ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁹ : Module R✝ A✝
inst✝⁸ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁷ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : Semifield R
inst✝⁵ : Semifield S
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
a✝ : A
f✝ : S → R
inst✝ : IsScalarTower R S A
h✝ : SpectrumRestricts a✝ f✝
a b : A
f : S → R
ha : SpectrumRestricts a f
h : spectrum S a = spectrum S b
\u22a2 Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (quasispectrum S a)
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : NonAssocRing R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
k : ℕ
h_pos : 0 < k
\u22a2 choose 0 k = 0
-- Mathlib/FieldTheory/ChevalleyWarning.lean
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁶ : Fintype K
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Fintype σ
inst✝³ : DecidableEq σ
inst✝² : DecidableEq K
p : ℕ
inst✝¹ : CharP K p
inst✝ : Fintype ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i : ι, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
\u22a2 p ∣ Fintype.card { x // ∀ (i : ι), (eval x) (f i) = 0 }
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/DegreeSum.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype (Sym2 V)
inst✝ : DecidableEq V
d d' : G.Dart
\u22a2 d' ∈ filter (fun d' => d'.edge = d.edge) univ ↔ d' ∈ {d, d.symm}
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Kernels.lean
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝³ : G.PreservesZeroMorphisms
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
w : f ≫ h = 0
inst✝² : HasCokernel f
inst✝¹ : HasCokernel (G.map f)
inst✝ : PreservesColimit (parallelPair f 0) G
\u22a2 (iso G f).inv = cokernelComparison f G
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Kernels.lean
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝³ : G.PreservesZeroMorphisms
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
w : f ≫ h = 0
inst✝² : HasCokernel f
inst✝¹ : HasCokernel (G.map f)
inst✝ : PreservesColimit (parallelPair f 0) G
\u22a2 cokernel.π (G.map f) ≫ (iso G f).inv = cokernel.π (G.map f) ≫ cokernelComparison f G
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDense.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
X : Type u_7
Y : Type u_8
α : Type u_9
inst✝¹⁰ : Zero α
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PseudoMetrizableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : BorelSpace α
f : X × Y → α
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
this : PseudoMetricSpace α := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric α
\u22a2 Measurable f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDense.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
X : Type u_7
Y : Type u_8
α : Type u_9
inst✝¹⁰ : Zero α
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PseudoMetrizableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : BorelSpace α
f : X × Y → α
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
this : PseudoMetricSpace α := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric α
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
\u22a2 Measurable f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDense.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
X : Type u_7
Y : Type u_8
α : Type u_9
inst✝¹⁰ : Zero α
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PseudoMetrizableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : BorelSpace α
f : X × Y → α
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
this✝ : PseudoMetricSpace α := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric α
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
this : ∀ (n : ℕ), ∃ g, ∀ (x : X × Y), dist (f x) (↑g x) < u n
\u22a2 Measurable f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDense.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
X : Type u_7
Y : Type u_8
α : Type u_9
inst✝¹⁰ : Zero α
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PseudoMetrizableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : BorelSpace α
f : X × Y → α
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
this : PseudoMetricSpace α := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric α
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
g : ℕ → SimpleFunc (X × Y) α
hg : ∀ (n : ℕ) (x : X × Y), dist (f x) (↑(g n) x) < u n
\u22a2 Measurable f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDense.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
X : Type u_7
Y : Type u_8
α : Type u_9
inst✝¹⁰ : Zero α
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PseudoMetrizableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : BorelSpace α
f : X × Y → α
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
this : PseudoMetricSpace α := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric α
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
g : ℕ → SimpleFunc (X × Y) α
hg : ∀ (n : ℕ) (x : X × Y), dist (f x) (↑(g n) x) < u n
A : ∀ (x : X × Y), Tendsto (fun n => ↑(g n) x) atTop (𝓝 (f x))
\u22a2 Measurable f
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ
\u22a2 Irrational (x * ↑q) ↔ q ≠ 0 ∧ Irrational x
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k✝ : ℕ
p q : ℕ → Prop
k x y : ℕ
h : x ≤ y / k
\u22a2 x * k ≤ y
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a✝ : α
b✝ : β
h₀✝ : ∀ (b : β), Monotone (swap f b)
h₁✝ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
h₀ : ∀ (b : β), Monotone (swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Monotone (f a)
