ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝¹ : Finset α
t✝ : Finset β
a✝ : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq γ
s✝ : Finset α
t : α → Finset β
f : β → γ
this : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
x✝ : a ∉ s
ih : image f (s.biUnion t) = s.biUnion fun a => image f (t a)
\u22a2 image f ((insert a s).biUnion t) = (insert a s).biUnion fun a => image f (t a)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/Pullbacks.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)
inst✝ : HasLimit (parallelPair (prod.fst ≫ f) (prod.snd ≫ g))
π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst
π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd
e : equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ⟶ X ⨯ Y := equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
\u22a2 (e ≫ π₁) ≫ f = (e ≫ π₂) ≫ g
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/Pullbacks.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)
inst✝ : HasLimit (parallelPair (prod.fst ≫ f) (prod.snd ≫ g))
π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst
π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd
e : equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ⟶ X ⨯ Y := equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
\u22a2 equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ≫ π₂ ≫ g = (e ≫ π₂) ≫ g
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/Pullbacks.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)
inst✝ : HasLimit (parallelPair (prod.fst ≫ f) (prod.snd ≫ g))
π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst
π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd
e : equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ⟶ X ⨯ Y := equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
s : PullbackCone f g
\u22a2 prod.lift (s.π.app WalkingCospan.left) (s.π.app WalkingCospan.right) ≫ π₁ ≫ f = prod.lift (s.π.app WalkingCospan.left) (s.π.app WalkingCospan.right) ≫ π₂ ≫ g
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/Pullbacks.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasLimit (pair X Y)
inst✝ : HasLimit (parallelPair (prod.fst ≫ f) (prod.snd ≫ g))
π₁ : X ⨯ Y ⟶ X := prod.fst
π₂ : X ⨯ Y ⟶ Y := prod.snd
e : equalizer (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g) ⟶ X ⨯ Y := equalizer.ι (π₁ ≫ f) (π₂ ≫ g)
s : PullbackCone f g
\u22a2 (BinaryFan.mk (s.π.app WalkingCospan.left) (s.π.app WalkingCospan.right)).π.app { as := WalkingPair.left } ≫ f = (BinaryFan.mk (s.π.app WalkingCospan.left) (s.π.app WalkingCospan.right)).π.app { as := WalkingPair.right } ≫ g
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.102730, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.102737, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.102744, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.102796, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ'✝ ℱ ℱ' : Sheaf K A
i : G.op ⋙ ℱ.val ≅ G.op ⋙ ℱ'.val
\u22a2 ({ val := (presheafIso i).hom } ≫ { val := (presheafIso i).inv }).val = (𝟙 ℱ).val
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.102730, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.102737, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.102744, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.102796, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ'✝ ℱ ℱ' : Sheaf K A
i : G.op ⋙ ℱ.val ≅ G.op ⋙ ℱ'.val
\u22a2 ({ val := (presheafIso i).inv } ≫ { val := (presheafIso i).hom }).val = (𝟙 ℱ').val
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Images.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y : C
f f' : X ⟶ Y
inst✝² : HasImage f
inst✝¹ : HasImage f'
inst✝ : HasEqualizers C
h : f = f'
