ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CantorScheme.lean
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
x : ↑(inducedMap A).fst
n : ℕ
this : Set.Nonempty.some ⋯ ∈ ⋂ n, A (res (↑x) n)
\u22a2 (inducedMap A).snd x ∈ A (res (↑x) n)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CantorScheme.lean
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
x : ↑(inducedMap A).fst
n : ℕ
this : ∀ (i : ℕ), Set.Nonempty.some ⋯ ∈ A (res (↑x) i)
\u22a2 (inducedMap A).snd x ∈ A (res (↑x) n)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
\u22a2 ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 0, HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (x + y))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
V W : Set (β × β)
x y z : β
hV : SymmetricRel V
hx : x ∈ ball z V
hy : y ∈ ball z W
\u22a2 (x, y) ∈ V ○ W
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
V W : Set (β × β)
x y z : β
hV : SymmetricRel V
hx : z ∈ ball x V
hy : y ∈ ball z W
\u22a2 (x, y) ∈ V ○ W
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r✝ : ℝ
p q : Seminorm 𝕜 E
e : E
r : ℝ
\u22a2 (p ⊔ q).closedBall e r = p.closedBall e r ∩ q.closedBall e r
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
\u22a2 ↑(λ ^ 2) = ↑(-3 * ↑η)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Basic.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
h : s =ᶠ[𝓝 x] t
\u22a2 derivWithin f s x = derivWithin f t x
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝ : MeasurableSpace γ
s : Set δ
t : (i : δ) → Set (π i)
hs : s.Countable
\u22a2 MeasurableSet (s.pi t) ↔ (∀ i ∈ s, MeasurableSet (t i)) ∨ s.pi t = ∅
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝ : MeasurableSpace γ
s : Set δ
t : (i : δ) → Set (π i)
hs : s.Countable
h : s.pi t = ∅
\u22a2 MeasurableSet (s.pi t) ↔ (∀ i ∈ s, MeasurableSet (t i)) ∨ s.pi t = ∅
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝ : MeasurableSpace γ
s : Set δ
t : (i : δ) → Set (π i)
hs : s.Countable
h : (s.pi t).Nonempty
\u22a2 MeasurableSet (s.pi t) ↔ (∀ i ∈ s, MeasurableSet (t i)) ∨ s.pi t = ∅
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t s : Set α
hs : IsSeparable s
\u22a2 SeparableSpace ↑s
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t✝ s : Set α
hs : IsSeparable s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
hst : s ⊆ closure t
\u22a2 SeparableSpace ↑s
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t✝ s : Set α
hs : IsSeparable s
t : Set ↑s
htc : (Subtype.val '' t).Countable
hst : s ⊆ closure (Subtype.val '' t)
\u22a2 SeparableSpace ↑s
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t✝ s : Set α
hs : IsSeparable s
t : Set ↑s
htc : (Subtype.val '' t).Countable
hst : s ⊆ closure (Subtype.val '' t)
\u22a2 Dense t
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
\u22a2 (fun t => inverse (↑x + t)) =O[𝓝 0] fun _t => 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
\u22a2 (fun x_1 => inverse (1 + ↑x⁻¹ * x_1) * ↑x⁻¹) =O[𝓝 0] fun _t => 1 * 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
\u22a2 (fun x_1 => inverse (1 - -↑x⁻¹ * x_1) * ↑x⁻¹) =O[𝓝 0] fun _t => 1 * 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
hzero : Tendsto (fun x_1 => -↑x⁻¹ * x_1) (𝓝 0) (𝓝 0)
\u22a2 (fun x_1 => inverse (1 - -↑x⁻¹ * x_1) * ↑x⁻¹) =O[𝓝 0] fun _t => 1 * 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
\u22a2 ContMDiffWithinAt I I' n f (insert x s) x ↔ ContMDiffWithinAt I I' n f s x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
\u22a2 ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' insert x s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x) ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
\u22a2 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' insert x s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x = 𝓝[insert (↑(extChartAt I x) x) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)] ↑(extChartAt I x) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Ordered.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a b : E
r r' : k
h : r < r'
\u22a2 (lineMap a b) r ≤ (lineMap a b) r' ↔ a ≤ b
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Ordered.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a b : E
r r' : k
h : r < r'
\u22a2 (1 - r) • a + r • b ≤ (1 - r') • a + r' • b ↔ a ≤ b
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Monoid G
\u22a2 ((resolution k G).d 1 0 ≫ ε k G).hom = Action.Hom.hom 0
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Monoid G
x : ↑((resolution k G).X 1).V
\u22a2 ((resolution k G).d 1 0 ≫ ε k G).hom x = (Action.Hom.hom 0) x
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Monoid G
