ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Multiequalizer.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
K : Multifork I
b : I.R
\u22a2 K.π.app (WalkingMulticospan.left (I.fstTo b)) ≫ I.multicospan.map (WalkingMulticospan.Hom.fst b) = K.ι (I.fstTo b) ≫ I.fst b
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.121497, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄
\u22a2 (φ₁ + φ₃).τ₁ = S₁.f ≫ (h.h₁ + h'.h₁) + (h.h₀ + h'.h₀) + (φ₂ + φ₄).τ₁
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.121497, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄
\u22a2 S₁.f ≫ h.h₁ + h.h₀ + φ₂.τ₁ + (S₁.f ≫ h'.h₁ + h'.h₀ + φ₄.τ₁) = S₁.f ≫ h.h₁ + S₁.f ≫ h'.h₁ + (h.h₀ + h'.h₀) + (φ₂.τ₁ + φ₄.τ₁)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.121497, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄
\u22a2 (φ₁ + φ₃).τ₂ = S₁.g ≫ (h.h₂ + h'.h₂) + (h.h₁ + h'.h₁) ≫ S₂.f + (φ₂ + φ₄).τ₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.121497, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄
\u22a2 S₁.g ≫ h.h₂ + h.h₁ ≫ S₂.f + φ₂.τ₂ + (S₁.g ≫ h'.h₂ + h'.h₁ ≫ S₂.f + φ₄.τ₂) = S₁.g ≫ h.h₂ + S₁.g ≫ h'.h₂ + (h.h₁ ≫ S₂.f + h'.h₁ ≫ S₂.f) + (φ₂.τ₂ + φ₄.τ₂)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.121497, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄
\u22a2 (φ₁ + φ₃).τ₃ = h.h₃ + h'.h₃ + (h.h₂ + h'.h₂) ≫ S₂.g + (φ₂ + φ₄).τ₃
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.121497, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄
\u22a2 h.h₃ + h.h₂ ≫ S₂.g + φ₂.τ₃ + (h'.h₃ + h'.h₂ ≫ S₂.g + φ₄.τ₃) = h.h₃ + h'.h₃ + (h.h₂ ≫ S₂.g + h'.h₂ ≫ S₂.g) + (φ₂.τ₃ + φ₄.τ₃)
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
R : Type u₁
inst✝¹ : CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
f : Ring.Perfection R p
n : ℕ
\u22a2 (coeff R p (n + 1)) ((frobenius (Ring.Perfection R p) p) f) = (coeff R p n) f
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/StructuredArrow.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
D' : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.202, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.206, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.210, u_3} D'
W : MorphismProperty C
L : C ⥤ D
L' : C ⥤ D'
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : L'.IsLocalization W
X : C
f : StructuredArrow (L.obj X) L
\u22a2 (fun f => StructuredArrow.mk ((homEquiv W L' L) f.hom)) ((fun f => StructuredArrow.mk ((homEquiv W L L') f.hom)) f) = f
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/StructuredArrow.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
D' : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.202, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.206, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.210, u_3} D'
W : MorphismProperty C
L : C ⥤ D
L' : C ⥤ D'
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : L'.IsLocalization W
X Y : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
\u22a2 (fun f => StructuredArrow.mk ((homEquiv W L' L) f.hom)) ((fun f => StructuredArrow.mk ((homEquiv W L L') f.hom)) (StructuredArrow.mk f)) = StructuredArrow.mk f
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/StructuredArrow.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
D' : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.202, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.206, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.210, u_3} D'
W : MorphismProperty C
L : C ⥤ D
L' : C ⥤ D'
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : L'.IsLocalization W
X Y : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
\u22a2 StructuredArrow.mk ((homEquiv W L' L) ((homEquiv W L L') f)) = StructuredArrow.mk f
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/StructuredArrow.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
D' : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.202, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.206, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.210, u_3} D'
W : MorphismProperty C
L : C ⥤ D
L' : C ⥤ D'
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : L'.IsLocalization W
X : C
f : StructuredArrow (L'.obj X) L'
\u22a2 (fun f => StructuredArrow.mk ((homEquiv W L L') f.hom)) ((fun f => StructuredArrow.mk ((homEquiv W L' L) f.hom)) f) = f
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/StructuredArrow.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
D' : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.202, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.206, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.210, u_3} D'
W : MorphismProperty C
L : C ⥤ D
L' : C ⥤ D'
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : L'.IsLocalization W
X Y : C
f : L'.obj X ⟶ L'.obj Y
