ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/Killing.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : Module.Finite R L
D : LieDerivation R L L
hD : D ∈ (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule
x : L
\u22a2 (ad R L) (D x) ∈ Submodule.map (ad R L).range.subtype (LinearMap.ker ((killingForm R (LieDerivation R L L)).restrict (ad R L).range.toSubmodule))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/IsolatedZeros.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g✝ : 𝕜 → E
n✝ : ℕ
z z₀ : 𝕜
m n : ℤ
hm : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
hn : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z
h_le : n ≤ m
g : 𝕜 → E
hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀
left✝ : g z₀ ≠ 0
hg_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
j : 𝕜 → E
hj_an : AnalyticAt 𝕜 j z₀
hj_ne : j z₀ ≠ 0
hj_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • j z
\u22a2 m = n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/IsolatedZeros.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g✝ : 𝕜 → E
n✝ : ℕ
z z₀ : 𝕜
m n : ℤ
hm : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
hn : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z
h_le : n ≤ m
g : 𝕜 → E
hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀
left✝ : g z₀ ≠ 0
hg_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
j : 𝕜 → E
hj_an : AnalyticAt 𝕜 j z₀
hj_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • j z
hj_ne : m ≠ n
\u22a2 j z₀ = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/IsolatedZeros.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g✝ : 𝕜 → E
n✝ : ℕ
z z₀ : 𝕜
m n : ℤ
hm : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
hn : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z
h_le : n ≤ m
g : 𝕜 → E
hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀
left✝ : g z₀ ≠ 0
hg_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
j : 𝕜 → E
hj_an : AnalyticAt 𝕜 j z₀
hj_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • j z
hj_ne : m ≠ n
this : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, j z = (z - z₀) ^ (m - n) • g z
\u22a2 j z₀ = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/IsolatedZeros.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g✝ : 𝕜 → E
n✝ : ℕ
z z₀ : 𝕜
m n : ℤ
hm : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
hn : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z
h_le : n ≤ m
g : 𝕜 → E
hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀
left✝ : g z₀ ≠ 0
hg_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
j : 𝕜 → E
hj_an : AnalyticAt 𝕜 j z₀
hj_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • j z
hj_ne : m ≠ n
this : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, j z = (z - z₀) ^ (m - n) • g z
\u22a2 j z₀ = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/IsolatedZeros.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g✝ : 𝕜 → E
n✝ : ℕ
z z₀ : 𝕜
m n : ℤ
hm : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
hn : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z
h_le : n ≤ m
g : 𝕜 → E
hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀
left✝ : g z₀ ≠ 0
hg_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
j : 𝕜 → E
hj_an : AnalyticAt 𝕜 j z₀
hj_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • j z
hj_ne : m ≠ n
this : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, j z = (z - z₀) ^ (m - n) • g z
\u22a2 AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - z₀) ^ (m - n) • g z) z₀
-- Mathlib/Analysis/Analytic/IsolatedZeros.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g✝ : 𝕜 → E
n✝ : ℕ
z z₀ : 𝕜
m n : ℤ
hm : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
