ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure X
l : Filter X
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
f : X → E
b : E
h : Tendsto f (l ⊓ ae μ) (𝓝 b)
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hμ : μ.FiniteAtFilter l
s : ι → Set X
li : Filter ι
hs : Tendsto s li l.smallSets
m : optParam (ι → ℝ) fun i => (μ (s i)).toReal
hsμ : autoParam ((fun i => (μ (s i)).toReal) =ᶠ[li] m) _auto✝
ε : ℝ
ε₀ : 0 < ε
this : ∀ᶠ (s : Set X) in l.smallSets, ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → f x ∈ closedBall b ε
\u22a2 ∀ (a : Set X), μ a < ⊤ → IntegrableOn f a μ → AEStronglyMeasurable f (μ.restrict a) → (∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ a → f x ∈ closedBall b ε) → ‖∫ (x : X) in a, f x ∂μ - (μ a).toReal • b‖ ≤ ε * ‖(μ a).toReal‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure X
l : Filter X
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
f : X → E
b : E
h : Tendsto f (l ⊓ ae μ) (𝓝 b)
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hμ : μ.FiniteAtFilter l
s : ι → Set X
li : Filter ι
hs : Tendsto s li l.smallSets
m : optParam (ι → ℝ) fun i => (μ (s i)).toReal
hsμ : autoParam ((fun i => (μ (s i)).toReal) =ᶠ[li] m) _auto✝
ε : ℝ
ε₀ : 0 < ε
this : ∀ᶠ (s : Set X) in l.smallSets, ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → f x ∈ closedBall b ε
\u22a2 ∀ (a : Set X), μ a < ⊤ → IntegrableOn f a μ → AEStronglyMeasurable f (μ.restrict a) → (∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ a → ‖f x - b‖ ≤ ε) → ‖∫ (x : X) in a, f x ∂μ - (μ a).toReal • b‖ ≤ ε * ‖(μ a).toReal‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure X
l : Filter X
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
f : X → E
b : E
h : Tendsto f (l ⊓ ae μ) (𝓝 b)
hfm✝ : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hμ : μ.FiniteAtFilter l
s✝ : ι → Set X
li : Filter ι
hs : Tendsto s✝ li l.smallSets
m : optParam (ι → ℝ) fun i => (μ (s✝ i)).toReal
hsμ : autoParam ((fun i => (μ (s✝ i)).toReal) =ᶠ[li] m) _auto✝
ε : ℝ
ε₀ : 0 < ε
this : ∀ᶠ (s : Set X) in l.smallSets, ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → f x ∈ closedBall b ε
s : Set X
hμs : μ s < ⊤
h_integrable : IntegrableOn f s μ
hfm : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
h_norm : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖f x - b‖ ≤ ε
\u22a2 ‖∫ (x : X) in s, f x ∂μ - (μ s).toReal • b‖ ≤ ε * ‖(μ s).toReal‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure X
l : Filter X
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
f : X → E
b : E
h : Tendsto f (l ⊓ ae μ) (𝓝 b)
hfm✝ : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hμ : μ.FiniteAtFilter l
s✝ : ι → Set X
li : Filter ι
hs : Tendsto s✝ li l.smallSets
m : optParam (ι → ℝ) fun i => (μ (s✝ i)).toReal
hsμ : autoParam ((fun i => (μ (s✝ i)).toReal) =ᶠ[li] m) _auto✝
ε : ℝ
ε₀ : 0 < ε
this : ∀ᶠ (s : Set X) in l.smallSets, ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → f x ∈ closedBall b ε
s : Set X
hμs : μ s < ⊤
h_integrable : IntegrableOn f s μ
hfm : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
h_norm : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖f x - b‖ ≤ ε
\u22a2 ‖∫ (a : X) in s, f a - b ∂μ‖ ≤ ε * (μ s).toReal
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
\u22a2 l.reverse.sublists' = map reverse l.sublists
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
H : ∀ (p : ℕ), ↑p = 0 → p = 0
x : ℕ
\u22a2 ↑x = 0 ↔ 0 ∣ x
