ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
j : Subtype pᶜ
k : Subtype p
\u22a2 0 ≫ biproduct.π (Subtype.restrict pᶜ f) j = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
j : Subtype pᶜ
k : Subtype p
\u22a2 ¬(p ↑k)ᶜ
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
W : C
g' : ⨁ f ⟶ W
w : biproduct.fromSubtype f p ≫ g' = 0
j : K
\u22a2 biproduct.ι f j ≫ biproduct.toSubtype f pᶜ ≫ (fun {W} g x => biproduct.fromSubtype f pᶜ ≫ g) g' w = biproduct.ι f j ≫ g'
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
W : C
g' : ⨁ f ⟶ W
w : biproduct.fromSubtype f p ≫ g' = 0
j : K
\u22a2 (if (p j)ᶜ then 𝟙 (f j) else 0) ≫ biproduct.ι f j ≫ g' = biproduct.ι f j ≫ g'
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Lemmas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g s
\u22a2 iteratedDerivWithin n (f - g) s x = iteratedDerivWithin n f s x - iteratedDerivWithin n g s x
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 a \ b = b \ a ↔ a = b
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f g : ι → N
s t : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, 1 ≤ f i
\u22a2 1 ≤ ∏ i ∈ s, 1
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
m₁ : α → γ
m₂ : β → δ
\u22a2 ∀ (x : γ × δ), x ∈ (m₁ '' s) ×ˢ (m₂ '' t) ↔ x ∈ (fun p => (m₁ p.1, m₂ p.2)) '' s ×ˢ t
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Defs.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring S
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module S M₃
σ : R →+* S
fₗ gₗ : M →ₗ[R] M₂
f✝ g✝ : M →ₛₗ[σ] M₃
f g : R →ₛₗ[σ] M₃
h : f 1 = g 1
x : R
\u22a2 f x = g x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
c : ℝ
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
\u22a2 setToSimpleFunc T (c • f) = ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (c • x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
c : ℝ
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
\u22a2 c • 0 = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
c : ℝ
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
b : E
x✝ : b ∈ f.range
\u22a2 (T (↑f ⁻¹' {b})) (c • b) = c • (T (↑f ⁻¹' {b})) b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
c : ℝ
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
\u22a2 ∑ x ∈ f.range, c • (T (↑f ⁻¹' {x})) x = c • setToSimpleFunc T f
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n m : ℕ
h : n ≤ m
\u22a2 clog b n ≤ clog b m
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n m : ℕ
h : n ≤ m
hb : b ≤ 1
\u22a2 clog b n ≤ clog b m
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n m : ℕ
h : n ≤ m
hb : 1 < b
\u22a2 clog b n ≤ clog b m
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ L : List α
i : ℕ
h : i < L.attach.length
\u22a2 ↑L.attach[i] = (map Subtype.val L.attach)[i]
-- Mathlib/SetTheory/Game/Ordinal.lean
a b : Ordinal.{u_1}
h : a < b
\u22a2 a.toPGame ⧏ b.toPGame
-- Mathlib/SetTheory/Game/Ordinal.lean
a b : Ordinal.{u_1}
h : a < b
\u22a2 a.toPGame = b.toPGame.moveLeft (toLeftMovesToPGame ⟨a, h⟩)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
χ₁ χ₂ : L → R
h : χ₁ ≠ χ₂
\u22a2 Disjoint (weightSpace M χ₁) (weightSpace M χ₂)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
χ₁ χ₂ : L → R
h : χ₁ ≠ χ₂
x : L
hx : χ₁ x ≠ χ₂ x
\u22a2 Disjoint (weightSpace M χ₁) (weightSpace M χ₂)
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → ℂ
s : ℂ
hf : MellinConvergent f s
a : ℂ
\u22a2 MellinConvergent (fun t => f t / a) s
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsOpen t
hst : s ⊆ t
\u22a2 ∃ u, IsOpen u ∧ s ⊆ u ∧ closure u ⊆ t
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsOpen t
