ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun e => ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < 1
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
h''i : AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
I : IntegrableOn (φ i) t μ
\u22a2 IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun e => ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < 1
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
h''i : AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
I : IntegrableOn (φ i) t μ
A : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s \ u) μ
\u22a2 IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun e => ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < 1
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
h''i : AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
I : IntegrableOn (φ i) t μ
A : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s \ u) μ
B : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s ∩ u) μ
\u22a2 IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun e => ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < 1
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
h''i : AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
I : IntegrableOn (φ i) t μ
A : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s \ u) μ
B : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s ∩ u) μ
\u22a2 s = s \ u ∪ s ∩ u
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatibleSheafification.lean
C : Type u
inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁹ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁸ : Category.{max v u, w₂} E
F✝ : D ⥤ E
inst✝⁷ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁶ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝⁵ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁴ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝³ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F✝
inst✝² : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F✝
P✝ P : Cᵒᵖ ⥤ D
F : D ⥤ E
inst✝¹ : (F : D ⥤ E) → (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝ : (F : D ⥤ E) → (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
\u22a2 (𝟙 (J.plusObj (J.plusObj (P ⋙ F))) ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).inv) ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).inv = J.plusMap (J.plusCompIso F P).inv ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).inv
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : LT α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
\u22a2 a < a * b ↔ a * 1 < a * b
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : CommSemigroup α
inst✝ : CommSemigroup β
f : α → β
a b : α
\u22a2 f (max a b) * f (min a b) = f a * f b
-- Mathlib/Data/Sigma/Basic.lean
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
γ : Type u_7
inst✝ : Nonempty γ
a : α
f : γ → β a
i : γ
g : γ → β a
h : mk a ∘ f = mk a ∘ g
\u22a2 a = a ∧ HEq f g
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : Monoid γ
inst✝² : (i : ι) → AddMonoid (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → DistribMulAction γ (β i)
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
r : γ
f : Π₀ (i : ι), β i
i✝ : ι
\u22a2 (filter p (r • f)) i✝ = (r • filter p f) i✝
-- Mathlib/Data/Complex/Basic.lean
z : ℂ
x : ℚ
\u22a2 (z / ↑x).im = z.im / ↑x
-- Mathlib/Algebra/Group/Support.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M
\u22a2 mulSupport f = ∅ ↔ f = 1
-- Mathlib/Algebra/Group/Support.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M
\u22a2 (∀ x ∉ ∅, f x = 1) ↔ ∀ (a : α), f a = 1 a
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
c : Ordinal.{u}
hc : ℵ₀ < c.cof
hc' : #ι < c.cof
hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c, f i b < c
a : Ordinal.{u}
\u22a2 Cardinal.lift.{u, u} #ι < c.cof
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
\u22a2 (φ ⊔ ψ).Realize v xs ↔ φ.Realize v xs ∨ ψ.Realize v xs
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
\u22a2 (∼φ ⟹ ψ).Realize v xs ↔ φ.Realize v xs ∨ ψ.Realize v xs
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
\u22a2 EventuallyConst s⁻¹ (ae μ) ↔ EventuallyConst s (ae μ)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
N : ℕ
hn : N ≠ 0
χ : DirichletCharacter ℂ N
\u22a2 (abscissaOfAbsConv fun n => χ ↑n) = 1
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/PDeriv.lean
R : Type u
σ : Type v
a a' a₁ a₂ : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
i : σ
f g : MvPolynomial σ R
\u22a2 (pderiv i) (f * g) = (pderiv i) f * g + f * (pderiv i) g
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Limits.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
