ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Finsupp.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid μ
inst✝² : HasAntidiagonal μ
inst✝¹ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f✝ : ι →₀ μ
inst✝ : DecidableEq μ
s : Finset ι
n : μ
p : μ × μ
x✝¹ x✝ : { x // x ∈ s.finsuppAntidiag p.2 }
f : ι →₀ μ
hf✝ : f ∈ s.finsuppAntidiag p.2
g : ι →₀ μ
hg✝ : g ∈ s.finsuppAntidiag p.2
hf : s.sum ⇑f = p.2 ∧ f.support ⊆ s
hg : s.sum ⇑g = p.2 ∧ g.support ⊆ s
x : ι
h : x ∉ s
hfg : ∀ (x_1 : ι), (f.update x p.1) x_1 = (g.update x p.1) x_1
\u22a2 f x = g x
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Finsupp.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid μ
inst✝² : HasAntidiagonal μ
inst✝¹ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f✝ : ι →₀ μ
inst✝ : DecidableEq μ
a : ι
s : Finset ι
h : a ∉ s
n : μ
p : μ × μ
x✝¹ x✝ : { x // x ∈ s.finsuppAntidiag p.2 }
f : ι →₀ μ
hf✝ : f ∈ s.finsuppAntidiag p.2
g : ι →₀ μ
hg✝ : g ∈ s.finsuppAntidiag p.2
hf : s.sum ⇑f = p.2 ∧ f.support ⊆ s
hg : s.sum ⇑g = p.2 ∧ g.support ⊆ s
hfg : ∀ (x : ι), (f.update a p.1) x = (g.update a p.1) x
x : ι
hx : x ≠ a
\u22a2 f x = g x
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Finsupp.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid μ
inst✝² : HasAntidiagonal μ
inst✝¹ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f✝ : ι →₀ μ
inst✝ : DecidableEq μ
a : ι
s : Finset ι
h : a ∉ s
n : μ
f : ι →₀ μ
\u22a2 f ∈ (insert a s).finsuppAntidiag n ↔ f ∈ (antidiagonal n).biUnion fun p => map { toFun := fun f => (↑f).update a p.1, inj' := ⋯ } (s.finsuppAntidiag p.2).attach
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Finsupp.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid μ
inst✝² : HasAntidiagonal μ
inst✝¹ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f✝ : ι →₀ μ
inst✝ : DecidableEq μ
a : ι
s : Finset ι
h : a ∉ s
n : μ
f : ι →₀ μ
\u22a2 (∃ m ∈ antidiagonal n, ∃ g, f = g.update a m.1 ∧ g ∈ s.finsuppAntidiag m.2) ↔ ∃ a_1 ∈ antidiagonal n, f ∈ map { toFun := fun f => (↑f).update a a_1.1, inj' := ⋯ } (s.finsuppAntidiag a_1.2).attach
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u : α → β
b : β
hu : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h : b < limsup u f
\u22a2 ∃ᶠ (x : α) in f, b < u x
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u : α → β
b : β
hu : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h : ¬∃ᶠ (x : α) in f, b < u x
\u22a2 limsup u f ≤ b
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u : α → β
b : β
hu : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h : ¬∃ᶠ (x : α) in f, b < u x
\u22a2 ∀ᶠ (n : β) in map u f, n ≤ b
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
\u22a2 TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ TendstoLocallyUniformly (fun i x => F i ↑x) (f ∘ Subtype.val) p
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
\u22a2 (∀ (x : { a // a ∈ s }), Tendsto ((fun y => (f y.2, F y.1 y.2)) ∘ Prod.map id Subtype.val) (p ×ˢ 𝓝 x) (𝓤 β)) ↔ ∀ (x : ↑s), Tendsto (fun y => ((f ∘ Subtype.val) y.2, F y.1 ↑y.2)) (p ×ˢ 𝓝 x) (𝓤 β)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : TopologicalAddGroup β
f g f' : α → β
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hf_ae : f =ᶠ[ae μ] f'
g' : α → β
hg'_meas : StronglyMeasurable g'
hg_ae : g =ᶠ[ae μ] g'
\u22a2 AEStronglyMeasurable' m (f - g) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : TopologicalAddGroup β
f g f' : α → β
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hf_ae : f =ᶠ[ae μ] f'
g' : α → β
hg'_meas : StronglyMeasurable g'
hg_ae : g =ᶠ[ae μ] g'
x : α
hx1 : g x = g' x
hx2 : f x = f' x
\u22a2 (f - g) x = (f' - g') x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : TopologicalAddGroup β
f g f' : α → β
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hf_ae : f =ᶠ[ae μ] f'
g' : α → β
hg'_meas : StronglyMeasurable g'
hg_ae : g =ᶠ[ae μ] g'
x : α
hx1 : g x = g' x
hx2 : f x = f' x
\u22a2 f x - g x = f' x - g' x
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal Sₚ
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
\u22a2 P ∈ normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R Sₚ) p)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal Sₚ
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
non_zero_div : Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl ≤ S⁰
\u22a2 P ∈ normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R Sₚ) p)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal Sₚ
