ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Preorder ι
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ atTop φ
x : α
h : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, x ∈ φ i
\u22a2 ∀ᶠ (i : ι) in atTop, x ∈ ⋂ k ∈ Ici i, φ k
-- Mathlib/Algebra/Ring/Basic.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : NonAssocRing α
inst✝ : Nontrivial α
a : α
h : a - 1 = a
\u22a2 a + -1 = a + -0
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedSemiring α✝
inst✝² : FloorSemiring α✝
a✝ : α✝
n : ℕ
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorSemiring α
z : ℤ
a : ℕ
\u22a2 ⌈↑z⌉₊ ≤ a ↔ z.toNat ≤ a
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedSemiring α✝
inst✝² : FloorSemiring α✝
a✝ : α✝
n : ℕ
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorSemiring α
z : ℤ
a : ℕ
\u22a2 ↑z ≤ ↑a ↔ z ≤ ↑a
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝³ : LinearOrder I
inst✝² : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J K : I → Prop
h : ∀ a ∈ ↑l, J a
inst✝¹ : (j : I) → Decidable (J j)
inst✝ : (j : I) → Decidable (K j)
hJK : ∀ (i : I), J i → K i
\u22a2 ⇑(eval (π C J) l) ∘ ProjRestricts C hJK = ⇑(eval (π C K) l)
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝³ : LinearOrder I
inst✝² : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J K : I → Prop
h : ∀ a ∈ ↑l, J a
inst✝¹ : (j : I) → Decidable (J j)
inst✝ : (j : I) → Decidable (K j)
hJK : ∀ (i : I), J i → K i
this : ⇑(eval (π C J) l) ∘ ⇑(Homeomorph.setCongr ⋯) = ⇑(eval (π (π C K) J) l)
\u22a2 ⇑(eval (π C J) l) ∘ ProjRestricts C hJK = ⇑(eval (π C K) l)
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Group.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedRing α
a : α
\u22a2 Pairwise (Disjoint on fun n => Ico (a + ↑n) (a + ↑n + 1))
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
\u22a2 sinh (x - y) = sinh x * cosh y - cosh x * sinh y
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
\u22a2 1 ≤ 1ᵛ
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
\u22a2 map (↑A (Algebra.trace K L)) (restrictScalars A 1) ≤ 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
x : B
\u22a2 (↑A (Algebra.trace K L)) ((Algebra.linearMap B L) x) ∈ 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
x : B
\u22a2 IsIntegral A ((↑A (Algebra.trace K L)) ((Algebra.linearMap B L) x))
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
x : B
\u22a2 IsIntegral A ((Algebra.linearMap B L) x)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
x : B
\u22a2 ∃ y, (algebraMap B L) y = (Algebra.linearMap B L) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
B : M →ₗ[R] M' →ₗ[R] R
x : M'
\u22a2 x ∈ (range B).dualCoannihilator ↔ x ∈ ker B.flip
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Ring.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X
hS : S ≤ nonZeroDivisorsRight R
r₁ r₂ : R
h : numeratorHom r₁ = numeratorHom r₂
\u22a2 r₁ = r₂
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Ring.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X
hS : S ≤ nonZeroDivisorsRight R
r₁ r₂ : R
h : ∃ u v, u • r₂ = v • r₁ ∧ ↑u * ↑1 = v * ↑1
\u22a2 r₁ = r₂
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Ring.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X
hS : S ≤ nonZeroDivisorsRight R
r₁ r₂ : R
u : ↥S
v : R
h₁ : u • r₂ = v • r₁
h₂ : ↑u * ↑1 = v * ↑1
\u22a2 r₁ = r₂
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Ring.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X
hS : S ≤ nonZeroDivisorsRight R
r₁ r₂ : R
u : ↥S
v : R
h₁ : ↑u * r₂ = v * r₁
h₂ : ↑u = v
\u22a2 r₁ = r₂
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Ring.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X
hS : S ≤ nonZeroDivisorsRight R
r₁ r₂ : R
u : ↥S
v : R
h₁ : ↑u * (r₂ - r₁) = 0
h₂ : ↑u = v
\u22a2 r₁ = r₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M : Matrix m n R
i : n
\u22a2 ((toLin v₁ v₂) M) (v₁ i) = ∑ j : m, M j i • v₂ j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M : Matrix m n R
i : n
j : m
_hj : j ∈ Finset.univ
\u22a2 (M *ᵥ ⇑(v₁.repr (v₁ i))) j • v₂ j = M j i • v₂ j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M : Matrix m n R
