ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α✝ : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
α : E
\u22a2 ↑((aeval (AdjoinSimple.gen F α)) (minpoly F α)) = (aeval α) (minpoly F α)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α✝ : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
α : E
\u22a2 ↑((aeval (AdjoinSimple.gen F α)) (minpoly F α)) = (aeval ((algebraMap (↥F⟮α⟯) E) (AdjoinSimple.gen F α))) (minpoly F α)
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 1
hn : n % 2 = 0
\u22a2 (m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 1
hn : n % 2 = 0
\u22a2 (-(m ^ 2 - n ^ 2)).natAbs.gcd (m ^ 2 + n ^ 2).natAbs = 1
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 1
hn : n % 2 = 0
\u22a2 (n ^ 2 - m ^ 2).natAbs.gcd (n ^ 2 + m ^ 2).natAbs = 1
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a
x : α
\u22a2 x ∈ Ioi (pred a) ↔ x ∈ insert a (Ioi a)
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a
x : α
\u22a2 pred a < x ↔ a = x ∨ a < x
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
\u22a2 dist (f 0 + g 0) (f (g 0)) < 1
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
\u22a2 f 0 + g 0 - 1 < f (g 0) ∧ f (g 0) < f 0 + g 0 + 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 1 < x
\u22a2 x ^ y < x ^ z ↔ y < z
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : Fintype m
inst✝⁸ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝¹ : Finite l
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix l m R
B : Matrix m n R
x : M₁
\u22a2 ((toLin v₁ v₃) (A * B)) x = ((toLin v₂ v₃) A) (((toLin v₁ v₂) B) x)
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
a : K
nth_partNum_eq : (of v).partNums.get? n = some a
\u22a2 a = 1
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
a : K
nth_partNum_eq : (of v).partNums.get? n = some a
gp : Pair K
nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp
gp_a_eq_a_n : gp.a = a
\u22a2 a = 1
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
a : K
nth_partNum_eq : (of v).partNums.get? n = some a
gp : Pair K
nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp
gp_a_eq_a_n : gp.a = a
this : gp.a = 1
\u22a2 a = 1
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
\u22a2 P.parts.Nonempty ↔ a ≠ ⊥
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
\u22a2 μH[d] (f ⁻¹' s) ≤ ↑K ^ d * μH[d] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
hf : AntilipschitzWith 0 f
\u22a2 μH[d] (f ⁻¹' s) ≤ ↑0 ^ d * μH[d] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
\u22a2 μH[d] (f ⁻¹' s) ≤ ↑K ^ d * μH[d] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
\u22a2 μH[d] (f ⁻¹' s) ≤ ↑K ^ d * μH[d] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
\u22a2 ⨆ r, ⨆ (_ : 0 < r), ⨅ t, ⨅ (_ : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ r), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤ ⨆ i, ⨆ (_ : 0 < i), ⨅ i_1, ⨅ (_ : s ⊆ ⋃ n, i_1 n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (i_1 n) ≤ i), ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (i_1 i).Nonempty), ↑K ^ d * diam (i_1 i) ^ d
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
\u22a2 ⨅ t, ⨅ (_ : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤ ⨆ i, ⨆ (_ : 0 < i), ⨅ i_1, ⨅ (_ : s ⊆ ⋃ n, i_1 n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (i_1 n) ≤ i), ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (i_1 i).Nonempty), ↑K ^ d * diam (i_1 i) ^ d
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
\u22a2 ⨅ t, ⨅ (_ : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤ ⨅ i, ⨅ (_ : s ⊆ ⋃ n, i n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (i n) ≤ ε / ↑K), ∑' (i_1 : ℕ), ⨆ (_ : (i i_1).Nonempty), ↑K ^ d * diam (i i_1) ^ d
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
t : ℕ → Set Y
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
htε : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε / ↑K
\u22a2 ⨅ t, ⨅ (_ : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤ ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (t i).Nonempty), ↑K ^ d * diam (t i) ^ d
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
t : ℕ → Set Y
htε : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε / ↑K
hst : f ⁻¹' s ⊆ f ⁻¹' ⋃ n, t n
\u22a2 ⨅ t, ⨅ (_ : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤ ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (t i).Nonempty), ↑K ^ d * diam (t i) ^ d
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
