ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/BumpFunction.lean
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
s : Set M
hse : s ⊆ (extChartAt I c).source
hsf : ↑(extChartAt I c) '' s ⊆ ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut
\u22a2 closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I ∩ ↑(extChartAt I c).symm ⁻¹' s ⊆ ↑(extChartAt I c) '' s
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Units.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
G : Type u_2
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
x : G
\u22a2 toUnits x ∈ H.units ↔ x ∈ H
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : γ → β → α
K : Set β
hK : IsCompact K
hf : Continuous ↿f
\u22a2 Continuous fun x => sSup (f x '' K)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : γ → β → α
hf : Continuous ↿f
hK : IsCompact ∅
\u22a2 Continuous fun x => sSup (f x '' ∅)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : γ → β → α
K : Set β
hK : IsCompact K
hf : Continuous ↿f
h0K : K.Nonempty
\u22a2 Continuous fun x => sSup (f x '' K)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : γ → β → α
K : Set β
hK : IsCompact K
hf : Continuous ↿f
h0K : K.Nonempty
\u22a2 ∀ (x : γ), ContinuousAt (fun x => sSup (f x '' K)) x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : γ → β → α
K : Set β
hK : IsCompact K
hf : Continuous ↿f
h0K : K.Nonempty
x : γ
\u22a2 ContinuousAt (fun x => sSup (f x '' K)) x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : γ → β → α
K : Set β
hK : IsCompact K
hf : Continuous ↿f
h0K : K.Nonempty
x : γ
y : β
hyK : y ∈ K
h2y : sSup ((fun y => f x y) '' K) = f x y
hy : ∀ y_1 ∈ K, f x y_1 ≤ f x y
\u22a2 ContinuousAt (fun x => sSup (f x '' K)) x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : γ → β → α
K : Set β
hK : IsCompact K
hf : Continuous ↿f
h0K : K.Nonempty
x : γ
y : β
hyK : y ∈ K
h2y : sSup ((fun y => f x y) '' K) = f x y
hy : ∀ y_1 ∈ K, f x y_1 ≤ f x y
\u22a2 (∀ a' < f x y, ∀ᶠ (b : γ) in 𝓝 x, a' < sSup (f b '' K)) ∧ ∀ a' > f x y, ∀ᶠ (b : γ) in 𝓝 x, sSup (f b '' K) < a'
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : γ → β → α
K : Set β
hK : IsCompact K
hf : Continuous ↿f
h0K : K.Nonempty
x : γ
y : β
hyK : y ∈ K
h2y : sSup ((fun y => f x y) '' K) = f x y
hy : ∀ y_1 ∈ K, f x y_1 ≤ f x y
this : (∀ a' < f x y, ∀ᶠ (b : γ) in 𝓝 x, a' < f b y) ∧ ∀ a' > f x y, ∀ᶠ (b : γ) in 𝓝 x, f b y < a'
\u22a2 (∀ a' < f x y, ∀ᶠ (b : γ) in 𝓝 x, a' < sSup (f b '' K)) ∧ ∀ a' > f x y, ∀ᶠ (b : γ) in 𝓝 x, sSup (f b '' K) < a'
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NormedSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝² : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
e : E ≃SL[σ₁₂] F
\u22a2 Subsingleton E ∨ 0 < ‖↑e.symm‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NormedSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝² : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
e : E ≃SL[σ₁₂] F
_i : Subsingleton E
\u22a2 Subsingleton E ∨ 0 < ‖↑e.symm‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NormedSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝² : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₁
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
e : E ≃SL[σ₁₂] F
_i : Nontrivial E
\u22a2 Subsingleton E ∨ 0 < ‖↑e.symm‖
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hm : IsPeriodicPt f m x
