ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RespectsIso P
R S R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
f : R →+* S
r : R
inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'
inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'
e₁ : R' ≃+* Localization.Away r := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers r) R' (Localization.Away r)).toRingEquiv
e₂ : Localization.Away (f r) ≃+* S' := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers (f r)) (Localization.Away (f r)) S').toRingEquiv
\u22a2 P (CommRingCat.ofHom (e₁.toCommRingCatIso.hom ≫ CommRingCat.ofHom (IsLocalization.map (Localization.Away (f r)) f ⋯)) ≫ e₂.toCommRingCatIso.hom) = P (IsLocalization.Away.map R' S' f r)
-- Mathlib/RingTheory/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RespectsIso P
R S R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
f : R →+* S
r : R
inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'
inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'
e₁ : R' ≃+* Localization.Away r := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers r) R' (Localization.Away r)).toRingEquiv
e₂ : Localization.Away (f r) ≃+* S' := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers (f r)) (Localization.Away (f r)) S').toRingEquiv
\u22a2 CommRingCat.ofHom (e₁.toCommRingCatIso.hom ≫ CommRingCat.ofHom (IsLocalization.map (Localization.Away (f r)) f ⋯)) ≫ e₂.toCommRingCatIso.hom = IsLocalization.Away.map R' S' f r
-- Mathlib/RingTheory/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RespectsIso P
R S R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
f : R →+* S
r : R
inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'
inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'
e₁ : R' ≃+* Localization.Away r := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers r) R' (Localization.Away r)).toRingEquiv
e₂ : Localization.Away (f r) ≃+* S' := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers (f r)) (Localization.Away (f r)) S').toRingEquiv
e : R' →+* S' := (↑e₂).comp ((IsLocalization.map (Localization.Away (f r)) f ⋯).comp ↑e₁)
\u22a2 CommRingCat.ofHom (e₁.toCommRingCatIso.hom ≫ CommRingCat.ofHom (IsLocalization.map (Localization.Away (f r)) f ⋯)) ≫ e₂.toCommRingCatIso.hom = IsLocalization.Away.map R' S' f r
-- Mathlib/RingTheory/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RespectsIso P
R S R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
f : R →+* S
r : R
inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'
inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'
e₁ : R' ≃+* Localization.Away r := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers r) R' (Localization.Away r)).toRingEquiv
e₂ : Localization.Away (f r) ≃+* S' := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers (f r)) (Localization.Away (f r)) S').toRingEquiv
e : R' →+* S' := (↑e₂).comp ((IsLocalization.map (Localization.Away (f r)) f ⋯).comp ↑e₁)
\u22a2 e = IsLocalization.Away.map R' S' f r
-- Mathlib/RingTheory/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RespectsIso P
R S R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
f : R →+* S
r : R
inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'
inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'
e₁ : R' ≃+* Localization.Away r := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers r) R' (Localization.Away r)).toRingEquiv
e₂ : Localization.Away (f r) ≃+* S' := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers (f r)) (Localization.Away (f r)) S').toRingEquiv
e : R' →+* S' := (↑e₂).comp ((IsLocalization.map (Localization.Away (f r)) f ⋯).comp ↑e₁)
\u22a2 e.comp (algebraMap R R') = (IsLocalization.Away.map R' S' f r).comp (algebraMap R R')
-- Mathlib/RingTheory/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RespectsIso P
R S R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
f : R →+* S
r : R
inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'
inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'
e₁ : R' ≃+* Localization.Away r := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers r) R' (Localization.Away r)).toRingEquiv
e₂ : Localization.Away (f r) ≃+* S' := (IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers (f r)) (Localization.Away (f r)) S').toRingEquiv
e : R' →+* S' := (↑e₂).comp ((IsLocalization.map (Localization.Away (f r)) f ⋯).comp ↑e₁)
x : R
\u22a2 (IsLocalization.map S' (id S) ⋯) ((IsLocalization.map (Localization.Away (f r)) f ⋯) ((IsLocalization.map (Localization.Away r) (id R) ⋯) ((algebraMap R R') x))) = (IsLocalization.map S' f ⋯) ((algebraMap R R') x)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X
y : Y
s : Set (X × Y)
tx : Set X
ty : Set Y
\u22a2 s ∈ 𝓝[tx ×ˢ ty] (x, y) ↔ ∃ u ∈ 𝓝[tx] x, ∃ v ∈ 𝓝[ty] y, u ×ˢ v ⊆ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
\u22a2 (map f μ).toOuterMeasure = ((OuterMeasure.map f) μ.toOuterMeasure).trim
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
\u22a2 ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → (map f μ).toOuterMeasure s = ((OuterMeasure.map f) μ.toOuterMeasure) s
