ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
n : ℤ
H : ℤ → Prop := fun n => ∀ T ∈ distinguishedTriangles, (shiftFunctor C n).obj T ∈ distinguishedTriangles
\u22a2 H n
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
n : ℤ
H : ℤ → Prop := fun n => ∀ T ∈ distinguishedTriangles, (shiftFunctor C n).obj T ∈ distinguishedTriangles
H_zero : H 0
\u22a2 H n
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
n : ℤ
H : ℤ → Prop := fun n => ∀ T ∈ distinguishedTriangles, (shiftFunctor C n).obj T ∈ distinguishedTriangles
H_zero : H 0
H_one : H 1
\u22a2 H n
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
n : ℤ
H : ℤ → Prop := fun n => ∀ T ∈ distinguishedTriangles, (shiftFunctor C n).obj T ∈ distinguishedTriangles
H_zero : H 0
H_one : H 1
H_neg_one : H (-1)
\u22a2 H n
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
n : ℤ
H : ℤ → Prop := fun n => ∀ T ∈ distinguishedTriangles, (shiftFunctor C n).obj T ∈ distinguishedTriangles
H_zero : H 0
H_one : H 1
H_neg_one : H (-1)
H_add : ∀ {a b c : ℤ}, H a → H b → a + b = c → H c
\u22a2 H n
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : CommMonoid α
x y : α
ux uy : αˣ
\u22a2 x /ₚ ux = y /ₚ uy ↔ x * ↑uy = y * ↑ux
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ
\u22a2 completedHurwitzZetaEven a (1 - s) = completedCosZeta a s
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : AddCommMonoid E
n : ι
\u22a2 stoppedProcess u τ n = {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.Iio n, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : AddCommMonoid E
n : ι
h_mem : ∀ (ω : Ω), τ ω < n → τ ω ∈ Finset.Iio n
\u22a2 stoppedProcess u τ n = {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.Iio n, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : AddCommMonoid E
n : ι
h_mem : ∀ (ω : Ω), τ ω < n → τ ω ∈ Finset.Iio n
\u22a2 {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => x < n) (Finset.Iio n), {ω | τ ω = i}.indicator (u i) = {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.Iio n, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)
-- Mathlib/Topology/Filter.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l₁ l₂ : Filter α
\u22a2 𝓝 l₁ ≤ 𝓝 l₂ ↔ l₁ ≤ l₂
-- Mathlib/Topology/Filter.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l₁ l₂ : Filter α
h : 𝓝 l₁ ≤ 𝓝 l₂
\u22a2 l₁ ≤ l₂
-- Mathlib/Topology/Filter.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l₁ l₂ : Filter α
h : 𝓝 l₁ ≤ 𝓝 l₂
\u22a2 ⋂₀ {s | s ∈ 𝓝 l₁} ⊆ ⋂₀ {s | s ∈ 𝓝 l₂}
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l : ListBlank Γ
n : ℕ
\u22a2 (map f l).nth n = f.f (l.nth n)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l✝ : ListBlank Γ
n : ℕ
l : List Γ
\u22a2 (map f ⟦l⟧).nth n = f.f (nth ⟦l⟧ n)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l✝ : ListBlank Γ
n : ℕ
l : List Γ
\u22a2 (map f (mk l)).nth n = f.f ((mk l).nth n)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l✝ : ListBlank Γ
n : ℕ
l : List Γ
\u22a2 (Option.map f.f (l.get? n)).iget = f.f (l.get? n).iget
-- Mathlib/Tactic/CancelDenoms/Core.lean
α : Type u_1
inst✝ : Field α
a b ad bd a' b' gcd : α
ha : ad * a = a'
hb : bd * b = b'
had : ad ≠ 0
hbd : bd ≠ 0
hgcd : gcd ≠ 0
\u22a2 (a ≠ b) = (1 / gcd * (bd * a') ≠ 1 / gcd * (ad * b'))
-- Mathlib/Init/Order/LinearOrder.lean
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
\u22a2 min (min a b) c = min a (min b c)
-- Mathlib/Init/Order/LinearOrder.lean
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
\u22a2 min (min a b) c ≤ a
-- Mathlib/Init/Order/LinearOrder.lean
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
\u22a2 min (min a b) c ≤ min b c
-- Mathlib/Init/Order/LinearOrder.lean
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
\u22a2 ∀ {d : α}, d ≤ a → d ≤ min b c → d ≤ min (min a b) c
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y z : 𝕜
