ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝³ : FTCFilter a la la'
inst✝² : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
s t : Set ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la
inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb volume
ha : Tendsto f (la ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (lb ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
\u22a2 HasFDerivWithinAt (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.1 ..p.2, f x) ((snd ℝ ℝ ℝ).smulRight cb - (fst ℝ ℝ ℝ).smulRight ca) (s ×ˢ t) (a, b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝³ : FTCFilter a la la'
inst✝² : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
s t : Set ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la
inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb volume
ha : Tendsto f (la ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (lb ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
\u22a2 HasFDerivAtFilter (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.1 ..p.2, f x) ((snd ℝ ℝ ℝ).smulRight cb - (fst ℝ ℝ ℝ).smulRight ca) (a, b) (𝓝[s] a ×ˢ 𝓝[t] b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝³ : FTCFilter a la la'
inst✝² : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
s t : Set ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la
inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb volume
ha : Tendsto f (la ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (lb ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
this : (fun t => ((∫ (x : ℝ) in t.1 ..t.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..b, f x) - ((t.2 - b) • cb - (t.1 - a) • ca)) =o[𝓝[s] a ×ˢ 𝓝[t] b] fun t => ‖t.1 - a‖ + ‖t.2 - b‖
\u22a2 HasFDerivAtFilter (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.1 ..p.2, f x) ((snd ℝ ℝ ℝ).smulRight cb - (fst ℝ ℝ ℝ).smulRight ca) (a, b) (𝓝[s] a ×ˢ 𝓝[t] b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝³ : FTCFilter a la la'
inst✝² : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
s t : Set ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la
inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb volume
ha : Tendsto f (la ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (lb ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
this : (fun t => ((∫ (x : ℝ) in t.1 ..t.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..b, f x) - ((t.2 - b) • cb - (t.1 - a) • ca)) =o[𝓝[s] a ×ˢ 𝓝[t] b] fun t => ‖t.1 - a‖ + ‖t.2 - b‖
\u22a2 ∀ (x : ℝ × ℝ), ((∫ (x : ℝ) in x.1 ..x.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..b, f x) - ((x.2 - b) • cb - (x.1 - a) • ca) = ((∫ (x : ℝ) in x.1 ..x.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in (a, b).1 ..(a, b).2, f x) - ((snd ℝ ℝ ℝ).smulRight cb - (fst ℝ ℝ ℝ).smulRight ca) (x - (a, b))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝³ : FTCFilter a la la'
inst✝² : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
s t : Set ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a (𝓝[s] a) la
inst✝ : FTCFilter b (𝓝[t] b) lb
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb volume
ha : Tendsto f (la ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (lb ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
this : (fun t => ((∫ (x : ℝ) in t.1 ..t.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in a..b, f x) - ((t.2 - b) • cb - (t.1 - a) • ca)) =o[𝓝[s] a ×ˢ 𝓝[t] b] fun t => ‖t.1 - a‖ + ‖t.2 - b‖
\u22a2 (fun t => ‖t.1 - a‖ + ‖t.2 - b‖) =O[𝓝[s] a ×ˢ 𝓝[t] b] fun x' => x' - (a, b)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
s : Multiset R
\u22a2 (map (fun r => X + C r) s).prod = ∑ j ∈ Finset.range (card s + 1), C (s.esymm j) * X ^ (card s - j)
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
\u22a2 (insert a s).Pairwise r ↔ s.Pairwise r ∧ ∀ b ∈ s, a ≠ b → r a b ∧ r b a
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
\u22a2 eLpNorm' (fun x => c) q μ = ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / q)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
