ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
\u22a2 map cexp (comap re atTop) = cobounded ℂ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
\u22a2 {0}ᶜ ∈ cobounded ℂ
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
xR : xr → PGame
i : xl
xL : xl → PGame
j : (xL i).LeftMoves
\u22a2 ((xL i).moveLeft j).Subsequent (mk xl xr xL xR)
-- Mathlib/Order/CompleteLatticeIntervals.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s✝ : Set α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
hs : s.OrdConnected
t : Set ↑s
c : ↑s
hct : c ∈ t
B : ↑s
hB : B ∈ lowerBounds t
\u22a2 sInf (Subtype.val '' t) ∈ s
-- Mathlib/Order/CompleteLatticeIntervals.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s✝ : Set α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
hs : s.OrdConnected
t : Set ↑s
c : ↑s
hct : c ∈ t
B : ↑s
hB : B ∈ lowerBounds t
\u22a2 ↑B ≤ sInf (Subtype.val '' t)
-- Mathlib/Order/CompleteLatticeIntervals.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s✝ : Set α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
hs : s.OrdConnected
t : Set ↑s
c : ↑s
hct : c ∈ t
B : ↑s
hB : B ∈ lowerBounds t
\u22a2 sInf (Subtype.val '' t) ≤ ↑c
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
\u22a2 comap m g ≤ f ↔ g ≤ kernMap m f
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Sum/Lemmas.lean
β✝¹ : Type u_1
β✝ : Type u_2
s : β✝¹ → β✝ → Prop
α✝¹ : Type u_3
α✝ : Type u_4
r : α✝¹ → α✝ → Prop
x : α✝¹ ⊕ β✝¹
y : α✝ ⊕ β✝
h : LiftRel s r x.swap y.swap
\u22a2 LiftRel r s x y
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Sum/Lemmas.lean
β✝¹ : Type u_1
β✝ : Type u_2
s : β✝¹ → β✝ → Prop
α✝¹ : Type u_3
α✝ : Type u_4
r : α✝¹ → α✝ → Prop
x : α✝¹ ⊕ β✝¹
y : α✝ ⊕ β✝
h : LiftRel s r x.swap y.swap
\u22a2 LiftRel r s x.swap.swap y.swap.swap
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
s : Set α
\u22a2 s ∈ 𝓝 x ↔ {p | p.1 = x → p.2 ∈ s} ∈ 𝓤 α
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E✝ : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E✝
F : Type uF
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
H✝ : Type uH
inst✝⁸ : TopologicalSpace H✝
I✝ : ModelWithCorners ℝ E✝ H✝
M✝ : Type uM
inst✝⁷ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁶ : ChartedSpace H✝ M✝
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I✝ M✝
E : Type uE
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s : Set M
f : BumpCovering ι M s
hf : ∀ (i : ι), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑(f i)
i : ι
\u22a2 LocallyFinite fun i => mulSupport ((fun x => 1) - ⇑(f i))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E✝ : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E✝
F : Type uF
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
H✝ : Type uH
inst✝⁸ : TopologicalSpace H✝
I✝ : ModelWithCorners ℝ E✝ H✝
M✝ : Type uM
inst✝⁷ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁶ : ChartedSpace H✝ M✝
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I✝ M✝
E : Type uE
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s : Set M
f : BumpCovering ι M s
hf : ∀ (i : ι), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑(f i)
i : ι
\u22a2 LocallyFinite fun i => support ⇑(f i)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Power.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ b c d a : α
k : ℤ
\u22a2 0 ≤ a ^ (k + k)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Power.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ b c d a : α
k : ℤ
\u22a2 0 ≤ a ^ k * a ^ k
