ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.164135, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₁.X₂ := h.i ≫ inv φ.τ₂
wi : i ≫ S₁.g = 0
hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)
f' : (KernelFork.ofι S₁.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι i wi).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S₁.f ⋯)
hf' : f' ≫ i = S₁.f
hf'' : f' = φ.τ₁ ≫ h.f'
wπ : f' ≫ h.π = 0
hπ : IsColimit (CokernelCofork.ofπ h.π wπ)
\u22a2 S₁.LeftHomologyData
-- Mathlib/SetTheory/Game/Impartial.lean
G H : PGame
e : G ≡r H
h : G.Impartial
\u22a2 H.Impartial
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsSymm α r
\u22a2 s.PartiallyWellOrderedOn r ↔ ∀ t ⊆ s, IsAntichain r t → t.Finite
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsSymm α r
\u22a2 (∀ t ⊆ s, IsAntichain r t → t.Finite) → s.PartiallyWellOrderedOn r
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsSymm α r
hs : ∀ t ⊆ s, IsAntichain r t → t.Finite
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
\u22a2 ∃ m n, m < n ∧ r (f m) (f n)
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsSymm α r
hs : ∀ t ⊆ s, IsAntichain r t → t.Finite
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
H : ∀ (m n : ℕ), m < n → ¬r (f m) (f n)
\u22a2 False
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsSymm α r
hs : ∀ t ⊆ s, IsAntichain r t → t.Finite
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
H : ∀ (m n : ℕ), m < n → ¬r (f m) (f n)
m n : ℕ
hmn : f m = f n
\u22a2 m = n
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsSymm α r
hs : ∀ t ⊆ s, IsAntichain r t → t.Finite
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
H : ∀ (m n : ℕ), m < n → ¬r (f m) (f n)
\u22a2 IsAntichain r (range f)
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsSymm α r
hs : ∀ t ⊆ s, IsAntichain r t → t.Finite
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
H : ∀ (m n : ℕ), m < n → ¬r (f m) (f n)
m n : ℕ
hmn : f m ≠ f n
\u22a2 rᶜ (f m) (f n)
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsSymm α r
hs : ∀ t ⊆ s, IsAntichain r t → t.Finite
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
H : ∀ (m n : ℕ), m < n → ¬r (f m) (f n)
m n : ℕ
hmn : f m ≠ f n
h : m < n
\u22a2 rᶜ (f m) (f n)
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
f✝ : α → β
s t : Set α
a : α
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsSymm α r
hs : ∀ t ⊆ s, IsAntichain r t → t.Finite
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s
H : ∀ (m n : ℕ), m < n → ¬r (f m) (f n)
m n : ℕ
hmn : f m ≠ f n
h : n < m
\u22a2 rᶜ (f m) (f n)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0
\u22a2 W'.negDblY P = -(P x ^ 2) ^ 3
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasCoequalizers C
𝒢 : Set C
\u22a2 IsCodetecting 𝒢 → IsCoseparating 𝒢
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
f p : R[X]
\u22a2 (quotQuotEquivComm I f).symm ((Ideal.Quotient.mk (span {(Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) f})) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map C I)) p)) = (Ideal.Quotient.mk (span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f})) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
f : α → F
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
\u22a2 eLpNorm f p (c • μ) = c ^ (1 / p).toReal • eLpNorm f p μ
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c : Ordinal.{u}
\u22a2 a + b ≤ a ♯ b
-- Mathlib/Data/Countable/Defs.lean
α : Sort u
β : Sort v
\u22a2 ¬Uncountable α ↔ Countable α
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Inv.lean
u : Lean.Level
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
\u22a2 (↑(Int.negOfNat 1))⁻¹ = ↑(Int.negOfNat 1)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
\u22a2 v.intValuationDef 1 = 1
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
f : α → Fin n → σ
h : Primrec₂ f
a : α
\u22a2 (Vector.ofFn fun i => f a i).get = f a
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
f : α → Fin n → σ
h : Primrec₂ f
a : α
i : Fin n
\u22a2 (Vector.ofFn fun i => f a i).get i = f a i
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x y : LocalizedModule S M
m m' : M
s s' : ↥S
\u22a2 mk m s + mk m' s' = mk m' s' + mk m s
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Contractible.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : ContractibleSpace X
\u22a2 (ContinuousMap.id X).Nullhomotopic
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Contractible.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : ContractibleSpace X
hv : X ≃ₕ Unit
\u22a2 (ContinuousMap.id X).Nullhomotopic
