ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.23, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.27, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
f : F' ⟶ F
X Y : D
g : X ⟶ Y
\u22a2 adj2.unit.app (G.obj X) ≫ G'.map (F'.map (G.map g) ≫ f.app (G.obj Y) ≫ adj1.counit.app Y) = (adj2.unit.app (G.obj X) ≫ G'.map (f.app (G.obj X) ≫ adj1.counit.app X)) ≫ G'.map g
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.23, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.27, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
f : G ⟶ G'
X : D
\u22a2 ((fun f => { app := fun X => adj2.unit.app (G.obj X) ≫ G'.map (f.app (G.obj X) ≫ adj1.counit.app X), naturality := ⋯ }) ((fun f => { app := fun X => F'.map ((adj1.unit ≫ whiskerLeft F f).app X) ≫ adj2.counit.app (F.obj X), naturality := ⋯ }) f)).app X = f.app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.23, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.27, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
f : G ⟶ G'
X : D
\u22a2 adj1.unit.app (G.obj X) ≫ f.app (F.obj (G.obj X)) ≫ G'.map (adj1.counit.app X) = f.app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.23, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.27, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
f : G ⟶ G'
X : D
\u22a2 (adj1.unit.app (G.obj X) ≫ G.map (adj1.counit.app X)) ≫ f.app ((𝟭 D).obj X) = f.app X
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
\u22a2 LieModule.IsNilpotent R L ↥↑N ↔ ∃ k, N ≤ ucs k ⊥
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p
hn : n ≠ 0
\u22a2 ¬p ∣ n / p ^ n.factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p
hn : n ≠ 0
\u22a2 ¬1 ≤ (n / p ^ n.factorization p).factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p
hn : n ≠ 0
\u22a2 ¬1 ≤ (n.factorization - (p ^ n.factorization p).factorization) p
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
K : Set (Subgroup G)
Kne : K.Nonempty
hK : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
x : G
\u22a2 x ∈ sSup K ↔ ∃ s ∈ K, x ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
K : Set (Subgroup G)
Kne : K.Nonempty
hK : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
x : G
this : Nonempty ↑K
\u22a2 x ∈ sSup K ↔ ∃ s ∈ K, x ∈ s
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M
\u22a2 weightedTotalDegree w 0 = ⊥
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
h : 0 ≤ θ.sign
\u22a2 ↑|θ.toReal| = θ
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : ∀ (x : X), (𝓝[≠] x).NeBot
s : Set X
hs : Dense s
t : Finset X
\u22a2 Dense (s \ ↑t)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
o : Ordinal.{u_1}
\u22a2 let_fun this := ⋯; HEq (nim o).moveLeft fun i => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) i)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
o : Ordinal.{u_1}
\u22a2 let_fun this := ⋯; HEq (mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)).moveLeft fun i => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) i)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : ZNum
\u22a2 -n.pred = (-n).succ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W : Submodule K V
inst✝ : Module.Free K ↥W
\u22a2 Module.rank K ↥W ≤ 1 ↔ W.IsPrincipal
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W : Submodule K V
inst✝ : Module.Free K ↥W
\u22a2 (∃ v₀, ∀ (v : ↥W), ∃ r, r • v₀ = v) ↔ ∃ a, (∀ v ∈ W, ∃ r, r • a = v) ∧ a ∈ W
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Karoubi.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.14791, u_1} C
P : Karoubi C
\u22a2 P.p = P.p ≫ P.p ≫ P.p
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
mb : MeasurableSpace β
ν : Measure β
g : α → β
hg : MeasurePreserving g μ ν
f : β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
\u22a2 ∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ = ∫⁻ (b : β), f b ∂ν
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s
\u22a2 p ⟨b, hb⟩
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s
\u22a2 ∃ (x : b ∈ adjoin R s), p ⟨b, x⟩
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s
\u22a2 ∀ x ∈ s, ∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s
\u22a2 ∀ (r : R), ∃ (x : (_root_.algebraMap R A) r ∈ adjoin R s), p ⟨(_root_.algebraMap R A) r, x⟩
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s
\u22a2 ∀ (x y : A), (∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩) → (∃ (x : y ∈ adjoin R s), p ⟨y, x⟩) → ∃ (x_1 : x + y ∈ adjoin R s), p ⟨x + y, x_1⟩
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s
\u22a2 ∀ (x y : A), (∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩) → (∃ (x : y ∈ adjoin R s), p ⟨y, x⟩) → ∃ (x_1 : x * y ∈ adjoin R s), p ⟨x * y, x_1⟩
