ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
n : ℕ
z : ℂ
\u22a2 (cos z + sin z * I) ^ n = cos (↑n * z) + sin (↑n * z) * I
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
n : ℕ
z : ℂ
\u22a2 cexp (z * I) ^ n = cexp (↑n * z * I)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : CommGroup G
\u22a2 [].alternatingProd = ∏ i : Fin [].length, [].get i ^ (-1) ^ ↑i
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : CommGroup G
\u22a2 ∀ x ∈ univ, [].get x ^ (-1) ^ ↑x = 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : CommGroup G
g : G
\u22a2 g = ∏ i : Fin 1, [g].get i ^ (-1) ^ ↑i
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : CommGroup G
g : G
\u22a2 g = [g].get 0 ^ (-1) ^ ↑0 * ∏ i : Fin 0, [g].get i.succ ^ (-1) ^ ↑i.succ
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : CommGroup G
g h : G
L : List G
\u22a2 g * h⁻¹ * ∏ i : Fin L.length, L.get i ^ (-1) ^ ↑i = ∏ i : Fin (L.length + 2), (g :: h :: L).get i ^ (-1) ^ ↑i
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : CommGroup G
g h : G
L : List G
\u22a2 g * (h⁻¹ * ∏ i : Fin L.length, L.get i ^ (-1) ^ ↑i) = (g :: h :: L).get 0 ^ (-1) ^ ↑0 * ((g :: h :: L).get (Fin.succ 0) ^ (-1) ^ ↑(Fin.succ 0) * ∏ i : Fin L.length, (g :: h :: L).get i.succ.succ ^ (-1) ^ ↑i.succ.succ)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LocallyConvex.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
ι : Type u_3
b : ι → Set E
p : ι → Prop
hbasis : (𝓝 0).HasBasis p b
hconvex : ∀ (i : ι), p i → Convex 𝕜 (b i)
x : E
\u22a2 (𝓝 x).HasBasis ((fun x => p) x) ((fun x i => (fun x_1 => x + x_1) '' b i) x)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LocallyConvex.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
ι : Type u_3
b : ι → Set E
p : ι → Prop
hbasis : (𝓝 0).HasBasis p b
hconvex : ∀ (i : ι), p i → Convex 𝕜 (b i)
x : E
\u22a2 (map (fun x_1 => x + x_1) (𝓝 0)).HasBasis ((fun x => p) x) ((fun x i => (fun x_1 => x + x_1) '' b i) x)
-- Mathlib/Order/Interval/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
s✝ t : Interval α
a b : α
s : Interval α
\u22a2 ↑(dual s) = ⇑ofDual ⁻¹' ↑s
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
\u22a2 ↑p ^ (n + 1) * polyOfInterest p n = remainder p n - wittPolyProdRemainder p (n + 1)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
\u22a2 ↑p ^ (n + 1) * wittMul p (n + 1) + ↑p ^ (n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * X (1, n + 1)) = ↑p ^ (n + 1) * (X (0, n + 1) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1))) + (↑p ^ (n + 1) * (X (1, n + 1) * (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1))) + (remainder p n - wittPolyProdRemainder p (n + 1)))
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
\u22a2 -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) + (remainder p n - wittPolyProdRemainder p (n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * X (1, n + 1)) = ↑p ^ (n + 1) * (X (0, n + 1) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1))) + (↑p ^ (n + 1) * (X (1, n + 1) * (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1))) + (remainder p n - wittPolyProdRemainder p (n + 1)))
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁹ : Field E
inst✝⁸ : Algebra F E
S✝ : Set E
L : Type u_3
L' : Type u_4
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field L'
inst✝⁵ : Algebra F L
inst✝⁴ : Algebra L E
inst✝³ : Algebra F L'
inst✝² : Algebra L' E
inst✝¹ : IsScalarTower F L E
inst✝ : IsScalarTower F L' E
i : L ≃ₐ[F] L'
