ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type uR
inst✝⁴ : CommSemiring R
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
ψ : Dual R M₂
x : M₁
hx : f x = 0
\u22a2 (f.dualMap ψ) x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B✝ : Matrix n n α
B : Matrix n m α
h : IsUnit A.det
\u22a2 A * (A⁻¹ * B) = B
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
κ' : κ → Sort u_6
s : (i : κ) → κ' i → HomogeneousIdeal 𝒜
\u22a2 (⨆ i, ⨆ j, s i j).toIdeal = ⨆ i, ⨆ j, (s i j).toIdeal
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
\u22a2 ∃ v m, Monotone v ∧ (∀ (i : ℕ), v i ∈ s) ∧ x ∈ v '' Iio m ∧ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ ∑ j ∈ Finset.range m, edist (f (v (j + 1))) (f (v j))
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : u n ≤ x
\u22a2 ∃ v m, Monotone v ∧ (∀ (i : ℕ), v i ∈ s) ∧ x ∈ v '' Iio m ∧ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ ∑ j ∈ Finset.range m, edist (f (v (j + 1))) (f (v j))
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
\u22a2 ∃ v m, Monotone v ∧ (∀ (i : ℕ), v i ∈ s) ∧ x ∈ v '' Iio m ∧ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ ∑ j ∈ Finset.range m, edist (f (v (j + 1))) (f (v j))
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N
\u22a2 ∃ v m, Monotone v ∧ (∀ (i : ℕ), v i ∈ s) ∧ x ∈ v '' Iio m ∧ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ ∑ j ∈ Finset.range m, edist (f (v (j + 1))) (f (v j))
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N
N : ℕ := Nat.find exists_N
\u22a2 ∃ v m, Monotone v ∧ (∀ (i : ℕ), v i ∈ s) ∧ x ∈ v '' Iio m ∧ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ ∑ j ∈ Finset.range m, edist (f (v (j + 1))) (f (v j))
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N
N : ℕ := Nat.find exists_N
hN : N ≤ n ∧ x < u N
\u22a2 ∃ v m, Monotone v ∧ (∀ (i : ℕ), v i ∈ s) ∧ x ∈ v '' Iio m ∧ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ ∑ j ∈ Finset.range m, edist (f (v (j + 1))) (f (v j))
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N
N : ℕ := Nat.find exists_N
hN : N ≤ n ∧ x < u N
w : ℕ → α := fun i => if i < N then u i else if i = N then x else u (i - 1)
ws : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s
hw : Monotone w
\u22a2 ∃ v m, Monotone v ∧ (∀ (i : ℕ), v i ∈ s) ∧ x ∈ v '' Iio m ∧ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ ∑ j ∈ Finset.range m, edist (f (v (j + 1))) (f (v j))
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N
N : ℕ := Nat.find exists_N
hN : N ≤ n ∧ x < u N
w : ℕ → α := fun i => if i < N then u i else if i = N then x else u (i - 1)
ws : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s
hw : Monotone w
\u22a2 w N = x
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N
N : ℕ := Nat.find exists_N
hN : N ≤ n ∧ x < u N
w : ℕ → α := fun i => if i < N then u i else if i = N then x else u (i - 1)
ws : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s
hw : Monotone w
\u22a2 ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ ∑ j ∈ Finset.range (n + 1), edist (f (w (j + 1))) (f (w j))
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N
N : ℕ := Nat.find exists_N
hN : N ≤ n ∧ x < u N
w : ℕ → α := fun i => if i < N then u i else if i = N then x else u (i - 1)
ws : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s
hw : Monotone w
Npos : 0 = N
\u22a2 ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ ∑ j ∈ Finset.range (n + 1), edist (f (w (j + 1))) (f (w j))
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N
N : ℕ := Nat.find exists_N
hN : N ≤ n ∧ x < u N
w : ℕ → α := fun i => if i < N then u i else if i = N then x else u (i - 1)
ws : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s
hw : Monotone w
Npos : 0 < N
\u22a2 ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ ∑ j ∈ Finset.range (n + 1), edist (f (w (j + 1))) (f (w j))
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Basic.lean
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F TotalSpace.proj
x : TotalSpace F E
b✝ : B
y✝ : E b✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : Module R F
inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝¹ : (x : B) → Module R (E x)
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e
b : B
y : E b
\u22a2 (Trivialization.linearMapAt R e b) y = if b ∈ e.baseSet then (↑e { proj := b, snd := y }).2 else 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
