ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
r : ℝ
hr : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p = r
h : { center := p, radius := r }.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points) ∧ Set.range s.points ⊆ Metric.sphere { center := p, radius := r }.center { center := p, radius := r }.radius → { center := p, radius := r } = s.circumsphere
\u22a2 p = s.circumcenter
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
r : ℝ
hr : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p = r
h : Set.range s.points ⊆ Metric.sphere p r → p = s.circumsphere.center ∧ r = s.circumsphere.radius
\u22a2 p = s.circumcenter
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
r : ℝ
hr : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p = r
h : (∀ p_1 ∈ Set.range s.points, p_1 ∈ { center := p, radius := r }) → p = s.circumsphere.center ∧ r = s.circumsphere.radius
\u22a2 p = s.circumcenter
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p : P
hp : p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
r : ℝ
hr : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p = r
h : p = s.circumsphere.center ∧ r = s.circumsphere.radius
\u22a2 p = s.circumcenter
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e✝ : Pretrivialization F proj
x : Z
e f : Pretrivialization F proj
\u22a2 f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' e.source = (e.baseSet ∩ f.baseSet) ×ˢ univ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : DifferentiableAt 𝕜 (fun y => -f y) x
\u22a2 DifferentiableAt 𝕜 f x
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
m : M
v : Fin n → M
\u22a2 (ι R) (Matrix.vecCons m v 0) * (ιMulti R n) (Matrix.vecTail (Matrix.vecCons m v)) = ((LinearMap.mulLeft R ((ι R) m)).compAlternatingMap (ιMulti R n)) v
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
m : M
v : Fin n → M
\u22a2 (ι R) (Matrix.vecCons m v 0) * (ιMulti R n) v = ((LinearMap.mulLeft R ((ι R) m)).compAlternatingMap (ιMulti R n)) v
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/LiminfLimsup.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
F✝ : Filter ι
inst✝⁷ : F✝.NeBot
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : OrderTopology R
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : OrderTopology S
F : Filter R
inst✝ : F.NeBot
f : R → S
f_decr : Antitone f
f_cont : ContinuousAt f F.limsSup
bdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝
cobdd : autoParam (IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝
\u22a2 f F.limsSup = liminf f F
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/LiminfLimsup.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
F✝ : Filter ι
inst✝⁷ : F✝.NeBot
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : OrderTopology R
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : OrderTopology S
F : Filter R
inst✝ : F.NeBot
f : R → S
f_decr : Antitone f
f_cont : ContinuousAt f F.limsSup
bdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝
cobdd : autoParam (IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝
\u22a2 f F.limsSup ≤ liminf f F
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/LiminfLimsup.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
F✝ : Filter ι
inst✝⁷ : F✝.NeBot
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder R
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : OrderTopology R
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder S
inst✝² : TopologicalSpace S
inst✝¹ : OrderTopology S
F : Filter R
inst✝ : F.NeBot
f : R → S
f_decr : Antitone f
f_cont : ContinuousAt f F.limsSup
bdd_above : autoParam (IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝
cobdd : autoParam (IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F) _auto✝
\u22a2 liminf f F ≤ f F.limsSup
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
g : F → E
a : F
hg : ContinuousAt g a
hf : HasFDerivAt f (↑f') (g a)
hfg : ∀ᶠ (y : F) in 𝓝 a, f (g y) = y
\u22a2 HasFDerivAt g (↑f'.symm) a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
g : F → E
a : F
hg : ContinuousAt g a
