ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
i : ℕ
\u22a2 i ∈ ((finSuccEquiv R n) f).support ↔ i ∈ Finset.image (fun m => m 0) f.support
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
i : ℕ
\u22a2 (∃ a, (((finSuccEquiv R n) f).coeff i) a ≠ 0 a) ↔ ∃ a ∈ f.support, a 0 = i
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
\u22a2 φ P.disc = (φ P.a * φ P.a * (x - y) * (x - z) * (y - z)) ^ 2
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
\u22a2 φ P.b ^ 2 * φ P.c ^ 2 - φ 4 * φ P.a * φ P.c ^ 3 - φ 4 * φ P.b ^ 3 * φ P.d - φ 27 * φ P.a ^ 2 * φ P.d ^ 2 + φ 18 * φ P.a * φ P.b * φ P.c * φ P.d = (φ P.a * φ P.a * (x - y) * (x - z) * (y - z)) ^ 2
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
f4 : φ 4 = 4
\u22a2 φ P.b ^ 2 * φ P.c ^ 2 - φ 4 * φ P.a * φ P.c ^ 3 - φ 4 * φ P.b ^ 3 * φ P.d - φ 27 * φ P.a ^ 2 * φ P.d ^ 2 + φ 18 * φ P.a * φ P.b * φ P.c * φ P.d = (φ P.a * φ P.a * (x - y) * (x - z) * (y - z)) ^ 2
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
f4 : φ 4 = 4
f18 : φ 18 = 18
\u22a2 φ P.b ^ 2 * φ P.c ^ 2 - φ 4 * φ P.a * φ P.c ^ 3 - φ 4 * φ P.b ^ 3 * φ P.d - φ 27 * φ P.a ^ 2 * φ P.d ^ 2 + φ 18 * φ P.a * φ P.b * φ P.c * φ P.d = (φ P.a * φ P.a * (x - y) * (x - z) * (y - z)) ^ 2
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
f4 : φ 4 = 4
f18 : φ 18 = 18
f27 : φ 27 = 27
\u22a2 φ P.b ^ 2 * φ P.c ^ 2 - φ 4 * φ P.a * φ P.c ^ 3 - φ 4 * φ P.b ^ 3 * φ P.d - φ 27 * φ P.a ^ 2 * φ P.d ^ 2 + φ 18 * φ P.a * φ P.b * φ P.c * φ P.d = (φ P.a * φ P.a * (x - y) * (x - z) * (y - z)) ^ 2
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}
f4 : φ 4 = 4
f18 : φ 18 = 18
f27 : φ 27 = 27
\u22a2 (φ P.a * -(x + y + z)) ^ 2 * (φ P.a * (x * y + x * z + y * z)) ^ 2 - 4 * φ P.a * (φ P.a * (x * y + x * z + y * z)) ^ 3 - 4 * (φ P.a * -(x + y + z)) ^ 3 * (φ P.a * -(x * y * z)) - 27 * φ P.a ^ 2 * (φ P.a * -(x * y * z)) ^ 2 + 18 * φ P.a * (φ P.a * -(x + y + z)) * (φ P.a * (x * y + x * z + y * z)) * (φ P.a * -(x * y * z)) = (φ P.a * φ P.a * (x - y) * (x - z) * (y - z)) ^ 2
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
f : (i : ι) → A i →+ R
hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1
hmul : ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), (f (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = (f i) ai * (f j) aj
\u22a2 (toAddMonoid f) ((of A 0) GradedMonoid.GOne.one) = 1
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
f : (i : ι) → A i →+ R
hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1
hmul : ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), (f (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = (f i) ai * (f j) aj
\u22a2 (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
f : (i : ι) → A i →+ R
hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1
hmul : ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), (f (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = (f i) ai * (f j) aj
\u22a2 ∀ (x y : ⨁ (i : ι), A i), { toFun := ⇑(toAddMonoid f), map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := ⇑(toAddMonoid f), map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := ⇑(toAddMonoid f), map_one' := ⋯ }.toFun y
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
f : (i : ι) → A i →+ R
hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1
hmul : ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), (f (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = (f i) ai * (f j) aj
\u22a2 AddMonoidHom.mul.compr₂ (toAddMonoid f) = (AddMonoidHom.mul.comp (toAddMonoid f)).compl₂ (toAddMonoid f)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
f : (i : ι) → A i →+ R
hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1
hmul : ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), (f (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = (f i) ai * (f j) aj
xi : ι
xv : A xi
\u22a2 ((AddMonoidHom.mul.compr₂ (toAddMonoid f)).comp (of A xi)) xv = (((AddMonoidHom.mul.comp (toAddMonoid f)).compl₂ (toAddMonoid f)).comp (of A xi)) xv
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
f : (i : ι) → A i →+ R
hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1
hmul : ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), (f (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = (f i) ai * (f j) aj
