ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a✝ : Ordinal.{u_3}
α : Type u_3
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
a x : α
x✝ : ∀ (y : α), r y x → Acc r y
IH : ∀ (y : α), r y x → Acc (fun x x_1 => x < x_1) (typein r y)
b : α
h : typein r b < typein r x
\u22a2 Acc (fun x x_1 => x < x_1) (typein r b)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
n : ℕ
inst✝ : IsDomain R
hpos : 0 < n
μ : R
h : IsPrimitiveRoot μ n
\u22a2 (cyclotomic n R).IsRoot μ
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
n : ℕ
inst✝ : IsDomain R
hpos : 0 < n
μ : R
h : IsPrimitiveRoot μ n
\u22a2 μ ∈ primitiveRoots n R
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ
\u22a2 (ascPochhammer ℕ (k + 1)).smeval (r + 1) = (k + 1).factorial • multichoose (r + 1) k + (ascPochhammer ℕ (k + 1)).smeval r
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ
\u22a2 ((X + ↑k) * ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) = (k + 1).factorial • multichoose (r + 1) k + (X * (ascPochhammer ℕ k).comp (X + 1)).smeval r
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ
\u22a2 ((r + 1) ^ 1 + (↑k).smeval (r + 1)) * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) = (k + 1).factorial • multichoose (r + 1) k + r ^ 1 * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r ^ 1 + smeval 1 r)
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ
\u22a2 ((r + 1) ^ 1 + (↑k).smeval (r + 1)) * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) = k.succ • (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + r ^ 1 * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r ^ 1 + smeval 1 r)
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ
\u22a2 (r + 1 + (↑k).smeval (r + 1)) * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) = k.succ • (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + r * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1)
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ
\u22a2 r * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + (↑↑k * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + 1 * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1)) = k.succ • (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + r * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1)
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ
\u22a2 ↑k • (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + (1 * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + r * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1)) = k • (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + ((ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + r * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
m : Set (Measure α)
h : μ ∈ m
this : sInf (toOuterMeasure '' m) ≤ μ.toOuterMeasure
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (sInf m) s ≤ μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
m : Set (Measure α)
h : μ ∈ m
this : sInf (toOuterMeasure '' m) ≤ μ.toOuterMeasure
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (sInf (toOuterMeasure '' m)) s ≤ μ s
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/ToDirectSum.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
f g : M[ι]
\u22a2 (f * g).toDirectSum = f.toDirectSum * g.toDirectSum
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/ToDirectSum.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
f g : M[ι]
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
\u22a2 (f * g).toDirectSum = f.toDirectSum * g.toDirectSum
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/ToDirectSum.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring
\u22a2 ∀ (f g : M[ι]), to_hom (f * g) = to_hom f * to_hom g
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/ToDirectSum.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring
\u22a2 AddMonoidHom.mul.compr₂ to_hom = (AddMonoidHom.mul.comp to_hom).compl₂ to_hom
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/ToDirectSum.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring
xi : ι
xv : M
