ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : DivisionRing K
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : AddCommGroup V'
inst✝⁶ : Module K V'
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module K V₁
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₃
inst✝ : Module K V₃
db : V₂ →ₗ[K] V
eb : V₃ →ₗ[K] V
cd : V₁ →ₗ[K] V₂
ce : V₁ →ₗ[K] V₃
hde : ⊤ ≤ LinearMap.range db ⊔ LinearMap.range eb
hgd : ker cd = ⊥
eq : db ∘ₗ cd = eb ∘ₗ ce
eq₂ : ∀ (d : V₂) (e : V₃), db d = eb e → ∃ c, cd c = d ∧ ce c = e
hf : Surjective ⇑(db.coprod eb)
\u22a2 V₁ ≃ₗ[K] ↥(ker (db.coprod eb))
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Pow.lean
a b c b' c' : ℕ
h1 : a.pow b' = c'
hb : 2 * b' = b
hc : c' * c' = c
\u22a2 (Int.negOfNat a).pow b = Int.ofNat c
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Pow.lean
a b c b' c' : ℕ
h1 : a.pow b' = c'
hb : 2 * b' = b
hc : c' * c' = c
\u22a2 Int.ofNat a ^ b' * Int.ofNat a ^ b' = Int.ofNat (a.pow b' * a.pow b')
-- Mathlib/Data/Nat/Bits.lean
m n✝ : ℕ
C : ℕ → Sort u
H₁ H₂ : (b : Bool) → (n : ℕ) → C (bit b n)
h : (fun H n => n.bitCasesOn H) H₁ = (fun H n => n.bitCasesOn H) H₂
b : Bool
n : ℕ
\u22a2 H₁ b n = H₂ b n
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
\u22a2 Disjoint {a} s ↔ a ∉ s
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₃ ≠ p₂
\u22a2 ∠ p₂ p₃ p₁ = Real.arctan (dist p₁ p₂ / dist p₃ p₂)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₃ ≠ p₂
\u22a2 ∠ p₂ p₃ p₁ = Real.arctan (dist p₁ p₂ / dist p₃ p₂)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0
\u22a2 ∠ p₂ p₃ p₁ = Real.arctan (dist p₁ p₂ / dist p₃ p₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Canonical.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X✝ Y✝ : C
S✝ : Sieve X✝
R : Presieve X✝
J✝ J₂ : GrothendieckTopology C
Ps : Set (Cᵒᵖ ⥤ Type v)
J : GrothendieckTopology C
hJ : ∀ P ∈ Ps, Presieve.IsSheaf J P
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v
hP : P ∈ Ps
Y : C
f : Y ⟶ X
\u22a2 Presieve.IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ
\u22a2 tan (-x) = -tan x
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
r : ℝ
\u22a2 abs ↑r = |r|
-- Mathlib/Computability/RegularExpressions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a b : α
g : β → γ
f : α → β
R S : RegularExpression α
\u22a2 map g (map f (R + S)) = map (g ∘ f) (R + S)
-- Mathlib/Computability/RegularExpressions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a b : α
g : β → γ
f : α → β
R S : RegularExpression α
\u22a2 map g (map f (R.comp S)) = map (g ∘ f) (R.comp S)
-- Mathlib/Computability/RegularExpressions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a b : α
g : β → γ
f : α → β
R : RegularExpression α
\u22a2 map g (map f R.star) = map (g ∘ f) R.star
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁✝ a₂✝ : α
b✝ b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : Preorder β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : SMul α γ
f : β → γ
inst✝ : SMulPosReflectLE α γ
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, f b₁ ≤ f b₂ ↔ b₁ ≤ b₂
smul : ∀ (a : α) (b : β), f (a • b) = a • f b
zero : f 0 = 0
b : β
hb : 0 < b
a₁ a₂ : α
h : a₁ • b ≤ a₂ • b
\u22a2 a₁ ≤ a₂
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁✝ a₂✝ : α
b✝ b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : Preorder β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : SMul α γ
f : β → γ
inst✝ : SMulPosReflectLE α γ
b : β
a₁ a₂ : α
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, True
smul : α → β → True
zero : True
hb : 0 < f b
h : a₁ • f b ≤ a₂ • f b
\u22a2 a₁ ≤ a₂
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
\u22a2 (w * cs.simple i * w⁻¹)⁻¹ = w * cs.simple i * w⁻¹
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
r : R → R → Prop
f g : RingQuot r →+* T
w : f.comp (mkRingHom r) = g.comp (mkRingHom r)
x : RingQuot r
\u22a2 f x = g x
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
r : R → R → Prop
f g : RingQuot r →+* T
w : f.comp (mkRingHom r) = g.comp (mkRingHom r)
x : R
\u22a2 f ((mkRingHom r) x) = g ((mkRingHom r) x)
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : Prop
