ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x y : G
\u22a2 ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (x + y)) =ᶠ[ae μ] fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs y) x_1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x y : G
\u22a2 ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x + condexpIndSMul hm hs hμs y) =ᶠ[ae μ] fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs y) x_1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x y : G
a : α
\u22a2 (↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) + ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs y)) a = (fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs y) x_1) a
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' : I₁₂
h₁₂ : ¬c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂
\u22a2 K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, i₂) i₁₂ h ≫ K.D₂ c₁₂ i₁₂ i₁₂' = K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, i₂) i₁₂ h ≫ 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' : I₁₂
h₁₂ : ¬c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂
\u22a2 K.d₂ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂' = 0
-- Mathlib/Algebra/Ring/Int.lean
m n : ℤ
\u22a2 Odd n ↔ ¬Even n
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h₁₂₃ : toIcoMod hp a b ≤ toIocMod hp a c
h₁₃₂ : toIcoMod hp a c ≤ toIocMod hp a b
\u22a2 b ≡ a [PMOD p] ∨ c ≡ b [PMOD p] ∨ a ≡ c [PMOD p]
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h₁₂₃ : toIcoMod hp a b ≤ toIocMod hp a c
h₁₃₂ : toIcoMod hp a c ≤ toIocMod hp a b
h : ¬b ≡ a [PMOD p] ∧ ¬c ≡ b [PMOD p] ∧ ¬a ≡ c [PMOD p]
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h₁₂₃ : toIcoMod hp a b ≤ toIocMod hp a c
h₁₃₂ : toIcoMod hp a c ≤ toIocMod hp a b
h : ¬a ≡ b [PMOD p] ∧ ¬c ≡ b [PMOD p] ∧ ¬a ≡ c [PMOD p]
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h₁₂₃ : toIcoMod hp a b ≤ toIcoMod hp a c
h₁₃₂ : toIcoMod hp a c ≤ toIocMod hp a b
h : ¬a ≡ b [PMOD p] ∧ ¬c ≡ b [PMOD p] ∧ ¬a ≡ c [PMOD p]
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h₁₂₃ : toIcoMod hp a b ≤ toIcoMod hp a c
h₁₃₂ : toIcoMod hp a c ≤ toIcoMod hp a b
h : ¬a ≡ b [PMOD p] ∧ ¬c ≡ b [PMOD p] ∧ ¬a ≡ c [PMOD p]
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
r : 𝕜
\u22a2 ⟪x, r • y⟫_𝕜 = r * ⟪x, y⟫_𝕜
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d : ℕ
\u22a2 a + n ≡ a [MOD n]
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
\u22a2 (a * b).primeFactorsList ~ a.primeFactorsList ++ b.primeFactorsList
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
b : ℕ
hab : Coprime 0 b
\u22a2 (0 * b).primeFactorsList ~ primeFactorsList 0 ++ b.primeFactorsList
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
ha : a > 0
\u22a2 (a * b).primeFactorsList ~ a.primeFactorsList ++ b.primeFactorsList
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
a : ℕ
ha : a > 0
hab : a.Coprime 0
\u22a2 (a * 0).primeFactorsList ~ a.primeFactorsList ++ primeFactorsList 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
ha : a > 0
hb : b > 0
\u22a2 (a * b).primeFactorsList ~ a.primeFactorsList ++ b.primeFactorsList
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
Δ' : SimplexCategory
θ : [n + 1] ⟶ Δ'
hθ : ¬Function.Injective ⇑(Hom.toOrderHom θ)
\u22a2 ∃ i θ', θ = σ i ≫ θ'
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
