ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
hs : IsUpperSet s
\u22a2 IsUpperSet (s * t⁻¹)
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Cast.lean
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
e : u ⟶ v
e' : u' ⟶ v'
\u22a2 e' = cast hu hv e ↔ HEq e' e
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Cast.lean
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
e : u ⟶ v
e' : u' ⟶ v'
\u22a2 HEq e e' ↔ HEq e' e
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
inst✝ : LindelofSpace X
hf : Continuous f
hsur : Function.Surjective f
\u22a2 IsLindelof univ
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
inst✝ : LindelofSpace X
hf : Continuous f
hsur : Function.Surjective f
\u22a2 IsLindelof (f '' univ)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
\u22a2 dimH s = ⨆ d, ⨆ (_ : μH[↑d] s = ⊤), ↑d
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
s : Set X
inst✝ : BorelSpace X
this✝ : MeasurableSpace X := borel X
\u22a2 dimH s = ⨆ d, ⨆ (_ : μH[↑d] s = ⊤), ↑d
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n k : ℕ
\u22a2 m.Coprime (n + k * m) ↔ m.Coprime n
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Div α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b
\u22a2 ma / mb ∈ a / b
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Div α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b
\u22a2 ∃ a_1 ∈ a, ∃ a ∈ b, a_1 / a = ma / mb
-- Mathlib/NumberTheory/EllipticDivisibilitySequence.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
n : ℤ
\u22a2 preNormEDS b c d (-n) = -preNormEDS b c d n
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
w₀ : { w // w.IsComplex }
\u22a2 Convex ℝ (convexBodyLT' K f w₀)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
w₀ x✝¹ : { w // w.IsComplex }
x✝ : x✝¹ ∈ Set.univ
\u22a2 Convex ℝ (if x✝¹ = w₀ then {x | |x.re| < 1 ∧ |x.im| < ↑(f ↑x✝¹) ^ 2} else ball 0 ↑(f ↑x✝¹))
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
\u22a2 (map f) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) = OuterMeasure.ofFunction (fun s => m (f ⁻¹' s)) m_empty
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
s : Set β
\u22a2 (OuterMeasure.ofFunction (fun s => m (f ⁻¹' s)) m_empty) s ≤ ((map f) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty)) s
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
s : Set β
\u22a2 ∀ (i : ℕ → Set α), f ⁻¹' s ⊆ iUnion i → ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), m (f ⁻¹' t n) ≤ ∑' (n : ℕ), m (i n)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
s : Set β
t : ℕ → Set α
ht : f ⁻¹' s ⊆ iUnion t
\u22a2 ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), m (f ⁻¹' t n) ≤ ∑' (n : ℕ), m (t n)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
s : Set β
t : ℕ → Set α
ht : f ⁻¹' s ⊆ iUnion t
\u22a2 s ⊆ ⋃ n, (range f)ᶜ ∪ f '' t n
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
s : Set β
t : ℕ → Set α
ht : f ⁻¹' s ⊆ iUnion t
\u22a2 ∑' (n : ℕ), m (f ⁻¹' (fun n => (range f)ᶜ ∪ f '' t n) n) ≤ ∑' (n : ℕ), m (t n)
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝ : MulOneClass M
s t : Set α
f✝ g✝ : α → M
a : α
f g : α → M
h : Disjoint (mulSupport f) (mulSupport g)
\u22a2 (mulSupport f).mulIndicator (f * g) = f
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝ : MulOneClass M
s t : Set α
f✝ g✝ : α → M
a : α
f g : α → M
h : Disjoint (mulSupport f) (mulSupport g)
x : α
hx : x ∈ mulSupport f
\u22a2 (f * g) x = f x
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝ : MulOneClass M
s t : Set α
f✝ g✝ : α → M
a : α
f g : α → M
h : Disjoint (mulSupport f) (mulSupport g)
x : α
hx : x ∈ mulSupport f
this : g x = 1
\u22a2 (f * g) x = f x
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module Rᵐᵒᵖ M
m₁ m₂ : M
\u22a2 0 •> m₂ + m₁ <• 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
s : ↥S
\u22a2 mk' f 0 s = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing β
f : α → β
inst✝ : DecidablePred fun x => f x ≤ 0
s : Finset α
h0 : Even (filter (fun x => f x ≤ 0) s).card
x : α
x✝ : x ∈ s
hx : ¬f x ≤ 0
\u22a2 0 ≤ 1 * f x
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing β
f : α → β
inst✝ : DecidablePred fun x => f x ≤ 0
s : Finset α
h0 : Even (filter (fun x => f x ≤ 0) s).card
x : α
x✝ : x ∈ s
hx : 0 < f x
\u22a2 0 ≤ f x
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing β
f : α → β
inst✝ : DecidablePred fun x => f x ≤ 0
s : Finset α
h0 : Even (filter (fun x => f x ≤ 0) s).card
\u22a2 ∏ x ∈ s, (if f x ≤ 0 then -1 else 1) * f x = ∏ x ∈ s, f x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset M), (LinearIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n
\u22a2 Module.rank R M ≤ ↑n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset M), (LinearIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n