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
non_zero_div : Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl ≤ S⁰
this : Algebra (Localization.AtPrime p) Sₚ := localizationAlgebra p.primeCompl S
\u22a2 P ∈ normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R Sₚ) p)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal Sₚ
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
non_zero_div : Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl ≤ S⁰
this✝ : Algebra (Localization.AtPrime p) Sₚ := localizationAlgebra p.primeCompl S
this : IsScalarTower R (Localization.AtPrime p) Sₚ
\u22a2 P ∈ normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R Sₚ) p)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal Sₚ
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
non_zero_div : Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl ≤ S⁰
this✝ : Algebra (Localization.AtPrime p) Sₚ := localizationAlgebra p.primeCompl S
this : IsScalarTower R (Localization.AtPrime p) Sₚ
pid : IsPrincipalIdealRing (Localization.AtPrime p)
p' : Ideal (Localization.AtPrime p)
hpu : ∀ (y : Ideal (Localization.AtPrime p)), (fun P => P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) y → y = p'
hp'0 : p' ≠ ⊥
hp'p : p'.IsPrime
\u22a2 P ∈ normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R Sₚ) p)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal Sₚ
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
non_zero_div : Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl ≤ S⁰
this✝¹ : Algebra (Localization.AtPrime p) Sₚ := localizationAlgebra p.primeCompl S
this✝ : IsScalarTower R (Localization.AtPrime p) Sₚ
pid : IsPrincipalIdealRing (Localization.AtPrime p)
p' : Ideal (Localization.AtPrime p)
hpu : ∀ (y : Ideal (Localization.AtPrime p)), (fun P => P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) y → y = p'
hp'0 : p' ≠ ⊥
hp'p : p'.IsPrime
this : LocalRing.maximalIdeal (Localization.AtPrime p) ≠ ⊥
\u22a2 P ∈ normalizedFactors (Ideal.map (algebraMap R Sₚ) p)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal Sₚ
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
non_zero_div : Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl ≤ S⁰
this✝¹ : Algebra (Localization.AtPrime p) Sₚ := localizationAlgebra p.primeCompl S
this✝ : IsScalarTower R (Localization.AtPrime p) Sₚ
pid : IsPrincipalIdealRing (Localization.AtPrime p)
p' : Ideal (Localization.AtPrime p)
hpu : ∀ (y : Ideal (Localization.AtPrime p)), (fun P => P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) y → y = p'
hp'0 : p' ≠ ⊥
hp'p : p'.IsPrime
this : LocalRing.maximalIdeal (Localization.AtPrime p) ≠ ⊥
\u22a2 comap (algebraMap (Localization.AtPrime p) Sₚ) P ≠ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal Sₚ
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
non_zero_div : Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl ≤ S⁰
this✝¹ : Algebra (Localization.AtPrime p) Sₚ := localizationAlgebra p.primeCompl S
this✝ : IsScalarTower R (Localization.AtPrime p) Sₚ
pid : IsPrincipalIdealRing (Localization.AtPrime p)
p' : Ideal (Localization.AtPrime p)
hpu : ∀ (y : Ideal (Localization.AtPrime p)), (fun P => P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) y → y = p'
hp'0 : p' ≠ ⊥
hp'p : p'.IsPrime
this : LocalRing.maximalIdeal (Localization.AtPrime p) ≠ ⊥
\u22a2 (comap (algebraMap (Localization.AtPrime p) Sₚ) P).IsPrime
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal Sₚ
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
non_zero_div : Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl ≤ S⁰
this✝¹ : Algebra (Localization.AtPrime p) Sₚ := localizationAlgebra p.primeCompl S
this✝ : IsScalarTower R (Localization.AtPrime p) Sₚ
pid : IsPrincipalIdealRing (Localization.AtPrime p)
p' : Ideal (Localization.AtPrime p)
hpu : ∀ (y : Ideal (Localization.AtPrime p)), (fun P => P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) y → y = p'
hp'0 : p' ≠ ⊥
hp'p : p'.IsPrime
this : LocalRing.maximalIdeal (Localization.AtPrime p) ≠ ⊥
\u22a2 (LocalRing.maximalIdeal (Localization.AtPrime p)).IsPrime
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : IsDedekindDomain R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module.Free R S
inst✝⁸ : Module.Finite R S
p : Ideal R
hp0 : p ≠ ⊥
inst✝⁷ : p.IsPrime
Sₚ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl) Sₚ