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
H : ∀ (p : ℕ), ↑p = 0 → p = 0
x : ℕ
\u22a2 ↑x = 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
H : ¬∀ (p : ℕ), ↑p = 0 → p = 0
x : ℕ
H1 : ↑x = 0
H2 : ¬x % Nat.find ⋯ = 0
\u22a2 ↑(x % Nat.find ⋯) = 0
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
H : ¬∀ (p : ℕ), ↑p = 0 → p = 0
x : ℕ
H1 : Nat.find ⋯ ∣ x
\u22a2 ↑x = 0
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r✝ : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
r : β → β → Prop
inst✝ : IsTrans β r
f : ℕ → β
a : ℕ
h : ∀ (n : ℕ), a ≤ n → r (f n) (f (n + 1))
b c : ℕ
hab : a ≤ b
\u22a2 r (f b) (f b.succ)
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r✝ : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
r : β → β → Prop
inst✝ : IsTrans β r
f : ℕ → β
a : ℕ
h : ∀ (n : ℕ), a ≤ n → r (f n) (f (n + 1))
b c : ℕ
hab : a ≤ b
k : ℕ
b_lt_k : b.succ.le k
r_b_k : r (f b) (f k)
\u22a2 r (f b) (f k.succ)
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
X : Type u
α : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
inst✝ : PreconnectedSpace X
a b : X
f g : X → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
ha : f a ≤ g a
hb : g b ≤ f b
\u22a2 ∃ x, f x = g x
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
X : Type u
α : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
inst✝ : PreconnectedSpace X
a b : X
f g : X → α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
ha : f a ≤ g a
hb : g b ≤ f b
x : X
left✝ : x ∈ univ
hfg : f x ≤ g x
hgf : g x ≤ f x
\u22a2 ∃ x, f x = g x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/IsDiag.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n α
h : A.IsDiag
i j : n
\u22a2 diagonal A.diag i j = A i j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/IsDiag.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n α
h : A.IsDiag
i : n
\u22a2 diagonal A.diag i i = A i i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/IsDiag.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n α
h : A.IsDiag
i j : n
hij : i ≠ j
\u22a2 diagonal A.diag i j = A i j
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
E : Set α
δ δ' : ℝ
hδ₀ : 0 < δ'
hδδ' : δ < δ'
\u22a2 cthickening δ E ⊆ ⋃ x ∈ E, closedBall x δ'
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
E : Set α
δ δ' : ℝ
hδ₀ : 0 < δ'
hδδ' : δ < δ'
x : α
hx : x ∈ thickening δ' E
\u22a2 x ∈ ⋃ x ∈ E, closedBall x δ'
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
E : Set α
δ δ' : ℝ
hδ₀ : 0 < δ'
hδδ' : δ < δ'
x : α
hx : x ∈ thickening δ' E
y : α
hy₁ : y ∈ E
hy₂ : dist x y < δ'
\u22a2 x ∈ ⋃ x ∈ E, closedBall x δ'
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
m : ℤ
hm₀ : m ≠ 0
hm₁ : m ≠ 1
\u22a2 StrictConvexOn ℝ (Ioi 0) fun x => x ^ m
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
m : ℤ
hm₀ : m ≠ 0
hm₁ : m ≠ 1
\u22a2 ContinuousOn (fun x => x ^ m) (Ioi 0)
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
m : ℤ
hm₀ : m ≠ 0
hm₁ : m ≠ 1
\u22a2 ∀ x ∈ Ioi 0, 0 < deriv^[2] (fun x => x ^ m) x
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
m : ℤ
hm₀ : m ≠ 0
hm₁ : m ≠ 1
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
\u22a2 0 < deriv^[2] (fun x => x ^ m) x
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
m : ℤ
hm₀ : m ≠ 0
hm₁ : m ≠ 1
x : ℝ
hx : 0 < x
\u22a2 0 < deriv^[2] (fun x => x ^ m) x
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
m : ℤ
hm₀ : m ≠ 0
hm₁ : m ≠ 1
x : ℝ
hx : 0 < x
\u22a2 0 < (∏ i ∈ Finset.range 2, (↑m - ↑i)) * x ^ (m - ↑2)
