ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/GroupTheory/DoubleCoset.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b : G
h : ∃ x ∈ doset a ↑H ↑K, x ∈ doset b ↑H ↑K
\u22a2 b ∈ doset a ↑H ↑K
-- Mathlib/GroupTheory/DoubleCoset.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b : G
h : ∃ x, (∃ x_1 ∈ ↑H, ∃ y ∈ ↑K, x = x_1 * a * y) ∧ ∃ x_1 ∈ ↑H, ∃ y ∈ ↑K, x = x_1 * b * y
\u22a2 ∃ x ∈ ↑H, ∃ y ∈ ↑K, b = x * a * y
-- Mathlib/GroupTheory/DoubleCoset.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b l : G
hl : l ∈ ↑H
r : G
hr : r ∈ ↑K
y : G
hy : y ∈ ↑H
r' : G
hr' : r' ∈ ↑K
hrx : y * b * r' = l * a * r
\u22a2 ∃ x ∈ ↑H, ∃ y ∈ ↑K, b = x * a * y
-- Mathlib/GroupTheory/DoubleCoset.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b l : G
hl : l ∈ ↑H
r : G
hr : r ∈ ↑K
y : G
hy : y ∈ ↑H
r' : G
hr' : r' ∈ ↑K
hrx : y * b * r' = l * a * r
\u22a2 b = y⁻¹ * l * a * (r * r'⁻¹)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ι → α → M
l✝ : Multiset (α → M)
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ Quot.mk Setoid.r l, Measurable f
\u22a2 Measurable (prod (Quot.mk Setoid.r l))
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
\u22a2 ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) → ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ht : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
\u22a2 ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) → ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ht : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
ω : Ω
hω : ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
hωb : BddAbove (Set.range fun n => f n ω)
\u22a2 ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ht : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
ω : Ω
hω : ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
hωb : (upperBounds (Set.range fun n => f n ω)).Nonempty
\u22a2 ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ht : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
ω : Ω
hω : ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
hωb : (upperBounds (Set.range fun n => f n ω)).Nonempty
i : ℕ
hi : hωb.some < ↑i
\u22a2 ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ht : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
ω : Ω
hω : ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
hωb : (upperBounds (Set.range fun n => f n ω)).Nonempty
i : ℕ
hi : hωb.some < ↑i
hib : ∀ (n : ℕ), f n ω < ↑i
\u22a2 ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ht : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
ω : Ω
hω : ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
hωb : (upperBounds (Set.range fun n => f n ω)).Nonempty
i : ℕ
hi : hωb.some < ↑i
hib : ∀ (n : ℕ), f n ω < ↑i
heq : ∀ (n : ℕ), stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω = f n ω
\u22a2 ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y : M
\u22a2 LinearMap.IsOrtho Q.polarBilin x y ↔ Q.IsOrtho x y
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v✝ w : V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
G : SimpleGraph V
v : V
inst✝ : Fintype ↑(G.neighborSet v ∪ Gᶜ.neighborSet v)
\u22a2 (G.neighborSet v ∪ Gᶜ.neighborSet v).toFinset.card = Fintype.card V - 1
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q a b : MvPolynomial σ R
\u22a2 ∀ {a b : σ →₀ ℕ}, ((a + b).sum fun x e => e) ≤ (a.sum fun x e => e) + b.sum fun x e => e
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
p s : ℝ
hs : -1 < s
hp : 1 ≤ p
\u22a2 IntegrableOn (fun x => x ^ s * rexp (-x ^ p)) (Ioi 0) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
p s : ℝ
hs : -1 < s
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
\u22a2 IntegrableOn (fun x => x ^ s * rexp (-x ^ p)) (Ioi 0) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
p s : ℝ
hs : -1 < s
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 = p
\u22a2 IntegrableOn (fun x => x ^ s * rexp (-x ^ p)) (Ioi 0) volume
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β : Type
n✝ n : ℕ
S : Set (Vector3 ℕ n.succ)
d : Dioph S
v : Fin2 n → ℕ
x : ℕ
\u22a2 ((x ::ₒ v) ∘ none :: some) ∈ S ↔ (x :: v) ∈ S
-- Mathlib/ModelTheory/Definability.lean
