ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
hp : Fact (Nat.Prime p)
this : Module (ZMod p) K := let __src := (ZMod.castHom ⋯ K).toModule; Module.mk ⋯ ⋯
n : ℕ
h : q = p ^ n
\u22a2 ¬n = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
hp : Fact (Nat.Prime p)
this : Module (ZMod p) K := let __src := (ZMod.castHom ⋯ K).toModule; Module.mk ⋯ ⋯
h : q = p ^ 0
\u22a2 False
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
hp : Fact (Nat.Prime p)
this : Module (ZMod p) K := let __src := (ZMod.castHom ⋯ K).toModule; Module.mk ⋯ ⋯
h : q = 1
\u22a2 False
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Fintype K
p : ℕ
inst✝ : CharP K p
hp : Fact (Nat.Prime p)
this✝ : Module (ZMod p) K := let __src := (ZMod.castHom ⋯ K).toModule; Module.mk ⋯ ⋯
h : q = 1
this : 0 = 1
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
hp : IsPrimitive 0
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ↥(Lp E p μ)
hp : 0 < p
hf : ‖f‖₊ = 0
\u22a2 f = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ↥(Lp E p μ)
hp : 0 < p
hf : eLpNorm (↑↑f) p μ = 0 ∨ eLpNorm (↑↑f) p μ = ⊤
\u22a2 f = 0
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 a ≤ b ⇨ c ↔ b ≤ a ⇨ c
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsFiltered D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)
\u22a2 Nonempty C
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsFiltered D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)
this : Nonempty D
\u22a2 Nonempty C
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
x y : ℝ
\u22a2 ↑x < ↑y ↔ x < y
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
x y : ℝ
\u22a2 re ↑x < re ↑y ∧ im ↑x = im ↑y ↔ x < y
-- Mathlib/Data/Nat/Fib/Basic.lean
m n k : ℕ
\u22a2 (fib m).gcd (fib (n + (k + 1) * m)) = (fib m).gcd (fib n)
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : IsDomain K
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Algebra R K[X]
x : R
\u22a2 (algebraMap R (RatFunc K)) x = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) ((algebraMap R K[X]) x) / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) 1
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : IsDomain K
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Algebra R K[X]
x : R
\u22a2 (algebraMap R (RatFunc K)) x = RatFunc.mk ((algebraMap R K[X]) x) 1
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s t : Set X
\u22a2 frontier (s ∩ t) ⊆ frontier s ∩ closure t ∪ closure s ∩ frontier t
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s t : Set X
\u22a2 closure (s ∩ t) ∩ (closure sᶜ ∪ closure tᶜ) ⊆ closure s ∩ closure sᶜ ∩ closure t ∪ closure s ∩ (closure t ∩ closure tᶜ)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s t : Set X
\u22a2 closure s ∩ closure t ∩ (closure sᶜ ∪ closure tᶜ) = closure s ∩ closure sᶜ ∩ closure t ∪ closure s ∩ (closure t ∩ closure tᶜ)
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
s t : Set Ω
h : (condCount s) t ≠ 0
\u22a2 s.Finite
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
s t : Set Ω
h : (condCount s) t ≠ 0
hs' : ¬s.Finite
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/List/Permutation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts : List α
r L : List (List α)
n : ℕ
H : ∀ (l : List α), l ∈ L → l.length = n
\u22a2 (foldr (fun y r => (permutationsAux2 t ts r y id).2) r L).length = n * L.length + r.length
-- Mathlib/Data/List/Permutation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts : List α
r L : List (List α)
n : ℕ
H : ∀ (l : List α), l ∈ L → l.length = n
\u22a2 Nat.sum (map length L) = n * L.length
-- Mathlib/Data/List/Permutation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts : List α
r : List (List α)
n : ℕ
l : List α
