ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : Module.rank F ↥S ≤ 1
inst✝ : Module.Free F ↥S
a✝ : Nontrivial E
κ : Type u_2
b : Basis κ F ↥S
\u22a2 S = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : Module.rank F ↥S ≤ 1
inst✝ : Module.Free F ↥S
a✝ : Nontrivial E
κ : Type u_2
b : Basis κ F ↥S
h1 : ¬Module.rank F ↥S = 1
\u22a2 S = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : Module.rank F ↥S ≤ 1
inst✝ : Module.Free F ↥S
a✝ : Nontrivial E
κ : Type u_2
b : Basis κ F ↥S
h1 : ¬Module.rank F ↥S = 1
this : IsEmpty κ
\u22a2 S = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : Module.rank F ↥S ≤ 1
inst✝ : Module.Free F ↥S
a✝ : Nontrivial E
κ : Type u_2
b : Basis κ F ↥S
h1 : ¬Module.rank F ↥S = 1
this✝ : IsEmpty κ
this : Subsingleton ↥S
\u22a2 S = ⊥
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
\u22a2 (x \ y) \ z = x \ y ⊓ x \ z
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/BinaryProducts.lean
C : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} C
X Y : C
D : Type u₂
inst✝⁸ : Category.{w, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁷ : Category.{w', u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A A' B B' : C
inst✝⁶ : HasBinaryProduct A B
inst✝⁵ : HasBinaryProduct A' B'
inst✝⁴ : HasBinaryProduct (F.obj A) (F.obj B)
inst✝³ : HasBinaryProduct (F.obj A') (F.obj B')
inst✝² : HasBinaryProduct (G.obj (F.obj A)) (G.obj (F.obj B))
inst✝¹ : HasBinaryProduct ((F ⋙ G).obj A) ((F ⋙ G).obj B)
inst✝ : IsIso (prodComparison F A B)
\u22a2 inv (prodComparison F A B) ≫ F.map prod.fst = prod.fst
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n : ℕ
x✝ : Fin m × Fin n
x : Fin m
y : Fin n
H : 0 < n
\u22a2 ↑y / n + ↑x = 0 + ↑x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
hx : f x ≠ x
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
\u22a2 y ∈ (f.cycleOf x).support ↔ f.SameCycle x y
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : AddZeroClass α
M N : o → Matrix m n α
i✝ : m × o
j✝ : n × o
\u22a2 blockDiagonal (M + N) i✝ j✝ = (blockDiagonal M + blockDiagonal N) i✝ j✝
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : AddZeroClass α
M N : o → Matrix m n α
i✝ : m × o
j✝ : n × o
\u22a2 (if i✝.2 = j✝.2 then M i✝.2 i✝.1 j✝.1 + N i✝.2 i✝.1 j✝.1 else 0) = (if i✝.2 = j✝.2 then M i✝.2 i✝.1 j✝.1 else 0) + if i✝.2 = j✝.2 then N i✝.2 i✝.1 j✝.1 else 0
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/Cartesian.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S T : 𝒮
a b c : 𝒳
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
φ : a ⟶ b
ψ : b ⟶ c
inst✝² : p.IsStronglyCartesian g ψ
inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian (f ≫ g) (φ ≫ ψ)
inst✝ : p.IsHomLift f φ
a' : 𝒳
h : p.obj a' ⟶ R
τ : a' ⟶ b
hτ : p.IsHomLift (h ≫ f) τ
h₁ : p.IsHomLift (h ≫ f ≫ g) (τ ≫ ψ)
\u22a2 ∃! χ, p.IsHomLift h χ ∧ χ ≫ φ = τ
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/Cartesian.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S T : 𝒮
a b c : 𝒳
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
φ : a ⟶ b
ψ : b ⟶ c
inst✝² : p.IsStronglyCartesian g ψ
inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian (f ≫ g) (φ ≫ ψ)
inst✝ : p.IsHomLift f φ
a' : 𝒳
h : p.obj a' ⟶ R
τ : a' ⟶ b
hτ : p.IsHomLift (h ≫ f) τ
h₁ : p.IsHomLift (h ≫ f ≫ g) (τ ≫ ψ)
\u22a2 (fun χ => p.IsHomLift h χ ∧ χ ≫ φ = τ) (map p (f ≫ g) (φ ≫ ψ) ⋯ (τ ≫ ψ)) ∧ ∀ (y : a' ⟶ a), (fun χ => p.IsHomLift h χ ∧ χ ≫ φ = τ) y → y = map p (f ≫ g) (φ ≫ ψ) ⋯ (τ ≫ ψ)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
\u22a2 o.bsup f = o.blsub f ↔ ∀ a < o.blsub f, succ a < o.blsub f
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
