ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α'
inst✝³ : One β
inst✝² : One γ
inst✝¹ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
k : Set α
hk : IsCompact k
h'f : mulSupport f ⊆ k
h2 : range f = f '' k
\u22a2 IsCompact (f '' k)
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α'
inst✝³ : One β
inst✝² : One γ
inst✝¹ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
k : Set α
hk : IsCompact k
h'f : mulSupport f ⊆ k
h2 : range f = insert 1 (f '' k)
\u22a2 IsCompact (insert 1 (f '' k))
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α : Sort ?u.56697
β : Sort ?u.56701
p : α → Prop
q : β → Prop
e : α ≃ β
h : ∀ (a : α), p a ↔ q (e a)
a : β
\u22a2 q a ↔ p (e.symm a)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α : Sort ?u.56697
β : Sort ?u.56701
p : α → Prop
q : β → Prop
e : α ≃ β
h : ∀ (a : α), p a ↔ q (e a)
a : β
\u22a2 a = e (e.symm a)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Increment.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
Ui Vj : Finset α
\u22a2 (Ui, Vj) ∈ P.parts.offDiag.attach.biUnion (SzemerediRegularity.distinctPairs hP G ε) → (Ui, Vj) ∈ (increment hP G ε).parts.offDiag
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Increment.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
Ui Vj : Finset α
\u22a2 ∀ (x x_1 : Finset α) (x_2 : x ∈ P.parts ∧ x_1 ∈ P.parts ∧ ¬x = x_1), Ui ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts → Vj ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts → (∃ a, ∃ (h : a ∈ P.parts), Ui ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts) ∧ (∃ a, ∃ (h : a ∈ P.parts), Vj ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts) ∧ ¬Ui = Vj
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Increment.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
Ui Vj U V : Finset α
hUV : U ∈ P.parts ∧ V ∈ P.parts ∧ ¬U = V
hUi : Ui ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
hVj : Vj ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
\u22a2 ¬Ui = Vj
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Increment.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
Ui U V : Finset α
hUV : U ∈ P.parts ∧ V ∈ P.parts ∧ ¬U = V
hUi : Ui ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
hVj : Ui ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Increment.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
Ui U V : Finset α
hUV : U ∈ P.parts ∧ V ∈ P.parts ∧ ¬U = V
hUi : Ui ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
hVj : Ui ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
i : α
hi : i ∈ Ui
\u22a2 False
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
h : ¬Collinear k {p₁, p₂, p₁}
\u22a2 False
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Canonical.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
J J₂ : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v
U : Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y
hU : Presieve.IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), Presieve.IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : Presieve.FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible
\u22a2 ∃! t, s.IsAmalgamation t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Canonical.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
J J₂ : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v
U : Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y
hU : Presieve.IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), Presieve.IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : Presieve.FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → Presieve.FamilyOfElements P (B hf).arrows := fun Y f hf Z g hg => s (g ≫ f) ⋯
\u22a2 ∃! t, s.IsAmalgamation t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Canonical.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
J J₂ : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v
U : Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y
hU : Presieve.IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), Presieve.IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : Presieve.FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → Presieve.FamilyOfElements P (B hf).arrows := fun Y f hf Z g hg => s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible
t : Presieve.FamilyOfElements P U.arrows := fun Y f hf => ⋯.amalgamate (y hf) ⋯
\u22a2 ∃! t, s.IsAmalgamation t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Canonical.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
J J₂ : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v
U : Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y
