ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Order/AbsoluteValue.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : OrderedCommRing S
inst✝¹ : Ring R
abv : AbsoluteValue R S
inst✝ : NoZeroDivisors S
a : R
ha : ¬a = 0
\u22a2 ¬abv (-a) = -abv a
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
\u22a2 G.chromaticNumber ≤ ↑n ↔ G.Colorable n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
h : G.chromaticNumber ≤ ↑n
\u22a2 G.Colorable n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
h : G.chromaticNumber ≤ ↑n
this : G.chromaticNumber ≠ ⊤
\u22a2 G.Colorable n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
h : G.chromaticNumber ≤ ↑n
this : ∃ n, G.Colorable n
\u22a2 G.Colorable n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
h : G.chromaticNumber ≤ ↑n
m : ℕ
hm : G.Colorable m
\u22a2 G.Colorable n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
h : sInf {n' | G.Colorable n'} ≤ n
m : ℕ
hm : G.Colorable m
\u22a2 G.Colorable n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
h : sInf {n' | G.Colorable n'} ≤ n
m : ℕ
hm : G.Colorable m
this : sInf {n' | G.Colorable n'} ∈ {n' | G.Colorable n'}
\u22a2 G.Colorable n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
h : sInf {n' | G.Colorable n'} ≤ n
m : ℕ
hm : G.Colorable m
this : G.Colorable (sInf {n' | G.Colorable n'})
\u22a2 G.Colorable n
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
inst✝ : Nonempty ι
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α
\u22a2 (⨅ i, m i) s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i, (m i) (t n)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
inst✝ : Nonempty ι
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α
\u22a2 ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ μ ∈ range m, μ (t n) = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i, (m i) (t n)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
lt_hf' : ∀ x ∈ interior D, deriv f x < C
x✝ : ℝ
hx✝ : x✝ ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x✝ < y
x : ℝ
hx : x ∈ interior D
\u22a2 -C < deriv (fun y => -f y) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
lt_hf' : ∀ x ∈ interior D, deriv f x < C
x✝ : ℝ
hx✝ : x✝ ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x✝ < y
x : ℝ
hx : x ∈ interior D
\u22a2 deriv f x < C
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
lt_hf' : ∀ x ∈ interior D, deriv f x < C
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x < y
hf'_gt : ∀ x ∈ interior D, -C < deriv (fun y => -f y) x
\u22a2 f y - f x < C * (y - x)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X
y : Y
s : Set (X × Y)
\u22a2 s ∈ 𝓝 (x, y) ↔ ∃ u ∈ 𝓝 x, ∃ v ∈ 𝓝 y, u ×ˢ v ⊆ s
-- Mathlib/Data/Sum/Interval.lean
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f₁ f₁' : α₁ → β₁ → Finset γ₁
f₂ f₂' : α₂ → β₂ → Finset γ₂
g₁ g₁' : α₁ → β₂ → Finset γ₁
g₂ g₂' : α₁ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
\u22a2 (sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ a b).Nonempty ↔ (∃ a₁ b₁, a = inl a₁ ∧ b = inl b₁ ∧ (f₁ a₁ b₁).Nonempty) ∨ (∃ a₁ b₂, a = inl a₁ ∧ b = inr b₂ ∧ ((g₁ a₁ b₂).Nonempty ∨ (g₂ a₁ b₂).Nonempty)) ∨ ∃ a₂ b₂, a = inr a₂ ∧ b = inr b₂ ∧ (f₂ a₂ b₂).Nonempty
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Unitization.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : StarRing R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubsemiringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
inst✝ : StarMemClass S A
s : S
\u22a2 (unitization s).range = StarAlgebra.adjoin R ↑s
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Unitization.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : StarRing R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubsemiringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
inst✝ : StarMemClass S A
s : S
\u22a2 StarAlgebra.adjoin R ↑(NonUnitalStarAlgHom.range (NonUnitalStarSubalgebraClass.subtype s)) = StarAlgebra.adjoin R ↑s
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Unitization.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : StarRing R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubsemiringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
inst✝ : StarMemClass S A
s : S
\u22a2 StarAlgebra.adjoin R {x | x ∈ s} = StarAlgebra.adjoin R ↑s
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
