ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a p q : ℤ
hpq : p + n = q
\u22a2 (γ.shift a).v p q hpq = γ.v (p + a) (q + a) ⋯
-- Mathlib/Logic/Encodable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Encodable α
inst✝ : Encodable β
n : ℕ
\u22a2 decode n = (decode (unpair n).1).bind fun a => Option.map (Prod.mk a) (decode (unpair n).2)
-- Mathlib/Logic/Encodable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Encodable α
inst✝ : Encodable β
n : ℕ
\u22a2 Option.map (⇑(Equiv.sigmaEquivProd α β)) ((decode (unpair n).1).bind fun a => Option.map (Sigma.mk a) (decode (unpair n).2)) = (decode (unpair n).1).bind fun a => Option.map (Prod.mk a) (decode (unpair n).2)
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
g : γ → δ
f' : α' → β' → δ
g₁ : α → α'
g₂ : β → β'
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ a) (g₂ b)
\u22a2 g '' image2 f s t = image2 f' (g₁ '' s) (g₂ '' t)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set X
x : ↑S
\u22a2 (𝓝[≠] x).NeBot ↔ (𝓝[≠] ↑x ⊓ 𝓟 S).NeBot
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/CompareExp.lean
l : Filter ℂ
hre : Tendsto re l atTop
him : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun z => |z.im|
\u22a2 im =O[l] fun z => z.re ^ 0
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
\u22a2 s.toFinset ⊆ t.toFinset ↔ s ⊆ t
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U V : X.Opens
W : (↑U).Opens
e : W ≤ U.ι ⁻¹ᵁ V
\u22a2 Hom.appLE U.ι V W e = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U V : X.Opens
W : (↑U).Opens
e : W ≤ U.ι ⁻¹ᵁ V
\u22a2 X.presheaf.map ((homOfLE ⋯).op ≫ (homOfLE ⋯).op) = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Finite ι
f : ι → Set X
\u22a2 interior (⋂ i, f i) = ⋂ i, interior (f i)
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
hpq : p ∣ q
hq : q ≠ 0
\u22a2 Function.Surjective ⇑(restrictDvd hpq)
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
\u22a2 a \ c ≤ a \ b ⊔ b \ c
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
\u22a2 a \ (a \ b) ≤ c ⊔ b \ c
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : Multiset (MvPolynomial σ R)
\u22a2 s.prod.totalDegree ≤ (Multiset.map totalDegree s).sum
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : Multiset (MvPolynomial σ R)
l : List (MvPolynomial σ R)
\u22a2 (Multiset.prod ⟦l⟧).totalDegree ≤ (Multiset.map totalDegree ⟦l⟧).sum
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : Multiset (MvPolynomial σ R)
l : List (MvPolynomial σ R)
\u22a2 l.prod.totalDegree ≤ (List.map totalDegree l).sum
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq M
i : ι
bi : M
hbi : bi ∈ Finset.image (⇑b) Finset.univ
\u22a2 (b.reindexFinsetRange.repr (b i)) ⟨bi, hbi⟩ = (Finsupp.single ⟨b i, ⋯⟩ 1) ⟨bi, hbi⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq M
i : ι
bi : M
hbi : bi ∈ Finset.image (⇑b) Finset.univ
\u22a2 (Finsupp.single ⟨b i, ⋯⟩ 1) (((Equiv.refl M).subtypeEquiv ⋯).symm ⟨bi, hbi⟩) = (Finsupp.single ⟨b i, ⋯⟩ 1) ⟨bi, hbi⟩
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
\u22a2 ⨆ x, ‖f x‖ = ↑(⨆ x, ‖f x‖₊)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Ab.lean
S : ShortComplex Ab
\u22a2 S.Exact ↔ AddMonoidHom.range S.f = AddMonoidHom.ker S.g
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Ab.lean
S : ShortComplex Ab
\u22a2 AddMonoidHom.ker S.g ≤ AddMonoidHom.range S.f ↔ AddMonoidHom.range S.f = AddMonoidHom.ker S.g
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntegral.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F✝ : H → α → E
x₀✝ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F : 𝕜 → α → E
x₀ : 𝕜
F' : α → E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound a)) (fun x => F x a) (ball x₀ ε)
bound_integrable : Integrable bound μ
L : E →L[𝕜] 𝕜 →L[𝕜] E := (ContinuousLinearMap.smulRightL 𝕜 𝕜 E) 1
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (L (F' a)) x₀
\u22a2 Integrable F' μ ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntegral.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F✝ : H → α → E
x₀✝ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F : 𝕜 → α → E
x₀ : 𝕜
F' : α → E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound a)) (fun x => F x a) (ball x₀ ε)
bound_integrable : Integrable bound μ
