ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
inst✝ : UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
f' : α' → β'
q : Filter ι'
q' : Filter α'
h : Tendsto (fun q => (f q.2, F q.1 q.2)) (p ×ˢ p') (𝓤 β)
h' : Tendsto (fun q => (f' q.2, F' q.1 q.2)) (q ×ˢ q') (𝓤 β')
\u22a2 Tendsto (fun q => (Prod.map f f' q.2, Prod.map (F q.1.1) (F' q.1.2) q.2)) ((p ×ˢ q) ×ˢ p' ×ˢ q') (𝓤 (β × β'))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
inst✝ : UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
f' : α' → β'
q : Filter ι'
q' : Filter α'
h : Tendsto (fun q => (f q.2, F q.1 q.2)) (p ×ˢ p') (𝓤 β)
h' : Tendsto (fun q => (f' q.2, F' q.1 q.2)) (q ×ˢ q') (𝓤 β')
\u22a2 Tendsto (((fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) ∘ fun q => (Prod.map f f' q.2, Prod.map (F q.1.1) (F' q.1.2) q.2)) ∘ fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) ((p ×ˢ p') ×ˢ q ×ˢ q') (𝓤 β ×ˢ 𝓤 β')
-- Mathlib/Data/Finset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c : β
\u22a2 c > fold max b f s ↔ b < c ∧ ∀ x ∈ s, f x < c
-- Mathlib/Data/Finset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c : β
\u22a2 ∀ {x y z : β}, x > max y z ↔ x > y ∧ x > z
-- Mathlib/Data/Finset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c x y z : β
\u22a2 max y z < x ↔ x > y ∧ x > z
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝³ : Nonempty Z
inst✝² : MetricSpace Z
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hΦ : Isometry Φ
hΨ : Isometry Ψ
i : PseudoMetricSpace (X ⊕ Y) := gluePremetric hΦ hΨ
x✝ : TopologicalSpace (X ⊕ Y) := UniformSpace.toTopologicalSpace
\u22a2 toGlueL hΦ hΨ ∘ Φ = toGlueR hΦ hΨ ∘ Ψ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝³ : Nonempty Z
inst✝² : MetricSpace Z
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hΦ : Isometry Φ
hΨ : Isometry Ψ
i : PseudoMetricSpace (X ⊕ Y) := gluePremetric hΦ hΨ
x✝¹ : TopologicalSpace (X ⊕ Y) := UniformSpace.toTopologicalSpace
x✝ : Z
\u22a2 (toGlueL hΦ hΨ ∘ Φ) x✝ = (toGlueR hΦ hΨ ∘ Ψ) x✝
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝³ : Nonempty Z
inst✝² : MetricSpace Z
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hΦ : Isometry Φ
hΨ : Isometry Ψ
i : PseudoMetricSpace (X ⊕ Y) := gluePremetric hΦ hΨ
x✝¹ : TopologicalSpace (X ⊕ Y) := UniformSpace.toTopologicalSpace
x✝ : Z
\u22a2 Quotient.mk'' (Sum.inl (Φ x✝)) = Quotient.mk'' (Sum.inr (Ψ x✝))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝³ : Nonempty Z
inst✝² : MetricSpace Z
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
hΦ : Isometry Φ
hΨ : Isometry Ψ
i : PseudoMetricSpace (X ⊕ Y) := gluePremetric hΦ hΨ
x✝¹ : TopologicalSpace (X ⊕ Y) := UniformSpace.toTopologicalSpace
x✝ : Z
\u22a2 dist (Sum.inl (Φ x✝)) (Sum.inr (Ψ x✝)) = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
hp : p ∈ s
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
\u22a2 (reflection s) (v +ᵥ p) = -v +ᵥ p
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
hp : p ∈ s
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
\u22a2 ↑⟨p, hp⟩ -ᵥ p - v +ᵥ ↑⟨p, hp⟩ = -v +ᵥ p
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
K : Type u_5
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : Module K E
inst✝ : Module K F
f : E →ₗ.[K] F
x : E
y : F
hx : x ∉ f.domain
x' : E
hx' : x' ∈ f.domain
c : K
\u22a2 ↑(f.supSpanSingleton x y hx) ⟨x' + c • x, ⋯⟩ = ↑f ⟨x', hx'⟩ + c • y
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
K : Type u_5
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : Module K E
inst✝ : Module K F
f : E →ₗ.[K] F
x : E
y : F
hx : x ∉ f.domain
x' : E
hx' : x' ∈ f.domain
c : K
\u22a2 c • x ∈ (mkSpanSingleton' x y ⋯).domain
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
K : Type u_5
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : Module K E
inst✝ : Module K F
f : E →ₗ.[K] F
x : E
y : F
hx : x ∉ f.domain
x' : E
hx' : x' ∈ f.domain
c : K
\u22a2 ↑⟨x', hx'⟩ + ↑⟨c • x, ?h⟩ = ↑⟨x' + c • x, ⋯⟩
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
\u22a2 ‖-f‖ = ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
\u22a2 sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖(-f) m‖ ≤ c * ∏ i : ι, ‖m i‖} = ‖f‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
g : G
K : Compacts G
\u22a2 chaar K₀ (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = chaar K₀ K
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
g : G
K : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) - f K
\u22a2 chaar K₀ (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = chaar K₀ K
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
g : G
K : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) - f K
this : Continuous eval
\u22a2 chaar K₀ (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = chaar K₀ K
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
g : G
K : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) - f K
this : Continuous eval
\u22a2 chaar K₀ (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) - chaar K₀ K = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
