ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
\u22a2 ‖p₁ -ᵥ p₃ - (p₂ -ᵥ p₄)‖ ≤ ‖p₁ -ᵥ p₃‖ + ‖p₂ -ᵥ p₄‖
-- Mathlib/RingTheory/Bezout.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
inst✝ : IsBezout R
\u22a2 IsBezout S
-- Mathlib/RingTheory/Bezout.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
inst✝ : IsBezout R
\u22a2 ∀ (x y : S), Submodule.IsPrincipal (Ideal.span {x, y})
-- Mathlib/RingTheory/Bezout.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
inst✝ : IsBezout R
x y : R
\u22a2 Submodule.IsPrincipal (Ideal.span {f x, f y})
-- Mathlib/RingTheory/Bezout.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
inst✝ : IsBezout R
x y : R
\u22a2 Ideal.span {f x, f y} = Submodule.span S {f (gcd x y)}
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
h : ∀ (m : M), ∃ n, (f ^ n) m = 0
\u22a2 IsNilpotent f
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
h : ∀ (m : M), ∃ n, (f ^ n) m = 0
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤
\u22a2 IsNilpotent f
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤
g : M → ℕ
hg : ∀ (m : M), (f ^ g m) m = 0
\u22a2 IsNilpotent f
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤
g : M → ℕ
hg : ∀ (m : M), (f ^ g m) m = 0
\u22a2 f ^ S.sup g = 0
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤
g : M → ℕ
hg : ∀ (m : M), (f ^ g m) m = 0
m : M
hm : m ∈ span R ↑S
\u22a2 (f ^ S.sup g) m = 0 m
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤
g : M → ℕ
hg : ∀ (m : M), (f ^ g m) m = 0
m x✝ : M
h✝ : x✝ ∈ ↑S
\u22a2 (f ^ S.sup g) x✝ = 0 x✝
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤
g : M → ℕ
hg : ∀ (m : M), (f ^ g m) m = 0
m : M
\u22a2 (f ^ S.sup g) 0 = 0 0
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤
g : M → ℕ
hg : ∀ (m : M), (f ^ g m) m = 0
m x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ span R ↑S
y✝ : M
hy✝ : y✝ ∈ span R ↑S
a✝¹ : (f ^ S.sup g) x✝ = 0 x✝
a✝ : (f ^ S.sup g) y✝ = 0 y✝
\u22a2 (f ^ S.sup g) (x✝ + y✝) = 0 (x✝ + y✝)
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite R M
f : End R M
S : Finset M
hS : span R ↑S = ⊤
g : M → ℕ
hg : ∀ (m : M), (f ^ g m) m = 0
m : M
a✝¹ : R
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ span R ↑S
a✝ : (f ^ S.sup g) x✝ = 0 x✝
\u22a2 (f ^ S.sup g) (a✝¹ • x✝) = 0 (a✝¹ • x✝)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/CompareExp.lean
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
n : ℕ
\u22a2 (fun z => |z.im| ^ n) ≤ᶠ[l] fun z => Real.exp z.re
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν✝ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
g✝ : β → E
ν : Measure β
g : β →ₘ[ν] E
hf : MeasurePreserving f μ ν
\u22a2 eLpNorm (↑(g.compMeasurePreserving f hf)) p μ = eLpNorm (↑g) p ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν✝ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
g✝ : β → E
ν : Measure β
g : β →ₘ[ν] E
hf : MeasurePreserving f μ ν
\u22a2 eLpNorm (↑g ∘ f) p μ = eLpNorm (↑g) p ν
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ f : α →. β
s : Set β
\u22a2 f.core s = f.preimage s ∪ f.Domᶜ
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemiring α
m n : Num
\u22a2 ↑m < ↑n ↔ m < n
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝³ : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ⟶ W
inst✝ : IsIso f
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
\u22a2 (g ⊗ inv f) ≫ (h ⊗ f) = (g ⊗ 𝟙 W) ≫ (h ⊗ 𝟙 W)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝³ : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ⟶ W
inst✝ : IsIso f
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
\u22a2 g ≫ h ⊗ 𝟙 W = (g ⊗ 𝟙 W) ≫ (h ⊗ 𝟙 W)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasureProd.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : FiniteMeasure α
ν : FiniteMeasure β
\u22a2 (μ.prod ν).mass = μ.mass * ν.mass
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasureProd.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : FiniteMeasure α
ν : FiniteMeasure β
\u22a2 (((↑μ).prod ↑ν) (univ ×ˢ univ)).toNNReal = (↑μ univ).toNNReal * (↑ν univ).toNNReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasureProd.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : FiniteMeasure α
ν : FiniteMeasure β
