ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f✝ g : ι → α → β
p✝ : ℝ≥0∞
x✝ : MeasurableSpace α
f : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
\u22a2 μ ∅ ≠ ⊤
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : IsVonNBounded 𝕜 s
x : E
\u22a2 IsVonNBounded 𝕜 (x +ᵥ s)
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : IsVonNBounded 𝕜 s
x : E
\u22a2 IsVonNBounded 𝕜 ({x} +ᵥ s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Tilted.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) μ
g : α → ℝ
hg : Integrable (fun x => rexp (g x)) μ
\u22a2 (μ.tilted f).tilted g = (μ.tilted g).tilted f
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = type r
\u22a2 #{ s // Bounded r s } = #α
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = type r
ha : #α = 0
\u22a2 #{ s // Bounded r s } = #α
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = type r
ha : #α ≠ 0
\u22a2 #{ s // Bounded r s } = #α
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = type r
ha : #α ≠ 0
h' : (#α).IsStrongLimit
\u22a2 #{ s // Bounded r s } = #α
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = type r
ha✝ : #α ≠ 0
h' : (#α).IsStrongLimit
ha : ℵ₀ ≤ #α
\u22a2 #{ s // Bounded r s } = #α
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = type r
ha✝ : #α ≠ 0
h' : (#α).IsStrongLimit
ha : ℵ₀ ≤ #α
\u22a2 #{ s // Bounded r s } ≤ #α
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = type r
ha✝ : #α ≠ 0
h' : (#α).IsStrongLimit
ha : ℵ₀ ≤ #α
\u22a2 #α ≤ #{ s // Bounded r s }
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι✝ : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : NormedField 𝕜✝
inst✝⁶ : AddCommGroup E✝
inst✝⁵ : Module 𝕜✝ E✝
p✝ : SeminormFamily 𝕜✝ E✝ ι✝
inst✝⁴ : Nonempty ι✝
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : ∀ (i : ι), Continuous ⇑(p i)
U : Set E
hU : U ∈ p.basisSets
\u22a2 U ∈ 𝓝 0
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι✝ : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : NormedField 𝕜✝
inst✝⁶ : AddCommGroup E✝
inst✝⁵ : Module 𝕜✝ E✝
p✝ : SeminormFamily 𝕜✝ E✝ ι✝
inst✝⁴ : Nonempty ι✝
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : ∀ (i : ι), Continuous ⇑(p i)
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : (s.sup p).ball 0 r ∈ p.basisSets
\u22a2 (s.sup p).ball 0 r ∈ 𝓝 0
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι✝ : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : NormedField 𝕜✝
inst✝⁶ : AddCommGroup E✝
inst✝⁵ : Module 𝕜✝ E✝
p✝ : SeminormFamily 𝕜✝ E✝ ι✝
inst✝⁴ : Nonempty ι✝
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : ∀ (i : ι), Continuous ⇑(p i)
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
\u22a2 (s.sup p).ball 0 r ∈ 𝓝 0
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι✝ : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : NormedField 𝕜✝
inst✝⁶ : AddCommGroup E✝
inst✝⁵ : Module 𝕜✝ E✝
p✝ : SeminormFamily 𝕜✝ E✝ ι✝
inst✝⁴ : Nonempty ι✝
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : ∀ (i : ι), Continuous ⇑(p i)
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
\u22a2 Continuous ⇑(s.sup p)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Ideal.lean
k : Type u_1
A : Type u_2
G : Type u_3
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : Semiring k
s : Set G
x : MonoidAlgebra k G
\u22a2 x ∈ Ideal.span (⇑(of k G) '' s) ↔ ∀ m ∈ x.support, ∃ m' ∈ s, ∃ d, m = d * m'
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Ideal.lean
k : Type u_1
A : Type u_2
G : Type u_3
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : Semiring k
s : Set G
x : MonoidAlgebra k G
RHS : Ideal (MonoidAlgebra k G) := { carrier := {p | ∀ m ∈ p.support, ∃ m' ∈ s, ∃ d, m = d * m'}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, smul_mem' := ⋯ }
\u22a2 x ∈ Ideal.span (⇑(of k G) '' s) ↔ ∀ m ∈ x.support, ∃ m' ∈ s, ∃ d, m = d * m'
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : LE α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
\u22a2 a ≤ a * b ↔ a * 1 ≤ a * b
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f✝ g : ι → α → β
p✝ : ℝ≥0∞
x✝ : MeasurableSpace α
f : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
\u22a2 UnifTight f p μ ↔ ∀ ⦃ε : ℝ⦄, 0 < ε → ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f✝ g : ι → α → β
