ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
\u22a2 (¬∀ (s : Set X), IsOpen s → y ∈ s → x ∈ s) ↔ ∃ S, IsOpen S ∧ y ∈ S ∧ x ∉ S
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
\u22a2 (∃ s, IsOpen s ∧ y ∈ s ∧ x ∉ s) ↔ ∃ S, IsOpen S ∧ y ∈ S ∧ x ∉ S
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (withDensity 0 f) s = 0 s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂0 = 0 s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
\u22a2 ‖log (1 - z)⁻¹ + logTaylor (n + 1) (-z)‖ ≤ ‖z‖ ^ (n + 1) * (1 - ‖z‖)⁻¹ / (↑n + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
\u22a2 ‖log (1 + -z) - logTaylor (n + 1) (-z)‖ ≤ ‖z‖ ^ (n + 1) * (1 - ‖z‖)⁻¹ / (↑n + 1)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ
\u22a2 sin x ^ 2 ≤ 1
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ
\u22a2 sin x ^ 2 ≤ sin x ^ 2 + cos x ^ 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : ¬p₁ = p₂
hp₃p₂ : ¬p₃ = p₂
\u22a2 ∡ p₁ p₂ p₃ = 0 ↔ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁p₂ : ¬p₁ = p₂
hp₃p₂ : ¬p₃ = p₂
\u22a2 p₁ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ p₃ ≠ p₂ ∧ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁ ↔ Wbtw ℝ p₂ p₁ p₃ ∨ Wbtw ℝ p₂ p₃ p₁
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Grothendieck.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
Hss : S ≤ R
sjx : S ∈ J.sieves X
\u22a2 R ∈ J.sieves X
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Grothendieck.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
Hss : S ≤ R
sjx : S ∈ J.sieves X
\u22a2 ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ X), S.arrows f → Sieve.pullback f R ∈ J.sieves Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Grothendieck.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y✝ : C
S R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
Hss : S ≤ R
sjx : S ∈ J.sieves X
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
\u22a2 Sieve.pullback f R ∈ J.sieves Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Grothendieck.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y✝ : C
S R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
Hss : S ≤ R
sjx : S ∈ J.sieves X
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
\u22a2 Sieve.pullback f R = ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Grothendieck.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y✝ : C
S R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
Hss : S ≤ R
sjx : S ∈ J.sieves X
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
\u22a2 Sieve.pullback f S ≤ Sieve.pullback f R
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : γ → β → δ
n : α → γ
\u22a2 map₂ m (map n f) g = map₂ (fun a b => m (n a) b) f g
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : γ → β → δ
n : α → γ
\u22a2 map ((fun p => m p.1 p.2) ∘ fun p => (n p.1, id p.2)) (f ×ˢ g) = map (fun p => m (n p.1) p.2) (f ×ˢ g)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q p : R[X]
n : ℕ
\u22a2 (erase n p).coeff n = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
hn : 1 < n
t : Finset β
f : α ↪ β
\u22a2 (SimpleGraph.map f G).IsNClique n t ↔ ∃ s, G.IsNClique n s ∧ map f s = t
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
hn : 1 < n
t : Finset β
f : α ↪ β
\u22a2 (∃ s, G.IsClique ↑s ∧ map f s = t) ∧ t.card = n ↔ ∃ s, G.IsNClique n s ∧ map f s = t
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s✝ : Finset α
a b c : α
hn : 1 < n
f : α ↪ β
s : Finset α
hs : G.IsNClique n s
\u22a2 (∃ s_1, G.IsClique ↑s_1 ∧ map f s_1 = map f s) ∧ (map f s).card = n
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
\u22a2 h₁.f' ≫ cyclesMap' φ h₁ h₂ = φ.τ₁ ≫ h₂.f'
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
x : ℝ≥0
\u22a2 ‖↑x‖ = ↑x
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : Fin n
\u22a2 0 < a ↔ a ≠ 0
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e✝ : Pretrivialization F proj
