ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
\u22a2 { f := { f := ofReal' ∘ evenKernel 0, g := ofReal' ∘ cosKernel 0, k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if 0 = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ }.g, g := { f := ofReal' ∘ evenKernel 0, g := ofReal' ∘ cosKernel 0, k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if 0 = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ }.f, k := { f := ofReal' ∘ evenKernel 0, g := ofReal' ∘ cosKernel 0, k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if 0 = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ }.k, ε := { f := ofReal' ∘ evenKernel 0, g := ofReal' ∘ cosKernel 0, k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if 0 = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ }.ε⁻¹, f₀ := { f := ofReal' ∘ evenKernel 0, g := ofReal' ∘ cosKernel 0, k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if 0 = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ }.g₀, g₀ := { f := ofReal' ∘ evenKernel 0, g := ofReal' ∘ cosKernel 0, k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if 0 = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ }.f₀, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := ⋯, hε := ⋯, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ } = { f := ofReal' ∘ evenKernel 0, g := ofReal' ∘ cosKernel 0, k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if 0 = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ }
-- Mathlib/Order/CompleteLatticeIntervals.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s : Set α
inst✝ : CompleteLattice α
a : α
S : Set ↑(Iic a)
f : ι → ↑(Iic a)
p : ι → Prop
\u22a2 ↑(⨅ i, f i) = a ⊓ ⨅ i, ↑(f i)
-- Mathlib/Order/CompleteLatticeIntervals.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s : Set α
inst✝ : CompleteLattice α
a : α
S : Set ↑(Iic a)
f : ι → ↑(Iic a)
p : ι → Prop
\u22a2 a ⊓ sInf (Subtype.val '' range fun i => f i) = a ⊓ ⨅ i, ↑(f i)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Algebra.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : CommSemiring P
inst✝⁴ : CommSemiring Q
M : Submonoid R
T : Submonoid P
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization T Q
g : R →+* P
hT : Submonoid.map g M = T
x : S
\u22a2 x ∈ RingHom.ker (map Q g ⋯) ↔ x ∈ Ideal.map (algebraMap R S) (RingHom.ker g)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Algebra.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : CommSemiring P
inst✝⁴ : CommSemiring Q
M : Submonoid R
T : Submonoid P
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization T Q
g : R →+* P
hT : Submonoid.map g M = T
x : R
s : ↥M
\u22a2 mk' S x s ∈ RingHom.ker (map Q g ⋯) ↔ mk' S x s ∈ Ideal.map (algebraMap R S) (RingHom.ker g)
-- Mathlib/Data/Nat/Fib/Zeckendorf.lean
l : List ℕ
a m n : ℕ
\u22a2 0 < n.greatestFib ↔ 0 < n
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
h : IntegrableOn f s μ
hs : MeasurableSet s
\u22a2 IntegrableOn f s (μ.restrict t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
h : IntegrableOn f s μ
hs : MeasurableSet s
\u22a2 Integrable f (μ.restrict (s ∩ t))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
\u22a2 IsAffineOpen (X.basicOpen f)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
\u22a2 IsAffineOpen (PrimeSpectrum.basicOpen f)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
e_1✝ : Spec Γ(X, U) = Spec (CommRingCat.of ↑Γ(X, U))
\u22a2 PrimeSpectrum.basicOpen f = Scheme.Hom.opensRange (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑Γ(X, U)) (Localization.Away f))))
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
pp : Prime p
\u22a2 n.factorization p = (Finset.filter (fun i => p ^ i ∣ n) (Ico 1 n)).card
-- Mathlib/CategoryTheory/DiscreteCategory.lean
α✝ : Type u₁
C : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} C
α : Type u₁
β : Type u₂
h : Discrete α ≌ Discrete β
a : α
\u22a2 (as ∘ h.inverse.obj ∘ mk) ((as ∘ h.functor.obj ∘ mk) a) = a
-- Mathlib/CategoryTheory/DiscreteCategory.lean
α✝ : Type u₁
C : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} C
α : Type u₁
β : Type u₂
h : Discrete α ≌ Discrete β
a : β
\u22a2 (as ∘ h.functor.obj ∘ mk) ((as ∘ h.inverse.obj ∘ mk) a) = a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
K₁ K₂ : Compacts G
hU : (interior U).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * U⁻¹) (K₂.carrier * U⁻¹)
