ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it
\u22a2 it.i = it.s.endPos ↔ r = []
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it
\u22a2 utf8Len l = utf8Len l + utf8Len r ↔ r = []
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraTower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
b : ι → S
ι' : Type w₁
c : ι' → A
hb : LinearIndependent R b
hc : LinearIndependent S c
\u22a2 LinearIndependent R fun p => b p.1 • c p.2
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraTower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
b : ι → S
ι' : Type w₁
c : ι' → A
hb : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • b i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
hc : ∀ (s : Finset ι') (g : ι' → S), ∑ i ∈ s, g i • c i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
\u22a2 LinearIndependent R fun p => b p.1 • c p.2
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraTower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
b : ι → S
ι' : Type w₁
c : ι' → A
hb : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • b i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
hc : ∀ (s : Finset ι') (g : ι' → S), ∑ i ∈ s, g i • c i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
\u22a2 ∀ (s : Finset (ι × ι')) (g : ι × ι' → R), (∀ i ∉ s, g i = 0) → ∑ i ∈ s, g i • b i.1 • c i.2 = 0 → ∀ (i : ι × ι'), g i = 0
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
s : List α
this : s = [] ↔ s <+: []
\u22a2 s ∈ [].inits ↔ s <+: []
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a✝ b : α
m n : ℕ
s✝ : List α
a : α
t : List α
o : s✝ = [] ∨ ∃ l, l ∈ t.inits ∧ a :: l = s✝
s r : List α
hr : r ∈ t.inits
hs : a :: r = s
\u22a2 s <+: a :: t
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a✝ b : α
m n : ℕ
s✝¹ : List α
a : α
t : List α
o : s✝¹ = [] ∨ ∃ l, l ∈ t.inits ∧ a :: l = s✝¹
s✝ r : List α
hr : r ∈ t.inits
hs : a :: r = s✝
s : List α
ht : r ++ s = t
\u22a2 s✝ <+: a :: t
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a✝ b✝ : α
m n : ℕ
s✝ : List α
a : α
t : List α
mi : s✝ <+: a :: t
b : α
s r : List α
hr : b :: s ++ r = a :: t
ba : b = a
st : s ++ r = t
\u22a2 ∃ l, l ∈ t.inits ∧ a :: l = a :: s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
X : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : SigmaCompactSpace X
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
F : Set X
hF : IsClosed F
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ F
B : ℕ → Set X := compactCovering X
\u22a2 ∃ K ⊆ F, IsCompact K ∧ r < μ K
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
X : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : SigmaCompactSpace X
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
F : Set X
hF : IsClosed F
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ F
B : ℕ → Set X := compactCovering X
hBc : ∀ (n : ℕ), IsCompact (F ∩ B n)
\u22a2 ∃ K ⊆ F, IsCompact K ∧ r < μ K
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
X : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : SigmaCompactSpace X
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
F : Set X
hF : IsClosed F
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ F
B : ℕ → Set X := compactCovering X
hBc : ∀ (n : ℕ), IsCompact (F ∩ B n)
hBU : ⋃ n, F ∩ B n = F
\u22a2 ∃ K ⊆ F, IsCompact K ∧ r < μ K
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
X : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : SigmaCompactSpace X
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
F : Set X
hF : IsClosed F
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ F
B : ℕ → Set X := compactCovering X
hBc : ∀ (n : ℕ), IsCompact (F ∩ B n)
hBU : ⋃ n, F ∩ B n = F
this : μ F = ⨆ n, μ (F ∩ B n)
\u22a2 ∃ K ⊆ F, IsCompact K ∧ r < μ K
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
X : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : SigmaCompactSpace X
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
F : Set X
hF : IsClosed F
r : ℝ≥0∞
B : ℕ → Set X := compactCovering X
hr : r < ⨆ n, μ (F ∩ B n)
hBc : ∀ (n : ℕ), IsCompact (F ∩ B n)
hBU : ⋃ n, F ∩ B n = F
this : μ F = ⨆ n, μ (F ∩ B n)
\u22a2 ∃ K ⊆ F, IsCompact K ∧ r < μ K
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
X : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : SigmaCompactSpace X
