ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Factorization.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.13544, u_1} C
W₁ W₂ : MorphismProperty C
data : W₁.FunctorialFactorizationData W₂
J : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.13627, u_2} J
X✝ Y✝ Z✝ : Arrow (J ⥤ C)
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
j : J
\u22a2 data.mapZ { left := f.left.app j ≫ g.left.app j, right := f.right.app j ≫ g.right.app j, w := ⋯ } = data.mapZ ({ left := f.left.app j, right := f.right.app j, w := ⋯ } ≫ { left := g.left.app j, right := g.right.app j, w := ⋯ })
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι✝ : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι✝
c : R
t✝ : Finset ι✝
w✝ : ι✝ → R
z : ι✝ → E
ι : Type u_8
t : Finset ι
p : ι → E
w : ι → R
hw₂ : ∑ i ∈ t, w i = 1
\u22a2 (affineCombination R t p) w = t.centerMass w p
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι✝ : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι✝
c : R
t✝ : Finset ι✝
w✝ : ι✝ → R
z : ι✝ → E
ι : Type u_8
t : Finset ι
p : ι → E
w : ι → R
hw₂ : ∑ i ∈ t, w i = 1
\u22a2 ∑ i ∈ t, w i • (p i -ᵥ 0) = ∑ i ∈ t, w i • p i
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Algebra.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
A B : T.Algebra
h : A.A ≅ B.A
w : autoParam (T.map h.hom ≫ B.a = A.a ≫ h.hom) _auto✝
\u22a2 T.map h.inv ≫ A.a = B.a ≫ h.inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Algebra.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
A B : T.Algebra
h : A.A ≅ B.A
w : autoParam (T.map h.hom ≫ B.a = A.a ≫ h.hom) _auto✝
\u22a2 T.map (h.inv ≫ h.hom) ≫ B.a = B.a
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S✝ R : Sieve X
f : Y ⟶ X
g : Z ⟶ Y
S : Sieve X
\u22a2 pullback (g ≫ f) S = pullback g (pullback f S)
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z w : ℍ
r R : ℝ
a : { x // 0 < x }
y₁ y₂ : ℍ
\u22a2 dist (a • y₁) (a • y₂) = dist y₁ y₂
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z w : ℍ
r R : ℝ
a : { x // 0 < x }
y₁ y₂ : ℍ
\u22a2 2 * arsinh (dist (↑a • ↑y₁) (↑a • ↑y₂) / (2 * √(↑a * y₁.im * (↑a * y₂.im)))) = 2 * arsinh (dist ↑y₁ ↑y₂ / (2 * √(y₁.im * y₂.im)))
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z w : ℍ
r R : ℝ
a : { x // 0 < x }
y₁ y₂ : ℍ
\u22a2 dist (↑a • ↑y₁) (↑a • ↑y₂) / (2 * √(↑a * y₁.im * (↑a * y₂.im))) = dist ↑y₁ ↑y₂ / (2 * √(y₁.im * y₂.im))
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z w : ℍ
r R : ℝ
a : { x // 0 < x }
y₁ y₂ : ℍ
\u22a2 |↑a| * dist ↑y₁ ↑y₂ / (|↑a| * (2 * √(y₁.im * y₂.im))) = dist ↑y₁ ↑y₂ / (2 * √(y₁.im * y₂.im))
-- Mathlib/Data/Nat/Count.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
m n : ℕ
hm : p m
hn : p n
heq : count p m = count p n
\u22a2 m = n
-- Mathlib/Data/Nat/Count.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
m n : ℕ
hm : p m
hn : p n
heq : count p m = count p n
h : m ≠ n
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
k m : ℕ
hkm : k ≠ m
x y : R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
\u22a2 (C x * X ^ k + C y * X ^ m).support = {k, m}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
k m : ℕ
hkm : k ≠ m
x y : R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
\u22a2 {k, m} ⊆ (C x * X ^ k + C y * X ^ m).support
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
\u22a2 g ≤ f.sup g h
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
z₁ : ↥g.domain
z₂ : ↥(f.sup g h).domain
hz : ↑z₁ = ↑z₂
\u22a2 ↑g z₁ = ↑(f.sup g h) z₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
z₁ : ↥g.domain
z₂ : ↥(f.sup g h).domain
hz : ↑z₁ = ↑z₂
\u22a2 ↑f 0 + ↑g z₁ = ↑(f.sup g h) z₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
z₁ : ↥g.domain
z₂ : ↥(f.sup g h).domain
hz : ↑z₁ = ↑z₂
\u22a2 ↑0 + ↑z₁ = ↑z₂
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Fin.lean
n : ℕ
a b : Fin n
\u22a2 (Ico a b).card = ↑b - ↑a
-- Mathlib/Topology/Instances/Rat.lean
\u22a2 Pairwise fun x y => 1 ≤ dist ↑x ↑y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hst : Disjoint s t
