ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a✝ b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : ∀ (a b : ℝ), IntervalIntegrable f μ a b
a : ℝ
\u22a2 ∀ (x : ℝ), ContinuousAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a✝ b b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : ∀ (a b : ℝ), IntervalIntegrable f μ a b
a b₀ : ℝ
\u22a2 ContinuousAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) b₀
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a✝ b b₀✝ b₁✝ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : ∀ (a b : ℝ), IntervalIntegrable f μ a b
a b₀ b₁ : ℝ
hb₁ : b₁ < b₀
\u22a2 ContinuousAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) b₀
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a✝ b b₀✝ b₁✝ b₂✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : ∀ (a b : ℝ), IntervalIntegrable f μ a b
a b₀ b₁ : ℝ
hb₁ : b₁ < b₀
b₂ : ℝ
hb₂ : b₀ < b₂
\u22a2 ContinuousAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) b₀
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a✝ b b₀✝ b₁✝ b₂✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : ∀ (a b : ℝ), IntervalIntegrable f μ a b
a b₀ b₁ : ℝ
hb₁ : b₁ < b₀
b₂ : ℝ
hb₂ : b₀ < b₂
\u22a2 ContinuousWithinAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) (Icc b₁ b₂) b₀
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : CommRing T
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K S
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : Nontrivial S
pb : PowerBasis K S
\u22a2 (Algebra.trace K S) pb.gen = -(minpoly K pb.gen).nextCoeff
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : CommRing T
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K S
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : Nontrivial S
pb : PowerBasis K S
d_pos : 0 < pb.dim
\u22a2 (Algebra.trace K S) pb.gen = -(minpoly K pb.gen).nextCoeff
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : CommRing T
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K S
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : Nontrivial S
pb : PowerBasis K S
d_pos : 0 < pb.dim
d_pos' : 0 < (minpoly K pb.gen).natDegree
this : Nonempty (Fin pb.dim)
\u22a2 (Algebra.trace K S) pb.gen = -(minpoly K pb.gen).nextCoeff
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
H1 : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, dist x y ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ s, dist x y ≤ r
\u22a2 hausdorffDist s t ≤ r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
H1 : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, dist x y ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ s, dist x y ≤ r
\u22a2 ∀ x ∈ s, infDist x t ≤ r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
H1 : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, dist x y ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ s, dist x y ≤ r
\u22a2 ∀ x ∈ t, infDist x s ≤ r
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Order.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : OrderedCommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a a₁ a₂ : α
hf : HasProd f a
i : ι
hb : ∀ (j : ι), j ≠ i → 1 ≤ f j
\u22a2 f i = ∏ i ∈ {i}, f i
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
\u22a2 ∑' (k : ℕ), 2 ^ k * f (2 ^ k) ≤ f 1 + 2 * ∑' (k : ℕ), f k
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
\u22a2 ⨆ i, ∑ a ∈ range i.succ, 2 ^ a * f (2 ^ a) ≤ f 1 + 2 • ∑' (k : ℕ), f k
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 1 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
n : ℕ
\u22a2 ∑ a ∈ range n.succ, 2 ^ a * f (2 ^ a) ≤ f 1 + 2 • ∑ x ∈ Ico 2 (2 ^ n + 1), f x
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/OfBiproducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X Y : C
h₂ : ∀ (f : X ⟶ Y), biprod.desc 0 f = biprod.snd ≫ f
h₁ : ∀ (f : X ⟶ Y), biprod.desc f 0 = biprod.fst ≫ f
\u22a2 EckmannHilton.IsUnital (fun x x_1 => rightAdd X Y x x_1) 0
-- Mathlib/NumberTheory/EllipticDivisibilitySequence.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
\u22a2 normEDS b c d 4 = d * b
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Power.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h₀ : 0 < a
h₁ : a ≠ 1
\u22a2 Injective fun x => a ^ x
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Power.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h₀ : 0 < a
h₁ : a ≠ 1
H : a < 1
\u22a2 Injective fun x => a ^ x
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Power.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h₀ : 0 < a
h₁ : a ≠ 1
H : 1 < a
\u22a2 Injective fun x => a ^ x
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : NoMaxOrder β
u : ℕ → β
hu : Tendsto u atTop atTop
\u22a2 ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ k < n, u k < u n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x y z : M
hxy : x ∈ span R {y}
hyz : y ∈ span R {z}
\u22a2 x ∈ span R {z}
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x y z : M
hxy : {x} ⊆ ↑(span R {y})
