ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower S R N
toFun : M → N
toFun_smul : ∀ (a : R) (x : M), toFun (a • x) = (a * a) • toFun x
polar_add_left : ∀ (x x' y : M), polar toFun (x + x') y = polar toFun x y + polar toFun x' y
polar_smul_left : ∀ (a : R) (x y : M), polar toFun (a • x) y = a • polar toFun x y
x✝¹ x✝ : M
\u22a2 toFun (x✝¹ + x✝) = toFun x✝¹ + toFun x✝ + ((LinearMap.mk₂ R (polar toFun) polar_add_left polar_smul_left ⋯ ⋯) x✝¹) x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower S R N
toFun : M → N
toFun_smul : ∀ (a : R) (x : M), toFun (a • x) = (a * a) • toFun x
polar_add_left : ∀ (x x' y : M), polar toFun (x + x') y = polar toFun x y + polar toFun x' y
polar_smul_left : ∀ (a : R) (x y : M), polar toFun (a • x) y = a • polar toFun x y
x✝¹ x✝ : M
\u22a2 toFun (x✝¹ + x✝) = toFun x✝¹ + toFun x✝ + polar toFun x✝¹ x✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hp : Fact (1 ≤ p)
hm : m ≤ m0
f g : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
\u22a2 dist (lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f) (lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm g) = dist f g
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
a b : Ordinal.{u_1}
a0 : 0 < a
h : a < ω ^ ω ^ b
b0 : ¬b = 0
\u22a2 a * ω ^ ω ^ b = ω ^ ω ^ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
a b : Ordinal.{u_1}
a0 : 0 < a
h : a < ω ^ ω ^ b
b0 : ¬b = 0
\u22a2 a * ω ^ ω ^ b ≤ ω ^ ω ^ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
a b : Ordinal.{u_1}
a0 : 0 < a
h : a < ω ^ ω ^ b
b0 : ¬b = 0
x : Ordinal.{u_1}
xb : x < ω ^ b
ax : a < ω ^ x
\u22a2 a * ω ^ ω ^ b ≤ ω ^ ω ^ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
a b : Ordinal.{u_1}
a0 : 0 < a
h : a < ω ^ ω ^ b
b0 : ¬b = 0
x : Ordinal.{u_1}
xb : x < ω ^ b
ax : a < ω ^ x
\u22a2 ω ^ x * ω ^ ω ^ b ≤ ω ^ ω ^ b
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : Commute x y
\u22a2 orderOf (x * y) ∣ (orderOf x).lcm (orderOf y)
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : Commute x y
\u22a2 minimalPeriod ((fun x_1 => x * x_1) ∘ fun x => y * x) 1 ∣ (orderOf x).lcm (orderOf y)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ
\u22a2 (W.baseChange B).ΨSq n = Polynomial.map (↑f) ((W.baseChange A).ΨSq n)
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
t : Set β
hf : ContinuousOn f s
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
\u22a2 IsClosed (s ∩ f ⁻¹' t)
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
t : Set β
hf : ContinuousOn f s
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
u : Set α
hu : IsClosed u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s
\u22a2 IsClosed (s ∩ f ⁻¹' t)
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
t : Set β
hf : ContinuousOn f s
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
u : Set α
hu : IsClosed u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s
\u22a2 IsClosed (u ∩ s)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Units.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : CommRing α
a b : α
u₁ u₂ : αˣ
\u22a2 a /ₚ u₁ + b /ₚ u₂ = (a * ↑u₂ + ↑u₁ * b) /ₚ (u₁ * u₂)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Units.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : CommRing α
a b : α
u₁ u₂ : αˣ
\u22a2 a * ↑u₁⁻¹ + b * ↑u₂⁻¹ = a * ↑u₂ * (↑u₂⁻¹ * ↑u₁⁻¹) + ↑u₁ * b * (↑u₂⁻¹ * ↑u₁⁻¹)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Units.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : CommRing α
a b : α
u₁ u₂ : αˣ
\u22a2 a * ↑u₁⁻¹ + ↑u₂⁻¹ * b = a * ↑u₂ * (↑u₂⁻¹ * ↑u₁⁻¹) + ↑u₂⁻¹ * ↑u₁⁻¹ * (↑u₁ * b)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Truncated.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
hm : n ≤ m
x : TruncatedWittVector p n R
\u22a2 ∃ a, (truncate hm) a = x
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Truncated.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
hm : n ≤ m
x : 𝕎 R
\u22a2 ∃ a, (truncate hm) a = (WittVector.truncate n) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
\u22a2 ‖log (1 + z) - z‖ ≤ ‖z‖ ^ 2 * (1 - ‖z‖)⁻¹ / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
\u22a2 log (1 + z) - z = log (1 + z) - logTaylor (1 + 1) z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
