ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
P : α → Prop
a : α
h0 : P 0
h1 : ∀ {x : α}, IsUnit x → P x
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → P (p ^ i)
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → P x → P y → P (x * y)
this✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α
P_of_associated : ∀ {x y : α}, x ~ᵤ y → P x → P y
ha0 : ¬a = 0
this✝ : Nontrivial α
this : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid
\u22a2 ∀ p ∈ normalizedFactors a, ∀ q ∈ normalizedFactors a, p ∣ q → p = q
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
p n : ℕ
hp : Prime p
h : ¬p ∣ n
\u22a2 φ (p * n) = (p - 1) * φ n
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
p n : ℕ
hp : Prime p
h : ¬p ∣ n
\u22a2 p.Coprime n
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
g : β → α
x : β
h : LeftInverse f g
hf : ContinuousWithinAt f (range g) (g x)
hg : ContinuousAt g x
\u22a2 map g (𝓝 x) = 𝓝[range g] g x
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t : Set α
ι : Sort w
s : ι → Set α
x : Set α
\u22a2 x ∈ ⨆ x, 𝓟 (s x) ↔ x ∈ 𝓟 (⋃ i, s i)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : G.Subgraph
v : V
inst✝ : Fintype ↑(G'.neighborSet v)
\u22a2 G'.degree v = 1 ↔ ∃! w, G'.Adj v w
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : G.Subgraph
v : V
inst✝ : Fintype ↑(G'.neighborSet v)
\u22a2 (∃! a, a ∈ (G'.neighborSet v).toFinset) ↔ ∃! w, G'.Adj v w
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
a : F.A
x : F.B a → F.M
i : F.B (M.mk ⟨a, x⟩).head
\u22a2 F.B (M.mk ⟨a, x⟩).head = F.B a
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
a : F.A
x : F.B a → F.M
i : F.B (M.mk ⟨a, x⟩).head
\u22a2 (M.mk ⟨a, x⟩).children i = x (cast ⋯ i)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
a : F.A
x : F.B a → F.M
i : F.B (M.mk ⟨a, x⟩).head
\u22a2 ∀ (i_1 : ℕ), ((M.mk ⟨a, x⟩).children i).approx i_1 = (x (cast ⋯ i)).approx i_1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
inst✝² : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝ : Fintype ι
\u22a2 𝓤 (PiLp p β) = 𝓤 ((i : ι) → β i)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
inst✝² : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝ : Fintype ι
A : UniformInducing ⇑(WithLp.equiv p ((i : ι) → β i))
\u22a2 𝓤 (PiLp p β) = 𝓤 ((i : ι) → β i)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
inst✝² : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝ : Fintype ι
A : UniformInducing ⇑(WithLp.equiv p ((i : ι) → β i))
this : (fun x => ((WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)) x.1, (WithLp.equiv p ((i : ι) → β i)) x.2)) = id
\u22a2 𝓤 (PiLp p β) = 𝓤 ((i : ι) → β i)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Circle.lean
x y : ℝ
\u22a2 expMapCircle x = expMapCircle y ↔ ∃ m, x = y + ↑m * (2 * π)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Circle.lean
x y : ℝ
\u22a2 (∃ n, ↑x * I = ↑y * I + ↑n * (2 * ↑π * I)) ↔ ∃ m, x = y + ↑m * (2 * π)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Circle.lean
x y : ℝ
n : ℤ
\u22a2 ↑x * I = ↑y * I + ↑n * (2 * ↑π * I) ↔ x = y + ↑n * (2 * π)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Circle.lean
x y : ℝ
n : ℤ
\u22a2 ↑x = ↑y + ↑n * (2 * ↑π) ↔ x = y + ↑n * (2 * π)
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Order.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
f✝ g✝ : Π₀ (i : ι), α i
s : Finset ι
f g : Π₀ (i : ι), α i
h : f ≤ g
a : ι
ha : a ∈ f.support
\u22a2 a ∈ g.support
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Order.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
f✝ g✝ : Π₀ (i : ι), α i
s : Finset ι
f g : Π₀ (i : ι), α i
h : f ≤ g
a : ι
ha : 0 < f a
\u22a2 0 < g a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
n m : ℕ
z : ℂ
\u22a2 ↑n ^ (↑m * z) = (↑n ^ m) ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
n m : ℕ
z : ℂ
\u22a2 -π < ↑m * (↑n).arg
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
n m : ℕ
z : ℂ
\u22a2 ↑m * (↑n).arg ≤ π
