ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X Y Z : C
\u22a2 (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom = (((α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom ≫ F.obj X ◁ F.μ Y Z ≫ F.μ X (Y ⊗ Z)) ≫ inv (F.μ X (Y ⊗ Z))) ≫ F.obj X ◁ inv (F.μ Y Z)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C
\u22a2 (λ_ (F.obj X)).inv = F.map (λ_ X).inv ≫ inv (F.μ (𝟙_ C) X) ≫ inv F.ε ▷ F.obj X
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C
\u22a2 (λ_ (F.obj X)).hom ≫ F.map (λ_ X).inv ≫ inv (F.μ (𝟙_ C) X) ≫ inv F.ε ▷ F.obj X = 𝟙 (𝟙_ D ⊗ F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C
\u22a2 (F.ε ▷ F.obj X ≫ F.μ (𝟙_ C) X ≫ F.map (λ_ X).hom) ≫ F.map (λ_ X).inv ≫ inv (F.μ (𝟙_ C) X) ≫ inv F.ε ▷ F.obj X = 𝟙 (𝟙_ D ⊗ F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C
\u22a2 F.ε ▷ F.obj X ≫ F.μ (𝟙_ C) X ≫ (𝟙 (F.obj (𝟙_ C ⊗ X)) ≫ inv (F.μ (𝟙_ C) X)) ≫ inv F.ε ▷ F.obj X = 𝟙 (𝟙_ D ⊗ F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C
\u22a2 (ρ_ (F.obj X)).inv = F.map (ρ_ X).inv ≫ inv (F.μ X (𝟙_ C)) ≫ F.obj X ◁ inv F.ε
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C
\u22a2 (ρ_ (F.obj X)).hom ≫ F.map (ρ_ X).inv ≫ inv (F.μ X (𝟙_ C)) ≫ F.obj X ◁ inv F.ε = 𝟙 (F.obj X ⊗ 𝟙_ D)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C
\u22a2 (F.obj X ◁ F.ε ≫ F.μ X (𝟙_ C) ≫ F.map (ρ_ X).hom) ≫ F.map (ρ_ X).inv ≫ inv (F.μ X (𝟙_ C)) ≫ F.obj X ◁ inv F.ε = 𝟙 (F.obj X ⊗ 𝟙_ D)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C
\u22a2 F.obj X ◁ F.ε ≫ F.μ X (𝟙_ C) ≫ (𝟙 (F.obj (X ⊗ 𝟙_ C)) ≫ inv (F.μ X (𝟙_ C))) ≫ F.obj X ◁ inv F.ε = 𝟙 (F.obj X ⊗ 𝟙_ D)
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n : ℕ+
\u22a2 m ∣ n ↔ m.gcd n = m
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n : ℕ+
\u22a2 ↑m ∣ ↑n ↔ m.gcd n = m
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n : ℕ+
\u22a2 (↑m).gcd ↑n = ↑m ↔ m.gcd n = m
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n : ℕ+
\u22a2 (↑m).gcd ↑n = ↑m ↔ ↑(m.gcd n) = ↑m
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
h : ¬p i
\u22a2 (filter p f) i = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x y L : R
\u22a2 C (W.addPolynomial x y L) - (Y - C (linePolynomial x y L)) * (W.negPolynomial - C (linePolynomial x y L)) = W.polynomial * 1
-- Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
h0 : 0 < sSupNormIm f 0
h1 : 0 < sSupNormIm f 1
\u22a2 interpStrip f z = ↑(sSupNormIm f 0) ^ (1 - z) * ↑(sSupNormIm f 1) ^ z
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set α
\u22a2 (⋃ i, ⋃ j, s i j) ∩ t = ⋃ i, ⋃ j, s i j ∩ t
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a x : α
s : Set α
\u22a2 s ⩿ insert x s
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
a x : α
s t : Set α
hst : s ≤ t
h2t : t ≤ insert x s
\u22a2 t = s ∨ t = insert x s
-- Mathlib/Algebra/Group/Invertible/Basic.lean
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b : α
inst✝ : Invertible b
h : Commute a b
\u22a2 a * ⅟b = ⅟b * (b * a * ⅟b)
-- Mathlib/Algebra/Group/Invertible/Basic.lean
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b : α
inst✝ : Invertible b
h : Commute a b
\u22a2 ⅟b * (b * a * ⅟b) = ⅟b * (a * b * ⅟b)
-- Mathlib/Algebra/Group/Invertible/Basic.lean
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b : α
inst✝ : Invertible b
h : Commute a b
\u22a2 ⅟b * (a * b * ⅟b) = ⅟b * a
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : CommMonoid α
f : β → α
g : γ → α
h_eq : ∀ (u : Finset γ), ∃ v, ∀ (v' : Finset β), v ⊆ v' → ∃ u', u ⊆ u' ∧ ∏ x ∈ u', g x = ∏ b ∈ v', f b
\u22a2 map (fun s => ∏ b ∈ s, f b) atTop ≤ map (fun s => ∏ x ∈ s, g x) atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ : ∀ (A : E →L[ℝ] E), 0 < δ A ∧ (∀ (B : E →L[ℝ] E), ‖B - A‖ ≤ ↑(δ A) → |B.det - A.det| ≤ ↑ε) ∧ ∀ (t : Set E) (g : E → E), ApproximatesLinearOn g A t (δ A) → μ (g '' t) ≤ (ENNReal.ofReal |A.det| + ↑ε) * μ t
\u22a2 μ (f '' s) ≤ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ + 2 * ↑ε * μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ : ∀ (A : E →L[ℝ] E), 0 < δ A ∧ (∀ (B : E →L[ℝ] E), ‖B - A‖ ≤ ↑(δ A) → |B.det - A.det| ≤ ↑ε) ∧ ∀ (t : Set E) (g : E → E), ApproximatesLinearOn g A t (δ A) → μ (g '' t) ≤ (ENNReal.ofReal |A.det| + ↑ε) * μ t
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))
\u22a2 μ (f '' s) ≤ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ + 2 * ↑ε * μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → E
hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑R
