ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Zero R
inst✝² : LinearOrder Γ
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder Γ
inst✝ : Zero Γ
f : Γ → R
hf : f ≠ 0
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
h : ¬ofSuppBddBelow f ⋯ = 0
\u22a2 n ≤ if h : ofSuppBddBelow f ⋯ = 0 then 0 else ⋯.min ⋯
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Zero R
inst✝² : LinearOrder Γ
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder Γ
inst✝ : Zero Γ
f : Γ → R
hf : f ≠ 0
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
h : ¬ofSuppBddBelow f ⋯ = 0
\u22a2 n ≤ ⋯.min ⋯
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Zero R
inst✝² : LinearOrder Γ
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder Γ
inst✝ : Zero Γ
f : Γ → R
hf : f ≠ 0
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
h : ¬ofSuppBddBelow f ⋯ = 0
\u22a2 ∀ b ∈ (ofSuppBddBelow f ⋯).support, n ≤ b
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Zero R
inst✝² : LinearOrder Γ
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder Γ
inst✝ : Zero Γ
f : Γ → R
hf : f ≠ 0
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
h : ¬ofSuppBddBelow f ⋯ = 0
m : Γ
hm : m ∈ (ofSuppBddBelow f ⋯).support
\u22a2 n ≤ m
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Zero R
inst✝² : LinearOrder Γ
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder Γ
inst✝ : Zero Γ
f : Γ → R
hf : f ≠ 0
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
h : ¬ofSuppBddBelow f ⋯ = 0
m : Γ
hm : ¬(ofSuppBddBelow f ⋯).coeff m = 0
\u22a2 n ≤ m
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/ZeroAtInfty.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β
C : ℝ
f g : α →C₀ β
\u22a2 IsClosed (range toBCF)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/ZeroAtInfty.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β
C : ℝ
f✝ g : α →C₀ β
f : α →ᵇ β
hf : ClusterPt f (𝓟 (range toBCF))
\u22a2 f ∈ range toBCF
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/ZeroAtInfty.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β
C : ℝ
f✝ g : α →C₀ β
f : α →ᵇ β
hf : ∀ U ∈ 𝓝 f, (U ∩ range toBCF).Nonempty
\u22a2 f ∈ range toBCF
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/ZeroAtInfty.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β
C : ℝ
f✝ g : α →C₀ β
f : α →ᵇ β
hf : ∀ U ∈ 𝓝 f, (U ∩ range toBCF).Nonempty
this : Tendsto (⇑f) (cocompact α) (𝓝 0)
\u22a2 f ∈ range toBCF
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Equiv.lean
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e₁ : A₁ ≃ₐ[R] A₁'
e₂ : A₂ ≃ₐ[R] A₂'
e₃ : A₃ ≃ₐ[R] A₃'
f : A₁ →ₐ[R] A₂
g : A₂ →ₐ[R] A₃
x✝ : A₁'
\u22a2 ((e₁.arrowCongr e₃) (g.comp f)) x✝ = (((e₂.arrowCongr e₃) g).comp ((e₁.arrowCongr e₂) f)) x✝
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Equiv.lean
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e₁ : A₁ ≃ₐ[R] A₁'
e₂ : A₂ ≃ₐ[R] A₂'
e₃ : A₃ ≃ₐ[R] A₃'
f : A₁ →ₐ[R] A₂
g : A₂ →ₐ[R] A₃
x✝ : A₁'
\u22a2 ↑e₃ (g (f (↑e₁.symm x✝))) = ↑e₃ (g (↑e₂.symm (↑e₂ (f (↑e₁.symm x✝)))))
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Equiv.lean
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e₁ : A₁ ≃ₐ[R] A₁'
e₂ : A₂ ≃ₐ[R] A₂'
e₃ : A₃ ≃ₐ[R] A₃'
f : A₁ →ₐ[R] A₂
g : A₂ →ₐ[R] A₃
x✝ : A₁'
\u22a2 f (↑e₁.symm x✝) = ↑e₂.symm (↑e₂ (f (↑e₁.symm x✝)))
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
hf' : ∀ (i : ι) (x y : β₁ i), f i (x + y) = f i x + f i y
g₁ g₂ : Π₀ (i : ι), β₁ i
i✝ : ι
\u22a2 (mapRange f hf (g₁ + g₂)) i✝ = (mapRange f hf g₁ + mapRange f hf g₂) i✝
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace β
x y : β
h : y ∈ measurableAtom x
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hxs : x ∈ s
\u22a2 y ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace β
x y : β
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hxs : x ∈ s
h : ∀ (i : Set β), x ∈ i → MeasurableSet i → y ∈ i
\u22a2 y ∈ s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/RiemannZeta.lean
\u22a2 riemannZeta 0 = -1 / 2
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/MonoCoprod.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A B : C
c₁✝ c₂✝ : BinaryCofan A B
hc₁✝ : IsColimit c₁✝
hc₂✝ : IsColimit c₂✝
c₁ c₂ : BinaryCofan A B
hc₁ : IsColimit c₁
hc₂ : IsColimit c₂
