ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
x : H
hx : x ∈ e.target
\u22a2 LiftPropWithinAt Q (↑e.symm) e.target x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
x : H
hx : x ∈ e.target
\u22a2 e.target ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖ ≤ C
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
this : NormedSpace ℝ G := RestrictScalars.normedSpace ℝ 𝕜 G
g : ℝ → E := ⇑(AffineMap.lineMap x y)
\u22a2 ‖f y - f x‖ ≤ C * ‖y - x‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖ ≤ C
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
this : NormedSpace ℝ G := RestrictScalars.normedSpace ℝ 𝕜 G
g : ℝ → E := ⇑(AffineMap.lineMap x y)
segm : MapsTo g (Icc 0 1) s
\u22a2 ‖f y - f x‖ ≤ C * ‖y - x‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖ ≤ C
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
this : NormedSpace ℝ G := RestrictScalars.normedSpace ℝ 𝕜 G
g : ℝ → E := ⇑(AffineMap.lineMap x y)
segm : MapsTo g (Icc 0 1) s
hD : ∀ t ∈ Icc 0 1, HasDerivWithinAt (f ∘ g) ((f' (g t)) (y - x)) (Icc 0 1) t
\u22a2 ‖f y - f x‖ ≤ C * ‖y - x‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
bound✝ : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖ ≤ C
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
this : NormedSpace ℝ G := RestrictScalars.normedSpace ℝ 𝕜 G
g : ℝ → E := ⇑(AffineMap.lineMap x y)
segm : MapsTo g (Icc 0 1) s
hD : ∀ t ∈ Icc 0 1, HasDerivWithinAt (f ∘ g) ((f' (g t)) (y - x)) (Icc 0 1) t
bound : ∀ t ∈ Ico 0 1, ‖(f' (g t)) (y - x)‖ ≤ C * ‖y - x‖
\u22a2 ‖f y - f x‖ ≤ C * ‖y - x‖
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : ClosedEmbedding f
s : Set Y
hs : s ⊆ range f
\u22a2 IsClosed s ↔ IsClosed (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℤ
\u22a2 ‖↑p ^ n‖ = ↑p ^ (-n)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
\u22a2 @product = @productTR
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_2
β : Type u_1
l₁ : List α
l₂ : List β
\u22a2 l₁.product l₂ = l₁.productTR l₂
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_2
β : Type u_1
l₁ : List α
l₂ : List β
\u22a2 (l₁.bind fun a => map (Prod.mk a) l₂) = (foldl (fun acc a => foldl (fun acc b => acc.push (a, b)) acc l₂) #[] l₁).data
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_2
β : Type u_1
l₁ : List α
l₂ : List β
\u22a2 (l₁.bind fun a => map (Prod.mk a) l₂) = #[].data ++ l₁.bind ?h.h.h.h.G
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_2
β : Type u_1
l₁ : List α
l₂ : List β
\u22a2 α → List (α × β)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_2
β : Type u_1
l₁ : List α
l₂ : List β
\u22a2 ∀ (acc : Array (α × β)) (a : α), (foldl (fun acc b => acc.push (a, b)) acc l₂).data = acc.data ++ ?h.h.h.h.G a
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_2
β : Type u_1
l₁ : List α
l₂ : List β
acc✝ : Array (α × β)
a✝ : α
\u22a2 (foldl (fun acc b => acc.push (a✝, b)) acc✝ l₂).data = acc✝.data ++ map (Prod.mk a✝) l₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M
\u22a2 ⊤.dualAnnihilator = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M
\u22a2 ⊤.dualAnnihilator ≤ ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M
v : Module.Dual R M
\u22a2 v ∈ ⊤.dualAnnihilator → v ∈ ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M
v : Module.Dual R M
\u22a2 (∀ (w : M), v w = 0) → v = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
\u22a2 (mkMetric m).trim = mkMetric m
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
\u22a2 ⨆ i, (mkMetric'.pre (fun s => m (diam s)) (↑i)⁻¹).trim = ⨆ n, mkMetric'.pre (fun s => m (diam s)) (↑n)⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
n : ℕ
\u22a2 (mkMetric'.pre (fun s => m (diam s)) (↑n)⁻¹).trim = mkMetric'.pre (fun s => m (diam s)) (↑n)⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
n : ℕ
s : Set X
\u22a2 m (diam (closure s)) = m (diam s)
-- Mathlib/Data/Vector3.lean
α : Type u_1
m n : ℕ
f : Vector3 α 0 → Prop
x✝ : Exists f
v : Vector3 α 0
fv : f v
\u22a2 f []
-- Mathlib/Data/Vector3.lean
α : Type u_1
m n : ℕ
f : Vector3 α 0 → Prop
x✝ : Exists f
v : Vector3 α 0
fv : f v
\u22a2 f v
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Biproducts.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
F : Fin n → Karoubi C
\u22a2 HasBiproduct F
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Biproducts.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
F : Fin n → Karoubi C
