ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
αs : ι → Type u_13
inst✝ : Zero M
l : (i : ι) × αs i →₀ M
\u22a2 l.support = l.splitSupport.sigma fun i => (l.split i).support
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
αs : ι → Type u_13
inst✝ : Zero M
l : (i : ι) × αs i →₀ M
\u22a2 ∀ (a : ι) (b : αs a), ⟨a, b⟩ ∈ l.support ↔ (∃ a_1 ∈ l.support, a_1.fst = a) ∧ ⟨a, b⟩ ∈ l.support
-- Mathlib/Algebra/Pointwise/Stabilizer.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction G α
a : G
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
\u22a2 a ∈ stabilizer G s ↔ s ⊆ a • s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/TriangleInequality.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
\u22a2 LpAddConst p = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/TriangleInequality.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
\u22a2 p ∉ Set.Ioo 0 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/TriangleInequality.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
h : p ∈ Set.Ioo 0 1
\u22a2 False
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s t : Set X
\u22a2 frontier (s ∪ t) ⊆ frontier s ∩ closure tᶜ ∪ closure sᶜ ∩ frontier t
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
\u22a2 AlgebraicIndependent R Subtype.val
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ s₂✝ : Finmap β
s₁ s₂ : AList β
h : ∀ (x : α), lookup x ⟦s₁⟧ = lookup x ⟦s₂⟧
\u22a2 ⟦s₁⟧ = ⟦s₂⟧
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ s₂✝ : Finmap β
s₁ s₂ : AList β
h : ∀ (x : α), dlookup x s₁.entries = dlookup x s₂.entries
\u22a2 ⟦s₁⟧ = ⟦s₂⟧
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ s₂✝ : Finmap β
s₁ s₂ : AList β
h : ∀ (x : α), dlookup x s₁.entries = dlookup x s₂.entries
\u22a2 s₁.entries ~ s₂.entries
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ s₂✝ : Finmap β
s₁ s₂ : AList β
h : ∀ (x : α), dlookup x s₁.entries = dlookup x s₂.entries
\u22a2 ∀ (x : α) (y : β x), y ∈ dlookup x s₁.entries ↔ y ∈ dlookup x s₂.entries
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ s₂✝ : Finmap β
s₁ s₂ : AList β
h : ∀ (x : α), dlookup x s₁.entries = dlookup x s₂.entries
x : α
y : β x
\u22a2 y ∈ dlookup x s₁.entries ↔ y ∈ dlookup x s₂.entries
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
g : β → α
hg : InjOn g (mulSupport (f ∘ g))
\u22a2 ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ range g), f i = ∏ᶠ (j : β), f (g j)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
g : β → α
hg : InjOn g (mulSupport (f ∘ g))
\u22a2 InjOn g (univ ∩ mulSupport (f ∘ g))
-- Mathlib/Data/Finset/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ
\u22a2 antidiagonal (n + 2) = cons (0, n + 2) (cons (n + 2, 0) (map ({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }) (antidiagonal n)) ⋯) ⋯
-- Mathlib/Data/Finset/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ
\u22a2 cons (0, n + 1 + 1) (cons (({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap (Embedding.refl ℕ)) (n + 1, 0)) (map (((Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }).trans ({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap (Embedding.refl ℕ))) (antidiagonal n)) ⋯) ⋯ = cons (0, n + 2) (cons (n + 2, 0) (map ({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }) (antidiagonal n)) ⋯) ⋯
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/FDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E
