ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
\u22a2 ((g ^ k) ∘ₗ H.subtype) ⟨x, hx⟩ = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
\u22a2 (H.subtype ∘ₗ f ^ k) ⟨x, hx⟩ = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
h : (⇑((toEnd R ↥H ↥H) y))^[k] ⟨x, hx⟩ ∈ lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k
\u22a2 (H.subtype ∘ₗ f ^ k) ⟨x, hx⟩ = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
h : (⇑((toEnd R ↥H ↥H) y))^[k] ⟨x, hx⟩ = 0
\u22a2 (H.subtype ∘ₗ f ^ k) ⟨x, hx⟩ = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
h : (⇑((toEnd R ↥H ↥H) y))^[k] ⟨x, hx⟩ = 0
\u22a2 (⇑f)^[k] ⟨x, hx⟩ = 0
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
\u22a2 a ∈ [[b, c]] → b ∈ [[a, c]] → a = b
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
\u22a2 b ⊓ c ≤ a ∧ a ≤ b ⊔ c → a ⊓ c ≤ b ∧ b ≤ a ⊔ c → a = b
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
m : Num
n : ℕ
\u22a2 ↑(m >>> n) = ↑m >>> n
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : ℕ
\u22a2 ↑0 = ↑zero >>> n
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : ℕ
m : PosNum
\u22a2 ↑(m >>> n) = ↑(pos m) >>> n
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : ℕ
IH : ∀ (m : PosNum), ↑(m >>> n) = ↑(pos m) >>> n
m : PosNum
\u22a2 ↑(m >>> (n + 1)) = ↑(pos m) >>> (n + 1)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : ℕ
IH : ∀ (m : PosNum), ↑(m >>> n) = ↑(pos m) >>> n
m : PosNum
hdiv2 : ∀ (m : ℕ), (m + m).div2 = m
\u22a2 ↑(m >>> (n + 1)) = ↑(pos m) >>> (n + 1)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : ℕ
IH : ∀ (m : PosNum), ↑(m >>> n) = ↑(pos m) >>> n
hdiv2 : ∀ (m : ℕ), (m + m).div2 = m
\u22a2 ↑0 = ↑(pos one) >>> (n + 1)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : ℕ
IH : ∀ (m : PosNum), ↑(m >>> n) = ↑(pos m) >>> n
hdiv2 : ∀ (m : ℕ), (m + m).div2 = m
m : PosNum
\u22a2 ↑(m.shiftr n) = ↑(pos m.bit1) >>> (n + 1)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : ℕ
IH : ∀ (m : PosNum), ↑(m >>> n) = ↑(pos m) >>> n
hdiv2 : ∀ (m : ℕ), (m + m).div2 = m
m : PosNum
\u22a2 ↑(m.shiftr n) = ↑(pos m.bit0) >>> (n + 1)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y < z \ x
hxz : x ≤ z
\u22a2 x ⊔ y < z
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y < z \ x
hxz : x ≤ z
\u22a2 x ⊔ y < x ⊔ z \ x
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y < z \ x
hxz : x ≤ z
h' : x ⊔ z \ x ≤ x ⊔ y
\u22a2 z \ x ≤ y
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y < z \ x
hxz : x ≤ z
h' : x ⊔ z \ x ≤ x ⊔ y
\u22a2 (z \ x) \ x ≤ y
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
\u22a2 a / b < c ↔ a < b * c
-- Mathlib/Algebra/Ring/Rat.lean
x : ℤ
hx : x ≠ 0
n d : ℤ
\u22a2 x /. n / (x /. d) = d /. n
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
\u22a2 2 / (1 - 2 / rexp 1) ≤ 8
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
\u22a2 8 * 2 ≤ (8 - 2) * rexp 1
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
\u22a2 0 < 1 - 2 / rexp 1
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y
\u22a2 (∀ (x : Set Y), IsOpen xᶜ → IsOpen (f ⁻¹' xᶜ)) ↔ ∀ (s : Set Y), IsClosed s → IsClosed (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Rat.lean
q : ℚ≥0
hq : q ≠ 0
\u22a2 q⁻¹.num = q.den
-- Mathlib/Condensed/TopComparison.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
G : C ⥤ TopCat
X✝ : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace X✝
X : TopCat
\u22a2 EqualizerCondition (yonedaPresheaf compHausToTop ↑X)
-- Mathlib/Condensed/TopComparison.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
G : C ⥤ TopCat
X✝ : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace X✝
X : TopCat
\u22a2 ∀ (Z B : CompHaus) (π : Z ⟶ B) [inst : EffectiveEpi π], QuotientMap ⇑(compHausToTop.map π)
