ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ' : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c • μ
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
hc0 : ¬c = 0
\u22a2 c ^ (1 / p).toReal ≠ ⊤
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b a : α
f : β → α
\u22a2 ⨆ o, o.elim a f = a ⊔ ⨆ b, f b
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Unique.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : CompleteSpace E'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Unique.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : CompleteSpace E'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ
\u22a2 AEStronglyMeasurable'.mk f hfm =ᶠ[ae (μ.trim hm)] AEStronglyMeasurable'.mk g hgm
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Unique.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : CompleteSpace E'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ
hf_mk_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → (μ.trim hm) s < ⊤ → IntegrableOn (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm) s (μ.trim hm)
\u22a2 AEStronglyMeasurable'.mk f hfm =ᶠ[ae (μ.trim hm)] AEStronglyMeasurable'.mk g hgm
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Unique.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : CompleteSpace E'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ
hf_mk_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → (μ.trim hm) s < ⊤ → IntegrableOn (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm) s (μ.trim hm)
hg_mk_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → (μ.trim hm) s < ⊤ → IntegrableOn (AEStronglyMeasurable'.mk g hgm) s (μ.trim hm)
\u22a2 AEStronglyMeasurable'.mk f hfm =ᶠ[ae (μ.trim hm)] AEStronglyMeasurable'.mk g hgm
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Unique.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁶ : CompleteSpace E'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
hfg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ
hf_mk_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → (μ.trim hm) s < ⊤ → IntegrableOn (AEStronglyMeasurable'.mk f hfm) s (μ.trim hm)
hg_mk_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → (μ.trim hm) s < ⊤ → IntegrableOn (AEStronglyMeasurable'.mk g hgm) s (μ.trim hm)
hfg_mk_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → (μ.trim hm) s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, AEStronglyMeasurable'.mk f hfm x ∂μ.trim hm = ∫ (x : α) in s, AEStronglyMeasurable'.mk g hgm x ∂μ.trim hm
\u22a2 AEStronglyMeasurable'.mk f hfm =ᶠ[ae (μ.trim hm)] AEStronglyMeasurable'.mk g hgm
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
f : M → M'
hf : ContMDiff I I' n (e' ∘ f)
\u22a2 ContMDiff I I' n f
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
f : M → M'
hf : ContMDiff I I' n (e' ∘ f)
this : f = ↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph e' h').symm ∘ e' ∘ f
\u22a2 ContMDiff I I' n f
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
f : M → M'
hf : ContMDiff I I' n (e' ∘ f)
this : f = ↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph e' h').symm ∘ e' ∘ f
\u22a2 ContMDiff I I' n (↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph e' h').symm ∘ e' ∘ f)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
f : M → M'
hf : ContMDiff I I' n (e' ∘ f)
this : f = ↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph e' h').symm ∘ e' ∘ f
\u22a2 ∀ (x : M), (e' ∘ f) x ∈ range e'
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
\u22a2 @modifyNth = @modifyNthTR
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
\u22a2 modifyNth f n l = modifyNthTR f n l
-- Mathlib/Order/Circular.lean
α : Type u_1
inst✝ : CircularOrder α
a b x✝ : α
\u22a2 x✝ ∈ (cIoo a b)ᶜ ↔ x✝ ∈ cIcc b a
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
ℐ : Set (Ideal A)
h : ∀ I ∈ ℐ, IsHomogeneous 𝒜 I
\u22a2 IsHomogeneous 𝒜 (InfSet.sInf ℐ)
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
ℐ : Set (Ideal A)
h : ∀ I ∈ ℐ, IsHomogeneous 𝒜 I
\u22a2 IsHomogeneous 𝒜 (⨅ a ∈ ℐ, a)
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s✝ s : Set G
a : G
h : a ∈ closure s
x✝² : G
x✝¹ : InClosure s x✝²
x✝ : ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s) ∧ l.prod = x✝²
L : List G
HL1 : ∀ x ∈ L, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s
HL2 : L.prod = x✝²
x : G
hx : x ∈ List.map Inv.inv L.reverse
y : G
hy1 : y ∈ L.reverse
hy2 : y⁻¹ = x
\u22a2 y ∈ s → y⁻¹⁻¹ ∈ s
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s✝ s : Set G
a : G
h : a ∈ closure s
x✝² : G
x✝¹ : InClosure s x✝²
x✝ : ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s) ∧ l.prod = x✝²
L : List G
HL1 : ∀ x ∈ L, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s
HL2 : L.prod = x✝²
x : G
