ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
h : ‖a / b‖ ≤ r
\u22a2 ‖(a / b) ^ n‖ ≤ n • r
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
h : ‖a / b‖ ≤ r
\u22a2 ↑n * ‖a / b‖ ≤ n • r
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Lattice.lean
α : Type u
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : FinCategory J
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
x y : α
\u22a2 colimit (pair x y) = Finset.univ.sup (pair x y).obj
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Lattice.lean
α : Type u
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : FinCategory J
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
x y : α
\u22a2 x ⊔ (y ⊔ ⊥) = x ⊔ y
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
ht : t ∈ (regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).cliqueFinset 3
\u22a2 triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
ht : ∃ a b c, (regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).Adj a b ∧ (regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).Adj a c ∧ (regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).Adj b c ∧ t = {a, b, c}
\u22a2 triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s✝ : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
x y z : α
s : Finset α
hX : s ∈ P.parts
Y : Finset α
hY : Y ∈ P.parts
xX : x ∈ s
yY : y ∈ Y
nXY : s ≠ Y
uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y
dXY : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)
X' : Finset α
hX' : X' ∈ P.parts
Z : Finset α
hZ : Z ∈ P.parts
xX' : x ∈ X'
zZ : z ∈ Z
nXZ : X' ≠ Z
uXZ : G.IsUniform (ε / 8) X' Z
dXZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity X' Z)
Y' : Finset α
hY' : Y' ∈ P.parts
Z' : Finset α
hZ' : Z' ∈ P.parts
yY' : y ∈ Y'
zZ' : z ∈ Z'
nYZ : Y' ≠ Z'
uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y' Z'
dYZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y' Z')
\u22a2 triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s✝ : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
x y z : α
s : Finset α
hX : s ∈ P.parts
Y : Finset α
hY : Y ∈ P.parts
xX : x ∈ s
yY : y ∈ Y
nXY : s ≠ Y
uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y
dXY : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)
Z : Finset α
hZ : Z ∈ P.parts
zZ : z ∈ Z
Y' : Finset α
hY' : Y' ∈ P.parts
Z' : Finset α
hZ' : Z' ∈ P.parts
yY' : y ∈ Y'
zZ' : z ∈ Z'
nYZ : Y' ≠ Z'
uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y' Z'
dYZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y' Z')
hX' : s ∈ P.parts
xX' : x ∈ s
nXZ : s ≠ Z
uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z
dXZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)
\u22a2 triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s✝ : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
x y z : α
s : Finset α
hX : s ∈ P.parts
Y : Finset α
hY : Y ∈ P.parts
xX : x ∈ s
yY : y ∈ Y
nXY : s ≠ Y
uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y
dXY : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)
Z : Finset α
hZ : Z ∈ P.parts
zZ : z ∈ Z
Z' : Finset α
hZ' : Z' ∈ P.parts
zZ' : z ∈ Z'
hX' : s ∈ P.parts
xX' : x ∈ s
nXZ : s ≠ Z
uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z
dXZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)
hY' : Y ∈ P.parts
yY' : y ∈ Y
nYZ : Y ≠ Z'
uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z'
dYZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z')
\u22a2 triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s✝ : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
x y z : α
s : Finset α
hX : s ∈ P.parts
Y : Finset α
hY : Y ∈ P.parts
xX : x ∈ s
yY : y ∈ Y
nXY : s ≠ Y
uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y
dXY : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)
Z : Finset α
hZ : Z ∈ P.parts
zZ : z ∈ Z
hX' : s ∈ P.parts
xX' : x ∈ s
nXZ : s ≠ Z
uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z
dXZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)
hY' : Y ∈ P.parts
yY' : y ∈ Y
hZ' : Z ∈ P.parts
zZ' : z ∈ Z
