ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q f g : R[X]
hg : g.Monic
a✝ : Nontrivial R
hfg : ¬f /ₘ g = 0
hgf : g.degree ≤ f.degree
this : g.degree + (f /ₘ g).degree = f.degree
\u22a2 (f /ₘ g).natDegree = f.natDegree - g.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q f g : R[X]
hg : g.Monic
a✝ : Nontrivial R
hfg : ¬f /ₘ g = 0
hgf : g.degree ≤ f.degree
this : g.degree + (f /ₘ g).degree = f.degree
hf : f ≠ 0
\u22a2 (f /ₘ g).natDegree = f.natDegree - g.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q f g : R[X]
hg : g.Monic
a✝ : Nontrivial R
hfg : ¬f /ₘ g = 0
hgf : g.degree ≤ f.degree
this : g.natDegree + (f /ₘ g).natDegree = f.natDegree
hf : f ≠ 0
\u22a2 (f /ₘ g).natDegree = f.natDegree - g.natDegree
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/ConjAct.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
G₀ : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝ : Group G
x : G
\u22a2 x ∈ fixedPoints (ConjAct G) G ↔ x ∈ ↑(center G)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hpq : (p * q).Monic
\u22a2 q.Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hpq : ¬q.Monic
\u22a2 ¬(p * q).Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hpq : ¬q.leadingCoeff = 1
\u22a2 ¬(p * q).leadingCoeff = 1
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r : X
s t : ↥S
\u22a2 (1 /ₒ t) • (r /ₒ s) = r /ₒ (s * t)
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
h : ∀ (a : α), f a ≤ g a
C : β
hC : C ∈ upperBounds (range g)
\u22a2 BddAbove (range f)
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
h : ∀ (a : α), f a ≤ g a
C : β
hC : C ∈ upperBounds (range g)
\u22a2 C ∈ upperBounds (range f)
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
h : ∀ (a : α), f a ≤ g a
C : β
hC : C ∈ upperBounds (range g)
x : α
\u22a2 f x ≤ C
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Nontrivial G
inst✝ : Finite G
\u22a2 ⊥ < Subgroup.center G
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Nontrivial G
inst✝ : Finite G
this : Nontrivial ↥(Subgroup.center G)
\u22a2 ⊥ < Subgroup.center G
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
\u22a2 map (fun x => c + x) (Icc a b) = Icc (c + a) (c + b)
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
\u22a2 ⨅ s ∈ {s | False ∈ s ∧ s ∈ {{True}}}, 𝓟 s = ⊤
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
t' : Set β
h : BijOn f s t
htt' : t ⊆ t'
ht' : t' ⊆ range f
\u22a2 ∃ s', s ⊆ s' ∧ BijOn f s' t'
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type ?u.138430
inst✝¹ : MulAction R X
T : Type u_2
inst✝ : Monoid T
f : R →* T
fS : ↥S →* Tˣ
hf : ∀ (s : ↥S), f ↑s = ↑(fS s)
φ : OreLocalization S R →* T
huniv : ∀ (r : R), φ (numeratorHom r) = f r
r : R
s : ↥S
\u22a2 φ (r /ₒ s) = (universalMulHom f fS hf) (r /ₒ s)
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ : TopCat
W X Y Z S T : TopCat
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
i₃ : S ⟶ T
H₃ : Mono i₃
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
x✝ : ↑(pullback g₁ g₂)
x₁ : ↑W
hx₁ : i₁ x₁ = (pullback.fst g₁ g₂) x✝
x₂ : ↑X
hx₂ : i₂ x₂ = (pullback.snd g₁ g₂) x✝
\u22a2 x✝ ∈ Set.range ⇑(pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂)
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ : TopCat
W X Y Z S T : TopCat
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
i₃ : S ⟶ T
H₃ : Mono i₃
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
x✝ : ↑(pullback g₁ g₂)
x₁ : ↑W