L : E →L[𝕜] 𝕜 →L[𝕜] E := (ContinuousLinearMap.smulRightL 𝕜 𝕜 E) 1
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (L (F' a)) x₀
hm : AEStronglyMeasurable (⇑L ∘ F') μ
\u22a2 Integrable F' μ ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntegral.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F✝ : H → α → E
x₀✝ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F : 𝕜 → α → E
x₀ : 𝕜
F' : α → E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound a)) (fun x => F x a) (ball x₀ ε)
bound_integrable : Integrable bound μ
L : E →L[𝕜] 𝕜 →L[𝕜] E := (ContinuousLinearMap.smulRightL 𝕜 𝕜 E) 1
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (L (F' a)) x₀
hm : AEStronglyMeasurable (⇑L ∘ F') μ
hF'_int : Integrable (⇑L ∘ F') μ
key : HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), (⇑L ∘ F') a ∂μ) x₀
\u22a2 Integrable F' μ ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntegral.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F✝ : H → α → E
x₀✝ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F : 𝕜 → α → E
x₀ : 𝕜
F' : α → E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound a)) (fun x => F x a) (ball x₀ ε)
bound_integrable : Integrable bound μ
L : E →L[𝕜] 𝕜 →L[𝕜] E := (ContinuousLinearMap.smulRightL 𝕜 𝕜 E) 1
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (L (F' a)) x₀
hm : AEStronglyMeasurable (⇑L ∘ F') μ
key : HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), (⇑L ∘ F') a ∂μ) x₀
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
\u22a2 HasDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F' a ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntegral.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
F✝ : H → α → E
x₀✝ : H
bound : α → ℝ
ε : ℝ
F : 𝕜 → α → E
x₀ : 𝕜
F' : α → E
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound a)) (fun x => F x a) (ball x₀ ε)
bound_integrable : Integrable bound μ
L : E →L[𝕜] 𝕜 →L[𝕜] E := (ContinuousLinearMap.smulRightL 𝕜 𝕜 E) 1
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt (fun x => F x a) (L (F' a)) x₀
hm : AEStronglyMeasurable (⇑L ∘ F') μ
key : HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), (⇑L ∘ F') a ∂μ) x₀
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
\u22a2 HasFDerivAt (fun x => ∫ (a : α), F x a ∂μ) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (∫ (a : α), F' a ∂μ)) x₀
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n✝ : ℕ
M : Fin n✝.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : (i : Fin n✝.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : (i : Fin n✝.succ) → Module R (M i)
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₂
ι' : Type u_1
k l n : ℕ
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
hl : sᶜ.card = l
f : MultilinearMap R (fun x => M') (MultilinearMap R (fun x => M') M₂)
x y : M'
\u22a2 ((curryFinFinset R M₂ M' hk hl).symm f) (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y) = (f fun x_1 => x) fun x => y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n✝ : ℕ
M : Fin n✝.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : (i : Fin n✝.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : (i : Fin n✝.succ) → Module R (M i)
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₂
ι' : Type u_1
k l n : ℕ
s : Finset (Fin n)
hk : s.card = k
hl : sᶜ.card = l
f : MultilinearMap R (fun x => M') (MultilinearMap R (fun x => M') M₂)
x y : M'
\u22a2 ((f fun i => s.piecewise (fun x_1 => x) (fun x => y) ((finSumEquivOfFinset hk hl) (Sum.inl i))) fun i => s.piecewise (fun x_1 => x) (fun x => y) ((finSumEquivOfFinset hk hl) (Sum.inr i))) = (f fun x_1 => x) fun x => y
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
i : Fin c.length
j : Fin (c.blocksFun i)
\u22a2 ↑(c.invEmbedding ((c.embedding i) j)) = ↑j
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
a b : R
hab : a ≤ b
c : R
\u22a2 c * a * star c ≤ c * b * star c
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³¹ : CommRing A
inst✝³⁰ : CommRing B
inst✝²⁹ : Algebra A B
inst✝²⁸ : Field K
inst✝²⁷ : Field L
inst✝²⁶ : Algebra A K
inst✝²⁵ : IsFractionRing A K
inst✝²⁴ : Algebra B L
inst✝²³ : Algebra K L
inst✝²² : Algebra A L
inst✝²¹ : IsScalarTower A B L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.542637
