ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Nontrivial R
m : M
S : Set M
h : (of R M) m ∈ span R ↑(closure (⇑(of R M) '' S))
\u22a2 m ∈ closure S
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Nontrivial R
m : M
S : Set M
h : (of R M) m ∈ span R ↑(Submonoid.map (of R M) (closure S))
\u22a2 m ∈ closure S
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : Subsingleton F
\u22a2 ContDiffAt 𝕜 n f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : Subsingleton F
\u22a2 ContDiffAt 𝕜 n (fun x => 0) x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
\u22a2 MDifferentiableOn I I' f univ ↔ MDifferentiable I I' f
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
\u22a2 (∀ (x : M), MDifferentiableAt I I' f x) ↔ MDifferentiable I I' f
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : ℝ
\u22a2 (↑θ).toReal = θ - 2 * π ↔ θ ∈ Set.Ioc π (3 * π)
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
\u22a2 ∃ a b, ↑x = ↑a + b • y
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
mem1 : ↑x ∈ ↑(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
\u22a2 ∃ a b, ↑x = ↑a + b • y
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
mem1 : ↑x ∈ ↑(extensionOfMax i f).domain + ↑(Submodule.span R {y})
\u22a2 ∃ a b, ↑x = ↑a + b • y
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
a : N
a_mem : a ∈ ↑(extensionOfMax i f).domain
b : N
b_mem : b ∈ Submodule.span R {y}
eq1 : (fun x x_1 => x + x_1) a b = ↑x
\u22a2 ∃ a b, ↑x = ↑a + b • y
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
a : N
a_mem : a ∈ ↑(extensionOfMax i f).domain
b : N
b_mem : ∃ a, a • y = b
eq1 : (fun x x_1 => x + x_1) a b = ↑x
\u22a2 ∃ a b, ↑x = ↑a + b • y
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I : Ideal R
f : R
\u22a2 f ∈ vanishingIdeal (zeroLocus ↑I) ↔ f ∈ I.radical
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I : Ideal R
f : R
\u22a2 (∀ x ∈ zeroLocus ↑I, f ∈ x.asIdeal) ↔ ∀ p ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}, f ∈ p
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/BinomialHeap/Basic.lean
α : Type u_1
le : α → α → Bool
n r : Nat
a : α
c : HeapNode α
s : Heap α
h : WF le n (cons r a c s)
\u22a2 WF le 0 (Heap.merge le (Heap.findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).node.toHeap ((Heap.findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).before (Heap.findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).next))
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/BinomialHeap/Basic.lean
α : Type u_1
le : α → α → Bool
n r : Nat
a : α
c : HeapNode α
s : Heap α
h : WF le n (cons r a c s)
this : FindMin.WF le (Heap.findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s })
\u22a2 WF le 0 (Heap.merge le (Heap.findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).node.toHeap ((Heap.findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).before (Heap.findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).next))
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/BinomialHeap/Basic.lean
α : Type u_1
le : α → α → Bool
n r : Nat
a : α
c : HeapNode α
s : Heap α
h : WF le n (cons r a c s)
before : Heap α → Heap α
val : α
node : HeapNode α
next : Heap α
rank✝ : Nat
hk : ∀ {s : Heap α}, WF le rank✝ s → WF le 0 ({ before := before, val := val, node := node, next := next }.before s)
ih₁ : HeapNode.WF le { before := before, val := val, node := node, next := next }.val { before := before, val := val, node := node, next := next }.node rank✝
ih₂ : WF le (rank✝ + 1) { before := before, val := val, node := node, next := next }.next
\u22a2 WF le 0 (Heap.merge le { before := before, val := val, node := node, next := next }.node.toHeap ({ before := before, val := val, node := node, next := next }.before { before := before, val := val, node := node, next := next }.next))
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Cast.lean
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
p : Path u v
p' : Path u' v'
\u22a2 cast hu hv p = p' ↔ HEq p p'
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Cast.lean