hxy : x ≠ y
\u22a2 openSegment 𝕜 x y = Ioo (min x y) (max x y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y z : 𝕜
hxy : x ≠ y
h : x < y
\u22a2 openSegment 𝕜 x y = Ioo (min x y) (max x y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y z : 𝕜
hxy : x ≠ y
h : y < x
\u22a2 openSegment 𝕜 x y = Ioo (min x y) (max x y)
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
h : ∀ (g₁ g₂ : β → Prop), g₁ ∘ f = g₂ ∘ f → g₁ = g₂
\u22a2 Surjective f
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
h : (fun y => ∃ x, f x = y) = fun x => True
\u22a2 Surjective f
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : L₂ ⟶ L₁
c : C
\u22a2 adj₁.unit.app c ≫ 𝟙 (R₁.obj (L₁.obj c)) ≫ (adj₂.unit.app (R₁.obj (L₁.obj c)) ≫ R₂.map (𝟙 (L₂.obj (R₁.obj (L₁.obj c))) ≫ α.app (R₁.obj (L₁.obj c)) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj (L₁.obj c)))) ≫ R₂.map (adj₁.counit.app (L₁.obj c))) ≫ 𝟙 (R₂.obj (L₁.obj c)) = adj₂.unit.app c ≫ R₂.map (α.app c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : L₂ ⟶ L₁
c : C
\u22a2 adj₁.unit.app c ≫ adj₂.unit.app (R₁.obj (L₁.obj c)) ≫ R₂.map (𝟙 (L₂.obj (R₁.obj (L₁.obj c))) ≫ α.app (R₁.obj (L₁.obj c)) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj (L₁.obj c)))) ≫ R₂.map (adj₁.counit.app (L₁.obj c)) = adj₂.unit.app c ≫ R₂.map (α.app c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : L₂ ⟶ L₁
c : C
this : (𝟭 C).map (adj₁.unit.app c) ≫ ((mateEquiv adj₁ adj₂) (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv)).app (L₁.obj c) = adj₂.unit.app ((𝟭 C).obj ((𝟭 C).obj c)) ≫ R₂.map ((L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv).app ((𝟭 C).obj c))
\u22a2 adj₁.unit.app c ≫ adj₂.unit.app (R₁.obj (L₁.obj c)) ≫ R₂.map (𝟙 (L₂.obj (R₁.obj (L₁.obj c))) ≫ α.app (R₁.obj (L₁.obj c)) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj (L₁.obj c)))) ≫ R₂.map (adj₁.counit.app (L₁.obj c)) = adj₂.unit.app c ≫ R₂.map (α.app c)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
\u22a2 |a - c| = |a - b + (b - c)|
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
\u22a2 Nontrivial (Fin n) ↔ 2 ≤ n
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
a b : Ordinal.{u_1}
\u22a2 a ^ (1 + b) = a * a ^ b
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
a : S
y : ℤ
hy : ∀ (k : ι), abv ((bS.repr a) k) ≤ y
\u22a2 abv ((Algebra.norm R) a) ≤ normBound abv bS * y ^ Fintype.card ι
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
a : S
y : ℤ
hy : ∀ (k : ι), abv ((bS.repr a) k) ≤ y
\u22a2 abv ((Algebra.norm R) (∑ i : ι, (bS.repr a) i • bS i)) ≤ normBound abv bS * y ^ Fintype.card ι
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
a : S
y : ℤ
hy : ∀ (k : ι), abv ((bS.repr a) k) ≤ y
\u22a2 abv ((LinearMap.toMatrix bS bS) ((Algebra.lmul R S) (∑ i : ι, (bS.repr a) i • bS i))).det ≤ normBound abv bS * y ^ Fintype.card ι
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
a : S
y : ℤ
hy : ∀ (k : ι), abv ((bS.repr a) k) ≤ y
\u22a2 abv (∑ x : ι, (bS.repr a) x • (LinearMap.toMatrix bS bS) ((Algebra.lmul R S) (bS x))).det ≤ (Fintype.card ι).factorial • (Fintype.card ι • ((Finset.image (fun ijk => abv ((Algebra.leftMulMatrix bS) (bS ijk.1) ijk.2.1 ijk.2.2)) Finset.univ).max' ⋯ * y)) ^ Fintype.card ι
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
a : S
y : ℤ
hy : ∀ (k : ι), abv ((bS.repr a) k) ≤ y
\u22a2 Fintype.card ι • ((Finset.image (fun ijk => abv ((Algebra.leftMulMatrix bS) (bS ijk.1) ijk.2.1 ijk.2.2)) Finset.univ).max' ⋯ * y) = Finset.univ.card • y * ?convert_5
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
a : S
y : ℤ
hy : ∀ (k : ι), abv ((bS.repr a) k) ≤ y
\u22a2 ℤ
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁴ : EuclideanDomain R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : IsDomain S
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsFractionRing R K
