ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
x✝¹ x✝ : R
\u22a2 (algebraMap R S) x✝¹ = (algebraMap R S) x✝ → ∃ c, ↑c * x✝¹ = ↑c * x✝
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
x✝¹ x✝ : R
\u22a2 (∃ c, ↑c * x✝¹ = ↑c * x✝) → ∃ c, ↑c * x✝¹ = ↑c * x✝
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x✝ : P
\u22a2 x✝ ∈ spanSingleton S 0 ↔ x✝ ∈ 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
l₁ l₂ l : List α
d : l.Nodup
s₁ : l₁ <+ l
s₂ : l₂ <+ l
h : l₁ ~ l₂
\u22a2 l₁ = l₂
-- Mathlib/Data/Set/Sigma.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x : (i : ι) × α i
i✝ j : ι
a : α i✝
i : ι
\u22a2 range (Sigma.mk i) = Sigma.fst ⁻¹' {i}
-- Mathlib/Data/Set/Sigma.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x : (i : ι) × α i
i✝ j : ι
a : α i✝
i : ι
\u22a2 range (Sigma.mk i) ⊆ Sigma.fst ⁻¹' {i}
-- Mathlib/Data/Set/Sigma.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x : (i : ι) × α i
i✝ j : ι
a : α i✝
i : ι
\u22a2 Sigma.fst ⁻¹' {i} ⊆ range (Sigma.mk i)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
a b : Rat
\u22a2 a * b = b * a
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Fin.lean
n : ℕ
a b : Fin n
\u22a2 (uIcc a b).card = (↑↑b - ↑↑a).natAbs + 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/ComplexDeriv.lean
x : ℂ
\u22a2 ContinuousAt tan x ↔ cos x ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/ComplexDeriv.lean
x : ℂ
hc : ContinuousAt tan x
h₀ : cos x = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
d : ℝ
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + x) = ∫ (x : ℝ) in d + a..d + b, f x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n✝ m n : ℕ
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ (2 * m) * cos x ^ (2 * n) = ∫ (x : ℝ) in a..b, ((1 - cos (2 * x)) / 2) ^ m * ((1 + cos (2 * x)) / 2) ^ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEMeasurableSequence.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
i : ι
\u22a2 aeSeq hf p i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp3 : p % 4 = 3
hpi : ¬Irreducible ↑p
a b : ℕ
hab : a ^ 2 + b ^ 2 = p
\u22a2 ∀ (a b : ZMod 4), a ^ 2 + b ^ 2 ≠ ↑p
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp3 : p % 4 = 3
hpi : ¬Irreducible ↑p
a b : ℕ
hab : a ^ 2 + b ^ 2 = p
\u22a2 ∀ (a b : ZMod 4), a ^ 2 + b ^ 2 ≠ ↑3
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Integral.lean
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ✝ : Measure G
f✝ : G → E
g : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableInv G
f : G → E
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsInvInvariant
\u22a2 ∫ (x : G), f x⁻¹ ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Integral.lean
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ✝ : Measure G
f✝ : G → E
g : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableInv G
f : G → E
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsInvInvariant
h : MeasurableEmbedding fun x => x⁻¹
\u22a2 ∫ (x : G), f x⁻¹ ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Primcodable β
inst✝³ : Primcodable γ
inst✝² : Primcodable δ
inst✝¹ : Primcodable σ
inst✝ : DecidableEq α
a : ℕ × ℕ
\u22a2 (fun x x_1 => x ≤ x_1) a.1 a.2 ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) a.2 a.1 ↔ (fun a b => a = b) a.1 a.2
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddAbove s
\u22a2 IsClosed ↑(lowerClosure s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddAbove s
val✝ : Fintype ι
\u22a2 IsClosed ↑(lowerClosure s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddAbove s
