ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Divisibility.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
n : α
hn : IsPrimal n
hm : IsPrimal 0
\u22a2 IsPrimal (0 * n)
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Divisibility.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
m n : α
hm : IsPrimal m
hn : IsPrimal n
h0 : m ≠ 0
\u22a2 IsPrimal (m * n)
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Divisibility.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
m n : α
hm : IsPrimal m
hn : IsPrimal n
h0 : m ≠ 0
b c : α
h : m * n ∣ b * c
\u22a2 ∃ a₁ a₂, a₁ ∣ b ∧ a₂ ∣ c ∧ m * n = a₁ * a₂
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Divisibility.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
n : α
hn : IsPrimal n
a₁ a₂ b c : α
hm : IsPrimal (a₁ * a₂)
h0 : a₁ * a₂ ≠ 0
h : a₁ * a₂ * n ∣ a₁ * b * (a₂ * c)
\u22a2 ∃ a₁_1 a₂_1, a₁_1 ∣ a₁ * b ∧ a₂_1 ∣ a₂ * c ∧ a₁ * a₂ * n = a₁_1 * a₂_1
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Divisibility.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
n : α
hn : IsPrimal n
a₁ a₂ b c : α
hm : IsPrimal (a₁ * a₂)
h0 : a₁ * a₂ ≠ 0
h : n ∣ b * c
\u22a2 ∃ a₁_1 a₂_1, a₁_1 ∣ a₁ * b ∧ a₂_1 ∣ a₂ * c ∧ a₁ * a₂ * n = a₁_1 * a₂_1
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Divisibility.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a₁ a₂ b c : α
hm : IsPrimal (a₁ * a₂)
h0 : a₁ * a₂ ≠ 0
a₁' a₂' : α
h₁ : a₁' ∣ b
h₂ : a₂' ∣ c
hn : IsPrimal (a₁' * a₂')
h : a₁' * a₂' ∣ b * c
\u22a2 ∃ a₁_1 a₂_1, a₁_1 ∣ a₁ * b ∧ a₂_1 ∣ a₂ * c ∧ a₁ * a₂ * (a₁' * a₂') = a₁_1 * a₂_1
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Supported.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u
S : Type v
r : R
e : ℕ
n m : σ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
s t : Set σ
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 p ∈ supported R ↑p.vars
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/RiemannZeta.lean
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
hs' : s ≠ 1
\u22a2 riemannZeta (1 - s) = 2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s * Complex.cos (↑π * s / 2) * riemannZeta s
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hai : AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
\u22a2 AffineIndependent k p
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hai : AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
h : IsEmpty ι
\u22a2 AffineIndependent k p
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hai : AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
h : Nonempty ι
\u22a2 AffineIndependent k p
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hai : AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
i : ι
\u22a2 AffineIndependent k p
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hai : AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
i : ι
\u22a2 LinearIndependent k fun i_1 => p ↑i_1 -ᵥ p i
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
i : ι
hai : LinearIndependent k fun i_1 => f.linear (p ↑i_1 -ᵥ p i)
\u22a2 LinearIndependent k fun i_1 => p ↑i_1 -ᵥ p i
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
h₁ : π₁.IsPartition
h₂ : π₂.IsPartition
\u22a2 (π₁ ⊓ π₂).iUnion = ↑I
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
\u22a2 UniformIntegrable f p μ
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
hfmeas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
\u22a2 UniformIntegrable f p μ
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
hfmeas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
g : ι → α → E := fun i => Exists.choose ⋯
\u22a2 UniformIntegrable f p μ
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
hfmeas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
g : ι → α → E := fun i => Exists.choose ⋯
hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i)
\u22a2 UniformIntegrable f p μ
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
hfmeas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
g : ι → α → E := fun i => Exists.choose ⋯
hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i)
hgeq : ∀ (i : ι), g i =ᶠ[ae μ] f i
\u22a2 UniformIntegrable f p μ
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
hfmeas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
g : ι → α → E := fun i => Exists.choose ⋯
hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i)
hgeq : ∀ (i : ι), g i =ᶠ[ae μ] f i
hgℒp : Memℒp (g j) p μ
\u22a2 UniformIntegrable f p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L
f : X →ᵇ ℝ
\u22a2 Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
f : X →ᵇ ℝ
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) ⊥
\u22a2 Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) ⊥ (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
\u22a2 Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
obs : Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)
\u22a2 Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
obs : Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)
bdd_above : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
bdd_below : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
\u22a2 Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
obs : Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)
bdd_above : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
bdd_below : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
\u22a2 ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
obs : Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)
bdd_above : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
bdd_below : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
\u22a2 limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
obs : Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)
bdd_above : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
bdd_below : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
\u22a2 autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) _auto✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
obs : Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)
bdd_above : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
bdd_below : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
\u22a2 autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) _auto✝
