ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
H : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m0 : MeasurableSpace α
μ' : Measure α
f : α → H
hm : m ≤ m0
hf_int : Integrable f μ'
hf : StronglyMeasurable f
\u22a2 Integrable f (μ'.trim hm)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
H : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m0 : MeasurableSpace α
μ' : Measure α
f : α → H
hm : m ≤ m0
hf_int : Integrable f μ'
hf : StronglyMeasurable f
\u22a2 HasFiniteIntegral f (μ'.trim hm)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
H : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m0 : MeasurableSpace α
μ' : Measure α
f : α → H
hm : m ≤ m0
hf_int : Integrable f μ'
hf : StronglyMeasurable f
\u22a2 ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ' < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
H : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m0 : MeasurableSpace α
μ' : Measure α
f : α → H
hm : m ≤ m0
hf_int : Integrable f μ'
hf : StronglyMeasurable f
\u22a2 Measurable fun a => ↑‖f a‖₊
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
\u22a2 (s ∩ t).card = s.card + t.card - (s ∪ t).card
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
hp : weightedTotalDegree w p = ⊥
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d p ≠ 0
\u22a2 (weight w) d = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
hp : weightedTotalDegree w p = ⊥
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d p ≠ 0
h : weightedTotalDegree' w p = ↑(weightedTotalDegree w p)
\u22a2 (weight w) d = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
hp : weightedTotalDegree w p = ⊥
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d p ≠ 0
h : (p.support.sup fun s => ↑((weight w) s)) = ↑⊥
\u22a2 (weight w) d = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M
p : MvPolynomial σ R
hp : weightedTotalDegree w p = ⊥
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d p ≠ 0
h : (p.support.sup fun s => ↑((weight w) s)) = ↑⊥
\u22a2 ↑((weight w) d) ≤ p.support.sup fun s => ↑((weight w) s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
y : E
hy : y ∈ s
\u22a2 x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
y : E
hy : y ∈ s
\u22a2 x = 1 • x + 0 • y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
hf : f.IsCycleOn s
hs : s.Nontrivial
ha : a ∈ s
\u22a2 f a ≠ a
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b✝ x y : α
hf : f.IsCycleOn s
hs : s.Nontrivial
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hba : b ≠ a
\u22a2 f a ≠ a
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
hf : f.IsCycleOn s
hs : s.Nontrivial
ha : a ∈ s
n : ℤ
hb : (f ^ n) a ∈ s
hba : (f ^ n) a ≠ a
\u22a2 f a ≠ a
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/SMul.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : DistribMulAction α β
a : α
s : Set α
t : Set β
\u22a2 s • -t = -(s • t)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/SMul.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : DistribMulAction α β
a : α
s : Set α
t : Set β
\u22a2 s • Neg.neg '' t = Neg.neg '' (s • t)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝²⁰ : Semiring R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : Module R M✝
N✝ : Type u_3
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid N✝
inst✝¹⁶ : Module R N✝
P : Type u_4
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommGroup M'
inst✝¹² : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup N'
inst✝¹⁰ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
f✝ f' : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N✝
g g₂ : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v✝ : ι → M✝
v' : ι → M'
K : Type u_12
inst✝⁵ : Ring K
M : Type u_13
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module K M
N : Type u_14
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module K N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors K N
f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N
v : ι → M
h : ¬LinearIndependent K v
\u22a2 f v = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝²⁰ : Semiring R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : Module R M✝
N✝ : Type u_3
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid N✝
inst✝¹⁶ : Module R N✝
P : Type u_4
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommGroup M'
inst✝¹² : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup N'
inst✝¹⁰ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
f✝ f' : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N✝
g✝ g₂ : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v✝ : ι → M✝
v' : ι → M'
K : Type u_12
inst✝⁵ : Ring K
M : Type u_13
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module K M
N : Type u_14
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module K N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors K N
f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N
v : ι → M
h✝ : ¬LinearIndependent K v
