ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hf : ∀ (l : ι →₀ R), (Finsupp.total ι M R v) l = 0 → l = 0
s : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
his : i ∈ s
\u22a2 (Finsupp.total ι M R v) (∑ i ∈ s, Finsupp.single i (g i)) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hf : ∀ (l : ι →₀ R), (Finsupp.total ι M R v) l = 0 → l = 0
s : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
his : i ∈ s
h : ∑ i ∈ s, Finsupp.single i (g i) = 0
\u22a2 g i = (Finsupp.lapply i) (Finsupp.single i (g i))
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hf : ∀ (l : ι →₀ R), (Finsupp.total ι M R v) l = 0 → l = 0
s : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
his : i ∈ s
h : ∑ i ∈ s, Finsupp.single i (g i) = 0
j : ι
_hjs : j ∈ s
hji : j ≠ i
\u22a2 (Finsupp.lapply i) (Finsupp.single j (g j)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
Γ' : Type u_3
inst✝ : PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
x y : HahnSeries Γ R
xy : embDomain f x = embDomain f y
g : Γ
\u22a2 x.coeff g = y.coeff g
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
Γ' : Type u_3
inst✝ : PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
x y : HahnSeries Γ R
xy : ∀ (a : Γ'), (embDomain f x).coeff a = (embDomain f y).coeff a
g : Γ
\u22a2 x.coeff g = y.coeff g
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
Γ' : Type u_3
inst✝ : PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
x y : HahnSeries Γ R
xy : ∀ (a : Γ'), (embDomain f x).coeff a = (embDomain f y).coeff a
g : Γ
xyg : (embDomain f x).coeff (f g) = (embDomain f y).coeff (f g)
\u22a2 x.coeff g = y.coeff g
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
\u22a2 ↑↑0 = ↑0
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
p : PosNum
\u22a2 ↑↑(pos p) = ↑(pos p)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
p : PosNum
\u22a2 ↑↑(neg p) = ↑(neg p)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
\u22a2 x \ (y \ z) = x \ y ⊔ x ⊓ y ⊓ z
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
\u22a2 x \ (y \ z) = z ⊓ x ⊔ x \ y
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
\u22a2 x ⊓ y \ z ⊔ (z ⊓ x ⊔ x \ y) = x
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
\u22a2 x ⊓ y \ z ⊓ (z ⊓ x ⊔ x \ y) = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F
\u22a2 (basisDivisor x x).natDegree = 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b c : Cardinal.{u_1}
h : a + b = c + b
hb : b < ℵ₀
\u22a2 a = c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b c : Cardinal.{u_1}
h : b + a = b + c
hb : b < ℵ₀
\u22a2 a = c
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
f : R[X]
g : PolynomialModule R M
n : ℕ
\u22a2 (f • g) n = ∑ x ∈ Finset.antidiagonal n, f.coeff x.1 • g x.2
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
g : PolynomialModule R M
n : ℕ
p q : R[X]
hp : (p • g) n = ∑ x ∈ Finset.antidiagonal n, p.coeff x.1 • g x.2
hq : (q • g) n = ∑ x ∈ Finset.antidiagonal n, q.coeff x.1 • g x.2
\u22a2 ((p + q) • g) n = ∑ x ∈ Finset.antidiagonal n, (p + q).coeff x.1 • g x.2
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
g : PolynomialModule R M
n f_n : ℕ
f_a : R
\u22a2 ((monomial f_n) f_a • g) n = ∑ x ∈ Finset.antidiagonal n, ((monomial f_n) f_a).coeff x.1 • g x.2
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
s : Set α
\u22a2 m.trim s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), m t
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
s : Set α
\u22a2 m.trim s = ⨅ t, ⨅ (_ : MeasurableSet t), ⨅ (_ : s ⊆ t), m t
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Dyadic.lean
m : ℤ
n : ℕ
\u22a2 dyadicMap (IsLocalization.mk' (Localization (Submonoid.powers 2)) m (Submonoid.pow 2 n)) = m • powHalf n
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Dyadic.lean
m : ℤ
n : ℕ
