ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)
V : Set E
hVS : ¬Absorbs 𝕜 (id V) S
hV : V ∈ 𝓝 0
hVb : Balanced 𝕜 V
this : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∃ x, ε n • ↑x ∉ V
x : ι → ↑S
hx : ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, ε x_1 • ↑(x x_1) ∉ V
\u22a2 ∀ᶠ (x : ι) in l, False
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
h : IsAdjoinRoot S f
a : S
\u22a2 (h.aequiv h) a = AlgEquiv.refl a
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁵ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : S₁.HasRightHomology
inst✝² : S₂.HasRightHomology
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S₂
\u22a2 opcyclesMap' (F.mapShortComplex.map φ) (F.mapShortComplex.obj S₁).rightHomologyData (F.mapShortComplex.obj S₂).rightHomologyData ≫ opcyclesMap' (𝟙 (S₂.map F)) (S₂.map F).rightHomologyData (S₂.rightHomologyData.map F) = opcyclesMap' (𝟙 (S₁.map F)) (S₁.map F).rightHomologyData (S₁.rightHomologyData.map F) ≫ F.map (opcyclesMap' φ S₁.rightHomologyData S₂.rightHomologyData)
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsBezout R
a b c : R
hab : IsCoprime a b
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
\u22a2 ∃ d, Associated (d ^ k) a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
x : (Quotient.out 1).α
\u22a2 typein (fun x x_1 => x < x_1) x = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Closed.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J₁.sieves X
\u22a2 Presieve.IsSheafFor (Functor.closedSieves J₁) S.arrows
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Closed.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J₁.sieves X
\u22a2 Presieve.IsSeparatedFor (Functor.closedSieves J₁) S.arrows ∧ ∀ (x : Presieve.FamilyOfElements (Functor.closedSieves J₁) S.arrows), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
b₁ b₂ : P
\u22a2 (s.weightedVSubOfPoint p b₁) w +ᵥ b₁ = (s.weightedVSubOfPoint p b₂) w +ᵥ b₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
b₁ b₂ : P
\u22a2 b₁ -ᵥ b₂ + ∑ x ∈ s, (w x • (p x -ᵥ b₁) - w x • (p x -ᵥ b₂)) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
b₁ b₂ : P
\u22a2 b₁ -ᵥ b₂ + ∑ x ∈ s, w x • (b₂ -ᵥ b₁) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : NullMeasurableSet s (μ.restrict t)
u : Set α
hu : MeasurableSet u
\u22a2 ((μ.restrict t).restrict s) u = (μ.restrict (s ∩ t)) u
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Surjective ⇑f
\u22a2 IsCoatom (ker f)
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Surjective ⇑f
\u22a2 IsSimpleModule R (M ⧸ ker f)
-- Mathlib/Data/Finset/Pairwise.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
a b : α
h : {a} ≠ {b}
\u22a2 (Disjoint on id) {a} {b}
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
\u22a2 Metric.diam (range f) = Metric.diam univ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
\u22a2 Metric.diam (f '' univ) = Metric.diam univ
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
H : Transitive R
s✝ t✝ u✝ : WSeq α
h1✝ : LiftRel R s✝ t✝
h2✝ : LiftRel R t✝ u✝
s u t : WSeq α
h1 : LiftRel R s t
h2 : LiftRel R t u
\u22a2 Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s u => ∃ t, LiftRel R s t ∧ LiftRel R t u) s.destruct u.destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
H : Transitive R
s✝ t✝ u✝ : WSeq α
h1✝¹ : LiftRel R s✝ t✝
h2✝ : LiftRel R t✝ u✝
s u t : WSeq α
h1✝ : LiftRel R s t
h2 : LiftRel R t u
h1 : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct
\u22a2 Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s u => ∃ t, LiftRel R s t ∧ LiftRel R t u) s.destruct u.destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
H : Transitive R
s✝ t✝ u✝ : WSeq α
h1✝¹ : LiftRel R s✝ t✝
h2✝¹ : LiftRel R t✝ u✝
s u t : WSeq α
h1✝ : LiftRel R s t
h2✝ : LiftRel R t u
h1 : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct
h2 : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) t.destruct u.destruct
\u22a2 Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s u => ∃ t, LiftRel R s t ∧ LiftRel R t u) s.destruct u.destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
H : Transitive R
s✝ t✝ u✝ : WSeq α
h1✝¹ : LiftRel R s✝ t✝