Δ' : SimplexCategory
θ : [n + 1] ⟶ Δ'
hθ : ∃ x x_1, (Hom.toOrderHom θ) x = (Hom.toOrderHom θ) x_1 ∧ ¬x = x_1
\u22a2 ∃ i θ', θ = σ i ≫ θ'
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
Δ' : SimplexCategory
θ : [n + 1] ⟶ Δ'
hθ : ∃ x x_1, (Hom.toOrderHom θ) x = (Hom.toOrderHom θ) x_1 ∧ ¬x = x_1
x y : Fin (n + 2)
h₁ : (Hom.toOrderHom θ) x = (Hom.toOrderHom θ) y
h₂ : x < y
\u22a2 ∃ i θ', θ = σ i ≫ θ'
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
Δ' : SimplexCategory
θ : [n + 1] ⟶ Δ'
hθ : ∃ x x_1, (Hom.toOrderHom θ) x = (Hom.toOrderHom θ) x_1 ∧ ¬x = x_1
x y : Fin (n + 2)
h₁ : (Hom.toOrderHom θ) x = (Hom.toOrderHom θ) y
h₂ : x < y
\u22a2 ∃ θ', θ = σ (x.castPred ⋯) ≫ θ'
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
Δ' : SimplexCategory
θ : [n + 1] ⟶ Δ'
hθ : ∃ x x_1, (Hom.toOrderHom θ) x = (Hom.toOrderHom θ) x_1 ∧ ¬x = x_1
x y : Fin (n + 2)
h₁ : (Hom.toOrderHom θ) x = (Hom.toOrderHom θ) y
h₂ : x < y
\u22a2 (Hom.toOrderHom θ) (x.castPred ⋯).castSucc = (Hom.toOrderHom θ) (x.castPred ⋯).succ
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
Δ' : SimplexCategory
θ : [n + 1] ⟶ Δ'
hθ : ∃ x x_1, (Hom.toOrderHom θ) x = (Hom.toOrderHom θ) x_1 ∧ ¬x = x_1
x y : Fin (n + 2)
h₁ : (Hom.toOrderHom θ) x = (Hom.toOrderHom θ) y
h₂ : x < y
\u22a2 (Hom.toOrderHom θ) (x.castPred ⋯).castSucc ≤ (Hom.toOrderHom θ) (x.castPred ⋯).succ
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
Δ' : SimplexCategory
θ : [n + 1] ⟶ Δ'
hθ : ∃ x x_1, (Hom.toOrderHom θ) x = (Hom.toOrderHom θ) x_1 ∧ ¬x = x_1
x y : Fin (n + 2)
h₁ : (Hom.toOrderHom θ) x = (Hom.toOrderHom θ) y
h₂ : x < y
\u22a2 (Hom.toOrderHom θ) (x.castPred ⋯).succ ≤ (Hom.toOrderHom θ) (x.castPred ⋯).castSucc
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁶ : EMetricSpace X
inst✝⁵ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝⁴ : Fintype ι✝
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
ι : Type u_5
inst✝ : Fintype ι
\u22a2 dimH univ = ↑(Fintype.card ι)
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
s : Set ι
inst✝ : Finite ↑s
t : ι → Set α
H : ∀ i ∈ s, Finite ↑(t i)
\u22a2 Finite ↑(⋃ x ∈ s, t x)
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
s : Set ι
inst✝ : Finite ↑s
t : ι → Set α
H : ∀ i ∈ s, Finite ↑(t i)
\u22a2 Finite ↑(⋃ x, t ↑x)
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
s : Set ι
inst✝ : Finite ↑s
t : ι → Set α
H : ∀ i ∈ s, Finite ↑(t i)
this : ∀ (i : ↑s), Finite ↑(t ↑i)
\u22a2 Finite ↑(⋃ x, t ↑x)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
m n : ℤ
x : ℝ≥0
hx : ↑x ≠ 0
\u22a2 ↑x ^ (m + n) = ↑x ^ m * ↑x ^ n
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
m n : ℤ
x : ℝ≥0
hx : x ≠ 0
\u22a2 ↑x ^ (m + n) = ↑x ^ m * ↑x ^ n
-- Mathlib/Topology/Order/PartialSups.lean
L : Type u_1
inst✝² : SemilatticeSup L
inst✝¹ : TopologicalSpace L
inst✝ : ContinuousSup L
α : Type u_2
l : Filter α
f : ℕ → α → L
g : ℕ → L
n : ℕ
hf : ∀ k ≤ n, Tendsto (f k) l (𝓝 (g k))
\u22a2 Tendsto (fun a => (partialSups fun x => f x a) n) l (𝓝 ((partialSups g) n))
-- Mathlib/NumberTheory/SumPrimeReciprocals.lean
k : ℕ
m : ℕ := 2 ^ k.primesBelow.card
N₀ : ℕ := 2 * m ^ 2
hN₀ : N₀ = 2 * m ^ 2
S : ℝ := ∑ p ∈ (2 * N₀).succ.primesBelow \ k.primesBelow, 1 / ↑p
\u22a2 1 / 2 ≤ ∑ p ∈ (4 ^ (k.primesBelow.card + 1)).succ.primesBelow \ k.primesBelow, 1 / ↑p
