ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
sm : MeasurableSet s
f : G → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
\u22a2 AEMeasurable (uncurry fun x y => s.indicator (fun x => 1) x * f y) (μ.prod ν)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
sm : MeasurableSet s
f : G → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
ms : ∀ (x : G), Measurable fun y => ((fun z => z * x) ⁻¹' s).indicator (fun x => 1) y
\u22a2 ∫⁻ (x : G), ∫⁻ (y : G), s.indicator (fun x => 1) (y * x) * f x⁻¹ ∂ν ∂μ = ∫⁻ (x : G), ν ((fun z => z * x) ⁻¹' s) * f x⁻¹ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
sm : MeasurableSet s
f : G → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
ms : ∀ (x : G), Measurable fun y => ((fun z => z * x) ⁻¹' s).indicator (fun x => 1) y
this : ∀ (x y : G), s.indicator (fun x => 1) (y * x) = ((fun z => z * x) ⁻¹' s).indicator (fun b => 1) y
\u22a2 ∫⁻ (x : G), ∫⁻ (y : G), s.indicator (fun x => 1) (y * x) * f x⁻¹ ∂ν ∂μ = ∫⁻ (x : G), ν ((fun z => z * x) ⁻¹' s) * f x⁻¹ ∂μ
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Translations.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
ifp_succ_n : IntFractPair K
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n
succ_nth_fr_eq_zero : ifp_succ_n.fr = 0
\u22a2 ∃ ifp_n, IntFractPair.stream v n = some ifp_n ∧ ifp_n.fr⁻¹ = ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Translations.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
seq_nth_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
left✝ : ifp_n.fr ≠ 0
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
succ_nth_fr_eq_zero : (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
\u22a2 ∃ ifp_n, IntFractPair.stream v n = some ifp_n ∧ ifp_n.fr⁻¹ = ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Translations.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
ifp_n : IntFractPair K
seq_nth_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
left✝ : ifp_n.fr ≠ 0
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)
succ_nth_fr_eq_zero : (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr = 0
\u22a2 ifp_n.fr⁻¹ = ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝² : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝¹ : FiberBundle F E
inst✝ : T1Space B
x : B
\u22a2 IsClosed (range (TotalSpace.mk x))
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
E : B → Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝² : (b : B) → TopologicalSpace (E b)
inst✝¹ : FiberBundle F E
inst✝ : T1Space B
x : B
\u22a2 IsClosed (TotalSpace.proj ⁻¹' {x})
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
\u22a2 2 * π - 0 = 2 * π * ↑1
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type w
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Small.{v, u} R
\u22a2 Flat R M ↔ ∀ ⦃N N' N'' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : AddCommGroup N''] [inst_3 : Module R N] [inst_4 : Module R N'] [inst_5 : Module R N''] ⦃f : N →ₗ[R] N'⦄ ⦃g : N' →ₗ[R] N''⦄, Function.Exact ⇑f ⇑g → Function.Exact ⇑(lTensor M f) ⇑(lTensor M g)
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type w
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Small.{v, u} R
H : ∀ ⦃N N' N'' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : AddCommGroup N''] [inst_3 : Module R N] [inst_4 : Module R N'] [inst_5 : Module R N''] ⦃f : N →ₗ[R] N'⦄ ⦃g : N' →ₗ[R] N''⦄, Function.Exact ⇑f ⇑g → Function.Exact ⇑(lTensor M f) ⇑(lTensor M g)
N' N'' : Type v
