ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
z : Cochain F G n
\u22a2 z ∈ cocycle F G n ↔ δ n (n + 1) z = 0
-- Mathlib/Data/Option/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f₁ : α → β
f₂ : α → γ
g₁ : β → δ
g₂ : γ → δ
h : g₁ ∘ f₁ = g₂ ∘ f₂
a : α
\u22a2 Option.map g₁ (Option.map f₁ (some a)) = Option.map g₂ (Option.map f₂ (some a))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hpq : p.degree ≤ q.degree
hp : p ≠ 0
\u22a2 p.degree ≠ ⊥
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a : EReal
h : 0 < a
h' : a ≠ ⊤
\u22a2 0 < a⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
M : Matrix m m' R
\u22a2 (toMatrix₂ b₁ b₂) B * M = (toMatrix₂ b₁ b₂') (B.compl₂ ((toLin b₂' b₂) M))
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Basic.lean
α : Type u_1
ι✝ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ✝ : F
s✝ t : Set α
ι : Type u_4
μ : F
s : ι → Set α
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
h0 : Tendsto (fun k => μ ((⋃ n, s n) \ s k)) l (𝓝 0)
\u22a2 μ (⋃ n, s n) = ⨆ n, μ (s n)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Basic.lean
α : Type u_1
ι✝ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ✝ : F
s✝ t : Set α
ι : Type u_4
μ : F
s : ι → Set α
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
h0 : Tendsto (fun k => μ ((⋃ n, s n) \ s k)) l (𝓝 0)
\u22a2 μ (⋃ n, s n) ≤ ⨆ n, μ (s n)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Basic.lean
α : Type u_1
ι✝ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ✝ : F
s✝ t : Set α
ι : Type u_4
μ : F
s : ι → Set α
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
S : Set α := ⋃ n, s n
h0 : Tendsto (fun k => μ (S \ s k)) l (𝓝 0)
M : ℝ≥0∞ := ⨆ n, μ (s n)
\u22a2 μ S ≤ M
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Basic.lean
α : Type u_1
ι✝ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ✝ : F
s✝ t : Set α
ι : Type u_4
μ : F
s : ι → Set α
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
S : Set α := ⋃ n, s n
h0 : Tendsto (fun k => μ (S \ s k)) l (𝓝 0)
M : ℝ≥0∞ := ⨆ n, μ (s n)
A : ∀ (k : ι), μ S ≤ M + μ (S \ s k)
\u22a2 μ S ≤ M
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Basic.lean
α : Type u_1
ι✝ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ✝ : F
s✝ t : Set α
ι : Type u_4
μ : F
s : ι → Set α
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
S : Set α := ⋃ n, s n
h0 : Tendsto (fun k => μ (S \ s k)) l (𝓝 0)
M : ℝ≥0∞ := ⨆ n, μ (s n)
A : ∀ (k : ι), μ S ≤ M + μ (S \ s k)
B : Tendsto (fun k => M + μ (S \ s k)) l (𝓝 M)
\u22a2 μ S ≤ M
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/End.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C
\u22a2 F.ε.app ((F.obj n).obj X) ≫ (F.μ n (𝟙_ M)).app X ≫ (F.map (ρ_ n).hom).app X = 𝟙 ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj ((F.obj n).obj X))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/End.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C
this : (ρ_ (F.obj n)).hom.app X = (F.obj n ◁ F.ε ≫ F.μ n (𝟙_ M) ≫ F.map (ρ_ n).hom).app X
\u22a2 F.ε.app ((F.obj n).obj X) ≫ (F.μ n (𝟙_ M)).app X ≫ (F.map (ρ_ n).hom).app X = 𝟙 ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj ((F.obj n).obj X))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/End.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C
this : 𝟙 ((F.obj n).obj X) = F.ε.app ((F.obj n).obj X) ≫ (F.μ n (𝟙_ M)).app X ≫ (F.map (ρ_ n).hom).app X
\u22a2 F.ε.app ((F.obj n).obj X) ≫ (F.μ n (𝟙_ M)).app X ≫ (F.map (ρ_ n).hom).app X = 𝟙 ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj ((F.obj n).obj X))
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I J : FractionalIdeal A⁰ K
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
\u22a2 I⁻¹ ≤ J ↔ J⁻¹ ≤ I
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Limits.lean
ι : Type u
f : ι → Scheme
i : ι
x : ↑↑(f i).toPresheafedSpace
\u22a2 (TopCat.sigmaCofan fun x => (f x).toTopCat).inj i ≫ (colimit.isoColimitCocone { cocone := TopCat.sigmaCofan fun x => (f x).toTopCat, isColimit := TopCat.sigmaCofanIsColimit fun x => (f x).toTopCat }).inv ≫ (PreservesCoproduct.iso Scheme.forgetToTop f).symm.hom = Scheme.forgetToTop.map (Sigma.ι f i)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Limits.lean