\u22a2 (((↑μ).prod ↑ν) (univ ×ˢ univ)).toNNReal = (↑μ univ * ↑ν univ).toNNReal
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
\u22a2 ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h✝ : IsEmpty X
\u22a2 ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h✝ : Nonempty X
\u22a2 ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h✝ : Nonempty X
g : Y →ᵇ ℝ
hg : ∀ (y : Y), ∃ x₁ x₂, g y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)
hgf : ⇑g ∘ e = ⇑f
\u22a2 ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h✝ : Nonempty X
g : Y →ᵇ ℝ
hg : ∀ (y : Y), ∃ x₁ x₂, g y ∈ Icc (f x₁) (f x₂)
hgf : ⇑g ∘ e = ⇑f
y : Y
xl xu : X
h : g y ∈ Icc (f xl) (f xu)
\u22a2 g y ∈ t
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
w : Word M
\u22a2 of ((equivPair i) w).head • ((equivPair i) w).tail = w
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
\u22a2 comp (Q₂.tmul Q₁) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂) = Q₁.tmul Q₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
\u22a2 (associatedHom R) (comp (Q₂.tmul Q₁) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂)) = (associatedHom R) (Q₁.tmul Q₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
m₁ : M₁
m₂ : M₂
m₁' : M₁
m₂' : M₂
\u22a2 ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (comp (Q₂.tmul Q₁) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂)))) m₁) m₂)) m₁') m₂' = ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (Q₁.tmul Q₂))) m₁) m₂)) m₁') m₂'
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
m₁ : M₁
m₂ : M₂
m₁' : M₁
m₂' : M₂
\u22a2 (((associatedHom R) (comp (Q₂.tmul Q₁) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂))) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)) (m₁' ⊗ₜ[R] m₂') = (((associatedHom R) (Q₁.tmul Q₂)) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)) (m₁' ⊗ₜ[R] m₂')
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
m₁ : M₁
m₂ : M₂
m₁' : M₁
m₂' : M₂
\u22a2 ((LinearMap.compl₁₂ ((associated Q₂).tmul (associated Q₁)) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂) ↑(TensorProduct.comm R M₁ M₂)) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)) (m₁' ⊗ₜ[R] m₂') = (((associated Q₁).tmul (associated Q₂)) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)) (m₁' ⊗ₜ[R] m₂')
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁✝ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁵ : DecidableEq ι
ι₁ : Type u₁
inst✝⁴ : DecidableEq ι₁
β₁ : ι₁ → Type v₁
inst✝³ : (i₁ : ι₁) → Zero (β₁ i₁)
inst✝² : (i : ι₁) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
f : Π₀ (i₁ : ι₁), β₁ i₁
g : (i₁ : ι₁) → β₁ i₁ → Π₀ (i : ι), β i
\u22a2 (f.sum g).support ⊆ f.support.biUnion fun i => (g i (f i)).support
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁✝ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁵ : DecidableEq ι
ι₁ : Type u₁
inst✝⁴ : DecidableEq ι₁
β₁ : ι₁ → Type v₁
inst✝³ : (i₁ : ι₁) → Zero (β₁ i₁)
inst✝² : (i : ι₁) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
f : Π₀ (i₁ : ι₁), β₁ i₁
g : (i₁ : ι₁) → β₁ i₁ → Π₀ (i : ι), β i
this : ∀ (i₁ : ι), (f.sum fun i b => (g i b) i₁) ≠ 0 → ∃ i, f i ≠ 0 ∧ ¬(g i (f i)) i₁ = 0
\u22a2 (f.sum g).support ⊆ f.support.biUnion fun i => (g i (f i)).support
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
n : Int
d a : Nat
a0 : a ≠ 0
\u22a2 mkRat (n * ↑a) (d * a) = mkRat n d
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
n : Int
d a : Nat
a0 : a ≠ 0
\u22a2 mkRat (n * ↑a) (d * a) = mkRat (↑a * n) (a * d)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
\u22a2 QuasiMeasurePreserving (fun h => g / h) μ μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
\u22a2 QuasiMeasurePreserving (fun h => g * h⁻¹) μ μ
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
E : ι → Type wE
G : Type wG
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : MultilinearMap 𝕜 E G
ε : ι → ℝ
C : ℝ
hε : ∀ (i : ι), 0 < ε i
c : ι → 𝕜
hc : ∀ (i : ι), 1 < ‖c i‖
hf : ∀ (m : (i : ι) → E i), (∀ (i : ι), ε i / ‖c i‖ ≤ ‖m i‖) → (∀ (i : ι), ‖m i‖ < ε i) → ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
m m✝ : (i : ι) → E i
i✝ : ι
h : ‖m✝ i✝‖ = 0
