ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.96949, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.96953, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
s : S₁.Splitting
e : S₁ ≅ S₂
eq : e.inv.τ₂ ≫ (s.r ≫ S₁.f + S₁.g ≫ s.s) ≫ e.hom.τ₂ = e.inv.τ₂ ≫ 𝟙 S₁.X₂ ≫ e.hom.τ₂
\u22a2 (e.inv.τ₂ ≫ s.r ≫ e.hom.τ₁) ≫ S₂.f + S₂.g ≫ e.inv.τ₃ ≫ s.s ≫ e.hom.τ₂ = 𝟙 S₂.X₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.96949, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.96953, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
s : S₁.Splitting
e : S₁ ≅ S₂
eq : e.inv.τ₂ ≫ (s.r ≫ S₁.f + S₁.g ≫ s.s) ≫ e.hom.τ₂ = 𝟙 S₂.X₂
\u22a2 (e.inv.τ₂ ≫ s.r ≫ e.hom.τ₁) ≫ S₂.f + S₂.g ≫ e.inv.τ₃ ≫ s.s ≫ e.hom.τ₂ = 𝟙 S₂.X₂
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝³ : CommMonoid β
inst✝² : CommMonoid γ
G : Type u_6
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : MonoidHomClass G β γ
g : G
f : α → β
s : Finset α
\u22a2 g (∏ x ∈ s, f x) = ∏ x ∈ s, g (f x)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝³ : CommMonoid β
inst✝² : CommMonoid γ
G : Type u_6
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : MonoidHomClass G β γ
g : G
f : α → β
s : Finset α
\u22a2 (Multiset.map (⇑g ∘ f) s.val).prod = (Multiset.map (fun x => g (f x)) s.val).prod
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Finite α
r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsIrrefl α r
\u22a2 WellFounded r
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
c : ℕ
H : a % d = b % d
\u22a2 (a + c) % d = (b + c) % d
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : Group G
inst✝² : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set G
hs : MeasurableSet s
\u22a2 Measurable fun y => μ ((fun x => (x, y)) ⁻¹' ((fun z => (1, z.1 * z.2)) ⁻¹' univ ×ˢ s))
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : Group G
inst✝² : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set G
hs : MeasurableSet s
\u22a2 MeasurableSet ((fun z => (1, z.1 * z.2)) ⁻¹' univ ×ˢ s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : Group G
inst✝² : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set G
hs : MeasurableSet s
\u22a2 MeasurableSpace G
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/Basic.lean
F : Type u_1
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
x : ℂ
A : SL(2, ℤ)
\u22a2 IsBoundedAtImInfty (⇑(SlashInvariantForm.const x) ∣[0] A)
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableClosure.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
\u22a2 finInsepDegree F ↥⊥ = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Coprod/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass M'
inst✝¹ : MulOneClass N'
inst✝ : MulOneClass P
C : M ∗ N → Prop
m : M ∗ N
one : C 1
inl_mul : ∀ (m : M) (x : M ∗ N), C x → C (inl m * x)
inr_mul : ∀ (n : N) (x : M ∗ N), C x → C (inr n * x)
\u22a2 C m
-- Mathlib/GroupTheory/Coprod/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass M'
inst✝¹ : MulOneClass N'
inst✝ : MulOneClass P
C : M ∗ N → Prop
one : C 1
inl_mul : ∀ (m : M) (x : M ∗ N), C x → C (inl m * x)
inr_mul : ∀ (n : N) (x : M ∗ N), C x → C (inr n * x)
x : FreeMonoid (M ⊕ N)
\u22a2 C (mk x)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x✝ : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l
\u22a2 l.formPerm.toList x ~r l
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
\u22a2 l.formPerm.toList (l.get k) ~r l
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
hr : l ~r l.rotate ↑k
\u22a2 l.formPerm.toList (l.get k) ~r l
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
hr : l ~r l.rotate ↑k
\u22a2 (l.rotate ↑k).formPerm.toList (l.get k) ~r l
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
hr : l ~r l.rotate ↑k
\u22a2 (l.rotate ↑k).formPerm.toList ((l.rotate ↑k).get ⟨(l.length - ↑k % l.length + ↑k) % l.length, ⋯⟩) ~r l
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
hr : l ~r l.rotate ↑k
\u22a2 (l.rotate ↑k).formPerm.toList ((l.rotate ↑k).get ⟨0, ⋯⟩) ~r l
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
hr : l ~r l.rotate ↑k
\u22a2 l.rotate ↑k ~r l
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
hr : l ~r l.rotate ↑k
\u22a2 2 ≤ (l.rotate ↑k).length
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
hr : l ~r l.rotate ↑k
