ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallHom.lean
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝³ : L.IsLocalization W
X Y Z : C
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y Z
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Z
α : SmallHom W X Y
β : SmallHom W Y Z
\u22a2 (equiv W L) (α.comp β) = (equiv W L) α ≫ (equiv W L) β
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallHom.lean
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝³ : L.IsLocalization W
X Y Z : C
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y Z
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Z
α : SmallHom W X Y
β : SmallHom W Y Z
this : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q X Y
\u22a2 (equiv W L) (α.comp β) = (equiv W L) α ≫ (equiv W L) β
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallHom.lean
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝³ : L.IsLocalization W
X Y Z : C
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y Z
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Z
α : SmallHom W X Y
β : SmallHom W Y Z
this✝ : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q X Y
this : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q Y Z
\u22a2 (equiv W L) (α.comp β) = (equiv W L) α ≫ (equiv W L) β
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallHom.lean
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝³ : L.IsLocalization W
X Y Z : C
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y Z
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Z
β : SmallHom W Y Z
this✝ : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q X Y
this : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q Y Z
α : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y
\u22a2 (equiv W L) (comp ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)) α) β) = (equiv W L) ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)) α) ≫ (equiv W L) β
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallHom.lean
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝³ : L.IsLocalization W
X Y Z : C
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y Z
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Z
this✝ : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q X Y
this : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q Y Z
α : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y
β : W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z
\u22a2 (equiv W L) (comp ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)) α) ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)) β)) = (equiv W L) ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)) α) ≫ (equiv W L) ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)) β)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallHom.lean
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝³ : L.IsLocalization W
X Y Z : C
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y Z
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Z
this✝ : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q X Y
this : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q Y Z
α : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y
β : W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z
\u22a2 (homEquiv W W.Q L) ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Z)).symm ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Z)) ((homEquiv W W.Q W.Q) ((homEquiv W W.Q W.Q) ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)).symm ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)) α)) ≫ (homEquiv W W.Q W.Q) ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)).symm ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)) β)))))) = (homEquiv W W.Q L) ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)).symm ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)) α)) ≫ (homEquiv W W.Q L) ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)).symm ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)) β))
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallHom.lean
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝³ : L.IsLocalization W
X Y Z : C
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y Z
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Z
this✝ : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q X Y
this : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q Y Z
α : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y
β : W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z
\u22a2 (homEquiv W W.Q L) ((homEquiv W W.Q W.Q) ((homEquiv W W.Q W.Q) ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)).symm ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)) α)) ≫ (homEquiv W W.Q W.Q) ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)).symm ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)) β)))) = (homEquiv W W.Q L) ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)).symm ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)) α)) ≫ (homEquiv W W.Q L) ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)).symm ((equivShrink (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z)) β))
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallHom.lean
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝³ : L.IsLocalization W
X Y Z : C
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y Z
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Z
this✝ : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q X Y
this : Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z) := small_of_hasSmallLocalizedHom W W.Q Y Z
α : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y
β : W.Q.obj Y ⟶ W.Q.obj Z
\u22a2 (homEquiv W W.Q L) ((homEquiv W W.Q W.Q) ((homEquiv W W.Q W.Q) α ≫ (homEquiv W W.Q W.Q) β)) = (homEquiv W W.Q L) α ≫ (homEquiv W W.Q L) β
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : SemilatticeSup M
w : σ → M
\u22a2 weightedTotalDegree' w 0 = ⊥
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s : Multiset α
a : α
\u22a2 ∀ (a_1 : α) (s : Multiset α), (a ∣ s.gcd ↔ ∀ b ∈ s, a ∣ b) → (a ∣ (a_1 ::ₘ s).gcd ↔ ∀ b ∈ a_1 ::ₘ s, a ∣ b)
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
s : Set α
\u22a2 s ×ˢ univ = Prod.fst ⁻¹' s
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
inst✝¹³ : Field F
inst✝¹² : Field K✝
inst✝¹¹ : Algebra F K✝
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Field K₁
inst✝⁸ : Field K₂
inst✝⁷ : Field K₃
inst✝⁶ : Algebra F K₁
inst✝⁵ : Algebra F K₂
inst✝⁴ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
K : Type u_6
L : Type u_7
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Normal K L
x y : L
hy : IsAlgebraic K y
h_ev : (Polynomial.aeval x) (minpoly K y) = 0
\u22a2 ∃ σ, σ y = x
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
inst✝¹³ : Field F