x✝³ : AddCommGroup N'
x✝² : AddCommGroup N''
x✝¹ : Module R N'
x✝ : Module R N''
L : N' →ₗ[R] N''
hL : Function.Injective ⇑L
x : M ⊗[R] N'
hx : (lTensor M L) x = 0
\u22a2 x ∈ ⊥
-- Mathlib/Algebra/Ring/Idempotents.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
S : Type u_3
M₀ : Type u_4
M₁ : Type u_5
R : Type u_6
G : Type u_7
G₀ : Type u_8
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : Monoid N
inst✝⁵ : Semigroup S
inst✝⁴ : MulZeroClass M₀
inst✝³ : MulOneClass M₁
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Group G
inst✝ : CancelMonoidWithZero G₀
p : G₀
\u22a2 IsIdempotentElem p ↔ p = 0 ∨ p = 1
-- Mathlib/Algebra/Ring/Idempotents.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
S : Type u_3
M₀ : Type u_4
M₁ : Type u_5
R : Type u_6
G : Type u_7
G₀ : Type u_8
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : Monoid N
inst✝⁵ : Semigroup S
inst✝⁴ : MulZeroClass M₀
inst✝³ : MulOneClass M₁
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Group G
inst✝ : CancelMonoidWithZero G₀
p : G₀
h : IsIdempotentElem p
hp : ¬p = 0
\u22a2 p = 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a : M
inst✝ : DecidableEq M
b : M
l : List M
ih : a ∈ l → (∀ x ∈ l, ∀ y ∈ l, x * y = y * x) → a * (l.erase a).prod = l.prod
ha : a ∈ b :: l
comm : ∀ x ∈ b :: l, ∀ y ∈ b :: l, x * y = y * x
\u22a2 a * ((b :: l).erase a).prod = (b :: l).prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a : M
inst✝ : DecidableEq M
l : List M
ih : a ∈ l → (∀ x ∈ l, ∀ y ∈ l, x * y = y * x) → a * (l.erase a).prod = l.prod
ha : a ∈ a :: l
comm : ∀ x ∈ a :: l, ∀ y ∈ a :: l, x * y = y * x
\u22a2 a * ((a :: l).erase a).prod = (a :: l).prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a : M
inst✝ : DecidableEq M
b : M
l : List M
ih : a ∈ l → (∀ x ∈ l, ∀ y ∈ l, x * y = y * x) → a * (l.erase a).prod = l.prod
ha : a ∈ b :: l
comm : ∀ x ∈ b :: l, ∀ y ∈ b :: l, x * y = y * x
ne : a ≠ b
h : a ∈ l
\u22a2 a * ((b :: l).erase a).prod = (b :: l).prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : AddCommMonoid B
inst✝³ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero M'
inst✝ : CommMonoid N
f : α →₀ M
s : Finset α
hs : f.support ⊆ s
g : α → M → N
h : ∀ i ∈ s, g i 0 = 1
\u22a2 f.prod g = ∏ x ∈ s, g x (f x)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : AddCommMonoid B
inst✝³ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x✝ : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero M'
inst✝ : CommMonoid N
f : α →₀ M
s : Finset α
hs : f.support ⊆ s
g : α → M → N
h : ∀ i ∈ s, g i 0 = 1
x : α
hxs : x ∈ s
hx : x ∉ f.support
\u22a2 f x = 0
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/UniqueGluing.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ConcreteCategory C
X : TopCat
F : Presheaf (Type u) X
ι : Type x
U : ι → Opens ↑X
\u22a2 F.IsSheaf ↔ F.IsSheafUniqueGluing
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/UniqueGluing.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ConcreteCategory C
X : TopCat
F : Presheaf (Type u) X
ι : Type x
U : ι → Opens ↑X
\u22a2 (∀ ⦃ι : Type x⦄ (U : ι → Opens ↑X), ∀ s ∈ ((Pairwise.diagram U).op ⋙ F).sections, ∃! x, ∀ (j : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ), (Functor.mapCone F (Pairwise.cocone U).op).π.app j x = s j) ↔ ∀ ⦃ι : Type x⦄ (U : ι → Opens ↑X) (sf : (i : ι) → (forget (Type u)).obj (F.obj (op (U i)))), F.IsCompatible U sf → ∃! s, ∀ (i : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ), (Functor.mapCone F (Pairwise.cocone U).op).π.app i s = objPairwiseOfFamily sf i
