ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
n : ℕ
r : R
\u22a2 (lift f_compat) r - ↑((f n) r).val ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/ScaleRoots.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R
hs : s ∈ nonZeroDivisors R
i : ℕ
\u22a2 i ∈ p.support → i ∈ (p.scaleRoots s).support
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/ScaleRoots.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R
hs : s ∈ nonZeroDivisors R
i : ℕ
\u22a2 p.coeff i ≠ 0 → p.coeff i * s ^ (p.natDegree - i) ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/ScaleRoots.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R
hs : s ∈ nonZeroDivisors R
i : ℕ
p_ne_zero : p.coeff i ≠ 0
ps_zero : p.coeff i * s ^ (p.natDegree - i) = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/ScaleRoots.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R
hs : s ∈ nonZeroDivisors R
i : ℕ
p_ne_zero : p.coeff i ≠ 0
ps_zero : p.coeff i * s ^ (p.natDegree - i) = 0
this : p.coeff i = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Lie/UniversalEnveloping.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
A : Type u₃
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
f : L →ₗ⁅R⁆ A
x : L
\u22a2 ((lift R) f) ((mkAlgHom R L) (ιₜ x)) = f x
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
k : K
\u22a2 ((algebraMap K (K_hat R K)) k).IsFiniteAdele
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
k : K
\u22a2 {x | (algebraMap K (K_hat R K)) k x ∉ adicCompletionIntegers K x}.Finite
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
k : K
\u22a2 {x | 1 < Valued.v k}.Finite
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
k : K
\u22a2 {v | 1 < v.valuation k}.Finite
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
k : K
n d : R
hd : d ∈ nonZeroDivisors R
hk : k * (algebraMap R K) ↑(n, ⟨d, hd⟩).2 = (algebraMap R K) (n, ⟨d, hd⟩).1
\u22a2 {v | 1 < v.valuation k}.Finite
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
k : K
n d : R
hd : d ∈ nonZeroDivisors R
hk : k * (algebraMap R K) ↑(n, ⟨d, hd⟩).2 = (algebraMap R K) (n, ⟨d, hd⟩).1
hd' : d ≠ 0
\u22a2 {v | 1 < v.valuation k}.Finite
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
k : K
n d : R
hd : d ∈ nonZeroDivisors R
hk : k * (algebraMap R K) ↑(n, ⟨d, hd⟩).2 = (algebraMap R K) (n, ⟨d, hd⟩).1
hd' : d ≠ 0
\u22a2 {v | v.valuation ((algebraMap R K) d) < 1}.Finite
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
k : K
n d : R
hd : d ∈ nonZeroDivisors R
hk : k * (algebraMap R K) ↑(n, ⟨d, hd⟩).2 = (algebraMap R K) (n, ⟨d, hd⟩).1
hd' : d ≠ 0
\u22a2 {v | v.intValuation d < 1}.Finite
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
k : K
n d : R
hd : d ∈ nonZeroDivisors R
hk : k * (algebraMap R K) ↑(n, ⟨d, hd⟩).2 = (algebraMap R K) (n, ⟨d, hd⟩).1
hd' : d ≠ 0
\u22a2 {v | v.intValuationDef d < 1}.Finite
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
k : K
n d : R
hd : d ∈ nonZeroDivisors R
hk : k * (algebraMap R K) ↑(n, ⟨d, hd⟩).2 = (algebraMap R K) (n, ⟨d, hd⟩).1
hd' : d ≠ 0
\u22a2 {v | v.asIdeal ∣ Ideal.span {d}}.Finite
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
k : K
n d : R
hd : d ∈ nonZeroDivisors R
hk : k * (algebraMap R K) ↑(n, ⟨d, hd⟩).2 = (algebraMap R K) (n, ⟨d, hd⟩).1
hd' : d ≠ 0
\u22a2 Ideal.span {d} ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : PadicSeq p
ha : ¬a ≈ 0
\u22a2 ∃ z, a.norm = ↑p ^ (-z)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : PadicSeq p
ha : ¬a ≈ 0
k : ℚ
hk : a.norm = padicNorm p k
hk' : k ≠ 0
\u22a2 ∃ z, a.norm = ↑p ^ (-z)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
inst✝ : IsDedekindDomain R
x : R
x_mem : x ∈ P
hxP2 : x ∉ P ^ 2
hxQ : ∀ (Q : Ideal R), Q.IsPrime → Q ≠ P → x ∉ Q
this : DecidableEq (Ideal R) := Classical.decEq (Ideal R)
