ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projectivization/Independence.lean
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
\u22a2 Dependent f ↔ ¬Independent f
-- Mathlib/LinearAlgebra/UnitaryGroup.lean
n : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
α : Type v
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : StarRing α
A✝ : Matrix n n α
β : Type v
inst✝ : CommRing β
A : Matrix n n β
\u22a2 A ∈ orthogonalGroup n β ↔ star A * A = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/UnitaryGroup.lean
n : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
α : Type v
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : StarRing α
A✝ : Matrix n n α
β : Type v
inst✝ : CommRing β
A : Matrix n n β
hA : star A * A = 1
\u22a2 A * star A = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
ha : 1 < a.x
\u22a2 ¬IsSquare d
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
ha : 1 < a.x
hp : a.x ^ 2 - d * a.y ^ 2 = 1
\u22a2 ¬IsSquare d
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
b : ℤ
a : Solution₁ (b * b)
ha : 1 < a.x
hp : a.x ^ 2 - b * b * a.y ^ 2 = 1
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
b : ℤ
a : Solution₁ (b * b)
ha : 1 < a.x
hp : a.x + b * a.y = 1 ∧ a.x - b * a.y = 1 ∨ a.x + b * a.y = -1 ∧ a.x - b * a.y = -1
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℤ
c w : ℂ
R : ℝ
hn : n < 0
hw : w ∈ sphere c |R|
\u22a2 (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w) ^ n) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℤ
c w : ℂ
hn : n < 0
hw : w ∈ sphere c |0|
\u22a2 (∮ (z : ℂ) in C(c, 0), (z - w) ^ n) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℤ
c w : ℂ
R : ℝ
hn : n < 0
hw : w ∈ sphere c |R|
h0 : R ≠ 0
\u22a2 (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w) ^ n) = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ : G →* N
H : Subgroup G
f : G ≃* N
x : N
\u22a2 x ∈ map f.toMonoidHom H.normalizer ↔ x ∈ (map f.toMonoidHom H).normalizer
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ : G →* N
H : Subgroup G
f : G ≃* N
x : N
\u22a2 (∀ (h : G), h ∈ H ↔ f.symm x * h * (f.symm x)⁻¹ ∈ H) ↔ ∀ (h : N), f.symm h ∈ H ↔ f.symm (x * h * x⁻¹) ∈ H
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ : G →* N
H : Subgroup G
f : G ≃* N
x : N
\u22a2 ∀ (a : G), (a ∈ H ↔ f.symm x * a * (f.symm x)⁻¹ ∈ H) ↔ (f.symm (f.toEquiv a) ∈ H ↔ f.symm (x * f.toEquiv a * x⁻¹) ∈ H)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ : G →* N
H : Subgroup G
f : G ≃* N
x : N
a✝ : G
\u22a2 (a✝ ∈ H ↔ f.symm x * a✝ * (f.symm x)⁻¹ ∈ H) ↔ (f.symm (f.toEquiv a✝) ∈ H ↔ f.symm (x * f.toEquiv a✝ * x⁻¹) ∈ H)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ : G →* N
H : Subgroup G
f : G ≃* N
x : N
a✝ : G
\u22a2 (a✝ ∈ H ↔ f.symm x * a✝ * (f.symm x)⁻¹ ∈ H) ↔ (a✝ ∈ H ↔ f.symm (x * f.toEquiv a✝ * x⁻¹) ∈ H)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ : G →* N
H : Subgroup G
f : G ≃* N
x : N
a✝ : G
\u22a2 (a✝ ∈ H ↔ f.symm x * a✝ * (f.symm x)⁻¹ ∈ H) ↔ (a✝ ∈ H ↔ f.symm x * f.symm (f.toEquiv a✝) * (f.symm x)⁻¹ ∈ H)
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s : Set α
\u22a2 Monotone (⇑toDual ∘ f ∘ ⇑ofDual) ↔ Monotone f
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
r : R
\u22a2 constantCoeff (C r) = r
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
o : α → Option β
f : α → σ
g : α → β → σ
ho : Primrec o
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
a : α
\u22a2 (Nat.casesOn (encode (o a)) (encode (f a)) fun b => (encode ((decode (encode (a, b).1)).bind fun a => Option.map (g a) (decode b))).pred) = encode (Option.casesOn (o a) (f a) (g a))
