ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s t : Submodule K V
hdim : finrank K ↥s + finrank K ↥t = finrank K V
hdisjoint : Disjoint s t
h_finrank_inf : finrank K ↥(s ⊓ t) = 0
\u22a2 finrank K ↥(s ⊔ t) = finrank K ↥(s ⊔ t) + finrank K ↥(s ⊓ t)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i k₂ k₁ k₀ : ι
r₂₁ : c.Rel k₂ k₁
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)
\u22a2 (nullHomotopicMap fun i j => dite (c.Rel j i) (h i j) fun x => 0).f k₁ = C.d k₁ k₀ ≫ h k₀ k₁ r₁₀ + h k₁ k₂ r₂₁ ≫ D.d k₂ k₁
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i k₂ k₁ k₀ : ι
r₂₁ : c.Rel k₂ k₁
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)
\u22a2 (C.d k₁ k₀ ≫ dite (c.Rel k₁ k₀) (h k₀ k₁) fun x => 0) + (dite (c.Rel k₂ k₁) (h k₁ k₂) fun x => 0) ≫ D.d k₂ k₁ = C.d k₁ k₀ ≫ h k₀ k₁ r₁₀ + h k₁ k₂ r₂₁ ≫ D.d k₂ k₁
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
\u22a2 ¬2 * n % 2 = (2 * m + 1) % 2
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → β
x : Fin (n + 1)
\u22a2 ∏ i : Fin (n + 1), f i = f x * ∏ i : Fin n, f (x.succAbove i)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → β
x : Fin (n + 1)
\u22a2 f x * ∏ x_1 : Fin n, f (x.succAboveEmb x_1) = f x * ∏ i : Fin n, f (x.succAbove i)
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
xs : List (Sigma β)
tail_ih✝ : a ∈ xs.toFinmap ↔ ∃ b, ⟨a, b⟩ ∈ xs
fst_i : α
snd_i : β fst_i
\u22a2 a ∈ (⟨fst_i, snd_i⟩ :: xs).toFinmap ↔ ∃ b, ⟨a, b⟩ ∈ ⟨fst_i, snd_i⟩ :: xs
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
xs : List (Sigma β)
tail_ih✝ : a ∈ xs.toFinmap ↔ ∃ b, ⟨a, b⟩ ∈ xs
fst_i : α
snd_i : β fst_i
\u22a2 (a = fst_i ∨ ∃ b, ⟨a, b⟩ ∈ xs) ↔ (a = fst_i ∧ ∃ x, HEq x snd_i) ∨ ∃ x, ⟨a, x⟩ ∈ xs
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
xs : List (Sigma β)
tail_ih✝ : a ∈ xs.toFinmap ↔ ∃ b, ⟨a, b⟩ ∈ xs
fst_i : α
snd_i : β fst_i
\u22a2 a = fst_i → ∃ x, HEq x snd_i
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
xs : List (Sigma β)
tail_ih✝ : a ∈ xs.toFinmap ↔ ∃ b, ⟨a, b⟩ ∈ xs
snd_i : β a
\u22a2 ∃ x, HEq x snd_i
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
H : ∀ (i : ι), f i < sup f
\u22a2 (sup f).cof ≤ #ι
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
H : ∀ (i : ι), f i < sup f
\u22a2 (sup f).cof ≤ Cardinal.lift.{u, u} #ι
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Add.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
h : DifferentiableAt ℝ abs 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Add.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
h : DifferentiableAt ℝ abs 0
h₁ : deriv abs 0 = 1
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Add.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
h : DifferentiableAt ℝ abs 0
h₁ : deriv abs 0 = 1
h₂ : deriv abs 0 = -1
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Finsupp/NeLocus.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : AddGroup N
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : α →₀ N
\u22a2 (f - g).neLocus f = g.support
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Pointwise.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
S : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid S
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N✝ : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass S R M
s : Set S
N : Submodule R M
\u22a2 s • N = ⨆ a ∈ s, a • N
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Pointwise.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
S : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid S
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N✝ : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass S R M
s : Set S
N : Submodule R M
\u22a2 {p | ∀ ⦃r : S⦄ ⦃n : M⦄, r ∈ s → n ∈ N → r • n ∈ p} = Set.Ici (⨆ a ∈ s, a • N)
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Pointwise.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
S : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid S
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N✝ : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass S R M
s : Set S
N : Submodule R M
\u22a2 {p | ∀ ⦃r : S⦄, r ∈ s → ∀ a ∈ N, r • a ∈ p} = {x | ∀ i ∈ s, i • N ≤ x}
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
ι : Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (β i)
x : (i : ι) → β i
i : ι
inst✝ : ∀ (i : ι), T1Space (β i)
\u22a2 ClosedEmbedding (update x i)
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
ι : Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (β i)
x : (i : ι) → β i
i : ι
inst✝ : ∀ (i : ι), T1Space (β i)
\u22a2 Continuous (update x i)
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
ι : Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (β i)
x : (i : ι) → β i
i : ι
inst✝ : ∀ (i : ι), T1Space (β i)
\u22a2 Injective (update x i)
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
ι : Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (β i)
x : (i : ι) → β i
i : ι
inst✝ : ∀ (i : ι), T1Space (β i)
\u22a2 IsClosedMap (update x i)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α
s₁ s₂ s₃ : Finset α
x✝ : α
\u22a2 x✝ ∈ s₁ ∩ s₂ ∩ s₃ ↔ x✝ ∈ s₁ ∩ s₃ ∩ s₂
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
s : Multiset α
h : LeftCommutative f
b : β
\u22a2 noncommFoldr f s ⋯ b = foldr f h b s
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
h : LeftCommutative f
b : β
a✝ : List α
\u22a2 noncommFoldr f ⟦a✝⟧ ⋯ b = foldr f h b ⟦a✝⟧
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/AE.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
\u22a2 (∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → x ∈ t) ↔ μ (s \ t) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/AE.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
\u22a2 μ {a | a ∈ s ∧ a ∉ t} = 0 ↔ μ (s \ t) = 0
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
S : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ S
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds S
\u22a2 ∃ x, IsLUB S x
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
S : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ S
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds S
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove {m | ∃ y ∈ S, ↑m ≤ y * ↑d}
\u22a2 ∃ x, IsLUB S x
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
S : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ S
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds S
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove {m | ∃ y ∈ S, ↑m ≤ y * ↑d}
f : ℕ → ℤ
hf : ∀ (d : ℕ), f d ∈ {m | ∃ y ∈ S, ↑m ≤ y * ↑d} ∧ ∀ z ∈ {m | ∃ y ∈ S, ↑m ≤ y * ↑d}, z ≤ f d
\u22a2 ∃ x, IsLUB S x
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
S : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ S
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds S
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove {m | ∃ y ∈ S, ↑m ≤ y * ↑d}
f : ℕ → ℤ
hf : ∀ (d : ℕ), f d ∈ {m | ∃ y ∈ S, ↑m ≤ y * ↑d} ∧ ∀ z ∈ {m | ∃ y ∈ S, ↑m ≤ y * ↑d}, z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ S, ↑(↑(f n) / ↑n) ≤ y
\u22a2 ∃ x, IsLUB S x
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
S : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ S
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds S
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove {m | ∃ y ∈ S, ↑m ≤ y * ↑d}
f : ℕ → ℤ
hf : ∀ (d : ℕ), f d ∈ {m | ∃ y ∈ S, ↑m ≤ y * ↑d} ∧ ∀ z ∈ {m | ∃ y ∈ S, ↑m ≤ y * ↑d}, z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ S, ↑(↑(f n) / ↑n) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ S, y - (↑n)⁻¹ < ↑(↑(f n) / ↑n)
\u22a2 ∃ x, IsLUB S x
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
S : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ S
