ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
a : I
as : List I
ha : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (a :: as)
c : Products I →₀ ℤ
hc : ↑c.support ⊆ {m | ↑m ≤ as}
m : Products I
hm : c m ≠ 0
hsm : ∀ (c : ℤ) (x : LocallyConstant ↑(π C fun x => x ∈ s) ℤ), e (π C fun x => x ∈ s) a * c • x = c • (e (π C fun x => x ∈ s) a * x)
\u22a2 e (π C fun x => x ∈ s) a * Products.eval (π C fun x => x ∈ s) m ∈ Products.eval (π C fun x => x ∈ s) '' {m | ↑m ≤ a :: as}
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
a : I
as : List I
ha : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (a :: as)
c : Products I →₀ ℤ
hc : ↑c.support ⊆ {m | ↑m ≤ as}
m : Products I
hm : c m ≠ 0
hsm : ∀ (c : ℤ) (x : LocallyConstant ↑(π C fun x => x ∈ s) ℤ), e (π C fun x => x ∈ s) a * c • x = c • (e (π C fun x => x ∈ s) a * x)
hmas : ↑m ≤ as
\u22a2 e (π C fun x => x ∈ s) a * Products.eval (π C fun x => x ∈ s) m ∈ Products.eval (π C fun x => x ∈ s) '' {m | ↑m ≤ a :: as}
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
a : I
as : List I
ha : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (a :: as)
c : Products I →₀ ℤ
hc : ↑c.support ⊆ {m | ↑m ≤ as}
m : Products I
hm : c m ≠ 0
hsm : ∀ (c : ℤ) (x : LocallyConstant ↑(π C fun x => x ∈ s) ℤ), e (π C fun x => x ∈ s) a * c • x = c • (e (π C fun x => x ∈ s) a * x)
hmas : ↑m ≤ as
\u22a2 Products.eval (π C fun x => x ∈ s) ⟨a :: ↑m, ⋯⟩ = e (π C fun x => x ∈ s) a * Products.eval (π C fun x => x ∈ s) m
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
N : Type u_5
inst✝ : Group N
\u22a2 NormalizerCondition G ↔ ∀ (H : Subgroup G), H.normalizer = H → H = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
N : Type u_5
inst✝ : Group N
\u22a2 ∀ (a : Subgroup G), a < ⊤ → a < a.normalizer ↔ a.normalizer = a → a = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H✝ K : Subgroup G
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H : Subgroup G
\u22a2 H < ⊤ → H < H.normalizer ↔ H.normalizer = H → H = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H✝ K : Subgroup G
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H : Subgroup G
\u22a2 ¬H = ⊤ → ¬H = H.normalizer ↔ H.normalizer = H → H = ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convolution.lean
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
\u22a2 term (f ⍟ g) s n = ∑ p ∈ n.divisorsAntidiagonal, term f s p.1 * term g s p.2
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convolution.lean
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
\u22a2 term (f ⍟ g) s 0 = ∑ p ∈ divisorsAntidiagonal 0, term f s p.1 * term g s p.2
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convolution.lean
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 term (f ⍟ g) s n = ∑ p ∈ n.divisorsAntidiagonal, term f s p.1 * term g s p.2
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convolution.lean
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 ∑ i ∈ n.divisorsAntidiagonal, f i.1 * g i.2 / ↑n ^ s = ∑ p ∈ n.divisorsAntidiagonal, term f s p.1 * term g s p.2
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convolution.lean
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ n.divisorsAntidiagonal
\u22a2 f p.1 * g p.2 / ↑n ^ s = term f s p.1 * term g s p.2
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convolution.lean
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ n.divisorsAntidiagonal
hp₁ : p.1 ≠ 0
hp₂ : p.2 ≠ 0
\u22a2 f p.1 * g p.2 / ↑n ^ s = term f s p.1 * term g s p.2
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c✝ c : Composition n
\u22a2 c = ones n ↔ n ≤ c.length
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β → β
H : LeftCommutative f
x : β
q : α → Prop
p : β → Prop
s : Multiset α
hpqf : ∀ (a : α) (b : β), q a → p b → p (f a b)
px : p x
q_s : ∀ a ∈ s, q a
\u22a2 p (foldr f H x s)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f✝ : β → γ
g✝ : γ → α
κ : Kernel β γ
f : α → β
g : γ → δ
hf : Measurable f
hg : Measurable g
x : α
s : Set δ
a✝ : MeasurableSet s
\u22a2 (((κ.map g hg).comap f hf) x) s = (((κ.comap f hf).map g hg) x) s
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ha : a ∈ s
\u22a2 P.part a ∈ P.parts
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Ring α
inst✝⁴ : LinearOrder α
a b : α
inst✝³ : MulPosStrictMono α
inst✝² : PosMulStrictMono α
inst✝¹ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
\u22a2 a * b ≤ 0 ↔ 0 ≤ a ∧ b ≤ 0 ∨ a ≤ 0 ∧ 0 ≤ b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
