ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EilenbergMoore.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
x✝ : F ⟶ G
\u22a2 ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) 0 x✝).f = Coalgebra.Hom.f 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EilenbergMoore.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
n✝ : ℕ
x✝ : F ⟶ G
\u22a2 ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) (n✝ + 1) x✝).f = ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) n✝ x✝ + x✝).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EilenbergMoore.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ b✝ : F ⟶ G
\u22a2 (a✝ - b✝).f = (a✝ + -b✝).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EilenbergMoore.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ : F ⟶ G
\u22a2 ((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) 0 a✝).f = Coalgebra.Hom.f 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EilenbergMoore.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
n✝ : ℕ
a✝ : F ⟶ G
\u22a2 ↑(n✝ + 1) • a✝.f = ({ f := ↑n✝ • a✝.f, h := ⋯ } + a✝).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EilenbergMoore.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
n✝ : ℕ
a✝ : F ⟶ G
\u22a2 n✝ • a✝.f + a✝.f = ({ f := n✝ • a✝.f, h := ⋯ } + a✝).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EilenbergMoore.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
n✝ : ℕ
a✝ : F ⟶ G
\u22a2 ((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (Int.negSucc n✝) a✝).f = (-(fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (↑n✝.succ) a✝).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EilenbergMoore.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ : F ⟶ G
\u22a2 (-a✝ + a✝).f = Coalgebra.Hom.f 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EilenbergMoore.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
F G : U.Coalgebra
a✝ b✝ : F ⟶ G
\u22a2 (a✝ + b✝).f = (b✝ + a✝).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EilenbergMoore.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
P✝ Q✝ R✝ : U.Coalgebra
f✝ f'✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ : Q✝ ⟶ R✝
\u22a2 ((f✝ + f'✝) ≫ g✝).f = (f✝ ≫ g✝ + f'✝ ≫ g✝).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EilenbergMoore.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
T : Monad C
inst✝¹ : T.Additive
U : Comonad C
inst✝ : U.Additive
P✝ Q✝ R✝ : U.Coalgebra
f✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ g'✝ : Q✝ ⟶ R✝
\u22a2 (f✝ ≫ (g✝ + g'✝)).f = (f✝ ≫ g✝ + f✝ ≫ g'✝).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
𝒢 : Set Cᵒᵖ
\u22a2 IsDetecting 𝒢.unop ↔ IsCodetecting 𝒢
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
h : (p.append q).IsTrail
\u22a2 p.IsTrail
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
h : p.edges.Nodup ∧ q.edges.Nodup ∧ p.edges.Disjoint q.edges
\u22a2 p.IsTrail
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalSampling.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
h_countable_range : (Set.range τ).Countable
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
\u22a2 stoppedValue f τ =ᶠ[ae μ] μ[f n|hτ.measurableSpace]
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalSampling.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
h_countable_range : (Set.range τ).Countable
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
this : Set.univ = ⋃ i ∈ Set.range τ, {x | τ x = i}
\u22a2 stoppedValue f τ =ᶠ[ae μ] μ[f n|hτ.measurableSpace]
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalSampling.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
h_countable_range : (Set.range τ).Countable
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
this : Set.univ = ⋃ i ∈ Set.range τ, {x | τ x = i}
\u22a2 stoppedValue f τ =ᶠ[ae (μ.restrict Set.univ)] μ[f n|hτ.measurableSpace]
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalSampling.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
h_countable_range : (Set.range τ).Countable
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
this : Set.univ = ⋃ i ∈ Set.range τ, {x | τ x = i}
\u22a2 ∀ i ∈ Set.range τ, stoppedValue f τ =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x = i})] μ[f n|hτ.measurableSpace]
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : ι → α
s t : Set α
\u22a2 Sum.inr ⁻¹' range Sum.inl = ∅
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X : C
j✝ : J
\u22a2 (biproduct.lift fun j => biproduct.π f j ▷ X) ≫ biproduct.π (fun j => f j ⊗ X) j✝ = (∑ j : J, biproduct.π f j ▷ X ≫ biproduct.ι (fun j => f j ⊗ X) j) ≫ biproduct.π (fun j => f j ⊗ X) j✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X : C
j✝ : J
\u22a2 biproduct.π f j✝ ▷ X = (∑ j : J, biproduct.π f j ▷ X ≫ biproduct.ι (fun j => f j ⊗ X) j) ≫ biproduct.π (fun j => f j ⊗ X) j✝
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H K : Subgroup G
\u22a2 ↑(map K.subtype (H.subgroupOf K)) = ↑(H ⊓ K)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H K : Subgroup G
\u22a2 ↑K ∩ H.toSubsemigroup.1 = ↑(H ⊓ K)
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
f g g' : G → ℝ
hfg' : ConvolutionExistsAt f g' x (lsmul ℝ ℝ) μ
hf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hg : ∀ (x : G), g x ≤ g' x
hg' : ∀ (x : G), 0 ≤ g' x
H : ¬ConvolutionExistsAt f g x (lsmul ℝ ℝ) μ
