ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/SmoothTransition.lean
x : ℝ
\u22a2 0 ≤ expNegInvGlue x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
k✝ : Fin (n + 1)
k : Fin n
ih : ∀ (c : Fin n → R), (∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → c i = 0) → ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R}, (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) → (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det
c : Fin n → R
hc : ∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0
M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j
hsucc : ∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j
M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)
\u22a2 M.det = N.det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
k✝ : Fin (n + 1)
k : Fin n
ih : ∀ (c : Fin n → R), (∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → c i = 0) → ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R}, (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) → (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det
c : Fin n → R
hc : ∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0
M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j
hsucc : ∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j
M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)
k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ
\u22a2 M.det = N.det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
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R : Type v
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n : ℕ
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c : Fin n → R
hc : ∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0
M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j
hsucc : ∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j
M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)
k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ
M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc
\u22a2 M.det = N.det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
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n : ℕ
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ih : ∀ (c : Fin n → R), (∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → c i = 0) → ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R}, (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) → (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det
c : Fin n → R
hc : ∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0
M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j
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M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)
k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ
M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc
\u22a2 ∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → update c k 0 i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
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R : Type v
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n : ℕ
k✝ : Fin (n + 1)
k : Fin n
ih : ∀ (c : Fin n → R), (∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → c i = 0) → ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R}, (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) → (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det
c : Fin n → R
hc : ∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0
M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j
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M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)
k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ
M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc
\u22a2 ∀ (j : Fin n.succ), M' 0 j = N 0 j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
k✝ : Fin (n + 1)
k : Fin n
ih : ∀ (c : Fin n → R), (∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → c i = 0) → ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R}, (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) → (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det
c : Fin n → R
hc : ∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0
M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j
hsucc : ∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j
M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)
k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ
M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc
\u22a2 ∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M' i.succ j = N i.succ j + update c k 0 i * M' i.castSucc j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
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R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
k✝ : Fin (n + 1)
k : Fin n
ih : ∀ (c : Fin n → R), (∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → c i = 0) → ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R}, (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) → (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det
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hc : ∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0
M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
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M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)
k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ
M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc
i : Fin n
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\u22a2 M' i.succ j = N i.succ j + update c k 0 i * M' i.castSucc j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
k✝ : Fin (n + 1)
k : Fin n
ih : ∀ (c : Fin n → R), (∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → c i = 0) → ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R}, (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) → (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det
