ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Star/CHSH.lean
R : Type u
inst✝⁵ : OrderedRing R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : StarOrderedRing R
inst✝² : Algebra ℝ R
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ R
inst✝ : StarModule ℝ R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
M : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x
P : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀
Q : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁
w : √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ = (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)
pos : 0 ≤ (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)
\u22a2 0 ≤ √2 ^ 3 • 1 - (A₀ * B₀ + A₀ * B₁ + A₁ * B₀ - A₁ * B₁)
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
p : F[X]
hsep : p.Separable
hsplit : Splits (algebraMap F K) p
\u22a2 Fintype.card ↑(p.rootSet K) = p.natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
p : F[X]
hsep : p.Separable
hsplit : Splits (algebraMap F K) p
\u22a2 (p.aroots K).toFinset.card = p.natDegree
-- Mathlib/Data/Int/Cast/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R
\u22a2 ↑(-↑0) = -↑↑0
-- Mathlib/Data/Int/Cast/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R
n : ℕ
\u22a2 ↑(-↑(n + 1)) = -↑↑(n + 1)
-- Mathlib/Data/Int/Cast/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R
n : ℕ
\u22a2 ↑(- -[n+1]) = -↑-[n+1]
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y : M₀
h : IsUnit x
\u22a2 y * inverse x * x = y
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝² : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra K L
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcyc : IsCyclotomicExtension {p} K L
h : p ≠ 2
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑p ^ (0 + 1)) K)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑p ^ (0 + 1))
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} K L
\u22a2 (Algebra.norm K) (ζ - 1) = ↑↑p
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
h : ∀ (n : ℕ), (bind₁ f) (wittPolynomial p ℤ n) = (bind₁ g) (wittPolynomial p ℤ n)
n : ℕ
\u22a2 f n = g n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
h : ∀ (n : ℕ), (bind₁ f) (wittPolynomial p ℤ n) = (bind₁ g) (wittPolynomial p ℤ n)
n : ℕ
\u22a2 (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (f n) = (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (g n)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
h : (fun n => (bind₁ f) (wittPolynomial p ℤ n)) = fun n => (bind₁ g) (wittPolynomial p ℤ n)
n : ℕ
\u22a2 (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (f n) = (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (g n)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
n : ℕ
h : ((fun fam => (bind₁ (⇑(MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ∘ fam)) (xInTermsOfW p ℚ n)) fun n => (bind₁ f) (wittPolynomial p ℤ n)) = (fun fam => (bind₁ (⇑(MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ∘ fam)) (xInTermsOfW p ℚ n)) fun n => (bind₁ g) (wittPolynomial p ℤ n)
\u22a2 (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (f n) = (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (g n)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
L : List α
\u22a2 IsUnit L.prod ↔ ∀ m ∈ L, IsUnit m
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
L : List α
h : IsUnit L.prod
\u22a2 ∀ m ∈ L, IsUnit m
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
m : α
L : List α
ih : IsUnit L.prod → ∀ m ∈ L, IsUnit m
h : IsUnit (m :: L).prod
\u22a2 ∀ m_1 ∈ m :: L, IsUnit m_1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
m : α
L : List α
ih : IsUnit L.prod → ∀ m ∈ L, IsUnit m
h : IsUnit m ∧ IsUnit L.prod
\u22a2 ∀ m_1 ∈ m :: L, IsUnit m_1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(-π / 2)
\u22a2 ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(-π / 2)
\u22a2 ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₃ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Completion.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x : Cauchy abv
f : CauSeq β abv
hf : ⟦f⟧ ≠ 0
\u22a2 ⟦f⟧ * (⟦f⟧)⁻¹ = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Completion.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x : Cauchy abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
\u22a2 ⟦f⟧ * (⟦f⟧)⁻¹ = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Completion.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x : Cauchy abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
\u22a2 mk (f * f.inv ⋯) = 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H✝ : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
H : SimpleGraph β
f : H ↪g G
h : G.CliqueFree n