\u22a2 (l.rotate ↑k).Nodup
-- Mathlib/Data/Set/Enumerate.lean
α : Type u_1
sel : Set α → Option α
n₁ n₂ : ℕ
a : α
s : Set α
h_sel : ∀ (s : Set α) (a : α), sel s = some a → a ∈ s
h₁ : enumerate sel s n₁ = some a
h₂ : enumerate sel s n₂ = some a
\u22a2 n₁ = n₂
-- Mathlib/Data/Set/Enumerate.lean
α : Type u_1
sel : Set α → Option α
n₁ n₂ : ℕ
a : α
s : Set α
h_sel : ∀ (s : Set α) (a : α), sel s = some a → a ∈ s
h₁ : enumerate sel s n₁ = some a
h₂ : enumerate sel s n₂ = some a
hn : n₁ ≤ n₂
\u22a2 n₁ = n₂
-- Mathlib/Data/Set/Enumerate.lean
α : Type u_1
sel : Set α → Option α
n₁ n₂ : ℕ
a : α
s : Set α
h_sel : ∀ (s : Set α) (a : α), sel s = some a → a ∈ s
h₁ : enumerate sel s n₁ = some a
h₂ : enumerate sel s n₂ = some a
hn : n₂ ≤ n₁
\u22a2 n₁ = n₂
-- Mathlib/Data/Set/Enumerate.lean
α : Type u_1
sel : Set α → Option α
n₂ n₁ : ℕ
a : α
s : Set α
h_sel : ∀ (s : Set α) (a : α), sel s = some a → a ∈ s
h₂ : enumerate sel s n₂ = some a
h₁ : enumerate sel s n₁ = some a
hn : n₁ ≤ n₂
\u22a2 n₂ = n₁
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
\u22a2 Prime X
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
\u22a2 X = X - C 0
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
\u22a2 Primrec fun a => (a.1 ::ᵥ a.2).toList
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/EqualizerSheafCondition.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X✝¹ : C
R✝ : Presieve X✝¹
S✝ : Sieve X✝¹
inst✝¹ : R✝.hasPullbacks
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
R : Presieve X✝
S : Sieve X✝
B : C
I : Type
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst✝ : (Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks
x : FirstObj P X
\u22a2 Arrows.Compatible P π ((Types.productIso fun i => P.obj (op (X i))).hom x) ↔ firstMap P X π x = secondMap P X π x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/EqualizerSheafCondition.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X✝¹ : C
R✝ : Presieve X✝¹
S✝ : Sieve X✝¹
inst✝¹ : R✝.hasPullbacks
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
R : Presieve X✝
S : Sieve X✝
B : C
I : Type
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst✝ : (Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks
x : FirstObj P X
\u22a2 Arrows.PullbackCompatible P π ((Types.productIso fun i => P.obj (op (X i))).hom x) ↔ firstMap P X π x = secondMap P X π x
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Rotate.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : C
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 (-(shiftFunctor C (-1)).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app X✝.obj₁) ≫ f.hom₁ = (shiftFunctor C (-1)).map f.hom₃ ≫ (-(shiftFunctor C (-1)).map Y✝.mor₃ ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app Y✝.obj₁)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Rotate.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : C
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 (shiftFunctor C (-1)).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app X✝.obj₁ ≫ f.hom₁ = (shiftFunctor C (-1)).map (X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map f.hom₁) ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app Y✝.obj₁
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Rotate.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : C
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 (shiftFunctor C (-1)).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app X✝.obj₁ ≫ f.hom₁ = (shiftFunctor C (-1)).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctor C (-1)).map ((shiftFunctor C 1).map f.hom₁) ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app Y✝.obj₁
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Rotate.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : C
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 (shiftFunctor C (-1)).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1 ⋙ shiftFunctor C (-1)).map f.1 ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app Y✝.obj₁ = (shiftFunctor C (-1)).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctor C (-1)).map ((shiftFunctor C 1).map f.hom₁) ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app Y✝.obj₁
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Rotate.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : C
