ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
inst✝¹ : Fintype V
G' : G.Subgraph
inst✝ : Fintype ↑G'.verts
h : G'.IsSpanning
\u22a2 Finset.univ.card = Fintype.card V
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
n : ℕ
hn : 0 < n
a x : R
\u22a2 x ∈ nthRoots n a ↔ x ^ n = a
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
\u22a2 cyclotomic p R = ∑ i ∈ range p, X ^ i
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
\u22a2 cyclotomic p ℤ = ∑ i ∈ range p, X ^ i
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v✝ v : E
\u22a2 HasFDerivAt (stereoInvFunAux v) (ContinuousLinearMap.id ℝ E) 0
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v✝ v : E
h₀ : HasFDerivAt (fun w => ‖w‖ ^ 2) 0 0
\u22a2 HasFDerivAt (stereoInvFunAux v) (ContinuousLinearMap.id ℝ E) 0
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v✝ v : E
h₀ : HasFDerivAt (fun w => ‖w‖ ^ 2) 0 0
h₁ : HasFDerivAt (fun w => (‖w‖ ^ 2 + 4)⁻¹) 0 0
\u22a2 HasFDerivAt (stereoInvFunAux v) (ContinuousLinearMap.id ℝ E) 0
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v✝ v : E
h₀ : HasFDerivAt (fun w => ‖w‖ ^ 2) 0 0
h₁ : HasFDerivAt (fun w => (‖w‖ ^ 2 + 4)⁻¹) 0 0
h₂ : HasFDerivAt (fun w => 4 • w + (‖w‖ ^ 2 - 4) • v) (4 • ContinuousLinearMap.id ℝ E) 0
\u22a2 HasFDerivAt (stereoInvFunAux v) (ContinuousLinearMap.id ℝ E) 0
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v✝ v : E
h₀ : HasFDerivAt (fun w => ‖w‖ ^ 2) 0 0
h₁ : HasFDerivAt (fun w => (‖w‖ ^ 2 + 4)⁻¹) 0 0
h₂ : HasFDerivAt (fun w => 4 • w + (‖w‖ ^ 2 - 4) • v) (4 • ContinuousLinearMap.id ℝ E) 0
\u22a2 ContinuousLinearMap.id ℝ E = (‖0‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ContinuousLinearMap.id ℝ E + ContinuousLinearMap.smulRight 0 (4 • 0 + (‖0‖ ^ 2 - 4) • v)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' : D
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y'
h : X' ⟶ G.obj Y
k : Y ⟶ Y'
w : F.map f ≫ (adj.homEquiv X Y').symm g = (adj.homEquiv X' Y).symm h ≫ k
\u22a2 f ≫ g = h ≫ G.map k
-- Mathlib/Order/Directed.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s : α → α → Prop
h : Reflexive r
a b : α
hab : r a b
\u22a2 DirectedOn r {b, a}
-- Mathlib/Order/Directed.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s : α → α → Prop
h : Reflexive r
a b : α
hab : r a b
\u22a2 DirectedOn r {a, b}
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
\u22a2 x + 1 ≤ rexp x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
\u22a2 0 + 1 ≤ rexp 0
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx : x ≠ 0
\u22a2 x + 1 ≤ rexp x
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
h h₁ h₂ : Set α → Set β
f g : Filter α
s : Set α → Set β
hs : ∀ (t₁ t₂ : Set α), s (t₁ ∩ t₂) = s t₁ ∩ s t₂
\u22a2 (f ⊓ g).lift' s = f.lift' s ⊓ g.lift' s
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
h h₁ h₂ : Set α → Set β
f g : Filter α
s : Set α → Set β
hs : ∀ (t₁ t₂ : Set α), s (t₁ ∩ t₂) = s t₁ ∩ s t₂
\u22a2 ⨅ i, (bif i then f else g).lift' s = ⨅ b, bif b then f.lift' s else g.lift' s
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
h h₁ h₂ : Set α → Set β
f g : Filter α
s : Set α → Set β
hs : ∀ (t₁ t₂ : Set α), s (t₁ ∩ t₂) = s t₁ ∩ s t₂
\u22a2 ∀ (i : Bool), (bif i then f else g).lift' s = bif i then f.lift' s else g.lift' s
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ι'✝ : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t✝ : ι✝ → α
ht✝ : Independent t✝
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
t : ι → α
f : ι' → ι
ht : Independent t
hf : Injective f
i : ι'
\u22a2 ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), (t ∘ f) j ≤ ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ f i), t j
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ι'✝ : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t✝ : ι✝ → α
ht✝ : Independent t✝
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
t : ι → α
f : ι' → ι
ht : Independent t
hf : Injective f
i✝ i : ι'
