ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
m : ℕ
a : 𝕎 k
ha : a.coeff 0 ≠ 0
ha0 : (⇑verschiebung)^[m] a ≠ 0
n : ℕ
b : 𝕎 k
hb : b.coeff 0 ≠ 0
hb0 : (⇑verschiebung)^[n] b ≠ 0
hab : ↑p = (⇑verschiebung)^[m] a * (⇑verschiebung)^[n] b
\u22a2 IsUnit ((⇑verschiebung)^[m] a) ∨ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n] b)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
a : 𝕎 k
ha : a.coeff 0 ≠ 0
b : 𝕎 k
hb : b.coeff 0 ≠ 0
n✝ : ℕ
ha0 : (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a ≠ 0
n : ℕ
hb0 : (⇑verschiebung)^[n + 1] b ≠ 0
hab : ↑p = (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a * (⇑verschiebung)^[n + 1] b
\u22a2 IsUnit ((⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a) ∨ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n + 1] b)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
a : 𝕎 k
ha : a.coeff 0 ≠ 0
b : 𝕎 k
hb : b.coeff 0 ≠ 0
n✝ : ℕ
ha0 : (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a ≠ 0
n : ℕ
hb0 : (⇑verschiebung)^[n + 1] b ≠ 0
hab : ↑p = (⇑verschiebung)^[n✝ + 1 + (n + 1)] ((⇑frobenius)^[n + 1] a * (⇑frobenius)^[n✝ + 1] b)
\u22a2 IsUnit ((⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a) ∨ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n + 1] b)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
a : 𝕎 k
ha : a.coeff 0 ≠ 0
b : 𝕎 k
hb : b.coeff 0 ≠ 0
n✝ : ℕ
ha0 : (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a ≠ 0
n : ℕ
hb0 : (⇑verschiebung)^[n + 1] b ≠ 0
hab : (↑p).coeff 1 = ((⇑verschiebung)^[n✝ + 1 + (n + 1)] ((⇑frobenius)^[n + 1] a * (⇑frobenius)^[n✝ + 1] b)).coeff 1
\u22a2 IsUnit ((⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a) ∨ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n + 1] b)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
a : 𝕎 k
ha : a.coeff 0 ≠ 0
b : 𝕎 k
hb : b.coeff 0 ≠ 0
n✝ : ℕ
ha0 : (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a ≠ 0
n : ℕ
hb0 : (⇑verschiebung)^[n + 1] b ≠ 0
hab : 1 = 0
\u22a2 IsUnit ((⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a) ∨ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n + 1] b)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/NonIntegrable.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
a : ℝ
\u22a2 ¬IntegrableOn (fun x => x⁻¹) (Ioi a) volume
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ≠ b
\u22a2 ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ {a, b}), f i = f a * f b
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ≠ b
\u22a2 a ∉ {b}
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ≠ b
\u22a2 {b}.Finite
-- Mathlib/Data/Nat/PrimeFin.lean
a b m n✝¹ p n n✝ : ℕ
hk : n✝ + 1 ≠ 0
\u22a2 (n ^ (n✝ + 1)).primeFactors = n.primeFactors
-- Mathlib/Order/RelIso/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
inst✝ : Setoid α
r : α → α → Prop
H : ∀ (a₁ b₁ a₂ b₂ : α), a₁ ≈ a₂ → b₁ ≈ b₂ → r a₁ b₁ = r a₂ b₂
\u22a2 ∀ {a b : Quotient inst✝}, r ((Embedding.quotientOut α) a) ((Embedding.quotientOut α) b) ↔ Quotient.lift₂ r H a b
-- Mathlib/Order/RelIso/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
inst✝ : Setoid α
r : α → α → Prop
H : ∀ (a₁ b₁ a₂ b₂ : α), a₁ ≈ a₂ → b₁ ≈ b₂ → r a₁ b₁ = r a₂ b₂
x y : Quotient inst✝
a b : α
\u22a2 r ((Embedding.quotientOut α) ⟦a⟧) ((Embedding.quotientOut α) ⟦b⟧) ↔ Quotient.lift₂ r H ⟦a⟧ ⟦b⟧
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝ : IsRefl β s
f : r ≃r s
\u22a2 Cardinal.lift.{max u v, u} (cof r) ≤ Cardinal.lift.{max u v, v} (cof s)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝ : IsRefl β s
f : r ≃r s
