ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Away/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁹ : CommSemiring S
inst✝¹⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommSemiring P
x : R
inst✝¹⁶ : Away x S
g : R →+* P
Q : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommSemiring Q
inst✝¹⁴ : Algebra P Q
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommRing A
inst✝¹² : Algebra R A
B : Type u_6
inst✝¹¹ : CommRing B
inst✝¹⁰ : Algebra R B
Aₚ : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing Aₚ
inst✝⁸ : Algebra A Aₚ
inst✝⁷ : Algebra R Aₚ
inst✝⁶ : IsScalarTower R A Aₚ
Bₚ : Type u_8
inst✝⁵ : CommRing Bₚ
inst✝⁴ : Algebra B Bₚ
inst✝³ : Algebra R Bₚ
inst✝² : IsScalarTower R B Bₚ
f : A →ₐ[R] B
a : A
inst✝¹ : Away a Aₚ
inst✝ : Away (f a) Bₚ
hf : Function.Surjective ⇑f
\u22a2 IsLocalization (Submonoid.map f.toRingHom (Submonoid.powers a)) Bₚ
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Away/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁹ : CommSemiring S
inst✝¹⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommSemiring P
x : R
inst✝¹⁶ : Away x S
g : R →+* P
Q : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommSemiring Q
inst✝¹⁴ : Algebra P Q
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommRing A
inst✝¹² : Algebra R A
B : Type u_6
inst✝¹¹ : CommRing B
inst✝¹⁰ : Algebra R B
Aₚ : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing Aₚ
inst✝⁸ : Algebra A Aₚ
inst✝⁷ : Algebra R Aₚ
inst✝⁶ : IsScalarTower R A Aₚ
Bₚ : Type u_8
inst✝⁵ : CommRing Bₚ
inst✝⁴ : Algebra B Bₚ
inst✝³ : Algebra R Bₚ
inst✝² : IsScalarTower R B Bₚ
f : A →ₐ[R] B
a : A
inst✝¹ : Away a Aₚ
inst✝ : Away (f a) Bₚ
hf : Function.Surjective ⇑f
\u22a2 IsLocalization (Submonoid.powers (f a)) Bₚ
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝ : Finite α
hf : f.IsCycle
hx : f x ≠ x
hy : f y ≠ y
\u22a2 ∃ i, (f ^ i) x = y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝ : Finite α
hf : f.IsCycle
hx : f x ≠ x
hy : f y ≠ y
n : ℤ
hn : (f ^ n) x = y
\u22a2 ∃ i, (f ^ i) x = y
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν✝ ν₁ ν₂ : Measure α✝
s✝ t : Set α✝
α : Type u_5
m₀ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
hμν : ∀ s ∈ C, μ s = ν s
m : MeasurableSpace α
h : m ≤ m₀
hA : m = generateFrom C
hC : IsPiSystem C
h_univ : μ univ = ν univ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 μ s = ν s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν✝ ν₁ ν₂ : Measure α✝
s✝ t : Set α✝
α : Type u_5
m₀ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
hμν : ∀ s ∈ C, μ s = ν s
m : MeasurableSpace α
h : m ≤ m₀
hA : m = generateFrom C
hC : IsPiSystem C
h_univ : μ univ = ν univ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
this : IsFiniteMeasure ν
\u22a2 μ s = ν s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν✝ ν₁ ν₂ : Measure α✝
s✝ t : Set α✝
α : Type u_5
m₀ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
hμν : ∀ s ∈ C, μ s = ν s
m : MeasurableSpace α
h : m ≤ m₀
hA : m = generateFrom C
hC : IsPiSystem C
h_univ : μ univ = ν univ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
this : IsFiniteMeasure ν
\u22a2 ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t = ν t → μ tᶜ = ν tᶜ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν✝ ν₁ ν₂ : Measure α✝
s✝ t : Set α✝
α : Type u_5
m₀ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
hμν : ∀ s ∈ C, μ s = ν s
m : MeasurableSpace α
h : m ≤ m₀
hA : m = generateFrom C
hC : IsPiSystem C
h_univ : μ univ = ν univ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
