ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
f : α ≃ α
Pm : ∀ (s : Set α), P (⇑f ⁻¹' s) ↔ P s
mm : ∀ (s : Set α) (hs : P s), m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = m s hs
A : Set α
\u22a2 ⨅ t, ⨅ (ht : P t), ⨅ (_ : A ⊆ t), m t ht = ⨅ t, ⨅ (ht : P t), ⨅ (_ : ⇑f ⁻¹' A ⊆ t), m t ht
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
f : α ≃ α
Pm : ∀ (s : Set α), P (⇑f ⁻¹' s) ↔ P s
mm : ∀ (s : Set α) (hs : P s), m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = m s hs
A s : Set α
\u22a2 ⨅ (ht : P (⇑f ⁻¹' s)), ⨅ (_ : ⇑f ⁻¹' A ⊆ ⇑f ⁻¹' s), m (⇑f ⁻¹' s) ht = ⨅ (ht : P s), ⨅ (_ : A ⊆ s), m s ht
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
f : α ≃ α
Pm : ∀ (s : Set α), P (⇑f ⁻¹' s) ↔ P s
mm : ∀ (s : Set α) (hs : P s), m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = m s hs
A s : Set α
\u22a2 ∀ (x : P s), ⨅ (_ : ⇑f ⁻¹' A ⊆ ⇑f ⁻¹' s), m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = ⨅ (_ : A ⊆ s), m s x
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
f : α ≃ α
Pm : ∀ (s : Set α), P (⇑f ⁻¹' s) ↔ P s
mm : ∀ (s : Set α) (hs : P s), m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = m s hs
A s : Set α
hs : P s
\u22a2 ⨅ (_ : ⇑f ⁻¹' A ⊆ ⇑f ⁻¹' s), m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = ⨅ (_ : A ⊆ s), m s hs
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
f : α ≃ α
Pm : ∀ (s : Set α), P (⇑f ⁻¹' s) ↔ P s
mm : ∀ (s : Set α) (hs : P s), m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = m s hs
A s : Set α
hs : P s
\u22a2 A ⊆ s → m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = m s hs
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
\u22a2 LinearMap.ker hv.repr = ⊥
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
C : G.ComponentCompl K
c d : V
x✝ : c ∈ C
dnK : d ∉ K
cd : G.Adj c d
cnK : c ∉ K
h : G.componentComplMk cnK = C
\u22a2 G.componentComplMk dnK = C
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
C : G.ComponentCompl K
c d : V
x✝ : c ∈ C
dnK : d ∉ K
cd : G.Adj c d
cnK : c ∉ K
h : G.componentComplMk cnK = C
\u22a2 (induce Kᶜ G).Reachable ⟨d, dnK⟩ ⟨c, cnK⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h₁ : p₁ ∈ affineSpan k {p₃, p₄}
h₂ : p₂ ∈ affineSpan k {p₃, p₄}
\u22a2 Collinear k {p₁, p₂, p₃, p₄}
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h₁ : p₁ ∈ affineSpan k {p₃, p₄}
h₂ : p₂ ∈ affineSpan k {p₃, p₄}
\u22a2 Collinear k {p₃, p₄}
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g : ι → α
inst✝¹ inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
s : Finset ι
f : ι → α
b✝ : α
h : ∀ i ∈ s, Commute b✝ (f i)
b : α
hb : b ∈ Multiset.map (fun i => f i) s.val
\u22a2 Commute b✝ b
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i✝ : ι
a : α
f✝ g : ι → α
inst✝¹ inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
s : Finset ι
f : ι → α
b : α
h : ∀ i ∈ s, Commute b (f i)
i : ι
hi : i ∈ s.val
hb : f i ∈ Multiset.map (fun i => f i) s.val
\u22a2 Commute b (f i)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
hna : IsNonarchimedean f
\u22a2 IsNonarchimedean (seminormFromBounded' f)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
hna : IsNonarchimedean f
x y z : R
\u22a2 f ((x + y) * z) / f z ≤ max (seminormFromBounded' f x) (seminormFromBounded' f y)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
hna : IsNonarchimedean f
x y z : R
\u22a2 f ((x + y) * z) / f z ≤ seminormFromBounded' f x ∨ f ((x + y) * z) / f z ≤ seminormFromBounded' f y
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Finite
m : ℕ
hm : m < hf.toFinset.card
n : ℕ
