ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
\u22a2 {p | ∅ ⊆ ↑p} = ∅ ↔ Set.univ = ∅
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : AddCircle T → E
c : ℂ
n : ℤ
\u22a2 fourierCoeff (c • f) n = c • fourierCoeff f n
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Basic.lean
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville ↑{ num := a, den := b, den_nz := bN0, reduced := cop }
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Basic.lean
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Basic.lean
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
p q : ℤ
q1 : 1 < q
a0 : ↑a / ↑b ≠ ↑p / ↑q
a1 : |↑a / ↑b - ↑p / ↑q| < 1 / ↑q ^ (b + 1)
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Basic.lean
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
p q : ℤ
q1 : 1 < q
a0 : ↑a / ↑b ≠ ↑p / ↑q
a1 : |↑a / ↑b - ↑p / ↑q| < 1 / ↑q ^ (b + 1)
qR0 : 0 < ↑q
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Basic.lean
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
p q : ℤ
q1 : 1 < q
a0 : ↑a / ↑b ≠ ↑p / ↑q
a1 : |↑a / ↑b - ↑p / ↑q| < 1 / ↑q ^ (b + 1)
qR0 : 0 < ↑q
b0 : ↑b ≠ 0
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Basic.lean
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
p q : ℤ
q1 : 1 < q
a0 : ↑a / ↑b ≠ ↑p / ↑q
a1 : |↑a / ↑b - ↑p / ↑q| < 1 / ↑q ^ (b + 1)
qR0 : 0 < ↑q
b0 : ↑b ≠ 0
bq0 : 0 < ↑b * ↑q
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Basic.lean
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
p q : ℤ
q1 : 1 < q
a0 : ↑a / ↑b ≠ ↑p / ↑q
qR0 : 0 < ↑q
b0 : ↑b ≠ 0
bq0 : 0 < ↑b * ↑q
a1 : |a * q - ↑b * p| * q ^ (b + 1) < ↑b * q
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Basic.lean
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
p q : ℤ
q1 : 1 < q
qR0 : 0 < ↑q
b0 : ↑b ≠ 0
bq0 : 0 < ↑b * ↑q
a1 : |a * q - ↑b * p| * q ^ (b + 1) < ↑b * q
a0 : a * q - ↑b * p ≠ 0
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Basic.lean
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
p : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
q : ℕ
q1 : 1 < ↑q
qR0 : 0 < ↑↑q
bq0 : 0 < ↑b * ↑↑q
a1 : |a * ↑q - ↑b * p| * ↑q ^ (b + 1) < ↑b * ↑q
a0 : a * ↑q - ↑b * p ≠ 0
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Basic.lean
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
p : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
q : ℕ
q1 : 1 < ↑q
qR0 : 0 < ↑↑q
bq0 : 0 < ↑b * ↑↑q
a1 : |a * ↑q - ↑b * p| * ↑q ^ (b + 1) < ↑b * ↑q
a0 : a * ↑q - ↑b * p ≠ 0
ap : 0 < |a * ↑q - ↑b * p|
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Basic.lean
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
p : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
q : ℕ
q1 : 1 < ↑q
qR0 : 0 < ↑↑q
bq0 : 0 < ↑b * ↑↑q
a0 : a * ↑q - ↑b * p ≠ 0
e : ℕ
he : ↑e = |a * ↑q - ↑b * p|
a1✝ a1 : ↑e * ↑q ^ (b + 1) < ↑b * ↑q
ap✝ ap : 0 < ↑e
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Basic.lean
a : ℤ
b : ℕ
bN0 : b ≠ 0
cop : a.natAbs.Coprime b
h : Liouville (↑a / ↑b)
p : ℤ
b0 : ↑b ≠ 0
q : ℕ
qR0 : 0 < ↑↑q
bq0 : 0 < ↑b * ↑↑q
a0 : a * ↑q - ↑b * p ≠ 0
e : ℕ
he : ↑e = |a * ↑q - ↑b * p|
a1✝ : ↑e * ↑q ^ (b + 1) < ↑b * ↑q
ap✝ : 0 < ↑e
a1 : e * q ^ (b + 1) < b * q
ap : 0 < e
q1 : 1 < q
\u22a2 False
-- Mathlib/ModelTheory/Ultraproducts.lean
α : Type u_1
M : α → Type u_2
u : Ultrafilter α
L : Language
inst✝¹ : (a : α) → L.Structure (M a)
inst✝ : ∀ (a : α), Nonempty (M a)
β : Type u_3
φ : L.Formula β
x : β → (a : α) → M a
\u22a2 (φ.Realize fun i => Quotient.mk' (x i)) ↔ ∀ᶠ (a : α) in ↑u, φ.Realize fun i => x i a
-- Mathlib/ModelTheory/Ultraproducts.lean
α : Type u_1
M : α → Type u_2
u : Ultrafilter α
L : Language
