ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Deriv.lean
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
x : ℝ
hxs : x < s.re
hf : LSeriesSummable f ↑x
y : ℝ
hxy : x < y
hys : y < s.re
S : Set ℂ := {z | y < z.re}
h₀ : Summable fun n => ‖term f (↑x) n‖
h₁ : ∀ (n : ℕ), DifferentiableOn ℂ (fun x => term f x n) S
h₂ : IsOpen S
h₃ : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ S, ‖term f z n‖ ≤ ‖term f (↑x) n‖
H : HasSum (fun i => -term (logMul f) s i) (deriv (fun w => ∑' (i : ℕ), term f w i) s)
\u22a2 LSeriesSummable (logMul f) s ∧ HasDerivAt (LSeries f) (-LSeries (logMul f) s) s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Deriv.lean
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
x : ℝ
hxs : x < s.re
hf : LSeriesSummable f ↑x
y : ℝ
hxy : x < y
hys : y < s.re
S : Set ℂ := {z | y < z.re}
h₀ : Summable fun n => ‖term f (↑x) n‖
h₁ : ∀ (n : ℕ), DifferentiableOn ℂ (fun x => term f x n) S
h₂ : IsOpen S
h₃ : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ S, ‖term f z n‖ ≤ ‖term f (↑x) n‖
H : HasSum (fun i => -term (logMul f) s i) (deriv (fun w => ∑' (i : ℕ), term f w i) s)
\u22a2 HasDerivAt (LSeries f) (-LSeries (logMul f) s) s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Deriv.lean
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : abscissaOfAbsConv f < ↑s.re
x : ℝ
hxs : x < s.re
hf : LSeriesSummable f ↑x
y : ℝ
hxy : x < y
hys : y < s.re
S : Set ℂ := {z | y < z.re}
h₀ : Summable fun n => ‖term f (↑x) n‖
h₁ : ∀ (n : ℕ), DifferentiableOn ℂ (fun x => term f x n) S
h₂ : IsOpen S
h₃ : ∀ (n : ℕ), ∀ z ∈ S, ‖term f z n‖ ≤ ‖term f (↑x) n‖
H : HasSum (fun i => -term (logMul f) s i) (deriv (fun w => ∑' (i : ℕ), term f w i) s)
H' : DifferentiableOn ℂ (fun w => ∑' (i : ℕ), term f w i) S
\u22a2 HasDerivAt (LSeries f) (-LSeries (logMul f) s) s
-- Mathlib/Data/Finset/MulAntidiagonal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelCommMonoid α✝
s✝ t✝ : Set α✝
hs✝ : s✝.IsPWO
ht✝ : t✝.IsPWO
a✝ : α✝
u : Set α✝
hu : u.IsPWO
x : α✝ × α✝
α : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hns : s.Nonempty
hnt : t.Nonempty
a b : α
\u22a2 (a, b) ∈ mulAntidiagonal ⋯ ⋯ (hs.min hns * ht.min hnt) ↔ (a, b) ∈ {(hs.min hns, ht.min hnt)}
-- Mathlib/Data/Finset/MulAntidiagonal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelCommMonoid α✝
s✝ t✝ : Set α✝
hs✝ : s✝.IsPWO
ht✝ : t✝.IsPWO
a✝ : α✝
u : Set α✝
hu : u.IsPWO
x : α✝ × α✝
α : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hns : s.Nonempty
hnt : t.Nonempty
a b : α
\u22a2 a ∈ s ∧ b ∈ t ∧ a * b = hs.min hns * ht.min hnt ↔ a = hs.min hns ∧ b = ht.min hnt
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s s₁ t u : Set E
f : E → F →L[𝕜] G
c : F
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiff 𝕜 N f
hn : ↑n ≤ N
\u22a2 ‖iteratedFDeriv 𝕜 n (fun y => (f y) c) x‖ ≤ ‖c‖ * ‖iteratedFDeriv 𝕜 n f x‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s s₁ t u : Set E
f : E → F →L[𝕜] G
c : F
x : E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiff 𝕜 N f
hn : ↑n ≤ N
\u22a2 ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (f y) c) univ x‖ ≤ ‖c‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n f univ x‖
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
a : α
\u22a2 s.sdiff t = s ↔ Disjoint (↑s) t
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
inst✝¹ : PartialOrder X
x y : X
inst✝ : NoAtoms μ
\u22a2 ∫ (t : X) in Icc x y, f t ∂μ = ∫ (t : X) in Ioo x y, f t ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ ν : Measure α
g : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f
\u22a2 AEMeasurable g (Measure.map f μ) ↔ AEMeasurable (g ∘ f) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ ν : Measure α
g : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f
\u22a2 AEMeasurable (g ∘ f) μ → AEMeasurable g (Measure.map f μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ ν : Measure α
g : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f
g₁ : α → γ
hgm₁ : Measurable g₁
heq : g ∘ f =ᶠ[ae μ] g₁
\u22a2 AEMeasurable g (Measure.map f μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ ν : Measure α
g : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f
g₂ : β → γ
hgm₂ : Measurable g₂
hgm₁ : Measurable (g₂ ∘ f)
heq : g ∘ f =ᶠ[ae μ] g₂ ∘ f
\u22a2 AEMeasurable g (Measure.map f μ)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
\u22a2 ContinuousAt (gauge s) x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ha : Absorbent ℝ s
\u22a2 ContinuousAt (gauge s) x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ha : Absorbent ℝ s
ε : ℝ
hε₀ : 0 < ε
\u22a2 ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 x, gauge s x_1 ∈ Icc (gauge s x - ε) (gauge s x + ε)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ha : Absorbent ℝ s
ε : ℝ
hε₀ : 0 < ε
\u22a2 ∀ᶠ (a : E) in 𝓝 0, gauge s (x + a) ∈ Icc (gauge s x - ε) (gauge s x + ε)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ha : Absorbent ℝ s
ε : ℝ
hε₀ : 0 < ε
this : ε • s ∩ -(ε • s) ∈ 𝓝 0
\u22a2 ∀ᶠ (a : E) in 𝓝 0, gauge s (x + a) ∈ Icc (gauge s x - ε) (gauge s x + ε)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ha : Absorbent ℝ s
ε : ℝ
hε₀ : 0 < ε
this : ε • s ∩ -(ε • s) ∈ 𝓝 0
y : E
hy : y ∈ ε • s ∩ -(ε • s)
\u22a2 gauge s (x + y) ∈ Icc (gauge s x - ε) (gauge s x + ε)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Gradient/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
g : 𝕜 → 𝕜
g' u : 𝕜
L' : Filter 𝕜
h : HasDerivAt g g' u
\u22a2 HasGradientAt g ((starRingEnd 𝕜) g') u
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Gradient/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
g : 𝕜 → 𝕜
g' u : 𝕜
L' : Filter 𝕜
h : HasDerivAt g g' u
\u22a2 HasDerivAt g (((toDual 𝕜 𝕜) ((starRingEnd 𝕜) g')) 1) u
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Construction.lean
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
G₁ G₂ : W.Localization ⥤ D
h : W.Q ⋙ G₁ = W.Q ⋙ G₂
\u22a2 Quotient.functor (relations W) ⋙ G₁ = Quotient.functor (relations W) ⋙ G₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Construction.lean
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
G₁ G₂ : W.Localization ⥤ D
h : W.Q ⋙ G₁ = W.Q ⋙ G₂
\u22a2 (Quotient.functor (relations W) ⋙ G₁).obj = (Quotient.functor (relations W) ⋙ G₂).obj
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Construction.lean
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
G₁ G₂ : W.Localization ⥤ D
h : W.Q ⋙ G₁ = W.Q ⋙ G₂
\u22a2 ∀ (a b : LocQuiver W) (e : a ⟶ b), (Quotient.functor (relations W) ⋙ G₁).map e.toPath = eqToHom ⋯ ≫ (Quotient.functor (relations W) ⋙ G₂).map e.toPath ≫ eqToHom ⋯
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝⁴ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hab : a < b
hcd : c < d
\u22a2 a * d + b * c < a * c + b * d
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : PartialOrder α
a c d : α
inst✝⁴ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
hcd : c < d
b : α
hab : a < a + b
\u22a2 a * d + (a + b) * c < a * c + (a + b) * d
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : PartialOrder α
a c : α
inst✝⁴ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
b : α
hab : a < a + b
d : α
hcd : c < c + d
\u22a2 a * (c + d) + (a + b) * c < a * c + (a + b) * (c + d)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : PartialOrder α
a c : α
inst✝⁴ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
b : α
hab : a < a + b
d : α
hcd : c < c + d
\u22a2 a * c + (a + b) * c + a * d < a * c + (a + b) * c + (a + b) * d
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.260730, u_1} K
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.260737, u_2} D
inst✝¹ : HasStrictInitialObjects C
inst✝ : IsEmpty J
F : J ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
this : IsInitial c.pt
\u22a2 IsVanKampenColimit c
