ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Cardinal.{u}
b : Ordinal.{max u v}
h : b.card ≤ Cardinal.lift.{v, u} a
c : Cardinal.{u}
e : Cardinal.lift.{v, u} c = b.card
α : Type u
β : Type (max u v)
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s
e' : Cardinal.lift.{v, u} #α = (type s).card
\u22a2 ∃ a', lift.{v, u} a' = type s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Cardinal.{u}
b : Ordinal.{max u v}
h : b.card ≤ Cardinal.lift.{v, u} a
c : Cardinal.{u}
e : Cardinal.lift.{v, u} c = b.card
α : Type u
β : Type (max u v)
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s
e' : Nonempty (α ≃ β)
\u22a2 ∃ a', lift.{v, u} a' = type s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Cardinal.{u}
b : Ordinal.{max u v}
h : b.card ≤ Cardinal.lift.{v, u} a
c : Cardinal.{u}
e : Cardinal.lift.{v, u} c = b.card
α : Type u
β : Type (max u v)
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s
f : α ≃ β
g : ⇑f ⁻¹'o s ≃r s
\u22a2 ∃ a', lift.{v, u} a' = type s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Cardinal.{u}
b : Ordinal.{max u v}
h : b.card ≤ Cardinal.lift.{v, u} a
c : Cardinal.{u}
e : Cardinal.lift.{v, u} c = b.card
α : Type u
β : Type (max u v)
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s
f : α ≃ β
g : ⇑f ⁻¹'o s ≃r s
this : IsWellOrder α (⇑f ⁻¹'o s)
\u22a2 ∃ a', lift.{v, u} a' = type s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Cardinal.{u}
b : Ordinal.{max u v}
h : b.card ≤ Cardinal.lift.{v, u} a
c : Cardinal.{u}
e : Cardinal.lift.{v, u} c = b.card
α : Type u
β : Type (max u v)
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s
f : α ≃ β
g : ⇑f ⁻¹'o s ≃r s
this✝ : IsWellOrder α (⇑f ⁻¹'o s)
this : lift.{max u v, u} (type (⇑f ⁻¹'o s)) = lift.{max u v, max u v} (type s)
\u22a2 ∃ a', lift.{v, u} a' = type s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Cardinal.{u}
b : Ordinal.{max u v}
h : b.card ≤ Cardinal.lift.{v, u} a
c : Cardinal.{u}
e : Cardinal.lift.{v, u} c = b.card
α : Type u
β : Type (max u v)
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s
f : α ≃ β
g : ⇑f ⁻¹'o s ≃r s
this✝ : IsWellOrder α (⇑f ⁻¹'o s)
this : lift.{v, u} (type (⇑f ⁻¹'o s)) = type s
\u22a2 ∃ a', lift.{v, u} a' = type s
-- Mathlib/RingTheory/Localization/BaseChange.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : Algebra R A
inst✝⁹ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module A M
inst✝⁵ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module A M'
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
Q : Type (max u_3 u_4 u_2)
x✝³ : AddCommMonoid Q
x✝² : Module R Q
x✝¹ : Module A Q
x✝ : IsScalarTower R A Q
g : M →ₗ[R] Q
\u22a2 ∃! g', ↑R g' ∘ₗ f = g
-- Mathlib/RingTheory/Localization/BaseChange.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : Algebra R A
inst✝⁹ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module A M
inst✝⁵ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module A M'
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
Q : Type (max u_3 u_4 u_2)
x✝³ : AddCommMonoid Q
x✝² : Module R Q
x✝¹ : Module A Q
x✝ : IsScalarTower R A Q
ℓ : M' →ₗ[R] Q
h₂ : ∀ (y : M' →ₗ[R] Q), (fun l => l ∘ₗ f = ℓ ∘ₗ f) y → y = ℓ
\u22a2 ∃! g', ↑R g' ∘ₗ f = ℓ ∘ₗ f
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.102334, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ✝ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i
A : C
k : A ⟶ K.X i
j : ι
hj : c.next i = j
hk : k ≫ K.d i j = 0
φ : K ⟶ L
\u22a2 (k ≫ φ.f i) ≫ L.d i j = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ✝ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i
A : C
k : A ⟶ K.X i
j : ι
hj : c.next i = j
hk : k ≫ K.d i j = 0
φ : K ⟶ L
