ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
this : IsDomain (Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)) := IsLocalization.isDomain_localization (le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hP0)
Qₚ : Ideal Sₚ
Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal
x✝ : Algebra Rₚ Sₚ := localizationAlgebra P.primeCompl S
\u22a2 ∃ Q, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q = P
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
this✝ : IsDomain (Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)) := IsLocalization.isDomain_localization (le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hP0)
Qₚ : Ideal Sₚ
Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal
x✝ : Algebra Rₚ Sₚ := localizationAlgebra P.primeCompl S
this : Algebra.IsIntegral Rₚ Sₚ
\u22a2 ∃ Q, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q = P
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
this✝ : IsDomain (Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)) := IsLocalization.isDomain_localization (le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hP0)
Qₚ : Ideal Sₚ
Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal
x✝ : Algebra Rₚ Sₚ := localizationAlgebra P.primeCompl S
this : Algebra.IsIntegral Rₚ Sₚ
Qₚ_max : (comap (algebraMap Rₚ Sₚ) Qₚ).IsMaximal
\u22a2 ∃ Q, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q = P
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
this✝ : IsDomain (Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)) := IsLocalization.isDomain_localization (le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hP0)
Qₚ : Ideal Sₚ
Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal
x✝ : Algebra Rₚ Sₚ := localizationAlgebra P.primeCompl S
this : Algebra.IsIntegral Rₚ Sₚ
Qₚ_max : (comap (algebraMap Rₚ Sₚ) Qₚ).IsMaximal
\u22a2 comap (algebraMap R S) (comap (algebraMap S Sₚ) Qₚ) = P
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
this✝ : IsDomain (Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)) := IsLocalization.isDomain_localization (le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hP0)
Qₚ : Ideal Sₚ
Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal
x✝ : Algebra Rₚ Sₚ := localizationAlgebra P.primeCompl S
this : Algebra.IsIntegral Rₚ Sₚ
Qₚ_max : (comap (algebraMap Rₚ Sₚ) Qₚ).IsMaximal
\u22a2 comap (algebraMap R S) (comap (algebraMap S Sₚ) Qₚ) = comap (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (LocalRing.maximalIdeal (Localization P.primeCompl))
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
this✝ : IsDomain (Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)) := IsLocalization.isDomain_localization (le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hP0)
Qₚ : Ideal Sₚ
Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal
x✝ : Algebra Rₚ Sₚ := localizationAlgebra P.primeCompl S
this : Algebra.IsIntegral Rₚ Sₚ
Qₚ_max : (comap (algebraMap Rₚ Sₚ) Qₚ).IsMaximal
\u22a2 comap ((IsLocalization.map Sₚ (algebraMap R S) ⋯).comp (algebraMap R Rₚ)) Qₚ = comap (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (comap (algebraMap Rₚ Sₚ) Qₚ)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
\u22a2 ((f₁ ⊗ f₂) ⊗ g₁ ⊗ g₂) ≫ (α_ Y₁ Y₂ (V₁ ⊗ V₂)).hom ≫ Y₁ ◁ (α_ Y₂ V₁ V₂).inv ≫ Y₁ ◁ (β_ Y₂ V₁).hom ▷ V₂ ≫ Y₁ ◁ (α_ V₁ Y₂ V₂).hom ≫ (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ U₁ U₂).inv ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ U₁).hom ▷ U₂ ≫ X₁ ◁ (α_ U₁ X₂ U₂).hom ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
\u22a2 ((f₁ ⊗ f₂) ⊗ g₁ ⊗ g₂) ≫ (α_ Y₁ Y₂ (V₁ ⊗ V₂)).hom ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (α_ Y₂ V₁ V₂).inv) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (β_ Y₂ V₁).hom ⊗ 𝟙 V₂) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (α_ V₁ Y₂ V₂).hom) ≫ (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
\u22a2 (((((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (f₁ ⊗ f₂ ⊗ g₁ ⊗ g₂)) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (α_ Y₂ V₁ V₂).inv)) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (β_ Y₂ V₁).hom ⊗ 𝟙 V₂)) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (α_ V₁ Y₂ V₂).hom)) ≫ (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
