ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H✝ : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : MeasurableSpace H✝
inst✝⁵ : Mul G
μ : Measure G
inst✝⁴ : MeasurableMul G
H : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Mul H
inst✝¹ : MeasurableMul H
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
f : G →ₙ* H
hf : Measurable ⇑f
h_surj : Surjective ⇑f
g : G
\u22a2 Measure.map ((fun x => f g * x) ∘ ⇑f) μ = Measure.map (⇑f) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H✝ : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : MeasurableSpace H✝
inst✝⁵ : Mul G
μ : Measure G
inst✝⁴ : MeasurableMul G
H : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Mul H
inst✝¹ : MeasurableMul H
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
f : G →ₙ* H
hf : Measurable ⇑f
h_surj : Surjective ⇑f
g : G
\u22a2 Measure.map ((fun x => f g * x) ∘ ⇑f) μ = Measure.map (⇑f) (Measure.map (fun x => g * x) μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H✝ : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : MeasurableSpace H✝
inst✝⁵ : Mul G
μ : Measure G
inst✝⁴ : MeasurableMul G
H : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Mul H
inst✝¹ : MeasurableMul H
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
f : G →ₙ* H
hf : Measurable ⇑f
h_surj : Surjective ⇑f
g : G
\u22a2 Measure.map ((fun x => f g * x) ∘ ⇑f) μ = Measure.map (⇑f ∘ fun x => g * x) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H✝ : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : MeasurableSpace H✝
inst✝⁵ : Mul G
μ : Measure G
inst✝⁴ : MeasurableMul G
H : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Mul H
inst✝¹ : MeasurableMul H
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
f : G →ₙ* H
hf : Measurable ⇑f
h_surj : Surjective ⇑f
g y : G
\u22a2 ((fun x => f g * x) ∘ ⇑f) y = (⇑f ∘ fun x => g * x) y
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
p : α → Prop
f g : Filter α
\u22a2 (∃ᶠ (x : α) in f ⊔ g, p x) ↔ (∃ᶠ (x : α) in f, p x) ∨ ∃ᶠ (x : α) in g, p x
-- Mathlib/Algebra/Group/Defs.lean
G : Type u_1
inst✝ : DivInvMonoid G
a✝ b a : G
\u22a2 a ^ 2 = a * a
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Order/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : CharZero α
m n : ℕ
\u22a2 1 ≤ ↑n ↔ 1 ≤ n
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallShiftedHom.lean
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
W : MorphismProperty C
M : Type w'
inst✝⁵ : AddMonoid M
inst✝⁴ : HasShift C M
inst✝³ : HasShift D M
inst✝² : W.IsCompatibleWithShift M
X✝ Y✝ : C
L : C ⥤ D
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : L.CommShift M
X Y : C
\u22a2 (∀ (a b : M), HasSmallLocalizedHom W ((shiftFunctor C a).obj X) ((shiftFunctor C b).obj Y)) ↔ ∀ (a b : M), Small.{w, v₂} ((shiftFunctor D a).obj (L.obj X) ⟶ (shiftFunctor D b).obj (L.obj Y))
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallShiftedHom.lean
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
W : MorphismProperty C
M : Type w'
inst✝⁵ : AddMonoid M
inst✝⁴ : HasShift C M
inst✝³ : HasShift D M
inst✝² : W.IsCompatibleWithShift M
X✝ Y✝ : C
L : C ⥤ D
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : L.CommShift M
X Y : C
eq : ∀ (a b : M), Small.{w, v₂} ((shiftFunctor C a ⋙ L).obj X ⟶ (shiftFunctor C b ⋙ L).obj Y) ↔ Small.{w, v₂} ((L ⋙ shiftFunctor D a).obj X ⟶ (L ⋙ shiftFunctor D b).obj Y)
