ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R✝ : Type u
M : Type v
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R✝ M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝⁷ : StrongRankCondition R✝
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : IsDomain S
inst✝² : Algebra R S
n : Type u_3
m : Type u_4
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype m
b : Basis n R S
I : Ideal S
hI : I ≠ ⊥
c : Basis m R ↥I
a : ↥I
ha : a ≠ 0
this : LinearIndependent R fun i => b i • a
\u22a2 Fintype.card m = Fintype.card n
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
\u22a2 s ∩ t = 0 ↔ s.Disjoint t
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
\u22a2 s ∩ t ⊆ 0 ↔ s.Disjoint t
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
inst✝ : S.HasHomology
\u22a2 leftRightHomologyComparison' h₁ h₂ = h₁.homologyIso.inv ≫ h₂.homologyIso.hom
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
inst✝ : S.HasHomology
\u22a2 leftHomologyMap' (𝟙 S) h₁ S.homologyData.left ≫ S.homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) S.homologyData.right h₂ = h₁.homologyIso.inv ≫ h₂.homologyIso.hom
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
inst✝ : S.HasHomology
\u22a2 leftHomologyMap' (𝟙 S) h₁ S.homologyData.left ≫ S.homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) S.homologyData.right h₂ = (leftHomologyMap' (𝟙 S) h₁ S.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S) S.leftHomologyData S.homologyData.left) ≫ (S.homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) S.homologyData.right S.rightHomologyData) ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) S.rightHomologyData h₂
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
\u22a2 (τ * σ * τ⁻¹).cycleType = σ.cycleType
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
f : F' ⟶ F
hf : ∀ (U : Cᵒᵖ) (x : F'.obj U), f.app U x ∈ G.obj U
\u22a2 ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y), F'.map f_1 ≫ (fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) Y = (fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) X ≫ G.toPresheaf.map f_1
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
f : F' ⟶ F
hf : ∀ (U : Cᵒᵖ) (x : F'.obj U), f.app U x ∈ G.obj U
this : ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y) (x : F'.obj X), f.app Y (F'.map f_1 x) = F.map f_1 (f.app X x)
\u22a2 ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y), F'.map f_1 ≫ (fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) Y = (fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) X ≫ G.toPresheaf.map f_1
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
f : F' ⟶ F
hf : ∀ (U : Cᵒᵖ) (x : F'.obj U), f.app U x ∈ G.obj U
this : ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y) (x : F'.obj X), f.app Y (F'.map f_1 x) = F.map f_1 (f.app X x)
X✝ Y✝ : Cᵒᵖ
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 F'.map f✝ ≫ (fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) Y✝ = (fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) X✝ ≫ G.toPresheaf.map f✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
f : F' ⟶ F
hf : ∀ (U : Cᵒᵖ) (x : F'.obj U), f.app U x ∈ G.obj U
this : ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y) (x : F'.obj X), f.app Y (F'.map f_1 x) = F.map f_1 (f.app X x)
X✝ Y✝ : Cᵒᵖ
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
x : F'.obj X✝
\u22a2 ↑((F'.map f✝ ≫ (fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) Y✝) x) = ↑(((fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) X✝ ≫ G.toPresheaf.map f✝) x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
f : F' ⟶ F
hf : ∀ (U : Cᵒᵖ) (x : F'.obj U), f.app U x ∈ G.obj U
this : ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y) (x : F'.obj X), f.app Y (F'.map f_1 x) = F.map f_1 (f.app X x)
X✝ Y✝ : Cᵒᵖ
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
