ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/LapMatrix.lean
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype V
inst✝³ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Field R
inst✝ : CharZero R
x : V → R
\u22a2 (∑ x_1 : V, ∑ x_2 : V, if G.Adj x_1 x_2 then x x_1 * x x_1 - x x_1 * x x_2 + (x x_2 * x x_2 - x x_2 * x x_1) else 0 + 0) / 2 = (∑ i : V, ∑ j : V, if G.Adj i j then (x i - x j) ^ 2 else 0) / 2
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
N : Submodule R M
hs : N.FG
t : Set M
ht : t.Finite ∧ span R t = N
\u22a2 span R (⇑f '' t) = Submodule.map f N
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
h : p.coeff n ≠ 0
\u22a2 p.coeff n ∈ p.coeffs
-- Mathlib/Control/Traversable/Instances.lean
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : Applicative G
inst✝¹ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
inst✝ : LawfulApplicative F
α : Type u_1
β : Type u
f : α → F β
x : Option α
\u22a2 (fun {α} => η.app α) (Option.traverse f x) = Option.traverse ((fun {α} => η.app α) ∘ f) x
-- Mathlib/Data/Complex/Order.lean
z w : ℂ
\u22a2 ¬z < w ↔ w.re ≤ z.re ∨ z.im ≠ w.im
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
\u22a2 x ∈ interior s ↔ x ∈ {x | s ∈ 𝓝 x}
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/RankNullity.lean
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
f : M →ₗ[R] M₁
h : Surjective ⇑f
\u22a2 Module.rank R M = Module.rank R M₁ + Module.rank R ↥(LinearMap.ker f)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
\u22a2 im ⟪x, x⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
\u22a2 I * ((starRingEnd 𝕜) ⟪x, x⟫_𝕜 - ⟪x, x⟫_𝕜) / 2 = ↑0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
A : Set G
\u22a2 (Measure.map (fun h => g * h) μ) A = μ A
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
s : Finset ℕ
\u22a2 map Fin.valEmbedding (Finset.fin n s) = filter (fun x => x < n) s
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
x n m : ℕ
\u22a2 x ∣ n * x.gcd m ↔ x ∣ n * m
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational (1 / x)
\u22a2 Irrational (↑1 / x)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/LapMatrix.lean
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent
\u22a2 LinearIndependent ℝ G.lapMatrix_ker_basis_aux
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/LapMatrix.lean
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent
\u22a2 ∀ (g : G.ConnectedComponent → ℝ), ∑ i : G.ConnectedComponent, g i • G.lapMatrix_ker_basis_aux i = 0 → ∀ (i : G.ConnectedComponent), g i = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/LapMatrix.lean
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent
g : G.ConnectedComponent → ℝ
h0 : ∑ i : G.ConnectedComponent, g i • G.lapMatrix_ker_basis_aux i = 0
\u22a2 ∀ (i : G.ConnectedComponent), g i = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/LapMatrix.lean
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent
g : G.ConnectedComponent → ℝ
h0 : ↑(∑ i : G.ConnectedComponent, g i • G.lapMatrix_ker_basis_aux i) = ↑0
\u22a2 ∀ (i : G.ConnectedComponent), g i = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/LapMatrix.lean
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent
g : G.ConnectedComponent → ℝ
h0 : ↑(∑ i : G.ConnectedComponent, g i • G.lapMatrix_ker_basis_aux i) = ↑0
h : ↑(∑ c : G.ConnectedComponent, g c • G.lapMatrix_ker_basis_aux c) = fun i => g (G.connectedComponentMk i)
\u22a2 ∀ (i : G.ConnectedComponent), g i = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/LapMatrix.lean
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent
g : G.ConnectedComponent → ℝ
h0 : (fun i => g (G.connectedComponentMk i)) = ↑0
h : ↑(∑ c : G.ConnectedComponent, g c • G.lapMatrix_ker_basis_aux c) = fun i => g (G.connectedComponentMk i)
c : G.ConnectedComponent
\u22a2 g c = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/LapMatrix.lean
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent
g : G.ConnectedComponent → ℝ
h0 : (fun i => g (G.connectedComponentMk i)) = ↑0
h : ↑(∑ c : G.ConnectedComponent, g c • G.lapMatrix_ker_basis_aux c) = fun i => g (G.connectedComponentMk i)
c : G.ConnectedComponent
i : V
h' : G.connectedComponentMk i = c
\u22a2 g c = 0
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : a₁ < b₁ ∨ a₂ < b₂
e : Ico a₁ b₁ = Ico a₂ b₂
\u22a2 a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : a₁ < b₁ ∨ a₂ < b₂
e : Ico a₁ b₁ ⊆ Ico a₂ b₂ ∧ Ico a₂ b₂ ⊆ Ico a₁ b₁
\u22a2 a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : a₁ < b₁ ∨ a₂ < b₂
e : Ico a₁ b₁ ⊆ Ico a₂ b₂ ∧ Ico a₂ b₂ ⊆ Ico a₁ b₁
\u22a2 (a₁ ≤ a₂ ∧ a₂ ≤ a₁) ∧ b₁ ≤ b₂ ∧ b₂ ≤ b₁
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁶ : EMetricSpace X
inst✝⁵ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
e : E ≃L[𝕜] F
\u22a2 dimH univ = dimH univ
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : a⁻¹ * b = c
\u22a2 b = a * c
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : b = a * c
