ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x : G
n : ℕ∞
\u22a2 ContDiff ℝ n fun x => ‖x‖ ^ 2
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x : G
n : ℕ∞
x✝ : E
\u22a2 ‖x✝‖ ^ 2 = (⇑reCLM ∘ fun x => ⟪id x, id x⟫_𝕜) x✝
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_ind : ∀ J ≤ I, (∀ J' ∈ splitCenter J, p J') → p J
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
\u22a2 p I
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_ind : ∀ J ≤ I, (∀ J' ∈ splitCenter J, p J') → p J
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
J : Box ι
hle : J ≤ I
hs : ∀ (s : Set ι), p (J.splitCenterBox s)
J' : Box ι
h' : J' ∈ splitCenter J
\u22a2 p J'
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J✝ : Box ι
p : Box ι → Prop
I : Box ι
H_ind : ∀ J ≤ I, (∀ J' ∈ splitCenter J, p J') → p J
H_nhds : ∀ z ∈ Box.Icc I, ∃ U ∈ 𝓝[Box.Icc I] z, ∀ J ≤ I, ∀ (m : ℕ), z ∈ Box.Icc J → Box.Icc J ⊆ U → (∀ (i : ι), J.upper i - J.lower i = (I.upper i - I.lower i) / 2 ^ m) → p J
J : Box ι
hle : J ≤ I
hs : ∀ (s : Set ι), p (J.splitCenterBox s)
s : Set ι
h' : J.splitCenterBox s ∈ splitCenter J
\u22a2 p (J.splitCenterBox s)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w x : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk u w
r : G.Walk w x
\u22a2 (p.reverseAux q).append r = p.reverseAux (q.append r)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
\u22a2 Summable fun i => ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
\u22a2 HasSum (fun i => ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2) (⨆ s, ∑ i ∈ s, ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
\u22a2 ∀ (i : ι), 0 ≤ ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
\u22a2 IsLUB (Set.range fun s => ∑ i ∈ s, ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2) (⨆ s, ∑ i ∈ s, ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shadow.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
\u22a2 t ∈ ∂⁺ 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, ∃ a ∉ s, insert a s = t
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
X : C
f : T.obj₂ ⟶ X
hf : T.mor₁ ≫ f = 0
\u22a2 ∃ g, f = T.mor₂ ≫ g
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
X : C
f : T.obj₂ ⟶ X
hf : T.mor₁ ≫ f = 0
g : T.obj₃ ⟶ (mk 0 (𝟙 X) 0).obj₃
hg₁ : T.mor₂ ≫ g = f ≫ (mk 0 (𝟙 X) 0).mor₂
right✝ : T.mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map 0 = g ≫ (mk 0 (𝟙 X) 0).mor₃
\u22a2 ∃ g, f = T.mor₂ ≫ g
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l : ℕ
hnl : n ≤ l
\u22a2 filter (fun x => decide (l ≤ x)) (Ico n m) = Ico l m
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l : ℕ
hnl : n ≤ l
hlm : l ≤ m
\u22a2 filter (fun x => decide (l ≤ x)) (Ico n m) = Ico l m
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l : ℕ
hnl : n ≤ l
hml : m ≤ l
\u22a2 filter (fun x => decide (l ≤ x)) (Ico n m) = Ico l m
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.136944, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.136948, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.136952, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseRightKanExtension F
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
\u22a2 (L ⋙ L.pointwiseRightKanExtension F).map f ≫ (fun X => limit.π (StructuredArrow.proj (L.obj X) L ⋙ F) (StructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X)))) X₂ = (fun X => limit.π (StructuredArrow.proj (L.obj X) L ⋙ F) (StructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X)))) X₁ ≫ F.map f
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.136944, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.136948, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.136952, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseRightKanExtension F
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
\u22a2 limit.π (StructuredArrow.proj (L.obj X₁) L ⋙ F) (StructuredArrow.mk (L.map f ≫ 𝟙 (L.obj X₂))) = limit.π (StructuredArrow.proj (L.obj X₁) L ⋙ F) (StructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X₁))) ≫ F.map f
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.136944, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.136948, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.136952, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseRightKanExtension F
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
\u22a2 limit.π (StructuredArrow.proj (L.obj X₁) L ⋙ F) (StructuredArrow.mk (L.map f)) = limit.π (StructuredArrow.proj (L.obj X₁) L ⋙ F) (StructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X₁))) ≫ F.map f
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.136944, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.136948, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.136952, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseRightKanExtension F