\u22a2 ⟪x, y⟫_ℝ = ‖x‖ * ‖y‖ ↔ angle x y = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ⟪x, y⟫_ℝ = ‖x‖ * ‖y‖
\u22a2 angle x y = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ⟪x, y⟫_ℝ = ‖x‖ * ‖y‖
h₁ : ‖x‖ * ‖y‖ ≠ 0
\u22a2 angle x y = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X : C
\u22a2 L.map (h.unit.app X) ≫ L.map (h.unit.app (R.obj (L.obj X))) = L.map (h.unit.app X) ≫ L.map (R.map (L.map (h.unit.app X)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 L.map (h.unit.app X✝) ≫ L.map (R.map (L.map f)) = L.map f ≫ L.map (h.unit.app Y✝)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 L.map (h.unit.app X✝ ≫ R.map (L.map f)) = L.map f ≫ L.map (h.unit.app Y✝)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Invertible.lean
α : Type u
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : Invertible 2
\u22a2 2 * (1 - ⅟2) = 2 * ⅟2
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
\u22a2 LiouvilleWith p (x + ↑m) ↔ LiouvilleWith p x
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
f g : ℕ →. ℕ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
\u22a2 ∃ h, Partrec h ∧ ∀ (a : ℕ), (∀ x ∈ h a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((h a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
g : ℕ →. ℕ
hg : Partrec g
cf : Code
hf : Partrec cf.eval
\u22a2 ∃ h, Partrec h ∧ ∀ (a : ℕ), (∀ x ∈ h a, x ∈ cf.eval a ∨ x ∈ g a) ∧ ((h a).Dom ↔ (cf.eval a).Dom ∨ (g a).Dom)
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
cf : Code
hf : Partrec cf.eval
cg : Code
hg : Partrec cg.eval
\u22a2 ∃ h, Partrec h ∧ ∀ (a : ℕ), (∀ x ∈ h a, x ∈ cf.eval a ∨ x ∈ cg.eval a) ∧ ((h a).Dom ↔ (cf.eval a).Dom ∨ (cg.eval a).Dom)
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
cf : Code
hf : Partrec cf.eval
cg : Code
hg : Partrec cg.eval
this : Partrec fun n => rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun x => Code.evaln k cg n
\u22a2 ∃ h, Partrec h ∧ ∀ (a : ℕ), (∀ x ∈ h a, x ∈ cf.eval a ∨ x ∈ cg.eval a) ∧ ((h a).Dom ↔ (cf.eval a).Dom ∨ (cg.eval a).Dom)
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
cf : Code
hf : Partrec cf.eval
cg : Code
hg : Partrec cg.eval
this✝ : Partrec fun n => rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun x => Code.evaln k cg n
n : ℕ
this : ∀ x ∈ rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun _x => Code.evaln k cg n, x ∈ cf.eval n ∨ x ∈ cg.eval n
\u22a2 (∀ x ∈ rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun x => Code.evaln k cg n, x ∈ cf.eval n ∨ x ∈ cg.eval n) ∧ ((rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun x => Code.evaln k cg n).Dom ↔ (cf.eval n).Dom ∨ (cg.eval n).Dom)
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
cf : Code
hf : Partrec cf.eval
cg : Code
hg : Partrec cg.eval
this✝ : Partrec fun n => rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun x => Code.evaln k cg n
n : ℕ
this : ∀ x ∈ rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun _x => Code.evaln k cg n, x ∈ cf.eval n ∨ x ∈ cg.eval n
\u22a2 (cf.eval n).Dom ∨ (cg.eval n).Dom → (rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun x => Code.evaln k cg n).Dom
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
cf : Code
hf : Partrec cf.eval
cg : Code
hg : Partrec cg.eval
this✝ : Partrec fun n => rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun x => Code.evaln k cg n
n : ℕ
this : ∀ x ∈ rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun _x => Code.evaln k cg n, x ∈ cf.eval n ∨ x ∈ cg.eval n
h : (cf.eval n).Dom ∨ (cg.eval n).Dom
\u22a2 (rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun x => Code.evaln k cg n).Dom
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
cf : Code
hf : Partrec cf.eval
cg : Code
hg : Partrec cg.eval
this✝ : Partrec fun n => rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun x => Code.evaln k cg n
n : ℕ
this : ∀ x ∈ rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun _x => Code.evaln k cg n, x ∈ cf.eval n ∨ x ∈ cg.eval n
h : (cf.eval n).Dom ∨ (cg.eval n).Dom
\u22a2 ∃ n_1 a, a ∈ HOrElse.hOrElse (Code.evaln n_1 cf n) fun x => Code.evaln n_1 cg n
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
cf : Code
hf : Partrec cf.eval
cg : Code
hg : Partrec cg.eval
