ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Finsupp/Order.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
f✝ g✝ : ι →₀ α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
f g : ι →₀ α
i : ι
a b : α
j : ι
\u22a2 (single i (a - b)) j = (single i a - single i b) j
-- Mathlib/Data/Finsupp/Order.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
f✝ g✝ : ι →₀ α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
f g : ι →₀ α
i : ι
a b : α
\u22a2 (single i (a - b)) i = (single i a - single i b) i
-- Mathlib/Data/Finsupp/Order.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
f✝ g✝ : ι →₀ α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
f g : ι →₀ α
i : ι
a b : α
j : ι
h : i ≠ j
\u22a2 (single i (a - b)) j = (single i a - single i b) j
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜✝ : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
𝕜 : Type u_5
inst✝ : SeminormedCommRing 𝕜
b : Basis ι 𝕜 (PiLp p fun x => 𝕜)
A : Matrix ι ι 𝕜
\u22a2 b.toMatrix ⇑(basisFun p 𝕜 ι) * A = of fun i j => (b.repr ((WithLp.equiv p ((i : ι) → (fun x => 𝕜) i)).symm (Aᵀ j))) i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜✝ : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
𝕜 : Type u_5
inst✝ : SeminormedCommRing 𝕜
b : Basis ι 𝕜 (PiLp p fun x => 𝕜)
A : Matrix ι ι 𝕜
this : (b.map (WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : ι) → (fun x => 𝕜) i))).toMatrix ⇑(Pi.basisFun 𝕜 ι) * A = of fun i j => ((b.map (WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : ι) → (fun x => 𝕜) i))).repr (Aᵀ j)) i
\u22a2 b.toMatrix ⇑(basisFun p 𝕜 ι) * A = of fun i j => (b.repr ((WithLp.equiv p ((i : ι) → (fun x => 𝕜) i)).symm (Aᵀ j))) i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜✝ : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
𝕜 : Type u_5
inst✝ : SeminormedCommRing 𝕜
b : Basis ι 𝕜 (PiLp p fun x => 𝕜)
A : Matrix ι ι 𝕜
this : (b.toMatrix fun x => (basisFun p 𝕜 ι) x) * A = of fun i j => (b.repr ((WithLp.equiv p (ι → 𝕜)).symm (Aᵀ j))) i
\u22a2 b.toMatrix ⇑(basisFun p 𝕜 ι) * A = of fun i j => (b.repr ((WithLp.equiv p ((i : ι) → (fun x => 𝕜) i)).symm (Aᵀ j))) i
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convolution.lean
f g : ℕ → ℂ
s a b : ℂ
hf : LSeriesHasSum f s a
hg : LSeriesHasSum g s b
\u22a2 LSeriesHasSum (f ⍟ g) s (a * b)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convolution.lean
f g : ℕ → ℂ
s a b : ℂ
hf : LSeriesHasSum f s a
hg : LSeriesHasSum g s b
\u22a2 HasSum (fun n => ∑' (b : ↑((fun p => p.1 * p.2) ⁻¹' {n})), term f s (↑b).1 * term g s (↑b).2) (a * b)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convolution.lean
f g : ℕ → ℂ
s a b : ℂ
hf : LSeriesHasSum f s a
hg : LSeriesHasSum g s b
hsum : Summable fun x => term f s x.1 * term g s x.2
\u22a2 HasSum (fun n => ∑' (b : ↑((fun p => p.1 * p.2) ⁻¹' {n})), term f s (↑b).1 * term g s (↑b).2) (a * b)
-- Mathlib/Data/List/FinRange.lean
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
\u22a2 ofFn f = pmap (fun i hi => f ⟨i, hi⟩) (range n) ⋯
-- Mathlib/Data/List/FinRange.lean
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
\u22a2 ofFn f = map (fun x => f ⟨↑x, ⋯⟩) (range n).attach
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/ResidueField/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LocalRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : LocalRing S
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
a : R
ha : IsUnit ((residue R) a)
\u22a2 IsUnit a
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/ResidueField/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LocalRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : LocalRing S
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
a : R
ha : IsUnit ((residue R) a)
h : ¬IsUnit a
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/ResidueField/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LocalRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : LocalRing S
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
a : R
ha : IsUnit 0
h : ¬IsUnit a
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a a' : α
h : b ∈ f.fix a
h' : b ∈ f.fix a'
fa : Sum.inr a' ∈ f a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ f.fix a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
