ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
\u22a2 IsPiSystem (⋃ a, {Ioi ↑a})
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
\u22a2 ⋃ a, {Ioi ↑a} = Ioi '' (Rat.cast '' univ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
x : Set ℝ
\u22a2 x ∈ ⋃ a, {Ioi ↑a} ↔ x ∈ Ioi '' (Rat.cast '' univ)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : 0 < a
\u22a2 AntitoneOn (fun x => x⁻¹) (Set.Icc a b)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : 0 < a
x✝ : α
\u22a2 x✝ = x✝ - 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t✝ t : Set ((i : ι) → α i)
\u22a2 t ∈ measurableCylinders α ↔ ∃ s S, MeasurableSet S ∧ t = cylinder s S
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.94604, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.94611, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.94618, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.94670, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ'✝ ℱ ℱ' : Sheaf K A
i : G.op ⋙ ℱ.val ≅ G.op ⋙ ℱ'.val
this : ∀ (X : Dᵒᵖ), IsIso ((sheafHom i.hom).app X)
\u22a2 ℱ.val ≅ ℱ'.val
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.94604, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.94611, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.94618, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.94670, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ'✝ ℱ ℱ' : Sheaf K A
i : G.op ⋙ ℱ.val ≅ G.op ⋙ ℱ'.val
this✝ : ∀ (X : Dᵒᵖ), IsIso ((sheafHom i.hom).app X)
this : IsIso (sheafHom i.hom)
\u22a2 ℱ.val ≅ ℱ'.val
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
x✝ : Finmap β
\u22a2 (keysLookupEquiv.symm (keysLookupEquiv x✝)).keys = (↑(keysLookupEquiv x✝)).1
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ρ.snd s = ρ (Prod.snd ⁻¹' s)
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝⁵ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝⁴ : IsCofilteredOrEmpty J
inst✝³ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
inst✝² : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
Fsur : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective (F.map f)
inst✝¹ : Nonempty J
inst✝ : Finite ↑F.sections
this✝ : (j : J) → Fintype (F.obj j)
this : Fintype ↑F.sections
\u22a2 ∃ j, ∀ (i : J) (f : i ⟶ j), Function.Injective (F.map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝⁵ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝⁴ : IsCofilteredOrEmpty J
inst✝³ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
inst✝² : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
Fsur : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective (F.map f)
inst✝¹ : Nonempty J
inst✝ : Finite ↑F.sections
this✝ : (j : J) → Fintype (F.obj j)
this : Fintype ↑F.sections
card_le : ∀ (j : J), Fintype.card (F.obj j) ≤ Fintype.card ↑F.sections
\u22a2 ∃ j, ∀ (i : J) (f : i ⟶ j), Function.Injective (F.map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝⁵ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝⁴ : IsCofilteredOrEmpty J
inst✝³ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
inst✝² : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
Fsur : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective (F.map f)
inst✝¹ : Nonempty J
inst✝ : Finite ↑F.sections
this✝ : (j : J) → Fintype (F.obj j)
this : Fintype ↑F.sections
card_le : ∀ (j : J), Fintype.card (F.obj j) ≤ Fintype.card ↑F.sections
fn : J → ℕ := fun j => Fintype.card ↑F.sections - Fintype.card (F.obj j)
\u22a2 ∃ j, ∀ (i : J) (f : i ⟶ j), Function.Injective (F.map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝⁵ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j k : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝⁴ : IsCofilteredOrEmpty J
inst✝³ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
inst✝² : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
Fsur : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective (F.map f)
inst✝¹ : Nonempty J
inst✝ : Finite ↑F.sections
this✝ : (j : J) → Fintype (F.obj j)
this : Fintype ↑F.sections
card_le : ∀ (j : J), Fintype.card (F.obj j) ≤ Fintype.card ↑F.sections
fn : J → ℕ := fun j => Fintype.card ↑F.sections - Fintype.card (F.obj j)
i : J
f : i ⟶ Function.argmin fn ⋯