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
z : S
x : R
y : ↥M
h : z * (algebraMap R S) ↑y = (algebraMap R S) x
hx : x = 0
\u22a2 z = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
z : S
x : R
y : ↥M
h : z * (algebraMap R S) ↑y = 0
hx : x = 0
\u22a2 z = 0
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α✝
g g₁ g₂ : Filter β
m : α✝ → β
m' : β → γ
s : Set α✝
t : Set β
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : ∀ (j : ι), Nonempty (α j)
i : ι
f : Filter (α i)
\u22a2 (comap (eval i) f).NeBot ↔ f.NeBot
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
fs : Finset (Fin (n + 1))
h : fs.Nonempty
\u22a2 ∑ i : PointsWithCircumcenterIndex n, centroidWeightsWithCircumcenter fs i = 1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
fs : Finset (Fin (n + 1))
h : fs.Nonempty
\u22a2 (∑ x : Fin (n + 1), if x ∈ fs then (↑fs.card)⁻¹ else 0) = ∑ i : Fin (n + 1), (↑fs).indicator (centroidWeights ℝ fs) i
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_subset : (fixedBy α g)ᶜ ⊆ s
\u22a2 s ∈ fixedBy (Set α) g
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_subset : (fixedBy α g)ᶜ ⊆ s
\u22a2 s ∈ fixedBy (Set α) g⁻¹
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_subset : (fixedBy α g)ᶜ ⊆ s
a : α
\u22a2 a ∈ g⁻¹ • s ↔ a ∈ s
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_subset : (fixedBy α g)ᶜ ⊆ s
a : α
\u22a2 g • a ∈ s ↔ a ∈ s
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_subset : (fixedBy α g)ᶜ ⊆ s
a : α
h✝ : a ∈ fixedBy α g
\u22a2 g • a ∈ s ↔ a ∈ s
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_subset : (fixedBy α g)ᶜ ⊆ s
a : α
h✝ : a ∉ fixedBy α g
\u22a2 g • a ∈ s ↔ a ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
x : E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hs₂ : IsOpen s
hx : x ∈ ε • s
\u22a2 gauge s x < ε
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
x : E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hs₂ : IsOpen s
hx : x ∈ ε • s
this : ε⁻¹ • x ∈ s
\u22a2 gauge s x < ε
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
x : E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hs₂ : IsOpen s
hx : x ∈ ε • s
this : ε⁻¹ • x ∈ s
h_gauge_lt : gauge s (ε⁻¹ • x) < 1
\u22a2 gauge s x < ε
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p : Associates α
hp : Irreducible p
\u22a2 p.factors.prod = FactorSet.prod ↑{⟨p, hp⟩}
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p : Associates α
hp : Irreducible p
\u22a2 p = match ↑{⟨p, hp⟩} with | none => 0 | some s => (Multiset.map Subtype.val s).prod
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p : Associates α
hp : Irreducible p
\u22a2 p = {p}.prod
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F.op ⟶ G.op
X Y : C
f : X ⟶ Y
\u22a2 (G.map f ≫ (fun X => (α.app (op X)).unop) Y).op = ((fun X => (α.app (op X)).unop) X ≫ F.map f).op
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
x : C(↑s, 𝕜)
\u22a2 x ∈ ↑(StarAlgebra.adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)}) ↔ x ∈ ↑(span 𝕜 {1}) + ↑(adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)})
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
x : C(↑s, 𝕜)
\u22a2 (∃ y ∈ span 𝕜 {1}, ∃ z ∈ (adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)}).toSubmodule, y + z = x) ↔ x ∈ ↑(span 𝕜 {1}) + ↑(adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)})
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
point✝ : PointClass F
a✝ : Fin 3 → F
hP : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r a✝)
