ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
\u22a2 ⋂₀ {t | IsClosed t ∧ s ⊆ t} = ⋂₀ {s_1 | IsOpen s_1ᶜ ∧ s_1ᶜ ⊆ sᶜ}
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ : Finset α
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
\u22a2 Eₘ[s, t] = ∑ a : α, (filter (fun x => match x with | (x, y) => x * y = a) (s ×ˢ t)).card ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ : Finset α
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
\u22a2 ∑ a ∈ s * t, (filter (fun x => match x with | (x, y) => x * y = a) (s ×ˢ t)).card ^ 2 = ∑ a : α, (filter (fun x => match x with | (x, y) => x * y = a) (s ×ˢ t)).card ^ 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
\u22a2 angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = π
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hcos : Real.cos (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -1
\u22a2 angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = π
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hcos : Real.cos (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -1
hsin : Real.sin (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = 0
\u22a2 angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = π
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hcos : Real.cos (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -1
hsin : ∃ n, ↑n * π = angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)
\u22a2 angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = π
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hcos : Real.cos (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -1
n : ℤ
hn : angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = ↑n * π
\u22a2 angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = π
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hcos : Real.cos (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -1
n : ℤ
hn : angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = ↑n * π
h0 : 0 ≤ angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)
\u22a2 angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = π
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hcos : Real.cos (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -1
n : ℤ
hn : angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = ↑n * π
h0 : 0 ≤ angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)
h3lt : angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) < π + π + π
\u22a2 angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = π
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hcos : Real.cos (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -1
n : ℤ
hn : angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = ↑n * π
h0 : 0 ≤ angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)
h3lt : angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) < π + π + π
hn0 : 0 ≤ n
\u22a2 angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = π
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hcos : Real.cos (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -1
n : ℤ
hn : angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = ↑n * π
h0 : 0 ≤ angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)
h3lt : angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) < π + π + π
hn0 : 0 ≤ n
hn3 : n < 3
\u22a2 angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x) = π
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s✝ t u : Set α
a b : α
s : Set ι
\u22a2 InjOn f s ↔ s.Pairwise fun x x_1 => f x ≠ f x_1
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Uniqueness.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hg : AnalyticOn 𝕜 g U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfg : f =ᶠ[𝓝 z₀] g
\u22a2 EqOn f g U
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Uniqueness.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hg : AnalyticOn 𝕜 g U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfg : f =ᶠ[𝓝 z₀] g
hfg' : f - g =ᶠ[𝓝 z₀] 0
\u22a2 EqOn f g U
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/GaloisObjects.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X : C
inst✝ : IsConnected X