i : n
j : m
_hj : j ∈ Finset.univ
\u22a2 ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ i → M j b * (Finsupp.single i 1) b = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M : Matrix m n R
i : n
j : m
_hj : j ∈ Finset.univ
\u22a2 i ∉ Finset.univ → M j i * (Finsupp.single i 1) i = 0
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i : ι
b✝ : B
a : F
b : B
\u22a2 b ∈ (Z.localTrivAt b).baseSet
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i : ι
b✝ : B
a : F
b : B
\u22a2 b ∈ Z.baseSet (Z.indexAt b)
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x y : Class
h : Set.Nonempty x
\u22a2 y ∈ ⋂₀ x ↔ ∀ z ∈ x, y ∈ z
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x y : Class
h : Set.Nonempty x
H : ∀ z ∈ x, y ∈ z
\u22a2 y ∈ ⋂₀ x
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x y : Class
h : Set.Nonempty x
H : ∀ z ∈ x, y ∈ z
\u22a2 ∃ x_1, ↑x_1 = y ∧ ∀ (z : ZFSet), x z → x_1 ∈ z
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x y : Class
H : ∀ z ∈ x, y ∈ z
z : ZFSet
hz : z ∈ x
\u22a2 ∃ x_1, ↑x_1 = y ∧ ∀ (z : ZFSet), x z → x_1 ∈ z
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x : Class
z : ZFSet
hz : z ∈ x
y : ZFSet
right✝ : ↑z y
H : ∀ z ∈ x, ↑y ∈ z
\u22a2 ∃ x_1, ↑x_1 = ↑y ∧ ∀ (z : ZFSet), x z → x_1 ∈ z
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x : Class
z : ZFSet
hz : z ∈ x
y : ZFSet
right✝ : ↑z y
H : ∀ z ∈ x, ↑y ∈ z
w : ZFSet
hxw : x w
\u22a2 y ∈ w
-- Mathlib/Topology/Algebra/Polynomial.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
\u22a2 ‖(map f p).coeff i‖ ≤ max B 1 ^ d * ↑(d.choose (d / 2))
-- Mathlib/Topology/Algebra/Polynomial.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
hB : 0 ≤ B
\u22a2 ‖(map f p).coeff i‖ ≤ max B 1 ^ d * ↑(d.choose (d / 2))
-- Mathlib/Topology/Algebra/Polynomial.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
B : ℝ
d : ℕ
f : F →+* K
p : F[X]
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : p.natDegree ≤ d
h4 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
i : ℕ
hB : B < 0
\u22a2 ‖(map f p).coeff i‖ ≤ max B 1 ^ d * ↑(d.choose (d / 2))
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
C : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : StarRing R
inst✝¹¹ : Semiring A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarModule R A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : StarRing B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : StarModule R B
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : StarRing C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : StarModule R C
S : StarSubalgebra R A
s : Set A
z : A
\u22a2 (∀ g ∈ s ∪ star s, g * z = z * g) ↔ ∀ g ∈ s, g * z = z * g ∧ star g * z = z * star g
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
C : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : StarRing R
inst✝¹¹ : Semiring A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarModule R A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : StarRing B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : StarModule R B
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : StarRing C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : StarModule R C
S : StarSubalgebra R A
s : Set A
z : A
\u22a2 (∀ x ∈ s, x * z = z * x) → ((∀ x ∈ star s, x * z = z * x) ↔ ∀ x ∈ s, star x * z = z * star x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Equalizers.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y : C
f✝ g : X✝ ⟶ Y
X : C
f : X ⟶ X
hf : f ≫ f = f
c : Cofork (𝟙 X) f
i : IsColimit c
\u22a2 i.desc (Cofork.ofπ f ⋯) ≫ c.π = 𝟙 (((Functor.const WalkingParallelPair).obj c.pt).obj one)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Equalizers.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y : C
f✝ g : X✝ ⟶ Y
X : C
f : X ⟶ X
hf : f ≫ f = f
c : Cofork (𝟙 X) f
i : IsColimit c
this : Epi c.π := epi_of_isColimit_cofork i
\u22a2 i.desc (Cofork.ofπ f ⋯) ≫ c.π = 𝟙 (((Functor.const WalkingParallelPair).obj c.pt).obj one)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Equalizers.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y : C
