ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/FunctorGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.71152, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K'✝ : ChainComplex C ℕ
f✝ : K✝ ⟶ K'✝
Δ✝ Δ'✝ Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ' Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
θ : Δ' ⟶ Δ
A : Splitting.IndexSet Δ'
\u22a2 ((splitting K).cofan Δ').inj A ≫ (obj K).map θ ≫ (fun Δ => (splitting K).desc Δ fun A => f.f (unop A.fst).len ≫ ((splitting K').cofan Δ).inj A) Δ = ((splitting K).cofan Δ').inj A ≫ (fun Δ => (splitting K).desc Δ fun A => f.f (unop A.fst).len ≫ ((splitting K').cofan Δ).inj A) Δ' ≫ (obj K').map θ
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/FunctorGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.71152, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K'✝ : ChainComplex C ℕ
f✝ : K✝ ⟶ K'✝
Δ✝ Δ'✝ Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ' Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
θ : Δ' ⟶ Δ
A : Splitting.IndexSet Δ'
\u22a2 Obj.Termwise.mapMono K (image.ι (θ.unop ≫ A.e)) ≫ f.f (unop (A.pull θ).fst).len ≫ ((splitting K').cofan Δ).inj (A.pull θ) = f.f (unop A.fst).len ≫ Obj.Termwise.mapMono K' (image.ι (θ.unop ≫ A.e)) ≫ ((splitting K').cofan Δ).inj (A.pull θ)
-- Mathlib/RepresentationTheory/Invariants.lean
k : Type u
inst✝ : CommRing k
G : Grp
X Y : Rep k ↑G
x✝ : ↥(X.ρ.linHom Y.ρ).invariants
\u22a2 (fun f => ⟨f.hom, ⋯⟩) ({ toFun := fun f => { hom := ↑f, comm := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x✝) = x✝
-- Mathlib/RepresentationTheory/Invariants.lean
k : Type u
inst✝ : CommRing k
G : Grp
X Y : Rep k ↑G
x✝ : ↥(X.ρ.linHom Y.ρ).invariants
\u22a2 ↑((fun f => ⟨f.hom, ⋯⟩) ({ toFun := fun f => { hom := ↑f, comm := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x✝)) = ↑x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Continuous.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E✝ : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E✝
X : C
E : PreOneHypercover X
F : C ⥤ D
x✝¹ x✝ : E.I₀
j : E.I₁ x✝¹ x✝
\u22a2 (fun x x_1 j => F.map (E.p₁ j)) x✝¹ x✝ j ≫ (fun i => F.map (E.f i)) x✝¹ = (fun x x_1 j => F.map (E.p₂ j)) x✝¹ x✝ j ≫ (fun i => F.map (E.f i)) x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p q r : Submodule R M
h₁ : IsCompl q r
h₂ : q ≤ p
\u22a2 IsCompl (comap p.subtype q) (comap p.subtype r)
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : f.LimZero
hg : g.LimZero
\u22a2 (f - g).LimZero
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Set α
t✝ t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α → α → β
s t : Set α
hf : ∀ (a b : α), f a b = f b a
\u22a2 image2 f (s ∪ t) (s ∩ t) ⊆ image2 f s t
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Set α
t✝ t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α → α → β
s t : Set α
hf : ∀ (a b : α), f a b = f b a
\u22a2 image2 f (s ∩ t) (s ∪ t) ⊆ image2 f s t
-- Mathlib/Data/Setoid/Partition.lean
α : Type u_1
r₁ r₂ : Setoid α
h : r₁.classes = r₂.classes
a b : α
\u22a2 r₁.Rel a b ↔ r₂.Rel a b
-- Mathlib/FieldTheory/IsSepClosed.lean
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed k
x : k
h2 : NeZero 2
\u22a2 ∃ z, x = z * z
-- Mathlib/FieldTheory/IsSepClosed.lean
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed k
h2 : NeZero 2
z : k
\u22a2 ∃ z_1, z ^ 2 = z_1 * z_1
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
\u22a2 ∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), (⨆ n, ↑(eapprox f n) a) + ⨆ n, ↑(eapprox g n) a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
\u22a2 (fun a => (⨆ n, ↑(eapprox f n) a) + ⨆ n, ↑(eapprox g n) a) = fun a => ⨆ n, (↑(eapprox f n) + ↑(eapprox g n)) a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
a : α