\u22a2 K.liftCycles k j hj hk ≫ cyclesMap φ i = L.liftCycles (k ≫ φ.f i) j hj ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f✝ g✝ : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
f g : ℝ → A
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : ContinuousOn g [[a, b]]
\u22a2 IntervalIntegrable (fun x => g x * f x) μ a b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f✝ g✝ : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
f g : ℝ → A
hf : IntegrableOn f (Ι a b) μ
hg : ContinuousOn g [[a, b]]
\u22a2 IntegrableOn (fun x => g x * f x) (Ι a b) μ
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x : α
n : ℕ
ih : normalizedFactors (x ^ n) = n • normalizedFactors x
h0 : ¬x = 0
\u22a2 normalizedFactors (x ^ (n + 1)) = (n + 1) • normalizedFactors x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
u : κ → UniformSpace α'
F : ι → β → α'
\u22a2 UniformEquicontinuous F ↔ ∀ (k : κ), UniformEquicontinuous F
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
u : κ → UniformSpace α'
F : ι → β → α'
\u22a2 UniformContinuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) ↔ ∀ (k : κ), UniformContinuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
\u22a2 |θ.toReal| = π / 2 ↔ θ = ↑(π / 2) ∨ θ = ↑(-π / 2)
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationSubring.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : (↥A)ˣ
\u22a2 A.valuation ↑↑a = 1
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationSubring.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : (↥A)ˣ
\u22a2 ∃ a_1, ↑↑a_1 * 1 = ↑↑a
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationSubring.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : (↥A)ˣ
\u22a2 ↑↑a * 1 = ↑↑a
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a b : α
\u22a2 sSup s ⊓ sSup t = ⨆ p ∈ s ×ˢ t, p.1 ⊓ p.2
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f' : Ω → β
g' : Ω → β'
hfg : IndepFun f g κ μ
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f =ᶠ[ae (κ a)] f'
hg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, g =ᶠ[ae (κ a)] g'
A : Set β
hA : MeasurableSet A
B : Set β'
hB : MeasurableSet B
\u22a2 ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (f' ⁻¹' A ∩ g' ⁻¹' B) = (κ a) (f' ⁻¹' A) * (κ a) (g' ⁻¹' B)
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f' : Ω → β
g' : Ω → β'
hfg : IndepFun f g κ μ
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f =ᶠ[ae (κ a)] f'
hg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, g =ᶠ[ae (κ a)] g'
A : Set β
hA : MeasurableSet A
B : Set β'
hB : MeasurableSet B
a : α
hf' : f =ᶠ[ae (κ a)] f'
hg' : g =ᶠ[ae (κ a)] g'
hfg' : (κ a) (f ⁻¹' A ∩ g ⁻¹' B) = (κ a) (f ⁻¹' A) * (κ a) (g ⁻¹' B)
\u22a2 (κ a) (f' ⁻¹' A ∩ g' ⁻¹' B) = (κ a) (f' ⁻¹' A) * (κ a) (g' ⁻¹' B)
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f' : Ω → β
g' : Ω → β'
hfg : IndepFun f g κ μ
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f =ᶠ[ae (κ a)] f'
hg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, g =ᶠ[ae (κ a)] g'
A : Set β
hA : MeasurableSet A
B : Set β'
hB : MeasurableSet B
a : α
hf' : f =ᶠ[ae (κ a)] f'
hg' : g =ᶠ[ae (κ a)] g'
hfg' : (κ a) (f ⁻¹' A ∩ g ⁻¹' B) = (κ a) (f ⁻¹' A) * (κ a) (g ⁻¹' B)
h1 : f ⁻¹' A =ᶠ[ae (κ a)] f' ⁻¹' A
\u22a2 (κ a) (f' ⁻¹' A ∩ g' ⁻¹' B) = (κ a) (f' ⁻¹' A) * (κ a) (g' ⁻¹' B)
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f' : Ω → β
g' : Ω → β'
hfg : IndepFun f g κ μ
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f =ᶠ[ae (κ a)] f'
hg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, g =ᶠ[ae (κ a)] g'
A : Set β
hA : MeasurableSet A
B : Set β'
hB : MeasurableSet B
a : α
hf' : f =ᶠ[ae (κ a)] f'
hg' : g =ᶠ[ae (κ a)] g'
hfg' : (κ a) (f ⁻¹' A ∩ g ⁻¹' B) = (κ a) (f ⁻¹' A) * (κ a) (g ⁻¹' B)