x : F'.obj X✝
\u22a2 f.app Y✝ (F'.map f✝ x) = ↑(G.toPresheaf.map f✝ ⟨f.app X✝ x, ⋯⟩)
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
\u22a2 (x + y).leadingCoeff = x.leadingCoeff
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
hx : x ≠ 0
\u22a2 (x + y).leadingCoeff = x.leadingCoeff
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop
hx : x ≠ 0
ho : (x + y).orderTop = x.orderTop
\u22a2 (x + y).leadingCoeff = x.leadingCoeff
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Diagonal.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
X✝ Y✝ Z : C
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y S X' Y' S' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S'
g' : Y' ⟶ S'
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
i₃ : S ⟶ S'
e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'
inst✝ : Mono i₃
\u22a2 map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂ = (pullbackFstFstIso f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂).inv ≫ snd (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ fst (snd f' g') i₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPushout f.op g.op
\u22a2 (PushoutCocone.unop (colimit.cocone (span f.op g.op))).π.app WalkingCospan.left = (pushout.inl f.op g.op).unop
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
hf : Cauchy f
U : ℕ → Set (α × α)
U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α
U_le : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ n, U n ⊆ s
N m n : ℕ
hm : N ≤ m
hn : N ≤ n
p : α × α
hp : p ∈ setSeq hf U_mem m ×ˢ setSeq hf U_mem n
\u22a2 p ∈ U N
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
hf : Cauchy f
U : ℕ → Set (α × α)
U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α
U_le : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ n, U n ⊆ s
N m n : ℕ
hm : N ≤ m
hn : N ≤ n
p : α × α
hp : p ∈ setSeq hf U_mem m ×ˢ setSeq hf U_mem n
\u22a2 p.1 ∈ setSeq hf U_mem N
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
f : Filter α
hf : Cauchy f
U : ℕ → Set (α × α)
U_mem : ∀ (n : ℕ), U n ∈ 𝓤 α
U_le : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ n, U n ⊆ s
N m n : ℕ
hm : N ≤ m
hn : N ≤ n
p : α × α
hp : p ∈ setSeq hf U_mem m ×ˢ setSeq hf U_mem n
\u22a2 p.2 ∈ setSeq hf U_mem N
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoversTop.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
I : Type u_1
Y : I → C
hY : J.CoversTop Y
F : Sheaf J (Type u_2)
x y : ↑F.val.sections
h : ∀ (i : I), ↑x (Opposite.op (Y i)) = ↑y (Opposite.op (Y i))
W : Cᵒᵖ
\u22a2 ↑x W = ↑y W
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoversTop.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
I : Type u_1
Y : I → C
hY : J.CoversTop Y
F : Sheaf J (Type u_2)
x y : ↑F.val.sections
h : ∀ (i : I), ↑x (Opposite.op (Y i)) = ↑y (Opposite.op (Y i))
W : Cᵒᵖ
\u22a2 ∀ ⦃Y_1 : C⦄ ⦃f : Y_1 ⟶ Opposite.unop W⦄, (Sieve.ofObjects Y (Opposite.unop W)).arrows f → F.val.map f.op (↑x W) = F.val.map f.op (↑y W)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
i : ChooseBasisIndex ℤ ↥↑↑I
\u22a2 (fractionalIdealLatticeBasis K I) i = (mixedEmbedding K) ((basisOfFractionalIdeal K I) i)
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/IsInvertedBy.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} D
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_5, u_1} C₁
inst✝² : Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
E₁ : Type u_3
E₂ : Type u_4
inst✝¹ : Category.{u_7, u_3} E₁
inst✝ : Category.{u_8, u_4} E₂
F₁ : C₁ ⥤ E₁
F₂ : C₂ ⥤ E₂
h₁ : W₁.IsInvertedBy F₁
h₂ : W₂.IsInvertedBy F₂
x✝¹ x✝ : C₁ × C₂
f : x✝¹ ⟶ x✝
hf : W₁.prod W₂ f
\u22a2 IsIso ((F₁.prod F₂).map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/IsInvertedBy.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} D
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_5, u_1} C₁