\u22a2 ∀ b ∈ Cardinal.lift.{max u v, v} '' {c | ∃ S, (∀ (a : β), ∃ b ∈ S, s a b) ∧ #↑S = c}, sInf (Cardinal.lift.{max u v, u} '' {c | ∃ S, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) ∧ #↑S = c}) ≤ b
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝ : IsRefl β s
f : r ≃r s
u : Set β
H : ∀ (a : β), ∃ b ∈ u, s a b
\u22a2 sInf (Cardinal.lift.{max u v, u} '' {c | ∃ S, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) ∧ #↑S = c}) ≤ Cardinal.lift.{max u v, v} #↑u
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝ : IsRefl β s
f : r ≃r s
u : Set β
H : ∀ (a : β), ∃ b ∈ u, s a b
\u22a2 Cardinal.lift.{max u v, v} #↑u ∈ Cardinal.lift.{max u v, u} '' {c | ∃ S, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) ∧ #↑S = c}
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝ : IsRefl β s
f : r ≃r s
u : Set β
H : ∀ (a : β), ∃ b ∈ u, s a b
a : α
\u22a2 ∃ b ∈ ⇑f.symm '' u, r a b
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝ : IsRefl β s
f : r ≃r s
u : Set β
H : ∀ (a : β), ∃ b ∈ u, s a b
a : α
b : β
hb : b ∈ u
hb' : s (f a) b
\u22a2 ∃ b ∈ ⇑f.symm '' u, r a b
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝ : IsRefl β s
f : r ≃r s
u : Set β
H : ∀ (a : β), ∃ b ∈ u, s a b
a : α
b : β
hb : b ∈ u
hb' : s (f a) b
\u22a2 s (f a) (f (f.symm b))
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
hI : a₂ ≤ b₂
ha : a₂ < a₁
hb : b₁ ≤ b₂
\u22a2 Icc a₁ b₁ ⊂ Icc a₂ b₂
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
hI : a₂ ≤ b₂
ha : a₂ < a₁
hb : b₁ ≤ b₂
\u22a2 Set.Icc a₁ b₁ ⊂ Set.Icc a₂ b₂
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x✝ y x : ℝ
\u22a2 √(x ^ 2) = |x|
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : MvPolynomial σ R
\u22a2 ↑φ = 0 ↔ φ = 0
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m : ℕ
\u22a2 Pairwise (fun x x_1 => x < x_1) (range' n (m - n))
-- Mathlib/RepresentationTheory/Invariants.lean
k : Type u
inst✝ : CommRing k
G : Grp
X Y : Rep k ↑G
f : ↑X.V →ₗ[k] ↑Y.V
g : ↑G
\u22a2 Y.ρ g ∘ₗ f ∘ₗ X.ρ g⁻¹ = f ↔ f ∘ₗ X.ρ g = Y.ρ g ∘ₗ f
-- Mathlib/RepresentationTheory/Invariants.lean
k : Type u
inst✝ : CommRing k
G : Grp
X Y : Rep k ↑G
f : ↑X.V →ₗ[k] ↑Y.V
g : ↑G
\u22a2 Y.ρ g ∘ₗ f ∘ₗ ((ρAut X) g).inv = f ↔ f ∘ₗ X.ρ g = Y.ρ g ∘ₗ f
-- Mathlib/RepresentationTheory/Invariants.lean
k : Type u
inst✝ : CommRing k
G : Grp
X Y : Rep k ↑G
f : ↑X.V →ₗ[k] ↑Y.V
g : ↑G
\u22a2 f ≫ Y.ρ g = X.ρ g ≫ f ↔ f ∘ₗ X.ρ g = f ≫ Y.ρ g
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
g : G →₀ k
f : Fin n → G
r : k
\u22a2 (diagonalSucc k G n).inv.hom (g ⊗ₜ[k] single f r) = ((Finsupp.lift ((Fin (n + 1) → G) →₀ k) k G) fun a => single (a • partialProd f) r) g
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
g : G →₀ k
f : Fin n → G
r : k
\u22a2 (diagonalSucc k G n).inv.hom (0 ⊗ₜ[k] single f r) = ((Finsupp.lift ((Fin (n + 1) → G) →₀ k) k G) fun a => single (a • partialProd f) r) 0
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
g : G →₀ k
f : Fin n → G
r : k
\u22a2 ∀ (a : G) (b : k) (f_1 : G →₀ k), a ∉ f_1.support → b ≠ 0 → (diagonalSucc k G n).inv.hom (f_1 ⊗ₜ[k] single f r) = ((Finsupp.lift ((Fin (n + 1) → G) →₀ k) k G) fun a => single (a • partialProd f) r) f_1 → (diagonalSucc k G n).inv.hom ((single a b + f_1) ⊗ₜ[k] single f r) = ((Finsupp.lift ((Fin (n + 1) → G) →₀ k) k G) fun a => single (a • partialProd f) r) (single a b + f_1)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Hom/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
x✝² : NonAssocSemiring α
x✝¹ : NonAssocSemiring β
f : α →+* β
x✝ y : α
h : f 1 = 0
x : α
\u22a2 f x = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S✝ : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : Subgroupoid C