this : IsFiniteMeasure ν
\u22a2 ∀ (f : ℕ → Set α), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), μ (f i) = ν (f i)) → μ (⋃ i, f i) = ν (⋃ i, f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω'
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω'
inst✝ : BorelSpace Ω'
ι : Type u_3
L : Filter ι
νs : ι → FiniteMeasure Ω
ν : FiniteMeasure Ω
lim : Tendsto νs L (𝓝 ν)
f : Ω → Ω'
f_cont : Continuous f
\u22a2 Tendsto (fun i => (νs i).map f) L (𝓝 (ν.map f))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω'
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω'
inst✝ : BorelSpace Ω'
ι : Type u_3
L : Filter ι
νs : ι → FiniteMeasure Ω
ν : FiniteMeasure Ω
lim : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(νs i)) L (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑ν))
f : Ω → Ω'
f_cont : Continuous f
\u22a2 ∀ (f_1 : Ω' →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω'), ↑(f_1 x) ∂↑((νs i).map f)) L (𝓝 (∫⁻ (x : Ω'), ↑(f_1 x) ∂↑(ν.map f)))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
\u22a2 (o.oangle x (r • y)).sign = SignType.sign r * (o.oangle x y).sign
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
a : R
p : R[X]
k : ℕ
\u22a2 (⇑derivative)^[k] (C a * p) = C a * (⇑derivative)^[k] p
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] M
\u22a2 (trace R M) (g ∘ₗ f) = (trace R N) (f ∘ₗ g)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] M
h : (((llcomp R M N M).compr₂ (trace R M)) g) f = (((llcomp R N M N).flip.compr₂ (trace R N)) g) f
\u22a2 (trace R M) (g ∘ₗ f) = (trace R N) (f ∘ₗ g)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] M
h : (trace R M) (g ∘ₗ f) = (trace R N) (f ∘ₗ g)
\u22a2 (trace R M) (g ∘ₗ f) = (trace R N) (f ∘ₗ g)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
m n : ℕ
\u22a2 ↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
h : M✶.RkPos
hI : M.Indep I
\u22a2 I ⊂ M.E
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B✝ X : Set α
h : M✶.RkPos
hI : M.Indep I
B : Set α
hB : M.Base B ∧ I ⊆ B
\u22a2 I ⊂ M.E
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
\u22a2 ∃ t, f.toPOUFun i =ᶠ[𝓝 x] ⇑(f i) * ⇑(∏ j ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) t, (1 - f j))
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
hf : {i | ((fun i => support ⇑(f i)) i ∩ U).Nonempty}.Finite
\u22a2 ∃ t, f.toPOUFun i =ᶠ[𝓝 x] ⇑(f i) * ⇑(∏ j ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) t, (1 - f j))
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
hf : {i | ((fun i => support ⇑(f i)) i ∩ U).Nonempty}.Finite
\u22a2 f.toPOUFun i =ᶠ[𝓝 x] ⇑(f i) * ⇑(∏ j ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) hf.toFinset, (1 - f j))
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
hf : {i | ((fun i => support ⇑(f i)) i ∩ U).Nonempty}.Finite
y : X
hyU : y ∈ U
\u22a2 f.toPOUFun i y = (⇑(f i) * ⇑(∏ j ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) hf.toFinset, (1 - f j))) y
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
hf : {i | ((fun i => support ⇑(f i)) i ∩ U).Nonempty}.Finite
y : X
hyU : y ∈ U
\u22a2 f.toPOUFun i y = (f i) y * ∏ c ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) hf.toFinset, (1 - f c) y
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
hf : {i | ((fun i => support ⇑(f i)) i ∩ U).Nonempty}.Finite
y : X
hyU : y ∈ U
\u22a2 ∀ (j : ι), WellOrderingRel j i → (f j) y ≠ 0 → j ∈ hf.toFinset
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
hf : {i | ((fun i => support ⇑(f i)) i ∩ U).Nonempty}.Finite
y : X
hyU : y ∈ U
j : ι
a✝ : WellOrderingRel j i
hj : (f j) y ≠ 0