hx₁ : i₁ x₁ = (pullback.fst g₁ g₂) x✝
x₂ : ↑X
hx₂ : i₂ x₂ = (pullback.snd g₁ g₂) x✝
this : f₁ x₁ = f₂ x₂
\u22a2 x✝ ∈ Set.range ⇑(pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂)
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ : TopCat
W X Y Z S T : TopCat
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
i₃ : S ⟶ T
H₃ : Mono i₃
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
x✝ : ↑(pullback g₁ g₂)
x₁ : ↑W
hx₁ : i₁ x₁ = (pullback.fst g₁ g₂) x✝
x₂ : ↑X
hx₂ : i₂ x₂ = (pullback.snd g₁ g₂) x✝
this : f₁ x₁ = f₂ x₂
\u22a2 (pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂) ((pullbackIsoProdSubtype f₁ f₂).inv ⟨(x₁, x₂), this⟩) = x✝
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ : TopCat
W X Y Z S T : TopCat
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
i₃ : S ⟶ T
H₃ : Mono i₃
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
x✝ : ↑(pullback g₁ g₂)
x₁ : ↑W
hx₁ : i₁ x₁ = (pullback.fst g₁ g₂) x✝
x₂ : ↑X
hx₂ : i₂ x₂ = (pullback.snd g₁ g₂) x✝
this : f₁ x₁ = f₂ x₂
\u22a2 (forget TopCat).map (pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂) ((pullbackIsoProdSubtype f₁ f₂).inv ⟨(x₁, x₂), this⟩) = x✝
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ : TopCat
W X Y Z S T : TopCat
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
i₃ : S ⟶ T
H₃ : Mono i₃
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
x✝ : ↑(pullback g₁ g₂)
x₁ : ↑W
hx₁ : i₁ x₁ = (pullback.fst g₁ g₂) x✝
x₂ : ↑X
hx₂ : i₂ x₂ = (pullback.snd g₁ g₂) x✝
this : f₁ x₁ = f₂ x₂
\u22a2 ∀ (j : WalkingCospan), (limit.π (cospan g₁ g₂) j) ((forget TopCat).map (pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂) ((pullbackIsoProdSubtype f₁ f₂).inv ⟨(x₁, x₂), this⟩)) = (limit.π (cospan g₁ g₂) j) x✝
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ : TopCat
W X Y Z S T : TopCat
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
i₃ : S ⟶ T
H₃ : Mono i₃
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
x✝ : ↑(pullback g₁ g₂)
x₁ : ↑W
hx₁ : i₁ x₁ = (pullback.fst g₁ g₂) x✝
x₂ : ↑X
hx₂ : i₂ x₂ = (pullback.snd g₁ g₂) x✝
this : f₁ x₁ = f₂ x₂
\u22a2 ((pullbackIsoProdSubtype f₁ f₂).inv ≫ pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂ ≫ limit.π (cospan g₁ g₂) none) ⟨(x₁, x₂), this⟩ = (limit.π (cospan g₁ g₂) none) x✝
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ : TopCat
W X Y Z S T : TopCat
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
i₃ : S ⟶ T
H₃ : Mono i₃
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
x✝ : ↑(pullback g₁ g₂)
x₁ : ↑W
hx₁ : i₁ x₁ = (pullback.fst g₁ g₂) x✝
x₂ : ↑X
hx₂ : i₂ x₂ = (pullback.snd g₁ g₂) x✝
this : f₁ x₁ = f₂ x₂
\u22a2 ((pullbackIsoProdSubtype f₁ f₂).inv ≫ pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂ ≫ limit.π (cospan g₁ g₂) (some WalkingPair.left)) ⟨(x₁, x₂), this⟩ = (limit.π (cospan g₁ g₂) (some WalkingPair.left)) x✝
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ : TopCat
W X Y Z S T : TopCat
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
i₃ : S ⟶ T
H₃ : Mono i₃
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
x✝ : ↑(pullback g₁ g₂)
x₁ : ↑W
hx₁ : i₁ x₁ = (pullback.fst g₁ g₂) x✝
x₂ : ↑X
hx₂ : i₂ x₂ = (pullback.snd g₁ g₂) x✝
this : f₁ x₁ = f₂ x₂
\u22a2 ((pullbackIsoProdSubtype f₁ f₂).inv ≫ pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂ ≫ limit.π (cospan g₁ g₂) (some WalkingPair.right)) ⟨(x₁, x₂), this⟩ = (limit.π (cospan g₁ g₂) (some WalkingPair.right)) x✝
