ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' t) (Ici t) t
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (f' t) (v t (f t)) ≤ εf
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' t) (Ici t) t
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (g' t) (v t (g t)) ≤ εg
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : ‖f a - g a‖ ≤ δ
\u22a2 ∀ t ∈ Icc a b, ‖f t - g t‖ ≤ gronwallBound δ (↑K) (εf + εg) (t - a)
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' t) (Ici t) t
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (f' t) (v t (f t)) ≤ εf
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' t) (Ici t) t
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (g' t) (v t (g t)) ≤ εg
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : ‖f a - g a‖ ≤ δ
h_deriv : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt (fun t => f t - g t) (f' t - g' t) (Ici t) t
\u22a2 ∀ t ∈ Icc a b, ‖f t - g t‖ ≤ gronwallBound δ (↑K) (εf + εg) (t - a)
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' t) (Ici t) t
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (f' t) (v t (f t)) ≤ εf
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' t) (Ici t) t
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (g' t) (v t (g t)) ≤ εg
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : ‖f a - g a‖ ≤ δ
h_deriv : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt (fun t => f t - g t) (f' t - g' t) (Ici t) t
\u22a2 ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x - g' x‖ ≤ ↑K * ‖f x - g x‖ + (εf + εg)
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' t) (Ici t) t
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (f' t) (v t (f t)) ≤ εf
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' t) (Ici t) t
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (g' t) (v t (g t)) ≤ εg
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : ‖f a - g a‖ ≤ δ
h_deriv : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt (fun t => f t - g t) (f' t - g' t) (Ici t) t
t : ℝ
ht : t ∈ Ico a b
\u22a2 ‖f' t - g' t‖ ≤ ↑K * ‖f t - g t‖ + (εf + εg)
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' t) (Ici t) t
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (f' t) (v t (f t)) ≤ εf
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' t) (Ici t) t
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (g' t) (v t (g t)) ≤ εg
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : ‖f a - g a‖ ≤ δ
h_deriv : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt (fun t => f t - g t) (f' t - g' t) (Ici t) t
t : ℝ
ht : t ∈ Ico a b
this : dist (f' t) (g' t) ≤ dist (f' t) (v t (f t)) + dist (g' t) (v t (g t)) + dist (v t (f t)) (v t (g t))
\u22a2 ‖f' t - g' t‖ ≤ ↑K * ‖f t - g t‖ + (εf + εg)
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv✝ : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' t) (Ici t) t
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (f' t) (v t (f t)) ≤ εf
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' t) (Ici t) t
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (g' t) (v t (g t)) ≤ εg
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : ‖f a - g a‖ ≤ δ
h_deriv : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt (fun t => f t - g t) (f' t - g' t) (Ici t) t
t : ℝ
ht : t ∈ Ico a b
this : dist (f' t) (g' t) ≤ dist (f' t) (v t (f t)) + dist (g' t) (v t (g t)) + dist (v t (f t)) (v t (g t))
hv : dist (v t (f t)) (v t (g t)) ≤ ↑K * dist (f t) (g t)
\u22a2 dist (f' t) (g' t) ≤ ↑K * dist (f t) (g t) + (εf + εg)
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv✝ : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' t) (Ici t) t
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (f' t) (v t (f t)) ≤ εf
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' t) (Ici t) t
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (g' t) (v t (g t)) ≤ εg
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : ‖f a - g a‖ ≤ δ
h_deriv : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt (fun t => f t - g t) (f' t - g' t) (Ici t) t
t : ℝ
ht : t ∈ Ico a b
this : dist (f' t) (g' t) ≤ dist (f' t) (v t (f t)) + dist (g' t) (v t (g t)) + dist (v t (f t)) (v t (g t))
hv : dist (v t (f t)) (v t (g t)) ≤ ↑K * dist (f t) (g t)
\u22a2 εf + εg + ↑K * dist (f t) (g t) ≤ ↑K * dist (f t) (g t) + (εf + εg)
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
