ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁷ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra S L
inst✝¹¹ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : IsScalarTower R K V
inst✝⁶ : AddCommGroup V'
inst✝⁵ : Module R V'
inst✝⁴ : Module S V'
inst✝³ : IsScalarTower R S V'
inst✝² : AddCommGroup V''
inst✝¹ : Module R V''
inst✝ : IsDedekindDomain R
hRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤
f : V'' →ₗ[R] V
hf : Function.Injective ⇑f
f' : V'' →ₗ[R] V'
ι : Type u_6
b : ι → V''
s : Finset ι
g : ι → K
eq✝ : ∑ i ∈ s, g i • (⇑f ∘ b) i = 0
j' : ι
hj's : j' ∈ s
hj'g : ¬g j' = 0
a : K
j : ι
hjs : j ∈ s
hgI✝ : a * g j ∉ ↑(RingHom.ker (algebraMap R S))
g'' : (i : ι) → i ∈ s → R
hg'' : ∀ (i : ι) (a_1 : i ∈ s), (algebraMap R K) (g'' i a_1) = a * g i
this : (a : Prop) → Decidable a := Classical.propDecidable
g' : ι → R := fun i => if h : i ∈ s then g'' i h else 0
hg' : ∀ i ∈ s, (algebraMap R K) (g' i) = a * g i
hgI : (algebraMap R S) (g' j) ≠ 0
eq : f (∑ i ∈ s, g' i • b i) = 0
\u22a2 ∑ i ∈ s, (fun i => (algebraMap R S) (g' i)) i • (⇑f' ∘ b) i = 0
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Action/Prod.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
inst✝⁶ : SMul M α
inst✝⁵ : SMul M β✝
inst✝⁴ : SMul N α
inst✝³ : SMul N β✝
a✝ : M
x : α × β✝
β : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid β
inst✝ : DistribMulAction M β
a : M
b : α
\u22a2 a • (b, 0) = (a • b, 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x y : ℝ
h : 1 < x * y
hx : 0 < x
\u22a2 arctan x + arctan y = arctan ((x + y) / (1 - x * y)) + π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x y : ℝ
h : 1 < x * y
hx : 0 < x
hy : 0 < y
\u22a2 arctan x + arctan y = arctan ((x + y) / (1 - x * y)) + π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x y : ℝ
h : 1 < x * y
hx : 0 < x
hy : 0 < y
k : arctan x⁻¹ + arctan y⁻¹ = arctan ((x⁻¹ + y⁻¹) / (1 - x⁻¹ * y⁻¹))
\u22a2 arctan x + arctan y = arctan ((x + y) / (1 - x * y)) + π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x y : ℝ
h : 1 < x * y
hx : 0 < x
hy : 0 < y
k : arctan (-((x⁻¹ + y⁻¹) / (1 - x⁻¹ * y⁻¹))) + π = arctan x + arctan y
\u22a2 arctan x + arctan y = arctan ((x + y) / (1 - x * y)) + π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x y : ℝ
h : 1 < x * y
hx : 0 < x
hy : 0 < y
k : arctan (-((x⁻¹ + y⁻¹) / (1 - x⁻¹ * y⁻¹))) + π = arctan x + arctan y
\u22a2 (x + y) / (1 - x * y) = -((x⁻¹ + y⁻¹) / (1 - x⁻¹ * y⁻¹))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x y : ℝ
h : 1 < x * y
hx : 0 < x
hy : 0 < y
k : arctan (-((x⁻¹ + y⁻¹) / (1 - x⁻¹ * y⁻¹))) + π = arctan x + arctan y
\u22a2 (x + y) / (1 - x * y) = (-x + -y) / (x * y - 1)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hne : Even n ∧ ¬Odd n
\u22a2 a ^ n = b ^ n ↔ a = b ∨ a = -b ∧ Even n
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ
hn✝ : n ≠ 0
hn : Odd n ∧ ¬Even n
\u22a2 a ^ n = b ^ n ↔ a = b ∨ a = -b ∧ Even n
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
p : X → Prop
\u22a2 (∃ᶠ (x' : X) in 𝓝 x, ∃ᶠ (x'' : X) in 𝓝 x', p x'') ↔ ∃ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p x
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
p : X → Prop
\u22a2 (¬∃ᶠ (x' : X) in 𝓝 x, ∃ᶠ (x'' : X) in 𝓝 x', p x'') ↔ ¬∃ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E p)
\u22a2 f = 0 ↔ ↑f = 0
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
μ : Ordinal.{u}
\u22a2 P I μ
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C✝ : Set (I → Bool)
μ o : Ordinal.{u}
h : P I o
ho : Order.succ o ≤ Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
\u22a2 LinearIndependent ℤ (eval C)
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C✝ : Set (I → Bool)
μ o : Ordinal.{u}
h : P I o
ho : Order.succ o ≤ Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho' : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
\u22a2 LinearIndependent ℤ (eval C)
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C✝ : Set (I → Bool)
μ o : Ordinal.{u}
h : P I o
ho : Order.succ o ≤ Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho' : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
