ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/SpecificFunctions.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s✝ : Set M
x✝ : M
s : Set (M × M')
x : M × M'
hxs : UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') s x
\u22a2 mfderiv (I.prod I') I Prod.fst x = ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
\u22a2 i = typein (fun x x_1 => x < x_1) (enum (fun x x_1 => x < x_1) i ⋯)
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Group M
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
c : Con M
n : ℕ
w x : M
h : c w x
\u22a2 c (w ^ Int.ofNat n) (x ^ Int.ofNat n)
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Group M
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
c : Con M
n : ℕ
w x : M
h : c w x
\u22a2 c (w ^ Int.negSucc n) (x ^ Int.negSucc n)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f✝ : ι → α
R : Type u_1
inst✝ : CompleteLinearOrder R
f : ι → R
has_least_elem : ⨅ i, f i ∈ range f
\u22a2 ⋃ i, Ici (f i) = Ici (⨅ i, f i)
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)
\u22a2 s ∈ f ×ˢ g ↔ ∃ t ∈ f, ∀ᶠ (y : β) in g, ∀ x ∈ t, (x, y) ∈ s
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)
\u22a2 (∃ t₁ ∈ f, ∃ t₂ ∈ g, ∀ x ∈ t₁, ∀ y ∈ t₂, (x, y) ∈ s) ↔ ∃ t ∈ f, ∀ᶠ (y : β) in g, ∀ x ∈ t, (x, y) ∈ s
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)
x✝ : Set α
\u22a2 (∃ t₂ ∈ g, ∀ x ∈ x✝, ∀ y ∈ t₂, (x, y) ∈ s) ↔ ∃ t ∈ g, t ⊆ {x | (fun y => ∀ x ∈ x✝, (x, y) ∈ s) x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)
\u22a2 StrictConcaveOn 𝕜 s f
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)
\u22a2 StrictConvexOn 𝕜 s (-f)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)
x✝ y✝ z✝ : 𝕜
hx : x✝ ∈ s
hz : z✝ ∈ s
hxy : x✝ < y✝
hyz : y✝ < z✝
\u22a2 ((-f) y✝ - (-f) x✝) / (y✝ - x✝) < ((-f) z✝ - (-f) y✝) / (z✝ - y✝)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)
x✝ y✝ z✝ : 𝕜
hx : x✝ ∈ s
hz : z✝ ∈ s
hxy : x✝ < y✝
hyz : y✝ < z✝
\u22a2 -(((-f) z✝ - (-f) y✝) / (z✝ - y✝)) < -(((-f) y✝ - (-f) x✝) / (y✝ - x✝))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)
x✝ y✝ z✝ : 𝕜
hx : x✝ ∈ s
hz : z✝ ∈ s
hxy : x✝ < y✝
hyz : y✝ < z✝
\u22a2 (f z✝ - f y✝) / (z✝ - y✝) < (f y✝ - f x✝) / (y✝ - x✝)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
\u22a2 SurjOn cos (Icc 0 π) (Icc (-1) 1)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/FunctionSeries.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β → F
hf : ∀ (i : α), Continuous (f i)
hu : Summable u
hfu : ∀ (n : α) (x : β), ‖f n x‖ ≤ u n
\u22a2 Continuous fun x => ∑' (n : α), f n x
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/FunctionSeries.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β → F
hu : Summable u
hfu : ∀ (n : α) (x : β), ‖f n x‖ ≤ u n
hf : ∀ (i : α), ContinuousOn (f i) univ
\u22a2 ContinuousOn (fun x => ∑' (n : α), f n x) univ
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
h : a ≤ b
\u22a2 b⁻¹ ≤ a⁻¹
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/SheafComparison.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.55818, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝² : Preregular C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
inst✝ : ReflectsFiniteLimits s
hF : IsSheaf (coherentTopology C) (F ⋙ s)
\u22a2 IsSheaf (coherentTopology C) F
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/SheafComparison.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.55818, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝² : Preregular C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
inst✝ : ReflectsFiniteLimits s
hF : Nonempty (PreservesFiniteProducts (F ⋙ s)) ∧ EqualizerCondition (F ⋙ s)
\u22a2 Nonempty (PreservesFiniteProducts F) ∧ EqualizerCondition F
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
\u22a2 (M.map f hf).Basis (f '' I) (f '' X)
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
