ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
hx₀ : ¬x₀ = 0
hb : ¬b = 0
c : ℝ := -b⁻¹ * a
\u22a2 T x₀ = T.rayleighQuotient x₀ • x₀
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
hx₀ : ¬x₀ = 0
hb : ¬b = 0
c : ℝ := -b⁻¹ * a
hc : T x₀ = c • x₀
\u22a2 T x₀ = T.rayleighQuotient x₀ • x₀
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
hx₀ : ¬x₀ = 0
hb : ¬b = 0
c : ℝ := -b⁻¹ * a
hc : T x₀ = c • x₀
this✝ : ‖x₀‖ ≠ 0
this : (fun x => ⟪x, x₀⟫_ℝ) (T x₀) = (fun x => ⟪x, x₀⟫_ℝ) (c • x₀)
\u22a2 T.rayleighQuotient x₀ = c
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • x₀ + b • T x₀ = 0
hx₀ : ¬x₀ = 0
hb : ¬b = 0
c : ℝ := -b⁻¹ * a
hc : T x₀ = c • x₀
this✝ : ‖x₀‖ ≠ 0
this : ⟪T x₀, x₀⟫_ℝ = c * (‖x₀‖ * ‖x₀‖)
\u22a2 T.reApplyInnerSelf x₀ = c * (‖x₀‖ * ‖x₀‖)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/ClosedImmersion.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsClosedImmersion g
inst✝ : IsClosedImmersion (f ≫ g)
\u22a2 ClosedEmbedding ⇑f.val.base
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/ClosedImmersion.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsClosedImmersion g
inst✝ : IsClosedImmersion (f ≫ g)
h : ClosedEmbedding ⇑(f ≫ g).val.base
\u22a2 ClosedEmbedding ⇑f.val.base
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/ClosedImmersion.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsClosedImmersion g
inst✝ : IsClosedImmersion (f ≫ g)
h : ClosedEmbedding ⇑(f.val.base ≫ g.val.base)
\u22a2 ClosedEmbedding ⇑f.val.base
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/ClosedImmersion.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsClosedImmersion g
inst✝ : IsClosedImmersion (f ≫ g)
h : ClosedEmbedding ⇑(f.val.base ≫ g.val.base)
\u22a2 Function.Injective ⇑f.val.base
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/ClosedImmersion.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsClosedImmersion g
inst✝ : IsClosedImmersion (f ≫ g)
h : ClosedEmbedding ⇑(f.val.base ≫ g.val.base)
\u22a2 IsClosedMap ⇑f.val.base
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/ClosedImmersion.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsClosedImmersion g
inst✝ : IsClosedImmersion (f ≫ g)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
\u22a2 Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap f x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/ClosedImmersion.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsClosedImmersion g
inst✝ : IsClosedImmersion (f ≫ g)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
h : Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap (f ≫ g) x)
\u22a2 Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap f x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/ClosedImmersion.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsClosedImmersion g
inst✝ : IsClosedImmersion (f ≫ g)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
h : Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap g (f.val.base x) ≫ Scheme.Hom.stalkMap f x)
\u22a2 Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap f x)
-- Mathlib/Order/Filter/Archimedean.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℕ
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
\u22a2 Tendsto (fun x => f x • r) l atTop
-- Mathlib/Order/Filter/Archimedean.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℕ
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
s : R
\u22a2 ∀ᶠ (a : α) in l, s ≤ f a • r
-- Mathlib/Order/Filter/Archimedean.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℕ
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop
s : R
n : ℕ
hn : s ≤ n • r
\u22a2 ∀ᶠ (a : α) in l, s ≤ f a • r
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
s : Set α
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
φst : MapsTo φ t s
\u22a2 eVariationOn (f ∘ φ) t ≤ eVariationOn f s
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
s : Set α
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
φst : MapsTo φ t s
\u22a2 ∀ (i : ℕ × { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }), ∑ i_1 ∈ Finset.range i.1, edist ((f ∘ φ) (↑i.2 (i_1 + 1))) ((f ∘ φ) (↑i.2 i_1)) ≤ eVariationOn f s
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
s : Set α
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
φst : MapsTo φ t s
n : ℕ
u : ℕ → β
hu : Monotone u
ut : ∀ (i : ℕ), u i ∈ t
\u22a2 ∑ i ∈ Finset.range (n, ⟨u, ⋯⟩).1, edist ((f ∘ φ) (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 (i + 1))) ((f ∘ φ) (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 i)) ≤ eVariationOn f s
