ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a => f a b
ht : ((fun b => image (fun a => f a b) s) '' ↑t).PairwiseDisjoint id
\u22a2 s.card ∣ (image₂ (fun b a => f a b) t s).card
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K
\u22a2 1 ≤ ↑w.mult
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K
\u22a2 1 ≤ w.mult
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
i : ℕ
\u22a2 ∃ j, (i, j) ∉ μ
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
i j : ℕ
hj : j ∉ μ.cells.preimage (Prod.mk i) ⋯
\u22a2 ∃ j, (i, j) ∉ μ
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
i j : ℕ
hj : (i, j) ∉ μ.cells
\u22a2 ∃ j, (i, j) ∉ μ
-- Mathlib/Tactic/NormNum/GCD.lean
x y : ℤ
\u22a2 x.gcd y = x.natAbs.gcd y.natAbs
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : Finset ι
f : ι → Set α
hd : (↑s).Pairwise (AEDisjoint μ on f)
hm : ∀ b ∈ s, NullMeasurableSet (f b) μ
\u22a2 μ (⋃ b ∈ s, f b) = ∑ p ∈ s, μ (f p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : Finset ι
f : ι → Set α
hd : (↑s).Pairwise (AEDisjoint μ on f)
hm : ∀ b ∈ s, NullMeasurableSet (f b) μ
\u22a2 μ (⋃ b ∈ s, f b) = ∑' (b : { x // x ∈ s }), μ (f ↑b)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/CommRing.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
\u22a2 (p - q).vars ⊆ p.vars ∪ q.vars
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : NonAssocSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix m n α
i✝ : m
j✝ : n
\u22a2 (M * 1) i✝ j✝ = M i✝ j✝
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hs : s.ncard ≠ 0
\u22a2 s.Nonempty
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hs : s.ncard ≠ 0
\u22a2 s ≠ ∅
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
ι : Type u_3
hs : IsZlattice K L
b : Basis ι ℤ ↥L
x : ↥L
i : ι
\u22a2 ((ofZlatticeBasis K L b).repr ↑x) i = ↑((b.repr x) i)
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
ι : Type u_3
hs : IsZlattice K L
b : Basis ι ℤ ↥L
x : ↥L
i : ι
\u22a2 ↑ℤ ↑(ofZlatticeBasis K L b).repr ∘ₗ L.subtype.toIntLinearMap = Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap ℤ K) ∘ₗ ↑b.repr
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
ι : Type u_3
hs : IsZlattice K L
b : Basis ι ℤ ↥L
x : ↥L
i✝ i : ι
\u22a2 (↑ℤ ↑(ofZlatticeBasis K L b).repr ∘ₗ L.subtype.toIntLinearMap) (b i) = (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap ℤ K) ∘ₗ ↑b.repr) (b i)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
n : ℕ
\u22a2 s.sum ^ (Multiset.card s * n + 1) ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
\u22a2 Multiset.sum 0 ^ (Multiset.card 0 * n + 1) ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) 0).toFinset
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a✝ b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
a : α
s : Multiset α
hs : s.sum ^ (Multiset.card s * n + 1) ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset
\u22a2 (a ::ₘ s).sum ^ (Multiset.card (a ::ₘ s) * n + 1) ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) (a ::ₘ s)).toFinset
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a✝ b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
a : α
s : Multiset α
hs : s.sum ^ (Multiset.card s * n + 1) ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset
\u22a2 ∑ m ∈ Finset.range ((Multiset.card s + 1) * n + 1 + 1), a ^ m * s.sum ^ ((Multiset.card s + 1) * n + 1 - m) * ↑(((Multiset.card s + 1) * n + 1).choose m) ∈ span (insert (a ^ (n + 1)) ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a✝ b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
