ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
m : Multiset α
x : α
n : ℕ
\u22a2 m < replicate (n + 1) x ↔ m ≤ replicate n x
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
m : Multiset α
x : α
n : ℕ
\u22a2 (∃ a, a ::ₘ m ≤ replicate (n + 1) x) ↔ m ≤ replicate n x
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i k₁ k₀ : ι
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
hk₁ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel l k₁
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
\u22a2 (dNext k₁) hom + (prevD k₁) hom = C.d k₁ k₀ ≫ hom k₀ k₁
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i k₁ k₀ : ι
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
hk₁ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel l k₁
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
\u22a2 ¬c.Rel (c.prev k₁) k₁
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/FunctorCategory.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{z, w} D
inst✝ : Abelian D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C
\u22a2 ((evaluation C D).obj X).map (cokernel.π α) ≫ (PreservesCokernel.iso ((evaluation C D).obj X) α).hom = (Iso.refl (((evaluation C D).obj X).obj G)).hom ≫ cokernel.π (α.app X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/FunctorCategory.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{z, w} D
inst✝ : Abelian D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C
\u22a2 (((evaluation C D).obj X).map (cokernel.π α) ≫ (PreservesCokernel.iso ((evaluation C D).obj X) α).hom) ≫ (PreservesCokernel.iso ((evaluation C D).obj X) α).inv = ((Iso.refl (((evaluation C D).obj X).obj G)).hom ≫ cokernel.π (α.app X)) ≫ (PreservesCokernel.iso ((evaluation C D).obj X) α).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/FunctorCategory.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{z, w} D
inst✝ : Abelian D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C
\u22a2 ((evaluation C D).obj X).map (cokernel.π α) ≫ 𝟙 (((evaluation C D).obj X).obj (cokernel α)) = (Iso.refl (((evaluation C D).obj X).obj G)).hom ≫ cokernel.π (α.app X) ≫ (PreservesCokernel.iso ((evaluation C D).obj X) α).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/FunctorCategory.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{z, w} D
inst✝ : Abelian D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C
\u22a2 (cokernel.π α).app X ≫ 𝟙 ((cokernel α).obj X) = 𝟙 (G.obj X) ≫ cokernel.π (α.app X) ≫ (PreservesCokernel.iso ((evaluation C D).obj X) α).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/FunctorCategory.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{z, w} D
inst✝ : Abelian D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C
\u22a2 (cokernel.π α).app X = cokernel.π (α.app X) ≫ cokernelComparison α ((evaluation C D).obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Trifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{?u.17195, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{?u.17199, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.17203, u_3} C₃
inst✝² : Category.{?u.17207, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.17211, u_5} C₁₂
inst✝ : Category.{?u.17215, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁
φ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ Y₂ : GradedObject I₂ C₂
ψ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
x : I₁ × I₂ × I₃
\u22a2 ((F.obj (X₁ x.1)).map (ψ x.2.1)).app (X₃ x.2.2) ≫ ((F.map (φ x.1)).app (Y₂ x.2.1)).app (X₃ x.2.2) = ((F.map (φ x.1)).app (X₂ x.2.1)).app (X₃ x.2.2) ≫ ((F.obj (Y₁ x.1)).map (ψ x.2.1)).app (X₃ x.2.2)
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Trifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{?u.17195, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{?u.17199, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.17203, u_3} C₃
inst✝² : Category.{?u.17207, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.17211, u_5} C₁₂
inst✝ : Category.{?u.17215, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁
φ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ Y₂ : GradedObject I₂ C₂
ψ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
x : I₁ × I₂ × I₃