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
s : Set α
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
φst : MapsTo φ t s
n : ℕ
u : ℕ → β
hu : Monotone u
ut : ∀ (i : ℕ), u i ∈ t
\u22a2 ∑ j ∈ Finset.range (n, ⟨u, ⋯⟩).1, edist ((f ∘ φ) (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 ((n, ⟨u, ⋯⟩).1 - 1 - j + 1))) ((f ∘ φ) (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 ((n, ⟨u, ⋯⟩).1 - 1 - j))) ≤ eVariationOn f s
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
s : Set α
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
φst : MapsTo φ t s
n : ℕ
u : ℕ → β
hu : Monotone u
ut : ∀ (i : ℕ), u i ∈ t
x : ℕ
hx : x ∈ Finset.range (n, ⟨u, ⋯⟩).1
\u22a2 edist ((f ∘ φ) (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 ((n, ⟨u, ⋯⟩).1 - 1 - x + 1))) ((f ∘ φ) (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 ((n, ⟨u, ⋯⟩).1 - 1 - x))) = edist (f (↑(n, ⟨fun i => φ (u (n - i)), ⋯⟩).2 (x + 1))) (f (↑(n, ⟨fun i => φ (u (n - i)), ⋯⟩).2 x))
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
s : Set α
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
φst : MapsTo φ t s
n : ℕ
u : ℕ → β
hu : Monotone u
ut : ∀ (i : ℕ), u i ∈ t
x : ℕ
hx : x < (n, ⟨u, ⋯⟩).1
\u22a2 edist ((f ∘ φ) (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 ((n, ⟨u, ⋯⟩).1 - 1 - x + 1))) ((f ∘ φ) (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 ((n, ⟨u, ⋯⟩).1 - 1 - x))) = edist (f (↑(n, ⟨fun i => φ (u (n - i)), ⋯⟩).2 (x + 1))) (f (↑(n, ⟨fun i => φ (u (n - i)), ⋯⟩).2 x))
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
s : Set α
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
φst : MapsTo φ t s
n : ℕ
u : ℕ → β
hu : Monotone u
ut : ∀ (i : ℕ), u i ∈ t
x : ℕ
hx : x < (n, ⟨u, ⋯⟩).1
\u22a2 edist (f (φ (u (n - 1 - x + 1)))) (f (φ (u (n - 1 - x)))) = edist (f (φ (u (n - (x + 1))))) (f (φ (u (n - x))))
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
s : Set α
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
φst : MapsTo φ t s
n : ℕ
u : ℕ → β
hu : Monotone u
ut : ∀ (i : ℕ), u i ∈ t
x : ℕ
hx : x < (n, ⟨u, ⋯⟩).1
\u22a2 edist (f (φ (u (n - 1 - x)))) (f (φ (u (n - 1 - x + 1)))) = edist (f (φ (u (n - (x + 1))))) (f (φ (u (n - x))))
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Arrow.lean
T : Type u
inst✝ : Category.{v, u} T
f g : Arrow T
sq : f ⟶ g
e : f ≅ g
\u22a2 e.hom.left ≫ e.inv.left = 𝟙 f.left
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝⁶ : SetLike σ A
inst✝⁵ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝⁴ : GradedRing 𝒜
b : A
n✝ i : ι
inst✝³ : Sub ι
inst✝² : OrderedSub ι
inst✝¹ : ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
n : ι
inst✝ : Decidable (i ≤ n)
a : ↥(𝒜 i)
\u22a2 ↑(((decompose 𝒜) (↑a * b)) n) = if i ≤ n then ↑a * ↑(((decompose 𝒜) b) (n - i)) else 0
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
hK : K.IsRadical
\u22a2 (Ideal.comap f K).IsRadical
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
hK : K.IsRadical
\u22a2 (Ideal.comap f K).radical.IsRadical
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommRing P
m : ℤ
\u22a2 mk (↑m) 1 = ↑m
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : Subsingleton E
f : E → F
x : E
\u22a2 HasFDerivAt f 0 x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : Subsingleton E
f : E → F
x : E
\u22a2 HasFDerivWithinAt f 0 {x} x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Metric.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
k : ℕ
h : G.edist u v = ↑k
\u22a2 ↑k ≠ ⊤
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f g : C(α, β)
ι : Type u_5
S : ι → Set α
φ : (i : ι) → C(↑(S i), β)
hφ : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), (φ i) ⟨x, hxi⟩ = (φ j) ⟨x, hxj⟩
hS : ∀ (x : α), ∃ i, S i ∈ 𝓝 x
i : ι
a✝ : ↑(S i)
\u22a2 (restrict (S i) (liftCover S φ hφ hS)) a✝ = (φ i) a✝
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hfN : ∀ (ω : Ω), a ≤ f N ω
hfzero : 0 ≤ f 0
hab : a < b
\u22a2 (b - a) * ∫ (x : Ω), ↑(upcrossingsBefore a b f N x) ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range N, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hfN : ∀ (ω : Ω), a ≤ f N ω
hfzero : 0 ≤ f 0
hab : a < b
\u22a2 ∫ (a_1 : Ω), (b - a) * ↑(upcrossingsBefore a b f N a_1) ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range N, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hfN : ∀ (ω : Ω), a ≤ f N ω
hfzero : 0 ≤ f 0
hab : a < b
\u22a2 0 ≤ᶠ[ae μ] fun a_1 => (b - a) * ↑(upcrossingsBefore a b f N a_1)