inst✝¹ : (a : α) → L.Structure (M a)
inst✝ : ∀ (a : α), Nonempty (M a)
β : Type u_3
φ : L.Formula β
x : β → (a : α) → M a
\u22a2 BoundedFormula.Realize φ (fun i => Quotient.mk' (x i)) default = BoundedFormula.Realize φ (fun i => Quotient.mk' (x i)) fun i => Quotient.mk' fun a => default i
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b c d : Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u_1}
\u22a2 1 ⨳ a = a
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
F : LaxBraidedFunctor C D
G : LaxBraidedFunctor D E
X Y : C
\u22a2 (G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ G.map (F.μ X Y)) ≫ G.map (F.map (β_ X Y).hom) = (β_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y))).hom ≫ G.μ (F.obj Y) (F.obj X) ≫ G.map (F.μ Y X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
F : LaxBraidedFunctor C D
G : LaxBraidedFunctor D E
X Y : C
\u22a2 G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ G.map (β_ (F.obj X) (F.obj Y)).hom ≫ G.map (F.μ Y X) = (β_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y))).hom ≫ G.μ (F.obj Y) (F.obj X) ≫ G.map (F.μ Y X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
F : LaxBraidedFunctor C D
G : LaxBraidedFunctor D E
X Y : C
\u22a2 ((β_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y))).hom ≫ G.μ (F.obj Y) (F.obj X)) ≫ G.map (F.μ Y X) = (β_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y))).hom ≫ G.μ (F.obj Y) (F.obj X) ≫ G.map (F.μ Y X)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
n : ℤ
z τ : ℂ
\u22a2 ‖jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ‖ ≤ 3 * π * ↑|n| ^ 2 * ‖jacobiTheta₂_term n z τ‖
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
n : ℤ
z τ : ℂ
hns : ∀ (a : ℂ) (f : ℂ × ℂ →L[ℂ] ℂ), ‖a • f‖ = ‖a‖ * ‖f‖
\u22a2 ‖jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ‖ ≤ 3 * π * ↑|n| ^ 2 * ‖jacobiTheta₂_term n z τ‖
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
n : ℤ
z τ : ℂ
hns : ∀ (a : ℂ) (f : ℂ × ℂ →L[ℂ] ℂ), ‖a • f‖ = ‖a‖ * ‖f‖
\u22a2 ‖cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)‖ * ‖(2 * ↑π * I * ↑n) • ContinuousLinearMap.fst ℂ ℂ ℂ + (↑π * I * ↑n ^ 2) • ContinuousLinearMap.snd ℂ ℂ ℂ‖ ≤ ‖cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)‖ * (2 * π * ↑|n| ^ 2 + 1 * π * ↑|n| ^ 2)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
n : ℤ
z τ : ℂ
hns : ∀ (a : ℂ) (f : ℂ × ℂ →L[ℂ] ℂ), ‖a • f‖ = ‖a‖ * ‖f‖
\u22a2 ‖(2 * ↑π * I * ↑n) • ContinuousLinearMap.fst ℂ ℂ ℂ‖ ≤ 2 * π * ↑|n| ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
n : ℤ
z τ : ℂ
hns : ∀ (a : ℂ) (f : ℂ × ℂ →L[ℂ] ℂ), ‖a • f‖ = ‖a‖ * ‖f‖
\u22a2 ‖(↑π * I * ↑n ^ 2) • ContinuousLinearMap.snd ℂ ℂ ℂ‖ ≤ 1 * π * ↑|n| ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Four.lean
hprimes : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → Odd p → FermatLastTheoremFor p
n : ℕ
h : n ≥ 3
\u22a2 FermatLastTheoremFor n
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Four.lean
hprimes : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → Odd p → FermatLastTheoremFor p
n : ℕ
h : n ≥ 3
hdvd : 4 ∣ n
\u22a2 FermatLastTheoremWith ℕ 4
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Four.lean
hprimes : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → Odd p → FermatLastTheoremFor p
n : ℕ
h : n ≥ 3
p : ℕ
hpprime : Nat.Prime p
hdvd : p ∣ n
hpodd : Odd p
\u22a2 FermatLastTheoremWith ℕ p
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
β : Type u_7
inst✝² : Group β
inst✝¹ : LE β
inst✝ : CovariantClass β β (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : α → β
\u22a2 1 ≤ᶠ[ae μ] g / f ↔ f ≤ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
β : Type u_7