\u22a2 IsGalois X ↔ MulAction.IsPretransitive (Aut X) ↑(F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/GaloisObjects.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X : C
inst✝ : IsConnected X
\u22a2 Nonempty (Unique (MulAction.orbitRel.Quotient (Aut X) ↑(F.obj X))) ↔ MulAction.IsPretransitive (Aut X) ↑(F.obj X)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
s : Set α
hs : s.Infinite
h' : ∃ ε, ε ≠ 0 ∧ ∀ x ∈ s, ε ≤ μ {x}
ε : ℝ≥0∞
hne✝ : ε ≠ 0
hε : ∀ x ∈ s, ε ≤ μ {x}
this : Infinite ↑s
x y : ↑s
hne : x ≠ y
\u22a2 (Disjoint on fun x => {↑x}) x y
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g✝ : Filter α
s t : Set α
f g : Filter α
\u22a2 Disjoint f g ↔ ∃ s ∈ f, ∃ t ∈ g, Disjoint s t
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
g : M ≃[L] N
φ : L.Sentence
\u22a2 M ⊨ φ ↔ N ⊨ φ
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f g : List α → List α
m n : ℕ
l : List α
h : n ≤ m
\u22a2 modifyNthTail g m (modifyNthTail f n l) = modifyNthTail (fun l => modifyNthTail g (m - n) (f l)) n l
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f g : List α → List α
n : ℕ
l : List α
m : ℕ
h : n ≤ n + m
\u22a2 modifyNthTail g (n + m) (modifyNthTail f n l) = modifyNthTail (fun l => modifyNthTail g (n + m - n) (f l)) n l
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a : ℤ
x : Rˣ
p q : ℤ
hpq : p + n = q
\u22a2 ((x • γ).shift a).v p q hpq = (x • γ.shift a).v p q hpq
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a : R
a0 : a ≠ 0
\u22a2 a / a = 1
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : Products I
\u22a2 l ∈ GoodProducts C ↔ l ∈ GoodProducts (π C fun x => ord I x < o) ∪ MaxProducts C ho
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : Products I
\u22a2 Products.isGood C l ↔ Products.isGood (π C fun x => ord I x < o) l ∨ Products.isGood C l ∧ term I ho ∈ ↑l
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
h : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝ : IsDomain B
\u22a2 NeZero ↑↑n
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
h : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝ : IsDomain B
r : B
hr : IsPrimitiveRoot r ↑n
\u22a2 NeZero ↑↑n
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Colon.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N N₁ N₂ P P₁ P₂ : Submodule R M
I : Ideal R
\u22a2 Module.annihilator R (R ⧸ I) = I
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b c a : α
\u22a2 a ^ 2 ≤ 1 ↔ |a| ≤ 1
-- Mathlib/Order/RelIso/Set.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t✝ : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
α : Type u_5
β : Type u_6
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
e : r ≃r s
t : Set β
\u22a2 ⇑e ⁻¹' t = ⇑e.symm '' t
-- Mathlib/Order/RelIso/Set.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t✝ : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
α : Type u_5
β : Type u_6
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
e : r ≃r s
t : Set β
\u22a2 ⇑e ⁻¹' t = ⇑e.symm.symm ⁻¹' t
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
\u22a2 ↑(mk f hf) =ᶠ[ae μ] f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
\u22a2 ↑(Quotient.out' (mk f hf)) =ᶠ[ae μ] f
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
f g : CauSeq ℚ abs
\u22a2 mk (f + g) = mk f + mk g
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
\u22a2 IsSeparator (op G) ↔ IsCoseparator G
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t : Set E
h : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x
y : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
ds : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
ctop : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
clim : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)
\u22a2 ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ t
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t : Set E
h : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x
y : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
ds : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
ctop : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
clim : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)
\u22a2 Tendsto (fun n => x + d n) atTop (𝓝[t] x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t : Set E
h : 𝓝[s] x ≤ 𝓝[t] x
y : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
ds : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
ctop : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
clim : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)
\u22a2 Tendsto (fun a => x + d a) atTop (𝓝 x)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y : ℂ
x : ℝ
\u22a2 (starRingEnd ℂ) (tan ↑x) = tan ↑x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
\u22a2 IsPullback b.inl 0 b.snd 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
\u22a2 IsPullback (b.inl ≫ b.fst) 0 0 (0 ≫ 0)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SuperpolynomialDecay.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
h : SuperpolynomialDecay l k (k * f)
x : α
hx : k x ≠ 0
\u22a2 (k⁻¹ * (k * f)) x = f x
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Multiset α
hf : Set.InjOn f {x | x ∈ s}
x : α
H : x ∈ s
\u22a2 count (f x) (map f s) = count x s
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Multiset α
hf : Set.InjOn f {x | x ∈ s}
x : α
H : x ∈ s
\u22a2 count x (filter (fun a => f x = f a) s) = card (filter (fun a => f x = f a) s)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder β
l : Filter α
p : β → Prop
f : α → β
hf : Tendsto f l atBot
h_evtl : ∀ᶠ (x : β) in atBot, p x
\u22a2 ∀ᶠ (x : α) in l, ∀ y ≤ f x, p y
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder β
l : Filter α
p : β → Prop
f : α → β
hf : Tendsto f l atBot
h_evtl : ∀ᶠ (x : β) in atBot, ∀ y ≤ x, p y
\u22a2 ∀ᶠ (x : α) in l, ∀ y ≤ f x, p y
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs ys xs' : List α
hx : xs' ~ xs
h : xs' <+ ys
\u22a2 xs.sym2 <+~ ys.sym2
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
\u22a2 exterior s ⊆ exterior t ↔ 𝓝ˢ s ≤ 𝓝ˢ t
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
\u22a2 exterior s ⊆ exterior t → 𝓝ˢ s ≤ 𝓝ˢ t
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
\u22a2 exterior s ⊆ exterior t → ∀ (x : Set α), exterior t ⊆ x → exterior s ⊆ x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
hs₀ : Balanced 𝕜 s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs : IsOpen s
\u22a2 (gaugeSeminorm hs₀ hs₁ hs₂).ball 0 1 = s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
hs₀ : Balanced 𝕜 s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs : IsOpen s
\u22a2 {y | (gaugeSeminorm hs₀ hs₁ hs₂) y < 1} = s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Acyclic.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
\u22a2 G.IsAcyclic ↔ ∀ ⦃v w : V⦄, G.Adj v w → G.IsBridge s(v, w)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Acyclic.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
\u22a2 G.IsAcyclic ↔ ∀ ⦃v w : V⦄, G.Adj v w → G.Adj v w ∧ ∀ ⦃u : V⦄ (p : G.Walk u u), p.IsCycle → s(v, w) ∉ p.edges
-- Mathlib/Order/Atoms/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
a : α
inst✝ : IsStronglyAtomic α
ha : (Set.Ici a).Infinite
hfin : {x | a ⋖ x}.Finite
\u22a2 ∃ b, a ⋖ b ∧ (Set.Ici b).Infinite
-- Mathlib/Order/Atoms/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
a : α
inst✝ : IsStronglyAtomic α
ha : (Set.Ici a).Infinite
hfin : {x | a ⋖ x}.Finite
h : ∀ (b : α), a ⋖ b → ¬(Set.Ici b).Infinite
\u22a2 False
-- Mathlib/Order/Atoms/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
a : α
inst✝ : IsStronglyAtomic α
ha : (Set.Ici a).Infinite
hfin : {x | a ⋖ x}.Finite
h : ∀ (b : α), a ⋖ b → ¬(Set.Ici b).Infinite
b : α
hb : b ∈ Set.Ici a \ {a}
\u22a2 b ∈ ⋃ i ∈ {x | a ⋖ x}, Set.Ici i
-- Mathlib/Order/Atoms/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
a : α
inst✝ : IsStronglyAtomic α
ha : (Set.Ici a).Infinite
hfin : {x | a ⋖ x}.Finite
h : ∀ (b : α), a ⋖ b → ¬(Set.Ici b).Infinite
b : α
hb : b ∈ Set.Ici a \ {a}
x : α
hax : a ⋖ x
hxb : x ≤ b
\u22a2 b ∈ ⋃ i ∈ {x | a ⋖ x}, Set.Ici i
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
x₀ : X
u : α → β
hu : UniformInducing u
\u22a2 EquicontinuousAt F x₀ ↔ EquicontinuousAt ((fun x => u ∘ x) ∘ F) x₀
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
x₀ : X
u : α → β
hu : UniformInducing u
this : Inducing (⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => u ∘ x) ∘ ⇑toFun)
\u22a2 EquicontinuousAt F x₀ ↔ EquicontinuousAt ((fun x => u ∘ x) ∘ F) x₀
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