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
F : Set X
hF : IsClosed F
r : ℝ≥0∞
B : ℕ → Set X := compactCovering X
hr : r < ⨆ n, μ (F ∩ B n)
hBc : ∀ (n : ℕ), IsCompact (F ∩ B n)
hBU : ⋃ n, F ∩ B n = F
this : μ F = ⨆ n, μ (F ∩ B n)
n : ℕ
hn : r < μ (F ∩ B n)
\u22a2 ∃ K ⊆ F, IsCompact K ∧ r < μ K
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneContinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : DenselyOrdered β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_dense : DenseRange f
a : α
\u22a2 closure (f '' univ) ∈ 𝓝 (f a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
ht : UniqueDiffWithinAt 𝕜 t y
\u22a2 UniqueDiffWithinAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ∧ x ∈ closure s
ht : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t y)) ∧ y ∈ closure t
\u22a2 Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y))) ∧ (x, y) ∈ closure (s ×ˢ t)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ∧ x ∈ closure s
ht : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t y)) ∧ y ∈ closure t
\u22a2 Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y))) ∧ (x, y) ∈ closure s ×ˢ closure t
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ∧ x ∈ closure s
ht : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t y)) ∧ y ∈ closure t
\u22a2 Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ∧ x ∈ closure s
ht : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t y)) ∧ y ∈ closure t
this : Submodule.span 𝕜 (⇑(LinearMap.inl 𝕜 E F) '' tangentConeAt 𝕜 s x ∪ ⇑(LinearMap.inr 𝕜 E F) '' tangentConeAt 𝕜 t y) ≤ Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y))
\u22a2 Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ∧ x ∈ closure s
ht : Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t y)) ∧ y ∈ closure t
this : ∀ ⦃x_1 : E × F⦄, x_1 ∈ (Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)).prod (Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 t y)) → x_1 ∈ Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y))
\u22a2 Dense ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)))
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
heI : e ∉ I
he : autoParam (e ∈ M.E) _auto✝
\u22a2 e ∉ M.closure I ↔ M.Indep (insert e I)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : PointClass F
a✝ : Fin 3 → F
hP : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r a✝)
\u22a2 W.NonsingularLift (W.negMap (Quot.mk Setoid.r a✝))
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 < δ
a b : E
\u22a2 Metric.closedBall a ε + Metric.ball b δ = Metric.ball (a + b) (ε + δ)
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a x : α
i : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑i)
hx : x ≠ a
\u22a2 count x ↑(fill a i s) = count x ↑s
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a x : α
i : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑i)
hx : x ≠ a
\u22a2 x ∉ Multiset.replicate (↑i) a
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n : ℕ
h : l.length = 0
\u22a2 l.rotate n = l.rotate' n
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n : ℕ
h : ¬l.length = 0
\u22a2 l.rotate n = l.rotate' n
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n : ℕ
h : ¬l.length = 0
\u22a2 l.rotate n = drop (n % l.length) l ++ take (n % l.length) l
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w'
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : Infinite M
κ : Cardinal.{w}
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
\u22a2 ∃ N, (M ≅[L] ↑N) ∧ #↑N = κ
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w'
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : Infinite M
κ : Cardinal.{w}
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
N : Bundled L.Structure
hNκ : #↑N = κ
NM : Nonempty (↑N ↪ₑ[L] M)
\u22a2 ∃ N, (M ≅[L] ↑N) ∧ #↑N = κ
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w'
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : Infinite M
κ : Cardinal.{w}
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ
N : Bundled L.Structure
hNκ : #↑N = κ
MN : Nonempty (M ↪ₑ[L] ↑N)
\u22a2 ∃ N, (M ≅[L] ↑N) ∧ #↑N = κ
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/AE.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
ι : Sort u_4
p : α → ι → Prop