hi : ⇑(algebraMap L E) = ⇑(algebraMap L' E) ∘ ⇑i
S : Set E
\u22a2 restrictScalars F (adjoin L S) = restrictScalars F (adjoin L' S)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁹ : Field E
inst✝⁸ : Algebra F E
S✝ : Set E
L : Type u_3
L' : Type u_4
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field L'
inst✝⁵ : Algebra F L
inst✝⁴ : Algebra L E
inst✝³ : Algebra F L'
inst✝² : Algebra L' E
inst✝¹ : IsScalarTower F L E
inst✝ : IsScalarTower F L' E
i : L ≃ₐ[F] L'
hi : ⇑(algebraMap L E) = ⇑(algebraMap L' E) ∘ ⇑i
S : Set E
\u22a2 (restrictScalars F (adjoin L S)).toSubfield = (restrictScalars F (adjoin L' S)).toSubfield
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝¹⁰ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁹ : Field E
inst✝⁸ : Algebra F E
S✝ : Set E
L : Type u_3
L' : Type u_4
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field L'
inst✝⁵ : Algebra F L
inst✝⁴ : Algebra L E
inst✝³ : Algebra F L'
inst✝² : Algebra L' E
inst✝¹ : IsScalarTower F L E
inst✝ : IsScalarTower F L' E
i : L ≃ₐ[F] L'
hi : ⇑(algebraMap L E) = ⇑(algebraMap L' E) ∘ ⇑i
S : Set E
x : E
\u22a2 x ∈ Set.range ⇑(algebraMap L E) ↔ x ∈ Set.range ⇑(algebraMap L' E)
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
\u22a2 IsNilpotent ⊥.jacobson
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }
\u22a2 IsNilpotent ⊥.jacobson
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Jac ^ n = Jac ^ m
\u22a2 IsNilpotent ⊥.jacobson
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Jac ^ n = Jac ^ m
J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)
\u22a2 ⊥.jacobson ^ n = 0
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Jac ^ n = Jac ^ m
J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)
\u22a2 J = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Jac ^ n = Jac ^ m
J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)
hJ : ¬J = ⊤
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Jac ^ n = Jac ^ m
J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)
hJ : J ≠ ⊤
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Jac ^ n = Jac ^ m
J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)
hJ : J ≠ ⊤
J' : Submodule R R
hJJ' : J < J'
hJ' : ∀ (I : Ideal R), J < I → ¬I < J'
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Jac ^ n = Jac ^ m
J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)
hJ : J ≠ ⊤
J' : Submodule R R
hJJ' : J < J'
hJ' : ∀ (I : Ideal R), J < I → ¬I < J'
x : R
hxJ' : x ∈ J'
hxJ : x ∉ J
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Jac ^ n = Jac ^ m
J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)
hJ : J ≠ ⊤
x : R
hxJ : x ∉ J
hJJ' : J < J ⊔ Ideal.span {x}
hJ' : ∀ (I : Ideal R), J < I → ¬I < J ⊔ Ideal.span {x}
hxJ' : x ∈ J ⊔ Ideal.span {x}
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Jac ^ n = Jac ^ m
J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)
hJ : J ≠ ⊤
x : R
hxJ : x ∉ J
hJJ' : J < J ⊔ Ideal.span {x}
hJ' : ∀ (I : Ideal R), J < I → ¬I < J ⊔ Ideal.span {x}
hxJ' : x ∈ J ⊔ Ideal.span {x}
this : J ⊔ Jac • Ideal.span {x} ≤ J ⊔ Ideal.span {x}
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Jac ^ n = Jac ^ m
J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)
hJ : J ≠ ⊤
x : R
hxJ : x ∉ J
hJJ' : J < J ⊔ Ideal.span {x}
hJ' : ∀ (I : Ideal R), J < I → ¬I < J ⊔ Ideal.span {x}
hxJ' : x ∈ J ⊔ Ideal.span {x}
this✝ : J ⊔ Jac • Ideal.span {x} ≤ J ⊔ Ideal.span {x}
this : Jac * Ideal.span {x} ≤ J
