ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.58132
L : Type ?u.58135
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝ : Nontrivial S
\u22a2 (minpolyDiv R x).natDegree + 1 = (minpoly R x).natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.58132
L : Type ?u.58135
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝ : Nontrivial S
\u22a2 (minpolyDiv R x).natDegree + 1 = (minpolyDiv R x).natDegree + (X - C x).natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.58132
L : Type ?u.58135
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝ : Nontrivial S
\u22a2 (minpolyDiv R x).leadingCoeff * (X - C x).leadingCoeff ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
f g : α → β
\u22a2 ∏ x ∈ s, t.piecewise f g x = (∏ x ∈ s ∩ t, f x) * ∏ x ∈ s \ t, g x
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
a : R
\u22a2 (X + C a).Separable
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
a : R
\u22a2 IsCoprime (X + C a) 1
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ≤ b
\u22a2 Icc a b \ Ico a b = {b}
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
\u22a2 M.closure (⋂₀ Js) = ⋂ J ∈ Js, M.closure J
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
\u22a2 (∀ i ∈ Js, M.closure (⋂₀ Js) ⊆ M.closure i) ∧ ⋂ J ∈ Js, M.closure J ⊆ M.closure (⋂₀ Js)
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
hiX : ⋂₀ Js ⊆ I
\u22a2 (∀ i ∈ Js, M.closure (⋂₀ Js) ⊆ M.closure i) ∧ ⋂ J ∈ Js, M.closure J ⊆ M.closure (⋂₀ Js)
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
hiX : ⋂₀ Js ⊆ I
hiI : M.Indep (⋂₀ Js)
\u22a2 (∀ i ∈ Js, M.closure (⋂₀ Js) ⊆ M.closure i) ∧ ⋂ J ∈ Js, M.closure J ⊆ M.closure (⋂₀ Js)
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
hiX : ⋂₀ Js ⊆ I
hiI : M.Indep (⋂₀ Js)
e : α
he : e ∈ ⋂ J ∈ Js, M.closure J
he' : e ∉ M.closure (⋂₀ Js)
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
hiX : ⋂₀ Js ⊆ I
hiI : M.Indep (⋂₀ Js)
e : α
he : ∀ i ∈ Js, e ∈ M.closure i
he' : e ∉ M.closure (⋂₀ Js)
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
hiX : ⋂₀ Js ⊆ I
hiI : M.Indep (⋂₀ Js)
e : α
he : ∀ i ∈ Js, e ∈ M.closure i
he' : e ∉ M.closure (⋂₀ Js)
heEI : e ∈ M.E \ I
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
hiX : ⋂₀ Js ⊆ I
hiI : M.Indep (⋂₀ Js)
e : α
he : ∀ i ∈ Js, e ∈ M.closure i
he' : M.Indep (insert e (⋂₀ Js))
heEI : e ∈ M.E \ I
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
I J✝ B : Set α
f x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
hiX : ⋂₀ Js ⊆ I
hiI : M.Indep (⋂₀ Js)
e : α
he : ∀ i ∈ Js, e ∈ M.closure i
he' : M.Indep (insert e (⋂₀ Js))
heEI : e ∈ M.E \ I
J : Set α
hJI : M.Basis J (insert e I)
heJ : insert e (⋂₀ Js) ⊆ J
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
I J✝ B : Set α
f x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
hiX : ⋂₀ Js ⊆ I
hiI : M.Indep (⋂₀ Js)
e : α
he : ∀ i ∈ Js, e ∈ M.closure i
he' : M.Indep (insert e (⋂₀ Js))
heEI : e ∈ M.E \ I
J : Set α
hJI : M.Basis J (insert e I)
heJ : insert e (⋂₀ Js) ⊆ J
hIb : M.Basis I (insert e I)
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
I J✝ B : Set α
f✝ x y : α
Js : Set (Set α)
hI : M.Indep I
hne : Js.Nonempty
hIs : ∀ J ∈ Js, J ⊆ I
hiX : ⋂₀ Js ⊆ I
hiI : M.Indep (⋂₀ Js)
e : α
he : ∀ i ∈ Js, e ∈ M.closure i
he' : M.Indep (insert e (⋂₀ Js))
heEI : e ∈ M.E \ I
J : Set α
hJI : M.Basis J (insert e I)
heJ : insert e (⋂₀ Js) ⊆ J
hIb : M.Basis I (insert e I)
f : α
hfIJ : f ∈ I \ J
hfb : M.Basis (insert f (J \ {e})) (insert e I)
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
