ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/CantorNormalForm.lean
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
\u22a2 CNF 1 o = [(0, o)]
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Trunc.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : R[X]
hn : f.natDegree < n
\u22a2 trunc n ↑f = f
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Trunc.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : R[X]
hn : f.natDegree < n
\u22a2 ↑(trunc n ↑f) = ↑f
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Trunc.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : R[X]
hn : f.natDegree < n
m : ℕ
\u22a2 (coeff R m) ↑(trunc n ↑f) = (coeff R m) ↑f
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Trunc.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : R[X]
hn : f.natDegree < n
m : ℕ
\u22a2 (if m < n then (coeff R m) ↑f else 0) = (coeff R m) ↑f
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Trunc.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : R[X]
hn : f.natDegree < n
m : ℕ
h✝ : ¬m < n
\u22a2 0 = (coeff R m) ↑f
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
μ ν : Measure α
s t : Set α
\u22a2 AEMeasurable f (μ.restrict (s ∪ t)) ↔ AEMeasurable f (μ.restrict s) ∧ AEMeasurable f (μ.restrict t)
-- Mathlib/LinearAlgebra/UnitaryGroup.lean
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α : Type v
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : StarRing α
A : Matrix n n α
\u22a2 A ∈ unitaryGroup n α ↔ A * star A = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/UnitaryGroup.lean
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α : Type v
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : StarRing α
A : Matrix n n α
hA : A * star A = 1
\u22a2 star A * A = 1
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
\u22a2 jacobiTheta₂ (z + τ) τ = cexp (-↑π * I * (τ + 2 * z)) * jacobiTheta₂ z τ
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
\u22a2 jacobiTheta₂ (z + τ) τ = ∑' (c : ℤ), cexp (-↑π * I * (τ + 2 * z)) * jacobiTheta₂_term ((Equiv.addRight 1) c) z τ
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
n : ℤ
\u22a2 jacobiTheta₂_term n (z + τ) τ = cexp (-↑π * I * (τ + 2 * z)) * jacobiTheta₂_term ((Equiv.addRight 1) n) z τ
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
n : ℤ
\u22a2 cexp (2 * ↑π * I * ↑n * (z + τ) + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ) = cexp (-↑π * I * (τ + 2 * z) + (2 * ↑π * I * (↑n + ↑1) * z + ↑π * I * (↑n + ↑1) ^ 2 * τ))
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
σ τ : p.Gal
h : ∀ x ∈ p.rootSet p.SplittingField, σ x = τ x
\u22a2 σ = τ
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
σ τ : p.Gal
h : ∀ x ∈ p.rootSet p.SplittingField, σ x = τ x
x : p.SplittingField
\u22a2 AlgHom.equalizer ↑σ ↑τ = ⊤
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : t ≤ 0
h_int : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
\u22a2 (μ {ω | X ω ≤ ε}).toReal ≤ rexp (-t * ε) * mgf X μ t
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : t ≤ 0
h_int : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
\u22a2 (μ {ω | X ω ≤ ε}).toReal ≤ rexp (- -t * -ε) * mgf (-X) μ (-t)
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : t ≤ 0
h_int : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
\u22a2 (μ {ω | X ω ≤ ε}).toReal = (μ {ω | -ε ≤ (-X) ω}).toReal
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : t ≤ 0
h_int : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
\u22a2 Integrable (fun ω => rexp (-t * (-X) ω)) μ
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α✝
α : Type u_3
\u22a2 ∅.ncard = 0
-- Mathlib/Combinatorics/Optimization/ValuedCSP.lean
D : Type u_1
C✝ : Type u_2
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝
m : ℕ
C : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C
f : (Fin 2 → D) → C
ω : FractionalOperation D 2
valid : ω.IsValid
symmega : ω.IsSymmetric
a b : D
hab : a ≠ b
