ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
h : cos x ≠ 0
\u22a2 HasDerivAt (fun y => tan y - y) (1 / cos x ^ 2 - 1) x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x✝ x : α
xs : List α
\u22a2 (x :: xs).formPerm (x :: xs)[xs.length] = x
-- Mathlib/Combinatorics/Pigeonhole.lean
α : Type u
β : Type v
M : Type w
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
n : ℕ
inst✝ : LinearOrderedCommSemiring M
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
ht : t.Nonempty
hb : t.card • b ≤ ↑s.card
\u22a2 ∃ y ∈ t, b ≤ ↑(filter (fun x => f x = y) s).card
-- Mathlib/Combinatorics/Pigeonhole.lean
α : Type u
β : Type v
M : Type w
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
n : ℕ
inst✝ : LinearOrderedCommSemiring M
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
ht : t.Nonempty
hb : t.card • b ≤ ∑ a ∈ s, 1
\u22a2 ∃ y ∈ t, b ≤ ∑ a ∈ filter (fun x => f x = y) s, 1
-- Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
x : ℝ
\u22a2 0 ≤ sSupNormIm f x
-- Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
x : ℝ
\u22a2 ∀ x_1 ∈ norm ∘ f '' (re ⁻¹' {x}), 0 ≤ x_1
-- Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
x y : ℝ
z1 : ℂ
left✝ : z1 ∈ re ⁻¹' {x}
hz2 : (norm ∘ f) z1 = y
\u22a2 0 ≤ y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Types.lean
\u22a2 typesGrothendieckTopology = Sheaf.canonicalTopology (Type u)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Types.lean
\u22a2 typesGrothendieckTopology ∈ Sheaf.finestTopologySingle '' Set.range yoneda.obj
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Types.lean
\u22a2 (Sheaf.finestTopologySingle (yoneda.obj (ULift.{u, 0} Bool))).sieves = typesGrothendieckTopology.sieves
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Types.lean
α : Type u
\u22a2 (Sheaf.finestTopologySingle (yoneda.obj (ULift.{u, 0} Bool))).sieves α = typesGrothendieckTopology.sieves α
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Types.lean
α : Type u
S : Sieve α
\u22a2 S ∈ (Sheaf.finestTopologySingle (yoneda.obj (ULift.{u, 0} Bool))).sieves α ↔ S ∈ typesGrothendieckTopology.sieves α
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Types.lean
α : Type u
S : Sieve α
hs : S ∈ (Sheaf.finestTopologySingle (yoneda.obj (ULift.{u, 0} Bool))).sieves α
x : α
\u22a2 S.arrows fun x_1 => x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Types.lean
α : Type u
S : Sieve α
hs : S ∈ (Sheaf.finestTopologySingle (yoneda.obj (ULift.{u, 0} Bool))).sieves α
x : α
hsx : ¬S.arrows fun x_1 => x
\u22a2 False
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Types.lean
α : Type u
S : Sieve α
hs : S ∈ (Sheaf.finestTopologySingle (yoneda.obj (ULift.{u, 0} Bool))).sieves α
x : α
hsx : ¬S.arrows fun x_1 => x
this : (fun x => { down := true }) = fun x => { down := false }
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
k : Rˣ
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
\u22a2 z₁.comp (k • z₂) h = k • z₁.comp z₂ h
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν✝ ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
μ ν : Measure α
f : α → β
hf : Measurable f
\u22a2 map f (μ + ν) = map f μ + map f ν
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
j : ℕ
\u22a2 toAddCircle ↑j = ↑(↑j / ↑N)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝² : RankCondition R
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
b : Basis ι R M
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤
\u22a2 Fintype.card ι ≤ Fintype.card ↑w
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝² : RankCondition R
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
b : Basis ι R M
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤
\u22a2 (↑w →₀ R) →ₗ[R] ι →₀ R
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝² : RankCondition R
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
b : Basis ι R M
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤
\u22a2 Surjective ⇑?f
