ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Equitabilise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
t✝ : Finset α
m n✝ : ℕ
m_pos : m > 0
s : Finset α
ih : ∀ t ⊂ s, ∀ {a b : ℕ} {P : Finpartition t}, a * m + b * (m + 1) = t.card → ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = s.card
hab : 0 < a ∨ 0 < b
n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1
hn : n = if 0 < a then m else m + 1
hn₀ : 0 < n
hn₁ : n ≤ m + 1
hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)
hn₃ : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = s.card - n
u : Finset α
hu₁ : u ∈ P.parts
hu₂ : m + 1 ≤ u.card
t : Finset α
htu : t ⊆ u
htn : t.card = n
ht : t.Nonempty
\u22a2 ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Equitabilise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
t✝ : Finset α
m n✝ : ℕ
m_pos : m > 0
s : Finset α
ih : ∀ t ⊂ s, ∀ {a b : ℕ} {P : Finpartition t}, a * m + b * (m + 1) = t.card → ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = s.card
hab : 0 < a ∨ 0 < b
n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1
hn : n = if 0 < a then m else m + 1
hn₀ : 0 < n
hn₁ : n ≤ m + 1
hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)
hn₃ : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = s.card - n
u : Finset α
hu₁ : u ∈ P.parts
hu₂ : m + 1 ≤ u.card
t : Finset α
htu : t ⊆ u
htn : t.card = n
ht : t.Nonempty
hcard : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = (s \ t).card
\u22a2 ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Equitabilise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
t✝ : Finset α
m n✝ : ℕ
m_pos : m > 0
s : Finset α
ih : ∀ t ⊂ s, ∀ {a b : ℕ} {P : Finpartition t}, a * m + b * (m + 1) = t.card → ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = s.card
hab : 0 < a ∨ 0 < b
n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1
hn : n = if 0 < a then m else m + 1
hn₀ : 0 < n
hn₁ : n ≤ m + 1
hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)
hn₃ : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = s.card - n
u : Finset α
hu₁ : u ∈ P.parts
hu₂ : m + 1 ≤ u.card
t : Finset α
htu : t ⊆ u
htn : t.card = n
ht : t.Nonempty
hcard : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = (s \ t).card
R : Finpartition (s \ t)
hR₁ : ∀ x ∈ R.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1
hR₂ : ∀ x ∈ (P.avoid t).parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) R.parts).biUnion id).card ≤ m
hR₃ : (filter (fun i => i.card = m + 1) R.parts).card = if 0 < a then b else b - 1
\u22a2 ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Equitabilise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
t✝ : Finset α
m n✝ : ℕ
m_pos : m > 0
s : Finset α
ih : ∀ t ⊂ s, ∀ {a b : ℕ} {P : Finpartition t}, a * m + b * (m + 1) = t.card → ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = s.card
hab : 0 < a ∨ 0 < b
n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1
hn : n = if 0 < a then m else m + 1
hn₀ : 0 < n
hn₁ : n ≤ m + 1
hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)
hn₃ : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = s.card - n
u : Finset α
hu₁ : u ∈ P.parts
hu₂ : m + 1 ≤ u.card
t : Finset α
htu : t ⊆ u
htn : t.card = n
ht : t.Nonempty
hcard : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = (s \ t).card
R : Finpartition (s \ t)
hR₁ : ∀ x ∈ R.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1
hR₂ : ∀ x ∈ (P.avoid t).parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) R.parts).biUnion id).card ≤ m
hR₃ : (filter (fun i => i.card = m + 1) R.parts).card = if 0 < a then b else b - 1
\u22a2 ∀ x ∈ (R.extend ⋯ ⋯ ⋯).parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Equitabilise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
t✝ : Finset α
m n✝ : ℕ
m_pos : m > 0
s : Finset α
ih : ∀ t ⊂ s, ∀ {a b : ℕ} {P : Finpartition t}, a * m + b * (m + 1) = t.card → ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = s.card
hab : 0 < a ∨ 0 < b
n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1
hn : n = if 0 < a then m else m + 1
hn₀ : 0 < n
hn₁ : n ≤ m + 1
hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)
hn₃ : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = s.card - n
u : Finset α
hu₁ : u ∈ P.parts
