ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.66933, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hg : S.g = 0
this✝¹ : S.HasHomology
this✝ : Mono S.fromOpcycles
this : S.pOpcycles = 0
A : C
x₂ : S.X₂ ⟶ A
hx₂ : S.f ≫ x₂ = 0
\u22a2 x₂ = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/LapMatrix.lean
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype V
inst✝⁴ : DecidableEq V
G✝ : SimpleGraph V
inst✝³ : DecidableRel G✝.Adj
inst✝² : DecidableEq G✝.ConnectedComponent
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent
c : G.ConnectedComponent
\u22a2 (fun i => if G.connectedComponentMk i = c then 1 else 0) ∈ LinearMap.ker (toLin' (lapMatrix ℝ G))
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/LapMatrix.lean
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype V
inst✝⁴ : DecidableEq V
G✝ : SimpleGraph V
inst✝³ : DecidableRel G✝.Adj
inst✝² : DecidableEq G✝.ConnectedComponent
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent
c : G.ConnectedComponent
\u22a2 ∀ (i j : V), G.Reachable i j → (if G.connectedComponentMk i = c then 1 else 0) = if G.connectedComponentMk j = c then 1 else 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
\u22a2 Tendsto (fun x => rexp (-x) * x ^ s / rexp (-(1 / 2) * x)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
this : (fun x => rexp (-x) * x ^ s / rexp (-(1 / 2) * x)) = (fun x => rexp (1 / 2 * x) / x ^ s)⁻¹
\u22a2 Tendsto (fun x => rexp (-x) * x ^ s / rexp (-(1 / 2) * x)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
this : (fun x => rexp (-x) * x ^ s / rexp (-(1 / 2) * x)) = (fun x => rexp (1 / 2 * x) / x ^ s)⁻¹
\u22a2 Tendsto (fun x => rexp (1 / 2 * x) / x ^ s)⁻¹ atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n i : ℕ
hi : i < n + 1
j : ℕ
hj : j < [n].len + 1
\u22a2 ↑((Hom.toOrderHom (δ ⟨i, hi⟩.castSucc ≫ σ ⟨i, hi⟩)) ⟨j, hj⟩) = ↑((Hom.toOrderHom (𝟙 [n])) ⟨j, hj⟩)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n i : ℕ
hi : i < n + 1
j : ℕ
hj : j < n + 1
\u22a2 ↑((Hom.toOrderHom (δ ⟨i, hi⟩.castSucc ≫ σ ⟨i, hi⟩)) ⟨j, hj⟩) = ↑((Hom.toOrderHom (𝟙 [n])) ⟨j, hj⟩)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n i : ℕ
hi : i < n + 1
j : ℕ
hj : j < n + 1
\u22a2 ↑(if h : ⟨i, ⋯⟩ < if ⟨j, ⋯⟩ < ⟨i, ⋯⟩ then ⟨j, ⋯⟩ else ⟨j + 1, ⋯⟩ then (if ⟨j, ⋯⟩ < ⟨i, ⋯⟩ then ⟨j, ⋯⟩ else ⟨j + 1, ⋯⟩).pred ⋯ else (if ⟨j, ⋯⟩ < ⟨i, ⋯⟩ then ⟨j, ⋯⟩ else ⟨j + 1, ⋯⟩).castPred ⋯) = j
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n i : ℕ
hi : i < n + 1
j : ℕ
hj : j < n + 1
\u22a2 (if h : i < if j < i then j else j + 1 then (if j < i then j else j + 1) - 1 else ↑((if j < i then ⟨j, ⋯⟩ else ⟨j + 1, ⋯⟩).castPred ⋯)) = j
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²⁵ : Semiring R₁
inst✝²⁴ : Semiring R₂
inst✝²³ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
inst✝²² : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝¹⁷ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹² : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁴ : Module R₁ M₁
inst✝³ : Module R₁ M'₁
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
inst✝ : TopologicalSpace R₁
f g : R₁ ≃L[R₁] M₁
h : f 1 = g 1
x : R₁
\u22a2 f (x * 1) = g (x * 1)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Decomposition.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X X' : SimplicialObject C
n : ℕ
Z Z' : C
f : MorphComponents X n Z
g : X' ⟶ X
h : Z ⟶ Z'
\u22a2 (id X n).φ = 𝟙 (X _[n + 1])
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Decomposition.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X X' : SimplicialObject C
n : ℕ
Z Z' : C
f : MorphComponents X n Z
g : X' ⟶ X
h : Z ⟶ Z'
\u22a2 PInfty.f (n + 1) ≫ (id X n).a + ∑ i : Fin (n + 1), (P ↑i).f (n + 1) ≫ X.δ i.rev.succ ≫ (id X n).b i.rev = (P (n + 1)).f (n + 1) + (Q (n + 1)).f (n + 1)
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : Nonempty ι
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : L.Structure N
S : ι →o L.Substructure M
\u22a2 (liftInclusion S).toHom.range = ⨆ i, S i
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n : ℕ
hpos : 0 < n
\u22a2 Irreducible (cyclotomic n ℤ)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n : ℕ
hpos : 0 < n