f✝ g : X✝ ⟶ Y
X : C
f : X ⟶ X
hf : f ≫ f = f
c : Cofork (𝟙 X) f
i : IsColimit c
this : Epi c.π := epi_of_isColimit_cofork i
\u22a2 𝟙 X ≫ c.π = c.π
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
k a : ℕ
h : a < nth p (k + 1)
ha : p a
\u22a2 a ≤ nth p k
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
k a : ℕ
h : a < nth p (k + 1)
ha : p a
hf : (setOf p).Finite
\u22a2 a ≤ nth p k
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
k a : ℕ
h : a < nth p (k + 1)
ha : p a
hf : (setOf p).Infinite
\u22a2 a ≤ nth p k
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → Opens α
s : Set ↑(ofOpenSubsets U).glued
hs : IsOpen s
\u22a2 IsOpen (⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s)
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → Opens α
s : Set ↑(ofOpenSubsets U).glued
hs : ∀ (i : (ofOpenSubsets U).J), IsOpen (⇑((ofOpenSubsets U).ι i) ⁻¹' s)
\u22a2 IsOpen (⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s)
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → Opens α
s : Set ↑(ofOpenSubsets U).glued
hs : ∀ (i : (ofOpenSubsets U).J), IsOpen (⇑((ofOpenSubsets U).ι i) ⁻¹' s)
\u22a2 ∀ x ∈ ⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s, ∃ t ⊆ ⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s, IsOpen t ∧ x ∈ t
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → Opens α
s : Set ↑(ofOpenSubsets U).glued
hs : ∀ (i : (ofOpenSubsets U).J), IsOpen (⇑((ofOpenSubsets U).ι i) ⁻¹' s)
x : ↑(ofOpenSubsets U).glued
hx : x ∈ s
\u22a2 ∃ t ⊆ ⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s, IsOpen t ∧ (fromOpenSubsetsGlue U) x ∈ t
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → Opens α
s : Set ↑(ofOpenSubsets U).glued
hs : ∀ (i : (ofOpenSubsets U).J), IsOpen (⇑((ofOpenSubsets U).ι i) ⁻¹' s)
i : (ofOpenSubsets U).J
x : ↑(of α)
hx' : x ∈ U i
hx : ((ofOpenSubsets U).ι i) ⟨x, hx'⟩ ∈ s
\u22a2 ∃ t ⊆ ⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s, IsOpen t ∧ (fromOpenSubsetsGlue U) (((ofOpenSubsets U).ι i) ⟨x, hx'⟩) ∈ t
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → Opens α
s : Set ↑(ofOpenSubsets U).glued
hs : ∀ (i : (ofOpenSubsets U).J), IsOpen (⇑((ofOpenSubsets U).ι i) ⁻¹' s)
i : (ofOpenSubsets U).J
x : ↑(of α)
hx' : x ∈ U i
hx : ((ofOpenSubsets U).ι i) ⟨x, hx'⟩ ∈ s
\u22a2 ⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s ∩ Set.range ⇑(U i).inclusion ⊆ ⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s ∧ IsOpen (⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s ∩ Set.range ⇑(U i).inclusion) ∧ (fromOpenSubsetsGlue U) (((ofOpenSubsets U).ι i) ⟨x, hx'⟩) ∈ ⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s ∩ Set.range ⇑(U i).inclusion
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → Opens α
s : Set ↑(ofOpenSubsets U).glued
hs : ∀ (i : (ofOpenSubsets U).J), IsOpen (⇑((ofOpenSubsets U).ι i) ⁻¹' s)
i : (ofOpenSubsets U).J
x : ↑(of α)
hx' : x ∈ U i
hx : ((ofOpenSubsets U).ι i) ⟨x, hx'⟩ ∈ s
\u22a2 IsOpen (⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s ∩ Set.range ⇑(U i).inclusion) ∧ (fromOpenSubsetsGlue U) (((ofOpenSubsets U).ι i) ⟨x, hx'⟩) ∈ ⇑(fromOpenSubsetsGlue U) '' s ∩ Set.range ⇑(U i).inclusion
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
rlt : α → α → Prop
inst✝ : IsNonstrictStrictOrder α r rlt
\u22a2 x ∈ minimals r s ↔ x ∈ s ∧ ∀ ⦃y : α⦄, rlt y x → y ∉ s
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : ¬(x = 0 ∧ y = 0)
\u22a2 Real.sin (angle x (x + y)) * ‖x + y‖ = ‖y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : ¬x = 0 ∨ ¬y = 0
\u22a2 Real.sin (angle x (x + y)) * ‖x + y‖ = ‖y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : ¬x = 0 ∨ ¬y = 0
\u22a2 ‖x + y‖ ≠ 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : ¬x = 0 ∨ ¬y = 0
\u22a2 ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ ≠ 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : ¬x = 0 ∨ ¬y = 0
\u22a2 0 < ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁹ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
x✝ : (i : ι) → E i
