ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
enc0 : enc default = Vector.replicate n false
M : Λ → Stmt₁
q : Stmt Bool Λ' σ
v : σ
L' R' : ListBlank Bool
a : Bool
l₂ : List Bool
IH : ∀ (l₁ l₂' : List Bool), l₂'.length = l₂.length → stepAux (write l₂ q) v (Tape.mk' (ListBlank.append l₁ L') (ListBlank.append l₂' R')) = stepAux q v (Tape.mk' (ListBlank.append (l₂.reverseAux l₁) L') R')
l₁ : List Bool
b : Bool
l₂' : List Bool
e : l₂'.length = l₂.length
\u22a2 stepAux (write (a :: l₂) q) v (Tape.mk' (ListBlank.append l₁ L') (ListBlank.append (b :: l₂') R')) = stepAux (write l₂ q) v (Tape.mk' (ListBlank.append (a :: l₁) L') (ListBlank.append l₂' R'))
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c w✝ : α
h : s(b, c) = s(a, w✝)
\u22a2 a = b ∨ a = c
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c w✝ : α
h : b = a ∧ c = w✝ ∨ b = w✝ ∧ c = a
\u22a2 a = b ∨ a = c
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b : α
\u22a2 Sym2.Mem a s(b, a)
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b : α
\u22a2 Sym2.Mem a s(a, b)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasRightHomology
inst✝ : S₂.HasRightHomology
\u22a2 opcyclesMap φ ≫ h₂.opcyclesIso.hom = h₁.opcyclesIso.hom ≫ γ.φQ
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfChosenFiniteProducts/Symmetric.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X X' Y Y' : C
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
\u22a2 (ℬ Y Y').isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X X').cone ≫ f) (BinaryFan.snd (ℬ X X').cone ≫ g)) ≫ ((ℬ Y Y').isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Y' Y).isLimit.swapBinaryFan).hom = ((ℬ X X').isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ X' X).isLimit.swapBinaryFan).hom ≫ (ℬ Y' Y).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X' X).cone ≫ g) (BinaryFan.snd (ℬ X' X).cone ≫ f))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfChosenFiniteProducts/Symmetric.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X X' Y Y' : C
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
\u22a2 ∀ (j : Discrete WalkingPair), ((ℬ Y Y').isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X X').cone ≫ f) (BinaryFan.snd (ℬ X X').cone ≫ g)) ≫ ((ℬ Y Y').isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Y' Y).isLimit.swapBinaryFan).hom) ≫ (ℬ Y' Y).cone.π.app j = (((ℬ X X').isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ X' X).isLimit.swapBinaryFan).hom ≫ (ℬ Y' Y).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X' X).cone ≫ g) (BinaryFan.snd (ℬ X' X).cone ≫ f))) ≫ (ℬ Y' Y).cone.π.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/RegularSheaves.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.61160, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.61164, u_3} E
X B : C
π : X ⟶ B
c : PullbackCone π π
hc : IsLimit c
\u22a2 (parallelPair (Over.homMk c.fst ⋯).op (Over.homMk c.snd ⋯).op).Initial
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/RegularSheaves.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.61160, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.61164, u_3} E
X B : C
π : X ⟶ B
c : PullbackCone π π
hc : IsLimit c
\u22a2 ∀ (Z : (Sieve.ofArrows (fun x => X) fun x => π).arrows.categoryᵒᵖ), Nonempty (op ((Sieve.ofArrows (fun x => X) fun x => π).arrows.categoryMk π ⋯) ⟶ Z)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/RegularSheaves.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.61160, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.61164, u_3} E
X B : C
π : X ⟶ B
c : PullbackCone π π
hc : IsLimit c
\u22a2 ∀ ⦃Z : (Sieve.ofArrows (fun x => X) fun x => π).arrows.categoryᵒᵖ⦄ (i j : op ((Sieve.ofArrows (fun x => X) fun x => π).arrows.categoryMk π ⋯) ⟶ Z), ∃ a, i = (Over.homMk c.fst ⋯).op ≫ a ∧ j = (Over.homMk c.snd ⋯).op ≫ a
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
p : α → Prop
x✝ y✝ x y : α
\u22a2 max x y = if x < y then y else x
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
