ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Box.lean
n✝ : ℕ
x : ℤ × ℤ
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0
\u22a2 (n.succ + 1 + n.succ) * (n.succ + 1 + n.succ) - (n + 1 + n) * (n + 1 + n) = 8 * (n + 1)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Box.lean
n✝ : ℕ
x : ℤ × ℤ
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0
\u22a2 (n.succ + 1 + n.succ) * (n.succ + 1 + n.succ) = 8 * (n + 1) + (n + 1 + n) * (n + 1 + n)
-- Mathlib/Analysis/Complex/CauchyIntegral.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
z w : ℂ
Hd : DifferentiableOn ℝ f ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]])
Hi : IntegrableOn (fun z => I • (fderiv ℝ f z) 1 - (fderiv ℝ f z) I) ([[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]]) volume
x : ℂ
hx : x ∈ Ioo (min z.re w.re) (max z.re w.re) ×ℂ Ioo (min z.im w.im) (max z.im w.im) \ ∅
\u22a2 [[z.re, w.re]] ×ℂ [[z.im, w.im]] ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
\u22a2 IsIntegralCurveAt γ v t₀ ↔ ∃ ε > 0, IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SpecialLinearGroup.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v : Fin 2 → R
hab : IsCoprime (v 0) (v 1)
A : SL(2, R)
\u22a2 IsCoprime ((v ᵥ* ↑A) 0) ((v ᵥ* ↑A) 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SpecialLinearGroup.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v : Fin 2 → R
hab : IsCoprime (v 0) (v 1)
A g : SL(2, R)
hg : ↑g 0 0 = v 0 ∧ ↑g 0 1 = v 1
\u22a2 IsCoprime ((v ᵥ* ↑A) 0) ((v ᵥ* ↑A) 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SpecialLinearGroup.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v : Fin 2 → R
hab : IsCoprime (v 0) (v 1)
A g : SL(2, R)
hg : ↑g 0 0 = v 0 ∧ ↑g 0 1 = v 1
this : v = ↑g 0
\u22a2 IsCoprime ((v ᵥ* ↑A) 0) ((v ᵥ* ↑A) 1)
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : Preorder ι
f : Filtration ι m
i j : ι
\u22a2 MeasurableSet {ω | (fun x => i) ω ≤ j}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
\u22a2 eval₂ f (↑n) p = f (eval (↑n) p)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
\u22a2 ↑n = f ↑n
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/CoherentTopology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
w✝ : Finite α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
\u22a2 S ∈ (coherentTopology C).sieves X
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/CoherentTopology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
w✝ : Finite α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
\u22a2 Presieve.ofArrows Y π ≤ S.arrows
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/CoherentTopology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
w✝ : Finite α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
\u22a2 Presieve.ofArrows Y π ∈ (coherentCoverage C).covering X
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
\u22a2 s.πSummand (IndexSet.id (op [n])) ≫ (s.cofan (op [n])).inj (IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n = PInfty.f n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
\u22a2 s.πSummand (IndexSet.id (op [n])) ≫ (s.cofan (op [n])).inj (IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n = 𝟙 (K[X].X n) ≫ PInfty.f n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
\u22a2 s.πSummand (IndexSet.id (op [n])) ≫ (s.cofan (op [n])).inj (IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n = ∑ j : IndexSet (op [n]), (s.πSummand j ≫ (s.cofan (op [n])).inj j) ≫ PInfty.f n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
\u22a2 ∀ (x : IndexSet (op [n])), x ≠ IndexSet.id (op [n]) → (s.πSummand x ≫ (s.cofan (op [n])).inj x) ≫ PInfty.f n = 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
A : IndexSet (op [n])
hA : ¬A.EqId
\u22a2 (s.πSummand A ≫ (s.cofan (op [n])).inj A) ≫ PInfty.f n = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
\u22a2 ↑(chainBotCoeff (⇑α) β') = ↑(chainBotCoeff (⇑α) β) + n
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
this : ⇑β' = -n • -⇑α + ⇑β
\u22a2 ↑(chainBotCoeff (⇑α) β') = ↑(chainBotCoeff (⇑α) β) + n
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Order.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield K
