ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Interval.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
inst✝² : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
\u22a2 (Ioo f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Icc (f i) (g i)).card - 2
-- Mathlib/Data/Finset/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ
\u22a2 antidiagonal n = image (fun i => (i, n - i)) (range (n + 1))
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct.lean
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module A M₁
inst✝⁴ : SMulCommClass R A M₁
inst✝³ : SMulCommClass A R M₁
inst✝² : IsScalarTower R A M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Invertible 2
Q₁ Q₂ : QuadraticForm A (A ⊗[R] M₂)
h : ∀ (m : M₂), Q₁ (1 ⊗ₜ[R] m) = Q₂ (1 ⊗ₜ[R] m)
\u22a2 Q₁ = Q₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct.lean
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module A M₁
inst✝⁴ : SMulCommClass R A M₁
inst✝³ : SMulCommClass A R M₁
inst✝² : IsScalarTower R A M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Invertible 2
Q₁ Q₂ : QuadraticForm A (A ⊗[R] M₂)
h : ∀ (a : A) (m : M₂), Q₁ (a ⊗ₜ[R] m) = Q₂ (a ⊗ₜ[R] m)
\u22a2 Q₁ = Q₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct.lean
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module A M₁
inst✝⁴ : SMulCommClass R A M₁
inst✝³ : SMulCommClass A R M₁
inst✝² : IsScalarTower R A M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Invertible 2
Q₁ Q₂ : QuadraticForm A (A ⊗[R] M₂)
h : ∀ (a : A) (m : M₂), Q₁ (a ⊗ₜ[R] m) = Q₂ (a ⊗ₜ[R] m)
x : A ⊗[R] M₂
\u22a2 Q₁ x = Q₂ x
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
\u22a2 ↑(mersenne p) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
\u22a2 (2 ^ p - 1).minFac ∣ 2 ^ p - 1
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝ : MeasurableSpace γ
i : δ
\u22a2 Measurable ⋯.mp
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 (b ⇨ c) ⊓ (a ⇨ b) ⊓ a ≤ c
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
f : α → β → γ
g : γ → δ
\u22a2 g '' image2 f ↑s ↑t = image2 (fun a b => g (f a b)) ↑s ↑t
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
hsc : sᶜ.Finite
\u22a2 Finite α
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
hsc : sᶜ.Finite
\u22a2 (s ∪ sᶜ).Finite
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r : ℝ
\u22a2 r.toNNReal < 1 ↔ r < 1
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a z✝ : α
\u22a2 ↑(toIcoMod hp a z✝) = ↑z✝
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a z✝ : α
\u22a2 -toIcoDiv hp a z✝ • p ∈ AddSubgroup.zmultiples p
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Power.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
h₂ : ‖z - y‖ = ‖z + y‖
k : ℝ
hk_ne_one : k ≠ 1
hk : x + y = k • (x - y)
r : ℝ := (k - 1)⁻¹ * (k + 1)
\u22a2 ‖x - y‖ * ‖x + y‖ = |‖z + y‖ ^ 2 - ‖z - x‖ ^ 2|
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Power.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
h₂ : ‖z - y‖ = ‖z + y‖
k : ℝ
hk_ne_one : k ≠ 1
hk : x + y = k • (x - y)
r : ℝ := (k - 1)⁻¹ * (k + 1)
hxy : x = r • y
\u22a2 ‖x - y‖ * ‖x + y‖ = |‖z + y‖ ^ 2 - ‖z - x‖ ^ 2|
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Power.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
h₂ : ‖z - y‖ = ‖z + y‖
k : ℝ
hk_ne_one : k ≠ 1
hk : x + y = k • (x - y)
r : ℝ := (k - 1)⁻¹ * (k + 1)
hxy : x = r • y
hzy : ⟪z, y⟫_ℝ = 0
\u22a2 ‖x - y‖ * ‖x + y‖ = |‖z + y‖ ^ 2 - ‖z - x‖ ^ 2|
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Power.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
h₂ : ‖z - y‖ = ‖z + y‖
k : ℝ
hk_ne_one : k ≠ 1
hk : x + y = k • (x - y)
r : ℝ := (k - 1)⁻¹ * (k + 1)
hxy : x = r • y
hzy : ⟪z, y⟫_ℝ = 0
hzx : ⟪z, x⟫_ℝ = 0
\u22a2 ‖x - y‖ * ‖x + y‖ = |‖z + y‖ ^ 2 - ‖z - x‖ ^ 2|
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Semiring α
m✝ n✝ m n : ℕ
\u22a2 ↑(m ^ (n + 1)) = ↑m ^ (n + 1)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
\u22a2 (f.extend I).target = ↑I '' f.target
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable β
f : α →. β
h : Partrec f
n : α
x✝ : Unit
\u22a2 x✝ ∈ Part.map (fun b => ()) (f n) ↔ x✝ ∈ Part.assert ((fun a => (f a).Dom) n) fun x => Part.some ()
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
\u22a2 ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
n : ℕ
hk0 : 1 ≠ 0
\u22a2 ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD 1]
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
hk1 : 1 < k
\u22a2 ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
hk1 : 1 < k
b : ℕ := k * n !
