ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
hP' : Q.StableUnderBaseChange
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : P g
i : ((S.affineCover.pullbackCover f).pullbackCover (pullback.fst f g)).J
e : pullback (pullback.fst f g) ((S.affineCover.pullbackCover f).map i) ≅ pullback (pullback.snd f (S.affineCover.map i)) (pullback.fst (S.affineCover.map i) g) := pullbackSymmetry (pullback.fst f g) ((S.affineCover.pullbackCover f).map i) ≪≫ pullbackRightPullbackFstIso f g ((S.affineCover.pullbackCover f).map i) ≪≫ asIso (pullback.map ((S.affineCover.pullbackCover f).map i ≫ f) g (pullback.snd f (S.affineCover.map i) ≫ S.affineCover.map i) g (𝟙 ((S.affineCover.pullbackCover f).obj i)) (𝟙 Y) (𝟙 S) ⋯ ⋯) ≪≫ (pullbackRightPullbackFstIso (S.affineCover.map i) g (pullback.snd f (S.affineCover.map i))).symm
this✝ : e.hom ≫ pullback.fst (pullback.snd f (S.affineCover.map i)) (pullback.fst (S.affineCover.map i) g) = (S.affineCover.pullbackCover f).pullbackHom (pullback.fst f g) i
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
\u22a2 Q (pullback.fst (S.affineCover.map i) g)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
hP' : Q.StableUnderBaseChange
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : P g
i : ((S.affineCover.pullbackCover f).pullbackCover (pullback.fst f g)).J
e : pullback (pullback.fst f g) ((S.affineCover.pullbackCover f).map i) ≅ pullback (pullback.snd f (S.affineCover.map i)) (pullback.fst (S.affineCover.map i) g) := pullbackSymmetry (pullback.fst f g) ((S.affineCover.pullbackCover f).map i) ≪≫ pullbackRightPullbackFstIso f g ((S.affineCover.pullbackCover f).map i) ≪≫ asIso (pullback.map ((S.affineCover.pullbackCover f).map i ≫ f) g (pullback.snd f (S.affineCover.map i) ≫ S.affineCover.map i) g (𝟙 ((S.affineCover.pullbackCover f).obj i)) (𝟙 Y) (𝟙 S) ⋯ ⋯) ≪≫ (pullbackRightPullbackFstIso (S.affineCover.map i) g (pullback.snd f (S.affineCover.map i))).symm
this✝ : e.hom ≫ pullback.fst (pullback.snd f (S.affineCover.map i)) (pullback.fst (S.affineCover.map i) g) = (S.affineCover.pullbackCover f).pullbackHom (pullback.fst f g) i
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
\u22a2 Q (pullback.snd g (S.affineCover.map i))
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
head : α
tail : List α
a : α
h : head :: tail ≠ []
\u22a2 count a (head :: tail).tail = count a (head :: tail) - if a = (head :: tail).head h then 1 else 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
\u22a2 μ ↑s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
\u22a2 μ ↑s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
\u22a2 μ ↑s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
A : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)
\u22a2 μ ↑s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
A : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)
\u22a2 Pairwise (Disjoint on fun n => {c ^ n • x} + ↑s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
A : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)
m n : ℕ
hmn : m ≠ n
\u22a2 (Disjoint on fun n => {c ^ n • x} + ↑s) m n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
A : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)
m n : ℕ
hmn : m ≠ n
\u22a2 ∀ ⦃a : E⦄, -(c ^ m • x) + a ∈ s → -(c ^ n • x) + a ∉ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
A : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)
m n : ℕ
hmn : m ≠ n
y : E
hym : -(c ^ m • x) + y ∈ s
hyn : -(c ^ n • x) + y ∈ s
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
A✝ : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)
m n : ℕ
hmn : m ≠ n
y : E
hym : -(c ^ m • x) + y ∈ s
hyn : -(c ^ n • x) + y ∈ s
A : (c ^ n - c ^ m) • x ∈ s
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
A✝ : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)
