ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f g : α →ₛ G'
hfi : Integrable (↑f) μ
hgi : Integrable (↑g) μ
hfg : f ≤ g
x : α
\u22a2 ↑0 x ≤ ↑(g - f) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
h_add : FinMeasAdditive μ T
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f g : α →ₛ G'
hfi : Integrable (↑f) μ
hgi : Integrable (↑g) μ
hfg : f ≤ g
x : α
\u22a2 ↑f x ≤ ↑g x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
y : ℝ
hy : 0 < y
\u22a2 Tendsto (fun x => c * x ^ y) (𝓝 0) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
y : ℝ
hy : 0 < y
\u22a2 0 = c * 0 ^ y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
y : ℝ
hy : 0 < y
\u22a2 0 ^ y ≠ 0 ∨ c ≠ ⊤
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c✝ c : Composition n
\u22a2 c ≠ ones n ↔ ∃ i ∈ c.blocks, 1 < i
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c✝ c : Composition n
\u22a2 (¬∀ i ∈ c.blocks, i = 1) ↔ ∃ i ∈ c.blocks, 1 < i
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c✝ c : Composition n
this : ∀ j ∈ c.blocks, j = 1 ↔ j ≤ 1
\u22a2 (¬∀ i ∈ c.blocks, i = 1) ↔ ∃ i ∈ c.blocks, 1 < i
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
\u22a2 ∃ a' b', a' ^ 3 + b' ^ 3 = ↑S'.u * S'.c ^ 3 ∧ IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ λ ^ 2 ∣ a' + b'
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ^ 2 ∣ S'.a + S'.b
\u22a2 ∃ a' b', a' ^ 3 + b' ^ 3 = ↑S'.u * S'.c ^ 3 ∧ IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ λ ^ 2 ∣ a' + b'
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ^ 2 ∣ S'.a + ↑η * S'.b
\u22a2 ∃ a' b', a' ^ 3 + b' ^ 3 = ↑S'.u * S'.c ^ 3 ∧ IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ λ ^ 2 ∣ a' + b'
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ^ 2 ∣ S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b
\u22a2 ∃ a' b', a' ^ 3 + b' ^ 3 = ↑S'.u * S'.c ^ 3 ∧ IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ λ ^ 2 ∣ a' + b'
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X E
f : X → 𝕜
hf : IntegrableOn f K μ
g : X → E
hg : ContinuousOn g K
hK : IsCompact K
\u22a2 IntegrableOn (fun x => f x • g x) K μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X E
f : X → 𝕜
hf : IntegrableOn f K μ
g : X → E
hg : ContinuousOn g K
hK : IsCompact K
\u22a2 Integrable (fun a => ‖f a • g a‖) (μ.restrict K)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace X
inst✝⁹ : TopologicalSpace X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X E
f : X → 𝕜
hf : IntegrableOn f K μ
g : X → E
hg : ContinuousOn g K
hK : IsCompact K
\u22a2 AEStronglyMeasurable (fun x => f x • g x) (μ.restrict K)
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b ab : ℕ
r : ℤ
hab : a % b = ab
hr : jacobiSymNat ab b = r
\u22a2 jacobiSymNat a b = r
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b ab : ℕ
r : ℤ
hab : a % b = ab
hr : jacobiSymNat ab b = r
\u22a2 jacobiSym (↑a % ↑b) b = jacobiSym (↑(a % b)) b
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x✝ y✝ x y : ℝ
a : ℕ
\u22a2 √↑a < ↑a.sqrt + 1
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x✝ y✝ x y : ℝ
a : ℕ
\u22a2 a < (a.sqrt + 1) ^ 2
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x✝ y✝ x y : ℝ
a : ℕ
\u22a2 0 ≤ a.sqrt + 1
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
i1 i2 : ℕ
hi : i1 ≤ i2
\u22a2 μ.rowLen i2 ≤ μ.rowLen i1
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
i1 i2 : ℕ
hi : i1 ≤ i2
h_lt : μ.rowLen i1 < μ.rowLen i2