\u22a2 MDifferentiableOn 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Algebra/LieGroup.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
J : ModelWithCorners 𝕜 F F
G : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : ChartedSpace H G
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : LieGroup I G
E' : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M
E'' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M' : Type u_11
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M'
n : ℕ∞
f g : M → G
s : Set M
hf : ContMDiffOn I' I n f s
hg : ContMDiffOn I' I n g s
\u22a2 ContMDiffOn I' I n (fun x => f x / g x) s
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Algebra/LieGroup.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
J : ModelWithCorners 𝕜 F F
G : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : ChartedSpace H G
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : LieGroup I G
E' : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M
E'' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M' : Type u_11
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M'
n : ℕ∞
f g : M → G
s : Set M
hf : ContMDiffOn I' I n f s
hg : ContMDiffOn I' I n g s
\u22a2 ContMDiffOn I' I n (fun x => f x * (g x)⁻¹) s
-- Mathlib/Data/Nat/Size.lean
n : ℕ
\u22a2 n < 2 ^ n.size
-- Mathlib/Data/Nat/Size.lean
n : ℕ
\u22a2 n < 1 <<< n.size
-- Mathlib/Data/Nat/Size.lean
n✝ : ℕ
this : ∀ {n : ℕ}, n = 0 → n < 1 <<< n.size
b : Bool
n : ℕ
IH : n < 1 <<< n.size
h : ¬bit b n = 0
\u22a2 bit b n < 1 <<< (bit b n).size
-- Mathlib/Data/Nat/Size.lean
n✝ : ℕ
this : ∀ {n : ℕ}, n = 0 → n < 1 <<< n.size
b : Bool
n : ℕ
IH : n < 1 <<< n.size
h : ¬bit b n = 0
\u22a2 bit b n < 2 * 2 ^ n.size
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
hf : Bijective f
s : ι → Set α
\u22a2 f '' ⋂ i, s i = ⋂ i, f '' s i
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
hf : Bijective f
s : ι → Set α
h✝ : IsEmpty ι
\u22a2 f '' ⋂ i, s i = ⋂ i, f '' s i
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
hf : Bijective f
s : ι → Set α
h✝ : Nonempty ι
\u22a2 f '' ⋂ i, s i = ⋂ i, f '' s i
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
r : R
f g : M →ₗ[R] N
x✝ : M
\u22a2 ((AlgebraTensorModule.curry (baseChange A (f + g))) 1) x✝ = ((AlgebraTensorModule.curry (baseChange A f + baseChange A g)) 1) x✝
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ fa : α → α
fb : β → β
x✝ y : α
m n✝ : ℕ
f : α → α
n : ℕ
hn : 0 < n
x : α
hx : x ∈ ptsOfPeriod f n
\u22a2 f (f^[n.pred] x) = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
v : V
\u22a2 v ∈ vectorSpan k {p₁, p₂} ↔ ∃ r, r • (p₁ -ᵥ p₂) = v
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : (i : ι) → κ i → α
\u22a2 ⨆ i, ⨆ j, f i j ≤ a ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), f i j ≤ a
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b✝ c : β
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
b : β
\u22a2 b ∈ filter p (image f s) ↔ b ∈ image f (filter (fun a => p (f a)) s)
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b✝ c : β
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
b : β
\u22a2 (∃ a ∈ s, f a = b) ∧ p b ↔ ∃ a, (a ∈ s ∧ p (f a)) ∧ f a = b
-- Mathlib/CategoryTheory/EffectiveEpi/Preserves.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
e : C ≌ D
B : C
α : Type u_3
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
W : D
