ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
inst✝ : HasGroupoid M G
s✝ s : Opens M
hs : Nonempty ↥s
e : PartialHomeomorph (↥s) H
xset : Set (PartialHomeomorph (↥s) H)
he : e ∈ xset
x : ↥s
hx : (fun x => {(chartAt H ↑x).subtypeRestr ⋯}) x = xset
\u22a2 ∃ x, e = (chartAt H ↑x).subtypeRestr hs
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : PartialOrder α✝
α : Type u_4
a b : α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : IsStronglyAtomic α
s : Set α
h : s.OrdConnected
c : α
hc : c ∈ s
d : α
hd : d ∈ s
hcd : ⟨c, hc⟩ < ⟨d, hd⟩
\u22a2 ∃ x, ⟨c, hc⟩ ⋖ x ∧ x ≤ ⟨d, hd⟩
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : PartialOrder α✝
α : Type u_4
a b : α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : IsStronglyAtomic α
s : Set α
h : s.OrdConnected
c : α
hc : c ∈ s
d : α
hd : d ∈ s
hcd : ⟨c, hc⟩ < ⟨d, hd⟩
x : α
hcx : c ⋖ x
hxd : x ≤ d
\u22a2 ∃ x, ⟨c, hc⟩ ⋖ x ∧ x ≤ ⟨d, hd⟩
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Ring.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝³ : DivisionSemiring α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSemiring α
f g : ι → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : T2Space α
hf : ¬Summable f
ha : ¬a = 0
\u22a2 ∑' (x : ι), a * f x = a * ∑' (x : ι), f x
-- Mathlib/CategoryTheory/NatIso.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
α : F ≅ G
W X X' : D
Y : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ G.obj Y
\u22a2 f ≫ g ≫ α.inv.app Y = f' ≫ g' ≫ α.inv.app Y ↔ f ≫ g = f' ≫ g'
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
this✝ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
this : (i : ι) → DecidableEq (G i) := fun i => Classical.decEq (G i)
\u22a2 Injective prod
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
\u22a2 (IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).gen ∈ adjoin K {ζ - 1}
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
\u22a2 ∃ x, (aeval (ζ - 1)) x = ζ
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : LocallyCompactSpace α
\u22a2 TendstoLocallyUniformly F f p ↔ ∀ (K : Set α), IsCompact K → TendstoUniformlyOn F f p K
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/InitTail.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : 𝕎 R
n : ℕ
\u22a2 init n (x - y) = init n (init n x - init n y)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Gamma.lean
p : ℝ
hp : 0 < p
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x ^ p) = Gamma (1 / p + 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Gamma.lean
p : ℝ
hp : 0 < p
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x ^ p) = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, x ^ 0 * rexp (-x ^ p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Gamma.lean
p : ℝ
hp : 0 < p
\u22a2 Gamma (1 / p + 1) = 1 / p * Gamma ((0 + 1) / p)
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Monoidal.lean
I : Type u
inst✝¹⁰ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁸ : MonoidalCategory C
Z : C
X₁ X₂ X₃ : GradedObject I C
inst✝⁷ : X₁.HasTensor X₂
inst✝⁶ : X₂.HasTensor X₃
inst✝⁵ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃
inst✝⁴ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)
Y₁ Y₂ Y₃ : GradedObject I C
inst✝³ : Y₁.HasTensor Y₂
inst✝² : Y₂.HasTensor Y₃
inst✝¹ : (tensorObj Y₁ Y₂).HasTensor Y₃
inst✝ : Y₁.HasTensor (tensorObj Y₂ Y₃)
j : I
A : C
f g : tensorObj X₁ (tensorObj X₂ X₃) j ⟶ A
H : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ X₃
h : ∀ (i₁ i₂ i₃ : I) (hi : i₁ + i₂ + i₃ = j), ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j hi ≫ f = ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j hi ≫ g
\u22a2 f = g
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Monoidal.lean
I : Type u
inst✝¹⁰ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁸ : MonoidalCategory C
Z : C
X₁ X₂ X₃ : GradedObject I C
inst✝⁷ : X₁.HasTensor X₂
inst✝⁶ : X₂.HasTensor X₃
inst✝⁵ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃
inst✝⁴ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)
Y₁ Y₂ Y₃ : GradedObject I C
inst✝³ : Y₁.HasTensor Y₂
inst✝² : Y₂.HasTensor Y₃
inst✝¹ : (tensorObj Y₁ Y₂).HasTensor Y₃
inst✝ : Y₁.HasTensor (tensorObj Y₂ Y₃)
j : I
A : C
f g : tensorObj X₁ (tensorObj X₂ X₃) j ⟶ A
H : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ X₃
h : ∀ (i₁ i₂ i₃ : I) (hi : i₁ + i₂ + i₃ = j), ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j hi ≫ f = ιTensorObj₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j hi ≫ g
\u22a2 ∀ (i₁ i₂ i₃ : I) (h : r₁₂₃ (i₁, i₂, i₃) = j), ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj (curriedTensor C) (curriedTensor C) ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ f = ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj (curriedTensor C) (curriedTensor C) ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ g
