ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J J₁ J₂ : LieIdeal R L'
h : f.IsIdealMorphism
\u22a2 {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} = (fun a => f a) '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
\u22a2 HasFiniteIntegral (fun x => (1 + ‖x‖) ^ (-r)) μ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
this : ∫⁻ (a : E), ↑‖(1 + ‖a‖) ^ (-r)‖₊ ∂μ = ∫⁻ (a : E), ENNReal.ofReal ((1 + ‖a‖) ^ (-r)) ∂μ
\u22a2 HasFiniteIntegral (fun x => (1 + ‖x‖) ^ (-r)) μ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
this : ∫⁻ (a : E), ↑‖(1 + ‖a‖) ^ (-r)‖₊ ∂μ = ∫⁻ (a : E), ENNReal.ofReal ((1 + ‖a‖) ^ (-r)) ∂μ
\u22a2 ∫⁻ (a : E), ENNReal.ofReal ((1 + ‖a‖) ^ (-r)) ∂μ < ⊤
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Basic.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
x₀ : 𝕜
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
\u22a2 ‖deriv f x₀‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
\u22a2 IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)) volume 0 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
\u22a2 IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)) volume (1 / 2) 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
\u22a2 IntervalIntegrable (fun x => ↑(-x) ^ (u - 1) * (1 - ↑(-x)) ^ (v - 1)) volume (-(1 / 2)) (-1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
\u22a2 (fun x => ↑(-x) ^ (u - 1) * (1 - ↑(-x)) ^ (v - 1)) = fun x => ↑(x + 1) ^ (v - 1) * (1 - ↑(x + 1)) ^ (u - 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
\u22a2 -(1 / 2) = 1 / 2 - 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
\u22a2 -1 = 0 - 1
-- Mathlib/Algebra/Star/SelfAdjoint.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid R
inst✝ : StarAddMonoid R
x y : R
hx : IsSelfAdjoint x
hy : IsSelfAdjoint y
\u22a2 IsSelfAdjoint (x + y)
-- Mathlib/Combinatorics/Configuration.lean
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
l : L
\u22a2 2 < pointCount P l
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
\u22a2 (W.map φ).c₄ = φ W.c₄
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
\u22a2 φ W.b₂ ^ 2 - 24 * φ W.b₄ = φ (W.b₂ ^ 2 - 24 * W.b₄)
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Order.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
p✝ q✝ : ℚ
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField K
p q : ℚ
\u22a2 p < q → ↑p < ↑q
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
\u22a2 Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
this : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ENNReal.toReal 0))
\u22a2 Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
this : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
\u22a2 Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
this : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
\u22a2 (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) =ᶠ[v.filterAt x] fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
this : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
a : Set α
h'a : μ a < ⊤
h''a : IntegrableOn f a μ
\u22a2 (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) a = ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
this : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
a : Set α
h'a : μ a < ⊤
h''a : IntegrableOn f a μ
\u22a2 (μ a).toReal⁻¹ * (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ).toReal = (μ a).toReal⁻¹ • ∫ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
this : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
a : Set α
h'a : μ a < ⊤
h''a : IntegrableOn f a μ
A : IntegrableOn (fun y => ↑‖f y - f x‖₊) a μ
\u22a2 (μ a).toReal⁻¹ * (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ).toReal = (μ a).toReal⁻¹ • ∫ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
this : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
a : Set α
h'a : μ a < ⊤
h''a : IntegrableOn f a μ
A : IntegrableOn (fun y => ↑‖f y - f x‖₊) a μ
\u22a2 (μ a).toReal⁻¹ * ∫ (a : α) in a, ↑‖f a - f x‖₊ ∂μ = (μ a).toReal⁻¹ • ∫ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n✝ : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
a : R
n : σ →₀ ℕ
\u22a2 Commute φ ((monomial R n) a) ↔ ∀ (m : σ →₀ ℕ), Commute ((coeff R m) φ) a
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m✝ n✝ : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
a : R
n : σ →₀ ℕ
h : ∀ (n_1 : σ →₀ ℕ), (coeff R n_1) (φ * (monomial R n) a) = (coeff R n_1) ((monomial R n) a * φ)
m : σ →₀ ℕ
\u22a2 Commute ((coeff R m) φ) a
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m✝ n✝ : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
a : R
n : σ →₀ ℕ
h : ∀ (m : σ →₀ ℕ), Commute ((coeff R m) φ) a
m : σ →₀ ℕ
\u22a2 (coeff R m) (φ * (monomial R n) a) = (coeff R m) ((monomial R n) a * φ)