m n : ℕ
hmn : m ≠ n
y : E
hym : -(c ^ m • x) + y ∈ s
hyn : -(c ^ n • x) + y ∈ s
A : (c ^ n - c ^ m) • x ∈ s
H : c ^ n - c ^ m ≠ 0
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
A✝ : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)
m n : ℕ
hmn : m ≠ n
y : E
hym : -(c ^ m • x) + y ∈ s
hyn : -(c ^ n • x) + y ∈ s
A : (c ^ n - c ^ m) • x ∈ s
H : c ^ n - c ^ m ≠ 0
this : x ∈ s
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
x : ℂ
\u22a2 x ^ (-1) = x⁻¹
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialSet.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
S : SSet
σ₁ σ₂ : Λ[n + 1, i] ⟶ S
h : ∀ (j : Fin (n + 2)) (h : j ≠ i), σ₁.app (op [n]) (face i j h) = σ₂.app (op [n]) (face i j h)
\u22a2 σ₁.app = σ₂.app
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialSet.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
S : SSet
σ₁ σ₂ : Λ[n + 1, i] ⟶ S
h : ∀ (j : Fin (n + 2)) (h : j ≠ i), σ₁.app (op [n]) (face i j h) = σ₂.app (op [n]) (face i j h)
\u22a2 ∀ (x : SimplexCategoryᵒᵖ), σ₁.app x = σ₂.app x
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialSet.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
S : SSet
σ₁ σ₂ : Λ[n + 1, i] ⟶ S
h : ∀ (j : Fin (n + 2)) (h : j ≠ i), σ₁.app (op [n]) (face i j h) = σ₂.app (op [n]) (face i j h)
m : ℕ
f : Λ[n + 1, i] _[m]
\u22a2 σ₁.app (op [m]) f = σ₂.app (op [m]) f
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialSet.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
S : SSet
σ₁ σ₂ : Λ[n + 1, i] ⟶ S
h : ∀ (j : Fin (n + 2)) (h : j ≠ i), σ₁.app (op [n]) (face i j h) = σ₂.app (op [n]) (face i j h)
m : ℕ
f : Λ[n + 1, i] _[m]
f' : unop (op [m]) ⟶ [n + 1]
hf : (standardSimplex.objEquiv [n + 1] (op [m])).symm f' = ↑f
\u22a2 σ₁.app (op [m]) f = σ₂.app (op [m]) f
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialSet.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
S : SSet
σ₁ σ₂ : Λ[n + 1, i] ⟶ S
h : ∀ (j : Fin (n + 2)) (h : j ≠ i), σ₁.app (op [n]) (face i j h) = σ₂.app (op [n]) (face i j h)
m : ℕ
f : Λ[n + 1, i] _[m]
f' : unop (op [m]) ⟶ [n + 1]
hf : (standardSimplex.objEquiv [n + 1] (op [m])).symm f' = ↑f
j : Fin (n + 2)
hji : ¬j = i
hfj : ∀ (k : Fin ((unop (op [m])).len + 1)), (Hom.toOrderHom f') k ≠ j
\u22a2 σ₁.app (op [m]) f = σ₂.app (op [m]) f
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialSet.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
S : SSet
σ₁ σ₂ : Λ[n + 1, i] ⟶ S
h : ∀ (j : Fin (n + 2)) (h : j ≠ i), σ₁.app (op [n]) (face i j h) = σ₂.app (op [n]) (face i j h)
m : ℕ
f : Λ[n + 1, i] _[m]
f' : unop (op [m]) ⟶ [n + 1]
hf : (standardSimplex.objEquiv [n + 1] (op [m])).symm f' = ↑f
j : Fin (n + 2)
hji : ¬j = i
hfj : ∀ (k : Fin ((unop (op [m])).len + 1)), (Hom.toOrderHom f') k ≠ j
H : f = Λ[n + 1, i].map (factor_δ f' j).op (face i j hji)
\u22a2 σ₁.app (op [m]) f = σ₂.app (op [m]) f
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialSet.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
S : SSet
σ₁ σ₂ : Λ[n + 1, i] ⟶ S
h : ∀ (j : Fin (n + 2)) (h : j ≠ i), σ₁.app (op [n]) (face i j h) = σ₂.app (op [n]) (face i j h)
m : ℕ
f : Λ[n + 1, i] _[m]
f' : unop (op [m]) ⟶ [n + 1]
hf : (standardSimplex.objEquiv [n + 1] (op [m])).symm f' = ↑f
j : Fin (n + 2)
hji : ¬j = i
hfj : ∀ (k : Fin ((unop (op [m])).len + 1)), (Hom.toOrderHom f') k ≠ j
H : f = Λ[n + 1, i].map (factor_δ f' j).op (face i j hji)
H₁ : (Λ[n + 1, i].map (factor_δ f' j).op ≫ σ₁.app (op [m])) (face i j hji) = (σ₁.app (op [n]) ≫ S.map (factor_δ f' j).op) (face i j hji)
\u22a2 σ₁.app (op [m]) f = σ₂.app (op [m]) f
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialSet.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
S : SSet
σ₁ σ₂ : Λ[n + 1, i] ⟶ S
h : ∀ (j : Fin (n + 2)) (h : j ≠ i), σ₁.app (op [n]) (face i j h) = σ₂.app (op [n]) (face i j h)