hp0 : ¬p.toReal = 0
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal) atTop < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → E
hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑R
hp0 : ¬p.toReal = 0
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
\u22a2 liminf (fun n => ∫⁻ (a : α), ↑‖f n a‖₊ ^ p.toReal ∂μ) atTop ≤ ↑R ^ p.toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → E
hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hp0 : ¬p.toReal = 0
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
hbdd : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹ ≤ ↑R
\u22a2 liminf (fun n => ∫⁻ (a : α), ↑‖f n a‖₊ ^ p.toReal ∂μ) atTop ≤ ↑R ^ p.toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → E
hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hp0 : ¬p.toReal = 0
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
hbdd : ∀ (n : ℕ), (∫⁻ (x : α), ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹ ≤ ↑R
\u22a2 sSup {a | ∃ a_1, ∀ b ≥ a_1, a ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖f b a‖₊ ^ p.toReal ∂μ} ≤ ↑R ^ p.toReal
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u : XgcdType
hr : u.r = 0
\u22a2 u.finish.v = u.v
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u : XgcdType
hr : u.r = 0
ha : u.r + ↑u.b * u.q = ↑u.a := rq_eq u
\u22a2 u.finish.v = u.v
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u : XgcdType
hr : u.r = 0
ha : ↑u.b * u.q = ↑u.a
\u22a2 u.finish.v = u.v
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
a s : ℝ
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs : s < a
\u22a2 ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c) volume
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
a s : ℝ
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs : s < a
d : ℝ
hd' : IsBigOWith d atTop f fun x => x ^ (-a)
\u22a2 ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c) volume
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
a s : ℝ
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs : s < a
d : ℝ
hd' : ∃ a_1, ∀ b ≥ a_1, ‖f b‖ ≤ d * ‖b ^ (-a)‖
\u22a2 ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c) volume
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
a s : ℝ
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs : s < a
d e : ℝ
he : ∀ b ≥ e, ‖f b‖ ≤ d * ‖b ^ (-a)‖
\u22a2 ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c) volume
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → ℝ
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
a s : ℝ
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs : s < a
d e : ℝ
he : ∀ b ≥ e, ‖f b‖ ≤ d * ‖b ^ (-a)‖
he' : 0 < max e 1
\u22a2 ∃ c, 0 < c ∧ IntegrableOn (fun t => t ^ (s - 1) * f t) (Ioi c) volume
-- Mathlib/Probability/Martingale/Centering.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ n : ℕ
\u22a2 f n - ∑ i ∈ Finset.range n, μ[f (i + 1) - f i|↑ℱ i] = f 0 + ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) - f i - μ[f (i + 1) - f i|↑ℱ i])
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
\u22a2 t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j ≫ pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫ pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g = pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫ pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
h : NullMeasurableSet s μ
hs : μ s ≠ ⊤
\u22a2 μ sᶜ = μ univ - μ s
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/HasColimits.lean
J : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
U : Opens ↑↑(colimit F)
j k : Jᵒᵖ
f : j ⟶ k
\u22a2 (Opens.map (F.map f.unop).base).op.obj (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop j)).base).obj U)) = op ((Opens.map (colimit.ι F (unop k)).base).obj U)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/HasColimits.lean
J : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
U : Opens ↑↑(colimit F)
j k : Jᵒᵖ
f : j ⟶ k
\u22a2 (Opens.map (F.map f.unop).base).op.obj (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop j)).base).obj U)) = op ((Opens.map ((F.map f.unop).base ≫ (colimit.ι F (unop j)).base)).obj U)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/HasColimits.lean
J : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
U : Opens ↑↑(colimit F)
i j k : Jᵒᵖ
f : i ⟶ j
g : j ⟶ k
