ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf_Lp : Memℒp f 1 μ
f_Lp : ↥(Lp E 1 μ) := Memℒp.toLp f hf_Lp
hf_f_Lp : f =ᶠ[ae μ] ↑↑f_Lp
\u22a2 ↑↑f_Lp =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf_Lp : Memℒp f 1 μ
f_Lp : ↥(Lp E 1 μ) := Memℒp.toLp f hf_Lp
hf_f_Lp : f =ᶠ[ae μ] ↑↑f_Lp
\u22a2 ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑f_Lp) s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf_Lp : Memℒp f 1 μ
f_Lp : ↥(Lp E 1 μ) := Memℒp.toLp f hf_Lp
hf_f_Lp : f =ᶠ[ae μ] ↑↑f_Lp
\u22a2 ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑f_Lp x ∂μ = 0
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀
h : a ≠ 0
\u22a2 1 / a ≠ 0
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁✝ a₂✝ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set G
hs : IsSubgroup s
a₁ a₂ : H
x✝¹ : a₁ ∈ f '' s
x✝ : a₂ ∈ f '' s
b₁ : G
hb₁ : b₁ ∈ s
eq₁ : f b₁ = a₁
b₂ : G
hb₂ : b₂ ∈ s
eq₂ : f b₂ = a₂
\u22a2 f (b₁ * b₂) = a₁ * a₂
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set G
hs : IsSubgroup s
a : H
x✝ : a ∈ f '' s
b : G
hb : b ∈ s
Eq : f b = a
\u22a2 f b⁻¹ = a⁻¹
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set G
hs : IsSubgroup s
a : H
x✝ : a ∈ f '' s
b : G
hb : b ∈ s
Eq : f b = a
\u22a2 (f b)⁻¹ = a⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Rat.lean
a✝ b✝ c✝ p q : ℚ
a b c d : ℤ
b_pos : 0 < b
d_pos : 0 < d
\u22a2 ↑a / ↑b < ↑c / ↑d ↔ a * d < c * b
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Rat.lean
a✝ b✝ c✝ p q : ℚ
a b c d : ℤ
b_pos : 0 < b
d_pos : 0 < d
\u22a2 ↑a / ↑b ≤ ↑c / ↑d ∧ ¬↑c / ↑d ≤ ↑a / ↑b ↔ a * d ≤ c * b ∧ ¬c * b ≤ a * d
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Rat.lean
a✝ b✝ c✝ p q : ℚ
a b c d : ℤ
b_pos : 0 < b
d_pos : 0 < d
\u22a2 ↑a / ↑b ≤ ↑c / ↑d ↔ a * d ≤ c * b
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Rat.lean
a✝ b✝ c✝ p q : ℚ
a b c d : ℤ
b_pos : 0 < b
d_pos : 0 < d
\u22a2 ¬↑c / ↑d ≤ ↑a / ↑b ↔ ¬c * b ≤ a * d
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subring/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S✝
inst✝ : Ring T
ι : Sort u_1
S : ι → Subring R
\u22a2 ↑(⨅ i, S i) = ⋂ i, ↑(S i)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F
\u22a2 ⟪x, x⟫_ℝ = ‖x‖ ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
\u22a2 legendreSym p 0 = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
f✝ : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace E
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : MeasurableSpace 𝕜
inst✝² : OpensMeasurableSpace 𝕜
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
f : 𝕜 → F
\u22a2 Measurable (deriv f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Cartesian.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : Exponentiable A
I : C
t : IsInitial I
f : A ⟶ I
\u22a2 IsIso f
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Cartesian.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : Exponentiable A
I : C
t : IsInitial I
f : A ⟶ I
this : Mono (prod.lift (𝟙 A) f ≫ (zeroMul t).hom)
\u22a2 IsIso f
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Cartesian.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : Exponentiable A
I : C
t : IsInitial I
f : A ⟶ I
this : Mono f
\u22a2 IsIso f
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Cartesian.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : Exponentiable A
I : C
t : IsInitial I
f : A ⟶ I
this✝ : Mono f
this : IsSplitEpi f
\u22a2 IsIso f
-- Mathlib/RingTheory/Localization/AtPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
A : Type u_4
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S I
x : R
h : optParam (LocalRing S) ⋯
\u22a2 (algebraMap R S) x ∉ LocalRing.maximalIdeal S ↔ x ∉ I
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
\u22a2 (A / C).card * B.card ≤ (A / B).card * (B / C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
