ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : RCLike 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ
\u22a2 0 ≤ᶠ[ae (μ.trim hm)] AEStronglyMeasurable'.mk (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) h
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : RCLike 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ
\u22a2 ∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → (μ.trim hm) s_1 < ⊤ → IntegrableOn (AEStronglyMeasurable'.mk (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) h) s_1 (μ.trim hm)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : RCLike 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ
\u22a2 ∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → (μ.trim hm) s_1 < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s_1, AEStronglyMeasurable'.mk (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) h x ∂μ.trim hm
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
inst✝ : Field k
f : R →+* k
\u22a2 IsCoprime (map f p) (map f q) ↔ IsCoprime p q
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
\u22a2 |∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ| ≤ ∫ (x : ℝ) in a..b, |f x| ∂μ
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Adjunctions.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u
inst✝² : Category.{v, u} D
inst✝¹ : Preadditive D
inst✝ : Linear R D
F : C ⥤ D
X Y Z : Free R C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
\u22a2 { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map (f ≫ g) = { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map f ≫ { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map g
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Adjunctions.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u
inst✝² : Category.{v, u} D
inst✝¹ : Preadditive D
inst✝ : Linear R D
F : C ⥤ D
X Y Z : Free R C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
\u22a2 { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map (0 ≫ g) = { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map 0 ≫ { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map g
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Adjunctions.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u
inst✝² : Category.{v, u} D
inst✝¹ : Preadditive D
inst✝ : Linear R D
F : C ⥤ D
X Y Z : Free R C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
\u22a2 ∀ (f g_1 : (X ⟶ Y) →₀ R), { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map (f ≫ g) = { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map f ≫ { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map g → { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map (g_1 ≫ g) = { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map g_1 ≫ { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map g → { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map ((f + g_1) ≫ g) = { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map (f + g_1) ≫ { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map g
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Adjunctions.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u
inst✝² : Category.{v, u} D
inst✝¹ : Preadditive D
inst✝ : Linear R D
F : C ⥤ D
X Y Z : Free R C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
\u22a2 ∀ (a : X ⟶ Y) (b : R), { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map (single a b ≫ g) = { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map (single a b) ≫ { obj := fun X => F.obj X, map := fun {X Y} f => sum f fun f' r => r • F.map f' }.map g
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
a b : Ordinal.{u_1}
l : a.IsLimit
hb : b ≠ 0
\u22a2 (a ^ b).IsLimit
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
a b : Ordinal.{u_1}
l : a.IsLimit
hb : b ≠ 0
e : b = 0
\u22a2 (a ^ b).IsLimit
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
a : Ordinal.{u_1}
l : a.IsLimit
b : Ordinal.{u_1}
hb : succ b ≠ 0
\u22a2 (a ^ succ b).IsLimit
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
a b : Ordinal.{u_1}
l : a.IsLimit
hb : b ≠ 0
l' : b.IsLimit
\u22a2 (a ^ b).IsLimit
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : Invertible 2
p : Fin 2 → P
\u22a2 centroid k univ p = 2⁻¹ • (p 1 -ᵥ p 0) +ᵥ p 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : Invertible 2
p : Fin 2 → P
\u22a2 centroid k {0, 1} p = 2⁻¹ • (p 1 -ᵥ p 0) +ᵥ p 0
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
n : ℕ
\u22a2 ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = n
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/EqualizerProducts.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasProducts C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type v'
U : ι → Opens ↑X
i : ι
\u22a2 res F U ≫ limit.π (Discrete.functor fun i => F.obj (op (U i))) { as := i } = F.map (leSupr U i).op
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommSemigroup α
