ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalStopping.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : Submartingale f 𝒢 μ
hτ : IsStoppingTime 𝒢 τ
\u22a2 Adapted 𝒢 (stoppedProcess f τ)
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalStopping.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : Submartingale f 𝒢 μ
hτ : IsStoppingTime 𝒢 τ
\u22a2 ∀ (i : ℕ), Integrable (stoppedProcess f τ i) μ
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
s : Set L
m : L
hm : m ∈ s
\u22a2 m ∈ ↑(lieSpan R L s)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
s : Set L
m : L
hm : m ∈ s
\u22a2 ∀ (K : LieSubalgebra R L), s ⊆ ↑K → m ∈ K
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Monotone.lean
f : ℝ → ℝ
hf : Monotone f
\u22a2 ∀ᵐ (x : ℝ), DifferentiableAt ℝ f x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
d₁ d₂ : Nat
n₁ n₂ : Int
z₁ : d₁ ≠ 0
z₂ : d₂ ≠ 0
\u22a2 mkRat n₁ d₁ = mkRat n₂ d₂ ↔ n₁ * ↑d₂ = n₂ * ↑d₁
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEMeasurableSequence.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
i : ι
\u22a2 aeSeq hf p i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x
-- Mathlib/Algebra/QuadraticDiscriminant.lean
K : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField K
a b c : K
h : ∀ (x : K), 0 ≤ a * x * x + b * x + c
\u22a2 b * b - 4 * a * c ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/QuadraticDiscriminant.lean
K : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField K
a b c : K
h : ∀ (x : K), 0 ≤ a * x * x + b * x + c
ha : a < 0
\u22a2 b * b - 4 * a * c ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/QuadraticDiscriminant.lean
K : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField K
b c : K
h : ∀ (x : K), 0 ≤ 0 * x * x + b * x + c
\u22a2 b * b - 4 * 0 * c ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/QuadraticDiscriminant.lean
K : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField K
a b c : K
h : ∀ (x : K), 0 ≤ a * x * x + b * x + c
ha : 0 < a
\u22a2 b * b - 4 * a * c ≤ 0
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Product.lean
ι : Type u_1
X : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
as bs cs : (i : ι) → X i
i : ι
paths : (i : ι) → Homotopic.Quotient (as i) (bs i)
\u22a2 proj i (pi paths) = paths i
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Product.lean
ι : Type u_1
X : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
as bs cs : (i : ι) → X i
i : ι
a✝ : (i : ι) → Path (as i) (bs i)
\u22a2 proj i (pi fun i => ⟦a✝ i⟧) = (fun i => ⟦a✝ i⟧) i
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Product.lean
ι : Type u_1
X : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
as bs cs : (i : ι) → X i
i : ι
a✝ : (i : ι) → Path (as i) (bs i)
\u22a2 ⟦(Path.pi a✝).map ⋯⟧ = (fun i => ⟦a✝ i⟧) i
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/PerpBisector.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P
\u22a2 perpBisector p₁ p₂ ≠ ⊥
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/PerpBisector.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P
\u22a2 (↑(perpBisector p₁ p₂)).Nonempty
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/FunctionField.lean
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
hX : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
inst✝ : IrreducibleSpace ↑↑Y.toPresheafedSpace
\u22a2 f.val.base (genericPoint ↑↑X.toPresheafedSpace) = genericPoint ↑↑Y.toPresheafedSpace
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/FunctionField.lean
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
hX : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
inst✝ : IrreducibleSpace ↑↑Y.toPresheafedSpace
