ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝³ : HasLimits C
inst✝² : PreservesLimits (forget C)
inst✝¹ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
inst✝ : ∀ (x : ↥U), IsIso ((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
\u22a2 IsIso (f.val.app (op U))
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝³ : HasLimits C
inst✝² : PreservesLimits (forget C)
inst✝¹ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
inst✝ : ∀ (x : ↥U), IsIso ((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
\u22a2 IsIso ((forget C).map (f.val.app (op U)))
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝³ : HasLimits C
inst✝² : PreservesLimits (forget C)
inst✝¹ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
inst✝ : ∀ (x : ↥U), IsIso ((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
\u22a2 Function.Bijective ((forget C).map (f.val.app (op U)))
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝³ : HasLimits C
inst✝² : PreservesLimits (forget C)
inst✝¹ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
inst✝ : ∀ (x : ↥U), IsIso ((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
\u22a2 ∀ (x : ↥U), Function.Bijective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝³ : HasLimits C
inst✝² : PreservesLimits (forget C)
inst✝¹ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
inst✝ : ∀ (x : ↥U), IsIso ((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
x : ↥U
\u22a2 Function.Bijective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝³ : HasLimits C
inst✝² : PreservesLimits (forget C)
inst✝¹ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
inst✝ : ∀ (x : ↥U), IsIso ((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
x : ↥U
\u22a2 IsIso ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalHom.lean
R : Type u
S : Type u₁
T : Type u_1
inst✝⁸ : Monoid R
inst✝⁷ : Monoid S
inst✝⁶ : Monoid T
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
C : Type w₁
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁴ : DistribMulAction R A
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝² : DistribMulAction S B
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝ : DistribMulAction T C
f g : A →ₛₙₐ[φ] B
h : ↑f = ↑g
a : A
\u22a2 f a = g a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : α → E
s✝ t : Set α
μ✝ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
e : α → β
he : MeasurableEmbedding e
f : β → E
μ : Measure β
s : Set β
hs : s ⊆ range e
\u22a2 IntegrableOn f s μ ↔ IntegrableOn (f ∘ e) (e ⁻¹' s) (Measure.comap e μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
m : MeasurableSpace α
l✝ : Multiset (α → M)
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ Quot.mk Setoid.r l, StronglyMeasurable f
\u22a2 StronglyMeasurable (Multiset.prod (Quot.mk Setoid.r l))
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
\u22a2 Forall₂ r ∘r Perm = Perm ∘r Forall₂ r
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁✝ l₂ : List α
a : α
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
l₁ : List α
l₃ : List β
\u22a2 (Forall₂ r ∘r Perm) l₁ l₃ = (Perm ∘r Forall₂ r) l₁ l₃
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
\u22a2 0 ⧏ (mk xl xr xL xR).inv'
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
\u22a2 0 = invVal (fun i => xL ↑i) xR (fun i => (xL ↑i).inv') (fun i => (xR i).inv') (mk xl xr xL xR) InvTy.zero
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
h : κ → ι
h' : ι → κ
hh' : Function.LeftInverse h' h
f g : Π₀ (i : ι), β i
i✝ : κ
\u22a2 (comapDomain' h hh' (f + g)) i✝ = (comapDomain' h hh' f + comapDomain' h hh' g) i✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
f✝ g✝ : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : PseudoMetrizableSpace γ
g : β → γ
f : α → β
hg : _root_.Embedding g
this : PseudoMetricSpace γ := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric γ
this✝³ : MeasurableSpace β := borel β
this✝² : BorelSpace β
this✝¹ : MeasurableSpace γ := borel γ
this✝ : BorelSpace γ
\u22a2 (StronglyMeasurable fun x => g (f x)) ↔ StronglyMeasurable f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
f✝ g✝ : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : PseudoMetrizableSpace γ
g : β → γ
