ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ
h : n ∈ (derivative p).support
h1 : p.coeff (n + 1) = 0
\u22a2 (derivative p).coeff n = 0
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
\u22a2 (s₁.ndunion s₂).gcd = GCDMonoid.gcd s₁.gcd s₂.gcd
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
c : E
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, c = (b - a) • c
-- Mathlib/Algebra/SMulWithZero.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : GroupWithZero α
inst✝³ : GroupWithZero β
inst✝² : MulActionWithZero α β
inst✝¹ : SMulCommClass α β β
inst✝ : IsScalarTower α β β
c : α
x : β
\u22a2 (c • x)⁻¹ = c⁻¹ • x⁻¹
-- Mathlib/Algebra/SMulWithZero.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : GroupWithZero α
inst✝³ : GroupWithZero β
inst✝² : MulActionWithZero α β
inst✝¹ : SMulCommClass α β β
inst✝ : IsScalarTower α β β
x : β
\u22a2 (0 • x)⁻¹ = 0⁻¹ • x⁻¹
-- Mathlib/Algebra/SMulWithZero.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : GroupWithZero α
inst✝³ : GroupWithZero β
inst✝² : MulActionWithZero α β
inst✝¹ : SMulCommClass α β β
inst✝ : IsScalarTower α β β
c : α
x : β
hc : c ≠ 0
\u22a2 (c • x)⁻¹ = c⁻¹ • x⁻¹
-- Mathlib/Algebra/SMulWithZero.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : GroupWithZero α
inst✝³ : GroupWithZero β
inst✝² : MulActionWithZero α β
inst✝¹ : SMulCommClass α β β
inst✝ : IsScalarTower α β β
c : α
hc : c ≠ 0
\u22a2 (c • 0)⁻¹ = c⁻¹ • 0⁻¹
-- Mathlib/Algebra/SMulWithZero.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : GroupWithZero α
inst✝³ : GroupWithZero β
inst✝² : MulActionWithZero α β
inst✝¹ : SMulCommClass α β β
inst✝ : IsScalarTower α β β
c : α
x : β
hc : c ≠ 0
hx : x ≠ 0
\u22a2 (c • x)⁻¹ = c⁻¹ • x⁻¹
-- Mathlib/Data/PEquiv.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
b : β
c : γ
f : δ ≃. β
h : f.symm b = none
x✝ : δ
a✝ : γ
\u22a2 a✝ ∈ (f.trans (single b c)) x✝ ↔ a✝ ∈ ⊥ x✝
-- Mathlib/Data/PEquiv.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
b : β
c : γ
f : δ ≃. β
x✝ : δ
a✝ : γ
h : ∀ (a : δ), ¬f a = some b
\u22a2 a✝ ∈ (f.trans (single b c)) x✝ ↔ a✝ ∈ ⊥ x✝
-- Mathlib/Data/PEquiv.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
b : β
c : γ
f : δ ≃. β
x✝ : δ
a✝ : γ
h : ∀ (a : δ), ¬f a = some b
\u22a2 (a✝ ∈ (f x✝).bind fun x => if x = b then some c else none) ↔ a✝ ∈ none
-- Mathlib/Data/PEquiv.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
b : β
c : γ
f : δ ≃. β
x✝ : δ
a✝ : γ
h : ∀ (a : δ), ¬f a = some b
\u22a2 ∀ (x : β), f x✝ = some x → ¬(if x = b then some c else none) = some a✝
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s : Set ι
t : Set ι'
f : ι → Set α
h : ¬∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → ∀ t ≤ f i, t ≤ f j → t ≤ ⊥
\u22a2 ∃ i ∈ s, ∃ j ∈ s, i ≠ j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s : Set ι
t : Set ι'
f : ι → Set α
h : ∃ x, ∃ (_ : x ∈ s), ∃ x_1, ∃ (_ : x_1 ∈ s) (_ : x ≠ x_1), ∃ x_2, ∃ (_ : x_2 ≤ f x) (_ : x_2 ≤ f x_1), ¬x_2 ≤ ⊥
\u22a2 ∃ i ∈ s, ∃ j ∈ s, i ≠ j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s : Set ι
t✝ : Set ι'
f : ι → Set α
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s
h_ne : i ≠ j
t : Set α
hfi : t ≤ f i
hfj : t ≤ f j
ht : ¬t ≤ ⊥
\u22a2 ∃ i ∈ s, ∃ j ∈ s, i ≠ j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s : Set ι
t✝ : Set ι'
f : ι → Set α
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s
h_ne : i ≠ j
t : Set α
hfi : t ≤ f i
hfj : t ≤ f j
ht : t.Nonempty
\u22a2 ∃ i ∈ s, ∃ j ∈ s, i ≠ j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
\u22a2 IsIntegrallyClosed A
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
x : FractionRing A
hx : IsIntegral A x
\u22a2 ∃ y, (algebraMap A (FractionRing A)) y = x