hst : s ⊆ t
this : Disjoint s tᶜ
\u22a2 ∃ u, IsOpen u ∧ s ⊆ u ∧ closure u ⊆ t
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsOpen t
hst : s ⊆ t
this : Disjoint s tᶜ
s' t' : Set X
hs' : IsOpen s'
ht' : IsOpen t'
hss' : s ⊆ s'
htt' : tᶜ ⊆ t'
hs't' : Disjoint s' t'
\u22a2 ∃ u, IsOpen u ∧ s ⊆ u ∧ closure u ⊆ t
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsOpen t
hst : s ⊆ t
this : Disjoint s tᶜ
s' t' : Set X
hs' : IsOpen s'
ht' : IsOpen t'
hss' : s ⊆ s'
htt' : tᶜ ⊆ t'
hs't' : Disjoint s' t'
\u22a2 s' ⊆ t'ᶜ
-- Mathlib/Algebra/Homology/Functor.lean
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.78, u_2} T
C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
t : T
i j k : ι
x✝¹ : c.Rel i j
x✝ : c.Rel j k
\u22a2 (fun i j => (C.d i j).app t) i j ≫ (fun i j => (C.d i j).app t) j k = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Functor.lean
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.78, u_2} T
C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
t : T
i j k : ι
x✝¹ : c.Rel i j
x✝ : c.Rel j k
this : C.d i j ≫ C.d j k = 0
\u22a2 (fun i j => (C.d i j).app t) i j ≫ (fun i j => (C.d i j).app t) j k = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Functor.lean
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.78, u_2} T
C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
t : T
i j k : ι
x✝¹ : c.Rel i j
x✝ : c.Rel j k
this : ∀ (a : T), (C.d i j ≫ C.d j k).app a = NatTrans.app 0 a
\u22a2 (fun i j => (C.d i j).app t) i j ≫ (fun i j => (C.d i j).app t) j k = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Functor.lean
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.78, u_2} T
C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
t : T
i j : ι
h : ¬c.Rel i j
\u22a2 (fun i j => (C.d i j).app t) i j = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Functor.lean
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.78, u_2} T
C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
t : T
i j : ι
h : ¬c.Rel i j
this : C.d i j = 0
\u22a2 (fun i j => (C.d i j).app t) i j = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Functor.lean
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.78, u_2} T
C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
t : T
i j : ι
h : ¬c.Rel i j
this : ∀ (a : T), (C.d i j).app a = NatTrans.app 0 a
\u22a2 (fun i j => (C.d i j).app t) i j = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Functor.lean
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.78, u_2} T
C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
t : T
i : ι
\u22a2 (C.X i).map (𝟙 t) = 𝟙 ((C.X i).obj t)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Functor.lean
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.78, u_2} T
C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
X✝ Y✝ Z✝ : T
h₁ : X✝ ⟶ Y✝
h₂ : Y✝ ⟶ Z✝
i : ι
\u22a2 (C.X i).map (h₁ ≫ h₂) = (C.X i).map h₁ ≫ (C.X i).map h₂
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
t : Set Y
x : X
y : Y
\u22a2 s ×ˢ t ∈ 𝓝 (x, y) ↔ s ∈ 𝓝 x ∧ t ∈ 𝓝 y
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Associated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
M : Type u_5
inst✝ : CommMonoidWithZero M
S : Finset α
p : M
pp : Prime p
g : α → M
hS : ∀ a ∈ S, ¬p ∣ g a
\u22a2 ¬p ∣ S.prod g
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
\u22a2 LinearIndependent ℤ (eval C) ↔ LinearIndependent ℤ (SumEval C ho)
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
\u22a2 LinearIndependent ℤ (eval C ∘ ⇑(sum_equiv C hsC ho)) ↔ LinearIndependent ℤ (eval C ∘ (sum_equiv C hsC ho).toFun)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a : α i