\u22a2 ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
hk1 : 1 < k
b : ℕ := k * n !
hgt : 1 < (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs
\u22a2 ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
hk1 : 1 < k
b : ℕ := k * n !
hgt : 1 < (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs
p : ℕ := (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs.minFac
\u22a2 ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
hk1 : 1 < k
b : ℕ := k * n !
hgt : 1 < (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs
p : ℕ := (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs.minFac
hprime : Fact (Prime p)
\u22a2 ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
hk1 : 1 < k
b : ℕ := k * n !
hgt : 1 < (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs
p : ℕ := (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs.minFac
hprime : Fact (Prime p)
hroot : (cyclotomic k (ZMod p)).IsRoot ((castRingHom (ZMod p)) b)
\u22a2 ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
hk1 : 1 < k
b : ℕ := k * n !
hgt : 1 < (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs
p : ℕ := (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs.minFac
hprime : Fact (Prime p)
hroot : (cyclotomic k (ZMod p)).IsRoot ((castRingHom (ZMod p)) b)
hpb : ¬p ∣ b
\u22a2 ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
hk1 : 1 < k
b : ℕ := k * n !
hgt : 1 < (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs
p : ℕ := (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs.minFac
hprime : Fact (Prime p)
hroot : (cyclotomic k (ZMod p)).IsRoot ((castRingHom (ZMod p)) b)
hpb : ¬p ∣ b
habs : p ≤ n
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
hk1 : 1 < k
b : ℕ := k * n !
hgt : 1 < (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs
p : ℕ := (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs.minFac
hprime : Fact (Prime p)
hroot : (cyclotomic k (ZMod p)).IsRoot ((castRingHom (ZMod p)) b)
hpb : ¬p ∣ b
\u22a2 p ≡ 1 [MOD k]
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
c : E
x : α
\u22a2 ‖⟪f x, c⟫_𝕜‖ ≤ ?m.10083 * ‖f x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
c : E
x : α
\u22a2 ‖⟪f x, c⟫_𝕜‖ ≤ ‖f x‖ * ?m.10603
-- Mathlib/Topology/Instances/Discrete.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PredOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
\u22a2 ⊥ = generateFrom {s | ∃ a, s = Ioi a ∨ s = Iio a}
-- Mathlib/Topology/Instances/Discrete.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PredOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
\u22a2 IsOpen {a}
-- Mathlib/Topology/Instances/Discrete.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PredOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
h_singleton_eq_inter : {a} = Iio (succ a) ∩ Ioi (pred a)
\u22a2 IsOpen {a}
-- Mathlib/Topology/Instances/Discrete.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PredOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
h_singleton_eq_inter : {a} = Iio (succ a) ∩ Ioi (pred a)
this : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
\u22a2 IsOpen (Iio (succ a) ∩ Ioi (pred a))
-- Mathlib/Topology/Instances/Discrete.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PredOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
h_singleton_eq_inter : {a} = Iio (succ a) ∩ Ioi (pred a)
this : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
\u22a2 IsOpen (Iio (succ a))
-- Mathlib/Topology/Instances/Discrete.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PredOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
h_singleton_eq_inter : {a} = Iio (succ a) ∩ Ioi (pred a)
this : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
\u22a2 IsOpen (Ioi (pred a))
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuationTopology.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
F : Filter R
\u22a2 Cauchy F ↔ F.NeBot ∧ ∀ (γ : Γ₀ˣ), ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, v (y - x) < ↑γ
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuationTopology.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
F : Filter R
\u22a2 (F.NeBot ∧ ∀ U ∈ RingFilterBasis.toAddGroupFilterBasis, ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, y - x ∈ U) ↔ F.NeBot ∧ ∀ (γ : Γ₀ˣ), ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, v (y - x) < ↑γ
