ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁✝ π₂✝ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
π₁ π₂ : Prepartition I
hU : π₁.iUnion = π₂.iUnion
\u22a2 Tendsto (integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I π₁) (𝓝 (∑ J ∈ π₂.boxes, integral J l f vol))
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁✝ π₂✝ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
π₁ π₂ : Prepartition I
hU : π₁.iUnion = π₂.iUnion
\u22a2 Tendsto (integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I π₂) (𝓝 (∑ J ∈ π₂.boxes, integral J l f vol))
-- Mathlib/Order/Heyting/Regular.lean
α : Type u_1
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b : α
\u22a2 IsRegular ⊤
-- Mathlib/Topology/Connected/TotallyDisconnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
\u22a2 TotallyDisconnectedSpace ↑s ↔ IsTotallyDisconnected s
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : SecondCountableTopology V
μ : Measure V
hf : Integrable f μ
hf' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) μ
w : W
\u22a2 fderiv ℝ (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) w = fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (fourierSMulRight L f) w
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Hermitian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝¹ : Star α
inst✝ : Star β
A : Matrix n n α
h : Aᵀ.IsHermitian
\u22a2 A.IsHermitian
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Hermitian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝¹ : Star α
inst✝ : Star β
A : Matrix n n α
h : Aᵀ.IsHermitian
\u22a2 Aᵀᵀ.IsHermitian
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Cotangent.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
M : Submodule R ↥(maximalIdeal R)
\u22a2 Submodule.map (maximalIdeal R).toCotangent M = ⊤ ↔ M = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Cotangent.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
M : Submodule R ↥(maximalIdeal R)
H : Submodule.map (maximalIdeal R).toCotangent M = ⊤
\u22a2 ⊤ ≤ M
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Cotangent.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
M : Submodule R ↥(maximalIdeal R)
H : Submodule.map (maximalIdeal R).toCotangent M = ⊤
\u22a2 Submodule.map (Submodule.subtype (maximalIdeal R)) ⊤ ≤ Submodule.map (Submodule.subtype (maximalIdeal R)) M
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Cotangent.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
M : Submodule R ↥(maximalIdeal R)
H : Submodule.map (maximalIdeal R).toCotangent M = ⊤
\u22a2 maximalIdeal R ≤ Submodule.map (Submodule.subtype (maximalIdeal R)) M
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Cotangent.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
M : Submodule R ↥(maximalIdeal R)
H : Submodule.map (maximalIdeal R).toCotangent M = ⊤
\u22a2 maximalIdeal R ≤ Submodule.map (Submodule.subtype (maximalIdeal R)) M ⊔ maximalIdeal R • maximalIdeal R
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a : α
\u22a2 (Iio a).card = (Iic a).card - 1
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
\u22a2 ↑a.valMinAbs.natAbs = if a.val ≤ n / 2 then a else -a
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
this : ↑a.val - ↑n ≤ 0
\u22a2 ↑a.valMinAbs.natAbs = if a.val ≤ n / 2 then a else -a
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
this : ↑a.val - ↑n ≤ 0
\u22a2 ↑(if a.val ≤ n / 2 then ↑a.val else ↑a.val - ↑n).natAbs = if a.val ≤ n / 2 then a else -a
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
\u22a2 CompleteSpace (SeparationQuotient α) ↔ CompleteSpace α
-- Mathlib/Topology/Compactness/SigmaCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
K : CompactExhaustion X
s : Set X
hs : IsCompact s
\u22a2 ∃ n, s ⊆ interior (K n)
-- Mathlib/Topology/Compactness/SigmaCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
K : CompactExhaustion X
s : Set X
hs : IsCompact s
\u22a2 s ⊆ ⋃ i, (interior ∘ ⇑K) i
-- Mathlib/Topology/Compactness/SigmaCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
K : CompactExhaustion X
s : Set X
hs : IsCompact s
\u22a2 Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) (interior ∘ ⇑K)
