ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
\u22a2 Flat R M ↔ ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(lTensor M (Submodule.subtype I))
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hf' : IsClosed (range f)
K : Set Y
hK : IsLindelof K
\u22a2 IsLindelof (f ⁻¹' K)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hf' : IsClosed (range f)
K : Set Y
hK : IsLindelof (K ∩ range f)
\u22a2 IsLindelof (f ⁻¹' K)
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
\u22a2 IsTopologicalBasis (insert ∅ s)
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
\u22a2 ∀ t₁ ∈ insert ∅ s, ∀ t₂ ∈ insert ∅ s, ∀ x ∈ t₁ ∩ t₂, ∃ t₃ ∈ insert ∅ s, x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ t₁ ∩ t₂
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s
\u22a2 t = generateFrom (insert ∅ s)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
\u22a2 IsClosed ↑Kᗮ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
\u22a2 IsClosed ↑(⨅ v, LinearMap.ker ((innerSL 𝕜) ↑v))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
this : ∀ (v : ↥K), IsClosed ↑(LinearMap.ker ((innerSL 𝕜) ↑v))
\u22a2 IsClosed ↑(⨅ v, LinearMap.ker ((innerSL 𝕜) ↑v))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
this : ∀ (v : ↥K), IsClosed ↑(LinearMap.ker ((innerSL 𝕜) ↑v))
\u22a2 ↑(⨅ v, LinearMap.ker ((innerSL 𝕜) ↑v)) = ⋂ i, ↑(LinearMap.ker ((innerSL 𝕜) ↑i))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝⁸ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : BorelSpace α✝
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : MeasurableSpace δ
α : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
p : Prop
f : δ → α
hf : Measurable f
\u22a2 Measurable fun b => ⨆ (_ : p), f b
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝⁸ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : BorelSpace α✝
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : MeasurableSpace δ
α : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
p : Prop
f : δ → α
hf : Measurable f
\u22a2 Measurable fun b => if h : p then f b else sSup ∅
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∑' (x : ℕ), f x ≠ ⊤
\u22a2 Tendsto f atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∑' (x : ℕ), f x ≠ ⊤
\u22a2 Tendsto f cofinite (𝓝 0)
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Ideal.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : CartesianClosed C
h : ∀ (B : D) (A : C), (A ⟹ i.obj B) ∈ i.essImage
B✝ A : C
B' : D
iB' : i.obj B' ≅ B✝
\u22a2 (A ⟹ B✝) ∈ i.essImage
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
m n : ℤ
H : (x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2) ∧ m.gcd n = 1 ∧ (m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0)
\u22a2 h.IsClassified
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
m n : ℤ
H : (x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2) ∧ m.gcd n = 1 ∧ (m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0)
\u22a2 (x = 1 * (m ^ 2 - n ^ 2) ∧ y = 1 * (2 * m * n) ∨ x = 1 * (2 * m * n) ∧ y = 1 * (m ^ 2 - n ^ 2)) ∧ m.gcd n = 1
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
m n : ℤ
t : x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2
co : m.gcd n = 1
right✝ : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
\u22a2 (x = 1 * (m ^ 2 - n ^ 2) ∧ y = 1 * (2 * m * n) ∨ x = 1 * (2 * m * n) ∧ y = 1 * (m ^ 2 - n ^ 2)) ∧ m.gcd n = 1
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
m n : ℤ
t : x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2
co : m.gcd n = 1
right✝ : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0
\u22a2 (x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2) ∧ m.gcd n = 1
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integer.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → S
this : (a : Prop) → Decidable a
i : ι
hi : i ∈ s
\u22a2 (algebraMap R S) (↑(∏ j ∈ s.erase i, (sec M (f j)).2) * (sec M (f i)).1) = ↑(∏ i ∈ s, (sec M (f i)).2) • f i
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integer.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → S
this : (a : Prop) → Decidable a
i : ι
hi : i ∈ s
\u22a2 (↑(∏ j ∈ s.erase i, (sec M (f j)).2) * ↑(sec M (f i)).2) • f i = ↑(∏ i ∈ s, (sec M (f i)).2) • f i
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integer.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → S
this : (a : Prop) → Decidable a
i : ι
hi : i ∈ s
