ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Exact.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Abelian C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : F.Faithful
S : ShortComplex C
hS : kernel.ι (F.map S.g) ≫ cokernel.π (F.map S.f) = 0
\u22a2 kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Exact.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Abelian C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : F.Faithful
S : ShortComplex C
hS : kernel.ι (F.map S.g) ≫ cokernel.π (F.map S.f) = 0
\u22a2 F.map (kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Exact.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Abelian C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : F.Faithful
S : ShortComplex C
hS : kernel.ι (F.map S.g) ≫ cokernel.π (F.map S.f) = 0
k : F.obj (kernel S.g) ⟶ kernel (F.map S.g)
hk : k ≫ kernel.ι (F.map S.g) = F.map (kernel.ι S.g)
\u22a2 F.map (kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Exact.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Abelian C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : F.Faithful
S : ShortComplex C
hS : kernel.ι (F.map S.g) ≫ cokernel.π (F.map S.f) = 0
k : F.obj (kernel S.g) ⟶ kernel (F.map S.g)
hk : k ≫ kernel.ι (F.map S.g) = F.map (kernel.ι S.g)
l : cokernel (F.map S.f) ⟶ F.obj (cokernel S.f)
hl : cokernel.π (F.map S.f) ≫ l = F.map (cokernel.π S.f)
\u22a2 F.map (kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f) = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
n : ℕ
\u22a2 ⌈a + ↑n⌉ = ⌈a⌉ + ↑n
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
t : Ordnode α
h : t.Valid
\u22a2 (Ordnode.insert x t).Valid
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
t : Ordnode α
h : t.Valid
\u22a2 (insertWith (fun x_1 => x) x t).Valid
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
hp : p ∈ s
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
\u22a2 (orthogonalProjection s) (v +ᵥ p) = ⟨p, hp⟩
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
hp : p ∈ s
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
h : v +ᵥ p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) (v +ᵥ p)) ∈ s.directionᗮ
\u22a2 (orthogonalProjection s) (v +ᵥ p) = ⟨p, hp⟩
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
hp : p ∈ s
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
h : p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) (v +ᵥ p)) ∈ s.directionᗮ
\u22a2 (orthogonalProjection s) (v +ᵥ p) = ⟨p, hp⟩
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
hp : p ∈ s
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
h : p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) (v +ᵥ p)) ∈ s.directionᗮ
\u22a2 ⟨p, hp⟩ -ᵥ (orthogonalProjection s) (v +ᵥ p) = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
hp : p ∈ s
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
h : p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) (v +ᵥ p)) ∈ s.directionᗮ
\u22a2 ↑(⟨p, hp⟩ -ᵥ (orthogonalProjection s) (v +ᵥ p)) = ↑0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
hp : p ∈ s
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
h : p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) (v +ᵥ p)) ∈ s.directionᗮ
\u22a2 ↑(⟨p, hp⟩ -ᵥ (orthogonalProjection s) (v +ᵥ p)) ∈ s.direction
-- Mathlib/Algebra/Group/Support.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M
s : Set α
\u22a2 Disjoint s (mulSupport f) ↔ EqOn f 1 s
-- Mathlib/Data/List/Permutation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts : List α
r L : List (List α)
l' : List α
this : (∃ a, a ∈ L ∧ ∃ l₁ l₂, ¬l₂ = [] ∧ a = l₁ ++ l₂ ∧ l' = l₁ ++ t :: (l₂ ++ ts)) ↔ ∃ l₁ l₂, ¬l₂ = [] ∧ l₁ ++ l₂ ∈ L ∧ l' = l₁ ++ t :: (l₂ ++ ts)
\u22a2 l' ∈ foldr (fun y r => (permutationsAux2 t ts r y id).2) r L ↔ l' ∈ r ∨ ∃ l₁ l₂, l₁ ++ l₂ ∈ L ∧ l₂ ≠ [] ∧ l' = l₁ ++ t :: l₂ ++ ts
-- Mathlib/Data/List/Permutation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts : List α
r L : List (List α)
l' : List α
this : (∃ a, a ∈ L ∧ ∃ l₁ l₂, ¬l₂ = [] ∧ a = l₁ ++ l₂ ∧ l' = l₁ ++ t :: (l₂ ++ ts)) ↔ ∃ l₁ l₂, ¬l₂ = [] ∧ l₁ ++ l₂ ∈ L ∧ l' = l₁ ++ t :: (l₂ ++ ts)
