ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k✝ : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
f : j ⟶ i
x : F.obj j
hx : ∀ ⦃i : J⦄ (f : i ⟶ j), x ∈ range (F.map f)
k : J
f' : k ⟶ i
l : J
g : l ⟶ j
g' : l ⟶ k
he : g ≫ f = g' ≫ f'
\u22a2 F.map f x ∈ range (F.map f')
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k✝ : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
f : j ⟶ i
k : J
f' : k ⟶ i
l : J
g : l ⟶ j
g' : l ⟶ k
he : g ≫ f = g' ≫ f'
x : F.obj l
hx : ∀ ⦃i : J⦄ (f : i ⟶ j), F.map g x ∈ range (F.map f)
\u22a2 F.map f (F.map g x) ∈ range (F.map f')
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k✝ : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
f : j ⟶ i
k : J
f' : k ⟶ i
l : J
g : l ⟶ j
g' : l ⟶ k
he : g ≫ f = g' ≫ f'
x : F.obj l
hx : ∀ ⦃i : J⦄ (f : i ⟶ j), F.map g x ∈ range (F.map f)
\u22a2 (F.map g' ≫ F.map f') x ∈ range (F.map f')
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Basic.lean
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace R F
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝ : FiberBundle F E
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
b✝ : B
a : F
i j : ι
b : B
hb : b ∈ Z.baseSet i
v : F
\u22a2 (Z.localTriv i).symm b v = (Z.coordChange i (Z.indexAt b) b) v
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ a b c : α
\u22a2 mabs ((a ⊓ c) / (b ⊓ c)) ≤ mabs (a / b)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ a b c : α
\u22a2 mabs ?m.27534 * mabs ((a ⊓ c) / (b ⊓ c)) ≤ mabs (a / b)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Variables.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
x : σ
hx : x ∈ (p + q).vars
\u22a2 x ∈ p.vars ∪ q.vars
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Variables.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
x : σ
hx : x ∈ (p + q).degrees
\u22a2 x ∈ p.degrees ∨ x ∈ q.degrees
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Cast.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n✝ : ℤ
x : R
n : ℤ
hx : |x| ≤ 1
\u22a2 0 ≤ ↑n * x + ↑n * ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Cast.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n✝ : ℤ
x : R
n : ℤ
hx : |x| ≤ 1
hnx : 0 < n → 0 ≤ x + ↑n
\u22a2 0 ≤ ↑n * x + ↑n * ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Cast.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n✝ : ℤ
x : R
n : ℤ
hx : |x| ≤ 1
hnx : 0 < n → 0 ≤ x + ↑n
hnx' : n < 0 → x + ↑n ≤ 0
\u22a2 0 ≤ ↑n * x + ↑n * ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Cast.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n✝ : ℤ
x : R
n : ℤ
hx : |x| ≤ 1
hnx : 0 < n → 0 ≤ x + ↑n
hnx' : n < 0 → x + ↑n ≤ 0
\u22a2 0 ≤ ↑n ∧ 0 ≤ x + ↑n ∨ ↑n ≤ 0 ∧ x + ↑n ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Cast.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n✝ : ℤ
x : R
n : ℤ
hx : |x| ≤ 1
hnx : 0 < n → 0 ≤ x + ↑n
hnx' : n < 0 → x + ↑n ≤ 0
h : n < 0
\u22a2 0 ≤ ↑n ∧ 0 ≤ x + ↑n ∨ ↑n ≤ 0 ∧ x + ↑n ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Cast.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n : ℤ
x : R
hx : |x| ≤ 1
hnx : 0 < 0 → 0 ≤ x + ↑0
hnx' : 0 < 0 → x + ↑0 ≤ 0
\u22a2 0 ≤ ↑0 ∧ 0 ≤ x + ↑0 ∨ ↑0 ≤ 0 ∧ x + ↑0 ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Cast.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n✝ : ℤ
x : R
n : ℤ
hx : |x| ≤ 1
hnx : 0 < n → 0 ≤ x + ↑n
hnx' : n < 0 → x + ↑n ≤ 0
h : 0 < n
\u22a2 0 ≤ ↑n ∧ 0 ≤ x + ↑n ∨ ↑n ≤ 0 ∧ x + ↑n ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Supported.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u
S : Type v
r : R
e : ℕ
n m : σ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : Set σ
x : R
