ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : S →₀ S
this : (derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential ((Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) x) = (kerTotal R S).mkQ x
\u22a2 __src✝.toFun ((derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential ((Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) x)) = (Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/OpenMapping.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
x : X
\u22a2 U • {x} ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/OpenMapping.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
x : X
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 1
V_closed : IsClosed V
V_symm : V⁻¹ = V
VU : V * V ⊆ U
\u22a2 U • {x} ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/OpenMapping.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
x : X
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 1
V_closed : IsClosed V
V_symm : V⁻¹ = V
VU : V * V ⊆ U
s : Set G
s_count : s.Countable
hs : ⋃ g ∈ s, g • V = univ
\u22a2 U • {x} ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/OpenMapping.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
x : X
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 1
V_closed : IsClosed V
V_symm : V⁻¹ = V
VU : V * V ⊆ U
s : Set G
s_count : s.Countable
hs : ⋃ g ∈ s, g • V = univ
K : ℕ → Set G := compactCovering G
F : ℕ × ↑s → Set X := fun p => (K p.1 ∩ ↑p.2 • V) • {x}
n : ℕ
g : G
hg : g ∈ s
hi : (interior (F (n, ⟨g, hg⟩))).Nonempty
\u22a2 U • {x} ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/OpenMapping.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
x : X
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 1
V_closed : IsClosed V
V_symm : V⁻¹ = V
VU : V * V ⊆ U
s : Set G
s_count : s.Countable
hs : ⋃ g ∈ s, g • V = univ
K : ℕ → Set G := compactCovering G
F : ℕ × ↑s → Set X := fun p => (K p.1 ∩ ↑p.2 • V) • {x}
n : ℕ
g : G
hg : g ∈ s
hi : (interior (F (n, ⟨g, hg⟩))).Nonempty
I : (interior ((g • V) • {x})).Nonempty
\u22a2 U • {x} ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/OpenMapping.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
x : X
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 1
V_closed : IsClosed V
V_symm : V⁻¹ = V
VU : V * V ⊆ U
s : Set G
s_count : s.Countable
hs : ⋃ g ∈ s, g • V = univ
K : ℕ → Set G := compactCovering G
F : ℕ × ↑s → Set X := fun p => (K p.1 ∩ ↑p.2 • V) • {x}
n : ℕ
g : G
hg : g ∈ s
hi : (interior (F (n, ⟨g, hg⟩))).Nonempty
I : (interior ((g • V) • {x})).Nonempty
y : X
hy : y ∈ interior (V • {x})
\u22a2 U • {x} ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/OpenMapping.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
x : X
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 1
V_closed : IsClosed V
V_symm : V⁻¹ = V
VU : V * V ⊆ U
s : Set G
s_count : s.Countable
hs : ⋃ g ∈ s, g • V = univ
K : ℕ → Set G := compactCovering G
F : ℕ × ↑s → Set X := fun p => (K p.1 ∩ ↑p.2 • V) • {x}
n : ℕ
g : G
hg : g ∈ s
hi : (interior (F (n, ⟨g, hg⟩))).Nonempty
I : (interior ((g • V) • {x})).Nonempty
g' : G
hg' : g' ∈ V
hy : g' • x ∈ interior (V • {x})
\u22a2 U • {x} ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/OpenMapping.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
x : X
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 1
V_closed : IsClosed V
V_symm : V⁻¹ = V
VU : V * V ⊆ U
s : Set G
s_count : s.Countable
hs : ⋃ g ∈ s, g • V = univ
K : ℕ → Set G := compactCovering G
F : ℕ × ↑s → Set X := fun p => (K p.1 ∩ ↑p.2 • V) • {x}
n : ℕ
g : G
hg : g ∈ s
hi : (interior (F (n, ⟨g, hg⟩))).Nonempty
I : (interior ((g • V) • {x})).Nonempty
