ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : Injective ⇑f
\u22a2 weightSpace M χ ≤ LieSubmodule.comap f (weightSpace M₂ χ)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Multiset α
h : t ≤ s
\u22a2 u + s = u ∪ t ↔ u.Disjoint s ∧ s = t
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Multiset α
h : t ≤ s
\u22a2 u + s = u ∪ t ↔ u + s = u ∪ s ∧ s = t
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/Hensel.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
ha : Polynomial.eval a F = 0
\u22a2 ‖a - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MulAction G β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsScalarTower G α β
a : α
b : β
h : Injective fun x => x • b
\u22a2 stabilizer G (a • b) = stabilizer G a
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MulAction G β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsScalarTower G α β
a✝ : α
b : β
h : Injective fun x => x • b
a : G
ha : a ∈ stabilizer G (a✝ • b)
\u22a2 a ∈ stabilizer G a✝
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
u v : E
hu : u ∈ K
hv : v ∈ Kᗮ
\u22a2 ⟪v, u⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
u v : E
hu : u ∈ K
hv : v ∈ Kᗮ
\u22a2 ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R
n : ℕ
hn : 0 < n
\u22a2 ↑(basicOpen (f ^ n)) = ↑(basicOpen f)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₂
inst✝³ : T2Space M₂
inst✝² : Mul M₁
inst✝¹ : Mul M₂
inst✝ : ContinuousMul M₂
\u22a2 IsClosed {f | ∀ (x y : M₁), f (x * y) = f x * f y}
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₂
inst✝³ : T2Space M₂
inst✝² : Mul M₁
inst✝¹ : Mul M₂
inst✝ : ContinuousMul M₂
\u22a2 IsClosed (⋂ i, ⋂ i_1, {x | x (i * i_1) = x i * x i_1})
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
hp : Nat.blt 1 p = true
h : Nat.ble 1 (sMod' (2 ^ p - 1) (p - 2)) = true
\u22a2 ¬LucasLehmerTest p
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
hp : 1 < p
h : Nat.ble 1 (sMod' (2 ^ p - 1) (p - 2)) = true
\u22a2 ¬LucasLehmerTest p
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
hp : 1 < p
h : sMod' (2 ^ p - 1) (p - 2) ≠ 0
\u22a2 ¬LucasLehmerTest p
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
hp : 1 < p
h : sMod' (2 ^ p - 1) (p - 2) ≠ 0
\u22a2 ¬↑(sMod' (2 ^ p - 1) (p - 2)) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ✝ : Measure ℝ
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
\u22a2 ‖∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ‖ = ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ✝ : Measure ℝ
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
\u22a2 ‖if a ≤ b then 1 else -1‖ * ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ‖ = ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ‖
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfChosenFiniteProducts/Basic.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y P Q : C
t : BinaryFan P Q
I : IsLimit t
s : Cone (pair Q P)
m : s.pt ⟶ t.swap.pt
w : ∀ (j : Discrete WalkingPair), m ≫ t.swap.π.app j = s.π.app j
\u22a2 m = (fun s => I.lift (BinaryFan.swap s)) s
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfChosenFiniteProducts/Basic.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y P Q : C
t : BinaryFan P Q
I : IsLimit t
s : Cone (pair Q P)
m : s.pt ⟶ t.swap.pt
w : ∀ (j : Discrete WalkingPair), m ≫ t.swap.π.app j = s.π.app j
h : (∀ (j : Discrete WalkingPair), m ≫ t.π.app j = (BinaryFan.swap s).π.app j) → m = I.lift (BinaryFan.swap s)
\u22a2 m = (fun s => I.lift (BinaryFan.swap s)) s
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a n : ℕ
\u22a2 a ^ (n + 1) = 0 ↔ a = 0 ∧ n + 1 ≠ 0
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a n : ℕ
\u22a2 a = 0 ∧ n ≠ 0 ∨ a = 0 ↔ a = 0 ∧ n + 1 ≠ 0
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
p : α → Prop
\u22a2 Continuous p ↔ IsOpen {x | p x}
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
p : α → Prop
\u22a2 (∀ (x : α), p x → ∀ᶠ (x : α) in 𝓝 x, p x) ↔ ∀ x ∈ {x | p x}, {x | p x} ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/WidePullbacks.lean
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
