ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
this : NumberField K
h : hζ.toInteger - 1 ∣ ↑2
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
this : NumberField K
h : ↑↑p ∣ 2
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
this : NumberField K
h : hζ.toInteger - 1 ∣ ↑2
\u22a2 Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1))
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
a : ℕ
ha0 : 0 < a
\u22a2 (↑a)⁻¹.den = a
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
a : ℕ
ha0 : 0 < a
\u22a2 0 < ↑a
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hn : 1 < n
a : K
\u22a2 X.natDegree < (X ^ n - C a).natDegree
-- Mathlib/Dynamics/Newton.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent ((aeval x) P)
n : ℕ
\u22a2 IsNilpotent (P.newtonMap^[n] x - x)
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β✝
ι : Sort u_6
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
f : Filter α
hf : f.HasBasis p s✝
β : ι → Type u_5
pg : (i : ι) → β i → Prop
sg : (i : ι) → β i → Set γ
g : Set α → Filter γ
hg : ∀ (i : ι), (g (s✝ i)).HasBasis (pg i) (sg i)
gm : Monotone g
s : Set γ
\u22a2 s ∈ f.lift g ↔ ∃ i, p i ∧ ∃ x, pg i x ∧ sg i x ⊆ s
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β✝
ι : Sort u_6
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
f : Filter α
hf : f.HasBasis p s✝
β : ι → Type u_5
pg : (i : ι) → β i → Prop
sg : (i : ι) → β i → Set γ
g : Set α → Filter γ
hg : ∀ (i : ι), (g (s✝ i)).HasBasis (pg i) (sg i)
gm : Monotone g
s : Set γ
\u22a2 DirectedOn (g ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) f.sets
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β✝
ι : Sort u_6
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
f : Filter α
hf : f.HasBasis p s✝
β : ι → Type u_5
pg : (i : ι) → β i → Prop
sg : (i : ι) → β i → Set γ
g : Set α → Filter γ
hg : ∀ (i : ι), (g (s✝ i)).HasBasis (pg i) (sg i)
gm : Monotone g
s : Set γ
\u22a2 (∃ i ∈ f.sets, s ∈ g i) ↔ ∃ i, p i ∧ ∃ x, pg i x ∧ sg i x ⊆ s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊤
\u22a2 I.closure ≠ ⊤
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
I : Ideal R
hI : I ≠ ⊤
h : closure ↑I ⊆ nonunits R
\u22a2 I.closure ≠ ⊤
-- Mathlib/Data/List/NodupEquivFin.lean
α : Type u_1
hd : α
tl : List α
IH : ∀ {l' : List α} (f : ℕ ↪o ℕ), (∀ (ix : ℕ), tl.get? ix = l'.get? (f ix)) → tl <+ l'
l' : List α
f : ℕ ↪o ℕ
hf : ∀ (ix : ℕ), (hd :: tl).get? ix = l'.get? (f ix)
this : some hd = l'.get? (f 0)
\u22a2 hd :: tl <+ l'