p✝ : ℝ≥0∞
x✝ : MeasurableSpace α
f : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hut : ∀ ⦃ε : ℝ⦄, 0 < ε → ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
\u22a2 ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f✝ g : ι → α → β
p✝ : ℝ≥0∞
x✝ : MeasurableSpace α
f : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hut : ∀ ⦃ε : ℝ⦄, 0 < ε → ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
hfε : ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ((fun a => ↑a) ε)
\u22a2 ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f✝ g : ι → α → β
p✝ : ℝ≥0∞
x✝ : MeasurableSpace α
f : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hut : ∀ ⦃ε : ℝ⦄, 0 < ε → ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
hfε : ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ((fun a => ↑a) ε)
\u22a2 ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f✝ g : ι → α → β
p✝ : ℝ≥0∞
x✝ : MeasurableSpace α
f : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hut : ∀ ⦃ε : ℝ⦄, 0 < ε → ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
hfε : ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ((fun a => ↑a) ε)
i : ι
\u22a2 eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝³ : MeasurableSpace β✝
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α✝
s t : Set α✝
α : Type u_5
β : Type u_6
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
g : α → β
g_mble : NullMeasurable g μ
\u22a2 {t | 0 < μ {a | g a = t}}.Countable
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝³ : MeasurableSpace β✝
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α✝
s t : Set α✝
α : Type u_5
β : Type u_6
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
g : α → β
g_mble : NullMeasurable g μ
level_sets_disjoint : Pairwise (Disjoint on fun t => {a | g a = t})
\u22a2 {t | 0 < μ {a | g a = t}}.Countable
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ = x₂
hy : y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
\u22a2 W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ = (3 * x₁ ^ 2 + 2 * W.a₂ * x₁ + W.a₄ - W.a₁ * y₁) / (y₁ - W.negY x₁ y₁)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I M : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hIM : I ≤ M
hM : M.IsMaximal
\u22a2 ∃ Z, (M ::ₘ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I ∧ ¬(Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I M : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hIM : I ≤ M
hM : M.IsMaximal
Z₀ : Multiset (PrimeSpectrum A)
hZ₀ : (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z₀).prod ≤ I ∧ (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z₀).prod ≠ ⊥
\u22a2 ∃ Z, (M ::ₘ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I ∧ ¬(Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I M : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hIM : I ≤ M
hM : M.IsMaximal
Z₀ : Multiset (PrimeSpectrum A)
hZ₀ : (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z₀).prod ≤ I ∧ (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z₀).prod ≠ ⊥
Z : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_eraseZ : ∀ x ∈ {Z | (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≠ ⊥}, ¬x < Z
hZI : (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I
hprodZ : (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≠ ⊥
\u22a2 ∃ Z, (M ::ₘ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I ∧ ¬(Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I M : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hIM : I ≤ M
hM : M.IsMaximal
Z₀ : Multiset (PrimeSpectrum A)
hZ₀ : (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z₀).prod ≤ I ∧ (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z₀).prod ≠ ⊥
Z : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_eraseZ : ∀ x ∈ {Z | (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≠ ⊥}, ¬x < Z
hZI : (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I
hprodZ : (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≠ ⊥
w✝ : Ideal A
hPZ' : w✝ ∈ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z
hPM : w✝ ≤ M
\u22a2 ∃ Z, (M ::ₘ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I ∧ ¬(Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I M : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hIM : I ≤ M
