ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DivergenceTheorem.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ∀ (i : Fin (n + 1)), ContinuousOn (fun y => f y i) (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc I) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
A : HasIntegral I ⊥ (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) volume.toBoxAdditive.toSMul (∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in ↑I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i ∂volume)
B : HasIntegral I IntegrationParams.GP (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) BoxAdditiveMap.volume (∑ i : Fin (n + 1), (BoxIntegral.integral (I.face i) IntegrationParams.GP (fun x => f (i.insertNth (I.upper i) x) i) BoxAdditiveMap.volume - BoxIntegral.integral (I.face i) IntegrationParams.GP (fun x => f (i.insertNth (I.lower i) x) i) BoxAdditiveMap.volume))
i : Fin (n + 1)
x✝ : i ∈ Finset.univ
\u22a2 BoxIntegral.integral (I.face i) IntegrationParams.GP (fun x => f (i.insertNth (I.upper i) x) i) BoxAdditiveMap.volume - BoxIntegral.integral (I.face i) IntegrationParams.GP (fun x => f (i.insertNth (I.lower i) x) i) BoxAdditiveMap.volume = (∫ (x : Fin n → ℝ) in ↑(I.face i), f (i.insertNth (I.upper i) x) i) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in ↑(I.face i), f (i.insertNth (I.lower i) x) i
-- Mathlib/RingTheory/TwoSidedIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x y : R
hx : x ∈ I
hy : y ∈ I
\u22a2 x + y ∈ I
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
\u22a2 TendstoLocallyUniformlyOn (_root_.deriv ∘ F) (_root_.deriv f) φ U
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
\u22a2 ∀ K ⊆ U, IsCompact K → TendstoUniformlyOn (_root_.deriv ∘ F) (_root_.deriv f) φ K
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hU : IsOpen U
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f ⊥ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in ⊥, DifferentiableOn ℂ (F n) U
\u22a2 ∀ K ⊆ U, IsCompact K → TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (deriv f) ⊥ K
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
hne : φ.NeBot
\u22a2 ∀ K ⊆ U, IsCompact K → TendstoUniformlyOn (_root_.deriv ∘ F) (_root_.deriv f) φ K
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K✝ : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
hne : φ.NeBot
K : Set ℂ
hKU : K ⊆ U
hK : IsCompact K
\u22a2 TendstoUniformlyOn (_root_.deriv ∘ F) (_root_.deriv f) φ K
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K✝ : Set ℂ
z : ℂ
M r δ✝ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
hne : φ.NeBot
K : Set ℂ
hKU : K ⊆ U
hK : IsCompact K
δ : ℝ
hδ : δ > 0
hK4 : cthickening δ K ⊆ U
h : TendstoUniformlyOn (_root_.deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
\u22a2 TendstoUniformlyOn (_root_.deriv ∘ F) (_root_.deriv f) φ K
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K✝ : Set ℂ
z✝ : ℂ
M r δ✝ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
hne : φ.NeBot
K : Set ℂ
hKU : K ⊆ U
hK : IsCompact K
δ : ℝ
hδ : δ > 0
hK4 : cthickening δ K ⊆ U
h : TendstoUniformlyOn (_root_.deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
z : ℂ
hz : z ∈ K
\u22a2 closedBall z δ ⊆ U
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MulZeroClass β
f f' : α → β
x : α
hf : HasCompactSupport f'
\u22a2 HasCompactSupport (f * f')
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MulZeroClass β
f f' : α → β
x : α
hf : f' =ᶠ[coclosedCompact α] 0
\u22a2 f * f' =ᶠ[coclosedCompact α] 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x : ℂ
\u22a2 x⁻¹.arg = if x.arg = π then π else -x.arg
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x : ℂ
\u22a2 (↑(normSq x)⁻¹ * (starRingEnd ℂ) x).arg = ((starRingEnd ℂ) x).arg
-- Mathlib/Algebra/ModEq.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
x✝ : a ≡ b [PMOD n • p]
m : ℤ
hm : b - a = m • n • p
\u22a2 b - a = (m * ↑n) • p
-- Mathlib/Control/Fix.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) → (a : α) → Part (β a)
x : α
h' : ¬∃ i, (Fix.approx f i x).Dom