h2✝¹ : LiftRel R t✝ u✝
s u t : WSeq α
h1✝ : LiftRel R s t
h2✝ : LiftRel R t u
h1 : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct
h2 : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) t.destruct u.destruct
a c : Option (α × WSeq α)
ha : a ∈ s.destruct
hc : c ∈ u.destruct
\u22a2 LiftRelO R (fun s u => ∃ t, LiftRel R s t ∧ LiftRel R t u) a c
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
H : Transitive R
s✝ t✝ u✝ : WSeq α
h1✝¹ : LiftRel R s✝ t✝
h2✝¹ : LiftRel R t✝ u✝
s u t : WSeq α
h1✝ : LiftRel R s t
h2✝ : LiftRel R t u
h1 : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct
h2 : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) t.destruct u.destruct
a c : Option (α × WSeq α)
ha : a ∈ s.destruct
hc : c ∈ u.destruct
b : Option (α × WSeq α)
hb : b ∈ t.destruct
t1 : LiftRelO R (LiftRel R) a b
\u22a2 LiftRelO R (fun s u => ∃ t, LiftRel R s t ∧ LiftRel R t u) a c
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
H : Transitive R
s✝ t✝ u✝ : WSeq α
h1✝¹ : LiftRel R s✝ t✝
h2✝¹ : LiftRel R t✝ u✝
s u t : WSeq α
h1✝ : LiftRel R s t
h2✝ : LiftRel R t u
h1 : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct
h2 : Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) t.destruct u.destruct
a c : Option (α × WSeq α)
ha : a ∈ s.destruct
hc : c ∈ u.destruct
b : Option (α × WSeq α)
hb : b ∈ t.destruct
t1 : LiftRelO R (LiftRel R) a b
t2 : LiftRelO R (LiftRel R) b c
\u22a2 LiftRelO R (fun s u => ∃ t, LiftRel R s t ∧ LiftRel R t u) a c
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
r : ℚ
\u22a2 stieltjesFunctionAux f a ↑r = f a r
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
r : ℚ
\u22a2 ⨅ q, f a ↑q = ⨅ r_1, f a ↑r_1
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
r : ℚ
\u22a2 { q' // ↑r < ↑q' } ≃ ↑(Ioi r)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
r : ℚ
\u22a2 ∀ (x : { q' // ↑r < ↑q' }), f a ↑(?refine_1 x) = f a ↑x
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : T2Space β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
inst✝³ : OpensMeasurableSpace β
tγ : TopologicalSpace γ
inst✝² : PolishSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
hs : MeasurableSet s
f_cont : ContinuousOn f s
f_inj : InjOn f s
\u22a2 MeasurableSet (f '' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : T2Space β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
inst✝³ : OpensMeasurableSpace β
tγ : TopologicalSpace γ
inst✝² : PolishSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
hs : MeasurableSet s
f_cont : ContinuousOn f s
f_inj : InjOn f s
t' : TopologicalSpace γ
t't : t' ≤ tγ
t'_polish : PolishSpace γ
s_closed : IsClosed s
right✝ : IsOpen s
\u22a2 MeasurableSet (f '' s)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
\u22a2 DifferentiableWithinAt 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s (iso x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
H : DifferentiableWithinAt 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x
\u22a2 DifferentiableWithinAt 𝕜 f s (iso x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
s : Set F
x : E
H : DifferentiableWithinAt 𝕜 (f ∘ ⇑iso) (⇑iso ⁻¹' s) x
this : DifferentiableWithinAt 𝕜 ((f ∘ ⇑iso) ∘ ⇑iso.symm) s (iso x)
\u22a2 DifferentiableWithinAt 𝕜 f s (iso x)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : NonAssocRing α
inst✝ : ContinuousMul α
\u22a2 Continuous fun a => -a
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
f₁ f₂ : Filter α
\u22a2 (f₁ ⊓ f₂) ×ˢ g = f₁ ×ˢ g ⊓ f₂ ×ˢ g
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Basic.lean
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
n : ℕ
h : 0 < n
\u22a2 X.basicOpen (f ^ n) = X.basicOpen f
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Basic.lean
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
k : ℕ
h : 0 < k + Nat.succ 0
\u22a2 X.basicOpen (f ^ (k + Nat.succ 0)) = X.basicOpen f
-- Mathlib/Algebra/CharP/ExpChar.lean
R : Type u
inst✝³ : CommSemiring R
S : Type u_1
inst✝² : CommSemiring S
f : R →* S
g : R →+* S
p m n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : ExpChar S p
x y : R
\u22a2 (iterateFrobenius R p 0) x = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C