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
φ : StructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X₁)) ⟶ StructuredArrow.mk (L.map f) := StructuredArrow.homMk f ⋯
\u22a2 limit.π (StructuredArrow.proj (L.obj X₁) L ⋙ F) (StructuredArrow.mk (L.map f)) = limit.π (StructuredArrow.proj (L.obj X₁) L ⋙ F) (StructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X₁))) ≫ F.map f
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝⁴ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
α : Type u_4
inst✝³ : SMul α R
inst✝² : SMul α A
inst✝¹ : IsScalarTower α R A
inst✝ : IsScalarTower α A A
n : α
x✝ : NumDenSameDeg 𝒜 x
\u22a2 (n • Quotient.mk'' x✝).val = n • val (Quotient.mk'' x✝)
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝⁴ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
α : Type u_4
inst✝³ : SMul α R
inst✝² : SMul α A
inst✝¹ : IsScalarTower α R A
inst✝ : IsScalarTower α A A
n : α
x✝ : NumDenSameDeg 𝒜 x
\u22a2 Localization.mk ↑(n • x✝).num ⟨↑(n • x✝).den, ⋯⟩ = Localization.mk (n • ↑x✝.num) ⟨↑x✝.den, ⋯⟩
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹⁰ : Countable ι
f g : α → β
M : Type u_5
G : Type u_6
G₀ : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : Monoid M
inst✝⁷ : MulAction M β
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul M β
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G β
inst✝³ : ContinuousConstSMul G β
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : MulAction G₀ β
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ β
m : MeasurableSpace α
c : G
h : StronglyMeasurable fun x => c • f x
\u22a2 StronglyMeasurable f
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring α
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Algebra R α
r : R
\u22a2 { toFun := fun M => MulOpposite.op Mᵀ, invFun := __src✝¹.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun ((algebraMap R (Matrix m m α)) r) = (algebraMap R (Matrix m m α)ᵐᵒᵖ) r
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
h : a ∉ s
\u22a2 (insert a s).erase a = s
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
ha : AddLECancellable a
\u22a2 a - b < a ↔ 0 < a ∧ 0 < b
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
ha : AddLECancellable a
h : a - b < a
\u22a2 0 ≠ b
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a c d : α
ha : AddLECancellable a
h : a - 0 < a
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a c d : α
ha : AddLECancellable a
h : a < a
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
\u22a2 ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ≤ ‖x‖ * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
\u22a2 ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ≤ √(re ⟪x, x⟫_𝕜) * √(re ⟪y, y⟫_𝕜)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
this : InnerProductSpace.Core 𝕜 E := InnerProductSpace.toCore
\u22a2 ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ≤ √(re ⟪x, x⟫_𝕜) * √(re ⟪y, y⟫_𝕜)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
i : ℕ
\u22a2 ↑((restriction 1).coeff i) = ↑(coeff 1 i)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
i : ℕ
\u22a2 (if i = 0 then 1 else 0) = ↑(if i = 0 then 1 else 0)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : 𝓞 K
\u22a2 IsUnit x ↔ |↑((RingOfIntegers.norm ℚ) x)| = 1
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : 𝓞 K
\u22a2 |↑((RingOfIntegers.norm ℚ) x)| = 1 ↔ IsUnit ((RingOfIntegers.norm ℚ) x)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
\u22a2 Submodule.map (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv) (traceDual A (FractionRing A) I) = (Submodule.map (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv) I)ᵛ
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
\u22a2 comap (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv.symm) (traceDual A (FractionRing A) I) = (comap (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv.symm) I)ᵛ
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
x : L
\u22a2 x ∈ comap (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv.symm) (traceDual A (FractionRing A) I) ↔ x ∈ (comap (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv.symm) I)ᵛ
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
x : L
\u22a2 (FractionRing.algEquiv B L).symm x ∈ ((traceForm (FractionRing A) (FractionRing B)).dualSubmodule (restrictScalars A I)).toAddSubmonoid ↔ x ∈ ((traceForm K L).dualSubmodule (restrictScalars A (comap (FractionRing.algEquiv B L).symm.toLinearMap I))).toAddSubmonoid
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
x : L