\u22a2 (assert (∃ i, (Fix.approx f i x).Dom) fun h => ⋯.fix (fixAux f) Upto.zero x) = none
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
\u22a2 ContDiffAt 𝕜 ⊤ f x ↔ ∀ (n : ℕ), ContDiffAt 𝕜 (↑n) f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : CompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
s : Set G
_hs : MeasurableSet s
\u22a2 μ' s = (μ'.haarScalarFactor μ • μ) s
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
this : Module ℝ (Fin 2 → ℝ) := NormedSpace.toModule
π₀ : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℝ := LinearMap.proj 0
π₁ : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℝ := LinearMap.proj 1
f : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℂ := π₀.smulRight ↑z + π₁.smulRight 1
\u22a2 Tendsto (fun p => normSq (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1))) cofinite atTop
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
this : Module ℝ (Fin 2 → ℝ) := NormedSpace.toModule
π₀ : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℝ := LinearMap.proj 0
π₁ : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℝ := LinearMap.proj 1
f : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℂ := π₀.smulRight ↑z + π₁.smulRight 1
f_def : ⇑f = fun p => ↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)
\u22a2 Tendsto (fun p => normSq (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1))) cofinite atTop
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
this✝ : Module ℝ (Fin 2 → ℝ) := NormedSpace.toModule
π₀ : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℝ := LinearMap.proj 0
π₁ : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℝ := LinearMap.proj 1
f : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℂ := π₀.smulRight ↑z + π₁.smulRight 1
f_def : ⇑f = fun p => ↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)
this : (fun p => normSq (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1))) = ⇑normSq ∘ ⇑f ∘ fun p => Int.cast ∘ p
\u22a2 Tendsto (fun p => normSq (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1))) cofinite atTop
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
this✝ : Module ℝ (Fin 2 → ℝ) := NormedSpace.toModule
π₀ : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℝ := LinearMap.proj 0
π₁ : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℝ := LinearMap.proj 1
f : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℂ := π₀.smulRight ↑z + π₁.smulRight 1
f_def : ⇑f = fun p => ↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)
this : (fun p => normSq (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1))) = ⇑normSq ∘ ⇑f ∘ fun p => Int.cast ∘ p
hf : LinearMap.ker f = ⊥
\u22a2 Tendsto (⇑normSq ∘ ⇑f ∘ fun p => Int.cast ∘ p) cofinite atTop
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
this✝ : Module ℝ (Fin 2 → ℝ) := NormedSpace.toModule
π₀ : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℝ := LinearMap.proj 0
π₁ : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℝ := LinearMap.proj 1
f : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℂ := π₀.smulRight ↑z + π₁.smulRight 1
f_def : ⇑f = fun p => ↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)
this : (fun p => normSq (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1))) = ⇑normSq ∘ ⇑f ∘ fun p => Int.cast ∘ p
hf : LinearMap.ker f = ⊥
hf' : ClosedEmbedding ⇑f
\u22a2 Tendsto (⇑normSq ∘ ⇑f ∘ fun p => Int.cast ∘ p) cofinite atTop
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
this✝ : Module ℝ (Fin 2 → ℝ) := NormedSpace.toModule
π₀ : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℝ := LinearMap.proj 0
π₁ : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℝ := LinearMap.proj 1
f : (Fin 2 → ℝ) →ₗ[ℝ] ℂ := π₀.smulRight ↑z + π₁.smulRight 1
f_def : ⇑f = fun p => ↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)
this : (fun p => normSq (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1))) = ⇑normSq ∘ ⇑f ∘ fun p => Int.cast ∘ p
hf : LinearMap.ker f = ⊥
hf' : ClosedEmbedding ⇑f
h₂ : Tendsto (fun p => Int.cast ∘ p) cofinite (cocompact (Fin 2 → ℝ))