\u22a2 ↑m * powHalf n = m • powHalf n
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfHasFiniteProducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C
\u22a2 (α_ X Y Z).hom ≫ ((fun X Y => prod.braiding X Y) X (Y ⊗ Z)).hom ≫ (α_ Y Z X).hom = ((fun X Y => prod.braiding X Y) X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ ((fun X Y => prod.braiding X Y) X Z).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfHasFiniteProducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C
\u22a2 prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd) ≫ prod.lift prod.snd prod.fst ≫ prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd) = prod.map (prod.lift prod.snd prod.fst) (𝟙 Z) ≫ prod.lift (prod.fst ≫ prod.fst) (prod.lift (prod.fst ≫ prod.snd) prod.snd) ≫ prod.map (𝟙 Y) (prod.lift prod.snd prod.fst)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfHasFiniteProducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C
\u22a2 (α_ X Y Z).inv ≫ ((fun X Y => prod.braiding X Y) (X ⊗ Y) Z).hom ≫ (α_ Z X Y).inv = X ◁ ((fun X Y => prod.braiding X Y) Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ ((fun X Y => prod.braiding X Y) X Z).hom ▷ Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfHasFiniteProducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C
\u22a2 prod.lift (prod.lift prod.fst (prod.snd ≫ prod.fst)) (prod.snd ≫ prod.snd) ≫ prod.lift prod.snd prod.fst ≫ prod.lift (prod.lift prod.fst (prod.snd ≫ prod.fst)) (prod.snd ≫ prod.snd) = prod.map (𝟙 X) (prod.lift prod.snd prod.fst) ≫ prod.lift (prod.lift prod.fst (prod.snd ≫ prod.fst)) (prod.snd ≫ prod.snd) ≫ prod.map (prod.lift prod.snd prod.fst) (𝟙 Y)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
ι : Type u_1
m : Basis ι R ↥M
H : Function.Injective ⇑(mulLeftMap N ⇑m)
\u22a2 M.LinearDisjoint N
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
ι : Type u_1
m : Basis ι R ↥M
H : Function.Injective ⇑(M.mulMap N)
\u22a2 M.LinearDisjoint N
-- Mathlib/CategoryTheory/CommSq.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g✝ : W ⟶ Y
h✝ : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
g : W ≅ Y
h : X ≅ Z
p : CommSq f g.hom h.hom i
\u22a2 i ≫ h.inv = g.inv ≫ f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ↥(Lp E p μ)
\u22a2 f = 0 ↔ ↑↑f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
f : X ⟶ Z
\u22a2 𝟙 X ≫ f = f ≫ 𝟙 Z
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs' : s ≠ 1
\u22a2 DifferentiableAt ℂ (hurwitzZetaEven a) s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs' : s ≠ 1
this : DifferentiableAt ℂ (Function.update (fun s => completedHurwitzZetaEven a s / s.Gammaℝ) 0 ((if a = 0 then -1 else 0) / 2)) s
\u22a2 DifferentiableAt ℂ (hurwitzZetaEven a) s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs' : s ≠ 1
this : DifferentiableAt ℂ (Function.update (fun s => completedHurwitzZetaEven a s / s.Gammaℝ) 0 (if a = 0 then -1 / 2 else 0)) s
\u22a2 DifferentiableAt ℂ (hurwitzZetaEven a) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
h_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
\u22a2 ∫⁻ (a : α), liminf (fun n => f n a) atTop ∂μ = ∫⁻ (a : α), ⨆ n, ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), f i a ∂μ
-- Mathlib/Topology/Irreducible.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
H : IsPreirreducible s
f : X → Y
hf : ContinuousOn f s
u v : Set Y
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : X
hx : x ∈ s
hxu : f x ∈ u
y : X
hy : y ∈ s
hyv : f y ∈ v
\u22a2 (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Irreducible.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
H : IsPreirreducible s
f : X → Y
hf : ContinuousOn f s
u v : Set Y
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : X
hx : x ∈ s
hxu : x ∈ f ⁻¹' u
y : X
hy : y ∈ s
