ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
\u22a2 comap m (g₁ ⊔ g₂) = comap m g₁ ⊔ comap m g₂
-- Mathlib/Algebra/Group/Int.lean
u v m n : ℤ
\u22a2 ¬n % 2 = 0 ↔ n % 2 = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
h : p ∈ affineSpan k s
\u22a2 Coplanar k (insert p s) ↔ Coplanar k s
-- Mathlib/Algebra/Order/Monovary.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
\u22a2 (∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ Set.univ → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ Set.univ → f i • g j + f j • g i ≤ f i • g i + f j • g j) ↔ ∀ (i j : ι), f i • g j + f j • g i ≤ f i • g i + f j • g j
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : f.LimZero
hg : g.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, abv (↑f j) < ε / 2 ∧ abv (↑g j) < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
H₁ : abv (↑f j) < ε / 2
H₂ : abv (↑g j) < ε / 2
\u22a2 abv (↑(f + g) j) < ε
-- Mathlib/ModelTheory/FinitelyGenerated.lean
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
f : M ↪[L] N
s : L.Substructure M
t : Finset N
h : (closure L).toFun ↑t = Substructure.map f.toHom s
\u22a2 s.FG
-- Mathlib/ModelTheory/FinitelyGenerated.lean
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
f : M ↪[L] N
s : L.Substructure M
t : Finset N
h : (closure L).toFun ↑t = Substructure.map f.toHom s
\u22a2 ∃ S, S.Finite ∧ (closure L).toFun S = s
-- Mathlib/ModelTheory/FinitelyGenerated.lean
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
f : M ↪[L] N
s : L.Substructure M
t : Finset N
h : (closure L).toFun ↑t = Substructure.map f.toHom s
\u22a2 (closure L).toFun (⇑f ⁻¹' ↑t) = s
-- Mathlib/ModelTheory/FinitelyGenerated.lean
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
f : M ↪[L] N
s : L.Substructure M
t : Finset N
h : (closure L).toFun ↑t = Substructure.map f.toHom s
hf : Function.Injective ⇑f.toHom
\u22a2 (closure L).toFun (⇑f ⁻¹' ↑t) = s
-- Mathlib/ModelTheory/FinitelyGenerated.lean
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
f : M ↪[L] N
s : L.Substructure M
t : Finset N
h : (closure L).toFun ↑t = Substructure.map f.toHom s
hf : Function.Injective ⇑f.toHom
\u22a2 Substructure.map f.toHom ((closure L).toFun (⇑f ⁻¹' ↑t)) = Substructure.map f.toHom s
-- Mathlib/ModelTheory/FinitelyGenerated.lean
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
f : M ↪[L] N
s : L.Substructure M
t : Finset N
h : (closure L).toFun ↑t = Substructure.map f.toHom s
hf : Function.Injective ⇑f.toHom
\u22a2 ↑t ⊆ range ⇑f
-- Mathlib/ModelTheory/FinitelyGenerated.lean
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
f : M ↪[L] N
s : L.Substructure M
t : Finset N
h : (closure L).toFun ↑t = Substructure.map f.toHom s
hf : Function.Injective ⇑f.toHom
x : N
hx : x ∈ ↑t
\u22a2 x ∈ range ⇑f
-- Mathlib/ModelTheory/FinitelyGenerated.lean
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
f : M ↪[L] N
s : L.Substructure M
t : Finset N
h : (closure L).toFun ↑t = Substructure.map f.toHom s
hf : Function.Injective ⇑f.toHom
x : N
hx : x ∈ ↑t
h' : x ∈ ↑((closure L).toFun ↑t)
\u22a2 x ∈ range ⇑f
-- Mathlib/ModelTheory/FinitelyGenerated.lean
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
f : M ↪[L] N
s : L.Substructure M
t : Finset N
h : (closure L).toFun ↑t = Substructure.map f.toHom s
hf : Function.Injective ⇑f.toHom
x : N
hx : x ∈ ↑t
h' : x ∈ ↑(Substructure.map f.toHom s)
\u22a2 x ∈ range ⇑f
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Monadicity.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
inst✝ : ∀ (A : adj.toMonad.Algebra), HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
B : D
\u22a2 (comparisonAdjunction adj).counit.app B = colimit.desc (parallelPair (F.map (G.map (adj.counit.app B))) (adj.counit.app (F.obj (G.obj B)))) (counitCofork adj B)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Monadicity.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
