ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N
\u22a2 0 < ↑N ^ (↑(nValue N))⁻¹
-- Mathlib/Topology/Algebra/Polynomial.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
hB : B < 0
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
\u22a2 p.natDegree = 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/Polynomial.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : p.natDegree ≠ 0
\u22a2 0 ≤ B
-- Mathlib/Topology/Algebra/Polynomial.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : card (map f p).roots ≠ 0
\u22a2 0 ≤ B
-- Mathlib/Topology/Algebra/Polynomial.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : card (map f p).roots ≠ 0
z : K
hz : z ∈ (map f p).roots
\u22a2 0 ≤ B
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M
\u22a2 closure {1} = ⊥
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallyInjective.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : ConcreteCategory D
J : GrothendieckTopology C
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ D
φ : F₁ ⟶ F₂
ψ : F₂ ⟶ F₃
hφ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Function.Injective ⇑(φ.app X)
X : Cᵒᵖ
x y : (forget D).obj (F₁.obj X)
h : (φ.app X) x = (φ.app X) y
\u22a2 equalizerSieve x y ∈ J.sieves (unop X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallyInjective.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : ConcreteCategory D
J : GrothendieckTopology C
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ D
φ : F₁ ⟶ F₂
ψ : F₂ ⟶ F₃
hφ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Function.Injective ⇑(φ.app X)
X : Cᵒᵖ
x y : (forget D).obj (F₁.obj X)
h : (φ.app X) x = (φ.app X) y
\u22a2 equalizerSieve x y = ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallyInjective.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : ConcreteCategory D
J : GrothendieckTopology C
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ D
φ : F₁ ⟶ F₂
ψ : F₂ ⟶ F₃
hφ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Function.Injective ⇑(φ.app X)
X : Cᵒᵖ
x y : (forget D).obj (F₁.obj X)
h : (φ.app X) x = (φ.app X) y
Y : C
f : Y ⟶ unop X
\u22a2 (equalizerSieve x y).arrows f ↔ ⊤.arrows f
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallyInjective.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : ConcreteCategory D
J : GrothendieckTopology C
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ D
φ : F₁ ⟶ F₂
ψ : F₂ ⟶ F₃
hφ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Function.Injective ⇑(φ.app X)
X : Cᵒᵖ
x y : (forget D).obj (F₁.obj X)
h : (φ.app X) x = (φ.app X) y
Y : C
f : Y ⟶ unop X
\u22a2 (F₁.map f.op) x = (F₁.map f.op) y
-- Mathlib/Data/NNRat/Defs.lean
p q✝ : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
q r : ℚ≥0
\u22a2 ↑(q * r) = ↑(divNat (q.num * r.num) (q.den * r.den))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
\u22a2 QuasiMeasurePreserving Prod.fst (μ.prod ν) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h2s : μ s = 0
\u22a2 (map Prod.fst (μ.prod ν)) s = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Bivariate.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x x✝ : R
\u22a2 eval₂ (evalRingHom x) x✝ = evalEval x x✝
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
x : K
\u22a2 ∏ w : InfinitePlace K, w x ^ w.mult = ↑|(Algebra.norm ℚ) x|
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
x : K
\u22a2 ∏ w : InfinitePlace K, w x ^ w.mult = Complex.abs (∏ σ : K →ₐ[ℚ] ℂ, σ x)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
x : K
\u22a2 ↑|(Algebra.norm ℚ) x| = Complex.abs ((algebraMap ℚ ℂ) ((Algebra.norm ℚ) x))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
