ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
h : IsUnit p.leadingCoeff
\u22a2 (h.unit⁻¹ • p).Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
h : IsUnit p.leadingCoeff
\u22a2 ↑h.unit⁻¹ • p.leadingCoeff = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
k : Rˣ
hk : ↑k = p.leadingCoeff
\u22a2 ↑(IsUnit.unit ⋯)⁻¹ • p.leadingCoeff = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
k : Rˣ
hk : ↑k = p.leadingCoeff
\u22a2 k = ⋯.unit * 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝ : Epi 0
\u22a2 IsZero Y
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp E p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p hs ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), Disjoint (support f) (support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P f}
\u22a2 ∀ (f : ↥(Lp E p μ)), P f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp E p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p hs ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), Disjoint (support f) (support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P f}
f : ↥(Lp E p μ)
\u22a2 ∀ (a : { x // x ∈ ↑(simpleFunc E p μ) }), P ↑a
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp E p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p hs ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), Disjoint (support f) (support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P f}
f : ↥(Lp E p μ)
\u22a2 ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p hs ⋯ c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp E p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p hs ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), Disjoint (support f) (support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P f}
f : ↥(Lp E p μ)
\u22a2 ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p μ) (hg : Memℒp (↑g) p μ), Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P ↑(simpleFunc.toLp f hf) → P ↑(simpleFunc.toLp g hg) → P ↑(simpleFunc.toLp f hf + simpleFunc.toLp g hg)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
\u22a2 sin (π / 6) = 1 / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
\u22a2 cos (π / 2 - π / 6) = cos (π / 3)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Hom.lean
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁵ : SMul M X
inst✝⁴ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝³ : SMul N Y
inst✝² : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝¹ : SMul P Z
φ' : N → M
Y₁ : Type u_8
inst✝ : SMul M Y₁
f : X →ₑ[φ] Y
g : Y → X
k₂ : Function.RightInverse φ' φ
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
\u22a2 f.comp (f.inverse' g k₂ h₁ h₂) = MulActionHom.id N
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Hom.lean
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁵ : SMul M X
inst✝⁴ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝³ : SMul N Y
inst✝² : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝¹ : SMul P Z
φ' : N → M
Y₁ : Type u_8
inst✝ : SMul M Y₁
f : X →ₑ[φ] Y
g : Y → X
k₂ : Function.RightInverse φ' φ
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
\u22a2 ∀ (x : Y), (f.comp (f.inverse' g k₂ h₁ h₂)) x = (MulActionHom.id N) x
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Hom.lean
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁵ : SMul M X
inst✝⁴ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝³ : SMul N Y
inst✝² : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝¹ : SMul P Z
φ' : N → M
Y₁ : Type u_8
inst✝ : SMul M Y₁
f : X →ₑ[φ] Y
g : Y → X
k₂ : Function.RightInverse φ' φ
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
x : Y
\u22a2 (f.comp (f.inverse' g k₂ h₁ h₂)) x = (MulActionHom.id N) x
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Hom.lean
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁵ : SMul M X
inst✝⁴ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝³ : SMul N Y
inst✝² : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝¹ : SMul P Z
φ' : N → M
Y₁ : Type u_8
inst✝ : SMul M Y₁
f : X →ₑ[φ] Y
g : Y → X
k₂ : Function.RightInverse φ' φ
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
x : Y
\u22a2 f ((f.inverse' g k₂ h₁ h₂) x) = x
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
hn : 0 < n
hx : x ^ n = 1
hd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ n → x ^ (n / p) ≠ 1
\u22a2 orderOf x = n
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a✝ b x y : G
n m : ℕ
hn : 0 < n
hx : x ^ n = 1
hd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ n → x ^ (n / p) ≠ 1
a : ℕ
ha : n = orderOf x * a
