ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x y : ℝ*
hip : x.InfinitePos
hnin : ¬y.InfiniteNeg
r : ℝ
\u22a2 ↑r < x + y
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x y : ℝ*
hip : x.InfinitePos
hnin : ¬y.InfiniteNeg
r r₂ : ℝ
hr₂ : ¬y < ↑r₂
\u22a2 ↑r < x + y
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x y : ℝ*
hip : x.InfinitePos
hnin : ¬y.InfiniteNeg
r r₂ : ℝ
hr₂ : ¬y < ↑r₂
\u22a2 ↑r = ↑(r + -r₂) + ↑r₂
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
\u22a2 f.valuation = g.valuation ↔ f.norm = g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
\u22a2 0 < ↑p
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
\u22a2 ↑p ≠ 1
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/Opposite.lean
M : Type u_1
inst✝ : Mul M
c d : Con M
\u22a2 { toFun := op, invFun := unop, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } c ≤ { toFun := op, invFun := unop, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } d ↔ c ≤ d
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/Opposite.lean
M : Type u_1
inst✝ : Mul M
c d : Con M
\u22a2 (∀ {x y : Mᵐᵒᵖ}, ({ toFun := op, invFun := unop, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } c) x y → ({ toFun := op, invFun := unop, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } d) x y) ↔ ∀ {x y : M}, c x y → d x y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_f_lt : f.degree < ↑s.card
eval_f : ∀ x ∈ s, eval x f = 0
\u22a2 f = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_f_lt : f ∈ degreeLT R s.card
eval_f : ∀ x ∈ s, eval x f = 0
\u22a2 f = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_f_lt : f ∈ degreeLT R s.card
eval_f : ∀ x ∈ s, ∑ i : Fin s.card, (degreeLTEquiv R s.card) ⟨f, degree_f_lt⟩ i * x ^ ↑i = 0
\u22a2 f = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_f_lt : f ∈ degreeLT R s.card
eval_f : ∀ x ∈ s, ∑ i : Fin s.card, (degreeLTEquiv R s.card) ⟨f, degree_f_lt⟩ i * x ^ ↑i = 0
\u22a2 (degreeLTEquiv R s.card) ⟨f, degree_f_lt⟩ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S N
inst✝³ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝² : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
inst✝ : IsDomain R
\u22a2 ∃ s, #↑s = Module.rank R M ∧ LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S N
inst✝³ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝² : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
inst✝ : IsDomain R
w : Module.Free.ChooseBasisIndex (FractionRing R) (LocalizedModule R⁰ M) → M
hw : LinearIndependent R w
\u22a2 ∃ s, #↑s = Module.rank R M ∧ LinearIndependent (ι := ↑s) R Subtype.val
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S N
inst✝³ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝² : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
inst✝ : IsDomain R
w : Module.Free.ChooseBasisIndex (FractionRing R) (LocalizedModule R⁰ M) → M
hw : LinearIndependent R w
\u22a2 #↑(Set.range w) = Module.rank R M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S N
inst✝³ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝² : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
inst✝ : IsDomain R
w : Module.Free.ChooseBasisIndex (FractionRing R) (LocalizedModule R⁰ M) → M
hw : LinearIndependent R w
\u22a2 lift.{max u v, v} #↑(Set.range w) = lift.{max u v, v} (Module.rank R M)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : ∃ a, b = succ a
c : Ordinal.{u_4}
e : b = succ c
\u22a2 a < b.pred ↔ succ a < b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : ¬∃ a, b = succ a
\u22a2 a < b.pred ↔ succ a < b
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
\u22a2 Integrable (fun t => ⨅ r, f (a, t) ↑r) (ν a)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
\u22a2 Memℒp (fun t => ⨅ r, f (a, t) ↑r) 1 (ν a)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
\u22a2 eLpNorm (fun t => ⨅ r, f (a, t) ↑r) 1 (ν a) < ⊤
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