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : FiniteDimensional K L
inst✝⁵ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
a : S
y : ℤ
hy : ∀ (k : ι), abv ((bS.repr a) k) ≤ y
\u22a2 ∀ (k i j : ι), abv ((LinearMap.toMatrix bS bS) ((Algebra.lmul R S) (bS k)) i j) ≤ ?convert_5
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 a \ b ≤ b ↔ a ≤ b
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Flat.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
J : Type v₁
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : FinCategory J
K : J ⥤ C
F : C ⥤ D
inst✝ : RepresentablyFlat F
c : Cone K
hc : IsLimit c
s : Cone (K ⋙ F)
x : J
\u22a2 lift F hc s ≫ (F.mapCone c).π.app x = s.π.app x
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
n : ℤ := modPart p r
\u22a2 ‖⟨↑r, h⟩ - ↑(modPart p r)‖ < 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
n : ℤ := modPart p r
\u22a2 ↑p ∣ (⟨↑r, h⟩ - ↑(modPart p r)) * ↑r.den
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
n : ℤ := modPart p r
\u22a2 ↑p ∣ r.num - n * ↑r.den
-- Mathlib/LinearAlgebra/Pi.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (φ i)
a : (i : ι) → φ i
h : a ∈ ⨅ i, ker (proj i)
\u22a2 a ∈ ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Pi.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (φ i)
a : (i : ι) → φ i
h : ∀ (i : ι), a i = 0
\u22a2 a ∈ ⊥
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℤ
x : ℤ√d
\u22a2 ↑(-x).norm = ↑x.norm
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x y : PartENat
hx : x ≠ ⊤
\u22a2 x < x + y ↔ 0 < y
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x y : PartENat
hx : x ≠ ⊤
\u22a2 x < x + y ↔ x + 0 < x + y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
\u22a2 y ∈ cylinder x n ↔ dist y x ≤ (1 / 2) ^ n
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
\u22a2 y ∈ cylinder y n ↔ dist y y ≤ (1 / 2) ^ n
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
hne : y ≠ x
\u22a2 y ∈ cylinder x n ↔ dist y x ≤ (1 / 2) ^ n
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
hne : y ≠ x
\u22a2 (∀ i < n, y i = x i) ↔ n ≤ firstDiff y x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.27894, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.Exact
X Y : C
a : X ⟶ S.X₂
ha : a ≫ S.g = 0
b : S.X₂ ⟶ Y
hb : S.f ≫ b = 0
\u22a2 a ≫ b = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.27894, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.Exact
X Y : C
a : X ⟶ S.X₂
ha : a ≫ S.g = 0
b : S.X₂ ⟶ Y
hb : S.f ≫ b = 0
this : S.HasHomology
\u22a2 a ≫ b = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.27894, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.Exact
X Y : C
a : X ⟶ S.X₂
ha : a ≫ S.g = 0
b : S.X₂ ⟶ Y
hb : S.f ≫ b = 0
this : S.HasHomology
eq : S.Exact
\u22a2 a ≫ b = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.27894, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.Exact
X Y : C
a : X ⟶ S.X₂
ha : a ≫ S.g = 0
b : S.X₂ ⟶ Y
hb : S.f ≫ b = 0
this : S.HasHomology
eq : S.iCycles ≫ S.pOpcycles = 0
\u22a2 a ≫ b = 0
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
\u22a2 yn a1 0 ≡ 0 [MOD a - 1]
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
\u22a2 yn a1 1 ≡ 1 [MOD a - 1]
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
\u22a2 yn a1 (n + 2) + yn a1 n ≡ n + 2 + n [MOD a - 1]
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
\u22a2 2 * a * yn a1 (n + 1) ≡ 2 * (n + 1) [MOD a - 1]
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Restrict.lean
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Ring k
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝⁵ : Module k V₁
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝² : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
inst✝¹ : Nonempty ↥E
inst✝ : Nonempty ↥F
h : AffineSubspace.map φ E = F
x : P₂