m : ℕ
f : Λ[n + 1, i] _[m]
f' : unop (op [m]) ⟶ [n + 1]
hf : (standardSimplex.objEquiv [n + 1] (op [m])).symm f' = ↑f
j : Fin (n + 2)
hji : ¬j = i
hfj : ∀ (k : Fin ((unop (op [m])).len + 1)), (Hom.toOrderHom f') k ≠ j
H : f = Λ[n + 1, i].map (factor_δ f' j).op (face i j hji)
H₁ : (Λ[n + 1, i].map (factor_δ f' j).op ≫ σ₁.app (op [m])) (face i j hji) = (σ₁.app (op [n]) ≫ S.map (factor_δ f' j).op) (face i j hji)
H₂ : (Λ[n + 1, i].map (factor_δ f' j).op ≫ σ₂.app (op [m])) (face i j hji) = (σ₂.app (op [n]) ≫ S.map (factor_δ f' j).op) (face i j hji)
\u22a2 σ₁.app (op [m]) f = σ₂.app (op [m]) f
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
\u22a2 x - (toZMod x).cast ∈ maximalIdeal ℤ_[p]
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
\u22a2 (toZMod x).cast = ↑x.zmodRepr
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
\u22a2 (↑x.zmodRepr).cast = ↑x.zmodRepr
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
r : ℚ
p' : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime (0 + p' + 1))
x : ℤ_[0 + p' + 1]
\u22a2 (↑x.zmodRepr).cast = ↑x.zmodRepr
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
r : ℚ
p' : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime (0 + p' + 1))
x : ℤ_[0 + p' + 1]
\u22a2 ↑(↑x.zmodRepr).val = ↑x.zmodRepr
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
r : ℚ
p' : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime (0 + p' + 1))
x : ℤ_[0 + p' + 1]
\u22a2 x.zmodRepr % (p' + 1) = x.zmodRepr
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
r : ℚ
p' : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime (0 + p' + 1))
x : ℤ_[0 + p' + 1]
\u22a2 x.zmodRepr < p' + 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/OpenImmersion.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x✝² x✝¹ : Scheme
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
\u22a2 IsOpenImmersion x✝ ↔ ((topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => OpenEmbedding) ⊓ stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => Function.Bijective ⇑f) x✝
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b c : E
\u22a2 ‖a / c‖ ≤ ‖a / b‖ + ‖b / c‖
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h0 : a ≠ 0
hI : a ≠ ⊤
\u22a2 a * (b / a) = b
-- Mathlib/Data/Int/ModEq.lean
m n a b c d : ℤ
\u22a2 a ≡ b [ZMOD -n] ↔ a ≡ b [ZMOD n]
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
h1 : 0 ≤ x
h2 : x < 1
\u22a2 rexp x ≤ 1 / (1 - x)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
h1 : 0 ≤ 0
h2 : 0 < 1
\u22a2 rexp 0 ≤ 1 / (1 - 0)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
h1✝ : 0 ≤ x
h2 : x < 1
h1 : 0 < x
\u22a2 rexp x ≤ 1 / (1 - x)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
D : ℕ := rankOfDiscrBdd N
B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N
C : ℕ := ⌈max B 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊
\u22a2 {K | {w | w.IsReal}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}.Finite
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : NumberField K✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K✝| ≤ ↑N
D : ℕ := rankOfDiscrBdd N
B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N
C : ℕ := ⌈max B 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsReal}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₁ : {w | w.IsReal}.Nonempty
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
\u22a2 ∃ x ∈ ⋃ f, ⋃ (_ : f.natDegree ≤ D ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ Set.Icc (-↑C) ↑C), ↑(Polynomial.map (algebraMap ℤ A) f).roots.toFinset, ↑⟨K, hK₀⟩ = ℚ⟮x⟯
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : NumberField K✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K✝| ≤ ↑N
D : ℕ := rankOfDiscrBdd N
B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N
