ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DivergenceTheorem.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.lower x))
hJu : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.upper x))
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
HJ_eq : ∀ (k : ℕ), ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)
i : Fin (n + 1)
c : ℕ → ℝ
d : ℝ
hc : ∀ (k : ℕ), c k ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
hcd : Tendsto c atTop (𝓝 d)
hd : d ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
Hic : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth (c k) x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume
Hid : IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth d x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume
H : Tendsto (fun k => ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth d x) i) atTop (𝓝 (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth d x) i))
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
\u22a2 ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, dist (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J x).face i), f (i.insertNth d x) i) (∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J x).face i), f (i.insertNth (c x) x_1) i) ∈ Metric.closedBall 0 ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DivergenceTheorem.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.lower x))
hJu : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.upper x))
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
HJ_eq : ∀ (k : ℕ), ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)
i : Fin (n + 1)
c : ℕ → ℝ
d : ℝ
hc : ∀ (k : ℕ), c k ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
hcd : Tendsto c atTop (𝓝 d)
hd : d ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
Hic : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth (c k) x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume
Hid : IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth d x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume
H : Tendsto (fun k => ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth d x) i) atTop (𝓝 (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth d x) i))
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hvol_pos : ∀ (J : Box (Fin n)), 0 < ∏ j : Fin n, (J.upper j - J.lower j)
\u22a2 ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, dist (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J x).face i), f (i.insertNth d x) i) (∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J x).face i), f (i.insertNth (c x) x_1) i) ∈ Metric.closedBall 0 ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DivergenceTheorem.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.lower x))
hJu : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.upper x))
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
HJ_eq : ∀ (k : ℕ), ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)
i : Fin (n + 1)
c : ℕ → ℝ
d : ℝ
hc : ∀ (k : ℕ), c k ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
hcd : Tendsto c atTop (𝓝 d)
hd : d ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
Hic : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth (c k) x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume
Hid : IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth d x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume
H : Tendsto (fun k => ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth d x) i) atTop (𝓝 (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth d x) i))
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hvol_pos : ∀ (J : Box (Fin n)), 0 < ∏ j : Fin n, (J.upper j - J.lower j)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
hδ : ∀ x ∈ Box.Icc I, ∀ y ∈ Box.Icc I, dist x y ≤ δ → dist (f x) (f y) ≤ ε / ∏ j : Fin n, ((I.face i).upper j - (I.face i).lower j)
\u22a2 ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, dist (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J x).face i), f (i.insertNth d x) i) (∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J x).face i), f (i.insertNth (c x) x_1) i) ∈ Metric.closedBall 0 ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DivergenceTheorem.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.lower x))
hJu : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.upper x))
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
HJ_eq : ∀ (k : ℕ), ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)
i : Fin (n + 1)
c : ℕ → ℝ
d : ℝ
hc : ∀ (k : ℕ), c k ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
hcd : Tendsto c atTop (𝓝 d)
hd : d ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
Hic : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth (c k) x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume
Hid : IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth d x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume
H : Tendsto (fun k => ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth d x) i) atTop (𝓝 (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth d x) i))
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hvol_pos : ∀ (J : Box (Fin n)), 0 < ∏ j : Fin n, (J.upper j - J.lower j)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