xi : ι
xv : A xi
yi : ι
yv : A yi
\u22a2 ((((AddMonoidHom.mul.compr₂ (toAddMonoid f)).comp (of A xi)) xv).comp (of A yi)) yv = (((((AddMonoidHom.mul.comp (toAddMonoid f)).compl₂ (toAddMonoid f)).comp (of A xi)) xv).comp (of A yi)) yv
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
f : (i : ι) → A i →+ R
hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1
hmul : ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), (f (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = (f i) ai * (f j) aj
xi : ι
xv : A xi
yi : ι
yv : A yi
\u22a2 (toAddMonoid f) ((of A xi) xv * (of A yi) yv) = (toAddMonoid f) ((of A xi) xv) * (toAddMonoid f) ((of A yi) yv)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
f : (i : ι) → A i →+ R
hone : (f 0) GradedMonoid.GOne.one = 1
hmul : ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), (f (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = (f i) ai * (f j) aj
xi : ι
xv : A xi
yi : ι
yv : A yi
\u22a2 (f (xi + yi)) (GradedMonoid.GMul.mul xv yv) = (f xi) xv * (f yi) yv
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : P1
c : k
\u22a2 p₁ -ᵥ (lineMap p₀ p₁) c = (1 - c) • (p₁ -ᵥ p₀)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Cast.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroupWithOne R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : NeZero 1
inst✝ : Nontrivial R
m n : ℤ
\u22a2 ↑n ≤ 0 ↔ n ≤ 0
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
f : L.Functions 1
t : L.Term α
v : α → M
\u22a2 (funMap f fun i => realize v (![t] i)) = funMap f ![realize v t]
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
f : L.Functions 1
t : L.Term α
v : α → M
i : Fin 1
\u22a2 realize v (![t] i) = ![realize v t] i
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Trifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{?u.34757, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{?u.34761, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.34765, u_3} C₃
inst✝² : Category.{?u.34769, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.34773, u_5} C₁₂
inst✝ : Category.{?u.34777, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
α : F ⟶ F'
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ Y₂ : GradedObject I₂ C₂
φ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
\u22a2 ((F.obj (X₁ i₁)).map (φ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((α.app (X₁ i₁)).app (Y₂ i₂)).app (X₃ i₃) = ((α.app (X₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((F'.obj (X₁ i₁)).map (φ i₂)).app (X₃ i₃)
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Trifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{?u.34757, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{?u.34761, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.34765, u_3} C₃
inst✝² : Category.{?u.34769, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.34773, u_5} C₁₂
inst✝ : Category.{?u.34777, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
α : F ⟶ F'
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁
φ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
\u22a2 ((F.map (φ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((α.app (Y₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) = ((α.app (X₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((F'.map (φ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
\u22a2 (fun x => a + x) ⁻¹' Ioo b c = Ioo (b - a) (c - a)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
inst✝¹ : UniformSpace β
l : Filter ((i : ι) → α i)
inst✝ : l.NeBot
\u22a2 Cauchy l ↔ ∀ (i : ι), Cauchy (map (eval i) l)
-- Mathlib/Analysis/Complex/RealDeriv.lean
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
x : ℂ
f' : E
h : HasStrictDerivAt f f' x
\u22a2 HasStrictFDerivAt f (reCLM.smulRight f' + I • imCLM.smulRight f') x
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a : α i
\u22a2 update f i '' Icc a (f i) = Icc (update f i a) f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : ℝ ≃ᵐ ℝ
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
g : ℝ → ℝ
hg : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ ⇑f '' s → 0 ≤ g x
hg_int : IntegrableOn g (⇑f '' s) volume
f' : ℝ → ℝ
hf' : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt (⇑f) (f' x) s x