x : Z
e e' : Pretrivialization F proj
\u22a2 (e.symm.trans e'.toPartialEquiv).symm = e'.symm.trans e.toPartialEquiv
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
\u22a2 map (addLeftEmbedding c) (Icc a b) = Icc (c + a) (c + b)
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
\u22a2 ⇑(addLeftEmbedding c) '' Set.Icc a b = Set.Icc (c + a) (c + b)
-- Mathlib/Data/Set/UnionLift.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Sort u_3
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
opi : (i : ι) → ↑(S i) → ↑(S i) → ↑(S i)
opβ : β → β → β
h : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), f i (opi i x y) = opβ (f i x) (f i y)
op : ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S)
hopi : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), inclusion ⋯ (opi i x y) = op (inclusion ⋯ x) (inclusion ⋯ y)
x y : ↑(iUnion S)
\u22a2 iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ (op x y) = opβ (iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ x) (iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ y)
-- Mathlib/Data/Set/UnionLift.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Sort u_3
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
opi : (i : ι) → ↑(S i) → ↑(S i) → ↑(S i)
opβ : β → β → β
h : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), f i (opi i x y) = opβ (f i x) (f i y)
op : ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S)
hopi : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), inclusion ⋯ (opi i x y) = op (inclusion ⋯ x) (inclusion ⋯ y)
x y : ↑(iUnion S)
i : ι
hi : ↑x ∈ S i
\u22a2 iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ (op x y) = opβ (iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ x) (iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ y)
-- Mathlib/Data/Set/UnionLift.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Sort u_3
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
opi : (i : ι) → ↑(S i) → ↑(S i) → ↑(S i)
opβ : β → β → β
h : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), f i (opi i x y) = opβ (f i x) (f i y)
op : ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S)
hopi : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), inclusion ⋯ (opi i x y) = op (inclusion ⋯ x) (inclusion ⋯ y)
x y : ↑(iUnion S)
i : ι
hi : ↑x ∈ S i
j : ι
hj : ↑y ∈ S j
\u22a2 iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ (op x y) = opβ (iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ x) (iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ y)
-- Mathlib/Data/Set/UnionLift.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Sort u_3
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
opi : (i : ι) → ↑(S i) → ↑(S i) → ↑(S i)
opβ : β → β → β
h : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), f i (opi i x y) = opβ (f i x) (f i y)
op : ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S)
hopi : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), inclusion ⋯ (opi i x y) = op (inclusion ⋯ x) (inclusion ⋯ y)
x y : ↑(iUnion S)
i : ι
hi : ↑x ∈ S i
j : ι
hj : ↑y ∈ S j
k : ι
hik : S i ≤ S k
hjk : S j ≤ S k
\u22a2 iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ (op x y) = opβ (iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ x) (iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ y)
-- Mathlib/Data/Set/UnionLift.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Sort u_3
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
opi : (i : ι) → ↑(S i) → ↑(S i) → ↑(S i)
opβ : β → β → β
h : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), f i (opi i x y) = opβ (f i x) (f i y)
op : ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S)
hopi : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), inclusion ⋯ (opi i x y) = op (inclusion ⋯ x) (inclusion ⋯ y)
x y : ↑(iUnion S)
i : ι
hi : ↑x ∈ S i
j : ι