hU : Presieve.IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), Presieve.IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : Presieve.FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → Presieve.FamilyOfElements P (B hf).arrows := fun Y f hf Z g hg => s (g ≫ f) ⋯
hy : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).Compatible
t : Presieve.FamilyOfElements P U.arrows := fun Y f hf => ⋯.amalgamate (y hf) ⋯
ht : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), (y hf).IsAmalgamation (t f hf)
\u22a2 ∃! t, s.IsAmalgamation t
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
h₁ : a₁ < a₂
h₂ : b₁ ≤ b₂
\u22a2 (a₁, b₁) < (a₂, b₂)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
s t u : Finset α
a b : α
\u22a2 _root_.Disjoint {a} {b} ↔ a ≠ b
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
p : Char → Bool
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
w✝² w✝¹ w✝ : List Char
h : ValidFor w✝² w✝¹ w✝ x✝
\u22a2 (x✝.dropWhile p).toString.data = List.dropWhile p x✝.toString.data
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
\u22a2 pullbackConeOfLeftLift f g s ≫ (pullbackConeOfLeft f g).snd = s.snd
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
\u22a2 (pullbackConeOfLeftLift f g s ≫ (pullbackConeOfLeft f g).snd).base = s.snd.base
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
x : (Opens ↑↑Y)ᵒᵖ
\u22a2 ((pullbackConeOfLeftLift f g s ≫ (pullbackConeOfLeft f g).snd).c ≫ whiskerRight (eqToHom ⋯) s.pt.presheaf).app x = s.snd.c.app x
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : α
\u22a2 Quot.out (Associates.mk a) ~ᵤ a
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν s : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hs : s ⟂ₘ ν
hadd : μ = s + ν.withDensity f
this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
\u22a2 s = μ.singularPart ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν s : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hs : s ⟂ₘ ν
hadd : μ = s + ν.withDensity f
this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hmeas : Measurable (μ.rnDeriv ν)
hsing : μ.singularPart ν ⟂ₘ ν
hadd' : μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
\u22a2 s = μ.singularPart ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν s : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hadd : μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) = s + ν.withDensity f
this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hmeas : Measurable (μ.rnDeriv ν)
hadd' : μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
S : Set α
hS₁ : MeasurableSet S
hS₂ : s S = 0
hS₃ : ν Sᶜ = 0
T : Set α
hT₁ : MeasurableSet T
hT₂ : (μ.singularPart ν) T = 0
hT₃ : ν Tᶜ = 0
\u22a2 s = μ.singularPart ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν s : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hadd : μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) = s + ν.withDensity f
this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hmeas : Measurable (μ.rnDeriv ν)
hadd' : μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
S : Set α
hS₁ : MeasurableSet S
hS₂ : s S = 0
hS₃ : ν Sᶜ = 0
T : Set α
hT₁ : MeasurableSet T
hT₂ : (μ.singularPart ν) T = 0
hT₃ : ν Tᶜ = 0
hνinter : ν (S ∩ T)ᶜ = 0
\u22a2 s = μ.singularPart ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν s : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hadd : μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) = s + ν.withDensity f
this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hmeas : Measurable (μ.rnDeriv ν)
hadd' : μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
S : Set α
hS₁ : MeasurableSet S
hS₂ : s S = 0
hS₃ : ν Sᶜ = 0
T : Set α
hT₁ : MeasurableSet T
hT₂ : (μ.singularPart ν) T = 0
hT₃ : ν Tᶜ = 0
hνinter : ν (S ∩ T)ᶜ = 0
heq : s.restrict (S ∩ T)ᶜ = (μ.singularPart ν).restrict (S ∩ T)ᶜ
\u22a2 s = μ.singularPart ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν s : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hadd : μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) = s + ν.withDensity f
this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hmeas : Measurable (μ.rnDeriv ν)
hadd' : μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
S : Set α
hS₁ : MeasurableSet S
hS₂ : s S = 0
hS₃ : ν Sᶜ = 0
T : Set α
hT₁ : MeasurableSet T
hT₂ : (μ.singularPart ν) T = 0
hT₃ : ν Tᶜ = 0
hνinter : ν (S ∩ T)ᶜ = 0
heq : s.restrict (S ∩ T)ᶜ = (μ.singularPart ν).restrict (S ∩ T)ᶜ
heq' : ∀ (A : Set α), MeasurableSet A → s A = (s.restrict (S ∩ T)ᶜ) A
\u22a2 s = μ.singularPart ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν s : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hadd : μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) = s + ν.withDensity f
this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hmeas : Measurable (μ.rnDeriv ν)
