ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
n : ℕ
hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m
hg : IsCauSeq abs fun n => ∑ i ∈ range n, a i
ε : α
ε0 : ε > 0
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2
j : ℕ
ji : j ≥ max n i
hi₁ : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2
hi₂ : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) (max n i) - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2
sub_le : |∑ k ∈ range j, a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k| ≤ |∑ k ∈ range j, a k - ∑ k ∈ range i, a k| + |∑ k ∈ range i, a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k|
this : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| + |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i - ∑ k ∈ range (max n i), a k| < ε
\u22a2 abv ((fun n => ∑ i ∈ range n, f i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) (max n i)) < ε
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
n : ℕ
hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m
hg : IsCauSeq abs fun n => ∑ i ∈ range n, a i
ε : α
ε0 : ε > 0
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2
j : ℕ
ji : j ≥ max n i
hi₁ : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2
hi₂ : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) (max n i) - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| < ε / 2
sub_le : |∑ k ∈ range j, a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k| ≤ |∑ k ∈ range j, a k - ∑ k ∈ range i, a k| + |∑ k ∈ range i, a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k|
this : |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i| + |(fun n => ∑ i ∈ range n, a i) i - ∑ k ∈ range (max n i), a k| < ε
\u22a2 abv ((fun n => ∑ i ∈ range n, f i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) (max n i)) ≤ ∑ k ∈ range j, a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
n : ℕ
hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m
i j : ℕ
ji : j ≥ max n i
k : ℕ
hk : j - max n i = k
\u22a2 abv ((fun n => ∑ i ∈ range n, f i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) (max n i)) ≤ ∑ k ∈ range j, a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
n : ℕ
hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m
i j : ℕ
ji : j ≥ max n i
k : ℕ
hk : j = k + max n i
\u22a2 abv ((fun n => ∑ i ∈ range n, f i) j - (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) (max n i)) ≤ ∑ k ∈ range j, a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
n : ℕ
hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m
i k' : ℕ
hi : abv (∑ i ∈ range (k' + max n i), f i - ∑ i ∈ range (max n i), f i) ≤ ∑ k ∈ range (k' + max n i), a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k
\u22a2 abv (∑ i ∈ range (k' + 1 + max n i), f i - ∑ i ∈ range (max n i), f i) ≤ ∑ k ∈ range (k' + 1 + max n i), a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
n : ℕ
hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m
i k' : ℕ
hi : abv (∑ i ∈ range (k' + max n i), f i - ∑ i ∈ range (max n i), f i) ≤ ∑ k ∈ range (k' + max n i), a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k
\u22a2 abv (f (k' + max n i) + ∑ x ∈ range (k' + max n i), f x - ∑ x ∈ range (max n i), f x) ≤ a (k' + max n i) + ∑ x ∈ range (k' + max n i), a x - ∑ x ∈ range (max n i), a x
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
n : ℕ
hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m
i k' : ℕ
hi : abv (∑ i ∈ range (k' + max n i), f i - ∑ i ∈ range (max n i), f i) ≤ ∑ k ∈ range (k' + max n i), a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k
\u22a2 abv (f (k' + max n i) + (∑ x ∈ range (k' + max n i), f x + -∑ x ∈ range (max n i), f x)) ≤ a (k' + max n i) + (∑ x ∈ range (k' + max n i), a x + -∑ x ∈ range (max n i), a x)