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/UniqueGluing.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ConcreteCategory C
X : TopCat
F : Presheaf (Type u) X
ι✝ : Type x
U✝ : ι✝ → Opens ↑X
ι : Type x
U : ι → Opens ↑X
h : ∀ s ∈ ((Pairwise.diagram U).op ⋙ F).sections, ∃! x, ∀ (j : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ), (Functor.mapCone F (Pairwise.cocone U).op).π.app j x = s j
sf : (i : ι) → (forget (Type u)).obj (F.obj (op (U i)))
cpt : F.IsCompatible U sf
\u22a2 ∃! s, ∀ (i : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ), (Functor.mapCone F (Pairwise.cocone U).op).π.app i s = objPairwiseOfFamily sf i
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/UniqueGluing.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ConcreteCategory C
X : TopCat
F : Presheaf (Type u) X
ι✝ : Type x
U✝ : ι✝ → Opens ↑X
ι : Type x
U : ι → Opens ↑X
h : ∀ (sf : (i : ι) → (forget (Type u)).obj (F.obj (op (U i)))), F.IsCompatible U sf → ∃! s, ∀ (i : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ), (Functor.mapCone F (Pairwise.cocone U).op).π.app i s = objPairwiseOfFamily sf i
s : (j : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ) → ((Pairwise.diagram U).op ⋙ F).obj j
hs : s ∈ ((Pairwise.diagram U).op ⋙ F).sections
\u22a2 ∃! x, ∀ (j : (CategoryTheory.Pairwise ι)ᵒᵖ), (Functor.mapCone F (Pairwise.cocone U).op).π.app j x = s j
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a : α
n : ℕ
h : s.think.Results a n
\u22a2 ∃ m, s.Results a m ∧ n = m + 1
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a : α
n : ℕ
h : s.think.Results a n
this : s.Terminates
\u22a2 ∃ m, s.Results a m ∧ n = m + 1
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
a : α
n : ℕ
h : s.think.Results a n
this✝ : s.Terminates
this : s.Results a s.length
\u22a2 ∃ m, s.Results a m ∧ n = m + 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
\u22a2 measureUnivNNReal μ = 0 ↔ μ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
\u22a2 measureUnivNNReal μ = 0 ↔ ↑(measureUnivNNReal μ) = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
a : M
N : Type u_4
F : Type u_5
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
f : F
m : M
\u22a2 map f (powers m) = powers (f m)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Root.lean
a b n : ℕ
\u22a2 n.floorRoot a ≠ 0 ↔ n ≠ 0 ∧ a ≠ 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/End.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m : M
X Y : C
f : X ⟶ (F.obj m).obj Y
\u22a2 (F.obj (𝟙_ M)).map f ≫ (F.μ m (𝟙_ M)).app Y = F.εIso.inv.app X ≫ f ≫ (F.map (ρ_ m).inv).app Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/End.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m : M
X Y : C
f : X ⟶ (F.obj m).obj Y
\u22a2 (inv (F.εIso.inv.app X) ≫ (F.obj (𝟙_ M)).map f ≫ (F.μ m (𝟙_ M)).app Y) ≫ inv ((F.map (ρ_ m).inv).app Y) = f
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
K : Set α
hK : IsCompact K
r : ℝ≥0∞
hr : μ K < r
\u22a2 ∃ U, K ⊆ U ∧ IsOpen U ∧ μ U < r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
K : Set α
hK : IsCompact K
r : ℝ≥0∞
hr : μ K < r
V : Set α
hKV : V ⊇ K
hVo : IsOpen V
hμV : μ V < ⊤
\u22a2 ∃ U, K ⊆ U ∧ IsOpen U ∧ μ U < r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
K : Set α
hK : IsCompact K
r : ℝ≥0∞
hr : μ K < r
V : Set α
hKV : V ⊇ K
hVo : IsOpen V
hμV : μ V < ⊤
this : Fact (μ V < ⊤)
