ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
\u22a2 (∑ p ∈ antidiagonal n, bernoulli' p.1 / ↑p.1! * ((↑p.2 + 1) * ↑p.2!)⁻¹) * ↑n ! = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
\u22a2 ∑ i ∈ antidiagonal n, bernoulli' i.1 / ↑i.1! * ((↑i.2 + 1) * ↑i.2!)⁻¹ * ↑n ! = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
\u22a2 ∑ i ∈ antidiagonal n, bernoulli' i.1 / ↑i.1! * ((↑i.2 + 1) * ↑i.2!)⁻¹ * ↑n ! = ∑ k ∈ antidiagonal n, ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli' k.1
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
\u22a2 ∀ x ∈ antidiagonal n, bernoulli' x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹ * ↑n ! = ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli' x.1
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
\u22a2 ∀ (x : ℕ × ℕ), x.1 + x.2 = n → bernoulli' x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹ * ↑n ! = ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli' x.1
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
i j : ℕ
\u22a2 bernoulli' (i, j).1 / ↑(i, j).1! * ((↑(i, j).2 + 1) * ↑(i, j).2!)⁻¹ * ↑((i, j).1 + (i, j).2)! = ↑(((i, j).1 + (i, j).2).choose (i, j).2) / (↑(i, j).2 + 1) * bernoulli' (i, j).1
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
i j : ℕ
this : i ! * j ! ∣ (i + j)!
\u22a2 bernoulli' (i, j).1 / ↑(i, j).1! * ((↑(i, j).2 + 1) * ↑(i, j).2!)⁻¹ * ↑((i, j).1 + (i, j).2)! = ↑(((i, j).1 + (i, j).2).choose (i, j).2) / (↑(i, j).2 + 1) * bernoulli' (i, j).1
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
i j : ℕ
this : i ! * j ! ∣ (i + j)!
\u22a2 ((↑j ! * (↑j + 1) = (↑j + 1) * ↑j ! ∨ i ! = 0) ∨ (i + j)! = 0) ∨ bernoulli' i = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
i j : ℕ
this : i ! * j ! ∣ (i + j)!
\u22a2 ((j ! * (j + 1) = (j + 1) * j ! ∨ i ! = 0) ∨ (i + j)! = 0) ∨ bernoulli' i = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R✝
n✝ : ℕ
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
R : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
μ : R
n : ℕ
inst✝¹ : Algebra K R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
h : Irreducible (cyclotomic n K)
inst✝ : NeZero ↑n
\u22a2 cyclotomic n K = minpoly K μ
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R✝
n✝ : ℕ
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
R : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
μ : R
n : ℕ
inst✝¹ : Algebra K R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
h : Irreducible (cyclotomic n K)
inst✝ : NeZero ↑n
this : NeZero ↑n
\u22a2 cyclotomic n K = minpoly K μ
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R✝
n✝ : ℕ
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
R : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
μ : R
n : ℕ
inst✝¹ : Algebra K R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
h : Irreducible (cyclotomic n K)
inst✝ : NeZero ↑n
this : NeZero ↑n
\u22a2 (aeval μ) (cyclotomic n K) = 0
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 a ∆ b = b ∆ a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
hf : range f = ⊤
p : Submodule R M
\u22a2 map f p = ⊤ ↔ p ⊔ ker f = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : OrderedAddCommGroup M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
v w : VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
h : v.restrict i ≤ w.restrict i
j : Set α
hj₁ : MeasurableSet j
\u22a2 ↑((-w).restrict i) j ≤ ↑((-v).restrict i) j
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : OrderedAddCommGroup M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
v w : VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
h : v.restrict i ≤ w.restrict i
j : Set α
hj₁ : MeasurableSet j
\u22a2 -↑w (j ∩ i) ≤ -↑v (j ∩ i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : OrderedAddCommGroup M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
