ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Equitabilise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
hn : n ≠ 0
hs : n ≤ s.card
\u22a2 ∃ P, P.IsEquipartition ∧ P.parts.card = n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Equitabilise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
hn : 0 < n
hs : n ≤ s.card
\u22a2 ∃ P, P.IsEquipartition ∧ P.parts.card = n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Equitabilise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
hn : 0 < n
hs : n ≤ s.card
this : (n - s.card % n) * (s.card / n) + s.card % n * (s.card / n + 1) = s.card
\u22a2 ∃ P, P.IsEquipartition ∧ P.parts.card = n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Equitabilise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
hn : 0 < n
hs : n ≤ s.card
this : (n - s.card % n) * (s.card / n) + s.card % n * (s.card / n + 1) = s.card
\u22a2 (equitabilise this).parts.card = n
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
inst✝ : DenselyOrdered α
h₁ : a₁ < b₁
h : Ioo a₁ b₁ ⊆ Ioo a₂ b₂
\u22a2 a₂ ≤ a₁ ∧ b₁ ≤ b₂
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
inst✝ : DenselyOrdered α
h₁ : a₁ < b₁
h : Ioo a₁ b₁ ⊆ Ioo a₂ b₂
x : α
xa : a₁ < x
xb : x < b₁
\u22a2 a₂ ≤ a₁ ∧ b₁ ≤ b₂
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
inst✝ : DenselyOrdered α
h₁ : a₁ < b₁
h : Ioo a₁ b₁ ⊆ Ioo a₂ b₂
x : α
xa : a₁ < x
xb : x < b₁
h' : a₁ < a₂
\u22a2 False
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
inst✝ : DenselyOrdered α
h₁ : a₁ < b₁
h : Ioo a₁ b₁ ⊆ Ioo a₂ b₂
x : α
xa : a₁ < x
xb : x < b₁
h' : b₂ < b₁
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/BigOperators.lean
ι : Type u_1
l : List ℕ
k : ℕ
\u22a2 l.prod.Coprime k ↔ ∀ n ∈ l, n.Coprime k
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Indicator.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
s t : Set ι
f✝ g✝ : ι → M₀
i✝ : ι
f g : ι → M₀
i : ι
\u22a2 (s ∩ t).indicator (fun j => f j * g j) i = s.indicator f i * t.indicator g i
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Indicator.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
s t : Set ι
f✝ g✝ : ι → M₀
i✝ : ι
f g : ι → M₀
i : ι
\u22a2 s.indicator (t.indicator fun j => f j * g j) i = s.indicator f i * t.indicator g i
-- Mathlib/ModelTheory/FinitelyGenerated.lean
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
N₁ N₂ : L.Substructure M
hN₁ : N₁.CG
hN₂ : N₂.CG
t₁ : Set M
ht₁ : t₁.Countable ∧ (closure L).toFun t₁ = N₁
t₂ : Set M
ht₂ : t₂.Countable ∧ (closure L).toFun t₂ = N₂
\u22a2 (closure L).toFun (t₁ ∪ t₂) = N₁ ⊔ N₂
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
H : Subgroup (Perm α)
d : DecidablePred fun x => x ∈ H
τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H
h2 : τ ∈ H
h3 : τ.IsSwap
this : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))
\u22a2 H = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
H : Subgroup (Perm α)
d : DecidablePred fun x => x ∈ H
τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H
h2 : τ ∈ H
h3 : τ.IsSwap
this : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))
σ : ↥H
hσ : orderOf σ = Fintype.card α
\u22a2 H = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
H : Subgroup (Perm α)
d : DecidablePred fun x => x ∈ H
τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H
h2 : τ ∈ H
h3 : τ.IsSwap
this : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))
σ : ↥H
hσ : orderOf σ = Fintype.card α
hσ1 : orderOf ↑σ = Fintype.card α
\u22a2 H = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
H : Subgroup (Perm α)
d : DecidablePred fun x => x ∈ H
τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H
h2 : τ ∈ H
h3 : τ.IsSwap
this : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))
σ : ↥H
hσ : orderOf σ = Fintype.card α
hσ1 : orderOf ↑σ = Fintype.card α
hσ2 : (↑σ).IsCycle
\u22a2 H = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