\u22a2 (f ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g) x ≤ (f ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g') x
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
f g g' : G → ℝ
hfg' : ConvolutionExistsAt f g' x (lsmul ℝ ℝ) μ
hf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hg : ∀ (x : G), g x ≤ g' x
hg' : ∀ (x : G), 0 ≤ g' x
H : ¬ConvolutionExistsAt f g x (lsmul ℝ ℝ) μ
this : (f ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g) x = 0
\u22a2 (f ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g) x ≤ (f ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g') x
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
f g g' : G → ℝ
hfg' : ConvolutionExistsAt f g' x (lsmul ℝ ℝ) μ
hf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hg : ∀ (x : G), g x ≤ g' x
hg' : ∀ (x : G), 0 ≤ g' x
H : ¬ConvolutionExistsAt f g x (lsmul ℝ ℝ) μ
this : (f ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g) x = 0
\u22a2 0 ≤ (f ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g') x
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
β : Type u_1
ι : Type u_2
X : ι → Type u_3
t : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
T : (i : ι) → Set (Set (X i))
cond : ∀ (i : ι), IsTopologicalBasis (T i)
f : (i : ι) → β → X i
\u22a2 IsTopologicalBasis {S | ∃ U F, (∀ i ∈ F, U i ∈ T i) ∧ S = ⋂ i ∈ F, f i ⁻¹' U i}
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
β : Type u_1
ι : Type u_2
X : ι → Type u_3
t : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
T : (i : ι) → Set (Set (X i))
cond : ∀ (i : ι), IsTopologicalBasis (T i)
f : (i : ι) → β → X i
S : Set β
\u22a2 (∃ U F, (∀ i ∈ F, U i ∈ T i) ∧ S = ⋂ i ∈ F, f i ⁻¹' U i) ↔ ∃ U F, (∀ i ∈ F, U i ∈ preimage (f i) '' T i) ∧ S = ⋂ i ∈ F, U i
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
\u22a2 Nat.card G' ∣ Nat.card G
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
\u22a2 Nat.card (G ⧸ f.ker) ∣ Nat.card G
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DivergenceTheorem.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f [[a, b]]
Hd : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b) \ s, HasDerivAt f (f' x) x
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x = f b - f a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DivergenceTheorem.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f [[a, b]]
Hd : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b) \ s, HasDerivAt f (f' x) x
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
hab : a ≤ b
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x = f b - f a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DivergenceTheorem.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f [[a, b]]
Hd : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b) \ s, HasDerivAt f (f' x) x
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
hab : b ≤ a
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x = f b - f a
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/ETransform.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Group α
e : α
x : Finset α × Finset α
\u22a2 (mulETransformLeft e x).1 * (mulETransformLeft e x).2 ⊆ x.1 * x.2
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Invertible.lean
α : Type u
inst✝³ : GroupWithZero α
a b : α
inst✝² : Invertible a
inst✝¹ : Invertible b
inst✝ : Invertible (a / b)
\u22a2 a / b * (b / a) = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f g : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
\u22a2 NullMeasurableSet {a | f a < g a} μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f g : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
\u22a2 {a | AEStronglyMeasurable.mk f hf a < AEStronglyMeasurable.mk g hg a} =ᶠ[ae μ] {a | f a < g a}
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f g : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
x : α
hfx : f x = AEStronglyMeasurable.mk f hf x
hgx : g x = AEStronglyMeasurable.mk g hg x
\u22a2 {a | AEStronglyMeasurable.mk f hf a < AEStronglyMeasurable.mk g hg a} x = {a | f a < g a} x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : ℝ
k : ℤ
\u22a2 (↑θ).toReal = θ - 2 * ↑k * π ↔ θ ∈ Set.Ioc ((2 * ↑k - 1) * π) ((2 * ↑k + 1) * π)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : ℝ
k : ℤ
\u22a2 -π < θ - 2 * ↑k * π ∧ θ - 2 * ↑k * π ≤ π ↔ (2 * ↑k - 1) * π < θ ∧ θ ≤ (2 * ↑k + 1) * π
-- Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : InvolutiveInv α
f g : Filter α
s : Set α
\u22a2 f⁻¹ ≤ g ↔ f ≤ g⁻¹
-- Mathlib/Probability/Martingale/Centering.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
n : ℕ
\u22a2 Integrable (martingalePart f ℱ μ n) μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Centering.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
n : ℕ
\u22a2 Integrable ((fun n => f 0 + ∑ i ∈ Finset.range n, (f (i + 1) - f i - μ[f (i + 1) - f i|↑ℱ i])) n) μ
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Finite.lean
R S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : EssFiniteType R S
\u22a2 FormallyUnramified R S ↔ ∃ t, (∀ (s : S), (1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) * t = 0) ∧ (TensorProduct.lmul' R) t = 1
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Finite.lean
R S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : EssFiniteType R S