\u22a2 ⨆ ι, #↑↑ι ≤ ↑n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset M), (LinearIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n
\u22a2 ∀ (i : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }), #↑↑i ≤ ↑n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset M), (LinearIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n
s : Set M
li : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
\u22a2 #↑↑⟨s, li⟩ ≤ ↑n
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι✝ : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι✝
F : ι✝ → ℂ → E
f✝ g✝ : ℂ → E
ι : Type u_3
p : Filter ι
f : ι → ℂ → ℂ
g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
hs : IsOpen s
x : ↑s
hF : TendstoLocallyUniformlyOn f g p s
hf : ∀ᶠ (n : ι) in p, DifferentiableOn ℂ (f n) s
hg : g ↑x ≠ 0
\u22a2 Tendsto (fun n => (deriv (f n) / f n) ↑x) p (𝓝 ((deriv g / g) ↑x))
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f : ℕ → β
\u22a2 ∏ k ∈ range 1, f k = f 0
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
s : Set α
f : α → β
hs : IsCompact s
hf : ContinuousOn f s
\u22a2 UniformContinuousOn f s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
s : Set α
f : α → β
hs : IsCompact s
hf : ContinuousOn f s
\u22a2 UniformContinuous (s.restrict f)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
s : Set α
f : α → β
hs : CompactSpace ↑s
hf : ContinuousOn f s
\u22a2 UniformContinuous (s.restrict f)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
s : Set α
f : α → β
hs : CompactSpace ↑s
hf : Continuous (s.restrict f)
\u22a2 UniformContinuous (s.restrict f)
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraTower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
i : ι
j : ι'
\u22a2 (b.smulTower c) (i, j) = b (i, j).1 • c (i, j).2
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraTower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
i : ι
j : ι'
\u22a2 (b.smulTower c).repr (b (i, j).1 • c (i, j).2) = single (i, j) 1
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraTower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
i : ι
j : ι'
i' : ι
j' : ι'
\u22a2 ((b.smulTower c).repr (b (i, j).1 • c (i, j).2)) (i', j') = (single (i, j) 1) (i', j')
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraTower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
i : ι
j : ι'
i' : ι
j' : ι'
\u22a2 (b.repr (b (i, j).1 • if (i, j).2 = (i', j').2 then 1 else 0)) (i', j').1 = (single (i, j) 1) (i', j')
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R✝
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
h : I.radical.FG
\u22a2 ∃ n, I.radical ^ n ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R✝
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
h : I.radical.FG
this : I.radical ≤ I.radical
\u22a2 ∃ n, I.radical ^ n ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R✝
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
h : I.radical.FG
\u22a2 I.radical ≤ I.radical → ∃ n, I.radical ^ n ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R✝
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
h : I.radical.FG
\u22a2 ∀ (x : R), (fun J => J ≤ I.radical → ∃ n, J ^ n ≤ I) (Submodule.span R {x})
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R✝
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
h : I.radical.FG
\u22a2 ∀ (M₁ M₂ : Submodule R R), (fun J => J ≤ I.radical → ∃ n, J ^ n ≤ I) M₁ → (fun J => J ≤ I.radical → ∃ n, J ^ n ≤ I) M₂ → (fun J => J ≤ I.radical → ∃ n, J ^ n ≤ I) (M₁ ⊔ M₂)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a : α
m : M
\u22a2 (single (Option.some a) m).some = single a m
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
U : Set (Quotient α_mod_G)
meas_U : MeasurableSet U
\u22a2 (Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (μ.restrict s)) U = μ (Quotient.mk α_mod_G ⁻¹' U ∩ s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
t : ⨂[R] (i : ι), s i
x✝¹ : R
x✝ : (i : ι) → s i
\u22a2 (tprod R) x✝ ∈ Set.range ⇑(tprod R)
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n : ℕ
h : m ≤ n
\u22a2 m.Coprime (n - m) ↔ m.Coprime n
-- Mathlib/ModelTheory/FinitelyGenerated.lean
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
N : L.Substructure M
\u22a2 N.FG ↔ ∃ n s, (closure L).toFun (range s) = N
-- Mathlib/ModelTheory/FinitelyGenerated.lean
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
N : L.Substructure M
\u22a2 (∃ S, S.Finite ∧ (closure L).toFun S = N) ↔ ∃ n s, (closure L).toFun (range s) = N
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hz : 0 < z
\u22a2 x ≤ y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z ≤ y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R
\u22a2 dblU (map W' f) (⇑f ∘ P) = f (W'.dblU P)
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.2943, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.2947, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.2951, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E : L.LeftExtension F