\u22a2 eLpNorm (fun t => ⨅ r, f (a, t) ↑r) 1 (ν a) ≤ (ν a) univ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
\u22a2 ∀ᵐ (x : β) ∂ν a, ‖⨅ r, f (a, x) ↑r‖ ≤ 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r => f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
\u22a2 ‖⨅ r, f (a, t) ↑r‖ ≤ 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r => f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
\u22a2 ⨅ r, f (a, t) ↑r ≤ 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r => f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
\u22a2 0 ≤ ⨅ r, f (a, t) ↑r
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Closed.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : Sieve X
\u22a2 J₁.close (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f (J₁.close S)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Closed.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : Sieve X
\u22a2 J₁.close (Sieve.pullback f S) ≤ Sieve.pullback f (J₁.close S)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Closed.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : Sieve X
\u22a2 Sieve.pullback f (J₁.close S) ≤ J₁.close (Sieve.pullback f S)
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : Flat R M
e : N ≃ₗ[R] M
h : ↑e.symm ∘ₗ ↑e = LinearMap.id
\u22a2 Flat R N
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCancelCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
c : E
\u22a2 StrictConcaveOn 𝕜 ((fun z => c + z) ⁻¹' s) (f ∘ fun z => z + c)
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : IsReduced B
n : ℕ
p : A[X]
dvd : minpoly A x ∣ p ^ n
\u22a2 minpoly A x ∣ p
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : IsReduced B
n : ℕ
p : A[X]
dvd : (Polynomial.aeval x) (p ^ n) = 0
\u22a2 (Polynomial.aeval x) p = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : IsReduced B
n : ℕ
p : A[X]
dvd : (Polynomial.aeval x) p ^ n = 0
\u22a2 (Polynomial.aeval x) p = 0
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : ℕ → ℕ
h1 : Monotone f
B : ℕ
h2 : ∀ (n : ℕ), f n ≤ B
h3 : ∀ (n : ℕ), f n = f (n + 1) → f (n + 1) = f (n + 2)
\u22a2 ∀ (k : ℕ), B ≤ k → f k = f B
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : ℕ → ℕ
h1 : Monotone f
B : ℕ
h2 : ∀ (n : ℕ), f n ≤ B
h3 : ∀ (n : ℕ), f n = f (n + 1) → f (n + 1) = f (n + 2)
key : ∃ n ≤ B, f n = f (n + 1)
\u22a2 ∀ (k : ℕ), B ≤ k → f k = f B
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : ℕ → ℕ
h1 : Monotone f
B : ℕ
h2 : ∀ (n : ℕ), f n ≤ B
h3 : ∀ (n : ℕ), f n = f (n + 1) → f (n + 1) = f (n + 2)
n : ℕ
hn1 : n ≤ B
hn2 : f n = f (n + 1)
\u22a2 ∀ (k : ℕ), B ≤ k → f k = f B
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : ℕ → ℕ
h1 : Monotone f
B : ℕ
h2 : ∀ (n : ℕ), f n ≤ B
h3 : ∀ (n : ℕ), f n = f (n + 1) → f (n + 1) = f (n + 2)
n : ℕ
hn1 : n ≤ B
hn2 : f n = f (n + 1)
key : ∀ (k : ℕ), f (n + k) = f (n + k + 1) ∧ f (n + k) = f n
\u22a2 ∀ (k : ℕ), B ≤ k → f k = f B
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : ℕ → ℕ
h1 : Monotone f
B : ℕ
h2 : ∀ (n : ℕ), f n ≤ B
h3 : ∀ (n : ℕ), f n = f (n + 1) → f (n + 1) = f (n + 2)
n : ℕ
hn1 : n ≤ B
hn2 : f n = f (n + 1)
key : ∀ (k : ℕ), n ≤ k → f k = f n
\u22a2 ∀ (k : ℕ), B ≤ k → f k = f B
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedRing 𝕝
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x : E
a b : 𝕜
hA : Balanced 𝕜 A
ha : 1 ≤ ‖a‖
\u22a2 A ⊆ a • A
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedRing 𝕝
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x : E
a b : 𝕜
hA : Balanced 𝕜 A
ha : ‖1‖ ≤ ‖a‖
\u22a2 A ⊆ a • A
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
\u22a2 s.pi t₁ ⊆ s.pi t₂ ↔ (∀ i ∈ s, t₁ i ⊆ t₂ i) ∨ s.pi t₁ = ∅
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
h : s.pi t₁ ⊆ s.pi t₂
\u22a2 ¬s.pi t₁ = ∅ → ∀ i ∈ s, t₁ i ⊆ t₂ i
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
h : s.pi t₁ ⊆ s.pi t₂
\u22a2 (s.pi t₁).Nonempty → ∀ i ∈ s, t₁ i ⊆ t₂ i
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i✝ : ι
h : s.pi t₁ ⊆ s.pi t₂
hne : (s.pi t₁).Nonempty