Bₘ : Type ?u.542640
inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ
inst✝¹³ : Algebra B Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
x : B
this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
\u22a2 (algebraMap A (FractionRing A)) ((intNorm A B) x) = (norm (FractionRing A)) ((algebraMap B (FractionRing B)) x)
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³¹ : CommRing A
inst✝³⁰ : CommRing B
inst✝²⁹ : Algebra A B
inst✝²⁸ : Field K
inst✝²⁷ : Field L
inst✝²⁶ : Algebra A K
inst✝²⁵ : IsFractionRing A K
inst✝²⁴ : Algebra B L
inst✝²³ : Algebra K L
inst✝²² : Algebra A L
inst✝²¹ : IsScalarTower A B L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.542637
Bₘ : Type ?u.542640
inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ
inst✝¹³ : Algebra B Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
x : B
this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
\u22a2 (algebraMap A (FractionRing A)) ((intNorm A B) x) = (norm (FractionRing A)) ((algebraMap B (FractionRing B)) x)
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³¹ : CommRing A
inst✝³⁰ : CommRing B
inst✝²⁹ : Algebra A B
inst✝²⁸ : Field K
inst✝²⁷ : Field L
inst✝²⁶ : Algebra A K
inst✝²⁵ : IsFractionRing A K
inst✝²⁴ : Algebra B L
inst✝²³ : Algebra K L
inst✝²² : Algebra A L
inst✝²¹ : IsScalarTower A B L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁸ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.542637
Bₘ : Type ?u.542640
inst✝¹⁷ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁶ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra A Aₘ
inst✝¹³ : Algebra B Bₘ
inst✝¹² : Algebra A Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁹ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁸ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁷ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
x : B
this✝¹ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)
this : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
\u22a2 (algebraMap A (FractionRing A)) ((intNorm A B) x) = (norm (FractionRing A)) ((algebraMap B (FractionRing B)) x)
-- Mathlib/Order/Interval/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
inst✝ : Lattice α
s t : Interval α
\u22a2 Disjoint ↑s ↑t ↔ Disjoint s t
-- Mathlib/LinearAlgebra/Isomorphisms.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
p p' : Submodule R M
x : ↥(p ⊔ p')
hx : ↑x ∈ p
\u22a2 Submodule.Quotient.mk x = (quotientInfEquivSupQuotient p p') (Submodule.Quotient.mk ⟨↑x, hx⟩)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
\u22a2 X.roots = {0}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Bounded.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddGroup E
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → E
hf : Continuous f
h : HasCompactSupport f
\u22a2 ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
s : ↥S
m : M
\u22a2 LocalizedModule.mk m s = mk' (LocalizedModule.mkLinearMap S M) m s
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x✝ y✝ : ℝ
x y : ℚ
\u22a2 ↑x < ↑y ↔ x < y
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x✝ y✝ : ℝ
x y : ℚ
\u22a2 const abs ↑x < const abs ↑y ↔ x < y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
\u22a2 2 • θ = ↑π ↔ θ = ↑(π / 2) ∨ θ = ↑(-π / 2)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
r s t : Set (α × α)
a b : α
\u22a2 (a, b) ∈ r ○ s ○ t ↔ (a, b) ∈ r ○ (s ○ t)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
r s t : Set (α × α)
a b : α
\u22a2 (∃ z, (∃ z_1, (a, z_1) ∈ r ∧ (z_1, z) ∈ s) ∧ (z, b) ∈ t) ↔ ∃ z, (a, z) ∈ r ∧ ∃ z_1, (z, z_1) ∈ s ∧ (z_1, b) ∈ t
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.204908, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 2
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁ = app₀ ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂ = app₁ ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
\u22a2 2 < 2 + 1
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/ApproximationCorollaries.lean
K : Type u_1
v : K
inst✝⁴ : LinearOrderedField K
inst✝³ : FloorRing K
inst✝² : Archimedean K
inst✝¹ : TopologicalSpace K
inst✝ : OrderTopology K
\u22a2 Filter.Tendsto (of v).convs Filter.atTop (𝓝 v)
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Degree.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
