ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : Fintype m
inst✝⁸ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝¹ : Finite l
inst✝ : DecidableEq m
f : M₂ →ₗ[R] M₃
g : M₁ →ₗ[R] M₂
\u22a2 (toMatrix v₁ v₃) (f ∘ₗ g) = (toMatrix v₂ v₃) f * (toMatrix v₁ v₂) g
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
\u22a2 z.arg = 0 ↔ 0 ≤ z
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
n : ℕ
\u22a2 hurwitzZetaEven a (-2 * (↑n + 1)) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
n : ℕ
this : -2 * (↑n + 1) ≠ 0
\u22a2 hurwitzZetaEven a (-2 * (↑n + 1)) = 0
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
u : ℕ → E
l : E
h : Tendsto u atTop (𝓝 l)
\u22a2 Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 l)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
u : ℕ → E
l : E
h : Tendsto u atTop (𝓝 l)
\u22a2 (fun x => (↑x)⁻¹ • ∑ i ∈ range x, u i - l) =o[atTop] fun _x => 1
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
u : ℕ → E
l : E
h : Tendsto u atTop (𝓝 l)
this : (fun n => ∑ i ∈ range n, (u i - l)) =o[atTop] fun n => ↑n
\u22a2 (fun x => (↑x)⁻¹ • ∑ i ∈ range x, u i - l) =o[atTop] fun _x => 1
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
u : ℕ → E
l : E
h : Tendsto u atTop (𝓝 l)
this : (fun n => ∑ i ∈ range n, (u i - l)) =o[atTop] fun n => ↑n
\u22a2 (fun x => (↑x)⁻¹ • ∑ i ∈ range x, (u i - l)) =ᶠ[atTop] fun x => (↑x)⁻¹ • ∑ i ∈ range x, u i - l
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
u : ℕ → E
l : E
h : Tendsto u atTop (𝓝 l)
this : (fun n => ∑ i ∈ range n, (u i - l)) =o[atTop] fun n => ↑n
\u22a2 (fun x => (↑x)⁻¹ • ↑x) =ᶠ[atTop] fun _x => 1
-- Mathlib/Data/Int/Order/Units.lean
u : ℤˣ
\u22a2 u * u = 1
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
b : β
\u22a2 b ∈ s.biUnion t ↔ ∃ a ∈ s, b ∈ t a
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b : α
l₁ l₂ l₃ : List α
h₁ : Chain' R (l₁ ++ l₂)
h₂ : Chain' R (l₂ ++ l₃)
hn : l₂ ≠ []
\u22a2 ∀ (x : α), x ∈ (l₁ ++ l₂).getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₃.head? → R x y
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X : C
n : ℕ
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
f' : Y✝ ⟶ Z✝
α : ↑({ obj := fun Y => AddCommGrp.of (Ext X Y n), map := fun {X_1 Y} f => AddCommGrp.ofHom ((Ext.mk₀ f).postcomp X ⋯) }.obj X✝)
\u22a2 Ext.comp α (Ext.mk₀ (f ≫ f')) ⋯ = (Ext.comp α (Ext.mk₀ f) ⋯).comp (Ext.mk₀ f') ⋯
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X : C
n : ℕ
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
f' : Y✝ ⟶ Z✝
α : ↑({ obj := fun Y => AddCommGrp.of (Ext X Y n), map := fun {X_1 Y} f => AddCommGrp.ofHom ((Ext.mk₀ f).postcomp X ⋯) }.obj X✝)
\u22a2 Ext.comp α ((Ext.mk₀ f).comp (Ext.mk₀ f') ⋯) ⋯ = (Ext.comp α (Ext.mk₀ f) ⋯).comp (Ext.mk₀ f') ⋯
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X : C
n : ℕ
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
f' : Y✝ ⟶ Z✝
α : ↑({ obj := fun Y => AddCommGrp.of (Ext X Y n), map := fun {X_1 Y} f => AddCommGrp.ofHom ((Ext.mk₀ f).postcomp X ⋯) }.obj X✝)
\u22a2 (Ext.comp α (Ext.mk₀ f) ⋯).comp (Ext.mk₀ f') ⋯ = Ext.comp α ((Ext.mk₀ f).comp (Ext.mk₀ f') ⋯) ⋯
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X : C
n : ℕ
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
f' : Y✝ ⟶ Z✝
α : ↑({ obj := fun Y => AddCommGrp.of (Ext X Y n), map := fun {X_1 Y} f => AddCommGrp.ofHom ((Ext.mk₀ f).postcomp X ⋯) }.obj X✝)
\u22a2 n + 0 + 0 = n
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
a : Associates α
x : Associates α
ndvd : ¬a * x ∣ a
\u22a2 ¬IsUnit x
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
a : Associates α
x : Associates α
ndvd : IsUnit x
\u22a2 a * x ∣ a