\u22a2 (∀ (a b : M), HasSmallLocalizedHom W ((shiftFunctor C a).obj X) ((shiftFunctor C b).obj Y)) ↔ ∀ (a b : M), Small.{w, v₂} ((shiftFunctor D a).obj (L.obj X) ⟶ (shiftFunctor D b).obj (L.obj Y))
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallShiftedHom.lean
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
W : MorphismProperty C
M : Type w'
inst✝⁵ : AddMonoid M
inst✝⁴ : HasShift C M
inst✝³ : HasShift D M
inst✝² : W.IsCompatibleWithShift M
X✝ Y✝ : C
L : C ⥤ D
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : L.CommShift M
X Y : C
eq : ∀ (a b : M), Small.{w, v₂} (L.obj ((shiftFunctor C a).obj X) ⟶ L.obj ((shiftFunctor C b).obj Y)) ↔ Small.{w, v₂} ((shiftFunctor D a).obj (L.obj X) ⟶ (shiftFunctor D b).obj (L.obj Y))
\u22a2 (∀ (a b : M), HasSmallLocalizedHom W ((shiftFunctor C a).obj X) ((shiftFunctor C b).obj Y)) ↔ ∀ (a b : M), Small.{w, v₂} ((shiftFunctor D a).obj (L.obj X) ⟶ (shiftFunctor D b).obj (L.obj Y))
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a b : α
l₁ l₂ : List α
h : b :: l₁ <+ l₂
\u22a2 (l₂.erase a).diff ((b :: l₁).erase a) <+ l₂.diff (b :: l₁)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
a✝ b : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a : α
\u22a2 (∏ x ∈ Ioi a, f x) * f a = ∏ x ∈ Ici a, f x
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : Fintype ι'
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' G
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
inst✝ : IsEmpty ι
x : G
\u22a2 ‖constOfIsEmpty 𝕜 E x‖ = ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : Fintype ι'
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' G
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
inst✝ : IsEmpty ι
x : G
\u22a2 ‖constOfIsEmpty 𝕜 E x‖ ≤ ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : Fintype ι'
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' G
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
inst✝ : IsEmpty ι
x : G
\u22a2 ‖x‖ ≤ ‖constOfIsEmpty 𝕜 E x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.Regular
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
\u22a2 (x • μ).Regular
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.Regular
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
this : (x • μ).OuterRegular
\u22a2 (x • μ).Regular
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.Regular
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
this✝ : (x • μ).OuterRegular
this : IsFiniteMeasureOnCompacts (x • μ)
\u22a2 (x • μ).Regular
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
s : Set α
f : α → Filter β
\u22a2 (map f (𝓟 s)).join = ⨆ x ∈ s, f x
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x y : G
i✝ : ℤ
hx : IsOfFinOrder x
x✝ : y ∈ zpowers x
i : ℤ
hi : (fun x_1 => x ^ x_1) i = y
\u22a2 x ^ (i % ↑(orderOf x)).natAbs = y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x✝ x : E
hx : x ∈ s
\u22a2 1 • x ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
I : Submodule R A
hI : I ≤ 1
\u22a2 I ≤ I * (1 / I)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
I : Submodule R A
hI : I ≤ 1
\u22a2 I * 1 ≤ I * (1 / I)
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Four.lean
r s : ℤ
h : IsCoprime r s
\u22a2 IsCoprime (r ^ 2 + s ^ 2) (r * s)