H : Subgroup (Perm α)
d : DecidablePred fun x => x ∈ H
τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H
h2 : τ ∈ H
h3 : τ.IsSwap
this : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))
σ : ↥H
hσ : orderOf σ = Fintype.card α
hσ1 : orderOf ↑σ = Fintype.card α
hσ2 : (↑σ).IsCycle
hσ3 : (↑σ).support = ⊤
\u22a2 H = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
H : Subgroup (Perm α)
d : DecidablePred fun x => x ∈ H
τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H
h2 : τ ∈ H
h3 : τ.IsSwap
this : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))
σ : ↥H
hσ : orderOf σ = Fintype.card α
hσ1 : orderOf ↑σ = Fintype.card α
hσ2 : (↑σ).IsCycle
hσ3 : (↑σ).support = ⊤
hσ4 : Subgroup.closure {↑σ, τ} = ⊤
\u22a2 H = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
H : Subgroup (Perm α)
d : DecidablePred fun x => x ∈ H
τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H
h2 : τ ∈ H
h3 : τ.IsSwap
this : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))
σ : ↥H
hσ : orderOf σ = Fintype.card α
hσ1 : orderOf ↑σ = Fintype.card α
hσ2 : (↑σ).IsCycle
hσ3 : (↑σ).support = ⊤
hσ4 : Subgroup.closure {↑σ, τ} = ⊤
\u22a2 ↑σ ∈ ↑H ∧ τ ∈ ↑H
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : (μ + ν) t ≠ ⊤
\u22a2 ν (toMeasurable (μ + ν) t ∩ s) = ν (t ∩ s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : (ν + μ) t ≠ ⊤
\u22a2 ν (toMeasurable (ν + μ) t ∩ s) = ν (t ∩ s)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : AddCommGroup V
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 V
inst✝¹³ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹² : AddCommGroup W
inst✝¹¹ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f : V → E
w : W
\u22a2 Integrable (fun v => e (-(L v) w) • f v) μ ↔ Integrable f μ
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : AddCommGroup V
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 V
inst✝¹³ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹² : AddCommGroup W
inst✝¹¹ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f : V → E
w : W
aux : ∀ {g : V → E}, Integrable g μ → ∀ (x : W), Integrable (fun v => e (-(L v) x) • g v) μ
\u22a2 Integrable (fun v => e (-(L v) w) • f v) μ ↔ Integrable f μ
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : AddCommGroup V
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 V
inst✝¹³ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹² : AddCommGroup W
inst✝¹¹ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f : V → E
w : W
aux : ∀ {g : V → E}, Integrable g μ → ∀ (x : W), Integrable (fun v => e (-(L v) x) • g v) μ
hf : Integrable (fun v => e (-(L v) w) • f v) μ
this : Integrable (fun v => e (-(L v) (-w)) • e (-(L v) w) • f v) μ
\u22a2 Integrable f μ
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : AddCommGroup V
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 V
inst✝¹³ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹² : AddCommGroup W
inst✝¹¹ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f : V → E
w : W
aux : ∀ {g : V → E}, Integrable g μ → ∀ (x : W), Integrable (fun v => e (-(L v) x) • g v) μ
hf : Integrable (fun v => e (-(L v) w) • f v) μ
this : Integrable (fun v => f v) μ
\u22a2 Integrable f μ
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n k : ℕ
\u22a2 m.gcd (k * m + n) = m.gcd n
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x y : α
hx : IsFixedPt f x
hy : IsFixedPt f y
\u22a2 x = y ∨ edist x y = ⊤
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x y : α
hx : IsFixedPt f x
hy : IsFixedPt f y
h : ¬edist x y = ⊤
\u22a2 edist x y ≤ 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivAt c c' x
f : F
\u22a2 HasDerivAt (fun y => c y • f) (c' • f) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x
f : F
\u22a2 HasDerivWithinAt (fun y => c y • f) (c' • f) univ x
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]
\u22a2 q.lift (x * y) = q.lift x * q.lift y
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]
\u22a2 (x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re • 1 + x.imI • q.i + x.imJ • q.j + x.imK • q.k) * (y.re • 1 + y.imI • q.i + y.imJ • q.j + y.imK • q.k)
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]
\u22a2 (x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + ((x.imI * y.re) • q.i + (x.imI * y.imI) • (q.i * q.i) + (x.imI * y.imJ) • (q.i * q.j) + (x.imI * y.imK) • (q.i * q.k)) + ((x.imJ * y.re) • q.j + (x.imJ * y.imI) • (q.j * q.i) + (x.imJ * y.imJ) • (q.j * q.j) + (x.imJ * y.imK) • (q.j * q.k)) + ((x.imK * y.re) • q.k + (x.imK * y.imI) • (q.k * q.i) + (x.imK * y.imJ) • (q.k * q.j) + (x.imK * y.imK) • (q.k * q.k))
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]
\u22a2 (x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + ((x.imI * y.re) • q.i + (x.imI * y.imI) • c₁ • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (x.imI * y.imK) • c₁ • q.j) + ((x.imJ * y.re) • q.j + (x.imJ * y.imI) • -q.k + (x.imJ * y.imJ) • c₂ • 1 + (x.imJ * y.imK) • -c₂ • q.i) + ((x.imK * y.re) • q.k + (x.imK * y.imI) • -c₁ • q.j + (x.imK * y.imJ) • c₂ • q.i + (x.imK * y.imK) • -((c₁ * c₂) • 1))
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]
\u22a2 (x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.re) • q.i + (x.imI * y.imI * c₁) • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (x.imI * y.imK * c₁) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (x.imJ * y.imJ * c₂) • 1 + -((x.imJ * y.imK * c₂) • q.i) + (x.imK * y.re) • q.k + -((x.imK * y.imI * c₁) • q.j) + (x.imK * y.imJ * c₂) • q.i + -((x.imK * y.imK * (c₁ * c₂)) • 1)
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]
\u22a2 (x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.re) • q.i + (x.imI * y.imI * c₁) • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (x.imI * y.imK * c₁) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (x.imJ * y.imJ * c₂) • 1 + -((x.imJ * y.imK * c₂) • q.i) + (x.imK * y.re) • q.k + -((x.imK * y.imI * c₁) • q.j) + (x.imK * y.imJ * c₂) • q.i + -((c₁ * c₂ * x.imK * y.imK) • 1)
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]
\u22a2 (x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.re) • q.i + (c₁ * (x.imI * y.imI)) • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (c₁ * (x.imI * y.imK)) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (x.imJ * y.imJ * c₂) • 1 + -((x.imJ * y.imK * c₂) • q.i) + (x.imK * y.re) • q.k + -((c₁ * (x.imK * y.imI)) • q.j) + (x.imK * y.imJ * c₂) • q.i + -((c₁ * c₂ * x.imK * y.imK) • 1)
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]
\u22a2 (x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.re) • q.i + (c₁ * (x.imI * y.imI)) • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (c₁ * (x.imI * y.imK)) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (c₂ * (x.imJ * y.imJ)) • 1 + -((c₂ * (x.imJ * y.imK)) • q.i) + (x.imK * y.re) • q.k + -((c₁ * (x.imK * y.imI)) • q.j) + (c₂ * (x.imK * y.imJ)) • q.i + -((c₂ * c₁ * x.imK * y.imK) • 1)
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]
\u22a2 (x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.re) • q.i + (c₁ * x.imI * y.imI) • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (c₁ * x.imI * y.imK) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (c₂ * x.imJ * y.imJ) • 1 + -((c₂ * x.imJ * y.imK) • q.i) + (x.imK * y.re) • q.k + -((c₁ * x.imK * y.imI) • q.j) + (c₂ * x.imK * y.imJ) • q.i + -((c₁ * c₂ * x.imK * y.imK) • 1)
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]
\u22a2 (x.re * y.re) • 1 + (c₁ * x.imI * y.imI) • 1 + (c₂ * x.imJ * y.imJ) • 1 + -((c₁ * c₂ * x.imK * y.imK) • 1) + (x.re * y.imI) • q.i + (x.imI * y.re) • q.i + -((c₂ * x.imJ * y.imK) • q.i) + (c₂ * x.imK * y.imJ) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (c₁ * x.imI * y.imK) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((c₁ * x.imK * y.imI) • q.j) + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.imJ) • q.k + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (x.imK * y.re) • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.re) • q.i + (c₁ * x.imI * y.imI) • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (c₁ * x.imI * y.imK) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (c₂ * x.imJ * y.imJ) • 1 + -((c₂ * x.imJ * y.imK) • q.i) + (x.imK * y.re) • q.k + -((c₁ * x.imK * y.imI) • q.j) + (c₂ * x.imK * y.imJ) • q.i + -((c₁ * c₂ * x.imK * y.imK) • 1)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/WithBotTop.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
\u22a2 some '' Iio a = Ioo ⊥ ↑a
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
\u22a2 addZ P Q = 0
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α
\u22a2 (a ⊓ b)ᶜᶜ = aᶜᶜ ⊓ bᶜᶜ
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α
\u22a2 aᶜᶜ ⊓ bᶜᶜ ≤ (a ⊓ b)ᶜᶜ
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α
\u22a2 Disjoint (a ⊓ b) (a ⊓ b)ᶜ
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n i : ℤ
h : 0 < i
\u22a2 ↑(i.toNat - 1) = i - 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
hs : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
\u22a2 lineDerivWithin 𝕜 f₁ s x v = lineDerivWithin 𝕜 f s x v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
hs : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
\u22a2 (fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝[(fun t => x + t • v) ⁻¹' s] 0] fun t => f (x + t • v)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
hs : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
A : Continuous fun t => x + t • v
\u22a2 (fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝[(fun t => x + t • v) ⁻¹' s] 0] fun t => f (x + t • v)
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
\u22a2 ¬(x ~ᵢ y) ↔ ∃ s, IsOpen s ∧ Xor' (x ∈ s) (y ∈ s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
𝕜 : Type u_3
inst✝ : NormedField 𝕜
v : 𝕜
\u22a2 (ContinuousLinearMap.smulRight 1 v).det = v
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
𝕜 : Type u_3
inst✝ : NormedField 𝕜
v : 𝕜
this : ContinuousLinearMap.smulRight 1 v = v • 1
\u22a2 (ContinuousLinearMap.smulRight 1 v).det = v
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : TopologicalSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
\u22a2 testAgainstNN 0 f = 0
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : ↑S
\u22a2 EquicontinuousAt (S.restrict ∘ F) x₀ ↔ EquicontinuousWithinAt F S ↑x₀
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
z : ℤ
hz : 0 ≤ z
\u22a2 Irrational √↑z ↔ ¬IsSquare z
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b : ℕ
r : ℤ
ha : a % 4 = 1
hb : b % 2 = 1
hr : jacobiSymNat b a = r
\u22a2 jacobiSymNat a b = r
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/ZPowers.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_3
inst✝ : Group N
x : A
\u22a2 ↑(Subgroup.zpowers (Multiplicative.ofAdd x)) = ⇑Multiplicative.ofAdd '' ↑(AddSubgroup.zmultiples x)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/ZPowers.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_3
inst✝ : Group N
x : A
\u22a2 ⇑Multiplicative.ofAdd.symm '' ↑(Subgroup.zpowers (Multiplicative.ofAdd x)) = ↑(AddSubgroup.zmultiples x)
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
l₁ l₂ : List α
k : ℕ
\u22a2 (l₁ ++ l₂).rdrop (l₂.length + k) = l₁.rdrop k
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
n : ℕ
hn : n < (permutations'Aux x s).length
\u22a2 (permutations'Aux x s).get ⟨n, hn⟩ = insertNth n x s
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.6272
L : Type ?u.6275
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x : S
i : ℕ
\u22a2 (minpolyDiv R x).coeff i = (algebraMap R S) ((minpoly R x).coeff (i + 1)) + (minpolyDiv R x).coeff (i + 1) * x