ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z
\u22a2 x ^ z⁻¹ ≤ y ^ (z * z⁻¹) ↔ x ≤ y ^ z
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Projections.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q n : ℕ
\u22a2 (P q ≫ P q).f n = (P q).f n
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d a b n : α
a_nonneg : 0 ≤ a
a_lt_n : a < n
b_nonneg : 0 ≤ b
b_lt_n : b < n
\u22a2 |a - b| < n
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d a b n : α
a_nonneg : 0 ≤ a
a_lt_n : a < n
b_nonneg : 0 ≤ b
b_lt_n : b < n
\u22a2 a < n + b ∧ b < n + a
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
p : Fin (n + 1)
a : α p
f : (i : Fin n) → α (p.succAbove i)
g : (j : Fin (n + 1)) → α j
\u22a2 g = p.insertNth a f ↔ g p = a ∧ p.removeNth g = f
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/HomLift.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a b : 𝒳
f : p.obj a ⟶ p.obj b
φ : a ⟶ b
inst✝ : p.IsHomLift f φ
\u22a2 f = p.map φ
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
f : R[X]
inst✝² : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
inst✝ : Algebra R T
hx' : (aeval x) f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
\u22a2 (liftHom x hx' h) h.root = x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/SmoothSeries.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
hg : ∀ (n : α) (y : 𝕜), HasDerivAt (g n) (g' n y) y
hg' : ∀ (n : α) (y : 𝕜), ‖g' n y‖ ≤ u n
\u22a2 Differentiable 𝕜 fun z => ∑' (n : α), g n z
-- Mathlib/Analysis/Calculus/SmoothSeries.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
hg' : ∀ (n : α) (y : 𝕜), ‖g' n y‖ ≤ u n
hg : ∀ (n : α) (y : 𝕜), HasFDerivAt (g n) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' n y)) y
\u22a2 Differentiable 𝕜 fun z => ∑' (n : α), g n z
-- Mathlib/Analysis/Calculus/SmoothSeries.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
hg' : ∀ (n : α) (y : 𝕜), ‖g' n y‖ ≤ u n
hg : ∀ (n : α) (y : 𝕜), HasFDerivAt (g n) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' n y)) y
\u22a2 ∀ (n : α) (x : 𝕜), ‖ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' n x)‖ ≤ u n
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
\u22a2 map (⇑h) (cocompact X) = cocompact Y
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
\u22a2 toIocDiv hp a (p + b) = toIocDiv hp a b + 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Yoneda.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
F : C ⥤ Type v₁
hF : F.Corepresentable
X : C
f : F.coreprX ⟶ X
\u22a2 (F.coreprW.app X).hom f = F.map f F.coreprx
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s✝ t : Set α
s : Finset α
\u22a2 p.toOuterMeasure ↑s = ∑ x ∈ s, p x
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s✝ t : Set α
s : Finset α
\u22a2 ∀ b ∉ s, (↑s).indicator (⇑p) b = 0
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s✝ t : Set α
s : Finset α
\u22a2 ∑ b ∈ s, (↑s).indicator (⇑p) b = ∑ x ∈ s, p x
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
R : Type u
I : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
inst✝ : DecidableEq I
\u22a2 Pairwise (IsCoprime on fun i => s ↑i) ↔ ∀ i ∈ t, IsCoprime (s i) (∏ j ∈ t \ {i}, s j)
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
R : Type u
I : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
inst✝ : DecidableEq I
hp : Pairwise (IsCoprime on fun i => s ↑i)
i : I
hi : i ∈ t
j : I
hj : j ∈ t \ {i}
\u22a2 IsCoprime (s i) (s j)
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
R : Type u
I : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
inst✝ : DecidableEq I
hp : ∀ i ∈ t, IsCoprime (s i) (∏ j ∈ t \ {i}, s j)
\u22a2 Pairwise (IsCoprime on fun i => s ↑i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