inst✝ : HasWidePushout B objs arrows
X : C
f : B ⟶ X
fs : (j : J) → objs j ⟶ X
w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f
g : widePushout B objs arrows ⟶ X
j : J
\u22a2 arrows j ≫ (fun j => ι arrows j ≫ g) j = head arrows ≫ g
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/WidePullbacks.lean
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
inst✝ : HasWidePushout B objs arrows
X : C
f : B ⟶ X
fs : (j : J) → objs j ⟶ X
w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f
g : widePushout B objs arrows ⟶ X
j : J
\u22a2 (arrows j ≫ ι arrows j) ≫ g = head arrows ≫ g
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/WidePullbacks.lean
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
inst✝ : HasWidePushout B objs arrows
X : C
f : B ⟶ X
fs : (j : J) → objs j ⟶ X
w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f
g : widePushout B objs arrows ⟶ X
\u22a2 g = desc (head arrows ≫ g) (fun j => ι arrows j ≫ g) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/WidePullbacks.lean
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
inst✝ : HasWidePushout B objs arrows
X : C
f : B ⟶ X
fs : (j : J) → objs j ⟶ X
w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f
g : widePushout B objs arrows ⟶ X
\u22a2 ∀ (j : J), ι arrows j ≫ g = ι arrows j ≫ g
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/WidePullbacks.lean
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
inst✝ : HasWidePushout B objs arrows
X : C
f : B ⟶ X
fs : (j : J) → objs j ⟶ X
w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f
g : widePushout B objs arrows ⟶ X
\u22a2 head arrows ≫ g = head arrows ≫ g
-- Mathlib/Order/Hom/Lattice.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
\u22a2 (fun f => ⇑f) (LatticeHom.id α).withTopWithBot = (fun f => ⇑f) (BoundedLatticeHom.id (WithTop (WithBot α)))
-- Mathlib/Order/Hom/Lattice.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
\u22a2 ⇑(LatticeHom.id α).withBot.toSupHom = id
-- Mathlib/Order/Hom/Lattice.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
\u22a2 ⇑(LatticeHom.id (WithBot α)).toSupHom = id
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
p : α × Bool
l : List (α × Bool)
\u22a2 Step (p :: l ++ L₁) (p :: l ++ L₂) ↔ Step L₁ L₂
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
n : ℕ
a : α
\u22a2 (replicate n a).prod = a ^ n
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g✝ : γ → α
η : Kernel β γ
κ : Kernel α β
a : α
g : γ → ℝ≥0∞
hg : Measurable g
\u22a2 ∫⁻ (c : γ), g c ∂(η ∘ₖ κ) a = ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), g c ∂η b ∂κ a
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : Group α
a✝ b : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
\u22a2 1 ≤ mabs a
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : Group α
a✝ b : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
\u22a2 1 ≤ mabs a ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : Group α
a✝ b : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
\u22a2 1 ≤ (a ⊔ a⁻¹) * a⁻¹ ⊔ a ^ 2 ⊔ 1
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Division.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
a : G
\u22a2 x * of' k G a /ᵒᶠ a = x
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Division.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
a x✝ : G
\u22a2 (x * of' k G a /ᵒᶠ a) x✝ = x x✝
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Division.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
a x✝ : G
\u22a2 ∀ (a_1 : G), a_1 + a = a + x✝ ↔ a_1 = x✝
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Division.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
a x✝ c : G
\u22a2 c + a = a + x✝ ↔ c = x✝
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Division.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
a x✝ c : G
\u22a2 a + c = a + x✝ ↔ c = x✝
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Tower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : Algebra S B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : IsScalarTower R S B
x : R