hn : IsPeriodicPt f n x
\u22a2 IsPeriodicPt f (m - n) x
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hm : IsPeriodicPt f m x
hn : IsPeriodicPt f n x
h : n ≤ m
\u22a2 IsPeriodicPt f (m - n) x
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hm : IsPeriodicPt f m x
hn : IsPeriodicPt f n x
h : m ≤ n
\u22a2 IsPeriodicPt f (m - n) x
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Instances.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : OrderedSemiring α
β : Type u_2
inst✝ : OrderedRing β
x : ↑(Icc 0 1)
\u22a2 0 ≤ 1 - ↑x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s t : Set α
h : s ∩ mulSupport f = t ∩ mulSupport f
\u22a2 ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
X Y : R
\u22a2 W.Equation ![X, Y, 1] ↔ W.toAffine.Equation X Y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
X Y : R
\u22a2 ![X, Y, 1] 1 ^ 2 * ![X, Y, 1] 2 + W.a₁ * ![X, Y, 1] 0 * ![X, Y, 1] 1 * ![X, Y, 1] 2 + W.a₃ * ![X, Y, 1] 1 * ![X, Y, 1] 2 ^ 2 = ![X, Y, 1] 0 ^ 3 + W.a₂ * ![X, Y, 1] 0 ^ 2 * ![X, Y, 1] 2 + W.a₄ * ![X, Y, 1] 0 * ![X, Y, 1] 2 ^ 2 + W.a₆ * ![X, Y, 1] 2 ^ 3 ↔ Y ^ 2 + W.toAffine.a₁ * X * Y + W.toAffine.a₃ * Y = X ^ 3 + W.toAffine.a₂ * X ^ 2 + W.toAffine.a₄ * X + W.toAffine.a₆
-- Mathlib/NumberTheory/ADEInequality.lean
p q r : ℕ+
H : 1 < sumInv {p, q, r}
S : List ℕ+ := sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p, q, r}
hS : List.Sorted (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
\u22a2 (∃ q_1 r_1, A' q_1 r_1 = {p, q, r}) ∨ (∃ r_1, D' r_1 = {p, q, r}) ∨ E' 3 = {p, q, r} ∨ E' 4 = {p, q, r} ∨ E' 5 = {p, q, r}
-- Mathlib/NumberTheory/ADEInequality.lean
p q r : ℕ+
H : 1 < sumInv {p, q, r}
S : List ℕ+ := sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p, q, r}
hS : List.Sorted (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
hpqr : {p, q, r} = ↑S
\u22a2 (∃ q_1 r_1, A' q_1 r_1 = {p, q, r}) ∨ (∃ r_1, D' r_1 = {p, q, r}) ∨ E' 3 = {p, q, r} ∨ E' 4 = {p, q, r} ∨ E' 5 = {p, q, r}
-- Mathlib/NumberTheory/ADEInequality.lean
p q r : ℕ+
S : List ℕ+ := sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p, q, r}
H : 1 < sumInv ↑S
hS : List.Sorted (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
hpqr : {p, q, r} = ↑S
\u22a2 (∃ q r, A' q r = ↑S) ∨ (∃ r, D' r = ↑S) ∨ E' 3 = ↑S ∨ E' 4 = ↑S ∨ E' 5 = ↑S
-- Mathlib/NumberTheory/ADEInequality.lean
p q r : ℕ+
S : List ℕ+ := sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) {p, q, r}
H : 1 < sumInv ↑S
hS : List.Sorted (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
hpqr : {p, q, r} = ↑S
\u22a2 S.length = 3
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
hG : G.Colorable n
\u22a2 G.chromaticNumber = ↑n ↔ ∀ (C : G.Coloring (Fin n)), Surjective ⇑C
-- Mathlib/Tactic/PushNeg.lean
p q : Prop
α : Sort u_1
s✝ : α → Prop
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder β
s : Set β
\u22a2 (∅ ≠ s) = s.Nonempty
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Slope.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → E
x y : k
\u22a2 slope (fun t => -f t) x y = -slope f x y
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n p : ℕ
hm : Squarefree m
hn : n ≠ 0
\u22a2 (m / m.gcd n).Coprime n
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n p : ℕ
hm : Squarefree m
hn : n ≠ 0
this : (m / m.gcd n).Coprime (m.gcd n)
\u22a2 (m / m.gcd n).Coprime n
-- Mathlib/Data/Bool/Count.lean
l : List Bool
hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l
h2 : Even l.length
b : Bool
\u22a2 2 * count b l = l.length
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c
n : ℤ
x : α
\u22a2 f (x + (2 * n + 1) • c) = -f x
-- Mathlib/CategoryTheory/EpiMono.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : Mono f
inst✝ : IsSplitEpi f
\u22a2 f ≫ section_ f = 𝟙 X
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
t : Set E
f : α → E
hf : ∀ (c : Dual 𝕜 E), (fun x => c (f x)) =ᶠ[ae μ] 0
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
d : Set E
d_count : d.Countable
hd : t ⊆ closure d
this : Encodable ↑d
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
t : Set E
f : α → E
hf : ∀ (c : Dual 𝕜 E), (fun x => c (f x)) =ᶠ[ae μ] 0
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
d : Set E
d_count : d.Countable
hd : t ⊆ closure d
this✝ : Encodable ↑d
this : ∀ (x : ↑d), ∃ g, ‖g‖ ≤ 1 ∧ g ↑x = ↑‖↑x‖
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
t : Set E
f : α → E
hf : ∀ (c : Dual 𝕜 E), (fun x => c (f x)) =ᶠ[ae μ] 0
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
d : Set E
d_count : d.Countable
hd : t ⊆ closure d
this : Encodable ↑d
s : ↑d → E →L[𝕜] 𝕜
hs : ∀ (x : ↑d), ‖s x‖ ≤ 1 ∧ (s x) ↑x = ↑‖↑x‖
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
t : Set E
f : α → E
hf : ∀ (c : Dual 𝕜 E), (fun x => c (f x)) =ᶠ[ae μ] 0
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
d : Set E
d_count : d.Countable
hd : t ⊆ closure d
this : Encodable ↑d
s : ↑d → E →L[𝕜] 𝕜
hs : ∀ (x : ↑d), ‖s x‖ ≤ 1 ∧ (s x) ↑x = ↑‖↑x‖
A : ∀ a ∈ t, (∀ (x : ↑d), (s x) a = 0) → a = 0
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
t : Set E
f : α → E
hf : ∀ (c : Dual 𝕜 E), (fun x => c (f x)) =ᶠ[ae μ] 0
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
d : Set E
d_count : d.Countable
hd : t ⊆ closure d
this : Encodable ↑d
s : ↑d → E →L[𝕜] 𝕜
hs : ∀ (x : ↑d), ‖s x‖ ≤ 1 ∧ (s x) ↑x = ↑‖↑x‖
A : ∀ a ∈ t, (∀ (x : ↑d), (s x) a = 0) → a = 0
hfs : ∀ (y : ↑d), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (s y) (f x) = 0
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
t : Set E
f : α → E
hf : ∀ (c : Dual 𝕜 E), (fun x => c (f x)) =ᶠ[ae μ] 0
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
d : Set E
d_count : d.Countable
hd : t ⊆ closure d
this : Encodable ↑d
s : ↑d → E →L[𝕜] 𝕜
hs : ∀ (x : ↑d), ‖s x‖ ≤ 1 ∧ (s x) ↑x = ↑‖↑x‖
A : ∀ a ∈ t, (∀ (x : ↑d), (s x) a = 0) → a = 0
hfs : ∀ (y : ↑d), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (s y) (f x) = 0
hf' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (y : ↑d), (s y) (f x) = 0
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
t : Set E
f : α → E
hf : ∀ (c : Dual 𝕜 E), (fun x => c (f x)) =ᶠ[ae μ] 0
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
d : Set E
d_count : d.Countable
hd : t ⊆ closure d
this : Encodable ↑d
s : ↑d → E →L[𝕜] 𝕜
hs : ∀ (x : ↑d), ‖s x‖ ≤ 1 ∧ (s x) ↑x = ↑‖↑x‖
A : ∀ a ∈ t, (∀ (x : ↑d), (s x) a = 0) → a = 0
hfs : ∀ (y : ↑d), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (s y) (f x) = 0
hf' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (y : ↑d), (s y) (f x) = 0
x : α
hx : ∀ (y : ↑d), (s y) (f x) = 0
h'x : f x ∈ t
\u22a2 f x = 0 x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
hx : x.Compatible
Y₁✝ Y₂✝ Z✝ : C
g₁✝ : Z✝ ⟶ Y₁✝
g₂✝ : Z✝ ⟶ Y₂✝
f₁✝ : Y₁✝ ⟶ X
f₂✝ : Y₂✝ ⟶ X
h₁ : (generate R).arrows f₁✝
