ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B
δ : ℝ
hδ1 : δ > 0
hδ2 : ∀ {a b : V}, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B
w : V
hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖
hw_ne : w ≠ 0
hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)
this✝ : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹
bdA : ∀ v ∈ A, ‖‖f v - f (v + i w)‖‖ ≤ ε / ↑B
bdA2 : ∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖ ≤ ε / ↑B * (volume A).toReal
this : ‖∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖‖ = ∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖
\u22a2 ε / ↑B * (volume A).toReal < 2 * ε
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B
δ : ℝ
hδ1 : δ > 0
hδ2 : ∀ {a b : V}, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B
w : V
hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖
hw_ne : w ≠ 0
hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)
this✝ : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹
bdA : ∀ v ∈ A, ‖‖f v - f (v + i w)‖‖ ≤ ε / ↑B
bdA2 : ∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖ ≤ ε / ↑B * (volume A).toReal
this : ‖∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖‖ = ∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖
\u22a2 (volume A).toReal < 2 * ↑B
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : (volume A).toReal ≤ (↑B).toReal
δ : ℝ
hδ1 : δ > 0
hδ2 : ∀ {a b : V}, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B
w : V
hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖
hw_ne : w ≠ 0
hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)
this✝ : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹
bdA : ∀ v ∈ A, ‖‖f v - f (v + i w)‖‖ ≤ ε / ↑B
bdA2 : ∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖ ≤ ε / ↑B * (volume A).toReal
this : ‖∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖‖ = ∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖
\u22a2 (volume A).toReal < 2 * ↑B
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B
δ : ℝ
hδ1 : δ > 0
hδ2 : ∀ {a b : V}, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B
w : V
hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖
hw_ne : w ≠ 0
hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)
this✝ : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹
bdA : ∀ v ∈ A, ‖‖f v - f (v + i w)‖‖ ≤ ε / ↑B
bdA2 : ∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖ ≤ ε / ↑B * (volume A).toReal
this : ‖∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖‖ = ∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖
\u22a2 volume A ≠ ⊤
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B
δ : ℝ
hδ1 : δ > 0
hδ2 : ∀ {a b : V}, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B
w : V
hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖
hw_ne : w ≠ 0
hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)
this✝ : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹
bdA : ∀ v ∈ A, ‖‖f v - f (v + i w)‖‖ ≤ ε / ↑B
bdA2 : ∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖ ≤ ε / ↑B * (volume A).toReal
this : ‖∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖‖ = ∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖
\u22a2 ↑B ≠ ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
j : J
\u22a2 ι f j ≫ (isoCoproduct f).hom = ι f j ≫ desc (Sigma.ι f)
-- Mathlib/Topology/Algebra/MulAction.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : AddTorsor G P
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : PreconnectedSpace G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : ContinuousVAdd G P
\u22a2 IsPreconnected Set.univ
-- Mathlib/Topology/Algebra/MulAction.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : AddTorsor G P
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : PreconnectedSpace G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : ContinuousVAdd G P
\u22a2 Set.univ = ⇑(Equiv.vaddConst (Classical.arbitrary P)) '' Set.univ
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
\u22a2 a • balancedHull 𝕜 s ⊆ balancedHull 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
\u22a2 ∀ (x : E), (∃ i, ∃ (_ : ‖i‖ ≤ 1), x ∈ a • i • s) → ∃ i, ∃ (_ : ‖i‖ ≤ 1), x ∈ i • s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
x : E
r : 𝕜
hr : ‖r‖ ≤ 1
hx : x ∈ a • r • s
\u22a2 ∃ i, ∃ (_ : ‖i‖ ≤ 1), x ∈ i • s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
x : E
r : 𝕜
hr : ‖r‖ ≤ 1
hx : x ∈ (a • r) • s
\u22a2 ∃ i, ∃ (_ : ‖i‖ ≤ 1), x ∈ i • s
-- Mathlib/Probability/Distributions/Poisson.lean
r✝ : ℝ≥0
r : ℝ := ↑r✝
\u22a2 HasSum (fun n => rexp (-↑r✝) * ↑r✝ ^ n / ↑n !) 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Poisson.lean
r✝ : ℝ≥0
r : ℝ := ↑r✝
\u22a2 HasSum (fun i => rexp r * (rexp (-↑r✝) * ↑r✝ ^ i / ↑i !)) (rexp r * 1)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Poisson.lean
r✝ : ℝ≥0
r : ℝ := ↑r✝
\u22a2 HasSum (fun i => rexp r * (rexp (-↑r✝) * ↑r✝ ^ i / ↑i !)) (rexp r)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Poisson.lean
r✝ : ℝ≥0
r : ℝ := ↑r✝
this : (fun i => rexp r * (rexp (-r) * r ^ i / ↑i !)) = fun i => r ^ i / ↑i !
