ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Exact.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
\u22a2 S.Exact ↔ Epi (imageToKernel' S.f S.g ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Exact.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
\u22a2 Epi (kernel.lift S.g S.f ⋯) ↔ Epi (imageToKernel' S.f S.g ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Exact.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
this : factorThruImage S.f ≫ imageToKernel' S.f S.g ⋯ = kernel.lift S.g S.f ⋯
\u22a2 Epi (kernel.lift S.g S.f ⋯) ↔ Epi (imageToKernel' S.f S.g ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfHasFiniteProducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C
\u22a2 (α_ X Y Z).hom ≫ prod.snd ≫ prod.fst = prod.fst ≫ prod.snd
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
f' : Filter α
g' : Filter β
\u22a2 Disjoint (f ×ˢ g) (f' ×ˢ g') ↔ Disjoint f f' ∨ Disjoint g g'
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∉ s
f : Finset α → β
\u22a2 ∏ t ∈ (insert a s).powerset, f t = (∏ t ∈ s.powerset, f t) * ∏ t ∈ s.powerset, f (insert a t)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∉ s
f : Finset α → β
\u22a2 ∀ x ∈ s.powerset, ∀ y ∈ s.powerset, insert a x = insert a y → x = y
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∉ s
f : Finset α → β
\u22a2 Disjoint s.powerset (image (insert a) s.powerset)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
\u22a2 @zipWithLeft = @zipWithLeftTR
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type u_1
f : α → Option β → γ
as : List α
bs : List β
\u22a2 zipWithLeft f as bs = zipWithLeftTR f as bs
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type u_1
f : α → Option β → γ
as : List α
bs : List β
acc : Array γ
head✝ : α
tail✝ : List α
\u22a2 zipWithLeftTR.go f (head✝ :: tail✝) [] acc = acc.toList ++ zipWithLeft f (head✝ :: tail✝) []
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
K₁ K₂ : Compacts G
h : ↑K₁ ⊆ ↑K₂
\u22a2 (fun s => ↑(μ.toFun s)) K₁ ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K₂
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Monad.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : MvPolynomial τ R →+* S
g : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R
\u22a2 f ((bind₁ g) φ) = (eval₂Hom (f.comp C) fun i => f (g i)) φ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y✝ f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hfd : ∀ x ∈ S, DifferentiableAt ℝ f x
x : ℝ
hx : x ∈ S
y : ℝ
hy : y ∈ S
hxy : x < y
\u22a2 deriv f x < deriv f y
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
P : ℕ → ℕ → Prop
h : ∀ (n : ℕ), ∃ N, ∀ k ≥ N, P n k
\u22a2 ∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (k : ℕ) in atTop, P n k
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v✝ w : V
e : Sym2 V
G : SimpleGraph V
v : V
\u22a2 Disjoint (G.neighborSet v) (Gᶜ.neighborSet v)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v✝ w : V
e : Sym2 V
G : SimpleGraph V
v : V
\u22a2 G.neighborSet v ∩ Gᶜ.neighborSet v ⊆ ∅
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
G : SimpleGraph V
v w : V
h : w ∈ G.neighborSet v
h' : w ∈ Gᶜ.neighborSet v
\u22a2 w ∈ ∅
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
G : SimpleGraph V
v w : V
h : w ∈ G.neighborSet v
h' : v ≠ w ∧ ¬G.Adj v w
\u22a2 w ∈ ∅
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x : R[X]
y : W.CoordinateRing
\u22a2 (map W f) (x • y) = Polynomial.map f x • (map W f) y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x : R[X]
y : W.CoordinateRing
\u22a2 (mk (WeierstrassCurve.map W f)) (C ((mapRingHom f) x)) * (map W f) y = (mk (WeierstrassCurve.map W f).toAffine) (C (Polynomial.map f x)) * (map W f) y
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
\u22a2 p 0
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
\u22a2 p₁ 0
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a✝ : A
ha✝ : p a✝
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
a : A
ha : p a
