ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℕ
hxy : ↑p ∣ ↑(x + y)
hx : ¬↑p ∣ ↑x
n : ℕ
hn : Odd n
\u22a2 multiplicity ↑p ↑(x ^ n + y ^ n) = multiplicity ↑p ↑(x + y) + multiplicity p n
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℕ
hx : ¬↑p ∣ ↑x
n : ℕ
hn : Odd n
hxy : ↑p ∣ ↑x + ↑y
\u22a2 multiplicity (↑p) (↑x ^ n + ↑y ^ n) = multiplicity (↑p) (↑x + ↑y) + multiplicity p n
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Units.lean
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a b : α
u : αˣ
h : a ∣ b
\u22a2 a * ↑u * ↑u⁻¹ = a
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x 0 r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball x r
\u22a2 f y = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x 0 r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball x r
\u22a2 (∑ k ∈ Finset.range 0, (pf k) fun x_1 => y - x) = 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁷ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : MetricSpace Q
inst✝⁴ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : Invertible 2
p₁ p₂ : P
\u22a2 dist (midpoint 𝕜 p₁ p₂) p₁ = ‖2‖⁻¹ * dist p₁ p₂
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝¹ t✝ s✝ : Set α
t : Set β
f✝ f : α → β
s : Set α
\u22a2 (f '' s).encard ≤ s.encard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝¹ t✝ s✝ : Set α
t : Set β
f✝ f : α → β
s : Set α
h : IsEmpty α
\u22a2 (f '' s).encard ≤ s.encard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝¹ t✝ s✝ : Set α
t : Set β
f✝ f : α → β
s : Set α
h : Nonempty α
\u22a2 (f '' s).encard ≤ s.encard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝¹ t✝ s✝ : Set α
t : Set β
f✝ f : α → β
s : Set α
h : Nonempty α
\u22a2 (Function.invFunOn f s '' (f '' s)).encard ≤ s.encard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝¹ t✝ s✝ : Set α
t : Set β
f✝ f : α → β
s : Set α
h : Nonempty α
\u22a2 Function.invFunOn f s '' (f '' s) ⊆ s
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
\u22a2 (∡ p₃ p₁ p₂).sin = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1
\u22a2 (∡ p₃ p₁ p₂).sin = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
t' : k
a : MonoidAlgebra k G
\u22a2 (sum (t' • a) fun m t => t • f m) = (MonoidHom.id k) t' • sum a fun m t => t • f m
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
t' : k
a : MonoidAlgebra k G
\u22a2 (sum a fun i c => (t' • c) • f i) = sum a fun a b => (MonoidHom.id k) t' • b • f a
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
t' : k
a : MonoidAlgebra k G
\u22a2 ∀ (i : G), 0 • f i = 0
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G
g : G → k → A := fun m t => t • f m
\u22a2 { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (a₁ * a₂) = { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun a₁ * { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun a₂
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G
g : G → k → A := fun m t => t • f m
h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0
\u22a2 { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (a₁ * a₂) = { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun a₁ * { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun a₂
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G
g : G → k → A := fun m t => t • f m
h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0
h₂ : ∀ (m : G) (t₁ t₂ : k), g m (t₁ + t₂) = g m t₁ + g m t₂
\u22a2 { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (a₁ * a₂) = { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun a₁ * { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun a₂
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G
g : G → k → A := fun m t => t • f m
h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0
h₂ : ∀ (m : G) (t₁ t₂ : k), g m (t₁ + t₂) = g m t₁ + g m t₂
\u22a2 (sum (sum a₁ fun a₁ b₁ => sum a₂ fun a₂ b₂ => single (a₁ * a₂) (b₁ * b₂)) fun m t => t • f m) = sum a₁ fun x' v' => sum a₂ fun x v => (v' * v) • f (x' * x)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G