\u22a2 ((F.obj (X₁ x.1)).map (ψ x.2.1) ≫ (F.map (φ x.1)).app (Y₂ x.2.1)).app (X₃ x.2.2) = ((F.map (φ x.1)).app (X₂ x.2.1) ≫ (F.obj (Y₁ x.1)).map (ψ x.2.1)).app (X₃ x.2.2)
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Trifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{?u.17195, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{?u.17199, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{?u.17203, u_3} C₃
inst✝² : Category.{?u.17207, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.17211, u_5} C₁₂
inst✝ : Category.{?u.17215, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁
φ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ Y₂ : GradedObject I₂ C₂
ψ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
x : I₁ × I₂ × I₃
\u22a2 (F.obj (X₁ x.1)).map (ψ x.2.1) ≫ (F.map (φ x.1)).app (Y₂ x.2.1) = (F.map (φ x.1)).app (X₂ x.2.1) ≫ (F.obj (Y₁ x.1)).map (ψ x.2.1)
-- Mathlib/Data/List/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ
\u22a2 antidiagonal (n + 1) = (0, n + 1) :: map (Prod.map succ id) (antidiagonal n)
-- Mathlib/Data/List/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ
\u22a2 (0, n + 1) :: (succ 0, n) :: map ((fun i => (i, n + 1 - i)) ∘ succ ∘ succ) (range n) = (0, n + 1) :: (succ 0, n) :: map (Prod.map succ id ∘ (fun i => (i, n - i)) ∘ succ) (range n)
-- Mathlib/Data/List/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ
\u22a2 map ((fun i => (i, n + 1 - i)) ∘ succ ∘ succ) (range n) = map (Prod.map succ id ∘ (fun i => (i, n - i)) ∘ succ) (range n)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
\u22a2 (locallyRingedSpaceMap (f ≫ g)).val = (locallyRingedSpaceMap g ≫ locallyRingedSpaceMap f).val
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
\u22a2 sheafedSpaceMap g ≫ sheafedSpaceMap f = (locallyRingedSpaceMap g ≫ locallyRingedSpaceMap f).val
-- Mathlib/Data/List/Enum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n i : ℕ
x : α
l : List α
\u22a2 (n + i, x) ∈ enumFrom n l ↔ l.get? i = some x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
z : ℂ
\u22a2 Complex.orientation.rightAngleRotation z = I * z
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
z : ℂ
\u22a2 ∀ (v : ℂ), ⟪Complex.orientation.rightAngleRotation z, v⟫_ℝ = ⟪I * z, v⟫_ℝ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
z w : ℂ
\u22a2 ⟪Complex.orientation.rightAngleRotation z, w⟫_ℝ = ⟪I * z, w⟫_ℝ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
z w : ℂ
\u22a2 (Complex.orientation.areaForm z) w = ⟪I * z, w⟫_ℝ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
z w : ℂ
\u22a2 z.re * w.im + -z.im * w.re = (-0 * z.re - -1 * -z.im) * w.re - (-0 * -z.im + -1 * z.re) * w.im
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Triangulated.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
\u22a2 ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map ((CochainComplex.mappingCone.triangle g).mor₃ ≫ (shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map (CochainComplex.mappingCone.inr f)) ≫ ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app (CochainComplex.mappingCone f)) ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map (𝟙 ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).obj (CochainComplex.mappingCone f))) = (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (CochainComplex.mappingConeCompHomotopyEquiv f g).hom ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (CochainComplex.mappingCone.triangle (CochainComplex.mappingCone.map f (f ≫ g) (𝟙 X₁) g ⋯)).mor₃ ≫ ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app (CochainComplex.mappingCone f)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Triangulated.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
\u22a2 (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map ((CochainComplex.mappingCone.triangle g).mor₃ ≫ (shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map (CochainComplex.mappingCone.inr f)) ≫ ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app (CochainComplex.mappingCone f) = (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map ((CochainComplex.mappingConeCompHomotopyEquiv f g).hom ≫ (CochainComplex.mappingCone.triangle (CochainComplex.mappingCone.map f (f ≫ g) (𝟙 X₁) g ⋯)).mor₃) ≫ ((quotient C (ComplexShape.up ℤ)).commShiftIso 1).hom.app (CochainComplex.mappingCone f)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Triangulated.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
