ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
der1 : ∀ x ∈ uIcc 0 (π / 2), HasDerivAt (fun y => ↑(cos y) ^ n) (-↑n * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1)) x
\u22a2 (fun x => Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) = fun x => ↑(cos x) ^ n * Complex.cos (2 * z * ↑x)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
der1 : ∀ x ∈ uIcc 0 (π / 2), HasDerivAt (fun y => ↑(cos y) ^ n) (-↑n * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1)) x
\u22a2 ↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.sin (2 * z * ↑x) * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1) = ↑(cos (π / 2)) ^ n * (Complex.sin (2 * z * ↑(π / 2)) / (2 * z)) - ↑(cos 0) ^ n * (Complex.sin (2 * z * ↑0) / (2 * z)) - ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, -↑n * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1) * (Complex.sin (2 * z * ↑x) / (2 * z))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
der1 : ∀ x ∈ uIcc 0 (π / 2), HasDerivAt (fun y => ↑(cos y) ^ n) (-↑n * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1)) x
\u22a2 IntervalIntegrable (fun x => -↑n * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1)) volume 0 (π / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
der1 : ∀ x ∈ uIcc 0 (π / 2), HasDerivAt (fun y => ↑(cos y) ^ n) (-↑n * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1)) x
\u22a2 IntervalIntegrable (fun x => Complex.cos (2 * z * ↑x)) volume 0 (π / 2)
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
α : E
halg : IsAlgebraic F α
\u22a2 finSepDegree F ↥F⟮α⟯ ≤ finrank F ↥F⟮α⟯
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
α : E
halg : IsAlgebraic F α
this : FiniteDimensional F ↥F⟮α⟯
\u22a2 finSepDegree F ↥F⟮α⟯ ≤ finrank F ↥F⟮α⟯
-- Mathlib/Dynamics/Flow.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
ϕ : τ → α → α
s : Set α
\u22a2 IsInvariant ϕ s ↔ ∀ (t : τ), ϕ t '' s ⊆ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
\u22a2 GradedMonoid.GMul.mul ((tprod R) a) ((tprod R) b) = (tprod R) (Fin.append a b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
\u22a2 (reindex R (fun x => M) finSumFinEquiv) ((tmulEquiv R M) ((tprod R) a ⊗ₜ[R] (tprod R) b)) = (tprod R) (Fin.append a b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
\u22a2 (reindex R (fun x => M) finSumFinEquiv) ((tprod R) fun i => Sum.elim a b i) = (tprod R) (Fin.append a b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
\u22a2 ((tprod R) fun i => Sum.elim a b (finSumFinEquiv.symm i)) = (tprod R) (Fin.append a b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
\u22a2 (fun i => Sum.elim a b (finSumFinEquiv.symm i)) = Fin.append a b
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
\u22a2 (fun i => Sum.elim a b (Fin.addCases Sum.inl Sum.inr i)) = Fin.addCases a b
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb : ℕ
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
\u22a2 ∀ (x : Fin (na + nb)), Sum.elim a b (Fin.addCases Sum.inl Sum.inr x) = Fin.addCases a b x
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Center.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y₁ Y₂ : Center C
f : Y₁ ⟶ Y₂
U : C
\u22a2 (X.fst ◁ f.f) ▷ U ≫ ((X.tensorObj Y₂).snd.β U).hom = ((X.tensorObj Y₁).snd.β U).hom ≫ U ◁ X.fst ◁ f.f
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Center.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y₁ Y₂ : Center C
f : Y₁ ⟶ Y₂
U : C
\u22a2 (X.fst ◁ f.f) ▷ U ≫ (α_ X.fst Y₂.fst U).hom ≫ X.fst ◁ (Y₂.snd.β U).hom ≫ (α_ X.fst U Y₂.fst).inv ≫ (X.snd.β U).hom ▷ Y₂.fst ≫ (α_ U X.fst Y₂.fst).hom = ((α_ X.fst Y₁.fst U).hom ≫ X.fst ◁ (Y₁.snd.β U).hom ≫ (α_ X.fst U Y₁.fst).inv ≫ (X.snd.β U).hom ▷ Y₁.fst ≫ (α_ U X.fst Y₁.fst).hom) ≫ U ◁ X.fst ◁ f.f
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝ : ν.IsOpenPosMeasure
f g : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
g_nonneg : 0 ≤ g
x₀ : G