hf : HasFDerivAt f (↑f') (g a)
hfg : ∀ᶠ (y : F) in 𝓝 a, f (g y) = y
this : (fun x => g x - g a - f'.symm (x - a)) =O[𝓝 a] fun x => f' (g x - g a) - (x - a)
\u22a2 HasFDerivAt g (↑f'.symm) a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
g : F → E
a : F
hg : ContinuousAt g a
hf : HasFDerivAt f (↑f') (g a)
hfg : ∀ᶠ (y : F) in 𝓝 a, f (g y) = y
this : (fun x => g x - g a - f'.symm (x - a)) =O[𝓝 a] fun x => f' (g x - g a) - (x - a)
\u22a2 (fun x => f' (g x - g a) - (x - a)) =o[𝓝 a] fun x' => x' - a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
g : F → E
a : F
hg : ContinuousAt g a
hf : HasFDerivAt f (↑f') (g a)
hfg : ∀ᶠ (y : F) in 𝓝 a, f (g y) = y
\u22a2 (fun x => f' (g x - g a) - (x - a)) =o[𝓝 a] fun x' => x' - a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
g : F → E
a : F
hg : ContinuousAt g a
hf : HasFDerivAt f (↑f') (g a)
hfg : ∀ᶠ (y : F) in 𝓝 a, f (g y) = y
\u22a2 ∀ (x : F), f (g x) = x → (fun x => ↑f' (g x - g a) - (f (g x) - f (g a))) x = f' (g x - g a) - (x - a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
g : F → E
a : F
hg : ContinuousAt g a
hf : HasFDerivAt f (↑f') (g a)
hfg : ∀ᶠ (y : F) in 𝓝 a, f (g y) = y
\u22a2 ((fun x' => x' - g a) ∘ g) =O[𝓝 a] fun x' => x' - a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
x : M
\u22a2 x ∈ f.eigenspace μ ↔ f x = μ • x
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
W : α → Sort w
Z : β → Sort z
h₁ : α ≃ β
h₂ : (a : α) → W a ≃ Z (h₁ a)
f : (a : α) → W a
a : α
\u22a2 (h₁.piCongr h₂) f (h₁ a) = (h₂ a) (f a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
hi : ¬MeasurableSet i
\u22a2 restrict 0 i ≤ v.restrict i
-- Mathlib/ModelTheory/Encoding.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
\u22a2 #((n : ℕ) × L.Term (α ⊕ Fin n)) = max ℵ₀ #(α ⊕ (i : ℕ) × L.Functions i)
-- Mathlib/ModelTheory/Encoding.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
\u22a2 #((n : ℕ) × L.Term (α ⊕ Fin n)) ≤ max ℵ₀ #(α ⊕ (i : ℕ) × L.Functions i)
-- Mathlib/ModelTheory/Encoding.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
\u22a2 max ℵ₀ #(α ⊕ (i : ℕ) × L.Functions i) ≤ #((n : ℕ) × L.Term (α ⊕ Fin n))
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
A : Type u_1
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : SMul K A
inst✝ : IsScalarTower K A V
h : finrank K V = 1
\u22a2 IsSimpleOrder (Submodule A V)
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
A : Type u_1
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : SMul K A
inst✝ : IsScalarTower K A V
h : finrank K V = 1
this : Nontrivial V
\u22a2 IsSimpleOrder (Submodule A V)
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
A : Type u_1
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : SMul K A
inst✝ : IsScalarTower K A V
h : finrank K V = 1
this : Nontrivial V
S : Submodule A V
hn : ¬S = ⊥
\u22a2 S = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
A : Type u_1
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : SMul K A
inst✝ : IsScalarTower K A V
h : finrank K V = 1
this : Nontrivial V
S : Submodule A V
hn : ¬restrictScalars K S = restrictScalars K ⊥
\u22a2 restrictScalars K S = restrictScalars K ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
A : Type u_1
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : SMul K A
inst✝ : IsScalarTower K A V
h : finrank K V = 1
this✝ : Nontrivial V
S : Submodule A V
hn : ¬restrictScalars K S = restrictScalars K ⊥
this : FiniteDimensional K V
\u22a2 restrictScalars K S = restrictScalars K ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
A : Type u_1
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : SMul K A
inst✝ : IsScalarTower K A V
h : finrank K V = 1
this✝ : Nontrivial V
S : Submodule A V
hn : ¬restrictScalars K S = restrictScalars K ⊥
this : FiniteDimensional K V
\u22a2 finrank K V ≤ finrank K ↥(restrictScalars K S)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Hamiltonian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p✝ : G.Walk a b
p : G.Walk a a
H : SimpleGraph β
f : G →g H
hf : Bijective ⇑f
hp : p.IsHamiltonianCycle
\u22a2 ((Walk.map f p).tail ⋯).IsHamiltonian
