ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
ι : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : BorelSpace β
f : ι → Ω → β
i j : ι
s✝ : ι → Set Ω
s : ℕ → Set Ω
hsm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s μ
hs' : ∑' (n : ℕ), μ (s n) = ⊤
this : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (fun x => (μ (s (n + 1))).toReal) ω
ω : Ω
hω : ∀ (n : ℕ), (μ[(s (n + 1)).indicator 1|↑(filtrationOfSet hsm) n]) ω = (μ (s (n + 1))).toReal
htends : ∀ (x : NNReal), ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, ↑x < ∑ k ∈ Finset.range a, μ (s (k + 1))
\u22a2 ¬BddAbove (Set.range fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, (μ (s (x + 1))).toReal)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
x : E
\u22a2 gauge 0 x = 0 x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
x : E
\u22a2 sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ 0} = 0 x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
\u22a2 sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • 0 ∈ 0} = 0 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
x : E
hx : x ≠ 0
\u22a2 sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ 0} = 0 x
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ = p₂
\u22a2 0 < ∠ p₂ p₃ p₁
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ = p₂
\u22a2 0 < ∠ p₂ p₃ p₁
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ = 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
\u22a2 0 < ∠ p₂ p₃ p₁
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ = 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0
\u22a2 0 < InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₃ + (p₁ -ᵥ p₂))
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
ho : o.IsLimit
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ (a : Ordinal.{u}) (ha : a < o), f a ha < f (succ a) ⋯
\u22a2 o.bsup f = o.blsub f
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
ho : o.IsLimit
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ (a : Ordinal.{u}) (ha : a < o), f a ha < f (succ a) ⋯
\u22a2 ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi < o.bsup f
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Path.lean
V : Type u
inst✝ : Quiver V
a✝¹ b c d a x✝ b✝ : V
p : Path a b✝
a✝ : b✝ ⟶ x✝
\u22a2 nil.comp (p.cons a✝) = p.cons a✝
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
f g : ι → ℝ≥0∞
h : ∀ (i j : ι), ∃ k, f i + g j ≤ f k + g k
\u22a2 iSup f + iSup g = ⨆ a, f a + g a
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
f g : ι → ℝ≥0∞
h : ∀ (i j : ι), ∃ k, f i + g j ≤ f k + g k
h✝ : IsEmpty ι
\u22a2 iSup f + iSup g = ⨆ a, f a + g a
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
f g : ι → ℝ≥0∞
h : ∀ (i j : ι), ∃ k, f i + g j ≤ f k + g k
h✝ : Nonempty ι
\u22a2 iSup f + iSup g = ⨆ a, f a + g a
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s t : Set α
f : α → β
a b : α
\u22a2 f '' {a, b} = {f a, f b}
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
\u22a2 centroid ℝ fs s.points = (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (centroidWeightsWithCircumcenter fs)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
\u22a2 ∑ x : Fin (n + 1), (if x ∈ ↑fs then Function.const (Fin (n + 1)) (↑fs.card)⁻¹ x else 0) • (s.points x -ᵥ Classical.choice ⋯) +ᵥ Classical.choice ⋯ = ∑ x : Fin (n + 1), (if x ∈ fs then (↑fs.card)⁻¹ else 0) • (s.points x -ᵥ Classical.choice ⋯) +ᵥ Classical.choice ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
\u22a2 TendstoUniformlyOn f g atTop (s \ iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
\u22a2 ∀ ε_1 > 0, ∀ᶠ (n : ι) in atTop, ∀ x ∈ s \ iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg, dist (g x) (f n x) < ε_1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
\u22a2 ∀ᶠ (n : ι) in atTop, ∀ x ∈ s \ iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg, dist (g x) (f n x) < δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
N : ℕ
hN : 1 / (↑N + 1) < δ
\u22a2 ∀ᶠ (n : ι) in atTop, ∀ x ∈ s \ iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg, dist (g x) (f n x) < δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
N : ℕ
hN : 1 / (↑N + 1) < δ
\u22a2 ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ x ∈ s \ iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg, dist (g x) (f b x) < δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
N : ℕ
hN : 1 / (↑N + 1) < δ
n : ι
hn : n ≥ notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg N
x : α
hx : x ∈ s \ iUnionNotConvergentSeq hε hf hg hsm hs hfg
\u22a2 dist (g x) (f n x) < δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
N : ℕ
hN : 1 / (↑N + 1) < δ
n : ι
hn : n ≥ notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg N
x : α
hx : x ∈ s ∧ (x ∈ s → ∀ (x_1 : ℕ), x ∉ notConvergentSeq f g x_1 (notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg x_1))
\u22a2 dist (g x) (f n x) < δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
N : ℕ
hN : 1 / (↑N + 1) < δ
n : ι