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Sort u_11
f : ι → α
a : α
\u22a2 a ∈ range f ↔ a ∈ ⋃ i, {f i}
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Continuous.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
A : Type u
inst✝² : Category.{t, u} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : F.PreservesOneHypercovers J K
inst✝ : J.IsGeneratedByOneHypercovers
P : Dᵒᵖ ⥤ Type t
hP : Presieve.IsSheaf K P
\u22a2 Presieve.IsSheaf J (F.op ⋙ { val := P, cond := hP }.val)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Continuous.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
A : Type u
inst✝² : Category.{t, u} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : F.PreservesOneHypercovers J K
inst✝ : J.IsGeneratedByOneHypercovers
P : Dᵒᵖ ⥤ Type t
hP✝ : Presieve.IsSheaf K P
hP : Presheaf.IsSheaf K P
\u22a2 Presheaf.IsSheaf J (F.op ⋙ { val := P, cond := hP✝ }.val)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G✝ : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : PartialHomeomorph H H
x : H
\u22a2 x ∈ f.source ∪ f.sourceᶜ
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
r : R
hnil : IsNilpotent r
\u22a2 IsUnit (1 - r)
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
r : R
hnil : IsNilpotent r
\u22a2 IsUnit (r - 1)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
d : Nat
n : Int
d0 : d ≠ 0
\u22a2 normalize n d d0 = 0 ↔ n = 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
d : Nat
n : Int
d0 : d ≠ 0
this : normalize ?refine'_1 d d0 = normalize ?refine'_2 1 Nat.one_ne_zero ↔ ?refine'_1 * ↑1 = ?refine'_2 * ↑d
\u22a2 normalize n d d0 = 0 ↔ n = 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
d : Nat
n : Int
d0 : d ≠ 0
\u22a2 Int
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
d : Nat
n : Int
d0 : d ≠ 0
this : normalize ?refine'_1 d d0 = 0 ↔ ?refine'_1 * ↑1 = 0 * ↑d
\u22a2 normalize n d d0 = 0 ↔ n = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : σ →₀ ℕ
c : R
hc : c ≠ 0
\u22a2 ((monomial s) c).totalDegree = s.sum fun x e => e
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
\u22a2 Fintype.card ↥(rootsOfUnity n R) = ↑n
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝¹ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝¹ k
inst✝ : IsDomain R
ζ✝ : R
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ ↑n
ζ : Rˣ
hζ : ↑ζ = ζ✝
\u22a2 Fintype.card ↥(rootsOfUnity n R) = ↑n
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝¹ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝¹ k
inst✝ : IsDomain R
ζ✝ : R
n : ℕ+
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hζ : ↑ζ = ζ✝
\u22a2 Fintype.card ↥(rootsOfUnity n R) = ↑n
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
f : S →ₐ[A] S'
\u22a2 (aeval (f pb.gen)) (minpoly A pb.gen) = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
z y✝ x✝ r : ℝ
hr_nonneg : 0 ≤ r
hr_le : r ≤ 1
x y : ℂ
hyx : ‖y - x‖ < r
hy_eq : y = x + (y - x)
\u22a2 ‖cexp y - cexp x‖ ≤ (1 + r) * ‖cexp x‖ * ‖y - x‖
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
z y✝ x✝ r : ℝ
hr_nonneg : 0 ≤ r
hr_le : r ≤ 1
x y : ℂ
hyx : ‖y - x‖ < r
hy_eq : y = x + (y - x)
hyx_sq_le : ‖y - x‖ ^ 2 ≤ r * ‖y - x‖
\u22a2 ‖cexp y - cexp x‖ ≤ (1 + r) * ‖cexp x‖ * ‖y - x‖
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
z y✝ x✝ r : ℝ
hr_nonneg : 0 ≤ r
hr_le : r ≤ 1
x y : ℂ
hyx : ‖y - x‖ < r
hy_eq : y = x + (y - x)
hyx_sq_le : ‖y - x‖ ^ 2 ≤ r * ‖y - x‖