hu₂ : m + 1 ≤ u.card
t : Finset α
htu : t ⊆ u
htn : t.card = n
ht : t.Nonempty
hcard : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = (s \ t).card
R : Finpartition (s \ t)
hR₁ : ∀ x ∈ R.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1
hR₂ : ∀ x ∈ (P.avoid t).parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) R.parts).biUnion id).card ≤ m
hR₃ : (filter (fun i => i.card = m + 1) R.parts).card = if 0 < a then b else b - 1
\u22a2 ∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) (R.extend ⋯ ⋯ ⋯).parts).biUnion id).card ≤ m
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Equitabilise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
t✝ : Finset α
m n✝ : ℕ
m_pos : m > 0
s : Finset α
ih : ∀ t ⊂ s, ∀ {a b : ℕ} {P : Finpartition t}, a * m + b * (m + 1) = t.card → ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = s.card
hab : 0 < a ∨ 0 < b
n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1
hn : n = if 0 < a then m else m + 1
hn₀ : 0 < n
hn₁ : n ≤ m + 1
hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)
hn₃ : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = s.card - n
u : Finset α
hu₁ : u ∈ P.parts
hu₂ : m + 1 ≤ u.card
t : Finset α
htu : t ⊆ u
htn : t.card = n
ht : t.Nonempty
hcard : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = (s \ t).card
R : Finpartition (s \ t)
hR₁ : ∀ x ∈ R.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1
hR₂ : ∀ x ∈ (P.avoid t).parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) R.parts).biUnion id).card ≤ m
hR₃ : (filter (fun i => i.card = m + 1) R.parts).card = if 0 < a then b else b - 1
\u22a2 (filter (fun i => i.card = m + 1) (R.extend ⋯ ⋯ ⋯).parts).card = b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Equitabilise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
t✝ : Finset α
m n✝ : ℕ
m_pos : m > 0
s : Finset α
ih : ∀ t ⊂ s, ∀ {a b : ℕ} {P : Finpartition t}, a * m + b * (m + 1) = t.card → ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = s.card
hab : 0 < a ∨ 0 < b
n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1
hn : n = if 0 < a then m else m + 1
hn₀ : 0 < n
hn₁ : n ≤ m + 1
hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)
hn₃ : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = s.card - n
u : Finset α
hu₁ : u ∈ P.parts
hu₂ : m + 1 ≤ u.card
t : Finset α
htu : t ⊆ u
htn : t.card = n
ht : t.Nonempty
hcard : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = (s \ t).card
R : Finpartition (s \ t)
hR₁ : ∀ x ∈ R.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1
hR₂ : ∀ x ∈ (P.avoid t).parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) R.parts).biUnion id).card ≤ m
hR₃ : (filter (fun i => i.card = m + 1) R.parts).card = if 0 < a then b else b - 1
\u22a2 (if ¬0 < a then insert t (filter (fun i => i.card = m + 1) R.parts) else filter (fun i => i.card = m + 1) R.parts).card = b
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
K V : Set G
hK : IsCompact K
hV : (interior V).Nonempty
t : Finset G
ht : K ⊆ ⋃ x ∈ t, interior ((fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' V)
\u22a2 ∃ t, K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun x => g * x) ⁻¹' V
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
hf : ∀ (i' : ι), i' ≠ i → i' ∈ m → f i' = 1
\u22a2 (map f m).prod = f i ^ count i m
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
l : List ι
hf : ∀ (i' : ι), i' ≠ i → i' ∈ ⟦l⟧ → f i' = 1
\u22a2 (map f ⟦l⟧).prod = f i ^ count i ⟦l⟧
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R✝ : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
R : WSeq α → WSeq β → Prop
h1 : R s t
h2 : ∀ {s : WSeq α} {t : WSeq β}, R s t → Computation.LiftRel (LiftRelO R✝ R) s.destruct t.destruct
\u22a2 Computation.LiftRel (LiftRelO R✝ (LiftRel R✝)) s.destruct t.destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R✝ : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
R : WSeq α → WSeq β → Prop
h1 : R s t
h2 : ∀ {s : WSeq α} {t : WSeq β}, R s t → Computation.LiftRel (LiftRelO R✝ R) s.destruct t.destruct
\u22a2 ∀ {a : Option (α × WSeq α)} {b : Option (β × WSeq β)}, LiftRelO R✝ R a b → LiftRelO R✝ (LiftRel R✝) a b
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R✝ : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