this✝ : Partrec fun n => rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun x => Code.evaln k cg n
n : ℕ
this : ∀ x ∈ rfindOpt fun k => HOrElse.hOrElse (Code.evaln k cf n) fun _x => Code.evaln k cg n, x ∈ cf.eval n ∨ x ∈ cg.eval n
h : (∃ y k, Code.evaln k cf n = Option.some y) ∨ ∃ y k, Code.evaln k cg n = Option.some y
\u22a2 ∃ n_1 a, a ∈ HOrElse.hOrElse (Code.evaln n_1 cf n) fun x => Code.evaln n_1 cg n
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → Seq1 β
g : β → Seq1 γ
a : α
s : Seq α
\u22a2 (bind (a, s) f).bind g = bind (a, s) fun x => (f x).bind g
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → Seq1 β
g : β → Seq1 γ
a : α
s : Seq α
\u22a2 (join (map g (f a), Seq.map (map g) (Seq.map f s))).join = join ((map g (f a)).join, Seq.map (fun x => (map g (f x)).join) s)
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → Seq1 β
g : β → Seq1 γ
a : α
s : Seq α
\u22a2 (join (map g (f a), Seq.map (map g ∘ f) s)).join = join ((map g (f a)).join, Seq.map (fun x => (map g (f x)).join) s)
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → Seq1 β
g : β → Seq1 γ
a : α
s : Seq α
\u22a2 (join (map g (f a), Seq.map (map g ∘ f) s)).join = join ((map g (f a)).join, Seq.map (join ∘ map g ∘ f) s)
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → Seq1 β
g : β → Seq1 γ
a : α
s : Seq α
\u22a2 (join (map g (f a), Seq.map (map g ∘ f) s)).join = join ((map g (f a)).join, Seq.map join (Seq.map (map g ∘ f) s))
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
l : List α
\u22a2 powersetAux l ~ powersetAux' l
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
l : List α
\u22a2 List.map ofList l.sublists ~ powersetAux' l
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
\u22a2 sign a ≤ 0 ↔ a ≤ 0
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
h : 0 < a
\u22a2 sign a ≤ 0 ↔ a ≤ 0
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
h : 0 = a
\u22a2 sign a ≤ 0 ↔ a ≤ 0
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
h : a < 0
\u22a2 sign a ≤ 0 ↔ a ≤ 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Uniform.lean
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁✝ a₂✝ b b₁✝ b₂✝ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a₁ a₂ b₁ b₂ : E
\u22a2 dist (a₁ * a₂) (b₁ * b₂) ≤ dist a₁ b₁ + dist a₂ b₂
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
\u22a2 comap re (comap Real.exp (𝓝 0)) = comap re atBot
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
h : limsup (fun i => (μs i) E) L ≤ μ E
\u22a2 μ Eᶜ ≤ liminf (fun i => (μs i) Eᶜ) L
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
h : limsup (fun i => (μs i) E) ⊥ ≤ μ E
\u22a2 μ Eᶜ ≤ liminf (fun i => (μs i) Eᶜ) ⊥
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
h : limsup (fun i => (μs i) E) L ≤ μ E
hne : L.NeBot
\u22a2 μ Eᶜ ≤ liminf (fun i => (μs i) Eᶜ) L
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
h : limsup (fun i => (μs i) E) L ≤ μ E
hne : L.NeBot
meas_Ec : μ Eᶜ = 1 - μ E
\u22a2 μ Eᶜ ≤ liminf (fun i => (μs i) Eᶜ) L
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
h : limsup (fun i => (μs i) E) L ≤ μ E
hne : L.NeBot
meas_Ec : μ Eᶜ = 1 - μ E
meas_i_Ec : ∀ (i : ι), (μs i) Eᶜ = 1 - (μs i) E
\u22a2 μ Eᶜ ≤ liminf (fun i => (μs i) Eᶜ) L
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
h : limsup (fun i => (μs i) E) L ≤ μ E
hne : L.NeBot
meas_Ec : μ Eᶜ = 1 - μ E
meas_i_Ec : ∀ (i : ι), (μs i) Eᶜ = 1 - (μs i) E
obs : liminf (fun i => 1 - (μs i) E) L = liminf ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L
\u22a2 1 - μ E ≤ liminf ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
h : limsup (fun i => (μs i) E) L ≤ μ E
hne : L.NeBot
meas_Ec : μ Eᶜ = 1 - μ E
meas_i_Ec : ∀ (i : ι), (μs i) Eᶜ = 1 - (μs i) E
obs : liminf (fun i => 1 - (μs i) E) L = liminf ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L
this : 1 - limsup (fun i => (μs i) E) L = liminf ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L
\u22a2 1 - μ E ≤ liminf ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
h : limsup (fun i => (μs i) E) L ≤ μ E
hne : L.NeBot
meas_Ec : μ Eᶜ = 1 - μ E
meas_i_Ec : ∀ (i : ι), (μs i) Eᶜ = 1 - (μs i) E
obs : liminf (fun i => 1 - (μs i) E) L = liminf ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L
this : 1 - limsup (fun i => (μs i) E) L = liminf ((fun x => 1 - x) ∘ fun i => (μs i) E) L