inst✝ : ∀ (A : adj.toMonad.Algebra), HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
B : D
\u22a2 coequalizer.π (F.map ((comparison adj).obj B).a) (adj.counit.app (F.obj ((comparison adj).obj B).A)) ≫ (comparisonAdjunction adj).counit.app B = coequalizer.π (F.map ((comparison adj).obj B).a) (adj.counit.app (F.obj ((comparison adj).obj B).A)) ≫ colimit.desc (parallelPair (F.map (G.map (adj.counit.app B))) (adj.counit.app (F.obj (G.obj B)))) (counitCofork adj B)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
\u22a2 c • boundedBy m = boundedBy (c • m)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
\u22a2 OuterMeasure.ofFunction (c • fun s => ⨆ (_ : s.Nonempty), m s) ⋯ = OuterMeasure.ofFunction (fun s => ⨆ (_ : s.Nonempty), (c • m) s) ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
s : Set α
\u22a2 (c • fun s => ⨆ (_ : s.Nonempty), m s) s = ⨆ (_ : s.Nonempty), (c • m) s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
i : ZeroHom R R'
j : M ≃+ M₁
hi : Bijective ⇑i
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
\u22a2 Module.rank R M = Module.rank R' M₁
-- Mathlib/Control/Fold.lean
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
f : α → β → α
xs : t β
x : α
\u22a2 foldl f x xs = List.foldl f x (toList xs)
-- Mathlib/Control/Fold.lean
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
f : α → β → α
xs : t β
x : α
\u22a2 foldl f x xs = unop ((Foldl.ofFreeMonoid f) (FreeMonoid.ofList (toList xs))) x
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Reflection.lean
m n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid α
n : ℕ
a : Fin (n + 2) → α
\u22a2 sum a = ∑ i : Fin (n + 2), a i
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝² : MonoidWithZero M₀
a : M₀
m n : ℕ
inst✝¹ : NoZeroDivisors M₀
inst✝ : Nontrivial M₀
\u22a2 a ^ n = 0 ↔ a = 0 ∧ n ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
m : Fin (n + 1) → E
\u22a2 (iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f x) m = ((⇑(continuousMultilinearCurryRightEquiv' 𝕜 n E F) ∘ iteratedFDeriv 𝕜 n fun y => fderiv 𝕜 f y) x) m
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
m : Fin (n + 1) → E
\u22a2 ((iteratedFDeriv 𝕜 n (fun y => fderiv 𝕜 f y) x) (init m)) (m (last n)) = ((⇑(continuousMultilinearCurryRightEquiv' 𝕜 n E F) ∘ iteratedFDeriv 𝕜 n fun y => fderiv 𝕜 f y) x) m
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
h : AffineIndependent k fun p => ↑p
\u22a2 ∃ t, s ⊆ t ∧ (AffineIndependent k fun p => ↑p) ∧ affineSpan k t = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
h : AffineIndependent k fun p => ↑p
\u22a2 ∃ t, ∅ ⊆ t ∧ (AffineIndependent k fun p => ↑p) ∧ affineSpan k t = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
h : AffineIndependent k fun p => ↑p
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
\u22a2 ∃ t, s ⊆ t ∧ (AffineIndependent k fun p => ↑p) ∧ affineSpan k t = ⊤
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : UniformSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
\u22a2 UniformInducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ↔ UniformInducing ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : UniformSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
\u22a2 UniformSpace.comap (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) (UniformOnFun.uniformSpace X α 𝔖) = inst✝ ↔ UniformSpace.comap F (UniformOnFun.uniformSpace X α 𝔖) = inst✝
-- Mathlib/Order/Category/FinPartOrd.lean
α β : FinPartOrd
e : ↑α.toPartOrd ≃o ↑β.toPartOrd
x✝ : (forget FinPartOrd).obj α
\u22a2 (↑e ≫ ↑e.symm) x✝ = (𝟙 α) x✝
-- Mathlib/Order/Category/FinPartOrd.lean
α β : FinPartOrd
e : ↑α.toPartOrd ≃o ↑β.toPartOrd