hn : ∃ g, AnalyticAt 𝕜 g z₀ ∧ g z₀ ≠ 0 ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • g z
h_le : n ≤ m
g : 𝕜 → E
hg_an : AnalyticAt 𝕜 g z₀
left✝ : g z₀ ≠ 0
hg_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ m • g z
j : 𝕜 → E
hj_an : AnalyticAt 𝕜 j z₀
hj_eq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = (z - z₀) ^ n • j z
hj_ne : m ≠ n
this : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, j z = (z - z₀) ^ (m - n) • g z
\u22a2 AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - z₀) ^ (m - n).toNat • g z) z₀
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a b : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Ioi a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[>] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atTop (𝓝 b')
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioi a, u' x * v x + u x * v' x = b' - a'
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a b : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Ioi a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Ici a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atTop (𝓝 b')
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioi a, u' x * v x + u x * v' x = b' - a'
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a b : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Ioi a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Ici a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atTop (𝓝 b')
f : ℝ → A := Function.update (u * v) a a'
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioi a, u' x * v x + u x * v' x = b' - a'
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a b : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Ioi a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Ici a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atTop (𝓝 b')
f : ℝ → A := Function.update (u * v) a a'
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (u' x * v x + u x * v' x) x
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioi a, u' x * v x + u x * v' x = b' - a'
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a b : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Ioi a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Ici a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atTop (𝓝 b')
f : ℝ → A := Function.update (u * v) a a'
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (u' x * v x + u x * v' x) x
htendsto : Tendsto f atTop (𝓝 b')
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioi a, u' x * v x + u x * v' x = b' - a'
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} T
X✝¹ : T
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X : T
F : T ⥤ D
X✝ Y✝ : Under X
f : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 ((fun Y => mk (F.map Y.hom)) X✝).hom ≫ F.map f.right = ((fun Y => mk (F.map Y.hom)) Y✝).hom
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s✝ t : Set G
ht : IsOpen t
s : Set G
\u22a2 closure s * t = s * t
-- Mathlib/Topology/Instances/Int.lean
m n : ℤ
\u22a2 dist m n = ↑|m - n|
-- Mathlib/Topology/Instances/Int.lean
m n : ℤ
\u22a2 |↑m - ↑n| = ↑|m - n|
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' : D
f : X ⟶ G.obj Y
g : Y ⟶ Y'
\u22a2 (adj.homEquiv X Y').symm (f ≫ G.map g) = (adj.homEquiv X Y).symm f ≫ g
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' : D
f : X ⟶ G.obj Y
g : Y ⟶ Y'
\u22a2 f ≫ G.map g = (adj.homEquiv X Y') ((adj.homEquiv X Y).symm f ≫ g)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s✝ S : Set G
s : G
hs : s ∈ S⁻¹
\u22a2 s ∈ ↑(closure S)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s✝ S : Set G
s : G
hs : s ∈ S⁻¹
\u22a2 s⁻¹ ∈ closure S
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hle : q ≤ p