\u22a2 (shiftFunctor C a).obj X = (shiftFunctor C (a + 0)).obj X
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C
\u22a2 (shiftFunctorAdd C a 0).inv.app X = (shiftFunctorZero C A).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ eqToHom ⋯
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Separation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : SeparationQuotient α × SeparationQuotient β → γ
\u22a2 UniformContinuous f ↔ UniformContinuous fun p => f (mk p.1, mk p.2)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Separation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : SeparationQuotient α × SeparationQuotient β → γ
\u22a2 Tendsto (((fun x => (f x.1, f x.2)) ∘ fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) ∘ fun p => (Prod.map mk mk p.1, Prod.map mk mk p.2)) (𝓤 α ×ˢ 𝓤 β) (𝓤 γ) ↔ Tendsto ((fun x => (f (mk x.1.1, mk x.1.2), f (mk x.2.1, mk x.2.2))) ∘ fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) (𝓤 α ×ˢ 𝓤 β) (𝓤 γ)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Y' : C
f : Y ⟶ Y'
Z : C
\u22a2 (X ◁ f) ▷ Z = (α_ X Y Z).hom ≫ X ◁ f ▷ Z ≫ (α_ X Y' Z).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Y' : C
f : Y ⟶ Y'
Z : C
\u22a2 (𝟙 X ⊗ f) ⊗ 𝟙 Z = (α_ X Y Z).hom ≫ (𝟙 X ⊗ f ⊗ 𝟙 Z) ≫ (α_ X Y' Z).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Y' : C
f : Y ⟶ Y'
Z : C
\u22a2 (𝟙 X ⊗ f) ⊗ 𝟙 Z = (((𝟙 X ⊗ f) ⊗ 𝟙 Z) ≫ (α_ X Y' Z).hom) ≫ (α_ X Y' Z).inv
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype ↑s
\u22a2 s.toFinset = Finset.univ ↔ s = univ
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
\u22a2 Subalgebra.toSubmodule fourierSubalgebra.toSubalgebra = span ℂ (range fourier)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
\u22a2 ↑(Submonoid.closure (range fourier)) ⊆ ↑(span ℂ (range fourier))
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
\u22a2 ↑(Submonoid.closure (range fourier)) ⊆ range fourier
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
x : C(AddCircle T, ℂ)
hx : x ∈ ↑(Submonoid.closure (range fourier))
\u22a2 x ∈ range fourier
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
x : C(AddCircle T, ℂ)
hx : x ∈ ↑(Submonoid.closure (range fourier))
\u22a2 fourier 0 = 1
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
x : C(AddCircle T, ℂ)
hx : x ∈ ↑(Submonoid.closure (range fourier))
\u22a2 ∀ (x y : C(AddCircle T, ℂ)), x ∈ range fourier → y ∈ range fourier → x * y ∈ range fourier
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
h : Sbtw R x y z
hx : x ∉ s
hy : y ∈ s
\u22a2 s.SOppSide x z
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y z : P
h : Sbtw R x y z
hx : x ∉ s
hy : y ∈ s
hz : z ∈ s
\u22a2 x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
hx : x ∉ s
hz : z ∈ s
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : (lineMap x z) t ∈ s
hyx : (lineMap x z) t ≠ x
hyz : (lineMap x z) t ≠ z
\u22a2 x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
hx : x ∉ s
hz : z ∈ s
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : t • (z -ᵥ x) +ᵥ x ∈ s
hyx : (lineMap x z) t ≠ x
hyz : (lineMap x z) t ≠ z
\u22a2 x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
hx : x ∉ s
hz : z ∈ s
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : t • (z -ᵥ x) +ᵥ x ∈ s
hyx : (lineMap x z) t ≠ x
hyz : (lineMap x z) t ≠ z
ht : t ≠ 1
\u22a2 x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
hx : x ∉ s
hz : z ∈ s
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : t • (z -ᵥ x) +ᵥ x ∈ s
hyx : (lineMap x z) t ≠ x
hyz : (lineMap x z) t ≠ z
ht : t ≠ 1
hy' : t • (z -ᵥ x) +ᵥ x -ᵥ z ∈ s.direction
\u22a2 x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x z : P
hx : x ∉ s
hz : z ∈ s
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : t • (z -ᵥ x) +ᵥ x ∈ s
hyx : (lineMap x z) t ≠ x
hyz : (lineMap x z) t ≠ z
ht : t ≠ 1
hy' : z -ᵥ x ∈ s.direction
\u22a2 x ∈ s
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : One α
s : Finset α
a : α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : One β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : OneHomClass F α β
f : F
\u22a2 image (⇑f) 1 = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
