ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Tactic/NormNum/NatFib.lean
n a b n' a' b' : ℕ
H : IsFibAux n a b
hn : 2 * n + 1 = n'
h1 : a * a + b * b = a'
h2 : b * (2 * a + b) = b'
\u22a2 fib (n' + 1) = b'
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ 1 - ↑n
\u22a2 cosZeta a (1 - s) = s.Gammaℂ * Complex.cos (↑π * s / 2) * hurwitzZetaEven a s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ 1 - ↑n
this : cosZeta a (1 - s) = completedCosZeta a (1 - s) * (1 - s).Gammaℝ⁻¹
\u22a2 cosZeta a (1 - s) = s.Gammaℂ * Complex.cos (↑π * s / 2) * hurwitzZetaEven a s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ 1 - ↑n
this : cosZeta a (1 - s) = completedCosZeta a (1 - s) * (1 - s).Gammaℝ⁻¹
\u22a2 completedHurwitzZetaEven a s * (s.Gammaℂ * Complex.cos (↑π * s / 2) * s.Gammaℝ⁻¹) = s.Gammaℂ * Complex.cos (↑π * s / 2) * (completedHurwitzZetaEven a s / s.Gammaℝ)
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R✝ : Type u
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : NonUnitalSemiring R
inst✝⁶ : PartialOrder R
inst✝⁵ : StarRing R
inst✝⁴ : StarOrderedRing R
inst✝³ : NonUnitalSemiring S
inst✝² : PartialOrder S
inst✝¹ : StarRing S
inst✝ : StarOrderedRing S
f : R →⋆ₙ+* S
x y : R
hxy : x ≤ y
\u22a2 f x ≤ f y
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R✝ : Type u
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : NonUnitalSemiring R
inst✝⁶ : PartialOrder R
inst✝⁵ : StarRing R
inst✝⁴ : StarOrderedRing R
inst✝³ : NonUnitalSemiring S
inst✝² : PartialOrder S
inst✝¹ : StarRing S
inst✝ : StarOrderedRing S
f : R →⋆ₙ+* S
x y : R
hxy : ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), y = x + p
\u22a2 ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), f y = f x + p
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R✝ : Type u
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : NonUnitalSemiring R
inst✝⁶ : PartialOrder R
inst✝⁵ : StarRing R
inst✝⁴ : StarOrderedRing R
inst✝³ : NonUnitalSemiring S
inst✝² : PartialOrder S
inst✝¹ : StarRing S
inst✝ : StarOrderedRing S
f : R →⋆ₙ+* S
x p : R
hp : p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
\u22a2 ∃ p_1 ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), f (x + p) = f x + p_1
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R✝ : Type u
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : NonUnitalSemiring R
inst✝⁶ : PartialOrder R
inst✝⁵ : StarRing R
inst✝⁴ : StarOrderedRing R
inst✝³ : NonUnitalSemiring S
inst✝² : PartialOrder S
inst✝¹ : StarRing S
inst✝ : StarOrderedRing S
f : R →⋆ₙ+* S
x p : R
hp : p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
\u22a2 f p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R✝ : Type u
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : NonUnitalSemiring R
inst✝⁶ : PartialOrder R
inst✝⁵ : StarRing R
inst✝⁴ : StarOrderedRing R
inst✝³ : NonUnitalSemiring S
inst✝² : PartialOrder S
inst✝¹ : StarRing S
inst✝ : StarOrderedRing S
f : R →⋆ₙ+* S
x p : R
hp : p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
hf : ∀ (r : R), f (star r) = star (f r)
\u22a2 f p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R✝ : Type u
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : NonUnitalSemiring R
inst✝⁶ : PartialOrder R
inst✝⁵ : StarRing R
inst✝⁴ : StarOrderedRing R
inst✝³ : NonUnitalSemiring S
inst✝² : PartialOrder S
inst✝¹ : StarRing S
inst✝ : StarOrderedRing S
f : R →⋆ₙ+* S
x p : R
hf : ∀ (r : R), f (star r) = star (f r)
x✝ : R
h✝ : x✝ ∈ range fun s => star s * s
\u22a2 f x✝ ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R✝ : Type u
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : NonUnitalSemiring R
inst✝⁶ : PartialOrder R
inst✝⁵ : StarRing R
inst✝⁴ : StarOrderedRing R
inst✝³ : NonUnitalSemiring S
inst✝² : PartialOrder S
inst✝¹ : StarRing S
inst✝ : StarOrderedRing S
f : R →⋆ₙ+* S
x p : R
hf : ∀ (r : R), f (star r) = star (f r)
\u22a2 f 0 ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R✝ : Type u
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : NonUnitalSemiring R
inst✝⁶ : PartialOrder R
inst✝⁵ : StarRing R
inst✝⁴ : StarOrderedRing R
inst✝³ : NonUnitalSemiring S
inst✝² : PartialOrder S
inst✝¹ : StarRing S
inst✝ : StarOrderedRing S
f : R →⋆ₙ+* S
x p : R
hf : ∀ (r : R), f (star r) = star (f r)
x✝ : R