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Jac ^ n = Jac ^ m
J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)
hJ : J ≠ ⊤
x : R
hxJ : x ∉ J
hJJ' : J < J ⊔ Ideal.span {x}
hJ' : ∀ (I : Ideal R), J < I → ¬I < J ⊔ Ideal.span {x}
hxJ' : x ∈ J ⊔ Ideal.span {x}
this✝¹ : J ⊔ Jac • Ideal.span {x} ≤ J ⊔ Ideal.span {x}
this✝ : Jac * Ideal.span {x} ≤ J
this : Ideal.span {x} * Jac ^ (n + 1) ≤ ⊥
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Jac ^ n = Jac ^ m
J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)
hJ : J ≠ ⊤
x : R
hxJ : x ∉ J
hJJ' : J < J ⊔ Ideal.span {x}
hJ' : ∀ (I : Ideal R), J < I → ¬I < J ⊔ Ideal.span {x}
hxJ' : x ∈ J ⊔ Ideal.span {x}
this✝¹ : J ⊔ Jac • Ideal.span {x} ≤ J ⊔ Ideal.span {x}
this✝ : Jac * Ideal.span {x} ≤ J
this : Ideal.span {x} * Jac ^ (n + 1) ≤ ⊥
y : R
hy : y ∈ Jac ^ n
\u22a2 x • y ∈ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Jac : Ideal R := ⊥.jacobson
f : ℕ →o (Ideal R)ᵒᵈ := { toFun := fun n => Jac ^ n, monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Jac ^ n = Jac ^ m
J : Ideal R := annihilator (Jac ^ n)
hJ : J ≠ ⊤
x : R
hxJ : x ∉ J
hJJ' : J < J ⊔ Ideal.span {x}
hJ' : ∀ (I : Ideal R), J < I → ¬I < J ⊔ Ideal.span {x}
hxJ' : x ∈ J ⊔ Ideal.span {x}
this✝¹ : J ⊔ Jac • Ideal.span {x} ≤ J ⊔ Ideal.span {x}
this✝ : Jac * Ideal.span {x} ≤ J
this : Ideal.span {x} * Jac ^ (n + 1) ≤ ⊥
y : R
hy : y ∈ Jac ^ n
\u22a2 y ∈ Jac ^ (n + 1)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero ↑n
\u22a2 (cyclotomic n R).roots = (primitiveRoots n R).val
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Topology.lean
s : Set Ordinal.{u}
a✝ : Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u_1}
\u22a2 𝓝[≤] a = 𝓝 a
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J✝ K L : Ideal R
s : Finset ι
J : ι → Ideal R
h : ∀ i ∈ s, J i ⊔ I = ⊤
\u22a2 (⨅ i ∈ s, J i) ⊔ I = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J✝ K L : Ideal R
s : Finset ι
J : ι → Ideal R
h : ∀ i ∈ s, J i ⊔ I = ⊤
\u22a2 ∀ i ∈ s, I ⊔ J i = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J✝ K L : Ideal R
s : Finset ι
J : ι → Ideal R
h : ∀ i ∈ s, J i ⊔ I = ⊤
i : ι
hi : i ∈ s
\u22a2 I ⊔ J i = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
\u22a2 ⌈a⌉₊ = 0 ↔ a ≤ 0
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
f : ι → UpperSet α
\u22a2 a ∈ ⨅ i, f i ↔ ∃ i, a ∈ f i
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
f : ι → UpperSet α
\u22a2 a ∈ ⋃ i, ↑(f i) ↔ ∃ i, a ∈ f i
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
f : α → Finset β
s : Finset α
b a : β
\u22a2 a ∈ (s.biUnion f).erase b ↔ a ∈ s.biUnion fun x => (f x).erase b
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
f : α → Finset β
s : Finset α
b a : β
\u22a2 (¬a = b ∧ ∃ a_1 ∈ s, a ∈ f a_1) ↔ ∃ a_1 ∈ s, ¬a = b ∧ a ∈ f a_1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/AdjointAction.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
\u22a2 (ad R L).IsIdealMorphism
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/AdjointAction.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
\u22a2 ∀ (x : LieDerivation R L L) (y : L), ∃ z, (ad R L) (x y) = (ad R L) z
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
\u22a2 ∀ (m n : Num), ↑(m.ldiff n) = (↑m).ldiff ↑n
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
\u22a2 1 + ω = ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
\u22a2 1 + ω ≤ ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
\u22a2 type (Sum.Lex EmptyRelation fun x x_1 => x < x_1) ≤ type fun x x_1 => x < x_1