\u22a2 ∀ e ∈ f '' X \ f '' I, (M.map f hf).Dep (insert e (f '' I))
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
e : α
he : e ∈ X
he' : f e ∉ f '' I
\u22a2 (M.map f hf).Dep (insert (f e) (f '' I))
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
e : α
he : e ∈ X
he' : f e ∉ f '' I
hss : insert e I ⊆ M.E
\u22a2 (M.map f hf).Dep (insert (f e) (f '' I))
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
e : α
he : e ∈ X
he' : f e ∉ f '' I
hss : insert e I ⊆ M.E
\u22a2 ¬(M.map f hf).Indep (insert (f e) (f '' I))
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
e : α
he : e ∈ X
he' : f e ∉ f '' I
hss : insert e I ⊆ M.E
\u22a2 ∀ (x : Set α), M.Indep x → ¬insert (f e) (f '' I) = f '' x
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
e : α
he : e ∈ X
he' : f e ∉ f '' I
hss : insert e I ⊆ M.E
J : Set α
hJ : M.Indep J
hins : insert (f e) (f '' I) = f '' J
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
e : α
he : e ∈ X
he' : f e ∉ f '' I
hss : insert e I ⊆ M.E
J : Set α
hJ : M.Indep J
hins : insert e I = J
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
e : α
he : e ∈ X
he' : f e ∉ f '' I
hss : insert e I ⊆ M.E
hJ : M.Indep (insert e I)
\u22a2 False
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Logic.lean
α : Sort u_1
a : α
motive : (a' : α) → a = a' → Sort u_2
x : motive a ⋯
β : Sort u_2
y : β
\u22a2 HEq y (⋯ ▸ x) ↔ HEq y x
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J✝ : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsNoetherianRing R
hI : I.IsPrimary
J : Ideal R
\u22a2 J ∈ associatedPrimes R (R ⧸ I) ↔ J ∈ {I.radical}
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J✝ : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsNoetherianRing R
hI : I.IsPrimary
J : Ideal R
\u22a2 J ∈ associatedPrimes R (R ⧸ I) ↔ J = I.radical
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J✝ : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsNoetherianRing R
hI : I.IsPrimary
J : Ideal R
\u22a2 J = I.radical → J ∈ associatedPrimes R (R ⧸ I)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsNoetherianRing R
hI : I.IsPrimary
\u22a2 I.radical ∈ associatedPrimes R (R ⧸ I)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsNoetherianRing R
hI : I.IsPrimary
this : Nontrivial (R ⧸ I)
\u22a2 I.radical ∈ associatedPrimes R (R ⧸ I)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsNoetherianRing R
hI : I.IsPrimary
this : Nontrivial (R ⧸ I)
a : Ideal R
ha : a ∈ associatedPrimes R (R ⧸ I)
\u22a2 I.radical ∈ associatedPrimes R (R ⧸ I)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d a b : α
\u22a2 |a - b| ≤ |a| + |b|
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d a b : α
\u22a2 |a + -b| ≤ |a| + |(-b)|
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
\u22a2 atTop ×ˢ atTop = atTop
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
h✝ : IsEmpty α
\u22a2 atTop ×ˢ atTop = atTop
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
h✝ : Nonempty α
\u22a2 atTop ×ˢ atTop = atTop
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
h✝¹ : Nonempty α
h✝ : IsEmpty β
\u22a2 atTop ×ˢ atTop = atTop
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
h✝¹ : Nonempty α
h✝ : Nonempty β
\u22a2 atTop ×ˢ atTop = atTop
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
\u22a2 p.natTrailingDegree = 0 ↔ p = 0 ∨ p.coeff 0 ≠ 0
-- Mathlib/Order/PartialSups.lean
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
f : ℕ → α
n : ℕ
\u22a2 (partialSups f) n = ⨆ i, ⨆ (_ : i ≤ n), f i
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace β
f : α → β
a : α
h : range f ∈ 𝓝 (f a)
\u22a2 map f (𝓝 a) = 𝓝 (f a)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Floor.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
n : ℤ
\u22a2 Tendsto floor (𝓝[<] ↑n) (pure (n - 1))
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/IntegralClosure.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : IsDomain A