a : α
ha : a ∈ lowerBounds s
b : β
hb : b ∈ lowerBounds t
\u22a2 BddBelow (image2 f s t)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H : G.Subgraph
h : H.Connected
\u22a2 (SimpleGraph.induce H.verts G).Connected
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H : G.Subgraph
h : H.Connected
\u22a2 (⊤.induce H.verts).Connected
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ g (⨍ (x : α), f x ∂μ) < ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ
this : ∀ {t : Set α}, μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s ∧ g (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ≤ ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ g (⨍ (x : α), f x ∂μ) < ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ
this : ∀ {t : Set α}, μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s ∧ g (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ≤ ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ
\u22a2 (∃ t, MeasurableSet t ∧ μ t ≠ 0 ∧ μ tᶜ ≠ 0 ∧ ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ) → g (⨍ (x : α), f x ∂μ) < ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ
this : ∀ {t : Set α}, μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s ∧ g (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ≤ ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ
t : Set α
hm : MeasurableSet t
h₀ : μ t ≠ 0
h₀' : μ tᶜ ≠ 0
hne : ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
\u22a2 g (⨍ (x : α), f x ∂μ) < ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ
this : ∀ {t : Set α}, μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s ∧ g (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ≤ ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ
t : Set α
hm : MeasurableSet t
h₀ : μ t ≠ 0
h₀' : μ tᶜ ≠ 0
hne : ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
h_avg : a • ⨍ (x : α) in t, (f x, (g ∘ f) x) ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, (f x, (g ∘ f) x) ∂μ = ⨍ (x : α), (f x, (g ∘ f) x) ∂μ
\u22a2 g (⨍ (x : α), f x ∂μ) < ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ
this : ∀ {t : Set α}, μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s ∧ g (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ≤ ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ
t : Set α
hm : MeasurableSet t
h₀ : μ t ≠ 0
h₀' : μ tᶜ ≠ 0
hne : ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
h_avg : a • ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ = ⨍ (x : α), f x ∂μ ∧ a • ⨍ (x : α) in t, (g ∘ f) x ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, (g ∘ f) x ∂μ = ⨍ (x : α), (g ∘ f) x ∂μ
\u22a2 g (⨍ (x : α), f x ∂μ) < ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ
this : ∀ {t : Set α}, μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s ∧ g (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ≤ ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ
t : Set α
hm : MeasurableSet t
h₀ : μ t ≠ 0
h₀' : μ tᶜ ≠ 0
hne : ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
h_avg : a • ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ = ⨍ (x : α), f x ∂μ ∧ a • ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, g (f x) ∂μ = ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
\u22a2 g (⨍ (x : α), f x ∂μ) < ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hg : StrictConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ
this : ∀ {t : Set α}, μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s ∧ g (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ) ≤ ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ
t : Set α
hm : MeasurableSet t
h₀ : μ t ≠ 0
h₀' : μ tᶜ ≠ 0
hne : ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
h_avg : a • ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ = ⨍ (x : α), f x ∂μ ∧ a • ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, g (f x) ∂μ = ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ
\u22a2 g (a • ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ) < a • ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ + b • ⨍ (x : α) in tᶜ, g (f x) ∂μ
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x y : EReal
\u22a2 (x * y).toReal = x.toReal * y.toReal
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
p : Nat.Primes
\u22a2 (↑p).factorMultiset = PrimeMultiset.ofPrime p
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
p : Nat.Primes
\u22a2 factorMultisetEquiv.symm (↑p).factorMultiset = factorMultisetEquiv.symm (PrimeMultiset.ofPrime p)
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
p : Nat.Primes
\u22a2 (↑p).factorMultiset.prod = (PrimeMultiset.ofPrime p).prod
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
\u22a2 (image.ι g.unop).op ≫ (imageUnopOp g).hom = factorThruImage g
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
\u22a2 (((((kernel.lift (cokernel.π g.unop) (cokernel.π (cokernel.π g.unop).op).unop ⋯ ≫ (Abelian.imageIsoImage g.unop).hom) ≫ image.ι g.unop).op ≫ (cokernelIsoOfEq ⋯).hom) ≫ cokernel.desc ((cokernelUnopOp g).hom ≫ kernel.ι g ≫ eqToHom ⋯) (cokernel.π (kernel.ι g ≫ eqToHom ⋯)) ⋯) ≫ cokernel.desc (kernel.ι g ≫ eqToHom ⋯) (inv (eqToHom ⋯) ≫ cokernel.π (kernel.ι g)) ⋯) ≫ cokernel.desc (kernel.ι g) (factorThruImage g) ⋯ = factorThruImage g
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
\u22a2 inv (eqToHom ⋯) ≫ factorThruImage g = factorThruImage g
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
\u22a2 inv (𝟙 A) ≫ factorThruImage g = factorThruImage g