v w : VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
h : v.restrict i ≤ w.restrict i
j : Set α
hj₁ : MeasurableSet j
\u22a2 ↑v (j ∩ i) ≤ ↑w (j ∩ i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : OrderedAddCommGroup M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
v w : VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
h : v.restrict i ≤ w.restrict i
j : Set α
hj₁ : MeasurableSet j
\u22a2 ↑(v.restrict i) j ≤ ↑(w.restrict i) j
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β → α
a : α
hf : ∀ (b : β), f a b = a
b : β
l : List β
\u22a2 foldl f a (b :: l) = a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
x✝ : E
\u22a2 x✝ ∈ a • closedBall b r ↔ x✝ ∈ closedBall (a • b) r
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Limits.lean
α : Type w
inst✝ : Finite α
X : α → Profinite
a : α
x y : (forget Profinite).obj (X a)
hxy : (ι X a) x = (ι X a) y
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Data/DFinsupp/WellFounded.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)
hr : WellFounded (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1)
x : Π₀ (i : ι), α i
\u22a2 Acc (DFinsupp.Lex r s) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Plus.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x✝ : Cᵒᵖ
\u22a2 colimMap (J.diagramNatTrans (𝟙 P) (unop x✝)) = (𝟙 { obj := fun X => colimit (J.diagram P (unop X)), map := fun {X Y} f => colimMap (J.diagramPullback P f.unop) ≫ colimit.pre (J.diagram P (unop Y)) (J.pullback f.unop).op, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).app x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Plus.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x✝ : Cᵒᵖ
\u22a2 colimMap (𝟙 (J.diagram P (unop x✝))) = 𝟙 ({ obj := fun X => colimit (J.diagram P (unop X)), map := fun {X Y} f => colimMap (J.diagramPullback P f.unop) ≫ colimit.pre (J.diagram P (unop Y)) (J.pullback f.unop).op, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj x✝)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
f : β → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
ha : a ≠ ⊤
\u22a2 (∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Ici ia, f x ∈ Icc (a - ib) (a + ib)) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, f n ∈ Icc (a - ε) (a + ε)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
f : β → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
ha : a ≠ ⊤
\u22a2 (∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, ∀ x ∈ Ici ia, f x ∈ Icc (a - ib) (a + ib)) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, f n ∈ Icc (a - ε) (a + ε)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
x : ℕ
\u22a2 x ≤ ⌊max 0 (↑x + 1)⌋₊
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Defs.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
hp : ↑p.den ≠ 0
hq : ↑q.den ≠ 0
\u22a2 ↑(p * q) = ↑p * ↑q
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Defs.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
hp : ↑p.den ≠ 0
hq : ↑q.den ≠ 0
\u22a2 ↑(p.num * q.num) / ↑(p.den * q.den) = ↑p.num * ↑q.num / (↑p.den * ↑q.den)
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Defs.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
hp : ↑p.den ≠ 0
hq : ↑q.den ≠ 0
\u22a2 ↑(p.den * q.den) ≠ 0
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a✝ : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
a : α
b : ↥(zpowers a)
\u22a2 ↑b ^ orderOf a = 1
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a✝ : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
a : α
b : ↥(zpowers a)
i : ℤ
hi : (fun x => a ^ x) i = ↑b
\u22a2 ↑b ^ orderOf a = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/GroupRingAction.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
R : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : MulSemiringAction M R
S : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : MulSemiringAction M S
m : M
f : S[X]
x r : S
\u22a2 eval (m • x) (m • C r) = m • eval x (C r)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/GroupRingAction.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
R : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : MulSemiringAction M R
S : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : MulSemiringAction M S
m : M
f✝ : S[X]
x : S
f g : S[X]
ihf : eval (m • x) (m • f) = m • eval x f
ihg : eval (m • x) (m • g) = m • eval x g
\u22a2 eval (m • x) (m • (f + g)) = m • eval x (f + g)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/GroupRingAction.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
R : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : MulSemiringAction M R
S : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : MulSemiringAction M S
m : M
f : S[X]
x : S
n : ℕ
r : S
x✝ : eval (m • x) (m • (C r * X ^ n)) = m • eval x (C r * X ^ n)
\u22a2 eval (m • x) (m • (C r * X ^ (n + 1))) = m • eval x (C r * X ^ (n + 1))
-- Mathlib/Probability/Independence/Basic.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f' : Ω → β
g' : Ω → β'
hfg : IndepFun f g μ
hf : f =ᶠ[ae μ] f'
hg : g =ᶠ[ae μ] g'
\u22a2 IndepFun f' g' μ
-- Mathlib/Probability/Independence/Basic.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f' : Ω → β
g' : Ω → β'
hfg : IndepFun f g μ
hf : f =ᶠ[ae μ] f'
hg : g =ᶠ[ae μ] g'
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] f'
-- Mathlib/Probability/Independence/Basic.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f' : Ω → β
g' : Ω → β'
hfg : IndepFun f g μ
hf : f =ᶠ[ae μ] f'
hg : g =ᶠ[ae μ] g'
\u22a2 g =ᶠ[ae μ] g'
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B✝ B' I✝ J D X : Set α
e f : α
M : Matroid α
I B : Set α
hI : M.Indep I
hInotmax : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}
hB : B ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}
\u22a2 ∃ x ∈ B \ I, M.Indep (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B✝ B' I✝ J D X : Set α
e f : α
M : Matroid α
I B : Set α
hI : M.Indep I
hB : M.Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, M.Indep y → B ⊆ y → B = y
hInotmax : ∃ x, M.Indep x ∧ I ⊆ x ∧ ¬I = x
\u22a2 ∃ x ∈ B \ I, M.Indep (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B✝ B' I✝ J D X : Set α
e f : α
M : Matroid α
I B : Set α
hI : M.Indep I
hB : M.Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, M.Indep y → B ⊆ y → B = y
hInotmax : ∃ x, M.Indep x ∧ I ⊆ x ∧ ¬I = x
hIb : M.Base I
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B✝ B' I✝ J D X : Set α
e f : α
M : Matroid α
I B : Set α
hI : M.Indep I
hB : M.Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, M.Indep y → B ⊆ y → B = y
hInotmax : ∃ x, M.Indep x ∧ I ⊆ x ∧ ¬I = x
\u22a2 M.Base B
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
\u22a2 (map R' f) (p • q) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) q
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
\u22a2 (map R' f) (p • 0) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
\u22a2 ∀ (f_1 g : PolynomialModule R M), (map R' f) (p • f_1) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) f_1 → (map R' f) (p • g) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) g → (map R' f) (p • (f_1 + g)) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) (f_1 + g)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
\u22a2 ∀ (a : ℕ) (b : M), (map R' f) (p • (single R a) b) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) ((single R a) b)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
i : ℕ
m : M
\u22a2 (map R' f) (p • (single R i) m) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) ((single R i) m)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