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s
\u22a2 ∀ (x : A), (∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩) → ∃ (x_1 : Star.star x ∈ adjoin R s), p ⟨Star.star x, x_1⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Basic.lean
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
\u22a2 f ◁ (ρ_ g).hom = (α_ f g (𝟙 c)).inv ≫ (ρ_ (f ≫ g)).hom
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G
\u22a2 RightCosetEquivalence (↑H) g ↑(hHT.equiv g).2
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G
\u22a2 (↑(hHT.equiv g).1)⁻¹ * g * g⁻¹ ∈ H
-- Mathlib/Algebra/Regular/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : MulZeroClass R
a b : R
\u22a2 ¬IsRightRegular 0 ↔ Nontrivial R
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/UniformConvergence.lean
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ
hx : x ≠ 0
\u22a2 r z * ‖x‖ ≤ Complex.abs (↑(x 0) * ↑z + ↑(x 1))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/UniformConvergence.lean
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ
hx : x ≠ 0
hn0 : ‖x‖ ≠ 0
\u22a2 r z * ‖x‖ ≤ Complex.abs (↑(x 0) * ↑z + ↑(x 1))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/UniformConvergence.lean
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ
hx : x ≠ 0
hn0 : ‖x‖ ≠ 0
h11 : ↑(x 0) * ↑z + ↑(x 1) = (↑(x 0) / ↑‖x‖ * ↑z + ↑(x 1) / ↑‖x‖) * ↑‖x‖
\u22a2 r z * ‖x‖ ≤ Complex.abs (↑(x 0) * ↑z + ↑(x 1))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/UniformConvergence.lean
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ
hx : x ≠ 0
hn0 : ‖x‖ ≠ 0
h11 : ↑(x 0) * ↑z + ↑(x 1) = (↑(x 0) / ↑‖x‖ * ↑z + ↑(x 1) / ↑‖x‖) * ↑‖x‖
\u22a2 r z * ↑(max (x 0).natAbs (x 1).natAbs) ≤ Complex.abs (↑(x 0) / ↑↑(max (x 0).natAbs (x 1).natAbs) * ↑z + ↑(x 1) / ↑↑(max (x 0).natAbs (x 1).natAbs)) * ↑(max (x 0).natAbs (x 1).natAbs)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Multilinear/Basic.lean
R : Type u
ι : Type v
n : ℕ
M✝ : Fin n.succ → Type w
M₁ : ι → Type w₁
M₁' : ι → Type w₁'
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
M₄ : Type w₄
M : Type u_1
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ContinuousMul R
inst✝ : ContinuousSMul R M
z : M
\u22a2 ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι z = 0 ↔ z = 0
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
\u22a2 CharZero R ↔ ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → ↑p ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
h : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → ↑p ≠ 0
\u22a2 CharZero R
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
h : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → ↑p ≠ 0
p : ℕ := ringChar R
\u22a2 CharZero R
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ
\u22a2 Supermartingale f 𝒢 μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ
\u22a2 Supermartingale (- -f) 𝒢 μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ
\u22a2 ∀ (i : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, (-f) i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, (-f) (i + 1) ω ∂μ
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
\u22a2 ℵ₀ ≤ a + b ↔ ℵ₀ ≤ a ∨ ℵ₀ ≤ b
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
\u22a2 x.num * q = p * x.denom ↔ x = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
\u22a2 (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.num * q) = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (p * x.denom) ↔ x * (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
\u22a2 (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.num * q) = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (p * x.denom) ↔ (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.num / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.denom * (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
\u22a2 (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.denom ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Measure.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I : Box ι
\u22a2 (volume ↑I).toReal = ∏ i : ι, (I.upper i - I.lower i)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
\u22a2 (o.oangle x (-y)).sign = -(o.oangle x y).sign
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
\u22a2 Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 √π)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
a : ℝ
hapos : 0 < a
halimit : Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 a)
\u22a2 Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 √π)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
a : ℝ
hapos : 0 < a
halimit : Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 a)
hπ : π / 2 = a ^ 2 / 2