\u22a2 ↑(∏ j ∈ s.erase i, (sec M (f j)).2) * ↑(sec M (f i)).2 = ↑(∏ i ∈ s, (sec M (f i)).2)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integer.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → S
this : (a : Prop) → Decidable a
i : ι
hi : i ∈ s
\u22a2 ↑(∏ j ∈ s.erase i, (sec M (f j)).2) * ↑(sec M (f i)).2 = ∏ x ∈ s, M.subtype (sec M (f x)).2
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integer.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → S
this : (a : Prop) → Decidable a
i : ι
hi : i ∈ s
\u22a2 ∏ x ∈ s, ↑(sec M (f x)).2 = ∏ x ∈ s, M.subtype (sec M (f x)).2
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
\u22a2 closure sᶜ = (interior s)ᶜ
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Central.lean
n : ℕ
\u22a2 n + 1 ∣ n.centralBinom
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Central.lean
n : ℕ
h_s : (n + 1).Coprime (2 * n + 1)
\u22a2 n + 1 ∣ n.centralBinom
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Central.lean
n : ℕ
h_s : (n + 1).Coprime (2 * n + 1)
\u22a2 n + 1 ∣ (2 * n + 1) * n.centralBinom
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Central.lean
n : ℕ
h_s : (n + 1).Coprime (2 * n + 1)
\u22a2 2 * (n + 1) ∣ 2 * ((2 * n + 1) * n.centralBinom)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Central.lean
n : ℕ
h_s : (n + 1).Coprime (2 * n + 1)
\u22a2 (n + 1) * 2 ∣ (n + 1) * (n + 1).centralBinom
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Basic.lean
n k : ℕ
hnk : n < k
\u22a2 (hermite n).coeff k = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Basic.lean
n k : ℕ
hnk : n < n + k + 1
\u22a2 (hermite n).coeff (n + k + 1) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/DomCoprod.lean
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
\u22a2 alternatization ((↑a).domCoprod ↑b) = ((Fintype.card ιa).factorial * (Fintype.card ιb).factorial) • a.domCoprod b
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AffineIsometry.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁴ : NormedField 𝕜
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝²⁰ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁷ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁶ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹³ : MetricSpace P₁'
inst✝¹² : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝⁹ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₄
inst✝ : NormedAddTorsor V₄ P₄
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
f₁ : P₁' →ᵃⁱ[𝕜] P₂
x y : P
\u22a2 dist (f x) (f y) = dist x y
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
\u22a2 cyclotomic 1 R = X - 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
hspec : map (Int.castRingHom ℂ) (X - 1) = cyclotomic' 1 ℂ
\u22a2 cyclotomic 1 R = X - 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
hspec : map (Int.castRingHom ℂ) (X - 1) = cyclotomic' 1 ℂ
\u22a2 X - 1 = cyclotomic 1 R
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
hspec : map (Int.castRingHom ℂ) (X - 1) = cyclotomic' 1 ℂ
\u22a2 X - 1 = map (Int.castRingHom R) (X - 1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Assoc.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C
g₁ : Z₁ ⟶ X₁
g₂ : Z₁ ⟶ X₂
g₃ : Z₂ ⟶ X₂
g₄ : Z₂ ⟶ X₃
inst✝³ : HasPushout g₁ g₂
inst✝² : HasPushout g₃ g₄
inst✝¹ : HasPushout (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄
inst✝ : HasPushout g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)
\u22a2 pushout.inl g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄) ≫ (pushoutAssoc g₁ g₂ g₃ g₄).inv = pushout.inr g₁ g₂ ≫ pushout.inl (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι →₀ M
n : N
\u22a2 (finsuppLeft R M N ι) (p ⊗ₜ[R] n) = p.sum fun i m => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι →₀ M
n : N
\u22a2 (finsuppLeft R M N ι) (0 ⊗ₜ[R] n) = Finsupp.sum 0 fun i m => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι →₀ M
n : N
\u22a2 ∀ (f g : ι →₀ M), ((finsuppLeft R M N ι) (f ⊗ₜ[R] n) = f.sum fun i m => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)) → ((finsuppLeft R M N ι) (g ⊗ₜ[R] n) = g.sum fun i m => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)) → (finsuppLeft R M N ι) ((f + g) ⊗ₜ[R] n) = (f + g).sum fun i m => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι →₀ M
n : N
\u22a2 ∀ (a : ι) (b : M), (finsuppLeft R M N ι) (Finsupp.single a b ⊗ₜ[R] n) = (Finsupp.single a b).sum fun i m => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
P : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup P
f : α → P
hf : Integrable f μ
\u22a2 ENNReal.ofReal (∫ (x : α), ‖f x‖ ∂μ) = ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
hs : IsClosed s
\u22a2 frontier s = s \ interior s
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
n : ℕ
\u22a2 HasDerivAt Gamma (↑n ! * (-↑γ + ↑(harmonic n))) (↑n + 1)
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x y : α
hy : x ≠ y
hx : x ∉ l
h : optParam (x ∈ y :: l ++ [x]) ⋯
\u22a2 (y :: l ++ [x]).next x h = y
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x y : α
hy : x ≠ y
hx : x ∉ l
h : optParam (x ∈ y :: l ++ [x]) ⋯
\u22a2 (y :: l ++ [x]).get ⟨0, ⋯⟩ = y
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x y : α
hy : x ≠ y
hx : x ∉ l
h : optParam (x ∈ y :: l ++ [x]) ⋯
\u22a2 x ∉ y :: l
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
\u22a2 a % 1 = 0
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
\u22a2 Pi.topologicalSpace = generateFrom {t | ∃ s i, (∀ a ∈ i, s a ∈ g a) ∧ t = (↑i).pi s}
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
\u22a2 Pi.topologicalSpace ≤ generateFrom {t | ∃ s i, (∀ a ∈ i, s a ∈ g a) ∧ t = (↑i).pi s}
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
\u22a2 generateFrom {t | ∃ s i, (∀ a ∈ i, s a ∈ g a) ∧ t = (↑i).pi s} ≤ Pi.topologicalSpace
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
n : ℕ
e : Perm (Fin (n + 1))
p : Fin (n + 2)
\u22a2 (decomposeFin.symm (p, e)) 1 = (swap 0 p) (e 0).succ
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
v1 v2 : ℕ
\u22a2 padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) = padicNorm p (↑f (max v1 (max v2 (stationaryPoint hf))))
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
v1 v2 : ℕ
\u22a2 stationaryPoint hf ≤ max v1 (max v2 (stationaryPoint hf))
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
v1 v2 : ℕ
\u22a2 stationaryPoint hf ≤ stationaryPoint hf
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁹ : PartialOrder Γ✝
inst✝⁸ : PartialOrder Γ'
inst✝⁷ : VAdd Γ✝ Γ'
inst✝⁶ : IsOrderedCancelVAdd Γ✝ Γ'
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
Γ : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid Γ
inst✝³ : AddAction Γ Γ'
inst✝² : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
r : R
x : HahnModule Γ' R V
a : Γ'
\u22a2 ((of R).symm ((HahnSeries.single 0) r • x)).coeff a = r • ((of R).symm x).coeff a
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁹ : PartialOrder Γ✝
inst✝⁸ : PartialOrder Γ'
inst✝⁷ : VAdd Γ✝ Γ'
inst✝⁶ : IsOrderedCancelVAdd Γ✝ Γ'
inst✝⁵ : AddCommMonoid V
Γ : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid Γ
inst✝³ : AddAction Γ Γ'
inst✝² : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
r : R
x : HahnModule Γ' R V
a : Γ'
\u22a2 ((of R).symm ((HahnSeries.single 0) r • x)).coeff (0 +ᵥ a) = r • ((of R).symm x).coeff a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
h : ↑π = ↑(2 • (π / 2))
\u22a2 2 • θ = ↑π ↔ θ = ↑(π / 2) ∨ θ = ↑(-π / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
h : ↑π = ↑(2 • (π / 2))
\u22a2 2 • θ = ↑(2 • (π / 2)) ↔ θ = ↑(π / 2) ∨ θ = ↑(-π / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
h : ↑π = ↑(2 • (π / 2))
\u22a2 θ = ↑(π / 2) ∨ θ = ↑(π / 2) + ↑π ↔ θ = ↑(π / 2) ∨ θ = ↑(-π / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
h : ↑π = ↑(2 • (π / 2))
\u22a2 ↑(-π / 2) = ↑(π / 2) + ↑π
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : ZNum
\u22a2 ↑(0 * a) = ↑0 * ↑a
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
b : ZNum
\u22a2 ↑(b * 0) = ↑b * ↑0
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
a b : PosNum
\u22a2 -↑(a * b) = ↑a * -↑b
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
a b : PosNum
\u22a2 -↑(a * b) = -↑a * ↑b
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
a b : PosNum
\u22a2 ↑(a * b) = -↑a * -↑b
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
x : E
r : ℝ
y : E
\u22a2 y ∈ c • ball x r ↔ y ∈ ball (c • x) (‖c‖ * r)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
x : E
r : ℝ
y : E
\u22a2 c⁻¹ • y ∈ ball x r ↔ y ∈ ball (c • x) (‖c‖ * r)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
x : E
r : ℝ
y : E
\u22a2 c⁻¹ • y ∈ ball (c⁻¹ • c • x) r ↔ y ∈ ball (c • x) (‖c‖ * r)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/ChebyshevMarkov.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
