ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' spectrum R a)) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
\u22a2 cfc (g ∘ f) a = cfc g (cfc f a)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' spectrum R a)) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
this : ContinuousOn (g ∘ f) (spectrum R a)
\u22a2 cfc (g ∘ f) a = cfc g (cfc f a)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' spectrum R a)) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
this : ContinuousOn (g ∘ f) (spectrum R a)
sp_eq : spectrum R ((cfcHom ⋯) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ }) = f '' spectrum R a
\u22a2 cfc (g ∘ f) a = cfc g (cfc f a)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' spectrum R a)) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
this : ContinuousOn (g ∘ f) (spectrum R a)
sp_eq : spectrum R ((cfcHom ⋯) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ }) = f '' spectrum R a
\u22a2 (cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict (g ∘ f), continuous_toFun := ⋯ } = (cfcHom ⋯) ({ toFun := (spectrum R ((cfcHom ⋯) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ })).restrict g, continuous_toFun := ⋯ }.comp ?f')
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' spectrum R a)) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
this : ContinuousOn (g ∘ f) (spectrum R a)
sp_eq : spectrum R ((cfcHom ⋯) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ }) = f '' spectrum R a
\u22a2 C(↑(spectrum R a), ↑(spectrum R ((cfcHom ⋯) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ })))
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' spectrum R a)) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
this : ContinuousOn (g ∘ f) (spectrum R a)
sp_eq : spectrum R ((cfcHom ⋯) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ }) = f '' spectrum R a
\u22a2 ∀ (x : ↑(spectrum R a)), { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } x = ↑(?f' x)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
\u22a2 count K v ↑v.asIdeal = 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
hv : ↑v.asIdeal ≠ 0
\u22a2 count K v ↑v.asIdeal = 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
hv : ↑v.asIdeal ≠ 0
h_self : ↑v.asIdeal = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) 1)⁻¹ * ↑v.asIdeal
\u22a2 count K v ↑v.asIdeal = 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
hv : ↑v.asIdeal ≠ 0
h_self : ↑v.asIdeal = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) 1)⁻¹ * ↑v.asIdeal
hv_irred : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
\u22a2 count K v ↑v.asIdeal = 1
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h : s ~ʷ t
n : ℕ
\u22a2 s.drop n ~ʷ t.drop n
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
r : α → α → Prop
hr : ∀ (a : α), 1 < count a l → r a a
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (b : α), b ∈ l → a ≠ b → r a b
\u22a2 Pairwise r l
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
r : α → α → Prop
hr : ∀ (a : α), 1 < count a l → r a a
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (b : α), b ∈ l → a ≠ b → r a b
\u22a2 ∀ {a b : α}, [a, b] <+ l → r a b
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
r : α → α → Prop
hr : ∀ (a : α), 1 < count a l → r a a
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (b : α), b ∈ l → a ≠ b → r a b
a b : α
hab : [a, b] <+ l
\u22a2 r a b
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : NullMeasurableSet s μ
\u22a2 s =ᶠ[ae μ] univ ↔ μ s = μ univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : NullMeasurableSet s μ
h : μ s = μ univ
\u22a2 s =ᶠ[ae μ] univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : NullMeasurableSet s μ
h : μ s = μ univ
t : Set α
ht₁ : MeasurableSet t
ht₂ : t =ᶠ[ae μ] s
\u22a2 s =ᶠ[ae μ] univ
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
\u22a2 LiouvilleWith p (x - ↑m) ↔ LiouvilleWith p x
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
f : Bool → Bool → Bool
