ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this✝ : Nonempty { x // x ∈ s }
this : Nonempty ↑↑t
direction_le : (affineSpan k ↑s).direction ≤ (affineSpan k ↑(affineSpan k ↑t)).direction
\u22a2 s.card ≤ t.card
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this✝ : Nonempty { x // x ∈ s }
this : Nonempty ↑↑t
direction_le : vectorSpan k (Set.range Subtype.val) ≤ vectorSpan k (Set.range Subtype.val)
\u22a2 s.card ≤ t.card
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this✝ : Nonempty { x // x ∈ s }
this : Nonempty ↑↑t
direction_le : vectorSpan k (Set.range Subtype.val) ≤ vectorSpan k (Set.range Subtype.val)
finrank_le : finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range Subtype.val)) + 1 ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range Subtype.val)) + 1
\u22a2 s.card ≤ t.card
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this✝ : Nonempty { x // x ∈ s }
this : Nonempty ↑↑t
direction_le : vectorSpan k (Set.range Subtype.val) ≤ vectorSpan k (Set.range Subtype.val)
finrank_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range Subtype.val)) + 1
\u22a2 s.card ≤ t.card
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
\u22a2 ContinuousAt inverse ↑x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
h_is_o : (fun t => inverse (↑x + t) - ↑x⁻¹) =o[𝓝 0] fun x => 1
\u22a2 ContinuousAt inverse ↑x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
h_is_o : (fun t => inverse (↑x + t) - ↑x⁻¹) =o[𝓝 0] fun x => 1
h_lim : Tendsto (fun y => y - ↑x) (𝓝 ↑x) (𝓝 0)
\u22a2 ContinuousAt inverse ↑x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
h_is_o : (fun t => inverse (↑x + t) - ↑x⁻¹) =o[𝓝 0] fun x => 1
h_lim : Tendsto (fun y => y - ↑x) (𝓝 ↑x) (𝓝 0)
\u22a2 Tendsto (fun e => ‖inverse e - ↑x⁻¹‖) (𝓝 ↑x) (𝓝 0)
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m a b : ℕ
han : a ≤ n
hbn : b ≤ n
\u22a2 ↑a < ↑b ↔ a < b
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m a b : ℕ
han : a < n.succ
hbn : b < n.succ
\u22a2 ↑a < ↑b ↔ a < b
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
Z : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
\u22a2 IsClosed Z ↔ ∃ s, Z = zeroLocus 𝒜 s
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasurableIntegral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
t : Set (α × β)
ht : MeasurableSet t
\u22a2 Measurable fun a => (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' t)
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasurableIntegral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
t : Set (α × β)
ht : MeasurableSet t
\u22a2 Measurable fun a => ((Kernel.sum κ.seq) a) (Prod.mk a ⁻¹' t)
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasurableIntegral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
t : Set (α × β)
ht : MeasurableSet t
this : ∀ (a : α), ((Kernel.sum κ.seq) a) (Prod.mk a ⁻¹' t) = ∑' (n : ℕ), ((κ.seq n) a) (Prod.mk a ⁻¹' t)
\u22a2 Measurable fun a => ((Kernel.sum κ.seq) a) (Prod.mk a ⁻¹' t)
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasurableIntegral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
t : Set (α × β)
ht : MeasurableSet t
this : ∀ (a : α), ((Kernel.sum κ.seq) a) (Prod.mk a ⁻¹' t) = ∑' (n : ℕ), ((κ.seq n) a) (Prod.mk a ⁻¹' t)
\u22a2 Measurable fun a => ∑' (n : ℕ), ((κ.seq n) a) (Prod.mk a ⁻¹' t)
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasurableIntegral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
t : Set (α × β)
ht : MeasurableSet t
this : ∀ (a : α), ((Kernel.sum κ.seq) a) (Prod.mk a ⁻¹' t) = ∑' (n : ℕ), ((κ.seq n) a) (Prod.mk a ⁻¹' t)
n : ℕ