s : Finset ι
g : ι → K
h : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
hi : i ∈ s
hz : g i ≠ 0
\u22a2 f v = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝²⁰ : Semiring R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : Module R M✝
N✝ : Type u_3
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid N✝
inst✝¹⁶ : Module R N✝
P : Type u_4
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommGroup M'
inst✝¹² : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup N'
inst✝¹⁰ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
f✝ f' : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N✝
g✝ g₂ : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v✝ : ι → M✝
v' : ι → M'
K : Type u_12
inst✝⁵ : Ring K
M : Type u_13
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module K M
N : Type u_14
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module K N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors K N
f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N
v : ι → M
h✝ : ¬LinearIndependent K v
s : Finset ι
g : ι → K
h : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
hi : i ∈ s
hz : g i ≠ 0
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
\u22a2 f v = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝²⁰ : Semiring R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : Module R M✝
N✝ : Type u_3
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid N✝
inst✝¹⁶ : Module R N✝
P : Type u_4
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommGroup M'
inst✝¹² : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup N'
inst✝¹⁰ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
f✝ f' : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N✝
g✝ g₂ : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v✝ : ι → M✝
v' : ι → M'
K : Type u_12
inst✝⁵ : Ring K
M : Type u_13
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module K M
N : Type u_14
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module K N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors K N
f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N
v : ι → M
h✝ : ¬LinearIndependent K v
s : Finset ι
g : ι → K
h : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
hi : i ∈ s
hz : g i ≠ 0
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
\u22a2 f (update v i (g i • v i)) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝²⁰ : Semiring R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : Module R M✝
N✝ : Type u_3
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid N✝
inst✝¹⁶ : Module R N✝
P : Type u_4
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommGroup M'
inst✝¹² : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup N'
inst✝¹⁰ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
f✝ f' : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N✝
g✝ g₂ : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v✝ : ι → M✝
v' : ι → M'
K : Type u_12
inst✝⁵ : Ring K
M : Type u_13
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module K M
N : Type u_14
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module K N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors K N
f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N
v : ι → M
h✝ : ¬LinearIndependent K v
s : Finset ι
g : ι → K
i : ι
h : (∑ x ∈ s, if i = x then g x • v x else g x • v x) = 0
hi : i ∈ s
hz : g i ≠ 0
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
\u22a2 f (update v i (g i • v i)) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝²⁰ : Semiring R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : Module R M✝
N✝ : Type u_3
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid N✝
inst✝¹⁶ : Module R N✝
P : Type u_4
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommGroup M'
inst✝¹² : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup N'
inst✝¹⁰ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
f✝ f' : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N✝
g✝ g₂ : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v✝ : ι → M✝
v' : ι → M'
K : Type u_12
inst✝⁵ : Ring K
M : Type u_13
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module K M
N : Type u_14
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module K N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors K N
f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N
v : ι → M
h✝ : ¬LinearIndependent K v
s : Finset ι
g : ι → K
i : ι
hi : i ∈ s
hz : g i ≠ 0
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
h : g i • v i = -∑ x ∈ s.erase i, g x • v x
\u22a2 f (update v i (g i • v i)) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝²⁰ : Semiring R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : Module R M✝
N✝ : Type u_3
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid N✝
inst✝¹⁶ : Module R N✝
P : Type u_4
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommGroup M'
inst✝¹² : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup N'