\u22a2 (q * r).num * ↑q.den * ↑r.den = q.num * r.num * ↑(q * r).den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
\u22a2 (q * r).num * ↑q.den * ↑r.den = q.num * r.num * ↑(q * r).den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
\u22a2 (q * r).num * ↑q.den * ↑r.den = q.num * r.num * ↑(q * r).den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
\u22a2 ↑q.den * ↑r.den * (q * r).num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
\u22a2 c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
\u22a2 ¬c = 0 → ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num = (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
\u22a2 ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num = (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
h : q.num /. ↑q.den * (r.num /. ↑r.den) = s
\u22a2 ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num = (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
h : q * r = s
\u22a2 ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num = (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Symmetric.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : Fintype τ
inst✝ : Algebra R S
f : σ → S
n : ℕ
\u22a2 (aeval f) (esymm σ R n) = (Multiset.map f univ.val).esymm n
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Triangulated.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁸ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁷ : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹⁶ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁵ : Preadditive C
inst✝¹⁴ : HasZeroObject C
inst✝¹³ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹² : Pretriangulated C
inst✝¹¹ : HasShift D ℤ
inst✝¹⁰ : L.CommShift ℤ
W : MorphismProperty C
inst✝⁹ : L.IsLocalization W
inst✝⁸ : W.IsCompatibleWithTriangulation
inst✝⁷ : W.HasLeftCalculusOfFractions
inst✝⁶ : Preadditive D
inst✝⁵ : HasZeroObject D
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝³ : L.Additive
inst✝² : Pretriangulated D
inst✝¹ : L.IsTriangulated
inst✝ : IsTriangulated C
\u22a2 IsTriangulated D
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Triangulated.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁸ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁷ : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹⁶ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁵ : Preadditive C
inst✝¹⁴ : HasZeroObject C
inst✝¹³ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹² : Pretriangulated C
inst✝¹¹ : HasShift D ℤ
inst✝¹⁰ : L.CommShift ℤ
W : MorphismProperty C
inst✝⁹ : L.IsLocalization W
inst✝⁸ : W.IsCompatibleWithTriangulation
inst✝⁷ : W.HasLeftCalculusOfFractions
inst✝⁶ : Preadditive D
inst✝⁵ : HasZeroObject D
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝³ : L.Additive
inst✝² : Pretriangulated D
inst✝¹ : L.IsTriangulated
inst✝ : IsTriangulated C
this : (L.mapComposableArrows 2).EssSurj
\u22a2 IsTriangulated D
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
p q : ℤ
this : ∀ (k : ℤ), k ∈ Ioo p q ↔ k ∈ Finset.Ioo p q
\u22a2 weightSpaceChain M χ₁ χ₂ p q = ⨆ k ∈ Finset.Ioo p q, weightSpace M (k • χ₁ + χ₂)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
\u22a2 x ⇨ y = x ↔ x = ⊤ ∧ y = ⊤
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
\u22a2 x ⇨ y = ⊤ ∧ x = ⊤ ↔ x = ⊤ ∧ y = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Regular/RegularSequence.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
r : R
rs : List R
\u22a2 IsRegular M (r :: rs) ↔ IsSMulRegular M r ∧ IsRegular (QuotSMulTop r M) (List.map (⇑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {r}))) rs)
-- Mathlib/RingTheory/Regular/RegularSequence.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
r : R
rs : List R
\u22a2 IsWeaklyRegular M (r :: rs) ∧ ¬⊤ = Ideal.ofList (r :: rs) • ⊤ ↔ IsSMulRegular M r ∧ IsWeaklyRegular (QuotSMulTop r M) (List.map (⇑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {r}))) rs) ∧ ¬⊤ = Ideal.ofList (List.map (⇑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {r}))) rs) • ⊤
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w x y : V
p : G.Walk u v
hnp : ¬p.Nil
u✝ v✝ w✝ : V
x✝¹ : G.Adj u✝ v✝
x✝ : G.Walk v✝ w✝
\u22a2 (cons x✝¹ x✝).getVert 1 = (cons x✝¹ x✝).sndOfNotNil ⋯
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c✝ d : α
m n : ℕ
c : α
h : a < b
hc : c ≠ 0
\u22a2 a * c < b * c
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c✝ d : α
m n : ℕ
c : α
hc : c ≠ 0
h : b * c ≤ a * c
\u22a2 b ≤ a
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D
