ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/CountableDenseLinearOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝¹ : Encodable α
val✝ : Encodable β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
\u22a2 Nonempty (α ≃o β)
-- Mathlib/Order/CountableDenseLinearOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹¹ : LinearOrder α
inst✝¹⁰ : LinearOrder β
inst✝⁹ : Countable α
inst✝⁸ : DenselyOrdered α
inst✝⁷ : NoMinOrder α
inst✝⁶ : NoMaxOrder α
inst✝⁵ : Nonempty α
inst✝⁴ : Countable β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
val✝¹ : Encodable α
val✝ : Encodable β
to_cofinal : α ⊕ β → Cofinal (PartialIso α β) := fun p => Sum.recOn p (definedAtLeft β) (definedAtRight α)
our_ideal : Ideal (PartialIso α β) := idealOfCofinals default to_cofinal
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
G : (b : β) → { a // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun b => invOfIdeal b our_ideal ⋯
\u22a2 Nonempty (α ≃o β)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/DomCoprod.lean
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
\u22a2 (↑(alternatization a)).domCoprod ↑(alternatization b) = ∑ σa : Perm ιa, ∑ σb : Perm ιb, Perm.sign σa • Perm.sign σb • (domDomCongr σa a).domCoprod (domDomCongr σb b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/DomCoprod.lean
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
\u22a2 domCoprod' ((∑ σ : Perm ιa, Perm.sign σ • domDomCongr σ a) ⊗ₜ[R'] ∑ σ : Perm ιb, Perm.sign σ • domDomCongr σ b) = ∑ x : Perm ιa, ∑ x_1 : Perm ιb, Perm.sign x • Perm.sign x_1 • domCoprod' (domDomCongr x a ⊗ₜ[R'] domDomCongr x_1 b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/DomCoprod.lean
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
\u22a2 ∑ x : Perm ιa, ∑ x_1 : Perm ιb, domCoprod' (Perm.sign x • Perm.sign x_1 • domDomCongr x a ⊗ₜ[R'] domDomCongr x_1 b) = ∑ x : Perm ιa, ∑ x_1 : Perm ιb, Perm.sign x • Perm.sign x_1 • domCoprod' (domDomCongr x a ⊗ₜ[R'] domDomCongr x_1 b)
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
s : Set (Set α)
\u22a2 (FilterBasis.ofSets s).filter = generate s
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasCokernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : IsIso g
\u22a2 f ≫ g ≫ cokernel.π (f ≫ g) = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Body.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace ℝ V
K L : ConvexBody V
\u22a2 EMetric.hausdorffEdist ↑K ↑L = edist K L
-- Mathlib/Analysis/Convex/Body.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace ℝ V
K L : ConvexBody V
\u22a2 EMetric.hausdorffEdist ↑K ↑L = ENNReal.ofReal (dist K L)
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
motive : (⨂[R] (i : ι), s i) → Prop
z : ⨂[R] (i : ι), s i
tprodCoeff : ∀ (r : R) (f : (i : ι) → s i), motive (PiTensorProduct.tprodCoeff R r f)
add : ∀ (x y : ⨂[R] (i : ι), s i), motive x → motive y → motive (x + y)
\u22a2 motive z
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
motive : (⨂[R] (i : ι), s i) → Prop
z : ⨂[R] (i : ι), s i
tprodCoeff : ∀ (r : R) (f : (i : ι) → s i), motive (PiTensorProduct.tprodCoeff R r f)
add : ∀ (x y : ⨂[R] (i : ι), s i), motive x → motive y → motive (x + y)
C0 : motive 0
\u22a2 motive z
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
motive : (⨂[R] (i : ι), s i) → Prop
z : ⨂[R] (i : ι), s i
tprodCoeff : ∀ (r : R) (f : (i : ι) → s i), motive (PiTensorProduct.tprodCoeff R r f)
add : ∀ (x y : ⨂[R] (i : ι), s i), motive x → motive y → motive (x + y)
C0 : motive 0
x : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → (fun i => s i) i))
\u22a2 ∀ (x : R × ((i : ι) → (fun i => s i) i)) (xs : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → (fun i => s i) i))), motive ↑xs → motive ↑(FreeAddMonoid.of x + xs)