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Hamiltonian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p✝ : G.Walk a b
p : G.Walk a a
H : SimpleGraph β
f : G →g H
hf : Bijective ⇑f
hp : p.IsHamiltonianCycle
\u22a2 ∀ (x : α), (List.count x p.support - if f x = (List.map (⇑f) p.support).head ⋯ then 1 else 0) = 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Hamiltonian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p✝ : G.Walk a b
H : SimpleGraph β
f : G →g H
hf : Bijective ⇑f
x v✝ : α
y : G.Adj a v✝
p : G.Walk v✝ a
hp : (cons y p).IsHamiltonianCycle
\u22a2 (List.count x (cons y p).support - if f x = (List.map (⇑f) (cons y p).support).head ⋯ then 1 else 0) = 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Hamiltonian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p✝ : G.Walk a b
H : SimpleGraph β
f : G →g H
hf : Bijective ⇑f
x v✝ : α
y : G.Adj a v✝
p : G.Walk v✝ a
hp : (cons y p).IsHamiltonianCycle
\u22a2 List.count x p.support = 1
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b✝ c u a : αˣ
b : α
\u22a2 ↑a * (↑a⁻¹ * b) = b
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
\u22a2 a ≤ |b| ↔ b ≤ -a ∨ a ≤ b
-- Mathlib/Algebra/QuadraticDiscriminant.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NeZero 2
a b c x✝ : K
ha : a ≠ 0
s : K
h : discrim a b c = s * s
x : K
\u22a2 a * x * x + b * x + c = 0 ↔ x = (-b + s) / (2 * a) ∨ x = (-b - s) / (2 * a)
-- Mathlib/Algebra/QuadraticDiscriminant.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NeZero 2
a b c x✝ : K
ha : a ≠ 0
s : K
h : discrim a b c = s * s
x : K
\u22a2 s = 2 * a * x + b ∨ s = -(2 * a * x + b) ↔ x = (-b + s) / (2 * a) ∨ x = (-b - s) / (2 * a)
-- Mathlib/Algebra/QuadraticDiscriminant.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NeZero 2
a b c x✝ : K
ha : a ≠ 0
s : K
h : discrim a b c = s * s
x : K
\u22a2 s = 2 * a * x + b ∨ s = -b + -(2 * a * x) ↔ x * (2 * a) = -b + s ∨ x * (2 * a) = -b - s
-- Mathlib/Algebra/QuadraticDiscriminant.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NeZero 2
a b c x✝ : K
ha : a ≠ 0
s : K
h : discrim a b c = s * s
x : K
\u22a2 s = 2 * a * x + b ↔ x * (2 * a) = -b + s
-- Mathlib/Algebra/QuadraticDiscriminant.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NeZero 2
a b c x✝ : K
ha : a ≠ 0
s : K
h : discrim a b c = s * s
x : K
\u22a2 s = -b + -(2 * a * x) ↔ x * (2 * a) = -b - s
-- Mathlib/SetTheory/Game/Impartial.lean
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
h : G < 0
\u22a2 False
-- Mathlib/SetTheory/Game/Impartial.lean
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
h : G < 0
h' : -0 < -G
\u22a2 False
-- Mathlib/SetTheory/Game/Impartial.lean
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
h : G < 0
h' : 0 < G
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = 0
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
\u22a2 ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) x = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = 0
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
x : E
x✝ : x ∈ f.range
\u22a2 (T (↑f ⁻¹' {x})) x = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = 0
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
x : E
x✝ : x ∈ f.range
hx0 : ¬x = 0
\u22a2 (T (↑f ⁻¹' {x})) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
a : R
x✝ : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]
\u22a2 ({ toFinsupp := toFinsupp✝ }.update n a).coeff x✝ = Function.update { toFinsupp := toFinsupp✝ }.coeff n a x✝
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m m' : MeasurableSpace α
hsep : CountablySeparated α
h : m ≤ m'
\u22a2 CountablySeparated α
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m m' : MeasurableSpace α
h : m ≤ m'
hsep : HasCountableSeparatingOn α MeasurableSet univ
\u22a2 HasCountableSeparatingOn α MeasurableSet univ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
s : Set E
x₀ : E
n : ℕ
h : f =O[𝓝[s] x₀] fun x => ‖x - x₀‖ ^ n
hx₀ : x₀ ∈ s
hn : 1 < n
\u22a2 HasFDerivWithinAt f 0 s x₀
-- Mathlib/NumberTheory/GaussSum.lean