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 X✝.invRotate.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map ((shiftFunctor C (-1)).map f.hom₃) = f.hom₂ ≫ Y✝.invRotate.mor₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Rotate.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : C
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 X✝.mor₂ ≫ (𝟭 C).map f.hom₃ ≫ (shiftEquiv C 1).counitIso.inv.app Y✝.obj₃ = X✝.mor₂ ≫ f.hom₃ ≫ (shiftEquiv C 1).counitIso.inv.app Y✝.3
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
hf : Integrable f μ
\u22a2 ‖Integrable.toL1 f hf‖ = ∫ (a : α), ‖f a‖ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
hf : Integrable f μ
\u22a2 ∫ (a : α), ‖↑↑(Integrable.toL1 f hf) a‖ ∂μ = ∫ (a : α), ‖f a‖ ∂μ
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p q : R[X]
x✝ : A
f : A →ₐ[R] B
x : A
\u22a2 (aeval (f x)) X = (f.comp (aeval x)) X
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : Mul M
s : Set M
inst✝¹ : Add A
t : Set A
S : Subsemigroup M
inst✝ : Subsingleton (Subsemigroup M)
x y : M
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : Mul M
s : Set M
inst✝¹ : Add A
t : Set A
S : Subsemigroup M
inst✝ : Subsingleton (Subsemigroup M)
x y : M
this : ∀ (a : M), a ∈ ⊥
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t✝ : Set α
f : α → β → M
s : Finset α
t : Finset β
\u22a2 ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑s) (j : β) (_ : j ∈ ↑t), f i j = ∏ᶠ (j : β) (_ : j ∈ ↑t) (i : α) (_ : i ∈ ↑s), f i j
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t✝ : Set α
f : α → β → M
s : Finset α
t : Finset β
\u22a2 ∏ i ∈ s, ∏ i_1 ∈ t, f i i_1 = ∏ i ∈ t, ∏ i_1 ∈ s, f i_1 i
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z w : ℂ
h : z.im = w.im
\u22a2 edist z w = edist z.re w.re
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hfi : Integrable f volume
\u22a2 Tendsto (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) (cocompact V) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hfi : Integrable f volume
ε : ℝ
hε : ε > 0
\u22a2 ∀ᶠ (x : V) in cocompact V, dist (∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, x⟫_ℝ) • f v) 0 < ε
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hfi : Integrable f volume
ε : ℝ
hε : ε > 0
g : V → E
hg_supp : HasCompactSupport g
hfg : ∫ (x : V), ‖f x - g x‖ ≤ ε / 2
hg_cont : Continuous g
\u22a2 ∀ᶠ (x : V) in cocompact V, dist (∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, x⟫_ℝ) • f v) 0 < ε
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hfi : Integrable f volume
ε : ℝ
hε : ε > 0
g : V → E
hg_supp : HasCompactSupport g
hfg : ∫ (x : V), ‖f x - g x‖ ≤ ε / 2
hg_cont : Continuous g
w : V
hI : dist (∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v) 0 < ε / 2
\u22a2 dist (∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) 0 < ε
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hfi : Integrable f volume
ε : ℝ
hε : ε > 0
g : V → E
hg_supp : HasCompactSupport g
hfg : ∫ (x : V), ‖f x - g x‖ ≤ ε / 2
hg_cont : Continuous g
w : V
hI : ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v) - 0‖ < ε / 2
\u22a2 ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) - 0‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hfi : Integrable f volume
ε : ℝ
hε : ε > 0
g : V → E
hg_supp : HasCompactSupport g
hfg : ∫ (x : V), ‖f x - g x‖ ≤ ε / 2
hg_cont : Continuous g
w : V
hI : ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v) - 0‖ < ε / 2
this : ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) - ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v‖ ≤ ε / 2
\u22a2 ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) - 0‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hfi : Integrable f volume
ε : ℝ
hε : ε > 0
g : V → E
hg_supp : HasCompactSupport g
hfg : ∫ (x : V), ‖f x - g x‖ ≤ ε / 2
hg_cont : Continuous g
w : V
hI : ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v) - 0‖ < ε / 2
this : ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) - ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v‖ + ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v) - 0‖ < ε / 2 + ε / 2
\u22a2 ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) - 0‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hfi : Integrable f volume
ε : ℝ
hε : ε > 0