\u22a2 ι f = (eqToIso h).hom ≫ ι f'
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Images.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y : C
f f' : X ⟶ Y
inst✝² : HasImage f
inst✝¹ : HasImage f'
inst✝ : HasEqualizers C
h : f = f'
\u22a2 factorThruImage f ≫ ι f = factorThruImage f ≫ (eqToIso h).hom ≫ ι f'
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Images.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y : C
f f' : X ⟶ Y
inst✝² : HasImage f
inst✝¹ : HasImage f'
inst✝ : HasEqualizers C
h : f = f'
\u22a2 factorThruImage f ≫ ι f = factorThruImage f ≫ lift (MonoFactorisation.mk (image f') (ι f') (factorThruImage f') ⋯) ≫ ι f'
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
s r : ℝ
hs : 0 < s
r' : ℝ := max r 1
hr : 0 < r'
H : 0 < s / r'
x : ℝ
hx : 1 ≤ log x
\u22a2 ‖log x ^ r‖ ≤ 1 * ‖log x ^ r'‖
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
s r : ℝ
hs : 0 < s
r' : ℝ := max r 1
hr : 0 < r'
H : 0 < s / r'
x : ℝ
hx : 1 ≤ log x
hx₀ : 0 ≤ log x
\u22a2 ‖log x ^ r‖ ≤ 1 * ‖log x ^ r'‖
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
s r : ℝ
hs : 0 < s
r' : ℝ := max r 1
hr : 0 < r'
H : 0 < s / r'
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
\u22a2 (fun x => (x ^ (s / r')) ^ r') x = (fun x => x ^ s) x
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b c : Cardinal.{u_1}
hc : ℵ₀ ≤ c
h1 : a < c
h2 : b < c
h : ℵ₀ ≤ max a b
\u22a2 max a b * max a b < c
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/ScaleRoots.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p : S[X]
f : S →+* K
hf : Function.Injective ⇑f
r s : S
hr : eval₂ f (f r / f s) p = 0
hs : s ∈ nonZeroDivisors S
\u22a2 eval₂ f (f r) (p.scaleRoots s) = 0
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/LocallyRingedSpace/ResidueField.lean
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
V : Opens ↑Y.toTopCat
x : ↥((Opens.map f.val.base).obj V)
\u22a2 (Y.presheaf.germ ⟨f.val.base ↑x, ⋯⟩ ≫ LocalRing.residue ↑(Y.presheaf.stalk (f.val.base ↑x))) ≫ LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap f ↑x) = f.val.c.app (op V) ≫ X.presheaf.germ x ≫ LocalRing.residue ↑(X.presheaf.stalk ↑x)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/LocallyRingedSpace/ResidueField.lean
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
V : Opens ↑Y.toTopCat
x : ↥((Opens.map f.val.base).obj V)
\u22a2 Y.presheaf.germ ⟨f.val.base ↑x, ⋯⟩ ≫ LocalRing.residue ↑(Y.presheaf.stalk (f.val.base ↑x)) ≫ LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap f ↑x) = f.val.c.app (op V) ≫ X.presheaf.germ x ≫ LocalRing.residue ↑(X.presheaf.stalk ↑x)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/LocallyRingedSpace/ResidueField.lean
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
V : Opens ↑Y.toTopCat
x : ↥((Opens.map f.val.base).obj V)
a : (forget CommRingCat).obj (Y.presheaf.obj (op V))
\u22a2 (Y.presheaf.germ ⟨f.val.base ↑x, ⋯⟩ ≫ LocalRing.residue ↑(Y.presheaf.stalk (f.val.base ↑x)) ≫ LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap f ↑x)) a = (f.val.c.app (op V) ≫ X.presheaf.germ x ≫ LocalRing.residue ↑(X.presheaf.stalk ↑x)) a
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/LocallyRingedSpace/ResidueField.lean
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
V : Opens ↑Y.toTopCat
x : ↥((Opens.map f.val.base).obj V)
a : (forget CommRingCat).obj (Y.presheaf.obj (op V))
\u22a2 (LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap f ↑x)) ((LocalRing.residue ↑(Y.presheaf.stalk (f.val.base ↑x))) ((Y.presheaf.germ ⟨f.val.base ↑x, ⋯⟩) a)) = (X.presheaf.germ x ≫ LocalRing.residue ↑(X.presheaf.stalk ↑x)) ((f.val.c.app (op V)) a)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/LocallyRingedSpace/ResidueField.lean