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g : α → α
hco : Function.Commute f g
hf : IsPeriodicPt f n x
hg : IsPeriodicPt g n x
\u22a2 IsPeriodicPt (f ∘ g) n x
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g : α → α
hco : Function.Commute f g
hf : IsPeriodicPt f n x
hg : IsPeriodicPt g n x
\u22a2 IsFixedPt (f^[n] ∘ g^[n]) x
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ i₂' : I₂
h : c₂.Rel i₂ i₂'
i₁₂ : I₁₂
\u22a2 K.d₂ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.X i₁).d i₂ i₂' ≫ K.toGradedObject.ιMapObjOrZero (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, i₂') i₁₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
h : c₂.Rel i₂ (c₂.next i₂)
\u22a2 K.d₂ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.X i₁).d i₂ (c₂.next i₂) ≫ K.toGradedObject.ιMapObjOrZero (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, c₂.next i₂) i₁₂
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : Fintype o
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq R
w : m → R
\u22a2 (diagonal w).rank = Fintype.card { i // w i ≠ 0 }
-- Mathlib/Data/TypeVec.lean
n : ℕ
α β : TypeVec.{u_1} n
i : Fin2 n
x : (α ⊗ β) i
\u22a2 (id ⊗' id) i x = id i x
-- Mathlib/Data/TypeVec.lean
n n✝ : ℕ
α β : TypeVec.{u_1} (n✝ + 1)
x : (α ⊗ β) Fin2.fz
\u22a2 (id Fin2.fz x.1, id Fin2.fz x.2) = id Fin2.fz x
-- Mathlib/Data/TypeVec.lean
n n✝ : ℕ
a✝ : Fin2 n✝
a_ih✝ : ∀ {α β : TypeVec.{u_1} n✝} (x : (α ⊗ β) a✝), (id ⊗' id) a✝ x = id a✝ x
α β : TypeVec.{u_1} (n✝ + 1)
x : (α ⊗ β) a✝.fs
\u22a2 id a✝ x = id a✝.fs x
-- Mathlib/Order/Hom/Lattice.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁵ : Lattice α
inst✝⁴ : BoundedOrder α
inst✝³ : Lattice β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : BoundedLatticeHomClass F α β
f : F
a b : α
h : Codisjoint a b
\u22a2 Codisjoint (f a) (f b)
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.101182, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
X : C
f : X ⟶ F.left
j : ℕ
hj : j + 1 < n + 1 + 1
\u22a2 1 ≤ ⟨j + 1, hj⟩
-- Mathlib/Data/String/Basic.lean
s : List Char
h : { data := s } ≠ ""
\u22a2 { data := s }.toList = { data := s }.head :: ({ data := s }.drop 1).toList
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ
\u22a2 x - 1 ∣ x ^ n - 1
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ
\u22a2 x - 1 ∣ x ^ n - 1 ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
f : R' →+* R''
a✝ : Rˣ
\u22a2 (ringHomComp 1 f) ↑a✝ = 1 ↑a✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Diagonal.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq K
w : m → K
\u22a2 (toLin' (Matrix.diagonal w)).rank = ↑(Fintype.card { i // w i ≠ 0 })
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Diagonal.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq K
w : m → K
hu : univ ⊆ {i | w i = 0}ᶜ ∪ {i | w i = 0}
\u22a2 (toLin' (Matrix.diagonal w)).rank = ↑(Fintype.card { i // w i ≠ 0 })
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Diagonal.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq K
w : m → K
hu : univ ⊆ {i | w i = 0}ᶜ ∪ {i | w i = 0}
hd : Disjoint {i | w i ≠ 0} {i | w i = 0}
\u22a2 (toLin' (Matrix.diagonal w)).rank = ↑(Fintype.card { i // w i ≠ 0 })
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Diagonal.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq K
w : m → K
hu : univ ⊆ {i | w i = 0}ᶜ ∪ {i | w i = 0}
hd : Disjoint {i | w i ≠ 0} {i | w i = 0}
B₁ : ⨆ i ∈ {i | w i ≠ 0}, range (stdBasis K (fun x => K) i) = ⨅ i ∈ {i | w i = 0}, ker (proj i)
\u22a2 (toLin' (Matrix.diagonal w)).rank = ↑(Fintype.card { i // w i ≠ 0 })
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Diagonal.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq K
w : m → K
hu : univ ⊆ {i | w i = 0}ᶜ ∪ {i | w i = 0}
hd : Disjoint {i | w i ≠ 0} {i | w i = 0}
B₁ : ⨆ i ∈ {i | w i ≠ 0}, range (stdBasis K (fun x => K) i) = ⨅ i ∈ {i | w i = 0}, ker (proj i)
B₂ : ↥(⨅ i ∈ {i | w i = 0}, ker (proj i)) ≃ₗ[K] (i : ↑{i | w i ≠ 0}) → (fun x => K) ↑i