L : List (List α)
ih : (∀ (l : List α), l ∈ L → l.length = n) → Nat.sum (map length L) = n * L.length
H : ∀ (l_1 : List α), l_1 ∈ l :: L → l_1.length = n
\u22a2 Nat.sum (map length (l :: L)) = n * (l :: L).length
-- Mathlib/Data/List/Permutation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts : List α
r : List (List α)
n : ℕ
l : List α
L : List (List α)
ih : (∀ (l : List α), l ∈ L → l.length = n) → Nat.sum (map length L) = n * L.length
H : ∀ (l_1 : List α), l_1 ∈ l :: L → l_1.length = n
sum_map : Nat.sum (map length L) = n * L.length
\u22a2 Nat.sum (map length (l :: L)) = n * (l :: L).length
-- Mathlib/Data/List/Permutation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts : List α
r : List (List α)
n : ℕ
l : List α
L : List (List α)
ih : (∀ (l : List α), l ∈ L → l.length = n) → Nat.sum (map length L) = n * L.length
H : ∀ (l_1 : List α), l_1 ∈ l :: L → l_1.length = n
sum_map : Nat.sum (map length L) = n * L.length
length_l : l.length = n
\u22a2 Nat.sum (map length (l :: L)) = n * (l :: L).length
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b✝ c n : ℕ
hn : n ≠ 0
b : ℕ
\u22a2 b ∈ range n ↔ b ∈ Icc 0 (n - 1)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b✝ c n : ℕ
hn : n ≠ 0
b : ℕ
\u22a2 b < n ↔ b ≤ n - 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t✝ s t : SignedMeasure α
μ : Measure α
inst✝¹ : s.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝ : t.HaveLebesgueDecomposition μ
hst : (s - t).HaveLebesgueDecomposition μ
\u22a2 (s - t).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] s.rnDeriv μ - t.rnDeriv μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t✝ s t : SignedMeasure α
μ : Measure α
inst✝¹ : s.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝ : t.HaveLebesgueDecomposition μ
hst : (s + -t).HaveLebesgueDecomposition μ
\u22a2 (s - t).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] s.rnDeriv μ - t.rnDeriv μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t✝ s t : SignedMeasure α
μ : Measure α
inst✝¹ : s.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝ : t.HaveLebesgueDecomposition μ
hst : (s + -t).HaveLebesgueDecomposition μ
\u22a2 (s + -t).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] s.rnDeriv μ + -t.rnDeriv μ
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x✝ : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
x : ι → ℝ
\u22a2 (filter (fun J => x ∈ Box.Icc J) π.boxes).card ≤ 2 ^ Fintype.card ι
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x✝ : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
x : ι → ℝ
\u22a2 (filter (fun J => x ∈ Box.Icc J) π.boxes).card ≤ Fintype.card (Set ι)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x✝ : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
x : ι → ℝ
\u22a2 InjOn (fun J => {i | J.lower i = x i}) ↑(filter (fun J => x ∈ Box.Icc J) π.boxes)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnected.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α✝
inst✝¹ : Preorder β
s t : Set α✝
α : Type u_3
inst✝ : PartialOrder α
a : α
\u22a2 {a}.OrdConnected
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnected.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α✝
inst✝¹ : Preorder β
s t : Set α✝
α : Type u_3
inst✝ : PartialOrder α
a : α
\u22a2 (Icc a a).OrdConnected
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.268852, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.268859, u_2} D
X✝ Y✝ X Y : C
c : BinaryCofan X Y
cofans : (X Y : C) → BinaryCofan X Y
colimits : (X Y : C) → IsColimit (cofans X Y)
cones : {X Y Z : C} → (f : X ⟶ Z) → (g : Y ⟶ Z) → PullbackCone f g
limits : {X Y Z : C} → (f : X ⟶ Z) → (g : Y ⟶ Z) → IsLimit (cones f g)