i : ι
hi : i ∈ s
\u22a2 t₁ i ⊆ t₂ i
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : dist p₁ p₂ = dist p₁ p₃
\u22a2 ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₂ p₃ p₁
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖
\u22a2 ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₂ p₃ p₁
-- Mathlib/Order/Hom/Basic.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
δ✝ : Type u_5
inst✝⁶ : LE α✝
inst✝⁵ : LE β✝
inst✝⁴ : LE γ✝
α : Type ?u.63266
β : Type ?u.63269
γ : Type ?u.63272
δ : Type ?u.63275
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : Preorder δ
f : α ≃o γ
g : β ≃o δ
p : α →o β
\u22a2 (⇑g.symm ∘ ⇑g) ∘ ⇑p ∘ ⇑f.symm ∘ ⇑f = ⇑p
-- Mathlib/Order/Hom/Basic.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
δ✝ : Type u_5
inst✝⁶ : LE α✝
inst✝⁵ : LE β✝
inst✝⁴ : LE γ✝
α : Type ?u.63266
β : Type ?u.63269
γ : Type ?u.63272
δ : Type ?u.63275
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : Preorder δ
f : α ≃o γ
g : β ≃o δ
p : γ →o δ
\u22a2 (⇑g ∘ ⇑g.symm) ∘ ⇑p ∘ ⇑f ∘ ⇑f.symm = ⇑p
-- Mathlib/Order/Hom/Basic.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
δ✝ : Type u_5
inst✝⁶ : LE α✝
inst✝⁵ : LE β✝
inst✝⁴ : LE γ✝
α : Type ?u.63266
β : Type ?u.63269
γ : Type ?u.63272
δ : Type ?u.63275
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : Preorder δ
f : α ≃o γ
g : β ≃o δ
p q : α →o β
\u22a2 { toFun := fun p => (↑g).comp (p.comp ↑f.symm), invFun := fun p => (↑g.symm).comp (p.comp ↑f), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } p ≤ { toFun := fun p => (↑g).comp (p.comp ↑f.symm), invFun := fun p => (↑g.symm).comp (p.comp ↑f), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } q ↔ p ≤ q
-- Mathlib/Order/Hom/Basic.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
δ✝ : Type u_5
inst✝⁶ : LE α✝
inst✝⁵ : LE β✝
inst✝⁴ : LE γ✝
α : Type ?u.63266
β : Type ?u.63269
γ : Type ?u.63272
δ : Type ?u.63275
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : Preorder δ
f : α ≃o γ
g : β ≃o δ
p q : α →o β
\u22a2 (∀ (x : γ), p (f.symm x) ≤ q (f.symm x)) ↔ ∀ (x : α), p x ≤ q x
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
\u22a2 n ≤ m ∧ m ≤ n + 1 ↔ m = n ∨ m = n + 1
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
\u22a2 m = n + 1 → n ≤ m
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
\u22a2 n ≤ n + 1
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
\u22a2 (deriv fun x => 1 - ε x) =ᶠ[atTop] -deriv ε
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x
\u22a2 deriv (fun x => 1 - ε x) x = (-deriv ε) x
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
\u22a2 -deriv ε =ᶠ[atTop] fun x => x⁻¹ / log x ^ 2
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x
\u22a2 (-deriv ε) x = x⁻¹ / log x ^ 2
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : β → E
μ : Measure β
a : α
s : Set β
\u22a2 ∫ (x : β) in s, f x ∂(const α μ) a = ∫ (x : β) in s, f x ∂μ
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
\u22a2 edist x y ≤ edist x z + edist y z
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
\u22a2 edist x y ≤ edist x z + edist z y
-- Mathlib/Topology/NhdsSet.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
\u22a2 𝓝ˢ s = 𝓟 s ↔ IsOpen s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
s : Set V
u : V
hu : u ∈ s
patches : ∀ {v : V}, v ∈ s → ∃ s' ⊆ s, ∃ (hu' : u ∈ s') (hv' : v ∈ s'), (induce s' G).Reachable ⟨u, hu'⟩ ⟨v, hv'⟩
\u22a2 (induce s G).Connected
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
s : Set V
u : V
hu : u ∈ s
patches : ∀ {v : V}, v ∈ s → ∃ s' ⊆ s, ∃ (hu' : u ∈ s') (hv' : v ∈ s'), (induce s' G).Reachable ⟨u, hu'⟩ ⟨v, hv'⟩
\u22a2 ∃ v, ∀ (w : ↑s), (induce s G).Reachable v w
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
s : Set V
u : V
hu : u ∈ s
patches : ∀ {v : V}, v ∈ s → ∃ s' ⊆ s, ∃ (hu' : u ∈ s') (hv' : v ∈ s'), (induce s' G).Reachable ⟨u, hu'⟩ ⟨v, hv'⟩
v : V
hv : v ∈ s
sv : Set V
svs : sv ⊆ s
hu' : u ∈ sv
hv' : v ∈ sv
uv : (induce sv G).Reachable ⟨u, hu'⟩ ⟨v, hv'⟩