hx✝ : x✝ ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
y✝ : R
hy✝ : y✝ ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
a✝¹ : f x✝ ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
a✝ : f y✝ ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
\u22a2 f (x✝ + y✝) ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N✝ : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N✝
inst✝¹ : Module R N✝
inst✝ : IsSemisimpleModule R M
N : Submodule R M
\u22a2 sSup {m | IsSimpleModule R ↥m ∧ m ≤ N} = N
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
\u22a2 W.Φ (-n) = W.Φ n
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/LeftDerived.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasProjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F G : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : ProjectiveResolution X
n : ℕ
\u22a2 (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map ((NatTrans.leftDerivedToHomotopyCategory α).app X) = ((HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex)) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex) n ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).inv.app ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/LeftDerived.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasProjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F G : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : ProjectiveResolution X
n : ℕ
\u22a2 (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex)) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv = (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex) n ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).inv.app ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/LeftDerived.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasProjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F G : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : ProjectiveResolution X
n : ℕ
\u22a2 (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex)) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv = (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ) ⋙ HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.down ℕ)).app P.complex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).hom.app ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).inv.app ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Induction.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r f : R[X]
I : Ideal R[X]
cf : ∀ (i : ℕ), C (f.coeff i) ∈ I
\u22a2 Ideal.span {g | ∃ i, g = C (f.coeff i)} ≤ I
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Induction.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r f : R[X]
I : Ideal R[X]
cf : ∀ (i : ℕ), C (f.coeff i) ∈ I
\u22a2 Ideal.span {g | ∃ i, C (f.coeff i) = g} ≤ I
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h : ¬G.IsUniform ε s t
\u22a2 (G.nonuniformWitnesses ε s t).2 ⊆ t
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h : ¬G.IsUniform ε s t
\u22a2 (⋯.choose, ⋯.choose).2 ⊆ t
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
a b : ℕ
\u22a2 multiplicity ↑a ↑b = multiplicity a b
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
a b : ℕ
\u22a2 (multiplicity ↑a ↑b).Dom ↔ (multiplicity a b).Dom
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
a b : ℕ
\u22a2 ∀ (h₁ : (multiplicity ↑a ↑b).Dom) (h₂ : (multiplicity a b).Dom), (multiplicity ↑a ↑b).get h₁ = (multiplicity a b).get h₂
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ P.f₀ = 0
hs' : s ≠ ↑P.k ∨ P.g₀ = 0
\u22a2 DifferentiableAt ℂ P.Λ s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ P.f₀ = 0
hs' : s ≠ ↑P.k ∨ P.g₀ = 0
\u22a2 DifferentiableAt ℂ (fun y => (1 / y) • P.f₀) s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ P.f₀ = 0
hs' : s ≠ ↑P.k ∨ P.g₀ = 0
\u22a2 DifferentiableAt ℂ (fun y => (P.ε / (↑P.k - y)) • P.g₀) s
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
\u22a2 IsMeagre ∅
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
\u22a2 univ ∈ residual X
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Wronskian.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a : R[X]
\u22a2 a.wronskian a = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Away/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
x : R
B : Type u_2