mcfab : HasMaxCutPropertyAt f a b
contr : 2 • (Multiset.map f (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum ≤ ω.size • ∑ i : Fin 2, f (![![a, b], ![b, a]] i)
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/Optimization/ValuedCSP.lean
D : Type u_1
C✝ : Type u_2
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝
m : ℕ
C : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C
f : (Fin 2 → D) → C
ω : FractionalOperation D 2
valid : ω.IsValid
symmega : ω.IsSymmetric
a b : D
hab : a ≠ b
mcfab : HasMaxCutPropertyAt f a b
contr : 2 • (Multiset.map f (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum ≤ ω.size • 2 • f ![a, b]
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/Optimization/ValuedCSP.lean
D : Type u_1
C✝ : Type u_2
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝
m : ℕ
C : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C
f : (Fin 2 → D) → C
ω : FractionalOperation D 2
valid : ω.IsValid
symmega : ω.IsSymmetric
a b : D
hab : a ≠ b
mcfab : HasMaxCutPropertyAt f a b
contr : 2 • (Multiset.map f (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum ≤ ω.size • 2 • f ![a, b]
sharp : 2 • (Multiset.map (fun x => f ![a, b]) (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum < 2 • (Multiset.map (fun r => f r) (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/Optimization/ValuedCSP.lean
D : Type u_1
C✝ : Type u_2
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝
m : ℕ
C : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C
f : (Fin 2 → D) → C
ω : FractionalOperation D 2
valid : ω.IsValid
symmega : ω.IsSymmetric
a b : D
hab : a ≠ b
mcfab : HasMaxCutPropertyAt f a b
contr : 2 • (Multiset.map f (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum ≤ ω.size • 2 • f ![a, b]
sharp : 2 • (Multiset.map (fun x => f ![a, b]) (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum < 2 • (Multiset.map (fun r => f r) (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum
impos : 2 • (Multiset.map (fun x => f ![a, b]) ω).sum < ω.size • 2 • f ![a, b]
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/Optimization/ValuedCSP.lean
D : Type u_1
C✝ : Type u_2
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝
m : ℕ
C : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C
f : (Fin 2 → D) → C
ω : FractionalOperation D 2
valid : ω.IsValid
symmega : ω.IsSymmetric
a b : D
hab : a ≠ b
mcfab : HasMaxCutPropertyAt f a b
contr : 2 • (Multiset.map f (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum ≤ ω.size • 2 • f ![a, b]
sharp : 2 • (Multiset.map (fun x => f ![a, b]) (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum < 2 • (Multiset.map (fun r => f r) (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum
impos : 2 • (Multiset.map (fun x => f ![a, b]) ω).sum < ω.size • 2 • f ![a, b]
rhs_swap : ω.size • 2 • f ![a, b] = 2 • ω.size • f ![a, b]
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/Optimization/ValuedCSP.lean
D : Type u_1
C✝ : Type u_2
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝
m : ℕ
C : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C
f : (Fin 2 → D) → C
ω : FractionalOperation D 2
valid : ω.IsValid
symmega : ω.IsSymmetric
a b : D
hab : a ≠ b
mcfab : HasMaxCutPropertyAt f a b
contr : 2 • (Multiset.map f (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum ≤ ω.size • 2 • f ![a, b]
sharp : 2 • (Multiset.map (fun x => f ![a, b]) (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum < 2 • (Multiset.map (fun r => f r) (ω.tt ![![a, b], ![b, a]])).sum
impos : 2 • ω.size • f ![a, b] < 2 • ω.size • f ![a, b]
rhs_swap : ω.size • 2 • f ![a, b] = 2 • ω.size • f ![a, b]
distrib : (Multiset.map (fun x => f ![a, b]) ω).sum = ω.size • f ![a, b]
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
\u22a2 0 < eval (-1) (cyclotomic n R)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
this : NeZero n
\u22a2 0 < eval (-1) (cyclotomic n R)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