\u22a2 LiouvilleWith q x
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hle : q ≤ p
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
\u22a2 LiouvilleWith q x
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hle : q ≤ p
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
\u22a2 ∀ (x_1 : ℕ), (1 ≤ x_1 ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < C / ↑x_1 ^ p) → ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < C / ↑x_1 ^ q
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
n m : ℕ
\u22a2 m ∈ n.smoothNumbers ↔ m ≠ 0 ∧ ∀ p ≤ m, Prime p → p ∣ m → p < n
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝¹ : Type u_2
inst✝²⁷ : CommSemiring R✝
inst✝²⁶ : NonUnitalRing A✝¹
inst✝²⁵ : Module R✝ A✝¹
inst✝²⁴ : IsScalarTower R✝ A✝¹ A✝¹
inst✝²³ : SMulCommClass R✝ A✝¹ A✝¹
R : Type u_3
S : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝²² : Semifield R
inst✝²¹ : Field S
inst✝²⁰ : NonUnitalRing A✝
inst✝¹⁹ : Module R A✝
inst✝¹⁸ : Module S A✝
inst✝¹⁷ : IsScalarTower S A✝ A✝
inst✝¹⁶ : SMulCommClass S A✝ A✝
inst✝¹⁵ : Algebra R S
a✝ : A✝
f✝ : S → R
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R S A✝
h : QuasispectrumRestricts a✝ f✝
R₁ : Type u_6
R₂ : Type u_7
R₃ : Type u_8
A : Type u_9
inst✝¹³ : Semifield R₁
inst✝¹² : Field R₂
inst✝¹¹ : Field R₃
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A
inst✝⁹ : Module R₁ A
inst✝⁸ : Module R₂ A
inst✝⁷ : Module R₃ A
inst✝⁶ : Algebra R₁ R₂
inst✝⁵ : Algebra R₂ R₃
inst✝⁴ : Algebra R₁ R₃
inst✝³ : IsScalarTower R₁ R₂ R₃
inst✝² : IsScalarTower R₂ R₃ A
inst✝¹ : IsScalarTower R₃ A A
inst✝ : SMulCommClass R₃ A A
a : A
f : R₃ → R₂
g : R₂ → R₁
e : R₃ → R₁
hfge : g ∘ f = e
hf : QuasispectrumRestricts a f
hg : QuasispectrumRestricts a g
\u22a2 Function.LeftInverse e ⇑(algebraMap R₁ R₃)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝¹ : Type u_2
inst✝²⁷ : CommSemiring R✝
inst✝²⁶ : NonUnitalRing A✝¹
inst✝²⁵ : Module R✝ A✝¹
inst✝²⁴ : IsScalarTower R✝ A✝¹ A✝¹
inst✝²³ : SMulCommClass R✝ A✝¹ A✝¹
R : Type u_3
S : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝²² : Semifield R
inst✝²¹ : Field S
inst✝²⁰ : NonUnitalRing A✝
inst✝¹⁹ : Module R A✝
inst✝¹⁸ : Module S A✝
inst✝¹⁷ : IsScalarTower S A✝ A✝
inst✝¹⁶ : SMulCommClass S A✝ A✝
inst✝¹⁵ : Algebra R S
a✝ : A✝
f✝ : S → R
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R S A✝
h : QuasispectrumRestricts a✝ f✝
R₁ : Type u_6
R₂ : Type u_7
R₃ : Type u_8
A : Type u_9
inst✝¹³ : Semifield R₁
inst✝¹² : Field R₂
inst✝¹¹ : Field R₃
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A
inst✝⁹ : Module R₁ A
inst✝⁸ : Module R₂ A
inst✝⁷ : Module R₃ A
inst✝⁶ : Algebra R₁ R₂
inst✝⁵ : Algebra R₂ R₃
inst✝⁴ : Algebra R₁ R₃
inst✝³ : IsScalarTower R₁ R₂ R₃
inst✝² : IsScalarTower R₂ R₃ A
inst✝¹ : IsScalarTower R₃ A A
inst✝ : SMulCommClass R₃ A A
a : A
f : R₃ → R₂
g : R₂ → R₁
e : R₃ → R₁
hfge : g ∘ f = e
hf : QuasispectrumRestricts a f
hg : QuasispectrumRestricts a g
\u22a2 ⇑(algebraMap R₁ R₃) = ⇑(algebraMap R₂ R₃) ∘ ⇑(algebraMap R₁ R₂)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝¹ : Type u_2
inst✝²⁷ : CommSemiring R✝
inst✝²⁶ : NonUnitalRing A✝¹
inst✝²⁵ : Module R✝ A✝¹
inst✝²⁴ : IsScalarTower R✝ A✝¹ A✝¹
inst✝²³ : SMulCommClass R✝ A✝¹ A✝¹
R : Type u_3
S : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝²² : Semifield R
inst✝²¹ : Field S
inst✝²⁰ : NonUnitalRing A✝
inst✝¹⁹ : Module R A✝
inst✝¹⁸ : Module S A✝
inst✝¹⁷ : IsScalarTower S A✝ A✝
inst✝¹⁶ : SMulCommClass S A✝ A✝
inst✝¹⁵ : Algebra R S
a✝ : A✝
f✝ : S → R
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R S A✝
h : QuasispectrumRestricts a✝ f✝
R₁ : Type u_6
R₂ : Type u_7
R₃ : Type u_8
A : Type u_9
inst✝¹³ : Semifield R₁
inst✝¹² : Field R₂
inst✝¹¹ : Field R₃