\u22a2 Measurable fun a => ((κ.seq n) a) (Prod.mk a ⁻¹' t)
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
a : α
b₁ b₂ : β
inst✝ : PosSMulMono α β
h : a < 0
\u22a2 b₁ ≤ a⁻¹ • b₂ ↔ b₂ ≤ a • b₁
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
\u22a2 hζ.integralPowerBasis'.dim = φ ↑p
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallHom.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝² : L.IsLocalization W
L' : C ⥤ D'
inst✝¹ : L'.IsLocalization W
G : D ⥤ D'
e : L ⋙ G ≅ L'
X Y : C
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Y
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
\u22a2 (homEquiv W W.Q L') ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)).symm ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)) ((homEquiv W L W.Q) f))) = e.inv.app X ≫ G.map f ≫ e.hom.app Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallHom.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝² : L.IsLocalization W
L' : C ⥤ D'
inst✝¹ : L'.IsLocalization W
G : D ⥤ D'
e : L ⋙ G ≅ L'
X Y : C
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Y
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
\u22a2 (homEquiv W L L') f = e.inv.app X ≫ G.map f ≫ e.hom.app Y
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
\u22a2 z ∈ nonunits ℤ_[p] ↔ ‖z‖ < 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
\u22a2 z ∈ nonunits ℤ_[p] ↔ ‖z‖ ≤ 1 ∧ ‖z‖ ≠ 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiSeparated.lean
X✝ Y : Scheme
f : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
\u22a2 QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace ↔ ∀ (U V : ↑X.affineOpens), IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiSeparated.lean
X✝ Y : Scheme
f : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
\u22a2 (∀ (U V : Set ↑↑X.toPresheafedSpace), IsOpen U → IsCompact U → IsOpen V → IsCompact V → IsCompact (U ∩ V)) ↔ ∀ (U V : ↑X.affineOpens), IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c : Ordinal.{u}
\u22a2 a ♯ 1 = succ a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b c a : Ordinal.{u}
IH : ∀ k < a, k ♯ 1 = succ k
\u22a2 a ♯ 1 = succ a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b c a : Ordinal.{u}
IH : ∀ k < a, k ♯ 1 = succ k
\u22a2 ∀ i < a, i ♯ 1 < succ a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b c a : Ordinal.{u}
IH : ∀ k < a, k ♯ 1 = succ k
i : Ordinal.{u}
hi : i < a
\u22a2 i ♯ 1 < succ a
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ z₁' : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q
\u22a2 ((z₁ - z₁').comp z₂ h).v p q hpq = (z₁.comp z₂ h - z₁'.comp z₂ h).v p q hpq
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Limits.lean
ι : Type u
f : ι → Scheme
x : ↑↑(∐ f).toPresheafedSpace
\u22a2 ∃ i y, (Sigma.ι f i).val.base y = x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Limits.lean
ι : Type u
f : ι → Scheme
x : ↑↑(∐ f).toPresheafedSpace
i : (disjointGlueData f).J
y : ↑↑((disjointGlueData f).U i).toPresheafedSpace
e : ((disjointGlueData f).ι i).val.base y = (sigmaIsoGlued f).hom.val.base x
\u22a2 ∃ i y, (Sigma.ι f i).val.base y = x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Limits.lean
ι : Type u
f : ι → Scheme
x : ↑↑(∐ f).toPresheafedSpace
i : (disjointGlueData f).J
y : ↑↑((disjointGlueData f).U i).toPresheafedSpace
e : ((disjointGlueData f).ι i).val.base y = (sigmaIsoGlued f).hom.val.base x
\u22a2 (sigmaIsoGlued f).hom.val.base ((Sigma.ι f i).val.base y) = (sigmaIsoGlued f).hom.val.base x
-- Mathlib/Order/Irreducible.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : SemilatticeSup α
a b✝ c✝ : α