hx : x ∈ List.map Inv.inv L.reverse
y : G
hy1 : y ∈ L.reverse
hy2 : y⁻¹ = x
\u22a2 y ∈ s → y ∈ s
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s✝ s : Set G
a : G
h : a ∈ closure s
x : G
x✝¹ : InClosure s x
x✝ : ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s) ∧ l.prod = x
L : List G
HL1 : ∀ x ∈ L, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s
HL2 : L.prod = x
hd : G
tl : List G
ih : (List.map Inv.inv tl.reverse).prod = tl.prod⁻¹
\u22a2 (List.map Inv.inv (hd :: tl).reverse).prod = (hd :: tl).prod⁻¹
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s✝ s : Set G
a : G
h : a ∈ closure s
x y : G
x✝³ : InClosure s x
x✝² : InClosure s y
x✝¹ : ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s) ∧ l.prod = x
x✝ : ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s) ∧ l.prod = y
L1 : List G
HL1 : ∀ x ∈ L1, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s
HL2 : L1.prod = x
L2 : List G
HL3 : ∀ x ∈ L2, x ∈ s ∨ x⁻¹ ∈ s
HL4 : L2.prod = y
\u22a2 (L1 ++ L2).prod = x * y
-- Mathlib/Data/Fintype/Sum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
\u22a2 Infinite (α ⊕ β) ↔ Infinite α ∨ Infinite β
-- Mathlib/Data/Fintype/Sum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
H : Infinite (α ⊕ β)
\u22a2 Infinite α ∨ Infinite β
-- Mathlib/Data/Fintype/Sum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
H : ¬Infinite α ∧ ¬Infinite β
\u22a2 ¬Infinite (α ⊕ β)
-- Mathlib/Data/Fintype/Sum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
H : ¬Infinite α ∧ ¬Infinite β
this : Fintype α
\u22a2 ¬Infinite (α ⊕ β)
-- Mathlib/Data/Fintype/Sum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
H : ¬Infinite α ∧ ¬Infinite β
this✝ : Fintype α
this : Fintype β
\u22a2 ¬Infinite (α ⊕ β)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
a : α
s : Set α
\u22a2 ContinuousWithinAt f s a ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : α}, x ∈ s → dist x a < δ → dist (f x) (f a) < ε
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t t' : Set (PrimeSpectrum R)
r : R
\u22a2 r ∈ vanishingIdeal t ⊔ vanishingIdeal t' → r ∈ vanishingIdeal (t ∩ t')
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t t' : Set (PrimeSpectrum R)
r : R
\u22a2 (∃ y ∈ vanishingIdeal t, ∃ z ∈ vanishingIdeal t', y + z = r) → ∀ x ∈ t ∩ t', r ∈ x.asIdeal
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t t' : Set (PrimeSpectrum R)
f : R
hf : f ∈ vanishingIdeal t
g : R
hg : g ∈ vanishingIdeal t'
x : PrimeSpectrum R
hxt : x ∈ t
hxt' : x ∈ t'
\u22a2 f + g ∈ x.asIdeal
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t t' : Set (PrimeSpectrum R)
f : R
hf : ∀ x ∈ t, f ∈ x.asIdeal
g : R
hg : ∀ x ∈ t', g ∈ x.asIdeal
x : PrimeSpectrum R
hxt : x ∈ t
hxt' : x ∈ t'
\u22a2 f + g ∈ x.asIdeal
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : IsInternal V
hV' : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
w : PiLp 2 fun i => ↥(V i)
\u22a2 (hV.isometryL2OfOrthogonalFamily hV').symm w = ∑ i : ι, ↑(w i)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Finset ι
f : ι → α
\u22a2 Independent (f ∘ Subtype.val) ↔ s.SupIndep f
-- Mathlib/Data/List/Join.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
L : List α
i : Fin L.length
\u22a2 drop (↑i) (take (↑i + 1) L) = [L.get i]
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Dihedral.lean
n : ℕ
i : ZMod n
\u22a2 sr i * sr i = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : Set X → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure X
s : Set X
\u22a2 μ ≤ pre m r ↔ ∀ (s : Set X), diam s ≤ r → μ s ≤ m s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
x : ℝ
y : ℂ
h : 0 < y.re ∨ x ≠ 0
\u22a2 ContinuousAt (fun p => ↑p.1 ^ p.2) (x, y)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
x : ℝ
y : ℂ
h : 0 < y.re ∨ x ≠ 0
hx : 0 < x
\u22a2 ContinuousAt (fun p => ↑p.1 ^ p.2) (x, y)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
y : ℂ
h : 0 < y.re ∨ 0 ≠ 0
\u22a2 ContinuousAt (fun p => ↑p.1 ^ p.2) (0, y)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
x : ℝ
y : ℂ
h : 0 < y.re ∨ x ≠ 0
hx : x < 0
\u22a2 ContinuousAt (fun p => ↑p.1 ^ p.2) (x, y)
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
\u22a2 FiniteDimensional.finrank K L = n
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
this : FiniteDimensional K L
\u22a2 FiniteDimensional.finrank K L = n
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
this✝ : FiniteDimensional K L
this : IsGalois K L
\u22a2 FiniteDimensional.finrank K L = n
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn✝ : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
this✝ : FiniteDimensional K L
this : IsGalois K L
hn : 0 < n
\u22a2 FiniteDimensional.finrank K L = n
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn✝ : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