-- Mathlib/NumberTheory/SumPrimeReciprocals.lean
k : ℕ
m : ℕ := 2 ^ k.primesBelow.card
N₀ : ℕ := 2 * m ^ 2
hN₀ : N₀ = 2 * m ^ 2
S : ℝ := ∑ p ∈ (2 * N₀).succ.primesBelow \ k.primesBelow, 1 / ↑p
\u22a2 1 / 2 ≤ S
-- Mathlib/NumberTheory/SumPrimeReciprocals.lean
k : ℕ
m : ℕ := 2 ^ k.primesBelow.card
N₀ : ℕ := 2 * m ^ 2
hN₀ : N₀ = 2 * m ^ 2
S : ℝ := ∑ p ∈ (2 * N₀).succ.primesBelow \ k.primesBelow, 1 / ↑p
\u22a2 2 * ↑N₀ ≤ ↑m * ↑(2 * N₀).sqrt + 2 * ↑N₀ * S
-- Mathlib/NumberTheory/SumPrimeReciprocals.lean
k : ℕ
m : ℕ := 2 ^ k.primesBelow.card
N₀ : ℕ := 2 * m ^ 2
hN₀ : N₀ = 2 * m ^ 2
S : ℝ := ∑ p ∈ (2 * N₀).succ.primesBelow \ k.primesBelow, 1 / ↑p
\u22a2 ↑((2 * N₀).roughNumbersUpTo k).card ≤ 2 * ↑N₀ * S
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs : List α
a b : α
h : s(a, b) ∈ xs.sym2
\u22a2 b ∈ xs
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs : List α
a b : α
h : s(b, a) ∈ xs.sym2
\u22a2 b ∈ xs
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
i : ι
x : E i
j : ι
y : E j
k : ι
z : E k
\u22a2 dist ⟨i, x⟩ ⟨k, z⟩ ≤ dist ⟨i, x⟩ ⟨j, y⟩ + dist ⟨j, y⟩ ⟨k, z⟩
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
i : ι
x : E i
j : ι
y : E j
z : E i
\u22a2 dist ⟨i, x⟩ ⟨i, z⟩ ≤ dist ⟨i, x⟩ ⟨j, y⟩ + dist ⟨j, y⟩ ⟨i, z⟩
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
i : ι
x : E i
j : ι
y : E j
k : ι
z : E k
hik : i ≠ k
\u22a2 dist ⟨i, x⟩ ⟨k, z⟩ ≤ dist ⟨i, x⟩ ⟨j, y⟩ + dist ⟨j, y⟩ ⟨k, z⟩
-- Mathlib/Algebra/Group/Nat.lean
m n : ℕ
\u22a2 Even (m * n) ↔ Even m ∨ Even n
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a b : Associates α
hb : b ≠ 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
ha : ¬a = 0
\u22a2 p.count a.factors = 0 ∨ p.count a.factors = p.count (a * b).factors
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a b : Associates α
hb : b ≠ 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
ha : ¬a = 0
hz : p.count a.factors = 0
\u22a2 p.count a.factors = 0 ∨ p.count a.factors = p.count (a * b).factors
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a b : Associates α
hb : b ≠ 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
ha : ¬a = 0
hb0 : p.count b.factors = 0
\u22a2 p.count a.factors = 0 ∨ p.count a.factors = p.count (a * b).factors
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a b : Associates α
hb : b ≠ 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
ha : ¬a = 0
hb0 : p.count b.factors = 0
\u22a2 p.count a.factors = p.count (a * b).factors
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝⁶ : CommRing T
p : T[X]
S : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Algebra T S
inst✝² : CommRing S'
inst✝¹ : IsDomain S'
inst✝ : Algebra T S'
hp : map (algebraMap T S') p = 0 → map (algebraMap T S) p = 0
f : S →ₐ[T] S'
x : S
hx : x ∈ p.rootSet S
\u22a2 f x ∈ p.rootSet S'
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝⁶ : CommRing T
p : T[X]
S : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Algebra T S
inst✝² : CommRing S'
inst✝¹ : IsDomain S'
inst✝ : Algebra T S'
hp : map (algebraMap T S') p = 0 → map (algebraMap T S) p = 0
f : S →ₐ[T] S'
x : S
hx : map (algebraMap T S) p ≠ 0 ∧ (aeval x) p = 0
\u22a2 map (algebraMap T S') p ≠ 0 ∧ (aeval (f x)) p = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝⁶ : CommRing T
p : T[X]
S : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Algebra T S
