ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/SpecificFunctions.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x z : M
F' : Type u_11
inst✝¹ : NormedCommRing F'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 F'
p q : M → F'
p' q' : TangentSpace I z →L[𝕜] F'
hp : HasMFDerivWithinAt I 𝓘(𝕜, F') p s z p'
hq : HasMFDerivWithinAt I 𝓘(𝕜, F') q s z q'
\u22a2 HasMFDerivWithinAt I 𝓘(𝕜, F') (p * q) s z (p z • q' + q z • p')
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/SpecificFunctions.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x z : M
F' : Type u_11
inst✝¹ : NormedCommRing F'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 F'
p q : M → F'
p' q' : TangentSpace I z →L[𝕜] F'
hp : HasMFDerivWithinAt I 𝓘(𝕜, F') p s z p'
hq : HasMFDerivWithinAt I 𝓘(𝕜, F') q s z q'
\u22a2 q z • p' = p'.smulRight (q z)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/SpecificFunctions.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x z : M
F' : Type u_11
inst✝¹ : NormedCommRing F'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 F'
p q : M → F'
p' q' : TangentSpace I z →L[𝕜] F'
hp : HasMFDerivWithinAt I 𝓘(𝕜, F') p s z p'
hq : HasMFDerivWithinAt I 𝓘(𝕜, F') q s z q'
x✝ : TangentSpace I z
\u22a2 (q z • p') x✝ = (p'.smulRight (q z)) x✝
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hs : IsCompact s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅
\u22a2 s ∩ ⋂ i, ⋂ i_1 ∈ i, t i_1 = ∅
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
\u22a2 (fun x => a - x) '' Ioi b = Iio (a - b)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
this : ∀ (a_1 : Set α), ((fun x => a + x) ∘ fun x => -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)
\u22a2 (fun x => a - x) '' Ioi b = Iio (a - b)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
this : ∀ (a_1 : Set α), (fun x => a + -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)
\u22a2 (fun x => a - x) '' Ioi b = Iio (a - b)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/LocallyRingedSpace/HasColimits.lean
X Y : LocallyRingedSpace
f g : X ⟶ Y
U : Opens ↑↑(coequalizer f.val g.val).toPresheafedSpace
s : ↑((coequalizer f.val g.val).presheaf.obj (op U))
\u22a2 ⇑(coequalizer.π f.val g.val).base ⁻¹' (⇑(coequalizer.π f.val g.val).base '' (imageBasicOpen f g U s).carrier) = (imageBasicOpen f g U s).carrier
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/LocallyRingedSpace/HasColimits.lean
X Y : LocallyRingedSpace
f g : X ⟶ Y
U : Opens ↑↑(coequalizer f.val g.val).toPresheafedSpace
s : ↑((coequalizer f.val g.val).presheaf.obj (op U))
\u22a2 ⇑f.val.base ≫ ⇑(coequalizer.π f.val g.val).base = ⇑g.val.base ≫ ⇑(coequalizer.π f.val g.val).base
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/LocallyRingedSpace/HasColimits.lean
X Y : LocallyRingedSpace
f g : X ⟶ Y
U : Opens ↑↑(coequalizer f.val g.val).toPresheafedSpace
s : ↑((coequalizer f.val g.val).presheaf.obj (op U))
\u22a2 IsColimit (Cofork.ofπ ⇑(coequalizer.π f.val g.val).base ?e)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/LocallyRingedSpace/HasColimits.lean
X Y : LocallyRingedSpace
f g : X ⟶ Y
U : Opens ↑↑(coequalizer f.val g.val).toPresheafedSpace
s : ↑((coequalizer f.val g.val).presheaf.obj (op U))
\u22a2 ⇑f.val.base ⁻¹' (imageBasicOpen f g U s).carrier = ⇑g.val.base ⁻¹' (imageBasicOpen f g U s).carrier
-- Mathlib/NumberTheory/GaussSum.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
R' : Type v
inst✝ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
ψ : AddChar R R'
a : Rˣ
\u22a2 χ ↑a * gaussSum χ (ψ.mulShift ↑a) = gaussSum χ ψ
-- Mathlib/NumberTheory/GaussSum.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
R' : Type v
inst✝ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
ψ : AddChar R R'
a : Rˣ
\u22a2 ∑ i : R, χ ↑a * (χ i * ψ (↑a * i)) = ∑ a : R, χ a * ψ a
-- Mathlib/NumberTheory/GaussSum.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
R' : Type v
inst✝ : CommRing R'
χ : MulChar R R'
ψ : AddChar R R'
a : Rˣ
\u22a2 ∑ x : R, χ (↑a * x) * ψ (↑a * x) = ∑ a : R, χ a * ψ a
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Defs.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x✝ y : R
inst✝ : MonoidWithZero R
