ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Induction.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r f : R[X]
I : Ideal R[X]
p : Ideal R[X] := Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
n : ℕ
_hn : n ∈ f.support
\u22a2 C (f.coeff n) * X ^ n ∈ Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Induction.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r f : R[X]
I : Ideal R[X]
p : Ideal R[X] := Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
n : ℕ
_hn : n ∈ f.support
this : C (f.coeff n) ∈ p
\u22a2 C (f.coeff n) * X ^ n ∈ Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Induction.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r f : R[X]
I : Ideal R[X]
p : Ideal R[X] := Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
n : ℕ
_hn : n ∈ f.support
this✝ : C (f.coeff n) ∈ p
this : (monomial n) 1 • C (f.coeff n) ∈ p
\u22a2 C (f.coeff n) * X ^ n ∈ Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Induction.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r f : R[X]
I : Ideal R[X]
p : Ideal R[X] := Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
n : ℕ
_hn : n ∈ f.support
this✝ : C (f.coeff n) ∈ p
this : (monomial n) 1 • C (f.coeff n) ∈ p
\u22a2 C (f.coeff n) * X ^ n = (monomial n) 1 • C (f.coeff n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Induction.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r f : R[X]
I : Ideal R[X]
p : Ideal R[X] := Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
n : ℕ
_hn : n ∈ f.support
this✝ : C (f.coeff n) ∈ p
this : (monomial n) 1 • C (f.coeff n) ∈ p
\u22a2 C (f.coeff n) * X ^ n = (monomial n) (f.coeff n)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Generator.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
G : C
hG : IsCoseparator G
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = 0
\u22a2 ∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = 0 ≫ h
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Generator.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
G : C
hG : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), (∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = 0) → f = 0
X Y : C
f g : X ⟶ Y
hfg : ∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = g ≫ h
\u22a2 ∀ (h : Y ⟶ G), (f - g) ≫ h = 0
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Functoriality.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
T : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup T
inst✝ : Module (AdicCompletion I R) T
f : M →ₗ[R] N
a : AdicCauchySequence I M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
\u22a2 (fun n => f (↑a n)) m ≡ (fun n => f (↑a n)) n [SMOD I ^ m • ⊤]
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Functoriality.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
T : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup T
inst✝ : Module (AdicCompletion I R) T
f : M →ₗ[R] N
a : AdicCauchySequence I M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hm : Submodule.map f (I ^ m • ⊤) ≤ I ^ m • ⊤
\u22a2 (fun n => f (↑a n)) m ≡ (fun n => f (↑a n)) n [SMOD I ^ m • ⊤]
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Functoriality.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
T : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup T
inst✝ : Module (AdicCompletion I R) T
f : M →ₗ[R] N
a : AdicCauchySequence I M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
hm : Submodule.map f (I ^ m • ⊤) ≤ I ^ m • ⊤
\u22a2 (fun n => f (↑a n)) m ≡ (fun n => f (↑a n)) n [SMOD Submodule.map f (I ^ m • ⊤)]
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Defs.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α✝
p : α✝ → Prop
inst✝³ : DecidablePred p
α : Type u_3
s : Set α
inst✝² : Nonempty α
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
\u22a2 s.Finite ↔ BddBelow s ∧ BddAbove s
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Defs.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α✝
p : α✝ → Prop
inst✝³ : DecidablePred p
α : Type u_3
inst✝² : Nonempty α
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
\u22a2 ∅.Finite ↔ BddBelow ∅ ∧ BddAbove ∅
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Defs.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α✝
p : α✝ → Prop
inst✝³ : DecidablePred p
α : Type u_3
s : Set α
inst✝² : Nonempty α
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
hs : s.Nonempty
\u22a2 s.Finite ↔ BddBelow s ∧ BddAbove s
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α