\u22a2 (↑‖c‖₊ ^ q) ^ (1 / q) * μ Set.univ ^ (1 / q) = ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / q)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : F
hc_ne_zero : c ≠ 0
hq_ne_zero : q ≠ 0
\u22a2 ↑‖c‖₊ ^ q ≠ ⊤
-- Mathlib/AlgebraicTopology/MooreComplex.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.55203, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X✝ Y✝ Z✝ : SimplicialObject C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
\u22a2 { obj := obj, map := fun {X Y} f => map f }.map (f ≫ g) = { obj := obj, map := fun {X Y} f => map f }.map f ≫ { obj := obj, map := fun {X Y} f => map f }.map g
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g✝ : β → α
a a₁ a₂ : α
g : γ → β
f : β → α
hg : Injective g
\u22a2 ∏' (x : ↑(Set.range g)), f ↑x = ∏' (x : γ), f (g x)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g✝ : β → α
a a₁ a₂ : α
g : γ → β
f : β → α
hg : Injective g
\u22a2 ∏' (x : ↑Set.univ), f (g ↑x) = ∏' (x : γ), f (g x)
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic R
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
φ : R →+* S
inst✝ : IsDomain S
\u22a2 (map φ P).roots = (Polynomial.map φ P.toPoly).roots
-- Mathlib/Data/Int/Interval.lean
a b : ℤ
\u22a2 Fintype.card ↑(Set.Icc a b) = (b + 1 - a).toNat
-- Mathlib/Algebra/Order/Rearrangement.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
\u22a2 ∑ i ∈ s, f (σ i) • g i ≤ ∑ i ∈ s, f i • g i
-- Mathlib/Algebra/Order/Rearrangement.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s
\u22a2 ∑ i ∈ s, f (σ i) • g i = ∑ i ∈ s, f i • g (σ⁻¹ i)
-- Mathlib/Topology/Filter.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
la : Filter α
lb : Filter β
f : α → Filter β
\u22a2 Tendsto f la (𝓝 lb) ↔ ∀ s ∈ lb, ∀ᶠ (a : α) in la, s ∈ f a
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : i ≤ j.castSucc
\u22a2 X.map (SimplexCategory.δ (i.castLT ⋯)) ≫ X.map (SimplexCategory.δ j.succ) = X.map (SimplexCategory.δ j) ≫ X.map (SimplexCategory.δ i)
-- Mathlib/Analysis/Normed/MulAction.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing α
inst✝² : SeminormedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : BoundedSMul α β
s : α
x y : β
\u22a2 edist (s • x) (s • y) = ‖s‖₊ • edist x y
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
\u22a2 ε * μ {x | ε ≤ f x} ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Pi.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p✝ q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
x✝ : (i : ι) → φ i
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
i : ι
x : φ i
hx : x ∈ p i
\u22a2 x ∈ comap (single i) (pi Set.univ p)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Pi.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p✝ q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
x✝ : (i : ι) → φ i
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
i : ι
x : φ i
hx : x ∈ p i
\u22a2 ∀ i_1 ∈ Set.univ, (single i) x i_1 ∈ p i_1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Trim.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf : StronglyMeasurable f
\u22a2 ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Trim.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf : StronglyMeasurable f
\u22a2 Measurable fun a => ↑‖f a‖₊ ^ q
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Trim.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf : StronglyMeasurable f
\u22a2 Measurable fun a => ‖f a‖₊
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Trim.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hm : m ≤ m0
f : α → E
hf : StronglyMeasurable f
\u22a2 StronglyMeasurable fun a => ‖f a‖₊
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : ¬M.Indep I
\u22a2 M.Indep (insert e I) ↔ M.Indep I ∧ (e ∉ I → e ∈ M.E \ M.closure I)
-- Mathlib/Logic/Function/Iterate.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → α
g : ℕ → α → α
H : ∀ (n : ℕ), Semiconj f (g n) (g (n + 1))
n k : ℕ
\u22a2 Semiconj f^[n] (g k) (g (n + k))
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/AEStabilizer.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
