ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/SpecificFunctions.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x✝ : M
x : M × M'
this : ∀ᶠ (y : E × E') in 𝓝[range ↑(I.prod I')] ↑(extChartAt (I.prod I') x) x, (↑(extChartAt I x.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod I') x).symm) y = y.1
\u22a2 (↑(extChartAt I x.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod I') x).symm) (↑(extChartAt (I.prod I') x) x) = (↑(extChartAt (I.prod I') x) x).1
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
xy : SqLe x c y d
zw : SqLe z c w d
\u22a2 c * (x * z) * (c * (x * z)) ≤ d * (y * w) * (d * (y * w))
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
c : Cardinal.{u_3}
\u22a2 ↑n < toPartENat c ↔ ↑n < c
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Bounded.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s✝ t : Set α
r : ℝ
f : β → α
s : Set β
\u22a2 (∃ C, ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ f '' s → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ f '' s → dist x y ≤ C) ↔ ∃ C, ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (f x) (f y) ≤ C
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₄ : p₄ ∈ s
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₄ : p₂ ≠ p₄
hp₃p₁ : p₃ ≠ p₁
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
\u22a2 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : ‖p₁ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂ : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₃ : ‖p₃ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₄ : ‖p₄ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₄ : p₂ ≠ p₄
hp₃p₁ : p₃ ≠ p₁
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
\u22a2 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (1 < ↑n / ↑d) = true
\u22a2 0 < Real.log e
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (1 < ↑n / ↑d) = true
\u22a2 0 < Real.log (↑n / ↑d)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (1 < ↑n / ↑d) = true
this : 1 < ↑n / ↑d
\u22a2 0 < Real.log (↑n / ↑d)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.211873}
n : ℕ
\u22a2 #α = ↑n ↔ ∃ t, ↑t = univ ∧ t.card = n
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : ℤ
\u22a2 ↑↑n = ↑n
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexBetween.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
\u22a2 dist p₂ p < max (dist p₁ p) (dist p₃ p)
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexBetween.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hp₁p₃ : p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p
\u22a2 dist p₂ p < max (dist p₁ p) (dist p₃ p)
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexBetween.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
h : (p₂ -ᵥ p = p₁ -ᵥ p ∨ p₂ -ᵥ p = p₃ -ᵥ p ∨ p₂ -ᵥ p ∈ openSegment ℝ (p₁ -ᵥ p) (p₃ -ᵥ p)) ∧ p₂ ≠ p₁ ∧ p₂ ≠ p₃
hp₁p₃ : p₁ -ᵥ p ≠ p₃ -ᵥ p
\u22a2 dist p₂ p < max (dist p₁ p) (dist p₃ p)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
\u22a2 Measurable fun a => (hf.stieltjesFunction a).measure
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
\u22a2 ∀ (s : Set ℝ), MeasurableSet s → Measurable fun b => (hf.stieltjesFunction b).measure s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (fun s => Measurable fun b => (hf.stieltjesFunction b).measure s) ∅
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ∀ t ∈ range Iic, (fun s => Measurable fun b => (hf.stieltjesFunction b).measure s) t
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ∀ (t : Set ℝ), MeasurableSet t → (fun s => Measurable fun b => (hf.stieltjesFunction b).measure s) t → (fun s => Measurable fun b => (hf.stieltjesFunction b).measure s) tᶜ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ∀ (f_1 : ℕ → Set ℝ), Pairwise (Disjoint on f_1) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f_1 i)) → (∀ (i : ℕ), (fun s => Measurable fun b => (hf.stieltjesFunction b).measure s) (f_1 i)) → (fun s => Measurable fun b => (hf.stieltjesFunction b).measure s) (⋃ i, f_1 i)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ ≠ 0
\u22a2 p₁ ≠ p₃
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ ≠ 0
\u22a2 p₁ -ᵥ p₂ ≠ p₃ -ᵥ p₂
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Lemmas.lean
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Ring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
hx : x ^ n = 0
\u22a2 y ^ m ∣ (x - y) ^ p
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Lemmas.lean
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Ring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
hx : x ^ n = 0
\u22a2 y ^ m ∣ (y - x) ^ p * (-1) ^ p
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Lemmas.lean
R : Type u_1
x y : R
n m p : ℕ
inst✝ : Ring R
hp : n + m ≤ p + 1
h_comm : Commute x y
hx : x ^ n = 0
\u22a2 y ^ m ∣ (y - x) ^ p