h : b * a = 1
\u22a2 b = 1 / a
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : CommRing C
f : A →+* B
g : B →+* C
hf : f.FiniteType
hg : Surjective ⇑g
x✝¹ : Algebra A B := f.toAlgebra
x✝ : Algebra A C := (g.comp f).toAlgebra
\u22a2 (g.comp f).FiniteType
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
G H : C
inst✝ : HasBinaryCoproduct G H
\u22a2 IsSeparator (G ⨿ H) ↔ IsSeparating {G, H}
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
G H : C
inst✝ : HasBinaryCoproduct G H
h : IsSeparator (G ⨿ H)
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ G_1 ∈ {G, H}, ∀ (h : G_1 ⟶ X), h ≫ u = h ≫ v
\u22a2 u = v
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
G H : C
inst✝ : HasBinaryCoproduct G H
h : IsSeparating {G, H}
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ (h : G ⨿ H ⟶ X), h ≫ u = h ≫ v
Z : C
hZ : Z ∈ {G, H}
g : Z ⟶ X
\u22a2 g ≫ u = g ≫ v
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
\u22a2 ↑‖⟪x, x⟫_𝕜‖ = ⟪x, x⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
\u22a2 ↑(re ⟪x, x⟫_𝕜) = ⟪x, x⟫_𝕜
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
d x y : ℤ
\u22a2 IsPell { re := x, im := y } ↔ { re := x, im := y } ∈ unitary (ℤ√d)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
m : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → Complex.abs (f n) ≤ m
s : ℂ
hs : 1 < s.re
\u22a2 LSeriesSummable f s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
m : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → Complex.abs (f n) ≤ m
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 ‖f n‖ ≤ m * ↑n ^ (1 - 1)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hf' : ∃ C, ∀ (z : E), ‖z‖ ≤ C * ‖f' z‖
\u22a2 ∀ᶠ (z : E) in 𝓝[s \ {x}] x, f z ≠ f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hf' : ∃ C, ∀ (z : E), ‖z‖ ≤ C * ‖f' z‖
\u22a2 ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 x ⊓ 𝓟 s, x_1 ∈ {x}ᶜ → f x_1 ≠ f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hf' : ∃ C, ∀ (z : E), ‖z‖ ≤ C * ‖f' z‖
A : (fun z => z - x) =O[𝓝[s] x] fun z => f' (z - x)
\u22a2 ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 x ⊓ 𝓟 s, x_1 ∈ {x}ᶜ → f x_1 ≠ f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hf' : ∃ C, ∀ (z : E), ‖z‖ ≤ C * ‖f' z‖
A : (fun z => z - x) =O[𝓝[s] x] fun z => f' (z - x)
this : (fun z => f z - f x) ~[𝓝[s] x] fun z => f' (z - x)
\u22a2 ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 x ⊓ 𝓟 s, x_1 ∈ {x}ᶜ → f x_1 ≠ f x
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : Mul α
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : DistribMulAction R α
inst✝ : SMulCommClass R α α
M : Matrix m n α
a : R
N : Matrix n l α
i✝ : m
j✝ : l
\u22a2 (M * a • N) i✝ j✝ = (a • (M * N)) i✝ j✝
-- Mathlib/Data/Finsupp/ToDFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
η : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : (i : ι) → (x : η i →₀ N) → Decidable (x ≠ 0)
f : (i : ι) × η i →₀ N
a✝ : ι
\u22a2 a✝ ∈ (sigmaFinsuppEquivDFinsupp f).support ↔ a✝ ∈ f.splitSupport
-- Mathlib/Data/Finsupp/ToDFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
η : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : (i : ι) → (x : η i →₀ N) → Decidable (x ≠ 0)
f : (i : ι) × η i →₀ N
a✝ : ι
\u22a2 (sigmaFinsuppEquivDFinsupp f) a✝ ≠ 0 ↔ a✝ ∈ f.splitSupport
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
a : R
ha : a ≠ 0
i j : ℕ
\u22a2 (monomial i) a = (monomial j) a ↔ i = j
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Induced.lean
C : Type u_4
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_4} C
inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D
F : C ⥤ D
A : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift C A
s : A → D ⥤ D
i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F
inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full
inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
X : C
this : HasShift D A := HasShift.induced F A s i
\u22a2 (shiftFunctorZero D A).hom.app (F.obj X) = (i 0).hom.app X ≫ F.map ((shiftFunctorZero C A).hom.app X)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F
hxy : x ≠ y
\u22a2 eval x (basisDivisor x y) = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F
hxy : x ≠ y
\u22a2 (x - y)⁻¹ * (x - y) = 1
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Degree.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K
hy : y ≠ 0
hxy : x + y ≠ 0
hx : ¬x = 0
\u22a2 (x + y).intDegree ≤ max x.intDegree y.intDegree
