ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
Φ : yoneda.LeftExtension (F ⋙ yoneda)
f g : Functor.LeftExtension.mk F.op.lan (compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom ⟶ Φ
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
x : P.Elementsᵒᵖ
eq : yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd ≫ F.op.lanUnit.app P = F.op.lanUnit.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ whiskerLeft F.op (F.op.lan.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd))
eq₁ : (f.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))) = (Φ.hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))
eq₂ : (g.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))) = (Φ.hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))
\u22a2 (compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst) ≫ f.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ Φ.right.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd) = (compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst) ≫ g.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ Φ.right.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
Φ : yoneda.LeftExtension (F ⋙ yoneda)
f g : Functor.LeftExtension.mk F.op.lan (compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom ⟶ Φ
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
x : P.Elementsᵒᵖ
eq : yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd ≫ F.op.lanUnit.app P = F.op.lanUnit.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ whiskerLeft F.op (F.op.lan.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd))
eq₁ : (f.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))) = (Φ.hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))
eq₂ : (g.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))) = (Φ.hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))
\u22a2 yonedaEquiv ((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst) ≫ f.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ Φ.right.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd)) = yonedaEquiv ((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst) ≫ g.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ Φ.right.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd))
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
Φ : yoneda.LeftExtension (F ⋙ yoneda)
f g : Functor.LeftExtension.mk F.op.lan (compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom ⟶ Φ
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
x : P.Elementsᵒᵖ
eq : yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd ≫ F.op.lanUnit.app P = F.op.lanUnit.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1)) ≫ whiskerLeft F.op (F.op.lan.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd))
eq₁ : (f.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))) = (Φ.hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))
eq₂ : (g.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))) = (Φ.hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))
\u22a2 (Φ.right.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) ((f.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1))).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))))) = (Φ.right.map (yonedaEquiv.symm (Opposite.unop x).snd)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) ((g.right.app (yoneda.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).1))).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (((compYonedaIsoYonedaCompLan F).hom.app (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop (Opposite.unop x).fst)))))
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
x : Holor α [d]
\u22a2 CPRankMax 0 (x ⊗ 0)
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
n : ℕ
x : Holor α [d]
y₁ y₂ : Holor α ds
hy₁ : y₁.CPRankMax1
hy₂ : CPRankMax n y₂
\u22a2 CPRankMax (n + 1) (x ⊗ (y₁ + y₂))
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
n : ℕ
x : Holor α [d]
y₁ y₂ : Holor α ds
hy₁ : y₁.CPRankMax1
hy₂ : CPRankMax n y₂
\u22a2 CPRankMax (n + 1) (x ⊗ y₁ + x ⊗ y₂)
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
n : ℕ
x : Holor α [d]
y₁ y₂ : Holor α ds
hy₁ : y₁.CPRankMax1
hy₂ : CPRankMax n y₂
\u22a2 CPRankMax (1 + n) (x ⊗ y₁ + x ⊗ y₂)
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
n : ℕ
x : Holor α [d]
y₁ y₂ : Holor α ds
hy₁ : y₁.CPRankMax1
hy₂ : CPRankMax n y₂
\u22a2 CPRankMax 1 (x ⊗ y₁)
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
n : ℕ
x : Holor α [d]
y₁ y₂ : Holor α ds
hy₁ : y₁.CPRankMax1
hy₂ : CPRankMax n y₂
\u22a2 CPRankMax n (x ⊗ y₂)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/SeparatingDual.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
\u22a2 SeparatingDual R V ↔ Function.Injective ⇑(ContinuousLinearMap.coeLM R).flip