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedRing α✝
α : Type u_5
inst✝ : NormedCommRing α
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
f : ι → α
\u22a2 ∏ i ∈ s, ‖f i‖ = (fun a => ↑a) (∏ i ∈ s, ‖f i‖₊)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Semigroup α
inst✝³ : Semigroup β
F : Type u_3
inst✝² : EquivLike F α β
inst✝¹ : MulEquivClass F α β
f : F
inst✝ : DecompositionMonoid β
a b c : α
h : a ∣ b * c
\u22a2 ∃ a₁ a₂, a₁ ∣ b ∧ a₂ ∣ c ∧ a = a₁ * a₂
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Semigroup α
inst✝³ : Semigroup β
F : Type u_3
inst✝² : EquivLike F α β
inst✝¹ : MulEquivClass F α β
f : F
inst✝ : DecompositionMonoid β
a b c : α
h : f a ∣ f b * f c
\u22a2 ∃ a₁ a₂, a₁ ∣ b ∧ a₂ ∣ c ∧ a = a₁ * a₂
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Semigroup α
inst✝³ : Semigroup β
F : Type u_3
inst✝² : EquivLike F α β
inst✝¹ : MulEquivClass F α β
f : F
inst✝ : DecompositionMonoid β
a b c : α
h✝ : f a ∣ f b * f c
a₁ a₂ : β
h : a₁ ∣ f b ∧ a₂ ∣ f c ∧ f a = a₁ * a₂
\u22a2 ∃ a₁ a₂, a₁ ∣ b ∧ a₂ ∣ c ∧ a = a₁ * a₂
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Semigroup α
inst✝³ : Semigroup β
F : Type u_3
inst✝² : EquivLike F α β
inst✝¹ : MulEquivClass F α β
f : F
inst✝ : DecompositionMonoid β
a b c : α
h✝ : f a ∣ f b * f c
a₁ a₂ : β
h : a₁ ∣ f b ∧ a₂ ∣ f c ∧ f a = a₁ * a₂
\u22a2 (↑f).symm a₁ ∣ b ∧ (↑f).symm a₂ ∣ c ∧ a = (↑f).symm a₁ * (↑f).symm a₂
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Semigroup α
inst✝³ : Semigroup β
F : Type u_3
inst✝² : EquivLike F α β
inst✝¹ : MulEquivClass F α β
f : F
inst✝ : DecompositionMonoid β
a b c : α
h✝ : f a ∣ f b * f c
a₁ a₂ : β
h : a₁ ∣ f b ∧ a₂ ∣ f c ∧ f a = a₁ * a₂
\u22a2 f ((↑f).symm a₁) ∣ f b ∧ f ((↑f).symm a₂) ∣ f c ∧ ↑f a = a₁ * a₂
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Semigroup α
inst✝³ : Semigroup β
F : Type u_3
inst✝² : EquivLike F α β
inst✝¹ : MulEquivClass F α β
f : F
inst✝ : DecompositionMonoid β
a b c : α
h✝ : f a ∣ f b * f c
a₁ a₂ : β
h : a₁ ∣ f b ∧ a₂ ∣ f c ∧ f a = a₁ * a₂
\u22a2 a₁ ∣ f b ∧ a₂ ∣ f c ∧ ↑f a = a₁ * a₂
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Intersecting.lean
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t : Set α
a b c : α
inst✝ : Subsingleton α
s : Set α
\u22a2 s.Intersecting ↔ s = ∅
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Intersecting.lean
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t : Set α
a b c : α
inst✝ : Subsingleton α
s : Set α
h : ¬s = ∅
\u22a2 ⊥ ∈ s
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Intersecting.lean
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t : Set α
a b c : α
inst✝ : Subsingleton α
s : Set α
\u22a2 s = ∅ → s ≠ {⊥}
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Divisibility.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
a : α
m n : ℕ
inst✝ : Subsingleton αˣ
c d : α
hcd : a = a * c * d
\u22a2 a = a * c
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Divisibility.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
a : α
m n : ℕ
inst✝ : Subsingleton αˣ
c d : α
hcd : c = 1 ∧ d = 1 ∨ a = 0
\u22a2 a = a * c
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
ha : 0 ≤ a
hn : n ≠ 0
\u22a2 a ^ n ≤ 1 ↔ a ≤ 1
-- Mathlib/Data/Multiset/Antidiagonal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
x : Multiset α × Multiset α
l : List α
\u22a2 x ∈ antidiagonal ⟦l⟧ ↔ x.1 + x.2 = ⟦l⟧
-- Mathlib/Data/Multiset/Antidiagonal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
x : Multiset α × Multiset α
l : List α
\u22a2 x ∈ ↑(powersetAux l).revzip ↔ x.1 + x.2 = ↑l
-- Mathlib/Data/Multiset/Antidiagonal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
x : Multiset α × Multiset α
l : List α
h : x.1 + x.2 = ↑l
\u22a2 x ∈ ↑(powersetAux l).revzip
-- Mathlib/Data/Multiset/Antidiagonal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
x : Multiset α × Multiset α
l : List α
h : x.1 + x.2 = ↑l
this : DecidableEq α
\u22a2 x ∈ ↑(powersetAux l).revzip