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Degree.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K
hy : y ≠ 0
hxy : x + y ≠ 0
hx : ¬x = 0
\u22a2 (x.num * y.denom + x.denom * y.num).natDegree ≤ max (x.num * y.denom).natDegree (x.denom * y.num).natDegree
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
h : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s
x : E
hx : x ∈ s
\u22a2 ContDiffWithinAt 𝕜 (↑(n + 1)) f s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
h : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s
x : E
hx : x ∈ s
\u22a2 ∃ u ∈ 𝓝[s] x, ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f' u x
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ
\u22a2 ‖exp ℝ q‖ = ‖exp ℝ q.re‖
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
a n : ℕ
a0 : a ≠ 0
\u22a2 addOrderOf ↑a = n / n.gcd a
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : BEq α
l : List α
\u22a2 [] ∪ l = l
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α
\u22a2 a ∈ limsup s 𝓕 ↔ ∃ᶠ (i : ι) in 𝓕, a ∈ s i
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
o : Ordinal.{u_1}
H : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ o
a : Ordinal.{u_1}
h : a < ω
\u22a2 a < o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
o : Ordinal.{u_1}
H : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ o
a : Ordinal.{u_1}
h : a < ω
n : ℕ
e : a = ↑n
\u22a2 a < o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
o : Ordinal.{u_1}
H : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ o
a : Ordinal.{u_1}
h : a < ω
n : ℕ
e : a = ↑n
\u22a2 succ ↑n ≤ o
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S✝
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Finite σ
ϕ : MvPolynomial σ R →+* S
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 ϕ p = eval₂ (ϕ.comp C) (fun s => ϕ (X s)) p
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S✝
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Finite σ
ϕ : MvPolynomial σ R →+* S
p : MvPolynomial σ R
val✝ : Fintype σ
\u22a2 ϕ p = eval₂ (ϕ.comp C) (fun s => ϕ (X s)) p
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S✝
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Finite σ
ϕ : MvPolynomial σ R →+* S
p : MvPolynomial σ R
val✝ : Fintype σ
\u22a2 ϕ (∑ v ∈ p.support, (monomial v) (coeff v p)) = eval₂ (ϕ.comp C) (fun s => ϕ (X s)) p
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S✝
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Finite σ
ϕ : MvPolynomial σ R →+* S
p : MvPolynomial σ R
val✝ : Fintype σ
\u22a2 ∑ x ∈ p.support, ϕ ((monomial x) (coeff x p)) = ∑ d ∈ p.support, (ϕ.comp C) (coeff d p) * ∏ i : σ, ϕ (X i) ^ d i
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S✝
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Finite σ
ϕ : MvPolynomial σ R →+* S
p : MvPolynomial σ R
val✝ : Fintype σ
x✝ : σ →₀ ℕ
\u22a2 ϕ ((monomial x✝) (coeff x✝ p)) = (ϕ.comp C) (coeff x✝ p) * ∏ i : σ, ϕ (X i) ^ x✝ i
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/WidePullbacks.lean
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
inst✝ : HasWidePullback B objs arrows
X : C
f : X ⟶ B
fs : (j : J) → X ⟶ objs j
w : ∀ (j : J), fs j ≫ arrows j = f
g : X ⟶ widePullback B objs arrows
h1 : ∀ (j : J), g ≫ π arrows j = fs j
h2 : g ≫ base arrows = f
\u22a2 g = lift f fs w
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/WidePullbacks.lean
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
inst✝ : HasWidePullback B objs arrows
X : C
f : X ⟶ B
fs : (j : J) → X ⟶ objs j
w : ∀ (j : J), fs j ≫ arrows j = f
g : X ⟶ widePullback B objs arrows
h1 : ∀ (j : J), g ≫ π arrows j = fs j
h2 : g ≫ base arrows = f
\u22a2 ∀ (j : WidePullbackShape J), g ≫ (limit.cone (WidePullbackShape.wideCospan B objs arrows)).π.app j = (WidePullbackShape.mkCone f fs w).π.app j
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Metric.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
hr : G.Reachable u v
\u22a2 ∃ p, p.IsPath ∧ p.length = G.dist u v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Metric.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
hr : G.Reachable u v
p : G.Walk u v
h : p.length = G.dist u v
\u22a2 ∃ p, p.IsPath ∧ p.length = G.dist u v
-- Mathlib/RingTheory/IntegralDomain.lean
M : Type u_1
inst✝⁵ : CancelMonoidWithZero M
inst✝⁴ : Finite M
R : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : GCDMonoid R
inst✝ : Unique Rˣ
a b c : R
n : ℕ
cp : IsCoprime a b
h : a * b = c ^ n
\u22a2 ∃ d, a = d ^ n