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
m : ℕ
φ : L[[↑A]].Formula (α ⊕ Fin m)
x : α → M
\u22a2 x ∈ (fun g => g ∘ Sum.inl) '' setOf φ.Realize ↔ x ∈ setOf (BoundedFormula.relabel id φ).exs.Realize
-- Mathlib/ModelTheory/Definability.lean
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
m : ℕ
φ : L[[↑A]].Formula (α ⊕ Fin m)
x : α → M
\u22a2 (∃ x_1, φ.Realize x_1 ∧ x_1 ∘ Sum.inl = x) ↔ ∃ xs, BoundedFormula.Realize φ (Sum.elim x xs) (xs ∘ Fin.natAdd m)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ ν : Measure α✝
α : Type u_5
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hf_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
hF_meas : AEMeasurable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤
\u22a2 ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ ν : Measure α✝
α : Type u_5
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hf_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
hF_meas : AEMeasurable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤
h_bound_finite : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F a ≠ ⊤
\u22a2 ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ ν : Measure α✝
α : Type u_5
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hf_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
hF_meas : AEMeasurable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤
h_bound_finite : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F a ≠ ⊤
h_exists : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 l)
\u22a2 ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projectivization/Subspace.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
\u22a2 span Set.univ = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projectivization/Subspace.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
\u22a2 ∀ ⦃x : ℙ K V⦄, x ∈ ⊤ → x ∈ span Set.univ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projectivization/Subspace.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : ℙ K V
_hx : x ∈ ⊤
\u22a2 x ∈ span Set.univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f μ
\u22a2 setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f μ
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g μ → Integrable g μ'
\u22a2 setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f μ
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g μ → Integrable g μ'
\u22a2 ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) (s.indicator fun x => c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f μ
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g μ → Integrable g μ'
\u22a2 ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → Integrable f μ → Integrable g μ → (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) f → (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) g → (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) (f + g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f μ
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g μ → Integrable g μ'
\u22a2 IsClosed {f | (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) ↑↑f}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f μ
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g μ → Integrable g μ'
\u22a2 ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᶠ[ae μ] g → Integrable f μ → (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) f → (fun f => setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f) g
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
h : ∀ (s : Set (α × α)), s ∈ 𝓤 α ↔ ∃ t ∈ 𝓤 β, ∀ (x y : α), (f x, f y) ∈ t → (x, y) ∈ s
\u22a2 comap (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 β) = 𝓤 α
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Pow.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
c' : 𝕜
n : ℕ
x : 𝕜
\u22a2 HasStrictDerivAt (fun x => x ^ 0) (↑0 * x ^ (0 - 1)) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Pow.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
c' : 𝕜
n : ℕ
x : 𝕜
\u22a2 HasStrictDerivAt (fun x => x ^ 1) (↑1 * x ^ (1 - 1)) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Pow.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