C : ℕ := ⌈max B 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsReal}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₁ : {w | w.IsReal}.Nonempty
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
\u22a2 ∃ x, (∃ i, ∃ (_ : i.natDegree ≤ D ∧ ∀ (i_1 : ℕ), i.coeff i_1 ∈ Set.Icc (-↑C) ↑C), x ∈ ↑(Polynomial.map (algebraMap ℤ A) i).roots.toFinset) ∧ K = ℚ⟮x⟯
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : NumberField K✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K✝| ≤ ↑N
D : ℕ := rankOfDiscrBdd N
B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N
C : ℕ := ⌈max B 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsReal}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
this : NumberField ↥K
w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩
hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsReal}
\u22a2 minkowskiBound (↥K) 1 < ↑(convexBodyLTFactor ↥K) * ↑B
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : NumberField K✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K✝| ≤ ↑N
D : ℕ := rankOfDiscrBdd N
B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N
C : ℕ := ⌈max B 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsReal}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
this✝ : NumberField ↥K
w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩
hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsReal}
this : 1 ≤ convexBodyLTFactor ↥K
\u22a2 minkowskiBound (↥K) 1 < ↑(convexBodyLTFactor ↥K) * ↑B
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : NumberField K✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K✝| ≤ ↑N
D : ℕ := rankOfDiscrBdd N
B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N
C : ℕ := ⌈max B 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsReal}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
this✝ : NumberField ↥K
w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩
hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsReal}
this : 1 ≤ convexBodyLTFactor ↥K
\u22a2 minkowskiBound (↥K) 1 = (fun x => x * minkowskiBound (↥↑⟨K, hK₀⟩) 1) ↑1
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : F[X]
h1 : f ∣ g
h2 : g ≠ 0
\u22a2 f.natSepDegree ≤ g.natSepDegree
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : F[X]
h1 : f ∣ g
h2 : g ≠ 0
\u22a2 (f.aroots (AlgebraicClosure F)).toFinset.card ≤ (g.aroots (AlgebraicClosure F)).toFinset.card
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens
\u22a2 Scheme.Hom.app f U ≫ (ΓIso f U).hom = Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens
\u22a2 (Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ (ΓIso f U).inv) ≫ (ΓIso f U).hom = Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ
\u22a2 (↑r * (cos ↑θ + sin ↑θ * I)).arg = toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ
hi : toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ ∈ Ioc (-π) π
\u22a2 (↑r * (cos ↑θ + sin ↑θ * I)).arg = toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ
hi : toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ ∈ Ioc (-π) π
\u22a2 cos ↑θ + sin ↑θ * I = cos ↑(toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ) + sin ↑(toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ) * I
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b c : α
\u22a2 ￢⊤ = ⊥
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
\u22a2 Tendsto (fun n => setToFun μ T hT (fs n)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
\u22a2 ∀ (x : ℕ → ι), Tendsto x atTop l → Tendsto ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
\u22a2 Tendsto ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s
\u22a2 Tendsto ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s
h : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l
\u22a2 Tendsto ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))