ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
L : Type u_2
inst✝¹ : Field L
inst✝ : NumberField L
f : K ≃ₐ[ℚ] L
f₀ : 𝓞 K ≃ₗ[ℤ] 𝓞 L := (AlgEquiv.restrictScalars ℤ f).mapIntegralClosure.toLinearEquiv
x✝ : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
\u22a2 (⇑f ∘ ⇑(integralBasis K)) x✝ = (Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ L ((RingOfIntegers.basis K).map f₀)) x✝
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
L : Type u_2
inst✝¹ : Field L
inst✝ : NumberField L
f : K ≃ₐ[ℚ] L
f₀ : 𝓞 K ≃ₗ[ℤ] 𝓞 L := (AlgEquiv.restrictScalars ℤ f).mapIntegralClosure.toLinearEquiv
x✝ : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
\u22a2 f ((algebraMap (𝓞 K) K) ((RingOfIntegers.basis K) x✝)) = (algebraMap (𝓞 L) L) (f₀ ((RingOfIntegers.basis K) x✝))
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : ¬f.IsClosable
\u22a2 f ≤ f.closure
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α✝ : Type u
a : α✝
inst✝¹ : Group α✝
α : Type u
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : Nat.card α ∣ p
\u22a2 IsCyclic α
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α✝ : Type u
a : α✝
inst✝¹ : Group α✝
α : Type u
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : Nat.card α ∣ p
this : Finite α
\u22a2 IsCyclic α
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α✝ : Type u
a : α✝
inst✝¹ : Group α✝
α : Type u
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h✝ : Nat.card α ∣ p
this : Finite α
h : Nat.card α = 1
\u22a2 IsCyclic α
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α✝ : Type u
a : α✝
inst✝¹ : Group α✝
α : Type u
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h✝ : Nat.card α ∣ p
this : Finite α
h : Nat.card α = p
\u22a2 IsCyclic α
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Finsupp.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
s : Finset ι
n : μ
f✝ f : ι →₀ μ
\u22a2 f ∈ ∅.finsuppAntidiag 0 ↔ f ∈ {0}
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 a ⇨ b = ⊤ ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Bivariate.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x y : R
p : R[X][Y]
\u22a2 eval y (map (evalRingHom x) p) = evalEval x y p
-- Mathlib/Data/List/Forall2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
\u22a2 (Forall₂ fun x x_1 => x = x_1) = Eq
-- Mathlib/Data/List/Forall2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
a b : List α
\u22a2 Forall₂ (fun x x_1 => x = x_1) a b = (a = b)
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Lemmas.lean
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
x y : R✝
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p : Submodule R M
hf : MapsTo ⇑f ↑p ↑p
n : ℕ
hn : f ^ n = 0
\u22a2 IsNilpotent (f.restrict hf)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
n : ℕ
\u22a2 (a + b) ^ (n + 2) ≤ 2 ^ (n + 2 - 1) * (a ^ (n + 2) + b ^ (n + 2))
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
n : ℕ
\u22a2 (a + b) ^ (n + 1) * (a + b) ≤ 2 ^ (n + 2 - 1) * (a ^ (n + 2) + b ^ (n + 2))
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
n : ℕ
\u22a2 a ^ (n + 1) * b + b ^ (n + 1) * a ≤ a ^ (n + 1) * a + b ^ (n + 1) * b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : CommSemiring A'
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R A'
inst✝² : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x✝ : A
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : AlgHomClass F R A B
f : F
x : A
p : R[X]
\u22a2 (aeval (f x)) p = f ((aeval x) p)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : CommSemiring A'
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R A'
inst✝² : Algebra R B
p✝¹ q✝ : R[X]
x✝ : A
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : AlgHomClass F R A B
f : F
x : A
p✝ p q : R[X]
hp : (aeval (f x)) p = f ((aeval x) p)
hq : (aeval (f x)) q = f ((aeval x) q)
\u22a2 (aeval (f x)) (p + q) = f ((aeval x) (p + q))
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g✝ : β → α
a b : α
s : Finset β
g : γ → α