\u22a2 ∑ j : Fin n, (Biproducts.bicone F).π j ≫ (Biproducts.bicone F).ι j = 𝟙 (Biproducts.bicone F).pt
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Biproducts.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
F : Fin n → Karoubi C
\u22a2 (∑ j : Fin n, (Biproducts.bicone F).π j ≫ (Biproducts.bicone F).ι j).f = (𝟙 (Biproducts.bicone F).pt).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Biproducts.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
F : Fin n → Karoubi C
j : Fin n
\u22a2 biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ (∑ j : Fin n, (Biproducts.bicone F).π j ≫ (Biproducts.bicone F).ι j).f = biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ (𝟙 (Biproducts.bicone F).pt).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Biproducts.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
F : Fin n → Karoubi C
j : Fin n
\u22a2 ∑ j_1 : Fin n, biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ biproduct.π (fun j => (F j).X) j_1 ≫ (F j_1).p ≫ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j_1 = (F j).p ≫ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Biproducts.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
F : Fin n → Karoubi C
j : Fin n
\u22a2 biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ biproduct.π (fun j => (F j).X) j ≫ (F j).p ≫ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j = (F j).p ≫ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Biproducts.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
F : Fin n → Karoubi C
j : Fin n
\u22a2 ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ j → biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ biproduct.π (fun j => (F j).X) b ≫ (F b).p ≫ biproduct.ι (fun j => (F j).X) b = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Biproducts.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
F : Fin n → Karoubi C
j : Fin n
\u22a2 j ∉ Finset.univ → biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ biproduct.π (fun j => (F j).X) j ≫ (F j).p ≫ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁸ : Semiring α
inst✝⁷ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝⁶ : IsRightCancelAdd α
inst✝⁵ : NoZeroDivisors α
inst✝⁴ : ZeroLEOneClass α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : PosMulMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
\u22a2 a * a + b * b = 0 ↔ a = 0 ∧ b = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
y : ℝ
hy : y ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
hlt : x < y
\u22a2 tan x < tan y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
y : ℝ
hy : y ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
hlt : x < y
\u22a2 0 < sin (y - x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/RiemannZeta.lean
s : ℂ
\u22a2 completedRiemannZeta (1 - s) = completedRiemannZeta s
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X✝¹ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X✝¹
inst✝² : TopologicalSpace Y
s t : Set X✝¹
X✝ : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X✝ i)
X : ι → Type u_3
inst✝ : (d : ι) → TopologicalSpace (X d)
\u22a2 (Filter.coprodᵢ fun d => cocompact (X d)) = cocompact ((d : ι) → X d)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X✝¹ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X✝¹
inst✝² : TopologicalSpace Y
s t : Set X✝¹
X✝ : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X✝ i)
X : ι → Type u_3
inst✝ : (d : ι) → TopologicalSpace (X d)
\u22a2 cocompact ((d : ι) → X d) ≤ Filter.coprodᵢ fun d => cocompact (X d)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X✝¹ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X✝¹
inst✝² : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X✝¹
X✝ : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X✝ i)
X : ι → Type u_3
inst✝ : (d : ι) → TopologicalSpace (X d)
s : Set ((i : ι) → X i)
H : sᶜ ∈ Filter.coprodᵢ fun d => cocompact (X d)
\u22a2 sᶜ ∈ cocompact ((d : ι) → X d)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X✝¹ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X✝¹
inst✝² : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X✝¹
X✝ : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X✝ i)
X : ι → Type u_3
inst✝ : (d : ι) → TopologicalSpace (X d)
s : Set ((i : ι) → X i)
H : ∀ (i : ι), ∃ t, IsCompact t ∧ s ⊆ eval i ⁻¹' t
\u22a2 ∃ t, IsCompact t ∧ s ⊆ t
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X✝¹ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X✝¹