inst✝¹⁰ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
f✝ f' : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N✝
g✝ g₂ : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v✝ : ι → M✝
v' : ι → M'
K : Type u_12
inst✝⁵ : Ring K
M : Type u_13
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module K M
N : Type u_14
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module K N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors K N
f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N
v : ι → M
h✝ : ¬LinearIndependent K v
s : Finset ι
g : ι → K
i : ι
hi : i ∈ s
hz : g i ≠ 0
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
h : g i • v i = -∑ x ∈ s.erase i, g x • v x
\u22a2 ∑ a ∈ s.erase i, f (update v i (g a • v a)) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝²⁰ : Semiring R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : Module R M✝
N✝ : Type u_3
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid N✝
inst✝¹⁶ : Module R N✝
P : Type u_4
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommGroup M'
inst✝¹² : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup N'
inst✝¹⁰ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
f✝ f' : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N✝
g✝ g₂ : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v✝ : ι → M✝
v' : ι → M'
K : Type u_12
inst✝⁵ : Ring K
M : Type u_13
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module K M
N : Type u_14
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module K N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors K N
f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N
v : ι → M
h✝ : ¬LinearIndependent K v
s : Finset ι
g : ι → K
i : ι
hi : i ∈ s
hz : g i ≠ 0
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
h : g i • v i = -∑ x ∈ s.erase i, g x • v x
\u22a2 ∀ x ∈ s.erase i, f (update v i (g x • v x)) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝²⁰ : Semiring R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : Module R M✝
N✝ : Type u_3
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid N✝
inst✝¹⁶ : Module R N✝
P : Type u_4
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommGroup M'
inst✝¹² : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup N'
inst✝¹⁰ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
f✝ f' : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N✝
g✝ g₂ : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v✝ : ι → M✝
v' : ι → M'
K : Type u_12
inst✝⁵ : Ring K
M : Type u_13
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module K M
N : Type u_14
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module K N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors K N
f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N
v : ι → M
h✝ : ¬LinearIndependent K v
s : Finset ι
g : ι → K
i : ι
hi : i ∈ s
hz : g i ≠ 0
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
h : g i • v i = -∑ x ∈ s.erase i, g x • v x
j : ι
hj : j ∈ s.erase i
\u22a2 f (update v i (g j • v j)) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝²⁰ : Semiring R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : Module R M✝
N✝ : Type u_3
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid N✝
inst✝¹⁶ : Module R N✝
P : Type u_4
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommGroup M'
inst✝¹² : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹¹ : AddCommGroup N'
inst✝¹⁰ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M₃
f✝ f' : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N✝
g✝ g₂ : M✝ [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v✝ : ι → M✝
v' : ι → M'
K : Type u_12
inst✝⁵ : Ring K
M : Type u_13
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module K M
N : Type u_14
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module K N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors K N
f : M [⋀^ι]→ₗ[K] N
v : ι → M
h✝ : ¬LinearIndependent K v
s : Finset ι
g : ι → K
i : ι
hi : i ∈ s
hz : g i ≠ 0
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
h : g i • v i = -∑ x ∈ s.erase i, g x • v x
j : ι
hj : j ∈ s.erase i
hij : j ≠ i
right✝ : j ∈ s
\u22a2 f (update v i (g j • v j)) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Invariants.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → α
g : α → β
\u22a2 Measurable g ↔ Measurable g ∧ ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → g ∘ f ⁻¹' s = g ⁻¹' s
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Invariants.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → α
g : α → β
\u22a2 (∀ ⦃t : Set β⦄, MeasurableSet t → MeasurableSet (g ⁻¹' t)) ↔ ∀ (x : Set β), MeasurableSet x → MeasurableSet (g ⁻¹' x) ∧ g ∘ f ⁻¹' x = g ⁻¹' x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : OrderedCommSemiring 𝕜
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
c : 𝕜
hc : 0 ≤ c
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
\u22a2 c • (a • f x + b • f y) = a • c • f x + b • c • f y
