ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
R✝ : Type u₁
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝⁵ : CharP R✝ p
R : Type u₁
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CharP R p
inst✝² : PerfectRing R p
S : Type u₂
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CharP S p
f : R →+* S
r : R
n : ℕ
\u22a2 (fun n => f ((⇑↑(frobeniusEquiv R p).symm)^[n] r)) (n + 1) ^ p = (fun n => f ((⇑↑(frobeniusEquiv R p).symm)^[n] r)) n
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
R✝ : Type u₁
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝⁵ : CharP R✝ p
R : Type u₁
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CharP R p
inst✝² : PerfectRing R p
S : Type u₂
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CharP S p
f : R →+* Ring.Perfection S p
r : R
n : ℕ
\u22a2 (coeff S p 0) (f ((⇑(frobeniusEquiv R p).symm)^[n] r)) = (coeff S p n) (f r)
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set β
\u22a2 range f = s ↔ (∀ (a : α), f a ∈ s) ∧ ∀ b ∈ s, ∃ a, f a = b
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set β
\u22a2 range f = s ↔ range f ⊆ s ∧ ∀ b ∈ s, ∃ a, f a = b
-- Mathlib/Logic/Encodable/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : Encodable α
e : β ≃ α
n : ℕ
\u22a2 (decode n).bind (some ∘ ⇑e.symm) = Option.map (⇑e.symm) (decode n)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
C : ℝ
\u22a2 Tendsto (fun n => C / ↑n) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Lemmas.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y x' y' : ℝ
hx : x ∈ uIcc x' y'
hy : y ∈ uIcc x' y'
\u22a2 y ∈ uIcc y' x'
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Lemmas.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y x' y' : ℝ
hx : x ∈ uIcc x' y'
hy : y ∈ uIcc x' y'
\u22a2 x ∈ uIcc y' x'
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
J' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J'
e : J ≌ J'
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
F : J' ⥤ C
\u22a2 HasColimit F
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
f g : α →ₛ β
\u22a2 ↑(piecewise univ ⋯ f g) = ↑f
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
\u22a2 cs.length (cs.simple i * w) ≠ cs.length w
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
\u22a2 cs.length (cs.simple i * w) = cs.length (w⁻¹ * cs.simple i)
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
\u22a2 cs.length w = cs.length w⁻¹
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
p : F[X]
K : IntermediateField F E
\u22a2 IsSplittingField F (↥K) p ↔ Splits (algebraMap F ↥K) p ∧ K = adjoin F (p.rootSet E)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
p : F[X]
K : IntermediateField F E
\u22a2 Splits (algebraMap F ↥K) p → (Algebra.adjoin F (p.rootSet ↥K) = ⊤ ↔ K = adjoin F (p.rootSet E))
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
p : F[X]
K : IntermediateField F E
\u22a2 Splits (algebraMap F ↥K) p → (Algebra.adjoin F (p.rootSet ↥K) = ⊤ ↔ K.toSubalgebra = Algebra.adjoin F (p.rootSet E))
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
p : F[X]
K : IntermediateField F E
hp : Splits (algebraMap F ↥K) p
\u22a2 Algebra.adjoin F (p.rootSet E) = K.val.range ↔ K.toSubalgebra = Algebra.adjoin F (p.rootSet E)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
s : Set α
hs : s.Countable
hf : Integrable f (μ.restrict s)
\u22a2 ∫ (a : α) in s, f a ∂μ = ∑' (a : ↑s), (μ {↑a}).toReal • f ↑a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
s : Set α
hs : s.Countable
hf : Integrable f (μ.restrict s)
hi : Countable { x // x ∈ s }
\u22a2 ∫ (a : α) in s, f a ∂μ = ∑' (a : ↑s), (μ {↑a}).toReal • f ↑a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
s : Set α
hs : s.Countable
hf : Integrable f (μ.restrict s)
hi : Countable { x // x ∈ s }
hf' : Integrable (fun x => f ↑x) (Measure.comap Subtype.val μ)
\u22a2 ∫ (a : α) in s, f a ∂μ = ∑' (a : ↑s), (μ {↑a}).toReal • f ↑a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
s : Set α
hs : s.Countable
hf : Integrable f (μ.restrict s)
hi : Countable { x // x ∈ s }
hf' : Integrable (fun x => f ↑x) (Measure.comap Subtype.val μ)
\u22a2 ∑' (a : ↑s), ((Measure.comap Subtype.val μ) {a}).toReal • f ↑a = ∑' (a : ↑s), (μ {↑a}).toReal • f ↑a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
s : Set α
hs : s.Countable
hf : Integrable f (μ.restrict s)
hi : Countable { x // x ∈ s }
hf' : Integrable (fun x => f ↑x) (Measure.comap Subtype.val μ)
a : ↑s
\u22a2 ((Measure.comap Subtype.val μ) {a}).toReal • f ↑a = (μ {↑a}).toReal • f ↑a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
s : Set α
hs : s.Countable
hf : Integrable f (μ.restrict s)
hi : Countable { x // x ∈ s }
hf' : Integrable (fun x => f ↑x) (Measure.comap Subtype.val μ)
a : ↑s
\u22a2 (μ (Subtype.val '' {a})).toReal • f ↑a = (μ {↑a}).toReal • f ↑a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : StrongRankCondition F
inst✝³ : Ring E
inst✝² : Algebra F E
S : Subalgebra F E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : Module.Free F ↥S
\u22a2 finrank F ↥S = 1 ↔ S = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : StrongRankCondition F