inst✝³ : Algebra R Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝¹ : IsDedekindDomain Sₚ
inst✝ : IsDomain S
P : Ideal Sₚ
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
non_zero_div : Algebra.algebraMapSubmonoid S p.primeCompl ≤ S⁰
this✝¹ : Algebra (Localization.AtPrime p) Sₚ := localizationAlgebra p.primeCompl S
this✝ : IsScalarTower R (Localization.AtPrime p) Sₚ
pid : IsPrincipalIdealRing (Localization.AtPrime p)
p' : Ideal (Localization.AtPrime p)
hpu : ∀ (y : Ideal (Localization.AtPrime p)), (fun P => P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) y → y = p'
hp'0 : p' ≠ ⊥
hp'p : p'.IsPrime
this : LocalRing.maximalIdeal (Localization.AtPrime p) ≠ ⊥
\u22a2 Ideal.map (algebraMap R Sₚ) p ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Inverse.lean
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k⟦X⟧
hf : f ≠ 0
\u22a2 ∃ n, Associated (X ^ n) f
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Inverse.lean
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k⟦X⟧
hf : f ≠ 0
\u22a2 Associated (X ^ f.order.get ⋯) f
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Inverse.lean
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k⟦X⟧
hf : f ≠ 0
\u22a2 X ^ f.order.get ⋯ * ↑f.Unit_of_divided_by_X_pow_order = f
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Inverse.lean
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k⟦X⟧
hf : f ≠ 0
\u22a2 X ^ f.order.get ⋯ * divided_by_X_pow_order hf = f
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r : ℝ≥0∞
h : μ.InnerRegularWRT p fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤
A : Set α
hA : μ A ≠ ⊤
\u22a2 (μ.restrict A).InnerRegularWRT p fun s => MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r : ℝ≥0∞
h : μ.InnerRegularWRT p fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤
A : Set α
hA : μ A ≠ ⊤
this : Fact (μ A < ⊤)
\u22a2 (μ.restrict A).InnerRegularWRT p fun s => MeasurableSet s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
\u22a2 (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
\u22a2 (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
\u22a2 (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) ≤ (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
\u22a2 ∑ x ∈ A.product B, ↑↑(interedges G.Adj x.1 x.2).card / (↑(↑x.1.card * ↑x.2.card) * (↑A.card * ↑B.card)) ≤ (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))
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α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
\u22a2 ∑ x ∈ A.product B, ↑↑(interedges G.Adj x.1 x.2).card / (↑(↑x.1.card * ↑x.2.card) * (↑A.card * ↑B.card)) ≤ ∑ x ∈ ((chunk hP G ε hU).ofSubset hA ⋯).parts ×ˢ ((chunk hP G ε hV).ofSubset hB ⋯).parts, ↑↑(interedges G.Adj x.1 x.2).card * ((1 + ε ^ 5 / 49) / ↑(↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card))
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
\u22a2 ∑ x ∈ A.product B, ↑(interedges G.Adj x.1 x.2).card / (↑x.1.card * ↑x.2.card * (↑A.card * ↑B.card)) ≤ ∑ x ∈ ((chunk hP G ε hU).ofSubset hA ⋯).parts ×ˢ ((chunk hP G ε hV).ofSubset hB ⋯).parts, ↑(interedges G.Adj x.1 x.2).card * ((1 + ε ^ 5 / 49) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card))
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α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
\u22a2 ∀ i ∈ A.product B, ↑(interedges G.Adj i.1 i.2).card / (↑i.1.card * ↑i.2.card * (↑A.card * ↑B.card)) ≤ ↑(interedges G.Adj i.1 i.2).card * ((1 + ε ^ 5 / 49) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card))
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α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
\u22a2 ∀ (a b : Finset α), a ∈ A → b ∈ B → ↑(interedges G.Adj a b).card / (↑a.card * ↑b.card * (↑A.card * ↑B.card)) ≤ ↑(interedges G.Adj a b).card * ((1 + ε ^ 5 / 49) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card))
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
\u22a2 ↑(interedges G.Adj x y).card / (↑x.card * ↑y.card * (↑A.card * ↑B.card)) ≤ ↑(interedges G.Adj x y).card * ((1 + ε ^ 5 / 49) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card))
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α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this : (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
\u22a2 ↑(interedges G.Adj x y).card ≤ ↑(interedges G.Adj x y).card * ((1 + ε ^ 5 / 49) / (↑(A.sup id).card * ↑(B.sup id).card) * (↑A.card * ↑x.card * (↑B.card * ↑y.card)))