x : R
m n : ℕ
h : (x ^ m) ^ n = 0
\u22a2 IsNilpotent x
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Defs.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x✝ y : R
inst✝ : MonoidWithZero R
x : R
m n : ℕ
h : (x ^ m) ^ n = 0
\u22a2 x ^ (m * n) = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
γ' : HomologyMapData φ S₁.homologyData S₂.homologyData
\u22a2 leftHomologyMap' φ S₁.homologyData.left S₂.homologyData.left = ((S₁.homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.homologyData.right S₁.rightHomologyData) ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.rightHomologyData h₁) ≫ γ.φH ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₂) h₂ S₂.rightHomologyData ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.rightHomologyData S₂.homologyData.right ≫ S₂.homologyData.iso.inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} D
inst✝ : Category.{?u.30898, u_2} E
X Y : C
e : X ≅ Y
F : C ⥤ D
\u22a2 F.map e.inv ≫ F.map e.hom = 𝟙 (F.obj Y)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝¹ y✝¹ z✝¹ w x✝ y✝ z✝ x : ℝ
hx : 0 < x
y z : ℝ
\u22a2 x ^ (y - z) = x ^ y / x ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
r t : ℝ
hr : 0 < r
ht : 0 < t
x : E
\u22a2 t ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-r) ↔ ‖x‖ ≤ t ^ (-r⁻¹) - 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
r t : ℝ
hr : 0 < r
ht : 0 < t
x : E
\u22a2 t ≤ (1 + ‖x‖) ^ (-r) ↔ 1 + ‖x‖ ≤ t ^ (-r)⁻¹
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
f : Quotient (QuotientGroup.rightRel H) → G
hf : ∀ (q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)), Quotient.mk'' (f q) = q
q₁ q₂ : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)
h : (range f).restrict Quotient.mk'' ⟨f q₁, ⋯⟩ = (range f).restrict Quotient.mk'' ⟨f q₂, ⋯⟩
\u22a2 ⟨f q₁, ⋯⟩ = ⟨f q₂, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Order.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield K
p✝ q✝ p q : ℚ≥0
h : p < q
\u22a2 ↑p < ↑q
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Order.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield K
p✝ q✝ p q : ℚ≥0
h : p < q
\u22a2 0 < ↑p.den
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Order.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield K
p✝ q✝ p q : ℚ≥0
h : p < q
\u22a2 0 < ↑q.den
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : Ideal R
x : P'
\u22a2 x ∈ map g ↑I ↔ x ∈ ↑I
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : Ideal R
x : P'
\u22a2 x ∈ map g ↑I ↔ ∃ x' ∈ I, (algebraMap R P') x' = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
\u22a2 π / 2 ≤ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
\u22a2 Classical.choose exists_cos_eq_zero ≤ 2
-- Mathlib/Tactic/NormNum/DivMod.lean
a b : ℤ
r : ℕ
h : IsNat (a % -b) r
\u22a2 a % b = ↑r
-- Mathlib/Algebra/Lie/BaseChange.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
N✝ : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
s : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}
this : ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = s
\u22a2 baseChange A ⁅I, N⁆ = ⁅baseChange A I, baseChange A N⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/BaseChange.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
N✝ : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
s : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}
this : ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = s
\u22a2 Submodule.span A s = Submodule.span A {m | ∃ x ∈ baseChange A I, ∃ n ∈ baseChange A N, ⁅x, n⁆ = m}
-- Mathlib/Algebra/Lie/BaseChange.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
N✝ : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
s : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}
this : ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = s
\u22a2 s ⊆ {m | ∃ x ∈ baseChange A I, ∃ n ∈ baseChange A N, ⁅x, n⁆ = m}
-- Mathlib/Algebra/Lie/BaseChange.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
N✝ : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
s : Set (A ⊗[R] M) := {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, 1 ⊗ₜ[R] ⁅x, n⁆ = m}
this : ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = s
