ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R✝ : Type u
R'✝ : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : Ring R'✝
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : Module R✝ M'
inst✝⁸ : Module R✝ M₁
inst✝⁷ : Module R'✝ M'
inst✝⁶ : Module R'✝ M₁
R : Type w
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v'
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra R' S'
i : R ≃+* R'
j : S ≃+* S'
hc : (algebraMap R' S').comp i.toRingHom = j.toRingHom.comp (algebraMap R S)
r : R
x✝ : S
this : ((algebraMap R' S').comp i.toRingHom) r = (j.toRingHom.comp (algebraMap R S)) r
\u22a2 ↑j (r • x✝) = ↑i r • ↑j x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R✝ : Type u
R'✝ : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : Ring R'✝
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : Module R✝ M'
inst✝⁸ : Module R✝ M₁
inst✝⁷ : Module R'✝ M'
inst✝⁶ : Module R'✝ M₁
R : Type w
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v'
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra R' S'
i : R ≃+* R'
j : S ≃+* S'
hc : (algebraMap R' S').comp i.toRingHom = j.toRingHom.comp (algebraMap R S)
r : R
x✝ : S
this : (algebraMap R' S') (i r) = j ((algebraMap R S) r)
\u22a2 ↑j (r • x✝) = ↑i r • ↑j x✝
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Field R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : CompleteSpace R
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
h_cpct : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum R a)
a : A
ha : p a
\u22a2 ClosedEmbedding ⇑(cfcₙHom_of_cfcHom R ha)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Field R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : CompleteSpace R
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
h_cpct : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum R a)
a : A
ha : p a
f : C(↑(spectrum R a), ↑(σₙ R a)) := { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ }
\u22a2 ClosedEmbedding ⇑(cfcₙHom_of_cfcHom R ha)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Field R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : CompleteSpace R
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
h_cpct : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum R a)
a : A
ha : p a
f : C(↑(spectrum R a), ↑(σₙ R a)) := { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ }
h_cpct' : CompactSpace ↑(σₙ R a)
\u22a2 ClosedEmbedding ⇑(cfcₙHom_of_cfcHom R ha)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Field R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : CompleteSpace R
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
h_cpct : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum R a)
a : A
ha : p a
f : C(↑(spectrum R a), ↑(σₙ R a)) := { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ }
h_cpct' : CompactSpace ↑(σₙ R a)
\u22a2 Filter.comap (fun x => (↑((↑(compStarAlgHom' R R { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ })).comp toContinuousMapHom).toNonUnitalAlgHom x.1, ↑((↑(compStarAlgHom' R R { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ })).comp toContinuousMapHom).toNonUnitalAlgHom x.2)) (𝓤 C(↑(spectrum R a), R)) = 𝓤 C(↑(σₙ R a), R)₀
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Field R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : CompleteSpace R
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
h_cpct : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum R a)
a : A
ha : p a
f : C(↑(spectrum R a), ↑(σₙ R a)) := { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ }
h_cpct' : CompactSpace ↑(σₙ R a)
this : inferInstanceAs (UniformSpace C(↑(σₙ R a), R)) = UniformSpace.comap (fun x => x.comp f) inferInstance ⊓ UniformSpace.comap (fun x => x.comp 0) inferInstance