\u22a2 (CochainComplex.mappingCone.triangle g).mor₃ ≫ (shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map (CochainComplex.mappingCone.inr f) = (CochainComplex.mappingConeCompHomotopyEquiv f g).hom ≫ (CochainComplex.mappingCone.triangle (CochainComplex.mappingCone.map f (f ≫ g) (𝟙 X₁) g ⋯)).mor₃
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/NatInt.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
g g' : G
inst✝¹ : UniformSpace G
inst✝ : UniformGroup G
f : ℕ → G
\u22a2 (CauchySeq fun s => ∏ n ∈ s, f n) ↔ ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ N, ∀ t ⊆ {n | N ≤ n}, ∏' (n : ↑t), f ↑n ∈ e
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/NatInt.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
g g' : G
inst✝¹ : UniformSpace G
inst✝ : UniformGroup G
f : ℕ → G
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Set ℕ), Disjoint t ↑s → ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ e
e : Set G
he : e ∈ 𝓝 1
\u22a2 ∃ N, ∀ t ⊆ {n | N ≤ n}, ∏' (n : ↑t), f ↑n ∈ e
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/NatInt.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
g g' : G
inst✝¹ : UniformSpace G
inst✝ : UniformGroup G
f : ℕ → G
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ N, ∀ t ⊆ {n | N ≤ n}, ∏' (n : ↑t), f ↑n ∈ e
e : Set G
he : e ∈ 𝓝 1
\u22a2 ∃ s, ∀ (t : Set ℕ), Disjoint t ↑s → ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ e
-- Mathlib/Algebra/Group/Int.lean
u v : ℤ
\u22a2 IsUnit u ↔ u.natAbs = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Marginal.lean
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y : (i : δ) → π i
i✝ : δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
i : δ
hi : i ∉ s
x : (i : δ) → π i
\u22a2 (∫⋯∫⁻_insert i s, f ∂μ) x = ∫⁻ (xᵢ : π i), (∫⋯∫⁻_s, f ∂μ) (update x i xᵢ) ∂μ i
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s t : Set α
a : α
\u22a2 op '' s⁻¹ = (op '' s)⁻¹
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Topology.lean
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
\u22a2 (∃ o, o ≠ 0 ∧ ∃ f, (∀ (x : Ordinal.{u}) (hx : x < o), f x hx ∈ s) ∧ o.bsup f = a) ↔ ∃ o, ∃ (_ : o ≠ 0), ∃ f, (∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi ∈ s) ∧ o.bsup f = a
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
x : α
n : ℕ
h : x < ↑n
\u22a2 x < ↑↑n
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → β → α
f : β → α
S : Set β
h₁ : ∀ x ∈ S, Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (𝓝 (f x))
h₂ : UniformEquicontinuousOn F S
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
\u22a2 U ∈ map (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → β → α
f : β → α
S : Set β
h₁ : ∀ x ∈ S, Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (𝓝 (f x))
h₂ : UniformEquicontinuousOn F S
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
\u22a2 (fun x => (f x.1, f x.2)) ⁻¹' U ∈ 𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → β → α
f : β → α
S : Set β
h₁ : ∀ x ∈ S, Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (𝓝 (f x))
h₂ : UniformEquicontinuousOn F S
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVclosed : IsClosed V
hVU : V ⊆ U
\u22a2 (fun x => (f x.1, f x.2)) ⁻¹' U ∈ 𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → β → α
f : β → α
S : Set β
h₁ : ∀ x ∈ S, Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (𝓝 (f x))
h₂ : UniformEquicontinuousOn F S
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVclosed : IsClosed V
hVU : V ⊆ U
\u22a2 ∀ (a : β × β), (∀ (i : ι), (F i a.1, F i a.2) ∈ V) → a ∈ S ×ˢ S → a ∈ (fun x => (f x.1, f x.2)) ⁻¹' U
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → β → α
f : β → α
S : Set β
h₁ : ∀ x ∈ S, Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (𝓝 (f x))
h₂ : UniformEquicontinuousOn F S
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVclosed : IsClosed V
hVU : V ⊆ U
x y : β
hxy : ∀ (i : ι), (F i (x, y).1, F i (x, y).2) ∈ V
hxS : (x, y).1 ∈ S
hyS : (x, y).2 ∈ S