\u22a2 l' ∈ (L.bind fun y => (permutationsAux2 t ts [] y id).2) ++ r ↔ l' ∈ r ∨ ∃ l₁ l₂, l₁ ++ l₂ ∈ L ∧ l₂ ≠ [] ∧ l' = l₁ ++ t :: l₂ ++ ts
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
s t : Set X
\u22a2 SeparatedNhds s t ↔ Disjoint (𝓝ˢ s) (𝓝ˢ t)
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f g : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
h1 : g.Separable
m : ℕ
h2 : (expand F (q ^ m)) g = f
\u22a2 f.natSepDegree = g.natDegree
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
\u22a2 StronglyMeasurable fun x => derivWithin f (Ici x) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
\u22a2 IsSeparable (range fun x => derivWithin f (Ici x) x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
t : Set ℝ
t_count : t.Countable
ht : Dense t
\u22a2 IsSeparable (range fun x => derivWithin f (Ici x) x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
t : Set ℝ
t_count : t.Countable
ht : Dense t
\u22a2 (range fun x => derivWithin f (Ici x) x) ⊆ closure ↑(Submodule.span ℝ (f '' t))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
t : Set ℝ
t_count : t.Countable
ht : Dense t
x : ℝ
\u22a2 (fun x => derivWithin f (Ici x) x) x ∈ closure ↑(Submodule.span ℝ (f '' t))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
t : Set ℝ
t_count : t.Countable
ht : Dense t
x : ℝ
\u22a2 (range fun y => derivWithin f (Ici x) y) ⊆ closure ↑(Submodule.span ℝ (f '' t))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
t : Set ℝ
t_count : t.Countable
ht : Dense t
x : ℝ
\u22a2 Ici x ⊆ closure (Ici x ∩ t)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
x : E × F
hx : x ∈ g
\u22a2 x ∈ g.toLinearPMap.graph
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
x : E × F
hx : x ∈ g
\u22a2 ∃ y, ↑y = x.1 ∧ ↑g.toLinearPMap y = x.2
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
x_fst : E
x_snd : F
hx : (x_fst, x_snd) ∈ g
\u22a2 ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).1 ∧ ↑g.toLinearPMap y = (x_fst, x_snd).2
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
x_fst : E
x_snd : F
hx : (x_fst, x_snd) ∈ g
hx_fst : x_fst ∈ map (LinearMap.fst R E F) g
\u22a2 ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).1 ∧ ↑g.toLinearPMap y = (x_fst, x_snd).2
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
x_fst : E
x_snd : F
hx : (x_fst, x_snd) ∈ g
hx_fst : x_fst ∈ map (LinearMap.fst R E F) g
\u22a2 ↑g.toLinearPMap ⟨x_fst, hx_fst⟩ = (x_fst, x_snd).2
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
x_fst : E
x_snd : F
hx : (x_fst, x_snd) ∈ g
hx_fst : x_fst ∈ map (LinearMap.fst R E F) g
\u22a2 valFromGraph hg ⋯ = (x_fst, x_snd).2
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/NonZeroDivisors.lean
M₀✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀✝
M₀ : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero M₀
x : M₀
\u22a2 x ∈ nonZeroDivisorsLeft M₀ ↔ x ∈ nonZeroDivisorsRight M₀
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
\u22a2 toIocMod hp a (m • p + b) = toIocMod hp a b
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
M' : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : LieRingModule L M'
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M'
\u22a2 e.range = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
M' : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : LieRingModule L M'
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M'
\u22a2 Function.Surjective ⇑e.toLieModuleHom
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
μ : Measure G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K : Set G
hK : IsCompact K
h2K : (interior K).Nonempty
hμK : μ K ≠ ⊤
\u22a2 μ.Regular
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
μ : Measure G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K : Set G
hK : IsCompact K
h2K : (interior K).Nonempty
hμK : μ K ≠ ⊤
\u22a2 (μ ↑{ carrier := K, isCompact' := hK, interior_nonempty' := h2K } • haarMeasure { carrier := K, isCompact' := hK, interior_nonempty' := h2K }).Regular
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : Mul α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c d : α
