ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Convex/Jensen.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x y z : E
hf : ConvexOn 𝕜 [x-[𝕜]y] f
hz : z ∈ [x-[𝕜]y]
\u22a2 f z ≤ max (f x) (f y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Jensen.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x y z : E
hf : ConvexOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) {x, y}) f
hz : z ∈ (convexHull 𝕜) {x, y}
\u22a2 f z ≤ max (f x) (f y)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
a b n : ℕ
\u22a2 (b - 1) * ∑ i ∈ range n.succ, a / b ^ i = ∑ i ∈ range n, a / b ^ (i + 1) * b + a * b - (∑ i ∈ range n, a / b ^ i + a / b ^ n)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
a b n : ℕ
\u22a2 ∑ i ∈ range n, a / b ^ (i + 1) * b + a * b - (∑ i ∈ range n, a / b ^ i + a / b ^ n) ≤ ∑ i ∈ range n, a / b ^ i + a * b - (∑ i ∈ range n, a / b ^ i + a / b ^ n)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
a b n i : ℕ
x✝ : i ∈ range n
\u22a2 a / b ^ (i + 1) * b ≤ a / b ^ i
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
a b n i : ℕ
x✝ : i ∈ range n
\u22a2 a / (b ^ i * b) * b ≤ a / b ^ i
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
a b n i : ℕ
x✝ : i ∈ range n
\u22a2 a / b ^ i / b * b ≤ a / b ^ i
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
\u22a2 gauge s 0 = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
\u22a2 sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • 0 ∈ s} = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
h : normSq ↑z < 1
\u22a2 z.im < (S • z).im
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
h : normSq ↑z < 1
this : z.im < z.im / normSq ↑z
\u22a2 z.im < (S • z).im
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
h : normSq ↑z < 1
this : z.im < z.im / normSq ↑z
\u22a2 (S • z).im = z.im / normSq ↑z
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
h : normSq ↑z < 1
this : z.im < z.im / normSq ↑z
\u22a2 z.im / normSq (denom (↑S) z) = z.im / normSq ↑z
-- Mathlib/Data/Matrix/RowCol.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
inst✝ : Nonempty ι
inhabited_h : Inhabited ι
\u22a2 Function.Injective (row ι)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMinOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
\u22a2 HasEigenvector (↑T) (↑(⨅ x, T.rayleighQuotient ↑x)) x₀
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMinOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
\u22a2 ⨅ x, T.rayleighQuotient ↑x = T.rayleighQuotient x₀
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMinOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
hx₀' : 0 < ‖x₀‖
hx₀'' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x₀‖
\u22a2 ⨅ x, T.rayleighQuotient ↑x = T.rayleighQuotient x₀
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMinOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
hx₀' : 0 < ‖x₀‖
hx₀'' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x₀‖
\u22a2 IsMinOn T.rayleighQuotient (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
-- Mathlib/Computability/NFA.lean
α : Type u
σ σ' : Type v
M✝ : NFA α σ
M : DFA α σ
x : List α
\u22a2 x ∈ M.toNFA.accepts ↔ x ∈ M.accepts
-- Mathlib/Computability/NFA.lean
α : Type u
σ σ' : Type v
M✝ : NFA α σ
M : DFA α σ
x : List α
\u22a2 (∃ S ∈ M.toNFA.accept, S ∈ {M.evalFrom M.start x}) ↔ x ∈ M.accepts
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
\u22a2 Submodule.span R (Set.range ⇑(ιMulti R n)) = ⋀[R]^n M
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
\u22a2 ⋀[R]^n M ≤ Submodule.span R (Set.range ⇑(ιMulti R n))
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
\u22a2 ↑(LinearMap.range (ι R)) ^ n ⊆ ↑(Submodule.span R (Set.range ⇑(ιMulti R n)))
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
u : ExteriorAlgebra R M
hu : u ∈ ↑(LinearMap.range (ι R)) ^ n
\u22a2 u ∈ Set.range ⇑(ιMulti R n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
f : Fin n → ↑↑(LinearMap.range (ι R))
hu : (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod ∈ ↑(LinearMap.range (ι R)) ^ n
\u22a2 (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod ∈ Set.range ⇑(ιMulti R n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