a : α
\u22a2 (∀ (i : ℝ), 0 < i → ∃ y ∈ s, y ∈ ball a i) ↔ ∀ ε > 0, ∃ b ∈ s, dist a b < ε
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
n : ℕ
h : 2 ≤ n
\u22a2 (finRotate n).IsCycle
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
m : ℕ
h : 2 ≤ 2 + m
\u22a2 (finRotate (2 + m)).IsCycle
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
m : ℕ
h : 2 ≤ 2 + m
\u22a2 (finRotate (m + 2)).IsCycle
-- Mathlib/Topology/Order/PartialSups.lean
L : Type u_1
inst✝³ : SemilatticeSup L
inst✝² : TopologicalSpace L
inst✝¹ : ContinuousSup L
X : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
f : ℕ → X → L
n : ℕ
s : Set X
x : X
hf : ∀ k ≤ n, ContinuousAt (f k) x
\u22a2 ContinuousAt ((partialSups f) n) x
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
x : 𝕜
U : Set E
hU : U ∈ p.basisSets
\u22a2 ∃ V ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, V ⊆ (fun y => x • y) ⁻¹' U
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
x : 𝕜
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
\u22a2 ∃ V ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, V ⊆ (fun y => x • y) ⁻¹' U
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
x : 𝕜
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
h : ¬x ≠ 0
\u22a2 ∃ V ∈ AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.sets, V ⊆ (fun y => x • y) ⁻¹' (s.sup p).ball 0 r
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
x : 𝕜
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
h : ¬x ≠ 0
\u22a2 (s.sup p).ball 0 r ⊆ (fun y => x • y) ⁻¹' (s.sup p).ball 0 r
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : ℝ
\u22a2 WithBot.some ∘ WithTop.some ⁻¹' Ioi ↑↑x = Ioi x
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : ℝ
\u22a2 WithTop.some ⁻¹' (WithBot.some ⁻¹' Ioi ↑↑x) = Ioi x
-- Mathlib/Data/List/GetD.lean
α : Type u
β : Type v
l✝ : List α
x : α
xs : List α
n✝ : ℕ
d✝ : α
l l' : List α
d : α
n : ℕ
h : n < l.length
\u22a2 (l ++ l').getD n d = l.getD n d
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsIntegralClosure A R B
h : optParam (IsIntegral R 1) ⋯
\u22a2 (algebraMap A B) (mk' A 1 h) = (algebraMap A B) 1
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x y : F
\u22a2 (((map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).kahler x) y = (o.kahler (φ.symm x)) (φ.symm y)
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
\u22a2 (N.comap f).Dep I ↔ N.Dep (f '' I) ∨ N.Indep (f '' I) ∧ ¬InjOn f I
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
\u22a2 (N.Indep (f '' I) → ¬InjOn f I) ∧ I ⊆ f ⁻¹' N.E ↔ ¬N.Indep (f '' I) ∧ I ⊆ f ⁻¹' N.E ∨ N.Indep (f '' I) ∧ ¬InjOn f I
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hI : N.Indep (f '' I) ∧ ¬InjOn f I
\u22a2 (N.Indep (f '' I) → ¬InjOn f I) ∧ I ⊆ f ⁻¹' N.E
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hI : N.Indep (f '' I) ∧ ¬InjOn f I
\u22a2 I ⊆ f ⁻¹' N.E
-- Mathlib/NumberTheory/FunctionField.lean
Fq F : Type
inst✝⁹ : Field Fq
inst✝⁸ : Field F
Fqt : Type u_1
inst✝⁷ : Field Fqt
inst✝⁶ : Algebra Fq[X] Fqt
inst✝⁵ : IsFractionRing Fq[X] Fqt
inst✝⁴ : Algebra (RatFunc Fq) F
inst✝³ : Algebra Fqt F
inst✝² : Algebra Fq[X] F
inst✝¹ : IsScalarTower Fq[X] Fqt F
inst✝ : IsScalarTower Fq[X] (RatFunc Fq) F
e : RatFunc Fq ≃ₐ[Fq[X]] Fqt := IsLocalization.algEquiv Fq[X]⁰ (RatFunc Fq) Fqt
\u22a2 FunctionField Fq F ↔ FiniteDimensional Fqt F
-- Mathlib/NumberTheory/FunctionField.lean
Fq F : Type
inst✝⁹ : Field Fq
inst✝⁸ : Field F
Fqt : Type u_1
inst✝⁷ : Field Fqt
inst✝⁶ : Algebra Fq[X] Fqt
inst✝⁵ : IsFractionRing Fq[X] Fqt