-- Mathlib/Data/Vector/MapLemmas.lean
α : Type u_2
n : ℕ
xs : Vector α n
σ₁ : Type
β : Type u_1
σ₂ : Type
f₁ : α → σ₁ → σ₁ × β
f₂ : α → σ₂ → σ₂ × β
R : σ₁ → σ₂ → Prop
hR : ∀ {s : σ₁} {q : σ₂} (a : α), R s q → R (f₁ a s).1 (f₂ a q).1 ∧ (f₁ a s).2 = (f₂ a q).2
n✝ : ℕ
xs✝ : Vector α n✝
x✝ : α
a✝ : ∀ {s₁ : σ₁} {s₂ : σ₂}, R s₁ s₂ → R (mapAccumr f₁ xs✝ s₁).1 (mapAccumr f₂ xs✝ s₂).1 ∧ (mapAccumr f₁ xs✝ s₁).2 = (mapAccumr f₂ xs✝ s₂).2
s₁ : σ₁
s₂ : σ₂
h₀ : R s₁ s₂
\u22a2 R (mapAccumr f₁ (xs✝.snoc x✝) s₁).1 (mapAccumr f₂ (xs✝.snoc x✝) s₂).1 ∧ (mapAccumr f₁ (xs✝.snoc x✝) s₁).2 = (mapAccumr f₂ (xs✝.snoc x✝) s₂).2
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/OpenPos.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
s U F : Set X
x : X
hU : IsOpen U
\u22a2 U =ᶠ[ae μ] ∅ ↔ U = ∅
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Fintype ι
c : ι → R
m : (i : ι) → M₁ i
\u22a2 (f fun i => c i • m i) = (∏ i : ι, c i) • f m
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝ : α
z a : ℤ
\u22a2 ⌈↑z⌉ ≤ a ↔ z ≤ a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
V : Set G
\u22a2 index ∅ V = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
V : Set G
\u22a2 0 ∈ Finset.card '' {t | ∅ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V} ∨ Finset.card '' {t | ∅ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V} = ∅
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
V : Set G
\u22a2 0 ∈ Finset.card '' {t | ∅ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
V : Set G
\u22a2 ∅ ∈ {t | ∅ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V} ∧ ∅.card = 0
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Lattice (α i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
i : ι
b : α i
\u22a2 update f i '' uIcc (f i) b = uIcc f (update f i b)
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Lemmas.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike K
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace K E
inst✝ : FiniteDimensional K E
this : NormedSpace ℝ E := RestrictScalars.normedSpace ℝ K E
\u22a2 ProperSpace E
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Lemmas.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike K
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace K E
inst✝ : FiniteDimensional K E
this✝ : NormedSpace ℝ E := RestrictScalars.normedSpace ℝ K E
this : FiniteDimensional ℝ E := trans ℝ K E
\u22a2 ProperSpace E
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G H : Cᵒᵖ ⥤ D
α : F.rightOp ⟶ G.rightOp
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
\u22a2 (G.map f ≫ (fun X => (α.app (unop X)).unop) Y).op = ((fun X => (α.app (unop X)).unop) X ≫ F.map f).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
X : Scheme
ι : Sort u_1
S : ι → ↑X.affineOpens
hS : ⨆ i, ↑(S i) = ⊤
hS' : ∀ (i : ι), IsNoetherianRing ↑Γ(X, ↑(S i))
U : ↑X.affineOpens
\u22a2 IsNoetherianRing ↑Γ(X, ↑U)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
\u22a2 IsIntegralClosure (CyclotomicRing p ℤ ℚ) ℤ (CyclotomicField p ℚ)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
\u22a2 IsIntegralClosure (CyclotomicRing (p ^ 1) ℤ ℚ) ℤ (CyclotomicField (p ^ 1) ℚ)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι A M
f : M →ₗ[A] M
\u22a2 (detAux (Trunc.mk b)) f = ((toMatrix b b) f).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι A M
f : M →ₗ[A] M
\u22a2 (Trunc.lift (fun b => detMonoidHom.comp ↑(toMatrixAlgEquiv b)) ⋯ (Trunc.mk b)) f = ((toMatrix b b) f).det