\u22a2 Filter.comap (fun x => (↑((↑(compStarAlgHom' R R { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ })).comp toContinuousMapHom).toNonUnitalAlgHom x.1, ↑((↑(compStarAlgHom' R R { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ })).comp toContinuousMapHom).toNonUnitalAlgHom x.2)) (𝓤 C(↑(spectrum R a), R)) = 𝓤 C(↑(σₙ R a), R)₀
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Field R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : CompleteSpace R
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
h_cpct : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum R a)
a : A
ha : p a
f : C(↑(spectrum R a), ↑(σₙ R a)) := { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ }
h_cpct' : CompactSpace ↑(σₙ R a)
this : inferInstanceAs (UniformSpace C(↑(σₙ R a), R)) = UniformSpace.comap (fun x => x.comp f) inferInstance ⊓ UniformSpace.comap (fun x => x.comp 0) inferInstance
\u22a2 Filter.comap (fun x => (↑((↑(compStarAlgHom' R R { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ })).comp toContinuousMapHom).toNonUnitalAlgHom x.1, ↑((↑(compStarAlgHom' R R { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ })).comp toContinuousMapHom).toNonUnitalAlgHom x.2)) (𝓤 C(↑(spectrum R a), R)) = Filter.comap ((Prod.map (fun x => x.comp f) fun x => x.comp f) ∘ Prod.map ContinuousMapZero.toContinuousMap ContinuousMapZero.toContinuousMap) (𝓤 C(↑(spectrum R a), R)) ⊓ Filter.comap ((Prod.map (fun x => x.comp 0) fun x => x.comp 0) ∘ Prod.map ContinuousMapZero.toContinuousMap ContinuousMapZero.toContinuousMap) (𝓤 C(Unit, R))
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Field R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : CompleteSpace R
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
h_cpct : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum R a)
a : A
ha : p a
f : C(↑(spectrum R a), ↑(σₙ R a)) := { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ }
h_cpct' : CompactSpace ↑(σₙ R a)
this : inferInstanceAs (UniformSpace C(↑(σₙ R a), R)) = UniformSpace.comap (fun x => x.comp f) inferInstance ⊓ UniformSpace.comap (fun x => x.comp 0) inferInstance
\u22a2 Filter.comap ((Prod.map (fun x => x.comp 0) fun x => x.comp 0) ∘ Prod.map ContinuousMapZero.toContinuousMap ContinuousMapZero.toContinuousMap) (𝓤 C(Unit, R)) = ⊤
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Field R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : CompleteSpace R
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
h_cpct : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(spectrum R a)
a : A
ha : p a
f : C(↑(spectrum R a), ↑(σₙ R a)) := { toFun := inclusion ⋯, continuous_toFun := ⋯ }
h_cpct' : CompactSpace ↑(σₙ R a)
this✝ : inferInstanceAs (UniformSpace C(↑(σₙ R a), R)) = UniformSpace.comap (fun x => x.comp f) inferInstance ⊓ UniformSpace.comap (fun x => x.comp 0) inferInstance
this : ∀ U ∈ 𝓤 C(Unit, R), (0, 0) ∈ U
\u22a2 Filter.comap ((Prod.map (fun x => x.comp 0) fun x => x.comp 0) ∘ Prod.map ContinuousMapZero.toContinuousMap ContinuousMapZero.toContinuousMap) (𝓤 C(Unit, R)) = ⊤
-- Mathlib/Topology/Order/ScottTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
\u22a2 scottHausdorff α ≤ inst✝¹
-- Mathlib/Topology/Order/ScottTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
\u22a2 scottHausdorff α ≤ upperSet α ⊔ scottHausdorff α
-- Mathlib/Data/List/Duplicate.lean
α : Type u_1
l : List α
x : α
\u22a2 l.Nodup ↔ ∀ (x : α), ¬x ∈+ l
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
J : Type
inst✝¹ : Fintype J
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
T U : C
g : (j : J) → T ⟶ f j
h : (j : J) → f j ⟶ U
\u22a2 lift g ≫ desc h = ∑ j : J, g j ≫ h j
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
S✝ S : ConvexCone 𝕜 E
\u22a2 S.Blunt ↔ ¬S.Pointed