e : ↑(mulSupport f) ≃ ↑(mulSupport g)
he : ∀ (x : ↑(mulSupport f)), g ↑(e x) = f ↑x
\u22a2 HasProd f a ↔ HasProd g a
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g✝ : β → α
a b : α
s : Finset β
g : γ → α
e : ↑(mulSupport f) ≃ ↑(mulSupport g)
he : ∀ (x : ↑(mulSupport f)), g ↑(e x) = f ↑x
this : (g ∘ Subtype.val) ∘ ⇑e = f ∘ Subtype.val
\u22a2 HasProd f a ↔ HasProd g a
-- Mathlib/FieldTheory/IntermediateField.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S : IntermediateField K L
x : L
hx : x ∈ (algebraMap K L).fieldRange
\u22a2 x ∈ Set.range ⇑(algebraMap K L)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ : ℝ
\u22a2 (o.oangle x (r₁ • x + r₂ • y)).sign = SignType.sign r₂ * (o.oangle x y).sign
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r₁ r₂ : ℝ
\u22a2 (o.oangle x (-r₁ • x + (r₁ • x + r₂ • y))).sign = SignType.sign r₂ * (o.oangle x y).sign
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
f : α → β
l : Filter β
p : α → Prop
s : Set α
\u22a2 s ∈ comap f l ↔ (f '' sᶜ)ᶜ ∈ l
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Defs.lean
R✝ : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R✝
R : Type u_1
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
\u22a2 b * (a / b) + a % b - b * (a / b) = a - b * (a / b)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : Algebra ℝ≥0 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : ContinuousSMul ℝ≥0 𝕜
\u22a2 Tendsto (⇑(algebraMap ℝ≥0 𝕜) ∘ fun n => (↑n)⁻¹) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝³ : Semiring 𝕜
inst✝² : Algebra ℝ≥0 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : ContinuousSMul ℝ≥0 𝕜
\u22a2 0 = (algebraMap ℝ≥0 𝕜) 0
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : TopologicalSpace β
f✝ f : α → β
s : Set α
this : TopologicalSpace α := induced f t
\u22a2 IsClosed s ↔ ∀ (a : α), f a ∈ closure (f '' s) → a ∈ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i✝ : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι'
i : ι'
j✝ : ι
\u22a2 (toMatrix b b') id i j✝ = b'.toMatrix (⇑b) i j✝
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Defs.lean
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
\u22a2 a < a⁻¹ ↔ a < 1
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius
\u22a2 ∃ a ∈ Ioo 0 1, ∃ C > 0, ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C * a ^ n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius
this : ∃ a ∈ Ioo 0 1, ∃ C > 0, ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
\u22a2 ∃ a ∈ Ioo 0 1, ∃ C > 0, ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C * a ^ n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
H : ∀ (n : ℕ), |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ C * a ^ n
\u22a2 ∃ a ∈ Ioo 0 1, ∃ C > 0, ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C * a ^ n
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
a b : E
\u22a2 ⟪a, b⟫_ℝ ^ 2 + (o.areaForm a) b ^ 2 = ‖a‖ ^ 2 * ‖b‖ ^ 2
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : α → Set α
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, f x ∈ 𝓝[s] x
\u22a2 ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, f x
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : α → Set α
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, f x ∈ 𝓝[s] x
this : ∀ (x : ↑s), Subtype.val ⁻¹' f ↑x ∈ 𝓝 x
\u22a2 ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, f x
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
t✝ : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : α → Set α
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, f x ∈ 𝓝[s] x
this : ∀ (x : ↑s), Subtype.val ⁻¹' f ↑x ∈ 𝓝 x
t : Set ↑s
htc : t.Countable
htU : ⋃ x ∈ t, Subtype.val ⁻¹' f ↑x = univ
\u22a2 ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, f x
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
t✝ : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : α → Set α
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, f x ∈ 𝓝[s] x
this : ∀ (x : ↑s), Subtype.val ⁻¹' f ↑x ∈ 𝓝 x