h₁ : ∀ {X' Y' : C} (αX : X' ⟶ X) (αY : Y' ⟶ Y) (f : (cofans X' Y').pt ⟶ c.pt), αX ≫ c.inl = (cofans X' Y').inl ≫ f → αY ≫ c.inr = (cofans X' Y').inr ≫ f → IsPullback (cofans X' Y').inl αX f c.inl ∧ IsPullback (cofans X' Y').inr αY f c.inr
h₂ : {Z : C} → (f : Z ⟶ c.pt) → IsColimit (BinaryCofan.mk (cones f c.inl).fst (cones f c.inr).fst)
\u22a2 IsVanKampenColimit c
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.268852, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.268859, u_2} D
X✝ Y✝ X Y : C
c : BinaryCofan X Y
cofans : (X Y : C) → BinaryCofan X Y
colimits : (X Y : C) → IsColimit (cofans X Y)
cones : {X Y Z : C} → (f : X ⟶ Z) → (g : Y ⟶ Z) → PullbackCone f g
limits : {X Y Z : C} → (f : X ⟶ Z) → (g : Y ⟶ Z) → IsLimit (cones f g)
h₁ : ∀ {X' Y' : C} (αX : X' ⟶ X) (αY : Y' ⟶ Y) (f : (cofans X' Y').pt ⟶ c.pt), αX ≫ c.inl = (cofans X' Y').inl ≫ f → αY ≫ c.inr = (cofans X' Y').inr ≫ f → IsPullback (cofans X' Y').inl αX f c.inl ∧ IsPullback (cofans X' Y').inr αY f c.inr
h₂ : {Z : C} → (f : Z ⟶ c.pt) → IsColimit (BinaryCofan.mk (cones f c.inl).fst (cones f c.inr).fst)
\u22a2 ∀ {X' Y' : C} (c' : BinaryCofan X' Y') (αX : X' ⟶ X) (αY : Y' ⟶ Y) (f : c'.pt ⟶ c.pt), αX ≫ c.inl = c'.inl ≫ f → αY ≫ c.inr = c'.inr ≫ f → (Nonempty (IsColimit c') ↔ IsPullback c'.inl αX f c.inl ∧ IsPullback c'.inr αY f c.inr)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
hs : MeasurableSet s
t : Set G
ht : MeasurableSet t
\u22a2 μ' s * ν' t = ν' s * μ' t
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
hs : MeasurableSet s
t : Set G
ht : MeasurableSet t
h1 : ν' s * ∫⁻ (y : G), t.indicator (fun x => 1) y⁻¹ / ν' ((fun x => x * y⁻¹) ⁻¹' s) ∂ν' = ∫⁻ (x : G), t.indicator (fun x => 1) x ∂ν'
\u22a2 μ' s * ν' t = ν' s * μ' t
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
hs : MeasurableSet s
t : Set G
ht : MeasurableSet t
h1 : ν' s * ∫⁻ (y : G), t.indicator (fun x => 1) y⁻¹ / ν' ((fun x => x * y⁻¹) ⁻¹' s) ∂ν' = ∫⁻ (x : G), t.indicator (fun x => 1) x ∂ν'
h2 : μ' s * ∫⁻ (y : G), t.indicator (fun x => 1) y⁻¹ / ν' ((fun x => x * y⁻¹) ⁻¹' s) ∂ν' = ∫⁻ (x : G), t.indicator (fun x => 1) x ∂μ'
\u22a2 μ' s * ν' t = ν' s * μ' t
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
h2s : ν' s ≠ 0
h3s : ν' s ≠ ⊤
hs : MeasurableSet s
t : Set G
ht : MeasurableSet t
h1 : ν' s * ∫⁻ (y : G), t.indicator (fun x => 1) y⁻¹ / ν' ((fun x => x * y⁻¹) ⁻¹' s) ∂ν' = ν' t
h2 : μ' s * ∫⁻ (y : G), t.indicator (fun x => 1) y⁻¹ / ν' ((fun x => x * y⁻¹) ⁻¹' s) ∂ν' = μ' t
\u22a2 μ' s * ν' t = ν' s * μ' t
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ f : G →* N
h : Surjective ⇑f
K L : Subgroup N
\u22a2 comap f K = comap f L → K = L
-- Mathlib/Data/Matrix/Notation.lean
α : Type u
o n m : ℕ
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
a b : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : SMul R α
x : R
a₀ a₁ : α
\u22a2 x • ![a₀, a₁] = ![x • a₀, x • a₁]
-- Mathlib/Combinatorics/HalesJewett.lean
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α✝ ι✝
i✝ : ι✝
a x✝ : α✝
α : Type u_5
ι : Type u_6
l : Line α ι
x : α
i : ι
h : l.idxFun i = none
\u22a2 (fun x i => (l.idxFun i).getD x) x i = x
-- Mathlib/Data/Nat/Dist.lean
n k m : ℕ
\u22a2 (n * k).dist (m * k) = n.dist m * k
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ✝¹ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
κ✝ : Type u_6
κ : Type u_7
s : Finset ι
t : ι → Set κ
f : κ → β
h : (↑s).PairwiseDisjoint t
x : κ
\u22a2 (⋃ i ∈ s, t i).mulIndicator f x = ∏ i ∈ s, (t i).mulIndicator f x
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
\u22a2 Integrable I l f μ.toBoxAdditive.toSMul
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
\u22a2 ∃ C, ∀ x ∈ Box.Icc I, ‖f x‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