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Constructions.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : TopologicalSpace B
b : B
v : F
\u22a2 (Trivialization.coordChangeL 𝕜 (trivialization B F) (trivialization B F) b) v = (ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 F) v
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Constructions.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : TopologicalSpace B
b : B
v : F
\u22a2 (↑(trivialization B F) (↑(trivialization B F).symm (b, v))).2 = (ContinuousLinearEquiv.refl 𝕜 F) v
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Constructions.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : TopologicalSpace B
b : B
v : F
\u22a2 b ∈ (trivialization B F).baseSet ∩ (trivialization B F).baseSet
-- Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s : Set α
a : α
m n✝ n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0
\u22a2 ⊤ ^ (n + 2) = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
\u22a2 map N.incl (comap N.incl N') = N ⊓ N'
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
\u22a2 ↑(map N.incl (comap N.incl N')) = ↑(N ⊓ N')
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.70958, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
\u22a2 IsZero S.X₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.70958, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0
this : Mono S.g
\u22a2 IsZero S.X₂
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f : α → β
\u22a2 Tendsto f l₁ l₂ ↔ PTendsto (PFun.res f Set.univ) l₁ l₂
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f : α → β
\u22a2 Tendsto f l₁ l₂ ↔ Tendsto f (l₁ ⊓ 𝓟 Set.univ) l₂
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
\u22a2 (p.bindOnSupport f).support = ⋃ a, ⋃ (h : a ∈ p.support), (f a h).support
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
b : β
\u22a2 b ∈ (p.bindOnSupport f).support ↔ b ∈ ⋃ a, ⋃ (h : a ∈ p.support), (f a h).support
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
b : β
\u22a2 (∃ x, ¬p x = 0 ∧ ¬(if h : p x = 0 then 0 else (f x h) b) = 0) ↔ ∃ i, ∃ (h : ¬p i = 0), ¬(f i ⋯) b = 0
-- Mathlib/Algebra/Pointwise/Stabilizer.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
f : G →* H
s : Set G
a : H
\u22a2 a ∈ Subgroup.map f (stabilizer G s) → a ∈ stabilizer H (⇑f '' s)
-- Mathlib/Algebra/Pointwise/Stabilizer.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
f : G →* H
s : Set G
a : H
\u22a2 ∀ (x : G), x • s = s → f x = a → a • ⇑f '' s = ⇑f '' s
-- Mathlib/Algebra/Pointwise/Stabilizer.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
f : G →* H
s : Set G
a : G
ha : a • s = s
\u22a2 f a • ⇑f '' s = ⇑f '' s
-- Mathlib/Topology/Clopen.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t s a b : Set X
h : IsClopen s
cover : s ⊆ a ∪ b
ha : IsOpen a
hb : IsOpen b
hab : Disjoint a b
\u22a2 IsClopen (s ∩ a)
-- Mathlib/Topology/Clopen.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t s a b : Set X
h : IsClopen s
cover : s ⊆ a ∪ b
ha : IsOpen a
hb : IsOpen b
hab : Disjoint a b
\u22a2 IsClosed (s ∩ a)
-- Mathlib/Topology/Clopen.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t s a b : Set X
h : IsClopen s
cover : s ⊆ a ∪ b
ha : IsOpen a
hb : IsOpen b
hab : Disjoint a b
this : IsClosed (s ∩ bᶜ)
\u22a2 IsClosed (s ∩ a)
-- Mathlib/Topology/Clopen.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t s a b : Set X
h : IsClopen s
cover : s ⊆ a ∪ b
ha : IsOpen a
hb : IsOpen b
hab : Disjoint a b
this : IsClosed (s ∩ bᶜ)
\u22a2 s ∩ a = s ∩ bᶜ
-- Mathlib/Topology/Clopen.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t s a b : Set X
h : IsClopen s
cover : s ⊆ a ∪ b
ha : IsOpen a
hb : IsOpen b
hab : Disjoint a b
this : IsClosed (s ∩ bᶜ)
\u22a2 s ∩ bᶜ ⊆ s ∩ a
-- Mathlib/Topology/Clopen.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t s a b : Set X
h : IsClopen s
cover : s ⊆ a ∪ b
ha : IsOpen a
hb : IsOpen b
hab : Disjoint a b
this : IsClosed (s ∩ bᶜ)
x : X
hx₁ : x ∈ s
hx₂ : x ∈ bᶜ
\u22a2 x ∈ s ∩ a
-- Mathlib/Algebra/Homology/ExactSequence.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S S₁ S₂ : ComposableArrows C n
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.IsComplex
i : ℕ
hi : autoParam (i + 2 ≤ n) _auto✝
\u22a2 S₂.map' i (i + 1) ⋯ ⋯ ≫ S₂.map' (i + 1) (i + 2) ⋯ hi = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω
\u22a2 levyProkhorovDist μ ν = levyProkhorovDist ν μ
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
s : String
p : Char → Bool
\u22a2 s.all p = s.data.all p
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η γ : J.sheafify P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
h : J.toSheafify P ≫ η = J.toSheafify P ≫ γ
\u22a2 η = γ
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η γ : J.sheafify P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
h : J.toSheafify P ≫ η = J.toSheafify P ≫ γ
\u22a2 J.toPlus (J.plusObj P) ≫ η = J.toPlus (J.plusObj P) ≫ γ
