ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
m p : Associates α
h0 : m ≠ 0
hp : Irreducible p
a✝ : Nontrivial α
h : 0 < p.count m.factors
\u22a2 p ≤ m
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
m p : Associates α
h0 : m ≠ 0
hp : Irreducible p
a✝ : Nontrivial α
h : 0 < p.count m.factors
\u22a2 p ^ 1 ≤ m
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
m p : Associates α
h0 : m ≠ 0
hp : Irreducible p
a✝ : Nontrivial α
h : 0 < p.count m.factors
\u22a2 1 ≤ p.count m.factors
-- Mathlib/RingTheory/Henselian.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
h✝ : I ≤ ⊥.jacobson
a : R
h : IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) a)
\u22a2 IsUnit a
-- Mathlib/RingTheory/Henselian.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
h✝ : I ≤ ⊥.jacobson
a : R
h : IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) a)
this : IsUnit ((Ideal.Quotient.mk ⊥.jacobson) a)
\u22a2 IsUnit a
-- Mathlib/RingTheory/Henselian.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
h✝ : I ≤ ⊥.jacobson
a : R
h : IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) a)
y : R ⧸ ⊥.jacobson
h1 : (Ideal.Quotient.mk ⊥.jacobson) a * y = 1
h2 : y * (Ideal.Quotient.mk ⊥.jacobson) a = 1
\u22a2 IsUnit a
-- Mathlib/RingTheory/Henselian.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
h✝ : I ≤ ⊥.jacobson
a : R
h : IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) a)
y : R
h1 : (Ideal.Quotient.mk ⊥.jacobson) a * (Ideal.Quotient.mk ⊥.jacobson) y = 1
h2 : (Ideal.Quotient.mk ⊥.jacobson) y * (Ideal.Quotient.mk ⊥.jacobson) a = 1
\u22a2 IsUnit a
-- Mathlib/RingTheory/Henselian.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
h✝ : I ≤ ⊥.jacobson
a : R
h : IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) a)
y : R
h1 : ∀ (y_1 : R), IsUnit ((a * y - 1) * y_1 + 1)
h2 : ∀ (y_1 : R), IsUnit ((y * a - 1) * y_1 + 1)
\u22a2 IsUnit a
-- Mathlib/RingTheory/Henselian.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
h✝ : I ≤ ⊥.jacobson
a : R
h : IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) a)
y : R
h2 : ∀ (y_1 : R), IsUnit ((y * a - 1) * y_1 + 1)
h1 : IsUnit ((a * y - 1) * 1 + 1)
\u22a2 IsUnit a
-- Mathlib/RingTheory/Henselian.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
h✝ : I ≤ ⊥.jacobson
a : R
h : IsUnit ((Ideal.Quotient.mk I) a)
y : R
h2 : ∀ (y_1 : R), IsUnit ((y * a - 1) * y_1 + 1)
h1 : IsUnit a ∧ IsUnit y
\u22a2 IsUnit a
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
hn : Nonempty ι
f g : PushoutI φ →* K
h : ∀ (i : ι), f.comp (of i) = g.comp (of i)
\u22a2 f.comp (base φ) = g.comp (base φ)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
f : ι → E → F
u : Finset ι
i : ℕ
x : E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
h : ∀ j ∈ u, ContDiffOn 𝕜 (↑i) (f j) s
\u22a2 iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fun x => ∑ j ∈ u, f j x) s x = ∑ j ∈ u, iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f j) s x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x : ℝ
hx₀ : 0 ≤ x
hx : x ≤ π / 2
\u22a2 1 - 2 / π * x ≤ cos x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s✝ : Set M
f✝ : SmoothPartitionOfUnity ι I M s✝
n : ℕ∞
s : Set E
f : SmoothPartitionOfUnity ι 𝓘(ℝ, E) E s
x₀ : E
g : ι → E → F
hφ : ∀ (i : ι), x₀ ∈ tsupport ⇑(f i) → ContDiffAt ℝ n (g i) x₀
\u22a2 ContDiffAt ℝ n (fun x => ∑ᶠ (i : ι), (f i) x • g i x) x₀
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s✝ : Set M
f✝ : SmoothPartitionOfUnity ι I M s✝
n : ℕ∞
s : Set E
f : SmoothPartitionOfUnity ι 𝓘(ℝ, E) E s
x₀ : E
g : ι → E → F
hφ : ∀ (i : ι), x₀ ∈ tsupport ⇑(f i) → ContMDiffAt 𝓘(ℝ, E) 𝓘(ℝ, F) n (g i) x₀
\u22a2 ContMDiffAt 𝓘(ℝ, E) 𝓘(ℝ, F) n (fun x => ∑ᶠ (i : ι), (f i) x • g i x) x₀
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
m : Type u_8
n : Type u_9
inst✝ : Fintype n
A B : Matrix m n 𝕜
i j : m
\u22a2 ⟪(WithLp.equiv 2 (n → 𝕜)).symm (A i), (WithLp.equiv 2 (n → 𝕜)).symm (B j)⟫_𝕜 = (B * Aᴴ) j i
