ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
this : {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ K} = {p | p.2 ∈ D (f p.1) K}
x✝ : ℕ
\u22a2 MeasurableSet (⋃ i, ⋂ i_1, ⋂ (_ : i_1 ≥ i), ⋂ i_2, ⋂ (_ : i_2 ≥ i), {x | x.2 ∈ B (f x.1) K ((1 / 2) ^ i_1) ((1 / 2) ^ i_2) ((1 / 2) ^ x✝)})
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
this : {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ K} = {p | p.2 ∈ D (f p.1) K}
x✝¹ x✝ : ℕ
\u22a2 MeasurableSet (⋂ i, ⋂ (_ : i ≥ x✝), ⋂ i_1, ⋂ (_ : i_1 ≥ x✝), {x | x.2 ∈ B (f x.1) K ((1 / 2) ^ i) ((1 / 2) ^ i_1) ((1 / 2) ^ x✝¹)})
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
this : {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ K} = {p | p.2 ∈ D (f p.1) K}
x✝² x✝¹ x✝ : ℕ
\u22a2 MeasurableSet (⋂ (_ : x✝ ≥ x✝¹), ⋂ i, ⋂ (_ : i ≥ x✝¹), {x | x.2 ∈ B (f x.1) K ((1 / 2) ^ x✝) ((1 / 2) ^ i) ((1 / 2) ^ x✝²)})
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
this : {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ K} = {p | p.2 ∈ D (f p.1) K}
x✝³ x✝² x✝¹ : ℕ
x✝ : x✝¹ ≥ x✝²
\u22a2 MeasurableSet (⋂ i, ⋂ (_ : i ≥ x✝²), {x | x.2 ∈ B (f x.1) K ((1 / 2) ^ x✝¹) ((1 / 2) ^ i) ((1 / 2) ^ x✝³)})
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
this : {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ K} = {p | p.2 ∈ D (f p.1) K}
x✝⁴ x✝³ x✝² : ℕ
x✝¹ : x✝² ≥ x✝³
x✝ : ℕ
\u22a2 MeasurableSet (⋂ (_ : x✝ ≥ x✝³), {x | x.2 ∈ B (f x.1) K ((1 / 2) ^ x✝²) ((1 / 2) ^ x✝) ((1 / 2) ^ x✝⁴)})
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
this : {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ K} = {p | p.2 ∈ D (f p.1) K}
x✝⁵ x✝⁴ x✝³ : ℕ
x✝² : x✝³ ≥ x✝⁴
x✝¹ : ℕ
x✝ : x✝¹ ≥ x✝⁴
\u22a2 MeasurableSet {x | x.2 ∈ B (f x.1) K ((1 / 2) ^ x✝³) ((1 / 2) ^ x✝¹) ((1 / 2) ^ x✝⁵)}
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
this✝ : {p | DifferentiableAt 𝕜 (f p.1) p.2 ∧ fderiv 𝕜 (f p.1) p.2 ∈ K} = {p | p.2 ∈ D (f p.1) K}
x✝⁵ x✝⁴ x✝³ : ℕ
x✝² : x✝³ ≥ x✝⁴
x✝¹ : ℕ
x✝ : x✝¹ ≥ x✝⁴
this : ProperSpace E
\u22a2 MeasurableSet {x | x.2 ∈ B (f x.1) K ((1 / 2) ^ x✝³) ((1 / 2) ^ x✝¹) ((1 / 2) ^ x✝⁵)}
-- Mathlib/Topology/NoetherianSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
\u22a2 NoetherianSpace ↑s ↔ ∀ t ⊆ s, IsCompact t
-- Mathlib/Analysis/Complex/ReImTopology.lean
s t : Set ℝ
\u22a2 frontier (s ×ℂ t) = closure s ×ℂ frontier t ∪ frontier s ×ℂ closure t
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε✝ : ℝ
s t : Set α
x : α
ε : ℝ≥0
\u22a2 EMetric.diam (cthickening (↑ε) s) ≤ EMetric.diam s + 2 * ↑ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s t : Set α
x✝¹ : α
ε : ℝ≥0
x : α
hx : x ∈ cthickening (↑ε) s
y : α
hy : y ∈ cthickening (↑ε) s
δ : ℝ≥0
hδ : 0 < δ
x✝ : EMetric.diam s + 2 * ↑ε < ⊤
\u22a2 edist x y ≤ EMetric.diam s + 2 * ↑ε + ↑δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s t : Set α
x✝¹ : α
ε : ℝ≥0
x : α
hx : infEdist x s ≤ ↑ε
y : α
hy : infEdist y s ≤ ↑ε
δ : ℝ≥0
hδ : 0 < δ
x✝ : EMetric.diam s + 2 * ↑ε < ⊤
\u22a2 edist x y ≤ EMetric.diam s + 2 * ↑ε + ↑δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s t : Set α
x✝¹ : α
ε : ℝ≥0
x : α
hx : infEdist x s ≤ ↑ε
y : α
hy : infEdist y s ≤ ↑ε
δ : ℝ≥0
hδ : 0 < δ
x✝ : EMetric.diam s + 2 * ↑ε < ⊤
hε : ↑ε < ↑ε + ↑δ
\u22a2 edist x y ≤ EMetric.diam s + 2 * ↑ε + ↑δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s t : Set α
x✝¹ : α
ε : ℝ≥0
x y : α
hy : infEdist y s ≤ ↑ε
δ : ℝ≥0
hδ : 0 < δ
x✝ : EMetric.diam s + 2 * ↑ε < ⊤
hε : ↑ε < ↑ε + ↑δ
hx : infEdist x s < ↑ε + ↑δ
\u22a2 edist x y ≤ EMetric.diam s + 2 * ↑ε + ↑δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε✝ : ℝ
s t : Set α
