ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
\u22a2 s * closedBall 1 δ = ⋃ x ∈ s, closedBall x δ
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x✝ y : E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
x : E
\u22a2 x ∈ s * closedBall 1 δ ↔ x ∈ ⋃ x ∈ s, closedBall x δ
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N
hN' : N ≤ 4096
\u22a2 ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ 1
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N
hN' : N ≤ 4096
\u22a2 ↑N ≤ rexp (4 ^ 2)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N
hN' : N ≤ 4096
\u22a2 ↑N ≤ rexp 16
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N
hN' : N ≤ 4096
\u22a2 ↑N ≤ 4096
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X Y Z : C
f : J → C
g h : X ⟶ Y ⊗ Z ⊗ ⨁ f
w : ∀ (j : J), g ≫ Y ◁ Z ◁ biproduct.π f j = h ≫ Y ◁ Z ◁ biproduct.π f j
\u22a2 g = h
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X Y Z : C
f : J → C
g h : X ⟶ Y ⊗ Z ⊗ ⨁ f
w : ∀ (j : J), g ≫ Y ◁ Z ◁ biproduct.π f j = h ≫ Y ◁ Z ◁ biproduct.π f j
\u22a2 g ≫ (α_ Y Z (⨁ f)).inv = h ≫ (α_ Y Z (⨁ f)).inv
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
h : OpenEmbedding ⇑f
\u22a2 ⋯.functor.IsContinuous (Opens.grothendieckTopology ↑X) (Opens.grothendieckTopology ↑Y)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
h : OpenEmbedding ⇑f
\u22a2 CompatiblePreserving (Opens.grothendieckTopology ↑Y) ⋯.functor
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
h : OpenEmbedding ⇑f
\u22a2 CoverPreserving (Opens.grothendieckTopology ↑X) (Opens.grothendieckTopology ↑Y) ⋯.functor
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
\u22a2 Tendsto sin (𝓝[<] (π / 2)) (𝓝 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
\u22a2 1 = sin (π / 2)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F
\u22a2 basisDivisor x x = 0
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
u : F → E
f : Filter F
y₀ : E
\u22a2 Tendsto u f (𝓝 y₀) ↔ ∀ (i : ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (x : F) in f, (p i) (u x - y₀) < ε
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
u : F → E
f : Filter F
y₀ : E
\u22a2 (∀ (s : Finset ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (x : F) in f, (s.sup p) (u x - y₀) < ε) ↔ ∀ (i : ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (x : F) in f, (p i) (u x - y₀) < ε
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
P : MvPolynomial σ R → Prop
p : MvPolynomial σ R
h1 : ∀ (u : σ →₀ ℕ) (a : R), P ((monomial u) a)
h2 : ∀ (p q : MvPolynomial σ R), P p → P q → P (p + q)
this : P ((monomial 0) 0)
\u22a2 P 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
p : ℕ
\u22a2 p ∈ (a * b).primeFactorsList ↔ p ∈ a.primeFactorsList ∪ b.primeFactorsList
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
b p : ℕ
hab : Coprime 0 b
\u22a2 p ∈ (0 * b).primeFactorsList ↔ p ∈ primeFactorsList 0 ∪ b.primeFactorsList
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
p : ℕ
ha : a > 0
\u22a2 p ∈ (a * b).primeFactorsList ↔ p ∈ a.primeFactorsList ∪ b.primeFactorsList
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
a p : ℕ
ha : a > 0
hab : a.Coprime 0
\u22a2 p ∈ (a * 0).primeFactorsList ↔ p ∈ a.primeFactorsList ∪ primeFactorsList 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
p : ℕ
ha : a > 0
hb : b > 0
\u22a2 p ∈ (a * b).primeFactorsList ↔ p ∈ a.primeFactorsList ∪ b.primeFactorsList
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → X → α
f : X → α
x₀ : X
h₁ : Tendsto F l (𝓝 f)
h₂ : EquicontinuousAt F x₀
\u22a2 ContinuousAt f x₀
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → X → α
f : X → α
x₀ : X
h₁ : ∀ (x : X), Tendsto (fun i => F i x) l (𝓝 (f x))
h₂ : EquicontinuousWithinAt F univ x₀
\u22a2 ContinuousWithinAt f univ x₀
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
a : α
hs : s.Finite
ht : t.Finite
\u22a2 { x // x ∈ hs.toFinset } = ↑s
-- Mathlib/Algebra/Star/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
x y : R
\u22a2 star (star x * y) = star y * x
-- Mathlib/GroupTheory/Submonoid/Inverses.lean
M : Type u_1
inst✝ : Monoid M
S : Submonoid M
x y : M
z : ↥S
h₁ : y * ↑z = 1
h₂ : x * y = 1
\u22a2 x ∈ S
-- Mathlib/GroupTheory/Submonoid/Inverses.lean
M : Type u_1
inst✝ : Monoid M
S : Submonoid M
x y : M
z : ↥S
h₁ : y * ↑z = 1
h₂ : x * y = 1
\u22a2 x = ↑z
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/ShortExact.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasDerivedCategory C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
\u22a2 triangleOfSES hS ∈ distinguishedTriangles
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/ShortExact.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasDerivedCategory C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
\u22a2 ∃ X Y f, Nonempty (triangleOfSES hS ≅ Q.mapTriangle.obj (CochainComplex.mappingCone.triangle f))
-- Mathlib/Data/List/FinRange.lean
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
\u22a2 ofFn f = map f (finRange n)
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
U : ι → Set β
hU : iUnion U = univ
\u22a2 Injective f ↔ ∀ (i : ι), Injective ((U i).restrictPreimage f)
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
U : ι → Set β
hU : iUnion U = univ
H : ∀ (i : ι), Injective ((U i).restrictPreimage f)
x y : α
e : f x = f y
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
U : ι → Set β
hU : iUnion U = univ
H : ∀ (i : ι), Injective ((U i).restrictPreimage f)
x y : α
e : f x = f y
i : ι
hi : f x ∈ U i
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
\u22a2 ⌈0⌉ = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
\u22a2 Real.cos (angle x (x - y)) * ‖x - y‖ = ‖x‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
\u22a2 Real.cos (angle x (x - y)) * ‖x - y‖ = ‖x‖
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : OplaxMonoidalFunctor C D
X Y Z : C
\u22a2 F.δ X (Y ⊗ Z) ≫ F.obj X ◁ F.δ Y Z ≫ (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).inv = F.map (α_ X Y Z).inv ≫ F.δ (X ⊗ Y) Z ≫ F.δ X Y ▷ F.obj Z
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset β
a : α
f : β → Multiset α
\u22a2 count a (map (fun x => f x) s.val).sum = (map (fun x => count a (f x)) s.val).sum
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t
\u22a2 HasSum (fun n => 2 * Real.cos (2 * π * a * (↑n + 1)) * rexp (-π * (↑n + 1) ^ 2 * t)) (cosKernel (↑a) t - 1)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t
\u22a2 HasSum (fun x => ↑(2 * Real.cos (2 * π * a * (↑x + 1)) * rexp (-π * (↑x + 1) ^ 2 * t))) (↑(cosKernel (↑a) t) - 1)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : HasSum (fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑n) * ↑(rexp (-π * ↑↑n ^ 2 * t)) + cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑n)) * ↑(rexp (-π * ↑(-↑n) ^ 2 * t))) (↑(cosKernel (↑a) t) + cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑0) * ↑(rexp (-π * ↑0 ^ 2 * t)))
\u22a2 HasSum (fun x => ↑(2 * Real.cos (2 * π * a * (↑x + 1)) * rexp (-π * (↑x + 1) ^ 2 * t))) (↑(cosKernel (↑a) t) - 1)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : HasSum (fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑(n + 1)) * ↑(rexp (-π * ↑↑(n + 1) ^ 2 * t)) + cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑(n + 1))) * ↑(rexp (-π * ↑(-↑(n + 1)) ^ 2 * t))) (↑(cosKernel (↑a) t) + cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑0) * ↑(rexp (-π * ↑0 ^ 2 * t)) - ∑ i ∈ Finset.range 1, (cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑i) * ↑(rexp (-π * ↑↑i ^ 2 * t)) + cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑i)) * ↑(rexp (-π * ↑(-↑i) ^ 2 * t))))