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹³ : Field L
C : Type u_5
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : Algebra C L
inst✝⁷ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁶ : Algebra A C
inst✝⁵ : IsScalarTower A C L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι K L
hb_int : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
\u22a2 Subalgebra.toSubmodule (integralClosure A L) ≤ Submodule.span A (Set.range ⇑((traceForm K L).dualBasis ⋯ b))
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/IntegralClosure.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : IsDomain A
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝¹³ : Field L
C : Type u_5
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : Algebra C L
inst✝⁷ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁶ : Algebra A C
inst✝⁵ : IsScalarTower A C L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι K L
hb_int : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
\u22a2 Subalgebra.toSubmodule (integralClosure A L) ≤ LinearMap.range (↑A (Algebra.linearMap (↥(integralClosure A L)) L))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M✝ : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η✝ : Type u₁'
φ : η✝ → Type u_1
inst✝¹⁷ : Ring R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M'
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R M✝
inst✝¹¹ : Module R M'
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : Module.Free R M✝
inst✝⁷ : (i : η✝) → AddCommGroup (φ i)
inst✝⁶ : (i : η✝) → Module R (φ i)
inst✝⁵ : ∀ (i : η✝), Module.Free R (φ i)
inst✝⁴ : Fintype η✝
M η : Type u
inst✝³ : Fintype η
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module.Free R M
\u22a2 Module.rank R (η → M) = ↑(Fintype.card η) * Module.rank R M
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Infinite α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Nontrivial β
\u22a2 #(α →₀ β) = max (lift.{v, u} #α) (lift.{u, v} #β)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Infinite α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Nontrivial β
\u22a2 #(α →₀ β) ≤ max (lift.{v, u} #α) (lift.{u, v} #β)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Infinite α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Nontrivial β
\u22a2 max (lift.{v, u} #α) (lift.{u, v} #β) ≤ #(α →₀ β)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
\u22a2 setToSimpleFunc T 0 = 0
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
n : ℕ
f : List α → β
r : List β
\u22a2 sublistsLenAux n l f r = map f (sublistsLen n l) ++ r
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
n : ℕ
f : List α → β
r : List β
\u22a2 sublistsLenAux n l f r = sublistsLenAux n l (f ∘ id) (map f [] ++ r)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
x✝ : ℕ
\u22a2 4 * 0 * x✝ ≤ (0 + x✝) * (0 + x✝)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
x✝ : ℕ
\u22a2 0 ≤ (0 + x✝) * (0 + x✝)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
x✝ : ℕ
\u22a2 4 * x✝ * 0 ≤ (x✝ + 0) * (x✝ + 0)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
x✝ : ℕ
\u22a2 0 ≤ (x✝ + 0) * (x✝ + 0)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b : ℕ
\u22a2 4 * (a + 1) * (b + 1) ≤ (a + 1 + (b + 1)) * (a + 1 + (b + 1))
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Prod.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
n : A
kl : A × A
hlk : kl ∈ antidiagonal n
\u22a2 kl.2 ≤ n
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Prod.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
n : A
kl : A × A
hlk : kl ∈ antidiagonal n
\u22a2 ∃ c, n = kl.2 + c
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Prod.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
n : A
kl : A × A
hlk : kl ∈ antidiagonal n
\u22a2 n = kl.2 + kl.1
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹² : MeasurableSpace X