t : ℕ → Set Y
htε : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε / ↑K
hst : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ i, f ⁻¹' t i
\u22a2 ⨅ t, ⨅ (_ : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤ ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (t i).Nonempty), ↑K ^ d * diam (t i) ^ d
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
t : ℕ → Set Y
htε : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε / ↑K
hst : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ i, f ⁻¹' t i
n : ℕ
\u22a2 diam (f ⁻¹' t n) ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
t : ℕ → Set Y
htε : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε / ↑K
hst : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ i, f ⁻¹' t i
\u22a2 ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (f ⁻¹' t n).Nonempty), diam (f ⁻¹' t n) ^ d ≤ ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (t i).Nonempty), ↑K ^ d * diam (t i) ^ d
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
x₁ x₂ : α
y : β
\u22a2 dist (x₁, y) (x₂, y) = dist x₁ x₂
-- Mathlib/Data/Setoid/Partition.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
f : α → β
inst✝ : Fintype ↑(ker f).classes
\u22a2 Fintype.card ↑(ker f).classes ≤ Fintype.card β
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n a b : ℕ
t : List ℕ
\u22a2 ofDigits (-1) (a :: b :: t) = (List.map (fun n => ↑n) (a :: b :: t)).alternatingSum
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n a b : ℕ
t : List ℕ
\u22a2 ↑a + -1 * (↑b + -1 * (List.map (fun n => ↑n) t).alternatingSum) = ↑a + -↑b + (List.map (fun n => ↑n) t).alternatingSum
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/Hensel.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
\u22a2 T_gen p F a = ‖Polynomial.eval a F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
\u22a2 Monotone f ↔ ∀ (a b : α), a ⩿ b → f a ≤ f b
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
h : ∀ (a b : α), a ⩿ b → f a ≤ f b
a b : α
hab : a ≤ b
\u22a2 f a ≤ f b
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Monad.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : R →+* MvPolynomial σ S
φ : MvPolynomial σ R
\u22a2 join₂ ((map f) φ) = (bind₂ f) φ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
\u22a2 o.oangle (-x) y + o.oangle (-y) x = 0
-- Mathlib/Topology/ClopenBox.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : CompactSpace Y
W : Clopens (X × Y)
a : X × Y
h : a ∈ W
\u22a2 ∃ U, a.1 ∈ U ∧ ∃ V, a.2 ∈ V ∧ U ×ˢ V ≤ W
-- Mathlib/Topology/ClopenBox.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : CompactSpace Y
W : Clopens (X × Y)
a : X × Y
h : a ∈ W
hp : Continuous fun y => (a.1, y)
\u22a2 ∃ U, a.1 ∈ U ∧ ∃ V, a.2 ∈ V ∧ U ×ˢ V ≤ W
-- Mathlib/Topology/ClopenBox.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : CompactSpace Y
W : Clopens (X × Y)
a : X × Y
h : a ∈ W
hp : Continuous fun y => (a.1, y)
V : Set Y := {y | (a.1, y) ∈ W}
\u22a2 ∃ U, a.1 ∈ U ∧ ∃ V, a.2 ∈ V ∧ U ×ˢ V ≤ W
-- Mathlib/Topology/ClopenBox.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : CompactSpace Y
W : Clopens (X × Y)
a : X × Y
h : a ∈ W
hp : Continuous fun y => (a.1, y)
V : Set Y := {y | (a.1, y) ∈ W}
hV : IsCompact V
\u22a2 ∃ U, a.1 ∈ U ∧ ∃ V, a.2 ∈ V ∧ U ×ˢ V ≤ W
-- Mathlib/Topology/ClopenBox.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : CompactSpace Y
W : Clopens (X × Y)
a : X × Y
h : a ∈ W
hp : Continuous fun y => (a.1, y)
V : Set Y := {y | (a.1, y) ∈ W}
hV : IsCompact V
U : Set X := {x | MapsTo (Prod.mk x) V ↑W}
\u22a2 ∃ U, a.1 ∈ U ∧ ∃ V, a.2 ∈ V ∧ U ×ˢ V ≤ W
-- Mathlib/Topology/ClopenBox.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : CompactSpace Y
W : Clopens (X × Y)
a : X × Y
h : a ∈ W
hp : Continuous fun y => (a.1, y)
V : Set Y := {y | (a.1, y) ∈ W}
hV : IsCompact V
U : Set X := {x | MapsTo (Prod.mk x) V ↑W}
hUV : U ×ˢ V ⊆ ↑W
\u22a2 ∃ U, a.1 ∈ U ∧ ∃ V, a.2 ∈ V ∧ U ×ˢ V ≤ W
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Selmer.lean
n : ℕ
z : ℂ
h1 : z ^ n = z + 1
h2 : z ^ n + z ^ 2 = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Selmer.lean
n : ℕ
z : ℂ
h1 : z ^ n = z + 1
h2 : z ^ n + z ^ 2 = 0
h3 : z ^ 3 = 1
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Selmer.lean
n : ℕ
z : ℂ
h1 : z ^ n = z + 1
h2 : z ^ n + z ^ 2 = 0
h3 : z ^ 3 = 1
key : z ^ n = 1 ∨ z ^ n = z ∨ z ^ n = z ^ 2
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Selmer.lean
n : ℕ
z : ℂ
h1 : z ^ n = z + 1