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
motive : (⨂[R] (i : ι), s i) → Prop
z : ⨂[R] (i : ι), s i
tprodCoeff : ∀ (r : R) (f : (i : ι) → s i), motive (PiTensorProduct.tprodCoeff R r f)
add : ∀ (x y : ⨂[R] (i : ι), s i), motive x → motive y → motive (x + y)
C0 : motive 0
x : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → (fun i => s i) i))
\u22a2 ∀ (x : R × ((i : ι) → s i)) (xs : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))), motive ↑xs → motive (↑(FreeAddMonoid.of x) + ↑xs)
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
M : Matroid α
X : Set α
\u22a2 M.closure X = ↑(M.subtypeClosure ⟨X ∩ M.E, ⋯⟩)
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
M : Matroid α
X : Set α
\u22a2 ∀ (x : α), (∀ (t : Set α), M.Flat t → X ∩ M.E ⊆ t → x ∈ t) ↔ x ∈ M.E ∧ ∀ a ⊆ M.E, X ∩ M.E ⊆ a → M.Flat a → x ∈ a
-- Mathlib/Topology/Algebra/GroupWithZero.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝⁴ : GroupWithZero G₀
inst✝³ : TopologicalSpace G₀
inst✝² : HasContinuousInv₀ G₀
inst✝¹ : ContinuousMul G₀
f✝ g✝ : α → G₀
inst✝ : T1Space G₀
f g : α → G₀
l : Filter α
x y : G₀
hg : Tendsto g l (𝓝 y)
hy : y ≠ 0
\u22a2 Tendsto (fun n => f n * g n) l (𝓝 (x * y)) ↔ Tendsto f l (𝓝 x)
-- Mathlib/Topology/Algebra/GroupWithZero.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝⁴ : GroupWithZero G₀
inst✝³ : TopologicalSpace G₀
inst✝² : HasContinuousInv₀ G₀
inst✝¹ : ContinuousMul G₀
f✝ g✝ : α → G₀
inst✝ : T1Space G₀
f g : α → G₀
l : Filter α
x y : G₀
hg : Tendsto g l (𝓝 y)
hy : y ≠ 0
hfg : Tendsto (fun n => f n * g n) l (𝓝 (x * y))
\u22a2 Tendsto f l (𝓝 x)
-- Mathlib/Topology/Algebra/GroupWithZero.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝⁴ : GroupWithZero G₀
inst✝³ : TopologicalSpace G₀
inst✝² : HasContinuousInv₀ G₀
inst✝¹ : ContinuousMul G₀
f✝ g✝ : α → G₀
inst✝ : T1Space G₀
f g : α → G₀
l : Filter α
x y : G₀
hg : Tendsto g l (𝓝 y)
hy : y ≠ 0
hfg : Tendsto (fun n => f n * g n) l (𝓝 (x * y))
\u22a2 Tendsto f l (𝓝 (x * y / y))
-- Mathlib/Topology/Algebra/GroupWithZero.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝⁴ : GroupWithZero G₀
inst✝³ : TopologicalSpace G₀
inst✝² : HasContinuousInv₀ G₀
inst✝¹ : ContinuousMul G₀
f✝ g✝ : α → G₀
inst✝ : T1Space G₀
f g : α → G₀
l : Filter α
x y : G₀
hg : Tendsto g l (𝓝 y)
hy : y ≠ 0
hfg : Tendsto (fun n => f n * g n) l (𝓝 (x * y))
\u22a2 (fun n => f n * g n) / g =ᶠ[l] f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : y ∈ ball x ε
\u22a2 dist y x ≤ ε - (ε - dist y x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Localization.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹⁰ : Category.{v₃, u₃} E
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝⁹ : L.IsLocalization W
A : Type w
inst✝⁸ : AddMonoid A
inst✝⁷ : HasShift C A
inst✝⁶ : W.IsCompatibleWithShift A
inst✝⁵ : W.HasLocalization
F : C ⥤ E
F' : D ⥤ E
inst✝⁴ : Lifting L W F F'
inst✝³ : HasShift D A
inst✝² : HasShift E A
inst✝¹ : L.CommShift A
inst✝ : F.CommShift A
a : A
X : C
\u22a2 (F'.commShiftIso a).inv.app (L.obj X) = (shiftFunctor E a).map ((Lifting.iso L W F F').hom.app X) ≫ (F.commShiftIso a).inv.app X ≫ (Lifting.iso L W F F').inv.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ F'.map ((L.commShiftIso a).hom.app X)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/T0Sierpinski.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T0Space X
x1 x2 : X
h : (productOfMemOpens X) x1 = (productOfMemOpens X) x2
\u22a2 x1 = x2
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/T0Sierpinski.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T0Space X
x1 x2 : X
h : (productOfMemOpens X) x1 = (productOfMemOpens X) x2