q : PolynomialModule R M
i : ℕ
m : M
p✝ q✝ : R[X]
e₁ : (map R' f) (p✝ • (single R i) m) = Polynomial.map (algebraMap R R') p✝ • (map R' f) ((single R i) m)
e₂ : (map R' f) (q✝ • (single R i) m) = Polynomial.map (algebraMap R R') q✝ • (map R' f) ((single R i) m)
\u22a2 (map R' f) ((p✝ + q✝) • (single R i) m) = Polynomial.map (algebraMap R R') (p✝ + q✝) • (map R' f) ((single R i) m)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
q : PolynomialModule R M
i : ℕ
m : M
n✝ : ℕ
a✝ : R
\u22a2 (map R' f) ((monomial n✝) a✝ • (single R i) m) = Polynomial.map (algebraMap R R') ((monomial n✝) a✝) • (map R' f) ((single R i) m)
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∉ s
\u22a2 (insert a s).card = s.card + 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s : ℂ
\u22a2 (fun z => (Gamma z)⁻¹ * (Gamma (z + 1 / 2))⁻¹) = fun z => (Gamma (2 * z))⁻¹ * 2 ^ (2 * z - 1) / ↑√π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s : ℂ
h1 : AnalyticOn ℂ (fun z => (Gamma z)⁻¹ * (Gamma (z + 1 / 2))⁻¹) univ
\u22a2 (fun z => (Gamma z)⁻¹ * (Gamma (z + 1 / 2))⁻¹) = fun z => (Gamma (2 * z))⁻¹ * 2 ^ (2 * z - 1) / ↑√π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s : ℂ
h1 : AnalyticOn ℂ (fun z => (Gamma z)⁻¹ * (Gamma (z + 1 / 2))⁻¹) univ
h2 : AnalyticOn ℂ (fun z => (Gamma (2 * z))⁻¹ * 2 ^ (2 * z - 1) / ↑√π) univ
h3 : Tendsto ofReal' (𝓝[≠] 1) (𝓝[≠] 1)
\u22a2 (fun z => (Gamma z)⁻¹ * (Gamma (z + 1 / 2))⁻¹) = fun z => (Gamma (2 * z))⁻¹ * 2 ^ (2 * z - 1) / ↑√π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s : ℂ
h1 : AnalyticOn ℂ (fun z => (Gamma z)⁻¹ * (Gamma (z + 1 / 2))⁻¹) univ
h2 : AnalyticOn ℂ (fun z => (Gamma (2 * z))⁻¹ * 2 ^ (2 * z - 1) / ↑√π) univ
h3 : Tendsto ofReal' (𝓝[≠] 1) (𝓝[≠] 1)
\u22a2 ∃ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[≠] 1, (Gamma ↑x)⁻¹ * (Gamma (↑x + 1 / 2))⁻¹ = (Gamma (2 * ↑x))⁻¹ * 2 ^ (2 * ↑x - 1) / ↑√π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s : ℂ
h1 : AnalyticOn ℂ (fun z => (Gamma z)⁻¹ * (Gamma (z + 1 / 2))⁻¹) univ
h2 : AnalyticOn ℂ (fun z => (Gamma (2 * z))⁻¹ * 2 ^ (2 * z - 1) / ↑√π) univ
h3 : Tendsto ofReal' (𝓝[≠] 1) (𝓝[≠] 1)
\u22a2 ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 1, (Gamma ↑x)⁻¹ * (Gamma (↑x + 1 / 2))⁻¹ = (Gamma (2 * ↑x))⁻¹ * 2 ^ (2 * ↑x - 1) / ↑√π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s : ℂ
h1 : AnalyticOn ℂ (fun z => (Gamma z)⁻¹ * (Gamma (z + 1 / 2))⁻¹) univ
h2 : AnalyticOn ℂ (fun z => (Gamma (2 * z))⁻¹ * 2 ^ (2 * z - 1) / ↑√π) univ
h3 : Tendsto ofReal' (𝓝[≠] 1) (𝓝[≠] 1)
t : ℝ
ht : 0 < t
\u22a2 (Gamma ↑t)⁻¹ * (Gamma (↑t + 1 / 2))⁻¹ = (Gamma (2 * ↑t))⁻¹ * 2 ^ (2 * ↑t - 1) / ↑√π
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Translations.lean
α : Type u_1
g : GenContFract α
n : ℕ
\u22a2 g.TerminatedAt n ↔ g.s.TerminatedAt n
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Ring/Finset.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedCommSemiring R
inst✝¹ : ExistsAddOfLE R
s : Finset ι
f g : ι → R
inst✝ : Nontrivial R
\u22a2 (∑ i ∈ s, f i * g i) ^ 2 ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ 2) * ∑ i ∈ s, g i ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Ring/Finset.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedCommSemiring R
inst✝¹ : ExistsAddOfLE R
s : Finset ι
f g : ι → R
inst✝ : Nontrivial R
h' : 0 = ∑ i ∈ ?m.33436, g (?m.34208 i) ^ 2
\u22a2 (∑ i ∈ s, f i * g i) ^ 2 ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ 2) * ∑ i ∈ s, g i ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Ring/Finset.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedCommSemiring R
inst✝¹ : ExistsAddOfLE R
s : Finset ι
f g : ι → R
inst✝ : Nontrivial R
h' : 0 < ∑ i ∈ ?m.33436, g (?m.34208 i) ^ 2