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
n : ℕ
hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m
i k' : ℕ
hi : abv (∑ i ∈ range (k' + max n i), f i - ∑ i ∈ range (max n i), f i) ≤ ∑ k ∈ range (k' + max n i), a k - ∑ k ∈ range (max n i), a k
\u22a2 abv (f (k' + max n i)) + abv (∑ x ∈ range (k' + max n i), f x + -∑ x ∈ range (max n i), f x) ≤ a (k' + max n i) + (∑ x ∈ range (k' + max n i), a x + -∑ x ∈ range (max n i), a x)
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
n : ℕ
hm : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m) ≤ a m
i k' : ℕ
hi : abv (∑ i ∈ range (k' + max n i), f i + -∑ i ∈ range (max n i), f i) ≤ ∑ k ∈ range (k' + max n i), a k + -∑ k ∈ range (max n i), a k
\u22a2 abv (f (k' + max n i)) + abv (∑ x ∈ range (k' + max n i), f x + -∑ x ∈ range (max n i), f x) ≤ a (k' + max n i) + (∑ x ∈ range (k' + max n i), a x + -∑ x ∈ range (max n i), a x)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
\u22a2 (fun x => a - x) '' Ici b = Iic (a - b)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
this : ∀ (a_1 : Set α), ((fun x => a + x) ∘ fun x => -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)
\u22a2 (fun x => a - x) '' Ici b = Iic (a - b)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
this : ∀ (a_1 : Set α), (fun x => a + -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)
\u22a2 (fun x => a - x) '' Ici b = Iic (a - b)
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : ArithmeticFunction R
h_mult : f.IsMultiplicative
n : ℕ
hn : Squarefree n
\u22a2 (ArithmeticFunction.prodPrimeFactors fun p => (↑ζ + f) p) n = ∑ d ∈ n.divisors, f d
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
\u22a2 (Associates.mk p).count (Associates.mk a).factors ≠ 0 ↔ p ∣ a
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
inst✝ : Nontrivial α
\u22a2 (Associates.mk p).count (Associates.mk a).factors ≠ 0 ↔ p ∣ a
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
inst✝ : Nontrivial α
\u22a2 (Associates.mk p).count (Associates.mk a).factors ≠ 0 ↔ Associates.mk p ≤ Associates.mk a
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
inst✝ : Nontrivial α
h : Associates.mk p ≤ Associates.mk a
\u22a2 (Associates.mk p).count (Associates.mk a).factors ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
inst✝ : Nontrivial α
h : 1 ≤ (Associates.mk p).count (Associates.mk a).factors
\u22a2 (Associates.mk p).count (Associates.mk a).factors ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
iic : IsIntegrallyClosedIn R A
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosedIn A B
inst✝ : Algebra.IsIntegral R A
\u22a2 IsIntegralClosure A R B
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
iic : IsIntegrallyClosedIn R A
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosedIn A B
inst✝ : Algebra.IsIntegral R A
x : B
\u22a2 (∃ y, (algebraMap A B) y = x) → IsIntegral R x
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
iic : IsIntegrallyClosedIn R A
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : IsScalarTower R A B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosedIn A B
inst✝ : Algebra.IsIntegral R A
y : A
\u22a2 IsIntegral R ((algebraMap A B) y)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
x : PGame
\u22a2 x.birthday = 0 ↔ IsEmpty x.LeftMoves ∧ IsEmpty x.RightMoves
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs₀ : IsClosed s
hs₁ : StrictConvex 𝕜 s
a : E
ha : a ∈ frontier s
b : E
hb : b ∈ frontier s
c : E
hc : c ∈ frontier s
habc : a + c = b + b
\u22a2 a = b
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs₀ : IsClosed s
hs₁ : StrictConvex 𝕜 s
a : E
ha : a ∈ frontier s
c : E
hc : c ∈ frontier s
