ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y : M
\u22a2 Q (x - y) = Q (y - x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : Epi (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)
hR₂ : R₂.Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 1 ⋯)
\u22a2 Mono (app' φ 2 ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : Epi (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)
hR₂ : R₂.Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 1 ⋯)
ψ : mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0 ⟶ mk₃ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0 := homMk₃ (app' φ 0 ⋯) (app' φ 1 ⋯) (app' φ 2 ⋯) (𝟙 ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).obj' 3 ⋯)) ⋯ ⋯ ⋯
\u22a2 Mono (app' φ 2 ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : Epi (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)
hR₂ : R₂.Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 1 ⋯)
ψ : mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0 ⟶ mk₃ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0 := homMk₃ (app' φ 0 ⋯) (app' φ 1 ⋯) (app' φ 2 ⋯) (𝟙 ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).obj' 3 ⋯)) ⋯ ⋯ ⋯
\u22a2 (mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : Epi (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)
hR₂ : R₂.Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 1 ⋯)
ψ : mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0 ⟶ mk₃ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0 := homMk₃ (app' φ 0 ⋯) (app' φ 1 ⋯) (app' φ 2 ⋯) (𝟙 ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).obj' 3 ⋯)) ⋯ ⋯ ⋯
\u22a2 (ShortComplex.mk ((mk₂ ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 1 2 ⋯ ⋯) ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 2 3 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₂ ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 1 2 ⋯ ⋯) ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 2 3 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯) ⋯).Exact
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c g h✝ x : G₀
h : x ≠ 0
y y' : G₀
w : (fun y => x * y) y = (fun y => x * y) y'
\u22a2 y = y'
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra S R
inst✝⁴ : Module S N
inst✝³ : IsScalarTower S R N
inst✝² : Invertible 2
B₁ : BilinMap R M R
Q : QuadraticMap R M N
N' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : N' →ₗ[R] M
x✝¹ x✝ : N'
\u22a2 (((associatedHom S) (Q.comp f)) x✝¹) x✝ = ((LinearMap.compl₁₂ ((associatedHom S) Q) f f) x✝¹) x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FunctorCategory.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
i j : K
F : J ⥤ K ⥤ C
f : i ⟶ j
\u22a2 (limitObjIsoLimitCompEvaluation F i).inv ≫ (limit F).map f = limMap (whiskerLeft F ((evaluation K C).map f)) ≫ (limitObjIsoLimitCompEvaluation F j).inv
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
\u22a2 Associated (gcd (a * b) (a * c)) (a * gcd b c)
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
b c : α
\u22a2 Associated (gcd (0 * b) (0 * c)) (0 * gcd b c)
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
ha : a ≠ 0
\u22a2 Associated (gcd (a * b) (a * c)) (a * gcd b c)
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
ha : a ≠ 0
d : α
eq : gcd (a * b) (a * c) = a * d
\u22a2 Associated (gcd (a * b) (a * c)) (a * gcd b c)
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
ha : a ≠ 0
d : α
eq : gcd (a * b) (a * c) = a * d
\u22a2 gcd (a * b) (a * c) ∣ a * gcd b c
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
ha : a ≠ 0
d : α
eq : gcd (a * b) (a * c) = a * d
\u22a2 a * gcd b c ∣ gcd (a * b) (a * c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/TorusIntegral.lean
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
hn : n ≠ 0
f : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
