ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Continuous.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
A : Type u
inst✝² : Category.{t, u} A
J✝ : GrothendieckTopology C
K✝ : GrothendieckTopology D
F₁ : C ⥤ D
F₂ : D ⥤ E
F₁₂ : C ⥤ E
e : F₁ ⋙ F₂ ≅ F₁₂
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
inst✝¹ : F₁.IsContinuous J K
inst✝ : F₂.IsContinuous K L
this : (F₁ ⋙ F₂).IsContinuous J L
\u22a2 F₁₂.IsContinuous J L
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b x y : α
\u22a2 Chain' R [x, y] ↔ R x y
-- Mathlib/Analysis/ODE/PicardLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
\u22a2 HasDerivWithinAt (f.next.toFun ∘ v.proj) (v.toFun (↑t) (f.toFun t)) (Icc v.tMin v.tMax) ↑t
-- Mathlib/Analysis/ODE/PicardLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
this : Fact (↑t ∈ Icc v.tMin v.tMax)
\u22a2 HasDerivWithinAt (f.next.toFun ∘ v.proj) (v.toFun (↑t) (f.toFun t)) (Icc v.tMin v.tMax) ↑t
-- Mathlib/Analysis/ODE/PicardLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
this : Fact (↑t ∈ Icc v.tMin v.tMax)
\u22a2 HasDerivWithinAt (fun x => v.x₀ + ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..↑(v.proj x), f.vComp τ) (v.toFun (↑t) (f.toFun t)) (Icc v.tMin v.tMax) ↑t
-- Mathlib/Analysis/ODE/PicardLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
this : Fact (↑t ∈ Icc v.tMin v.tMax)
\u22a2 HasDerivWithinAt (fun x => ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..↑(v.proj x), f.vComp τ) (v.toFun (↑t) (f.toFun t)) (Icc v.tMin v.tMax) ↑t
-- Mathlib/Analysis/ODE/PicardLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
this✝ : Fact (↑t ∈ Icc v.tMin v.tMax)
this : HasDerivWithinAt (fun x => ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..x, f.vComp τ) (f.vComp ↑t) (Icc v.tMin v.tMax) ↑t
\u22a2 HasDerivWithinAt (fun x => ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..↑(v.proj x), f.vComp τ) (v.toFun (↑t) (f.toFun t)) (Icc v.tMin v.tMax) ↑t
-- Mathlib/Analysis/ODE/PicardLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
this✝ : Fact (↑t ∈ Icc v.tMin v.tMax)
this : HasDerivWithinAt (fun x => ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..x, f.vComp τ) (v.toFun (↑t) (f.toFun t)) (Icc v.tMin v.tMax) ↑t
\u22a2 HasDerivWithinAt (fun x => ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..↑(v.proj x), f.vComp τ) (v.toFun (↑t) (f.toFun t)) (Icc v.tMin v.tMax) ↑t
-- Mathlib/Analysis/ODE/PicardLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
this✝ : Fact (↑t ∈ Icc v.tMin v.tMax)
this : HasDerivWithinAt (fun x => ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..x, f.vComp τ) (v.toFun (↑t) (f.toFun t)) (Icc v.tMin v.tMax) ↑t
\u22a2 (fun x => ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..↑(v.proj x), f.vComp τ) =ᶠ[𝓝[Icc v.tMin v.tMax] ↑t] fun x => ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..x, f.vComp τ
-- Mathlib/Analysis/ODE/PicardLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
this✝ : Fact (↑t ∈ Icc v.tMin v.tMax)
this : HasDerivWithinAt (fun x => ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..x, f.vComp τ) (v.toFun (↑t) (f.toFun t)) (Icc v.tMin v.tMax) ↑t
a✝ : ℝ
ht' : a✝ ∈ Icc v.tMin v.tMax
\u22a2 ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..↑(v.proj a✝), f.vComp τ = ∫ (τ : ℝ) in ↑v.t₀..a✝, f.vComp τ
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q : Seminorm 𝕜 E
x : E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
\u22a2 BddAbove (range p) ↔ ∀ (x : E), BddAbove (range fun i => (p i) x)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q : Seminorm 𝕜 E
x : E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
\u22a2 (∀ (a : E), BddAbove (range fun i => (DFunLike.coe ∘ p) i a)) ↔ ∀ (x : E), BddAbove (range fun i => (p i) x)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
\u22a2 Real.cos (angle x (x - y)) = ‖x‖ / ‖x - y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
\u22a2 Real.cos (angle x (x - y)) = ‖x‖ / ‖x - y‖
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Basic.lean
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace F
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F TotalSpace.proj