\u22a2 Irreducible (minpoly ℤ (cexp (2 * ↑Real.pi * I / ↑n)))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n : ℕ
hpos : 0 < n
\u22a2 IsIntegral ℤ (cexp (2 * ↑Real.pi * I / ↑n))
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype m
M : Matrix m n α
i✝ : l
j✝ : n
\u22a2 (0 * M) i✝ j✝ = 0 i✝ j✝
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
hf : Set.InjOn f ↑s.support
x : β
hx : x ∈ image f s.support
\u22a2 x ∈ (mapDomain f s).support
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
hf : Set.InjOn f ↑s.support
x : β
hx : ∃ a, ¬s a = 0 ∧ f a = x
\u22a2 x ∈ (mapDomain f s).support
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
hf : Set.InjOn f ↑s.support
hx_w : α
hx_h_left : ¬s hx_w = 0
\u22a2 f hx_w ∈ (mapDomain f s).support
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
hf : Set.InjOn f ↑s.support
hx_w : α
hx_h_left : ¬s hx_w = 0
\u22a2 ¬(mapDomain f s) (f hx_w) = 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
hf : Set.InjOn f ↑s.support
hx_w : α
hx_h_left : ¬s hx_w = 0
\u22a2 ¬s hx_w = 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
hf : Set.InjOn f ↑s.support
hx_w : α
hx_h_left : ¬s hx_w = 0
\u22a2 hx_w ∈ ↑s.support
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
hf : Set.InjOn f ↑s.support
hx_w : α
hx_h_left : ¬s hx_w = 0
\u22a2 ↑s.support ⊆ ↑s.support
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
\u22a2 cyclotomic' n K = (X ^ n - 1) /ₘ ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
\u22a2 cyclotomic' n K = (cyclotomic' n K * ∏ x ∈ n.properDivisors, cyclotomic' x K) /ₘ ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).Monic
\u22a2 cyclotomic' n K = (cyclotomic' n K * ∏ x ∈ n.properDivisors, cyclotomic' x K) /ₘ ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).Monic
\u22a2 0 + (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K) * cyclotomic' n K = cyclotomic' n K * ∏ x ∈ n.properDivisors, cyclotomic' x K ∧ degree 0 < (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).degree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).Monic
\u22a2 (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K) * cyclotomic' n K = cyclotomic' n K * ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K ∧ ⊥ < (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).degree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).Monic
\u22a2 ⊥ < (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).degree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).Monic
\u22a2 (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).degree ≠ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ n
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).Monic
h : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).degree = ⊥
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/ProjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
a : 𝕜
\u22a2 projectiveSeminormAux (List.map (fun y => (a * y.1, y.2)) p) = ‖a‖ * projectiveSeminormAux p
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/ProjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
a : 𝕜
\u22a2 (List.map ((fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) ∘ fun y => (a * y.1, y.2)) p).sum = ‖a‖ * (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p).sum
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/ProjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
a : 𝕜
\u22a2 (List.map ((fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) ∘ fun y => (a * y.1, y.2)) p).sum = (List.map ((fun x => ‖a‖ • x) ∘ fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p).sum
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/ProjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
a : 𝕜
x : 𝕜 × ((i : ι) → E i)
\u22a2 ((fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) ∘ fun y => (a * y.1, y.2)) x = ((fun x => ‖a‖ • x) ∘ fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) x
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/ProjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
a : 𝕜
x : 𝕜 × ((i : ι) → E i)
\u22a2 ‖a‖ * ‖x.1‖ * ∏ x_1 : ι, ‖x.2 x_1‖ = ‖a‖ * (‖x.1‖ * ∏ x_1 : ι, ‖x.2 x_1‖)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/PairwiseIntersections.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
