ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
S✝ T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
p : Submodule R S
y : S
hx : x ∈ nonZeroDivisors S
\u22a2 (∃ a ∈ ↑p, (DistribMulAction.toLinearMap R S x) a = x * y) ↔ y ∈ p
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Basic.lean
t : ℝ
ht : |t| ≤ 1
x : ℝ
\u22a2 rexp (t * x) ≤ cosh x + t * sinh x
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Basic.lean
t : ℝ
ht : -1 ≤ t ∧ t ≤ 1
x : ℝ
\u22a2 rexp (t * x) ≤ cosh x + t * sinh x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : DivisionSemiring R
q : ℚ≥0
f : R[X]
\u22a2 q • f = C ↑q * f
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
z w : ℂ
\u22a2 cos z = w ↔ cexp (z * I) ^ 2 - 2 * w * cexp (z * I) + 1 = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
z w : ℂ
\u22a2 cos z - w = 0 ↔ cexp (z * I) ^ 2 - 2 * w * cexp (z * I) + 1 = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
z w : ℂ
\u22a2 cexp (z * I) * cexp (z * I) + 1 - cexp (z * I) * 2 * w = 0 ↔ cexp (z * I) ^ 2 - 2 * w * cexp (z * I) + 1 = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
z w : ℂ
\u22a2 cexp (z * I) * cexp (z * I) + 1 - cexp (z * I) * 2 * w = cexp (z * I) ^ 2 - 2 * w * cexp (z * I) + 1
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/CongruenceSubgroups.lean
N : ℕ
x✝ : SL(2, ℤ)
\u22a2 x✝ ∈ Gamma 0 ↔ x✝ ∈ ⊥
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/CongruenceSubgroups.lean
N : ℕ
x✝ : SL(2, ℤ)
\u22a2 ↑(↑x✝ 0 0) = 1 ∧ ↑(↑x✝ 0 1) = 0 ∧ ↑(↑x✝ 1 0) = 0 ∧ ↑(↑x✝ 1 1) = 1 ↔ x✝ = 1
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
P : ℕ → ℕ → Prop
ha : ∀ (a : ℕ), P (a + 1) (a + 1)
hb : ∀ (b : ℕ), P 0 (b + 1)
hd : ∀ (a b : ℕ), a < b → P (a + 1) b → P a (b + 1) → P (a + 1) (b + 1)
a b : ℕ
h : a + 1 < b + 1
\u22a2 P (a + 1) (b + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
P : ℕ → ℕ → Prop
ha : ∀ (a : ℕ), P (a + 1) (a + 1)
hb : ∀ (b : ℕ), P 0 (b + 1)
hd : ∀ (a b : ℕ), a < b → P (a + 1) b → P a (b + 1) → P (a + 1) (b + 1)
a b : ℕ
h : a + 1 < b + 1
\u22a2 P (a + 1) b
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
P : ℕ → ℕ → Prop
ha : ∀ (a : ℕ), P (a + 1) (a + 1)
hb : ∀ (b : ℕ), P 0 (b + 1)
hd : ∀ (a b : ℕ), a < b → P (a + 1) b → P a (b + 1) → P (a + 1) (b + 1)
a b : ℕ
h : a + 1 < b + 1
\u22a2 P a (b + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
P : ℕ → ℕ → Prop
ha : ∀ (a : ℕ), P (a + 1) (a + 1)
hb : ∀ (b : ℕ), P 0 (b + 1)
hd : ∀ (a b : ℕ), a < b → P (a + 1) b → P a (b + 1) → P (a + 1) (b + 1)
a b : ℕ
h : a + 1 < b + 1
x✝ : a + (b + 1) < a + 1 + (b + 1)
\u22a2 a < b + 1
-- Mathlib/Algebra/Ring/SumsOfSquares.lean
R✝ : Type u_1
inst✝² : Mul R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
inst✝ : ExistsAddOfLE R
S : R
pS : isSumSq S
\u22a2 0 ≤ S
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Hermitian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝⁴ : NonUnitalSemiring α
inst✝³ : StarRing α
inst✝² : NonUnitalSemiring β
inst✝¹ : StarRing β
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
hA : A.IsHermitian
\u22a2 (Bᴴ * A * B).IsHermitian
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.222391, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
hk : S.f ≫ k = 0
inst✝¹ : S.HasRightHomology
φ : S₁ ⟶ S
inst✝ : S₁.HasRightHomology
\u22a2 S₁.f ≫ φ.τ₂ ≫ k = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
hk : S.f ≫ k = 0
inst✝¹ : S.HasRightHomology
φ : S₁ ⟶ S
inst✝ : S₁.HasRightHomology
\u22a2 opcyclesMap φ ≫ S.descOpcycles k hk = S₁.descOpcycles (φ.τ₂ ≫ k) ⋯
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
a : α
\u22a2 ContinuousWithinAt f {a}ᶜ a ↔ ContinuousAt f a
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
c d : β
h : ∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b → c ^ n ∣ d
this : Decidable (Finite a b) := Classical.dec (Finite a b)
hab : Finite a b
\u22a2 multiplicity a b ≤ multiplicity c d
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
c d : β
h : ∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b → c ^ n ∣ d
this : Decidable (Finite a b) := Classical.dec (Finite a b)
hab : Finite a b
\u22a2 ↑((multiplicity a b).get ⋯) ≤ multiplicity c d
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
c d : β
h : ∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b → c ^ n ∣ d
this : Decidable (Finite a b) := Classical.dec (Finite a b)
hab : ¬Finite a b
\u22a2 multiplicity a b ≤ multiplicity c d
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
c d : β
h : ∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b → c ^ n ∣ d
this✝ : Decidable (Finite a b) := Classical.dec (Finite a b)
hab : ¬Finite a b
this : ∀ (n : ℕ), c ^ n ∣ d
\u22a2 multiplicity a b ≤ multiplicity c d
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.255346}
a : Cardinal.{u_1}
h : a ≠ 0
\u22a2 0 ^< a = 1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.255346}
a : Cardinal.{u_1}
h : a ≠ 0
\u22a2 1 ≤ 0 ^< a
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.255346}
a : Cardinal.{u_1}
h : a ≠ 0
\u22a2 ?m.255561 ^ 0 ≤ 0 ^< a
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.255346}
a : Cardinal.{u_1}
h : a ≠ 0
\u22a2 Cardinal.{u_1}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
\u22a2 Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 α ⊓ 𝓟 (s ×ˢ s)) (𝓤 β) ↔ Tendsto (fun x => (s.restrict f x.1, s.restrict f x.2)) (𝓤 ↑s) (𝓤 β)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
\u22a2 Tendsto ((fun x => (f x.1, f x.2)) ∘ Prod.map Subtype.val Subtype.val) (𝓤 ↑s) (𝓤 β) ↔ Tendsto (fun x => (s.restrict f x.1, s.restrict f x.2)) (𝓤 ↑s) (𝓤 β)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : Finite ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
h : ∀ (i : ι), UniqueDiffWithinAt 𝕜 (s i) (x i)
\u22a2 UniqueDiffWithinAt 𝕜 (univ.pi s) x
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Tower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : MulAction A M
inst✝¹ : SMul R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
r : R
x : M
\u22a2 (algebraMap R A) r • x = r • x
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
f g : D ⟶ E
h : Homotopy f g
e : C ⟶ D
i j : ι
w : ¬c.Rel j i
\u22a2 e.f i ≫ h.hom i j = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
f g : D ⟶ E
h : Homotopy f g
e : C ⟶ D
i : ι
\u22a2 (e ≫ f).f i = (((dNext i) fun i j => e.f i ≫ h.hom i j) + (prevD i) fun i j => e.f i ≫ h.hom i j) + (e ≫ g).f i
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
b : Bool
n : ℕ
IH : Nat.binaryRec 0 (fun b x => bif b then Num.bit1 else Num.bit0) n = ↑n
\u22a2 Nat.binaryRec 0 (fun b x => bif b then Num.bit1 else Num.bit0) (Nat.bit b n) = ↑(Nat.bit b n)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
b : Bool
n : ℕ
IH : Nat.binaryRec 0 (fun b x => bif b then Num.bit1 else Num.bit0) n = ↑n
\u22a2 (bif b then Num.bit1 else Num.bit0) ↑n = ↑(Nat.bit b n)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
b : Bool
n : ℕ
IH : Nat.binaryRec 0 (fun b x => bif b then Num.bit1 else Num.bit0) n = ↑n
\u22a2 (bif false then Num.bit1 else Num.bit0) 0 = 0
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' s : Cycle α
h : s.Nodup
x : α
hx : x ∈ s
\u22a2 (s.formPerm h) x = s.next h x hx
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
x : α
a✝ : List α
h : Nodup (Quot.mk Setoid.r a✝)
hx : x ∈ Quot.mk Setoid.r a✝
\u22a2 (formPerm (Quot.mk Setoid.r a✝) h) x = next (Quot.mk Setoid.r a✝) h x hx
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R✝
m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
x : R✝
inst✝¹ : CommSemiring S
f : R✝ →+* S
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p q : R[X]
r : R
\u22a2 (p.comp q).IsRoot r ↔ p.IsRoot (eval r q)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x y : α
hy : IsFixedPt f y
\u22a2 dist x y ≤ dist x (f x) / (1 - ↑K)
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
\u22a2 mgf (-X) μ t = mgf X μ (-t)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/Basis.lean