hne : v ≠ w
ha : ¬G.Adj v w
\u22a2 (G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w).card = 2 * k - μ
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
hne : v ≠ w
ha : ¬G.Adj v w
\u22a2 (G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w).card = 2 * k - Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w)
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Cast.lean
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
e : u ⟶ v
e' : u' ⟶ v'
\u22a2 cast hu hv e = e' ↔ HEq e e'
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Cast.lean
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
e : u ⟶ v
e' : u' ⟶ v'
\u22a2 _root_.cast ⋯ e = e' ↔ HEq e e'
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y : Set α
hI : M.Basis I X
R : Set α
hR : R ⊆ M.E
hX : X ⊆ (M ↾ R).E
\u22a2 (M ↾ R).Basis I X
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
\u22a2 IsCompact (convexBodySum K B)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
\u22a2 IsClosed (convexBodySum K B) ∧ Bornology.IsBounded (convexBodySum K B)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
\u22a2 IsClosed (convexBodySum K B)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
\u22a2 convexBodySum K B = convexBodySumFun ⁻¹' Set.Icc 0 B
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x✝ : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
\u22a2 x✝ ∈ convexBodySum K B ↔ x✝ ∈ convexBodySumFun ⁻¹' Set.Icc 0 B
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
h₂ : a ≤ d
x : α
\u22a2 x ∈ Ico a b ∪ Ico c d ↔ x ∈ Ico (min a c) (max b d)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
h₂ : a ≤ d
x : α
\u22a2 a ≤ x ∧ x < b ∨ c ≤ x ∧ x < d ↔ (a ≤ x ∨ c ≤ x) ∧ (x < b ∨ x < d)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) ≤ f x * f y
h_one : f 1 ≤ 1
\u22a2 ⨆ y, f (x * y) / f y = f x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) ≤ f x * f y
h_one : f 1 ≤ 1
\u22a2 ⨆ y, f (x * y) / f y ≤ f x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) ≤ f x * f y
h_one : f 1 ≤ 1
\u22a2 f x ≤ ⨆ y, f (x * y) / f y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/ZeroAtInfty.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
𝓕 : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
\u22a2 Tendsto f (cocompact E) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/ZeroAtInfty.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
𝓕 : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
\u22a2 Tendsto (fun x => ‖f x‖) (cocompact E) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/ZeroAtInfty.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
𝓕 : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 0
\u22a2 s ∈ map (fun x => ‖f x‖) (cocompact E)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/ZeroAtInfty.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
𝓕 : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 0
\u22a2 ∃ r, (Metric.closedBall 0 r)ᶜ ⊆ (fun x => ‖f x‖) ⁻¹' s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/ZeroAtInfty.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
𝓕 : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
s : Set ℝ
hs : ∃ ε > 0, Metric.ball 0 ε ⊆ s
\u22a2 ∃ r, (Metric.closedBall 0 r)ᶜ ⊆ (fun x => ‖f x‖) ⁻¹' s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/ZeroAtInfty.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
𝓕 : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
s : Set ℝ
ε : ℝ
hε : ε > 0
hs : Metric.ball 0 ε ⊆ s
r : ℝ
hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
\u22a2 ∃ r, (Metric.closedBall 0 r)ᶜ ⊆ (fun x => ‖f x‖) ⁻¹' s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/ZeroAtInfty.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
𝓕 : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : ZeroAtInftyContinuousMapClass 𝓕 E F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
s : Set ℝ
ε : ℝ
hε : ε > 0
hs : Metric.ball 0 ε ⊆ s
r : ℝ
hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ‖f x‖ < ε
\u22a2 (Metric.closedBall 0 r)ᶜ ⊆ (fun x => ‖f x‖) ⁻¹' s
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y
\u22a2 z ⊓ y \ x = ⊥ ↔ z ≤ x
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y
\u22a2 Disjoint z (y \ x) ↔ z ≤ x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffAt 𝕜 n f x
hn : 1 ≤ n
\u22a2 DifferentiableAt 𝕜 f x
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f✝ : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
f : ℕ → Ω → ℝ
π : Ω → ℕ
r : ℝ
n : ℕ
