ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
a : F
h : Splits (RingHom.id F) (X ^ n - 1)
ha : ¬a = 0
ha' : (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : X ^ n - C a ≠ 0
hn''' : X ^ n - 1 ≠ 0
mem_range : ∀ {c : (X ^ n - C a).SplittingField}, c ^ n = 1 → ∃ d, (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) d = c
σ τ : (X ^ n - C a).Gal
b : (X ^ n - C a).SplittingField
hb : b ^ n = (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) a
hb' : b ≠ 0
key : ∀ (σ : (X ^ n - C a).Gal), ∃ c, σ b = b * (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) c
\u22a2 (σ * τ) b = (τ * σ) b
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
a : F
h : Splits (RingHom.id F) (X ^ n - 1)
ha : ¬a = 0
ha' : (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : X ^ n - C a ≠ 0
hn''' : X ^ n - 1 ≠ 0
mem_range : ∀ {c : (X ^ n - C a).SplittingField}, c ^ n = 1 → ∃ d, (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) d = c
σ τ : (X ^ n - C a).Gal
b : (X ^ n - C a).SplittingField
hb : b ^ n = (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) a
hb' : b ≠ 0
key : ∀ (σ : (X ^ n - C a).Gal), ∃ c, σ b = b * (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) c
c : F
hc : σ b = b * (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) c
d : F
hd : τ b = b * (algebraMap F (X ^ n - C a).SplittingField) d
\u22a2 (σ * τ) b = (τ * σ) b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
h : G.CliqueFree n
s t : α
\u22a2 (G.replaceVertex s t).CliqueFree n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s t : α
h : ¬(G.replaceVertex s t).CliqueFree n
\u22a2 ¬G.CliqueFree n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s t : α
h : ¬(G.replaceVertex s t).CliqueFree n
φ : Fin n ↪ α
hφ : ∀ {a b : Fin n}, (G.replaceVertex s t).Adj (φ a) (φ b) ↔ ⊤.Adj a b
\u22a2 ¬G.CliqueFree n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s t : α
h : ¬(G.replaceVertex s t).CliqueFree n
φ : Fin n ↪ α
hφ : ∀ {a b : Fin n}, (G.replaceVertex s t).Adj (φ a) (φ b) ↔ ⊤.Adj a b
\u22a2 Nonempty (⊤ ↪g G)
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p : α
h0 : p ≠ 0
hu : ¬IsUnit p
n : ℕ
\u22a2 multiplicity p (p ^ n) = ↑n
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p : α
h0 : p ≠ 0
hu : ¬IsUnit p
n : ℕ
\u22a2 p ^ n ∣ p ^ n ∧ ¬p ^ (n + 1) ∣ p ^ n
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p : α
h0 : p ≠ 0
hu : ¬IsUnit p
n : ℕ
\u22a2 ¬p ^ (n + 1) ∣ p ^ n
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p : α
h0 : p ≠ 0
hu : ¬IsUnit p
n : ℕ
\u22a2 ¬n + 1 ≤ n
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
f : ℝ → ℝ
hf : MeasurableEmbedding f
f' : ℝ → ℝ
h_deriv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (Measure.comap f (gaussianReal μ v)) s = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * gaussianPDFReal μ v (f x))
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
f : ℝ → ℝ
hf : MeasurableEmbedding f
f' : ℝ → ℝ
h_deriv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (Measure.comap f (ℙ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (gaussianPDFReal μ v x))) s = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, |f' x| * gaussianPDFReal μ v (f x))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Lifts.lean
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
p : R[X]
\u22a2 (mapAlg R S) p = map (algebraMap R S) p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Lifts.lean
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
p : R[X]
\u22a2 (p.sum fun e a => C ((algebraMap R S) a) * X ^ e) = p.sum fun e a => (⇑C ∘ ⇑(algebraMap R S)) a * X ^ e
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M
a : α
b : M
\u22a2 erase a (f.update a b) = erase a f
-- Mathlib/Tactic/Ring/Basic.lean