\u22a2 ∃ U, K ⊆ U ∧ IsOpen U ∧ μ U < r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
K : Set α
hK : IsCompact K
r : ℝ≥0∞
hr : μ K < r
V : Set α
hKV : V ⊇ K
hVo : IsOpen V
hμV : μ V < ⊤
this : Fact (μ V < ⊤)
U : Set α
hKU : K ⊆ U
hUo : IsOpen U
hμU : (μ.restrict V) U < r
\u22a2 ∃ U, K ⊆ U ∧ IsOpen U ∧ μ U < r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
K : Set α
hK : IsCompact K
r : ℝ≥0∞
hr : μ K < r
V : Set α
hKV : V ⊇ K
hVo : IsOpen V
hμV : μ V < ⊤
this : Fact (μ V < ⊤)
U : Set α
hKU : K ⊆ U
hUo : IsOpen U
hμU : (μ.restrict V) U < r
\u22a2 μ (U ∩ V) < r
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y✝ z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
\u22a2 x⁻¹ ^ y = (x ^ y)⁻¹
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
a : α
v : Vector α n.succ
v' : Vector α n
\u22a2 v ≠ a ::ᵥ v' ↔ v.head ≠ a ∨ v.tail ≠ v'
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c✝ d c : α
\u22a2 a / c < b / c ↔ a < b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Sqrt.lean
x : ℝ
hx : x ≠ 0
\u22a2 HasStrictDerivAt (fun x => √x) (1 / (2 * √x)) x ∧ ∀ (n : ℕ∞), ContDiffAt ℝ n (fun x => √x) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Sqrt.lean
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0
\u22a2 HasStrictDerivAt (fun x => √x) (1 / (2 * √x)) x ∧ ∀ (n : ℕ∞), ContDiffAt ℝ n (fun x => √x) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Sqrt.lean
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : 0 < x
\u22a2 HasStrictDerivAt (fun x => √x) (1 / (2 * √x)) x ∧ ∀ (n : ℕ∞), ContDiffAt ℝ n (fun x => √x) x
-- Mathlib/Data/List/OfFn.lean
α : Type u
β : Type u_1
l : List α
f : α → β
\u22a2 (ofFn fun i => f l[↑i]) = map f l
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)
\u22a2 (Filter.coprodᵢ f).NeBot ↔ ∃ d, (f d).NeBot
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι
\u22a2 MeasurableSet {ω | i ≤ τ ω}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι
this : {ω | i ≤ τ ω} = {ω | τ ω = i} ∪ {ω | i < τ ω}
\u22a2 MeasurableSet {ω | i ≤ τ ω}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
i : ι
this : {ω | i ≤ τ ω} = {ω | τ ω = i} ∪ {ω | i < τ ω}
\u22a2 MeasurableSet ({ω | τ ω = i} ∪ {ω | i < τ ω})
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
\u22a2 Measurable fun x => derivWithin f (Ioi x) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Discrete.lean
M : Type u
inst✝ : Monoid M
X x✝¹ x✝ : Discrete M
f : x✝¹ ⟶ x✝
\u22a2 { as := X.as * x✝¹.as } = { as := X.as * x✝.as }
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Discrete.lean
M : Type u
inst✝ : Monoid M
X₁✝ X₂✝ : Discrete M
f : X₁✝ ⟶ X₂✝
X : Discrete M
\u22a2 { as := X₁✝.as * X.as } = { as := X₂✝.as * X.as }
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Discrete.lean
M : Type u
inst✝ : Monoid M
X₁✝ Y₁✝ X₂✝ Y₂✝ : Discrete M
f : X₁✝ ⟶ Y₁✝
g : X₂✝ ⟶ Y₂✝
\u22a2 { as := X₁✝.as * X₂✝.as } = { as := Y₁✝.as * Y₂✝.as }
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
head✝ : Γ
left✝ right✝ : ListBlank Γ
\u22a2 mk' { head := head✝, left := left✝, right := right✝ }.left { head := head✝, left := left✝, right := right✝ }.right₀ = { head := head✝, left := left✝, right := right✝ }
-- Mathlib/Order/WithBot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a b : α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
\u22a2 ((StrictMono fun a => map f ↑a) ∧ ∀ (x : α), map f ⊥ < map f ↑x) ↔ StrictMono f
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
hpq : IsCoprime p q