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
n : ℕ
\u22a2 ‖↑n‖ = ↑n
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
n : ℕ
\u22a2 ‖↑↑n‖ = ↑n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R✝ : Type u
S : Type v
a✝ b : R✝
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Ring R✝
p : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : Ring R
a : R
n : ℕ
h : n ≠ 0
\u22a2 (X ^ n - C a).Monic
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
α : Type u_4
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
h : ∀ a < type r, succ a < type r
x : α
\u22a2 ∃ y, r x y
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
α : Type u_4
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
h : ∀ a < type r, succ a < type r
x : α
\u22a2 r x (enum r (succ (typein r x)) ⋯)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
α : Type u_4
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
h : ∀ a < type r, succ a < type r
x : α
\u22a2 x = enum r (typein r x) ⋯
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
h : IsCyclic G
σ : G →* G
\u22a2 ∃ m, ∀ (g : G), σ g = g ^ m
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
h✝ : IsCyclic G
σ : G →* G
h : G
hG : ∀ (x : G), x ∈ zpowers h
\u22a2 ∃ m, ∀ (g : G), σ g = g ^ m
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
h✝ : IsCyclic G
σ : G →* G
h : G
hG : ∀ (x : G), x ∈ zpowers h
m : ℤ
hm : (fun x => h ^ x) m = σ h
n : ℤ
\u22a2 σ ((fun x => h ^ x) n) = (fun x => h ^ x) n ^ m
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ
\u22a2 Continuous (Ultrafilter.extend f)
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ
h : ∀ (b : Ultrafilter α), ∃ c, Tendsto f (comap pure (𝓝 b)) (𝓝 c)
\u22a2 Continuous (Ultrafilter.extend f)
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
γ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : T2Space γ
inst✝ : CompactSpace γ
f : α → γ
h : ∀ (b : Ultrafilter α), ∃ c, Tendsto f (comap pure (𝓝 b)) (𝓝 c)
x✝ : TopologicalSpace α := ⊥
\u22a2 Continuous (Ultrafilter.extend f)
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
ι : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
\u22a2 TendstoLocallyUniformly F f p ↔ ∀ ε > 0, ∀ (x : β), ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, edist (f y) (F n y) < ε
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
a b : ℝ
h : b ≠ 0
\u22a2 ContinuousAt (fun x => a ^ x) b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
a b : ℝ
h : b ≠ 0
\u22a2 ContinuousAt (fun x => (↑a ^ ↑x).re) b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
a b : ℝ
h : b ≠ 0
\u22a2 ContinuousAt (fun x => ↑a ^ ↑x) b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
a b : ℝ
h : b ≠ 0
\u22a2 ↑b ≠ 0
-- Mathlib/Order/SuccPred/CompleteLinearOrder.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLinearOrder α
s : Set α
f : ι → α
x : α
hlim : ¬IsSuccLimit (sSup s)
\u22a2 sSup s ∈ s
-- Mathlib/Order/SuccPred/CompleteLinearOrder.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLinearOrder α
s : Set α
f : ι → α
x : α
hlim : ¬IsSuccLimit (sSup s)
y : α
hy : y ⋖ sSup s
\u22a2 sSup s ∈ s
-- Mathlib/Order/SuccPred/CompleteLinearOrder.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLinearOrder α
s : Set α
f : ι → α
x : α
hlim : ¬IsSuccLimit (sSup s)
y : α
hy : y ⋖ sSup s
i : α
his : i ∈ s
hi : y < i
\u22a2 sSup s ∈ s
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
s : Finset α
f : α → M
hf : ∀ (a : α), f a ≠ 0 → a ∈ s
a : α
\u22a2 a ∈ (onFinset s f hf).support ↔ f a ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : IsUnit A.det
\u22a2 A⁻¹.det * A.det = 1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Power.lean
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hapb : ∠ a p b = π
hcpd : ∠ c p d = π
\u22a2 dist a p * dist b p = dist c p * dist d p
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Power.lean
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hapb : ∠ a p b = π
hcpd : ∠ c p d = π
k₁ : ℝ
left✝ : k₁ < 0
hab : b -ᵥ p = k₁ • (a -ᵥ p)
\u22a2 dist a p * dist b p = dist c p * dist d p
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Power.lean
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hapb : ∠ a p b = π
hcpd : ∠ c p d = π
k₁ : ℝ
left✝¹ : k₁ < 0
hab : b -ᵥ p = k₁ • (a -ᵥ p)
k₂ : ℝ
left✝ : k₂ < 0
hcd : d -ᵥ p = k₂ • (c -ᵥ p)
\u22a2 dist a p * dist b p = dist c p * dist d p
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/DegreewiseSplit.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.284157, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
σ : (n : ℤ) → (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
n : ℤ
