ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝⁵ : Semiring R
S : Type uS
inst✝⁴ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝¹ : Semiring T
B : Type uR
inst✝ : CommRing B
r : B → B → Prop
x : B
\u22a2 ({ toFun := fun f => { toFun := fun x => Quot.lift ⇑↑f ⋯ x.toQuot, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }, invFun := fun F => ⟨F.comp { toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ⟨Ideal.Quotient.mk (Ideal.ofRel r), ⋯⟩) ({ toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ } x) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.ofRel r)) x
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
S : Set G
a : G
ha : a ∈ S
\u22a2 1 ∈ S ^ card G
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
S : Set G
a : G
ha : a ∈ S
\u22a2 ?m.411653 ^ card G ∈ S ^ card G
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
S : Set G
a : G
ha : a ∈ S
\u22a2 G
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
S : Set G
hS : S.Nonempty
one_mem : 1 ∈ S ^ card G
\u22a2 S ^ card G * S ^ card G = S ^ card G
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Nat.lean
a b : ℤ
\u22a2 Associated a b ↔ a.natAbs = b.natAbs
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Nat.lean
a b : ℤ
\u22a2 Associated a.natAbs b.natAbs ↔ a.natAbs = b.natAbs
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝ : HasOuterApproxClosed Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
μs : ι → ProbabilityMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
\u22a2 limsup (fun i => ↑(μs i) F) L ≤ ↑μ F
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Group.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a✝ a₁ a₂ : α
hf : HasProd f a₁
b : β
inst✝ : DecidableEq β
a : α
\u22a2 HasProd (Function.update f b a) (a / f b * a₁)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Group.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a✝ a₁ a₂ : α
hf : HasProd f a₁
b : β
inst✝ : DecidableEq β
a : α
b' : β
\u22a2 Function.update f b a b' = (if b' = b then a / f b else 1) * f b'
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
\u22a2 (a ^ p + b ^ p) ^ (1 / p) ≤ a + b
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
\u22a2 (a ^ p + b ^ p) ^ p⁻¹ ≤ a + b
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
\u22a2 a ^ p + b ^ p ≤ (a + b) ^ p⁻¹⁻¹
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
\u22a2 a ^ p + b ^ p ≤ (a + b) ^ p
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
\u22a2 re ⟪x, y⟫_𝕜 = re ⟪y, x⟫_𝕜
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
x : R₁
hx : x ≠ 0
\u22a2 ↑(Ideal.span {x}) * (↑(Ideal.span {x}))⁻¹ = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hf : p.Monic
hfd : p.natDegree = 0
\u22a2 p = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hf : p.coeff 0 = 1
hfd : p.natDegree = 0
\u22a2 p = 1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
inst✝ : Infinite ι
c : ι → Cardinal.{v}
h₁ : ∀ (i : ι), 2 ≤ c i
h₂ : ∀ (i : ι), lift.{u, v} (c i) ≤ lift.{v, u} #ι
\u22a2 prod c = 2 ^ lift.{v, u} #ι
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
inst✝ : Infinite ι
c : ι → Cardinal.{v}
h₁ : ∀ (i : ι), 2 ≤ c i
h₂ : ∀ (i : ι), lift.{u, v} (c i) ≤ lift.{v, u} #ι
\u22a2 (prod fun i => lift.{u, v} (c i)) = lift.{v, u} (2 ^ #ι)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
inst✝ : Infinite ι
c : ι → Cardinal.{v}
h₁ : ∀ (i : ι), 2 ≤ c i
h₂ : ∀ (i : ι), lift.{u, v} (c i) ≤ lift.{v, u} #ι
\u22a2 (prod fun i => lift.{u, v} (c i)) ≤ lift.{v, u} (2 ^ #ι)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
inst✝ : Infinite ι
c : ι → Cardinal.{v}
h₁ : ∀ (i : ι), 2 ≤ c i
h₂ : ∀ (i : ι), lift.{u, v} (c i) ≤ lift.{v, u} #ι
\u22a2 lift.{v, u} (2 ^ #ι) ≤ prod fun i => lift.{u, v} (c i)
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝
Γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
x y : HahnSeries Γ R
\u22a2 (x * y).coeff (x.order + y.order) = x.leadingCoeff * y.leadingCoeff
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝
Γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
x y : HahnSeries Γ R
\u22a2 ((HahnModule.of R).symm (x • (HahnModule.of R) y)).coeff (x.order + y.order) = x.leadingCoeff * y.leadingCoeff
