ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁶ : LinearOrder ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : SecondCountableTopology ι
inst✝¹ : BorelSpace ι
inst✝ : TopologicalSpace β
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
h : ProgMeasurable f u
hτ : IsStoppingTime f τ
n : ι
hτ_le : ∀ (ω : Ω), τ ω ≤ n
this : stoppedValue u τ = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun ω => (⟨τ ω, ⋯⟩, ω)
\u22a2 StronglyMeasurable (stoppedValue u τ)
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁶ : LinearOrder ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : SecondCountableTopology ι
inst✝¹ : BorelSpace ι
inst✝ : TopologicalSpace β
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
h : ProgMeasurable f u
hτ : IsStoppingTime f τ
n : ι
hτ_le : ∀ (ω : Ω), τ ω ≤ n
this : stoppedValue u τ = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun ω => (⟨τ ω, ⋯⟩, ω)
\u22a2 StronglyMeasurable ((fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun ω => (⟨τ ω, ⋯⟩, ω))
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁶ : LinearOrder ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : SecondCountableTopology ι
inst✝¹ : BorelSpace ι
inst✝ : TopologicalSpace β
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
f : Filtration ι m
h : ProgMeasurable f u
hτ : IsStoppingTime f τ
n : ι
hτ_le : ∀ (ω : Ω), τ ω ≤ n
this : stoppedValue u τ = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun ω => (⟨τ ω, ⋯⟩, ω)
\u22a2 Measurable fun ω => (⟨τ ω, ⋯⟩, ω)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
x : α
\u22a2 (dirac x).prod ν = map (Prod.mk x) ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
x : α
\u22a2 (sum fun p => (dirac x).prod (sFiniteSeq ν p)) = sum fun i => map (Prod.mk x) (sFiniteSeq ν i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
x : α
i : ℕ
\u22a2 (dirac x).prod (sFiniteSeq ν i) = map (Prod.mk x) (sFiniteSeq ν i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
x : α
i : ℕ
s : Set α
t : Set β
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
\u22a2 (map (Prod.mk x) (sFiniteSeq ν i)) (s ×ˢ t) = (dirac x) s * (sFiniteSeq ν i) t
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
\u22a2 StrictConvexOn ℝ (Ici 0) fun x => x ^ n
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
\u22a2 StrictMonoOn (deriv fun x => x ^ n) (interior (Ici 0))
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
\u22a2 StrictMonoOn (fun x => ↑n * x ^ (n - 1)) (Ioi 0)
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
h₂ : 0 < a₂
h₁ : 0 < b₁
h : a₁ • b₁ = a₂ • b₂
\u22a2 a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
h₂ : 0 < a₂
h₁ : 0 < b₁
h : a₁ • b₁ = a₂ • b₂
\u22a2 ¬a₁ < a₂ ∧ ¬b₁ < b₂
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
ha✝ : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
h₂ : 0 < a₂
h₁ : 0 < b₁
h : a₁ • b₁ = a₂ • b₂
ha : a₁ < a₂
\u22a2 a₁ • b₁ < a₂ • b₂
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : SMulWithZero α β
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
ha : a₁ ≤ a₂
hb✝ : b₁ ≤ b₂
h₂ : 0 < a₂
h₁ : 0 < b₁
h : a₁ • b₁ = a₂ • b₂
hb : b₁ < b₂
\u22a2 a₁ • b₁ < a₂ • b₂
-- Mathlib/Topology/Category/LightProfinite/Limits.lean
X Y B : LightProfinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
\u22a2 pullback.fst f g = ((pullback.isLimit f g).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (cospan f g))).hom ≫ Limits.pullback.fst f g
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
\u22a2 cos (2 * ↑π) = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
\u22a2 AddSubmonoid.closure {p | ∃ n a, p = (monomial n) a} = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
\u22a2 ⊤ ≤ AddSubmonoid.closure {p | ∃ n a, p = (monomial n) a}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
\u22a2 AddSubmonoid.closure (⇑(toFinsuppIso R).symm.toAddEquiv '' {f | ∃ a b, f = Finsupp.single a b}) ≤ AddSubmonoid.closure {p | ∃ n a, p = (monomial n) a}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