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/SeparatingDual.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
\u22a2 (∀ (x : V), ¬x = 0 → ∃ f, ¬f x = 0) ↔ ∀ (a : V), (ContinuousLinearMap.coeLM R).flip a = 0 → a = 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/SeparatingDual.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
v : V
\u22a2 (¬v = 0 → ∃ f, ¬f v = 0) ↔ (ContinuousLinearMap.coeLM R).flip v = 0 → v = 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/SeparatingDual.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
v : V
\u22a2 (¬∃ f, ¬f v = 0) → v = 0 ↔ (∀ (x : V →L[R] R), ((ContinuousLinearMap.coeLM R).flip v) x = 0 x) → v = 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/SeparatingDual.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : TopologicalRing R
inst✝² : TopologicalAddGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
v : V
\u22a2 (∀ (f : V →L[R] R), f v = 0) → v = 0 ↔ (∀ (x : V →L[R] R), ((ContinuousLinearMap.coeLM R).flip v) x = 0 x) → v = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
v : E := (hT.eigenvectorBasis hn) i
\u22a2 HasEigenvector T (↑(hT.eigenvalues hn i)) ((hT.eigenvectorBasis hn) i)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
v : E := (hT.eigenvectorBasis hn) i
μ : 𝕜 := ↑T (DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯)
\u22a2 HasEigenvector T (↑(hT.eigenvalues hn i)) ((hT.eigenvectorBasis hn) i)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
v : E := (hT.eigenvectorBasis hn) i
μ : 𝕜 := ↑T (DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯)
\u22a2 HasEigenvector T (↑(RCLike.re μ)) v
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
v : E := (hT.eigenvectorBasis hn) i
μ : 𝕜 := ↑T (DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯)
key : HasEigenvector T μ v
\u22a2 HasEigenvector T (↑(RCLike.re μ)) v
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hn : FiniteDimensional.finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
v : E := (hT.eigenvectorBasis hn) i
μ : 𝕜 := ↑T (DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯)
key : HasEigenvector T μ v
re_μ : ↑(RCLike.re μ) = μ
\u22a2 HasEigenvector T (↑(RCLike.re μ)) v
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ
\u22a2 dist ↑z ↑(w.center (dist z w)) + dist ↑w ↑(w.center (dist z w)) = w.im * (rexp (dist z w) - 1)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
c : R
\u22a2 (C c * X).support ⊆ {1}
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
M : ℕ
hNM : N ≤ M
h : lowerCrossingTime a b f N n ω < N
\u22a2 upperCrossingTime a b f M n ω = upperCrossingTime a b f N n ω ∧ lowerCrossingTime a b f M n ω = lowerCrossingTime a b f N n ω
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
M : ℕ
hNM : N ≤ M
h : lowerCrossingTime a b f N n ω < N
h' : upperCrossingTime a b f N n ω < N
\u22a2 upperCrossingTime a b f M n ω = upperCrossingTime a b f N n ω ∧ lowerCrossingTime a b f M n ω = lowerCrossingTime a b f N n ω
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/MeasurePreserving.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μa μb
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 map f (μa.restrict (f ⁻¹' s)) = μb.restrict s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : StrongFEPair E
r : ℝ
\u22a2 P.f =O[atTop] fun x => x ^ r
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : MonoidWithZero β
inst✝ : ContinuousMul β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
hg : FinStronglyMeasurable g μ
\u22a2 FinStronglyMeasurable (f * g) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : MonoidWithZero β
inst✝ : ContinuousMul β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
hg : FinStronglyMeasurable g μ
\u22a2 ∀ (n : ℕ), μ (support ↑((fun n => hf.approx n * hg.approx n) n)) < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : MonoidWithZero β
inst✝ : ContinuousMul β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
hg : FinStronglyMeasurable g μ
n : ℕ
\u22a2 μ (support ↑((fun n => hf.approx n * hg.approx n) n)) < ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
\u22a2 (X * p).content = p.content
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
\u22a2 (Multiset.map (X * p).coeff (X * p).support.val).gcd = (Multiset.map p.coeff p.support.val).gcd
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
\u22a2 Multiset.map (X * p).coeff (X * p).support.val = Multiset.map p.coeff p.support.val
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : (X * p).support = Finset.map { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective } p.support
\u22a2 Multiset.map (X * p).coeff (Finset.map { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective } p.support).val = Multiset.map p.coeff p.support.val