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
x y : ℂ
h : ((∀ (k : ℤ), x ≠ (2 * ↑k + 1) * ↑π / 2) ∧ ∀ (l : ℤ), y * I ≠ (2 * ↑l + 1) * ↑π / 2) ∨ (∃ k, x = (2 * ↑k + 1) * ↑π / 2) ∧ ∃ l, y * I = (2 * ↑l + 1) * ↑π / 2
\u22a2 tan (x + y * I) = (tan x + tanh y * I) / (1 - tan x * tanh y * I)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝² : DivInvMonoid G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : MeasurableMul G
g : G
\u22a2 Measurable fun h => h / g
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E✝ : Type u_1
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E✝
inst✝⁹ : BorelSpace E✝
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E✝
μ✝ : Measure E✝
inst✝⁷ : μ✝.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
s : Set E✝
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
x : E
r : ℝ
this : ball 0 r = (fun x_1 => x + x_1) ⁻¹' ball x r
\u22a2 μ (ball x r) = μ (ball 0 r)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/NewtonIdentities.lean
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : ℕ × ℕ
ha : a ∈ antidiagonal k
\u22a2 ∑ A ∈ powersetCard a.1 univ, ∑ j : σ, MvPolynomial.NewtonIdentities.weight σ R k (A, j) = (-1) ^ a.1 * esymm σ R a.1 * psum σ R a.2
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/NewtonIdentities.lean
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : ℕ × ℕ
ha : a ∈ antidiagonal k
\u22a2 ∑ x ∈ powersetCard a.1 univ, ∑ x_1 : σ, ((-1) ^ x.card * ∏ a ∈ x, X a) * X x_1 ^ (k - x.card) = ∑ i : σ, (∑ i ∈ powersetCard a.1 univ, (-1) ^ a.1 * ∏ a ∈ i, X a) * X i ^ a.2
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/NewtonIdentities.lean
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : ℕ × ℕ
ha : a ∈ antidiagonal k
\u22a2 ∑ y : σ, ∑ x ∈ powersetCard a.1 univ, ((-1) ^ x.card * ∏ a ∈ x, X a) * X y ^ (k - x.card) = ∑ i : σ, (∑ i ∈ powersetCard a.1 univ, (-1) ^ a.1 * ∏ a ∈ i, X a) * X i ^ a.2
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/NewtonIdentities.lean
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : ℕ × ℕ
ha : a ∈ antidiagonal k
x : σ
x✝ : x ∈ univ
\u22a2 ∑ x_1 ∈ powersetCard a.1 univ, ((-1) ^ x_1.card * ∏ a ∈ x_1, X a) * X x ^ (k - x_1.card) = (∑ i ∈ powersetCard a.1 univ, (-1) ^ a.1 * ∏ a ∈ i, X a) * X x ^ a.2
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/NewtonIdentities.lean
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : ℕ × ℕ
ha : a ∈ antidiagonal k
x : σ
x✝ : x ∈ univ
\u22a2 ∑ x_1 ∈ powersetCard a.1 univ, ((-1) ^ x_1.card * ∏ a ∈ x_1, X a) * X x ^ (k - x_1.card) = ∑ i ∈ powersetCard a.1 univ, ((-1) ^ a.1 * ∏ a ∈ i, X a) * X x ^ a.2
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/NewtonIdentities.lean
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : ℕ × ℕ
ha : a ∈ antidiagonal k
x : σ
x✝ : x ∈ univ
s : Finset σ
hs : s ∈ powersetCard a.1 univ
\u22a2 ((-1) ^ s.card * ∏ a ∈ s, X a) * X x ^ (k - s.card) = ((-1) ^ a.1 * ∏ a ∈ s, X a) * X x ^ a.2
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
\u22a2 ∃ f, ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ↑(f a) % P.parts.card = ↑(f b) % P.parts.card
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
f : { x // x ∈ s } ≃ (t : { x // x ∈ P.parts }) × Fin (↑t).card
hf : ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ (f a).fst = (f b).fst
\u22a2 ∃ f, ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ↑(f a) % P.parts.card = ↑(f b) % P.parts.card
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
f : { x // x ∈ s } ≃ (t : { x // x ∈ P.parts }) × Fin (↑t).card
hf : ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ (f a).fst = (f b).fst
g : { x // x ∈ P.parts } ≃ Fin P.parts.card
hg : ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(g t) < s.card % P.parts.card
