ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₀ : γ
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
ff : δ × δ → γ × γ := fun u => (f u.1, f u.2)
lim_φ : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, 0)) (𝓝 0)
lim_φ_sub_sub : Tendsto (fun p => (fun p => (φ p.1) p.2) (p.1.2 - p.1.1, p.2.2 - p.2.1)) (comap ee (𝓝 (x₀, x₀)) ×ˢ comap ff (𝓝 (y₀, y₀))) (𝓝 0)
W : Set G
W_nhd : W ∈ 𝓝 0
W4 : ∀ {v w s t : G}, v ∈ W → w ∈ W → s ∈ W → t ∈ W → v + w + s + t ∈ W'
\u22a2 ∃ U ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∃ V ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀), ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₀ : γ
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
ff : δ × δ → γ × γ := fun u => (f u.1, f u.2)
lim_φ : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, 0)) (𝓝 0)
lim_φ_sub_sub : Tendsto (fun p => (fun p => (φ p.1) p.2) (p.1.2 - p.1.1, p.2.2 - p.2.1)) (comap ee (𝓝 (x₀, x₀)) ×ˢ comap ff (𝓝 (y₀, y₀))) (𝓝 0)
W : Set G
W_nhd : W ∈ 𝓝 0
W4 : ∀ {v w s t : G}, v ∈ W → w ∈ W → s ∈ W → t ∈ W → v + w + s + t ∈ W'
this : ∃ U₁ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∃ V₁ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀), ∀ x ∈ U₁, ∀ x' ∈ U₁, ∀ y ∈ V₁, ∀ y' ∈ V₁, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y' - y) ∈ W
\u22a2 ∃ U ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∃ V ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀), ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₀ : γ
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
ff : δ × δ → γ × γ := fun u => (f u.1, f u.2)
lim_φ : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, 0)) (𝓝 0)
lim_φ_sub_sub : Tendsto (fun p => (fun p => (φ p.1) p.2) (p.1.2 - p.1.1, p.2.2 - p.2.1)) (comap ee (𝓝 (x₀, x₀)) ×ˢ comap ff (𝓝 (y₀, y₀))) (𝓝 0)
W : Set G
W_nhd : W ∈ 𝓝 0
W4 : ∀ {v w s t : G}, v ∈ W → w ∈ W → s ∈ W → t ∈ W → v + w + s + t ∈ W'
U₁ : Set β
U₁_nhd : U₁ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)
V₁ : Set δ
V₁_nhd : V₁ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)
H : ∀ x ∈ U₁, ∀ x' ∈ U₁, ∀ y ∈ V₁, ∀ y' ∈ V₁, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y' - y) ∈ W
\u22a2 ∃ U ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∃ V ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀), ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₀ : γ
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
ff : δ × δ → γ × γ := fun u => (f u.1, f u.2)
lim_φ : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, 0)) (𝓝 0)
lim_φ_sub_sub : Tendsto (fun p => (fun p => (φ p.1) p.2) (p.1.2 - p.1.1, p.2.2 - p.2.1)) (comap ee (𝓝 (x₀, x₀)) ×ˢ comap ff (𝓝 (y₀, y₀))) (𝓝 0)
W : Set G
W_nhd : W ∈ 𝓝 0
W4 : ∀ {v w s t : G}, v ∈ W → w ∈ W → s ∈ W → t ∈ W → v + w + s + t ∈ W'
U₁ : Set β
U₁_nhd : U₁ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)
V₁ : Set δ
V₁_nhd : V₁ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)
H : ∀ x ∈ U₁, ∀ x' ∈ U₁, ∀ y ∈ V₁, ∀ y' ∈ V₁, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y' - y) ∈ W
x₁ : β
x₁_in : x₁ ∈ U₁
\u22a2 ∃ U ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∃ V ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀), ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₀ : γ
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
ff : δ × δ → γ × γ := fun u => (f u.1, f u.2)
lim_φ : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, 0)) (𝓝 0)
lim_φ_sub_sub : Tendsto (fun p => (fun p => (φ p.1) p.2) (p.1.2 - p.1.1, p.2.2 - p.2.1)) (comap ee (𝓝 (x₀, x₀)) ×ˢ comap ff (𝓝 (y₀, y₀))) (𝓝 0)
W : Set G
W_nhd : W ∈ 𝓝 0
W4 : ∀ {v w s t : G}, v ∈ W → w ∈ W → s ∈ W → t ∈ W → v + w + s + t ∈ W'
U₁ : Set β
U₁_nhd : U₁ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)
V₁ : Set δ
V₁_nhd : V₁ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)
H : ∀ x ∈ U₁, ∀ x' ∈ U₁, ∀ y ∈ V₁, ∀ y' ∈ V₁, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y' - y) ∈ W
x₁ : β
x₁_in : x₁ ∈ U₁
y₁ : δ
y₁_in : y₁ ∈ V₁
\u22a2 ∃ U ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∃ V ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀), ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₀ : γ