g : G → k → A := fun m t => t • f m
h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0
h₂ : ∀ (m : G) (t₁ t₂ : k), g m (t₁ + t₂) = g m t₁ + g m t₂
\u22a2 (sum a₁ fun a b => sum (sum a₂ fun a₂ b₂ => single (a * a₂) (b * b₂)) g) = sum a₁ fun x' v' => sum a₂ fun x v => (v' * v) • f (x' * x)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G
g : G → k → A := fun m t => t • f m
h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0
h₂ : ∀ (m : G) (t₁ t₂ : k), g m (t₁ + t₂) = g m t₁ + g m t₂
x✝¹ : G
x✝ : k
\u22a2 sum (sum a₂ fun a₂ b₂ => single (x✝¹ * a₂) (x✝ * b₂)) g = sum a₂ fun x v => (x✝ * v) • f (x✝¹ * x)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G
g : G → k → A := fun m t => t • f m
h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0
h₂ : ∀ (m : G) (t₁ t₂ : k), g m (t₁ + t₂) = g m t₁ + g m t₂
x✝¹ : G
x✝ : k
\u22a2 (sum a₂ fun a b => sum (single (x✝¹ * a) (x✝ * b)) g) = sum a₂ fun x v => (x✝ * v) • f (x✝¹ * x)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G
g : G → k → A := fun m t => t • f m
h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0
h₂ : ∀ (m : G) (t₁ t₂ : k), g m (t₁ + t₂) = g m t₁ + g m t₂
x✝³ : G
x✝² : k
x✝¹ : G
x✝ : k
\u22a2 sum (single (x✝³ * x✝¹) (x✝² * x✝)) g = (x✝² * x✝) • f (x✝³ * x✝¹)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
m : G
\u22a2 ((fun F => F.toMulHom.comp (ofMagma k G)) ((fun f => let __src := liftAddHom fun x => (smulAddHom k A).flip (f x); { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯ }) f)) m = f m
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
F : MonoidAlgebra k G →ₙₐ[k] A
\u22a2 (fun f => let __src := liftAddHom fun x => (smulAddHom k A).flip (f x); { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯ }) ((fun F => F.toMulHom.comp (ofMagma k G)) F) = F
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
F : MonoidAlgebra k G →ₙₐ[k] A
m : G
\u22a2 (((fun f => let __src := liftAddHom fun x => (smulAddHom k A).flip (f x); { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯ }) ((fun F => F.toMulHom.comp (ofMagma k G)) F)).toMulHom.comp (ofMagma k G)) m = (F.toMulHom.comp (ofMagma k G)) m
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
a b c : ℕ
h : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)
\u22a2 b ^^^ c < a ∨ a ^^^ c < b ∨ a ^^^ b < c
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
a b c : ℕ
h : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)
hab : a ^^^ b = c ^^^ v
\u22a2 b ^^^ c < a ∨ a ^^^ c < b ∨ a ^^^ b < c
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
a b c : ℕ
h : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)
hab : a ^^^ b = c ^^^ v
hac : a ^^^ c = b ^^^ v
\u22a2 b ^^^ c < a ∨ a ^^^ c < b ∨ a ^^^ b < c
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
a b c : ℕ
h : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)
hab : a ^^^ b = c ^^^ v
hac : a ^^^ c = b ^^^ v
hbc : b ^^^ c = a ^^^ v
\u22a2 b ^^^ c < a ∨ a ^^^ c < b ∨ a ^^^ b < c
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
a b c : ℕ
h : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)
hab : a ^^^ b = c ^^^ v
hac : a ^^^ c = b ^^^ v
hbc : b ^^^ c = a ^^^ v
i : ℕ
hi : (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit i = true
hi' : ∀ (j : ℕ), i < j → (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit j = false
\u22a2 b ^^^ c < a ∨ a ^^^ c < b ∨ a ^^^ b < c
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
a b c : ℕ
h : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)
hab : a ^^^ b = c ^^^ v
hac : a ^^^ c = b ^^^ v
hbc : b ^^^ c = a ^^^ v
i : ℕ
hi : (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit i = true
hi' : ∀ (j : ℕ), i < j → (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit j = false
this : a.testBit i = true ∨ b.testBit i = true ∨ c.testBit i = true
\u22a2 b ^^^ c < a ∨ a ^^^ c < b ∨ a ^^^ b < c