inst✝² : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X✝¹
X✝ : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X✝ i)
X : ι → Type u_3
inst✝ : (d : ι) → TopologicalSpace (X d)
s : Set ((i : ι) → X i)
K : (i : ι) → Set (X i)
hKc : ∀ (i : ι), IsCompact (K i)
htK : ∀ (i : ι), s ⊆ eval i ⁻¹' K i
\u22a2 ∃ t, IsCompact t ∧ s ⊆ t
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
\u22a2 ∠ p₃ p₁ p₂ = 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : α
n : Nat
l : List α
h : n < l.length
\u22a2 l.set n a = take n l ++ a :: drop (n + 1) l
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Fin/Lemmas.lean
n : Nat
α : Sort u_1
m : Nat
f : Fin (n + 1) → α → α
x : α
h : m + 1 ≤ n + 1
\u22a2 foldr.loop (n + 1) f ⟨m + 1, h⟩ x = f 0 (foldr.loop n (fun i => f i.succ) ⟨m, ⋯⟩ x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h : ↑n ≠ 0
\u22a2 0 ^ ↑n = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h : ↑n ≠ 0
\u22a2 n ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
x✝ : -[n+1] ≠ 0
\u22a2 0 ^ -[n+1] = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
v : M
h : 0 ≤ a
\u22a2 SameRay R v (a • v)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
v : M
h✝ : 0 ≤ a
h : (algebraMap S R) a = 0
\u22a2 SameRay R v (a • v)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
v : M
h✝ : 0 ≤ a
h : 0 < (algebraMap S R) a
\u22a2 SameRay R v (a • v)
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
a b : α
h : ∀ (c : α), IsAtom c → (c ≤ a ↔ c ≤ b)
\u22a2 a = b
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : Subsingleton E
a : E
\u22a2 ‖a‖ = 0
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Append α
a b : Part α
hab : (a ++ b).Dom
\u22a2 (a ++ b).get hab = a.get ⋯ ++ b.get ⋯
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Append α
a b : Part α
hab : (a ++ b).Dom
\u22a2 (a.bind fun y => map (fun x => y ++ x) b).get ⋯ = a.get ⋯ ++ b.get ⋯
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
x : Holor α (d :: ds)
\u22a2 ∑ i ∈ (Finset.range d).attach, unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯ = x
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
x : Holor α (d :: ds)
\u22a2 (∑ i ∈ (Finset.range d).attach, unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯).slice = x.slice
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
x : Holor α (d :: ds)
i : ℕ
hid : i < d
\u22a2 (∑ i ∈ (Finset.range d).attach, unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯).slice i hid = x.slice i hid
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
x : Holor α (d :: ds)
i : ℕ
hid : i < d
\u22a2 ∑ x_1 ∈ (Finset.range d).attach, (unitVec d ↑x_1 ⊗ x.slice ↑x_1 ⋯).slice i hid = x.slice i hid
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
x : Holor α (d :: ds)
i : ℕ
hid : i < d
\u22a2 (∑ x_1 ∈ (Finset.range d).attach, if i = ↑x_1 then x.slice ↑x_1 ⋯ else 0) = x.slice i hid
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
x : Holor α (d :: ds)
i : ℕ
hid : i < d
\u22a2 (if i = ↑⟨i, ⋯⟩ then x.slice ↑⟨i, ⋯⟩ ⋯ else 0) = x.slice i hid
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
x : Holor α (d :: ds)
i : ℕ
hid : i < d
\u22a2 ∀ b ∈ (Finset.range d).attach, b ≠ ⟨i, ⋯⟩ → (if i = ↑b then x.slice ↑b ⋯ else 0) = 0
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
x : Holor α (d :: ds)
i : ℕ
hid : i < d
\u22a2 ⟨i, ⋯⟩ ∉ (Finset.range d).attach → (if i = ↑⟨i, ⋯⟩ then x.slice ↑⟨i, ⋯⟩ ⋯ else 0) = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
\u22a2 Tendsto (fun x => ↑⌈x⌉₊ / x) atTop (𝓝 1)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Independent.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
\u22a2 ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val
-- Mathlib/Analysis/Convex/Independent.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
\u22a2 ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val
-- Mathlib/Analysis/Convex/Independent.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x
\u22a2 ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val
-- Mathlib/Analysis/Convex/Independent.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x
fe : ↑(Set.range p) ↪ ι := { toFun := f, inj' := ⋯ }
\u22a2 ConvexIndependent 𝕜 Subtype.val
-- Mathlib/Analysis/Convex/Independent.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x
fe : ↑(Set.range p) ↪ ι := { toFun := f, inj' := ⋯ }
\u22a2 Subtype.val = p ∘ ⇑fe