-- Mathlib/Data/Multiset/Antidiagonal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
x : Multiset α × Multiset α
l : List α
h : x.1 + x.2 = ↑l
this : DecidableEq α
\u22a2 ∃ a ≤ x.1 + x.2, (a, x.1 + x.2 - a) = x
-- Mathlib/Data/Multiset/Antidiagonal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
l : List α
this : DecidableEq α
x₁ x₂ : Multiset α
h : (x₁, x₂).1 + (x₁, x₂).2 = ↑l
\u22a2 ∃ a ≤ (x₁, x₂).1 + (x₁, x₂).2, (a, (x₁, x₂).1 + (x₁, x₂).2 - a) = (x₁, x₂)
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α
\u22a2 (initsCore [s.head] s.tail).tail = initsCore [s.head, s.tail.head] s.tail.tail
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α
\u22a2 ([s.head] :: initsCore ([s.head] ++ [s.tail.head]) s.tail.tail).tail = initsCore [s.head, s.tail.head] s.tail.tail
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Grading.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
i' : ZMod 2
x' : ↥(evenOdd Q i')
\u22a2 ∀ (m : M), (GradedAlgebra.ι Q) m * (GradedAlgebra.ι Q) m = (algebraMap R (⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))) (Q m)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Grading.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
i' : ZMod 2
x' : CliffordAlgebra Q
hx' : x' ∈ evenOdd Q i'
\u22a2 ((lift Q) ⟨GradedAlgebra.ι Q, ⋯⟩) ↑⟨x', hx'⟩ = (DirectSum.of (fun i => ↥(evenOdd Q i)) i') ⟨x', hx'⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Grading.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
i' : ZMod 2
x' : CliffordAlgebra Q
hx' : x' ∈ evenOdd Q i'
\u22a2 ((lift Q) ⟨GradedAlgebra.ι Q, ⋯⟩) x' = (DirectSum.of (fun i => ↥(evenOdd Q i)) i') ⟨x', hx'⟩
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
\u22a2 (modifyNth f n l).get? n = f <$> l.get? n
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → X
l : Filter α
s : Set α
h : ∀ a ∉ s, f a = x
\u22a2 Tendsto f (l ⊓ 𝓟 s) (𝓝 x) ↔ Tendsto f l (𝓝 x)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → X
l : Filter α
s : Set α
h : ∀ a ∉ s, f a = x
\u22a2 l ⊓ 𝓟 s ≤ comap f (𝓝 x) ↔ l ≤ comap f (𝓝 x)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → X
l : Filter α
s : Set α
h : 𝓟 sᶜ ≤ comap f (𝓝 x)
\u22a2 l ⊓ 𝓟 s ≤ comap f (𝓝 x) ↔ l ≤ comap f (𝓝 x)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → X
l : Filter α
s : Set α
h : 𝓟 sᶜ ≤ comap f (𝓝 x)
h' : l ⊓ 𝓟 s ≤ comap f (𝓝 x)
\u22a2 l ≤ comap f (𝓝 x)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → X
l : Filter α
s : Set α
h : 𝓟 sᶜ ≤ comap f (𝓝 x)
h' : l ⊓ 𝓟 s ≤ comap f (𝓝 x)
this : l ⊓ 𝓟 s ⊔ 𝓟 sᶜ ≤ comap f (𝓝 x)
\u22a2 l ≤ comap f (𝓝 x)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → X
l : Filter α
s : Set α
h : 𝓟 sᶜ ≤ comap f (𝓝 x)
h' : l ⊓ 𝓟 s ≤ comap f (𝓝 x)
this : l ≤ comap f (𝓝 x) ∧ 𝓟 sᶜ ≤ comap f (𝓝 x)
\u22a2 l ≤ comap f (𝓝 x)
-- Mathlib/Combinatorics/Configuration.lean
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
l m : L
\u22a2 pointCount P l = pointCount P m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projectivization/Subspace.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Set (ℙ K V)
W : Subspace K V
\u22a2 span S ⊔ W = span (S ∪ ↑W)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
\u22a2 x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s) ↔ x ∈ closure s
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)
\u22a2 x ∈ closure s
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)
H : Subsemiring R
J : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}
\u22a2 x ∈ (fun h => ↑H) J
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)
H : Subsemiring R
J : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}
y : R
hy : y ∈ ↑(Submonoid.closure ↑(AddSubmonoid.closure s))
\u22a2 y ∈ ↑H.toAddSubmonoid
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)
H : Subsemiring R
J : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}
y : R
hy : y ∈ ↑(Submonoid.closure ↑(AddSubmonoid.closure s))
z : R