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Contractible.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : ContractibleSpace X
hv : X ≃ₕ Unit
\u22a2 (ContinuousMap.id X).Homotopic (const X (hv.invFun ()))
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
x : ℤ[i]
\u22a2 toComplex (star x) = (starRingEnd ℂ) (toComplex x)
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
x : ℤ[i]
\u22a2 { re := ↑(star x).re, im := ↑(star x).im } = (starRingEnd ℂ) { re := ↑x.re, im := ↑x.im }
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' : I₁₂
h₁₂ : ¬c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂
\u22a2 K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, i₂) i₁₂ h ≫ K.D₁ c₁₂ i₁₂ i₁₂' = K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, i₂) i₁₂ h ≫ 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' : I₁₂
h₁₂ : ¬c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂
\u22a2 K.d₁ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂' = 0
-- Mathlib/Order/Filter/ZeroAndBoundedAtFilter.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : AddZeroClass β
inst✝ : ContinuousAdd β
l : Filter α
f g : α → β
hf : l.ZeroAtFilter f
hg : l.ZeroAtFilter g
\u22a2 l.ZeroAtFilter (f + g)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CantorScheme.lean
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
hA : CantorScheme.Disjoint A
x : ℕ → β
hx : x ∈ (inducedMap A).fst
y : ℕ → β
hy : y ∈ (inducedMap A).fst
hxy : (inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩ = (inducedMap A).snd ⟨y, hy⟩
\u22a2 ⟨x, hx⟩ = ⟨y, hy⟩
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CantorScheme.lean
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
hA : CantorScheme.Disjoint A
x : ℕ → β
hx : x ∈ (inducedMap A).fst
y : ℕ → β
hy : y ∈ (inducedMap A).fst
hxy : (inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩ = (inducedMap A).snd ⟨y, hy⟩
\u22a2 res ((fun a => ↑a) ⟨x, hx⟩) = res ((fun a => ↑a) ⟨y, hy⟩)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CantorScheme.lean
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
hA : CantorScheme.Disjoint A
x : ℕ → β
hx : x ∈ (inducedMap A).fst
y : ℕ → β
hy : y ∈ (inducedMap A).fst
hxy : (inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩ = (inducedMap A).snd ⟨y, hy⟩
n : ℕ
ih : res x n = res y n
\u22a2 res x (n + 1) = res y (n + 1)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CantorScheme.lean
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
hA : CantorScheme.Disjoint A
x : ℕ → β
hx : x ∈ (inducedMap A).fst
y : ℕ → β
hy : y ∈ (inducedMap A).fst
hxy : (inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩ = (inducedMap A).snd ⟨y, hy⟩
n : ℕ
ih : res x n = res y n
\u22a2 x n = y n ∧ res x n = res y n
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CantorScheme.lean
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
hA : CantorScheme.Disjoint A
x : ℕ → β
hx : x ∈ (inducedMap A).fst
y : ℕ → β
hy : y ∈ (inducedMap A).fst
hxy : (inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩ = (inducedMap A).snd ⟨y, hy⟩
n : ℕ
ih : res x n = res y n
\u22a2 x n = y n
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CantorScheme.lean
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
x : ℕ → β
hx : x ∈ (inducedMap A).fst
y : ℕ → β
hy : y ∈ (inducedMap A).fst
hxy : (inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩ = (inducedMap A).snd ⟨y, hy⟩
n : ℕ
ih : res x n = res y n
hA : ¬x n = y n
\u22a2 ¬CantorScheme.Disjoint A
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CantorScheme.lean
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
x : ℕ → β
hx : x ∈ (inducedMap A).fst
y : ℕ → β
hy : y ∈ (inducedMap A).fst
hxy : (inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩ = (inducedMap A).snd ⟨y, hy⟩
n : ℕ
ih : res x n = res y n
hA : ¬x n = y n
\u22a2 ∃ x x_1 x_2, ¬x_1 = x_2 ∧ ¬_root_.Disjoint (A (x_1 :: x)) (A (x_2 :: x))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CantorScheme.lean
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
x : ℕ → β
hx : x ∈ (inducedMap A).fst
y : ℕ → β
hy : y ∈ (inducedMap A).fst
hxy : (inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩ = (inducedMap A).snd ⟨y, hy⟩
n : ℕ
ih : res x n = res y n
hA : ¬x n = y n
\u22a2 ¬_root_.Disjoint (A (x n :: res x n)) (A (y n :: res x n))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CantorScheme.lean
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
x : ℕ → β
hx : x ∈ (inducedMap A).fst
y : ℕ → β
hy : y ∈ (inducedMap A).fst