-- Mathlib/CategoryTheory/Elements.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ Type w
fst✝ : C
snd✝¹ snd✝ : F.obj fst✝
h₂ : F.map (eqToHom ⋯) ⟨fst✝, snd✝¹⟩.snd = ⟨fst✝, snd✝⟩.snd
\u22a2 ⟨fst✝, snd✝¹⟩ = ⟨fst✝, snd✝⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/Elements.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ Type w
fst✝ : C
snd✝¹ snd✝ : F.obj fst✝
h₂ : snd✝¹ = snd✝
\u22a2 ⟨fst✝, snd✝¹⟩ = ⟨fst✝, snd✝⟩
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x : ℂ
h : ¬x = 0
\u22a2 Real.tan x.arg = x.im / x.re
-- Mathlib/Algebra/Group/Defs.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c a b : G
\u22a2 a * b⁻¹ * b = a
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → M
\u22a2 equivFunOnFinite.symm f = ∑ a : α, single a (f a)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → M
\u22a2 ∑ a : α, single a ((equivFunOnFinite.symm f) a) = ∑ a : α, single a (f a)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Funext.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Infinite R
σ : Type u_2
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 ∀ (x : σ → R), (eval x) p = (eval x) p
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Int.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : ℤ
\u22a2 ↑n.natAbs = ↑|n|
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Group α
inst✝² : LinearOrder α
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
\u22a2 a⁻¹ < b ∧ a < b ↔ b⁻¹ < a ∧ a < b
-- Mathlib/Init/Data/Int/Order.lean
a b : ℤ
h : a * b = 0
hlt₁ : 0 < a
hlt₂ : 0 < b
\u22a2 a = 0 ∨ b = 0
-- Mathlib/Init/Data/Int/Order.lean
a b : ℤ
h : a * b = 0
hlt₁ : 0 < a
hlt₂ : 0 < b
this : 0 < a * b
\u22a2 a = 0 ∨ b = 0
-- Mathlib/Init/Data/Int/Order.lean
a b : ℤ
h : a * b = 0
hlt₁ : 0 < a
hlt₂ : 0 < b
this : 0 < 0
\u22a2 a = 0 ∨ b = 0
-- Mathlib/Init/Data/Int/Order.lean
a b : ℤ
h : a * b = 0
hlt₁ : 0 < a
hgt₂ : b < 0
\u22a2 a = 0 ∨ b = 0
-- Mathlib/Init/Data/Int/Order.lean
a b : ℤ
h : a * b = 0
hlt₁ : 0 < a
hgt₂ : b < 0
this : 0 > a * b
\u22a2 a = 0 ∨ b = 0
-- Mathlib/Init/Data/Int/Order.lean
a b : ℤ
h : a * b = 0
hlt₁ : 0 < a
hgt₂ : b < 0
this : 0 > 0
\u22a2 a = 0 ∨ b = 0
-- Mathlib/Init/Data/Int/Order.lean
a b : ℤ
h : a * b = 0
hgt₁ : a < 0
hlt₂ : 0 < b
\u22a2 a = 0 ∨ b = 0
-- Mathlib/Init/Data/Int/Order.lean
a b : ℤ
h : a * b = 0
hgt₁ : a < 0
hlt₂ : 0 < b
this : 0 > a * b
\u22a2 a = 0 ∨ b = 0
-- Mathlib/Init/Data/Int/Order.lean
a b : ℤ
h : a * b = 0
hgt₁ : a < 0
hlt₂ : 0 < b
this : 0 > 0
\u22a2 a = 0 ∨ b = 0
-- Mathlib/Init/Data/Int/Order.lean
a b : ℤ
h : a * b = 0
hgt₁ : a < 0
hgt₂ : b < 0
\u22a2 a = 0 ∨ b = 0
-- Mathlib/Init/Data/Int/Order.lean
a b : ℤ
h : a * b = 0
hgt₁ : a < 0
hgt₂ : b < 0
this : 0 < a * b
\u22a2 a = 0 ∨ b = 0
-- Mathlib/Init/Data/Int/Order.lean
a b : ℤ
h : a * b = 0
hgt₁ : a < 0
hgt₂ : b < 0
this : 0 < 0
\u22a2 a = 0 ∨ b = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ✝ : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R✝ M
r✝ : R✝
R : Type u
σ : Type v
r : R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype σ
\u22a2 Prime (C r) ↔ Prime r
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ✝ : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R✝ M
r✝ : R✝
R : Type u
σ : Type v
r : R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype σ
\u22a2 Prime ((renameEquiv R (Fintype.equivFin σ)).toMulEquiv (C r)) ↔ Prime r
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
i j : A
\u22a2 (shiftFunctor C j).map ((shiftFunctor C i).map f) = (shiftComm X i j).hom ≫ (shiftFunctor C i).map ((shiftFunctor C j).map f) ≫ (shiftComm Y j i).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
i j : A
\u22a2 (shiftFunctor C j).map ((shiftFunctor C i).map f) = (shiftFunctor C i ⋙ shiftFunctor C j).map f ≫ (shiftFunctorComm C i j).hom.app Y ≫ (shiftComm Y i j).symm.hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
i j : A
\u22a2 (shiftFunctor C j).map ((shiftFunctor C i).map f) = (shiftFunctor C j).map ((shiftFunctor C i).map f) ≫ (shiftFunctorComm C i j).hom.app Y ≫ (shiftFunctorComm C i j).inv.app Y
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/CantorNormalForm.lean
b o : Ordinal.{u_2}
C : Ordinal.{u_2} → Sort u_1
ho : o ≠ 0
H0 : C 0