g : G
K : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) - f K
this : Continuous eval
\u22a2 chaar K₀ ∈ eval ⁻¹' {0}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
g : G
K : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) - f K
this : Continuous eval
\u22a2 clPrehaar ↑K₀ ⊤ ⊆ eval ⁻¹' {0}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
g : G
K : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) - f K
this : Continuous eval
\u22a2 closure (prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U}) ⊆ eval ⁻¹' {0}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
g : G
K : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) - f K
this : Continuous eval
\u22a2 prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U} ⊆ eval ⁻¹' {0}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
g : G
K : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) - f K
this : Continuous eval
\u22a2 IsClosed (eval ⁻¹' {0})
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
\u22a2 IntegrableOn (fun x => (|p| * x ^ (p - 1)) • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn f (Ioi 0) volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t => t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
\u22a2 IntegrableOn (fun x => (|p| * x ^ (p - 1)) • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn f (Ioi 0) volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t => t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S
a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S
\u22a2 IntegrableOn (fun x => (|p| * x ^ (p - 1)) • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn f (Ioi 0) volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t => t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S
a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S
this : IntegrableOn f ((fun t => t ^ p) '' Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn (fun x => |p * x ^ (p - 1)| • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume
\u22a2 IntegrableOn (fun x => (|p| * x ^ (p - 1)) • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn f (Ioi 0) volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t => t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S
a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S
this : IntegrableOn f S volume ↔ IntegrableOn (fun x => |p * x ^ (p - 1)| • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume
\u22a2 IntegrableOn (fun x => (|p| * x ^ (p - 1)) • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn (fun x => |p * x ^ (p - 1)| • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0
S : Set ℝ := Ioi 0
a1 : ∀ x ∈ S, HasDerivWithinAt (fun t => t ^ p) (p * x ^ (p - 1)) S x
a2 : InjOn (fun x => x ^ p) S
a3 : (fun t => t ^ p) '' S = S
this : IntegrableOn f S volume ↔ IntegrableOn (fun x => |p * x ^ (p - 1)| • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
\u22a2 (|p| * x ^ (p - 1)) • f (x ^ p) = |p * x ^ (p - 1)| • f (x ^ p)
-- Mathlib/Data/Finset/Pairwise.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s : Set ι'
g : ι' → Finset ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => (g i').sup f
hg : ∀ i ∈ s, (↑(g i)).PairwiseDisjoint f
a : ι
ha : a ∈ ⋃ i ∈ s, ↑(g i)
b : ι
hb : b ∈ ⋃ i ∈ s, ↑(g i)
hab : a ≠ b
\u22a2 (Disjoint on f) a b
-- Mathlib/Data/Finset/Pairwise.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s : Set ι'
g : ι' → Finset ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => (g i').sup f
hg : ∀ i ∈ s, (↑(g i)).PairwiseDisjoint f
a b : ι
hab : a ≠ b
ha : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), a ∈ ↑(g i)
hb : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), b ∈ ↑(g i)
\u22a2 (Disjoint on f) a b
-- Mathlib/Data/Finset/Pairwise.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s : Set ι'
g : ι' → Finset ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => (g i').sup f
hg : ∀ i ∈ s, (↑(g i)).PairwiseDisjoint f
a b : ι
hab : a ≠ b
c : ι'
hc : c ∈ s
ha : a ∈ ↑(g c)
d : ι'
hd : d ∈ s
hb : b ∈ ↑(g d)
\u22a2 (Disjoint on f) a b
-- Mathlib/Data/Finset/Pairwise.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s : Set ι'
g : ι' → Finset ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => (g i').sup f
hg : ∀ i ∈ s, (↑(g i)).PairwiseDisjoint f
a b : ι
hab : a ≠ b
c : ι'
hc : c ∈ s
ha : a ∈ ↑(g c)
d : ι'
hd : d ∈ s
hb : b ∈ ↑(g d)
hcd : g c = g d
\u22a2 (Disjoint on f) a b
-- Mathlib/Data/Finset/Pairwise.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s : Set ι'
g : ι' → Finset ι
f : ι → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i' => (g i').sup f
hg : ∀ i ∈ s, (↑(g i)).PairwiseDisjoint f
a b : ι
hab : a ≠ b
c : ι'
hc : c ∈ s
ha : a ∈ ↑(g c)
d : ι'
hd : d ∈ s
hb : b ∈ ↑(g d)
hcd : g c ≠ g d
\u22a2 (Disjoint on f) a b
-- Mathlib/Tactic/Ring/Basic.lean
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a a' a₁✝ a₂ a₃ b b' b₁ b₂ b₃ c c₁ c₂ a₁ : R
x✝ : a₂ + b = c
\u22a2 a₁ + a₂ + b = a₁ + c
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Prod.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