I✝ J : Box ι
π : TaggedPrepartition I✝
inst✝² : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
inst✝¹ : CompleteSpace E
I : Box ι
f : (ι → ℝ) → E
hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
\u22a2 ∀ᵐ (x : ι → ℝ) ∂μ.restrict (Box.Icc I), ContinuousWithinAt f (Box.Icc I) x
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
F : ℍ[R,c₁,c₂] →ₐ[R] A
x✝ : ℍ[R,c₁,c₂]
\u22a2 (algebraMap R A) x✝.re + x✝.imI • F { re := 0, imI := 1, imJ := 0, imK := 0 } + x✝.imJ • F { re := 0, imI := 0, imJ := 1, imK := 0 } + x✝.imK • F { re := 0, imI := 0, imJ := 0, imK := 1 } = F x✝
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
F : ℍ[R,c₁,c₂] →ₐ[R] A
x✝ : ℍ[R,c₁,c₂]
\u22a2 F ((algebraMap R ℍ[R,c₁,c₂]) x✝.re) + x✝.imI • F { re := 0, imI := 1, imJ := 0, imK := 0 } + x✝.imJ • F { re := 0, imI := 0, imJ := 1, imK := 0 } + x✝.imK • F { re := 0, imI := 0, imJ := 0, imK := 1 } = F x✝
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
F : ℍ[R,c₁,c₂] →ₐ[R] A
x✝ : ℍ[R,c₁,c₂]
\u22a2 F { re := x✝.re + 0 + 0 + 0, imI := 0 + x✝.imI • 1 + 0 + 0, imJ := 0 + 0 + x✝.imJ • 1 + 0, imK := 0 + 0 + 0 + x✝.imK • 1 } = F x✝
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α✝ : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α✝ × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α✝ → β
x y : FreeGroup α✝
α : Type u_1
\u22a2 Subgroup.closure (Set.range of) = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α✝ : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α✝ × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α✝ → β
x y : FreeGroup α✝
α : Type u_1
\u22a2 (MonoidHom.id (FreeGroup α)).range = ⊤
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
a✝ : α
\u22a2 a✝ ∈ s.val.toFinset ↔ a✝ ∈ s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C✝ C' C'' C : VariableChange R
\u22a2 id.comp C = C
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
\u22a2 closedBall 1 δ / s = cthickening δ s⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁹ : Module R✝ A✝
inst✝⁸ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁷ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : Semifield R
inst✝⁵ : Semifield S
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
a : A
f : S → R
inst✝ : IsScalarTower R S A
h : SpectrumRestricts a f
\u22a2 f '' spectrum S a = spectrum R a
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/CompactlySupported.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : CompactlySupportedContinuousMapClass F α β
G : Type u_5
inst✝² : FunLike G α β
inst✝¹ : ContinuousMapClass G α β
inst✝ : CompactSpace α
f : G
\u22a2 HasCompactSupport ⇑f
-- Mathlib/RingTheory/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → Semiring (A i)
inst✝⁴ : Algebra R' R
inst✝³ : (i : ι) → Algebra R (A i)
inst✝² : (i : ι) → Algebra R' (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R' R (A i)
r : R'
i : ι
inst✝ : DecidableEq ι
\u22a2 r • (tprod R) 1 = (tprod R) (Pi.mulSingle i ((algebraMap R' (A i)) r))
-- Mathlib/RingTheory/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → Semiring (A i)
inst✝⁴ : Algebra R' R
inst✝³ : (i : ι) → Algebra R (A i)
inst✝² : (i : ι) → Algebra R' (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R' R (A i)
r : R'
i : ι
inst✝ : DecidableEq ι
this : Pi.mulSingle i ((algebraMap R' (A i)) r) = update (fun i => 1) i (r • 1)
\u22a2 r • (tprod R) 1 = (tprod R) (Pi.mulSingle i ((algebraMap R' (A i)) r))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a : E
\u22a2 Inseparable a 1 ↔ ‖a‖ = 0
-- Mathlib/Order/PiLex.lean
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i✝ : ι
a✝ : β i✝
a b : (i : ι) → β i
h : a < b
i : ι
hi : i ∈ {i | a i ≠ b i}
hl : ∀ x ∈ {i | a i ≠ b i}, ¬x < i
j : ι