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuationTopology.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
F : Filter R
\u22a2 (∀ U ∈ RingFilterBasis.toAddGroupFilterBasis, ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, y - x ∈ U) ↔ ∀ (γ : Γ₀ˣ), ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, v (y - x) < ↑γ
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuationTopology.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
F : Filter R
\u22a2 (∀ (U : Set R), (∃ i, U = ↑(v.ltAddSubgroup i)) → ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, y - x ∈ U) ↔ ∀ (γ : Γ₀ˣ), ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, v (y - x) < ↑γ
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : HasGroupoid M' G'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
\u22a2 LiftPropWithinAt P g s x ↔ ContinuousWithinAt g s x ∧ LiftPropWithinAt P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : HasGroupoid M' G'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
\u22a2 ContinuousWithinAt g s x ∧ P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) → ContinuousWithinAt (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : HasGroupoid M' G'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
h : ContinuousWithinAt g s x ∧ P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
\u22a2 ContinuousWithinAt (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : HasGroupoid M' G'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
h : ContinuousWithinAt g s x ∧ P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
h1 : ContinuousWithinAt (g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e.symm.symm x)
\u22a2 ContinuousWithinAt (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : HasGroupoid M' G'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
h : ContinuousWithinAt g s x ∧ P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
h1 : ContinuousWithinAt (g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e.symm.symm x)
this : ContinuousAt (↑f) ((g ∘ ↑e.symm) (↑e x))
\u22a2 ContinuousWithinAt (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Finset ℝ≥0∞
hs : ∀ (x : α), ↑f x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {↑f x}) ≠ 0 → ↑f x ∈ s
\u22a2 f.lintegral μ = ∑ x ∈ s, x * μ (↑f ⁻¹' {x})
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Finset ℝ≥0∞
hs : ∀ (x : α), ↑f x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {↑f x}) ≠ 0 → ↑f x ∈ s
\u22a2 ∀ (a : ℝ≥0∞) (h₁ : a ∈ f.range) (h₂ : a * μ (↑f ⁻¹' {a}) ≠ 0), (fun r x x => r) a h₁ h₂ ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Finset ℝ≥0∞
hs : ∀ (x : α), ↑f x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {↑f x}) ≠ 0 → ↑f x ∈ s
\u22a2 ∀ (a₁ : ℝ≥0∞) (h₁₁ : a₁ ∈ f.range) (h₁₂ : a₁ * μ (↑f ⁻¹' {a₁}) ≠ 0) (a₂ : ℝ≥0∞) (h₂₁ : a₂ ∈ f.range) (h₂₂ : a₂ * μ (↑f ⁻¹' {a₂}) ≠ 0), (fun r x x => r) a₁ h₁₁ h₁₂ = (fun r x x => r) a₂ h₂₁ h₂₂ → a₁ = a₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Finset ℝ≥0∞
hs : ∀ (x : α), ↑f x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {↑f x}) ≠ 0 → ↑f x ∈ s
\u22a2 ∀ b ∈ s, b * μ (↑f ⁻¹' {b}) ≠ 0 → ∃ a, ∃ (h₁ : a ∈ f.range) (h₂ : a * μ (↑f ⁻¹' {a}) ≠ 0), (fun r x x => r) a h₁ h₂ = b
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Finset ℝ≥0∞
hs : ∀ (x : α), ↑f x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {↑f x}) ≠ 0 → ↑f x ∈ s
\u22a2 ∀ (a : ℝ≥0∞) (h₁ : a ∈ f.range) (h₂ : a * μ (↑f ⁻¹' {a}) ≠ 0), a * μ (↑f ⁻¹' {a}) = (fun r x x => r) a h₁ h₂ * μ (↑f ⁻¹' {(fun r x x => r) a h₁ h₂})
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
n p : ℕ
\u22a2 p ∈ n.primeFactorsList ↔ Prime p ∧ p ∣ n ∧ n ≠ 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ∫ (x : γ), κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (univ ×ˢ s)).toReal
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : CharP k p
n : ℕ
\u22a2 ∃ f, ∀ (x y : 𝕎 k), (x * y).coeff (n + 1) = x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : CharP k p
n : ℕ
f : TruncatedWittVector p (n + 1) k → TruncatedWittVector p (n + 1) k → k