\u22a2 LinearIndependent ℤ (SumEval C ho')
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C✝ : Set (I → Bool)
μ o : Ordinal.{u}
h : P I o
ho : Order.succ o ≤ Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho' : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
\u22a2 LinearIndependent (ι := ↑(GoodProducts (π C fun x => ord I x < o))) ℤ (eval (π C fun x => ord I x < o))
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C✝ : Set (I → Bool)
μ o : Ordinal.{u}
h : P I o
ho : Order.succ o ≤ Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho' : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
\u22a2 LinearIndependent (ι := ↑(MaxProducts C ho')) ℤ (⇑(ShortComplex.mk (ModuleCat.ofHom (πs C o)) (ModuleCat.ofHom (Linear_CC' C hsC ho')) ⋯).g ∘ SumEval C ho' ∘ Sum.inr)
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
y : Ω
\u22a2 stoppedValue u τ y = (∑ i ∈ s, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)) y
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
y : Ω
\u22a2 u (τ y) y = ∑ i ∈ Finset.filter (fun i => y ∈ {ω | τ ω = i}) s, u i y
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
y : Ω
\u22a2 Finset.filter (fun i => y ∈ {ω | τ ω = i}) s = {τ y}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
y : Ω
ω : ι
\u22a2 ω ∈ Finset.filter (fun i => y ∈ {ω | τ ω = i}) s ↔ ω ∈ {τ y}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
y : Ω
ω : ι
\u22a2 ω ∈ s ∧ τ y = ω ↔ ω = τ y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
\u22a2 hausdorffDist s t = 0 ↔ s = t
-- Mathlib/Data/Nat/Dist.lean
n m : ℕ
\u22a2 n ≤ n.dist m + m
-- Mathlib/Data/Nat/Dist.lean
n m : ℕ
\u22a2 n ≤ m.dist n + m
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Nonempty β
a b : α
\u22a2 const β a ≤ const β b ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n : ℕ
h : 0 + 2 ≤ n
\u22a2 (n - (0 + 1)) ^ (0 + 2) < n.descFactorial (0 + 2)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n : ℕ
h : 0 + 2 ≤ n
\u22a2 (n - (0 + 1)) * (n - (0 + 1)) < (n - 1) * n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ
h : k + 1 + 2 ≤ n
\u22a2 (n - (k + 1 + 1)) ^ (k + 1 + 2) < n.descFactorial (k + 1 + 2)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ
h : k + 1 + 2 ≤ n
\u22a2 (n - (k + 1 + 1)) * (n - (k + 1 + 1)) ^ (k + 2) < (n - (k + 2)) * n.descFactorial (k + 2)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ
h : k + 1 + 2 ≤ n
\u22a2 (n - (k + 1 + 1)) ^ (k + 2) < n.descFactorial (k + 2)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ
h : k + 1 + 2 ≤ n
\u22a2 (n.succ - (k + 1 + 1)) ^ (k + 2) < n.descFactorial (k + 2)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ
h : k + 1 + 2 ≤ n
\u22a2 (n - (k + 1)) ^ (k + 2) < n.descFactorial (k + 2)
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
x : ℕ
hx : x ∈ μ.rowLens
\u22a2 0 < x
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
x : ℕ
hx : ∃ a ∈ List.range (μ.colLen 0), μ.rowLen a = x
\u22a2 0 < x
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
i : ℕ
hi : i ∈ List.range (μ.colLen 0)
\u22a2 0 < μ.rowLen i
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
\u22a2 (isoRestrict f).inv ≫ f = Y.ofRestrict ⋯
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
\u22a2 b + m • p - (toIocDiv hp a b + m) • p ∈ Set.Ioc a (a + p)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r : X
s t : ↥S
\u22a2 (↑s /ₒ t) • (r /ₒ s) = r /ₒ t
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
h₁ : Continuous f
h₂ : Injective f
h₃ : IsClosedMap f
\u22a2 ClosedEmbedding f
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
h₁ : Continuous f
h₂ : Injective f
h₃ : IsClosedMap f
\u22a2 inst✝² = induced f inst✝¹
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
h₁ : Continuous f
h₂ : Injective f
h₃ : IsClosedMap f
s : Set X
hs : IsOpen s
\u22a2 IsOpen s
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
h₁ : Continuous f
h₂ : Injective f
h₃ : IsClosedMap f
s : Set X
hs : IsOpen s
\u22a2 f ⁻¹' (f '' sᶜ)ᶜ = s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹² : MeasurableSpace X
