ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/SiegelsLemma.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
i : α
\u22a2 ↑(Icc (∑ j : β, ↑B * -(A i j)⁻) (∑ j : β, ↑B * (A i j)⁺)).card = P i - N i + 1
-- Mathlib/NumberTheory/SiegelsLemma.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
i : α
\u22a2 P i + 1 - N i = P i - N i + 1
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
x : β
p : Fin n → β
\u22a2 (last n).insertNth x p = snoc p x
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K✝ L : Subgroup G
f : G →* G'
K : Subgroup G
\u22a2 f.ker.relindex K = Nat.card ↑(⇑f '' ↑K)
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K✝ L : Subgroup G
f : G →* G'
K : Subgroup G
\u22a2 Nat.card ↥(map f K) = Nat.card ↑(⇑f '' ↑K)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
ha : a ≠ 0
x✝ : p ∣ C a * q
r : R[X]
hr : C a * q = p * r
\u22a2 q = p * (C a⁻¹ * r)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
\u22a2 b ∈ Ioo a b ↔ False
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Cast.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroupWithOne R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : NeZero 1
inst✝ : Nontrivial R
m n✝ : ℤ
n : ℕ
\u22a2 0 ≤ ↑-[n+1] ↔ 0 ≤ -[n+1]
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Cast.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroupWithOne R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : NeZero 1
inst✝ : Nontrivial R
m n✝ : ℤ
n : ℕ
this : -↑n < 1
\u22a2 0 ≤ ↑-[n+1] ↔ 0 ≤ -[n+1]
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ t₁ : List α
h : l₁ ~ l₂
\u22a2 l₁ ∪ t₁ ~ l₂ ∪ t₁
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallyBijective.lean
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝⁶ : Category.{v', u'} A
inst✝⁵ : ConcreteCategory A
inst✝⁴ : HasWeakSheafify J A
inst✝³ : (forget A).ReflectsIsomorphisms
inst✝² : J.HasSheafCompose (forget A)
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ A), Presheaf.IsLocallyInjective J (CategoryTheory.toSheafify J P)
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ A), Presheaf.IsLocallySurjective J (CategoryTheory.toSheafify J P)
P Q : Cᵒᵖ ⥤ A
f : P ⟶ Q
\u22a2 J.W f ↔ Presheaf.IsLocallyInjective J f ∧ Presheaf.IsLocallySurjective J f
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
b c : EReal
hb : 0 ≤ b
ha : 0 ≤ 0
\u22a2 (0 + b) * c = 0 * c + b * c
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a b c : EReal
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
a_pos : 0 < a
\u22a2 (a + b) * c = a * c + b * c
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a c : EReal
ha : 0 ≤ a
a_pos : 0 < a
hb : 0 ≤ 0
\u22a2 (a + 0) * c = a * c + 0 * c
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a b c : EReal
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
a_pos : 0 < a
b_pos : 0 < b
\u22a2 (a + b) * c = a * c + b * c
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a b c : EReal
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
a_pos : 0 < a
b_pos : 0 < b
c_neg : c < 0
\u22a2 (a + b) * c = a * c + b * c
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a b : EReal
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
a_pos : 0 < a
b_pos : 0 < b
\u22a2 (a + b) * 0 = a * 0 + b * 0
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a b c : EReal
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
a_pos : 0 < a
b_pos : 0 < b
c_pos : 0 < c
\u22a2 (a + b) * c = a * c + b * c
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Conjugation.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
p : Submodule R (CliffordAlgebra Q)
n : ℕ
\u22a2 Submodule.comap reverse (p ^ n) = Submodule.comap reverse p ^ n
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set H
hs : IsNormalSubgroup s
\u22a2 1 ∈ f ⁻¹' s
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set H
hs : IsNormalSubgroup s
\u22a2 ∀ {a b : G}, a ∈ f ⁻¹' s → b ∈ f ⁻¹' s → a * b ∈ f ⁻¹' s
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set H
hs : IsNormalSubgroup s