x✝ : (forget FinPartOrd).obj β
\u22a2 (↑e.symm ≫ ↑e) x✝ = (𝟙 β) x✝
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
\u22a2 Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop atBot ↔ n ≠ 0 ∧ c < 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Periodic.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
t : ℝ
f : AddCircle T → E
\u22a2 ∫ (a : ℝ) in t..t + T, f ↑a = ∫ (b : AddCircle T), f b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Periodic.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
t : ℝ
f : AddCircle T → E
\u22a2 t ≤ t + T
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R₁
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R M'✝
inst✝⁵ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : FiniteDimensional K V
ι : Type u_10
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
sym : B.IsSymm
b : Basis ι K V
i j : ι
\u22a2 (B (b i)) ((B.dualBasis hB b) j) = if i = j then 1 else 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
inst✝ : Nonempty β
x : (b : β) → π b
r : ℝ
hr : r ≤ 0
\u22a2 ball x r = Set.univ.pi fun b => ball (x b) r
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 ∑ d ∈ n.divisors, d = ∏ p ∈ n.primeFactors, ∑ k ∈ range (n.factorization p + 1), p ^ k
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 (n.factorization.prod fun p k => (σ 1) (p ^ k)) = ∏ p ∈ n.primeFactors, ∑ k ∈ range (n.factorization p + 1), p ^ k
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
\u22a2 U R (n - 1) = 2 * X * U R n - U R (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s t : Set M
h : s ⊆ t
\u22a2 lieSpan R L s ≤ lieSpan R L t
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s t : Set M
h : s ⊆ t
\u22a2 s ⊆ ↑(lieSpan R L t)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Matching.lean
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
h : M.IsPerfectMatching
c : G.ConnectedComponent
\u22a2 (M.induce c.supp).IsMatching
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
\u22a2 Balanced ℝ s ↔ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → -x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → -x ∈ s
a : ℝ
ha : ‖a‖ ≤ 1
x : E
hx : x ∈ s
\u22a2 a • x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → -x ∈ s
a : ℝ
ha : -1 ≤ a ∧ a ≤ 1
x : E
hx : x ∈ s
\u22a2 a • x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → -x ∈ s
a : ℝ
ha : -1 ≤ a ∧ a ≤ 1
x : E
hx : x ∈ s
\u22a2 ((1 - a) / 2) • -x + ((a - -1) / 2) • x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : LocallyCompactSpace 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : CompleteSpace F
f : E → F
v : E
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
hf : Continuous f
this✝¹ : MeasurableSpace 𝕜 := borel 𝕜
this✝ : BorelSpace 𝕜
g : E → 𝕜 → F := fun x t => f (x + t • v)
hg : Continuous (Function.uncurry g)
\u22a2 Measurable fun x => lineDeriv 𝕜 f x v
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}
h : b ≠ 0
\u22a2 a ≤ a * b
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}
h : b ≠ 0
\u22a2 a ≤ b * a
-- Mathlib/Topology/Algebra/MulAction.lean
ι : Sort u_1
M : Type u_2
X : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : SMul M X
t₁ t₂ : TopologicalSpace X
inst✝¹ : ContinuousSMul M X
inst✝ : ContinuousSMul M X
\u22a2 ContinuousSMul M X
-- Mathlib/Topology/Algebra/MulAction.lean
ι : Sort u_1
M : Type u_2
X : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : SMul M X
t₁ t₂ : TopologicalSpace X
inst✝¹ : ContinuousSMul M X
inst✝ : ContinuousSMul M X
b : Bool
\u22a2 ContinuousSMul M X
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
\u22a2 Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
ns : ℕ → ℕ
hns : Tendsto ns atTop atTop
