ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset ι
t : Finset ι'
ws : ι → R
zs : ι → E
wt : ι' → R
zt : ι' → E
hws : ∑ i ∈ s, ws i = 1
hwt : ∑ i ∈ t, wt i = 1
a b : R
hab : a + b = 1
\u22a2 a • s.centerMass ws zs + b • t.centerMass wt zt = (s.disjSum t).centerMass (Sum.elim (fun i => a * ws i) fun j => b * wt j) (Sum.elim zs zt)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset ι
t : Finset ι'
ws : ι → R
zs : ι → E
wt : ι' → R
zt : ι' → E
hws : ∑ i ∈ s, ws i = 1
hwt : ∑ i ∈ t, wt i = 1
a b : R
hab : a + b = 1
\u22a2 ∑ x ∈ s.disjSum t, Sum.elim (fun x => a • ws x • zs x) (fun x => b • wt x • zt x) x = ∑ i ∈ s.disjSum t, Sum.elim (fun i => a * ws i) (fun j => b * wt j) i • Sum.elim zs zt i
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset ι
t : Finset ι'
ws : ι → R
zs : ι → E
wt : ι' → R
zt : ι' → E
hws : ∑ i ∈ s, ws i = 1
hwt : ∑ i ∈ t, wt i = 1
a b : R
hab : a + b = 1
\u22a2 ∑ i ∈ s.disjSum t, Sum.elim (fun i => a * ws i) (fun j => b * wt j) i = 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
k : ℕ
\u22a2 ((monomial k) r).content = normalize r
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ l₂ : List α
s : l₁ ~ l₂
\u22a2 List.filter p l₁ ~ List.filter p l₂
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ l₂ : List α
s : l₁ ~ l₂
\u22a2 List.filterMap (Option.guard fun x => p x = true) l₁ ~ List.filterMap (Option.guard fun x => p x = true) l₂
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
i : ι
ω : Ω
h : i ≤ τ ω
\u22a2 stoppedProcess u τ i ω = u i ω
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F : Sheaf C X
U : Opens ↑X
s t : (forget C).obj (F.val.obj (op U))
h : ∀ (x : ↥U), (F.presheaf.germ x) s = (F.presheaf.germ x) t
\u22a2 s = t
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F : Sheaf C X
U : Opens ↑X
s t : (forget C).obj (F.val.obj (op U))
h : ∀ (x : ↥U), (F.presheaf.germ x) s = (F.presheaf.germ x) t
V : ↥U → Opens ↑X
m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
i₁ i₂ : (x : ↥U) → V x ⟶ U
heq : ∀ (x : ↥U), (F.presheaf.map (i₁ x).op) s = (F.presheaf.map (i₂ x).op) t
\u22a2 s = t
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F : Sheaf C X
U : Opens ↑X
s t : (forget C).obj (F.val.obj (op U))
h : ∀ (x : ↥U), (F.presheaf.germ x) s = (F.presheaf.germ x) t
V : ↥U → Opens ↑X
m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
i₁ i₂ : (x : ↥U) → V x ⟶ U
heq : ∀ (x : ↥U), (F.presheaf.map (i₁ x).op) s = (F.presheaf.map (i₂ x).op) t
\u22a2 U ≤ iSup V
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F : Sheaf C X
U : Opens ↑X
s t : (forget C).obj (F.val.obj (op U))
h : ∀ (x : ↥U), (F.presheaf.germ x) s = (F.presheaf.germ x) t
V : ↥U → Opens ↑X
m : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
i₁ i₂ : (x : ↥U) → V x ⟶ U
heq : ∀ (x : ↥U), (F.presheaf.map (i₁ x).op) s = (F.presheaf.map (i₂ x).op) t
\u22a2 ∀ (i : ↥U), (F.val.map (i₁ i).op) s = (F.val.map (i₁ i).op) t
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β✝
inst✝³ : CommMonoid β✝
α : Type u_6
inst✝² : CommMonoid α
β : Type u_7
inst✝¹ : Fintype β
s : Set β
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
f : β → α
g : ↑s → α
w : ∀ (x : β) (h : x ∈ s), f x = g ⟨x, h⟩
w' : ∀ x ∉ s, f x = 1
\u22a2 univ.prod f = univ.prod g
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β✝
inst✝³ : CommMonoid β✝
α : Type u_6
inst✝² : CommMonoid α
β : Type u_7
inst✝¹ : Fintype β
s : Set β
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
f : β → α
g : ↑s → α
w : ∀ (x : β) (h : x ∈ s), f x = g ⟨x, h⟩
w' : ∀ x ∉ s, f x = 1
\u22a2 ∏ x ∈ s.toFinset, f x = univ.prod g
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β✝
inst✝³ : CommMonoid β✝
α : Type u_6
inst✝² : CommMonoid α
β : Type u_7
inst✝¹ : Fintype β
s : Set β
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
f : β → α
g : ↑s → α
w : ∀ (x : β) (h : x ∈ s), f x = g ⟨x, h⟩
w' : ∀ x ∉ s, f x = 1
\u22a2 ∀ x ∈ univ, x ∉ s.toFinset → f x = 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/ZeroAtInfty.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
𝓕 : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F
f : 𝓕
ε : ℝ
hε : 0 < ε
\u22a2 ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/ZeroAtInfty.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
𝓕 : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F