f : Fin n → ↑↑(LinearMap.range (ι R))
hu : (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod ∈ ↑(LinearMap.range (ι R)) ^ n
\u22a2 ((ιMulti R n) fun i => ιInv ↑(f i)) = (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
f : Fin n → ↑↑(LinearMap.range (ι R))
hu : (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod ∈ ↑(LinearMap.range (ι R)) ^ n
\u22a2 (List.ofFn fun i => (ι R) (ιInv ↑(f i))).prod = (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
f : Fin n → ↑↑(LinearMap.range (ι R))
hu : (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod ∈ ↑(LinearMap.range (ι R)) ^ n
i : Fin n
\u22a2 (ι R) (ιInv ↑(f i)) = ↑(f i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
f : Fin n → ↑↑(LinearMap.range (ι R))
hu : (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod ∈ ↑(LinearMap.range (ι R)) ^ n
i : Fin n
v : M
hv : (ι R) v = ↑(f i)
\u22a2 (ι R) (ιInv ↑(f i)) = ↑(f i)
-- Mathlib/Algebra/Group/Opposite.lean
α : Type u_1
inst✝ : DivInvMonoid α
x y : α
\u22a2 op (x / y) = (op y)⁻¹ * op x
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
f : Bool → Bool → Bool
a : Bool
x : ℕ
\u22a2 bit a x % 2 = 0 ↔ (!a) = true
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
f : Bool → Bool → Bool
a : Bool
x : ℕ
\u22a2 (if a = true then 1 else 0) = 0 ↔ (!a) = true
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalAverage.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
a b : ℝ
\u22a2 ⨍ (x : ℝ) in a..b, f x = (b - a)⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalAverage.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
a b : ℝ
h : a ≤ b
\u22a2 ⨍ (x : ℝ) in a..b, f x = (b - a)⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalAverage.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
a b : ℝ
h : b < a
\u22a2 ⨍ (x : ℝ) in a..b, f x = (b - a)⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/DegreeSum.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Fintype (Sym2 V)
\u22a2 Fintype.card G.Dart = 2 * G.edgeFinset.card
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : r ≠ 0
\u22a2 2 • o.oangle x (r • y) = 2 • o.oangle x y
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
a : α
\u22a2 ∏ᶠ (_ : f a ≠ 1), f a = f a
-- Mathlib/Order/WithBot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a b d : α
x : WithBot α
\u22a2 unbot' d x = d ↔ x = ↑d ∨ x = ⊥
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
hcf : ContinuousOn f (Ico a b)
hcg : ContinuousOn g (Ico a b)
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, deriv g x ≠ 0
hfa : f a = 0
hga : g a = 0
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[>] a) l
\u22a2 Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
hcf : ContinuousOn f (Ico a b)
hcg : ContinuousOn g (Ico a b)
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, deriv g x ≠ 0
hfa : f a = 0
hga : g a = 0
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[>] a) l
\u22a2 Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
hcf : ContinuousOn f (Ico a b)
hcg : ContinuousOn g (Ico a b)
hg' : ∀ x ∈ Ioo a b, deriv g x ≠ 0
hfa : f a = 0
hga : g a = 0
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[>] a) l
\u22a2 Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : Basis κ R ↥M
n : Basis ι R ↥N
H : LinearIndependent R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2)
\u22a2 M.LinearDisjoint N
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
κ : Type u_1
ι : Type u_2
m : Basis κ R ↥M
n : Basis ι R ↥N
H : Function.Injective ⇑(Finsupp.total (κ × ι) S R fun i => ↑(m i.1) * ↑(n i.2))
\u22a2 M.LinearDisjoint N
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
\u22a2 ∃ F ⊆ A, IsClosed F ∧ μ (A \ F) < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
F : Set α
hFA : F ⊆ A
hFc : IsClosed F
hF : μ A < μ F + ε
\u22a2 ∃ F ⊆ A, IsClosed F ∧ μ (A \ F) < ε
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
\u22a2 ‖adjointAux A‖ = ‖A‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
\u22a2 ‖adjointAux A‖ ≤ ‖A‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
\u22a2 ‖A‖ ≤ ‖adjointAux A‖
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y z : R
\u22a2 span {x, y + x * z} = span {x, y}