\u22a2 (fixInduction h fun a' h ih => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a').get ⋯ = x → C a') ((f a').get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a' ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a' a'' ⋯ e (ih a'' e)) ⋯) = hind a a' h' fa (fixInduction h' fun a' h ih => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a').get ⋯ = x → (fun x => C x) a') ((f a').get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a' ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a' a'' ⋯ e (ih a'' e)) ⋯)
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a a' : α
h : b ∈ f.fix a
h' : b ∈ f.fix a'
fa : Sum.inr a' ∈ f a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ f.fix a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
\u22a2 Sum.casesOn (motive := fun x => (f a).get ⋯ = x → C a) ((f a).get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a a'' ⋯ e ((fun a' h' => fixInduction ⋯ fun a' h ih => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a').get ⋯ = x → C a') ((f a').get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a' ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a' a'' ⋯ e (ih a'' e)) ⋯) a'' e)) ⋯ = hind a a' h' fa (fixInduction h' fun a' h ih => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a').get ⋯ = x → (fun x => C x) a') ((f a').get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a' ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a' a'' ⋯ e (ih a'' e)) ⋯)
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a a' : α
h : b ∈ f.fix a
h' : b ∈ f.fix a'
fa : Sum.inr a' ∈ f a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ f.fix a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀
\u22a2 (fun x e => Sum.casesOn (motive := fun y => (f a).get ⋯ = y → C a) x (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a a'' ⋯ e ((fun a' h' => fixInduction ⋯ fun a' h ih => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a').get ⋯ = x → C a') ((f a').get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a' ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a' a'' ⋯ e (ih a'' e)) ⋯) a'' e)) ⋯ = hind a a' h' fa (fixInduction h' fun a' h ih => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a').get ⋯ = x → (fun x => C x) a') ((f a').get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a' ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a' a'' ⋯ e (ih a'' e)) ⋯)) (Sum.inr a') ⋯
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/T0Sierpinski.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
\u22a2 Inducing ⇑(productOfMemOpens X)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/T0Sierpinski.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
\u22a2 inst✝ = ⨅ i, induced (fun x => x ∈ i) inferInstance
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
h : IsPreconnected s
\u22a2 IsPreconnected univ
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝⁵ : SetLike σ A
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝³ : GradedRing 𝒜
a : A
n i : ι
inst✝² : Sub ι
inst✝¹ : OrderedSub ι
inst✝ : ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : i ≤ n
b : ↥(𝒜 i)
\u22a2 ↑(((decompose 𝒜) (a * ↑b)) n) = ↑(((decompose 𝒜) a) (n - i)) * ↑b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q r : R[X]
S : Type u_1
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
x : S
\u22a2 eval₂ f x (p - q) = eval₂ f x p - eval₂ f x q
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Analytic.lean
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
z : ℂ
x : E
s : Set E
fa : AnalyticAt ℂ f x
ga : AnalyticAt ℂ g x
m : f x ∈ slitPlane
\u22a2 AnalyticAt ℂ (fun z => f z ^ g z) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Analytic.lean
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
z : ℂ
x : E
s : Set E
fa : AnalyticAt ℂ f x
ga : AnalyticAt ℂ g x
m : f x ∈ slitPlane
e : (fun z => f z ^ g z) =ᶠ[𝓝 x] fun z => cexp (log (f z) * g z)
\u22a2 AnalyticAt ℂ (fun z => f z ^ g z) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Analytic.lean
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
z : ℂ
x : E
s : Set E
fa : AnalyticAt ℂ f x
ga : AnalyticAt ℂ g x
m : f x ∈ slitPlane
e : (fun z => f z ^ g z) =ᶠ[𝓝 x] fun z => cexp (log (f z) * g z)
\u22a2 AnalyticAt ℂ (fun z => cexp (log (f z) * g z)) x
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Embedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
e : α ≃ᵐ β
hfe : Measurable (f ∘ ⇑e)
\u22a2 Measurable f
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Embedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
e : α ≃ᵐ β
hfe : Measurable (f ∘ ⇑e)
this : Measurable (f ∘ ⇑(e.symm.trans e).toEquiv)
\u22a2 Measurable f
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y✝ y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
y : 𝕜
x✝ : G
\u22a2 (y • f ⋆[L, μ] g) x✝ = (y • (f ⋆[L, μ] g)) x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/EffectiveEpi/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
B W : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
inst✝ : EffectiveEpiFamily X π
m₁ m₂ : B ⟶ W
h : ∀ (a : α), π a ≫ m₁ = π a ≫ m₂
\u22a2 m₁ = m₂
-- Mathlib/CategoryTheory/EffectiveEpi/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
B W : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
inst✝ : EffectiveEpiFamily X π
m₁ m₂ : B ⟶ W
h : ∀ (a : α), π a ≫ m₁ = π a ≫ m₂
this : m₂ = desc X π (fun a => π a ≫ m₂) ⋯
\u22a2 m₁ = m₂
-- Mathlib/CategoryTheory/EffectiveEpi/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
B W : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
inst✝ : EffectiveEpiFamily X π
m₁ m₂ : B ⟶ W
h : ∀ (a : α), π a ≫ m₁ = π a ≫ m₂
this : m₂ = desc X π (fun a => π a ≫ m₂) ⋯
\u22a2 m₁ = desc X π (fun a => π a ≫ m₂) ⋯
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
h : ∃ M, Infinite ↑M
κ : Cardinal.{w}
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
\u22a2 ∃ N, #↑N = κ
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ t✝ s t : Set α
inst✝¹ : Fintype ↑s
inst✝ : Fintype ↑t
h : s.toFinset = t.toFinset
\u22a2 s = t
-- Mathlib/Algebra/Star/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
x y : R
\u22a2 Commute (star x) y ↔ Commute x (star y)
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Defs.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q✝ q r : ℚ
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0
\u22a2 ↑(q + r) = ↑q + ↑r
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Defs.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q✝ q r : ℚ
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0
\u22a2 ↑(q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) / ↑(q.den * r.den) = (↑q.num * ↑r.den + ↑q.den * ↑r.num) / (↑q.den * ↑r.den)
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Defs.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q✝ q r : ℚ
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0
\u22a2 ↑(q.den * r.den) ≠ 0
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
β : Type u_1
m : α → β
f : Filter α
g : Set (Set β)
b : β
\u22a2 Tendsto m f (𝓝 b) ↔ ∀ s ∈ g, b ∈ s → m ⁻¹' s ∈ f
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
β : Type u_1
m : α → β
f : Filter α
g : Set (Set β)
b : β
\u22a2 (∀ i ∈ g, b ∈ i → ∀ᶠ (a : α) in f, m a ∈ i) ↔ ∀ s ∈ g, b ∈ s → m ⁻¹' s ∈ f
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
i : Fin (n + 1)
h : i ≠ last n
h' : optParam (i.rev ≠ 0) ⋯
\u22a2 (i.castPred h).rev = i.rev.pred h'
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R✝
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R✝ M
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R
h : I.FG
f : R →+* S
\u22a2 (Ideal.map f I).FG
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Pointwise.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
α : Type u_2
inst✝ : MulAction M α
m : Mˣ
\u22a2 Function.Bijective fun a => ↑m • a
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Pointwise.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
α : Type u_2
inst✝ : MulAction M α
m : Mˣ
\u22a2 ∃ g, (Function.LeftInverse g fun a => ↑m • a) ∧ Function.RightInverse g fun a => ↑m • a
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Pointwise.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
α : Type u_2
inst✝ : MulAction M α
m : Mˣ
\u22a2 (Function.LeftInverse (fun a => m⁻¹ • a) fun a => ↑m • a) ∧ Function.RightInverse (fun a => m⁻¹ • a) fun a => ↑m • a
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s✝ : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
s : Set ((i : ι) → α i)
\u22a2 sᶜ ∈ Filter.coprodᵢ f ↔ ∀ (i : ι), (eval i '' s)ᶜ ∈ f i
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁸ : CharZero 𝕂
inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸
inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
\u22a2 HasStrictFDerivAt (fun u => exp 𝕂 (u • x)) ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 x).smulRight (exp 𝕂 (t • x))) t
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁸ : CharZero 𝕂
inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸
inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
w✝ : FormalMultilinearSeries 𝕂 𝔸 𝔸
h✝ : HasFPowerSeriesAt (exp 𝕂) w✝ (t • x)
\u22a2 HasStrictFDerivAt (fun u => exp 𝕂 (u • x)) ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 x).smulRight (exp 𝕂 (t • x))) t
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁸ : CharZero 𝕂
inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸
inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
w✝ : FormalMultilinearSeries 𝕂 𝔸 𝔸
h✝ : HasFPowerSeriesAt (exp 𝕂) w✝ (t • x)
\u22a2 (ContinuousLinearMap.smulRight 1 x).smulRight (exp 𝕂 (t • x)) = exp 𝕂 (t • x) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁸ : CharZero 𝕂
inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸
inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
w✝ : FormalMultilinearSeries 𝕂 𝔸 𝔸
h✝ : HasFPowerSeriesAt (exp 𝕂) w✝ (t • x)
t' : 𝕊
\u22a2 Commute (t' • x) (exp 𝕂 (t • x))
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
\u22a2 ∑ i ∈ n.divisors, i = ∑ i ∈ n.properDivisors, i + n
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
\u22a2 ∑ i ∈ divisors 0, i = ∑ i ∈ properDivisors 0, i + 0
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 ∑ i ∈ n.divisors, i = ∑ i ∈ n.properDivisors, i + n
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.89869
inst✝ : MulAction R X
r : R
s : ↥S
\u22a2 r /ₒ s * 1 = r /ₒ s
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a n : ℕ
hp : 1 < a.succ
hk : 1 < n.succ
h : a.succ ^ n.succ ∣ a.succ
\u22a2 a.succ * a.succ ^ n ∣ a.succ * 1
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁷ : PartialOrder Γ✝
inst✝⁶ : PartialOrder Γ'
inst✝⁵ : VAdd Γ✝ Γ'
inst✝⁴ : IsOrderedCancelVAdd Γ✝ Γ'
inst✝³ : AddCommMonoid V
Γ : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : SMulWithZero R V
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ R V
hx : ¬x = 0
hy : ¬(of R).symm y = 0
\u22a2 ((of R).symm (x • y)).coeff (x.order + ((of R).symm y).order) = x.leadingCoeff • ((of R).symm y).leadingCoeff
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁷ : PartialOrder Γ✝
inst✝⁶ : PartialOrder Γ'
inst✝⁵ : VAdd Γ✝ Γ'
inst✝⁴ : IsOrderedCancelVAdd Γ✝ Γ'
inst✝³ : AddCommMonoid V
Γ : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : SMulWithZero R V
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ R V
hx : ¬x = 0
hy : ¬(of R).symm y = 0
\u22a2 ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ (⋯.min ⋯ + ⋯.min ⋯), x.coeff ij.1 • ((of R).symm y).coeff ij.2 = x.coeff (⋯.min ⋯) • ((of R).symm y).coeff (⋯.min ⋯)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
L✝ : Type u_3
inst✝² : Field L✝
inst✝¹ : Algebra K L✝
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hnfd : ¬FiniteDimensional F E
n : ℕ
L : IntermediateField F E
fin : FiniteDimensional F ↥L
hn : n < finrank F ↥L
\u22a2 ∃ L, FiniteDimensional F ↥L ∧ n + 1 < finrank F ↥L
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
L✝ : Type u_3
inst✝² : Field L✝
inst✝¹ : Algebra K L✝
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hnfd : ¬FiniteDimensional F E
n : ℕ
L : IntermediateField F E
fin : FiniteDimensional F ↥L
hn : n < finrank F ↥L
x : E
hx : x ∉ L
\u22a2 ∃ L, FiniteDimensional F ↥L ∧ n + 1 < finrank F ↥L
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
L✝ : Type u_3
inst✝² : Field L✝
inst✝¹ : Algebra K L✝
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hnfd : ¬FiniteDimensional F E
n : ℕ
L : IntermediateField F E
fin : FiniteDimensional F ↥L
hn : n < finrank F ↥L
x : E
hx : x ∉ L
L' : IntermediateField F E := L ⊔ F⟮x⟯
\u22a2 ∃ L, FiniteDimensional F ↥L ∧ n + 1 < finrank F ↥L
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
L✝ : Type u_3
inst✝² : Field L✝
inst✝¹ : Algebra K L✝
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hnfd : ¬FiniteDimensional F E
n : ℕ
L : IntermediateField F E
fin : FiniteDimensional F ↥L
hn : n < finrank F ↥L
x : E
hx : x ∉ L
L' : IntermediateField F E := L ⊔ F⟮x⟯
this : FiniteDimensional F ↥F⟮x⟯
\u22a2 ∃ L, FiniteDimensional F ↥L ∧ n + 1 < finrank F ↥L
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
L✝ : Type u_3
inst✝² : Field L✝
inst✝¹ : Algebra K L✝
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hnfd : ¬FiniteDimensional F E
n : ℕ
L : IntermediateField F E
fin : FiniteDimensional F ↥L
hn : n < finrank F ↥L
x : E
hx : x ∉ L
L' : IntermediateField F E := L ⊔ F⟮x⟯
this : FiniteDimensional F ↥F⟮x⟯
h : ¬n + 1 < finrank F ↥L'
\u22a2 False
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
L✝ : Type u_3
inst✝² : Field L✝
inst✝¹ : Algebra K L✝
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hnfd : ¬FiniteDimensional F E
n : ℕ
L : IntermediateField F E
fin : FiniteDimensional F ↥L
hn : n < finrank F ↥L
x : E
hx : x ∉ L
L' : IntermediateField F E := L ⊔ F⟮x⟯
this : FiniteDimensional F ↥F⟮x⟯
h : ¬n + 1 < finrank F ↥L'
h1 : L = L'
\u22a2 False
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁷ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
L✝ : Type u_3
inst✝² : Field L✝
inst✝¹ : Algebra K L✝
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
hnfd : ¬FiniteDimensional F E
n : ℕ
L : IntermediateField F E
fin : FiniteDimensional F ↥L
hn : n < finrank F ↥L
x : E
hx : x ∉ L
L' : IntermediateField F E := L ⊔ F⟮x⟯
this : FiniteDimensional F ↥F⟮x⟯
h : ¬n + 1 < finrank F ↥L'
h1 : L = L'
h2 : F⟮x⟯ ≤ L'
\u22a2 False
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D
\u22a2 e.inverse.map (e.counit.app Y) = e.unitInv.app (e.inverse.obj Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D
\u22a2 𝟙 (e.inverse.obj Y) = 𝟙 ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y))
-- Mathlib/Algebra/Group/Action/Defs.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝² : DivInvMonoid β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsScalarTower α β β
r : α
x y : β
\u22a2 r • x / y = r • (x / y)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ComplexShape.lean
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
j : ι
hj : ¬c.Rel j (c.next j)
k : ι
hk' : c.Rel j k
\u22a2 c.Rel j (c.next j)
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f✝ g : CircleDeg1Lift
f : CircleDeg1Liftˣ
x : ℝ
\u22a2 ↑f⁻¹ (↑f x) = x
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
\u22a2 yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 n ^ 3
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
\u22a2 yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 n * xn a1 n ^ (yn a1 n - 1) * yn a1 n
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
a : α
b : Bool
\u22a2 ¬Step [(a, b)] L
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
\u22a2 ⨍⁻ (_x : α), 0 ∂μ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Star.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
\u22a2 star ((ι Q) m) = -(ι Q) m
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
pb : PowerBasis K L
f : K[X]
\u22a2 pb.equivAdjoinSimple.symm ((aeval pb.gen) f) = (aeval (AdjoinSimple.gen K pb.gen)) f
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
γ : Type u_3
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : Preorder β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : SMul α γ
f : β → γ
inst✝ : PosSMulStrictMono α γ
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂
smul : ∀ (a : α) (b : β), f (a • b) = a • f b
a : α
ha : 0 < a
b₁ b₂ : β
hb : b₁ < b₂
\u22a2 a • b₁ < a • b₂
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
γ : Type u_3
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : Preorder β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : SMul α γ
f : β → γ
inst✝ : PosSMulStrictMono α γ
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂
a : α
ha : 0 < a
b₁ b₂ : β
smul : α → β → True
hb : f b₁ < f b₂
\u22a2 a • f b₁ < a • f b₂