ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
\u22a2 IsInitSeg 𝒜 r ∧ 𝒜.Nonempty ↔ ∃ s, s.card = r ∧ 𝒜 = initSeg s
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α
\u22a2 (∃ s, s.card = r ∧ 𝒜 = initSeg s) → IsInitSeg 𝒜 r ∧ 𝒜.Nonempty
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s✝ t u : Finset α
a b : α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
\u22a2 IsInitSeg (initSeg s) s.card ∧ (initSeg s).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set (X × Y)
hs : IsClosed s
\u22a2 IsClosed (Prod.swap '' s)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set (X × Y)
hs : IsClosed s
\u22a2 IsClosed (Prod.swap ⁻¹' s)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
S : Set Ordinal.{u}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
s : Ordinal.{u}
hs : s ∈ S
\u22a2 enumOrd S (sSup {a | enumOrd S a ≤ s}) = s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
S : Set Ordinal.{u}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
s : Ordinal.{u}
hs : s ∈ S
\u22a2 enumOrd S (sSup {a | enumOrd S a ≤ s}) ≤ s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
S : Set Ordinal.{u}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
s : Ordinal.{u}
hs : s ∈ S
\u22a2 s ≤ enumOrd S (sSup {a | enumOrd S a ≤ s})
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
\u22a2 Gamma 1 = 1
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
P : α → Prop
size✝ : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
\u22a2 Any P (node size✝ l x r) ↔ ∃ x_1, Any (Eq x_1) (node size✝ l x r) ∧ P x_1
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
\u22a2 HasDerivAt Gamma (-γ) 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α ≃ᵐ δ
g : δ → β
\u22a2 Integrable g (Measure.map (⇑f) μ) ↔ Integrable (g ∘ ⇑f) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α ≃ᵐ δ
g : δ → β
\u22a2 Memℒp g 1 (Measure.map (⇑f) μ) ↔ Memℒp (g ∘ ⇑f) 1 μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Condexp.lean
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → F
inst✝ : NormedAddCommGroup F
hm : m ≤ mΩ
hf : Integrable f μ
\u22a2 Integrable (fun x => f x.2) (Measure.map (fun ω => (id ω, id ω)) μ)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Condexp.lean
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → F
inst✝ : NormedAddCommGroup F
hm : m ≤ mΩ
hf : Integrable (fun x => f x.2) (Measure.map (fun ω => (id ω, ω)) μ)
\u22a2 Integrable (fun x => f x.2) (Measure.map (fun ω => (id ω, id ω)) μ)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
a : α
h : _root_.Disjoint s {a}
\u22a2 s.disjUnion {a} h = cons a s ⋯
-- Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean
m n : ℤ
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : ↑p ∣ m * n
\u22a2 ↑p ∣ m ∨ ↑p ∣ n
-- Mathlib/Data/Int/CardIntervalMod.lean
a b r : ℤ
hr : 0 < r
v : ℤ
\u22a2 ↑(filter (fun x => x ≡ v [ZMOD r]) (Ico a b)).card = max (⌈(↑b - ↑v) / ↑r⌉ - ⌈(↑a - ↑v) / ↑r⌉) 0
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
x✝ : G
\u22a2 x✝ ∈ upperCentralSeriesStep H ↔ x✝ ∈ comap (mk' H) (center (G ⧸ H))
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
x✝ : G
\u22a2 x✝ ∈ upperCentralSeriesStep H ↔ ∀ (x : G), ↑x * (mk' H) x✝ = (mk' H) x✝ * ↑x
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
x✝ : G
\u22a2 ∀ (a : G), x✝ * a * x✝⁻¹ * a⁻¹ ∈ H ↔ ↑a * (mk' H) x✝ = (mk' H) x✝ * ↑a
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
x✝ y : G
\u22a2 x✝ * y * x✝⁻¹ * y⁻¹ ∈ H ↔ ↑y * (mk' H) x✝ = (mk' H) x✝ * ↑y
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
f : Char → Bool
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
w✝² w✝¹ w✝ : List Char
h : ValidFor w✝² w✝¹ w✝ x✝
\u22a2 x✝.all f = x✝.toString.data.all f
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
\u22a2 ∑ k ∈ antidiagonal n, ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli' k.1 = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
\u22a2 ∑ k ∈ range n.succ, ↑(((k, n - k).1 + (k, n - k).2).choose (k, n - k).2) / (↑(k, n - k).2 + 1) * bernoulli' (k, n - k).1 = ∑ k ∈ range n.succ, ↑(n.choose (n - k)) / (↑n - ↑k + 1) * bernoulli' k
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n x : ℕ
hx : x ∈ range n.succ
\u22a2 ↑(((x, n - x).1 + (x, n - x).2).choose (x, n - x).2) / (↑(x, n - x).2 + 1) * bernoulli' (x, n - x).1 = ↑(n.choose (n - x)) / (↑n - ↑x + 1) * bernoulli' x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Normed.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
\u22a2 ∫ (x : E), ↑f x ∂μ ≤ (μ (closedBall c f.rOut)).toReal