x₀ : X
u : α → β
hu : UniformInducing u
this : Inducing (⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => u ∘ x) ∘ ⇑toFun)
\u22a2 ContinuousAt ((⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => u ∘ x) ∘ ⇑toFun) ∘ ⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀ ↔ ContinuousAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap ((fun x => u ∘ x) ∘ F)) x₀
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
a : Rat
\u22a2 a * 0 = 0
-- Mathlib/Condensed/Epi.lean
A : Type u'
inst✝¹² : Category.{v', u'} A
inst✝¹¹ : ConcreteCategory A
inst✝¹⁰ : HasFunctorialSurjectiveInjectiveFactorization A
inst✝⁹ : (coherentTopology CompHaus).WEqualsLocallyBijective A
inst✝⁸ : HasSheafify (coherentTopology CompHaus) A
inst✝⁷ : (coherentTopology CompHaus).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget A)
inst✝⁶ : Balanced (Sheaf (coherentTopology CompHaus) A)
inst✝⁵ : PreservesFiniteProducts (CategoryTheory.forget A)
inst✝⁴ : ∀ (X : CompHausᵒᵖ), HasLimitsOfShape (StructuredArrow X Stonean.toCompHaus.op) A
X Y : Condensed A
f : X ⟶ Y
inst✝³ : (extensiveTopology Stonean).WEqualsLocallyBijective A
inst✝² : HasSheafify (extensiveTopology Stonean) A
inst✝¹ : (extensiveTopology Stonean).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget A)
inst✝ : Balanced (Sheaf (extensiveTopology Stonean) A)
\u22a2 Epi f ↔ ∀ (S : Stonean), Function.Surjective ⇑(f.val.app (op S.compHaus))
-- Mathlib/Condensed/Epi.lean
A : Type u'
inst✝¹² : Category.{v', u'} A
inst✝¹¹ : ConcreteCategory A
inst✝¹⁰ : HasFunctorialSurjectiveInjectiveFactorization A
inst✝⁹ : (coherentTopology CompHaus).WEqualsLocallyBijective A
inst✝⁸ : HasSheafify (coherentTopology CompHaus) A
inst✝⁷ : (coherentTopology CompHaus).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget A)
inst✝⁶ : Balanced (Sheaf (coherentTopology CompHaus) A)
inst✝⁵ : PreservesFiniteProducts (CategoryTheory.forget A)
inst✝⁴ : ∀ (X : CompHausᵒᵖ), HasLimitsOfShape (StructuredArrow X Stonean.toCompHaus.op) A
X Y : Condensed A
f : X ⟶ Y
inst✝³ : (extensiveTopology Stonean).WEqualsLocallyBijective A
inst✝² : HasSheafify (extensiveTopology Stonean) A
inst✝¹ : (extensiveTopology Stonean).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget A)
inst✝ : Balanced (Sheaf (extensiveTopology Stonean) A)
\u22a2 IsLocallySurjective (Presheaf.coherentExtensiveEquivalence.functor.map ((StoneanCompHaus.equivalence A).inverse.map f)) ↔ ∀ (S : Stonean), Function.Surjective ⇑(f.val.app (op S.compHaus))
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R✝
inst✝¹⁷ : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝¹⁶ : CommRing R'
inst✝¹⁵ : CommRing S'
f : R✝ →+* S✝
inst✝¹⁴ : Algebra R✝ R'
inst✝¹³ : Algebra S✝ S'
R : Type u_1
S : Type u_2
Rₚ : Type u_3
Sₚ : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : CommRing Rₚ
inst✝⁹ : CommRing Sₚ
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R Rₚ
inst✝⁶ : Algebra R Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : Algebra Rₚ Sₚ
inst✝³ : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Sₚ
M : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization M Rₚ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₚ
hRS : Finite R S
\u22a2 Finite Rₚ Sₚ
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u s : Set α
\u22a2 ∀ (s : Set α), (fun s => s = ∅ ∨ s = univ) s → (fun s => s = ∅ ∨ s = univ) sᶜ
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
\u22a2 Codisjoint ↑s ↑t ↔ Disjoint s t
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, -f x ∂μ = -∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
\u22a2 -∫ (a : ℝ) in Ioc a b, f a ∂μ - -∫ (a : ℝ) in Ioc b a, f a ∂μ = -(∫ (x : ℝ) in Ioc a b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in Ioc b a, f x ∂μ)
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ⇑(f' i j hij)
i : ι
\u22a2 Function.Injective ⇑(of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i)
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ⇑(f' i j hij)
i : ι
\u22a2 ∀ (x : G i), (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0 → x = 0
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ⇑(f' i j hij)
i : ι
x : G i
hx : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0
\u22a2 x = 0