g' : G
hg' : g' ∈ V
hy : g' • x ∈ interior (V • {x})
J : (g'⁻¹ • V) • {x} ∈ 𝓝 x
\u22a2 U • {x} ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/OpenMapping.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
x : X
V : Set G
V_mem : V ∈ 𝓝 1
V_closed : IsClosed V
V_symm : V⁻¹ = V
VU : V * V ⊆ U
s : Set G
s_count : s.Countable
hs : ⋃ g ∈ s, g • V = univ
K : ℕ → Set G := compactCovering G
F : ℕ × ↑s → Set X := fun p => (K p.1 ∩ ↑p.2 • V) • {x}
n : ℕ
g : G
hg : g ∈ s
hi : (interior (F (n, ⟨g, hg⟩))).Nonempty
I : (interior ((g • V) • {x})).Nonempty
g' : G
hg' : g' ∈ V
hy : g' • x ∈ interior (V • {x})
J : (g'⁻¹ • V) • {x} ∈ 𝓝 x
this : (g'⁻¹ • V) • {x} ⊆ U • {x}
\u22a2 U • {x} ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Order/Interval/Set/UnorderedInterval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
\u22a2 a ∈ Ι b c ↔ b < a ∧ a ≤ c ∨ c < a ∧ a ≤ b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝ : Fintype n
M : Matrix m n R
x✝¹ : n → R
x✝ : m
\u22a2 Mᵀ.vecMulLinear x✝¹ x✝ = M.mulVecLin x✝¹ x✝
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DivisionCommMonoid β
A : Set α
B : Set β
f : α → β
m n : ℕ
hf : IsMulFreimanHom n A B f
s t : Multiset α
hsA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
htA : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = n
ht : card t = n
h : s.prod = t.prod
\u22a2 (map f⁻¹ s).prod = (map f⁻¹ t).prod
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
s : Set X
hs : IsOpen s
s' : Set X
hs' : IsOpen s'
\u22a2 (ofSet s hs).trans (ofSet s' hs') = ofSet (s ∩ s') ⋯
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
s : Set X
hs : IsOpen s
s' : Set X
hs' : IsOpen s'
\u22a2 (ofSet s hs).restr (↑(ofSet s hs) ⁻¹' s') = ofSet (s ∩ s') ⋯
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
s✝ t : Set α
s : Set β
h : f ⁻¹' s = ∅
\u22a2 Disjoint s (range f)
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
s✝ t : Set α
s : Set β
h : ∀ (x : α), f x ∉ s
\u22a2 ∀ x ∈ s, ∀ (x_1 : α), ¬f x_1 = x
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
\u22a2 ν.rnDeriv (r • μ) =ᶠ[ae μ] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
\u22a2 ν.rnDeriv (r • μ) =ᶠ[ae (r • μ)] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
\u22a2 (r • μ).withDensity (ν.rnDeriv (r • μ)) = (r • μ).withDensity (r⁻¹ • ν.rnDeriv μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
\u22a2 AEMeasurable (ν.rnDeriv (r • μ)) (r • μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0
\u22a2 AEMeasurable (r⁻¹ • ν.rnDeriv μ) (r • μ)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B✝ : Matrix n n α
B : Matrix m n α
h : IsUnit A.det
\u22a2 B * A * A⁻¹ = B
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableRel G.Adj
a₁ a₂ : α
b : β
x z y : α
h : G.Adj x y
w : G.Walk y z
\u22a2 (Walk.boxProdLeft H b (cons' x y z h w)).ofBoxProdLeft = cons' x y z h w
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableRel G.Adj
a₁ a₂ : α
b : β
x z y : α
h : G.Adj x y
w : G.Walk y z
\u22a2 cons ⋯ (Walk.boxProdLeft H b w).ofBoxProdLeft = cons' x y z h w
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableRel G.Adj
a₁ a₂ : α
b : β
x z y : α
h : G.Adj x y
w : G.Walk y z
\u22a2 G.Adj (x, b).1 ((G.boxProdLeft H b).toHom y).1 ∧ (x, b).2 = ((G.boxProdLeft H b).toHom y).2
-- Mathlib/Algebra/ModEq.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n✝ : ℕ
z : ℤ
x✝¹ : a ≡ b [PMOD p]
x✝ : b ≡ c [PMOD p]
m : ℤ
hm : b - a = m • p
n : ℤ
hn : c - b = n • p
\u22a2 c - a = (m + n) • p
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
π : G → G ⧸ Γ := QuotientGroup.mk
\u22a2 map π μ ≪ map π (μ.restrict 𝓕)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
