ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
i : Nat
xs : List α
p : α → Bool
w : findIdx? p xs = some i
\u22a2 match xs.get? i with | some a => p a = true | none => false = true
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : AEMeasurable f μ
\u22a2 ∃ x, f x ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c✝ : Cardinal.{?u.246298}
a b c : Cardinal.{u}
\u22a2 a ^< b ≤ c ↔ ∀ x < b, a ^ x ≤ c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c✝ : Cardinal.{?u.246298}
a b c : Cardinal.{u}
\u22a2 (∀ (i : ↑(Iio b)), a ^ ↑i ≤ c) ↔ ∀ x < b, a ^ x ≤ c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c✝ : Cardinal.{?u.246298}
a b c : Cardinal.{u}
\u22a2 BddAbove (range fun c => a ^ ↑c)
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderTop α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
inst✝ : DecidableEq β
c : α
\u22a2 c ≤ (s₁ ∪ s₂).inf f ↔ c ≤ s₁.inf f ⊓ s₂.inf f
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.105888, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ : Triangle Cᵒᵖ
φ : T₁ ⟶ T₂
\u22a2 ((shiftFunctor C 1).map φ.hom₃.unop).op ≫ ((shiftFunctor C 1).map T₂.mor₃.unop).op ≫ (opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app T₂.obj₁ = (((shiftFunctor C 1).map T₁.mor₃.unop).op ≫ (opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app T₁.obj₁) ≫ φ.hom₁
-- Mathlib/Topology/Algebra/GroupWithZero.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝⁵ : GroupWithZero G₀
inst✝⁴ : TopologicalSpace G₀
inst✝³ : HasContinuousInv₀ G₀
inst✝² : ContinuousMul G₀
f g : α → G₀
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
a : α
hf : Continuous f
hg : Continuous g
h₀ : ∀ (x : α), g x ≠ 0
\u22a2 Continuous fun x => f x / g x
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
i : ι
x : H
\u22a2 (of i) ((φ i) x) = (base φ) x
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n : ℤ
ha : a ≠ 0
h : m * a ∣ n * a
\u22a2 a * m ∣ a * n
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, AEMeasurable f μ) → AEMeasurable l.prod μ
hl : ∀ f_1 ∈ f :: l, AEMeasurable f_1 μ
\u22a2 AEMeasurable (f :: l).prod μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, AEMeasurable f μ) → AEMeasurable l.prod μ
hl : AEMeasurable f μ ∧ ∀ x ∈ l, AEMeasurable x μ
\u22a2 AEMeasurable (f :: l).prod μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, AEMeasurable f μ) → AEMeasurable l.prod μ
hl : AEMeasurable f μ ∧ ∀ x ∈ l, AEMeasurable x μ
\u22a2 AEMeasurable (f * l.prod) μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinMap R M R
Q : QuadraticMap R M N
h : LinearMap.IsSymm B₁
x y : M
\u22a2 (((associatedHom S) B₁.toQuadraticMap) x) y = (B₁ x) y
-- Mathlib/Topology/Category/CompHausLike/Limits.lean
P : TopCat → Prop
inst✝ : HasExplicitFiniteCoproducts P
hP' : ∀ ⦃X Y B : CompHausLike P⦄ (f : X ⟶ B) (g : Y ⟶ B), OpenEmbedding ⇑f → HasExplicitPullback f g
X✝ Y✝ Z✝ : CompHausLike P
f : Z✝ ⟶ X✝ ⨿ Y✝
\u22a2 OpenEmbedding ⇑coprod.inl
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ a b : α
\u22a2 mabs (a * b) ≤ mabs a * mabs b
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ a b : α
\u22a2 a * b ≤ mabs a * mabs b
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ a b : α
\u22a2 (a * b)⁻¹ ≤ mabs a * mabs b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n i : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]
\u22a2 (erase n { toFinsupp := toFinsupp✝ }).coeff i = if i = n then 0 else { toFinsupp := toFinsupp✝ }.coeff i
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n i : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]
\u22a2 (Finsupp.erase n toFinsupp✝) i = if i = n then 0 else toFinsupp✝ i
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
\u22a2 c - a - (c - b) ≤ b - a
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
\u22a2 c ≤ c - b + (a + (b - a))
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ c x a : α
\u22a2 Injective (uIcc a)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Caratheodory.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s
\u22a2 (minCardFinsetOfMemConvexHull hx).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Caratheodory.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s
\u22a2 ((convexHull 𝕜) ↑(minCardFinsetOfMemConvexHull hx)).Nonempty