\u22a2 update f i '' Ioo a (f i) = Ioo (update f i a) f
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f : ι → α
a : α
\u22a2 a ≤ s.sup' H f ↔ ∃ b ∈ s, a ≤ f b
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f : ι → α
a : α
\u22a2 (∃ b ∈ s, ↑a ≤ (WithBot.some ∘ f) b) ↔ ∃ b ∈ s, a ≤ f b
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
h : p ≠ 2
\u22a2 (Algebra.norm K) (ζ - 1) = ↑↑p
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X X' : C
φ : X ≅ X'
p : X ⟶ X
p' : X' ⟶ X'
hpp' : p ≫ φ.hom = φ.hom ≫ p'
Y : C
i : Y ⟶ X
e : X ⟶ Y
h₁ : i ≫ e = 𝟙 Y
h₂ : e ≫ i = p
\u22a2 ∃ Y' i' e', i' ≫ e' = 𝟙 Y' ∧ e' ≫ i' = p'
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X X' : C
φ : X ≅ X'
p : X ⟶ X
p' : X' ⟶ X'
hpp' : p ≫ φ.hom = φ.hom ≫ p'
Y : C
i : Y ⟶ X
e : X ⟶ Y
h₁ : i ≫ e = 𝟙 Y
h₂ : e ≫ i = p
\u22a2 (i ≫ φ.hom) ≫ φ.inv ≫ e = 𝟙 Y ∧ (φ.inv ≫ e) ≫ i ≫ φ.hom = p'
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a b c : EReal
h : b > 0
h' : b ≠ ⊤
\u22a2 a ≤ c / b ↔ a * b ≤ c
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a b c : EReal
h : b > 0
h' : b ≠ ⊤
\u22a2 b * (a / b) ≤ c / b ↔ a * b ≤ c
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a b c : EReal
h : b > 0
h' : b ≠ ⊤
\u22a2 b * a / b ≤ c / b ↔ b * a ≤ c
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a < b
\u22a2 Ico a b \ Ioo a b = {a}
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b c d : α
\u22a2 Icc a b * Ico c d ⊆ Ico (a * c) (b * d)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b c d : α
this : ∀ (M : Type ?u.3042) (N : Type ?u.3041) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
\u22a2 Icc a b * Ico c d ⊆ Ico (a * c) (b * d)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b c d : α
this : ∀ (M : Type ?u.3042) (N : Type ?u.3041) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
y : α
hya : a ≤ y
hyb : y ≤ b
z : α
hzc : c ≤ z
hzd : z < d
\u22a2 (fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Ico (a * c) (b * d)
-- Mathlib/Topology/LocallyClosed.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
\u22a2 coborder s ∩ closure s = s
-- Mathlib/Topology/LocallyClosed.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
\u22a2 s ⊆ closure s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
m x✝ : E
\u22a2 (fderiv 𝕜 (fun x => c) m) x✝ = (0 m) x✝
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
m x✝ : E
\u22a2 0 x✝ = (0 m) x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Filtered.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
\u22a2 IsCofiltered C ↔ ∀ {J : Type v} [inst : SmallCategory J] [inst_1 : FinCategory J] (F : J ⥤ C), ∃ X, Nonempty (limit (F ⋙ coyoneda.obj (op X)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Filtered.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
\u22a2 (∀ {J : Type v} [inst : SmallCategory J] [inst_1 : FinCategory J] (F : J ⥤ C), Nonempty (Cone F)) ↔ ∀ {J : Type v} [inst : SmallCategory J] [inst_1 : FinCategory J] (F : J ⥤ C), ∃ X, Nonempty (limit (F ⋙ coyoneda.obj (op X)))
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α✝ : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ : Set α✝
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) f
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ ⋃ i, f i
\u22a2 ∃ i, ↑s ⊆ f i
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α
hs : Dense s
\u22a2 IsSeparable s ↔ SeparableSpace α
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑⊤ ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), ⊤ < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑⊤ ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), ⊤ < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