\u22a2 j ∈ hf.toFinset
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
S : Submodule R M
h : S = ⊥
\u22a2 Module.rank R ↥S = 0
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝ : Preorder α
f : ℕ → α
hf : Antitone f
n a : ℕ
h1 : f (n + 1) < f a
h2 : f a < f n
\u22a2 False
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
s✝ : Set α
f✝ : α → β
f : α → β → γ
K₁ K₂ : ℝ≥0
s : Set α
t : Set β
hf₁ : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K₁ (fun x => f x b) s
hf₂ : ∀ a ∈ s, LipschitzOnWith K₂ (f a) t
\u22a2 EMetric.diam (image2 f s t) ≤ ↑K₁ * EMetric.diam s + ↑K₂ * EMetric.diam t
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
s✝ : Set α
f✝ : α → β
f : α → β → γ
K₁ K₂ : ℝ≥0
s : Set α
t : Set β
hf₁ : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K₁ (fun x => f x b) s
hf₂ : ∀ a ∈ s, LipschitzOnWith K₂ (f a) t
\u22a2 ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ∀ x_1 ∈ s, ∀ y_1 ∈ t, edist (f x y) (f x_1 y_1) ≤ ↑K₁ * EMetric.diam s + ↑K₂ * EMetric.diam t
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
s✝ : Set α
f✝ : α → β
f : α → β → γ
K₁ K₂ : ℝ≥0
s : Set α
t : Set β
hf₁ : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K₁ (fun x => f x b) s
hf₂ : ∀ a ∈ s, LipschitzOnWith K₂ (f a) t
a₁ : α
ha₁ : a₁ ∈ s
b₁ : β
hb₁ : b₁ ∈ t
a₂ : α
ha₂ : a₂ ∈ s
b₂ : β
hb₂ : b₂ ∈ t
\u22a2 edist (f a₁ b₁) (f a₂ b₂) ≤ ↑K₁ * EMetric.diam s + ↑K₂ * EMetric.diam t
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
s✝ : Set α
f✝ : α → β
f : α → β → γ
K₁ K₂ : ℝ≥0
s : Set α
t : Set β
hf₁ : ∀ b ∈ t, LipschitzOnWith K₁ (fun x => f x b) s
hf₂ : ∀ a ∈ s, LipschitzOnWith K₂ (f a) t
a₁ : α
ha₁ : a₁ ∈ s
b₁ : β
hb₁ : b₁ ∈ t
a₂ : α
ha₂ : a₂ ∈ s
b₂ : β
hb₂ : b₂ ∈ t
\u22a2 edist (f a₁ b₁) (f a₂ b₁) + edist (f a₂ b₁) (f a₂ b₂) ≤ ↑K₁ * EMetric.diam s + ↑K₂ * EMetric.diam t
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' T : L.Theory
h : T.IsFinitelySatisfiable
\u22a2 T.IsSatisfiable
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
this✝ : DecidableEq α
this : DecidableEq β
\u22a2 ∀ (g : (a : α) → a ∈ s → α), (∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a * f (g a ha) = 1) → (∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ≠ 1 → g a ha ≠ a) → ∀ (g_mem : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), g a ha ∈ s), (∀ (a : α) (ha : a ∈ s), g (g a ha) ⋯ = a) → ∏ x ∈ s, f x = 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : E
\u22a2 ‖(inclusionInDoubleDual 𝕜 E) x‖ ≤ ‖x‖
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
\u22a2 ∃! t, x.IsAmalgamation t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
\u22a2 ∃! t, x.IsAmalgamation t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
h : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork P))
E : A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x : Presieve.FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj (op E)) S.arrows
hx : x.Compatible
T : J.Cover X := ⟨S, hS⟩
hh : IsLimit (T.multifork P)
K : Multifork (T.index P) := Multifork.ofι (T.index P) E (fun I => x I.f ⋯) ⋯
\u22a2 (fun t => x.IsAmalgamation t) (hh.lift K) ∧ ∀ (y : (P ⋙ coyoneda.obj (op E)).obj (op X)), (fun t => x.IsAmalgamation t) y → y = hh.lift K
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
\u22a2 s ∪ t =ᶠ[ae μ] s ↔ t ≤ᶠ[ae μ] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
\u22a2 s ∪ t =ᶠ[ae μ] s ↔ μ (t \ s) = 0
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
h : t.Nonempty
\u22a2 image2 (fun x x_1 => x) s t = s
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
l₁ : List α