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
h : ⊤ ≠ ⊤ ∨ ⊤ ≠ ⊤
\u22a2 Tendsto (fun p => p.1 - p.2) (𝓝 (⊤, ⊤)) (𝓝 (⊤ - ⊤))
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
b : ℝ≥0
x✝ : ⊤ ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ ⊤
\u22a2 Tendsto (fun p => p.1 - p.2) (𝓝 (⊤, ↑b)) (𝓝 (⊤ - ↑b))
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
b : ℝ≥0
x✝ : ⊤ ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ ⊤
\u22a2 ∀ (x : ℝ≥0), ∀ᶠ (a : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞) in 𝓝 (⊤, ↑b), ↑x < a.1 - a.2
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝¹ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
b : ℝ≥0
x✝ : ⊤ ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ ⊤
x : ℝ≥0
y : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞
hy : ↑(b + 1 + x) < y.1 ∧ y.2 ≤ ↑(b + 1)
\u22a2 ↑x < y.1 - y.2
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝¹ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
b : ℝ≥0
x✝ : ⊤ ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ ⊤
x : ℝ≥0
y : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞
hy : ↑(b + 1 + x) < y.1 ∧ y.2 ≤ ↑(b + 1)
\u22a2 y.2 + ↑x < y.1
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
a : ℝ≥0
x✝ : ↑a ≠ ⊤ ∨ ⊤ ≠ ⊤
\u22a2 Tendsto (fun p => p.1 - p.2) (𝓝 (↑a, ⊤)) (𝓝 (↑a - ⊤))
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
a : ℝ≥0
x✝ : ↑a ≠ ⊤ ∨ ⊤ ≠ ⊤
\u22a2 Tendsto (fun p => p.1 - p.2) (𝓝 (↑a, ⊤)) (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
a : ℝ≥0
x✝ : ↑a ≠ ⊤ ∨ ⊤ ≠ ⊤
\u22a2 ∀ᶠ (x : ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞) in 𝓝 (↑a, ⊤), x.1 - x.2 = 0
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
a b : ℝ≥0
x✝ : ↑a ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ ⊤
\u22a2 Tendsto (fun a => a.1 - a.2) (𝓝 (a, b)) (𝓝 (a - b))
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
\u22a2 1 < card α ↔ Nontrivial α
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
\u22a2 1 < card α ↔ 1 < #α
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
\u22a2 1 < card α ↔ ↑1 < #α
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
\u22a2 1 < card α ↔ ↑1 < toPartENat #α
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
\u22a2 a + b - c ≤ a + (b - c)
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
\u22a2 a + b ≤ a + (c + (b - c))
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
\u22a2 (s ∪ t).card = s.card + t.card ↔ _root_.Disjoint s t
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
\u22a2 (s ∪ t).card = (s ∪ t).card + (s ∩ t).card ↔ _root_.Disjoint s t
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : Countable ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : ∀ (i : ι), MeasurableSet {ω | τ ω = i}
i : ι
\u22a2 MeasurableSet (⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ i), {ω | τ ω = k})
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : Countable ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : ∀ (i : ι), MeasurableSet {ω | τ ω = i}
i k : ι
hk : k ∈ fun k => Preorder.toLE.1 k i
\u22a2 MeasurableSet {ω | τ ω = k}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/SpecificDegree.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
p : K[X]
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
\u22a2 Irreducible p ↔ p.roots = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/SpecificDegree.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
p : K[X]
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
hp0 : p ≠ 0
\u22a2 Irreducible p ↔ p.roots = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/SpecificDegree.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
p : K[X]
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
hp0 : p ≠ 0
\u22a2 p.leadingCoeff⁻¹ ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/SpecificDegree.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
p : K[X]
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
hp0 : p ≠ 0
\u22a2 2 ≤ (p * C p.leadingCoeff⁻¹).natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/SpecificDegree.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
p : K[X]
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
hp0 : p ≠ 0