\u22a2 sup (o.familyOfBFamily f) = lsub (o.familyOfBFamily f) ↔ ∀ a < lsub (o.familyOfBFamily f), succ a < lsub (o.familyOfBFamily f)
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : DecidableEq α
inst✝⁴ : DecidableEq β
inst✝³ : SemilatticeInf α
inst✝² : SemilatticeInf β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : InfHomClass F α β
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
\u22a2 s ⊼ s = s ↔ InfClosed ↑s
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x✝ y✝ : α
\u22a2 s(x✝, y✝) ∈ filter IsDiag (image Sym2.mk (s ×ˢ s)) ↔ s(x✝, y✝) ∈ image Sym2.mk s.diag
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x✝ y✝ : α
\u22a2 (∃ a b, (a ∈ s ∧ b ∈ s) ∧ s(a, b) = s(x✝, y✝)) ∧ s(x✝, y✝).IsDiag ↔ ∃ a b, (a ∈ s ∧ a = b) ∧ s(a, b) = s(x✝, y✝)
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
m n✝ : ℕ
\u22a2 ↑(-1) = n✝ + 1
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
m n✝ : ℕ
\u22a2 n✝ + 1 < n✝ + 1 + 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
X✝ Y✝ Z✝ : CommRingCatᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
\u22a2 { obj := fun R => sheafedSpaceObj (unop R), map := fun {X Y} f => sheafedSpaceMap f.unop }.map (f ≫ g) = { obj := fun R => sheafedSpaceObj (unop R), map := fun {X Y} f => sheafedSpaceMap f.unop }.map f ≫ { obj := fun R => sheafedSpaceObj (unop R), map := fun {X Y} f => sheafedSpaceMap f.unop }.map g
-- Mathlib/Data/Finset/Density.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s✝ t✝ : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
\u22a2 (s ∩ t).dens + (s \ t).dens = s.dens
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝ : Zero β
r : β
s : Set α
f : α →ₛ β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 r ∈ (f.restrict s).range ↔ r = 0 ∧ s ≠ univ ∨ r ∈ ↑f '' s
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝⁴ : DecidableEq o
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : (i : o) → DecidableEq (m' i)
inst✝ : One α
\u22a2 (blockDiagonal' fun i => diagonal fun x => 1) = diagonal fun x => 1
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
s : Finset β
hf : mulSupport f ⊆ ↑s
\u22a2 ∏' (b : β), f b = ∏ b ∈ s, f b
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
y : β
\u22a2 μ.prod (dirac y) = map (fun x => (x, y)) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
y : β
\u22a2 (sum fun i => (sFiniteSeq μ i).prod (dirac y)) = sum fun i => map (fun x => (x, y)) (sFiniteSeq μ i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
y : β
i : ℕ
\u22a2 (sFiniteSeq μ i).prod (dirac y) = map (fun x => (x, y)) (sFiniteSeq μ i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
y : β
i : ℕ
s : Set α
t : Set β
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
\u22a2 (map (fun x => (x, y)) (sFiniteSeq μ i)) (s ×ˢ t) = (sFiniteSeq μ i) s * (dirac y) t
-- Mathlib/Data/Finset/Powerset.lean
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n : ?m.18500
s✝ t s : Finset α
\u22a2 Multiset.map val (powersetCard 1 s).val = Multiset.map val (map { toFun := singleton, inj' := ⋯ } s).val
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a : α
\u22a2 IsUpperSet s ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → Ici a ⊆ s
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
k : ℕ
\u22a2 multichoose 2 k = ↑k + 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
\u22a2 (f x - f a) / (x - a) < (f y - f a) / (y - a)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
hxa : x < a
\u22a2 (f x - f a) / (x - a) < (f y - f a) / (y - a)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
hxa : x > a
\u22a2 (f x - f a) / (x - a) < (f y - f a) / (y - a)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
