ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Homology/Embedding/Extend.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
i' j' : ι'
j : ι
hj : e.f j = j'
hj' : ¬c.Rel (c.prev j) j
i : ι
hi : e.r i' = some i
\u22a2 (K.extend e).d i' j' = 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : Disjoint s t
\u22a2 ∃ f u v, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ u < v ∧ ∀ b ∈ t, v < f b
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
t : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
hs₁ : Convex ℝ ∅
hs₂ : IsCompact ∅
disj : Disjoint ∅ t
\u22a2 ∃ f u v, (∀ a ∈ ∅, f a < u) ∧ u < v ∧ ∀ b ∈ t, v < f b
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : Disjoint s t
hs : s.Nonempty
\u22a2 ∃ f u v, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ u < v ∧ ∀ b ∈ t, v < f b
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
hs : s.Nonempty
ht₁ : Convex ℝ ∅
ht₂ : IsClosed ∅
disj : Disjoint s ∅
\u22a2 ∃ f u v, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ u < v ∧ ∀ b ∈ ∅, v < f b
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : Disjoint s t
hs : s.Nonempty
_ht : t.Nonempty
\u22a2 ∃ f u v, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ u < v ∧ ∀ b ∈ t, v < f b
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : Disjoint s t
hs : s.Nonempty
_ht : t.Nonempty
U V : Set E
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
hU₁ : Convex ℝ U
hV₁ : Convex ℝ V
sU : s ⊆ U
tV : t ⊆ V
disj' : Disjoint U V
\u22a2 ∃ f u v, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ u < v ∧ ∀ b ∈ t, v < f b
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : Disjoint s t
hs : s.Nonempty
_ht : t.Nonempty
U V : Set E
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
hU₁ : Convex ℝ U
hV₁ : Convex ℝ V
sU : s ⊆ U
tV : t ⊆ V
disj' : Disjoint U V
f : E →L[ℝ] ℝ
u : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ U, f a < u
hf₂ : ∀ b ∈ V, u < f b
\u22a2 ∃ f u v, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ u < v ∧ ∀ b ∈ t, v < f b
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x✝ y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : Disjoint s t
hs : s.Nonempty
_ht : t.Nonempty
U V : Set E
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
hU₁ : Convex ℝ U
hV₁ : Convex ℝ V
sU : s ⊆ U
tV : t ⊆ V
disj' : Disjoint U V
f : E →L[ℝ] ℝ
u : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ U, f a < u
hf₂ : ∀ b ∈ V, u < f b
x : E
hx₁ : x ∈ s
hx₂ : IsMaxOn (⇑f) s x
\u22a2 ∃ f u v, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ u < v ∧ ∀ b ∈ t, v < f b
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
i : I
ho : ord I i < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
\u22a2 term I ho = i
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
p q : MvPolynomial σ R
h : (map f) p = (map f) q
\u22a2 p = q
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
p q : MvPolynomial σ R
h : ∀ (m : σ →₀ ℕ), f (coeff m p) = f (coeff m q)
\u22a2 ∀ (m : σ →₀ ℕ), coeff m p = coeff m q
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
A B : Submodule R M
hAB : A ≤ B
f : Submodule R ↥B ≃o ↑(Set.Iic B) := B.mapIic
hf : f = B.mapIic
\u22a2 A ⋖ B ↔ IsSimpleModule R (↥B ⧸ Submodule.comap B.subtype A)
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
A B : Submodule R M
hAB : A ≤ B
f : Submodule R ↥B ≃o ↑(Set.Iic B) := B.mapIic
hf : f = B.mapIic
\u22a2 IsCoatom ⟨A, hAB⟩ ↔ IsCoatom (B.mapIic (Submodule.comap B.subtype A))
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
inst✝ : Nonempty α
l : List α
h : l.rotate 1 = l
n✝ n : ℕ
hn : l.rotate n = l
\u22a2 l.rotate n.succ = l
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Integrable f μ
\u22a2 0 < μ {x | ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ f x}
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
f✝ : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y
M₀ : Type u_4
inst✝ : Zero M₀
f : X → M₀
\u22a2 f =ᶠ[𝓝 x] 0 ↔ x ∉ closure (Function.support f)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
f✝ : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y
M₀ : Type u_4
inst✝ : Zero M₀
f : X → M₀
\u22a2 {x | f x = 0 x} ∈ 𝓝 x ↔ {x | f x = 0} ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝¹ : S.HasLeftHomology
inst✝ : HasKernel S.g
h : S.LeftHomologyData := S.leftHomologyData
this : HasColimit (parallelPair h.f' 0)
\u22a2 HasCokernel (kernel.lift S.g S.f ⋯)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝¹ : S.HasLeftHomology