\u22a2 F.IsSheaf ↔ F.IsSheafPreservesLimitPairwiseIntersections
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/PairwiseIntersections.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
\u22a2 F.IsSheafPairwiseIntersections ↔ F.IsSheafPreservesLimitPairwiseIntersections
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x : α
y : β
\u22a2 (x, y) ∈ {a} ×ˢ t ↔ (x, y) ∈ Prod.mk a '' t
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b : ℕ
r : ℤ
ha : a % 4 = 3
hb : b % 4 = 3
hr : jacobiSymNat b a = r
\u22a2 jacobiSymNat a b = -r
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf'' : ∀ x ∈ interior D, 0 < deriv^[2] f x
\u22a2 ∀ x ∈ interior (interior D), 0 < deriv (deriv f) x
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : Lattice α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
toSemilatticeSup✝¹ : SemilatticeSup α
toInf✝¹ : Inf α
inf_le_left✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a
inf_le_right✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b
le_inf✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c
toSemilatticeSup✝ : SemilatticeSup α
toInf✝ : Inf α
inf_le_left✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a
inf_le_right✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b
le_inf✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
\u22a2 mk inf_le_left✝¹ inf_le_right✝¹ le_inf✝¹ = mk inf_le_left✝ inf_le_right✝ le_inf✝
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : Lattice α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
toSemilatticeSup✝ : SemilatticeSup α
toInf✝¹ : Inf α
inf_le_left✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a
inf_le_right✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b
le_inf✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c
toInf✝ : Inf α
inf_le_left✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a
inf_le_right✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b
le_inf✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
\u22a2 mk inf_le_left✝¹ inf_le_right✝¹ le_inf✝¹ = mk inf_le_left✝ inf_le_right✝ le_inf✝
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : Lattice α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
toSemilatticeSup✝ : SemilatticeSup α
toInf✝ : Inf α
inf_le_left✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a
inf_le_right✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b
le_inf✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c
inf_le_left✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a
inf_le_right✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b
le_inf✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
\u22a2 mk inf_le_left✝¹ inf_le_right✝¹ le_inf✝¹ = mk inf_le_left✝ inf_le_right✝ le_inf✝
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
F : Filter α
G : Filter β
\u22a2 map f (comap f G ⊓ F) = G ⊓ map f F
-- Mathlib/Algebra/Lie/Basic.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M
\u22a2 ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ + ⁅y, ⁅z, x⁆⁆ + ⁅z, ⁅x, y⁆⁆ = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Basic.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M
\u22a2 -(⁅y, ⁅z, x⁆⁆ - ⁅z, ⁅y, x⁆⁆) + ⁅y, ⁅z, x⁆⁆ + -⁅z, ⁅y, x⁆⁆ = 0
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
\u22a2 f =o[l] g ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
-- Mathlib/Data/Pi/Interval.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
a b : (i : ι) → α i
\u22a2 (Ioo a b).card = ∏ i : ι, (Icc (a i) (b i)).card - 2
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/TerminatesIffRat.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n : ℕ
\u22a2 Stream'.map (Option.map (mapFr Rat.cast)) (IntFractPair.stream q) = IntFractPair.stream v
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/TerminatesIffRat.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n✝ n : ℕ
\u22a2 Stream'.map (Option.map (mapFr Rat.cast)) (IntFractPair.stream q) n = IntFractPair.stream v n
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/IntegralClosure.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : IsDomain A