h : ∀ ⦃b c : α⦄, a ≤ b ⊔ c → a ≤ b ∨ a ≤ c
b c : α
ha : b ⊔ c = a
\u22a2 b = a ∨ c = a
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : { x // x ∈ e.source }
\u22a2 𝓝 ↑x = comap (↑e) (𝓝 (↑e ↑x)) ⊓ 𝓟 e.source
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : { x // x ∈ e.source }
\u22a2 map Subtype.val (comap (⇑e.toHomeomorphSourceTarget) (comap Subtype.val (𝓝 ↑(e.toHomeomorphSourceTarget x)))) = map Subtype.val (comap Subtype.val (comap (↑e) (𝓝 (↑e ↑x))))
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c x : α
\u22a2 x ∈ Icc a b \ {a} ↔ x ∈ Ioc a b
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor/Div.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : MulActionWithZero α β
inst✝¹ : FloorDiv α β
a : α
inst✝ : Nontrivial α
b c : β
\u22a2 c ≤ b ⌊/⌋ 1 ↔ c ≤ b
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ V
W : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace W
inst✝¹ : BorelSpace W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ W
A : W ≃ₗᵢ[ℝ] V
f : V → E
w : W
\u22a2 𝓕⁻ (f ∘ ⇑A) w = 𝓕⁻ f (A w)
-- Mathlib/MeasureTheory/Order/Lattice.lean
M : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace M
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → M
δ : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : MeasurableSup₂ α
f : ℕ → δ → α
n : ℕ
hf : ∀ k ≤ n, Measurable (f k)
\u22a2 Measurable fun x => (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k x
-- Mathlib/MeasureTheory/Order/Lattice.lean
M : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace M
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → M
δ : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : MeasurableSup₂ α
f : ℕ → δ → α
n : ℕ
hf : ∀ k ≤ n, Measurable (f k)
\u22a2 (fun x => (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k x) = (range (n + 1)).sup' ⋯ f
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
inst✝ : Preorder α
\u22a2 s.chainHeight = ⨆ i ∈ s, (s ∩ Iic i).chainHeight
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
inst✝ : Preorder α
\u22a2 s.chainHeight = ⨆ i ∈ s, (⇑ofDual ⁻¹' (s ∩ Iic i)).chainHeight
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
inst✝ : Preorder α
\u22a2 ⨆ i ∈ ⇑ofDual ⁻¹' s, (⇑ofDual ⁻¹' s ∩ Ici i).chainHeight = ⨆ i ∈ s, (⇑ofDual ⁻¹' (s ∩ Iic i)).chainHeight
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h h' : IsAdjoinRoot S f
eq : h.root = h'.root
x : R[X]
\u22a2 h.map x = h'.map x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
a : α
b₁ b₂ : β
\u22a2 (G □ H).Adj (a, b₁) (a, b₂) ↔ H.Adj b₁ b₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
\u22a2 (p * q).IsRoot a ↔ p.IsRoot a ∨ q.IsRoot a
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/IsPrincipal.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x y : Associates R
\u22a2 ↑((associatesEquivIsPrincipal R) (x * y)) = ↑((associatesEquivIsPrincipal R) x) * ↑((associatesEquivIsPrincipal R) y)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/IsPrincipal.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x y : Associates R
\u22a2 ↑((associatesEquivIsPrincipal R) (Associates.mk (Quot.out x) * Associates.mk (Quot.out y))) = ↑((associatesEquivIsPrincipal R) (Associates.mk (Quot.out x))) * ↑((associatesEquivIsPrincipal R) (Associates.mk (Quot.out y)))
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
i j k : ℕ
\u22a2 I ^ (i + k) • F.N j ≤ I ^ k • F.N (i + j)
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
i j k : ℕ
\u22a2 I ^ k • I ^ i • F.N j ≤ I ^ k • F.N (i + j)
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 bᶜ \ aᶜ ⊔ aᶜ \ bᶜ = a ∆ b