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Four.lean
r s : ℤ
h : IsCoprime r s
\u22a2 IsCoprime (r ^ 2 + s ^ 2) s
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Four.lean
r s : ℤ
h : IsCoprime r s
\u22a2 IsCoprime (s ^ 2 + r ^ 2) s
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Module.lean
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A✝ A : ι → Submodule R M
i j : ι
hij : i ≠ j
h : Set.univ = {i, j}
hi : IsInternal A
\u22a2 iSup A = A i ⊔ A j
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
o a : Ordinal.{u_1}
h : a < o * ω
\u22a2 ∃ i, a < o * ↑i + o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
o a : Ordinal.{u_1}
h : a < o * ω
i : Ordinal.{u_1}
hi : i < ω
h' : a < o * i
\u22a2 ∃ i, a < o * ↑i + o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
o a : Ordinal.{u_1}
h : a < o * ω
i : ℕ
hi : ↑i < ω
h' : a < o * ↑i
\u22a2 ∃ i, a < o * ↑i + o
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
x : SimplexCategory
e : x ≅ x
\u22a2 e = Iso.refl x
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
x : SimplexCategory
e : x ≅ x
h : Finset.univ.card = x.len + 1
\u22a2 e = Iso.refl x
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
x : SimplexCategory
e : x ≅ x
h : Finset.univ.card = x.len + 1
eq₁ : RelIso.toRelEmbedding (orderIsoOfIso e) = Finset.univ.orderEmbOfFin h
\u22a2 e = Iso.refl x
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
x : SimplexCategory
e : x ≅ x
h : Finset.univ.card = x.len + 1
eq₁ : RelIso.toRelEmbedding (orderIsoOfIso e) = Finset.univ.orderEmbOfFin h
eq₂ : RelIso.toRelEmbedding (orderIsoOfIso (Iso.refl x)) = Finset.univ.orderEmbOfFin h
\u22a2 e = Iso.refl x
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
m n : ZNum
\u22a2 ↑m = ↑n ↔ m = n
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
\u22a2 f₁ =O[l] g₁ ↔ f₂ =O[l] g₂
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂
\u22a2 (∃ c, IsBigOWith c l f₁ g₁) ↔ ∃ c, IsBigOWith c l f₂ g₂
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
I J : Ideal R
x : R
\u22a2 (Quotient.mk I) x ∈ map (Quotient.mk I) J ↔ x ∈ J ⊔ I
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c < 0
\u22a2 b / c ≤ a ↔ c * a ≤ b
-- Mathlib/ModelTheory/Algebra/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Add R
inst✝⁴ : Mul R
inst✝³ : Neg R
inst✝² : One R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : CompatibleRing R
v : α → R
\u22a2 Term.realize v 1 = 1
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 eval₂ f g (p ^ 0) = eval₂ f g p ^ 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 eval₂ f g 1 = 1
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
n : ℕ
\u22a2 eval₂ f g (p ^ (n + 1)) = eval₂ f g p ^ (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Lie/TensorProduct.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
\u22a2 ⁅I, N⁆ = ((toModuleHom R L M).comp (mapIncl I N)).range
-- Mathlib/Algebra/Lie/TensorProduct.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
N : LieSubmodule R L M
\u22a2 Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} = Submodule.span R (⇑↑(toModuleHom R L M) '' {t | ∃ m n, ↑(incl I) m ⊗ₜ[R] ↑N.incl n = t})
-- Mathlib/Algebra/Ring/Int.lean
m n✝ : ℤ
n : ℕ
\u22a2 Odd ↑n ↔ Odd n
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Basic.lean
α : ℝ
ha : Irrational α