inst✝² : Group β
inst✝¹ : LE β
inst✝ : CovariantClass β β (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : α → β
h : 1 ≤ᶠ[ae μ] g / f
a : α
ha : 1 a ≤ (g / f) a
\u22a2 f a ≤ g a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
β : Type u_7
inst✝² : Group β
inst✝¹ : LE β
inst✝ : CovariantClass β β (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : α → β
h : f ≤ᶠ[ae μ] g
a : α
ha : f a ≤ g a
\u22a2 1 a ≤ (g / f) a
-- Mathlib/Data/Complex/ExponentialBounds.lean
\u22a2 |rexp 1 - 363916618873 / 133877442384| ≤ 1 / 10 ^ 20
-- Mathlib/Data/Complex/ExponentialBounds.lean
\u22a2 |rexp 1 - expNear 0 1 (363916618873 / 133877442384)| ≤ |1| ^ 0 / ↑(Nat.factorial 0) * (1 / 10 ^ 20)
-- Mathlib/Data/Complex/ExponentialBounds.lean
\u22a2 |rexp 1 - expNear 21 1 ((((((((((((((((((((((363916618873 / 133877442384 - 1) * 1 - 1) * 2 - 1) * 3 - 1) * 4 - 1) * 5 - 1) * 6 - 1) * 7 - 1) * 8 - 1) * 9 - 1) * 10 - 1) * 11 - 1) * 12 - 1) * 13 - 1) * 14 - 1) * 15 - 1) * 16 - 1) * 17 - 1) * 18 - 1) * 19 - 1) * 20 - 1) * 21)| ≤ |1| ^ 21 / ↑(Nat.factorial 21) * (1 / 10 ^ 20 * 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 11 * 12 * 13 * 14 * 15 * 16 * 17 * 18 * 19 * 20 * 21)
-- Mathlib/Data/Complex/ExponentialBounds.lean
\u22a2 |rexp 1 - expNear 21 1 (36295539 / 44271641)| ≤ |1| ^ 21 / ↑(Nat.factorial 21) * (311834363841 / 610351562500)
-- Mathlib/Data/Complex/ExponentialBounds.lean
\u22a2 |1 - 36295539 / 44271641| ≤ 311834363841 / 610351562500 - |1| / 22 * ((22 + 1) / 22)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
K₀ : PositiveCompacts G
\u22a2 (haarMeasure K₀) (closure ↑K₀) = 1
-- Mathlib/Data/Fintype/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
M : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → M
\u22a2 ∏ a ∈ {x | p x}.toFinset, f a = ∏ a : Subtype p, f ↑a
-- Mathlib/Data/Fintype/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
M : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → M
\u22a2 ∀ (x : α), x ∈ {x | p x}.toFinset ↔ p x
-- Mathlib/Data/Fintype/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
M : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → M
\u22a2 ∀ (x : α), x ∈ {x | p x} ↔ p x
-- Mathlib/Data/Fintype/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
M : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → M
x✝ : α
\u22a2 x✝ ∈ {x | p x} ↔ p x✝
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
\u22a2 a ⊔ (b ⊔ c) = a ⊔ b ⊔ (a ⊔ c)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
\u22a2 (s.sup p) x = ↑(s.sup fun i => ⟨(p i) x, ⋯⟩)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
x : E
\u22a2 (∅.sup p) x = ↑(∅.sup fun i => ⟨(p i) x, ⋯⟩)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝¹⁸ : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝¹⁶ : SeminormedRing 𝕜₃
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹⁵ : RingHomIsometric σ₁₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
inst✝¹⁴ : RingHomIsometric σ₂₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹³ : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹² : AddCommGroup E
inst✝¹¹ : AddCommGroup E₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E₃
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : AddCommGroup G
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ E₂
inst✝⁵ : Module 𝕜₃ E₃
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
x : E
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih : (s.sup p) x = ↑(s.sup fun i => ⟨(p i) x, ⋯⟩)
\u22a2 ((Finset.cons a s ha).sup p) x = ↑((Finset.cons a s ha).sup fun i => ⟨(p i) x, ⋯⟩)
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Eq.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : CharZero α