nYZ : Y ≠ Z
uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z
dYZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z)
\u22a2 triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s✝ : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
x y z : α
s : Finset α
hX : s ∈ P.parts
Y : Finset α
hY : Y ∈ P.parts
xX : x ∈ s
yY : y ∈ Y
nXY : s ≠ Y
uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y
dXY✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)
Z : Finset α
hZ : Z ∈ P.parts
zZ : z ∈ Z
hX' : s ∈ P.parts
xX' : x ∈ s
nXZ : s ≠ Z
uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z
dXZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)
hY' : Y ∈ P.parts
yY' : y ∈ Y
hZ' : Z ∈ P.parts
zZ' : z ∈ Z
nYZ : Y ≠ Z
uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z
dYZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z)
dXY : (Disjoint on id) s Y
\u22a2 triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s✝ : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
x y z : α
s : Finset α
hX : s ∈ P.parts
Y : Finset α
hY : Y ∈ P.parts
xX : x ∈ s
yY : y ∈ Y
nXY : s ≠ Y
uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y
dXY✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)
Z : Finset α
hZ : Z ∈ P.parts
zZ : z ∈ Z
hX' : s ∈ P.parts
xX' : x ∈ s
nXZ : s ≠ Z
uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z
dXZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)
hY' : Y ∈ P.parts
yY' : y ∈ Y
hZ' : Z ∈ P.parts
zZ' : z ∈ Z
nYZ : Y ≠ Z
uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z
dYZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z)
dXY : (Disjoint on id) s Y
dXZ : (Disjoint on id) s Z
\u22a2 triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s✝ : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
x y z : α
s : Finset α
hX : s ∈ P.parts
Y : Finset α
hY : Y ∈ P.parts
xX : x ∈ s
yY : y ∈ Y
nXY : s ≠ Y
uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y
dXY✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)
Z : Finset α
hZ : Z ∈ P.parts
zZ : z ∈ Z
hX' : s ∈ P.parts
xX' : x ∈ s
nXZ : s ≠ Z
uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z
dXZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)
hY' : Y ∈ P.parts
yY' : y ∈ Y
hZ' : Z ∈ P.parts
zZ' : z ∈ Z
nYZ : Y ≠ Z
uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z
dYZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z)
dXY : (Disjoint on id) s Y
dXZ : (Disjoint on id) s Z
dYZ : (Disjoint on id) Y Z
\u22a2 triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s✝ : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
x y z : α
s : Finset α
hX : s ∈ P.parts
Y : Finset α
hY : Y ∈ P.parts
xX : x ∈ s
yY : y ∈ Y
nXY : s ≠ Y
uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y
dXY✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)
Z : Finset α
hZ : Z ∈ P.parts
zZ : z ∈ Z
hX' : s ∈ P.parts
xX' : x ∈ s
nXZ : s ≠ Z
uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z
dXZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)
hY' : Y ∈ P.parts
yY' : y ∈ Y
hZ' : Z ∈ P.parts
zZ' : z ∈ Z
nYZ : Y ≠ Z
uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z
dYZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z)
dXY : (Disjoint on id) s Y
dXZ : (Disjoint on id) s Z
dYZ : (Disjoint on id) Y Z
that : 2 * (ε / 8) = ε / 4
\u22a2 triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s✝ : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
x y z : α
s : Finset α
hX : s ∈ P.parts
Y : Finset α
hY : Y ∈ P.parts
xX : x ∈ s
yY : y ∈ Y
nXY : s ≠ Y
uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y
dXY✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)
Z : Finset α
hZ : Z ∈ P.parts
zZ : z ∈ Z
hX' : s ∈ P.parts
xX' : x ∈ s
nXZ : s ≠ Z
uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z
dXZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)
hY' : Y ∈ P.parts
yY' : y ∈ Y
hZ' : Z ∈ P.parts
zZ' : z ∈ Z
nYZ : Y ≠ Z
uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z
dYZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z)
