ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
this : (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).inv = 𝟙_ C ◁ (λ_ X₁).inv ▷ X₂
\u22a2 (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom = (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ ((α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).inv ≫ 𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X₁).hom ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).inv) ≫ ((λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
this : (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ (X₁ ⊗ X₂) ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (X₁ ⊗ X₂)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ (𝟙_ C) X₁ X₂).inv = 𝟙_ C ◁ (λ_ X₁).inv ▷ X₂
\u22a2 (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom = (((𝟙_ C ◁ (λ_ X₁).inv ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X₁).hom ▷ X₂) ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).hom) ≫ (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).inv) ≫ ((λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
\u22a2 (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom = (((𝟙_ C ◁ (λ_ X₁).inv ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X₁).hom ▷ X₂) ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).hom) ≫ (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).inv) ≫ ((λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
\u22a2 (λ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom = ((𝟙_ C ◁ (ρ_ X₁).inv ▷ X₂ ≫ 𝟙_ C ◁ (α_ X₁ (𝟙_ C) X₂).hom) ≫ (α_ (𝟙_ C) X₁ (𝟙_ C ⊗ X₂)).inv) ≫ ((λ_ X₁).hom ⊗ (λ_ X₂).hom)
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
H : IsJacobson R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
\u22a2 IsJacobson S
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
H : IsJacobson R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
\u22a2 ∀ {I : Ideal S}, I.IsPrime → ∃ M, (∀ J ∈ M, J.IsMaximal ∨ J = ⊤) ∧ I = sInf M
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
H : IsJacobson R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
p : Ideal S
hp : p.IsPrime
\u22a2 ∃ M, (∀ J ∈ M, J.IsMaximal ∨ J = ⊤) ∧ p = sInf M
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
H : IsJacobson R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
p : Ideal S
hp : p.IsPrime
\u22a2 (∀ J ∈ map f '' {J | comap f p ≤ J ∧ J.IsMaximal}, J.IsMaximal ∨ J = ⊤) ∧ p = sInf (map f '' {J | comap f p ≤ J ∧ J.IsMaximal})
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
H : IsJacobson R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
p : Ideal S
hp : p.IsPrime
\u22a2 p = sInf (map f '' {J | comap f p ≤ J ∧ J.IsMaximal})
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
H : IsJacobson R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
p : Ideal S
hp : p.IsPrime
this : p = map f (comap f p).jacobson
\u22a2 p = sInf (map f '' {J | comap f p ≤ J ∧ J.IsMaximal})
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
μs : ℕ → ProbabilityMeasure Ω
h_opens : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop
\u22a2 Tendsto (fun i => μs i) atTop (𝓝 μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
μs : ℕ → ProbabilityMeasure Ω
h_opens : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop
\u22a2 ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (ω : Ω), f ω ∂↑(μs i)) atTop (𝓝 (∫ (ω : Ω), f ω ∂↑μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
μs : ℕ → ProbabilityMeasure Ω
h_opens : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop
\u22a2 ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → ∫ (x : Ω), f x ∂↑μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
μs : ℕ → ProbabilityMeasure Ω
h_opens : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop
f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ f
\u22a2 ∫ (x : Ω), f x ∂↑μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
μs : ℕ → ProbabilityMeasure Ω
h_opens : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop
f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ f
\u22a2 ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → ↑μ G ≤ liminf (fun i => ↑(μs i) G) atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
μs : ℕ → ProbabilityMeasure Ω
f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ f
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
h_opens : μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop
aux : ↑(liminf (fun i => (μs i) G) atTop) = liminf (ENNReal.ofNNReal ∘ fun i => (μs i) G) atTop
\u22a2 ↑μ G ≤ liminf (fun i => ↑(μs i) G) atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
μs : ℕ → ProbabilityMeasure Ω
f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ f
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
h_opens : μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop
aux : ↑(liminf (fun i => (μs i) G) atTop) = liminf (ENNReal.ofNNReal ∘ fun i => (μs i) G) atTop
obs : ↑(μ G) ≤ ↑(liminf (fun i => (μs i) G) atTop)
\u22a2 ↑μ G ≤ liminf (fun i => ↑(μs i) G) atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
μs : ℕ → ProbabilityMeasure Ω
f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ f
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
h_opens : μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop
aux : ↑(liminf (fun i => (μs i) G) atTop) = liminf (ENNReal.ofNNReal ∘ fun i => (μs i) G) atTop
obs : ↑μ G ≤ liminf (ENNReal.ofNNReal ∘ fun i => (μs i) G) atTop
\u22a2 ↑μ G ≤ liminf (fun i => ↑(μs i) G) atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
μs : ℕ → ProbabilityMeasure Ω
f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ f
G : Set Ω
G_open : IsOpen G
h_opens : μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop
aux : ↑(liminf (fun i => (μs i) G) atTop) = liminf (ENNReal.ofNNReal ∘ fun i => (μs i) G) atTop
obs : ↑μ G ≤ liminf (ENNReal.ofNNReal ∘ fun i => (μs i) G) atTop
x✝ : ℕ
\u22a2 ↑(μs x✝) G = (ENNReal.ofNNReal ∘ fun i => (μs i) G) x✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Icc a b))] f
\u22a2 0 ≤ ∫ (u : ℝ) in a..b, f u ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Icc a b))] f
H : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ioc a b), 0 x ≤ f x := ae_restrict_of_ae_restrict_of_subset Ioc_subset_Icc_self hf
\u22a2 0 ≤ ∫ (u : ℝ) in a..b, f u ∂μ
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k✝ : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : NumberField K
k : ℕ+
hk : 1 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
\u22a2 Finite (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1})
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k✝ : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : NumberField K
k : ℕ+
hk : 1 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
\u22a2 Fintype (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1})
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k✝ : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : NumberField K
k : ℕ+
hk : 1 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
h : Ideal.span {hζ.toInteger - 1} = ⊥
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k✝ : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : NumberField K
k : ℕ+
hk : 1 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
h : hζ.toInteger = 1
\u22a2 False
-- Mathlib/Logic/Nontrivial/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : LinearOrder α
\u22a2 ∃ x y, x < y
-- Mathlib/Logic/Nontrivial/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : LinearOrder α
x y : α
hxy : x ≠ y
\u22a2 ∃ x y, x < y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
x : ℂ
hx : x = 0
\u22a2 x ^ 1 = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
x : ℂ
hx : ¬x = 0
\u22a2 x ^ 1 = x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : FirstCountableTopology β
f : α → β
c : β
\u22a2 (∀ᵐ (x : α) ∂μ, c ≤ f x) ↔ ∀ b < c, μ {x | f x ≤ b} = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : FirstCountableTopology β
f : α → β
c : β
\u22a2 μ {a | ¬c ≤ f a} = 0 ↔ ∀ b < c, μ {x | f x ≤ b} = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : FirstCountableTopology β
f : α → β
c : β
hc : ∀ b < c, μ {x | f x ≤ b} = 0
H : IsLUB (Set.Iio c) c
h : ∃ b, b < c
\u22a2 μ {a | f a < c} = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : FirstCountableTopology β
f : α → β
c : β
hc : ∀ b < c, μ {x | f x ≤ b} = 0
H : IsLUB (Set.Iio c) c
h : ∃ b, b < c
u : ℕ → β
left✝ : StrictMono u
u_lt : ∀ (n : ℕ), u n < c
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 c)
\u22a2 μ {a | f a < c} = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : FirstCountableTopology β
f : α → β
c : β
hc : ∀ b < c, μ {x | f x ≤ b} = 0
H : IsLUB (Set.Iio c) c
h : ∃ b, b < c
u : ℕ → β
left✝ : StrictMono u
u_lt : ∀ (n : ℕ), u n < c
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 c)
h_Union : {x | f x < c} = ⋃ n, {x | f x ≤ u n}
