ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Order/LawsonTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLawson α
a : α
\u22a2 IsClosed (⇑WithLawson.ofLawson ⁻¹' (↑(upperClosure {a}) ∩ ↑(lowerClosure {a})))
-- Mathlib/Topology/Order/LawsonTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLawson α
a : α
\u22a2 IsClosed ↑(lowerClosure {a})
-- Mathlib/Topology/Order/LawsonTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLawson α
a : α
\u22a2 IsClosed (⇑WithLawson.ofLawson ⁻¹' Iic a)
-- Mathlib/Topology/Order/LawsonTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLawson α
a : α
\u22a2 IsClosed (⇑WithScott.ofScott ⁻¹' Iic a)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows
hx : x.SieveCompatible
\u22a2 Nonempty (IsLimit (P.mapCone S.arrows.cocone.op)) ↔ ∀ (E : Aᵒᵖ) (x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows), x.Compatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows
hx : x.SieveCompatible
\u22a2 Nonempty (IsLimit (P.mapCone S.arrows.cocone.op)) ↔ ∀ (E : Aᵒᵖ) (x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows), x.SieveCompatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows
hx : x.SieveCompatible
\u22a2 Nonempty ((X_1 : Cone (S.arrows.diagram.op ⋙ P)) → Unique (X_1 ⟶ P.mapCone S.arrows.cocone.op)) ↔ ∀ (E : Aᵒᵖ) (x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows), x.SieveCompatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows
hx : x.SieveCompatible
\u22a2 (∀ (i : Cone (S.arrows.diagram.op ⋙ P)), Nonempty (Unique (i ⟶ P.mapCone S.arrows.cocone.op))) ↔ ∀ (E : Aᵒᵖ) (x : FamilyOfElements (P ⋙ coyoneda.obj E) S.arrows), x.SieveCompatible → ∃! t, x.IsAmalgamation t
-- Mathlib/Data/Nat/Dist.lean
n k m : ℕ
\u22a2 n + k - (m + k) + (m + k - (n + k)) = n - m + (m + k - (n + k))
-- Mathlib/Data/Nat/Dist.lean
n k m : ℕ
\u22a2 n - m + (m + k - (n + k)) = n - m + (m - n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
g : ExteriorAlgebra R M →ₐ[R] A
m : M
\u22a2 g ((ι R) m) * g ((ι R) m) = 0
-- Mathlib/Data/DFinsupp/NeLocus.lean
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq α
M : α → Type u_3
P : α → Type u_4
inst✝⁴ : (a : α) → Zero (N a)
inst✝³ : (a : α) → Zero (M a)
inst✝² : (a : α) → Zero (P a)
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (M a)
f g : Π₀ (a : α), N a
F : (a : α) → N a → M a
F0 : ∀ (a : α), F a 0 = 0
hF : ∀ (a : α), Function.Injective (F a)
a : α
\u22a2 a ∈ (mapRange F F0 f).neLocus (mapRange F F0 g) ↔ a ∈ f.neLocus g
-- Mathlib/Analysis/Analytic/IsolatedZeros.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
\u22a2 ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = (z - z₀) ^ p.order • (swap dslope z₀)^[p.order] f z
-- Mathlib/Analysis/Analytic/IsolatedZeros.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
hq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, HasSum (fun n => (z - z₀) ^ n • (fslope^[p.order] p).coeff n) ((swap dslope z₀)^[p.order] f z)
\u22a2 ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = (z - z₀) ^ p.order • (swap dslope z₀)^[p.order] f z
-- Mathlib/Analysis/Analytic/IsolatedZeros.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
hq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, HasSum (fun n => (z - z₀) ^ n • (fslope^[p.order] p).coeff n) ((swap dslope z₀)^[p.order] f z)
x : 𝕜
hx1 : HasSum (fun n => (x - z₀) ^ n • (fslope^[p.order] p).coeff n) ((swap dslope z₀)^[p.order] f x)