l₂ : List β
i : ℕ
\u22a2 (zipWith f l₁ l₂).get? i = (Option.map f (l₁.get? i)).bind fun g => Option.map g (l₂.get? i)
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Catalan.lean
\u22a2 catalan 1 = 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x y : ↑↑𝒰.gluedCover.glued.toPresheafedSpace
h : 𝒰.fromGlued.val.base x = 𝒰.fromGlued.val.base y
\u22a2 x = y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
y : ↑↑𝒰.gluedCover.glued.toPresheafedSpace
i : 𝒰.gluedCover.J
x : ↑↑(𝒰.gluedCover.U i).toPresheafedSpace
h : 𝒰.fromGlued.val.base ((𝒰.gluedCover.ι i).val.base x) = 𝒰.fromGlued.val.base y
\u22a2 (𝒰.gluedCover.ι i).val.base x = y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
i : 𝒰.gluedCover.J
x : ↑↑(𝒰.gluedCover.U i).toPresheafedSpace
j : 𝒰.gluedCover.J
y : ↑↑(𝒰.gluedCover.U j).toPresheafedSpace
h : 𝒰.fromGlued.val.base ((𝒰.gluedCover.ι i).val.base x) = 𝒰.fromGlued.val.base ((𝒰.gluedCover.ι j).val.base y)
\u22a2 (𝒰.gluedCover.ι i).val.base x = (𝒰.gluedCover.ι j).val.base y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
i : 𝒰.gluedCover.J
x : ↑↑(𝒰.gluedCover.U i).toPresheafedSpace
j : 𝒰.gluedCover.J
y : ↑↑(𝒰.gluedCover.U j).toPresheafedSpace
h : ((𝒰.gluedCover.ι i).val.base ≫ 𝒰.fromGlued.val.base) x = ((𝒰.gluedCover.ι j).val.base ≫ 𝒰.fromGlued.val.base) y
\u22a2 (𝒰.gluedCover.ι i).val.base x = (𝒰.gluedCover.ι j).val.base y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
i : 𝒰.gluedCover.J
x : ↑↑(𝒰.gluedCover.U i).toPresheafedSpace
j : 𝒰.gluedCover.J
y : ↑↑(𝒰.gluedCover.U j).toPresheafedSpace
h : (𝒰.gluedCover.ι i ≫ 𝒰.fromGlued).val.base x = (𝒰.gluedCover.ι j ≫ 𝒰.fromGlued).val.base y
\u22a2 (𝒰.gluedCover.ι i).val.base x = (𝒰.gluedCover.ι j).val.base y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
i : 𝒰.gluedCover.J
x : ↑↑(𝒰.gluedCover.U i).toPresheafedSpace
j : 𝒰.gluedCover.J
y : ↑↑(𝒰.gluedCover.U j).toPresheafedSpace
h : (𝒰.map i).val.base x = (𝒰.map j).val.base y
\u22a2 (𝒰.gluedCover.ι i).val.base x = (𝒰.gluedCover.ι j).val.base y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
i : 𝒰.gluedCover.J
x : ↑↑(𝒰.gluedCover.U i).toPresheafedSpace
j : 𝒰.gluedCover.J
y : ↑↑(𝒰.gluedCover.U j).toPresheafedSpace
h : (𝒰.map i).val.base x = (𝒰.map j).val.base y
e : (TopCat.pullbackCone (forgetToTop.map (𝒰.map i)) (forgetToTop.map (𝒰.map j))).pt ≅ (PullbackCone.mk (forgetToTop.map (pullback.fst (𝒰.map i) (𝒰.map j))) (forgetToTop.map (pullback.snd (𝒰.map i) (𝒰.map j))) ⋯).pt := (TopCat.pullbackConeIsLimit (forgetToTop.map (𝒰.map i)) (forgetToTop.map (𝒰.map j))).conePointUniqueUpToIso (isLimitOfHasPullbackOfPreservesLimit forgetToTop (𝒰.map i) (𝒰.map j))
\u22a2 (𝒰.gluedCover.ι i).val.base x = (𝒰.gluedCover.ι j).val.base y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
i : 𝒰.gluedCover.J
x : ↑↑(𝒰.gluedCover.U i).toPresheafedSpace
j : 𝒰.gluedCover.J
y : ↑↑(𝒰.gluedCover.U j).toPresheafedSpace
h : (𝒰.map i).val.base x = (𝒰.map j).val.base y
e : (TopCat.pullbackCone (forgetToTop.map (𝒰.map i)) (forgetToTop.map (𝒰.map j))).pt ≅ (PullbackCone.mk (forgetToTop.map (pullback.fst (𝒰.map i) (𝒰.map j))) (forgetToTop.map (pullback.snd (𝒰.map i) (𝒰.map j))) ⋯).pt := (TopCat.pullbackConeIsLimit (forgetToTop.map (𝒰.map i)) (forgetToTop.map (𝒰.map j))).conePointUniqueUpToIso (isLimitOfHasPullbackOfPreservesLimit forgetToTop (𝒰.map i) (𝒰.map j))
\u22a2 𝒰.gluedCover.Rel ⟨i, x⟩ ⟨j, y⟩
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
i : 𝒰.gluedCover.J
x : ↑↑(𝒰.gluedCover.U i).toPresheafedSpace
j : 𝒰.gluedCover.J
y : ↑↑(𝒰.gluedCover.U j).toPresheafedSpace
