ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : AEStronglyMeasurable X ℙ
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
A : ↑c ≠ 0
B : AEStronglyMeasurable (fun x => ∫ (a : Ω), X a) ℙ
\u22a2 ℙ {ω | ↑c ≤ |X ω - ∫ (a : Ω), X a|} ≤ evariance X ℙ / ↑c ^ 2
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : AEStronglyMeasurable X ℙ
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
A : ↑c ≠ 0
B : AEStronglyMeasurable (fun x => ∫ (a : Ω), X a) ℙ
\u22a2 ℙ {ω | ↑c ≤ |X ω - ∫ (a : Ω), X a|} = ℙ {x | ↑c ≤ ↑‖(X - fun x => ∫ (a : Ω), X a) x‖₊}
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : AEStronglyMeasurable X ℙ
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
A : ↑c ≠ 0
B : AEStronglyMeasurable (fun x => ∫ (a : Ω), X a) ℙ
\u22a2 evariance X ℙ / ↑c ^ 2 = (↑c)⁻¹ ^ ENNReal.toReal 2 * eLpNorm (X - fun x => ∫ (a : Ω), X a) 2 ℙ ^ ENNReal.toReal 2
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
\u22a2 n.sqrt * n.sqrt + n.sqrt ≤ n.sqrt.succ.succ.mul (n.sqrt + 1)
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s✝ : Set X
f✝ g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
f : X → Y → α
hf : ∀ (a : X) (b : Y) (c : X) (d : Y), (a ~ᵢ c) → (b ~ᵢ d) → f a b = f c d
x : X
y : Y
s : Set (SeparationQuotient X × SeparationQuotient Y)
l : Filter α
\u22a2 Tendsto (uncurry (lift₂ f hf)) (𝓝[s] (mk x, mk y)) l ↔ Tendsto (uncurry f) (𝓝[Prod.map mk mk ⁻¹' s] (x, y)) l
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s✝ : Set X
f✝ g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
f : X → Y → α
hf : ∀ (a : X) (b : Y) (c : X) (d : Y), (a ~ᵢ c) → (b ~ᵢ d) → f a b = f c d
x : X
y : Y
s : Set (SeparationQuotient X × SeparationQuotient Y)
l : Filter α
\u22a2 Tendsto (uncurry (lift₂ f hf)) (Filter.map (Prod.map mk mk) (𝓝 (x, y) ⊓ 𝓟 (Prod.map mk mk ⁻¹' s))) l ↔ Tendsto (uncurry f) (𝓝[Prod.map mk mk ⁻¹' s] (x, y)) l
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
hs : 0 < s
\u22a2 0 < Gamma s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
hs : 0 < s
\u22a2 0 < ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (s - 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
hs : 0 < s
this : (Function.support fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) ∩ Ioi 0 = Ioi 0
\u22a2 0 < ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (s - 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
hs : 0 < s
this : (Function.support fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) ∩ Ioi 0 = Ioi 0
\u22a2 0 < volume ((Function.support fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) ∩ Ioi 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
hs : 0 < s
this : (Function.support fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) ∩ Ioi 0 = Ioi 0
\u22a2 0 ≤ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
hs : 0 < s
this : (Function.support fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) ∩ Ioi 0 = Ioi 0
\u22a2 IntegrableOn (fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) (Ioi 0) volume
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Prod.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
x✝ : E × F
e : E
f : F
\u22a2 ‖(fst 𝕜 E F) (e, f)‖ ≤ 1 * ‖(e, f)‖
-- Mathlib/SetTheory/Game/Domineering.lean
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b
\u22a2 Finset.card (moveLeft b m) / 2 < Finset.card b / 2
-- Mathlib/GroupTheory/CommutingProbability.lean
M : Type u_1
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Finite M
G : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
H : Subgroup G
n : ℕ
h1 : n ≠ 1
h2 : Odd n
h0 : n ≠ 0
\u22a2 reciprocalFactors n = n % 4 * n :: reciprocalFactors (n / 4 + 1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x : (forget D).obj ((J.plusObj P).obj (op X))
\u22a2 ∃ S y, x = mk y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x : (forget D).obj ((J.plusObj P).obj (op X))
S : (J.Cover X)ᵒᵖ
y : (forget D).obj ((J.diagram P X).obj S)
h : (colimit.ι (J.diagram P X) S) y = x
\u22a2 ∃ S y, x = mk y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x : (forget D).obj ((J.plusObj P).obj (op X))
S : (J.Cover X)ᵒᵖ
y : (forget D).obj ((J.diagram P X).obj S)
h : (colimit.ι (J.diagram P X) S) y = x
\u22a2 x = mk ((Meq.equiv P (unop S)) y)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
\u22a2 count a [b] = if a = b then 1 else 0
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J✝ K L : Ideal R
s : Finset ι
J : ι → Ideal R