\u22a2 ⨆ (_ : i ≠ i✝), (t ∘ f) i ≤ ⨆ (_ : f i ≠ f i✝), t (f i)
-- Mathlib/Topology/Category/LightProfinite/Limits.lean
X Y B : LightProfinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : LightProfinite
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget LightProfinite).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z
\u22a2 a z = b z
-- Mathlib/Topology/Category/LightProfinite/Limits.lean
X Y B : LightProfinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : LightProfinite
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget LightProfinite).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z
\u22a2 ↑(a z) = ↑(b z)
-- Mathlib/Topology/Category/LightProfinite/Limits.lean
X Y B : LightProfinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : LightProfinite
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget LightProfinite).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z
\u22a2 (↑(a z)).1 = (↑(b z)).1
-- Mathlib/Topology/Category/LightProfinite/Limits.lean
X Y B : LightProfinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : LightProfinite
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget LightProfinite).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z
\u22a2 (↑(a z)).2 = (↑(b z)).2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Dart.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
p : V × V
h : G.Adj p.1 p.2
\u22a2 ∀ {p_1 : V × V}, { toProd := p, adj := h }.edge = Sym2.mk p_1 ↔ { toProd := p, adj := h }.toProd = p_1 ∨ { toProd := p, adj := h }.toProd = p_1.swap
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s t : Set α
a : α
\u22a2 s⁻¹ = ∅ ↔ s = ∅
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
X : C
\u22a2 Triangle.mk 0 (𝟙 X) 0 ∈ distinguishedTriangles
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
X : C
\u22a2 Triangle.mk 0 (𝟙 X) 0 ≅ (contractibleTriangle X).invRotate
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.250887, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain K F m
β : Cochain K G n
n' m' : ℤ
α' : Cochain F L m'
β' : Cochain G L n'
h : n + 1 = m
h' : m' + 1 = n'
p : ℤ
hp : n + n' = p
p₁ p₂ p₃ : ℤ
h₁₂ : p₁ + n = p₂
h₂₃ : p₂ + n' = p₃
q : ℤ
hq : p₁ + m = q
\u22a2 (liftCochain φ α β h).v p₁ p₂ h₁₂ ≫ (descCochain φ α' β' h').v p₂ p₃ h₂₃ = α.v p₁ q hq ≫ α'.v q p₃ ⋯ + β.v p₁ p₂ h₁₂ ≫ β'.v p₂ p₃ h₂₃
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.250887, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain K F m
β : Cochain K G n
n' m' : ℤ
α' : Cochain F L m'
β' : Cochain G L n'
h : n + 1 = m
h' : m' + 1 = n'
p : ℤ
hp : n + n' = p
p₁ p₂ p₃ : ℤ
h₁₂ : p₁ + n = p₂
h₂₃ : p₂ + n' = p₃
q : ℤ
hq : p₁ + m = q
eq : ((liftCochain φ α β h).comp (descCochain φ α' β' h') hp).v p₁ p₃ ⋯ = (α.comp α' ⋯ + β.comp β' ⋯).v p₁ p₃ ⋯
\u22a2 (liftCochain φ α β h).v p₁ p₂ h₁₂ ≫ (descCochain φ α' β' h').v p₂ p₃ h₂₃ = α.v p₁ q hq ≫ α'.v q p₃ ⋯ + β.v p₁ p₂ h₁₂ ≫ β'.v p₂ p₃ h₂₃
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
x₀ : E
n : ℕ
h : f =O[𝓝 x₀] fun x => ‖x - x₀‖ ^ n
hn : 1 < n
\u22a2 HasFDerivAt f 0 x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
x₀ : E
n : ℕ
h : f =O[𝓝[univ] x₀] fun x => ‖x - x₀‖ ^ n
hn : 1 < n
\u22a2 HasFDerivAt f 0 x₀
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : _root_.Finite ι
b : Basis ι R M
f : ι →₀ R
i : ι
this : DecidableEq ι
\u22a2 ((Finsupp.total ι (Dual R M) R b.coord) f) (b i) = f i
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n✝ : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
n : ℕ∞
Hcont : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (fun x => iteratedDerivWithin m f s x) s
Hdiff : ∀ (m : ℕ), ↑m < n → DifferentiableOn 𝕜 (fun x => iteratedDerivWithin m f s x) s
\u22a2 ContDiffOn 𝕜 n f s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n✝ : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
n : ℕ∞
Hcont : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (fun x => iteratedDerivWithin m f s x) s