\u22a2 a⁻¹ * b = c
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g✝ : β → α
a b : α
s : Finset β
g : γ → β
hg : Injective g
hf : ∀ x ∉ Set.range g, f x = 1
\u22a2 HasProd (f ∘ g) a ↔ HasProd f a
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Embedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 MeasurableSet (rangeSplitting f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : 0 < b
\u22a2 b⁻¹ * a ≤ c ↔ a ≤ b * c
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : 0 < b
\u22a2 a / b ≤ c ↔ a ≤ b * c
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝ : Inhabited Λ
M : Machine₀
\u22a2 Supports M Set.univ
-- Mathlib/Topology/Category/CompHaus/Limits.lean
α : Type w
inst✝ : Finite α
X : α → CompHaus
B : CompHaus
π : (a : α) → X a ⟶ B
a : α
x : (forget CompHaus).obj (X a)
\u22a2 (ι X a ≫ desc X π) x = (π a) x
-- Mathlib/Data/List/AList.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
s : AList β
\u22a2 lookup a (insert a b s) = some b
-- Mathlib/Topology/Order/ScottTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
a : α
\u22a2 {a} ⊆ Iic a
-- Mathlib/Topology/Order/ScottTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
a : α
\u22a2 Iic a ≤ closure {a}
-- Mathlib/Topology/Order/ScottTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
a : α
\u22a2 ↑(lowerClosure {a}) ≤ closure {a}
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
a b : Γ
L R : ListBlank Γ
\u22a2 write b (mk' L (ListBlank.cons a R)) = mk' L (ListBlank.cons b R)
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Functoriality.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M✝
inst✝⁹ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup T
inst✝³ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝² : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
j : ι
x : AdicCompletion I (M j)
\u22a2 (sum I M) ((DirectSum.of (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) x) = (map I (lof R ι M j)) x
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Functoriality.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M✝
inst✝⁹ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup T
inst✝³ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝² : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M i)
j : ι
x : AdicCompletion I (M j)
\u22a2 (sum I M) ((lof R ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) x) = (map I (lof R ι M j)) x
-- Mathlib/Order/JordanHolder.lean
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
i j : Fin (toList s).length
h : i < j
\u22a2 (List.ofFn s.toFun).get i < (List.ofFn s.toFun).get j
-- Mathlib/Order/JordanHolder.lean
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
i j : Fin (toList s).length
h : i < j
\u22a2 s.toFun (Fin.cast ⋯ i) < s.toFun (Fin.cast ⋯ j)
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : InjOn ⇑f ↑(adjoin R (range x))
this : aeval (⇑f ∘ x) = f.comp (aeval x)
\u22a2 AlgebraicIndependent R (⇑f ∘ x)
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : InjOn ⇑f ↑(adjoin R (range x))
this : aeval (⇑f ∘ x) = f.comp (aeval x)
h : ∀ (p : MvPolynomial ι R), (aeval x) p ∈ (aeval Subtype.val).range
\u22a2 AlgebraicIndependent R (⇑f ∘ x)
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x✝ : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x✝
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : InjOn ⇑f ↑(adjoin R (range x✝))
this : aeval (⇑f ∘ x✝) = f.comp (aeval x✝)
h : ∀ (p : MvPolynomial ι R), (aeval x✝) p ∈ (aeval Subtype.val).range
x y : MvPolynomial ι R
hxy : (f.comp (aeval x✝)) x = (f.comp (aeval x✝)) y
\u22a2 x = y
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x✝ : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x✝
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : InjOn ⇑f ↑(aeval Subtype.val).range
this : aeval (⇑f ∘ x✝) = f.comp (aeval x✝)
h : ∀ (p : MvPolynomial ι R), (aeval x✝) p ∈ (aeval Subtype.val).range
x y : MvPolynomial ι R
hxy : (f.comp (aeval x✝)) x = (f.comp (aeval x✝)) y
\u22a2 x = y
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
o : Ordinal.{u_1}
ho : o.card.ord = o
ho' : ω ≤ o
\u22a2 ∃ a, (aleph a).ord = o
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
o : Ordinal.{u_1}
ho : o.card.ord = o
ho' : ω ≤ o
a : Ordinal.{u_1}
ha : (aleph' a).ord = o
\u22a2 ∃ a, (aleph a).ord = o
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
o : Ordinal.{u_1}
ho : o.card.ord = o
ho' : ω ≤ o
a : Ordinal.{u_1}
ha : (aleph' a).ord = o
\u22a2 (aleph (a - ω)).ord = o
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
o : Ordinal.{u_1}
ho : o.card.ord = o
ho' : ω ≤ o
a : Ordinal.{u_1}
ha : (aleph' a).ord = o
\u22a2 (aleph' (ω + (a - ω))).ord = o
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
o : Ordinal.{u_1}
ho : o.card.ord = o
ho' : ω ≤ o
a : Ordinal.{u_1}
ha : (aleph' a).ord = o
\u22a2 ω ≤ a
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