g_pos : g x₀ ≠ 0
\u22a2 ∫ (x : G), f x ∂μ = (∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν) * ∫ (x : G), g x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝ : ν.IsOpenPosMeasure
f g : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
g_nonneg : 0 ≤ g
x₀ : G
g_pos : g x₀ ≠ 0
Hf : f = 0
\u22a2 ∫ (x : G), f x ∂μ = (∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν) * ∫ (x : G), g x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝ : ν.IsOpenPosMeasure
f g : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
g_nonneg : 0 ≤ g
x₀ : G
g_pos : g x₀ ≠ 0
Hf : LocallyCompactSpace G
\u22a2 ∫ (x : G), f x ∂μ = (∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν) * ∫ (x : G), g x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝ : ν.IsOpenPosMeasure
f g : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
g_nonneg : 0 ≤ g
x₀ : G
g_pos : g x₀ ≠ 0
Hf : LocallyCompactSpace G
D : G → ℝ := fun x => ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂ν
\u22a2 ∫ (x : G), f x ∂μ = (∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν) * ∫ (x : G), g x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝ : ν.IsOpenPosMeasure
f g : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
g_nonneg : 0 ≤ g
x₀ : G
g_pos : g x₀ ≠ 0
Hf : LocallyCompactSpace G
D : G → ℝ := fun x => ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂ν
D_cont : Continuous D
\u22a2 ∫ (x : G), f x ∂μ = (∫ (y : G), f y * (∫ (z : G), g (z⁻¹ * y) ∂ν)⁻¹ ∂ν) * ∫ (x : G), g x ∂μ
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≠ b
\u22a2 {a, b}.card = 2
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
B : E →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜
v w : E
\u22a2 ⟪B♯ v, w⟫_𝕜 = (B v) w
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
f : α → δ
h : μ ≤ ν
hf : AEMeasurable f ν
s : Set δ
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (map f μ) s ≤ (map f ν) s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CauSeqFilter.lean
β : Type v
inst✝¹ : NormedRing β
hn : IsAbsoluteValue norm
f : CauSeq β norm
inst✝ : IsComplete β norm
s : Set β
os : IsOpen s
lfs : f.lim ∈ s
\u22a2 ∃ a, ∀ b ≥ a, ↑f b ∈ s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CauSeqFilter.lean
β : Type v
inst✝¹ : NormedRing β
hn : IsAbsoluteValue norm
f : CauSeq β norm
inst✝ : IsComplete β norm
s : Set β
os : IsOpen s
lfs : f.lim ∈ s
ε : ℝ
hε : ε > 0
hεs : Metric.ball f.lim ε ⊆ s
\u22a2 ∃ a, ∀ b ≥ a, ↑f b ∈ s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CauSeqFilter.lean
β : Type v
inst✝¹ : NormedRing β
hn : IsAbsoluteValue norm
f : CauSeq β norm
inst✝ : IsComplete β norm
s : Set β
os : IsOpen s
lfs : f.lim ∈ s
ε : ℝ
hε : ε > 0
hεs : Metric.ball f.lim ε ⊆ s
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ‖↑(const norm f.lim - f) j‖ < ε
\u22a2 ∃ a, ∀ b ≥ a, ↑f b ∈ s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CauSeqFilter.lean
β : Type v
inst✝¹ : NormedRing β
hn : IsAbsoluteValue norm
f : CauSeq β norm
inst✝ : IsComplete β norm
s : Set β
os : IsOpen s
lfs : f.lim ∈ s
ε : ℝ
hε : ε > 0
hεs : Metric.ball f.lim ε ⊆ s
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ‖↑(const norm f.lim - f) j‖ < ε
b : ℕ
hb : b ≥ N
\u22a2 dist (↑f b) f.lim < ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CauSeqFilter.lean
β : Type v
inst✝¹ : NormedRing β
hn : IsAbsoluteValue norm
f : CauSeq β norm
inst✝ : IsComplete β norm
s : Set β
os : IsOpen s
lfs : f.lim ∈ s
ε : ℝ
hε : ε > 0
hεs : Metric.ball f.lim ε ⊆ s
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ‖↑(const norm f.lim - f) j‖ < ε
b : ℕ
hb : b ≥ N
\u22a2 ‖f.lim - ↑f b‖ < ε
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
s : ℕ
hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)
\u22a2 Nat.card (G ⧸ H) * Nat.card ↥H = s * p * Nat.card ↥H
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
s : ℕ
hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)
