ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Asymptotics.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
hf : f =O[⊤] g
hg : IntegrableAtFilter g ⊤ μ
\u22a2 IntegrableAtFilter f ⊤ μ
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/HomologicalFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.45590, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
\u22a2 (F.shift n₀).map T.mor₂ ≫ F.shiftMap T.mor₃ n₀ n₁ ⋯ = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Int.lean
u v : ℤ
\u22a2 u * v = 1 ↔ u = 1 ∧ v = 1 ∨ u = -1 ∧ v = -1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
\u22a2 iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg ⊆ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
\u22a2 s ∩ ⋃ i, notConvergentSeq f g i (notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg i) ⊆ s
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.230696}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : t ⊆ f '' s
\u22a2 lift.{u, v} #↑t ≤ lift.{v, u} #↑{x | x ∈ s ∧ f x ∈ t}
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.230696}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : t ⊆ range fun x => f ↑x
\u22a2 lift.{u, v} #↑t ≤ lift.{v, u} #↑{x | x ∈ s ∧ f x ∈ t}
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.230696}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : t ⊆ range fun x => f ↑x
\u22a2 lift.{v, u} #↑{x | x ∈ s ∧ f x ∈ t} = lift.{v, u} #↑((fun x => f ↑x) ⁻¹' t)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.230696}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : t ⊆ range fun x => f ↑x
\u22a2 lift.{v, u} #↑{x | f ↑x ∈ t} = lift.{v, u} #↑((fun x => f ↑x) ⁻¹' t)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n k : ℕ
\u22a2 (⇑derivative)^[k] (X ^ n) = C ↑(n.descFactorial k) * X ^ (n - k)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝² : MeasurableSpace α✝
α : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_6
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0
μ : Measure α
h : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
\u22a2 AEMeasurable (fun x => ∑' (i : ι), f i x) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝² : MeasurableSpace α✝
α : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_6
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0
μ : Measure α
h : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
\u22a2 AEMeasurable (fun x => (∑' (b : ι), ↑(f b x)).toNNReal) μ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ
\u22a2 WeierstrassCurve.expCoeff (2 * (m + 3)) = WeierstrassCurve.expCoeff (m + 2) ^ 2 * WeierstrassCurve.expCoeff (m + 3) * WeierstrassCurve.expCoeff (m + 5) - WeierstrassCurve.expCoeff (m + 1) * WeierstrassCurve.expCoeff (m + 3) * WeierstrassCurve.expCoeff (m + 4) ^ 2 ∧ WeierstrassCurve.expCoeff (2 * (m + 2) + 1) = (WeierstrassCurve.expCoeff (m + 4) * WeierstrassCurve.expCoeff (m + 2) ^ 3 * if Even m then 4 ^ 2 else 1) - WeierstrassCurve.expCoeff (m + 1) * WeierstrassCurve.expCoeff (m + 3) ^ 3 * if Even m then 1 else 4 ^ 2
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ
\u22a2 2 * (↑m + 3) / 2 = (((if Even m then (↑m + 2) / 2 else ↑m + 2) ^ 2 * if Even m then ↑m + 3 else (↑m + 3) / 2) * if Even m then ↑m + 5 else (↑m + 5) / 2) - ((if Even m then ↑m + 1 else (↑m + 1) / 2) * if Even m then ↑m + 3 else (↑m + 3) / 2) * (if Even m then (↑m + 4) / 2 else ↑m + 4) ^ 2 ∧ 2 * (↑m + 2) + 1 = ((if Even m then (↑m + 4) / 2 else ↑m + 4) * (if Even m then (↑m + 2) / 2 else ↑m + 2) ^ 3 * if Even m then 16 else 1) - (if Even m then ↑m + 1 else (↑m + 1) / 2) * (if Even m then ↑m + 3 else (↑m + 3) / 2) ^ 3 * if Even m then 1 else 16
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X X' Y Y' : C
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
\u22a2 (f ⊗ g) ≫ (β_ Y Y').hom = (β_ X X').hom ≫ (g ⊗ f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X X' Y Y' : C
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
\u22a2 (X ◁ g ≫ f ▷ Y') ≫ (β_ Y Y').hom = (β_ X X').hom ≫ g ▷ X ≫ Y' ◁ f
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
b a✝ : α
\u22a2 a✝ ∈ (Iic b).erase b ↔ a✝ ∈ Iio b
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shatter.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
\u22a2 s ∈ 𝒜.shatterer ↔ 𝒜.Shatters s
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shatter.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
h : 𝒜.Shatters s
\u22a2 s ∈ 𝒜.biUnion powerset
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shatter.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
