ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
this : IsFiniteKernel κ
hA' : MeasurableSet A
\u22a2 ∀ (f : ℕ → Set γ), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), (fun A => ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal) (f i)) → (fun A => ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal) (⋃ i, f i)
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
s t : Set α
l : Filter α
\u22a2 s =ᶠ[l] t ↔ l ⊓ 𝓟 s = l ⊓ 𝓟 t
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w₁ w₂ : W
\u22a2 cs.length w₁ - cs.length w₂ ≤ cs.length (w₁ * w₂)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid A
inst✝⁵ : AddCommMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddCommMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
m : Multiset R[A]
\u22a2 (Multiset.map (fun f => f.support.inf degt) m).sum ≤ m.prod.support.inf degt
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid A
inst✝⁵ : AddCommMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddCommMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
m : Multiset R[A]
\u22a2 OrderDual.ofDual (degt 0) ≤ OrderDual.ofDual 0
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid A
inst✝⁵ : AddCommMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddCommMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
m : Multiset R[A]
a b : A
\u22a2 OrderDual.ofDual (degt (a + b)) ≤ OrderDual.ofDual (degt a + degt b)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/InducedMaps.lean
X₁ X₂ Y : TopCat
f : C(↑X₁, ↑Y)
g : C(↑X₂, ↑Y)
x₀ x₁ : ↑X₁
x₂ x₃ : ↑X₂
p : Path x₀ x₁
q : Path x₂ x₃
hfg : ∀ (t : ↑I), f (p t) = g (q t)
\u22a2 f x₁ = g x₃
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm (Fin n)
x✝ : (_ : Fin n) × Fin n
a₁ a₂ : Fin n
ha : ⟨a₁, a₂⟩ ∈ finPairsLT n
hxa : f⁻¹ a₂ < f⁻¹ a₁
\u22a2 (if f (f⁻¹ a₂) < f (f⁻¹ a₁) then ⟨f (f⁻¹ a₁), f (f⁻¹ a₂)⟩ else ⟨f (f⁻¹ a₂), f (f⁻¹ a₁)⟩) = ⟨a₁, a₂⟩
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm (Fin n)
x✝ : (_ : Fin n) × Fin n
a₁ a₂ : Fin n
ha : ⟨a₁, a₂⟩ ∈ finPairsLT n
hxa : ¬f⁻¹ a₂ < f⁻¹ a₁
h : f⁻¹ a₁ = f⁻¹ a₂
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm (Fin n)
x✝ : (_ : Fin n) × Fin n
a₁ a₂ : Fin n
ha : ⟨a₁, a₂⟩ ∈ finPairsLT n
hxa : ¬f⁻¹ a₂ < f⁻¹ a₁
\u22a2 (if f (f⁻¹ a₁) < f (f⁻¹ a₂) then ⟨f (f⁻¹ a₂), f (f⁻¹ a₁)⟩ else ⟨f (f⁻¹ a₁), f (f⁻¹ a₂)⟩) = ⟨a₁, a₂⟩
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
c : ℝ
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Iic c, rexp x = rexp c
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
c : ℝ
\u22a2 Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in id i..c, rexp x) atBot (𝓝 (rexp c))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
c : ℝ
\u22a2 Tendsto (fun i => rexp c - rexp (id i)) atBot (𝓝 (rexp c - 0))
-- Mathlib/Tactic/NormNum/BigOperators.lean
u v : Level
n nn n' : ℕ
pn : NormNum.IsNat n nn
pn' : nn = n'.succ
\u22a2 Multiset.range n = n' ::ₘ Multiset.range n'
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
s t : Finset α
\u22a2 filter p s = ∅ ↔ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ¬p x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
h : x ∈ slitPlane
\u22a2 ContinuousAt arg x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
h : x ∈ slitPlane
h₀ : abs x ≠ 0
\u22a2 ContinuousAt arg x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
h : 0 < x.re ∨ x.im < 0 ∨ 0 < x.im
h₀ : abs x ≠ 0
\u22a2 ContinuousAt arg x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
h₀ : abs x ≠ 0
hx_re : 0 < x.re
\u22a2 ContinuousAt arg x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
h₀ : abs x ≠ 0
hx_im : x.im < 0
\u22a2 ContinuousAt arg x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
h₀ : abs x ≠ 0
hx_im : 0 < x.im
\u22a2 ContinuousAt arg x
-- Mathlib/ModelTheory/LanguageMap.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
α : Type w'
\u22a2 L[[α]].card = lift.{w', max u v} L.card + lift.{max u v, w'} #α
-- Mathlib/CategoryTheory/ChosenFiniteProducts/FunctorCategory.lean
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} J
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
F : J ⥤ C
j : J
\u22a2 (λ_ F).inv.app j = (λ_ (F.obj j)).inv
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Mul α
inst✝² : Mul β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MulHomClass F α β
m : F
s✝ t✝ : Set α
s t : Set β