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace Y
inst✝⁹ : TopologicalSpace Y
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : OrderTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hmono : Monotone f
x : X
\u22a2 IntegrableAtFilter f (𝓝 x) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹² : MeasurableSpace X
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace Y
inst✝⁹ : TopologicalSpace Y
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : OrderTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hmono : Monotone f
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
h'U : μ U < ⊤
\u22a2 IntegrableAtFilter f (𝓝 x) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹² : MeasurableSpace X
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace Y
inst✝⁹ : TopologicalSpace Y
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : OrderTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hmono : Monotone f
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
h'U : μ U < ⊤
a b : X
xab : x ∈ Icc a b
hab : Icc a b ∈ 𝓝 x
abU : Icc a b ⊆ U
\u22a2 IntegrableAtFilter f (𝓝 x) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹² : MeasurableSpace X
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace Y
inst✝⁹ : TopologicalSpace Y
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : OrderTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hmono : Monotone f
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
h'U : μ U < ⊤
a b : X
xab : x ∈ Icc a b
hab : Icc a b ∈ 𝓝 x
abU : Icc a b ⊆ U
ab : a ≤ b
\u22a2 IntegrableAtFilter f (𝓝 x) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹² : MeasurableSpace X
inst✝¹¹ : TopologicalSpace X
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace Y
inst✝⁹ : TopologicalSpace Y
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : OrderTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hmono : Monotone f
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
h'U : μ U < ⊤
a b : X
xab : x ∈ Icc a b
hab : Icc a b ∈ 𝓝 x
abU : Icc a b ⊆ U
ab : a ≤ b
\u22a2 IntegrableOn f (Icc a b) μ
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Dissociation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : CommGroup β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s t u : Finset α
a✝ : α
d : ℕ
a : α
ha : a ∈ s
b : α
\u22a2 Pi.single a 1 b = -1 ∨ Pi.single a 1 b = 0 ∨ Pi.single a 1 b = 1
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Dissociation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : CommGroup β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s t u : Finset α
a✝ : α
d : ℕ
a : α
ha : a ∈ s
\u22a2 ∏ a_1 ∈ s, a_1 ^ Pi.single a 1 a_1 = a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
β : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x y : PiLp 2 β
\u22a2 dist x y = √(∑ x_1 : ι, dist (x x_1) (y x_1) ^ 2)
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f✝ f g : β → α
hs : ∃ x ∈ s, f x ≠ 0
hg : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b
\u22a2 s.gcd f * s.gcd g = s.gcd f
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f✝ f g : β → α
hs : ∃ x ∈ s, f x ≠ 0
hg : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b
\u22a2 ¬s.gcd f = 0
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f✝ f g : β → α
hg : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b
hs : s.gcd f = 0
\u22a2 ∀ x ∈ s, f x = 0
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x : Z
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Z → X
z : Z
e : Trivialization F proj
he : proj z ∈ e.baseSet
hf : ContinuousAt (f ∘ ↑e.symm) (↑e z)
\u22a2 ContinuousAt f z
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x : Z
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Z → X
z : Z
e : Trivialization F proj
he : proj z ∈ e.baseSet
hf : ContinuousAt (f ∘ ↑e.symm) (↑e z)
hez : z ∈ e.symm.target
\u22a2 ContinuousAt f z
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}
\u22a2 (aleph (succ o)).IsRegular
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}