\u22a2 ((AddMonoidHom.mul.compr₂ to_hom).comp (Finsupp.singleAddHom xi)) xv = (((AddMonoidHom.mul.comp to_hom).compl₂ to_hom).comp (Finsupp.singleAddHom xi)) xv
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/ToDirectSum.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring
xi : ι
xv : M
yi : ι
yv : M
\u22a2 ((((AddMonoidHom.mul.compr₂ to_hom).comp (Finsupp.singleAddHom xi)) xv).comp (Finsupp.singleAddHom yi)) yv = (((((AddMonoidHom.mul.comp to_hom).compl₂ to_hom).comp (Finsupp.singleAddHom xi)) xv).comp (Finsupp.singleAddHom yi)) yv
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/ToDirectSum.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring
xi : ι
xv : M
yi : ι
yv : M
\u22a2 ((AddMonoidHom.mul.compr₂ to_hom) (Finsupp.single xi xv)) (Finsupp.single yi yv) = (((AddMonoidHom.mul.comp to_hom).compl₂ to_hom) (Finsupp.single xi xv)) (Finsupp.single yi yv)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/ToDirectSum.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring
xi : ι
xv : M
yi : ι
yv : M
\u22a2 ((AddMonoidHom.mul.compr₂ to_hom) (Finsupp.single xi xv)) (Finsupp.single yi yv) = ((AddMonoidHom.mul.comp to_hom) (Finsupp.single xi xv)) (to_hom (Finsupp.single yi yv))
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/ToDirectSum.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring
xi : ι
xv : M
yi : ι
yv : M
\u22a2 { toFun := ⇑to_hom ∘ ⇑(AddMonoidHom.mul (Finsupp.single xi xv)), map_zero' := ⋯ } (Finsupp.single yi yv) = ((AddMonoidHom.mul.comp to_hom) (Finsupp.single xi xv)) (to_hom (Finsupp.single yi yv))
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/ToDirectSum.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring
xi : ι
xv : M
yi : ι
yv : M
\u22a2 (⇑to_hom ∘ ⇑(AddMonoidHom.mul (Finsupp.single xi xv))) (Finsupp.single yi yv) = ((AddMonoidHom.mul.comp to_hom) (Finsupp.single xi xv)) (to_hom (Finsupp.single yi yv))
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/ToDirectSum.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring
xi : ι
xv : M
yi : ι
yv : M
\u22a2 to_hom (Finsupp.single xi xv * Finsupp.single yi yv) = to_hom (Finsupp.single xi xv) * to_hom (Finsupp.single yi yv)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/ToDirectSum.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring
xi : ι
xv : M
yi : ι
yv : M
\u22a2 (DirectSum.of (fun i => M) (xi + yi)) (xv * yv) = toDirectSum (Finsupp.single xi xv) * toDirectSum (Finsupp.single yi yv)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/ToDirectSum.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring
xi : ι
xv : M
yi : ι
yv : M
\u22a2 (DirectSum.of (fun i => M) (xi + yi)) (xv * yv) = (DirectSum.of (fun i => M) xi) xv * (DirectSum.of (fun i => M) yi) yv
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
hv : LinearIndependent R v
i : ι
x : ↥(span R (range v))
hx : ↑x = v i
\u22a2 hv.repr x = Finsupp.single i 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
hv : LinearIndependent R v
i : ι
x : ↥(span R (range v))
hx : ↑x = v i
\u22a2 (Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.single i 1) = ↑x
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝ : Fin l → M
φ : L.BoundedFormula α n✝
tf : α → L.Term β
v : β → M
xs : Fin n✝ → M
n : ℕ
t : L.Term (α ⊕ Fin n)
x : Fin n → M
\u22a2 realize (Sum.elim v x) (t.subst (Sum.elim (Term.relabel Sum.inl ∘ tf) (var ∘ Sum.inr))) = realize (Sum.elim (fun a => realize v (tf a)) x) t
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝ : Fin l → M
φ : L.BoundedFormula α n✝
tf : α → L.Term β
v : β → M
xs : Fin n✝ → M
n : ℕ
t : L.Term (α ⊕ Fin n)
x : Fin n → M
\u22a2 realize (fun a => realize (Sum.elim v x) (Sum.elim (Term.relabel Sum.inl ∘ tf) (var ∘ Sum.inr) a)) t = realize (Sum.elim (fun a => realize v (tf a)) x) t
-- Mathlib/LinearAlgebra/Contraction.lean
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R
x : (M →ₗ[R] P) ⊗[R] Q
\u22a2 (rTensorHomEquivHomRTensor R M P Q) x = (rTensorHomToHomRTensor R M P Q) x
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X Y Z✝ T : C
n : ℕ
α : Ext X Y n
Z : C
m p : ℕ
h : n + m = p