\u22a2 Inseparable x1 x2
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/TerminatesIffRat.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
\u22a2 ∃ conts, (of v).conts n = Pair.map Rat.cast conts
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/TerminatesIffRat.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
\u22a2 ∃ conts, (of v).contsAux (n + 1) = Pair.map Rat.cast conts
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
\u22a2 jacobiTheta₂' z (τ + 2) = jacobiTheta₂' z τ
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
n : ℤ
\u22a2 jacobiTheta₂'_term n z (τ + 2) = jacobiTheta₂'_term n z τ
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
n : ℤ
\u22a2 2 * ↑π * I * ↑n * (cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z) * cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * (τ + 2))) = 2 * ↑π * I * ↑n * (cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z) * cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * τ))
-- Mathlib/Algebra/Star/Pointwise.lean
α : Type u_1
s✝ t : Set α
a : α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : StarMul α
s : Set α
x✝ : α
\u22a2 x✝ ∈ s⁻¹⋆ ↔ x✝ ∈ s⋆⁻¹
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
\u22a2 W'.addX P Q * (P z * Q z) ^ 2 = (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) ^ 2
-- Mathlib/Order/Filter/Ker.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Filter α
s : Set α
a✝ a : α
\u22a2 (pure a).ker = {a}
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Calculus.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
c x : E → F
R : E → ℝ
s : Set E
a : E
n : ℕ∞
hc : DifferentiableAt ℝ c a
hR : DifferentiableAt ℝ R a
hx : DifferentiableAt ℝ x a
hne : x a ≠ c a
\u22a2 DifferentiableAt ℝ (fun a => inversion (c a) (R a) (x a)) a
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Calculus.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
c x : E → F
R : E → ℝ
s : Set E
a : E
n : ℕ∞
hc : DifferentiableWithinAt ℝ c univ a
hR : DifferentiableWithinAt ℝ R univ a
hx : DifferentiableWithinAt ℝ x univ a
hne : x a ≠ c a
\u22a2 DifferentiableWithinAt ℝ (fun a => inversion (c a) (R a) (x a)) univ a
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℤ
x : ℤ√d
h : x.norm.natAbs = 1
hx : 0 ≤ x.norm
\u22a2 1 = x * star x
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℤ
x : ℤ√d
h : x.norm.natAbs = 1
hx : x.norm ≤ 0
\u22a2 1 = x * -star x
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℤ
x : ℤ√d
h : IsUnit x
\u22a2 x.norm.natAbs = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℤ
x : ℤ√d
h : IsUnit x
y : ℤ√d
hy : 1 = x * y
\u22a2 x.norm.natAbs = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℤ
x : ℤ√d
h : IsUnit x
y : ℤ√d
hy : 1 = x * y
this : (Int.natAbs ∘ norm) 1 = (Int.natAbs ∘ norm) (x * y)
\u22a2 x.norm.natAbs = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℤ
x : ℤ√d
h : IsUnit x
y : ℤ√d
hy : 1 = x * y
this : x.norm.natAbs = 1 ∧ y.norm.natAbs = 1
\u22a2 x.norm.natAbs = 1
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
x y : ZMod N
hxy : toAddCircle x = toAddCircle y
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
x y : ZMod N
hxy : toAddCircle x = toAddCircle y
this : 0 < ↑N
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset α
\u22a2 s.val.prod = s.prod id
-- Mathlib/GroupTheory/Solvable.lean
G : Type u_1
G'✝ : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'✝
f✝ : G →* G'✝
G' : Type u_3
G'' : Type u_4
inst✝¹ : Group G'
inst✝ : Group G''
f : G' →* G
g : G →* G''
hfg : g.ker ≤ f.range
hG' : IsSolvable G'
hG'' : IsSolvable G''
n : ℕ
hn : derivedSeries G'' n = ⊥
m : ℕ
hm : derivedSeries G' m = ⊥
\u22a2 IsSolvable G
-- Mathlib/GroupTheory/Solvable.lean