\u22a2 ↑(Ioc a b * Ico c d) ⊆ ↑(Ioo (a * c) (b * d))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p ≠ 0
\u22a2 p.natTrailingDegree = p.support.min' ⋯
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n x : ℤ
\u22a2 ↑x.natAbs ^ 2 = x ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Homology/QuasiIso.lean
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : K' ⟶ L'
e : Arrow.mk φ ≅ Arrow.mk φ'
inst✝³ : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝² : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), K'.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), L'.HasHomology i
hφ : QuasiIso φ
\u22a2 QuasiIso φ'
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
p : ℕ
hp : 0 < p
\u22a2 φ p = p - 1 ↔ Prime p
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
p : ℕ
hp : 0 < p
h : φ p = p - 1
\u22a2 Prime p
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
p : ℕ
h : φ p = p - 1
hp : 1 < p
\u22a2 Prime p
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
p : ℕ
h : (filter p.Coprime (Ico (succ 0) p)).card = (Ico 1 p).card
hp : 1 < p
\u22a2 Prime p
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
p : ℕ
h : (filter p.Coprime (Ico (succ 0) p)).card = (Ico 1 p).card
hp : 1 < p
n : ℕ
hn : n < p
hnz : n ≠ 0
\u22a2 succ 0 ≤ n
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝⁴ : MulOneClass α
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : MulPosMono α
inst✝ : MulPosReflectLE α
b0 : 0 < b
\u22a2 a * b ≤ b ↔ a * b ≤ 1 * b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y z✝ : ℝ
x : ℝ≥0
z : ℝ
hx : x ≤ 1
h_one_le : 1 ≤ z
\u22a2 x ^ z ≤ x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x y z✝ z : ℝ
h_one_le : 1 ≤ z
hx : ⊥ ≤ 1
\u22a2 ⊥ ^ z ≤ ⊥
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y z✝ : ℝ
x : ℝ≥0
z : ℝ
hx : x ≤ 1
h_one_le : 1 ≤ z
h : 0 < x
\u22a2 x ^ z ≤ x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y z✝ : ℝ
x : ℝ≥0
z : ℝ
hx : x ≤ 1
h_one_le : 1 ≤ z
h : 0 < x
\u22a2 x ^ z ≤ x ^ 1
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
\u22a2 l.sublists'.Nodup ↔ l.Nodup
-- Mathlib/Analysis/Analytic/IsolatedZeros.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
a : ℕ → E
hs : HasSum (fun m => z ^ m • a m) s
ha : ∀ k < n, a k = 0
\u22a2 ∃ t, z ^ n • t = s ∧ HasSum (fun m => z ^ m • a (m + n)) t
-- Mathlib/Analysis/Analytic/IsolatedZeros.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
z z₀ : 𝕜
a : ℕ → E
hs : HasSum (fun m => z ^ m • a m) s
ha : ∀ k < 0, a k = 0
\u22a2 ∃ t, z ^ 0 • t = s ∧ HasSum (fun m => z ^ m • a (m + 0)) t
-- Mathlib/Analysis/Analytic/IsolatedZeros.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
a : ℕ → E
hs : HasSum (fun m => z ^ m • a m) s
ha : ∀ k < n, a k = 0
hn : n > 0
\u22a2 ∃ t, z ^ n • t = s ∧ HasSum (fun m => z ^ m • a (m + n)) t
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b✝ : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R L
\u22a2 φ.nilRank = (φ.polyCharpoly b).natTrailingDegree
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hn : 0 < n
\u22a2 wittOne p n = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hn : 0 < n
\u22a2 (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittOne p n) = (map (Int.castRingHom ℚ)) 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hn : 0 < n
\u22a2 (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ n) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
IH : ∀ m < n, 0 < m → (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ m) = 0
hn : 0 < n
\u22a2 (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ n) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
IH : ∀ m < n, 0 < m → (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ m) = 0
hn : 0 < n
\u22a2 (bind₁ fun k => 1) ((X n - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)) * C (⅟↑p ^ n)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
IH : ∀ m < n, 0 < m → (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ m) = 0
hn : 0 < n
\u22a2 (1 - ∑ x ∈ Finset.range n, C ↑p ^ x * (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ x) ^ p ^ (n - x)) * C ⅟↑p ^ n = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