-- Mathlib/Data/List/NodupEquivFin.lean
α : Type u_1
hd : α
tl : List α
IH : ∀ {l' : List α} (f : ℕ ↪o ℕ), (∀ (ix : ℕ), tl.get? ix = l'.get? (f ix)) → tl <+ l'
l' : List α
f : ℕ ↪o ℕ
hf : ∀ (ix : ℕ), (hd :: tl).get? ix = l'.get? (f ix)
this : ∃ (h : f 0 < l'.length), l'.get ⟨f 0, h⟩ = hd
\u22a2 hd :: tl <+ l'
-- Mathlib/Data/List/NodupEquivFin.lean
α : Type u_1
hd : α
tl : List α
IH : ∀ {l' : List α} (f : ℕ ↪o ℕ), (∀ (ix : ℕ), tl.get? ix = l'.get? (f ix)) → tl <+ l'
l' : List α
f : ℕ ↪o ℕ
hf : ∀ (ix : ℕ), (hd :: tl).get? ix = l'.get? (f ix)
w : f 0 < l'.length
h : l'.get ⟨f 0, w⟩ = hd
\u22a2 hd :: tl <+ l'
-- Mathlib/Data/List/NodupEquivFin.lean
α : Type u_1
hd : α
tl : List α
IH : ∀ {l' : List α} (f : ℕ ↪o ℕ), (∀ (ix : ℕ), tl.get? ix = l'.get? (f ix)) → tl <+ l'
l' : List α
f : ℕ ↪o ℕ
hf : ∀ (ix : ℕ), (hd :: tl).get? ix = l'.get? (f ix)
w : f 0 < l'.length
h : l'.get ⟨f 0, w⟩ = hd
f' : ℕ ↪o ℕ := OrderEmbedding.ofMapLEIff (fun i => f (i + 1) - (f 0 + 1)) ⋯
\u22a2 hd :: tl <+ l'
-- Mathlib/Data/List/NodupEquivFin.lean
α : Type u_1
hd : α
tl : List α
IH : ∀ {l' : List α} (f : ℕ ↪o ℕ), (∀ (ix : ℕ), tl.get? ix = l'.get? (f ix)) → tl <+ l'
l' : List α
f : ℕ ↪o ℕ
hf : ∀ (ix : ℕ), (hd :: tl).get? ix = l'.get? (f ix)
w : f 0 < l'.length
h : l'[f 0] = hd
f' : ℕ ↪o ℕ := OrderEmbedding.ofMapLEIff (fun i => f (i + 1) - (f 0 + 1)) ⋯
\u22a2 hd :: tl <+ l'
-- Mathlib/Data/List/NodupEquivFin.lean
α : Type u_1
hd : α
tl l' : List α
f : ℕ ↪o ℕ
w : f 0 < l'.length
h : l'[f 0] = hd
f' : ℕ ↪o ℕ := OrderEmbedding.ofMapLEIff (fun i => f (i + 1) - (f 0 + 1)) ⋯
hf : ∀ (ix : ℕ), (hd :: tl)[ix]? = l'[f ix]?
IH : ∀ {l' : List α} (f : ℕ ↪o ℕ), (∀ (ix : ℕ), tl[ix]? = l'[f ix]?) → tl <+ l'
\u22a2 hd :: tl <+ l'
-- Mathlib/Data/List/NodupEquivFin.lean
α : Type u_1
hd : α
tl l' : List α
f : ℕ ↪o ℕ
w : f 0 < l'.length
h : l'[f 0] = hd
f' : ℕ ↪o ℕ := OrderEmbedding.ofMapLEIff (fun i => f (i + 1) - (f 0 + 1)) ⋯
hf : ∀ (ix : ℕ), (hd :: tl)[ix]? = l'[f ix]?
IH : ∀ {l' : List α} (f : ℕ ↪o ℕ), (∀ (ix : ℕ), tl[ix]? = l'[f ix]?) → tl <+ l'
this : ∀ (ix : ℕ), tl[ix]? = (drop (f 0 + 1) l')[f' ix]?
\u22a2 hd :: tl <+ l'
-- Mathlib/Data/List/NodupEquivFin.lean
α : Type u_1
hd : α
tl l' : List α
f : ℕ ↪o ℕ
w : f 0 < l'.length
h : l'[f 0] = hd
f' : ℕ ↪o ℕ := OrderEmbedding.ofMapLEIff (fun i => f (i + 1) - (f 0 + 1)) ⋯
hf : ∀ (ix : ℕ), (hd :: tl)[ix]? = l'[f ix]?
IH : ∀ {l' : List α} (f : ℕ ↪o ℕ), (∀ (ix : ℕ), tl[ix]? = l'[f ix]?) → tl <+ l'
this : ∀ (ix : ℕ), tl[ix]? = (drop (f 0 + 1) l')[f' ix]?