f : 𝓕
ε : ℝ
hε : 0 < ε
h : Tendsto (⇑f) (cocompact E) (𝓝 0)
\u22a2 ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/ZeroAtInfty.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
𝓕 : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F
f : 𝓕
ε : ℝ
hε : 0 < ε
h : ∀ s ∈ 𝓝 0, (fun x => ‖f x‖) ⁻¹' s ∈ cocompact E
\u22a2 ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/ZeroAtInfty.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
𝓕 : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F
f : 𝓕
ε : ℝ
hε : 0 < ε
h : (fun x => ‖f x‖) ⁻¹' Metric.ball 0 ε ∈ cocompact E
\u22a2 ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/ZeroAtInfty.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
𝓕 : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F
f : 𝓕
ε : ℝ
hε : 0 < ε
h : (fun x => ‖f x‖) ⁻¹' Metric.ball 0 ε ∈ cocompact E
r : ℝ
hr : (Metric.closedBall 0 r)ᶜ ⊆ (fun x => ‖f x‖) ⁻¹' Metric.ball 0 ε
\u22a2 ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/ZeroAtInfty.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
𝓕 : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F
f : 𝓕
ε : ℝ
hε : 0 < ε
h : (fun x => ‖f x‖) ⁻¹' Metric.ball 0 ε ∈ cocompact E
r : ℝ
hr : (Metric.closedBall 0 r)ᶜ ⊆ (fun x => ‖f x‖) ⁻¹' Metric.ball 0 ε
\u22a2 ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝⁷ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝² : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)
c : 𝕜
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
b₁ b₂ : β i
\u22a2 edist ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)).symm (Pi.single i b₁)) ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)).symm (Pi.single i b₂)) = edist b₁ b₂
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t✝ : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s t : Set α
hB : IsTopologicalBasis B
hs : IsOpen s
ht : IsOpen t
h : ∀ U ∈ B, U ⊆ s ↔ U ⊆ t
\u22a2 s = t
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t✝ : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s t : Set α
hB : IsTopologicalBasis B
hs : IsOpen s
ht : IsOpen t
h : ∀ U ∈ B, U ⊆ s ↔ U ⊆ t
\u22a2 ⋃₀ {s_1 | s_1 ∈ B ∧ s_1 ⊆ s} = ⋃₀ {s | s ∈ B ∧ s ⊆ t}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
s : ι → Set α
t : Finset ι
p : α → Prop
\u22a2 (∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (⋃ i ∈ t, s i), p x) ↔ ∀ i ∈ t, ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (s i), p x
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Hom.lean
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁵ : SMul M X
inst✝⁴ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝³ : SMul N Y
inst✝² : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝¹ : SMul P Z
φ' : N → M
Y₁ : Type u_8
inst✝ : SMul M Y₁
f : X →ₑ[φ] Y
g : Y → X
k : Function.RightInverse φ' φ
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
m : N
x : Y
\u22a2 g (φ (φ' m) • f (g x)) = g (f (φ' m • g x))
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
a a' : α
b : M
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Finite α
x : α
m : M
x✝ : α
\u22a2 equivFunOnFinite (single x m) x✝ = Pi.single x m x✝
-- Mathlib/Algebra/Module/CharacterModule.lean
R : Type uR
inst✝⁶ : CommRing R
A : Type uA
inst✝⁵ : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝³ : AddCommGroup B
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R A'
inst✝ : Module R B
f : A →ₗ[R] A'
h : Function.Surjective ⇑(dual f)
a : A
h0 : f a = 0
c : CharacterModule A'
\u22a2 ((dual f) c) a = 0
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
\u22a2 Primrec fun a => ↑a.succ
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : AddGroup ι
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : CovariantClass ι ι (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
hi : 0 ≤ i
j : ι
\u22a2 MeasurableSet {ω | (fun ω => τ ω + i) ω ≤ j}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : AddGroup ι
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : CovariantClass ι ι (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
hi : 0 ≤ i
j : ι
\u22a2 MeasurableSet {ω | τ ω ≤ j - i}
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
b : Bool
n : Num
\u22a2 ↑(bit b n) = Nat.bit b ↑n
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