π : G → G ⧸ Γ := QuotientGroup.mk
meas_π : Measurable π
\u22a2 map π μ ≪ map π (μ.restrict 𝓕)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
π : G → G ⧸ Γ := QuotientGroup.mk
meas_π : Measurable π
\u22a2 ∀ ⦃s : Set (G ⧸ Γ)⦄, MeasurableSet s → (map π (μ.restrict 𝓕)) s = 0 → (map π μ) s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
π : G → G ⧸ Γ := QuotientGroup.mk
meas_π : Measurable π
s : Set (G ⧸ Γ)
s_meas : MeasurableSet s
hs : (map π (μ.restrict 𝓕)) s = 0
\u22a2 (map π μ) s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
π : G → G ⧸ Γ := QuotientGroup.mk
meas_π : Measurable π
s : Set (G ⧸ Γ)
s_meas : MeasurableSet s
hs : (μ.restrict 𝓕) (π ⁻¹' s) = 0
\u22a2 μ (π ⁻¹' s) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
π : G → G ⧸ Γ := QuotientGroup.mk
meas_π : Measurable π
s : Set (G ⧸ Γ)
s_meas : MeasurableSet s
hs : μ (π ⁻¹' s ∩ 𝓕) = 0
\u22a2 μ (π ⁻¹' s) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
π : G → G ⧸ Γ := QuotientGroup.mk
meas_π : Measurable π
s : Set (G ⧸ Γ)
s_meas : MeasurableSet s
hs : (μ.restrict 𝓕) (π ⁻¹' s) = 0
\u22a2 MeasurableSet (π ⁻¹' s)
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r : ℝ
\u22a2 1 < r.toNNReal ↔ 1 < r
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : α
l : List α
p : α → Bool
h : ¬p a = true
\u22a2 eraseP p (a :: l) = a :: eraseP p l
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hns : μ s ≠ 0
hnt : μ s ≠ ⊤
hu : IsUniform X s ℙ μ
t : Set E := toMeasurable μ s
\u22a2 HasPDF X ℙ μ
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hns : μ s ≠ 0
hnt : μ s ≠ ⊤
hu : IsUniform X s ℙ μ
t : Set E := toMeasurable μ s
\u22a2 Measure.map X ℙ = μ.withDensity (t.indicator ((μ t)⁻¹ • 1))
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s t : Seq α
\u22a2 map f (s.append t) = (map f s).append (map f t)
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s t : Seq α
\u22a2 IsBisimulation fun s1 s2 => ∃ s t, s1 = map f (s.append t) ∧ s2 = (map f s).append (map f t)
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R✝ : Type u
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : DiscreteValuationRing R✝
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
ϖ : R
hϖ : ϖ ≠ 0
h : maximalIdeal R = span {ϖ}
\u22a2 Irreducible ϖ
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R✝ : Type u
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : DiscreteValuationRing R✝
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
ϖ : R
hϖ : ϖ ≠ 0
h : maximalIdeal R = span {ϖ}
h2 : ¬IsUnit ϖ
\u22a2 Irreducible ϖ
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R✝ : Type u
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : DiscreteValuationRing R✝
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
ϖ : R
hϖ : ϖ ≠ 0
h : maximalIdeal R = span {ϖ}
h2 : ¬IsUnit ϖ
a b : R
hab : ϖ = a * b
\u22a2 IsUnit a ∨ IsUnit b
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R✝ : Type u
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : DiscreteValuationRing R✝
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
ϖ : R
hϖ : ϖ ≠ 0
h✝ : maximalIdeal R = span {ϖ}
h2 : ¬IsUnit ϖ
a b : R
hab : ϖ = a * b
h : ¬IsUnit a ∧ ¬IsUnit b
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R✝ : Type u
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : DiscreteValuationRing R✝
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
ϖ : R
hϖ : ϖ ≠ 0
h : maximalIdeal R = span {ϖ}
h2 : ¬IsUnit ϖ
a b : R
hab : ϖ = a * b
ha : a ∈ maximalIdeal R
hb : b ∈ maximalIdeal R
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R✝ : Type u