hx2 : HasSum (fun n => (x - z₀) ^ n • p.coeff n) (f x)
\u22a2 f x = (x - z₀) ^ p.order • (swap dslope z₀)^[p.order] f x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/IsolatedZeros.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
hq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, HasSum (fun n => (z - z₀) ^ n • (fslope^[p.order] p).coeff n) ((swap dslope z₀)^[p.order] f z)
x : 𝕜
hx1 : HasSum (fun n => (x - z₀) ^ n • (fslope^[p.order] p).coeff n) ((swap dslope z₀)^[p.order] f x)
hx2 : HasSum (fun n => (x - z₀) ^ n • p.coeff n) (f x)
this : ∀ k < p.order, p.coeff k = 0
\u22a2 f x = (x - z₀) ^ p.order • (swap dslope z₀)^[p.order] f x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/IsolatedZeros.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s✝ : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
hq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, HasSum (fun n => (z - z₀) ^ n • (fslope^[p.order] p).coeff n) ((swap dslope z₀)^[p.order] f z)
x : 𝕜
hx1 : HasSum (fun n => (x - z₀) ^ n • (fslope^[p.order] p).coeff n) ((swap dslope z₀)^[p.order] f x)
hx2 : HasSum (fun n => (x - z₀) ^ n • p.coeff n) (f x)
this : ∀ k < p.order, p.coeff k = 0
s : E
hs1 : (x - z₀) ^ p.order • s = f x
hs2 : HasSum (fun m => (x - z₀) ^ m • p.coeff (m + p.order)) s
\u22a2 f x = (x - z₀) ^ p.order • (swap dslope z₀)^[p.order] f x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/IsolatedZeros.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s✝ : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
hq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, HasSum (fun n => (z - z₀) ^ n • (fslope^[p.order] p).coeff n) ((swap dslope z₀)^[p.order] f z)
x : 𝕜
hx1 : HasSum (fun n => (x - z₀) ^ n • (fslope^[p.order] p).coeff n) ((swap dslope z₀)^[p.order] f x)
hx2 : HasSum (fun n => (x - z₀) ^ n • p.coeff n) (f x)
this : ∀ k < p.order, p.coeff k = 0
s : E
hs1 : (x - z₀) ^ p.order • s = f x
hs2 : HasSum (fun m => (x - z₀) ^ m • p.coeff (m + p.order)) s
\u22a2 (swap dslope z₀)^[p.order] f x = s
-- Mathlib/Analysis/Analytic/IsolatedZeros.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s✝ : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hp : HasFPowerSeriesAt f p z₀
hq : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, HasSum (fun n => (z - z₀) ^ n • (fslope^[p.order] p).coeff n) ((swap dslope z₀)^[p.order] f z)
x : 𝕜
hx2 : HasSum (fun n => (x - z₀) ^ n • p.coeff n) (f x)
this : ∀ k < p.order, p.coeff k = 0
s : E
hs1 : (x - z₀) ^ p.order • s = f x
hs2 : HasSum (fun m => (x - z₀) ^ m • p.coeff (m + p.order)) s
hx1 : HasSum (fun n => (x - z₀) ^ n • p.coeff (n + p.order)) ((swap dslope z₀)^[p.order] f x)
\u22a2 (swap dslope z₀)^[p.order] f x = s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0
\u22a2 hg.compLp g0 0 = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0
\u22a2 ↑↑(hg.compLp g0 0) =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0
\u22a2 g ∘ ↑↑0 =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0
a✝ : α
ha : ↑↑0 a✝ = 0 a✝
\u22a2 (g ∘ ↑↑0) a✝ = 0 a✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
v : ι → M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
i : ι
\u22a2 e.det v • (Basis.mk hli hsp).coord i = (↑e.det).toLinearMap v i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
v : ι → M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
i : ι