hs : ¬BddAbove s
\u22a2 atTop = generate (Ici '' s)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
hs : ¬BddAbove s
x : α
\u22a2 ∃ y ∈ s, x ≤ y
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
hs : ¬BddAbove s
x y : α
hy : y ∈ s
hy' : x < y
\u22a2 ∃ y ∈ s, x ≤ y
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightNhds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a b : α
h : a < b
s : Set α
\u22a2 [s ∈ 𝓝[≤] b, s ∈ 𝓝[Icc a b] b, s ∈ 𝓝[Ioc a b] b, ∃ l ∈ Ico a b, Ioc l b ⊆ s, ∃ l ∈ Iio b, Ioc l b ⊆ s].TFAE
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/GammaCompN.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
e : toKaroubi (ChainComplex C ℕ) ⋙ Γ₂ ⋙ N₂ ≅ toKaroubi (ChainComplex C ℕ) ⋙ 𝟭 (Karoubi (ChainComplex C ℕ)) := N₂Γ₂ToKaroubiIso ≪≫ N₁Γ₀
\u22a2 whiskerLeft (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)) N₂Γ₂.hom = N₂Γ₂ToKaroubiIso.hom ≫ N₁Γ₀.hom
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/GammaCompN.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
e : toKaroubi (ChainComplex C ℕ) ⋙ Γ₂ ⋙ N₂ ≅ toKaroubi (ChainComplex C ℕ) ⋙ 𝟭 (Karoubi (ChainComplex C ℕ)) := N₂Γ₂ToKaroubiIso ≪≫ N₁Γ₀
h : ((whiskeringLeft (ChainComplex C ℕ) (Karoubi (ChainComplex C ℕ)) (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).obj (toKaroubi (ChainComplex C ℕ))).map (((whiskeringLeft (ChainComplex C ℕ) (Karoubi (ChainComplex C ℕ)) (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).obj (toKaroubi (ChainComplex C ℕ))).preimage e.hom) = e.hom
\u22a2 whiskerLeft (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)) N₂Γ₂.hom = N₂Γ₂ToKaroubiIso.hom ≫ N₁Γ₀.hom
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
z✝ y x✝ : ℝ
x z : ℂ
hz : ‖z‖ ≤ 1
\u22a2 cexp (x + z) - cexp x - z * cexp x = cexp x * (cexp z - 1 - z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
z✝ y x✝ : ℝ
x z : ℂ
hz : ‖z‖ ≤ 1
\u22a2 cexp x * cexp z - cexp x - z * cexp x = cexp x * (cexp z - 1 - z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
hb : 1 < b
h : 0 < x
h₁ : 0 < y
\u22a2 logb b x ≤ logb b y ↔ x ≤ y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
a : α
σ : Perm β
x✝¹ : α × β
a' : α
b : β
hab : (prodExtendRight a σ) (a', b) ≠ (a', b)
x✝ : (prodExtendRight a σ) ((prodExtendRight a σ) (a', b)) ≠ (prodExtendRight a σ) (a', b)
\u22a2 (fun ab x => ab.2) ((prodExtendRight a σ) (a', b)) x✝ = σ ((fun ab x => ab.2) (a', b) hab)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
a : α
σ : Perm β
x✝¹ x✝ : α × β
a₁ : α
b₁ : β
hab₁ : (prodExtendRight a σ) (a₁, b₁) ≠ (a₁, b₁)
a₂ : α
b₂ : β
hab₂ : (prodExtendRight a σ) (a₂, b₂) ≠ (a₂, b₂)
h : (fun ab x => ab.2) (a₁, b₁) hab₁ = (fun ab x => ab.2) (a₂, b₂) hab₂
\u22a2 (a₁, b₁) = (a₂, b₂)
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Order/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : CharZero α
m n : ℕ
\u22a2 ↑n < 1 ↔ n = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
\u22a2 ∃ q, ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - q) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
x : ℚ_[p]
hx : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (x - ↑f i) < ε
\u22a2 ∃ q, ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - q) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
x : ℚ_[p]
hx : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (x - ↑f i) < ε
ε : ℚ
hε : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (x - ↑f i) < ε
i : ℕ
hi : i ≥ N
\u22a2 padicNormE (↑f i - x) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
x : ℚ_[p]
hx : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (x - ↑f i) < ε