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
\u22a2 (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Irreducible.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
H : IsPreirreducible s
f : X → Y
hf : ContinuousOn f s
u v : Set Y
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : X
hx : x ∈ s
hxu : x ∈ f ⁻¹' u
y : X
hy : y ∈ s
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
u' : Set X
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
\u22a2 (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Irreducible.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
H : IsPreirreducible s
f : X → Y
hf : ContinuousOn f s
u v : Set Y
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : X
hx : x ∈ s
hxu : x ∈ f ⁻¹' u
y : X
hy : y ∈ s
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
u' : Set X
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set X
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
\u22a2 (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Irreducible.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
H : IsPreirreducible s
f : X → Y
hf : ContinuousOn f s
u v : Set Y
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : X
hx : x ∈ s
hxu : x ∈ f ⁻¹' u
y : X
hy : y ∈ s
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
u' : Set X
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set X
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
this : (s ∩ u').Nonempty → (s ∩ v').Nonempty → (s ∩ (u' ∩ v')).Nonempty
\u22a2 (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Irreducible.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
H : IsPreirreducible s
f : X → Y
hf : ContinuousOn f s
u v : Set Y
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : X
hx : x ∈ s
hxu : x ∈ f ⁻¹' u
y : X
hy : y ∈ s
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
u' : Set X
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set X
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
this : (f ⁻¹' u ∩ s).Nonempty → (s ∩ v').Nonempty → (s ∩ (u' ∩ v')).Nonempty
\u22a2 (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Irreducible.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
H : IsPreirreducible s
f : X → Y
hf : ContinuousOn f s
u v : Set Y
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : X
hx : x ∈ s
hxu : x ∈ f ⁻¹' u
y : X
hy : y ∈ s
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
u' : Set X
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set X
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
this : (f ⁻¹' u ∩ s).Nonempty → (f ⁻¹' v ∩ s).Nonempty → (s ∩ (u' ∩ v')).Nonempty
\u22a2 (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Irreducible.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
H : IsPreirreducible s
f : X → Y
hf : ContinuousOn f s
u v : Set Y
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x✝ : X
hx : x✝ ∈ s
hxu : x✝ ∈ f ⁻¹' u
y : X
hy : y ∈ s
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
u' : Set X
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set X
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
this : (f ⁻¹' u ∩ s).Nonempty → (f ⁻¹' v ∩ s).Nonempty → (s ∩ (u' ∩ v')).Nonempty
x : X
hxs : x ∈ s
hxu' : x ∈ u'
hxv' : x ∈ v'
\u22a2 (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Irreducible.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
H : IsPreirreducible s
f : X → Y
hf : ContinuousOn f s
u v : Set Y
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x✝ : X
hx : x✝ ∈ s
hxu : x✝ ∈ f ⁻¹' u
y : X
hy : y ∈ s
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
u' : Set X
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set X
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
this : (f ⁻¹' u ∩ s).Nonempty → (f ⁻¹' v ∩ s).Nonempty → (s ∩ (u' ∩ v')).Nonempty
x : X
hxs : x ∈ s