inst✝² : Category.{u_6, u_2} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
E₁ : Type u_3
E₂ : Type u_4
inst✝¹ : Category.{u_7, u_3} E₁
inst✝ : Category.{u_8, u_4} E₂
F₁ : C₁ ⥤ E₁
F₂ : C₂ ⥤ E₂
h₁ : W₁.IsInvertedBy F₁
h₂ : W₂.IsInvertedBy F₂
x✝¹ x✝ : C₁ × C₂
f : x✝¹ ⟶ x✝
hf : W₁.prod W₂ f
\u22a2 IsIso ((F₁.prod F₂).map f).1 ∧ IsIso ((F₁.prod F₂).map f).2
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y✝ Z : C
f✝ : Y✝ ⟶ X
ι : Type u_1
Y : ι → C
f : (i : ι) → Y i ⟶ X
i : ι
\u22a2 ∃ i_1, ∃ (h : Y i_1 = Y i), f i = eqToHom ⋯ ≫ f i_1
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : IsDomain R
r : R
\u22a2 Associated (generator (Ideal.span {r})) r
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : IsDomain R
r : R
\u22a2 Ideal.span {generator (Ideal.span {r})} = Ideal.span {r}
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x✝ : 𝕜
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformly f' g' l
hf : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ (x : 𝕜), HasDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ (x : 𝕜), Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
x : 𝕜
\u22a2 HasDerivAt g (g' x) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x✝ : 𝕜
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformly f' g' l
hf✝ : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ (x : 𝕜), HasDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ (x : 𝕜), Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
x : 𝕜
hf : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ x ∈ Set.univ, HasDerivAt (f n) (f' n x) x
\u22a2 HasDerivAt g (g' x) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x✝ : 𝕜
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformly f' g' l
hf✝ : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ (x : 𝕜), HasDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg✝ : ∀ (x : 𝕜), Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
x : 𝕜
hf : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ x ∈ Set.univ, HasDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ Set.univ, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
\u22a2 HasDerivAt g (g' x) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x✝ : 𝕜
inst✝ : l.NeBot
hf'✝ : TendstoUniformly f' g' l
hf✝ : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ (x : 𝕜), HasDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg✝ : ∀ (x : 𝕜), Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
x : 𝕜
hf : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ x ∈ Set.univ, HasDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ Set.univ, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hf' : TendstoUniformlyOn f' g' l Set.univ
\u22a2 HasDerivAt g (g' x) x
-- Mathlib/Data/Nat/Size.lean
m : ℕ
h : m ≠ 0
n : ℕ
\u22a2 (m <<< n).size = m.size + n
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Lattice α
a b c d : α
\u22a2 a ⊓ b = a ⊔ b ↔ a = b
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β
\u22a2 Bijective (map f) ↔ Bijective f
-- Mathlib/Algebra/Homology/QuasiIso.lean
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
inst✝² : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), M.HasHomology i
hφ : QuasiIso φ
hφφ' : QuasiIso (φ ≫ φ')
\u22a2 QuasiIso φ'
-- Mathlib/Algebra/Homology/QuasiIso.lean
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
inst✝² : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), M.HasHomology i
hφ : QuasiIso φ
hφφ' : QuasiIso (φ ≫ φ')
\u22a2 QuasiIso (φ ≫ φ')
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝¹ : CharZero k
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
h : s.card = n + 1
\u22a2 ∑ i : ι, centroidWeightsIndicator k s i = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝¹ : CharZero k
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
h : s.card = n + 1
\u22a2 ∑ i ∈ s, centroidWeights k s i = 1
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 1
\u22a2 ∃ V ∈ 𝓝 1, ∀ {v w s t : M}, v ∈ V → w ∈ V → s ∈ V → t ∈ V → v * w * s * t ∈ u
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 1
W : Set M
W1 : W ∈ 𝓝 1
h : ∀ v ∈ W, ∀ w ∈ W, v * w ∈ u
\u22a2 ∃ V ∈ 𝓝 1, ∀ {v w s t : M}, v ∈ V → w ∈ V → s ∈ V → t ∈ V → v * w * s * t ∈ u
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 1
W : Set M
W1 : W ∈ 𝓝 1
h : ∀ v ∈ W, ∀ w ∈ W, v * w ∈ u
V : Set M
V1 : V ∈ 𝓝 1
h' : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v * w ∈ W
\u22a2 ∃ V ∈ 𝓝 1, ∀ {v w s t : M}, v ∈ V → w ∈ V → s ∈ V → t ∈ V → v * w * s * t ∈ u
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 1
W : Set M
W1 : W ∈ 𝓝 1
h : ∀ v ∈ W, ∀ w ∈ W, v * w ∈ u
V : Set M
V1 : V ∈ 𝓝 1
h' : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v * w ∈ W
\u22a2 ∀ {v w s t : M}, v ∈ V → w ∈ V → s ∈ V → t ∈ V → v * w * s * t ∈ u
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 1
W : Set M
W1 : W ∈ 𝓝 1
h : ∀ v ∈ W, ∀ w ∈ W, v * w ∈ u
V : Set M
V1 : V ∈ 𝓝 1
h' : ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v * w ∈ W
v w s t : M
v_in : v ∈ V
w_in : w ∈ V
s_in : s ∈ V
t_in : t ∈ V
\u22a2 v * w * s * t ∈ u
-- Mathlib/Algebra/Order/Rearrangement.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
inst✝ : Fintype ι
hfg : Monovary f g
\u22a2 ∑ i : ι, f i • g (σ i) < ∑ i : ι, f i • g i ↔ ¬Monovary f (g ∘ ⇑σ)
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid M
f : ι → M
hf : f ≤ 1
\u22a2 ∏ i : ι, f i < 1 ↔ f < 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
C : ℝ
hs : μ s < ⊤
hC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C
hfm : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
\u22a2 ‖∫ (x : X) in s, f x ∂μ‖ ≤ C * (μ s).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
C : ℝ
hs : μ s < ⊤
hC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C
hfm : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
\u22a2 ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ C
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
C : ℝ
hs : μ s < ⊤
hC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C
hfm : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
A : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖AEStronglyMeasurable.mk f hfm x‖ ≤ C
\u22a2 ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ C
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
C : ℝ
hs : μ s < ⊤
hC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C
hfm : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
A : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖AEStronglyMeasurable.mk f hfm x‖ ≤ C
B : MeasurableSet {x | ‖AEStronglyMeasurable.mk f hfm x‖ ≤ C}
\u22a2 ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ C
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
C : ℝ
hs : μ s < ⊤
hC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C
hfm : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
A : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖AEStronglyMeasurable.mk f hfm x‖ ≤ C
B : MeasurableSet {x | ‖AEStronglyMeasurable.mk f hfm x‖ ≤ C}
a✝¹ : X
h1 : f a✝¹ = AEStronglyMeasurable.mk f hfm a✝¹
a✝ : ‖AEStronglyMeasurable.mk f hfm a✝¹‖ ≤ C
\u22a2 ‖f a✝¹‖ ≤ C
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q x : ℝ≥0
hx : ↑x ≠ 0
y : ℝ≥0
hy : 1 < ↑y
\u22a2 ∃ n, ↑x ∈ Ico (↑y ^ n) (↑y ^ (n + 1))
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q x : ℝ≥0
hx : ↑x ≠ 0
y : ℝ≥0
hy : 1 < ↑y
A : y ≠ 0
\u22a2 ∃ n, ↑x ∈ Ico (↑y ^ n) (↑y ^ (n + 1))
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q x : ℝ≥0
hx : ↑x ≠ 0
y : ℝ≥0
hy : 1 < ↑y
A : y ≠ 0
n : ℤ
hn : y ^ n ≤ x
h'n : x < y ^ (n + 1)
\u22a2 ∃ n, ↑x ∈ Ico (↑y ^ n) (↑y ^ (n + 1))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafOneHypercover.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
H : J.OneHypercoverFamily