this : NeZero n
\u22a2 0 < eval (↑(-1)) (cyclotomic n ℤ)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
this : NeZero n
\u22a2 0 < eval (↑(-1)) (cyclotomic n ℝ)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
this : NeZero n
\u22a2 0 < eval (-1) (cyclotomic n ℝ)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
this : NeZero n
h0 : (cyclotomic n ℝ).coeff 0 = 1
\u22a2 0 < eval (-1) (cyclotomic n ℝ)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
this : NeZero n
h0 : eval 0 (cyclotomic n ℝ) = 1
\u22a2 0 < eval (-1) (cyclotomic n ℝ)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
this : NeZero n
h0 : eval 0 (cyclotomic n ℝ) = 1
hx : eval (-1) (cyclotomic n ℝ) ≤ 0
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
this✝ : NeZero n
h0 : eval 0 (cyclotomic n ℝ) = 1
hx : eval (-1) (cyclotomic n ℝ) ≤ 0
this : Set.Icc (eval (-1) (cyclotomic n ℝ)) (eval 0 (cyclotomic n ℝ)) ⊆ Set.range fun x => eval x (cyclotomic n ℝ)
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
this✝ : NeZero n
h0 : eval 0 (cyclotomic n ℝ) = 1
hx : eval (-1) (cyclotomic n ℝ) ≤ 0
this : Set.Icc (eval (-1) (cyclotomic n ℝ)) (eval 0 (cyclotomic n ℝ)) ⊆ Set.range fun x => eval x (cyclotomic n ℝ)
y : ℝ
hy : (cyclotomic n ℝ).IsRoot y
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
this✝ : NeZero n
h0 : eval 0 (cyclotomic n ℝ) = 1
hx : eval (-1) (cyclotomic n ℝ) ≤ 0
this : Set.Icc (eval (-1) (cyclotomic n ℝ)) (eval 0 (cyclotomic n ℝ)) ⊆ Set.range fun x => eval x (cyclotomic n ℝ)
y : ℝ
hy : IsPrimitiveRoot y n
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
this✝ : NeZero n
h0 : eval 0 (cyclotomic n ℝ) = 1
hx : eval (-1) (cyclotomic n ℝ) ≤ 0
this : Set.Icc (eval (-1) (cyclotomic n ℝ)) (eval 0 (cyclotomic n ℝ)) ⊆ Set.range fun x => eval x (cyclotomic n ℝ)
y : ℝ
hn : 2 < orderOf y
hy : IsPrimitiveRoot y n
\u22a2 False
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ
\u22a2 (W.baseChange B).ψ n = Polynomial.map (mapRingHom ↑f) ((W.baseChange A).ψ n)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hIY : I ⊆ Y
hYX : Y ⊆ X
\u22a2 M.Basis I Y
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hIY : I ⊆ Y
hYX : Y ⊆ X
\u22a2 ∀ (J : Set α), M.Indep J → I ⊆ J → J ⊆ Y → I = J
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
\u22a2 (2 • θ).toReal = 2 * θ.toReal - 2 * π ↔ π / 2 < θ.toReal
-- Mathlib/Logic/Equiv/Defs.lean
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α' : Type u_1
β' : Type u_2
e : α' ≃ β'
p p' : Perm α'
x✝ : β'
\u22a2 (Equiv.trans (e.permCongr p) (e.permCongr p')) x✝ = (e.permCongr (Equiv.trans p p')) x✝
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
x : X
s : Set X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Y → X
hf : Inducing f
b : Y
\u22a2 (𝓝 b).HasBasis (?m.187297 b) (?m.187298 b)
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
x : X
s : Set X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Y → X
hf : Inducing f
b : Y
\u22a2 (comap f (𝓝 (f b))).HasBasis (?m.187297 b) (?m.187298 b)
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
x : X
s✝ : Set X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Y → X
hf : Inducing f
b : Y
s : Set X
hs : s ∈ 𝓝 (f b) ∧ IsClosed s
\u22a2 IsClosed (f ⁻¹' id s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/InfiniteSum.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f g : ℕ → R
hf : Summable fun x => ‖f x‖
hg : Summable fun x => ‖g x‖
\u22a2 (∑' (n : ℕ), f n) * ∑' (n : ℕ), g n = ∑' (n : ℕ), ∑ k ∈ range (n + 1), f k * g (n - k)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/InfiniteSum.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f g : ℕ → R
hf : Summable fun x => ‖f x‖
hg : Summable fun x => ‖g x‖
\u22a2 (∑' (n : ℕ), f n) * ∑' (n : ℕ), g n = ∑' (n : ℕ), ∑ ij ∈ antidiagonal n, f ij.1 * g ij.2
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : ℝ≥0
\u22a2 ↑(⊤ * ↑x) = ⊤ * ↑↑x