\u22a2 ∃ ms, Tendsto (fun n => eLpNorm (f (ns (ms n)) - g) p μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : Memℒp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
ns : ℕ → ℕ
hns : Tendsto ns atTop atTop
ms : ℕ → ℕ
left✝ : StrictMono ms
hms' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns (ms i)) x) atTop (𝓝 (g x))
\u22a2 ∃ ms, Tendsto (fun n => eLpNorm (f (ns (ms n)) - g) p μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α →. β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
\u22a2 PTendsto' f l₁ l₂ → PTendsto f l₁ l₂
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α →. β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
\u22a2 (∀ s ∈ l₂, f.preimage s ∈ l₁) → ∀ s ∈ l₂, f.core s ∈ l₁
-- Mathlib/Order/JordanHolder.lean
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
h : 0 < s.length
\u22a2 IsMaximal (eraseLast s).last (last s)
-- Mathlib/Order/JordanHolder.lean
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
h : 0 < s.length
this : s.length - 1 + 1 = s.length
\u22a2 IsMaximal (eraseLast s).last (last s)
-- Mathlib/Order/JordanHolder.lean
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
h : 0 < s.length
this : s.length - 1 + 1 = s.length
\u22a2 IsMaximal (s.toFun ⟨s.length.pred, ⋯⟩) (s.toFun (Fin.last s.length))
-- Mathlib/Order/JordanHolder.lean
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
h : 0 < s.length
this : s.length - 1 + 1 = s.length
\u22a2 Fin.last s.length = ⟨s.length - 1, ⋯⟩.succ
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝² : NormedCommRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : NormOneClass A
\u22a2 ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖ = 1
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝² : NormedCommRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : NormOneClass A
h✝ : IsEmpty ι
\u22a2 ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖ = 1
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝² : NormedCommRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : NormOneClass A
h✝ : Nonempty ι
\u22a2 ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖ = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
x : F × E
hv : x ∈ Submodule.map (LinearEquiv.prodComm R E F) f.graph
hv' : x.1 = 0
\u22a2 x.2 = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
x : F × E
hv' : x.1 = 0
hv : ∃ a b, (∃ (h : a ∈ f.domain), ↑f ⟨a, ⋯⟩ = b) ∧ (b, a) = x
\u22a2 x.2 = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
a : E
b : F
ha : a ∈ f.domain
h1 : ↑f ⟨a, ⋯⟩ = 0
hv' : b = 0
\u22a2 a = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
hf : ∀ (m : ↥f.domain), f.toFun m = 0 → m = 0
a : E
b : F
ha : a ∈ f.domain
h1 : ↑f ⟨a, ⋯⟩ = 0
hv' : b = 0
\u22a2 a = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
a : E
b : F
ha : a ∈ f.domain
h1 : ↑f ⟨a, ⋯⟩ = 0
hv' : b = 0
hf : ⟨a, ha⟩ = 0
\u22a2 a = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
a : E
b : F
ha : a ∈ f.domain
h1 : ↑f ⟨a, ⋯⟩ = 0
hv' : b = 0
hf : a = 0
\u22a2 a = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Induction.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r f : R[X]
I : Ideal R[X]
p : Ideal R[X] := Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
\u22a2 f ∈ Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Induction.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r f : R[X]
I : Ideal R[X]
p : Ideal R[X] := Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
\u22a2 (f.sum fun n a => C a * X ^ n) ∈ Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Induction.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r f : R[X]
I : Ideal R[X]
p : Ideal R[X] := Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}
n : ℕ
_hn : n ∈ f.support
\u22a2 (fun n a => C a * X ^ n) n (f.coeff n) ∈ Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)}