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
i1 i2 : ℕ
hi : i1 ≤ i2
h_lt : μ.rowLen i1 < μ.rowLen i2
\u22a2 μ.rowLen i1 < μ.rowLen i1
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
i1 i2 : ℕ
hi : i1 ≤ i2
h_lt : (i2, μ.rowLen i1) ∈ μ
\u22a2 (i1, μ.rowLen i1) ∈ μ
-- Mathlib/Algebra/Group/Conj.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Monoid α
a : α
\u22a2 ∀ {b : ConjClasses α}, a ∈ b.carrier ↔ ConjClasses.mk a = b
-- Mathlib/Algebra/Group/Conj.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Monoid α
a : α
\u22a2 ∀ (a_1 : α), a ∈ (ConjClasses.mk a_1).carrier ↔ ConjClasses.mk a = ConjClasses.mk a_1
-- Mathlib/Algebra/Group/Conj.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Monoid α
a b : α
\u22a2 a ∈ (ConjClasses.mk b).carrier ↔ ConjClasses.mk a = ConjClasses.mk b
-- Mathlib/Algebra/Group/Conj.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Monoid α
a b : α
\u22a2 a ∈ conjugatesOf b ↔ IsConj b a
-- Mathlib/Analysis/Complex/ReImTopology.lean
a : ℝ
\u22a2 interior {z | a ≤ z.im} = {z | a < z.im}
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Bernstein.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n
\u22a2 eval 1 ((⇑derivative)^[n - ν] (bernsteinPolynomial R n ν)) ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Bernstein.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n
\u22a2 ¬eval ν.succ (ascPochhammer ℕ (n - ν)) = 0
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α✝ : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
x y : G
i : ℤ
α : Type u_6
inst✝ : MulAction G α
hx : x ∈ zpowers y
a : α
hs : y • a = a
\u22a2 x • a = a
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α✝ : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
y : G
i : ℤ
α : Type u_6
inst✝ : MulAction G α
a : α
hs : y • a = a
k : ℤ
hx : y ^ k ∈ zpowers y
\u22a2 y ^ k • a = a
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α✝ : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
y : G
i : ℤ
α : Type u_6
inst✝ : MulAction G α
a : α
hs : y • a = a
k : ℤ
hx : y ^ k ∈ zpowers y
\u22a2 (MulAction.toPerm y ^ k) a = a
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n : ℤ
p : ℤ → Prop
i : ℤ
hz : p 0
hp : ∀ (i : ℕ), p ↑i → p (↑i + 1)
hn : ∀ (i : ℕ), p (-↑i) → p (-↑i - 1)
\u22a2 p i
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type ?u.6722
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
\u22a2 IsSeparatedMap f ↔ ∀ (x₁ x₂ : X), f x₁ = f x₂ → x₁ ≠ x₂ → ∃ s₁ ∈ 𝓝 x₁, ∃ s₂ ∈ 𝓝 x₂, Disjoint s₁ s₂
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
f : Filter β
u : β → α
a : α
\u22a2 Tendsto u f (𝓝 a) ↔ Tendsto (fun x => (a, u x)) f (𝓤 α)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
f : Filter β
u : β → α
a : α
\u22a2 Tendsto (Prod.mk a ∘ u) f (𝓤 α) ↔ Tendsto (fun x => (a, u x)) f (𝓤 α)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F
\u22a2 fderivWithin 𝕜 (fun y => c + f y) s x = fderivWithin 𝕜 f s x
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Restrict.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Semifield S
inst✝⁶ : Ring A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra S A
inst✝² : IsScalarTower R S A
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSpace S
a : A
f : C(S, R)
h : SpectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : CompactSpace ↑(spectrum S a)