dXY : (Disjoint on id) s Y
dXZ : (Disjoint on id) s Z
dYZ : (Disjoint on id) Y Z
that : 2 * (ε / 8) = ε / 4
this : 0 ≤ 1 - 2 * (ε / 8)
\u22a2 triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SchurComplement.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
this : Invertible 1
\u22a2 (fromBlocks A B C 1).det = (A - B * C).det
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Count.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs : s.Infinite
\u22a2 count s = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Count.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs : s.Infinite
n : ℕ
\u22a2 ↑n ≤ count s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Count.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs : s.Infinite
t : Finset α
ht : ↑t ⊆ s
\u22a2 ↑t.card ≤ count s
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s✝ : Finset ι
f✝ g : ι → ℝ≥0∞
p✝ q : ℝ
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
\u22a2 ∑ i ∈ s, w i * f i ≤ (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s✝ : Finset ι
f✝ g : ι → ℝ≥0∞
p✝ q : ℝ
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
\u22a2 ∑ i ∈ s, w i * f i ≤ (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s✝ : Finset ι
f✝ g : ι → ℝ≥0∞
p✝ q : ℝ
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ ≠ 0
H' : ¬((∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) = ⊤ ∨ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ = ⊤)
\u22a2 ∑ i ∈ s, w i * f i ≤ (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s✝ : Finset ι
f✝ g : ι → ℝ≥0∞
p✝ q : ℝ
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, w i ≠ ⊤) ∧ ∀ i ∈ s, w i * f i ^ p ≠ ⊤
\u22a2 ∑ i ∈ s, w i * f i ≤ (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s✝ : Finset ι
f✝ g : ι → ℝ≥0∞
p✝ q : ℝ
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, w i ≠ ⊤) ∧ ∀ i ∈ s, w i * f i ^ p ≠ ⊤
this : ↑(∑ i ∈ s, (w i).toNNReal * (f i).toNNReal) ≤ ↑((∑ i ∈ s, (w i).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, (w i).toNNReal * (f i).toNNReal ^ p) ^ p⁻¹)
\u22a2 ∑ i ∈ s, w i * f i ≤ (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s✝ : Finset ι
f✝ g : ι → ℝ≥0∞
p✝ q : ℝ
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, w i ≠ ⊤) ∧ ∀ i ∈ s, w i * f i ^ p ≠ ⊤
this : ↑(∑ i ∈ s, (w i).toNNReal * (f i).toNNReal) ≤ ↑((∑ i ∈ s, (w i).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹)) * ↑((∑ i ∈ s, (w i).toNNReal * (f i).toNNReal ^ p) ^ p⁻¹)
\u22a2 ∑ i ∈ s, w i * f i ≤ (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s✝ : Finset ι
f✝ g : ι → ℝ≥0∞
p✝ q : ℝ
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, w i ≠ ⊤) ∧ ∀ i ∈ s, w i * f i ^ p ≠ ⊤
this : ∑ x ∈ s, ↑(w x * f x).toNNReal ≤ ↑((∑ i ∈ s, (w i).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹)) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
\u22a2 ∑ i ∈ s, w i * f i ≤ (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s✝ : Finset ι
f✝ g : ι → ℝ≥0∞
p✝ q : ℝ
s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0∞
hp : 1 < p
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p⁻¹ < 1
H : (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) ≠ 0 ∧ (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹ ≠ 0
H' : (∀ i ∈ s, w i ≠ ⊤) ∧ ∀ i ∈ s, w i * f i ^ p ≠ ⊤
this : ∑ x ∈ s, ↑(w x).toNNReal * ↑(f x).toNNReal ≤ (∑ a ∈ s, ↑(w a).toNNReal) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
\u22a2 ∑ i ∈ s, w i * f i ≤ (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/Reflection.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
h : f x = 2
\u22a2 (preReflection x f) x = -x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Reflection.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
h : f x = 2
\u22a2 x - (x + x) = -x
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : RCLike K
z✝ : K
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
z : K
\u22a2 re (OfNat.ofNat n * z) = OfNat.ofNat n * re z
-- Mathlib/Order/CountableDenseLinearOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
f : PartialIso α β