\u22a2 (F.map (g.unop ≫ f.unop)).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop i)).base).obj U)) ≫ (F.obj (unop k)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = ((F.map f.unop).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop i)).base).obj U)) ≫ (F.obj (unop j)).presheaf.map (eqToHom ⋯)) ≫ (F.map g.unop).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop j)).base).obj U)) ≫ (F.obj (unop k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/HasColimits.lean
J : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
U : Opens ↑↑(colimit F)
i j k : Jᵒᵖ
f : i ⟶ j
g : j ⟶ k
\u22a2 (F.map (g.unop ≫ f.unop)).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop i)).base).obj U)) ≫ (F.obj (unop k)).presheaf.map (eqToHom ⋯) = (F.map f.unop).c.app (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop i)).base).obj U)) ≫ (F.map g.unop).c.app (op ((Opens.map (F.map f.unop).base).obj ((Opens.map (colimit.ι F (unop i)).base).obj U))) ≫ ((pushforward C (F.map g.unop).base).obj (F.obj (unop k)).presheaf).map (eqToHom ⋯) ≫ (F.obj (unop k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)
-- Mathlib/Order/Compare.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
x y : α
\u22a2 cmp x x = eq
-- Mathlib/Data/ENat/Basic.lean
m n : ℕ∞
hm : m ≠ ⊤
\u22a2 ¬IsMax m
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : D ⥤ C
Z : D
T : Presieve (F.obj Z)
x : FamilyOfElements P T
h : x.Compatible
Z₁ Z₂ W : D
g₁ : W ⟶ Z₁
g₂ : W ⟶ Z₂
f₁ : Z₁ ⟶ Z
f₂ : Z₂ ⟶ Z
h₁ : Presieve.functorPullback F T f₁
h₂ : Presieve.functorPullback F T f₂
eq : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
\u22a2 (F.op ⋙ P).map g₁.op (FamilyOfElements.functorPullback F x f₁ h₁) = (F.op ⋙ P).map g₂.op (FamilyOfElements.functorPullback F x f₂ h₂)
-- Mathlib/Order/IsWellOrderLimitElement.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
a b : α
ha : a < b
\u22a2 (if h : ∃ y, a < y then ⋯.min {y | a < y} h else a) ≤ b
-- Mathlib/Order/IsWellOrderLimitElement.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
a b : α
ha : a < b
\u22a2 ⋯.min {y | a < y} ⋯ ≤ b
-- Mathlib/RingTheory/Smooth/Basic.lean
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R B
I : Ideal B
C : Type u
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : FormallySmooth R A
f : A →ₐ[R] C
g : B →ₐ[R] C
hg : Function.Surjective ⇑g
hg' : IsNilpotent (RingHom.ker ↑g)
x : A
\u22a2 g ((liftOfSurjective f g hg hg') x) = f x
-- Mathlib/RingTheory/Smooth/Basic.lean
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R B
I : Ideal B
C : Type u
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : FormallySmooth R A
f : A →ₐ[R] C
g : B →ₐ[R] C
hg : Function.Surjective ⇑g
hg' : IsNilpotent (RingHom.ker ↑g)
x : A
\u22a2 (Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg).symm (g ((liftOfSurjective f g hg hg') x)) = (Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg).symm (f x)
-- Mathlib/RingTheory/Smooth/Basic.lean
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R B
I : Ideal B
C : Type u
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : FormallySmooth R A
f : A →ₐ[R] C
g : B →ₐ[R] C
hg : Function.Surjective ⇑g
hg' : IsNilpotent (RingHom.ker ↑g)
x : A
\u22a2 (Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg).symm (g ((liftOfSurjective f g hg hg') x)) = ((↑(Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg).symm).comp f) x
-- Mathlib/RingTheory/Smooth/Basic.lean
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R B
I : Ideal B
C : Type u
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : FormallySmooth R A
f : A →ₐ[R] C
g : B →ₐ[R] C
hg : Function.Surjective ⇑g
hg' : IsNilpotent (RingHom.ker ↑g)
x : A
\u22a2 (Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg).symm (g ((liftOfSurjective f g hg hg') x)) = (Ideal.Quotient.mk (RingHom.ker ↑g)) ((lift (RingHom.ker ↑g) hg' ((↑(Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg).symm).comp f)) x)
-- Mathlib/RingTheory/Smooth/Basic.lean
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R B
I : Ideal B
C : Type u
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : FormallySmooth R A
f : A →ₐ[R] C
g : B →ₐ[R] C
hg : Function.Surjective ⇑g
hg' : IsNilpotent (RingHom.ker ↑g)
x : A
\u22a2 (Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg) ((Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg).symm (g ((liftOfSurjective f g hg hg') x))) = (Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg) ((Ideal.Quotient.mk (RingHom.ker ↑g)) ((lift (RingHom.ker ↑g) hg' ((↑(Ideal.quotientKerAlgEquivOfSurjective hg).symm).comp f)) x))