hb : (1 / 2) • a + (1 / 2) • c ∈ frontier s
habc : a + c = (1 / 2) • a + (1 / 2) • c + ((1 / 2) • a + (1 / 2) • c)
\u22a2 a = (1 / 2) • a + (1 / 2) • c
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs₀ : IsClosed s
hs₁ : StrictConvex 𝕜 s
a : E
ha : a ∈ frontier s
c : E
hc : c ∈ frontier s
hb : (1 / 2) • a + (1 / 2) • c ∈ frontier s
habc : a + c = (1 / 2) • a + (1 / 2) • c + ((1 / 2) • a + (1 / 2) • c)
this : a = c
\u22a2 a = (1 / 2) • a + (1 / 2) • c
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs₀ : IsClosed s
hs₁ : StrictConvex 𝕜 s
a : E
ha : a ∈ frontier s
c : E
hc : c ∈ frontier s
hb : (1 / 2) • a + (1 / 2) • c ∈ frontier s
habc : a + c = (1 / 2) • a + (1 / 2) • c + ((1 / 2) • a + (1 / 2) • c)
this : a = c
\u22a2 c = (2⁻¹ + 2⁻¹) • c
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
f : β → Set α
s : Set β
hs : s.Countable
h : ∀ b ∈ s, MeasurableSet (f b)
\u22a2 MeasurableSet (⋂ b ∈ s, f b)ᶜ
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
f : β → Set α
s : Set β
hs : s.Countable
h : ∀ b ∈ s, MeasurableSet (f b)
\u22a2 MeasurableSet (⋃ i ∈ s, (f i)ᶜ)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k✝ : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
k : β → α
l : Filter β
\u22a2 f =O[map k l] g ↔ (f ∘ k) =O[l] (g ∘ k)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Generator.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
G : C
\u22a2 IsSeparator G ↔ (preadditiveCoyonedaObj (op G)).Faithful
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Generator.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
G : C
\u22a2 (preadditiveCoyonedaObj (op G) ⋙ forget₂ (ModuleCat (End (op G))) AddCommGrp).Faithful ↔ (preadditiveCoyonedaObj (op G)).Faithful
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x y : (forget D).obj ((J.plusObj P).obj (op X))
h : ∀ (I : S.Arrow), ((J.plusObj P).map I.f.op) x = ((J.plusObj P).map I.f.op) y
\u22a2 x = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
y : (forget D).obj ((J.plusObj P).obj (op X))
Sx : J.Cover X
x : Meq P Sx
h : ∀ (I : S.Arrow), ((J.plusObj P).map I.f.op) (mk x) = ((J.plusObj P).map I.f.op) y
\u22a2 mk x = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq P Sy
h : ∀ (I : S.Arrow), ((J.plusObj P).map I.f.op) (mk x) = ((J.plusObj P).map I.f.op) (mk y)
\u22a2 mk x = mk y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq P Sy
h : ∀ (I : S.Arrow), mk (x.pullback I.f) = mk (y.pullback I.f)
\u22a2 mk x = mk y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq P Sy
h : ∀ (I : S.Arrow), mk (x.pullback I.f) = mk (y.pullback I.f)
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
hh : ∀ (I : S.Arrow), (x.pullback I.f).refine (h1 I) = (y.pullback I.f).refine (h2 I)
\u22a2 mk x = mk y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq P Sy
h : ∀ (I : S.Arrow), mk (x.pullback I.f) = mk (y.pullback I.f)
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
hh : ∀ (I : S.Arrow), (x.pullback I.f).refine (h1 I) = (y.pullback I.f).refine (h2 I)
\u22a2 ∃ W h1 h2, x.refine h1 = y.refine h2
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq P Sy
h : ∀ (I : S.Arrow), mk (x.pullback I.f) = mk (y.pullback I.f)
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
hh : ∀ (I : S.Arrow), (x.pullback I.f).refine (h1 I) = (y.pullback I.f).refine (h2 I)
B : J.Cover X := S.bind W
\u22a2 ∃ W h1 h2, x.refine h1 = y.refine h2
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq P Sy
h : ∀ (I : S.Arrow), mk (x.pullback I.f) = mk (y.pullback I.f)
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
hh : ∀ (I : S.Arrow), (x.pullback I.f).refine (h1 I) = (y.pullback I.f).refine (h2 I)
B : J.Cover X := S.bind W
\u22a2 ∃ h1 h2, x.refine h1 = y.refine h2