\u22a2 IsGenericPoint (f.val.base (genericPoint ↑↑X.toPresheafedSpace)) ⊤
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/FunctionField.lean
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
hX : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
inst✝ : IrreducibleSpace ↑↑Y.toPresheafedSpace
\u22a2 ⊤ = closure (⇑f.val.base '' ⊤)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/FunctionField.lean
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
hX : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
inst✝ : IrreducibleSpace ↑↑Y.toPresheafedSpace
\u22a2 closure (⇑f.val.base '' ⊤) = ⊤
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/FunctionField.lean
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
hX : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
inst✝ : IrreducibleSpace ↑↑Y.toPresheafedSpace
\u22a2 Set.univ ≤ closure (⇑f.val.base '' Set.univ)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/FunctionField.lean
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
hX : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
inst✝ : IrreducibleSpace ↑↑Y.toPresheafedSpace
\u22a2 ⇑f.val.base '' Set.univ = Set.univ ∩ Set.range ⇑f.val.base
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/FunctionField.lean
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
hX : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
inst✝ : IrreducibleSpace ↑↑Y.toPresheafedSpace
\u22a2 IsPreirreducible Set.univ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/FunctionField.lean
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
hX : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
inst✝ : IrreducibleSpace ↑↑Y.toPresheafedSpace
\u22a2 (Set.univ ∩ Set.range ⇑f.val.base).Nonempty
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/BilinearForm.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R₁
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹¹ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁸ : CommRing R₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂✝ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
o : Type u_12
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq n
B₂ : BilinForm R₂ (n → R₂)
\u22a2 ((BilinForm.toMatrixAux fun j => (LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1) B₂).toBilin'Aux = B₂
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x✝ : X
s✝ : Set X
B : Set (Set X)
hB : IsTopologicalBasis B
x : X
s : Set X
h : s ∈ 𝓝 x
\u22a2 ∃ t ∈ B, x ∈ t ∧ closure t ⊆ s
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
motive : HNNExtension G A B φ → Prop
x : HNNExtension G A B φ
of : ∀ (g : G), motive (HNNExtension.of g)
t : motive HNNExtension.t
mul : ∀ (x y : HNNExtension G A B φ), motive x → motive y → motive (x * y)
inv : ∀ (x : HNNExtension G A B φ), motive x → motive x⁻¹
S : Subgroup (HNNExtension G A B φ) := { carrier := setOf motive, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, inv_mem' := ⋯ }
\u22a2 motive x
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
motive : HNNExtension G A B φ → Prop
x : HNNExtension G A B φ
of : ∀ (g : G), motive (HNNExtension.of g)
t : motive HNNExtension.t
mul : ∀ (x y : HNNExtension G A B φ), motive x → motive y → motive (x * y)
inv : ∀ (x : HNNExtension G A B φ), motive x → motive x⁻¹
S : Subgroup (HNNExtension G A B φ) := { carrier := setOf motive, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, inv_mem' := ⋯ }
f : HNNExtension G A B φ →* ↥S := lift (HNNExtension.of.codRestrict S of) ⟨HNNExtension.t, t⟩ ⋯
\u22a2 motive x
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
motive : HNNExtension G A B φ → Prop
x : HNNExtension G A B φ
of : ∀ (g : G), motive (HNNExtension.of g)
t : motive HNNExtension.t