\u22a2 (algebraMap R A) x = (algebraMap S A) ((algebraMap R S) x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝³ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
φ₁ φ₂ : W.LeftFraction X Y
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_5, u_3} E
L₁ : C ⥤ D
L₂ : C ⥤ E
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W
inst✝ : L₂.IsLocalization W
h : φ₁.map L₁ ⋯ = φ₂.map L₁ ⋯
\u22a2 φ₁.map L₂ ⋯ = φ₂.map L₂ ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝³ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
φ₁ φ₂ : W.LeftFraction X Y
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_5, u_3} E
L₁ : C ⥤ D
L₂ : C ⥤ E
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W
inst✝ : L₂.IsLocalization W
h : φ₁.map L₁ ⋯ = φ₂.map L₁ ⋯
\u22a2 (Localization.uniq L₂ L₁ W).functor.map (φ₁.map L₂ ⋯) = (Localization.uniq L₂ L₁ W).functor.map (φ₂.map L₂ ⋯)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Normalizer.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
\u22a2 x ∈ idealizer I ↔ x ∈ normalizer I
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x y : AddCircle T
hxy : x ≠ y
\u22a2 ∃ f ∈ (fun f => ⇑f) '' ↑fourierSubalgebra.toSubalgebra, f x ≠ f y
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x y : AddCircle T
hxy : x ≠ y
\u22a2 (fun f => ⇑f) (fourier 1) x ≠ (fun f => ⇑f) (fourier 1) y
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x y : AddCircle T
hxy : x ≠ y
\u22a2 (fourier 1) x ≠ (fourier 1) y
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x y : AddCircle T
hxy : x ≠ y
\u22a2 ↑x.toCircle ≠ ↑y.toCircle
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x y : AddCircle T
hxy : ↑x.toCircle = ↑y.toCircle
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x y : AddCircle T
hxy : x.toCircle = y.toCircle
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
a b : ℝ
e : X → Y
hf : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b
hle : a ≤ b
he : ClosedEmbedding e
\u22a2 ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ Icc a b) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
a b : ℝ
e : X → Y
hf : ∀ (x : X), f x ∈ Icc a b
hle : a ≤ b
he : ClosedEmbedding e
g : Y →ᵇ ℝ
hgf : ‖g‖ = ‖f - const X ((a + b) / 2)‖
hge : ⇑g ∘ e = ⇑(f - const X ((a + b) / 2))
\u22a2 ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ Icc a b) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝² : LinearOrder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f : α → γ
\u22a2 ContinuousWithinAt f s x ↔ LowerSemicontinuousWithinAt f s x ∧ UpperSemicontinuousWithinAt f s x
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝² : LinearOrder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f : α → γ
\u22a2 LowerSemicontinuousWithinAt f s x ∧ UpperSemicontinuousWithinAt f s x → ContinuousWithinAt f s x
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝² : LinearOrder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f : α → γ
h₁ : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
h₂ : UpperSemicontinuousWithinAt f s x
v : Set γ
hv : v ∈ 𝓝 (f x)
\u22a2 v ∈ map f (𝓝[s] x)
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝² : LinearOrder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f : α → γ
h₁ : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
h₂ : UpperSemicontinuousWithinAt f s x
v : Set γ
hv : v ∈ 𝓝 (f x)
\u22a2 f ⁻¹' v ∈ 𝓝[s] x
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemiring α
n : PosNum
\u22a2 1 ≤ ↑n
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemiring α
n : PosNum
\u22a2 1 ≤ ↑↑n
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemiring α
n : PosNum
\u22a2 ↑1 ≤ ↑↑n
-- Mathlib/Algebra/Group/Hom/Defs.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulOneClass M
f : M → G
map_mul : ∀ (a b : M), f (a * b) = f a * f b
\u22a2 f 1 = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : P.degree = Q.degree
\u22a2 Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop (𝓝 (P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : P.degree = Q.degree