\u22a2 2 = ↑1 + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
v : V
inst✝² : Fintype ↑(G.neighborSet v)
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : Fintype ↑G.edgeSet
x✝ y✝ : V
\u22a2 s(x✝, y✝) ∈ G.incidenceFinset v ↔ s(x✝, y✝) ∈ filter (Membership.mem v) G.edgeFinset
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d r : ℝ
h : -1 < r
\u22a2 IntervalIntegrable (fun x => x ^ r) volume a b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d r : ℝ
h : -1 < r
\u22a2 ∀ (c : ℝ), IntervalIntegrable (fun x => x ^ r) volume 0 c
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c✝ d r : ℝ
h : -1 < r
this : ∀ (c : ℝ), 0 ≤ c → IntervalIntegrable (fun x => x ^ r) volume 0 c
c : ℝ
\u22a2 IntervalIntegrable (fun x => x ^ r) volume 0 c
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c✝ d r : ℝ
h : -1 < r
this : ∀ (c : ℝ), 0 ≤ c → IntervalIntegrable (fun x => x ^ r) volume 0 c
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
\u22a2 IntervalIntegrable (fun x => x ^ r) volume 0 c
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c✝ d r : ℝ
h : -1 < r
this : ∀ (c : ℝ), 0 ≤ c → IntervalIntegrable (fun x => x ^ r) volume 0 c
c : ℝ
hc : c ≤ 0
\u22a2 IntervalIntegrable (fun x => x ^ r) volume 0 c
-- Mathlib/Data/List/Lattice.lean
α : Type u_1
l l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
a : α
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
\u22a2 xs.inter ys.reverse = xs.inter ys
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β : Type u
α : Type u_1
n : ℕ
h : ↑n ≤ #α
\u22a2 ∃ s, n ≤ s.card
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β : Type u
α : Type u_1
n : ℕ
h : ↑n ≤ #α
hα : Finite α
\u22a2 ∃ s, n ≤ s.card
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β : Type u
α : Type u_1
n : ℕ
h : ↑n ≤ #α
hα : Infinite α
\u22a2 ∃ s, n ≤ s.card
-- Mathlib/Analysis/Convex/KreinMilman.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : T1Space F
hscomp : IsCompact s
hsnemp : s.Nonempty
S : Set (Set E) := {t | t.Nonempty ∧ IsClosed t ∧ IsExtreme ℝ s t}
\u22a2 ∃ t ∈ S, ∀ u ∈ S, u ⊆ t → u = t
-- Mathlib/Analysis/Convex/KreinMilman.lean
E : Type u_1
F✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F✝
inst✝² : Module ℝ F✝
inst✝¹ : TopologicalSpace F✝
inst✝ : T1Space F✝
hscomp : IsCompact s
hsnemp : s.Nonempty
S : Set (Set E) := {t | t.Nonempty ∧ IsClosed t ∧ IsExtreme ℝ s t}
F : Set (Set E)
hFS : F ⊆ S
hF : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) F
\u22a2 ∃ lb ∈ S, ∀ s ∈ F, lb ⊆ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/KreinMilman.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : T1Space F
hscomp : IsCompact s
hsnemp : s.Nonempty
S : Set (Set E) := {t | t.Nonempty ∧ IsClosed t ∧ IsExtreme ℝ s t}
hFS : ∅ ⊆ S
hF : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ∅
\u22a2 ∃ lb ∈ S, ∀ s ∈ ∅, lb ⊆ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/KreinMilman.lean
E : Type u_1
F✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F✝
inst✝² : Module ℝ F✝
inst✝¹ : TopologicalSpace F✝
inst✝ : T1Space F✝
hscomp : IsCompact s
hsnemp : s.Nonempty
S : Set (Set E) := {t | t.Nonempty ∧ IsClosed t ∧ IsExtreme ℝ s t}
F : Set (Set E)
hFS : F ⊆ S
hF : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) F
hFnemp : F.Nonempty
\u22a2 ∃ lb ∈ S, ∀ s ∈ F, lb ⊆ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/KreinMilman.lean
E : Type u_1
F✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F✝
inst✝² : Module ℝ F✝
inst✝¹ : TopologicalSpace F✝
inst✝ : T1Space F✝
hscomp : IsCompact s
hsnemp : s.Nonempty
S : Set (Set E) := {t | t.Nonempty ∧ IsClosed t ∧ IsExtreme ℝ s t}
F : Set (Set E)
hFS : F ⊆ S
hF : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) F
hFnemp : F.Nonempty
\u22a2 (⋂₀ F).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/KreinMilman.lean
E : Type u_1
F✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F✝
inst✝² : Module ℝ F✝
inst✝¹ : TopologicalSpace F✝
inst✝ : T1Space F✝
hscomp : IsCompact s
hsnemp : s.Nonempty
S : Set (Set E) := {t | t.Nonempty ∧ IsClosed t ∧ IsExtreme ℝ s t}
F : Set (Set E)
hFS : F ⊆ S
hF : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) F
hFnemp : F.Nonempty
this : Nonempty ↑F