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Pochhammer.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ
\u22a2 descPochhammer R (n + 1) = descPochhammer R n * (X - ↑n)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Pochhammer.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ
\u22a2 descPochhammer ℤ (n + 1) = descPochhammer ℤ n * (X - ↑n)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s A : Set α
t B : Set β
f : α → β
a✝ : α
hf : IsMulFreimanIso 2 s t f
hs : ThreeGPFree s
a : β
hfa : a ∈ t
b : β
hfb : b ∈ t
c : β
hfc : c ∈ t
habc : a * c = b * b
\u22a2 a = b
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s A : Set α
t B : Set β
f : α → β
a✝ : α
hf : IsMulFreimanIso 2 s t f
hs : ThreeGPFree s
b : β
hfb : b ∈ t
c : β
hfc : c ∈ t
a : α
ha : a ∈ s
hfa : f a ∈ t
habc : f a * c = b * b
\u22a2 f a = b
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s A : Set α
t B : Set β
f : α → β
a✝ : α
hf : IsMulFreimanIso 2 s t f
hs : ThreeGPFree s
c : β
hfc : c ∈ t
a : α
ha : a ∈ s
hfa : f a ∈ t
b : α
hb : b ∈ s
hfb : f b ∈ t
habc : f a * c = f b * f b
\u22a2 f a = f b
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s A : Set α
t B : Set β
f : α → β
a✝ : α
hf : IsMulFreimanIso 2 s t f
hs : ThreeGPFree s
a : α
ha : a ∈ s
hfa : f a ∈ t
b : α
hb : b ∈ s
hfb : f b ∈ t
c : α
hc : c ∈ s
hfc : f c ∈ t
habc : f a * f c = f b * f b
\u22a2 f a = f b
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hab : a ∣ b
h : b / a = 0
\u22a2 b = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/CommRing.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
\u22a2 (-p).degrees = p.degrees
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/CommRing.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
\u22a2 (p.support.sup fun s => toMultiset s) = p.degrees
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Linear.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
\u22a2 fderivWithin 𝕜 (⇑e) s x = e
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Linear.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
\u22a2 fderiv 𝕜 (⇑e) x = e
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
s : Set α
f : α → M
a : α
\u22a2 ∏ᶠ (_ : a ∈ s), f a = s.mulIndicator f a
-- Mathlib/Data/Multiset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f g : β → α
u₁ u₂ : α
s : Multiset β
a : β
b : Multiset β
h : fold op (op u₁ u₂) (map (fun x => op (f x) (g x)) b) = op (fold op u₁ (map f b)) (fold op u₂ (map g b))
\u22a2 fold op (op u₁ u₂) (map (fun x => op (f x) (g x)) (a ::ₘ b)) = op (fold op u₁ (map f (a ::ₘ b))) (fold op u₂ (map g (a ::ₘ b)))
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
\u22a2 image2 f s t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
\u22a2 ¬s.Nonempty ∨ ¬t.Nonempty ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁸ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁷ : Nontrivial R
inst✝¹⁶ : StarRing R
inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R
inst✝¹⁴ : MetricSpace R
inst✝¹³ : TopologicalSemiring R
inst✝¹² : ContinuousStar R
inst✝¹¹ : ∀ (α : Type ?u.1140245) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : NonUnitalRing A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarOrderedRing A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
h0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
\u22a2 0 ≤ cfcₙ f a ↔ ∀ x ∈ σₙ R a, 0 ≤ f x
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁸ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁷ : Nontrivial R
inst✝¹⁶ : StarRing R
inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R
inst✝¹⁴ : MetricSpace R
inst✝¹³ : TopologicalSemiring R
inst✝¹² : ContinuousStar R
inst✝¹¹ : ∀ (α : Type u_1) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : NonUnitalRing A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarOrderedRing A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
h0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
\u22a2 (∀ (x : ↑(σₙ R a)), 0 x ≤ { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ } x) ↔ ∀ x ∈ σₙ R a, 0 ≤ f x
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁸ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁷ : Nontrivial R
inst✝¹⁶ : StarRing R
inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R
inst✝¹⁴ : MetricSpace R
inst✝¹³ : TopologicalSemiring R
inst✝¹² : ContinuousStar R
inst✝¹¹ : ∀ (α : Type u_1) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : NonUnitalRing A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarOrderedRing A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
h0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
\u22a2 (∀ (a_1 : R) (b : a_1 ∈ σₙ R a), 0 ⟨a_1, b⟩ ≤ f a_1) ↔ ∀ x ∈ σₙ R a, 0 ≤ f x
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
f✝ : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
H : IsNormal f
a : Ordinal.{u_1}
\u22a2 f a = a ↔ ∃ o, deriv f o = a
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/FiniteLimits.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
h : ∀ (J : Type w) {𝒥 : SmallCategory J}, FinCategory J → HasLimitsOfShape J C
J : Type
hJ : SmallCategory J
hhJ : FinCategory J
this : HasLimitsOfShape (ULiftHom (ULift.{w, 0} J)) C
l : J ≌ ULiftHom (ULift.{?u.1062, 0} J)
\u22a2 HasLimitsOfShape J C
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
m p : Associates α
h0 : m ≠ 0
hp : Irreducible p
a✝ : Nontrivial α
\u22a2 p.count m.factors ≠ 0 → p ≤ m
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
m p : Associates α
h0 : m ≠ 0
hp : Irreducible p
a✝ : Nontrivial α
\u22a2 0 < p.count m.factors → p ≤ m