ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Set/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : SemilatticeSup α
s t : Set α
a : α
\u22a2 (∃ a_1, (∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, a ⊔ b = a_1) ∧ a_1 ≤ a) ↔ (∃ a_1 ∈ s, a_1 ≤ a) ∧ ∃ a_1 ∈ t, a_1 ≤ a
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Tagged.lean
ι : Type u_1
I J : Box ι
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
x✝ : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
h : π.IsHenstock
x : ι → ℝ
\u22a2 (Finset.filter (fun J => π.tag J = x) π.boxes).card ≤ (Finset.filter (fun J => x ∈ Box.Icc J) π.boxes).card
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Tagged.lean
ι : Type u_1
I J✝ : Box ι
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
x✝ : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
h : π.IsHenstock
x : ι → ℝ
J : Box ι
hJ : J ∈ Finset.filter (fun J => π.tag J = x) π.boxes
\u22a2 J ∈ Finset.filter (fun J => x ∈ Box.Icc J) π.boxes
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Tagged.lean
ι : Type u_1
I J✝ : Box ι
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
x✝ : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
h : π.IsHenstock
x : ι → ℝ
J : Box ι
hJ : J ∈ π.boxes ∧ π.tag J = x
\u22a2 J ∈ π.boxes ∧ x ∈ Box.Icc J
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
\u22a2 image₂ f s t ⊆ u ↔ ∀ a ∈ s, image (fun b => f a b) t ⊆ u
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/HaarToSphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : Nontrivial E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : ℝ → F
\u22a2 ∫ (x : E), f ‖x‖ ∂μ = ∫ (x : ↑{0}ᶜ), f ‖↑x‖ ∂Measure.comap Subtype.val μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/HaarToSphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : Nontrivial E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : ℝ → F
\u22a2 ((μ.toSphere univ).toReal • ∫ (x : ↑(Ioi 0)), f ↑x ∂(Measure.comap Subtype.val volume).withDensity fun r => ↑(↑r ^ (dim E - 1)).toNNReal) = dim E • (μ (ball 0 1)).toReal • ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, y ^ (dim E - 1) • f y
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/HaarToSphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : Nontrivial E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : ℝ → F
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
\u22a2 (x ^ (dim E - 1)).toNNReal • f x = x ^ (dim E - 1) • f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/HaarToSphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : Nontrivial E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : ℝ → F
\u22a2 Measurable fun r => (↑r ^ (dim E - 1)).toNNReal
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s1 : WSeq α
s2 : WSeq β
h✝ : LiftRel R s1 s2
s : WSeq β
t : WSeq α
h : LiftRel R t s
\u22a2 Computation.LiftRel (LiftRelO (swap R) (swap (LiftRel R))) s.destruct t.destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s1 : WSeq α
s2 : WSeq β
h✝ : LiftRel R s1 s2
s : WSeq β
t : WSeq α
h : LiftRel R t s
\u22a2 Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) t.destruct s.destruct
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : Mul α
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : DistribMulAction R α
inst✝ : IsScalarTower R α α
a : R
M : Matrix m n α
N : Matrix n l α
i✝ : m
j✝ : l
\u22a2 (a • M * N) i✝ j✝ = (a • (M * N)) i✝ j✝
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
n : ℕ
\u22a2 (σ 1) n = ∑ d ∈ n.divisors, d
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : eLpNorm f p μ < ⊤
\u22a2 Tendsto (fun n => eLpNorm (↑(approxOn f fmeas (Set.range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) - f) p μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : eLpNorm f p μ < ⊤
