ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Proper.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K
C : ConvexCone ℝ F := ↑↑(map f K)
y : F
hxy : ∀ x ∈ C, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ
hyb : ⟪y, b⟫_ℝ < 0
\u22a2 (adjoint f) y ∈ K.dual
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Proper.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K
C : ConvexCone ℝ F := ↑↑(map f K)
y : F
hxy : ∀ x ∈ C, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ
hyb : ⟪y, b⟫_ℝ < 0
\u22a2 ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ K → 0 ≤ ⟪f x, y⟫_ℝ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Proper.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K
C : ConvexCone ℝ F := ↑↑(map f K)
y : F
hxy : ∀ x ∈ C, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ
hyb : ⟪y, b⟫_ℝ < 0
x : E
hxK : x ∈ K
\u22a2 f x ∈ C
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Proper.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K
C : ConvexCone ℝ F := ↑↑(map f K)
y : F
hxy : ∀ x ∈ C, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ
hyb : ⟪y, b⟫_ℝ < 0
x : E
hxK : x ∈ K
\u22a2 f x ∈ ↑(PointedCone.map ↑f ↑K).closure
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Proper.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K
C : ConvexCone ℝ F := ↑↑(map f K)
y : F
hxy : ∀ x ∈ C, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ
hyb : ⟪y, b⟫_ℝ < 0
x : E
hxK : x ∈ K
\u22a2 f x ∈ ↑↑(PointedCone.map ↑f ↑K)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Proper.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K
C : ConvexCone ℝ F := ↑↑(map f K)
y : F
hxy : ∀ x ∈ C, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ
hyb : ⟪y, b⟫_ℝ < 0
x : E
hxK : x ∈ K
\u22a2 ∃ x_1 ∈ ↑↑K, f x_1 = f x
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Basic.lean
σ : Type u
R✝ : Type v
inst✝² : CommSemiring R✝
p✝ m : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S
\u22a2 Finsupp.mapRange ⇑f ⋯ p = (map f) p
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Basic.lean
σ : Type u
R✝ : Type v
inst✝² : CommSemiring R✝
p✝ m : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S
\u22a2 ∑ x ∈ p.support, Finsupp.mapRange ⇑f ⋯ ((monomial x) (coeff x p)) = ∑ x ∈ p.support, (map f) ((monomial x) (coeff x p))
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Basic.lean
σ : Type u
R✝ : Type v
inst✝² : CommSemiring R✝
p✝ m : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p : MvPolynomial σ R
f : R →+* S
n : σ →₀ ℕ
x✝ : n ∈ p.support
\u22a2 Finsupp.mapRange ⇑f ⋯ ((monomial n) (coeff n p)) = (map f) ((monomial n) (coeff n p))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
\u22a2 (o.oangle (x + y) y).sign = (o.oangle x y).sign
-- Mathlib/GroupTheory/CosetCover.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Infinite k
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module k E
s : Finset (Subspace k E)
hcovers : ⋃ p ∈ s, ↑p = Set.univ
\u22a2 ∃ p ∈ s, p = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/CosetCover.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Infinite k
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module k E
s : Finset (Subspace k E)
hcovers : ∀ p ∈ s, p ≠ ⊤
\u22a2 ⋃ p ∈ s, ↑p ≠ Set.univ
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ i₂' : I₂
h : c₂.Rel i₂ i₂'
i₁₂ : I₁₂
h' : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂') ≠ i₁₂
\u22a2 K.d₂ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ i₂' : I₂
h : c₂.Rel i₂ i₂'
i₁₂ : I₁₂
h' : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂') ≠ i₁₂
\u22a2 c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂') ≠ i₁₂
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
\u22a2 cexp (x + y) = cexp x * cexp y
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
hj : ∀ (j : ℕ), ∑ m ∈ range j, (x + y) ^ m / ↑m.factorial = ∑ i ∈ range j, ∑ k ∈ range (i + 1), x ^ k / ↑k.factorial * (y ^ (i - k) / ↑(i - k).factorial)
\u22a2 cexp (x + y) = cexp x * cexp y
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
hj : ∀ (j : ℕ), ∑ m ∈ range j, (x + y) ^ m / ↑m.factorial = ∑ i ∈ range j, ∑ k ∈ range (i + 1), x ^ k / ↑k.factorial * (y ^ (i - k) / ↑(i - k).factorial)
\u22a2 CauSeq.lim ⟨fun n => ∑ m ∈ range n, (x + y) ^ m / ↑m.factorial, ⋯⟩ = (⟨fun n => ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial, ⋯⟩ * ⟨fun n => ∑ m ∈ range n, y ^ m / ↑m.factorial, ⋯⟩).lim
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
hj : ∀ (j : ℕ), ∑ m ∈ range j, (x + y) ^ m / ↑m.factorial = ∑ i ∈ range j, ∑ k ∈ range (i + 1), x ^ k / ↑k.factorial * (y ^ (i - k) / ↑(i - k).factorial)
\u22a2 ⟨fun n => ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial, ⋯⟩ * ⟨fun n => ∑ m ∈ range n, y ^ m / ↑m.factorial, ⋯⟩ ≈ ⟨fun n => ∑ m ∈ range n, (x + y) ^ m / ↑m.factorial, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
hj : ∀ (j : ℕ), ∑ m ∈ range j, (x + y) ^ m / ↑m.factorial = ∑ i ∈ range j, ∑ k ∈ range (i + 1), x ^ k / ↑k.factorial * (y ^ (i - k) / ↑(i - k).factorial)
\u22a2 ⟨fun n => ∑ m ∈ range n, x ^ m / ↑m.factorial, ⋯⟩ * ⟨fun n => ∑ m ∈ range n, y ^ m / ↑m.factorial, ⋯⟩ ≈ ⟨fun n => ∑ i ∈ range n, ∑ k ∈ range (i + 1), x ^ k / ↑k.factorial * (y ^ (i - k) / ↑(i - k).factorial), ⋯⟩
-- Mathlib/Topology/Algebra/FilterBasis.lean
G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G
\u22a2 (𝓝 1).HasBasis (fun V => V ∈ B) id
-- Mathlib/Topology/Algebra/FilterBasis.lean
G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G
\u22a2 toFilterBasis.filter.HasBasis (fun V => V ∈ B) id
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