x✝ : Mono c₁.inl
\u22a2 Mono c₂.inl
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝¹ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
J : Type u_4
inst✝ : Fintype J
i : J ≃ I
\u22a2 CompleteOrthogonalIdempotents (e ∘ ⇑i) ↔ CompleteOrthogonalIdempotents e
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
\u22a2 HasSum (fun n => 1 / ↑|↑n + a| ^ s / 2) (hurwitzZetaEven (↑a) s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
\u22a2 HasSum (fun n => 1 / ↑|↑n + a| ^ s / 2) (completedHurwitzZetaEven (↑a) s / s.Gammaℝ)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : HasSum (fun i => s.Gammaℝ / ↑|↑i + a| ^ s / 2 / s.Gammaℝ) (completedHurwitzZetaEven (↑a) s / s.Gammaℝ)
\u22a2 HasSum (fun n => 1 / ↑|↑n + a| ^ s / 2) (completedHurwitzZetaEven (↑a) s / s.Gammaℝ)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
m : Fin n → 𝕜
\u22a2 (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) m = (∏ i : Fin n, m i) • iteratedDeriv n f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
m : Fin n → 𝕜
\u22a2 (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) m = (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) fun i => m i • 1
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α →. σ
h : α → ℕ × σ →. σ
hf : Computable f
hg : Partrec g
hh : Partrec₂ h
n : ℕ
a : α
e : decode n = Option.some a
m : ℕ
IH : Nat.rec (Part.map encode (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode i))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) m = Part.map encode (Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) m)
\u22a2 ((Nat.rec (Part.map encode (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode i))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) m).bind fun i => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk m) (decode i))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) = (Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) m).bind fun y => Part.map encode (h a (m, y))
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α →. σ
h : α → ℕ × σ →. σ
hf : Computable f
hg : Partrec g
hh : Partrec₂ h
n : ℕ
a : α
e : decode n = Option.some a
m : ℕ
IH : Nat.rec (Part.map encode (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode i))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) m = Part.map encode (Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) m)
\u22a2 ((Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) m).bind fun y => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk m) (decode (encode y)))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) = (Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) m).bind fun y => Part.map encode (h a (m, y))
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α →. σ
h : α → ℕ × σ →. σ
hf : Computable f
hg : Partrec g
hh : Partrec₂ h
n : ℕ
a : α
e : decode n = Option.some a
m : ℕ
IH : Nat.rec (Part.map encode (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode i))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) m = Part.map encode (Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) m)
\u22a2 (fun y => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk m) (decode (encode y)))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) = fun y => Part.map encode (h a (m, y))
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α →. σ
h : α → ℕ × σ →. σ
hf : Computable f
hg : Partrec g
hh : Partrec₂ h
n : ℕ
a : α
e : decode n = Option.some a
m : ℕ
IH : Nat.rec (Part.map encode (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode i))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) m = Part.map encode (Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) m)
s : σ
\u22a2 ((↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk m) (decode (encode s)))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) = Part.map encode (h a (m, s))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₁
\u22a2 ‖f v‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₁
\u22a2 ‖g‖ * (‖f‖ * ‖v‖) = ‖g‖ * ‖f‖ * ‖v‖
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : SemilatticeSup α
f : α → X
\u22a2 (∀ (ib : Set X), x ∈ ib ∧ IsOpen ib → ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Ici ia, f x ∈ ib) ↔ ∀ (U : Set X), x ∈ U → IsOpen U → ∃ N, ∀ (n : α), N ≤ n → f n ∈ U