hj : ↑y ∈ S j
k : ι
hik : S i ≤ S k
hjk : S j ≤ S k
\u22a2 iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ (op x y) = f k (opi k ⟨↑x, ⋯⟩ ⟨↑y, ⋯⟩)
-- Mathlib/Data/Set/UnionLift.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Sort u_3
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
opi : (i : ι) → ↑(S i) → ↑(S i) → ↑(S i)
opβ : β → β → β
h : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), f i (opi i x y) = opβ (f i x) (f i y)
op : ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S)
hopi : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), inclusion ⋯ (opi i x y) = op (inclusion ⋯ x) (inclusion ⋯ y)
x y : ↑(iUnion S)
i : ι
hi : ↑x ∈ S i
j : ι
hj : ↑y ∈ S j
k : ι
hik : S i ≤ S k
hjk : S j ≤ S k
hx : x = inclusion ⋯ ⟨↑x, ⋯⟩
\u22a2 iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ (op x y) = f k (opi k ⟨↑x, ⋯⟩ ⟨↑y, ⋯⟩)
-- Mathlib/Data/Set/UnionLift.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Sort u_3
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
opi : (i : ι) → ↑(S i) → ↑(S i) → ↑(S i)
opβ : β → β → β
h : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), f i (opi i x y) = opβ (f i x) (f i y)
op : ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S)
hopi : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), inclusion ⋯ (opi i x y) = op (inclusion ⋯ x) (inclusion ⋯ y)
x y : ↑(iUnion S)
i : ι
hi : ↑x ∈ S i
j : ι
hj : ↑y ∈ S j
k : ι
hik : S i ≤ S k
hjk : S j ≤ S k
hx : x = inclusion ⋯ ⟨↑x, ⋯⟩
hy : y = inclusion ⋯ ⟨↑y, ⋯⟩
\u22a2 iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ (op x y) = f k (opi k ⟨↑x, ⋯⟩ ⟨↑y, ⋯⟩)
-- Mathlib/Data/Set/UnionLift.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Sort u_3
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
opi : (i : ι) → ↑(S i) → ↑(S i) → ↑(S i)
opβ : β → β → β
h : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), f i (opi i x y) = opβ (f i x) (f i y)
op : ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S)
hopi : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), inclusion ⋯ (opi i x y) = op (inclusion ⋯ x) (inclusion ⋯ y)
x y : ↑(iUnion S)
i : ι
hi : ↑x ∈ S i
j : ι
hj : ↑y ∈ S j
k : ι
hik : S i ≤ S k
hjk : S j ≤ S k
hx : x = inclusion ⋯ ⟨↑x, ⋯⟩
hy : y = inclusion ⋯ ⟨↑y, ⋯⟩
hxy : ↑(inclusion ⋯ (opi k ⟨↑x, ⋯⟩ ⟨↑y, ⋯⟩)) ∈ S k
\u22a2 iUnionLift S f hf (iUnion S) ⋯ (op x y) = f k (opi k ⟨↑x, ⋯⟩ ⟨↑y, ⋯⟩)
-- Mathlib/Data/Set/UnionLift.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Sort u_3
S : ι → Set α
f : (i : ι) → ↑(S i) → β
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
opi : (i : ι) → ↑(S i) → ↑(S i) → ↑(S i)
opβ : β → β → β
h : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), f i (opi i x y) = opβ (f i x) (f i y)
op : ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S) → ↑(iUnion S)
hopi : ∀ (i : ι) (x y : ↑(S i)), inclusion ⋯ (opi i x y) = op (inclusion ⋯ x) (inclusion ⋯ y)
x y : ↑(iUnion S)
i : ι
hi : ↑x ∈ S i
j : ι
hj : ↑y ∈ S j
k : ι
hik : S i ≤ S k
hjk : S j ≤ S k
hx : x = inclusion ⋯ ⟨↑x, ⋯⟩
hy : y = inclusion ⋯ ⟨↑y, ⋯⟩
hxy : ↑(inclusion ⋯ (opi k ⟨↑x, ⋯⟩ ⟨↑y, ⋯⟩)) ∈ S k
\u22a2 f k ⟨↑(inclusion ⋯ (opi k ⟨↑x, ⋯⟩ ⟨↑y, ⋯⟩)), hxy⟩ = f k (opi k ⟨↑x, ⋯⟩ ⟨↑y, ⋯⟩)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
f : α → ℝ≥0∞
t : ι → Set α
\u22a2 ∑' (x : ↑(⋃ i, t i)), f ↑x ≤ ∑ i : ι, ∑' (x : ↑(t i)), f ↑x
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
f : α → ℝ≥0∞
t : ι → Set α
\u22a2 ∑' (x : ↑(⋃ i, t i)), f ↑x ≤ ∑' (b : ι) (x : ↑(t b)), f ↑x
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Fact (Splits (algebraMap F E) p)
ϕ : E ≃ₐ[F] E
x : ↑(p.rootSet E)
ψ : p.SplittingField ≃ₐ[F] ↥(IsScalarTower.toAlgHom F p.SplittingField E).range := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F p.SplittingField E)
\u22a2 ↑(ψ (ψ.symm (↑((↑ϕ).restrictNormalAux p.SplittingField) (↑↑(AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F p.SplittingField E)) ↑((rootsEquivRoots p E).symm x))))) = ϕ ↑x