h₂ : (generate R).arrows f₂✝
comm : g₁✝ ≫ f₁✝ = g₂✝ ≫ f₂✝
\u22a2 P.map g₁✝.op (x.sieveExtend f₁✝ h₁) = P.map g₂✝.op (x.sieveExtend f₂✝ h₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
hx : x.Compatible
Y₁✝ Y₂✝ Z✝ : C
g₁✝ : Z✝ ⟶ Y₁✝
g₂✝ : Z✝ ⟶ Y₂✝
f₁✝ : Y₁✝ ⟶ X
f₂✝ : Y₂✝ ⟶ X
h₁ : (generate R).arrows f₁✝
h₂ : (generate R).arrows f₂✝
comm : g₁✝ ≫ f₁✝ = g₂✝ ≫ f₂✝
\u22a2 P.map (g₁✝ ≫ ⋯.choose).op (x ⋯.choose ⋯) = P.map (g₂✝ ≫ ⋯.choose).op (x ⋯.choose ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
hx : x.Compatible
Y₁✝ Y₂✝ Z✝ : C
g₁✝ : Z✝ ⟶ Y₁✝
g₂✝ : Z✝ ⟶ Y₂✝
f₁✝ : Y₁✝ ⟶ X
f₂✝ : Y₂✝ ⟶ X
h₁ : (generate R).arrows f₁✝
h₂ : (generate R).arrows f₂✝
comm : g₁✝ ≫ f₁✝ = g₂✝ ≫ f₂✝
\u22a2 (g₁✝ ≫ ⋯.choose) ≫ ⋯.choose = (g₂✝ ≫ ⋯.choose) ≫ ⋯.choose
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
\u22a2 image (fun x => c + x) (Ico a b) = Ico (c + a) (c + b)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
r : R
A : (algebraMap R (MvPolynomial S₁ (MvPolynomial S₂ R))) r = C (C r)
B : (algebraMap R (MvPolynomial (S₁ ⊕ S₂) R)) r = C r
\u22a2 __src✝.toFun ((algebraMap R (MvPolynomial (S₁ ⊕ S₂) R)) r) = (algebraMap R (MvPolynomial S₁ (MvPolynomial S₂ R))) r
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
hc : 0 < c
h : c < b
\u22a2 a / b < a / c
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n ℝ
hM : M.PosDef
x : n → ℝ
hx : x ≠ 0
\u22a2 0 < M.toQuadraticMap' x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n ℝ
hM : M.PosDef
x : n → ℝ
hx : x ≠ 0
\u22a2 0 < x ⬝ᵥ M *ᵥ x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
hfc : ConcaveOn 𝕜 s f
hx : x ∈ s
\u22a2 AntitoneOn (slope f x) (s \ {x})
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
hfc : ConcaveOn 𝕜 s f
hx : x ∈ s
\u22a2 AntitoneOn ((-slope (-f)) x) (s \ {x})
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
hb : a ≠ b
\u22a2 (cons a s ha).erase b = cons a (s.erase b) ⋯
-- Mathlib/Algebra/Group/Hom/Defs.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁶ : MulOneClass M
inst✝⁵ : MulOneClass N
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike F G H
inst✝² : DivInvMonoid G
inst✝¹ : DivInvMonoid H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
hf : ∀ (x : G), f x⁻¹ = (f x)⁻¹
a : G
n : ℕ
\u22a2 f (a ^ ↑n) = f a ^ ↑n
-- Mathlib/Algebra/Group/Hom/Defs.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁶ : MulOneClass M
inst✝⁵ : MulOneClass N
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike F G H
inst✝² : DivInvMonoid G
inst✝¹ : DivInvMonoid H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
hf : ∀ (x : G), f x⁻¹ = (f x)⁻¹
a : G
n : ℕ
\u22a2 f (a ^ Int.negSucc n) = f a ^ Int.negSucc n
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : ContinuousOn f s
hs : IsOpen s
hp : f ⁻¹' t ⊆ s
ht : IsOpen t
\u22a2 IsOpen (f ⁻¹' t)
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : ContinuousOn f s
hs : IsOpen s
hp : f ⁻¹' t ⊆ s
ht : IsOpen t
\u22a2 f ⁻¹' t = s ∩ f ⁻¹' t
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
\u22a2 1 < s.card ↔ ∃ a b, a ∈ s ∧ b ∈ s ∧ a ≠ b
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
\u22a2 (∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, a ≠ b) ↔ ∃ a b, a ∈ s ∧ b ∈ s ∧ a ≠ b
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n p : ℕ
hp : Prime p
a b : ℤ
h : ↑p ∣ a * b
\u22a2 ↑p ∣ a ∨ ↑p ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n p : ℕ