inst✝³ : Ring E
inst✝² : Algebra F E
S : Subalgebra F E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : Module.Free F ↥S
\u22a2 finrank F ↥S = 1 ↔ Module.rank F ↥S = 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : DecidableEq α
tris : Finset (Finset α)
htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3
pd : (↑tris).Pairwise fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton
tris_big : ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑tris.card
\u22a2 G.FarFromTriangleFree ε
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : DecidableEq α
tris : Finset (Finset α)
htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3
pd : (↑tris).Pairwise fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton
tris_big : ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑tris.card
\u22a2 ∀ ⦃H : SimpleGraph α⦄ [inst : DecidableRel H.Adj], H ≤ G → H.CliqueFree 3 → ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑G.edgeFinset.card - ↑H.edgeFinset.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
G H✝ : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝⁴ : Fintype α
inst✝³ : DecidableRel G.Adj
inst✝² : DecidableRel H✝.Adj
inst✝¹ : DecidableEq α
tris : Finset (Finset α)
htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3
pd : (↑tris).Pairwise fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton
tris_big : ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑tris.card
H : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel H.Adj
hG : H ≤ G
hH : H.CliqueFree 3
\u22a2 ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑G.edgeFinset.card - ↑H.edgeFinset.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
G H✝ : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝⁴ : Fintype α
inst✝³ : DecidableRel G.Adj
inst✝² : DecidableRel H✝.Adj
inst✝¹ : DecidableEq α
tris : Finset (Finset α)
htris : tris ⊆ G.cliqueFinset 3
pd : (↑tris).Pairwise fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton
tris_big : ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑tris.card
H : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel H.Adj
hG : H ≤ G
hH : H.CliqueFree 3
\u22a2 ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑(G.edgeFinset.card - H.edgeFinset.card)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = -1
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
\u22a2 o.oangle x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = -1
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
\u22a2 ¬o.oangle x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = -1
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hxy : o.oangle x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
\u22a2 False
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : ¬0 ≤ (↑(InnerProductGeometry.angle x y)).sign
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hxy : o.oangle x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
\u22a2 False
-- Mathlib/Topology/Algebra/Algebra.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : TopologicalSpace R
inst✝¹⁰ : TopologicalSemiring R
A : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
inst✝⁶ : TopologicalSpace R
inst✝⁵ : TopologicalSemiring R
B : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : TopologicalSemiring B
f : A →A[R] B
hf' : DenseRange ⇑f
s : Subalgebra R A
hs : s.topologicalClosure = ⊤
\u22a2 (Subalgebra.map (↑f) s).topologicalClosure = ⊤
-- Mathlib/Topology/Algebra/Algebra.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : TopologicalSpace R
inst✝¹⁰ : TopologicalSemiring R
A : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
inst✝⁶ : TopologicalSpace R
inst✝⁵ : TopologicalSemiring R
B : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : TopologicalSemiring B
f : A →A[R] B
hf' : DenseRange ⇑f
s : Subalgebra R A
hs : ↑s.topologicalClosure = ↑⊤
\u22a2 ↑(Subalgebra.map (↑f) s).topologicalClosure = ↑⊤
-- Mathlib/Topology/Algebra/Algebra.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : TopologicalSpace R
inst✝¹⁰ : TopologicalSemiring R
A : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
inst✝⁶ : TopologicalSpace R
inst✝⁵ : TopologicalSemiring R
B : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : TopologicalSemiring B
f : A →A[R] B
hf' : DenseRange ⇑f
s : Subalgebra R A
hs : Dense ↑s
\u22a2 Dense ((fun a => f a) '' ↑s)
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
B : C
X Y Z : Subobject B
h₁ : X ≤ Y
h₂ : Y ≤ Z
\u22a2 X.ofLE Y h₁ ≫ Y.ofLE Z h₂ = X.ofLE Z ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
B : C
X Y Z : Subobject B
h₁ : X ≤ Y
h₂ : Y ≤ Z
\u22a2 underlying.map (h₁.hom ≫ h₂.hom) = underlying.map ⋯.hom
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
m : MeasurableSpace α
μ : ι → Measure α
h : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable f (μ i)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
\u22a2 AEStronglyMeasurable f (sum μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
m : MeasurableSpace α
μ : ι → Measure α
h : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable f (μ i)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