ε : ℚ
hε : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (x - ↑f i) < ε
i : ℕ
hi : i ≥ N
\u22a2 padicNormE (x - ↑f i) < ε
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/MStructure.lean
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
\u22a2 IsLprojection X (P + Q - P * Q)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/MStructure.lean
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
\u22a2 P + Q - P * Q = 1 - (1 - P) * (1 - Q)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : (p * p.mirror).leadingCoeff = (q * q.mirror).leadingCoeff
\u22a2 q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
\u22a2 q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
hadd : eval 1 (p * p.mirror) = eval 1 (q * q.mirror)
\u22a2 q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
hadd : eval 1 (trinomial k m n ↑u ↑v ↑w) ^ 2 = eval 1 (trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z) ^ 2
\u22a2 q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
hadd : (↑u + ↑v + ↑w) ^ 2 = (↑x + ↑v + ↑z) ^ 2
\u22a2 q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
hadd : (↑v + (↑w + ↑u)) ^ 2 = (↑v + (↑z + ↑x)) ^ 2
\u22a2 q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
hadd : 2 * ↑w * ↑u + 2 * ↑v * (↑w + ↑u) = 2 * ↑z * ↑x + 2 * ↑v * (↑z + ↑x)
\u22a2 q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
hadd : ↑w + ↑u = ↑z + ↑x
\u22a2 q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
hadd : ↑w = ↑z ∧ ↑u = ↑x ∨ ↑w = ↑x ∧ ↑u = ↑z
\u22a2 q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
hadd : w = z ∧ u = x ∨ w = x ∧ u = z
\u22a2 q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : StarOrderedRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.697927) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
\u22a2 0 ≤ cfc f a ↔ ∀ x ∈ spectrum R a, 0 ≤ f x
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : StarOrderedRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type u_1) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
\u22a2 (∀ (a_1 : ↑(spectrum R a)), 0 a_1 ≤ { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } a_1) ↔ ∀ x ∈ spectrum R a, 0 ≤ f x
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
hz : ‖z‖ = 1
\u22a2 (starRingEnd K) z * z = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r✝ p : R[X]
n d : ℕ
r : R
\u22a2 (p * (monomial n) r).coeff (d + n) = p.coeff d * r
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Over.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ : C
inst✝ : HasPushouts C
X Y : C
f : X ⟶ Y
x x' : Under X
u : x ⟶ x'
\u22a2 x.hom ≫ u.right ≫ pushout.inl x'.hom f = f ≫ pushout.inr x'.hom f
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
inst✝⁶ : Module R M''✝
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R M'
f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'
g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M
M'' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
B₂ F₂ : BilinForm R M
e : M' ≃ₗ[R] M
f : Module.End R M
\u22a2 B₂.IsPairSelfAdjoint F₂ f ↔ (B₂.comp ↑e ↑e).IsPairSelfAdjoint (F₂.comp ↑e ↑e) (e.symm.conj f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
inst✝⁶ : Module R M''✝
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R M'
f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'
g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M
M'' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
B₂ F₂ : BilinForm R M
e : M' ≃ₗ[R] M
f : Module.End R M
hₗ : (F₂.comp ↑e ↑e).compLeft (e.symm.conj f) = (F₂.compLeft f).comp ↑e ↑e
\u22a2 B₂.IsPairSelfAdjoint F₂ f ↔ (B₂.comp ↑e ↑e).IsPairSelfAdjoint (F₂.comp ↑e ↑e) (e.symm.conj f)