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
a b c : ℕ
h✝ : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)
hab : a ^^^ b = c ^^^ v
hac : a ^^^ c = b ^^^ v
hbc : b ^^^ c = a ^^^ v
i : ℕ
hi : (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit i = true
hi' : ∀ (j : ℕ), i < j → (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit j = false
h : a.testBit i = true
\u22a2 a ^^^ v < a
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
a b c : ℕ
h✝ : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)
hab : a ^^^ b = c ^^^ v
hac : a ^^^ c = b ^^^ v
hbc : b ^^^ c = a ^^^ v
i : ℕ
hi : (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit i = true
hi' : ∀ (j : ℕ), i < j → (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit j = false
h : b.testBit i = true
\u22a2 b ^^^ v < b
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
a b c : ℕ
h✝ : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)
hab : a ^^^ b = c ^^^ v
hac : a ^^^ c = b ^^^ v
hbc : b ^^^ c = a ^^^ v
i : ℕ
hi : (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit i = true
hi' : ∀ (j : ℕ), i < j → (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit j = false
h : c.testBit i = true
\u22a2 c ^^^ v < c
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
x : ℕ → ℝ
C : ℝ
H : ∀ (n : ℕ), dist ((f ^ n) 0) (x n) ≤ C
\u22a2 Tendsto (fun n => x (2 ^ n) / 2 ^ n) atTop (𝓝 (τ f))
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
x : ℕ → ℝ
C : ℝ
H : ∀ (n : ℕ), dist ((f ^ n) 0) (x n) ≤ C
\u22a2 ℕ → ℝ
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
x : ℕ → ℝ
C : ℝ
H : ∀ (n : ℕ), dist ((f ^ n) 0) (x n) ≤ C
\u22a2 ∀ (t : ℕ), dist (f.transnumAuxSeq t) (x (2 ^ t) / 2 ^ t) ≤ ?m.120971 t
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
x : ℕ → ℝ
C : ℝ
H : ∀ (n : ℕ), dist ((f ^ n) 0) (x n) ≤ C
\u22a2 Tendsto ?m.120971 atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
x : ℂ
\u22a2 cexp x ∈ {0}ᶜ
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α
h : a ∈ s
\u22a2 ∃ n, some a ∈ s.get? n
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α
h : a ∈ s
\u22a2 ∀ (b : α) (s' : WSeq α), (a = b ∨ ∃ n, some a ∈ s'.get? n) → ∃ n, some a ∈ (cons b s').get? n
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α
h : a ∈ s
\u22a2 ∀ (s : WSeq α), (∃ n, some a ∈ s.get? n) → ∃ n, some a ∈ s.think.get? n
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q✝ q r : ℚ
\u22a2 q / r = q.num * ↑r.den /. (↑q.den * r.num)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
\u22a2 (A * C).card * B.card ≤ (A / B).card * (B * C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
\u22a2 (A / C⁻¹).card * B.card ≤ (A / B).card * (B / C⁻¹).card
-- Mathlib/RingTheory/MatrixAlgebra.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M N : Matrix n n A
\u22a2 invFun R A n (M + N) = invFun R A n M + invFun R A n N
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a b : α
s t : Finset α
x : α
h : x ∉ t
\u22a2 insert x s \ t = insert x (s \ t)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a b : α
s t : Finset α
x : α
h : x ∉ t
\u22a2 insert x ↑s \ ↑t = insert x (↑s \ ↑t)
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t : Set α
i : ι✝
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
ι : Type u_6
s : ι → Set α
\u22a2 (⨅ i, 𝓟 (s i)).HasBasis (fun t => t.Finite) fun t => ⋂ i ∈ t, s i
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t : Set α
i : ι✝
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
ι : Type u_6
s : ι → Set α
U : Set α
\u22a2 (∃ t, U ∈ ⨅ i ∈ t, 𝓟 (s i)) ↔ ∃ i, i.Finite ∧ ⋂ i_1 ∈ i, s i_1 ⊆ U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
\u22a2 Set.range ⇑(pullback.fst g f).val.base = ((Opens.map g.val.base).obj { carrier := Set.range ⇑f.val.base, is_open' := ⋯ }).carrier
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
\u22a2 ⇑(pullback.fst (Scheme.forgetToTop.map g) (Scheme.forgetToTop.map f)) '' (⇑(pullback.snd g.val.base f.val.base) ⁻¹' Set.univ) = ((Opens.map g.val.base).obj { carrier := Set.range ⇑f.val.base, is_open' := ⋯ }).carrier
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
\u22a2 Function.Surjective ⇑(PreservesPullback.iso Scheme.forgetToTop g f).hom
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
\u22a2 Epi (PreservesPullback.iso Scheme.forgetToTop g f).hom
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/AsPolynomial.lean
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
hxy : ¬Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom = 0
\u22a2 Polynomial.eval₂ f a (x + y).num / Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom = Polynomial.eval₂ f a x.num / Polynomial.eval₂ f a x.denom + Polynomial.eval₂ f a y.num / Polynomial.eval₂ f a y.denom
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/AsPolynomial.lean
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
hxy : ¬Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom = 0
\u22a2 Polynomial.eval₂ f a (x + y).num * (Polynomial.eval₂ f a x.denom * Polynomial.eval₂ f a y.denom) = (Polynomial.eval₂ f a x.num * Polynomial.eval₂ f a y.denom + Polynomial.eval₂ f a x.denom * Polynomial.eval₂ f a y.num) * Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/AsPolynomial.lean
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
hxy : ¬Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom = 0
\u22a2 Polynomial.eval₂ f a ((x + y).num * (x.denom * y.denom)) = Polynomial.eval₂ f a ((x.num * y.denom + x.denom * y.num) * (x + y).denom)
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/AsPolynomial.lean
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
hxy : ¬Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom = 0
\u22a2 (x + y).num * (x.denom * y.denom) = (x.num * y.denom + x.denom * y.num) * (x + y).denom
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : Nontrivial E
c : ℝ
\u22a2 ∃ x, c < ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : Nontrivial E
c : ℝ
x : E
hx : x ≠ 0
\u22a2 ∃ x, c < ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : Nontrivial E
c : ℝ
x : E
hx : x ≠ 0
r : 𝕜
hr : c / ‖x‖ < ‖r‖
\u22a2 ∃ x, c < ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : Nontrivial E
c : ℝ
x : E
hx : x ≠ 0
r : 𝕜
hr : c / ‖x‖ < ‖r‖
\u22a2 c < ‖r • x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : Nontrivial E
c : ℝ
x : E
hx : x ≠ 0
r : 𝕜
hr : c / ‖x‖ < ‖r‖
\u22a2 0 < ‖x‖
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/ENat.lean
m n : ℕ∞
\u22a2 ↑(m + n) = ↑m + ↑n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
\u22a2 (cyclotomic n K).IsRoot μ ↔ IsPrimitiveRoot μ n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
\u22a2 (cyclotomic n K).IsRoot μ ↔ IsPrimitiveRoot μ n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
\u22a2 IsPrimitiveRoot μ n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
hμn : μ ^ n = 1
\u22a2 IsPrimitiveRoot μ n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
hμn : μ ^ n = 1
hnμ : ¬IsPrimitiveRoot μ n
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
hμn : μ ^ n = 1
hnμ : ¬IsPrimitiveRoot μ n
ho : 0 < orderOf μ
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
hμn : μ ^ n = 1
hnμ : ¬IsPrimitiveRoot μ n
ho : 0 < orderOf μ
this : μ ^ orderOf μ = 1
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
hμn : μ ^ n = 1
hnμ : ¬IsPrimitiveRoot μ n
ho : 0 < orderOf μ
this : ∃ i ∈ (orderOf μ).divisors, (cyclotomic i K).IsRoot μ
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
hμn : μ ^ n = 1
hnμ : ¬IsPrimitiveRoot μ n
ho : 0 < orderOf μ
i : ℕ
hio : i ∈ (orderOf μ).divisors
hiμ : (cyclotomic i K).IsRoot μ
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝² : IsDomain R
n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
inst✝ : NeZero ↑n
hnpos : 0 < n
hμ : (cyclotomic n K).IsRoot μ
hμn : μ ^ n = 1
hnμ : ¬IsPrimitiveRoot μ n
ho : 0 < orderOf μ
i : ℕ
hiμ : (cyclotomic i K).IsRoot μ
hio : i ∣ orderOf μ
\u22a2 False