x y : G
s : Set α
hs : x • s =ᶠ[ae μ] s
hy : y ∈ Subgroup.zpowers x
\u22a2 y • s =ᶠ[ae μ] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/AEStabilizer.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
x y : G
s : Set α
hs : Subgroup.zpowers x ≤ MulAction.aestabilizer G μ s
hy : y ∈ Subgroup.zpowers x
\u22a2 y • s =ᶠ[ae μ] s
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
x✝ : ↑(ModuleCat.of ℤ (LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o) ℤ))
\u22a2 (ModuleCat.ofHom (πs C o) ≫ ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) x✝ = 0 x✝
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
\u22a2 (ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).Exact
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
\u22a2 ∀ (x₂ : ↑(ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).X₂), (ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).g x₂ = 0 → ∃ x₁, (ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).f x₁ = x₂
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
f : ↑(ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).X₂
\u22a2 (ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).g f = 0 → ∃ x₁, (ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho)) ⋯).f x₁ = f
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
x : G
\u22a2 x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
\u22a2 W.negY P / P z ^ 3 = W.toAffine.negY (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3)
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : Associates α
hp : ¬Irreducible p
s : FactorSet α
h : p ∈ s
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ : R⟦X⟧
\u22a2 (coeff R (n + 1)) (φ * X) = (coeff R n) φ
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ : R⟦X⟧
\u22a2 (MvPowerSeries.coeff R (single () n + single () 1)) (φ * X) = (MvPowerSeries.coeff R (single () n)) φ
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ : R⟦X⟧
\u22a2 (MvPowerSeries.coeff R (single () n)) φ = (MvPowerSeries.coeff R (single () n)) φ * 1
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : DecidableEq δ
s : Finset δ
x : (i : δ) → π i
\u22a2 Measurable (updateFinset x s)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : DecidableEq δ
s : Finset δ
x : (i : δ) → π i
\u22a2 ∀ (a : δ), Measurable fun x_1 => if hi : a ∈ s then x_1 ⟨a, hi⟩ else x a
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : DecidableEq δ
s : Finset δ
x : (i : δ) → π i
i : δ
\u22a2 Measurable fun x_1 => if hi : i ∈ s then x_1 ⟨i, hi⟩ else x i
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
\u22a2 a.x * a₁.y ≤ a.y * a₁.x
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
\u22a2 0 ≤ a.y ^ 2 * (1 + d * a₁.y ^ 2) - (1 + d * a.y ^ 2) * a₁.y ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
\u22a2 0 ≤ a.y ^ 2 - a₁.y ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y
\u22a2 a₁.y ≤ a.y
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
\u22a2 0 • a = a * ↑0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
n : ℕ
a : Ordinal.{u_4}
\u22a2 (n + 1) • a = a * ↑(n + 1)
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
\u22a2 0 ∉ map { toFun := succ, inj' := ⋯ } univ
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
\u22a2 univ = Finset.cons 0 (map { toFun := succ, inj' := ⋯ } univ) ⋯
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
\u22a2 (baseChange W B).toAffine.polynomialX = Polynomial.map (mapRingHom ↑f) (baseChange W A).toAffine.polynomialX
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
\u22a2 Submodule.span ℝ ↑(unitLattice K) = ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
\u22a2 ⊤ ≤ Submodule.span ℝ ↑(unitLattice K)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B✝ : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B✝
B : Basis { w // w ≠ w₀ } ℝ ({ w // w ≠ w₀ } → ℝ) := Pi.basisFun ℝ { w // w ≠ w₀ }
\u22a2 ⊤ ≤ Submodule.span ℝ ↑(unitLattice K)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B✝ : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B✝