\u22a2 Fintype.card (F.obj i) ≤ Fintype.card (F.obj (Function.argmin fn ⋯))
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝⁵ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j k : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝⁴ : IsCofilteredOrEmpty J
inst✝³ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
inst✝² : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
Fsur : ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j), Function.Surjective (F.map f)
inst✝¹ : Nonempty J
inst✝ : Finite ↑F.sections
this✝ : (j : J) → Fintype (F.obj j)
this : Fintype ↑F.sections
card_le : ∀ (j : J), Fintype.card (F.obj j) ≤ Fintype.card ↑F.sections
fn : J → ℕ := fun j => Fintype.card ↑F.sections - Fintype.card (F.obj j)
i : J
f : i ⟶ Function.argmin fn ⋯
\u22a2 Fintype.card ↑F.sections - Fintype.card (F.obj (Function.argmin fn ⋯)) ≤ Fintype.card ↑F.sections - Fintype.card (F.obj i)
-- Mathlib/CategoryTheory/Whiskering.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
X✝ Y✝ : C ⥤ D
τ : X✝ ⟶ Y✝
H : D ⥤ E
X Y : C
f : X ⟶ Y
\u22a2 H.map (X✝.map f) ≫ H.map (τ.app Y) = H.map (τ.app X) ≫ H.map (Y✝.map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Whiskering.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
X✝ Y✝ : C ⥤ D
τ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : D ⥤ E
f : X ⟶ Y
x✝ : C
\u22a2 f.app (X✝.obj x✝) ≫ Y.map (τ.app x✝) = X.map (τ.app x✝) ≫ f.app (Y✝.obj x✝)
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
hf : ∀ (x y : X), (x ~ᵢ y) → f x = f y
\u22a2 Continuous (lift f hf) ↔ Continuous f
-- Mathlib/Dynamics/Flow.lean
τ : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup τ
inst✝² : TopologicalSpace τ
inst✝¹ : TopologicalAddGroup τ
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
ϕ : Flow τ α
t : τ
\u22a2 Continuous (ϕ.toFun t)
-- Mathlib/Dynamics/Flow.lean
τ : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup τ
inst✝² : TopologicalSpace τ
inst✝¹ : TopologicalAddGroup τ
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
ϕ : Flow τ α
t : τ
\u22a2 Continuous (Function.curry (uncurry ϕ.toFun) t)
-- Mathlib/Dynamics/Flow.lean
τ : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup τ
inst✝² : TopologicalSpace τ
inst✝¹ : TopologicalAddGroup τ
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
ϕ : Flow τ α
t : τ
\u22a2 Continuous (uncurry ϕ.toFun)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y Y' : ModuleCat S
g : Y ⟶ Y'
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2✝ : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
m2 : Module R ↑Y' := Module.compHom (↑Y') f
\u22a2 (restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ (fun x => Counit.map f) Y' = (fun x => Counit.map f) Y ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y Y' : ModuleCat S
g : Y ⟶ Y'
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2✝ : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
m2 : Module R ↑Y' := Module.compHom (↑Y') f
\u22a2 ∀ (x : ↑((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).obj Y)), ((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ (fun x => Counit.map f) Y') x = ((fun x => Counit.map f) Y ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g) x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y Y' : ModuleCat S
g : Y ⟶ Y'
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2✝ : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
m2 : Module R ↑Y' := Module.compHom (↑Y') f
z : ↑((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).obj Y)
\u22a2 ((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ (fun x => Counit.map f) Y') z = ((fun x => Counit.map f) Y ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g) z
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y Y' : ModuleCat S
g : Y ⟶ Y'
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2✝ : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
m2 : Module R ↑Y' := Module.compHom (↑Y') f
\u22a2 ((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ (fun x => Counit.map f) Y') 0 = ((fun x => Counit.map f) Y ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g) 0
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y Y' : ModuleCat S