\u22a2 ∃ r, 0 < r ∧ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
t : Set α
Φ : α → β
ht : IsClosed t
hs : IsCompact ∅
hst : Disjoint ∅ t
\u22a2 ∃ r, 0 < r ∧ ∀ x ∈ ∅, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hst : Disjoint s t
hne : s.Nonempty
\u22a2 ∃ r, 0 < r ∧ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hst : Disjoint s t
hne : s.Nonempty
x : α
hx : x ∈ s
h : IsMinOn (fun x => infEdist x ?m.37155) s x
\u22a2 ∃ r, 0 < r ∧ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hst : Disjoint s t
hne : s.Nonempty
x : α
hx : x ∈ s
h : IsMinOn (fun x => infEdist x ?m.37155) s x
this : 0 < infEdist x t
\u22a2 ∃ r, 0 < r ∧ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hst : Disjoint s t
hne : s.Nonempty
x : α
hx : x ∈ s
h : IsMinOn (fun x => infEdist x ?m.37155) s x
this : 0 < infEdist x t
r : ℝ≥0
h₀ : 0 < ↑r
hr : ↑r < infEdist x t
\u22a2 ∃ r, 0 < r ∧ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
\u22a2 @leftpad = @leftpadTR
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
n : Nat
a : α
l : List α
\u22a2 leftpad n a l = leftpadTR n a l
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Result.lean
α✝ : Type u
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n : ℤ
d : ℕ
h : ↑d ≠ 0
this : Invertible ↑d
\u22a2 Rat.rawCast n d = ↑n * ⅟↑d
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : SFinite ν
f : β × α → γ
hf : AEMeasurable f (ν.prod μ)
\u22a2 AEMeasurable (fun z => f z.swap) (μ.prod ν)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : SFinite ν
f : β × α → γ
hf : AEMeasurable f (map Prod.swap (μ.prod ν))
\u22a2 AEMeasurable (fun z => f z.swap) (μ.prod ν)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
h : S.RightHomologyData
\u22a2 (S.rightHomologyIso.symm ≪≫ h.rightHomologyIso).hom ≫ h.rightHomologyIso.inv = S.rightHomologyIso.inv
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
w : Word G
i : ι
h : H
hw : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w.toList → g ∈ d.set i
hφw : ∀ (j : ι) (g : G j), ⟨j, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ i) h) • w).toList → g ∈ d.set j
\u22a2 h = 1
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
w : Word G
i : ι
h : H
hw : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w.toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
hφw : ∀ (j : ι) (g : G j), ⟨j, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ i) h) • w).toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
\u22a2 h = 1
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
w : Word G
i : ι
h : H
hw : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w.toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
hφw : ∀ (j : ι) (g : G j), ⟨j, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ i) h) • w).toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
hhead : ↑(⋯.equiv ((Word.equivPair i) w).head).2 = ((Word.equivPair i) w).head
\u22a2 h = 1
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
w : Word G
i : ι
h : H
hw : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w.toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
hφw : ∀ (j : ι) (g : G j), ⟨j, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ i) h) • w).toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
hhead : ↑(⋯.equiv ((Word.equivPair i) w).head).2 = ((Word.equivPair i) w).head
hh1 : ¬h = 1
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Sigma β
tail✝ : List (Sigma β)
l : List (Sigma β)
\u22a2 (kerase a (s :: tail✝)).kunion (kerase a l) = kerase a ((s :: tail✝).kunion l)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0
\u22a2 #↑s = #E
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
\u22a2 #↑s = #E
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
cn_ne : ∀ (n : ℕ), c ^ n ≠ 0
\u22a2 #↑s = #E
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
cn_ne : ∀ (n : ℕ), c ^ n ≠ 0
A : ∀ (x : E), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x ∈ c ^ n • s
\u22a2 #↑s = #E