p : α → Prop
x✝ y✝ x y : α
\u22a2 (if ¬y ≤ x then y else x) = if x < y then y else x
-- Mathlib/Order/Interval/Set/ProjIcc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x✝ x : α
hx : x ∈ Iic b
y : α
hy : y ∈ Iic b
hxy : x < y
\u22a2 projIic b x < projIic b y
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a.castSucc ≠ 0
\u22a2 b ≤ a.castSucc.pred ha ↔ b < a
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
\u22a2 Integrable (↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x))) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
\u22a2 AEStronglyMeasurable (↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x))) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
\u22a2 ∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → μ s_1 ≠ ⊤ → ∫⁻ (x_1 : α) in s_1, ↑‖↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) x_1‖₊ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
\u22a2 1 < b⁻¹ * a ↔ b < a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
\u22a2 det 1 = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
\u22a2 (diagonal fun x => 1).det = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
\u22a2 ∃ ω, ω.length = cs.length w ∧ w = cs.wordProd ω
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
this : ∃ ω, ω.length = Nat.find ⋯ ∧ cs.wordProd ω = w
\u22a2 ∃ ω, ω.length = cs.length w ∧ w = cs.wordProd ω
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Group G
inst✝² : AddGroup α
inst✝¹ : SMul γ α
inst✝ : SlashAction β G α γ
k : β
g : G
a : α
\u22a2 (-a) ∣[k;γ] g + a ∣[k;γ] g = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
ι : Type u_6
s : Finset ι
f : ι → X → E
hf : ∀ i ∈ s, LocallyIntegrable (f i) μ
\u22a2 LocallyIntegrable (fun a => ∑ i ∈ s, f i a) μ
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
\u22a2 (Ico a b).Nonempty ↔ a < b
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : LinearOrderedAddCommMonoid M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
hi : ¬v.restrict i ≤ restrict 0 i
\u22a2 ∃ j, MeasurableSet j ∧ j ⊆ i ∧ 0 < ↑v j
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : LinearOrderedAddCommMonoid M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
hi : ¬v.restrict i ≤ restrict 0 i
hi₁ : MeasurableSet i
\u22a2 ∃ j, MeasurableSet j ∧ j ⊆ i ∧ 0 < ↑v j
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : LinearOrderedAddCommMonoid M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
hi : ¬∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ i → ↑v j ≤ ↑0 j
hi₁ : MeasurableSet i
\u22a2 ∃ j, MeasurableSet j ∧ j ⊆ i ∧ 0 < ↑v j
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Real.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
\u22a2 interior (sphere x r) = ∅
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M₂
\u22a2 LieSubmodule.map e.toLieModuleHom (posFittingComp R L M) = posFittingComp R L M₂
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M₂
\u22a2 posFittingComp R L M₂ ≤ LieSubmodule.map e.toLieModuleHom (posFittingComp R L M)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M₂
\u22a2 posFittingComp R L M₂ = LieSubmodule.map e.toLieModuleHom (LieSubmodule.map e.symm.toLieModuleHom (posFittingComp R L M₂))
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M₂
\u22a2 posFittingComp R L M₂ = LieSubmodule.map (e.comp e.symm.toLieModuleHom) (posFittingComp R L M₂)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M₂
\u22a2 posFittingComp R L M₂ = LieSubmodule.map LieModuleHom.id (LieSubmodule.map (e.comp e.symm.toLieModuleHom) (posFittingComp R L M₂))
-- Mathlib/Algebra/Ring/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝² : Mul R
inst✝¹ : Add R
inst✝ : RightDistribClass R
a b c d : R
\u22a2 (a + b + c) * d = a * d + b * d + c * d
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Monadicity.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
inst✝ : ∀ (A : adj.toMonad.Algebra), HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
A : adj.toMonad.Algebra