\u22a2 bitwise f = binaryRec (fun n => bif f false true then n else 0) fun a m Ia => binaryRec (bif f true false then bit a m else 0) fun b n x => bit (f a b) (Ia n)
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
f : Bool → Bool → Bool
x y : ℕ
\u22a2 bitwise f x y = binaryRec (fun n => bif f false true then n else 0) (fun a m Ia => binaryRec (bif f true false then bit a m else 0) fun b n x => bit (f a b) (Ia n)) x y
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
p : Char → Bool
s : String
\u22a2 (s.dropWhile p).data = List.dropWhile p s.data
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M'✝
inst✝² : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B : BilinForm R₁ M₁
b : B.Nondegenerate
φ ψ₁ ψ₂ : M₁ →ₗ[R₁] M₁
hψ₁ : B.IsAdjointPair B ψ₁ φ
hψ₂ : B.IsAdjointPair B ψ₂ φ
v w : M₁
\u22a2 ((B.compLeft ψ₁) v) w = ((B.compLeft ψ₂) v) w
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set ↑s
f : α → ℝ≥0∞
\u22a2 ∫⁻ (x : ↑s) in t, f ↑x ∂Measure.comap Subtype.val μ = ∫⁻ (x : α) in Subtype.val '' t, f x ∂μ
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
\u22a2 ∀ (x : α), x ∈ Ioc a b \ Ioi c ↔ x ∈ Ioc a (min b c)
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
x : Fix F
\u22a2 (mk ∘ dest) x = id x
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
x : Fix F
\u22a2 ∀ (x : F (Fix F)), (mk ∘ dest) <$> x = id <$> x → (mk ∘ dest) (mk x) = id (mk x)
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
x✝ : Fix F
x : F (Fix F)
\u22a2 (mk ∘ dest) <$> x = id <$> x → (mk ∘ dest) (mk x) = id (mk x)
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
x✝ : Fix F
x : F (Fix F)
\u22a2 mk <$> rec (Functor.map mk) <$> x = x → mk (mk <$> rec (Functor.map mk) <$> x) = mk x
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b
\u22a2 a / b ≤ 1 ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r p : ℝ
hp : 0 ≤ p
\u22a2 r.toNNReal ≤ p.toNNReal ↔ r ≤ p
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Completion.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : Completion α
\u22a2 dist x x = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Completion.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : Completion α
\u22a2 IsClosed {a | dist a a = 0}
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Completion.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : Completion α
\u22a2 ∀ (a : α), dist (↑α a) (↑α a) = 0
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
el : { x // x ∈ filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card + 1) P.parts } ≃ Fin (filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card + 1) P.parts).card := (filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card + 1) P.parts).equivFin
es : { x // x ∈ filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card) P.parts } ≃ Fin (filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card) P.parts).card := (filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card) P.parts).equivFin
\u22a2 ∃ f, ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(f t) < s.card % P.parts.card
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
es : { x // x ∈ filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card) P.parts } ≃ Fin (filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card) P.parts).card := (filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card) P.parts).equivFin
el : { x // x ∈ P.parts ∧ x.card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ Fin (s.card % P.parts.card)
\u22a2 ∃ f, ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(f t) < s.card % P.parts.card
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
el : { x // x ∈ P.parts ∧ x.card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ Fin (s.card % P.parts.card)
es : { x // x ∈ P.parts ∧ x.card = s.card / P.parts.card } ≃ Fin (P.parts.card - s.card % P.parts.card)
\u22a2 ∃ f, ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(f t) < s.card % P.parts.card
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