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds S
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove {m | ∃ y ∈ S, ↑m ≤ y * ↑d}
f : ℕ → ℤ
hf : ∀ (d : ℕ), f d ∈ {m | ∃ y ∈ S, ↑m ≤ y * ↑d} ∧ ∀ z ∈ {m | ∃ y ∈ S, ↑m ≤ y * ↑d}, z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ S, ↑(↑(f n) / ↑n) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ S, y - (↑n)⁻¹ < ↑(↑(f n) / ↑n)
hg : IsCauSeq abs fun n => ↑(f n) / ↑n
\u22a2 ∃ x, IsLUB S x
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
\u22a2 μ.singularPart ν = μ ↔ μ ⟂ₘ ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
h_dec : μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
\u22a2 μ.singularPart ν = μ ↔ μ ⟂ₘ ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, AEMeasurable f μ
\u22a2 AEMeasurable (fun x => (map (fun f => f x) l).prod) μ
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
\u22a2 𝓝[≤] a ⊔ 𝓝[≥] a = 𝓝 a
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Product.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
A : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace A
f₀ f₁ : C(A, α)
g₀ g₁ : C(A, β)
S : Set A
F : f₀.Homotopy f₁
G : g₀.Homotopy g₁
x : A
\u22a2 { toFun := fun t => (F t, G t), continuous_toFun := ⋯ }.toFun (0, x) = (f₀.prodMk g₀) x
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Product.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
A : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace A
f₀ f₁ : C(A, α)
g₀ g₁ : C(A, β)
S : Set A
F : f₀.Homotopy f₁
G : g₀.Homotopy g₁
x : A
\u22a2 { toFun := fun t => (F t, G t), continuous_toFun := ⋯ }.toFun (1, x) = (f₁.prodMk g₁) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
\u22a2 fderiv 𝕜 (fun y => f y - c) x = fderiv 𝕜 f x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Colimits.lean
R : Type w
inst✝² : Ring R
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
F : J ⥤ ModuleCat R
inst✝ : HasColimit (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)
r s : R
j : J
\u22a2 colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j ≫ (↑{ toFun := fun r => colimMap { app := fun j => (F.obj j).smul r, naturality := ⋯ }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (r + s) = colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j ≫ ((↑{ toFun := fun r => colimMap { app := fun j => (F.obj j).smul r, naturality := ⋯ }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun r + (↑{ toFun := fun r => colimMap { app := fun j => (F.obj j).smul r, naturality := ⋯ }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun s)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Colimits.lean
R : Type w
inst✝² : Ring R
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
F : J ⥤ ModuleCat R
inst✝ : HasColimit (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)
r s : R
j : J
\u22a2 ((F.obj j).smul r + (F.obj j).smul s) ≫ colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j = colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j ≫ (colimMap { app := fun j => (F.obj j).smul r, naturality := ⋯ } + colimMap { app := fun j => (F.obj j).smul s, naturality := ⋯ })
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Colimits.lean
R : Type w
inst✝² : Ring R
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
F : J ⥤ ModuleCat R
inst✝ : HasColimit (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)
r s : R
j : J
\u22a2 (F.obj j).smul r ≫ colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j + (F.obj j).smul s ≫ colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j = colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j ≫ colimMap { app := fun j => (F.obj j).smul r, naturality := ⋯ } + colimit.ι (F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) j ≫ colimMap { app := fun j => (F.obj j).smul s, naturality := ⋯ }
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