\u22a2 ↑((supportedEquivMvPolynomial s).symm (C x)) = ↑((algebraMap R ↥(supported R s)) x)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BoundedLinearMaps.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
hf : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
\u22a2 IsBoundedLinearMap 𝕜 fun e => -f e
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BoundedLinearMaps.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
hf : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
\u22a2 IsBoundedLinearMap 𝕜 fun e => -1 • f e
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
f✝¹ f✝ : R →+* S
inst✝ : Algebra R S
f : A ≃ₐ[R] S
y : S
\u22a2 y ∈ Subalgebra.map (↑f) (integralClosure R A) ↔ y ∈ integralClosure R S
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
f✝¹ f✝ : R →+* S
inst✝ : Algebra R S
f : A ≃ₐ[R] S
y : S
\u22a2 (∃ x ∈ integralClosure R A, ↑f x = y) ↔ y ∈ integralClosure R S
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
r : R
hr : IsUnit r
\u22a2 span R (r • s) = span R s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
r : R
hr : IsUnit r
\u22a2 span R (r • s) ≤ span R s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
r : R
hr : IsUnit r
\u22a2 span R s ≤ span R (r • s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
\u22a2 μ s⁻¹ = 0 ↔ μ s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
hs : μ s⁻¹ = 0
\u22a2 μ s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
hs : μ s⁻¹ = 0
\u22a2 μ s⁻¹⁻¹ = 0
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
\u22a2 image succ univ = {0}ᶜ
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂✝ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
s₂ : Finset ι
h : s₂ ⊆ s
w : ι → k
p : ι → P
b : P
\u22a2 ((s \ s₂).weightedVSubOfPoint p b) w - (s₂.weightedVSubOfPoint p b) (-w) = (s.weightedVSubOfPoint p b) w
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
\u22a2 eLpNorm (fun x => b (f x) (g x)) p μ ≤ eLpNorm f ⊤ μ * eLpNorm g p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f✝ : α → E
g✝ : α → F
p : ℝ≥0∞
f : α → E
g : α → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp_top : ¬p = ⊤
hp_zero : ¬p = 0
\u22a2 (∫⁻ (x : α), ↑‖b (f x) (g x)‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) ≤ essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ * (∫⁻ (x : α), ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
g : α → β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] g ↔ s.indicator f =ᶠ[ae μ] s.indicator g
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
g : α → β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x) ↔ s.indicator f =ᶠ[ae μ] s.indicator g
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
g : α → β
hs : MeasurableSet s
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = g x
x : α
hx : x ∈ s → f x = g x
\u22a2 s.indicator f x = s.indicator g x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
g : α → β
hs : MeasurableSet s
h : s.indicator f =ᶠ[ae μ] s.indicator g
x : α
hx : s.indicator f x = s.indicator g x
\u22a2 x ∈ s → f x = g x
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Defs.lean
α : Type u
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
\u22a2 a ≤ a⁻¹ ↔ a ≤ 1
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Completion.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
\u22a2 𝓤 (Completion α) = ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | dist p.1 p.2 < ε}
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Maps.lean
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v✝ : V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
H : SimpleGraph W
f✝ : G →g G'
f : ⊤ →g G'
v w : V
h : f v = f w
\u22a2 v = w