\u22a2 ∃ f, ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ↑(f a) % P.parts.card = ↑(f b) % P.parts.card
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
f : { x // x ∈ s } ≃ (t : { x // x ∈ P.parts }) × Fin (↑t).card
hf : ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ (f a).fst = (f b).fst
g : { x // x ∈ P.parts } ≃ Fin P.parts.card
hg : ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(g t) < s.card % P.parts.card
z : { x // x ∈ s } → ℕ := fun a => P.parts.card * ↑(f a).snd + ↑(g (f a).fst)
\u22a2 ∃ f, ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ↑(f a) % P.parts.card = ↑(f b) % P.parts.card
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
f : { x // x ∈ s } ≃ (t : { x // x ∈ P.parts }) × Fin (↑t).card
hf : ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ (f a).fst = (f b).fst
g : { x // x ∈ P.parts } ≃ Fin P.parts.card
hg : ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(g t) < s.card % P.parts.card
z : { x // x ∈ s } → ℕ := fun a => P.parts.card * ↑(f a).snd + ↑(g (f a).fst)
gl : ∀ (a : { x // x ∈ s }), ↑(g (f a).fst) < P.parts.card
\u22a2 ∃ f, ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ↑(f a) % P.parts.card = ↑(f b) % P.parts.card
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
f : { x // x ∈ s } ≃ (t : { x // x ∈ P.parts }) × Fin (↑t).card
hf : ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ (f a).fst = (f b).fst
g : { x // x ∈ P.parts } ≃ Fin P.parts.card
hg : ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(g t) < s.card % P.parts.card
z : { x // x ∈ s } → ℕ := fun a => P.parts.card * ↑(f a).snd + ↑(g (f a).fst)
gl : ∀ (a : { x // x ∈ s }), ↑(g (f a).fst) < P.parts.card
less : ∀ (a : { x // x ∈ s }), z a < s.card
z' : { x // x ∈ s } → Fin s.card := fun a => ⟨z a, ⋯⟩
\u22a2 ∃ f, ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ↑(f a) % P.parts.card = ↑(f b) % P.parts.card
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
f : { x // x ∈ s } ≃ (t : { x // x ∈ P.parts }) × Fin (↑t).card
hf : ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ (f a).fst = (f b).fst
g : { x // x ∈ P.parts } ≃ Fin P.parts.card
hg : ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(g t) < s.card % P.parts.card
z : { x // x ∈ s } → ℕ := fun a => P.parts.card * ↑(f a).snd + ↑(g (f a).fst)
gl : ∀ (a : { x // x ∈ s }), ↑(g (f a).fst) < P.parts.card
less : ∀ (a : { x // x ∈ s }), z a < s.card
z' : { x // x ∈ s } → Fin s.card := fun a => ⟨z a, ⋯⟩
bij : Function.Bijective z'
\u22a2 ∃ f, ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ↑(f a) % P.parts.card = ↑(f b) % P.parts.card
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
f : { x // x ∈ s } ≃ (t : { x // x ∈ P.parts }) × Fin (↑t).card
hf : ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ (f a).fst = (f b).fst
g : { x // x ∈ P.parts } ≃ Fin P.parts.card
hg : ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(g t) < s.card % P.parts.card
z : { x // x ∈ s } → ℕ := fun a => P.parts.card * ↑(f a).snd + ↑(g (f a).fst)
gl : ∀ (a : { x // x ∈ s }), ↑(g (f a).fst) < P.parts.card
less : ∀ (a : { x // x ∈ s }), z a < s.card
z' : { x // x ∈ s } → Fin s.card := fun a => ⟨z a, ⋯⟩
bij : Function.Bijective z'
\u22a2 ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ↑((Equiv.ofBijective z' bij) a) % P.parts.card = ↑((Equiv.ofBijective z' bij) b) % P.parts.card
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
f : { x // x ∈ s } ≃ (t : { x // x ∈ P.parts }) × Fin (↑t).card
hf : ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ (f a).fst = (f b).fst
g : { x // x ∈ P.parts } ≃ Fin P.parts.card
hg : ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(g t) < s.card % P.parts.card
z : { x // x ∈ s } → ℕ := fun a => P.parts.card * ↑(f a).snd + ↑(g (f a).fst)