\u22a2 LinearMap.range ((aeval f) p) ⊔ LinearMap.range ((aeval f) q) = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
hpq : IsCoprime p q
\u22a2 ⊤ ≤ LinearMap.range ((aeval f) p) ⊔ LinearMap.range ((aeval f) q)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
hpq : IsCoprime p q
v : M
a✝ : v ∈ ⊤
\u22a2 v ∈ LinearMap.range ((aeval f) p) ⊔ LinearMap.range ((aeval f) q)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
hpq : IsCoprime p q
v : M
a✝ : v ∈ ⊤
\u22a2 ∃ y ∈ LinearMap.range ((aeval f) p), ∃ z ∈ LinearMap.range ((aeval f) q), y + z = v
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
a✝ : v ∈ ⊤
p' q' : R[X]
hpq' : p' * p + q' * q = 1
\u22a2 ∃ y ∈ LinearMap.range ((aeval f) p), ∃ z ∈ LinearMap.range ((aeval f) q), y + z = v
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
a✝ : v ∈ ⊤
p' q' : R[X]
hpq' : p' * p + q' * q = 1
\u22a2 ((aeval f) (p * p')) v ∈ LinearMap.range ((aeval f) p) ∧ ∃ z ∈ LinearMap.range ((aeval f) q), ((aeval f) (p * p')) v + z = v
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
a✝ : v ∈ ⊤
p' q' : R[X]
hpq' : p' * p + q' * q = 1
\u22a2 ∃ z ∈ LinearMap.range ((aeval f) q), ((aeval f) (p * p')) v + z = v
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
a✝ : v ∈ ⊤
p' q' : R[X]
hpq' : p' * p + q' * q = 1
\u22a2 ((aeval f) (q * q')) v ∈ LinearMap.range ((aeval f) q) ∧ ((aeval f) (p * p')) v + ((aeval f) (q * q')) v = v
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
a✝ : v ∈ ⊤
p' q' : R[X]
hpq' : p' * p + q' * q = 1
\u22a2 ((aeval f) (p * p')) v + ((aeval f) (q * q')) v = v
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalPreadditive C
P Q R S : C
J : Type u_2
s : Finset J
f : P ⟶ Q
g : J → (R ⟶ S)
\u22a2 f ⊗ ∑ j ∈ s, g j = ∑ j ∈ s, f ⊗ g j
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
h : p ∈ affineSpan k s
\u22a2 Collinear k (insert p s) ↔ Collinear k s
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/ShiftedHom.lean
C : Type u_1
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{u_7, u_3} E
M : Type u_4
inst✝⁵ : AddMonoid M
inst✝⁴ : HasShift C M
inst✝³ : HasShift D M
inst✝² : HasShift E M
X Y Z T : C
a : M
f : ShiftedHom X Y a
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.CommShift M
G : D ⥤ E
inst✝ : G.CommShift M
\u22a2 f.map (F ⋙ G) = (f.map F).map G
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : 0 < r
x : E
\u22a2 x +ᵥ r • ball 0 1 = ball x r
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : ι → α
\u22a2 range f = ∅ ↔ IsEmpty ι
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
n : ℕ
f : ℕ → R → S[X]
toFinsupp✝ : R[ℕ]
\u22a2 ({ toFinsupp := toFinsupp✝ }.sum f).coeff n = { toFinsupp := toFinsupp✝ }.sum fun a b => (f a b).coeff n
-- Mathlib/Algebra/Order/AddGroupWithTop.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d : α
a b : WithTop α
\u22a2 a - b = ⊤ ↔ a = ⊤ ∨ b = ⊤
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
\u22a2 sInf {C | 0 ≤ C ∧ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) ≤ C} = ↑(sInf {C | ∀ (x : α), nndist (f x) (g x) ≤ C})
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
\u22a2 sInf {C | 0 ≤ C ∧ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) ≤ C} = sInf {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, h⟩ ∈ {C | ∀ (x : α), nndist (f x) (g x) ≤ C}}
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R N
f : M →ₗ[R] N
\u22a2 Function.Surjective ⇑f ∨ f = 0
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R N
f : M →ₗ[R] N
\u22a2 range f = ⊥ ∨ range f = ⊤