ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
hcg : HasCompactSupport g
hg : Continuous g
x t : G
s u : Set G
hx : x ∈ s
hu : -tsupport g + s ⊆ u
i : G
\u22a2 ‖g i‖ ≤ ⨆ i, ‖g i‖
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MulAction G β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsScalarTower G α β
a : α
b : β
\u22a2 stabilizer G a ≤ stabilizer G (a • b)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MulAction G β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : IsScalarTower G α β
a : α
b : β
\u22a2 ∀ ⦃x : G⦄, x • a = a → (x • a) • b = a • b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Vandermonde.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v0 : R
v : Fin n → R
i✝ j✝ : Fin (n + 1)
i j : Fin n
\u22a2 vandermonde (Fin.cons v0 v) i.succ j.succ = Fin.cons (fun j => v0 ^ ↑j) (fun i => Fin.cons 1 fun j => v i * vandermonde v i j) i.succ j.succ
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : LinearOrder S
f : R → S
f_incr : Monotone f
inst✝ : F.NeBot
cobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F
\u22a2 IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) F f
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝² : LinearOrder R
inst✝¹ : LinearOrder S
f : R → S
f_incr : Monotone f
inst✝ : F.NeBot
cobdd : IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F
l : R
hl : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
\u22a2 IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) F f
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablyGenerated α
\u22a2 Measurable (mapNatBool α)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablyGenerated α
\u22a2 ∀ (a : ℕ), Measurable fun x => mapNatBool α x a
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablyGenerated α
n : ℕ
\u22a2 MeasurableSet ((fun x => mapNatBool α x n) ⁻¹' {true})
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablyGenerated α
n : ℕ
\u22a2 MeasurableSet (natGeneratingSequence α n)
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
p q : α → Prop
\u22a2 (∃ᶠ (x : α) in f, p x → q x) ↔ (∀ᶠ (x : α) in f, p x) → ∃ᶠ (x : α) in f, q x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
\u22a2 ‖x‖₊ = univ.sup fun w => ⟨(normAtPlace w) x, ⋯⟩
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
this : univ = image (fun w => ↑w) univ ∪ image (fun w => ↑w) univ
\u22a2 ‖x‖₊ = univ.sup fun w => ⟨(normAtPlace w) x, ⋯⟩
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
this : univ = image (fun w => ↑w) univ ∪ image (fun w => ↑w) univ
\u22a2 max (univ.sup fun b => ‖x.1 b‖₊) (univ.sup fun b => ‖x.2 b‖₊) = max (univ.sup ((fun w => ⟨(normAtPlace w) x, ⋯⟩) ∘ fun w => ↑w)) (univ.sup ((fun w => ⟨(normAtPlace w) x, ⋯⟩) ∘ fun w => ↑w))
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
hf : Continuous f
\u22a2 SpecializingMap f ↔ ∀ (x : X), IsClosed (f '' closure {x})
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y z : X
s : Set X
f g : X → Y
hf : Continuous f
h : SpecializingMap f
x : X
\u22a2 IsClosed (f '' closure {x})
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y z : X
s : Set X
f g : X → Y
hf : Continuous f
h : SpecializingMap f
x : X
\u22a2 IsClosed (closure {f x})
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Tripartite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
x : α × β × γ
ε : 𝕜
inst✝⁶ : DecidableEq α
inst✝⁵ : DecidableEq β
inst✝⁴ : DecidableEq γ
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : Fintype γ
inst✝ : NoAccidental t
\u22a2 (graph t).cliqueSet 3 = ⇑toTriangle '' ↑t
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : IsEmpty α
s : Finset α
\u22a2 ∏ i ∈ s, f i = 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G
x : G
f' : G →L[𝕜] F
\u22a2 HasFDerivWithinAt (⇑iso ∘ f) f' s x ↔ HasFDerivWithinAt f ((↑iso.symm).comp f') s x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 ≤ r₁
hr₂ : 0 ≤ r₂
\u22a2 Wbtw R x (r₁ • v +ᵥ x) (r₂ • v +ᵥ x) ∨ Wbtw R x (r₂ • v +ᵥ x) (r₁ • v +ᵥ x)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 ≤ r₁
hr₂ : 0 ≤ r₂
h : r₁ ≤ r₂
\u22a2 Wbtw R x (r₁ • v +ᵥ x) (r₂ • v +ᵥ x) ∨ Wbtw R x (r₂ • v +ᵥ x) (r₁ • v +ᵥ x)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 ≤ r₁
hr₂ : 0 ≤ r₂
h : r₂ ≤ r₁
\u22a2 Wbtw R x (r₁ • v +ᵥ x) (r₂ • v +ᵥ x) ∨ Wbtw R x (r₂ • v +ᵥ x) (r₁ • v +ᵥ x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ✝ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p ≤ q
μ : Measure α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
\u22a2 eLpNorm' f p μ ≤ eLpNorm' f q μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ✝ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p ≤ q
μ : Measure α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h_le_μ : eLpNorm' f p μ ≤ eLpNorm' f q μ * μ Set.univ ^ (1 / p - 1 / q)
\u22a2 eLpNorm' f p μ ≤ eLpNorm' f q μ
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace G✝
inst✝³ : Group G✝