hn : n ≥ notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg N
x : α
hxs : x ∈ s
hx : x ∉ notConvergentSeq f g N (notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg N)
\u22a2 dist (g x) (f n x) < δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
N : ℕ
hN : 1 / (↑N + 1) < δ
n : ι
hn : n ≥ notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg N
x : α
hxs : x ∈ s
hx : ¬∃ k ≥ notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg N, 1 / (↑N + 1) < dist (f k x) (g x)
\u22a2 dist (g x) (f n x) < δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
N : ℕ
hN : 1 / (↑N + 1) < δ
n : ι
hn : n ≥ notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg N
x : α
hxs : x ∈ s
hx : ∀ k ≥ notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg N, dist (f k x) (g x) ≤ 1 / (↑N + 1)
\u22a2 dist (g x) (f n x) < δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Countable ι
hε : 0 < ε
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hsm : MeasurableSet s
hs : μ s ≠ ⊤
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
δ : ℝ
hδ : δ > 0
N : ℕ
hN : 1 / (↑N + 1) < δ
n : ι
hn : n ≥ notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg N
x : α
hxs : x ∈ s
hx : ∀ k ≥ notConvergentSeqLTIndex ⋯ hf hg hsm hs hfg N, dist (f k x) (g x) ≤ 1 / (↑N + 1)
\u22a2 dist (f n x) (g x) < δ
-- Mathlib/Data/Finset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset α
a b : α
h : s ⊆ t
\u22a2 s.sym2 ⊆ t.sym2
-- Mathlib/Data/Finset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset α
a b : α
h : s ⊆ t
\u22a2 s.val.sym2 ≤ t.val.sym2
-- Mathlib/Data/Finset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset α
a b : α
h : s ⊆ t
\u22a2 s.val ≤ t.val
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
\u22a2 ↑N = ⊤ ↔ N = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Action/Defs.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁴ : SMul M α
inst✝³ : SMul N α
inst✝² : SMul M β
inst✝¹ : SMul N β
inst✝ : SMulCommClass M N β
f : α → β
hf : Injective f
h₁ : ∀ (c : M) (x : α), f (c • x) = c • f x
h₂ : ∀ (c : N) (x : α), f (c • x) = c • f x
c₁ : M
c₂ : N
x : α
\u22a2 f (c₁ • c₂ • x) = f (c₂ • c₁ • x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f g : E → F
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hg : ContDiffAt 𝕜 n g x
\u22a2 ContDiffAt 𝕜 n (fun x => f x - g x) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
s : Finset P
\u22a2 centroid k univ Subtype.val = centroid k s id
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
s : Finset P
\u22a2 (affineCombination k univ Subtype.val) (centroidWeights k univ) = (affineCombination k s.attach Subtype.val) (centroidWeights k s ∘ Subtype.val)
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
\u22a2 P24 x₁ x₂ y ↔ P24 x₁ x₂ (-y)
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
u : ι → Ω → β
s : Set β
n m : ι
ω : Ω
h : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s
\u22a2 stoppedValue u (hitting u s n m) ω ∈ s
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
u : ι → Ω → β
s : Set β
n m : ι
ω : Ω
h : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s
\u22a2 u (sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s})) ω ∈ s
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
u : ι → Ω → β
s : Set β
n m : ι
ω : Ω
j : ι
hj₁ : j ∈ Set.Icc n m
hj₂ : u j ω ∈ s
\u22a2 u (sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s})) ω ∈ s
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
u : ι → Ω → β
s : Set β
n m : ι
ω : Ω
j : ι
hj₁ : j ∈ Set.Icc n m
hj₂ : u j ω ∈ s
this : sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}) ∈ Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}
\u22a2 u (sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s})) ω ∈ s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
\u22a2 cos (π / 6) = √3 / 2
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν'✝ : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
ν' : Measure β
inst✝ : SFinite ν'
\u22a2 μ.prod (ν + ν') = μ.prod ν + μ.prod ν'
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν'✝ : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
ν' : Measure β
inst✝ : SFinite ν'
\u22a2 (sum fun p => (sFiniteSeq μ p.1).prod (sFiniteSeq ν p.2 + sFiniteSeq ν' p.2)) = sum fun n => (sFiniteSeq μ n.1).prod (sFiniteSeq ν n.2) + (sFiniteSeq μ n.1).prod (sFiniteSeq ν' n.2)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν'✝ : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
ν' : Measure β
inst✝ : SFinite ν'
i : ℕ × ℕ
\u22a2 (sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2 + sFiniteSeq ν' i.2) = (sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2) + (sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν' i.2)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν'✝ : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
ν' : Measure β
inst✝ : SFinite ν'
i : ℕ × ℕ
s : Set α
t : Set β
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : MeasurableSet t