hn : n < hf.toFinset.card
h : m < n
\u22a2 nth p m < nth p n
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
hf : (setOf p).Finite
m : ℕ
hm : m < hf.toFinset.card
n : ℕ
hn : n < hf.toFinset.card
h : m < n
\u22a2 (⋯.toFinset.orderEmbOfFin ⋯) ⟨m, ⋯⟩ < (⋯.toFinset.orderEmbOfFin ⋯) ⟨n, ⋯⟩
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
inst✝² : H.Normal
η : Type u_2
Gs : η → Type u_3
inst✝¹ : (i : η) → Group (Gs i)
inst✝ : ∀ (i : η), Group.IsNilpotent (Gs i)
n : ℕ
h : ∀ (i : η), Group.nilpotencyClass (Gs i) ≤ n
\u22a2 Group.IsNilpotent ((i : η) → Gs i)
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
inst✝² : H.Normal
η : Type u_2
Gs : η → Type u_3
inst✝¹ : (i : η) → Group (Gs i)
inst✝ : ∀ (i : η), Group.IsNilpotent (Gs i)
n : ℕ
h : ∀ (i : η), Group.nilpotencyClass (Gs i) ≤ n
\u22a2 ∃ n, lowerCentralSeries ((i : η) → Gs i) n = ⊥
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
inst✝² : H.Normal
η : Type u_2
Gs : η → Type u_3
inst✝¹ : (i : η) → Group (Gs i)
inst✝ : ∀ (i : η), Group.IsNilpotent (Gs i)
n : ℕ
h : ∀ (i : η), Group.nilpotencyClass (Gs i) ≤ n
\u22a2 lowerCentralSeries ((i : η) → Gs i) n = ⊥
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
inst✝² : H.Normal
η : Type u_2
Gs : η → Type u_3
inst✝¹ : (i : η) → Group (Gs i)
inst✝ : ∀ (i : η), Group.IsNilpotent (Gs i)
n : ℕ
h : ∀ (i : η), Group.nilpotencyClass (Gs i) ≤ n
\u22a2 lowerCentralSeries ((i : η) → Gs i) n ≤ ⊥
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
inst✝² : H.Normal
η : Type u_2
Gs : η → Type u_3
inst✝¹ : (i : η) → Group (Gs i)
inst✝ : ∀ (i : η), Group.IsNilpotent (Gs i)
n : ℕ
h : ∀ (i : η), Group.nilpotencyClass (Gs i) ≤ n
\u22a2 (pi Set.univ fun i => lowerCentralSeries (Gs i) n) ≤ ⊥
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
inst✝² : H.Normal
η : Type u_2
Gs : η → Type u_3
inst✝¹ : (i : η) → Group (Gs i)
inst✝ : ∀ (i : η), Group.IsNilpotent (Gs i)
n : ℕ
h : ∀ (i : η), Group.nilpotencyClass (Gs i) ≤ n
\u22a2 ∀ (i : η), lowerCentralSeries (Gs i) n = ⊥
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H : Subgroup G
inst✝² : H.Normal
η : Type u_2
Gs : η → Type u_3
inst✝¹ : (i : η) → Group (Gs i)
inst✝ : ∀ (i : η), Group.IsNilpotent (Gs i)
n : ℕ
h : ∀ (i : η), Group.nilpotencyClass (Gs i) ≤ n
i : η
\u22a2 lowerCentralSeries (Gs i) n = ⊥
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/ZeroAtInfty.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β
f g : α →C₀ β
h : f.toBCF = g.toBCF
x : α
\u22a2 f x = g x
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i : ι
hi : ¬c.Rel i (c.next i)
A : C
f g : X φ i ⟶ A
h : inrX φ i ≫ f = inrX φ i ≫ g
\u22a2 f = g
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i : ι
hi : ¬c.Rel i (c.next i)
A : C
f g : X φ i ⟶ A
h : inrX φ i ≫ f = inrX φ i ≫ g
\u22a2 (XIso φ i hi).inv ≫ f = (XIso φ i hi).inv ≫ g
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K ↥E2
\u22a2 (E1 ⊔ E2).toSubalgebra = E1.toSubalgebra ⊔ E2.toSubalgebra
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K ↥E2
this : (adjoin ↥E1 ↑E2).toSubalgebra = Algebra.adjoin ↥E1 ↑E2
\u22a2 (E1 ⊔ E2).toSubalgebra = E1.toSubalgebra ⊔ E2.toSubalgebra
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K ↥E2
this : Subalgebra.restrictScalars K (adjoin ↥E1 ↑E2).toSubalgebra = Subalgebra.restrictScalars K (Algebra.adjoin ↥E1 ↑E2)
\u22a2 (E1 ⊔ E2).toSubalgebra = E1.toSubalgebra ⊔ E2.toSubalgebra
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K ↥E2
this : (adjoin K (↑E1 ∪ ↑E2)).toSubalgebra = Algebra.adjoin K (↑E1.toSubalgebra ∪ ↑E2)