inst✝ : HasKernel S.g
h : S.LeftHomologyData := S.leftHomologyData
this : HasColimit (parallelPair h.f' 0)
e : parallelPair (kernel.lift S.g S.f ⋯) 0 ≅ parallelPair h.f' 0 := parallelPair.ext (Iso.refl ((parallelPair (kernel.lift S.g S.f ⋯) 0).obj WalkingParallelPair.zero)) ((kernelIsKernel S.g).conePointUniqueUpToIso h.hi) ⋯ ⋯
\u22a2 HasCokernel (kernel.lift S.g S.f ⋯)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
x : R
hpq : p * q ≠ 0
\u22a2 rootMultiplicity x p + rootMultiplicity x q ≤ rootMultiplicity x (p * q)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
x : R
hpq : p * q ≠ 0
\u22a2 (X - C x) ^ rootMultiplicity x p * (X - C x) ^ rootMultiplicity x q ∣ p * q
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Biproducts.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{v, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Finite J
F : J → Karoubi C
j✝¹ j✝ : J
\u22a2 biproduct.ι (fun j => (F j).X) j✝ ≫ ((biproduct.map fun j => (F j).p) ≫ biproduct.map fun j => (F j).p) ≫ biproduct.π (fun j => (F j).X) j✝¹ = biproduct.ι (fun j => (F j).X) j✝ ≫ (biproduct.map fun j => (F j).p) ≫ biproduct.π (fun j => (F j).X) j✝¹
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Biproducts.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{v, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Finite J
F : J → Karoubi C
j : J
\u22a2 (biproduct.map fun j => (F j).p) ≫ (biproduct.bicone fun j => (F j).X).π j = { X := ⨁ fun j => (F j).X, p := biproduct.map fun j => (F j).p, idem := ⋯ }.p ≫ ((biproduct.map fun j => (F j).p) ≫ (biproduct.bicone fun j => (F j).X).π j) ≫ (F j).p
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Biproducts.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{v, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Finite J
F : J → Karoubi C
j : J
\u22a2 (biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ biproduct.map fun j => (F j).p) = (F j).p ≫ (biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ biproduct.map fun j => (F j).p) ≫ { X := ⨁ fun j => (F j).X, p := biproduct.map fun j => (F j).p, idem := ⋯ }.p
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
\u22a2 LiouvilleWith 1 x
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
\u22a2 ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < 2 / ↑n ^ 1
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
\u22a2 ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < 2 / ↑n ^ 1
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
hn' : 0 < ↑n
\u22a2 ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < 2 / ↑n ^ 1
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
hn' : 0 < ↑n
this : x < ↑(⌊x * ↑n⌋ + 1) / ↑n
\u22a2 ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < 2 / ↑n ^ 1
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
hn' : 0 < ↑n
this : x < ↑(⌊x * ↑n⌋ + 1) / ↑n
\u22a2 |x - ↑(⌊x * ↑n⌋ + 1) / ↑n| < 2 / ↑n ^ 1
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
hn' : 0 < ↑n
this : x < ↑(⌊x * ↑n⌋ + 1) / ↑n
\u22a2 ↑(⌊x * ↑n⌋ + 1) / ↑n < (x * ↑n + 2) / ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
hn' : 0 < ↑n
this : x < ↑(⌊x * ↑n⌋ + 1) / ↑n
\u22a2 ↑(⌊x * ↑n⌋ + 1) < x * ↑n + 2
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
K : Type u_2
inst✝ : Group K
ϕ : G →* K
\u22a2 IsPGroup p ↥(Subgroup.map ϕ H)
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
K : Type u_2
inst✝ : Group K
ϕ : G →* K
\u22a2 IsPGroup p ↥(ϕ.comp H.subtype).range
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
f : α → β
\u22a2 f '' ⋂₀ S ⊆ ⋂ s ∈ S, f '' s
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
f : α → β
\u22a2 f '' ⋂ i ∈ S, i ⊆ ⋂ s ∈ S, f '' s
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
x : M ⊗[R] N
\u22a2 ∃ S, x = (Multiset.map (fun i => i.1 ⊗ₜ[R] i.2) S).sum
-- Mathlib/Control/Traversable/Instances.lean
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : Applicative G
inst✝¹ : LawfulApplicative G
inst✝ : LawfulApplicative F
η : ApplicativeTransformation F G
α : Type u_1
β : Type u
f : α → F β
x : List α
\u22a2 (fun {α} => η.app α) (List.traverse f x) = List.traverse ((fun {α} => η.app α) ∘ f) x
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort u_5
f : Filter α✝
g : Filter β✝
α : Type u_6
β : Type u_7
ι : Type u_8
a : α
b : β
i : ι
\u22a2 (map (fun x => b) (𝓟 {a})).coprod (map id (𝓟 {i})) = 𝓟 ({b} ×ˢ univ ∪ univ ×ˢ {i})
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