inst✝ : P.RespectsIso
X Y S : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
h : P.diagonal g
\u22a2 P.diagonal (pullback.fst f g)
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Limits.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
inst✝ : P.RespectsIso
X Y S : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
h : P.diagonal g
\u22a2 P ((Over.pullback f).map (Over.homMk (pullback.diagonal g) ⋯)).left
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
a n : ℕ
\u22a2 ∑ i ∈ range n, a / b ^ i ≤ a * b / (b - 1)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
a n : ℕ
\u22a2 (∑ i ∈ range n, a / b ^ i) * (b - 1) ≤ a * b
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
a n : ℕ
\u22a2 (∑ i ∈ range (n + 1), a / b ^ i) * (b - 1) ≤ a * b
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
a n : ℕ
\u22a2 (b - 1) * ∑ i ∈ range (n + 1), a / b ^ i ≤ a * b
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Lemmas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n✝ : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f✝ g : 𝕜 → F
n : ℕ
f : 𝕜 → F
a : 𝕜
\u22a2 iteratedDeriv n (fun x => -f x) a = -iteratedDeriv n f a
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
\u22a2 map (addRightEmbedding c) (Ioc a b) = Ioc (a + c) (b + c)
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
\u22a2 ⇑(addRightEmbedding c) '' Set.Ioc a b = Set.Ioc (a + c) (b + c)
-- Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean
a b c : ℤ
hab : IsCoprime a b
k : ℕ
hk : Odd k
h : a * b = c ^ k
\u22a2 b * a = ?m.13357 ^ k
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ t : Set G
ht : t * closure {1} = t
\u22a2 tᶜ * closure {1} = tᶜ
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ t : Set G
ht : t * closure {1} = t
\u22a2 tᶜ * closure {1} ⊆ tᶜ
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ t : Set G
ht : t * closure {1} = t
x : G
hx : x ∈ tᶜ
g : G
hg : g ∈ closure {1}
\u22a2 (fun x x_1 => x * x_1) x g ∈ tᶜ
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ t : Set G
ht : t * closure {1} = t
x : G
hx : x ∈ tᶜ
g : G
hg : g ∈ closure {1}
H : (fun x x_1 => x * x_1) x g ∉ tᶜ
\u22a2 False
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ t : Set G
ht : t * closure {1} = t
x : G
hx : x ∈ tᶜ
g : G
hg : g ∈ closure {1}
H : (fun x x_1 => x * x_1) x g ∉ tᶜ
this : x ∈ t * closure {1}
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
A₁ : Type u_6
B₁ : Type u_7
A₂ : Type u_8
B₂ : Type u_9
inst✝⁶ : CommRing A₁
inst✝⁵ : CommRing B₁
inst✝⁴ : CommRing A₂
inst✝³ : CommRing B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Finite A₁ B₁
this✝ : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra
\u22a2 Finite A₂ B₂
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
A₁ : Type u_6
B₁ : Type u_7
A₂ : Type u_8
B₂ : Type u_9
inst✝⁶ : CommRing A₁
inst✝⁵ : CommRing B₁
inst✝⁴ : CommRing A₂
inst✝³ : CommRing B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Finite A₁ B₁
this✝¹ : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this✝ : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra
this : IsScalarTower A₁ A₂ B₁
\u22a2 Finite A₂ B₂
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
A₁ : Type u_6
B₁ : Type u_7
A₂ : Type u_8
B₂ : Type u_9
inst✝⁶ : CommRing A₁
inst✝⁵ : CommRing B₁
inst✝⁴ : CommRing A₂
inst✝³ : CommRing B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Finite A₁ B₁
this✝¹ : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this✝ : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra
this : IsScalarTower A₁ A₂ B₁
e : B₁ ≃ₐ[A₂] B₂ := { toEquiv := e₂.toEquiv, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }
\u22a2 Finite A₂ B₂
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
A₁ : Type u_6
B₁ : Type u_7
A₂ : Type u_8
B₂ : Type u_9
inst✝⁶ : CommRing A₁
inst✝⁵ : CommRing B₁
inst✝⁴ : CommRing A₂
inst✝³ : CommRing B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Finite A₁ B₁
this✝² : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this✝¹ : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra
this✝ : IsScalarTower A₁ A₂ B₁
e : B₁ ≃ₐ[A₂] B₂ := { toEquiv := e₂.toEquiv, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }
this : Finite A₂ B₁
\u22a2 Finite A₂ B₂
-- Mathlib/Algebra/Group/Commute/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝ : DivisionMonoid G
a b c d : G
hbc : Commute b c
hbd : Commute b⁻¹ d
hcd : Commute c⁻¹ d
\u22a2 a / b / (c / d) = a / c / (b / d)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Count.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs' : s.Nonempty
s_mble : MeasurableSet s