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
\u22a2 ↑(⊤ * ↑0) = ⊤ * ↑↑0
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : ℝ≥0
h0 : x ≠ 0
\u22a2 ↑(⊤ * ↑x) = ⊤ * ↑↑x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
hq : 0 ≤ q
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊
\u22a2 ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ q ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
hq : 0 ≤ q
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊
x : α
hx : ‖f x‖₊ ≤ ‖g x‖₊
\u22a2 ↑‖f x‖₊ ^ q ≤ ↑‖g x‖₊ ^ q
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
r : R
b : CliffordAlgebra Q
\u22a2 (contractRight ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r * b)) d = (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r * (contractRight b) d
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Classification.lean
K L : Type
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : IsAlgClosed K
inst✝² : IsAlgClosed L
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : CharZero L
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
\u22a2 Nonempty (K ≃+* L)
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Classification.lean
K L : Type
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : IsAlgClosed K
inst✝² : IsAlgClosed L
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : CharZero L
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
s : Set K
hs : IsTranscendenceBasis ℤ Subtype.val
\u22a2 Nonempty (K ≃+* L)
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Classification.lean
K L : Type
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : IsAlgClosed K
inst✝² : IsAlgClosed L
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : CharZero L
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
s : Set K
hs : IsTranscendenceBasis ℤ Subtype.val
t : Set L
ht : IsTranscendenceBasis ℤ Subtype.val
\u22a2 Nonempty (K ≃+* L)
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Classification.lean
K L : Type
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : IsAlgClosed K
inst✝² : IsAlgClosed L
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : CharZero L
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
s : Set K
hs : IsTranscendenceBasis ℤ Subtype.val
t : Set L
ht : IsTranscendenceBasis ℤ Subtype.val
this : #↑s = #↑t
\u22a2 Nonempty (K ≃+* L)
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Classification.lean
K L : Type
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : IsAlgClosed K
inst✝² : IsAlgClosed L
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : CharZero L
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
s : Set K
hs : IsTranscendenceBasis ℤ Subtype.val
t : Set L
ht : IsTranscendenceBasis ℤ Subtype.val
this : #↑s = #↑t
e : ↑s ≃ ↑t
\u22a2 Nonempty (K ≃+* L)
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝⁴ : MonoidWithZero R
inst✝³ : MonoidWithZero S
inst✝² : MulActionWithZero R S
inst✝¹ : SMulCommClass R S S
inst✝ : IsScalarTower R S S
a : S
t : R
k : ℕ
ha : a ^ k = 0
\u22a2 IsNilpotent (t • a)
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝⁴ : MonoidWithZero R
inst✝³ : MonoidWithZero S
inst✝² : MulActionWithZero R S
inst✝¹ : SMulCommClass R S S
inst✝ : IsScalarTower R S S
a : S
t : R
k : ℕ
ha : a ^ k = 0
\u22a2 (t • a) ^ k = 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : TopologicalAddGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
x✝¹ : M →L[R] M
x✝ : M
\u22a2 (Ring.inverse x✝¹) x✝ = x✝¹.inverse x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ Y : C
S : Sieve X✝
R : Presieve X✝
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst✝ : (ofArrows X π).hasPullbacks
\u22a2 IsSheafFor P (ofArrows X π) ↔ ∀ (x : (i : I) → P.obj (op (X i))), Arrows.PullbackCompatible P π x → ∃! t, ∀ (i : I), P.map (π i).op t = x i
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
\u22a2 (fun x => x + a) ⁻¹' [[b, c]] = [[b - a, c - a]]