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : i₁ ≠ i₂
\u22a2 s.mongePoint -ᵥ centroid ℝ {i₁, i₂}ᶜ s.points = (univ.weightedVSub s.pointsWithCircumcenter) (mongePointVSubFaceCentroidWeightsWithCircumcenter i₁ i₂)
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
g : G
q : orbitRel.Quotient (↥(zpowers g)) (G ⧸ H)
k : ZMod (minimalPeriod (fun x => g • x) (Quotient.out' q))
\u22a2 ↑((toEquiv ⋯) (g ^ k.cast • Quotient.out' q)) = if k = 0 then g ^ minimalPeriod (fun x => g • x) (Quotient.out' q) * Quotient.out' (Quotient.out' q) else g ^ k.cast * Quotient.out' (Quotient.out' q)
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
g : G
q : orbitRel.Quotient (↥(zpowers g)) (G ⧸ H)
k : ZMod (minimalPeriod (fun x => g • x) (Quotient.out' q))
\u22a2 (g ^ if k = 0 then ↑(minimalPeriod (fun x => g • x) (Quotient.out' ⟨q, k - 1⟩.fst)) else k.cast) * Quotient.out' (Quotient.out' ⟨q, k - 1⟩.fst) = if k = 0 then g ^ minimalPeriod (fun x => g • x) (Quotient.out' q) * Quotient.out' (Quotient.out' q) else g ^ k.cast * Quotient.out' (Quotient.out' q)
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝² : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
ι : Sort u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLinearOrder δ
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder δ'
f : ι → α → δ'
bdd : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, BddAbove (range fun i => f i y)
h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousWithinAt (f i) s x
\u22a2 LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ⨆ i, f i x') s x
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝² : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
ι : Sort u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLinearOrder δ
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder δ'
f : ι → α → δ'
bdd : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, BddAbove (range fun i => f i y)
h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousWithinAt (f i) s x
h✝ : IsEmpty ι
\u22a2 LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ⨆ i, f i x') s x
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝² : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
ι : Sort u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLinearOrder δ
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder δ'
f : ι → α → δ'
bdd : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, BddAbove (range fun i => f i y)
h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousWithinAt (f i) s x
h✝ : Nonempty ι
\u22a2 LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ⨆ i, f i x') s x
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝² : Category.{u_6, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E E' : L.RightExtension F
X : C
h : E.IsPointwiseRightKanExtensionAt (L.obj X)
inst✝¹ : L.Full
inst✝ : L.Faithful
\u22a2 IsIso (E.hom.app X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Reflective.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
A B : C
hB : B ∈ i.essImage
f : i.obj ((reflector i).obj A) ⟶ B
\u22a2 (unitCompPartialBijective A hB).symm f = (reflectorAdjunction i).unit.app A ≫ f
-- Mathlib/Logic/Nontrivial/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
I : Type u_3
f : I → Type u_4
i' : I
inst : ∀ (i : I), Nonempty (f i)
inst✝ : Nontrivial (f i')
this : DecidableEq ((i : I) → f i) := Classical.decEq ((i : I) → f i)
\u22a2 Nontrivial ((i : I) → f i)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.195705}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
hf : Injective f
\u22a2 lift.{v, u} #α ≤ lift.{u, v} #β
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.195705}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
hf : Injective f
\u22a2 lift.{u, v} #↑(range f) ≤ lift.{u, v} #β
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : ℕ → Set α
n : ℕ
\u22a2 MeasurableSet (t n)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : ℕ → Set α
n : ℕ
this : t n = ⋃ u ∈ memPartition t n, u ∩ t n
\u22a2 MeasurableSet (t n)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : ℕ → Set α
n : ℕ
this : t n = ⋃ u ∈ memPartition t n, u ∩ t n