hz : z ∈ ↑(AddSubmonoid.closure s)
\u22a2 z ∈ ↑H.toSubmonoid
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ
\u22a2 0 + ↑n = ofNat n
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ
\u22a2 ↑n = ofNat n
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t t₀ : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points
ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
\u22a2 s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t t₀ : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points
ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
i₁ i₂ i₃ j₂ j₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₂₃ : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
h₁ : t.points i₁ = t₀.orthocenter
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₂ : t₀.points j₂ = t.points i₂
h₃ : t₀.points j₃ = t.points i₃
\u22a2 s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t t₀ : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points
ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
hs : Set.range t.points = Set.range t₀.points
\u22a2 s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
-- Mathlib/Order/SuccPred/Limit.lean
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : WellFoundedGT α
H_pred : (a : α) → ¬IsMin a → C a → C (pred a)
H_lim : (a : α) → IsPredLimit a → ((b : α) → b > a → C b) → C a
ha : IsPredLimit a
\u22a2 PredOrder.limitRecOn a H_pred H_lim = H_lim a ha fun x x_1 => PredOrder.limitRecOn x H_pred H_lim
-- Mathlib/Order/SuccPred/Limit.lean
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : WellFoundedGT α
H_pred : (a : α) → ¬IsMin a → C a → C (pred a)
H_lim : (a : α) → IsPredLimit a → ((b : α) → b > a → C b) → C a
ha : IsPredLimit a
\u22a2 (H_lim a ha fun y x => ⋯.fix (fun a IH => if h : IsPredLimit a then H_lim a h IH else let x := Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬IsMin x ∧ pred x = a) ⋯; ⋯ ▸ H_pred ↑x ⋯ (IH ↑x ⋯)) y) = H_lim a ha fun x x_1 => PredOrder.limitRecOn x H_pred H_lim
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hy : y ∈ s
\u22a2 edist x y ≤ infEdist x s + diam s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hy : y ∈ s
\u22a2 edist x y ≤ ⨅ i ∈ s, edist x i + diam s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hy : y ∈ s
i : α
hi : i ∈ s
\u22a2 edist x y ≤ edist x i + diam s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Dilation.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
F✝ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α✝
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β✝
inst✝⁴ : FunLike F✝ α✝ β✝
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
inst✝² : PseudoMetricSpace β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DilationClass F α β
f : F
x y : α
\u22a2 nndist (f x) (f y) = ratio f * nndist x y
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Fin/Lemmas.lean
n : Nat
\u22a2 (list n).reverse = List.map rev (list n)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
\u22a2 StrictMono ⇑toMultiset
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
f : X → Y → Z
x : X
y : Y
s : Set X
t : Set Y
u : Set Z
hf : Continuous (uncurry f)
hx : x ∈ closure s
hy : y ∈ closure t
h : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, f a b ∈ u
\u22a2 (x, y) ∈ closure (s ×ˢ t)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
\u22a2 0 ≤ P.energy G
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivAt c c' x
hd : HasDerivAt d d' x
\u22a2 HasDerivAt (fun y => (c y).comp (d y)) (c'.comp (d x) + (c x).comp d') x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x
hd : HasDerivWithinAt d d' univ x
\u22a2 HasDerivWithinAt (fun y => (c y).comp (d y)) (c'.comp (d x) + (c x).comp d') univ x
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
η : Kernel β γ
κ : Kernel α β
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ((η ∘ₖ κ) a) s = ∫⁻ (b : β), (η b) s ∂κ a
-- Mathlib/Data/Holor.lean
ds₁ ds₂ ds₃ is : List ℕ
