ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n
\u22a2 m + n ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n
\u22a2 m + (n - m + k) ∉ Set.Ioo (k + n) (n + n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n
\u22a2 m + k ∉ Set.Ioo (k + n) (n + n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n
\u22a2 k + n ∉ Set.Ioo (k + n) (n + n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n
\u22a2 k + (n - m + k) ∉ Set.Ioo (k + n) (n + n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n
\u22a2 k + k ∉ Set.Ioo (k + n) (n + n)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Grothendieck.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
rj : R ∈ J.sieves X
sj : S ∈ J.sieves X
\u22a2 R ⊓ S ∈ J.sieves X
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Grothendieck.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
rj : R ∈ J.sieves X
sj : S ∈ J.sieves X
\u22a2 ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ X), R.arrows f → Sieve.pullback f (R ⊓ S) ∈ J.sieves Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Grothendieck.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y✝ : C
S R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
rj : R ∈ J.sieves X
sj : S ∈ J.sieves X
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : R.arrows f
\u22a2 Sieve.pullback f (R ⊓ S) ∈ J.sieves Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Grothendieck.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y✝ : C
S R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
rj : R ∈ J.sieves X
sj : S ∈ J.sieves X
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : R.arrows f
\u22a2 ⊤ ⊓ Sieve.pullback f S ∈ J.sieves Y
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : i ≤ j.castSucc
k : Fin ([n + 1].len + 1)
\u22a2 j.succ.predAbove (i.castSucc.succAbove k) = i.succAbove (j.predAbove k)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : i ≤ j.castSucc
k : Fin ([n + 1].len + 1)
hik : i ≤ k
\u22a2 j.succ.predAbove (i.castSucc.succAbove k) = i.succAbove (j.predAbove k)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : i ≤ j.castSucc
k : Fin ([n + 1].len + 1)
hik : k < i
\u22a2 j.succ.predAbove (i.castSucc.succAbove k) = i.succAbove (j.predAbove k)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y
\u22a2 a + -b = a - b
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
\u22a2 s.sup' hs id = sSup ↑s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Antilipschitz.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
x y : α
\u22a2 (↑K)⁻¹ * edist x y ≤ edist (f x) (f y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Antilipschitz.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
x y : α
\u22a2 edist x y / ↑K ≤ edist (f x) (f y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Comma.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : PreservesLimits T
A : StructuredArrow S T
P : { P // ∃ q, q ≫ T.map P.arrow = A.hom }
\u22a2 ↑((fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩) ((fun P => liftSubobject ↑P ⋯) P)) = ↑P
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Comma.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : PreservesLimits T
A : StructuredArrow S T
\u22a2 ∀ {a b : Subobject A}, { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } a ≤ { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } b ↔ a ≤ b
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Comma.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : PreservesLimits T
A : StructuredArrow S T
\u22a2 ∀ ⦃A_1 B : StructuredArrow S T⦄ (f : A_1 ⟶ A) (g : B ⟶ A) [inst : Mono f] [inst_1 : Mono g], { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk f) ≤ { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk g) ↔ Subobject.mk f ≤ Subobject.mk g
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Comma.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : PreservesLimits T
A P Q : StructuredArrow S T
f : P ⟶ A
g : Q ⟶ A
hf : Mono f
hg : Mono g
\u22a2 { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk f) ≤ { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk g) ↔ Subobject.mk f ≤ Subobject.mk g
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Comma.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : PreservesLimits T
A P Q : StructuredArrow S T
f : P ⟶ A
g : Q ⟶ A
hf : Mono f
hg : Mono g
h : { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk f) ≤ { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk g)
\u22a2 P ⟶ Q
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Comma.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : PreservesLimits T
A P Q : StructuredArrow S T
f : P ⟶ A
g : Q ⟶ A
hf : Mono f
hg : Mono g
h : { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk f) ≤ { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk g)
\u22a2 ?h.refine_1 ≫ g = f
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Comma.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : D
T : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : PreservesLimits T
A P Q : StructuredArrow S T
f : P ⟶ A
g : Q ⟶ A
hf : Mono f
hg : Mono g
h : Subobject.mk f ≤ Subobject.mk g
\u22a2 { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk f) ≤ { toFun := fun P => ⟨projectSubobject P, ⋯⟩, invFun := fun P => liftSubobject ↑P ⋯, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (Subobject.mk g)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
a : α
\u22a2 {a}.toFinset = {a}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
h : p.Monic
q : R[X]
\u22a2 q * p = 0 ↔ q = 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l✝ r : List Char
it : Iterator
n : Nat
a : Char
l : List Char
h : ValidFor (a :: l) r it
hn : n + 1 ≤ (a :: l).length
\u22a2 ValidFor (List.drop (n + 1) (a :: l)) ((List.take (n + 1) (a :: l)).reverse ++ r) (it.prev.prevn n)