κ : Type uκ
R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Free R M
\u22a2 Module.rank R (TensorAlgebra R M) = Cardinal.lift.{uR, uM} (sum fun n => Module.rank R M ^ n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/Basis.lean
κ✝ : Type uκ
R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Free R M
κ : Type uM
b : Basis κ R M
\u22a2 Module.rank R (TensorAlgebra R M) = Cardinal.lift.{uR, uM} (sum fun n => Module.rank R M ^ n)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
a : Rat
\u22a2 0 * a = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
\u22a2 IsPushout 0 0 b.inl b.inr
-- Mathlib/Data/Finset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s✝ : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
g : γ → α
s : Finset γ
hi : Std.IdempotentOp op
\u22a2 fold op b f (image g s) = fold op b (f ∘ g) s
-- Mathlib/Data/Finset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
g : γ → α
hi : Std.IdempotentOp op
\u22a2 fold op b f (image g ∅) = fold op b (f ∘ g) ∅
-- Mathlib/Data/Finset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
g : γ → α
hi : Std.IdempotentOp op
x : γ
xs : Finset γ
hx : x ∉ xs
ih : fold op b f (image g xs) = fold op b (f ∘ g) xs
\u22a2 fold op b f (image g (cons x xs hx)) = fold op b (f ∘ g) (cons x xs hx)
-- Mathlib/GroupTheory/Commutator.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ g₃ g : G
H₁ H₂ H₃ K₁✝ K₂✝ : Subgroup G
K₁ K₂ : Subgroup G'
\u22a2 ⁅H₁.prod K₁, H₂.prod K₂⁆ = ⁅H₁, H₂⁆.prod ⁅K₁, K₂⁆
-- Mathlib/GroupTheory/Commutator.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ g₃ g : G
H₁ H₂ H₃ K₁✝ K₂✝ : Subgroup G
K₁ K₂ : Subgroup G'
\u22a2 ⁅H₁.prod K₁, H₂.prod K₂⁆ ≤ ⁅H₁, H₂⁆.prod ⁅K₁, K₂⁆
-- Mathlib/GroupTheory/Commutator.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ g₃ g : G
H₁ H₂ H₃ K₁✝ K₂✝ : Subgroup G
K₁ K₂ : Subgroup G'
\u22a2 ⁅H₁, H₂⁆.prod ⁅K₁, K₂⁆ ≤ ⁅H₁.prod K₁, H₂.prod K₂⁆
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p μ
\u22a2 eLpNorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ
\u22a2 eLpNorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ
\u22a2 (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹ = ENNReal.ofReal ((∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ
\u22a2 (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹ = ENNReal.ofReal ((∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ).toReal ^ p.toReal⁻¹)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ
\u22a2 0 ≤ᶠ[ae μ] fun a => ‖f a‖ ^ p.toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ
\u22a2 AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ ^ p.toReal) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ
\u22a2 ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ ≠ ⊤
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b c x : ℕ
\u22a2 x ∈ Ico a b.succ ↔ x ∈ Icc a b
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁸ : Field F
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field F
inst✝¹⁴ : Field K₁
inst✝¹³ : Field K₂
inst✝¹² : Field K₃
inst✝¹¹ : Algebra F K₁
inst✝¹⁰ : Algebra F K₂
inst✝⁹ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra E K₁
inst✝⁵ : Algebra E K₂
inst✝⁴ : Algebra E K₃
inst✝³ : IsScalarTower F E K₁
inst✝² : IsScalarTower F E K₂
inst✝¹ : IsScalarTower F E K₃
inst✝ : Normal F E
x✝ : E
\u22a2 (algebraMap E K₃) (((ψ.restrictNormal E).comp (ϕ.restrictNormal E)) x✝) = (algebraMap E K₃) (((ψ.comp ϕ).restrictNormal E) x✝)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
K : IntermediateField F E
h : K.toSubalgebra = Algebra.adjoin F S
\u22a2 K = adjoin F S
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
K : IntermediateField F E
h : K.toSubalgebra = Algebra.adjoin F S
\u22a2 K.toSubalgebra = (adjoin F S).toSubalgebra
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
K : IntermediateField F E
h : K.toSubalgebra = Algebra.adjoin F S
\u22a2 Algebra.adjoin F S = (adjoin F S).toSubalgebra
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