g : V → E
hg_supp : HasCompactSupport g
hfg : ∫ (x : V), ‖f x - g x‖ ≤ ε / 2
hg_cont : Continuous g
w : V
hI : ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v) - 0‖ < ε / 2
this : ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) - ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v‖ + ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v) - 0‖ < ε
\u22a2 ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) - 0‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
hfi : Integrable f volume
ε : ℝ
hε : ε > 0
g : V → E
hg_supp : HasCompactSupport g
hfg : ∫ (x : V), ‖f x - g x‖ ≤ ε / 2
hg_cont : Continuous g
w : V
hI : ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v) - 0‖ < ε / 2
this : ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) - ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v‖ + ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v) - 0‖ < ε
\u22a2 ‖(∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) - 0‖ = ‖((∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) - ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v) + ((∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • g v) - 0)‖
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
g : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A
m : M
\u22a2 g ((ι Q) m) * g ((ι Q) m) = (algebraMap R A) (Q m)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
m n : ℕ
\u22a2 dickson 1 1 (m * n) = (dickson 1 1 m).comp (dickson 1 1 n)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
m n : ℕ
h : 1 = (Int.castRingHom R) 1
\u22a2 dickson 1 1 (m * n) = (dickson 1 1 m).comp (dickson 1 1 n)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
m n : ℕ
h : 1 = (Int.castRingHom R) 1
\u22a2 dickson 1 ((Int.castRingHom R) 1) (m * n) = (dickson 1 ((Int.castRingHom R) 1) m).comp (dickson 1 ((Int.castRingHom R) 1) n)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
m n : ℕ
h : 1 = (Int.castRingHom R) 1
\u22a2 map (Int.castRingHom R) (dickson 1 1 (m * n)) = map (Int.castRingHom R) ((dickson 1 1 m).comp (dickson 1 1 n))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
m n : ℕ
h : 1 = (Int.castRingHom R) 1
\u22a2 map (Int.castRingHom ℚ) (dickson 1 1 (m * n)) = map (Int.castRingHom ℚ) ((dickson 1 1 m).comp (dickson 1 1 n))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
m n : ℕ
h : 1 = (Int.castRingHom R) 1
\u22a2 ((Chebyshev.T ℚ ↑m + Chebyshev.T ℚ ↑m).comp (Chebyshev.T ℚ ↑n)).comp (C ⅟2 * X) = ((Chebyshev.T ℚ ↑m + Chebyshev.T ℚ ↑m).comp (C ⅟2 * X)).comp ((Chebyshev.T ℚ ↑n + Chebyshev.T ℚ ↑n).comp (C ⅟2 * X))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
m n : ℕ
h : 1 = (Int.castRingHom R) 1
\u22a2 ((2 * Chebyshev.T ℚ ↑m).comp (Chebyshev.T ℚ ↑n)).comp (C ⅟2 * X) = (((2 * Chebyshev.T ℚ ↑m).comp (C ⅟2 * X)).comp (2 * Chebyshev.T ℚ ↑n)).comp (C ⅟2 * X)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
m n : ℕ
h : 1 = (Int.castRingHom R) 1
\u22a2 (2 * Chebyshev.T ℚ ↑m).comp (Chebyshev.T ℚ ↑n) = ((2 * Chebyshev.T ℚ ↑m).comp (C ⅟2 * X)).comp (2 * Chebyshev.T ℚ ↑n)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
m n : ℕ
h : 1 = (Int.castRingHom R) 1
\u22a2 (2 * Chebyshev.T ℚ ↑m).comp (Chebyshev.T ℚ ↑n) = (2 * Chebyshev.T ℚ ↑m).comp ((C ⅟2 * X).comp (2 * Chebyshev.T ℚ ↑n))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
m n : ℕ
h : 1 = (Int.castRingHom R) 1
\u22a2 Chebyshev.T ℚ ↑n = (C ⅟2 * X).comp (2 * Chebyshev.T ℚ ↑n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
\u22a2 Measurable fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
\u22a2 Measurable fun x => (sum (sFiniteSeq ν)) (Prod.mk x ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
\u22a2 Measurable fun x => ∑' (i : ℕ), (sFiniteSeq ν i) (Prod.mk x ⁻¹' s)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/Down.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a✝ a : α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
\u22a2 memberSubfamily a (𝒜 ∪ ℬ) = memberSubfamily a 𝒜 ∪ memberSubfamily a ℬ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
hf : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ (x : ℝ), f' x < 0
x : ℝ
\u22a2 deriv f x < 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
hf : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : ∀ (x : ℝ), f' x < 0
x : ℝ
\u22a2 f' x < 0