ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/CrossProduct.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
u v w : Fin 3 → R
\u22a2 (crossProduct u) ((crossProduct v) w) = (crossProduct ((crossProduct u) v)) w + (crossProduct v) ((crossProduct u) w)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CrossProduct.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
u v w : Fin 3 → R
\u22a2 ![u 1 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 2 - u 2 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 1, u 2 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 0 - u 0 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 2, u 0 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 1 - u 1 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 0] = ![![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 1 * w 2 - ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 2 * w 1 + (v 1 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 2 - v 2 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 1), ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 2 * w 0 - ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 0 * w 2 + (v 2 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 0 - v 0 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 2), ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 0 * w 1 - ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 1 * w 0 + (v 0 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 1 - v 1 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 0)]
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
q : R[X]
\u22a2 (gcd p q).degree ≤ p.degree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
q : R[X]
this : (gcd p q).degree ≤ ↑p.natDegree
\u22a2 (gcd p q).degree ≤ p.degree
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : OrderTopology α
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : (i : ι) → LinearOrder (π i)
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), OrderTopology (π i)
a b x : (i : ι) → π i
a' b' x' : ι → α
inst✝ : Nonempty ι
ha : ∀ (i : ι), a i < x i
hb : ∀ (i : ι), x i < b i
\u22a2 Ioc a b ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : OrderTopology α
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝⁴ : Finite ι
inst✝³ : (i : ι) → LinearOrder (π i)
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), OrderTopology (π i)
a b x : (i : ι) → π i
a' b' x' : ι → α
inst✝ : Nonempty ι
ha : ∀ (i : ι), a i < x i
hb : ∀ (i : ι), x i < b i
i : ι
x✝ : i ∈ univ
\u22a2 Ioc (a i) (b i) ∈ 𝓝 (x i)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
r : R
n : ℕ
\u22a2 (C r * X ^ n).eraseLead = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ g : E → F
p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m✝ : ℕ
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
finite : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
pos : 0 < r
sum_eq : ∀ y ∈ EMetric.ball 0 r, (∑ i ∈ Finset.range n, (p i) fun x => y) = f (x + y)
y✝ : E
hy : y✝ ∈ EMetric.ball 0 r
m : ℕ
hm : m ∉ Finset.range n
\u22a2 ((p m) fun x => y✝) = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ g : E → F
p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m✝ : ℕ
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
finite : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
pos : 0 < r
sum_eq : ∀ y ∈ EMetric.ball 0 r, (∑ i ∈ Finset.range n, (p i) fun x => y) = f (x + y)
y✝ : E
hy : y✝ ∈ EMetric.ball 0 r
m : ℕ
hm : n ≤ m
\u22a2 ((p m) fun x => y✝) = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
\u22a2 fderivWithin 𝕜 (fun x => c) s x = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
\u22a2 fderiv 𝕜 (fun x => c) x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : LinearOrder α
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
ih : ∀ t ⊂ image b univ, ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m] [inst_2 : Invertible M], M.BlockTriangular b → image b univ = t → M⁻¹.BlockTriangular b
i j : m
hij : b j < b i
this : Inhabited m
\u22a2 M⁻¹ i j = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : LinearOrder α
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
ih : ∀ t ⊂ image b univ, ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m] [inst_2 : Invertible M], M.BlockTriangular b → image b univ = t → M⁻¹.BlockTriangular b
i j : m
hij : b j < b i
this : Inhabited m
k : α := (image b univ).max' ⋯
\u22a2 M⁻¹ i j = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : LinearOrder α
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
ih : ∀ t ⊂ image b univ, ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m] [inst_2 : Invertible M], M.BlockTriangular b → image b univ = t → M⁻¹.BlockTriangular b
i j : m
hij : b j < b i
this : Inhabited m
k : α := (image b univ).max' ⋯
b' : { a // b a < k } → α := fun i => b ↑i
A : Matrix { a // b a < k } { a // b a < k } R := M.toBlock (fun i => b i < k) fun j => b j < k
\u22a2 M⁻¹ i j = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : LinearOrder α
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
ih : ∀ t ⊂ image b univ, ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m] [inst_2 : Invertible M], M.BlockTriangular b → image b univ = t → M⁻¹.BlockTriangular b
i j : m
hij : b j < b i
this : Inhabited m