hcard : Nat.card (G ⧸ H) = s * p
hm : s * p % p = Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer) % p
\u22a2 Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer) % p = 0
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
s : ℕ
hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)
hcard : Nat.card (G ⧸ H) = s * p
hm : s * p % p = Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer) % p
hm' : p ∣ Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer)
x : ↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer
hx : orderOf x = p
hequiv : ↥H ≃ ↥(H.subgroupOf H.normalizer)
\u22a2 Nat.card ↑(Subtype.val '' ↑(comap (mk' (H.subgroupOf H.normalizer)) (zpowers x))) = p ^ (n + 1)
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
s : ℕ
hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)
hcard : Nat.card (G ⧸ H) = s * p
hm : s * p % p = Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer) % p
hm' : p ∣ Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer)
x : ↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer
hx : orderOf x = p
hequiv : ↥H ≃ ↥(H.subgroupOf H.normalizer)
\u22a2 Nat.card ↑↑(comap (mk' (H.subgroupOf H.normalizer)) (zpowers x)) = Nat.card (↥(H.subgroupOf H.normalizer) × ↥(zpowers x))
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
s : ℕ
hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)
hcard : Nat.card (G ⧸ H) = s * p
hm : s * p % p = Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer) % p
hm' : p ∣ Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer)
x : ↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer
hx : orderOf x = p
hequiv : ↥H ≃ ↥(H.subgroupOf H.normalizer)
y : G
hy : y ∈ H
\u22a2 y ∈ Subgroup.map H.normalizer.subtype (comap (mk' (H.subgroupOf H.normalizer)) (zpowers x))
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
s : ℕ
hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)
hcard : Nat.card (G ⧸ H) = s * p
hm : s * p % p = Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer) % p
hm' : p ∣ Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer)
x : ↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer
hx : orderOf x = p
hequiv : ↥H ≃ ↥(H.subgroupOf H.normalizer)
y : G
hy : y ∈ H
\u22a2 ∃ x_1, ↑x_1 ∈ zpowers x ∧ ↑x_1 = y
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
s : ℕ
hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)
hcard : Nat.card (G ⧸ H) = s * p
hm : s * p % p = Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer) % p
hm' : p ∣ Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer)
x : ↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer
hx : orderOf x = p
hequiv : ↥H ≃ ↥(H.subgroupOf H.normalizer)
y : G
hy : y ∈ H
\u22a2 (fun x_1 => x ^ x_1) 0 = ↑⟨y, ⋯⟩
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
s : ℕ
hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)
hcard : Nat.card (G ⧸ H) = s * p
hm : s * p % p = Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer) % p
hm' : p ∣ Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer)
x : ↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer
hx : orderOf x = p
hequiv : ↥H ≃ ↥(H.subgroupOf H.normalizer)
y : G
hy : y ∈ H
\u22a2 x ^ 0 = ↑⟨y, ⋯⟩
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
s : ℕ
hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)
hcard : Nat.card (G ⧸ H) = s * p
hm : s * p % p = Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer) % p
hm' : p ∣ Nat.card (↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer)
x : ↥H.normalizer ⧸ H.subgroupOf H.normalizer
hx : orderOf x = p
hequiv : ↥H ≃ ↥(H.subgroupOf H.normalizer)
y : G
hy : y ∈ H
\u22a2 ⟨y, ⋯⟩ ∈ H.subgroupOf H.normalizer
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K✝ : Type u
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Algebra F K✝
L : Type u_3
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K✝ L