\u22a2 ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂sum μ, f x ∈ t
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
m : MeasurableSpace α
μ : ι → Measure α
h : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable f (μ i)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
A : ∀ (i : ι), ∃ t, IsSeparable t ∧ f ⁻¹' t ∈ ae (μ i)
\u22a2 ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂sum μ, f x ∈ t
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
m : MeasurableSpace α
μ : ι → Measure α
h : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable f (μ i)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
t : ι → Set β
t_sep : ∀ (i : ι), IsSeparable (t i)
ht : ∀ (i : ι), f ⁻¹' t i ∈ ae (μ i)
\u22a2 ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂sum μ, f x ∈ t
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
m : MeasurableSpace α
μ : ι → Measure α
h : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable f (μ i)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
t : ι → Set β
t_sep : ∀ (i : ι), IsSeparable (t i)
ht : ∀ (i : ι), f ⁻¹' t i ∈ ae (μ i)
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂sum μ, f x ∈ ⋃ i, t i
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
m : MeasurableSpace α
μ : ι → Measure α
h : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable f (μ i)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
t : ι → Set β
t_sep : ∀ (i : ι), IsSeparable (t i)
ht : ∀ (i : ι), f ⁻¹' t i ∈ ae (μ i)
\u22a2 ∀ (b : ι), ∀ᵐ (x : α) ∂μ b, ∃ i, f x ∈ t i
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
m : MeasurableSpace α
μ : ι → Measure α
h : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable f (μ i)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
t : ι → Set β
t_sep : ∀ (i : ι), IsSeparable (t i)
ht : ∀ (i : ι), f ⁻¹' t i ∈ ae (μ i)
i : ι
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ i, ∃ i, f x ∈ t i
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
m : MeasurableSpace α
μ : ι → Measure α
h : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable f (μ i)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
t : ι → Set β
t_sep : ∀ (i : ι), IsSeparable (t i)
ht : ∀ (i : ι), f ⁻¹' t i ∈ ae (μ i)
i : ι
x : α
hx : x ∈ f ⁻¹' t i
\u22a2 ∃ i, f x ∈ t i
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d✝ m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hc : 0 < c
d : ℕ
\u22a2 b * c = a * c * d ↔ b = a * d
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
s : Set α
hs : IsClosed s
\u22a2 AnalyticSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
s : Set α
hs : IsClosed s
this : PolishSpace ↑s
\u22a2 AnalyticSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
s : Set α
hs : IsClosed s
this : PolishSpace ↑s
\u22a2 AnalyticSet (range Subtype.val)
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝² : OrderTopology 𝕜
p a : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
inst✝¹ : Archimedean 𝕜
inst✝ : TopologicalSpace B
f : 𝕜 → B
hf : f a = f (a + p)
hc : ContinuousOn f (Icc a (a + p))
\u22a2 Continuous (liftIco p a f)
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝² : OrderTopology 𝕜
p a : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
inst✝¹ : Archimedean 𝕜
inst✝ : TopologicalSpace B
f : 𝕜 → B
hf : f a = f (a + p)
hc : ContinuousOn f (Icc a (a + p))
\u22a2 Continuous (Quot.lift ((Icc a (a + p)).restrict f) ⋯ ∘ ⇑(equivIccQuot p a))
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝³ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝² : OrderTopology 𝕜
p a : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
inst✝¹ : Archimedean 𝕜
inst✝ : TopologicalSpace B
f : 𝕜 → B
hf : f a = f (a + p)
hc : ContinuousOn f (Icc a (a + p))
\u22a2 Continuous (Quot.lift ((Icc a (a + p)).restrict f) ⋯)
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
r : R
f g : M →ₗ[R] N
x✝ : M
\u22a2 ((AlgebraTensorModule.curry (baseChange A 0)) 1) x✝ = ((AlgebraTensorModule.curry 0) 1) x✝
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
\u22a2 ∫⁻ (x : E), ENNReal.ofReal ((1 + ‖x‖) ^ (-r)) ∂μ < ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
hr : 0 < r
\u22a2 ∫⁻ (x : E), ENNReal.ofReal ((1 + ‖x‖) ^ (-r)) ∂μ < ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
hr : 0 < r
h_meas : Measurable fun ω => (1 + ‖ω‖) ^ (-r)
h_pos : ∀ (x : E), 0 ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-r)
\u22a2 ∫⁻ (x : E), ENNReal.ofReal ((1 + ‖x‖) ^ (-r)) ∂μ < ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
hr : 0 < r
h_meas : Measurable fun ω => (1 + ‖ω‖) ^ (-r)
h_pos : ∀ (x : E), 0 ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-r)
\u22a2 ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ (1 + ‖a‖) ^ (-r)} < ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
hr : 0 < r
h_meas : Measurable fun ω => (1 + ‖ω‖) ^ (-r)
h_pos : ∀ (x : E), 0 ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-r)
h_int : ∀ (t : ℝ), 0 < t → μ {a | t ≤ (1 + ‖a‖) ^ (-r)} = μ (Metric.closedBall 0 (t ^ (-r⁻¹) - 1))
\u22a2 ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ (1 + ‖a‖) ^ (-r)} < ⊤