J✝ B : Set α
f✝ x y : α
Js : Set (Set α)
hne : Js.Nonempty
hiI : M.Indep (⋂₀ Js)
e : α
he : ∀ i ∈ Js, e ∈ M.closure i
he' : M.Indep (insert e (⋂₀ Js))
J : Set α
heJ : insert e (⋂₀ Js) ⊆ J
f : α
hI : M.Indep (insert f (J \ {e}))
hIs : ∀ J_1 ∈ Js, J_1 ⊆ insert f (J \ {e})
hiX : ⋂₀ Js ⊆ insert f (J \ {e})
heEI : e ∈ M.E \ insert f (J \ {e})
hJI : M.Basis J (insert e (insert f (J \ {e})))
hIb : M.Basis (insert f (J \ {e})) (insert e (insert f (J \ {e})))
hfIJ : f ∈ insert f (J \ {e}) \ J
hfb : M.Basis (insert f (J \ {e})) (insert e (insert f (J \ {e})))
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
J✝ B : Set α
f✝ x y : α
Js : Set (Set α)
hne : Js.Nonempty
hiI : M.Indep (⋂₀ Js)
e : α
he : ∀ i ∈ Js, e ∈ M.closure i
he' : M.Indep (insert e (⋂₀ Js))
J : Set α
heJ : insert e (⋂₀ Js) ⊆ J
f : α
hI : M.Indep (insert f (J \ {e}))
hIs : ∀ J_1 ∈ Js, J_1 ⊆ insert f (J \ {e})
hiX : ⋂₀ Js ⊆ insert f (J \ {e})
heEI : e ∈ M.E \ insert f (J \ {e})
hJI : M.Basis J (insert e (insert f (J \ {e})))
hIb : M.Basis (insert f (J \ {e})) (insert e (insert f (J \ {e})))
hfIJ : f ∈ insert f (J \ {e}) \ J
hfb : M.Basis (insert f (J \ {e})) (insert e (insert f (J \ {e})))
X : Set α
hX' : X ∈ Js
hfX : f ∉ X
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
J✝ B : Set α
f✝ x y : α
Js : Set (Set α)
hne : Js.Nonempty
hiI : M.Indep (⋂₀ Js)
e : α
he : ∀ i ∈ Js, e ∈ M.closure i
he' : M.Indep (insert e (⋂₀ Js))
J : Set α
heJ : insert e (⋂₀ Js) ⊆ J
f : α
hI : M.Indep (insert f (J \ {e}))
hIs : ∀ J_1 ∈ Js, J_1 ⊆ insert f (J \ {e})
hiX : ⋂₀ Js ⊆ insert f (J \ {e})
heEI : e ∈ M.E \ insert f (J \ {e})
hJI : M.Basis J (insert e (insert f (J \ {e})))
hIb : M.Basis (insert f (J \ {e})) (insert e (insert f (J \ {e})))
hfIJ : f ∈ insert f (J \ {e}) \ J
hfb : M.Basis (insert f (J \ {e})) (insert e (insert f (J \ {e})))
X : Set α
hX' : X ∈ Js
hfX : f ∉ X
hd : M.Dep (insert e X)
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
J✝ B : Set α
f✝ x y : α
Js : Set (Set α)
hne : Js.Nonempty
hiI : M.Indep (⋂₀ Js)
e : α
he : ∀ i ∈ Js, e ∈ M.closure i
he' : M.Indep (insert e (⋂₀ Js))
J : Set α
heJ : insert e (⋂₀ Js) ⊆ J
f : α
hI : M.Indep (insert f (J \ {e}))
hIs : ∀ J_1 ∈ Js, J_1 ⊆ insert f (J \ {e})
hiX : ⋂₀ Js ⊆ insert f (J \ {e})
heEI : e ∈ M.E \ insert f (J \ {e})
hJI : M.Basis J (insert e (insert f (J \ {e})))
hIb : M.Basis (insert f (J \ {e})) (insert e (insert f (J \ {e})))
hfIJ : f ∈ insert f (J \ {e}) \ J
hfb : M.Basis (insert f (J \ {e})) (insert e (insert f (J \ {e})))
X : Set α
hX' : X ∈ Js
hfX : f ∉ X
heX : e ∈ X
\u22a2 False
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (ULift.{v, u} X)
\u22a2 IsOpen s ↔ IsOpen (up ⁻¹' s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
b : P
\u22a2 (s.weightedVSubOfPoint p b) w = ∑ i ∈ s, w i • (p i -ᵥ b)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → R
u : Rˣ
\u22a2 W'.Nonsingular ((fun m => m • Q) u) ↔ W'.Nonsingular Q
-- Mathlib/Analysis/Analytic/RadiusLiminf.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
\u22a2 p.radius = liminf (fun n => 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n))) atTop
-- Mathlib/Analysis/Analytic/RadiusLiminf.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
this : ∀ (r : ℝ≥0) {n : ℕ}, 0 < n → (↑r ≤ 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ↔ ‖p n‖₊ * r ^ n ≤ 1)
\u22a2 p.radius = liminf (fun n => 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n))) atTop