K : IntermediateField F E
h : K.toSubalgebra = Algebra.adjoin F S
\u22a2 ∀ x ∈ Algebra.adjoin F S, x⁻¹ ∈ Algebra.adjoin F S
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
K : IntermediateField F E
h : K.toSubalgebra = Algebra.adjoin F S
x : E
\u22a2 x ∈ Algebra.adjoin F S → x⁻¹ ∈ Algebra.adjoin F S
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a c : α
h : c < 0
\u22a2 (fun x => c * x) ⁻¹' Iic a = Ici (a / c)
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m : ℕ
h : n ≤ m
\u22a2 Ico n (m + 1) = Ico n m ++ [m]
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m : ℕ
h : n ≤ m
\u22a2 m ≤ m + 1
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/Gluing.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
U : Opens ↑↑(D.V (i, j))
\u22a2 op (⋯.functor.obj (unop (op ((Opens.map (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base).toPrefunctor.1 (unop (op U)))))) = (Opens.map (D.f i k).base).op.obj (op (⋯.functor.obj U))
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/Gluing.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
U : Opens ↑↑(D.V (i, j))
\u22a2 op { carrier := ⇑(pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).base '' ↑{ carrier := ⇑(pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base ⁻¹' ↑U, is_open' := ⋯ }, is_open' := ⋯ } = op { carrier := ⇑(D.f i k).base ⁻¹' ↑{ carrier := ⇑(D.f i j).base '' ↑U, is_open' := ⋯ }, is_open' := ⋯ }
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/Gluing.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
U : Opens ↑↑(D.V (i, j))
\u22a2 ⇑(pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).base '' ↑{ carrier := ⇑(pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base ⁻¹' ↑U, is_open' := ⋯ } = ⇑(D.f i k).base ⁻¹' ↑{ carrier := ⇑(D.f i j).base '' ↑U, is_open' := ⋯ }
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/Gluing.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
U : Opens ↑↑(D.V (i, j))
\u22a2 invApp (D.f i j) U ≫ (D.f i k).c.app (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)) = (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op U) ≫ invApp (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)) (unop (op ((Opens.map (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base).toPrefunctor.1 (unop (op U))))) ≫ (D.V (i, k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/Gluing.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
U : Opens ↑↑(D.V (i, j))
this : ∀ (U : (Opens ↑↑(D.U i))ᵒᵖ), (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k) ≫ D.f i j).c.app U = (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k) ≫ D.f i k).c.app U ≫ (pullback (D.f i j) (D.f i k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)
\u22a2 invApp (D.f i j) U ≫ (D.f i k).c.app (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)) = (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op U) ≫ invApp (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)) (unop (op ((Opens.map (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base).toPrefunctor.1 (unop (op U))))) ≫ (D.V (i, k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/Gluing.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
D : GlueData C
i j k : D.J
U : Opens ↑↑(D.V (i, j))
this : ∀ (U : (Opens ↑↑(D.U i))ᵒᵖ), (D.f i j).c.app U ≫ (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op ((Opens.map (D.f i j).base).obj (unop U))) = ((D.f i k).c.app U ≫ (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op ((Opens.map (D.f i k).base).obj (unop U)))) ≫ (pullback (D.f i j) (D.f i k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)
\u22a2 invApp (D.f i j) U ≫ (D.f i k).c.app (op ((opensFunctor (D.f i j)).obj U)) = (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).c.app (op U) ≫ invApp (pullback.snd (D.f i j) (D.f i k)) (unop (op ((Opens.map (pullback.fst (D.f i j) (D.f i k)).base).toPrefunctor.1 (unop (op U))))) ≫ (D.V (i, k)).presheaf.map (eqToHom ⋯)