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
x : γ
s : (i : ι) → κ i → Set γ
\u22a2 x ∈ ⋃ i, ⋃ j, s i j ↔ ∃ i j, x ∈ s i j
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁✝ s₂✝ t✝ t₁ t₂ u t s₁ s₂ s₁' s₂' : Set α
x : α
\u22a2 x ∈ t.ite (s₁ ∩ s₂) (s₁' ∩ s₂') ↔ x ∈ t.ite s₁ s₁' ∩ t.ite s₂ s₂'
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁✝ s₂✝ t✝ t₁ t₂ u t s₁ s₂ s₁' s₂' : Set α
x : α
\u22a2 (x ∈ s₁ ∧ x ∈ s₂) ∧ x ∈ t ∨ (x ∈ s₁' ∧ x ∈ s₂') ∧ x ∉ t ↔ (x ∈ s₁ ∧ x ∈ t ∨ x ∈ s₁' ∧ x ∉ t) ∧ (x ∈ s₂ ∧ x ∈ t ∨ x ∈ s₂' ∧ x ∉ t)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : OrderedCommGroup H
inst✝ : ContinuousInv H
a : H
\u22a2 Tendsto Inv.inv (𝓝[≥] a⁻¹) (𝓝[≤] a)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
\u22a2 a * b⁻¹ * b ≤ c * b ↔ a ≤ c * b
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
\u22a2 frontier s = closure s ∩ closure sᶜ
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : AddGroup α
a b : α
n : ℕ
x✝ : α
\u22a2 (Equiv.addLeft a ^ n) x✝ = (Equiv.addLeft (n • a)) x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Zero.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End R M
h : IsNilpotent φ
\u22a2 LinearMap.charpoly φ = X ^ finrank R M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Zero.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End R M
h : IsNilpotent φ
\u22a2 LinearMap.charpoly φ - X ^ finrank R M = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Zero.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End R M
h : IsNilpotent φ
\u22a2 IsNilpotent (LinearMap.charpoly φ - X ^ finrank R M)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Zero.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End R M
h : IsNilpotent φ
\u22a2 IsNilpotent (LinearMap.charpoly φ - X ^ Fintype.card (ChooseBasisIndex R M))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Zero.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End R M
h : IsNilpotent φ
\u22a2 IsNilpotent ((LinearMap.toMatrix (chooseBasis R M) (chooseBasis R M)) φ)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme
\u22a2 Opens.IsBasis X.affineOpens
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme
\u22a2 ∀ {U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace} {x : ↑↑X.toPresheafedSpace}, x ∈ U → ∃ U' ∈ X.affineOpens, x ∈ U' ∧ U' ≤ U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : x ∈ ↑U
\u22a2 ∃ U' ∈ X.affineOpens, x ∈ U' ∧ U' ≤ U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : x ∈ ↑U
S : Set ↑↑X.toPresheafedSpace
hS : S ∈ {x | ∃ a, x = Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map a).val.base}
hxS : x ∈ S
hSU : S ⊆ ↑U
\u22a2 ∃ U' ∈ X.affineOpens, x ∈ U' ∧ U' ≤ U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : x ∈ ↑U
S : Set ↑↑X.toPresheafedSpace
hS : S ∈ {x | ∃ a, x = Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map a).val.base}
hxS : x ∈ S
hSU : S ⊆ ↑U
\u22a2 { carrier := S, is_open' := ⋯ } ∈ X.affineOpens
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : x ∈ ↑U
i : X.affineBasisCover.J
hxS : x ∈ Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map i).val.base
hSU : Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map i).val.base ⊆ ↑U
\u22a2 { carrier := Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map i).val.base, is_open' := ⋯ } ∈ X.affineOpens
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
x✝ : 𝕜
h : HasFPowerSeriesAt 0 p x✝
n : ℕ
x : Fin n → 𝕜
\u22a2 (p n) x = (0 n) x