hf : ∀ (x y : 𝕎 k), f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y) = (x * y).coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) - x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)
\u22a2 ∃ f, ∀ (x y : 𝕎 k), (x * y).coeff (n + 1) = x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : CharP k p
n : ℕ
f : TruncatedWittVector p (n + 1) k → TruncatedWittVector p (n + 1) k → k
hf : ∀ (x y : 𝕎 k), f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y) = (x * y).coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) - x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)
\u22a2 ∀ (x y : 𝕎 k), (x * y).coeff (n + 1) = x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y)
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
a : α
v : Vector α n
i : Fin n
\u22a2 (a ::ᵥ v).get i.succ = v.get i
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a✝ b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
a : A
\u22a2 (AlgebraicIndependent R fun o => o.elim a x) ↔ ¬_root_.IsAlgebraic (↥(adjoin R (range x))) a
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a✝ b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
a : A
\u22a2 Injective (⇑↑(Polynomial.aeval a) ∘ ⇑hx.mvPolynomialOptionEquivPolynomialAdjoin.toRingHom) ↔ Injective ⇑(Polynomial.aeval a)
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 2 < n
no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
\u22a2 n.centralBinom ≤ (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3)
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 2 < n
no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
n_pos : 0 < n
\u22a2 n.centralBinom ≤ (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3)
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 2 < n
no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
n_pos : 0 < n
n2_pos : 1 ≤ 2 * n
\u22a2 n.centralBinom ≤ (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3)
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 2 < n
no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
n_pos : 0 < n
n2_pos : 1 ≤ 2 * n
S : Finset ℕ := Finset.filter Nat.Prime (Finset.range (2 * n / 3 + 1))
f : ℕ → ℕ := fun x => x ^ n.centralBinom.factorization x
\u22a2 n.centralBinom ≤ (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3)
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 2 < n
no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
n_pos : 0 < n
n2_pos : 1 ≤ 2 * n
S : Finset ℕ := Finset.filter Nat.Prime (Finset.range (2 * n / 3 + 1))
f : ℕ → ℕ := fun x => x ^ n.centralBinom.factorization x
this : ∏ x ∈ S, f x = ∏ x ∈ Finset.range (2 * n / 3 + 1), f x
\u22a2 n.centralBinom ≤ (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3)
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 2 < n
no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
n_pos : 0 < n
n2_pos : 1 ≤ 2 * n
S : Finset ℕ := Finset.filter Nat.Prime (Finset.range (2 * n / 3 + 1))
f : ℕ → ℕ := fun x => x ^ n.centralBinom.factorization x
this : ∏ x ∈ S, f x = ∏ x ∈ Finset.range (2 * n / 3 + 1), f x
\u22a2 (∏ x ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ (2 * n).sqrt) S, f x) * ∏ x ∈ Finset.filter (fun x => ¬x ≤ (2 * n).sqrt) S, f x ≤ (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3)
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 2 < n
no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
n_pos : 0 < n
n2_pos : 1 ≤ 2 * n
S : Finset ℕ := Finset.filter Nat.Prime (Finset.range (2 * n / 3 + 1))
f : ℕ → ℕ := fun x => x ^ n.centralBinom.factorization x
this : ∏ x ∈ S, f x = ∏ x ∈ Finset.range (2 * n / 3 + 1), f x
\u22a2 ∏ x ∈ Finset.filter (fun x => x ≤ (2 * n).sqrt) S, f x ≤ (2 * n) ^ (2 * n).sqrt
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 2 < n
no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
n_pos : 0 < n
n2_pos : 1 ≤ 2 * n
S : Finset ℕ := Finset.filter Nat.Prime (Finset.range (2 * n / 3 + 1))
f : ℕ → ℕ := fun x => x ^ n.centralBinom.factorization x
this : ∏ x ∈ S, f x = ∏ x ∈ Finset.range (2 * n / 3 + 1), f x
\u22a2 ∏ x ∈ Finset.filter (fun x => ¬x ≤ (2 * n).sqrt) S, f x ≤ 4 ^ (2 * n / 3)
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Inverse.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
φ : MvPowerSeries σ k
h : (constantCoeff σ k) φ = 0
n : σ →₀ ℕ
\u22a2 (coeff k n) φ⁻¹ = (coeff k n) 0