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Maps.lean
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v✝ : V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
H : SimpleGraph W
f✝ : G →g G'
f : ⊤ →g G'
v w : V
h : v ≠ w
\u22a2 f v ≠ f w
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a✝ b✝ c d : ℕ
co : n.Coprime m
a b z : ℕ
hzan : z ≡ a [MOD n]
hzbm : z ≡ b [MOD m]
\u22a2 z ≡ ↑(chineseRemainder co a b) [MOD n * m]
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
h : I = 0
x : P
hx : x ∈ I
\u22a2 x = 0
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
a : α
\u22a2 p a = 1 ↔ p.support = {a}
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
a : α
h : p a = 1
a' : α
ha' : a' ∈ p.support
ha : a' ∉ {a}
\u22a2 False
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
a : α
h : p a = 1
a' : α
ha' : a' ∈ p.support
ha : a' ∉ {a}
\u22a2 1 < ∑' (a : α), p a
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
a : α
h : p a = 1
a' : α
ha' : a' ∈ p.support
ha : a' ∉ {a}
this : 0 < ∑' (b : α), if b = a then 0 else p b
\u22a2 1 < ∑' (a : α), p a
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq0 : ↑q ≠ 0
\u22a2 ∑ a ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * q / p + ∑ a ∈ Ico 1 (q / 2).succ, a * p / q = p / 2 * (q / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq0 : ↑q ≠ 0
hswap : (filter (fun x => x.2 * q ≤ x.1 * p) (Ico 1 (q / 2).succ ×ˢ Ico 1 (p / 2).succ)).card = (filter (fun x => x.1 * q ≤ x.2 * p) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ)).card
\u22a2 ∑ a ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * q / p + ∑ a ∈ Ico 1 (q / 2).succ, a * p / q = p / 2 * (q / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq0 : ↑q ≠ 0
hswap : (filter (fun x => x.2 * q ≤ x.1 * p) (Ico 1 (q / 2).succ ×ˢ Ico 1 (p / 2).succ)).card = (filter (fun x => x.1 * q ≤ x.2 * p) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ)).card
hdisj : Disjoint (filter (fun x => x.2 * p ≤ x.1 * q) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ)) (filter (fun x => x.1 * q ≤ x.2 * p) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ))
\u22a2 ∑ a ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * q / p + ∑ a ∈ Ico 1 (q / 2).succ, a * p / q = p / 2 * (q / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq0 : ↑q ≠ 0
hswap : (filter (fun x => x.2 * q ≤ x.1 * p) (Ico 1 (q / 2).succ ×ˢ Ico 1 (p / 2).succ)).card = (filter (fun x => x.1 * q ≤ x.2 * p) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ)).card
hdisj : Disjoint (filter (fun x => x.2 * p ≤ x.1 * q) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ)) (filter (fun x => x.1 * q ≤ x.2 * p) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ))
hunion : filter (fun x => x.2 * p ≤ x.1 * q) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ) ∪ filter (fun x => x.1 * q ≤ x.2 * p) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ) = Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ
\u22a2 ∑ a ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * q / p + ∑ a ∈ Ico 1 (q / 2).succ, a * p / q = p / 2 * (q / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq0 : ↑q ≠ 0
hswap : (filter (fun x => x.2 * q ≤ x.1 * p) (Ico 1 (q / 2).succ ×ˢ Ico 1 (p / 2).succ)).card = (filter (fun x => x.1 * q ≤ x.2 * p) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ)).card
hdisj : Disjoint (filter (fun x => x.2 * p ≤ x.1 * q) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ)) (filter (fun x => x.1 * q ≤ x.2 * p) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ))
hunion : filter (fun x => x.2 * p ≤ x.1 * q) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ) ∪ filter (fun x => x.1 * q ≤ x.2 * p) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ) = Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ
\u22a2 (Ico 1 (p / 2).succ).card * (Ico 1 (q / 2).succ).card = p / 2 * (q / 2)
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
S : Set ℝ
hS : ∀ x ∈ S, 0 ≤ x
\u22a2 0 ≤ sSup S
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
hS : ∀ x ∈ ∅, 0 ≤ x
\u22a2 0 ≤ sSup ∅
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
S : Set ℝ
hS : ∀ x ∈ S, 0 ≤ x
y : ℝ
hy : y ∈ S
\u22a2 0 ≤ sSup S
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hε : 0 ≤ ε
\u22a2 Disjoint (closedBall x δ) (closedBall y ε) ↔ δ + ε < dist x y
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hε : 0 ≤ ε
h : Disjoint (closedBall x δ) (closedBall y ε)
hxy : δ + ε ≥ dist x y
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hε : 0 ≤ ε
h : Disjoint (closedBall x δ) (closedBall y ε)
hxy : ε + δ ≥ dist x y
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hε : 0 ≤ ε
h : Disjoint (closedBall x δ) (closedBall y ε)
hxy : ε + δ ≥ dist x y
z : E
hxz : dist x z ≤ δ
hzy : dist z y ≤ ε
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
hε : 0 ≤ ε
h : Disjoint (closedBall x δ) (closedBall y ε)
hxy : ε + δ ≥ dist x y
z : E
hxz : dist z x ≤ δ
hzy : dist z y ≤ ε
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
\u22a2 z.arg ∈ Ioc (-π) π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hπ : 0 < π
\u22a2 z.arg ∈ Ioc (-π) π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
hπ : 0 < π
\u22a2 arg 0 ∈ Ioc (-π) π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hπ : 0 < π
hz : z ≠ 0
\u22a2 z.arg ∈ Ioc (-π) π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hπ : 0 < π
hz : z ≠ 0
N : ℤ
hN : z.arg + N • (2 * π) ∈ Ioc (-π) (-π + 2 * π)
\u22a2 z.arg ∈ Ioc (-π) π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hπ : 0 < π
hz : z ≠ 0
N : ℤ
hN : z.arg + ↑N * (2 * π) ∈ Ioc (-π) π
\u22a2 z.arg ∈ Ioc (-π) π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hπ : 0 < π
hz : z ≠ 0
N : ℤ
hN : z.arg + ↑N * (2 * π) ∈ Ioc (-π) π
\u22a2 (↑(abs z) * (cos (↑z.arg + ↑N * (2 * ↑π)) + sin (↑z.arg + ↑N * (2 * ↑π)) * I)).arg ∈ Ioc (-π) π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hπ : 0 < π
hz : z ≠ 0
N : ℤ
hN : z.arg + ↑N * (2 * π) ∈ Ioc (-π) π
this : (↑(abs z) * (cos ↑(z.arg + ↑N * (2 * π)) + sin ↑(z.arg + ↑N * (2 * π)) * I)).arg = z.arg + ↑N * (2 * π)
\u22a2 (↑(abs z) * (cos (↑z.arg + ↑N * (2 * ↑π)) + sin (↑z.arg + ↑N * (2 * ↑π)) * I)).arg ∈ Ioc (-π) π
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s t : Set α
β' : Type u_6
f : β → γ
g : α → β
f' : α → β'
g' : β' → γ
h_comm : ∀ (a : α), f (g a) = g' (f' a)
\u22a2 f '' (g '' s) = g' '' (f' '' s)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m₂ r m₁ : List Char
s : Substring
h : ValidFor l (m₁.reverse ++ m₂) r s
n : Nat
\u22a2 s.prevn n (s.prev { byteIdx := utf8Len m₁ }) = { byteIdx := utf8Len (List.drop (n + 1) m₁) }
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
f : ℕ → ℝ
hf : Tendsto f atTop atBot
r : ℝ
hf' : ∀ (b : ℝ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → f a ≤ b
i : ℕ
hi : ∀ (a : ℕ), i ≤ a → f a ≤ r - 1
hi' : ∀ (a : ℕ), r - 1 < f a → a < i
\u22a2 {a | f a < r}ᶜ ⊆ {a | a ≤ i}
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
f : ℕ → ℝ
hf : Tendsto f atTop atBot
r : ℝ
hf' : ∀ (b : ℝ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → f a ≤ b
i : ℕ
hi : ∀ (a : ℕ), i ≤ a → f a ≤ r - 1
hi' : ∀ (a : ℕ), r - 1 < f a → a < i
\u22a2 {a | r ≤ f a} ⊆ {a | a ≤ i}
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Determinant.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
s : SimpContFract K
n : ℕ
hyp : n = 0 ∨ ¬(↑s).TerminatedAt (n - 1)