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
cn_ne : ∀ (n : ℕ), c ^ n ≠ 0
A : ∀ (x : E), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x ∈ c ^ n • s
B : ∀ (n : ℕ), #↑(c ^ n • s) = #↑s
\u22a2 #↑s = #E
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B✝ : ¬P → α
B : Q → α
C : ¬P → ¬Q → α
h : P → ¬Q
p : P
\u22a2 A p = if q : Q then B q else if p : P then A p else C p q
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B✝ : ¬P → α
B : Q → α
C : ¬P → ¬Q → α
h : P → ¬Q
np : ¬P
\u22a2 (fun q => C np q) = fun q => if p : P then A p else C p q
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B✝ : ¬P → α
B : Q → α
C : ¬P → ¬Q → α
h : P → ¬Q
np : ¬P
x✝ : ¬Q
\u22a2 C np x✝ = if p : P then A p else C p x✝
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
h : J ≤ I
\u22a2 (single I J h).IsPartition ↔ J = I
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finrank.lean
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Injective ⇑f
\u22a2 finrank R ↥(range f) = finrank R M
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
t : Multiset ι
f : ι → R[X]
\u22a2 (∀ i ∈ t, (f i).Monic) → (Multiset.map f t).prod.nextCoeff = (Multiset.map (fun i => (f i).nextCoeff) t).sum
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
t : Multiset ι
f : ι → R[X]
\u22a2 (∀ i ∈ 0, (f i).Monic) → (Multiset.map f 0).prod.nextCoeff = (Multiset.map (fun i => (f i).nextCoeff) 0).sum
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
t✝ : Multiset ι
f : ι → R[X]
a : ι
t : Multiset ι
ih : (∀ i ∈ t, (f i).Monic) → (Multiset.map f t).prod.nextCoeff = (Multiset.map (fun i => (f i).nextCoeff) t).sum
ht : ∀ i ∈ a ::ₘ t, (f i).Monic
\u22a2 (Multiset.map f (a ::ₘ t)).prod.nextCoeff = (Multiset.map (fun i => (f i).nextCoeff) (a ::ₘ t)).sum
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Multiequalizer.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
K : Multicofork I
a : I.L
\u22a2 K.ι.app (WalkingMultispan.left a) = I.fst a ≫ K.π (I.fstFrom a)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Multiequalizer.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
K : Multicofork I
a : I.L
\u22a2 I.multispan.map (WalkingMultispan.Hom.fst a) ≫ K.ι.app (WalkingMultispan.right (I.fstFrom a)) = I.fst a ≫ K.π (I.fstFrom a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * r₁ i ≤ r₂ i
R₁ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₁ i)
R₂ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₂ i)
\u22a2 blimsup (fun i => cthickening (r₁ i) (s i)) atTop p ≤ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r₂ i) (s i)) atTop p
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * r₁ i ≤ r₂ i
R₁ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₁ i)
R₂ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₂ i)
hRp : 0 ≤ R₁
\u22a2 blimsup (fun i => cthickening (r₁ i) (s i)) atTop p ≤ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r₂ i) (s i)) atTop p
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)
R₁ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₁ i)
R₂ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₂ i)
hRp : 0 ≤ R₁
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * R₁ i ≤ R₂ i
\u22a2 blimsup (fun i => cthickening (r₁ i) (s i)) atTop p ≤ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r₂ i) (s i)) atTop p
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)
R₁ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₁ i)
R₂ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₂ i)
hRp : 0 ≤ R₁
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * R₁ i ≤ R₂ i
\u22a2 blimsup (fun i => cthickening (max 0 (r₁ i)) (s i)) atTop p ≤ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (max 0 (r₂ i)) (s i)) atTop p
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)
R₁ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₁ i)
R₂ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₂ i)
hRp : 0 ≤ R₁
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * R₁ i ≤ R₂ i
