ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
\u22a2 IsIntegral A (∑ i : ι, b.equivFun (discr K ⇑b • a * x) i • b i)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
\u22a2 ∀ x_1 ∈ Finset.univ, IsIntegral A (b.equivFun (discr K ⇑b • a * x) x_1 • b x_1)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ
\u22a2 IsIntegral A (b.equivFun (discr K ⇑b • a * x) i • b i)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ
\u22a2 IsIntegral A ((algebraMap K L) ((traceMatrix K ⇑b).cramer (fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) i) * b i)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ
\u22a2 (algebraMap A L).IsIntegralElem ((algebraMap K L) ((traceMatrix K ⇑b).cramer (fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) i))
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ
\u22a2 IsIntegral A ((traceMatrix K ⇑b).cramer (fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) i)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ
\u22a2 IsIntegral A ((traceMatrix K ⇑b).updateColumn i fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)).det
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ
\u22a2 ∀ (i_1 j : ι), IsIntegral A ((traceMatrix K ⇑b).updateColumn i (fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) i_1 j)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ
j k : ι
\u22a2 IsIntegral A ((traceMatrix K ⇑b).updateColumn i (fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) j k)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ
j k : ι
\u22a2 IsIntegral A (if k = i then (Algebra.trace K L) (x * a * b j) else traceMatrix K (⇑b) j k)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × 𝕜) in l ×ˢ 𝓝 x, HasDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
F' : ι → 𝕜 → 𝕜 →L[𝕜] G := fun n z => ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n z)
G' : 𝕜 → 𝕜 →L[𝕜] G := fun z => ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' z)
\u22a2 HasDerivAt g (g' x) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hfg : ∀ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
F' : ι → 𝕜 → 𝕜 →L[𝕜] G := fun n z => ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n z)
G' : 𝕜 → 𝕜 →L[𝕜] G := fun z => ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' z)
hf : ∀ᶠ (n : ι × 𝕜) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1 n.2)) n.2
\u22a2 HasFDerivAt g (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' x)) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
inst✝ : l.NeBot
hf'✝ : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hfg : ∀ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
F' : ι → 𝕜 → 𝕜 →L[𝕜] G := fun n z => ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n z)
G' : 𝕜 → 𝕜 →L[𝕜] G := fun z => ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' z)
hf : ∀ᶠ (n : ι × 𝕜) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1 n.2)) n.2
hf' : TendstoUniformlyOnFilter F' G' l (𝓝 x)
\u22a2 HasFDerivAt g (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' x)) x
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
ι : Type u_5
κ : Type u_6
f : ι → Y
g : κ → Z
hf : DenseRange f
hg : DenseRange g
\u22a2 DenseRange (Prod.map f g)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
a : K
\u22a2 mixedEmbedding.norm ((mixedEmbedding K) a) = 0 ↔ (mixedEmbedding K) a = 0
-- Mathlib/Data/Matroid/Sum.lean
α : Type u
β : Type v
M✝ N✝ M : Matroid α
N : Matroid β
I : Set (α ⊕ β)
\u22a2 (M.sum N).Indep I ↔ M.Indep (Sum.inl ⁻¹' I) ∧ N.Indep (Sum.inr ⁻¹' I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Sum.lean
α : Type u
β : Type v
M✝ N✝ M : Matroid α
N : Matroid β
I : Set (α ⊕ β)
\u22a2 M.Indep ((fun a => a.down) '' (Sigma.mk false ⁻¹' ((fun a => (Equiv.sumEquivSigmaBool (ULift.{v, u} α) (ULift.{u, v} β)) a) '' ((fun a => Sum.map (⇑Equiv.ulift.symm) (⇑Equiv.ulift.symm) a) '' I)))) ∧ N.Indep ((fun a => a.down) '' (Sigma.mk true ⁻¹' ((fun a => (Equiv.sumEquivSigmaBool (ULift.{v, u} α) (ULift.{u, v} β)) a) '' ((fun a => Sum.map (⇑Equiv.ulift.symm) (⇑Equiv.ulift.symm) a) '' I)))) ↔ M.Indep (Sum.inl ⁻¹' I) ∧ N.Indep (Sum.inr ⁻¹' I)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
\u22a2 wittMul p 0 = X (0, 0) * X (1, 0)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
\u22a2 (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittMul p 0) = (map (Int.castRingHom ℚ)) (X (0, 0) * X (1, 0))
-- Mathlib/Algebra/Ring/BooleanRing.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : BooleanRing α
inst✝¹ : BooleanRing β
inst✝ : BooleanRing γ
a b : α