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝⁹ : Field L
C : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing C
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A K L
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : FiniteDimensional K L
this : DecidableEq L := Classical.decEq L
\u22a2 ∃ s b, ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/IntegralClosure.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : IsDomain A
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝⁹ : Field L
C : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing C
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A K L
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : FiniteDimensional K L
this✝ : DecidableEq L := Classical.decEq L
this : IsNoetherian K L := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance
\u22a2 ∃ s b, ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/IntegralClosure.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : IsDomain A
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝⁹ : Field L
C : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing C
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A K L
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : FiniteDimensional K L
this✝ : DecidableEq L := Classical.decEq L
this : IsNoetherian K L := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance
s' : Finset L := IsNoetherian.finsetBasisIndex K L
bs' : Basis { x // x ∈ IsNoetherian.finsetBasisIndex K L } K L := IsNoetherian.finsetBasis K L
\u22a2 ∃ s b, ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/IntegralClosure.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : IsDomain A
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝⁹ : Field L
C : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing C
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A K L
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : FiniteDimensional K L
this✝ : DecidableEq L := Classical.decEq L
this : IsNoetherian K L := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance
s' : Finset L := IsNoetherian.finsetBasisIndex K L
bs' : Basis { x // x ∈ IsNoetherian.finsetBasisIndex K L } K L := IsNoetherian.finsetBasis K L
y : A
hy : y ≠ 0
his' : ∀ x ∈ Finset.image (⇑bs') Finset.univ, IsIntegral A (y • x)
\u22a2 ∃ s b, ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/IntegralClosure.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : IsDomain A
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝⁹ : Field L
C : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing C
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A K L
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : FiniteDimensional K L
this✝ : DecidableEq L := Classical.decEq L
this : IsNoetherian K L := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance
s' : Finset L := IsNoetherian.finsetBasisIndex K L
bs' : Basis { x // x ∈ IsNoetherian.finsetBasisIndex K L } K L := IsNoetherian.finsetBasis K L
y : A
hy : y ≠ 0
his' : ∀ x ∈ Finset.image (⇑bs') Finset.univ, IsIntegral A (y • x)
hy' : (algebraMap A L) y ≠ 0
\u22a2 ∃ s b, ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/IntegralClosure.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : IsDomain A
inst✝¹¹ : Algebra A K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
L : Type u_4
inst✝⁹ : Field L
C : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing C
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra A L
inst✝⁵ : IsScalarTower A K L
inst✝⁴ : Algebra C L
inst✝³ : IsIntegralClosure C A L
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : IsScalarTower A C L
inst✝ : FiniteDimensional K L
this✝ : DecidableEq L := Classical.decEq L
this : IsNoetherian K L := IsNoetherian.iff_fg.mpr inferInstance
s' : Finset L := IsNoetherian.finsetBasisIndex K L
bs' : Basis { x // x ∈ IsNoetherian.finsetBasisIndex K L } K L := IsNoetherian.finsetBasis K L
y : A
hy : y ≠ 0
his' : ∀ x ∈ Finset.image (⇑bs') Finset.univ, IsIntegral A (y • x)
hy' : (algebraMap A L) y ≠ 0
\u22a2 Function.LeftInverse (fun x => ((algebraMap A L) y)⁻¹ * x) { toFun := fun x => (algebraMap A L) y * x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun