ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Algebra/Semigroup.lean
M : Type u_1
inst✝² : Semigroup M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
continuous_mul_left : ∀ (r : M), Continuous fun x => x * r
s : Set M
snemp : s.Nonempty
s_compact : IsCompact s
s_add : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x * y ∈ s
M' : Type u_1 := { m // m ∈ s }
this✝² : Semigroup M' := Semigroup.mk ⋯
this✝¹ : CompactSpace M'
this✝ : Nonempty M'
this : ∀ (p : M'), Continuous fun x => x * p
m : M
hm : m ∈ s
idem : ⟨m, hm⟩ * ⟨m, hm⟩ = ⟨m, hm⟩
\u22a2 ∃ m ∈ s, m * m = m
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero α
a✝ b : α
m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
a : α
\u22a2 (a ^ m ∈ Set.range fun x => x ^ n) ↔ a ∈ Set.range fun x => x ^ n
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero α
a✝ b : α
m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
a : α
\u22a2 (∃ y c, y = c ^ m ∧ a = c ^ n) ↔ ∃ y, y ^ n = a
-- Mathlib/NumberTheory/GaussSum.lean
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ₁ : χ ≠ 1
hχ₂ : χ.IsQuadratic
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive
\u22a2 gaussSum χ ψ ^ 2 = χ (-1) * ↑(Fintype.card R)
-- Mathlib/NumberTheory/GaussSum.lean
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ₁ : χ ≠ 1
hχ₂ : χ.IsQuadratic
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive
\u22a2 gaussSum χ ψ * gaussSum χ ψ = gaussSum χ ψ * (gaussSum χ ψ⁻¹ * χ (-1))
-- Mathlib/NumberTheory/GaussSum.lean
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ₁ : χ ≠ 1
hχ₂ : χ.IsQuadratic
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive
\u22a2 gaussSum χ ψ = gaussSum χ ψ⁻¹ * χ (-1)
-- Mathlib/NumberTheory/GaussSum.lean
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ₁ : χ ≠ 1
hχ₂ : χ.IsQuadratic
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive
\u22a2 χ ↑(-1) * gaussSum χ (ψ.mulShift ↑(-1)) = χ (-1) * gaussSum χ (ψ.mulShift (-1))
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
\u22a2 Homotopic p q → Path.Homotopic (toLoop i p) (toLoop i q)
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
t : ↑I × ↑I
\u22a2 (homotopyTo i H) t ∈ Ω^ { j // j ≠ i } X x
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
\u22a2 Continuous fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
\u22a2 ∀ (x_1 : ↑I), { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ?refine_2 }.toFun (0, x_1) = (toLoop i p).toContinuousMap x_1
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
\u22a2 ∀ (x_1 : ↑I), { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ?refine_2 }.toFun (1, x_1) = (toLoop i q).toContinuousMap x_1
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
\u22a2 ∀ (t x_1 : ↑I), x_1 ∈ {0, 1} → { toFun := fun x_2 => { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ?refine_2, map_zero_left := ?refine_3, map_one_left := ?refine_4 }.toFun (t, x_2), continuous_toFun := ⋯ } x_1 = (toLoop i p).toContinuousMap x_1
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
\u22a2 ∀ (x_1 : ↑I), { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯ }.toFun (0, x_1) = (toLoop i p).toContinuousMap x_1
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
\u22a2 ∀ (x_1 : ↑I), { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯ }.toFun (1, x_1) = (toLoop i q).toContinuousMap x_1
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
\u22a2 ∀ (t x_1 : ↑I), x_1 ∈ {0, 1} → { toFun := fun x_2 => { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯, map_zero_left := ?refine_3, map_one_left := ?refine_4 }.toFun (t, x_2), continuous_toFun := ⋯ } x_1 = (toLoop i p).toContinuousMap x_1
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
x✝ : ↑I
y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I
\u22a2 H ((0, x✝).1, (Cube.insertAt i) ((0, x✝).2, y✝)) = p ((Cube.insertAt i) (x✝, y✝))