inst✝² : TopologicalGroup G✝
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x✝ : α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
t t' : TopologicalSpace G
tg : TopologicalGroup G
tg' : TopologicalGroup G
h : 𝓝 1 = 𝓝 1
x : G
\u22a2 𝓝 x = 𝓝 x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (μ.withDensity 0) s = 0 s
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a : Associates α
ha : a ≠ 0
b : Associates α
hb : b ≠ 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
\u22a2 p.count (a * b).factors = p.count a.factors + p.count b.factors
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
b : Associates α
hb : b ≠ 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
a0 : α
nza : a0 ≠ 0
ha : Associates.mk a0 ≠ 0
\u22a2 p.count (Associates.mk a0 * b).factors = p.count (Associates.mk a0).factors + p.count b.factors
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
p : Associates α
hp : Irreducible p
a0 : α
nza : a0 ≠ 0
ha : Associates.mk a0 ≠ 0
b0 : α
nzb : b0 ≠ 0
hb : Associates.mk b0 ≠ 0
\u22a2 p.count (Associates.mk a0 * Associates.mk b0).factors = p.count (Associates.mk a0).factors + p.count (Associates.mk b0).factors
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{u}
\u22a2 lift.{v, u} c < ℵ₀ ↔ c < ℵ₀
-- Mathlib/Algebra/Group/Action/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝¹ : DivisionMonoid G
inst✝ : MulAction G A
f : A → B
\u22a2 (fun x => f (1⁻¹ • x)) = f
-- Mathlib/Algebra/Group/Action/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝¹ : DivisionMonoid G
inst✝ : MulAction G A
x y : G
f : A → B
\u22a2 (fun a => f ((x * y)⁻¹ • a)) = fun a => f (y⁻¹ • x⁻¹ • a)
-- Mathlib/Analysis/Convex/GaugeRescale.lean
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s t : Set E
x : E
hx : gauge t x ≠ 0
\u22a2 gauge t (gaugeRescale s t x) = gauge s x
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : SecondCountableTopology V
μ : Measure V
hf : Integrable f μ
hf' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) μ
w : W
F : W → V → E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • f v
F' : W → V → W →L[ℝ] E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • fourierSMulRight L f v
B : V → ℝ := fun v => 2 * π * ‖L‖ * ‖v‖ * ‖f v‖
\u22a2 HasFDerivAt (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (fourierSMulRight L f) w) w
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : SecondCountableTopology V
μ : Measure V
hf : Integrable f μ
hf' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) μ
w : W
F : W → V → E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • f v
F' : W → V → W →L[ℝ] E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • fourierSMulRight L f v
B : V → ℝ := fun v => 2 * π * ‖L‖ * ‖v‖ * ‖f v‖
h0 : ∀ (w' : W), Integrable (F w') μ
\u22a2 HasFDerivAt (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (fourierSMulRight L f) w) w
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : SecondCountableTopology V
μ : Measure V
hf : Integrable f μ
hf' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) μ
w : W
F : W → V → E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • f v
F' : W → V → W →L[ℝ] E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • fourierSMulRight L f v
B : V → ℝ := fun v => 2 * π * ‖L‖ * ‖v‖ * ‖f v‖
h0 : ∀ (w' : W), Integrable (F w') μ
h1 : ∀ᶠ (w' : W) in 𝓝 w, AEStronglyMeasurable (F w') μ
\u22a2 HasFDerivAt (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (fourierSMulRight L f) w) w
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : SecondCountableTopology V
μ : Measure V
hf : Integrable f μ
hf' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) μ
w : W
F : W → V → E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • f v
F' : W → V → W →L[ℝ] E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • fourierSMulRight L f v
B : V → ℝ := fun v => 2 * π * ‖L‖ * ‖v‖ * ‖f v‖
h0 : ∀ (w' : W), Integrable (F w') μ
h1 : ∀ᶠ (w' : W) in 𝓝 w, AEStronglyMeasurable (F w') μ
h3 : AEStronglyMeasurable (F' w) μ
\u22a2 HasFDerivAt (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (fourierSMulRight L f) w) w
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : SecondCountableTopology V
μ : Measure V
hf : Integrable f μ
hf' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) μ
w : W
F : W → V → E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • f v
F' : W → V → W →L[ℝ] E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • fourierSMulRight L f v
B : V → ℝ := fun v => 2 * π * ‖L‖ * ‖v‖ * ‖f v‖
h0 : ∀ (w' : W), Integrable (F w') μ
h1 : ∀ᶠ (w' : W) in 𝓝 w, AEStronglyMeasurable (F w') μ
h3 : AEStronglyMeasurable (F' w) μ
h4 : ∀ᵐ (v : V) ∂μ, ∀ w' ∈ Metric.ball w 1, ‖F' w' v‖ ≤ B v
\u22a2 HasFDerivAt (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (fourierSMulRight L f) w) w
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : SecondCountableTopology V