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : (X * p).support = Finset.map { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective } p.support
\u22a2 Multiset.map (fun x => (X * p).coeff x.succ) p.support.val = Multiset.map p.coeff p.support.val
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : (X * p).support = Finset.map { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective } p.support
\u22a2 (fun x => (X * p).coeff x.succ) = p.coeff
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : (X * p).support = Finset.map { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective } p.support
a : ℕ
\u22a2 (X * p).coeff a.succ = p.coeff a
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : (X * p).support = Finset.map { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective } p.support
a : ℕ
\u22a2 (p * X).coeff a.succ = p.coeff a
-- Mathlib/Topology/Filter.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
\u22a2 ⨅ s, ⨅ (_ : IsOpen s), ⨅ (_ : x ∈ s), 𝓟 s = comap 𝓝 (𝓝 (𝓝 x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)) s = ρ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)) s ≤ ρ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ρ s ≤ (μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)) s
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
φ₁ φ₂ : F ⟶ G
h : Homotopy φ₁ φ₂
p : ℤ
\u22a2 (δ (-1) 0 (Cochain.ofHomotopy h)).v p p ⋯ = (Cochain.ofHom φ₁ - Cochain.ofHom φ₂).v p p ⋯
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
φ₁ φ₂ : F ⟶ G
h : Homotopy φ₁ φ₂
p : ℤ
eq : φ₁.f p = (dNext p) h.hom + (prevD p) h.hom + φ₂.f p
\u22a2 (δ (-1) 0 (Cochain.ofHomotopy h)).v p p ⋯ = (Cochain.ofHom φ₁ - Cochain.ofHom φ₂).v p p ⋯
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
φ₁ φ₂ : F ⟶ G
h : Homotopy φ₁ φ₂
p : ℤ
eq : φ₁.f p = F.d p (p + 1) ≫ h.hom (p + 1) p + h.hom p (p - 1) ≫ G.d (p - 1) p + φ₂.f p
\u22a2 (δ (-1) 0 (Cochain.ofHomotopy h)).v p p ⋯ = (Cochain.ofHom φ₁ - Cochain.ofHom φ₂).v p p ⋯
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
φ₁ φ₂ : F ⟶ G
h : Homotopy φ₁ φ₂
p : ℤ
eq : φ₁.f p = F.d p (p + 1) ≫ h.hom (p + 1) p + h.hom p (p - 1) ≫ G.d (p - 1) p + φ₂.f p
\u22a2 (Cochain.mk fun p q x => h.hom p q).v p (p - 1) ⋯ ≫ G.d (p - 1) p + Int.negOnePow 0 • F.d p (p + 1) ≫ (Cochain.mk fun p q x => h.hom p q).v (p + 1) p ⋯ = (Cochain.ofHom φ₁ - Cochain.ofHom φ₂).v p p ⋯
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
φ₁ φ₂ : F ⟶ G
h : Homotopy φ₁ φ₂
p : ℤ
eq : φ₁.f p = F.d p (p + 1) ≫ h.hom (p + 1) p + h.hom p (p - 1) ≫ G.d (p - 1) p + φ₂.f p
\u22a2 h.hom p (p - 1) ≫ G.d (p - 1) p + F.d p (p + 1) ≫ h.hom (p + 1) p = F.d p (p + 1) ≫ h.hom (p + 1) p + h.hom p (p - 1) ≫ G.d (p - 1) p + φ₂.f p - φ₂.f p
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NeZero μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
\u22a2 ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NeZero μ
hs : Convex ℝ s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
\u22a2 (μ univ)⁻¹ • μ ≪ μ
-- Mathlib/Algebra/Homology/Additive.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{?u.75509, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{?u.75534, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{?u.75538, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
α : Type u_5
inst✝³ : AddRightCancelSemigroup α
inst✝² : One α
inst✝¹ : DecidableEq α
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X : α → W₁
d : (n : α) → X (n + 1) ⟶ X n
sq : ∀ (n : α), d (n + 1) ≫ d n = 0
n : α
\u22a2 (fun n => F.map (d n)) (n + 1) ≫ (fun n => F.map (d n)) n = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Additive.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{?u.75509, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{u_7, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
α : Type u_5
inst✝³ : AddRightCancelSemigroup α
inst✝² : One α
inst✝¹ : DecidableEq α
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X : α → W₁
d : (n : α) → X (n + 1) ⟶ X n
sq : ∀ (n : α), d (n + 1) ≫ d n = 0
\u22a2 (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down α)).obj (of X d sq) = of (fun n => F.obj (X n)) (fun n => F.map (d n)) ⋯
-- Mathlib/Algebra/Homology/Additive.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{?u.75509, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{u_7, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
α : Type u_5
inst✝³ : AddRightCancelSemigroup α
inst✝² : One α
inst✝¹ : DecidableEq α
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X : α → W₁
d : (n : α) → X (n + 1) ⟶ X n
sq : ∀ (n : α), d (n + 1) ≫ d n = 0
\u22a2 ∀ (i j : α), (ComplexShape.down α).Rel i j → ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down α)).obj (of X d sq)).d i j ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯ ≫ (of (fun n => F.obj (X n)) (fun n => F.map (d n)) ⋯).d i j