\u22a2 (α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ ((((𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (f₁ ⊗ (f₂ ⊗ g₁) ⊗ g₂)) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (β_ Y₂ V₁).hom ⊗ 𝟙 V₂)) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (α_ V₁ Y₂ V₂).hom)) ≫ (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
\u22a2 (α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (((𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (f₁ ⊗ (g₁ ⊗ f₂) ⊗ g₂)) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (α_ V₁ Y₂ V₂).hom)) ≫ (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
\u22a2 (α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (f₁ ⊗ g₁ ⊗ f₂ ⊗ g₂)) ≫ (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂
\u22a2 (α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂) = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)
-- Mathlib/Data/List/NodupEquivFin.lean
α : Type u_1
l l' : List α
\u22a2 l <+ l' ↔ ∃ f, ∀ (ix : Fin l.length), l.get ix = l'.get (f ix)
-- Mathlib/Data/List/NodupEquivFin.lean
α : Type u_1
l l' : List α
\u22a2 (∃ f, ∀ (ix : ℕ), l.get? ix = l'.get? (f ix)) ↔ ∃ f, ∀ (ix : Fin l.length), l.get ix = l'.get (f ix)
-- Mathlib/Data/Set/Subsingleton.lean
α : Type u
a : α
s✝ t s : Set α
\u22a2 s.Subsingleton ∨ s.Nontrivial
-- Mathlib/GroupTheory/SchurZassenhaus.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
inst✝² : H.IsCommutative
inst✝¹ : H.FiniteIndex
α✝¹ β✝¹ : ↑(leftTransversals ↑H)
inst✝ : H.Normal
hH : (Nat.card ↥H).Coprime H.index
α✝ β✝ : H.QuotientDiff
β α : ↑(leftTransversals ↑H)
\u22a2 diff (MonoidHom.id ↥H) β α * ((powCoprime hH).symm (diff (MonoidHom.id ↥H) β α))⁻¹ ^ H.index = 1
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.55275, u_1} C
inst✝⁴ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.Exact
inst✝³ : Epi S.g
i : ι
inst✝² : S.X₁.HasHomology i
inst✝¹ : S.X₂.HasHomology i
inst✝ : S.X₃.HasHomology i
\u22a2 opcyclesMap S.f i ≫ opcyclesMap S.g i = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.Exact
inst✝³ : Epi S.g
i : ι
inst✝² : S.X₁.HasHomology i
inst✝¹ : S.X₂.HasHomology i
inst✝ : S.X₃.HasHomology i
this : Epi (S.map (eval C c i)).g
\u22a2 (ShortComplex.mk (opcyclesMap S.f i) (opcyclesMap S.g i) ⋯).Exact
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.Exact
inst✝³ : Epi S.g
i : ι
inst✝² : S.X₁.HasHomology i
inst✝¹ : S.X₂.HasHomology i
inst✝ : S.X₃.HasHomology i
this : Epi (S.map (eval C c i)).g
hj : IsColimit (CokernelCofork.ofπ (S.map (eval C c i)).g ⋯)
\u22a2 (ShortComplex.mk (opcyclesMap S.f i) (opcyclesMap S.g i) ⋯).Exact
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.Exact
inst✝³ : Epi S.g
i : ι
inst✝² : S.X₁.HasHomology i
inst✝¹ : S.X₂.HasHomology i
inst✝ : S.X₃.HasHomology i
this : Epi (S.map (eval C c i)).g
hj : IsColimit (CokernelCofork.ofπ (S.map (eval C c i)).g ⋯)
\u22a2 IsColimit (CokernelCofork.ofπ (ShortComplex.mk (opcyclesMap S.f i) (opcyclesMap S.g i) ⋯).g ⋯)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/RCLike.lean
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
s : Set E
x : E
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x s)
hs : Convex ℝ s
K : ℝ≥0
hK : ‖p x 1‖₊ < K
f' : E → E →L[ℝ] F := fun y => (continuousMultilinearCurryFin1 ℝ E F) (p y 1)
\u22a2 ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/RCLike.lean
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
s : Set E
x : E
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x s)
hs : Convex ℝ s
K : ℝ≥0
hK : ‖p x 1‖₊ < K
f' : E → E →L[ℝ] F := fun y => (continuousMultilinearCurryFin1 ℝ E F) (p y 1)
hder : ∀ y ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' y) s y
\u22a2 ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/RCLike.lean
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
s : Set E
x : E
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x s)
hs : Convex ℝ s
K : ℝ≥0
hK : ‖p x 1‖₊ < K
