ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Constructions.lean
B : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F₁
E₁ : B → Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace F₂
E₂ : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝¹ : (x : B) → Zero (E₁ x)
inst✝ : (x : B) → Zero (E₂ x)
\u22a2 ContinuousOn (invFun' e₁ e₂) ((e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet) ×ˢ univ)
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Constructions.lean
B : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F₁
E₁ : B → Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace F₂
E₂ : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝¹ : (x : B) → Zero (E₁ x)
inst✝ : (x : B) → Zero (E₂ x)
\u22a2 ContinuousOn ((fun p => ({ proj := p.proj, snd := p.snd.1 }, { proj := p.proj, snd := p.snd.2 })) ∘ invFun' e₁ e₂) ((e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet) ×ˢ univ)
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Constructions.lean
B : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F₁
E₁ : B → Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace F₂
E₂ : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝¹ : (x : B) → Zero (E₁ x)
inst✝ : (x : B) → Zero (E₂ x)
H₁ : Continuous fun p => ((p.1, p.2.1), p.1, p.2.2)
\u22a2 ContinuousOn ((fun p => ({ proj := p.proj, snd := p.snd.1 }, { proj := p.proj, snd := p.snd.2 })) ∘ invFun' e₁ e₂) ((e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet) ×ˢ univ)
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Constructions.lean
B : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F₁
E₁ : B → Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace F₂
E₂ : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝¹ : (x : B) → Zero (E₁ x)
inst✝ : (x : B) → Zero (E₂ x)
H₁ : Continuous fun p => ((p.1, p.2.1), p.1, p.2.2)
\u22a2 MapsTo (fun p => ((p.1, p.2.1), p.1, p.2.2)) ((e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet) ×ˢ univ) ((e₁.baseSet ×ˢ univ) ×ˢ e₂.baseSet ×ˢ univ)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
x : Fin (n + 1) → G
\u22a2 ((((Linear.homCongr k (diagonalSucc k G n ≪≫ (Representation.ofMulAction k G G).repOfTprodIso 1) (Iso.refl A)).trans ((MonoidalClosed.linearHomEquivComm (of (Representation.ofMulAction k G G)) (of 1) A).trans ((ihom (of 1)).obj A).leftRegularHomEquiv)).trans (Finsupp.llift (CoeSort.coe A) k k (Fin n → G)).symm).symm f).hom (Finsupp.single x 1) = (A.ρ (x 0)) (f fun i => (x i.castSucc)⁻¹ * x i.succ)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
x : Fin (n + 1) → G
\u22a2 (((diagonalSucc k G n).hom.hom ≫ ((Representation.ofMulAction k G G).repOfTprodIso 1).hom.hom) ≫ (TensorProduct.uncurry k (CoeSort.coe (of (Representation.ofMulAction k G G))) (CoeSort.coe (of 1)) (CoeSort.coe A)) (((ihom (of 1)).obj A).leftRegularHom ((Finsupp.llift (CoeSort.coe A) k k (Fin n → G)) f)).hom) (Finsupp.single x 1) = (A.ρ (x 0)) (f fun i => (x i.castSucc)⁻¹ * x i.succ)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
x : Fin (n + 1) → G
\u22a2 (⇑((TensorProduct.uncurry k (CoeSort.coe (of (Representation.ofMulAction k G G))) (CoeSort.coe (of 1)) (CoeSort.coe A)) (((ihom (of 1)).obj A).leftRegularHom ((Finsupp.llift (CoeSort.coe A) k k (Fin n → G)) f)).hom) ∘ ⇑((diagonalSucc k G n).hom.hom ≫ ((Representation.ofMulAction k G G).repOfTprodIso 1).hom.hom)) (Finsupp.single x 1) = (A.ρ (x 0)) (f fun i => (x i.castSucc)⁻¹ * x i.succ)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
x : Fin (n + 1) → G
