ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
\u22a2 WithSeminorms p ↔ 𝓝 0 = AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.filter
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
h : WithSeminorms p
\u22a2 𝓝 0 = AddGroupFilterBasis.toFilterBasis.filter
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
k : K
q : TM1.Stmt Γ' Λ' σ
v : σ
S : (k : K) → List (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hL : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse
o : StAct k
\u22a2 let v' := stVar v (S k) o; let Sk' := stWrite v (S k) o; let S' := update S k Sk'; ∃ L', (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S' k)).reverse) ∧ TM1.stepAux (trStAct q o) v ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) = TM1.stepAux q v' ((Tape.move Dir.right)^[(S' k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom L')))
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
k : K
q : TM1.Stmt Γ' Λ' σ
v : σ
S : (k : K) → List (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hL : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse
o : StAct k
\u22a2 ∃ L', (∀ (k_1 : K), ListBlank.map (proj k_1) L' = ListBlank.mk (List.map some (update S k (stWrite v (S k) o) k_1)).reverse) ∧ TM1.stepAux (trStAct q o) v ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom L))) = TM1.stepAux q (stVar v (S k) o) ((Tape.move Dir.right)^[(stWrite v (S k) o).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom L')))
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hg : IsClosedMap g
hf : IsClosedMap f
s : Set X
hs : IsClosed s
\u22a2 IsClosed (g ∘ f '' s)
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hg : IsClosedMap g
hf : IsClosedMap f
s : Set X
hs : IsClosed s
\u22a2 IsClosed (g '' (f '' s))
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ L1 L2 : List (α × Bool)
x : α
b : Bool
\u22a2 sizeOf (L1 ++ L2) < sizeOf (L1 ++ (x, b) :: (x, !b) :: L2)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h' : DenseRange ⇑f'
\u22a2 UniqueDiffWithinAt 𝕜 (f '' s) (f x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h' : DenseRange ⇑f'
\u22a2 MapsTo ⇑f' ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x)) ↑(Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (f '' s) (f x)))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h' : DenseRange ⇑f'
\u22a2 Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 s x) ≤ Submodule.comap f' (Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (f '' s) (f x)))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
f' : E →L[𝕜] F
x : E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h' : DenseRange ⇑f'
\u22a2 tangentConeAt 𝕜 s x ⊆ ↑(Submodule.comap f' (Submodule.span 𝕜 (tangentConeAt 𝕜 (f '' s) (f x))))
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
\u22a2 ⌈a - 1⌉ = ⌈a⌉ - 1
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NNNorm.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
f : E →SL[σ₁₂] F
M : ℝ≥0
hM : ∀ (x : E), ‖x‖₊ ≠ 0 → ‖f x‖₊ ≤ M * ‖x‖₊
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
\u22a2 ‖x‖₊ ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/EssentialFiniteness.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
S₀ : Subalgebra R S
M : Submonoid ↥S₀
left✝ : FiniteType R ↥S₀
right✝ : IsLocalization M S
\u22a2 EssFiniteType R S
-- Mathlib/RingTheory/EssentialFiniteness.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
S₀ : Subalgebra R S
M : Submonoid ↥S₀
left✝ : FiniteType R ↥S₀
right✝ : IsLocalization M S
this : EssFiniteType (↥S₀) S := of_isLocalization S M
\u22a2 EssFiniteType R S
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Hermitian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A : Matrix n n α
inst✝⁴ : AddMonoid α
inst✝³ : StarAddMonoid α
inst✝² : AddMonoid β
inst✝¹ : StarAddMonoid β
inst✝ : DecidableEq n
d : n → α
\u22a2 (diagonal d).IsHermitian ↔ ∀ (i : n), IsSelfAdjoint (d i)
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Basic.lean
M✝ : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : Monoid M✝
inst✝¹ : Monoid N