mul : ∀ (x y : HNNExtension G A B φ), motive x → motive y → motive (x * y)
inv : ∀ (x : HNNExtension G A B φ), motive x → motive x⁻¹
S : Subgroup (HNNExtension G A B φ) := { carrier := setOf motive, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, inv_mem' := ⋯ }
f : HNNExtension G A B φ →* ↥S := lift (HNNExtension.of.codRestrict S of) ⟨HNNExtension.t, t⟩ ⋯
hf : S.subtype.comp f = MonoidHom.id (HNNExtension G A B φ)
\u22a2 motive x
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
motive : HNNExtension G A B φ → Prop
x : HNNExtension G A B φ
of : ∀ (g : G), motive (HNNExtension.of g)
t : motive HNNExtension.t
mul : ∀ (x y : HNNExtension G A B φ), motive x → motive y → motive (x * y)
inv : ∀ (x : HNNExtension G A B φ), motive x → motive x⁻¹
S : Subgroup (HNNExtension G A B φ) := { carrier := setOf motive, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, inv_mem' := ⋯ }
f : HNNExtension G A B φ →* ↥S := lift (HNNExtension.of.codRestrict S of) ⟨HNNExtension.t, t⟩ ⋯
hf : S.subtype.comp f = MonoidHom.id (HNNExtension G A B φ)
\u22a2 motive ((S.subtype.comp f) x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
m : (i : Fin (n + 1)) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : Fin (n + 1)) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : Fin (n + 1)), SigmaFinite (μ i)
i : Fin (n + 1)
e : α i × ((j : Fin n) → α (i.succAbove j)) ≃ᵐ ((j : Fin (n + 1)) → α j) := (MeasurableEquiv.piFinSuccAbove α i).symm
\u22a2 MeasurePreserving (⇑(MeasurableEquiv.piFinSuccAbove α i)) (Measure.pi μ) ((μ i).prod (Measure.pi fun j => μ (i.succAbove j)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
m : (i : Fin (n + 1)) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : Fin (n + 1)) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : Fin (n + 1)), SigmaFinite (μ i)
i : Fin (n + 1)
e : α i × ((j : Fin n) → α (i.succAbove j)) ≃ᵐ ((j : Fin (n + 1)) → α j) := (MeasurableEquiv.piFinSuccAbove α i).symm
\u22a2 MeasurePreserving (⇑e) ((μ i).prod (Measure.pi fun j => μ (i.succAbove j))) (Measure.pi μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
m : (i : Fin (n + 1)) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : Fin (n + 1)) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : Fin (n + 1)), SigmaFinite (μ i)
i : Fin (n + 1)
e : α i × ((j : Fin n) → α (i.succAbove j)) ≃ᵐ ((j : Fin (n + 1)) → α j) := (MeasurableEquiv.piFinSuccAbove α i).symm
s : (i : Fin (n + 1)) → Set (α i)
x✝ : ∀ (i : Fin (n + 1)), MeasurableSet (s i)
\u22a2 (Measure.map (⇑e) ((μ i).prod (Measure.pi fun j => μ (i.succAbove j)))) (univ.pi s) = ∏ i : Fin (n + 1), (μ i) (s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
m : (i : Fin (n + 1)) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : Fin (n + 1)) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : Fin (n + 1)), SigmaFinite (μ i)
i : Fin (n + 1)
e : α i × ((j : Fin n) → α (i.succAbove j)) ≃ᵐ ((j : Fin (n + 1)) → α j) := (MeasurableEquiv.piFinSuccAbove α i).symm
s : (i : Fin (n + 1)) → Set (α i)
x✝ : ∀ (i : Fin (n + 1)), MeasurableSet (s i)
\u22a2 ((μ i).prod (Measure.pi fun j => μ (i.succAbove j))) (⇑e ⁻¹' univ.pi s) = ((μ i).prod (Measure.pi fun i_1 => μ (i.succAbove i_1))) (s i ×ˢ univ.pi fun i_1 => s (i.succAbove i_1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
m : (i : Fin (n + 1)) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : Fin (n + 1)) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : Fin (n + 1)), SigmaFinite (μ i)
i : Fin (n + 1)
e : α i × ((j : Fin n) → α (i.succAbove j)) ≃ᵐ ((j : Fin (n + 1)) → α j) := (MeasurableEquiv.piFinSuccAbove α i).symm
s : (i : Fin (n + 1)) → Set (α i)
x✝ : ∀ (i : Fin (n + 1)), MeasurableSet (s i)
x : α i
f : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