ι : Type u
f : ι → Scheme
i : ι
x : ↑↑(f i).toPresheafedSpace
\u22a2 colimit.ι (Discrete.functor fun x => (f x).toTopCat) { as := i } ≫ (PreservesCoproduct.iso Scheme.forgetToTop f).symm.hom = Scheme.forgetToTop.map (Sigma.ι f i)
-- Mathlib/Logic/Equiv/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
v v₁ v₂ : ℕ
e : unpair v = (v₁, v₂)
\u22a2 (Seq.seq (some fun x => ofNat α v₁ :: x) fun x => decodeList v₂) = some (ofNat α v₁ :: ofNat (List α) v₂)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n : ℕ
i : Fin n
\u22a2 (finSuccEquiv' (Fin.last n)) i.castSucc = some i
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
x : E
f : F
hf : (algebraMap F E) f = x
\u22a2 (algebraMap F E) f ∈ ↑(adjoin F S)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
i j : ι
\u22a2 (b.toDual (b i)) (b j) = if i = j then 1 else 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
i j : ι
\u22a2 (if j = i then 1 else 0) = if i = j then 1 else 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Normed.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
\u22a2 HasCompactSupport (f.normed μ)
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a b c : α
\u22a2 (∀ ⦃c : α⦄, a < c → ¬c < b) ↔ Ioo a b = ∅
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hms : MeasurableSet s
\u22a2 μ[|s] t * μ s + μ[|sᶜ] t * μ sᶜ = μ t
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hms : MeasurableSet s
\u22a2 μ (t ∩ s) + μ (t ∩ sᶜ) = μ t
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
heq : EqOn f₁ f₂ s
t : Set β
x : α
hx : x ∈ s
\u22a2 x ∈ f₁ ⁻¹' t ↔ x ∈ f₂ ⁻¹' t
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
\u22a2 pseudoApply f 0 = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
\u22a2 ⟦Over.mk ((Over.mk 0).hom ≫ f)⟧ = 0
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTopology α
f : β → α
a : α
x : Filter β
\u22a2 Tendsto f x (𝓝 a) ↔ (∀ a' < a, ∀ᶠ (b : β) in x, a' < f b) ∧ ∀ a' > a, ∀ᶠ (b : β) in x, f b < a'
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTopology α
f : β → α
a : α
x : Filter β
\u22a2 ((∀ i ∈ Iio a, ∀ᶠ (a : β) in x, f a ∈ Ioi i) ∧ ∀ i ∈ Ioi a, ∀ᶠ (a : β) in x, f a ∈ Iio i) ↔ (∀ a' < a, ∀ᶠ (b : β) in x, a' < f b) ∧ ∀ a' > a, ∀ᶠ (b : β) in x, f b < a'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
inst✝ : Fintype ι
m : M
\u22a2 b.sumCoords m = (∑ i : ι, b.coord i) m
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
i j : ι
p : Pair M i
m : M j
\u22a2 ⟨j, m⟩ ∈ (rcons p).toList ↔ ⟨j, m⟩ ∈ p.tail.toList ∨ m ≠ 1 ∧ ∃ (h : i = j), m = h ▸ p.head
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
i j : ι
p : Pair M i
m : M j
\u22a2 ⟨j, m⟩ ∈ (if h : p.head = 1 then p.tail else { toList := ⟨i, p.head⟩ :: p.tail.toList, ne_one := ⋯, chain_ne := ⋯ }).toList ↔ ⟨j, m⟩ ∈ p.tail.toList ∨ ¬m = 1 ∧ ∃ (h : i = j), m = h ▸ p.head
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : Nontrivial α
s : Set α
hs : IsOpen s
x : α
hx : x ∈ s
\u22a2 ∃ a b, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : Nontrivial α
s : Set α
hs : IsOpen s
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ≠ x
\u22a2 ∃ a b, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : Nontrivial α
s : Set α
hs : IsOpen s
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ≠ x
H : x < y
\u22a2 ∃ a b, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : Nontrivial α
s : Set α
hs : IsOpen s
x : α
hx : x ∈ s
hy : x ≠ x
\u22a2 ∃ a b, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : Nontrivial α
s : Set α
hs : IsOpen s
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ≠ x
H : y < x
\u22a2 ∃ a b, a < b ∧ Ioo a b ⊆ s
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hc : 0 ≤ c
hac : a ≤ c
hd : 0 < d
hbd : d ≤ b
\u22a2 a / b ≤ c / d
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hc : 0 ≤ c
hac : a ≤ c
hd : 0 < d
hbd : d ≤ b
\u22a2 a * d ≤ c * b
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a + c = b + d - 1
\u22a2 b ≤ a ∨ d ≤ c
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a + c = b + d - 1
h' : b ≤ a
\u22a2 b ≤ a
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a + c = b + d - 1
h' : a < b
\u22a2 d ≤ c
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/BigOperators.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
x : ℕ
s : ι → ℕ
\u22a2 x.Coprime (∏ i : ι, s i) ↔ ∀ (i : ι), x.Coprime (s i)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X Y : C
inst✝ : HasImage 0
\u22a2 ι 0 = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X Y : C
inst✝ : HasImage 0
\u22a2 lift (monoFactorisationZero X Y) ≫ (monoFactorisationZero X Y).m = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p✝ p d n : ℕ
hdn : d ∣ n
hpd : ¬p ∣ d
\u22a2 d ∣ n / p ^ n.factorization p
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
hn : 0 < n
\u22a2 Nat.card ↑{u | addOrderOf u = n} ≠ 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : Measurable X
hY : AEMeasurable Y μ
hs : MeasurableSet s
t' : Set β
ht' : MeasurableSet t'
\u22a2 ∫⁻ (a : α) in X ⁻¹' t', ((condDistrib Y X μ) (X a)) s ∂μ = μ (X ⁻¹' t' ∩ Y ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0
h : Summable f
\u22a2 (support f).Countable
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0
h : Summable fun a => ↑(f a)
\u22a2 (support f).Countable
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Category.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G H I : C ⥤ D
α : F ⟶ G
inst✝ : ∀ (X : C), Mono (α.app X)
Z✝ : C ⥤ D
g h : Z✝ ⟶ F
eq : g ≫ α = h ≫ α
X : C
\u22a2 g.app X = h.app X
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
hts : s ⊆ t
h't : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0
haux : StronglyMeasurable f
h'aux : IntegrableOn f t μ
k : Set X := f ⁻¹' {0}
\u22a2 ∫ (x : X) in t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
hts : s ⊆ t
h't : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0
haux : StronglyMeasurable f
h'aux : IntegrableOn f t μ
k : Set X := f ⁻¹' {0}
hk : MeasurableSet k
\u22a2 ∫ (x : X) in t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
a : R
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : a = 0
\u22a2 ((monomial n) a).degree ≤ ↑n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
a : R
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : a = 0
\u22a2 ⊥ ≤ ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ✝ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
φ : K →+* ℂ
σ : K ≃ₐ[k] K
\u22a2 σ ∈ Stab (mk φ) ↔ σ = 1 ∨ ComplexEmbedding.IsConj φ σ
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ✝ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
φ : K →+* ℂ
σ : K ≃ₐ[k] K
\u22a2 φ.comp ↑σ.symm = φ ∨ ComplexEmbedding.conjugate (φ.comp ↑σ.symm) = φ ↔ σ = 1 ∨ ComplexEmbedding.IsConj φ σ
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ✝ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
φ : K →+* ℂ
σ : K ≃ₐ[k] K
\u22a2 φ.comp ↑σ.symm = φ ∨ star φ = φ.comp ↑σ.symm ↔ σ = 1 ∨ ComplexEmbedding.IsConj φ σ.symm
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ✝ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
φ : K →+* ℂ
σ : K ≃ₐ[k] K
H : φ.comp ↑σ.symm = φ
\u22a2 σ = 1
-- Mathlib/RingTheory/Localization/AtPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
A : Type u_4
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S I
h : optParam (LocalRing S) ⋯
x : R
\u22a2 x ∈ Ideal.comap (algebraMap R S) (LocalRing.maximalIdeal S) ↔ x ∈ I
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Derived/RightDerived.lean
C : Type u_1
C' : Type ?u.89621
D : Type u_5
D' : Type ?u.89627
H : Type u_2
H' : Type ?u.89633
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.89641, ?u.89621} C'
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_5} D
inst✝⁴ : Category.{?u.89649, ?u.89627} D'
inst✝³ : Category.{u_4, u_2} H
inst✝² : Category.{?u.89657, ?u.89633} H'
RF RF' RF'' : D ⥤ H
F F' F'' : C ⥤ H
e : F ≅ F'
L : C ⥤ D
α : F ⟶ L ⋙ RF
α' : F' ⟶ L ⋙ RF'
α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''
α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : F.HasRightDerivedFunctor W
\u22a2 L.HasLeftKanExtension F
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3
\u22a2 W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3) = -W.dblU P / W.dblZ P
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3
hPy : P y - W.negY P ≠ 0
\u22a2 W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3) = -W.dblU P / W.dblZ P