hδ : ∀ x ∈ Box.Icc I, ∀ y ∈ Box.Icc I, dist x y ≤ δ → dist (f x) (f y) ≤ ε / ∏ j : Fin n, ((I.face i).upper j - (I.face i).lower j)
k : ℕ
hk : dist (c k) d < δ
\u22a2 dist (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth d x) i) (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth (c k) x) i) ∈ Metric.closedBall 0 ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DivergenceTheorem.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.lower x))
hJu : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.upper x))
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
HJ_eq : ∀ (k : ℕ), ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)
i : Fin (n + 1)
c : ℕ → ℝ
d : ℝ
hc : ∀ (k : ℕ), c k ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
hcd : Tendsto c atTop (𝓝 d)
hd : d ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
Hic : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth (c k) x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume
Hid : IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth d x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume
H : Tendsto (fun k => ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth d x) i) atTop (𝓝 (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth d x) i))
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hvol_pos : ∀ (J : Box (Fin n)), 0 < ∏ j : Fin n, (J.upper j - J.lower j)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
hδ : ∀ x ∈ Box.Icc I, ∀ y ∈ Box.Icc I, dist x y ≤ δ → dist (f x) (f y) ≤ ε / ∏ j : Fin n, ((I.face i).upper j - (I.face i).lower j)
k : ℕ
hk : dist (c k) d < δ
Hsub : Box.Icc ((J k).face i) ⊆ Box.Icc (I.face i)
\u22a2 dist (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth d x) i) (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth (c k) x) i) ∈ Metric.closedBall 0 ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DivergenceTheorem.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.lower x))
hJu : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.upper x))
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
HJ_eq : ∀ (k : ℕ), ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)
i : Fin (n + 1)
c : ℕ → ℝ
d : ℝ
hc : ∀ (k : ℕ), c k ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
hcd : Tendsto c atTop (𝓝 d)
hd : d ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
Hic : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth (c k) x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume
Hid : IntegrableOn (fun x => f (i.insertNth d x) i) (Box.Icc (I.face i)) volume
H : Tendsto (fun k => ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth d x) i) atTop (𝓝 (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth d x) i))
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hvol_pos : ∀ (J : Box (Fin n)), 0 < ∏ j : Fin n, (J.upper j - J.lower j)
δ : ℝ
δpos : δ > 0
hδ : ∀ x ∈ Box.Icc I, ∀ y ∈ Box.Icc I, dist x y ≤ δ → dist (f x) (f y) ≤ ε / ∏ j : Fin n, ((I.face i).upper j - (I.face i).lower j)
k : ℕ
hk : dist (c k) d < δ
Hsub : Box.Icc ((J k).face i) ⊆ Box.Icc (I.face i)
\u22a2 ‖∫ (a : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth d a) i - f (i.insertNth (c k) a) i ∂volume‖ ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/AE.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t✝ s t : Set α
\u22a2 sᶜ =ᶠ[ae μ] tᶜ ↔ s =ᶠ[ae μ] t
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
\u22a2 (p * q).smeval x = p.smeval x * q.smeval x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v w : V
p : G.Walk u v
\u22a2 u ∈ p.toSubgraph.verts
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C✝ : G.Coloring α
s : Finset V
h : G.IsClique ↑s
inst✝ : Fintype α
C : G.Coloring α
\u22a2 s.card ≤ card α
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C✝ : G.Coloring α
s : Finset V
h : induce (↑s) G = ⊤
inst✝ : Fintype α
C : G.Coloring α
\u22a2 s.card ≤ card α
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C✝ : G.Coloring α
s : Finset V
h : induce (↑s) G = ⊤
inst✝ : Fintype α
C : G.Coloring α
f : ⊤ ↪g G
\u22a2 s.card ≤ card α
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C✝ : G.Coloring α
s : Finset V
h : induce (↑s) G = ⊤
inst✝ : Fintype α
C : G.Coloring α
f : ⊤ ↪g G
\u22a2 s.card = card ↑↑s
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.201719}
α : Type u
ι : Type v
f : ι → Set α
\u22a2 lift.{v, u} #↑(⋃ i, f i) ≤ lift.{u, v} #ι * ⨆ i, lift.{v, u} #↑(f i)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.201719}
α : Type u
ι : Type v
f : ι → Set α
\u22a2 (sum fun i => #↑(f i)) = sum fun i => lift.{v, u} #↑(f i)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
H : a ∈ s
\u22a2 insert a ∅ ∩ s = insert a ∅
-- Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean
m n : ℤ
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : ↑p ∣ m * n
\u22a2 p ∣ m.natAbs ∨ p ∣ n.natAbs
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
γ' : Path y z
f : X → Y
h : Continuous f
t : ↑I
\u22a2 ((γ.trans γ').map h) t = ((γ.map h).trans (γ'.map h)) t
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
γ' : Path y z
f : X → Y
h : Continuous f
t : ↑I
\u22a2 f (if h : ↑t ≤ 1 / 2 then γ ⟨2 * ↑t, ⋯⟩ else γ' ⟨2 * ↑t - 1, ⋯⟩) = if h_1 : ↑t ≤ 1 / 2 then (γ.map h) ⟨2 * ↑t, ⋯⟩ else (γ'.map h) ⟨2 * ↑t - 1, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
x a : α
l : List α
h : x ∈ (a :: l).head?