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
\u22a2 I.target = range ↑I
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
\u22a2 I.target = ↑I '' I.source
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f g : ι → α
inst✝ : CommRing α
n k : ℕ
\u22a2 ∏ i ∈ range k, (↑n - ↑i) = ↑(∏ i ∈ range k, (n - i))
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f g : ι → α
inst✝ : CommRing α
n k : ℕ
\u22a2 ∏ i ∈ range k, (↑n - ↑i) = ∏ i ∈ range k, ↑(n - i)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f g : ι → α
inst✝ : CommRing α
n k : ℕ
hkn : k ≤ n
\u22a2 ∏ i ∈ range k, (↑n - ↑i) = ∏ i ∈ range k, ↑(n - i)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f g : ι → α
inst✝ : CommRing α
n k : ℕ
hnk : n < k
\u22a2 ∏ i ∈ range k, (↑n - ↑i) = ∏ i ∈ range k, ↑(n - i)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
\u22a2 a < b⁻¹ ↔ b < a⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
p0 : p ≠ 0
a : R
\u22a2 ¬(X - C a) ^ (rootMultiplicity a p + 1) ∣ p
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
\u22a2 f.measure (Ioo a b) = ofReal (leftLim (↑f) b - ↑f a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
hab : b ≤ a
\u22a2 f.measure (Ioo a b) = ofReal (leftLim (↑f) b - ↑f a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
hab : a < b
\u22a2 f.measure (Ioo a b) = ofReal (leftLim (↑f) b - ↑f a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MulAction H β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
h_meas : NullMeasurableSet s μ
h_exists : ∀ (x : α), ∃! g, g • x ∈ s
a b : G
hab : a ≠ b
x : α
hxa : x ∈ (fun g => g • s) a
hxb : x ∈ (fun g => g • s) b
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MulAction H β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
h_meas : NullMeasurableSet s μ
h_exists : ∀ (x : α), ∃! g, g • x ∈ s
a b : G
hab : a ≠ b
x : α
hxa : a⁻¹ • x ∈ s
hxb : b⁻¹ • x ∈ s
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n✝ : ℕ
a : G
n : ℤ
\u22a2 a ^ (n % ↑(Nat.card G)) = a ^ n
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
\u22a2 finrank k ↥(vectorSpan k (insert p s)) ≤ finrank k ↥(vectorSpan k s) + 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
\u22a2 finrank k ↥(vectorSpan k (insert p ↑(affineSpan k s))) ≤ finrank k ↥(vectorSpan k s) + 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P
\u22a2 finrank k ↥(affineSpan k s).direction ≤ finrank k ↥(vectorSpan k s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
S : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
s : S
t : (ι →₀ M) ⊗[R] N
\u22a2 (finsuppLeft R M N ι) (s • t) = s • (finsuppLeft R M N ι) t
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
\u22a2 ∑ k ∈ antidiagonal (n + 1), ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli k.1 = if n + 1 = 0 then 1 else 0
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
\u22a2 ∑ k ∈ antidiagonal (n + 1), ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli k.1 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ
\u22a2 ∑ k ∈ antidiagonal (n + 1), ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli k.1 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ
h₂ : ↑n + 1 ≠ 0
\u22a2 ∑ k ∈ antidiagonal (n + 1), ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli k.1 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ
h₂ : ↑n + 1 ≠ 0
h₃ : (1 + n).choose n = n + 1
\u22a2 ∑ k ∈ antidiagonal (n + 1), ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli k.1 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ
h₂ : ↑n + 1 ≠ 0
h₃ : (1 + n).choose n = n + 1
H : ∑ k ∈ antidiagonal n.succ, ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli' k.1 = 1
\u22a2 ∑ k ∈ antidiagonal (n + 1), ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli k.1 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ
h₂ : ↑n + 1 ≠ 0
h₃ : (1 + n).choose n = n + 1
H : ↑(((1, n).1 + (1, n).2).choose (1, n).2) / (↑(1, n).2 + 1) * bernoulli' (1, n).1 + ∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli' x.1 = 1