f' : E → E →L[ℝ] F := fun y => (continuousMultilinearCurryFin1 ℝ E F) (p y 1)
hder : ∀ y ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' y) s y
hcont : ContinuousWithinAt f' s x
\u22a2 ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/RCLike.lean
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
s : Set E
x : E
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x s)
hs : Convex ℝ s
K : ℝ≥0
f' : E → E →L[ℝ] F := fun y => (continuousMultilinearCurryFin1 ℝ E F) (p y 1)
hder : ∀ y ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' y) s y
hcont : ContinuousWithinAt f' s x
hK : ‖f' x‖₊ < K
\u22a2 ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
inst✝¹ : NeZero n
inst✝ : Fintype (ZMod n)ˣ
\u22a2 Fintype.card { x // x.val.Coprime n } = φ n
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
m : ℕ
inst✝¹ : NeZero (m + 1)
inst✝ : Fintype (ZMod (m + 1))ˣ
\u22a2 Fintype.card { x // x.val.Coprime (m + 1) } = φ (m + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
m : ℕ
inst✝¹ : NeZero (m + 1)
inst✝ : Fintype (ZMod (m + 1))ˣ
\u22a2 (∑ a : ZMod (m + 1), if a.val.Coprime (m + 1) then 1 else 0) = ∑ i : Fin (m + 1), if (↑i).Coprime (m + 1) then 1 else 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f✝ : α → β
inst✝ : Fintype ι
f : α → ι → ℝ
s : Set α
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
\u22a2 ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
f✝ : α → β
inst✝ : Fintype ι
f : α → ι → ℝ
s : Set α
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
this : ∀ (i : ι), ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn (fun x => f x i) g s
\u22a2 ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn f g s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M
\u22a2 x ∈ map (fst R M M₂) (p.prod q) ↔ x ∈ p
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
\u22a2 vanishingIdeal '' {s | IsClosed s ∧ IsIrreducible s} = {P | P.IsPrime}
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
\u22a2 vanishingIdeal '' {s | IsClosed s ∧ IsIrreducible s} ⊆ vanishingIdeal '' {s | IsIrreducible s}
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
\u22a2 vanishingIdeal '' {s | IsIrreducible s} ⊆ vanishingIdeal '' {s | IsClosed s ∧ IsIrreducible s}
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set (PrimeSpectrum R)
hs : s ∈ {s | IsIrreducible s}
\u22a2 vanishingIdeal s ∈ vanishingIdeal '' {s | IsClosed s ∧ IsIrreducible s}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
u : ℕ → Ω → β
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : AddCommGroup β
hle : τ ≤ π
ω : Ω
\u22a2 (stoppedValue u π - stoppedValue u τ) ω = (∑ i ∈ Finset.Ico (τ ω) (π ω), (u (i + 1) - u i)) ω
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
u : ℕ → Ω → β
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : AddCommGroup β
hle : τ ≤ π
ω : Ω
\u22a2 (stoppedValue u π - stoppedValue u τ) ω = (u (π ω) - u 0 - (u (τ ω) - u 0)) ω
-- Mathlib/Algebra/Homology/SingleHomology.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A B : C
f : A ⟶ B
\u22a2 opcyclesMap ((single C c j).map f) j ≫ (singleObjOpcyclesSelfIso c j B).inv = (singleObjOpcyclesSelfIso c j A).inv ≫ f
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
f : ℤ → ℤ := fun m => ⌊fract (ξ * ↑m) * (↑n + 1)⌋
\u22a2 ∃ j k, 0 < k ∧ k ≤ ↑n ∧ |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
f : ℤ → ℤ := fun m => ⌊fract (ξ * ↑m) * (↑n + 1)⌋
hn : 0 < ↑n + 1
\u22a2 ∃ j k, 0 < k ∧ k ≤ ↑n ∧ |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
f : ℤ → ℤ := fun m => ⌊fract (ξ * ↑m) * (↑n + 1)⌋
hn : 0 < ↑n + 1
hfu : ∀ (m : ℤ), fract (ξ * ↑m) * (↑n + 1) < ↑n + 1
\u22a2 ∃ j k, 0 < k ∧ k ≤ ↑n ∧ |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
f : ℤ → ℤ := fun m => ⌊fract (ξ * ↑m) * (↑n + 1)⌋
hn : 0 < ↑n + 1
hfu : ∀ (m : ℤ), fract (ξ * ↑m) * (↑n + 1) < ↑n + 1
\u22a2 ∃ j k, 0 < k ∧ k ≤ ↑n ∧ |(ξ * ↑k - ↑j) * (↑n + 1)| ≤ 1
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Polynomial.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : TopologicalSpace R
inst✝⁵ : TopologicalSemiring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : ContinuousStar R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : Algebra R A
s : Set R
φ ψ : C(↑s, R) →⋆ₐ[R] A
h : φ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X) = ψ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X)
\u22a2 (polynomialFunctions s).starClosure ≤ StarAlgHom.equalizer φ ψ
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Polynomial.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : TopologicalSpace R
inst✝⁵ : TopologicalSemiring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : ContinuousStar R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : Algebra R A
s : Set R
φ ψ : C(↑s, R) →⋆ₐ[R] A
h : φ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X) = ψ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X)
\u22a2 adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X} ≤ StarAlgHom.equalizer φ ψ
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n✝ : ℕ
c : Composition n✝
n : ℕ
i : Fin (ones n).length
\u22a2 (ones n).blocksFun i = 1
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
h : Set.EqOn f g ↑s
a✝ : β
\u22a2 a✝ ∈ image f s ↔ a✝ ∈ image g s
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
h : Set.EqOn f g ↑s
a✝ : β
\u22a2 (∃ x, ∃ (_ : x ∈ s), f x = a✝) ↔ ∃ x, ∃ (_ : x ∈ s), g x = a✝
-- Mathlib/Topology/Algebra/ConstMulAction.lean
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G₀ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : GroupWithZero G₀
inst✝⁷ : MulAction G₀ α
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul G₀ α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
c✝ : G₀
s✝ : Set β
E : Type u_5
inst✝⁴ : Zero E
inst✝³ : MulActionWithZero G₀ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : T1Space E
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ E
c : G₀
s : Set E
\u22a2 closure (c • s) = c • closure s
-- Mathlib/Topology/Algebra/ConstMulAction.lean
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G₀ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : GroupWithZero G₀
inst✝⁷ : MulAction G₀ α
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul G₀ α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
c : G₀
s✝ : Set β
E : Type u_5
inst✝⁴ : Zero E
inst✝³ : MulActionWithZero G₀ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : T1Space E
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ E
s : Set E
\u22a2 closure (0 • s) = 0 • closure s
-- Mathlib/Topology/Algebra/ConstMulAction.lean
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G₀ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : GroupWithZero G₀
inst✝⁷ : MulAction G₀ α
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul G₀ α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
c✝ : G₀
s✝ : Set β
E : Type u_5
inst✝⁴ : Zero E
inst✝³ : MulActionWithZero G₀ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : T1Space E
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ E
c : G₀
s : Set E
hc : c ≠ 0
\u22a2 closure (c • s) = c • closure s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : Finset ι
t : ι → Set α
h : ∀ i ∈ s, NullMeasurableSet (t i) μ
H : (↑s).Pairwise (AEDisjoint μ on t)
\u22a2 ∑ i ∈ s, μ (t i) ≤ μ univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : Finset ι
t : ι → Set α
h : ∀ i ∈ s, NullMeasurableSet (t i) μ
H : (↑s).Pairwise (AEDisjoint μ on t)
\u22a2 μ (⋃ b ∈ s, t b) ≤ μ univ
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e : S
he : e ∈ f.range
he' : IsIdempotentElem e
\u22a2 ∃ e', IsIdempotentElem e' ∧ f e' = e
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℕ
a : ℤ√↑d
\u22a2 ∃ n, a ≤ ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℕ
a : ℤ√↑d
x y : ℕ
h : a ≤ { re := ↑x, im := ↑y }
\u22a2 ∃ n, a ≤ ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℕ
a : ℤ√↑d
x y : ℕ
h : a ≤ { re := ↑x, im := ↑(y + 1) }
\u22a2 { re := ↑x + ↑d * ↑(y + 1) - ↑x, im := 0 - ↑(y + 1) }.Nonneg
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℕ
a : ℤ√↑d
x y : ℕ
h✝ : a ≤ { re := ↑x, im := ↑(y + 1) }
h : ∀ (y : ℕ), SqLe y d (d * y) 1
\u22a2 { re := ↑x + ↑d * ↑(y + 1) - ↑x, im := 0 - ↑(y + 1) }.Nonneg