this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C
\u22a2 (α.comp 0 h).hom = hom 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : MulOneClass M
inst✝ : ContinuousMul M
U : Set M
hU : U ∈ 𝓝 1
\u22a2 ∃ V, IsOpen V ∧ 1 ∈ V ∧ V * V ⊆ U
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁷ : DecidableEq n✝
inst✝⁶ : Fintype n✝
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
R : Type v
inst✝³ : CommRing R
n : Type u_3
inst✝² : Unique n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
A : Matrix n n R
\u22a2 A.det = A default default
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
n : ℕ
a : Cardinal.{u}
\u22a2 ↑n = lift.{v, u} a ↔ ↑n = a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Reverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
n : ℕ
\u22a2 f.reverse.coeff n = f.coeff ((revAt f.natDegree) n)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
b : α
\u22a2 Iic b = cons b (Iio b) ⋯
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Lifts.lean
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
\u22a2 p ∈ lifts f ↔ ∃ q, map f q = p
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X : T
U V : Over X
f g : U ⟶ V
left✝¹ : U.left ⟶ V.left
b : U.right ⟶ V.right
w✝¹ : (𝟭 T).map left✝¹ ≫ V.hom = U.hom ≫ (Functor.fromPUnit X).map b
left✝ : U.left ⟶ V.left
e : U.right ⟶ V.right
w✝ : (𝟭 T).map left✝ ≫ V.hom = U.hom ≫ (Functor.fromPUnit X).map e
h : { left := left✝¹, right := b, w := w✝¹ }.left = { left := left✝, right := e, w := w✝ }.left
\u22a2 b = e
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝ : DistribMulAction M R
k : M
h : ∀ (x : R), k • x = 0 → x = 0
a b : R
h' : k • a = k • b
\u22a2 a = b
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝ : DistribMulAction M R
k : M
h : ∀ (x : R), k • x = 0 → x = 0
a b : R
h' : k • a = k • b
\u22a2 a - b = 0
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝ : DistribMulAction M R
k : M
h : ∀ (x : R), k • x = 0 → x = 0
a b : R
h' : k • a = k • b
\u22a2 k • (a - b) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
A : Matrix n n R[X]
M : Matrix n n R
\u22a2 eval 0 (A + X • M.map ⇑C).det = eval 0 A.det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
A : Matrix n n R[X]
M : Matrix n n R
\u22a2 (eval 0 (matPolyEquiv A) + eval 0 (matPolyEquiv ((algebraMap R[X] (Matrix n n R[X])) X) * matPolyEquiv (M.map ⇑C))).det = (eval 0 (matPolyEquiv A)).det
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝² : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝¹ : Archimedean 𝕜
x✝ : AddCircle p
hx✝ : x✝ ≠ ↑a
inst✝ : DiscreteTopology ↥(zmultiples p)
x : 𝕜
hx : x ∈ Ioo a (a + p)
hx' : ↑x ∈ {↑a}
\u22a2 False
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝² : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝¹ : Archimedean 𝕜
x✝ : AddCircle p
hx✝ : x✝ ≠ ↑a
inst✝ : DiscreteTopology ↥(zmultiples p)
x : AddCircle p
hx : x ∈ {↑a}ᶜ
\u22a2 (fun x => ↑((equivIco p a) x)) x ∈ Ioo a (a + p)
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝² : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝¹ : Archimedean 𝕜
x : AddCircle p
hx : x ≠ ↑a
inst✝ : DiscreteTopology ↥(zmultiples p)
\u22a2 ContinuousOn { toFun := QuotientAddGroup.mk, invFun := fun x => ↑((equivIco p a) x), source := Ioo a (a + p), target := {↑a}ᶜ, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.invFun { toFun := QuotientAddGroup.mk, invFun := fun x => ↑((equivIco p a) x), source := Ioo a (a + p), target := {↑a}ᶜ, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.target
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α✝
s s₁ s₂ t : Set α✝
α : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) (Accumulate f)
\u22a2 μ (⋃ i, f i) = ⨆ i, μ (Accumulate f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α✝
s s₁ s₂ t : Set α✝
α : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) (Accumulate f)
\u22a2 μ (⋃ x, Accumulate f x) = ⨆ i, μ (Accumulate f i)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c : α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
\u22a2 (Icc a b).erase b = Ico a b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hn : 0 < n
