ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommGroup β
inst✝ : DecidableEq α
h : s₁ ⊆ s₂
\u22a2 ∏ x ∈ s₂ \ s₁, f x = (∏ x ∈ s₂, f x) / ∏ x ∈ s₁, f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m m0 m0' : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
hm0 : m0 ≤ m0'
μ : Measure α
f g : α → β
hg_meas : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae (μ.trim hm0)] g
\u22a2 AEStronglyMeasurable' m f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝² : One β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : MetrizableSpace β
hf : StronglyMeasurable f
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
\u22a2 MeasurableSet (mulSupport f)
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Result.lean
α✝ : Type u
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n d : ℕ
inv✝ : Invertible ↑d
\u22a2 ↑(Int.ofNat n) * ⅟↑d = ↑n / ↑d
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.10991, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : IsZero S.X₂
\u22a2 S.Exact
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.10991, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : IsZero S.X₂
\u22a2 IsZero (HomologyData.ofZeros S ⋯ ⋯).left.H
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
\u22a2 ∃ K ⊆ A, IsCompact K ∧ IsClosed K ∧ μ (A \ K) < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
K : Set α
hKA : K ⊆ A
hKco : IsCompact K
hKcl : IsClosed K
hK : μ A < μ K + ε
\u22a2 ∃ K ⊆ A, IsCompact K ∧ IsClosed K ∧ μ (A \ K) < ε
-- Mathlib/Order/Filter/EventuallyConst.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f : α → β
inst✝ : One β
s : Set α
c : β
\u22a2 EventuallyConst (s.mulIndicator fun x => c) l ↔ c = 1 ∨ EventuallyConst s l
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
\u22a2 (o.oangle y (y - x)).sin * ‖y - x‖ = ‖x‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1
\u22a2 (o.oangle y (y - x)).sin * ‖y - x‖ = ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s t : Set E
\u22a2 StarConvex 𝕜 x s ↔ ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • {x} + b • s ⊆ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s t : Set E
\u22a2 StarConvex 𝕜 x s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • {x} + b • s ⊆ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Quasiconvex.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
\u22a2 QuasilinearOn 𝕜 s f ↔ Convex 𝕜 s ∧ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ∈ uIcc (f x) (f y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Quasiconvex.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
\u22a2 (Convex 𝕜 s ∧ (∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ max (f x) (f y)) ∧ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → min (f x) (f y) ≤ f (a • x + b • y)) ↔ Convex 𝕜 s ∧ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ∈ uIcc (f x) (f y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Quasiconvex.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
\u22a2 ((∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ max (f x) (f y)) ∧ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → min (f x) (f y) ≤ f (a • x + b • y)) ↔ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ∈ uIcc (f x) (f y)
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
h : ¬IsOfFinOrder x
s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}
\u22a2 {y | ¬IsOfFinOrder y}.Infinite
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
h : ¬IsOfFinOrder x
s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}
hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}
\u22a2 {y | ¬IsOfFinOrder y}.Infinite
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
h : ¬IsOfFinOrder x
s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}
hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}
\u22a2 s.Infinite
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}
hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}
h : ¬s.Infinite
\u22a2 IsOfFinOrder x
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x✝ y a : G
m n : ℕ
x : G
s : Set G := (fun n => x ^ n) '' {n | 0 < n}
hs : s ⊆ {y | ¬IsOfFinOrder y}
h : ¬s.Infinite
this : ¬Injective fun n => x ^ n
\u22a2 IsOfFinOrder x
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/SeparableDegree.lean
F : Type u_1
inst✝ : CommSemiring F
q : ℕ
f : F[X]
hf✝ : HasSeparableContraction q f
g : F[X]
hf : IsSeparableContraction q f g
\u22a2 ∃ m, g.natDegree * q ^ m = f.natDegree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/SeparableDegree.lean
F : Type u_1
inst✝ : CommSemiring F
q : ℕ
g : F[X]
m : ℕ
hf✝ : HasSeparableContraction q ((expand F (q ^ m)) g)
hf : IsSeparableContraction q ((expand F (q ^ m)) g) g
\u22a2 ∃ m_1, g.natDegree * q ^ m_1 = ((expand F (q ^ m)) g).natDegree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/SeparableDegree.lean
F : Type u_1
inst✝ : CommSemiring F
q : ℕ
g : F[X]
m : ℕ
hf✝ : HasSeparableContraction q ((expand F (q ^ m)) g)
hf : IsSeparableContraction q ((expand F (q ^ m)) g) g
\u22a2 g.natDegree * q ^ m = ((expand F (q ^ m)) g).natDegree
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
\u22a2 ↑(toSimpleFunc 0) =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
a✝¹ : α
h₁ : ↑(toSimpleFunc 0) a✝¹ = ↑↑↑0 a✝¹
a✝ : ↑↑0 a✝¹ = 0 a✝¹