\u22a2 orderOf x = n
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a✝ b x y : G
n m : ℕ
hn : 0 < n
hx : x ^ n = 1
hd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ n → x ^ (n / p) ≠ 1
a : ℕ
ha : n = orderOf x * a
\u22a2 a = 1
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a✝ b x y : G
n m : ℕ
hn : 0 < n
hx : x ^ n = 1
hd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ n → x ^ (n / p) ≠ 1
a : ℕ
ha : n = orderOf x * a
h : ¬a = 1
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a✝ b x y : G
n m : ℕ
hn : 0 < n
hx : x ^ n = 1
hd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ n → x ^ (n / p) ≠ 1
a : ℕ
ha : n = orderOf x * a
h : ¬a = 1
a_min_fac_dvd_p_sub_one : a.minFac ∣ n
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a✝ b x y : G
n m : ℕ
hn : 0 < n
hx : x ^ n = 1
hd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ n → x ^ (n / p) ≠ 1
a : ℕ
ha : n = orderOf x * a
h : ¬a = 1
a_min_fac_dvd_p_sub_one : a.minFac ∣ n
\u22a2 x ^ (n / a.minFac) = 1
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a✝ b x y : G
n m : ℕ
hn : 0 < n
hx : x ^ n = 1
hd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ n → x ^ (n / p) ≠ 1
a : ℕ
ha : n = orderOf x * a
h : ¬a = 1
a_min_fac_dvd_p_sub_one : a.minFac ∣ n
\u22a2 a.minFac ∣ a
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a✝ b x y : G
n m : ℕ
hn : 0 < n
hx : x ^ n = 1
hd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ n → x ^ (n / p) ≠ 1
a : ℕ
ha : n = orderOf x * a
h : ¬a = 1
a_min_fac_dvd_p_sub_one : a.minFac ∣ n
\u22a2 IsOfFinOrder x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
h's : r < μ s
\u22a2 ∃ t, MeasurableSet t ∧ t ⊆ s ∧ r < μ t ∧ μ t < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
h's : ∃ i, r < (μ.restrict (spanningSets μ i)) s
\u22a2 ∃ t, MeasurableSet t ∧ t ⊆ s ∧ r < μ t ∧ μ t < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
n : ℕ
hn : r < (μ.restrict (spanningSets μ n)) s
\u22a2 ∃ t, MeasurableSet t ∧ t ⊆ s ∧ r < μ t ∧ μ t < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
n : ℕ
hn : r < μ (s ∩ spanningSets μ n)
\u22a2 ∃ t, MeasurableSet t ∧ t ⊆ s ∧ r < μ t ∧ μ t < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
n : ℕ
hn : r < μ (s ∩ spanningSets μ n)
\u22a2 μ (s ∩ spanningSets μ n) < ⊤
-- Mathlib/Data/Matrix/Composition.lean
I : Type u_1
J : Type u_2
K✝ : Type u_3
L : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : CommSemiring K
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Fintype I
inst✝³ : Fintype J
inst✝² : Algebra K R
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : DecidableEq J
c : K
i✝ j✝ : I × J
\u22a2 __spread✝⁻⁰.toFun ((algebraMap K (Matrix I I (Matrix J J R))) c) i✝ j✝ = (algebraMap K (Matrix (I × J) (I × J) R)) c i✝ j✝
-- Mathlib/Data/Matrix/Composition.lean
I : Type u_1
J : Type u_2
K✝ : Type u_3
L : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : CommSemiring K
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Fintype I
inst✝³ : Fintype J
inst✝² : Algebra K R
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : DecidableEq J
c : K
i✝ j✝ : I × J
\u22a2 diagonal ((algebraMap K (I → Matrix J J R)) c) i✝.1 j✝.1 i✝.2 j✝.2 = diagonal ((algebraMap K (I × J → R)) c) i✝ j✝
-- Mathlib/Data/Matrix/Composition.lean
I : Type u_1
J : Type u_2
K✝ : Type u_3
L : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : CommSemiring K
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Fintype I
inst✝³ : Fintype J
inst✝² : Algebra K R
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : DecidableEq J
c : K
i✝ j✝ : I × J
\u22a2 (if i✝.1 = j✝.1 then (fun r => r • diagonal fun x => 1) c else 0) i✝.2 j✝.2 = if i✝ = j✝ then (fun r => r • 1) c else 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
a : R
f : R[X]
\u22a2 (C a).natDegree + f.natDegree = 0 + f.natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Basic.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
H : ∀ (p : k[X]), p.Monic → Irreducible p → ∃ x, eval x p = 0
p q : k[X]
hq : Irreducible q
a✝ : q ∣ map (RingHom.id k) p
\u22a2 q.degree = 1
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Basic.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
H : ∀ (p : k[X]), p.Monic → Irreducible p → ∃ x, eval x p = 0
p q : k[X]
hq : Irreducible q
a✝ : q ∣ map (RingHom.id k) p
this : Irreducible (q * C q.leadingCoeff⁻¹)
\u22a2 q.degree = 1
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Basic.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
H : ∀ (p : k[X]), p.Monic → Irreducible p → ∃ x, eval x p = 0
p q : k[X]