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Order/Field.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
m n✝ : ℕ
\u22a2 ↑(m / (n✝ + 1)) ≤ ↑m / ↑(n✝ + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Order/Field.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
m n✝ : ℕ
\u22a2 m / (n✝ + 1) * (n✝ + 1) ≤ m
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Order/Field.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
m n✝ : ℕ
\u22a2 0 < ↑(n✝ + 1)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x✝ y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
x : V
hx : x ∈ (p.takeUntil u h).support
\u22a2 x ∈ p.support
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x✝ y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
x : V
hx : x ∈ (p.takeUntil u h).support
\u22a2 x ∈ (p.takeUntil u h).support ∨ x ∈ (p.dropUntil u h).support
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
\u22a2 σ.cycleType.sum = σ.support.card
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
X : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
f : X → E
hf : HasCompactSupport f
h2f : AEStronglyMeasurable f μ
C : ℝ
hfC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
\u22a2 Memℒp f p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
X : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
f : X → E
hf : HasCompactSupport f
h2f : AEStronglyMeasurable f μ
C : ℝ
hfC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
this : Memℒp f ⊤ μ
\u22a2 Memℒp f p μ
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsCofilteredOrEmpty D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
\u22a2 IsCofilteredOrEmpty C
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsCofilteredOrEmpty D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
\u22a2 IsFilteredOrEmpty Cᵒᵖ
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Order.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : OrderedCommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a₁ a₂ : α
i✝ : ι
hsum : Multipliable g
hg : ∀ (i : ι), 1 ≤ g i
i : ι
hi : 1 < g i
\u22a2 1 < ∏' (i : ι), g i
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Order.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : OrderedCommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a₁ a₂ : α
i✝ : ι
hsum : Multipliable g
hg : ∀ (i : ι), 1 ≤ g i
i : ι
hi : 1 < g i
\u22a2 ∏' (x : ?m.49247), 1 < ∏' (i : ι), g i
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Order.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : OrderedCommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a₁ a₂ : α
i✝ : ι
hsum : Multipliable g
hg : ∀ (i : ι), 1 ≤ g i
i : ι
hi : 1 < g i
\u22a2 Type ?u.49244
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
f : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_succ_diff : SuccDiffBounded 2 fun x => 2 ^ x
\u22a2 (Summable fun k => 2 ^ k * f (2 ^ k)) ↔ Summable f
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
f : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_succ_diff : SuccDiffBounded 2 fun x => 2 ^ x
x✝ : ℕ
\u22a2 2 ^ x✝ = ↑(2 ^ (x✝ + 1)) - ↑(2 ^ x✝)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
\u22a2 wittStructureRat p Φ n * C (↑p ^ n) = (bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p Φ i ^ p ^ (n - i)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
this : xInTermsOfW p ℚ n * C (↑p ^ n) = X n - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)
\u22a2 wittStructureRat p Φ n * C (↑p ^ n) = (bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p Φ i ^ p ^ (n - i)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
this : (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ n * C (↑p ^ n)) = (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (X n - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i))
\u22a2 wittStructureRat p Φ n * C (↑p ^ n) = (bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p Φ i ^ p ^ (n - i)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
this : (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ n) * C (↑p ^ n) = (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (X n - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i))
\u22a2 wittStructureRat p Φ n * C (↑p ^ n) = (bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p Φ i ^ p ^ (n - i)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