ht : IsAntichain r t
h : minimals r s ⊆ t
hs : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ t → ∃ b ∈ minimals r s, r a b
a : α
ha : a ∈ t
b : α
hb : b ∈ minimals r s
hr : r a b
\u22a2 a ∈ minimals r s
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
\u22a2 (toFunLinear R A) (1 ⊗ₜ[R] 1) = 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extrema.lean
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmin : IsLocalMinOn f s a
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x
\u22a2 x ∈ {x | (fun x => f a ≤ f x) x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extrema.lean
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmin : IsLocalMinOn f s a
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x
hg0 : g 0 = a
\u22a2 x ∈ {x | (fun x => f a ≤ f x) x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extrema.lean
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmin : IsLocalMinOn f s a
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x
hg0 : g 0 = a
hg1 : g 1 = x
\u22a2 x ∈ {x | (fun x => f a ≤ f x) x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extrema.lean
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmin : IsLocalMinOn f s a
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x
hg0 : g 0 = a
hg1 : g 1 = x
hgc : Continuous ⇑g
\u22a2 x ∈ {x | (fun x => f a ≤ f x) x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extrema.lean
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmin : IsLocalMinOn f s a
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x
hg0 : g 0 = a
hg1 : g 1 = x
hgc : Continuous ⇑g
h_maps : MapsTo (⇑g) (Icc 0 1) s
\u22a2 x ∈ {x | (fun x => f a ≤ f x) x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extrema.lean
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmin : IsLocalMinOn f s a
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x
hg0 : g 0 = a
hg1 : g 1 = x
hgc : Continuous ⇑g
h_maps : MapsTo (⇑g) (Icc 0 1) s
fg_local_min_on : IsLocalMinOn (f ∘ ⇑g) (Icc 0 1) 0
\u22a2 x ∈ {x | (fun x => f a ≤ f x) x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extrema.lean
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmin : IsLocalMinOn f s a
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x
hg0 : g 0 = a
hg1 : g 1 = x
hgc : Continuous ⇑g
h_maps : MapsTo (⇑g) (Icc 0 1) s
fg_local_min_on : IsLocalMinOn (f ∘ ⇑g) (Icc 0 1) 0
fg_min_on : IsMinOn (f ∘ ⇑g) (Icc 0 1) 0
\u22a2 x ∈ {x | (fun x => f a ≤ f x) x}
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
\u22a2 U R n = 2 * X * U R (n - 1) - U R (n - 2)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤
\u22a2 Continuous t.truncateToReal
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤
\u22a2 ∀ (x : ℝ≥0∞), ((fun p => min p.1 p.2) ∘ fun y => (t, y)) x ∈ {a | a ≠ ⊤}
-- Mathlib/Algebra/Group/Ext.lean
M : Type u
m₁ m₂ : Monoid M
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
\u22a2 m₁ = m₂
-- Mathlib/Algebra/Group/Ext.lean
M : Type u
m₁ m₂ : Monoid M
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
this : toMulOneClass = toMulOneClass
\u22a2 m₁ = m₂
-- Mathlib/Algebra/Group/Ext.lean
M : Type u
m₁ m₂ : Monoid M
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
this : toMulOneClass = toMulOneClass
h₁ : One.one = One.one
f : M →* M := { toFun := id, map_one' := h₁, map_mul' := ⋯ }
\u22a2 m₁ = m₂
-- Mathlib/Algebra/Group/Ext.lean
M : Type u
m₁ m₂ : Monoid M
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
this✝ : toMulOneClass = toMulOneClass
h₁ : One.one = One.one
f : M →* M := { toFun := id, map_one' := h₁, map_mul' := ⋯ }
this : Monoid.npow = Monoid.npow
\u22a2 m₁ = m₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Quotient.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
r : HomRel C
h : Congruence r
X Y : C
f f' : X ⟶ Y
\u22a2 Quot.mk (CompClosure r) f = Quot.mk (CompClosure r) f' ↔ r f f'
-- Mathlib/CategoryTheory/Quotient.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
r : HomRel C
h : Congruence r
X Y : C
f f' : X ⟶ Y
\u22a2 _root_.Equivalence (CompClosure r)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Ext.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Linear R C
inst✝¹ : EnoughProjectives C
X Y : C
inst✝ : Projective X
n : ℕ