inst✝¹² : Field K✝
inst✝¹¹ : Algebra F K✝
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Field K₁
inst✝⁸ : Field K₂
inst✝⁷ : Field K₃
inst✝⁶ : Algebra F K₁
inst✝⁵ : Algebra F K₂
inst✝⁴ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
K : Type u_6
L : Type u_7
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Normal K L
x y : L
hy : IsAlgebraic K y
h_ev : (Polynomial.aeval x) (minpoly K y) = 0
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : σ x = y
\u22a2 ∃ σ, σ y = x
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
inst✝¹³ : Field F
inst✝¹² : Field K✝
inst✝¹¹ : Algebra F K✝
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Field K₁
inst✝⁸ : Field K₂
inst✝⁷ : Field K₃
inst✝⁶ : Algebra F K₁
inst✝⁵ : Algebra F K₂
inst✝⁴ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
K : Type u_6
L : Type u_7
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Normal K L
x y : L
hy : IsAlgebraic K y
h_ev : (Polynomial.aeval x) (minpoly K y) = 0
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : σ x = y
\u22a2 σ.symm y = x
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ ↑(d n)
hd : Summable d
\u22a2 CauchySeq f
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ ↑(d n)
hd : Summable d
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
\u22a2 ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → edist (f n) (f N) < ↑ε
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ ↑(d n)
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
hd : CauchySeq fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, d x
\u22a2 ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → edist (f n) (f N) < ↑ε
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ ↑(d n)
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
hd : CauchySeq fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, d x
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (∑ x ∈ Finset.range n, d x) (∑ x ∈ Finset.range N, d x) < ↑ε
n : ℕ
hn : N ≤ n
\u22a2 edist (f n) (f N) < ↑ε
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ ↑(d n)
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
hd : CauchySeq fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, d x
N n : ℕ
hn : N ≤ n
hN : dist (∑ x ∈ Finset.range n, d x) (∑ x ∈ Finset.range N, d x) < ↑ε
\u22a2 edist (f n) (f N) < ↑ε
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ ↑(d n)
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
hd : CauchySeq fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, d x
N n : ℕ
hn : N ≤ n
hN : ∑ k ∈ Finset.Ico N n, d k < ε ∧ ∑ x ∈ Finset.range N, d x - (∑ k ∈ Finset.range N, d k + ∑ k ∈ Finset.Ico N n, d k) < ε
\u22a2 edist (f n) (f N) < ↑ε
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ ↑(d n)
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
hd : CauchySeq fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, d x
N n : ℕ
hn : N ≤ n
hN : ∑ k ∈ Finset.Ico N n, d k < ε ∧ ∑ x ∈ Finset.range N, d x - (∑ k ∈ Finset.range N, d k + ∑ k ∈ Finset.Ico N n, d k) < ε
\u22a2 edist (f N) (f n) < ↑ε
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ ↑(d n)
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
hd : CauchySeq fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, d x
N n : ℕ
hn : N ≤ n
hN : ∑ k ∈ Finset.Ico N n, d k < ε ∧ ∑ x ∈ Finset.range N, d x - (∑ k ∈ Finset.range N, d k + ∑ k ∈ Finset.Ico N n, d k) < ε
\u22a2 ∑ i ∈ Finset.Ico N n, ↑(d i) < ↑ε
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/Down.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
\u22a2 s ∈ 𝓓 a 𝒜 → s.erase a ∈ 𝓓 a 𝒜
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/Down.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
\u22a2 s ∈ 𝒜 ∧ s.erase a ∈ 𝒜 ∨ s ∉ 𝒜 ∧ insert a s ∈ 𝒜 → s.erase a ∈ 𝒜 ∧ s.erase a ∈ 𝒜 ∨ s.erase a ∉ 𝒜 ∧ insert a (s.erase a) ∈ 𝒜
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/Down.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
h : s ∉ 𝒜 ∧ insert a s ∈ 𝒜
\u22a2 s.erase a ∉ 𝒜 ∧ insert a (s.erase a) ∈ 𝒜
-- Mathlib/Data/Int/Interval.lean
a b : ℤ
\u22a2 Fintype.card ↑(Set.Ico a b) = (b - a).toNat
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
I : Set ι
hI : I.Finite
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
\u22a2 𝓝[I.pi s] x = ⨅ i, comap (fun x => x i) (𝓝 (x i) ⊓ ⨅ (_ : i ∈ I), 𝓟 (s i))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Real.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hm : m ≤ m0
hsig : SigmaFinite (μ.trim hm)
\u22a2 eLpNorm (μ[f|m]) 1 μ ≤ eLpNorm f 1 μ
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/CotangentComplex.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
this : Algebra P.Ring S' := ((algebraMap S S').comp (algebraMap P.Ring S)).toAlgebra
\u22a2 f.toAlgHom (x * y) - g.toAlgHom (x * y) - (P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) + P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x)) ∈ P'.ker ^ 2
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/CotangentComplex.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
this✝ : Algebra P.Ring S' := ((algebraMap S S').comp (algebraMap P.Ring S)).toAlgebra
this : (f.toAlgHom x - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x)) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) + (g.toAlgHom y - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y)) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x) ∈ P'.ker ^ 2
\u22a2 f.toAlgHom (x * y) - g.toAlgHom (x * y) - (P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) + P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x)) ∈ P'.ker ^ 2
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/CotangentComplex.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
this✝ : Algebra P.Ring S' := ((algebraMap S S').comp (algebraMap P.Ring S)).toAlgebra
this : (f.toAlgHom x - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x)) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) + (g.toAlgHom y - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y)) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x) ∈ P'.ker ^ 2
\u22a2 f.toAlgHom (x * y) - g.toAlgHom (x * y) - (P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) + P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x)) = (f.toAlgHom x - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x)) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) + (g.toAlgHom y - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y)) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x)
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/CotangentComplex.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
x y : P.Ring
this✝ : Algebra P.Ring S' := ((algebraMap S S').comp (algebraMap P.Ring S)).toAlgebra