-- Mathlib/Analysis/Convex/Independent.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x
fe : ↑(Set.range p) ↪ ι := { toFun := f, inj' := ⋯ }
x✝ : { x // x ∈ Set.range p }
\u22a2 ↑x✝ = (p ∘ ⇑fe) x✝
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
L : List (List α)
\u22a2 L.join.Nodup ↔ (∀ l ∈ L, l.Nodup) ∧ Pairwise Disjoint L
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Discriminant.lean
n : ℕ+
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
ce : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
\u22a2 discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).basis = discr ℚ ⇑(subOnePowerBasis ℚ hζ).basis
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Discriminant.lean
n : ℕ+
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
ce : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
this : NumberField K
\u22a2 discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).basis = discr ℚ ⇑(subOnePowerBasis ℚ hζ).basis
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Discriminant.lean
n : ℕ+
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
ce : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
this : NumberField K
H₁ : (aeval (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen) (X - 1) = (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen
H₂ : (aeval (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen) (X + 1) = (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen
\u22a2 discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).basis = discr ℚ ⇑(subOnePowerBasis ℚ hζ).basis
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Discriminant.lean
n : ℕ+
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
ce : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
this : NumberField K
H₁ : (aeval (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen) (X - 1) = (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen
H₂ : (aeval (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen) (X + 1) = (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen
i : Fin (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).dim
j : Fin (subOnePowerBasis ℚ hζ).dim
\u22a2 IsIntegral ℤ (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Discriminant.lean
n : ℕ+
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
ce : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
this : NumberField K
H₁ : (aeval (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen) (X - 1) = (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen
H₂ : (aeval (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen) (X + 1) = (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen
i : Fin (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).dim
j : Fin (subOnePowerBasis ℚ hζ).dim
\u22a2 minpoly ℚ (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen = Polynomial.map (algebraMap ℤ ℚ) (minpoly ℤ (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Discriminant.lean
n : ℕ+
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
ce : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
this : NumberField K
H₁ : (aeval (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen) (X - 1) = (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen
H₂ : (aeval (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen) (X + 1) = (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen
i : Fin (subOnePowerBasis ℚ hζ).dim
j : Fin (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).dim
\u22a2 IsIntegral ℤ (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Discriminant.lean
n : ℕ+
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
ce : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
this : NumberField K
H₁ : (aeval (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen) (X - 1) = (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen
H₂ : (aeval (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen) (X + 1) = (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).gen
i : Fin (subOnePowerBasis ℚ hζ).dim
j : Fin (IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).dim
\u22a2 minpoly ℚ (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen = Polynomial.map (algebraMap ℤ ℚ) (minpoly ℤ (subOnePowerBasis ℚ hζ).gen)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ V = n
hc : Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps
\u22a2 sx₁.circumsphere = sx₂.circumsphere