num✝¹ num✝ : ℤ
denom✝¹ denom✝ : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑denom✝¹
inv✝ : Invertible ↑denom✝
h : decide (num✝¹.mul (Int.ofNat denom✝) = num✝.mul (Int.ofNat denom✝¹)) = false
\u22a2 ¬↑num✝¹ * ⅟↑denom✝¹ = ↑num✝ * ⅟↑denom✝
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Eq.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : CharZero α
num✝¹ num✝ : ℤ
denom✝¹ denom✝ : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑denom✝¹
inv✝ : Invertible ↑denom✝
h : decide (num✝¹.mul (Int.ofNat denom✝) = num✝.mul (Int.ofNat denom✝¹)) = false
\u22a2 ¬↑num✝¹ * ↑denom✝ = ↑num✝ * ↑denom✝¹
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
\u22a2 a⁻¹ < b ↔ 1 < a * b
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
\u22a2 1 / a < b ↔ 1 < a * b
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Products.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y : TopCat
homeo : ↑(X ⨯ Y) ≃ₜ ↑(of (↑X × ↑Y)) := homeoOfIso (X.prodIsoProd Y)
\u22a2 (X ⨯ Y).str = induced (⇑prod.fst) X.str ⊓ induced (⇑prod.snd) Y.str
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Products.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y : TopCat
homeo : ↑(X ⨯ Y) ≃ₜ ↑(of (↑X × ↑Y)) := homeoOfIso (X.prodIsoProd Y)
\u22a2 induced (⇑homeo) (of (↑X × ↑Y)).topologicalSpace_coe = induced (⇑prod.fst) X.str ⊓ induced (⇑prod.snd) Y.str
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Products.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y : TopCat
homeo : ↑(X ⨯ Y) ≃ₜ ↑(of (↑X × ↑Y)) := homeoOfIso (X.prodIsoProd Y)
\u22a2 induced (⇑homeo) (induced Prod.fst X.topologicalSpace_coe ⊓ induced Prod.snd Y.topologicalSpace_coe) = induced (⇑prod.fst) X.str ⊓ induced (⇑prod.snd) Y.str
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Products.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y : TopCat
homeo : ↑(X ⨯ Y) ≃ₜ ↑(of (↑X × ↑Y)) := homeoOfIso (X.prodIsoProd Y)
\u22a2 induced (Prod.fst ∘ ⇑homeo) X.topologicalSpace_coe ⊓ induced (Prod.snd ∘ ⇑homeo) Y.topologicalSpace_coe = induced (⇑prod.fst) X.str ⊓ induced (⇑prod.snd) Y.str
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
i : ι
x : β i
h : p i
\u22a2 filter p (single i x) = single i x
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZeta.lean
a : UnitAddCircle
\u22a2 Tendsto (fun s => (s - 1) * hurwitzZetaEven a s + (s - 1) * hurwitzZetaOdd a s) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (1 + (1 - 1) * hurwitzZetaOdd a 1))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZeta.lean
a : UnitAddCircle
\u22a2 Tendsto (fun s => s - 1) (𝓝 1) (𝓝 (1 - 1))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZeta.lean
a : UnitAddCircle
\u22a2 Tendsto (hurwitzZetaOdd a) (𝓝 1) (𝓝 (hurwitzZetaOdd a 1))
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
i : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves
\u22a2 ((mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft i).birthday < max (lsub fun i => (a✝¹ i).birthday) (lsub fun i => (a✝ i).birthday)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : ℂ
R θ : ℝ
\u22a2 deriv (circleMap c R) θ = 0 ↔ R = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/BigOperators.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s✝ : R
x y : M
s : Multiset R
t : Multiset M
\u22a2 s.sum • t.sum = (map (fun p => p.1 • p.2) (s ×ˢ t)).sum
-- Mathlib/Algebra/Module/BigOperators.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s : R
x y : M
t : Multiset M
\u22a2 sum 0 • t.sum = (map (fun p => p.1 • p.2) (0 ×ˢ t)).sum
-- Mathlib/Algebra/Module/BigOperators.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s✝ : R