-- Mathlib/CategoryTheory/Grothendieck.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X : Grothendieck F
\u22a2 { obj := fun X => { base := X.base, fiber := (α.app X.base).obj X.fiber }, map := fun {X Y} f => { base := f.base, fiber := (eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ (α.app Y.base).map f.fiber } }.map (𝟙 X) = 𝟙 ({ obj := fun X => { base := X.base, fiber := (α.app X.base).obj X.fiber }, map := fun {X Y} f => { base := f.base, fiber := (eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ (α.app Y.base).map f.fiber } }.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Grothendieck.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X : Grothendieck F
\u22a2 { base := (𝟙 X).base, fiber := (eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ eqToHom ⋯ } = 𝟙 { base := X.base, fiber := (α.app X.base).obj X.fiber }
-- Mathlib/CategoryTheory/Grothendieck.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X : Grothendieck F
\u22a2 (eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Grothendieck.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X Y Z : Grothendieck F
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
\u22a2 (eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ (α.app Z.base).map (eqToHom ⋯ ≫ (F.map g.base).map f.fiber ≫ g.fiber) = eqToHom ⋯ ≫ (G.map { base := g.base, fiber := (eqToHom ⋯).app Y.fiber ≫ (α.app Z.base).map g.fiber }.base).map { base := f.base, fiber := (eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ (α.app Y.base).map f.fiber }.fiber ≫ { base := g.base, fiber := (eqToHom ⋯).app Y.fiber ≫ (α.app Z.base).map g.fiber }.fiber
-- Mathlib/CategoryTheory/Grothendieck.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X Y Z : Grothendieck F
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
\u22a2 (((eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ eqToHom ⋯) ≫ (α.app Z.base).map ((F.map g.base).map f.fiber)) ≫ (α.app Z.base).map g.fiber = (((eqToHom ⋯ ≫ (G.map g.base).map ((eqToHom ⋯).app X.fiber)) ≫ (G.map g.base).map ((α.app Y.base).map f.fiber)) ≫ (eqToHom ⋯).app Y.fiber) ≫ (α.app Z.base).map g.fiber
-- Mathlib/CategoryTheory/Grothendieck.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X Y Z : Grothendieck F
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
\u22a2 ((eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ eqToHom ⋯) ≫ (α.app Z.base).map ((F.map g.base).map f.fiber) = ((eqToHom ⋯ ≫ (G.map g.base).map ((eqToHom ⋯).app X.fiber)) ≫ (G.map g.base).map ((α.app Y.base).map f.fiber)) ≫ (eqToHom ⋯).app Y.fiber
-- Mathlib/CategoryTheory/Grothendieck.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X Y Z : Grothendieck F
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
\u22a2 (eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ eqToHom ⋯ ≫ (α.app Z.base).map ((F.map g.base).map f.fiber) = eqToHom ⋯ ≫ (G.map g.base).map ((eqToHom ⋯).app X.fiber) ≫ (G.map g.base).map ((α.app Y.base).map f.fiber) ≫ (eqToHom ⋯).app Y.fiber
-- Mathlib/CategoryTheory/Grothendieck.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X Y Z : Grothendieck F
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
\u22a2 eqToHom ⋯ ≫ eqToHom ⋯ ≫ (α.app Z.base).map ((F.map g.base).map f.fiber) = eqToHom ⋯ ≫ (G.map g.base).map (eqToHom ⋯) ≫ (G.map g.base).map ((α.app Y.base).map f.fiber) ≫ eqToHom ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Grothendieck.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X Y Z : Grothendieck F
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
\u22a2 eqToHom ⋯ ≫ eqToHom ⋯ ≫ (α.app Z.base).map ((F.map g.base).map f.fiber) = eqToHom ⋯ ≫ (G.map g.base).map (eqToHom ⋯) ≫ (eqToHom ⋯ ≫ (F.map g.base ≫ α.app Z.base).map f.fiber ≫ eqToHom ⋯) ≫ eqToHom ⋯
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
n : ℕ
hnil : IsNilpotent r
\u22a2 IsNilpotent (X ^ n * C r)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
n : ℕ
hnil : IsNilpotent r
\u22a2 IsNilpotent (C r * X ^ n)
-- Mathlib/Order/Hom/CompleteLattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : SupSet α
inst✝¹ : SupSet β
inst✝ : sSupHomClass F α β
f : F
g : ι → α
\u22a2 f (⨆ i, g i) = ⨆ i, f (g i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/RootSystem/RootPositive.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