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X : PresheafedSpace C
\u22a2 ⋯.functor.op ⋙ X.presheaf = (Presheaf.pushforward C (Opens.inclusionTopIso ↑X).inv).obj X.presheaf
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X : PresheafedSpace C
\u22a2 (Opens.map (Opens.inclusionTopIso ↑X).inv).op ⋙ X.presheaf = (Presheaf.pushforward C (Opens.inclusionTopIso ↑X).inv).obj X.presheaf
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasColimit F
G : C ⥤ D
inst✝ : HasColimit (F ⋙ G)
j : J
\u22a2 ι (F ⋙ G) j ≫ post F G = G.map (ι F j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasColimit F
G : C ⥤ D
inst✝ : HasColimit (F ⋙ G)
j : J
\u22a2 (G.mapCocone (cocone F)).ι.app j = G.map (ι F j)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
\u22a2 IsClosed s ↔ ∀ (x : X) (u : Ultrafilter X), ↑u ≤ 𝓝 x → s ∈ u → x ∈ s
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
x : ℝ
hx : x ∈ Ici 0
\u22a2 normSq ↑√x = x
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x : ℝ*
h0 : x ≠ 0
hi : x⁻¹.Infinitesimal
\u22a2 x.Infinite
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x : ℝ*
h0 : x ≠ 0
hi : x⁻¹.Infinitesimal
hn : x < 0
\u22a2 x.Infinite
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x : ℝ*
h0 : x ≠ 0
hi : x⁻¹.Infinitesimal
hp : x > 0
\u22a2 x.Infinite
-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
ι : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝⁹ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ≥0
hp : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p
\u22a2 eLpNorm u (↑p) μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOneConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) 1 μ
-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
ι : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝⁹ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ≥0
hp : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p
h0p : 0 < ↑p
\u22a2 eLpNorm u (↑p) μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOneConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) 1 μ
-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
ι : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝⁹ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝⁸ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p : ℝ≥0
hp : (↑(finrank ℝ E)).IsConjExponent p
h0p : 0 < ↑p
\u22a2 ∫⁻ (x : E), ↑‖u x‖₊ ^ ↑p ∂μ ≤ ↑(lintegralPowLePowLIntegralFDerivConst μ ↑p) * (∫⁻ (x : E), ↑‖fderiv ℝ u x‖₊ ∂μ) ^ ↑p
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/EvenEquiv.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m₁✝ m₂✝ : M × R
m₁ : M
r₁ : R
m₂ : M
r₂ : R
\u22a2 ↑((toEven Q) ((ofEven Q) (((even.ι (Q' Q)).bilin (m₁, r₁)) (m₂, r₂)))) = (e0 Q * (v Q) m₁ + (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q' Q))) r₁) * (e0 Q * (v Q) m₂ - (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q' Q))) r₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/EvenEquiv.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m₁✝ m₂✝ : M × R
m₁ : M
r₁ : R
m₂ : M
r₂ : R
\u22a2 (e0 Q * (v Q) m₁ + (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q' Q))) r₁) * (e0 Q * (v Q) m₂ - (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q' Q))) r₂) = e0 Q * (v Q) m₁ * (e0 Q * (v Q) m₂) + r₁ • e0 Q * (v Q) m₂ - r₂ • e0 Q * (v Q) m₁ - (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q' Q))) (r₁ * r₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/EvenEquiv.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m₁✝ m₂✝ : M × R
m₁ : M
r₁ : R
m₂ : M
r₂ : R