f : α → β
hg : _root_.Embedding g
this : PseudoMetricSpace γ := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric γ
this✝³ : MeasurableSpace β := borel β
this✝² : BorelSpace β
this✝¹ : MeasurableSpace γ := borel γ
this✝ : BorelSpace γ
H : StronglyMeasurable fun x => g (f x)
\u22a2 Measurable f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
f✝ g✝ : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : PseudoMetrizableSpace γ
g : β → γ
f : α → β
hg : _root_.Embedding g
this : PseudoMetricSpace γ := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric γ
this✝³ : MeasurableSpace β := borel β
this✝² : BorelSpace β
this✝¹ : MeasurableSpace γ := borel γ
this✝ : BorelSpace γ
H : StronglyMeasurable fun x => g (f x)
\u22a2 IsSeparable (range f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
j : n
c : n → R
\u22a2 (A.updateRow j (∑ k : n, c k • A k)).det = c j • A.det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
j : n
c : n → R
\u22a2 ∑ k : n, c k • A k = c j • A j + ∑ k ∈ univ.erase j, c k • A k
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype n
L : Matrix m n α
M N : Matrix n o α
i✝ : m
j✝ : o
\u22a2 (L * (M + N)) i✝ j✝ = (L * M + L * N) i✝ j✝
-- Mathlib/Data/Matrix/PEquiv.lean
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Semiring α
f : m ≃ m
M : Matrix m n α
i : m
j : n
\u22a2 (f.toPEquiv.toMatrix * M) i j = M.submatrix (⇑f) id i j
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝¹ : ConcreteCategory C
inst✝ : PreservesFilteredColimits (forget C)
F : Presheaf C X
U V : Opens ↑X
x : ↑X
mU : x ∈ U
mV : x ∈ V
s : (forget C).obj (F.obj (op U))
t : (forget C).obj (F.obj (op V))
h : (F.germ ⟨x, mU⟩) s = (F.germ ⟨x, mV⟩) t
\u22a2 ∃ W, ∃ (_ : x ∈ W), ∃ iU iV, (F.map iU.op) s = (F.map iV.op) t
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝¹ : ConcreteCategory C
inst✝ : PreservesFilteredColimits (forget C)
F : Presheaf C X
U V : Opens ↑X
x : ↑X
mU : x ∈ U
mV : x ∈ V
s : (forget C).obj (F.obj (op U))
t : (forget C).obj (F.obj (op V))
h : (F.germ ⟨x, mU⟩) s = (F.germ ⟨x, mV⟩) t
W : (OpenNhds x)ᵒᵖ
iU : op { obj := U, property := ⋯ } ⟶ W
iV : op { obj := V, property := ⋯ } ⟶ W
e : (((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ F) ⋙ forget C).map iU s = (((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ F) ⋙ forget C).map iV t
\u22a2 ∃ W, ∃ (_ : x ∈ W), ∃ iU iV, (F.map iU.op) s = (F.map iV.op) t
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
α : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid α
n : ℕ
f : PointsWithCircumcenterIndex n → α
h : univ = insert circumcenterIndex (Finset.map (pointIndexEmbedding n) univ)
\u22a2 ∑ i : PointsWithCircumcenterIndex n, f i = ∑ i : Fin (n + 1), f ((pointIndexEmbedding n) i) + f circumcenterIndex
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
α : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid α
n : ℕ
f : PointsWithCircumcenterIndex n → α
h : univ = insert circumcenterIndex (Finset.map (pointIndexEmbedding n) univ)
\u22a2 circumcenterIndex ∉ Finset.map (pointIndexEmbedding n) univ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
α : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid α
n : ℕ
f : PointsWithCircumcenterIndex n → α
h : univ = insert circumcenterIndex (Finset.map (pointIndexEmbedding n) univ)
\u22a2 ∀ (x : Fin (n + 1)), ¬(x ∈ univ ∧ (pointIndexEmbedding n) x = circumcenterIndex)
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l l' : List α
n : ℕ
\u22a2 l.rotate n = l' ↔ l = l'.rotate (l'.length - n % l'.length)
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l l' : List α
n : ℕ
\u22a2 l.rotate n = l' ↔ l.rotate n = l'.rotate (((l'.length - n % l'.length) % l'.length + n % l'.length) % l'.length)
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l l' : List α
n : ℕ
hl : 0 = l'.length
\u22a2 l.rotate n = l' ↔ l.rotate n = l'.rotate (((l'.length - n % l'.length) % l'.length + n % l'.length) % l'.length)
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l l' : List α
n : ℕ
hl : 0 < l'.length
\u22a2 l.rotate n = l' ↔ l.rotate n = l'.rotate (((l'.length - n % l'.length) % l'.length + n % l'.length) % l'.length)