o : Part α
h : p → o.Dom
a : α
\u22a2 a ∈ restrict p o h ↔ p ∧ a ∈ o
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : Prop
o : Part α
h : p → o.Dom
a : α
\u22a2 (∃ (h_1 : p), o.get ⋯ = a) ↔ p ∧ ∃ (h : o.Dom), o.get h = a
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsLimit.lean
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cone F
X : C
h : yoneda.obj X ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cones
s : Cone F
\u22a2 { pt := s.pt, π := h.hom.app (op s.pt) { down := (h.inv.app (op s.pt) s.π).down } } = s
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 m.toNat < n ↔ m < ↑n
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 0 < ↑n
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/TriangleInequality.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
p δ : ℝ≥0∞
hδ : δ ≠ 0
\u22a2 ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ η → eLpNorm g p μ ≤ η → eLpNorm (f + g) p μ < δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/TriangleInequality.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
p δ : ℝ≥0∞
hδ : δ ≠ 0
this : Tendsto (fun η => LpAddConst p * (η + η)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (LpAddConst p * (0 + 0)))
\u22a2 ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ η → eLpNorm g p μ ≤ η → eLpNorm (f + g) p μ < δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/TriangleInequality.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
p δ : ℝ≥0∞
hδ : δ ≠ 0
this : Tendsto (fun η => LpAddConst p * (η + η)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
\u22a2 ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ η → eLpNorm g p μ ≤ η → eLpNorm (f + g) p μ < δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/TriangleInequality.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
p δ : ℝ≥0∞
hδ : δ ≠ 0
this : Tendsto (fun η => LpAddConst p * (η + η)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
η : ℝ≥0∞
hη : LpAddConst p * (η + η) < δ
ηpos : 0 < η
\u22a2 ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ η → eLpNorm g p μ ≤ η → eLpNorm (f + g) p μ < δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/TriangleInequality.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → E
p δ : ℝ≥0∞
hδ : δ ≠ 0
this : Tendsto (fun η => LpAddConst p * (η + η)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
η : ℝ≥0∞
hη : LpAddConst p * (η + η) < δ
ηpos : 0 < η
f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
Hf : eLpNorm f p μ ≤ η
Hg : eLpNorm g p μ ≤ η
\u22a2 eLpNorm (f + g) p μ < δ
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ inst✝⁴ : CommSemiring R✝
inst✝³ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝¹ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
F✝ G✝ : MvPolynomial σ R
n✝ : ℕ
inst✝ : Infinite R
F G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hG : G.IsHomogeneous n
h : ∀ (r : σ → R), (eval r) F = (eval r) G
\u22a2 F = G
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ inst✝⁴ : CommSemiring R✝
inst✝³ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝¹ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
F✝ G✝ : MvPolynomial σ R
n✝ : ℕ
inst✝ : Infinite R
F G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hG : G.IsHomogeneous n
h : ∀ (r : σ → R), (eval r) F = (eval r) G
\u22a2 ↑n ≤ #R
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Circle.lean
this : Fact (0 < 2 * π)
\u22a2 IsLocalHomeomorph ⇑expMapCircle
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : i.castSucc < j
hj : j = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : i.castSucc < j
\u22a2 δ i ≫ δ j = δ (j.pred ⋯) ≫ δ i.castSucc
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : i.castSucc < j
\u22a2 δ i ≫ δ j = δ i ≫ δ (j.pred ⋯).succ
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : i.castSucc < j
\u22a2 i ≤ j.pred ⋯
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsOpenImmersion f
H : P g
\u22a2 P (f ≫ g)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsOpenImmersion f
H : ∀ (U : ↑Z.affineOpens) (V : ↑Y.affineOpens) (e : ↑V ≤ g ⁻¹ᵁ ↑U), Q (Scheme.Hom.appLE g (↑U) (↑V) e)