\u22a2 ↑(index (↑(K₁ ⊔ K₂)) U) / ↑(index (↑K₀) U) = ↑(index (↑K₁) U) / ↑(index (↑K₀) U) + ↑(index (↑K₂) U) / ↑(index (↑K₀) U)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
K₁ K₂ : Compacts G
hU : (interior U).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * U⁻¹) (K₂.carrier * U⁻¹)
\u22a2 ↑(index (↑(K₁ ⊔ K₂)) U) / ↑(index (↑K₀) U) = (↑(index (↑K₁) U) + ↑(index (↑K₂) U)) / ↑(index (↑K₀) U)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
K₁ K₂ : Compacts G
hU : (interior U).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * U⁻¹) (K₂.carrier * U⁻¹)
\u22a2 ↑(index (↑(K₁ ⊔ K₂)) U) = ↑(index (↑K₁) U) + ↑(index (↑K₂) U)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y z : P
\u22a2 Wbtw R x y z ∧ Wbtw R x z y ↔ y = z
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y z : P
\u22a2 Wbtw R z y x ∧ Wbtw R y z x ↔ z = y
-- Mathlib/Data/NNRat/Lemmas.lean
p q✝ q : ℚ≥0
\u22a2 ↑(↑q.num / ↑q.den) = ↑q
-- Mathlib/Data/NNRat/Lemmas.lean
p q✝ q : ℚ≥0
\u22a2 ↑(↑q).num / ↑q.den = ↑q
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
e : M → N
he0 : e 0 = 0
f : ι →₀ M
he : Injective e
a✝ : ι
\u22a2 a✝ ∈ (mapRange e he0 f).support ↔ a✝ ∈ f.support
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
e : M → N
he0 : e 0 = 0
f : ι →₀ M
he : Injective e
a✝ : ι
\u22a2 ¬e (f a✝) = 0 ↔ ¬f a✝ = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/InfiniteSum.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝ : NormedRing R
f g : ℕ → R
hf : Summable fun x => ‖f x‖
hg : Summable fun x => ‖g x‖
\u22a2 Summable fun n => ‖∑ kl ∈ antidiagonal n, f kl.1 * g kl.2‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/InfiniteSum.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝ : NormedRing R
f g : ℕ → R
hf : Summable fun x => ‖f x‖
hg : Summable fun x => ‖g x‖
this : Summable fun n => ∑ kl ∈ antidiagonal n, ‖f kl.1‖ * ‖g kl.2‖
\u22a2 Summable fun n => ‖∑ kl ∈ antidiagonal n, f kl.1 * g kl.2‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/InfiniteSum.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝ : NormedRing R
f g : ℕ → R
hf : Summable fun x => ‖f x‖
hg : Summable fun x => ‖g x‖
this : Summable fun n => ∑ kl ∈ antidiagonal n, ‖f kl.1‖ * ‖g kl.2‖
n : ℕ
\u22a2 ‖∑ kl ∈ antidiagonal n, f kl.1 * g kl.2‖ ≤ ∑ kl ∈ antidiagonal n, ‖f kl.1‖ * ‖g kl.2‖
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Subring S
x : R × S
\u22a2 x ∈ ⊤.prod s ↔ x ∈ comap (RingHom.snd R S) s
-- Mathlib/Order/OrdContinuous.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
g : β → γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : LeftOrdContinuous f
n : ℕ
\u22a2 LeftOrdContinuous f^[n]
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x✝ : M
\u22a2 ((f.lift hg).comp f.toMap) x✝ = g x✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
h : μ ≪ ν
\u22a2 μ.singularPart ν = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
h : μ ≪ ν
\u22a2 μ.singularPart ν ⟂ₘ μ.singularPart ν
-- Mathlib/Data/Finset/Sort.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
i j : Fin s.card
\u22a2 (s.orderEmbOfFin ⋯) i = (s.orderEmbOfFin ⋯) j ↔ ↑i = ↑j
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
od : Prop
o p : od → α
H1 : { Dom := od, get := o }.Dom ↔ { Dom := od, get := p }.Dom
H2 : ∀ (h₁ : { Dom := od, get := o }.Dom) (h₂ : { Dom := od, get := p }.Dom), { Dom := od, get := o }.get h₁ = { Dom := od, get := p }.get h₂
\u22a2 { Dom := od, get := o } = { Dom := od, get := p }
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/Killing.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : Module.Finite R L
D : LieDerivation R L L
hD : D ∈ (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule
x : L
\u22a2 (ad R L) (D x) ∈ (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/Killing.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : Module.Finite R L
D : LieDerivation R L L
hD : D ∈ (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule
x : L
\u22a2 ⁅x, D⁆ ∈ (killingForm R (LieDerivation R L L)).orthogonal (LinearMap.range ↑(ad R L))
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s : Finset β
\u22a2 HasProd (fun x => 1) 1
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y✝ z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
p : α → Prop
x : α
H : ∃ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ y ∈ ball x R, p y
y : α
\u22a2 p y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝ y✝ z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