\u22a2 ((sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2) + (sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν' i.2)) (s ×ˢ t) = (sFiniteSeq μ i.1) s * (sFiniteSeq ν i.2 + sFiniteSeq ν' i.2) t
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hap : ↑a ≠ 0
\u22a2 ↑a ^ (p / 2) * ↑(p / 2)! = ↑(∏ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * ↑x)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hap : ↑a ≠ 0
\u22a2 ↑a ^ (p / 2) * ↑(p / 2)! = ↑(a ^ (p / 2) * ↑(p / 2)!)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hap : ↑a ≠ 0
x✝¹ : ℕ
x✝ : x✝¹ ∈ Ico 1 (p / 2).succ
\u22a2 ↑(↑a * ↑x✝¹).val = (if (↑a * ↑x✝¹).val ≤ p / 2 then 1 else -1) * ↑(↑a * ↑x✝¹).valMinAbs.natAbs
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hap : ↑a ≠ 0
x✝¹ : ℕ
x✝ : x✝¹ ∈ Ico 1 (p / 2).succ
\u22a2 ↑(↑a * ↑x✝¹).val = (if (↑a * ↑x✝¹).val ≤ p / 2 then 1 else -1) * if (↑a * ↑x✝¹).val ≤ p / 2 then ↑a * ↑x✝¹ else -(↑a * ↑x✝¹)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hap : ↑a ≠ 0
\u22a2 ∏ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (if (↑a * ↑x).val ≤ p / 2 then 1 else -1) * ↑(↑a * ↑x).valMinAbs.natAbs = (-1) ^ (filter (fun x => ¬(↑a * ↑x).val ≤ p / 2) (Ico 1 (p / 2).succ)).card * ∏ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, ↑(↑a * ↑x).valMinAbs.natAbs
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hap : ↑a ≠ 0
this : (∏ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, if (↑a * ↑x).val ≤ p / 2 then 1 else -1) = ∏ x ∈ filter (fun x => ¬(↑a * ↑x).val ≤ p / 2) (Ico 1 (p / 2).succ), -1
\u22a2 ∏ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (if (↑a * ↑x).val ≤ p / 2 then 1 else -1) * ↑(↑a * ↑x).valMinAbs.natAbs = (-1) ^ (filter (fun x => ¬(↑a * ↑x).val ≤ p / 2) (Ico 1 (p / 2).succ)).card * ∏ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, ↑(↑a * ↑x).valMinAbs.natAbs
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hap : ↑a ≠ 0
\u22a2 (-1) ^ (filter (fun x => ¬(↑a * ↑x).val ≤ p / 2) (Ico 1 (p / 2).succ)).card * ∏ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, ↑(↑a * ↑x).valMinAbs.natAbs = (-1) ^ (filter (fun x => ¬(↑a * ↑x).val ≤ p / 2) (Ico 1 (p / 2).succ)).card * ↑(p / 2)!
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/LinearMap.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
\u22a2 (PiToModule.fromMatrix R b) 0 = (PiToModule.fromEnd R b) 0
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Dihedral.lean
n : ℕ
i : ZMod n
\u22a2 orderOf (sr i) = 2
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Dihedral.lean
n : ℕ
i : ZMod n
\u22a2 sr i ^ 2 = 1
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Dihedral.lean
n : ℕ
i : ZMod n
\u22a2 sr i ≠ 1
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a.castSucc ≠ 0
\u22a2 a.castSucc.pred ha < b ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q : ℚ
\u22a2 (-q)⁻¹ = -q⁻¹
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q : ℚ
\u22a2 (-(q.num /. ↑q.den))⁻¹ = -(q.num /. ↑q.den)⁻¹
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Period.lean
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
g : G
a : α
\u22a2 period g⁻¹ a = period g a
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Period.lean
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
g : G
a : α
\u22a2 ∀ (n : ℕ), g⁻¹ ^ n • a = a ↔ g ^ n • a = a
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Period.lean
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
g : G
a : α
n : ℕ
\u22a2 g⁻¹ ^ n • a = a ↔ g ^ n • a = a
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
\u22a2 cgf X μ 0 = log (μ Set.univ).toReal
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
\u22a2 IsOpen (range Real.toEReal)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/IsDiag.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : StarRing α
A : Matrix n n α
ha : Aᴴ.IsDiag
\u22a2 A.IsDiag
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/IsDiag.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : StarRing α
A : Matrix n n α
ha : Aᴴ.IsDiag
\u22a2 A = Aᴴᴴ
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Pi.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCancelCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
n : μ
f : ι → μ
\u22a2 f ∈ (cons i s hi).piAntidiag n ↔ f ∈ (antidiagonal n).disjiUnion (fun p => map (addRightEmbedding fun t => if t = i then p.1 else 0) (s.piAntidiag p.2)) ⋯
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Pi.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCancelCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
n : μ
f : ι → μ
\u22a2 (f i + ∑ x ∈ s, f x = n ∧ ∀ (i_1 : ι), ¬f i_1 = 0 → i_1 = i ∨ i_1 ∈ s) ↔ ∃ a b, a + b = n ∧ ∃ a_1, (s.sum a_1 = b ∧ ∀ (i : ι), ¬a_1 i = 0 → i ∈ s) ∧ (addRightEmbedding fun t => if t = i then a else 0) a_1 = f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Asymptotics.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
hf : f =O[⊤] g
hg : Integrable g μ
\u22a2 Integrable f μ