t : Set ↑s
htc : t.Countable
htU : ⋃ x ∈ t, Subtype.val ⁻¹' f ↑x = univ
x : α
hx : x ∈ s
\u22a2 x ∈ ⋃ x ∈ Subtype.val '' t, f x
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
t✝ : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : α → Set α
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, f x ∈ 𝓝[s] x
this : ∀ (x : ↑s), Subtype.val ⁻¹' f ↑x ∈ 𝓝 x
t : Set ↑s
htc : t.Countable
x : α
hx : x ∈ s
htU : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ ⋃ i ∈ t, f ↑i
\u22a2 x ∈ ⋃ y ∈ t, f ↑y
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
\u22a2 ∃ ns, StrictMono ns ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
\u22a2 ∃ ns, StrictMono ns ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
\u22a2 ∃ ns, StrictMono ns ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
\u22a2 StrictMono ns ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
S : ℕ → Set α := fun k => {x | 2⁻¹ ^ k ≤ dist (f (ns k) x) (g x)}
\u22a2 StrictMono ns ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
S : ℕ → Set α := fun k => {x | 2⁻¹ ^ k ≤ dist (f (ns k) x) (g x)}
hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k
\u22a2 StrictMono ns ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
S : ℕ → Set α := fun k => {x | 2⁻¹ ^ k ≤ dist (f (ns k) x) (g x)}
hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k
s : Set α := limsup S atTop
hs : s = limsup S atTop
\u22a2 StrictMono ns ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
S : ℕ → Set α := fun k => {x | 2⁻¹ ^ k ≤ dist (f (ns k) x) (g x)}
hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k
s : Set α := limsup S atTop
hs : s = limsup S atTop
hμs : μ s = 0
\u22a2 StrictMono ns ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
S : ℕ → Set α := fun k => {x | 2⁻¹ ^ k ≤ dist (f (ns k) x) (g x)}
hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k
s : Set α := limsup S atTop
hs : s = limsup S atTop
hμs : μ s = 0
h_tendsto : ∀ x ∈ sᶜ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
\u22a2 StrictMono ns ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
S : ℕ → Set α := fun k => {x | 2⁻¹ ^ k ≤ dist (f (ns k) x) (g x)}
hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k
s : Set α := limsup S atTop
hs : s = limsup S atTop
hμs : μ s = 0
h_tendsto : ∀ x ∈ sᶜ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
\u22a2 StrictMono ns ∧ μ {a | ¬Tendsto (fun i => f (ns i) a) atTop (𝓝 (g a))} = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
S : ℕ → Set α := fun k => {x | 2⁻¹ ^ k ≤ dist (f (ns k) x) (g x)}
hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k
s : Set α := limsup S atTop
hs : s = limsup S atTop
hμs : μ s = 0
h_tendsto : ∀ x ∈ sᶜ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
x : α
\u22a2 x ∈ {a | ¬Tendsto (fun i => f (ns i) a) atTop (𝓝 (g a))} → x ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
S : ℕ → Set α := fun k => {x | 2⁻¹ ^ k ≤ dist (f (ns k) x) (g x)}
hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k
s : Set α := limsup S atTop
hs : s = limsup S atTop
hμs : μ s = 0
h_tendsto : ∀ x ∈ sᶜ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
x : α
\u22a2 x ∉ s → Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, (1 + x ^ 2)⁻¹ = arctan b - arctan a
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
a b c d d' : List Γ'
\u22a2 update (elim a b c d) stack d' = elim a b c d'
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
a b c d d' : List Γ'
x : K'
\u22a2 update (elim a b c d) stack d' x = elim a b c d' x
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
P : PFunctor.{u}
α : Type u_2
g : α → ↑P α
f : α → P.M
hyp : ∀ (x : α), (f x).dest = P.map f (g x)
x : α
\u22a2 f x = M.corec g x
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
P : PFunctor.{u}
α : Type u_2
g : α → ↑P α
f : α → P.M
hyp : ∀ (x : α), (f x).dest = P.map f (g x)
x : α
\u22a2 ∀ (x : α), (fun x => True) x → ∃ a f_1 f', (f x).dest = ⟨a, f_1⟩ ∧ (M.corec g x).dest = ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : P.B a), ∃ x', (fun x => True) x' ∧ f_1 i = f x' ∧ f' i = M.corec g x'