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.260730, u_1} K
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.260737, u_2} D
inst✝¹ : HasStrictInitialObjects C
inst✝ : IsEmpty J
F : J ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
this : IsVanKampenColimit (asEmptyCocone c.pt)
\u22a2 IsVanKampenColimit c
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.260730, u_1} K
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.260737, u_2} D
inst✝¹ : HasStrictInitialObjects C
inst✝ : IsEmpty J
F : J ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
this : IsVanKampenColimit (asEmptyCocone c.pt)
\u22a2 IsVanKampenColimit (Cocone.whisker (equivalenceOfIsEmpty (Discrete PEmpty.{1}) J).functor c)
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x✝ y x : E
\u22a2 ↑‖x‖₊ ≤ egauge 𝕜 (ball 0 1) x
-- Mathlib/Topology/Algebra/StarSubalgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : StarRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
S₁ S₂ : StarSubalgebra R A
h : S₁ ≤ S₂
hS₁ : IsClosed ↑S₁
\u22a2 Subtype.val ⁻¹' ↑S₁ = range ⇑(inclusion h)
-- Mathlib/Topology/Algebra/StarSubalgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : StarRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
S₁ S₂ : StarSubalgebra R A
h : S₁ ≤ S₂
hS₁ : IsClosed ↑S₁
\u22a2 ↑S₁ = id '' {x | x ∈ S₁}
-- Mathlib/Topology/Algebra/StarSubalgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : StarRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
S₁ S₂ : StarSubalgebra R A
h : S₁ ≤ S₂
hS₁ : IsClosed ↑S₁
\u22a2 ∀ x ∈ S₁, id x ∈ S₂
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
v : Vector α (n + 1)
f : α → β
\u22a2 (map f v).head = f v.head
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
v : Vector α (n + 1)
f : α → β
a : α
v' : Vector α n
h : v = a ::ᵥ v'
\u22a2 (map f v).head = f v.head
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_1
r p✝ q✝ : α → Prop
P Q : (x : α) → p✝ x → Prop
b : Prop
inst✝ : Nonempty α
q : Prop
p : α → Prop
\u22a2 (∀ (x : α), q ∧ p x) ↔ q ∧ ∀ (x : α), p x
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
h₁ : a < b
h₂ : ¬IsMax b
\u22a2 Ioo a (succ b) = insert b (Ioo a b)
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
E B I : Set α
\u22a2 (N.comapOn E f).Base B ↔ N.Basis' (f '' B) (f '' E) ∧ InjOn f B ∧ B ⊆ E
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
\u22a2 range (n + 1) = insert 0 (map { toFun := fun i => i + 1, inj' := ⋯ } (range n))
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
\u22a2 IsClosed {p | p.1 ≤ p.2}
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
\u22a2 IsClosed ({a | a.1.re ≤ a.2.re} ∩ {a | a.1.im = a.2.im})
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
r : R
x : M ⊗[R] N
p : M
q : N
\u22a2 (liftAux f) (r • p ⊗ₜ[R] q) = r • (liftAux f) (p ⊗ₜ[R] q)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
r : R
x p q : M ⊗[R] N
ih1 : (liftAux f) (r • p) = r • (liftAux f) p
ih2 : (liftAux f) (r • q) = r • (liftAux f) q
\u22a2 (liftAux f) (r • (p + q)) = r • (liftAux f) (p + q)
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁹ : UniformSpace α
inst✝⁸ : Group α
inst✝⁷ : UniformGroup α
inst✝⁶ : Group β
γ : Type u_3
inst✝⁵ : Group γ
inst✝⁴ : UniformSpace γ
inst✝³ : UniformGroup γ
inst✝² : UniformSpace β
F : Type u_4
inst✝¹ : FunLike F β γ
inst✝ : MonoidHomClass F β γ
f : F
hf : UniformInducing ⇑f
\u22a2 UniformContinuous fun p => p.1 / p.2
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁹ : UniformSpace α
inst✝⁸ : Group α
inst✝⁷ : UniformGroup α
inst✝⁶ : Group β
γ : Type u_3
inst✝⁵ : Group γ
inst✝⁴ : UniformSpace γ
inst✝³ : UniformGroup γ
inst✝² : UniformSpace β
F : Type u_4
inst✝¹ : FunLike F β γ
inst✝ : MonoidHomClass F β γ
f : F
hf : UniformInducing ⇑f
\u22a2 UniformContinuous fun x => f x.1 / f x.2
-- Mathlib/Topology/Order/T5.lean
X : Type u_1
inst✝² : LinearOrder X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OrderTopology X