ε : (a : α) → e.functor.obj (X a) ⟶ W
h : ∀ {Z : D} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ e.functor.obj (X a₁)) (g₂ : Z ⟶ e.functor.obj (X a₂)), g₁ ≫ e.functor.map (π a₁) = g₂ ≫ e.functor.map (π a₂) → g₁ ≫ ε a₁ = g₂ ≫ ε a₂
Z : C
a₁ a₂ : α
g₁ : Z ⟶ X a₁
g₂ : Z ⟶ X a₂
hg : g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂
this : e.functor.map g₁ ≫ e.functor.map (π a₁) = e.functor.map g₂ ≫ e.functor.map (π a₂) → e.functor.map g₁ ≫ ε a₁ = e.functor.map g₂ ≫ ε a₂
\u22a2 g₁ ≫ (fun a => e.unit.app (X a) ≫ e.inverse.map (ε a)) a₁ = g₂ ≫ (fun a => e.unit.app (X a) ≫ e.inverse.map (ε a)) a₂
-- Mathlib/CategoryTheory/EffectiveEpi/Preserves.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
e : C ≌ D
B : C
α : Type u_3
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
W : D
ε : (a : α) → e.functor.obj (X a) ⟶ W
h : ∀ {Z : D} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ e.functor.obj (X a₁)) (g₂ : Z ⟶ e.functor.obj (X a₂)), g₁ ≫ e.functor.map (π a₁) = g₂ ≫ e.functor.map (π a₂) → g₁ ≫ ε a₁ = g₂ ≫ ε a₂
Z : C
a₁ a₂ : α
g₁ : Z ⟶ X a₁
g₂ : Z ⟶ X a₂
hg : g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂
this : True → e.functor.map g₁ ≫ ε a₁ = e.functor.map g₂ ≫ ε a₂
\u22a2 g₁ ≫ (fun a => e.unit.app (X a) ≫ e.inverse.map (ε a)) a₁ = g₂ ≫ (fun a => e.unit.app (X a) ≫ e.inverse.map (ε a)) a₂
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
\u22a2 (f z - f x) / (z - x) ≤ (f z - f y) / (z - y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
\u22a2 (f z - f x) * (z - y) ≤ (f z - f y) * (z - x)
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
x : PushoutI φ
g₁ : G i
hg₁ : (of i) g₁ = x
g₂ : G j
hg₂ : (of j) g₂ = x
\u22a2 x ∈ (base φ).range
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
x : PushoutI φ
g₁ : G i
hg₁ : (of i) g₁ = x
g₂ : G j
hg₂ : (of j) g₂ = x
hx : ¬x ∈ (base φ).range
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
x : PushoutI φ
g₁ : G i
hg₁ : (of i) g₁ = x
g₂ : G j
hg₂ : (of j) g₂ = x
hx : ¬x ∈ (base φ).range
hx1 : x ≠ 1
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
x : PushoutI φ
g₁ : G i
hg₁ : (of i) g₁ = x
g₂ : G j
hg₂ : (of j) g₂ = x
hx : ¬x ∈ (base φ).range
hx1 : x ≠ 1
hg₁1 : g₁ ≠ 1
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
x : PushoutI φ
g₁ : G i
hg₁ : (of i) g₁ = x
g₂ : G j
hg₂ : (of j) g₂ = x
hx : ¬x ∈ (base φ).range
hx1 : x ≠ 1
hg₁1 : g₁ ≠ 1
hg₂1 : g₂ ≠ 1
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
x : PushoutI φ
g₁ : G i
hg₁ : (of i) g₁ = x
g₂ : G j
hg₂ : (of j) g₂ = x
hx : ¬x ∈ (base φ).range
hx1 : x ≠ 1
hg₁1 : g₁ ≠ 1
hg₂1 : g₂ ≠ 1
hg₁r : g₁ ∉ (φ i).range
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
x : PushoutI φ
g₁ : G i
hg₁ : (of i) g₁ = x
g₂ : G j
hg₂ : (of j) g₂ = x
hx : ¬x ∈ (base φ).range
hx1 : x ≠ 1
hg₁1 : g₁ ≠ 1
hg₂1 : g₂ ≠ 1
hg₁r : g₁ ∉ (φ i).range
hg₂r : g₂ ∉ (φ j).range
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
x : PushoutI φ
g₁ : G i
hg₁ : (of i) g₁ = x
g₂ : G j
hg₂ : (of j) g₂ = x
hx : ¬x ∈ (base φ).range
hx1 : x ≠ 1
hg₁1 : g₁ ≠ 1
hg₂1 : g₂ ≠ 1
hg₁r : g₁ ∉ (φ i).range
hg₂r : g₂ ∉ (φ j).range
w : Word G := { toList := [⟨i, g₁⟩, ⟨j, g₂⁻¹⟩], ne_one := ⋯, chain_ne := ⋯ }
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
x : PushoutI φ
g₁ : G i
hg₁ : (of i) g₁ = x
g₂ : G j
hg₂ : (of j) g₂ = x
hx : ¬x ∈ (base φ).range
hx1 : x ≠ 1
hg₁1 : g₁ ≠ 1
hg₂1 : g₂ ≠ 1
hg₁r : g₁ ∉ (φ i).range