x✝¹ : α
ε : ℝ≥0
x y : α
hy : infEdist y s ≤ ↑ε
δ : ℝ≥0
hδ : 0 < δ
x✝ : EMetric.diam s + 2 * ↑ε < ⊤
hε : ↑ε < ↑ε + ↑δ
hx : infEdist x s < ↑ε + ↑δ
x' : α
hx' : x' ∈ s
hxx' : edist x x' < ↑ε + ↑δ
\u22a2 edist x y ≤ EMetric.diam s + 2 * ↑ε + ↑δ
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
x : E
y : F
H : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0
c : R
h : c • x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain
\u22a2 Classical.choose ⋯ • y = c • y
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
x : E
y : F
H : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0
c : R
h : c • x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain
\u22a2 (Classical.choose ⋯ - c) • y = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
x : E
y : F
H : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0
c : R
h : c • x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain
\u22a2 (Classical.choose ⋯ - c) • x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
x : E
y : F
H : ∀ (c : R), c • x = 0 → c • y = 0
c : R
h : c • x ∈ (mkSpanSingleton' x y H).domain
\u22a2 Classical.choose ⋯ • x = c • x
-- Mathlib/Data/List/Permutation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ts : List α
t : α
is : List α
ih : ∀ (is' : List α), (is ++ ts).permutationsAux is' = map (fun x => x ++ ts) (is.permutationsAux is') ++ ts.permutationsAux (is.reverse ++ is')
is' : List α
\u22a2 (t :: is ++ ts).permutationsAux is' = map (fun x => x ++ ts) ((t :: is).permutationsAux is') ++ ts.permutationsAux ((t :: is).reverse ++ is')
-- Mathlib/Data/List/Permutation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ts : List α
t : α
is : List α
ih : ∀ (is' : List α), (is ++ ts).permutationsAux is' = map (fun x => x ++ ts) (is.permutationsAux is') ++ ts.permutationsAux (is.reverse ++ is')
is' : List α
\u22a2 (is'.permutations.bind fun y => (permutationsAux2 t (is ++ ts) [] y id).2) ++ (map (fun x => x ++ ts) (is.permutationsAux (t :: is')) ++ ts.permutationsAux (is.reverse ++ t :: is')) = (is'.permutations.bind fun a => map (fun x => x ++ ts) (permutationsAux2 t is [] a id).2) ++ (map (fun x => x ++ ts) (is.permutationsAux (t :: is')) ++ ts.permutationsAux (is.reverse ++ t :: ([] ++ is')))
-- Mathlib/Data/List/Permutation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ts : List α
t : α
is : List α
ih : ∀ (is' : List α), (is ++ ts).permutationsAux is' = map (fun x => x ++ ts) (is.permutationsAux is') ++ ts.permutationsAux (is.reverse ++ is')
is' : List α
\u22a2 (fun y => (permutationsAux2 t (is ++ ts) [] y id).2) = fun a => map (fun x => x ++ ts) (permutationsAux2 t is [] a id).2
-- Mathlib/Data/List/Permutation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ts : List α
t : α
is : List α
ih : ∀ (is' : List α), (is ++ ts).permutationsAux is' = map (fun x => x ++ ts) (is.permutationsAux is') ++ ts.permutationsAux (is.reverse ++ is')
is' x✝ : List α
\u22a2 (permutationsAux2 t (is ++ ts) [] x✝ id).2 = map (fun x => x ++ ts) (permutationsAux2 t is [] x✝ id).2
-- Mathlib/Data/List/Permutation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ts : List α
t : α
is : List α
ih : ∀ (is' : List α), (is ++ ts).permutationsAux is' = map (fun x => x ++ ts) (is.permutationsAux is') ++ ts.permutationsAux (is.reverse ++ is')
is' x✝ : List α
\u22a2 (permutationsAux2 t (is ++ ts) [] x✝ id).2 = (permutationsAux2 t is [] x✝ fun x => x ++ ts).2
-- Mathlib/Data/List/Permutation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ts : List α
t : α
is : List α
ih : ∀ (is' : List α), (is ++ ts).permutationsAux is' = map (fun x => x ++ ts) (is.permutationsAux is') ++ ts.permutationsAux (is.reverse ++ is')
is' x✝ : List α
\u22a2 (permutationsAux2 t [] [] x✝ fun x => id (x ++ (is ++ ts))).2 = (permutationsAux2 t [] [] x✝ fun x => x ++ is ++ ts).2
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
p : ℕ+
pp : p.Prime
contra : p = 1
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
p : ℕ+
pp : p.Prime
contra : p = 1
\u22a2 ↑p = 1
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
p : ℕ+
pp : p.Prime
contra : p = 1
\u22a2 p = 1
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/FunctorGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.75509, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K'✝ : ChainComplex C ℕ
f✝ : K✝ ⟶ K'✝
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
n : ℕ
\u22a2 ((Γ₀.splitting K).ι n ≫ (Γ₀.splitting K).desc (op [n]) fun A => f.f (unop A.fst).len ≫ ((Γ₀.splitting K').cofan (op [n])).inj A) = f.f n ≫ (Γ₀.splitting K').ι n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/FunctorGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.75509, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K'✝ : ChainComplex C ℕ
f✝ : K✝ ⟶ K'✝
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
n : ℕ
\u22a2 f.f (unop (Splitting.IndexSet.id (op [n])).fst).len ≫ ((Γ₀.splitting K').cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n])) = f.f n ≫ ((Γ₀.splitting K').cofan (op [n])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n]))
-- Mathlib/Data/Matrix/ColumnRowPartitioned.lean
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A₁ : Matrix m n₁ R
A₂ : Matrix m n₂ R
B₁ : Matrix n₁ n R
B₂ : Matrix n₂ n R
i✝ : m
j✝ : n
\u22a2 (A₁.fromColumns A₂ * B₁.fromRows B₂) i✝ j✝ = (A₁ * B₁ + A₂ * B₂) i✝ j✝
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
ι : Type u_1
B : ι → Opens ↑X
F : Presheaf C X
F' : Sheaf C X
h : Opens.IsBasis (Set.range B)
α : (inducedFunctor B).op ⋙ F ⟶ (inducedFunctor B).op ⋙ F'.val
i : ι
\u22a2 ((restrictHomEquivHom F F' h) α).app (op (B i)) = α.app (op i)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
ι : Type u_1
B : ι → Opens ↑X
F : Presheaf C X
F' : Sheaf C X
h : Opens.IsBasis (Set.range B)
α : (inducedFunctor B).op ⋙ F ⟶ (inducedFunctor B).op ⋙ F'.val
i : ι
\u22a2 ((restrictHomEquivHom F F' h) α).app (op (B i)) = ((restrictHomEquivHom F F' h).invFun ((restrictHomEquivHom F F' h).toFun α)).app (op i)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Support.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
hr : ∀ (y : k), y * r = 0 ↔ y = 0
x : G
rx : IsRightRegular x
\u22a2 (f * single x r).support = image (fun x_1 => x_1 * x) f.support
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Support.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
hr : ∀ (y : k), y * r = 0 ↔ y = 0
x : G
rx : IsRightRegular x
y : G
hy : y ∈ image (fun x_1 => x_1 * x) f.support
\u22a2 y ∈ (f * single x r).support
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Support.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
hr : ∀ (y : k), y * r = 0 ↔ y = 0
x : G
rx : IsRightRegular x
y : G
yf : y ∈ f.support
hy : y * x ∈ image (fun x_1 => x_1 * x) f.support
\u22a2 y * x ∈ (f * single x r).support
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
\u22a2 m0 ≤ ⊤.caratheodory
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
\u22a2 m0 ≤ ⊤
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
h : a ⋖ b
\u22a2 Ioi a = Ici b
-- Mathlib/Data/List/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α
h : 0 < l.length
\u22a2 maximum_of_length_pos h ∈ l
-- Mathlib/Data/List/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α
h : 0 < l.length
\u22a2 l.maximum = ↑(maximum_of_length_pos h)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
R : ℝ
hs : s ⊆ closedBall 0 R
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
\u22a2 μ (f '' s) ≤ ↑ε * μ (closedBall 0 R)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
R : ℝ
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
hf' : ∀ x ∈ ∅, HasFDerivWithinAt f (f' x) ∅ x
hs : ∅ ⊆ closedBall 0 R
h'f' : ∀ x ∈ ∅, (f' x).det = 0
\u22a2 μ (f '' ∅) ≤ ↑ε * μ (closedBall 0 R)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
R : ℝ
hs : s ⊆ closedBall 0 R
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
h's : s.Nonempty
\u22a2 μ (f '' s) ≤ ↑ε * μ (closedBall 0 R)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
R : ℝ
hs : s ⊆ closedBall 0 R
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
h's : s.Nonempty
this : ∀ (A : E →L[ℝ] E), ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ (t : Set E), ApproximatesLinearOn f A t δ → μ (f '' t) ≤ ↑(|A.det|.toNNReal + ε) * μ t
\u22a2 μ (f '' s) ≤ ↑ε * μ (closedBall 0 R)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
R : ℝ
hs : s ⊆ closedBall 0 R
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
h's : s.Nonempty
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ : ∀ (A : E →L[ℝ] E), 0 < δ A ∧ ∀ (t : Set E), ApproximatesLinearOn f A t (δ A) → μ (f '' t) ≤ ↑(|A.det|.toNNReal + ε) * μ t
\u22a2 μ (f '' s) ≤ ↑ε * μ (closedBall 0 R)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
R : ℝ
hs : s ⊆ closedBall 0 R
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h'f' : ∀ x ∈ s, (f' x).det = 0
h's : s.Nonempty
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ : ∀ (A : E →L[ℝ] E), 0 < δ A ∧ ∀ (t : Set E), ApproximatesLinearOn f A t (δ A) → μ (f '' t) ≤ ↑(|A.det|.toNNReal + ε) * μ t
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))
Af' : s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y
\u22a2 μ (f '' s) ≤ ↑ε * μ (closedBall 0 R)
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
f : CauSeq ℚ abs
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, x ≤ ↑(↑f j)
\u22a2 x ≤ mk f
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x✝ y : ℝ
f x : CauSeq ℚ abs
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j)
\u22a2 mk x ≤ mk f
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x✝ y : ℝ
f x : CauSeq ℚ abs
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j)
\u22a2 ¬mk f < mk x
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x✝ y : ℝ
f x : CauSeq ℚ abs
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j)
\u22a2 ¬f < x
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x✝ y : ℝ
f x : CauSeq ℚ abs
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j)
K : ℚ
K0 : K > 0
hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ ↑(x - f) j
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x✝ y : ℝ
f x : CauSeq ℚ abs
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j)
K : ℚ
K0 : K > 0
hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ ↑(x - f) j
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j) ∧ K ≤ ↑(x - f) j ∧ ∀ k ≥ j, |↑f k - ↑f j| < K / 2
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x✝ y : ℝ
f x : CauSeq ℚ abs
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j)
K : ℚ
K0 : K > 0
hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ ↑(x - f) j
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j) ∧ K ≤ ↑(x - f) j ∧ ∀ k ≥ j, |↑f k - ↑f j| < K / 2
\u22a2 ↑(↑f i) < mk x
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x✝ y : ℝ
f x : CauSeq ℚ abs
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j)
K : ℚ
K0 : K > 0
hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ ↑(x - f) j
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j) ∧ K ≤ ↑(x - f) j ∧ ∀ k ≥ j, |↑f k - ↑f j| < K / 2
\u22a2 const abs ↑(↑f i) < x
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x✝ y : ℝ
f x : CauSeq ℚ abs
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j)
K : ℚ
K0 : K > 0
hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ ↑(x - f) j
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j) ∧ K ≤ ↑(x - f) j ∧ ∀ k ≥ j, |↑f k - ↑f j| < K / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
\u22a2 K / 2 ≤ ↑(x - const abs ↑(↑f i)) j
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x✝ y : ℝ
f x : CauSeq ℚ abs
h : ∃ i, ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j)
K : ℚ
K0 : K > 0
hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ ↑(x - f) j
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, mk x ≤ ↑(↑f j) ∧ K ≤ ↑(x - f) j ∧ ∀ k ≥ j, |↑f k - ↑f j| < K / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
this : K + -(K / 2) ≤ ↑(x - f) j + (↑f j - ↑f i)
\u22a2 K / 2 ≤ ↑(x - const abs ↑(↑f i)) j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Permutation.lean
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
σ : Perm n
inst✝ : CommRing R
\u22a2 (Perm.permMatrix R σ).det = ↑↑(Perm.sign σ)
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq o
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
M : o → Matrix m n α
i✝ : n × o
j✝ : m × o
\u22a2 (blockDiagonal M)ᵀ i✝ j✝ = blockDiagonal (fun k => (M k)ᵀ) i✝ j✝
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq o
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
M : o → Matrix m n α
i✝ : n × o
j✝ : m × o
\u22a2 (if i✝.2 = j✝.2 then M i✝.2 j✝.1 i✝.1 else 0) = if i✝.2 = j✝.2 then M j✝.2 j✝.1 i✝.1 else 0
-- Mathlib/Algebra/Vertex/HVertexOperator.lean
Γ✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : PartialOrder Γ✝
R✝ : Type u_2
V✝ : Type u_3
W✝ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : AddCommGroup V✝
inst✝¹¹ : Module R✝ V✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W✝
inst✝⁹ : Module R✝ W✝
Γ : Type u_5
Γ' : Type u_6
inst✝⁸ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁷ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
R : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
U : Type u_8
V : Type u_9
W : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommGroup U
inst✝⁴ : Module R U
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
B : HVertexOperator Γ' R U V
r : R
u : U
x✝¹ : Γ'
x✝ : Γ
\u22a2 ((A.compHahnSeries B (r • u)).coeff x✝¹).coeff x✝ = ((r • A.compHahnSeries B u).coeff x✝¹).coeff x✝
-- Mathlib/Algebra/Vertex/HVertexOperator.lean
Γ✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : PartialOrder Γ✝
R✝ : Type u_2
V✝ : Type u_3
W✝ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : AddCommGroup V✝
inst✝¹¹ : Module R✝ V✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W✝
inst✝⁹ : Module R✝ W✝
Γ : Type u_5
Γ' : Type u_6
inst✝⁸ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁷ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
R : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
U : Type u_8
V : Type u_9
W : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommGroup U
inst✝⁴ : Module R U
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
B : HVertexOperator Γ' R U V
r : R
u : U
x✝¹ : Γ'
x✝ : Γ
\u22a2 (r • A (((of R).symm (B u)).coeff x✝¹)).coeff x✝ = r • (A (((of R).symm (B u)).coeff x✝¹)).coeff x✝