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsLocalization.Away x B
d : ℤ
\u22a2 selfZPow x B (-d) * selfZPow x B d = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : Module K M
inst✝³ : LieModule K L M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
\u22a2 ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
L : Type u_3
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : LieAlgebra K L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent K L
n : ℕ
ih : ∀ m < n, ∀ (M : Type u_4) [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : LieRingModule L M] [inst_2 : Module K M] [inst_3 : LieModule K L M] [inst_4 : FiniteDimensional K M] [inst_5 : IsTriangularizable K L M], finrank K M = m → ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤
M : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : Module K M
inst✝² : LieModule K L M
inst✝¹ : FiniteDimensional K M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
h_dim : finrank K M = n
\u22a2 ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
L : Type u_3
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : LieAlgebra K L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent K L
n : ℕ
ih : ∀ m < n, ∀ (M : Type u_4) [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : LieRingModule L M] [inst_2 : Module K M] [inst_3 : LieModule K L M] [inst_4 : FiniteDimensional K M] [inst_5 : IsTriangularizable K L M], finrank K M = m → ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤
M : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : Module K M
inst✝² : LieModule K L M
inst✝¹ : FiniteDimensional K M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
h_dim : finrank K M = n
h' : ∀ (a : L), ∃ φ, weightSpaceOf M φ a = ⊤
\u22a2 ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
L : Type u_3
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : LieAlgebra K L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent K L
n : ℕ
ih : ∀ m < n, ∀ (M : Type u_4) [inst : AddCommGroup M] [inst_1 : LieRingModule L M] [inst_2 : Module K M] [inst_3 : LieModule K L M] [inst_4 : FiniteDimensional K M] [inst_5 : IsTriangularizable K L M], finrank K M = m → ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤
M : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : Module K M
inst✝² : LieModule K L M
inst✝¹ : FiniteDimensional K M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
h_dim : finrank K M = n
y : L
hy : ¬∃ φ, weightSpaceOf M φ y = ⊤
\u22a2 ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ interior s
hy : y ∈ closure s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
\u22a2 a • x + b • y ∈ interior s
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
κ : ι✝ → Sort w'
inst✝ : Frame α
s✝ t✝ : Set α
a b : α
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
f : ι → α
g : ι' → α
s : Set ι
t : Set ι'
\u22a2 (⨆ i ∈ s, f i) ⊓ ⨆ j ∈ t, g j = ⨆ p ∈ s ×ˢ t, f p.1 ⊓ g p.2
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
κ : ι✝ → Sort w'
inst✝ : Frame α
s✝ t✝ : Set α
a b : α
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
f : ι → α
g : ι' → α
s : Set ι
t : Set ι'
\u22a2 ⨆ i, f ↑i.1 ⊓ g ↑i.2 = ⨆ x, f (↑x).1 ⊓ g (↑x).2
-- Mathlib/Topology/Order/NhdsSet.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b c d : α
\u22a2 Ioi a ∈ 𝓝ˢ (Ici b) ↔ a < b
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l : ListBlank Γ
a : Γ
\u22a2 map f (cons a l) = cons (f.f a) (map f l)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l : ListBlank Γ
a : Γ
\u22a2 cons (map f (cons a l)).head (map f (cons a l)).tail = cons (f.f a) (map f l)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z✝ : ℝ
n : ℕ
x y z : ℝ
hy : 0 < y
hxy : y < x
hz : z < 0
hx : 0 < x
\u22a2 x ^ z < y ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z✝ : ℝ
n : ℕ
x y z : ℝ
hy : 0 < y
hxy : y < x
hz : z < 0
hx : 0 < x
\u22a2 y ^ (-z) < x ^ (-z)
-- Mathlib/Algebra/Group/Center.lean
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Semigroup M
a✝ b z : M
a : z ∈ center M
g : M
\u22a2 g * z = z * g
-- Mathlib/RingTheory/NonUnitalSubring/Basic.lean
F : Type w
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type u_1
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing S✝
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝² : FunLike F R S✝