hg₂r : g₂ ∉ (φ j).range
w : Word G := { toList := [⟨i, g₁⟩, ⟨j, g₂⁻¹⟩], ne_one := ⋯, chain_ne := ⋯ }
hw : Reduced φ w
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
x : PushoutI φ
g₁ : G i
hg₁ : (of i) g₁ = x
g₂ : G j
hg₂ : (of j) g₂ = x
hx : ¬x ∈ (base φ).range
hx1 : x ≠ 1
hg₁1 : g₁ ≠ 1
hg₂1 : g₂ ≠ 1
hg₁r : g₁ ∉ (φ i).range
hg₂r : g₂ ∉ (φ j).range
w : Word G := { toList := [⟨i, g₁⟩, ⟨j, g₂⁻¹⟩], ne_one := ⋯, chain_ne := ⋯ }
hw : Reduced φ w
this : w = Word.empty
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
\u22a2 (base φ).range ≤ (of i).range
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
\u22a2 ((of i).comp (φ i)).range ≤ (of i).range
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
h : H
\u22a2 ((of i).comp (φ i)) h ∈ (of i).range
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
\u22a2 (base φ).range ≤ (of j).range
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
\u22a2 ((of j).comp (φ j)).range ≤ (of j).range
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
i j : ι
hij : i ≠ j
h : H
\u22a2 ((of j).comp (φ j)) h ∈ (of j).range
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/AdjMatrix.lean
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝⁴ : DecidableRel G.Adj
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : NonAssocSemiring α
i j : V
\u22a2 (1 + adjMatrix α G + fun i j => if i = j then 0 else if adjMatrix α G i j = 0 then 1 else 0) i j = of (fun x x => 1) i j
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/AdjMatrix.lean
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝⁴ : DecidableRel G.Adj
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : NonAssocSemiring α
i j : V
\u22a2 (((if i = j then 1 else 0) + if G.Adj i j then 1 else 0) + if i = j then 0 else if (if G.Adj i j then 1 else 0) = 0 then 1 else 0) = 1
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : List α
\u22a2 count a (b :: l) = count a l + if a = b then 1 else 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Map.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
e : M ≃ₛₗ[τ₁₂] M₂
K : Submodule R M
x✝ : M₂
\u22a2 x✝ ∈ map (↑e) K ↔ x✝ ∈ comap (↑e.symm) K
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
h_comm : Commute x y
hx : IsNilpotent x
hy : IsNilpotent y
\u22a2 IsNilpotent (x - y)
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
h_comm : Commute x (-y)
hx : IsNilpotent x
hy : IsNilpotent y
\u22a2 IsNilpotent (x - y)
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
h_comm : Commute x (-y)
hx : IsNilpotent x
hy : IsNilpotent (-y)
\u22a2 IsNilpotent (x - y)
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
h_comm : Commute x (-y)
hx : IsNilpotent x
hy : IsNilpotent (-y)
\u22a2 IsNilpotent (x + -y)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Ring.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : OreSet R⁰
inst✝ : NoZeroDivisors R
r : R
s : ↥R⁰
h : r /ₒ s ≠ 0
\u22a2 r /ₒ s * (r /ₒ s)⁻¹ = 1
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Ring.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : OreSet R⁰
inst✝ : NoZeroDivisors R
r : R
s : ↥R⁰
h : r /ₒ s ≠ 0
\u22a2 (r /ₒ s * if hr : r = 0 then 0 else ↑s /ₒ ⟨r, ⋯⟩) = 1 /ₒ 1
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Ring.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : OreSet R⁰
inst✝ : NoZeroDivisors R
r : R
s : ↥R⁰
h : r /ₒ s ≠ 0
hr : r ≠ 0
\u22a2 (r /ₒ s * if h : False then 0 else ↑s /ₒ ⟨r, ⋯⟩) = 1 /ₒ 1