w✝¹ : α
left✝¹ : w✝¹ ∈ ⇑m ⁻¹' s
w✝ : α
left✝ : w✝ ∈ ⇑m ⁻¹' t
\u22a2 (fun x x_1 => x * x_1) w✝¹ w✝ ∈ ⇑m ⁻¹' (s * t)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
\u22a2 cof 0 = 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
\u22a2 cof 0 ≤ 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
\u22a2 cof 0 ≤ card 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Caratheodory.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s
k : ℕ := (minCardFinsetOfMemConvexHull hx).card - 1
\u22a2 AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
-- Mathlib/Analysis/Convex/Caratheodory.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s
k : ℕ := (minCardFinsetOfMemConvexHull hx).card - 1
hk : (minCardFinsetOfMemConvexHull hx).card = k + 1
\u22a2 AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
ne : Nonempty ι
i : ι
\u22a2 ∀ {x y : Set α}, x ∈ ⋃ i, (f i).sets → x ⊆ y → y ∈ ⋃ i, (f i).sets
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
ne : Nonempty ι
i : ι
\u22a2 ∀ {x y : Set α} (x_1 : ι), x ∈ (f x_1).sets → x ⊆ y → ∃ i, y ∈ (f i).sets
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
ne : Nonempty ι
i : ι
\u22a2 ∀ {x y : Set α}, x ∈ ⋃ i, (f i).sets → y ∈ ⋃ i, (f i).sets → x ∩ y ∈ ⋃ i, (f i).sets
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
ne : Nonempty ι
i : ι
\u22a2 ∀ {x y : Set α} (x_1 : ι), x ∈ (f x_1).sets → ∀ (x_2 : ι), y ∈ (f x_2).sets → ∃ i, x ∩ y ∈ (f i).sets
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
ne : Nonempty ι
i : ι
x y : Set α
a : ι
hx : x ∈ (f a).sets
b : ι
hy : y ∈ (f b).sets
c : ι
ha : f a ≥ f c
hb : f b ≥ f c
\u22a2 ∃ i, x ∩ y ∈ (f i).sets
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
s s' : ℂ
h : s.re ≤ s'.re
n : ℕ
\u22a2 ‖term f s' n‖ ≤ ‖term f s n‖
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
s s' : ℂ
h : s.re ≤ s'.re
n : ℕ
\u22a2 (if n = 0 then 0 else ‖f n‖ / ↑n ^ s'.re) ≤ if n = 0 then 0 else ‖f n‖ / ↑n ^ s.re
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
s s' : ℂ
h : s.re ≤ s'.re
n : ℕ
h✝ : ¬n = 0
\u22a2 ‖f n‖ / ↑n ^ s'.re ≤ ‖f n‖ / ↑n ^ s.re
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ
\u22a2 multichoose (-↑n) n = (-1) ^ n
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ
\u22a2 (fun x => ?m.77547.factorial • x) (multichoose (-↑n) n) = (fun x => ?m.77547.factorial • x) ((-1) ^ n)
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ
\u22a2 ℕ
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ
\u22a2 ?m.77547.factorial • multichoose (-↑n) n = ?m.77547.factorial • (-1) ^ n
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
a✝ b✝ : G
ha : a✝ ∈ center G
hb : b✝ ∈ center G
g : G
\u22a2 g * (a✝ * b✝) = a✝ * b✝ * g
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
a : G
ha : a ∈ center G
g : G
\u22a2 a⁻¹ * (g * a) * a⁻¹ = a⁻¹ * g
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
a : G
ha : a ∈ center G
g : G
\u22a2 a⁻¹ * g * (a * a⁻¹) = a⁻¹ * g
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
n : G
ha : n ∈ center G
g h : G
\u22a2 h * (g * n * g⁻¹) = h * n
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
n : G
ha : n ∈ center G
g h : G
\u22a2 g * g⁻¹ * n * h = g * n * g⁻¹ * h
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]
\u22a2 ↑φ = 1 ↔ φ = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R✝ M
N : Type u_3
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : Module R✝ N
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid P
inst✝⁹ : Module R✝ P
M' : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R✝ M'
N' : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : Module R✝ N'
ι✝ : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
f✝ f' : M [⋀^ι✝]→ₗ[R✝] N
g g₂ : M [⋀^ι✝]→ₗ[R✝] N'
g' : M' [⋀^ι✝]→ₗ[R✝] N'
v✝ : ι✝ → M
v' : ι✝ → M'
R : Type u_10
M₁ : Type u_11
M₂ : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
f : M₁ [⋀^ι]→ₗ[R] R
z : M₂
v : ι → M₁
i j : ι
h : v i = v j
hne : i ≠ j
\u22a2 __src✝.toFun v = 0
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
i j : n
c : α
i' j' : n
inst✝ : Fintype n
a b : n
h : a ≠ i
M : Matrix n n α
\u22a2 (stdBasisMatrix i j c * M) a b = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
hp3p2 : p3 ≠ p2
\u22a2 dist p1 p3 = dist p1 p2 + dist p3 p2 ↔ ∠ p1 p2 p3 = π
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
hp3p2 : p3 ≠ p2