this : (f.toAlgHom x - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x)) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) + (g.toAlgHom y - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y)) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x) ∈ P'.ker ^ 2
\u22a2 f.toAlgHom x * f.toAlgHom y - g.toAlgHom x * g.toAlgHom y - (P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) + P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x)) = (f.toAlgHom x - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') x)) * (f.toAlgHom y - g.toAlgHom y) + (g.toAlgHom y - P'.σ ((algebraMap P.Ring S') y)) * (f.toAlgHom x - g.toAlgHom x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝¹² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝¹¹ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝¹⁰ : Category.{max v u, w₂} E
F✝ : D ⥤ E
inst✝⁹ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁸ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝⁷ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F✝
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝⁶ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁵ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝⁴ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F✝
F G : D ⥤ E
η : F ⟶ G
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝³ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝² : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ G
inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan G
X : Cᵒᵖ
\u22a2 (whiskerLeft (J.plusObj P) η ≫ (J.plusCompIso G P).hom).app X = ((J.plusCompIso F P).hom ≫ J.plusMap (whiskerLeft P η)).app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝¹² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝¹¹ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝¹⁰ : Category.{max v u, w₂} E
F✝ : D ⥤ E
inst✝⁹ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁸ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝⁷ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F✝
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝⁶ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁵ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝⁴ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F✝
F G : D ⥤ E
η : F ⟶ G
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝³ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝² : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ G
inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan G
X : Cᵒᵖ
\u22a2 ∀ (j : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ), (F.mapCocone (colimit.cocone (J.diagram P (unop X)))).ι.app j ≫ (whiskerLeft (J.plusObj P) η ≫ (J.plusCompIso G P).hom).app X = (F.mapCocone (colimit.cocone (J.diagram P (unop X)))).ι.app j ≫ ((J.plusCompIso F P).hom ≫ J.plusMap (whiskerLeft P η)).app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝¹² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝¹¹ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝¹⁰ : Category.{max v u, w₂} E
F✝ : D ⥤ E
inst✝⁹ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁸ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝⁷ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F✝
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝⁶ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁵ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝⁴ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F✝
F G : D ⥤ E
η : F ⟶ G
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝³ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝² : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ G
inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan G
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
\u22a2 F.map (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) W) ≫ η.app (colimit (J.diagram P (unop X))) ≫ (J.plusCompIso G P).hom.app X = F.map (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) W) ≫ (J.plusCompIso F P).hom.app X ≫ colimMap (J.diagramNatTrans (whiskerLeft P η) (unop X))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝¹² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝¹¹ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝¹⁰ : Category.{max v u, w₂} E
F✝ : D ⥤ E
inst✝⁹ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁸ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝⁷ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F✝
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝⁶ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁵ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝⁴ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F✝
F G : D ⥤ E
η : F ⟶ G
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝³ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝² : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ G
inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan G
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
\u22a2 η.app (multiequalizer ((unop W).index P)) ≫ (J.diagramCompIso G P (unop X)).hom.app W ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ G) (unop X)) W = (J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (P ⋙ G)) ((J.diagram (P ⋙ F) (unop X)).obj W) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ η.app (P.obj (op i.Y))) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ G) (unop X)) W
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝¹² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝¹¹ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝¹⁰ : Category.{max v u, w₂} E
F✝ : D ⥤ E
inst✝⁹ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁸ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝⁷ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F✝
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝⁶ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁵ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝⁴ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F✝
F G : D ⥤ E
η : F ⟶ G
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝³ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝² : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ G
inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan G
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
\u22a2 (η.app (multiequalizer ((unop W).index P)) ≫ (J.diagramCompIso G P (unop X)).hom.app W) ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ G) (unop X)) W = ((J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (P ⋙ G)) ((J.diagram (P ⋙ F) (unop X)).obj W) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ η.app (P.obj (op i.Y))) ⋯) ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ G) (unop X)) W
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → K
\u22a2 spanFinset R₁ s f = 0 ↔ ∀ j ∈ s, f j = 0
-- Mathlib/Topology/Order/LawsonTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLawson α
a : α
\u22a2 IsClosed {a}