\u22a2 ∀ (i_1 : ι), (e.det v • (Basis.mk hli hsp).coord i) ((Basis.mk hli hsp) i_1) = ((↑e.det).toLinearMap v i) ((Basis.mk hli hsp) i_1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
v : ι → M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
i k : ι
\u22a2 (e.det v • (Basis.mk hli hsp).coord i) ((Basis.mk hli hsp) k) = ((↑e.det).toLinearMap v i) ((Basis.mk hli hsp) k)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
v : ι → M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
k : ι
\u22a2 e.det v * ((Basis.mk hli hsp).coord k) (v k) = ↑e.det (update v k (v k))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
v : ι → M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
i k : ι
hik : k ≠ i
\u22a2 e.det v * ((Basis.mk hli hsp).coord i) (v k) = ↑e.det (update v i (v k))
-- Mathlib/Order/Monotone/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
a : α
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : MonotoneOn f s
h₂ : MonotoneOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
B : ∀ x ∈ s ∪ t, c ≤ x → x ∈ t
x : α
hx : x ∈ s ∪ t
y : α
hy : y ∈ s ∪ t
hxy : x ≤ y
\u22a2 f x ≤ f y
-- Mathlib/Order/Monotone/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
a : α
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : MonotoneOn f s
h₂ : MonotoneOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
B : ∀ x ∈ s ∪ t, c ≤ x → x ∈ t
x : α
hx : x ∈ s ∪ t
y : α
hy : y ∈ s ∪ t
hxy : x ≤ y
hxc : x < c
\u22a2 f x ≤ f y
-- Mathlib/Order/Monotone/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
a : α
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : MonotoneOn f s
h₂ : MonotoneOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
B : ∀ x ∈ s ∪ t, c ≤ x → x ∈ t
x : α
hx : x ∈ s ∪ t
y : α
hy : y ∈ s ∪ t
hxy : x ≤ y
hcx : c ≤ x
\u22a2 f x ≤ f y
-- Mathlib/Algebra/Star/Module.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
x : A
\u22a2 ⅟2 • (x - star x) ∈ skewAdjoint A
-- Mathlib/Algebra/Star/Module.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
x y : A
\u22a2 ↑((fun x => ⟨⅟2 • (x - star x), ⋯⟩) (x + y)) = ↑((fun x => ⟨⅟2 • (x - star x), ⋯⟩) x + (fun x => ⟨⅟2 • (x - star x), ⋯⟩) y)
-- Mathlib/Algebra/Star/Module.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
r : R
x : A
\u22a2 ↑({ toFun := fun x => ⟨⅟2 • (x - star x), ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x)) = ↑((RingHom.id R) r • { toFun := fun x => ⟨⅟2 • (x - star x), ⋯⟩, map_add' := ⋯ }.toFun x)
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ tl x✝⁴ : List (α × Bool)
x✝³ : α
x✝² : Bool
x✝¹ : α
x✝ : Bool
\u22a2 ∃ L₅, Step ([] ++ tl.append ((x✝¹, x✝) :: (x✝¹, !x✝) :: x✝⁴)) L₅ ∧ Step ((x✝³, x✝²) :: (x✝³, !x✝²) :: tl ++ x✝⁴) L₅
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ tl x✝⁴ : List (α × Bool)
x✝³ : α
x✝² : Bool
x✝¹ : α
x✝ : Bool
\u22a2 ∃ L₅, Step ((x✝¹, x✝) :: (x✝¹, !x✝) :: tl ++ x✝⁴) L₅ ∧ Step ([] ++ tl.append ((x✝³, x✝²) :: (x✝³, !x✝²) :: x✝⁴)) L₅
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x3 : α
b3 : Bool
tl x✝⁵ : List (α × Bool)
x4 : α
b4 : Bool
tl2 x✝⁴ : List (α × Bool)
x✝³ : α
x✝² : Bool
x✝¹ : α
x✝ : Bool
H : (x3, b3) :: tl ++ (x✝³, x✝²) :: (x✝³, !x✝²) :: x✝⁵ = (x4, b4) :: tl2 ++ (x✝¹, x✝) :: (x✝¹, !x✝) :: x✝⁴
H1 : (x3, b3) = (x4, b4)
H2 : tl.append ((x✝³, x✝²) :: (x✝³, !x✝²) :: x✝⁵) = tl2.append ((x✝¹, x✝) :: (x✝¹, !x✝) :: x✝⁴)
L₅ : List (α × Bool)
H3 : Step (tl ++ x✝⁵) L₅
H4 : Step (tl2 ++ x✝⁴) L₅
\u22a2 Step ((x4, b4) :: tl2 ++ x✝⁴) ((x3, b3) :: L₅)
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