g : Y ⟶ Y'
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2✝ : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
m2 : Module R ↑Y' := Module.compHom (↑Y') f
s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))
y : ↑((restrictScalars f).obj Y)
\u22a2 ((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ (fun x => Counit.map f) Y') (s' ⊗ₜ[R] y) = ((fun x => Counit.map f) Y ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g) (s' ⊗ₜ[R] y)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
Y Y' : ModuleCat S
g : Y ⟶ Y'
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2✝ : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
m2 : Module R ↑Y' := Module.compHom (↑Y') f
z₁ z₂ : ↑((restrictScalars f).obj (mk S)) ⊗[R] ↑((restrictScalars f).obj Y)
ih₁ : ((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ (fun x => Counit.map f) Y') z₁ = ((fun x => Counit.map f) Y ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g) z₁
ih₂ : ((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ (fun x => Counit.map f) Y') z₂ = ((fun x => Counit.map f) Y ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g) z₂
\u22a2 ((restrictScalars f ⋙ extendScalars f).map g ≫ (fun x => Counit.map f) Y') (z₁ + z₂) = ((fun x => Counit.map f) Y ≫ (𝟭 (ModuleCat S)).map g) (z₁ + z₂)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
s : String
p : Pos
h : Pos.Valid s p
h₂ : p < s.endPos
\u22a2 Pos.Valid s (s.next p)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/WithBotTop.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
\u22a2 some '' Ioo a b = Ioo ↑a ↑b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace α
a : α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
inst✝ : Decidable (a ∈ s)
\u22a2 ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂dirac a = if a ∈ s then f a else 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace α
a : α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
inst✝ : Decidable (a ∈ s)
\u22a2 (∫⁻ (x : α), f x ∂if a ∈ s then dirac a else 0) = if a ∈ s then f a else 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
c a : ℝ
ha : 0 < a
\u22a2 IntegrableOn (fun x => f (x * a)) (Ioi c) volume ↔ IntegrableOn f (Ioi (c * a)) volume
-- Mathlib/Init/Order/LinearOrder.lean
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
\u22a2 b ≤ max a b
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : a * (b / c) ≤ d
hc : 0 < c
\u22a2 b * a ≤ d * c
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : a * b / c ≤ d
hc : 0 < c
\u22a2 b * a ≤ d * c
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁹ : Module R✝ A✝
inst✝⁸ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁷ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : Semifield R
inst✝⁵ : Semifield S
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
a : A
f : S → R
inst✝ : IsScalarTower R S A
h : SpectrumRestricts a f
\u22a2 ⇑(algebraMap R S) '' spectrum R a = spectrum S a
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁹ : Module R✝ A✝
inst✝⁸ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁷ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : Semifield R
inst✝⁵ : Semifield S
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
a : A
f : S → R
inst✝ : IsScalarTower R S A
h : SpectrumRestricts a f
\u22a2 ⇑(algebraMap R S) '' spectrum R a ⊆ spectrum S a
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁹ : Module R✝ A✝
inst✝⁸ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁷ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : Semifield R
inst✝⁵ : Semifield S
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
a : A
f : S → R
inst✝ : IsScalarTower R S A
h : SpectrumRestricts a f
s : S
hs : s ∈ spectrum S a
\u22a2 f s ∈ spectrum R a ∧ (algebraMap R S) (f s) = s
-- Mathlib/Order/Bounded.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
\u22a2 Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a < b}) ↔ Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
-- Mathlib/Order/Bounded.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a x✝ : α
\u22a2 a < x✝ ↔ ¬x✝ ≤ a
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Group M