Hdiff : ∀ (m : ℕ), ↑m < n → DifferentiableOn 𝕜 (fun x => iteratedDerivWithin m f s x) s
\u22a2 ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (fun x => iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s x) s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n✝ : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
n : ℕ∞
Hcont : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (fun x => iteratedDerivWithin m f s x) s
Hdiff : ∀ (m : ℕ), ↑m < n → DifferentiableOn 𝕜 (fun x => iteratedDerivWithin m f s x) s
\u22a2 ∀ (m : ℕ), ↑m < n → DifferentiableOn 𝕜 (fun x => iteratedFDerivWithin 𝕜 m f s x) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ
\u22a2 c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x) = ∫ (x : ℝ) in c * a..c * b, f x
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
\u22a2 #↑(Ioi a) = 𝔠
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
\u22a2 𝔠 ≤ #↑(Ioi a)
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
\u22a2 ¬#↑(Ioi a) < 𝔠
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
h : #↑(Ioi a) < 𝔠
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
h : #↑(Ioi a) < 𝔠
\u22a2 #↑Set.univ < 𝔠
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
h : #↑(Ioi a) < 𝔠
hu : Iio a ∪ {a} ∪ Ioi a = Set.univ
\u22a2 #↑Set.univ < 𝔠
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
h : #↑(Ioi a) < 𝔠
hu : Iio a ∪ {a} ∪ Ioi a = Set.univ
\u22a2 #↑(Iio a ∪ {a} ∪ Ioi a) < 𝔠
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
h : #↑(Ioi a) < 𝔠
hu : Iio a ∪ {a} ∪ Ioi a = Set.univ
\u22a2 #↑(Iio a ∪ {a}) + #↑(Ioi a) < 𝔠
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
h : #↑(Ioi a) < 𝔠
hu : Iio a ∪ {a} ∪ Ioi a = Set.univ
\u22a2 #↑(Iio a) + #↑{a} + #↑(Ioi a) < 𝔠
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
h : #↑(Ioi a) < 𝔠
hu : Iio a ∪ {a} ∪ Ioi a = Set.univ
h2 : (fun x => a + a - x) '' Ioi a = Iio a
\u22a2 #↑(Iio a) + #↑{a} + #↑(Ioi a) < 𝔠
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
h : #↑(Ioi a) < 𝔠
hu : Iio a ∪ {a} ∪ Ioi a = Set.univ
h2 : (fun x => a + a - x) '' Ioi a = Iio a
\u22a2 #↑((fun x => a + a - x) '' Ioi a) + #↑{a} + #↑(Ioi a) < 𝔠
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
h : #↑(Ioi a) < 𝔠
hu : Iio a ∪ {a} ∪ Ioi a = Set.univ
h2 : (fun x => a + a - x) '' Ioi a = Iio a
\u22a2 #↑((fun x => a + a - x) '' Ioi a) + #↑{a} < 𝔠
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
h : #↑(Ioi a) < 𝔠
hu : Iio a ∪ {a} ∪ Ioi a = Set.univ
h2 : (fun x => a + a - x) '' Ioi a = Iio a
\u22a2 #↑{a} < 𝔠
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
h : #↑(Ioi a) < 𝔠
hu : Iio a ∪ {a} ∪ Ioi a = Set.univ
h2 : (fun x => a + a - x) '' Ioi a = Iio a
\u22a2 1 < 𝔠
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : μ.IsNegInvariant
h : ConvolutionExistsAt f g x L μ
\u22a2 Integrable (fun t => (L (f (x - t))) (g t)) μ
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : μ.IsNegInvariant
h : ConvolutionExistsAt f g x L μ
x✝ : G
\u22a2 x✝ = x - (x - x✝)
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
S : Type
inst✝ : CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
x : ZMod m
hψ : ψ (-1) = 1
\u22a2 ψ (-x) = ψ x
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
S : Type
inst✝ : CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
x : ZMod m
hψ : ψ (-1) = 1
\u22a2 ψ (-1) * ψ x = ψ x
-- Mathlib/Computability/DFA.lean
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
hx : x ∈ M.accepts
hlen : Fintype.card σ ≤ x.length
\u22a2 ∃ a b c, x = a ++ b ++ c ∧ a.length + b.length ≤ Fintype.card σ ∧ b ≠ [] ∧ {a} * {b}∗ * {c} ≤ M.accepts
-- Mathlib/Computability/DFA.lean
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
hx✝ : x ∈ M.accepts
hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length
a b c : List α
hx : x = a ++ b ++ c
hlen : a.length + b.length ≤ Fintype.card σ
hnil : b ≠ []
hb : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) b = M.evalFrom M.start a