inst✝ : P.IsRootPositive B
i j : ι
\u22a2 P.pairing i j = 0 ↔ P.pairing j i = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
\u22a2 ↑(⨅ i, S i) = ⋂ i, ↑(S i)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ
\u22a2 cos (x - y) = cos x * cos y + sin x * sin y
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
n : ℕ
\u22a2 (∑' (i : ℕ), if n ≤ i then 2⁻¹ ^ i else 0) = 2 * 2⁻¹ ^ n
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
n : ℕ
A : Summable fun i => if n ≤ i then 2⁻¹ ^ i else 0
\u22a2 (∑' (i : ℕ), if n ≤ i then 2⁻¹ ^ i else 0) = 2 * 2⁻¹ ^ n
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
n : ℕ
A : Summable fun i => if n ≤ i then 2⁻¹ ^ i else 0
B : (∑ i ∈ Finset.range n, if n ≤ i then 2⁻¹ ^ i else 0) = 0
\u22a2 (∑' (i : ℕ), if n ≤ i then 2⁻¹ ^ i else 0) = 2 * 2⁻¹ ^ n
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
a b : α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
h : a ≤ b
\u22a2 (∏ x ∈ Ioc a b, f x) * f a = ∏ x ∈ Icc a b, f x
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 eval₂ f g p = (eval₂Hom (RingHom.id S₁) g) ((eval₂Hom (C.comp f) X) p)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 eval₂ f g p = eval₂ (RingHom.id S₁) g (eval₂ (C.comp f) X p)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
h : (eval₂Hom (RingHom.id S₁) g) (eval₂ (C.comp f) X p) = eval₂ ((eval₂Hom (RingHom.id S₁) g).comp (C.comp f)) (⇑(eval₂Hom (RingHom.id S₁) g) ∘ X) p
\u22a2 eval₂ f g p = eval₂ (RingHom.id S₁) g (eval₂ (C.comp f) X p)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
h : eval₂ (RingHom.id S₁) g (eval₂ (C.comp f) X p) = eval₂ ((eval₂Hom (RingHom.id S₁) g).comp (C.comp f)) (eval₂ (RingHom.id S₁) g ∘ X) p
\u22a2 eval₂ f g p = eval₂ (RingHom.id S₁) g (eval₂ (C.comp f) X p)
-- Mathlib/Algebra/Module/PID.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
z : M
hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)
k : ℕ
f : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}
\u22a2 ∃ x, p ^ k • x = 0 ∧ Submodule.Quotient.mk x = f 1
-- Mathlib/Algebra/Module/PID.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
z : M
hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)
k : ℕ
f : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}
f1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1
\u22a2 ∃ x, p ^ k • x = 0 ∧ Submodule.Quotient.mk x = f 1
-- Mathlib/Algebra/Module/PID.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
z : M
hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)
k : ℕ
f : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}
f1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1
this : p ^ k • f1.choose ∈ Submodule.span R {z}
\u22a2 ∃ x, p ^ k • x = 0 ∧ Submodule.Quotient.mk x = f 1
-- Mathlib/Algebra/Module/PID.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
z : M
hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)
k : ℕ
f : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}
f1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1
this : p ^ k • f1.choose ∈ Submodule.span R {z}
a : R
ha : p ^ k • f1.choose = p ^ k • a • z
\u22a2 ∃ x, p ^ k • x = 0 ∧ Submodule.Quotient.mk x = f 1
-- Mathlib/Algebra/Module/PID.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
z : M
hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)
k : ℕ
f : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}
f1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1
this : p ^ k • f1.choose ∈ Submodule.span R {z}
a : R
ha : p ^ k • f1.choose = p ^ k • a • z
\u22a2 Submodule.Quotient.mk (f1.choose - a • z) = f 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Nondegenerate.lean
m : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m m A
hM : M.det ≠ 0
v : m → A
hv : M *ᵥ v = 0
\u22a2 Mᵀ.det ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ {x : E × F}, x ∈ g → x.1 = 0 → x.2 = 0
a : E
ha : a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g
\u22a2 ∃! b, (a, b) ∈ g
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ {x : E × F}, x ∈ g → x.1 = 0 → x.2 = 0
a : E
ha : a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g
\u22a2 ∃ x, (a, x) ∈ g