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
\u22a2 s.bind pure = s
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
\u22a2 IsBisimulation fun c₁ c₂ => c₁ = c₂ ∨ ∃ s, c₁ = s.bind pure ∧ c₂ = s
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
\u22a2 s.bind pure = s ∨ ∃ s_1, s.bind pure = s_1.bind pure ∧ s = s_1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
t : Finset α
ht : t ∈ 𝒜
ha : a ∉ t
hu : insert a t ∈ 𝒜
\u22a2 collapse 𝒜 a f t = f t + f (insert a t)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S✝ R✝ : Sieve X
S : Presieve X
R : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → S f → Sieve Y
f : Y ⟶ X
h : S f
\u22a2 R h ≤ pullback f (bind S R)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S✝ R✝ : Sieve X
S : Presieve X
R : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → S f → Sieve Y
f : Y ⟶ X
h : S f
\u22a2 pushforward f (R h) ≤ bind S R
-- Mathlib/Deprecated/Submonoid.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
s✝ : Set M
A : Type u_2
inst✝ : AddMonoid A
t : Set A
s : Set M
a : M
h : a ∈ Closure s
\u22a2 ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s) ∧ l.prod = a
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/RCLike.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ sphere 0 r, ‖f z‖ ≤ c
z : E
z_zero : ¬z = 0
z₁ : E := (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
hz₁ : z₁ = (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
\u22a2 ‖f z‖ ≤ c / r * ‖z‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/RCLike.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ sphere 0 r, ‖f z‖ ≤ c
z : E
z_zero : ¬z = 0
z₁ : E := (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
hz₁ : z₁ = (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
norm_f_z₁ : ‖f z₁‖ ≤ c
\u22a2 ‖f z‖ ≤ c / r * ‖z‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/RCLike.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ sphere 0 r, ‖f z‖ ≤ c
z : E
z_zero : ¬z = 0
z₁ : E := (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
hz₁ : z₁ = (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
norm_f_z₁ : ‖f z₁‖ ≤ c
r_ne_zero : ↑r ≠ 0
\u22a2 ‖f z‖ ≤ c / r * ‖z‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/RCLike.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ sphere 0 r, ‖f z‖ ≤ c
z : E
z_zero : ¬z = 0
z₁ : E := (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
hz₁ : z₁ = (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
norm_f_z₁ : ‖f z₁‖ ≤ c
r_ne_zero : ↑r ≠ 0
eq : f z = ↑‖z‖ / ↑r * f z₁
\u22a2 ‖f z‖ ≤ c / r * ‖z‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/RCLike.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ sphere 0 r, ‖f z‖ ≤ c
z : E
z_zero : ¬z = 0
z₁ : E := (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
hz₁ : z₁ = (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
norm_f_z₁ : ‖f z₁‖ ≤ c
r_ne_zero : ↑r ≠ 0
eq : f z = ↑‖z‖ / ↑r * f z₁
\u22a2 ‖f z₁‖ * ‖z‖ / r ≤ c * ‖z‖ / r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/RCLike.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ sphere 0 r, ‖f z‖ ≤ c
z : E
z_zero : ¬z = 0
z₁ : E := (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
hz₁ : z₁ = (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
norm_f_z₁ : ‖f z₁‖ ≤ c
r_ne_zero : ↑r ≠ 0
eq : f z = ↑‖z‖ / ↑r * f z₁
\u22a2 0 ≤ c * ‖z‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/RCLike.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ sphere 0 r, ‖f z‖ ≤ c
z : E
z_zero : ¬z = 0
z₁ : E := (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
hz₁ : z₁ = (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
norm_f_z₁ : ‖f z₁‖ ≤ c
r_ne_zero : ↑r ≠ 0
eq : f z = ↑‖z‖ / ↑r * f z₁
\u22a2 ‖f z₁‖ * ‖z‖ ≤ c * ‖z‖
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g✝ g : Ω → ℝ
\u22a2 ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (μ[g|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 ((μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x))
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g✝ g : Ω → ℝ
ht : ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 ((μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x))
\u22a2 ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (μ[g|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 ((μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x))
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g✝ g : Ω → ℝ
ht : ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 ((μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x))