h : 𝒜.Shatters s
\u22a2 ∃ a ∈ 𝒜, s ⊆ a
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : PosNum
\u22a2 ↑n.bit0.size = (↑n.bit0).size
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : PosNum
\u22a2 (↑n).size + 1 = (2 * ↑n).size
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : PosNum
\u22a2 Nat.bit false ↑n ≠ 0
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : PosNum
this : 0 < ↑n
\u22a2 Nat.bit false ↑n ≠ 0
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : PosNum
\u22a2 ↑n.bit1.size = (↑n.bit1).size
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : PosNum
\u22a2 (↑n).size + 1 = (2 * ↑n + 1).size
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : PosNum
\u22a2 Nat.bit true ↑n ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.217781, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
hk : S.f ≫ k = 0
inst✝ : S.HasRightHomology
x : S.X₃ ⟶ A
hx : k = S.g ≫ x
\u22a2 S.f ≫ k = 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/GroupWithZero.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace G₀
inst✝¹ : GroupWithZero G₀
inst✝ : ContinuousMul G₀
a : G₀
ha : a ≠ 0
\u22a2 map (fun x => a * x) (𝓝 1) = 𝓝 a
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R₁ : Type u_4
M₁ : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_6
K : Type u_7
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
r : S
x y : M
\u22a2 (B x) (r • y) = r • (B x) y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Deriv.lean
x✝ y z x : ℝ
\u22a2 |0| ≤ |x|
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Indicator.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroOneClass M₀
s t : Set ι
i x✝ : ι
\u22a2 (s ∩ t).indicator 1 x✝ = (s.indicator 1 * t.indicator 1) x✝
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Indicator.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroOneClass M₀
s t : Set ι
i x✝ : ι
\u22a2 (s ∩ t).indicator 1 x✝ = (s ∩ t).indicator (fun j => 1) x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} D
inst✝¹ : Preadditive D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M : Mat_ C
i : M.ι
\u22a2 (F.map (biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.lift (F.mapBicone (biproduct.bicone fun i => (embedding C).obj (M.X i))).π) ≫ biproduct.π (fun i => F.obj ((embedding C).obj (M.X i))) i = F.map ((biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.π (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) i)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} D
inst✝¹ : Preadditive D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M : Mat_ C
i : M.ι
\u22a2 F.map (biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.lift (F.mapBicone (biproduct.bicone fun i => (embedding C).obj (M.X i))).π ≫ biproduct.π (fun i => F.obj ((embedding C).obj (M.X i))) i = F.map fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} D
inst✝¹ : Preadditive D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M : Mat_ C
i : M.ι
\u22a2 F.map ((biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ (biproduct.bicone fun i => (embedding C).obj (M.X i)).π i) = F.map fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
p : α → Option α
l : List α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → p a = none
\u22a2 replaceF p l = l
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
\u22a2 ↑(stereoInvFun hv (stereoToFun v ↑x)) = ↑x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
\u22a2 (‖(2 / (1 - ((innerSL ℝ) v) ↑x)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - ((innerSL ℝ) v) ↑x)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x) + (‖(2 / (1 - ((innerSL ℝ) v) ↑x)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - ((innerSL ℝ) v) ↑x)) • (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x‖ ^ 2 - 4) • v = ↑x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ := (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x
\u22a2 (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - a)) • y) + (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 - 4) • v = ↑x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ := (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x
split : ↑x = a • v + ↑y
\u22a2 (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - a)) • y) + (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 - 4) • v = ↑x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ := (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x
split : ↑x = a • v + ↑y
hvy : ⟪v, ↑y⟫_ℝ = 0