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
x : FractionRing A
hx : IsIntegral A x
\u22a2 x ∈ ↑(adjoinIntegral A⁰ x hx)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomainInv A
x : FractionRing A
hx : IsIntegral A x
\u22a2 adjoinIntegral A⁰ x hx ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/CotangentComplex.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
\u22a2 CotangentSpace.map f - CotangentSpace.map g = ↑S P'.cotangentComplex ∘ₗ f.sub g
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/CotangentComplex.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
\u22a2 ∀ (i : P.vars), (CotangentSpace.map f - CotangentSpace.map g) (P.cotangentSpaceBasis i) = (↑S P'.cotangentComplex ∘ₗ f.sub g) (P.cotangentSpaceBasis i)
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/CotangentComplex.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
i : P.vars
\u22a2 (CotangentSpace.map f - CotangentSpace.map g) (P.cotangentSpaceBasis i) = (↑S P'.cotangentComplex ∘ₗ f.sub g) (P.cotangentSpaceBasis i)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/SeparatingDual.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁰ : Field R
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace V
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : SeparatingDual R V
W : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module R W
inst✝ : FiniteDimensional R W
f : W →ₗ[R] V
hf : Injective ⇑f
\u22a2 Surjective (⇑f.dualMap ∘ ContinuousLinearMap.toLinearMap)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/SeparatingDual.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁰ : Field R
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace V
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : SeparatingDual R V
W : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module R W
inst✝ : FiniteDimensional R W
f : W →ₗ[R] V
hf : Injective ⇑f
this : Injective (⇑(ContinuousLinearMap.coeLM R).flip ∘ ⇑f)
\u22a2 Surjective (⇑f.dualMap ∘ ContinuousLinearMap.toLinearMap)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/SeparatingDual.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁰ : Field R
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace V
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : SeparatingDual R V
W : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module R W
inst✝ : FiniteDimensional R W
f : W →ₗ[R] V
hf : Injective ⇑f
this : Injective ⇑((ContinuousLinearMap.coeLM R).flip ∘ₗ f)
\u22a2 Surjective (⇑f.dualMap ∘ ContinuousLinearMap.toLinearMap)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α x : E
\u22a2 IsCompactElement F⟮x⟯
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α x : E
\u22a2 ∀ (s : Set (IntermediateField F E)), s.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s → x ∈ ⨆ a, ↑a → ∃ x_1, ∃ (_ : x_1 ∈ s), x ∈ x_1
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α x : E
s : Set (IntermediateField F E)
hne : s.Nonempty
hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
hx : x ∈ ⨆ a, ↑a
\u22a2 ∃ x_1, ∃ (_ : x_1 ∈ s), x ∈ x_1
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α x : E
s : Set (IntermediateField F E)
hne : s.Nonempty
hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
hx : x ∈ ⨆ a, ↑a
this : Nonempty ↑s
\u22a2 ∃ x_1, ∃ (_ : x_1 ∈ s), x ∈ x_1
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NNNorm.lean
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
\u22a2 sSup ((fun x => ‖f x‖₊) '' closedBall 0 1) = ‖f‖₊
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NNNorm.lean
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
hbdd : ∀ y ∈ (fun x => ‖f x‖₊) '' closedBall 0 1, y ≤ ‖f‖₊
\u22a2 sSup ((fun x => ‖f x‖₊) '' closedBall 0 1) = ‖f‖₊