val✝ : Fintype ι
f : ℕ → ι → ℝ
x : ι → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ ↑(lowerClosure s)
hx : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds x)
\u22a2 x ∈ ↑(lowerClosure s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddAbove s
val✝ : Fintype ι
f : ℕ → ι → ℝ
x : ι → ℝ
hx : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds x)
g : ℕ → ι → ℝ
hg : ∀ (n : ℕ), g n ∈ s
hfg : ∀ (n : ℕ), f n ≤ g n
this : BoundedGENhdsClass ℝ
\u22a2 x ∈ ↑(lowerClosure s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddAbove s
val✝ : Fintype ι
f : ℕ → ι → ℝ
x : ι → ℝ
hx : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds x)
g : ℕ → ι → ℝ
hg : ∀ (n : ℕ), g n ∈ s
hfg : ∀ (n : ℕ), f n ≤ g n
this : BoundedGENhdsClass ℝ
a : ι → ℝ
ha : a ∈ lowerBounds (range f)
\u22a2 x ∈ ↑(lowerClosure s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddAbove s
val✝ : Fintype ι
f : ℕ → ι → ℝ
x : ι → ℝ
hx : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds x)
g : ℕ → ι → ℝ
hg : ∀ (n : ℕ), g n ∈ s
hfg : ∀ (n : ℕ), f n ≤ g n
this : BoundedGENhdsClass ℝ
a : ι → ℝ
ha : a ∈ lowerBounds (range f)
b : ι → ℝ
hb : b ∈ closure (s ∩ Ici a)
φ : ℕ → ℕ
hφ : StrictMono φ
hbf : Filter.Tendsto (g ∘ φ) Filter.atTop (nhds b)
\u22a2 x ∈ ↑(lowerClosure s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁹ : MeasurableSpace M
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : Monoid M
inst✝⁶ : MulAction M β
inst✝⁵ : MeasurableSMul M β
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
f : α → β
μ : Measure α
G : Type u_5
inst✝³ : Group G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MulAction G β
inst✝ : MeasurableSMul G β
c : G
h : AEMeasurable (fun x => c • f x) μ
\u22a2 AEMeasurable f μ
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Membership.lean
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S T : Subsemigroup M
\u22a2 ∀ {x : M}, x ∈ S → x ∈ S ⊔ T
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Membership.lean
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S T : Subsemigroup M
this : S ≤ S ⊔ T
\u22a2 ∀ {x : M}, x ∈ S → x ∈ S ⊔ T
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν✝ : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
a : α
\u22a2 Measurable ((fun p => κ.density ν p.1 p.2 s) ∘ fun x => (a, x))
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p : R
ψ θ : R ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
z : ℤ
hz : z ≠ 0
\u22a2 z • ψ = z • θ ↔ ∃ k, ψ = θ + ↑(↑k • (p / ↑z))
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p : R
θ : R ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
z : ℤ
hz : z ≠ 0
a✝ : R
\u22a2 z • Quotient.mk'' a✝ = z • θ ↔ ∃ k, Quotient.mk'' a✝ = θ + ↑(↑k • (p / ↑z))
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0
a✝¹ a✝ : R
\u22a2 z • Quotient.mk'' a✝¹ = z • Quotient.mk'' a✝ ↔ ∃ k, Quotient.mk'' a✝¹ = Quotient.mk'' a✝ + ↑(↑k • (p / ↑z))
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0
a✝¹ a✝ : R
Zp : AddSubgroup R := AddSubgroup.zmultiples p
this : Quotient.mk'' = mk
\u22a2 z • ↑a✝¹ = z • ↑a✝ ↔ ∃ k, ↑a✝¹ = ↑a✝ + ↑(↑k • (p / ↑z))
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0
a✝¹ a✝ : R
Zp : AddSubgroup R := AddSubgroup.zmultiples p
this : Quotient.mk'' = mk
\u22a2 z • (a✝¹ - a✝) ∈ Zp ↔ ∃ k, a✝¹ - a✝ - ↑k • (p / ↑z) ∈ Zp
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a✝ : α
f✝ g : ι → α
inst✝ : DivisionSemiring α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α