R : ℝ
ξ f : ℕ → Ω → ℝ
hf : Submartingale f 𝒢 μ
hξ : Adapted 𝒢 ξ
hbdd : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), ξ n ω ≤ R
hnonneg : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ ξ n ω
\u22a2 Submartingale (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, ξ k * (f (k + 1) - f k)) 𝒢 μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
R : ℝ
ξ f : ℕ → Ω → ℝ
hf : Submartingale f 𝒢 μ
hξ : Adapted 𝒢 ξ
hbdd : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), ξ n ω ≤ R
hnonneg : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ ξ n ω
hξbdd : ∀ (i : ℕ), ∃ C, ∀ (ω : Ω), |ξ i ω| ≤ C
\u22a2 Submartingale (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, ξ k * (f (k + 1) - f k)) 𝒢 μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
R : ℝ
ξ f : ℕ → Ω → ℝ
hf : Submartingale f 𝒢 μ
hξ : Adapted 𝒢 ξ
hbdd : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), ξ n ω ≤ R
hnonneg : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ ξ n ω
hξbdd : ∀ (i : ℕ), ∃ C, ∀ (ω : Ω), |ξ i ω| ≤ C
hint : ∀ (m : ℕ), Integrable (∑ k ∈ Finset.range m, ξ k * (f (k + 1) - f k)) μ
\u22a2 Submartingale (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, ξ k * (f (k + 1) - f k)) 𝒢 μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
R : ℝ
ξ f : ℕ → Ω → ℝ
hf : Submartingale f 𝒢 μ
hξ : Adapted 𝒢 ξ
hbdd : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), ξ n ω ≤ R
hnonneg : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ ξ n ω
hξbdd : ∀ (i : ℕ), ∃ C, ∀ (ω : Ω), |ξ i ω| ≤ C
hint : ∀ (m : ℕ), Integrable (∑ k ∈ Finset.range m, ξ k * (f (k + 1) - f k)) μ
hadp : Adapted 𝒢 fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, ξ k * (f (k + 1) - f k)
\u22a2 Submartingale (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, ξ k * (f (k + 1) - f k)) 𝒢 μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
R : ℝ
ξ f : ℕ → Ω → ℝ
hf : Submartingale f 𝒢 μ
hξ : Adapted 𝒢 ξ
hbdd : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), ξ n ω ≤ R
hnonneg : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ ξ n ω
hξbdd : ∀ (i : ℕ), ∃ C, ∀ (ω : Ω), |ξ i ω| ≤ C
hint : ∀ (m : ℕ), Integrable (∑ k ∈ Finset.range m, ξ k * (f (k + 1) - f k)) μ
hadp : Adapted 𝒢 fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, ξ k * (f (k + 1) - f k)
i : ℕ
\u22a2 0 ≤ᶠ[ae μ] μ[∑ k ∈ Finset.range (i + 1), ξ k * (f (k + 1) - f k) - ∑ k ∈ Finset.range i, ξ k * (f (k + 1) - f k)|↑𝒢 i]
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
R : ℝ
ξ f : ℕ → Ω → ℝ
hf : Submartingale f 𝒢 μ
hξ : Adapted 𝒢 ξ
hbdd : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), ξ n ω ≤ R
hnonneg : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ ξ n ω
hξbdd : ∀ (i : ℕ), ∃ C, ∀ (ω : Ω), |ξ i ω| ≤ C
hint : ∀ (m : ℕ), Integrable (∑ k ∈ Finset.range m, ξ k * (f (k + 1) - f k)) μ
hadp : Adapted 𝒢 fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, ξ k * (f (k + 1) - f k)
i : ℕ
\u22a2 0 ≤ᶠ[ae μ] μ[ξ i * (f (i + 1) - f i)|↑𝒢 i]
-- Mathlib/Topology/CompactOpen.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
f g : C(X, Y)
\u22a2 Inseparable ⇑f ⇑g ↔ Inseparable f g
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
M : Matroid α
inst✝ : M.InfiniteRk
h : M.FiniteRk
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B✝ B₁ B₂ : Set α
M : Matroid α
inst✝ : M.InfiniteRk
h : M.FiniteRk
B : Set α
hB : M.Base B
\u22a2 False
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : 0 < r
\u22a2 o.oangle x (r • y) = o.oangle x y
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a
hb : ¬IsMin b
\u22a2 pred a = pred b ↔ a = b
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝ : Finset α
t : Finset β
a✝ : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
a : α
s : Finset α
\u22a2 image f (insert a s) = insert (f a) (image f s)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Discriminant.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑p) K)