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Fact (Splits (algebraMap F E) p)
ϕ : E ≃ₐ[F] E
x : ↑(p.rootSet E)
ψ : p.SplittingField ≃ₐ[F] ↥(IsScalarTower.toAlgHom F p.SplittingField E).range := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F p.SplittingField E)
\u22a2 ↑(↑((↑ϕ).restrictNormalAux p.SplittingField) (↑↑(AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F p.SplittingField E)) ↑((rootsEquivRoots p E).symm x))) = ϕ ↑x
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Fact (Splits (algebraMap F E) p)
ϕ : E ≃ₐ[F] E
x : ↑(p.rootSet E)
ψ : p.SplittingField ≃ₐ[F] ↥(IsScalarTower.toAlgHom F p.SplittingField E).range := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F p.SplittingField E)
\u22a2 ϕ ↑((rootsEquivRoots p E) ((rootsEquivRoots p E).symm x)) = ϕ ↑x
-- Mathlib/Order/Zorn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
\u22a2 ∃ M, IsMaxChain r M ∧ c ⊆ M
-- Mathlib/Order/Zorn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
H : ∃ m ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}, c ⊆ m ∧ ∀ a ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}, m ⊆ a → a = m
\u22a2 ∃ M, IsMaxChain r M ∧ c ⊆ M
-- Mathlib/Order/Zorn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
\u22a2 ∀ c_1 ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}, IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c_1 → c_1.Nonempty → ∃ ub ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}, ∀ s ∈ c_1, s ⊆ ub
-- Mathlib/Order/Zorn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
cs : Set (Set α)
hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}
hcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs
s : Set α
hs : s ∈ cs
\u22a2 ∃ ub ∈ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}, ∀ s ∈ cs, s ⊆ ub
-- Mathlib/Order/Zorn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
cs : Set (Set α)
hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}
hcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs
s : Set α
hs : s ∈ cs
\u22a2 IsChain r (⋃₀ cs)
-- Mathlib/Order/Zorn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
cs : Set (Set α)
hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}
hcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs
s : Set α
hs : s ∈ cs
y : α
sy : Set α
hsy : sy ∈ cs
hysy : y ∈ sy
z : α
sz : Set α
hsz : sz ∈ cs
hzsz : z ∈ sz
hyz : y ≠ z
\u22a2 r y z ∨ r z y
-- Mathlib/Order/Zorn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
cs : Set (Set α)
hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}
hcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs
s : Set α
hs : s ∈ cs
y : α
sy : Set α
hsy : sy ∈ cs
hysy : y ∈ sy
z : α
hyz : y ≠ z
hsz : sy ∈ cs
hzsz : z ∈ sy
\u22a2 r y z ∨ r z y
-- Mathlib/Order/Zorn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
hc : IsChain r c
cs : Set (Set α)
hcs₀ : cs ⊆ {s | c ⊆ s ∧ IsChain r s}
hcs₁ : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) cs
s : Set α
hs : s ∈ cs
y : α
sy : Set α
hsy : sy ∈ cs
hysy : y ∈ sy
z : α
sz : Set α
hsz : sz ∈ cs
hzsz : z ∈ sz
hyz : y ≠ z
hsseq : sy ≠ sz
\u22a2 r y z ∨ r z y
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : Semiring R
s : AddSubmonoid R
n : ℕ
\u22a2 s ^ n = closure (↑s ^ n)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : E'' → F''
s : Set E''
x₀ : E''
n : ℕ
h : f =O[𝓝[s] x₀] fun x => ‖x - x₀‖ ^ n
hx₀ : x₀ ∈ s
hn : n ≠ 0
\u22a2 ‖x₀ - x₀‖ ^ n = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Center.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X₁ Y₁ X₂ Y₂ : Center C
f : X₁ ⟶ Y₁
g : X₂ ⟶ Y₂
U : C
\u22a2 (f.f ⊗ g.f) ▷ U ≫ ((Y₁.tensorObj Y₂).snd.β U).hom = ((X₁.tensorObj X₂).snd.β U).hom ≫ U ◁ (f.f ⊗ g.f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
m : M₁