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
m : ℤ
hm₀ : m ≠ 0
hm₁ : m ≠ 1
x : ℝ
hx : 0 < x
\u22a2 0 < ∏ i ∈ Finset.range 2, (↑m - ↑i)
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
m : ℤ
hm₀ : m ≠ 0
hm₁ : m ≠ 1
x : ℝ
hx : 0 < x
\u22a2 0 < ∏ i ∈ Finset.range 2, (m - ↑i)
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
m : ℤ
hm₀ : m ≠ 0
hm₁ : m ≠ 1
x : ℝ
hx : 0 < x
hm : m ∈ Ico 0 ↑2
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
m : ℤ
hm₀ : m ≠ 0
hm₁ : m ≠ 1
x : ℝ
hx : 0 < x
hm : m ∈ ↑(Finset.Ico 0 ↑2)
\u22a2 False
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
x✝² y z : α
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t✝ : Set α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
f : α → β
t : Set β
a : α
b : β
ε : ℝ≥0∞
x✝¹ : 0 < ε
δ : ℝ≥0∞
x✝ : 0 < δ
x : α
\u22a2 edist x a < δ → x ∈ s → edist (f x) b < ε ∧ f x ∈ t ↔ x ∈ s → edist x a < δ → f x ∈ t ∧ edist (f x) b < ε
-- Mathlib/Topology/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
l : List α
\u22a2 𝓝 (a :: l) = Seq.seq (List.cons <$> 𝓝 a) fun x => 𝓝 l
-- Mathlib/Data/Fintype/Lattice.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
\u22a2 ∃ x₀, ∀ (x : α), f x₀ ≤ f x
-- Mathlib/Data/Fintype/Lattice.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
val✝ : Fintype α
\u22a2 ∃ x₀, ∀ (x : α), f x₀ ≤ f x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
inst✝² : IsLocalAtSource P
X✝ Y✝ U V : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g : U ⟶ Y✝
inst✝¹ : IsOpenImmersion g
𝒰✝ : X✝.OpenCover
inst✝ : P.IsMultiplicative
hP : ∀ {X Y Z : Scheme} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z) [inst : IsOpenImmersion g], P (f ≫ g) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
\u22a2 P f ↔ ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), P (𝒰.pullbackHom f i)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
inst✝² : IsLocalAtSource P
X✝ Y✝ U V : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g : U ⟶ Y✝
inst✝¹ : IsOpenImmersion g
𝒰✝ : X✝.OpenCover
inst✝ : P.IsMultiplicative
hP : ∀ {X Y Z : Scheme} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z) [inst : IsOpenImmersion g], P (f ≫ g) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
i : (𝒰.pullbackCover f).J
\u22a2 P ((𝒰.pullbackCover f).map i ≫ f) ↔ P (𝒰.pullbackHom f i)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
inst✝² : IsLocalAtSource P
X✝ Y✝ U V : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g : U ⟶ Y✝
inst✝¹ : IsOpenImmersion g
𝒰✝ : X✝.OpenCover
inst✝ : P.IsMultiplicative
hP : ∀ {X Y Z : Scheme} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z) [inst : IsOpenImmersion g], P (f ≫ g) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
i : (𝒰.pullbackCover f).J
\u22a2 P (𝒰.pullbackHom f i ≫ 𝒰.map i) ↔ P (𝒰.pullbackHom f i)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
motive : (m : ℕ) → m ≤ k → Sort u_1
hmn : m ≤ n
hnk : n ≤ k
of_succ : (k_1 : ℕ) → (h : k_1 < k) → motive (k_1 + 1) h → motive k_1 ⋯
self : motive k ⋯
\u22a2 decreasingInduction of_succ self ⋯ = decreasingInduction (fun n_1 ih => of_succ n_1 ⋯) (decreasingInduction of_succ self hnk) hmn
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ane0 : ¬a = 0
x : α
hx : x ∈ Multiset.map (fun x => normalize x) (Classical.choose ⋯)
\u22a2 Prime x
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ane0 : ¬a = 0
y : α
hy : y ∈ Classical.choose ⋯