T : Subgroupoid D
\u22a2 map φ hφ S ≤ T ↔ S ≤ comap φ T
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S✝ : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : Subgroupoid C
T : Subgroupoid D
\u22a2 (∀ {c d : D}, (map φ hφ S).arrows c d ⊆ T.arrows c d) ↔ ∀ {c d : C}, S.arrows c d ⊆ (comap φ T).arrows c d
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
u : γ → δ
h : IdentDistrib f g μ ν
hu : AEMeasurable u (Measure.map f μ)
\u22a2 AEMeasurable (u ∘ g) ν
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
u : γ → δ
h : IdentDistrib f g μ ν
hu : AEMeasurable u (Measure.map g ν)
\u22a2 AEMeasurable (u ∘ g) ν
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
u : γ → δ
h : IdentDistrib f g μ ν
hu : AEMeasurable u (Measure.map f μ)
\u22a2 Measure.map (u ∘ f) μ = Measure.map (u ∘ g) ν
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
u : γ → δ
h : IdentDistrib f g μ ν
hu : AEMeasurable u (Measure.map f μ)
\u22a2 AEMeasurable u (Measure.map g ν)
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s s' : Set R
\u22a2 zeroLocus s ∪ zeroLocus s' = zeroLocus ↑(Ideal.span s ⊓ Ideal.span s')
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s s' : Set R
\u22a2 zeroLocus s ∪ zeroLocus s' = zeroLocus ↑(Ideal.span s) ∪ zeroLocus ↑(Ideal.span s')
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra A C
b : Basis ι A B
z : B
i : ι
\u22a2 (traceMatrix A ⇑b *ᵥ b.equivFun z) i = (trace A B) (z * b i)
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra A C
b : Basis ι A B
z : B
i : ι
\u22a2 ∑ j : ι, of (fun i j => ((traceForm A B) (b i)) (b j)) i j * col (Fin 1) (b.equivFun z) j 0 = (trace A B) (z * b i)
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra A C
b : Basis ι A B
z : B
i : ι
\u22a2 ∑ x : ι, of (fun i j => (trace A B) (b i * b j)) i x * b.equivFun z x = (trace A B) (z * b i)
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra A C
b : Basis ι A B
z : B
i : ι
\u22a2 ∑ x : ι, (trace A B) (b.equivFun z x • (b i * b x)) = (trace A B) (z * b i)
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra A C
b : Basis ι A B
z : B
i : ι
\u22a2 (trace A B) (∑ x : ι, b.equivFun z x • (b i * b x)) = (trace A B) (z * b i)
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra A C
b : Basis ι A B
z : B
i : ι
\u22a2 ∑ x : ι, b.equivFun z x • (b i * b x) = z * b i
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra A C
b : Basis ι A B
z : B
i : ι
\u22a2 ∑ x : ι, b i * b.equivFun z x • b x = z * b i
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra A C
b : Basis ι A B
z : B
i : ι
\u22a2 b i * ∑ i : ι, b.equivFun z i • b i = b i * z
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : CommRing T
inst✝¹⁵ : Algebra R S
inst✝¹⁴ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁰ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra R L
inst✝⁷ : Algebra L F
inst✝⁶ : Algebra R F
inst✝⁵ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra A C
b : Basis ι A B
z : B
i : ι
\u22a2 ∑ i : ι, b.equivFun z i • b i = z
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝¹¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : Semiring 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)
c : 𝕜
ι' : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype ι'
E : Type u_6
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq ι'
e : ι ≃ ι'
i : ι
v : E
\u22a2 (LinearIsometryEquiv.piLpCongrLeft p 𝕜 E e) ((WithLp.equiv p (ι → E)).symm (Pi.single i v)) = (WithLp.equiv p (ι' → E)).symm (Pi.single (e i) v)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝¹¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : Semiring 𝕜
inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)
c : 𝕜
ι' : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype ι'
E : Type u_6
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq ι'
e : ι ≃ ι'
i : ι
v : E
x : ι'
\u22a2 (LinearIsometryEquiv.piLpCongrLeft p 𝕜 E e) ((WithLp.equiv p (ι → E)).symm (Pi.single i v)) x = (WithLp.equiv p (ι' → E)).symm (Pi.single (e i) v) x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
x : E
\u22a2 gauge (-s) (-x) = gauge s x
-- Mathlib/Logic/Embedding/Set.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
s t r : Set α
h : Disjoint s t
\u22a2 ↑(Sum.inr ⁻¹' (⇑(sumSet h) ⁻¹' r)) = r ∩ t
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Pow.lean
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp₁ : p ≤ 1
\u22a2 ConcaveOn ℝ (Ici 0) fun x => x ^ p
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Pow.lean
hp₀ : 0 ≤ 0
hp₁ : 0 ≤ 1
\u22a2 ConcaveOn ℝ (Ici 0) fun x => x ^ 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Pow.lean
p : ℝ
hp₀✝ : 0 ≤ p
hp₁ : p ≤ 1
hp₀ : 0 < p
\u22a2 ConcaveOn ℝ (Ici 0) fun x => x ^ p
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Pow.lean
hp₀✝ : 0 ≤ 1
hp₁ : 1 ≤ 1
hp₀ : 0 < 1
\u22a2 ConcaveOn ℝ (Ici 0) fun x => x ^ 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Pow.lean
p : ℝ
hp₀✝ : 0 ≤ p
hp₁✝ : p ≤ 1
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
\u22a2 ConcaveOn ℝ (Ici 0) fun x => x ^ p
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
F : Type u_8
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F N S
inst✝ : AddMonoidHomClass F N S
f : M → N
g : F
x y : M
\u22a2 polar (⇑g ∘ f) x y = g (polar f x y)
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
\u22a2 RingHom.OfLocalizationSpan @RingHom.FiniteType
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
\u22a2 RingHom.OfLocalizationFiniteSpan @RingHom.FiniteType
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
H : ∀ (r : { x // x ∈ s }), (Localization.awayMap f ↑r).FiniteType
this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra
this : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
\u22a2 f.FiniteType
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
H : ∀ (r : { x // x ∈ s }), (Localization.awayMap f ↑r).FiniteType
this✝¹ : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
\u22a2 f.FiniteType
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
H : ∀ (r : { x // x ∈ s }), (Localization.awayMap f ↑r).FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
\u22a2 f.FiniteType
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
H : ∀ (r : { x // x ∈ s }), (Localization.awayMap f ↑r).FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
\u22a2 ⊤.FG
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Finset R
hs : Ideal.span ↑s = ⊤
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : (r : { x // x ∈ s }) → Algebra (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r)) := fun r => (Localization.awayMap f ↑r).toAlgebra
this✝ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (Submonoid.powers ↑r)) (Localization.Away (f ↑r))
this : ∀ (r : { x // x ∈ s }), IsScalarTower R (Localization.Away ↑r) (Localization.Away (f ↑r))
s₁ : (r : { x // x ∈ s }) → Finset (Localization.Away (f ↑r))
s₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s }), Algebra.adjoin (Localization.Away ↑r) ↑(s₁ r) = ⊤
sf : { x // x ∈ s } → Finset S := fun x => IsLocalization.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers (f ↑x)) (s₁ x)
\u22a2 ⊤.FG