\u22a2 ∀ (a : FractionRing B), a ∈ restrictScalars A I → ((traceForm (FractionRing A) (FractionRing B)) ((FractionRing.algEquiv B L).symm x)) a ∈ 1 ↔ (FractionRing.algEquiv B L).toEquiv a ∈ restrictScalars A (comap (FractionRing.algEquiv B L).symm.toLinearMap I) → ((traceForm K L) x) ((FractionRing.algEquiv B L).toEquiv a) ∈ 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
x : L
\u22a2 ∀ (a : FractionRing B), a ∈ I → (Algebra.trace (FractionRing A) (FractionRing B)) ((FractionRing.algEquiv B L).symm x * a) ∈ 1 ↔ a ∈ I → (Algebra.trace K L) (x * (FractionRing.algEquiv B L) a) ∈ 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
x : L
y : FractionRing B
hy : y ∈ I
\u22a2 (Algebra.trace (FractionRing A) (FractionRing B)) ((FractionRing.algEquiv B L).symm x * y) ∈ 1 ↔ (Algebra.trace K L) (x * (FractionRing.algEquiv B L) y) ∈ 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
x : L
y : FractionRing B
hy : y ∈ I
\u22a2 (FractionRing.algEquiv A K).toRingEquiv.symm ((Algebra.trace K L) ((FractionRing.algEquiv B L).toRingEquiv ((FractionRing.algEquiv B L).symm x * y))) ∈ 1 ↔ (Algebra.trace K L) (x * (FractionRing.algEquiv B L) y) ∈ 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
x : L
y : FractionRing B
hy : y ∈ I
\u22a2 (algebraMap K L).comp ↑(FractionRing.algEquiv A K).toRingEquiv = (↑(FractionRing.algEquiv B L).toRingEquiv).comp (algebraMap (FractionRing A) (FractionRing B))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z X Y : C
\u22a2 X ◁ (ρ_ Y).hom = (α_ X Y (𝟙_ C)).inv ≫ (ρ_ (X ⊗ Y)).hom
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hn : n % 2 = 1
\u22a2 2 * (n / 2) = n - 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
X Y : J
f : X ⟶ Y
\u22a2 (D.map f).f ≫ c.ι.app Y = c.ι.app X ≫ 𝟙 c.pt
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
X Y : J
f : X ⟶ Y
\u22a2 c.ι.app X = c.ι.app X ≫ 𝟙 c.pt
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n a✝ p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
h : a ≠ 0
\u22a2 a * a⁻¹ = 1
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n a p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : ℕ
h : ↑k ≠ 0
\u22a2 ↑k * (↑k)⁻¹ = 1
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n a p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : ℕ
h : ↑k ≠ 0
\u22a2 k.Coprime p
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n a p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : ℕ
h : ↑k ≠ 0
\u22a2 p.Coprime k
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
x : PGame
h : x ≈ 0
\u22a2 x⁻¹ = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
h : Mono (opcyclesMap φ)
\u22a2 Mono (homologyMap φ)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
h : Mono (opcyclesMap φ)
this : Mono (homologyMap φ ≫ S₂.homologyι)
\u22a2 Mono (homologyMap φ)
-- Mathlib/Algebra/Ring/InjSurj.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹³ : Zero β
inst✝¹² : One β
inst✝¹¹ : Add β
inst✝¹⁰ : Mul β
inst✝⁹ : Neg β
inst✝⁸ : Sub β
inst✝⁷ : SMul ℕ β
inst✝⁶ : SMul ℤ β
inst✝⁵ : Pow β ℕ
inst✝⁴ : NatCast β
inst✝³ : IntCast β
f : α → β
hf : Surjective f
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : Add α
inst✝ : LeftDistribClass α
add : ∀ (x y : α), f (x + y) = f x + f y
mul : ∀ (x y : α), f (x * y) = f x * f y
x y z : α
\u22a2 f x * (f y + f z) = f x * f y + f x * f z
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : CommRing R
x y z : R
inst✝ : IsPrincipal (Ideal.span {x, y})
h : IsRelPrime x y
\u22a2 IsCoprime x y
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : CommRing R
x y z : R
inst✝ : IsPrincipal (Ideal.span {x, y})
h : IsRelPrime x y
\u22a2 IsUnit (gcd x y)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
\u22a2 arg 0 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
R : Type
inst✝ : CommRing R
d : ℤ
a : ℤ√d
\u22a2 a.norm = 1 ↔ a ∈ unitary (ℤ√d)
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
R : Type
inst✝ : CommRing R
d : ℤ
a : ℤ√d
\u22a2 a.norm = 1 ↔ ↑a.norm = 1
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I J X Y : Set α
M : Matroid α
R : Set α
\u22a2 M ↾ R ↾ R = M ↾ R
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetrizableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
h's : IsSeparable s
this : PseudoMetricSpace α := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric α
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
\u22a2 AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetrizableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
h's : IsSeparable s
this : PseudoMetricSpace α := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric α
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
\u22a2 AEMeasurable f (μ.restrict s) ∧ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x ∈ t