heq : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n]) x = (μ[g|↑ℱ n]) x
\u22a2 ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (μ[g|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 ((μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x))
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g✝ g : Ω → ℝ
ht : ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 ((μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x))
heq : ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ i]) a = (μ[g|↑ℱ i]) a
\u22a2 ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (μ[g|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 ((μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x))
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g✝ g : Ω → ℝ
ht : ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 ((μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x))
heq : ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ i]) a = (μ[g|↑ℱ i]) a
x : Ω
hxeq : ∀ (i : ℕ), (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ i]) x = (μ[g|↑ℱ i]) x
hxt : Tendsto (fun n => (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 ((μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x))
\u22a2 Tendsto (fun n => (μ[g|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 ((μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x))
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : Set β
\u22a2 (Prod.mk '' s).seq t = ((fun b a => (a, b)) '' t).seq s
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : Set β
\u22a2 ((fun x => Prod.swap ∘ x) ∘ Prod.mk '' t).seq s = ((fun b a => (a, b)) '' t).seq s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h₁ : 0 < a
h₂ : 0 < b
\u22a2 0 < a * b
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
hs : AnalyticSet s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
\u22a2 AnalyticSet (f '' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
hs : AnalyticSet s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
γ : Type
γtop : TopologicalSpace γ
γpolish : PolishSpace γ
g : γ → α
g_cont : Continuous g
gs : range g = s
\u22a2 AnalyticSet (f '' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
hs : AnalyticSet s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
γ : Type
γtop : TopologicalSpace γ
γpolish : PolishSpace γ
g : γ → α
g_cont : Continuous g
gs : range g = s
this : f '' s = range (f ∘ g)
\u22a2 AnalyticSet (f '' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
hs : AnalyticSet s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
γ : Type
γtop : TopologicalSpace γ
γpolish : PolishSpace γ
g : γ → α
g_cont : Continuous g
gs : range g = s
this : f '' s = range (f ∘ g)
\u22a2 AnalyticSet (range (f ∘ g))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
hs : AnalyticSet s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
γ : Type
γtop : TopologicalSpace γ
γpolish : PolishSpace γ
g : γ → α
g_cont : Continuous g
gs : range g = s
this : f '' s = range (f ∘ g)
\u22a2 Continuous (f ∘ g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
hs : AnalyticSet s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
γ : Type
γtop : TopologicalSpace γ
γpolish : PolishSpace γ
g : γ → α
g_cont : Continuous g
gs : range g = s
this : f '' s = range (f ∘ g)
\u22a2 ∀ (x : γ), g x ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
hs : AnalyticSet s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
γ : Type
γtop : TopologicalSpace γ
γpolish : PolishSpace γ
g : γ → α
g_cont : Continuous g
gs : range g = s
this : f '' s = range (f ∘ g)
\u22a2 ∀ (x : γ), g x ∈ range g
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ f₃ : L.obj X ⟶ L.obj Y
\u22a2 add' W (add' W f₁ f₂) f₃ = add' W f₁ (add' W f₂ f₃)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ f₃ : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₃ X Y
h₁ : f₁ = α.fst.map L ⋯
h₂ : f₂ = α.snd.map L ⋯
h₃ : f₃ = α.thd.map L ⋯
\u22a2 add' W (add' W f₁ f₂) f₃ = add' W f₁ (add' W f₂ f₃)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ f₃ : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₃ X Y
h₁ : f₁ = α.fst.map L ⋯
h₂ : f₂ = α.snd.map L ⋯
h₃ : f₃ = α.thd.map L ⋯
\u22a2 (LeftFraction₂.mk (α.f + α.f') α.f'' α.s ⋯).add.map L ⋯ = (LeftFraction₂.mk α.f (α.f' + α.f'') α.s ⋯).add.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ f₃ : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₃ X Y
h₁ : f₁ = α.fst.map L ⋯
h₂ : f₂ = α.snd.map L ⋯