\u22a2 ((TensorProduct.uncurry k (CoeSort.coe (of (Representation.ofMulAction k G G))) (CoeSort.coe (of 1)) (CoeSort.coe A)) (((ihom (of 1)).obj A).leftRegularHom ((Finsupp.llift (CoeSort.coe A) k k (Fin n → G)) f)).hom) (((Representation.ofMulAction k G G).repOfTprodIso 1).hom.hom ((diagonalSucc k G n).hom.hom (Finsupp.single x 1))) = (A.ρ (x 0)) (f fun i => (x i.castSucc)⁻¹ * x i.succ)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
x : Fin (n + 1) → G
\u22a2 ((TensorProduct.uncurry k (CoeSort.coe (of (Representation.ofMulAction k G G))) (CoeSort.coe (of 1)) (CoeSort.coe A)) (((ihom (of 1)).obj A).leftRegularHom ((Finsupp.llift (CoeSort.coe A) k k (Fin n → G)) f)).hom) (Finsupp.single (x 0) 1 ⊗ₜ[k] Finsupp.single (fun i => (x i.castSucc)⁻¹ * x i.succ) 1) = (A.ρ (x 0)) (f fun i => (x i.castSucc)⁻¹ * x i.succ)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
x : Fin (n + 1) → G
\u22a2 (1 • (((ihom (of 1)).obj A).ρ (x 0)) ((Finsupp.llift (CoeSort.coe A) k k (Fin n → G)) f)) (Finsupp.single (fun i => (x i.castSucc)⁻¹ * x i.succ) 1) = (A.ρ (x 0)) (f fun i => (x i.castSucc)⁻¹ * x i.succ)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
x : Fin (n + 1) → G
\u22a2 0 • (((ihom (of 1)).obj A).ρ (x 0)) ((Finsupp.llift (CoeSort.coe A) k k (Fin n → G)) f) = 0
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
inst✝ : f.NeBot
p : α → Prop
q : Prop
\u22a2 (∃ᶠ (x : α) in f, p x → q) ↔ (∀ᶠ (x : α) in f, p x) → q
-- Mathlib/Probability/Independence/Basic.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
m₁ m₂ m₃ m' _mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
\u22a2 IndepSets {s} {t} μ ↔ μ (s ∩ t) = μ s * μ t
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t✝ : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
t : Finset ι
s : ι → Set X
hs : ∀ i ∈ t, MeasurableSet (s i)
h's : (↑t).Pairwise (Disjoint on s)
hf : ∀ i ∈ t, IntegrableOn f (s i) μ
\u22a2 ∫ (x : X) in ⋃ i ∈ t, s i, f x ∂μ = ∑ i ∈ t, ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
s : ι → Set X
hs : ∀ i ∈ ∅, MeasurableSet (s i)
h's : (↑∅).Pairwise (Disjoint on s)
hf : ∀ i ∈ ∅, IntegrableOn f (s i) μ
\u22a2 ∫ (x : X) in ⋃ i ∈ ∅, s i, f x ∂μ = ∑ i ∈ ∅, ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t✝ : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
s : ι → Set X
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
IH : (∀ i ∈ t, MeasurableSet (s i)) → (↑t).Pairwise (Disjoint on s) → (∀ i ∈ t, IntegrableOn f (s i) μ) → ∫ (x : X) in ⋃ i ∈ t, s i, f x ∂μ = ∑ i ∈ t, ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ
hs : ∀ i ∈ insert a t, MeasurableSet (s i)
h's : (↑(insert a t)).Pairwise (Disjoint on s)
hf : ∀ i ∈ insert a t, IntegrableOn f (s i) μ
\u22a2 ∫ (x : X) in ⋃ i ∈ insert a t, s i, f x ∂μ = ∑ i ∈ insert a t, ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x : ℂ
y : ℝ
\u22a2 x ^ ↑y = ↑(abs x ^ y) * (↑(Real.cos (x.arg * y)) + ↑(Real.sin (x.arg * y)) * I)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
y : ℝ
\u22a2 0 ^ ↑y = ↑(abs 0 ^ y) * (↑(Real.cos (arg 0 * y)) + ↑(Real.sin (arg 0 * y)) * I)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x : ℂ
y : ℝ
hx : x ≠ 0
\u22a2 x ^ ↑y = ↑(abs x ^ y) * (↑(Real.cos (x.arg * y)) + ↑(Real.sin (x.arg * y)) * I)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Group.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : α → G
hf : Multipliable f
e : Set G
he : e ∈ 𝓝 1
\u22a2 e ∈ Filter.map f cofinite
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Group.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : α → G
hf : Multipliable f
e : Set G