-- Mathlib/Order/Hom/CompleteLattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : InfSet α
inst✝¹ : InfSet β
inst✝ : sInfHomClass F α β
f : F
g : (i : ι) → κ i → α
\u22a2 f (⨅ i, ⨅ j, g i j) = ⨅ i, ⨅ j, f (g i j)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
\u22a2 q * p %ₘ q = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
\u22a2 q ∣ q * p
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝² : Algebra R S₁
inst✝¹ : CommSemiring S₂
f : σ → S₁
B : Type u_2
inst✝ : CommSemiring B
g : σ → S₁
φ : S₁ →+* B
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 φ ((aeval g) p) = (eval₂Hom (φ.comp (algebraMap R S₁)) fun i => φ (g i)) p
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝² : Algebra R S₁
inst✝¹ : CommSemiring S₂
f : σ → S₁
B : Type u_2
inst✝ : CommSemiring B
g : σ → S₁
φ : S₁ →+* B
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 φ ((aeval g) p) = (φ.comp (eval₂Hom (algebraMap R S₁) g)) p
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C
\u22a2 F.map (ρ_ X).hom = inv (F.μ X (𝟙_ C)) ≫ F.obj X ◁ inv F.ε ≫ (ρ_ (F.obj X)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C
\u22a2 F.map (ρ_ X).hom = inv (F.μ X (𝟙_ C)) ≫ F.obj X ◁ inv F.ε ≫ F.obj X ◁ F.ε ≫ F.μ X (𝟙_ C) ≫ F.map (ρ_ X).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
X : C
\u22a2 F.map (ρ_ X).hom = inv (F.μ X (𝟙_ C)) ≫ (𝟙 (F.obj X ⊗ F.obj (𝟙_ C)) ≫ F.μ X (𝟙_ C)) ≫ F.map (ρ_ X).hom
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d✝ m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hcb : c ∣ b
h : a ∣ b / c
d : ℕ
hd : b / c = a * d
\u22a2 b = c * a * d
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Bilinear.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
a₁ a₂ : A
h : (Algebra.lmul R A) a₁ = (Algebra.lmul R A) a₂
\u22a2 a₁ = a₂
-- Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
\u22a2 IsLieAbelian ↥↑(D k I) ↔ D (k + 1) I = ⊥
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : Nonempty α
h₀ : G.FarFromTriangleFree ε
h₁ : G.CliqueFree 3
\u22a2 ε ≤ 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : Nonempty α
h₀ : G.FarFromTriangleFree ε
h₁ : G.CliqueFree 3
this : (fun H => H.CliqueFree 3) (G.deleteEdges ↑∅) → ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑∅.card
\u22a2 ε ≤ 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : Nonempty α
h₀ : G.FarFromTriangleFree ε
h₁ : G.CliqueFree 3
this : (fun H => H.CliqueFree 3) G → ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ 0
\u22a2 ε ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/PosPart.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : Group α
a✝ : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
\u22a2 a⁺ᵐ * a⁻ᵐ = mabs a
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : f '' s ⊆ u ∪ v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
\u22a2 (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : f '' s ⊆ u ∪ v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
\u22a2 (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : f '' s ⊆ u ∪ v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set α
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
\u22a2 (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set α
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
huv : s ⊆ u' ∪ v'
\u22a2 (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set α
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
huv : s ⊆ u' ∪ v'
z : α
hz : z ∈ s ∩ (u' ∩ v')
\u22a2 (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set α
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
huv : s ⊆ u' ∪ v'
z : α
hz : z ∈ f ⁻¹' u ∩ s ∩ (f ⁻¹' v ∩ s)
\u22a2 (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ
b : ℝ≥0
ha : 0 ≤ a
\u22a2 a < (↑b).toReal ↔ a < ↑b
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
a b : α
\u22a2 {a, b}.prod = a * b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Taylor.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
r✝ : R✝
f✝ : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
f : R[X]
s : R
\u22a2 eval (s - r) ((taylor r) f) = eval s f
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
g : G
a : α
h : G
\u22a2 h ∈ stabilizer G (g • a) ↔ h ∈ Subgroup.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) (stabilizer G a)