\u22a2 [hd] ++ tl <+ take (f 0 + 1) l' ++ drop (f 0 + 1) l'
-- Mathlib/Data/List/NodupEquivFin.lean
α : Type u_1
hd : α
tl l' : List α
f : ℕ ↪o ℕ
w : f 0 < l'.length
h : l'[f 0] = hd
f' : ℕ ↪o ℕ := OrderEmbedding.ofMapLEIff (fun i => f (i + 1) - (f 0 + 1)) ⋯
hf : ∀ (ix : ℕ), (hd :: tl)[ix]? = l'[f ix]?
IH : ∀ {l' : List α} (f : ℕ ↪o ℕ), (∀ (ix : ℕ), tl[ix]? = l'[f ix]?) → tl <+ l'
this : ∀ (ix : ℕ), tl[ix]? = (drop (f 0 + 1) l')[f' ix]?
\u22a2 [hd] <+ take (f 0 + 1) l'
-- Mathlib/Data/List/NodupEquivFin.lean
α : Type u_1
hd : α
tl l' : List α
f : ℕ ↪o ℕ
w : f 0 < l'.length
h : l'[f 0] = hd
f' : ℕ ↪o ℕ := OrderEmbedding.ofMapLEIff (fun i => f (i + 1) - (f 0 + 1)) ⋯
hf : ∀ (ix : ℕ), (hd :: tl)[ix]? = l'[f ix]?
IH : ∀ {l' : List α} (f : ℕ ↪o ℕ), (∀ (ix : ℕ), tl[ix]? = l'[f ix]?) → tl <+ l'
this : ∀ (ix : ℕ), tl[ix]? = (drop (f 0 + 1) l')[f' ix]?
\u22a2 (take (f 0).succ l')[f 0] ∈ take (f 0 + 1) l'
-- Mathlib/Data/Finset/Preimage.lean
α : Type u
β✝ : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
β : α → Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset ((a : α) × β a)
t : Finset α
ht : image Sigma.fst s ⊆ t
\u22a2 (t.sigma fun a => s.preimage (Sigma.mk a) ⋯) = s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S
p : T[X]
n : ℕ
\u22a2 (p ^ n).aroots S = n • p.aroots S
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
a : α
s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
h : a ∉ s
\u22a2 Fintype.card ↑(insert a s) = Fintype.card ↑s + 1
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
\u22a2 f (fract x) - fract x = f x - x
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
\u22a2 (fun x => (map f μ).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᶠ[ae ν] μ.rnDeriv ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
\u22a2 (fun x => (map f (μ.singularPart ν) + map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
this : SigmaFinite (map f ν)
\u22a2 (fun x => (map f (μ.singularPart ν) + map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
this✝ : SigmaFinite (map f ν)
this : SigmaFinite (map f (μ.singularPart ν))
\u22a2 (fun x => (map f (μ.singularPart ν) + map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
this✝¹ : SigmaFinite (map f ν)
this✝ : SigmaFinite (map f (μ.singularPart ν))
this : SigmaFinite (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)))
\u22a2 (fun x => (map f (μ.singularPart ν) + map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
this✝¹ : SigmaFinite (map f ν)
this✝ : SigmaFinite (map f (μ.singularPart ν))
this : SigmaFinite (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)))
h_add : (map f (μ.singularPart ν) + map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) =ᶠ[ae (map f ν)] (map f (μ.singularPart ν)).rnDeriv (map f ν) + (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν)
\u22a2 (fun x => (map f (μ.singularPart ν) + map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
this✝¹ : SigmaFinite (map f ν)
this✝ : SigmaFinite (map f (μ.singularPart ν))
this : SigmaFinite (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)))
h_add : (fun x => (map f (μ.singularPart ν) + map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᶠ[ae ν] fun x => ((map f (μ.singularPart ν)).rnDeriv (map f ν) + (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν)) (f x)
\u22a2 (fun x => (map f (μ.singularPart ν) + map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᶠ[ae ν] (μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
