ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Charpoly/ToMatrix.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : Nontrivial R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module.Free R M
inst✝¹⁰ : Module.Finite R M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M₁
inst✝⁷ : Module.Finite R M₁
inst✝⁶ : Module.Free R M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module.Finite R M₂
inst✝² : Module.Free R M₂
f : M →ₗ[R] M
ι : Type w
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
A : Matrix ι ι R := (toMatrix b b) f
b' : Basis (ChooseBasisIndex R M) R M := chooseBasis R M
ι' : Type u_2 := ChooseBasisIndex R M
A' : Matrix (ChooseBasisIndex R M) (ChooseBasisIndex R M) R := (toMatrix b' b') f
e : ι ≃ ChooseBasisIndex R M := b.indexEquiv b'
φ : Matrix ι ι R ≃ₗ[R] Matrix (ChooseBasisIndex R M) (ChooseBasisIndex R M) R := reindexLinearEquiv R R e e
φ₁ : Matrix ι ι' R ≃ₗ[R] Matrix (ChooseBasisIndex R M) ι' R := reindexLinearEquiv R R e (Equiv.refl ι')
φ₂ : Matrix ι' ι' R ≃ₗ[R] Matrix ι' ι' R := reindexLinearEquiv R R (Equiv.refl ι') (Equiv.refl ι')
φ₃ : Matrix ι' ι R ≃ₗ[R] Matrix ι' (ChooseBasisIndex R M) R := reindexLinearEquiv R R (Equiv.refl ι') e
P : Matrix ι (ChooseBasisIndex R M) R := b.toMatrix ⇑b'
Q : Matrix (ChooseBasisIndex R M) ι R := b'.toMatrix ⇑b
\u22a2 ((toMatrix b b) f).charpoly = f.charpoly
-- Mathlib/LinearAlgebra/Charpoly/ToMatrix.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : Nontrivial R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module.Free R M
inst✝¹⁰ : Module.Finite R M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M₁
inst✝⁷ : Module.Finite R M₁
inst✝⁶ : Module.Free R M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module.Finite R M₂
inst✝² : Module.Free R M₂
f : M →ₗ[R] M
ι : Type w
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
A : Matrix ι ι R := (toMatrix b b) f
b' : Basis (ChooseBasisIndex R M) R M := chooseBasis R M
ι' : Type u_2 := ChooseBasisIndex R M
A' : Matrix (ChooseBasisIndex R M) (ChooseBasisIndex R M) R := (toMatrix b' b') f
e : ι ≃ ChooseBasisIndex R M := b.indexEquiv b'
φ : Matrix ι ι R ≃ₗ[R] Matrix (ChooseBasisIndex R M) (ChooseBasisIndex R M) R := reindexLinearEquiv R R e e
φ₁ : Matrix ι ι' R ≃ₗ[R] Matrix (ChooseBasisIndex R M) ι' R := reindexLinearEquiv R R e (Equiv.refl ι')
φ₂ : Matrix ι' ι' R ≃ₗ[R] Matrix ι' ι' R := reindexLinearEquiv R R (Equiv.refl ι') (Equiv.refl ι')
φ₃ : Matrix ι' ι R ≃ₗ[R] Matrix ι' (ChooseBasisIndex R M) R := reindexLinearEquiv R R (Equiv.refl ι') e
P : Matrix ι (ChooseBasisIndex R M) R := b.toMatrix ⇑b'
Q : Matrix (ChooseBasisIndex R M) ι R := b'.toMatrix ⇑b
hPQ : C.mapMatrix (φ₁ P) * C.mapMatrix (φ₃ Q) = 1
\u22a2 ((toMatrix b b) f).charpoly = f.charpoly
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Continuum.lean
c : Cardinal.{u}
\u22a2 𝔠 < lift.{v, u} c ↔ 𝔠 < c
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c✝ x a b c : α
h : (fun b => [[b, a]]) b = (fun b => [[b, a]]) c
\u22a2 b = c
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c✝ x a b c : α
h : ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ (fun b => [[b, a]]) b ↔ a_1 ∈ (fun b => [[b, a]]) c
\u22a2 b = c
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : α → Prop
s : Finset α
H : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ p x
inst✝ : Fintype { x // p x }
\u22a2 card { x // p x } = s.card
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : α → Prop
s : Finset α
H : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ p x
inst✝ : Fintype { x // p x }
\u22a2 card { x // p x } = card { x // p x }
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Ultra/Basic.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x✝ y✝ z : X
r✝ s : ℝ
x y : X
r : ℝ
\u22a2 y ∈ ball x r ↔ x ∈ ball y r
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : Ω → E
inst✝¹ : atTop.IsCountablyGenerated
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
i : ι
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
\u22a2 μ[f|⋯.measurableSpace] =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x ≤ i})] μ[f|hτ.measurableSpace]
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : Ω → E
inst✝¹ : atTop.IsCountablyGenerated
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
i : ι
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
this : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