G : Type u_1
G'✝ : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'✝
f✝ : G →* G'✝
G' : Type u_3
G'' : Type u_4
inst✝¹ : Group G'
inst✝ : Group G''
f : G' →* G
g : G →* G''
hfg : g.ker ≤ f.range
hG' : IsSolvable G'
hG'' : IsSolvable G''
n : ℕ
hn : derivedSeries G'' n = ⊥
m : ℕ
hm : derivedSeries G' m = ⊥
\u22a2 derivedSeries G (n + m) ≤ map f (derivedSeries G' m)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
L : ℝ≥0∞
hL : L < ∫⁻ (x : α), ↑(f x) ∂μ
\u22a2 ∃ g, (∀ (x : α), ↑g x ≤ f x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
L : ℝ≥0∞
hL : ∃ i, ∃ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑i x) ≤ ↑(f x)), L < (SimpleFunc.map ofNNReal i).lintegral μ
\u22a2 ∃ g, (∀ (x : α), ↑g x ≤ f x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
L : ℝ≥0∞
g₀ : α →ₛ ℝ≥0
hg₀ : ∀ (x : α), ↑(↑g₀ x) ≤ ↑(f x)
g₀L : L < (SimpleFunc.map ofNNReal g₀).lintegral μ
\u22a2 ∃ g, (∀ (x : α), ↑g x ≤ f x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
L : ℝ≥0∞
g₀ : α →ₛ ℝ≥0
hg₀ : ∀ (x : α), ↑(↑g₀ x) ≤ ↑(f x)
g₀L : L < (SimpleFunc.map ofNNReal g₀).lintegral μ
h'L : L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g₀ x) ∂μ
\u22a2 ∃ g, (∀ (x : α), ↑g x ≤ f x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ≥0
L : ℝ≥0∞
g₀ : α →ₛ ℝ≥0
hg₀ : ∀ (x : α), ↑(↑g₀ x) ≤ ↑(f x)
g₀L : L < (SimpleFunc.map ofNNReal g₀).lintegral μ
h'L : L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g₀ x) ∂μ
g : α →ₛ ℝ≥0
hg : ∀ (x : α), ↑g x ≤ ↑g₀ x
gL : ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ < ⊤
gtop : L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ
\u22a2 ∃ g, (∀ (x : α), ↑g x ≤ f x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(↑g x) ∂μ
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
f : Fin (n + 1) → G
a : k
\u22a2 (𝟙 ((linearization k G).obj (Action.leftRegular G)).V ⊗ (linearizationTrivialIso k G (Fin n → G)).hom.hom) ((inv ((linearization k G).μ (Action.leftRegular G) { V := Fin n → G, ρ := 1 })).hom ((lmapDomain k k (actionDiagonalSucc G n).hom.hom) (single f a))) = single (f 0) 1 ⊗ₜ[k] single (fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ) a
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
f : Fin (n + 1) → G
a : k
\u22a2 (𝟙 ((linearization k G).obj (Action.leftRegular G)).V ⊗ (linearizationTrivialIso k G (Fin n → G)).hom.hom) (↑(finsuppTensorFinsupp' k (Action.leftRegular G).V (Fin n → G)).symm ((lmapDomain k k (actionDiagonalSucc G n).hom.hom) (single f a))) = single (f 0) 1 ⊗ₜ[k] single (fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ) a
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
f : Fin (n + 1) → G
a : k
\u22a2 (𝟙 ((linearization k G).obj (Action.leftRegular G)).V ⊗ (linearizationTrivialIso k G (Fin n → G)).hom.hom) ((finsuppTensorFinsupp k k k k (Action.leftRegular G).V (Fin n → G)).symm ((lcongr (Equiv.refl ((Action.leftRegular G).V × (Fin n → G))) (TensorProduct.lid k k).symm) (single ((actionDiagonalSucc G n).hom.hom f) a))) = single (f 0) 1 ⊗ₜ[k] single (fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ) a
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
f : Fin (n + 1) → G
a : k
\u22a2 (𝟙 ((linearization k G).obj (Action.leftRegular G)).V ⊗ (linearizationTrivialIso k G (Fin n → G)).hom.hom) ((finsuppTensorFinsupp k k k k (Action.leftRegular G).V (Fin n → G)).symm (single ((Equiv.refl ((Action.leftRegular G).V × (Fin n → G))) ((actionDiagonalSucc G n).hom.hom f)) ((TensorProduct.lid k k).symm a))) = single (f 0) 1 ⊗ₜ[k] single (fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ) a
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
f : Fin (n + 1) → G
a : k