\u22a2 ((↑(mapL f)).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) x✝ = ((map fun i => ↑(f i)).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) x✝
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → α
g : β → β
x : α × β
a : α
b : β
m n : ℕ
\u22a2 minimalPeriod g x.2 ∣ minimalPeriod (Prod.map f g) x
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → α
g : β → β
x : α × β
a : α
b : β
m n : ℕ
\u22a2 minimalPeriod g x.2 ∣ (minimalPeriod f x.1).lcm (minimalPeriod g x.2)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablyGenerated α
\u22a2 generateFrom (range (natGeneratingSequence α)) = m
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
r : ℝ
\u22a2 ⟪↑r • x, y⟫_𝕜 = r • ⟪x, y⟫_𝕜
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
P : MorphismProperty D
inst✝ : P.RespectsIso
E : C ≌ D
\u22a2 P.inverseImage E.functor = P.map E.inverse
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
P : MorphismProperty D
inst✝ : P.RespectsIso
E : C ≌ D
\u22a2 P.inverseImage E.functor ≤ P.map E.inverse
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
P : MorphismProperty D
inst✝ : P.RespectsIso
E : C ≌ D
\u22a2 P.map E.inverse ≤ P.inverseImage E.functor
-- Mathlib/Data/Fin/VecNotation.lean
α✝ : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
α : Type u_4
h : 0 = 0 + 0
\u22a2 vecAlt1 h ![] = ![]
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R
a0 : a ≠ 0
\u22a2 (C a).degree = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R
a0 : a ≠ 0
\u22a2 (C a * T 0).degree = 0
-- Mathlib/GroupTheory/Order/Min.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
n✝ : ℕ
n : ℕ∞
\u22a2 n ≤ minOrder α ↔ ∀ ⦃s : Subgroup α⦄, s ≠ ⊥ → (↑s).Finite → n ≤ ↑(Nat.card ↥s)
-- Mathlib/GroupTheory/Order/Min.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
n✝ : ℕ
n : ℕ∞
\u22a2 (∀ ⦃a : α⦄, a ≠ 1 → IsOfFinOrder a → n ≤ ↑(orderOf a)) ↔ ∀ ⦃s : Subgroup α⦄, s ≠ ⊥ → (↑s).Finite → n ≤ ↑(Nat.card ↥s)
-- Mathlib/Data/Multiset/FinsetOps.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t : Multiset α
\u22a2 s.ndinter t = 0 ↔ s.Disjoint t
-- Mathlib/Data/Multiset/FinsetOps.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t : Multiset α
\u22a2 s.ndinter t ⊆ 0 ↔ s.Disjoint t
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hs : autoParam s.Finite _auto✝
\u22a2 s.ncard = 0 ↔ s = ∅
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f g : α → γ
k : γ → β
h : ∀ x ∈ s, p x
\u22a2 ∏ x ∈ s, k (if p x then f x else g x) = ∏ x ∈ s, k (f x)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f g : α → γ
k : γ → β
h : ∀ x ∈ s, p x
\u22a2 (∏ x ∈ s, if p x then k (f x) else k (g x)) = ∏ x ∈ s, k (f x)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
x y b : Ordinal.{u_1}
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hb : ¬1 < b
\u22a2 log b x + log b y ≤ log b (x * y)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ s : Set ℝ≥0∞
hs : s.Nonempty
\u22a2 sSup s + a = ⨆ b ∈ s, b + a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
hx_re : x.re < 0
hx_im : x.im < 0
\u22a2 arg =ᶠ[𝓝 x] fun x => Real.arcsin ((-x).im / abs x) - π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
hx_re : x.re < 0
hx_im : x.im < 0
\u22a2 ∀ᶠ (y : ℂ) in 𝓝 x, y.re < 0 ∧ y.im < 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
hx_re : x.re < 0
hx_im : x.im < 0
\u22a2 IsOpen fun y => y.re < 0 ∧ y.im < 0
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
hJK : ∀ (i : I), J i → K i
hKL : ∀ (i : I), K i → L i
x : ↑(π C L)
i : I
\u22a2 ↑((ProjRestricts C hJK ∘ ProjRestricts C hKL) x) i = ↑(ProjRestricts C ⋯ x) i
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
hJK : ∀ (i : I), J i → K i
hKL : ∀ (i : I), K i → L i
x : ↑(π C L)
i : I
\u22a2 (if J i then if K i then ↑x i else false else false) = if J i then ↑x i else false
-- Mathlib/Geometry/Manifold/BumpFunction.lean
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
\u22a2 support ↑f = ↑(extChartAt I c).symm '' (ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s t : ℂ
hs : 0 < s.re
ht : 0 < t.re
\u22a2 Gamma s * Gamma t = Gamma (s + t) * s.betaIntegral t