ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : ρ o < ⊤
s : Set α := {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤} ∩ o
ρs : ρ s ≠ ⊤
A : ∀ (q : ℝ≥0), 1 ≤ q → μ s ≤ (↑q)⁻¹ * ρ s
B : Tendsto (fun q => (↑q)⁻¹ * ρ s) atTop (𝓝 0)
\u22a2 μ s ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : ρ o < ⊤
s : Set α := {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤} ∩ o
ρs : ρ s ≠ ⊤
A : ∀ (q : ℝ≥0), 1 ≤ q → μ s ≤ (↑q)⁻¹ * ρ s
B : Tendsto (fun q => (↑q)⁻¹ * ρ s) atTop (𝓝 0)
\u22a2 ∀ᶠ (c : ℝ≥0) in atTop, μ s ≤ (↑c)⁻¹ * ρ s
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype n
v : n → α
x y : Matrix m✝ n α
m : m✝
\u22a2 { toFun := fun M => M *ᵥ v, map_zero' := ⋯ }.toFun (x + y) m = ({ toFun := fun M => M *ᵥ v, map_zero' := ⋯ }.toFun x + { toFun := fun M => M *ᵥ v, map_zero' := ⋯ }.toFun y) m
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
k : Fin n
\u22a2 k + 0 = k
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
x : α
E : Set α
\u22a2 0 < infEdist x (closure E) ↔ x ∉ closure E
-- Mathlib/CategoryTheory/Simple.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasEqualizers C
X Y : C
inst✝¹ : Simple Y
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasImage f
w : f ≠ 0
\u22a2 Epi f
-- Mathlib/CategoryTheory/Simple.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasEqualizers C
X Y : C
inst✝¹ : Simple Y
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasImage f
w : f ≠ 0
\u22a2 Epi (factorThruImage f ≫ image.ι f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Simple.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasEqualizers C
X Y : C
inst✝¹ : Simple Y
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasImage f
w : f ≠ 0
this : IsIso (image.ι f)
\u22a2 Epi (factorThruImage f ≫ image.ι f)
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
\u22a2 (Function.support fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a)).IsPWO
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
\u22a2 (Function.support fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a)) = x.support
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : (HahnSeries Γ R)ᵃᵒᵖ
\u22a2 (Function.support fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a)).IsPWO
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : (HahnSeries Γ R)ᵃᵒᵖ
\u22a2 (Function.support fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a)) = (AddOpposite.unop x).support
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : (HahnSeries Γ R)ᵃᵒᵖ
\u22a2 (fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }) ((fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }) x) = x
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : (HahnSeries Γ R)ᵃᵒᵖ
\u22a2 AddOpposite.unop ((fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }) ((fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }) x)) = AddOpposite.unop x
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x y : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
\u22a2 { toFun := fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, invFun := fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x + y) = { toFun := fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, invFun := fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x + { toFun := fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, invFun := fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun y
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x y : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
\u22a2 AddOpposite.unop ({ toFun := fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, invFun := fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x + y)) = AddOpposite.unop ({ toFun := fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, invFun := fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x + { toFun := fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, invFun := fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun y)
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set α
\u22a2 ⋃ i, ⋃ j, s i j ⊆ t ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), s i j ⊆ t
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
t : Finset M
h : finrank R M + 1 < t.card
\u22a2 ∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∑ e ∈ t, f e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
t : Finset M
h : finrank R M + 1 < t.card
x₀ : M
x₀_mem : x₀ ∈ t
\u22a2 ∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∑ e ∈ t, f e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0
-- Mathlib/ModelTheory/Basic.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
toEmbedding✝¹ : M ↪ N
map_fun'✝¹ : ∀ {n : ℕ} (f : L.Functions n) (x : Fin n → M), toEmbedding✝¹.toFun (funMap f x) = funMap f (toEmbedding✝¹.toFun ∘ x)
map_rel'✝¹ : ∀ {n : ℕ} (r : L.Relations n) (x : Fin n → M), RelMap r (toEmbedding✝¹.toFun ∘ x) ↔ RelMap r x
toEmbedding✝ : M ↪ N