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
P : PFunctor.{u}
α : Type u_2
g : α → ↑P α
f : α → P.M
hyp : ∀ (x : α), (f x).dest = P.map f (g x)
x : α
a✝ : True
a : P.A
f' : P.B a → α
gxeq : g x = ⟨a, f'⟩
\u22a2 ∃ a f_1 f', (f x).dest = ⟨a, f_1⟩ ∧ (M.corec g x).dest = ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : P.B a), ∃ x', (fun x => True) x' ∧ f_1 i = f x' ∧ f' i = M.corec g x'
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
P : PFunctor.{u}
α : Type u_2
g : α → ↑P α
f : α → P.M
hyp : ∀ (x : α), (f x).dest = P.map f (g x)
x : α
a✝ : True
a : P.A
f' : P.B a → α
gxeq : g x = ⟨a, f'⟩
h₀ : (f x).dest = ⟨a, f ∘ f'⟩
\u22a2 ∃ a f_1 f', (f x).dest = ⟨a, f_1⟩ ∧ (M.corec g x).dest = ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : P.B a), ∃ x', (fun x => True) x' ∧ f_1 i = f x' ∧ f' i = M.corec g x'
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
P : PFunctor.{u}
α : Type u_2
g : α → ↑P α
f : α → P.M
hyp : ∀ (x : α), (f x).dest = P.map f (g x)
x : α
a✝ : True
a : P.A
f' : P.B a → α
gxeq : g x = ⟨a, f'⟩
h₀ : (f x).dest = ⟨a, f ∘ f'⟩
h₁ : (M.corec g x).dest = ⟨a, M.corec g ∘ f'⟩
\u22a2 ∃ a f_1 f', (f x).dest = ⟨a, f_1⟩ ∧ (M.corec g x).dest = ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : P.B a), ∃ x', (fun x => True) x' ∧ f_1 i = f x' ∧ f' i = M.corec g x'
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
P : PFunctor.{u}
α : Type u_2
g : α → ↑P α
f : α → P.M
hyp : ∀ (x : α), (f x).dest = P.map f (g x)
x : α
a✝ : True
a : P.A
f' : P.B a → α
gxeq : g x = ⟨a, f'⟩
h₀ : (f x).dest = ⟨a, f ∘ f'⟩
h₁ : (M.corec g x).dest = ⟨a, M.corec g ∘ f'⟩
i : P.B a
\u22a2 ∃ x', (fun x => True) x' ∧ (f ∘ f') i = f x' ∧ (M.corec g ∘ f') i = M.corec g x'
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
\u22a2 add' W (neg' W f) f = L.map 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
α : W.LeftFraction X Y
\u22a2 add' W (neg' W (α.map L ⋯)) (α.map L ⋯) = L.map 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
α : W.LeftFraction X Y
this : IsIso (L.map α.s)
\u22a2 add' W (neg' W (α.map L ⋯)) (α.map L ⋯) = L.map 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
α : W.LeftFraction X Y
this : IsIso (L.map α.s)
\u22a2 (LeftFraction₂.mk (-α.f) α.f α.s ⋯).add.map L ⋯ = L.map 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Bernstein.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
\u22a2 Polynomial.derivative (bernsteinPolynomial R n 0) = -↑n * bernsteinPolynomial R (n - 1) 0
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A : Rep k G✝
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : MulAction G M
f : G × G → M
hf : IsMulTwoCocycle f
g : G
\u22a2 f (1, g) = f (1, 1)
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
x : M
h : (of I M) x = (ofTensorProductEquivOfFiniteNoetherian I M) (1 ⊗ₜ[R] x)
\u22a2 (ofTensorProductEquivOfFiniteNoetherian I M).symm ((of I M) x) = 1 ⊗ₜ[R] x
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
X : Type u_2
inst✝² : MulAction G X
H : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction H Y
φ : G →* H
j : X →ₑ[⇑φ] Y
hφ : Function.Surjective ⇑φ
hj : Function.Injective ⇑j
B : Set X
hB : IsBlock G B
\u22a2 IsBlock H (⇑j '' B)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
X : Type u_2
inst✝² : MulAction G X
H : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction H Y
φ : G →* H
j : X →ₑ[⇑φ] Y
hφ : Function.Surjective ⇑φ
hj : Function.Injective ⇑j
B : Set X
hB : IsBlock G B
\u22a2 ∀ (g g' : H), g • ⇑j '' B = g' • ⇑j '' B ∨ Disjoint (g • ⇑j '' B) (g' • ⇑j '' B)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
X : Type u_2
inst✝² : MulAction G X
H : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction H Y
φ : G →* H
j : X →ₑ[⇑φ] Y
hφ : Function.Surjective ⇑φ
hj : Function.Injective ⇑j
B : Set X
hB : IsBlock G B
g g' : G
\u22a2 φ g • ⇑j '' B = φ g' • ⇑j '' B ∨ Disjoint (φ g • ⇑j '' B) (φ g' • ⇑j '' B)