a : α
s : Multiset α
hs : s.sum ^ (Multiset.card s * n + 1) ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset
\u22a2 ∀ c ∈ Finset.range ((Multiset.card s + 1) * n + 1 + 1), a ^ c * s.sum ^ ((Multiset.card s + 1) * n + 1 - c) * ↑(((Multiset.card s + 1) * n + 1).choose c) ∈ span (insert (a ^ (n + 1)) ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a✝ b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
a : α
s : Multiset α
hs : s.sum ^ (Multiset.card s * n + 1) ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset
c : ℕ
_hc : c ∈ Finset.range ((Multiset.card s + 1) * n + 1 + 1)
\u22a2 a ^ c * s.sum ^ ((Multiset.card s + 1) * n + 1 - c) * ↑(((Multiset.card s + 1) * n + 1).choose c) ∈ span (insert (a ^ (n + 1)) ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a✝ b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
a : α
s : Multiset α
hs : s.sum ^ (Multiset.card s * n + 1) ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset
c : ℕ
_hc : c ∈ Finset.range ((Multiset.card s + 1) * n + 1 + 1)
\u22a2 ∃ a_1, ∃ z ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset, a ^ c * s.sum ^ ((Multiset.card s + 1) * n + 1 - c) * ↑(((Multiset.card s + 1) * n + 1).choose c) = a_1 * a ^ (n + 1) + z
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : TendstoUniformlyOn F f φ (cthickening δ K)
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
\u22a2 TendstoUniformlyOn (Complex.cderiv δ ∘ F) (Complex.cderiv δ f) φ K
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hδ : 0 < δ
hF : TendstoUniformlyOn F f ⊥ (cthickening δ K)
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in ⊥, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
\u22a2 TendstoUniformlyOn (cderiv δ ∘ F) (cderiv δ f) ⊥ K
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : TendstoUniformlyOn F f φ (cthickening δ K)
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
hne : φ.NeBot
\u22a2 TendstoUniformlyOn (Complex.cderiv δ ∘ F) (Complex.cderiv δ f) φ K
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : TendstoUniformlyOn F f φ (cthickening δ K)
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
hne : φ.NeBot
e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)
\u22a2 TendstoUniformlyOn (Complex.cderiv δ ∘ F) (Complex.cderiv δ f) φ K
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ cthickening δ K, dist (f x) (F n x) < ε
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
hne : φ.NeBot
e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)
\u22a2 ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ K, dist (Complex.cderiv δ f x) ((Complex.cderiv δ ∘ F) n x) < ε
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ cthickening δ K, dist (f x) (F n x) < ε
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
hne : φ.NeBot
e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)
ε : ℝ
hε : ε > 0
\u22a2 ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ K, dist (Complex.cderiv δ f x) ((Complex.cderiv δ ∘ F) n x) < ε
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z✝ : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ cthickening δ K, dist (f x) (F n x) < ε
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
hne : φ.NeBot
e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)
ε : ℝ
hε : ε > 0
n : ι
h : ∀ x ∈ cthickening δ K, dist (f x) (F n x) < ε * δ
h' : ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
z : ℂ
hz : z ∈ K
\u22a2 dist (Complex.cderiv δ f z) ((Complex.cderiv δ ∘ F) n z) < ε