\u22a2 Tendsto (fun x => P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)) atTop (𝓝 (P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : P.degree = Q.degree
\u22a2 Tendsto (fun x => P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑Q.natDegree - ↑Q.natDegree)) atTop (𝓝 (P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Join.lean
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y : E
hs : s.Nonempty
\u22a2 (convexHull 𝕜) (insert x s) = convexJoin 𝕜 {x} ((convexHull 𝕜) s)
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
\u22a2 mk 1 = 1
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
\u22a2 mk 1 = { cauchy := 1 }
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W : Subspace K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
Φ : Subspace K (Module.Dual K V)
\u22a2 finrank K ↥(dualCoannihilator Φ) = finrank K ↥(dualAnnihilator Φ)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W : Subspace K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
Φ : Subspace K (Module.Dual K V)
\u22a2 finrank K ↥(comap (↑(Module.evalEquiv K V)) (dualAnnihilator Φ)) = finrank K ↥(dualAnnihilator Φ)
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.IsEquivalence
X Y : C
f : X ⟶ Y
\u22a2 F.inv.map (F.map f) = F.asEquivalence.unitInv.app X ≫ f ≫ F.asEquivalence.unit.app Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.IsEquivalence
X Y : C
f : X ⟶ Y
\u22a2 F.inv.map (F.map f) = (F.asEquivalence.functor ⋙ F.asEquivalence.inverse).map f
-- Mathlib/Data/Matrix/Notation.lean
α : Type u
o n m : ℕ
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
a b : ℕ
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Mul α
a₀ a₁ b₀ b₁ : α
\u22a2 ![a₀, a₁] ⬝ᵥ ![b₀, b₁] = a₀ * b₀ + a₁ * b₁
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, f x - g x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in a..b, g x ∂μ
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : Finite ι
s : Set ((a : ι) → π a)
\u22a2 IsOpen s ↔ ∀ f ∈ s, ∃ u, (∀ (a : ι), IsOpen (u a) ∧ f a ∈ u a) ∧ univ.pi u ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : Finite ι
s : Set ((a : ι) → π a)
val✝ : Fintype ι
\u22a2 IsOpen s ↔ ∀ f ∈ s, ∃ u, (∀ (a : ι), IsOpen (u a) ∧ f a ∈ u a) ∧ univ.pi u ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : Finite ι
s : Set ((a : ι) → π a)
val✝ : Fintype ι
\u22a2 (∀ x ∈ s, 𝓝 x ≤ 𝓟 s) ↔ ∀ f ∈ s, ∃ u, (∀ (a : ι), IsOpen (u a) ∧ f a ∈ u a) ∧ univ.pi u ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : Finite ι
s : Set ((a : ι) → π a)
val✝ : Fintype ι
\u22a2 (∀ x ∈ s, ∃ I t, (∀ (i : ι), ∃ t_1 ⊆ t i, IsOpen t_1 ∧ x i ∈ t_1) ∧ (↑I).pi t ⊆ s) ↔ ∀ f ∈ s, ∃ u, (∀ (a : ι), IsOpen (u a) ∧ f a ∈ u a) ∧ univ.pi u ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : Finite ι
s : Set ((a : ι) → π a)
val✝ : Fintype ι
a : (a : ι) → π a
x✝ : a ∈ s
\u22a2 (∃ I t, (∀ (i : ι), ∃ t_1 ⊆ t i, IsOpen t_1 ∧ a i ∈ t_1) ∧ (↑I).pi t ⊆ s) → ∃ u, (∀ (a_2 : ι), IsOpen (u a_2) ∧ a a_2 ∈ u a_2) ∧ univ.pi u ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : Finite ι
s : Set ((a : ι) → π a)
val✝ : Fintype ι
a : (a : ι) → π a
x✝ : a ∈ s
\u22a2 (∃ u, (∀ (a_1 : ι), IsOpen (u a_1) ∧ a a_1 ∈ u a_1) ∧ univ.pi u ⊆ s) → ∃ I t, (∀ (i : ι), ∃ t_1 ⊆ t i, IsOpen t_1 ∧ a i ∈ t_1) ∧ (↑I).pi t ⊆ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/DotProduct.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
v : n → R
\u22a2 (Aᴴ * A) *ᵥ v = 0 ↔ A *ᵥ v = 0
-- Mathlib/Data/List/AList.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
s₁ s₂ : AList β
p : s₁.entries ~ s₂.entries
\u22a2 (insert a b s₁).entries ~ (insert a b s₂).entries
-- Mathlib/Data/List/AList.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
s₁ s₂ : AList β
p : s₁.entries ~ s₂.entries
\u22a2 ⟨a, b⟩ :: kerase a s₁.entries ~ ⟨a, b⟩ :: kerase a s₂.entries
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
g : α → E'''
h : f =O[l] g
\u22a2 ∃ c > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, c * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
g : α → E'''
h : ∃ c > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, c * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
\u22a2 f =O[l] g