h : Forall₂ (fun x x_1 => x < x_1) is (ds₁ ++ ds₂ ++ ds₃)
\u22a2 ↑(assocRight ⟨is, h⟩).drop.drop = ↑(drop ⟨is, h⟩)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
\u22a2 evalEval x y (C (C W.a₁) * Y - C (C 3 * X ^ 2 + C (2 * W.a₂) * X + C W.a₄)) = W.a₁ * y - (3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁹ : SecondCountableTopology α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁶ : HasBesicovitchCovering α
inst✝⁵ : MetricSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering β
μ : Measure β
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set β
\u22a2 ∀ᵐ (x : β) ∂μ.restrict s, Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 1)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
\u22a2 (fun x => a - x) ⁻¹' Ioo b c = Ioo (a - c) (a - b)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallShiftedHom.lean
C : Type u₁
inst✝¹³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹² : Category.{v₂, u₂} D
W : MorphismProperty C
M : Type w'
inst✝¹¹ : AddMonoid M
inst✝¹⁰ : HasShift C M
inst✝⁹ : HasShift D M
inst✝⁸ : W.IsCompatibleWithShift M
X Y Z T : C
a₁ a₂ a₃ a₁₂ a₂₃ a : M
inst✝⁷ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y
inst✝⁶ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Z
inst✝⁵ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X T
inst✝⁴ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y Z
inst✝³ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y T
inst✝² : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Z T
inst✝¹ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Z Z
inst✝ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M T T
α : SmallShiftedHom W X Y a₁
β : SmallShiftedHom W Y Z a₂
γ : SmallShiftedHom W Z T a₃
h₁₂ : a₂ + a₁ = a₁₂
h₂₃ : a₃ + a₂ = a₂₃
h : a₃ + a₂ + a₁ = a
\u22a2 a₃ + a₁₂ = a
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallShiftedHom.lean
C : Type u₁
inst✝¹³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹² : Category.{v₂, u₂} D
W : MorphismProperty C
M : Type w'
inst✝¹¹ : AddMonoid M
inst✝¹⁰ : HasShift C M
inst✝⁹ : HasShift D M
inst✝⁸ : W.IsCompatibleWithShift M
X Y Z T : C
a₁ a₂ a₃ a₁₂ a₂₃ a : M
inst✝⁷ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y
inst✝⁶ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Z
inst✝⁵ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X T
inst✝⁴ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y Z
inst✝³ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y T
inst✝² : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Z T
inst✝¹ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Z Z
inst✝ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M T T
α : SmallShiftedHom W X Y a₁
β : SmallShiftedHom W Y Z a₂
γ : SmallShiftedHom W Z T a₃
h₁₂ : a₂ + a₁ = a₁₂
h₂₃ : a₃ + a₂ = a₂₃
h : a₃ + a₂ + a₁ = a
\u22a2 (α.comp β h₁₂).comp γ ⋯ = α.comp (β.comp γ h₂₃) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallShiftedHom.lean
C : Type u₁
inst✝¹³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹² : Category.{v₂, u₂} D
W : MorphismProperty C
M : Type w'
inst✝¹¹ : AddMonoid M
inst✝¹⁰ : HasShift C M
inst✝⁹ : HasShift D M
inst✝⁸ : W.IsCompatibleWithShift M
X Y Z T : C
a₁ a₂ a₃ a₁₂ a₂₃ a : M
inst✝⁷ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y
inst✝⁶ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Z
inst✝⁵ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X T
inst✝⁴ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y Z
inst✝³ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y T
inst✝² : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Z T
inst✝¹ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Z Z
inst✝ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M T T
α : SmallShiftedHom W X Y a₁
β : SmallShiftedHom W Y Z a₂
γ : SmallShiftedHom W Z T a₃
h₁₂ : a₂ + a₁ = a₁₂
h₂₃ : a₃ + a₂ = a₂₃
h : a₃ + a₂ + a₁ = a
\u22a2 (equiv W W.Q) ((α.comp β h₁₂).comp γ ⋯) = (equiv W W.Q) (α.comp (β.comp γ h₂₃) ⋯)