a b c : X
s t : Set X
hd : Disjoint s (closure t)
ha : a ∈ s
hd' : Disjoint (⇑ofDual ⁻¹' s) (closure (⇑ofDual ⁻¹' t))
ha' : toDual a ∈ ⇑ofDual ⁻¹' s
\u22a2 (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ ∈ 𝓝[≤] a
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
n : σ
f g : MvPolynomial σ R
\u22a2 degreeOf n (f + g) ≤ max (degreeOf n f) (degreeOf n g)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
n : σ
f g : MvPolynomial σ R
\u22a2 ((f + g).support.sup fun m => m n) ≤ max (f.support.sup fun m => m n) (g.support.sup fun m => m n)
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Basic.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} D
P : MorphismProperty D
inst✝¹ : P.RespectsIso
F : C ⥤ D
inst✝ : F.IsEquivalence
\u22a2 (P.inverseImage F).map F = P
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Units.lean
X : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : C(X, R)
h : ∀ (x : X), IsUnit (f x)
\u22a2 Continuous fun x => ⋯.unit
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Units.lean
X : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : C(X, R)
h : ∀ (x : X), IsUnit (f x)
x : X
\u22a2 ContinuousAt (fun x => ↑((fun x => ⋯.unit) x)⁻¹) x
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Units.lean
X : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : C(X, R)
h : ∀ (x : X), IsUnit (f x)
x : X
this : ContinuousAt Ring.inverse ↑⋯.unit
\u22a2 ContinuousAt (fun x => ↑((fun x => ⋯.unit) x)⁻¹) x
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Units.lean
X : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : C(X, R)
h : ∀ (x : X), IsUnit (f x)
x : X
this : ContinuousAt Ring.inverse ↑⋯.unit
\u22a2 ContinuousAt (fun x => ↑⋯.unit⁻¹) x
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Units.lean
X : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : C(X, R)
h : ∀ (x : X), IsUnit (f x)
x : X
this : ContinuousAt Ring.inverse (f x)
\u22a2 ContinuousAt (fun x => Ring.inverse (f x)) x
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hb : AddLECancellable b
h : a - b < c
\u22a2 a < b + c
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hb : AddLECancellable b
h : a - b < c
\u22a2 a - b ≤ c ∧ a ≠ b + c
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx0 : 0 < x
hx : x ≤ 1
\u22a2 |x| ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace ↥U
\u22a2 IsSelfAdjoint (U.subtypeL.comp ((orthogonalProjection U).comp (T.comp (U.subtypeL.comp (orthogonalProjection U)))))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace ↥U
\u22a2 IsSelfAdjoint ((U.subtypeL.comp (orthogonalProjection U)).comp (T.comp (U.subtypeL.comp (orthogonalProjection U))))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace ↥U
\u22a2 IsSelfAdjoint ((adjoint (U.subtypeL.comp (orthogonalProjection U))).comp (T.comp (U.subtypeL.comp (orthogonalProjection U))))
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Group α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DenselyOrdered α
a b c : α
h : ∀ (ε : α), 1 < ε → a / ε ≤ b
ε : α
ε1 : ε < 1
\u22a2 a * ε ≤ b
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightNhds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
C : α
hf : Tendsto f l atTop
hg : Tendsto g l (𝓝 C)
\u22a2 Tendsto (fun x => f x + g x) l atTop
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightNhds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
C : α
hf : Tendsto f l atTop
hg : Tendsto g l (𝓝 C)
\u22a2 Tendsto (fun x => g x + f x) l atTop
-- Mathlib/Order/Antichain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
t : Set α
a b : α
inst✝ : Preorder α
\u22a2 IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) {a} ∧ IsLeast {a} a
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f : α → M
n : ℕ
\u22a2 ∑ i ∈ range n, i = n * (n - 1) / 2
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
f : ↥(Lp E 1 μ)
\u22a2 setToL1 hT = 0