R✝ : Type u_1
p✝ m n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : ExpChar R✝ p✝
inst✝⁴ : PerfectRing R✝ p✝
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : PerfectRing R p
f : R[X]
\u22a2 ¬Irreducible ((expand R p) f)
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
R✝ : Type u_1
p✝ m n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : ExpChar R✝ p✝
inst✝⁴ : PerfectRing R✝ p✝
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : PerfectRing R p
f : R[X]
\u22a2 ¬Irreducible (map (↑(frobeniusEquiv R p).symm) f ^ p)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : [x-[ℝ]x + y] ⊆ s
\u22a2 y ∈ posTangentConeAt s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : [x-[ℝ]x + y] ⊆ s
\u22a2 ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + x_1 • y ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : [x-[ℝ]x + y] ⊆ s
\u22a2 ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝 0, x_1 ∈ Ioi 0 → x + x_1 • y ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : [x-[ℝ]x + y] ⊆ s
t : ℝ
ht₁ : t ≤ 1
ht₀ : t ∈ Ioi 0
\u22a2 x + t • y ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : [x-[ℝ]x + y] ⊆ s
t : ℝ
ht₁ : t ≤ 1
ht₀ : t ∈ Ioi 0
\u22a2 x + t • y ∈ [x-[ℝ]x + y]
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : [x-[ℝ]x + y] ⊆ s
t : ℝ
ht₁ : t ≤ 1
ht₀ : t ∈ Ioi 0
\u22a2 x + t • y ∈ (fun θ => x + θ • y) '' Icc 0 1
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ ν : YoungDiagram
h : μ.transpose ≤ ν.transpose
\u22a2 μ ≤ ν
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ ν : YoungDiagram
h : μ.transpose ≤ ν.transpose
\u22a2 ν = ν.transpose.transpose
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ ν : YoungDiagram
h : μ ≤ ν
\u22a2 μ.transpose ≤ ν.transpose
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ ν : YoungDiagram
h : μ.transpose.transpose ≤ ν
\u22a2 μ.transpose ≤ ν.transpose
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
\u22a2 0 ≤ dist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x : (n : ℕ) → E n
\u22a2 0 ≤ dist x x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
h : x ≠ y
\u22a2 0 ≤ dist x y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
\u22a2 θ.toReal < 0 ↔ θ.sign = -1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
\u22a2 θ.toReal < 0 ↔ Real.sin θ.toReal < 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
h : θ.toReal < 0
\u22a2 θ.toReal < 0 ↔ Real.sin θ.toReal < 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
h : θ.toReal = 0
\u22a2 θ.toReal < 0 ↔ Real.sin θ.toReal < 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
h : 0 < θ.toReal
\u22a2 θ.toReal < 0 ↔ Real.sin θ.toReal < 0
-- Mathlib/Order/Heyting/Regular.lean
α : Type u_1
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b : α
ha : IsRegular a
hb : IsRegular b
\u22a2 IsRegular (a ⇨ b)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
s : Set ↑Γ(X, U)
\u22a2 U ≤ ⨆ f, X.basicOpen ↑f ↔ Ideal.span s = ⊤
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
s : Set ↑Γ(X, U)
\u22a2 U ≤ ⨆ f, X.basicOpen ↑f ↔ U = ⨆ f, X.basicOpen ↑f
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
s : Set ↑Γ(X, U)
h : U ≤ ⨆ f, X.basicOpen ↑f
\u22a2 ⨆ f, X.basicOpen ↑f ≤ U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
s : Set ↑Γ(X, U)
h : U ≤ ⨆ f, X.basicOpen ↑f
\u22a2 ∀ x ∈ s, X.basicOpen x ≤ U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
s : Set ↑Γ(X, U)
h : U ≤ ⨆ f, X.basicOpen ↑f
x : ↑Γ(X, U)
h✝ : x ∈ s
\u22a2 X.basicOpen x ≤ U
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Tower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : Algebra S B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
r : R
\u22a2 f ((algebraMap R A) r) = (algebraMap R B) r
-- Mathlib/Algebra/Group/Invertible/Defs.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b : α
x✝ : Invertible a
\u22a2 ⅟a * (a * b) = b
-- Mathlib/Tactic/NormNum/GCD.lean
d : ℕ
x y a b : ℤ
h₁ : ↑d ∣ x
h₂ : ↑d ∣ y
h₃ : x * a + y * b = ↑d
\u22a2 x.gcd y = d
-- Mathlib/Tactic/NormNum/GCD.lean
d : ℕ
x y a b : ℤ
h₁ : ↑d ∣ x
h₂ : ↑d ∣ y
h₃ : x * a + y * b = ↑d
\u22a2 x.gcd y ∣ d
-- Mathlib/Tactic/NormNum/GCD.lean
d : ℕ
x y a b : ℤ
h₁ : ↑d ∣ x
h₂ : ↑d ∣ y
h₃ : x * a + y * b = ↑d
\u22a2 ↑(x.gcd y) ∣ x * a + y * b
-- Mathlib/Tactic/NormNum/GCD.lean
d : ℕ
x y a b : ℤ
h₁ : ↑d ∣ x
h₂ : ↑d ∣ y
h₃ : x * a + y * b = ↑d