s : Set M✝
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
a : M
\u22a2 a ∈ setOf IsUnit ↔ IsUnit a
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z w : ℂ
h : z.re = w.re
\u22a2 dist z w = dist z.im w.im
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
c : E''
\u22a2 (fun _x => c) =o[l] g'' ↔ c = 0 ∨ Tendsto (norm ∘ g'') l atTop
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
\u22a2 (fun _x => 0) =o[l] g'' ↔ 0 = 0 ∨ Tendsto (norm ∘ g'') l atTop
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
c : E''
hc : c ≠ 0
\u22a2 (fun _x => c) =o[l] g'' ↔ c = 0 ∨ Tendsto (norm ∘ g'') l atTop
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α✝
s✝ t u v : Finset α✝
a b : α✝
α : Type u_4
p : Finset α → Prop
empty : p ∅
cons : ∀ (a : α) (s : Finset α) (h : a ∉ s), p s → p (Finset.cons a s h)
s : Multiset α
nd : s.Nodup
\u22a2 p { val := s, nodup := nd }
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a : PosNum
\u22a2 ↑(a.sub' 1) = ↑a - ↑1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a : PosNum
\u22a2 ↑(↑a - 1) = ↑a - ↑1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
b : PosNum
\u22a2 ↑(sub' 1 b) = ↑1 - ↑b
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
b : PosNum
\u22a2 ↑(↑b - 1) = ↑b - ↑1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum
\u22a2 ↑(a.bit0.sub' b.bit0) = ↑a.bit0 - ↑b.bit0
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum
\u22a2 ↑a - ↑b + (↑a - ↑b) = ↑a.bit0 - ↑b.bit0
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum
this : ↑(↑a + -↑b + (↑a + -↑b)) = ↑a + ↑a + (-↑b + -↑b)
\u22a2 ↑a - ↑b + (↑a - ↑b) = ↑a.bit0 - ↑b.bit0
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum
\u22a2 ↑(a.bit0.sub' b.bit1) = ↑a.bit0 - ↑b.bit1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum
\u22a2 ↑a - ↑b + (↑a - ↑b) - 1 = ↑a.bit0 - ↑b.bit1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum
this : ↑(-↑b + (↑a + (-↑b + -1))) = ↑(↑a + -1 + (-↑b + -↑b))
\u22a2 ↑a - ↑b + (↑a - ↑b) - 1 = ↑a.bit0 - ↑b.bit1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum
\u22a2 ↑(a.bit1.sub' b.bit0) = ↑a.bit1 - ↑b.bit0
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum
\u22a2 ↑a - ↑b + (↑a - ↑b) + 1 = ↑a.bit1 - ↑b.bit0
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum
this : ↑(-↑b + (↑a + (-↑b + 1))) = ↑(↑a + 1 + (-↑b + -↑b))
\u22a2 ↑a - ↑b + (↑a - ↑b) + 1 = ↑a.bit1 - ↑b.bit0
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum
\u22a2 ↑(a.bit1.sub' b.bit1) = ↑a.bit1 - ↑b.bit1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum
\u22a2 ↑a - ↑b + (↑a - ↑b) = ↑a.bit1 - ↑b.bit1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum
this : ↑(-↑b + (↑a + -↑b)) = ↑a + (-↑b + -↑b)
\u22a2 ↑a - ↑b + (↑a - ↑b) = ↑a.bit1 - ↑b.bit1
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
x : ℕ × ℕ
h : x ∈ n.divisorsAntidiagonal
\u22a2 x.2 ∈ n.divisors
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
x : ℕ × ℕ
h : x.1 * x.2 = n ∧ n ≠ 0
\u22a2 x.2 ∈ n.divisors
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R✝ : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R✝
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝¹ : Fintype n
R : Type u_6
inst✝ : CommRing R
M : Matrix m n R
\u22a2 (Function.Injective fun x => M *ᵥ x) ↔ LinearIndependent R fun i => Mᵀ i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝ : LT α
hM : M.BlockTriangular b
hN : N.BlockTriangular b
i j : m
h : b j < b i
\u22a2 (M - N) i j = 0
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
w : InfinitePlace K
\u22a2 ↑w.mult * Real.log (w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x)) = 0 ↔ w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
w : InfinitePlace K
\u22a2 ¬w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) = -1
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
w : InfinitePlace K
\u22a2 ¬w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
w : InfinitePlace K
\u22a2 ¬↑w.mult = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SpecialLinearGroup.lean
g : SL(2, ℤ)
\u22a2 ↑(T⁻¹ * g) 1 = ↑g 1
