ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ k
ζ' : M
k' : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
hζ' : IsPrimitiveRoot ζ' k'
hk : k ≠ 0
hk' : k' ≠ 0
\u22a2 ζ ^ (k / k.factorizationLCMLeft k') * ζ' ^ (k' / k.factorizationLCMRight k') = ζ ^ (orderOf ζ / (orderOf ζ).factorizationLCMLeft (orderOf ζ')) * ζ' ^ (orderOf ζ' / (orderOf ζ).factorizationLCMRight (orderOf ζ'))
-- Mathlib/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b x : α
\u22a2 x ∈ Ioo a b ↔ a < x ∧ x < b
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
x : B
\u22a2 (aeval x) (minpoly A pb.gen) = 0 ↔ (Equiv.refl B) x ∈ (minpoly A pb.gen).aroots B
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
x : B
\u22a2 (aeval x) (minpoly A pb.gen) = 0 ↔ (aeval x) (map (algebraMap A B) (minpoly A pb.gen)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
x : B
\u22a2 map (algebraMap A B) (minpoly A pb.gen) ≠ 0
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
l : List (Perm α)
hl : ∀ g ∈ l, g.IsSwap
\u22a2 l.prod ∈ alternatingGroup α ↔ Even l.length
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
l : List (Perm α)
hl : ∀ g ∈ l, g.IsSwap
\u22a2 -1 ≠ 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : Measurable f
μ : Measure (Measure α)
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (map (map f) μ).join s = (map f μ.join) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : Measurable f
μ : Measure (Measure α)
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ∫⁻ (a : Measure α), (map f a) s ∂μ = ∫⁻ (μ : Measure α), μ (f ⁻¹' s) ∂μ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : ℕ → Type u
inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)
f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
n : ℕ
h : PseudoMetricSpace ((n : ℕ) × X n) := inductivePremetric I
x✝ : TopologicalSpace ((n : ℕ) × X n) := UniformSpace.toTopologicalSpace
\u22a2 toInductiveLimit I n.succ ∘ f n = toInductiveLimit I n
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : ℕ → Type u
inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)
f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
n : ℕ
h : PseudoMetricSpace ((n : ℕ) × X n) := inductivePremetric I
x✝ : TopologicalSpace ((n : ℕ) × X n) := UniformSpace.toTopologicalSpace
x : X n
\u22a2 (toInductiveLimit I n.succ ∘ f n) x = toInductiveLimit I n x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : ℕ → Type u
inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)
f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
n : ℕ
h : PseudoMetricSpace ((n : ℕ) × X n) := inductivePremetric I
x✝ : TopologicalSpace ((n : ℕ) × X n) := UniformSpace.toTopologicalSpace
x : X n
\u22a2 Quotient.mk'' ⟨n.succ, f n x⟩ = Quotient.mk'' ⟨n, x⟩
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : ℕ → Type u
inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)
f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
n : ℕ
h : PseudoMetricSpace ((n : ℕ) × X n) := inductivePremetric I
x✝ : TopologicalSpace ((n : ℕ) × X n) := UniformSpace.toTopologicalSpace
x : X n
\u22a2 dist ⟨n.succ, f n x⟩ ⟨n, x⟩ = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : ℕ → Type u
inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)
f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
n : ℕ
h : PseudoMetricSpace ((n : ℕ) × X n) := inductivePremetric I
x✝ : TopologicalSpace ((n : ℕ) × X n) := UniformSpace.toTopologicalSpace
x : X n
\u22a2 inductiveLimitDist f ⟨n.succ, f n x⟩ ⟨n, x⟩ = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : ℕ → Type u
inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)
f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
n : ℕ
h : PseudoMetricSpace ((n : ℕ) × X n) := inductivePremetric I
x✝ : TopologicalSpace ((n : ℕ) × X n) := UniformSpace.toTopologicalSpace
x : X n
\u22a2 ⟨n, x⟩.fst ≤ n + 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c✝ d c : α