\u22a2 HasSum (fun i => rexp r * (rexp (-↑r✝) * ↑r✝ ^ i / ↑i !)) (rexp r)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Poisson.lean
r✝ : ℝ≥0
r : ℝ := ↑r✝
this : (fun i => rexp r * (rexp (-r) * r ^ i / ↑i !)) = fun i => r ^ i / ↑i !
\u22a2 HasSum (fun i => r ^ i / ↑i !) (NormedSpace.exp ℝ r)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x✝ x y : α
\u22a2 (y :: l).formPerm x = y ↔ (y :: l).formPerm x = (y :: l).formPerm ((y :: l).getLast ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
X Y : Mon_ C
P Q : Bimod X Y
f : P.X ≅ Q.X
f_left_act_hom : P.actLeft ≫ f.hom = X.X ◁ f.hom ≫ Q.actLeft
f_right_act_hom : P.actRight ≫ f.hom = f.hom ▷ Y.X ≫ Q.actRight
\u22a2 Q.actLeft ≫ f.inv = X.X ◁ f.inv ≫ P.actLeft
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
X Y : Mon_ C
P Q : Bimod X Y
f : P.X ≅ Q.X
f_left_act_hom : P.actLeft ≫ f.hom = X.X ◁ f.hom ≫ Q.actLeft
f_right_act_hom : P.actRight ≫ f.hom = f.hom ▷ Y.X ≫ Q.actRight
\u22a2 Q.actRight ≫ f.inv = f.inv ▷ Y.X ≫ P.actRight
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
X Y : Mon_ C
P Q : Bimod X Y
f : P.X ≅ Q.X
f_left_act_hom : P.actLeft ≫ f.hom = X.X ◁ f.hom ≫ Q.actLeft
f_right_act_hom : P.actRight ≫ f.hom = f.hom ▷ Y.X ≫ Q.actRight
\u22a2 f.hom ≫ f.inv = 𝟙 P.X
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
X Y : Mon_ C
P Q : Bimod X Y
f : P.X ≅ Q.X
f_left_act_hom : P.actLeft ≫ f.hom = X.X ◁ f.hom ≫ Q.actLeft
f_right_act_hom : P.actRight ≫ f.hom = f.hom ▷ Y.X ≫ Q.actRight
\u22a2 f.inv ≫ f.hom = 𝟙 Q.X
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{u}
\u22a2 ℵ₀ < lift.{v, u} c ↔ ℵ₀ < c
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β : Type
n : ℕ
S : Set (Vector3 ℕ n.succ)
d : Dioph S
f : Vector3 ℕ n → ℕ
df : DiophFn f
v : Fin2 n → ℕ
\u22a2 ((f v ::ₒ v) ∘ none :: some) ∈ S ↔ v ∈ {v | (f v :: v) ∈ S}
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β : Type
n : ℕ
S : Set (Vector3 ℕ n.succ)
d : Dioph S
f : Vector3 ℕ n → ℕ
df : DiophFn f
v : Fin2 n → ℕ
\u22a2 ((f v ::ₒ v) ∘ none :: some) = f v :: v
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l r✝ : List Char
it : Iterator
n : Nat
a : Char
r : List Char
h : ValidFor l (a :: r) it
hn : n + 1 ≤ (a :: r).length
\u22a2 ValidFor ((List.take (n + 1) (a :: r)).reverse ++ l) (List.drop (n + 1) (a :: r)) (it.next.nextn n)
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module S N
inst✝⁶ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
x : M
\u22a2 (h.lift g) (f x) = g x
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module S N
inst✝⁶ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
x : M
hF : ∀ (s : S) (m : M), (h.lift g) (s • f m) = s • g m
\u22a2 (h.lift g) (f x) = g x
-- Mathlib/Logic/Equiv/Defs.lean
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α' : Type u_1
β' : Type u_2
e : α' ≃ β'
\u22a2 e.permCongr (Equiv.refl α') = Equiv.refl β'
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I✝ : Ideal R
hf : Function.Bijective ⇑f
I : Ideal R
H : I.IsMaximal
\u22a2 (map f I).IsMaximal
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I✝ : Ideal R
hf : Function.Bijective ⇑f
I : Ideal R
H : I.IsMaximal
h : map f I = ⊤
\u22a2 I = ⊤
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/MatrixExponential.lean