\u22a2 ∃ φ, ClosedEmbedding ⇑φ ∧ φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ 𝕜 a) (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := ⋯ } = a ∧ (∀ (f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀), σₙ 𝕜 (φ f) = Set.range ⇑f) ∧ ∀ (f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀), p (φ f)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a✝ : A
ha✝ : p a✝
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
a : A
ha : p a
ψ : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀ →⋆ₙₐ[𝕜] A := (↑(inrRangeEquiv 𝕜 A).symm).comp (codRestrict (cfcₙAux ⋯ a ha) (NonUnitalStarAlgHom.range (inrNonUnitalStarAlgHom 𝕜 A)) ⋯)
\u22a2 ∃ φ, ClosedEmbedding ⇑φ ∧ φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ 𝕜 a) (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := ⋯ } = a ∧ (∀ (f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀), σₙ 𝕜 (φ f) = Set.range ⇑f) ∧ ∀ (f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀), p (φ f)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a✝ : A
ha✝ : p a✝
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
a : A
ha : p a
ψ : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀ →⋆ₙₐ[𝕜] A := (↑(inrRangeEquiv 𝕜 A).symm).comp (codRestrict (cfcₙAux ⋯ a ha) (NonUnitalStarAlgHom.range (inrNonUnitalStarAlgHom 𝕜 A)) ⋯)
coe_ψ : ∀ (f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀), ↑(ψ f) = (cfcₙAux ⋯ a ha) f
\u22a2 ∃ φ, ClosedEmbedding ⇑φ ∧ φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ 𝕜 a) (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := ⋯ } = a ∧ (∀ (f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀), σₙ 𝕜 (φ f) = Set.range ⇑f) ∧ ∀ (f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀), p (φ f)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a✝ : A
ha✝ : p a✝
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
a : A
ha : p a
ψ : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀ →⋆ₙₐ[𝕜] A := (↑(inrRangeEquiv 𝕜 A).symm).comp (codRestrict (cfcₙAux ⋯ a ha) (NonUnitalStarAlgHom.range (inrNonUnitalStarAlgHom 𝕜 A)) ⋯)
coe_ψ : ∀ (f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀), ↑(ψ f) = (cfcₙAux ⋯ a ha) f
\u22a2 ClosedEmbedding ⇑ψ
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a✝ : A
ha✝ : p a✝
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
a : A
ha : p a
ψ : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀ →⋆ₙₐ[𝕜] A := (↑(inrRangeEquiv 𝕜 A).symm).comp (codRestrict (cfcₙAux ⋯ a ha) (NonUnitalStarAlgHom.range (inrNonUnitalStarAlgHom 𝕜 A)) ⋯)
coe_ψ : ∀ (f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀), ↑(ψ f) = (cfcₙAux ⋯ a ha) f
\u22a2 ψ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict (σₙ 𝕜 a) (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := ⋯ } = a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a✝ : A
ha✝ : p a✝
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
a : A
ha : p a
ψ : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀ →⋆ₙₐ[𝕜] A := (↑(inrRangeEquiv 𝕜 A).symm).comp (codRestrict (cfcₙAux ⋯ a ha) (NonUnitalStarAlgHom.range (inrNonUnitalStarAlgHom 𝕜 A)) ⋯)
coe_ψ : ∀ (f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀), ↑(ψ f) = (cfcₙAux ⋯ a ha) f
f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀
\u22a2 σₙ 𝕜 (ψ f) = Set.range ⇑f
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a✝ : A
ha✝ : p a✝
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
a : A
ha : p a
ψ : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀ →⋆ₙₐ[𝕜] A := (↑(inrRangeEquiv 𝕜 A).symm).comp (codRestrict (cfcₙAux ⋯ a ha) (NonUnitalStarAlgHom.range (inrNonUnitalStarAlgHom 𝕜 A)) ⋯)
coe_ψ : ∀ (f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀), ↑(ψ f) = (cfcₙAux ⋯ a ha) f
f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀
\u22a2 p (ψ f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
x : D
\u22a2 x ∈ (map φ hφ S).objs ↔ x ∈ φ.obj '' S.objs
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
φ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
ψ : NormedAddGroupHom W₁ W₂
φ' : NormedAddGroupHom V₂ V₃
ψ' : NormedAddGroupHom W₂ W₃
hf : ψ.comp f₁ = f₂.comp φ
hf' : ψ'.comp f₂ = f₃.comp φ'
\u22a2 (ψ'.comp ψ).comp f₁ = f₃.comp (φ'.comp φ)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