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
p : Path u v
p' : Path u' v'
\u22a2 _root_.cast ⋯ p = p' ↔ HEq p p'
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/WeakOperatorTopology.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
l : Filter α
f : α → E →WOT[𝕜]F
A : E →WOT[𝕜]F
hmain : (∀ (x : E) (y : NormedSpace.Dual 𝕜 F), Tendsto (fun a => y ((f a) x)) l (𝓝 (y (A x)))) ↔ ∀ (p : E × NormedSpace.Dual 𝕜 F), Tendsto (fun a => p.2 ((f a) p.1)) l (𝓝 (p.2 (A p.1)))
\u22a2 Tendsto f l (𝓝 A) ↔ ∀ (x : E) (y : NormedSpace.Dual 𝕜 F), Tendsto (fun a => y ((f a) x)) l (𝓝 (y (A x)))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/WeakOperatorTopology.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
l : Filter α
f : α → E →WOT[𝕜]F
A : E →WOT[𝕜]F
hmain : (∀ (x : E) (y : NormedSpace.Dual 𝕜 F), Tendsto (fun a => y ((f a) x)) l (𝓝 (y (A x)))) ↔ ∀ (p : E × NormedSpace.Dual 𝕜 F), Tendsto (fun a => p.2 ((f a) p.1)) l (𝓝 (p.2 (A p.1)))
\u22a2 Tendsto (⇑(inducingFn 𝕜 E F) ∘ f) l (𝓝 ((inducingFn 𝕜 E F) A)) ↔ Tendsto (fun a p => p.2 ((f a) p.1)) l (𝓝 fun p => p.2 (A p.1))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
T : Subring R
hp : ↑p.coeffs ⊆ ↑T
i : ℕ
\u22a2 i ∈ (p.toSubring T hp).support ↔ i ∈ p.support
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
T : Subring R
hp : ↑p.coeffs ⊆ ↑T
i : ℕ
\u22a2 (p.toSubring T hp).coeff i = 0 ↔ p.coeff i = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
T : Subring R
hp : ↑p.coeffs ⊆ ↑T
i : ℕ
\u22a2 (p.toSubring T hp).coeff i = 0 ↔ ↑((p.toSubring T hp).coeff i) = 0
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
p : ι → Prop
h : ∃ i, p i
f : ι → ℝ≥0∞
\u22a2 a + ⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i = ⨆ i, ⨆ (_ : p i), a + f i
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
q n : ℕ
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP F q
this : Fact (Nat.Prime q)
\u22a2 ((expand F (q ^ n)) f).natSepDegree = f.natSepDegree
-- Mathlib/Data/Matrix/Notation.lean
α : Type u
o n m : ℕ
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
a b : ℕ
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Mul α
a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂ b₁₁ b₁₂ b₂₁ b₂₂ : α
i j : Fin 2
\u22a2 (!![a₁₁, a₁₂; a₂₁, a₂₂] * !![b₁₁, b₁₂; b₂₁, b₂₂]) i j = !![a₁₁ * b₁₁ + a₁₂ * b₂₁, a₁₁ * b₁₂ + a₁₂ * b₂₂; a₂₁ * b₁₁ + a₂₂ * b₂₁, a₂₁ * b₁₂ + a₂₂ * b₂₂] i j
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
g : β → γ
t₁ : TopologicalSpace α
t₂ : TopologicalSpace γ
\u22a2 Continuous g ↔ Continuous (g ∘ f)
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝² : Fintype α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : Fintype { a // p a }
\u22a2 Multiset.map Subtype.val univ.val = (filter p univ).val
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝² : Fintype α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : Fintype { a // p a }
\u22a2 (map (Embedding.subtype p) univ).val = (filter p univ).val
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Arrow.lean
T : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} T
f g : Arrow T
sq : f ⟶ g
inst✝ : IsIso sq
\u22a2 sq.right ≫ (inv sq).right = 𝟙 f.right
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
f : Quotient (QuotientGroup.rightRel H) → G
hf : ∀ (q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)), Quotient.mk'' (f q) = q
q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)
\u22a2 ↑((toEquiv ⋯) q) = f q
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
f : Quotient (QuotientGroup.rightRel H) → G
hf : ∀ (q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)), Quotient.mk'' (f q) = q
q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)
\u22a2 (toEquiv ⋯) q = ⟨f q, ⋯⟩
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
a b : ℕ
f : Fin (a + b) → M
hf : ∀ (j : Fin b), f (natAdd a j) = 1
\u22a2 ∏ i : Fin (a + b), f i = ∏ i : Fin a, f (castLE ⋯ i)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
a b : ℕ
f : Fin (a + b) → M
hf : ∀ (j : Fin b), f (natAdd a j) = 1