\u22a2 P = span {x}
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
inst✝ : IsDedekindDomain R
x : R
x_mem : x ∈ P
hxP2 : x ∉ P ^ 2
hxQ : ∀ (Q : Ideal R), Q.IsPrime → Q ≠ P → x ∉ Q
this : DecidableEq (Ideal R) := Classical.decEq (Ideal R)
hx0 : x ≠ 0
\u22a2 P = span {x}
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
inst✝ : IsDedekindDomain R
x : R
x_mem : x ∈ P
hxP2 : x ∉ P ^ 2
hxQ : ∀ (Q : Ideal R), Q.IsPrime → Q ≠ P → x ∉ Q
this : DecidableEq (Ideal R) := Classical.decEq (Ideal R)
hx0 : x ≠ 0
hP0 : ¬P = ⊥
\u22a2 P = span {x}
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
inst✝ : IsDedekindDomain R
x : R
x_mem : x ∈ P
hxP2 : x ∉ P ^ 2
hxQ : ∀ (Q : Ideal R), Q.IsPrime → Q ≠ P → x ∉ Q
this : DecidableEq (Ideal R) := Classical.decEq (Ideal R)
hx0 : x ≠ 0
hP0 : ¬P = ⊥
hspan0 : span {x} ≠ ⊥
\u22a2 P = span {x}
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
inst✝ : IsDedekindDomain R
x : R
x_mem : x ∈ P
hxP2 : x ∉ P ^ 2
hxQ : ∀ (Q : Ideal R), Q.IsPrime → Q ≠ P → x ∉ Q
this : DecidableEq (Ideal R) := Classical.decEq (Ideal R)
hx0 : x ≠ 0
hP0 : ¬P = ⊥
hspan0 : span {x} ≠ ⊥
span_le : span {x} ≤ P
\u22a2 P = span {x}
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
inst✝ : IsDedekindDomain R
x : R
x_mem : x ∈ P
hxP2 : x ∉ P ^ 2
hxQ : ∀ (Q : Ideal R), Q.IsPrime → Q ≠ P → x ∉ Q
this : DecidableEq (Ideal R) := Classical.decEq (Ideal R)
hx0 : x ≠ 0
hP0 : ¬P = ⊥
hspan0 : span {x} ≠ ⊥
span_le : span {x} ≤ P
\u22a2 P ∣ span {x}
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
inst✝ : IsDedekindDomain R
x : R
x_mem : x ∈ P
hxP2 : x ∉ P ^ 2
hxQ : ∀ (Q : Ideal R), Q.IsPrime → Q ≠ P → x ∉ Q
this : DecidableEq (Ideal R) := Classical.decEq (Ideal R)
hx0 : x ≠ 0
hP0 : ¬P = ⊥
hspan0 : span {x} ≠ ⊥
span_le : span {x} ≤ P
\u22a2 normalizedFactors (span {x}) ≤ normalizedFactors P
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
inst✝ : IsDedekindDomain R
x : R
x_mem : x ∈ P
hxP2 : x ∉ P ^ 2
hxQ : ∀ (Q : Ideal R), Q.IsPrime → Q ≠ P → x ∉ Q
this : DecidableEq (Ideal R) := Classical.decEq (Ideal R)
hx0 : x ≠ 0
hP0 : ¬P = ⊥
hspan0 : span {x} ≠ ⊥
span_le : span {x} ≤ P
\u22a2 ∀ (a : Ideal R), Multiset.count a (normalizedFactors (span {x})) ≤ if a = P then 1 else 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
p2 : P
\u22a2 p -ᵥ p2 ∈ s.direction ↔ p2 ∈ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
p2 : P
\u22a2 (∃ p2_1 ∈ s, p -ᵥ p2 = p -ᵥ p2_1) ↔ p2 ∈ s
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
r : R
n m : ℕ
h : n ≤ m
x : M
x✝ : x ∈ (fun n => LinearMap.range (r ^ n • LinearMap.id)) m
y : M
hy : r ^ m • y = x
\u22a2 r ^ n • r ^ (m - n) • y = x
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : ↥(Lp ℂ 2 haarAddCircle)
\u22a2 HasSum (fun i => fourierCoeff (↑↑f) i • fourierLp 2 i) f
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : ↥(Lp ℂ 2 haarAddCircle)
\u22a2 HasSum (fun i => ↑(fourierBasis.repr f) i • fourierLp 2 i) f
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : ↥(Lp ℂ 2 haarAddCircle)
\u22a2 HasSum (fun i => ↑(fourierBasis.repr f) i • (fun i => fourierBasis.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i) f
-- Mathlib/Logic/Equiv/Option.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
x : β
e : α ≃ { y // y ≠ x }
b : { y // y ≠ x }
\u22a2 (↑((optionSubtype x).symm e)).symm ↑b = some (e.symm b)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Option.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
x : β
e : α ≃ { y // y ≠ x }
b : { y // y ≠ x }
\u22a2 ↑b = x → False
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
β : Type u_4
i : β → α
hi : Injective i
f : α → ℝ≥0
hf : Summable fun i => ↑(f i)
\u22a2 tsum ((fun i => ↑(f i)) ∘ i) ≤ ∑' (i : α), ↑(f i)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
β : Type u_4