\u22a2 (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - a)) • y) + (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 - 4) • v = ↑x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ := (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x
split : ↑x = a • v + ↑y
hvy : ⟪v, ↑y⟫_ℝ = 0
pythag : 1 = a ^ 2 + ‖y‖ ^ 2
\u22a2 (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - a)) • y) + (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 - 4) • v = ↑x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ := (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x
split : ↑x = a • v + ↑y
hvy : ⟪v, ↑y⟫_ℝ = 0
pythag : 1 = a ^ 2 + ‖y‖ ^ 2
ha : 1 - a ≠ 0
\u22a2 (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - a)) • y) + (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 - 4) • v = ↑x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
x : ↑(sphere 0 1)
hx : ↑x ≠ v
a : ℝ := ((innerSL ℝ) v) ↑x
y : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ := (orthogonalProjection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) ↑x
split : ↑x = a • v + ↑y
hvy : ⟪v, ↑y⟫_ℝ = 0
pythag : 1 = a ^ 2 + ‖y‖ ^ 2
ha : 1 - a ≠ 0
h₁ : (2 ^ 2 / (1 - a) ^ 2 * ‖y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ * 4 * (2 / (1 - a)) = 1
\u22a2 (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑((2 / (1 - a)) • y) + (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖(2 / (1 - a)) • y‖ ^ 2 - 4) • v = ↑x
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
inst✝¹ : PreservesColimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
s : Cocone D
j : J
\u22a2 T.map (c.ι.app j) ≫ T.map (t.desc (T.forget.mapCocone s)) ≫ s.pt.a = T.map (c.ι.app j) ≫ lambda c t ≫ t.desc (T.forget.mapCocone s)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
inst✝¹ : PreservesColimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
s : Cocone D
j : J
\u22a2 T.map ((T.forget.mapCocone s).ι.app j) ≫ s.pt.a = (D.obj j).a ≫ (T.forget.mapCocone s).ι.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J✝
D : J✝ ⥤ T.Algebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
inst✝¹ : PreservesColimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
s : Cocone D
m : (liftedCocone c t).pt ⟶ s.pt
J : ∀ (j : J✝), (liftedCocone c t).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
\u22a2 m.f = ((fun s => { f := t.desc (T.forget.mapCocone s), h := ⋯ }) s).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J✝
D : J✝ ⥤ T.Algebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
inst✝¹ : PreservesColimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
s : Cocone D
m : (liftedCocone c t).pt ⟶ s.pt
J : ∀ (j : J✝), (liftedCocone c t).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
\u22a2 ∀ (j : J✝), c.ι.app j ≫ m.f = c.ι.app j ≫ ((fun s => { f := t.desc (T.forget.mapCocone s), h := ⋯ }) s).f
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
\u22a2 DirectSum.Decomposition.decompose' = fun φ => (DirectSum.mk (fun i => ↥(homogeneousSubmodule σ R i)) (Finset.image Finsupp.degree φ.support)) fun m => ⟨(homogeneousComponent ↑m) φ, ⋯⟩
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
\u22a2 DirectSum.Decomposition.decompose' = fun φ => (DirectSum.mk (fun i => ↥(homogeneousSubmodule σ R i)) (Finset.image (⇑(weight 1)) φ.support)) fun m => ⟨(homogeneousComponent ↑m) φ, ⋯⟩
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
h : a < b * c
\u22a2 a * c⁻¹ < b
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
h : b ≤ a * c⁻¹
\u22a2 b * c ≤ a
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Quaternion.lean
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : ZMod (2 * n)
\u22a2 orderOf (a i) = 2 * n / (2 * n).gcd i.val
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Quaternion.lean
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : ZMod (2 * n)
\u22a2 orderOf (a ↑i.val) = 2 * n / (2 * n).gcd i.val
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/SMul.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : AddCommMonoid β
inst✝ : Module α β
a b : α
s : Set β
x : β
hx : x ∈ s
\u22a2 (fun x => (a + b) • x) x ∈ a • s + b • s
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f : Filter α
g : Filter β
\u22a2 f ×ˢ g = f.lift fun s => g.lift' fun t => s ×ˢ t
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
x : α
\u22a2 span {x} = ⊤ ↔ IsUnit x
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
x : α
y : β
hx : x ∈ e.source
hy : y ∈ e.target
h : x = ↑e.symm y
\u22a2 ↑e x = y
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