\u22a2 Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 √π)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝ x : 𝕜
\u22a2 iteratedDeriv (n + 1) f x = deriv (iteratedDeriv n f) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝ x : 𝕜
\u22a2 iteratedDerivWithin (n + 1) f univ x = derivWithin (iteratedDerivWithin n f univ) univ x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Over.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : X ⟶ Y
U : Over X
S : Sieve U
hS : S ∈ (J.over X).sieves U
\u22a2 Sieve.functorPushforward (Over.map f) S ∈ (J.over Y).sieves ((Over.map f).obj U)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Over.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : X ⟶ Y
U : Over X
S : Sieve U.left
hS : (Sieve.overEquiv U).symm S ∈ (J.over X).sieves U
\u22a2 Sieve.functorPushforward (Over.map f) ((Sieve.overEquiv U).symm S) ∈ (J.over Y).sieves ((Over.map f).obj U)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Over.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : X ⟶ Y
U : Over X
S : Sieve U.left
hS : (Sieve.overEquiv U).symm S ∈ (J.over X).sieves U
\u22a2 (Sieve.overEquiv ((Over.map f).obj U)).symm S ∈ (J.over Y).sieves ((Over.map f).obj U)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Over.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : X ⟶ Y
U : Over X
S : Sieve U.left
hS : (Sieve.overEquiv U).symm S ∈ (J.over X).sieves U
\u22a2 S ∈ J.sieves ((Over.map f).obj U).left
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝ : Fintype κ
f : Matrix ι ι R
\u22a2 LinearMap.det (toLin' f) = f.det
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
\u22a2 eLpNorm f_lim ⊤ μ = essSup (fun x => liminf (fun m => ↑‖f m x‖₊) atTop) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
\u22a2 essSup (fun x => ↑‖f_lim x‖₊) μ = essSup (fun x => liminf (fun m => ↑‖f m x‖₊) atTop) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
x : α
hx : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
\u22a2 (fun x => ↑‖f_lim x‖₊) x = (fun x => liminf (fun m => ↑‖f m x‖₊) atTop) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
x : α
hx : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
\u22a2 ↑‖f_lim x‖₊ = liminf (fun m => ↑‖f m x‖₊) atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
x : α
hx : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
\u22a2 Tendsto (fun m => ↑‖f m x‖₊) atTop (𝓝 ↑‖f_lim x‖₊)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
x : α
hx : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
\u22a2 Tendsto (fun m => ‖f m x‖₊) atTop (𝓝 ‖f_lim x‖₊)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g✝ : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
f g : α → E
h : Disjoint (support f) (support g)
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
\u22a2 Integrable (f + g) μ ↔ Integrable f μ ∧ Integrable g μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g✝ : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
f g : α → E
h : Disjoint (support f) (support g)
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
hfg : Integrable (f + g) μ
\u22a2 Integrable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g✝ : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
f g : α → E
h : Disjoint (support f) (support g)
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
hfg : Integrable (f + g) μ
\u22a2 Integrable g μ
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : a < 0
hb : b < 0
\u22a2 1 / a ≤ 1 / b ↔ b ≤ a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : Nonempty α
f : ↥(lp E ⊤)
C : ℝ
hCf : ∀ (i : α), ‖↑f i‖ ≤ C
\u22a2 ‖f‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : Nonempty α
f : ↥(lp E ⊤)
C : ℝ
hCf : ∀ (i : α), ‖↑f i‖ ≤ C
\u22a2 C ∈ upperBounds (Set.range fun i => ‖↑f i‖)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
X : TopCat
U : Opens ↑X
R : Presieve U
hR : Sieve.generate R ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑X).sieves U
\u22a2 iSup (coveringOfPresieve U R) = U
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
X : TopCat
U : Opens ↑X
R : Presieve U
hR : Sieve.generate R ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑X).sieves U
\u22a2 iSup (coveringOfPresieve U R) ≤ U
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
X : TopCat
U : Opens ↑X
R : Presieve U
hR : Sieve.generate R ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑X).sieves U
\u22a2 U ≤ iSup (coveringOfPresieve U R)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
X : TopCat
U : Opens ↑X
R : Presieve U
hR : Sieve.generate R ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑X).sieves U
x : ↑X
hxU : x ∈ ↑U
\u22a2 x ∈ ↑(iSup (coveringOfPresieve U R))