\u22a2 μ {a | f a < c} = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : FirstCountableTopology β
f : α → β
c : β
hc : ∀ b < c, μ {x | f x ≤ b} = 0
H : IsLUB (Set.Iio c) c
h : ∃ b, b < c
u : ℕ → β
left✝ : StrictMono u
u_lt : ∀ (n : ℕ), u n < c
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 c)
h_Union : {x | f x < c} = ⋃ n, {x | f x ≤ u n}
\u22a2 ∀ (i : ℕ), μ {x | f x ≤ u i} = 0
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
\u22a2 (∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 = p
\u22a2 (∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
\u22a2 (∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
q : ℝ := p / (p - 1)
\u22a2 (∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
q : ℝ := p / (p - 1)
hpq : p.IsConjExponent q
\u22a2 (∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
q : ℝ := p / (p - 1)
hpq : p.IsConjExponent q
hp₁ : 1 / p * p = 1
\u22a2 (∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
q : ℝ := p / (p - 1)
hpq : p.IsConjExponent q
hp₁ : 1 / p * p = 1
hq : 1 / q * p = p - 1
\u22a2 (∑ i ∈ s, f i) ^ p ≤ ↑s.card ^ (p - 1) * ∑ i ∈ s, f i ^ p
-- Mathlib/NumberTheory/FunctionField.lean
Fq F : Type
inst✝² : Field Fq
inst✝¹ : Field F
inst✝ : DecidableEq (RatFunc Fq)
\u22a2 ↑(Multiplicative.ofAdd (RatFunc.intDegree 1)) = 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : G.Subgraph
v x✝ y✝ : V
he : s(x✝, y✝) ∈ G'.edgeSet
hv : v ∈ s(x✝, y✝)
\u22a2 v ∈ G'.verts
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : G.Subgraph
v y✝ : V
he : s(v, y✝) ∈ G'.edgeSet
hv : v ∈ s(v, y✝)
\u22a2 v ∈ G'.verts
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : G.Subgraph
v x✝ : V
he : s(x✝, v) ∈ G'.edgeSet
hv : v ∈ s(x✝, v)
\u22a2 v ∈ G'.verts
-- Mathlib/Order/Hom/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
f : α ↪o β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
a₁ a₂ : α
h : Disjoint (f a₁) (f a₂)
x : α
h₁ : x ≤ a₁
h₂ : x ≤ a₂
\u22a2 x ≤ ⊥
-- Mathlib/Order/Hom/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
f : α ↪o β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
a₁ a₂ : α
h : Disjoint (f a₁) (f a₂)
x : α
h₁ : f x ≤ f a₁
h₂ : f x ≤ f a₂
\u22a2 f x ≤ f ⊥
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasureCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ✝ : Measure α
κ η : Kernel α β
μ : Measure β
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
\u22a2 (dirac () ⊗ₘ Kernel.const Unit μ).snd = μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasureCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ✝ : Measure α
κ η : Kernel α β
μ : Measure β
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
\u22a2 map (Prod.snd ∘ Prod.mk ()) μ = μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
h : a ≠ 0
\u22a2 Measure.map (fun x => a * x) volume = ofReal |a⁻¹| • volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/NonIntegrable.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
a : ℝ
\u22a2 ¬IntegrableOn (fun x => x⁻¹) (Ici a) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/NonIntegrable.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
a : ℝ
A : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, HasDerivAt (fun x => Real.log x) x⁻¹ x
\u22a2 ¬IntegrableOn (fun x => x⁻¹) (Ici a) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/NonIntegrable.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
a : ℝ
A : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, HasDerivAt (fun x => Real.log x) x⁻¹ x
B : Tendsto (fun x => ‖Real.log x‖) atTop atTop
\u22a2 ¬IntegrableOn (fun x => x⁻¹) (Ici a) volume
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfHasFiniteProducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C
\u22a2 (α_ X Y Z).inv ≫ prod.fst ≫ prod.fst = prod.fst
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1
\u22a2 hurwitzZeta (↑x) (-↑k) = -1 / (↑k + 1) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (k + 1)))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
n : ℕ
hk : 2 * n ≠ 0
\u22a2 hurwitzZeta (↑x) (-↑(2 * n)) = -1 / (↑(2 * n) + 1) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * n + 1)))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
n : ℕ
hk : 2 * n + 1 ≠ 0
\u22a2 hurwitzZeta (↑x) (-↑(2 * n + 1)) = -1 / (↑(2 * n + 1) + 1) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * n + 1 + 1)))
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
\u22a2 a⁻¹ ≤ b ↔ 1 ≤ a * b
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
\u22a2 1 / a ≤ b ↔ 1 ≤ a * b