h2 : z ^ n + z ^ 2 = 0
h3 : z ^ 3 = 1
key : z ^ n = 1 ∨ z ^ n = z ∨ z ^ n = z ^ 2
z_ne_zero : z ≠ 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : Semiring β
inst✝¹ : Algebra R α
inst✝ : Algebra R β
r : R
i j : n
\u22a2 diagonal ((Pi.constRingHom n α) (Algebra.toRingHom r)) i j = if i = j then Algebra.toRingHom r else 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : α → E
s✝ t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup 𝕜
inst✝¹ : SMulZeroClass 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
f : α → E
c : 𝕜
s : Set α
sl : s ∈ l
hs : IntegrableOn f s μ
\u22a2 IntegrableAtFilter (c • f) l μ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x✝¹ : α
X : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace X
δ : ℝ
x x✝ : X
\u22a2 x✝ ∈ thickening δ {x} ↔ x✝ ∈ ball x δ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
\u22a2 stirlingSeq 1 = rexp 1 / √2
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f.graph ≤ g.graph
x : E
hx : x ∈ f.domain
y : E
hy : y ∈ g.domain
hxy : ↑⟨x, hx⟩ = ↑⟨y, hy⟩
\u22a2 ↑f ⟨x, hx⟩ = ↑g ⟨y, hy⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f.graph ≤ g.graph
x : E
hx : x ∈ f.domain
y : E
hy : y ∈ g.domain
hxy : ↑⟨x, hx⟩ = ↑⟨y, hy⟩
\u22a2 (y, ↑f ⟨x, hx⟩) ∈ g.graph
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f.graph ≤ g.graph
x : E
hx : x ∈ f.domain
y : E
hy : y ∈ g.domain
hxy : ↑⟨x, hx⟩ = ↑⟨y, hy⟩
\u22a2 (y, ↑f ⟨x, hx⟩) ∈ f.graph
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f.graph ≤ g.graph
x : E
hx : x ∈ f.domain
y : E
hy : y ∈ g.domain
hxy : x = y
\u22a2 (y, ↑f ⟨x, hx⟩) ∈ f.graph
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f.graph ≤ g.graph
x : E
hx✝ : x ∈ f.domain
y : E
hx : y ∈ f.domain
hy : y ∈ g.domain
hxy : x = y
\u22a2 (y, ↑f ⟨x, hx✝⟩) ∈ f.graph
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f.graph ≤ g.graph
x : E
hx✝ : x ∈ f.domain
y : E
hx : y ∈ f.domain
hy : y ∈ g.domain
hxy : x = y
\u22a2 ↑f ⟨x, hx✝⟩ = ↑f ⟨y, hx⟩
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → R
w✝ : Rˣ
\u22a2 (fun m => m • Q) w✝ z = 0 ↔ Q z = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/CharacterModule.lean
R : Type uR
inst✝⁶ : CommRing R
A : Type uA
inst✝⁵ : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝³ : AddCommGroup B
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R A'
inst✝ : Module R B
c c' : A →ₗ[R] CharacterModule B
x : A ⊗[R] B
\u22a2 ((fun c => liftAddHom c.toAddMonoidHom ⋯) (c + c')) x = ((fun c => liftAddHom c.toAddMonoidHom ⋯) c + (fun c => liftAddHom c.toAddMonoidHom ⋯) c') x
-- Mathlib/Algebra/Module/CharacterModule.lean
R : Type uR
inst✝⁶ : CommRing R
A : Type uA
inst✝⁵ : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝³ : AddCommGroup B
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R A'
inst✝ : Module R B
r : R
c : A →ₗ[R] CharacterModule B
x : A ⊗[R] B
\u22a2 ({ toFun := fun c => liftAddHom c.toAddMonoidHom ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (r • c)) 0 = ((RingHom.id R) r • { toFun := fun c => liftAddHom c.toAddMonoidHom ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun c) 0
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
\u22a2 image2 f s t ⊆ u ↔ ∀ b ∈ t, (fun a => f a b) '' s ⊆ u
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α✝ → E
g✝ : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l✝ l' : Filter α✝
α : Type u_17
l : Filter α
f g : α → 𝕜
hgf : ∀ᶠ (x : α) in l, g x = 0 → f x = 0
\u22a2 f =O[l] g ↔ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖f x / g x‖
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α✝ → E
g✝ : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l✝ l' : Filter α✝
α : Type u_17
l : Filter α
f g : α → 𝕜
hgf : ∀ᶠ (x : α) in l, g x = 0 → f x = 0
h : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖f x / g x‖
\u22a2 f =O[l] g
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α✝ → E
g✝ : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l✝ l' : Filter α✝
α : Type u_17
l : Filter α
f g : α → 𝕜
hgf : ∀ᶠ (x : α) in l, g x = 0 → f x = 0
c : ℝ
hc : ∀ᶠ (x : ℝ) in map (fun x => ‖f x / g x‖) l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x c
\u22a2 f =O[l] g
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α✝ → E
g✝ : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l✝ l' : Filter α✝
α : Type u_17
l : Filter α
f g : α → 𝕜
hgf : ∀ᶠ (x : α) in l, g x = 0 → f x = 0
c : ℝ
hc : ∀ᶠ (a : α) in l, ‖f a‖ / ‖g a‖ ≤ c
\u22a2 f =O[l] g