\u22a2 (toLin' (Matrix.diagonal w)).rank = ↑(Fintype.card { i // w i ≠ 0 })
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Diagonal.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq K
w : m → K
hu : univ ⊆ {i | w i = 0}ᶜ ∪ {i | w i = 0}
hd : Disjoint {i | w i ≠ 0} {i | w i = 0}
B₁ : ⨆ i ∈ {i | w i ≠ 0}, range (stdBasis K (fun x => K) i) = ⨅ i ∈ {i | w i = 0}, ker (proj i)
B₂ : ↥(⨅ i ∈ {i | w i = 0}, ker (proj i)) ≃ₗ[K] (i : ↑{i | w i ≠ 0}) → (fun x => K) ↑i
\u22a2 Module.rank K ↥(⨅ i ∈ {i | w i = 0}, ker (proj i)) = Module.rank K ({ i // w i ≠ 0 } → K)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Diagonal.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq K
w : m → K
hu : univ ⊆ {i | w i = 0}ᶜ ∪ {i | w i = 0}
hd : Disjoint {i | w i ≠ 0} {i | w i = 0}
B₁ : ⨆ i ∈ {i | w i ≠ 0}, range (stdBasis K (fun x => K) i) = ⨅ i ∈ {i | w i = 0}, ker (proj i)
B₂ : ↥(⨅ i ∈ {i | w i = 0}, ker (proj i)) ≃ₗ[K] (i : ↑{i | w i ≠ 0}) → (fun x => K) ↑i
\u22a2 ↥(⨅ i ∈ {i | w i = 0}, ker (proj i)) ≃ₗ[K] { i // w i ≠ 0 } → K
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
s : Set E
x✝ y✝ : E
a✝⁶ b✝ : 𝕜
x : E
a✝⁵ : x ∈ univ
y : E
a✝⁴ : y ∈ univ
a✝³ : x ≠ y
a b : 𝕜
a✝² : 0 < a
a✝¹ : 0 < b
a✝ : a + b = 1
\u22a2 a • x + b • y ∈ interior univ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
s : Set E
x✝ y✝ : E
a✝⁶ b✝ : 𝕜
x : E
a✝⁵ : x ∈ univ
y : E
a✝⁴ : y ∈ univ
a✝³ : x ≠ y
a b : 𝕜
a✝² : 0 < a
a✝¹ : 0 < b
a✝ : a + b = 1
\u22a2 a • x + b • y ∈ univ
-- Mathlib/Algebra/Lie/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieAlgebra K L
L' : Type u_5
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : IsKilling R L
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
x' : L'
\u22a2 x' ∈ LieIdeal.killingCompl R L' ⊤ ↔ x' ∈ ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieAlgebra K L
L' : Type u_5
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : IsKilling R L
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
x' : L'
\u22a2 (∀ y ∈ ⊤, ((LieModule.traceForm R L' L') x') y = 0) ↔ x' ∈ ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieAlgebra K L
L' : Type u_5
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : IsKilling R L
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
x' : L'
hx' : ∀ y ∈ ⊤, ((LieModule.traceForm R L' L') x') y = 0
\u22a2 x' ∈ ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieAlgebra K L
L' : Type u_5
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : IsKilling R L
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
x' : L'
hx' : ∀ y ∈ ⊤, ((LieModule.traceForm R L' L') x') y = 0
\u22a2 e.symm x' ∈ LinearMap.ker (killingForm R L)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : LieAlgebra K L
L' : Type u_5
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : IsKilling R L
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
x' : L'
y : L
hx' : ((killingForm R L') x') (e y) = 0
\u22a2 ((killingForm R L) (e.symm x')) y = 0 y
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
d : DynkinSystem α
β : Type u_2
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
h : ∀ (i : β), d.Has (f i)
\u22a2 d.Has (⋃ i, f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
d : DynkinSystem α
β : Type u_2
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
h : ∀ (i : β), d.Has (f i)
val✝ : Encodable β
\u22a2 d.Has (⋃ i, f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
d : DynkinSystem α
β : Type u_2
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
h : ∀ (i : β), d.Has (f i)
val✝ : Encodable β
\u22a2 d.Has (⋃ i, ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
\u22a2 l.formPerm.toList (l.get ⟨0, ⋯⟩) = l
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
hc : l.formPerm.IsCycle
\u22a2 l.formPerm.toList (l.get ⟨0, ⋯⟩) = l
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
hc : l.formPerm.IsCycle
hs : l.formPerm.support = l.toFinset
\u22a2 l.formPerm.toList (l.get ⟨0, ⋯⟩) = l