hadd' : μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
S : Set α
hS₁ : MeasurableSet S
hS₂ : s S = 0
hS₃ : ν Sᶜ = 0
T : Set α
hT₁ : MeasurableSet T
hT₂ : (μ.singularPart ν) T = 0
hT₃ : ν Tᶜ = 0
hνinter : ν (S ∩ T)ᶜ = 0
heq : s.restrict (S ∩ T)ᶜ = (μ.singularPart ν).restrict (S ∩ T)ᶜ
heq' : ∀ (A : Set α), MeasurableSet A → s A = (s.restrict (S ∩ T)ᶜ) A
A : Set α
hA : MeasurableSet A
\u22a2 s A = (μ.singularPart ν) A
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν s : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hadd : μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) = s + ν.withDensity f
this : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hmeas : Measurable (μ.rnDeriv ν)
hadd' : μ = μ.singularPart ν + ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
S : Set α
hS₁ : MeasurableSet S
hS₂ : s S = 0
hS₃ : ν Sᶜ = 0
T : Set α
hT₁ : MeasurableSet T
hT₂ : (μ.singularPart ν) T = 0
hT₃ : ν Tᶜ = 0
hνinter : ν (S ∩ T)ᶜ = 0
heq : s.restrict (S ∩ T)ᶜ = (μ.singularPart ν).restrict (S ∩ T)ᶜ
heq' : ∀ (A : Set α), MeasurableSet A → s A = (s.restrict (S ∩ T)ᶜ) A
A : Set α
hA : MeasurableSet A
hμinter : (μ.singularPart ν) (A ∩ (S ∩ T)) = 0
\u22a2 s A = (μ.singularPart ν) A
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ⋖ b
\u22a2 Ioc a b = {b}
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0
h : a ≤ b
\u22a2 1 / b ≤ 1 / a
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
\u22a2 (algebraMap R S) x = 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
\u22a2 (algebraMap R S) x = (algebraMap R S) 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hμs : μ s = ⊤
x : G
\u22a2 condexpIndL1 hm μ s x = 0
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
f : α → β
s t : Set α
\u22a2 s.restrict f '' (Subtype.val ⁻¹' t) = f '' (t ∩ s)
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b✝ c d : α
h : IsUnit a
b : α
\u22a2 a / (a * b) = 1 / b
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
hp0 : ¬p = 0
hx : IsIntegral A x
\u22a2 minpoly A x ∣ p
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
hp0 : ¬p = 0
hx : IsIntegral A x
\u22a2 p %ₘ minpoly A x = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
hp0 : ¬p = 0
hx : IsIntegral A x
hnz : ¬p %ₘ minpoly A x = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
hp0 : ¬p = 0
hx : IsIntegral A x
hnz : ¬p %ₘ minpoly A x = 0
\u22a2 (p %ₘ minpoly A x).degree < (minpoly A x).degree
-- Mathlib/MeasureTheory/SetSemiring.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
\u22a2 (↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : SemilatticeInf β
f : α → β
h : ∀ (x y : α), f (x ⊓ y) = f x ⊓ f y
x y : α
hxy : x ≤ y
\u22a2 f x ⊓ f y = f x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
\u22a2 (eval P) W.polynomialX / P z ^ 4 = Polynomial.evalEval (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3) W.toAffine.polynomialX
-- Mathlib/Topology/Instances/CantorSet.lean
n : ℕ
\u22a2 0 ∈ preCantorSet n
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
f : CauSeq ℂ ⇑abs'
\u22a2 (cauSeqRe f).lim = f.lim.re
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
f : CauSeq ℂ ⇑abs'
\u22a2 (cauSeqRe f).lim = (↑(cauSeqRe f).lim + ↑(cauSeqIm f).lim * I).re
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
inst✝¹ : T2Space X
f : Filter X
inst✝ : CompactSpace X
U : Set X
\u22a2 IsOpen U ↔ ∀ (F : Ultrafilter X), F.lim ∈ U → U ∈ ↑F
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
inst✝¹ : T2Space X
f : Filter X
inst✝ : CompactSpace X
U : Set X
\u22a2 (∀ x ∈ U, ∀ (l : Ultrafilter X), ↑l ≤ 𝓝 x → U ∈ l) ↔ ∀ (F : Ultrafilter X), F.lim ∈ U → U ∈ ↑F
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
inst✝¹ : T2Space X
f : Filter X
inst✝ : CompactSpace X
U : Set X
\u22a2 (∀ (F : Ultrafilter X), F.lim ∈ U → U ∈ ↑F) → ∀ x ∈ U, ∀ (l : Ultrafilter X), ↑l ≤ 𝓝 x → U ∈ l
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
inst✝¹ : T2Space X
f✝ : Filter X
inst✝ : CompactSpace X
U : Set X
cond : ∀ (F : Ultrafilter X), F.lim ∈ U → U ∈ ↑F
x : X
hx : x ∈ U
f : Ultrafilter X
h : ↑f ≤ 𝓝 x
\u22a2 U ∈ f
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
inst✝¹ : T2Space X
f✝ : Filter X
inst✝ : CompactSpace X
U : Set X
cond : ∀ (F : Ultrafilter X), F.lim ∈ U → U ∈ ↑F
x : X
f : Ultrafilter X
hx : f.lim ∈ U
h : ↑f ≤ 𝓝 x
\u22a2 U ∈ f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝³ : Field R
p q : R[X]
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra R S
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : R
ha : a ≠ 0
\u22a2 (C a * X ^ n).rootSet S = {0}
-- Mathlib/Data/Set/Subsingleton.lean
α : Type u
a : α
s t : Set α
x : α
hs : {x}.Nontrivial
H : s = {x}
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/Basic.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