\u22a2 Tendsto (⇑normSq ∘ ⇑f ∘ fun p => Int.cast ∘ p) cofinite atTop
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Matching.lean
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v✝ w : V
ι : Type u_2
f : ι → G.Subgraph
hM : ∀ (i : ι), (f i).IsMatching
hd : Pairwise fun i j => Disjoint (f i).support (f j).support
v : V
hv : v ∈ (⨆ i, f i).verts
\u22a2 ∃! w, (⨆ i, f i).Adj v w
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Matching.lean
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v✝ w : V
ι : Type u_2
f : ι → G.Subgraph
hM : ∀ (i : ι), (f i).IsMatching
hd : Pairwise fun i j => Disjoint (f i).support (f j).support
v : V
hv : v ∈ (⨆ i, f i).verts
i : ι
hi : v ∈ (f i).verts
\u22a2 ∃! w, (⨆ i, f i).Adj v w
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Matching.lean
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v✝ w✝ : V
ι : Type u_2
f : ι → G.Subgraph
hM : ∀ (i : ι), (f i).IsMatching
hd : Pairwise fun i j => Disjoint (f i).support (f j).support
v : V
hv : v ∈ (⨆ i, f i).verts
i : ι
hi : v ∈ (f i).verts
w : V
hw : (fun w => (f i).Adj v w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w => (f i).Adj v w) y → y = w
\u22a2 ∃! w, (⨆ i, f i).Adj v w
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Matching.lean
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v✝ w✝ : V
ι : Type u_2
f : ι → G.Subgraph
hM : ∀ (i : ι), (f i).IsMatching
hd : Pairwise fun i j => Disjoint (f i).support (f j).support
v : V
hv : v ∈ (⨆ i, f i).verts
i : ι
hi : v ∈ (f i).verts
w : V
hw : (fun w => (f i).Adj v w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w => (f i).Adj v w) y → y = w
\u22a2 (fun w => (⨆ i, f i).Adj v w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w => (⨆ i, f i).Adj v w) y → y = w
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Matching.lean
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v✝ w✝ : V
ι : Type u_2
f : ι → G.Subgraph
hM : ∀ (i : ι), (f i).IsMatching
hd : Pairwise fun i j => Disjoint (f i).support (f j).support
v : V
hv : v ∈ (⨆ i, f i).verts
i : ι
hi : v ∈ (f i).verts
w : V
hw : (fun w => (f i).Adj v w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w => (f i).Adj v w) y → y = w
\u22a2 ∀ (y : V), (fun w => (⨆ i, f i).Adj v w) y → y = w
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Matching.lean
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v✝ w✝ : V
ι : Type u_2
f : ι → G.Subgraph
hM : ∀ (i : ι), (f i).IsMatching
hd : Pairwise fun i j => Disjoint (f i).support (f j).support
v : V
hv : v ∈ (⨆ i, f i).verts
i : ι
hi : v ∈ (f i).verts
w : V
hw : (fun w => (f i).Adj v w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w => (f i).Adj v w) y → y = w
y : V
hy : (⨆ i, f i).Adj v y
\u22a2 y = w
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Matching.lean
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v✝ w✝ : V
ι : Type u_2
f : ι → G.Subgraph
hM : ∀ (i : ι), (f i).IsMatching
hd : Pairwise fun i j => Disjoint (f i).support (f j).support
v : V
hv : v ∈ (⨆ i, f i).verts
i : ι
hi : v ∈ (f i).verts
w : V
hw : (fun w => (f i).Adj v w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w => (f i).Adj v w) y → y = w
y : V
hy : (⨆ i, f i).Adj v y
i' : ι
hi' : (f i').Adj v y
\u22a2 y = w
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
g : Set (Set α)
a : α
this : TopologicalSpace α := generateFrom g
\u22a2 𝓝 a = ⨅ s ∈ {s | a ∈ s ∧ s ∈ g}, 𝓟 s
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
g : Set (Set α)
a : α
this : TopologicalSpace α := generateFrom g
\u22a2 ⨅ s ∈ {s | a ∈ s ∧ IsOpen s}, 𝓟 s = ⨅ s ∈ {s | a ∈ s ∧ s ∈ g}, 𝓟 s
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
g : Set (Set α)
a : α
this : TopologicalSpace α := generateFrom g
\u22a2 ∀ i ∈ {s | a ∈ s ∧ IsOpen s}, ⨅ s ∈ {s | a ∈ s ∧ s ∈ g}, 𝓟 s ≤ 𝓟 i
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
g : Set (Set α)
a : α
this : TopologicalSpace α := generateFrom g
s : Set α
ha : a ∈ s
hs : IsOpen s
\u22a2 ⨅ s ∈ {s | a ∈ s ∧ s ∈ g}, 𝓟 s ≤ 𝓟 s
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
x✝ : ℕ
hk : x✝ ≤ 0