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ {x : E × F}, x ∈ g → x.1 = 0 → x.2 = 0
a : E
ha : a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g
\u22a2 ∀ (y₁ y₂ : F), (a, y₁) ∈ g → (a, y₂) ∈ g → y₁ = y₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ {x : E × F}, x ∈ g → x.1 = 0 → x.2 = 0
a : E
ha : a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g
y₁ y₂ : F
hy₁ : (a, y₁) ∈ g
hy₂ : (a, y₂) ∈ g
\u22a2 y₁ = y₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ {x : E × F}, x ∈ g → x.1 = 0 → x.2 = 0
a : E
ha : a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g
y₁ y₂ : F
hy₁ : (a, y₁) ∈ g
hy₂ : (a, y₂) ∈ g
hy : (0, y₁ - y₂) ∈ g
\u22a2 y₁ = y₂
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
\u22a2 ¬∃ n, ↑↑p ∣ hζ.toInteger - ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
h : p ^ (k + 1) = 2
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Order/CompleteField.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : LinearOrderedField β
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ : β
q : ℚ
inst✝ : Archimedean α
a b : α
\u22a2 cutMap β (a + b) = cutMap β a + cutMap β b
-- Mathlib/Algebra/Order/CompleteField.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : LinearOrderedField β
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ : β
q✝ : ℚ
inst✝ : Archimedean α
a b : α
q : ℚ
hq : q ∈ {t | ↑t < a + b}
\u22a2 q ∈ Rat.cast ⁻¹' (cutMap β a + cutMap β b)
-- Mathlib/Algebra/Order/CompleteField.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : LinearOrderedField β
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ : β
q : ℚ
inst✝ : Archimedean α
a b : α
\u22a2 cutMap β a + cutMap β b ⊆ Rat.cast '' {t | ↑t < a + b}
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R M
f : M →ₗ[R] N
\u22a2 Function.Injective ⇑f ∨ f = 0
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R M
f : M →ₗ[R] N
\u22a2 ker f = ⊥ ∨ ker f = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
\u22a2 Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
\u22a2 (∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))) ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h : ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
I : Ideal R
\u22a2 Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h : ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
I : Ideal R
\u22a2 ∀ (a : ↥I ⊗[R] M), (rTensor M (Submodule.subtype I)) a = 0 → a = 0
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h : ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
I : Ideal R
x : ↥I ⊗[R] M
hx₀ : (rTensor M (Submodule.subtype I)) x = 0
\u22a2 x = 0
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h : ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
I : Ideal R
J : Submodule R R
hfg : J.FG
hle : J ≤ I
y : ↥J ⊗[R] M
hx₀ : (rTensor M (Submodule.subtype I)) ((rTensor M (inclusion hle)) y) = 0
\u22a2 (rTensor M (inclusion hle)) y = 0
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h : ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
I : Ideal R
J : Submodule R R
hfg : J.FG
hle : J ≤ I
y : ↥J ⊗[R] M
hx₀ : (rTensor M (Submodule.subtype I ∘ₗ inclusion hle)) y = 0
\u22a2 (rTensor M (inclusion hle)) y = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Finset E
P : IntermediateField F E → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (K : IntermediateField F E), ∀ x ∈ S, P K → P (restrictScalars F (↥K)⟮x⟯)
\u22a2 P (adjoin F ↑S)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Finset E
P : IntermediateField F E → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (K : IntermediateField F E), ∀ x ∈ S, P K → P (restrictScalars F (↥K)⟮x⟯)
\u22a2 P (adjoin F ↑∅)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Finset E
P : IntermediateField F E → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (K : IntermediateField F E), ∀ x ∈ S, P K → P (restrictScalars F (↥K)⟮x⟯)
a✝ : E
s✝ : Finset E
ha : a✝ ∈ S
x✝¹ : s✝ ⊆ S
x✝ : a✝ ∉ s✝
h : P (adjoin F ↑s✝)
\u22a2 P (adjoin F ↑(insert a✝ s✝))
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
n : ℕ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hn : Even n
\u22a2 multiplicity 2 (x ^ n - y ^ n) + 1 = multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑n