ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
\u22a2 (fun a => (μ {a_1 | a < f a_1}).toReal) =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] fun a => (μ {a_1 | a ≤ f a_1}).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
t : ℝ
ht : μ {a | t ≤ f a} = μ {a | t < f a}
\u22a2 (μ {a | t < f a}).toReal = (μ {a | t ≤ f a}).toReal
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/BinaryProducts.lean
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
X Y : C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{w, u₂} D
F : C ⥤ D
A A' B B' : C
inst✝⁵ : HasBinaryCoproduct A B
inst✝⁴ : HasBinaryCoproduct A' B'
inst✝³ : HasBinaryCoproduct (F.obj A) (F.obj B)
inst✝² : HasBinaryCoproduct (F.obj A') (F.obj B')
f : A ⟶ A'
g : B ⟶ B'
inst✝¹ : IsIso (coprodComparison F A B)
inst✝ : IsIso (coprodComparison F A' B')
\u22a2 inv (coprodComparison F A B) ≫ coprod.map (F.map f) (F.map g) = F.map (coprod.map f g) ≫ inv (coprodComparison F A' B')
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X₁ : Type u₁
inst✝⁵ : TopologicalSpace X₁
X : Type u
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
e : X₁ → X
he : ClosedEmbedding e
Y✝ : Type v
inst✝² : TopologicalSpace Y✝
inst✝¹ : TietzeExtension Y✝
Y : Type v
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : C(↑s, Y)
t : Set Y
hf : ∀ (x : ↑s), f x ∈ t
ht : TietzeExtension ↑t
\u22a2 ∃ g, (∀ (x : X), g x ∈ t) ∧ restrict s g = f
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X₁ : Type u₁
inst✝⁵ : TopologicalSpace X₁
X : Type u
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
e : X₁ → X
he : ClosedEmbedding e
Y✝ : Type v
inst✝² : TopologicalSpace Y✝
inst✝¹ : TietzeExtension Y✝
Y : Type v
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : C(↑s, Y)
t : Set Y
hf : ∀ (x : ↑s), f x ∈ t
ht : TietzeExtension ↑t
g : C(X, ↑t)
hg : restrict s g = { toFun := Set.codRestrict (⇑f) t hf, continuous_toFun := ⋯ }
\u22a2 ∃ g, (∀ (x : X), g x ∈ t) ∧ restrict s g = f
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
i : ℕ
\u22a2 (take i []).prod * (drop i []).prod = [].prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a h : M
t : List M
n : ℕ
\u22a2 (h :: take n t).prod * (drop n t).prod = (h :: t).prod
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
cf cg : Code
\u22a2 encode cf < encode (cf.pair cg) ∧ encode cg < encode (cf.pair cg)
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
cf cg : Code
\u22a2 cf.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4 ∧ cg.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
cf cg : Code
this : 1 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode ≤ 2 * 2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode
\u22a2 cf.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4 ∧ cg.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
cf cg : Code
this : Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode ≤ 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode)
\u22a2 cf.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4 ∧ cg.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
cf cg : Code
this✝ : Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode ≤ 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode)
this : Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4
\u22a2 cf.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4 ∧ cg.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
S : Set (Con M)
x✝¹ x✝ : M
\u22a2 (sInf S) x✝¹ x✝ ↔ sInf (DFunLike.coe '' S) x✝¹ x✝
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
S : Set (Con M)
x✝¹ x✝ : M
\u22a2 (sInf S) x✝¹ x✝ ↔ ∀ i ∈ S, i x✝¹ x✝
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u_1
f : Perm α
s : Set α
\u22a2 BijOn (⇑f) s s → ∀ (n : ℕ), BijOn (⇑(f ^ n)) s s
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u_1
f : Perm α
s : Set α
\u22a2 BijOn (⇑f) s s → ∀ (n : ℕ), BijOn (⇑f)^[n] s s
-- Mathlib/ModelTheory/Algebra/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Add R
inst✝⁴ : Mul R
inst✝³ : Neg R
inst✝² : One R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : CompatibleRing R
v : α → R
\u22a2 Term.realize v 0 = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Prelax.lean
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : PrelaxFunctor B C
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ≅ g
\u22a2 F.map₂ η.hom ≫ F.map₂ η.inv = 𝟙 (F.map f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
β : Type u_5
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup β
f g : α → β
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
\u22a2 Integrable (f ⊓ g) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
β : Type u_5
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup β
f g : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
hg : Memℒp g 1 μ
\u22a2 Memℒp (f ⊓ g) 1 μ
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
\u22a2 ¬s ⊆ t ↔ ∃ a ∈ s, a ∉ t
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : {i : Fin2 n} → α i → α i → Prop
x y : F α
a : (P F).A
f₀ f₁ : (P F).B a ⟹ α
xeq : x = abs ⟨a, f₀⟩
yeq : y = abs ⟨a, f₁⟩
h : ∀ (i : Fin2 n) (j : (P F).B a i), r (f₀ i j) (f₁ i j)
\u22a2 LiftR (fun {i} => r) x y
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : {i : Fin2 n} → α i → α i → Prop
x y : F α
a : (P F).A
f₀ f₁ : (P F).B a ⟹ α
xeq : x = abs ⟨a, f₀⟩
yeq : y = abs ⟨a, f₁⟩
h : ∀ (i : Fin2 n) (j : (P F).B a i), r (f₀ i j) (f₁ i j)
\u22a2 (fun i t => (↑t).1) <$$> abs ⟨a, fun i j => ⟨(f₀ i j, f₁ i j), ⋯⟩⟩ = x ∧ (fun i t => (↑t).2) <$$> abs ⟨a, fun i j => ⟨(f₀ i j, f₁ i j), ⋯⟩⟩ = y
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : {i : Fin2 n} → α i → α i → Prop
x y : F α
a : (P F).A
f₀ f₁ : (P F).B a ⟹ α
xeq : x = abs ⟨a, f₀⟩
yeq : y = abs ⟨a, f₁⟩
h : ∀ (i : Fin2 n) (j : (P F).B a i), r (f₀ i j) (f₁ i j)
\u22a2 (fun i t => (↑t).2) <$$> abs ⟨a, fun i j => ⟨(f₀ i j, f₁ i j), ⋯⟩⟩ = y
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : {i : Fin2 n} → α i → α i → Prop
x y : F α
a : (P F).A
f₀ f₁ : (P F).B a ⟹ α
xeq : x = abs ⟨a, f₀⟩
yeq : y = abs ⟨a, f₁⟩
h : ∀ (i : Fin2 n) (j : (P F).B a i), r (f₀ i j) (f₁ i j)
\u22a2 abs ((fun i t => (↑t).2) <$$> ⟨a, fun i j => ⟨(f₀ i j, f₁ i j), ⋯⟩⟩) = abs ⟨a, f₁⟩
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b : ℕ
\u22a2 b ^ log b 0 ≤ 0 + 1
-- Mathlib/Data/List/Range.lean
α : Type u
n : ℕ
\u22a2 (range n).Nodup
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformFilterBasis.lean
G : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup G
B : AddGroupFilterBasis G
F : Filter G
this : UniformSpace G := B.uniformSpace
\u22a2 Cauchy F ↔ F.NeBot ∧ ∀ U ∈ B, ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, y - x ∈ U
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformFilterBasis.lean
G : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup G
B : AddGroupFilterBasis G
F : Filter G
this✝ : UniformSpace G := B.uniformSpace
this : UniformAddGroup G
\u22a2 Cauchy F ↔ F.NeBot ∧ ∀ U ∈ B, ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, y - x ∈ U
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformFilterBasis.lean
G : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup G
B : AddGroupFilterBasis G
F : Filter G
this✝ : UniformSpace G := B.uniformSpace
this : UniformAddGroup G
\u22a2 F ×ˢ F ≤ uniformity G ↔ ∀ U ∈ B, ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, y - x ∈ U
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformFilterBasis.lean
G : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup G
B : AddGroupFilterBasis G
F : Filter G
this✝ : UniformSpace G := B.uniformSpace
this : UniformAddGroup G
\u22a2 map (fun x => x.2 - x.1) (F ×ˢ F) ≤ nhds 0 ↔ ∀ U ∈ B, ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, y - x ∈ U
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformFilterBasis.lean
G : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup G
B : AddGroupFilterBasis G
F : Filter G
this✝ : UniformSpace G := B.uniformSpace
this : UniformAddGroup G
\u22a2 Tendsto (fun x => x.2 - x.1) (F ×ˢ F) (nhds 0) ↔ ∀ U ∈ B, ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, y - x ∈ U
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
\u22a2 (a + b) / 2 < b ↔ a < b
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
a : α
\u22a2 ⋃ n, Icc (a + ↑n) (a + ↑n + 1) = univ
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x z d : R
h : IsCoprime (x * d) z
\u22a2 IsCoprime x z
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/SemiNormedGrp/Kernels.lean
X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
cond : f ≫ g = 0
x : ↑Y
\u22a2 (explicitCokernelπ f ≫ explicitCokernelDesc cond) x = g x
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α✝ : Type u
a : α✝
inst✝² : Group α✝
α : Type u
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Fintype α
hp : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))
\u22a2 IsSimpleGroup α
