ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : ↑((inhomogeneousCochains A).X 2)
y : G × G × G
\u22a2 (A.ρ y.1) (x (Fin.cons y.2.1 (Fin.cons y.2.2 finZeroElim))) - x (Fin.cons (y.1 * y.2.1) (Fin.cons y.2.2 finZeroElim)) + x (Fin.cons y.1 (Fin.cons (y.2.1 * y.2.2) finZeroElim)) - x (Fin.cons y.1 (Fin.cons y.2.1 finZeroElim)) = (A.ρ ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y) 0)) (x fun i => (Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y) i.succ) + ((-1) ^ (↑0 + 1) • x (Fin.contractNth 0 (fun x x_1 => x * x_1) ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y))) + (-1) ^ (↑1 + 1) • x (Fin.contractNth 1 (fun x x_1 => x * x_1) ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y))) + (-1) ^ (↑2 + 1) • x (Fin.contractNth 2 (fun x x_1 => x * x_1) ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y))))
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : ↑((inhomogeneousCochains A).X 2)
y : G × G × G
\u22a2 (A.ρ y.1) (x (Fin.cons y.2.1 (Fin.cons y.2.2 finZeroElim))) + (-x (Fin.cons (y.1 * y.2.1) (Fin.cons y.2.2 finZeroElim)) + (x (Fin.cons y.1 (Fin.cons (y.2.1 * y.2.2) finZeroElim)) + -x (Fin.cons y.1 (Fin.cons y.2.1 finZeroElim)))) = (A.ρ ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y) 0)) (x fun i => (Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y) i.succ) + (-x (Fin.contractNth 0 (fun x x_1 => x * x_1) ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y))) + (x (Fin.contractNth 1 (fun x x_1 => x * x_1) ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y))) + -x (Fin.contractNth 2 (fun x x_1 => x * x_1) ((Equiv.piFinSucc 2 G).symm (Prod.map id (fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)) y)))))
-- Mathlib/Data/Real/Pi/Wallis.lean
k : ℕ
\u22a2 W k ≤ π / 2
-- Mathlib/Data/Real/Pi/Wallis.lean
k : ℕ
\u22a2 (π / 2)⁻¹ * W k ≤ 1
-- Mathlib/Data/Real/Pi/Wallis.lean
k : ℕ
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k)
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/ConvergentsEquiv.lean
K : Type u_1
n : ℕ
g : GenContFract K
s : Stream'.Seq (Pair K)
inst✝ : DivisionRing K
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n
\u22a2 g.squashGCF n = g
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean
x : ℝ
hx : x ≠ 0
\u22a2 deriv^[2] (fun x => x * log x) x = x⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean
x : ℝ
hx : x ≠ 0
\u22a2 deriv (deriv fun x => x * log x) x = x⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean
x : ℝ
hx : x ≠ 0
\u22a2 ∀ᶠ (y : ℝ) in 𝓝 x, deriv (fun x => x * log x) y = log y + 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
\u22a2 (↑π).cos = -1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : NoZeroDivisors R
n : ℤ
h : ↑n ≠ 0
\u22a2 (W.ΨSq n).leadingCoeff = ↑n ^ 2
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
hab : a < b
\u22a2 Ioo a b ∪ {a} = Ico a b
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ L₃ : C ⥤ D
R₁ R₂ R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : L₂ ⟶ L₁
β : L₁ ⟶ L₂
βα : β ≫ α = 𝟙 L₁
\u22a2 (conjugateEquiv adj₁ adj₂) α ≫ (conjugateEquiv adj₂ adj₁) β = 𝟙 R₁
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
f : α × β → σ
\u22a2 Primrec₂ (Function.curry f) ↔ Primrec f
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S
\u22a2 (S.mapHomologyIso' F).hom = (S.mapHomologyIso F).hom
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S
\u22a2 ((S.homologyData.right.map F).homologyIso ≪≫ F.mapIso S.homologyData.right.homologyIso.symm).hom = ((S.homologyData.left.map F).homologyIso ≪≫ F.mapIso S.homologyData.left.homologyIso.symm).hom
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S
\u22a2 (((S.map F).homologyData.iso.hom ≫ (rightHomologyMapIso' { hom := 𝟙 (S.map F), inv := 𝟙 (S.map F), hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } (S.map F).rightHomologyData (S.map F).homologyData.right).inv) ≫ (rightHomologyMapIso' { hom := 𝟙 (S.map F), inv := 𝟙 (S.map F), hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } (S.map F).rightHomologyData (S.homologyData.right.map F)).hom) ≫ F.map ((rightHomologyMapIso' { hom := 𝟙 S, inv := 𝟙 S, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } S.rightHomologyData S.homologyData.right).inv ≫ (rightHomologyMapIso' { hom := 𝟙 S, inv := 𝟙 S, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } S.rightHomologyData S.homologyData.right).hom ≫ S.homologyData.iso.inv) = ((leftHomologyMapIso' { hom := 𝟙 (S.map F), inv := 𝟙 (S.map F), hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } (S.map F).leftHomologyData (S.map F).homologyData.left).inv ≫ (leftHomologyMapIso' { hom := 𝟙 (S.map F), inv := 𝟙 (S.map F), hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } (S.map F).leftHomologyData (S.homologyData.left.map F)).hom) ≫ F.map ((leftHomologyMapIso' { hom := 𝟙 S, inv := 𝟙 S, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } S.leftHomologyData S.homologyData.left).inv ≫ (leftHomologyMapIso' { hom := 𝟙 S, inv := 𝟙 S, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } S.leftHomologyData S.homologyData.left).hom)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S