inst✝ : H.IsGenerating
P : Cᵒᵖ ⥤ A
hP : ∀ ⦃X : C⦄ (E : J.OneHypercover X), H E → Nonempty (IsLimit (E.multifork P))
X : C
S : Sieve X
E : J.OneHypercover X
hE : H E
le : E.sieve₀ ≤ S
F : Multifork (Cover.index ⟨S, ⋯⟩ P)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
\u22a2 lift hP hE le F ≫ P.map f.op = F.ι { Y := Y, f := f, hf := hf }
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafOneHypercover.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
H : J.OneHypercoverFamily
inst✝ : H.IsGenerating
P : Cᵒᵖ ⥤ A
hP : ∀ ⦃X : C⦄ (E : J.OneHypercover X), H E → Nonempty (IsLimit (E.multifork P))
X : C
S : Sieve X
E : J.OneHypercover X
hE : H E
le : E.sieve₀ ≤ S
F : Multifork (Cover.index ⟨S, ⋯⟩ P)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
\u22a2 ∀ ⦃Y_1 : C⦄ (f_1 : Y_1 ⟶ Y), (Sieve.pullback f E.sieve₀).arrows f_1 → (lift hP hE le F ≫ P.map f.op) ≫ P.map f_1.op = F.ι { Y := Y, f := f, hf := hf } ≫ P.map f_1.op
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafOneHypercover.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
H : J.OneHypercoverFamily
inst✝ : H.IsGenerating
P : Cᵒᵖ ⥤ A
hP : ∀ ⦃X : C⦄ (E : J.OneHypercover X), H E → Nonempty (IsLimit (E.multifork P))
X : C
S : Sieve X
E : J.OneHypercover X
hE : H E
le : E.sieve₀ ≤ S
F : Multifork (Cover.index ⟨S, ⋯⟩ P)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
Z : C
g : Z ⟶ Y
i : E.I₀
a : Z ⟶ E.X i
fac : a ≫ E.f i = g ≫ f
\u22a2 (lift hP hE le F ≫ P.map f.op) ≫ P.map g.op = F.ι { Y := Y, f := f, hf := hf } ≫ P.map g.op
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafOneHypercover.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
H : J.OneHypercoverFamily
inst✝ : H.IsGenerating
P : Cᵒᵖ ⥤ A
hP : ∀ ⦃X : C⦄ (E : J.OneHypercover X), H E → Nonempty (IsLimit (E.multifork P))
X : C
S : Sieve X
E : J.OneHypercover X
hE : H E
le : E.sieve₀ ≤ S
F : Multifork (Cover.index ⟨S, ⋯⟩ P)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
Z : C
g : Z ⟶ Y
i : E.I₀
a : Z ⟶ E.X i
fac : a ≫ E.f i = g ≫ f
\u22a2 F.ι { Y := E.X i, f := E.f i, hf := ⋯ } ≫ P.map a.op = F.ι { Y := Y, f := f, hf := hf } ≫ P.map g.op
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Adjunction.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_3
D₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{u_7, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_3} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_4} D₂
G : C₁ ⥤ C₂
F : C₂ ⥤ C₁
adj : G ⊣ F
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝² : L₂.IsLocalization W₂
G' : D₁ ⥤ D₂
F' : D₂ ⥤ D₁
inst✝¹ : CatCommSq G L₁ L₂ G'
inst✝ : CatCommSq F L₂ L₁ F'
X₂ : C₂
this : Lifting L₂ W₂ ((F ⋙ G) ⋙ L₂) (F' ⋙ G') := { iso' := CatCommSq.iso'.symm }
\u22a2 (η adj L₁ L₂ W₂ G' F').app (L₂.obj X₂) = G'.map ((CatCommSq.iso F L₂ L₁ F').inv.app X₂) ≫ (CatCommSq.iso G L₁ L₂ G').inv.app (F.obj X₂) ≫ L₂.map (adj.counit.app X₂)
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ k
ζ' : M
k' : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
hζ' : IsPrimitiveRoot ζ' k'
hk : k ≠ 0
hk' : k' ≠ 0
\u22a2 IsPrimitiveRoot (ζ ^ (k / k.factorizationLCMLeft k') * ζ' ^ (k' / k.factorizationLCMRight k')) (k.lcm k')
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ k
ζ' : M
k' : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
hζ' : IsPrimitiveRoot ζ' k'
hk : k ≠ 0
hk' : k' ≠ 0
\u22a2 k.lcm k' = orderOf (ζ ^ (k / k.factorizationLCMLeft k') * ζ' ^ (k' / k.factorizationLCMRight k'))
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ k
ζ' : M
k' : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
hζ' : IsPrimitiveRoot ζ' k'
hk : k ≠ 0
hk' : k' ≠ 0
\u22a2 k = orderOf ζ
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ k
ζ' : M
k' : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
hζ' : IsPrimitiveRoot ζ' k'
hk : k ≠ 0
hk' : k' ≠ 0
\u22a2 k' = orderOf ζ'