\u22a2 0 < choose 0 x✝
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
x✝ : ℕ
hk : x✝ ≤ 0
\u22a2 0 < choose 0 0
-- Mathlib/Data/Set/Countable.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
hs : s.Countable
f : α → β
\u22a2 (f '' s).Countable
-- Mathlib/Data/Set/Countable.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
hs : s.Countable
f : α → β
\u22a2 (range fun x => f ↑x).Countable
-- Mathlib/Data/Set/Countable.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
hs : s.Countable
f : α → β
this : Countable ↑s
\u22a2 (range fun x => f ↑x).Countable
-- Mathlib/Algebra/Module/Defs.lean
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S✝ : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
F : Type u_9
inst✝⁵ : FunLike F M M₂
inst✝⁴ : AddMonoidHomClass F M M₂
f : F
R : Type u_10
S : Type u_11
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module S M₂
x : ℕ
a : M
\u22a2 f (↑x • a) = ↑x • f a
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X✝ : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
X : C
\u22a2 yonedaEquiv (presheafHom φ (yoneda.obj X)) = (φ.app X).app (F.op.obj (Opposite.op X)) (𝟙 (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.op X))))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
s : Set X
hs : s.Countable
\u22a2 dimH (⋃ x ∈ s, {x}) = 0
-- Mathlib/Tactic/Positivity/Core.lean
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (n < 0) = true
\u22a2 e ≠ 0
-- Mathlib/Tactic/Positivity/Core.lean
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (n < 0) = true
pos_invOf_d : 0 < ⅟↑d
\u22a2 e ≠ 0
-- Mathlib/Tactic/Positivity/Core.lean
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (n < 0) = true
pos_invOf_d : 0 < ⅟↑d
neg_n : ↑n < 0
\u22a2 e ≠ 0
-- Mathlib/Tactic/Positivity/Core.lean
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (n < 0) = true
pos_invOf_d : 0 < ⅟↑d
neg_n : ↑n < 0
neg : ↑n * ⅟↑d < 0
\u22a2 e ≠ 0
-- Mathlib/Tactic/Positivity/Core.lean
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (n < 0) = true
pos_invOf_d : 0 < ⅟↑d
neg_n : ↑n < 0
neg : ↑n * ⅟↑d < 0
\u22a2 ↑n * ⅟↑d ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : CommRing T
inst✝¹⁴ : Algebra R S
inst✝¹³ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Algebra R L
inst✝⁶ : Algebra L F
inst✝⁵ : Algebra R F
inst✝⁴ : IsScalarTower R L F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra K E
pb : PowerBasis K L
hE : Splits (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen)
hfx : IsSeparable K pb.gen
this✝ : DecidableEq E := Classical.decEq E
this : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
\u22a2 (algebraMap K E) ((Algebra.trace K L) pb.gen) = ∑ σ : L →ₐ[K] E, σ pb.gen
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : CommRing T
inst✝¹⁴ : Algebra R S
inst✝¹³ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Algebra R L
inst✝⁶ : Algebra L F
inst✝⁵ : Algebra R F
inst✝⁴ : IsScalarTower R L F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra K E
pb : PowerBasis K L
hE : Splits (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen)
hfx : IsSeparable K pb.gen
this✝ : DecidableEq E := Classical.decEq E
this : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
\u22a2 ((minpoly K pb.gen).aroots E).Nodup
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : CommRing T
inst✝¹⁴ : Algebra R S
inst✝¹³ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Algebra R L
inst✝⁶ : Algebra L F
inst✝⁵ : Algebra R F
inst✝⁴ : IsScalarTower R L F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra K E
pb : PowerBasis K L
hE : Splits (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen)
hfx : IsSeparable K pb.gen
this✝ : DecidableEq E := Classical.decEq E
this : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
\u22a2 { x // x ∈ (minpoly K pb.gen).aroots E } → E
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : CommRing T
inst✝¹⁴ : Algebra R S
inst✝¹³ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Algebra R L
inst✝⁶ : Algebra L F
inst✝⁵ : Algebra R F