c : Fin n → R
hc : ∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0
M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j
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M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)
k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ
M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc
i : Fin n
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\u22a2 M' i.succ j = N i.succ j + (if i = k then 0 else c i) * M' i.castSucc j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
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inst✝² : DecidableEq m
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R : Type v
inst✝ : CommRing R
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k✝ : Fin (n + 1)
k : Fin n
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c : Fin n → R
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M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
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M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)
k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ
M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc
i : Fin n
j : Fin n.succ
hik : ¬i = k
\u22a2 M' i.succ j = N i.succ j + c i * M' i.castSucc j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
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R : Type v
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h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j
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M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)
k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ
M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc
i : Fin n
j : Fin n.succ
hik : ¬i = k
\u22a2 N i.succ j + c i * M i.castSucc j = N i.succ j + c i * M.updateRow k.succ (N k.succ) i.castSucc j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
k✝ : Fin (n + 1)
k : Fin n
ih : ∀ (c : Fin n → R), (∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → c i = 0) → ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R}, (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) → (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det
c : Fin n → R
hc : ∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0
M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j
hsucc : ∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j
M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)
k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ
M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc
i : Fin n
j : Fin n.succ
hik : ¬i = k
hik2 : ¬k < i
\u22a2 N i.succ j + c i * M i.castSucc j = N i.succ j + c i * M.updateRow k.succ (N k.succ) i.castSucc j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
k✝ : Fin (n + 1)
k : Fin n
ih : ∀ (c : Fin n → R), (∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → c i = 0) → ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R}, (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) → (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det
c : Fin n → R
hc : ∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0
M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j
hsucc : ∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j
M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)
k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ
M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc
i : Fin n
j : Fin n.succ
hik : ¬i = k
hik2 : ¬k < i
\u22a2 i.castSucc ≠ k.succ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
k✝ : Fin (n + 1)
k : Fin n
ih : ∀ (c : Fin n → R), (∀ (i : Fin n), k.castSucc < i.succ → c i = 0) → ∀ {M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R}, (∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j) → (∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j) → M.det = N.det
c : Fin n → R
hc : ∀ (i : Fin n), k.succ < i.succ → c i = 0
M N : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
h0 : ∀ (j : Fin n.succ), M 0 j = N 0 j
hsucc : ∀ (i : Fin n) (j : Fin n.succ), M i.succ j = N i.succ j + c i * M i.castSucc j
M' : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R := M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM' : M' = M.updateRow k.succ (N k.succ)
hM : M = M'.updateRow k.succ (M' k.succ + c k • M k.castSucc)
k_ne_succ : k.castSucc ≠ k.succ
M_k : M k.castSucc = M' k.castSucc
i : Fin n
j : Fin n.succ
hik : ¬i = k
hik2 : ¬k < i
\u22a2 i.castSucc < k.succ
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : StarRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : TopologicalSpace A
inst✝⁸ : Ring A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
S : Type u_3
inst✝⁴ : SMul S R
inst✝³ : ContinuousConstSMul S R
inst✝² : SMulZeroClass S A
inst✝¹ : IsScalarTower S R A
inst✝ : IsScalarTower S R (R → R)
s : S
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
\u22a2 cfc (fun x => s • x) a = s • a
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → β
\u22a2 ∏ i : Fin (n + 1), f i = (∏ i : Fin n, f i.castSucc) * f (last n)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.189232, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain K F m
β : Cochain K G n
h : n + 1 = m
m' : ℤ
hm' : m + 1 = m'
\u22a2 δ n m (α.comp (inl φ) ⋯ + β.comp (Cochain.ofHom (inr φ)) ⋯) = -(δ m m' α).comp (inl φ) ⋯ + (δ n m β + α.comp (Cochain.ofHom φ) ⋯).comp (Cochain.ofHom (inr φ)) ⋯
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.189232, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain K F m
β : Cochain K G n
h : n + 1 = m
m' : ℤ
hm' : m + 1 = m'
\u22a2 α.comp ((Cochain.ofHom φ).comp (Cochain.ofHom (inr φ)) ⋯) ⋯ + -(δ m m' α).comp (inl φ) ⋯ + (δ n m β).comp (Cochain.ofHom (inr φ)) ⋯ = -(δ m m' α).comp (inl φ) ⋯ + ((δ n m β).comp (Cochain.ofHom (inr φ)) ⋯ + α.comp ((Cochain.ofHom φ).comp (Cochain.ofHom (inr φ)) ⋯) ⋯)