this✝¹ : SigmaFinite (map f ν)
this✝ : SigmaFinite (map f (μ.singularPart ν))
this : SigmaFinite (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)))
h_add : (fun x => (map f (μ.singularPart ν) + map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᶠ[ae ν] fun x => ((map f (μ.singularPart ν)).rnDeriv (map f ν) + (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν)) (f x)
\u22a2 (μ.singularPart ν).rnDeriv ν + (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] fun x => ((map f (μ.singularPart ν)).rnDeriv (map f ν) + (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν)) (f x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
this✝¹ : SigmaFinite (map f ν)
this✝ : SigmaFinite (map f (μ.singularPart ν))
this : SigmaFinite (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)))
h_add : (fun x => (map f (μ.singularPart ν) + map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᶠ[ae ν] fun x => ((map f (μ.singularPart ν)).rnDeriv (map f ν) + (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν)) (f x)
\u22a2 (μ.singularPart ν).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] fun x => (map f (μ.singularPart ν)).rnDeriv (map f ν) (f x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
this✝¹ : SigmaFinite (map f ν)
this✝ : SigmaFinite (map f (μ.singularPart ν))
this : SigmaFinite (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)))
h_add : (fun x => (map f (μ.singularPart ν) + map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) (f x)) =ᶠ[ae ν] fun x => ((map f (μ.singularPart ν)).rnDeriv (map f ν) + (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν)) (f x)
\u22a2 (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] fun x => (map f (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν))).rnDeriv (map f ν) (f x)
-- Mathlib/FieldTheory/PerfectClosure.lean
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x y : ℕ
H : ↑x = ↑y
\u22a2 ↑x = ↑y
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/AEval.lean
R : Type u_2
A : Type u_3
M : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
a : A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
m : M
\u22a2 X • (of R M a) m = (of R M a) (a • m)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f✝ f g : R[X]
D : ℕ → R[X] →+ R[X] := fun k => (hasseDeriv k).toAddMonoidHom
Φ : R[X] →+ R[X] →+ R[X] := mul
\u22a2 (((compHom (D k)).comp Φ) f) g = ∑ ij ∈ antidiagonal k, (((compHom.comp ((compHom Φ) (D ij.1))).flip (D ij.2)) f) g
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f✝ f g : R[X]
D : ℕ → R[X] →+ R[X] := fun k => (hasseDeriv k).toAddMonoidHom
Φ : R[X] →+ R[X] →+ R[X] := mul
\u22a2 (((compHom (D k)).comp Φ) f) g = ((∑ x ∈ antidiagonal k, (compHom.comp ((compHom Φ) (D x.1))).flip (D x.2)) f) g
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
D : ℕ → R[X] →+ R[X] := fun k => (hasseDeriv k).toAddMonoidHom
Φ : R[X] →+ R[X] →+ R[X] := mul
m : ℕ
r : R
n : ℕ
s : R
\u22a2 (((((compHom (D k)).comp Φ).comp (monomial m).toAddMonoidHom) r).comp (monomial n).toAddMonoidHom) s = ((((∑ x ∈ antidiagonal k, (compHom.comp ((compHom Φ) (D x.1))).flip (D x.2)).comp (monomial m).toAddMonoidHom) r).comp (monomial n).toAddMonoidHom) s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
D : ℕ → R[X] →+ R[X] := fun k => (hasseDeriv k).toAddMonoidHom
Φ : R[X] →+ R[X] →+ R[X] := mul
m : ℕ