-- Mathlib/Probability/Kernel/Condexp.lean
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ω : Ω
\u22a2 (condexpKernel μ m) ω = (condDistrib id id μ) (id ω)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → ProbabilityMeasure Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
\u22a2 Tendsto μs F (𝓝 μ) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (ω : Ω), f ω ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (ω : Ω), f ω ∂↑μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → ProbabilityMeasure Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
\u22a2 Tendsto (toFiniteMeasure ∘ μs) F (𝓝 μ.toFiniteMeasure) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (ω : Ω), f ω ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (ω : Ω), f ω ∂↑μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → ProbabilityMeasure Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
\u22a2 (∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑((toFiniteMeasure ∘ μs) i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), f x ∂↑μ.toFiniteMeasure))) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (ω : Ω), f ω ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (ω : Ω), f ω ∂↑μ))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
\u22a2 finrank K V = 1 ↔ ∃ v, v ≠ 0 ∧ ∀ (w : V), ∃ c, c • v = w
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
\u22a2 finrank K V = 1 ↔ Module.rank K V = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Classical.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : Fintype q
i : R
hi : i * i = -1
A : ↥(so' p q R)
\u22a2 ↑((soIndefiniteEquiv p q R hi) A) = (Pso p q R i)⁻¹ * ↑A * Pso p q R i
-- Mathlib/Algebra/Lie/Classical.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
q : Type u_3
l : Type u_4
R : Type u₂
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : DecidableEq p
inst✝⁴ : DecidableEq q
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : Fintype q
i : R
hi : i * i = -1
A : ↥(so' p q R)
\u22a2 ↑((skewAdjointMatricesLieSubalgebraEquiv (indefiniteDiagonal p q R) (Pso p q R i) (invertiblePso p q R hi)) A) = (Pso p q R i)⁻¹ * ↑A * Pso p q R i
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{?u.114338}
ho : 0 < o
\u22a2 0 < type fun x x_1 => x < x_1
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
a b : α
s : α → Set β
\u22a2 ⋂ x ∈ {a, b}, s x = s a ∩ s b
-- Mathlib/RingTheory/FinitePresentation.lean
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
I : Ideal A
h : I.FG
inst✝ : FinitePresentation R A
\u22a2 ∃ n f, Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
-- Mathlib/RingTheory/FinitePresentation.lean
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
I : Ideal A
h : I.FG
inst✝ : FinitePresentation R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
\u22a2 ∃ n f, Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CommRing S
w x y z : S
\u22a2 C w * (X - C x) * (X - C y) * (X - C z) = { a := w, b := w * -(x + y + z), c := w * (x * y + x * z + y * z), d := w * -(x * y * z) }.toPoly
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CommRing S
w x y z : S
\u22a2 C w * (X - C x) * (X - C y) * (X - C z) = C w * X ^ 3 + C w * -(C x + C y + C z) * X ^ 2 + C w * (C x * C y + C x * C z + C y * C z) * X + C w * -(C x * C y * C z)
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s t : Set α
a : α
h : IsLowerSet sᶜ
\u22a2 IsUpperSet s
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s t : Set α
a : α
h : IsLowerSet sᶜ
\u22a2 s = sᶜᶜ
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Multiset α
hs : s ≠ 0
t : Set α
\u22a2 (ofMultiset s hs).toOuterMeasure t = (∑' (x : α), ↑(Multiset.count x (Multiset.filter (fun x => x ∈ t) s))) / ↑(Multiset.card s)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Multiset α
hs : s ≠ 0
t : Set α
\u22a2 ∑' (x : α), t.indicator (⇑(ofMultiset s hs)) x = ∑' (i : α), ↑(Multiset.count i (Multiset.filter (fun x => x ∈ t) s)) * (↑(Multiset.card s))⁻¹
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Multiset α
hs : s ≠ 0
t : Set α
x : α
\u22a2 t.indicator (⇑(ofMultiset s hs)) x = ↑(Multiset.count x (Multiset.filter (fun x => x ∈ t) s)) * (↑(Multiset.card s))⁻¹
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
\u22a2 map₂ m (f₁ ⊔ f₂) g = map₂ m f₁ g ⊔ map₂ m f₂ g
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
j : n
s : R
u : n → R
\u22a2 ((s • M).updateColumn j u).det = s ^ (Fintype.card n - 1) * (M.updateColumn j u).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
j : n
s : R
u : n → R
\u22a2 s ^ (Fintype.card n - 1) * (Mᵀ.updateRow j u).det = s ^ (Fintype.card n - 1) * (M.updateColumn j u).det
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
\u22a2 slope f x y < f'
-- Mathlib/Algebra/Quandle.lean
S : Type u_1
inst✝ : UnitalShelf S
x : S
\u22a2 x ◃ x = x
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
h : a ≤ b
\u22a2 Icc a b = cons b (Ico a b) ⋯
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
\u22a2 ∠ p₁ p₂ p₃ = π ↔ Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
\u22a2 ∠ p₁ p₂ p₃ = π → Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
\u22a2 (p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0 ∧ ∃ r < 0, p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)) → Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hp₃p₂ : p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)
\u22a2 Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hp₃p₂ : p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)
\u22a2 (AffineMap.lineMap p₁ p₃) (1 / (1 - r)) = p₂
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0
hp₃p₂ : p₃ -ᵥ p₂ = r • (p₁ -ᵥ p₂)
\u22a2 p₂ ≠ p₃
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
f : ℝ → ℝ
x f' : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivAt f f' x
hx : f x ≠ 0
\u22a2 HasDerivAt (fun y => Real.log (f y)) (f' / f x) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
f : ℝ → ℝ
x f' : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' Set.univ x
hx : f x ≠ 0
\u22a2 HasDerivWithinAt (fun y => Real.log (f y)) (f' / f x) Set.univ x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
\u22a2 (∀ u ⊇ v, Orthonormal 𝕜 Subtype.val → u = v) ↔ (span 𝕜 v)ᗮ = ⊥
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
\u22a2 (∀ u ⊇ v, Orthonormal 𝕜 Subtype.val → u = v) ↔ ∀ x ∈ (span 𝕜 v)ᗮ, x = 0