inst✝⁴ : Algebra (RatFunc Fq) F
inst✝³ : Algebra Fqt F
inst✝² : Algebra Fq[X] F
inst✝¹ : IsScalarTower Fq[X] Fqt F
inst✝ : IsScalarTower Fq[X] (RatFunc Fq) F
e : RatFunc Fq ≃ₐ[Fq[X]] Fqt := IsLocalization.algEquiv Fq[X]⁰ (RatFunc Fq) Fqt
this : ∀ (c : RatFunc Fq) (x : F), e c • x = c • x
\u22a2 FunctionField Fq F ↔ FiniteDimensional Fqt F
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/StructureSheaf.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
a b : (x : ↥(unop U)) → at ↑x
ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a
hb : (isLocallyFraction 𝒜).pred b
x : ↥(unop U)
Va : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
ma : ↑x ∈ Va
ia : Va ⟶ unop U
ja : ℕ
ra : A
ra_mem : ra ∈ 𝒜 ja
sa : A
sa_mem : sa ∈ 𝒜 ja
hwa : ∀ (x : ↥Va), ↑⟨sa, sa_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wa : ∀ (x : ↥Va), (fun x => a ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja, num := ⟨ra, ra_mem⟩, den := ⟨sa, sa_mem⟩, den_mem := ⋯ }
Vb : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
mb : ↑x ∈ Vb
ib : Vb ⟶ unop U
jb : ℕ
rb : A
rb_mem : rb ∈ 𝒜 jb
sb : A
sb_mem : sb ∈ 𝒜 jb
hwb : ∀ (x : ↥Vb), ↑⟨sb, sb_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wb : ∀ (x : ↥Vb), (fun x => b ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := jb, num := ⟨rb, rb_mem⟩, den := ⟨sb, sb_mem⟩, den_mem := ⋯ }
\u22a2 ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ i, (isFractionPrelocal 𝒜).pred fun x => (a + b) ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/StructureSheaf.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
a b : (x : ↥(unop U)) → at ↑x
ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a
hb : (isLocallyFraction 𝒜).pred b
x : ↥(unop U)
Va : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
ma : ↑x ∈ Va
ia : Va ⟶ unop U
ja : ℕ
ra : A
ra_mem : ra ∈ 𝒜 ja
sa : A
sa_mem : sa ∈ 𝒜 ja
hwa : ∀ (x : ↥Va), ↑⟨sa, sa_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wa : ∀ (x : ↥Va), (fun x => a ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja, num := ⟨ra, ra_mem⟩, den := ⟨sa, sa_mem⟩, den_mem := ⋯ }
Vb : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
mb : ↑x ∈ Vb
ib : Vb ⟶ unop U
jb : ℕ
rb : A
rb_mem : rb ∈ 𝒜 jb
sb : A
sb_mem : sb ∈ 𝒜 jb
hwb : ∀ (x : ↥Vb), ↑⟨sb, sb_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wb : ∀ (x : ↥Vb), (fun x => b ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := jb, num := ⟨rb, rb_mem⟩, den := ⟨sb, sb_mem⟩, den_mem := ⋯ }
y : ↥(Va ⊓ Vb)
\u22a2 (fun x => (a + b) ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) y = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja + jb, num := ⟨sb * ra + sa * rb, ⋯⟩, den := ⟨sa * sb, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/StructureSheaf.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
a b : (x : ↥(unop U)) → at ↑x
ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a
hb : (isLocallyFraction 𝒜).pred b
x : ↥(unop U)
Va : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
ma : ↑x ∈ Va
ia : Va ⟶ unop U
ja : ℕ
ra : A
ra_mem : ra ∈ 𝒜 ja
sa : A
sa_mem : sa ∈ 𝒜 ja
hwa : ∀ (x : ↥Va), ↑⟨sa, sa_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wa : ∀ (x : ↥Va), a ⟨↑x, ⋯⟩ = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja, num := ⟨ra, ra_mem⟩, den := ⟨sa, sa_mem⟩, den_mem := ⋯ }
Vb : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
mb : ↑x ∈ Vb
ib : Vb ⟶ unop U
jb : ℕ
rb : A
rb_mem : rb ∈ 𝒜 jb
sb : A
sb_mem : sb ∈ 𝒜 jb