inst✝² : CommRing S'
inst✝¹ : IsDomain S'
inst✝ : Algebra T S'
hp : map (algebraMap T S') p = 0 → map (algebraMap T S) p = 0
f : S →ₐ[T] S'
x : S
hx : map (algebraMap T S) p ≠ 0 ∧ (aeval x) p = 0
\u22a2 map (algebraMap T S') p ≠ 0 ∧ 0 = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
\u22a2 Real.cos (angle x (x + y)) * ‖x + y‖ = ‖x‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
\u22a2 ‖x‖ / ‖x + y‖ * ‖x + y‖ = ‖x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
g : α → ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
h'f : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x < ⊤
\u22a2 ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α) in s, (f * g) a ∂μ
-- Mathlib/FieldTheory/Laurent.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R
\u22a2 (laurent 0) f = f
-- Mathlib/FieldTheory/Laurent.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R
p✝ q✝ : R[X]
hq✝ : q✝ ≠ 0
\u22a2 (laurent 0) ((algebraMap R[X] (RatFunc R)) p✝ / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) q✝) = (algebraMap R[X] (RatFunc R)) p✝ / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) q✝
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
\u22a2 angle x (x - y) = Real.arccos (‖x‖ / ‖x - y‖)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
\u22a2 angle x (x - y) = Real.arccos (‖x‖ / ‖x - y‖)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
u : ι → UniformSpace γ
\u22a2 uniformSpace α γ 𝔖 = ⨅ i, uniformSpace α γ 𝔖
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
u : ι → UniformSpace γ
\u22a2 ⨅ s ∈ 𝔖, ⨅ i, UniformSpace.comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (UniformFun.uniformSpace (↑s) γ) = ⨅ i, ⨅ s ∈ 𝔖, UniformSpace.comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (UniformFun.uniformSpace (↑s) γ)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
u : ι → UniformSpace γ
\u22a2 ⨅ s ∈ 𝔖, ⨅ i, UniformSpace.comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (UniformFun.uniformSpace (↑s) γ) = ⨅ j, ⨅ i, ⨅ (_ : j ∈ 𝔖), UniformSpace.comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ j.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (UniformFun.uniformSpace (↑j) γ)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
a : ℝ≥0
\u22a2 ↑a ≤ ENNReal.ofReal b ↔ (↑a).toReal ≤ b
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
a b x y : α
\u22a2 sign (x * y) = sign x * sign y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S y
\u22a2 f' ≤ slope f x y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S y
\u22a2 S ∈ 𝓝[<] y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S y
\u22a2 ∃ l ∈ Iio y, Ico l y ⊆ S
-- Mathlib/Order/Disjoint.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderBot α
a b c d : α
\u22a2 Disjoint a (b ⊓ c) ↔ Disjoint b (a ⊓ c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0
f f' : ↥(Lp E p μ)
\u22a2 ‖hg.compLp g0 f - hg.compLp g0 f'‖ ≤ ↑c * ‖f - f'‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0
f f' : ↥(Lp E p μ)
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑(hg.compLp g0 f - hg.compLp g0 f') x‖ ≤ ↑c * ‖↑↑(f - f') x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0
f f' : ↥(Lp E p μ)
a : α
ha1 : ↑↑(hg.compLp g0 f) a = (g ∘ ↑↑f) a
ha2 : ↑↑(hg.compLp g0 f') a = (g ∘ ↑↑f') a
ha3 : ↑↑(hg.compLp g0 f - hg.compLp g0 f') a = (↑↑(hg.compLp g0 f) - ↑↑(hg.compLp g0 f')) a