\u22a2 (fun f => StructuredArrow.mk ((homEquiv W L L') f.hom)) ((fun f => StructuredArrow.mk ((homEquiv W L' L) f.hom)) (StructuredArrow.mk f)) = StructuredArrow.mk f
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/StructuredArrow.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
D' : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.202, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.206, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.210, u_3} D'
W : MorphismProperty C
L : C ⥤ D
L' : C ⥤ D'
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : L'.IsLocalization W
X Y : C
f : L'.obj X ⟶ L'.obj Y
\u22a2 StructuredArrow.mk ((homEquiv W L L') ((homEquiv W L' L) f)) = StructuredArrow.mk f
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
\u22a2 I.den • ↑I = Submodule.map (Algebra.linearMap R P) I.num
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
\u22a2 ⟨Exists.choose ⋯, ⋯⟩ • ↑I = LinearMap.range (Algebra.linearMap R P) ⊓ I.den • ↑I
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
\u22a2 ⟨Exists.choose ⋯, ⋯⟩ • ↑I ≤ LinearMap.range (Algebra.linearMap R P)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
a : P
ha : a ∈ ↑↑I
\u22a2 (DistribMulAction.toLinearMap R P (S.subtype ⟨Exists.choose ⋯, ⋯⟩)) a ∈ LinearMap.range (Algebra.linearMap R P)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : P
I J : FractionalIdeal S P
\u22a2 (∀ {zI : P}, zI ∈ I → zI ∈ spanSingleton S x * J) ↔ ∀ zI ∈ I, ∃ zJ ∈ J, x * zJ = zI
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
\u22a2 ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f₂ s₂ ↔ DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s₂
\u22a2 DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ → (ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f₂ s₂ y) s₂ ↔ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R
p : n → n
H : ¬Bijective p
\u22a2 ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ x : n, M (σ x) (p x) * N (p x) x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix n n R
p : n → n
H : ¬Bijective p
i j : n
hpij : p i = p j
hij : i ≠ j
\u22a2 ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ x : n, M (σ x) (p x) * N (p x) x = 0
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
h : f (a⁻¹ * b) = 1
\u22a2 f a = f b
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
h : (f a)⁻¹ * f b = 1
\u22a2 f a = f b
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
h : (f a)⁻¹ * f b = 1
\u22a2 (f a)⁻¹ = (f b)⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b c x : α
u : αˣ
y : α
\u22a2 x = y /ₚ u ↔ x * ↑u = y
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
a : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0
\u22a2 (a.pred ha).castSucc < a
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
u : (Associates α)ˣ
\u22a2 ↑u = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
\u22a2 (-θ).sign = -θ.sign
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - x / c) = c • ∫ (x : ℝ) in d - b / c..d - a / c, f x
-- Mathlib/Topology/Order/ScottTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
s t : Set α
\u22a2 DirSupClosed sᶜ ↔ DirSupInacc s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H K : G.Subgraph
Hconn : H.Connected
Kconn : K.Connected
u v : V
uH : u ∈ H.verts
vK : v ∈ K.verts
huv : G.Adj u v
\u22a2 (⊤.induce {u, v} ⊔ H ⊔ K).Connected
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H K : G.Subgraph
Hconn : H.Connected
Kconn : K.Connected
u v : V
uH : u ∈ H.verts
vK : v ∈ K.verts
huv : G.Adj u v
\u22a2 (⊤.induce {u, v} ⊓ H).verts.Nonempty
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H K : G.Subgraph
Hconn : H.Connected
Kconn : K.Connected
u v : V
uH : u ∈ H.verts
vK : v ∈ K.verts
huv : G.Adj u v
\u22a2 ((⊤.induce {u, v} ⊔ H) ⊓ K).verts.Nonempty
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
\u22a2 Filter.map mk (𝓝 x) = 𝓝 (mk x)
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
p : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
x y : R
\u22a2 x - y ∈ pNilradical R p ↔ ∃ n, x ^ p ^ n = y ^ p ^ n
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/AsPolynomial.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
L : Type u
inst✝² : Field L
f : K →+* L
a : L
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Algebra S K[X]
p : S
\u22a2 eval f a ((algebraMap S (RatFunc K)) p) = Polynomial.eval₂ f a ((algebraMap S K[X]) p)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Fin/Lemmas.lean
n : Nat
α : Sort u_1
f : Fin n → α → α
x : α
\u22a2 foldl n (fun x i => f i.rev x) x = foldr n f x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K
x : K
\u22a2 ‖w.embedding x‖ = w x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K
x : K
\u22a2 ‖w.embedding x‖ = (mk w.embedding) x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/IncMatrix.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : Fintype (Sym2 α)