\u22a2 ↑(x.gcd y) ∣ x * a
-- Mathlib/Tactic/NormNum/GCD.lean
d : ℕ
x y a b : ℤ
h₁ : ↑d ∣ x
h₂ : ↑d ∣ y
h₃ : x * a + y * b = ↑d
\u22a2 ↑(x.gcd y) ∣ y * b
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Yoneda/Injective.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
J : C
\u22a2 Injective J ↔ (preadditiveYoneda.obj J).PreservesEpimorphisms
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Yoneda/Injective.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
J : C
\u22a2 (yoneda.obj J).PreservesEpimorphisms ↔ (preadditiveYoneda.obj J).PreservesEpimorphisms
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
a b c : PartENat
hc : c ≠ ⊤
\u22a2 a + c = b + c ↔ a = b
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
a b : PartENat
c : ℕ
hc : ↑c ≠ ⊤
\u22a2 a + ↑c = b + ↑c ↔ a = b
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
a b : PartENat
c : ℕ
hc : ↑c ≠ ⊤
\u22a2 ∀ (n n_1 : ℕ), ↑n_1 + ↑c = ↑n + ↑c ↔ n_1 = n
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Basic.lean
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁸ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁷ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace R F
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
z : F
\u22a2 ↑e.symm (b, z) = { proj := b, snd := (continuousLinearEquivAt R e b hb).symm z }
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Basic.lean
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁸ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁷ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace R F
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
z : F
h : (b, z) ∈ e.target
\u22a2 ↑e.symm (b, z) = { proj := b, snd := (continuousLinearEquivAt R e b hb).symm z }
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Basic.lean
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁸ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁷ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace R F
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
z : F
h : (b, z) ∈ e.target
\u22a2 { proj := b, snd := (continuousLinearEquivAt R e b hb).symm z } ∈ e.source
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Basic.lean
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁸ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁷ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace R F
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
z : F
h : (b, z) ∈ e.target
\u22a2 ↑e.toPartialHomeomorph (↑e.symm (b, z)) = ↑e.toPartialHomeomorph { proj := b, snd := (continuousLinearEquivAt R e b hb).symm z }
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Support.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
hr : ∀ (y : k), r * y = 0 ↔ y = 0
x : G
lx : IsLeftRegular x
\u22a2 (single x r * f).support = image (fun x_1 => x * x_1) f.support
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Support.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
hr : ∀ (y : k), r * y = 0 ↔ y = 0
x : G
lx : IsLeftRegular x
y : G
hy : y ∈ image (fun x_1 => x * x_1) f.support
\u22a2 y ∈ (single x r * f).support
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Support.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
hr : ∀ (y : k), r * y = 0 ↔ y = 0
x : G
lx : IsLeftRegular x
y : G
yf : y ∈ f.support
hy : x * y ∈ image (fun x_1 => x * x_1) f.support
\u22a2 x * y ∈ (single x r * f).support
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m r : List Char
c : Char
x✝ : Substring
h : ValidFor l m r x✝
\u22a2 x✝.contains c = true ↔ c ∈ m
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕂
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝² : CompleteSpace 𝔸
inst✝¹ : StarRing 𝔸
inst✝ : ContinuousStar 𝔸
x : 𝔸
h : x ∈ skewAdjoint 𝔸
\u22a2 exp 𝕂 x ∈ unitary 𝔸
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x : Z
\u22a2 ↑e.symm ⁻¹' (proj ⁻¹' e.baseSet) ∩ e.target = e.target
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x✝ : Z
x : B × F
hx : x ∈ e.target
\u22a2 x ∈ ↑e.symm ⁻¹' (proj ⁻¹' e.baseSet)
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x✝ : Z
x : B × F
hx : x ∈ e.target
\u22a2 x.1 ∈ e.baseSet
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x₁ x₂ y₁ L : A