μ : Measure V
hf : Integrable f μ
hf' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) μ
w : W
F : W → V → E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • f v
F' : W → V → W →L[ℝ] E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • fourierSMulRight L f v
B : V → ℝ := fun v => 2 * π * ‖L‖ * ‖v‖ * ‖f v‖
h0 : ∀ (w' : W), Integrable (F w') μ
h1 : ∀ᶠ (w' : W) in 𝓝 w, AEStronglyMeasurable (F w') μ
h3 : AEStronglyMeasurable (F' w) μ
h4 : ∀ᵐ (v : V) ∂μ, ∀ w' ∈ Metric.ball w 1, ‖F' w' v‖ ≤ B v
h5 : Integrable B μ
\u22a2 HasFDerivAt (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (fourierSMulRight L f) w) w
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : SecondCountableTopology V
μ : Measure V
hf : Integrable f μ
hf' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) μ
w : W
F : W → V → E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • f v
F' : W → V → W →L[ℝ] E := fun w' v => 𝐞 (-(L v) w') • fourierSMulRight L f v
B : V → ℝ := fun v => 2 * π * ‖L‖ * ‖v‖ * ‖f v‖
h0 : ∀ (w' : W), Integrable (F w') μ
h1 : ∀ᶠ (w' : W) in 𝓝 w, AEStronglyMeasurable (F w') μ
h3 : AEStronglyMeasurable (F' w) μ
h4 : ∀ᵐ (v : V) ∂μ, ∀ w' ∈ Metric.ball w 1, ‖F' w' v‖ ≤ B v
h5 : Integrable B μ
h6 : ∀ᵐ (v : V) ∂μ, ∀ w' ∈ Metric.ball w 1, HasFDerivAt (fun x => F x v) (F' w' v) w'
\u22a2 HasFDerivAt (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (fourierSMulRight L f) w) w
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α → β
\u22a2 (emptyOn α).map f ⋯ = emptyOn β
-- Mathlib/Order/RelIso/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Order/RelIso/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
h : r x y
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Order/RelIso/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
h : x = y
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Order/RelIso/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrichotomous α r
inst✝ : IsIrrefl β s
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, r x y → s (f x) (f y)
x y : α
hxy : f x = f y
h : r y x
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (spectralRadius 𝕜 a)⁻¹
z : 𝕜
z_mem : z ∈ Metric.closedBall 0 ↑r
\u22a2 DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun z => Ring.inverse (1 - z • a)) (Metric.closedBall 0 ↑r) z
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (spectralRadius 𝕜 a)⁻¹
z : 𝕜
z_mem : z ∈ Metric.closedBall 0 ↑r
\u22a2 DifferentiableAt 𝕜 (fun z => Ring.inverse (1 - z • a)) z
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (spectralRadius 𝕜 a)⁻¹
z : 𝕜
z_mem : z ∈ Metric.closedBall 0 ↑r
hu : IsUnit (1 - z • a)
\u22a2 DifferentiableAt 𝕜 (fun z => Ring.inverse (1 - z • a)) z
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
r : ℝ≥0
hr : ↑r < (spectralRadius 𝕜 a)⁻¹
z : 𝕜
z_mem : z ∈ Metric.closedBall 0 ↑r
hu : IsUnit (1 - z • a)
H₁ : Differentiable 𝕜 fun w => 1 - w • a
\u22a2 DifferentiableAt 𝕜 (fun z => Ring.inverse (1 - z • a)) z
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
f : R → R
n : ℕ
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
\u22a2 cfc (fun x => f x ^ n) a = cfc f a ^ n
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
f : R → R
n : ℕ
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
\u22a2 (cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict fun x => f x ^ n, continuous_toFun := ⋯ } = (cfcHom ha) ({ toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } ^ n)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Normalizer.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
\u22a2 x ∈ H.normalizer ↔ ∀ y ∈ H, ⁅y, x⁆ ∈ H
-- Mathlib/Algebra/Lie/Normalizer.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x : L
\u22a2 x ∈ H.normalizer ↔ ∀ (x_1 : ↥H), ⁅↑x_1, x⁆ ∈ H
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α : Type u_1
inst✝³ : AddGroup α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
\u22a2 sign (-a) = -sign a
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α : Type u_1
inst✝³ : AddGroup α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : α
\u22a2 (if a < 0 then 1 else if 0 < a then -1 else 0) = -if 0 < a then 1 else if a < 0 then -1 else 0
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/TerminatedStable.lean
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n
\u22a2 g.contsAux (n + 2) = g.contsAux (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/TerminatedStable.lean
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
terminatedAt_n : g.s.get? n = none
\u22a2 g.contsAux (n + 2) = g.contsAux (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
S : StarSubalgebra R A
h : S = ⊤
x : A
\u22a2 x ∈ ⊤
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
S : StarSubalgebra R A
h : ∀ (x : A), x ∈ S
x : A
\u22a2 x ∈ S ↔ x ∈ ⊤
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
s : σ
a : R
\u22a2 C a * X s = (monomial (Finsupp.single s 1)) a