hwb : ∀ (x : ↥Vb), ↑⟨sb, sb_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wb : ∀ (x : ↥Vb), b ⟨↑x, ⋯⟩ = HomogeneousLocalization.mk { deg := jb, num := ⟨rb, rb_mem⟩, den := ⟨sb, sb_mem⟩, den_mem := ⋯ }
y : ↥(Va ⊓ Vb)
\u22a2 (fun x => (a + b) ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) y = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja + jb, num := ⟨sb * ra + sa * rb, ⋯⟩, den := ⟨sa * sb, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/StructureSheaf.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
a b : (x : ↥(unop U)) → at ↑x
ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a
hb : (isLocallyFraction 𝒜).pred b
x : ↥(unop U)
Va : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
ma : ↑x ∈ Va
ia : Va ⟶ unop U
ja : ℕ
ra : A
ra_mem : ra ∈ 𝒜 ja
sa : A
sa_mem : sa ∈ 𝒜 ja
hwa : ∀ (x : ↥Va), ↑⟨sa, sa_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wa : ∀ (x : ↥Va), a ⟨↑x, ⋯⟩ = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja, num := ⟨ra, ra_mem⟩, den := ⟨sa, sa_mem⟩, den_mem := ⋯ }
Vb : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
mb : ↑x ∈ Vb
ib : Vb ⟶ unop U
jb : ℕ
rb : A
rb_mem : rb ∈ 𝒜 jb
sb : A
sb_mem : sb ∈ 𝒜 jb
hwb : ∀ (x : ↥Vb), ↑⟨sb, sb_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wb : ∀ (x : ↥Vb), b ⟨↑x, ⋯⟩ = HomogeneousLocalization.mk { deg := jb, num := ⟨rb, rb_mem⟩, den := ⟨sb, sb_mem⟩, den_mem := ⋯ }
y : ↥(Va ⊓ Vb)
\u22a2 Localization.mk (sb * ra + sa * rb) (⟨sa, ⋯⟩ * ⟨sb, ⋯⟩) = Localization.mk (sb * ra + sa * rb) ⟨sa * sb, ⋯⟩
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ : ℤ
γ γ₁✝ γ₂✝ : Cochain K L n✝
n' a : ℤ
γ₁ γ₂ : Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'
n : ℤ
hn : n' + a = n
\u22a2 (rightShiftAddEquiv K L n a n' hn).symm (γ₁ + γ₂) = γ₁.rightUnshift n hn + γ₂.rightUnshift n hn
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
\u22a2 s ∈ coclosedLindelof X ↔ ∃ t, IsClosed t ∧ IsLindelof t ∧ tᶜ ⊆ s
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
\u22a2 ↑(B ^ m / B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅
\u22a2 ↑(B ^ m / B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C✝ : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅
C : Finset α
hC : C ∈ A.powerset.erase ∅
hCA : ∀ x' ∈ A.powerset.erase ∅, ↑(C * B).card / ↑C.card ≤ ↑(x' * B).card / ↑x'.card
\u22a2 ↑(B ^ m / B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C✝ : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅
C : Finset α
hC : C.Nonempty ∧ C ⊆ A
hCA : ∀ x' ∈ A.powerset.erase ∅, ↑(C * B).card / ↑C.card ≤ ↑(x' * B).card / ↑x'.card
\u22a2 ↑(B ^ m / B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C✝ : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅
C : Finset α
hC : C.Nonempty ∧ C ⊆ A
hCA : ∀ x' ∈ A.powerset.erase ∅, ↑(C * B).card / ↑C.card ≤ ↑(x' * B).card / ↑x'.card
\u22a2 ↑(B ^ m / B ^ n).card * ↑C.card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card * ↑C.card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C✝ : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅
C : Finset α
hC : C.Nonempty ∧ C ⊆ A
hCA : ∀ x' ∈ A.powerset.erase ∅, ↑(C * B).card / ↑C.card ≤ ↑(x' * B).card / ↑x'.card
\u22a2 ↑((B ^ m / B ^ n).card * C.card) ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card * ↑C.card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C✝ : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅
C : Finset α
hC : C.Nonempty ∧ C ⊆ A
hCA : ∀ x' ∈ A.powerset.erase ∅, ↑(C * B).card / ↑C.card ≤ ↑(x' * B).card / ↑x'.card
\u22a2 ↑((B ^ m * C).card * (C * B ^ n).card) ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card * ↑C.card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C✝ : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅
C : Finset α
hC : C.Nonempty ∧ C ⊆ A
hCA : ∀ x' ∈ A.powerset.erase ∅, ↑(C * B).card / ↑C.card ≤ ↑(x' * B).card / ↑x'.card
\u22a2 ↑(B ^ m * C).card * ↑(C * B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card * ↑C.card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C✝ : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅
C : Finset α
hC : C.Nonempty ∧ C ⊆ A
hCA : ∀ x' ∈ A.powerset.erase ∅, ↑(C * B).card / ↑C.card ≤ ↑(x' * B).card / ↑x'.card
\u22a2 ↑(C * B ^ m).card * ↑(C * B ^ n).card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card * ↑C.card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C✝ : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅
C : Finset α
hC : C.Nonempty ∧ C ⊆ A
hCA : ∀ x' ∈ A.powerset.erase ∅, ↑(C * B).card / ↑C.card ≤ ↑(x' * B).card / ↑x'.card
\u22a2 (↑(C * B).card / ↑C.card) ^ m * ↑C.card * ((↑(C * B).card / ↑C.card) ^ n * ↑C.card) ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card * ↑C.card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C✝ : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
hA' : A ∈ A.powerset.erase ∅
C : Finset α
hC : C.Nonempty ∧ C ⊆ A
hCA : ∀ x' ∈ A.powerset.erase ∅, ↑(C * B).card / ↑C.card ≤ ↑(x' * B).card / ↑x'.card
\u22a2 (↑(C * B).card / ↑C.card) ^ (m + n) * ↑C.card * ↑C.card ≤ (↑(A * B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card * ↑C.card
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f g : E →ₗ.[R] F
hg : g.IsClosable
h : f ≤ g
\u22a2 f.closure ≤ g.closure
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f g : E →ₗ.[R] F
hg : g.IsClosable
h : f ≤ g
\u22a2 f.closure.graph ≤ g.closure.graph
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f g : E →ₗ.[R] F
hg : g.IsClosable
h : f ≤ g
\u22a2 f.graph.topologicalClosure ≤ g.closure.graph
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f g : E →ₗ.[R] F
hg : g.IsClosable
h : f ≤ g
\u22a2 f.graph.topologicalClosure ≤ g.graph.topologicalClosure
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p k : R[X]
h : p * k ≠ 0
\u22a2 p.roots ≤ (p * k).roots
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x✝ : α
\u22a2 x✝ ∈ Ioo a b ∩ Ioi c ↔ x✝ ∈ Ioo (max a c) b
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Basic.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
e : A ≃ₐ[R] B
S : Subalgebra R A
r : R
\u22a2 ↑((e.toRingEquiv.subsemiringMap S.toSubsemiring).toFun ((algebraMap R ↥S) r)) = ↑((algebraMap R ↥(Subalgebra.map (↑e) S)) r)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Basic.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
e : A ≃ₐ[R] B
S : Subalgebra R A
r : R
\u22a2 e.toRingEquiv ↑((algebraMap R ↥S) r) = ↑((algebraMap R ↥(Subalgebra.map (↑e) S)) r)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
C : G.ComponentCompl L
h : K ⊆ L
D : G.ComponentCompl K
\u22a2 hom h C = D ↔ ¬Disjoint ↑C ↑D
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
C : G.ComponentCompl L
h : K ⊆ L
D : G.ComponentCompl K
\u22a2 hom h C = D ↔ ∃ x ∈ ↑C, x ∈ ↑D
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
ρCond : Kernel α Ω
inst✝ : ρ.IsCondKernel ρCond
hρ : ρ ≠ 0
\u22a2 IsSFiniteKernel ρCond
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ρ
ρCond : Kernel α Ω
inst✝ : ρ.IsCondKernel ρCond
hρ : ¬IsSFiniteKernel ρCond
\u22a2 ρ = 0
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G✝
a b x✝ y : G✝
n m : ℕ
G : Type u_6
inst✝ : Group G
x : G
\u22a2 IsOfFinOrder x ↔ ∃ n, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1