\u22a2 (-mk hP).toAffineLift = -(mk hP).toAffineLift
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : b ≠ 0
ha : 2 ≤ a
h : a ^ n ∣ b
\u22a2 n < b
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : b ≠ 0
ha : 2 ≤ a
h : a ^ n ∣ b
\u22a2 a ^ n < a ^ b
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b : α
h : Relation.ReflTransGen r a b
\u22a2 ∃ l, Chain r a l ∧ (a :: l).getLast ⋯ = b
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b : α
h : Relation.ReflTransGen r a b
\u22a2 ∃ l, Chain r b l ∧ (b :: l).getLast ⋯ = b
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b : α
h : Relation.ReflTransGen r a b
\u22a2 ∀ {a c : α}, r a c → Relation.ReflTransGen r c b → (∃ l, Chain r c l ∧ (c :: l).getLast ⋯ = b) → ∃ l, Chain r a l ∧ (a :: l).getLast ⋯ = b
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G
\u22a2 H = ⊥ ∨ Nontrivial ↥H
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G
this : Nontrivial ↥H ↔ H ≠ ⊥
\u22a2 H = ⊥ ∨ Nontrivial ↥H
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α
\u22a2 Iio a * Iic b ⊆ Iio (a * b)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α
this : ∀ (M : Type ?u.10523) (N : Type ?u.10522) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
\u22a2 Iio a * Iic b ⊆ Iio (a * b)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α
this : ∀ (M : Type ?u.10523) (N : Type ?u.10522) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
y : α
hya : y ∈ Iio a
z : α
hzb : z ∈ Iic b
\u22a2 (fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Iio (a * b)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
z : ℤ
hp : p ≠ 1
hz : z ≠ 0
\u22a2 padicValRat p ↑z = ↑((multiplicity (↑p) z).get ⋯)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι✝ : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M✝ N : Submodule R A
m n : A
ι : Type u_1
s : Finset ι
M : ι → Set A
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
\u22a2 ∏ i ∈ s, span R (M i) = span R (∏ i ∈ s, M i)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι✝ : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M✝ N : Submodule R A
m n : A
ι : Type u_1
s : Finset ι
M : ι → Set A
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
\u22a2 ∏ i ∈ ∅, span R (M i) = span R (∏ i ∈ ∅, M i)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι✝ : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M✝ N : Submodule R A
m n : A
ι : Type u_1
s : Finset ι
M : ι → Set A
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
\u22a2 ∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι}, a ∉ s → ∏ i ∈ s, span R (M i) = span R (∏ i ∈ s, M i) → ∏ i ∈ insert a s, span R (M i) = span R (∏ i ∈ insert a s, M i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
p : (x : M) → x ∈ span R s → Prop
zero : p 0 ⋯
add : ∀ (x : M) (hx : x ∈ span R s) (y : M) (hy : y ∈ span R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
smul_mem : ∀ (r : R) (x : M) (h : x ∈ s), p (r • x) ⋯
x : M
hx : x ∈ span R s
\u22a2 p x hx
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
p : (x : M) → x ∈ span R s → Prop
zero : p 0 ⋯
add : ∀ (x : M) (hx : x ∈ span R s) (y : M) (hy : y ∈ span R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
smul_mem : ∀ (r : R) (x : M) (h : x ∈ s), p (r • x) ⋯
x : M
hx : x ∈ span R s
\u22a2 ∃ (x_1 : x ∈ span R s), p x x_1
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Kleisli.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
T : Monad C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