this✝¹ : FiniteDimensional K L
this✝ : IsGalois K L
hn : 0 < n
this : NeZero n
\u22a2 FiniteDimensional.finrank K L = n
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/IterateMapComap.lean
R : Type u_1
N : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f i : N →ₗ[R] M
K : Submodule R N
m : ℕ
heq : f.iterateMapComap i m K = f.iterateMapComap i (m + 1) K
hf : Surjective ⇑f
hi : Injective ⇑i
n : ℕ
\u22a2 f.iterateMapComap i n K = f.iterateMapComap i (n + 1) K
-- Mathlib/Algebra/Lie/OfAssociative.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
x : L
m : M
hm : m ∈ ↑↑N
\u22a2 ((toEnd R L M) x) m ∈ ↑N
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Inductions.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q p : R[X]
\u22a2 ∀ (n : ℕ), (X * p.divX + C (p.coeff 0)).coeff n = p.coeff n
-- Mathlib/Topology/Instances/NNReal.lean
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0
hf : ¬Summable f
\u22a2 ↑(∑' (a : α), f a) = ∑' (a : α), ↑(f a)
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : Nontrivial R
m : M
S : Set M
\u22a2 of' R M m ∈ span R (of' R M '' S) ↔ m ∈ S
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : Nontrivial R
m : M
S : Set M
h : of' R M m ∈ span R (of' R M '' S)
\u22a2 m ∈ S
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : Nontrivial R
m : M
S : Set M
h : ↑{m} ⊆ S
\u22a2 m ∈ S
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : Mul α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c d : α
\u22a2 ↑(Icc a b * Ico c d) ⊆ ↑(Ico (a * c) (b * d))
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Set α
t✝ t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α → α → β
s t : Set α
hf : ∀ (a b : α), f a b = f b a
\u22a2 image2 f (t ∩ s) (s ∪ t) ⊆ image2 f s t
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
p n r b : ℕ
hp : Prime p
hbn : log p n < b
\u22a2 p ^ r ∣ n ! ↔ r ≤ ∑ i ∈ Ico 1 b, n / p ^ i
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
\u22a2 i.succ ≤ p ∨ p ≤ i.castSucc
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
n₁ n₂ d₁ d₂ : Int
z₁ : d₁ ≠ 0
z₂ : d₂ ≠ 0
\u22a2 n₁ /. d₁ + n₂ /. d₂ = (n₁ * d₂ + n₂ * d₁) /. (d₁ * d₂)
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
q : Λ'
c : List Γ'
x : Γ'
b : List Γ'
IH : ∀ (s : Option Γ') (a d : List Γ'), Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some q.copy, var := s, stk := elim a b c d } { l := some q, var := none, stk := elim (b.reverseAux a) [] c (b.reverseAux d) }
s : Option Γ'
a d : List Γ'
\u22a2 Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some q.copy, var := s, stk := elim a (x :: b) c d } { l := some q, var := none, stk := elim ((x :: b).reverseAux a) [] c ((x :: b).reverseAux d) }
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
q : Λ'
c : List Γ'
x : Γ'
b : List Γ'
IH : ∀ (s : Option Γ') (a d : List Γ'), Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some q.copy, var := s, stk := elim a b c d } { l := some q, var := none, stk := elim (b.reverseAux a) [] c (b.reverseAux d) }
s : Option Γ'
a d : List Γ'
\u22a2 TransGen (fun a b => b ∈ TM2.step tr a) (TM2.stepAux (tr q.copy) s (elim a (x :: b) c d)) { l := some q, var := none, stk := elim ((x :: b).reverseAux a) [] c ((x :: b).reverseAux d) }
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
q : Λ'
c : List Γ'
x : Γ'
b : List Γ'
IH : ∀ (s : Option Γ') (a d : List Γ'), Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some q.copy, var := s, stk := elim a b c d } { l := some q, var := none, stk := elim (b.reverseAux a) [] c (b.reverseAux d) }
s : Option Γ'
a d : List Γ'
\u22a2 TransGen (fun a b => (match a with | { l := none, var := var, stk := stk } => none | { l := some l, var := v, stk := S } => some (TM2.stepAux (tr l) v S)) = some b) { l := some q.copy, var := some x, stk := elim ((some x).iget :: a) b c ((some x).iget :: d) } { l := some q, var := none, stk := elim (b.reverseAux (x :: a)) [] c (b.reverseAux (x :: d)) }
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/ZModChar.lean
n : ℤ
hn : n % 4 = 1
\u22a2 χ₄ ↑n = 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/ZModChar.lean
n : ℤ
hn : n % 4 = 1
\u22a2 χ₄ ↑1 = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
zw : SqLe y d x c
h : SqLe (x + z) c (y + w) d
\u22a2 SqLe z c w d
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
zw : SqLe y d x c
h : SqLe (x + z) c (y + w) d
\u22a2 ¬c * z * z > d * w * w
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
zw : SqLe y d x c
h : SqLe (x + z) c (y + w) d
l : c * z * z > d * w * w
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
zw : SqLe y d x c
h : SqLe (x + z) c (y + w) d
l : c * z * z > d * w * w
\u22a2 c * (x + z) * (x + z) > d * (y + w) * (y + w)