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
ff : δ × δ → γ × γ := fun u => (f u.1, f u.2)
lim_φ : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, 0)) (𝓝 0)
lim_φ_sub_sub : Tendsto (fun p => (fun p => (φ p.1) p.2) (p.1.2 - p.1.1, p.2.2 - p.2.1)) (comap ee (𝓝 (x₀, x₀)) ×ˢ comap ff (𝓝 (y₀, y₀))) (𝓝 0)
W : Set G
W_nhd : W ∈ 𝓝 0
W4 : ∀ {v w s t : G}, v ∈ W → w ∈ W → s ∈ W → t ∈ W → v + w + s + t ∈ W'
U₁ : Set β
U₁_nhd : U₁ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)
V₁ : Set δ
V₁_nhd : V₁ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)
H : ∀ x ∈ U₁, ∀ x' ∈ U₁, ∀ y ∈ V₁, ∀ y' ∈ V₁, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y' - y) ∈ W
x₁ : β
x₁_in : x₁ ∈ U₁
y₁ : δ
y₁_in : y₁ ∈ V₁
cont_flip : Continuous fun p => (φ.flip p.1) p.2
\u22a2 ∃ U ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∃ V ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀), ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₀ : γ
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
ff : δ × δ → γ × γ := fun u => (f u.1, f u.2)
lim_φ : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, 0)) (𝓝 0)
lim_φ_sub_sub : Tendsto (fun p => (fun p => (φ p.1) p.2) (p.1.2 - p.1.1, p.2.2 - p.2.1)) (comap ee (𝓝 (x₀, x₀)) ×ˢ comap ff (𝓝 (y₀, y₀))) (𝓝 0)
W : Set G
W_nhd : W ∈ 𝓝 0
W4 : ∀ {v w s t : G}, v ∈ W → w ∈ W → s ∈ W → t ∈ W → v + w + s + t ∈ W'
U₁ : Set β
U₁_nhd : U₁ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)
V₁ : Set δ
V₁_nhd : V₁ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)
H : ∀ x ∈ U₁, ∀ x' ∈ U₁, ∀ y ∈ V₁, ∀ y' ∈ V₁, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y' - y) ∈ W
x₁ : β
x₁_in : x₁ ∈ U₁
y₁ : δ
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cont_flip : Continuous fun p => (φ.flip p.1) p.2
U₂ : Set β
U₂_nhd : U₂ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)
HU : ∀ x ∈ U₂, ∀ x' ∈ U₂, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y₁) ∈ W
\u22a2 ∃ U ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∃ V ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀), ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₀ : γ
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
ff : δ × δ → γ × γ := fun u => (f u.1, f u.2)
lim_φ : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, 0)) (𝓝 0)
lim_φ_sub_sub : Tendsto (fun p => (fun p => (φ p.1) p.2) (p.1.2 - p.1.1, p.2.2 - p.2.1)) (comap ee (𝓝 (x₀, x₀)) ×ˢ comap ff (𝓝 (y₀, y₀))) (𝓝 0)
W : Set G
W_nhd : W ∈ 𝓝 0
W4 : ∀ {v w s t : G}, v ∈ W → w ∈ W → s ∈ W → t ∈ W → v + w + s + t ∈ W'
U₁ : Set β
U₁_nhd : U₁ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)
V₁ : Set δ
V₁_nhd : V₁ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)
H : ∀ x ∈ U₁, ∀ x' ∈ U₁, ∀ y ∈ V₁, ∀ y' ∈ V₁, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y' - y) ∈ W
x₁ : β
x₁_in : x₁ ∈ U₁
y₁ : δ
y₁_in : y₁ ∈ V₁
cont_flip : Continuous fun p => (φ.flip p.1) p.2
U₂ : Set β
U₂_nhd : U₂ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)
HU : ∀ x ∈ U₂, ∀ x' ∈ U₂, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y₁) ∈ W
V₂ : Set δ
V₂_nhd : V₂ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)
HV : ∀ x ∈ V₂, ∀ x' ∈ V₂, (fun p => (φ.flip p.1) p.2) (x' - x, x₁) ∈ W
\u22a2 ∃ U ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∃ V ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀), ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₀ : γ
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
ff : δ × δ → γ × γ := fun u => (f u.1, f u.2)
lim_φ : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, 0)) (𝓝 0)
lim_φ_sub_sub : Tendsto (fun p => (fun p => (φ p.1) p.2) (p.1.2 - p.1.1, p.2.2 - p.2.1)) (comap ee (𝓝 (x₀, x₀)) ×ˢ comap ff (𝓝 (y₀, y₀))) (𝓝 0)
W : Set G
W_nhd : W ∈ 𝓝 0
W4 : ∀ {v w s t : G}, v ∈ W → w ∈ W → s ∈ W → t ∈ W → v + w + s + t ∈ W'
U₁ : Set β
U₁_nhd : U₁ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)
V₁ : Set δ
V₁_nhd : V₁ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)
H : ∀ x ∈ U₁, ∀ x' ∈ U₁, ∀ y ∈ V₁, ∀ y' ∈ V₁, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y' - y) ∈ W
x₁ : β
x₁_in : x₁ ∈ U₁
y₁ : δ
y₁_in : y₁ ∈ V₁
cont_flip : Continuous fun p => (φ.flip p.1) p.2
U₂ : Set β