a b c✝ c : α
h : c * a = b
\u22a2 a * c = b
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommSemigroup α
a b c✝ c : α
h : a * c = b
\u22a2 a * c = b
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsLimit.lean
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s t : Cone F
h : IsLimit t
f f' g : s ⟶ t
\u22a2 g = h.liftConeMorphism s
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsLimit.lean
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
s t : Cone F
h : IsLimit t
f f' g : s ⟶ t
\u22a2 g.hom = (h.liftConeMorphism s).hom
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
pp : Prime p
\u22a2 Icc 1 (n.factorization p) = Finset.filter (fun i => p ^ i ∣ n) (Ico 1 n)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n p✝ p : ℕ
pp : Prime p
\u22a2 Icc 1 ((factorization 0) p) = Finset.filter (fun i => p ^ i ∣ 0) (Ico 1 0)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
pp : Prime p
hn : n ≠ 0
\u22a2 Icc 1 (n.factorization p) = Finset.filter (fun i => p ^ i ∣ n) (Ico 1 n)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
pp : Prime p
hn : n ≠ 0
x : ℕ
\u22a2 x ∈ Icc 1 (n.factorization p) ↔ x ∈ Finset.filter (fun i => p ^ i ∣ n) (Ico 1 n)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
pp : Prime p
hn : n ≠ 0
x : ℕ
\u22a2 1 ≤ x → x ≤ n.factorization p → x < n
-- Mathlib/Topology/NoetherianSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
s : Closeds α
\u22a2 ∃ S, (∀ (k : { x // x ∈ S }), IsIrreducible ↑↑k) ∧ s = S.sup id
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
a : Cardinal.{u}
\u22a2 0 = lift.{v, u} a ↔ 0 = a
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
c : Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
w✝² w✝¹ w✝ : List Char
h : ValidFor w✝² w✝¹ w✝ x✝
\u22a2 x✝.contains c = true ↔ c ∈ x✝.toString.data
-- Mathlib/Algebra/Lie/Normalizer.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x y z : L
hx : x ∈ H.normalizer
hy : y ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
hz : z ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
\u22a2 ⁅y, z⁆ ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
-- Mathlib/Algebra/Lie/Normalizer.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x y z : L
hx : x ∈ H.normalizer
hy : ∃ y_1 ∈ Submodule.span R {x}, ∃ z ∈ H.toSubmodule, y_1 + z = y
hz : ∃ y ∈ Submodule.span R {x}, ∃ z_1 ∈ H.toSubmodule, y + z_1 = z
\u22a2 ⁅y, z⁆ ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
-- Mathlib/Algebra/Lie/Normalizer.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
u₁ : L
hu₁ : u₁ ∈ Submodule.span R {x}
v : L
hv : v ∈ H
u₂ : L
hu₂ : u₂ ∈ Submodule.span R {x}
w : L
hw : w ∈ H
\u22a2 ⁅u₁ + v, u₂ + w⁆ ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
-- Mathlib/Algebra/Lie/Normalizer.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
v : L
hv : v ∈ H
u₂ : L
hu₂ : u₂ ∈ Submodule.span R {x}
w : L
hw : w ∈ H
t : R
hu₁ : t • x ∈ Submodule.span R {x}
\u22a2 ⁅t • x + v, u₂ + w⁆ ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
-- Mathlib/Algebra/Lie/Normalizer.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
v : L
hv : v ∈ H
w : L
hw : w ∈ H
t : R
hu₁ : t • x ∈ Submodule.span R {x}
s : R
hu₂ : s • x ∈ Submodule.span R {x}
\u22a2 ⁅t • x + v, s • x + w⁆ ∈ Submodule.span R {x} ⊔ H.toSubmodule
-- Mathlib/Algebra/Lie/Normalizer.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
v : L
hv : v ∈ H
w : L
hw : w ∈ H
t : R
hu₁ : t • x ∈ Submodule.span R {x}
s : R
hu₂ : s • x ∈ Submodule.span R {x}
\u22a2 ⁅t • x + v, s • x + w⁆ ∈ H.toSubmodule
-- Mathlib/Algebra/Lie/Normalizer.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
v : L
hv : v ∈ H
w : L
hw : w ∈ H
t : R
hu₁ : t • x ∈ Submodule.span R {x}
s : R
hu₂ : s • x ∈ Submodule.span R {x}
\u22a2 s • ⁅v, x⁆ + (t • ⁅x, w⁆ + ⁅v, w⁆) ∈ H
-- Mathlib/Algebra/Lie/Normalizer.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
v : L
hv : v ∈ H
w : L
hw : w ∈ H
t : R
hu₁ : t • x ∈ Submodule.span R {x}
s : R
hu₂ : s • x ∈ Submodule.span R {x}
\u22a2 ⁅v, x⁆ ∈ H
-- Mathlib/Algebra/Lie/Normalizer.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
hx : x ∈ H.normalizer
v : L
hv : v ∈ H
w : L
hw : w ∈ H
t : R
hu₁ : t • x ∈ Submodule.span R {x}
s : R
hu₂ : s • x ∈ Submodule.span R {x}
\u22a2 ⁅x, w⁆ ∈ H
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x : Z
e e' : Trivialization F proj
h : (fun e => e.toPretrivialization) e = (fun e => e.toPretrivialization) e'
\u22a2 e.toPartialHomeomorph = e'.toPartialHomeomorph
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x : Z
e e' : Trivialization F proj
h : (fun e => e.toPretrivialization) e = (fun e => e.toPretrivialization) e'
\u22a2 e.baseSet = e'.baseSet
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Semigroup α
x : Holor α ds₁
y : Holor α ds₂
z : Holor α ds₃
\u22a2 HEq (x ⊗ y ⊗ z) (x ⊗ (y ⊗ z))
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
E : Type u_3