-- Mathlib/Algebra/Group/Invertible/Defs.lean
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b : α
inst✝ : Invertible a
\u22a2 a * (⅟a * b) = b
-- Mathlib/Data/List/Join.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
L L' : List (List α)
join_eq : L.join = L'.join
length_eq : map length L = map length L'
\u22a2 L = L'
-- Mathlib/Data/List/Join.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
L L' : List (List α)
join_eq : L.join = L'.join
length_eq : map length L = map length L'
\u22a2 L.length = L'.length
-- Mathlib/Data/List/Join.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
L L' : List (List α)
join_eq : L.join = L'.join
length_eq : map length L = map length L'
\u22a2 ∀ (n : ℕ) (h₁ : n < L.length) (h₂ : n < L'.length), L[n] = L'[n]
-- Mathlib/Algebra/Lie/Rank.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
ι : Type u_5
ιₘ : Type u_6
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : Nontrivial R
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : Algebra R A
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
inst✝¹¹ : Module.Finite R L
inst✝¹⁰ : Module.Free R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ιₘ
inst✝ : DecidableEq ιₘ
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιₘ R M
x : L
\u22a2 rank R L M = ((↑(toEnd R L M)).polyCharpoly b).natTrailingDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
n : ℕ
r : R
i : ℕ
\u22a2 ((hasseDeriv k) ((monomial n) r)).coeff i = ((monomial (n - k)) (↑(n.choose k) * r)).coeff i
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
n : ℕ
r : R
i : ℕ
\u22a2 (↑((i + k).choose k) * if n = i + k then r else 0) = if n - k = i then ↑(n.choose k) * r else 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Yoneda.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
f : yoneda.obj X ⟶ F
g : Y ⟶ X
\u22a2 (f.app (op X) ≫ F.map g.op) (𝟙 X) = f.app (op Y) (𝟙 Y ≫ g)
-- Mathlib/CategoryTheory/Yoneda.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
f : yoneda.obj X ⟶ F
g : Y ⟶ X
\u22a2 ((yoneda.obj X).map g.op ≫ f.app (op Y)) (𝟙 X) = f.app (op Y) (𝟙 Y ≫ g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α
\u22a2 ∫⁻ (x : α) in {a}, f x ∂μ = f a * μ {a}
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
a b : α
\u22a2 Ico a b ⊆ closure (interior (Ico a b))
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝² : IsLocalization M S
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors S
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
x : S
hx : x ≠ 0
\u22a2 (sec M x).1 ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝² : IsLocalization M S
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors S
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
x : S
hx : x ≠ 0
hsec : x * (algebraMap R S) ↑(sec M x).2 = (algebraMap R S) (sec M x).1
\u22a2 (sec M x).1 ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝² : IsLocalization M S
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors S
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
x : S
hx : x ≠ 0
hsec : x * (algebraMap R S) ↑(sec M x).2 = (algebraMap R S) (sec M x).1
hfst : (sec M x).1 = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝² : IsLocalization M S
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors S
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
x : S
hx : x ≠ 0
hsec : x = 0 ∨ ↑(sec M x).2 = 0
hfst : (sec M x).1 = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝² : IsLocalization M S
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors S
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
x : S
hx : x ≠ 0
hsec : x = 0 ∨ (algebraMap R S) ↑(sec M x).2 = 0
hfst : (sec M x).1 = 0
\u22a2 Injective ⇑(algebraMap R S)
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
x : G
n : ℕ
hxn : x ∈ lowerCentralSeries G n
g : G
\u22a2 x * g * x⁻¹ * g⁻¹ ∈ lowerCentralSeries G (n + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
n p : ℕ
h : p ∈ n.primeFactorsList
\u22a2 p ≤ n
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
p : ℕ
h : p ∈ primeFactorsList 0
\u22a2 p ≤ 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
n p : ℕ
h : p ∈ n.primeFactorsList
hn : n > 0
\u22a2 p ≤ n