h1 : f ⁻¹' A =ᶠ[ae (κ a)] f' ⁻¹' A
h2 : g ⁻¹' B =ᶠ[ae (κ a)] g' ⁻¹' B
\u22a2 (κ a) (f' ⁻¹' A ∩ g' ⁻¹' B) = (κ a) (f' ⁻¹' A) * (κ a) (g' ⁻¹' B)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpaceDef.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : Set β
f : β → Set α
hs : s.Finite
hfin : ∀ i ∈ s, μ (f i) ≠ ⊤
\u22a2 μ (⋃ i ∈ s, f i) < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpaceDef.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : Set β
f : β → Set α
hs : s.Finite
hfin : ∀ i ∈ s, μ (f i) ≠ ⊤
\u22a2 (fun i => ⋃ (_ : i ∈ s), f i) = fun i => ⋃ (_ : i ∈ hs.toFinset), f i
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpaceDef.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : Set β
f : β → Set α
hs : s.Finite
hfin : ∀ i ∈ s, μ (f i) ≠ ⊤
\u22a2 ∑ i ∈ hs.toFinset, μ (f i) < ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ f : G →* N
H : Subgroup N
h : H ≤ f.range
\u22a2 map f (comap f H) = H
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
a : Rˣ
\u22a2 1 ↑a = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/PosPart.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Group α
a : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : a < 1
\u22a2 1 < a⁻ᵐ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
E' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)
\u22a2 integral f = ‖posPart f‖ - ‖negPart f‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
E' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)
ae_eq₁ : ↑(toSimpleFunc f).posPart =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (posPart f)))
\u22a2 integral f = ‖posPart f‖ - ‖negPart f‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
E' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)
ae_eq₁ : ↑(toSimpleFunc f).posPart =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (posPart f)))
ae_eq₂ : ↑(toSimpleFunc f).negPart =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (negPart f)))
\u22a2 integral f = ‖posPart f‖ - ‖negPart f‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
E' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)
ae_eq₁ : ↑(toSimpleFunc f).posPart =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (posPart f)))
ae_eq₂ : ↑(toSimpleFunc f).negPart =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (negPart f)))
\u22a2 MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (toSimpleFunc f) = MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (posPart f)) - SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (negPart f)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
E' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)
ae_eq₁ : ↑(toSimpleFunc f).posPart =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (posPart f)))
ae_eq₂ : ↑(toSimpleFunc f).negPart =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (negPart f)))
\u22a2 Integrable (↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (posPart f)))) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
E' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)
ae_eq₁ : ↑(toSimpleFunc f).posPart =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (posPart f)))
ae_eq₂ : ↑(toSimpleFunc f).negPart =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (negPart f)))
\u22a2 Integrable (↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (negPart f)))) μ
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/MonoCoprod.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
X : I₁ ⊕ I₂ → C
c : Cofan X
c₁ : Cofan (X ∘ Sum.inl)
c₂ : Cofan (X ∘ Sum.inr)
hc : IsColimit c
hc₁ : IsColimit c₁
hc₂ : IsColimit c₂
inst✝ : MonoCoprod C
inr : c₂.pt ⟶ c.pt
hinr : ∀ (i₂ : I₂), c₂.inj i₂ ≫ inr = c.inj (Sum.inr i₂)