-- Mathlib/Condensed/TopComparison.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
G : C ⥤ TopCat
X✝ : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace X✝
X : TopCat
Z B : CompHaus
π : Z ⟶ B
he : EffectiveEpi π
\u22a2 QuotientMap ⇑(compHausToTop.map π)
-- Mathlib/Condensed/TopComparison.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
G : C ⥤ TopCat
X✝ : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace X✝
X : TopCat
Z B : CompHaus
π : Z ⟶ B
he : Function.Surjective ⇑π
\u22a2 QuotientMap ⇑(compHausToTop.map π)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
\u22a2 fastGrowing 2 = fun n => 2 ^ n * n
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
\u22a2 (fun i => (fastGrowing 1)^[i] i) = fun n => 2 ^ n * n
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
i : ℕ
\u22a2 (fastGrowing 1)^[i] i = 2 ^ i * i
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
i : ℕ
\u22a2 (fun n => 2 * n)^[i] i = 2 ^ i * i
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
i a b : ℕ
\u22a2 (fun n => 2 * n)^[a] b = 2 ^ a * b
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ s₃ : Finmap β
h : s₁.Disjoint s₃
h' : s₂.Disjoint s₃
h'' : s₁ ∪ s₃ = s₂ ∪ s₃
\u22a2 s₁ = s₂
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ s₃ : Finmap β
h : s₁.Disjoint s₃
h' : s₂.Disjoint s₃
h'' : s₁ ∪ s₃ = s₂ ∪ s₃
\u22a2 ∀ (x : α), lookup x s₁ = lookup x s₂
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
C : ℝ
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
\u22a2 ∃ C, ∃ (_ : 0 < C), ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
C : ℝ
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
\u22a2 ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < max C 1 / ↑n ^ p
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
C : ℝ
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
\u22a2 ∀ (x_1 : ℕ), (1 ≤ x_1 ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < C / ↑x_1 ^ p) → 1 ≤ x_1 ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < max C 1 / ↑x_1 ^ p
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
C : ℝ
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
hle : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
\u22a2 C ≤ max C 1
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α✝ α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
n : ℕ
\u22a2 ∑ i ∈ range (n + 1), x ^ i * y ^ (n - i) = x ^ n + y * ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α✝ α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
n : ℕ
\u22a2 ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - i) = ∑ x_1 ∈ range n, x ^ x_1 * y ^ (n - 1 - x_1 + 1)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α✝ α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
n i : ℕ
hi : i ∈ range n
\u22a2 x ^ i * y ^ (n - i) = x ^ i * y ^ (n - 1 - i + 1)
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
s : Set α
\u22a2 val ⁻¹' s = univ
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/FiniteType.lean
R S : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
\u22a2 (algebraMap R S).FiniteType
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/FiniteType.lean
R S : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
\u22a2 Algebra.FiniteType R S
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : SemilatticeSup α
s : α → Set β
t : α → Set γ
hs : Monotone s
ht : Monotone t
z : β
w : γ
\u22a2 (z, w) ∈ ⋃ x, s x ×ˢ t x ↔ (z, w) ∈ (⋃ x, s x) ×ˢ ⋃ x, t x
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : SemilatticeSup α
s : α → Set β
t : α → Set γ
hs : Monotone s
ht : Monotone t
z : β
w : γ