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
x✝ y✝ x y : ℕ
h : 0 < x
IH : ∀ (s t s' t' : ℤ), ((y % x).xgcdAux s t x s' t').1 = (y % x).gcd x
s t s' t' : ℤ
\u22a2 (x.xgcdAux s t y s' t').1 = x.gcd y
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
x✝ y✝ x y : ℕ
h : 0 < x
IH : ∀ (s t s' t' : ℤ), ((y % x).xgcdAux s t x s' t').1 = (y % x).gcd x
s t s' t' : ℤ
\u22a2 (y % x).gcd x = x.gcd y
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X₁ : Type u₁
inst✝⁴ : TopologicalSpace X₁
X : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
e : X₁ → X
he : ClosedEmbedding e
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TietzeExtension Y
f : C(X₁, Y)
e' : X₁ ≃ₜ ↑(Set.range e) := Homeomorph.ofEmbedding e ⋯
\u22a2 ∃ g, g.comp { toFun := e, continuous_toFun := ⋯ } = f
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X₁ : Type u₁
inst✝⁴ : TopologicalSpace X₁
X : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
e : X₁ → X
he : ClosedEmbedding e
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TietzeExtension Y
f : C(X₁, Y)
e' : X₁ ≃ₜ ↑(Set.range e) := Homeomorph.ofEmbedding e ⋯
g : C(X, Y)
hg : restrict (Set.range e) g = f.comp e'.symm.toContinuousMap
\u22a2 ∃ g, g.comp { toFun := e, continuous_toFun := ⋯ } = f
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁵ : CommRing A
inst✝³⁴ : CommRing B
inst✝³³ : Algebra A B
inst✝³² : Field K
inst✝³¹ : Field L
inst✝³⁰ : Algebra A K
inst✝²⁹ : IsFractionRing A K
inst✝²⁸ : Algebra B L
inst✝²⁷ : Algebra K L
inst✝²⁶ : Algebra A L
inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L
inst✝²⁴ : IsScalarTower A K L
inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L
inst✝²² : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²¹ : CommRing Aₘ
inst✝²⁰ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ
inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹¹ : IsDomain A
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁹ : IsDomain B
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁷ : Module.Finite A B
inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁵ : IsDomain Aₘ
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝³ : IsDomain Bₘ
inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ
x : B
hM : 0 ∉ M
\u22a2 (algebraMap A Aₘ) ((intTrace A B) x) = (intTrace Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁵ : CommRing A
inst✝³⁴ : CommRing B
inst✝³³ : Algebra A B
inst✝³² : Field K
inst✝³¹ : Field L
inst✝³⁰ : Algebra A K
inst✝²⁹ : IsFractionRing A K
inst✝²⁸ : Algebra B L
inst✝²⁷ : Algebra K L
inst✝²⁶ : Algebra A L
inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L
inst✝²⁴ : IsScalarTower A K L
inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L
inst✝²² : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²¹ : CommRing Aₘ
inst✝²⁰ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ
inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹¹ : IsDomain A
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁹ : IsDomain B
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁷ : Module.Finite A B
inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁵ : IsDomain Aₘ
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝³ : IsDomain Bₘ
inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ
x : B
hM : M ≤ A⁰
\u22a2 (algebraMap A Aₘ) ((intTrace A B) x) = (intTrace Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁵ : CommRing A
inst✝³⁴ : CommRing B
inst✝³³ : Algebra A B
inst✝³² : Field K✝
inst✝³¹ : Field L✝
inst✝³⁰ : Algebra A K✝
inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝
inst✝²⁸ : Algebra B L✝
inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁶ : Algebra A L✝
inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²¹ : CommRing Aₘ
inst✝²⁰ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ
inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹¹ : IsDomain A
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁹ : IsDomain B
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁷ : Module.Finite A B
inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁵ : IsDomain Aₘ