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a a' a₁ a₂ a₃ b b' b₁✝ b₂✝ b₃ c₁ c₂ b₁ : R
b₂ : ℕ
\u22a2 a * (b₁ ^ b₂ * b₃) = b₁ ^ b₂ * (a * b₃)
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : IsReduced R
inst✝ : IsNilpotent R L M
x y : L
\u22a2 ((traceForm R L M) x) y = (0 x) y
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : IsReduced R
inst✝ : IsNilpotent R L M
x y : L
\u22a2 _root_.IsNilpotent ((trace R M) (φ x ∘ₗ φ y))
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : IsReduced R
inst✝ : IsNilpotent R L M
x y : L
\u22a2 _root_.IsNilpotent (φ x ∘ₗ φ y)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
\u22a2 automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) x = (g • automorphize f) x
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
\u22a2 ∀ (a : β), automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) (Quotient.mk'' a) = (g • automorphize f) (Quotient.mk'' a)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
\u22a2 automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) (Quotient.mk'' b) = (g • automorphize f) (Quotient.mk'' b)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
\u22a2 Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), g (Quotient.mk' (a +ᵥ b)) • f (a +ᵥ b)) ⋯ (Quotient.mk'' b) = g (Quotient.mk'' b) • Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), f (a +ᵥ b)) ⋯ (Quotient.mk'' b)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
π : β → Quotient (orbitRel α β) := Quotient.mk (orbitRel α β)
\u22a2 Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), g (Quotient.mk' (a +ᵥ b)) • f (a +ᵥ b)) ⋯ (Quotient.mk'' b) = g (Quotient.mk'' b) • Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), f (a +ᵥ b)) ⋯ (Quotient.mk'' b)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
π : β → Quotient (orbitRel α β) := Quotient.mk (orbitRel α β)
H₁ : ∀ (a : α), π (a +ᵥ b) = π b
\u22a2 Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), g (Quotient.mk' (a +ᵥ b)) • f (a +ᵥ b)) ⋯ (Quotient.mk'' b) = g (Quotient.mk'' b) • Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), f (a +ᵥ b)) ⋯ (Quotient.mk'' b)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
π : β → Quotient (orbitRel α β) := Quotient.mk (orbitRel α β)
H₁ : ∀ (a : α), π (a +ᵥ b) = π b
\u22a2 ∑' (a : α), g (π b) • f (a +ᵥ b) = g (π b) • ∑' (a : α), f (a +ᵥ b)
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
n : ℕ
\u22a2 ∀ {p : ℕ}, p ∈ n.primeFactorsList → Prime p
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l✝ l'✝ l l' : List α
\u22a2 l.cyclicPermutations ~r l'.cyclicPermutations ↔ l ~r l'
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : VectorMeasure α ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ↑μ.ennrealToMeasure.toENNRealVectorMeasure s = ↑μ s
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AffineIsometry.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁵ : NormedField 𝕜
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²² : PseudoMetricSpace P
inst✝²¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁸ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁷ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹⁴ : MetricSpace P₁'
inst✝¹³ : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝¹⁰ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝⁹ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁶ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁵ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝² : PseudoMetricSpace P₄
inst✝¹ : NormedAddTorsor V₄ P₄
e : P ≃ᵃⁱ[𝕜] P₂
α : Type u_14
inst✝ : TopologicalSpace α
x y : P
\u22a2 dist ((pointReflection 𝕜 x) y) y = ‖2 • (x -ᵥ y)‖
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ h₁' : S.LeftHomologyData
h₂ h₂' : S.RightHomologyData