-- Mathlib/Analysis/Analytic/RadiusLiminf.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
this : ∀ (r : ℝ≥0) {n : ℕ}, 0 < n → (↑r ≤ 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ↔ ‖p n‖₊ * r ^ n ≤ 1)
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
\u22a2 ↑r ≤ liminf (fun n => 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n))) atTop
-- Mathlib/Analysis/Analytic/RadiusLiminf.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
this : ∀ (r : ℝ≥0) {n : ℕ}, 0 < n → (↑r ≤ 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ↔ ‖p n‖₊ * r ^ n ≤ 1)
r : ℝ≥0
hr : ↑r < liminf (fun n => 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n))) atTop
\u22a2 ↑r ≤ p.radius
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
V : ℕ → Set (α × α)
hV : ∀ (n : ℕ), V n ∈ 𝓤 α
u : ℕ → α
a : α
hu : Tendsto u atTop (𝓝 a)
\u22a2 ∃ φ, StrictMono φ ∧ (u (φ 0), a) ∈ V 0 ∧ ∀ (n : ℕ), (u (φ (n + 1)), u (φ n)) ∈ V (n + 1)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
V : ℕ → Set (α × α)
hV : ∀ (n : ℕ), V n ∈ 𝓤 α
u : ℕ → α
a : α
hu : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n : ℕ
hn : ∀ b ≥ n, b ∈ u ⁻¹' ball a (Prod.swap ⁻¹' V 0)
\u22a2 ∃ φ, StrictMono φ ∧ (u (φ 0), a) ∈ V 0 ∧ ∀ (n : ℕ), (u (φ (n + 1)), u (φ n)) ∈ V (n + 1)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
V : ℕ → Set (α × α)
hV : ∀ (n : ℕ), V n ∈ 𝓤 α
u : ℕ → α
a : α
hu : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n : ℕ
hn : ∀ b ≥ n, b ∈ u ⁻¹' ball a (Prod.swap ⁻¹' V 0)
φ : ℕ → ℕ
φ_mono : StrictMono φ
hφV : ∀ (n_1 : ℕ), ((u ∘ fun a => a + n) (φ (n_1 + 1)), (u ∘ fun a => a + n) (φ n_1)) ∈ V (n_1 + 1)
\u22a2 ∃ φ, StrictMono φ ∧ (u (φ 0), a) ∈ V 0 ∧ ∀ (n : ℕ), (u (φ (n + 1)), u (φ n)) ∈ V (n + 1)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
\u22a2 A = adjoint B ↔ ∀ (x : E) (y : F), ⟪A x, y⟫_𝕜 = ⟪x, B y⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : ∀ (x : E) (y : F), ⟪A x, y⟫_𝕜 = ⟪x, B y⟫_𝕜
\u22a2 A = adjoint B
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : ∀ (x : E) (y : F), ⟪A x, y⟫_𝕜 = ⟪x, B y⟫_𝕜
x : E
\u22a2 A x = (adjoint B) x
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x y : ℝ*
hx : ¬x.Infinitesimal
hy : y.Infinite
\u22a2 (x * y).Infinite
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x y : ℝ*
hx : ¬x.Infinitesimal
hy : y.Infinite
\u22a2 (y * x).Infinite
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
p : PosNum
\u22a2 ↑(ofZNum (ZNum.pos p)) = (↑p).toNat
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
p : PosNum
\u22a2 ↑(ofZNum (ZNum.pos p)) = (↑↑p).toNat
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
H₁ H₂ : G.Subgraph
h : Disjoint H₁ H₂
\u22a2 H₁.edgeSet ⊓ H₂.edgeSet ≤ ⊥
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b c d : X ⟶ Y
\u22a2 a - c - (b - d) = a - b - (c - d)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b c d : X ⟶ Y
\u22a2 prod.lift (prod.lift a b ≫ σ) (prod.lift c d ≫ σ) ≫ σ = a - b - (c - d)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ TypeMax
x✝¹ : Cone F
x✝ : x✝¹.pt ⟶ (limitCone F).pt
w : ∀ (j : J), x✝ ≫ (limitCone F).π.app j = x✝¹.π.app j
\u22a2 x✝ = (fun s v => ⟨fun j => s.π.app j v, ⋯⟩) x✝¹
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ TypeMax
x✝¹ : Cone F
x✝ : x✝¹.pt ⟶ (limitCone F).pt
w : ∀ (j : J), x✝ ≫ (limitCone F).π.app j = x✝¹.π.app j
x : x✝¹.pt
\u22a2 x✝ x = (fun s v => ⟨fun j => s.π.app j v, ⋯⟩) x✝¹ x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ TypeMax
x✝¹ : Cone F
x✝ : x✝¹.pt ⟶ (limitCone F).pt