B : Basis { w // w ≠ w₀ } ℝ ({ w // w ≠ w₀ } → ℝ) := Pi.basisFun ℝ { w // w ≠ w₀ }
v : { w // w ≠ w₀ } → { w // w ≠ w₀ } → ℝ := fun w => (logEmbedding K) ⋯.choose
\u22a2 ⊤ ≤ Submodule.span ℝ ↑(unitLattice K)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B✝ : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B✝
B : Basis { w // w ≠ w₀ } ℝ ({ w // w ≠ w₀ } → ℝ) := Pi.basisFun ℝ { w // w ≠ w₀ }
v : { w // w ≠ w₀ } → { w // w ≠ w₀ } → ℝ := fun w => (logEmbedding K) ⋯.choose
\u22a2 B.det v ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B✝ : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B✝
B : Basis { w // w ≠ w₀ } ℝ ({ w // w ≠ w₀ } → ℝ) := Pi.basisFun ℝ { w // w ≠ w₀ }
v : { w // w ≠ w₀ } → { w // w ≠ w₀ } → ℝ := fun w => (logEmbedding K) ⋯.choose
\u22a2 (B.toMatrix v).det ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B✝ : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B✝
B : Basis { w // w ≠ w₀ } ℝ ({ w // w ≠ w₀ } → ℝ) := Pi.basisFun ℝ { w // w ≠ w₀ }
v : { w // w ≠ w₀ } → { w // w ≠ w₀ } → ℝ := fun w => (logEmbedding K) ⋯.choose
w : { w // w ≠ w₀ }
\u22a2 ∑ i ∈ univ.erase w, ‖B.toMatrix v i w‖ < ‖B.toMatrix v w w‖
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B✝ : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B✝
B : Basis { w // w ≠ w₀ } ℝ ({ w // w ≠ w₀ } → ℝ) := Pi.basisFun ℝ { w // w ≠ w₀ }
v : { w // w ≠ w₀ } → { w // w ≠ w₀ } → ℝ := fun w => (logEmbedding K) ⋯.choose
w : { w // w ≠ w₀ }
\u22a2 ∑ x ∈ univ.erase w, |v w x| < |v w w|
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B✝ : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B✝
B : Basis { w // w ≠ w₀ } ℝ ({ w // w ≠ w₀ } → ℝ) := Pi.basisFun ℝ { w // w ≠ w₀ }
v : { w // w ≠ w₀ } → { w // w ≠ w₀ } → ℝ := fun w => (logEmbedding K) ⋯.choose
w : { w // w ≠ w₀ }
\u22a2 0 < |v w w| - v w w + ∑ x : { w // w ≠ w₀ }, v w x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁ : InfinitePlace K
B✝ : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B✝
B : Basis { w // w ≠ w₀ } ℝ ({ w // w ≠ w₀ } → ℝ) := Pi.basisFun ℝ { w // w ≠ w₀ }
v : { w // w ≠ w₀ } → { w // w ≠ w₀ } → ℝ := fun w => (logEmbedding K) ⋯.choose
w x : { w // w ≠ w₀ }
hx : x ∈ univ.erase w
\u22a2 v w x < 0
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
s : Set α
a : α
di : DenseInducing i
hs : s ∈ 𝓝 a
\u22a2 closure (i '' s) ∈ 𝓝 (i a)
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
s : Set α
a : α
di : DenseInducing i
hs : ∃ i_1, (i a ∈ i_1 ∧ IsOpen i_1) ∧ i ⁻¹' i_1 ⊆ s
\u22a2 closure (i '' s) ∈ 𝓝 (i a)
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
s : Set α
a : α
di : DenseInducing i
U : Set β
sub : i ⁻¹' U ⊆ s
haU : i a ∈ U
hUo : IsOpen U
\u22a2 closure (i '' s) ∈ 𝓝 (i a)
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
s : Set α
a : α
di : DenseInducing i
U : Set β
sub : i ⁻¹' U ⊆ s
haU : i a ∈ U
hUo : IsOpen U
\u22a2 U ⊆ closure (i '' s)
-- Mathlib/Order/ModularLattice.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsModularLattice α
x y z : α
h : z ≤ x
\u22a2 x ⊓ y ⊔ z = x ⊓ (y ⊔ z)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Group.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
s : Set β
hf : HasProd (f ∘ Subtype.val) a₁
\u22a2 HasProd (f ∘ Subtype.val) a₂ ↔ HasProd f (a₁ * a₂)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Group.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
s : Set β
hf : HasProd (f ∘ Subtype.val) a₁
h : HasProd f (a₁ * a₂)
\u22a2 HasProd (f ∘ Subtype.val) a₂
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Group.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
s : Set β
hf : HasProd (s.mulIndicator f) a₁
h : HasProd f (a₁ * a₂)
\u22a2 HasProd (sᶜ.mulIndicator f) a₂
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Group.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
s : Set β
hf : HasProd (s.mulIndicator f) a₁
h : HasProd f (a₁ * a₂)
\u22a2 HasProd (f * (s.mulIndicator f)⁻¹) a₂
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
i j : D.J
U : Set ↑(D.U i)
\u22a2 ⇑(D.ι j) ⁻¹' (⇑(D.ι i) '' U) = ⇑(D.t i j ≫ D.f j i) '' (⇑(D.f i j) ⁻¹' U)