\u22a2 leftRightHomologyComparison' h₁ h₂ = leftHomologyMap' (𝟙 S) h₁ h₁' ≫ leftRightHomologyComparison' h₁' h₂' ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) h₂' h₂
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
\u22a2 spectralRadius 𝕜 a ≤ liminf (fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) atTop
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : ε < 1
\u22a2 ε * spectralRadius 𝕜 a ≤ liminf (fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) atTop
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : ε < 1
h : ¬ε = 0
\u22a2 ε * spectralRadius 𝕜 a ≤ liminf (fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) atTop
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : ε < 1
h : ¬ε = 0
hε' : ε⁻¹ ≠ ⊤
\u22a2 ε * spectralRadius 𝕜 a ≤ liminf (fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) atTop
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : ε < 1
h : ¬ε = 0
hε' : ε⁻¹ ≠ ⊤
\u22a2 spectralRadius 𝕜 a ≤ ⨆ i, (⨅ i_1, ↑‖a ^ (i_1 + i)‖₊ ^ (1 / ↑(i_1 + i))) * ε⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : ε < 1
h : ¬ε = 0
hε' : ε⁻¹ ≠ ⊤
\u22a2 spectralRadius 𝕜 a ≤ ⨆ i, ⨅ i_1, ↑‖a ^ (i_1 + i)‖₊ ^ (1 / ↑(i_1 + i)) * ε⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : 1 < ε⁻¹
h : ¬ε = 0
hε' : ε⁻¹ ≠ ⊤
\u22a2 spectralRadius 𝕜 a ≤ ⨆ i, ⨅ i_1, ↑‖a ^ (i_1 + i)‖₊ ^ (1 / ↑(i_1 + i)) * ε⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : 1 < ε⁻¹
h : ¬ε = 0
hε' : ε⁻¹ ≠ ⊤
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ↑‖1‖₊ ^ (1 / ↑b) ≤ ε⁻¹
\u22a2 spectralRadius 𝕜 a ≤ ⨆ i, ⨅ i_1, ↑‖a ^ (i_1 + i)‖₊ ^ (1 / ↑(i_1 + i)) * ε⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : 1 < ε⁻¹
h : ¬ε = 0
hε' : ε⁻¹ ≠ ⊤
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ↑‖1‖₊ ^ (1 / ↑b) ≤ ε⁻¹
\u22a2 spectralRadius 𝕜 a ≤ ⨅ i, ↑‖a ^ (i + (N + 1))‖₊ ^ (1 / ↑(i + (N + 1))) * ε⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : 1 < ε⁻¹
h : ¬ε = 0
hε' : ε⁻¹ ≠ ⊤
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ↑‖1‖₊ ^ (1 / ↑b) ≤ ε⁻¹
n : ℕ
\u22a2 spectralRadius 𝕜 a ≤ ↑‖a ^ (n + (N + 1))‖₊ ^ (1 / ↑(n + (N + 1))) * ε⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : 1 < ε⁻¹
h : ¬ε = 0
hε' : ε⁻¹ ≠ ⊤
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ↑‖1‖₊ ^ (1 / ↑b) ≤ ε⁻¹
n : ℕ
\u22a2 spectralRadius 𝕜 a ≤ ↑‖a ^ (n + N + 1)‖₊ ^ (1 / ↑(n + N + 1)) * ε⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : 1 < ε⁻¹
h : ¬ε = 0
hε' : ε⁻¹ ≠ ⊤
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ↑‖1‖₊ ^ (1 / ↑b) ≤ ε⁻¹
n : ℕ
\u22a2 ↑‖a ^ (n + N + 1)‖₊ ^ (1 / (↑(n + N) + 1)) * ↑‖1‖₊ ^ (1 / (↑(n + N) + 1)) ≤ ↑‖a ^ (n + N + 1)‖₊ ^ (1 / ↑(n + N + 1)) * ε⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ε : ℝ≥0∞
hε : 1 < ε⁻¹
h : ¬ε = 0
hε' : ε⁻¹ ≠ ⊤
N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ↑‖1‖₊ ^ (1 / ↑b) ≤ ε⁻¹
n : ℕ
\u22a2 ↑‖a ^ (n + N + 1)‖₊ ^ (1 / ↑(n + N + 1)) * ↑‖1‖₊ ^ (1 / ↑(n + N + 1)) ≤ ↑‖a ^ (n + N + 1)‖₊ ^ (1 / ↑(n + N + 1)) * ε⁻¹
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : Group G
A : Rep k G
inst✝ : A.IsTrivial
f : ↥(oneCocycles A)
g h : G
\u22a2 ↑f (g * h) = ↑f g + ↑f h
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Pow.lean
a✝ b✝ c : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
a : α
b : ℤ
nb ne : ℕ
pb : IsInt b (Int.negOfNat nb)
pe' : IsInt (a ^ nb)⁻¹ (Int.negOfNat ne)
\u22a2 IsInt (a ^ b) (Int.negOfNat ne)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Division.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
\u22a2 x /ᵒᶠ 0 = x
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Division.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
x✝ : G
\u22a2 (x /ᵒᶠ 0) x✝ = x x✝
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y R : Set α
hI : (M ↾ R).Indep I
\u22a2 M.Indep I
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
n : ℕ