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hPy : P y - W.negY P ≠ 0
hx : P x / P z ^ 2 = Q x / Q z ^ 2
hy : ¬P y / P z ^ 3 = W.toAffine.negY (Q x / Q z ^ 2) (Q y / Q z ^ 3)
\u22a2 W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3) = -W.dblU P / W.dblZ P
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hPy : P y - W.negY P ≠ 0
hx : P x / P z ^ 2 = Q x / Q z ^ 2
hy : ¬P y / P z ^ 3 = W.toAffine.negY (Q x / Q z ^ 2) (Q y / Q z ^ 3)
\u22a2 (3 * (P x / P z ^ 2) ^ 2 + 2 * W.toAffine.a₂ * (P x / P z ^ 2) + W.toAffine.a₄ - W.toAffine.a₁ * (P y / P z ^ 3)) / (P y / P z ^ 3 - W.negY P / P z ^ 3) = -(W.a₁ * P y * P z - (3 * P x ^ 2 + 2 * W.a₂ * P x * P z ^ 2 + W.a₄ * P z ^ 4)) / (P z * (P y - W.negY P))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hPy : P y - W.negY P ≠ 0
hx : P x / P z ^ 2 = Q x / Q z ^ 2
hy : ¬P y / P z ^ 3 = W.toAffine.negY (Q x / Q z ^ 2) (Q y / Q z ^ 3)
\u22a2 ((3 * P x ^ 2 * P z ^ 2 + 2 * W.toAffine.a₂ * P x * (P z ^ 2) ^ 2 + W.toAffine.a₄ * ((P z ^ 2) ^ 2 * P z ^ 2)) * P z ^ 3 - (P z ^ 2) ^ 2 * P z ^ 2 * (W.toAffine.a₁ * P y)) * P z ^ 3 * (P z * (P y - W.negY P)) = (3 * P x ^ 2 + 2 * W.a₂ * P x * P z ^ 2 + W.a₄ * P z ^ 4 - W.a₁ * P y * P z) * ((P z ^ 2) ^ 2 * P z ^ 2 * P z ^ 3 * (P y - W.negY P))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Charpoly/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
k : ℕ
\u22a2 f ^ k = (aeval f) (X ^ k %ₘ f.charpoly)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
S : Subsemigroup M
g : N →ₙ* P
f : M →ₙ* N
\u22a2 map g f.srange = (g.comp f).srange
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m n k : ℕ
\u22a2 Nat.shiftLeft' false m (n + k) = Nat.shiftLeft' false (Nat.shiftLeft' false m n) k
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m n✝ k i n : ℕ
\u22a2 ↑m <<< ↑i = ↑(Nat.shiftLeft' false m (n + i) >>> n)
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m n✝ k i n : ℕ
\u22a2 ↑m <<< -[i+1] = ↑(Nat.shiftLeft' false m n >>> (n + i + 1))
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m n✝ k i n : ℕ
\u22a2 Nat.shiftLeft' true m i = Nat.shiftLeft' true m (n + i) >>> n
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m n✝ k i n : ℕ
\u22a2 n ≤ n + i
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m n✝ k i n : ℕ
\u22a2 m >>> i.succ = Nat.shiftLeft' true m n >>> (n + i + 1)
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u : αˣ
a : α
\u22a2 a * ↑u = 1 ↔ a = ↑u⁻¹
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R : Type u_7
R₂ : Type u_8
M : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : TopologicalSpace M₂
σ : R →+* R₂
σ' : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝ : RingHomInvPair σ' σ
f : ι → M
φ : M →SL[σ] M₂
x : M
hf : HasSum f x
\u22a2 HasSum (fun b => φ (f b)) (φ x)
-- Mathlib/Analysis/Complex/ReImTopology.lean
a : ℝ
\u22a2 interior {z | z.re ≤ a} = {z | z.re < a}
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
h : x ≠ 0
\u22a2 (minpoly A x).coeff 0 ≠ 0
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
h : (minpoly A x).coeff 0 = 0
\u22a2 x = 0
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Ergodic.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
s' : Set β
g : α → β
e : α ≃ᵐ β
h : MeasurePreserving (⇑e) μ μ'
\u22a2 PreErgodic (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) μ' ↔ PreErgodic f μ
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Ergodic.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
s' : Set β
g : α → β
e : α ≃ᵐ β
h : MeasurePreserving (⇑e) μ μ'
hf : PreErgodic (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) μ'
\u22a2 ⇑e.symm ∘ ⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm = f ∘ ⇑e.symm
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Ergodic.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
s' : Set β
g : α → β
e : α ≃ᵐ β
h : MeasurePreserving (⇑e) μ μ'
hf : PreErgodic f μ
\u22a2 ⇑e ∘ f = (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) ∘ ⇑e
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Generator.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
G : C
hG : IsSeparator G
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = 0
\u22a2 ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = h ≫ 0