h₃ : f₃ = α.thd.map L ⋯
\u22a2 (LeftFraction.mk (α.f + α.f' + α.f'') α.s ⋯).map L ⋯ = (LeftFraction.mk (α.f + (α.f' + α.f'')) α.s ⋯).map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
\u22a2 IsSheafFor P ⊤.arrows
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
\u22a2 IsSheafFor P (generate (singleton (𝟙 X))).arrows
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
\u22a2 IsSheafFor P (singleton (𝟙 X))
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/RBMap/Alter.lean
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
cut : α → Ordering
f : α → α
t : RBSet α cmp
H : ∀ {x : α}, RBNode.find? cut t.val = some x → cmpEq cmp (f x) x
\u22a2 t.ModifyWF cut f
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/RBMap/Alter.lean
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
cut : α → Ordering
f : α → α
t : RBSet α cmp
H : ∀ {x : α}, RBNode.find? cut t.val = some x → cmpEq cmp (f x) x
\u22a2 OnRoot (fun x => cmpEq cmp (f x) x) (zoom cut t.val).fst
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/RBMap/Alter.lean
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
cut : α → Ordering
f : α → α
t : RBSet α cmp
\u22a2 (∀ {x : α}, RBNode.find? cut t.val = some x → cmpEq cmp (f x) x) → OnRoot (fun x => cmpEq cmp (f x) x) (zoom cut t.val).fst
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/RBMap/Alter.lean
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
cut : α → Ordering
f : α → α
t : RBSet α cmp
\u22a2 (∀ {x : α}, (zoom cut t.val).fst.root? = some x → cmpEq cmp (f x) x) → OnRoot (fun x => cmpEq cmp (f x) x) (zoom cut t.val).fst
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
a : α
z : Sym2 α
hd : ¬z.IsDiag
h : a ∈ z
\u22a2 Mem.other h ≠ a
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
a : α
z : Sym2 α
h : a ∈ z
hd : Mem.other h = a
\u22a2 z.IsDiag
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
a : α
z : Sym2 α
h : a ∈ z
hd : Mem.other h = a
h' : s(a, Mem.other h) = z
\u22a2 z.IsDiag
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
x : E
y : F
\u22a2 ⟪(adjoint A) y, x⟫_𝕜 = ⟪y, A x⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
x : E
y : F
this : CompleteSpace E
\u22a2 ⟪(adjoint A) y, x⟫_𝕜 = ⟪y, A x⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
x : E
y : F
this✝ : CompleteSpace E
this : CompleteSpace F
\u22a2 ⟪(adjoint A) y, x⟫_𝕜 = ⟪y, A x⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
A : E →ₗ[𝕜] F
x : E
y : F
this✝ : CompleteSpace E
this : CompleteSpace F
\u22a2 ⟪↑(ContinuousLinearMap.adjoint (toContinuousLinearMap ↑(toContinuousLinearMap A))) y, x⟫_𝕜 = ⟪y, ↑(toContinuousLinearMap A) x⟫_𝕜
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 μ.toENNRealVectorMeasure.ennrealToMeasure s = μ s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
\u22a2 (θ + ↑π).tan = θ.tan
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x✝ : ℝ
\u22a2 (↑x✝ + ↑π).tan = (↑x✝).tan
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x✝ : ℝ
\u22a2 Real.tan (x✝ + π) = Real.tan x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/RightDerived.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : InjectiveResolution X
Q : InjectiveResolution Y
φ : P.cocomplex ⟶ Q.cocomplex
comm : P.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ Q.ι.f 0
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
\u22a2 F.map f ≫ Q.toRightDerivedZero' F = P.toRightDerivedZero' F ≫ HomologicalComplex.cyclesMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map φ) 0
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
hab : a ≤ b
hb : b ≠ 0
hcd : c < d
hd : d ≠ 0
ha : a = 0
\u22a2 a * c < b * d
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
hab : a ≤ b
hb : b ≠ 0
hcd : c < d
hd : d ≠ 0
ha : a = 0
\u22a2 b * d ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
hab : a ≤ b
hb : b ≠ 0
hcd : c < d
hd : d ≠ 0
ha : ¬a = 0
hc : c = 0
\u22a2 a * c < b * d
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
hab : a ≤ b
hb : b ≠ 0
hcd : c < d
hd : d ≠ 0
ha : ¬a = 0
hc : c = 0
\u22a2 b * d ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : GCDMonoid R[X]
p : R[X]
t : R
h : p ≠ 0
\u22a2 1 < rootMultiplicity t p ↔ (gcd p (derivative p)).IsRoot t
-- Mathlib/Topology/UnitInterval.lean
t : ℝ
\u22a2 t ∈ I ↔ 1 - t ∈ I
-- Mathlib/Topology/UnitInterval.lean
t : ℝ
\u22a2 0 ≤ t ∧ t ≤ 1 ↔ 0 ≤ 1 - t ∧ 1 - t ≤ 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x : R[X][Y]
\u22a2 (map W f) ((mk W) x) = (mk (WeierstrassCurve.map W f)) (Polynomial.map (mapRingHom f) x)