R : WSeq α → WSeq β → Prop
h1 : R s t
h2 : ∀ {s : WSeq α} {t : WSeq β}, R s t → Computation.LiftRel (LiftRelO R✝ R) s.destruct t.destruct
\u22a2 ∀ (s : WSeq α) (t : WSeq β), R s t → LiftRel R✝ s t
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
d : Nat
n : Int
a : Nat
d0 : d ≠ 0
a0 : a ≠ 0
\u22a2 normalize (n * ↑a) (d * a) ⋯ = normalize n d d0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
d : Nat
n : Int
a : Nat
d0 : d ≠ 0
a0 : a ≠ 0
\u22a2 normalize (n * ↑a) (d * a) ⋯ = normalize (↑a * n) (a * d) ⋯
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ i₁' : I₁
h : c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
h' : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁', i₂) ≠ i₁₂
\u22a2 K.d₁ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ i₁' : I₁
h : c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
h' : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁', i₂) ≠ i₁₂
\u22a2 c₁.π c₂ c₁₂ (i₁', i₂) ≠ i₁₂
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M
\u22a2 lift.{max u w, w} #↥((closure L).toFun s) ≤ #(L.Term ↑s)
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M
\u22a2 lift.{max u w, w} #↑(range (Term.realize Subtype.val)) ≤ #(L.Term ↑s)
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M
\u22a2 lift.{max u w, w} #↑(range (Term.realize Subtype.val)) ≤ lift.{w, max u w} #(L.Term ↑s)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/HomologicalFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.82138, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
\u22a2 (ShortComplex.mk ((F.shift n₀).map T.mor₂) (F.homologySequenceδ T n₀ n₁ h) ⋯).Exact
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/HomologicalFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.82138, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
\u22a2 ShortComplex.mk ((F.shift n₀).map T.rotate.mor₁) ((F.shift n₀).map T.rotate.mor₂) ⋯ ≅ ShortComplex.mk ((F.shift n₀).map T.mor₂) (F.homologySequenceδ T n₀ n₁ h) ⋯
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
ι : Type v
f : ι → Cardinal.{w}
t : Cardinal.{max u w}
hf : BddAbove (range f)
w : ∀ (i : ι), lift.{u, w} (f i) ≤ t
\u22a2 lift.{u, w} (iSup f) ≤ t
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
ι : Type v
f : ι → Cardinal.{w}
t : Cardinal.{max u w}
hf : BddAbove (range f)
w : ∀ (i : ι), lift.{u, w} (f i) ≤ t
\u22a2 ⨆ i, lift.{u, w} (f i) ≤ t
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝¹ : Preorder E
inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Supermartingale f ℱ μ
\u22a2 Submartingale (-f) ℱ μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝¹ : Preorder E
inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Supermartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
\u22a2 (-f) i ≤ᶠ[ae μ] μ[(-f) j|↑ℱ i]
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝¹ : Preorder E
inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Supermartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
\u22a2 (-f) i ≤ᶠ[ae μ] -μ[f j|↑ℱ i]
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝¹ : Preorder E
inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Supermartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
a✝¹ : Ω
a✝ : (μ[f j|↑ℱ i]) a✝¹ ≤ f i a✝¹
\u22a2 (-f) i a✝¹ ≤ (-μ[f j|↑ℱ i]) a✝¹
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
hab : a < b
hω : upcrossings a b f ω ≠ ⊤
\u22a2 ¬((∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ω < a) ∧ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, b < f n ω)
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
hab : a < b
hω : ∃ k, ∀ (N : ℕ), upcrossingsBefore a b f N ω ≤ k
\u22a2 ¬((∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ω < a) ∧ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, b < f n ω)
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
hab : a < b
hω : ∃ k, ∀ (N : ℕ), upcrossingsBefore a b f N ω < k
\u22a2 ¬((∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ω < a) ∧ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, b < f n ω)
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
hab : a < b
hω : ∃ k, ∀ (N : ℕ), upcrossingsBefore a b f N ω < k
h₁ : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ω < a