p q : ℚ≥0
\u22a2 ↑q < 0 ↔ q < 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : IsOpen s
\u22a2 ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 f y) s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : IsOpen s
\u22a2 DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderiv 𝕜 f y) s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁷ : EMetricSpace X
inst✝⁶ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ
hd : ↑(finrank ℝ E) < d
\u22a2 μH[d] = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁷ : EMetricSpace X
inst✝⁶ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ≥0
hd : ↑(finrank ℝ E) < ↑d
\u22a2 μH[↑d] = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁷ : EMetricSpace X
inst✝⁶ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ≥0
hd : ↑(finrank ℝ E) < ↑d
\u22a2 μH[↑d] univ = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁷ : EMetricSpace X
inst✝⁶ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ≥0
hd : ↑(finrank ℝ E) < ↑d
\u22a2 dimH univ < ↑d
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁷ : EMetricSpace X
inst✝⁶ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
d : ℝ≥0
hd : ↑(finrank ℝ E) < ↑d
\u22a2 ↑(finrank ℝ E) < ↑d
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hxy : ¬x + y = 0
\u22a2 min x.orderTop y.orderTop ≤ (x + y).orderTop
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hxy : ¬x + y = 0
\u22a2 min (⋯.min ⋯) (⋯.min ⋯) ≤ ⋯.min ⋯
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring R'
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : SemilatticeSup B
inst✝¹ : Add B
inst✝ : OrderBot B
D : A → B
f : R'[A]
\u22a2 supDegree D (-f) = supDegree D f
-- Mathlib/Analysis/Fourier/Inversion.lean
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
h : Continuous f
hf : Integrable f volume
h'f : Integrable (𝓕 f) volume
v : V
\u22a2 𝓕 (𝓕⁻ f) v = f v
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Countable ι
f✝ g : α → β
X : Type u_5
Y : Type u_6
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : PseudoMetrizableSpace α
f : X × Y → α
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
this✝¹ : MeasurableSpace α := borel α
this✝ : BorelSpace α
\u22a2 StronglyMeasurable f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Countable ι
f✝ g : α → β
X : Type u_5
Y : Type u_6
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : PseudoMetrizableSpace α
f : X × Y → α
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
this✝¹ : MeasurableSpace α := borel α
this✝ : BorelSpace α
\u22a2 IsSeparable (range f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁹ : Countable ι
f✝ g : α → β
X : Type u_5
Y : Type u_6
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : PseudoMetrizableSpace α
f : X × Y → α
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
this✝¹ : MeasurableSpace α := borel α
this✝ : BorelSpace α
this : PseudoMetricSpace α := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric α
\u22a2 IsSeparable (range f)
-- Mathlib/Algebra/Star/SelfAdjoint.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Semigroup R
inst✝ : StarMul R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
\u22a2 Commute (star x) x
-- Mathlib/Algebra/Star/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : StarRing R
inst✝¹⁵ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹⁴ : StarRing A
inst✝¹³ : Module R A
inst✝¹² : IsScalarTower R A A
inst✝¹¹ : SMulCommClass R A A
inst✝¹⁰ : StarModule R A
inst✝⁹ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁸ : StarRing B
inst✝⁷ : Module R B
inst✝⁶ : IsScalarTower R B B
inst✝⁵ : SMulCommClass R B B
inst✝⁴ : StarModule R B
inst✝³ : FunLike F A B
inst✝² : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝¹ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalStarSubalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →⋆ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
i : ι
x : ↥(iSup K)
hx : ↑x ∈ K i
\u22a2 Set.iUnionLift (fun i => ↑(K i)) (fun i x => (f i) x) ⋯ ↑(iSup K) ⋯ x = (f i) ⟨↑x, hx⟩