el : { x // x ∈ P.parts ∧ x.card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ Fin (s.card % P.parts.card)
es : { x // x ∈ P.parts ∧ x.card = s.card / P.parts.card } ≃ Fin (P.parts.card - s.card % P.parts.card)
sneg : { x // x ∈ P.parts ∧ ¬x.card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ { x // x ∈ P.parts ∧ x.card = s.card / P.parts.card } := (Equiv.refl (Finset α)).subtypeEquiv ⋯
\u22a2 ∃ f, ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(f t) < s.card % P.parts.card
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
sneg : { x // x ∈ P.parts ∧ ¬x.card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ { x // x ∈ P.parts ∧ x.card = s.card / P.parts.card } := (Equiv.refl (Finset α)).subtypeEquiv ⋯
el : { x // (↑x).card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ Fin (s.card % P.parts.card)
es : { x // ¬(↑x).card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ Fin (P.parts.card - s.card % P.parts.card)
f : { x // x ∈ P.parts } ≃ Fin (s.card % P.parts.card + (P.parts.card - s.card % P.parts.card)) := (Equiv.sumCompl fun a => (↑a).card = s.card / P.parts.card + 1).symm.trans ((el.sumCongr es).trans finSumFinEquiv)
\u22a2 ∃ f, ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(f t) < s.card % P.parts.card
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
sneg : { x // x ∈ P.parts ∧ ¬x.card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ { x // x ∈ P.parts ∧ x.card = s.card / P.parts.card } := (Equiv.refl (Finset α)).subtypeEquiv ⋯
el : { x // (↑x).card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ Fin (s.card % P.parts.card)
es : { x // ¬(↑x).card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ Fin (P.parts.card - s.card % P.parts.card)
f : { x // x ∈ P.parts } ≃ Fin (s.card % P.parts.card + (P.parts.card - s.card % P.parts.card)) := (Equiv.sumCompl fun a => (↑a).card = s.card / P.parts.card + 1).symm.trans ((el.sumCongr es).trans finSumFinEquiv)
\u22a2 ∀ (t : { x // x ∈ P.parts }), (↑t).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑((f.trans (finCongr ⋯)) t) < s.card % P.parts.card
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
sneg : { x // x ∈ P.parts ∧ ¬x.card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ { x // x ∈ P.parts ∧ x.card = s.card / P.parts.card } := (Equiv.refl (Finset α)).subtypeEquiv ⋯
el : { x // (↑x).card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ Fin (s.card % P.parts.card)
es : { x // ¬(↑x).card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ Fin (P.parts.card - s.card % P.parts.card)
f : { x // x ∈ P.parts } ≃ Fin (s.card % P.parts.card + (P.parts.card - s.card % P.parts.card)) := (Equiv.sumCompl fun a => (↑a).card = s.card / P.parts.card + 1).symm.trans ((el.sumCongr es).trans finSumFinEquiv)
p : Finset α
property✝ : p ∈ P.parts
\u22a2 (↑⟨p, property✝⟩).card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑((f.trans (finCongr ⋯)) ⟨p, property✝⟩) < s.card % P.parts.card
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
sneg : { x // x ∈ P.parts ∧ ¬x.card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ { x // x ∈ P.parts ∧ x.card = s.card / P.parts.card } := (Equiv.refl (Finset α)).subtypeEquiv ⋯
el : { x // (↑x).card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ Fin (s.card % P.parts.card)
es : { x // ¬(↑x).card = s.card / P.parts.card + 1 } ≃ Fin (P.parts.card - s.card % P.parts.card)
f : { x // x ∈ P.parts } ≃ Fin (s.card % P.parts.card + (P.parts.card - s.card % P.parts.card)) := (Equiv.sumCompl fun a => (↑a).card = s.card / P.parts.card + 1).symm.trans ((el.sumCongr es).trans finSumFinEquiv)
p : Finset α
property✝ : p ∈ P.parts
\u22a2 p.card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ ↑(finSumFinEquiv (Sum.map (⇑el) (⇑es) ((Equiv.sumCompl fun a => (↑a).card = s.card / P.parts.card + 1).symm ⟨p, property✝⟩))) < s.card % P.parts.card
-- Mathlib/Topology/DiscreteQuotient.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
inst✝ : CompactSpace X
Qs : (Q : DiscreteQuotient X) → Quotient Q.toSetoid