hπn : ∀ (ω : Ω), π ω ≤ n
ω : Ω
\u22a2 f (leastGE f r (π ω) ω) ω = f (min (π ω) (leastGE f r n ω)) ω
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
f : R[X]
n m : ℕ
c : R
hm : m ≠ 0
\u22a2 ↑n ∣ eval c ((⇑derivative)^[m] (f ^ n))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
f : R[X]
n : ℕ
c : R
m : ℕ
hm : m.succ ≠ 0
\u22a2 ↑n ∣ eval c ((⇑derivative)^[m.succ] (f ^ n))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
f : R[X]
n : ℕ
c : R
m : ℕ
hm : m.succ ≠ 0
\u22a2 ↑n ∣ ↑n * eval c ((⇑derivative)^[m] (f ^ (n - 1) * derivative f))
-- Mathlib/Data/Int/Order/Units.lean
u : ℤˣ
n : ℕ
\u22a2 u ^ n = u ^ (n % 2)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/ENat.lean
x : Cardinal.{v}
m : ℕ∞
\u22a2 lift.{u, v} x ≤ ↑m ↔ x ≤ ↑m
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
\u22a2 (fun x => x - a) '' Ioi b = Ioi (b - a)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/DegreeSum.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
h : Odd (G.degree v)
\u22a2 Odd (filter (fun w => w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)) univ).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/DegreeSum.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
h : Odd (G.degree v)
k : ℕ
hg : (filter (fun v => Odd (G.degree v)) univ).card = k + k
\u22a2 Odd (filter (fun w => w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)) univ).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/DegreeSum.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
h : Odd (G.degree v)
k : ℕ
hg : (filter (fun v => Odd (G.degree v)) univ).card = k + k
hk : 0 < k
\u22a2 Odd (filter (fun w => w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)) univ).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/DegreeSum.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
h : Odd (G.degree v)
k : ℕ
hg : (filter (fun v => Odd (G.degree v)) univ).card = k + k
hk : 0 < k
hc : (fun w => w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)) = fun w => Odd (G.degree w) ∧ w ≠ v
\u22a2 Odd (filter (fun w => w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)) univ).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/DegreeSum.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
h : Odd (G.degree v)
k : ℕ
hg : (filter (fun v => Odd (G.degree v)) univ).card = k + k
hk : 0 < k
hc : (fun w => w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)) = fun w => Odd (G.degree w) ∧ w ≠ v
\u22a2 Odd (filter (fun w => Odd (G.degree w) ∧ w ≠ v) univ).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/DegreeSum.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
h : Odd (G.degree v)
k : ℕ
hg : (filter (fun v => Odd (G.degree v)) univ).card = k + k
hk : 0 < k
hc : (fun w => w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)) = fun w => Odd (G.degree w) ∧ w ≠ v
\u22a2 Odd ((filter (fun w => Odd (G.degree w)) univ).card - 1)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/DegreeSum.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
h : Odd (G.degree v)
k : ℕ
hg : (filter (fun v => Odd (G.degree v)) univ).card = k + k
hk : 0 < k
hc : (fun w => w ≠ v ∧ Odd (G.degree w)) = fun w => Odd (G.degree w) ∧ w ≠ v
\u22a2 v ∈ filter (fun w => Odd (G.degree w)) univ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
x : ℂ
\u22a2 -π < (log x).im
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
h : lowerCrossingTime a b f N n ω ≠ N
\u22a2 stoppedValue f (lowerCrossingTime a b f N n) ω ≤ a
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
h : lowerCrossingTime a b f N n ω ≠ N
j : ℕ
hj₁ : j ∈ Set.Icc (upperCrossingTime a b f N n ω) (lowerCrossingTime a b f N n ω)
hj₂ : f j ω ∈ Set.Iic a
\u22a2 stoppedValue f (lowerCrossingTime a b f N n) ω ≤ a
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.323542, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 4
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁ = app₀ ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂ = app₁ ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃ = app₂ ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄ = app₃ ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯
\u22a2 4 < 4 + 1
-- Mathlib/Data/List/Join.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
L : List (List α)
\u22a2 (l :: L).join = [] ↔ ∀ (l_1 : List α), l_1 ∈ l :: L → l_1 = []
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
x : α
\u22a2 x ∈ insert a (insert a s) ↔ x ∈ insert a s
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