c' : 𝕜
n✝ n : ℕ
x : 𝕜
\u22a2 HasStrictDerivAt (fun x => x ^ (n + 1 + 1)) (↑(n + 1 + 1) * x ^ (n + 1 + 1 - 1)) x
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Ideal.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x : MvPolynomial σ R
s : Set σ
\u22a2 x ∈ Ideal.span (X '' s) ↔ ∀ m ∈ x.support, ∃ i ∈ s, m i ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Ideal.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x : MvPolynomial σ R
s : Set σ
this : x ∈ Ideal.span ((fun s => (monomial s) 1) '' ((fun i => Finsupp.single i 1) '' s)) ↔ ∀ xi ∈ x.support, ∃ si ∈ (fun i => Finsupp.single i 1) '' s, si ≤ xi
\u22a2 x ∈ Ideal.span (X '' s) ↔ ∀ m ∈ x.support, ∃ i ∈ s, m i ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Ideal.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x : MvPolynomial σ R
s : Set σ
this : x ∈ Ideal.span ((fun x => (monomial (Finsupp.single x 1)) 1) '' s) ↔ ∀ xi ∈ x.support, ∃ si ∈ (fun i => Finsupp.single i 1) '' s, si ≤ xi
\u22a2 x ∈ Ideal.span (X '' s) ↔ ∀ m ∈ x.support, ∃ i ∈ s, m i ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Ideal.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x : MvPolynomial σ R
s : Set σ
this : x ∈ Ideal.span ((fun x => (monomial (Finsupp.single x 1)) 1) '' s) ↔ ∀ xi ∈ x.support, ∃ si ∈ (fun i => Finsupp.single i 1) '' s, si ≤ xi
\u22a2 (∀ xi ∈ x.support, ∃ si ∈ (fun i => Finsupp.single i 1) '' s, si ≤ xi) ↔ ∀ m ∈ x.support, ∃ i ∈ s, m i ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : β → α
h : Monotone m ∨ Surjective f
\u22a2 (comap f) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) = OuterMeasure.ofFunction (fun s => m (f '' s)) ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : β → α
h : Monotone m ∨ Surjective f
s : Set β
\u22a2 ((comap f) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty)) s ≤ m (f '' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : β → α
h : Monotone m ∨ Surjective f
s : Set β
\u22a2 (OuterMeasure.ofFunction (fun s => m (f '' s)) ⋯) s ≤ ((comap f) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty)) s
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
\u22a2 ⟪-x, y⟫_𝕜 = -⟪x, y⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
\u22a2 (starRingEnd 𝕜) (-1) * ⟪x, y⟫_𝕜 = -⟪x, y⟫_𝕜
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : LocPathConnectedSpace X
U : Set X
h : IsOpen U
x : X
x_in : x ∈ U
\u22a2 (𝓝 ⟨x, x_in⟩).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 ⟨x, x_in⟩ ∧ IsPathConnected s) id
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : LocPathConnectedSpace X
U : Set X
h : IsOpen U
x : X
x_in : x ∈ U
\u22a2 (comap Subtype.val (𝓝 x)).HasBasis (fun s => s ∈ comap Subtype.val (𝓝 x) ∧ IsPathConnected s) id
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : LocPathConnectedSpace X
U : Set X
h : IsOpen U
x : X
x_in : x ∈ U
V : Set ↑U
\u22a2 V ∈ comap Subtype.val (𝓝 x) ↔ ∃ i, (i ∈ comap Subtype.val (𝓝 x) ∧ IsPathConnected i) ∧ id i ⊆ V
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : LocPathConnectedSpace X
U : Set X
h : IsOpen U
x : X
x_in : x ∈ U
V : Set ↑U
\u22a2 (∃ i, (i ∈ 𝓝 x ∧ IsPathConnected i ∧ i ⊆ U) ∧ Subtype.val ⁻¹' id i ⊆ V) ↔ ∃ i, (i ∈ comap Subtype.val (𝓝 x) ∧ IsPathConnected i) ∧ id i ⊆ V
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
x : X
h : range f ∈ 𝓝 (f x)
\u22a2 ContinuousAt (g ∘ f) x ↔ ContinuousAt g (f x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
c d : ℕ → ℝ
ss : Icc a b ⊆ ⋃ i, Ioo (c i) (d i)
\u22a2 ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑' (i : ℕ), ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
c d : ℕ → ℝ
ss : Icc a b ⊆ ⋃ i, Ioo (c i) (d i)
\u22a2 ∀ (s : Finset ℕ) (b : ℝ), Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, Ioo (c i) (d i) → ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ s, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a : ℝ
c d : ℕ → ℝ
s✝ s : Finset ℕ
IH : ∀ t ⊂ s, ∀ (b : ℝ), Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑t, Ioo (c i) (d i) → ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ t, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