\u22a2 (∃ e, IsIdempotentElem e ∧ KaehlerDifferential.ideal R S = Submodule.span (S ⊗[R] S) {e}) ↔ ∃ t, (∀ (s : S), (1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) * t = 0) ∧ (TensorProduct.lmul' R) t = 1
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Finite.lean
R S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : EssFiniteType R S
this : ∀ (t : S ⊗[R] S), (TensorProduct.lmul' R) t = 1 ↔ 1 - t ∈ KaehlerDifferential.ideal R S
\u22a2 (∃ e, IsIdempotentElem e ∧ KaehlerDifferential.ideal R S = Submodule.span (S ⊗[R] S) {e}) ↔ ∃ t, (∀ (s : S), (1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) * t = 0) ∧ (TensorProduct.lmul' R) t = 1
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Finite.lean
R S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : EssFiniteType R S
this : ∀ (t : S ⊗[R] S), (TensorProduct.lmul' R) t = 1 ↔ 1 - t ∈ KaehlerDifferential.ideal R S
\u22a2 (∃ e, IsIdempotentElem e ∧ Ideal.span (Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) = Submodule.span (S ⊗[R] S) {e}) ↔ ∃ t, (∀ (s : S), (1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1) * t = 0) ∧ 1 - t ∈ Ideal.span (Set.range fun s => 1 ⊗ₜ[R] s - s ⊗ₜ[R] 1)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
\u22a2 f =o[l] g ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f g
-- Mathlib/Data/Matroid/IndepAxioms.lean
α : Type u_1
I✝ B X : Set α
inst✝ : DecidableEq α
E : Set α
Indep : Finset α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Finset α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Finset α⦄, Indep I → Indep J → I.card < J.card → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
subset_ground : ∀ ⦃I : Finset α⦄, Indep I → ↑I ⊆ E
I : Finset α
\u22a2 (IndepMatroid.ofFinset E Indep indep_empty indep_subset indep_aug subset_ground).Indep ↑I ↔ Indep I
-- Mathlib/Data/Matroid/IndepAxioms.lean
α : Type u_1
I✝ B X : Set α
inst✝ : DecidableEq α
E : Set α
Indep : Finset α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Finset α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Finset α⦄, Indep I → Indep J → I.card < J.card → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
subset_ground : ∀ ⦃I : Finset α⦄, Indep I → ↑I ⊆ E
I : Finset α
\u22a2 (∀ J ⊆ I, Indep J) ↔ Indep I
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
\u22a2 Continuous (stdSimplexEquivIcc ℝ).invFun
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
\u22a2 Continuous fun x => ![↑x, 1 - ↑x]
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a : M₀
h : IsUnit (Ring.inverse a)
\u22a2 IsUnit a
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a : M₀
h : IsUnit (Ring.inverse a)
h✝ : Subsingleton M₀
\u22a2 IsUnit a
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a : M₀
h : IsUnit (Ring.inverse a)
h✝ : Nontrivial M₀
\u22a2 IsUnit a
-- Mathlib/Logic/Embedding/Basic.lean
α : Type u_1
p q : α → Prop
h : ∀ (x : α), p x → q x
x y : { x // p x }
\u22a2 (fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x = (fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) y → x = y
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Star.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : StarRing R
inst✝⁶ : TrivialStar R
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : StarAddMonoid A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : TopologicalSpace A
inst✝ : ContinuousStar A
r : R
a : A
\u22a2 { toFun := __src✝.toFun, map_add' := ⋯ }.toFun (r • a) = (starRingEnd R) r • { toFun := __src✝.toFun, map_add' := ⋯ }.toFun a
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/SelmerGroup.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
K : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
S S' : Set (HeightOneSpectrum R)
n : ℕ
inst✝ : Fact (0 < n)
\u22a2 Function.Injective ⇑fromUnitLift
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/SelmerGroup.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
K : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
S S' : Set (HeightOneSpectrum R)
n : ℕ
inst✝ : Fact (0 < n)
\u22a2 Function.Injective (⇑(QuotientGroup.kerLift fromUnit) ∘ ⇑(QuotientGroup.quotientMulEquivOfEq ⋯).symm)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
\u22a2 Memℓp f p ↔ Summable fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p ∧ p < ⊤
f : (i : α) → E i
\u22a2 Memℓp f p ↔ Summable fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p ∧ p < ⊤
f : (i : α) → E i
\u22a2 (if p = 0 then {i | ¬f i = 0}.Finite else if p = ⊤ then BddAbove (Set.range fun i => ‖f i‖) else Summable fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal) ↔ Summable fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o : Ordinal.{u}
h : isGood C l
hsC : contained C o
i : I
hi : i ∈ ↑l
\u22a2 ord I i < o
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o : Ordinal.{u}
h : isGood C l
hsC : contained C o
i : I
hi : i ∈ ↑l
h' : ¬ord I i < o
\u22a2 False
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o : Ordinal.{u}
h : isGood C l
hsC : contained C o
i : I
hi : i ∈ ↑l
h' : ¬ord I i < o
\u22a2 eval C l ∈ Submodule.span ℤ (eval C '' {m | m < l})
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o : Ordinal.{u}
h : isGood C l
hsC : contained C o
i : I
hi : i ∈ ↑l
h' : ¬ord I i < o
\u22a2 eval C l = 0
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o : Ordinal.{u}
h : isGood C l
hsC : contained C o
i : I
hi : i ∈ ↑l
h' : ¬ord I i < o
x : ↑C
\u22a2 (eval C l) x = 0 x