x : TotalSpace F E
b✝ : B
y : E b✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : Module R F
inst✝³ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝² : (x : B) → Module R (E x)
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : Trivialization.IsLinear R e
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e'
b : B
hb : b ∈ e'.baseSet ∩ e.baseSet
\u22a2 (coordChangeL R e e' b).symm = coordChangeL R e' e b
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Basic.lean
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace F
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F TotalSpace.proj
x : TotalSpace F E
b✝ : B
y : E b✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : Module R F
inst✝³ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝² : (x : B) → Module R (E x)
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : Trivialization.IsLinear R e
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e'
b : B
hb : b ∈ e'.baseSet ∩ e.baseSet
\u22a2 (coordChangeL R e e' b).symm.toLinearEquiv = (coordChangeL R e' e b).toLinearEquiv
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
f g : Filter α
s t : Set α
h : ∀ (s : Set α), s ∈ f ↔ s ∈ g
\u22a2 f = g
-- Mathlib/Data/Finset/Powerset.lean
α : Type u_1
s t : Finset α
\u22a2 s.powerset = {∅} ↔ s = ∅
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : LineDifferentiableAt 𝕜 f x v
hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
\u22a2 LineDifferentiableAt 𝕜 f₁ x v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : LineDifferentiableAt 𝕜 f x v
hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
\u22a2 (fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝 0] fun t => f (x + t • v)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F✝
h : LineDifferentiableAt 𝕜 f x v
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
hL : f₁ =ᶠ[𝓝 (F 0)] f
\u22a2 (fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝 0] fun t => f (x + t • v)
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Pow.lean
a✝ b✝ c : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DivisionSemiring α
a : α
b : ℤ
nb ne : ℕ
pb : IsNat b nb
pe' : IsNat (a ^ nb) ne
\u22a2 IsNat (a ^ b) ne
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Deriv.lean
x y z : ℝ
\u22a2 sinh x < 0 ↔ x < 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
t : Set F
x : E
y : F
hx : x ∈ (convexHull R) s
hy : y ∈ (convexHull R) t
\u22a2 (x, y) ∈ (convexHull R) (s ×ˢ t)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
t : Set F
x : E
y : F
hx : ∃ ι x_1 w z, (∀ (i : ι), 0 ≤ w i) ∧ ∑ i : ι, w i = 1 ∧ (∀ (i : ι), z i ∈ s) ∧ ∑ i : ι, w i • z i = x
hy : ∃ ι x w z, (∀ (i : ι), 0 ≤ w i) ∧ ∑ i : ι, w i = 1 ∧ (∀ (i : ι), z i ∈ t) ∧ ∑ i : ι, w i • z i = y
\u22a2 ∃ ι x_1 w z, (∀ (i : ι), 0 ≤ w i) ∧ ∑ i : ι, w i = 1 ∧ (∀ (i : ι), z i ∈ s ×ˢ t) ∧ ∑ i : ι, w i • z i = (x, y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι✝ : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι✝
c : R
t✝ : Finset ι✝
w✝² : ι✝ → R
z : ι✝ → E
t : Set F
x : E
y : F
ι : Type
w✝¹ : Fintype ι
w : ι → R
f : ι → E
hw₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i : ι, w i = 1
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s
hf : ∑ i : ι, w i • f i = x
κ : Type
w✝ : Fintype κ
v : κ → R
g : κ → F
hv₀ : ∀ (i : κ), 0 ≤ v i
hv₁ : ∑ i : κ, v i = 1
hgt : ∀ (i : κ), g i ∈ t
hg : ∑ i : κ, v i • g i = y
\u22a2 ∃ ι x_1 w z, (∀ (i : ι), 0 ≤ w i) ∧ ∑ i : ι, w i = 1 ∧ (∀ (i : ι), z i ∈ s ×ˢ t) ∧ ∑ i : ι, w i • z i = (x, y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι✝ : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι✝
c : R
t✝ : Finset ι✝
w✝² : ι✝ → R
z : ι✝ → E
t : Set F
x : E
y : F
ι : Type
w✝¹ : Fintype ι
w : ι → R
f : ι → E
hw₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i : ι, w i = 1
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s
hf : ∑ i : ι, w i • f i = x
κ : Type
w✝ : Fintype κ
v : κ → R
g : κ → F
hv₀ : ∀ (i : κ), 0 ≤ v i
hv₁ : ∑ i : κ, v i = 1
hgt : ∀ (i : κ), g i ∈ t
hg : ∑ i : κ, v i • g i = y
h_sum : ∑ i : ι × κ, w i.1 * v i.2 = 1