\u22a2 (S.map F).homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.right (S.homologyData.right.map F) ≫ F.map S.homologyData.iso.inv = leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.left (S.homologyData.left.map F)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S
γ : HomologyMapData (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData (S.homologyData.map F)
\u22a2 (S.map F).homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.right (S.homologyData.right.map F) ≫ F.map S.homologyData.iso.inv = leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.left (S.homologyData.left.map F)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S
γ : HomologyMapData (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData (S.homologyData.map F)
eq : γ.left.φH ≫ (S.homologyData.map F).iso.hom = (S.map F).homologyData.iso.hom ≫ γ.right.φH
\u22a2 (S.map F).homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.right (S.homologyData.right.map F) ≫ F.map S.homologyData.iso.inv = leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.left (S.homologyData.left.map F)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S
γ : HomologyMapData (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData (S.homologyData.map F)
eq : leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.left (S.homologyData.map F).left ≫ (S.homologyData.map F).iso.hom = (S.map F).homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.right (S.homologyData.map F).right
\u22a2 (S.map F).homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.right (S.homologyData.right.map F) ≫ F.map S.homologyData.iso.inv = leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.left (S.homologyData.left.map F)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁴ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S
γ : HomologyMapData (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData (S.homologyData.map F)
eq : leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.left (S.homologyData.left.map F) ≫ F.map S.homologyData.iso.hom = (S.map F).homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.right (S.homologyData.right.map F)
\u22a2 (S.map F).homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.right (S.homologyData.right.map F) ≫ F.map S.homologyData.iso.inv = leftHomologyMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).homologyData.left (S.homologyData.left.map F)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Central.lean
n : ℕ
n_big : 4 ≤ n
\u22a2 4 ^ n < n * n.centralBinom
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Central.lean
n : ℕ
IH : ∀ m < n, 4 ≤ m → 4 ^ m < m * m.centralBinom
n_big : 4 ≤ n
\u22a2 4 ^ n < n * n.centralBinom
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Central.lean
n : ℕ
IH : ∀ m < n, 4 ≤ m → 4 ^ m < m * m.centralBinom
n_big : 4 ≤ n
hn : n < 4
\u22a2 4 ^ n < n * n.centralBinom
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Central.lean
IH : ∀ m < 4, 4 ≤ m → 4 ^ m < m * m.centralBinom
n_big : 4 ≤ 4
\u22a2 4 ^ 4 < 4 * centralBinom 4
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Central.lean
n : ℕ
IH : ∀ m < n, 4 ≤ m → 4 ^ m < m * m.centralBinom
n_big : 4 ≤ n
hn : 4 < n
\u22a2 4 ^ n < n * n.centralBinom
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Central.lean
n : ℕ
IH : ∀ m < n + 1, 4 ≤ m → 4 ^ m < m * m.centralBinom
n_big : 4 ≤ n + 1
hn : 4 < n + 1
\u22a2 4 ^ (n + 1) < (n + 1) * (n + 1).centralBinom
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α
\u22a2 toIcoMod hp a (a + p) = a
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α
\u22a2 a < a + p ∧ ∃ z, a + p = a + z • p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝³ : Field R
p q : R[X]
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra R S
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : R
ha : a ≠ 0
\u22a2 ((monomial n) a).rootSet S = {0}
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
x : E
L'' : Filter E
hh₂ : HasDerivAtFilter h₂ h₂' (f x) L'
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L''
hL : Tendsto f L'' L'
hy : y = f x