a : α
h : ¬∃ b, (a, b) ∈ ↑f
\u22a2 ∃ b, ∀ p ∈ ↑f, cmp p.1 a = cmp p.2 b
-- Mathlib/Order/CountableDenseLinearOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
f : PartialIso α β
a : α
h : ¬∃ b, (a, b) ∈ ↑f
this : ∀ x ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => p.1 < a) ↑f), ∀ y ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => a < p.1) ↑f), x < y
\u22a2 ∃ b, ∀ p ∈ ↑f, cmp p.1 a = cmp p.2 b
-- Mathlib/Order/CountableDenseLinearOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
f : PartialIso α β
a : α
h : ¬∃ b, (a, b) ∈ ↑f
this : ∀ x ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => p.1 < a) ↑f), ∀ y ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => a < p.1) ↑f), x < y
b : β
hb : (∀ x ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => p.1 < a) ↑f), x < b) ∧ ∀ y ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => a < p.1) ↑f), b < y
\u22a2 ∃ b, ∀ p ∈ ↑f, cmp p.1 a = cmp p.2 b
-- Mathlib/Order/CountableDenseLinearOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
f : PartialIso α β
a : α
h : ¬∃ b, (a, b) ∈ ↑f
this : ∀ x ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => p.1 < a) ↑f), ∀ y ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => a < p.1) ↑f), x < y
b : β
hb : (∀ x ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => p.1 < a) ↑f), x < b) ∧ ∀ y ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => a < p.1) ↑f), b < y
\u22a2 ∀ p ∈ ↑f, cmp p.1 a = cmp p.2 b
-- Mathlib/Order/CountableDenseLinearOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
f : PartialIso α β
a : α
h : ¬∃ b, (a, b) ∈ ↑f
this✝ : ∀ x ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => p.1 < a) ↑f), ∀ y ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => a < p.1) ↑f), x < y
b : β
hb : (∀ x ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => p.1 < a) ↑f), x < b) ∧ ∀ y ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => a < p.1) ↑f), b < y
p1 : α
p2 : β
hp : (p1, p2) ∈ ↑f
this : p1 ≠ a
\u22a2 cmp (p1, p2).1 a = cmp (p1, p2).2 b
-- Mathlib/Order/CountableDenseLinearOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
f : PartialIso α β
a : α
h : ¬∃ b, (a, b) ∈ ↑f
this✝ : ∀ x ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => p.1 < a) ↑f), ∀ y ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => a < p.1) ↑f), x < y
b : β
hb : (∀ x ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => p.1 < a) ↑f), x < b) ∧ ∀ y ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => a < p.1) ↑f), b < y
p1 : α
p2 : β
hp : (p1, p2) ∈ ↑f
this : p1 ≠ a
hl : p1 < a
\u22a2 cmp (p1, p2).1 a = cmp (p1, p2).2 b
-- Mathlib/Order/CountableDenseLinearOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : DenselyOrdered β
inst✝² : NoMinOrder β
inst✝¹ : NoMaxOrder β
inst✝ : Nonempty β
f : PartialIso α β
a : α
h : ¬∃ b, (a, b) ∈ ↑f
this✝ : ∀ x ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => p.1 < a) ↑f), ∀ y ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => a < p.1) ↑f), x < y
b : β
hb : (∀ x ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => p.1 < a) ↑f), x < b) ∧ ∀ y ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun p => a < p.1) ↑f), b < y
p1 : α
p2 : β
hp : (p1, p2) ∈ ↑f
this : p1 ≠ a
hr : p1 > a
\u22a2 cmp (p1, p2).1 a = cmp (p1, p2).2 b
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Arrow.lean
T : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} T
f g : Arrow T
sq : f ⟶ g
inst✝ : IsIso sq
\u22a2 inv sq.left ≫ f.hom ≫ sq.right = g.hom
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
\u22a2 b.parallelepiped = PositiveCompacts.map ⇑b.equivFun.symm ⋯ ⋯ (PositiveCompacts.piIcc01 ι)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMaxOn f s a
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
hy' : -y ∈ posTangentConeAt s a
\u22a2 0 ≤ f' y
-- Mathlib/Algebra/Field/Subfield.lean
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
S : Set (Subfield K)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : K
\u22a2 x ∈ sSup S ↔ ∃ s ∈ S, x ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Field/Subfield.lean