\u22a2 (⨆ n, ↑(eapprox f n) a) + ⨆ n, ↑(eapprox g n) a = ⨆ n, (↑(eapprox f n) + ↑(eapprox g n)) a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
a : α
\u22a2 ⨆ a_1, ↑(eapprox f a_1) a + ↑(eapprox g a_1) a = ⨆ n, (↑(eapprox f n) + ↑(eapprox g n)) a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
a : α
\u22a2 Monotone fun n => ↑(eapprox f n) a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
a : α
\u22a2 Monotone fun n => ↑(eapprox g n) a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
\u22a2 ∫⁻ (a : α), ⨆ n, (↑(eapprox f n) + ↑(eapprox g n)) a ∂μ = ⨆ n, (eapprox f n).lintegral μ + (eapprox g n).lintegral μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
\u22a2 ⨆ n, ∫⁻ (a : α), (↑(eapprox f n) + ↑(eapprox g n)) a ∂μ = ⨆ n, (eapprox f n).lintegral μ + (eapprox g n).lintegral μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
\u22a2 ∀ (n : ℕ), Measurable (↑(eapprox f n) + ↑(eapprox g n))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
\u22a2 Monotone fun n => ↑(eapprox f n) + ↑(eapprox g n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
\u22a2 (⨆ n, (eapprox f n).lintegral μ) + ⨆ n, (eapprox g n).lintegral μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Bounded.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x✝ y z : α
t : Set α
x : α
xs : x ∈ s
xt : x ∈ t
\u22a2 diam (s ∪ t) ≤ diam s + diam t
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y : ℝ≥0∞
h : ∀ (r : ℝ≥0), ↑r < x → ↑r ≤ y
\u22a2 x ≤ y
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
x y : ℝ≥0∞
h : ∀ (r : ℝ≥0), ↑r < x → ↑r ≤ y
r : ℝ≥0∞
hr : r < x
\u22a2 r ≤ y
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
x y : ℝ≥0∞
h : ∀ (r : ℝ≥0), ↑r < x → ↑r ≤ y
r : ℝ≥0
hr : ↑r < x
\u22a2 ↑r ≤ y
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
w : InfinitePlace K
a : 𝓞 K
ha : a ≠ 0
h : ∀ ⦃z : InfinitePlace K⦄, z ≠ w → z ↑a < 1
\u22a2 1 ≤ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑a|
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
w : InfinitePlace K
a : 𝓞 K
ha : a ≠ 0
h : ∀ ⦃z : InfinitePlace K⦄, z ≠ w → z ↑a < 1
\u22a2 1 ≤ |(Algebra.norm ℤ) a|
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Equalizers.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
w : f ≫ h = g ≫ h
inst✝³ : HasCoequalizer f g
inst✝² : HasCoequalizer (G.map f) (G.map g)
inst✝¹ : PreservesColimit (parallelPair f g) G
X' Y' : D
f' g' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasCoequalizer f' g'
p : G.obj X ⟶ X'
q : G.obj Y ⟶ Y'
wf : G.map f ≫ q = p ≫ f'
wg : G.map g ≫ q = p ≫ g'
\u22a2 G.map (coequalizer.π f g) ≫ (PreservesCoequalizer.iso G f g).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (G.map f) (G.map g) f' g' p q wf wg) = q ≫ coequalizer.π f' g'
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens
\u22a2 f ⁻¹ᵁ U ≤ f ⁻¹ᵁ (Scheme.Hom.opensRange f ⊓ U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens
\u22a2 (ΓIso f U).inv = Scheme.Hom.appLE f (Scheme.Hom.opensRange f ⊓ U) (f ⁻¹ᵁ U) ⋯
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
\u22a2 Convex R s ↔ ∀ (t : Finset E) (w : E → R), (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → ∑ i ∈ t, w i = 1 → (∀ x ∈ t, x ∈ s) → ∑ x ∈ t, w x • x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
\u22a2 (∀ (t : Finset E) (w : E → R), (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) → ∑ i ∈ t, w i = 1 → (∀ x ∈ t, x ∈ s) → ∑ x ∈ t, w x • x ∈ s) → Convex R s
-- Mathlib/Data/Multiset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
ι : Type u_3
s : Multiset ι
t : ι → Multiset α
b : ι → α
b₀ : α
\u22a2 fold op (fold op b₀ (map b s)) (s.bind t) = fold op b₀ (map (fun i => fold op (b i) (t i)) s)
-- Mathlib/Data/Multiset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
ι : Type u_3
t : ι → Multiset α
b : ι → α
b₀ : α