Y : D
g₁ g₂ : CostructuredArrow L Y
φ : g₁ ⟶ g₂
\u22a2 F.map φ.left ≫ E.hom.app g₂.left ≫ E.right.map g₂.hom = (E.hom.app g₁.left ≫ E.right.map g₁.hom) ≫ 𝟙 (E.right.obj Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.2943, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.2947, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.2951, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E : L.LeftExtension F
Y : D
g₁ g₂ : CostructuredArrow L Y
φ : g₁ ⟶ g₂
\u22a2 F.map φ.left ≫ E.hom.app g₂.left ≫ E.right.map g₂.hom = (E.hom.app g₁.left ≫ E.right.map (L.map φ.left ≫ g₂.hom)) ≫ 𝟙 (E.right.obj Y)
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice β
f : α → β
h_mono : Monotone f
s : Set α
hs : s.Nonempty
B : α
hB : B ∈ lowerBounds s
f' : αᵒᵈ → βᵒᵈ := f
\u22a2 f B ≤ sInf (f '' s)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent R L M
m : M
\u22a2 m ∈ weightSpace M 0 ↔ m ∈ ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent R L M
m : M
\u22a2 ∀ (a : L), ∃ k, ((toEnd R L M) a ^ k) m = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent R L M
m : M
x : L
\u22a2 ∃ k, ((toEnd R L M) x ^ k) m = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent R L M
m : M
x : L
k : ℕ
hk : ∀ (x : L), (toEnd R L M) x ^ k = 0
\u22a2 ∃ k, ((toEnd R L M) x ^ k) m = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ᵢ Y
d : ℝ
s : Set Y
\u22a2 μH[d] (⇑e ⁻¹' s) = μH[d] s
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/BinomialHeap/Basic.lean
\u22a2 @Batteries.BinomialHeap.Imp.HeapNode.rankTR = @rank
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/BinomialHeap/Basic.lean
α : Type u_1
s : HeapNode α
\u22a2 Batteries.BinomialHeap.Imp.HeapNode.rankTR s = s.rank
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
x : E
\u22a2 Tendsto (fun a => ‖a / x‖) (𝓝 x) (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s : Set α
\u22a2 𝓝[insert a s] a = pure a ⊔ 𝓝[s] a
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
\u22a2 o.oangle x ((o.rotation θ) y) = o.oangle x y + θ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
\u22a2 ↑(↑θ.expMapCircle * (o.kahler x) y).arg = ↑((o.kahler x) y).arg + θ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
\u22a2 θ + ↑((o.kahler x) y).arg = ↑((o.kahler x) y).arg + θ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
\u22a2 ↑θ.expMapCircle ≠ 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
\u22a2 (o.kahler x) y ≠ 0
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 a ∆ a = ⊥
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Order.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : OrderedCommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a₁ a₂ : α
i : ι
h : f ≤ g
hi : f i < g i
hf : HasProd f a₁
hg : HasProd g a₂
\u22a2 a₁ < a₂
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Order.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : OrderedCommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a₁ a₂ : α
i : ι
h : f ≤ g
hi : f i < g i
hf : HasProd f a₁
hg : HasProd g a₂
this : update f i 1 ≤ update g i 1
\u22a2 a₁ < a₂
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Order.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : OrderedCommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a₁ a₂ : α
i : ι
h : f ≤ g
hi : f i < g i
hf : HasProd f a₁
hg : HasProd g a₂
this✝ : update f i 1 ≤ update g i 1
this : 1 / f i * a₁ ≤ 1 / g i * a₂
\u22a2 a₁ < a₂
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ a b c : α
this : DistribLattice α := CommGroup.toDistribLattice α
\u22a2 mabs ((a ⊔ c) / (b ⊔ c)) * mabs ((a ⊓ c) / (b ⊓ c)) = mabs (a / b)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring k
inst✝⁵ : Monoid G
inst✝⁴ : Monoid H
A : Type u₃
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra k A
B : Type u_3
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra k B
F : G →* A
a : G
b : k
\u22a2 ((lift k G A) F) (single a b) = b • F a
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
\u22a2 adjoin R ⊥ = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
\u22a2 GaloisConnection (adjoin R) ?u
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
\u22a2 NonUnitalSubalgebra R A → Set A
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
\u22a2 count p (nth p 0) = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
\u22a2 ∀ ⦃x : ℕ⦄, x ∈ range (sInf (setOf p)) → ¬p x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
G : SimpleGraph V
\u22a2 Pairwise fun c c' => Disjoint c.supp c'.supp
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
G : SimpleGraph V
\u22a2 Pairwise fun c c' => ∀ ⦃a : V⦄, a ∈ c.supp → a ∉ c'.supp
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
G : SimpleGraph V
i✝ j✝ : G.ConnectedComponent
h : i✝ ≠ j✝
a : V
hsx : a ∈ i✝.supp
hsy : a ∈ j✝.supp
\u22a2 False