x : ↑((resolution k G).X 1).V
this : (forget₂ToModuleCat k G).d 1 0 ≫ (forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)).map (ε k G) = 0
\u22a2 ((resolution k G).d 1 0 ≫ ε k G).hom x = (Action.Hom.hom 0) x
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
h : M.E ⊆ M.closure I
\u22a2 M.Base I
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
h : M.E ⊆ M.closure I
\u22a2 M.Basis I M.E
-- Mathlib/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b x : α
\u22a2 x ∈ Ico a b ↔ a ≤ x ∧ x < b
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
\u22a2 (↑s ∩ ↑t).offDiag = (↑s).offDiag ∩ (↑t).offDiag
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
g : β → γ
\u22a2 range (g ∘ f) ⊆ range g
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
g : β → γ
\u22a2 g '' range f ⊆ range g
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
x y z : α
hxy : x ≠ y
hxz : x ≠ z
\u22a2 swap y z * swap x y * swap y z = swap z x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
x y z : α
hxy : x ≠ y
hxz : x ≠ z
\u22a2 swap y z * swap x y * (swap y z)⁻¹ = swap z x
-- Mathlib/Data/Nat/Bits.lean
m n✝ n : ℕ
\u22a2 n.div2 = n / 2
-- Mathlib/Data/Nat/Bits.lean
m n✝ n : ℕ
\u22a2 n % 2 + 2 * n.div2 = n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
\u22a2 addHaarMeasure (piIcc01 ι) = volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
\u22a2 addHaarMeasure (piIcc01 ι) = volume ↑(piIcc01 ι) • addHaarMeasure (piIcc01 ι)
-- Mathlib/Data/Nat/Pairing.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : ℕ → Set α
t : ℕ → Set β
\u22a2 ⋃ n, s (unpair n).1 ×ˢ t (unpair n).2 = (⋃ n, s n) ×ˢ ⋃ n, t n
-- Mathlib/Data/Nat/Pairing.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : ℕ → Set α
t : ℕ → Set β
\u22a2 ⋃ n, s (unpair n).1 ×ˢ t (unpair n).2 = ⋃ x, s x.1 ×ˢ t x.2
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Bifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_9, u_1} C₁
inst✝² : Category.{u_8, u_2} C₂
inst✝¹ : Category.{u_7, u_3} C₃
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃
I : Type u_4
J : Type u_5
K : Type u_6
p : I × J → K
X : GradedObject I C₁
Y : GradedObject J C₂
A : C₃
k : K
inst✝ : (((mapBifunctor F I J).obj X).obj Y).HasMap p
f g : mapBifunctorMapObj F p X Y k ⟶ A
h : ∀ (i : I) (j : J) (hij : p (i, j) = k), ιMapBifunctorMapObj F p X Y i j k hij ≫ f = ιMapBifunctorMapObj F p X Y i j k hij ≫ g
\u22a2 f = g
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Bifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_9, u_1} C₁
inst✝² : Category.{u_8, u_2} C₂
inst✝¹ : Category.{u_7, u_3} C₃
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃
I : Type u_4
J : Type u_5
K : Type u_6
p : I × J → K
X : GradedObject I C₁
Y : GradedObject J C₂
A : C₃
k : K
inst✝ : (((mapBifunctor F I J).obj X).obj Y).HasMap p
f g : mapBifunctorMapObj F p X Y k ⟶ A
h : ∀ (i : I) (j : J) (hij : p (i, j) = k), ιMapBifunctorMapObj F p X Y i j k hij ≫ f = ιMapBifunctorMapObj F p X Y i j k hij ≫ g
\u22a2 ∀ (i : I × J) (hij : p i = k), (((mapBifunctor F I J).obj X).obj Y).ιMapObj p i k hij ≫ f = (((mapBifunctor F I J).obj X).obj Y).ιMapObj p i k hij ≫ g
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x y : α
h : x ≠ y
z : α
hx : z = x
\u22a2 z ∈ (swap x y).support ↔ z ∈ {x, y}
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x y : α
h : x ≠ y
z : α
hx : ¬z = x
\u22a2 z ∈ (swap x y).support ↔ z ∈ {x, y}
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
x : ℝ
\u22a2 oddKernel a x = 1 / x ^ (3 / 2) * sinKernel a (1 / x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ≤ 0
\u22a2 oddKernel a x = 1 / x ^ (3 / 2) * sinKernel a (1 / x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : 0 < x
\u22a2 oddKernel a x = 1 / x ^ (3 / 2) * sinKernel a (1 / x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
\u22a2 oddKernel (↑a) x = 1 / x ^ (3 / 2) * sinKernel (↑a) (1 / x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : -1 / (I * ↑(1 / x)) = I * ↑x
\u22a2 oddKernel (↑a) x = 1 / x ^ (3 / 2) * sinKernel (↑a) (1 / x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : -1 / (I * ↑(1 / x)) = I * ↑x
h2 : -I * (I * ↑(1 / x)) = 1 / ↑x
\u22a2 oddKernel (↑a) x = 1 / x ^ (3 / 2) * sinKernel (↑a) (1 / x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : -1 / (I * ↑(1 / x)) = I * ↑x
h2 : -I * (I * ↑(1 / x)) = 1 / ↑x
h3 : ↑x ^ (3 / 2) ≠ 0
\u22a2 oddKernel (↑a) x = 1 / x ^ (3 / 2) * sinKernel (↑a) (1 / x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : -1 / (I * ↑(1 / x)) = I * ↑x
h2 : -I * (I * ↑(1 / x)) = 1 / ↑x
h3 : ↑x ^ (3 / 2) ≠ 0
h4 : (↑x).arg ≠ π
\u22a2 oddKernel (↑a) x = 1 / x ^ (3 / 2) * sinKernel (↑a) (1 / x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : -1 / (I * ↑(1 / x)) = I * ↑x