\u22a2 μ[f|⋯.measurableSpace] =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x ≤ i})] μ[f|hτ.measurableSpace]
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : Ω → E
inst✝¹ : atTop.IsCountablyGenerated
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
i : ι
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
this : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
t : Set Ω
\u22a2 MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ i} ∩ t) ↔ MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ i} ∩ t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
\u22a2 f ≤ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
A : ∀ (ε N : ℝ≥0) (p : ℕ), 0 < ε → μ ({x | g x + ↑ε ≤ f x ∧ g x ≤ ↑N} ∩ spanningSets μ p) = 0
\u22a2 f ≤ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
A : ∀ (ε N : ℝ≥0) (p : ℕ), 0 < ε → μ ({x | g x + ↑ε ≤ f x ∧ g x ≤ ↑N} ∩ spanningSets μ p) = 0
u : ℕ → ℝ≥0
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
\u22a2 f ≤ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
A : ∀ (ε N : ℝ≥0) (p : ℕ), 0 < ε → μ ({x | g x + ↑ε ≤ f x ∧ g x ≤ ↑N} ∩ spanningSets μ p) = 0
u : ℕ → ℝ≥0
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
s : ℕ → Set α := fun n => {x | g x + ↑(u n) ≤ f x ∧ g x ≤ ↑↑n} ∩ spanningSets μ n
μs : ∀ (n : ℕ), μ (s n) = 0
\u22a2 f ≤ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
A : ∀ (ε N : ℝ≥0) (p : ℕ), 0 < ε → μ ({x | g x + ↑ε ≤ f x ∧ g x ≤ ↑N} ∩ spanningSets μ p) = 0
u : ℕ → ℝ≥0
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
s : ℕ → Set α := fun n => {x | g x + ↑(u n) ≤ f x ∧ g x ≤ ↑↑n} ∩ spanningSets μ n
μs : ∀ (n : ℕ), μ (s n) = 0
B : {x | f x ≤ g x}ᶜ ⊆ ⋃ n, s n
\u22a2 f ≤ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
A : ∀ (ε N : ℝ≥0) (p : ℕ), 0 < ε → μ ({x | g x + ↑ε ≤ f x ∧ g x ≤ ↑N} ∩ spanningSets μ p) = 0
u : ℕ → ℝ≥0
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
s : ℕ → Set α := fun n => {x | g x + ↑(u n) ≤ f x ∧ g x ≤ ↑↑n} ∩ spanningSets μ n
μs : ∀ (n : ℕ), μ (s n) = 0
B : {x | f x ≤ g x}ᶜ ⊆ ⋃ n, s n
\u22a2 μ {x | (fun x => f x ≤ g x) x}ᶜ ≤ 0
-- Mathlib/ModelTheory/Syntax.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ : L ≃ᴸ L'
\u22a2 Function.LeftInverse φ.invLHom.onBoundedFormula φ.toLHom.onBoundedFormula
-- Mathlib/ModelTheory/Syntax.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ : L ≃ᴸ L'
\u22a2 Function.RightInverse φ.invLHom.onBoundedFormula φ.toLHom.onBoundedFormula
-- Mathlib/Order/OrderIsoNat.lean
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
a : ℕ →o α
\u22a2 iSup ⇑a = monotonicSequenceLimit a
-- Mathlib/Order/OrderIsoNat.lean
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
a : ℕ →o α
m : ℕ
\u22a2 a m ≤ monotonicSequenceLimit a
-- Mathlib/Order/OrderIsoNat.lean
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
a : ℕ →o α
m : ℕ
hm : m ≤ monotonicSequenceLimitIndex a
\u22a2 a m ≤ monotonicSequenceLimit a
-- Mathlib/Order/OrderIsoNat.lean
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
a : ℕ →o α
m : ℕ
hm : monotonicSequenceLimitIndex a < m
\u22a2 a m ≤ monotonicSequenceLimit a
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ↥(simpleFunc E p μ)
\u22a2 ‖f‖ = (eLpNorm (↑(toSimpleFunc f)) p μ).toReal
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hn : n ≠ 0
\u22a2 ∑ i ∈ range n, x ^ i = 0 ↔ x = -1 ∧ Even n
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hn : n ≠ 0
h : ∑ i ∈ range n, x ^ i = 0
\u22a2 x = -1 ∧ Even n
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hn : n ≠ 0
h : x = -1 → ¬Even n
\u22a2 ∑ i ∈ range n, x ^ i ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hn : n ≠ 0
h : x = -1 → ¬Even n
hx : x = -1 ∨ x ≠ -1
\u22a2 ∑ i ∈ range n, x ^ i ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
\u22a2 MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
\u22a2 MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
\u22a2 MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (volume.restrict (Ioi 0))
\u22a2 MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (volume.restrict (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0) volume
\u22a2 MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (volume.restrict (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0) volume
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (volume.restrict (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), ∀ z ∈ Metric.ball s v, ‖F' z t‖ ≤ bound t