v : PrimeMultiset
p : ℕ+
h : p ∈ v.toPNatMultiset
\u22a2 p.Prime
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
v : PrimeMultiset
p : ℕ+
h : p ∈ v.toPNatMultiset
val✝ : ℕ
hp' : Nat.Prime val✝
left✝ : ⟨val✝, hp'⟩ ∈ v
h_eq : Coe.coe ⟨val✝, hp'⟩ = p
\u22a2 p.Prime
-- Mathlib/Algebra/Star/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
x : R
\u22a2 IsRegular (star x) ↔ IsRegular x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
m : MeasurableSpace α
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, StronglyMeasurable f
\u22a2 StronglyMeasurable fun x => (List.map (fun f => f x) l).prod
-- Mathlib/Analysis/Convex/Normed.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
x z : P
a : ℝ
ha₀ : 0 ≤ a
ha₁ : a ≤ 1
\u22a2 dist x ((AffineMap.lineMap x z) a) + dist ((AffineMap.lineMap x z) a) z = dist x z
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Rel β γ
t : Set γ
\u22a2 (r • s).preimage t = r.preimage (s.preimage t)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Wronskian.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a : R[X]
\u22a2 wronskian 0 a = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Wronskian.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a : R[X]
\u22a2 0 a = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.59648, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A : C
k : K.X i ⟶ A
j : ι
hj : c.prev i = j
i' : ι
x : K.X i' ⟶ A
hx : k = K.d i i' ≫ x
\u22a2 K.d j i ≫ k = 0
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
i j : α
σ : Perm α
\u22a2 swap i j * σ = σ ↔ i = j
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BoundedLinearMaps.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
\u22a2 IsBoundedLinearMap 𝕜 fun x => x.2
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BoundedLinearMaps.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
x : E × F
\u22a2 ‖(LinearMap.snd 𝕜 E F) x‖ ≤ 1 * ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BoundedLinearMaps.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
x : E × F
\u22a2 ‖(LinearMap.snd 𝕜 E F) x‖ ≤ ‖x‖
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
\u22a2 T R ↑n.natAbs = T R n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
h : n = -↑n.natAbs
\u22a2 T R ↑n.natAbs = T R (-↑n.natAbs)
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b c : R
h : c ∣ b
\u22a2 c ∣ a % b ↔ c ∣ a
-- Mathlib/Order/Heyting/Boundary.lean
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b : α
\u22a2 ∂ a ≤ ∂ (a ⊔ b) ⊔ ∂ (a ⊓ b)
-- Mathlib/Order/Heyting/Boundary.lean
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b : α
\u22a2 ((a ⊓ ￢a ≤ a ⊔ (a ⊔ b) ∧ a ⊓ ￢a ≤ a ⊔ ￢(a ⊔ b)) ∧ a ⊓ ￢a ≤ a ⊔ b ∧ a ⊓ ￢a ≤ ￢(a ⊔ b) ⊔ b) ∧ a ⊓ ￢a ≤ a ⊔ (b ⊔ ￢(a ⊓ b)) ∧ a ⊓ ￢a ≤ ￢(a ⊔ b) ⊔ ￢(a ⊓ b)
-- Mathlib/Order/Heyting/Boundary.lean
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b : α
\u22a2 ￢a ≤ ￢(a ⊔ b) ⊔ b
-- Mathlib/Order/Heyting/Boundary.lean
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b : α
\u22a2 ￢a ≤ ￢(a ⊔ b) ⊔ ￢(a ⊓ b)
-- Mathlib/Logic/Relation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
r' : α → α → Prop
hr₁ : Reflexive r'
hr₂ : Transitive r'
h : ∀ (x y : α), r x y → r' x y
x y : α
hxy : ReflTransGen r x y
\u22a2 r' x y
-- Mathlib/Algebra/Ring/Rat.lean
q : ℚ
\u22a2 ↑q.den * q = ↑q.num
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝¹ X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : Mono f
g : Y ⟶ Z✝
inst✝ : Mono g
Z : C
a b : Z ⟶ X
w : a ≫ f ≫ g = b ≫ f ≫ g
\u22a2 a = b
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝¹ X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : Mono f
g : Y ⟶ Z✝
inst✝ : Mono g
Z : C
a b : Z ⟶ X
w : a ≫ f ≫ g = b ≫ f ≫ g
\u22a2 a ≫ f = b ≫ f
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝¹ X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : Mono f
g : Y ⟶ Z✝
inst✝ : Mono g
Z : C
a b : Z ⟶ X
w : a ≫ f ≫ g = b ≫ f ≫ g
\u22a2 (a ≫ f) ≫ g = (b ≫ f) ≫ g
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P
\u22a2 Collinear k {p}
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P
\u22a2 Module.rank k ↥⊥ ≤ 1
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
h : φ.order ≠ ψ.order
\u22a2 (φ + ψ).order = φ.order ⊓ ψ.order
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
h : φ.order ≠ ψ.order
\u22a2 (φ + ψ).order ≤ φ.order ⊓ ψ.order
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
h : φ.order ≠ ψ.order