\u22a2 (∀ (x : α), z ∈ s x → w ∈ t x → (∃ i, z ∈ s i) ∧ ∃ i, w ∈ t i) ∧ ∀ (x : α), z ∈ s x → ∀ (x : α), w ∈ t x → ∃ i, z ∈ s i ∧ w ∈ t i
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
\u22a2 ↑s = univ ↔ s = ⊤
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
δ✝ : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → UniformSpace (δ✝ i)
δ : ι → Type u_6
φ : (i : ι) → δ i → α
h_cover : ∃ I, I.Finite ∧ ⋃ i ∈ I, range (φ i) = univ
\u22a2 𝓤 (α →ᵤ β) = 𝓤 (α →ᵤ β)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
δ✝ : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → UniformSpace (δ✝ i)
δ : ι → Type u_6
φ : (i : ι) → δ i → α
h_cover : ∃ I, I.Finite ∧ ⋃ i ∈ I, range (φ i) = univ
\u22a2 𝓤 (α →ᵤ β) = ⨅ i, comap (Prod.map (⇑ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑toFun) (⇑ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑toFun)) (𝓤 (δ i →ᵤ β))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
δ✝ : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → UniformSpace (δ✝ i)
δ : ι → Type u_6
φ : (i : ι) → δ i → α
h_cover : ∃ I, I.Finite ∧ ⋃ i ∈ I, range (φ i) = univ
\u22a2 ⨅ i, comap (Prod.map (⇑ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑toFun) (⇑ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑toFun)) (𝓤 (δ i →ᵤ β)) ≤ 𝓤 (α →ᵤ β)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
δ✝ : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → UniformSpace (δ✝ i)
δ : ι → Type u_6
φ : (i : ι) → δ i → α
I : Set ι
I_finite : I.Finite
I_cover : ⋃ i ∈ I, range (φ i) = univ
\u22a2 ⨅ i, comap (Prod.map (⇑ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑toFun) (⇑ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑toFun)) (𝓤 (δ i →ᵤ β)) ≤ 𝓤 (α →ᵤ β)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x✝¹ : α
p : Filter ι
g✝ : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
δ✝ : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → UniformSpace (δ✝ i)
δ : ι → Type u_6
φ : (i : ι) → δ i → α
I : Set ι
I_finite : I.Finite
I_cover : ⋃ i ∈ I, range (φ i) = univ
U : Set (β × β)
hU : U ∈ 𝓤 β
x✝ : (α →ᵤ β) × (α →ᵤ β)
x : α
f g : α →ᵤ β
hfg : (f, g) ∈ ⋂ i, Prod.map (⇑ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ ↑i) ∘ ⇑toFun) (⇑ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ ↑i) ∘ ⇑toFun) ⁻¹' UniformFun.gen (δ ↑i) β (⟨I, fun x => U⟩.snd i)
\u22a2 (toFun (f, g).1 x, toFun (f, g).2 x) ∈ U
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g✝ : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
δ✝ : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → UniformSpace (δ✝ i)
δ : ι → Type u_6
φ : (i : ι) → δ i → α
I : Set ι
I_finite : I.Finite
I_cover : ⋃ i ∈ I, range (φ i) = univ
U : Set (β × β)
hU : U ∈ 𝓤 β
x✝ : (α →ᵤ β) × (α →ᵤ β)
f g : α →ᵤ β
hfg : (f, g) ∈ ⋂ i, Prod.map (⇑ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ ↑i) ∘ ⇑toFun) (⇑ofFun ∘ (fun x => x ∘ φ ↑i) ∘ ⇑toFun) ⁻¹' UniformFun.gen (δ ↑i) β (⟨I, fun x => U⟩.snd i)
i : ι
hi : i ∈ I
y : δ i
\u22a2 (toFun (f, g).1 (φ i y), toFun (f, g).2 (φ i y)) ∈ U
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
xt : x ≠ ⊤
\u22a2 (𝓝 x).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun ε => Icc (x - ε) (x + ε)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
xt : 0 ≠ ⊤
\u22a2 (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun ε => Icc (0 - ε) (0 + ε)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
xt : x ≠ ⊤
x0 : 0 < x
\u22a2 (𝓝 x).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun ε => Icc (x - ε) (x + ε)
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
k k' : Cont
v : List ℕ
\u22a2 (k.then k').eval v = k.eval v >>= k'.eval
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
k' : Cont
a✝¹ : Code
a✝ : Cont