\u22a2 a * (a + b + a * b) = a
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/CommShift.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.89019, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift A
X : C
a b : A
h : a + b = 0
\u22a2 F.map ((shiftFunctorCompIsoId C a b h).inv.app X) = (shiftFunctorCompIsoId D a b h).inv.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso b).inv.app ((shiftFunctor C a).obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/CommShift.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.89019, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift A
X : C
a b : A
h : a + b = 0
\u22a2 𝟙 (F.obj ((shiftFunctor C a ⋙ shiftFunctor C b).obj X)) = ((F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorCompIsoId D a b h).hom.app (F.obj X)) ≫ (shiftFunctorCompIsoId D a b h).inv.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso b).inv.app ((shiftFunctor C a).obj X)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/WithTop.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq α
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : MulZeroOneClass R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : MulZeroOneClass S
inst✝¹ : DecidableEq S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →*₀ S
hf : Function.Injective ⇑f
x y : WithTop R
\u22a2 { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun x * { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun y
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/WithTop.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq α
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : MulZeroOneClass R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : MulZeroOneClass S
inst✝¹ : DecidableEq S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →*₀ S
hf : Function.Injective ⇑f
x y : WithTop R
this : ∀ (z : WithTop R), map (⇑f) z = 0 ↔ z = 0
\u22a2 { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun x * { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun y
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/WithTop.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq α
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : MulZeroOneClass R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : MulZeroOneClass S
inst✝¹ : DecidableEq S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →*₀ S
hf : Function.Injective ⇑f
y : WithTop R
this : ∀ (z : WithTop R), map (⇑f) z = 0 ↔ z = 0
\u22a2 { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun (0 * y) = { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun 0 * { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun y
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/WithTop.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq α
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : MulZeroOneClass R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : MulZeroOneClass S
inst✝¹ : DecidableEq S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →*₀ S
hf : Function.Injective ⇑f
x y : WithTop R
this : ∀ (z : WithTop R), map (⇑f) z = 0 ↔ z = 0
hx : x ≠ 0
\u22a2 { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun x * { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun y
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/WithTop.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq α
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : MulZeroOneClass R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : MulZeroOneClass S
inst✝¹ : DecidableEq S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →*₀ S
hf : Function.Injective ⇑f
x : WithTop R
this : ∀ (z : WithTop R), map (⇑f) z = 0 ↔ z = 0
hx : x ≠ 0
\u22a2 { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun (x * 0) = { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun x * { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/WithTop.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq α
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : MulZeroOneClass R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : MulZeroOneClass S
inst✝¹ : DecidableEq S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →*₀ S
hf : Function.Injective ⇑f
x y : WithTop R
this : ∀ (z : WithTop R), map (⇑f) z = 0 ↔ z = 0
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
\u22a2 { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun x * { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun y
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Ring α
inst✝⁴ : LinearOrder α
a b : α