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w₁ w₂ : W
\u22a2 cs.length (w₁ * w₂) % 2 = (cs.length w₁ + cs.length w₂) % 2
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w₁ w₂ : W
\u22a2 ↑(cs.length (w₁ * w₂)) = ↑(cs.length w₁) + ↑(cs.length w₂)
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
\u22a2 denom 0 = 1
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Field.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : C < 0
hf : Tendsto f l atBot
hg : Tendsto g l (𝓝 C)
\u22a2 Tendsto (fun x => f x * g x) l atTop
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Field.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : C < 0
hf : Tendsto f l atBot
hg : Tendsto g l (𝓝 C)
this : Tendsto (fun x => (Neg.neg ∘ f) x * g x) l atBot
\u22a2 Tendsto (fun x => f x * g x) l atTop
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : AddAction Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Module R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
b : Γ'
\u22a2 ((of R).symm ((x * y) • z)).coeff b = ((of R).symm (x • y • z)).coeff b
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : AddAction Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Module R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
b : Γ'
\u22a2 ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ b, (x * y).coeff ij.1 • ((of R).symm z).coeff ij.2 = ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ b, x.coeff ij.1 • ((of R).symm (y • z)).coeff ij.2
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : AddAction Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Module R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
b : Γ'
\u22a2 ∑ x_1 ∈ (VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ b).sigma fun a => addAntidiagonal ⋯ ⋯ a.1, (x.coeff x_1.snd.1 * y.coeff x_1.snd.2) • ((of R).symm z).coeff x_1.fst.2 = ∑ x_1 ∈ (VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ b).sigma fun a => VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ a.2, x.coeff x_1.fst.1 • y.coeff x_1.snd.1 • ((of R).symm z).coeff x_1.snd.2
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁹ : AddCommGroup F'
inst✝⁸ : Module 𝕜 F'
inst✝⁷ : TopologicalSpace F'
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F'
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝⁴ : CompleteSpace 𝕜
α : Type u_1
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
E' : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E'
s : Set α
f : α → E'
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
ι : Type u_2 := ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E')
A : E' ≃L[ℝ] ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E') → ℝ := (Basis.ofVectorSpace ℝ E').equivFun.toContinuousLinearEquiv
\u22a2 ∃ g, LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant E' * K) g ∧ EqOn f g s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁹ : AddCommGroup F'
inst✝⁸ : Module 𝕜 F'
inst✝⁷ : TopologicalSpace F'
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F'
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝⁴ : CompleteSpace 𝕜
α : Type u_1
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
E' : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E'
s : Set α
f : α → E'
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
ι : Type u_2 := ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E')
A : E' ≃L[ℝ] ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E') → ℝ := (Basis.ofVectorSpace ℝ E').equivFun.toContinuousLinearEquiv
LA : LipschitzWith ‖↑A‖₊ ⇑A
\u22a2 ∃ g, LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant E' * K) g ∧ EqOn f g s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁹ : AddCommGroup F'
inst✝⁸ : Module 𝕜 F'
inst✝⁷ : TopologicalSpace F'
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F'
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝⁴ : CompleteSpace 𝕜
α : Type u_1
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
E' : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E'
s : Set α
f : α → E'
K : ℝ≥0
hf : LipschitzOnWith K f s
ι : Type u_2 := ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E')
A : E' ≃L[ℝ] ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E') → ℝ := (Basis.ofVectorSpace ℝ E').equivFun.toContinuousLinearEquiv
LA : LipschitzWith ‖↑A‖₊ ⇑A
L : LipschitzOnWith (‖↑A‖₊ * K) (⇑A ∘ f) s
\u22a2 ∃ g, LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant E' * K) g ∧ EqOn f g s