inst✝¹ : Norm E
F : Type u_4
inst✝ : Norm F
e : α ≃ₜ β
b : β
f : β → E
g : β → F
\u22a2 f =o[𝓝 b] g ↔ (f ∘ ⇑e) =o[𝓝 (e.symm b)] (g ∘ ⇑e)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
E : Type u_3
inst✝¹ : Norm E
F : Type u_4
inst✝ : Norm F
e : α ≃ₜ β
b : β
f : β → E
g : β → F
\u22a2 (∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c (𝓝 b) f g) ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c (𝓝 (e.symm b)) (f ∘ ⇑e) (g ∘ ⇑e)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
hy : y ≠ ⊤
\u22a2 x.toReal = y.toReal ↔ x = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
B : C
α : Type v
X : α → C
f : (j : α) → B ⟶ X j
inst✝¹ : HasWidePushout B X f
inst✝ : PreservesColimit (wideSpan B X f) (forget C)
x : (forget C).obj (widePushout B X f)
\u22a2 (∃ y, (head f) y = x) ∨ ∃ i y, (ι f i) y = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
B : C
α : Type v
X : α → C
f : (j : α) → B ⟶ X j
inst✝¹ : HasWidePushout B X f
inst✝ : PreservesColimit (wideSpan B X f) (forget C)
y : (forget C).obj ((wideSpan B X f).obj none)
\u22a2 (∃ y_1, (head f) y_1 = (colimit.ι (wideSpan B X f) none) y) ∨ ∃ i y_1, (ι f i) y_1 = (colimit.ι (wideSpan B X f) none) y
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
B : C
α : Type v
X : α → C
f : (j : α) → B ⟶ X j
inst✝¹ : HasWidePushout B X f
inst✝ : PreservesColimit (wideSpan B X f) (forget C)
j : α
y : (forget C).obj ((wideSpan B X f).obj (some j))
\u22a2 (∃ y_1, (head f) y_1 = (colimit.ι (wideSpan B X f) (some j)) y) ∨ ∃ i y_1, (ι f i) y_1 = (colimit.ι (wideSpan B X f) (some j)) y
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gamma.lean
a r x : ℝ
hx : 0 ≤ x
\u22a2 gammaPDF a r x = ENNReal.ofReal (r ^ a / Gamma a * x ^ (a - 1) * rexp (-(r * x)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
\u22a2 ∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
f_lim : α → E
h_f_lim_meas : StronglyMeasurable f_lim
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
\u22a2 ∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
f_lim : α → E
h_f_lim_meas : StronglyMeasurable f_lim
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
h_tendsto' : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
\u22a2 ∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
f_lim : α → E
h_f_lim_meas : StronglyMeasurable f_lim
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
h_tendsto' : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
h_ℒp_lim : Memℒp f_lim p μ
\u22a2 ∃ f_lim, Memℒp f_lim p μ ∧ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c d : Ordinal.{u}
h₁ : a ≤ b
h₂ : 0 ≤ c
\u22a2 a ⨳ c ≤ b ⨳ c
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c d : Ordinal.{u}
h₁ : a ≤ b
h₂ : 0 ≤ c
\u22a2 c ⨳ a ≤ c ⨳ b
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
\u22a2 ↑m * ↑(↑m)⁻¹.val = 1
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m : ℕ
hmn : m.Coprime 0
\u22a2 ↑m * ↑(↑m)⁻¹.val = 1
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
hn : n ≠ 0
\u22a2 ↑m * ↑(↑m)⁻¹.val = 1
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
hn : n ≠ 0
this : NeZero n
\u22a2 ↑m * ↑(↑m)⁻¹.val = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
ι : Type u_6
f : ι → α → M
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, AEStronglyMeasurable (f i) μ
\u22a2 AEStronglyMeasurable (fun a => ∏ i ∈ s, f i a) μ
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}
H : ∀ (i : ι), f i ≤ g i
i : ι
this : f i ≤ g i
\u22a2 Nonempty (Quotient.out (f i) ↪ Quotient.out (g i))
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/AdjMatrix.lean
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
i✝ j✝ : V
\u22a2 (adjMatrix α G)ᵀ i✝ j✝ = adjMatrix α G i✝ j✝
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x : R
I J : Ideal R
\u22a2 (∀ {zI : R}, zI ∈ I → zI ∈ span {x} * J) ↔ ∀ zI ∈ I, ∃ zJ ∈ J, x * zJ = zI
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
la : Filter α
pa : ι → Prop
sa : ι → Set α
lb : Filter β
pb : ι' → Prop
sb✝ : ι' → Set β
f : α → β
p : ι → Prop
sb : ι → Set β
hla : la.HasBasis p sa
hlb : lb.HasBasis p sb
h_dir : ∀ {i j : ι}, p i → p j → ∃ k, p k ∧ sa k ⊆ sa i ∧ sb k ⊆ sb j
\u22a2 (la ×ˢ lb).HasBasis p fun i => sa i ×ˢ sb i
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
la : Filter α
pa : ι → Prop
sa : ι → Set α
lb : Filter β
pb : ι' → Prop
sb✝ : ι' → Set β
f : α → β
p : ι → Prop
sb : ι → Set β
hla : la.HasBasis p sa
hlb : lb.HasBasis p sb
h_dir : ∀ {i j : ι}, p i → p j → ∃ k, p k ∧ sa k ⊆ sa i ∧ sb k ⊆ sb j
\u22a2 ∀ (t : Set (α × β)), (∃ i, (p i.fst ∧ p i.snd) ∧ sa i.fst ×ˢ sb i.snd ⊆ t) ↔ ∃ i, p i ∧ sa i ×ˢ sb i ⊆ t
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : PolishSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T2Space β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous f
f_inj : Injective f
this : UpgradedPolishSpace γ := upgradePolishSpace γ
\u22a2 MeasurableSet (range f)