\u22a2 (x, y) ∈ (fun x => (f x.1, f x.2)) ⁻¹' U
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Differentials/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S : Cᵒᵖ ⥤ CommRingCat
F : C ⥤ D
S' R : Dᵒᵖ ⥤ CommRingCat
M N : PresheafOfModules (R ⋙ forget₂ CommRingCat RingCat)
φ : S ⟶ F.op ⋙ R
φ' : S' ⟶ R
X Y : Dᵒᵖ
f : X ⟶ Y
x : ↑(R.obj X)
\u22a2 ((relativeDifferentials' φ').map f) (CommRingCat.KaehlerDifferential.d x) = CommRingCat.KaehlerDifferential.d ((R.map f) x)
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α
\u22a2 (s₁ ∩ s₂) ○ t ⊆ s₁ ○ t ∩ s₂ ○ t
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K✝ : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing A'
inst✝⁷ : CommRing A''
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R A'
inst✝⁴ : Algebra R A''
a b : R
K : Type u_9
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : Algebra K A
inst✝ : IsScalarTower R K A
hinj : Injective ⇑(algebraMap R K)
ai : AlgebraicIndependent K x
\u22a2 AlgebraicIndependent R x
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K✝ : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing A'
inst✝⁷ : CommRing A''
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R A'
inst✝⁴ : Algebra R A''
a b : R
K : Type u_9
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : Algebra K A
inst✝ : IsScalarTower R K A
hinj : Injective ⇑(algebraMap R K)
ai : AlgebraicIndependent K x
this : (aeval x).comp (MvPolynomial.map (algebraMap R K)) = (aeval x).toRingHom
\u22a2 AlgebraicIndependent R x
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K✝ : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing A'
inst✝⁷ : CommRing A''
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R A'
inst✝⁴ : Algebra R A''
a b : R
K : Type u_9
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : Algebra K A
inst✝ : IsScalarTower R K A
hinj : Injective ⇑(algebraMap R K)
ai : AlgebraicIndependent K x
this : (aeval x).comp (MvPolynomial.map (algebraMap R K)) = (aeval x).toRingHom
\u22a2 Injective ⇑(aeval x).toRingHom
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K✝ : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing A'
inst✝⁷ : CommRing A''
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R A'
inst✝⁴ : Algebra R A''
a b : R
K : Type u_9
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : Algebra K A
inst✝ : IsScalarTower R K A
hinj : Injective ⇑(algebraMap R K)
ai : AlgebraicIndependent K x
this : (aeval x).comp (MvPolynomial.map (algebraMap R K)) = (aeval x).toRingHom
\u22a2 Injective (⇑(aeval x).toRingHom ∘ ⇑(MvPolynomial.map (algebraMap R K)))
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
f : R →+* S
t : Subsemiring S
h : t ≤ f.rangeS
\u22a2 map f (comap f t) = t
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
x y : E
hs : StrictConvex 𝕜 s
zero_mem : 0 ∈ s
hx : x ∈ s
hx₀ : x ≠ 0
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1
\u22a2 t • x ∈ interior s
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
hx : Liouville x
p : ℝ
\u22a2 LiouvilleWith p x
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
hx : Liouville x
p : ℝ
\u22a2 LiouvilleWith (↑⌈p⌉₊) x
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
hx : Liouville x
p : ℝ
\u22a2 ∀ (x_1 : ℕ), (1 < x_1 ∧ ∃ a, x ≠ ↑a / ↑x_1 ∧ |x - ↑a / ↑x_1| < 1 / ↑x_1 ^ ⌈p⌉₊) → ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < 1 / ↑x_1 ^ ↑⌈p⌉₊
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
hx : Liouville x
p : ℝ
b : ℕ
_hb : 1 < b
a : ℤ
hne : x ≠ ↑a / ↑b
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ ⌈p⌉₊
\u22a2 |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ ↑⌈p⌉₊
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuationTopology.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
\u22a2 (𝓝 0).HasBasis (fun x => True) fun γ => {x | v x < ↑γ}
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
a : α
pa : p a = true
x : α
xs l₂ : List α
h : a ∈ x :: xs
h' : ¬p x = true
\u22a2 eraseP p (xs ++ l₂) = eraseP p xs ++ l₂
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
a : α
pa : p a = true
x : α
xs l₂ : List α
h : a ∈ x :: xs
h' : ¬p x = true
\u22a2 a = x → p x = true