\u22a2 (A / C).card * B.card ≤ ((A / B) ×ˢ (B / C)).card * 1
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
x : α
hx : x ∈ A / C
\u22a2 B.card ≤ (bipartiteAbove (fun b ac => ac.1 * ac.2 = b) ((A / B) ×ˢ (B / C)) x).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
x : α × α
x✝ : x ∈ (A / B) ×ˢ (B / C)
a✝ b✝ : α
hu : a✝ ∈ bipartiteBelow (fun b ac => ac.1 * ac.2 = b) (A / C) x
hv : b✝ ∈ bipartiteBelow (fun b ac => ac.1 * ac.2 = b) (A / C) x
\u22a2 x.1 * x.2 = b✝
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set X
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
hX : (𝓝[S] x₀).HasBasis p s
\u22a2 EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ k, p k ∧ ∀ x ∈ s k, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ U
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set X
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
hX : (𝓝[S] x₀).HasBasis p s
\u22a2 (∀ ib ∈ 𝓤 α, ∃ ia, p ia ∧ ∀ x ∈ s ia, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x ∈ {g | ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀, g) ∈ UniformFun.gen ι α ib}) ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ k, p k ∧ ∀ x ∈ s k, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ U
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α →. β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
h : f.Dom ∈ l₁
\u22a2 PTendsto f l₁ l₂ → PTendsto' f l₁ l₂
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α →. β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
h : f.Dom ∈ l₁
\u22a2 (∀ s ∈ l₂, f.core s ∈ l₁) → ∀ s ∈ l₂, f.preimage s ∈ l₁
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α →. β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
h : f.Dom ∈ l₁
h' : ∀ s ∈ l₂, f.core s ∈ l₁
s : Set β
sl₂ : s ∈ l₂
\u22a2 f.preimage s ∈ l₁
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α →. β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
h : f.Dom ∈ l₁
h' : ∀ s ∈ l₂, f.core s ∈ l₁
s : Set β
sl₂ : s ∈ l₂
\u22a2 f.core s ∩ f.Dom ∈ l₁
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ✝
r : R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
h : x.coeff g ≠ 0
\u22a2 x.orderTop ≤ ↑g
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ✝
r : R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
h : x.coeff g ≠ 0
\u22a2 ⋯.min ⋯ ≤ g
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
ha : a ∈ s
hb : b ∉ s
\u22a2 BijOn (⇑(swap a b)) s (insert b (s \ {a}))
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
ha : a ∈ s
hb : b ∉ s
x : α
hx : x ∈ s
\u22a2 (swap a b) x ∈ insert b (s \ {a})
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
ha : a ∈ s
hb : b ∉ s
x : α
hx : x ∈ insert b (s \ {a})
\u22a2 x ∈ ⇑(swap a b) '' s
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Set α
ha : a ∈ s
x : α
hb : x ∉ s
hx : x ∈ insert x (s \ {a})
\u22a2 x ∈ ⇑(swap a x) '' s
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
ha : a ∈ s
hb : b ∉ s
x : α
hx : x ∈ insert b (s \ {a})
hxb : x ≠ b
\u22a2 x ∈ ⇑(swap a b) '' s
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
ha : a ∈ s
hb : b ∉ s
x : α
hxb : x ≠ b
hx : x ∈ s ∧ ¬x = a
\u22a2 x ∈ ⇑(swap a b) '' s
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
a b : α
hab : a < b
\u22a2 ∃ x, a ⋖ x ∧ x ≤ b
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
a b : α
hab : a < b
a' : α
ha'b : a' ≤ b
ha' : IsCompl ⟨a, ⋯⟩ ⟨a', ha'b⟩
\u22a2 ∃ x, a ⋖ x ∧ x ≤ b
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
a b : α
hab : a < b
ha'b : ⊥ ≤ b
ha' : IsCompl ⟨a, ⋯⟩ ⟨⊥, ha'b⟩
\u22a2 ∃ x, a ⋖ x ∧ x ≤ b
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
a b : α
hab : a < b
a' : α
ha'b : a' ≤ b
ha' : IsCompl ⟨a, ⋯⟩ ⟨a', ha'b⟩
d : α
hd : IsAtom d ∧ d ≤ a'
\u22a2 ∃ x, a ⋖ x ∧ x ≤ b
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