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
x✝ : ↑I
y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I
\u22a2 H ((1, x✝).1, (Cube.insertAt i) ((1, x✝).2, y✝)) = q ((Cube.insertAt i) (x✝, y✝))
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
\u22a2 ∀ (t x_1 : ↑I), x_1 ∈ {0, 1} → { toFun := fun x_2 => { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯, map_zero_left := ⋯, map_one_left := ⋯ }.toFun (t, x_2), continuous_toFun := ⋯ } x_1 = (toLoop i p).toContinuousMap x_1
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
t y : ↑I
yH : y ∈ {0, 1}
y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I
\u22a2 ({ toFun := fun x_1 => { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯, map_zero_left := ⋯, map_one_left := ⋯ }.toFun (t, x_1), continuous_toFun := ⋯ } y) y✝ = ((toLoop i p).toContinuousMap y) y✝
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
t y : ↑I
yH : y ∈ {0, 1}
y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I
\u22a2 H ((t, y).1, (Cube.insertAt i) ((t, y).2, y✝)) = ((toLoop i p).toContinuousMap y) y✝
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
t y : ↑I
yH : y ∈ {0, 1}
y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I
\u22a2 (Cube.insertAt i) ((t, y).2, y✝) ∈ Cube.boundary N
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
t y : ↑I
yH : y ∈ {0, 1}
y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I
\u22a2 (Cube.insertAt i) ((t, y).2, y✝) i = 0 ∨ (Cube.insertAt i) ((t, y).2, y✝) i = 1
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
t y : ↑I
yH : y ∈ {0, 1}
y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I
\u22a2 ((t, y).2, y✝).1 = 0 ∨ ((t, y).2, y✝).1 = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
f✝ g✝ : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f g : α → β
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
this✝¹ : MeasurableSpace (β × β) := borel (β × β)
this✝ : BorelSpace (β × β)
\u22a2 MeasurableSet {a | f a < g a}
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a b c : EReal
\u22a2 a * (b * c⁻¹) = a * b * c⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Group/Semiconj/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a x y : G
\u22a2 SemiconjBy a x⁻¹ y⁻¹ ↔ SemiconjBy a x y
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* N
h : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)
y : ↥S
z : N
H : f ↑y * z = 1
\u22a2 ↑((IsUnit.liftRight (f.restrict S) h) y)⁻¹ = z
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* N
h : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)
y : ↥S
z : N
H : f ↑y * z = 1
\u22a2 ↑1 = f ↑y * z
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
γ : Type u_2
s : TopologicalSpace β
B₁ : Set (Set α)
B₂ : Set (Set β)
h₁ : IsTopologicalBasis B₁
h₂ : IsTopologicalBasis B₂
f₁ : γ → α
f₂ : γ → β
\u22a2 IsTopologicalBasis (image2 (fun x x_1 => f₁ ⁻¹' x ∩ f₂ ⁻¹' x_1) B₁ B₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : Cᵒᵖ ≌ Dᵒᵖ
X : C
\u22a2 e.functor.unop.map ((NatIso.unop e.unitIso).symm.hom.app X) ≫ (NatIso.unop e.counitIso).symm.hom.app (e.functor.unop.obj X) = 𝟙 (e.functor.unop.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : Cᵒᵖ ≌ Dᵒᵖ
X : C
\u22a2 (e.functor.unop.map ((NatIso.unop e.unitIso).symm.hom.app X) ≫ (NatIso.unop e.counitIso).symm.hom.app (e.functor.unop.obj X)).op = (𝟙 (e.functor.unop.obj X)).op
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 a ∆ (b ∆ c) = a ⊓ (b ⊓ c ⊔ bᶜ ⊓ cᶜ) ⊔ (b ⊓ cᶜ ⊔ c ⊓ bᶜ) ⊓ aᶜ
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 a ⊓ (b ⊓ c ⊔ bᶜ ⊓ cᶜ) ⊔ (b ⊓ cᶜ ⊔ c ⊓ bᶜ) ⊓ aᶜ = a ⊓ b ⊓ c ⊔ a ⊓ bᶜ ⊓ cᶜ ⊔ b ⊓ cᶜ ⊓ aᶜ ⊔ c ⊓ bᶜ ⊓ aᶜ
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
n : ℕ
\u22a2 ↑n.succ = succ ↑n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