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ ≠ 1
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive
\u22a2 gaussSum χ ψ * gaussSum χ⁻¹ ψ⁻¹ = ↑(Fintype.card R)
-- Mathlib/NumberTheory/GaussSum.lean
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ ≠ 1
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive
\u22a2 ∑ x : R, ∑ i : R, χ i * ψ i * (χ x⁻¹ * ψ (-x)) = ↑(Fintype.card R)
-- Mathlib/NumberTheory/GaussSum.lean
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ ≠ 1
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive
\u22a2 ∑ x : R, ∑ y : R, χ (y * x⁻¹) * ψ (y - x) = ↑(Fintype.card R)
-- Mathlib/NumberTheory/GaussSum.lean
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ ≠ 1
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive
\u22a2 ∑ x : R, ∑ c : R, χ c * ψ (x * (c - 1)) = ↑(Fintype.card R)
-- Mathlib/NumberTheory/GaussSum.lean
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ ≠ 1
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive
\u22a2 ∑ y : R, ∑ x : R, χ y * ψ (x * (y - 1)) = ↑(Fintype.card R)
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S✝ : Type u_5
F✝ : Type u_6
inst✝⁸ : CommMonoid M
inst✝⁷ : CommMonoid N
inst✝⁶ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝⁴ : IsDomain R
S : Type u_7
F : Type u_8
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : MonoidHomClass F R S
n : ℕ+
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
hζ : (primitiveRoots (↑n) R).Nonempty
η : ↥(rootsOfUnity n S)
\u22a2 f ↑↑((rootsOfUnityEquivOfPrimitiveRoots hf hζ).symm η) = ↑↑η
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S✝ : Type u_5
F✝ : Type u_6
inst✝⁸ : CommMonoid M
inst✝⁷ : CommMonoid N
inst✝⁶ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝⁴ : IsDomain R
S : Type u_7
F : Type u_8
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : MonoidHomClass F R S
n : ℕ+
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
hζ : (primitiveRoots (↑n) R).Nonempty
ε : ↥(rootsOfUnity n R)
\u22a2 f ↑↑((rootsOfUnityEquivOfPrimitiveRoots hf hζ).symm ((rootsOfUnityEquivOfPrimitiveRoots hf hζ) ε)) = ↑↑((rootsOfUnityEquivOfPrimitiveRoots hf hζ) ε)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
\u22a2 (span ℂ (range (fourierLp p))).topologicalClosure = ⊤
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
e_3✝ : Complex.instSemiring = DivisionSemiring.toSemiring
he✝ : Lp.instModule = Lp.instModule
\u22a2 span ℂ (range (fourierLp p)) = Submodule.map (↑(toLp p haarAddCircle ℂ)) (span ℂ (range fourier))
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
e_3✝ : Complex.instSemiring = DivisionSemiring.toSemiring
he✝ : Lp.instModule = Lp.instModule
\u22a2 span ℂ (⇑(toLp p haarAddCircle ℂ) '' range fourier) = span ℂ (⇑↑(toLp p haarAddCircle ℂ) '' range fourier)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/StandardBorel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : CountablyGenerated γ
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
κ : Kernel α (γ × ℝ)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
s : ℕ → ℚ
hs_anti : Antitone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atBot
s' : ℕ → Set ℝ := fun n => Iic ↑(s n)
\u22a2 Tendsto (fun m => ∫ (c : γ), κ.density κ.fst (a, c).1 (a, c).2 (Iic ↑(s m)) ∂κ.fst a) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/StandardBorel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : CountablyGenerated γ
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
κ : Kernel α (γ × ℝ)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
s : ℕ → ℚ
hs_anti : Antitone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atBot
s' : ℕ → Set ℝ := fun n => Iic ↑(s n)
\u22a2 Antitone s'
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/StandardBorel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : CountablyGenerated γ
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
κ : Kernel α (γ × ℝ)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
s : ℕ → ℚ
hs_anti : Antitone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atBot
s' : ℕ → Set ℝ := fun n => Iic ↑(s n)
\u22a2 ⋂ i, s' i = ∅