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
V : Opens ↑Y.toTopCat
x : ↥((Opens.map f.val.base).obj V)
a : (forget CommRingCat).obj (Y.presheaf.obj (op V))
\u22a2 (LocalRing.residue ↑(X.presheaf.stalk ↑x)) ((X.presheaf.germ ⟨↑x, ⋯⟩) ((f.val.c.app (op V)) a)) = (X.presheaf.germ x ≫ LocalRing.residue ↑(X.presheaf.stalk ↑x)) ((f.val.c.app (op V)) a)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x✝ y : α
Φ : α → β
inst✝ : ProperSpace α
h : IsClosed s
x z : α
hz : z ∈ s
\u22a2 ∃ y ∈ s, infDist x s = dist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x✝ y : α
Φ : α → β
inst✝ : ProperSpace α
h : IsClosed s
x z : α
hz : z ∈ s
\u22a2 ∃ y ∈ s, infDist x (s ∩ closedBall x (dist z x)) = dist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
s t✝ u : Set α
x✝ y : α
Φ : α → β
inst✝ : ProperSpace α
h : IsClosed s
x z : α
hz : z ∈ s
t : Set α := s ∩ closedBall x (dist z x)
\u22a2 ∃ y ∈ s, infDist x t = dist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
s t✝ u : Set α
x✝ y : α
Φ : α → β
inst✝ : ProperSpace α
h : IsClosed s
x z : α
hz : z ∈ s
t : Set α := s ∩ closedBall x (dist z x)
htc : IsCompact t
\u22a2 ∃ y ∈ s, infDist x t = dist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
s t✝ u : Set α
x✝ y : α
Φ : α → β
inst✝ : ProperSpace α
h : IsClosed s
x z : α
hz : z ∈ s
t : Set α := s ∩ closedBall x (dist z x)
htc : IsCompact t
htne : t.Nonempty
\u22a2 ∃ y ∈ s, infDist x t = dist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
s t✝ u : Set α
x✝ y✝ : α
Φ : α → β
inst✝ : ProperSpace α
h : IsClosed s
x z : α
hz : z ∈ s
t : Set α := s ∩ closedBall x (dist z x)
htc : IsCompact t
htne : t.Nonempty
y : α
hyd : infDist x t = dist x y
hys : y ∈ s
\u22a2 ∃ y ∈ s, infDist x t = dist x y
-- Mathlib/Data/NNRat/Defs.lean
p q : ℚ≥0
\u22a2 0 < q.num ↔ 0 < q
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
\u22a2 span {↑(absNorm I)} ≤ I
-- Mathlib/GroupTheory/PresentedGroup.lean
α : Type u_1
rels : Set (FreeGroup α)
this : of = ⇑(QuotientGroup.mk' (Subgroup.normalClosure rels)) ∘ FreeGroup.of
\u22a2 Subgroup.closure (Set.range of) = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/PresentedGroup.lean
α : Type u_1
rels : Set (FreeGroup α)
this : of = ⇑(QuotientGroup.mk' (Subgroup.normalClosure rels)) ∘ FreeGroup.of
\u22a2 (QuotientGroup.mk' (Subgroup.normalClosure rels)).range = ⊤
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
i : Set ι
s : (a : ι) → Set (π a)
hi : i.Finite
hs : ∀ a ∈ i, IsOpen (s a)
\u22a2 IsOpen (i.pi s)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
i : Set ι
s : (a : ι) → Set (π a)
hi : i.Finite
hs : ∀ a ∈ i, IsOpen (s a)
\u22a2 IsOpen (⋂ a ∈ i, eval a ⁻¹' s a)
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
c : ℝ
hf : Martingale f ℱ μ
\u22a2 Martingale (c • f) ℱ μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
c : ℝ
hf : Martingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
\u22a2 μ[(c • f) j|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] (c • f) i
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
c : ℝ
hf : Martingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
x : Ω
hx : (μ[f j|↑ℱ i]) x = f i x
\u22a2 (c • μ[f j|↑ℱ i]) x = (c • f) i x
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α
f : β → ↑(Ici a)
l : Filter β
\u22a2 Tendsto f l atTop ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l atTop
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n : ℕ
p : Fin (n + 1)
h : p ≠ Fin.last n
x : { x // x ≠ p }
\u22a2 (finSuccAboveEquiv p).symm x = (p.castLT ⋯).predAbove ↑x
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n : ℕ
p : Fin (n + 1)
h : p ≠ Fin.last n
x : { x // x ≠ p }