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
S : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : AddMonoidWithOne R
inst✝² : SetLike S R
s✝ : S
inst✝¹ : AddSubmonoidWithOneClass S R
s : S
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
\u22a2 OfNat.ofNat n ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
S : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : AddMonoidWithOne R
inst✝² : SetLike S R
s✝ : S
inst✝¹ : AddSubmonoidWithOneClass S R
s : S
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
\u22a2 ↑n ∈ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : Field 𝕜
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : DecidableEq p
inst✝² : CommRing R
i j : n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype p
e : n ≃ p
t_i t_j : n
hij✝ : t_i ≠ t_j
c✝ : R
a b : p
\u22a2 (reindexEquiv e { i := t_i, j := t_j, hij := hij✝, c := c✝ }).toMatrix a b = (reindexAlgEquiv R R e) { i := t_i, j := t_j, hij := hij✝, c := c✝ }.toMatrix a b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : Field 𝕜
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : DecidableEq p
inst✝² : CommRing R
i j : n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype p
e : n ≃ p
t_i t_j : n
hij✝ : t_i ≠ t_j
c✝ : R
a b : p
\u22a2 (1 + stdBasisMatrix (e t_i) (e t_j) c✝) a b = (1 + stdBasisMatrix t_i t_j c✝) (e.symm a) (e.symm b)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f g h i : α → β
\u22a2 (∏ a ∈ s, f a * g a) * ∏ a ∈ s, h a * i a = (∏ a ∈ s, f a * h a) * ∏ a ∈ s, g a * i a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Constructions.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (π i)
i : ι
y : π i
\u22a2 ‖single i y‖₊ = ‖y‖₊
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Constructions.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (π i)
i : ι
y : π i
H : ∀ (b : ι), ‖single i y b‖₊ = single i ‖y‖₊ b
\u22a2 ‖single i y‖₊ = ‖y‖₊
-- Mathlib/Topology/Instances/Complex.lean
K : Subfield ℂ
ψ : ↥K →+* ℂ
hc : UniformContinuous ⇑ψ
this✝ : TopologicalDivisionRing ℂ := TopologicalDivisionRing.mk
this : TopologicalRing ↥K.topologicalClosure := Subring.instTopologicalRing K.topologicalClosure.toSubring
\u22a2 (↑↑ψ).toFun = ⇑K.subtype ∨ (↑↑ψ).toFun = ⇑(starRingEnd ℂ) ∘ ⇑K.subtype
-- Mathlib/Topology/Instances/Complex.lean
K : Subfield ℂ
ψ : ↥K →+* ℂ
hc : UniformContinuous ⇑ψ
this✝ : TopologicalDivisionRing ℂ := TopologicalDivisionRing.mk
this : TopologicalRing ↥K.topologicalClosure := Subring.instTopologicalRing K.topologicalClosure.toSubring
ι : ↥K → ↥K.topologicalClosure := ⇑(Subfield.inclusion ⋯)
\u22a2 (↑↑ψ).toFun = ⇑K.subtype ∨ (↑↑ψ).toFun = ⇑(starRingEnd ℂ) ∘ ⇑K.subtype
-- Mathlib/Topology/Instances/Complex.lean
K : Subfield ℂ
ψ : ↥K →+* ℂ
hc : UniformContinuous ⇑ψ
this✝ : TopologicalDivisionRing ℂ := TopologicalDivisionRing.mk
this : TopologicalRing ↥K.topologicalClosure := Subring.instTopologicalRing K.topologicalClosure.toSubring
ι : ↥K → ↥K.topologicalClosure := ⇑(Subfield.inclusion ⋯)
ui : UniformInducing ι
\u22a2 (↑↑ψ).toFun = ⇑K.subtype ∨ (↑↑ψ).toFun = ⇑(starRingEnd ℂ) ∘ ⇑K.subtype
-- Mathlib/Topology/Instances/Complex.lean
K : Subfield ℂ
ψ : ↥K →+* ℂ
hc : UniformContinuous ⇑ψ
this✝ : TopologicalDivisionRing ℂ := TopologicalDivisionRing.mk
this : TopologicalRing ↥K.topologicalClosure := Subring.instTopologicalRing K.topologicalClosure.toSubring
ι : ↥K → ↥K.topologicalClosure := ⇑(Subfield.inclusion ⋯)
ui : UniformInducing ι
di : DenseInducing ι := UniformInducing.denseInducing ui ?refine_1
\u22a2 (↑↑ψ).toFun = ⇑K.subtype ∨ (↑↑ψ).toFun = ⇑(starRingEnd ℂ) ∘ ⇑K.subtype
-- Mathlib/Topology/Instances/Complex.lean
K : Subfield ℂ
ψ : ↥K →+* ℂ
hc : UniformContinuous ⇑ψ
this✝ : TopologicalDivisionRing ℂ := TopologicalDivisionRing.mk
this : TopologicalRing ↥K.topologicalClosure := Subring.instTopologicalRing K.topologicalClosure.toSubring
ι : ↥K → ↥K.topologicalClosure := ⇑(Subfield.inclusion ⋯)
ui : UniformInducing ι
\u22a2 DenseRange ι
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R
\u22a2 matPolyEquiv.symm (C M) = M.map ⇑C
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasRightHomology
A : C
f₁ f₂ : A ⟶ S.rightHomology
\u22a2 f₁ = f₂ ↔ f₁ ≫ S.rightHomologyι = f₂ ≫ S.rightHomologyι
-- Mathlib/Data/Int/SuccPred.lean
z : ℤ
\u22a2 z - 1 ⋖ z
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
\u22a2 o.brange f = range (o.familyOfBFamily f)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/AEval.lean
R : Type u_2
A : Type u_3
M : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
a : A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
p : Submodule R M
hp : p ≤ Submodule.comap ((Algebra.lsmul R R M) a) p
q : Submodule R[X] (AEval R M a)
m : M
hm : m ∈ (comapSubmodule R M a) q
\u22a2 m ∈ Submodule.comap ((Algebra.lsmul R R M) a) ((comapSubmodule R M a) q)
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
p : α → Prop
q : Prop
\u22a2 (∀ᶠ (x : α) in f, p x ∨ q) ↔ (∀ᶠ (x : α) in f, p x) ∨ q
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
x₁ x₂ : Filter α
y : Filter β
\u22a2 Tendsto f (x₁ ⊔ x₂) y ↔ Tendsto f x₁ y ∧ Tendsto f x₂ y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
x y z : P
\u22a2 dist (x -ᵥ y) (x -ᵥ z) = dist y z
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
x y : PGame
ox : x.Numeric
oy : y.Numeric
\u22a2 x ≤ y ↔ (∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i < y) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), x < y.moveRight j
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
inst✝ : IsDomain R
x : R
hx : x ≠ 0
\u22a2 span {x} * I ≤ span {x} * J ↔ I ≤ J
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s A : Set α
t B : Set β
f : α → β
a : α
hf : IsMulFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s
\u22a2 (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ f '' A → ∀ ⦃b : β⦄, b ∈ f '' A → ∀ ⦃c : β⦄, c ∈ f '' A → a * c = b * b → a = b) ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ A → ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ A → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ A → a * c = b * b → a = b
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s A : Set α
t B : Set β
f : α → β
a : α
hf : IsMulFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s
this : BijOn f A (f '' A)
\u22a2 (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ f '' A → ∀ ⦃b : β⦄, b ∈ f '' A → ∀ ⦃c : β⦄, c ∈ f '' A → a * c = b * b → a = b) ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ A → ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ A → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ A → a * c = b * b → a = b
-- Mathlib/RingTheory/FreeRing.lean
α : Type u
C : FreeRing α → Prop
z : FreeRing α
hn1 : C (-1)
hb : ∀ (b : α), C (of b)
ha : ∀ (x y : FreeRing α), C x → C y → C (x + y)
hm : ∀ (x y : FreeRing α), C x → C y → C (x * y)
hn : ∀ (x : FreeRing α), C x → C (-x)
h1 : C 1
m✝ : FreeMonoid α
a : α
m : List α
ih : C (FreeAbelianGroup.of m)
\u22a2 FreeAbelianGroup.of (a :: m) = of a * FreeAbelianGroup.of m
-- Mathlib/RingTheory/FreeRing.lean
α : Type u
C : FreeRing α → Prop
z : FreeRing α
hn1 : C (-1)
hb : ∀ (b : α), C (of b)
ha : ∀ (x y : FreeRing α), C x → C y → C (x + y)
hm : ∀ (x y : FreeRing α), C x → C y → C (x * y)
hn : ∀ (x : FreeRing α), C x → C (-x)
h1 : C 1
m✝ : FreeMonoid α
a : α
m : List α
ih : C (FreeAbelianGroup.of m)
\u22a2 FreeAbelianGroup.of (a :: m) = FreeAbelianGroup.of (FreeMonoid.of a * m)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
\u22a2 cosh (x * I) = cos x
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : AdicCauchySequence I M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
\u22a2 (transitionMap I M hmn) ((fun n => (I ^ n • ⊤).mkQ (↑f n)) n) = (fun n => (I ^ n • ⊤).mkQ (↑f n)) m
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : AdicCauchySequence I M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
\u22a2 Submodule.Quotient.mk (↑f n) = Submodule.Quotient.mk (↑f m)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
\u22a2 ClosedEmbedding ⇑(cfcₙAux ⋯ a ha)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
\u22a2 ClosedEmbedding ((⇑↑(cfcHom ⋯) ∘ ⇑↑(Homeomorph.compStarAlgEquiv' 𝕜 𝕜 (Homeomorph.setCongr ⋯))) ∘ ⇑ContinuousMapZero.toContinuousMapHom)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
\u22a2 ClosedEmbedding ⇑↑(Homeomorph.compStarAlgEquiv' 𝕜 𝕜 (Homeomorph.setCongr ⋯))
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
e : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜) ≃ₜ C(↑(σ 𝕜 ↑a), 𝕜) := let __src := Homeomorph.compStarAlgEquiv' 𝕜 𝕜 (Homeomorph.setCongr ⋯); { toEquiv := __src.toEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
\u22a2 ClosedEmbedding ⇑↑(Homeomorph.compStarAlgEquiv' 𝕜 𝕜 (Homeomorph.setCongr ⋯))
-- Mathlib/Probability/Density.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
inst✝ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : AEMeasurable X ℙ
\u22a2 HasPDF X ℙ volume ↔ map X ℙ ≪ volume
-- Mathlib/Probability/Density.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
inst✝ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : AEMeasurable X ℙ
\u22a2 (map X ℙ).HaveLebesgueDecomposition volume ∧ map X ℙ ≪ volume ↔ map X ℙ ≪ volume
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset γ
t : γ → Finset α
f : α → β
\u22a2 ⨆ y ∈ s.biUnion t, f y = ⨆ x ∈ s, ⨆ y ∈ t x, f y
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f : ℕ → Set α
s : SignedMeasure α
A B : Set α
h : Disjoint A B
hA₁ : MeasurableSet A
hB₁ : MeasurableSet B
hA₂ : 0 ≤ ↑s A
hB₂ : 0 ≤ ↑s B
hAB : ↑s (A ∪ B) = 0
\u22a2 ↑s A = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f : ℕ → Set α
s : SignedMeasure α
A B : Set α
h : Disjoint A B
hA₁ : MeasurableSet A
hB₁ : MeasurableSet B
hA₂ : 0 ≤ ↑s A
hB₂ : 0 ≤ ↑s B
hAB : ↑s A + ↑s B = 0
\u22a2 ↑s A = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : InvolutiveStar R
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
a : A
x✝ : R
\u22a2 x✝ ∈ σ (star a) ↔ x✝ ∈ star (σ a)
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Commute.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a b : M₀
h : Commute a b
hab : ¬IsUnit (a * b)
\u22a2 inverse (a * b) = inverse b * inverse a
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Commute.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a b : M₀
h : Commute a b
hab : ¬IsUnit (a * b)
ha : ¬IsUnit a
\u22a2 inverse (a * b) = inverse b * inverse a
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Commute.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a b : M₀
h : Commute a b
hab : ¬IsUnit (a * b)
hb : ¬IsUnit b
\u22a2 inverse (a * b) = inverse b * inverse a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
c : 𝕜
f : ↥(Lp E 1 μ)
\u22a2 (integralCLM' 𝕜) (c • f) = c • (integralCLM' 𝕜) f
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
num : Int
den g : Nat
den_nz : den / g ≠ 0
reduced : (num.div ↑g).natAbs.Coprime (den / g)
hn : ↑g ∣ num
hd : g ∣ den
\u22a2 maybeNormalize num den g den_nz reduced = normalize num den ⋯
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
num : Int
den g : Nat
den_nz : den / g ≠ 0
reduced : (num.div ↑g).natAbs.Coprime (den / g)
hn : ↑g ∣ num
hd : g ∣ den
\u22a2 normalize (num / ↑g) (den / g) den_nz = normalize num den ⋯
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
num : Int
den g : Nat
den_nz : den / g ≠ 0
reduced : (num.div ↑g).natAbs.Coprime (den / g)
hn : ↑g ∣ num
hd : g ∣ den
this : g ≠ 0
\u22a2 normalize (num / ↑g) (den / g) den_nz = normalize num den ⋯
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
num : Int
den g : Nat
den_nz : den / g ≠ 0
reduced : (num.div ↑g).natAbs.Coprime (den / g)
hn : ↑g ∣ num
hd : g ∣ den
this : g ≠ 0
\u22a2 normalize num (den / g * g) ⋯ = normalize num den ⋯
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
num : Int
den g : Nat
den_nz : den / g ≠ 0
reduced : (num.div ↑g).natAbs.Coprime (den / g)
hn : ↑g ∣ num
hd : g ∣ den
this : g ≠ 0
\u22a2 den / g * g = den
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑‖y‖₊ < r
\u22a2 r - ↑‖y‖₊ ≤ (p.changeOrigin y).radius
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑‖y‖₊ < r
\u22a2 r - ↑‖y‖₊ ≤ p.radius - ↑‖y‖₊
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑‖y‖₊ < r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ↑‖y‖₊)
\u22a2 HasSum (fun n => (p.changeOrigin y n) fun x => z) (f (x + y + z))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑‖y‖₊ < r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ↑‖y‖₊)
this : f (x + y + z) = (p.changeOrigin y).sum z
\u22a2 HasSum (fun n => (p.changeOrigin y n) fun x => z) (f (x + y + z))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑‖y‖₊ < r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ↑‖y‖₊)
this : f (x + y + z) = (p.changeOrigin y).sum z
\u22a2 HasSum (fun n => (p.changeOrigin y n) fun x => z) ((p.changeOrigin y).sum z)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑‖y‖₊ < r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ↑‖y‖₊)
this : f (x + y + z) = (p.changeOrigin y).sum z
\u22a2 z ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin y).radius
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑‖y‖₊ < r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ↑‖y‖₊)
this : f (x + y + z) = (p.changeOrigin y).sum z
\u22a2 r - ↑‖y‖₊ ≤ p.radius - ↑‖y‖₊
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
inst✝ : NormalSpace X
p : (X → ℝ) → Prop
h01 : ∀ (s t : Set X), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hf : LocallyFinite U
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
\u22a2 ∃ f, (∀ (i : ι), p ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
inst✝ : NormalSpace X
p : (X → ℝ) → Prop
h01 : ∀ (s t : Set X), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hf : LocallyFinite U
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
V : ι → Set X
hsV : s ⊆ iUnion V
hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)
hVU : ∀ (i : ι), closure (V i) ⊆ U i
\u22a2 ∃ f, (∀ (i : ι), p ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U