hp : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ι), p a i
i : ι
\u22a2 ∀ᵐ (a : α) ∂μ, p a i
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
le_hf' : ∀ x ∈ interior D, deriv f x ≤ C
x✝ : ℝ
hx✝ : x✝ ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x✝ ≤ y
x : ℝ
hx : x ∈ interior D
\u22a2 -C ≤ deriv (fun y => -f y) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
le_hf' : ∀ x ∈ interior D, deriv f x ≤ C
x✝ : ℝ
hx✝ : x✝ ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x✝ ≤ y
x : ℝ
hx : x ∈ interior D
\u22a2 deriv f x ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
le_hf' : ∀ x ∈ interior D, deriv f x ≤ C
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x ≤ y
hf'_ge : ∀ x ∈ interior D, -C ≤ deriv (fun y => -f y) x
\u22a2 f y - f x ≤ C * (y - x)
-- Mathlib/Data/Finset/PiInduction.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
r : (i : ι) → α i → Finset (α i) → Prop
H_ex : ∀ (i : ι) (s : Finset (α i)), s.Nonempty → ∃ x ∈ s, r i x (s.erase x)
p : ((i : ι) → Finset (α i)) → Prop
f : (i : ι) → Finset (α i)
h0 : p fun x => ∅
step : ∀ (g : (i : ι) → Finset (α i)) (i : ι) (x : α i), r i x (g i) → p g → p (update g i (insert x (g i)))
\u22a2 p f
-- Mathlib/Data/Finset/PiInduction.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
r : (i : ι) → α i → Finset (α i) → Prop
H_ex : ∀ (i : ι) (s : Finset (α i)), s.Nonempty → ∃ x ∈ s, r i x (s.erase x)
p : ((i : ι) → Finset (α i)) → Prop
f : (i : ι) → Finset (α i)
h0 : p fun x => ∅
step : ∀ (g : (i : ι) → Finset (α i)) (i : ι) (x : α i), r i x (g i) → p g → p (update g i (insert x (g i)))
val✝ : Fintype ι
\u22a2 p f
-- Mathlib/Data/Finset/PiInduction.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
r : (i : ι) → α i → Finset (α i) → Prop
H_ex : ∀ (i : ι) (s : Finset (α i)), s.Nonempty → ∃ x ∈ s, r i x (s.erase x)
p : ((i : ι) → Finset (α i)) → Prop
h0 : p fun x => ∅
step : ∀ (g : (i : ι) → Finset (α i)) (i : ι) (x : α i), r i x (g i) → p g → p (update g i (insert x (g i)))
val✝ : Fintype ι
f : (i : ι) → Finset (α i)
ihs : ∀ t ⊂ univ.sigma f, ∀ (f : (i : ι) → Finset (α i)), univ.sigma f = t → p f
\u22a2 p f
-- Mathlib/Data/Finset/PiInduction.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
r : (i : ι) → α i → Finset (α i) → Prop
H_ex : ∀ (i : ι) (s : Finset (α i)), s.Nonempty → ∃ x ∈ s, r i x (s.erase x)
p : ((i : ι) → Finset (α i)) → Prop
h0 : p fun x => ∅
step : ∀ (g : (i : ι) → Finset (α i)) (i : ι) (x : α i), r i x (g i) → p g → p (update g i (insert x (g i)))
val✝ : Fintype ι
f : (i : ι) → Finset (α i)
ihs : ∀ t ⊂ univ.sigma f, ∀ (f : (i : ι) → Finset (α i)), univ.sigma f = t → p f
he : univ.sigma f = ∅
\u22a2 p f
-- Mathlib/Data/Finset/PiInduction.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
r : (i : ι) → α i → Finset (α i) → Prop
H_ex : ∀ (i : ι) (s : Finset (α i)), s.Nonempty → ∃ x ∈ s, r i x (s.erase x)
p : ((i : ι) → Finset (α i)) → Prop
h0 : p fun x => ∅
step : ∀ (g : (i : ι) → Finset (α i)) (i : ι) (x : α i), r i x (g i) → p g → p (update g i (insert x (g i)))
val✝ : Fintype ι
f : (i : ι) → Finset (α i)
ihs : ∀ t ⊂ univ.sigma f, ∀ (f : (i : ι) → Finset (α i)), univ.sigma f = t → p f
hne : (univ.sigma f).Nonempty
\u22a2 p f
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
t : ℝ
\u22a2 Tendsto (fun x => (1 + t / x) ^ x) atTop (𝓝 (rexp t))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
t : ℝ
\u22a2 (rexp ∘ fun x => x * log (1 + t / x)) =ᶠ[atTop] fun x => (1 + t / x) ^ x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
t : ℝ
h₁ : 1 / 2 < 1
\u22a2 (rexp ∘ fun x => x * log (1 + t / x)) =ᶠ[atTop] fun x => (1 + t / x) ^ x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
t : ℝ
h₁ : 1 / 2 < 1
h₂ : Tendsto (fun x => 1 + t / x) atTop (𝓝 1)
\u22a2 (rexp ∘ fun x => x * log (1 + t / x)) =ᶠ[atTop] fun x => (1 + t / x) ^ x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
t : ℝ
h₁ : 1 / 2 < 1
h₂ : Tendsto (fun x => 1 + t / x) atTop (𝓝 1)
x : ℝ
hx : 1 / 2 ≤ 1 + t / x
\u22a2 (rexp ∘ fun x => x * log (1 + t / x)) x = (fun x => (1 + t / x) ^ x) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
t : ℝ
h₁ : 1 / 2 < 1
h₂ : Tendsto (fun x => 1 + t / x) atTop (𝓝 1)
x : ℝ
hx : 1 / 2 ≤ 1 + t / x
hx' : 0 < 1 + t / x
\u22a2 (rexp ∘ fun x => x * log (1 + t / x)) x = (fun x => (1 + t / x) ^ x) x