\u22a2 CompactSpace ↑(spectrum R a)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Restrict.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Semifield S
inst✝⁶ : Ring A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra S A
inst✝² : IsScalarTower R S A
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSpace S
a : A
f : C(S, R)
h : SpectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : IsCompact (spectrum S a)
\u22a2 IsCompact (spectrum R a)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
\u22a2 W.Φ 4 = X * W.preΨ₄ ^ 2 * W.Ψ₂Sq - W.Ψ₃ * (W.preΨ₄ * W.Ψ₂Sq ^ 2 - W.Ψ₃ ^ 3)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
\u22a2 X * W.preΨ₄ ^ 2 * W.Ψ₂Sq - (W.preΨ₄ * 1 ^ 3 * W.Ψ₂Sq ^ 2 - 1 * W.Ψ₃ ^ 3 * 1) * W.Ψ₃ * 1 = X * W.preΨ₄ ^ 2 * W.Ψ₂Sq - W.Ψ₃ * (W.preΨ₄ * W.Ψ₂Sq ^ 2 - W.Ψ₃ ^ 3)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/LinearMap.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
\u22a2 ((LinearMap.llcomp R (ι → R) (ι → R) M) ((Fintype.total R R) b) ∘ₗ algEquivMatrix'.symm.toLinearMap) 1 = (PiToModule.fromEnd R b) 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/LinearMap.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
\u22a2 ((LinearMap.llcomp R (ι → R) (ι → R) M) ((Fintype.total R R) b)) 1 = (PiToModule.fromEnd R b) 1
-- Mathlib/Data/Set/Subset.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A B C : Set α
D E : Set ↑A
S : Set (Set α)
T : Set (Set ↑A)
s : ι → Set α
t : ι → Set ↑A
\u22a2 A ↓∩ ⋂₀ S = ⋂₀ {x | ∃ B ∈ S, A ↓∩ B = x}
-- Mathlib/Data/Set/Subset.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A B C : Set α
D E : Set ↑A
S : Set (Set α)
T : Set (Set ↑A)
s : ι → Set α
t : ι → Set ↑A
\u22a2 A ↓∩ ⋂₀ S = ⋂ x ∈ S, A ↓∩ x
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
n : ℕ
\u22a2 0 < a ^ ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
n : ℕ
\u22a2 0 < a ^ n
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
n : ℕ
\u22a2 0 < a ^ (-↑(n + 1))
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
n : ℕ
\u22a2 0 < a ^ (n + 1)
-- Mathlib/Data/Option/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
p✝ : α✝ → Prop
f✝ : (a : α✝) → p✝ a → β✝
x✝ : Option α✝
α : Type u_5
β γ : Type u_6
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
x : Option α
g : β → Option γ
H : ∀ (a : α), a ∈ x → p a
\u22a2 pmap f x H >>= g = x.pbind fun a h => g (f a ⋯)
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
p : T.CompleteType α
φ : L[[α]].Sentence
hf : Formula.not φ ∈ p
ht : φ ∈ p
\u22a2 False
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
p : T.CompleteType α
φ : L[[α]].Sentence
hf : Formula.not φ ∈ p
ht : φ ∈ p
h : ¬{φ, Formula.not φ}.IsSatisfiable
\u22a2 False
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
p : T.CompleteType α
φ : L[[α]].Sentence
hf : Formula.not φ ∈ p
ht : φ ∈ p
h : ¬{φ, Formula.not φ}.IsSatisfiable
\u22a2 {φ, Formula.not φ} ⊆ ↑p
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
p : T.CompleteType α
φ : L[[α]].Sentence
hf : Formula.not φ ∈ p
ht : φ ∈ p
h : ¬{φ, Formula.not φ}.IsSatisfiable
\u22a2 φ ∈ ↑p ∧ Formula.not φ ∈ ↑p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/PartialFractions.lean
R : Type
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g₁ g₂ : R[X]
hg₁ : g₁.Monic
hg₂ : g₂.Monic
c d : R[X]
hcd : c * g₁ + d * g₂ = 1
\u22a2 ∃ q r₁ r₂, r₁.degree < g₁.degree ∧ r₂.degree < g₂.degree ∧ ↑f / (↑g₁ * ↑g₂) = ↑q + ↑r₁ / ↑g₁ + ↑r₂ / ↑g₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/PartialFractions.lean