h : (𝒰.map i).val.base x = (𝒰.map j).val.base y
e : (TopCat.pullbackCone (forgetToTop.map (𝒰.map i)) (forgetToTop.map (𝒰.map j))).pt ≅ (PullbackCone.mk (forgetToTop.map (pullback.fst (𝒰.map i) (𝒰.map j))) (forgetToTop.map (pullback.snd (𝒰.map i) (𝒰.map j))) ⋯).pt := (TopCat.pullbackConeIsLimit (forgetToTop.map (𝒰.map i)) (forgetToTop.map (𝒰.map j))).conePointUniqueUpToIso (isLimitOfHasPullbackOfPreservesLimit forgetToTop (𝒰.map i) (𝒰.map j))
\u22a2 ∃ x_1, (𝒰.gluedCover.f ⟨i, x⟩.fst ⟨j, y⟩.fst).val.base x_1 = ⟨i, x⟩.snd ∧ (𝒰.gluedCover.t ⟨i, x⟩.fst ⟨j, y⟩.fst ≫ 𝒰.gluedCover.f ⟨j, y⟩.fst ⟨i, x⟩.fst).val.base x_1 = ⟨j, y⟩.snd
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
i : 𝒰.gluedCover.J
x : ↑↑(𝒰.gluedCover.U i).toPresheafedSpace
j : 𝒰.gluedCover.J
y : ↑↑(𝒰.gluedCover.U j).toPresheafedSpace
h : (𝒰.map i).val.base x = (𝒰.map j).val.base y
e : (TopCat.pullbackCone (forgetToTop.map (𝒰.map i)) (forgetToTop.map (𝒰.map j))).pt ≅ (PullbackCone.mk (forgetToTop.map (pullback.fst (𝒰.map i) (𝒰.map j))) (forgetToTop.map (pullback.snd (𝒰.map i) (𝒰.map j))) ⋯).pt := (TopCat.pullbackConeIsLimit (forgetToTop.map (𝒰.map i)) (forgetToTop.map (𝒰.map j))).conePointUniqueUpToIso (isLimitOfHasPullbackOfPreservesLimit forgetToTop (𝒰.map i) (𝒰.map j))
\u22a2 (𝒰.gluedCover.f ⟨i, x⟩.fst ⟨j, y⟩.fst).val.base (e.hom ⟨(x, y), h⟩) = ⟨i, x⟩.snd ∧ (𝒰.gluedCover.t ⟨i, x⟩.fst ⟨j, y⟩.fst ≫ 𝒰.gluedCover.f ⟨j, y⟩.fst ⟨i, x⟩.fst).val.base (e.hom ⟨(x, y), h⟩) = ⟨j, y⟩.snd
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
x y : ↥H
hx : x ∈ Weight.ker
hy : y ∈ span K {coroot α}
\u22a2 ((traceForm K (↥H) L) x) y = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
x y : ↥H
hx : x ∈ Weight.ker
hy : y ∈ span K {x | ∃ y ∈ rootSpace H ⇑α, ∃ z ∈ rootSpace H (-⇑α), ⁅y, z⁆ = ↑x}
\u22a2 ((traceForm K (↥H) L) x) y = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Polynomial.lean
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
\u22a2 (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C).det.coeff 0 = B.det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Polynomial.lean
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
\u22a2 ∑ b : Equiv.Perm n, (sign b • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (b i) i).coeff 0 = ∑ σ : Equiv.Perm n, sign σ • ∏ i : n, B (σ i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Polynomial.lean
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
\u22a2 ∀ x ∈ Finset.univ, (sign x • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (x i) i).coeff 0 = sign x • ∏ i : n, B (x i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Polynomial.lean
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
\u22a2 (sign g • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g i) i).coeff 0 = sign g • ∏ i : n, B (g i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Polynomial.lean
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
\u22a2 ∏ i : n, B (g i) i = (∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g i) i).coeff 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Polynomial.lean
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
\u22a2 ∏ i : n, B (g i) i = ∏ i : n, ((X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g i) i).coeff 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Polynomial.lean
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
\u22a2 ∀ x ∈ Finset.univ, B (g x) x = ((X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g x) x).coeff 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
\u22a2 y ∈ ball x ε ↔ dist x y < ε