\u22a2 (∑ i ∈ s, f i) / a = ∑ i ∈ s, f i / a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
h : ∀ i ∈ s, (f i).Monic
\u22a2 (∏ i ∈ s, f i).natDegree = ∑ i ∈ s, (f i).natDegree
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
F : Set α
hx : x ∈ F
\u22a2 x ∈ connectedComponentIn F x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h : IsBigOWith c l f₁ f₂
hc : c < 1
x : α
\u22a2 -(-f₂ x - f₁ x) = f₁ x + f₂ x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
\u22a2 ∑ t ∈ s, weightedVSubVSubWeights k i j t = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
\u22a2 ∑ x ∈ s, affineCombinationSingleWeights k i x - ∑ x ∈ s, affineCombinationSingleWeights k j x = 0
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
p : TangentBundle I M
hg : MDifferentiableWithinAt I' I'' g u (f p.proj)
hf : MDifferentiableWithinAt I I' f s p.proj
h : s ⊆ f ⁻¹' u
hps : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
\u22a2 (mfderivWithin I I'' (g ∘ f) s p.proj) p.snd = (mfderivWithin I' I'' g u (f p.proj)) ((mfderivWithin I I' f s p.proj) p.snd)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
p : TangentBundle I M
hg : MDifferentiableWithinAt I' I'' g u (f p.proj)
hf : MDifferentiableWithinAt I I' f s p.proj
h : s ⊆ f ⁻¹' u
hps : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
\u22a2 ((mfderivWithin I' I'' g u (f p.proj)).comp (mfderivWithin I I' f s p.proj)) p.snd = (mfderivWithin I' I'' g u (f p.proj)) ((mfderivWithin I I' f s p.proj) p.snd)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x : E
hs : StrictConvex 𝕜 s
zero_mem : 0 ∈ s
hx : x ∈ s
hx₀ : x ≠ 0
t : 𝕜
ht : 1 < t
\u22a2 x ∈ t • interior s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x : E
hs : StrictConvex 𝕜 s
zero_mem : 0 ∈ s
hx : x ∈ s
hx₀ : x ≠ 0
t : 𝕜
ht : 1 < t
\u22a2 t⁻¹ • x ∈ interior s
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a✝ : α
g f✝ : α → M
a b : ℕ
hab : a ≤ b + 1
f : ℕ → M
\u22a2 ∏ k ∈ Icc a (b + 1), f k = (∏ k ∈ Icc a b, f k) * f (b + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : NumberField k
inst✝ : IsGalois k K
\u22a2 card (InfinitePlace K) = (Finset.filter (IsUnramifiedIn K) Finset.univ).card * finrank k K + (Finset.filter (IsUnramifiedIn K) Finset.univ)ᶜ.card * (finrank k K / 2)
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝³ : SemilatticeInf α
s✝ : Finset β
H : s✝.Nonempty
f✝ : β → α
inst✝² : SemilatticeInf β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : InfHomClass F α β
f : F
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
g : ι → α
\u22a2 f (s.inf' hs g) = s.inf' hs (⇑f ∘ g)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Basic.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasPushouts C
W X Y Z : C
f✝ : X ⟶ Y
g✝ : X ⟶ Z
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
g₁ : X ⟶ W
inst✝¹ : Epi g₁
g₂ : W ⟶ Z
inst✝ : Mono g₂
hg : g₁ ≫ g₂ = g
f' : W ⟶ Y
hf : g₁ ≫ f' = f
t : PushoutCocone f g
ht : IsColimit t
\u22a2 Mono t.inl
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x : S
i : ℕ
hp : 1 ≤ p.natDegree
\u22a2 (normalizeScaleRoots p).coeff i * p.leadingCoeff ^ i = p.coeff i * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1)
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x : S
i : ℕ
hp : 1 ≤ p.natDegree
\u22a2 (if p.coeff i = 0 then 0 else if i = p.natDegree then p.leadingCoeff ^ i else p.coeff i * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1 - i) * p.leadingCoeff ^ i) = p.coeff i * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
\u22a2 n.sqrt ^ 2 ≤ n