\u22a2 ∀ {a : G}, a ∈ f ⁻¹' s → a⁻¹ ∈ f ⁻¹' s
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set H
hs : IsNormalSubgroup s
\u22a2 ∀ n ∈ f ⁻¹' s, ∀ (g : G), g * n * g⁻¹ ∈ f ⁻¹' s
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/FunctorBicategory.lean
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H I : OplaxFunctor B C
η θ : F ⟶ G
Γ : η ⟶ θ
ι : G ⟶ H
a b : B
f : a ⟶ b
\u22a2 F.map f ◁ Γ.app b ▷ ι.app b ≫ (α_ (F.map f) (θ.app b) (ι.app b)).inv ≫ θ.naturality f ▷ ι.app b ≫ (α_ (θ.app a) (G.map f) (ι.app b)).hom ≫ θ.app a ◁ ι.naturality f ≫ (α_ (θ.app a) (ι.app a) (H.map f)).inv = ((α_ (F.map f) (η.app b) (ι.app b)).inv ≫ η.naturality f ▷ ι.app b ≫ (α_ (η.app a) (G.map f) (ι.app b)).hom ≫ η.app a ◁ ι.naturality f ≫ (α_ (η.app a) (ι.app a) (H.map f)).inv) ≫ Γ.app a ▷ ι.app a ▷ H.map f
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/FunctorBicategory.lean
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H I : OplaxFunctor B C
η θ : F ⟶ G
Γ : η ⟶ θ
ι : G ⟶ H
a b : B
f : a ⟶ b
\u22a2 F.map f ◁ Γ.app b ▷ ι.app b ≫ (α_ (F.map f) (θ.app b) (ι.app b)).inv ≫ θ.naturality f ▷ ι.app b ≫ (α_ (θ.app a) (G.map f) (ι.app b)).hom ≫ θ.app a ◁ ι.naturality f ≫ (α_ (θ.app a) (ι.app a) (H.map f)).inv = (α_ (F.map f) (η.app b) (ι.app b)).inv ≫ η.naturality f ▷ ι.app b ≫ (α_ (η.app a) (G.map f) (ι.app b)).hom ≫ Γ.app a ▷ (G.map f ≫ ι.app b) ≫ θ.app a ◁ ι.naturality f ≫ (α_ (θ.app a) (ι.app a) (H.map f)).inv
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f : PreTilt K v O hv p
hf0 : ¬f = 0
\u22a2 (val K v O hv p) f = 0 ↔ f = 0
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f : PreTilt K v O hv p
hf0 : ¬f = 0
n : ℕ
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
\u22a2 (val K v O hv p) f = 0 ↔ f = 0
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f : PreTilt K v O hv p
hf0 : ¬f = 0
n : ℕ
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
\u22a2 valAux K v O hv p f = 0 ↔ f = 0
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f : PreTilt K v O hv p
hf0 : ¬f = 0
n : ℕ
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
hvf : valAux K v O hv p f = 0
\u22a2 (coeff (ModP K v O hv p) p n) f = 0
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f : PreTilt K v O hv p
hf0 : ¬f = 0
n : ℕ
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
hvf : ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p n) f) ^ p ^ n = 0
\u22a2 (coeff (ModP K v O hv p) p n) f = 0
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f : PreTilt K v O hv p
hf0 : ¬f = 0
n : ℕ
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
hvf : ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p n) f) = 0
\u22a2 (coeff (ModP K v O hv p) p n) f = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
\u22a2 o.pred = o ↔ ∀ (a : Ordinal.{u_4}), o ≠ succ a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
a : R
\u22a2 derivative (C a * X) = C a
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Biproducts.lean
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X Y
inst✝ : PreservesBinaryBiproduct X Y F
W : C
f : X ⟶ W
g : Y ⟶ W
\u22a2 (F.mapBiprod X Y).hom ≫ desc (F.map f) (F.map g) = F.map (desc f g)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
m : ℕ
f : ℕ → ℝ := fun k => 1 / (2 * ↑k + 1) * ((1 / (2 * ↑(m + 1) + 1)) ^ 2) ^ k
\u22a2 HasSum (fun k => f (k + 1)) (Real.log (stirlingSeq (m + 1)) - Real.log (stirlingSeq (m + 2)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
m : ℕ
f : ℕ → ℝ := fun k => 1 / (2 * ↑k + 1) * ((1 / (2 * ↑(m + 1) + 1)) ^ 2) ^ k
\u22a2 HasSum f (Real.log (stirlingSeq (m + 1)) - Real.log (stirlingSeq (m + 2)) + ∑ i ∈ range 1, f i)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
m : ℕ
f : ℕ → ℝ := fun k => 1 / (2 * ↑k + 1) * ((1 / (2 * ↑(m + 1) + 1)) ^ 2) ^ k
\u22a2 f = fun i => (↑(m + 1) + 1 / 2) * (2 * (1 / (2 * ↑i + 1)) * (1 / (2 * (↑m + 1) + 1)) ^ (2 * i + 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
m : ℕ
f : ℕ → ℝ := fun k => 1 / (2 * ↑k + 1) * ((1 / (2 * ↑(m + 1) + 1)) ^ 2) ^ k