\u22a2 (E1 ⊔ E2).toSubalgebra = E1.toSubalgebra ⊔ E2.toSubalgebra
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v s t : Set α
hs : IsPreconnected s
ht : IsPreconnected t
x : α
hxs : x ∈ s
hxt : x ∈ t
\u22a2 IsPreconnected (s ∪ t)
-- Mathlib/Data/Finset/Preimage.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
f : α ↪ β
s : Finset β
t : Finset α
\u22a2 s ⊆ map f t ↔ ∃ u ⊆ t, s = map f u
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
V : Type uV
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Free K V
\u22a2 Function.Injective (Submodule.map (eval K V))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
V : Type uV
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Free K V
\u22a2 Function.Injective ⇑(eval K V)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
V : Type uV
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Free K V
\u22a2 ker (eval K V) = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
m n k : ℕ
ha : a ^ m ∈ I
hb : b ^ n ∈ I
hk : m + n ≤ k + 1
\u22a2 (a + b) ^ k ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
m n k : ℕ
ha : a ^ m ∈ I
hb : b ^ n ∈ I
hk : m + n ≤ k + 1
\u22a2 ∑ m ∈ Finset.range (k + 1), a ^ m * b ^ (k - m) * ↑(k.choose m) ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
m n k : ℕ
ha : a ^ m ∈ I
hb : b ^ n ∈ I
hk : m + n ≤ k + 1
\u22a2 ∀ c ∈ Finset.range (k + 1), a ^ c * b ^ (k - c) * ↑(k.choose c) ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
m n k : ℕ
ha : a ^ m ∈ I
hb : b ^ n ∈ I
hk : m + n ≤ k + 1
c : ℕ
a✝ : c ∈ Finset.range (k + 1)
\u22a2 a ^ c * b ^ (k - c) * ↑(k.choose c) ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
m n k : ℕ
ha : a ^ m ∈ I
hb : b ^ n ∈ I
hk : m + n ≤ k + 1
c : ℕ
a✝ : c ∈ Finset.range (k + 1)
\u22a2 a ^ c * b ^ (k - c) ∈ I
-- Mathlib/ModelTheory/Basic.lean
a₀ a₁ a₂ : Type u
\u22a2 (sum fun i => #(Sequence₂ a₀ a₁ a₂ i)) = #a₀ + #a₁ + #a₂
-- Mathlib/ModelTheory/Basic.lean
a₀ a₁ a₂ : Type u
\u22a2 #(Sequence₂ a₀ a₁ a₂ 0) + (#(Sequence₂ a₀ a₁ a₂ (0 + 1)) + (#(Sequence₂ a₀ a₁ a₂ (0 + 1 + 1)) + sum fun i => #(Sequence₂ a₀ a₁ a₂ (i + 1 + 1 + 1)))) = #a₀ + #a₁ + #a₂
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f✝ : F
I✝ J : Ideal R
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝ : FunLike G S R
rcg : RingHomClass G S R
ι : Sort u_3
I : Ideal R
f : R ≃+* S
\u22a2 comap (↑f) (comap (↑f.symm) I) = I
-- Mathlib/Data/Matrix/Kronecker.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : Zero β
inst✝² : Zero γ
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
f : α → β → γ
hf₁ : ∀ (b : β), f 0 b = 0
hf₂ : ∀ (a : α), f a 0 = 0
a : m → α
b : n → β
i₁ : m
i₂ : n
j₁ : m
j₂ : n
\u22a2 kroneckerMap f (diagonal a) (diagonal b) (i₁, i₂) (j₁, j₂) = diagonal (fun mn => f (a mn.1) (b mn.2)) (i₁, i₂) (j₁, j₂)
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
ι : Type u_3
hs : IsZlattice K L
b : Basis ι ℤ ↥L
\u22a2 (span ℤ (Set.range ⇑(ofZlatticeBasis K L b))).toAddSubgroup = L
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
\u22a2 zeroLocus ↑I ∈ irreducibleComponents (PrimeSpectrum R) ↔ I.radical ∈ minimalPrimes R
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
\u22a2 zeroLocus ↑I ∈ irreducibleComponents (PrimeSpectrum R) ↔ vanishingIdeal (zeroLocus ↑I) ∈ minimalPrimes R
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
\u22a2 closure (zeroLocus ↑I) ∈ irreducibleComponents (PrimeSpectrum R) ↔ vanishingIdeal (zeroLocus ↑I) ∈ minimalPrimes R
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
\u22a2 HasSum (fun n => (-1) ^ n * z ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)) z.arctan