\u22a2 ↑(((1, n).1 + (1, n).2).choose (1, n).2) / (↑(1, n).2 + 1) * bernoulli (1, n).1 + ∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli x.1 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ
h₂ : ↑n + 1 ≠ 0
h₃ : (1 + n).choose n = n + 1
H : ↑(((1, n).1 + (1, n).2).choose (1, n).2) / (↑(1, n).2 + 1) * bernoulli' (1, n).1 + ∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli' x.1 = 1
\u22a2 ∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli x.1 = 0 - ↑(((1, n).1 + (1, n).2).choose (1, n).2) / (↑(1, n).2 + 1) * bernoulli (1, n).1
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ
h₂ : ↑n + 1 ≠ 0
h₃ : (1 + n).choose n = n + 1
H : ↑(((1, n).1 + (1, n).2).choose (1, n).2) / (↑(1, n).2 + 1) * bernoulli' (1, n).1 + ∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli' x.1 = 1
\u22a2 ∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli x.1 = ∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli' x.1
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ
h₂ : ↑n + 1 ≠ 0
h₃ : (1 + n).choose n = n + 1
H : ↑(((1, n).1 + (1, n).2).choose (1, n).2) / (↑(1, n).2 + 1) * bernoulli' (1, n).1 + ∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli' x.1 = 1
\u22a2 0 - ↑(((1, n).1 + (1, n).2).choose (1, n).2) / (↑(1, n).2 + 1) * bernoulli (1, n).1 = 1 - ↑(((1, n).1 + (1, n).2).choose (1, n).2) / (↑(1, n).2 + 1) * bernoulli' (1, n).1
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
\u22a2 0 ≤ z ↔ ∃ x ≥ 0, ↑x = z
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
\u22a2 0 ≤ re z ∧ im z = 0 ↔ ∃ x ≥ 0, re ↑x = re z ∧ im ↑x = im z
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
hG : Group.IsNilpotent G
\u22a2 ∀ (n : ℕ), (∃ H, IsAscendingCentralSeries H ∧ H n = ⊤) → ∃ H, IsDescendingCentralSeries H ∧ H n = ⊥
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
hG : Group.IsNilpotent G
\u22a2 ∀ (n : ℕ), (∃ H, IsDescendingCentralSeries H ∧ H n = ⊥) → ∃ H, IsAscendingCentralSeries H ∧ H n = ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : 0 ≤ d
a : Solution₁ d
hx : a.x = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : 0 ≤ d
a : Solution₁ d
hx : a.x = 0
h : 0 ≤ d * a.y ^ 2
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : 0 ≤ d
a : Solution₁ d
hx : a.x = 0
h : 0 ≤ -1
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Nat/Fib/Basic.lean
n : ℕ
\u22a2 (bit true n).fastFibAux = let p := n.fastFibAux; (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))
-- Mathlib/Data/Nat/Fib/Basic.lean
n : ℕ
\u22a2 (if true = true then ((binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).2 ^ 2 + (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).1 ^ 2, (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).2 * (2 * (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).1 + (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).2)) else ((binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).1 * (2 * (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).2 - (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).1), (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).2 ^ 2 + (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).1 ^ 2)) = let p := binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n; (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))
-- Mathlib/Data/Nat/Fib/Basic.lean
n : ℕ
\u22a2 (if false = true then ((fib 0, fib 1).2 ^ 2 + (fib 0, fib 1).1 ^ 2, (fib 0, fib 1).2 * (2 * (fib 0, fib 1).1 + (fib 0, fib 1).2)) else ((fib 0, fib 1).1 * (2 * (fib 0, fib 1).2 - (fib 0, fib 1).1), (fib 0, fib 1).2 ^ 2 + (fib 0, fib 1).1 ^ 2)) = (fib 0, fib 1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hP : Presheaf.IsSheaf J P
\u22a2 IsIso (J.toPlus P ≫ J.plusMap (J.toPlus P))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hP : Presheaf.IsSheaf J P
this : IsIso (J.toPlus P)
\u22a2 IsIso (J.toPlus P ≫ J.plusMap (J.toPlus P))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P : R[X]