i : β → α
hi : Injective i
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f
\u22a2 tsum ((fun i => ↑(f i)) ∘ i) ≤ ∑' (i : α), ↑(f i)
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
u v : β → α
p : β → Prop
h : ∀ᶠ (a : β) in f, p a → u a = v a
\u22a2 blimsup u f p = blimsup v f p
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
n : ℕ
t : R
ht : ‖t‖ < 1
this : Summable fun n => t ^ n
\u22a2 ∑ i ∈ range n, t ^ i + ∑' (i : ℕ), t ^ (i + n) = ∑ i ∈ range n, t ^ i + t ^ n * inverse (1 - t)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
n : ℕ
t : R
ht : ‖t‖ < 1
this : Summable fun n => t ^ n
\u22a2 ∑ i ∈ range n, t ^ i + t ^ n * ∑' (i : ℕ), t ^ i = ∑ i ∈ range n, t ^ i + t ^ n * ↑(Units.oneSub t ht)⁻¹
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
l : List α
n : ℕ
hl : (b :: l).Nodup
\u22a2 take (n + 1) (b :: l) = List.filter (fun a => elem a (take (n + 1) (b :: l))) (b :: l)
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
l : List α
n : ℕ
hl : (b :: l).Nodup
\u22a2 b :: List.filter (fun a => elem a (take n l)) l = b :: List.filter (fun a => elem a (b :: List.filter (fun a => elem a (take n l)) l)) l
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
l : List α
n : ℕ
hl : (b :: l).Nodup
\u22a2 List.filter (fun a => elem a (take n l)) l = List.filter (fun a => elem a (b :: List.filter (fun a => elem a (take n l)) l)) l
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
l : List α
n : ℕ
hl : (b :: l).Nodup
\u22a2 ∀ x ∈ l, elem x (take n l) = elem x (b :: List.filter (fun a => elem a (take n l)) l)
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
l : List α
n : ℕ
hl : (b :: l).Nodup
x : α
hx : x ∈ l
\u22a2 elem x (take n l) = elem x (b :: List.filter (fun a => elem a (take n l)) l)
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
l : List α
n : ℕ
hl : (b :: l).Nodup
x : α
hx : x ∈ l
this : x ≠ b
\u22a2 elem x (take n l) = elem x (b :: List.filter (fun a => elem a (take n l)) l)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
P Q R : C
f✝ f' : P ⟶ Q
g✝ g' : Q ⟶ R
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasLimit (parallelPair f 0)
w : kernel.ι f = 0
P✝ : C
g : P✝ ⟶ X
h : g ≫ f = 0
\u22a2 g = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
\u22a2 (W.map f).Ψ₃ = Polynomial.map f W.Ψ₃
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
\u22a2 3 * X ^ 4 + C (f W.b₂) * X ^ 3 + 3 * C (f W.b₄) * X ^ 2 + 3 * C (f W.b₆) * X + C (f W.b₈) = Polynomial.map f (3 * X ^ 4 + C W.b₂ * X ^ 3 + 3 * C W.b₄ * X ^ 2 + 3 * C W.b₆ * X + C W.b₈)
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y : ℕ
xy : SqLe (y + 1) d (x + 1) 1
yx : SqLe (x + 1) 1 y.succ d
\u22a2 { re := ↑(x + 1), im := -[y+1] } = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y : ℕ
xy : SqLe (y + 1) d (x + 1) 1
yx : SqLe (x + 1) 1 y.succ d
t : 1 * (x + 1) * (x + 1) = d * y.succ * y.succ := le_antisymm yx xy
\u22a2 { re := ↑(x + 1), im := -[y+1] } = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y : ℕ
xy : SqLe (y + 1) d (x + 1) 1
yx : SqLe (x + 1) 1 y.succ d
t : (x + 1) * (x + 1) = d * y.succ * y.succ
\u22a2 { re := ↑(x + 1), im := -[y+1] } = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y : ℕ
xy : SqLe (x + 1) 1 (y + 1) d
yx : SqLe (y + 1) d x.succ 1
\u22a2 { re := -[x+1], im := ↑(y + 1) } = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y : ℕ
xy : SqLe (x + 1) 1 (y + 1) d
yx : SqLe (y + 1) d x.succ 1
t : 1 * (x + 1) * (x + 1) = d * (y + 1) * (y + 1) := le_antisymm xy yx
\u22a2 { re := -[x+1], im := ↑(y + 1) } = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y : ℕ
xy : SqLe (x + 1) 1 (y + 1) d
yx : SqLe (y + 1) d x.succ 1
t : (x + 1) * (x + 1) = d * (y + 1) * (y + 1)
\u22a2 { re := -[x+1], im := ↑(y + 1) } = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ha : G.Adj s t