r : R
n : ℕ
s : R
\u22a2 (monomial (m + n - k)) (↑((m + n).choose k) * (r * s)) = ∑ x ∈ antidiagonal k, (monomial (m - x.1 + (n - x.2))) (↑(m.choose x.1) * r * (↑(n.choose x.2) * s))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
D : ℕ → R[X] →+ R[X] := fun k => (hasseDeriv k).toAddMonoidHom
Φ : R[X] →+ R[X] →+ R[X] := mul
m : ℕ
r : R
n : ℕ
s : R
aux : ∀ x ∈ antidiagonal k, (monomial (m - x.1 + (n - x.2))) (↑(m.choose x.1) * r * (↑(n.choose x.2) * s)) = (monomial (m + n - k)) (↑(m.choose x.1) * ↑(n.choose x.2) * (r * s))
\u22a2 (monomial (m + n - k)) (↑((m + n).choose k) * (r * s)) = ∑ x ∈ antidiagonal k, (monomial (m - x.1 + (n - x.2))) (↑(m.choose x.1) * r * (↑(n.choose x.2) * s))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
D : ℕ → R[X] →+ R[X] := fun k => (hasseDeriv k).toAddMonoidHom
Φ : R[X] →+ R[X] →+ R[X] := mul
m : ℕ
r : R
n : ℕ
s : R
aux : ∀ x ∈ antidiagonal k, (monomial (m - x.1 + (n - x.2))) (↑(m.choose x.1) * r * (↑(n.choose x.2) * s)) = (monomial (m + n - k)) (↑(m.choose x.1) * ↑(n.choose x.2) * (r * s))
\u22a2 (monomial (m + n - k)) (↑((m + n).choose k) * (r * s)) = ∑ x ∈ antidiagonal k, (monomial (m + n - k)) (↑(m.choose x.1) * ↑(n.choose x.2) * (r * s))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
D : ℕ → R[X] →+ R[X] := fun k => (hasseDeriv k).toAddMonoidHom
Φ : R[X] →+ R[X] →+ R[X] := mul
m : ℕ
r : R
n : ℕ
s : R
aux : ∀ x ∈ antidiagonal k, (monomial (m - x.1 + (n - x.2))) (↑(m.choose x.1) * r * (↑(n.choose x.2) * s)) = (monomial (m + n - k)) (↑(m.choose x.1) * ↑(n.choose x.2) * (r * s))
\u22a2 (monomial (m + n - k)) (↑((m + n).choose k) * (r * s)) = (monomial (m + n - k)) ((∑ i ∈ antidiagonal k, ↑(m.choose i.1) * ↑(n.choose i.2)) * (r * s))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
D : ℕ → R[X] →+ R[X] := fun k => (hasseDeriv k).toAddMonoidHom
Φ : R[X] →+ R[X] →+ R[X] := mul
m : ℕ
r : R
n : ℕ
s : R
aux : ∀ x ∈ antidiagonal k, (monomial (m - x.1 + (n - x.2))) (↑(m.choose x.1) * r * (↑(n.choose x.2) * s)) = (monomial (m + n - k)) (↑(m.choose x.1) * ↑(n.choose x.2) * (r * s))
\u22a2 ↑((m + n).choose k) = ∑ i ∈ antidiagonal k, ↑(m.choose i.1) * ↑(n.choose i.2)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shatter.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
n : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
\u22a2 t ≤ s → s ∈ ↑𝒜.shatterer → t ∈ ↑𝒜.shatterer
-- Mathlib/Data/Nat/Bits.lean
m n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℕ
h : n = 0 → b = true
a✝ : n.div2.bits = n.bits.tail
\u22a2 (bit b n).div2.bits = (bit b n).bits.tail
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
f : α →₀ M
inst✝ : CommMonoid N
g : α → M → N
\u22a2 (filter p f).prod g = ∏ x ∈ (filter p f).support, g x (f x)
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n b m : ℕ
\u22a2 m < (b + 2) ^ ((b + 2).digits m).length
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n b m : ℕ
\u22a2 m = ofDigits (b + 2) ((b + 2).digits m)
-- Mathlib/Topology/Bornology/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Bornology α
inst✝¹ : Bornology β
inst✝ : (i : ι) → Bornology (π i)
s : Set α
t : Set β
S : (i : ι) → Set (π i)
\u22a2 IsBounded (s ×ˢ t) ↔ s = ∅ ∨ t = ∅ ∨ IsBounded s ∧ IsBounded t
-- Mathlib/Topology/Bornology/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Bornology α
inst✝¹ : Bornology β
inst✝ : (i : ι) → Bornology (π i)
t : Set β
S : (i : ι) → Set (π i)