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hfN : ∀ (ω : Ω), a ≤ f N ω
hfzero : 0 ≤ f 0
hab : a < b
\u22a2 (fun a_1 => (b - a) * ↑(upcrossingsBefore a b f N a_1)) ≤ᶠ[ae μ] ∑ k ∈ Finset.range N, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Decomposition.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : SetLike σ M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
inst✝ : Decomposition ℳ
x : M
i j : ι
hxi : x ∈ ℳ i
hxj : x ∈ ℳ j
hx : x ≠ 0
\u22a2 i = j
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Decomposition.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : SetLike σ M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
inst✝ : Decomposition ℳ
x : M
i j : ι
hxi : x ∈ ℳ i
hxj : x ∈ ℳ j
hx : i ≠ j
\u22a2 x = 0
-- Mathlib/Data/List/ReduceOption.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List (Option α)
\u22a2 l.length = l.reduceOption.length + (filter Option.isNone l).length
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/ChebyshevMarkov.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
\u22a2 ε ^ p.toReal * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊} ≤ eLpNorm f p μ ^ p.toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/ChebyshevMarkov.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
\u22a2 (fun x => ε ≤ ↑‖f x‖₊) = fun x => ε ^ p.toReal ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/ChebyshevMarkov.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
x : α
\u22a2 ε ≤ ↑‖f x‖₊ ↔ ε ^ p.toReal ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
\u22a2 o.oangle x y = 0 ↔ SameRay ℝ x y
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
\u22a2 0 ≤ (↑⟪x, y⟫_ℝ + (o.areaForm x) y • I).re ∧ (↑⟪x, y⟫_ℝ + (o.areaForm x) y • I).im = 0 ↔ SameRay ℝ x y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
\u22a2 log (1 + z * I) + -log (1 - z * I) = log ((1 + z * I) / (1 - z * I))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
z₁ : (1 + z * I).arg ≠ π ∧ 1 + z * I ≠ 0
\u22a2 log (1 + z * I) + -log (1 - z * I) = log ((1 + z * I) / (1 - z * I))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
z₁ : (1 + z * I).arg ≠ π ∧ 1 + z * I ≠ 0
z₂ : (1 + -(z * I)).arg ≠ π ∧ 1 + -(z * I) ≠ 0
\u22a2 log (1 + z * I) + -log (1 - z * I) = log ((1 + z * I) / (1 - z * I))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
z₁ : (1 + z * I).arg ≠ π ∧ 1 + z * I ≠ 0
z₂ : (1 - z * I).arg ≠ π ∧ 1 - z * I ≠ 0
\u22a2 log (1 + z * I) + -log (1 - z * I) = log ((1 + z * I) / (1 - z * I))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
z₁ : (1 + z * I).arg ≠ π ∧ 1 + z * I ≠ 0
z₂ : (1 - z * I).arg ≠ π ∧ 1 - z * I ≠ 0
\u22a2 (1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg ∈ Set.Ioc (-π) π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
z₁ : (1 + z * I).arg ≠ π ∧ 1 + z * I ≠ 0
z₂ : (1 - z * I).arg ≠ π ∧ 1 - z * I ≠ 0
b₁ : (1 + z * I).arg ∈ Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
\u22a2 (1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg ∈ Set.Ioc (-π) π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
z₁ : (1 + z * I).arg ≠ π ∧ 1 + z * I ≠ 0
z₂ : (1 - z * I).arg ≠ π ∧ 1 - z * I ≠ 0
b₁ : (1 + z * I).arg ∈ Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
b₂ : (1 - z * I)⁻¹.arg ∈ Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
\u22a2 (1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg ∈ Set.Ioc (-π) π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
z₁ : (1 + z * I).arg ≠ π ∧ 1 + z * I ≠ 0
z₂ : (1 - z * I).arg ≠ π ∧ 1 - z * I ≠ 0
b₁ : (1 + z * I).arg ∈ Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
b₂ : (1 - z * I)⁻¹.arg ∈ Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
c₁ : -(π / 2) + -(π / 2) < (1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg
\u22a2 (1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg ∈ Set.Ioc (-π) π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
z₁ : (1 + z * I).arg ≠ π ∧ 1 + z * I ≠ 0
z₂ : (1 - z * I).arg ≠ π ∧ 1 - z * I ≠ 0
b₁ : (1 + z * I).arg ∈ Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
b₂ : (1 - z * I)⁻¹.arg ∈ Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
c₁ : -(π / 2) + -(π / 2) < (1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg
c₂ : (1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg < π / 2 + π / 2
\u22a2 (1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg ∈ Set.Ioc (-π) π
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
X : TopCat
Y : Opens ↑X
R : Presieve Y
\u22a2 presieveOfCoveringAux (coveringOfPresieve Y R) Y = R