compat : ∀ (A B : DiscreteQuotient X) (h : A ≤ B), ofLE h (Qs A) = Qs B
\u22a2 ∃ x, ∀ (Q : DiscreteQuotient X), Q.proj x = Qs Q
-- Mathlib/Topology/DiscreteQuotient.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
inst✝ : CompactSpace X
Qs : (Q : DiscreteQuotient X) → Quotient Q.toSetoid
compat : ∀ (A B : DiscreteQuotient X) (h : A ≤ B), ofLE h (Qs A) = Qs B
H₁ : ∀ (Q₁ Q₂ : DiscreteQuotient X), Q₁ ≤ Q₂ → Q₁.proj ⁻¹' {Qs Q₁} ⊆ Q₂.proj ⁻¹' {Qs Q₂}
\u22a2 ∃ x, ∀ (Q : DiscreteQuotient X), Q.proj x = Qs Q
-- Mathlib/Topology/DiscreteQuotient.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
inst✝ : CompactSpace X
Qs : (Q : DiscreteQuotient X) → Quotient Q.toSetoid
compat : ∀ (A B : DiscreteQuotient X) (h : A ≤ B), ofLE h (Qs A) = Qs B
H₁ : ∀ (Q₁ Q₂ : DiscreteQuotient X), Q₁ ≤ Q₂ → Q₁.proj ⁻¹' {Qs Q₁} ⊆ Q₂.proj ⁻¹' {Qs Q₂}
x : X
hx : x ∈ ⋂ Q, Q.proj ⁻¹' {Qs Q}
\u22a2 ∃ x, ∀ (Q : DiscreteQuotient X), Q.proj x = Qs Q
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
h : Group.IsNilpotent (G ⧸ center G)
\u22a2 Group.IsNilpotent G
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
h : Group.IsNilpotent (G ⧸ center G)
n : ℕ
hn : upperCentralSeries (G ⧸ center G) n = ⊤
\u22a2 Group.IsNilpotent G
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
h : Group.IsNilpotent (G ⧸ center G)
n : ℕ
hn : upperCentralSeries (G ⧸ center G) n = ⊤
\u22a2 upperCentralSeries G n.succ = ⊤
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : R → R
n : ℕ
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f ((fun x => x ^ n) '' spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
\u22a2 cfc (fun x => f (x ^ n)) a = cfc f (a ^ n)
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Order.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
p q : ℚ
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField K
\u22a2 0 < ↑q ↔ 0 < q
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α → F
\u22a2 eLpNorm f p μ = (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
α : Type u_2
f : M × ↥S → α
wd : ∀ (p p' : M × ↥S), p ≈ p' → f p = f p'
m : M
s : ↥S
\u22a2 (mk m s).liftOn f wd = f (m, s)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
p : ℤ
hf : GrowsPolynomially f
hf_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x
\u22a2 GrowsPolynomially fun x => f x ^ p
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
p : ℤ
hf : GrowsPolynomially f
hf_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x
\u22a2 GrowsPolynomially fun x => f x ^ ↑p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r p q : R[X]
\u22a2 (p * q).coeff 0 = p.coeff 0 * q.coeff 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : J ≠ 0
\u22a2 ↑J⁻¹ = IsLocalization.coeSubmodule K ⊤ / ↑J
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : AddCommGroup N
f : M → N
x y : M
\u22a2 polar f x y = polar f y x
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ s t : Multiset α
i : α
\u22a2 (toDFinsupp (s ∩ t)) i = (toDFinsupp s ⊓ toDFinsupp t) i
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R✝ : Type u_3
s✝ t : Finset α
a b : α
inst✝¹ : DecidableEq α
R : Type u_4
inst✝ : AddGroupWithOne R
s : Finset α
hs : a ∈ s
\u22a2 ↑(s.erase a).card = ↑s.card - 1
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R✝ : Type u_3
s✝ t : Finset α
a b : α
inst✝¹ : DecidableEq α
R : Type u_4
inst✝ : AddGroupWithOne R
s : Finset α
hs : a ∈ s
\u22a2 1 ≤ s.card
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R✝ : Type u_3
s✝ t : Finset α
a b : α
inst✝¹ : DecidableEq α
R : Type u_4
inst✝ : AddGroupWithOne R
s : Finset α
hs : a ∈ s
\u22a2 s.Nonempty
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
L R : ListBlank Γ
\u22a2 move Dir.left (mk' L R) = mk' L.tail (ListBlank.cons L.head R)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
\u22a2 x ∈ closure (Set.range Int.cast)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
\u22a2 IsClosed {b | b ∈ closure (Set.range Int.cast)}
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
\u22a2 ∀ (a : ℕ), ↑a ∈ closure (Set.range Int.cast)