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
fR : ℝ[X] := map (algebraMap ℤ ℝ) f
fa : eval α fR = 0
\u22a2 ∃ A, 0 < A ∧ ∀ (a : ℤ) (b : ℕ), 1 ≤ (↑b + 1) ^ f.natDegree * (|α - ↑a / (↑b + 1)| * A)
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Basic.lean
α : ℝ
ha : Irrational α
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
fR : ℝ[X] := map (algebraMap ℤ ℝ) f
fa : eval α fR = 0
fR0 : fR ≠ 0
\u22a2 ∃ A, 0 < A ∧ ∀ (a : ℤ) (b : ℕ), 1 ≤ (↑b + 1) ^ f.natDegree * (|α - ↑a / (↑b + 1)| * A)
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Basic.lean
α : ℝ
ha : Irrational α
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
fR : ℝ[X] := map (algebraMap ℤ ℝ) f
fa : eval α fR = 0
fR0 : fR ≠ 0
ar : α ∈ ↑fR.roots.toFinset
\u22a2 ∃ A, 0 < A ∧ ∀ (a : ℤ) (b : ℕ), 1 ≤ (↑b + 1) ^ f.natDegree * (|α - ↑a / (↑b + 1)| * A)
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Basic.lean
α : ℝ
ha : Irrational α
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
fR : ℝ[X] := map (algebraMap ℤ ℝ) f
fa : eval α fR = 0
fR0 : fR ≠ 0
ar : α ∈ ↑fR.roots.toFinset
ζ : ℝ
z0 : ζ > 0
U : closedBall α ζ ∩ ↑fR.roots.toFinset = {α}
\u22a2 ∃ A, 0 < A ∧ ∀ (a : ℤ) (b : ℕ), 1 ≤ (↑b + 1) ^ f.natDegree * (|α - ↑a / (↑b + 1)| * A)
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Basic.lean
α : ℝ
ha : Irrational α
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
fR : ℝ[X] := map (algebraMap ℤ ℝ) f
fa : eval α fR = 0
fR0 : fR ≠ 0
ar : α ∈ ↑fR.roots.toFinset
ζ : ℝ
z0 : ζ > 0
U : closedBall α ζ ∩ ↑fR.roots.toFinset = {α}
xm : ℝ
hM : IsMaxOn (fun x => |eval x (derivative fR)|) (Icc (α - ζ) (α + ζ)) xm
\u22a2 ∃ A, 0 < A ∧ ∀ (a : ℤ) (b : ℕ), 1 ≤ (↑b + 1) ^ f.natDegree * (|α - ↑a / (↑b + 1)| * A)
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Basic.lean
α : ℝ
ha : Irrational α
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
fR : ℝ[X] := map (algebraMap ℤ ℝ) f
fa : eval α fR = 0
fR0 : fR ≠ 0
ar : α ∈ ↑fR.roots.toFinset
ζ : ℝ
z0 : ζ > 0
U : closedBall α ζ ∩ ↑fR.roots.toFinset = {α}
xm : ℝ
hM : IsMaxOn (fun x => |eval x (derivative fR)|) (Icc (α - ζ) (α + ζ)) xm
\u22a2 ∀ (a : ℕ), 1 ≤ (↑a + 1) ^ f.natDegree
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Basic.lean
α : ℝ
ha : Irrational α
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
fR : ℝ[X] := map (algebraMap ℤ ℝ) f
fa : eval α fR = 0
fR0 : fR ≠ 0
ar : α ∈ ↑fR.roots.toFinset
ζ : ℝ
z0 : ζ > 0
U : closedBall α ζ ∩ ↑fR.roots.toFinset = {α}
xm : ℝ
hM : IsMaxOn (fun x => |eval x (derivative fR)|) (Icc (α - ζ) (α + ζ)) xm
y : ℝ
hy : y ∈ closedBall α ζ
\u22a2 dist ((fun y => eval y fR) α) ((fun y => eval y fR) y) ≤ dist α y * |eval xm (derivative fR)|
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Basic.lean
α : ℝ
ha : Irrational α
f : ℤ[X]
f0 : f ≠ 0
fR : ℝ[X] := map (algebraMap ℤ ℝ) f
fa : eval α fR = 0
fR0 : fR ≠ 0
ar : α ∈ ↑fR.roots.toFinset
ζ : ℝ
z0 : ζ > 0
U : closedBall α ζ ∩ ↑fR.roots.toFinset = {α}
xm : ℝ
hM : IsMaxOn (fun x => |eval x (derivative fR)|) (Icc (α - ζ) (α + ζ)) xm
z : ℤ
a : ℕ
hq : ↑z / (↑a + 1) ∈ closedBall α ζ
\u22a2 1 ≤ (↑a + 1) ^ f.natDegree * dist ((fun y => eval y fR) α) ((fun y => eval y fR) (↑z / (↑a + 1)))
-- Mathlib/Tactic/CancelDenoms/Core.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommRing α
n1 n2 k e1 e2 t1 t2 : α
h1 : n1 * e1 = t1