\u22a2 fold op (fold op b₀ (map b 0)) (bind 0 t) = fold op b₀ (map (fun i => fold op (b i) (t i)) 0)
-- Mathlib/Data/Multiset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha✝ : Std.Associative op
ι : Type u_3
t : ι → Multiset α
b : ι → α
b₀ : α
a : ι
ha : Multiset ι
ih : fold op (fold op b₀ (map b ha)) (ha.bind t) = fold op b₀ (map (fun i => fold op (b i) (t i)) ha)
\u22a2 fold op (fold op b₀ (map b (a ::ₘ ha))) ((a ::ₘ ha).bind t) = fold op b₀ (map (fun i => fold op (b i) (t i)) (a ::ₘ ha))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
\u22a2 (o.areaForm x) (o.rightAngleRotation y) = ⟪x, y⟫_ℝ
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Finite o
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq o
e₁ : n ≃ o
e₂ : l → o
M : Matrix m n α
\u22a2 M * submatrix 1 (⇑e₁) e₂ = M.submatrix id (⇑e₁.symm ∘ e₂)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Finite o
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq o
e₁ : n ≃ o
e₂ : l → o
M : Matrix m n α
val✝ : Fintype o
\u22a2 M * submatrix 1 (⇑e₁) e₂ = M.submatrix id (⇑e₁.symm ∘ e₂)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Finite o
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq o
e₁ : n ≃ o
e₂ : l → o
M : Matrix m n α
val✝ : Fintype o
A : Matrix m o α := M.submatrix id ⇑e₁.symm
\u22a2 M * submatrix 1 (⇑e₁) e₂ = M.submatrix id (⇑e₁.symm ∘ e₂)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Finite o
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq o
e₁ : n ≃ o
e₂ : l → o
M : Matrix m n α
val✝ : Fintype o
A : Matrix m o α := M.submatrix id ⇑e₁.symm
this : M = A.submatrix id ⇑e₁
\u22a2 M * submatrix 1 (⇑e₁) e₂ = M.submatrix id (⇑e₁.symm ∘ e₂)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Finite o
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq o
e₁ : n ≃ o
e₂ : l → o
M : Matrix m n α
val✝ : Fintype o
A : Matrix m o α := M.submatrix id ⇑e₁.symm
this : M = A.submatrix id ⇑e₁
\u22a2 (A * 1).submatrix id e₂ = (A.submatrix id ⇑e₁).submatrix id (⇑e₁.symm ∘ e₂)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : R[X]
r : R
\u22a2 derivative (eval₂ C q (C r)) = eval₂ C q (derivative (C r)) * derivative q
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q p₁ p₂ : R[X]
ih₁ : derivative (eval₂ C q p₁) = eval₂ C q (derivative p₁) * derivative q
ih₂ : derivative (eval₂ C q p₂) = eval₂ C q (derivative p₂) * derivative q
\u22a2 derivative (eval₂ C q (p₁ + p₂)) = eval₂ C q (derivative (p₁ + p₂)) * derivative q
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : R[X]
n : ℕ
r : R
ih : derivative (eval₂ C q (C r * X ^ n)) = eval₂ C q (derivative (C r * X ^ n)) * derivative q
\u22a2 derivative (eval₂ C q (C r * X ^ (n + 1))) = eval₂ C q (derivative (C r * X ^ (n + 1))) * derivative q
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Completion.lean
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f g : CauSeq β abv
\u22a2 (const abv (f.lim * g.lim) - f * g).LimZero
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Completion.lean
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f g : CauSeq β abv
h : const abv (f.lim * g.lim) - f * g = (const abv f.lim - f) * g + const abv f.lim * (const abv g.lim - g)
\u22a2 (const abv (f.lim * g.lim) - f * g).LimZero
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Completion.lean
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f g : CauSeq β abv
h : const abv (f.lim * g.lim) - f * g = (const abv f.lim - f) * g + const abv f.lim * (const abv g.lim - g)
\u22a2 ((const abv f.lim - f) * g + const abv f.lim * (const abv g.lim - g)).LimZero
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/RuzsaCovering.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
s t : Finset α
ht : t.Nonempty
this : (u : Set α) → Decidable (u.PairwiseDisjoint fun x => x • t)