k_ih : ∀ {v : List ℕ}, (a✝.then k').eval v = a✝.eval v >>= k'.eval
v : List ℕ
\u22a2 a✝¹.eval v >>= (a✝.then k').eval = a✝¹.eval v >>= fun x => a✝.eval x >>= k'.eval
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
k' : Cont
a✝¹ : Code
a✝ : Cont
k_ih : ∀ {v : List ℕ}, (a✝.then k').eval v = a✝.eval v >>= k'.eval
v : List ℕ
\u22a2 (if v.headI = 0 then a✝.eval v.tail >>= k'.eval else a✝¹.fix.eval v.tail >>= (a✝.then k').eval) = (if v.headI = 0 then a✝.eval v.tail else a✝¹.fix.eval v.tail >>= a✝.eval) >>= k'.eval
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : y ≠ 0
\u22a2 (x ^ y⁻¹) ^ y = x
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
i j : Fin n
\u22a2 i ≤ j.rev ↔ j ≤ i.rev
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
\u22a2 {x, y}.infsep = dist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
\u22a2 (ENNReal.ofReal (dist x y)).toReal = dist x y
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
\u22a2 |rexp x - 1 - x| ≤ x ^ 2
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
\u22a2 |rexp x - 1 - x| ≤ |x| ^ 2
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
this : Complex.abs ↑x ≤ 1
\u22a2 |rexp x - 1 - x| ≤ |x| ^ 2
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
this✝ : Complex.abs ↑x ≤ 1
this : Complex.abs (cexp ↑x - 1 - ↑x) ≤ Complex.abs ↑x ^ 2
\u22a2 |rexp x - 1 - x| ≤ |x| ^ 2
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx : |x| ≤ 1
this✝ : Complex.abs ↑x ≤ 1
this : |rexp x - 1 - x| ≤ |x| ^ 2
\u22a2 |rexp x - 1 - x| ≤ |x| ^ 2
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
l : List α
\u22a2 l.reverse.tails = (map reverse l.inits).reverse
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
l : List α
\u22a2 l.reverse.tails = (map reverse (map reverse l.reverse.tails).reverse).reverse
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
inst✝ : Nonempty ι
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) l
t : Set α
\u22a2 t ∈ ⨅ i, l i ↔ ∃ i, p i.1 i.2 ∧ s i.1 i.2 ⊆ t
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
inst✝ : Nonempty ι
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) l
t : Set α
\u22a2 (∃ i, t ∈ l i) ↔ ∃ a b, p (a, b).1 (a, b).2 ∧ s (a, b).1 (a, b).2 ⊆ t
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
n d : ℤ
\u22a2 (n /. d).den = if d = 0 then 1 else d.natAbs / n.gcd d
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
n d : ℤ
this : ∀ (m : ℕ), (↑m + 1).natAbs = m + 1
\u22a2 (n /. d).den = if d = 0 then 1 else d.natAbs / n.gcd d
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Kernels.lean
C : Type u₁
inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
D : Type u₂
inst✝⁸ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁶ : G.PreservesZeroMorphisms
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
h : Z ⟶ X
w : h ≫ f = 0
inst✝⁵ : HasKernel f
inst✝⁴ : HasKernel (G.map f)
inst✝³ : PreservesLimit (parallelPair f 0) G
X' Y' : C
g : X' ⟶ Y'
inst✝² : HasKernel g
inst✝¹ : HasKernel (G.map g)
inst✝ : PreservesLimit (parallelPair g 0) G
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
\u22a2 G.map f ≫ G.map q = G.map p ≫ G.map g
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Kernels.lean
C : Type u₁
inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
D : Type u₂
inst✝⁸ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁶ : G.PreservesZeroMorphisms
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
h : Z ⟶ X
w : h ≫ f = 0
inst✝⁵ : HasKernel f
inst✝⁴ : HasKernel (G.map f)
inst✝³ : PreservesLimit (parallelPair f 0) G
X' Y' : C
g : X' ⟶ Y'
inst✝² : HasKernel g
inst✝¹ : HasKernel (G.map g)
inst✝ : PreservesLimit (parallelPair g 0) G
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
