ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
_wf : (p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree < p.degree
ih : ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux hq).2 = p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree)) - q * ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))) /ₘ q)
\u22a2 (p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree)) - q * if hq : q.Monic then ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux hq).1 else 0) = p - q * if h : q.Monic then (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).1 else 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : ¬(q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0)
\u22a2 (if h : q.Monic then (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).2 else p) = p - q * if h : q.Monic then (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).1 else 0
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime (z * y + x) y
\u22a2 IsCoprime x y
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s : Sym α n
a b : α
\u22a2 s = replicate n a ↔ ∀ b ∈ s, b = a
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s : Sym α n
a b : α
\u22a2 (Multiset.card ↑s = n ∧ ∀ b ∈ ↑s, b = a) ↔ ∀ b ∈ s, b = a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
α : Type u
\u22a2 Small.{v, u} α ↔ lift.{v + 1, u} #α < univ.{v, max u (v + 1)}
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
α : Type u
\u22a2 Small.{v, u} α ↔ ∃ c', lift.{v + 1, u} #α = lift.{max u (v + 1), v} c'
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Rename.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
g : σ → τ
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 (map f) ((rename g) p) = (rename g) ((map f) p)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ
\u22a2 sinh (x + y) = sinh x * cosh y + cosh x * sinh y
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ
\u22a2 ↑(sinh (x + y)) = ↑(sinh x * cosh y + cosh x * sinh y)
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hc : AddLECancellable c
h : c ≤ b
\u22a2 a < b - c ↔ a + c < b
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hc : AddLECancellable c
h : c ≤ b
h' : a < b - c
\u22a2 a + c ≠ b
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a c d : α
hc : AddLECancellable c
h : c ≤ a + c
h' : a < a + c - c
\u22a2 False
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
\u22a2 ∃ C, 0 ≤ C ∧ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) ≤ C
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C✝ C : ℝ
hC : ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ range ⇑f ∪ range ⇑g → ∀ ⦃y : β⦄, y ∈ range ⇑f ∪ range ⇑g → dist x y ≤ C
\u22a2 ∃ C, 0 ≤ C ∧ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) ≤ C
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : Nonempty α
r : α → β → Prop
\u22a2 (∃ b, ∀ᶠ (a : α) in atBot, r a b) ↔ ∀ᶠ (a₀ : α) in atBot, ∃ b, ∀ a ≤ a₀, r a b
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : Nonempty α
r : α → β → Prop
\u22a2 (∃ x y, ∀ b ≤ x, r b y) ↔ ∃ a, ∀ b ≤ a, ∃ b_1, ∀ a ≤ b, r a b_1
-- Mathlib/Data/Sum/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
\u22a2 Ioc (inrₗ b₁) (inrₗ b₂) = map (Embedding.inr.trans toLex.toEmbedding) (Ioc b₁ b₂)
-- Mathlib/Data/Sum/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
\u22a2 Ioc (inrₗ b₁) (inrₗ b₂) = map toLex.toEmbedding (map Embedding.inr (Ioc b₁ b₂))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p : ℝ
hp : 0 < p
x : ℝ
\u22a2 ‖↑x‖ = p * |p⁻¹ * x - ↑(round (p⁻¹ * x))|
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p : ℝ
hp : 0 < p
x : ℝ
\u22a2 ‖↑x‖ = |p| * |p⁻¹ * x - ↑(round (p⁻¹ * x))|
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hs : IsClosed s
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
\u22a2 ∃ ι f, f.IsSubordinate U