\u22a2 HasSum (fun x => ↑(2 * Real.cos (2 * π * a * (↑x + 1)) * rexp (-π * (↑x + 1) ^ 2 * t))) (↑(cosKernel (↑a) t) - 1)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : HasSum (fun n => (cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(n + 1)) + cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑(n + 1)))) * ↑(rexp (-π * ↑(n + 1) ^ 2 * t))) (↑(cosKernel (↑a) t) - 1)
\u22a2 HasSum (fun x => ↑(2 * Real.cos (2 * π * a * (↑x + 1)) * rexp (-π * (↑x + 1) ^ 2 * t))) (↑(cosKernel (↑a) t) - 1)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : HasSum (fun n => (cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(n + 1)) + cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑(n + 1)))) * ↑(rexp (-π * ↑(n + 1) ^ 2 * t))) (↑(cosKernel (↑a) t) - 1)
n : ℕ
\u22a2 ↑(2 * Real.cos (2 * π * a * (↑n + 1)) * rexp (-π * (↑n + 1) ^ 2 * t)) = (cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(n + 1)) + cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑(n + 1)))) * ↑(rexp (-π * ↑(n + 1) ^ 2 * t))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : HasSum (fun n => (cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(n + 1)) + cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑(n + 1)))) * ↑(rexp (-π * ↑(n + 1) ^ 2 * t))) (↑(cosKernel (↑a) t) - 1)
n : ℕ
\u22a2 2 * Complex.cos (2 * ↑π * ↑a * (↑n + 1)) * cexp (-↑π * (↑n + 1) ^ 2 * ↑t) = (cexp (2 * ↑π * I * ↑a * (↑n + 1)) + cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * (↑n + 1)))) * cexp (-↑π * (↑n + 1) ^ 2 * ↑t)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : HasSum (fun n => (cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(n + 1)) + cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑(n + 1)))) * ↑(rexp (-π * ↑(n + 1) ^ 2 * t))) (↑(cosKernel (↑a) t) - 1)
n : ℕ
\u22a2 (cexp (2 * ↑π * ↑a * (↑n + 1) * I) + cexp (-(2 * ↑π * ↑a * (↑n + 1)) * I)) * cexp (-↑π * (↑n + 1) ^ 2 * ↑t) = (cexp (2 * ↑π * I * ↑a * (↑n + 1)) + cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * (↑n + 1)))) * cexp (-↑π * (↑n + 1) ^ 2 * ↑t)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ
hf : Summable f
\u22a2 Summable fun n => (f n).toNNReal
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ
hf : Summable f
\u22a2 Summable fun a => ↑(f a).toNNReal
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ
hf : Summable f
n : α
\u22a2 ↑(f n).toNNReal ≤ |f n|
-- Mathlib/Data/Multiset/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
\u22a2 (Finset.Ioc s t).card = ∏ i ∈ s.toFinset ∪ t.toFinset, (count i t + 1 - count i s) - 1
-- Mathlib/Logic/Function/Conjugate.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f fab : α → β
fbc : β → γ
ga ga' : α → α
gb gb' : β → β
gc gc' : γ → γ
h : Semiconj f ga gb
ha : RightInverse ga' ga
hb : LeftInverse gb' gb
x : α
\u22a2 f (ga' x) = gb' (f x)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
\u22a2 infDist x t ≤ infDist x s + hausdorffDist s t
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
h : infEdist x s = ⊤
\u22a2 infEdist x t = ⊤
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
h : ¬s.Nonempty
\u22a2 ¬t.Nonempty
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist t s ≠ ⊤
h : ¬s.Nonempty
\u22a2 ¬t.Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Complex/Angle.lean
a x y : ℂ
hy : y ≠ 0
\u22a2 angle 1 y = |y.arg|
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < 1 → Ordinal.{max u_4 u_5}
\u22a2 bsup 1 f = f 0 ⋯
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Ordered.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
f : k → E