\u22a2 Mono inr
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/MonoCoprod.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
X : I₁ ⊕ I₂ → C
c : Cofan X
c₁ : Cofan (X ∘ Sum.inl)
c₂ : Cofan (X ∘ Sum.inr)
hc : IsColimit c
hc₁ : IsColimit c₁
hc₂ : IsColimit c₂
inst✝ : MonoCoprod C
inr : c₂.pt ⟶ c.pt
hinr : ∀ (i₂ : I₂), c₂.inj i₂ ≫ inr = c.inj (Sum.inr i₂)
\u22a2 inr = (binaryCofanSum c c₁ c₂ hc₁ hc₂).inr
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : β → α → β
b : β
a : α
l : List α
h : 0 < (scanl f b l).length
\u22a2 (scanl f b l).get ⟨0, h⟩ = b
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
a : Fin (n + 1)
\u22a2 a < last n ↔ a ≠ last n
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Unitor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D : Type u_4
I₁ : Type u_5
I₂ : Type u_6
I₃ : Type u_7
J : Type u_8
inst✝¹⁵ : Category.{u_10, u_1} C₁
inst✝¹⁴ : Category.{u_12, u_2} C₂
inst✝¹³ : Category.{u_11, u_3} C₃
inst✝¹² : Category.{u_9, u_4} D
inst✝¹¹ : Zero I₂
inst✝¹⁰ : DecidableEq I₂
inst✝⁹ : HasInitial C₂
F₁ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁
F₂ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₃
G : C₁ ⥤ C₃ ⥤ D
associator : bifunctorComp₁₂ F₁ G ≅ bifunctorComp₂₃ G F₂
X₂ : C₂
e₁ : F₁.flip.obj X₂ ≅ 𝟭 C₁
e₂ : F₂.obj X₂ ≅ 𝟭 C₃
inst✝⁸ : (X₁ : C₁) → PreservesColimit (Functor.empty C₂) (F₁.obj X₁)
inst✝⁷ : (X₃ : C₃) → PreservesColimit (Functor.empty C₂) (F₂.flip.obj X₃)
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
π : I₁ × I₃ → J
τ : TriangleIndexData r π
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝⁶ : (((mapBifunctor F₁ I₁ I₂).obj X₁).obj ((single₀ I₂).obj X₂)).HasMap τ.p₁₂
inst✝⁵ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁ τ.p₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂))).obj X₃).HasMap π
inst✝⁴ : (((mapBifunctor F₂ I₂ I₃).obj ((single₀ I₂).obj X₂)).obj X₃).HasMap τ.p₂₃
inst✝³ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj F₂ τ.p₂₃ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃)).HasMap π
inst✝² : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁ G τ.ρ₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃
inst✝¹ : HasGoodTrifunctor₂₃Obj G F₂ τ.ρ₂₃ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃
inst✝ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj X₁).obj X₃).HasMap π
triangle : ∀ (X₁ : C₁) (X₃ : C₃), ((associator.hom.app X₁).app X₂).app X₃ ≫ (G.obj X₁).map (e₂.hom.app X₃) = (G.map (e₁.hom.app X₁)).app X₃
\u22a2 (mapBifunctorAssociator associator τ.ρ₁₂ τ.ρ₂₃ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃).hom ≫ mapBifunctorMapMap G π (𝟙 X₁) (mapBifunctorLeftUnitor F₂ X₂ e₂ τ.p₂₃ ⋯ X₃).hom = mapBifunctorMapMap G π (mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).hom (𝟙 X₃)
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Unitor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D : Type u_4
I₁ : Type u_5
I₂ : Type u_6
I₃ : Type u_7
J : Type u_8
inst✝¹⁵ : Category.{u_10, u_1} C₁
inst✝¹⁴ : Category.{u_12, u_2} C₂
inst✝¹³ : Category.{u_11, u_3} C₃
inst✝¹² : Category.{u_9, u_4} D
inst✝¹¹ : Zero I₂
inst✝¹⁰ : DecidableEq I₂
inst✝⁹ : HasInitial C₂
F₁ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁
F₂ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₃
G : C₁ ⥤ C₃ ⥤ D
associator : bifunctorComp₁₂ F₁ G ≅ bifunctorComp₂₃ G F₂
X₂ : C₂
e₁ : F₁.flip.obj X₂ ≅ 𝟭 C₁
e₂ : F₂.obj X₂ ≅ 𝟭 C₃
inst✝⁸ : (X₁ : C₁) → PreservesColimit (Functor.empty C₂) (F₁.obj X₁)
inst✝⁷ : (X₃ : C₃) → PreservesColimit (Functor.empty C₂) (F₂.flip.obj X₃)
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
π : I₁ × I₃ → J
τ : TriangleIndexData r π
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝⁶ : (((mapBifunctor F₁ I₁ I₂).obj X₁).obj ((single₀ I₂).obj X₂)).HasMap τ.p₁₂