a b : α
hab : a < b
a' : α
ha'b : a' ≤ b
ha' : IsCompl ⟨a, ⋯⟩ ⟨a', ha'b⟩
d : α
hd : IsAtom d ∧ d ≤ a'
\u22a2 d ⊓ a ⋖ d
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
a b : α
hab : a < b
a' : α
ha'b : a' ≤ b
ha' : IsCompl ⟨a, ⋯⟩ ⟨a', ha'b⟩
d : α
hd : IsAtom d ∧ d ≤ a'
\u22a2 d ⊓ a = ⊥
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
a b : α
hab : a < b
a' : α
ha'b : a' ≤ b
ha' : IsCompl ⟨a, ⋯⟩ ⟨a', ha'b⟩
d : α
hd : IsAtom d ∧ d ≤ a'
\u22a2 a ⊓ d ≤ a ⊓ a'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
f : M →ₗ[R] N
h : SameRay R x y
hx : x = 0
\u22a2 f x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
f : M →ₗ[R] N
h : SameRay R x y
hy : y = 0
\u22a2 f y = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
f : M →ₗ[R] N
h✝ : SameRay R x y
x✝ : ∃ r₁ r₂, 0 < r₁ ∧ 0 < r₂ ∧ r₁ • x = r₂ • y
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
h : r₁ • x = r₂ • y
\u22a2 r₁ • f x = r₂ • f y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
x : E
\u22a2 edist x 1 = ↑‖x‖₊
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (μ.prod ν).snd s = ν s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p ≠ 0
\u22a2 p.degree = ↑p.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p ≠ 0
n : ℕ
hn : ¬n ∉ p.degree
\u22a2 p.degree = ↑p.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p ≠ 0
n : ℕ
hn✝ : ¬n ∉ p.degree
hn : p.degree = Option.some n
\u22a2 p.degree = ↑p.natDegree
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
\u22a2 ∃ π, v.valuation π = ↑(ofAdd (-1))
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R
hr : v.intValuationDef r = ↑(ofAdd (-1))
\u22a2 ∃ π, v.valuation π = ↑(ofAdd (-1))
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R
hr : v.intValuationDef r = ↑(ofAdd (-1))
\u22a2 v.valuation ((algebraMap R K) r) = ↑(ofAdd (-1))
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R
hr : v.intValuationDef r = ↑(ofAdd (-1))
\u22a2 v.intValuation r = ↑(ofAdd (-1))
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : SemilatticeInf γ
a b : γ
s : Set γ
hs : IsGLB s b
\u22a2 IsGLB (insert a s) (a ⊓ b)
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : SemilatticeInf γ
a b : γ
s : Set γ
hs : IsGLB s b
\u22a2 IsGLB ({a} ∪ s) (a ⊓ b)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
\u22a2 atTop = ⨅ x, 𝓟 (Ici {x})
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
\u22a2 ⨅ x, 𝓟 (Ici {x}) ≤ atTop
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s : Finset α
\u22a2 ⋂ i, Ici {↑i} ⊆ Ici s
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s : Finset α
\u22a2 ∀ (x : Finset α), (∀ x_1 ∈ ↑s, x_1 ∈ x) → ∀ ⦃x_1 : α⦄, x_1 ∈ s → x_1 ∈ x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m✝ : Multiset ι
f g : ι → α
m : Multiset α
\u22a2 (0 • m).prod = m.prod ^ 0
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m✝ : Multiset ι
f g : ι → α
m : Multiset α
\u22a2 prod 0 = 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m✝ : Multiset ι
f g : ι → α
m : Multiset α
n : ℕ
\u22a2 ((n + 1) • m).prod = m.prod ^ (n + 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p q : Submodule R M
x : M
\u22a2 x ∈ p ⊔ q ↔ x ∈ range (p.subtype.coprod q.subtype)
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f✝ g✝ : α → Multiset β
f : α → β
g : α → Multiset β
\u22a2 ∀ (a : α) (s : Multiset α), (s.bind fun a => f a ::ₘ g a) = map f s + s.bind g → ((a ::ₘ s).bind fun a => f a ::ₘ g a) = map f (a ::ₘ s) + (a ::ₘ s).bind g
-- Mathlib/CategoryTheory/Whiskering.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G H : D ⥤ E
α : G ⟶ H
X Y : C
f : X ⟶ Y
\u22a2 (F ⋙ G).map f ≫ (fun X => α.app (F.obj X)) Y = (fun X => α.app (F.obj X)) X ≫ (F ⋙ H).map f
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : SecondCountableTopology α
hclosed : IsClosed C
hunc : ¬C.Countable
\u22a2 ∃ D, Perfect D ∧ D.Nonempty ∧ D ⊆ C