\u22a2 volume (Ici a) = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
\u22a2 volume (Ioi a) = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
α : Type u_2
I : Type u_1
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
inst✝ : DecidableEq I
\u22a2 Pairwise (IsRelPrime on fun i => s ↑i) ↔ ∀ i ∈ t, IsRelPrime (s i) (∏ j ∈ t \ {i}, s j)
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
α : Type u_2
I : Type u_1
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
inst✝ : DecidableEq I
hp : Pairwise (IsRelPrime on fun i => s ↑i)
i : I
hi : i ∈ t
j : I
hj : j ∈ t \ {i}
\u22a2 IsRelPrime (s i) (s j)
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
α : Type u_2
I : Type u_1
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
inst✝ : DecidableEq I
hp : ∀ i ∈ t, IsRelPrime (s i) (∏ j ∈ t \ {i}, s j)
\u22a2 Pairwise (IsRelPrime on fun i => s ↑i)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
hg : MeromorphicAt g x
\u22a2 MeromorphicAt (f - g) x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
hg : MeromorphicAt g x
\u22a2 f - g = f + -g
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
hg : MeromorphicAt g x
z : 𝕜
\u22a2 (f - g) z = (f + -g) z
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
h : P.toPoly = Q.toPoly
\u22a2 P.d = Q.d
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁸ : CharZero 𝕂
inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸
inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
\u22a2 HasFDerivAt (fun u => exp 𝕂 (u • x)) ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 x).smulRight (exp 𝕂 (t • x))) t
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁸ : CharZero 𝕂
inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸
inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
\u22a2 (ContinuousLinearMap.smulRight 1 x).smulRight (exp 𝕂 (t • x)) = exp 𝕂 (t • x) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁸ : CharZero 𝕂
inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸
inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
t' : 𝕊
\u22a2 Commute (t' • x) (exp 𝕂 (t • x))
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : MulOneClass M
l : List M
a : M
\u22a2 (1 :: l).prod = l.prod
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : NontriviallyNormedField α
inst✝ : NormedAlgebra ℝ α
A : Matrix m n α
\u22a2 ‖A‖₊ = ‖{ toLinearMap := A.mulVecLin, cont := ⋯ }‖₊
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : NontriviallyNormedField α
inst✝ : NormedAlgebra ℝ α
A : Matrix m n α
N : ℝ≥0
hN : ∀ (x : n → α), ‖{ toLinearMap := A.mulVecLin, cont := ⋯ } x‖₊ ≤ N * ‖x‖₊
\u22a2 ‖A‖₊ ≤ N
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : NontriviallyNormedField α
inst✝ : NormedAlgebra ℝ α
A : Matrix m n α
N : ℝ≥0
hN : ∀ (x : n → α), ‖{ toLinearMap := A.mulVecLin, cont := ⋯ } x‖₊ ≤ N * ‖x‖₊
\u22a2 (Finset.univ.sup fun i => ∑ j : n, ‖A i j‖₊) ≤ N
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : NontriviallyNormedField α
inst✝ : NormedAlgebra ℝ α
A : Matrix m n α
N : ℝ≥0
hN : ∀ (x : n → α), ‖{ toLinearMap := A.mulVecLin, cont := ⋯ } x‖₊ ≤ N * ‖x‖₊
i : m
x✝ : i ∈ Finset.univ
\u22a2 ∑ j : n, ‖A i j‖₊ ≤ N
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : NontriviallyNormedField α
inst✝ : NormedAlgebra ℝ α
A : Matrix m n α
N : ℝ≥0
hN : ∀ (x : n → α), ‖{ toLinearMap := A.mulVecLin, cont := ⋯ } x‖₊ ≤ N * ‖x‖₊
i : m
x✝ : i ∈ Finset.univ
h✝ : IsEmpty n
\u22a2 ∑ j : n, ‖A i j‖₊ ≤ N
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : NontriviallyNormedField α
inst✝ : NormedAlgebra ℝ α
A : Matrix m n α
N : ℝ≥0
hN : ∀ (x : n → α), ‖{ toLinearMap := A.mulVecLin, cont := ⋯ } x‖₊ ≤ N * ‖x‖₊
i : m
x✝ : i ∈ Finset.univ
h✝ : Nonempty n
\u22a2 ∑ j : n, ‖A i j‖₊ ≤ N