\u22a2 μ[f|m] = if Integrable f μ then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) ⋯ else 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
\u22a2 (if h : SigmaFinite (μ.trim hm) ∧ Integrable f μ then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) ⋯ else 0) = if Integrable f μ then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) ⋯ else 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
\u22a2 (if h : Integrable f μ then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) ⋯ else 0) = if Integrable f μ then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) ⋯ else 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Teichmuller.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
x y : MvPolynomial R ℚ
\u22a2 teichmullerFun p (x * y) = teichmullerFun p x * teichmullerFun p y
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Teichmuller.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
x y : MvPolynomial R ℚ
\u22a2 ghostMap (teichmullerFun p (x * y)) = ghostMap (teichmullerFun p x * teichmullerFun p y)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Teichmuller.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
x y : MvPolynomial R ℚ
\u22a2 ghostMap (teichmullerFun p (x * y)) = ghostMap (teichmullerFun p x) * ghostMap (teichmullerFun p y)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Teichmuller.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
x y : MvPolynomial R ℚ
n : ℕ
\u22a2 ghostMap (teichmullerFun p (x * y)) n = (ghostMap (teichmullerFun p x) * ghostMap (teichmullerFun p y)) n
-- Mathlib/Algebra/Regular/SMul.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a✝ b : R
s : S
inst✝³ : SMul R M
inst✝² : SMul R S
inst✝¹ : SMul S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
a : R
ab : IsSMulRegular M (a • s)
c d : M
cd : ((fun m => a • m) ∘ fun x => s • x) c = ((fun m => a • m) ∘ fun x => s • x) d
\u22a2 c = d
-- Mathlib/Algebra/Regular/SMul.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a✝ b : R
s : S
inst✝³ : SMul R M
inst✝² : SMul R S
inst✝¹ : SMul S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
a : R
ab : IsSMulRegular M (a • s)
c d : M
cd : a • s • c = a • s • d
\u22a2 c = d
-- Mathlib/Algebra/Regular/SMul.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a✝ b : R
s : S
inst✝³ : SMul R M
inst✝² : SMul R S
inst✝¹ : SMul S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
a : R
ab : IsSMulRegular M (a • s)
c d : M
cd : (a • s) • c = (a • s) • d
\u22a2 c = d
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ g t
\u22a2 ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} * ENNReal.ofReal (g t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ g t
\u22a2 ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t) = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} * ENNReal.ofReal (g t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ g t
\u22a2 (fun a => μ {a_1 | a ≤ f a_1} * ENNReal.ofReal (g a)) =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] fun a => μ {a_1 | a < f a_1} * ENNReal.ofReal (g a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ g t
t : ℝ
ht : μ {a | t ≤ f a} = μ {a | t < f a}
\u22a2 μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t) = μ {a | t < f a} * ENNReal.ofReal (g t)
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : (i : ι) → κ i → α
\u22a2 a ≤ ⨅ i, ⨅ j, f i j ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), a ≤ f i j
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
\u22a2 LieSubmodule.map f (posFittingComp R L M) ≤ posFittingComp R L M₂
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
\u22a2 ⨆ i, LieSubmodule.map f (posFittingCompOf R M i) ≤ ⨆ x, posFittingCompOf R M₂ x
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
y : L
m : M
hm : m ∈ posFittingCompOf R M y
\u22a2 m ∈ LieSubmodule.comap f (posFittingCompOf R M₂ y)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
y : L
m : M
hm : ∀ (k : ℕ), ∃ n, ((toEnd R L M) y ^ k) n = m
\u22a2 m ∈ LieSubmodule.comap f (posFittingCompOf R M₂ y)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
y : L
m : M
hm : ∀ (k : ℕ), ∃ n, ((toEnd R L M) y ^ k) n = m
\u22a2 ∀ (k : ℕ), ∃ n, ((toEnd R L M₂) y ^ k) n = f m
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
y : L
m : M
hm : ∀ (k : ℕ), ∃ n, ((toEnd R L M) y ^ k) n = m
k : ℕ
n : M
hn : ((toEnd R L M) y ^ k) n = m
\u22a2 ∃ n, ((toEnd R L M₂) y ^ k) n = f m
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
y : L
m : M
hm : ∀ (k : ℕ), ∃ n, ((toEnd R L M) y ^ k) n = m
k : ℕ
n : M
hn : ((toEnd R L M) y ^ k) n = m
\u22a2 ((toEnd R L M₂) y ^ k) (f n) = f m
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/Killing.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : Module.Finite R L
D : LieDerivation R L L
hD : D ∈ (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule
x : L
\u22a2 (ad R L) (D x) ∈ Submodule.map (ad R L).range.subtype (LinearMap.ker (killingForm R ↥(ad R L).range))