h : ∀ i ∈ s, I ⊔ J i = ⊤
\u22a2 (fun J => I ⊔ J = ⊤) 1
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
\u22a2 x ∈ π.iUnion ↔ ∃ J ∈ π, x ∈ J
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
x✝ : Box ι
\u22a2 x✝ ∈ π ∧ x ∈ x✝ ↔ ∃ (_ : x✝ ∈ π), x ∈ ↑x✝
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Monoid.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M
\u22a2 (fun x => a + x) '' Ioo b c = Ioo (a + b) (a + c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : NeZero μ
t : Set β
h : NullMeasurableSet (Prod.snd ⁻¹' t) (μ.prod ν)
\u22a2 NullMeasurableSet (?m.120828 ×ˢ t) (?m.120825.prod ν)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
s : ℕ
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
\u22a2 (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ ↑p ^ s - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ s
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
s : ℕ
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
this : NumberField K
\u22a2 (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ ↑p ^ s - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ s
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
s : ℕ
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
this : NumberField K
\u22a2 (Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) (hζ.toInteger ^ ↑p ^ s - 1)) = (algebraMap ℤ ℚ) (↑↑p ^ ↑p ^ s)
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Yoneda.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ TopCat
Y : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace Y
α : Type
X : α → TopCat
\u22a2 (piComparison (yonedaPresheaf' Y) fun x => op (X x)) = (yonedaPresheaf' Y).map ((opCoproductIsoProduct X).inv ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma X).inv.op) ≫ (equivEquivIso (sigmaEquiv Y fun x => ↑(X x))).inv ≫ (Types.productIso fun i => C(↑(X i), Y)).inv
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Yoneda.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ TopCat
Y : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace Y
α : Type
X : α → TopCat
\u22a2 (piComparison (yonedaPresheaf' Y) fun x => op (X x)) ≫ (Types.productIso fun i => C(↑(X i), Y)).hom = (yonedaPresheaf' Y).map ((opCoproductIsoProduct X).inv ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma X).inv.op) ≫ (equivEquivIso (sigmaEquiv Y fun x => ↑(X x))).inv
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Yoneda.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ TopCat
Y : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace Y
α : Type
X : α → TopCat
a✝¹ : (yonedaPresheaf' Y).obj (∏ᶜ fun x => op (X x))
x✝ : α
a✝ : ↑(X x✝)
\u22a2 (((piComparison (yonedaPresheaf' Y) fun x => op (X x)) ≫ (Types.productIso fun i => C(↑(X i), Y)).hom) a✝¹ x✝) a✝ = (((yonedaPresheaf' Y).map ((opCoproductIsoProduct X).inv ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma X).inv.op) ≫ (equivEquivIso (sigmaEquiv Y fun x => ↑(X x))).inv) a✝¹ x✝) a✝
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Yoneda.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ TopCat
Y : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace Y
α : Type
X : α → TopCat
a✝¹ : (yonedaPresheaf' Y).obj (∏ᶜ fun x => op (X x))
x✝ : α
a✝ : ↑(X x✝)
\u22a2 a✝¹ ((Sigma.ι X x✝ ≫ (opCoproductIsoProduct X).inv.unop) a✝) = a✝¹ (((TopCat.sigmaIsoSigma X).inv ≫ (opCoproductIsoProduct X).inv.unop) ⟨x✝, a✝⟩)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Opposites.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
toFinsupp✝ : AddMonoidAlgebra R ℕ
\u22a2 ((opRingEquiv R) (op { toFinsupp := toFinsupp✝ })).support = (unop (op { toFinsupp := toFinsupp✝ })).support
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
y : M
\u22a2 polar (⇑Q) 0 y = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X : Scheme
inst✝ : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.stalk x)
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
hs : IsNilpotent s
\u22a2 s = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X : Scheme
inst✝ : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.stalk x)
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
hs : IsNilpotent s
\u22a2 ∀ (x : ↥U), (X.sheaf.presheaf.germ x) s = (X.sheaf.presheaf.germ x) 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X : Scheme
inst✝ : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.stalk x)
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
hs : IsNilpotent s