\u22a2 some ((finSuccAboveEquiv p).symm x) = some ((p.castLT ⋯).predAbove ↑x)
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 a ∆ b ∆ c = a ∆ (b ∆ c)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Center.lean
M : Type u_1
inst✝ : Distrib M
a b : M
ha : a ∈ center M
hb : b ∈ center M
x✝ : M
\u22a2 (a + b) * x✝ = x✝ * (a + b)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Center.lean
M : Type u_1
inst✝ : Distrib M
a b : M
ha : a ∈ center M
hb : b ∈ center M
x✝¹ x✝ : M
\u22a2 (a + b) * (x✝¹ * x✝) = (a + b) * x✝¹ * x✝
-- Mathlib/Algebra/Ring/Center.lean
M : Type u_1
inst✝ : Distrib M
a b : M
ha : a ∈ center M
hb : b ∈ center M
x✝¹ x✝ : M
\u22a2 x✝¹ * (a + b) * x✝ = x✝¹ * ((a + b) * x✝)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Center.lean
M : Type u_1
inst✝ : Distrib M
a b : M
ha : a ∈ center M
hb : b ∈ center M
x✝¹ x✝ : M
\u22a2 x✝¹ * x✝ * (a + b) = x✝¹ * (x✝ * (a + b))
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
\u22a2 Disjoint (Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding.latticeBasis K))) (LinearMap.ker (commMap K))
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
h_mem : x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding.latticeBasis K))
h_zero : (commMap K) x = 0
\u22a2 x = 0
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
h_zero : (commMap K) x = 0
h_mem : x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding K))
\u22a2 x = 0
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
h_zero : (commMap K) x = 0
h_mem : x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding K))
φ : K →+* ℂ
\u22a2 x φ = 0 φ
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
h_zero : (commMap K) x = 0
h_mem : x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding K))
φ : K →+* ℂ
\u22a2 x φ = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i : 𝒰.J
\u22a2 t 𝒰 f g i i = 𝟙 (v 𝒰 f g i i)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i : 𝒰.J
\u22a2 t 𝒰 f g i i ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map i) = pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map i)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i : 𝒰.J
\u22a2 t 𝒰 f g i i ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map i) = pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map i)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Basic.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x y : 𝕎 R
i : ℤ
\u22a2 WittVector.ghostFun i.castDef = ↑i
-- Mathlib/Order/Filter/IndicatorFunction.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
E : Type u_4
inst✝ : One β
l : Filter α
f : α → β
hf : ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≠ 1
s t : Set α
h : s.mulIndicator f =ᶠ[l] t.mulIndicator f
\u22a2 s =ᶠ[l] t
-- Mathlib/Order/Filter/IndicatorFunction.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
E : Type u_4
inst✝ : One β
l : Filter α
f : α → β
hf : ∀ᶠ (x : α) in l, f x ≠ 1
s t : Set α
h : s.mulIndicator f =ᶠ[l] t.mulIndicator f
this : ∀ {s : Set α}, Function.mulSupport (s.mulIndicator f) =ᶠ[l] s
\u22a2 s =ᶠ[l] t
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
\u22a2 ↑s = univ ↔ s = ⊥
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : eLpNorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : ¬p = 0
\u22a2 Tendsto (fun n => eLpNorm (↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) - f) p μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : eLpNorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp : 0 < p.toReal
\u22a2 Tendsto (fun n => eLpNorm (↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) - f) p μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : eLpNorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp : 0 < p.toReal