\u22a2 (⋂₀ F).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/KreinMilman.lean
E : Type u_1
F✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F✝
inst✝² : Module ℝ F✝
inst✝¹ : TopologicalSpace F✝
inst✝ : T1Space F✝
hscomp : IsCompact s
hsnemp : s.Nonempty
S : Set (Set E) := {t | t.Nonempty ∧ IsClosed t ∧ IsExtreme ℝ s t}
F : Set (Set E)
hFS : F ⊆ S
hF : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) F
hFnemp : F.Nonempty
this : Nonempty ↑F
\u22a2 (⋂ i, ↑i).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/KreinMilman.lean
E : Type u_1
F✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F✝
inst✝² : Module ℝ F✝
inst✝¹ : TopologicalSpace F✝
inst✝ : T1Space F✝
hscomp : IsCompact s
hsnemp : s.Nonempty
S : Set (Set E) := {t | t.Nonempty ∧ IsClosed t ∧ IsExtreme ℝ s t}
F : Set (Set E)
hFS : F ⊆ S
hF : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) F
hFnemp : F.Nonempty
this : Nonempty ↑F
t u : ↑F
\u22a2 ∃ z, (fun x x_1 => x ⊇ x_1) ↑t ↑z ∧ (fun x x_1 => x ⊇ x_1) ↑u ↑z
-- Mathlib/Analysis/Convex/KreinMilman.lean
E : Type u_1
F✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F✝
inst✝² : Module ℝ F✝
inst✝¹ : TopologicalSpace F✝
inst✝ : T1Space F✝
hscomp : IsCompact s
hsnemp : s.Nonempty
S : Set (Set E) := {t | t.Nonempty ∧ IsClosed t ∧ IsExtreme ℝ s t}
F : Set (Set E)
hFS : F ⊆ S
hF : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) F
hFnemp : F.Nonempty
this : Nonempty ↑F
t u : ↑F
htu : ↑t ⊆ ↑u
\u22a2 ∃ z, (fun x x_1 => x ⊇ x_1) ↑t ↑z ∧ (fun x x_1 => x ⊇ x_1) ↑u ↑z
-- Mathlib/Analysis/Convex/KreinMilman.lean
E : Type u_1
F✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F✝
inst✝² : Module ℝ F✝
inst✝¹ : TopologicalSpace F✝
inst✝ : T1Space F✝
hscomp : IsCompact s
hsnemp : s.Nonempty
S : Set (Set E) := {t | t.Nonempty ∧ IsClosed t ∧ IsExtreme ℝ s t}
F : Set (Set E)
hFS : F ⊆ S
hF : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) F
hFnemp : F.Nonempty
this : Nonempty ↑F
t u : ↑F
hut : ↑u ⊆ ↑t
\u22a2 ∃ z, (fun x x_1 => x ⊇ x_1) ↑t ↑z ∧ (fun x x_1 => x ⊇ x_1) ↑u ↑z
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
\u22a2 Monotone card
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Quotient.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a b : R
S : Type v
x✝ y : R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R
f : R →+* S
H : ∀ a ∈ I, f a = 0
hf : Function.Surjective ⇑f
x : R
\u22a2 ∃ a, (lift I f H) a = f x
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Quotient.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a b : R
S : Type v
x✝ y : R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R
f : R →+* S
H : ∀ a ∈ I, f a = 0
hf : Function.Surjective ⇑f
x : R
\u22a2 (lift I f H) ((mk I) x) = f x
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Operations.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : OuterMeasure α
f : α → β
s : Set α
hs : s.Nonempty
\u22a2 ((comap f) ⊤) s = ⊤ s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
x : G
\u22a2 DifferentiableAt 𝕜 (⇑iso ∘ f) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
\u22a2 ∃ n > 0, ↑n * a < b
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
n : ℕ
npos : 0 < n
hn : (↑n)⁻¹ * a < b
\u22a2 ∃ n > 0, ↑n * a < b
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
n : ℕ
npos : 0 < n
hn : (↑n)⁻¹ * a < b
\u22a2 (↑n)⁻¹ > 0 ∧ ↑(↑n)⁻¹ * a < b
-- Mathlib/Algebra/CharP/Two.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CharP R 2
l : List R
\u22a2 l.sum * l.sum = (List.map (fun x => x * x) l).sum
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f g : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
\u22a2 lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (f - g) = lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f - lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm g
-- Mathlib/Condensed/Light/TopComparison.lean
X : TopCat
\u22a2 EqualizerCondition (yonedaPresheaf LightProfinite.toTopCat ↑X)
-- Mathlib/Condensed/Light/TopComparison.lean
X : TopCat
\u22a2 ∀ (Z B : LightProfinite) (π : Z ⟶ B) [inst : EffectiveEpi π], QuotientMap ⇑(LightProfinite.toTopCat.map π)
-- Mathlib/Condensed/Light/TopComparison.lean
X : TopCat
Z B : LightProfinite
π : Z ⟶ B
he : EffectiveEpi π