-- Mathlib/RingTheory/IntegralDomain.lean
M : Type u_1
inst✝⁵ : CancelMonoidWithZero M
inst✝⁴ : Finite M
R : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : GCDMonoid R
inst✝ : Unique Rˣ
a b c : R
n : ℕ
cp : IsCoprime a b
h : a * b = c ^ n
\u22a2 GCDMonoid.gcd a b ∣ 1
-- Mathlib/RingTheory/IntegralDomain.lean
M : Type u_1
inst✝⁵ : CancelMonoidWithZero M
inst✝⁴ : Finite M
R : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : GCDMonoid R
inst✝ : Unique Rˣ
a b c : R
n : ℕ
h : a * b = c ^ n
x y : R
hxy : x * a + y * b = 1
\u22a2 GCDMonoid.gcd a b ∣ x * a + y * b
-- Mathlib/Order/Interval/Set/WithBotTop.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
\u22a2 some '' Icc a b = Icc ↑a ↑b
-- Mathlib/MeasureTheory/SetSemiring.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
\u22a2 Disjoint t (⋃₀ ↑(hC.diffFinset hs ht))
-- Mathlib/MeasureTheory/SetSemiring.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
\u22a2 Disjoint t (s \ t)
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 ⊤ ⇔ a = a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, p i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hx : x ∈ p i), C x ⋯
zero : C 0 ⋯
add : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, p i) (hy : y ∈ ⨆ i, p i), C x hx → C y hy → C (x + y) ⋯
x : M
hx : x ∈ ⨆ i, p i
\u22a2 C x hx
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, p i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hx : x ∈ p i), C x ⋯
zero : C 0 ⋯
add : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, p i) (hy : y ∈ ⨆ i, p i), C x hx → C y hy → C (x + y) ⋯
x : M
hx : x ∈ ⨆ i, p i
\u22a2 ∃ (x_1 : x ∈ ⨆ i, p i), C x x_1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝¹ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, p i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hx : x ∈ p i), C x ⋯
zero : C 0 ⋯
add : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, p i) (hy : y ∈ ⨆ i, p i), C x hx → C y hy → C (x + y) ⋯
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ ⨆ i, p i
i : ι
x : M
hx : x ∈ p i
\u22a2 (fun x => ∃ (hx : x ∈ ⨆ i, p i), C x hx) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, p i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hx : x ∈ p i), C x ⋯
zero : C 0 ⋯
add : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, p i) (hy : y ∈ ⨆ i, p i), C x hx → C y hy → C (x + y) ⋯
x : M
hx : x ∈ ⨆ i, p i
\u22a2 (fun x => ∃ (hx : x ∈ ⨆ i, p i), C x hx) 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝¹ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, p i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hx : x ∈ p i), C x ⋯
zero : C 0 ⋯
add : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, p i) (hy : y ∈ ⨆ i, p i), C x hx → C y hy → C (x + y) ⋯
x✝ : M
hx : x✝ ∈ ⨆ i, p i
x y : M
\u22a2 (fun x => ∃ (hx : x ∈ ⨆ i, p i), C x hx) x → (fun x => ∃ (hx : x ∈ ⨆ i, p i), C x hx) y → (fun x => ∃ (hx : x ∈ ⨆ i, p i), C x hx) (x + y)
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s t : Set α
a✝ : α
Hf : MonotoneOn f t
Hst : s ⊆ t
a : α
ha : a ∈ upperBounds s ∩ t
\u22a2 f a ∈ upperBounds (f '' s)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Algebra.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : TopologicalSemiring A
s : Subalgebra R A
B : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : TopologicalRing B
inst✝ : Algebra R B
f : B →ₐ[R] A
f' : B ≃ₜ A
w : ⇑f = ⇑f'
\u22a2 comap f s.topologicalClosure = (comap f s).topologicalClosure
-- Mathlib/Topology/Algebra/Algebra.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : TopologicalSemiring A
s : Subalgebra R A
B : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : TopologicalRing B
inst✝ : Algebra R B
f : B →ₐ[R] A
f' : B ≃ₜ A
w : ⇑f = ⇑f'
\u22a2 ↑(comap f s.topologicalClosure) = ↑(comap f s).topologicalClosure
-- Mathlib/Topology/Algebra/Algebra.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : TopologicalSemiring A
s : Subalgebra R A
B : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : TopologicalRing B
inst✝ : Algebra R B
f : B →ₐ[R] A
f' : B ≃ₜ A
w : ⇑f = ⇑f'
\u22a2 ↑(comap f s.topologicalClosure) = closure ↑(comap f s)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Algebra.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : TopologicalSemiring A
s : Subalgebra R A
B : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : TopologicalRing B
inst✝ : Algebra R B
f : B →ₐ[R] A
f' : B ≃ₜ A
w : ⇑f = ⇑f'
\u22a2 ⇑f ⁻¹' ↑s.topologicalClosure = closure (⇑f ⁻¹' ↑s)