\u22a2 e0 Q * (v Q) m₁ * (e0 Q * (v Q) m₂) + r₁ • e0 Q * (v Q) m₂ - r₂ • e0 Q * (v Q) m₁ - (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q' Q))) (r₁ * r₂) = (v Q) m₁ * (v Q) m₂ + r₁ • e0 Q * (v Q) m₂ + (v Q) m₁ * r₂ • e0 Q + r₁ • e0 Q * r₂ • e0 Q
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/EvenEquiv.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m₁✝ m₂✝ : M × R
m₁ : M
r₁ : R
m₂ : M
r₂ : R
h1 : e0 Q * (v Q) m₁ * (e0 Q * (v Q) m₂) = (v Q) m₁ * (v Q) m₂
\u22a2 e0 Q * (v Q) m₁ * (e0 Q * (v Q) m₂) + r₁ • e0 Q * (v Q) m₂ - r₂ • e0 Q * (v Q) m₁ - (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q' Q))) (r₁ * r₂) = (v Q) m₁ * (v Q) m₂ + r₁ • e0 Q * (v Q) m₂ + (v Q) m₁ * r₂ • e0 Q + r₁ • e0 Q * r₂ • e0 Q
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/EvenEquiv.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m₁✝ m₂✝ : M × R
m₁ : M
r₁ : R
m₂ : M
r₂ : R
h1 : e0 Q * (v Q) m₁ * (e0 Q * (v Q) m₂) = (v Q) m₁ * (v Q) m₂
h2 : -(r₂ • e0 Q * (v Q) m₁) = (v Q) m₁ * r₂ • e0 Q
\u22a2 e0 Q * (v Q) m₁ * (e0 Q * (v Q) m₂) + r₁ • e0 Q * (v Q) m₂ - r₂ • e0 Q * (v Q) m₁ - (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q' Q))) (r₁ * r₂) = (v Q) m₁ * (v Q) m₂ + r₁ • e0 Q * (v Q) m₂ + (v Q) m₁ * r₂ • e0 Q + r₁ • e0 Q * r₂ • e0 Q
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/EvenEquiv.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m₁✝ m₂✝ : M × R
m₁ : M
r₁ : R
m₂ : M
r₂ : R
h1 : e0 Q * (v Q) m₁ * (e0 Q * (v Q) m₂) = (v Q) m₁ * (v Q) m₂
h2 : -(r₂ • e0 Q * (v Q) m₁) = (v Q) m₁ * r₂ • e0 Q
h3 : -(algebraMap R (CliffordAlgebra (Q' Q))) (r₁ * r₂) = r₁ • e0 Q * r₂ • e0 Q
\u22a2 e0 Q * (v Q) m₁ * (e0 Q * (v Q) m₂) + r₁ • e0 Q * (v Q) m₂ - r₂ • e0 Q * (v Q) m₁ - (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q' Q))) (r₁ * r₂) = (v Q) m₁ * (v Q) m₂ + r₁ • e0 Q * (v Q) m₂ + (v Q) m₁ * r₂ • e0 Q + r₁ • e0 Q * r₂ • e0 Q
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/EvenEquiv.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m₁✝ m₂✝ : M × R
m₁ : M
r₁ : R
m₂ : M
r₂ : R
\u22a2 (v Q) m₁ * (v Q) m₂ + r₁ • e0 Q * (v Q) m₂ + (v Q) m₁ * r₂ • e0 Q + r₁ • e0 Q * r₂ • e0 Q = (ι (Q' Q)) (m₁, r₁) * (ι (Q' Q)) (m₂, r₂)
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
g : γ → δ
f' : β → α' → δ
g' : α → α'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' b (g' a)
\u22a2 image2 f' ((fun b => b) '' t) (g' '' s) = image2 f' t (g' '' s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
\u22a2 (f y - f a) / (y - a) < (f x - f a) / (x - a)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
key : ((-f) x - (-f) a) / (x - a) < ((-f) y - (-f) a) / (y - a)
\u22a2 (f y - f a) / (y - a) < (f x - f a) / (x - a)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
key : (-f x - -f a) / (x - a) < (-f y - -f a) / (y - a)
\u22a2 (f y - f a) / (y - a) < (f x - f a) / (x - a)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
key : (-f x - -f a) / (x - a) < (-f y - -f a) / (y - a)
\u22a2 -((f x - f a) / (x - a)) < -((f y - f a) / (y - a))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F✝ : ℕ → α → β
f✝ : α → β
bound✝ : α → ℝ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
\u22a2 HasFiniteIntegral f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F✝ : ℕ → α → β
f✝ : α → β
bound✝ : α → ℝ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
bound_hasFiniteIntegral : HasFiniteIntegral bound μ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
\u22a2 ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ < ⊤
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
l : List α
x : Multiset α × Multiset α
h : x ∈ (powersetAux' l).revzip
\u22a2 x.1 + x.2 = ↑l