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Pullbacks.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : W ⟶ X
k : W ⟶ Y
comm : h ≫ f = k ≫ g
inst✝² : PreservesLimit (cospan f g) G
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPullback (G.map f) (G.map g)
\u22a2 (iso G f g).inv ≫ G.map (pullback.snd f g) = pullback.snd (G.map f) (G.map g)
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a✝ b c✝ d : α
hb : IsUnit b
hd : IsUnit d
a c : α
h : a / b = c / d
\u22a2 a * d = c * b
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuedField.lean
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : Valued K Γ₀
\u22a2 Continuous ⇑v
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuedField.lean
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : Valued K Γ₀
\u22a2 ∀ (x : K), ContinuousAt (⇑v) x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuedField.lean
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : Valued K Γ₀
x : K
\u22a2 ContinuousAt (⇑v) x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuedField.lean
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : Valued K Γ₀
\u22a2 ContinuousAt (⇑v) 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuedField.lean
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : Valued K Γ₀
x : K
h : x ≠ 0
\u22a2 ContinuousAt (⇑v) x
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝² : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p✝ : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p : R
hp : Prime p
x y : R
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : ¬p ∣ ↑n
\u22a2 multiplicity p (x ^ n - y ^ n) = multiplicity p (x - y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
\u22a2 UniformEmbedding f ↔ Function.Injective f ∧ UniformContinuous f ∧ ∀ δ > 0, ∃ ε > 0, ∀ {a b : α}, dist (f a) (f b) < ε → dist a b < δ
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
\u22a2 σₙ R (cfcₙ f a) = f '' σₙ R a
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
m n : PosNum
\u22a2 n.cmp m = Ordering.lt ↔ m.cmp n = Ordering.gt
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
m n : PosNum
\u22a2 (m.cmp n).swap = Ordering.lt ↔ m.cmp n = Ordering.gt
-- Mathlib/Analysis/SumOverResidueClass.lean
m : ℕ
inst✝ : NeZero m
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
k : ZMod m
\u22a2 Summable ({n | ↑n = k}.indicator f) ↔ Summable f
-- Mathlib/Analysis/SumOverResidueClass.lean
m : ℕ
inst✝ : NeZero m
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
k : ZMod m
H : Summable ({n | ↑n = k}.indicator f)
\u22a2 Summable f
-- Mathlib/Analysis/SumOverResidueClass.lean
m : ℕ
inst✝ : NeZero m
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
k : ZMod m
H : Summable ({n | ↑n = k}.indicator f)
\u22a2 Summable (∑ a : ZMod m, {n | ↑n = a}.indicator f)
-- Mathlib/Analysis/SumOverResidueClass.lean
m : ℕ
inst✝ : NeZero m
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
k : ZMod m
H : Summable ({n | ↑n = k}.indicator f)
x✝ : ℕ
\u22a2 (∑ a : ZMod m, {n | ↑n = a}.indicator f) x✝ = ∑ i : ZMod m, {n | ↑n = i}.indicator f x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
M : (Matrix n n R)[X]
r : R
\u22a2 (matPolyEquiv.symm M).map (eval r) = eval ((scalar n) r) M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
M : (Matrix n n R)[X]
r : R
\u22a2 (aeval r).mapMatrix.comp ↑matPolyEquiv.symm = eval₂AlgHom' (AlgHom.id R (Matrix n n R)) ((scalar n) r) ⋯
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α
\u22a2 s ○ (t₁ ∩ t₂) ⊆ s ○ t₁ ∩ s ○ t₂
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝² : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝¹ : DecidableRel Disjoint
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a✝ b✝ a b : α