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
this : HasSum (fun i => -I / 2 * ((-1) ^ (i + 1) * (z * I) ^ i / ↑i + (z * I) ^ i / ↑i)) (-I / 2 * (log (1 + z * I) + -log (1 - z * I)))
\u22a2 HasSum (fun n => (-1) ^ n * z ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)) z.arctan
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
this : HasSum (fun i => -I / 2 * (((-1) ^ (i + 1) + 1) * (z * I) ^ i / ↑i)) (-I / 2 * log ((1 + z * I) / (1 - z * I)))
\u22a2 HasSum (fun n => (-1) ^ n * z ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)) z.arctan
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
this : HasSum ((fun i => -I / 2 * (((-1) ^ (i + 1) + 1) * (z * I) ^ i / ↑i)) ∘ ⇑(Nat.divModEquiv 2).symm) (-I / 2 * log ((1 + z * I) / (1 - z * I)))
\u22a2 HasSum (fun n => (-1) ^ n * z ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)) z.arctan
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
this : HasSum (fun x => -I / 2 * (((-1) ^ (x.1 * 2 + ↑x.2 + 1) + 1) * (z * I) ^ (x.1 * 2 + ↑x.2) / ↑(x.1 * 2 + ↑x.2))) (-I / 2 * log ((1 + z * I) / (1 - z * I)))
\u22a2 HasSum (fun n => (-1) ^ n * z ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)) z.arctan
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
this : HasSum (fun x => -I / 2 * (((-1) ^ (2 * x.1 + ↑x.2 + 1) + 1) * (z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2))) (-I / 2 * log ((1 + z * I) / (1 - z * I)))
\u22a2 HasSum (fun n => (-1) ^ n * z ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)) z.arctan
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
this : HasSum (fun x => -I / 2 * (((-1) ^ (2 * x.1 + ↑x.2 + 1) + 1) * (z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2))) (-I / 2 * log ((1 + z * I) / (1 - z * I)))
k : ℕ
\u22a2 HasSum (fun c => -I / 2 * (((-1) ^ (2 * (k, c).1 + ↑(k, c).2 + 1) + 1) * (z * I) ^ (2 * (k, c).1 + ↑(k, c).2) / ↑(2 * (k, c).1 + ↑(k, c).2))) ((-1) ^ k * z ^ (2 * k + 1) / ↑(2 * k + 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
this : HasSum (fun x => -I / 2 * (((-1) ^ (2 * x.1 + ↑x.2 + 1) + 1) * (z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2))) (-I / 2 * log ((1 + z * I) / (1 - z * I)))
k : ℕ
\u22a2 HasSum (fun c => -I / 2 * (((-1) ^ (2 * k + ↑c + 1) + 1) * (z * I) ^ (2 * k + ↑c) / ↑(2 * k + ↑c))) ((-1) ^ k * z ^ (2 * k + 1) / ↑(2 * k + 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
this : HasSum (fun x => -I / 2 * (((-1) ^ (2 * x.1 + ↑x.2 + 1) + 1) * (z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2))) (-I / 2 * log ((1 + z * I) / (1 - z * I)))
k : ℕ
\u22a2 (-1) ^ k * z ^ (2 * k + 1) / ↑(2 * k + 1) = ∑ b : Fin 2, -I / 2 * (((-1) ^ (2 * k + ↑b + 1) + 1) * (z * I) ^ (2 * k + ↑b) / ↑(2 * k + ↑b))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
this : HasSum (fun x => -I / 2 * (((-1) ^ (2 * x.1 + ↑x.2 + 1) + 1) * (z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2))) (-I / 2 * log ((1 + z * I) / (1 - z * I)))
k : ℕ
\u22a2 (-1) ^ k * z ^ (2 * k + 1) / ↑(2 * k + 1) = -I * (z * I) ^ (2 * k + 1) / ↑(2 * k + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
this : HasSum (fun x => -I / 2 * (((-1) ^ (2 * x.1 + ↑x.2 + 1) + 1) * (z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2))) (-I / 2 * log ((1 + z * I) / (1 - z * I)))
k : ℕ
\u22a2 (-1) ^ k * z ^ (2 * k + 1) = -I * (z * I) ^ (2 * k + 1)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
\u22a2 (o.oangle (x - y) x).tan = ‖y‖ / ‖x‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)
\u22a2 ((-o).oangle x (x - y)).tan = ‖y‖ / ‖x‖