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.101120, u_3} E
inst✝ : IsIdempotentComplete D
F G : Karoubi C ⥤ D
τ : toKaroubi C ⋙ F ⟶ toKaroubi C ⋙ G
P : Karoubi C
\u22a2 (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ).app P = F.map P.decompId_i ≫ τ.app P.X ≫ G.map P.decompId_p
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.101120, u_3} E
inst✝ : IsIdempotentComplete D
F G : Karoubi C ⥤ D
τ : toKaroubi C ⋙ F ⟶ toKaroubi C ⋙ G
P : Karoubi C
\u22a2 F.map P.decompId_i ≫ (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ).app { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ } ≫ G.map P.decompId_p = F.map P.decompId_i ≫ τ.app P.X ≫ G.map P.decompId_p
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.101120, u_3} E
inst✝ : IsIdempotentComplete D
F G : Karoubi C ⥤ D
τ : toKaroubi C ⋙ F ⟶ toKaroubi C ⋙ G
P : Karoubi C
\u22a2 (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ).app { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ } = τ.app P.X
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.101120, u_3} E
inst✝ : IsIdempotentComplete D
F G : Karoubi C ⥤ D
τ : toKaroubi C ⋙ F ⟶ toKaroubi C ⋙ G
P : Karoubi C
\u22a2 (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ).app { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ } = (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).map (((whiskeringLeft C (Karoubi C) D).obj (toKaroubi C)).preimage τ)).app P.X
-- Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Fintype G
x : F
f : Polynomial ↥(subfield G F)
hf : Polynomial.eval₂ (subfield G F).subtype x f = 0
this : (subfield G F).subtype = (subfield G F).subtype
h : Polynomial.map (IsInvariantSubring.subtypeHom G (subfield G F).toSubring).toRingHom f = Polynomial.map (↑(IsInvariantSubring.subtypeHom G (subfield G F).toSubring)) f
\u22a2 minpoly G F x ∣ f
-- Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Fintype G
x : F
f : Polynomial ↥(subfield G F)
hf : Polynomial.eval₂ (subfield G F).subtype x f = 0
this : (subfield G F).subtype = (subfield G F).subtype
h : Polynomial.map (IsInvariantSubring.subtypeHom G (subfield G F).toSubring).toRingHom f = Polynomial.map (↑(IsInvariantSubring.subtypeHom G (subfield G F).toSubring)) f
\u22a2 ∏ g : G ⧸ stabilizer G x, (Polynomial.X - Polynomial.C (ofQuotientStabilizer G x g)) ∣ Polynomial.map (subfield G F).subtype f
-- Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Fintype G
x : F
f : Polynomial ↥(subfield G F)
hf : Polynomial.eval₂ (subfield G F).subtype x f = 0
this : (subfield G F).subtype = (subfield G F).subtype
h : Polynomial.map (IsInvariantSubring.subtypeHom G (subfield G F).toSubring).toRingHom f = Polynomial.map (↑(IsInvariantSubring.subtypeHom G (subfield G F).toSubring)) f
y : G ⧸ stabilizer G x
g : G
\u22a2 Polynomial.X - Polynomial.C (ofQuotientStabilizer G x ↑g) ∣ Polynomial.map (subfield G F).subtype f
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Central.lean
r n : ℕ
\u22a2 (2 * n).choose (2 * n / 2) = (2 * n).choose n
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
C : ℝ
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
\u22a2 LiouvilleWith p (-x)
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
C : ℝ
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
\u22a2 ∀ (x_1 : ℕ), (∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < C / ↑x_1 ^ p) → ∃ m, -x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |-x - ↑m / ↑x_1| < C / ↑x_1 ^ p
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
C : ℝ
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
\u22a2 ∃ m, -x ≠ ↑m / ↑n ∧ |-x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
C : ℝ
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
\u22a2 |-x - ↑(-m) / ↑n| < C / ↑n ^ p
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
C : ℝ
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
\u22a2 |-x - ↑(-m) / ↑n| = |x - ↑m / ↑n|
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
C : ℝ
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
\u22a2 |↑(-m) / ↑n - -x| = |x - ↑m / ↑n|
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n k : ℕ
hkn : k ≤ n
\u22a2 n.choose k • choose r n = choose r k * choose (r - ↑k) (n - k)
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n k : ℕ
hkn : k ≤ n
\u22a2 (fun x => n.factorial • x) (n.choose k • choose r n) = (fun x => n.factorial • x) (choose r k * choose (r - ↑k) (n - k))