\u22a2 (G.replaceVertex s t).edgeFinset = (G.edgeFinset \ G.incidenceFinset t ∪ image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s)) \ {s(t, t)}
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ha : G.Adj s t
\u22a2 (G.replaceVertex s t).edgeFinset = ((G.edgeSet \ G.incidenceSet t ∪ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s) \ {s(t, t)}).toFinset
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
i j : ι
inst✝³ : K.HasHomology i
inst✝² : K.HasHomology j
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology j
\u22a2 opcyclesMap φ i ≫ L.opcyclesToCycles i j = K.opcyclesToCycles i j ≫ cyclesMap φ j
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring R'
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : SemilatticeSup B
inst✝¹ : Add B
inst✝ : OrderBot B
D : A → B
p q : R[A]
a : A
hlt : ¬D a ≤ supDegree D p
\u22a2 p a = 0
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring R'
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : SemilatticeSup B
inst✝¹ : Add B
inst✝ : OrderBot B
D : A → B
p q : R[A]
a : A
hlt : p a ≠ 0
\u22a2 D a ≤ supDegree D p
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
inst✝ : Nonempty α
h : SurjOn f s t
\u22a2 BijOn f (invFunOn f s '' t) t
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
inst✝ : Nonempty α
h : SurjOn f s t
\u22a2 MapsTo f (invFunOn f s '' t) t
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
inst✝ : Nonempty α
h : SurjOn f s t
y : β
hy : y ∈ t
\u22a2 f (invFunOn f s y) ∈ t
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α✝
α : Type u_6
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice β
f : Filter α
u v : α → β
h : ∀ᶠ (a : α) in f, u a = v a
\u22a2 limsup u f = limsup v f
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α✝
α : Type u_6
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice β
f : Filter α
u v : α → β
h : ∀ᶠ (a : α) in f, u a = v a
\u22a2 sInf {a | ∀ᶠ (n : α) in f, u n ≤ a} = limsup v f
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α✝
α : Type u_6
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice β
f : Filter α
u v : α → β
h : ∀ᶠ (a : α) in f, u a = v a
b : β
\u22a2 b ∈ {a | ∀ᶠ (n : α) in f, u n ≤ a} ↔ b ∈ {a | ∀ᶠ (n : β) in map v f, n ≤ a}
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfgne : f.norm ≠ g.norm
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : f ≈ 0
this : (f - 0).LimZero
\u22a2 (f + g).norm = max f.norm g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfgne : f.norm ≠ g.norm
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : f ≈ 0
this✝ : (f - 0).LimZero
this : f + g ≈ g
\u22a2 (f + g).norm = max f.norm g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfgne : f.norm ≠ g.norm
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : f ≈ 0
this✝ : (f - 0).LimZero
this : f + g ≈ g
h1 : (f + g).norm = g.norm
\u22a2 (f + g).norm = max f.norm g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfgne : f.norm ≠ g.norm
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : f ≈ 0
this✝ : (f - 0).LimZero
this : f + g ≈ g
h1 : (f + g).norm = g.norm
h2 : f.norm = 0
\u22a2 (f + g).norm = max f.norm g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfgne : f.norm ≠ g.norm
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
this : (g - 0).LimZero
\u22a2 (f + g).norm = max f.norm g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfgne : f.norm ≠ g.norm
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
this✝ : (g - 0).LimZero
this : f + g ≈ f
\u22a2 (f + g).norm = max f.norm g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfgne : f.norm ≠ g.norm
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
this✝ : (g - 0).LimZero
this : f + g ≈ f
h1 : (f + g).norm = f.norm