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
hc : l.formPerm.IsCycle
hs : l.formPerm.support = l.toFinset
\u22a2 map (fun k => (l.formPerm ^ k) (l.get ⟨0, ⋯⟩)) (range l.length) = l
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
l : List α
hl : 2 ≤ l.length
hn : l.Nodup
hc : l.formPerm.IsCycle
hs : l.formPerm.support = l.toFinset
\u22a2 l.get ⟨0, ⋯⟩ ∈ l.formPerm.support
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : X.Opens
\u22a2 f.val.c.app (op ((PresheafedSpace.IsOpenImmersion.opensFunctor f.val).obj U)) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) = f.app (f ''ᵁ U) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R₁
inst✝⁶ : CommSemiring R₂
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R₁ A
inst✝³ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝² : CommRing S
R' : Type u_5
S' : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : CommRing S'
f : R →+* S
f' : R' →+* S'
g : R →+* R'
g' : S →+* S'
hfg : f'.comp g = g'.comp f
I : Ideal S'
\u22a2 let leq := ⋯; (quotientMap I g' ⋯).comp (quotientMap (comap g' I) f ⋯) = (quotientMap I f' ⋯).comp (quotientMap (comap f' I) g leq)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R₁
inst✝⁶ : CommSemiring R₂
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R₁ A
inst✝³ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝² : CommRing S
R' : Type u_5
S' : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : CommRing S'
f : R →+* S
f' : R' →+* S'
g : R →+* R'
g' : S →+* S'
hfg : f'.comp g = g'.comp f
I : Ideal S'
a : R ⧸ comap f (comap g' I)
\u22a2 ((quotientMap I g' ⋯).comp (quotientMap (comap g' I) f ⋯)) a = ((quotientMap I f' ⋯).comp (quotientMap (comap f' I) g ⋯)) a
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R₁
inst✝⁶ : CommSemiring R₂
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R₁ A
inst✝³ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝² : CommRing S
R' : Type u_5
S' : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : CommRing S'
f : R →+* S
f' : R' →+* S'
g : R →+* R'
g' : S →+* S'
hfg : f'.comp g = g'.comp f
I : Ideal S'
r : R
\u22a2 ((quotientMap I g' ⋯).comp (quotientMap (comap g' I) f ⋯)) ((Quotient.mk (comap f (comap g' I))) r) = ((quotientMap I f' ⋯).comp (quotientMap (comap f' I) g ⋯)) ((Quotient.mk (comap f (comap g' I))) r)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R₁
inst✝⁶ : CommSemiring R₂
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R₁ A
inst✝³ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝² : CommRing S
R' : Type u_5
S' : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : CommRing S'
f : R →+* S
f' : R' →+* S'
g : R →+* R'
g' : S →+* S'
hfg : f'.comp g = g'.comp f
I : Ideal S'
r : R
\u22a2 (Quotient.mk I) (g' (f r)) = (Quotient.mk I) (f' (g r))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hle : f ≤ᶠ[ae μ] g
hg : AEMeasurable g μ
ε : ℝ≥0∞
\u22a2 ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ε * μ {x | f x + ε ≤ g x} ≤ ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hle : f ≤ᶠ[ae μ] g
hg : AEMeasurable g μ
ε : ℝ≥0∞
φ : α → ℝ≥0∞
hφm : Measurable φ
hφ_le : φ ≤ f
hφ_eq : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), φ a ∂μ
\u22a2 ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ε * μ {x | f x + ε ≤ g x} ≤ ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hle : f ≤ᶠ[ae μ] g
hg : AEMeasurable g μ
ε : ℝ≥0∞
φ : α → ℝ≥0∞
hφm : Measurable φ
hφ_le : φ ≤ f
hφ_eq : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), φ a ∂μ
x : α
hx₁ : f x ≤ g x
\u22a2 φ x + {x | φ x + ε ≤ g x}.indicator (fun x => ε) x ≤ g x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hle : f ≤ᶠ[ae μ] g
hg : AEMeasurable g μ
ε : ℝ≥0∞
φ : α → ℝ≥0∞
hφm : Measurable φ
hφ_le : φ ≤ f
hφ_eq : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), φ a ∂μ
x : α
hx₁ : f x ≤ g x
\u22a2 (φ x + if x ∈ {x | φ x + ε ≤ g x} then ε else 0) ≤ g x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hle : f ≤ᶠ[ae μ] g
hg : AEMeasurable g μ