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace Y
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace Y
μ : Measure Y
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : X → Y → E
s : Set X
k : Set Y
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (uncurry f) (s ×ˢ univ)
hfs : ∀ (p : X) (x : Y), p ∈ s → x ∉ k → f p x = 0
\u22a2 ContinuousOn (fun x => ∫ (y : Y), f x y ∂μ) s
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : 0 ≤ a * b
\u22a2 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : 0 ≤ a * b
\u22a2 ¬(¬(0 ≤ a ∧ 0 ≤ b) ∧ ¬(a ≤ 0 ∧ b ≤ 0))
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : 0 ≤ a * b
\u22a2 (0 ≤ a → b < 0) → ¬(a ≤ 0 → 0 < b)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : 0 ≤ a * b
ab : 0 ≤ a → b < 0
nab : a ≤ 0 → 0 < b
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : 0 ≤ a * b
ab : 0 ≤ a → b < 0
nab : a ≤ 0 → 0 < b
\u22a2 a * b < 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : 0 ≤ a * b
ab : 0 ≤ a → b < 0
nab : a ≤ 0 → 0 < b
ha : 0 < a
\u22a2 a * b < 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : LinearOrder α
b c d : α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : 0 ≤ 0 * b
ab : 0 ≤ 0 → b < 0
nab : 0 ≤ 0 → 0 < b
\u22a2 0 * b < 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : 0 ≤ a * b
ab : 0 ≤ a → b < 0
nab : a ≤ 0 → 0 < b
ha : a < 0
\u22a2 a * b < 0
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Subobject.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
M✝ : ModuleCat R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
x : ↥(LinearMap.ker f)
\u22a2 (⇑(kernelSubobject f).arrow ∘ ⇑(kernelSubobjectIso f ≪≫ kernelIsoKer f).inv) x = ↑x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Subobject.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
M✝ : ModuleCat R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
x : ↥(LinearMap.ker f)
\u22a2 ((kernelIsoKer f).inv ≫ (kernelSubobjectIso f).inv ≫ (kernelSubobject f).arrow) x = ↑x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Subobject.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
M✝ : ModuleCat R
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
x : ↥(LinearMap.ker f)
\u22a2 (LinearMap.ker f).subtype x = ↑x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
\u22a2 0 < count a l ↔ a ∈ l
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x✝ x : E
\u22a2 gauge (closure 0) x = 0 x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x✝ x : E
\u22a2 sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ (r = 0 ∨ ‖x‖ = 0)} = 0 x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x✝ x : E
hx : ‖x‖ = 0
\u22a2 sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ (r = 0 ∨ ‖x‖ = 0)} = 0 x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x✝ x : E
hx : 0 < ‖x‖
\u22a2 sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ (r = 0 ∨ ‖x‖ = 0)} = 0 x
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A : Rep k G✝
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : MulAction G M
f : G × G → M
hf : IsMulTwoCocycle f
g : G
\u22a2 f (g, 1) = g • f (1, 1)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
\u22a2 0 < minkowskiBound K I
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
\u22a2 volume (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
\u22a2 2 ^ finrank ℝ (({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)) ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
F : ι → Submodule 𝕜 E
hV : IsHilbertSum 𝕜 G V
w : ↥(lp G 2)
\u22a2 hV.linearIsometryEquiv.symm w = ∑' (i : ι), (V i) (↑w i)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
exps : HeightOneSpectrum R → ℤ
\u22a2 count K v (∏ᶠ (w : HeightOneSpectrum R) (_ : w ≠ v), ↑w.asIdeal ^ exps w) = 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
exps : HeightOneSpectrum R → ℤ
\u22a2 count K v 1 = 0