R : Type
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g₁ g₂ : R[X]
hg₁ : g₁.Monic
hg₂ : g₂.Monic
c d : R[X]
hcd : c * g₁ + d * g₂ = 1
\u22a2 ↑f / (↑g₁ * ↑g₂) = ↑(f * d /ₘ g₁ + f * c /ₘ g₂) + ↑(f * d %ₘ g₁) / ↑g₁ + ↑(f * c %ₘ g₂) / ↑g₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/PartialFractions.lean
R : Type
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g₁ g₂ : R[X]
hg₁ : g₁.Monic
hg₂ : g₂.Monic
c d : R[X]
hcd : c * g₁ + d * g₂ = 1
hg₁' : ↑g₁ ≠ 0
\u22a2 ↑f / (↑g₁ * ↑g₂) = ↑(f * d /ₘ g₁ + f * c /ₘ g₂) + ↑(f * d %ₘ g₁) / ↑g₁ + ↑(f * c %ₘ g₂) / ↑g₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/PartialFractions.lean
R : Type
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g₁ g₂ : R[X]
hg₁ : g₁.Monic
hg₂ : g₂.Monic
c d : R[X]
hcd : c * g₁ + d * g₂ = 1
hg₁' : ↑g₁ ≠ 0
hg₂' : ↑g₂ ≠ 0
\u22a2 ↑f / (↑g₁ * ↑g₂) = ↑(f * d /ₘ g₁ + f * c /ₘ g₂) + ↑(f * d %ₘ g₁) / ↑g₁ + ↑(f * c %ₘ g₂) / ↑g₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/PartialFractions.lean
R : Type
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g₁ g₂ : R[X]
hg₁ : g₁.Monic
hg₂ : g₂.Monic
c d : R[X]
hcd : c * g₁ + d * g₂ = 1
hg₁' : ↑g₁ ≠ 0
hg₂' : ↑g₂ ≠ 0
hfc : f * c %ₘ g₂ + g₂ * (f * c /ₘ g₂) = f * c
\u22a2 ↑f / (↑g₁ * ↑g₂) = ↑(f * d /ₘ g₁ + f * c /ₘ g₂) + ↑(f * d %ₘ g₁) / ↑g₁ + ↑(f * c %ₘ g₂) / ↑g₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/PartialFractions.lean
R : Type
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g₁ g₂ : R[X]
hg₁ : g₁.Monic
hg₂ : g₂.Monic
c d : R[X]
hcd : c * g₁ + d * g₂ = 1
hg₁' : ↑g₁ ≠ 0
hg₂' : ↑g₂ ≠ 0
hfc : f * c %ₘ g₂ + g₂ * (f * c /ₘ g₂) = f * c
hfd : f * d %ₘ g₁ + g₁ * (f * d /ₘ g₁) = f * d
\u22a2 ↑f / (↑g₁ * ↑g₂) = ↑(f * d /ₘ g₁ + f * c /ₘ g₂) + ↑(f * d %ₘ g₁) / ↑g₁ + ↑(f * c %ₘ g₂) / ↑g₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/PartialFractions.lean
R : Type
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g₁ g₂ : R[X]
hg₁ : g₁.Monic
hg₂ : g₂.Monic
c d : R[X]
hcd : c * g₁ + d * g₂ = 1
hg₁' : ↑g₁ ≠ 0
hg₂' : ↑g₂ ≠ 0
hfc : f * c %ₘ g₂ + g₂ * (f * c /ₘ g₂) = f * c
hfd : f * d %ₘ g₁ + g₁ * (f * d /ₘ g₁) = f * d
\u22a2 f = ((f * d /ₘ g₁ + f * c /ₘ g₂) * g₁ + f * d %ₘ g₁) * g₂ + f * c %ₘ g₂ * g₁
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ f : Perm α
h : f.IsThreeCycle
\u22a2 f⁻¹.IsThreeCycle
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f✝ g f g₁ g₂ : CircleDeg1Lift
h : Semiconj ⇑f ⇑g₁ ⇑g₂
\u22a2 dist (g₁ 0) (f (g₁ 0) - f 0) + dist (f (g₁ 0) - f 0) (g₂ 0) = dist (f 0 + g₁ 0) (f (g₁ 0)) + dist (g₂ 0 + f 0) (g₂ (f 0))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
hb : 0 < b.re
\u22a2 ∫ (v : V), cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2) = (↑π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2)
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
\u22a2 ⨅ i, ↑(f i) < ⊤ ↔ Nonempty ι
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 a ⇔ b = ⊥ ↔ IsCompl a b
-- Mathlib/Topology/UrysohnsLemma.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
\u22a2 ∃ f, EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
-- Mathlib/Topology/UrysohnsLemma.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
k : Set X
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed k
sk : s ⊆ interior k
kt : k ⊆ tᶜ
\u22a2 ∃ f, EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