hxu' : x ∈ u'
hxv' : x ∈ v'
\u22a2 f x ∈ u
-- Mathlib/Topology/Irreducible.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
H : IsPreirreducible s
f : X → Y
hf : ContinuousOn f s
u v : Set Y
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x✝ : X
hx : x✝ ∈ s
hxu : x✝ ∈ f ⁻¹' u
y : X
hy : y ∈ s
hyv : y ∈ f ⁻¹' v
u' : Set X
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set X
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
this : (f ⁻¹' u ∩ s).Nonempty → (f ⁻¹' v ∩ s).Nonempty → (s ∩ (u' ∩ v')).Nonempty
x : X
hxs : x ∈ s
hxu' : x ∈ u'
hxv' : x ∈ v'
\u22a2 f x ∈ v
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
f : ι' ≃ ι
t : (i : ι) → Set (α i)
\u22a2 (⇑(piCongrLeft α f).symm ⁻¹' univ.pi fun i' => t (f i')) = univ.pi t
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
ab : a ≤ b
c : ℤ√↑d
\u22a2 (c + b - (c + a)).Nonneg
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
ab : a ≤ b
c : ℤ√↑d
\u22a2 (b - a).Nonneg
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
a₁ : α
b : β
a₂ : α
\u22a2 (G □ H).Adj (a₁, b) (a₂, b) ↔ G.Adj a₁ a₂
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
\u22a2 ¬Injective f ↔ ∃ a b, f a = f b ∧ a ≠ b
-- Mathlib/Analysis/Convex/Hull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
\u22a2 (convexHull 𝕜) (-s) = -(convexHull 𝕜) s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Hull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
\u22a2 (convexHull 𝕜) (Neg.neg '' s) = Neg.neg '' (convexHull 𝕜) s
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
\u22a2 (condCount s) t = 0 ↔ s ∩ t = ∅
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Integrable f μ
\u22a2 ∫ (x : α), ⨍ (a : α), f a ∂μ - f x ∂μ = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/GuitartExact/Basic.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f : w.CostructuredArrowDownwards g
\u22a2 R.map f.left.hom ≫ ((w.costructuredArrowRightwards X₃).obj (CostructuredArrow.mk f.hom.right)).hom = (CostructuredArrow.mk g).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/GuitartExact/Basic.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.CostructuredArrowDownwards g
φ : f₁ ⟶ f₂
\u22a2 L.map φ.left.right ≫ f₂.hom.right = f₁.hom.right
-- Mathlib/CategoryTheory/GuitartExact/Basic.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.CostructuredArrowDownwards g
φ : f₁ ⟶ f₂
\u22a2 L.map φ.left.right ≫ f₂.hom.right = ((w.structuredArrowDownwards X₂).map φ.left ≫ f₂.hom).right
-- Mathlib/CategoryTheory/GuitartExact/Basic.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
f₁ f₂ : w.CostructuredArrowDownwards g
φ : f₁ ⟶ f₂
\u22a2 (((fun f => StructuredArrow.mk (CostructuredArrow.homMk f.left.hom ⋯)) f₁).hom ≫ (w.costructuredArrowRightwards X₃).map (CostructuredArrow.homMk φ.left.right ⋯)).left = ((fun f => StructuredArrow.mk (CostructuredArrow.homMk f.left.hom ⋯)) f₂).hom.left
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
\u22a2 logb b (x / y) = logb b x - logb b y
-- Mathlib/Data/Seq/Parallel.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
S : WSeq (Computation α)
\u22a2 map f (parallel S) = parallel (WSeq.map (map f) S)
-- Mathlib/Data/Seq/Parallel.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
S : WSeq (Computation α)
\u22a2 IsBisimulation fun c1 c2 => ∃ l S, c1 = map f (corec parallel.aux1 (l, S)) ∧ c2 = corec parallel.aux1 (List.map (map f) l, WSeq.map (map f) S)
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ij : i ≤ j
j2n : j ≤ 2 * n
h : xn a1 i ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j = 2)
npos : ¬n = 0
ij' : i < j
jn : j = n
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ij : i ≤ j
j2n : j ≤ 2 * n
h : xn a1 i ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j = 2)
npos : ¬n = 0
ij' : i < j
jn : j = n