ε : ℝ≥0∞
φ : α → ℝ≥0∞
hφm : Measurable φ
hφ_le : φ ≤ f
hφ_eq : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), φ a ∂μ
x : α
hx₁ : f x ≤ g x
hx₂ : x ∈ {x | φ x + ε ≤ g x}
\u22a2 φ x + ε ≤ g x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hle : f ≤ᶠ[ae μ] g
hg : AEMeasurable g μ
ε : ℝ≥0∞
φ : α → ℝ≥0∞
hφm : Measurable φ
hφ_le : φ ≤ f
hφ_eq : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), φ a ∂μ
x : α
hx₁ : f x ≤ g x
hx₂ : x ∉ {x | φ x + ε ≤ g x}
\u22a2 φ x + 0 ≤ g x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
\u22a2 |sin x - (x - x ^ 3 / 6)| = Complex.abs (Complex.sin ↑x - ↑(x - x ^ 3 / 6))
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
\u22a2 Complex.abs ↑(sin x - (x - x ^ 3 / 6)) = Complex.abs (Complex.sin ↑x - ↑(x - x ^ 3 / 6))
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
\u22a2 Complex.abs (Complex.sin ↑x - ↑(x - x ^ 3 / 6)) = Complex.abs (((cexp (-↑x * I) - cexp (↑x * I)) * I - ↑(2 * x - x ^ 3 / 3)) / 2)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
\u22a2 (cexp (-↑x * I) - cexp (↑x * I)) * I - ↑(2 * x - x ^ 3 / 3) = (cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial - (cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial)) * I
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
\u22a2 (cexp (-(↑x * I)) - cexp (↑x * I)) * I - (2 * ↑x - ↑1 * ↑x * ↑x * ↑x / 3) = (cexp (-(↑x * I)) - (1 / (↑0 + 1) + -(1 * (↑x * I)) / (↑0 + 1) + 1 * (↑x * I) * (↑x * I) / (↑0 + 1 + 1) + -(1 * (↑x * I) * (↑x * I) * (↑x * I)) / (↑0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)) - (cexp (↑x * I) - (1 / (↑0 + 1) + 1 * (↑x * I) / (↑0 + 1) + 1 * (↑x * I) * (↑x * I) / (↑0 + 1 + 1) + 1 * (↑x * I) * (↑x * I) * (↑x * I) / (↑0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)))) * I
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
\u22a2 sin x - (cexp (-(↑x * I))).im - (2 * x - x * x * x * 3⁻¹) = sin x - (x + -(x * x * x * ((1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) * ((1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)⁻¹ * (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)⁻¹)))) - ((cexp (-(↑x * I))).im - (-x + x * x * x * ((1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) * ((1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)⁻¹ * (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)⁻¹))))
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
\u22a2 Complex.abs ((cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial - (cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial)) * I / 2) ≤ Complex.abs ((cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) * I / 2) + Complex.abs (-((cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) * I) / 2)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
\u22a2 Complex.abs ((cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) * I / 2 + -((cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) * I) / 2) ≤ Complex.abs ((cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) * I / 2) + Complex.abs (-((cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) * I) / 2)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
\u22a2 Complex.abs ((cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) * I / 2) + Complex.abs (-((cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) * I) / 2) = Complex.abs (cexp (↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2 + Complex.abs (cexp (-↑x * I) - ∑ m ∈ range 4, (-↑x * I) ^ m / ↑m.factorial) / 2
-- Mathlib/Logic/Embedding/Set.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
s t r : Set α
h : Disjoint s t
a : α
ha : a ∈ t
b : α
hb : b ∈ t
\u22a2 Sum.elim Subtype.val Subtype.val (Sum.inr ⟨a, ha⟩) = Sum.elim Subtype.val Subtype.val (Sum.inr ⟨b, hb⟩) → Sum.inr ⟨a, ha⟩ = Sum.inr ⟨b, hb⟩
-- Mathlib/Computability/DFA.lean
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
α' : Type u_1
σ' : Type u_2
g : σ ≃ σ'
x : List α
\u22a2 x ∈ ((reindex g) M).accepts ↔ x ∈ M.accepts