-- Mathlib/Logic/Function/Conjugate.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
ga : α → α → α
gb : β → β → β
inst✝ : Std.Associative ga
h : Semiconj₂ f ga gb
h_surj : Surjective f
x₁ x₂ x₃ : α
\u22a2 gb (gb (f x₁) (f x₂)) (f x₃) = gb (f x₁) (gb (f x₂) (f x₃))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
f : M →ₗ[R] M₂
g : M₃ →ₗ[R] M₄
x : M₃ × M₄
\u22a2 x.2 = g x.1 ↔ -g x.1 + x.2 = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
\u22a2 a₁ * b₁ ≤ a₂ * b₂ → a₁ ≤ a₂ ∨ b₁ < b₂
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
\u22a2 a₂ < a₁ ∧ b₂ ≤ b₁ → a₂ * b₂ < a₁ * b₁
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
h : ↑n ≠ 0
\u22a2 (W.preΨ' n).leadingCoeff = ↑(if Even n then n / 2 else n)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
\u22a2 z \ (x \ y ⊔ y \ x) = (z \ x ⊔ z ⊓ x ⊓ y) ⊓ (z \ y ⊔ z ⊓ y ⊓ x)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
\u22a2 (z \ x ⊔ z ⊓ x ⊓ y) ⊓ (z \ y ⊔ z ⊓ y ⊓ x) = z ⊓ (z \ x ⊔ y) ⊓ (z \ y ⊔ z ⊓ y ⊓ x)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
\u22a2 z ⊓ (z \ x ⊔ y) ⊓ (z \ y ⊔ z ⊓ y ⊓ x) = z ⊓ (z \ x ⊔ y) ⊓ (z ⊓ (z \ y ⊔ x))
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
\u22a2 z ⊓ z ⊓ (z \ x ⊔ y) ⊓ (z \ y ⊔ x) = z ⊓ (z \ x ⊔ y) ⊓ (z \ y ⊔ x)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
M' : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : LieRingModule L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
\u22a2 map f N ≤ f.range
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
M' : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : LieRingModule L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
\u22a2 map f N ≤ map f ⊤
-- Mathlib/Data/Fintype/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
x✝ : Fin n.succ
\u22a2 x✝ ∈ ↑(Ioi 0) ↔ x✝ ∈ ↑(map (succEmb n) univ)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a : α
h : 0 < a
b c d : α
\u22a2 (fun x => x + b) '' ((fun x => a * x) '' Icc c d) = Icc (a * c + b) (a * d + b)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ = x₂
hy : y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
\u22a2 W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ = -evalEval x₁ y₁ W.polynomialX / evalEval x₁ y₁ W.polynomialY
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ = x₂
hy : y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
\u22a2 (3 * x₁ ^ 2 + 2 * W.a₂ * x₁ + W.a₄ - W.a₁ * y₁) / (y₁ - W.negY x₁ y₁) = (3 * x₁ ^ 2 + 2 * W.a₂ * x₁ + W.a₄ - W.a₁ * y₁) / evalEval x₁ y₁ W.polynomialY
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ = x₂
hy : y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
\u22a2 y₁ - W.negY x₁ y₁ = evalEval x₁ y₁ W.polynomialY
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ = x₂
hy : y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
\u22a2 y₁ - (-y₁ - W.a₁ * x₁ - W.a₃) = 2 * y₁ + W.a₁ * x₁ + W.a₃
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
p : Char → Bool
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
w✝² w✝¹ w✝ : List Char
h : ValidFor w✝² w✝¹ w✝ x✝
\u22a2 (x✝.takeWhile p).toString.data = List.takeWhile p x✝.toString.data
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
hf : Injective f
s t : Set α
h : f '' s = f '' t
\u22a2 s = t
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n : ℕ
x : α
\u22a2 l.rotate n = [x] ↔ l = [x]
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
h : Disjoint a b
\u22a2 (a ⊔ b) \ b = a
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
m_empty : m ∅ = 0
m_mono : ∀ ⦃t : Set α⦄, s ⊆ t → m s ≤ m t
m_subadd : ∀ (s : ℕ → Set α), m (⋃ i, s i) ≤ ∑' (i : ℕ), m (s i)
\u22a2 (boundedBy m) s = m s
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing R