\u22a2 HasFDerivAtFilter (h₂ ∘ f) (h₂' • f') x L''
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Gradient/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
frechet : F →L[𝕜] 𝕜
\u22a2 HasFDerivAt f frechet x ↔ HasGradientAt f ((toDual 𝕜 F).symm frechet) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s1 s2 : AffineSubspace k P
\u22a2 s1 < s2 ↔ s1 ≤ s2 ∧ ∃ p ∈ s2, p ∉ s1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
\u22a2 count K v 1 = 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
h1 : 1 = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) 1)⁻¹ * ↑1
\u22a2 count K v 1 = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : DivisionRing k
inst✝ : Module k V
t : Set P
ht : affineSpan k t = ⊤
\u22a2 ∃ s ⊆ t, ∃ b, ⇑b = Subtype.val
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : DivisionRing k
inst✝ : Module k V
t : Set P
ht : affineSpan k t = ⊤
s : Set P
hst : s ⊆ t
h_tot : affineSpan k s = affineSpan k t
h_ind : AffineIndependent k Subtype.val
\u22a2 ∃ s ⊆ t, ∃ b, ⇑b = Subtype.val
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : DivisionRing k
inst✝ : Module k V
t : Set P
ht : affineSpan k t = ⊤
s : Set P
hst : s ⊆ t
h_tot : affineSpan k s = affineSpan k t
h_ind : AffineIndependent k Subtype.val
\u22a2 affineSpan k (range Subtype.val) = ⊤
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
\u22a2 s.SSameSide x y ↔ x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
\u22a2 (x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (x -ᵥ p₂_1)) ↔ x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n p : ℕ
pp : Prime p
k a : ℕ
\u22a2 a ∈ (p ^ k).properDivisors ↔ a ∈ map { toFun := fun x => p ^ x, inj' := ⋯ } (range k)
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n p : ℕ
pp : Prime p
k a : ℕ
\u22a2 a ∣ p ^ k ∧ a < p ^ k ↔ ∃ a_1 < k, p ^ a_1 = a
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n p : ℕ
pp : Prime p
k a : ℕ
this : a ∈ (p ^ k).properDivisors ↔ ∃ j, ∃ (_ : j < k), a = p ^ j
\u22a2 a ∣ p ^ k ∧ a < p ^ k ↔ ∃ a_1 < k, p ^ a_1 = a
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n p : ℕ
pp : Prime p
k a : ℕ
this : a ∣ p ^ k ∧ a < p ^ k ↔ ∃ j, ∃ (_ : j < k), a = p ^ j
\u22a2 a ∣ p ^ k ∧ a < p ^ k ↔ ∃ a_1 < k, p ^ a_1 = a
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
\u22a2 s.circumcenter = (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (circumcenterWeightsWithCircumcenter n)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
\u22a2 s.pointsWithCircumcenter circumcenterIndex = (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (circumcenterWeightsWithCircumcenter n)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
\u22a2 (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (circumcenterWeightsWithCircumcenter n) = s.pointsWithCircumcenter circumcenterIndex
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
\u22a2 ∀ i2 ∈ univ, i2 ≠ circumcenterIndex → circumcenterWeightsWithCircumcenter n i2 = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α → β
x✝ y✝ z : α
s : Set α
h : Isometry f
x : α
r : ℝ≥0∞
y : α
\u22a2 y ∈ f ⁻¹' EMetric.ball (f x) r ↔ y ∈ EMetric.ball x r
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y : M
hy : y ∈ weightSpaceChain M α χ p q
\u22a2 ⁅x, y⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y : M
hy : y ∈ ⨆ x, weightSpace M (↑x • α + χ)
\u22a2 ⁅x, y⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y : M
k : { k // k ∈ Ioo p q }
z : M
hz : z ∈ weightSpace M (↑k • α + χ)
\u22a2 ⁅x, z⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y : M
\u22a2 ⁅x, 0⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R ↥H
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
y z₁ z₂ : M
hx✝ : z₁ ∈ ⨆ i, weightSpace M (↑i • α + χ)
hy✝ : z₂ ∈ ⨆ i, weightSpace M (↑i • α + χ)
hz₁ : ⁅x, z₁⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
hz₂ : ⁅x, z₂⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
\u22a2 ⁅x, z₁ + z₂⁆ ∈ weightSpaceChain M α χ p q
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
s : ℕ → Set α
h1s : ∀ (n : ℕ), s n ∈ C
h2s : ⋃ n, s n = univ
t : ℕ → Set β
h1t : ∀ (n : ℕ), t n ∈ D
h2t : ⋃ n, t n = univ
\u22a2 IsCountablySpanning (image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
s : ℕ → Set α
h1s : ∀ (n : ℕ), s n ∈ C
h2s : ⋃ n, s n = univ
t : ℕ → Set β
h1t : ∀ (n : ℕ), t n ∈ D
h2t : ⋃ n, t n = univ
\u22a2 ⋃ n, (fun n => s (Nat.unpair n).1 ×ˢ t (Nat.unpair n).2) n = univ
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
K : Type u_4
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
\u22a2 IsIntegrallyClosed R ↔ ∀ {x : K}, IsIntegral R x → ∃ y, (algebraMap R K) y = x