-- Mathlib/Order/Sublattice.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
L✝ M✝ : Sublattice α
f✝ : LatticeHom α β
s t : Set α
a : α
L M : Sublattice α
f : LatticeHom α β
hf : Injective ⇑f
\u22a2 map f (L ⊓ M) = map f L ⊓ map f M
-- Mathlib/Order/Sublattice.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
L✝ M✝ : Sublattice α
f✝ : LatticeHom α β
s t : Set α
a : α
L M : Sublattice α
f : LatticeHom α β
hf : Injective ⇑f
\u22a2 ↑(map f (L ⊓ M)) = ↑(map f L ⊓ map f M)
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : CommMonoid β
u a b : β
hu : IsUnit u
\u22a2 u * a ~ᵤ b ↔ a ~ᵤ b
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : CommMonoid β
u a b : β
hu : IsUnit u
\u22a2 a * u ~ᵤ b ↔ a ~ᵤ b
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
hx : Liouville x
n : ℕ
\u22a2 ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a, x ≠ ↑a / ↑b ∧ |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
hx : Liouville x
n : ℕ
H : ¬∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a, x ≠ ↑a / ↑b ∧ |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ n
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
hx : Liouville x
n : ℕ
H : ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (x_1 : ℤ), x ≠ ↑x_1 / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑x_1 / ↑b|
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
hx : Liouville x
n N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ (x_1 : ℤ), x ≠ ↑x_1 / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑x_1 / ↑b|
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
hx : Liouville x
n N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ (x_1 : ℤ), x ≠ ↑x_1 / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑x_1 / ↑b|
this : ∀ b > 1, ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
hx : Liouville x
n N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ (x_1 : ℤ), x ≠ ↑x_1 / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑x_1 / ↑b|
this✝ : ∀ b > 1, ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
this : ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
hx : Liouville x
n N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ (x_1 : ℤ), x ≠ ↑x_1 / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑x_1 / ↑b|
this✝ : ∀ b > 1, ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
this : ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
m : ℕ
hm : ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
hnm : n ≤ m
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
hx : Liouville x
n N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ (x_1 : ℤ), x ≠ ↑x_1 / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑x_1 / ↑b|
this✝ : ∀ b > 1, ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
this : ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
m : ℕ
hm : ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
hnm : n ≤ m
a b : ℤ
hb : 1 < b
hne : x ≠ ↑a / ↑b
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ m
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
hx : Liouville x
n N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ (x_1 : ℤ), x ≠ ↑x_1 / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑x_1 / ↑b|
this✝ : ∀ b > 1, ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
this : ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
m : ℕ
hm : ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
hnm : n ≤ m
a : ℤ
b : ℕ
hb : 1 < ↑b
hne : x ≠ ↑a / ↑↑b
hlt : |x - ↑a / ↑↑b| < 1 / ↑↑b ^ m
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
hx : Liouville x
n N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ (x_1 : ℤ), x ≠ ↑x_1 / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑x_1 / ↑b|
this✝ : ∀ b > 1, ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
this : ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
m : ℕ
hm : ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
hnm : n ≤ m
a : ℤ
b : ℕ
hb : 1 < b
hne : x ≠ ↑a / ↑b
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ m
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
hx : Liouville x
n N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ (x_1 : ℤ), x ≠ ↑x_1 / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑x_1 / ↑b|
this✝ : ∀ b > 1, ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
this : ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
m : ℕ
hm : ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
hnm : n ≤ m
a : ℤ
b : ℕ
hb : 1 < b
hne : x ≠ ↑a / ↑b
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ m
h : N ≤ b
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
hx : Liouville x
n N : ℕ
hN : ∀ b ≥ N, ∀ (x_1 : ℤ), x ≠ ↑x_1 / ↑b → 1 / ↑b ^ n ≤ |x - ↑x_1 / ↑b|
this✝ : ∀ b > 1, ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
this : ∀ᶠ (m : ℕ) in atTop, ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
m : ℕ