hx : (aeval x) f = 0
hmo : f.Monic
\u22a2 ∀ (i : ℕ), (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree ≤ i → x ^ i ∈ Ideal.map (algebraMap R S) 𝓟
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/Basic.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
hx : (aeval x) f = 0
hmo : f.Monic
\u22a2 x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree ∈ Ideal.map (algebraMap R S) 𝓟
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/Basic.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
hx : (Polynomial.map (algebraMap R S) f).IsRoot x
hmo : f.Monic
\u22a2 x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree ∈ Ideal.map (algebraMap R S) 𝓟
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
\u22a2 Function.Bijective ⇑(ofTensorProduct I M)
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
n : ℕ
f : (Fin n → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
\u22a2 Function.Bijective ⇑(ofTensorProduct I M)
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x y : ℝ
h : 0 ≤ x
\u22a2 √x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Semisimple/Basic.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
s : Finset (LieIdeal R L)
hs : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}
I : LieIdeal R L
hI✝ : I ≤ s.sup id
S : Set (LieIdeal R L) := {I | IsAtom I}
hI : I < s.sup id
\u22a2 ∃ t ⊆ s, I = t.sup id
-- Mathlib/Algebra/Lie/Semisimple/Basic.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
s : Finset (LieIdeal R L)
hs : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}
I : LieIdeal R L
hI✝ : I ≤ s.sup id
S : Set (LieIdeal R L) := {I | IsAtom I}
hI : I < s.sup id
J : LieIdeal R L
hJs : J ∈ s
hJI : ¬J ≤ I
\u22a2 ∃ t ⊆ s, I = t.sup id
-- Mathlib/Algebra/Lie/Semisimple/Basic.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsSemisimple R L
x : (s : Finset (LieIdeal R L)) ×' (_ : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}) ×' (I : LieIdeal R L) ×' I ≤ s.sup id
a✝⁶ : ∀ (y : (s : Finset (LieIdeal R L)) ×' (_ : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}) ×' (I : LieIdeal R L) ×' I ≤ s.sup id), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun s a => PSigma.casesOn a fun a I => PSigma.casesOn I fun I a => s.card) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y x → ∃ t ⊆ y.1, y.2.2.1 = t.sup id
s : Finset (LieIdeal R L)
a✝⁵ : (_ : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}) ×' (I : LieIdeal R L) ×' I ≤ s.sup id
a✝⁴ : ∀ (y : (s : Finset (LieIdeal R L)) ×' (_ : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}) ×' (I : LieIdeal R L) ×' I ≤ s.sup id), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun s a => PSigma.casesOn a fun a I => PSigma.casesOn I fun I a => s.card) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨s, a✝⁵⟩ → ∃ t ⊆ y.1, y.2.2.1 = t.sup id
a✝³ : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}
I✝ : (I : LieIdeal R L) ×' I ≤ s.sup id
a✝² : ∀ (y : (s : Finset (LieIdeal R L)) ×' (_ : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}) ×' (I : LieIdeal R L) ×' I ≤ s.sup id), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun s a => PSigma.casesOn a fun a I => PSigma.casesOn I fun I a => s.card) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨s, ⟨a✝³, I✝⟩⟩ → ∃ t ⊆ y.1, y.2.2.1 = t.sup id
I : LieIdeal R L
a✝¹ : I ≤ s.sup id
a✝ : ∀ (y : (s : Finset (LieIdeal R L)) ×' (_ : ↑s ⊆ {I | IsAtom I}) ×' (I : LieIdeal R L) ×' I ≤ s.sup id), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun s a => PSigma.casesOn a fun a I => PSigma.casesOn I fun I a => s.card) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨s, ⟨a✝³, ⟨I, a✝¹⟩⟩⟩ → ∃ t ⊆ y.1, y.2.2.1 = t.sup id
S : Set (LieIdeal R L) := {I | IsAtom I}
hI : I < s.sup id
J : LieIdeal R L
h✝ : J ∈ s ∧ ¬J ≤ I
hJs : J ∈ s
hJI : ¬J ≤ I
s' : Finset (LieIdeal R L) := s.erase J
hs' : s' ⊂ s
hs'S : ↑s' ⊆ S
K : LieIdeal R L := s'.sup id
this : I ≤ K
\u22a2 (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun s a => PSigma.casesOn a fun a I => PSigma.casesOn I fun I a => s.card) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 ⟨s', ⟨hs'S, ⟨I, this⟩⟩⟩ ⟨s, ⟨a✝³, ⟨I, a✝¹⟩⟩⟩
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
\u22a2 1 / a ≤ b ↔ 1 / b ≤ a
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
\u22a2 -Y - C (C (map W f).toAffine.a₁ * X + C (map W f).toAffine.a₃) = Polynomial.map (mapRingHom f) (-Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃))
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ S.a + S.b
hpaηb : p ∣ S.a + ↑η * S.b
\u22a2 Associated p λ
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
p : 𝓞 K
hp : Prime p
hpab : p ∣ S.a + S.b
hpaηb : p ∣ S.a + ↑η * S.b
\u22a2 p ∣ λ