n : ℕ
\u22a2 ↑n + 1 = succ ↑n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
n : ℕ
\u22a2 ↑n < ↑n + 1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
n : ℕ
\u22a2 ↑n < ↑n.succ
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/ENat.lean
n : ℕ∞
\u22a2 1 ≤ ↑n ↔ 1 ≤ n
-- Mathlib/Algebra/Group/Invertible/Basic.lean
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b : α
inst✝ : Invertible b
h : Commute b a
\u22a2 ⅟b * a = ⅟b * (a * b * ⅟b)
-- Mathlib/Algebra/Group/Invertible/Basic.lean
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b : α
inst✝ : Invertible b
h : Commute b a
\u22a2 ⅟b * (a * b * ⅟b) = ⅟b * (b * a * ⅟b)
-- Mathlib/Algebra/Group/Invertible/Basic.lean
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b : α
inst✝ : Invertible b
h : Commute b a
\u22a2 ⅟b * (b * a * ⅟b) = a * ⅟b
-- Mathlib/Order/Iterate.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : StrictMono f
hg : Monotone g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n
\u22a2 f^[n] x ≤ g^[n] x ↔ f x ≤ g x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s t : Set α
hst : s ⊆ t
\u22a2 comap (fun x => (inclusion hst x.1, inclusion hst x.2)) (𝓤 ↑t) = 𝓤 ↑s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s t : Set α
hst : s ⊆ t
\u22a2 comap ((fun q => (↑q.1, ↑q.2)) ∘ fun x => (inclusion hst x.1, inclusion hst x.2)) (𝓤 α) = comap (fun q => (↑q.1, ↑q.2)) (𝓤 α)
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : BooleanAlgebra α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
n : ℕ
h𝒜 : Set.Sized n ↑𝒜
s : Finset α
hs : s ∈ 𝒜
\u22a2 sᶜ.card = Fintype.card α - n
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f✝ g : α → Multiset β
f : α → β
\u22a2 (bind 0 fun x => {f x}) = map f 0
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f✝ g : α → Multiset β
f : α → β
\u22a2 ∀ (a : α) (s : Multiset α), (s.bind fun x => {f x}) = map f s → ((a ::ₘ s).bind fun x => {f x}) = map f (a ::ₘ s)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X✝ : C
S : Sieve X✝
R : Presieve X✝
E : Aᵒᵖ
π : (S.arrows.diagram.op ⋙ P).cones.obj E
X Y : C
f : X ⟶ X✝
g : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
\u22a2 (fun Y f h => π.app (op { obj := Over.mk f, property := h })) Y (g ≫ f) ⋯ = (P ⋙ coyoneda.obj E).map g.op ((fun Y f h => π.app (op { obj := Over.mk f, property := h })) X f hf)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X✝ : C
S : Sieve X✝
R : Presieve X✝
E : Aᵒᵖ
π : (S.arrows.diagram.op ⋙ P).cones.obj E
X Y : C
f : X ⟶ X✝
g : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
\u22a2 𝟙 ((unop ((Functor.const S.arrows.categoryᵒᵖ).op.obj E)).obj (op { obj := Over.mk (g ≫ f), property := ⋯ })) ≫ (fun Y f h => π.app (op { obj := Over.mk f, property := h })) Y (g ≫ f) ⋯ = (P ⋙ coyoneda.obj E).map g.op ((fun Y f h => π.app (op { obj := Over.mk f, property := h })) X f hf)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X✝ : C
S : Sieve X✝
R : Presieve X✝
E : Aᵒᵖ
π : (S.arrows.diagram.op ⋙ P).cones.obj E
X Y : C
f : X ⟶ X✝
g : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
\u22a2 𝟙 (unop E) ≫ π.app (op { obj := Over.mk (g ≫ f), property := ⋯ }) = π.app (op { obj := Over.mk f, property := hf }) ≫ P.map g.op
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : { x // x.SieveCompatible }
f f' : S.arrows.categoryᵒᵖ
g : f ⟶ f'
\u22a2 (unop ((Functor.const S.arrows.categoryᵒᵖ).op.obj E)).map g ≫ (fun f => ↑x (unop f).obj.hom ⋯) f' = (fun f => ↑x (unop f).obj.hom ⋯) f ≫ (S.arrows.diagram.op ⋙ P).map g
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : { x // x.SieveCompatible }
f f' : S.arrows.categoryᵒᵖ
g : f ⟶ f'
\u22a2 (unop ((Functor.const S.arrows.categoryᵒᵖ).op.obj E)).map g ≫ (fun f => ↑x (unop f).obj.hom ⋯) f' = ↑x (g.unop.left ≫ (unop f).obj.hom) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : { x // x.SieveCompatible }