H₁ : ¬φ.order < ψ.order
H₂ : ¬ψ.order < φ.order
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
\u22a2 tan (π / 4) = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
\u22a2 √2 / 2 / (√2 / 2) = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
h : √2 / 2 > 0
\u22a2 √2 / 2 / (√2 / 2) = 1
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
s₁ s₂ : Set (Set Ω)
h : IndepSets s₁ s₂ κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ s₂
ht2 : t2 ∈ s₁
\u22a2 ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = (κ a) t1 * (κ a) t2
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
s₁ s₂ : Set (Set Ω)
h : IndepSets s₁ s₂ κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ s₂
ht2 : t2 ∈ s₁
a : α
ha : (κ a) (t2 ∩ t1) = (κ a) t2 * (κ a) t1
\u22a2 (κ a) (t1 ∩ t2) = (κ a) t1 * (κ a) t2
-- Mathlib/Data/Finsupp/AList.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ M
a✝ : α
\u22a2 a✝ ∈ f.toAList.keys.toFinset ↔ a✝ ∈ f.support
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
a : ℕ
\u22a2 (↑a)⁻¹.den = if a = 0 then 1 else a
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/Bases.lean
A : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Nonempty ι
B : ι → AddSubgroup A
hB : RingSubgroupsBasis B
a : A
s : Set A
\u22a2 s ∈ 𝓝 a ↔ ∃ i, True ∧ {b | b - a ∈ B i} ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/Bases.lean
A : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Nonempty ι
B : ι → AddSubgroup A
hB : RingSubgroupsBasis B
a : A
s : Set A
\u22a2 (∃ i ∈ RingFilterBasis.toAddGroupFilterBasis, (fun y => a + y) '' i ⊆ s) ↔ ∃ i, True ∧ {b | b - a ∈ B i} ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/Bases.lean
A : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Nonempty ι
B : ι → AddSubgroup A
hB : RingSubgroupsBasis B
a : A
s : Set A
\u22a2 (∃ i ∈ RingFilterBasis.toAddGroupFilterBasis, (fun y => a + y) '' i ⊆ s) ↔ ∃ i, {b | b - a ∈ B i} ⊆ s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ
\u22a2 HasSum (fun n => (z * I) ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) (cos z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ
\u22a2 HasSum (fun n => (z * I) ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ
this : HasSum (fun i => ((z * I) ^ i / ↑i ! + (-z * I) ^ i / ↑i !) / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
\u22a2 HasSum (fun n => (z * I) ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ
this : HasSum ((fun i => ((z * I) ^ i / ↑i ! + (-z * I) ^ i / ↑i !) / 2) ∘ ⇑(Nat.divModEquiv 2).symm) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
\u22a2 HasSum (fun n => (z * I) ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ
this : HasSum (fun x => ((z * I) ^ (x.1 * 2 + ↑x.2) / ↑(x.1 * 2 + ↑x.2)! + (-z * I) ^ (x.1 * 2 + ↑x.2) / ↑(x.1 * 2 + ↑x.2)!) / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
\u22a2 HasSum (fun n => (z * I) ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ
this : HasSum (fun x => ((z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)! + (-z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)!) / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
\u22a2 HasSum (fun n => (z * I) ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ
this : HasSum (fun x => ((z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)! + (-z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)!) / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
k : ℕ
\u22a2 HasSum (fun c => ((z * I) ^ (2 * (k, c).1 + ↑(k, c).2) / ↑(2 * (k, c).1 + ↑(k, c).2)! + (-z * I) ^ (2 * (k, c).1 + ↑(k, c).2) / ↑(2 * (k, c).1 + ↑(k, c).2)!) / 2) ((z * I) ^ (2 * k) / ↑(2 * k)!)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ
this : HasSum (fun x => ((z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)! + (-z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)!) / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
k : ℕ
\u22a2 HasSum (fun c => ((z * I) ^ (2 * k + ↑c) / ↑(2 * k + ↑c)! + (-z * I) ^ (2 * k + ↑c) / ↑(2 * k + ↑c)!) / 2) ((z * I) ^ (2 * k) / ↑(2 * k)!)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ
this : HasSum (fun x => ((z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)! + (-z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)!) / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
k : ℕ
\u22a2 (z * I) ^ (2 * k) / ↑(2 * k)! = ∑ b : Fin 2, ((z * I) ^ (2 * k + ↑b) / ↑(2 * k + ↑b)! + (-z * I) ^ (2 * k + ↑b) / ↑(2 * k + ↑b)!) / 2