\u22a2 (x, f) ∈ ⇑e ⁻¹' univ.pi s ↔ (x, f) ∈ s i ×ˢ univ.pi fun i_1 => s (i.succAbove i_1)
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
x y z : Fq[X]
a : ℤ
hxy : cardPowDegree (x - y) < a
hyz : cardPowDegree (y - z) < a
\u22a2 cardPowDegree (x - z) < a
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
x y z : Fq[X]
a : ℤ
hxy : cardPowDegree (x - y) < a
hyz : cardPowDegree (y - z) < a
ha : 0 < a
\u22a2 cardPowDegree (x - z) < a
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
x y z : Fq[X]
a : ℤ
hxy : cardPowDegree (x - y) < a
hyz : cardPowDegree (y - z) < a
ha : 0 < a
hxy' : ¬x = y
hyz' : ¬y = z
hxz' : ¬x = z
\u22a2 cardPowDegree (x - z) < a
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
x y z : Fq[X]
a : ℤ
hxy : cardPowDegree (x - y) < a
hyz : cardPowDegree (y - z) < a
ha : 0 < a
hxy' : x - y ≠ 0
hyz' : y - z ≠ 0
hxz' : x - z ≠ 0
\u22a2 cardPowDegree (x - z) < a
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
x y z : Fq[X]
a : ℤ
hxy : cardPowDegree (x - y) < a
hyz : cardPowDegree (y - z) < a
ha : 0 < a
hxy' : x - y ≠ 0
hyz' : y - z ≠ 0
hxz' : x - z ≠ 0
\u22a2 cardPowDegree (x - z) ≤ max (cardPowDegree (x - y)) (cardPowDegree (y - z))
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
x y z : Fq[X]
a : ℤ
hxy : cardPowDegree (x - y) < a
hyz : cardPowDegree (y - z) < a
ha : 0 < a
hxy' : x - y ≠ 0
hyz' : y - z ≠ 0
hxz' : x - z ≠ 0
\u22a2 ↑(Fintype.card Fq) ^ (x - z).natDegree ≤ max (↑(Fintype.card Fq) ^ (x - y).natDegree) (↑(Fintype.card Fq) ^ (y - z).natDegree)
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
x y z : Fq[X]
a : ℤ
hxy : cardPowDegree (x - y) < a
hyz : cardPowDegree (y - z) < a
ha : 0 < a
hxy' : x - y ≠ 0
hyz' : y - z ≠ 0
hxz' : x - z ≠ 0
this : 1 ≤ ↑(Fintype.card Fq)
\u22a2 ↑(Fintype.card Fq) ^ (x - z).natDegree ≤ max (↑(Fintype.card Fq) ^ (x - y).natDegree) (↑(Fintype.card Fq) ^ (y - z).natDegree)
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
x y z : Fq[X]
a : ℤ
hxy : cardPowDegree (x - y) < a
hyz : cardPowDegree (y - z) < a
ha : 0 < a
hxy' : x - y ≠ 0
hyz' : y - z ≠ 0
hxz' : x - z ≠ 0
this : 1 ≤ ↑(Fintype.card Fq)
\u22a2 ↑(Fintype.card Fq) ^ (x - z).natDegree ≤ ↑(Fintype.card Fq) ^ (x - y).natDegree ∨ ↑(Fintype.card Fq) ^ (x - z).natDegree ≤ ↑(Fintype.card Fq) ^ (y - z).natDegree
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
x y z : Fq[X]
a : ℤ
hxy : cardPowDegree (x - y) < a
hyz : cardPowDegree (y - z) < a
ha : 0 < a
hxy' : x - y ≠ 0
hyz' : y - z ≠ 0
hxz' : x - z ≠ 0
this : 1 ≤ ↑(Fintype.card Fq)
\u22a2 (x - z).natDegree ≤ (x - y).natDegree ∨ (x - z).natDegree ≤ (y - z).natDegree
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
x y z : Fq[X]
a : ℤ
hxy : cardPowDegree (x - y) < a
hyz : cardPowDegree (y - z) < a
ha : 0 < a
hxy' : x - y ≠ 0
hyz' : y - z ≠ 0
hxz' : x - z ≠ 0
this : 1 ≤ ↑(Fintype.card Fq)
\u22a2 (x - z).degree ≤ max (x - y).degree (y - z).degree
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
x y z : Fq[X]
a : ℤ
hxy : cardPowDegree (x - y) < a
hyz : cardPowDegree (y - z) < a
ha : 0 < a
hxy' : x - y ≠ 0
hyz' : y - z ≠ 0
hxz' : x - z ≠ 0
this : 1 ≤ ↑(Fintype.card Fq)
\u22a2 x - z = x - y + (y - z)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompactSpace α
w : ∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C
c : Continuous fun x => dist (f x) (g x)
\u22a2 dist f g < C
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x✝ : α
C : ℝ
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompactSpace α
w : ∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C
c : Continuous fun x => dist (f x) (g x)
x : α
le : IsMaxOn (fun x => dist (f x) (g x)) univ x
\u22a2 dist f g < C