hyz : {y} ⊆ ↑(span R {z})
\u22a2 {x} ⊆ ↑(span R {z})
-- Mathlib/Algebra/Group/Semiconj/Defs.lean
S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : Semigroup S
a b x y z x' y' : S
h : SemiconjBy a x y
h' : SemiconjBy a x' y'
\u22a2 a * (x * x') = y * y' * a
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
a b : α
h : preStoneCechUnit a = preStoneCechUnit b
\u22a2 g a = g b
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
a b : α
h : preStoneCechUnit a = preStoneCechUnit b
e : Ultrafilter.extend g ∘ pure = g
\u22a2 g a = g b
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
a b : α
h : preStoneCechUnit a = preStoneCechUnit b
e : Ultrafilter.extend g ∘ pure = g
\u22a2 Ultrafilter.extend g (pure a) = Ultrafilter.extend g (pure b)
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
a b : α
h : EqvGen (fun F G => ∃ x, ↑F ≤ 𝓝 x ∧ ↑G ≤ 𝓝 x) (pure a) (pure b)
e : Ultrafilter.extend g ∘ pure = g
\u22a2 Ultrafilter.extend g (pure a) = Ultrafilter.extend g (pure b)
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
a b : α
e : Ultrafilter.extend g ∘ pure = g
F G : Ultrafilter α
h : EqvGen (fun F G => ∃ x, ↑F ≤ 𝓝 x ∧ ↑G ≤ 𝓝 x) F G
\u22a2 Ultrafilter.extend g F = Ultrafilter.extend g G
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
y : M
h : x ∈ span R {y}
\u22a2 ∃ a, a • y = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
y : M
h : x ∈ span R {y}
\u22a2 ∀ x ∈ {y}, ∃ a, a • y = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
y : M
h : x ∈ span R {y}
\u22a2 ∃ a, a • y = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
y : M
h : x ∈ span R {y}
\u22a2 ∀ (x y_1 : M), (∃ a, a • y = x) → (∃ a, a • y = y_1) → ∃ a, a • y = x + y_1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
y : M
h : x ∈ span R {y}
\u22a2 ∀ (a : R) (x : M), (∃ a, a • y = x) → ∃ a_2, a_2 • y = a • x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
y : M
a : R
\u22a2 a • y ∈ span R {y}
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y x : ℝ
\u22a2 cosh x * 2 = rexp x + rexp (-x)
-- Mathlib/Order/MinMax.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a b c d : α
\u22a2 min a c < min b c ↔ a < b ∧ a < c
-- Mathlib/Order/MinMax.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a b c d : α
\u22a2 (a < b ∨ c < b) ∧ a < c ↔ a < b ∧ a < c
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
X₁₁ X₁₂ X₁₃ X₂₁ X₂₂ X₂₃ : C
h₁₁ : X₁₁ ⟶ X₁₂
h₁₂ : X₁₂ ⟶ X₁₃
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₂₃ : X₂₁ ⟶ X₂₃
v₁₁ : X₁₁ ⟶ X₂₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₁₃ : X₁₃ ⟶ X₂₃
s : IsPushout (h₁₁ ≫ h₁₂) v₁₁ v₁₃ h₂₃
t : IsPushout h₁₁ v₁₁ v₁₂ h₂₁
\u22a2 h₁₁ ≫ h₁₂ ≫ v₁₃ = v₁₁ ≫ h₂₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
X₁₁ X₁₂ X₁₃ X₂₁ X₂₂ X₂₃ : C
h₁₁ : X₁₁ ⟶ X₁₂
h₁₂ : X₁₂ ⟶ X₁₃
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₂₃ : X₂₁ ⟶ X₂₃
v₁₁ : X₁₁ ⟶ X₂₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₁₃ : X₁₃ ⟶ X₂₃
s : IsPushout (h₁₁ ≫ h₁₂) v₁₁ v₁₃ h₂₃
t : IsPushout h₁₁ v₁₁ v₁₂ h₂₁
\u22a2 h₁₂ ≫ v₁₃ = v₁₂ ≫ t.desc (h₁₂ ≫ v₁₃) h₂₃ ⋯
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
\u22a2 W.φ 0 = 1
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : h₀ ≫ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : S₁.g ≫ h₃ = 0
\u22a2 homologyMap (S₁.nullHomotopic S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i j : n
hij : i ≠ j
\u22a2 (A.updateColumn i fun k => A k i + A k j).det = A.det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i j : n
hij : i ≠ j
\u22a2 (Aᵀ.updateRow i fun k => A k i + A k j).det = Aᵀ.det
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
ha : a ≠ 0
x✝ : p ∣ q
r : R[X]
hr : q = p * r
\u22a2 q = C a * p * (C a⁻¹ * r)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t✝ : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
h : IsFundamentalDomain G s μ
hν : ν ≪ μ
t : Set α
\u22a2 ν t = ∑' (g : G), ν (t ∩ g • s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H✝
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H✝ β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t✝ : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
h : IsFundamentalDomain G s μ
hν : ν ≪ μ
t : Set α
H : ν.restrict t ≪ μ
\u22a2 ν t = ∑' (g : G), ν (t ∩ g • s)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝¹³ : CommRing A
inst✝¹² : IsDomain A
L : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra A K
inst✝⁸ : Algebra A L
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
C : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing C
inst✝⁵ : IsDomain C
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic A L
inj : ∀ (x : A), (algebraMap A L) x = 0 → x = 0
z : L
x : ↥(integralClosure A L)
y : A
hy : y ≠ 0
hxy : z * (algebraMap A L) y = ↑x
h : (algebraMap A C) y = 0
\u22a2 (algebraMap A L) y = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝¹³ : CommRing A
inst✝¹² : IsDomain A
L : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra A K
inst✝⁸ : Algebra A L
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
C : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing C
inst✝⁵ : IsDomain C
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic A L
inj : ∀ (x : A), (algebraMap A L) x = 0 → x = 0
z : L
x : ↥(integralClosure A L)
y : A
hy : y ≠ 0
hxy : z * (algebraMap A L) y = ↑x
\u22a2 z * (algebraMap C L) ((algebraMap A C) y) = (algebraMap C L) (mk' C ↑x ⋯)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝¹³ : CommRing A
inst✝¹² : IsDomain A
L : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Algebra A K
inst✝⁸ : Algebra A L
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
C : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing C
inst✝⁵ : IsDomain C
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic A L
inj : ∀ (x : A), (algebraMap A L) x = 0 → x = 0
x y : C
h : (algebraMap C L) x = (algebraMap C L) y
\u22a2 ↑1 * x = ↑1 * y
-- Mathlib/Probability/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s✝ : ι → Set Ω
s : ℕ → Set Ω
hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤
\u22a2 μ (limsup s atTop) = 1
-- Mathlib/Probability/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s✝ : ι → Set Ω
s : ℕ → Set Ω
hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤
\u22a2 μ {ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) k]) ω) atTop atTop} = 1
-- Mathlib/Probability/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s✝ : ι → Set Ω
s : ℕ → Set Ω
hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤
\u22a2 {ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) k]) ω) atTop atTop} =ᶠ[ae μ] Set.univ
-- Mathlib/Probability/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s✝ : ι → Set Ω
s : ℕ → Set Ω
hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤
this : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (fun x => (μ (s (n + 1))).toReal) ω
\u22a2 {ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) k]) ω) atTop atTop} =ᶠ[ae μ] Set.univ
-- Mathlib/Probability/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s✝ : ι → Set Ω
s : ℕ → Set Ω
hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤
this : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (fun x => (μ (s (n + 1))).toReal) ω
ω : Ω
hω : ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (μ (s (n + 1))).toReal
\u22a2 {ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) k]) ω) atTop atTop} ω = Set.univ ω
-- Mathlib/Probability/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s✝ : ι → Set Ω
s : ℕ → Set Ω
hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤
this : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (fun x => (μ (s (n + 1))).toReal) ω
ω : Ω
hω : ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (μ (s (n + 1))).toReal
\u22a2 Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) k]) ω) atTop atTop
-- Mathlib/Probability/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s✝ : ι → Set Ω
s : ℕ → Set Ω
hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤
this : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (fun x => (μ (s (n + 1))).toReal) ω
ω : Ω
hω : ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (μ (s (n + 1))).toReal
\u22a2 Tendsto (fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, (μ (s (x + 1))).toReal) atTop atTop
-- Mathlib/Probability/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s✝ : ι → Set Ω
s : ℕ → Set Ω
hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤
this : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (fun x => (μ (s (n + 1))).toReal) ω
ω : Ω
hω : ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (μ (s (n + 1))).toReal
htends : Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, μ (s (k + 1))) atTop (𝓝 ⊤)
\u22a2 Tendsto (fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, (μ (s (x + 1))).toReal) atTop atTop
-- Mathlib/Probability/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s✝ : ι → Set Ω
s : ℕ → Set Ω
hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤
this : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (fun x => (μ (s (n + 1))).toReal) ω
ω : Ω
hω : ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (μ (s (n + 1))).toReal
htends : ∀ (x : NNReal), ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, ↑x < ∑ k ∈ Finset.range a, μ (s (k + 1))
\u22a2 Tendsto (fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, (μ (s (x + 1))).toReal) atTop atTop
-- Mathlib/Probability/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s✝ : ι → Set Ω
s : ℕ → Set Ω
hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤
this : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (fun x => (μ (s (n + 1))).toReal) ω
ω : Ω
hω : ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (μ (s (n + 1))).toReal
htends : ∀ (x : NNReal), ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, ↑x < ∑ k ∈ Finset.range a, μ (s (k + 1))
\u22a2 Monotone fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, (μ (s (x + 1))).toReal