map_fun'✝ : ∀ {n : ℕ} (f : L.Functions n) (x : Fin n → M), toEmbedding✝.toFun (funMap f x) = funMap f (toEmbedding✝.toFun ∘ x)
map_rel'✝ : ∀ {n : ℕ} (r : L.Relations n) (x : Fin n → M), RelMap r (toEmbedding✝.toFun ∘ x) ↔ RelMap r x
h : ⇑{ toEmbedding := toEmbedding✝¹, map_fun' := map_fun'✝¹, map_rel' := map_rel'✝¹ } = ⇑{ toEmbedding := toEmbedding✝, map_fun' := map_fun'✝, map_rel' := map_rel'✝ }
x : M
\u22a2 toEmbedding✝¹ x = toEmbedding✝ x
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
\u22a2 Disjoint Weight.ker (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
\u22a2 Weight.ker ⊓ (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
x : ↥H
x✝ : x ∈ Weight.ker ⊓ (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule
hαx : x ∈ ↑Weight.ker
hx : x ∈ ↑(lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule
\u22a2 x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
x : ↥H
x✝ : x ∈ Weight.ker ⊓ (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule
hx : x ∈ ↑(lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule
hαx : α x = 0
\u22a2 x = 0
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁✝ : ι → Type v₁
β₂✝ : ι → Type v₂
inst✝⁵ : DecidableEq ι
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁴ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
inst✝² : (i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : CommMonoid γ
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
g : Π₀ (i : ι), β₁ i
h : (i : ι) → β₂ i → γ
h0 : ∀ (i : ι), h i 0 = 1
\u22a2 (mapRange f hf g).prod h = g.prod fun i b => h i (f i b)
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁✝ : ι → Type v₁
β₂✝ : ι → Type v₂
inst✝⁵ : DecidableEq ι
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁴ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
inst✝² : (i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : CommMonoid γ
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
g : Π₀ (i : ι), β₁ i
h : (i : ι) → β₂ i → γ
h0 : ∀ (i : ι), h i 0 = 1
\u22a2 (mk g.support fun i => f (↑i) (g ↑i)).prod h = g.prod fun i b => h i (f i b)
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁✝ : ι → Type v₁
β₂✝ : ι → Type v₂
inst✝⁵ : DecidableEq ι
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁴ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
inst✝² : (i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : CommMonoid γ
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
g : Π₀ (i : ι), β₁ i
h : (i : ι) → β₂ i → γ
h0 : ∀ (i : ι), h i 0 = 1
\u22a2 ∀ x ∈ g.support, x ∉ (mk g.support fun i => f (↑i) (g ↑i)).support → h x ((mk g.support fun i => f (↑i) (g ↑i)) x) = 1
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁✝ : ι → Type v₁
β₂✝ : ι → Type v₂
inst✝⁵ : DecidableEq ι
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁴ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
inst✝² : (i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : CommMonoid γ
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
g : Π₀ (i : ι), β₁ i
h : (i : ι) → β₂ i → γ
h0 : ∀ (i : ι), h i 0 = 1
\u22a2 ∏ x ∈ g.support, h x ((mk g.support fun i => f (↑i) (g ↑i)) x) = g.prod fun i b => h i (f i b)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set β
t : Set γ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
\u22a2 ∫⁻ (z : β × γ) in s ×ˢ t, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β) in s, ∫⁻ (y : γ) in t, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Submonoid α
a₁ b₁ : α
a₂ b₂ b : ↥s
c d : α
h : (fun a => mk a b) c = (fun a => mk a b) d
\u22a2 c = d
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
s t u : Set α
\u22a2 val ⁻¹' t = val ⁻¹' u ↔ s ∩ t = s ∩ u
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b : α
n : ℕ
\u22a2 a = b ↔ n + 1 = 0 ∨ a = b
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fintype.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Finite α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
e : { x // p x } ≃ { x // q x }
x : α
hx : ¬p x
\u22a2 ¬q (e.extendSubtype x)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fintype.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Finite α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
e : { x // p x } ≃ { x // q x }
x : α
hx : ¬p x
\u22a2 e.extendSubtype x = ↑(e.toCompl ⟨x, hx⟩)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b : ℕ
\u22a2 a % b + a / b * b = a
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b : ℕ
\u22a2 a % b + b * (a / b) = a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Set α
hs : s₁ ⊆ s₂
hsμ : μ s₂ ≤ μ s₁
ht : t₁ ⊆ t₂
htμ : μ t₂ ≤ μ t₁
\u22a2 μ (s₁ ∪ t₁) = μ (s₂ ∪ t₂)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Set α
hs : s₁ ⊆ s₂
hsμ : μ s₂ ≤ μ s₁
ht : t₁ ⊆ t₂
htμ : μ t₂ ≤ μ t₁
\u22a2 μ (⋃ b, bif b then s₁ else t₁) = μ (⋃ b, bif b then s₂ else t₂)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b o : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