hc : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) c = M.evalFrom M.start x
\u22a2 ∃ a b c, x = a ++ b ++ c ∧ a.length + b.length ≤ Fintype.card σ ∧ b ≠ [] ∧ {a} * {b}∗ * {c} ≤ M.accepts
-- Mathlib/Computability/DFA.lean
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
hx✝ : x ∈ M.accepts
hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length
a b c : List α
hx : x = a ++ b ++ c
hlen : a.length + b.length ≤ Fintype.card σ
hnil : b ≠ []
hb : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) b = M.evalFrom M.start a
hc : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) c = M.evalFrom M.start x
\u22a2 {a} * {b}∗ * {c} ≤ M.accepts
-- Mathlib/Computability/DFA.lean
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
hx✝ : x ∈ M.accepts
hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length
a b c : List α
hx : x = a ++ b ++ c
hlen : a.length + b.length ≤ Fintype.card σ
hnil : b ≠ []
hb : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) b = M.evalFrom M.start a
hc : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) c = M.evalFrom M.start x
y : List α
hy : y ∈ {a} * {b}∗ * {c}
\u22a2 y ∈ M.accepts
-- Mathlib/Computability/DFA.lean
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
hx✝ : x ∈ M.accepts
hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length
a b c : List α
hx : x = a ++ b ++ c
hlen : a.length + b.length ≤ Fintype.card σ
hnil : b ≠ []
hb : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) b = M.evalFrom M.start a
hc : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) c = M.evalFrom M.start x
y : List α
hy : ∃ a_1 ∈ {a} * {b}∗, ∃ b ∈ {c}, a_1 ++ b = y
\u22a2 y ∈ M.accepts
-- Mathlib/Computability/DFA.lean
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
hx✝ : x ∈ M.accepts
hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length
a b c : List α
hx : x = a ++ b ++ c
hlen : a.length + b.length ≤ Fintype.card σ
hnil : b ≠ []
hb : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) b = M.evalFrom M.start a
hc : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) c = M.evalFrom M.start x
ab : List α
hab : ab ∈ {a} * {b}∗
c' : List α
hc' : c' ∈ {c}
\u22a2 ab ++ c' ∈ M.accepts
-- Mathlib/Computability/DFA.lean
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
hx✝ : x ∈ M.accepts
hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length
a b c : List α
hx : x = a ++ b ++ c
hlen : a.length + b.length ≤ Fintype.card σ
hnil : b ≠ []
hb : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) b = M.evalFrom M.start a
hc : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) c = M.evalFrom M.start x
ab : List α
hab : ∃ a_1 ∈ {a}, ∃ b_1 ∈ {b}∗, a_1 ++ b_1 = ab
c' : List α
hc' : c' ∈ {c}
\u22a2 ab ++ c' ∈ M.accepts
-- Mathlib/Computability/DFA.lean
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
hx✝ : x ∈ M.accepts
hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length
a b c : List α
hx : x = a ++ b ++ c
hlen : a.length + b.length ≤ Fintype.card σ
hnil : b ≠ []
hb : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) b = M.evalFrom M.start a
hc : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) c = M.evalFrom M.start x
c' : List α
hc' : c' ∈ {c}
a' : List α
ha' : a' ∈ {a}
b' : List α
hb' : b' ∈ {b}∗
\u22a2 a' ++ b' ++ c' ∈ M.accepts
-- Mathlib/Computability/DFA.lean
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
hx✝ : x ∈ M.accepts
hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length
a b c : List α
hx : x = a ++ b ++ c
hlen : a.length + b.length ≤ Fintype.card σ
hnil : b ≠ []
hb : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) b = M.evalFrom M.start a
hc : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a) c = M.evalFrom M.start x
c' : List α
hc' : c' = c
a' : List α
ha' : a' = a
b' : List α
hb' : b' ∈ {b}∗
\u22a2 a' ++ b' ++ c' ∈ M.accepts
-- Mathlib/Computability/DFA.lean
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
hx✝ : x ∈ M.accepts
hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length