x✝ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : Countable δ
l : Filter δ
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
l' : Filter γ
inst✝ : l'.IsCountablyGenerated
hl' : l'.IsMeasurablyGenerated
f : δ → β → γ
hf : ∀ (i : δ), Measurable (f i)
\u22a2 MeasurableSet {x | Tendsto (fun n => f n x) l l'}
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u✝ : Set α
x✝ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : Countable δ
l : Filter δ
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
l' : Filter γ
inst✝ : l'.IsCountablyGenerated
hl' : l'.IsMeasurablyGenerated
f : δ → β → γ
hf : ∀ (i : δ), Measurable (f i)
u : ℕ → Set δ
hu : l.HasAntitoneBasis u
\u22a2 MeasurableSet {x | Tendsto (fun n => f n x) l l'}
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u✝ : Set α
x✝ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : Countable δ
l : Filter δ
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
l' : Filter γ
inst✝ : l'.IsCountablyGenerated
hl' : l'.IsMeasurablyGenerated
f : δ → β → γ
hf : ∀ (i : δ), Measurable (f i)
u : ℕ → Set δ
hu : l.HasAntitoneBasis u
v : ℕ → Set γ
v_meas : ∀ (i : ℕ), v i ∈ l' ∧ MeasurableSet (v i)
hv : l'.HasAntitoneBasis fun i => id (v i)
\u22a2 MeasurableSet {x | Tendsto (fun n => f n x) l l'}
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u✝ : Set α
x✝ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : Countable δ
l : Filter δ
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
l' : Filter γ
inst✝ : l'.IsCountablyGenerated
hl' : l'.IsMeasurablyGenerated
f : δ → β → γ
hf : ∀ (i : δ), Measurable (f i)
u : ℕ → Set δ
hu : l.HasAntitoneBasis u
v : ℕ → Set γ
v_meas : ∀ (i : ℕ), v i ∈ l' ∧ MeasurableSet (v i)
hv : l'.HasAntitoneBasis fun i => id (v i)
\u22a2 MeasurableSet (⋂ i, ⋃ i_1, ⋂ i_2 ∈ u i_1, {x | f i_2 x ∈ id (v i)})
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Images.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasImage g
inst✝ : HasImage (f ≫ g)
\u22a2 lift (MonoFactorisation.mk (image g) (ι g) (f ≫ factorThruImage g) ⋯) ≫ ι g = ι (f ≫ g)
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : Ω[S⁄R]
\u22a2 ∃ a, (D R S).tensorProductTo a = x
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : ↥(ideal R S)
\u22a2 ∃ a, (D R S).tensorProductTo a = (ideal R S).toCotangent x
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f g s t : ι → α
a b x y : α
\u22a2 x ⊔ y = ⨆ b, bif b then x else y
-- Mathlib/Logic/Function/Iterate.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → α
n✝ n : ℕ
ihn : id^[n] = id
\u22a2 id^[n.succ] = id
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι✝ : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f g s✝ t : ι✝ → α
a✝ b : α
ι : Type u_9
a : α
s : Set ι
hs : s.Nonempty
\u22a2 ⨆ i ∈ s, a = a
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι✝ : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f g s✝ t : ι✝ → α
a✝ b : α
ι : Type u_9
a : α
s : Set ι
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
\u22a2 ⨆ i ∈ s, a = a
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
P : Sylow p G
\u22a2 P ∈ fixedPoints (↥H) (Sylow p G) ↔ H ≤ (↑P).normalizer
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
P : Sylow p G
\u22a2 P ∈ fixedPoints (↥H) (Sylow p G) ↔ ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ H → x • P = P
-- Mathlib/Topology/Filter.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l : Filter X
\u22a2 Tendsto pure l (𝓝 l)
-- Mathlib/Topology/Filter.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l : Filter X
\u22a2 ∀ s ∈ l, ∀ᶠ (a : X) in l, s ∈ pure a
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
s : Submonoid M
t : Submonoid N
\u22a2 s.prod t = ⊤ ↔ s = ⊤ ∧ t = ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x : ℝ
n : ℤ
\u22a2 ↑(↑n * x) = n • ↑x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
\u22a2 @eraseP = @erasePTR
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
\u22a2 eraseP p l = erasePTR p l
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
\u22a2 eraseP p l = erasePTR.go p l l #[]
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
Xs : ι → Set α
\u22a2 M.closure (⋃ i, M.closure (Xs i)) = M.closure (⋃ i, Xs i)
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
Xs : ι → Set α
\u22a2 M.subtypeClosure ⟨⋃ i, ↑(M.subtypeClosure ⟨Xs i ∩ M.E, ⋯⟩) ∩ M.E, ⋯⟩ = M.subtypeClosure ⟨⋃ i, Xs i ∩ M.E, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
\u22a2 insert a s ⊆ t ↔ a ∈ t ∧ s ⊆ t
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
\u22a2 ∃ g, eLpNorm (f - ⇑g) p μ ≤ ε ∧ Memℒp (⇑g) p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
\u22a2 ∃ g, eLpNorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ IsBounded (range g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
\u22a2 ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ IsBounded (range g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
\u22a2 ∀ (f g : α → E), Continuous f ∧ Memℒp f p μ ∧ IsBounded (range f) → Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ IsBounded (range g) → Continuous (f + g) ∧ Memℒp (f + g) p μ ∧ IsBounded (range (f + g))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
\u22a2 ∀ (f : α → E), Continuous f ∧ Memℒp f p μ ∧ IsBounded (range f) → AEStronglyMeasurable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
\u22a2 ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ IsBounded (range g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
\u22a2 ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ IsBounded (range g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