hxy : (inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩ = (inducedMap A).snd ⟨y, hy⟩
n : ℕ
ih : res x n = res y n
hA : ¬x n = y n
\u22a2 ∃ x_1 ∈ A (x n :: res x n), x_1 ∈ A (y n :: res x n)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CantorScheme.lean
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
x : ℕ → β
hx : x ∈ (inducedMap A).fst
y : ℕ → β
hy : y ∈ (inducedMap A).fst
hxy : (inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩ = (inducedMap A).snd ⟨y, hy⟩
n : ℕ
ih : res x n = res y n
hA : ¬x n = y n
\u22a2 (inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩ ∈ A (y n :: res x n)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CantorScheme.lean
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
x : ℕ → β
hx : x ∈ (inducedMap A).fst
y : ℕ → β
hy : y ∈ (inducedMap A).fst
hxy : (inducedMap A).snd ⟨x, hx⟩ = (inducedMap A).snd ⟨y, hy⟩
n : ℕ
ih : res x n = res y n
hA : ¬x n = y n
\u22a2 (inducedMap A).snd ⟨y, hy⟩ ∈ A (res y n.succ)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y z : ℝ≥0∞
h : x < y + z
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
this✝ : NeZero y
this : NeZero z
\u22a2 ∃ y' z', y' < y ∧ z' < z ∧ x < y' + z'
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y z : ℝ≥0∞
h : x < y + z
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
this✝ : NeZero y
this : NeZero z
A : Tendsto (fun p => p.1 + p.2) (𝓝[<] y ×ˢ 𝓝[<] z) (𝓝 (y + z))
\u22a2 ∃ y' z', y' < y ∧ z' < z ∧ x < y' + z'
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z✝ ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y z : ℝ≥0∞
h : x < y + z
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
this✝ : NeZero y
this : NeZero z
A : Tendsto (fun p => p.1 + p.2) (𝓝[<] y ×ˢ 𝓝[<] z) (𝓝 (y + z))
y' z' : ℝ≥0∞
hx : x < (y', z').1 + (y', z').2
hy' : (y', z').1 ∈ Iio y
hz' : (y', z').2 ∈ Iio z
\u22a2 ∃ y' z', y' < y ∧ z' < z ∧ x < y' + z'
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H✝ : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
p : α → Prop
f : α →₀ M
hf : ∀ x ∈ f.support, p x
H : ∀ (x : α), p x → f x = 0
x : α
\u22a2 f x = 0 x
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : a = b
\u22a2 a / b = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : d ≠ 0
a : Solution₁ d
ha : a.x = 1
\u22a2 a = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : d ≠ 0
a : Solution₁ d
ha : a.x = 1
prop : d * a.y ^ 2 = a.x ^ 2 - 1
\u22a2 a = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : d ≠ 0
a : Solution₁ d
ha : a.x = 1
prop : a.y = 0
\u22a2 a = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Algebra.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
X : C
Y : T.Algebra
f : X ⟶ T.forget.obj Y
\u22a2 T.map (T.map f ≫ Y.a) ≫ Y.a = T.μ.app X ≫ T.map f ≫ Y.a
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Algebra.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
X : C
Y : T.Algebra
f : X ⟶ T.forget.obj Y
\u22a2 (fun f => T.η.app X ≫ f.f) ((fun f => { f := T.map f ≫ Y.a, h := ⋯ }) f) = f
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Algebra.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
X : C
Y : T.Algebra
f : X ⟶ T.forget.obj Y
\u22a2 T.η.app X ≫ T.map f ≫ Y.a = f
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Algebra.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
X : C
Y : T.Algebra
f : X ⟶ T.forget.obj Y
\u22a2 (𝟭 C).map f ≫ 𝟙 Y.A = f
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E p)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 ↑f)
\u22a2 ‖f‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E p)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 ↑f)
i : ι
hi : ‖F i‖ ≤ C
\u22a2 ‖f‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E p)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 ↑f)
i : ι
hi : ‖F i‖ ≤ C
hC : 0 ≤ C
\u22a2 ‖f‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
C : ℝ
i : ι
hC : 0 ≤ C
_i : Fact (1 ≤ ⊤)
F : ι → ↥(lp E ⊤)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : ↥(lp E ⊤)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 ↑f)
hi : ‖F i‖ ≤ C
\u22a2 ‖f‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E p)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 ↑f)
i : ι
hi : ‖F i‖ ≤ C
hC : 0 ≤ C
hp : p < ⊤
\u22a2 ‖f‖ ≤ C
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
\u22a2 NumberField.discr K = (-1) ^ ((↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p - 2)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
\u22a2 NumberField.discr K = (-1) ^ ((↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p - 2)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