h₂ : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, b < f n ω
\u22a2 False
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
hab : a < b
hω : ∃ k, ∀ (N : ℕ), upcrossingsBefore a b f N ω < k
h₁ : ∀ (a_1 : ℕ), ∃ b ≥ a_1, f b ω < a
h₂ : ∀ (a : ℕ), ∃ b_1 ≥ a, b < f b_1 ω
\u22a2 False
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
hab : a < b
hω : ∃ k, ∀ (N : ℕ), upcrossingsBefore a b f N ω < k
h₁ : ∀ (a_1 : ℕ), ∃ b ≥ a_1, f b ω < a
h₂ : ∀ (a : ℕ), ∃ b_1 ≥ a, b < f b_1 ω
\u22a2 ¬∃ k, ∀ (N : ℕ), upcrossingsBefore a b f N ω < k
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Monoidal.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝ : Closed A
\u22a2 uncurry (𝟙 ((ihom A).obj X)) = (ihom.ev A).app X
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
\u22a2 ↑⁅I, N⁆ = Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
\u22a2 ↑⁅I, N⁆ ≤ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
\u22a2 Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ≤ ↑⁅I, N⁆
-- Mathlib/Tactic/Positivity/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrder R
a b c : R
ha : a ≠ c
hb : b ≠ c
\u22a2 max a b ≠ c
-- Mathlib/Tactic/Positivity/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrder R
a b c : R
ha : a ≠ c
hb : b ≠ c
\u22a2 (if a ≤ b then b else a) ≠ c
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
\u22a2 (haarProduct ↑K₀ ∩ ⋂ V, clPrehaar (↑K₀) V).Nonempty
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
this : IsCompact (haarProduct ↑K₀)
\u22a2 (haarProduct ↑K₀ ∩ ⋂ V, clPrehaar (↑K₀) V).Nonempty
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
this : IsCompact (haarProduct ↑K₀)
t : Finset (OpenNhdsOf 1)
\u22a2 (haarProduct ↑K₀ ∩ ⋂ i ∈ t, clPrehaar (↑K₀) i).Nonempty
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
this : IsCompact (haarProduct ↑K₀)
t : Finset (OpenNhdsOf 1)
V₀ : Set G := ⋂ V ∈ t, V.carrier
\u22a2 (haarProduct ↑K₀ ∩ ⋂ i ∈ t, clPrehaar (↑K₀) i).Nonempty
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
this : IsCompact (haarProduct ↑K₀)
t : Finset (OpenNhdsOf 1)
V₀ : Set G := ⋂ V ∈ t, V.carrier
h1V₀ : IsOpen V₀
\u22a2 (haarProduct ↑K₀ ∩ ⋂ i ∈ t, clPrehaar (↑K₀) i).Nonempty
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
this : IsCompact (haarProduct ↑K₀)
t : Finset (OpenNhdsOf 1)
V₀ : Set G := ⋂ V ∈ t, V.carrier
h1V₀ : IsOpen V₀
h2V₀ : 1 ∈ V₀
\u22a2 (haarProduct ↑K₀ ∩ ⋂ i ∈ t, clPrehaar (↑K₀) i).Nonempty
-- Mathlib/NumberTheory/WellApproximable.lean
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedGroup A
n : ℕ
δ : ℝ
a : A
\u22a2 a ∈ approxOrderOf A n δ ↔ ∃ b, orderOf b = n ∧ a ∈ ball b δ
-- Mathlib/RingTheory/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : StableUnderBaseChange P
hP' : RespectsIso P
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : R ⟶ T
H : P g
this✝ : Algebra ↑R ↑S := toAlgebra f
this : Algebra ↑R ↑T := toAlgebra g
\u22a2 P (pushout.inl f g)
-- Mathlib/RingTheory/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : StableUnderBaseChange P
hP' : RespectsIso P
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : R ⟶ T
H : P g
this✝ : Algebra ↑R ↑S := toAlgebra f
this : Algebra ↑R ↑T := toAlgebra g
\u22a2 P ({ cocone := CommRingCat.pushoutCocone ↑R ↑S ↑T, isColimit := CommRingCat.pushoutCoconeIsColimit ↑R ↑S ↑T }.cocone.ι.app WalkingSpan.left)
-- Mathlib/RingTheory/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : StableUnderBaseChange P
hP' : RespectsIso P
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : R ⟶ T
H : P g
this✝ : Algebra ↑R ↑S := toAlgebra f
this : Algebra ↑R ↑T := toAlgebra g
\u22a2 P Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R✝ R : Presieve X
\u22a2 IsSheafFor P R ↔ IsSheafFor P (generate R).arrows
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R✝ R : Presieve X
\u22a2 (IsSeparatedFor P R ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) ↔ IsSheafFor P (generate R).arrows
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R✝ R : Presieve X
\u22a2 (IsSeparatedFor P R ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) ↔ IsSeparatedFor P (generate R).arrows ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P (generate R).arrows), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t