hunit : IsUnit (P.coeff 0)
hnil : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)
\u22a2 IsUnit P
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
hind : ∀ m < k, ∀ {P : R[X]}, IsUnit (P.coeff 0) → (∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)) → P.natDegree = m → IsUnit P
P : R[X]
hunit : IsUnit (P.coeff 0)
hnil : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)
h : P.natDegree = k
\u22a2 IsUnit P
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
hind : ∀ m < k, ∀ {P : R[X]}, IsUnit (P.coeff 0) → (∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)) → P.natDegree = m → IsUnit P
P : R[X]
hunit : IsUnit (P.coeff 0)
hnil : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)
h : P.natDegree = k
hdeg : P.natDegree = 0
\u22a2 IsUnit P
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
hind : ∀ m < k, ∀ {P : R[X]}, IsUnit (P.coeff 0) → (∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)) → P.natDegree = m → IsUnit P
P : R[X]
hunit : IsUnit (P.coeff 0)
hnil : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)
h : P.natDegree = k
hdeg : ¬P.natDegree = 0
\u22a2 IsUnit P
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
hind : ∀ m < k, ∀ {P : R[X]}, IsUnit (P.coeff 0) → (∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)) → P.natDegree = m → IsUnit P
P : R[X]
hunit : IsUnit (P.coeff 0)
hnil : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)
h : P.natDegree = k
hdeg : ¬P.natDegree = 0
P₁ : R[X] := P.eraseLead
hP₁ : P₁ = P.eraseLead
\u22a2 IsUnit P
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
hind : ∀ m < k, ∀ {P : R[X]}, IsUnit (P.coeff 0) → (∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)) → P.natDegree = m → IsUnit P
P : R[X]
hunit : IsUnit (P.coeff 0)
hnil : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)
h : P.natDegree = k
hdeg : ¬P.natDegree = 0
P₁ : R[X] := P.eraseLead
hP₁ : P₁ = P.eraseLead
\u22a2 IsUnit P₁
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
hind : ∀ m < k, ∀ {P : R[X]}, IsUnit (P.coeff 0) → (∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)) → P.natDegree = m → IsUnit P
P : R[X]
hunit : IsUnit (P.coeff 0)
hnil : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)
h : P.natDegree = k
hdeg : ¬P.natDegree = 0
P₁ : R[X] := P.eraseLead
hP₁ : P₁ = P.eraseLead
hdeg₂ : P.eraseLead.natDegree < P.natDegree
\u22a2 IsUnit P₁
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
h : 0 ∉ [[a, b]]
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, x⁻¹ = Real.log (b / a)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
h : 0 ∉ [[a, b]]
h' : ∀ x ∈ [[a, b]], x ≠ 0
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, x⁻¹ = Real.log (b / a)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
f : X' ⟶ Y'
g₁ g₂ : Y' ⟶ Z'
\u22a2 f ≫ add W eY eZ g₁ g₂ = add W eX eZ (f ≫ g₁) (f ≫ g₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
g₁ g₂ : Y' ⟶ Z'
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
\u22a2 (homEquiv eX eY).symm f ≫ add W eY eZ g₁ g₂ = add W eX eZ ((homEquiv eX eY).symm f ≫ g₁) ((homEquiv eX eY).symm f ≫ g₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
g₂ : Y' ⟶ Z'
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
g₁ : L.obj Y ⟶ L.obj Z
\u22a2 (homEquiv eX eY).symm f ≫ add W eY eZ ((homEquiv eY eZ).symm g₁) g₂ = add W eX eZ ((homEquiv eX eY).symm f ≫ (homEquiv eY eZ).symm g₁) ((homEquiv eX eY).symm f ≫ g₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
g₁ g₂ : L.obj Y ⟶ L.obj Z
\u22a2 (homEquiv eX eY).symm f ≫ add W eY eZ ((homEquiv eY eZ).symm g₁) ((homEquiv eY eZ).symm g₂) = add W eX eZ ((homEquiv eX eY).symm f ≫ (homEquiv eY eZ).symm g₁) ((homEquiv eX eY).symm f ≫ (homEquiv eY eZ).symm g₂)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
\u22a2 (S.rightHomologyIso.inv ≫ S.rightHomologyι) ≫ S.fromOpcycles = 0
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
\u22a2 𝓝 x = ⨅ s, ⨅ (_ : IsOpen s), ⨅ (_ : x ∈ s), 𝓟 s