\u22a2 (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (X n - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)) = (bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p Φ i ^ p ^ (n - i)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
\u22a2 (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ n)) Φ - (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)) = (bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) Φ - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p Φ i ^ p ^ (n - i)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
\u22a2 (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)) = ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p Φ i ^ p ^ (n - i)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
\u22a2 ∑ x ∈ Finset.range n, C ↑p ^ x * (bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ x) ^ p ^ (n - x) = ∑ x ∈ Finset.range n, C ↑p ^ x * wittStructureRat p Φ x ^ p ^ (n - x)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
\u22a2 #α < ℵ₀ ↔ Finite α
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Catalan.lean
x : Tree Unit
n : ℕ
\u22a2 x ∈ treesOfNumNodesEq n ↔ x.numNodes = n
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : AddGroup β
inst✝¹ : DistribMulAction α β
inst✝ : DecidableEq β
a : α
s : Finset α
t : Finset β
\u22a2 a • -t = -(a • t)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/Equalizers.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasBinaryCoproducts C
inst✝ : HasPushouts C
F : WalkingParallelPair ⥤ C
\u22a2 pushoutInl F = pushout.inr (coprod.desc (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.one)) (F.map WalkingParallelPairHom.left)) (coprod.desc (𝟙 (F.obj WalkingParallelPair.one)) (F.map WalkingParallelPairHom.right))
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
s✝ t s : Set α
\u22a2 (fun x => (x, x)) '' s = diagonal α ∩ s ×ˢ s
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t✝ : Set α
a✝ b a : α
t : Set α
h : a ∉ t
\u22a2 (insert a t).encard = t.encard + 1
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x : α
y : β
\u22a2 (x, y) ∈ (s₁ ∩ s₂) ×ˢ t ↔ (x, y) ∈ s₁ ×ˢ t ∩ s₂ ×ˢ t
-- Mathlib/Order/OrdContinuous.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
h : Injective f
x y : α
\u22a2 f x ≤ f y ↔ x ≤ y
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m✝ m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfg : μ.withDensity f = μ.withDensity g
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m✝ m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfg : μ.withDensity f = μ.withDensity g
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x✝ : μ s < ⊤
\u22a2 ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/InducedMaps.lean
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
p' : Path (fromTop x₀).as (fromTop x₁).as
\u22a2 (π.map g).map ⟦p'⟧ = hcast ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map (prodToProdTopI (𝟙 (fromTop { down := 1 })) ⟦p'⟧) ≫ hcast ⋯
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/InducedMaps.lean
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
p' : Path (fromTop x₀).as (fromTop x₁).as
\u22a2 ∀ (t : ↑I), g (p' t) = H.uliftMap (((Path.refl { down := 1 }).prod p') t)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/InducedMaps.lean
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
p' : Path (fromTop x₀).as (fromTop x₁).as
\u22a2 ∀ (t : ↑I), g (p' t) = H.uliftMap ((fun t => ((Path.refl { down := 1 }) t, p' t)) t)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/InducedMaps.lean
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
p' : Path (fromTop x₀).as (fromTop x₁).as
\u22a2 ∀ (t : ↑I), g (p' t) = H (((Path.refl { down := 1 }) t).down, p' t)
-- Mathlib/GroupTheory/NoncommPiCoprod.lean
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
f g : (i : ι) → N i
i : ι
y : N i
\u22a2 Finset.univ.noncommProd (fun j => (ϕ j) (Pi.mulSingle i y j)) ⋯ = (ϕ i) y
-- Mathlib/GroupTheory/NoncommPiCoprod.lean
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
f g : (i : ι) → N i
i : ι
y : N i
\u22a2 (insert i (Finset.univ.erase i)).noncommProd (fun j => (ϕ j) (Pi.mulSingle i y j)) ⋯ = (ϕ i) y
-- Mathlib/GroupTheory/NoncommPiCoprod.lean
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
f g : (i : ι) → N i
i : ι
y : N i