\u22a2 ∀ (U : ↑Z.affineOpens) (V : ↑X.affineOpens) (e : ↑V ≤ (f ≫ g) ⁻¹ᵁ ↑U), Q (Scheme.Hom.appLE (f ≫ g) (↑U) (↑V) e)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsOpenImmersion f
H : ∀ (U : ↑Z.affineOpens) (V : ↑Y.affineOpens) (e : ↑V ≤ g ⁻¹ᵁ ↑U), Q (Scheme.Hom.appLE g (↑U) (↑V) e)
U : ↑Z.affineOpens
V : ↑X.affineOpens
e : ↑V ≤ (f ≫ g) ⁻¹ᵁ ↑U
\u22a2 Q (Scheme.Hom.appLE (f ≫ g) (↑U) (↑V) e)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsOpenImmersion f
H : ∀ (U : ↑Z.affineOpens) (V : ↑Y.affineOpens) (e : ↑V ≤ g ⁻¹ᵁ ↑U), Q (Scheme.Hom.appLE g (↑U) (↑V) e)
U : ↑Z.affineOpens
V : ↑X.affineOpens
e : ↑V ≤ (f ≫ g) ⁻¹ᵁ ↑U
this : IsIso (Scheme.Hom.appLE f (f ''ᵁ ↑V) ↑V ⋯)
\u22a2 Q (Scheme.Hom.appLE (f ≫ g) (↑U) (↑V) e)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsOpenImmersion f
H : ∀ (U : ↑Z.affineOpens) (V : ↑Y.affineOpens) (e : ↑V ≤ g ⁻¹ᵁ ↑U), Q (Scheme.Hom.appLE g (↑U) (↑V) e)
U : ↑Z.affineOpens
V : ↑X.affineOpens
e : ↑V ≤ (f ≫ g) ⁻¹ᵁ ↑U
this : IsIso (Scheme.Hom.appLE f (f ''ᵁ ↑V) ↑V ⋯)
\u22a2 Q (Scheme.Hom.appLE g (↑U) (f ''ᵁ ↑V) ⋯)
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
s : Cycle α
x y : α
hxy : x ≠ y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
\u22a2 2 ≤ s.length
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
x y : α
hxy : x ≠ y
l : List α
hx : x ∈ Quot.mk Setoid.r l
hy : y ∈ Quot.mk Setoid.r l
\u22a2 2 ≤ length (Quot.mk Setoid.r l)
-- Mathlib/Topology/NhdsSet.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
\u22a2 𝓝ˢ univ = ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
x : E
\u22a2 1 + ‖x‖ ≤ √2 * √(1 + ‖x‖ ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
x : E
\u22a2 1 + ‖x‖ ≤ √(2 * (1 + ‖x‖ ^ 2))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
x : E
this : 0 ≤ (‖x‖ - 1) ^ 2
\u22a2 1 + ‖x‖ ≤ √(2 * (1 + ‖x‖ ^ 2))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
x : E
this : 0 ≤ (‖x‖ - 1) ^ 2
\u22a2 (1 + ‖x‖) ^ 2 ≤ 2 * (1 + ‖x‖ ^ 2)
-- Mathlib/Algebra/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
\u22a2 ↑(upperClosure (s * t)) = ↑(upperClosure s * upperClosure t)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x y : 𝔸
hxy : Commute x y
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
\u22a2 exp 𝕂 (x + y) = exp 𝕂 x * exp 𝕂 y
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x y : 𝔸
hxy : Commute x y
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
\u22a2 (fun x => ∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ • x ^ n) (x + y) = ∑' (n : ℕ), ∑ kl ∈ Finset.antidiagonal n, (↑kl.1!)⁻¹ • x ^ kl.1 * (↑kl.2!)⁻¹ • y ^ kl.2
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x y : 𝔸
hxy : Commute x y
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
\u22a2 ∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ • (x + y) ^ n = ∑' (n : ℕ), ∑ kl ∈ Finset.antidiagonal n, (↑kl.1!)⁻¹ • x ^ kl.1 * (↑kl.2!)⁻¹ • y ^ kl.2
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x y : 𝔸
hxy : Commute x y
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
\u22a2 ∑' (x_1 : ℕ), ∑ x_2 ∈ Finset.antidiagonal x_1, (↑x_1 !)⁻¹ • x_1.choose x_2.1 • (x ^ x_2.1 * y ^ x_2.2) = ∑' (n : ℕ), ∑ kl ∈ Finset.antidiagonal n, (↑kl.1!)⁻¹ • x ^ kl.1 * (↑kl.2!)⁻¹ • y ^ kl.2
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x y : 𝔸
hxy : Commute x y
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
n : ℕ
kl : ℕ × ℕ
hkl : kl ∈ Finset.antidiagonal n
\u22a2 (↑n !)⁻¹ • n.choose kl.1 • (x ^ kl.1 * y ^ kl.2) = (↑kl.1!)⁻¹ • x ^ kl.1 * (↑kl.2!)⁻¹ • y ^ kl.2
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x y : 𝔸
hxy : Commute x y
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
n : ℕ
kl : ℕ × ℕ
hkl : kl ∈ Finset.antidiagonal n
\u22a2 ((↑n !)⁻¹ * (↑n ! / (↑kl.1! * ↑kl.2!))) • (x ^ kl.1 * y ^ kl.2) = ((↑kl.1!)⁻¹ * (↑kl.2!)⁻¹) • (x ^ kl.1 * y ^ kl.2)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x y : 𝔸
hxy : Commute x y
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
n : ℕ
kl : ℕ × ℕ
hkl : kl ∈ Finset.antidiagonal n
\u22a2 (↑n !)⁻¹ * (↑n ! / (↑kl.1! * ↑kl.2!)) = (↑kl.1!)⁻¹ * (↑kl.2!)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x y : 𝔸
hxy : Commute x y
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