\u22a2 ((↑s).contsAux n).a * ((↑s).contsAux (n + 1)).b - ((↑s).contsAux n).b * ((↑s).contsAux (n + 1)).a = (-1) ^ n
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
la : Filter α
pa : ι → Prop
sa : ι → Set α
lb : Filter β
pb : ι' → Prop
sb : ι' → Set β
f : α → β
hl : la.HasBasis pa sa
i j : ι
hi : pa i
hj : pa j
\u22a2 ∃ k, pa k ∧ sa k ⊆ sa i ∧ sa k ⊆ sa j
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 a ∆ b ⊓ c = (a ⊓ c) ∆ (b ⊓ c)
-- Mathlib/Data/Set/Sigma.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x✝ : (i : ι) × α i
i j : ι
a : α i
h : i ≠ j
s : Set (α j)
x : α i
\u22a2 x ∈ Sigma.mk i ⁻¹' (Sigma.mk j '' s) ↔ x ∈ ∅
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/EpiMono.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : ReflectsColimit (span f f) F
inst✝ : Epi (F.map f)
this : IsColimit (PushoutCocone.mk (𝟙 (F.obj Y)) (𝟙 (F.obj Y)) ⋯)
\u22a2 Epi f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/EpiMono.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : ReflectsColimit (span f f) F
inst✝ : Epi (F.map f)
this : IsColimit (PushoutCocone.mk (F.map (𝟙 Y)) (F.map (𝟙 Y)) ⋯)
\u22a2 Epi f
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : ¬Irreducible ↑p
\u22a2 ¬(norm ↑p).natAbs = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : ¬Irreducible ↑p
\u22a2 ¬((↑p).natAbs = 1 ∧ (↑p).natAbs = 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : ¬Irreducible ↑p
hpu : ¬IsUnit ↑p
\u22a2 ∃ a b, ↑p = a * b ∧ ¬IsUnit a ∧ ¬IsUnit b
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : ¬Irreducible ↑p
hpu : ¬IsUnit ↑p
hab : ∃ a b, ↑p = a * b ∧ ¬IsUnit a ∧ ¬IsUnit b
a b : ℤ[i]
hpab : ↑p = a * b
hau : ¬IsUnit a
hbu : ¬IsUnit b
\u22a2 (norm a).natAbs * (norm b).natAbs = p ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : ¬Irreducible ↑p
hpu : ¬IsUnit ↑p
hab : ∃ a b, ↑p = a * b ∧ ¬IsUnit a ∧ ¬IsUnit b
a b : ℤ[i]
hpab : ↑p = a * b
hau : ¬IsUnit a
hbu : ¬IsUnit b
\u22a2 ↑((norm a).natAbs * (norm b).natAbs) = norm (a * b)
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : ¬Irreducible ↑p
hpu : ¬IsUnit ↑p
hab : ∃ a b, ↑p = a * b ∧ ¬IsUnit a ∧ ¬IsUnit b
a b : ℤ[i]
hpab : ↑p = a * b
hau : ¬IsUnit a
hbu : ¬IsUnit b
hnap : (norm a).natAbs = p
\u22a2 a.re.natAbs ^ 2 + a.im.natAbs ^ 2 = p
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Defs.lean
n✝ n : ℕ
n2 : 2 ≤ n
x✝ : ℕ
k : ℕ := x✝
i : ℕ
e : x✝ = 2 * i + 3
a : ∀ (m : ℕ), 2 ≤ m → m ∣ n → x✝ ≤ m
h : ¬n < k * k
\u22a2 Nat.minFacProp n (if n < x✝ * x✝ then n else if x✝ ∣ n then x✝ else n.minFacAux (x✝ + 2))
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Defs.lean
n✝ n : ℕ
n2 : 2 ≤ n
x✝ : ℕ
k : ℕ := x✝
i : ℕ
e : x✝ = 2 * i + 3
a : ∀ (m : ℕ), 2 ≤ m → m ∣ n → x✝ ≤ m
h : ¬n < k * k
k2 : 2 ≤ k
\u22a2 Nat.minFacProp n (if n < x✝ * x✝ then n else if x✝ ∣ n then x✝ else n.minFacAux (x✝ + 2))
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
\u22a2 p.succAbove i.rev = (p.rev.succAbove i).rev
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≃r s
o : Ordinal.{u}
\u22a2 ∀ (hr : o < type r) (hs : o < type s), f (enum r o hr) = enum s o hs
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≃r s
o : Ordinal.{u}
\u22a2 ∀ (α_1 : Type u) (r_1 : α_1 → α_1 → Prop) [inst : IsWellOrder α_1 r_1] (hr : type r_1 < type r) (hs : type r_1 < type s), f (enum r (type r_1) hr) = enum s (type r_1) hs
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ✝ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t✝ : γ✝ → γ✝ → Prop
α β : Type u
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≃r s
o : Ordinal.{u}
γ : Type u
t : γ → γ → Prop
wo : IsWellOrder γ t
g : t ≺i r
h : t ≺i s
\u22a2 f (enum r (type t) ⋯) = enum s (type t) ⋯