ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
i : ι
f : (i : ι) → β i
s : { s // ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0 }
\u22a2 i ∈ ↑s ∧ f i ≠ 0 ↔ f i ≠ 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
α : Type u_2
x : ℕ → α
n : ℕ
y : ℕ → α
\u22a2 (∀ i < n, y i = x i) ↔ res y n = res x n
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l : ℕ
\u22a2 filter (fun x => decide (l ≤ x)) (Ico n m) = Ico (max n l) m
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l : ℕ
hnl : n ≤ l
\u22a2 filter (fun x => decide (l ≤ x)) (Ico n m) = Ico (max n l) m
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l : ℕ
hln : l ≤ n
\u22a2 filter (fun x => decide (l ≤ x)) (Ico n m) = Ico (max n l) m
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
f : A
\u22a2 f ∈ ↑(vanishingIdeal t) ↔ f ∈ {f | ∀ x ∈ t, f ∈ x.asHomogeneousIdeal}
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
f : A
\u22a2 (∀ (i : ProjectiveSpectrum 𝒜), f ∈ (⨅ (_ : i ∈ t), i.asHomogeneousIdeal).toIdeal) ↔ f ∈ {f | ∀ x ∈ t, f ∈ x.asHomogeneousIdeal}
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
f : A
x : ProjectiveSpectrum 𝒜
\u22a2 f ∈ (⨅ (_ : x ∈ t), x.asHomogeneousIdeal).toIdeal ↔ x ∈ t → f ∈ x.asHomogeneousIdeal
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z✝ X X' Y Y' Z Z' : C
f : X ⟶ X'
g : Y ⟶ Y'
h : Z ⟶ Z'
\u22a2 (f ⊗ g) ⊗ h = (α_ X Y Z).hom ≫ (f ⊗ g ⊗ h) ≫ (α_ X' Y' Z').inv
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s t : Set α
a : α
h : IsUpperSet sᶜ
\u22a2 IsLowerSet s
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s t : Set α
a : α
h : IsUpperSet sᶜ
\u22a2 s = sᶜᶜ
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Defs.lean
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
p q : K[X]
hq : q ∈ K[X]⁰
\u22a2 RatFunc.mk p q = { toFractionRing := IsLocalization.mk' (FractionRing K[X]) p ⟨q, hq⟩ }
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
x : α × α
h : x ∈ Prod.map Sum.inl Sum.inl ⁻¹' (Prod.map Sum.inl Sum.inl '' s ∪ range (Prod.map Sum.inr Sum.inr))
\u22a2 x ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Group/Hom/Defs.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁶ : MulOneClass M
inst✝⁵ : MulOneClass N
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike F G H
inst✝² : DivInvMonoid G
inst✝¹ : DivInvMonoid H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
hf : ∀ (a : G), f a⁻¹ = (f a)⁻¹
g h : ι → G
x✝ : ι
\u22a2 (⇑f ∘ (g / h)) x✝ = (⇑f ∘ g / ⇑f ∘ h) x✝
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Array/Monadic.lean
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
as : Array α
motive : Nat → β → Prop
init : β
h0 : motive 0 init
f : β → α → m β
hf : ∀ (i : Fin as.size) (b : β), motive (↑i) b → SatisfiesM (motive (↑i + 1)) (f b as[i])
\u22a2 SatisfiesM (motive as.size) (foldlM.loop f as as.size ⋯ as.size 0 init)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
c : M'
inst✝ : One M'
\u22a2 Smooth I I' 1
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.148403, u_2} D
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝⁴ : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.Exact
inst✝³ : Mono S₁.f
inst✝² : Mono S₂.f
inst✝¹ : Mono φ.τ₁
inst✝ : Mono φ.τ₃
\u22a2 Mono φ.τ₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.148403, u_2} D
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝⁴ : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.Exact
inst✝³ : Mono S₁.f
inst✝² : Mono S₂.f
inst✝¹ : Mono φ.τ₁
inst✝ : Mono φ.τ₃
\u22a2 ∀ (P : C) (g : P ⟶ S₁.X₂), g ≫ φ.τ₂ = 0 → g = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.148403, u_2} D
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝⁴ : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.Exact
inst✝³ : Mono S₁.f
inst✝² : Mono S₂.f
inst✝¹ : Mono φ.τ₁
inst✝ : Mono φ.τ₃
A : C
x₂ : A ⟶ S₁.X₂
hx₂ : x₂ ≫ φ.τ₂ = 0
\u22a2 x₂ = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.148403, u_2} D
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝⁴ : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.Exact
inst✝³ : Mono S₁.f
inst✝² : Mono S₂.f
inst✝¹ : Mono φ.τ₁
inst✝ : Mono φ.τ₃
A : C
x₂ : A ⟶ S₁.X₂
hx₂ : x₂ ≫ φ.τ₂ = 0
x₁ : A ⟶ S₁.X₁
hx₁ : x₁ ≫ S₁.f = x₂
\u22a2 x₂ = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.148403, u_2} D
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝⁴ : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.Exact
