a2 ∑ i ∈ t, (fun i => (algebraMap R S) (g i * ↑(sec (v i)).2)) i • v i = 0
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
inst✝¹ : Preorder β₁
inst✝ : Preorder β₂
u₁ : β₁ → α₁
u₂ : β₂ → α₂
\u22a2 map u₁ atTop ×ˢ map u₂ atTop = map (Prod.map u₁ u₂) atTop
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α → β
h : α → β → β
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
a : α
\u22a2 Nat.rec (g a) (fun n IH => h a (n, IH).2) (f a) = (h a)^[f a] (g a)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompareReals.lean
s : Set (ℚ × ℚ)
\u22a2 s ∈ uniformity ℚ ↔ s ∈ uniformity ℚ
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompareReals.lean
s : Set (ℚ × ℚ)
\u22a2 (∃ i, 0 < i ∧ {p | AbsoluteValue.abs (p.2 - p.1) < i} ⊆ s) ↔ ∃ i, 0 < i ∧ {p | dist p.1 p.2 < ↑i} ⊆ s
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e✝ : Pretrivialization F proj
x : Z
e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b✝ : B
y✝ : E b✝
inst✝ : (x : B) → Zero (E x)
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
y : F
\u22a2 { proj := b, snd := e.symm b y } = ↑e.symm (b, y)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Integrable f μ
\u22a2 0 < μ {x | f x ≤ ∫ (a : α), f a ∂μ}
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
s✝ t✝ : Set α
hm : Injective ⇑m
s t : Set β
hs : s ⊆ range ⇑m
ht : t ⊆ range ⇑m
\u22a2 ⇑m '' (⇑m ⁻¹' (s / t)) = ⇑m '' (⇑m ⁻¹' s / ⇑m ⁻¹' t)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Frobenius.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CharP R p
x : 𝕎 R
n : ℕ
\u22a2 (frobenius x).coeff n = ((map (_root_.frobenius R p)) x).coeff n
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
zero : ∀ (i j : ι), ¬c.Rel j i → hom i j = 0
i : ι
\u22a2 (nullHomotopicMap hom).f i = (dNext i) hom + (prevD i) hom + Hom.f 0 i
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
zero : ∀ (i j : ι), ¬c.Rel j i → hom i j = 0
i : ι
\u22a2 (nullHomotopicMap hom).f i = (dNext i) hom + (prevD i) hom
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
n : ℕ
\u22a2 ContinuousOn (fun x => term (n + 1) x) (Ici 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
n : ℕ
\u22a2 ContinuousOn (fun x => ∫ (x_1 : ℝ) in Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1), (x_1 - ↑(n + 1)) / x_1 ^ (x + 1) ∂volume) (Ici 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
n : ℕ
\u22a2 ∀ x ∈ Ici 1, AEStronglyMeasurable (fun a => (a - ↑(n + 1)) / a ^ (x + 1)) (volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)))
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
n : ℕ
\u22a2 ∀ x ∈ Ici 1, ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)), ‖(a - ↑(n + 1)) / a ^ (x + 1)‖ ≤ (a - ↑(n + 1)) / a ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
n : ℕ
\u22a2 Integrable (fun x => (x - ↑(n + 1)) / x ^ 2) (volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)))
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
n : ℕ
\u22a2 ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)), ContinuousOn (fun x => (a - ↑(n + 1)) / a ^ (x + 1)) (Ici 1)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it
\u22a2 it.hasNext = true ↔ r ≠ []
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
f : α → α
hinj : Injective f
x : α
this : (a : Prop) → Decidable a
\u22a2 ∃ a, f a = x
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
f : α → α
hinj : Injective f
x : α
this : (a : Prop) → Decidable a
val✝ : Fintype α
\u22a2 ∃ a, f a = x
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
f : α → α
hinj : Injective f
x : α
this : (a : Prop) → Decidable a
val✝ : Fintype α
h₁ : image f univ = univ
\u22a2 ∃ a, f a = x
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
f : α → α
hinj : Injective f
x : α
this : (a : Prop) → Decidable a
val✝ : Fintype α
h₁ : image f univ = univ
h₂ : x ∈ image f univ
\u22a2 ∃ a, f a = x
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
f : α → α
hinj : Injective f
x : α
this : (a : Prop) → Decidable a
val✝ : Fintype α
h₁ : image f univ = univ
h₂ : x ∈ image f univ
y : α
h : y ∈ univ ∧ f y = x
\u22a2 ∃ a, f a = x