hp : Prime p
a b : ℤ
h : p ∣ a.natAbs ∨ p ∣ b.natAbs
\u22a2 ↑p ∣ a ∨ ↑p ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n p : ℕ
hp : _root_.Prime ↑p
h : p = 1
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n p : ℕ
hp : _root_.Prime ↑p
a b : ℕ
\u22a2 p ∣ a * b → p ∣ a ∨ p ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/Find.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h₁ : ∃ n, p n
h₂ : ∃ n, p (n + 1)
h0 : ¬p 0
\u22a2 Nat.find h₁ = Nat.find h₂ + 1
-- Mathlib/Data/Nat/Find.lean
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h₁ : ∃ n, p n
h₂ : ∃ n, p (n + 1)
h0 : ¬p 0
n : ℕ
hn : n < Nat.find h₂ + 1
\u22a2 ¬p n
-- Mathlib/Data/Nat/Find.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h₁ : ∃ n, p n
h₂ : ∃ n, p (n + 1)
h0 : ¬p 0
hn : 0 < Nat.find h₂ + 1
\u22a2 ¬p 0
-- Mathlib/Data/Nat/Find.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h₁ : ∃ n, p n
h₂ : ∃ n, p (n + 1)
h0 : ¬p 0
n✝ : ℕ
hn : n✝ + 1 < Nat.find h₂ + 1
\u22a2 ¬p (n✝ + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
\u22a2 hζ.integralPowerBasis.dim = φ (↑p ^ k)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
γ : Sort u_3
t : γ → Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
\u22a2 (vanishingIdeal (⋃ i, t i)).toIdeal = (⨅ i, vanishingIdeal (t i)).toIdeal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
γ : Sort u_3
t : γ → Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
\u22a2 (⨅ i, vanishingIdeal (t i)).toIdeal = ⨅ i, (vanishingIdeal (t i)).toIdeal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → ℝ≥0∞
a : α
\u22a2 ∫⁻ (x : α) in {a}, f x ∂μ = f a * μ {a}
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.IsEquivalence
X Y : D
f : X ⟶ Y
\u22a2 F.map (F.inv.map f) = F.asEquivalence.counit.app X ≫ f ≫ F.asEquivalence.counitInv.app Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.IsEquivalence
X Y : D
f : X ⟶ Y
\u22a2 F.map (F.inv.map f) = (F.asEquivalence.inverse ⋙ F.asEquivalence.functor).map f
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Ideals.lean
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
I : Ideal C(X, R)
x : X
\u22a2 x ∈ setOfIdeal I ↔ ∃ f ∈ I, f x ≠ 0
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Ideals.lean
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
I : Ideal C(X, R)
x : X
\u22a2 (¬∀ f ∈ I, f x = 0) ↔ ∃ f ∈ I, f x ≠ 0
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Ideals.lean
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
I : Ideal C(X, R)
x : X
\u22a2 (∃ f ∈ I, f x ≠ 0) ↔ ∃ f ∈ I, f x ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m n : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : Integrable f' volume
hbot : Tendsto f atBot (𝓝 m)
htop : Tendsto f atTop (𝓝 n)
\u22a2 ∫ (x : ℝ), f' x = n - m
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m n : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : Integrable f' volume
hbot : Tendsto f atBot (𝓝 m)
htop : Tendsto f atTop (𝓝 n)
\u22a2 f 0 - m + (n - f 0) = n - m
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Classes/Order.lean
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
x y : α
inst✝² : BEq α
inst✝¹ : LawfulBEq α
inst✝ : BEqCmp cmp
\u22a2 cmp x y = Ordering.eq ↔ x = y
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
w x y z : R
\u22a2 span {w, x} * span {y, z} = span {w * y, w * z, x * y, x * z}