\u22a2 ‖f m✝‖ = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/PerpBisector.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c₁ c₂ p₁ p₂ : P
hc₁ : dist p₁ c₁ = dist p₂ c₁
hc₂ : dist p₁ c₂ = dist p₂ c₂
\u22a2 ⟪c₂ -ᵥ c₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/PerpBisector.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c₁ c₂ p₁ p₂ : P
hc₁ : dist p₁ c₁ = dist p₂ c₁
hc₂ : dist p₁ c₂ = dist p₂ c₂
\u22a2 c₂ -ᵥ c₁ ∈ (perpBisector p₁ p₂).direction
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
inst✝ : Subsingleton α
x : α
hx : x ∈ s
\u22a2 s = univ
-- Mathlib/Algebra/Ring/Units.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring α
a✝ b✝ a b : α
u : αˣ
\u22a2 a /ₚ u - b /ₚ u = (a - b) /ₚ u
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
hJ : J ∈ π.biUnion πi
\u22a2 J ∈ πi (π.biUnionIndex πi J)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯
\u22a2 UnifIntegrable f p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯
ε : ℝ
hε : 0 < ε
\u22a2 ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖Exists.choose ⋯ x‖₊}.indicator (Exists.choose ⋯)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hCg : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
\u22a2 ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖Exists.choose ⋯ x‖₊}.indicator (Exists.choose ⋯)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hCg : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : ι
x : α
\u22a2 ‖{x | max C 1 ≤ ‖Exists.choose ⋯ x‖₊}.indicator (Exists.choose ⋯) x‖ ≤ ‖{x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (g i) x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
g : ι → α → β := fun i => Exists.choose ⋯
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hCg : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : ι
x : α
\u22a2 {x | max C 1 ≤ ‖Exists.choose ⋯ x‖₊}.indicator (fun a => ‖Exists.choose ⋯ a‖) x ≤ {x | C ≤ ‖g i x‖₊}.indicator (fun a => ‖g i a‖) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂✝ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
s₂ : Finset ι
h : s₂ ⊆ s
w : ι → k
p : ι → P
b : P
\u22a2 ((s \ s₂).weightedVSubOfPoint p b) w + (s₂.weightedVSubOfPoint p b) w = (s.weightedVSubOfPoint p b) w
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
\u22a2 a ≤ b⁻¹ ↔ b ≤ a⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α
\u22a2 b * a < b * b⁻¹ ↔ b * a < 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
h : finrank K V₂ < finrank K V
\u22a2 ker f ≠ ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
h : finrank K V₂ < finrank K V
h₁ : finrank K ↥(range f) + finrank K ↥(ker f) = finrank K V
\u22a2 ker f ≠ ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
h : finrank K V₂ < finrank K V
h₁ : finrank K ↥(range f) + finrank K ↥(ker f) = finrank K V
h₂ : finrank K ↥(range f) ≤ finrank K V₂
\u22a2 ker f ≠ ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
h : finrank K V₂ < finrank K V
h₁ : finrank K ↥(range f) + finrank K ↥(ker f) = finrank K V
h₂ : finrank K ↥(range f) ≤ finrank K V₂
\u22a2 0 < finrank K ↥(ker f)
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
s₁ s₂ : Stream' α
\u22a2 (s₁ ⋈ s₂).get (2 * n + 1).succ.succ = s₂.get n.succ
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
s₁ s₂ : Stream' α
\u22a2 s₂.tail.get n = s₂.get n.succ
-- Mathlib/Data/DFinsupp/NeLocus.lean
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → AddGroup (N a)
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : Π₀ (a : α), N a
\u22a2 (f + g).neLocus f = g.support
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
absorbs : Absorbent ℝ s
hgauge : gauge s x < 1
\u22a2 ∃ y ∈ s, x ∈ openSegment ℝ 0 y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
a : ℝ
absorbs : Absorbent ℝ s
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr₁ : r < 1
y : E
hy : y ∈ s
hgauge : gauge s ((fun x => r • x) y) < 1
\u22a2 ∃ y_1 ∈ s, (fun x => r • x) y ∈ openSegment ℝ 0 y_1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x c : ℂ
h : x ∈ slitPlane
\u22a2 HasStrictDerivAt (fun z => z ^ c) (c * x ^ (c - 1)) x
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)
this : λ ^ 2 ∣ λ ^ 4
\u22a2 FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S = 1 ∨ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S = -1