w : ∀ (j : J), x✝ ≫ (limitCone F).π.app j = x✝¹.π.app j
x : x✝¹.pt
\u22a2 ↑(x✝ x) = ↑((fun s v => ⟨fun j => s.π.app j v, ⋯⟩) x✝¹ x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ TypeMax
x✝¹ : Cone F
x✝ : x✝¹.pt ⟶ (limitCone F).pt
w : ∀ (j : J), x✝ ≫ (limitCone F).π.app j = x✝¹.π.app j
x : x✝¹.pt
j : J
\u22a2 ↑(x✝ x) j = ↑((fun s v => ⟨fun j => s.π.app j v, ⋯⟩) x✝¹ x) j
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
h : G.Adj u v
\u22a2 (Walk.cons h Walk.nil).IsPath
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hΦ : Isometry Φ
\u22a2 infEdist (Φ x) (Φ '' t) = infEdist x t
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
e'' : PartialEquiv γ δ
\u22a2 ((e.trans e').trans e'').source = (e.trans (e'.trans e'')).source
-- Mathlib/NumberTheory/EllipticDivisibilitySequence.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
n : ℤ
\u22a2 f (normEDS b c d n) = normEDS (f b) (f c) (f d) n
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
hb : 0 < b
\u22a2 0 < a / b
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
hb : 0 < b
\u22a2 0 < a * b⁻¹
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean
r : ℝ
hr : 0 < r
\u22a2 r.sign = 1
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
x : α
\u22a2 s.max = ↑(s.max' H)
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
x : α
\u22a2 s.sup WithBot.some = s.sup (WithBot.some ∘ fun x => x)
-- Mathlib/Data/Nat/Pairing.lean
m n : ℕ
\u22a2 max m n ^ 2 + min m n ≤ if m < n then n * n + m else m * m + m + n
-- Mathlib/Data/Nat/Pairing.lean
m n : ℕ
h : m < n
\u22a2 max m n ^ 2 + min m n ≤ if m < n then n * n + m else m * m + m + n
-- Mathlib/Data/Nat/Pairing.lean
m n : ℕ
h : n ≤ m
\u22a2 max m n ^ 2 + min m n ≤ if m < n then n * n + m else m * m + m + n
-- Mathlib/Data/Nat/Pairing.lean
m n : ℕ
h : n ≤ m
\u22a2 n ≤ m + n
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
S : Type u_1
R R' : Type u
M : Type v
inst✝¹⁸ : CommSemiring S
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : CommSemiring R'
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Algebra S R
inst✝¹³ : Algebra S R'
inst✝¹² : Module S M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁹ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁸ : IsScalarTower S R M
inst✝⁷ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁶ : Module R' M
inst✝⁵ : Module R'ᵐᵒᵖ M
inst✝⁴ : IsCentralScalar R' M
inst✝³ : IsScalarTower S R' M
A : Type u_2
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : Algebra R' A
f : R →ₐ[S] A
g : M →ₗ[S] A
hg : ∀ (x y : M), g x * g y = 0
hfg : ∀ (r : R) (x : M), g (r •> x) = f r * g x
hgf : ∀ (r : R) (x : M), g (x <• r) = g x * f r
r : R
\u22a2 f r + g 0 = f r
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Lemmas.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
k n : ℕ
μ : R
n' : ℕ
hn : k < n' + 1
hμ : IsPrimitiveRoot μ (n' + 1)
\u22a2 ∃ z ∈ adjoin ℤ {μ}, ↑(n' + 1) = z * (μ - 1) ^ k
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Lemmas.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
k n : ℕ
μ : R
m : ℕ
hn : k < m + k + 1
hμ : IsPrimitiveRoot μ (m + k + 1)
\u22a2 ∃ z ∈ adjoin ℤ {μ}, ↑(m + k + 1) = z * (μ - 1) ^ k
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Lemmas.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
k n : ℕ
μ : R
m : ℕ
hn : k < m + k + 1
hμ : IsPrimitiveRoot μ (m + k + 1)
hdvd : ∀ (k : ℕ), ∃ z ∈ adjoin ℤ {μ}, μ ^ k - 1 = z * (μ - 1)
Z : ℕ → R := fun k => Classical.choose ⋯
\u22a2 ∃ z ∈ adjoin ℤ {μ}, ↑(m + k + 1) = z * (μ - 1) ^ k