\u22a2 ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure (Set.range f ∪ {0})
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : eLpNorm f p μ < ⊤
\u22a2 eLpNorm (fun x => f x - 0) p μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
f : α → β
μ : ι → Measure α
s : Finset ι
\u22a2 Integrable f (∑ i ∈ s, μ i) ↔ ∀ i ∈ s, Integrable f (μ i)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
\u22a2 (W.ΨSq n).coeff (n.natAbs ^ 2 - 1) = ↑n ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x✝ y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
x : ℝ
\u22a2 ((fun r => r⁻¹) ∘ fun x => rexp x / x ^ n) x = x ^ n * rexp (-x)
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Lemmas.lean
K : Type u_1
inst✝ : DivisionSemiring K
q : ℚ≥0
n : ℕ
\u22a2 ↑(q ^ n) = ↑q ^ n
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Defs.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
n : ℤ
\u22a2 ↑n / ↑1 = ↑n
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m✝ m : OuterMeasure α
s : Set α
\u22a2 ∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ m t = m.trim s
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m✝ m : OuterMeasure α
s : Set α
\u22a2 ∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ m t = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), m t
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
r : R
\u22a2 trunc (C r * T n) = if 0 ≤ n then (monomial n.toNat) r else 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
r : R
\u22a2 (toFinsuppIso R) (trunc (C r * T n)) = (toFinsuppIso R) (if 0 ≤ n then (monomial n.toNat) r else 0)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
r : R
\u22a2 (toFinsuppIso R) ((toFinsuppIso R).symm.toAddMonoidHom ((comapDomain.addMonoidHom ⋯) (Finsupp.single n r))) = (toFinsuppIso R) (if 0 ≤ n then (monomial n.toNat) r else 0)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
r : R
\u22a2 comapDomain Int.ofNat (Finsupp.single n r) ⋯ = (toFinsuppIso R) (if 0 ≤ n then (monomial n.toNat) r else 0)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
r : R
\u22a2 comapDomain Int.ofNat (Finsupp.single n r) ⋯ = (if 0 ≤ n then (monomial n.toNat) r else 0).toFinsupp
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
a a' : α
b : M
inst✝ : Decidable (a = a')
\u22a2 (single a b) a' = if a = a' then b else 0
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
s : Finset ℕ
N : ℕ
hN : ¬Prime N
m : ℕ
\u22a2 m ∈ factoredNumbers (insert N s) ↔ m ∈ factoredNumbers s
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
s : Finset ℕ
N : ℕ
hN : ¬Prime N
m : ℕ
hm : m ∈ factoredNumbers (insert N s)
p : ℕ
hp : p ∈ m.primeFactorsList
\u22a2 p ∈ s
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → UpperSet α
\u22a2 ↑(⨅ i, ⨅ j, f i j) = ⋃ i, ⋃ j, ↑(f i j)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/IsometricSMul.lean
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace X
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G X
inst✝² : IsometricSMul G X
inst✝¹ : PseudoMetricSpace G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
r : ℝ
\u22a2 (fun x => x * a) ⁻¹' ball b r = ball (b / a) r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/IsometricSMul.lean
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace X
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G X
inst✝² : IsometricSMul G X
inst✝¹ : PseudoMetricSpace G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
r : ℝ
\u22a2 (fun x => x * a) ⁻¹' ball b r = ball (b * a⁻¹) r
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Strict.lean
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
\u22a2 f ◁ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p = C (p.coeff 0)
\u22a2 p.natDegree = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