inst✝ : FiniteDimensional F E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
K : IntermediateField F E
g : E[X] := Polynomial.map (algebraMap (↥K) E) (minpoly (↥K) α)
K' : IntermediateField F E := adjoin F ↑g.coeffs
\u22a2 K' = K
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K✝ : Type u
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Algebra F K✝
L : Type u_3
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K✝ L
inst✝ : FiniteDimensional F E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
K : IntermediateField F E
g : E[X] := Polynomial.map (algebraMap (↥K) E) (minpoly (↥K) α)
K' : IntermediateField F E := adjoin F ↑g.coeffs
hsub : K' ≤ K
\u22a2 K' = K
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K✝ : Type u
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Algebra F K✝
L : Type u_3
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K✝ L
inst✝ : FiniteDimensional F E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
K : IntermediateField F E
g : E[X] := Polynomial.map (algebraMap (↥K) E) (minpoly (↥K) α)
K' : IntermediateField F E := adjoin F ↑g.coeffs
hsub : K' ≤ K
dvd_g : minpoly (↥K') α ∣ g.toSubring K'.toSubring ⋯
\u22a2 K' = K
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K✝ : Type u
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Algebra F K✝
L : Type u_3
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K✝ L
inst✝ : FiniteDimensional F E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
K : IntermediateField F E
g : E[X] := Polynomial.map (algebraMap (↥K) E) (minpoly (↥K) α)
K' : IntermediateField F E := adjoin F ↑g.coeffs
hsub : K' ≤ K
dvd_g : minpoly (↥K') α ∣ g.toSubring K'.toSubring ⋯
finrank_eq : ∀ (K : IntermediateField F E), finrank (↥K) E = (minpoly (↥K) α).natDegree
\u22a2 K' = K
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K✝ : Type u
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Algebra F K✝
L : Type u_3
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K✝ L
inst✝ : FiniteDimensional F E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
K : IntermediateField F E
g : E[X] := Polynomial.map (algebraMap (↥K) E) (minpoly (↥K) α)
K' : IntermediateField F E := adjoin F ↑g.coeffs
hsub : K' ≤ K
dvd_g : minpoly (↥K') α ∣ g.toSubring K'.toSubring ⋯
finrank_eq : ∀ (K : IntermediateField F E), finrank (↥K) E = (minpoly (↥K) α).natDegree
\u22a2 finrank (↥K') E ≤ finrank (↥K) E
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K✝ : Type u
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Algebra F K✝
L : Type u_3
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K✝ L
inst✝ : FiniteDimensional F E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
K : IntermediateField F E
g : E[X] := Polynomial.map (algebraMap (↥K) E) (minpoly (↥K) α)
K' : IntermediateField F E := adjoin F ↑g.coeffs
hsub : K' ≤ K
dvd_g : minpoly (↥K') α ∣ g.toSubring K'.toSubring ⋯
finrank_eq : ∀ (K : IntermediateField F E), finrank (↥K) E = (minpoly (↥K) α).natDegree
\u22a2 (minpoly (↥K') α).natDegree ≤ (minpoly (↥K) α).natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K✝ : Type u
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Algebra F K✝
L : Type u_3
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K✝ L
inst✝ : FiniteDimensional F E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
K : IntermediateField F E
g : E[X] := Polynomial.map (algebraMap (↥K) E) (minpoly (↥K) α)
K' : IntermediateField F E := adjoin F ↑g.coeffs
hsub : K' ≤ K
dvd_g : minpoly (↥K') α ∣ g.toSubring K'.toSubring ⋯
finrank_eq : ∀ (K : IntermediateField F E), finrank (↥K) E = (minpoly (↥K) α).natDegree
\u22a2 (minpoly (↥K) α).natDegree = (g.toSubring K'.toSubring ⋯).natDegree
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁ : na * ↑db + nb * ↑da = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