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η γ : J.sheafify P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
h : J.toSheafify P ≫ η = J.toSheafify P ≫ γ
\u22a2 J.toPlus P ≫ J.toPlus (J.plusObj P) ≫ η = J.toPlus P ≫ J.toPlus (J.plusObj P) ≫ γ
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η γ : J.sheafify P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
h : J.toSheafify P ≫ η = J.toSheafify P ≫ γ
\u22a2 (J.toPlus P ≫ J.plusMap (J.toPlus P)) ≫ η = (J.toPlus P ≫ J.plusMap (J.toPlus P)) ≫ γ
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
\u22a2 Icc a b = ∅ ↔ ¬a ≤ b
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
hm : m ≤ M.M i i' * 2
\u22a2 cs.wordProd (alternatingWord i i' m) = cs.wordProd (alternatingWord i' i (M.M i i' * 2 - m))
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
hm : m ≤ M.M i i' * 2
\u22a2 (if Even ↑m then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (m / 2) = (if Even ↑(M.M i i' * 2 - m) then 1 else cs.simple i) * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((M.M i i' * 2 - m) / 2)
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
hm : m ≤ M.M i i' * 2
\u22a2 (if Even ↑m then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (↑m / ↑2) = (if Even (↑(M.M i i' * 2) - ↑m) then 1 else cs.simple i) * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i' * 2) - ↑m) / ↑2)
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
m' : ℤ
\u22a2 (if Even m' then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (m' / 2) = (if Even (↑(M.M i i') * 2 - m') then 1 else cs.simple i) * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') * 2 - m') / 2)
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
\u22a2 (if Even (2 * k) then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ (2 * k / 2) = (if Even (↑(M.M i i') * 2 - 2 * k) then 1 else cs.simple i) * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') * 2 - 2 * k) / 2)
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
m : ℕ
k : ℤ
\u22a2 (if Even (2 * k + 1) then 1 else cs.simple i') * (cs.simple i * cs.simple i') ^ ((2 * k + 1) / 2) = (if Even (↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1)) then 1 else cs.simple i) * (cs.simple i' * cs.simple i) ^ ((↑(M.M i i') * 2 - (2 * k + 1)) / 2)
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
x : β
\u22a2 x ∈ (insert a s).biUnion t ↔ x ∈ t a ∪ s.biUnion t
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C
\u22a2 eLpNorm f p μ ≤ C • μ Set.univ ^ p.toReal⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂0, ‖f x‖₊ ≤ C
\u22a2 eLpNorm f p 0 ≤ C • 0 Set.univ ^ p.toReal⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C
hμ : NeZero μ
\u22a2 eLpNorm f p μ ≤ C • μ Set.univ ^ p.toReal⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C
hμ : NeZero μ
hp : ¬p = 0
\u22a2 eLpNorm f p μ ≤ C • μ Set.univ ^ p.toReal⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C
hμ : NeZero μ
hp : ¬p = 0
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖↑C‖₊
\u22a2 eLpNorm f p μ ≤ C • μ Set.univ ^ p.toReal⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ C
hμ : NeZero μ
hp : ¬p = 0
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖↑C‖₊
\u22a2 eLpNorm (fun x => ↑C) p μ = C • μ Set.univ ^ p.toReal⁻¹
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∈ s
\u22a2 (s.erase a).Nonempty ↔ s.Nontrivial
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∈ s
\u22a2 (∃ x ∈ s, x ≠ a) ↔ s.Nontrivial
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∈ s
\u22a2 (∃ x ∈ s, x ≠ a) → s.Nontrivial
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
c : CokernelCofork (f - g)
\u22a2 f ≫ Cofork.π c = g ≫ Cofork.π c
-- Mathlib/SetTheory/Lists.lean
α : Type u_1
l : Lists' α true
\u22a2 l ⊆ l
-- Mathlib/SetTheory/Lists.lean
α : Type u_1
l : Lists' α true
\u22a2 ofList l.toList ⊆ ofList l.toList
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
W X X' Y : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ Y
\u22a2 f ≫ g ≫ e.unit.app Y = f' ≫ g' ≫ e.unit.app Y ↔ f ≫ g = f' ≫ g'
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g✝ : α → β
μ ν : Measure α
g : β → γ
f : α → β
hg : AEMeasurable g (Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ
s : Set γ
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (Measure.map g (Measure.map f μ)) s = (Measure.map (g ∘ f) μ) s
-- Mathlib/Topology/Order/LowerUpperTopology.lean
α : Type u_1
β : ?m.4523
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLower α
s : Set α
\u22a2 IsOpen s ↔ GenerateOpen {t | ∃ a, (Ici a)ᶜ = t} s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
f : F
\u22a2 HasStrictDerivAt (fun y => c y • f) (c' • f) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
f : F
this : HasStrictDerivAt (fun y => c y • f) (c x • 0 + c' • f) x
\u22a2 HasStrictDerivAt (fun y => c y • f) (c' • f) x