\u22a2 (Measure.map (⇑f.symm) (volume.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (g x))) s = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * g (f x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : ℝ ≃ᵐ ℝ
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
g : ℝ → ℝ
hg : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ ⇑f '' s → 0 ≤ g x
hg_int : IntegrableOn g (⇑f '' s) volume
f' : ℝ → ℝ
hf' : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt (⇑f) (f' x) s x
\u22a2 ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |(ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' x)).det| * g (f x)) = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * g (f x))
-- Mathlib/Tactic/PushNeg.lean
p q : Prop
α : Sort u_1
s✝ : α → Prop
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder β
s : Set β
A : ∀ (x : β), ¬x ∈ ∅
\u22a2 (¬s.Nonempty) = (s = ∅)
-- Mathlib/Tactic/PushNeg.lean
p q : Prop
α : Sort u_1
s✝ : α → Prop
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder β
s : Set β
A : ∀ (x : β), ¬x ∈ ∅
\u22a2 (∀ (x : β), ¬x ∈ s) ↔ s = ∅
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/WithTop.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b : WithBot α
\u22a2 a * b = ⊥ ↔ a ≠ 0 ∧ b = ⊥ ∨ a = ⊥ ∧ b ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/WithTop.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b : WithBot α
\u22a2 (if a = 0 ∨ b = 0 then 0 else map₂ (fun x x_1 => x * x_1) a b) = ⊥ ↔ a ≠ 0 ∧ b = ⊥ ∨ a = ⊥ ∧ b ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Int.lean
u v : ℤ
hu : IsUnit u
\u22a2 u = 1 ∨ u = -1
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f (μ.prod ν)
\u22a2 ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f (μ.prod ν)
A : ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (z : α × β), AEMeasurable.mk f hf z ∂μ.prod ν
\u22a2 ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f (μ.prod ν)
A : ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (z : α × β), AEMeasurable.mk f hf z ∂μ.prod ν
B : ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), AEMeasurable.mk f hf (x, y) ∂ν ∂μ
\u22a2 ∫⁻ (z : α × β), f z ∂μ.prod ν = ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν ∂μ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y U : Scheme
f : Y ⟶ U
g : U ⟶ X
h : IsOpenImmersion g
V : U.Opens
\u22a2 f ⁻¹ᵁ V = (f ≫ g) ⁻¹ᵁ g ''ᵁ V
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y U : Scheme
f : Y ⟶ U
g : U ⟶ X
h : IsOpenImmersion g
V : U.Opens
\u22a2 f ⁻¹ᵁ V = (Opens.map f.val.base).obj ((Opens.map g.val.base).obj (g ''ᵁ V))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g✝ : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y U : Scheme
f : Y ⟶ U
g : U ⟶ X
h : IsOpenImmersion g
V : U.Opens
\u22a2 ↑V = ↑((Opens.map g.val.base).obj (g ''ᵁ V))
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝¹ : Type u_1
G : Type u_2
α✝ : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : Div G
m✝ : MeasurableSpace α✝
f✝ g✝ : α✝ → G
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_4
E : Type u_5
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : AddGroup E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : MeasurableSub₂ E
hm : m ≤ m0
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
\u22a2 f =ᶠ[ae (μ.trim hm)] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝¹ : Type u_1
G : Type u_2
α✝ : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : Div G
m✝ : MeasurableSpace α✝
f✝ g✝ : α✝ → G
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_4
E : Type u_5
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : AddGroup E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : MeasurableSub₂ E
hm : m ≤ m0
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
\u22a2 MeasurableSet {a | ¬f a = g a}
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r : ℝ
n : ℕ
\u22a2 ↑n < r.toNNReal ↔ ↑n < r
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Range.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁵ : Semifield K
inst✝⁴ : Semifield K₂
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommMonoid V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
a : K
h : a ≠ 0
\u22a2 range (a • f) = range f
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