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NNNorm.lean
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
hbdd : ∀ y ∈ (fun x => ‖f x‖₊) '' closedBall 0 1, y ≤ ‖f‖₊
\u22a2 ‖f‖₊ ≤ sSup ((fun x => ‖f x‖₊) '' closedBall 0 1)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NNNorm.lean
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂✝ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E✝ : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F✝ : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝²⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝²² : SeminormedAddCommGroup F✝
inst✝²¹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁰ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂✝
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜✝ Eₗ
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜₂✝ F✝
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜✝ Fₗ
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜✝ Gₗ
σ₁₂✝ : 𝕜✝ →+* 𝕜₂✝
σ₂₃ : 𝕜₂✝ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜✝ →+* 𝕜₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂✝ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : FunLike 𝓕 E✝ F✝
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ₁₂✝
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
hbdd : ∀ y ∈ (fun x => ‖f x‖₊) '' closedBall 0 1, y ≤ ‖f‖₊
\u22a2 sSup ((fun x => ‖f x‖₊) '' ball 0 1) ≤ sSup ((fun x => ‖f x‖₊) '' closedBall 0 1)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
\u22a2 φ.τ₁ ≫ (ofEpiOfIsIsoOfMono φ h).f' = h.f'
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : R₁ ⋙ G ⟶ H ⋙ R₂
d : D
\u22a2 L₂.map (α.app d) ≫ adj₂.counit.app (H.obj d) = ((mateEquiv adj₁ adj₂).symm α).app (R₁.obj d) ≫ H.map (adj₁.counit.app d)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : R₁ ⋙ G ⟶ H ⋙ R₂
d : D
\u22a2 L₂.map (((mateEquiv adj₁ adj₂).toFun ((mateEquiv adj₁ adj₂).invFun α)).app d) ≫ adj₂.counit.app (H.obj d) = ((mateEquiv adj₁ adj₂).symm α).app (R₁.obj d) ≫ H.map (adj₁.counit.app d)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f✝ : X → (i : ι) → π i
inst✝ : DecidableEq ι
l : Filter Y
f : Y → (i : ι) → π i
x : (i : ι) → π i
hf : Tendsto f l (𝓝 x)
i : ι
g : Y → π i
xi : π i
hg : Tendsto g l (𝓝 xi)
j : ι
\u22a2 Tendsto (fun i_1 => Function.update (f i_1) i (g i_1) j) l (𝓝 (Function.update x i xi j))
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
\u22a2 padicValNat p p = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
\u22a2 (multiplicity p p).get ⋯ = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝⁴ : MulOneClass α
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : MulPosReflectLT α
b0 : 0 < b
\u22a2 a * b < b ↔ a * b < 1 * b
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
S : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
pn : (ι →₀ R) ⊗[R] N
i : ι
\u22a2 ((finsuppScalarLeft R N ι) pn) i = (TensorProduct.lid R N) ((rTensor N (Finsupp.lapply i)) pn)
-- Mathlib/Order/JordanHolder.lean
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
hb : head s₁ = head s₂
ht : last s₁ = last s₂
\u22a2 ¬0 < s₂.length → ¬0 < s₁.length
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Canonical/Defs.lean
α : Type u
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedCommMonoid α
a b c : α
\u22a2 min (a * b) c = min (min a c * min b c) c
-- Mathlib/Data/Matrix/Invertible.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
A : Matrix n n α
B : Matrix n m α
inst✝ : Invertible A
\u22a2 ⅟A * (A * B) = B
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : NeZero ↑↑n
\u22a2 (aeval (zeta n A B)) (cyclotomic (↑n) A) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : NeZero ↑↑n