ha4 : ↑↑(f - f') a = (↑↑f - ↑↑f') a
\u22a2 ‖↑↑(hg.compLp g0 f - hg.compLp g0 f') a‖ ≤ ↑c * ‖↑↑(f - f') a‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0
f f' : ↥(Lp E p μ)
a : α
ha1 : ↑↑(hg.compLp g0 f) a = (g ∘ ↑↑f) a
ha2 : ↑↑(hg.compLp g0 f') a = (g ∘ ↑↑f') a
ha3 : ↑↑(hg.compLp g0 f - hg.compLp g0 f') a = (↑↑(hg.compLp g0 f) - ↑↑(hg.compLp g0 f')) a
ha4 : ↑↑(f - f') a = (↑↑f - ↑↑f') a
\u22a2 dist (g (↑↑f a)) (g (↑↑f' a)) ≤ ↑c * dist (↑↑f a) (↑↑f' a)
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε : α
ε0 : 0 < ε
a₁ a₂ b₁ b₂ : β
h₁ : abv (a₁ - b₁) < ε / 2
h₂ : abv (a₂ - b₂) < ε / 2
\u22a2 abv (a₁ + a₂ - (b₁ + b₂)) < ε
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n : ℕ
hz : z ≠ 0
x : ℝ
\u22a2 HasDerivAt (fun y => -Complex.cos (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n : ℕ
hz : z ≠ 0
x : ℝ
a : HasDerivAt (fun y => y * (2 * z)) (2 * z) ↑x
\u22a2 HasDerivAt (fun y => -Complex.cos (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n : ℕ
hz : z ≠ 0
x : ℝ
a : HasDerivAt (fun y => y * (2 * z)) (2 * z) ↑x
b : HasDerivAt (fun y => Complex.cos (y * (2 * z))) (-Complex.sin (↑x * (2 * z)) * (2 * z)) ↑x
\u22a2 HasDerivAt (fun y => -Complex.cos (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n : ℕ
hz : z ≠ 0
x : ℝ
a : HasDerivAt (fun y => y * (2 * z)) (2 * z) ↑x
b : HasDerivAt (fun y => Complex.cos (y * (2 * z))) (-Complex.sin (↑x * (2 * z)) * (2 * z)) ↑x
c : HasDerivAt (fun x => -(Complex.cos (↑x * (2 * z)) / (2 * z))) (-(-Complex.sin (↑x * (2 * z)) * (2 * z) / (2 * z))) x
\u22a2 HasDerivAt (fun y => -Complex.cos (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n : ℕ
hz : z ≠ 0
x : ℝ
a : HasDerivAt (fun y => y * (2 * z)) (2 * z) ↑x
b : HasDerivAt (fun y => Complex.cos (y * (2 * z))) (-Complex.sin (↑x * (2 * z)) * (2 * z)) ↑x
c : HasDerivAt (fun x => -Complex.cos (↑x * (2 * z)) / (2 * z)) (Complex.sin (↑x * (2 * z))) x
\u22a2 HasDerivAt (fun y => -Complex.cos (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n : ℕ
hz : z ≠ 0
x : ℝ
a : HasDerivAt (fun y => y * (2 * z)) (2 * z) ↑x
b : HasDerivAt (fun y => Complex.cos (y * (2 * z))) (-Complex.sin (↑x * (2 * z)) * (2 * z)) ↑x
c : HasDerivAt (fun x => -Complex.cos (2 * z * ↑x) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x
\u22a2 HasDerivAt (fun y => -Complex.cos (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ l
\u22a2 (l.erase a).length = l.length.pred
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ l
\u22a2 (eraseP (fun x => a == x) l).length = l.length.pred
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hv : ¬v = 0
hc : ¬c = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.mulLeft₀ c hc).symm.toMeasurableEquiv
\u22a2 Measure.map (fun x => c * x) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hv : ¬v = 0
hc : ¬c = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.mulLeft₀ c hc).symm.toMeasurableEquiv
he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => c⁻¹) x) x
\u22a2 Measure.map (fun x => c * x) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hv : ¬v = 0
hc : ¬c = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.mulLeft₀ c hc).symm.toMeasurableEquiv
he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => c⁻¹) x) x
\u22a2 Measure.map (⇑e.symm) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)