\u22a2 xn a1 j % xn a1 n < xn a1 i % xn a1 n
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ij : i ≤ j
j2n : j ≤ 2 * n
h : xn a1 i ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j = 2)
npos : ¬n = 0
ij' : i < j
jn : j = n
\u22a2 0 < xn a1 i % xn a1 n
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ij : i ≤ j
j2n : j ≤ 2 * n
h : xn a1 i ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j = 2)
npos : ¬n = 0
ij' : i < j
jn : j = n
x0 : 0 < xn a1 0 % xn a1 n
\u22a2 0 < xn a1 i % xn a1 n
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
j n : ℕ
j2n : j ≤ 2 * n
npos : ¬n = 0
jn : j = n
x0 : 0 < xn a1 0 % xn a1 n
i : ℕ
ij : i + 1 ≤ j
h : xn a1 (i + 1) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i + 1 = 0 ∧ j = 2)
ij' : i + 1 < n
\u22a2 0 < xn a1 (i + 1) % xn a1 n
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplexBiprod.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)
M : HomologicalComplex C c
α : K ⟶ M
β : L ⟶ M
i : ι
\u22a2 biprod.inl.f i ≫ (biprod.desc α β).f i = α.f i
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
p : ℕ → Prop
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hp : ∀ k < n, ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, p (n * a + k)
\u22a2 ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, p a
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
p : ℕ → Prop
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hp : ∀ k < n, ∃ a, ∀ b ≥ a, p (n * b + k)
\u22a2 ∃ a, ∀ b ≥ a, p b
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
p : ℕ → Prop
n : ℕ
hn : n ≠ 0
N : ℕ → ℕ
hN : ∀ k < n, ∀ b ≥ N k, p (n * b + k)
b : ℕ
hb : b ≥ (Finset.range n).sup fun x => n * N x
\u22a2 p b
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
p : ℕ → Prop
n : ℕ
hn : n ≠ 0
N : ℕ → ℕ
hN : ∀ k < n, ∀ b ≥ N k, p (n * b + k)
b : ℕ
hb : b ≥ (Finset.range n).sup fun x => n * N x
\u22a2 p (n * (b / n) + b % n)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
p : ℕ → Prop
n : ℕ
hn : n ≠ 0
N : ℕ → ℕ
hN : ∀ k < n, ∀ b ≥ N k, p (n * b + k)
b : ℕ
hb : b ≥ (Finset.range n).sup fun x => n * N x
hlt : b % n < n
\u22a2 p (n * (b / n) + b % n)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
p : ℕ → Prop
n : ℕ
hn : n ≠ 0
N : ℕ → ℕ
hN : ∀ k < n, ∀ b ≥ N k, p (n * b + k)
b : ℕ
hb : b ≥ (Finset.range n).sup fun x => n * N x
hlt : b % n < n
\u22a2 b / n ≥ N (b % n)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
p : ℕ → Prop
n : ℕ
hn : n ≠ 0
N : ℕ → ℕ
hN : ∀ k < n, ∀ b ≥ N k, p (n * b + k)
b : ℕ
hb : b ≥ (Finset.range n).sup fun x => n * N x
hlt : b % n < n
\u22a2 n * N (b % n) ≤ b
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I : Finset ι
J : Set ι
hu : univ ⊆ ↑I ∪ J
b : (i : ι) → φ i
hb : b ∈ ⨅ i ∈ J, ker (proj i)
\u22a2 b ∈ ⨆ i ∈ I, range (stdBasis R φ i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I : Finset ι
J : Set ι
hu : univ ⊆ ↑I ∪ J
b : (i : ι) → φ i
hb : ∀ i ∈ J, b i = 0
\u22a2 b ∈ ⨆ i ∈ I, range (stdBasis R φ i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I : Finset ι
J : Set ι
hu : univ ⊆ ↑I ∪ J
b : (i : ι) → φ i
hb : ∀ i ∈ J, b i = 0
\u22a2 ∑ i ∈ I, (stdBasis R φ i) (b i) ∈ ⨆ i ∈ I, range (stdBasis R φ i)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
g : β → γ
hg : UniformInducing g
f : α → β
\u22a2 UniformInducing (g ∘ f) ↔ UniformInducing f
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
g : β → γ
hg : UniformInducing g
f : α → β
h : UniformInducing (g ∘ f)
\u22a2 UniformInducing f
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
\u22a2 filter p s + filter (fun a => ¬p a) s = s
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
\u22a2 s + 0 = s
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
\u22a2 ∀ a ∈ s, ¬(p a ∧ ¬p a)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
\u22a2 ∀ a ∈ s, p a ∨ ¬p a