U₂_nhd : U₂ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)
HU : ∀ x ∈ U₂, ∀ x' ∈ U₂, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y₁) ∈ W
V₂ : Set δ
V₂_nhd : V₂ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)
HV : ∀ x ∈ V₂, ∀ x' ∈ V₂, (fun p => (φ.flip p.1) p.2) (x' - x, x₁) ∈ W
\u22a2 ∀ x ∈ U₁ ∩ U₂, ∀ x' ∈ U₁ ∩ U₂, ∀ y ∈ V₁ ∩ V₂, ∀ y' ∈ V₁ ∩ V₂, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
-- Mathlib/Algebra/Order/Hom/Ring.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : NonAssocSemiring α
inst✝⁶ : Preorder α
inst✝⁵ : NonAssocSemiring β
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : NonAssocSemiring γ
inst✝² : Preorder γ
inst✝¹ : NonAssocSemiring δ
inst✝ : Preorder δ
f : β →+*o γ
g₁ g₂ : α →+*o β
hf : Injective ⇑f
h : f.comp g₁ = f.comp g₂
a : α
\u22a2 f (g₁ a) = f (g₂ a)
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : NontriviallyNormedField α
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ α
inst✝ : DecidableEq n
f : (n → α) →L[α] m → α
\u22a2 ‖LinearMap.toMatrix' ↑f‖₊ = ‖f‖₊
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : NontriviallyNormedField α
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ α
inst✝ : DecidableEq n
f : (n → α) →L[α] m → α
\u22a2 ‖{ toLinearMap := (LinearMap.toMatrix' ↑f).mulVecLin, cont := ⋯ }‖₊ = ‖f‖₊
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
h : a % b = 0
\u22a2 b ∣ a
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
h : a % b = 0
\u22a2 b ∣ b * (a / b)
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
x✝ : b ∣ a
c : R
e : a = b * c
\u22a2 a % b = 0
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b : R
x✝ : b ∣ a
c : R
e : a = b * c
\u22a2 b * c = b * (b * c / b)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.support.Nodup
\u22a2 p.darts.Nodup
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : LinearOrderedField R
inst✝ : Finite m
A : Matrix m n R
\u22a2 A.rank = finrank R ↥(Submodule.span R (Set.range A))
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : LinearOrderedField R
inst✝ : Finite m
A : Matrix m n R
val✝ : Fintype m
\u22a2 A.rank = finrank R ↥(Submodule.span R (Set.range A))
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/Hensel.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
ha : Polynomial.eval a F = 0
z' : ℤ_[p]
hz' : Polynomial.eval z' F = 0
hnormz' : ‖z' - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
h : ℤ_[p] := z' - a
q : ℤ_[p]
hq : Polynomial.eval (a + h) F = Polynomial.eval a F + Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) * h + q * h ^ 2
\u22a2 0 = Polynomial.eval (a + (z' - a)) F
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/Hensel.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
ha : Polynomial.eval a F = 0
z' : ℤ_[p]
hz' : Polynomial.eval z' F = 0
hnormz' : ‖z' - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
h : ℤ_[p] := z' - a
q : ℤ_[p]
hq : Polynomial.eval (a + h) F = Polynomial.eval a F + Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) * h + q * h ^ 2
\u22a2 0 = Polynomial.eval (z' - a + a) F
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/Hensel.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
ha : Polynomial.eval a F = 0
z' : ℤ_[p]
hz' : Polynomial.eval z' F = 0
hnormz' : ‖z' - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
h : ℤ_[p] := z' - a
q : ℤ_[p]
hq : Polynomial.eval (a + h) F = Polynomial.eval a F + Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) * h + q * h ^ 2
\u22a2 Polynomial.eval (a + h) F = Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) * h + q * h ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/Hensel.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
ha : Polynomial.eval a F = 0
z' : ℤ_[p]
hz' : Polynomial.eval z' F = 0
hnormz' : ‖z' - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
h : ℤ_[p] := z' - a
q : ℤ_[p]
hq : Polynomial.eval (a + h) F = Polynomial.eval a F + Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) * h + q * h ^ 2
\u22a2 Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) * h + q * h ^ 2 = (Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) + q * h) * h