k : α := (image b univ).max' ⋯
b' : { a // b a < k } → α := fun i => b ↑i
A : Matrix { a // b a < k } { a // b a < k } R := M.toBlock (fun i => b i < k) fun j => b j < k
hbi : b i = k
\u22a2 M⁻¹ i j = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : LinearOrder α
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
ih : ∀ t ⊂ image b univ, ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m] [inst_2 : Invertible M], M.BlockTriangular b → image b univ = t → M⁻¹.BlockTriangular b
i j : m
hij : b j < b i
this : Inhabited m
k : α := (image b univ).max' ⋯
b' : { a // b a < k } → α := fun i => b ↑i
A : Matrix { a // b a < k } { a // b a < k } R := M.toBlock (fun i => b i < k) fun j => b j < k
hi : b i < (image b univ).max' ⋯
\u22a2 M⁻¹ i j = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : LinearOrder α
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
ih : ∀ t ⊂ image b univ, ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m] [inst_2 : Invertible M], M.BlockTriangular b → image b univ = t → M⁻¹.BlockTriangular b
i j : m
hij : b j < b i
this✝ : Inhabited m
k : α := (image b univ).max' ⋯
b' : { a // b a < k } → α := fun i => b ↑i
A : Matrix { a // b a < k } { a // b a < k } R := M.toBlock (fun i => b i < k) fun j => b j < k
hi : b i < (image b univ).max' ⋯
this : Invertible A
\u22a2 M⁻¹ i j = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : LinearOrder α
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
ih : ∀ t ⊂ image b univ, ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m] [inst_2 : Invertible M], M.BlockTriangular b → image b univ = t → M⁻¹.BlockTriangular b
i j : m
hij : b j < b i
this✝ : Inhabited m
k : α := (image b univ).max' ⋯
b' : { a // b a < k } → α := fun i => b ↑i
A : Matrix { a // b a < k } { a // b a < k } R := M.toBlock (fun i => b i < k) fun j => b j < k
hi : b i < (image b univ).max' ⋯
this : Invertible A
hA : A.BlockTriangular b'
\u22a2 M⁻¹ i j = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : LinearOrder α
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
ih : ∀ t ⊂ image b univ, ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m] [inst_2 : Invertible M], M.BlockTriangular b → image b univ = t → M⁻¹.BlockTriangular b
i j : m
hij : b j < b i
this✝ : Inhabited m
k : α := (image b univ).max' ⋯
b' : { a // b a < k } → α := fun i => b ↑i
A : Matrix { a // b a < k } { a // b a < k } R := M.toBlock (fun i => b i < k) fun j => b j < k
hi : b i < (image b univ).max' ⋯
this : Invertible A
hA : A.BlockTriangular b'
hb' : image b' univ ⊂ image b univ
\u22a2 M⁻¹ i j = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : LinearOrder α
m : Type u_3
M : Matrix m m R
b : m → α
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
ih : ∀ t ⊂ image b univ, ∀ {m : Type u_3} {M : Matrix m m R} {b : m → α} [inst : DecidableEq m] [inst_1 : Fintype m] [inst_2 : Invertible M], M.BlockTriangular b → image b univ = t → M⁻¹.BlockTriangular b
i j : m
hij : b j < b i
this✝ : Inhabited m
k : α := (image b univ).max' ⋯
b' : { a // b a < k } → α := fun i => b ↑i
A : Matrix { a // b a < k } { a // b a < k } R := M.toBlock (fun i => b i < k) fun j => b j < k
hi : b i < (image b univ).max' ⋯
this : Invertible A
hA : A.BlockTriangular b'
hb' : image b' univ ⊂ image b univ
hij' : b' ⟨j, ⋯⟩ < b' ⟨i, hi⟩
\u22a2 M⁻¹ i j = 0
-- Mathlib/Data/List/Forall2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
f : α → Option γ
g : β → Option δ
hfg : (R ⇒ Option.Rel P) f g
a : α
as : List α
b : β
bs : List β
h₁ : R a b
h₂ : Forall₂ R as bs
\u22a2 Forall₂ P (filterMap f (a :: as)) (filterMap g (b :: bs))
-- Mathlib/Data/List/Forall2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
f : α → Option γ
g : β → Option δ
hfg : (R ⇒ Option.Rel P) f g
a : α
as : List α
b : β
bs : List β
h₁ : R a b
h₂ : Forall₂ R as bs
\u22a2 Forall₂ P (match f a with | none => filterMap f as | some b => b :: filterMap f as) (match g b with | none => filterMap g bs | some b => b :: filterMap g bs)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/FiniteProducts.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝³ : L.IsLocalization W
inst✝² : W.ContainsIdentities
J : Type
inst✝¹ : Finite J
inst✝ : HasProductsOfShape J C
hW : W.IsStableUnderProductsOfShape J
F : Discrete J ⥤ C
\u22a2 (adj L hW).counit.app (F ⋙ L) = (Functor.const (Discrete J)).map ((compLimitFunctorIso L hW).hom.app F) ≫ (Functor.compConstIso (Discrete J) L).hom.app (lim.obj F) ≫ whiskerRight (constLimAdj.counit.app F) L
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N✝ : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝⁴ : Zero M
inst✝³ : Zero M'
inst✝² : CommMonoid N✝
inst✝¹ : DecidableEq α
N : Type u_16
inst✝ : AddCommMonoid N
f : α →₀ N
a : α
\u22a2 (f.sum fun x v => if x = a then v else 0) = f a
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
s : Set α
hμs : s ∈ μ.cofinite
hsm : MeasurableSet s
hfs : ∀ (i : ι), eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ε
\u22a2 ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v✝ : ι → M
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing R₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M''
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
G : Type u_10
inst✝³ : Group G
inst✝² : DistribMulAction G R
inst✝¹ : DistribMulAction G M