H : (o : Ordinal.{u_2}) → o ≠ 0 → C (o % b ^ log b o) → C o
\u22a2 b.CNFRec H0 H o = H o ho (b.CNFRec H0 H (o % b ^ log b o))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
\u22a2 LiftProp Q id
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
\u22a2 ∀ (x : M), Q (↑(chartAt H (id x)) ∘ id ∘ ↑(chartAt H x).symm) univ (↑(chartAt H x) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
\u22a2 affineSpan k s = ⊤ ↔ affineSpan k (⇑e '' s) = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
\u22a2 affineSpan k (⇑e '' s) = ⊤ → affineSpan k s = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
h : affineSpan k (⇑e '' s) = ⊤
\u22a2 affineSpan k s = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
h : affineSpan k (⇑e '' s) = ⊤
this : s = ⇑e.symm '' (⇑e '' s)
\u22a2 affineSpan k s = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
e : P₁ ≃ᵃ[k] P₂
h : affineSpan k (⇑e '' s) = ⊤
this : s = ⇑e.symm '' (⇑e '' s)
\u22a2 affineSpan k (⇑e.symm '' (⇑e '' s)) = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
H : derivative f = 0
\u22a2 f.Separable ∨ ¬f.Separable ∧ ∃ g, Irreducible g ∧ (expand F p) g = f
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
f : F[X]
hf : Irreducible f
H : derivative f = 0
HF : CharP F 0
\u22a2 f.Separable ∨ ¬f.Separable ∧ ∃ g, Irreducible g ∧ (expand F 0) g = f
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
H : derivative f = 0
hp : p > 0
\u22a2 f.Separable ∨ ¬f.Separable ∧ ∃ g, Irreducible g ∧ (expand F p) g = f
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
H : derivative f = 0
hp : p > 0
this : IsLocalRingHom ↑(expand F p)
\u22a2 f.Separable ∨ ¬f.Separable ∧ ∃ g, Irreducible g ∧ (expand F p) g = f
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
a✝ : α
l✝ : List α
inst✝ : IsRefl α r
l : List α
h : Sorted r l
a b : Fin l.length
hab : a ≤ b
\u22a2 r (l.get a) (l.get b)
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
a✝ : α
l✝ : List α
inst✝ : IsRefl α r
l : List α
h : Sorted r l
a : Fin l.length
hab : a ≤ a
\u22a2 r (l.get a) (l.get a)
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
a✝ : α
l✝ : List α
inst✝ : IsRefl α r
l : List α
h : Sorted r l
a b : Fin l.length
hab : a ≤ b
hlt : a < b
\u22a2 r (l.get a) (l.get b)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f g : α →₀ M
x✝ : f.support = g.support ∧ ∀ x ∈ f.support, f x = g x
h₁ : f.support = g.support
h₂ : ∀ x ∈ f.support, f x = g x
a : α
\u22a2 f a = g a
-- Mathlib/Data/Int/ModEq.lean
m n a b c d✝ : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]
d : ℕ
hd : a ^ d ≡ b ^ d [ZMOD n]
\u22a2 a ^ (d + 1) ≡ b ^ (d + 1) [ZMOD n]
-- Mathlib/Data/Int/ModEq.lean
m n a b c d✝ : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]
d : ℕ
hd : a ^ d ≡ b ^ d [ZMOD n]
\u22a2 a ^ d * a ≡ b ^ d * b [ZMOD n]
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ℕ → R
\u22a2 (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f).IsMultiplicative
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ℕ → R
\u22a2 (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) 1 = 1 ∧ ∀ {m n : ℕ}, m ≠ 0 → n ≠ 0 → m.Coprime n → (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) (m * n) = (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) m * (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) n
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ℕ → R
\u22a2 ∀ {m n : ℕ}, ¬m = 0 → ¬n = 0 → m.Coprime n → (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) (m * n) = (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) m * (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) n
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ℕ → R
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hxy : x.Coprime y
\u22a2 (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) (x * y) = (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) x * (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) y
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ℕ → R
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hxy : x.Coprime y
hxy₀ : x * y ≠ 0
\u22a2 (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) (x * y) = (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) x * (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors f) y
