ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/RootSystem/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootSystem ι R M N
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.toLin.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.toLin.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p.toLin α)
hij : preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
hk₀ : root k ≠ 0
\u22a2 (p.toLin.flip ((preReflection α' (p.toLin α)) β')) (root k) = 2
-- Mathlib/LinearAlgebra/RootSystem/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootSystem ι R M N
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.toLin.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.toLin.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p.toLin α)
hij : preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
hk₀ : root k ≠ 0
\u22a2 MapsTo (⇑(preReflection (root k) (p.toLin.flip ((preReflection α' (p.toLin α)) β')))) (range ⇑root) (range ⇑root)
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
\u22a2 toIcoDiv hp a b • p + toIcoMod hp a b = b
-- Mathlib/Order/RelIso/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
s : α → α → Prop
h₂ : HEq r s
\u22a2 s ((Equiv.cast ⋯) a) ((Equiv.cast ⋯) b) ↔ r a b
-- Mathlib/Order/RelIso/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
s : α → α → Prop
h₂ : HEq r s
\u22a2 s ((Equiv.cast ⋯) a) ((Equiv.cast ⋯) b) ↔ s a b
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
\u22a2 (⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P X) (op ⊤)) x = (colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
\u22a2 (⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P X) (op ⊤)) x = (colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
\u22a2 (⊤.toMultiequalizer P ≫ (J.diagram P X).map e.op ≫ colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) x = (colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
\u22a2 (Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯ ≫ (J.diagram P X).map e.op ≫ colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) x = (colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
\u22a2 (colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) (((J.diagram P X).map e.op) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x)) = (colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
\u22a2 (Multiequalizer.lift (S.index P) (multiequalizer (⊤.index P)) (fun I => Multiequalizer.ι (⊤.index P) (I.map e)) ⋯) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x) = (Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
\u22a2 ∀ (t : (S.index P).L), (Multiequalizer.ι (S.index P) t) ((Multiequalizer.lift (S.index P) (multiequalizer (⊤.index P)) (fun I => Multiequalizer.ι (⊤.index P) (I.map e)) ⋯) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x)) = (Multiequalizer.ι (S.index P) t) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
i : (S.index P).L
\u22a2 (Multiequalizer.ι (S.index P) i) ((Multiequalizer.lift (S.index P) (multiequalizer (⊤.index P)) (fun I => Multiequalizer.ι (⊤.index P) (I.map e)) ⋯) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x)) = (Multiequalizer.ι (S.index P) i) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
i : (S.index P).L
\u22a2 (P.map (Cover.Arrow.map i e).f.op) x = ↑(Meq.mk S x) i
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
z : ℤ
\u22a2 Irrational √↑z ↔ ¬IsSquare z ∧ 0 ≤ z
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
y : M
\u22a2 polar (⇑Q) y 0 = 0
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : x ⊓ y ⊔ z = x
i : x ⊓ y ⊓ z = ⊥
\u22a2 x \ y = z
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : x ⊓ y ⊔ z = x \ y ⊔ x ⊓ y
i : x ⊓ y ⊓ z = ⊥
\u22a2 x \ y = z
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : z ⊔ x ⊓ y = x \ y ⊔ x ⊓ y
i : x ⊓ y ⊓ z = ⊥
\u22a2 x \ y = z
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : z ⊔ x ⊓ y = x \ y ⊔ x ⊓ y
i : x ⊓ y ⊓ z = x \ y ⊓ (x ⊓ y)
\u22a2 x \ y = z
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : z ⊔ x ⊓ y = x \ y ⊔ x ⊓ y
i : z ⊓ (x ⊓ y) = x \ y ⊓ (x ⊓ y)
\u22a2 x \ y = z
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X : C
\u22a2 prod.lift (𝟙 X) 0 ≫ σ = 𝟙 X
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/ProjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
Z : C
P : ProjectiveResolution Z
n : ℕ
\u22a2 (ComplexShape.down ℕ).prev (n + 1) = n + 2
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/ProjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
Z : C
P : ProjectiveResolution Z
n : ℕ
\u22a2 n + 1 + 1 = n + 2
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j k : ℤ
\u22a2 Disjoint {x | ∃ k, beattySeq r k = x} {x | ∃ k, beattySeq' s k = x}
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j k : ℤ
\u22a2 ∀ ⦃a : ℤ⦄, a ∈ {x | ∃ k, beattySeq r k = x} → a ∉ {x | ∃ k, beattySeq' s k = x}
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : beattySeq r k = j
m : ℤ
h₂ : beattySeq' s m = j
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : ↑j / r ≤ ↑k ∧ ↑k < (↑j + 1) / r
m : ℤ
h₂ : beattySeq' s m = j
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : ↑j / r ≤ ↑k ∧ ↑k < (↑j + 1) / r
m : ℤ
h₂ : ↑j / s < ↑m ∧ ↑m ≤ (↑j + 1) / s
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : ↑j / r ≤ ↑k ∧ ↑k < (↑j + 1) / r
m : ℤ
h₂ : ↑j / s < ↑m ∧ ↑m ≤ (↑j + 1) / s
h₃ : ↑j / r + ↑j / s < ↑k + ↑m
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : ↑j / r ≤ ↑k ∧ ↑k < (↑j + 1) / r
m : ℤ
h₂ : ↑j / s < ↑m ∧ ↑m ≤ (↑j + 1) / s
h₃ : ↑j / r + ↑j / s < ↑k + ↑m
h₄ : ↑k + ↑m < (↑j + 1) / r + (↑j + 1) / s
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : ↑j / r ≤ ↑k ∧ ↑k < (↑j + 1) / r
m : ℤ
h₂ : ↑j / s < ↑m ∧ ↑m ≤ (↑j + 1) / s
h₃ : ↑j < ↑k + ↑m
h₄ : ↑k + ↑m < ↑j + 1
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : ↑j / r ≤ ↑k ∧ ↑k < (↑j + 1) / r
m : ℤ
h₂ : ↑j / s < ↑m ∧ ↑m ≤ (↑j + 1) / s
h₃ : ↑j < ↑k + ↑m
h₄ : ↑k + ↑m < ↑j + ↑1
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : ↑j / r ≤ ↑k ∧ ↑k < (↑j + 1) / r
m : ℤ
h₂ : ↑j / s < ↑m ∧ ↑m ≤ (↑j + 1) / s
h₃ : j < k + m
h₄ : k + m ≤ j
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/PNat/Basic.lean
m k : ℕ+
h₀ : ↑m % ↑k + ↑k * (↑m / ↑k) = ↑m := Nat.mod_add_div ↑m ↑k
\u22a2 ↑(m.mod k) + ↑k * m.div k = ↑m
-- Mathlib/Data/PNat/Basic.lean
m k : ℕ+
h₀ : ↑m % ↑k + ↑k * (↑m / ↑k) = ↑m := Nat.mod_add_div ↑m ↑k
this : ¬(↑m % ↑k = 0 ∧ ↑m / ↑k = 0)
\u22a2 ↑(m.mod k) + ↑k * m.div k = ↑m
-- Mathlib/Data/PNat/Basic.lean
m k : ℕ+
h₀ : ↑m % ↑k + ↑k * (↑m / ↑k) = ↑m := Nat.mod_add_div ↑m ↑k
this✝ : ¬(↑m % ↑k = 0 ∧ ↑m / ↑k = 0)
this : ↑(k.modDivAux (↑m % ↑k) (↑m / ↑k)).1 + ↑k * (k.modDivAux (↑m % ↑k) (↑m / ↑k)).2 = ↑m % ↑k + ↑k * (↑m / ↑k)
\u22a2 ↑(m.mod k) + ↑k * m.div k = ↑m
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n k : ℕ
\u22a2 (n * k + m).gcd n = m.gcd n
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α ↪ β
s : Finset α
a b : ℕ
\u22a2 _root_.Disjoint (range a) (map (addLeftEmbedding a) (range b))
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α ↪ β
s : Finset α
a b : ℕ
\u22a2 ∀ ⦃a_1 : ℕ⦄, a_1 < a → ∀ x < b, ¬a + x = a_1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
h : ∀ (i : n), 0 ≤ hA.eigenvalues i
\u22a2 A.PosSemidef
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
h : ∀ (i : n), 0 ≤ hA.eigenvalues i
\u22a2 (↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ hA.eigenvalues) * star ↑hA.eigenvectorUnitary).PosSemidef
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
h : ∀ (i : n), 0 ≤ hA.eigenvalues i
\u22a2 ∀ (i : n), 0 ≤ (RCLike.ofReal ∘ hA.eigenvalues) i
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
\u22a2 ⨆ i ∈ S, torsionBySet R M ↑(p i) = torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i)
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
h : S = ∅
\u22a2 ⨆ i ∈ S, torsionBySet R M ↑(p i) = torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i)
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
h : S.Nonempty
\u22a2 ⨆ i ∈ S, torsionBySet R M ↑(p i) = torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i)
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
h : S.Nonempty
\u22a2 ⨆ i ∈ S, torsionBySet R M ↑(p i) ≤ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i)
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
h : S.Nonempty
\u22a2 torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i) ≤ ⨆ i ∈ S, torsionBySet R M ↑(p i)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Unitization.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁵ : StarRing E