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
ha : 0 < a
hb : 0 < b
\u22a2 0 < a • b
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
\u22a2 ofNat' 1 = 1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
\u22a2 (match (motive := Bool → Num → Num) true with | true => Num.bit1 | false => Num.bit0) 0 = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Transfer.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(leftTransversals ↑H)
inst✝ : H.FiniteIndex
g : G
\u22a2 ϕ.transfer g = diff ϕ T (g • T)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
\u22a2 Memℒp (fun x => ‖f x‖ ^ p.toReal) 1 μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
\u22a2 1 = p / p
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
\u22a2 Eₘ[univ, t] = Fintype.card α * t.card ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
\u22a2 (filter (fun x => x.1.1 * x.2.1 = x.1.2 * x.2.2) (univ ×ˢ t ×ˢ t)).card = (univ ×ˢ t ×ˢ t).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
f : α × α × α → (α × α) × α × α := fun x => ((x.1 * x.2.2, x.1 * x.2.1), x.2)
\u22a2 (filter (fun x => x.1.1 * x.2.1 = x.1.2 * x.2.2) (univ ×ˢ t ×ˢ t)).card = (univ ×ˢ t ×ˢ t).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
f : α × α × α → (α × α) × α × α := fun x => ((x.1 * x.2.2, x.1 * x.2.1), x.2)
this : Set.InjOn f ↑(univ ×ˢ t ×ˢ t)
\u22a2 (filter (fun x => x.1.1 * x.2.1 = x.1.2 * x.2.2) (univ ×ˢ t ×ˢ t)).card = (univ ×ˢ t ×ˢ t).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
f : α × α × α → (α × α) × α × α := fun x => ((x.1 * x.2.2, x.1 * x.2.1), x.2)
this : Set.InjOn f ↑(univ ×ˢ t ×ˢ t)
\u22a2 (filter (fun x => x.1.1 * x.2.1 = x.1.2 * x.2.2) (univ ×ˢ t ×ˢ t)).card = (image f (univ ×ˢ t ×ˢ t)).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
f : α × α × α → (α × α) × α × α := fun x => ((x.1 * x.2.2, x.1 * x.2.1), x.2)
this : Set.InjOn f ↑(univ ×ˢ t ×ˢ t)
a : (α × α) × α × α
\u22a2 a ∈ filter (fun x => x.1.1 * x.2.1 = x.1.2 * x.2.2) (univ ×ˢ t ×ˢ t) ↔ a ∈ image f (univ ×ˢ t ×ˢ t)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
f : α × α × α → (α × α) × α × α := fun x => ((x.1 * x.2.2, x.1 * x.2.1), x.2)
this : Set.InjOn f ↑(univ ×ˢ t ×ˢ t)
a : (α × α) × α × α
\u22a2 (a.2.1 ∈ t ∧ a.2.2 ∈ t) ∧ a.1.1 * a.2.1 = a.1.2 * a.2.2 ↔ ∃ a_1 a_2 b, (a_2 ∈ t ∧ b ∈ t) ∧ f (a_1, a_2, b) = a
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
f : α × α × α → (α × α) × α × α := fun x => ((x.1 * x.2.2, x.1 * x.2.1), x.2)
this : Set.InjOn f ↑(univ ×ˢ t ×ˢ t)
a : (α × α) × α × α
\u22a2 (∃ a_1 a_2 b, (a_2 ∈ t ∧ b ∈ t) ∧ f (a_1, a_2, b) = a) → (a.2.1 ∈ t ∧ a.2.2 ∈ t) ∧ a.1.1 * a.2.1 = a.1.2 * a.2.2
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
f : α × α × α → (α × α) × α × α := fun x => ((x.1 * x.2.2, x.1 * x.2.1), x.2)
this : Set.InjOn f ↑(univ ×ˢ t ×ˢ t)
b c d : α
hcd : c ∈ t ∧ d ∈ t
\u22a2 ((f (b, c, d)).2.1 ∈ t ∧ (f (b, c, d)).2.2 ∈ t) ∧ (f (b, c, d)).1.1 * (f (b, c, d)).2.1 = (f (b, c, d)).1.2 * (f (b, c, d)).2.2
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U✝ : X.Opens
hU : IsAffineOpen U✝
f✝ : ↑Γ(X, U✝)
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : X.Opens
\u22a2 IsAffineOpen (f ''ᵁ U) ↔ IsAffineOpen U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U✝ : X.Opens
hU✝ : IsAffineOpen U✝
f✝ : ↑Γ(X, U✝)
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen (f ''ᵁ U)
\u22a2 Set.range ⇑(X.ofRestrict ⋯ ≫ f).val.base = Set.range ⇑(Y.ofRestrict ⋯).val.base
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U✝ : X.Opens
hU✝ : IsAffineOpen U✝
f✝ : ↑Γ(X, U✝)
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen (f ''ᵁ U)
\u22a2 IsIso (IsOpenImmersion.isoOfRangeEq (X.ofRestrict ⋯ ≫ f) (Y.ofRestrict ⋯) ?refine_1).hom
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
I : R →+* R
B F : M →ₗ[R] M →ₛₗ[I] M₃
B' : M₁ →ₗ[R] M₁ →ₛₗ[I] M₃
B'' : M₂ →ₗ[R] M₂ →ₛₗ[I] M₃
f f'✝ : M →ₗ[R] M₁
g g'✝ : M₁ →ₗ[R] M
f' : M₁ →ₗ[R] M₂
g' : M₂ →ₗ[R] M₁
h : B.IsAdjointPair B' f g
h' : B'.IsAdjointPair B'' f' g'
x✝¹ : M
x✝ : M₂
\u22a2 (B'' ((f' ∘ₗ f) x✝¹)) x✝ = (B x✝¹) ((g ∘ₗ g') x✝)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
x y : G
\u22a2 Inseparable x y ↔ x / y ∈ closure 1
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
x y : G
\u22a2 Inseparable ((Homeomorph.mulRight y⁻¹) x) ((Homeomorph.mulRight y⁻¹) y) ↔ Inseparable (x / y) 1
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
ι' : Sort u_3
inst✝ : LinearOrder α
Ixx : α → α → Set α
p : α → α → Prop
Hne : ∀ {a b : α}, (Ixx a b).Nonempty → p a b
Hi : ∀ {a₁ b₁ a₂ b₂ : α}, Ixx a₁ b₁ ∩ Ixx a₂ b₂ = Ixx (max a₁ a₂) (min b₁ b₂)
s t : Set α
l₁ : α
hls₁ : l₁ ∈ s
u₁ : α
hut₁ : u₁ ∈ t
left✝¹ : p l₁ u₁
l₂ : α
hls₂ : l₂ ∈ s
u₂ : α
hut₂ : u₂ ∈ t
left✝ : p l₂ u₂
\u22a2 (Ixx (max l₁ l₂) (min u₁ u₂)).Nonempty → Ixx (max l₁ l₂) (min u₁ u₂) ∈ {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ t, p l u ∧ Ixx l u = S}
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplexBiprod.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)
i : ι
\u22a2 biprod.inl.f i ≫ biprod.snd.f i = 0
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a b : α
\u22a2 (a == b) = decide (a = b)
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a b : α
\u22a2 (a == b) = decide ((a == b) = true)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
\u22a2 x ≤ y ↔ TransGen (fun x x_1 => x ⩿ x_1) x y
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
h : TransGen (fun x x_1 => x ⩿ x_1) x y
\u22a2 x ≤ y
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
v' : Fin 0 → M
\u22a2 Realize (Formula.iExs f φ) v v' ↔ ∃ i, φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
v' : Fin 0 → M
\u22a2 Realize (Formula.iExs f φ) v v' = (Formula.iExs f φ).Realize v