\u22a2 a / c ≤ b / c ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
hJ : J ∈ π.biUnion πi
\u22a2 π.biUnionIndex πi J ∈ π
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
hJ : J ∈ π.biUnion πi
\u22a2 ⋯.choose ∈ π
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set X
x : ↑S
\u22a2 𝓝[≠] x = ⊥ ↔ 𝓝[≠] ↑x ⊓ 𝓟 S = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Derivative.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : R⟦X⟧
n : ℕ
\u22a2 (coeff R n) f.derivativeFun = (coeff R (n + 1)) f * (↑n + 1)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : X.Opens
\u22a2 f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U = U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : X.Opens
\u22a2 ↑(f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U) = ↑U
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
n : ℕ
\u22a2 UniformContinuous fun x => f x ^ ↑n
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
n : ℕ
\u22a2 UniformContinuous fun x => f x ^ n
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
n : ℕ
\u22a2 UniformContinuous fun x => f x ^ Int.negSucc n
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
n : ℕ
\u22a2 UniformContinuous fun x => (f x ^ (n + 1))⁻¹
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : α
n : Nat
l : List α
\u22a2 (l.set n a)[n]? = (fun x => a) <$> l[n]?
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ : Set E
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
\u22a2 a • x + b • y ∈ interior (⇑f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ : Set E
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
\u22a2 a • x + b • y ∈ ⇑f ⁻¹' interior s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ : Set E
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
\u22a2 a • f x + b • f y ∈ interior s
-- Mathlib/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : α
h : a < b
\u22a2 a ::ₘ Ioo a b = Ico a b
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
f : α → β
t : Set α
h : InjOn f s
hst : t ⊆ s
\u22a2 f '' (s \ t) = f '' s \ f '' t
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : ↥(Lp E 1 μ)
\u22a2 (setToL1 ⋯) f = c • (setToL1 hT) f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : ↥(Lp E 1 μ)
\u22a2 setToL1 ⋯ = c • setToL1 hT
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : ↥(Lp E 1 μ)
\u22a2 (c • setToL1 hT).comp (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
\u22a2 ((c • setToL1 hT).comp (coeToLp α E ℝ)) f = (setToL1SCLM α E μ ⋯) f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
\u22a2 c • (setToL1 hT) ↑f = (setToL1SCLM α E μ ⋯) f
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
n : ℕ
hn : 0 < n
\u22a2 (⇑f)^[n] x = x + ↑n * ↑m ↔ f x = x + ↑m
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
hs : IsPreconnected s
P : α → α → Prop
h : ∀ x ∈ s, ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, P x y ∧ P y x
h' : ∀ (x y z : α), x ∈ s → y ∈ s → z ∈ s → P x y → P y z → P x z
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
Q : ↑s → ↑s → Prop := fun a b => P ↑a ↑b
\u22a2 Q ⟨x, hx⟩ ⟨y, hy⟩
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
hs : IsPreconnected s
P : α → α → Prop
h : ∀ x ∈ s, ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, P x y ∧ P y x
h' : ∀ (x y z : α), x ∈ s → y ∈ s → z ∈ s → P x y → P y z → P x z
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
Q : ↑s → ↑s → Prop := fun a b => P ↑a ↑b
this : PreconnectedSpace ↑s
\u22a2 Q ⟨x, hx⟩ ⟨y, hy⟩
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
hs : IsPreconnected s
P : α → α → Prop
h : ∀ x ∈ s, ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, P x y ∧ P y x
h' : ∀ (x y z : α), x ∈ s → y ∈ s → z ∈ s → P x y → P y z → P x z
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
Q : ↑s → ↑s → Prop := fun a b => P ↑a ↑b
this : PreconnectedSpace ↑s
\u22a2 ∀ (x : { x // x ∈ s }), ∀ᶠ (y : { x // x ∈ s }) in 𝓝 x, Q x y ∧ Q y x