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A
inst✝⁹ : Module R₁ A
inst✝⁸ : Module R₂ A
inst✝⁷ : Module R₃ A
inst✝⁶ : Algebra R₁ R₂
inst✝⁵ : Algebra R₂ R₃
inst✝⁴ : Algebra R₁ R₃
inst✝³ : IsScalarTower R₁ R₂ R₃
inst✝² : IsScalarTower R₂ R₃ A
inst✝¹ : IsScalarTower R₃ A A
inst✝ : SMulCommClass R₃ A A
a : A
f : R₃ → R₂
g : R₂ → R₁
e : R₃ → R₁
hfge : g ∘ f = e
hf : QuasispectrumRestricts a f
hg : QuasispectrumRestricts a g
\u22a2 Set.RightInvOn e (⇑(algebraMap R₁ R₃)) (quasispectrum R₃ a)
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a : EReal
h : a < 0
h' : a ≠ ⊥
\u22a2 a⁻¹ < 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Cast.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n : ℤ
x : R
\u22a2 ↑|a| = |↑a|
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set (Set R)
\u22a2 zeroLocus (⋃ s' ∈ s, s') = ⋂ s' ∈ s, zeroLocus s'
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Reflective.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
j : C ⥤ D
inst✝ : Coreflective j
A : D
h : A ∈ j.essImage
\u22a2 IsIso ((coreflectorAdjunction j).counit.app A)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
n : ℕ∞
c : E → F →L[𝕜] G
hc : ContDiffOn 𝕜 n c s
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n
x : E
hx : x ∈ s
u : F
m : Fin i → E
\u22a2 (iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fun y => (c y) u) s x) m = ((iteratedFDerivWithin 𝕜 i c s x) m) u
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
f : A
\u22a2 f ∈ vanishingIdeal t ↔ ∀ x ∈ t, f ∈ x.asHomogeneousIdeal
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y : M
\u22a2 polar (⇑Q) (-x) y = -polar (⇑Q) x y
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
a : R
\u22a2 (lift i x hx h) ((algebraMap R S) a) = i a
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
hs : IsSubgroup s
x y : G
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
\u22a2 x / y ∈ s
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a : α
n : ℕ
h : s.Results a n
this : s.Terminates
\u22a2 s.think.length = n + 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : LinearOrder α
a✝ b✝ a b : α
\u22a2 a ∣ |b| ↔ a ∣ b
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f✝ g✝ : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α → β
g : α → γ
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
x : α
\u22a2 Tendsto (fun n => ↑((fun n => (hf.approx n).pair (hg.approx n)) n) x) atTop (𝓝 ((fun x => (f x, g x)) x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f✝ g✝ : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α → β
g : α → γ
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
x : α
\u22a2 Tendsto (fun n => ↑((fun n => (hf.approx n).pair (hg.approx n)) n) x) atTop (𝓝 (f x) ×ˢ 𝓝 (g x))
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Radical.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
hI : IsHomogeneous 𝒜 I
\u22a2 I.radical = InfSet.sInf {J | IsHomogeneous 𝒜 J ∧ I ≤ J ∧ J.IsPrime}
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Radical.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
hI : IsHomogeneous 𝒜 I
\u22a2 InfSet.sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime} = InfSet.sInf {J | IsHomogeneous 𝒜 J ∧ I ≤ J ∧ J.IsPrime}
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Radical.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
hI : IsHomogeneous 𝒜 I
\u22a2 InfSet.sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime} ≤ InfSet.sInf {J | IsHomogeneous 𝒜 J ∧ I ≤ J ∧ J.IsPrime}
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Radical.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
hI : IsHomogeneous 𝒜 I
\u22a2 InfSet.sInf {J | IsHomogeneous 𝒜 J ∧ I ≤ J ∧ J.IsPrime} ≤ InfSet.sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}