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/MStructure.lean
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
\u22a2 Commute P Q
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/MStructure.lean
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
PR_eq_RPR : ∀ (R : M), IsLprojection X R → P * R = R * P * R
\u22a2 Commute P Q
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/MStructure.lean
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
PR_eq_RPR : ∀ (R : M), IsLprojection X R → P * R = R * P * R
QP_eq_QPQ : Q * P = Q * P * Q
\u22a2 Commute P Q
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
h : ∀ (x : ↥U), Function.Bijective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
\u22a2 Function.Surjective ⇑(f.val.app (op U))
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
h : ∀ (x : ↥U), Function.Bijective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))
x : ↥U
\u22a2 ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (op V)) s = (G.val.map iVU.op) t
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
h : ∀ (x : ↥U), Function.Bijective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))
x : ↥U
s₀ : (forget C).obj ((stalkFunctor C ↑x).obj F.val)
hs₀ : ((stalkFunctor C ↑x).map f.val) s₀ = (G.presheaf.germ x) t
\u22a2 ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (op V)) s = (G.val.map iVU.op) t
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
h : ∀ (x : ↥U), Function.Bijective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))
x : ↥U
s₀ : (forget C).obj ((stalkFunctor C ↑x).obj F.val)
hs₀ : ((stalkFunctor C ↑x).map f.val) s₀ = (G.presheaf.germ x) t
V₁ : Opens ↑X
hxV₁ : ↑x ∈ V₁
s₁ : (forget C).obj (F.presheaf.obj (op V₁))
hs₁ : (F.presheaf.germ ⟨↑x, hxV₁⟩) s₁ = s₀
\u22a2 ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (op V)) s = (G.val.map iVU.op) t
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
h : ∀ (x : ↥U), Function.Bijective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))
x : ↥U
V₁ : Opens ↑X
hxV₁ : ↑x ∈ V₁
s₁ : (forget C).obj (F.presheaf.obj (op V₁))
hs₁ : (germ G.val ⟨↑x, hxV₁⟩) ((f.val.app (op V₁)) s₁) = (G.presheaf.germ x) t
\u22a2 ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (op V)) s = (G.val.map iVU.op) t
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
h : ∀ (x : ↥U), Function.Bijective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))
x : ↥U
V₁ : Opens ↑X
hxV₁ : ↑x ∈ V₁
s₁ : (forget C).obj (F.presheaf.obj (op V₁))
hs₁ : (germ G.val ⟨↑x, hxV₁⟩) ((f.val.app (op V₁)) s₁) = (G.presheaf.germ x) t
V₂ : Opens ↑X
hxV₂ : ↑x ∈ V₂
iV₂V₁ : V₂ ⟶ V₁
iV₂U : V₂ ⟶ U
heq : (G.presheaf.map iV₂V₁.op) ((f.val.app (op V₁)) s₁) = (G.presheaf.map iV₂U.op) t
\u22a2 ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (f.val.app (op V)) s = (G.val.map iVU.op) t
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
h : ∀ (x : ↥U), Function.Bijective ⇑((stalkFunctor C ↑x).map f.val)
t : (forget C).obj (G.val.obj (op U))
x : ↥U
V₁ : Opens ↑X
hxV₁ : ↑x ∈ V₁
s₁ : (forget C).obj (F.presheaf.obj (op V₁))
hs₁ : (germ G.val ⟨↑x, hxV₁⟩) ((f.val.app (op V₁)) s₁) = (G.presheaf.germ x) t
V₂ : Opens ↑X
hxV₂ : ↑x ∈ V₂
iV₂V₁ : V₂ ⟶ V₁
iV₂U : V₂ ⟶ U
heq : (G.presheaf.map iV₂V₁.op) ((f.val.app (op V₁)) s₁) = (G.presheaf.map iV₂U.op) t
\u22a2 (f.val.app (op V₂)) ((F.val.map iV₂V₁.op) s₁) = (G.val.map iV₂U.op) t
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp F p μ)
hf_meas : f ∈ lpMeasSubgroup F m p μ
\u22a2 Memℒp (Exists.choose ⋯) p (μ.trim hm)