\u22a2 (-1) ^ (↑p ^ 0 * (↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ 0 * ((↑p - 1) * (0 + 1) - 1)) = (-1) ^ ((↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p - 2)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
\u22a2 ↑↑p ^ (↑p - 1 - 1) = ↑↑p ^ (↑p - 2)
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s μ
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)
hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a
t : Set Ω
ht_tail : MeasurableSet t
\u22a2 μ t = 0 ∨ μ t = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x
hxy : x < y
\u22a2 logb b x < logb b y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x
hxy : x < y
\u22a2 log x < log y
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z✝ : R
a b c : ℍ[R]
z : ℤ
\u22a2 normSq ↑z = ↑z ^ 2
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
\u22a2 tan (-x) = -tan x
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype o
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
this✝ : Module.Finite R (m → R)
this : Module.Free R (m → R)
\u22a2 A.rank ≤ Fintype.card m
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w✝ : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K
w : InfinitePlace K
H : IsUnramified k w
v : InfinitePlace K
hv : v.comap (algebraMap k K) = w.comap (algebraMap k K)
\u22a2 IsUnramified k v
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ✝ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K
v : InfinitePlace K
σ : K ≃ₐ[k] K
H : IsUnramified k (σ • v)
hv : v.comap (algebraMap k K) = (σ • v).comap (algebraMap k K)
\u22a2 IsUnramified k v
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
r : R
\u22a2 choose r 1 = r ^ 1
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : 0 < p
\u22a2 ∑ i ∈ s, w i * z i ≤ (∑ i ∈ s, w i * z i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : 0 < p
\u22a2 (∑ i ∈ s, w i * z i) ^ p ≤ ∑ i ∈ s, w i * z i ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : 0 < p
\u22a2 0 ≤ ∑ i ∈ s, w i * z i ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : 0 < p
\u22a2 0 ≤ ∑ i ∈ s, w i * z i
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : 0 < p
\u22a2 0 ≤ (∑ i ∈ s, w i * z i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n m : ℕ
s : Stream' α
n✝ : ℕ
\u22a2 (drop n (drop m s)).get n✝ = (drop (n + m) s).get n✝
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
S : B
s : Submonoid M
l : List ↥s
\u22a2 (List.map Subtype.val l).prod ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
S : B
s : Submonoid M
l : List ↥s
\u22a2 ↑l.prod ∈ s
-- Mathlib/GroupTheory/Abelianization.lean
G : Type u
inst✝ : Group G
\u22a2 Nat.card ↥(_root_.commutator ↥(closureCommutatorRepresentatives G)) = Nat.card ↥(_root_.commutator G)
-- Mathlib/GroupTheory/Abelianization.lean
G : Type u
inst✝ : Group G
\u22a2 Nat.card ↥(_root_.commutator ↥(closureCommutatorRepresentatives G)) = Nat.card ↥(map (closureCommutatorRepresentatives G).subtype (_root_.commutator ↥(closureCommutatorRepresentatives G)))
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
f : α → β
\u22a2 (∏ x ∈ s ∩ t, f x) * ∏ x ∈ s \ t, f x = ∏ x ∈ s, f x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
f : α → β
x✝ : α
a✝ : x✝ ∈ s
\u22a2 f = t.piecewise f f
-- Mathlib/Algebra/Group/Defs.lean
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
a b : G
\u22a2 a * b * a⁻¹ = b
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace α
π : ι → Set (Set α)
h : ∀ (n : ι), generateFrom (π n) ≤ m
S : Set ι
\u22a2 generateFrom (piiUnionInter π S) ≤ m
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace α
π : ι → Set (Set α)
h : ∀ (n : ι), generateFrom (π n) ≤ m
S : Set ι
\u22a2 ∀ t ∈ piiUnionInter π S, MeasurableSet t
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace α
π : ι → Set (Set α)
h : ∀ (n : ι), generateFrom (π n) ≤ m
S : Set ι
ht_p : Finset ι
w✝ : ↑ht_p ⊆ S
ft : ι → Set α
hft_mem_pi : ∀ x ∈ ht_p, ft x ∈ π x
\u22a2 MeasurableSet (⋂ x ∈ ht_p, ft x)
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace α
π : ι → Set (Set α)
h : ∀ (n : ι), generateFrom (π n) ≤ m
S : Set ι
ht_p : Finset ι
w✝ : ↑ht_p ⊆ S
ft : ι → Set α
hft_mem_pi : ∀ x ∈ ht_p, ft x ∈ π x
x : ι
hx_mem : x ∈ ht_p
\u22a2 MeasurableSet (ft x)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a✝ : α
g f✝ : α → M
a b : ℕ
hab : a ≤ b
f : ℕ → M
\u22a2 ∏ k ∈ Ioc a (b + 1), f k = (∏ k ∈ Ioc a b, f k) * f (b + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
n : ℤ
\u22a2 ‖x‖ ≤ ↑p ^ n ↔ ‖x‖ < ↑p ^ (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
n : ℤ
\u22a2 ‖↑x‖ ≤ ↑p ^ n ↔ ‖↑x‖ < ↑p ^ (n + 1)