\u22a2 1 ∈ nthRootsFinset n R
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
π : α → Type u_11
i : Set α
s t : (a : α) → Set (π a)
\u22a2 i.pi s \ i.pi t ⊆ ⋃ a ∈ i, eval a ⁻¹' (s a \ t a)
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
π : α → Type u_11
i : Set α
s t : (a : α) → Set (π a)
x : (i : α) → π i
hx : x ∈ i.pi s \ ⋃ a ∈ i, eval a ⁻¹' (s a \ t a)
a : α
ha : a ∈ i
\u22a2 x a ∈ t a
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
π : α → Type u_11
i : Set α
s t : (a : α) → Set (π a)
x : (i : α) → π i
a : α
ha : a ∈ i
hx : (∀ i_1 ∈ i, x i_1 ∈ s i_1) ∧ ∀ x_1 ∈ i, eval x_1 x ∈ s x_1 → eval x_1 x ∈ t x_1
\u22a2 x a ∈ t a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν✝ ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite ν
\u22a2 (sum fun n => μ.restrict (disjointed (spanningSets ν) n)) = μ
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} D
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M N : Mat_ C
f : M ⟶ N
\u22a2 (additiveObjIsoBiproduct F M).inv ≫ F.map f = (biproduct.matrix fun i j => F.map ((embedding C).map (f i j))) ≫ (additiveObjIsoBiproduct F N).inv
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α✝
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
α : Type u_1
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s
\u22a2 comap (Prod.map f f) (𝓤 β) = 𝓟 idRel
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α✝
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
α : Type u_1
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s
\u22a2 comap (Prod.map f f) (𝓤 β) ≤ 𝓟 idRel
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α✝
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
α : Type u_1
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s
\u22a2 Prod.map f f ⁻¹' s ⊆ idRel
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α✝
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
α : Type u_1
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s
x y : α
\u22a2 (x, y) ∈ Prod.map f f ⁻¹' s → (x, y) ∈ idRel
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Expand.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
p : ℕ
φ : MvPolynomial σ R
\u22a2 (rename f) ((expand p) φ) = (expand p) ((rename f) φ)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d✝ m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n d : ℕ
h : n / d * d = n
\u22a2 d ∣ n / d * d
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Root.lean
a b n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 a ∣ b ^ n ↔ n.ceilRoot a ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Root.lean
b n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 0 ∣ b ^ n ↔ n.ceilRoot 0 ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Root.lean
a b n : ℕ
hn : n ≠ 0
ha : a ≠ 0
\u22a2 a ∣ b ^ n ↔ n.ceilRoot a ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Root.lean
a n : ℕ
hn : n ≠ 0
ha : a ≠ 0
\u22a2 a ∣ 0 ^ n ↔ n.ceilRoot a ∣ 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Root.lean
a b n : ℕ
hn : n ≠ 0
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
\u22a2 a ∣ b ^ n ↔ n.ceilRoot a ∣ b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ
h : 0 < x
\u22a2 arccos x = arctan (√(1 - x ^ 2) / x)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ
h : 0 < x
\u22a2 arctan (√(1 - x ^ 2) / x) = π / 2 - arcsin x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ
h : 0 < x
\u22a2 tan (π / 2 - arcsin x) = √(1 - x ^ 2) / x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ
h : 0 < x
\u22a2 -(π / 2) < π / 2 - arcsin x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ
h : 0 < x
\u22a2 π / 2 - arcsin x < π / 2
-- Mathlib/Algebra/Lie/EngelSubalgebra.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
\u22a2 engel R 0 = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/EngelSubalgebra.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
\u22a2 ⊤ ≤ engel R 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/EngelSubalgebra.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
\u22a2 x ∈ engel R 0