\u22a2 Real.log (stirlingSeq (m + 1)) - Real.log (stirlingSeq (m + 2)) + ∑ i ∈ range 1, f i = (↑(m + 1) + 1 / 2) * Real.log (1 + (↑m + 1)⁻¹)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
g : F → G
f : E → F
y : F
x : E
hg : AnalyticAt 𝕜 g (f x)
hf : AnalyticAt 𝕜 f x
hy : f x = y
\u22a2 AnalyticAt 𝕜 (g ∘ f) x
-- Mathlib/Algebra/Quandle.lean
S : Type u_1
inst✝ : UnitalShelf S
x y : S
\u22a2 (x ◃ y) ◃ x = x ◃ y
-- Mathlib/Algebra/Quandle.lean
S : Type u_1
inst✝ : UnitalShelf S
x y : S
h : (x ◃ y) ◃ x = (x ◃ y) ◃ x ◃ 1
\u22a2 (x ◃ y) ◃ x = x ◃ y
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
entries✝ : Multiset (Sigma β)
l : List (Sigma β)
hl : Multiset.NodupKeys (Quot.mk Setoid.r l)
\u22a2 b ∈ lookup a { entries := Quot.mk Setoid.r l, nodupKeys := hl } ↔ ⟨a, b⟩ ∈ { entries := Quot.mk Setoid.r l, nodupKeys := hl }.entries
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
S : Set Ordinal.{u}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
\u22a2 range (enumOrd S) = S
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
S : Set Ordinal.{u}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
\u22a2 (∀ (a : Ordinal.{u}), enumOrd S a ∈ S) ∧ ∀ b ∈ S, ∃ a, enumOrd S a = b
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀✝ x₀ : X
x✝ : ι
\u22a2 x✝ ∈ ↑(ρ.finsupport x₀) ↔ x✝ ∈ support fun i => (ρ i) x₀
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
x : R
\u22a2 toMatrix' ((algebraMap R (Module.End R (n → R))) x) = (scalar n) x
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
\u22a2 map f I = ⊥ ↔ I ≤ f.ker
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
\u22a2 map f I ≤ ⊥ ↔ I ≤ f.ker
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
this : cs.simple = ⇑cs.mulEquiv.symm ∘ PresentedGroup.of
\u22a2 Subgroup.closure (Set.range cs.simple) = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
this : cs.simple = ⇑cs.mulEquiv.symm ∘ PresentedGroup.of
\u22a2 cs.mulEquiv.symm.toMonoidHom.range = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
\u22a2 MeasurableSpace.generateFrom (measurableCylinders α) = MeasurableSpace.pi
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
\u22a2 MeasurableSpace.generateFrom (measurableCylinders α) ≤ MeasurableSpace.pi
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
\u22a2 MeasurableSpace.pi ≤ MeasurableSpace.generateFrom (measurableCylinders α)
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
p : β → Prop
\u22a2 (∃ y ∈ e.target, p y) ↔ ∃ x ∈ e.source, p (↑e x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : StrongRankCondition K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : Free K V
inst✝ : Finite K V
\u22a2 finrank K V ≤ 1 ↔ ⊤.IsPrincipal
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝ : Fin l → M
inst✝¹ : L[[α]].Structure M
inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
n : ℕ
φ : L[[α]].BoundedFormula β n
v : β → M
xs : Fin n → M
\u22a2 (constantsVarsEquiv φ).Realize (Sum.elim (fun a => ↑(L.con a)) v) xs ↔ φ.Realize v xs
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝¹ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝¹ : Fin l → M
inst✝¹ : L[[α]].Structure M
inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
n✝ : ℕ
φ : L[[α]].BoundedFormula β n✝
v : β → M
xs✝ : Fin n✝ → M
n : ℕ
R : L[[α]].Relations n
xs : Fin n → M
\u22a2 RelMap (((fun x => Equiv.sumEmpty (L.Relations x) ((constantsOn α).Relations x)) n) R) xs = RelMap R xs
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝¹ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝¹ : Fin l → M
inst✝¹ : L[[α]].Structure M
inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
n✝ : ℕ
φ : L[[α]].BoundedFormula β n✝
v : β → M
xs✝ : Fin n✝ → M
n : ℕ
R : L[[α]].Relations n
xs : Fin n → M
\u22a2 RelMap ((L.lhomWithConstants α).onRelation ((Equiv.sumEmpty (L.Relations n) ((constantsOn α).Relations n)) R)) xs = RelMap R xs
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x✝ : G
\u22a2 (f ⋆[L, μ] 0) x✝ = 0 x✝