\u22a2 (𝟙 ((linearization k G).obj (Action.leftRegular G)).V ⊗ (linearizationTrivialIso k G (Fin n → G)).hom.hom) (single ((Equiv.refl ((Action.leftRegular G).V × (Fin n → G))) (f 0, fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ)).1 1 ⊗ₜ[k] single ((Equiv.refl ((Action.leftRegular G).V × (Fin n → G))) (f 0, fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ)).2 a) = single (f 0) 1 ⊗ₜ[k] single (fun i => (f i.castSucc)⁻¹ * f i.succ) a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean
s : ℂ
\u22a2 s.Gammaℝ * (s + 1).Gammaℝ = s.Gammaℂ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean
s : ℂ
\u22a2 ↑π ^ (-s / 2) * Gamma (s / 2) * (↑π ^ (-(s + 1) / 2) * Gamma ((s + 1) / 2)) = 2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * Gamma s
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
\u22a2 toIocMod hp a (b + p) = toIocMod hp a b
-- Mathlib/Data/Int/Cast/Lemmas.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : AddGroupWithOne α
inst✝ : CharZero α
m n : ℤ
h : n = 0
\u22a2 ↑n = 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Nontrivial E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : IsOpen s
h's : s.Nonempty
\u22a2 𝔠 ≤ #↑s
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Multinomial.lean
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≠ b
\u22a2 (f a + f b).succ * multinomial {a, b} f = (f a).succ * multinomial {a, b} (Function.update f a (f a).succ)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Multinomial.lean
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≠ b
\u22a2 (f a + f b).succ * (f a + f b).choose (f a) = ((f a).succ + f b).choose (f a).succ * (f a).succ
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DivisionMonoid α
s✝ t s : Finset α
n : ℕ
\u22a2 ↑(s ^ Int.negSucc n) = ↑s ^ Int.negSucc n
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DivisionMonoid α
s✝ t s : Finset α
n : ℕ
\u22a2 (↑(npowRec n.succ s))⁻¹ = ↑s ^ Int.negSucc n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Permutation.lean
n : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
σ : Perm n
inst✝ : AddCommMonoidWithOne R
\u22a2 ∑ i : n, (Perm.permMatrix R σ).diag i = ↑(Function.fixedPoints ⇑σ).ncard
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
r : α → β → Prop
f : α →ₛ β
h : ∀ (b : β), MeasurableSet {a | r a b}
\u22a2 MeasurableSet {a | r a (↑f a)}
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
r : α → β → Prop
f : α →ₛ β
h : ∀ (b : β), MeasurableSet {a | r a b}
this : {a | r a (↑f a)} = ⋃ b ∈ range ↑f, {a | r a b} ∩ ↑f ⁻¹' {b}
\u22a2 MeasurableSet {a | r a (↑f a)}
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
r : α → β → Prop
f : α →ₛ β
h : ∀ (b : β), MeasurableSet {a | r a b}
this : {a | r a (↑f a)} = ⋃ b ∈ range ↑f, {a | r a b} ∩ ↑f ⁻¹' {b}
\u22a2 MeasurableSet (⋃ b ∈ range ↑f, {a | r a b} ∩ ↑f ⁻¹' {b})
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Classification.lean
K L : Type
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : IsAlgClosed K
inst✝³ : IsAlgClosed L
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CharP K p
inst✝ : CharP L p
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
this✝ : Algebra (ZMod p) K := ZMod.algebra K p
this : Algebra (ZMod p) L := ZMod.algebra L p
\u22a2 Nonempty (K ≃+* L)
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Classification.lean
K L : Type
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : IsAlgClosed K
inst✝³ : IsAlgClosed L
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CharP K p
inst✝ : CharP L p
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
this✝ : Algebra (ZMod p) K := ZMod.algebra K p
this : Algebra (ZMod p) L := ZMod.algebra L p
s : Set K
hs : IsTranscendenceBasis (ZMod p) Subtype.val
\u22a2 Nonempty (K ≃+* L)