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : DecidableEq m
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : DecidableEq n
inst✝⁷ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝⁶ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝⁵ : Field 𝕂
inst✝⁴ : Ring 𝔸
inst✝³ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝² : TopologicalRing 𝔸
inst✝¹ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝ : T2Space 𝔸
v : m → Matrix n n 𝔸
\u22a2 exp 𝕂 (blockDiagonal v) = blockDiagonal (exp 𝕂 v)
-- Mathlib/Algebra/Group/Defs.lean
G✝ : Type u_1
inst✝¹ : DivInvMonoid G✝
a✝ b : G✝
G : Type u_2
inst✝ : SubNegMonoid G
a : G
n : ℕ
\u22a2 Int.negSucc n • a = -((n + 1) • a)
-- Mathlib/Algebra/Group/Defs.lean
G✝ : Type u_1
inst✝¹ : DivInvMonoid G✝
a✝ b : G✝
G : Type u_2
inst✝ : SubNegMonoid G
a : G
n : ℕ
\u22a2 Int.negSucc n • a = -(↑(n + 1) • a)
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
i j k : ℤ
\u22a2 (i * j).gcd (k * j) = i.gcd k * j.natAbs
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
i j k : ℤ
\u22a2 (i.natAbs * j.natAbs).gcd (k.natAbs * j.natAbs) = i.natAbs.gcd k.natAbs * j.natAbs
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
r : R
a : ⨂[R]^n M
\u22a2 (cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul a (algebraMap₀ r)) = r • a
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/ConformalLinearMap.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField R
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup N
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace R M
inst✝³ : NormedSpace R N
inst✝² : NormedSpace R G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup M'
inst✝ : NormedSpace R M'
f : M →L[R] N
g : N →L[R] G
c✝ c : R
hc : c ≠ 0
li : M' →ₗᵢ[R] N
\u22a2 Injective ⇑(c • li.toContinuousLinearMap)
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
b : Bool
n : ℤ
\u22a2 (bit b n).bodd = b
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
b : Bool
n : ℤ
\u22a2 (2 * n + bif b then 1 else 0).bodd = b
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
h : ∀ (x : α), x ∈ l₁ → count x l₁ ≤ count x l₂
\u22a2 l₁ ++ l₂.diff l₁ ~ l₂
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
h : Submodule.span F (Set.range v) = ⊤
\u22a2 Submodule.span F (Set.range fun x => v x ^ q ^ n) = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
h : Submodule.span F (Set.range v) = ⊤
\u22a2 Submodule.span F (Set.range fun x => v x ^ q ^ n) = Submodule.span F ↑(MonoidHom.mrange (powMonoidHom (q ^ n)))
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
h : Submodule.span F (Set.range v) = ⊤
\u22a2 Set.range (DivisionSemiring.toSemiring.8 (q ^ n)) ⊆ ↑(Submodule.span F (Set.range (DivisionSemiring.toSemiring.8 (q ^ n) ∘ v)))
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
h : Submodule.span F (Set.range v) = ⊤
\u22a2 DivisionSemiring.toSemiring.8 (q ^ n) '' Set.univ ⊆ ↑(Submodule.span F (DivisionSemiring.toSemiring.8 (q ^ n) '' Set.range v))
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
h : Submodule.span F (Set.range v) = ⊤
this : ExpChar E q
\u22a2 DivisionSemiring.toSemiring.8 (q ^ n) '' Set.univ ⊆ ↑(Submodule.span F (DivisionSemiring.toSemiring.8 (q ^ n) '' Set.range v))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : G → E