\u22a2 1 - μ E ≤ 1 - limsup (fun i => (μs i) E) L
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α
c : Chain α
x : α
a✝ : ∀ (i : ℕ), c i ≤ x
\u22a2 ωSup c ≤ x
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
P : α → Prop
a : α
h₁ : P 0
h₂ : ∀ (x : α), IsUnit x → P x
h₃ : ∀ (a p : α), a ≠ 0 → Prime p → P a → P (p * a)
\u22a2 P a
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
P : α → Prop
a : α
h₁ : P 0
h₂ : ∀ (x : α), IsUnit x → P x
h₃ : ∀ (a p : α), a ≠ 0 → Irreducible p → P a → P (p * a)
\u22a2 P a
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : DecidableEq α
inst✝⁴ : DecidableEq β
inst✝³ : SemilatticeInf α
inst✝² : SemilatticeInf β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : InfHomClass F α β
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
f : F
hf : Injective ⇑f
s t : Finset α
\u22a2 map { toFun := ⇑f, inj' := hf } (s ⊼ t) = map { toFun := ⇑f, inj' := hf } s ⊼ map { toFun := ⇑f, inj' := hf } t
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
inst✝⁴ : Field K₁
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K₁ V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
J : K →+* K
J₁ J₁' : K₁ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[J₁] V₁ →ₛₗ[J₁'] V₂
x : V₁
hx : ¬B.IsOrtho x x
\u22a2 Submodule.span K₁ {x} ⊓ (Submodule.span K₁ {x}).orthogonalBilin B = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
inst✝⁴ : Field K₁
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K₁ V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
J : K →+* K
J₁ J₁' : K₁ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[J₁] V₁ →ₛₗ[J₁'] V₂
x : V₁
hx : ¬B.IsOrtho x x
\u22a2 Submodule.span K₁ ↑{x} ⊓ (Submodule.span K₁ ↑{x}).orthogonalBilin B = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
inst✝⁴ : Field K₁
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K₁ V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
J : K →+* K
J₁ J₁' : K₁ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[J₁] V₁ →ₛₗ[J₁'] V₂
x : V₁
hx : ¬B.IsOrtho x x
y : V₁
h : y ∈ Submodule.span K₁ ↑{x} ⊓ (Submodule.span K₁ ↑{x}).orthogonalBilin B
\u22a2 y ∈ ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
inst✝⁴ : Field K₁
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K₁ V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
J : K →+* K
J₁ J₁' : K₁ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[J₁] V₁ →ₛₗ[J₁'] V₂
x : V₁
hx : ¬B.IsOrtho x x
μ : V₁ → K₁
h : ∑ i ∈ {x}, μ i • i ∈ Submodule.span K₁ ↑{x} ⊓ (Submodule.span K₁ ↑{x}).orthogonalBilin B
\u22a2 ∑ i ∈ {x}, μ i • i ∈ ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
inst✝⁴ : Field K₁
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K₁ V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
J : K →+* K
J₁ J₁' : K₁ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[J₁] V₁ →ₛₗ[J₁'] V₂
x : V₁
hx : ¬B.IsOrtho x x
μ : V₁ → K₁
h : B.IsOrtho x (∑ i ∈ {x}, μ i • i)
\u22a2 ∑ i ∈ {x}, μ i • i ∈ ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
inst✝⁴ : Field K₁
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K₁ V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
J : K →+* K
J₁ J₁' : K₁ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[J₁] V₁ →ₛₗ[J₁'] V₂
x : V₁
hx : ¬B.IsOrtho x x
μ : V₁ → K₁
h : B.IsOrtho x (μ x • x)
\u22a2 μ x • x ∈ ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
inst✝⁴ : Field K₁
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K₁ V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
J : K →+* K
J₁ J₁' : K₁ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[J₁] V₁ →ₛₗ[J₁'] V₂
x : V₁
hx : ¬B.IsOrtho x x
μ : V₁ → K₁
h : B.IsOrtho x (μ x • x)
\u22a2 μ x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
inst✝⁴ : Field K₁
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K₁ V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
J : K →+* K
J₁ J₁' : K₁ →+* K
B : V₁ →ₛₗ[J₁] V₁ →ₛₗ[J₁'] V₂
x : V₁
hx : ¬B.IsOrtho x x
μ : V₁ → K₁
h : J₁' (μ x) • (B x) x = 0
\u22a2 μ x = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X✝ : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X✝))
X : LocallyRingedSpace
s : Set ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))
\u22a2 ⇑X.toΓSpec.val.base ⁻¹' zeroLocus s = ⋂ f ∈ s, (↑(X.toRingedSpace.basicOpen f))ᶜ