N k m : ℕ
\u22a2 m ∈ N.roughNumbersUpTo k ↔ m ∈ (N.succ.primesBelow \ k.primesBelow).biUnion fun p => Finset.filter (fun m => m ≠ 0 ∧ p ∣ m) (Finset.range N.succ)
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
N k m : ℕ
\u22a2 (m < N.succ ∧ m ≠ 0 ∧ ∃ x ≤ m, Prime x ∧ x ∣ m ∧ k ≤ x) ↔ ∃ a, ((a < N.succ ∧ Prime a) ∧ (a < k → ¬Prime a)) ∧ m < N.succ ∧ m ≠ 0 ∧ a ∣ m
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
N k m : ℕ
\u22a2 (∃ x, m < N.succ ∧ m ≠ 0 ∧ ¬m < x ∧ Prime x ∧ x ∣ m ∧ ¬x < k) ↔ ∃ a, ((a < N.succ ∧ Prime a) ∧ (a < k → ¬Prime a)) ∧ m < N.succ ∧ m ≠ 0 ∧ a ∣ m
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
N k m p : ℕ
\u22a2 m < N.succ ∧ m ≠ 0 ∧ ¬m < p ∧ Prime p ∧ p ∣ m ∧ ¬p < k ↔ ((p < N.succ ∧ Prime p) ∧ (p < k → ¬Prime p)) ∧ m < N.succ ∧ m ≠ 0 ∧ p ∣ m
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
N k m p : ℕ
H₁ : m ≠ 0 → p ∣ m → m < N.succ → p < N.succ
\u22a2 m < N.succ ∧ m ≠ 0 ∧ ¬m < p ∧ Prime p ∧ p ∣ m ∧ ¬p < k ↔ ((p < N.succ ∧ Prime p) ∧ (p < k → ¬Prime p)) ∧ m < N.succ ∧ m ≠ 0 ∧ p ∣ m
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
N k m p : ℕ
H₁ : m ≠ 0 → p ∣ m → m < N.succ → p < N.succ
H₂ : m ≠ 0 → p ∣ m → ¬m < p
\u22a2 m < N.succ ∧ m ≠ 0 ∧ ¬m < p ∧ Prime p ∧ p ∣ m ∧ ¬p < k ↔ ((p < N.succ ∧ Prime p) ∧ (p < k → ¬Prime p)) ∧ m < N.succ ∧ m ≠ 0 ∧ p ∣ m
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝¹ : ExistsAddOfLE β
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : α → β
inst✝ : Fintype α
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ (a b : α), f₁ a * f₂ b ≤ f₃ (a ⊓ b) * f₄ (a ⊔ b)
\u22a2 (∑ a : α, f₁ a) * ∑ a : α, f₂ a ≤ (∑ a : α, f₃ a) * ∑ a : α, f₄ a
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M✝ : Type u_2
M'✝ : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'✝
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M✝
inst✝⁸ : Module R M'✝
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'✝
f✝ : M✝ →ₗ[R] M'✝
g : M✝ →ₗ[R] M''
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝
M : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s₁ s₂ : ↥S
\u22a2 mk' f m₁ s₁ - mk' f m₂ s₂ = mk' f (s₂ • m₁ - s₁ • m₂) (s₁ * s₂)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
\u22a2 y ∈ f '' closedBall b ε
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : (↑f'symm.nnnorm)⁻¹ ≤ ↑c
\u22a2 y ∈ f '' closedBall b ε
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
\u22a2 y ∈ f '' closedBall b ε
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm
\u22a2 y ∈ f '' closedBall b ε
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm
Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1
\u22a2 y ∈ f '' closedBall b ε
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm
Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1
Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
\u22a2 y ∈ f '' closedBall b ε
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm
Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1
Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
\u22a2 y ∈ f '' closedBall b ε
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm
Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1
Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
g : E → E := fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
hg : g = fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
u : ℕ → E := fun n => g^[n] b
hu : u = fun n => g^[n] b
\u22a2 y ∈ f '' closedBall b ε