C : Finset (Finset α) := filter (fun u => (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t) s.powerset
\u22a2 ∃ u, u.card * t.card ≤ (s * t).card ∧ s ⊆ u * t / t
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/RuzsaCovering.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
s t : Finset α
ht : t.Nonempty
this : (u : Set α) → Decidable (u.PairwiseDisjoint fun x => x • t)
C : Finset (Finset α) := filter (fun u => (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t) s.powerset
u : Finset α
hu : u ∈ C
hCmax : ∀ x ∈ C, ¬u < x
\u22a2 ∃ u, u.card * t.card ≤ (s * t).card ∧ s ⊆ u * t / t
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/RuzsaCovering.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
s t : Finset α
ht : t.Nonempty
this : (u : Set α) → Decidable (u.PairwiseDisjoint fun x => x • t)
C : Finset (Finset α) := filter (fun u => (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t) s.powerset
u : Finset α
hu : u ⊆ s ∧ (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t
hCmax : ∀ x ∈ C, ¬u < x
\u22a2 ∃ u, u.card * t.card ≤ (s * t).card ∧ s ⊆ u * t / t
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/RuzsaCovering.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
s t : Finset α
ht : t.Nonempty
this : (u : Set α) → Decidable (u.PairwiseDisjoint fun x => x • t)
C : Finset (Finset α) := filter (fun u => (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t) s.powerset
u : Finset α
hu : u ⊆ s ∧ (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t
hCmax : ∀ x ∈ C, ¬u < x
a : α
ha : a ∈ s
\u22a2 a ∈ u * t / t
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/RuzsaCovering.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
s t : Finset α
ht : t.Nonempty
this : (u : Set α) → Decidable (u.PairwiseDisjoint fun x => x • t)
C : Finset (Finset α) := filter (fun u => (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t) s.powerset
u : Finset α
hu : u ⊆ s ∧ (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t
hCmax : ∀ x ∈ C, ¬u < x
a : α
ha : a ∈ s
\u22a2 a ∈ u * (t / t)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/RuzsaCovering.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
s t : Finset α
ht : t.Nonempty
this : (u : Set α) → Decidable (u.PairwiseDisjoint fun x => x • t)
C : Finset (Finset α) := filter (fun u => (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t) s.powerset
u : Finset α
hu : u ⊆ s ∧ (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t
hCmax : ∀ x ∈ C, ¬u < x
a : α
ha : a ∈ s
hau : a ∉ u
H : ∃ b ∈ u, ¬Disjoint (a • t) (b • t)
\u22a2 a ∈ u * (t / t)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/RuzsaCovering.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
s t : Finset α
ht : t.Nonempty
this : (u : Set α) → Decidable (u.PairwiseDisjoint fun x => x • t)
C : Finset (Finset α) := filter (fun u => (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t) s.powerset
u : Finset α
hu : u ⊆ s ∧ (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t
hCmax : ∀ x ∈ C, ¬u < x
a : α
ha : a ∈ s
hau : a ∉ u
H : ∃ b ∈ u, ∃ a_1, a⁻¹ • a_1 ∈ t ∧ b⁻¹ • a_1 ∈ t
\u22a2 a ∈ u * (t / t)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/RuzsaCovering.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
s t : Finset α
ht : t.Nonempty
this : (u : Set α) → Decidable (u.PairwiseDisjoint fun x => x • t)
C : Finset (Finset α) := filter (fun u => (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t) s.powerset
u : Finset α
hu : u ⊆ s ∧ (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t
hCmax : ∀ x ∈ C, ¬u < x
a : α
ha : a ∈ s
hau : a ∉ u
b : α
hb : b ∈ u
c : α
hc₁ : a⁻¹ • c ∈ t
hc₂ : b⁻¹ • c ∈ t
\u22a2 a ∈ u * (t / t)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/RuzsaCovering.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