\u22a2 Continuous (uncurry inner)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
inner' : E →+ E →+ 𝕜 := { toFun := fun x => ((innerₛₗ 𝕜) x).toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
\u22a2 Continuous (uncurry inner)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
inner' : E →+ E →+ 𝕜 := { toFun := fun x => ((innerₛₗ 𝕜) x).toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
this : Continuous fun p => (inner' p.1) p.2
\u22a2 Continuous (uncurry inner)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
inner' : E →+ E →+ 𝕜 := { toFun := fun x => ((innerₛₗ 𝕜) x).toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
this : Continuous fun p => (inner' p.1) p.2
\u22a2 Continuous (⋯.extend (uncurry inner))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
inner' : E →+ E →+ 𝕜 := { toFun := fun x => ((innerₛₗ 𝕜) x).toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
this : Continuous fun p => (inner' p.1) p.2
\u22a2 Continuous (⋯.extend fun p => (inner' p.1) p.2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
θ : ℂ
\u22a2 tan θ = 0 ↔ ∃ k, ↑k * ↑π / 2 = θ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
θ : ℂ
\u22a2 (∃ k, 2 * θ = ↑k * ↑π) ↔ ∃ k, ↑k * ↑π / 2 = θ
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
f : α → Computation β
a : α
b : β
h1 : s ~> a
h2 : f a ~> b
b' : β
bB : b' ∈ s.bind f
\u22a2 b = b'
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
f : α → Computation β
a : α
b : β
h1 : s ~> a
h2 : f a ~> b
b' : β
bB : b' ∈ s.bind f
a' : α
a's : a' ∈ s
ba' : b' ∈ f a'
\u22a2 b = b'
-- Mathlib/Algebra/Star/Pointwise.lean
α : Type u_1
s✝ t✝ : Set α
a : α
inst✝¹ : Mul α
inst✝ : StarMul α
s t : Set α
\u22a2 (s * t)⋆ = t⋆ * s⋆
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
s t : Set α
\u22a2 val ⁻¹' (s ∩ t) = val ⁻¹' t
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
n k : ℕ
\u22a2 (ascPochhammer ℕ k).smeval ↑n = ↑((ascPochhammer ℕ k).smeval n)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α β : TypeVec.{u} n
g : α ::: P.M α ⟹ β ::: P.M β
x : P.M α
h : ∀ (x : P.M α), lastFun g x = dropFun g <$$> x
\u22a2 g <$$> dest P x = dest P (dropFun g <$$> x)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α β : TypeVec.{u} n
g : α ::: P.M α ⟹ β ::: P.M β
x : P.M α
h : ∀ (x : P.M α), lastFun g x = dropFun g <$$> x
\u22a2 g <$$> dest P x = (dropFun g ::: fun x => dropFun g <$$> x) <$$> dest P x
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α β : TypeVec.{u} n
g : α ::: P.M α ⟹ β ::: P.M β
x : P.M α
h : ∀ (x : P.M α), lastFun g x = dropFun g <$$> x
\u22a2 g = (dropFun g ::: fun x => dropFun g <$$> x)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α β : TypeVec.{u} n
g : α ::: P.M α ⟹ β ::: P.M β
x : P.M α
h : ∀ (x : P.M α), lastFun g x = dropFun g <$$> x
\u22a2 lastFun g = fun x => dropFun g <$$> x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝¹ : E
s t : Set E
L✝ L₁ L₂ : Filter E
c : F
x : E
L : Filter E
x✝ : E
\u22a2 0 = c - c - 0 (x✝ - x)
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
\u22a2 IsNowhereDense s ↔ interior s = ∅
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y x : ℝ
\u22a2 arccos x = π ↔ x ≤ -1
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ X₂ : V
d₀ : X₁ ⟶ X₀
d₁ : X₂ ⟶ X₁
s : d₁ ≫ d₀ = 0
succ : (S : ShortComplex V) → (X₃ : V) ×' (d₂ : X₃ ⟶ S.X₁) ×' d₂ ≫ S.f = 0
\u22a2 (if 1 = 0 + 1 then 𝟙 X₁ ≫ d₀ else 0) = d₀
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/InducedMaps.lean
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
p' : Path (fromTop x₀).as (fromTop x₁).as
\u22a2 (π.map f).map ⟦p'⟧ = hcast ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map (prodToProdTopI (𝟙 (fromTop { down := 0 })) ⟦p'⟧) ≫ hcast ⋯