\u22a2 H.CliqueFree n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H✝ : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
H : SimpleGraph β
f : H ↪g G
h : ¬H.CliqueFree n
\u22a2 ¬G.CliqueFree n
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s t : Set (PrimeSpectrum R)
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
\u22a2 s ⊂ t ↔ vanishingIdeal t < vanishingIdeal s
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Frobenius.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
\u22a2 (bind₁ fun n => (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ n)) (wittPolynomial p ℚ n) = wittPolynomial p ℚ (n + 1)
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s : ι → Set Ω
hπ : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
\u22a2 iCondIndepSets m' hm' (fun i => {s i}) μ ↔ ∀ (S : Finset ι), μ[(⋂ i ∈ S, s i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ S, μ[(s i).indicator fun ω => 1|m']
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s : ι → Set Ω
hπ : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
\u22a2 (∀ (s_1 : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s_1, f i ∈ {s i}) → μ[(⋂ i ∈ s_1, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s_1, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']) ↔ ∀ (S : Finset ι), μ[(⋂ i ∈ S, s i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ S, μ[(s i).indicator fun ω => 1|m']
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s : ι → Set Ω
hπ : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
\u22a2 ∀ (i : ι), ∀ s_1 ∈ {s i}, MeasurableSet s_1
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u_1
m₁ m₂ : OuterMeasure α
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
t : Set α
hs₁ : s ∈ (fun m => {t | MeasurableSet t}) m₁.caratheodory
hs₂ : s ∈ (fun m => {t | MeasurableSet t}) m₂.caratheodory
\u22a2 (m₁ + m₂) t = (m₁ + m₂) (t ∩ s) + (m₁ + m₂) (t \ s)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroObjects.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroObject D
F : C ⥤ D
hF : IsZero F
X : C
G : C ⥤ D := (Functor.const C).obj 0
\u22a2 IsZero (F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroObjects.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroObject D
F : C ⥤ D
hF : IsZero F
X : C
G : C ⥤ D := (Functor.const C).obj 0
hG : IsZero G
\u22a2 IsZero (F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroObjects.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroObject D
F : C ⥤ D
hF : IsZero F
X : C
G : C ⥤ D := (Functor.const C).obj 0
hG : IsZero G
e : F ≅ G := hF.iso hG
\u22a2 IsZero (F.obj X)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
x : α
y : β
r : ℝ
z : α × β
\u22a2 z ∈ closedBall x r ×ˢ closedBall y r ↔ z ∈ closedBall (x, y) r
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x✝ : α
inst✝ : DecidablePred fun x => x < c
hcb : c ≤ b
x : α
\u22a2 x ∈ filter (fun x => x < c) (Ico a b) ↔ x ∈ Ico a c
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x✝ : α
inst✝ : DecidablePred fun x => x < c
hcb : c ≤ b
x : α
\u22a2 (a ≤ x ∧ x < c) ∧ x < b ↔ a ≤ x ∧ x < c
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
hax : 0 < a.x
n : ℤ
\u22a2 0 < (a ^ n).x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : AddCommMonoid B
inst✝ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
\u22a2 (∑ x ∈ s, f x).sum t = ∑ x ∈ s, (f x).sum t
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
h : IsPushout f g inl inr
inst✝ : HasPushout f g
\u22a2 inr ≫ h.isoPushout.hom = pushout.inr f g
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
\u22a2 dualAnnihilator (W ⊓ W') = dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
\u22a2 dualAnnihilator (W ⊓ W') ≤ dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
\u22a2 dualAnnihilator (W ⊓ W') ≤ dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
\u22a2 dualAnnihilator (W ⊓ W') ≤ dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
\u22a2 LinearMap.range F.dualMap ≤ dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
φ : Dual K V₁
\u22a2 φ ∈ LinearMap.range F.dualMap → φ ∈ dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
φ : Dual K V₁
\u22a2 (∃ y, F.dualMap y = φ) → φ ∈ dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
x : Dual K ((V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W')
\u22a2 F.dualMap x ∈ dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
x : Dual K ((V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W')
\u22a2 ∃ y ∈ dualAnnihilator W, ∃ z ∈ dualAnnihilator W', y + z = F.dualMap x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
a : Dual K (V₁ ⧸ W)
b : Dual K (V₁ ⧸ W')
\u22a2 ∃ y ∈ dualAnnihilator W, ∃ z ∈ dualAnnihilator W', y + z = F.dualMap ((dualProdDualEquivDual K (V₁ ⧸ W) (V₁ ⧸ W')) (a, b))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