\u22a2 (snd φ).v n n ⋯ ≫ ((triangleRotateShortComplex φ).map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).f + ((triangleRotateShortComplex φ).map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).g ≫ (-(inl φ).v (n + 1) n ⋯) = 𝟙 ((triangleRotateShortComplex φ).map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).X₂
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/IsIntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
x : S
hx : IsIntegral R x
\u22a2 (adjoin.powerBasis' hx).gen = ⟨x, ⋯⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/End.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m n m' : M
f : m ⟶ m'
X : C
\u22a2 (F.μIso m n).inv.app X ≫ (F.obj n).map ((F.map f).app X) = (F.map (f ▷ n)).app X ≫ (F.μIso m' n).inv.app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/End.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m n m' : M
f : m ⟶ m'
X : C
\u22a2 (F.obj n).map ((F.map f).app X) ≫ inv ((F.μIso m' n).inv.app X) = inv ((F.μIso m n).inv.app X) ≫ (F.map (f ▷ n)).app X
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Units.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x y z : α
hu : IsUnit x
\u22a2 IsRelPrime y (z * x) ↔ IsRelPrime y z
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
\u22a2 IsExtreme 𝕜 A {x} ↔ x ∈ extremePoints 𝕜 A
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
\u22a2 x ∈ extremePoints 𝕜 A → IsExtreme 𝕜 A {x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
hxA : x ∈ A
hAx : ∀ ⦃x₁ : E⦄, x₁ ∈ A → ∀ ⦃x₂ : E⦄, x₂ ∈ A → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
\u22a2 IsExtreme 𝕜 A {x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
hxA : x ∈ A
hAx : ∀ ⦃x₁ : E⦄, x₁ ∈ A → ∀ ⦃x₂ : E⦄, x₂ ∈ A → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
\u22a2 ∀ ⦃x₁ : E⦄, x₁ ∈ A → ∀ ⦃x₂ : E⦄, x₂ ∈ A → ∀ ⦃x_1 : E⦄, x_1 ∈ {x} → x_1 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ ∈ {x} ∧ x₂ ∈ {x}
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Conservative.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ✝ μ : Measure α
x✝¹ : Set α
x✝ : MeasurableSet x✝¹
h0 : μ x✝¹ ≠ 0
\u22a2 ∃ x ∈ x✝¹, ∃ m, m ≠ 0 ∧ id^[m] x ∈ x✝¹
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Add.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hf : HasDerivAtFilter f f' x L
c : F
\u22a2 HasDerivAtFilter (fun x => f x - c) f' x L
-- Mathlib/Topology/Filter.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
\u22a2 𝓝 ⊤ = ⊤
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
s t : Set α
x : α × α
a : α
ha : a ∉ s
\u22a2 (insert a s).offDiag = s.offDiag ∪ {a} ×ˢ s ∪ s ×ˢ {a}
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
s t : Set α
x : α × α
a : α
ha : a ∉ s
\u22a2 Disjoint s {a}
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
s t : Set α
x : α × α
a : α
ha : a ∉ s
\u22a2 ∀ ⦃a_1 : α⦄, a_1 ∈ s → a_1 ∉ {a}
-- Mathlib/Order/Filter/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
s t : Set α
Ixx : α → α → Set α
\u22a2 Tendsto (fun p => Ixx p.1 p.2) (𝓟 s ×ˢ 𝓟 s) (𝓟 t).smallSets ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, Ixx x y ⊆ t
-- Mathlib/Tactic/Abel.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
k : α
n : ℤ
x a a' : α
h : k + a = a'
\u22a2 k + termg n x a = termg n x a'
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
\u22a2 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/SmoothSeries.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
\u22a2 ContDiff 𝕜 N fun x => ∑' (i : α), f i x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/SmoothSeries.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
\u22a2 (∀ (m : ℕ), ↑m ≤ N → Continuous fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m (fun x => ∑' (i : α), f i x) x) ∧ ∀ (m : ℕ), ↑m < N → Differentiable 𝕜 fun x => iteratedFDeriv 𝕜 m (fun x => ∑' (i : α), f i x) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Free R M'
m : Type v
n : Type w
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
\u22a2 Module.rank R (Matrix m n R) = lift.{max v w u, v} #m * lift.{max v w u, w} #n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Free R M'
m : Type v
n : Type w
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
val✝ : Fintype m
\u22a2 Module.rank R (Matrix m n R) = lift.{max v w u, v} #m * lift.{max v w u, w} #n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Free R M'
m : Type v
n : Type w
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
val✝¹ : Fintype m
val✝ : Fintype n
\u22a2 Module.rank R (Matrix m n R) = lift.{max v w u, v} #m * lift.{max v w u, w} #n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Free R M'
m : Type v
n : Type w
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
val✝¹ : Fintype m
val✝ : Fintype n
h : lift.{max (max u v) w, max v w} #(m × n) = lift.{max v w, max (max u v) w} (Module.rank R (Matrix m n R))
\u22a2 Module.rank R (Matrix m n R) = lift.{max v w u, v} #m * lift.{max v w u, w} #n