ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : PolishSpace γ
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
s : Set γ
hs : IsClosed s
f : γ → β
f_cont : ContinuousOn f s
f_inj : InjOn f s
this : PolishSpace ↑s
\u22a2 MeasurableSet (range fun x => f ↑x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : PolishSpace γ
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
s : Set γ
hs : IsClosed s
f : γ → β
f_cont : ContinuousOn f s
f_inj : InjOn f s
this : PolishSpace ↑s
\u22a2 Continuous fun x => f ↑x
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : PolishSpace γ
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
s : Set γ
hs : IsClosed s
f : γ → β
f_cont : ContinuousOn f s
f_inj : InjOn f s
this : PolishSpace ↑s
\u22a2 Injective fun x => f ↑x
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝ : Preorder α
f : ℕ → α
hf : Monotone f
n a : ℕ
h1 : f n < f a
h2 : f a < f (n + 1)
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝² : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a✝ : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset ι
f : ι → Finset β
a : α × β
\u22a2 a ∈ interedges r s (t.biUnion f) ↔ a ∈ t.biUnion fun b => interedges r s (f b)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝² : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a✝ : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset ι
f : ι → Finset β
a : α × β
\u22a2 a.1 ∈ s ∧ (∃ a_1 ∈ t, a.2 ∈ f a_1) ∧ r a.1 a.2 ↔ ∃ a_1 ∈ t, a.1 ∈ s ∧ a.2 ∈ f a_1 ∧ r a.1 a.2
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x : PartENat
\u22a2 0 < ⊤ ↔ 1 ≤ ⊤
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x : PartENat
n : ℕ
\u22a2 0 < ↑n ↔ 1 ≤ ↑n
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x : PartENat
n : ℕ
\u22a2 0 < n ↔ 1 ≤ n
-- Mathlib/ModelTheory/ElementaryMaps.lean
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
φ : M ↪ₑ[L] N
x y : M
\u22a2 φ x = φ y → x = y
-- Mathlib/ModelTheory/ElementaryMaps.lean
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
φ : M ↪ₑ[L] N
x y : M
h : ((var 0).equal (var 1)).Realize (⇑φ ∘ fun i => if i = 0 then x else y) ↔ ((var 0).equal (var 1)).Realize fun i => if i = 0 then x else y
\u22a2 φ x = φ y → x = y
-- Mathlib/ModelTheory/ElementaryMaps.lean
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
φ : M ↪ₑ[L] N
x y : M
h : Term.realize (⇑φ ∘ fun i => if i = 0 then x else y) (var 0) = Term.realize (⇑φ ∘ fun i => if i = 0 then x else y) (var 1) ↔ Term.realize (fun i => if i = 0 then x else y) (var 0) = Term.realize (fun i => if i = 0 then x else y) (var 1)
\u22a2 φ x = φ y → x = y
-- Mathlib/ModelTheory/ElementaryMaps.lean
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
φ : M ↪ₑ[L] N
x y : M
h : φ x = φ (if 2 = 1 then x else y) ↔ x = if 2 = 1 then x else y
\u22a2 φ x = φ y → x = y
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
\u22a2 (bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) ((expand p) (W_ ℤ n))) Φ = (bind₁ fun i => (expand p) (wittStructureInt p Φ i)) (W_ ℤ n)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
\u22a2 (map (Int.castRingHom ℚ)) ((bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) ((expand p) (W_ ℤ n))) Φ) = (map (Int.castRingHom ℚ)) ((bind₁ fun i => (expand p) (wittStructureInt p Φ i)) (W_ ℤ n))
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
\u22a2 (bind₁ fun i => (expand p) ((rename fun i_1 => (i, i_1)) (W_ ℚ n))) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) = (bind₁ fun i => (expand p) ((map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ i))) (W_ ℚ n)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
key : (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ n)) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) = (bind₁ (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ))) (W_ ℚ n)
\u22a2 (bind₁ fun i => (expand p) ((rename fun i_1 => (i, i_1)) (W_ ℚ n))) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) = (bind₁ fun i => (expand p) ((map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ i))) (W_ ℚ n)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
key : (expand p) ((bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ n)) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ)) = (expand p) ((bind₁ (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ))) (W_ ℚ n))
\u22a2 (bind₁ fun i => (expand p) ((rename fun i_1 => (i, i_1)) (W_ ℚ n))) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) = (bind₁ fun i => (expand p) ((map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ i))) (W_ ℚ n)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
key : (bind₁ fun i => (expand p) ((rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ n))) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) = (bind₁ fun i => (expand p) (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i)) (W_ ℚ n)