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z✝ : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ cthickening δ K, dist (f x) (F n x) < ε
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
hne : φ.NeBot
e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)
ε : ℝ
hε : ε > 0
n : ι
h' : ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
z : ℂ
hz : z ∈ K
h : ∀ x ∈ cthickening δ K, ‖f x - F n x‖ < ε * δ
\u22a2 ‖Complex.cderiv δ f z - (Complex.cderiv δ ∘ F) n z‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z✝ : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ cthickening δ K, dist (f x) (F n x) < ε
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
hne : φ.NeBot
e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)
ε : ℝ
hε : ε > 0
n : ι
h' : ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
z : ℂ
hz : z ∈ K
h : ∀ x ∈ cthickening δ K, ‖f x - F n x‖ < ε * δ
e2 : ∀ w ∈ sphere z δ, ‖f w - F n w‖ < ε * δ
\u22a2 ‖Complex.cderiv δ f z - (Complex.cderiv δ ∘ F) n z‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z✝ : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ cthickening δ K, dist (f x) (F n x) < ε
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
hne : φ.NeBot
e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)
ε : ℝ
hε : ε > 0
n : ι
h' : ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
z : ℂ
hz : z ∈ K
h : ∀ x ∈ cthickening δ K, ‖f x - F n x‖ < ε * δ
e2 : ∀ w ∈ sphere z δ, ‖f w - F n w‖ < ε * δ
e3 : sphere z δ ⊆ cthickening δ K
\u22a2 ‖Complex.cderiv δ f z - (Complex.cderiv δ ∘ F) n z‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z✝ : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ cthickening δ K, dist (f x) (F n x) < ε
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
hne : φ.NeBot
e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)
ε : ℝ
hε : ε > 0
n : ι
h' : ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
z : ℂ
hz : z ∈ K
h : ∀ x ∈ cthickening δ K, ‖f x - F n x‖ < ε * δ
e2 : ∀ w ∈ sphere z δ, ‖f w - F n w‖ < ε * δ
e3 : sphere z δ ⊆ cthickening δ K
hf : ContinuousOn f (sphere z δ)
\u22a2 ‖Complex.cderiv δ f z - (Complex.cderiv δ ∘ F) n z‖ < ε
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : BijOn f ∅ t
\u22a2 t = ∅
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
\u22a2 BijOn f ∅ ∅
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
e : ℝ
d n : ℕ
h : NormNum.IsInt e (Int.negOfNat n)
\u22a2 0 ≤ Real.log e
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
e : ℝ
d n : ℕ
h : NormNum.IsInt e (Int.negOfNat n)
\u22a2 0 ≤ Real.log (-↑n)
-- Mathlib/Algebra/CharP/ExpChar.lean
R : Type u
inst✝³ : CommSemiring R
S : Type u_1
inst✝² : CommSemiring S
f : R →* S
g : R →+* S
p m n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : ExpChar S p
x y : R
\u22a2 (iterateFrobenius R p 1) x = x ^ p
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
g : β → γ
hg : UniformEmbedding g
f : α → β
\u22a2 UniformEmbedding (g ∘ f) ↔ UniformEmbedding f
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
\u22a2 ∑ d ∈ (m * n).divisors, d = (∑ d ∈ m.divisors, d) * ∑ d ∈ n.divisors, d
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
k m n : ℕ
hm : m ≠ 0
hkmn : m * k ≤ n
\u22a2 MapsTo val (Iic ↑k) (Iic k)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
k m n : ℕ
hm : m ≠ 0
hkmn : m * k ≤ n
x : ℕ
hx : x ≤ k
\u22a2 ↑x ∈ Iic ↑k ∧ ↑↑x = x
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
k m n : ℕ
hm : m ≠ 0
hkmn : m * k ≤ n
s t : Multiset (Fin (n + 1))