\u22a2 MeasurableSet (⋃ u ∈ memPartition t n, u ∩ t n)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : ℕ → Set α
n : ℕ
this : t n = ⋃ u ∈ memPartition t n, u ∩ t n
v : Set α
hv : v ∈ memPartition t n
\u22a2 MeasurableSet (v ∩ t n)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : ℕ → Set α
n : ℕ
this : t n = ⋃ u ∈ memPartition t n, u ∩ t n
v : Set α
hv : v ∈ memPartition t n
\u22a2 v ∩ t n ∈ memPartition t (n + 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : ℕ → Set α
n : ℕ
this : t n = ⋃ u ∈ memPartition t n, u ∩ t n
v : Set α
hv : v ∈ memPartition t n
\u22a2 v ∩ t n ∈ {s | ∃ u ∈ memPartition t n, s = u ∩ t n ∨ s = u \ t n}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
\u22a2 (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).support.card = 3
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
\u22a2 ker (f.prod g) = ker f ⊓ ker g
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
f : M →ₗ[R] M₂
g : M →ₗ[R] M₃
\u22a2 comap f ⊥ ⊓ comap g ⊥ = ker f ⊓ ker g
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Mono.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W✝ X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
t : PushoutCocone f g
ht : IsColimit t
inst✝ : Epi f
W : C
h k : t.pt ⟶ W
i : t.inr ≫ h = t.inr ≫ k
\u22a2 t.inl ≫ h = t.inl ≫ k
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = 0
f : ↥(Lp E 1 μ)
\u22a2 setToL1 hT = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = 0
f : ↥(Lp E 1 μ)
\u22a2 ContinuousLinearMap.comp 0 (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ hT
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = 0
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
\u22a2 (ContinuousLinearMap.comp 0 (coeToLp α E ℝ)) f = (setToL1SCLM α E μ hT) f
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
\u22a2 sin (π / 2 - x) = cos x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Midpoint.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z : P
x y : V
\u22a2 midpoint R x x +ᵥ midpoint R (-y) y = x
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
a : α
t : Set β
\u22a2 ((piecewise hs κ η) a) t = if a ∈ s then (κ a) t else (η a) t
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
a : α
t : Set β
\u22a2 (if a ∈ s then κ a else η a) t = if a ∈ s then (κ a) t else (η a) t
-- Mathlib/Data/Nat/WithBot.lean
x : WithBot ℕ
\u22a2 1 ≤ x ↔ 0 < x
-- Mathlib/Data/Nat/WithBot.lean
x : WithBot ℕ
h : 0 < x
\u22a2 1 ≤ x
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a b c : EReal
\u22a2 a * b⁻¹ * c⁻¹ = a * (b * c)⁻¹
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁸ : Field F
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field F
inst✝¹⁴ : Field K₁
inst✝¹³ : Field K₂
inst✝¹² : Field K₃
inst✝¹¹ : Algebra F K₁
inst✝¹⁰ : Algebra F K₂
inst✝⁹ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra E K₁
inst✝⁵ : Algebra E K₂
inst✝⁴ : Algebra E K₃
inst✝³ : IsScalarTower F E K₁
inst✝² : IsScalarTower F E K₂
inst✝¹ : IsScalarTower F E K₃
inst✝ : Normal F E
σ : E ≃ₐ[F] E
a✝ : E
\u22a2 ((fun σ => σ.restrictNormal' E) ((fun σ => (toAlgHom F E K₁).comp ↑σ) σ)) a✝ = σ a✝
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁸ : Field F
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field F
inst✝¹⁴ : Field K₁
inst✝¹³ : Field K₂
inst✝¹² : Field K₃
inst✝¹¹ : Algebra F K₁
inst✝¹⁰ : Algebra F K₂
inst✝⁹ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra E K₁
inst✝⁵ : Algebra E K₂
inst✝⁴ : Algebra E K₃
inst✝³ : IsScalarTower F E K₁
inst✝² : IsScalarTower F E K₂
inst✝¹ : IsScalarTower F E K₃
inst✝ : Normal F E
σ : E ≃ₐ[F] E
a✝ : E
\u22a2 (((toAlgHom F E K₁).comp ↑σ).restrictNormal E) a✝ = σ a✝
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁸ : Field F
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field F
inst✝¹⁴ : Field K₁
inst✝¹³ : Field K₂
inst✝¹² : Field K₃
inst✝¹¹ : Algebra F K₁
inst✝¹⁰ : Algebra F K₂
inst✝⁹ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra E K₁
inst✝⁵ : Algebra E K₂
inst✝⁴ : Algebra E K₃
inst✝³ : IsScalarTower F E K₁
inst✝² : IsScalarTower F E K₂
inst✝¹ : IsScalarTower F E K₃
inst✝ : Normal F E
σ : E ≃ₐ[F] E
a✝ : E
\u22a2 (algebraMap E K₁) ((((toAlgHom F E K₁).comp ↑σ).restrictNormal E) a✝) = (algebraMap E K₁) (σ a✝)