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Lemmas.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
k n : ℕ
μ : R
m : ℕ
hn : k < m + k + 1
hμ : IsPrimitiveRoot μ (m + k + 1)
hdvd : ∀ (k : ℕ), ∃ z ∈ adjoin ℤ {μ}, μ ^ k - 1 = z * (μ - 1)
Z : ℕ → R := fun k => Classical.choose ⋯
Zdef : ∀ (k : ℕ), Z k ∈ adjoin ℤ {μ} ∧ μ ^ k - 1 = Z k * (μ - 1)
\u22a2 ∃ z ∈ adjoin ℤ {μ}, ↑(m + k + 1) = z * (μ - 1) ^ k
-- Mathlib/Logic/IsEmpty.lean
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
\u22a2 IsEmpty (α ⊕ β) ↔ IsEmpty α ∧ IsEmpty β
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
v : n → R
j : n
x : R
i : n
\u22a2 (Pi.single j x ᵥ* diagonal v) i = Pi.single j (x * v j) i
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
v : n → R
j : n
x : R
i : n
\u22a2 Pi.single j x i * v i = Pi.single j (x * v j) i
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
c : Ordinal.{u}
hc : ℵ₀ < c.cof
hc' : o.card < c.cof
hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), ∀ b < c, f i hi b < c
a : Ordinal.{u}
\u22a2 Cardinal.lift.{u, u} o.card < c.cof
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/FG.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
hs✝ : (map f S).FG
s : Finset B
hs : Algebra.adjoin R ↑s = map f S
\u22a2 map f (Algebra.adjoin R ↑(s.preimage ⇑f ⋯)) = map f S
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/FG.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
hs✝ : (map f S).FG
s : Finset B
hs : Algebra.adjoin R ↑s = map f S
\u22a2 ↑s ⊆ Set.range ⇑f
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/FG.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
hs✝ : (map f S).FG
s : Finset B
hs : Algebra.adjoin R ↑s = map f S
\u22a2 map f S ≤ map f ⊤
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s : Finset α
f : α ≃ β
b : β
\u22a2 b ∈ map f.toEmbedding s ↔ f.symm b ∈ s
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s : Finset α
f : α ≃ β
b : β
\u22a2 (∃ a ∈ s, f.toEmbedding a = b) ↔ f.symm b ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α✝
α : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_6
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
μ : Measure α
A_mble : MeasurableSet A
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
B : Set α
B_mble : MeasurableSet B
B_finmeas : μ B ≠ ⊤
As_le_B : ∀ᶠ (i : ι) in L, As i ⊆ B
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
\u22a2 Tendsto (fun i => μ (As i)) L (𝓝 (μ A))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α✝
α : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_6
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
μ : Measure α
A_mble : MeasurableSet A
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
B : Set α
B_mble : MeasurableSet B
B_finmeas : μ B ≠ ⊤
As_le_B : ∀ᶠ (i : ι) in L, As i ⊆ B
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
\u22a2 Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), (As i).indicator 1 a ∂μ) L (𝓝 (∫⁻ (a : α), A.indicator 1 a ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α✝
α : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
A : Set α
ι : Type u_6
L : Filter ι
inst✝ : L.IsCountablyGenerated
As : ι → Set α
μ : Measure α
A_mble : MeasurableSet A
As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)
B : Set α
B_mble : MeasurableSet B
B_finmeas : μ B ≠ ⊤
As_le_B : ∀ᶠ (i : ι) in L, As i ⊆ B
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
\u22a2 ∀ (x : ι), Measurable ((As x).indicator 1)