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hs : IsClosed s
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
this : LocallyCompactSpace H
\u22a2 ∃ ι f, f.IsSubordinate U
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hs : IsClosed s
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
\u22a2 ∃ ι f, f.IsSubordinate U
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hs : IsClosed s
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
hB : ∀ x ∈ s, (𝓝 x).HasBasis (fun f => tsupport ↑f ⊆ U x) fun f => support ↑f
\u22a2 ∃ ι f, f.IsSubordinate U
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι✝ : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι✝ I M s
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hs : IsClosed s
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
hB : ∀ x ∈ s, (𝓝 x).HasBasis (fun f => tsupport ↑f ⊆ U x) fun f => support ↑f
ι : Type uM
c : ι → M
f : (a : ι) → SmoothBumpFunction I (c a)
hf : ∀ (a : ι), c a ∈ s ∧ tsupport ↑(f a) ⊆ U (c a)
hsub' : s ⊆ ⋃ a, support ↑(f a)
hfin : LocallyFinite fun a => support ↑(f a)
\u22a2 ∃ ι f, f.IsSubordinate U
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι✝ : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι✝ I M s
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hs : IsClosed s
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
hB : ∀ x ∈ s, (𝓝 x).HasBasis (fun f => tsupport ↑f ⊆ U x) fun f => support ↑f
ι : Type uM
c : ι → M
f : (a : ι) → SmoothBumpFunction I (c a)
hsub' : s ⊆ ⋃ a, support ↑(f a)
hfin : LocallyFinite fun a => support ↑(f a)
hcs : ∀ (a : ι), c a ∈ s
hfU : ∀ (a : ι), tsupport ↑(f a) ⊆ U (c a)
\u22a2 ∃ ι f, f.IsSubordinate U
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι✝ : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι✝ I M s
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hs : IsClosed s
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
hB : ∀ x ∈ s, (𝓝 x).HasBasis (fun f => tsupport ↑f ⊆ U x) fun f => support ↑f
ι : Type uM
c : ι → M
f : (a : ι) → SmoothBumpFunction I (c a)
hsub' : s ⊆ ⋃ a, support ↑(f a)
hfin : LocallyFinite fun a => support ↑(f a)
hcs : ∀ (a : ι), c a ∈ s
hfU : ∀ (a : ι), tsupport ↑(f a) ⊆ U (c a)
V : ι → Set M
hsV : s ⊆ iUnion V
hVc : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)
hVf : ∀ (i : ι), V i ⊆ support ↑(f i)
\u22a2 ∃ ι f, f.IsSubordinate U
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι✝ : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι✝ I M s
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hs : IsClosed s
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M
hB : ∀ x ∈ s, (𝓝 x).HasBasis (fun f => tsupport ↑f ⊆ U x) fun f => support ↑f
ι : Type uM
c : ι → M
f : (a : ι) → SmoothBumpFunction I (c a)
hsub' : s ⊆ ⋃ a, support ↑(f a)
hfin : LocallyFinite fun a => support ↑(f a)
hcs : ∀ (a : ι), c a ∈ s
hfU : ∀ (a : ι), tsupport ↑(f a) ⊆ U (c a)
V : ι → Set M
hsV : s ⊆ iUnion V
hVc : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)
hVf : ∀ (i : ι), V i ⊆ support ↑(f i)
r : ι → ℝ
hrR : ∀ (i : ι), r i ∈ Ioo 0 (f i).rOut
hr : ∀ (i : ι), V i ⊆ (chartAt H (c i)).source ∩ ↑(extChartAt I (c i)) ⁻¹' Metric.ball (↑(extChartAt I (c i)) (c i)) (r i)
\u22a2 ∃ ι f, f.IsSubordinate U
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
t : Set α
hf : IntegrableOn f t μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ (s ∩ t) < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ
\u22a2 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict t)] f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
t : Set α
hf : IntegrableOn f t μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ (s ∩ t) < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h's : (μ.restrict t) s < ⊤
\u22a2 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ.restrict t
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