\u22a2 ringChar R = 0 ↔ CharZero R
-- Mathlib/Algebra/Ring/Int.lean
u v : ℤˣ
\u22a2 u ≠ v ↔ u = -v
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β✝ : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B✝ : Set (Set α)
s : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
B : Set (Set α)
hB : IsTopologicalBasis B
f : α → β
\u22a2 IsOpenMap f ↔ ∀ s ∈ B, IsOpen (f '' s)
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β✝ : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B✝ : Set (Set α)
s : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
B : Set (Set α)
hB : IsTopologicalBasis B
f : α → β
hf : ∀ s ∈ B, IsOpen (f '' s)
o : Set α
ho : IsOpen o
\u22a2 IsOpen (f '' o)
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β✝ : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B✝ : Set (Set α)
s : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
B : Set (Set α)
hB : IsTopologicalBasis B
f : α → β
hf : ∀ s ∈ B, IsOpen (f '' s)
o : Set α
ho : IsOpen o
\u22a2 IsOpen (⋃ i, f '' ↑i)
-- Mathlib/Probability/Density.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → E
ℙ : Measure Ω
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
hX : HasPDF X ℙ μ
s : Set E
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (map X ℙ) s = ∫⁻ (x : E) in s, pdf X ℙ μ x ∂μ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Dilation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DilationClass F α β
f : F
h✝ : ¬∀ (x y : α), edist x y = 0 ∨ edist x y = ⊤
\u22a2 ⋯.choose ≠ 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Partition.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
α : Type v
C : G.Coloring α
c : V
\u22a2 IsAntichain G.Adj {x | (Setoid.ker ⇑C).Rel x c}
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s t : Set α
\u22a2 p.toOuterMeasure.caratheodory = ⊤
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s t : Set α
x : MeasurableSpace α
hx : x ∈ Set.range fun i => (p i • dirac i).caratheodory
\u22a2 ⊤ ≤ x
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s t : Set α
x : MeasurableSpace α
hx : x ∈ Set.range fun i => (p i • dirac i).caratheodory
y : α
hy : (fun i => (p i • dirac i).caratheodory) y = x
\u22a2 ⊤ ≤ x
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
f : CauSeq ℚ abs
\u22a2 0 < mk f ↔ f.Pos
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
f : CauSeq ℚ abs
\u22a2 0 < f ↔ f.Pos
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Mirror.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
\u22a2 (p * p.mirror).coeff (p.natDegree + p.natTrailingDegree) = p.sum fun n x => x ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Mirror.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
\u22a2 ∑ k ∈ Finset.range (p.natDegree + p.natTrailingDegree).succ, p.coeff (k, p.natDegree + p.natTrailingDegree - k).1 * p.mirror.coeff (k, p.natDegree + p.natTrailingDegree - k).2 = p.sum fun n x => x ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Mirror.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
hn : n ∈ Finset.range (p.natDegree + p.natTrailingDegree).succ
\u22a2 p.coeff (n, p.natDegree + p.natTrailingDegree - n).1 * p.mirror.coeff (n, p.natDegree + p.natTrailingDegree - n).2 = p.coeff n ^ 2
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ : List α✝
x✝ : l₁ <:+ l₂
t : List α✝
h : t ++ l₁ = l₂
\u22a2 t ++ l₁ ++ [] = l₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y
\u22a2 a - a = 0
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x y : CoeSort.coe A
g : G
\u22a2 (fun m g => (A.ρ g) m - m) (x + y) g = ((fun m g => (A.ρ g) m - m) x + (fun m g => (A.ρ g) m - m) y) g
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x y : CoeSort.coe A
g : G