f'✝ g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x✝ : G
n : ℕ∞
f : ℝ → F
f' : F
x : ℝ
hf : HasDerivAt f f' x
\u22a2 HasDerivAt (fun x => ‖f x‖ ^ 2) (2 * ⟪f x, f'⟫_ℝ) x
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Identities.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
\u22a2 (↑p).coeff 0 = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Identities.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
\u22a2 ¬0 = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
S : Submodule R M
inst✝ : Module.Finite R ↥S
\u22a2 finrank R ↥S = 0 ↔ S = ⊥
-- Mathlib/Order/Category/NonemptyFinLinOrd.lean
A B : NonemptyFinLinOrd
f : A ⟶ B
\u22a2 Mono f ↔ Function.Injective ⇑f
-- Mathlib/Order/Category/NonemptyFinLinOrd.lean
A B : NonemptyFinLinOrd
f : A ⟶ B
\u22a2 Mono f → Function.Injective ⇑f
-- Mathlib/Order/Category/NonemptyFinLinOrd.lean
A B : NonemptyFinLinOrd
f : A ⟶ B
a✝ : Mono f
a₁ a₂ : ↑A
h : f a₁ = f a₂
X : NonemptyFinLinOrd := of (ULift.{u, 0} (Fin 1))
g₁ : X ⟶ A := { toFun := fun x => a₁, monotone' := ⋯ }
g₂ : X ⟶ A := { toFun := fun x => a₂, monotone' := ⋯ }
eq : g₁ ≫ f = g₂ ≫ f
\u22a2 g₁ { down := 0 } = g₂ { down := 0 }
-- Mathlib/Order/Category/NonemptyFinLinOrd.lean
A B : NonemptyFinLinOrd
f : A ⟶ B
a✝ : Mono f
a₁ a₂ : ↑A
h : f a₁ = f a₂
X : NonemptyFinLinOrd := of (ULift.{u, 0} (Fin 1))
g₁ : X ⟶ A := { toFun := fun x => a₁, monotone' := ⋯ }
g₂ : X ⟶ A := { toFun := fun x => a₂, monotone' := ⋯ }
eq : g₁ = g₂
\u22a2 g₁ { down := 0 } = g₂ { down := 0 }
-- Mathlib/Analysis/Complex/RealDeriv.lean
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
h : HasStrictDerivAt f f' x
\u22a2 HasStrictFDerivAt f (f' • 1) x
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n✝ m : ℕ
ha : 1 < a
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0
\u22a2 1 < a ^ (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n✝ m : ℕ
ha : 1 < a
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0
\u22a2 1 < a * a ^ n
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
γ : Type u_3
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : Preorder β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : SMul α γ
f : β → γ
inst✝ : PosSMulMono α γ
a : α
ha : 0 ≤ a
b₁ b₂ : β
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, True
smul : α → β → True
hb : f b₁ ≤ f b₂
\u22a2 a • f b₁ ≤ a • f b₂
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝² : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLinearOrder γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
f : α → γ
\u22a2 LowerSemicontinuousOn f s ↔ ∀ x ∈ s, f x ≤ liminf f (𝓝[s] x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.283606, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.283613, u_2} D
X Y : C
inst✝ : HasInitial C
c : BinaryCofan X Y
h : IsVanKampenColimit c
\u22a2 IsPullback (initial.to ((pair X Y).obj { as := WalkingPair.left })) (initial.to ((pair X Y).obj { as := WalkingPair.right })) c.inl c.inr
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.283606, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.283613, u_2} D
X Y : C
inst✝ : HasInitial C
c : BinaryCofan X Y