inst✝³ : Mono S₁.f
inst✝² : Mono S₂.f
inst✝¹ : Mono φ.τ₁
inst✝ : Mono φ.τ₃
A : C
x₂ : A ⟶ S₁.X₂
hx₂ : x₂ ≫ φ.τ₂ = 0
x₁ : A ⟶ S₁.X₁
hx₁ : x₁ ≫ S₁.f = x₂
\u22a2 x₁ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : MeasurableSpace E
inst✝¹² : BorelSpace E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹⁰ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
s : Set E
ι : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : FiniteDimensional ℝ G
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ G = n)
ω : G [⋀^Fin n]→ₗ[ℝ] ℝ
v : Fin n → G
\u22a2 ω.measure (parallelepiped v) = ENNReal.ofReal |ω v|
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : MeasurableSpace E
inst✝¹² : BorelSpace E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹⁰ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
s : Set E
ι : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : FiniteDimensional ℝ G
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ G = n)
ω : G [⋀^Fin n]→ₗ[ℝ] ℝ
v : Fin n → G
\u22a2 ω.measure (parallelepiped v) = ENNReal.ofReal |(ω ⇑(finBasisOfFinrankEq ℝ G ⋯) • (finBasisOfFinrankEq ℝ G ⋯).det) v|
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Opposite.lean
C✝ : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2292, u_1} C✝
inst✝⁴ : MonoidalCategory C✝
inst✝³ : BraidedCategory C✝
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y W Z : Cᵒᵖ
\u22a2 (tensor_μ Cᵒᵖ (X, W) (Y, Z)).unop = tensor_μ C (unop X, unop Y) (unop W, unop Z)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ↥(Lp E 2 μ)
h_two : ENNReal.toReal 2 = 2
\u22a2 ‖f‖ ^ 2 = RCLike.re ⟪f, f⟫_𝕜
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ↥(Lp E 2 μ)
h_two : ENNReal.toReal 2 = 2
\u22a2 eLpNorm (↑↑f) 2 μ ^ 2 = ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ^ 2 ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ↥(Lp E 2 μ)
h_two : ENNReal.toReal 2 = 2
\u22a2 ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ^ 2 ∂μ ≠ ⊤
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
\u22a2 ofTensorProduct I (ι → R) = ↑(piEquivOfFintype I fun x => R).symm ∘ₗ ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι)
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
\u22a2 ofTensorProduct I (ι → R) = (↑(piEquivOfFintype I fun x => R).symm ∘ₗ ↑(piEquivOfFintype I fun x => R)) ∘ₗ ofTensorProduct I (ι → R)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x y z : 𝒰.J
\u22a2 𝒰.gluedCoverT' x y z ≫ 𝒰.gluedCoverT' y z x ≫ 𝒰.gluedCoverT' z x y ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map z)) = pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map z))
-- Mathlib/Data/List/GetD.lean
α : Type u
β : Type v
l : List α
x : α
xs : List α
n✝ : ℕ
d : α
n : ℕ
\u22a2 l.getD n d = (l.get? n).getD d
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsCoseparating 𝒢
\u22a2 IsCoseparating ((proj S T).obj ⁻¹' 𝒢)
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsCoseparating 𝒢
X Y : StructuredArrow S T
f g : X ⟶ Y
hfg : ∀ G ∈ (proj S T).obj ⁻¹' 𝒢, ∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = g ≫ h
G : C
hG : G ∈ 𝒢
h : Y.right ⟶ G
\u22a2 f.right ≫ h = g.right ≫ h
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
\u22a2 ∑' (i : ℕ), x ^ (i + 1) = ∑' (i : ℕ), x ^ i - 1
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Colimits.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝¹ : {X Y : Cᵒᵖ} → (f : X ⟶ Y) → PreservesColimit (F ⋙ evaluation R Y) (ModuleCat.restrictScalars (R.map f))
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), HasColimit (F ⋙ evaluation R X)
X : Cᵒᵖ
j : J
\u22a2 colimit.ι (F ⋙ evaluation R X) j ≫ colimMap (whiskerLeft F (restriction R (𝟙 X))) ≫ (preservesColimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))) (F ⋙ evaluation R X)).inv = colimit.ι (F ⋙ evaluation R X) j ≫ (ModuleCat.restrictScalarsId'App (R.map (𝟙 X)) ⋯ (colimit (F ⋙ evaluation R X))).inv
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Colimits.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝¹ : {X Y : Cᵒᵖ} → (f : X ⟶ Y) → PreservesColimit (F ⋙ evaluation R Y) (ModuleCat.restrictScalars (R.map f))
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), HasColimit (F ⋙ evaluation R X)
X : Cᵒᵖ
j : J