\u22a2 kernel.map (G.map f) (G.map g) (G.map p) (G.map q) ⋯ ≫ (PreservesKernel.iso G g).inv = (PreservesKernel.iso G f).inv ≫ G.map (kernel.map f g p q hpq)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p₁ p₂ : P
hx : x ∉ s
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : 0 < t
\u22a2 s.SSameSide (t • (x -ᵥ p₁) +ᵥ p₂) x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p₁ p₂ : P
hx : x ∉ s
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : 0 < t
h : t • (x -ᵥ p₁) +ᵥ p₂ ∈ s
\u22a2 x ∈ s
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime (y * z + x) y
\u22a2 IsCoprime x y
-- Mathlib/Order/Filter/Curry.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
l : Filter α
m : Filter β
s : Set α
t : Set β
x✝ : sᶜ ∉ l ∧ tᶜ ∉ m
hs : sᶜ ∉ l
ht : tᶜ ∉ m
\u22a2 ∃ᶠ (x : α × β) in l.curry m, x ∈ s ×ˢ t
-- Mathlib/Order/Filter/Curry.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
l : Filter α
m : Filter β
s : Set α
t : Set β
x✝ : sᶜ ∉ l ∧ tᶜ ∉ m
hs : sᶜ ∉ l
ht : tᶜ ∉ m
\u22a2 ∃ᶠ (x : α) in l, ∃ᶠ (y : β) in m, (x, y) ∈ s ×ˢ t
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Dslope.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
h : b ≠ a
\u22a2 dslope (fun x => (x - a) • f x) a b = f b
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : ι → α
g : α → Set β
\u22a2 ⋃ x, ⋃ y, ⋃ (_ : f y = x), g x = ⋃ y, g (f y)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
\u22a2 a * b ∈ closedBall a r ↔ ‖b‖ ≤ r
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
\u22a2 p.comp 1 = C (eval 1 p)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
hp : p < ⊤
hp' : Free R (M ⧸ p)
\u22a2 ∃ f, f ≠ 0 ∧ map f p = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
hp : p < ⊤
hp' : Free R (M ⧸ p)
x : M
hx : x ∉ p
\u22a2 ∃ f, f ≠ 0 ∧ map f p = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
hp : p < ⊤
hp' : Free R (M ⧸ p)
x : M
hx : x ∉ p
f : Dual R M
hf : f x ≠ 0
hf' : map f p = ⊥
\u22a2 ∃ f, f ≠ 0 ∧ map f p = ⊥
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n
\u22a2 (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ m))).comp (toZModPow n) = toZModPow m
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n
\u22a2 RingHom.ker ((ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ m))).comp (toZModPow n)) = RingHom.ker (toZModPow m)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n
x : ℤ_[p]
\u22a2 x ∈ RingHom.ker ((ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ m))).comp (toZModPow n)) ↔ x ∈ RingHom.ker (toZModPow m)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n
x : ℤ_[p]
\u22a2 ((ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ m))).comp (toZModPow n)) x = 0 ↔ (toZModPow m) x = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n
x : ℤ_[p]
\u22a2 ((toZModPow n) x).cast = 0 ↔ (toZModPow m) x = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n
x : ℤ_[p]
\u22a2 ({ toFun := fun x => ↑(x.appr n), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } x).cast = 0 ↔ { toFun := fun x => ↑(x.appr m), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } x = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n
x : ℤ_[p]
\u22a2 (↑(x.appr n)).cast = 0 ↔ ↑(x.appr m) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n
x : ℤ_[p]
\u22a2 ↑(x.appr n) - ↑(x.appr n) ∈ Ideal.span {↑p ^ m}
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n
x : ℤ_[p]
\u22a2 ↑(x.appr n) - ↑(x.appr m) ∈ Ideal.span {↑p ^ m}
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : EMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
C : ℝ≥0∞
sC : Set ℝ≥0∞
inst✝ : Finite ↑s
\u22a2 ∃ C > 0, ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → C ≤ edist x y