-- Mathlib/Order/CompleteSublattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
L : CompleteSublattice α
S : Set ↥L
\u22a2 ↑(sSup S) = ⨆ N ∈ S, ↑N
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁴ : OrderedCommRing R
inst✝¹³ : StarRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.835033) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
a : A
ha : p a
f g : C(↑(spectrum R a), R)
\u22a2 (cfcHom ha) f ≤ (cfcHom ha) g ↔ f ≤ g
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
G : A ⥤ C
H : B ⥤ D
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : A ⥤ B
R₂ : B ⥤ A
L₃ : C ⥤ D
R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : L₂ ⟶ L₁
β : G ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H
b : B
\u22a2 ((mateEquiv adj₁ adj₃) (leftAdjointConjugateSquare.vcomp α β)).app b = (rightAdjointConjugateSquare.vcomp ((conjugateEquiv adj₁ adj₂) α) ((mateEquiv adj₂ adj₃) β)).app b
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
G : A ⥤ C
H : B ⥤ D
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : A ⥤ B
R₂ : B ⥤ A
L₃ : C ⥤ D
R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : L₂ ⟶ L₁
β : G ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H
b : B
vcomp : (mateEquiv adj₁ adj₃) (leftAdjointSquare.vcomp (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv) β) = rightAdjointSquare.vcomp ((mateEquiv adj₁ adj₂) (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv)) ((mateEquiv adj₂ adj₃) β)
\u22a2 ((mateEquiv adj₁ adj₃) (leftAdjointConjugateSquare.vcomp α β)).app b = (rightAdjointConjugateSquare.vcomp ((conjugateEquiv adj₁ adj₂) α) ((mateEquiv adj₂ adj₃) β)).app b
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
G : A ⥤ C
H : B ⥤ D
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : A ⥤ B
R₂ : B ⥤ A
L₃ : C ⥤ D
R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : L₂ ⟶ L₁
β : G ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H
b : B
vcomp : (mateEquiv adj₁ adj₃) (whiskerLeft (𝟭 A) β ≫ whiskerRight (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv) H) = whiskerRight ((mateEquiv adj₁ adj₂) (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv)) G ≫ whiskerLeft (𝟭 B) ((mateEquiv adj₂ adj₃) β)
\u22a2 ((mateEquiv adj₁ adj₃) (β ≫ whiskerRight α H)).app b = (whiskerRight ((Trans.trans (Trans.trans (L₂.leftUnitor.homCongr L₁.rightUnitor).symm (mateEquiv adj₁ adj₂)) (R₁.rightUnitor.homCongr R₂.leftUnitor)) α) G ≫ (mateEquiv adj₂ adj₃) β).app b
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
G : A ⥤ C
H : B ⥤ D
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : A ⥤ B
R₂ : B ⥤ A
L₃ : C ⥤ D
R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : L₂ ⟶ L₁
β : G ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H
b : B
vcomp : (mateEquiv adj₁ adj₃) (whiskerLeft (𝟭 A) β ≫ whiskerRight (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv) H) = whiskerRight ((mateEquiv adj₁ adj₂) (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv)) G ≫ whiskerLeft (𝟭 B) ((mateEquiv adj₂ adj₃) β)
vcompb : ((mateEquiv adj₁ adj₃) (whiskerLeft (𝟭 A) β ≫ whiskerRight (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv) H)).app b = (whiskerRight ((mateEquiv adj₁ adj₂) (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv)) G ≫ whiskerLeft (𝟭 B) ((mateEquiv adj₂ adj₃) β)).app b
\u22a2 ((mateEquiv adj₁ adj₃) (β ≫ whiskerRight α H)).app b = (whiskerRight ((Trans.trans (Trans.trans (L₂.leftUnitor.homCongr L₁.rightUnitor).symm (mateEquiv adj₁ adj₂)) (R₁.rightUnitor.homCongr R₂.leftUnitor)) α) G ≫ (mateEquiv adj₂ adj₃) β).app b