\u22a2 compress (a \ b) (b \ a) b = a
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝² : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝¹ : DecidableRel Disjoint
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a✝ b✝ a b : α
\u22a2 (b ⊔ a \ b) \ (b \ a) = a
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝² : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝¹ : DecidableRel Disjoint
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a✝ b✝ a b : α
\u22a2 b \ (b \ a) ≤ a
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
g : β → γ
hg : Continuous g
f : α →ₘ[μ] β
\u22a2 ↑(comp g hg f) =ᶠ[ae μ] g ∘ ↑f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
g : β → γ
hg : Continuous g
f : α →ₘ[μ] β
\u22a2 ↑(mk (g ∘ ↑f) ⋯) =ᶠ[ae μ] g ∘ ↑f
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
hH : Group.IsNilpotent G
inst✝ : Nontrivial G
\u22a2 Group.nilpotencyClass G = Group.nilpotencyClass (G ⧸ center G) + 1
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
hH : Group.IsNilpotent G
inst✝ : Nontrivial G
\u22a2 Group.nilpotencyClass G = Group.nilpotencyClass G - 1 + 1
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
A : C
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
h₁ : IsIso (cyclesMap φ)
h₂ : Epi φ.τ₁
\u22a2 IsIso (homologyMap φ)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
A : C
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
h₁ : IsIso (cyclesMap φ)
h₂ : Epi φ.τ₁
h : S₂.toCycles ≫ inv (cyclesMap φ) ≫ S₁.homologyπ = 0
\u22a2 IsIso (homologyMap φ)
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hJ : M.Basis J X
\u22a2 ∃ I', M.Basis I' X ∧ I ⊆ I' ∧ I' ⊆ I ∪ J
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hJ : M.Basis J X
I' : Set α
hI' : (M ↾ X).Base I'
hII' : I ⊆ I'
hI'IJ : I' ⊆ I ∪ J
\u22a2 ∃ I', M.Basis I' X ∧ I ⊆ I' ∧ I' ⊆ I ∪ J
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hJ : M.Basis J X
I' : Set α
hI' : M.Basis I' X
hII' : I ⊆ I'
hI'IJ : I' ⊆ I ∪ J
\u22a2 ∃ I', M.Basis I' X ∧ I ⊆ I' ∧ I' ⊆ I ∪ J
-- Mathlib/Data/NNRat/Defs.lean
p q✝ q : ℚ≥0
\u22a2 q.num.Coprime q.den
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : DecidableEq P
p : ι → P
s : Finset ι
n : ℕ
hc : s.card = n + 1
\u22a2 finrank k ↥(vectorSpan k ↑(Finset.image p s)) ≤ n
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
\u22a2 sinh (3 * x) = 4 * sinh x ^ 3 + 3 * sinh x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
\u22a2 sinh x * cosh (2 * x) + cosh x * sinh (2 * x) = 4 * sinh x ^ 3 + 3 * sinh x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
\u22a2 sinh x * (cosh x ^ 2 + sinh x ^ 2) + cosh x * (2 * sinh x * cosh x) = 4 * sinh x ^ 3 + 3 * sinh x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
h2 : cosh x * (2 * sinh x * cosh x) = 2 * sinh x * cosh x ^ 2
\u22a2 sinh x * (cosh x ^ 2 + sinh x ^ 2) + cosh x * (2 * sinh x * cosh x) = 4 * sinh x ^ 3 + 3 * sinh x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
h2 : cosh x * (2 * sinh x * cosh x) = 2 * sinh x * cosh x ^ 2
\u22a2 sinh x * (sinh x ^ 2 + 1 + sinh x ^ 2) + 2 * sinh x * (sinh x ^ 2 + 1) = 4 * sinh x ^ 3 + 3 * sinh x
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
\u22a2 Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s ↔ ∃ r, ∀ x ∈ s, ‖x‖ ≤ r
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]
\u22a2 x • ↑y = ↑(x * y)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : QuasiMeasurePreserving f μ μ
hs : f ⁻¹' s =ᵐ[μ] s
\u22a2 liminf (fun n => (preimage f)^[n] s) atTop =ᵐ[μ] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : QuasiMeasurePreserving f μ μ
hs : f ⁻¹' s =ᵐ[μ] s
\u22a2 limsup (compl ∘ fun n => (preimage f)^[n] s) atTop =ᵐ[μ] sᶜ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : QuasiMeasurePreserving f μ μ