hM : M.IsMaximal
Z₀ : Multiset (PrimeSpectrum A)
hZ₀ : (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z₀).prod ≤ I ∧ (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z₀).prod ≠ ⊥
Z : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_eraseZ : ∀ x ∈ {Z | (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≠ ⊥}, ¬x < Z
hZI : (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I
hprodZ : (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≠ ⊥
P : PrimeSpectrum A
hPZ : P ∈ Z
hPZ' : P.asIdeal ∈ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z
hPM : P.asIdeal ≤ M
\u22a2 ∃ Z, (M ::ₘ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I ∧ ¬(Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Field.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
a : 𝕜
h : Tendsto f l (𝓝 a)
hg : Tendsto g l atTop
\u22a2 Tendsto (fun x => f x / g x) l (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Field.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
a : 𝕜
h : Tendsto f l (𝓝 a)
hg : Tendsto g l atTop
\u22a2 Tendsto (fun x => f x * (g x)⁻¹) l (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
a b : α
f : α → δ
hab : a < b
hf_c : ContinuousOn f (Ioo a b)
hf_i : InjOn f (Ioo a b)
\u22a2 StrictMonoOn f (Ioo a b) ∨ StrictAntiOn f (Ioo a b)
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
a b : α
f : α → δ
hab : a < b
hf_c : ContinuousOn f (Ioo a b)
hf_i : InjOn f (Ioo a b)
this : Inhabited ↑(Ioo a b)
\u22a2 StrictMonoOn f (Ioo a b) ∨ StrictAntiOn f (Ioo a b)
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
a b : α
f : α → δ
hab : a < b
hf_c : ContinuousOn f (Ioo a b)
hf_i : InjOn f (Ioo a b)
this : Inhabited ↑(Ioo a b)
g : ↑(Ioo a b) → δ := (Ioo a b).restrict f
\u22a2 StrictMonoOn f (Ioo a b) ∨ StrictAntiOn f (Ioo a b)
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
a b : α
f : α → δ
hab : a < b
hf_c : ContinuousOn f (Ioo a b)
hf_i : InjOn f (Ioo a b)
this✝ : Inhabited ↑(Ioo a b)
g : ↑(Ioo a b) → δ := (Ioo a b).restrict f
this : StrictMono g ∨ StrictAnti g
\u22a2 StrictMonoOn f (Ioo a b) ∨ StrictAntiOn f (Ioo a b)
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
f✝ : α → β
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : SecondCountableTopology β
f : α → β
hf : _root_.Embedding f
\u22a2 SeparableSpace α
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
f✝ : α → β
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : SecondCountableTopology β
f : α → β
hf : _root_.Embedding f
this : SecondCountableTopology α
\u22a2 SeparableSpace α
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hd : M
tl : List M
ih : (∀ x ∈ tl, 1 ≤ x) → 1 ≤ tl.prod
hl₁ : ∀ x ∈ hd :: tl, 1 ≤ x
\u22a2 1 ≤ (hd :: tl).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hd : M
tl : List M
ih : (∀ x ∈ tl, 1 ≤ x) → 1 ≤ tl.prod
hl₁ : ∀ x ∈ hd :: tl, 1 ≤ x
\u22a2 1 ≤ hd * tl.prod
-- Mathlib/Data/Finset/Powerset.lean
α : Type u_1
s✝ t✝ : Finset α
n✝ : ?m.14976
s t : Finset α
n : ℕ
\u22a2 (↑(powersetCard n ∅)).Subsingleton
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x : 𝓞 K
h : ¬λ ∣ x
\u22a2 λ ^ 4 ∣ x ^ 3 - 1 ∨ λ ^ 4 ∣ x ^ 3 + 1
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x : 𝓞 K
h : ¬λ ∣ x
H : λ ∣ x
\u22a2 λ ^ 4 ∣ x ^ 3 - 1 ∨ λ ^ 4 ∣ x ^ 3 + 1
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x : 𝓞 K
h : ¬λ ∣ x
H : λ ∣ x - 1
\u22a2 λ ^ 4 ∣ x ^ 3 - 1 ∨ λ ^ 4 ∣ x ^ 3 + 1
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x : 𝓞 K
h : ¬λ ∣ x
H : λ ∣ x + 1
\u22a2 λ ^ 4 ∣ x ^ 3 - 1 ∨ λ ^ 4 ∣ x ^ 3 + 1
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
f : G → E
s : Set G
hp : WithSeminorms p
\u22a2 Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (f '' s) ↔ ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) (f x) < r
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s✝ t✝ : Multiset α
f✝ g✝ : α → Multiset β
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
s : Multiset α
t : Multiset β
f : α → Multiset γ
g : β → Multiset δ
h : (r ⇒ Rel p) f g
hst : Rel r s t
\u22a2 Rel p (s.bind f) (t.bind g)
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s✝ t✝ : Multiset α
f✝ g✝ : α → Multiset β
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
s : Multiset α
t : Multiset β