\u22a2 { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f ≫ T.η.app Y }.map (f ≫ g) = (f ≫ T.η.app Y) ≫ T.map (g ≫ T.η.app Z) ≫ T.μ.app Z
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
M : Type u
inst✝² : Monoid M
α : Type v
inst✝¹ : MulAction M α
β : Type u_1
inst✝ : MulAction M β
S : Submonoid M
a : α
g : ↥S
\u22a2 (fun m => m • a) g ∈ orbit M a
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝¹ : StandardBorelSpace Ω
inst✝ : Nonempty Ω
hm : m ≤ m0
hμ : IsFiniteMeasure μ
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
h_indep : CondIndepSet m hm t t μ
this : ∀ (a : Ω), IsFiniteMeasure ((condexpKernel μ m) a)
\u22a2 ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 0 ∨ (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 1
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝¹ : StandardBorelSpace Ω
inst✝ : Nonempty Ω
hm : m ≤ m0
hμ : IsFiniteMeasure μ
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
h_indep : CondIndepSet m hm t t μ
this : ∀ (a : Ω), IsFiniteMeasure ((condexpKernel μ m) a)
h : ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, ((condexpKernel μ m) x) t = 0 ∨ ((condexpKernel μ m) x) t = 1
\u22a2 ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 0 ∨ (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 1
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝¹ : StandardBorelSpace Ω
inst✝ : Nonempty Ω
hm : m ≤ m0
hμ : IsFiniteMeasure μ
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
h_indep : CondIndepSet m hm t t μ
this : ∀ (a : Ω), IsFiniteMeasure ((condexpKernel μ m) a)
h : ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, ((condexpKernel μ m) x) t = 0 ∨ ((condexpKernel μ m) x) t = 1
ω : Ω
hω_eq : (((condexpKernel μ m) ω) t).toReal = (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω
hω : ((condexpKernel μ m) ω) t = 0 ∨ ((condexpKernel μ m) ω) t = 1
\u22a2 (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 0 ∨ (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 1
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝¹ : StandardBorelSpace Ω
inst✝ : Nonempty Ω
hm : m ≤ m0
hμ : IsFiniteMeasure μ
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
h_indep : CondIndepSet m hm t t μ
this : ∀ (a : Ω), IsFiniteMeasure ((condexpKernel μ m) a)
h : ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, ((condexpKernel μ m) x) t = 0 ∨ ((condexpKernel μ m) x) t = 1
ω : Ω
hω_eq : (((condexpKernel μ m) ω) t).toReal = (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω
hω : ((condexpKernel μ m) ω) t = 0 ∨ ((condexpKernel μ m) ω) t = 1
\u22a2 (((condexpKernel μ m) ω) t = 0 ∨ ((condexpKernel μ m) ω) t = ⊤) ∨ ((condexpKernel μ m) ω) t = 1
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
s : ℤ
\u22a2 Valued.v ((single s) 1) = ↑(Multiplicative.ofAdd (-s))
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
s : ℤ
this : Valued.v 1 = 1
\u22a2 Valued.v ((single s) 1) = ↑(Multiplicative.ofAdd (-s))
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
s : ℤ
this : Valued.v ((single s) 1) = (Valued.v ((single (-s)) 1))⁻¹
\u22a2 Valued.v ((single s) 1) = ↑(Multiplicative.ofAdd (-s))
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
s : ℤ
this : Valued.v ((single s) 1) * Valued.v ((single (-s)) 1) = 1
\u22a2 Valued.v ((single (-s)) 1) ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t
\u22a2 ‖F_nat 0 a t‖ ≤ rexp (-π * a ^ 2 * t) / (1 - rexp (-π * t))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t
\u22a2 HasSum (g_nat 0 a t) (rexp (-π * a ^ 2 * t) / (1 - rexp (-π * t)))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t