gl : ∀ (a : { x // x ∈ s }), ↑(g (f a).fst) < P.parts.card
less : ∀ (a : { x // x ∈ s }), z a < s.card
z' : { x // x ∈ s } → Fin s.card := fun a => ⟨z a, ⋯⟩
bij : Function.Bijective z'
a b : { x // x ∈ s }
\u22a2 P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ↑((Equiv.ofBijective z' bij) a) % P.parts.card = ↑((Equiv.ofBijective z' bij) b) % P.parts.card
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β
\u22a2 {x | ¬ContinuousAt f x}.Countable
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β
\u22a2 {x | ¬ContinuousAt f x} ⊆ {x | ¬ContinuousWithinAt f (Ioi x) x} ∪ {x | ¬ContinuousWithinAt f (Iio x) x}
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β
\u22a2 ({x | ¬ContinuousWithinAt f (Ioi x) x} ∪ {x | ¬ContinuousWithinAt f (Iio x) x})ᶜ ⊆ {x | ¬ContinuousAt f x}ᶜ
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β
\u22a2 {x | ¬ContinuousWithinAt f (Ioi x) x}ᶜ ∩ {x | ¬ContinuousWithinAt f (Iio x) x}ᶜ ⊆ {x | ¬ContinuousAt f x}ᶜ
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β
x : α
hx : x ∈ {x | ¬ContinuousWithinAt f (Ioi x) x}ᶜ
h'x : x ∈ {x | ¬ContinuousWithinAt f (Iio x) x}ᶜ
\u22a2 x ∈ {x | ¬ContinuousAt f x}ᶜ
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β
x : α
hx : ContinuousWithinAt f (Ioi x) x
h'x : ContinuousWithinAt f (Iio x) x
\u22a2 ContinuousAt f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
mb : MeasurableSpace β
ν : Measure β
g : α → β
hg : MeasurePreserving g μ ν
hge : MeasurableEmbedding g
f : β → ℝ≥0∞
s : Set α
\u22a2 ∫⁻ (a : α) in s, f (g a) ∂μ = ∫⁻ (b : β) in g '' s, f b ∂ν
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : FunLike F α β
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
m : α
h : ∀ x ∈ s, x = m
\u22a2 s.noncommProd comm = m ^ card s
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : FunLike F α β
m : α
a✝ : List α
comm : {x | x ∈ ⟦a✝⟧}.Pairwise Commute
h : ∀ x ∈ ⟦a✝⟧, x = m
\u22a2 noncommProd ⟦a✝⟧ comm = m ^ card ⟦a✝⟧
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : FunLike F α β
m : α
a✝ : List α
comm : {x | x ∈ ⟦a✝⟧}.Pairwise Commute
h : ∀ x ∈ a✝, x = m
\u22a2 a✝.prod = m ^ a✝.length
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
s : Finset α
f : Perm α
h : ∀ x ∈ s, f x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
\u22a2 f⁻¹ y ∈ s
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
s : Finset α
f : Perm α
h : ∀ x ∈ s, f x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
h0 : ∀ y ∈ s, ∃ x, ∃ (hx : x ∈ s), y = (fun i x => f i) x hx
\u22a2 f⁻¹ y ∈ s
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
s : Finset α
f : Perm α
h : ∀ x ∈ s, f x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
h0 : ∀ y ∈ s, ∃ x, ∃ (hx : x ∈ s), y = (fun i x => f i) x hx
y2 : α
hy2 : y2 ∈ s
heq : y = (fun i x => f i) y2 hy2
\u22a2 f⁻¹ ((fun i x => f i) y2 hy2) = y2
-- Mathlib/Algebra/Ring/NegOnePow.lean
n : ℤ
\u22a2 |n|.negOnePow = n.negOnePow
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
y : ↥(span ℤ (Set.range ⇑b))
x : E
\u22a2 y +ᵥ x ∈ fundamentalDomain b ↔ y = -floor b x
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
K : Set α
hK : IsCompact K
h'K : IsClosed K
hfK : ∀ x ∉ K, f x = 1
\u22a2 HasCompactMulSupport f
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
K : Set α
hK : IsCompact K
h'K : IsClosed K
hfK : ∀ x ∉ K, f x = 1
this : mulTSupport f ⊆ K
\u22a2 HasCompactMulSupport f
-- Mathlib/Analysis/Oscillation.lean
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
K : Set E
comp : IsCompact K
f : E → F
D : Set E
ε : ℝ≥0∞
hK : ∀ x ∈ K, oscillationWithin f D x < ε
S : ℝ → Set E := fun r => {x | ∃ a > r, diam (f '' (ball x (ENNReal.ofReal a) ∩ D)) ≤ ε}
\u22a2 ∃ δ > 0, ∀ x ∈ K, diam (f '' (ball x (ENNReal.ofReal δ) ∩ D)) ≤ ε