x : ↥U
\u22a2 (X.sheaf.presheaf.germ x) s = (X.sheaf.presheaf.germ x) 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X : Scheme
inst✝ : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.stalk x)
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
hs : IsNilpotent s
x : ↥U
\u22a2 (X.sheaf.presheaf.germ x) s = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X : Scheme
inst✝ : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.stalk x)
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
hs : IsNilpotent s
x : ↥U
\u22a2 (X.presheaf.germ x) s = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
h : 𝟙 X = 0
Y : C
f : X ⟶ Y
\u22a2 f = default
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
h : 𝟙 X = 0
Y : C
f : X ⟶ Y
\u22a2 0 = default
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
h : 𝟙 X = 0
Y : C
f : Y ⟶ X
\u22a2 f = default
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
h : 𝟙 X = 0
Y : C
f : Y ⟶ X
\u22a2 0 = default
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
p : ι → Prop
q : ι' → Prop
hp : ∃ i, p i
hq : ∃ j, q j
f : ι → ℝ≥0∞
g : ι' → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), p i → ∀ (j : ι'), q j → f i + g j ≤ a
\u22a2 (⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i) + ⨆ j, ⨆ (_ : q j), g j ≤ a
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
p : ι → Prop
q : ι' → Prop
hp : ∃ i, p i
hq : ∃ j, q j
f : ι → ℝ≥0∞
g : ι' → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), p i → ∀ (j : ι'), q j → f i + g j ≤ a
\u22a2 ⨆ i, ⨆ (_ : p i), ⨆ i_1, ⨆ (_ : q i_1), f i + g i_1 ≤ a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
s : Set α
\u22a2 LinearMap.range (Finsupp.totalOn α M R v s) = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
s : Set α
\u22a2 span R (v '' s) ≤ map (Finsupp.total α M R v) (supported R R s)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hp : 0 ≤ p
\u22a2 ENNReal.ofReal p < ENNReal.ofReal q ↔ p < q
-- Mathlib/CategoryTheory/Simple.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝ : Simple Y
i : X ≅ Y
Y✝ : C
f : Y✝ ⟶ X
m : Mono f
\u22a2 IsIso f ↔ f ≠ 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Simple.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝ : Simple Y
i : X ≅ Y
Y✝ : C
f : Y✝ ⟶ X
m : Mono f
this : Mono (f ≫ i.hom)
\u22a2 IsIso f ↔ f ≠ 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
\u22a2 o.card = 0 ↔ o = 0
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : CommRing C
inst✝³ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι'
b : Basis ι A B
f : ι ≃ ι'
\u22a2 discr A (⇑b ∘ ⇑f.symm) = discr A ⇑b
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
n a : ℕ
h : a < n
\u22a2 (↑a).val = a
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Order/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : NeZero 1
n : ℕ
\u22a2 0 < ↑n ↔ 0 < n
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x y : K_hat R K
hx : x.IsFiniteAdele
hy : y.IsFiniteAdele
\u22a2 (x + y).IsFiniteAdele
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x y : K_hat R K
hx : {x_1 | x x_1 ∉ adicCompletionIntegers K x_1}.Finite
hy : {x | y x ∉ adicCompletionIntegers K x}.Finite
\u22a2 {x_1 | (x + y) x_1 ∉ adicCompletionIntegers K x_1}.Finite
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x y : K_hat R K
hx : {x_1 | x x_1 ∉ adicCompletionIntegers K x_1}.Finite
hy : {x | y x ∉ adicCompletionIntegers K x}.Finite
h_subset : {v | (x + y) v ∉ adicCompletionIntegers K v} ⊆ {v | x v ∉ adicCompletionIntegers K v} ∪ {v | y v ∉ adicCompletionIntegers K v}
\u22a2 {x_1 | (x + y) x_1 ∉ adicCompletionIntegers K x_1}.Finite
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metric.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
x : α
ε : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (cthickening R s) ≠ ⊤
\u22a2 Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝 0) (𝓝 (μ (closure s)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metric.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
x : α
ε : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (cthickening R s) ≠ ⊤
A : Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (closure s)))
\u22a2 Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝 0) (𝓝 (μ (closure s)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metric.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
x : α
ε : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (cthickening R s) ≠ ⊤
A : Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (closure s)))
B : Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝[≤] 0) (𝓝 (μ (closure s)))
\u22a2 Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝 0) (𝓝 (μ (closure s)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metric.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
x : α
ε : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (cthickening R s) ≠ ⊤
A : Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (closure s)))
B : Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝[≤] 0) (𝓝 (μ (closure s)))
\u22a2 𝓝 0 = 𝓝[≤] 0 ⊔ 𝓝[>] 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b✝ c✝ d : Ordinal.{u}
a b c : Ordinal.{u_1}
\u22a2 a ⨳ b ⨳ c = a ⨳ (b ⨳ c)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b✝ c✝ d : Ordinal.{u}
a b c : Ordinal.{u_1}
\u22a2 a ⨳ b ⨳ c ≤ a ⨳ (b ⨳ c)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b✝ c✝ d : Ordinal.{u}
a b c : Ordinal.{u_1}
\u22a2 a ⨳ (b ⨳ c) ≤ a ⨳ b ⨳ c
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
m : ℤ
\u22a2 ((autEquivZmod H L hζ).symm (Multiplicative.ofAdd ↑m)) α = ζ ^ m • α
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn✝ : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
m : ℤ
hn : 0 < n
\u22a2 ((autEquivZmod H L hζ).symm (Multiplicative.ofAdd ↑m)) α = ζ ^ m • α
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn✝ : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
m : ℤ
hn : 0 < n
\u22a2 (autEquivRootsOfUnity ⋯ hn H L) ((autEquivZmod H L hζ).symm (Multiplicative.ofAdd ↑m)) • α = ζ ^ m • α
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α✝
s t : Multiset α✝
f✝ g : α✝ → Multiset β✝
α : Type u_4
β : Type u_5
f : α → Multiset β
S : Multiset α
x : α
hx : x ∈ S
\u22a2 f x ≤ S.bind f
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
\u22a2 (∀ ⦃R S : Type u⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] (f : R →+* S) (s : Set R), Ideal.span s = ⊤ → (∀ (r : ↑s), P (Localization.awayMap f ↑r)) → P f) ↔ ∀ ⦃R S : Type u⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] (f : R →+* S) (s : Finset R), Ideal.span ↑s = ⊤ → (∀ (r : { x // x ∈ s }), P (Localization.awayMap f ↑r)) → P f
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
\u22a2 ∀ (a b : Type u) (c : CommRing a) (d : CommRing b) (e : a →+* b), (∀ (s : Set a), Ideal.span s = ⊤ → (∀ (r : ↑s), P (Localization.awayMap e ↑r)) → P e) ↔ ∀ (s : Finset a), Ideal.span ↑s = ⊤ → (∀ (r : { x // x ∈ s }), P (Localization.awayMap e ↑r)) → P e
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C : Set α
\u22a2 Preperfect C ↔ ∀ x ∈ C, ∀ U ∈ 𝓝 x, ∃ y ∈ U ∩ C, y ≠ x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Canonical.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : C
S✝ : Sieve X
R✝ : Presieve X
J J₂ : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v
R S : Sieve X
hR : Presieve.IsSheafFor P R.arrows
hR' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
hS : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → Presieve.IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows
this : (Sieve.bind R.arrows fun Y f x => Sieve.pullback f S).arrows ≤ S.arrows
\u22a2 Presieve.IsSheafFor P S.arrows
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Canonical.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : C
S✝ : Sieve X
R✝ : Presieve X
J J₂ : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v
R S : Sieve X
hR : Presieve.IsSheafFor P R.arrows
hR' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
hS : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → Presieve.IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows
this : (Sieve.bind R.arrows fun Y f x => Sieve.pullback f S).arrows ≤ S.arrows
\u22a2 Presieve.IsSheafFor P (Sieve.bind R.arrows fun Y f x => Sieve.pullback f S).arrows
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Canonical.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : C
S✝ : Sieve X
R✝ : Presieve X
J J₂ : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v
R S : Sieve X
hR : Presieve.IsSheafFor P R.arrows
hR' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
hS : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → Presieve.IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows
this : (Sieve.bind R.arrows fun Y f x => Sieve.pullback f S).arrows ≤ S.arrows
\u22a2 ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f (Sieve.bind R.arrows fun Y f x => Sieve.pullback f S)).arrows