h_sq : ∀ (z : ℂ), ‖z‖ ≤ 1 → ‖cexp (x + z) - cexp x‖ ≤ ‖z‖ * ‖cexp x‖ + ‖cexp x‖ * ‖z‖ ^ 2
\u22a2 ‖cexp y - cexp x‖ ≤ (1 + r) * ‖cexp x‖ * ‖y - x‖
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Basic.lean
F✝ : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
f₀ f₁ f₂ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
G : f₁.Homotopy f₂
t : ↑I
snd✝ : X
\u22a2 (F.trans G).symm (t, snd✝) = (G.symm.trans F.symm) (t, snd✝)
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Basic.lean
F✝ : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
f₀ f₁ f₂ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
G : f₁.Homotopy f₂
t : ↑I
snd✝ : X
\u22a2 (if h : ↑(σ (t, snd✝).1, (t, snd✝).2).1 ≤ 1 / 2 then F (⟨2 * ↑(σ (t, snd✝).1, (t, snd✝).2).1, ⋯⟩, (σ (t, snd✝).1, (t, snd✝).2).2) else G (⟨2 * ↑(σ (t, snd✝).1, (t, snd✝).2).1 - 1, ⋯⟩, (σ (t, snd✝).1, (t, snd✝).2).2)) = if h : ↑(t, snd✝).1 ≤ 1 / 2 then G.symm (⟨2 * ↑(t, snd✝).1, ⋯⟩, (t, snd✝).2) else F.symm (⟨2 * ↑(t, snd✝).1 - 1, ⋯⟩, (t, snd✝).2)
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Basic.lean
F✝ : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
f₀ f₁ f₂ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
G : f₁.Homotopy f₂
t : ↑I
snd✝ : X
\u22a2 (if h : 1 - ↑t ≤ 1 / 2 then F (⟨2 * (1 - ↑t), ⋯⟩, snd✝) else G (⟨2 * (1 - ↑t) - 1, ⋯⟩, snd✝)) = if h : ↑t ≤ 1 / 2 then G (σ ⟨2 * ↑t, ⋯⟩, snd✝) else F (σ ⟨2 * ↑t - 1, ⋯⟩, snd✝)
-- Mathlib/Algebra/Tropical/BigOperators.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid R
s : Finset S
f : S → Tropical R
\u22a2 untrop (∏ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, untrop (f i)
-- Mathlib/Algebra/Tropical/BigOperators.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid R
s : Finset S
f : S → Tropical R
\u22a2 ∑ i ∈ s, untrop (f i) = (Multiset.map untrop (Multiset.map f s.val)).sum
-- Mathlib/Algebra/Tropical/BigOperators.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid R
s : Finset S
f : S → Tropical R
\u22a2 ∑ i ∈ s, untrop (f i) = (Multiset.map (fun i => untrop (f i)) s.val).sum
-- Mathlib/Order/Interval/Set/ProjIcc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x : α
f : ↑(Icc a b) → β
\u22a2 range (IccExtend h f) = range f
-- Mathlib/RingTheory/Smooth/Basic.lean
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R Sₘ
inst✝⁷ : Algebra S Sₘ
inst✝⁶ : Algebra R Rₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
inst✝ : FormallySmooth R S
\u22a2 FormallySmooth Rₘ Sₘ
-- Mathlib/RingTheory/Smooth/Basic.lean
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R Sₘ
inst✝⁷ : Algebra S Sₘ
inst✝⁶ : Algebra R Rₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
inst✝ : FormallySmooth R S
this : FormallySmooth S Sₘ
\u22a2 FormallySmooth Rₘ Sₘ
-- Mathlib/RingTheory/Smooth/Basic.lean
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R Sₘ
inst✝⁷ : Algebra S Sₘ
inst✝⁶ : Algebra R Rₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
inst✝ : FormallySmooth R S
this✝ : FormallySmooth S Sₘ
this : FormallySmooth R Sₘ
\u22a2 FormallySmooth Rₘ Sₘ
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
\u22a2 Function.Surjective ⇑(map f) ↔ Function.Surjective ⇑f
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
h : Function.Surjective ⇑(map f)
y : N
\u22a2 ∃ a, f a = y
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
h : Function.Surjective ⇑(map f)
y : N
x : ExteriorAlgebra R M
hx : (map f) x = (ι R) y