\u22a2 (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, 0), f x) = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m✝ n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
motive : (m : ℕ) → n ≤ m → Sort u_1
refl : motive n ⋯
le_succ_of_le : ⦃k : ℕ⦄ → (h : n ≤ k) → motive k h → motive (k + 1) ⋯
m : ℕ
h1 : n ≤ m
h2 : n + 1 ≤ m
\u22a2 leRec (le_succ_of_le ⋯ refl) (fun k h ih => le_succ_of_le ⋯ ih) h2 = leRec refl le_succ_of_le h1
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
f : Code
k : Cont'
\u22a2 contSupp (Cont'.fix f k) = codeSupp f (Cont'.fix f k)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X✝ : Scheme
X : Scheme
hX : IsReduced X
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
hs : X.basicOpen s = ⊥
\u22a2 s = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X✝ : Scheme
X : Scheme
hX : IsReduced X
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
hs : X.basicOpen s = ⊥
\u22a2 ∀ (x : ↥U), (X.sheaf.presheaf.germ x) s = (X.sheaf.presheaf.germ x) 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X✝ : Scheme
X : Scheme
hX : IsReduced X
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
hs : X.basicOpen s = ⊥
x : ↥U
\u22a2 (X.sheaf.presheaf.germ x) s = (X.sheaf.presheaf.germ x) 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X✝ : Scheme
X : Scheme
hX : IsReduced X
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
hs : X.basicOpen s = ⊥
x : ↥U
\u22a2 (X.sheaf.presheaf.germ x) s = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearMap.lean
R : Type u_1
inst✝²³ : CommSemiring R
R₂ : Type u_2
inst✝²² : CommSemiring R₂
R₃ : Type u_3
inst✝²¹ : CommSemiring R₃
R₄ : Type u_4
inst✝²⁰ : CommSemiring R₄
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Q : Type u_8
Mₗ : Type u_9
Nₗ : Type u_10
Pₗ : Type u_11
Qₗ : Type u_12
Qₗ' : Type u_13
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid Mₗ
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid Nₗ
inst✝¹³ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝¹² : AddCommMonoid Qₗ
inst✝¹¹ : AddCommMonoid Qₗ'
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R₂ N
inst✝⁸ : Module R₃ P
inst✝⁷ : Module R₄ Q
inst✝⁶ : Module R Mₗ
inst✝⁵ : Module R Nₗ
inst✝⁴ : Module R Pₗ
inst✝³ : Module R Qₗ
inst✝² : Module R Qₗ'
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
σ₄₂ : R₄ →+* R₂
σ₄₃ : R₄ →+* R₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₄₂ σ₂₃ σ₄₃
f✝ : M →ₛₗ[σ₁₃] N →ₛₗ[σ₂₃] P
f : Mₗ →ₗ[R] Nₗ →ₗ[R] Pₗ
x✝¹ : Mₗ
x✝ : Nₗ
\u22a2 ((f.compl₁₂ id id) x✝¹) x✝ = (f x✝¹) x✝
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ s' : Cycle α
inst✝ : Fintype α
s : Cycle α
h : s.Nodup
hn : s.Nontrivial
\u22a2 (s.formPerm h).support = s.toFinset
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ s' : Cycle α
inst✝ : Fintype α
s : List α
h : Nodup (Quot.mk Setoid.r s)
hn : Nontrivial (Quot.mk Setoid.r s)
\u22a2 (formPerm (Quot.mk Setoid.r s) h).support = toFinset (Quot.mk Setoid.r s)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ s' : Cycle α
inst✝ : Fintype α
s : List α
h : Nodup (Quot.mk Setoid.r s)
hn : Nontrivial (Quot.mk Setoid.r s)
\u22a2 ∀ (x : α), s ≠ [x]
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
inst✝ : Fintype α
x✝ : α
h : Nodup (Quot.mk Setoid.r [x✝])
hn : Nontrivial (Quot.mk Setoid.r [x✝])
\u22a2 False
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Midpoint.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z x y : P
\u22a2 (pointReflection R (midpoint R x y)) y = x
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a : M
u : Mˣ
x✝ : IsUnit (a * ↑u)
v : Mˣ
hv : ↑v = a * ↑u
\u22a2 IsUnit a
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a : M
u : Mˣ
x✝ : IsUnit (a * ↑u)
v : Mˣ
hv : ↑v = a * ↑u
this : IsUnit (a * ↑u * ↑u⁻¹)
\u22a2 IsUnit a
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/ShiftSequence.lean
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.87545, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.87549, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddMonoid M