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
hs : IsPreconnected s
P : α → α → Prop
h : ∀ x ∈ s, ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, P x y ∧ P y x
h' : ∀ (x y z : α), x ∈ s → y ∈ s → z ∈ s → P x y → P y z → P x z
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
Q : ↑s → ↑s → Prop := fun a b => P ↑a ↑b
this : PreconnectedSpace ↑s
\u22a2 Transitive Q
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
\u22a2 minpoly ℤ μ ∣ X ^ n - 1
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
h : IsPrimitiveRoot μ 0
\u22a2 minpoly ℤ μ ∣ X ^ 0 - 1
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
h0 : n > 0
\u22a2 minpoly ℤ μ ∣ X ^ n - 1
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
h0 : n > 0
\u22a2 (Polynomial.aeval μ) (X ^ n - 1) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n p : ℕ
pp : Prime p
\u22a2 p.properDivisors = {1}
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b : α
inst✝ : IsTrans α R
hl : Chain R a l₂
h : l₁ <+ l₂
\u22a2 Chain R a l₁
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b : α
inst✝ : IsTrans α R
hl : Pairwise R (a :: l₂)
h : l₁ <+ l₂
\u22a2 Pairwise R (a :: l₁)
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Karoubi.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P : Karoubi C
\u22a2 (eqToHom ⋯).f = P.p ≫ eqToHom ⋯
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₄ p₅ p₆
\u22a2 AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃] ↔ AffineIndependent ℝ ![p₄, p₅, p₆]
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E
\u22a2 comap norm (𝓝[>] 0) = 𝓝[≠] 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
r : ℂ
\u22a2 (↑a * ↑b) ^ r = ↑a ^ r * ↑b ^ r
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
\u22a2 (↑a * ↑b) ^ 0 = ↑a ^ 0 * ↑b ^ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
r : ℂ
hr : r ≠ 0
\u22a2 (↑a * ↑b) ^ r = ↑a ^ r * ↑b ^ r
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
r : ℂ
hr : r ≠ 0
ha : 0 ≤ 0
\u22a2 (↑0 * ↑b) ^ r = ↑0 ^ r * ↑b ^ r
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
r : ℂ
hr : r ≠ 0
ha' : 0 < a
\u22a2 (↑a * ↑b) ^ r = ↑a ^ r * ↑b ^ r
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
r : ℂ
hr : r ≠ 0
ha' : 0 < a
hb : 0 ≤ 0
\u22a2 (↑a * ↑0) ^ r = ↑a ^ r * ↑0 ^ r
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
r : ℂ
hr : r ≠ 0
ha' : 0 < a
hb' : 0 < b
\u22a2 (↑a * ↑b) ^ r = ↑a ^ r * ↑b ^ r
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
r : ℂ
hr : r ≠ 0
ha' : 0 < a
hb' : 0 < b
ha'' : ↑a ≠ 0
\u22a2 (↑a * ↑b) ^ r = ↑a ^ r * ↑b ^ r
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
r : ℂ
hr : r ≠ 0
ha' : 0 < a
hb' : 0 < b
ha'' : ↑a ≠ 0
hb'' : ↑b ≠ 0
\u22a2 (↑a * ↑b) ^ r = ↑a ^ r * ↑b ^ r
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n : ℕ
\u22a2 (n + 1 - 0) ^ 0 ≤ n.descFactorial 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ
\u22a2 (n + 1 - (k + 1)) ^ (k + 1) ≤ n.descFactorial (k + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ
\u22a2 (n - k) * (n - k) ^ k ≤ (n - k) * n.descFactorial k
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ
\u22a2 (n - k) ^ k ≤ n.descFactorial k
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 p.totalDegree = 0 ↔ p.IsHomogeneous 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Free R M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Free R M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Free R M₁
inst✝ : Infinite R
h_lt : lift.{v, u} #R < lift.{u, v} #M
\u22a2 Module.rank R M = #M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Free R M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Free R M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Free R M₁
inst✝ : Infinite R
h_lt : lift.{v, u} #R < lift.{u, v} #M
this : Infinite M
\u22a2 Module.rank R M = #M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Free R M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Free R M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Free R M₁