this : 1 ∈ ↑S
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
\u22a2 x ∈ I ∨ y ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
hx : ¬Disjoint ↑(I ⊔ span {x}) ↑S
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
hx : ¬Disjoint ↑(I ⊔ span {x}) ↑S
hy : ¬Disjoint ↑(I ⊔ span {y}) ↑S
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
hx : ∃ x_1, (∃ y ∈ I, ∃ z, x ∣ z ∧ y + z = x_1) ∧ x_1 ∈ S
hy : ∃ x, (∃ y_1 ∈ I, ∃ z, y ∣ z ∧ y_1 + z = x) ∧ x ∈ S
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
s₁ : α
hs₁ : s₁ ∈ S
i₁ : α
hi₁ : i₁ ∈ I
r₁ : α
hr₁ : i₁ + x * r₁ = s₁
s₂ : α
hs₂ : s₂ ∈ S
i₂ : α
hi₂ : i₂ ∈ I
r₂ : α
hr₂ : i₂ + y * r₂ = s₂
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
S : Submonoid α
disjoint : Disjoint ↑I ↑S
maximally_disjoint : ∀ (J : Ideal α), I < J → ¬Disjoint ↑J ↑S
x y : α
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
s₁ : α
hs₁ : s₁ ∈ S
i₁ : α
hi₁ : i₁ ∈ I
r₁ : α
hr₁ : i₁ + x * r₁ = s₁
s₂ : α
hs₂ : s₂ ∈ S
i₂ : α
hi₂ : i₂ ∈ I
r₂ : α
hr₂ : i₂ + y * r₂ = s₂
\u22a2 (i₁ + x * r₁) * i₂ + (i₁ * (y * r₂) + x * y * (r₁ * r₂)) = s₁ * s₂
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * r₁ = ra * ↑s₂
rb : R
sb : ↥S
hb : ↑sb * r₂ = rb * ↑s₃
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ra = rc * ↑sb
\u22a2 (ra * r₂ /ₒ (sa * s₁)) • (r₃ /ₒ s₃) = (r₁ /ₒ s₁) • (rb • r₃ /ₒ (sb * s₂))
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * r₁ = ra * ↑s₂
rb : R
sb : ↥S
hb : ↑sb * r₂ = rb * ↑s₃
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ra = rc * ↑sb
\u22a2 (rc * rb) • r₃ /ₒ (sc * (sa * s₁)) = (r₁ /ₒ s₁) • (rb • r₃ /ₒ (sb * s₂))
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * r₁ = ra * ↑s₂
rb : R
sb : ↥S
hb : ↑sb * r₂ = rb * ↑s₃
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ra = rc * ↑sb
\u22a2 ↑sc * (ra * r₂) = rc * rb * ↑s₃
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * r₁ = ra * ↑s₂
rb : R
sb : ↥S
hb : ↑sb * r₂ = rb * ↑s₃
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ra = rc * ↑sb
\u22a2 rc • rb • r₃ /ₒ (sc * sa * s₁) = (r₁ /ₒ s₁) • (rb • r₃ /ₒ (sb * s₂))
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * r₁ = ra * ↑s₂
rb : R
sb : ↥S
hb : ↑sb * r₂ = rb * ↑s₃
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ra = rc * ↑sb
\u22a2 (r₁ /ₒ s₁) • (rb • r₃ /ₒ (sb * s₂)) = rc • rb • r₃ /ₒ (sc * sa * s₁)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
s₁ : ↥S
r₂ : R
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * r₁ = ra * ↑s₂
rb : R
sb : ↥S
hb : ↑sb * r₂ = rb * ↑s₃
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ra = rc * ↑sb
\u22a2 ↑(sc * sa) * r₁ = rc * ↑(sb * s₂)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x
\u22a2 ⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ⨍⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x : ℝ
\u22a2 ‖↑x‖ = ‖↑x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x : ℝ
\u22a2 ‖↑(-1 * x)‖ = ‖↑x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁶ : Field 𝕜
inst✝¹⁵ : CharZero 𝕜
inst✝¹⁴ : Ring R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Algebra 𝕜 R
inst✝¹¹ : Module 𝕜 M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁸ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁷ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup M
inst✝¹ : ContinuousSMul R M
inst✝ : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : MulOpposite.op x.fst • x.snd = x.fst • x.snd
e : R
h : HasSum (fun n => (expSeries 𝕜 R n) fun x_1 => x.fst) e
\u22a2 HasSum (fun n => ((expSeries 𝕜 (tsze R M) n) fun x_1 => x).snd) (e • x.snd)