\u22a2 ε * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal} ≤ eLpNorm f p μ ^ p.toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/ChebyshevMarkov.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
this : 1 / p.toReal * p.toReal = 1
\u22a2 ε * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal} ≤ eLpNorm f p μ ^ p.toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/ChebyshevMarkov.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
this : 1 / p.toReal * p.toReal = 1
\u22a2 ((ε * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal}) ^ (1 / p.toReal)) ^ p.toReal ≤ eLpNorm f p μ ^ p.toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/ChebyshevMarkov.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
this : 1 / p.toReal * p.toReal = 1
\u22a2 (ε * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal}) ^ (1 / p.toReal) ≤ eLpNorm f p μ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
\u22a2 closedBall x ε = ∅ ↔ ε < 0
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q✝ q : ℚ
n : ℕ
\u22a2 q ^ n = q.num ^ n /. ↑q.den ^ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
f : G ≃ₜ G
h : ∀ ⦃K : Compacts G⦄, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map ⇑f ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
U : Opens G
\u22a2 μ.innerContent ((Opens.comap f.toContinuousMap) U) = μ.innerContent U
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
f : G ≃ₜ G
h : ∀ ⦃K : Compacts G⦄, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map ⇑f ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
U : Opens G
K : Compacts G
\u22a2 ↑K ⊆ ↑((Opens.comap f.toContinuousMap) U) → (fun s => ↑(μ.toFun s)) ((Compacts.equiv f) K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
f : G ≃ₜ G
h : ∀ ⦃K : Compacts G⦄, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map ⇑f ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
U : Opens G
K : Compacts G
hK : ↑K ⊆ ↑((Opens.comap f.toContinuousMap) U)
\u22a2 (fun s => ↑(μ.toFun s)) ((Compacts.equiv f) K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
f : G ≃ₜ G
h : ∀ ⦃K : Compacts G⦄, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map ⇑f ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
U : Opens G
K : Compacts G
hK : ↑K ⊆ ↑((Opens.comap f.toContinuousMap) U)
\u22a2 ↑(μ.toFun (Compacts.map ⇑f ⋯ K)) = ↑(μ.toFun K)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℂ
n : ℕ
hx : abs x / ↑n.succ ≤ 1 / 2
\u22a2 abs (cexp x - ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial) ≤ abs x ^ n / ↑n.factorial * 2
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℂ
n : ℕ
hx : abs x / ↑n.succ ≤ 1 / 2
\u22a2 (cauSeqAbs (exp' x + -const (⇑abs) (∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial))).lim ≤ abs x ^ n / ↑n.factorial * 2
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℂ
n : ℕ
hx : abs x / ↑n.succ ≤ 1 / 2
j : ℕ
hj : j ≥ n
\u22a2 ↑(cauSeqAbs (exp' x + -const (⇑abs) (∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial))) j ≤ ↑(const _root_.abs (abs x ^ n / ↑n.factorial * 2)) j
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℂ
n : ℕ
hx : abs x / ↑n.succ ≤ 1 / 2
j : ℕ
hj : j ≥ n
\u22a2 ↑(cauSeqAbs (exp' x - const (⇑abs) (∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial))) j ≤ ↑(const _root_.abs (abs x ^ n / ↑n.factorial * 2)) j
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℂ
n : ℕ
hx : abs x / ↑n.succ ≤ 1 / 2
j : ℕ
hj : j ≥ n
k : ℕ := j - n
\u22a2 abs (∑ m ∈ range j, x ^ m / ↑m.factorial - ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial) ≤ abs x ^ n / ↑n.factorial * 2
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℂ
n : ℕ
hx : abs x / ↑n.succ ≤ 1 / 2
j : ℕ
hj✝ : j ≥ n
k : ℕ := j - n
hj : j = n + k
\u22a2 abs (∑ m ∈ range j, x ^ m / ↑m.factorial - ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial) ≤ abs x ^ n / ↑n.factorial * 2
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℂ
n : ℕ
hx : abs x / ↑n.succ ≤ 1 / 2
j : ℕ
hj✝ : j ≥ n
k : ℕ := j - n
hj : j = n + k
\u22a2 abs (∑ k ∈ range k, x ^ (n + k) / ↑(n + k).factorial) ≤ abs x ^ n / ↑n.factorial * 2
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℂ
n : ℕ
hx : abs x / ↑n.succ ≤ 1 / 2
j : ℕ
hj✝ : j ≥ n
k : ℕ := j - n
hj : j = n + k
\u22a2 ∑ i ∈ range k, abs x ^ (n + i) / ↑(n + i).factorial ≤ ∑ i ∈ range k, abs x ^ (n + i) / (↑n.factorial * ↑n.succ ^ i)