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
\u22a2 x ∈ closure s ↔ (comap Subtype.val (𝓝 x)).NeBot
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : α → Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : (i : α) → Set (β i)
f : (i : { x // p x }) → β ↑i
g : (i : { x // ¬p x }) → β ↑i
\u22a2 (f, g) ∈ ⇑(piEquivPiSubtypeProd p β).symm ⁻¹' univ.pi s ↔ (f, g) ∈ (univ.pi fun i => s ↑i) ×ˢ univ.pi fun i => s ↑i
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : α → Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : (i : α) → Set (β i)
f : (i : { x // p x }) → β ↑i
g : (i : { x // ¬p x }) → β ↑i
\u22a2 (∀ (i : α), (piEquivPiSubtypeProd p β).symm (f, g) i ∈ s i) ↔ ∀ (x : α), (∀ (b : p x), f ⟨x, b⟩ ∈ s x) ∧ ∀ (b : ¬p x), g ⟨x, b⟩ ∈ s x
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : α → Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : (i : α) → Set (β i)
f : (i : { x // p x }) → β ↑i
g : (i : { x // ¬p x }) → β ↑i
i : α
\u22a2 (piEquivPiSubtypeProd p β).symm (f, g) i ∈ s i ↔ (∀ (b : p i), f ⟨i, b⟩ ∈ s i) ∧ ∀ (b : ¬p i), g ⟨i, b⟩ ∈ s i
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : SemilatticeSup δ
g : γ → δ
h : (image₂ f s t).Nonempty
\u22a2 (image₂ f s t).sup' h g = t.sup' ⋯ fun y => s.sup' ⋯ fun x => g (f x y)
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : SemilatticeSup δ
g : γ → δ
h : (image₂ f s t).Nonempty
\u22a2 (t.sup' ⋯ fun i' => s.sup' ⋯ fun i => (g ∘ uncurry f) (i, i')) = t.sup' ⋯ fun y => s.sup' ⋯ fun x => g (f x y)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : Finite ι
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
\u22a2 Continuous fun p => p.1 p.2
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : Finite ι
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
val✝ : Fintype ι
\u22a2 Continuous fun p => p.1 p.2
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : Finite ι
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
val✝ : Fintype ι
x✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
\u22a2 Continuous fun p => p.1 p.2
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : Finite ι
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
val✝ : Fintype ι
x✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this : UniformAddGroup F
\u22a2 Continuous fun p => p.1 p.2
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : Finite ι
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
val✝ : Fintype ι
x✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this : UniformAddGroup F
m : (i : ι) → E i
\u22a2 ∃ V ∈ {s | Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s}, V ∈ 𝓝 m
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
\u22a2 univ.Pairwise r ↔ Pairwise r
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
b : Ordinal.{u_4}
h₁ : 0 ∣ b
h₂ : b ∣ 0
\u22a2 0 = b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}
a0 : ¬a = 0
h₁ : a ∣ 0
h₂ : 0 ∣ a
\u22a2 a = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : 0 < b
x✝ : c + b * d = a ∧ c < b
h₁ : c + b * d = a
h₂ : c < b
\u22a2 (c + b * d) / b = d ∧ (c + b * d) % b = c
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : 0 < b
x✝ : c + b * d = a ∧ c < b
h₁ : c + b * d = a
h₂ : c < b
\u22a2 c / b + d = d ∧ c % b = c
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Lemmas.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : Fintype M
inst✝¹ : DecidableEq M
R : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R
ζ : Rˣ
hζ : ζ ∈ rootsOfUnity (Monoid.orderUnits M) R
g : Mˣ
hg : ∀ (x : Mˣ), x ∈ Subgroup.zpowers g
\u22a2 (ofRootOfUnity hζ hg) ↑g = ↑ζ
-- Mathlib/Algebra/ModEq.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
x✝ : a₁ ≡ b₁ [PMOD p]
m : ℤ
hm : b₁ - a₁ = m • p
\u22a2 (∃ b, b₁ + b₂ - (a₁ + a₂) = (Equiv.symm (Equiv.addLeft m)).symm b • p) ↔ a₂ ≡ b₂ [PMOD p]
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
x : M ⊗[R] N
\u22a2 (lTensor M (g ∘ₗ f)) x = (lTensor M g) ((lTensor M f) x)