hx : x ∈ F
\u22a2 ∃ a, (φ.restrict ⋯) a = ⟨x, hx⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Restrict.lean
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Ring k
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝⁵ : Module k V₁
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝² : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
inst✝¹ : Nonempty ↥E
inst✝ : Nonempty ↥F
h : AffineSubspace.map φ E = F
x : P₂
hx✝ : x ∈ F
hx : ∃ y ∈ E, φ y = x
\u22a2 ∃ a, (φ.restrict ⋯) a = ⟨x, hx✝⟩
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
F' : ι → α → β
hf : TendstoUniformlyOn F f p s
hff' : ∀ᶠ (n : ι) in p, EqOn (F n) (F' n) s
\u22a2 TendstoUniformlyOn F' f p s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
F' : ι → α → β
hf : TendstoUniformlyOnFilter F f p (𝓟 s)
hff' : ∀ᶠ (n : ι) in p, EqOn (F n) (F' n) s
\u22a2 TendstoUniformlyOnFilter F' f p (𝓟 s)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
F' : ι → α → β
hf : TendstoUniformlyOnFilter F f p (𝓟 s)
hff' : ∀ᶠ (n : ι) in p, EqOn (F n) (F' n) s
\u22a2 ∀ᶠ (n : ι × α) in p ×ˢ 𝓟 s, F n.1 n.2 = F' n.1 n.2
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
F' : ι → α → β
hf : TendstoUniformlyOnFilter F f p (𝓟 s)
hff' : {x | EqOn (F x) (F' x) s} ∈ p
\u22a2 {x | F x.1 x.2 = F' x.1 x.2} ∈ p ×ˢ 𝓟 s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
F' : ι → α → β
hf : TendstoUniformlyOnFilter F f p (𝓟 s)
hff' : {x | ∀ ⦃x_1 : α⦄, x_1 ∈ s → F x x_1 = F' x x_1} ∈ p
\u22a2 {x | F x.1 x.2 = F' x.1 x.2} ∈ p ×ˢ 𝓟 s
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f g : α → β → β
b : β
hd : α
tl : List α
ih : (∀ (a : α), a ∈ tl → ∀ (b : β), f a b = g a b) → foldr f b tl = foldr g b tl
H : ∀ (a : α), a ∈ hd :: tl → ∀ (b : β), f a b = g a b
\u22a2 foldr f b (hd :: tl) = foldr g b (hd :: tl)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f g : α → β → β
b : β
hd : α
tl : List α
ih : (∀ (a : α), a ∈ tl → ∀ (b : β), f a b = g a b) → foldr f b tl = foldr g b tl
H : (∀ (b : β), f hd b = g hd b) ∧ ∀ (x : α), x ∈ tl → ∀ (b : β), f x b = g x b
\u22a2 foldr f b (hd :: tl) = foldr g b (hd :: tl)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/ZMod.lean
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
χ : DirichletCharacter ℂ N
k : ZMod N
\u22a2 𝓕 (⇑χ) k = gaussSum χ (stdAddChar.mulShift (-k))
-- Mathlib/Analysis/Fourier/ZMod.lean
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
χ : DirichletCharacter ℂ N
k : ZMod N
\u22a2 ∑ j : ZMod N, toCircle (-(j * k)) • χ j = gaussSum χ (stdAddChar.mulShift (-k))
-- Mathlib/Analysis/Fourier/ZMod.lean
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
χ : DirichletCharacter ℂ N
k j : ZMod N
\u22a2 toCircle (-(j * k)) • χ j = χ j * (stdAddChar.mulShift (-k)) j
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
xt : x ≠ ⊤
\u22a2 (𝓝 x).HasBasis (fun x => 0 < x) fun ε => Icc (x - ε) (x + ε)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
s : Finset ι
f : ι → α
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : 0 < ∑ i ∈ s, w i
\u22a2 s.centerMass w f ≤ s.sup' ⋯ f
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
s : Finset ι
f : ι → α
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : 0 < ∑ i ∈ s, w i
\u22a2 ∑ i ∈ s, w i • f i ≤ ∑ i ∈ s, w i • s.sup' ⋯ f
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : b ≠ 0
\u22a2 a < b * succ (a / b)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : b ≠ 0
\u22a2 a < b * succ (sInf {o | a < b * succ o})
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : WSeq α
\u22a2 (map f s).destruct = Computation.map (Option.map (Prod.map f (map f))) s.destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : WSeq α
\u22a2 Computation.IsBisimulation fun c1 c2 => ∃ s, c1 = (map f s).destruct ∧ c2 = Computation.map (Option.map (Prod.map f (map f))) s.destruct