\u22a2 QuotientMap ⇑(LightProfinite.toTopCat.map π)
-- Mathlib/Condensed/Light/TopComparison.lean
X : TopCat
Z B : LightProfinite
π : Z ⟶ B
he : Function.Surjective ⇑π
\u22a2 QuotientMap ⇑(LightProfinite.toTopCat.map π)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝¹ : CharZero k
inst✝ : Fintype ι
h : s.card ≠ 0
\u22a2 ∑ i : ι, centroidWeightsIndicator k s i = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝¹ : CharZero k
inst✝ : Fintype ι
h : s.card ≠ 0
\u22a2 ∑ i ∈ s, centroidWeights k s i = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metrizable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
ι : Type u_3
f : ι → α → β
g : α → β
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
lim : Tendsto f u (𝓝 g)
this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
\u22a2 Measurable g
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metrizable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
ι : Type u_3
f : ι → α → β
g : α → β
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
lim : Tendsto f u (𝓝 g)
this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
\u22a2 ∀ (s : Set β), IsClosed s → s.Nonempty → s ≠ Set.univ → MeasurableSet (g ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metrizable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
ι : Type u_3
f : ι → α → β
g : α → β
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
lim : Tendsto f u (𝓝 g)
this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
s : Set β
h1s : IsClosed s
h2s : s.Nonempty
h3s : s ≠ Set.univ
\u22a2 MeasurableSet (g ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metrizable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
ι : Type u_3
f : ι → α → β
g : α → β
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
lim : Tendsto f u (𝓝 g)
this✝ : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
s : Set β
h1s : IsClosed s
h2s : s.Nonempty
h3s : s ≠ Set.univ
this : Measurable fun x => infNndist (g x) s
\u22a2 MeasurableSet (g ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metrizable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
ι : Type u_3
f : ι → α → β
g : α → β
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
lim : Tendsto f u (𝓝 g)
this✝ : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
s : Set β
h1s : IsClosed s
h2s : s.Nonempty
h3s : s ≠ Set.univ
this : Measurable fun x => infNndist (g x) s
h4s : g ⁻¹' s = (fun x => infNndist (g x) s) ⁻¹' {0}
\u22a2 MeasurableSet (g ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metrizable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
ι : Type u_3
f : ι → α → β
g : α → β
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
lim : Tendsto f u (𝓝 g)
this✝ : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
s : Set β
h1s : IsClosed s
h2s : s.Nonempty
h3s : s ≠ Set.univ
this : Measurable fun x => infNndist (g x) s
h4s : g ⁻¹' s = (fun x => infNndist (g x) s) ⁻¹' {0}
\u22a2 MeasurableSet ((fun x => infNndist (g x) s) ⁻¹' {0})
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ : Finset α
a✝ b : α
s : Finset α
a : α
\u22a2 ↑s = {a} ↔ s = {a}
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b✝ : B
y : E b✝
e₁ e₂ : Trivialization F proj
b : B
h₁ : b ∈ e₁.baseSet
h₂ : b ∈ e₂.baseSet
\u22a2 Continuous (e₁.coordChange e₂ b)
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b✝ : B
y : E b✝
e₁ e₂ : Trivialization F proj
b : B
h₁ : b ∈ e₁.baseSet
h₂ : b ∈ e₂.baseSet
\u22a2 Continuous (Prod.mk b)
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b✝ : B
y : E b✝
e₁ e₂ : Trivialization F proj
b : B
h₁ : b ∈ e₁.baseSet
h₂ : b ∈ e₂.baseSet
\u22a2 ∀ (x : F), (b, x) ∈ e₁.target
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b✝ : B
y : E b✝
e₁ e₂ : Trivialization F proj
b : B
h₁ : b ∈ e₁.baseSet
h₂ : b ∈ e₂.baseSet
\u22a2 ∀ (x : F), ↑e₁.symm (b, x) ∈ e₂.source
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
p : X → Prop
x : X
hx : p x
h : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p x
\u22a2 range Subtype.val ∈ 𝓝 ↑⟨x, hx⟩
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
p : X → Prop
x : X
hx : p x
h : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p x
\u22a2 p ∈ 𝓝 ↑⟨x, hx⟩