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α
h : ¬p x = true
\u22a2 rdropWhile p (l ++ [x]) = l ++ [x]
-- Mathlib/Order/Bounded.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
\u22a2 Bounded (fun x x_1 => x < x_1) (Iic a)
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p q : Submodule R M
x✝¹ : IsSemisimpleModule R ↥p
x✝ : IsSemisimpleModule R ↥q
f : Bool → Submodule R M := fun t => Bool.rec q p t
\u22a2 IsSemisimpleModule R ↥(p ⊔ q)
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p q : Submodule R M
x✝¹ : IsSemisimpleModule R ↥p
x✝ : IsSemisimpleModule R ↥q
f : Bool → Submodule R M := fun t => Bool.rec q p t
\u22a2 IsSemisimpleModule R ↥(⨆ i ∈ Set.univ, f i)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Order.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
f✝ g✝ : ι →₀ α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
f g : ι →₀ α
i : ι
a b : α
inst✝ : DecidableEq ι
f1 f2 : ι →₀ α
\u22a2 f1.support \ f2.support ⊆ (f1 - f2).support
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : Fintype β
f : β → α
\u22a2 ∏' (b : β), f b = ∏ b : β, f b
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : Fintype β
f : β → α
\u22a2 ∀ b ∉ univ, f b = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
j : n
s : R
u : n → R
\u22a2 (M.updateColumn j (s • u)).det = s * (M.updateColumn j u).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
j : n
s : R
u : n → R
\u22a2 s * (Mᵀ.updateRow j u).det = s * (M.updateColumn j u).det
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y z x : ℝ
\u22a2 1 ^ x = 1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/UnivLE.lean
\u22a2 UnivLE.{u, v} ↔ univ.{u, v + 1} ≤ univ.{v, u + 1}
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/UnivLE.lean
\u22a2 (¬∀ (α : Type u), Small.{v, u} α) ↔ ¬univ.{u, v + 1} ≤ univ.{v, u + 1}
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/UnivLE.lean
\u22a2 (¬∀ (α : Type u), lift.{v + 1, u} #α < univ.{v, max u (v + 1)}) ↔ ¬univ.{u, v + 1} ≤ univ.{v, u + 1}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
r : ℝ
hr : r < 0
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Icc 0 1
\u22a2 x ∈ {x | (fun x => (fun x => -|log x| ^ 1) x = log x) x}
-- Mathlib/Topology/Instances/TrivSqZeroExt.lean
α : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSpace M
fst✝ : R
snd✝ : M
\u22a2 𝓝 (fst✝, snd✝) = (𝓝 (fst (fst✝, snd✝))).prod (𝓝 (snd (fst✝, snd✝)))
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : R →+* S
s : Set A
hfs : s.Finite
his : ∀ x ∈ s, IsIntegral R x
x✝ : ∀ x ∈ ∅, IsIntegral R x
x : A
\u22a2 x ∈ span R ↑{1} ↔ x ∈ Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R ∅)
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : R →+* S
s✝ : Set A
hfs : s✝.Finite
his✝ : ∀ x ∈ s✝, IsIntegral R x
a : A
s : Set A
x✝¹ : a ∉ s
x✝ : s.Finite
ih : (∀ x ∈ s, IsIntegral R x) → (Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R s)).FG
his : ∀ x ∈ insert a s, IsIntegral R x
\u22a2 (Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R (insert a s))).FG
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : R →+* S
s✝ : Set A
hfs : s✝.Finite
his✝ : ∀ x ∈ s✝, IsIntegral R x
a : A
s : Set A
x✝¹ : a ∉ s
x✝ : s.Finite
ih : (∀ x ∈ s, IsIntegral R x) → (Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R s)).FG
his : ∀ x ∈ insert a s, IsIntegral R x
\u22a2 (Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R s) * Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {a})).FG
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
n : ℕ
\u22a2 cos (↑n * (2 * ↑π) + ↑π) = -1
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
\u22a2 ascFactorial 0 (succ 0) = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
k : ℕ
\u22a2 ascFactorial 0 (k + 1).succ = 0
-- Mathlib/Data/Finset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ : Finset α
a b : α
n✝ : ℕ
s t : Finset α
n : ℕ
m : Sym α n
\u22a2 m ∈ (s ∩ t).sym n ↔ m ∈ s.sym n ∩ t.sym n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι'
m : (i : ι') → M₁ (σ.symm i)
i : ι'
this : DecidableEq ι := σ.decidableEq
\u22a2 ∀ (x y : M₁ (σ.symm i)), (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m i (x + y)) = (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m i x) + (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m i y)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι'
m : (i : ι') → M₁ (σ.symm i)
i : ι'
this : DecidableEq ι := σ.decidableEq
\u22a2 ∀ (x y : M₁ (σ.symm (σ (σ.symm i)))), (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) (x + y)) = (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) x) + (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) y)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι'
m : (i : ι') → M₁ (σ.symm i)
i : ι'
this : DecidableEq ι := σ.decidableEq
x y : M₁ (σ.symm (σ (σ.symm i)))
\u22a2 (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) (x + y)) = (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) x) + (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) y)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι'
m : (i : ι') → M₁ (σ.symm i)