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformRing.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u
r : CommRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalRing α
\u22a2 SeparationQuotient α = (α ⧸ ⊥.closure)
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformRing.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u
r : CommRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalRing α
\u22a2 Quotient (Submodule.quotientRel ⊥.closure) = (α ⧸ ⊥.closure)
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m✝ n✝ p m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
\u22a2 Squarefree (m * n) ↔ Squarefree m ∧ Squarefree n
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m✝ n✝ p m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
\u22a2 (∀ (x : ℕ), Prime x → ¬x ^ 2 ∣ m * n) ↔ ∀ (x : ℕ), Prime x → ¬x ^ 2 ∣ m ∧ ¬x ^ 2 ∣ n
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m✝ n✝ p✝ m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
p : ℕ
hp : Prime p
\u22a2 ¬p ^ 2 ∣ m * n ↔ ¬p ^ 2 ∣ m ∧ ¬p ^ 2 ∣ n
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
hy : y ∈ nonZeroDivisorsLeft R
\u22a2 IsNilpotent (x * y) ↔ IsNilpotent x
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
hy : y ∈ nonZeroDivisorsLeft R
\u22a2 IsNilpotent (x * y) → IsNilpotent x
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
hy : y ∈ nonZeroDivisorsLeft R
k : ℕ
hk : (x * y) ^ k = 0
\u22a2 IsNilpotent x
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
hy : y ∈ nonZeroDivisorsLeft R
k : ℕ
hk : x ^ k * y ^ k = 0
\u22a2 IsNilpotent x
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
h : 0 ≤ n
x : Step k 0
\u22a2 (toStepOfLE k 0 (n + 1) ⋯) x = ((toStepSucc k n).comp (toStepOfLE k 0 n h)) x
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
h : 0 ≤ n
x : Step k 0
\u22a2 (toStepOfLE k 0 (n + 1) ⋯) x = (toStepSucc k n) ((toStepOfLE k 0 n h) x)
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
h : 0 ≤ n
x : Step k 0
\u22a2 AlgebraicClosure.toStepOfLE' k 0 (n + 1) ⋯ x = (toStepSucc k n) (AlgebraicClosure.toStepOfLE' k 0 n h x)
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
h : 0 ≤ n
x : Step k 0
\u22a2 AlgebraicClosure.toStepOfLE' k 0 (n + 1) ⋯ x = (⇑(toStepSucc k n) ∘ AlgebraicClosure.toStepOfLE' k 0 n h) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F✝ : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F✝
F : J ⥤ Type u
t : Cocone F
h : IsColimit t
x : t.pt
\u22a2 ∃ j y, t.ι.app j y = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F✝ : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F✝
F : J ⥤ Type u
t : Cocone F
h : IsColimit t
x : t.pt
hx : ¬∃ j y, t.ι.app j y = x
\u22a2 False
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F✝ : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F✝
F : J ⥤ Type u
t : Cocone F
h : IsColimit t
x : t.pt
hx : ∀ (x_1 : J) (x_2 : F.obj x_1), ¬t.ι.app x_1 x_2 = x
\u22a2 False
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
Mf mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
hMf : Mf ≤ mΩ
c : ℝ≥0∞
T : Set Ω
h_meas_T : MeasurableSet T
h_ind : IndepSets {s | MeasurableSet s} {T} μ
\u22a2 ∀ {f : Ω → ℝ≥0∞}, Measurable f → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
Mf mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
hMf : Mf ≤ mΩ
c : ℝ≥0∞
T : Set Ω
h_meas_T : MeasurableSet T
h_ind : IndepSets {s | MeasurableSet s} {T} μ
h_mul_indicator : ∀ (g : Ω → ℝ≥0∞), Measurable g → Measurable fun a => g a * T.indicator (fun x => c) a
\u22a2 ∀ {f : Ω → ℝ≥0∞}, Measurable f → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
Mf mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
hMf : Mf ≤ mΩ
c : ℝ≥0∞
T : Set Ω
h_meas_T : MeasurableSet T
h_ind : IndepSets {s | MeasurableSet s} {T} μ
h_mul_indicator : ∀ (g : Ω → ℝ≥0∞), Measurable g → Measurable fun a => g a * T.indicator (fun x => c) a
\u22a2 ∀ (c_1 : ℝ≥0∞) ⦃s : Set Ω⦄, MeasurableSet s → ∫⁻ (ω : Ω), s.indicator (fun x => c_1) ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), s.indicator (fun x => c_1) ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
Mf mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