h2 : -I * (I * ↑(1 / x)) = 1 / ↑x
h3 : ↑x ^ (3 / 2) ≠ 0
h4 : (↑x).arg ≠ π
\u22a2 jacobiTheta₂'' (↑a) (I * ↑x) = ↑(1 / x ^ (3 / 2)) * (-2 * ↑π / (1 / ↑x) ^ (3 / 2) * jacobiTheta₂'' (↑a) (I * ↑x) / (-2 * ↑π))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : -1 / (I * ↑(1 / x)) = I * ↑x
h2 : -I * (I * ↑(1 / x)) = 1 / ↑x
h3 : ↑x ^ (3 / 2) ≠ 0
h4 : (↑x).arg ≠ π
J : ℂ
\u22a2 J = ↑(1 / x ^ (3 / 2)) * (-2 * ↑π / (1 / ↑x) ^ (3 / 2) * J / (-2 * ↑π))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹⁰ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalSpace F
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : AddCommMonoid F
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
s : Set E
inst✝³ : Semiring 𝕝
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : Module 𝕝 F
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul E F 𝕜 𝕝
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕝] F
hf : IsOpenMap ⇑f
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : f x ≠ f y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
\u22a2 a • f x + b • f y ∈ interior (⇑f '' s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹⁰ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalSpace F
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : AddCommMonoid F
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
s : Set E
inst✝³ : Semiring 𝕝
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : Module 𝕝 F
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul E F 𝕜 𝕝
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕝] F
hf : IsOpenMap ⇑f
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : f x ≠ f y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
\u22a2 f (a • x + b • y) = a • f x + b • f y
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
h : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
x✝¹ : x ∈ univ
y : X
x✝ : y ∈ univ
\u22a2 x ≠ y → (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v) x y
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
h : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
x✝¹ : x ∈ univ
y : X
x✝ : y ∈ univ
\u22a2 (¬∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v) → x = y
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
h : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
x✝¹ : x ∈ univ
y : X
x✝ : y ∈ univ
hyp : ¬∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
h : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
x✝¹ : x ∈ univ
y : X
x✝ : y ∈ univ
hyp : ¬∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v
\u22a2 x ∈ connectedComponent y
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
h : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
x✝¹ : x ∈ univ
y : X
x✝ : y ∈ univ
hyp : ¬∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v
\u22a2 ∀ (i : { s // IsClopen s ∧ y ∈ s }), x ∈ ↑i
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
h : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
x✝¹ : x ∈ univ
y : X
x✝ : y ∈ univ
hyp : ¬∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v
w : Set X
hw : IsClopen w
hy : y ∈ w
\u22a2 x ∈ ↑⟨w, ⋯⟩
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
h : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
x✝¹ : x ∈ univ
y : X
x✝ : y ∈ univ
hyp : ¬∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v
w : Set X
hw : IsClopen w
hy : y ∈ w
hx : x ∉ ↑⟨w, ⋯⟩
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
r : R
x : HahnSeries Γ R
a b : Γ
hr : ¬r = 0
\u22a2 (x * (single b) r).coeff (a + b) = x.coeff a * r
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
r : R
x : HahnSeries Γ R
a b : Γ
hr : ¬r = 0
\u22a2 ∑ x_1 ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ (a + b), x.coeff x_1.1 * ((single b) r).coeff x_1.2 = x.coeff a * r
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y
\u22a2 seminormFromBounded' f x = f x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y
\u22a2 ⨆ y, f x * (f y / f y) = f x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y
\u22a2 ⨆ y, f x * (f y / f y) ≤ f x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y
\u22a2 f x ≤ ⨆ y, f x * (f y / f y)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
\u22a2 (fun s => s.sum fun x e => e) = fun m => Multiset.card (toMultiset m)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
\u22a2 (m.sum fun x e => e) = Multiset.card (toMultiset m)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hn : n ≠ 0
ha : 1 < a
\u22a2 1 < a ^ n
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i j : ι
r : c.Rel i j
\u22a2 (C.xPrevIso r).inv ≫ C.dTo j = C.d i j