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq P Sy
h : ∀ (I : S.Arrow), mk (x.pullback I.f) = mk (y.pullback I.f)
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
hh : ∀ (I : S.Arrow), (x.pullback I.f).refine (h1 I) = (y.pullback I.f).refine (h2 I)
B : J.Cover X := S.bind W
ex : B ⟶ Sx := homOfLE ⋯
\u22a2 ∃ h1 h2, x.refine h1 = y.refine h2
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq P Sy
h : ∀ (I : S.Arrow), mk (x.pullback I.f) = mk (y.pullback I.f)
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
hh : ∀ (I : S.Arrow), (x.pullback I.f).refine (h1 I) = (y.pullback I.f).refine (h2 I)
B : J.Cover X := S.bind W
ex : B ⟶ Sx := homOfLE ⋯
ey : B ⟶ Sy := homOfLE ⋯
\u22a2 ∃ h1 h2, x.refine h1 = y.refine h2
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S Sx : J.Cover X
x : Meq P Sx
Sy : J.Cover X
y : Meq P Sy
h : ∀ (I : S.Arrow), mk (x.pullback I.f) = mk (y.pullback I.f)
W : (I : S.Arrow) → J.Cover I.Y
h1 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sx
h2 : (I : S.Arrow) → W I ⟶ (J.pullback I.f).obj Sy
hh : ∀ (I : S.Arrow), (x.pullback I.f).refine (h1 I) = (y.pullback I.f).refine (h2 I)
B : J.Cover X := S.bind W
ex : B ⟶ Sx := homOfLE ⋯
ey : B ⟶ Sy := homOfLE ⋯
\u22a2 x.refine ex = y.refine ey
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
\u22a2 (e.trans e').source = ↑e.symm '' (e.target ∩ e'.source)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MetricSpace α
inst✝² : CompleteSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : Nonempty α
this : MetricSpace (ℕ → ℕ) := metricSpaceNatNat
I0 : 0 < 1 / 2
I1 : 1 / 2 < 1
\u22a2 ∃ f, Continuous f ∧ Surjective f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MetricSpace α
inst✝² : CompleteSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : Nonempty α
this : MetricSpace (ℕ → ℕ) := metricSpaceNatNat
I0 : 0 < 1 / 2
I1 : 1 / 2 < 1
u : ℕ → α
hu : DenseRange u
\u22a2 ∃ f, Continuous f ∧ Surjective f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MetricSpace α
inst✝² : CompleteSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : Nonempty α
this : MetricSpace (ℕ → ℕ) := metricSpaceNatNat
I0 : 0 < 1 / 2
I1 : 1 / 2 < 1
u : ℕ → α
hu : DenseRange u
s : Set (ℕ → ℕ) := {x | (⋂ n, closedBall (u (x n)) ((1 / 2) ^ n)).Nonempty}
\u22a2 ∃ f, Continuous f ∧ Surjective f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MetricSpace α
inst✝² : CompleteSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : Nonempty α
this : MetricSpace (ℕ → ℕ) := metricSpaceNatNat
I0 : 0 < 1 / 2
I1 : 1 / 2 < 1
u : ℕ → α
hu : DenseRange u
s : Set (ℕ → ℕ) := {x | (⋂ n, closedBall (u (x n)) ((1 / 2) ^ n)).Nonempty}
g : ↑s → α := fun x => Set.Nonempty.some ⋯
\u22a2 ∃ f, Continuous f ∧ Surjective f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MetricSpace α
inst✝² : CompleteSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : Nonempty α
this : MetricSpace (ℕ → ℕ) := metricSpaceNatNat
I0 : 0 < 1 / 2
I1 : 1 / 2 < 1
u : ℕ → α
hu : DenseRange u
s : Set (ℕ → ℕ) := {x | (⋂ n, closedBall (u (x n)) ((1 / 2) ^ n)).Nonempty}
g : ↑s → α := fun x => Set.Nonempty.some ⋯
A : ∀ (x : ↑s) (n : ℕ), dist (g x) (u (↑x n)) ≤ (1 / 2) ^ n
\u22a2 ∃ f, Continuous f ∧ Surjective f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MetricSpace α
inst✝² : CompleteSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : Nonempty α
this : MetricSpace (ℕ → ℕ) := metricSpaceNatNat
I0 : 0 < 1 / 2
I1 : 1 / 2 < 1
u : ℕ → α
hu : DenseRange u
s : Set (ℕ → ℕ) := {x | (⋂ n, closedBall (u (x n)) ((1 / 2) ^ n)).Nonempty}
g : ↑s → α := fun x => Set.Nonempty.some ⋯
A : ∀ (x : ↑s) (n : ℕ), dist (g x) (u (↑x n)) ≤ (1 / 2) ^ n
g_cont : Continuous g
\u22a2 ∃ f, Continuous f ∧ Surjective f