hMf : Mf ≤ mΩ
c : ℝ≥0∞
T : Set Ω
h_meas_T : MeasurableSet T
h_ind : IndepSets {s | MeasurableSet s} {T} μ
h_mul_indicator : ∀ (g : Ω → ℝ≥0∞), Measurable g → Measurable fun a => g a * T.indicator (fun x => c) a
\u22a2 ∀ ⦃f g : Ω → ℝ≥0∞⦄, Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → Measurable f → Measurable g → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ → ∫⁻ (ω : Ω), g ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), g ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ → ∫⁻ (ω : Ω), (f + g) ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), (f + g) ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
Mf mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
hMf : Mf ≤ mΩ
c : ℝ≥0∞
T : Set Ω
h_meas_T : MeasurableSet T
h_ind : IndepSets {s | MeasurableSet s} {T} μ
h_mul_indicator : ∀ (g : Ω → ℝ≥0∞), Measurable g → Measurable fun a => g a * T.indicator (fun x => c) a
\u22a2 ∀ ⦃f : ℕ → Ω → ℝ≥0∞⦄, (∀ (n : ℕ), Measurable (f n)) → Monotone f → (∀ (n : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), f n ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f n ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ) → ∫⁻ (ω : Ω), (fun x => ⨆ n, f n x) ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), (fun x => ⨆ n, f n x) ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
i✝ : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Fintype α
i : α
m : M
\u22a2 ∑ j : α, (single j m) i = m
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
i✝ : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Fintype α
i : α
m : M
\u22a2 ∑ x : α, Pi.single x m i = m
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : NoMaxOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s μ
t : Set Ω
ht_tail : MeasurableSet t
\u22a2 μ t = 0 ∨ μ t = 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
t : R
h : ‖t‖ < ‖↑x⁻¹‖⁻¹
\u22a2 ‖-(↑x⁻¹ * t)‖ < 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
t : R
h : ‖t‖ < ‖↑x⁻¹‖⁻¹
a✝ : Nontrivial R
\u22a2 ‖-(↑x⁻¹ * t)‖ < 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
t : R
h : ‖t‖ < ‖↑x⁻¹‖⁻¹
a✝ : Nontrivial R
hpos : 0 < ‖↑x⁻¹‖
\u22a2 ‖-(↑x⁻¹ * t)‖ < 1
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
\u22a2 e = s((Quot.out e).1, (Quot.out e).2)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
\u22a2 dual A K 0 = 0
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : β → α → β
b : β
x : α
xs : List α
\u22a2 foldl f b (xs ++ [x]) = f (foldl f b xs) x
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/CommRing.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
hpq : Disjoint p.vars q.vars
\u22a2 (p - q).vars = p.vars ∪ q.vars
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/CommRing.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
hpq : Disjoint p.vars (-q).vars
\u22a2 (p - q).vars = p.vars ∪ q.vars
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module R S
inst✝¹ : IsScalarTower R S S
inst✝ : SMulCommClass R S S
x y : S
hc : Commute x y
\u22a2 Commute (p.smeval x) y
-- Mathlib/Topology/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
n : ℕ
a' : α
l : List α
this : 𝓝 a ×ˢ 𝓝 (a' :: l) = Filter.map (fun p => (p.1, p.2.1 :: p.2.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 a' ×ˢ 𝓝 l)
\u22a2 Tendsto (fun p => insertNth (n + 1) p.1 p.2) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 (a' :: l)) (𝓝 (insertNth (n + 1) a (a' :: l)))
-- Mathlib/Topology/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
n : ℕ
a' : α
l : List α
this : 𝓝 a ×ˢ 𝓝 (a' :: l) = Filter.map (fun p => (p.1, p.2.1 :: p.2.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 a' ×ˢ 𝓝 l)
\u22a2 Tendsto ((fun p => insertNth (n + 1) p.1 p.2) ∘ fun p => (p.1, p.2.1 :: p.2.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 a' ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 (insertNth (n + 1) a (a' :: l)))
-- Mathlib/Algebra/Order/AbsoluteValue.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : OrderedCommRing S
inst✝¹ : Ring R
abv : AbsoluteValue R S
inst✝ : NoZeroDivisors S
a : R
ha : ¬a = 0
\u22a2 abv (-a) = abv a