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : DiscreteValuationRing R✝
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
ϖ : R
hϖ : ϖ ≠ 0
h : maximalIdeal R = span {ϖ}
h2 : ¬IsUnit ϖ
a b : R
hab : ϖ = a * b
ha : ∃ a_1, a_1 * ϖ = a
hb : ∃ a, a * ϖ = b
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R✝ : Type u
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : DiscreteValuationRing R✝
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
ϖ : R
hϖ : ϖ ≠ 0
h : maximalIdeal R = span {ϖ}
h2 : ¬IsUnit ϖ
a b : R
hab : ϖ = ϖ * (ϖ * (a * b))
\u22a2 ϖ = 0
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R✝ : Type u
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : DiscreteValuationRing R✝
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
ϖ : R
hϖ : ϖ ≠ 0
h : maximalIdeal R = span {ϖ}
h2 : ¬IsUnit ϖ
a b : R
hab : ϖ = ϖ * (ϖ * (a * b))
\u22a2 ϖ * (a * b) ≠ 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
h : s ≤ t
\u22a2 s.prod ∣ t.prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
z : Multiset α
h : s ≤ s + z
\u22a2 s.prod ∣ (s + z).prod
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/EvenEquiv.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
r : R
\u22a2 (ι (Q' Q)) (m, r) = (v Q) m + r • e0 Q
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatibleSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
\u22a2 𝟙 (J.plusObj (J.plusObj P) ⋙ F) ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).hom ≫ (𝟙 (J.plusObj (J.plusObj P ⋙ F)) ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).hom) ≫ 𝟙 (J.plusObj (J.plusObj (P ⋙ F))) = (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).hom ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatibleSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
\u22a2 𝟙 (J.plusObj (J.plusObj P) ⋙ F) ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).hom ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).hom = (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).hom ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).hom
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r : R → R → Prop
a b : R
\u22a2 RingQuot.add r { toQuot := Quot.mk (Rel r) a } { toQuot := Quot.mk (Rel r) b } = { toQuot := Quot.mk (Rel r) (a + b) }
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r : R → R → Prop
a b : R
\u22a2 (match { toQuot := Quot.mk (Rel r) a }, { toQuot := Quot.mk (Rel r) b } with | { toQuot := a }, { toQuot := b } => { toQuot := Quot.map₂ (fun x x_1 => x + x_1) ⋯ ⋯ a b }) = { toQuot := Quot.mk (Rel r) (a + b) }
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x : W.CoordinateRing
\u22a2 ∃ p q, p • 1 + q • (mk W) Y = x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x : W.CoordinateRing
h : ∑ i : Fin 2, (CoordinateRing.basis W).equivFun x i • (CoordinateRing.basis W) i = x
\u22a2 ∃ p q, p • 1 + q • (mk W) Y = x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x : W.CoordinateRing
h : (CoordinateRing.basis W).equivFun x 0 • 1 + (CoordinateRing.basis W).equivFun x (Fin.succ 0) • (mk W) Y = x
\u22a2 ∃ p q, p • 1 + q • (mk W) Y = x
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
n : ℤ
\u22a2 im ↑n = 0
-- Mathlib/Data/Finset/Option.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq (Option α)
s : Finset α
\u22a2 eraseNone (image some s) = s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
\u22a2 ContDiffAt 𝕜 (↑(n + 1)) f x ↔ ∃ f', (∃ u ∈ 𝓝 x, ∀ x ∈ u, HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
\u22a2 (∃ u ∈ 𝓝[insert x univ] x, ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x) ↔ ∃ f', (∃ u ∈ 𝓝 x, ∀ x ∈ u, HasFDerivAt f (f' x) x) ∧ ContDiffAt 𝕜 (↑n) f' x