\u22a2 ((map (QuadraticMap.Isometry.id Q₁)).toLinearMap ∘ₗ ι Q₁) m = ((AlgHom.id R (CliffordAlgebra Q₁)).toLinearMap ∘ₗ ι Q₁) m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Free R M₁
n : ℕ
hn : finrank R M = n.succ
\u22a2 0 < n.succ
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Subsingleton A
a : A
\u22a2 σ a = ∅
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hx : ¬2 ∣ x
hxy : 4 ∣ x - y
i : ℕ
\u22a2 multiplicity 2 (x ^ 2 ^ i + y ^ 2 ^ i) = ↑1
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hx : ¬2 ∣ x
hxy : 4 ∣ x - y
i : ℕ
hx_odd : Odd x
\u22a2 multiplicity 2 (x ^ 2 ^ i + y ^ 2 ^ i) = ↑1
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hx : ¬2 ∣ x
hxy : 4 ∣ x - y
i : ℕ
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
\u22a2 multiplicity 2 (x ^ 2 ^ i + y ^ 2 ^ i) = ↑1
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hx : ¬2 ∣ x
hxy : 4 ∣ x - y
i : ℕ
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y
\u22a2 multiplicity 2 (x ^ 2 ^ i + y ^ 2 ^ i) = ↑1
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hx : ¬2 ∣ x
hxy : 4 ∣ x - y
i : ℕ
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y
\u22a2 2 ^ 1 ∣ x ^ 2 ^ i + y ^ 2 ^ i
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hx : ¬2 ∣ x
hxy : 4 ∣ x - y
i : ℕ
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y
\u22a2 ¬2 ^ (1 + 1) ∣ x ^ 2 ^ i + y ^ 2 ^ i
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hx : ¬2 ∣ x
hxy : 4 ∣ x - y
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y
i : ℕ
\u22a2 ¬2 ^ (1 + 1) ∣ x ^ 2 ^ (i + 1) + y ^ 2 ^ (i + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hx : ¬2 ∣ x
hxy : 4 ∣ x - y
hx_odd : Odd x
hxy_even : Even (x - y)
hy_odd : Odd y
i : ℕ
\u22a2 ∀ (x : ℤ), Odd x → x ^ 2 ^ (i + 1) % 4 = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n : ℕ
x✝ y : ℤ
hx✝ : ¬2 ∣ x✝
hxy : 4 ∣ x✝ - y
hx_odd : Odd x✝
hxy_even : Even (x✝ - y)
hy_odd : Odd y
i : ℕ
x : ℤ
hx : Odd x
\u22a2 x ^ 2 ^ (i + 1) % 4 = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ((μ + ν).withDensity f) s = (μ.withDensity f + ν.withDensity f) s
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hr : 0 < r
hf : ContinuousOn f (sphere z r)
hg : ContinuousOn g (sphere z r)
\u22a2 cderiv r (f - g) z = cderiv r f z - cderiv r g z
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hr : 0 < r
hf : ContinuousOn f (sphere z r)
hg : ContinuousOn g (sphere z r)
h1 : ContinuousOn (fun w => ((w - z) ^ 2)⁻¹) (sphere z r)
\u22a2 cderiv r (f - g) z = cderiv r f z - cderiv r g z
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hr : 0 < r
hf : ContinuousOn f (sphere z r)
hg : ContinuousOn g (sphere z r)
h1 : ContinuousOn (fun w => ((w - z) ^ 2)⁻¹) (sphere z r)
\u22a2 ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (w : ℂ) in C(z, r), ((w - z) ^ 2)⁻¹ • (f - g) w) = (2 * ↑π * I)⁻¹ • ((∮ (w : ℂ) in C(z, r), ((w - z) ^ 2)⁻¹ • f w) - ∮ (w : ℂ) in C(z, r), ((w - z) ^ 2)⁻¹ • g w)
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hr : 0 < r
hf : ContinuousOn f (sphere z r)
hg : ContinuousOn g (sphere z r)
h1 : ContinuousOn (fun w => ((w - z) ^ 2)⁻¹) (sphere z r)
\u22a2 (∮ (w : ℂ) in C(z, r), ((w - z) ^ 2)⁻¹ • (f - g) w) = (∮ (w : ℂ) in C(z, r), ((w - z) ^ 2)⁻¹ • f w) - ∮ (w : ℂ) in C(z, r), ((w - z) ^ 2)⁻¹ • g w
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x : ℂ
\u22a2 abs x * Real.cos x.arg = x.re
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s s₁ s₂ : LowerSet α
t t₁ t₂ : LowerSet β
x : α × β
\u22a2 s ×ˢ t = ⊥ ↔ s = ⊥ ∨ t = ⊥
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s s₁ s₂ : LowerSet α
t t₁ t₂ : LowerSet β
x : α × β
\u22a2 ↑(s ×ˢ t) = ↑⊥ ↔ ↑s = ↑⊥ ∨ ↑t = ↑⊥
-- Mathlib/NumberTheory/Ostrowski.lean
f g : MulRingNorm ℚ
x✝ : ∃ c, 0 < c ∧ ∀ (n : ℕ), f ↑n ^ c = g ↑n
c : ℝ
hc : 0 < c
h : ∀ (n : ℕ), f ↑n ^ c = g ↑n
x : ℚ
\u22a2 f x ^ c = g x
-- Mathlib/Data/Nat/Periodic.lean
a : ℕ
\u22a2 Periodic (fun n => n % a) a