n : ℕ
kl : ℕ × ℕ
hkl : kl ∈ Finset.antidiagonal n
this : ↑n ! ≠ 0
\u22a2 (↑n !)⁻¹ * (↑n ! / (↑kl.1! * ↑kl.2!)) = (↑kl.1!)⁻¹ * (↑kl.2!)⁻¹
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α
inst✝ : f.NeBot
a : α
\u22a2 liminf u f \ a = liminf (fun b => u b \ a) f
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : ∀ s ∈ S, n ∣ s
hS : S.Nonempty
\u22a2 IsCyclotomicExtension S A B ↔ IsCyclotomicExtension (S ∪ {n}) A B
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : ∀ s ∈ S, n ∣ s
hS : S.Nonempty
H : IsCyclotomicExtension (S ∪ {n}) A B
s : ℕ+
hs : s ∈ S
\u22a2 ∃ r, IsPrimitiveRoot r ↑s
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : ∀ s ∈ S, n ∣ s
hS : S.Nonempty
H : IsCyclotomicExtension (S ∪ {n}) A B
\u22a2 adjoin A {b | ∃ n ∈ S, b ^ ↑n = 1} = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
k : ℕ
\u22a2 p.toList ((p ^ k) x) = (p.toList x).rotate k
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
k : ℕ
\u22a2 (p.toList ((p ^ k) x)).length = ((p.toList x).rotate k).length
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
k : ℕ
\u22a2 ∀ (n : ℕ) (h₁ : n < (p.toList ((p ^ k) x)).length) (h₂ : n < ((p.toList x).rotate k).length), (p.toList ((p ^ k) x)).nthLe n h₁ = ((p.toList x).rotate k).nthLe n h₂
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a b c d : G
h : b = c / a
\u22a2 a * b = c
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s t : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
f : X → Y
hf : ∀ (x : X), ∃ C, ∃ s ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith C f s
\u22a2 dimH (range f) ≤ dimH univ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s t : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
f : X → Y
hf : ∀ (x : X), ∃ C, ∃ s ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith C f s
\u22a2 dimH (f '' univ) ≤ dimH univ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s t : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
f : X → Y
hf : ∀ (x : X), ∃ C, ∃ s ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith C f s
x : X
x✝ : x ∈ univ
\u22a2 ∃ C, ∃ t ∈ 𝓝[univ] x, LipschitzOnWith C f t
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : R[X]
x : R
\u22a2 0 < rootMultiplicity x p ↔ p ≠ 0 ∧ p.IsRoot x
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
hdvd : p ^ n ∣ Nat.card G
\u22a2 p ^ n ∣ Nat.card ↥↑P
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
hdvd : p ^ n ∣ (↑P).index * Nat.card ↥↑P
\u22a2 p ^ n ∣ Nat.card ↥↑P
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂✝ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
s₂ : Finset ι
h : s₂ ⊆ s
w : ι → k
p : ι → P
\u22a2 (affineCombination k (s \ s₂) p) w -ᵥ (affineCombination k s₂ p) (-w) = (s.weightedVSub p) w
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂✝ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
s₂ : Finset ι
h : s₂ ⊆ s
w : ι → k
p : ι → P
\u22a2 ((s \ s₂).weightedVSubOfPoint p (Classical.choice ⋯)) w - (s₂.weightedVSubOfPoint p (Classical.choice ⋯)) (-w) = (s.weightedVSub p) w
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
\u22a2 re (⟪x, y⟫_𝕜 * ⟪y, x⟫_𝕜) = ‖⟪x, y⟫_𝕜 * ⟪y, x⟫_𝕜‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
\u22a2 re (⟪y, x⟫_𝕜 * (starRingEnd 𝕜) ⟪y, x⟫_𝕜) = ‖⟪y, x⟫_𝕜 * (starRingEnd 𝕜) ⟪y, x⟫_𝕜‖
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
\u22a2 eval q (cyclotomic n ℝ) < (q + 1) ^ φ n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
\u22a2 eval q (cyclotomic n ℝ) < (q + 1) ^ φ n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
\u22a2 eval q (cyclotomic n ℝ) < (q + 1) ^ φ n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ ≤ q + 1
ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)
\u22a2 eval q (cyclotomic n ℝ) < (q + 1) ^ φ n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ ≤ q + 1
ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
\u22a2 eval q (cyclotomic n ℝ) < (q + 1) ^ φ n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ ≤ q + 1
ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hex : ∃ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ < q + 1
\u22a2 eval q (cyclotomic n ℝ) < (q + 1) ^ φ n