hm : ∀ b < N, 1 < b → ∀ (a : ℤ), 1 / ↑b ^ m ≤ |x - ↑a / ↑b|
hnm : n ≤ m
a : ℤ
b : ℕ
hb : 1 < b
hne : x ≠ ↑a / ↑b
hlt : |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ m
h : b < N
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
p : α → Prop
x✝ : DecidablePred p
h : ∀ i ∈ s, p i
f : (i : α) → p i → β
g : (i : α) → ¬p i → β
\u22a2 (∏ i ∈ s, if hi : p i then f i hi else g i hi) = ∏ i : { x // x ∈ s }, f ↑i ⋯
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/ShiftSequence.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : CategoryWithHomology C
n a a' : ℤ
ha' : n + a = a'
K : CochainComplex C ℤ
\u22a2 𝟙 (((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (up ℤ)) n).obj K).homology a) ≫ 𝟙 ((shortComplexFunctor C (up ℤ) a).obj ((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (up ℤ)) n).obj K)).homology ≫ ShortComplex.homologyMap ((shiftShortComplexFunctorIso C n a a' ha').hom.app K) ≫ 𝟙 (homology K a') = ShortComplex.homologyMap ((shiftShortComplexFunctorIso C n a a' ha').hom.app K)
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Finset.lean
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
x : (i : Fin (n + 1)) → α i
s : (i : Fin (n + 1)) → Finset (α i)
\u22a2 x ∈ piFinset s ↔ x 0 ∈ s 0 ∧ tail x ∈ piFinset (tail s)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it
\u22a2 it.curr = r.headD default
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l r : List Char
h : ValidFor l r { s := { data := l.reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }
\u22a2 { s := { data := l.reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }.curr = r.headD default
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hI' : ¬M.Basis I X
hJ : M.Basis J X
\u22a2 ∃ e ∈ J \ I, M.Indep (insert e I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hI' : ¬(M ↾ X).Base I
hJ : M.Basis J X
\u22a2 ∃ e ∈ J \ I, M.Indep (insert e I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hI' : ¬(M ↾ X).Base I
hJ : (M ↾ X).Base J
\u22a2 ∃ e ∈ J \ I, M.Indep (insert e I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e✝ : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hI' : ¬(M ↾ X).Base I
hJ : (M ↾ X).Base J
e : α
he : e ∈ J \ I
hi : (M ↾ X).Indep (insert e I)
\u22a2 ∃ e ∈ J \ I, M.Indep (insert e I)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
\u22a2 AnalyticSet (⋃ n, s n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
\u22a2 AnalyticSet (⋃ n, s n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_2 := (n : ι) × β n
F : γ → α := fun x => match x with | ⟨n, x⟩ => f n x
\u22a2 AnalyticSet (⋃ n, s n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_2 := (n : ι) × β n
F : γ → α := fun x => match x with | ⟨n, x⟩ => f n x
F_cont : Continuous F
\u22a2 AnalyticSet (⋃ n, s n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_2 := (n : ι) × β n
F : γ → α := fun x => match x with | ⟨n, x⟩ => f n x
F_cont : Continuous F
F_range : range F = ⋃ n, s n
\u22a2 AnalyticSet (⋃ n, s n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hs : ∀ (n : ι), AnalyticSet (s n)
β : ι → Type
hβ : (n : ι) → TopologicalSpace (β n)
h'β : ∀ (n : ι), PolishSpace (β n)
f : (n : ι) → β n → α
f_cont : ∀ (n : ι), Continuous (f n)
f_range : ∀ (n : ι), range (f n) = s n
γ : Type u_2 := (n : ι) × β n
F : γ → α := fun x => match x with | ⟨n, x⟩ => f n x
F_cont : Continuous F
F_range : range F = ⋃ n, s n
\u22a2 AnalyticSet (range F)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieRing L'
inst✝² : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
inst✝¹ : IsSolvable R L
inst✝ : Nontrivial L
\u22a2 derivedSeries R L 1 < ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieRing L'
inst✝² : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
inst✝¹ : IsSolvable R L
inst✝ : Nontrivial L
n : ℕ
hn : derivedSeries R L n = ⊥
\u22a2 derivedSeries R L 1 < ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieRing L'
inst✝² : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
inst✝¹ : IsSolvable R L
inst✝ : Nontrivial L
n : ℕ
hn : derivedSeries R L n = ⊥
\u22a2 derivedSeries R L 1 ≠ ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieRing L'
inst✝² : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
inst✝¹ : IsSolvable R L
inst✝ : Nontrivial L
n : ℕ
hn : derivedSeries R L n = ⊥
contra : derivedSeries R L 1 = ⊤
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieRing L'
inst✝² : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
inst✝¹ : IsSolvable R L
inst✝ : Nontrivial L
n : ℕ
hn : ⊤ = ⊥
contra : derivedSeries R L 1 = ⊤
\u22a2 False
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Field F✝
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F✝ E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
p : ι → K[X]
s : Finset ι
h0 : ∏ i ∈ s, p i ≠ 0
h : ∀ i ∈ s, IsSplittingField K (↥(t i)) (p i)
F : IntermediateField K L := ⨆ i ∈ s, t i