η : ℝ≥0
ηpos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ
\u22a2 ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ IsBounded (range g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
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hf : Memℒp f p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
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c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
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hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
η : ℝ≥0
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hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ
hη_pos' : 0 < ↑η
\u22a2 ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ IsBounded (range g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
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inst✝ : μ.WeaklyRegular
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ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
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htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
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δpos : 0 < δ
hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
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hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ
hη_pos' : 0 < ↑η
s : Set α
st : s ⊆ t
s_closed : IsClosed s
μs : μ (t \ s) < ↑η
\u22a2 ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ IsBounded (range g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
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E : Type u_2
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μ : Measure α
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δpos : 0 < δ
hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
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hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ
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s : Set α
st : s ⊆ t
s_closed : IsClosed s
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hsμ : μ s < ⊤
\u22a2 ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ IsBounded (range g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
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inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
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s : Set α
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I1 : eLpNorm ((s.indicator fun _y => c) - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ δ
\u22a2 ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ IsBounded (range g)
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α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
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inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f✝ : α → E
hf : Memℒp f✝ p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
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ηpos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ
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s : Set α
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μs : μ (t \ s) < ↑η
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I1 : eLpNorm ((s.indicator fun _y => c) - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ δ
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f_cont : Continuous f
I2 : eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ δ
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f_mem : Memℒp f p μ
\u22a2 ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g p μ ∧ IsBounded (range g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
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inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f✝ : α → E
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ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
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ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
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ηpos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ
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I1 : eLpNorm ((s.indicator fun _y => c) - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ δ
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I3 : eLpNorm (f - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ ε
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-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
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inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
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E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
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inst✝ : μ.WeaklyRegular
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f✝ : α → E
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hδ : ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
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hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ
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I1 : eLpNorm ((s.indicator fun _y => c) - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ δ
f : α → E
f_cont : Continuous f
I2 : eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ δ
f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖
f_mem : Memℒp f p μ
I3 : eLpNorm (f - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ ε
\u22a2 IsBounded (range f)