f : α → Multiset γ
g : β → Multiset δ
h : (r ⇒ Rel p) f g
hst : Rel r s t
\u22a2 Rel (Rel p) (map f s) (map g t)
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s✝ t✝ : Multiset α
f✝ g✝ : α → Multiset β
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
s : Multiset α
t : Multiset β
f : α → Multiset γ
g : β → Multiset δ
h : (r ⇒ Rel p) f g
hst : Rel r s t
\u22a2 Rel (fun a b => Rel p (f a) (g b)) s t
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x y : WithLp 2 (α × β)
\u22a2 edist x y = (edist x.1 y.1 ^ 2 + edist x.2 y.2 ^ 2) ^ (1 / 2)
-- Mathlib/Algebra/Symmetrized.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Mul α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : One α
inst✝¹ : OfNat α 2
inst✝ : Invertible 2
a b : αˢʸᵐ
\u22a2 a * b = b * a
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set α✝
t✝ t₁ t₂ : Set β✝
a : α✝
b : β✝
α : Type u_5
β : Type u_6
s : Set α
t : Set β
p : α × β
\u22a2 p ∈ (s ×ˢ t)ᶜ ↔ p ∈ sᶜ ×ˢ univ ∪ univ ×ˢ tᶜ
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set α✝
t✝ t₁ t₂ : Set β✝
a : α✝
b : β✝
α : Type u_5
β : Type u_6
s : Set α
t : Set β
p : α × β
\u22a2 p.1 ∈ s → p.2 ∉ t ↔ p.1 ∉ s ∨ p.2 ∉ t
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 a ⇔ b ⇔ (c ⇔ d) = a ⇔ c ⇔ (b ⇔ d)
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalStopping.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hsub : Submartingale f 𝒢 μ
ε : ℝ≥0
n : ℕ
hn : Set.Icc 0 n = {k | k ≤ n}
\u22a2 ε • μ {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω} ≤ ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω) in {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω ∂μ)
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalStopping.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hsub : Submartingale f 𝒢 μ
ε : ℝ≥0
n : ℕ
hn : Set.Icc 0 n = {k | k ≤ n}
this : ∀ (ω : Ω), (↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω) → ↑ε ≤ stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω
\u22a2 ε • μ {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω} ≤ ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω) in {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω ∂μ)
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalStopping.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hsub : Submartingale f 𝒢 μ
ε : ℝ≥0
n : ℕ
hn : Set.Icc 0 n = {k | k ≤ n}
this : ∀ (ω : Ω), (↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω) → ↑ε ≤ stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω
h : ↑ε * (μ {a | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k a}).toReal ≤ ∫ (x : Ω) in {a | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k a}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) x ∂μ
\u22a2 ε • μ {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω} ≤ ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω) in {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω ∂μ)
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalStopping.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hsub : Submartingale f 𝒢 μ
ε : ℝ≥0
n : ℕ
hn : Set.Icc 0 n = {k | k ≤ n}
this : ∀ (ω : Ω), (↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω) → ↑ε ≤ stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω
h : ↑ε * (μ {a | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k a}).toReal ≤ ∫ (x : Ω) in {a | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k a}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) x ∂μ
\u22a2 ε • (μ {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω}).toReal ≤ ∫ (ω : Ω) in {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω ∂μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalStopping.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hsub : Submartingale f 𝒢 μ
ε : ℝ≥0
n : ℕ
hn : Set.Icc 0 n = {k | k ≤ n}
this : ∀ (ω : Ω), (↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω) → ↑ε ≤ stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω
h : ↑ε * (μ {a | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k a}).toReal ≤ ∫ (x : Ω) in {a | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k a}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) x ∂μ
\u22a2 ε • μ {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω} ≠ ⊤