a b r : k
h : 0 < r * (b - a)
\u22a2 f ((lineMap a b) r) ≤ (lineMap (f a) (f b)) r ↔ slope f a ((lineMap a b) r) ≤ slope f a b
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K : Set α
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
hU : (𝓤 α).HasBasis p s
A B : Set α
hA : IsCompact A
hB : IsClosed B
h : Disjoint A B
\u22a2 ∃ i, p i ∧ Disjoint (⋃ x ∈ A, ball x (s i)) (⋃ x ∈ B, ball x (s i))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K : Set α
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
hU : (𝓤 α).HasBasis p s
A B : Set α
hA : IsCompact A
hB : IsClosed B
h : Disjoint A B
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVAB : Disjoint (⋃ x ∈ A, ball x V) (⋃ x ∈ B, ball x V)
\u22a2 ∃ i, p i ∧ Disjoint (⋃ x ∈ A, ball x (s i)) (⋃ x ∈ B, ball x (s i))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K : Set α
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
hU : (𝓤 α).HasBasis p s
A B : Set α
hA : IsCompact A
hB : IsClosed B
h : Disjoint A B
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVAB : Disjoint (⋃ x ∈ A, ball x V) (⋃ x ∈ B, ball x V)
i : ι
hi : p i
hiV : s i ⊆ V
\u22a2 ∃ i, p i ∧ Disjoint (⋃ x ∈ A, ball x (s i)) (⋃ x ∈ B, ball x (s i))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/OneHypercover.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.11500, u_1} A
S : C
E : PreOneHypercover S
i₁ i₂ : E.I₀
inst✝ : HasPullback (E.f i₁) (E.f i₂)
\u22a2 E.sieve₁' i₁ i₂ = E.sieve₁ (pullback.fst (E.f i₁) (E.f i₂)) (pullback.snd (E.f i₁) (E.f i₂))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/OneHypercover.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.11500, u_1} A
S : C
E : PreOneHypercover S
i₁ i₂ : E.I₀
inst✝ : HasPullback (E.f i₁) (E.f i₂)
\u22a2 Sieve.pullback (𝟙 (pullback (E.f i₁) (E.f i₂))) (E.sieve₁' i₁ i₂) = Sieve.pullback (pullback.lift (pullback.fst (E.f i₁) (E.f i₂)) (pullback.snd (E.f i₁) (E.f i₂)) ⋯) (E.sieve₁' i₁ i₂)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
\u22a2 1 ≤ P ↔ 1 ∈ P
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι✝ : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι✝
b✝ : Basis ι✝ R M
ι : Type u_1
inst✝ : _root_.Finite ι
b : Basis ι R M
\u22a2 range (Dual.eval R M) = ⊤
-- Mathlib/Order/Interval/Set/WithBotTop.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
\u22a2 some ⁻¹' Icc ↑a ↑b = Icc a b
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/FunctorCategory.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{z, w} D
inst✝ : Abelian D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C
\u22a2 (kernel.ι α).app X ≫ 𝟙 (F.obj X) = (PreservesKernel.iso ((evaluation C D).obj X) α).hom ≫ kernel.ι (α.app X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/FunctorCategory.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{z, w} D
inst✝ : Abelian D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C
\u22a2 (kernel.ι α).app X = kernelComparison α ((evaluation C D).obj X) ≫ kernel.ι (α.app X)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ (𝓞 K)
b₀ : Basis ι ℤ (𝓞 K) := (RingOfIntegers.basis K).reindex ((RingOfIntegers.basis K).indexEquiv b)
\u22a2 Algebra.discr ℤ ⇑b = discr K
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
\u22a2 Integrable (fun x => cexp (-b * ↑x ^ 2)) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
\u22a2 HasFiniteIntegral (fun x => cexp (-b * ↑x ^ 2)) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
\u22a2 HasFiniteIntegral (fun a => ‖cexp (-b * ↑a ^ 2)‖) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
\u22a2 HasFiniteIntegral (fun a => rexp (-b.re * a ^ 2)) volume
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hf : Splits i f
n : ℕ