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)
\u22a2 edist f g = ∫⁻ (a : α), edist (↑↑f a) (↑↑g a) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)
\u22a2 (if 1 = ⊤ then eLpNormEssSup (↑↑f - ↑↑g) μ else ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a - ↑↑g a‖₊ ∂μ) = ∫⁻ (a : α), edist (↑↑f a) (↑↑g a) ∂μ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
hc : Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps
\u22a2 sx₁.circumradius = sx₂.circumradius
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
hc : Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps
r : ℝ
hr : ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r
\u22a2 sx₁.circumradius = sx₂.circumradius
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Increment.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP✝ : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hP₇ : 7 ≤ P.parts.card
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
hε₀ : 0 ≤ ε
hε₁ : ε ≤ 1
\u22a2 ↑(P.energy G) + ε ^ 5 / 4 ≤ ↑((increment hP G ε).energy G)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Increment.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP✝ : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hP₇ : 7 ≤ P.parts.card
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
hε₀ : 0 ≤ ε
hε₁ : ε ≤ 1
\u22a2 (∑ x ∈ P.parts.offDiag, ↑(G.edgeDensity x.1 x.2) ^ 2 + ↑P.parts.card ^ 2 * (ε ^ 5 / 4)) / ↑P.parts.card ^ 2 ≤ (∑ x ∈ P.parts.offDiag.attach, (∑ i ∈ SzemerediRegularity.distinctPairs hP G ε x, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2) ^ 2) / 16 ^ P.parts.card) / ↑P.parts.card ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Increment.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP✝ : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hP₇ : 7 ≤ P.parts.card
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPG : ¬P.IsUniform G ε
hε₀ : 0 ≤ ε
hε₁ : ε ≤ 1
\u22a2 ∑ x ∈ P.parts.offDiag, ↑(G.edgeDensity x.1 x.2) ^ 2 + ↑P.parts.card ^ 2 * (ε ^ 5 / 4) ≤ ∑ x ∈ P.parts.offDiag.attach, (∑ i ∈ SzemerediRegularity.distinctPairs hP G ε x, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2) ^ 2) / 16 ^ P.parts.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Increment.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP✝ : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hP₇ : 7 ≤ P.parts.card
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPG : ↑P.parts.offDiag.card * ε < ↑(P.nonUniforms G ε).card
hε₀ : 0 ≤ ε
hε₁ : ε ≤ 1
\u22a2 ∑ x ∈ P.parts.offDiag, ↑(G.edgeDensity x.1 x.2) ^ 2 + ↑P.parts.card ^ 2 * (ε ^ 5 / 4) ≤ ∑ x ∈ P.parts.offDiag.attach, (∑ i ∈ SzemerediRegularity.distinctPairs hP G ε x, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2) ^ 2) / 16 ^ P.parts.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Increment.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP✝ : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hP : P.IsEquipartition
hP₇ : 7 ≤ P.parts.card
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPG : ↑P.parts.offDiag.card * ε < ↑(P.nonUniforms G ε).card
hε₀ : 0 ≤ ε
hε₁ : ε ≤ 1
\u22a2 ↑P.parts.card ^ 2 * (ε ^ 5 / 4) ≤ ↑(P.nonUniforms G ε).card * (ε ^ 4 / 3) - ↑P.parts.offDiag.card * (ε ^ 5 / 25)
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
n : ℕ
\u22a2 (ack 0 n + 1) ^ 2 ≤ ack (0 + 3) n
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m : ℕ
\u22a2 (ack (m + 1) 0 + 1) ^ 2 ≤ ack (m + 1 + 3) 0
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m : ℕ
\u22a2 (ack m 1 + 1) ^ 2 ≤ ack (m + 3) 1
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m n : ℕ
\u22a2 (ack (m + 1) (n + 1) + 1) ^ 2 ≤ ack (m + 1 + 3) (n + 1)
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m n : ℕ
\u22a2 (ack m (ack (m + 1) n) + 1) ^ 2 ≤ ack (m + 3) (ack (m + 3 + 1) n)
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m n : ℕ
\u22a2 m + 1 ≤ m + 3 + 1
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
z : α
s : Set α
p : α → Prop
\u22a2 (∃ᶠ (x : α) in 𝓝 z, x ∈ s ∧ p x) ↔ ∃ᶠ (x : α) in 𝓝 z, p x ∧ x ∈ s
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ a ∈ s, 0 ≤ f a
\u22a2 (∑ a ∈ s, f a).toNNReal = ∑ a ∈ s, (f a).toNNReal