inst✝¹ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
g : S✝ →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S✝
ι : Sort u_2
inst✝ : Nonempty ι
S : ι → NonUnitalSubring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
\u22a2 x ∈ ↑(⨆ i, S i) ↔ x ∈ ⋃ i, ↑(S i)
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l✝ l' l : List α
\u22a2 l.cyclicPermutations.head? = some l
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
\u22a2 LinearMap.ker (Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) = kerTotal R S
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
\u22a2 LinearMap.ker (Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) ≤ kerTotal R S
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
\u22a2 kerTotal R S ≤ LinearMap.ker (Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S))
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
\u22a2 (insert a s).val = (a ::ₘ s.val).dedup
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
\u22a2 (insert a s).val = ndinsert a s.val
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ
\u22a2 nth p (count p n) = sInf {i | p i ∧ n ≤ i}
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ
\u22a2 {x | p x ∧ ∀ k < count p n, nth p k < x} = {i | p i ∧ n ≤ i}
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n a : ℕ
hpa : p a
\u22a2 (∀ k < count p n, nth p k < a) ↔ n ≤ a
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n a : ℕ
hpa : p a
h : ∀ k < count p n, nth p k < a
ha : a < n
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n a : ℕ
hpa : p a
h : ∀ k < count p n, nth p k < a
ha : a < n
hn : nth p (count p a) < a
\u22a2 False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
\u22a2 (trace R M) 1 = ↑(finrank R M)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
h✝ : Subsingleton R
\u22a2 (trace R M) 1 = ↑(finrank R M)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
h✝ : Nontrivial R
\u22a2 (trace R M) 1 = ↑(finrank R M)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
h✝ : Nontrivial R
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R M) R M
\u22a2 (trace R M) 1 = ↑(finrank R M)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
h✝ : Nontrivial R
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R M) R M
\u22a2 Matrix.trace 1 = ↑(Fintype.card (Module.Free.ChooseBasisIndex R M))
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hn : 0 < n
\u22a2 ∃ k > 0, Nat.card ↥(center G) = p ^ k
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hn : 0 < n
this : Finite G
\u22a2 ∃ k > 0, Nat.card ↥(center G) = p ^ k
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hn : 0 < n
this : Finite G
hcG : IsPGroup p ↥(center G)
\u22a2 ∃ k > 0, Nat.card ↥(center G) = p ^ k
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hn : 0 < n
this : Finite G
hcG : IsPGroup p ↥(center G)
x✝ : ∃ n, Nat.card ↥(center G) = p ^ n
\u22a2 ∃ k > 0, Nat.card ↥(center G) = p ^ k
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hn : 0 < n
this✝ : Finite G
hcG : IsPGroup p ↥(center G)
x✝ : ∃ n, Nat.card ↥(center G) = p ^ n
this : Nontrivial G
\u22a2 ∃ k > 0, Nat.card ↥(center G) = p ^ k
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
s : Multiset α
a : α
h : {x | x ∈ a ::ₘ s}.Pairwise fun x y => ∀ (b : β), f x (f y b) = f y (f x b)
h' : {x | x ∈ s}.Pairwise fun x y => ∀ (b : β), f x (f y b) = f y (f x b)
b : β
\u22a2 noncommFoldr f (a ::ₘ s) h b = f a (noncommFoldr f s h' b)
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
a : α
b : β
a✝ : List α
h : {x | x ∈ a ::ₘ ⟦a✝⟧}.Pairwise fun x y => ∀ (b : β), f x (f y b) = f y (f x b)
h' : {x | x ∈ ⟦a✝⟧}.Pairwise fun x y => ∀ (b : β), f x (f y b) = f y (f x b)
\u22a2 noncommFoldr f (a ::ₘ ⟦a✝⟧) h b = f a (noncommFoldr f ⟦a✝⟧ h' b)
-- Mathlib/Data/Finset/Sort.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k
i : Fin k
\u22a2 ↑i < (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length
-- Mathlib/Data/Finset/Sort.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k
i : Fin k
\u22a2 ↑i < k
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
s : Set E
x y : E
a b : 𝕜
S : Set (Set E)
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) S
hS : ∀ s ∈ S, StrictConvex 𝕜 s
\u22a2 StrictConvex 𝕜 (⋃₀ S)