hx : normalize y ∈ Multiset.map (fun x => normalize x) (Classical.choose ⋯)
\u22a2 Prime (normalize y)
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ane0 : ¬a = 0
y : α
hy : y ∈ Classical.choose ⋯
hx : normalize y ∈ Multiset.map (fun x => normalize x) (Classical.choose ⋯)
\u22a2 Prime y
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q : ℚ
a b : ℤ
b0 : b ≠ 0
\u22a2 a /. b = 0 ↔ a = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Prorepresentability.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
A B : PointedGaloisObject F
f : A ⟶ B
φ : Aut B.obj
\u22a2 ∃ a, ((autGaloisSystem F).map f) a = φ
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Prorepresentability.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
A B : PointedGaloisObject F
f : A ⟶ B
φ : Aut B.obj
ψ : Aut A.obj
hψ : autMap f.val ψ = φ
\u22a2 ∃ a, ((autGaloisSystem F).map f) a = φ
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Prorepresentability.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
A B : PointedGaloisObject F
f : A ⟶ B
φ : Aut B.obj
ψ : Aut A.obj
hψ : autMap f.val ψ = φ
\u22a2 ((autGaloisSystem F).map f) ψ = φ
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Prorepresentability.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
A B : PointedGaloisObject F
f : A ⟶ B
φ : Aut B.obj
ψ : Aut A.obj
hψ : autMap f.val ψ = φ
\u22a2 (autMapHom f.val) ψ = φ
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/InducedMaps.lean
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
\u22a2 (π.map f).map p ≫ ⟦H.evalAt x₁⟧ = H.diagonalPath' p ∧ ⟦H.evalAt x₀⟧ ≫ (π.map g).map p = H.diagonalPath' p
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/InducedMaps.lean
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
\u22a2 (hcast ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map (prodToProdTopI (𝟙 (fromTop { down := 0 })) p) ≫ hcast ⋯) ≫ ⟦H.evalAt x₁⟧ = H.diagonalPath' p ∧ (hcast ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map (prodToProdTopI uhpath01 (𝟙 (fromTop x₀))) ≫ hcast ⋯) ≫ hcast ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map (prodToProdTopI (𝟙 (fromTop { down := 1 })) p) ≫ hcast ⋯ = H.diagonalPath' p
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/InducedMaps.lean
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
\u22a2 (hcast ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map (prodToProdTopI (𝟙 (fromTop { down := 0 })) p) ≫ hcast ⋯) ≫ hcast ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map (prodToProdTopI uhpath01 (𝟙 (fromTop (fromTop x₁).as))) ≫ hcast ⋯ = H.diagonalPath' p ∧ (hcast ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map (prodToProdTopI uhpath01 (𝟙 (fromTop x₀))) ≫ hcast ⋯) ≫ hcast ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map (prodToProdTopI (𝟙 (fromTop { down := 1 })) p) ≫ hcast ⋯ = H.diagonalPath' p
-- Mathlib/Data/Array/ExtractLemmas.lean
α : Type u
i s1 e2 e1 s2 : Nat
a : Array α
h : s1 + e2 ≤ e1
\u22a2 (a.extract s1 e1).extract s2 e2 = a.extract (s1 + s2) (s1 + e2)
-- Mathlib/Data/Array/ExtractLemmas.lean
α : Type u
i s1 e2 e1 s2 : Nat
a : Array α
h : s1 + e2 ≤ e1
\u22a2 ((a.extract s1 e1).extract s2 e2).size = (a.extract (s1 + s2) (s1 + e2)).size
-- Mathlib/Data/Array/ExtractLemmas.lean
α : Type u
i s1 e2 e1 s2 : Nat
a : Array α
h : s1 + e2 ≤ e1
\u22a2 ∀ (i : Nat) (hi₁ : i < ((a.extract s1 e1).extract s2 e2).size) (hi₂ : i < (a.extract (s1 + s2) (s1 + e2)).size), ((a.extract s1 e1).extract s2 e2)[i] = (a.extract (s1 + s2) (s1 + e2))[i]