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝³ : IsDomain Bₘ
inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this : IsIntegralClosure B A L
\u22a2 (algebraMap A Aₘ) ((intTrace A B) x) = (intTrace Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁵ : CommRing A
inst✝³⁴ : CommRing B
inst✝³³ : Algebra A B
inst✝³² : Field K✝
inst✝³¹ : Field L✝
inst✝³⁰ : Algebra A K✝
inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝
inst✝²⁸ : Algebra B L✝
inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁶ : Algebra A L✝
inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²¹ : CommRing Aₘ
inst✝²⁰ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ
inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹¹ : IsDomain A
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁹ : IsDomain B
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁷ : Module.Finite A B
inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁵ : IsDomain Aₘ
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝³ : IsDomain Bₘ
inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this✝ : IsIntegralClosure B A L
this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
\u22a2 (algebraMap A Aₘ) ((intTrace A B) x) = (intTrace Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁵ : CommRing A
inst✝³⁴ : CommRing B
inst✝³³ : Algebra A B
inst✝³² : Field K✝
inst✝³¹ : Field L✝
inst✝³⁰ : Algebra A K✝
inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝
inst✝²⁸ : Algebra B L✝
inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁶ : Algebra A L✝
inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²¹ : CommRing Aₘ
inst✝²⁰ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ
inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹¹ : IsDomain A
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁹ : IsDomain B
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁷ : Module.Finite A B
inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁵ : IsDomain Aₘ
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝³ : IsDomain Bₘ
inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this✝¹ : IsIntegralClosure B A L
this✝ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
this : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra
\u22a2 (algebraMap A Aₘ) ((intTrace A B) x) = (intTrace Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K✝ : Type u_2
L✝ : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁵ : CommRing A
inst✝³⁴ : CommRing B
inst✝³³ : Algebra A B
inst✝³² : Field K✝
inst✝³¹ : Field L✝
inst✝³⁰ : Algebra A K✝
inst✝²⁹ : IsFractionRing A K✝
inst✝²⁸ : Algebra B L✝
inst✝²⁷ : Algebra K✝ L✝
inst✝²⁶ : Algebra A L✝
inst✝²⁵ : IsScalarTower A B L✝
inst✝²⁴ : IsScalarTower A K✝ L✝
inst✝²³ : IsIntegralClosure B A L✝
inst✝²² : FiniteDimensional K✝ L✝
Aₘ : Type u_5
Bₘ : Type u_6
inst✝²¹ : CommRing Aₘ
inst✝²⁰ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁹ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁸ : Algebra A Aₘ
inst✝¹⁷ : Algebra B Bₘ
inst✝¹⁶ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹⁴ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹³ : IsLocalization M Aₘ
inst✝¹² : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝¹¹ : IsDomain A
inst✝¹⁰ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁹ : IsDomain B
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed B
inst✝⁷ : Module.Finite A B
inst✝⁶ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝⁵ : IsDomain Aₘ
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed Aₘ
inst✝³ : IsDomain Bₘ
inst✝² : IsIntegrallyClosed Bₘ
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors Aₘ Bₘ
inst✝ : Module.Finite Aₘ Bₘ
x : B
hM : M ≤ A⁰
K : Type u_1 := FractionRing A
L : Type u_4 := FractionRing B
this✝² : IsIntegralClosure B A L
this✝¹ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) L
f : Aₘ →+* K := IsLocalization.map K (RingHom.id A) hM
this✝ : Algebra Aₘ K := f.toAlgebra
this : IsScalarTower A Aₘ K
\u22a2 (algebraMap A Aₘ) ((intTrace A B) x) = (intTrace Aₘ Bₘ) ((algebraMap B Bₘ) x)