\u22a2 {f | ∃ a b, f = Finsupp.single a b} ⊆ ⇑(toFinsuppIso R).symm.toAddEquiv ⁻¹' {p | ∃ n a, p = (monomial n) a}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
a : R
\u22a2 Finsupp.single n a ∈ ⇑(toFinsuppIso R).symm.toAddEquiv ⁻¹' {p | ∃ n a, p = (monomial n) a}
-- Mathlib/CategoryTheory/EqToHom.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
β : Sort u_1
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
e : F ≅ G
hobj : ∀ (X : C), F.obj X = G.obj X
happ : ∀ (X : C), e.hom.app X = eqToHom ⋯
X Y : C
f : X ⟶ Y
\u22a2 F.map f = eqToHom ⋯ ≫ G.map f ≫ eqToHom ⋯
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
R I J X Y : Set α
N : Matroid α
h : N <r N
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
R I J X Y : Set α
N : Matroid α
h : { toMatroid := N } < { toMatroid := N }
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂✝ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : I₁ ≤ I₂
\u22a2 map f I₁ ≤ map f I₂
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂✝ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : ∀ ⦃x : L⦄, x ∈ I₁ → x ∈ I₂
\u22a2 map f I₁ ≤ map f I₂
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
x : E
\u22a2 x ∈ ⇑p ⁻¹' Metric.closedBall 0 r ↔ x ∈ {x | p x ≤ r}
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
a : α
\u22a2 round (a - 1) = round a - 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
\u22a2 IsZero T.obj₃ ↔ T.mor₂ = 0 ∧ T.mor₃ = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
\u22a2 T.rotate.mor₁ = 0 ∧ T.rotate.mor₂ = 0 ↔ T.mor₂ = 0 ∧ T.mor₃ = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
\u22a2 T.mor₂ = 0 ∧ T.mor₃ = 0 ↔ T.mor₂ = 0 ∧ T.mor₃ = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk u w
\u22a2 (p.reverseAux q).length = p.length + q.length
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β
F : Filter α
\u22a2 (map f F).NeBot ↔ F.NeBot
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
\u22a2 s.encard + sᶜ.encard = univ.encard
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : OrthonormalBasis (Fin 2) ℝ F
f : F ≃ₗᵢ[ℝ] F'
\u22a2 isometryOfOrthonormal (v.map f) = (isometryOfOrthonormal v).trans f
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : OrthonormalBasis (Fin 2) ℝ F
f : F ≃ₗᵢ[ℝ] F'
\u22a2 orthonormalBasisOneI.repr.trans (v.repr.symm.trans f) = (orthonormalBasisOneI.repr.trans v.repr.symm).trans f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
\u22a2 lineDeriv 𝕜 f x (-v) = -lineDeriv 𝕜 f x v
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
a : P.mp.A
f : P.mp.B a ⟹ α
\u22a2 dest P (g <$$> ⟨a, f⟩) = (g ::: fun x => g <$$> x) <$$> dest P ⟨a, f⟩
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
a : P.mp.A
f : P.mp.B a ⟹ α
\u22a2 dest P ⟨a, g ⊚ f⟩ = (g ::: fun x => g <$$> x) <$$> dest P ⟨a, f⟩
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
a : P.mp.A
f : P.mp.B a ⟹ α
\u22a2 dest P ⟨a, g ⊚ f⟩ = ⟨(PFunctor.M.dest ⟨a, f⟩.fst).fst, splitFun (g ⊚ pathDestLeft P ⋯ ⟨a, f⟩.snd) ((fun x => g <$$> x) ∘ fun x => ⟨(PFunctor.M.dest ⟨a, f⟩.fst).snd x, pathDestRight P ⋯ ⟨a, f⟩.snd x⟩)⟩
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Comp.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g✝ : E → F
f' f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
g : F → G
g' : F →L[𝕜] G
L' : Filter F
hg : HasFDerivAtFilter g g' (f x) L'
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
hL : Tendsto f L L'
\u22a2 HasFDerivAtFilter (g ∘ f) (g'.comp f') x L
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Comp.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g✝ : E → F
f' f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
g : F → G
g' : F →L[𝕜] G
L' : Filter F
hg : HasFDerivAtFilter g g' (f x) L'
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
hL : Tendsto f L L'