f : (i : ι) → F' i
s' : Set ((i : ι) → F' i)
id' : ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] (i : ι) → F' i := ContinuousLinearMap.id 𝕜 ((i : ι) → F' i)
\u22a2 HasFDerivWithinAt (fun f => f i) (proj i) s' f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Prod.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
f : (i : ι) → F' i
s' : Set ((i : ι) → F' i)
id' : ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] (i : ι) → F' i := ContinuousLinearMap.id 𝕜 ((i : ι) → F' i)
h : HasFDerivWithinAt (fun f i' => f i') id' s' f → ∀ (i : ι), HasFDerivWithinAt (fun x => x i) ((proj i).comp id') s' f
\u22a2 HasFDerivWithinAt (fun f => f i) (proj i) s' f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Prod.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
f : (i : ι) → F' i
s' : Set ((i : ι) → F' i)
id' : ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] (i : ι) → F' i := ContinuousLinearMap.id 𝕜 ((i : ι) → F' i)
h : HasFDerivWithinAt (fun f i' => f i') id' s' f → ∀ (i : ι), HasFDerivWithinAt (fun x => x i) ((proj i).comp id') s' f
h' : (proj i).comp id' = proj i
\u22a2 HasFDerivWithinAt (fun f i' => f i') id' s' f
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set α
\u22a2 s ⊆ ⋂ i, ⋂ j, t i j ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), s ⊆ t i j
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝¹ : One α
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X → α
\u22a2 mulTSupport f = ∅ ↔ f = 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
m : Fin n → 𝕜
\u22a2 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x) m = (∏ i : Fin n, m i) • iteratedDerivWithin n f s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
m : Fin n → 𝕜
\u22a2 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x) m = (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x) fun i => m i • 1
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)
H : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {a | (∃ i j, ∃ (H : i ≤ j), ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨ (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨ (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨ ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a})) x = 0
this : (α : Sort ?u.611507) → DecidableEq α
\u22a2 ∃ j s, ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j), x.IsSupported s ∧ ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) x) = 0
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)
H : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {a | (∃ i j, ∃ (H : i ≤ j), ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨ (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨ (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨ ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a})) x = 0
this : (α : Sort ?u.611507) → DecidableEq α
\u22a2 ∀ x ∈ {a | (∃ i j, ∃ (H : i ≤ j), ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨ (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨ (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨ ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a}, ∃ j s, ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j), x.IsSupported s ∧ ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) x) = 0
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)
H : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {a | (∃ i j, ∃ (H : i ≤ j), ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨ (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨ (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨ ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a})) x = 0
this : (α : Sort ?u.611507) → DecidableEq α
\u22a2 ∃ j s, ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j), IsSupported 0 s ∧ ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) 0) = 0
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
x : FreeCommRing ((i : ι) × G i)
H : (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {a | (∃ i j, ∃ (H : i ≤ j), ∃ x, FreeCommRing.of ⟨j, (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i j H x⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ = a) ∨ (∃ i, FreeCommRing.of ⟨i, 1⟩ - 1 = a) ∨ (∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x + y⟩ - (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ + FreeCommRing.of ⟨i, y⟩) = a) ∨ ∃ i x y, FreeCommRing.of ⟨i, x * y⟩ - FreeCommRing.of ⟨i, x⟩ * FreeCommRing.of ⟨i, y⟩ = a})) x = 0
this : (α : Sort ?u.611507) → DecidableEq α
\u22a2 ∀ (x y : FreeCommRing ((i : ι) × G i)), (∃ j s, ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j), x.IsSupported s ∧ ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) x) = 0) → (∃ j s, ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j), y.IsSupported s ∧ ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) y) = 0) → ∃ j s, ∃ (H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j), (x + y).IsSupported s ∧ ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (x + y)) = 0