-- Mathlib/Control/Functor.lean
F : Type u → Type w
G : Type v → Type u
inst✝³ : Functor F
inst✝² : Functor G
inst✝¹ : LawfulFunctor F
inst✝ : LawfulFunctor G
α β γ : Type v
x : F (G α)
\u22a2 Comp.map id (mk x) = mk x
-- Mathlib/Control/Functor.lean
F : Type u → Type w
G : Type v → Type u
inst✝³ : Functor F
inst✝² : Functor G
inst✝¹ : LawfulFunctor F
inst✝ : LawfulFunctor G
α β γ : Type v
x : F (G α)
\u22a2 mk (mk x) = mk x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K
\u22a2 ¬w.IsReal ↔ w.IsComplex
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : SFinite ν✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : SFinite μ✝
E' : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
X : Type u_8
Y : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
h'f : HasCompactSupport (uncurry f)
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
U : Set X := Prod.fst '' tsupport (uncurry f)
\u22a2 ∫ (x : X), ∫ (y : Y), f x y ∂ν ∂μ = ∫ (y : Y), ∫ (x : X), f x y ∂μ ∂ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : SFinite ν✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : SFinite μ✝
E' : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
X : Type u_8
Y : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
h'f : HasCompactSupport (uncurry f)
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
U : Set X := Prod.fst '' tsupport (uncurry f)
this : Fact (μ U < ⊤)
\u22a2 ∫ (x : X), ∫ (y : Y), f x y ∂ν ∂μ = ∫ (y : Y), ∫ (x : X), f x y ∂μ ∂ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : SFinite ν✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : SFinite μ✝
E' : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
X : Type u_8
Y : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
h'f : HasCompactSupport (uncurry f)
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
U : Set X := Prod.fst '' tsupport (uncurry f)
this : Fact (μ U < ⊤)
V : Set Y := Prod.snd '' tsupport (uncurry f)
\u22a2 ∫ (x : X), ∫ (y : Y), f x y ∂ν ∂μ = ∫ (y : Y), ∫ (x : X), f x y ∂μ ∂ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : SFinite ν✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : SFinite μ✝
E' : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
X : Type u_8
Y : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
h'f : HasCompactSupport (uncurry f)
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
U : Set X := Prod.fst '' tsupport (uncurry f)
this✝ : Fact (μ U < ⊤)
V : Set Y := Prod.snd '' tsupport (uncurry f)
this : Fact (ν V < ⊤)
\u22a2 ∫ (x : X), ∫ (y : Y), f x y ∂ν ∂μ = ∫ (y : Y), ∫ (x : X), f x y ∂μ ∂ν
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α
\u22a2 countP p (filter q l) = countP (fun a => decide (p a = true ∧ q a = true)) l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : Subsingleton F
\u22a2 ContDiff 𝕜 n f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : Subsingleton F
\u22a2 ContDiff 𝕜 n fun x => 0
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
\u22a2 (deriv fun x => 1 + ε x) =ᶠ[atTop] fun z => deriv ε z
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.227041}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
h : Injective f
\u22a2 lift.{v, u} #↑(f ⁻¹' s) ≤ lift.{u, v} #↑s
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.227041}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
h : Injective f
\u22a2 Nonempty (↑(f ⁻¹' s) ↪ ↑s)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.227041}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
h : Injective f
\u22a2 Injective (Subtype.coind (fun x => f ↑x) ⋯)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.227041}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
h : Injective f
\u22a2 Injective fun x => f ↑x
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mod_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M✝ : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
M : Mod_ B
\u22a2 A.one ▷ M.X ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act = (λ_ M.X).hom