p : ℂ × ℂ
hp : p.1 ∈ slitPlane
\u22a2 HasStrictFDerivAt (fun x => x.1 ^ x.2) ((p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℂ ℂ ℂ + (p.1 ^ p.2 * log p.1) • ContinuousLinearMap.snd ℂ ℂ ℂ) p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
p : ℂ × ℂ
hp : p.1 ∈ slitPlane
A : p.1 ≠ 0
\u22a2 HasStrictFDerivAt (fun x => x.1 ^ x.2) ((p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℂ ℂ ℂ + (p.1 ^ p.2 * log p.1) • ContinuousLinearMap.snd ℂ ℂ ℂ) p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
p : ℂ × ℂ
hp : p.1 ∈ slitPlane
A : p.1 ≠ 0
this : (fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => cexp (log x.1 * x.2)
\u22a2 HasStrictFDerivAt (fun x => x.1 ^ x.2) ((p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℂ ℂ ℂ + (p.1 ^ p.2 * log p.1) • ContinuousLinearMap.snd ℂ ℂ ℂ) p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
p : ℂ × ℂ
hp : p.1 ∈ slitPlane
A : p.1 ≠ 0
this : (fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => cexp (log x.1 * x.2)
\u22a2 HasStrictFDerivAt (fun x => x.1 ^ x.2) (p.1 ^ p.2 • (p.2 / p.1) • ContinuousLinearMap.fst ℂ ℂ ℂ + p.1 ^ p.2 • log p.1 • ContinuousLinearMap.snd ℂ ℂ ℂ) p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
p : ℂ × ℂ
hp : p.1 ∈ slitPlane
A : p.1 ≠ 0
this : (fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => cexp (log x.1 * x.2)
\u22a2 HasStrictFDerivAt (fun x => cexp (log x.1 * x.2)) (p.1 ^ p.2 • (p.2 / p.1) • ContinuousLinearMap.fst ℂ ℂ ℂ + p.1 ^ p.2 • log p.1 • ContinuousLinearMap.snd ℂ ℂ ℂ) p
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
a : Fin n
\u22a2 ↑↑↑a = ↑a.castSucc
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
hp : Prime p
h : (multiplicity p (a * b)).Dom
\u22a2 (multiplicity p (a * b)).get h = (multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
hp : Prime p
h : (multiplicity p (a * b)).Dom
hdiva : p ^ (multiplicity p a).get ⋯ ∣ a
\u22a2 (multiplicity p (a * b)).get h = (multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
hp : Prime p
h : (multiplicity p (a * b)).Dom
hdiva : p ^ (multiplicity p a).get ⋯ ∣ a
hdivb : p ^ (multiplicity p b).get ⋯ ∣ b
\u22a2 (multiplicity p (a * b)).get h = (multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
hp : Prime p
h : (multiplicity p (a * b)).Dom
hdiva : p ^ (multiplicity p a).get ⋯ ∣ a
hdivb : p ^ (multiplicity p b).get ⋯ ∣ b
hpoweq : p ^ ((multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯) = p ^ (multiplicity p a).get ⋯ * p ^ (multiplicity p b).get ⋯
\u22a2 (multiplicity p (a * b)).get h = (multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
hp : Prime p
h : (multiplicity p (a * b)).Dom
hdiva : p ^ (multiplicity p a).get ⋯ ∣ a
hdivb : p ^ (multiplicity p b).get ⋯ ∣ b
hpoweq : p ^ ((multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯) = p ^ (multiplicity p a).get ⋯ * p ^ (multiplicity p b).get ⋯
hdiv : p ^ ((multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯) ∣ a * b
\u22a2 (multiplicity p (a * b)).get h = (multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
hp : Prime p
h : (multiplicity p (a * b)).Dom
hdiva : p ^ (multiplicity p a).get ⋯ ∣ a
hdivb : p ^ (multiplicity p b).get ⋯ ∣ b
hpoweq : p ^ ((multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯) = p ^ (multiplicity p a).get ⋯ * p ^ (multiplicity p b).get ⋯
hdiv : p ^ ((multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯) ∣ a * b
hsucc : ¬p ^ ((multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯ + 1) ∣ a * b
\u22a2 (multiplicity p (a * b)).get h = (multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
hp : Prime p
h : (multiplicity p (a * b)).Dom
hdiva : p ^ (multiplicity p a).get ⋯ ∣ a
hdivb : p ^ (multiplicity p b).get ⋯ ∣ b
hpoweq : p ^ ((multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯) = p ^ (multiplicity p a).get ⋯ * p ^ (multiplicity p b).get ⋯
hdiv : p ^ ((multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯) ∣ a * b
hsucc : ¬p ^ ((multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯ + 1) ∣ a * b
\u22a2 p ^ ((multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯) ∣ a * b ∧ ¬p ^ ((multiplicity p a).get ⋯ + (multiplicity p b).get ⋯ + 1) ∣ a * b