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
X : TopCat
Y : Opens ↑X
R : Presieve Y
Z : Opens ↑X
\u22a2 presieveOfCoveringAux (coveringOfPresieve Y R) Y = R
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
X : TopCat
Y : Opens ↑X
R : Presieve Y
Z : Opens ↑X
f : Z ⟶ Y
\u22a2 f ∈ presieveOfCoveringAux (coveringOfPresieve Y R) Y ↔ f ∈ R
-- Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean
a : ℤ
m n : ℕ
\u22a2 a.gcd (↑m * ↑n) ≠ 1 ↔ a.gcd ↑m ≠ 1 ∨ a.gcd ↑n ≠ 1
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B✝ : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Ring B✝
inst✝⁴ : Algebra A B✝
x✝ : B✝
inst✝³ : Nontrivial B✝
B : Type u_4
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Nontrivial B
S : Subalgebra A B
x : B
int : IsIntegral (↥S) x
\u22a2 2 ≤ (minpoly (↥S) x).natDegree ↔ x ∉ S
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B✝ : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Ring B✝
inst✝⁴ : Algebra A B✝
x✝ : B✝
inst✝³ : Nontrivial B✝
B : Type u_4
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Nontrivial B
S : Subalgebra A B
x : B
int : IsIntegral (↥S) x
\u22a2 x ∈ (algebraMap (↥S) B).range ↔ x ∈ S
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝² : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
\u22a2 IsVanKampenColimit c
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝² : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
n : ℕ
e : ι ≃ Fin n
\u22a2 IsVanKampenColimit c
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝² : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
n : ℕ
e : ι ≃ Fin n
\u22a2 IsVanKampenColimit (Cocone.whisker (Discrete.equivalence e).symm.functor c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝² : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
n : ℕ
e : ι ≃ Fin n
\u22a2 IsColimit (Cocone.whisker (Discrete.equivalence e).symm.functor c)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a✝ o✝ : Ordinal.{u}
f✝ : (b : Ordinal.{u}) → b < o✝ → Ordinal.{u}
a o o' : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
g : (b : Ordinal.{u}) → b < o' → Ordinal.{u}
hg : o.IsFundamentalSequence o' g
i : Ordinal.{u}
hi : i < o'
\u22a2 g i hi < o
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a✝ o✝ : Ordinal.{u}
f✝ : (b : Ordinal.{u}) → b < o✝ → Ordinal.{u}
a o o' : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
g : (b : Ordinal.{u}) → b < o' → Ordinal.{u}
hg : o.IsFundamentalSequence o' g
i : Ordinal.{u}
hi : i < o'
\u22a2 g i hi < o'.blsub g
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a✝ o✝ : Ordinal.{u}
f✝ : (b : Ordinal.{u}) → b < o✝ → Ordinal.{u}
a o o' : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
g : (b : Ordinal.{u}) → b < o' → Ordinal.{u}
hg : o.IsFundamentalSequence o' g
\u22a2 a.IsFundamentalSequence o' fun i hi => f (g i hi) ⋯
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a✝ o✝ : Ordinal.{u}
f✝ : (b : Ordinal.{u}) → b < o✝ → Ordinal.{u}
a o o' : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
g : (b : Ordinal.{u}) → b < o' → Ordinal.{u}
hg : o.IsFundamentalSequence o' g
\u22a2 o' ≤ a.cof.ord
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a✝ o✝ : Ordinal.{u}
f✝ : (b : Ordinal.{u}) → b < o✝ → Ordinal.{u}
a o o' : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
g : (b : Ordinal.{u}) → b < o' → Ordinal.{u}
hg : o.IsFundamentalSequence o' g
\u22a2 (o'.blsub fun i hi => f (g i hi) ⋯) = a
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
α : Type u_1
L : List (List α)
c : Composition L.join.length
h : map length L = c.blocks
\u22a2 L.join.splitWrtComposition c = L
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
\u22a2 toIcoMod hp (-a) b = p - toIocMod hp a (-b)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r R : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
\u22a2 dist (inversion c R x) y * dist x c = dist x (inversion c R y) * dist y c
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
\u22a2 dist (inversion c 0 x) y * dist x c = dist x (inversion c 0 y) * dist y c
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r R : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
hR : R ≠ 0
\u22a2 dist (inversion c R x) y * dist x c = dist x (inversion c R y) * dist y c
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r R : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
hR : R ≠ 0
hy' : inversion c R y ≠ c
\u22a2 dist (inversion c R x) y * dist x c = dist x (inversion c R y) * dist y c