\u22a2 restrictionApp (𝟙 X) (F.obj j) ≫ colimit.ι (F ⋙ evaluation R X ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))) j ≫ (preservesColimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))) (F ⋙ evaluation R X)).inv = colimit.ι (F ⋙ evaluation R X) j ≫ (ModuleCat.restrictScalarsId'App (R.map (𝟙 X)) ⋯ (colimit (F ⋙ evaluation R X))).inv
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Colimits.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝¹ : {X Y : Cᵒᵖ} → (f : X ⟶ Y) → PreservesColimit (F ⋙ evaluation R Y) (ModuleCat.restrictScalars (R.map f))
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), HasColimit (F ⋙ evaluation R X)
X : Cᵒᵖ
j : J
\u22a2 restrictionApp (𝟙 X) (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R X) j) = (ModuleCat.restrictScalarsId'App (R.map (𝟙 X)) ⋯ ((F.obj j).obj X)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R X) j)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Colimits.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝¹ : {X Y : Cᵒᵖ} → (f : X ⟶ Y) → PreservesColimit (F ⋙ evaluation R Y) (ModuleCat.restrictScalars (R.map f))
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), HasColimit (F ⋙ evaluation R X)
X : Cᵒᵖ
j : J
\u22a2 (ModuleCat.restrictScalarsId' (R.map (𝟙 X)) ⋯).inv.app ((F.obj j).obj X) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R X) j) = (ModuleCat.restrictScalarsId'App (R.map (𝟙 X)) ⋯ ((F.obj j).obj X)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (𝟙 X))).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R X) j)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Colimits.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝¹ : {X Y : Cᵒᵖ} → (f : X ⟶ Y) → PreservesColimit (F ⋙ evaluation R Y) (ModuleCat.restrictScalars (R.map f))
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), HasColimit (F ⋙ evaluation R X)
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
j : J
\u22a2 colimit.ι (F ⋙ evaluation R X) j ≫ colimMap (whiskerLeft F (restriction R (f ≫ g))) ≫ (preservesColimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))) (F ⋙ evaluation R Z)).inv = colimit.ι (F ⋙ evaluation R X) j ≫ (colimMap (whiskerLeft F (restriction R f)) ≫ (preservesColimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) (F ⋙ evaluation R Y)).inv) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (colimMap (whiskerLeft F (restriction R g)) ≫ (preservesColimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)) (F ⋙ evaluation R Z)).inv) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ (colimit (F ⋙ evaluation R Z))).inv
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Colimits.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝¹ : {X Y : Cᵒᵖ} → (f : X ⟶ Y) → PreservesColimit (F ⋙ evaluation R Y) (ModuleCat.restrictScalars (R.map f))
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), HasColimit (F ⋙ evaluation R X)
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
j : J
\u22a2 restrictionApp (f ≫ g) (F.obj j) ≫ colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))) j ≫ (preservesColimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))) (F ⋙ evaluation R Z)).inv = (whiskerLeft F (restriction R f)).app j ≫ colimit.ι (F ⋙ evaluation R Y ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) j ≫ (preservesColimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) (F ⋙ evaluation R Y)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (colimMap (whiskerLeft F (restriction R g)) ≫ (preservesColimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)) (F ⋙ evaluation R Z)).inv) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ (colimit (F ⋙ evaluation R Z))).inv
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Colimits.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝¹ : {X Y : Cᵒᵖ} → (f : X ⟶ Y) → PreservesColimit (F ⋙ evaluation R Y) (ModuleCat.restrictScalars (R.map f))
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), HasColimit (F ⋙ evaluation R X)
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
j : J
\u22a2 restrictionApp (f ≫ g) (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z) j) = (whiskerLeft F (restriction R f)).app j ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R Y) j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (colimMap (whiskerLeft F (restriction R g)) ≫ (preservesColimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)) (F ⋙ evaluation R Z)).inv) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ (colimit (F ⋙ evaluation R Z))).inv