f f' : S.arrows.categoryᵒᵖ
g : f ⟶ f'
\u22a2 𝟙 (unop E) ≫ ↑x (unop f').obj.hom ⋯ = ↑x (g.unop.left ≫ (unop f).obj.hom) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : { x // x.SieveCompatible }
f f' : S.arrows.categoryᵒᵖ
g : f ⟶ f'
\u22a2 ↑x (unop f').obj.hom ⋯ = ↑x (g.unop.left ≫ (unop f).obj.hom) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : { x // x.SieveCompatible }
f f' : S.arrows.categoryᵒᵖ
g : f ⟶ f'
\u22a2 g.unop.left ≫ (unop f).obj.hom = (unop f').obj.hom
-- Mathlib/InformationTheory/Hamming.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y : (i : ι) → β i
\u22a2 hammingDist x y = 0 → x = y
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
a b : Ordinal.{u_1}
m n : ℕ
ha : ↑m < ω
hb : ↑n < ω
\u22a2 ↑m * ↑n < ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
a b : Ordinal.{u_1}
m n : ℕ
ha : ↑m < ω
hb : ↑n < ω
\u22a2 ↑(m * n) < ω
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≤ b
\u22a2 Icc a b \ Ioc a b = {a}
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Div G✝
inst✝³ : ContinuousDiv G✝
G : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousSub G
b c : G
f : α → G
l : Filter α
\u22a2 Tendsto (fun x => f x - b) l (𝓝 (c - b)) ↔ Tendsto f l (𝓝 c)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Div G✝
inst✝³ : ContinuousDiv G✝
G : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousSub G
b c : G
f : α → G
l : Filter α
h : Tendsto (fun x => f x - b) l (𝓝 (c - b))
\u22a2 Tendsto f l (𝓝 c)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p : P
\u22a2 Coplanar k (insert p s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p : P
this : FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)
\u22a2 Coplanar k (insert p s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p : P
this : FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)
\u22a2 finrank k ↥(vectorSpan k (insert p s)) ≤ 2
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : (i : ι) → κ i → Set α
\u22a2 ⋃ i, ⋃ j, s i j = univ ↔ ∀ (a : α), ∃ i j, a ∈ s i j
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
\u22a2 p1 𝒰 f g ≫ f = p2 𝒰 f g ≫ g
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
\u22a2 ∀ (b : (gluing 𝒰 f g).diagram.R), Multicoequalizer.π (gluing 𝒰 f g).diagram b ≫ p1 𝒰 f g ≫ f = Multicoequalizer.π (gluing 𝒰 f g).diagram b ≫ p2 𝒰 f g ≫ g
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝ : Infinite α
s : Set β
f : α → β
hi : Injective f
hf : ∀ (x : α), f x ∈ s
\u22a2 s.Infinite
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝ : Infinite α
s : Set β
f : α → β
hi : Injective f
hf : range f ⊆ s
\u22a2 s.Infinite
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q✝ : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational (-x)
x✝ : x ∈ Set.range Rat.cast
q : ℚ
hx : ↑q = x
\u22a2 ↑(-q) = -x
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a b : EReal
h : a ≤ -b
\u22a2 b ≤ -a
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ
\u22a2 UnifTight (-f) p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ
\u22a2 ∀ ⦃ε : ℝ≥0⦄, 0 < ε → ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Lemmas.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
n : ℕ
a b : R
h : ↑n * a = ↑n * b
w : n ≠ 0
\u22a2 a = b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
\u22a2 ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
\u22a2 ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun e => ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
\u22a2 ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun e => ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < 1
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
h''i : AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
\u22a2 IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