hq : Irreducible q
a✝ : q ∣ map (RingHom.id k) p
this : Irreducible (q * C q.leadingCoeff⁻¹)
x : k
hx : eval x (q * C q.leadingCoeff⁻¹) = 0
\u22a2 q.degree = 1
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
f : Fin n → α
\u22a2 Multiset.map f univ.val = ↑(List.ofFn f)
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
m p : Associates α
h₁ : m ≠ 0
h₂ : Irreducible p
k : ℕ
\u22a2 p ^ k ≤ m ↔ k ≤ bcount ⟨p, h₂⟩ m.factors
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
p : Associates α
h₂ : Irreducible p
k : ℕ
m : α
hm : m ≠ 0
h₁ : Associates.mk m ≠ 0
\u22a2 p ^ k ≤ Associates.mk m ↔ k ≤ bcount ⟨p, h₂⟩ (Associates.mk m).factors
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
p : Associates α
h₂ : Irreducible p
k : ℕ
m : α
hm : m ≠ 0
h₁ : Associates.mk m ≠ 0
this : Nontrivial α
\u22a2 p ^ k ≤ Associates.mk m ↔ k ≤ bcount ⟨p, h₂⟩ (Associates.mk m).factors
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X✝ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
E : B → Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : TotalSpace F E → X
s : Set B
hs : IsOpen s
hf : ∀ b ∈ s, ContinuousOn (f ∘ ↑(a.pretrivializationAt b).symm) ((s ∩ (a.pretrivializationAt b).baseSet) ×ˢ univ)
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
z : TotalSpace F E
hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
\u22a2 ContinuousWithinAt f (TotalSpace.proj ⁻¹' s) z
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X✝ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
E : B → Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : TotalSpace F E → X
s : Set B
hs : IsOpen s
hf : ∀ b ∈ s, ContinuousOn (f ∘ ↑(a.pretrivializationAt b).symm) ((s ∩ (a.pretrivializationAt b).baseSet) ×ˢ univ)
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
z : TotalSpace F E
hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
e : Trivialization F TotalSpace.proj := a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas ⋯
\u22a2 ContinuousWithinAt f (TotalSpace.proj ⁻¹' s) z
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X✝ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
E : B → Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : TotalSpace F E → X
s : Set B
hs : IsOpen s
hf : ∀ b ∈ s, ContinuousOn (f ∘ ↑(a.pretrivializationAt b).symm) ((s ∩ (a.pretrivializationAt b).baseSet) ×ˢ univ)
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
z : TotalSpace F E
hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
e : Trivialization F TotalSpace.proj := a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas ⋯
\u22a2 z.proj ∈ e.baseSet
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X✝ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
E : B → Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : TotalSpace F E → X
s : Set B
hs : IsOpen s
hf : ∀ b ∈ s, ContinuousOn (f ∘ ↑(a.pretrivializationAt b).symm) ((s ∩ (a.pretrivializationAt b).baseSet) ×ˢ univ)
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
z : TotalSpace F E
hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
e : Trivialization F TotalSpace.proj := a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas ⋯
\u22a2 IsOpen ((s ∩ (a.pretrivializationAt z.proj).baseSet) ×ˢ univ)
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X✝ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
E : B → Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : TotalSpace F E → X
s : Set B
hs : IsOpen s
hf : ∀ b ∈ s, ContinuousOn (f ∘ ↑(a.pretrivializationAt b).symm) ((s ∩ (a.pretrivializationAt b).baseSet) ×ˢ univ)
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
z : TotalSpace F E
hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
e : Trivialization F TotalSpace.proj := a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas ⋯
\u22a2 ↑e z ∈ (s ∩ (a.pretrivializationAt z.proj).baseSet) ×ˢ univ
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X✝ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
E : B → Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : TotalSpace F E → X
s : Set B
hs : IsOpen s
hf : ∀ b ∈ s, ContinuousOn (f ∘ ↑(a.pretrivializationAt b).symm) ((s ∩ (a.pretrivializationAt b).baseSet) ×ˢ univ)
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
z : TotalSpace F E
hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
e : Trivialization F TotalSpace.proj := a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas ⋯
\u22a2 (↑e z).1 ∈ s ∩ (a.pretrivializationAt z.proj).baseSet
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X✝ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