inst✝ : Infinite R
h_lt : lift.{v, u} #R < lift.{u, v} #M
this : Infinite M
h : lift.{max u v, v} #M = lift.{v, max u v} #(ChooseBasisIndex R M →₀ R)
\u22a2 Module.rank R M = #M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Free R M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Free R M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Free R M₁
inst✝ : Infinite R
h_lt : lift.{v, u} #R < lift.{u, v} #M
this : Infinite M
h : lift.{max u v, v} #M = max (lift.{max u v, v} (Module.rank R M)) (lift.{v, u} #R)
\u22a2 Module.rank R M = #M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Free R M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Free R M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Free R M₁
inst✝ : Infinite R
h_lt : lift.{v, u} #R < lift.{u, v} #M
this : Infinite M
h : lift.{max u v, v} #M = max (lift.{max u v, v} (Module.rank R M)) (lift.{v, u} #R)
\u22a2 ¬lift.{v, u} #R = lift.{max u v, v} #M
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : EMetricSpace γ
s : Set γ
hs : IsCompact s
\u22a2 ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ s = closure t
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : EMetricSpace γ
s : Set γ
hs : IsCompact s
t : Set γ
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
hsub : s ⊆ closure t
\u22a2 ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ s = closure t
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n : ℕ+
\u22a2 m.gcd n = n.gcd m
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n : ℕ+
\u22a2 ↑(m.gcd n) = ↑(n.gcd m)
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n : ℕ+
\u22a2 (↑m).gcd ↑n = (↑n).gcd ↑m
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
r : R
p : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : MulActionWithZero R S
x : S
\u22a2 smeval 0 x = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Intersecting.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BooleanAlgebra α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
\u22a2 2 * s.card ≤ Fintype.card α
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Lemmas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f✝ g : 𝕜 → F
c : 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s
\u22a2 iteratedDerivWithin n (fun z => c * f z) s x = c * iteratedDerivWithin n f s x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
V' : Type u_3
G' : SimpleGraph V'
h : ∀ (n : ℕ), G'.Colorable n → G.Colorable n
\u22a2 ⨅ n ∈ setOf G.Colorable, ↑n ≤ ⨅ n ∈ setOf G'.Colorable, ↑n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
V' : Type u_3
G' : SimpleGraph V'
h : ∀ (n : ℕ), G'.Colorable n → G.Colorable n
\u22a2 ∀ (i : ℕ), G'.Colorable i → ⨅ n, ⨅ (_ : G.Colorable n), ↑n ≤ ↑i
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
V' : Type u_3
G' : SimpleGraph V'
h : ∀ (n : ℕ), G'.Colorable n → G.Colorable n
m : ℕ
hc : G'.Colorable m
this : G.Colorable m
\u22a2 ⨅ n, ⨅ (_ : G.Colorable n), ↑n ≤ ↑m
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
V' : Type u_3
G' : SimpleGraph V'
h : ∀ (n : ℕ), G'.Colorable n → G.Colorable n
m : ℕ
hc : G'.Colorable m
this : G.chromaticNumber ≤ ↑m
\u22a2 ⨅ n, ⨅ (_ : G.Colorable n), ↑n ≤ ↑m
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/SmoothTransition.lean
x : ℝ
\u22a2 (↑(projIcc 0 1 ⋯ x)).smoothTransition = x.smoothTransition
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/SmoothTransition.lean
x✝ x : ℝ
hx : x < 0
\u22a2 x.smoothTransition = smoothTransition 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/SmoothTransition.lean
x✝ x : ℝ
hx : 1 < x
\u22a2 x.smoothTransition = smoothTransition 1
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
S : Finset Λ'
c : Code
k : Cont'
Hk : codeSupp c k ⊆ S
\u22a2 Λ'.Supports S (trNormal c k)
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
n : ℤ
\u22a2 Function.Commute ⇑f fun x => ↑n + x