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α✝ : Type u
a : α✝
inst✝² : Group α✝
α : Type u
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Fintype α
hp : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))
this : Nontrivial α
\u22a2 IsSimpleGroup α
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
\u22a2 sin x ≠ 0 ↔ ∀ (n : ℤ), ↑n * π ≠ x
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : OrderedCommMonoid α
s t : Multiset α
a : α
\u22a2 ∀ (a : List α), (∀ x ∈ ⟦a⟧, 1 ≤ x) → prod ⟦a⟧ = 1 → ∀ x ∈ ⟦a⟧, x = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : OrderedCommMonoid α
s t : Multiset α
a : α
\u22a2 ∀ (a : List α), (∀ x ∈ a, 1 ≤ x) → a.prod = 1 → ∀ x ∈ a, x = 1
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
P : Sort u_5
x y x' y' : α
ltc : x < y ↔ x' < y'
gtc : y < x ↔ y' < x'
\u22a2 x = y ↔ x' = y'
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : SemilatticeSup δ
g : γ → δ
h : (image₂ f s t).Nonempty
\u22a2 (image₂ f s t).sup' h g = s.sup' ⋯ fun x => t.sup' ⋯ fun x_1 => g (f x x_1)
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : SemilatticeSup δ
g : γ → δ
h : (image₂ f s t).Nonempty
\u22a2 (s.sup' ⋯ fun i => t.sup' ⋯ fun i' => (g ∘ uncurry f) (i, i')) = s.sup' ⋯ fun x => t.sup' ⋯ fun x_1 => g (f x x_1)
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝
Γ : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
x y : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
\u22a2 (x * y).order = x.order + y.order
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝
Γ : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
x y : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
\u22a2 (x * y).order ≤ x.order + y.order
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝
Γ : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
x y : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
\u22a2 x.order + y.order ≤ (x * y).order
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
\u22a2 a = b / c ↔ a * c = b
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
\u22a2 (affineCombination k s fun x => p) w = p
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
u : ℕ → E
sb : Bornology.IsBounded s
hu : Bornology.IsBounded (range u)
hs : Pairwise (Disjoint on fun n => {u n} + s)
h's : MeasurableSet s
\u22a2 μ s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
u : ℕ → E
sb : Bornology.IsBounded s
hu : Bornology.IsBounded (range u)
hs : Pairwise (Disjoint on fun n => {u n} + s)
h's : MeasurableSet s
h : ¬μ s = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
u : ℕ → E
sb : Bornology.IsBounded s
hu : Bornology.IsBounded (range u)
hs : Pairwise (Disjoint on fun n => {u n} + s)
h's : MeasurableSet s
h : ¬μ s = 0
\u22a2 ⊤ < ⊤
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
\u22a2 0 ≤ a / b
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
\u22a2 0 ≤ a * b⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module R N
inst✝¹⁰ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : AddCommGroup P'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R N'
inst✝² : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
S : Type u_9
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
h : Surjective ⇑(algebraMap R S)
\u22a2 Surjective ⇑((mk R S M) 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module R N
inst✝¹⁰ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : AddCommGroup P'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R N'
inst✝² : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
S : Type u_9
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
h : Surjective ⇑(algebraMap R S)
\u22a2 {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t} ⊆ ↑(range ((mk R S M) 1))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module R N
inst✝¹⁰ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : AddCommGroup P'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R N'
inst✝² : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
S : Type u_9
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
h : Surjective ⇑(algebraMap R S)
y : M
x : R
\u22a2 (algebraMap R S) x ⊗ₜ[R] y ∈ ↑(range ((mk R S M) 1))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : AddCommGroup P
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module R N
inst✝¹⁰ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : AddCommGroup P'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R N'