\u22a2 (∑ i ∈ s, f i * g i) ^ 2 ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ 2) * ∑ i ∈ s, g i ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Ring/Finset.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedCommSemiring R
inst✝¹ : ExistsAddOfLE R
s : Finset ι
f g : ι → R
inst✝ : Nontrivial R
h' : 0 < ∑ i ∈ s, g i ^ 2
\u22a2 (∑ i ∈ s, f i * g i) ^ 2 ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ 2) * ∑ i ∈ s, g i ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Ring/Finset.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedCommSemiring R
inst✝¹ : ExistsAddOfLE R
s : Finset ι
f g : ι → R
inst✝ : Nontrivial R
h' : 0 < ∑ i ∈ s, g i ^ 2
\u22a2 (∑ i ∈ s, g i ^ 2) * (∑ j ∈ s, f j * g j) ^ 2 + (∑ i ∈ s, g i ^ 2) * (∑ i ∈ s, f i * g i) ^ 2 ≤ (∑ i ∈ s, g i ^ 2) * (∑ j ∈ s, f j * g j) ^ 2 + (∑ i ∈ s, g i ^ 2) * ((∑ i ∈ s, f i ^ 2) * ∑ i ∈ s, g i ^ 2)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/AlternatingFaceMapComplex.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
\u22a2 ((AlternatingFaceMapComplex.obj (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.obj P)).d (n + 1) n).f = P.p.app (op [n + 1]) ≫ (AlternatingFaceMapComplex.obj P.X).d (n + 1) n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/AlternatingFaceMapComplex.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
P : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
\u22a2 ∑ x : Fin (n + 2), (-1) ^ ↑x • (SimplicialObject.δ (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.obj P) x).f = ∑ x : Fin (n + 2), (-1) ^ ↑x • P.p.app (op [n + 1]) ≫ P.X.δ x
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
t₃ : TopologicalSpace β
h₁ : t₂ ≤ t₁
h₂ : Continuous f
\u22a2 Continuous f
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
t₃ : TopologicalSpace β
h₁ : t₂ ≤ t₁
h₂ : t₁ ≤ induced f t₃
\u22a2 t₂ ≤ induced f t₃
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
hB : M.Base B
hBX : B ⊆ X
\u22a2 M.Basis B X
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
hB : M.Base B
hBX : B ⊆ X
\u22a2 ∀ (J : Set α), M.Indep J → B ⊆ J → J ⊆ X → B = J
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/DualLattice.lean
R : Type u_3
S : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
hB : B.Nondegenerate
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
N : Submodule R M
hN : Submodule.span S ↑N = ⊤
x y : ↥(B.dualSubmodule N)
e : (B.dualSubmoduleToDual N) x = (B.dualSubmoduleToDual N) y
\u22a2 ↑x = ↑y
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/DualLattice.lean
R : Type u_3
S : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
hB : B.Nondegenerate
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
N : Submodule R M
hN : Submodule.span S ↑N = ⊤
x y : ↥(B.dualSubmodule N)
e : (B.dualSubmoduleToDual N) x = (B.dualSubmoduleToDual N) y
\u22a2 B ↑x = B ↑y
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/DualLattice.lean
R : Type u_3
S : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
hB : B.Nondegenerate
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
N : Submodule R M
hN : Submodule.span S ↑N = ⊤
x y : ↥(B.dualSubmodule N)
e : (B.dualSubmoduleToDual N) x = (B.dualSubmoduleToDual N) y
\u22a2 Set.EqOn ⇑(B ↑x) ⇑(B ↑y) ↑N
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/DualLattice.lean
R : Type u_3
S : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Field S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
hB : B.Nondegenerate
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
N : Submodule R M
hN : Submodule.span S ↑N = ⊤
x y : ↥(B.dualSubmodule N)
e : (B.dualSubmoduleToDual N) x = (B.dualSubmoduleToDual N) y
z : M
hz : z ∈ ↑N
\u22a2 (B ↑x) z = (B ↑y) z
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n m : ℕ
hpos : 0 < n
hm : m ∣ n
hdiff : m ≠ n
\u22a2 X ^ m - 1 ∣ ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R