\u22a2 M.Basis I X ↔ I ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I ∧ I ⊆ X}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : Filter α
g : Filter β
hf : Cauchy f
hg : Cauchy g
\u22a2 Cauchy (f ×ˢ g)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : Filter α
g : Filter β
hf : Cauchy f
hg : Cauchy g
this : f.NeBot
\u22a2 Cauchy (f ×ˢ g)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : Filter α
g : Filter β
hf : Cauchy f
hg : Cauchy g
this✝ : f.NeBot
this : g.NeBot
\u22a2 Cauchy (f ×ˢ g)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Logic.lean
α : Sort u_1
x y z : α
h : x = y
\u22a2 x = z ↔ y = z
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Defs.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : Pow R ℕ
s : Set ℕ := {k | x ^ k = 0}
hx : 0 < sInf s
\u22a2 s.Nonempty
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Defs.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : Pow R ℕ
s : Set ℕ := {k | x ^ k = 0}
hx : 0 < sInf s
contra : ¬s.Nonempty
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Defs.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring S
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module S M₃
σ✝ : R →+* S
fₗ gₗ : M →ₗ[R] M₂
f✝ g✝ : M →ₛₗ[σ✝] M₃
σ : Rᵐᵒᵖ →+* S
f g : R →ₛₗ[σ] M₃
h : f 1 = g 1
x : R
\u22a2 f x = g x
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Defs.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring S
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module S M₃
σ✝ : R →+* S
fₗ gₗ : M →ₗ[R] M₂
f✝ g✝ : M →ₛₗ[σ✝] M₃
σ : Rᵐᵒᵖ →+* S
f g : R →ₛₗ[σ] M₃
h : f 1 = g 1
x : R
\u22a2 f (MulOpposite.op x • 1) = g (MulOpposite.op x • 1)
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Defs.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring S
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module S M₃
σ✝ : R →+* S
fₗ gₗ : M →ₗ[R] M₂
f✝ g✝ : M →ₛₗ[σ✝] M₃
σ : Rᵐᵒᵖ →+* S
f g : R →ₛₗ[σ] M₃
h : f 1 = g 1
x : R
\u22a2 σ (MulOpposite.op x) • f 1 = g (MulOpposite.op x • 1)
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Defs.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring S
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module S M₃
σ✝ : R →+* S
fₗ gₗ : M →ₗ[R] M₂
f✝ g✝ : M →ₛₗ[σ✝] M₃
σ : Rᵐᵒᵖ →+* S
f g : R →ₛₗ[σ] M₃
h : f 1 = g 1
x : R
\u22a2 σ (MulOpposite.op x) • g 1 = g (MulOpposite.op x • 1)
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝ : IsDedekindDomain S
hp0 : map f p ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
le : map f p ≤ P
\u22a2 ramificationIdx f p P ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝ : IsDedekindDomain S
hp0 : map f p ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
le : map f p ≤ P
hP0 : P ≠ ⊥
\u22a2 ramificationIdx f p P ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝ : IsDedekindDomain S
hp0 : map f p ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
le : map f p ≤ P
hP0 : P ≠ ⊥
hPirr : Irreducible P
\u22a2 ramificationIdx f p P ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝ : IsDedekindDomain S
hp0 : map f p ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
le : map f p ≤ P
hP0 : P ≠ ⊥
hPirr : Irreducible P
\u22a2 Multiset.count P (normalizedFactors (map f p)) ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝ : IsDedekindDomain S
hp0 : map f p ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
le : map f p ≤ P
hP0 : P ≠ ⊥
hPirr : Irreducible P
P' : Ideal S
hP' : P' ∈ normalizedFactors (map f p)
P'_eq : Associated P P'
\u22a2 Multiset.count P (normalizedFactors (map f p)) ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Restrict.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²³ : Semifield R
inst✝²² : StarRing R
inst✝²¹ : MetricSpace R
inst✝²⁰ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁹ : ContinuousStar R
inst✝¹⁸ : Semifield S
inst✝¹⁷ : StarRing S
inst✝¹⁶ : MetricSpace S
inst✝¹⁵ : TopologicalSemiring S
inst✝¹⁴ : ContinuousStar S
inst✝¹³ : TopologicalSpace A
inst✝¹² : Ring A
inst✝¹¹ : StarRing A
inst✝¹⁰ : Algebra S A
inst✝⁹ : ContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : IsScalarTower R S A
inst✝⁵ : StarModule R S
inst✝⁴ : ContinuousSMul R S
inst✝³ : CompleteSpace R
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(S, R)
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
a : A
hpa : p a
hqa : q a
h : SpectrumRestricts a ⇑f
inst✝ : CompactSpace ↑(spectrum S a)
\u22a2 cfcHom hpa = starAlgHom (cfcHom hqa) h