-- Mathlib/Topology/UrysohnsLemma.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
k : Set X
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed k
sk : s ⊆ interior k
kt : k ⊆ tᶜ
P : Set X → Prop := IsCompact
\u22a2 ∃ f, EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
-- Mathlib/Topology/UrysohnsLemma.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
k : Set X
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed k
sk : s ⊆ interior k
kt : k ⊆ tᶜ
P : Set X → Prop := IsCompact
c : Urysohns.CU P := { C := k, U := tᶜ, P_C := k_comp, closed_C := k_closed, open_U := ⋯, subset := kt, hP := ⋯ }
\u22a2 ∃ f, EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
K : IntermediateField F E
S : Set E
\u22a2 restrictScalars F (adjoin (↥K) S) = adjoin F (↑K ∪ S)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
m : ℕ
f : α → ℕ
h₁ : ∀ x ∈ s, f x = m
\u22a2 ∑ x ∈ s, f x = s.card * m
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
m : ℕ
f : α → ℕ
h₁ : ∀ x ∈ s, f x = m
\u22a2 ∑ x ∈ s, f x = ∑ _x ∈ s, m
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
\u22a2 s ×ˢ t = ⋃ a ∈ s, (fun b => (a, b)) '' t
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
\u22a2 #Cardinal.{u} = univ.{u, u + 1}
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hP : RingHom.StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
\u22a2 P.StableUnderBaseChange
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hP : RingHom.StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
\u22a2 (sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q).StableUnderBaseChange
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hP : RingHom.StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
this : (sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q).IsLocal := HasAffineProperty.isLocal_affineProperty P
\u22a2 (sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q).StableUnderBaseChange
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hP : RingHom.StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
this : (sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q).IsLocal := HasAffineProperty.isLocal_affineProperty P
\u22a2 ∀ ⦃X Y S : Scheme⦄ [inst : IsAffine S] [inst_1 : IsAffine X] (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S), sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q) g → sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q) (pullback.fst f g)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝² : HasRingHomProperty P Q
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z
hP : RingHom.StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
this : (sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q).IsLocal := HasAffineProperty.isLocal_affineProperty P
X Y S : Scheme
inst✝¹ : IsAffine S
inst✝ : IsAffine X
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q) g
\u22a2 sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q) (pullback.fst f g)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝² : HasRingHomProperty P Q
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z
hP : RingHom.StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
this : (sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q).IsLocal := HasAffineProperty.isLocal_affineProperty P
X Y S : Scheme
inst✝¹ : IsAffine S
inst✝ : IsAffine X
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : P g
\u22a2 P (pullback.fst f g)