\u22a2 (succ (aleph o)).IsRegular
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/CocompactMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
\u22a2 ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/CocompactMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
h : Tendsto (⇑f) (cocompact E) (cocompact F)
\u22a2 ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/CocompactMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
h : ∀ s ∈ cocompact F, ⇑f ⁻¹' s ∈ cocompact E
\u22a2 ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/CocompactMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
h : ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ ∈ cocompact E
\u22a2 ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/CocompactMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
h : ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ ∈ cocompact E
r : ℝ
hr : (closedBall 0 r)ᶜ ⊆ ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ
\u22a2 ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/CocompactMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : ProperSpace E
inst✝² : ProperSpace F
f : 𝓕
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : CocompactMapClass 𝓕 E F
ε : ℝ
h : ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ ∈ cocompact E
r : ℝ
hr : (closedBall 0 r)ᶜ ⊆ ⇑f ⁻¹' (closedBall 0 ε)ᶜ
\u22a2 ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
-- Mathlib/Data/Matrix/RowCol.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j✝ : n
b : n → α
c✝ : m → α
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix m n α
j : n
c : m → α
e : l ≃ m
f : o ≃ n
\u22a2 (A.updateColumn j c).submatrix ⇑e ⇑f = (A.updateColumn (f (f.symm j)) fun i => c (e (e.symm i))).submatrix ⇑e ⇑f
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p✝ n p k : ℕ
hn : n ≠ 0
h : n.factorization = single p k
\u22a2 n = p ^ k
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p✝ n p k : ℕ
hn : n ≠ 0
h : n.factorization = single p k
\u22a2 p ^ 0 = 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Implicit.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
\u22a2 (f a, 0) ∈ (implicitToPartialHomeomorphOfComplemented f f' hf hf' hker).target
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
\u22a2 Continuous fun p => edist p.1 p.2
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
\u22a2 ∀ (x y : α × α), edist x.1 x.2 ≤ edist y.1 y.2 + 2 * edist x y
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y x' y' : α
\u22a2 edist (x, y).1 (x, y).2 ≤ edist (x', y').1 (x', y').2 + 2 * edist (x, y) (x', y')
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Lemmas.lean
R : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne R
inst✝² : CharZero R
k : Type u_2
inst✝¹ : DivisionSemiring k
inst✝ : CharZero k
m n : ℕ
n_dvd : n ∣ m
\u22a2 ↑(m / n) = ↑m / ↑n
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Lemmas.lean
R : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne R
inst✝² : CharZero R
k : Type u_2
inst✝¹ : DivisionSemiring k
inst✝ : CharZero k
m : ℕ
n_dvd : 0 ∣ m
\u22a2 ↑(m / 0) = ↑m / ↑0
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Lemmas.lean
R : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne R
inst✝² : CharZero R
k : Type u_2
inst✝¹ : DivisionSemiring k
inst✝ : CharZero k
m n : ℕ
n_dvd : n ∣ m
hn : n ≠ 0
\u22a2 ↑(m / n) = ↑m / ↑n
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
x y z w : α
\u22a2 {x, y} = {z, w} ↔ x = z ∧ y = w ∨ x = w ∧ y = z
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
x y z w : α
\u22a2 ((x = z ∨ x = w) ∧ (y = z ∨ y = w)) ∧ (z = x ∨ z = y) ∧ (w = x ∨ w = y) ↔ x = z ∧ y = w ∨ x = w ∧ y = z
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Uniqueness.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
\u22a2 EqOn f 0 U
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Uniqueness.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
\u22a2 closure u ∩ U ⊆ u
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Uniqueness.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
\u22a2 x ∈ u