inst✝² : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'
S : Type u_9
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
h : Surjective ⇑(algebraMap R S)
y : M
x : R
\u22a2 1 ⊗ₜ[R] (x • y) ∈ ↑(range ((mk R S M) 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ✝ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : NeZero μ
c : ℝ≥0∞
\u22a2 ⨍⁻ (_x : α), c ∂μ = c
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Terminal.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
X : J
hX : IsTerminal X
F : J ⥤ C
inst✝ : ∀ (i j : J) (f : i ⟶ j), IsIso (F.map f)
i j : J
f : i ⟶ j
\u22a2 𝟙 (F.obj X) ≫ inv (F.map (hX.from j)) = inv (F.map (hX.from i)) ≫ F.map f
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
δ : Type u_4
π : δ → Type u_5
inst✝¹ : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
l : List δ
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
s : (i : δ) → Set (π i)
\u22a2 (Measure.tprod l μ) (Set.tprod l s) = (List.map (fun i => (μ i) (s i)) l).prod
-- Mathlib/NumberTheory/SumPrimeReciprocals.lean
\u22a2 ¬Summable fun p => 1 / ↑↑p
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α → β
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set β
h : Codisjoint s t
\u22a2 Codisjoint (f ⁻¹' s) (f ⁻¹' t)
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α → β
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set β
h : s ∪ t = ⊤
\u22a2 f ⁻¹' (s ∪ t) = ⊤
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
f : α → γ → δ
g : β → γ
\u22a2 image2 f (↑s) (g '' ↑t) = image2 (fun a b => f a (g b)) ↑s ↑t
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
r : PGame.mk xl xr xL xR ≡r PGame.mk yl yr yL yR
\u22a2 (lsub fun i => (xL i).birthday) = lsub fun i => (yL i).birthday
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
r : PGame.mk xl xr xL xR ≡r PGame.mk yl yr yL yR
\u22a2 (lsub fun i => (xR i).birthday) = lsub fun i => (yR i).birthday
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
r : PGame.mk xl xr xL xR ≡r PGame.mk yl yr yL yR
i : Ordinal.{u}
\u22a2 (i ∈ Set.range fun i => (xL i).birthday) → i ∈ Set.range fun i => (yL i).birthday
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
r : PGame.mk xl xr xL xR ≡r PGame.mk yl yr yL yR
i : Ordinal.{u}
\u22a2 (i ∈ Set.range fun i => (yL i).birthday) → i ∈ Set.range fun i => (xL i).birthday
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
r : PGame.mk xl xr xL xR ≡r PGame.mk yl yr yL yR
i : Ordinal.{u}
\u22a2 (i ∈ Set.range fun i => (xR i).birthday) → i ∈ Set.range fun i => (yR i).birthday
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
r : PGame.mk xl xr xL xR ≡r PGame.mk yl yr yL yR
i : Ordinal.{u}
\u22a2 (i ∈ Set.range fun i => (yR i).birthday) → i ∈ Set.range fun i => (xR i).birthday
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
f : ι → α
a : α
\u22a2 ⋃ i, Ioc a (f i) = Ioi a ↔ ∀ (x : α), a < x → ∃ i, x ≤ f i
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
z : ℝ
hz : ∀ (x : ℝ), f x < x + z
\u22a2 τ f < z
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
z : ℝ
hz : ∀ (x : ℝ), f x < x + z
x : ℝ
hx : ∀ y ∈ Icc 0 1, f y - y ≤ f x - x
\u22a2 τ f < z
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
z : ℝ
hz : ∀ (x : ℝ), f x < x + z
x : ℝ
hx : ∀ y ∈ Icc 0 1, f y - y ≤ f x - x
\u22a2 τ f ≤ f x - x
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
z : ℝ
hz : ∀ (x : ℝ), f x < x + z
x : ℝ
hx : ∀ y ∈ Icc 0 1, f y - y ≤ f x - x
\u22a2 ∀ (x_1 : ℝ), f x_1 ≤ x_1 + (f x - x)
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
z : ℝ
hz : ∀ (x : ℝ), f x < x + z
x : ℝ
hx : ∀ y ∈ Icc 0 1, f y - y ≤ f x - x
\u22a2 ∀ (x_1 : ℝ), f x_1 - x_1 ≤ f x - x
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Finite.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
A : Type u_2
inst✝ : AddGroup A
K : Subgroup G
\u22a2 Nat.card ↥⊥ = 1
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : MetricSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : C(α, β)
C : ℝ
C0 : 0 < C
\u22a2 dist f g < C ↔ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CompactSpace α
inst✝¹ : MetricSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : C(α, β)
C : ℝ
C0 : 0 < C
\u22a2 (∀ (x : α), dist ((mkOfCompact f) x) ((mkOfCompact g) x) < C) ↔ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C
-- Mathlib/Algebra/Pointwise/Stabilizer.lean
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
s : Set G
\u22a2 s * ↑(stabilizer G s) = s