h : IsVanKampenColimit c
\u22a2 mapPair (initial.to X) (𝟙 Y) ≫ c.ι = (BinaryCofan.mk (initial.to Y) (𝟙 Y)).ι ≫ (Functor.const (Discrete WalkingPair)).map c.inr
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.283606, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.283613, u_2} D
X Y : C
inst✝ : HasInitial C
c : BinaryCofan X Y
h : IsVanKampenColimit c
\u22a2 IsColimit (BinaryCofan.mk (initial.to Y) (𝟙 Y))
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder Γ
V : Type u_3
inst✝² : Zero V
inst✝¹ : SMulZeroClass R V
inst✝ : Zero Γ
r : R
x : HahnSeries Γ V
h : r • x ≠ 0
\u22a2 ¬(r • x).order < x.order
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder Γ
V : Type u_3
inst✝² : Zero V
inst✝¹ : SMulZeroClass R V
inst✝ : Zero Γ
r : R
x : HahnSeries Γ V
h : r • x ≠ 0
hx : x ≠ 0
\u22a2 ¬(r • x).order < x.order
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder Γ
V : Type u_3
inst✝² : Zero V
inst✝¹ : SMulZeroClass R V
inst✝ : Zero Γ
r : R
x : HahnSeries Γ V
h : r • x ≠ 0
hx : x ≠ 0
\u22a2 ¬⋯.min ⋯ < ⋯.min ⋯
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/CompareExp.lean
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
n : ℕ
\u22a2 (fun z => (z.im ^ n) ^ 2) = fun z => z.im ^ (2 * n)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/CompareExp.lean
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
n : ℕ
\u22a2 (fun z => Real.exp z.re) = fun z => Real.exp z.re ^ 1
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
\u22a2 (leftHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.homologyData.left S₁.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.leftHomologyData h₁) ≫ leftHomologyMap' φ h₁ h₂ = leftHomologyMap' φ S₁.homologyData.left S₂.homologyData.left ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.homologyData.left S₂.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.leftHomologyData h₂
-- Mathlib/NumberTheory/VonMangoldt.lean
n : ℕ
\u22a2 (Λ * ↑ζ) n = log n
-- Mathlib/NumberTheory/VonMangoldt.lean
n : ℕ
\u22a2 Real.log ↑n = log n
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f : X ≅ Y
g g' : Y ⟶ Z
\u22a2 f.hom ≫ g = f.hom ≫ g' ↔ g = g'
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
a : α
x : Quotient G α
\u22a2 a ∈ x.orbit ↔ Quotient.mk'' a = x
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
a a✝ : α
\u22a2 a ∈ orbit (Quotient.mk'' a✝) ↔ Quotient.mk'' a = Quotient.mk'' a✝
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
a a✝ : α
\u22a2 a ∈ orbit (Quotient.mk'' a✝) ↔ Setoid.r a a✝
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h1 : Nat.Prime (orderOf σ)
h2 : σ.support.card < 2 * orderOf σ
\u22a2 σ.IsCycle
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h1 : Nat.Prime (orderOf σ)
h2 : σ.support.card < 2 * orderOf σ
n : ℕ
hn : σ.cycleType = Multiset.replicate (n + 1) (orderOf σ)
\u22a2 σ.IsCycle
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h1 : Nat.Prime (orderOf σ)
n : ℕ
h2 : n = 0
hn : σ.cycleType = Multiset.replicate (n + 1) (orderOf σ)
\u22a2 σ.IsCycle
-- Mathlib/Algebra/Module/Equiv/Basic.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : Type u_17
n : Type u_18
p : Type u_19
f : m → n
hf : Surjective f
\u22a2 Injective ⇑(funLeft R M f)