hM' : 1 ≤ M
\u22a2 blimsup (fun i => cthickening (max 0 (r₁ i)) (s i)) atTop p ≤ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (max 0 (r₂ i)) (s i)) atTop p
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)
R₁ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₁ i)
R₂ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₂ i)
hRp : 0 ≤ R₁
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * R₁ i ≤ R₂ i
hM' : M < 1
\u22a2 blimsup (fun i => cthickening (max 0 (r₁ i)) (s i)) atTop p ≤ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (max 0 (r₂ i)) (s i)) atTop p
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
\u22a2 xn a1 n ∣ Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h1 : Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j = (Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1) * xn a1 j
\u22a2 xn a1 n ∣ Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h1 : Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j = (Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1) * xn a1 j
h2 : Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1 = xn a1 n * xn a1 n
\u22a2 xn a1 n ∣ Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h1 : Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j = xn a1 n * xn a1 n * xn a1 j
h2 : Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1 = xn a1 n * xn a1 n
\u22a2 xn a1 n ∣ Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h1 : Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j = xn a1 n * xn a1 n * xn a1 j
h2 : Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1 = xn a1 n * xn a1 n
\u22a2 xn a1 n ∣ xn a1 n * (xn a1 n * xn a1 j)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Circulant.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : Star α
\u22a2 ∀ (v : Fin 0 → α), (circulant v)ᴴ = circulant (star fun i => v (-i))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
l : Filter ι
hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) l (𝓝 0)
\u22a2 TendstoInMeasure μ f l g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
l : Filter ι
hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) l (𝓝 0)
\u22a2 TendstoInMeasure μ (fun i => AEStronglyMeasurable.mk (f i) ⋯) l (AEStronglyMeasurable.mk g hg)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
l : Filter ι
hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) l (𝓝 0)
\u22a2 Tendsto (fun n => eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ - AEStronglyMeasurable.mk g hg) p μ) l (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
l : Filter ι
hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) l (𝓝 0)
this : (fun n => eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ - AEStronglyMeasurable.mk g hg) p μ) = fun n => eLpNorm (f n - g) p μ
\u22a2 Tendsto (fun n => eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ - AEStronglyMeasurable.mk g hg) p μ) l (𝓝 0)
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
p✝ : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
inst✝² : Module.Finite R M
p : Ideal R
inst✝¹ : p.IsPrime
inst✝ : Subsingleton (LocalizedModule p.primeCompl M)
\u22a2 ∃ f ∉ p, Subsingleton (LocalizedModule (Submonoid.powers f) M)
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
p✝ : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
inst✝² : Module.Finite R M
p : Ideal R
inst✝¹ : p.IsPrime
inst✝ : Subsingleton (LocalizedModule p.primeCompl M)
this : { asIdeal := p, isPrime := ⋯ } ∈ (Module.support R M)ᶜ
\u22a2 ∃ f ∉ p, Subsingleton (LocalizedModule (Submonoid.powers f) M)
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
p✝ : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
inst✝² : Module.Finite R M
p : Ideal R
inst✝¹ : p.IsPrime
inst✝ : Subsingleton (LocalizedModule p.primeCompl M)
this : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ ↑(Module.annihilator R M)), { asIdeal := p, isPrime := ⋯ } ∈ (PrimeSpectrum.zeroLocus {i})ᶜ
\u22a2 ∃ f ∉ p, Subsingleton (LocalizedModule (Submonoid.powers f) M)