\u22a2 ((comparisonAdjunction adj).unit.app A).f = (beckCoequalizer A).desc (unitCofork A)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Monadicity.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
inst✝ : ∀ (A : adj.toMonad.Algebra), HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
A : adj.toMonad.Algebra
\u22a2 (beckCofork A).π ≫ ((comparisonAdjunction adj).unit.app A).f = (beckCofork A).π ≫ (beckCoequalizer A).desc (unitCofork A)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Monadicity.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
inst✝ : ∀ (A : adj.toMonad.Algebra), HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
A : adj.toMonad.Algebra
\u22a2 (beckCofork A).π ≫ ((comparisonAdjunction adj).unit.app A).f = (unitCofork A).π
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Monadicity.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
inst✝ : ∀ (A : adj.toMonad.Algebra), HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
A : adj.toMonad.Algebra
\u22a2 A.a ≫ ((comparisonAdjunction adj).unit.app A).f = G.map (coequalizer.π (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Monadicity.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
inst✝ : ∀ (A : adj.toMonad.Algebra), HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
A : adj.toMonad.Algebra
\u22a2 adj.unit.app (adj.toMonad.obj A.A) ≫ G.map (adj.counit.app (F.obj A.A)) ≫ G.map (coequalizer.π (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))) = G.map (coequalizer.π (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A)))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
\u22a2 dist p1 p3 * dist p1 p3 = dist p1 p2 * dist p1 p2 + dist p3 p2 * dist p3 p2 - 2 * dist p1 p2 * dist p3 p2 * Real.cos (∠ p1 p2 p3)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
\u22a2 ‖p1 -ᵥ p3‖ * ‖p1 -ᵥ p3‖ = ‖p1 -ᵥ p2‖ * ‖p1 -ᵥ p2‖ + ‖p3 -ᵥ p2‖ * ‖p3 -ᵥ p2‖ - 2 * ‖p1 -ᵥ p2‖ * ‖p3 -ᵥ p2‖ * Real.cos (∠ p1 p2 p3)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
\u22a2 ‖p1 -ᵥ p3‖ * ‖p1 -ᵥ p3‖ = ‖p1 -ᵥ p2‖ * ‖p1 -ᵥ p2‖ + ‖p3 -ᵥ p2‖ * ‖p3 -ᵥ p2‖ - 2 * ‖p1 -ᵥ p2‖ * ‖p3 -ᵥ p2‖ * Real.cos (InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
\u22a2 p1 -ᵥ p3 = p1 -ᵥ p2 - (p3 -ᵥ p2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
hpi : ¬θ = ↑π
\u22a2 (2 • θ).sign = θ.sign ↔ θ = ↑π ∨ |θ.toReal| < π / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
hpi : ¬θ = ↑π
\u22a2 (2 • θ).sign = θ.sign ↔ |θ.toReal| < π / 2
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l : Filter α
ι : Type w
f : ι → Filter α
m : α → β
p : ι → Prop
h : DirectedOn (f ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) {x | p x}
ne : ∃ i, p i
\u22a2 map m (⨅ i, ⨅ (_ : p i), f i) = ⨅ i, ⨅ (_ : p i), map m (f i)
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l : Filter α
ι : Type w
f : ι → Filter α
m : α → β
p : ι → Prop
h : DirectedOn (f ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) {x | p x}
ne : ∃ i, p i
this : Nonempty (Subtype p)
\u22a2 map m (⨅ i, ⨅ (_ : p i), f i) = ⨅ i, ⨅ (_ : p i), map m (f i)
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l : Filter α
ι : Type w
f : ι → Filter α
m : α → β
p : ι → Prop
h : DirectedOn (f ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) {x | p x}
ne : ∃ i, p i
this : Nonempty (Subtype p)
\u22a2 map m (⨅ x, f ↑x) = ⨅ x, map m (f ↑x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : fs.card = m + 1
\u22a2 Set.range (s.face h).points = s.points '' ↑fs
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ S : L.Substructure M
x : M
\u22a2 x ∈ S.subtype.toHom.range ↔ x ∈ S
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ S : L.Substructure M
x : M
\u22a2 (∃ y, ↑y = x) ↔ x ∈ S
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrderIso.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
b : β
x : α
\u22a2 x ∈ ⇑e ⁻¹' Ioi b ↔ x ∈ Ioi (e.symm b)
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set H
hs : IsSubgroup s
\u22a2 1 ∈ f ⁻¹' s
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set H