\u22a2 ∃ ι x_1 w z, (∀ (i : ι), 0 ≤ w i) ∧ ∑ i : ι, w i = 1 ∧ (∀ (i : ι), z i ∈ s ×ˢ t) ∧ ∑ i : ι, w i • z i = (x, y)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
n : ℕ
\u22a2 eval (↑n) (map f p) = f (eval (↑n) p)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
s : Set ℝ
hcs : IsCompact s
huX : IsUniform X s ℙ volume
hnt : ¬(volume s = 0 ∨ volume s = ⊤)
\u22a2 Integrable (fun x => x * (pdf X ℙ volume x).toReal) volume
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
s : Set ℝ
hcs : IsCompact s
huX : IsUniform X s ℙ volume
hnt : ¬volume s = 0 ∧ ¬volume s = ⊤
\u22a2 Integrable (fun x => x * (pdf X ℙ volume x).toReal) volume
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
s : Set ℝ
hcs : IsCompact s
huX : IsUniform X s ℙ volume
hnt : ¬volume s = 0 ∧ ¬volume s = ⊤
this : IsProbabilityMeasure ℙ
\u22a2 Integrable (fun x => x * (pdf X ℙ volume x).toReal) volume
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
s : Set ℝ
hcs : IsCompact s
huX : IsUniform X s ℙ volume
hnt : ¬volume s = 0 ∧ ¬volume s = ⊤
this : IsProbabilityMeasure ℙ
\u22a2 HasFiniteIntegral (fun x => x * (pdf X ℙ volume x).toReal) volume
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
s : Set ℝ
hcs : IsCompact s
huX : IsUniform X s ℙ volume
hnt : ¬volume s = 0 ∧ ¬volume s = ⊤
this : IsProbabilityMeasure ℙ
\u22a2 ∫⁻ (x : ℝ), ↑‖x‖₊ * s.indicator ((volume s)⁻¹ • 1) x ≠ ⊤
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
s : Set ℝ
hcs : IsCompact s
huX : IsUniform X s ℙ volume
hnt : ¬volume s = 0 ∧ ¬volume s = ⊤
this : IsProbabilityMeasure ℙ
ind : ℝ → ℝ≥0∞ := (volume s)⁻¹ • 1
\u22a2 ∫⁻ (x : ℝ), ↑‖x‖₊ * s.indicator ind x ≠ ⊤
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
s : Set ℝ
hcs : IsCompact s
huX : IsUniform X s ℙ volume
hnt : ¬volume s = 0 ∧ ¬volume s = ⊤
this✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
ind : ℝ → ℝ≥0∞ := (volume s)⁻¹ • 1
this : ∀ (x : ℝ), ↑‖x‖₊ * s.indicator ind x = s.indicator (fun x => ↑‖x‖₊ * ind x) x
\u22a2 ∫⁻ (x : ℝ), ↑‖x‖₊ * s.indicator ind x ≠ ⊤
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
s : Set ℝ
hcs : IsCompact s
huX : IsUniform X s ℙ volume
hnt : ¬volume s = 0 ∧ ¬volume s = ⊤
this✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
ind : ℝ → ℝ≥0∞ := (volume s)⁻¹ • 1
this : ∀ (x : ℝ), ↑‖x‖₊ * s.indicator ind x = s.indicator (fun x => ↑‖x‖₊ * ind x) x
\u22a2 ∫⁻ (x : ℝ) in s, ↑‖x‖₊ * (volume s)⁻¹ ∂volume ≠ ⊤
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → ℝ
s : Set ℝ
hcs : IsCompact s
huX : IsUniform X s ℙ volume
hnt : ¬volume s = 0 ∧ ¬volume s = ⊤
this✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
ind : ℝ → ℝ≥0∞ := (volume s)⁻¹ • 1
this : ∀ (x : ℝ), ↑‖x‖₊ * s.indicator ind x = s.indicator (fun x => ↑‖x‖₊ * ind x) x
\u22a2 (∫⁻ (a : ℝ) in s, ↑‖a‖₊ ∂volume) * (volume s)⁻¹ ≠ ⊤
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a
\u22a2 Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : b ∈ WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) a h₁
\u22a2 Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : b ∈ Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => (fun y p => WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) y ⋯) a' ⋯
\u22a2 Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : ∃ (h : (f a).Dom), b ∈ match e : (f a).get h with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) a' ⋯
\u22a2 Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : (f a).Dom
b✝ : β
heq✝ : (f a).get h₂ = Sum.inl b✝
h₃ : b ∈ Part.some b✝
\u22a2 Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : (f a).Dom
a'✝ : α
heq✝ : (f a).get h₂ = Sum.inr a'✝
h₃ : b ∈ WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) a'✝ ⋯
\u22a2 Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'
\u22a2 b ∈ f.fix a
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'
\u22a2 ∃ (h : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a), b ∈ WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) a h
-- Mathlib/Order/WithBot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : LT α
a b : α
\u22a2 ↑a < ↑b ↔ a < b
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : α → E
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i