inst✝ : Semiring R
a b : α
e : Sym2 α
h : G.Adj a b
\u22a2 (incMatrix R G * (incMatrix R G)ᵀ) a b = 1
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DistribLattice α
x y z a b c : α
\u22a2 (a ⊔ b) ⊓ c = a ⊓ c ⊔ b ⊓ c
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/VectorSpace.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_inj : ker f = ⊥
B : Set V := Basis.ofVectorSpaceIndex K V
hB : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)) K V := Basis.ofVectorSpace K V
\u22a2 ∃ g, g ∘ₗ f = id
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/VectorSpace.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_inj : ker f = ⊥
B : Set V := Basis.ofVectorSpaceIndex K V
hB : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)) K V := Basis.ofVectorSpace K V
hB₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range ⇑hB }) K Subtype.val
\u22a2 ∃ g, g ∘ₗ f = id
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/VectorSpace.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_inj : ker f = ⊥
B : Set V := Basis.ofVectorSpaceIndex K V
hB : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)) K V := Basis.ofVectorSpace K V
hB₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range ⇑hB }) K Subtype.val
this : LinearIndependent K fun (x : ↑(⇑f '' B)) => ↑x
\u22a2 ∃ g, g ∘ₗ f = id
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/VectorSpace.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_inj : ker f = ⊥
B : Set V := Basis.ofVectorSpaceIndex K V
hB : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)) K V := Basis.ofVectorSpace K V
hB₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range ⇑hB }) K Subtype.val
this : LinearIndependent K fun (x : ↑(⇑f '' B)) => ↑x
C : Set V' := this.extend ⋯
\u22a2 ∃ g, g ∘ₗ f = id
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/VectorSpace.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_inj : ker f = ⊥
B : Set V := Basis.ofVectorSpaceIndex K V
hB : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)) K V := Basis.ofVectorSpace K V
hB₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range ⇑hB }) K Subtype.val
this : LinearIndependent K fun (x : ↑(⇑f '' B)) => ↑x
C : Set V' := this.extend ⋯
BC : ⇑f '' B ⊆ this.extend ⋯
\u22a2 ∃ g, g ∘ₗ f = id
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/VectorSpace.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_inj : ker f = ⊥
B : Set V := Basis.ofVectorSpaceIndex K V
hB : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)) K V := Basis.ofVectorSpace K V
hB₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range ⇑hB }) K Subtype.val
this : LinearIndependent K fun (x : ↑(⇑f '' B)) => ↑x
C : Set V' := this.extend ⋯
BC : ⇑f '' B ⊆ this.extend ⋯
hC : Basis (↑(this.extend ⋯)) K V' := Basis.extend this
Vinh : Inhabited V
\u22a2 ∃ g, g ∘ₗ f = id
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/VectorSpace.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_inj : ker f = ⊥
B : Set V := Basis.ofVectorSpaceIndex K V
hB : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)) K V := Basis.ofVectorSpace K V
hB₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range ⇑hB }) K Subtype.val
this : LinearIndependent K fun (x : ↑(⇑f '' B)) => ↑x
C : Set V' := this.extend ⋯
BC : ⇑f '' B ⊆ this.extend ⋯
hC : Basis (↑(this.extend ⋯)) K V' := Basis.extend this
Vinh : Inhabited V
b : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
\u22a2 ((hC.constr ℕ) (C.restrict (invFun ⇑f)) ∘ₗ f) (hB b) = id (hB b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/VectorSpace.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_inj : ker f = ⊥
B : Set V := Basis.ofVectorSpaceIndex K V
hB : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)) K V := Basis.ofVectorSpace K V
hB₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range ⇑hB }) K Subtype.val
this : LinearIndependent K fun (x : ↑(⇑f '' B)) => ↑x
C : Set V' := this.extend ⋯
BC : B ⊆ ⇑f ⁻¹' this.extend ⋯
hC : Basis (↑(this.extend ⋯)) K V' := Basis.extend this
Vinh : Inhabited V
b : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
\u22a2 ((hC.constr ℕ) (C.restrict (invFun ⇑f)) ∘ₗ f) (hB b) = id (hB b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/VectorSpace.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_inj : ker f = ⊥
B : Set V := Basis.ofVectorSpaceIndex K V
hB : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)) K V := Basis.ofVectorSpace K V
hB₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range ⇑hB }) K Subtype.val
this : LinearIndependent K fun (x : ↑(⇑f '' B)) => ↑x
C : Set V' := this.extend ⋯
BC : B ⊆ ⇑f ⁻¹' this.extend ⋯
hC : Basis (↑(this.extend ⋯)) K V' := Basis.extend this
Vinh : Inhabited V
b : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
fb_eq : f ↑b = hC ⟨f ↑b, ⋯⟩
\u22a2 ((hC.constr ℕ) (C.restrict (invFun ⇑f)) ∘ₗ f) (hB b) = id (hB b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/VectorSpace.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_inj : ker f = ⊥
B : Set V := Basis.ofVectorSpaceIndex K V
hB : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)) K V := Basis.ofVectorSpace K V
hB₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range ⇑hB }) K Subtype.val
this : LinearIndependent K fun (x : ↑(⇑f '' B)) => ↑x
C : Set V' := this.extend ⋯
BC : B ⊆ ⇑f ⁻¹' this.extend ⋯
hC : Basis (↑(this.extend ⋯)) K V' := Basis.extend this
Vinh : Inhabited V
b : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
fb_eq : f ↑b = hC ⟨f ↑b, ⋯⟩
\u22a2 ((hC.constr ℕ) (C.restrict (invFun ⇑f))) (f (hB b)) = hB b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/VectorSpace.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_inj : ker f = ⊥
B : Set V := Basis.ofVectorSpaceIndex K V
hB : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)) K V := Basis.ofVectorSpace K V
hB₀ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Set.range ⇑hB }) K Subtype.val
this : LinearIndependent K fun (x : ↑(⇑f '' B)) => ↑x
C : Set V' := this.extend ⋯
BC : B ⊆ ⇑f ⁻¹' this.extend ⋯
hC : Basis (↑(this.extend ⋯)) K V' := Basis.extend this
Vinh : Inhabited V
b : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
fb_eq : f ↑b = hC ⟨f ↑b, ⋯⟩
\u22a2 C.restrict (invFun ⇑f) ⟨f ↑b, ⋯⟩ = ↑b
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/SemiNormedGrp/Kernels.lean
X Y : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
\u22a2 f ≫ explicitCokernelπ f = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/SemiNormedGrp/Kernels.lean
X Y : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
e_1✝ : (X ⟶ explicitCokernel f) = ((parallelPair f 0).obj WalkingParallelPair.zero ⟶ ((Functor.const WalkingParallelPair).obj (cokernelCocone f).pt).obj WalkingParallelPair.one)
\u22a2 0 = (cokernelCocone f).ι.app WalkingParallelPair.zero
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Terminal.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
X : J
hX : IsInitial X
F : J ⥤ C
inst✝ : ∀ (i j : J) (f : i ⟶ j), IsIso (F.map f)
i j : J
f : i ⟶ j
\u22a2 F.map f ≫ inv (F.map (hX.to j)) = inv (F.map (hX.to i)) ≫ 𝟙 (F.obj X)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Embedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f
\u22a2 MeasurableSet (range f)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Embedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f
\u22a2 MeasurableSet (f '' univ)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
\u22a2 ball x δ / {y} = ball (x / y) δ
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q p : MvPolynomial σ R
\u22a2 p.support.Nonempty ↔ p ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Additive.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
I₀✝ : WithTop (Box ι)
I J✝ : Box ι
i✝ : ι
G : Type u
inst✝ : AddCommGroup G
I₀ : Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
f : ℝ → Box (Fin n) → G
fb : ↑(Set.Icc (I₀.lower i) (I₀.upper i)) → Fin n →ᵇᵃ[↑(I₀.face i)] G
hf : ∀ (x : ℝ) (hx : x ∈ Set.Icc (I₀.lower i) (I₀.upper i)) (J : Box (Fin n)), f x J = (fb ⟨x, hx⟩) J
J : Box (Fin (n + 1))
hJ : ↑J ≤ ↑I₀
j : Fin (n + 1)
x : ℝ
\u22a2 x ∈ Set.Ioo (J.lower j) (J.upper j) → Option.elim' 0 (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) (J.splitLower j x) + Option.elim' 0 (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) (J.splitUpper j x) = (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) J
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Additive.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
I₀✝ : WithTop (Box ι)
I J✝ : Box ι
i✝ : ι
G : Type u
inst✝ : AddCommGroup G
I₀ : Box (Fin (n + 1))
i : Fin (n + 1)
f : ℝ → Box (Fin n) → G
fb : ↑(Set.Icc (I₀.lower i) (I₀.upper i)) → Fin n →ᵇᵃ[↑(I₀.face i)] G
hf : ∀ (x : ℝ) (hx : x ∈ Set.Icc (I₀.lower i) (I₀.upper i)) (J : Box (Fin n)), f x J = (fb ⟨x, hx⟩) J
J : Box (Fin (n + 1))
hJ : J ≤ I₀
j : Fin (n + 1)
x : ℝ
\u22a2 x ∈ Set.Ioo (J.lower j) (J.upper j) → Option.elim' 0 (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) (J.splitLower j x) + Option.elim' 0 (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) (J.splitUpper j x) = (fun J => f (J.upper i) (J.face i) - f (J.lower i) (J.face i)) J
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
F : Filter α
G : Filter β
\u22a2 map f (F ⊓ comap f G) = map f F ⊓ G
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
F : Filter α
G : Filter β
\u22a2 map f (F ⊓ comap f G) ≤ map f F ⊓ G
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
F : Filter α
G : Filter β
\u22a2 map f F ⊓ G ≤ map f (F ⊓ comap f G)