eq₁ : (fun x' => g' (f x' - f x - f' (x' - x))) =o[L] fun x' => x' - x := IsBigO.trans_isLittleO (isBigO_comp g' (fun x' => f x' - f x - f' (x' - x)) L) hf.isLittleO
\u22a2 HasFDerivAtFilter (g ∘ f) (g'.comp f') x L
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Comp.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g✝ : E → F
f' f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
g : F → G
g' : F →L[𝕜] G
L' : Filter F
hg : HasFDerivAtFilter g g' (f x) L'
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
hL : Tendsto f L L'
eq₁ : (fun x' => g' (f x' - f x - f' (x' - x))) =o[L] fun x' => x' - x := IsBigO.trans_isLittleO (isBigO_comp g' (fun x' => f x' - f x - f' (x' - x)) L) hf.isLittleO
eq₂ : ((fun x' => g x' - g (f x) - g' (x' - f x)) ∘ f) =o[L] fun x' => x' - x := IsLittleO.trans_isBigO (IsLittleO.comp_tendsto hg.isLittleO hL) (isBigO_sub hf)
\u22a2 HasFDerivAtFilter (g ∘ f) (g'.comp f') x L
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Comp.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g✝ : E → F
f' f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
g : F → G
g' : F →L[𝕜] G
L' : Filter F
hg : HasFDerivAtFilter g g' (f x) L'
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
hL : Tendsto f L L'
eq₁ : (fun x' => g' (f x' - f x - f' (x' - x))) =o[L] fun x' => x' - x := IsBigO.trans_isLittleO (isBigO_comp g' (fun x' => f x' - f x - f' (x' - x)) L) hf.isLittleO
eq₂ : ((fun x' => g x' - g (f x) - g' (x' - f x)) ∘ f) =o[L] fun x' => x' - x := IsLittleO.trans_isBigO (IsLittleO.comp_tendsto hg.isLittleO hL) (isBigO_sub hf)
x' : E
\u22a2 g' (f x' - f x - f' (x' - x)) = g' (f x' - f x) - (g'.comp f') (x' - x)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
\u22a2 spanNorm R ⊤ = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
\u22a2 span {(Algebra.norm R) 1} = ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IndYoneda.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
D : Iᵒᵖ ⥤ C
F : C ⥤ Type u₂
inst✝¹ : HasColimit (D.rightOp ⋙ coyoneda)
inst✝ : HasLimitsOfShape Iᵒᵖ (Type (max u₁ u₂))
f : colimit (D.rightOp ⋙ coyoneda) ⟶ F
i : I
\u22a2 ((colimitCoyonedaHomIsoLimit D F).hom ≫ limit.π (D ⋙ F ⋙ uliftFunctor.{u₁, u₂}) (op i)) f = { down := f.app (D.obj (op i)) ((colimit.ι (D.rightOp ⋙ coyoneda) i).app (D.obj (op i)) (𝟙 (D.obj (op i)))) }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IndYoneda.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
D : Iᵒᵖ ⥤ C
F : C ⥤ Type u₂
inst✝¹ : HasColimit (D.rightOp ⋙ coyoneda)
inst✝ : HasLimitsOfShape Iᵒᵖ (Type (max u₁ u₂))
f : colimit (D.rightOp ⋙ coyoneda) ⟶ F
i : I
\u22a2 ((colimitHomIsoLimitYoneda (D.rightOp ⋙ coyoneda) F).hom ≫ limit.π ((D.rightOp ⋙ coyoneda).op ⋙ yoneda.obj F) (op i) ≫ (isoWhiskerLeft (D ⋙ Prod.sectl C F) (coyonedaLemma C)).hom.app (op i)) f = { down := f.app (D.obj (op i)) ((colimit.ι (D.rightOp ⋙ coyoneda) i).app (D.obj (op i)) (𝟙 (D.obj (op i)))) }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IndYoneda.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
D : Iᵒᵖ ⥤ C
F : C ⥤ Type u₂
inst✝¹ : HasColimit (D.rightOp ⋙ coyoneda)
inst✝ : HasLimitsOfShape Iᵒᵖ (Type (max u₁ u₂))
f : colimit (D.rightOp ⋙ coyoneda) ⟶ F
i : I
\u22a2 ((coyoneda.map (colimit.ι (D.rightOp ⋙ coyoneda) i).op).app F ≫ (isoWhiskerLeft (D ⋙ Prod.sectl C F) (coyonedaLemma C)).hom.app (op i)) f = { down := f.app (D.obj (op i)) ((colimit.ι (D.rightOp ⋙ coyoneda) i).app (D.obj (op i)) (𝟙 (D.obj (op i)))) }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IndYoneda.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
D : Iᵒᵖ ⥤ C
F : C ⥤ Type u₂
inst✝¹ : HasColimit (D.rightOp ⋙ coyoneda)
inst✝ : HasLimitsOfShape Iᵒᵖ (Type (max u₁ u₂))
f : colimit (D.rightOp ⋙ coyoneda) ⟶ F
i : I
\u22a2 Equiv.ulift.symm (coyonedaEquiv (colimit.ι (D.rightOp ⋙ coyoneda) i ≫ f)) = { down := f.app (D.obj (op i)) ((colimit.ι (D.rightOp ⋙ coyoneda) i).app (D.obj (op i)) (𝟙 (D.obj (op i)))) }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IndYoneda.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