inst✝ : IsScalarTower G R M
v : ι → M
hv : span R (Set.range v) = ⊤
w : ι → G
\u22a2 span R (Set.range (w • v)) = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v✝ : ι → M
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing R₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M''
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
G : Type u_10
inst✝³ : Group G
inst✝² : DistribMulAction G R
inst✝¹ : DistribMulAction G M
inst✝ : IsScalarTower G R M
v : ι → M
hv : span R (Set.range v) = ⊤
w : ι → G
\u22a2 ⊤ ≤ span R (Set.range (w • v))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v✝ : ι → M
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing R₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M''
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
G : Type u_10
inst✝³ : Group G
inst✝² : DistribMulAction G R
inst✝¹ : DistribMulAction G M
inst✝ : IsScalarTower G R M
v : ι → M
hv : span R (Set.range v) = ⊤
w : ι → G
j : M
hj : j ∈ span R (Set.range v)
\u22a2 j ∈ span R (Set.range (w • v))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v✝ : ι → M
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing R₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M''
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
G : Type u_10
inst✝³ : Group G
inst✝² : DistribMulAction G R
inst✝¹ : DistribMulAction G M
inst✝ : IsScalarTower G R M
v : ι → M
hv : span R (Set.range v) = ⊤
w : ι → G
j : M
hj : ∀ (p : Submodule R M), Set.range v ⊆ ↑p → j ∈ p
\u22a2 ∀ (p : Submodule R M), Set.range (w • v) ⊆ ↑p → j ∈ p
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v✝ : ι → M
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing R₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M''
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
G : Type u_10
inst✝³ : Group G
inst✝² : DistribMulAction G R
inst✝¹ : DistribMulAction G M
inst✝ : IsScalarTower G R M
v : ι → M
hv : span R (Set.range v) = ⊤
w : ι → G
j : M
hj : ∀ (p : Submodule R M), Set.range v ⊆ ↑p → j ∈ p
p : Submodule R M
hp : Set.range (w • v) ⊆ ↑p
i : ι
\u22a2 v i ∈ ↑p
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v✝ : ι → M
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : CommRing R₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M''
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
G : Type u_10
inst✝³ : Group G
inst✝² : DistribMulAction G R
inst✝¹ : DistribMulAction G M
inst✝ : IsScalarTower G R M
v : ι → M
hv : span R (Set.range v) = ⊤
w : ι → G
j : M
hj : ∀ (p : Submodule R M), Set.range v ⊆ ↑p → j ∈ p
p : Submodule R M
hp : Set.range (w • v) ⊆ ↑p
i : ι
this : ((w i)⁻¹ • 1) • w i • v i ∈ p
\u22a2 v i ∈ ↑p
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Residual.lean
\u22a2 IsGδ {x | Liouville x}
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Residual.lean
\u22a2 IsGδ (⋂ n, ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n) \ {↑a / ↑b})
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Residual.lean
n : ℕ
\u22a2 IsOpen (⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n) \ {↑a / ↑b})
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Residual.lean
n : ℕ
a b : ℤ
_hb : 1 < b
\u22a2 IsOpen (ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n) \ {↑a / ↑b})
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
R : α → α → Prop
l₁ l₂ : List α
\u22a2 Pairwise R (l₁ ++ l₂) ↔ Pairwise R l₁ ∧ Pairwise R l₂ ∧ ∀ (a : α), a ∈ l₁ → ∀ (b : α), b ∈ l₂ → R a b
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
f : β ↪o α
hbot : f ⊥ = ⊥
b : β
hb : IsAtom (f b)
\u22a2 IsAtom b
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : OrderBot β
f : β ↪o α
hbot : f ⊥ = ⊥
b : β
hb : ⊥ ⋖ f b
\u22a2 ⊥ ⋖ b
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
r : ℝ
s : Set E
\u22a2 μ (r • s) = ENNReal.ofReal |r ^ finrank ℝ E| * μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
r : ℝ
s : Set E
h : r ≠ 0
\u22a2 μ (r • s) = ENNReal.ofReal |r ^ finrank ℝ E| * μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
\u22a2 μ (0 • s) = ENNReal.ofReal |0 ^ finrank ℝ E| * μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
\u22a2 μ (0 • ∅) = ENNReal.ofReal |0 ^ finrank ℝ E| * μ ∅
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
hs : s.Nonempty
\u22a2 μ (0 • s) = ENNReal.ofReal |0 ^ finrank ℝ E| * μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
hs : s.Nonempty
\u22a2 μ {0} = ENNReal.ofReal |0 ^ finrank ℝ E| * μ s
-- Mathlib/Topology/Order/Hom/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : Preorder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : Preorder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : Preorder δ
g : β →Co γ
f₁ f₂ : α →Co β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
\u22a2 g (f₁ a) = g (f₂ a)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
r : R
p : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : MulActionWithZero R S
x : S
\u22a2 p.smeval x = p.sum (smul_pow x)
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M
\u22a2 ↑((closure L).toFun s) = range (Term.realize Subtype.val)
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ : L.Substructure M
s : Set M
S : L.Substructure M := { carrier := range (Term.realize Subtype.val), fun_mem := ⋯ }
\u22a2 ↑((closure L).toFun s) = range (Term.realize Subtype.val)