inst✝⁴ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : HasShift C G
inst✝¹ : F.ShiftSequence M
inst✝ : F.ShiftSequence G
X Y : C
m : G
f : X ⟶ (shiftFunctor C m).obj Y
n : G
hnm : n + m = 0
a a' : G
ha' : m + a = a'
\u22a2 n + a' = a
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/ShiftSequence.lean
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.87545, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.87549, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddMonoid M
inst✝⁴ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : HasShift C G
inst✝¹ : F.ShiftSequence M
inst✝ : F.ShiftSequence G
X Y : C
m : G
f : X ⟶ (shiftFunctor C m).obj Y
n : G
hnm : n + m = 0
a a' : G
ha' : m + a = a'
\u22a2 m + n = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/ShiftSequence.lean
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddMonoid M
inst✝⁴ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : HasShift C G
inst✝¹ : F.ShiftSequence M
inst✝ : F.ShiftSequence G
X Y : C
m : G
f : X ⟶ (shiftFunctor C m).obj Y
n : G
hnm : n + m = 0
a a' : G
ha' : m + a = a'
\u22a2 (F.shiftIso n a' a ⋯).hom.app X ≫ F.shiftMap f a a' ha' = (F.shift a').map ((shiftFunctor C n).map f ≫ (shiftFunctorCompIsoId C m n ⋯).hom.app Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/ShiftSequence.lean
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddMonoid M
inst✝⁴ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝³ : AddGroup G
inst✝² : HasShift C G
inst✝¹ : F.ShiftSequence M
inst✝ : F.ShiftSequence G
X Y : C
m : G
f : X ⟶ (shiftFunctor C m).obj Y
n : G
hnm : n + m = 0
a a' : G
ha' : m + a = a'
hnm' : m + n = 0
\u22a2 (F.shiftIso n a' a ⋯).hom.app X ≫ F.shiftMap f a a' ha' = (F.shift a').map ((shiftFunctor C n).map f ≫ (shiftFunctorCompIsoId C m n ⋯).hom.app Y)
-- Mathlib/Algebra/Group/Hom/Defs.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁶ : MulOneClass M
inst✝⁵ : MulOneClass N
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike F G H
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : Monoid H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
a : G
\u22a2 f (a ^ 0) = f a ^ 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Hom/Defs.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁶ : MulOneClass M
inst✝⁵ : MulOneClass N
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike F G H
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : Monoid H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
a : G
n : ℕ
\u22a2 f (a ^ (n + 1)) = f a ^ (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
\u22a2 (f 0 * s.prod fun n e => g n ^ e) = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r s : R
\u22a2 r + s ∈ σ a ↔ r ∈ σ (-↑ₐ s + a)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
\u22a2 K.incl.range = K
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
\u22a2 K.incl.range.toSubmodule = K.toSubmodule
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialSet.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
h₀ : 0 < i
hₙ : i < Fin.last n
j : Fin n
\u22a2 {i, j.castSucc, j.succ}.card ≤ n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialSet.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
h₀ : 0 < ↑i
hₙ : ↑i < n
\u22a2 {i, j.castSucc, j.succ}.card ≤ n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialSet.lean
i : Fin (2 + 1)
j : Fin 2
h₀ : 0 < ↑i
hₙ : ↑i < 2
\u22a2 {i, j.castSucc, j.succ}.card ≤ 2
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialSet.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
h₀ : 0 < ↑i
hₙ : ↑i < n
hn : 2 < n
\u22a2 {i, j.castSucc, j.succ}.card ≤ n
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set (α → β)
t : Set α
\u22a2 s.seq t = ⋃ f ∈ s, f '' t
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
s : Set α