\u22a2 (bind₁ fun i => (expand p) ((rename fun i_1 => (i, i_1)) (W_ ℚ n))) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) = (bind₁ fun i => (expand p) ((map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ i))) (W_ ℚ n)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
\u22a2 (bind₁ fun i => (expand p) (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i)) (W_ ℚ n) = (bind₁ fun i => (expand p) ((map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ i))) (W_ ℚ n)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
\u22a2 ∀ i ∈ (W_ ℚ n).vars, i ∈ (W_ ℚ n).vars → (expand p) (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i) = (expand p) ((map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ i))
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
i : ℕ
hi : i ∈ (W_ ℚ n).vars
\u22a2 (expand p) (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i) = (expand p) ((map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ i))
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
i : ℕ
hi : i < n + 1
\u22a2 (expand p) (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i) = (expand p) ((map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ i))
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s t : Set α
h : ∀ x ∈ mulSupport f, x ∈ s ↔ x ∈ t
\u22a2 ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s t : Set α
h : ∀ x ∈ mulSupport f, x ∈ s ↔ x ∈ t
\u22a2 s ∩ mulSupport f = t ∩ mulSupport f
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s t : Set α
h : ∀ x ∈ mulSupport f, x ∈ s ↔ x ∈ t
x : α
\u22a2 x ∈ s ∩ mulSupport f ↔ x ∈ t ∩ mulSupport f
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero ↑n
a : R
\u22a2 a ∈ { val := (cyclotomic n R).roots, nodup := ⋯ } ↔ a ∈ primitiveRoots n R
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero ↑n
a : R
\u22a2 a ∈ { val := (cyclotomic n R).roots, nodup := ⋯ } ↔ IsPrimitiveRoot a n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero ↑n
a : R
\u22a2 a ∈ { val := (cyclotomic n R).roots, nodup := ⋯ } ↔ (cyclotomic n R).IsRoot a
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
c x✝¹ : ℝ
x✝ : x✝¹ ∈ Set.Ioo 0 1
\u22a2 ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (x✝¹ * x) x, (fun x => c) u ∈ Set.Icc (1 * (fun x => c) x) (1 * (fun x => c) x)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
c x✝¹ : ℝ
x✝ : x✝¹ ∈ Set.Ioo 0 1
x : ℝ
\u22a2 ∀ u ∈ Set.Icc (x✝¹ * x) x, c ∈ Set.Icc (1 * c) (1 * c)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℂ
hx : abs x ≤ 1
\u22a2 abs (cexp x - 1 - x) = abs (cexp x - ∑ m ∈ range 2, x ^ m / ↑m.factorial)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℂ
hx : abs x ≤ 1
\u22a2 abs x ^ 2 * 1 = abs x ^ 2
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Append α
a b : α
\u22a2 some a ++ some b = some (a ++ b)
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
x : ℝ
\u22a2 Irrational x ↔ ∀ (a b : ℤ), x ≠ ↑a / ↑b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : a < b
\u22a2 a % b = a
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
inst✝ : Nonempty ι
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β
\u22a2 (map f) (⨅ i, (comap f) (m i)) = ⨅ i, (map f) ((comap f) (m i))
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
inst✝ : Nonempty ι
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β
s : Set β
\u22a2 (⨅ i, (map f) ((comap f) (m i))) s ≤ ((map f) (⨅ i, (comap f) (m i))) s
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
inst✝ : Nonempty ι
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β
s : Set β
\u22a2 ∀ (i : ℕ → Set α), f ⁻¹' s ⊆ iUnion i → ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i, (m i) (f '' (f ⁻¹' t n)) ≤ ∑' (n : ℕ), ⨅ i_2, (m i_2) (f '' i n)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
inst✝ : Nonempty ι
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β
s : Set β
t : ℕ → Set α
ht : f ⁻¹' s ⊆ iUnion t
\u22a2 s ⊆ ⋃ n, f '' t n ∪ (range f)ᶜ
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
inst✝ : Nonempty ι
f : α → β
m : ι → OuterMeasure β
s : Set β
t : ℕ → Set α
ht : f ⁻¹' s ⊆ iUnion t
\u22a2 ∑' (n : ℕ), ⨅ i, (m i) (f '' (f ⁻¹' (fun n => f '' t n ∪ (range f)ᶜ) n)) ≤ ∑' (n : ℕ), ⨅ i, (m i) (f '' t n)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
L R : ListBlank Γ
\u22a2 map f (mk' L R) = mk' (ListBlank.map f L) (ListBlank.map f R)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f : α → ℝ≥0∞
hf_nonzero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ 0
hf_top : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ ≠ ⊤
a : α
\u22a2 f a = funMulInvSnorm f p μ a * (∫⁻ (c : α), f c ^ p ∂μ) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