inst✝³ : PosMulStrictMono α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
\u22a2 a * b ≤ 0 ↔ (a < 0 → 0 ≤ b) ∧ (0 < b → a ≤ 0)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Ring α
inst✝⁴ : LinearOrder α
a b : α
inst✝³ : PosMulStrictMono α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
\u22a2 (0 < -a → 0 ≤ b) ∧ (0 < b → 0 ≤ -a) ↔ (a < 0 → 0 ≤ b) ∧ (0 < b → a ≤ 0)
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p'✝ : ι' → Prop
s'✝ : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
p' : ι → Prop
s' : ι → Set α
hp : ∀ (i : ι), p i ↔ p' i
hs : ∀ (i : ι), p i → s i = s' i
t : Set α
\u22a2 t ∈ l ↔ ∃ i, p' i ∧ s' i ⊆ t
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p'✝ : ι' → Prop
s'✝ : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
p' : ι → Prop
s' : ι → Set α
hp : ∀ (i : ι), p i ↔ p' i
hs : ∀ (i : ι), p i → s i = s' i
t : Set α
\u22a2 (∃ i, p i ∧ s i ⊆ t) ↔ ∃ i, p i ∧ s' i ⊆ t
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
β : Type u_1
X Y : GradedObject β C
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (x : β), f x = g x
\u22a2 f = g
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
β : Type u_1
X Y : GradedObject β C
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (x : β), f x = g x
x✝ : β
\u22a2 f x✝ = g x✝
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
hf : f.IsCycleOn s
hs : s.Nontrivial
\u22a2 (f.subtypePerm ⋯).IsCycle
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a✝ b x y : α
hf : f.IsCycleOn s
hs : s.Nontrivial
a : α
ha : a ∈ s
\u22a2 (f.subtypePerm ⋯).IsCycle
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Eigs.lean
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝ : Field R
A : Matrix n n R
hAps : Splits (RingHom.id R) A.charpoly
\u22a2 A.trace = A.charpoly.roots.sum
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Eigs.lean
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝ : Field R
A : Matrix n n R
hAps : Splits (RingHom.id R) A.charpoly
h : IsEmpty n
\u22a2 A.trace = A.charpoly.roots.sum
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Eigs.lean
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝ : Field R
A : Matrix n n R
hAps : Splits (RingHom.id R) A.charpoly
h✝ : Nonempty n
\u22a2 A.trace = A.charpoly.roots.sum
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
p : (x : G) → x ∈ closure k → Prop
mem : ∀ (x : G) (h : x ∈ k), p x ⋯
one : p 1 ⋯
mul : ∀ (x : G) (hx : x ∈ closure k) (y : G) (hy : y ∈ closure k), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
inv : ∀ (x : G) (hx : x ∈ closure k), p x hx → p x⁻¹ ⋯
x : G
hx : x ∈ closure k
\u22a2 p x hx
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
p : (x : G) → x ∈ closure k → Prop
mem : ∀ (x : G) (h : x ∈ k), p x ⋯
one : p 1 ⋯
mul : ∀ (x : G) (hx : x ∈ closure k) (y : G) (hy : y ∈ closure k), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
inv : ∀ (x : G) (hx : x ∈ closure k), p x hx → p x⁻¹ ⋯
x : G
hx : x ∈ closure k
\u22a2 ∃ (x_1 : x ∈ closure k), p x x_1
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
x : ℝ
\u22a2 oddKernel (-a) x = -oddKernel a x
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
x a' : ℝ
\u22a2 oddKernel (-↑a') x = -oddKernel (↑a') x
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
b✝ : Game
b : PGame
c✝ : Game
c : PGame
h : Quot.mk Setoid.r b ⧏ Quot.mk Setoid.r c
a✝ : Game
a : PGame
\u22a2 Quot.mk Setoid.r b + Quot.mk Setoid.r a ⧏ Quot.mk Setoid.r c + Quot.mk Setoid.r a
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfChosenFiniteProducts/Basic.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y X : C
s : Cone (Functor.empty C)
P : IsLimit s
t : BinaryFan s.pt X
Q : IsLimit t
\u22a2 t.snd ≫ Q.lift (mk (P.lift { pt := X, π := { app := fun x => x.as.elim, naturality := ⋯ } }) (𝟙 { pt := X, π := { app := fun x => x.as.elim, naturality := ⋯ } }.pt)) = 𝟙 t.pt
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfChosenFiniteProducts/Basic.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y X : C
s : Cone (Functor.empty C)
P : IsLimit s
t : BinaryFan s.pt X
Q : IsLimit t
\u22a2 ∀ (j : Discrete WalkingPair), (t.snd ≫ Q.lift (mk (P.lift { pt := X, π := { app := fun x => x.as.elim, naturality := ⋯ } }) (𝟙 { pt := X, π := { app := fun x => x.as.elim, naturality := ⋯ } }.pt))) ≫ t.π.app j = 𝟙 t.pt ≫ t.π.app j
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν ν₁ ν₂ μ : Measure α
inst✝² : SigmaFinite ν₁
inst✝¹ : SigmaFinite ν₂
inst✝ : SigmaFinite μ
h : ν₂ ⟂ₘ μ
\u22a2 (ν₁ + ν₂).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] ν₁.rnDeriv μ