t : Set α
hf : IntegrableOn f t μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ (s ∩ t) < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h's : (μ.restrict t) s < ⊤
\u22a2 0 ≤ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
t : Set α
hf : IntegrableOn f t μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ (s ∩ t) < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h's : (μ.restrict t) s < ⊤
\u22a2 μ (s ∩ t) < ⊤
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t u : Multiset α
\u22a2 s.Disjoint (t + u) ↔ s.Disjoint t ∧ s.Disjoint u
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t u : Multiset α
\u22a2 t.Disjoint s ∧ u.Disjoint s ↔ s.Disjoint t ∧ s.Disjoint u
-- Mathlib/Tactic/CancelDenoms/Core.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a b ad bd a' b' gcd : α
ha : ad * a = a'
hb : bd * b = b'
had : 0 < ad
hbd : 0 < bd
hgcd : 0 < gcd
\u22a2 (a < b) = (1 / gcd * (bd * a') < 1 / gcd * (ad * b'))
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
S : L[[α]].Theory
\u22a2 {p | S ⊆ ↑p} = Set.univ ↔ ∀ φ ∈ S, (L.lhomWithConstants α).onTheory T ⊨ᵇ φ
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
S : L[[α]].Theory
h : {p | S ⊆ ↑p} = ⋂₀ ((fun φ => {p | φ ∈ p}) '' S)
\u22a2 {p | S ⊆ ↑p} = Set.univ ↔ ∀ φ ∈ S, (L.lhomWithConstants α).onTheory T ⊨ᵇ φ
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
S : L[[α]].Theory
h : {p | S ⊆ ↑p} = ⋂₀ ((fun φ => {p | φ ∈ p}) '' S)
\u22a2 (∀ s ∈ (fun φ => {p | φ ∈ p}) '' S, s = Set.univ) ↔ ∀ φ ∈ S, {p | φ ∈ p} = Set.univ
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
h : UniformContinuousOn f s
\u22a2 ContinuousOn f s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
h : UniformContinuous (s.restrict f)
\u22a2 ContinuousOn f s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
h : UniformContinuous (s.restrict f)
\u22a2 Continuous (s.restrict f)
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
h0 : 0 < k
\u22a2 ζ ∈ primitiveRoots k R ↔ IsPrimitiveRoot ζ k
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
h0 : 0 < k
\u22a2 IsPrimitiveRoot ζ k → ζ ^ k = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/SymplecticGroup.lean
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A✝ A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : A ∈ symplecticGroup l R
\u22a2 -J l R * Aᵀ * J l R * A = 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
PG₁ PG₂ : Pregroupoid H
h : ∀ (f : H → H) (s : Set H), PG₁.property f s → PG₂.property f s
\u22a2 PG₁.groupoid ≤ PG₂.groupoid
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
PG₁ PG₂ : Pregroupoid H
h : ∀ (f : H → H) (s : Set H), PG₁.property f s → PG₂.property f s
e : PartialHomeomorph H H
he : e ∈ PG₁.groupoid
\u22a2 e ∈ PG₂.groupoid
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
PG₁ PG₂ : Pregroupoid H
h : ∀ (f : H → H) (s : Set H), PG₁.property f s → PG₂.property f s
e : PartialHomeomorph H H
he : PG₁.property (↑e) e.source ∧ PG₁.property (↑e.symm) e.target
\u22a2 PG₂.property (↑e) e.source ∧ PG₂.property (↑e.symm) e.target
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
\u22a2 o.oangle x y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑π ↔ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
\u22a2 SameRay ℝ x y ∨ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-y) ↔ x = 0 ∨ ∃ r, y = r • x
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
n : ℕ
h : ↑n ≠ 0
\u22a2 0 ^ ↑n = 0
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
n : ℕ
h : ↑n ≠ 0
\u22a2 n ≠ 0
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b a : α
s : Set α
\u22a2 upperBounds (insert a s) = Ici a ∩ upperBounds s
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
hsp : ⊤ ≤ (span 𝕜 (Set.range v)).topologicalClosure
\u22a2 (fun i => (HilbertBasis.mk hv hsp).repr.symm (lp.single 2 i 1)) = v