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f g : Filter α
\u22a2 IsCobounded r ⊤ ↔ Nonempty α
-- Mathlib/Data/Real/Pointwise.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Module α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : a ≤ 0
s : Set ℝ
\u22a2 sSup (a • s) = a • sInf s
-- Mathlib/Data/Real/Pointwise.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Module α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : a ≤ 0
\u22a2 sSup (a • ∅) = a • sInf ∅
-- Mathlib/Data/Real/Pointwise.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Module α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : a ≤ 0
s : Set ℝ
hs : s.Nonempty
\u22a2 sSup (a • s) = a • sInf s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
f g : End R M
inst✝ : IsSemisimpleModule R M
\u22a2 IsSemisimple 0
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
P : α → Prop
\u22a2 (∃ᶠ (x : α) in f, P x) ↔ ∀ {U : Set α}, U ∈ f → ∃ x ∈ U, P x
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
P : α → Prop
\u22a2 (∀ {q : α → Prop}, (∀ᶠ (x : α) in f, q x) → ∃ x, q x ∧ P x) ↔ ∀ {U : Set α}, U ∈ f → ∃ x ∈ U, P x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁵ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : S₁.HasLeftHomology
inst✝² : S₂.HasLeftHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesLeftHomologyOf S₂
\u22a2 F.map (cyclesMap φ) ≫ (S₂.mapCyclesIso F).inv = (S₁.mapCyclesIso F).inv ≫ cyclesMap (F.mapShortComplex.map φ)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
i : ℕ
hi : i ≠ f.natDegree
\u22a2 f.eraseLead.coeff i = f.coeff i
-- Mathlib/Data/Nat/Count.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
a b : ℕ
\u22a2 count p (a + b) = count p a + count (fun k => p (a + k)) b
-- Mathlib/Data/Nat/Count.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
a b : ℕ
this : Disjoint (filter p (range a)) (filter p (map (addLeftEmbedding a) (range b)))
\u22a2 count p (a + b) = count p a + count (fun k => p (a + k)) b
-- Mathlib/Data/Nat/Count.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
a b : ℕ
this : Disjoint (filter p (range a)) (filter p (map (addLeftEmbedding a) (range b)))
\u22a2 (filter p (range a)).card + (filter (p ∘ ⇑{ toFun := fun h => a + h, inj' := ⋯ }) (range b)).card = (filter p (range a)).card + (filter (fun k => p (a + k)) (range b)).card
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
h : Disjoint g₁ g₂
\u22a2 Disjoint (comap m g₁) (comap m g₂)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
\u22a2 b ∈ Ioc a b ↔ a < b
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Iso.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : IsIso f
\u22a2 pushout.inl f g ≫ inv (pushout.inr f g) = inv f ≫ g
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Multiplier.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 A A
a : 𝓜(𝕜, A)
\u22a2 a.toProdMulOpposite ∈ {lr | ∀ (x y : A), (unop lr.2) x * y = x * lr.1 y}
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/IncMatrix.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : MulZeroOneClass R
a b : α
e : Sym2 α
inst✝ : Nontrivial R
\u22a2 incMatrix R G a e = 0 ↔ e ∉ G.incidenceSet a
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/RieszLemma.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : F
s : Set F
hx : x ∈ s
\u22a2 closedBall x (infDist x sᶜ) ⊆ closure s
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/RieszLemma.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : F
s : Set F
hx : x ∈ s
h₀ : infDist x sᶜ = 0
\u22a2 closedBall x (infDist x sᶜ) ⊆ closure s
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/RieszLemma.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : F
s : Set F
hx : x ∈ s
h₀ : infDist x sᶜ ≠ 0
\u22a2 closedBall x (infDist x sᶜ) ⊆ closure s
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
z : ℍ
\u22a2 ModularGroup.T • z = 1 +ᵥ z
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
S : Set X
u : α → β
hu : UniformInducing u
x : X
\u22a2 EquicontinuousWithinAt F S x ↔ EquicontinuousWithinAt ((fun x => u ∘ x) ∘ F) S x
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
a : ℚ
tr : Transcendental ℚ ↑a
\u22a2 False
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝ : I.Boundaryless
\u22a2 IsOpen (f.extend I).target
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝ : I.Boundaryless
\u22a2 IsOpen (↑I.symm ⁻¹' f.target)
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → Option β
s' s t : Finset α
f_inj : ∀ (a a' : α), ∀ b ∈ f a, b ∈ f a' → a = a'
x✝ : α
\u22a2 x✝ ∈ filterMap some s ⋯ ↔ x✝ ∈ s
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype n
v : n → α
A : Matrix m n α
\u22a2 -A *ᵥ -v = A *ᵥ v
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hJ : M.Indep J
hIJ : I ⊆ J
\u22a2 M.Basis J (J ∪ X)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hJ : M.Indep J
hIJ : I ⊆ J
\u22a2 M.Indep J
-- Mathlib/Topology/LocallyFinite.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f g : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
a : X
U : Set X
haU : U ∈ 𝓝 a
hfin : {i | (f i ∩ U).Nonempty}.Finite
\u22a2 𝓝[⋃ i, f i] a = ⨆ i, 𝓝[f i] a
-- Mathlib/Topology/LocallyFinite.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f g : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
a : X
U : Set X
haU : U ∈ 𝓝 a
hfin : {i | (f i ∩ U).Nonempty}.Finite
\u22a2 𝓝[⋃ i, f i] a ≤ ⨆ i, 𝓝[f i] a
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallyInjective.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : ConcreteCategory D
J : GrothendieckTopology C
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ D
φ : F₁ ⟶ F₂
ψ : F₂ ⟶ F₃
inst✝ : IsLocallyInjective J (φ ≫ ψ)
\u22a2 IsLocallyInjective J φ
-- Mathlib/Logic/Nontrivial/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Nontrivial β
f : α → β
hf : Surjective f
\u22a2 Nontrivial α