\u22a2 e.inverse.map (e.counitInv.app Y) ≫ e.unitInv.app (e.inverse.obj Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D
\u22a2 (e.unitIso.app (e.inverse.obj Y) ≪≫ e.inverse.mapIso (e.counitIso.app Y)).hom = (Iso.refl ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y))).hom
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H✝ : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : AddZeroClass N
f g : (α →₀ M) →+ N
H : ∀ (x : α) (y : M), f (single x y) = g (single x y)
\u22a2 f = g
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H✝ : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : AddZeroClass N
f g : (α →₀ M) →+ N
H : ∀ (x : α) (y : M), f (single x y) = g (single x y)
\u22a2 Set.EqOn ⇑f ⇑g {f | ∃ a b, f = single a b}
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≠ 0
\u22a2 a / 0 = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
\u22a2 AEMeasurable f' (μ.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
ε : ℝ
εpos : ε > 0
\u22a2 ∃ f, AEMeasurable f (μ.restrict s) ∧ ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict s, dist (f x) (f' x) ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩
\u22a2 ∃ f, AEMeasurable f (μ.restrict s) ∧ ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict s, dist (f x) (f' x) ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
\u22a2 ∃ f, AEMeasurable f (μ.restrict s) ∧ ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict s, dist (f x) (f' x) ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) δ
right✝ : s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y
\u22a2 ∃ f, AEMeasurable f (μ.restrict s) ∧ ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict s, dist (f x) (f' x) ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) δ
right✝ : s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y
g : E → E →L[ℝ] E
g_meas : Measurable g
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ t n, g x = A n
\u22a2 ∃ f, AEMeasurable f (μ.restrict s) ∧ ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict s, dist (f x) (f' x) ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) δ
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g : E → E →L[ℝ] E
g_meas : Measurable g
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ t n, g x = A n
\u22a2 ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict s, dist (g x) (f' x) ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
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g : E → E →L[ℝ] E
g_meas : Measurable g
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ t n, g x = A n
\u22a2 ∀ᵐ (x : E) ∂sum fun n => μ.restrict (s ∩ t n), dist (g x) (f' x) ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
t : ℕ → Set E
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t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
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g_meas : Measurable g
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ t n, g x = A n
n : ℕ
\u22a2 ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict (s ∩ t n), dist (g x) (f' x) ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
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g_meas : Measurable g
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E₁ : ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict (s ∩ t n), ‖f' x - A n‖₊ ≤ δ
\u22a2 ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict (s ∩ t n), dist (g x) (f' x) ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
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right✝ : s.Nonempty → ∀ (n : ℕ), ∃ y ∈ s, A n = f' y
g : E → E →L[ℝ] E
g_meas : Measurable g
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ t n, g x = A n
n : ℕ
E₁ : ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict (s ∩ t n), ‖f' x - A n‖₊ ≤ δ
E₂ : ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict (s ∩ t n), g x = A n
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-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0 := ⟨ε, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) δ
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g : E → E →L[ℝ] E
g_meas : Measurable g
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n : ℕ
E₁ : ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict (s ∩ t n), ‖f' x - A n‖₊ ≤ δ
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hx1 : ‖f' x - A n‖₊ ≤ δ
hx2 : g x = A n
\u22a2 dist (g x) (f' x) ≤ ε