\u22a2 IsSplittingField K (↥(⨆ i ∈ s, t i)) (∏ i ∈ s, p i)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Field F✝
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F✝ E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
p : ι → K[X]
s : Finset ι
h0 : ∏ i ∈ s, p i ≠ 0
h : ∀ i ∈ s, IsSplittingField K (↥(t i)) (p i)
F : IntermediateField K L := ⨆ i ∈ s, t i
hF : ∀ i ∈ s, t i ≤ F
\u22a2 IsSplittingField K (↥(⨆ i ∈ s, t i)) (∏ i ∈ s, p i)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Field F✝
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F✝ E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
p : ι → K[X]
s : Finset ι
h0 : ∏ i ∈ s, p i ≠ 0
F : IntermediateField K L := ⨆ i ∈ s, t i
hF : ∀ i ∈ s, t i ≤ F
h : ∀ i ∈ s, Splits (algebraMap K ↥(t i)) (p i) ∧ t i = adjoin K ((p i).rootSet L)
\u22a2 Splits (algebraMap K ↥(⨆ i ∈ s, t i)) (∏ i ∈ s, p i) ∧ ⨆ i ∈ s, t i = adjoin K ((∏ i ∈ s, p i).rootSet L)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Field F✝
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F✝ E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
p : ι → K[X]
s : Finset ι
h0 : ∏ i ∈ s, p i ≠ 0
F : IntermediateField K L := ⨆ i ∈ s, t i
hF : ∀ i ∈ s, t i ≤ F
h : ∀ i ∈ s, Splits (algebraMap K ↥(t i)) (p i) ∧ t i = adjoin K ((p i).rootSet L)
\u22a2 ⨆ i ∈ s, t i = adjoin K ((∏ i ∈ s, p i).rootSet L)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Field F✝
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F✝ E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
p : ι → K[X]
s : Finset ι
h0 : ∏ i ∈ s, p i ≠ 0
F : IntermediateField K L := ⨆ i ∈ s, t i
hF : ∀ i ∈ s, t i ≤ F
h : ∀ i ∈ s, Splits (algebraMap K ↥(t i)) (p i) ∧ t i = adjoin K ((p i).rootSet L)
\u22a2 ⨆ i ∈ s, t i = ⨆ i ∈ s, adjoin K ((p i).rootSet L)
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup L
inst✝¹¹ : Module R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : Fintype ι'
inst✝⁶ : Fintype ιM
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι'
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
\u22a2 (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ).polyCharpolyAux (basis A b) (Module.Free.chooseBasis A (TensorProduct R A M)) = Polynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap R A)) (φ.polyCharpolyAux b (Module.Free.chooseBasis R M))
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup L
inst✝¹¹ : Module R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : Fintype ι'
inst✝⁶ : Fintype ιM
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι'
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
\u22a2 (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ).polyCharpolyAux (basis A b) (Module.Free.chooseBasis A (TensorProduct R A M)) = (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ).polyCharpolyAux (basis A b) (basis A (Module.Free.chooseBasis R M))
-- Mathlib/Data/ENat/Basic.lean
m✝ n✝ m : ℕ∞
n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 m.toNat = n ↔ m = ↑n
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
f : MonoidAlgebra R M
\u22a2 ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => (of R M) ↑s) a = f
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
m : M
\u22a2 ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => (of R M) ↑s) a = (of R M) m
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
f g : MonoidAlgebra R M
ihf : ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => (of R M) ↑s) a = f
ihg : ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => (of R M) ↑s) a = g
\u22a2 ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => (of R M) ↑s) a = f + g
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
r : R
f : MonoidAlgebra R M
ih : ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => (of R M) ↑s) a = f
\u22a2 ∃ a, ((FreeAlgebra.lift R) fun s => (of R M) ↑s) a = r • f
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : PosSMulMono α β
ha : 0 ≤ a
hb : b ≤ 0
\u22a2 a • b ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀
\u22a2 a * c = b * c ↔ a = b ∨ c = 0
-- Mathlib/Data/List/Join.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
p : β → Bool
l : List α
f : α → List β
\u22a2 countP p (l.bind f) = Nat.sum (map (countP p ∘ f) l)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
\u22a2 μ.mass ≠ 0 ↔ μ ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
\u22a2 μ.mass = 0 ↔ μ = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t t' : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
r : A
\u22a2 r ∈ vanishingIdeal t ⊔ vanishingIdeal t' → r ∈ vanishingIdeal (t ∩ t')
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t t' : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
r : A
\u22a2 (∃ y ∈ (vanishingIdeal t).toIdeal, ∃ z ∈ (vanishingIdeal t').toIdeal, y + z = r) → ∀ x ∈ t ∩ t', r ∈ x.asHomogeneousIdeal