inst✝⁴ : IsScalarTower R L F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra K E
pb : PowerBasis K L
hE : Splits (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen)
hfx : IsSeparable K pb.gen
this✝ : DecidableEq E := Classical.decEq E
this : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
\u22a2 ∀ (x : { x // x ∈ (minpoly K pb.gen).aroots E }), ?f x = _root_.id ↑x
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : CommRing T
inst✝¹⁴ : Algebra R S
inst✝¹³ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Algebra R L
inst✝⁶ : Algebra L F
inst✝⁵ : Algebra R F
inst✝⁴ : IsScalarTower R L F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra K E
pb : PowerBasis K L
hE : Splits (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen)
hfx : IsSeparable K pb.gen
this✝ : DecidableEq E := Classical.decEq E
this : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
\u22a2 ∀ (x : L →ₐ[K] E), x pb.gen = ?f (pb.liftEquiv' x)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Int.lean
m n✝ n : ℤ
\u22a2 ∃ k, n = 2 * k ∨ n = 2 * k + 1
-- Mathlib/Dynamics/BirkhoffSum/Average.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : DivisionSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
S : Type u_4
F : Type u_5
N : Type u_6
inst✝⁴ : DivisionSemiring S
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : AddMonoidHomClass F M N
g' : F
f : α → α
g : α → M
n : ℕ
x : α
\u22a2 g' (birkhoffAverage R f g n x) = birkhoffAverage S f (⇑g' ∘ g) n x
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
a : α
x : γ
\u22a2 x ∈ {x | 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x} ↔ 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
h : T.IsMaximal
φ : L.Sentence
hφ : T ⊨ᵇ φ
\u22a2 φ ∈ T
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
h : T.IsMaximal
φ : L.Sentence
hφ : T ⊨ᵇ φ
con : Formula.not φ ∈ T
\u22a2 False
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
h : T.IsMaximal
φ : L.Sentence
hφ : ¬T.IsSatisfiable
con : Formula.not φ ∈ T
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Lie/Sl2.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
\u22a2 ⁅h, f⁆ = -(2 • f)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
p : α → Prop
\u22a2 {b | p (e.symm b)} = ⇑e '' {a | p a}
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n p✝ p q : ℕ
hp : Prime p
h : p.factorization q ≠ 0
\u22a2 p = q
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
\u22a2 (map f p).degree ≤ p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m✝ n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
m : ℕ
hm : p.degree < ↑m
\u22a2 (map f p).coeff m = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m✝ n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
m : ℕ
hm : ∀ (m_1 : ℕ), m ≤ m_1 → p.coeff m_1 = 0
\u22a2 (map f p).coeff m = 0
-- Mathlib/Data/List/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ
\u22a2 map Prod.swap (antidiagonal n) = (antidiagonal n).reverse
-- Mathlib/Data/List/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ
\u22a2 map (Prod.swap ∘ fun i => (i, n - i)) (range (n + 1)) = map ((fun i => (i, n - i)) ∘ fun x => 0 + (n + 1) - 1 - x) (range (n + 1))
-- Mathlib/Data/List/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ
\u22a2 ∀ a ∈ range (n + 1), (Prod.swap ∘ fun i => (i, n - i)) a = ((fun i => (i, n - i)) ∘ fun x => 0 + (n + 1) - 1 - x) a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 0 < n
a : R
h : X ^ n + C a = 1
\u22a2 n = 0
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y✝ : α
hx : f x ≠ x
hf : f.IsCycle
y : α
x✝ : f.SameCycle x y
hy : f y = y
i : ℤ
hi : (f ^ i) x = y
\u22a2 f x = x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y✝ : α
hx : f x ≠ x
hf : f.IsCycle
y : α
x✝ : f.SameCycle x y
hy : f y = y
i : ℤ
hi : x = y
\u22a2 f x = x
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
a0 : a ≠ 0
b : Ordinal.{u_4}
\u22a2 a * (a * b / a) = a * b
-- Mathlib/Algebra/Order/Monovary.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
f g : ι → α
s : Set ι
a b c d : α
\u22a2 Monovary f g ↔ ∀ (i j : ι), 0 ≤ (f j - f i) * (g j - g i)