\u22a2 (induce s G).Reachable ⟨u, hu⟩ ⟨v, hv⟩
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
l : ι →₀ 𝕜
v : ι → E
x : E
\u22a2 ⟪l.sum fun i a => a • v i, x⟫_𝕜 = l.sum fun i a => (starRingEnd 𝕜) a • ⟪v i, x⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
l : ι →₀ 𝕜
v : ι → E
x : E
\u22a2 (l.sum fun i a => (starRingEnd 𝕜) a • ⟪v i, x⟫_𝕜) = ∑ i ∈ l.support, ⟪l i • v i, x⟫_𝕜
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq o
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
ii : o
ix : n' ii
ji : o
jx : m' ji
\u22a2 (blockDiagonal' M)ᵀ ⟨ii, ix⟩ ⟨ji, jx⟩ = blockDiagonal' (fun k => (M k)ᵀ) ⟨ii, ix⟩ ⟨ji, jx⟩
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq o
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
ii : o
ix : n' ii
ji : o
jx : m' ji
\u22a2 (if h : ji = ii then M ji jx (cast ⋯ ix) else 0) = if h : ii = ji then M ii (cast ⋯ jx) ix else 0
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
a : PartENat
ha : a.Dom
b : ℕ
\u22a2 a.get ha = b ↔ a = ↑b
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
a : PartENat
ha : a.Dom
b : ℕ
\u22a2 a = ↑b ↔ a = ↑b
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F✝ G✝ : C ⥤ D
F G : Cᵒᵖ ⥤ Dᵒᵖ
α : F.unop ⟶ G.unop
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
\u22a2 (G.map f ≫ (fun X => (α.app (unop X)).op) Y).unop = ((fun X => (α.app (unop X)).op) X ≫ F.map f).unop
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n p : ℕ
\u22a2 0 < a.factorizationLCMLeft b
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n p : ℕ
\u22a2 a.factorizationLCMLeft b ≠ 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n p : ℕ
\u22a2 ∀ i ∈ (a.lcm b).factorization.support, (if b.factorization i ≤ a.factorization i then i ^ (a.lcm b).factorization i else 1) ≠ 0
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α
\u22a2 s ≤ t + s
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
h : constantCoeff Φ = 0
n : ℕ
\u22a2 constantCoeff (wittStructureInt p Φ n) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
h : constantCoeff Φ = 0
n : ℕ
inj : Function.Injective ⇑(Int.castRingHom ℚ)
\u22a2 constantCoeff (wittStructureInt p Φ n) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
h : constantCoeff Φ = 0
n : ℕ
inj : Function.Injective ⇑(Int.castRingHom ℚ)
\u22a2 (Int.castRingHom ℚ) (constantCoeff (wittStructureInt p Φ n)) = (Int.castRingHom ℚ) 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
h : constantCoeff Φ = 0
n : ℕ
inj : Function.Injective ⇑(Int.castRingHom ℚ)
\u22a2 constantCoeff ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c d a' b' c' : Ordinal.{u}
ha : a' ≤ a
hb : b' ≤ b
hc : c' ≤ c
\u22a2 a' ⨳ (b ⨳ c) ♯ a ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a ⨳ (b ⨳ c') ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c') ≤ a ⨳ (b ⨳ c) ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a' ⨳ (b ⨳ c') ♯ a ⨳ (b' ⨳ c')
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c d a' b' c' : Ordinal.{u}
ha : a' ≤ a
hb : b' ≤ b
hc : c' ≤ c
\u22a2 b ⨳ c ⨳ a' ♯ b' ⨳ c ⨳ a ♯ b ⨳ c' ⨳ a ♯ b' ⨳ c' ⨳ a' ≤ b ⨳ c ⨳ a ♯ b' ⨳ c ⨳ a' ♯ b ⨳ c' ⨳ a' ♯ b' ⨳ c' ⨳ a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
mass_lim : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 0)
\u22a2 Tendsto μs F (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
mass_lim : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 0)
\u22a2 ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => (μs i).testAgainstNN f) F (𝓝 (testAgainstNN 0 f))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
mass_lim : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 0)
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
\u22a2 Tendsto (fun i => (μs i).testAgainstNN f) F (𝓝 (testAgainstNN 0 f))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_3
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
mass_lim : Tendsto (fun i => (μs i).mass) F (𝓝 0)
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
\u22a2 testAgainstNN 0 f = 0