h2 : n2 * e2 = t2
h3 : n1 * n2 = k
\u22a2 k * (e1 * e2) = t1 * t2
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
\u22a2 (β_ (𝟙_ C) X).inv = (ρ_ X).hom ≫ (λ_ X).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
\u22a2 (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ (ρ_ X).hom ≫ (λ_ X).inv = 𝟙 (𝟙_ C ⊗ X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
\u22a2 ((λ_ X).hom ≫ (ρ_ X).inv) ≫ (ρ_ X).hom ≫ (λ_ X).inv = 𝟙 (𝟙_ C ⊗ X)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s₁ s₂ : ↥S
\u22a2 (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m₁ s₁) + (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m₂ s₂) = (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk (s₂ • m₁ + s₁ • m₂) (s₁ * s₂))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
\u22a2 chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) = chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
\u22a2 chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) = chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
h2L₁ : K₁.carrier * L₁ ⊆ U₁
\u22a2 chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) = chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
h2L₁ : K₁.carrier * L₁ ⊆ U₁
V₁ : Set G
h1V₁ : V₁ ⊆ L₁
h2V₁ : IsOpen V₁
h3V₁ : 1 ∈ V₁
\u22a2 chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) = chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
V₁ : Set G
h1V₁ : V₁ ⊆ L₁
h2V₁ : IsOpen V₁
h3V₁ : 1 ∈ V₁
h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁
\u22a2 chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) = chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
V₁ : Set G
h1V₁ : V₁ ⊆ L₁
h2V₁ : IsOpen V₁
h3V₁ : 1 ∈ V₁
h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁
L₂ : Set G
h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1
h2L₂ : K₂.carrier * L₂ ⊆ U₂
\u22a2 chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) = chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
V₁ : Set G
h1V₁ : V₁ ⊆ L₁
h2V₁ : IsOpen V₁
h3V₁ : 1 ∈ V₁
h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁
L₂ : Set G
h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1
h2L₂ : K₂.carrier * L₂ ⊆ U₂
V₂ : Set G
h1V₂ : V₂ ⊆ L₂
h2V₂ : IsOpen V₂
h3V₂ : 1 ∈ V₂
\u22a2 chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) = chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
V₁ : Set G
h1V₁ : V₁ ⊆ L₁
h2V₁ : IsOpen V₁
h3V₁ : 1 ∈ V₁
h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁
L₂ : Set G
h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1
V₂ : Set G
h1V₂ : V₂ ⊆ L₂
h2V₂ : IsOpen V₂
h3V₂ : 1 ∈ V₂
h2L₂ : K₂.carrier * V₂ ⊆ U₂
\u22a2 chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) = chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
h : Disjoint K₁.carrier K₂.carrier
h₂ : IsClosed K₂.carrier
U₁ U₂ : Set G
h1U₁ : IsOpen U₁
h1U₂ : IsOpen U₂
h2U₁ : K₁.carrier ⊆ U₁
h2U₂ : K₂.carrier ⊆ U₂
hU : Disjoint U₁ U₂
L₁ : Set G
h1L₁ : L₁ ∈ 𝓝 1
V₁ : Set G
h1V₁ : V₁ ⊆ L₁
h2V₁ : IsOpen V₁
h3V₁ : 1 ∈ V₁
h2L₁ : K₁.carrier * V₁ ⊆ U₁
L₂ : Set G
h1L₂ : L₂ ∈ 𝓝 1
V₂ : Set G
h1V₂ : V₂ ⊆ L₂
h2V₂ : IsOpen V₂
h3V₂ : 1 ∈ V₂
h2L₂ : K₂.carrier * V₂ ⊆ U₂
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)
\u22a2 chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) = chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