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/InducedMaps.lean
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
p' : Path (fromTop x₀).as (fromTop x₁).as
\u22a2 ∀ (t : ↑I), f (p' t) = H.uliftMap (((Path.refl { down := 0 }).prod p') t)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/InducedMaps.lean
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
p' : Path (fromTop x₀).as (fromTop x₁).as
\u22a2 ∀ (t : ↑I), f (p' t) = H.uliftMap ((fun t => ((Path.refl { down := 0 }) t, p' t)) t)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/InducedMaps.lean
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
p' : Path (fromTop x₀).as (fromTop x₁).as
\u22a2 ∀ (t : ↑I), f (p' t) = H (((Path.refl { down := 0 }) t).down, p' t)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ExactSequence.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
n✝ : ℕ
S✝ : ComposableArrows C n✝
n : ℕ
S : ComposableArrows C (n + 2)
h₁ : S.δlast.Exact
h₂ : (mk₂ (S.map' n (n + 1) ⋯ ⋯) (S.map' (n + 1) (n + 2) ⋯ ⋯)).Exact
\u22a2 S.Exact
-- Mathlib/Algebra/Homology/ExactSequence.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
n✝ : ℕ
S✝ : ComposableArrows C n✝
n : ℕ
S : ComposableArrows C (n + 2)
h₁ : S.δlast.Exact
h₂ : (mk₂ (S.map' n (n + 1) ⋯ ⋯) (S.map' (n + 1) (n + 2) ⋯ ⋯)).Exact
\u22a2 S.δlast.Exact ∧ (mk₂ (S.map' n (n + 1) ⋯ ⋯) (S.map' (n + 1) (n + 2) ⋯ ⋯)).Exact
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
n : ℕ
hst : s ⊆ t
hsn : s.ncard ≤ n
hnt : n ≤ t.ncard
\u22a2 ∃ u, s ⊆ u ∧ u ⊆ t ∧ u.ncard = n
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
n : ℕ
hst : s ⊆ t
hsn : s.ncard ≤ n
hnt : n ≤ t.ncard
ht : t.Infinite
\u22a2 ∃ u, s ⊆ u ∧ u ⊆ t ∧ u.ncard = n
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
n : ℕ
hst : s ⊆ t
hsn : s.ncard ≤ n
hnt : n ≤ t.ncard
ht : t.Finite
\u22a2 ∃ u, s ⊆ u ∧ u ⊆ t ∧ u.ncard = n
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set α
f : α → β
n : ℕ
hnt : n ≤ t.ncard
ht : t.Finite
s : Finset α
hst : ↑s ⊆ t
hsn : (↑s).ncard ≤ n
\u22a2 ∃ u, ↑s ⊆ u ∧ u ⊆ t ∧ u.ncard = n
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
n : ℕ
s : Finset α
hsn : (↑s).ncard ≤ n
t : Finset α
hnt : n ≤ (↑t).ncard
hst : ↑s ⊆ ↑t
\u22a2 ∃ u, ↑s ⊆ u ∧ u ⊆ ↑t ∧ u.ncard = n
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
n : ℕ
s : Finset α
hsn : (↑s).ncard ≤ n
t : Finset α
hnt : n ≤ (↑t).ncard
hst : ↑s ⊆ ↑t
u : Finset α
hsu : s ⊆ u
hut : u ⊆ t
hu : u.card = n
\u22a2 ∃ u, ↑s ⊆ u ∧ u ⊆ ↑t ∧ u.ncard = n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
\u22a2 map ι (LinearEquiv.refl R M) = Equiv.refl (Orientation R M ι)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
U : Opens G
hU : μ.innerContent U ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
\u22a2 ∃ K, ↑K ⊆ ↑U ∧ μ.innerContent U ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
U : Opens G
hU : μ.innerContent U ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
h'ε : ↑ε ≠ 0
\u22a2 ∃ K, ↑K ⊆ ↑U ∧ μ.innerContent U ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
U : Opens G
hU : μ.innerContent U ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
h'ε : ↑ε ≠ 0
h : μ.innerContent U ≤ ↑ε
\u22a2 ∃ K, ↑K ⊆ ↑U ∧ μ.innerContent U ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
U : Opens G
hU : μ.innerContent U ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
h'ε : ↑ε ≠ 0
h : ↑ε < μ.innerContent U
\u22a2 ∃ K, ↑K ⊆ ↑U ∧ μ.innerContent U ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
U : Opens G
hU : μ.innerContent U ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
h'ε : ↑ε ≠ 0
h : ↑ε < μ.innerContent U
h₂ : μ.innerContent U - ↑ε < μ.innerContent U
\u22a2 ∃ K, ↑K ⊆ ↑U ∧ μ.innerContent U ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