-- Mathlib/Logic/Nontrivial/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Nontrivial β
f : α → β
hf : Surjective f
x y : β
h : x ≠ y
\u22a2 Nontrivial α
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c d : Ordinal.{u_4}
\u22a2 a - b - c ≤ d ↔ a - (b + c) ≤ d
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x y : R_hat R K
\u22a2 { toFun := fun x v => ↑(x v), map_zero' := ⋯ }.toFun (x + y) = { toFun := fun x v => ↑(x v), map_zero' := ⋯ }.toFun x + { toFun := fun x v => ↑(x v), map_zero' := ⋯ }.toFun y
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v✝ : HeightOneSpectrum R
x y : R_hat R K
v : HeightOneSpectrum R
\u22a2 { toFun := fun x v => ↑(x v), map_zero' := ⋯ }.toFun (x + y) v = ({ toFun := fun x v => ↑(x v), map_zero' := ⋯ }.toFun x + { toFun := fun x v => ↑(x v), map_zero' := ⋯ }.toFun y) v
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v✝ : HeightOneSpectrum R
x y : R_hat R K
v : HeightOneSpectrum R
\u22a2 ↑((x + y) v) = ((fun v => ↑(x v)) + fun v => ↑(y v)) v
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s✝ t✝ : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
s t : Set α
\u22a2 t ∈ 𝓝ˢ (exterior s) ↔ t ∈ 𝓝ˢ s
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
\u22a2 σ.cycleType = 0 ↔ σ = 1
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
\u22a2 |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / (↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v)| < ((↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v) * (2 * (↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v) - 1))⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hu₀ : 0 < u - ⌊ξ⌋ * v
huv : u - ⌊ξ⌋ * v < v
\u22a2 |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / (↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v)| < ((↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v) * (2 * (↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v) - 1))⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hu₀ : 0 < u - ⌊ξ⌋ * v
huv : u - ⌊ξ⌋ * v < v
hξ₀ : 0 < fract ξ
\u22a2 |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / (↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v)| < ((↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v) * (2 * (↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v) - 1))⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u' = ↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v
\u22a2 |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / ↑u'| < (↑u' * (2 * ↑u' - 1))⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
\u22a2 |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / ↑u'| < (↑u' * (2 * ↑u' - 1))⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1
\u22a2 |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / ↑u'| < (↑u' * (2 * ↑u' - 1))⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1
Hv : 0 < ↑v
Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1
\u22a2 |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / ↑u'| < (↑u' * (2 * ↑u' - 1))⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1
Hv : 0 < ↑v
Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1
H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ
\u22a2 |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / ↑u'| < (↑u' * (2 * ↑u' - 1))⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1
Hv : 0 < ↑v
Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1
H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
\u22a2 |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / ↑u'| < (↑u' * (2 * ↑u' - 1))⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1
Hv : 0 < ↑v
Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1
H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
h' : |fract ξ - ↑u' / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
\u22a2 |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / ↑u'| < (↑u' * (2 * ↑u' - 1))⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1
Hv : 0 < ↑v
Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1
H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
h' : |fract ξ - ↑u' / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
H : 2 * ↑u' - 1 ≤ (2 * ↑v - 1) * fract ξ
\u22a2 |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / ↑u'| < (↑u' * (2 * ↑u' - 1))⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1
Hv : 0 < ↑v
Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1
H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
h' : |fract ξ - ↑u' / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
H : 2 * ↑u' - 1 ≤ (2 * ↑v - 1) * fract ξ
help₁ : ∀ {a b c : ℝ}, a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → |a⁻¹ - b / c| = |(a - c / b) * (b / c / a)|
\u22a2 |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / ↑u'| < (↑u' * (2 * ↑u' - 1))⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1
Hv : 0 < ↑v
Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1
H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
h' : |fract ξ - ↑u' / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
H : 2 * ↑u' - 1 ≤ (2 * ↑v - 1) * fract ξ
help₁ : ∀ {a b c : ℝ}, a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → |a⁻¹ - b / c| = |(a - c / b) * (b / c / a)|
help₂ : ∀ {a b c d : ℝ}, a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → d ≠ 0 → (b * c)⁻¹ * (b / d / a) = (d * c * a)⁻¹
\u22a2 |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / ↑u'| < (↑u' * (2 * ↑u' - 1))⁻¹
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ
\u22a2 cosh x + sinh x = rexp x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ
\u22a2 ↑(cosh x + sinh x) = ↑(rexp x)
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.21569
L : Type ?u.21572
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
\u22a2 eval x (minpolyDiv R x) = (aeval x) (derivative (minpoly R x))