IH : ∀ m < n, 0 < m → (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ m) = 0
hn : 0 < n
\u22a2 C ⅟↑p ^ n - (∑ x ∈ Finset.range n, C ↑p ^ x * (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ x) ^ p ^ (n - x)) * C ⅟↑p ^ n = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
IH : ∀ m < n, 0 < m → (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ m) = 0
hn : 0 < n
\u22a2 C ⅟↑p ^ n - C ↑p ^ 0 * (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ 0) ^ p ^ (n - 0) * C ⅟↑p ^ n = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
IH : ∀ m < n, 0 < m → (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ m) = 0
hn : 0 < n
\u22a2 ∀ b ∈ Finset.range n, b ≠ 0 → C ↑p ^ b * (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ b) ^ p ^ (n - b) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
IH : ∀ m < n, 0 < m → (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ m) = 0
hn : 0 < n
\u22a2 0 ∉ Finset.range n → C ↑p ^ 0 * (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ 0) ^ p ^ (n - 0) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)
\u22a2 Subsingleton (Ω[S⁄R])
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)
\u22a2 ⊤ ≤ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)
\u22a2 Set.range ⇑(D R S) ⊆ ↑⊥
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
\u22a2 Continuous convexBodySumFun
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
w : InfinitePlace K
\u22a2 w ∈ Finset.univ → Continuous fun a => ↑w.mult * (normAtPlace w) a
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
w : InfinitePlace K
hw : w.IsReal
\u22a2 w ∈ Finset.univ → Continuous fun a => ↑w.mult * (normAtPlace w) a
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
w : InfinitePlace K
hw : w.IsComplex
\u22a2 w ∈ Finset.univ → Continuous fun a => ↑w.mult * (normAtPlace w) a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ ψ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
h : φ.realContinuousMapOfNNReal = ψ.realContinuousMapOfNNReal
f : C(X, ℝ≥0)
\u22a2 φ f = ψ f
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Cast.lean
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
a b : ℕ
\u22a2 ↑(a.descFactorial b) = Polynomial.eval (↑(a - (b - 1))) (ascPochhammer S b)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Cast.lean
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
a b : ℕ
\u22a2 ↑(a.descFactorial b) = ↑((a - (b - 1) + b - 1).descFactorial b)
-- Mathlib/CategoryTheory/DifferentialObject.lean
S : Type u_1
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasShift C S
inst✝ : (shiftFunctor C 1).PreservesZeroMorphisms
X Y : DifferentialObject S C
f : X ≅ Y
\u22a2 f.hom.f ≫ f.inv.f = 𝟙 X.obj
-- Mathlib/CategoryTheory/DifferentialObject.lean
S : Type u_1
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasShift C S
inst✝ : (shiftFunctor C 1).PreservesZeroMorphisms
X Y : DifferentialObject S C
f : X ≅ Y
\u22a2 f.inv.f ≫ f.hom.f = 𝟙 Y.obj
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Sort u_6
ι' : ι → Type u_7
l : ι → Filter α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
s : (i : ι) → ι' i → Set α
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
t : Set α
\u22a2 t ∈ ⨆ i, l i ↔ ∃ i, (∀ (i_1 : ι), p i_1 (i i_1)) ∧ ⋃ i_1, s i_1 (i i_1) ⊆ t
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : Mul N
f : M →ₙ* N
S : Subsemigroup N
h : S ≤ f.srange
\u22a2 map f (comap f S) = S
-- Mathlib/Algebra/Group/Opposite.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : Mul N
f : M →ₙ* N
hf : ∀ (x y : M), Commute (f x) (f y)
x y : M
\u22a2 (op ∘ ⇑f) (x * y) = (op ∘ ⇑f) x * (op ∘ ⇑f) y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
\u22a2 AntitoneOn (dist x) (Iic x)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)
a : Ordinal.{max u v}
ha : ∀ (i : ι), f i a ≤ a
\u22a2 ∃ o, derivFamily f o = a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)
a : Ordinal.{max u v}
ha : ∀ (i : ι), f i a ≤ a
\u22a2 ∀ (o : Ordinal.{max u v}), a ≤ derivFamily f o → ∃ o, derivFamily f o = a