\u22a2 ↑(toSimpleFunc 0) a✝¹ = 0 a✝¹
-- Mathlib/Data/Finite/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
this : Fintype α
\u22a2 0 < Nat.card α ↔ Nonempty α
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
\u22a2 ∃ I, (∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x₀, ∑ i ∈ I, (ρ i) x = 1) ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (support fun x_1 => (ρ x_1) x) ⊆ ↑I
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
I : Finset ι
hI : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (support fun i => (ρ i) x) ⊆ ↑I
\u22a2 ∃ I, (∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x₀, ∑ i ∈ I, (ρ i) x = 1) ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (support fun x_1 => (ρ x_1) x) ⊆ ↑I
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
I : Finset ι
hI : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (support fun i => (ρ i) x) ⊆ ↑I
x : X
hx : (support fun i => (ρ i) x) ⊆ ↑I
x_in : x ∈ s
\u22a2 ∑ i ∈ I, (ρ i) x = 1
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
I : Finset ι
hI : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (support fun i => (ρ i) x) ⊆ ↑I
x : X
hx : (support fun i => (ρ i) x) ⊆ ↑I
x_in : x ∈ s
this : ∑ᶠ (i : ι), (ρ i) x = ∑ i ∈ I, (ρ i) x
\u22a2 ∑ i ∈ I, (ρ i) x = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Contraction.lean
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
b : Basis ι R M
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : _root_.Finite n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
bM : Basis m R M
bN : Basis n R N
j : m
i i' : n
j' : m
\u22a2 (toMatrix bM bN) ((dualTensorHom R M N) (bM.coord j ⊗ₜ[R] bN i)) i' j' = stdBasisMatrix i j 1 i' j'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Contraction.lean
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
b : Basis ι R M
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : _root_.Finite n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
bM : Basis m R M
bN : Basis n R N
j : m
i i' : n
j' : m
hij : ¬(i = i' ∧ j = j')
\u22a2 Pi.single i (Pi.single j' 1 j) i' = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Contraction.lean
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
b : Basis ι R M
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : _root_.Finite n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
bM : Basis m R M
bN : Basis n R N
j : m
i i' : n
j' : m
hij : ¬i = i' ∨ ¬j = j'
\u22a2 Pi.single i (Pi.single j' 1 j) i' = 0
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
f : Filter α
g : Filter γ
p : α × γ × γ → Prop
h : ∀ᶠ (x : α × γ × γ) in f ×ˢ g ×ˢ g, p x
\u22a2 ∀ᶠ (x : α × γ) in f ×ˢ g, p (x.1, x.2, x.2)
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t✝ : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
f : Filter α
g : Filter γ
p : α × γ × γ → Prop
h : ∀ᶠ (x : α × γ × γ) in f ×ˢ g ×ˢ g, p x
t : α → Prop
ht : ∀ᶠ (x : α) in f, t x
s : γ × γ → Prop
hs : ∀ᶠ (y : γ × γ) in g ×ˢ g, s y
hst : ∀ {x : α}, t x → ∀ {y : γ × γ}, s y → p (x, y)
\u22a2 ∀ᶠ (x : α × γ) in f ×ˢ g, p (x.1, x.2, x.2)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/DotProduct.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
B : Matrix p m R
\u22a2 B * (A * Aᴴ) = 0 ↔ B * A = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
k : ℕ
hx : 0 < x
\u22a2 logb b (x ^ k) = ↑k * logb b x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
\u22a2 StronglyMeasurable f ↔ Measurable f ∧ IsSeparable (range f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
x✝ : Measurable f ∧ IsSeparable (range f)
Hm : Measurable f
Hsep : IsSeparable (range f)
\u22a2 StronglyMeasurable f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
x✝ : Measurable f ∧ IsSeparable (range f)
Hm : Measurable f
Hsep : IsSeparable (range f)
this : SecondCountableTopology ↑(range f)
\u22a2 StronglyMeasurable f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
x✝ : Measurable f ∧ IsSeparable (range f)
Hm : Measurable f
Hsep : IsSeparable (range f)
this : SecondCountableTopology ↑(range f)
Hm' : StronglyMeasurable (rangeFactorization f)
\u22a2 StronglyMeasurable f
-- Mathlib/Algebra/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
hs : IsUpperSet s
\u22a2 IsUpperSet (s * t)
-- Mathlib/Algebra/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
hs : IsUpperSet s
\u22a2 IsUpperSet (t * s)
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : WalkingParallelPair ⥤ TopCat
U : Set ↑(colimit F)
\u22a2 IsOpen U ↔ IsOpen (⇑(colimit.ι F WalkingParallelPair.one) ⁻¹' U)
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : WalkingParallelPair ⥤ TopCat
U : Set ↑(colimit F)
\u22a2 (∀ (j : WalkingParallelPair), IsOpen (⇑(colimit.ι F j) ⁻¹' U)) ↔ IsOpen (⇑(colimit.ι F WalkingParallelPair.one) ⁻¹' U)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
a a' : α
b : M
inst✝ : Unique α
b' : M
\u22a2 single a b = single a' b' ↔ b = b'
-- Mathlib/Data/Complex/Order.lean
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
\u22a2 ↑x ≤ ↑y
-- Mathlib/Algebra/Order/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : Preorder G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a < b
h₂ : c ≤ d
\u22a2 a • c < b • d
-- Mathlib/Algebra/Order/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : Preorder G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a < b