e : Fin n → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin n), e i ∈ f.range
\u22a2 ∃ e', CompleteOrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
n : ℕ
e : Fin n → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin n), e i ∈ f.range
h✝ : Subsingleton R
\u22a2 ∃ e', CompleteOrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
n : ℕ
e : Fin n → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin n), e i ∈ f.range
h✝ : Nontrivial R
\u22a2 ∃ e', CompleteOrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
n : ℕ
e : Fin n → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin n), e i ∈ f.range
h✝¹ : Nontrivial R
h✝ : Subsingleton S
\u22a2 ∃ e', CompleteOrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
n : ℕ
e : Fin n → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin n), e i ∈ f.range
h✝¹ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
\u22a2 ∃ e', CompleteOrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
h✝¹ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
n : ℕ
e : Fin (n + 1) → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin (n + 1)), e i ∈ f.range
\u22a2 ∃ e', CompleteOrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
h✝¹ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
n : ℕ
e : Fin (n + 1) → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin (n + 1)), e i ∈ f.range
e' : Fin (n + 1) → R
h₁ : OrthogonalIdempotents e'
h₂ : ⇑f ∘ e' = e
\u22a2 ∃ e', CompleteOrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
h✝¹ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
n : ℕ
e : Fin (n + 1) → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin (n + 1)), e i ∈ f.range
e' : Fin (n + 1) → R
h₁ : OrthogonalIdempotents e'
h₂ : ⇑f ∘ e' = e
i : Fin (n + 1)
\u22a2 (⇑f ∘ (fun x => x.elim (1 - ∑ i : Fin n, (e' ∘ ⇑(Fin.succEmb n)) i) (e' ∘ ⇑(Fin.succEmb n))) ∘ ⇑(finSuccEquiv n)) i = e i
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
h✝¹ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
n : ℕ
e : Fin (n + 1) → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin (n + 1)), e i ∈ f.range
e' : Fin (n + 1) → R
h₁ : OrthogonalIdempotents e'
h₂ : ⇑f ∘ e' = e
i : Fin (n + 1)
this : ∀ (i : Fin (n + 1)), f (e' i) = e i
\u22a2 (⇑f ∘ (fun x => x.elim (1 - ∑ i : Fin n, (e' ∘ ⇑(Fin.succEmb n)) i) (e' ∘ ⇑(Fin.succEmb n))) ∘ ⇑(finSuccEquiv n)) i = e i
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
h✝¹ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
n : ℕ
e : Fin (n + 1) → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin (n + 1)), e i ∈ f.range
e' : Fin (n + 1) → R
h₁ : OrthogonalIdempotents e'
h₂ : ⇑f ∘ e' = e
this : ∀ (i : Fin (n + 1)), f (e' i) = e i
\u22a2 (⇑f ∘ (fun x => x.elim (1 - ∑ i : Fin n, (e' ∘ ⇑(Fin.succEmb n)) i) (e' ∘ ⇑(Fin.succEmb n))) ∘ ⇑(finSuccEquiv n)) ((finSuccEquiv n).symm none) = e ((finSuccEquiv n).symm none)
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e✝
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
h✝¹ : Nontrivial R
h✝ : Nontrivial S
n : ℕ
e : Fin (n + 1) → S
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : Fin (n + 1)), e i ∈ f.range
e' : Fin (n + 1) → R
h₁ : OrthogonalIdempotents e'
h₂ : ⇑f ∘ e' = e
this : ∀ (i : Fin (n + 1)), f (e' i) = e i
i : Fin n
\u22a2 (⇑f ∘ (fun x => x.elim (1 - ∑ i : Fin n, (e' ∘ ⇑(Fin.succEmb n)) i) (e' ∘ ⇑(Fin.succEmb n))) ∘ ⇑(finSuccEquiv n)) ((finSuccEquiv n).symm (some i)) = e ((finSuccEquiv n).symm (some i))
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M
inst✝ : Countable ((l : ℕ) × L.Functions l)
h : s.Countable
this : Countable ↑s
\u22a2 Countable ↥((closure L).toFun s)
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M
inst✝ : Countable ((l : ℕ) × L.Functions l)
h : s.Countable
this : Countable ↑s
\u22a2 lift.{?u.25480, w} #↥((closure L).toFun s) ≤ ℵ₀