\u22a2 IsRat (↑na * ⅟↑da + ↑nb * ⅟↑db) nc dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁ : na * ↑db + nb * ↑da = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
\u22a2 ↑na * ⅟↑da + ↑nb * ⅟↑db = ↑nc * ⅟↑dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁ : na * ↑db + nb * ↑da = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
\u22a2 ↑na * ⅟↑da + ↑nb * ⅟↑db = ↑nc * ⅟↑dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * ↑db + nb * ↑da = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : (fun x => ↑x * (⅟↑da * ⅟↑db)) (na * ↑db + nb * ↑da) = (fun x => ↑x * (⅟↑da * ⅟↑db)) (↑k * nc)
\u22a2 ↑na * ⅟↑da + ↑nb * ⅟↑db = ↑nc * ⅟↑dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * ↑db + nb * ↑da = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ↑db * ⅟↑da * ⅟↑db + ↑nb * ⅟↑db = ↑k * ↑nc * ⅟↑da * ⅟↑db
\u22a2 ↑na * ⅟↑da + ↑nb * ⅟↑db = ↑nc * ⅟↑dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * ↑db + nb * ↑da = ↑k * nc
h₂✝ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ↑db * ⅟↑da * ⅟↑db + ↑nb * ⅟↑db = ↑k * ↑nc * ⅟↑da * ⅟↑db
h₂ : (fun x => ↑nc * ↑x * (⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc)) (da * db) = (fun x => ↑nc * ↑x * (⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc)) (k * dc)
\u22a2 ↑na * ⅟↑da + ↑nb * ⅟↑db = ↑nc * ⅟↑dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * ↑db + nb * ↑da = ↑k * nc
h₂✝ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ⅟↑da + ↑nb * ⅟↑db = ↑k * ↑nc * ⅟↑db * ⅟↑da
h₂ : ↑nc * ⅟↑dc = ↑nc * ↑k * ↑dc * ⅟↑db * ⅟↑da * ⅟↑dc
\u22a2 ↑na * ⅟↑da + ↑nb * ⅟↑db = ↑nc * ⅟↑dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * ↑db + nb * ↑da = ↑k * nc
h₂✝ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ⅟↑da + ↑nb * ⅟↑db = ↑k * ↑nc * ⅟↑db * ⅟↑da
h₂ : ↑nc * ⅟↑dc = ↑nc * ↑k * ↑dc * ⅟↑db * ⅟↑da * ⅟↑dc
\u22a2 ↑nc * ↑k * ⅟↑db * ⅟↑da = ↑nc * ↑k * ↑dc * ⅟↑db * ⅟↑da * ⅟↑dc
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
hg : ↑g 1 = p
\u22a2 ↑(g • z) = ↑((lcRow0 p) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) g)) / (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) + (↑(p 1) * ↑z - ↑(p 0)) / ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)))
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
hg : ↑g 1 = p
nonZ1 : ↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2 ≠ 0
\u22a2 ↑(g • z) = ↑((lcRow0 p) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) g)) / (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) + (↑(p 1) * ↑z - ↑(p 0)) / ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)))
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
hg : ↑g 1 = p
nonZ1 : ↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2 ≠ 0
this : Int.cast ∘ p ≠ 0
\u22a2 ↑(g • z) = ↑((lcRow0 p) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) g)) / (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) + (↑(p 1) * ↑z - ↑(p 0)) / ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)))
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
hg : ↑g 1 = p
nonZ1 : ↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2 ≠ 0
this : Int.cast ∘ p ≠ 0
nonZ2 : ↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1) ≠ 0
\u22a2 ↑(g • z) = ↑((lcRow0 p) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) g)) / (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) + (↑(p 1) * ↑z - ↑(p 0)) / ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)))
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
hg : ↑g 1 = p
nonZ1 : ↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2 ≠ 0
this : Int.cast ∘ p ≠ 0
nonZ2 : ↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1) ≠ 0
\u22a2 (↑(↑g 0 0) * ↑z + ↑(↑g 0 1)) * ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)))) = ((↑(p 0) * ↑(↑g 0 0) + ↑(p 1) * ↑(↑g 0 1)) * ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1))) + (↑(p 1) * ↑z - ↑(p 0)) * (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2)) * denom (↑g) z