\u22a2 f (ιInv x) = y
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
h : Function.Surjective ⇑(map f)
y : N
x : ExteriorAlgebra R M
hx : (map f) x = (ι R) y
\u22a2 ιInv ((map f).toLinearMap x) = y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
x y : X
h : glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl x) (Sum.inl y) = 0
\u22a2 Sum.inl x = Sum.inl y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
x : X
y : Y
h : glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl x) (Sum.inr y) = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
x : Y
y : X
h : glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inl y) = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
x y : Y
h : glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inr y) = 0
\u22a2 Sum.inr x = Sum.inr y
-- Mathlib/Computability/ContextFreeGrammar.lean
T : Type uT
x : ContextFreeGrammar T
\u22a2 x.reverse.reverse = x
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t
\u22a2 HasSum (fun n => if n = 0 then 0 else cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) (↑(cosKernel (↑a) t) - 1)
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddCommGroup α
inst✝ : AddGroup β
h : Antiperiodic f c
n : ℤ
\u22a2 f (n • c - x) = ↑n.negOnePow • f (-x)
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddCommGroup α
inst✝ : AddGroup β
h : Antiperiodic f c
n : ℤ
\u22a2 f (-x + n • c) = ↑n.negOnePow • f (-x)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
h : {I | I.IsPrime}.Finite
I : Ideal R
\u22a2 Submodule.IsPrincipal I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
h : {I | I.IsPrime}.Finite
\u22a2 Submodule.IsPrincipal ⊥
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
h : {I | I.IsPrime}.Finite
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊥
\u22a2 Submodule.IsPrincipal I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
h : {I | I.IsPrime}.Finite
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊥
\u22a2 {I | I.IsMaximal}.Finite
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
h : {I | I.IsPrime}.Finite
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊥
\u22a2 IsUnit ↑I
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
\u22a2 (↑p ^ (n + 1) * polyOfInterest p n).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
\u22a2 (remainder p n - wittPolyProdRemainder p (n + 1)).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
\u22a2 (remainder p n).vars ∪ (wittPolyProdRemainder p (n + 1)).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
\u22a2 (remainder p n).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
\u22a2 (wittPolyProdRemainder p (n + 1)).vars ⊆ univ ×ˢ range (n + 1)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
\u22a2 o.oangle (x + y) y = ↑(Real.arccos (‖y‖ / ‖x + y‖))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
\u22a2 (-o).oangle y (x + y) = ↑(Real.arccos (‖y‖ / ‖x + y‖))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
\u22a2 (-o).oangle y (y + x) = ↑(Real.arccos (‖y‖ / ‖y + x‖))
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a : α
\u22a2 IsLowerSet s ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → Iic a ⊆ s
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a✝ b a : α
\u22a2 Chain' R [a].reverse ↔ Chain' (flip R) [a]
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ b✝ a b : α
l : List α
\u22a2 Chain' R (a :: b :: l).reverse ↔ Chain' (flip R) (a :: b :: l)