\u22a2 Splits i (f ^ n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hf : Splits i f
n : ℕ
\u22a2 Splits i (∏ _x ∈ Finset.range n, f)
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
f : k[X]
hfm : f.Monic
hfi : Irreducible f
\u22a2 Polynomial.eval₂ (toAdjoinMonic k) ((Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) (MvPolynomial.X ⟨f, ⋯⟩)) f = 0
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
f : k[X]
hfm : f.Monic
hfi : Irreducible f
\u22a2 Polynomial.eval₂ MvPolynomial.C (MvPolynomial.X ⟨f, ⋯⟩) f ∈ maxIdeal k
-- Mathlib/Analysis/Complex/Circle.lean
\u22a2 ↑(expMapCircle 0) = ↑1
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
inst✝ : Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0
\u22a2 0 < x.orderTop ↔ 0 < x.order
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α
a : α
\u22a2 {a} ⊆ s ↔ a ∈ s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : TopologicalSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_ind : Inducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F)
F_cl : IsClosed (range (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F))
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
F_pointwiseCompact : ∀ K ∈ 𝔖, ∀ x ∈ K, ∃ Q, IsCompact Q ∧ ∀ (i : ι), F i x ∈ Q
\u22a2 CompactSpace ι
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : TopologicalSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_ind : Inducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F)
F_cl : IsClosed (range (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F))
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
F_pointwiseCompact : ∀ K ∈ 𝔖, ∀ x ∈ K, ∃ Q, IsCompact Q ∧ ∀ (i : ι), F i x ∈ Q
this : Inducing ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F)
\u22a2 CompactSpace ι
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : TopologicalSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_ind : Inducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F)
F_cl : IsClosed (range (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F))
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
F_pointwiseCompact : ∀ K ∈ 𝔖, ∀ x ∈ K, ∃ Q, IsCompact Q ∧ ∀ (i : ι), F i x ∈ Q
this : Inducing ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F)
\u22a2 IsCompact (range ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : TopologicalSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_ind : Inducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F)
F_cl : IsClosed (range (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F))
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
F_pointwiseCompact : ∀ x ∈ ⋃₀ 𝔖, ∃ Q, IsCompact Q ∧ ∀ (i : ι), F i x ∈ Q
this : Inducing ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F)
\u22a2 IsCompact (range ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : TopologicalSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_ind : Inducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F)
F_cl : IsClosed (range (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F))
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
this : Inducing ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F)
Q : X → Set α
Q_compact : ∀ x ∈ ⋃₀ 𝔖, IsCompact (Q x)
F_in_Q : ∀ x ∈ ⋃₀ 𝔖, ∀ (i : ι), F i x ∈ Q x
\u22a2 IsCompact (range ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x : F
\u22a2 ⟪0, x⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x : F
\u22a2 (starRingEnd 𝕜) 0 * ⟪0, x⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
\u22a2 indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.degree < q.degree
\u22a2 (p + q).degree = q.degree
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
U : ↥(unitary E)
A : E
a✝ : Nontrivial E
\u22a2 ‖↑U * A‖ = ‖A‖