p : α → Prop
x : α
H : ∃ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ y ∈ ball x R, p y
y : α
R : ℝ
hR : R > dist y x
h : ∀ z ∈ ball x R, p z
\u22a2 p y
-- Mathlib/Data/Finset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
m : Sym2 α
\u22a2 (∀ b ∈ Sym2.diag a, b ∈ s) ↔ a ∈ s
-- Mathlib/Data/Finset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
m : Sym2 α
\u22a2 Sym2.diag a ∈ s.sym2 ↔ a ∈ s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
hκ : IsSFiniteKernel κ
\u22a2 ((κ ⊗ₖ η) a) Set.univ ≤ (κ a) Set.univ * IsFiniteKernel.bound η
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
hκ : IsSFiniteKernel κ
\u22a2 ∫⁻ (b : β), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ Set.univ} ∂κ a ≤ (κ a) Set.univ * IsFiniteKernel.bound η
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
hκ : IsSFiniteKernel κ
\u22a2 ∫⁻ (b : β), (η (a, b)) Set.univ ∂κ a ≤ (κ a) Set.univ * IsFiniteKernel.bound η
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
hκ : IsSFiniteKernel κ
Cη : ℝ≥0∞ := IsFiniteKernel.bound η
\u22a2 ∫⁻ (b : β), (η (a, b)) Set.univ ∂κ a ≤ (κ a) Set.univ * IsFiniteKernel.bound η
-- Mathlib/Topology/Compactification/OnePoint.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
h : ∞ ∉ s
\u22a2 IsClosed s ↔ IsClosed (some ⁻¹' s) ∧ IsCompact (some ⁻¹' s)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.84561, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasRightHomology
hf : S.f = 0
\u22a2 S.opcycles ≅ S.X₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.84561, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasRightHomology
hf : S.f = 0
this : IsIso S.pOpcycles
\u22a2 S.opcycles ≅ S.X₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FinallySmall.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
inst✝ : IsFilteredOrEmpty J
\u22a2 FinallySmall J ↔ ∃ s, ∃ (_ : Small.{v, u} ↑s), ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (i ⟶ j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FinallySmall.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
inst✝ : IsFilteredOrEmpty J
h : ∃ s, ∃ (_ : Small.{v, u} ↑s), ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (i ⟶ j)
\u22a2 FinallySmall J
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FinallySmall.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
inst✝ : IsFilteredOrEmpty J
s : Set J
hs : Small.{v, u} ↑s
hs' : ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (i ⟶ j)
\u22a2 FinallySmall J
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/HasPullback.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
W✝ X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPullback (G.map f) (G.map g)
W : C
h : W ⟶ X
k : W ⟶ Y
w : h ≫ f = k ≫ g
\u22a2 G.map h ≫ G.map f = G.map k ≫ G.map g
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/HasPullback.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
W✝ X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPullback (G.map f) (G.map g)
W : C
h : W ⟶ X
k : W ⟶ Y
w : h ≫ f = k ≫ g
\u22a2 G.map (pullback.lift h k w) ≫ pullbackComparison G f g = pullback.lift (G.map h) (G.map k) ⋯
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Inv.lean
u : Lean.Level
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n d : ℕ
inv✝ : Invertible ↑d
\u22a2 IsRat (↑(Int.ofNat n.succ) * ⅟↑d)⁻¹ (Int.ofNat d) n.succ
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Inv.lean
u : Lean.Level
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n d : ℕ
inv✝ : Invertible ↑d
this : Invertible ↑n.succ
\u22a2 IsRat (↑(Int.ofNat n.succ) * ⅟↑d)⁻¹ (Int.ofNat d) n.succ
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X Y : C
x : ↑(F.obj X)
y : ↑(F.obj Y)
\u22a2 F.map prod.fst ((fiberBinaryProductEquiv F X Y).symm (x, y)) = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X Y : C
x : ↑(F.obj X)
y : ↑(F.obj Y)
\u22a2 F.map prod.fst ((PreservesLimitPair.iso (F ⋙ FintypeCat.incl) X Y).inv ((Types.binaryProductIso ↑(F.obj X) ↑(F.obj Y)).inv (x, y))) = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X Y : C
x : ↑(F.obj X)
y : ↑(F.obj Y)
\u22a2 ((Types.binaryProductIso ↑(F.obj X) ↑(F.obj Y)).inv ≫ (PreservesLimitPair.iso (F ⋙ FintypeCat.incl) X Y).inv ≫ (F ⋙ FintypeCat.incl).map prod.fst) (x, y) = x
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0
\u22a2 a / b ≤ 1 ↔ b ≤ a
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n✝ m n : ℕ
h : 0 < n