\u22a2 count s ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Count.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs' : s.Nonempty
s_mble : MeasurableSet s
\u22a2 ¬s = ∅
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Internal/FunctorCategory.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Mon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 ((fun X => { X := A.X.obj X, one := A.one.app X, mul := A.mul.app X, one_mul := ⋯, mul_one := ⋯, mul_assoc := ⋯ }) X✝).one ≫ A.X.map f = ((fun X => { X := A.X.obj X, one := A.one.app X, mul := A.mul.app X, one_mul := ⋯, mul_one := ⋯, mul_assoc := ⋯ }) Y✝).one
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Internal/FunctorCategory.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Mon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 𝟙 (𝟙_ D) ≫ A.one.app Y✝ = ((fun X => { X := A.X.obj X, one := A.one.app X, mul := A.mul.app X, one_mul := ⋯, mul_one := ⋯, mul_assoc := ⋯ }) Y✝).one
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Internal/FunctorCategory.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Mon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 𝟙 (𝟙_ D) ≫ A.one.app Y✝ = A.one.app Y✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Internal/FunctorCategory.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Mon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 A.mul.app X✝ ≫ A.X.map f = (A.X.map f ⊗ A.X.map f) ≫ A.mul.app Y✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Internal/FunctorCategory.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Mon_ (C ⥤ D)
X : C
\u22a2 A.X.map (𝟙 X) = 𝟙 (A.X.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Internal/FunctorCategory.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Mon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
\u22a2 A.X.map (f ≫ g) = A.X.map f ≫ A.X.map g
-- Mathlib/Tactic/Abel.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddCommMonoid α
k : α
n : ℕ
x a a' : α
h : k + a = a'
\u22a2 k + term n x a = term n x a'
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : UpperSet α
a : α
f : ι → UpperSet α
\u22a2 ↑(⨆ i, f i).compl = ↑(⨆ i, (f i).compl)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
\u22a2 ((toLinearMap₂' R) J).IsAdjointPair ((toLinearMap₂' R) J') (toLin' A) (toLin' A') ↔ J.IsAdjointPair J' A A'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
\u22a2 (toLinearMap₂' R) J' ∘ₗ toLin' A = ((toLinearMap₂' R) J).compl₂ (toLin' A') ↔ J.IsAdjointPair J' A A'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
h : ∀ (B B' : (n → R) →ₗ[R] (n' → R) →ₗ[R] R), B = B' ↔ (toMatrix₂' R) B = (toMatrix₂' R) B'
\u22a2 (toLinearMap₂' R) J' ∘ₗ toLin' A = ((toLinearMap₂' R) J).compl₂ (toLin' A') ↔ J.IsAdjointPair J' A A'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
h : ∀ (B B' : (n → R) →ₗ[R] (n' → R) →ₗ[R] R), B = B' ↔ (toMatrix₂' R) B = (toMatrix₂' R) B'
\u22a2 Aᵀ * J' = J * A' ↔ J.IsAdjointPair J' A A'
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
\u22a2 G.chromaticNumber = ⨅ n, ↑↑n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
\u22a2 (x • μ).WeaklyRegular
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
this : (x • μ).OuterRegular
\u22a2 (x • μ).WeaklyRegular
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝ a : α
z : ℤ
\u22a2 ⌈a - ↑z⌉ = ⌈a + ↑(-z)⌉
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : Group G'
inst✝⁵ : Group G''
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝³ : DivInvMonoid M
inst✝² : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H✝ K✝ : S
inst✝¹ : SetLike S G
inst✝ : SubgroupClass S G
H K : S
hH : H ≤ K
x✝ : ↥H
\u22a2 ((↑K).comp (inclusion hH)) x✝ = ↑H x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
s : Set α
\u22a2 span R (v '' s) = map (Finsupp.total α M R v) (supported R R s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
s : Set α
\u22a2 v '' s ⊆ ↑(map (Finsupp.total α M R v) (supported R R s))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
s : Set α
\u22a2 map (Finsupp.total α M R v) (supported R R s) ≤ span R (v '' s)
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
inst✝ : Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0
\u22a2 x.coeff x.order ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
inst✝ : Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0
\u22a2 x.coeff (⋯.min ⋯) ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
ι : Type v
v : Basis ι R M
\u22a2 #ι = Module.rank R M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
ι : Type v
v : Basis ι R M
this : Nontrivial R
\u22a2 #ι = Module.rank R M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
ι : Type v
v : Basis ι R M
this : Nontrivial R
\u22a2 #ι = ⨆ ι, #↑↑ι