U : Opens G
hU : μ.innerContent U ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
h'ε : ↑ε ≠ 0
h : ↑ε < μ.innerContent U
h₂ : μ.innerContent U - ↑ε < ⨆ K, ⨆ (_ : ↑K ⊆ ↑U), (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
\u22a2 ∃ K, ↑K ⊆ ↑U ∧ μ.innerContent U ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
U : Opens G
hU : μ.innerContent U ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
h'ε : ↑ε ≠ 0
h : ↑ε < μ.innerContent U
h₂ : ∃ i, ∃ (_ : ↑i ⊆ ↑U), μ.innerContent U - ↑ε < ↑(μ.toFun i)
\u22a2 ∃ K, ↑K ⊆ ↑U ∧ μ.innerContent U ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K + ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
U✝ : Opens G
hU : μ.innerContent U✝ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
h'ε : ↑ε ≠ 0
h : ↑ε < μ.innerContent U✝
U : Compacts G
h1U : ↑U ⊆ ↑U✝
h2U : μ.innerContent U✝ - ↑ε < ↑(μ.toFun U)
\u22a2 μ.innerContent U✝ ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) U + ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
U✝ : Opens G
hU : μ.innerContent U✝ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
h'ε : ↑ε ≠ 0
h : ↑ε < μ.innerContent U✝
U : Compacts G
h1U : ↑U ⊆ ↑U✝
h2U : μ.innerContent U✝ - ↑ε < ↑(μ.toFun U)
\u22a2 μ.innerContent U✝ - ↑ε ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) U
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
\u22a2 homologyMap' φ₁ h₁ h₂ = homologyMap' φ₂ h₁ h₂
-- Mathlib/Init/Order/LinearOrder.lean
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
\u22a2 a ≤ max a b
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : (i : ι) → κ i → α
\u22a2 Iic (⨅ i, ⨅ j, f i j) = ⨅ i, ⨅ j, Iic (f i j)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower S R N
a : S
x : M
\u22a2 Q (a • x) = (a * a) • Q x
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
\u22a2 Iic (sInf s) = ⋂ a ∈ s, Iic a
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : AddAction G α
g : G
a : α
h : G
\u22a2 h ∈ stabilizer G (g +ᵥ a) ↔ h ∈ AddSubgroup.map (AddEquiv.toAddMonoidHom (AddAut.conj g)) (stabilizer G a)
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Polynomial.lean
σ K : Type u
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype σ
\u22a2 Module.rank K (↑{s | ∀ (n : σ), s n ≤ Fintype.card K - 1} →₀ K) = #↑{s | ∀ (n : σ), s n ≤ Fintype.card K - 1}
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Polynomial.lean
σ K : Type u
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype σ
\u22a2 #↑{s | ∀ (n : σ), s n ≤ Fintype.card K - 1} = #↑{s | ∀ (n : σ), s n < Fintype.card K}
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Polynomial.lean
σ K : Type u
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype σ
f : σ →₀ ℕ
\u22a2 f ∈ {s | ∀ (n : σ), s n ≤ Fintype.card K - 1} ↔ Finsupp.equivFunOnFinite f ∈ {s | ∀ (n : σ), s n < Fintype.card K}
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Polynomial.lean
σ K : Type u
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype σ
f : σ →₀ ℕ
n : σ
\u22a2 1 ≤ Fintype.card K
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
h : Disjoint a b
\u22a2 a \ b = a
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
h : Disjoint a b
\u22a2 a \ b = a \ ⊥
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s✝ t✝ : Set α
f✝ g : α → M
a : α
s : Set α
f : α → M
t : Set M
ht : 1 ∉ t
\u22a2 s.mulIndicator f ⁻¹' t = f ⁻¹' t ∩ s
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Limits.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
inst✝¹ : HasPullbacks C
inst✝ : P.RespectsIso
hP₂ : ∀ (X Y S : C) (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S), P g → P (pullback.fst f g)
X Y Y' S : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : Y' ⟶ Y
g' : Y' ⟶ X
sq : IsPullback f' g' g f
hg : P g
\u22a2 P g'