inst✝⁵ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁ τ.p₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂))).obj X₃).HasMap π
inst✝⁴ : (((mapBifunctor F₂ I₂ I₃).obj ((single₀ I₂).obj X₂)).obj X₃).HasMap τ.p₂₃
inst✝³ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj F₂ τ.p₂₃ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃)).HasMap π
inst✝² : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁ G τ.ρ₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃
inst✝¹ : HasGoodTrifunctor₂₃Obj G F₂ τ.ρ₂₃ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃
inst✝ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj X₁).obj X₃).HasMap π
triangle : ∀ (X₁ : C₁) (X₃ : C₃), ((associator.hom.app X₁).app X₂).app X₃ ≫ (G.obj X₁).map (e₂.hom.app X₃) = (G.map (e₁.hom.app X₁)).app X₃
\u22a2 mapBifunctorMapMap G π (mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).inv (𝟙 X₃) ≫ (mapBifunctorAssociator associator τ.ρ₁₂ τ.ρ₂₃ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃).hom ≫ mapBifunctorMapMap G π (𝟙 X₁) (mapBifunctorLeftUnitor F₂ X₂ e₂ τ.p₂₃ ⋯ X₃).hom = mapBifunctorMapMap G π (mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).inv (𝟙 X₃) ≫ mapBifunctorMapMap G π (mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).hom (𝟙 X₃)
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Unitor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D : Type u_4
I₁ : Type u_5
I₂ : Type u_6
I₃ : Type u_7
J : Type u_8
inst✝¹⁵ : Category.{u_10, u_1} C₁
inst✝¹⁴ : Category.{u_12, u_2} C₂
inst✝¹³ : Category.{u_11, u_3} C₃
inst✝¹² : Category.{u_9, u_4} D
inst✝¹¹ : Zero I₂
inst✝¹⁰ : DecidableEq I₂
inst✝⁹ : HasInitial C₂
F₁ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁
F₂ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₃
G : C₁ ⥤ C₃ ⥤ D
associator : bifunctorComp₁₂ F₁ G ≅ bifunctorComp₂₃ G F₂
X₂ : C₂
e₁ : F₁.flip.obj X₂ ≅ 𝟭 C₁
e₂ : F₂.obj X₂ ≅ 𝟭 C₃
inst✝⁸ : (X₁ : C₁) → PreservesColimit (Functor.empty C₂) (F₁.obj X₁)
inst✝⁷ : (X₃ : C₃) → PreservesColimit (Functor.empty C₂) (F₂.flip.obj X₃)
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
π : I₁ × I₃ → J
τ : TriangleIndexData r π
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝⁶ : (((mapBifunctor F₁ I₁ I₂).obj X₁).obj ((single₀ I₂).obj X₂)).HasMap τ.p₁₂
inst✝⁵ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁ τ.p₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂))).obj X₃).HasMap π
inst✝⁴ : (((mapBifunctor F₂ I₂ I₃).obj ((single₀ I₂).obj X₂)).obj X₃).HasMap τ.p₂₃
inst✝³ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj F₂ τ.p₂₃ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃)).HasMap π
inst✝² : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁ G τ.ρ₁₂ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃
inst✝¹ : HasGoodTrifunctor₂₃Obj G F₂ τ.ρ₂₃ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃
inst✝ : (((mapBifunctor G I₁ I₃).obj X₁).obj X₃).HasMap π
triangle : ∀ (X₁ : C₁) (X₃ : C₃), ((associator.hom.app X₁).app X₂).app X₃ ≫ (G.obj X₁).map (e₂.hom.app X₃) = (G.map (e₁.hom.app X₁)).app X₃
j : J
i₁ : I₁
i₃ : I₃
hj : π (i₁, i₃) = j
\u22a2 ιMapBifunctorMapObj G π X₁ X₃ i₁ i₃ j hj ≫ (mapBifunctorMapMap G π (mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).inv (𝟙 X₃) ≫ (mapBifunctorAssociator associator τ.ρ₁₂ τ.ρ₂₃ X₁ ((single₀ I₂).obj X₂) X₃).hom ≫ mapBifunctorMapMap G π (𝟙 X₁) (mapBifunctorLeftUnitor F₂ X₂ e₂ τ.p₂₃ ⋯ X₃).hom) j = ιMapBifunctorMapObj G π X₁ X₃ i₁ i₃ j hj ≫ (mapBifunctorMapMap G π (mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).inv (𝟙 X₃) ≫ mapBifunctorMapMap G π (mapBifunctorRightUnitor F₁ X₂ e₁ τ.p₁₂ ⋯ X₁).hom (𝟙 X₃)) j