\u22a2 g_nat 0 a t = fun i => rexp (-π * a ^ 2 * t) * rexp (-π * t) ^ i
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t
n : ℕ
\u22a2 (↑n + a) ^ 0 * rexp (-π * (↑n + a ^ 2) * t) = rexp (-π * a ^ 2 * t) * rexp (-π * t) ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t
n : ℕ
\u22a2 (↑n + a) ^ 0 * rexp (-π * (↑n + a ^ 2) * t) = rexp (-π * a ^ 2 * t + ↑n * (-π * t))
-- Mathlib/RingTheory/Congruence/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
c : RingCon R
\u22a2 ringConGen ⇑c ≤ c
-- Mathlib/RingTheory/Congruence/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
c : RingCon R
\u22a2 sInf {s | ∀ (x y : R), c x y → s x y} ≤ c
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
s : Set α
\u22a2 ContinuousOn f s ↔ ∀ b ∈ s, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ a ∈ s, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x y a : G
m n : ℕ
\u22a2 (Injective fun n => x ^ n) ↔ ¬IsOfFinOrder x
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x y a : G
m✝ n✝ : ℕ
h : ¬IsOfFinOrder x
n m : ℕ
hnm : (fun n => x ^ n) n = (fun n => x ^ n) m
\u22a2 n = m
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
s : Set α
m : ι → OuterMeasure α
\u22a2 (restrict s) (⨅ i, (restrict s) (m i)) = (restrict (range Subtype.val)) (⨅ i, (restrict s) (m i))
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Int.lean
a : ℤ
\u22a2 |a| ≤ 1 ↔ a = 0 ∨ a = 1 ∨ a = -1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
\u22a2 (pderiv 2) (X 1 ^ 2 * X 2 + C W.a₁ * X 0 * X 1 * X 2 + C W.a₃ * X 1 * X 2 ^ 2 - (X 0 ^ 3 + C W.a₂ * X 0 ^ 2 * X 2 + C W.a₄ * X 0 * X 2 ^ 2 + C W.a₆ * X 2 ^ 3)) = X 1 ^ 2 + C W.a₁ * X 0 * X 1 + C (2 * W.a₃) * X 1 * X 2 - (C W.a₂ * X 0 ^ 2 + C (2 * W.a₄) * X 0 * X 2 + C (3 * W.a₆) * X 2 ^ 2)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
\u22a2 ↑2 * X 1 ^ (2 - 1) * 0 * X 2 + X 1 ^ 2 * 1 + (((0 * X 0 + C W.a₁ * 0) * X 1 + C W.a₁ * X 0 * 0) * X 2 + C W.a₁ * X 0 * X 1 * 1) + ((0 * X 1 + C W.a₃ * 0) * X 2 ^ 2 + C W.a₃ * X 1 * (↑2 * X 2 ^ (2 - 1) * 1)) - (↑3 * X 0 ^ (3 - 1) * 0 + ((0 * X 0 ^ 2 + C W.a₂ * (↑2 * X 0 ^ (2 - 1) * 0)) * X 2 + C W.a₂ * X 0 ^ 2 * 1) + ((0 * X 0 + C W.a₄ * 0) * X 2 ^ 2 + C W.a₄ * X 0 * (↑2 * X 2 ^ (2 - 1) * 1)) + (0 * X 2 ^ 3 + C W.a₆ * (↑3 * X 2 ^ (3 - 1) * 1))) = X 1 ^ 2 + C W.a₁ * X 0 * X 1 + 2 * C W.a₃ * X 1 * X 2 - (C W.a₂ * X 0 ^ 2 + 2 * C W.a₄ * X 0 * X 2 + 3 * C W.a₆ * X 2 ^ 2)
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Four.lean
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
\u22a2 c ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Four.lean
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
\u22a2 c ^ 2 ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Four.lean
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
\u22a2 0 < c ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Four.lean
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
\u22a2 0 < (a ^ 2) ^ 2 + (b ^ 2) ^ 2
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
hn : Nonempty α
hd : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
hb : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
\u22a2 (iInf f).NeBot
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
hn : Nonempty α
hd : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
hb : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
h✝ : IsEmpty ι
\u22a2 (iInf f).NeBot
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
hn : Nonempty α
hd : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
hb : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
h✝ : Nonempty ι
\u22a2 (iInf f).NeBot