hs : IsSubgroup s
\u22a2 ∀ {a b : G}, a ∈ f ⁻¹' s → b ∈ f ⁻¹' s → a * b ∈ f ⁻¹' s
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set H
hs : IsSubgroup s
\u22a2 ∀ {a : G}, a ∈ f ⁻¹' s → a⁻¹ ∈ f ⁻¹' s
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/PartialFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
X : PartialFun
a : (partialFunToPointed ⋙ pointedToPartialFun).obj X
\u22a2 (fun a => ⟨some a, ⋯⟩) ((fun a => Option.get ↑a ⋯) a) = a
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/PartialFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
X✝ Y✝ : PartialFun
f : X✝ ⟶ Y✝
a : (𝟭 PartialFun).obj X✝
b : (partialFunToPointed ⋙ pointedToPartialFun).obj Y✝
\u22a2 (b ∈ (f a).bind fun x => Part.some ⟨some x, ⋯⟩) ↔ b ∈ (Part.some ⟨some a, ⋯⟩).bind (PFun.toSubtype (fun x => ¬x = none) (Option.elim' none fun a => (f a).toOption) ∘ Subtype.val)
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/PartialFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
X✝ Y✝ : PartialFun
f : X✝ ⟶ Y✝
a : (𝟭 PartialFun).obj X✝
b : (partialFunToPointed ⋙ pointedToPartialFun).obj Y✝
\u22a2 (b ∈ (f a).bind fun x => Part.some ⟨some x, ⋯⟩) ↔ b ∈ (PFun.toSubtype (fun x => ¬x = none) (Option.elim' none fun a => (f a).toOption) ∘ Subtype.val) ⟨some a, ⋯⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/PartialFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
X✝ Y✝ : PartialFun
f : X✝ ⟶ Y✝
a : (𝟭 PartialFun).obj X✝
b : (partialFunToPointed ⋙ pointedToPartialFun).obj Y✝
\u22a2 (∃ a_1 ∈ f a, b ∈ Part.some ⟨some a_1, ⋯⟩) ↔ ↑b = Option.elim' none (fun a => (f a).toOption) ↑⟨some a, ⋯⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/PartialFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
X Y : Pointed
f : X ⟶ Y
a : X.X
ha : a ≠ X.point
\u22a2 ((pointedToPartialFun ⋙ partialFunToPointed).map f ≫ ((fun X => Pointed.Iso.mk (Equiv.optionSubtypeNe X.point) ⋯) Y).hom).toFun (some ⟨a, ha⟩) = (((fun X => Pointed.Iso.mk (Equiv.optionSubtypeNe X.point) ⋯) X).hom ≫ (𝟭 Pointed).map f).toFun (some ⟨a, ha⟩)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
w x y z : P
h₁ : Wbtw R w y z
h₂ : Sbtw R w x y
\u22a2 Sbtw R w x z
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
w x y z : P
h₁ : Wbtw R w y z
h₂ : Sbtw R w x y
\u22a2 x ≠ z
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
w x y : P
h₂ : Sbtw R w x y
h₁ : Wbtw R w y x
\u22a2 False
-- Mathlib/Order/Birkhoff.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : DistribLattice α
inst✝³ : OrderBot α
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidablePred SupIrred
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
\u22a2 Fintype.finsetOrderIsoSet.symm.toOrderEmbedding (birkhoffSet (a ⊔ b)) = Fintype.finsetOrderIsoSet.symm.toOrderEmbedding (birkhoffSet a) ∪ Fintype.finsetOrderIsoSet.symm.toOrderEmbedding (birkhoffSet b)
-- Mathlib/Order/Birkhoff.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : DistribLattice α
inst✝³ : OrderBot α
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidablePred SupIrred
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
\u22a2 Fintype.finsetOrderIsoSet.symm (birkhoffSet a ∪ birkhoffSet b) = Fintype.finsetOrderIsoSet.symm (birkhoffSet a) ∪ Fintype.finsetOrderIsoSet.symm (birkhoffSet b)
-- Mathlib/Topology/Compactification/OnePoint.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
x y : OnePoint X
\u22a2 Inseparable x y ↔ x = ∞ ∧ y = ∞ ∨ ∃ x', x = ↑x' ∧ ∃ y', y = ↑y' ∧ Inseparable x' y'
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
\u22a2 ∃ I J, M.Basis I X ∧ M.Basis J Y ∧ I ⊆ J
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I✝ J X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
I : Set α
hI : M.Basis I X
\u22a2 ∃ I J, M.Basis I X ∧ M.Basis J Y ∧ I ⊆ J
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I✝ J✝ X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
I : Set α
hI : M.Basis I X
J : Set α
hJ : M.Basis J Y
hIJ : I ⊆ J
\u22a2 ∃ I J, M.Basis I X ∧ M.Basis J Y ∧ I ⊆ J