E : B → Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : TotalSpace F E → X
s : Set B
hs : IsOpen s
hf : ∀ b ∈ s, ContinuousOn (f ∘ ↑(a.pretrivializationAt b).symm) ((s ∩ (a.pretrivializationAt b).baseSet) ×ˢ univ)
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
z : TotalSpace F E
hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
e : Trivialization F TotalSpace.proj := a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas ⋯
\u22a2 z.proj ∈ s ∩ (a.pretrivializationAt z.proj).baseSet
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X✝ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
E : B → Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : TotalSpace F E → X
s : Set B
hs : IsOpen s
hf : ∀ b ∈ s, ContinuousOn (f ∘ ↑(a.pretrivializationAt b).symm) ((s ∩ (a.pretrivializationAt b).baseSet) ×ˢ univ)
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
z : TotalSpace F E
hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
e : Trivialization F TotalSpace.proj := a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas ⋯
\u22a2 z ∈ e.source
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set (Set α)
\u22a2 ⋂₀ s = ⋂ i, ↑i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SpecialLinearGroup.lean
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SpecialLinearGroup n R
hA : A ∈ center (SpecialLinearGroup n R)
i : n
\u22a2 (scalar n) (↑A i i) = ↑A
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SpecialLinearGroup.lean
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SpecialLinearGroup n R
hA : A ∈ center (SpecialLinearGroup n R)
i : n
r : R
hr : (scalar n) r = ↑A
\u22a2 (scalar n) (↑A i i) = ↑A
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
hc : Multiset.card m = n + 1
a : α
h : a ∈ m
\u22a2 Multiset.card (m.erase a) = n
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
\u22a2 (CoordinateRing.basis W) 0 = 1
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
f g : Filter α
s✝ t : Set α
s : Set (Set α)
hfin : s.Finite
\u22a2 ⋂₀ s ∈ f ↔ ∀ U ∈ s, U ∈ f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Multiequalizer.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
K✝ : Multifork I
inst✝¹ : HasProduct I.left
inst✝ : HasProduct I.right
K : Multifork I
\u22a2 ∀ ⦃X Y : WalkingParallelPair⦄ (f : X ⟶ Y), ((Functor.const WalkingParallelPair).obj K.pt).map f ≫ (fun x => match x with | WalkingParallelPair.zero => Pi.lift K.ι | WalkingParallelPair.one => Pi.lift K.ι ≫ I.fstPiMap) Y = (fun x => match x with | WalkingParallelPair.zero => Pi.lift K.ι | WalkingParallelPair.one => Pi.lift K.ι ≫ I.fstPiMap) X ≫ (parallelPair I.fstPiMap I.sndPiMap).map f
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
\u22a2 s.encard = 2 ↔ ∃ x y, x ≠ y ∧ s = {x, y}
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.encard = 2
\u22a2 ∃ x y, x ≠ y ∧ s = {x, y}
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.encard = 2
x : α
hx : x ∈ s
\u22a2 ∃ x y, x ≠ y ∧ s = {x, y}
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
x : α
h : ∃ x_1, s \ {x} = {x_1}
hx : x ∈ s
\u22a2 ∃ x y, x ≠ y ∧ s = {x, y}
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
x : α
hx : x ∈ s
y : α
h : s \ {x} = {y}
\u22a2 ∃ x y, x ≠ y ∧ s = {x, y}
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
x : α
hx : x ∈ s
y : α
h : s \ {x} = {y}
\u22a2 s = {x, y}
-- Mathlib/Tactic/Abel.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
l : ℕ
r : α
tl : ℕ
zl : ℤ
tr t : α
prl₁ : l = tl
prl₂ : ↑tl = zl
prr : r = tr
prt : smulg zl tr = t
\u22a2 smul l r = t
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
x : M
hx : x ∈ s
\u22a2 ∃ i, 0 < (f i) x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
x : M
hx : x ∈ s
h : ∀ (i : ι), (f i) x ≤ 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H✝ : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners ℝ E H✝
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H✝ M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
x : M
hx : x ∈ s
h : ∀ (i : ι), (f i) x ≤ 0
H : ∀ (i : ι), (f i) x = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H✝ : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners ℝ E H✝
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H✝ M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
x : M
hx : x ∈ s
h : ∀ (i : ι), (f i) x ≤ 0
H : ∀ (i : ι), (f i) x = 0
this : ∑ᶠ (i : ι), (f i) x = 1
\u22a2 False
-- Mathlib/Order/Interval/Set/WithBotTop.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
x : WithTop α
\u22a2 x ∈ range some ↔ x ∈ Iio ⊤