h₂ : c ≤ d
\u22a2 a • d < b • d
-- Mathlib/Algebra/Order/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : Preorder G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a < b
h₂ : c ≤ d
\u22a2 ¬b • d ≤ a • d
-- Mathlib/Algebra/Order/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : Preorder G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a < b
h₂ : c ≤ d
hbad : b • d ≤ a • d
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Order/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : Preorder G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a < b
h₂ : c ≤ d
hbad : b • d ≤ a • d
h : b ≤ a
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Order/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : Preorder G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
h₂ : c ≤ d
hbad : b • d ≤ a • d
h : b ≤ a
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
\u22a2 sublistsLen 1 [] = map (fun x => [x]) [].reverse
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
a : α
s : List α
ih : sublistsLen 1 s = map (fun x => [x]) s.reverse
\u22a2 sublistsLen 1 (a :: s) = map (fun x => [x]) (a :: s).reverse
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
a : α
s : List α
ih : sublistsLen 1 s = map (fun x => [x]) s.reverse
\u22a2 map (fun x => [x]) s.reverse ++ map (cons a) [[]] = map (fun x => [x]) s.reverse ++ map (fun x => [x]) [a]
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
h : R ⊆ E
\u22a2 freeOn E ↾ R = freeOn R
-- Mathlib/Analysis/Convex/Body.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace ℝ V
K✝ L✝ K L : ConvexBody V
\u22a2 EMetric.hausdorffEdist ↑K ↑L ≠ ⊤
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l : ℕ
\u22a2 Ico n m ∩ Ico m l = []
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s✝ s s' : Set (Sym2 V)
\u22a2 (G'.deleteEdges s).deleteEdges s' = G'.deleteEdges (s ∪ s')
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
\u22a2 {x | ∃ k, beattySeq' r k = x}ᶜ = {x | ∃ k, beattySeq s k = x}
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u : α → β
x : β
h₁ : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h₂ : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
\u22a2 x ≤ limsup u f ↔ ∀ y < x, ∃ᶠ (a : α) in f, y < u a
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u : α → β
x : β
h₁ : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h₂ : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h : ∀ y < x, ∃ᶠ (a : α) in f, y < u a
\u22a2 x ≤ limsup u f
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
\u22a2 WithBot.some ∘ WithTop.some ⁻¹' Ioi ⊥ = univ
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
\u22a2 WithTop.some ⁻¹' (WithBot.some ⁻¹' Ioi ⊥) = univ
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
x y : α
\u22a2 f * swap x y = swap (f x) (f y) * f
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
\u22a2 LinearIndependent R v ↔ ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), (∀ i ∉ s, g i = 0) → ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0
-- Mathlib/Data/List/Enum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
i : ℕ
x : α
l : List α
\u22a2 (i, x) ∈ l.enum ↔ l.get? i = some x
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v
\u22a2 #↑{f | Surjective f} = 0 ↔ lift.{v, u} #α < lift.{u, v} #β' ∨ #α ≠ 0 ∧ #β' = 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v
\u22a2 #↑{f | Surjective f} ≠ 0 ↔ (#α = 0 ∨ ¬#β' = 0) ∧ Nonempty (β' ↪ α)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
\u22a2 CompleteSpace α ↔ ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → ∃ x, ↑l ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
\u22a2 hurwitzZeta (↑x) (1 - 2 * ↑k) = -1 / (2 * ↑k) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
\u22a2 hurwitzZetaOdd (↑x) (1 - 2 * ↑k) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
k : ℕ
hk : k.succ ≠ 0
\u22a2 hurwitzZetaOdd (↑x) (1 - 2 * ↑k.succ) = 0
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ u : Finset α
a b : α
r : ℕ
s t : Colex α
\u22a2 s < t ↔ ∃ (h : s ≠ t), (s.ofColex ∆ t.ofColex).max' ⋯ ∈ t.ofColex
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ u : Finset α
a b : α
r : ℕ
s t : Colex α
\u22a2 (∀ (h : s ≠ t), (s.ofColex ∆ t.ofColex).max' ⋯ ∈ t.ofColex) ∧ s ≠ t ↔ ∃ (h : s ≠ t), (s.ofColex ∆ t.ofColex).max' ⋯ ∈ t.ofColex
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
\u22a2 x.toReal ^ z = (x ^ z).toReal
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
\u22a2 image.ι f ≫ cokernel.π f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
w : f ≫ cokernel.π f = 0
\u22a2 image.ι f ≫ cokernel.π f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
w : (factorThruImage f ≫ image.ι f) ≫ cokernel.π f = 0
\u22a2 image.ι f ≫ cokernel.π f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
w : image.ι f ≫ cokernel.π f = 0
\u22a2 image.ι f ≫ cokernel.π f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
\u22a2 f ≫ cokernel.π (image.ι f) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
\u22a2 (factorThruImage f ≫ image.ι f) ≫ cokernel.π (image.ι f) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
s : Set α
\u22a2 (c • OuterMeasure.ofFunction m m_empty) s = (OuterMeasure.ofFunction (c • m) ⋯) s