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : AddMonoidWithOne R
inst✝ : CharZero R
n : ℕ
\u22a2 ↑n = 0 ↔ n = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
n : ℕ
x : ℤ_[p]
\u22a2 x ∈ RingHom.ker (toZModPow n) ↔ x ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
n : ℕ
x : ℤ_[p]
\u22a2 (toZModPow n) x = 0 ↔ x ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g x y : Perm α
h : f.Disjoint g
hf : x.support ≤ f.support
hg : y.support ≤ g.support
\u22a2 x.Disjoint y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g x y : Perm α
h : _root_.Disjoint f.support g.support
hf : x.support ≤ f.support
hg : y.support ≤ g.support
\u22a2 _root_.Disjoint x.support y.support
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ
\u22a2 (W.map f).preΨ n = Polynomial.map f (W.preΨ n)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ
\u22a2 preNormEDS ((mapRingHom f) W.Ψ₂Sq ^ 2) ((mapRingHom f) W.Ψ₃) ((mapRingHom f) W.preΨ₄) n = preNormEDS ((mapRingHom f) (W.Ψ₂Sq ^ 2)) ((mapRingHom f) W.Ψ₃) ((mapRingHom f) W.preΨ₄) n
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q : ℚ
\u22a2 (q * q).den = q.den * q.den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q : ℚ
\u22a2 (q.num.natAbs * q.num.natAbs).Coprime (q.den * q.den)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
x : E
\u22a2 p x 0 = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm (f x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
x : E
\u22a2 p x 0 = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm (p x 0).uncurry0
-- Mathlib/Data/Int/Lemmas.lean
a✝ b✝ : ℤ
n : ℕ
a : ℤ
x✝ : a ∈ Iic 0
b : ℤ
hb : b ∈ Iic 0
hab : a < b
\u22a2 b.natAbs < a.natAbs
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
\u22a2 P x * ![P x / P z ^ 2, P y / P z ^ 3, 1] z ^ 2 = ![P x / P z ^ 2, P y / P z ^ 3, 1] x * P z ^ 2
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
\u22a2 P y * ![P x / P z ^ 2, P y / P z ^ 3, 1] z ^ 3 = ![P x / P z ^ 2, P y / P z ^ 3, 1] y * P z ^ 3
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
i : Fin (n + 1)
\u22a2 i.predAbove (last (n + 1)) = last n
-- Mathlib/RingTheory/Generators.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
P✝ : Generators R S
T✝ : Type ?u.93774
inst✝⁵ : CommRing T✝
inst✝⁴ : Algebra R T✝
inst✝³ : Algebra S T✝
inst✝² : IsScalarTower R S T✝
T : Type ?u.94985
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Generators R S
x : T ⊗[R] S
\u22a2 ∃ a, (aeval fun x => 1 ⊗ₜ[R] P.val x) a = x
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
h_one : f 1 = 1
h_mul : ∀ (x y : M), f (x * y) ≤ f x * f y
s : Finset ι
g : ι → M
\u22a2 f (∏ i ∈ s, g i) ≤ ∏ i ∈ s, f (g i)
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
h_one : f 1 = 1
h_mul : ∀ (x y : M), f (x * y) ≤ f x * f y
s : Finset ι
g : ι → M
\u22a2 (Multiset.map f (Multiset.map (fun i => g i) s.val)).prod ≤ ∏ i ∈ s, f (g i)
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
h_one : f 1 = 1
h_mul : ∀ (x y : M), f (x * y) ≤ f x * f y
s : Finset ι
g : ι → M
\u22a2 (Multiset.map (f ∘ fun i => g i) s.val).prod ≤ ∏ i ∈ s, f (g i)
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationSubring.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
A✝ A B : ValuationSubring K
h : A.principalUnitGroup = B.principalUnitGroup
\u22a2 A = B
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
\u22a2 (o.oangle (x + y) y).tan * ‖y‖ = ‖x‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
\u22a2 ((-o).oangle y (x + y)).tan * ‖y‖ = ‖x‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
\u22a2 ((-o).oangle y (y + x)).tan * ‖y‖ = ‖x‖
-- Mathlib/Topology/Algebra/WithZeroTopology.lean
α : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ γ₁ γ₂ : Γ₀
l : Filter α
f : α → Γ₀
h : γ₁ < γ₂
\u22a2 Iio γ₂ ∈ 𝓝 γ₁
-- Mathlib/Algebra/Ring/Units.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring α
a✝ b✝ a b : α
u : αˣ
\u22a2 a - b /ₚ u = (a * ↑u - b) /ₚ u
-- Mathlib/Data/Semiquot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
q : Semiquot α
p : q.IsPure
a : α
\u22a2 a ∈ q ↔ a ∈ pure (q.get p)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
\u22a2 ‖y‖ / (o.oangle (x - y) x).tan = ‖x‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
\u22a2 ‖y‖ / ((-o).oangle x (x - y)).tan = ‖x‖