\u22a2 ↑((μ.withDensityᵥ f).trim hm) i = ∫ (x : α) in i, f x ∂μ
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
\u22a2 U R (n + 1) = 2 * X * U R n - U R (n - 1)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : ↑a ≠ 0
x y : ZMod p
hy : y ≠ 0
hxy : (x ^ 2 - ↑a * y ^ 2) * y⁻¹ ^ 2 = 0 * y⁻¹ ^ 2
\u22a2 legendreSym p a = 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : ↑a ≠ 0
x y : ZMod p
hy : y ≠ 0
hxy : (x ^ 2 - ↑a * y ^ 2) * y⁻¹ ^ 2 = 0
\u22a2 legendreSym p a = 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : ↑a ≠ 0
x y : ZMod p
hy : y ≠ 0
hxy : x * y⁻¹ * (x * y⁻¹) = ↑a
\u22a2 legendreSym p a = 1
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
f : [0] ⟶ [0]
x✝ : Fin ([0].len + 1)
\u22a2 (Hom.toOrderHom f) x✝ = (Hom.toOrderHom (𝟙 [0])) x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
s : Set P
e : P ≃ᵃ[k] P₂
this : ⇑e ∘ Subtype.val = Subtype.val ∘ ⇑((↑e).image s)
\u22a2 AffineIndependent k Subtype.val ↔ AffineIndependent k Subtype.val
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
g : β → α
h : LeftInverse g f
s : Set α
\u22a2 g '' (f '' s) = s
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
C : Word M → Prop
h_empty : C empty
h_smul : ∀ (i : ι) (m : M i) (w : Word M), C w → C (of m • w)
w : Word M
\u22a2 C w
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α → β → ℝ≥0
g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
a : α
\u22a2 (κ.withDensity fun a x => ↑(f a x) * g a x) a = ((κ.withDensity fun a x => ↑(f a x)).withDensity g) a
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α → β → ℝ≥0
g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
a : α
\u22a2 ((κ a).withDensity fun x => ↑(f a x) * g a x) = ((κ.withDensity fun a x => ↑(f a x)).withDensity g) a
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α → β → ℝ≥0
g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
a : α
\u22a2 Measurable (Function.uncurry fun a x => ↑(f a x) * g a x)
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α → β → ℝ≥0
g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
a : α
\u22a2 (κ a).withDensity ((fun x => ↑(f a x)) * fun x => g a x) = ((κ.withDensity fun a x => ↑(f a x)).withDensity g) a
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α → β → ℝ≥0
g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
a : α
\u22a2 (((κ a).withDensity fun x => ↑(f a x)).withDensity fun x => g a x) = ((κ.withDensity fun a x => ↑(f a x)).withDensity g) a
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α → β → ℝ≥0
g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
a : α
\u22a2 Measurable fun x => ↑(f a x)
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α → β → ℝ≥0
g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
a : α
\u22a2 Measurable fun x => g a x
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/SingleFunctors.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁹ : Category.{?u.91944, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.91948, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{?u.91952, u_3} E
inst✝⁶ : Category.{?u.91956, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝⁵ : AddMonoid A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift E' A
F G✝ H : SingleFunctors C D A
G : D ⥤ E
G' : E ⥤ E'
inst✝¹ : G.CommShift A
inst✝ : G'.CommShift A
n a a' : A
ha' : n + a = a'
X : C
\u22a2 ((((F.postcomp G).postcomp G').shiftIso n a a' ha').hom ≫ ((fun a => (F.functor a).associator G G') a).hom).app X = (whiskerRight ((fun a => (F.functor a).associator G G') a').hom (shiftFunctor E' n) ≫ ((F.postcomp (G ⋙ G')).shiftIso n a a' ha').hom).app X
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y z : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
\u22a2 x ^ 2 = x ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y z : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
\u22a2 x ^ 2 = x ^ ↑2
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Pretriangulated.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.2006, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.2010, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
p q : ℤ
hpq : p + -1 = q
\u22a2 p = q + 1