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/Hensel.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
ha : Polynomial.eval a F = 0
z' : ℤ_[p]
hz' : Polynomial.eval z' F = 0
hnormz' : ‖z' - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
h : ℤ_[p] := z' - a
q : ℤ_[p]
hq : Polynomial.eval (a + h) F = Polynomial.eval a F + Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) * h + q * h ^ 2
this✝ : (Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) + q * h) * h = 0
hne : ¬h = 0
this : Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) + q * h = 0
\u22a2 Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) = -q * h
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/Hensel.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
ha : Polynomial.eval a F = 0
z' : ℤ_[p]
hz' : Polynomial.eval z' F = 0
hnormz' : ‖z' - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
h : ℤ_[p] := z' - a
q : ℤ_[p]
hq : Polynomial.eval (a + h) F = Polynomial.eval a F + Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) * h + q * h ^ 2
this✝¹ : (Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) + q * h) * h = 0
hne : ¬h = 0
this✝ : Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) + q * h = 0
this : Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F) = -q * h
\u22a2 ‖q‖ ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
ha : a ≠ 0
\u22a2 (C a * p).roots = p.roots
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
θ : ℝ
\u22a2 cos θ ≠ 0 → (tan θ = 0 ↔ ∃ k, ↑k * π = θ)
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 512 ≤ n
\u22a2 ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 512 ≤ n
no_prime : ¬∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 512 ≤ n
no_prime : ¬∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
H1 : n * (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3) ≤ 4 ^ n
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 512 ≤ n
no_prime : ¬∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
H1 : n * (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3) ≤ 4 ^ n
H2 : 4 ^ n < n * n.centralBinom
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 512 ≤ n
no_prime : ¬∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
H1 : n * (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3) ≤ 4 ^ n
H2 : 4 ^ n < n * n.centralBinom
H3 : n.centralBinom ≤ (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3)
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 512 ≤ n
no_prime : ¬∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
H1 : n * ((2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3)) ≤ 4 ^ n
H2 : 4 ^ n < n * n.centralBinom
H3 : n.centralBinom ≤ (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3)
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
\u22a2 LiftPPreservation ↔ IsUniform
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
α : Type u_6
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderTop α
\u22a2 atTop = pure ⊤
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x₀ : E
hf : HasFDerivAt f f' x₀
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
\u22a2 ‖f'‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x₀ : E
hf : HasFDerivAt f f' x₀
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
\u22a2 0 ≤ C + ε
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x₀ : E
hf : HasFDerivAt f f' x₀
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
\u22a2 ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 0, ‖f' x‖ ≤ (C + ε) * ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x₀ : E
hf : HasFDerivAt f f' x₀
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (a : E) in 𝓝 0, ‖f (x₀ + a) - f x₀‖ ≤ C * ‖x₀ + a - x₀‖
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
\u22a2 ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 0, ‖f' x‖ ≤ (C + ε) * ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x₀ : E
hf : HasFDerivAt f f' x₀
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (a : E) in 𝓝 0, ‖f (x₀ + a) - f x₀‖ ≤ C * ‖x₀ + a - x₀‖
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
y : E
hy : ‖f (x₀ + y) - f x₀ - f' y‖ ≤ ε * ‖y‖
hyC : ‖f (x₀ + y) - f x₀‖ ≤ C * ‖x₀ + y - x₀‖
\u22a2 ‖f' y‖ ≤ (C + ε) * ‖y‖