x y : M
t : Multiset M
a : R
s : Multiset R
ih : s.sum • t.sum = (map (fun p => p.1 • p.2) (s ×ˢ t)).sum
\u22a2 (a ::ₘ s).sum • t.sum = (map (fun p => p.1 • p.2) ((a ::ₘ s) ×ˢ t)).sum
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x z : P
t : R
left✝ : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
\u22a2 SameRay R (z -ᵥ x) (z -ᵥ (lineMap x z) t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
\u22a2 0 < ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ↔ 0 < μ (support f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatibleSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
\u22a2 ((𝟙 (J.plusObj (J.plusObj (P ⋙ F))) ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).inv ≫ 𝟙 (J.plusObj (J.plusObj P ⋙ F))) ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).inv) ≫ 𝟙 (J.plusObj (J.plusObj P) ⋙ F) = J.plusMap (J.plusCompIso F P).inv ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatibleSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
\u22a2 (𝟙 (J.plusObj (J.plusObj (P ⋙ F))) ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).inv) ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).inv = J.plusMap (J.plusCompIso F P).inv ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).inv
-- Mathlib/Tactic/ReduceModChar.lean
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
n : ℕ
inst : CharP α n
b : α
a : ℕ
a' : α
p : IsNat (↑n - 1) a
pa : ↑a = a'
\u22a2 -b = a' * b
-- Mathlib/Tactic/ReduceModChar.lean
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
n : ℕ
inst : CharP α n
b : α
a : ℕ
a' : α
p : IsNat (↑n - 1) a
pa : ↑a = a'
\u22a2 -1 * b = (↑n - 1) * b
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Trunc.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ ψ : R⟦X⟧
m : ℕ
\u22a2 (trunc n (φ + ψ)).coeff m = (trunc n φ + trunc n ψ).coeff m
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Trunc.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ ψ : R⟦X⟧
m : ℕ
\u22a2 (if m < n then (coeff R m) (φ + ψ) else 0) = (if m < n then (coeff R m) φ else 0) + if m < n then (coeff R m) ψ else 0
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L✝ L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
x y : FreeGroup α
s : Subgroup β
H : Set.range f ⊆ ↑s
w✝ : FreeGroup α
L : List (α × Bool)
\u22a2 (lift f) (Quot.mk Red.Step L) ∈ s
-- Mathlib/Deprecated/Submonoid.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
s : Set M
A : Type u_2
inst✝ : AddMonoid A
t : Set A
x y z : M
x✝¹ : y ∈ powers x
x✝ : z ∈ powers x
n₁ : ℕ
h₁ : x ^ n₁ = y
n₂ : ℕ
h₂ : x ^ n₂ = z
\u22a2 x ^ (n₁ + n₂) = y * z
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
n : ℤ
a b : α
hn : n ≠ 0
\u22a2 Injective fun x => x ^ n
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
n : ℤ
a b : α
hn✝ : n ≠ 0
hn : n < 0
\u22a2 Injective fun x => x ^ n
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
n : ℤ
a b : α
hn✝ : n ≠ 0
hn : 0 < n
\u22a2 Injective fun x => x ^ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, AEStronglyMeasurable f μ) → AEStronglyMeasurable l.prod μ
hl : ∀ f_1 ∈ f :: l, AEStronglyMeasurable f_1 μ
\u22a2 AEStronglyMeasurable (f :: l).prod μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, AEStronglyMeasurable f μ) → AEStronglyMeasurable l.prod μ
hl : AEStronglyMeasurable f μ ∧ ∀ x ∈ l, AEStronglyMeasurable x μ
\u22a2 AEStronglyMeasurable (f :: l).prod μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, AEStronglyMeasurable f μ) → AEStronglyMeasurable l.prod μ
hl : AEStronglyMeasurable f μ ∧ ∀ x ∈ l, AEStronglyMeasurable x μ
\u22a2 AEStronglyMeasurable (f * l.prod) μ