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c d : α
h₁ : min a b ≤ max c d
h₂ : min c d ≤ max a b
\u22a2 Ico a b ∪ Ico c d = Ico (min a c) (max b d)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NeZero μ
hg : ConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ
\u22a2 (⨍ (x : α), f x ∂μ, ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ) ∈ {p | p.1 ∈ s ∧ g p.1 ≤ p.2}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NeZero μ
hg : ConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ
ht_mem : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (f x, g (f x)) ∈ {p | p.1 ∈ s ∧ g p.1 ≤ p.2}
\u22a2 (⨍ (x : α), f x ∂μ, ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ) ∈ {p | p.1 ∈ s ∧ g p.1 ≤ p.2}
-- Mathlib/Algebra/AddConstMap/Basic.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : AddGroup H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
n : ℤ
\u22a2 f (n • a) = f 0 + n • b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
i : ZeroHom R R'
j : M →+ M₁
hi : Surjective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
\u22a2 Module.rank R M ≤ Module.rank R' M₁
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
x : ι
f : ι →₀ R
h : x ∉ ↑f.support
\u22a2 (Finsupp.total ι M R v) f ≠ v x
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
x : ι
f : ι →₀ R
h : x ∉ ↑f.support
p : v x ∉ span R (v '' ↑f.support)
\u22a2 (Finsupp.total ι M R v) f ≠ v x
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
x : ι
f : ι →₀ R
h : x ∉ ↑f.support
p : (Finsupp.total ι M R v) f ∉ span R (v '' ↑f.support)
w : (Finsupp.total ι M R v) f = v x
\u22a2 False
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
x : ι
f : ι →₀ R
h : x ∉ ↑f.support
p : (Finsupp.total ι M R v) f ∉ Submodule.map (Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.supported R R ↑f.support)
w : (Finsupp.total ι M R v) f = v x
\u22a2 False
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
x : ι
f : ι →₀ R
h : x ∉ ↑f.support
w : (Finsupp.total ι M R v) f = v x
p : ∀ x ∈ Finsupp.supported R R ↑f.support, ¬(Finsupp.total ι M R v) x = (Finsupp.total ι M R v) f
\u22a2 False
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s : Set α
h : ∃ a ∈ s, a ∈ p.support
a : α
\u22a2 (p.filter s h) a = s.indicator (⇑p) a * (∑' (a' : α), s.indicator (⇑p) a')⁻¹
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Basic.lean
k : Type u
inst✝³ : Field k
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : Algebra k K
p q : k[X]
\u22a2 IsCoprime p q ↔ ∀ (a : K), (aeval a) p ≠ 0 ∨ (aeval a) q ≠ 0
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Basic.lean
k : Type u
inst✝³ : Field k
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : Algebra k K
p q : k[X]
h : ∀ (a : K), (aeval a) p ≠ 0 ∨ (aeval a) q ≠ 0
\u22a2 ¬(p = 0 ∧ q = 0)
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Basic.lean
k : Type u
inst✝³ : Field k
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : Algebra k K
p q : k[X]
h : ∀ (a : K), (aeval a) p ≠ 0 ∨ (aeval a) q ≠ 0
x : k[X]
hu : x ∈ nonunits k[X]
h0 : x ≠ 0
\u22a2 x ∣ p → ¬x ∣ q
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α
a : α
\u22a2 s ⊂ {a} ↔ s = 0
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α
a : α
hs : s ⊂ {a}
b : α
hb : b ∈ s
\u22a2 {a} ⊆ s
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α
a : α
\u22a2 s = 0 → s ⊂ {a}
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝¹ : Finset α
t✝ : Finset β
a✝ : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq γ
f : α → β
s✝ : Finset α
t : β → Finset γ
this : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
x✝ : a ∉ s
ih : (image f s).biUnion t = s.biUnion fun a => t (f a)
\u22a2 (image f (insert a s)).biUnion t = (insert a s).biUnion fun a => t (f a)