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Colimits.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝¹ : {X Y : Cᵒᵖ} → (f : X ⟶ Y) → PreservesColimit (F ⋙ evaluation R Y) (ModuleCat.restrictScalars (R.map f))
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), HasColimit (F ⋙ evaluation R X)
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
j : J
\u22a2 restrictionApp (f ≫ g) (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z) j) = (whiskerLeft F (restriction R f)).app j ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map ((whiskerLeft F (restriction R g)).app j ≫ colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map g)) j ≫ (preservesColimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)) (F ⋙ evaluation R Z)).inv) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ (colimit (F ⋙ evaluation R Z))).inv
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Colimits.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝¹ : {X Y : Cᵒᵖ} → (f : X ⟶ Y) → PreservesColimit (F ⋙ evaluation R Y) (ModuleCat.restrictScalars (R.map f))
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), HasColimit (F ⋙ evaluation R X)
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
j : J
\u22a2 restrictionApp (f ≫ g) (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z) j) = (whiskerLeft F (restriction R f)).app j ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map ((whiskerLeft F (restriction R g)).app j ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z) j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ (colimit (F ⋙ evaluation R Z))).inv
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Colimits.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝¹ : {X Y : Cᵒᵖ} → (f : X ⟶ Y) → PreservesColimit (F ⋙ evaluation R Y) (ModuleCat.restrictScalars (R.map f))
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), HasColimit (F ⋙ evaluation R X)
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
j : J
\u22a2 restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z) j) = restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map g)).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z) j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ (colimit (F ⋙ evaluation R Z))).inv
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Colimits.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝¹ : {X Y : Cᵒᵖ} → (f : X ⟶ Y) → PreservesColimit (F ⋙ evaluation R Y) (ModuleCat.restrictScalars (R.map f))
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), HasColimit (F ⋙ evaluation R X)
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
j : J
\u22a2 restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map (f ≫ g))).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z) j) = restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map ((ModuleCat.restrictScalars (R.map g)).map (colimit.ι (F ⋙ evaluation R Z) j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ (colimit (F ⋙ evaluation R Z))).inv
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
this : ∀ (t : Set A), Algebra.adjoin R (star t) ≤ star (Algebra.adjoin R t)
\u22a2 star (Algebra.adjoin R s) ≤ Algebra.adjoin R (star s)
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ j i : ι
x : β i
\u22a2 erase j (single i x) = if i = j then 0 else single i x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F✝ F : J ⥤ C
inst✝ : HasColimit F
c : Cocone F
X : C
f : c.pt ⟶ X
j✝ : J
\u22a2 ι F j✝ ≫ desc F (c.extend f) = ι F j✝ ≫ desc F c ≫ f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F✝ F : J ⥤ C
inst✝ : HasColimit F
c : Cocone F
X : C
f : c.pt ⟶ X
j✝ : J
\u22a2 ι F j✝ ≫ desc F (c.extend f) = (ι F j✝ ≫ desc F c) ≫ f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
x✝ : ↑m ≤ n
\u22a2 Differentiable 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 m fun x => 0)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
m : ℕ
x✝ : ↑m ≤ n
\u22a2 Differentiable 𝕜 0
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
\u22a2 a ⊓ (a ⇨ b) ≤ b
-- Mathlib/Combinatorics/Derangements/Finite.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
\u22a2 card ↑(derangements (Fin n)) = numDerangements n
-- Mathlib/Combinatorics/Derangements/Finite.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
hyp : ∀ m < n, card ↑(derangements (Fin m)) = numDerangements m
\u22a2 card ↑(derangements (Fin n)) = numDerangements n