D : Iᵒᵖ ⥤ C
F : C ⥤ Type u₂
inst✝¹ : HasColimit (D.rightOp ⋙ coyoneda)
inst✝ : HasLimitsOfShape Iᵒᵖ (Type (max u₁ u₂))
f : colimit (D.rightOp ⋙ coyoneda) ⟶ F
i : I
\u22a2 Equiv.ulift.symm (f.app (D.obj (op i)) ((colimit.ι (D.rightOp ⋙ coyoneda) i).app (D.obj (op i)) (𝟙 (D.obj (op i))))) = { down := f.app (D.obj (op i)) ((colimit.ι (D.rightOp ⋙ coyoneda) i).app (D.obj (op i)) (𝟙 (D.obj (op i)))) }
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 < p
f : α → ℝ≥0∞
a : α
\u22a2 funMulInvSnorm f p μ a ^ p = f a ^ p * (∫⁻ (c : α), f c ^ p ∂μ)⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 < p
f : α → ℝ≥0∞
a : α
\u22a2 f a ^ p * ((∫⁻ (c : α), f c ^ p ∂μ) ^ (1 / p))⁻¹ ^ p = f a ^ p * (∫⁻ (c : α), f c ^ p ∂μ)⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 < p
f : α → ℝ≥0∞
a : α
\u22a2 ((∫⁻ (c : α), f c ^ p ∂μ) ^ (1 / p))⁻¹ ^ p = (∫⁻ (c : α), f c ^ p ∂μ)⁻¹
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
I J : Ideal S
coprime : IsCoprime I J
\u22a2 cardQuot (I * J) = cardQuot I * cardQuot J
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
\u22a2 s.SSameSide x y ↔ s.SSameSide y x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
e : K ≌ J
inst✝ : HasColimit (e.functor ⋙ F)
this : HasColimit (e.inverse ⋙ e.functor ⋙ F)
\u22a2 HasColimit F
-- Mathlib/Algebra/Lie/Abelian.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
m✝ : ↥↑(maxTrivSubmodule R L M)
\u22a2 ↑((maxTrivEquiv LieModuleEquiv.refl) m✝) = ↑(LieModuleEquiv.refl m✝)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
\u22a2 (μ.restrict s) t = μ (t ∩ s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Exposed.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : ContinuousAdd 𝕜
A : Set E
w : E
l₁ : E →L[𝕜] 𝕜
hB : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₁ y ≤ l₁ x}
hwB : w ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₁ y ≤ l₁ x}
l₂ : E →L[𝕜] 𝕜
hC : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₂ y ≤ l₂ x}
hwC : w ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₂ y ≤ l₂ x}
\u22a2 ∃ l, {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₁ y ≤ l₁ x} ∩ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₂ y ≤ l₂ x} = {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l y ≤ l x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Exposed.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : ContinuousAdd 𝕜
A : Set E
w : E
l₁ : E →L[𝕜] 𝕜
hB : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₁ y ≤ l₁ x}
hwB : w ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₁ y ≤ l₁ x}
l₂ : E →L[𝕜] 𝕜
hC : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₂ y ≤ l₂ x}
hwC : w ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₂ y ≤ l₂ x}
\u22a2 {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₁ y ≤ l₁ x} ∩ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₂ y ≤ l₂ x} ⊆ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, (l₁ + l₂) y ≤ (l₁ + l₂) x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Exposed.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : ContinuousAdd 𝕜
A : Set E
w : E
l₁ : E →L[𝕜] 𝕜
hB : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₁ y ≤ l₁ x}
hwB : w ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₁ y ≤ l₁ x}
l₂ : E →L[𝕜] 𝕜
hC : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₂ y ≤ l₂ x}
hwC : w ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₂ y ≤ l₂ x}
\u22a2 {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, (l₁ + l₂) y ≤ (l₁ + l₂) x} ⊆ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₁ y ≤ l₁ x} ∩ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, l₂ y ≤ l₂ x}
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
x x✝ : E
\u22a2 (sSup ∅) x✝ = ⊥ x✝
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
x x✝ : E
\u22a2 0 = ⊥ x✝