hsA : ∀ ⦃x : Fin (n + 1)⦄, x ∈ s → x ∈ Iic ↑k
htA : ∀ ⦃x : Fin (n + 1)⦄, x ∈ t → x ∈ Iic ↑k
hs : card s = m
ht : card t = m
this : ∀ (u : Multiset (Fin (n + 1))), (Nat.castRingHom (Fin (n + 1))) (map val u).sum = u.sum
\u22a2 (map val s).sum = (map val t).sum ↔ (Nat.castRingHom (Fin (n + 1))) (map val s).sum = (Nat.castRingHom (Fin (n + 1))) (map val t).sum
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
k m n : ℕ
hm : m ≠ 0
hkmn : m * k ≤ n
s t : Multiset (Fin (n + 1))
hsA : ∀ ⦃x : Fin (n + 1)⦄, x ∈ s → x ∈ Iic ↑k
htA : ∀ ⦃x : Fin (n + 1)⦄, x ∈ t → x ∈ Iic ↑k
hs : card s = m
ht : card t = m
this✝ : ∀ (u : Multiset (Fin (n + 1))), (Nat.castRingHom (Fin (n + 1))) (map val u).sum = u.sum
this : ∀ {u : Multiset (Fin (n + 1))}, (∀ x ∈ u, x ≤ ↑k) → card u = m → (map val u).sum < n + 1
\u22a2 (map val s).sum = (map val t).sum ↔ (Nat.castRingHom (Fin (n + 1))) (map val s).sum = (Nat.castRingHom (Fin (n + 1))) (map val t).sum
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Dslope.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 (dslope f a) s b
\u22a2 DifferentiableWithinAt 𝕜 f s b
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R✝ : Type u_1
inst✝² : AddMonoidWithOne R✝
p✝ a✝ b✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : AddMonoidWithOne R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
a b : ℕ
h : a ≡ b [MOD p]
hle : a ≤ b
\u22a2 ↑a = ↑b
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R✝ : Type u_1
inst✝² : AddMonoidWithOne R✝
p✝ a✝ b✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : AddMonoidWithOne R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
a b : ℕ
h : p ∣ b - a
hle : a ≤ b
\u22a2 ↑a = ↑b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
n : ℤ
\u22a2 0 ≤ log ↑n
-- Mathlib/Order/OrdContinuous.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : Nonempty ι
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
g : ι → α
hg : BddAbove (range g)
\u22a2 f (⨆ i, g i) = ⨆ i, f (g i)
-- Mathlib/Order/OrdContinuous.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : Nonempty ι
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
g : ι → α
hg : BddAbove (range g)
\u22a2 sSup (range (f ∘ g)) = sSup (range fun i => f (g i))
-- Mathlib/RingTheory/Generators.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.705515
S' : Type ?u.705518
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.707949
S'' : Type ?u.707952
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
r : P.Ring
x : P.Cotangent
\u22a2 (r • x).val = r • x.val
-- Mathlib/RingTheory/Generators.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.705515
S' : Type ?u.705518
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.707949
S'' : Type ?u.707952
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
r : P.Ring
x : P.Cotangent
\u22a2 (P.σ ((algebraMap P.Ring S) r) - r) • x.val = 0
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n : ℕ
x : α
\u22a2 [x] = l.rotate n ↔ [x] = l
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Lex.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsStrictOrder ι r
x y : Π₀ (i : ι), α i
hlt : x < y
\u22a2 ∃ i, (∀ (j : ι), r j i → x j ≤ y j ∧ y j ≤ x j) ∧ x i < y i
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Lex.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsStrictOrder ι r
x y : Π₀ (i : ι), α i
hlt✝ : x < y
hle : ⇑x ≤ ⇑y
j : ι
hlt : x j < y j
\u22a2 ∃ i, (∀ (j : ι), r j i → x j ≤ y j ∧ y j ≤ x j) ∧ x i < y i
-- Mathlib/Algebra/Ring/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝² : Add α
inst✝¹ : MulOneClass α
inst✝ : RightDistribClass α
a b : α
\u22a2 (a + 1) * b = a * b + b
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
s : Finset (Perm α)
h1 : ∀ f ∈ s, f.IsCycle
h2 : (↑s).Pairwise Disjoint
h0 : s.noncommProd id ⋯ = σ
\u22a2 σ.cycleType = Multiset.map (Finset.card ∘ support) s.val
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
s : Finset (Perm α)
h1 : ∀ f ∈ s, f.IsCycle
h2 : (↑s).Pairwise Disjoint
h0 : s.noncommProd id ⋯ = σ
\u22a2 Multiset.map (Finset.card ∘ support) σ.cycleFactorsFinset.val = Multiset.map (Finset.card ∘ support) s.val
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
s : Finset (Perm α)
h1 : ∀ f ∈ s, f.IsCycle
h2 : (↑s).Pairwise Disjoint
h0 : s.noncommProd id ⋯ = σ
\u22a2 σ.cycleFactorsFinset = s
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
s : Finset (Perm α)
h1 : ∀ f ∈ s, f.IsCycle
h2 : (↑s).Pairwise Disjoint
h0 : s.noncommProd id ⋯ = σ
\u22a2 (∀ f ∈ s, f.IsCycle) ∧ ∃ (h : (↑s).Pairwise Disjoint), s.noncommProd id ⋯ = σ
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
Λ : ℂ → ℂ
hf : ∀ (s : ℂ), s ≠ 0 → s ≠ 1 → DifferentiableAt ℂ Λ s
L : ℂ
h_lim : Tendsto (fun s => s * Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 L)
s : ℂ
hs' : s ≠ 1
\u22a2 DifferentiableAt ℂ (Function.update (fun s => Λ s / s.Gammaℝ) 0 (L / 2)) s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
Λ : ℂ → ℂ
hf : ∀ (s : ℂ), s ≠ 0 → s ≠ 1 → DifferentiableAt ℂ Λ s
L : ℂ
h_lim : Tendsto (fun s => s * Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 L)
s : ℂ
hs' : s ≠ 1
claim : ∀ (t : ℂ), t ≠ 0 → t ≠ 1 → DifferentiableAt ℂ (fun u => Λ u / u.Gammaℝ) t
\u22a2 DifferentiableAt ℂ (Function.update (fun s => Λ s / s.Gammaℝ) 0 (L / 2)) s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
Λ : ℂ → ℂ
hf : ∀ (s : ℂ), s ≠ 0 → s ≠ 1 → DifferentiableAt ℂ Λ s
L : ℂ
h_lim : Tendsto (fun s => s * Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 L)
s : ℂ
hs' : s ≠ 1
claim : ∀ (t : ℂ), t ≠ 0 → t ≠ 1 → DifferentiableAt ℂ (fun u => Λ u / u.Gammaℝ) t
claim2 : Tendsto (fun s => Λ s / s.Gammaℝ) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (L / 2))
\u22a2 DifferentiableAt ℂ (Function.update (fun s => Λ s / s.Gammaℝ) 0 (L / 2)) s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
Λ : ℂ → ℂ
hf : ∀ (s : ℂ), s ≠ 0 → s ≠ 1 → DifferentiableAt ℂ Λ s
L : ℂ
h_lim : Tendsto (fun s => s * Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 L)
s : ℂ
hs' : s ≠ 1
claim : ∀ (t : ℂ), t ≠ 0 → t ≠ 1 → DifferentiableAt ℂ (fun u => Λ u / u.Gammaℝ) t
claim2 : Tendsto (fun s => Λ s / s.Gammaℝ) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (L / 2))
hs : s ≠ 0
\u22a2 DifferentiableAt ℂ (Function.update (fun s => Λ s / s.Gammaℝ) 0 (L / 2)) s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
Λ : ℂ → ℂ
hf : ∀ (s : ℂ), s ≠ 0 → s ≠ 1 → DifferentiableAt ℂ Λ s
L : ℂ
h_lim : Tendsto (fun s => s * Λ s) (𝓝[≠] 0) (𝓝 L)
claim : ∀ (t : ℂ), t ≠ 0 → t ≠ 1 → DifferentiableAt ℂ (fun u => Λ u / u.Gammaℝ) t
claim2 : Tendsto (fun s => Λ s / s.Gammaℝ) (𝓝[≠] 0) (𝓝 (L / 2))
hs' : 0 ≠ 1
\u22a2 DifferentiableAt ℂ (Function.update (fun s => Λ s / s.Gammaℝ) 0 (L / 2)) 0
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α
\u22a2 (s ○ t).Nonempty → s.Nonempty
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α
\u22a2 (∃ x, ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = x) → ∃ x, x ∈ s
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : a₁ < b₁
\u22a2 Ioc a₁ b₁ ⊆ Ioc a₂ b₂ ↔ b₁ ≤ b₂ ∧ a₂ ≤ a₁