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : SecondCountableTopology α
hclosed : IsClosed C
hunc : ¬C.Countable
V D : Set α
Vct : V.Countable
Dperf : Perfect D
VD : C = V ∪ D
\u22a2 ∃ D, Perfect D ∧ D.Nonempty ∧ D ⊆ C
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : SecondCountableTopology α
hclosed : IsClosed C
hunc : ¬C.Countable
V D : Set α
Vct : V.Countable
Dperf : Perfect D
VD : C = V ∪ D
\u22a2 D ⊆ V ∪ D
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
t : IsSeparatedFor P R
\u22a2 (∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) → IsSheafFor P R
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
t : IsSeparatedFor P R
\u22a2 (∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) → IsSeparatedFor P R ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Limits.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasImage f
\u22a2 factorThruImageSubobject f ≫ (imageSubobject f).arrow = f
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Multiset α
x : α
h : x ∈ s
\u22a2 map f (s.erase x) = (map f s).erase (f x)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
x : α
h : x ∈ 0
\u22a2 map f (erase 0 x) = (map f 0).erase (f x)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
x y : α
s : Multiset α
ih : x ∈ s → map f (s.erase x) = (map f s).erase (f x)
h : x ∈ y ::ₘ s
\u22a2 map f ((y ::ₘ s).erase x) = (map f (y ::ₘ s)).erase (f x)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
y : α
s : Multiset α
ih : y ∈ s → map f (s.erase y) = (map f s).erase (f y)
h : y ∈ y ::ₘ s
\u22a2 map f ((y ::ₘ s).erase y) = (map f (y ::ₘ s)).erase (f y)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
x y : α
s : Multiset α
ih : x ∈ s → map f (s.erase x) = (map f s).erase (f x)
h : x ∈ y ::ₘ s
hxy : y ≠ x
\u22a2 map f ((y ::ₘ s).erase x) = (map f (y ::ₘ s)).erase (f x)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
x y : α
s : Multiset α
ih : x ∈ s → map f (s.erase x) = (map f s).erase (f x)
hxy : y ≠ x
h : x ∈ s
\u22a2 map f ((y ::ₘ s).erase x) = (map f (y ::ₘ s)).erase (f x)
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Semiring T
f : R →+* S
g : S →+* T
n : σ →₀ ℕ
a : R
\u22a2 (map σ f) ((monomial R n) a) = (monomial S n) (f a)
-- Mathlib/Algebra/Group/Defs.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a b c : M
m n✝ n : ℕ
\u22a2 1 ^ (n + 1) = 1
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame
\u22a2 x ⧏ y ↔ (∃ i, x ≤ y.moveLeft i) ∨ ∃ j, x.moveRight j ≤ y
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame
\u22a2 ((¬∀ (i : y.LeftMoves), y.moveLeft i ⧏ x) ∨ ¬∀ (j : x.RightMoves), y ⧏ x.moveRight j) ↔ (∃ i, x ≤ y.moveLeft i) ∨ ∃ j, x.moveRight j ≤ y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
s r : ℝ
hs : s < 0
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Icc 0 1
\u22a2 x ∈ {x | (fun x => ((fun x => log x ^ r) ∘ fun x => x⁻¹) x = (fun x => |log x| ^ r) x) x}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
s r : ℝ
hs : s < 0
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioi 0
\u22a2 ((fun x => x ^ (-s)) ∘ fun x => x⁻¹) x = (fun x => x ^ s) x
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
h1 : a < 0
h2 : -1 < a
this : 1 / a < 1 / -1
\u22a2 1 / a < -1
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Finset α
\u22a2 ⋯.toFinset = s
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K✝ H K : Subgroup G
h : H ≤ K
val✝ : G
property✝ : val✝ ∈ H
\u22a2 ↑((inclusion h) ⟨val✝, property✝⟩) = ↑⟨val✝, property✝⟩
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
\u22a2 filter p s = filter q s ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → (p a ↔ q a)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
f✝ g✝ : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α →ᵇ β
g : C(γ, α)
\u22a2 ↑1 * dist f 0 ≤ ‖f‖