hs : f ⁻¹' sᶜ =ᵐ[μ] sᶜ
\u22a2 limsup (compl ∘ fun n => (preimage f)^[n] s) atTop =ᵐ[μ] sᶜ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : QuasiMeasurePreserving f μ μ
hs : f ⁻¹' sᶜ =ᵐ[μ] sᶜ
x✝ : ℕ
\u22a2 (compl ∘ fun n => (preimage f)^[n] s) x✝ = (preimage f)^[x✝] sᶜ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : QuasiMeasurePreserving f μ μ
hs : f ⁻¹' sᶜ =ᵐ[μ] sᶜ
x✝ : ℕ
n : α
\u22a2 n ∈ (compl ∘ fun n => (preimage f)^[n] s) x✝ ↔ n ∈ (preimage f)^[x✝] sᶜ
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
F : J ⥤ C
inst✝² : HasLimit F
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimit (F ⋙ G)
E : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} E
H : D ⥤ E
h : HasLimit ((F ⋙ G) ⋙ H)
this : HasLimit (F ⋙ G ⋙ H)
j✝ : J
\u22a2 (H.map (post F G) ≫ post (F ⋙ G) H) ≫ π ((F ⋙ G) ⋙ H) j✝ = post F (G ⋙ H) ≫ π ((F ⋙ G) ⋙ H) j✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
F : J ⥤ C
inst✝² : HasLimit F
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimit (F ⋙ G)
E : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} E
H : D ⥤ E
h : HasLimit ((F ⋙ G) ⋙ H)
this : HasLimit (F ⋙ G ⋙ H)
j✝ : J
\u22a2 H.map (G.map (π F j✝)) = (G ⋙ H).map (π F j✝)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hq : q.Monic
hpq : (p * q).Monic
\u22a2 p.Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hq : q.Monic
hpq : ¬p.Monic
\u22a2 ¬(p * q).Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hq : q.Monic
hpq : ¬p.leadingCoeff = 1
\u22a2 ¬(p * q).leadingCoeff = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
h : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
\u22a2 HasFiniteIntegral f μ ↔ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ < ⊤
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
\u22a2 ‖f m‖ ≤ ‖f‖ * ∏ x : ι, ‖m x‖
-- Mathlib/Algebra/Homology/Localization.lean
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
\u22a2 (HomotopyCategory.quotient C c).IsLocalization (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Localization.lean
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
\u22a2 Localization.StrictUniversalPropertyFixedTarget (HomotopyCategory.quotient C c) (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c) (HomotopyCategory C c)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Localization.lean
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
\u22a2 Localization.StrictUniversalPropertyFixedTarget (HomotopyCategory.quotient C c) (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c) (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c).Localization
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
s : Finset V
h : G.IsClique ↑s
n : ℕ
hc : G.Colorable n
\u22a2 s.card ≤ n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
s : Finset V
h : G.IsClique ↑s
n : ℕ
hc : G.Colorable n
\u22a2 n = card (Fin n)
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
m : ℕ
\u22a2 ((autEquivZmod H L hζ).symm (Multiplicative.ofAdd ↑m)) α = ζ ^ m • α
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
b c : Ordinal.{u_4}
h : c ≠ 0
\u22a2 0 < b / c ↔ c ≤ b
-- Mathlib/Algebra/Tropical/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : LinearOrder R
a b : Tropical (WithTop R)
\u22a2 a + b = 0 ↔ a = 0 ∧ b = 0
-- Mathlib/Algebra/Tropical/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : LinearOrder R
a b : Tropical (WithTop R)
\u22a2 a = 0 ∧ a ≤ b ∨ b = 0 ∧ b ≤ a ↔ a = 0 ∧ b = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
\u22a2 ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
\u22a2 ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n