\u22a2 o / b ^ log b o < b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b o : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
\u22a2 o < b ^ succ (log b o)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
\u22a2 vanishingIdeal (closure t) = vanishingIdeal t
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
this : (vanishingIdeal (zeroLocus 𝒜 ↑(vanishingIdeal t).toIdeal)).toIdeal = (vanishingIdeal t).toIdeal
\u22a2 vanishingIdeal (closure t) = vanishingIdeal t
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
this : (vanishingIdeal (zeroLocus 𝒜 ↑(vanishingIdeal t).toIdeal)).toIdeal = (vanishingIdeal t).toIdeal
\u22a2 (vanishingIdeal (closure t)).toIdeal = (vanishingIdeal t).toIdeal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
this : (vanishingIdeal (closure t)).toIdeal = (vanishingIdeal t).toIdeal
\u22a2 (vanishingIdeal (closure t)).toIdeal = (vanishingIdeal t).toIdeal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝⁵ : CompactSpace α
inst✝⁴ : IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
β : Type u_6
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
g : β → C(α, E)
f : C(α, E)
hg : Summable g
hg2 : HasSum (⇑(toLp p μ 𝕜) ∘ g) ((toLp p μ 𝕜) f)
\u22a2 HasSum g f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝⁵ : CompactSpace α
inst✝⁴ : IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
β : Type u_6
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
g : β → C(α, E)
f : C(α, E)
hg : Summable g
hg2 : HasSum (⇑(toLp p μ 𝕜) ∘ g) ((toLp p μ 𝕜) f)
\u22a2 f = ∑' (b : β), g b
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : HasDerivAt f f' x
\u22a2 slope f x y < f'
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j : J
k k' : K
f : k ⟶ k'
\u22a2 (F.obj j).map f ≫ c.ι.app (j, k') = c.ι.app (j, k) ≫ 𝟙 c.pt
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j : J
k k' : K
f : k ⟶ k'
\u22a2 (F.obj j).map f ≫ c.ι.app (j, k') = c.ι.app (j, k)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j : J
k k' : K
f : k ⟶ k'
\u22a2 ((F.map (𝟙 j)).app k ≫ (F.obj j).map f) ≫ c.ι.app (j, k') = c.ι.app (j, k)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j : J
k k' : K
f : k ⟶ k'
\u22a2 (uncurry.obj F).map (𝟙 j, f) ≫ c.ι.app (j, k') = c.ι.app (j, k)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j j' : J
f : j ⟶ j'
k : K
\u22a2 (D.obj j).ι.app k ≫ (D.map f).hom ≫ (Q j').desc { pt := c.pt, ι := { app := fun k => c.ι.app (j', k), naturality := ⋯ } } = (D.obj j).ι.app k ≫ (Q j).desc { pt := c.pt, ι := { app := fun k => c.ι.app (j, k), naturality := ⋯ } } ≫ 𝟙 c.pt
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j j' : J
f : j ⟶ j'
k : K
\u22a2 (F.map f).app k ≫ c.ι.app (j', k) = c.ι.app (j, k)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j j' : J
f : j ⟶ j'
k : K
this : (uncurry.obj F).map (f, 𝟙 k) ≫ c.ι.app (j', k) = c.ι.app (j, k) ≫ ((Functor.const (J × K)).obj c.pt).map (f, 𝟙 k)
\u22a2 (F.map f).app k ≫ c.ι.app (j', k) = c.ι.app (j, k)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j j' : J
f : j ⟶ j'
k : K
this : ((F.map f).app k ≫ (F.obj j').map (𝟙 k)) ≫ c.ι.app (j', k) = c.ι.app (j, k) ≫ 𝟙 c.pt
\u22a2 (F.map f).app k ≫ c.ι.app (j', k) = c.ι.app (j, k)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j j' : J
f : j ⟶ j'
k : K
this : (F.map f).app k ≫ c.ι.app (j', k) = c.ι.app (j, k)
\u22a2 (F.map f).app k ≫ c.ι.app (j', k) = c.ι.app (j, k)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p✝ n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝ : FiniteDimensional K L
p q : ℕ
x y : L
hx : IsPrimitiveRoot x p
hy : IsPrimitiveRoot y q
hirr : Irreducible (cyclotomic (p.lcm q) K)
\u22a2 φ (p.lcm q) ≤ FiniteDimensional.finrank K L
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝ : FiniteDimensional K L
q : ℕ
x y : L
hy : IsPrimitiveRoot y q
hx : IsPrimitiveRoot x 0
hirr : Irreducible (cyclotomic (Nat.lcm 0 q) K)
\u22a2 φ (Nat.lcm 0 q) ≤ FiniteDimensional.finrank K L
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p✝ n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝ : FiniteDimensional K L
p q : ℕ
x y : L
hx : IsPrimitiveRoot x p
hy : IsPrimitiveRoot y q
hirr : Irreducible (cyclotomic (p.lcm q) K)
hppos : p > 0
\u22a2 φ (p.lcm q) ≤ FiniteDimensional.finrank K L
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p✝ n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝ : FiniteDimensional K L
p : ℕ
x y : L
hx : IsPrimitiveRoot x p
hppos : p > 0
hy : IsPrimitiveRoot y 0
hirr : Irreducible (cyclotomic (p.lcm 0) K)
\u22a2 φ (p.lcm 0) ≤ FiniteDimensional.finrank K L
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p✝ n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝ : FiniteDimensional K L
p q : ℕ
x y : L
hx : IsPrimitiveRoot x p
hy : IsPrimitiveRoot y q
hirr : Irreducible (cyclotomic (p.lcm q) K)
hppos : p > 0
hqpos : q > 0
\u22a2 φ (p.lcm q) ≤ FiniteDimensional.finrank K L