\u22a2 (p * C p.leadingCoeff⁻¹).natDegree ≤ 3
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s t : Set α
x : α
\u22a2 ContinuousWithinAt f (s ∪ t) x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContinuousWithinAt f t x
-- Mathlib/GroupTheory/Subgroup/Simple.lean
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
A : Type u_2
inst✝³ : AddGroup A
H✝ : Type u_3
inst✝² : Group H✝
inst✝¹ : IsSimpleGroup G
inst✝ : Nontrivial H✝
f : G →* H✝
hf : Function.Surjective ⇑f
H : Subgroup H✝
iH : H.Normal
\u22a2 H = ⊥ ∨ H = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Subgroup/Simple.lean
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
A : Type u_2
inst✝³ : AddGroup A
H✝ : Type u_3
inst✝² : Group H✝
inst✝¹ : IsSimpleGroup G
inst✝ : Nontrivial H✝
f : G →* H✝
hf : Function.Surjective ⇑f
H : Subgroup H✝
iH : H.Normal
h : comap f H = ⊥
\u22a2 H = ⊥
-- Mathlib/GroupTheory/Subgroup/Simple.lean
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
A : Type u_2
inst✝³ : AddGroup A
H✝ : Type u_3
inst✝² : Group H✝
inst✝¹ : IsSimpleGroup G
inst✝ : Nontrivial H✝
f : G →* H✝
hf : Function.Surjective ⇑f
H : Subgroup H✝
iH : H.Normal
h : comap f H = ⊤
\u22a2 H = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Quotient.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁵ inst✝⁴ : Group α
inst✝³ : MulAction α β
x b : β
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : Fintype ↑(orbit α b)
inst✝ : Fintype ↥(stabilizer α b)
\u22a2 Fintype.card ↑(orbit α b) * Fintype.card ↥(stabilizer α b) = Fintype.card α
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
x : M
hxf : x ∈ f.source
\u22a2 x ∈ (f.extend I).source
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l : Filter α
ι : Type u_2
s : Set ι
hs : s.Finite
f g : ι → Set α
hle : ∀ i ∈ s, f i ≤ᶠ[l] g i
\u22a2 ⋂ i ∈ s, f i ≤ᶠ[l] ⋂ i ∈ s, g i
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l : Filter α
ι : Type u_2
s : Set ι
hs : s.Finite
f g : ι → Set α
hle : ∀ i ∈ s, f i ≤ᶠ[l] g i
this : Finite ↑s
\u22a2 ⋂ i ∈ s, f i ≤ᶠ[l] ⋂ i ∈ s, g i
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l : Filter α
ι : Type u_2
s : Set ι
hs : s.Finite
f g : ι → Set α
hle : ∀ i ∈ s, f i ≤ᶠ[l] g i
this : Finite ↑s
\u22a2 ⋂ x, f ↑x ≤ᶠ[l] ⋂ x, g ↑x
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
b : α
inst✝ : NoMinOrder α
\u22a2 pred b ⋖ b
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : Finset P
\u22a2 IsFractional S (span R ↑I)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : Finset P
s : R
hs1 : s ∈ S
hs : ∀ a ∈ I, IsInteger R (↑⟨s, hs1⟩ • a)
\u22a2 IsFractional S (span R ↑I)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : Finset P
s : R
hs1 : s ∈ S
hs : ∀ a ∈ I, IsInteger R (↑⟨s, hs1⟩ • a)
\u22a2 ∃ a ∈ S, ∀ b ∈ ↑I, IsInteger R (a • b)
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
\u22a2 ⊤ ≤ normalClosure {⟨finRotate 5, ⋯⟩}
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h3 : (Fin.cycleRange 2 * finRotate 5 * (Fin.cycleRange 2)⁻¹ * (finRotate 5)⁻¹).IsThreeCycle
\u22a2 ⊤ ≤ normalClosure {⟨finRotate 5, ⋯⟩}
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h3 : (Fin.cycleRange 2 * finRotate 5 * (Fin.cycleRange 2)⁻¹ * (finRotate 5)⁻¹).IsThreeCycle
\u22a2 normalClosure {⟨Fin.cycleRange 2 * finRotate 5 * (Fin.cycleRange 2)⁻¹ * (finRotate 5)⁻¹, ⋯⟩} ≤ normalClosure {⟨finRotate 5, ⋯⟩}
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h3 : (Fin.cycleRange 2 * finRotate 5 * (Fin.cycleRange 2)⁻¹ * (finRotate 5)⁻¹).IsThreeCycle
\u22a2 {⟨Fin.cycleRange 2 * finRotate 5 * (Fin.cycleRange 2)⁻¹ * (finRotate 5)⁻¹, ⋯⟩} ⊆ ↑(normalClosure {⟨finRotate 5, ⋯⟩})
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h3 : (Fin.cycleRange 2 * finRotate 5 * (Fin.cycleRange 2)⁻¹ * (finRotate 5)⁻¹).IsThreeCycle
\u22a2 ⟨Fin.cycleRange 2 * finRotate 5 * (Fin.cycleRange 2)⁻¹ * (finRotate 5)⁻¹, ⋯⟩ ∈ normalClosure {⟨finRotate 5, ⋯⟩}
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h3 : (Fin.cycleRange 2 * finRotate 5 * (Fin.cycleRange 2)⁻¹ * (finRotate 5)⁻¹).IsThreeCycle
h : ⟨finRotate 5, ⋯⟩ ∈ normalClosure {⟨finRotate 5, ⋯⟩}
\u22a2 ⟨Fin.cycleRange 2 * finRotate 5 * (Fin.cycleRange 2)⁻¹ * (finRotate 5)⁻¹, ⋯⟩ ∈ normalClosure {⟨finRotate 5, ⋯⟩}