pred : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred pred
h : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → pred i
\u22a2 (affineCombination k (filter pred s) p) w = (affineCombination k s p) w
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b✝ c✝ u : αˣ
b c : α
h : ↑a⁻¹ * b = c
\u22a2 b = ↑a * c
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b✝ c✝ u : αˣ
b c : α
h : b = ↑a * c
\u22a2 ↑a⁻¹ * b = c
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
s : Set (α × α)
h : idRel ⊆ s
t : Set (α × α)
\u22a2 t ⊆ (fun x => s ○ x)^[0] t
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
s : Set (α × α)
h : idRel ⊆ s
n : ℕ
ihn : ∀ {t : Set (α × α)}, t ⊆ (fun x => s ○ x)^[n] t
t : Set (α × α)
\u22a2 t ⊆ (fun x => s ○ x)^[n + 1] t
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
h : M.Basis I X
\u22a2 (M ↾ X).Base I
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
h : (M.Indep I ∧ I ⊆ X ∧ ∀ (J : Set α), M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ X → I = J) ∧ X ⊆ M.E
\u22a2 (M ↾ X).Base I
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
h : (M.Indep I ∧ I ⊆ X ∧ ∀ (J : Set α), M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ X → I = J) ∧ X ⊆ M.E
\u22a2 ∀ (I_1 : Set α), M.Indep I_1 → I_1 ⊆ X → I ⊆ I_1 → I = I_1
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g : Filter β
f : α × β → γ
x : Filter α
y : Filter β
z : Filter γ
\u22a2 Tendsto f (x ×ˢ y) z ↔ ∀ W ∈ z, ∃ U ∈ x, ∃ V ∈ y, ∀ (x : α) (y : β), x ∈ U → y ∈ V → f (x, y) ∈ W
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a : R
a0 : ¬a = 0
\u22a2 0 / a = 0
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Sort u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
a : α
\u22a2 (ofInjective f hf).symm ⟨f a, ⋯⟩ = a
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Sort u_1
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
a : α
\u22a2 (ofInjective f hf) ((ofInjective f hf).symm ⟨f a, ⋯⟩) = (ofInjective f hf) a
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r s : R
\u22a2 r + s ∈ σ (↑ₐ s + a) ↔ r ∈ σ a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1
\u22a2 cos (arcsin x) = √(1 - x ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1
this : sin (arcsin x) ^ 2 + cos (arcsin x) ^ 2 = 1
\u22a2 cos (arcsin x) = √(1 - x ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1
this : cos (arcsin x) = √(1 - sin (arcsin x) ^ 2)
\u22a2 cos (arcsin x) = √(1 - x ^ 2)
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
x : ℕ → Set α
\u22a2 (⨅ i, 𝓟 (x i)).IsCountablyGenerated
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑u ↑v ↑w
f : ℤ[X] → ℤ[X] := fun p => { toFinsupp := Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) p.toFinsupp }
h : f (p * p.mirror) = f (q * q.mirror)
\u22a2 q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑u ↑v ↑w
f : ℤ[X] → ℤ[X] := fun p => { toFinsupp := Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) p.toFinsupp }
h : C ↑v * (C ↑u * X ^ (m + n) + C ↑w * X ^ (n - m + k + n)) = f (q * q.mirror)
\u22a2 q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑u ↑v ↑w
f : ℤ[X] → ℤ[X] := fun p => { toFinsupp := Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) p.toFinsupp }
h : C ↑v * (C ↑u * X ^ (m + n) + C ↑w * X ^ (n - m + k + n)) = C ↑v * (C ↑u * X ^ (m' + n) + C ↑w * X ^ (n - m' + k + n))
\u22a2 q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑u ↑v ↑w
f : ℤ[X] → ℤ[X] := fun p => { toFinsupp := Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) p.toFinsupp }
h : C ↑u * X ^ (m + n) + C ↑w * X ^ (n - m + k + n) = C ↑u * X ^ (m' + n) + C ↑w * X ^ (n - m' + k + n)
\u22a2 q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑u ↑v ↑w
f : ℤ[X] → ℤ[X] := fun p => { toFinsupp := Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) p.toFinsupp }
h : m + n = m' + n ∧ n - m + k + n = n - m' + k + n ∨ ↑u = ↑w ∧ m + n = n - m' + k + n ∧ n - m + k + n = m' + n ∨ ↑u + ↑w = 0 ∧ m + n = n - m + k + n ∧ m' + n = n - m' + k + n
\u22a2 q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑u ↑v ↑w
f : ℤ[X] → ℤ[X] := fun p => { toFinsupp := Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) p.toFinsupp }