\u22a2 {m | ∃ x ∈ baseChange A I, ∃ n ∈ baseChange A N, ⁅x, n⁆ = m} ⊆ ↑(Submodule.span A s)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I J : Ideal R
N✝ P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
r : R
N : Submodule R M
\u22a2 Ideal.span {r} • N = r • N
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I J : Ideal R
N✝ P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
r : R
N : Submodule R M
this : span R (⋃ t ∈ N, {r • t}) = r • N
\u22a2 Ideal.span {r} • N = r • N
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I J : Ideal R
N✝ P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
r : R
N : Submodule R M
this : span R (⋃ t ∈ N, {r • t}) = r • N
\u22a2 span R (⋃ s ∈ {r}, ⋃ t ∈ ↑N, {s • t}) = r • N
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : SuccOrder α
a : α
\u22a2 succ a = ⨅ b, ⨅ (_ : a < b), b
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : SuccOrder α
a : α
\u22a2 ⨅ b, ⨅ (_ : a < b), b ≤ succ a
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : SuccOrder α
\u22a2 ⨅ b, ⨅ (_ : ⊤ < b), b ≤ succ ⊤
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : SuccOrder α
a : α
ha : a ≠ ⊤
\u22a2 ⨅ b, ⨅ (_ : a < b), b ≤ succ a
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
t : Ordnode α
h : t.Valid
\u22a2 t.eraseMax.Valid
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
t : Ordnode α
h : t.Valid
\u22a2 t.dual.eraseMin.Valid
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
u : ι → UniformSpace γ
\u22a2 UniformFun.filter α γ (𝓤 γ) = 𝓤 (α →ᵤ γ)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
u : ι → UniformSpace γ
\u22a2 UniformFun.filter α γ (⨅ i, 𝓤 γ) = ⨅ i, 𝓤 (α →ᵤ γ)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
h₁ : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k F
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K F
w : InfinitePlace K
\u22a2 InfinitePlace.IsUnramified k w
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
h₁ : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k F
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K F
w : InfinitePlace F
\u22a2 InfinitePlace.IsUnramified k ((fun x => x.comap (algebraMap K F)) w)
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m n : ℤ
\u22a2 (m + n).bodd = xor m.bodd n.bodd
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m n : ℕ
\u22a2 ((m + n).succ + 1).bodd = (m + 1 + (n + 1)).bodd
-- Mathlib/CategoryTheory/Yoneda.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
\u22a2 coyonedaEquiv (coyoneda.map f.op) = f
-- Mathlib/CategoryTheory/Yoneda.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
\u22a2 (coyoneda.map f.op).app Y (𝟙 Y) = f
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Products.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X : C
inst✝ : HasBinaryCoproducts C
A : (coprodMonad X).Algebra
\u22a2 coprod.inr ≫ (coprodMonad X).map (Iso.refl ((𝟭 (coprodMonad X).Algebra).obj A).A).hom ≫ ((algebraToUnder X ⋙ underToAlgebra X).obj A).a = coprod.inr ≫ ((𝟭 (coprodMonad X).Algebra).obj A).a ≫ (Iso.refl ((𝟭 (coprodMonad X).Algebra).obj A).A).hom
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
f : ℕ → ℝ
hf : Tendsto f atTop (𝓝 0)
r : ℝ
hr : r < 0
\u22a2 ↑r < ofSeq f
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
f : ℕ → ℝ
hf : Tendsto f atTop (𝓝 0)
r : ℝ
hr : r < 0
\u22a2 -↑(-r) < ofSeq f
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
\u22a2 s ×ˢ s \ s.offDiag = s.diag
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r : A → A → Prop
k : S
a b : A
h : Rel r a b
\u22a2 Rel r (k • a) (k • b)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing α
a b c : α
\u22a2 (a - b) * c = a * c - b * c
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : E → F
U : Set E
c : E
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hd : DifferentiableOn ℂ f U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
x : E
hx : x ∈ U
H₁ : ‖f x‖ = ‖f c‖
H₂ : ‖f x + f c‖ = ‖f c + f c‖
\u22a2 ‖f x + Function.const E (f c) x‖ = ‖f x‖ + ‖Function.const E (f c) x‖
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/GammaCompN.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