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l l' : List α
h✝ : l <+~ l'
xs : List α
hp : xs ~ l
h : xs <+ l'
\u22a2 List.filter p l <+~ List.filter p l'
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → α
a : α
\u22a2 iterate f a = a :: iterate f (f a)
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → α
a : α
\u22a2 (iterate f a).head :: (iterate f a).tail = a :: iterate f (f a)
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → α
a : α
\u22a2 (iterate f a).head :: iterate f (f a) = a :: iterate f (f a)
-- Mathlib/GroupTheory/DoubleCoset.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
s t : Set α
a b : α
\u22a2 b ∈ doset a s t ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ t, b = x * a * y
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a✝ : α
b : β
s✝¹ : Multiset α
t✝ : Multiset β
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
IH : ∀ (t u : Multiset β), s ×ˢ (t + u) = s ×ˢ t + s ×ˢ u
t u : Multiset β
\u22a2 (a ::ₘ s) ×ˢ (t + u) = (a ::ₘ s) ×ˢ t + (a ::ₘ s) ×ˢ u
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a✝ : α
b : β
s✝¹ : Multiset α
t✝ : Multiset β
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
IH : ∀ (t u : Multiset β), s ×ˢ (t + u) = s ×ˢ t + s ×ˢ u
t u : Multiset β
\u22a2 map (Prod.mk a) (t + u) + (s ×ˢ t + s ×ˢ u) = (a ::ₘ s) ×ˢ t + (a ::ₘ s) ×ˢ u
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d✝ d : ℤ
hd : d ≤ 0
z : ℤ√d
\u22a2 z.norm = 1 ↔ IsUnit z
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝³ : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ⟶ W
inst✝ : IsIso f
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
\u22a2 (g ⊗ f) ≫ (h ⊗ inv f) = (g ⊗ 𝟙 V) ≫ (h ⊗ 𝟙 V)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝³ : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ⟶ W
inst✝ : IsIso f
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
\u22a2 g ≫ h ⊗ 𝟙 V = (g ⊗ 𝟙 V) ≫ (h ⊗ 𝟙 V)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialCategory/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : SimplicialCategory C
K K' K'' : C
f : K ⟶ K'
f' : K' ⟶ K''
L : C
\u22a2 (λ_ (sHom K'' L)).inv ≫ (homEquiv K K'') (f ≫ f') ▷ sHom K'' L ≫ sHomComp K K'' L = ((λ_ (sHom K'' L)).inv ≫ (homEquiv K' K'') f' ▷ sHom K'' L ≫ sHomComp K' K'' L) ≫ (λ_ (sHom K' L)).inv ≫ (homEquiv K K') f ▷ sHom K' L ≫ sHomComp K K' L
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialCategory/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : SimplicialCategory C
K K' K'' : C
f : K ⟶ K'
f' : K' ⟶ K''
L : C
\u22a2 (λ_ (sHom K'' L)).inv ≫ (λ_ (𝟙_ SSet ⊗ sHom K'' L)).inv ≫ (α_ (𝟙_ SSet) (𝟙_ SSet) (sHom K'' L)).inv ≫ ((homEquiv K K') f ⊗ (homEquiv K' K'') f') ▷ sHom K'' L ≫ (α_ (EnrichedCategory.Hom K K') (EnrichedCategory.Hom K' K'') (EnrichedCategory.Hom K'' L)).hom ≫ EnrichedCategory.Hom K K' ◁ eComp SSet K' K'' L ≫ eComp SSet K K' L = (λ_ (sHom K'' L)).inv ≫ (homEquiv K' K'') f' ▷ sHom K'' L ≫ sHomComp K' K'' L ≫ (λ_ (sHom K' L)).inv ≫ (homEquiv K K') f ▷ sHom K' L ≫ sHomComp K K' L
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x y : ZFSet
H : {x} = {y}
this : ⋃₀ {x} = ⋃₀ {y} := congr_arg sUnion H
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Order/Interval/Set/SurjOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : a ≤ b
p : β
hp : p ∈ Icc (f a) (f b)
\u22a2 p ∈ f '' Icc a b
-- Mathlib/Order/Interval/Set/SurjOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : a ≤ b
hp : f a ∈ Icc (f a) (f b)
\u22a2 f a ∈ f '' Icc a b
-- Mathlib/Order/Interval/Set/SurjOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : a ≤ b
hp : f b ∈ Icc (f a) (f b)
\u22a2 f b ∈ f '' Icc a b
-- Mathlib/Order/Interval/Set/SurjOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α
hab : a ≤ b
p : β
hp : p ∈ Icc (f a) (f b)
hp' : p ∈ Ioo (f a) (f b)
\u22a2 p ∈ f '' Icc a b