\u22a2 IsBounded (∅ ×ˢ t) ↔ ∅ = ∅ ∨ t = ∅ ∨ IsBounded ∅ ∧ IsBounded t
-- Mathlib/Topology/Bornology/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Bornology α
inst✝¹ : Bornology β
inst✝ : (i : ι) → Bornology (π i)
s : Set α
t : Set β
S : (i : ι) → Set (π i)
hs : s.Nonempty
\u22a2 IsBounded (s ×ˢ t) ↔ s = ∅ ∨ t = ∅ ∨ IsBounded s ∧ IsBounded t
-- Mathlib/Topology/Bornology/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Bornology α
inst✝¹ : Bornology β
inst✝ : (i : ι) → Bornology (π i)
s : Set α
S : (i : ι) → Set (π i)
hs : s.Nonempty
\u22a2 IsBounded (s ×ˢ ∅) ↔ s = ∅ ∨ ∅ = ∅ ∨ IsBounded s ∧ IsBounded ∅
-- Mathlib/Topology/Bornology/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Bornology α
inst✝¹ : Bornology β
inst✝ : (i : ι) → Bornology (π i)
s : Set α
t : Set β
S : (i : ι) → Set (π i)
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
\u22a2 IsBounded (s ×ˢ t) ↔ s = ∅ ∨ t = ∅ ∨ IsBounded s ∧ IsBounded t
-- Mathlib/Algebra/Lie/Rank.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
L✝ : Type u_3
M : Type u_4
ι : Type u_5
ιₘ : Type u_6
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : Nontrivial R
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Algebra R A
inst✝¹⁷ : LieRing L✝
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L✝
inst✝¹⁵ : Module.Finite R L✝
inst✝¹⁴ : Module.Free R L✝
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : LieRingModule L✝ M
inst✝¹⁰ : LieModule R L✝ M
inst✝⁹ : Module.Finite R M
inst✝⁸ : Module.Free R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ιₘ
inst✝⁴ : DecidableEq ιₘ
b : Basis ι R L✝
bₘ : Basis ιₘ R M
x✝ : L✝
K : Type u_7
L : Type u_8
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
x : L
\u22a2 IsRegular K x ↔ finrank K ↥(engel K x) = rank K L
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B C : Matrix n n α
h : A⁻¹ = B⁻¹
h' : IsUnit A.det
\u22a2 A = B
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B C : Matrix n n α
h : A⁻¹ = B⁻¹
h' : IsUnit A.det
\u22a2 B * A⁻¹ = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B C : Matrix n n α
h : A⁻¹ = B⁻¹
h' : IsUnit A.det
\u22a2 B * B⁻¹ = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B C : Matrix n n α
h : A⁻¹ = B⁻¹
h' : IsUnit A.det
\u22a2 IsUnit B.det
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α
h : i ∉ s
f : α → β
b : β
\u22a2 ∏ x ∈ s, update f i b x = ∏ x ∈ s, f x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α
h : i ∉ s
f : α → β
b : β
\u22a2 ∀ x ∈ s, update f i b x = f x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : α
m n : Nat
l : List α
\u22a2 (l.set m a).get? n = if m = n then (fun x => a) <$> l.get? n else l.get? n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w x : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
r : G.Walk u x
\u22a2 (p.append q).reverseAux r = q.reverseAux (p.reverseAux r)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra T S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S
p : T[X]
a : S
\u22a2 a ∈ p.aroots S ↔ p ≠ 0 ∧ (aeval a) p = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra T S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S
p : T[X]
a : S
\u22a2 Function.Injective ⇑(algebraMap T S)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
f g : ↥(lp G 2)
\u22a2 Summable fun i => ⟪↑f i, ↑g i⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
f g : ↥(lp G 2)
\u22a2 (ENNReal.toReal 2).IsConjExponent (ENNReal.toReal 2)