x : α
y : β
hx : x ∈ e.source
hy : y ∈ e.target
h : ↑e x = y
\u22a2 x = ↑e.symm y
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type v₁
inst✝² : Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
\u22a2 F.Final ↔ (∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)) ∧ ∀ {d : D} {c : C} (s s' : d ⟶ F.obj c), ∃ c' t, s ≫ F.map t = s' ≫ F.map t
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type v₁
inst✝² : Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
hF : F.Final
\u22a2 ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type v₁
inst✝² : Category.{v₁, v₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
hF : F.Final
\u22a2 ∀ {d : D} {c : C} (s s' : d ⟶ F.obj c), ∃ c' t, s ≫ F.map t = s' ≫ F.map t
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z✝ z₀ : ℂ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
h_z₀ : z₀ ∈ ball c R₁
g : ℂ → E := dslope f c
h_eq : ‖g z₀‖ = R₂ / R₁
z : ℂ
hz : z ∈ ball c R₁
h : ¬z = c
\u22a2 f z = (fun z => f c + (z - c) • g z₀) z
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z✝ z₀ : ℂ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
h_z₀ : z₀ ∈ ball c R₁
g : ℂ → E := dslope f c
h_eq : ‖g z₀‖ = R₂ / R₁
z : ℂ
hz : z ∈ ball c R₁
h : ¬z = c
h_R₁ : 0 < R₁
\u22a2 f z = (fun z => f c + (z - c) • g z₀) z
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z✝ z₀ : ℂ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
h_z₀ : z₀ ∈ ball c R₁
g : ℂ → E := dslope f c
h_eq : ‖g z₀‖ = R₂ / R₁
z : ℂ
hz : z ∈ ball c R₁
h : ¬z = c
h_R₁ : 0 < R₁
g_le_div : ∀ z ∈ ball c R₁, ‖g z‖ ≤ R₂ / R₁
\u22a2 f z = (fun z => f c + (z - c) • g z₀) z
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z✝ z₀ : ℂ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
h_z₀ : z₀ ∈ ball c R₁
g : ℂ → E := dslope f c
h_eq : ‖g z₀‖ = R₂ / R₁
z : ℂ
hz : z ∈ ball c R₁
h : ¬z = c
h_R₁ : 0 < R₁
g_le_div : ∀ z ∈ ball c R₁, ‖g z‖ ≤ R₂ / R₁
g_max : IsMaxOn (norm ∘ g) (ball c R₁) z₀
\u22a2 f z = (fun z => f c + (z - c) • g z₀) z
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z✝ z₀ : ℂ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
h_z₀ : z₀ ∈ ball c R₁
g : ℂ → E := dslope f c
h_eq : ‖g z₀‖ = R₂ / R₁
z : ℂ
hz : z ∈ ball c R₁
h : ¬z = c
h_R₁ : 0 < R₁
g_le_div : ∀ z ∈ ball c R₁, ‖g z‖ ≤ R₂ / R₁
g_max : IsMaxOn (norm ∘ g) (ball c R₁) z₀
g_diff : DifferentiableOn ℂ g (ball c R₁)
\u22a2 f z = (fun z => f c + (z - c) • g z₀) z
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z✝ z₀ : ℂ
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
h_z₀ : z₀ ∈ ball c R₁
g : ℂ → E := dslope f c
h_eq : ‖g z₀‖ = R₂ / R₁
z : ℂ
hz : z ∈ ball c R₁
h : ¬z = c
h_R₁ : 0 < R₁
g_le_div : ∀ z ∈ ball c R₁, ‖g z‖ ≤ R₂ / R₁
g_max : IsMaxOn (norm ∘ g) (ball c R₁) z₀
g_diff : DifferentiableOn ℂ g (ball c R₁)
this : g z = g z₀
\u22a2 f z = (fun z => f c + (z - c) • g z₀) z
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α : Type u_1
f : SignType → α
\u22a2 Set.range f = {f zero, f neg, f pos}
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α : Type u_1
f : SignType → α
\u22a2 ↑(Finset.image f {0, -1, 1}) = {f zero, f neg, f pos}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Mirror.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
\u22a2 p.mirror.leadingCoeff = p.trailingCoeff
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
L : List (List α)
i : ℕ
\u22a2 take (take i (map length L)).sum L.join = (take i L).join
-- Mathlib/Order/Interval/Set/WithBotTop.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
\u22a2 some ⁻¹' Ioi ⊥ = univ
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
ha : ¬IsMax a
\u22a2 Ico (succ a) b = Ioo a b
-- Mathlib/Data/Complex/Order.lean
r : ℝ
z : ℂ
hz : ↑r ≤ z
\u22a2 z = ↑z.re
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
\u22a2 a + c - (b + c) ≤ a - b
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
\u22a2 a + c ≤ b + (a - b) + c
-- Mathlib/Data/ZMod/Factorial.lean
n p : ℕ
h : n ≤ p
\u22a2 ↑((p - 1).descFactorial n) = (-1) ^ n * ↑n !
-- Mathlib/Data/ZMod/Factorial.lean
n p : ℕ
h : n ≤ p
\u22a2 ↑(∏ i ∈ range n, (p - 1 - i)) = (-1) ^ n * ↑(∏ x ∈ range n, (x + 1))
-- Mathlib/Data/ZMod/Factorial.lean
n p : ℕ
h : n ≤ p
\u22a2 ∏ i ∈ range n, ↑(p - 1 - i) = (-1) ^ n * ∏ i ∈ range n, ↑(i + 1)
-- Mathlib/Data/ZMod/Factorial.lean
n p : ℕ
h : n ≤ p
\u22a2 ∏ i ∈ range n, ↑(p - 1 - i) = (-1) ^ (range n).card * ∏ i ∈ range n, ↑(i + 1)
-- Mathlib/Data/ZMod/Factorial.lean
n p : ℕ
h : n ≤ p
\u22a2 ∏ i ∈ range n, ↑(p - 1 - i) = ∏ a ∈ range n, -1 * ↑(a + 1)