\u22a2 (f + g).norm = max f.norm g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfgne : f.norm ≠ g.norm
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
this✝ : (g - 0).LimZero
this : f + g ≈ f
h1 : (f + g).norm = f.norm
h2 : g.norm = 0
\u22a2 (f + g).norm = max f.norm g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfgne : padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) ≠ padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
\u22a2 padicNorm p (↑(f + g) (stationaryPoint hfg)) = max (padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf))) (padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg)))
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfgne✝¹ : padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) ≠ padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
hfgne✝ : padicNorm p (↑f (max ?v1 (max (stationaryPoint hf) ?v3))) ≠ padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
hfgne : padicNorm p (↑f (max ?v1 (max (stationaryPoint hf) ?v3))) ≠ padicNorm p (↑g (max ?v1 (max ?v2 (stationaryPoint hg))))
\u22a2 padicNorm p (↑(f + g) (stationaryPoint hfg)) = max (padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf))) (padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg)))
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfgne✝ : padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) ≠ padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
hfgne : padicNorm p (↑f (max ?v1 (max (stationaryPoint hf) ?v3))) ≠ padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
\u22a2 ℕ
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfgne : padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) ≠ padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
\u22a2 ℕ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
hy' : P y * Q z ^ 3 = W.negY Q * P z ^ 3
\u22a2 W.add P Q = W.dblU P • ![1, 1, 0]
-- Mathlib/Condensed/Light/TopCatAdjunction.lean
X Y : LightCondSet
f : X ⟶ Y
\u22a2 Continuous (f.val.app (Opposite.op (of PUnit.{u + 1})))
-- Mathlib/Condensed/Light/TopCatAdjunction.lean
X Y : LightCondSet
f : X ⟶ Y
\u22a2 Continuous (f.val.app (Opposite.op (of PUnit.{u + 1})) ∘ LightCondSet.coinducingCoprod X)
-- Mathlib/Condensed/Light/TopCatAdjunction.lean
X Y : LightCondSet
f : X ⟶ Y
\u22a2 ∀ (i : (S : LightProfinite) × X.val.obj (Opposite.op S)), Continuous fun a => (f.val.app (Opposite.op (of PUnit.{u + 1})) ∘ LightCondSet.coinducingCoprod X) ⟨i, a⟩
-- Mathlib/Condensed/Light/TopCatAdjunction.lean
X Y : LightCondSet
f : X ⟶ Y
S : LightProfinite
x : X.val.obj (Opposite.op S)
\u22a2 Continuous fun a => (f.val.app (Opposite.op (of PUnit.{u + 1})) ∘ LightCondSet.coinducingCoprod X) ⟨⟨S, x⟩, a⟩
-- Mathlib/Condensed/Light/TopCatAdjunction.lean
X Y : LightCondSet
f : X ⟶ Y
S : LightProfinite
x : X.val.obj (Opposite.op S)
\u22a2 Continuous fun a => f.val.app (Opposite.op (of PUnit.{u + 1})) (X.val.map (LightProfinite.const S a).op x)
-- Mathlib/Condensed/Light/TopCatAdjunction.lean
X Y : LightCondSet
f : X ⟶ Y
S : LightProfinite
x : X.val.obj (Opposite.op S)
this : (fun a => f.val.app (Opposite.op (of PUnit.{u + 1})) (X.val.map (LightProfinite.const S a).op x)) = fun a => Y.val.map (LightProfinite.const S a).op (f.val.app (Opposite.op S) x)
\u22a2 Continuous fun a => f.val.app (Opposite.op (of PUnit.{u + 1})) (X.val.map (LightProfinite.const S a).op x)
-- Mathlib/Condensed/Light/TopCatAdjunction.lean
X Y : LightCondSet
f : X ⟶ Y
S : LightProfinite
x : X.val.obj (Opposite.op S)
this : (fun a => f.val.app (Opposite.op (of PUnit.{u + 1})) (X.val.map (LightProfinite.const S a).op x)) = fun a => Y.val.map (LightProfinite.const S a).op (f.val.app (Opposite.op S) x)
\u22a2 Continuous fun a => Y.val.map (LightProfinite.const S a).op (f.val.app (Opposite.op S) x)