\u22a2 intDegree 1 = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Lifts.lean
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
\u22a2 (mapRingHom f) X = X
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
hx : x ≠ 0
\u22a2 addValuation x = ↑x.valuation
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
s : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
\u22a2 BddBelow s → s.WellFoundedOn fun x x_1 => x < x_1
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
s : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
\u22a2 BddBelow s → ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ s
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
s : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a : α
ha : a ∈ lowerBounds s
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
\u22a2 False
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
s : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a : α
ha : a ∈ lowerBounds s
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
\u22a2 (range ⇑f).Finite
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
\u22a2 ↑g 1 0 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
hp : ∀ {g' : SL(2, ℤ)}, g' • z ∈ 𝒟ᵒ → ↑g' 1 0 ≠ 1
\u22a2 ↑g 1 0 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
hp : ∀ {g' : SL(2, ℤ)}, g' • z ∈ 𝒟ᵒ → ↑g' 1 0 ≠ 1
hn : ↑g 1 0 ≠ -1
\u22a2 ↑g 1 0 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
hn : ↑g 1 0 ≠ -1
hp : ↑g 1 0 ≠ 1
\u22a2 ↑g 1 0 = 0
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
\u22a2 closure (s ∪ t) = closure s ∪ closure t
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
\u22a2 ∃ a, 0 < a ∧ Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 a)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
x : ℝ
x_pos : 0 < x
hx : ∀ (n : ℕ), x ≤ stirlingSeq (n + 1)
\u22a2 ∃ a, 0 < a ∧ Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 a)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
x : ℝ
x_pos : 0 < x
hx : ∀ (n : ℕ), x ≤ stirlingSeq (n + 1)
hx' : x ∈ lowerBounds (Set.range (stirlingSeq ∘ succ))
\u22a2 ∃ a, 0 < a ∧ Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 a)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
x : ℝ
x_pos : 0 < x
hx : ∀ (n : ℕ), x ≤ stirlingSeq (n + 1)
hx' : x ∈ lowerBounds (Set.range (stirlingSeq ∘ succ))
\u22a2 Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 (sInf (Set.range (stirlingSeq ∘ succ))))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
x : ℝ
x_pos : 0 < x
hx : ∀ (n : ℕ), x ≤ stirlingSeq (n + 1)
hx' : x ∈ lowerBounds (Set.range (stirlingSeq ∘ succ))
\u22a2 Tendsto (fun n => stirlingSeq (n + 1)) atTop (𝓝 (sInf (Set.range (stirlingSeq ∘ succ))))
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Shift.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Preadditive C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : Preadditive D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℤ
X✝ Y✝ : HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ)
x✝ : X✝ ⟶ Y✝
i✝ : ℤ
\u22a2 F.map (x✝.f (i✝ + n)) ≫ 𝟙 (F.obj (Y✝.X (i✝ + n))) = 𝟙 (F.obj (X✝.X (i✝ + n))) ≫ F.map (x✝.f (i✝ + n))
-- Mathlib/Data/Nat/Bits.lean
m n✝ n : ℕ
\u22a2 n % 2 = bif n.bodd then 1 else 0
-- Mathlib/Data/Nat/Bits.lean
m n✝ n : ℕ
this : (n % 2 + 2 * (n / 2)).bodd = n.bodd
\u22a2 n % 2 = bif n.bodd then 1 else 0
-- Mathlib/Data/Nat/Bits.lean
m n✝ n : ℕ
this : (n % 2).bodd = n.bodd
\u22a2 n % 2 = bif n.bodd then 1 else 0
-- Mathlib/Data/Nat/Bits.lean
m n✝ n : ℕ
this : (n % 2).bodd = n.bodd
x✝¹ : ∀ (b : Bool), (false && b) = false
x✝ : ∀ (b : Bool), bxor b false = b
\u22a2 n % 2 = bif (n % 2).bodd then 1 else 0
-- Mathlib/Algebra/Ring/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonAssocRing α
a b : α
\u22a2 (1 - a) * b = b - a * b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring S
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Nontrivial M
s t : Set α
\u22a2 Disjoint (supported M R s) (supported M R t) ↔ Disjoint s t
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring S
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Nontrivial M
s t : Set α
h : Disjoint (supported M R s) (supported M R t)
x : α
hx1 : x ∈ s
hx2 : x ∈ t
\u22a2 False