b : Dual K (V₁ ⧸ W')
a' : ↥(dualAnnihilator W)
\u22a2 ∃ y ∈ dualAnnihilator W, ∃ z ∈ dualAnnihilator W', y + z = F.dualMap ((dualProdDualEquivDual K (V₁ ⧸ W) (V₁ ⧸ W')) ((dualQuotEquivDualAnnihilator W).symm a', b))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
a' : ↥(dualAnnihilator W)
b' : ↥(dualAnnihilator W')
\u22a2 ∃ y ∈ dualAnnihilator W, ∃ z ∈ dualAnnihilator W', y + z = F.dualMap ((dualProdDualEquivDual K (V₁ ⧸ W) (V₁ ⧸ W')) ((dualQuotEquivDualAnnihilator W).symm a', (dualQuotEquivDualAnnihilator W').symm b'))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
a' : ↥(dualAnnihilator W)
b' : ↥(dualAnnihilator W')
\u22a2 ↑a' + ↑b' = F.dualMap ((dualProdDualEquivDual K (V₁ ⧸ W) (V₁ ⧸ W')) ((dualQuotEquivDualAnnihilator W).symm a', (dualQuotEquivDualAnnihilator W').symm b'))
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : CommMonoid β
a u : β
hu : IsUnit u
\u22a2 u * a ~ᵤ a
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : CommMonoid β
a u : β
hu : IsUnit u
\u22a2 a * u ~ᵤ a
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
\u22a2 Pointed 0
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α
\u22a2 _root_.Disjoint (s ∪ t) u ↔ _root_.Disjoint s u ∧ _root_.Disjoint t u
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α
s₁ s₂ : Finset α
x✝ : α
\u22a2 x✝ ∈ s₁ ∩ s₂ ↔ x✝ ∈ s₂ ∩ s₁
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/GroupWithZero/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoidWithZero M₀
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : ι → M₀
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
h : f i = 0
\u22a2 ∏ j ∈ s, f j = 0
-- Mathlib/Order/Hom/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
ι : Sort u_3
inst✝ : CompleteLattice β
f : ι → α →o β
\u22a2 ⇑(⨆ i, f i) = ⨆ i, ⇑(f i)
-- Mathlib/Order/Hom/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
ι : Sort u_3
inst✝ : CompleteLattice β
f : ι → α →o β
x : α
\u22a2 (⨆ i, f i) x = (⨆ i, ⇑(f i)) x
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : StarOrderedRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.771514) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
r : R
a : A
h : ∀ x ∈ spectrum R a, x ≤ r
ha : autoParam (p a) _auto✝
\u22a2 a ≤ (algebraMap R A) r
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : StarOrderedRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.771514) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
r : R
a : A
h : ∀ x ∈ spectrum R a, x ≤ r
ha : autoParam (p a) _auto✝
\u22a2 cfc id a ≤ (algebraMap R A) r
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hf : Measurable (Function.uncurry f)
a : α
\u22a2 (κ.withDensity f) a = (κ a).withDensity (f a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
hf₁ : Integrable f μ
hf₂ : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
\u22a2 ∫ (x : G), f x ∂μ = ∫ (x : G ⧸ Γ), automorphize f x ∂Measure.map mk (μ.restrict 𝓕)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
hf₁ : Integrable f μ
hf₂ : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
\u22a2 ∑' (γ : ↥Γ.op), ∫ (x : G) in 𝓕, f (γ • x) ∂μ = ∫ (x : G) in 𝓕, ∑' (γ : ↥Γ.op), f (γ • x) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
hf₁ : Integrable f μ
hf₂ : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
\u22a2 ∀ (i : ↥Γ.op), AEStronglyMeasurable (fun x => f (i • x)) (μ.restrict 𝓕)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
hf₁ : Integrable f μ
hf₂ : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
\u22a2 ∑' (i : ↥Γ.op), ∫⁻ (a : G) in 𝓕, ↑‖f (i • a)‖₊ ∂μ ≠ ⊤
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
inst✝ : DecidableEq V
v : V
x✝ : ↑(G.neighborSet v)
w : V
hw : w ∈ G.neighborSet v
\u22a2 (fun e => ⟨G.otherVertexOfIncident ⋯, ⋯⟩) ((fun w => ⟨s(v, ↑w), ⋯⟩) ⟨w, hw⟩) = ⟨w, hw⟩
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
inst✝ : DecidableEq V
v : V
x✝ : ↑(G.neighborSet v)
w : V
hw : w ∈ G.neighborSet v
\u22a2 G.otherVertexOfIncident ⋯ = w
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
\u22a2 s.attach = ∅ ↔ s = ∅
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
\u22a2 f ▷ 𝟙_ C = (ρ_ X).hom ≫ f ≫ (ρ_ Y).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
\u22a2 f ▷ 𝟙_ C = (f ▷ 𝟙_ C ≫ (ρ_ Y).hom) ≫ (ρ_ Y).inv
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
\u22a2 Real.cos (angle x (x + y)) = ‖x‖ / ‖x + y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
\u22a2 ‖x‖ ≤ ‖x + y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
\u22a2 ‖x‖ * ‖x‖ ≤ ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
δ : ℝ
E : Set α
h : y ∈ E
h' : dist x y ≤ δ
\u22a2 x ∈ cthickening δ E
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
δ : ℝ
E : Set α
h : y ∈ E
h' : dist x y ≤ δ
\u22a2 edist x y ≤ ENNReal.ofReal δ