\u22a2 Dense (closure s) ↔ Dense s
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
i : Set α
hs : s.totalVariation i = 0
\u22a2 ↑s i = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
i : Set α
hs : s.toJordanDecomposition.posPart i = 0 ∧ s.toJordanDecomposition.negPart i = 0
\u22a2 ↑s i = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
i : Set α
hs : s.toJordanDecomposition.posPart i = 0 ∧ s.toJordanDecomposition.negPart i = 0
\u22a2 ((if MeasurableSet i then (s.toJordanDecomposition.posPart i).toReal else 0) - if MeasurableSet i then (s.toJordanDecomposition.negPart i).toReal else 0) = 0
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b c : R
h : a * b ∣ c
\u22a2 b ∣ c / a
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
b c : R
h : 0 * b ∣ c
\u22a2 b ∣ c / 0
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b c : R
h : a * b ∣ c
ha : a ≠ 0
\u22a2 b ∣ c / a
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
ha : a ≠ 0
d : R
\u22a2 a * b * d / a = b * d
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/ShiftSequence.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : CategoryWithHomology C
n a a' : ℤ
ha' : n + a = a'
K : CochainComplex C ℤ
\u22a2 ((homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftIso n a a' ha').hom.app ((quotient C (up ℤ)).obj K) = (homologyFunctor C (up ℤ) a).map (((quotient C (up ℤ)).commShiftIso n).inv.app K) ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) a).hom.app ((shiftFunctor (HomologicalComplex C (up ℤ)) n).obj K) ≫ ((HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftIso n a a' ha').hom.app K ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) a').inv.app K
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
\u22a2 f - g =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
hfg' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (f - g) x ∂μ = 0
\u22a2 f - g =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : P
ps : Set P
h : p ∈ affineSpan k ps
\u22a2 vectorSpan k (insert p ps) = vectorSpan k ps
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
\u22a2 s.mongePoint = (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (mongePointWeightsWithCircumcenter n)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
\u22a2 (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) ((↑(n + 2 + 1) / ↑(n + 2 - 1)) • (centroidWeightsWithCircumcenter univ - circumcenterWeightsWithCircumcenter (n + 2)) + circumcenterWeightsWithCircumcenter (n + 2)) = (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (mongePointWeightsWithCircumcenter n)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2)
\u22a2 ((↑(n + 2 + 1) / ↑(n + 2 - 1)) • (centroidWeightsWithCircumcenter univ - circumcenterWeightsWithCircumcenter (n + 2)) + circumcenterWeightsWithCircumcenter (n + 2)) i = mongePointWeightsWithCircumcenter n i
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2)
\u22a2 ↑(n + 2 + 1) / ↑(n + 2 - 1) * (centroidWeightsWithCircumcenter univ i - circumcenterWeightsWithCircumcenter (n + 2) i) + circumcenterWeightsWithCircumcenter (n + 2) i = mongePointWeightsWithCircumcenter n i
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i : PointsWithCircumcenterIndex (n + 2)
hn1 : ↑n + 1 ≠ 0
\u22a2 ↑(n + 2 + 1) / ↑(n + 2 - 1) * (centroidWeightsWithCircumcenter univ i - circumcenterWeightsWithCircumcenter (n + 2) i) + circumcenterWeightsWithCircumcenter (n + 2) i = mongePointWeightsWithCircumcenter n i
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
hn1 : ↑n + 1 ≠ 0
a✝ : Fin (n + 2 + 1)
\u22a2 ↑(n + 2 + 1) / ↑(n + 1) * ((if a✝ ∈ univ then (↑univ.card)⁻¹ else 0) - 0) + 0 = (↑(n + 1))⁻¹
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
hn1 : ↑n + 1 ≠ 0
\u22a2 ↑(n + 2 + 1) / ↑(n + 1) * (0 - 1) + 1 = -2 / ↑(n + 1)
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
T : Set (TopologicalSpace α)
t₂ : TopologicalSpace β
\u22a2 Continuous f ↔ ∀ t ∈ T, Continuous f
-- Mathlib/Algebra/Group/NatPowAssoc.lean
M : Type u_1
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : Pow M ℕ
inst✝ : NatPowAssoc M
k m n : ℕ
x : M
\u22a2 x ^ k * x ^ m * x ^ n = x ^ k * (x ^ m * x ^ n)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : ⊥ = ⊤
\u22a2 IsCyclotomicExtension ∅ A B