b : List α
hnil : b ≠ []
c' a' b' : List α
hb' : b' ∈ {b}∗
hlen : a'.length + b.length ≤ Fintype.card σ
hb : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a') b = M.evalFrom M.start a'
hx : x = a' ++ b ++ c'
hc : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a') c' = M.evalFrom M.start x
\u22a2 a' ++ b' ++ c' ∈ M.accepts
-- Mathlib/Computability/DFA.lean
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
hx✝ : x ∈ M.accepts
hlen✝ : Fintype.card σ ≤ x.length
b : List α
hnil : b ≠ []
c' a' b' : List α
hb' : b' ∈ {b}∗
hlen : a'.length + b.length ≤ Fintype.card σ
hb : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a') b = M.evalFrom M.start a'
hx : x = a' ++ b ++ c'
hc : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a') c' = M.evalFrom M.start x
h : M.evalFrom (M.evalFrom M.start a') b' = M.evalFrom M.start a'
\u22a2 a' ++ b' ++ c' ∈ M.accepts
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing A'
inst✝⁷ : CommRing A''
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R A'
inst✝⁴ : Algebra R A''
a b : R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra K A
inst✝¹ : IsEmpty ι
inst✝ : Nontrivial A
\u22a2 AlgebraicIndependent K x
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing A'
inst✝⁷ : CommRing A''
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R A'
inst✝⁴ : Algebra R A''
a b : R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra K A
inst✝¹ : IsEmpty ι
inst✝ : Nontrivial A
\u22a2 Injective ⇑(algebraMap K A)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
b : Finset M
h : LinearIndependent R fun x => ↑x
\u22a2 b.card ≤ finrank R M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
b : Finset M
h : LinearIndependent R fun x => ↑x
\u22a2 Fintype.card { x // x ∈ b } ≤ finrank R M
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x y : ℝ
\u22a2 Real.toEReal ⁻¹' Ioc ↑x ↑y = Ioc x y
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x y : ℝ
\u22a2 Real.toEReal ⁻¹' (Ioi ↑x ∩ Iic ↑y) = Ioi x ∩ Iic y
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n b : ℕ
l : List ℕ
hl : l ≠ []
hl2 : l.getLast hl ≠ 0
\u22a2 (b + 2) ^ l.length ≤ (b + 2) * ofDigits (b + 2) l
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n b : ℕ
l : List ℕ
hl : l ≠ []
hl2 : l.getLast hl ≠ 0
\u22a2 (b + 2) ^ (l.dropLast ++ [l.getLast hl]).length ≤ (b + 2) * ofDigits (b + 2) (l.dropLast ++ [l.getLast hl])
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n b : ℕ
l : List ℕ
hl : l ≠ []
hl2 : l.getLast hl ≠ 0
\u22a2 (b + 2) * (b + 2) ^ (l.length - 1) ≤ (b + 2) * (ofDigits (b + 2) l.dropLast + (b + 2) ^ (l.length - 1) * l.getLast hl)
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n b : ℕ
l : List ℕ
hl : l ≠ []
hl2 : l.getLast hl ≠ 0
\u22a2 (b + 2) ^ (l.length - 1) ≤ ofDigits (b + 2) l.dropLast + (b + 2) ^ (l.length - 1) * l.getLast hl
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n b : ℕ
l : List ℕ
hl : l ≠ []
hl2 : l.getLast hl ≠ 0
\u22a2 (b + 2) ^ (l.length - 1) ≤ (b + 2) ^ (l.length - 1) * l.getLast hl
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n b : ℕ
l : List ℕ
hl : l ≠ []
hl2 : l.getLast hl ≠ 0
this : 0 < l.getLast hl
\u22a2 (b + 2) ^ (l.length - 1) ≤ (b + 2) ^ (l.length - 1) * l.getLast hl
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n b : ℕ
l : List ℕ
hl : l ≠ []
hl2 : l.getLast hl ≠ 0
this : 0 < l.getLast hl
\u22a2 (b + 2) ^ (l.length - 1) = (b + 2) ^ (l.length - 1) * succ 0
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a : α
b : Associates α
\u22a2 ∀ (a_1 : α), Associates.out ⟦a_1⟧ ∣ a ↔ ⟦a_1⟧ ≤ Associates.mk a
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/BesicovitchVectorSpace.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun i j => 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖
\u22a2 n ≤ multiplicity E
-- Mathlib/InformationTheory/Hamming.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y : (i : ι) → β i
\u22a2 0 < hammingDist x y ↔ x ≠ y