s t : Finset α
ht : t.Nonempty
this : (u : Set α) → Decidable (u.PairwiseDisjoint fun x => x • t)
C : Finset (Finset α) := filter (fun u => (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t) s.powerset
u : Finset α
hu : u ⊆ s ∧ (↑u).PairwiseDisjoint fun x => x • t
hCmax : ∀ x ∈ C, ¬u < x
a : α
ha : a ∈ s
hau : a ∉ u
b : α
hb : b ∈ u
c : α
hc₁ : a⁻¹ • c ∈ t
hc₂ : b⁻¹ • c ∈ t
\u22a2 a / b ∈ t / t
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
w : { w // w ≠ w₀ }
r : NNReal
h : ‖(logEmbedding K) x‖ ≤ ↑r
\u22a2 |(logEmbedding K) x w| ≤ ↑r
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
w : { w // w ≠ w₀ }
r : NNReal
h : ∀ b ∈ univ, ↑‖(logEmbedding K) x b‖₊ ≤ ↑r
\u22a2 |(logEmbedding K) x w| ≤ ↑r
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
f : R →+* S
x : R
\u22a2 (comap f (PrimeSpectrum.basicOpen x) (PrimeSpectrum.basicOpen (f x)) ⋯).comp (algebraMap R ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen x)))) = (IsLocalization.map (↑((structureSheaf S).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen (f x))))) f ⋯).comp (algebraMap R ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen x))))
-- Mathlib/Algebra/Order/CompleteField.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a✝ : α
b : β
q✝ : ℚ
a : α
q : ℚ
\u22a2 ↑q < inducedMap β γ (inducedMap α β a) ↔ ↑q < inducedMap α γ a
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : UnitAddCircle
\u22a2 ∃ p, 0 < p ∧ F_int 1 a =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
\u22a2 ∃ p, 0 < p ∧ F_int 1 ↑a =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : F_nat 1 a =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
\u22a2 ∃ p, 0 < p ∧ F_int 1 ↑a =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : F_nat 1 a =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : F_nat 1 (1 - a) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)
\u22a2 ∃ p, 0 < p ∧ F_int 1 ↑a =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : F_nat 1 a =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : F_nat 1 (1 - a) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)
\u22a2 F_int 1 ↑a =O[atTop] fun t => rexp (-min p q * t)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : F_nat 1 a =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : F_nat 1 (1 - a) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)
this : F_int 1 ↑a =ᶠ[atTop] fun t => F_nat 1 a t + F_nat 1 (1 - a) t
\u22a2 F_int 1 ↑a =O[atTop] fun t => rexp (-min p q * t)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : F_nat 1 a =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : F_nat 1 (1 - a) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)
this : F_int 1 ↑a =ᶠ[atTop] fun t => F_nat 1 a t + F_nat 1 (1 - a) t
\u22a2 min p q ≤ p
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : F_nat 1 a =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : F_nat 1 (1 - a) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)
this : F_int 1 ↑a =ᶠ[atTop] fun t => F_nat 1 a t + F_nat 1 (1 - a) t
\u22a2 min p q ≤ q
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a✝ b : α
inst✝ : IsSymm α r
a : α
l : List α
ih : l.Nodup → ({a | a ∈ l}.Pairwise r ↔ Pairwise r l)
hl : (a :: l).Nodup
\u22a2 {a_1 | a_1 ∈ a :: l}.Pairwise r ↔ Pairwise r (a :: l)
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a✝ b : α
inst✝ : IsSymm α r
a : α
l : List α
ih : l.Nodup → ({a | a ∈ l}.Pairwise r ↔ Pairwise r l)
hl : a ∉ l ∧ l.Nodup
\u22a2 {a_1 | a_1 ∈ a :: l}.Pairwise r ↔ Pairwise r (a :: l)
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a✝ b : α
inst✝ : IsSymm α r
a : α
l : List α
ih : l.Nodup → ({a | a ∈ l}.Pairwise r ↔ Pairwise r l)
hl : a ∉ l ∧ l.Nodup
this : ∀ b ∈ l, ¬a = b → r a b ↔ r a b
\u22a2 {a_1 | a_1 ∈ a :: l}.Pairwise r ↔ Pairwise r (a :: l)