\u22a2 Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : β), ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : eLpNorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp : 0 < p.toReal
hF_meas : ∀ (n : ℕ), Measurable fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ p.toReal
\u22a2 Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : β), ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : eLpNorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp : 0 < p.toReal
hF_meas : ∀ (n : ℕ), Measurable fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ p.toReal
h_bound : ∀ (n : ℕ), (fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ p.toReal) ≤ᶠ[ae μ] fun x => ↑‖f x - y₀‖₊ ^ p.toReal
\u22a2 Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : β), ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : eLpNorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp : 0 < p.toReal
hF_meas : ∀ (n : ℕ), Measurable fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ p.toReal
h_bound : ∀ (n : ℕ), (fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ p.toReal) ≤ᶠ[ae μ] fun x => ↑‖f x - y₀‖₊ ^ p.toReal
h_fin : ∫⁻ (a : β), ↑‖f a - y₀‖₊ ^ p.toReal ∂μ ≠ ⊤
\u22a2 Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : β), ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : eLpNorm (fun x => f x - y₀) p μ < ⊤
hp_zero : ¬p = 0
hp : 0 < p.toReal
hF_meas : ∀ (n : ℕ), Measurable fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ p.toReal
h_bound : ∀ (n : ℕ), (fun x => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ p.toReal) ≤ᶠ[ae μ] fun x => ↑‖f x - y₀‖₊ ^ p.toReal
h_fin : ∫⁻ (a : β), ↑‖f a - y₀‖₊ ^ p.toReal ∂μ ≠ ⊤
h_lim : ∀ᵐ (a : β) ∂μ, Tendsto (fun n => ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) a - f a‖₊ ^ p.toReal) atTop (𝓝 0)
\u22a2 Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : β), ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Bounded.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace β
k : Set β
f : β → α
hk : IsCompact k
hf : ∀ x ∈ k, ContinuousAt f x
\u22a2 ∃ t, k ⊆ t ∧ IsOpen t ∧ IsBounded (f '' t)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Bounded.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace β
k : Set β
f : β → α
hk : IsCompact k
hf : ∀ x ∈ k, ContinuousWithinAt f univ x
\u22a2 ∃ t, k ⊆ t ∧ IsOpen t ∧ IsBounded (f '' t)
-- Mathlib/Data/Finset/SMulAntidiagonal.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
\u22a2 (s • t).IsPWO
-- Mathlib/Data/Finset/SMulAntidiagonal.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
\u22a2 ((fun x => x.1 • x.2) '' s ×ˢ t).IsPWO
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
q : ℚ
hq : ¬q = 0
\u22a2 0 ≤ ↑p ^ (-padicValRat p q)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
q : ℚ
hq : ¬q = 0
\u22a2 0 ≤ ↑p
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
\u22a2 (AddOpposite.unop (addOppositeEquiv x)).leadingCoeff = AddOpposite.unop x.leadingCoeff
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
\u22a2 (if h : AddOpposite.unop (addOppositeEquiv x) = 0 then 0 else (AddOpposite.unop (addOppositeEquiv x)).coeff (⋯.min ⋯)) = AddOpposite.unop (if h : x = 0 then 0 else x.coeff (⋯.min ⋯))
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
\u22a2 (if h : (fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a)) = 0 then 0 else AddOpposite.unop (x.coeff (⋯.min ⋯))) = AddOpposite.unop (if h : x = 0 then 0 else x.coeff (⋯.min ⋯))
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
\u22a2 (if h : ∀ (a : Γ), AddOpposite.unop (x.coeff a) = 0 a then 0 else AddOpposite.unop (x.coeff (⋯.min ⋯))) = AddOpposite.unop (if h : ∀ (a : Γ), x.coeff a = coeff 0 a then 0 else x.coeff (⋯.min ⋯))