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g✝ : α → ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Surjective f
g : β → ℝ≥0∞
\u22a2 ∑' (y : β), g y = ∑' (y : β), g (f (surjInv hf y))
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
R✝ : Type u
I : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R✝
x y z : R✝
s : I → R✝
t : Finset I
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b : ℕ
h : a.Coprime b
\u22a2 IsCoprime ↑a ↑b
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
R✝ : Type u
I : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R✝
x y z : R✝
s : I → R✝
t : Finset I
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b : ℕ
h : IsCoprime ↑a ↑b
\u22a2 IsCoprime ↑a ↑b
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
R✝ : Type u
I : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R✝
x y z : R✝
s : I → R✝
t : Finset I
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b : ℕ
h : IsCoprime ↑a ↑b
\u22a2 IsCoprime ↑↑a ↑↑b
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
β : Type v
a : α
f : Filter α
t : TopologicalSpace α
\u22a2 nhdsAdjoint a f ≤ t ↔ f ≤ (fun t => 𝓝 a) t
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
β : Type v
a : α
f : Filter α
t : TopologicalSpace α
\u22a2 nhdsAdjoint a f ≤ t ↔ ∀ (s : Set α), a ∈ s → IsOpen s → s ∈ f
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Division.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
i j : σ
\u22a2 X i ∣ X j ↔ i = j
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Division.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
i j : σ
\u22a2 Finsupp.single i 1 ≤ Finsupp.single j 1 ↔ i = j
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
\u22a2 Continuous fun p => ∑ i : α, a i * b i ^ p
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
x✝ : i ∈ univ
\u22a2 Continuous (HPow.hPow (b i))
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x : α
n : ℕ
\u22a2 (∑ i ∈ range n, (x + 1) ^ i) * x + 1 = (x + 1) ^ n
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x : α
n : ℕ
this : (∑ i ∈ range n, (x + 1) ^ i * 1 ^ (n - 1 - i)) * x + 1 ^ n = (x + 1) ^ n
\u22a2 (∑ i ∈ range n, (x + 1) ^ i) * x + 1 = (x + 1) ^ n
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x : α
n : ℕ
this : (∑ i ∈ range n, (x + 1) ^ i) * x + 1 = (x + 1) ^ n
\u22a2 (∑ i ∈ range n, (x + 1) ^ i) * x + 1 = (x + 1) ^ n
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformConvergence.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : Group G
𝔖✝ : Set (Set α)
inst✝¹ : UniformSpace G
inst✝ : UniformGroup G
𝔖 : Set (Set α)
h𝔖₁ : 𝔖.Nonempty
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
p : ι → Prop
b : ι → Set G
h : (𝓝 1).HasBasis p b
\u22a2 (𝓝 1).HasBasis (fun Si => Si.1 ∈ 𝔖 ∧ p Si.2) fun Si => {f | ∀ x ∈ Si.1, (toFun 𝔖) f x ∈ b Si.2}
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformConvergence.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : Group G
𝔖✝ : Set (Set α)
inst✝¹ : UniformSpace G
inst✝ : UniformGroup G
𝔖 : Set (Set α)
h𝔖₁ : 𝔖.Nonempty
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
p : ι → Prop
b : ι → Set G
h : (𝓝 1).HasBasis p b
this : (𝓤 G).HasBasis p fun i => {x | x.1 / x.2 ∈ b i}
\u22a2 (𝓝 1).HasBasis (fun Si => Si.1 ∈ 𝔖 ∧ p Si.2) fun Si => {f | ∀ x ∈ Si.1, (toFun 𝔖) f x ∈ b Si.2}
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformConvergence.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : Group G
𝔖✝ : Set (Set α)
inst✝¹ : UniformSpace G
inst✝ : UniformGroup G
𝔖 : Set (Set α)
h𝔖₁ : 𝔖.Nonempty
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
p : ι → Prop
b : ι → Set G
h : (𝓝 1).HasBasis p b
this : (𝓤 G).HasBasis p fun i => {x | x.1 / x.2 ∈ b i}
x✝¹ : Set α × ι
x✝ : α →ᵤ[𝔖] G
\u22a2 (∀ x ∈ x✝¹.1, (toFun 𝔖) x✝ x ∈ b x✝¹.2) ↔ (x✝, 1) ∈ UniformOnFun.gen 𝔖 x✝¹.1 {x | x.1 / x.2 ∈ b x✝¹.2}
-- Mathlib/CategoryTheory/DifferentialObject.lean
S : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroupWithOne S
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasShift C S
n : S
X : DifferentialObject S C
\u22a2 ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X.d ≫ (shiftComm X.obj 1 n).hom) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X.d ≫ (shiftComm X.obj 1 n).hom) = 0