\u22a2 (A.ρ g) x - x + ((A.ρ g) y - y) = ((fun g => (A.ρ g) x - x) + fun g => (A.ρ g) y - y) g
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
r : k
x : CoeSort.coe A
g : G
\u22a2 (A.ρ g) (r • x) - r • x = r • ((A.ρ g) x - x)
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Defs.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
μ : M → N → N
r : N → N → Prop
mu : N → N → N
inst✝ : IsSymmOp N N mu
\u22a2 Contravariant N N (flip mu) r ↔ Contravariant N N mu r
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Functor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝²¹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝²⁰ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹⁹ : Category.{?u.362828, u_3} E
inst✝¹⁸ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁷ : HasShift D ℤ
inst✝¹⁶ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝¹⁵ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝¹⁴ : G.CommShift ℤ
inst✝¹³ : HasZeroObject C
inst✝¹² : HasZeroObject D
inst✝¹¹ : HasZeroObject E
inst✝¹⁰ : Preadditive C
inst✝⁹ : Preadditive D
inst✝⁸ : Preadditive E
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor E n).Additive
inst✝⁴ : Pretriangulated C
inst✝³ : Pretriangulated D
inst✝² : Pretriangulated E
inst✝¹ : F.IsTriangulated
inst✝ : F.mapArrow.EssSurj
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles
\u22a2 ∃ T', ∃ (_ : T' ∈ distinguishedTriangles), Nonempty (F.mapTriangle.obj T' ≅ T)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Functor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝²¹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝²⁰ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹⁹ : Category.{?u.362828, u_3} E
inst✝¹⁸ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁷ : HasShift D ℤ
inst✝¹⁶ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝¹⁵ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝¹⁴ : G.CommShift ℤ
inst✝¹³ : HasZeroObject C
inst✝¹² : HasZeroObject D
inst✝¹¹ : HasZeroObject E
inst✝¹⁰ : Preadditive C
inst✝⁹ : Preadditive D
inst✝⁸ : Preadditive E
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor E n).Additive
inst✝⁴ : Pretriangulated C
inst✝³ : Pretriangulated D
inst✝² : Pretriangulated E
inst✝¹ : F.IsTriangulated
inst✝ : F.mapArrow.EssSurj
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles
X Y : C
f : X ⟶ Y
e₁ : F.obj X ≅ T.obj₁
e₂ : F.obj Y ≅ T.obj₂
w : F.map f ≫ e₂.hom = e₁.hom ≫ T.mor₁
\u22a2 ∃ T', ∃ (_ : T' ∈ distinguishedTriangles), Nonempty (F.mapTriangle.obj T' ≅ T)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Functor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝²¹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝²⁰ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹⁹ : Category.{?u.362828, u_3} E
inst✝¹⁸ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁷ : HasShift D ℤ
inst✝¹⁶ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝¹⁵ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝¹⁴ : G.CommShift ℤ
inst✝¹³ : HasZeroObject C
inst✝¹² : HasZeroObject D
inst✝¹¹ : HasZeroObject E
inst✝¹⁰ : Preadditive C
inst✝⁹ : Preadditive D
inst✝⁸ : Preadditive E
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor E n).Additive
inst✝⁴ : Pretriangulated C
inst✝³ : Pretriangulated D
inst✝² : Pretriangulated E
inst✝¹ : F.IsTriangulated
inst✝ : F.mapArrow.EssSurj
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles
X Y : C
f : X ⟶ Y
e₁ : F.obj X ≅ T.obj₁
e₂ : F.obj Y ≅ T.obj₂
w : F.map f ≫ e₂.hom = e₁.hom ≫ T.mor₁
W : C
g : Y ⟶ W
h : W ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
H : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
\u22a2 ∃ T', ∃ (_ : T' ∈ distinguishedTriangles), Nonempty (F.mapTriangle.obj T' ≅ T)