\u22a2 ∏ i : Fin a, f (castAdd b i) = ∏ i : Fin a, f (castLE ⋯ i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basis.lean
ι : Type ?u.54871
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁶ : LinearOrder ι
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Free R M
Q : QuadraticMap R M N
\u22a2 ∃ a, a.toQuadraticMap = Q
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basis.lean
ι✝ : Type ?u.54871
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁶ : LinearOrder ι✝
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Free R M
Q : QuadraticMap R M N
ι : Type u_2
b : Basis ι R M
\u22a2 ∃ a, a.toQuadraticMap = Q
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basis.lean
ι✝ : Type ?u.54871
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁶ : LinearOrder ι✝
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Free R M
Q : QuadraticMap R M N
ι : Type u_2
b : Basis ι R M
this : LinearOrder ι := IsWellOrder.linearOrder WellOrderingRel
\u22a2 ∃ a, a.toQuadraticMap = Q
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
f : V₁ →+ V₂
C : ℝ
h : ∀ (x : V₁), ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
x : V₁
\u22a2 C ≤ max C 0
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y✝ x y : ℂ
\u22a2 sin (x + y * I) = sin x * cosh y + cos x * sinh y * I
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜
f' : 𝕜
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hx : f x = x
n : ℕ
\u22a2 HasStrictDerivAt f^[n] (f' ^ n) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜
f' : 𝕜
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hx : f x = x
n : ℕ
this : HasStrictFDerivAt f^[n] (smulRight 1 f' ^ n) x
\u22a2 HasStrictDerivAt f^[n] (f' ^ n) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b x : α
h : s.OrdConnected
u : Set α := ⋃ x ∈ s, ⋃ y ∈ s, Ioo x y
\u22a2 MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b x : α
h : s.OrdConnected
u : Set α := ⋃ x ∈ s, ⋃ y ∈ s, Ioo x y
huopen : IsOpen u
\u22a2 MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b x : α
h : s.OrdConnected
u : Set α := ⋃ x ∈ s, ⋃ y ∈ s, Ioo x y
huopen : IsOpen u
humeas : MeasurableSet u
\u22a2 MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b x : α
h : s.OrdConnected
u : Set α := ⋃ x ∈ s, ⋃ y ∈ s, Ioo x y
huopen : IsOpen u
humeas : MeasurableSet u
hfinite : (s \ u).Finite
\u22a2 MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b x : α
h : s.OrdConnected
u : Set α := ⋃ x ∈ s, ⋃ y ∈ s, Ioo x y
huopen : IsOpen u
humeas : MeasurableSet u
hfinite : (s \ u).Finite
this : u ⊆ s
\u22a2 MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b x : α
h : s.OrdConnected
u : Set α := ⋃ x ∈ s, ⋃ y ∈ s, Ioo x y
huopen : IsOpen u
humeas : MeasurableSet u
hfinite : (s \ u).Finite
this : u ⊆ s
\u22a2 MeasurableSet (u ∪ s \ u)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
\u22a2 Tendsto (fun m => ∫ (x : γ), κ.density ν a x (seq m) ∂ν a) atTop (𝓝 ((κ a) univ).toReal)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
\u22a2 Tendsto (fun m => ∫ (x : γ), κ.density ν a x (seq m) ∂ν a) atTop (𝓝 ((κ a) univ).toReal)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
\u22a2 Tendsto (fun m => ((κ a) (univ ×ˢ seq m)).toReal) atTop (𝓝 ((κ a) univ).toReal)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal ((κ a) univ)
\u22a2 Tendsto (fun m => ((κ a) (univ ×ˢ seq m)).toReal) atTop (𝓝 ((κ a) univ).toReal)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
\u22a2 {a | a ≠ ⊤} ∈ 𝓝 ((κ a) univ)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal ((κ a) univ)
\u22a2 Tendsto (fun m => (κ a) (univ ×ˢ seq m)) atTop (𝓝 ((κ a) univ))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal ((κ a) univ)
h : Tendsto (⇑(κ a) ∘ fun m => univ ×ˢ seq m) atTop (𝓝 ((κ a) (⋃ n, univ ×ˢ seq n)))
\u22a2 Tendsto (fun m => (κ a) (univ ×ˢ seq m)) atTop (𝓝 ((κ a) univ))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal ((κ a) univ)
\u22a2 Monotone fun m => univ ×ˢ seq m
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal ((κ a) univ)
h : Tendsto (⇑(κ a) ∘ fun m => univ ×ˢ seq m) atTop (𝓝 ((κ a) (⋃ n, univ ×ˢ seq n)))
\u22a2 univ = ⋃ n, univ ×ˢ seq n