h5 : IntegrableOn bound (Ioi 0) volume
\u22a2 MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (volume.restrict (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0) volume
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (volume.restrict (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), ∀ z ∈ Metric.ball s v, ‖F' z t‖ ≤ bound t
h5 : IntegrableOn bound (Ioi 0) volume
h6 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), ∀ y ∈ Metric.ball s v, HasDerivAt (fun z => F z t) (F' y t) y
\u22a2 MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
s : ℂ
hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume
hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
hs_top : s.re < a
hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)
hs_bot : b < s.re
F : ℂ → ℝ → E := fun z t => ↑t ^ (z - 1) • f t
F' : ℂ → ℝ → E := fun z t => (↑t ^ (z - 1) * ↑(log t)) • f t
v : ℝ
hv0 : 0 < v
hv1 : v < s.re - b
hv2 : v < a - s.re
bound : ℝ → ℝ := fun t => (t ^ (s.re + v - 1) + t ^ (s.re - v - 1)) * |log t| * ‖f t‖
h1 : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝 s, AEStronglyMeasurable (F z) (volume.restrict (Ioi 0))
h2 : IntegrableOn (F s) (Ioi 0) volume
h3 : AEStronglyMeasurable (F' s) (volume.restrict (Ioi 0))
h4 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), ∀ z ∈ Metric.ball s v, ‖F' z t‖ ≤ bound t
h5 : IntegrableOn bound (Ioi 0) volume
h6 : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), ∀ y ∈ Metric.ball s v, HasDerivAt (fun z => F z t) (F' y t) y
main : Integrable (F' s) (volume.restrict (Ioi 0)) ∧ HasDerivAt (fun n => ∫ (a : ℝ) in Ioi 0, F n a) (∫ (a : ℝ) in Ioi 0, F' s a) s
\u22a2 MellinConvergent (fun t => log t • f t) s ∧ HasDerivAt (mellin f) (mellin (fun t => log t • f t) s) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - f_lim) p μ) atTop (𝓝 0)
\u22a2 eLpNorm f_lim p μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
\u22a2 eLpNorm f_lim p μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
N : ℕ
h_tendsto_1 : ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ 1
\u22a2 eLpNorm f_lim p μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
N : ℕ
h_tendsto_1 : eLpNorm (f N - f_lim) p μ ≤ 1
\u22a2 eLpNorm f_lim p μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
N : ℕ
h_tendsto_1 : eLpNorm (f N - f_lim) p μ ≤ 1
h_add : f_lim = f_lim - f N + f N
\u22a2 eLpNorm (f_lim - f N + f N) p μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
N : ℕ
h_tendsto_1 : eLpNorm (f N - f_lim) p μ ≤ 1
h_add : f_lim = f_lim - f N + f N
\u22a2 eLpNorm (f_lim - f N) p μ + eLpNorm (f N) p μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
f_lim : α → E
h_lim_meas : AEStronglyMeasurable f_lim μ
h_tendsto : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - f_lim) p μ ≤ ε
N : ℕ
h_tendsto_1 : eLpNorm (f N - f_lim) p μ ≤ 1
h_add : f_lim = f_lim - f N + f N
\u22a2 eLpNorm (f_lim - f N) p μ < ⊤ ∧ eLpNorm (f N) p μ < ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/WideEqualizers.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
j₁ j₂ : J
t : Trident f
\u22a2 t.ι ≫ f j₁ = t.ι ≫ f j₂
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
m M N n : ℕ
f : Fin n → ℕ
hi : ⟨n, f⟩ ∈ compPartialSumSource m M N
j : Fin ⟨n, f⟩.fst
\u22a2 (ofFn fun a => f a)[↑j] = f j
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
\u22a2 (m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : p ∣ (m ^ 2 - n ^ 2).natAbs
hp2 : p ∣ (m ^ 2 + n ^ 2).natAbs
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2
h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2
h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2
h2n : ↑p ∣ 2 * n ^ 2
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2
h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2
h2n : ↑p ∣ 2 * n ^ 2
hmc : p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ m ^ 2 + n ^ 2
h2m : ↑p ∣ 2 * m ^ 2
h2n : ↑p ∣ 2 * n ^ 2
hmc : p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs
hnc : p = 2 ∨ p ∣ n.natAbs
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/ZPowers.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_3
inst✝ : Group N
f : G →* N
x : G
\u22a2 Subgroup.map f (Subgroup.zpowers x) = Subgroup.zpowers (f x)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f g : α →₀ ℕ
a✝ : α
\u22a2 Multiset.count a✝ (toMultiset (f ⊔ g)) = Multiset.count a✝ (toMultiset f ∪ toMultiset g)