i : ι'
c : R
this : DecidableEq ι := σ.decidableEq
\u22a2 ∀ (x : M₁ (σ.symm i)), (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m i (c • x)) = c • (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m i x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι'
m : (i : ι') → M₁ (σ.symm i)
i : ι'
c : R
this : DecidableEq ι := σ.decidableEq
\u22a2 ∀ (x : M₁ (σ.symm (σ (σ.symm i)))), (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) (c • x)) = c • (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι'
m : (i : ι') → M₁ (σ.symm i)
i : ι'
c : R
this : DecidableEq ι := σ.decidableEq
x : M₁ (σ.symm (σ (σ.symm i)))
\u22a2 (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) (c • x)) = c • (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm) (update m (σ (σ.symm i)) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R (fun i => M₁ (σ.symm i)) M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
this : DecidableEq ι' := σ.symm.decidableEq
\u22a2 ∀ (x y : M₁ i), (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m i (x + y)) = (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m i x) + (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m i y)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R (fun i => M₁ (σ.symm i)) M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
this : DecidableEq ι' := σ.symm.decidableEq
\u22a2 ∀ (x y : M₁ (σ.symm (σ i))), (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) (x + y)) = (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) x) + (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) y)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R (fun i => M₁ (σ.symm i)) M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
this : DecidableEq ι' := σ.symm.decidableEq
x y : M₁ (σ.symm (σ i))
\u22a2 (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) (x + y)) = (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) x) + (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) y)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R (fun i => M₁ (σ.symm i)) M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
c : R
this : DecidableEq ι' := σ.symm.decidableEq
\u22a2 ∀ (x : M₁ i), (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m i (c • x)) = c • (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m i x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R (fun i => M₁ (σ.symm i)) M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
c : R
this : DecidableEq ι' := σ.symm.decidableEq
\u22a2 ∀ (x : M₁ (σ.symm (σ i))), (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) (c • x)) = c • (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R (fun i => M₁ (σ.symm i)) M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
i : ι
c : R
this : DecidableEq ι' := σ.symm.decidableEq
x : M₁ (σ.symm (σ i))
\u22a2 (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) (c • x)) = c • (⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ)) (update m (σ.symm (σ i)) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M₂
inst✝ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f₁ f₂ : MultilinearMap R M₁ M₂
x✝ : (i : ι') → M₁ (σ.symm i)
\u22a2 ((fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (f₁ + f₂)) x✝ = ((fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) f₁ + (fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) f₂) x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M₂
inst✝ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
c : S
f : MultilinearMap R M₁ M₂
x✝ : (i : ι') → M₁ (σ.symm i)
\u22a2 ({ toFun := fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun (c • f)) x✝ = ((RingHom.id S) c • { toFun := fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun f) x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M₂
inst✝ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R M₁ M₂
x✝ : (i : ι) → M₁ i
\u22a2 ((fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) ({ toFun := fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun f)) x✝ = f x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M₂
inst✝ : SMulCommClass R S M₂
ι' : Type u_1
σ : ι ≃ ι'
f : MultilinearMap R (fun i => M₁ (σ.symm i)) M₂
x✝ : (i : ι') → M₁ (σ.symm i)
\u22a2 ({ toFun := fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ).symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun f => { toFun := ⇑f ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' M₁ σ), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) f)) x✝ = f x✝
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Finset α
h : mulSupport f ⊆ ↑s
\u22a2 ∏ᶠ (i : α), f i = ∏ i ∈ s, f i
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Finset α
h : mulSupport f ⊆ ↑s
A : mulSupport (f ∘ PLift.down) = ⇑Equiv.plift.symm '' mulSupport f
\u22a2 ∏ᶠ (i : α), f i = ∏ i ∈ s, f i
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Finset α
h : mulSupport f ⊆ ↑s
A : mulSupport (f ∘ PLift.down) = ⇑Equiv.plift.symm '' mulSupport f
this : mulSupport (f ∘ PLift.down) ⊆ ↑(Finset.map Equiv.plift.symm.toEmbedding s)
\u22a2 ∏ᶠ (i : α), f i = ∏ i ∈ s, f i