\u22a2 (PInfty.f n ≫ (PInfty.f n ≫ 𝟙 (Γ₀.Obj.obj₂ X (op [n]))) ≫ (PInfty.f n ≫ 𝟙 (Γ₀.Obj.obj₂ X (op [n]))) ≫ PInfty.f n ≫ (Γ₀.splitting X).desc (op [n]) fun A => 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A) = PInfty.f n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/GammaCompN.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
\u22a2 (PInfty.f n ≫ (Γ₀.splitting X).desc (op [n]) fun A => 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A) = PInfty.f n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/GammaCompN.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
\u22a2 ((Γ₀.splitting X).desc (op [n]) fun A => 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A) = 𝟙 (Γ₀.Obj.obj₂ X (op [n]))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/GammaCompN.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
\u22a2 ∀ (A : Splitting.IndexSet (op [n])), (((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A ≫ (Γ₀.splitting X).desc (op [n]) fun A => 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A) = ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A ≫ 𝟙 (Γ₀.Obj.obj₂ X (op [n]))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/GammaCompN.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
A : Splitting.IndexSet (op [n])
\u22a2 (((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A ≫ (Γ₀.splitting X).desc (op [n]) fun A => 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A) = ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A ≫ 𝟙 (Γ₀.Obj.obj₂ X (op [n]))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/GammaCompN.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
n : ℕ
A : Splitting.IndexSet (op [n])
\u22a2 𝟙 (X.X (unop A.fst).len) ≫ ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A = ((Γ₀.splitting X).cofan (op [n])).inj A ≫ 𝟙 (Γ₀.Obj.obj₂ X (op [n]))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
b b' : F
\u22a2 Trivialization.symmL 𝕜 (trivializationAt F (TangentSpace 𝓘(𝕜, F)) b) b' = 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
b b' : F
\u22a2 b' ∈ (trivializationAt F (TangentSpace 𝓘(𝕜, F)) b).baseSet
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : T2Space β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f✝ : γ → β
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝³ : PolishSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace γ
hγ : OpensMeasurableSpace γ
inst✝¹ : Countable ι
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
f : ι → β → γ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
\u22a2 MeasurableSet {x | ∃ c, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 c)}
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : T2Space β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f✝ : γ → β
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝³ : PolishSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace γ
hγ : OpensMeasurableSpace γ
inst✝¹ : Countable ι
f : ι → β → γ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
inst✝ : ⊥.IsCountablyGenerated
\u22a2 MeasurableSet {x | ∃ c, Tendsto (fun n => f n x) ⊥ (𝓝 c)}
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : T2Space β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f✝ : γ → β
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝³ : PolishSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace γ
hγ : OpensMeasurableSpace γ
inst✝¹ : Countable ι
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
f : ι → β → γ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hl : l.NeBot
\u22a2 MeasurableSet {x | ∃ c, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 c)}
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : T2Space β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f✝ : γ → β
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ
inst✝³ : PolishSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace γ
hγ : OpensMeasurableSpace γ
inst✝¹ : Countable ι
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
f : ι → β → γ
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hl : l.NeBot
this : UpgradedPolishSpace γ := upgradePolishSpace γ
\u22a2 MeasurableSet {x | ∃ c, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 c)}