\u22a2 (baseChange W B).toAffine.addY (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f L) = f ((baseChange W A).toAffine.addY x₁ x₂ y₁ L)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x₁ x₂ y₁ L : A
\u22a2 (baseChange W B).toAffine.addY (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f L) = (baseChange W B).toAffine.addY (f.toRingHom x₁) (f.toRingHom x₂) (f.toRingHom y₁) (f.toRingHom L)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Finite ι
q₁ q₂ : P
h : ∀ (i : ι), (b.coord i) q₁ = (b.coord i) q₂
\u22a2 q₁ = q₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Finite ι
q₁ q₂ : P
h : ∀ (i : ι), (b.coord i) q₁ = (b.coord i) q₂
val✝ : Fintype ι
\u22a2 q₁ = q₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Finite ι
q₁ q₂ : P
h : ∀ (i : ι), (b.coord i) q₁ = (b.coord i) q₂
val✝ : Fintype ι
\u22a2 ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) fun i => (b.coord i) q₁) = (Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) fun i => (b.coord i) q₂
-- Mathlib/Data/Set/Countable.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
t : ι → Set α
inst✝ : Countable ι
ht : ∀ (i : ι), (t i).Countable
this : ∀ (i : ι), Countable ↑(t i)
\u22a2 (⋃ i, t i).Countable
-- Mathlib/Data/Set/Countable.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
t : ι → Set α
inst✝ : Countable ι
ht : ∀ (i : ι), (t i).Countable
this : ∀ (i : ι), Countable ↑(t i)
\u22a2 (range fun a => ↑a.snd).Countable
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
\u22a2 Nat.card α = 0 ↔ IsEmpty α ∨ Infinite α
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
a : α
ha : a ∈ s
b : α
\u22a2 b ∈ op a • ↑s ↔ b ∈ ↑s
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : ¬p = 0
\u22a2 p = C p.content * p.primPart
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ x₁ x₂ y₁ y₂ : α
h : Disjoint (Ico x₁ x₂) (Ico y₁ y₂)
hx : x₁ < x₂
h2 : x₂ ∈ Ico y₁ y₂
\u22a2 y₁ = x₂
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ x₁ x₂ y₁ y₂ : α
h : x₂ ≤ x₁ ∨ x₂ ≤ y₁
hx : x₁ < x₂
h2 : x₂ ∈ Ico y₁ y₂
\u22a2 y₁ = x₂
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ x₁ x₂ y₁ y₂ : α
h : x₂ ≤ x₁ ∨ x₂ ≤ y₁
hx : x₁ < x₂
h2 : x₂ ∈ Ico y₁ y₂
\u22a2 x₂ ≤ y₁
-- Mathlib/Algebra/CharP/Two.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
\u22a2 -1 = 1 ↔ ringChar R = 2
-- Mathlib/Algebra/CharP/Two.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
h : -1 = 1
\u22a2 ringChar R = 2
-- Mathlib/Algebra/CharP/Two.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
h : ↑(1 + 1) = 0
\u22a2 ringChar R = 2
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x z : P
t : R
ht : t ∈ Set.Icc 0 1
hyx : (lineMap x z) t ≠ x
hyz : (lineMap x z) t ≠ z
\u22a2 (lineMap x z) t ∈ ⇑(lineMap x z) '' Set.Ioo 0 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x z : P
ht : 0 ∈ Set.Icc 0 1
hyx : (lineMap x z) 0 ≠ x
hyz : (lineMap x z) 0 ≠ z
\u22a2 (lineMap x z) 0 ∈ ⇑(lineMap x z) '' Set.Ioo 0 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x z : P
ht : 1 ∈ Set.Icc 0 1
hyx : (lineMap x z) 1 ≠ x
hyz : (lineMap x z) 1 ≠ z
\u22a2 (lineMap x z) 1 ∈ ⇑(lineMap x z) '' Set.Ioo 0 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x z : P
t : R
ht : t ∈ Set.Icc 0 1
hyx : (lineMap x z) t ≠ x
hyz : (lineMap x z) t ≠ z
ho : t ∈ Set.Ioo 0 1
\u22a2 (lineMap x z) t ∈ ⇑(lineMap x z) '' Set.Ioo 0 1
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ : L.Substructure M
s : Set M
φ : M →[L] N
S : L.Substructure M
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → N
hx : ∀ (i : Fin n), x i ∈ ⇑φ '' ↑S
\u22a2 φ (funMap f fun i => Classical.choose ⋯) = funMap f x
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ : L.Substructure M
s : Set M
φ : M →[L] N
S : L.Substructure M
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → N
hx : ∀ (i : Fin n), x i ∈ ⇑φ '' ↑S
\u22a2 funMap f (⇑φ ∘ fun i => Classical.choose ⋯) = funMap f x
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s✝ : Set α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : DiscreteTopology α
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α → β
h : ∀ (b : β), IsOpen (f ⁻¹' {b})
s : Set β
x✝ : IsOpen s
\u22a2 IsOpen (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s✝ : Set α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : DiscreteTopology α
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α → β
h : ∀ (b : β), IsOpen (f ⁻¹' {b})
s : Set β
x✝ : IsOpen s
\u22a2 IsOpen (⋃ i ∈ s, f ⁻¹' {i})