-- Mathlib/CategoryTheory/NatIso.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
W X X' : D
Y : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ F.obj Y
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ F.obj Y
\u22a2 f ≫ g ≫ α.hom.app Y = f' ≫ g' ≫ α.hom.app Y ↔ f ≫ g = f' ≫ g'
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
\u22a2 fp.IsEquipartition
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
hn : ¬fp.IsEquipartition
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
hn : ∃ a ∈ fp.parts, ∃ b ∈ fp.parts, b.card + 1 < a.card
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
large : Finset V
hl : large ∈ fp.parts
small : Finset V
hs : small ∈ fp.parts
ineq : small.card + 1 < large.card
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
large : Finset V
hl : large ∈ fp.parts
small : Finset V
hs : small ∈ fp.parts
ineq : small.card + 1 < large.card
w : V
hw : w ∈ large
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
large : Finset V
hl : large ∈ fp.parts
small : Finset V
hs : small ∈ fp.parts
ineq : small.card + 1 < large.card
w : V
hw : w ∈ large
v : V
hv : v ∈ small
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
large : Finset V
hl : large ∈ fp.parts
small : Finset V
hs : small ∈ fp.parts
ineq : small.card + 1 < large.card
w : V
hw : w ∈ large
v : V
hv : v ∈ small
cf : G.CliqueFree (r + 1)
\u22a2 ∃ H inst, H.CliqueFree (r + 1) ∧ G.edgeFinset.card < H.edgeFinset.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
large : Finset V
hl : large ∈ fp.parts
small : Finset V
hs : small ∈ fp.parts
ineq : small.card + 1 < large.card
w : V
hw : w ∈ large
v : V
hv : v ∈ small
cf : G.CliqueFree (r + 1)
\u22a2 G.edgeFinset.card < (G.replaceVertex v w).edgeFinset.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
large : Finset V
hl : large ∈ fp.parts
small : Finset V
hs : small ∈ fp.parts
ineq : small.card + 1 < large.card
w : V
hw : w ∈ large
v : V
hv : v ∈ small
cf : G.CliqueFree (r + 1)
large_eq : fp.part w = large
\u22a2 G.edgeFinset.card < (G.replaceVertex v w).edgeFinset.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
large : Finset V
hl : large ∈ fp.parts
small : Finset V
hs : small ∈ fp.parts
ineq : small.card + 1 < large.card
w : V
hw : w ∈ large
v : V
hv : v ∈ small
cf : G.CliqueFree (r + 1)
large_eq : fp.part w = large
small_eq : fp.part v = small
\u22a2 G.edgeFinset.card < (G.replaceVertex v w).edgeFinset.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
large : Finset V
hl : large ∈ fp.parts
small : Finset V
hs : small ∈ fp.parts
ineq : small.card + 1 < large.card
w : V
hw : w ∈ large
v : V
hv : v ∈ small
cf : G.CliqueFree (r + 1)
large_eq : fp.part w = large
small_eq : fp.part v = small
ha : G.Adj v w
\u22a2 G.edgeFinset.card < (G.replaceVertex v w).edgeFinset.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
large : Finset V
hl : large ∈ fp.parts
small : Finset V
hs : small ∈ fp.parts
ineq : small.card + 1 < large.card
w : V
hw : w ∈ large
v : V
hv : v ∈ small
cf : G.CliqueFree (r + 1)
large_eq : fp.part w = large
small_eq : fp.part v = small
ha : G.Adj v w
\u22a2 G.edgeFinset.card < G.edgeFinset.card + (Fintype.card V - small.card) - (Fintype.card V - large.card) - 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
large : Finset V
hl : large ∈ fp.parts
small : Finset V
hs : small ∈ fp.parts
ineq : small.card + 1 < large.card
w : V
hw : w ∈ large
v : V
hv : v ∈ small
cf : G.CliqueFree (r + 1)
large_eq : fp.part w = large
small_eq : fp.part v = small
ha : G.Adj v w
this : large.card ≤ Fintype.card V
\u22a2 G.edgeFinset.card < G.edgeFinset.card + (Fintype.card V - small.card) - (Fintype.card V - large.card) - 1