\u22a2 IsZero (((Ext R C (n + 1)).obj (Opposite.op X)).obj Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Ext.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Linear R C
inst✝¹ : EnoughProjectives C
X Y : C
inst✝ : Projective X
n : ℕ
\u22a2 IsZero (HomologicalComplex.homology ((ProjectiveResolution.self X).complex.linearYonedaObj R Y) (n + 1))
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Ext.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Linear R C
inst✝¹ : EnoughProjectives C
X Y : C
inst✝ : Projective X
n : ℕ
\u22a2 (HomologicalComplex.sc ((ProjectiveResolution.self X).complex.linearYonedaObj R Y) (n + 1)).Exact
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Ext.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Linear R C
inst✝¹ : EnoughProjectives C
X Y : C
inst✝ : Projective X
n : ℕ
\u22a2 IsZero (HomologicalComplex.sc ((ProjectiveResolution.self X).complex.linearYonedaObj R Y) (n + 1)).X₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Ext.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Linear R C
inst✝¹ : EnoughProjectives C
X Y : C
inst✝ : Projective X
n : ℕ
\u22a2 IsZero (ModuleCat.of R (((ChainComplex.single₀ C).obj X).X (n + 1) ⟶ Y))
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Ext.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Linear R C
inst✝¹ : EnoughProjectives C
X Y : C
inst✝ : Projective X
n : ℕ
\u22a2 𝟙 (ModuleCat.of R (((ChainComplex.single₀ C).obj X).X (n + 1) ⟶ Y)) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Ext.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Linear R C
inst✝¹ : EnoughProjectives C
X Y : C
inst✝ : Projective X
n : ℕ
x : ((ChainComplex.single₀ C).obj X).X (n + 1) ⟶ Y
\u22a2 (𝟙 (ModuleCat.of R (((ChainComplex.single₀ C).obj X).X (n + 1) ⟶ Y))) x = 0 x
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Ext.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Linear R C
inst✝¹ : EnoughProjectives C
X Y : C
inst✝ : Projective X
n : ℕ
\u22a2 (𝟙 (ModuleCat.of R (((ChainComplex.single₀ C).obj X).X (n + 1) ⟶ Y))) 0 = 0 0
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x : M
\u22a2 (f.lift hg) (f.toMap x) = g x
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x : M
\u22a2 g (f.sec (f.toMap x)).1 = g (↑(f.sec (f.toMap x)).2 * x)
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 a ⊓ b ⊔ a ∆ b = a ⊔ b
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CommSemiring α
s : Multiset ι
f g : ι → α
\u22a2 (map (fun i => f i + g i) s).prod = (map (fun p => (map f p.1).prod * (map g p.2).prod) s.antidiagonal).sum
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CommSemiring α
s : Multiset ι
f g : ι → α
\u22a2 (map (fun i => f i + g i) 0).prod = (map (fun p => (map f p.1).prod * (map g p.2).prod) (antidiagonal 0)).sum
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CommSemiring α
s✝ : Multiset ι
f g : ι → α
a : ι
s : Multiset ι
ih : (map (fun i => f i + g i) s).prod = (map (fun p => (map f p.1).prod * (map g p.2).prod) s.antidiagonal).sum
\u22a2 (map (fun i => f i + g i) (a ::ₘ s)).prod = (map (fun p => (map f p.1).prod * (map g p.2).prod) (a ::ₘ s).antidiagonal).sum
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
\u22a2 (g ⊗ 𝟙 W) ≫ (𝟙 Z ⊗ f) = g ⊗ f
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
\u22a2 g ≫ 𝟙 Z ⊗ 𝟙 W ≫ f = g ⊗ f
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
\u22a2 a / d < b / c → a < b ∨ c < d
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
\u22a2 b ≤ a ∧ d ≤ c → b / c ≤ a / d
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : IndepFun X Y μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
A : Continuous fun x => rexp (t * x)
\u22a2 mgf (X + Y) μ t = mgf X μ t * mgf Y μ t
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : IndepFun X Y μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
A : Continuous fun x => rexp (t * x)
h'X : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
\u22a2 mgf (X + Y) μ t = mgf X μ t * mgf Y μ t
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : IndepFun X Y μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
A : Continuous fun x => rexp (t * x)
h'X : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
h'Y : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ
\u22a2 mgf (X + Y) μ t = mgf X μ t * mgf Y μ t