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/UniformConvergence.lean
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ
\u22a2 ‖x‖ = ↑(max (x 0).natAbs (x 1).natAbs)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/UniformConvergence.lean
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ
\u22a2 ‖x‖₊ = max ↑(x 0).natAbs ↑(x 1).natAbs
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/UniformConvergence.lean
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ
c : NNReal
\u22a2 ‖x‖₊ ≤ c ↔ max ↑(x 0).natAbs ↑(x 1).natAbs ≤ c
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' T : L.Theory
κ : Cardinal.{w}
M : Type w'
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Infinite M
\u22a2 ∃ N, lift.{max u v w, w} κ ≤ #↑N
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' T : L.Theory
κ : Cardinal.{w}
M : Type w'
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Infinite M
N : ((L.lhomWithConstants (Quotient.out κ)).onTheory T ∪ L.distinctConstantsTheory Set.univ).ModelType
\u22a2 ∃ N, lift.{max u v w, w} κ ≤ #↑N
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' T : L.Theory
κ : Cardinal.{w}
M : Type w'
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Infinite M
N : ((L.lhomWithConstants (Quotient.out κ)).onTheory T ∪ L.distinctConstantsTheory Set.univ).ModelType
\u22a2 lift.{max u v w, w} κ ≤ #↑(ModelType.reduct (L.lhomWithConstants (Quotient.out κ)) ⋯.bundled)
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' T : L.Theory
κ : Cardinal.{w}
M : Type w'
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Infinite M
N : ((L.lhomWithConstants (Quotient.out κ)).onTheory T ∪ L.distinctConstantsTheory Set.univ).ModelType
this : ↑N ⊨ L.distinctConstantsTheory Set.univ
\u22a2 lift.{max u v w, w} κ ≤ #↑(ModelType.reduct (L.lhomWithConstants (Quotient.out κ)) ⋯.bundled)
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' T : L.Theory
κ : Cardinal.{w}
M : Type w'
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Infinite M
N : ((L.lhomWithConstants (Quotient.out κ)).onTheory T ∪ L.distinctConstantsTheory Set.univ).ModelType
this : ↑N ⊨ L.distinctConstantsTheory Set.univ
\u22a2 lift.{max u v w, w} κ ≤ #↑N
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' T : L.Theory
κ : Cardinal.{w}
M : Type w'
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Infinite M
N : ((L.lhomWithConstants (Quotient.out κ)).onTheory T ∪ L.distinctConstantsTheory Set.univ).ModelType
this : ↑N ⊨ L.distinctConstantsTheory Set.univ
\u22a2 lift.{max (max u v) w, w} #(Quotient.out κ) ≤ #↑N
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' T : L.Theory
κ : Cardinal.{w}
M : Type w'
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Infinite M
N : ((L.lhomWithConstants (Quotient.out κ)).onTheory T ∪ L.distinctConstantsTheory Set.univ).ModelType
this : ↑N ⊨ L.distinctConstantsTheory Set.univ
\u22a2 lift.{max (max u v) w, w} #↑Set.univ ≤ #↑N
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' T : L.Theory
κ : Cardinal.{w}
M : Type w'
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : M ⊨ T
inst✝ : Infinite M
N : ((L.lhomWithConstants (Quotient.out κ)).onTheory T ∪ L.distinctConstantsTheory Set.univ).ModelType
this : ↑N ⊨ L.distinctConstantsTheory Set.univ
\u22a2 lift.{max u v w, max (max u v) w} (lift.{w, max (max u v) w} #↑N) ≤ lift.{max u v w, max (max u v) w} #↑N