hj : (fun x x_1 => x < x_1) j i
\u22a2 toLex a j = toLex b j
-- Mathlib/Order/PiLex.lean
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i✝ : ι
a✝ : β i✝
a b : (i : ι) → β i
h : a < b
i : ι
hi : i ∈ {i | a i ≠ b i}
j : ι
hj : (fun x x_1 => x < x_1) j i
hl : toLex a j ≠ toLex b j
\u22a2 ∃ x ∈ {i | a i ≠ b i}, x < i
-- Mathlib/GroupTheory/FreeAbelianGroup.lean
α✝ : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : AddCommGroup β
a : FreeAbelianGroup α
f g : α → β
\u22a2 (lift (f + g)) a = (lift f) a + (lift g) a
-- Mathlib/GroupTheory/FreeAbelianGroup.lean
α✝ : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : AddCommGroup β
a : FreeAbelianGroup α
f g : α → β
\u22a2 (lift (f + g)) 0 = (lift f) 0 + (lift g) 0
-- Mathlib/GroupTheory/FreeAbelianGroup.lean
α✝ : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : AddCommGroup β
a : FreeAbelianGroup α
f g : α → β
\u22a2 ∀ (x : α), (lift (f + g)) (of x) = (lift f) (of x) + (lift g) (of x)
-- Mathlib/GroupTheory/FreeAbelianGroup.lean
α✝ : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : AddCommGroup β
a : FreeAbelianGroup α
f g : α → β
\u22a2 ∀ (x : α), (lift (f + g)) (of x) = (lift f) (of x) + (lift g) (of x) → (lift (f + g)) (-of x) = (lift f) (-of x) + (lift g) (-of x)
-- Mathlib/GroupTheory/FreeAbelianGroup.lean
α✝ : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : AddCommGroup β
a : FreeAbelianGroup α
f g : α → β
\u22a2 ∀ (x y : FreeAbelianGroup α), (lift (f + g)) x = (lift f) x + (lift g) x → (lift (f + g)) y = (lift f) y + (lift g) y → (lift (f + g)) (x + y) = (lift f) (x + y) + (lift g) (x + y)
-- Mathlib/Algebra/AddConstMap/Basic.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddZeroClass G
inst✝¹ : Add H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
\u22a2 f a = f 0 + b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hn : ¬G.Adj s t
\u22a2 (G.replaceVertex s t).edgeFinset = G.edgeFinset \ G.incidenceFinset t ∪ image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hn : ¬G.Adj s t
\u22a2 (G.replaceVertex s t).edgeFinset = (G.edgeSet \ G.incidenceSet t ∪ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s).toFinset
-- Mathlib/Data/Fin/VecNotation.lean
α✝ : Type u
m n o✝ : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
α : Type u_4
o : ℕ
ho : o = m + n
u : Fin m → α
v : Fin n → α
i : Fin o
\u22a2 vecAppend ho u v i = if h : ↑i < m then u ⟨↑i, h⟩ else v ⟨↑i - m, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/Fin/VecNotation.lean
α✝ : Type u
m n o✝ : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
α : Type u_4
o : ℕ
ho : o = m + n
u : Fin m → α
v : Fin n → α
i : Fin o
\u22a2 (if hi : ↑(Fin.cast ho i) < m then ⋯ ▸ u ((Fin.cast ho i).castLT hi) else ⋯ ▸ v (Fin.subNat m (Fin.cast ⋯ (Fin.cast ho i)) ⋯)) = if h : ↑i < m then u ⟨↑i, h⟩ else v ⟨↑i - m, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/Fin/VecNotation.lean
α✝ : Type u
m n o✝ : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
α : Type u_4
o : ℕ
ho : o = m + n
u : Fin m → α
v : Fin n → α
i : Fin o
hi : ¬↑(Fin.cast ho i) < m
\u22a2 ⋯ ▸ v (Fin.subNat m (Fin.cast ⋯ (Fin.cast ho i)) ⋯) = v ⟨↑i - m, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/Fin/VecNotation.lean
α✝ : Type u
m n o✝ : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
α : Type u_4
o : ℕ
ho : o = m + n
u : Fin m → α
v : Fin n → α
i : Fin o
hi : ¬↑(Fin.cast ho i) < m
\u22a2 v (Fin.subNat m (Fin.cast ⋯ (Fin.cast ho i)) ⋯) = v ⟨↑i - m, ⋯⟩
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜
inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝² : MulActionWithZero 𝕜 F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
c : 𝕜
f : α → F
x✝ : α
\u22a2 ‖(c • f) x✝‖₊ ≤ ‖c‖₊ * ‖f x✝‖₊