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
c : Con M
w x y z : M
h1 : c w x
h2 : c y z
\u22a2 c (w / y) (x / z)
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set (Set α)
\u22a2 ⋃₀ s = ⋃ i, ↑i
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ
hp : 0 ≤ p
f : α → F
c : ℝ≥0∞
\u22a2 eLpNorm' f p (c • μ) = c ^ (1 / p) * eLpNorm' f p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ
hp : 0 ≤ p
f : α → F
c : ℝ≥0∞
\u22a2 0 ≤ 1 / p
-- Mathlib/Algebra/Group/Support.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝³ : One M
inst✝² : One N
inst✝¹ : One P
inst✝ : DecidableEq α
f : α → M
x : α
y : M
hy : y ≠ 1
a : α
\u22a2 a ∈ mulSupport (update f x y) ↔ a ∈ insert x (mulSupport f)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/RuzsaCovering.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommGroup α
s t : Finset α
ht : (↑t).Nonempty
\u22a2 ∃ u, Nat.card ↑u * Nat.card ↑↑t ≤ Nat.card ↑(↑s * ↑t) ∧ ↑s ⊆ u * ↑t / ↑t ∧ u.Finite
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : CommGroup α
v : Vector α n
i : Fin n
a : α
\u22a2 (v.set i a).toList.prod = v.toList.prod * (v.get i)⁻¹ * a
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : CommGroup α
v : Vector α n
i : Fin n
a : α
\u22a2 (v.toList.prod * if hn : ↑i < v.toList.length then (v.toList.get ⟨↑i, hn⟩)⁻¹ * a else 1) = v.toList.prod * (v.get i)⁻¹ * a
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Currying.lean
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
F : C × D ⥤ E
fst✝² : C
snd✝² : D
fst✝¹ : C
snd✝¹ : D
fst✝ : (fst✝², snd✝²).1 ⟶ (fst✝¹, snd✝¹).1
snd✝ : (fst✝², snd✝²).2 ⟶ (fst✝¹, snd✝¹).2
\u22a2 (F.map (fst✝, 𝟙 snd✝²) ≫ F.map (𝟙 fst✝¹, snd✝)) ≫ 𝟙 (F.obj (fst✝¹, snd✝¹)) = 𝟙 (F.obj (fst✝², snd✝²)) ≫ F.map (fst✝, snd✝)
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Currying.lean
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
F : C × D ⥤ E
fst✝² : C
snd✝² : D
fst✝¹ : C
snd✝¹ : D
fst✝ : (fst✝², snd✝²).1 ⟶ (fst✝¹, snd✝¹).1
snd✝ : (fst✝², snd✝²).2 ⟶ (fst✝¹, snd✝¹).2
\u22a2 F.map ((fst✝, 𝟙 snd✝²) ≫ (𝟙 fst✝¹, snd✝)) ≫ 𝟙 (F.obj (fst✝¹, snd✝¹)) = 𝟙 (F.obj (fst✝², snd✝²)) ≫ F.map (fst✝, snd✝)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
h : ↑f =ᶠ[ae μ] ↑g
\u22a2 setToSimpleFunc T f = setToSimpleFunc T g
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
h : ↑f =ᶠ[ae μ] ↑g
\u22a2 Pairwise fun x y => T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
h : ↑f =ᶠ[ae μ] ↑g
x y : E
hxy : x ≠ y
\u22a2 μ (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
h : μ {a | ¬↑f a = ↑g a} = 0
x y : E
hxy : x ≠ y
\u22a2 μ (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
h : μ {a | ¬↑f a = ↑g a} = 0
x y : E
hxy : x ≠ y
z : α
\u22a2 z ∈ ↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y} → z ∈ {a | ¬↑f a = ↑g a}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
h : μ {a | ¬↑f a = ↑g a} = 0
x y : E
hxy : x ≠ y
z : α
\u22a2 ↑f z = x ∧ ↑g z = y → ¬↑f z = ↑g z
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
h✝ : μ {a | ¬↑f a = ↑g a} = 0
x y : E
hxy : x ≠ y
z : α
h : ↑f z = x ∧ ↑g z = y
\u22a2 ¬↑f z = ↑g z
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
a : α
\u22a2 p a ≤ 1
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
a b : α
\u22a2 (if b = a then p a else 0) ≤ p b
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'
x : S
s : Finset S'
hx : (algebraMap S S') x ∈ Algebra.adjoin R ↑s
\u22a2 ∃ m, m • x ∈ Algebra.adjoin R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'
x : S
s : Finset S'
hx : (algebraMap S S') x ∈ Algebra.adjoin R ↑s
a : R
ha : a ∈ ↑M
e : ⟨(algebraMap R S) a, ⋯⟩ • x ∈ Algebra.adjoin R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
\u22a2 ∃ m, m • x ∈ Algebra.adjoin R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'
x : S
s : Finset S'
hx : (algebraMap S S') x ∈ Algebra.adjoin R ↑s
a : R
ha : a ∈ ↑M
e : ⟨(algebraMap R S) a, ⋯⟩ • x ∈ Algebra.adjoin R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
\u22a2 ⟨a, ha⟩ • x ∈ Algebra.adjoin R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
-- Mathlib/Data/Array/ExtractLemmas.lean
α : Type u
i✝ : Nat
a b : Array α
i j : Nat
h : a.size ≤ i
\u22a2 (a ++ b).extract i j = b.extract (i - a.size) (j - a.size)