\u22a2 IsAtom s ↔ ∃ x, s = {x}
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
s : Set α
\u22a2 IsAtom s → ∃ x, s = {x}
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
s : Set α
\u22a2 (s.Nonempty ∧ ∀ (b : Set α), b ≠ ∅ → b ≤ s → s ≤ b) → ∃ x, s = {x}
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
s : Set α
hs : ∀ (b : Set α), b ≠ ∅ → b ≤ s → s ≤ b
x : α
hx : x ∈ s
\u22a2 ∃ x, s = {x}
-- Mathlib/Topology/Algebra/GroupWithZero.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝² : DivInvMonoid G₀
inst✝¹ : TopologicalSpace G₀
inst✝ : ContinuousMul G₀
f : α → G₀
s : Set α
l : Filter α
x : G₀
hf : Tendsto f l (𝓝 x)
y : G₀
\u22a2 Tendsto (fun a => f a / y) l (𝓝 (x / y))
-- Mathlib/Topology/Algebra/ConstMulAction.lean
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul G α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
s✝ : Set β
c : G
s : Set α
hs : Dense s
\u22a2 Dense (c • s)
-- Mathlib/Topology/Algebra/ConstMulAction.lean
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul G α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
s✝ : Set β
c : G
s : Set α
hs : closure s = univ
\u22a2 closure (c • s) = univ
-- Mathlib/Algebra/Lie/Semisimple/Basic.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : HasTrivialRadical R L
h : IsLieAbelian L
\u22a2 Subsingleton L
-- Mathlib/Algebra/Lie/Semisimple/Basic.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : HasTrivialRadical R L
h : ⊥ = ⊤
\u22a2 Subsingleton L
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : σ → R
S : Type u_2
τ : Type u_3
x : τ → S
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 (eval x) (eval₂ f g p) = eval₂ ((eval x).comp f) (fun s => (eval x) (g s)) p
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : σ → R
S : Type u_2
τ : Type u_3
x : τ → S
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 ∀ (a : R), (eval x) (eval₂ f g (C a)) = eval₂ ((eval x).comp f) (fun s => (eval x) (g s)) (C a)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : σ → R
S : Type u_2
τ : Type u_3
x : τ → S
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 ∀ (p q : MvPolynomial σ R), (eval x) (eval₂ f g p) = eval₂ ((eval x).comp f) (fun s => (eval x) (g s)) p → (eval x) (eval₂ f g q) = eval₂ ((eval x).comp f) (fun s => (eval x) (g s)) q → (eval x) (eval₂ f g (p + q)) = eval₂ ((eval x).comp f) (fun s => (eval x) (g s)) (p + q)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f✝ : σ → R
S : Type u_2
τ : Type u_3
x : τ → S
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 ∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ), (eval x) (eval₂ f g p) = eval₂ ((eval x).comp f) (fun s => (eval x) (g s)) p → (eval x) (eval₂ f g (p * X n)) = eval₂ ((eval x).comp f) (fun s => (eval x) (g s)) (p * X n)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ X₂ : V
d₀ : X₀ ⟶ X₁
d₁ : X₁ ⟶ X₂
s : d₀ ≫ d₁ = 0
succ : (S : ShortComplex V) → (X₄ : V) ×' (d₂ : S.X₃ ⟶ X₄) ×' S.g ≫ d₂ = 0
succ' : {X₀ X₁ : V} → (f : X₀ ⟶ X₁) → (X₂ : V) ×' (d : X₁ ⟶ X₂) ×' f ≫ d = 0
\u22a2 (if 1 = 0 + 1 then d₀ ≫ 𝟙 X₁ else 0) = d₀
-- Mathlib/Order/Filter/Extr.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
δ : Type x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
hle : g ≤ᶠ[l] f
hfga : f a = g a
h : IsMaxFilter f l a
\u22a2 IsMaxFilter g l a
-- Mathlib/Order/Filter/Extr.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
δ : Type x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
hle : g ≤ᶠ[l] f
hfga : f a = g a
h : IsMaxFilter f l a
x : α
hf : f x ≤ f a
hgf : g x ≤ f x
\u22a2 g x ≤ g a
-- Mathlib/Order/Filter/Extr.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
δ : Type x
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
a : α
l : Filter α
hle : g ≤ᶠ[l] f
hfga : f a = g a
h : IsMaxFilter f l a
x : α
hf : f x ≤ f a
hgf : g x ≤ f x
\u22a2 g x ≤ f a
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean
\u22a2 φ < 2
-- Mathlib/Algebra/Field/Subfield.lean
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : DivisionRing L
inst✝¹ : DivisionRing M
S : Type u_1
inst✝ : SetLike S K
h : SubfieldClass S K
x : K
s : S
q : ℚ
\u22a2 ↑q ∈ s
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
s t u : Finset α
a b x✝ : α
\u22a2 ¬(x✝ ∈ s → x✝ ∉ t) ↔ x✝ ∈ s ∧ x✝ ∈ t
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
M : CoxeterMatrix B
e : B ≃ B'
M' : CoxeterMatrix B' := CoxeterMatrix.reindex e M
\u22a2 Set.range (uncurry M'.relation) = Set.range (uncurry M'.relation ∘ Prod.map ⇑e ⇑e)
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
M : CoxeterMatrix B
e : B ≃ B'
M' : CoxeterMatrix B' := CoxeterMatrix.reindex e M
\u22a2 Set.range (uncurry M'.relation ∘ Prod.map ⇑e ⇑e) = Set.range (⇑(FreeGroup.freeGroupCongr e) ∘ uncurry M.relation)
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
M : CoxeterMatrix B
e : B ≃ B'
M' : CoxeterMatrix B' := CoxeterMatrix.reindex e M
\u22a2 uncurry M'.relation ∘ Prod.map ⇑e ⇑e = ⇑(FreeGroup.freeGroupCongr e) ∘ uncurry M.relation
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
M : CoxeterMatrix B
e : B ≃ B'
M' : CoxeterMatrix B' := CoxeterMatrix.reindex e M
i i' : B
\u22a2 (uncurry M'.relation ∘ Prod.map ⇑e ⇑e) (i, i') = (⇑(FreeGroup.freeGroupCongr e) ∘ uncurry M.relation) (i, i')
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
M : CoxeterMatrix B
e : B ≃ B'
M' : CoxeterMatrix B' := CoxeterMatrix.reindex e M
\u22a2 Set.range (⇑(FreeGroup.freeGroupCongr e) ∘ uncurry M.relation) = ⇑(FreeGroup.freeGroupCongr e) '' M.relationsSet
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : Nonempty ι
s : Set β
t : ι → Set β
\u22a2 s \ ⋃ i, t i = ⋂ i, s \ t i
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : Nonempty ι
s : Set β
t : ι → Set β
\u22a2 ⋂ i, s ∩ (t i)ᶜ = ⋂ i, s \ t i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
\u22a2 ‖a * b‖ ≤ ‖a‖ + ‖b‖
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Monoid γ
inst✝¹ : (i : ι) → AddMonoid (β i)
inst✝ : (i : ι) → DistribMulAction γ (β i)
s : Finset ι
c : γ
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι
\u22a2 (mk s (c • x)) i = (c • mk s x) i
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Monoid γ
inst✝¹ : (i : ι) → AddMonoid (β i)
inst✝ : (i : ι) → DistribMulAction γ (β i)
s : Finset ι
c : γ
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι
\u22a2 (if H : i ∈ s then (c • x) ⟨i, H⟩ else 0) = c • if H : i ∈ s then x ⟨i, H⟩ else 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq σ
s t : σ
\u22a2 (coeff R (single t 1)) (X s) = if t = s then 1 else 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
\u22a2 (pderiv x) (X y ^ 2 + C W'.a₁ * X x * X y * X z + C W'.a₃ * X y * X z ^ 3 - (X x ^ 3 + C W'.a₂ * X x ^ 2 * X z ^ 2 + C W'.a₄ * X x * X z ^ 4 + C W'.a₆ * X z ^ 6)) = C W'.a₁ * X y * X z - (C 3 * X x ^ 2 + C (2 * W'.a₂) * X x * X z ^ 2 + C W'.a₄ * X z ^ 4)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
\u22a2 ↑2 * X y ^ (2 - 1) * 0 + (((0 * X x + C W'.a₁ * 1) * X y + C W'.a₁ * X x * 0) * X z + C W'.a₁ * X x * X y * 0) + ((0 * X y + C W'.a₃ * 0) * X z ^ 3 + C W'.a₃ * X y * (↑3 * X z ^ (3 - 1) * 0)) - (↑3 * X x ^ (3 - 1) * 1 + ((0 * X x ^ 2 + C W'.a₂ * (↑2 * X x ^ (2 - 1) * 1)) * X z ^ 2 + C W'.a₂ * X x ^ 2 * (↑2 * X z ^ (2 - 1) * 0)) + ((0 * X x + C W'.a₄ * 1) * X z ^ 4 + C W'.a₄ * X x * (↑4 * X z ^ (4 - 1) * 0)) + (0 * X z ^ 6 + C W'.a₆ * (↑6 * X z ^ (6 - 1) * 0))) = C W'.a₁ * X y * X z - (3 * X x ^ 2 + 2 * C W'.a₂ * X x * X z ^ 2 + C W'.a₄ * X z ^ 4)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∉ s → f x = 0
\u22a2 ∫ (x : X), f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∉ s → f x = 0
\u22a2 ∫ (x : X) in univ, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∉ s → f x = 0
\u22a2 ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ univ \ s → f x = 0