-- .lake/packages/batteries/Batteries/WF.lean
\u22a2 @rec = @Acc.recC
-- .lake/packages/batteries/Batteries/WF.lean
α : Sort u_1
r : α → α → Prop
motive : (a : α) → Acc r a → Sort u_2
intro : (x : α) → (h : ∀ (y : α), r y x → Acc r y) → ((y : α) → (a : r y x) → motive y ⋯) → motive x ⋯
a : α
t : Acc r a
\u22a2 rec intro t = Acc.recC intro t
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Basic.lean
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
γ : Type u₁
inst✝ : AddCommMonoid γ
φ : (i : ι) → β i →+ γ
ψ : (⨁ (i : ι), β i) →+ γ
f : ⨁ (i : ι), β i
\u22a2 ψ = toAddMonoid fun i => ψ.comp (of β i)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Basic.lean
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
γ : Type u₁
inst✝ : AddCommMonoid γ
φ : (i : ι) → β i →+ γ
ψ : (⨁ (i : ι), β i) →+ γ
f : ⨁ (i : ι), β i
\u22a2 ∀ (x : ι), ψ.comp (DFinsupp.singleAddHom (fun i => β i) x) = (toAddMonoid fun i => ψ.comp (of β i)).comp (DFinsupp.singleAddHom (fun i => β i) x)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HomeomorphBall.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
\u22a2 ↑univUnitBall 0 = 0
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
f : α → α
s : Set α
h : MapsTo f s s
n : ℕ
\u22a2 (restrict f s s h)^[n] = restrict f^[n] s s ⋯
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
f : α → α
s : Set α
h : MapsTo f s s
n : ℕ
x : ↑s
\u22a2 (restrict f s s h)^[n] x = restrict f^[n] s s ⋯ x
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
f : α → α
s : Set α
h : MapsTo f s s
n : ℕ
x : ↑s
\u22a2 ↑((restrict f s s h)^[n] x) = f^[n] ↑x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
hxy : dist x y = 0
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x : (n : ℕ) → E n
hxy : dist x x = 0
\u22a2 x = x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
hxy : dist x y = 0
h : x ≠ y
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
hb : 0 ≤ b
\u22a2 a ^ 2 < b ^ 2 → a < b
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c : α
\u22a2 a ^ 2 < b ^ 2 ↔ |a| < |b|
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
\u22a2 card α ≤ 1 ↔ Subsingleton α
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
\u22a2 card α ≤ 1 ↔ #α ≤ 1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
\u22a2 card α ≤ 1 ↔ #α ≤ ↑1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
\u22a2 card α ≤ 1 ↔ toPartENat #α ≤ ↑1
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Variables.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
i : σ
\u22a2 i ∈ p.vars ↔ ∃ d ∈ p.support, i ∈ d.support
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
h : x ∈ s
H : hausdorffDist s t < r
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
\u22a2 ∃ y ∈ t, dist x y < r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
h : x ∈ s
H : hausdorffDist s t < r
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
r0 : 0 < r
\u22a2 ∃ y ∈ t, dist x y < r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
h : x ∈ s
H : hausdorffDist s t < r
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
r0 : 0 < r
this : hausdorffEdist s t < ENNReal.ofReal r
\u22a2 ∃ y ∈ t, dist x y < r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y✝ : α
Φ : α → β
r : ℝ
h : x ∈ s
H : hausdorffDist s t < r
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
r0 : 0 < r
this : hausdorffEdist s t < ENNReal.ofReal r
y : α
hy : y ∈ t
yr : edist x y < ENNReal.ofReal r
\u22a2 ∃ y ∈ t, dist x y < r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y✝ : α
Φ : α → β
r : ℝ
h : x ∈ s
H : hausdorffDist s t < r
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
r0 : 0 < r
this : hausdorffEdist s t < ENNReal.ofReal r
y : α
hy : y ∈ t
yr : dist x y < r
\u22a2 ∃ y ∈ t, dist x y < r
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
\u22a2 iteratedFDeriv 𝕜 n f = ⇑(ContinuousMultilinearMap.piFieldEquiv 𝕜 (Fin n) F) ∘ iteratedDeriv n f
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i✝ : ι
ht : (s.pi t).Nonempty
i : ι
\u22a2 t i ⊆ eval i '' s.pi t
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → R
g : Γ₀
hg : g ≠ 0
hf : ∀ i ∈ s, v (f i) < g
\u22a2 v (∑ i ∈ s, f i) < g
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → R
g : Γ₀
hg : g ≠ 0
hf✝ : ∀ i ∈ s✝, v (f i) < g
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, v (f i) < g) → v (∑ i ∈ s, f i) < g
hf : ∀ i ∈ insert a s, v (f i) < g
\u22a2 v (∑ i ∈ insert a s, f i) < g
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → R
g : Γ₀
hg : g ≠ 0
hf✝ : ∀ i ∈ s✝, v (f i) < g
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, v (f i) < g) → v (∑ i ∈ s, f i) < g
hf : v (f a) < g ∧ ∀ x ∈ s, v (f x) < g
\u22a2 v (∑ i ∈ insert a s, f i) < g
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → R
g : Γ₀
hg : g ≠ 0
hf✝ : ∀ i ∈ s✝, v (f i) < g
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, v (f i) < g) → v (∑ i ∈ s, f i) < g
hf : v (f a) < g ∧ ∀ x ∈ s, v (f x) < g
\u22a2 v (f a + ∑ x ∈ s, f x) < g