hodd : p ≠ 2
\u22a2 discr K ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).basis = (-1) ^ ((↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p - 2)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Discriminant.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑p) K)
hodd : p ≠ 2
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} K L
\u22a2 discr K ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).basis = (-1) ^ ((↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p - 2)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Discriminant.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑p) K)
hodd : p ≠ 2
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} K L
hζ' : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (0 + 1))
\u22a2 discr K ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).basis = (-1) ^ ((↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p - 2)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Discriminant.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑p) K)
hodd : p ≠ 2
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} K L
hζ' : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (0 + 1))
\u22a2 (-1) ^ ((↑p - 1) / 2) = (-1) ^ (φ (↑p ^ (0 + 1)) / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Discriminant.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑p) K)
hodd : p ≠ 2
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} K L
hζ' : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (0 + 1))
\u22a2 ↑↑p ^ (↑p - 2) = ↑↑p ^ (↑p ^ 0 * ((↑p - 1) * (0 + 1) - 1))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Projective R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Projective F
P : Fin 3 → F
hPz : P 2 ≠ 0
\u22a2 (fun m => m • ![P 0 / P 2, P 1 / P 2, 1]) (Units.mk0 (P 2) hPz) = P
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
\u22a2 xn a1 m < xn a1 (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : xn a1 m ≤ xn a1 n
\u22a2 xn a1 m < xn a1 (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : xn a1 m ≤ xn a1 n
\u22a2 xn a1 m < xn a1 n * a + Pell.d a1 * yn a1 n
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : xn a1 m ≤ xn a1 n
\u22a2 xn a1 n < xn a1 n * a
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : xn a1 m ≤ xn a1 n
t : xn a1 n * 1 < xn a1 n * a
\u22a2 xn a1 n < xn a1 n * a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
ha : a ≠ 0
n : ℕ
\u22a2 ((monomial n) a).roots = n • {0}
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i₀ : ι
\u22a2 vectorSpan k (range p) = Submodule.span k (range fun i => p i₀ -ᵥ p ↑i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i₀ : ι
\u22a2 Submodule.span k ((fun x => p i₀ -ᵥ x) '' (p '' (univ \ {i₀}))) = Submodule.span k (range fun i => p i₀ -ᵥ p ↑i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i₀ : ι
v : V
\u22a2 v ∈ (fun x => p i₀ -ᵥ x) '' (p '' (univ \ {i₀})) ↔ v ∈ range fun i => p i₀ -ᵥ p ↑i
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i₀ : ι
v : V
\u22a2 (∃ x, (∃ x_1, (x_1 ∈ univ ∧ ¬x_1 = i₀) ∧ p x_1 = x) ∧ p i₀ -ᵥ x = v) ↔ ∃ a, ∃ (_ : a ≠ i₀), p i₀ -ᵥ p a = v
-- Mathlib/Algebra/Lie/CartanExists.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : ↑(finrank K L) ≤ #K
\u22a2 ∃ x, (engel K x).IsCartanSubalgebra
-- Mathlib/Algebra/Lie/CartanExists.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : ↑(finrank K L) ≤ #K
x : L
hx : IsRegular K x
\u22a2 ∃ x, (engel K x).IsCartanSubalgebra
-- Mathlib/Algebra/Lie/CartanExists.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : ↑(finrank K L) ≤ #K
x : L
hx : IsRegular K x
\u22a2 (engel K x).IsCartanSubalgebra
-- Mathlib/Algebra/Lie/CartanExists.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
h : ↑(finrank K L) ≤ #K
x : L
hx : IsRegular K x
\u22a2 IsNilpotent K ↥(engel K x)