\u22a2 (ϕ i) (Pi.mulSingle i y i) * (Finset.univ.erase i).noncommProd (fun j => (ϕ j) (Pi.mulSingle i y j)) ⋯ = (ϕ i) y
-- Mathlib/GroupTheory/NoncommPiCoprod.lean
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
f g : (i : ι) → N i
i : ι
y : N i
\u22a2 (ϕ i) y * (Finset.univ.erase i).noncommProd (fun j => (ϕ j) (Pi.mulSingle i y j)) ⋯ = (ϕ i) y
-- Mathlib/GroupTheory/NoncommPiCoprod.lean
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
f g : (i : ι) → N i
i : ι
y : N i
\u22a2 (ϕ i) y * ?m ^ (Finset.univ.erase i).card = (ϕ i) y
-- Mathlib/GroupTheory/NoncommPiCoprod.lean
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
f g : (i : ι) → N i
i : ι
y : N i
\u22a2 M
-- Mathlib/GroupTheory/NoncommPiCoprod.lean
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
f g : (i : ι) → N i
i : ι
y : N i
\u22a2 ∀ x ∈ Finset.univ.erase i, (ϕ x) (Pi.mulSingle i y x) = ?m
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Deriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
x✝ : ℂ
\u22a2 logDeriv sin x✝ = x✝.cot
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subring/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S✝
inst✝ : Ring T
S : Set (Subring R)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
\u22a2 x ∈ ↑(sSup S) ↔ x ∈ ⋃ s ∈ S, ↑s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Chebyshev.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
x : R
n : ℤ
\u22a2 (algebraMap R A) (eval x (T R n)) = eval ((algebraMap R A) x) (T A n)
-- Mathlib/ModelTheory/ElementaryMaps.lean
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
f : M ↪ₑ[L] N
α : Type u_5
φ : L.Formula α
x : α → M
\u22a2 φ.Realize (⇑f ∘ x) ↔ φ.Realize x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z : ℝ
n✝ : ℕ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
y : ℝ
n : ℤ
\u22a2 x ^ (y + ↑n) = x ^ y * x ^ n
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
hf : f.LimZero
hg : g.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, |↑f j| < ε ∧ |↑g j| < ε
j : ℕ
ij : j ≥ i
H₁ : |↑f j| < ε
H₂ : |↑g j| < ε
\u22a2 |↑(f ⊓ g) j| < ε
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
hf : f.LimZero
hg : g.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, |↑f j| < ε ∧ |↑g j| < ε
j : ℕ
ij : j ≥ i
H₁ : -ε < ↑f j ∧ ↑f j < ε
H₂ : -ε < ↑g j ∧ ↑g j < ε
\u22a2 -ε < ↑(f ⊓ g) j ∧ ↑(f ⊓ g) j < ε
-- Mathlib/AlgebraicTopology/CechNerve.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ∀ (n : ℕ) (f : Arrow C), HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
F : Arrow C
X : Augmented C
G : F ⟶ Augmented.toArrow.obj X
x : SimplexCategory
j : Fin (x.len + 1)
\u22a2 G.left ≫ (Augmented.toArrow.obj X).hom ≫ X.right.map ((SimplexCategory.mk 0).const x j) = G.left ≫ X.hom.app x
-- Mathlib/AlgebraicTopology/CechNerve.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ∀ (n : ℕ) (f : Arrow C), HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
F : Arrow C
X : Augmented C
G : F ⟶ Augmented.toArrow.obj X
x : SimplexCategory
j : Fin (x.len + 1)
t : ((const C).obj X.left).map ((SimplexCategory.mk 0).const x j) ≫ X.hom.app x = X.hom.app (SimplexCategory.mk 0) ≫ ((𝟭 (CosimplicialObject C)).obj X.right).map ((SimplexCategory.mk 0).const x j)
\u22a2 G.left ≫ (Augmented.toArrow.obj X).hom ≫ X.right.map ((SimplexCategory.mk 0).const x j) = G.left ≫ X.hom.app x
-- Mathlib/AlgebraicTopology/CechNerve.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ∀ (n : ℕ) (f : Arrow C), HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
F : Arrow C
X : Augmented C
G : F ⟶ Augmented.toArrow.obj X
x : SimplexCategory
j : Fin (x.len + 1)
t : 𝟙 X.left ≫ X.hom.app x = X.hom.app (SimplexCategory.mk 0) ≫ X.right.map ((SimplexCategory.mk 0).const x j)
\u22a2 G.left ≫ X.hom.app (SimplexCategory.mk 0) ≫ X.right.map ((SimplexCategory.mk 0).const x j) = G.left ≫ X.hom.app x
-- Mathlib/AlgebraicTopology/CechNerve.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ∀ (n : ℕ) (f : Arrow C), HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
F : Arrow C
X : Augmented C
G : F ⟶ Augmented.toArrow.obj X
x : SimplexCategory
j : Fin (x.len + 1)
t : X.hom.app x = X.hom.app (SimplexCategory.mk 0) ≫ X.right.map ((SimplexCategory.mk 0).const x j)
\u22a2 G.left ≫ X.hom.app (SimplexCategory.mk 0) ≫ X.right.map ((SimplexCategory.mk 0).const x j) = G.left ≫ X.hom.app x