\u22a2 IsPrimitiveRoot (zeta n A B) ↑n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
\u22a2 Module.rank Kᵐᵒᵖ (V →ₗ[K] K) = #(V →ₗ[K] K)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
ι : Type u_2
b : Basis ι K V
\u22a2 Module.rank Kᵐᵒᵖ (V →ₗ[K] K) = #(V →ₗ[K] K)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ι : Type u_2
h : Infinite ι
b : Basis ι K V
\u22a2 Module.rank Kᵐᵒᵖ (V →ₗ[K] K) = #(V →ₗ[K] K)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ι : Type u_2
h : Infinite ι
b : Basis ι K V
e : (V →ₗ[K] K) ≃ₗ[Kᵐᵒᵖ] ι → Kᵐᵒᵖ
\u22a2 Module.rank Kᵐᵒᵖ (V →ₗ[K] K) = #(V →ₗ[K] K)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ι : Type u_2
h : Infinite ι
b : Basis ι K V
e : (V →ₗ[K] K) ≃ₗ[Kᵐᵒᵖ] ι → Kᵐᵒᵖ
\u22a2 Module.rank Kᵐᵒᵖ (ι → Kᵐᵒᵖ) = #(ι → Kᵐᵒᵖ)
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ : α → β
ι : Sort u_2
tα : TopologicalSpace α
tβ : TopologicalSpace β
f : β → α
\u22a2 tβ = induced f tα ↔ ∀ (b : β), 𝓝 b = comap f (𝓝 (f b))
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Spectrum.lean
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : CstarRing A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
\u22a2 spectralRadius ℂ a = ↑‖a‖₊
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Spectrum.lean
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : CstarRing A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
hconst : Tendsto (fun _n => ↑‖a‖₊) atTop (𝓝 ↑‖a‖₊)
\u22a2 spectralRadius ℂ a = ↑‖a‖₊
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Spectrum.lean
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : CstarRing A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
hconst : Tendsto (fun _n => ↑‖a‖₊) atTop (𝓝 ↑‖a‖₊)
\u22a2 Tendsto (fun _n => ↑‖a‖₊) atTop (𝓝 (spectralRadius ℂ a))
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Spectrum.lean
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : CstarRing A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
hconst : Tendsto (fun _n => ↑‖a‖₊) atTop (𝓝 ↑‖a‖₊)
\u22a2 (fun _n => ↑‖a‖₊) = (fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ∘ fun n => 2 ^ n
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Spectrum.lean
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : CstarRing A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
hconst : Tendsto (fun _n => ↑‖a‖₊) atTop (𝓝 ↑‖a‖₊)
n : ℕ
\u22a2 ↑‖a‖₊ = ((fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ∘ fun n => 2 ^ n) n
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Spectrum.lean
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : CstarRing A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
hconst : Tendsto (fun _n => ↑‖a‖₊) atTop (𝓝 ↑‖a‖₊)
n : ℕ
\u22a2 ↑‖a‖₊ = ↑‖a‖₊ ^ (↑(2 ^ n) * (1 / ↑(2 ^ n)))
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
x : L
\u22a2 x ∈ K ⊓ K' ↔ x ∈ K ∧ x ∈ K'
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t : ι → α
a b : α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α ≃o β
s : Set α
\u22a2 f (sInf s) = sInf (⇑f.symm ⁻¹' s)
-- Mathlib/CategoryTheory/GlueData.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D✝ : GlueData C
D : GlueData (Type v)
x : D.glued
\u22a2 ∃ i y, Multicoequalizer.π D.diagram i y = x
-- Mathlib/CategoryTheory/GlueData.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D✝ : GlueData C
D : GlueData (Type v)
x : D.glued
\u22a2 ∃ i y, (Sigma.ι D.diagram.right i ≫ Multicoequalizer.sigmaπ D.diagram) y = x
-- Mathlib/CategoryTheory/GlueData.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D✝ : GlueData C
D : GlueData (Type v)
x' : D.sigmaOpens
\u22a2 ∃ i y, (Sigma.ι D.diagram.right i ≫ Multicoequalizer.sigmaπ D.diagram) y = D.π x'