inst✝⁴ : NormedStarGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 E
a : E
\u22a2 ‖(mul 𝕜 E).flip a‖ = ‖a‖
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Unitization.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁵ : StarRing E
inst✝⁴ : NormedStarGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 E
a : E
\u22a2 ‖a‖ ≤ ‖(mul 𝕜 E).flip a‖
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Unitization.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁵ : StarRing E
inst✝⁴ : NormedStarGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 E
a : E
\u22a2 ‖(mul 𝕜 E) a⋆‖ ≤ ‖(mul 𝕜 E).flip a‖
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Unitization.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁵ : StarRing E
inst✝⁴ : NormedStarGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 E
a b : E
\u22a2 ‖((mul 𝕜 E) a⋆) b‖ ≤ ‖(mul 𝕜 E).flip a‖ * ‖b‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp_pos : 0 < p
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
\u22a2 eLpNorm' f_lim p μ ≤ liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ) atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp_pos : 0 < p
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
\u22a2 (∫⁻ (a : α), liminf (fun m => ↑‖f m a‖₊ ^ p) atTop ∂μ) ^ (1 / p) ≤ liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ) atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp_pos : 0 < p
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
\u22a2 ∫⁻ (a : α), liminf (fun m => ↑‖f m a‖₊ ^ p) atTop ∂μ ≤ liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ) atTop ^ p
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp_pos : 0 < p
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
\u22a2 liminf (fun n => ∫⁻ (a : α), ↑‖f n a‖₊ ^ p ∂μ) atTop = liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ) atTop ^ p
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp_pos : 0 < p
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
h_pow_liminf : liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ) atTop ^ p = liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ ^ p) atTop
\u22a2 liminf (fun n => ∫⁻ (a : α), ↑‖f n a‖₊ ^ p ∂μ) atTop = liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ) atTop ^ p
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
p : ℝ
hp_pos : 0 < p
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
h_pow_liminf : liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ) atTop ^ p = liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ ^ p) atTop
\u22a2 liminf (fun n => ∫⁻ (a : α), ↑‖f n a‖₊ ^ p ∂μ) atTop = liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p μ ^ p) atTop
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l l' : List α
\u22a2 [] ~r l ↔ [] = l
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : CommRing α
A B : Matrix n n α
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : CommRing α
M : Matrix m m α
h : IsUnit M
N : Matrix m m α
\u22a2 (M⁻¹ * N * M).det = N.det
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : OrderedCommGroup H
inst✝ : ContinuousInv H
a : H
\u22a2 Tendsto (fun a => a⁻¹) (𝓟 (Iio a)) (𝓟 (Ioi a⁻¹))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p q : R[X]
x✝ x : A
\u22a2 Algebra.adjoin R {x} = (aeval x).range
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ' : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c • μ
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
\u22a2 Memℒp f p μ'
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ' : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c • μ
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
\u22a2 eLpNorm f p μ' < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ' : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c • μ
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
\u22a2 eLpNorm f p (c • μ) < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ' : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c • μ
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
hc0 : ¬c = 0
\u22a2 eLpNorm f p (c • μ) < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ' : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c • μ
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
hc0 : ¬c = 0
\u22a2 c ^ (1 / p).toReal * eLpNorm f p μ < ⊤