\u22a2 Tendsto (fun i => ↑((orthogonalProjection (U i)) x)) atTop (𝓝 ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
h✝ : IsEmpty ι
\u22a2 Tendsto (fun i => ↑((orthogonalProjection (U i)) x)) atTop (𝓝 ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
h✝ : Nonempty ι
\u22a2 Tendsto (fun i => ↑((orthogonalProjection (U i)) x)) atTop (𝓝 ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
h✝ : Nonempty ι
y : E := ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)
\u22a2 Tendsto (fun i => ↑((orthogonalProjection (U i)) x)) atTop (𝓝 ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
h✝ : Nonempty ι
y : E := ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)
proj_x : ∀ (i : ι), (orthogonalProjection (U i)) x = (orthogonalProjection (U i)) y
\u22a2 Tendsto (fun i => ↑((orthogonalProjection (U i)) x)) atTop (𝓝 ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
h✝ : Nonempty ι
y : E := ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)
proj_x : ∀ (i : ι), (orthogonalProjection (U i)) x = (orthogonalProjection (U i)) y
\u22a2 ∀ ε > 0, ∃ I, ∀ i ≥ I, ‖↑((orthogonalProjection (U i)) y) - y‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
h✝ : Nonempty ι
y : E := ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)
proj_x : ∀ (i : ι), (orthogonalProjection (U i)) x = (orthogonalProjection (U i)) y
ε : ℝ
hε : ε > 0
\u22a2 ∃ I, ∀ i ≥ I, ‖↑((orthogonalProjection (U i)) y) - y‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
h✝ : Nonempty ι
y : E := ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)
proj_x : ∀ (i : ι), (orthogonalProjection (U i)) x = (orthogonalProjection (U i)) y
ε : ℝ
hε : ε > 0
a : E
ha : a ∈ ⨆ i, U i
hay : dist y a < ε
\u22a2 ∃ I, ∀ i ≥ I, ‖↑((orthogonalProjection (U i)) y) - y‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
h✝ : Nonempty ι
y : E := ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)
proj_x : ∀ (i : ι), (orthogonalProjection (U i)) x = (orthogonalProjection (U i)) y
ε : ℝ
hε : ε > 0
a : E
ha : a ∈ ⨆ i, U i
hay : ‖y - a‖ < ε
\u22a2 ∃ I, ∀ i ≥ I, ‖↑((orthogonalProjection (U i)) y) - y‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
h✝ : Nonempty ι
y : E := ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)
proj_x : ∀ (i : ι), (orthogonalProjection (U i)) x = (orthogonalProjection (U i)) y
ε : ℝ
hε : ε > 0
a : E
ha : a ∈ ⨆ i, U i
hay : ‖y - a‖ < ε
I : ι
hI : a ∈ U I
\u22a2 ∃ I, ∀ i ≥ I, ‖↑((orthogonalProjection (U i)) y) - y‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
h✝ : Nonempty ι
y : E := ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)
proj_x : ∀ (i : ι), (orthogonalProjection (U i)) x = (orthogonalProjection (U i)) y
ε : ℝ
hε : ε > 0
a : E
ha : a ∈ ⨆ i, U i
hay : ‖y - a‖ < ε
I : ι
hI : a ∈ U I
i : ι
hi : I ≤ i
\u22a2 ‖↑((orthogonalProjection (U i)) y) - y‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
h✝ : Nonempty ι
y : E := ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)
proj_x : ∀ (i : ι), (orthogonalProjection (U i)) x = (orthogonalProjection (U i)) y
ε : ℝ
hε : ε > 0
a : E
ha : a ∈ ⨆ i, U i
hay : ‖y - a‖ < ε
I : ι
hI : a ∈ U I
i : ι
hi : I ≤ i
\u22a2 ⨅ x, ‖y - ↑x‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
h✝ : Nonempty ι
y : E := ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)
proj_x : ∀ (i : ι), (orthogonalProjection (U i)) x = (orthogonalProjection (U i)) y
ε : ℝ
hε : ε > 0
a : E
ha : a ∈ ⨆ i, U i
hay : ‖y - a‖ < ε
I : ι
hI : a ∈ U I
i : ι
hi : I ≤ i
\u22a2 ⨅ x, ‖y - ↑x‖ ≤ ‖y - a‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
ι : Type u_4
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
U : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace ↥(U i)
hU : Monotone U
x : E
h✝ : Nonempty ι
y : E := ↑((orthogonalProjection (⨆ i, U i).topologicalClosure) x)
proj_x : ∀ (i : ι), (orthogonalProjection (U i)) x = (orthogonalProjection (U i)) y
ε : ℝ
hε : ε > 0
a : E
ha : a ∈ ⨆ i, U i
hay : ‖y - a‖ < ε
I : ι
hI : a ∈ U I
i : ι
hi : I ≤ i
\u22a2 ⨅ x, ‖y - ↑x‖ ≤ ‖y - ↑⟨a, ⋯⟩‖
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
z : ℤ
\u22a2 IsUnit (A ^ z).det ↔ IsUnit A.det ∨ z = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
\u22a2 IsUnit (A ^ 0).det ↔ IsUnit A.det ∨ 0 = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
z : ℕ
a✝ : IsUnit (A ^ ↑z).det ↔ IsUnit A.det ∨ ↑z = 0
\u22a2 IsUnit (A ^ (↑z + 1)).det ↔ IsUnit A.det ∨ ↑z + 1 = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
z : ℕ
a✝ : IsUnit (A ^ (-↑z)).det ↔ IsUnit A.det ∨ -↑z = 0
\u22a2 IsUnit (A ^ (-↑z - 1)).det ↔ IsUnit A.det ∨ -↑z - 1 = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : ↥S
\u22a2 fromLocalizedModule' S f (LocalizedModule.mk a b + LocalizedModule.mk a' b') = fromLocalizedModule' S f (LocalizedModule.mk a b) + fromLocalizedModule' S f (LocalizedModule.mk a' b')