b : ℝ
cv : Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, Ioo (c i) (d i)
\u22a2 ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ s, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a : ℝ
c d : ℕ → ℝ
s✝ s : Finset ℕ
IH : ∀ t ⊂ s, ∀ (b : ℝ), Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑t, Ioo (c i) (d i) → ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ t, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
b : ℝ
cv : Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, Ioo (c i) (d i)
ab : b ≤ a
\u22a2 ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ s, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a : ℝ
c d : ℕ → ℝ
s✝ s : Finset ℕ
IH : ∀ t ⊂ s, ∀ (b : ℝ), Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑t, Ioo (c i) (d i) → ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ t, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
b : ℝ
cv : Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, Ioo (c i) (d i)
ab : a ≤ b
\u22a2 ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ s, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a : ℝ
c d : ℕ → ℝ
s✝ s : Finset ℕ
IH : ∀ t ⊂ s, ∀ (b : ℝ), Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑t, Ioo (c i) (d i) → ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ t, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
b : ℝ
cv : Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, Ioo (c i) (d i)
ab : a ≤ b
this : b ∈ ⋃ i ∈ ↑s, Ioo (c i) (d i)
\u22a2 ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ s, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a : ℝ
c d : ℕ → ℝ
s✝ s : Finset ℕ
IH : ∀ t ⊂ s, ∀ (b : ℝ), Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑t, Ioo (c i) (d i) → ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ t, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
b : ℝ
cv : Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, Ioo (c i) (d i)
ab : a ≤ b
this : ∃ i, c i < b ∧ i ∈ s ∧ b < d i
\u22a2 ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ s, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a : ℝ
c d : ℕ → ℝ
s✝ s : Finset ℕ
IH : ∀ t ⊂ s, ∀ (b : ℝ), Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑t, Ioo (c i) (d i) → ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ t, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
b : ℝ
cv : Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, Ioo (c i) (d i)
ab : a ≤ b
i : ℕ
cb : c i < b
is : i ∈ s
bd : b < d i
\u22a2 ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ s, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a : ℝ
c d : ℕ → ℝ
s✝ s : Finset ℕ
IH : ∀ t ⊂ s, ∀ (b : ℝ), Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑t, Ioo (c i) (d i) → ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ t, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
b : ℝ
ab : a ≤ b
i : ℕ
cv : Icc a b ⊆ ⋃ i_1 ∈ ↑(insert i (s.erase i)), Ioo (c i_1) (d i_1)
cb : c i < b
is : i ∈ s
bd : b < d i
\u22a2 ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ insert i (s.erase i), ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a : ℝ
c d : ℕ → ℝ
s✝ s : Finset ℕ
IH : ∀ t ⊂ s, ∀ (b : ℝ), Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑t, Ioo (c i) (d i) → ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ t, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
b : ℝ
ab : a ≤ b
i : ℕ
cv : Icc a b ⊆ Ioo (c i) (d i) ∪ ⋃ x ∈ ↑(s.erase i), Ioo (c x) (d x)
cb : c i < b
is : i ∈ s
bd : b < d i
\u22a2 ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ insert i (s.erase i), ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a : ℝ
c d : ℕ → ℝ
s✝ s : Finset ℕ
IH : ∀ t ⊂ s, ∀ (b : ℝ), Icc a b ⊆ ⋃ i ∈ ↑t, Ioo (c i) (d i) → ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑ i ∈ t, ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i))
b : ℝ
ab : a ≤ b
i : ℕ
cv : Icc a b ⊆ Ioo (c i) (d i) ∪ ⋃ x ∈ ↑(s.erase i), Ioo (c x) (d x)
cb : c i < b
is : i ∈ s
bd : b < d i
\u22a2 ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ofReal (↑f (d i) - ↑f (c i)) + ∑ x ∈ s.erase i, ofReal (↑f (d x) - ↑f (c x))