h : m = m' ∧ n - m = n - m' ∨ u = w ∧ m = n - m' + k ∧ n - m + k = m' ∨ ↑u + ↑w = 0 ∧ m = n - m + k ∧ m' = n - m' + k
\u22a2 q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
j : η
i : ιs j
j' : η
i' : ιs j'
hj : ¬j = j'
\u22a2 ((Pi.basis s).repr ((stdBasis R Ms j) ((s j) i))) ⟨j', i'⟩ = (Finsupp.single ⟨j, i⟩ 1) ⟨j', i'⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
j : η
i : ιs j
j' : η
i' : ιs j'
hj : ¬j = j'
\u22a2 ({ toFun := fun f i => (s i).repr (f i), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := fun f i => (s i).repr.symm (f i), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ((stdBasis R Ms j) ((s j) i)) j') i' = (Finsupp.single ⟨j, i⟩ 1) ⟨j', i'⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
j : η
i : ιs j
j' : η
i' : ιs j'
hj : ¬j = j'
\u22a2 ((s j').repr ((stdBasis R Ms j) ((s j) i) j')) i' = (Finsupp.single ⟨j, i⟩ 1) ⟨j', i'⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
j : η
i : ιs j
j' : η
i' : ιs j'
hj : ¬j = j'
\u22a2 ⟨j, i⟩ ≠ ⟨j', i'⟩
-- Mathlib/Order/Sublattice.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
L M : Sublattice α
f : LatticeHom α β
s t : Set α
a : α
\u22a2 ↑L = ∅ ↔ L = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.117700, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.117704, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
p₁ p₂ p₃ : ℤ
h₁₂ : p₁ + -1 = p₂
h₂₃ : p₂ + n = p₃
\u22a2 p₁ + m = p₃
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.117704, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
p₁ p₂ p₃ : ℤ
h₁₂ : p₁ + -1 = p₂
h₂₃ : p₂ + n = p₃
\u22a2 (inl φ).v p₁ p₂ h₁₂ ≫ (descCochain φ α β h).v p₂ p₃ h₂₃ = α.v p₁ p₃ ⋯
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y z : (n : ℕ) → E n
\u22a2 dist x z ≤ max (dist x y) (dist y z)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
\u22a2 dist x x ≤ max (dist x y) (dist y x)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y z : (n : ℕ) → E n
hxz : x ≠ z
\u22a2 dist x z ≤ max (dist x y) (dist y z)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x z : (n : ℕ) → E n
hxz : x ≠ z
\u22a2 dist x z ≤ max (dist x x) (dist x z)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y z : (n : ℕ) → E n
hxz : x ≠ z
hxy : x ≠ y
\u22a2 dist x z ≤ max (dist x y) (dist y z)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
hxy hxz : x ≠ y
\u22a2 dist x y ≤ max (dist x y) (dist y y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y z : (n : ℕ) → E n
hxz : x ≠ z
hxy : x ≠ y
hyz : y ≠ z
\u22a2 dist x z ≤ max (dist x y) (dist y z)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b c : ℕ
h : a < b
\u22a2 insert a (Ico a.succ b) = Ico a b
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalGroup G
S✝ : Subgroup G
inst✝¹ : S✝.Normal
inst✝ : IsClosed ↑S✝
S : Subgroup G
hS : Tendsto (⇑S.subtype) cofinite (cocompact G)
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
H : (⇑S.subtype ⁻¹' ((fun p => p.1 / p.2) '' L ×ˢ K)ᶜ)ᶜ.Finite
\u22a2 {γ | (fun x => γ • x) '' K ∩ L ≠ ∅}.Finite
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalGroup G
S✝ : Subgroup G
inst✝¹ : S✝.Normal
inst✝ : IsClosed ↑S✝
S : Subgroup G
hS : Tendsto (⇑S.subtype) cofinite (cocompact G)
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
H : (⇑S.subtype ⁻¹' ((fun p => p.1 / p.2) '' L ×ˢ K)).Finite
\u22a2 {γ | (fun x => γ • x) '' K ∩ L ≠ ∅}.Finite
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalGroup G
S✝ : Subgroup G
inst✝¹ : S✝.Normal
inst✝ : IsClosed ↑S✝
S : Subgroup G
hS : Tendsto (⇑S.subtype) cofinite (cocompact G)
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
H : (⇑S.subtype ⁻¹' ((fun p => p.1 / p.2) '' L ×ˢ K)).Finite
x : ↥S
\u22a2 x ∈ {γ | (fun x => γ • x) '' K ∩ L ≠ ∅} ↔ x ∈ ⇑S.subtype ⁻¹' ((fun p => p.1 / p.2) '' L ×ˢ K)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalGroup G
S✝ : Subgroup G
inst✝¹ : S✝.Normal
inst✝ : IsClosed ↑S✝
S : Subgroup G
hS : Tendsto (⇑S.subtype) cofinite (cocompact G)
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
H : (⇑S.subtype ⁻¹' ((fun p => p.1 / p.2) '' L ×ˢ K)).Finite
x : ↥S
\u22a2 x • K ∩ L ≠ ∅ ↔ ∃ a b, (a, b) ∈ L ×ˢ K ∧ a / b = ↑x