he : e ∈ 𝓝 1
\u22a2 f ⁻¹' e ∈ cofinite
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Group.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : α → G
hf : Multipliable f
e : Set G
he : e ∈ 𝓝 1
s : Finset α
hs : ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∏ k ∈ t, f k ∈ e
\u22a2 f ⁻¹' e ∈ cofinite
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Group.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : α → G
hf : Multipliable f
e : Set G
he : e ∈ 𝓝 1
s : Finset α
hs : ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∏ k ∈ t, f k ∈ e
x : α
hx : x ∉ s
\u22a2 f x ∈ e
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
\u22a2 ContMDiffAt I I' (↑n) f x ↔ ∀ᶠ (x' : M) in 𝓝 x, ContMDiffAt I I' (↑n) f x'
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
\u22a2 ContMDiffAt I I' (↑n) f x → ∀ᶠ (x' : M) in 𝓝 x, ContMDiffAt I I' (↑n) f x'
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
\u22a2 (∃ u ∈ 𝓝 x, ContMDiffOn I I' (↑n) f u) → ∀ᶠ (x' : M) in 𝓝 x, ContMDiffAt I I' (↑n) f x'
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 x
h : ContMDiffOn I I' (↑n) f u
\u22a2 ∀ᶠ (x' : M) in 𝓝 x, ContMDiffAt I I' (↑n) f x'
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
u : Set M
hu : u ∈ 𝓝 x
h : ContMDiffOn I I' (↑n) f u
x' : M
hx' : u ∈ 𝓝 x'
\u22a2 ContMDiffAt I I' (↑n) f x'
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/EpiMono.lean
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
\u22a2 Mono f ↔ Function.Injective ⇑f
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/EpiMono.lean
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
\u22a2 Mono f ↔ Mono ((forget TopCat).map f)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : Subsingleton F
\u22a2 ContDiffOn 𝕜 n f s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : Subsingleton F
\u22a2 ContDiffOn 𝕜 n (fun x => 0) s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f✝ f : M →ₗ[R] M₂
g : M₃ →ₗ[R] M₄
\u22a2 Submodule.comap (f.prodMap g) ⊥ = (Submodule.comap f ⊥).prod (Submodule.comap g ⊥)
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Basic.lean
F✝ : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
f₀ f₁ : C(X, Y)
S : Set X
F : f₀.HomotopyRel f₁ S
t : ↑I
x : X
hx : x ∈ S
\u22a2 F (t, x) = f₁ x
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m n : E
\u22a2 fract b m = fract b n ↔ -m + n ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
\u22a2 (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ n) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
\u22a2 (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ n) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
\u22a2 ∀ (d : idx × ℕ →₀ ℕ), (fun x => ↑x) (coeff d (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) n)).num = coeff d (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) n)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
c : idx × ℕ →₀ ℕ
\u22a2 (fun x => ↑x) (coeff c (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) n)).num = coeff c (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) n)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
IH : ∀ m < n, (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittStructureInt p Φ m) = wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) m
c : idx × ℕ →₀ ℕ
\u22a2 (fun x => ↑x) (coeff c ((bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i ^ p ^ (n - i)) / ↑p ^ n).num = coeff c ((bind₁ fun b => (rename fun i => (b, i)) (W_ ℚ n)) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ) i ^ p ^ (n - i)) / ↑p ^ n