\u22a2 orderOf x = n ↔ x ^ n = 1 ∧ ∀ m < n, 0 < m → x ^ m ≠ 1
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n✝ m n : ℕ
h : 0 < n
\u22a2 (if h : 1 ∈ periodicPts fun x_1 => x * x_1 then Nat.find h else 0) = n ↔ IsPeriodicPt (fun x_1 => x * x_1) n 1 ∧ ∀ m < n, 0 < m → ¬IsPeriodicPt (fun x_1 => x * x_1) m 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
w x y z : P
h₁ : Wbtw R w x z
h₂ : Sbtw R x y z
\u22a2 Sbtw R w y z
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
w x y z : P
h₁ : Wbtw R z x w
h₂ : Sbtw R x y z
\u22a2 Sbtw R w y z
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
w x y z : P
h₁ : Wbtw R z x w
h₂ : Sbtw R z y x
\u22a2 Sbtw R z y w
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
p : ℝ≥0∞
i : α
a : E i
\u22a2 lp.single p i (-a) = -lp.single p i a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
p : ℝ≥0∞
i : α
a : E i
j : α
\u22a2 ↑(lp.single p i (-a)) j = ↑(-lp.single p i a) j
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : IsLocalization M S
R' : Type u_4
inst✝ : CommRing R'
g : S →+* R'
p : S[X]
x : R'
hx : eval₂ g x p = 0
b : ↥M
hb : Polynomial.map (algebraMap R S) (integerNormalization M p) = ↑b • p
\u22a2 eval₂ g x (Polynomial.map (algebraMap R S) (integerNormalization M p)) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Products.lean
β : Type w
α : Type w₂
γ✝ : Type w₃
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
γ : Type w'
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasCoproduct f
inst✝ : HasCoproduct (f ∘ ⇑ε)
b : β
\u22a2 ι f (ε b) ≫ (reindex ε f).inv = ι (f ∘ ⇑ε) b
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a x : ℝ
\u22a2 ↑(oddKernel (↑a) x) = cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) * (jacobiTheta₂' (↑a * I * ↑x) (I * ↑x) / (2 * ↑π * I) + ↑a * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
i : ι
\u22a2 (hli.repr ⟨v i, ⋯⟩) i = 1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : PosNum
\u22a2 ↑↑n = ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
b p : ℕ
w : 0 < b
\u22a2 ↑(b ^ p - 1) = ↑b ^ p - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
b p : ℕ
w : 0 < b
this : 1 ≤ b ^ p
\u22a2 ↑(b ^ p - 1) = ↑b ^ p - 1
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
x✝ y✝ z✝ : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x : α
y : β
r : ℝ≥0∞
z : α × β
\u22a2 z ∈ ball x r ×ˢ ball y r ↔ z ∈ ball (x, y) r
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Images.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : StrongEpiMonoFactorisation f
F' : MonoFactorisation f
hF' : IsImage F'
\u22a2 StrongEpi F'.e
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Images.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : StrongEpiMonoFactorisation f
F' : MonoFactorisation f
hF' : IsImage F'
\u22a2 StrongEpi (F.e ≫ (F.toMonoIsImage.isoExt hF').hom)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m✝ : ℤ
z : Cochain F G n
m : ℤ
hnm : n + 1 = m
h : δ n m z = 0
\u22a2 z ∈ cocycle F G n
-- Mathlib/Topology/Order/LowerUpperTopology.lean
α : Type u_1
β : ?m.7267
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLower α
s : Set α
\u22a2 IsTopologicalBasis (lowerBasis α)
-- Mathlib/Topology/Order/LowerUpperTopology.lean
α : Type u_1
β : ?m.7267
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLower α
s : Set α
\u22a2 lowerBasis α = (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ {s | ∃ a, (Ici a)ᶜ = s}}
-- Mathlib/Topology/Order/LowerUpperTopology.lean
α : Type u_1
β : ?m.7267
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLower α
s : Set α
\u22a2 {s | ∃ t, t.Finite ∧ ⋂ i ∈ t, (Ici i)ᶜ = s} = (fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ {s | ∃ a, (Ici a)ᶜ = s}}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : atBot.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
a : α
this : Nonempty α
h_mono : Antitone fun x => μ (Ioc x a)
\u22a2 Tendsto (fun x => μ (Ioc x a)) atBot (𝓝 (μ (Iic a)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : atBot.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
a : α
this : Nonempty α
h_mono : Antitone fun x => μ (Ioc x a)
\u22a2 μ (Iic a) = ⨆ i, μ (Ioc i a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : atBot.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
a : α
this : Nonempty α
h_mono : Antitone fun x => μ (Ioc x a)
xs : ℕ → α
hxs_mono : Antitone xs
hxs_tendsto : Tendsto xs atTop atBot
\u22a2 μ (Iic a) = ⨆ i, μ (Ioc i a)