-- Mathlib/NumberTheory/Ostrowski.lean
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
\u22a2 ∃! p, ∃ (hp : Fact (Nat.Prime p)), f.equiv (mulRingNorm_padic p)
-- Mathlib/NumberTheory/Ostrowski.lean
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p✝ : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p✝
hp1 : f ↑p✝ < 1
hmin✝ : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p✝ ≤ m
p : ℕ
hfp : 0 < f ↑p ∧ f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
\u22a2 ∃! p, ∃ (hp : Fact (Nat.Prime p)), f.equiv (mulRingNorm_padic p)
-- Mathlib/NumberTheory/Ostrowski.lean
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p✝ : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p✝
hp1 : f ↑p✝ < 1
hmin✝ : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p✝ ≤ m
p : ℕ
hfp : 0 < f ↑p ∧ f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
hprime : Nat.Prime p
\u22a2 ∃! p, ∃ (hp : Fact (Nat.Prime p)), f.equiv (mulRingNorm_padic p)
-- Mathlib/NumberTheory/Ostrowski.lean
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p✝ : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p✝
hp1 : f ↑p✝ < 1
hmin✝ : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p✝ ≤ m
p : ℕ
hfp : 0 < f ↑p ∧ f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
hprime : Nat.Prime p
hprime_fact : Fact (Nat.Prime p)
\u22a2 ∃! p, ∃ (hp : Fact (Nat.Prime p)), f.equiv (mulRingNorm_padic p)
-- Mathlib/NumberTheory/Ostrowski.lean
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p✝ : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p✝
hp1 : f ↑p✝ < 1
hmin✝ : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p✝ ≤ m
p : ℕ
hfp : 0 < f ↑p ∧ f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
hprime : Nat.Prime p
hprime_fact : Fact (Nat.Prime p)
t : ℝ
h : 0 < t ∧ f ↑p = ↑p ^ (-t)
\u22a2 ∃! p, ∃ (hp : Fact (Nat.Prime p)), f.equiv (mulRingNorm_padic p)
-- Mathlib/NumberTheory/Ostrowski.lean
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p✝ : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p✝
hp1 : f ↑p✝ < 1
hmin✝ : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p✝ ≤ m
p : ℕ
hfp : 0 < f ↑p ∧ f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
hprime : Nat.Prime p
hprime_fact : Fact (Nat.Prime p)
t : ℝ
h : 0 < t ∧ f ↑p = ↑p ^ (-t)
\u22a2 ∃! p, ∃ (h : Fact (Nat.Prime p)), ∃ c, 0 < c ∧ ∀ (n : ℕ), f ↑n ^ c = (mulRingNorm_padic p) ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/Ostrowski.lean
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p✝ : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p✝
hp1 : f ↑p✝ < 1
hmin✝ : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p✝ ≤ m
p : ℕ
hfp : 0 < f ↑p ∧ f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
hprime : Nat.Prime p
hprime_fact : Fact (Nat.Prime p)
t : ℝ
h : 0 < t ∧ f ↑p = ↑p ^ (-t)
\u22a2 (fun p => ∃ (h : Fact (Nat.Prime p)), ∃ c, 0 < c ∧ ∀ (n : ℕ), f ↑n ^ c = (mulRingNorm_padic p) ↑n) p ∧ ∀ (y : ℕ), (fun p => ∃ (h : Fact (Nat.Prime p)), ∃ c, 0 < c ∧ ∀ (n : ℕ), f ↑n ^ c = (mulRingNorm_padic p) ↑n) y → y = p
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : α
hx : ↑(f.restrict s) x ≠ 0
hxs : x ∈ s
x✝ : μ (↑(f.restrict s) ⁻¹' {↑(f.restrict s) x}) ≠ 0
\u22a2 ↑(f.restrict s) x ∈ f.range
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
b : α
hb : ↑f b = 0
\u22a2 ↑f b * μ (↑(f.restrict s) ⁻¹' {↑f b}) = ↑f b * μ (↑f ⁻¹' {↑f b} ∩ s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