\u22a2 a :: l = x :: (a :: l).tail
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
x a : α
l : List α
h : a = x
\u22a2 a :: l = x :: (a :: l).tail
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
\u22a2 (∃ s, G.IsNClique 3 s) ↔ ∃ u w, w.IsCycle ∧ w.length = 3
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
a b : M
h : a * b = 1
\u22a2 IsUnit b
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
a b : M
h : b * a = 1
\u22a2 IsUnit b
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shatter.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
n : ℕ
x✝ : 𝒜.Nonempty
t : Finset α
ht : t ⊆ ∅
s : Finset α
hs : s ∈ 𝒜
\u22a2 ∅ ∩ s = t
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V
\u22a2 (dualAnnihilator W).dualCoannihilator = W
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V
v : V
\u22a2 v ∉ W → v ∉ (dualAnnihilator W).dualCoannihilator
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V
v : V
\u22a2 v ∉ W → ¬∀ (φ : Module.Dual K V), (∀ w ∈ W, φ w = 0) → φ v = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V
v : V
\u22a2 (¬∀ (φ : Module.Dual K (V ⧸ W)), φ (Submodule.Quotient.mk v) = 0) → ¬∀ (φ : Module.Dual K V), (∀ w ∈ W, φ w = 0) → φ v = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V
v : V
x✝ : ∃ φ, φ (Submodule.Quotient.mk v) ≠ 0
φ : Module.Dual K (V ⧸ W)
hφ : φ (Submodule.Quotient.mk v) ≠ 0
w : V
hw : w ∈ W
\u22a2 (φ ∘ₗ mkQ W) w = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
h : K ≤ K'
x y : ↥K
\u22a2 (inclusion h) x = (inclusion h) y → x = y
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Bilinear.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₃] F →SL[σ₂₃] G
x : E
y : F
\u22a2 ‖(f x) y‖ ≤ ‖f.flip‖ * ‖x‖ * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Bilinear.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₃] F →SL[σ₂₃] G
x : E
y : F
\u22a2 ‖(f x) y‖ ≤ ‖f.flip‖ * ‖y‖ * ‖x‖
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f : Filter α
s : Set α
\u22a2 s ∈ f ↔ f ⊓ 𝓟 sᶜ = ⊥
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f : Filter α
s : Set α
\u22a2 (∀ U ∈ f, (U ∩ sᶜ).Nonempty) ↔ s ∉ f
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Hom.lean
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁵ : SMul M X
inst✝⁴ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝³ : SMul N Y
inst✝² : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝¹ : SMul P Z
φ' : N → M
Y₁ : Type u_8
inst✝ : SMul M Y₁
f : X →ₑ[φ] Y
g : Y → X
k₁ : Function.LeftInverse φ' φ
k₂ : Function.RightInverse φ' φ
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
\u22a2 (f.inverse' g k₂ h₁ h₂).comp f = MulActionHom.id M
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Hom.lean
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁵ : SMul M X
inst✝⁴ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝³ : SMul N Y
inst✝² : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝¹ : SMul P Z
φ' : N → M
Y₁ : Type u_8
inst✝ : SMul M Y₁
f : X →ₑ[φ] Y
g : Y → X
k₁ : Function.LeftInverse φ' φ
k₂ : Function.RightInverse φ' φ
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
\u22a2 ∀ (x : X), ((f.inverse' g k₂ h₁ h₂).comp f) x = (MulActionHom.id M) x
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Hom.lean
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁵ : SMul M X
inst✝⁴ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝³ : SMul N Y
inst✝² : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝¹ : SMul P Z
φ' : N → M
Y₁ : Type u_8
inst✝ : SMul M Y₁
f : X →ₑ[φ] Y
g : Y → X
k₁ : Function.LeftInverse φ' φ
k₂ : Function.RightInverse φ' φ
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
x : X
\u22a2 ((f.inverse' g k₂ h₁ h₂).comp f) x = (MulActionHom.id M) x
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Hom.lean
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁵ : SMul M X
inst✝⁴ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝³ : SMul N Y
inst✝² : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝¹ : SMul P Z
φ' : N → M
Y₁ : Type u_8
inst✝ : SMul M Y₁
f : X →ₑ[φ] Y
g : Y → X
k₁ : Function.LeftInverse φ' φ
k₂ : Function.RightInverse φ' φ
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
x : X
\u22a2 (f.inverse' g k₂ h₁ h₂) (f x) = x
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
a b : α
h : IsGLB s a
\u22a2 b ≤ a ↔ b ∈ lowerBounds s
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
a b : α
h : IsGLB s a
\u22a2 b ≤ a ↔ b ∈ Iic a
-- Mathlib/Data/List/Enum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs ys : List α
\u22a2 (xs ++ ys).enum = xs.enum ++ enumFrom xs.length ys
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : ℝ
\u22a2 WithBot.some ∘ WithTop.some ⁻¹' Ici ↑↑x = Ici x
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : ℝ
\u22a2 WithTop.some ⁻¹' (WithBot.some ⁻¹' Ici ↑↑x) = Ici x
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
h : a ∈ s
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ s.erase a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ s.erase a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯
\u22a2 (s.erase a).noncommProd comm' * a = s.noncommProd comm