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
S : Set (Subfield K)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : K
this : Nonempty ↑S
\u22a2 x ∈ sSup S ↔ ∃ s ∈ S, x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (π i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
s : Set ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
x₁ x₂ : π i
y : (i : ι) → π i
\u22a2 update y i '' [x₁-[𝕜]x₂] = [update y i x₁-[𝕜]update y i x₂]
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (π i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
s : Set ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
x₁ x₂ : π i
y : (i : ι) → π i
\u22a2 (fun x => update y i (x.1 • x₁ + x.2 • x₂)) '' {p | 0 ≤ p.1 ∧ 0 ≤ p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1} = (fun p => p.1 • update y i x₁ + p.2 • update y i x₂) '' {p | 0 ≤ p.1 ∧ 0 ≤ p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (π i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
s : Set ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
x₁ x₂ : π i
y : (i : ι) → π i
a : 𝕜 × 𝕜
ha : a ∈ {p | 0 ≤ p.1 ∧ 0 ≤ p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}
\u22a2 update y i (a.1 • x₁ + a.2 • x₂) = a.1 • update y i x₁ + a.2 • update y i x₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
a b : R✝
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R✝
p q : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : Ring R
toFinsupp✝ : R[ℕ]
\u22a2 (-{ toFinsupp := toFinsupp✝ }).toFinsupp = -{ toFinsupp := toFinsupp✝ }.toFinsupp
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Basic.lean
V : Type u
inst✝¹ : Quiver V
W : Type u₂
inst✝ : Quiver W
F_obj : V → W
map✝¹ map✝ : {X Y : V} → (X ⟶ Y) → (F_obj X ⟶ F_obj Y)
h_obj : ∀ (X : V), { obj := F_obj, map := map✝¹ }.obj X = { obj := F_obj, map := map✝ }.obj X
h_map : ∀ (X Y : V) (f : X ⟶ Y), { obj := F_obj, map := map✝¹ }.map f = Eq.recOn ⋯ (Eq.recOn ⋯ ({ obj := F_obj, map := map✝ }.map f))
\u22a2 map✝¹ = map✝
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Basic.lean
V : Type u
inst✝¹ : Quiver V
W : Type u₂
inst✝ : Quiver W
F_obj : V → W
map✝¹ map✝ : {X Y : V} → (X ⟶ Y) → (F_obj X ⟶ F_obj Y)
h_obj : ∀ (X : V), { obj := F_obj, map := map✝¹ }.obj X = { obj := F_obj, map := map✝ }.obj X
h_map : ∀ (X Y : V) (f : X ⟶ Y), { obj := F_obj, map := map✝¹ }.map f = Eq.recOn ⋯ (Eq.recOn ⋯ ({ obj := F_obj, map := map✝ }.map f))
X Y : V
f : X ⟶ Y
\u22a2 map✝¹ f = map✝ f
-- Mathlib/Topology/Order/IsLUB.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : DenselyOrdered α
inst✝ : FirstCountableTopology α
x y : α
h : x < y
\u22a2 ∃ u v, StrictAnti u ∧ StrictMono v ∧ (∀ (k : ℕ), u k ∈ Ioo x y) ∧ (∀ (l : ℕ), v l ∈ Ioo x y) ∧ (∀ (k l : ℕ), u k < v l) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ Tendsto v atTop (𝓝 y)
-- Mathlib/Topology/Order/IsLUB.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : DenselyOrdered α
inst✝ : FirstCountableTopology α
x y : α
h : x < y
u : ℕ → α
hu_anti : StrictAnti u
hu_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo x y
hux : Tendsto u atTop (𝓝 x)
\u22a2 ∃ u v, StrictAnti u ∧ StrictMono v ∧ (∀ (k : ℕ), u k ∈ Ioo x y) ∧ (∀ (l : ℕ), v l ∈ Ioo x y) ∧ (∀ (k l : ℕ), u k < v l) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ Tendsto v atTop (𝓝 y)
-- Mathlib/Topology/Order/IsLUB.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : DenselyOrdered α
inst✝ : FirstCountableTopology α
x y : α
h : x < y
u : ℕ → α
hu_anti : StrictAnti u
hu_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo x y
hux : Tendsto u atTop (𝓝 x)
v : ℕ → α
hv_mono : StrictMono v
hv_mem : ∀ (n : ℕ), v n ∈ Ioo (u 0) y
hvy : Tendsto v atTop (𝓝 y)
\u22a2 ∃ u v, StrictAnti u ∧ StrictMono v ∧ (∀ (k : ℕ), u k ∈ Ioo x y) ∧ (∀ (l : ℕ), v l ∈ Ioo x y) ∧ (∀ (k l : ℕ), u k < v l) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ Tendsto v atTop (𝓝 y)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
M' : LieSubmodule R L M
\u22a2 M' ≤ f.ker ↔ LieSubmodule.map f M' = ⊥