b : α
hb : ¬↑f b = 0
\u22a2 ↑f b * μ (↑(f.restrict s) ⁻¹' {↑f b}) = ↑f b * μ (↑f ⁻¹' {↑f b} ∩ s)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
h : a ≠ 0
\u22a2 a / a = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t✝ t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] s.rnDeriv μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t✝ t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
f' : α → ℝ := AEStronglyMeasurable.mk f ⋯
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] s.rnDeriv μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t✝ t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
f' : α → ℝ := AEStronglyMeasurable.mk f ⋯
hadd' : s = t + μ.withDensityᵥ f'
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] s.rnDeriv μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t✝ t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
f' : α → ℝ := AEStronglyMeasurable.mk f ⋯
hadd' : s = t + μ.withDensityᵥ f'
this : s.HaveLebesgueDecomposition μ
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] s.rnDeriv μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t✝ t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
f' : α → ℝ := AEStronglyMeasurable.mk f ⋯
hadd' : s = t + μ.withDensityᵥ f'
this : s.HaveLebesgueDecomposition μ
\u22a2 μ.withDensityᵥ (s.rnDeriv μ) = μ.withDensityᵥ f
-- Mathlib/Algebra/Quandle.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Rack R✝
R : Type u_2
inst✝ : Rack R
x y z : R
\u22a2 x ◃ y ◃ z = (x ◃ y) ◃ z ↔ x ◃ z = z
-- Mathlib/Algebra/Quandle.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Rack R✝
R : Type u_2
inst✝ : Rack R
x y z : R
\u22a2 (x ◃ y) ◃ x ◃ z = (x ◃ y) ◃ z ↔ x ◃ z = z
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
\u22a2 M.charpolyRev.coeff 1 = -M.trace
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
h✝ : IsEmpty n
\u22a2 M.charpolyRev.coeff 1 = -M.trace
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
h✝ : Nonempty n
\u22a2 M.charpolyRev.coeff 1 = -M.trace
-- Mathlib/Data/Finset/PImage.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq β
f g : α →. β
inst✝² : (x : α) → Decidable (f x).Dom
inst✝¹ : (x : α) → Decidable (g x).Dom
s t : Finset α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
\u22a2 pimage f (s ∩ t) ⊆ pimage f s ∩ pimage f t
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
\u22a2 image2 f (insert a s) t = (fun b => f a b) '' t ∪ image2 f s t
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Bousfield.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X Y : D
f : X ⟶ Y
\u22a2 W (fun x => x ∈ Set.range F.obj) f ↔ IsIso (G.map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Bousfield.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X Y : D
f : X ⟶ Y
\u22a2 W (fun x => x ∈ Set.range F.obj) (f ≫ adj.unit.app Y) ↔ IsIso (G.map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Bousfield.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X Y : D
f : X ⟶ Y
\u22a2 W (fun x => x ∈ Set.range F.obj) (adj.unit.app X ≫ (G ⋙ F).map f) ↔ IsIso (G.map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Bousfield.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X Y : D
f : X ⟶ Y
\u22a2 IsIso ((G ⋙ F).map f) ↔ IsIso (G.map f)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/WithTop.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b : WithTop α
\u22a2 a * b = ⊤ ↔ a ≠ 0 ∧ b = ⊤ ∨ a = ⊤ ∧ b ≠ 0