\u22a2 ‖p1 -ᵥ ?p₃ - (p3 -ᵥ ?p₃)‖ = ‖p1 -ᵥ p2‖ + ‖p3 -ᵥ p2‖ ↔ ∠ p1 p2 p3 = π
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Ultra/Basic.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x✝¹ y✝ z : X
r✝ s : ℝ
x y : X
r : ℝ
h : y ∈ closedBall x r
x✝ : X
\u22a2 x✝ ∈ closedBall x r ↔ x✝ ∈ closedBall y r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Ultra/Basic.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x✝¹ y✝ z : X
r✝ s : ℝ
x y : X
r : ℝ
x✝ : X
h : dist y x ≤ r
\u22a2 dist x✝ x ≤ r ↔ dist x✝ y ≤ r
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : IsOfFinOrder x
\u22a2 minimalPeriod (fun x_1 => x ^ n * x_1) 1 = minimalPeriod (fun x_1 => x * x_1) 1 / (minimalPeriod (fun x_1 => x * x_1) 1).gcd n
-- Mathlib/Topology/Category/Compactum.lean
X : Compactum
A : Set X.A
\u22a2 IsClosed (Compactum.cl A)
-- Mathlib/Topology/Category/Compactum.lean
X : Compactum
A : Set X.A
\u22a2 ∀ (F : Ultrafilter X.A), Compactum.cl A ∈ F → X.str F ∈ Compactum.cl A
-- Mathlib/Topology/Category/Compactum.lean
X : Compactum
A : Set X.A
F : Ultrafilter X.A
hF : Compactum.cl A ∈ F
\u22a2 X.str F ∈ Compactum.cl A
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
t : Set β
hs : s.Finite
ht : t.Finite
\u22a2 (s ×ˢ t).Finite
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
t : Set β
hs : s.Finite
ht : t.Finite
this : Finite ↑s
\u22a2 (s ×ˢ t).Finite
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
t : Set β
hs : s.Finite
ht : t.Finite
this✝ : Finite ↑s
this : Finite ↑t
\u22a2 (s ×ˢ t).Finite
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : (↑s).Nonempty
\u22a2 directionOfNonempty h = s.direction
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : (↑s).Nonempty
\u22a2 directionOfNonempty h ≤ s.direction
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : (↑s).Nonempty
\u22a2 ↑{ carrier := ↑s -ᵥ ↑s, add_mem' := ⋯ } ⊆ ↑(vectorSpan k ↑s)
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ : Finmap β
s₁ : AList β
\u22a2 ⟦s₁⟧ ∪ ∅ = ⟦s₁⟧
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ : Finmap β
s₁ : AList β
\u22a2 ⟦s₁⟧ ∪ ⟦∅⟧ = ⟦s₁⟧
-- Mathlib/GroupTheory/FreeAbelianGroupFinsupp.lean
X : Type u_1
x : X
\u22a2 toFinsupp (of x) = single x 1
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ✝ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
u : Set γ
\u22a2 ⇑(prodAssoc α β γ) '' (s ×ˢ t) ×ˢ u = s ×ˢ t ×ˢ u
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : Associates α
a✝ : Nontrivial α
\u22a2 a.factors = ⊤ ↔ a = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
\u22a2 (Walk.map f p).reverse = Walk.map f p.reverse
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean
x : ℝ
hx : x ≠ 0
\u22a2 deriv negMulLog x = -log x - 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean
x : ℝ
hx : x ≠ 0
\u22a2 -(log x + 1) = -log x - 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm_not : ¬m ≤ m0
\u22a2 μ[f|m] = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2) = InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p3) (p2 -ᵥ p3)
hpi : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p1) (p3 -ᵥ p1) ≠ π
\u22a2 dist p1 p2 = dist p1 p3
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2) = InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p3) (p2 -ᵥ p3)
hpi : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p1) (p3 -ᵥ p1) ≠ π
\u22a2 ‖p1 -ᵥ p2‖ = ‖p1 -ᵥ p3‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2) = InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p3) (p2 -ᵥ p3)
hpi : InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p1 -ᵥ p3) ≠ π
\u22a2 ‖p1 -ᵥ p2‖ = ‖p1 -ᵥ p3‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p1 -ᵥ p2 - (p1 -ᵥ p3)) = InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p3) (p1 -ᵥ p3 - (p1 -ᵥ p2))
hpi : InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p1 -ᵥ p3) ≠ π
\u22a2 ‖p1 -ᵥ p2‖ = ‖p1 -ᵥ p3‖
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Bernstein.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n
\u22a2 eval 1 ((⇑derivative)^[n - ν] (bernsteinPolynomial R n ν)) = (-1) ^ (n - ν) * eval (↑ν + 1) (ascPochhammer R (n - ν))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Bernstein.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n
\u22a2 eval 1 ((⇑derivative)^[n - ν] ((bernsteinPolynomial R n (n - ν)).comp (1 - X))) = (-1) ^ (n - ν) * eval (↑ν + 1) (ascPochhammer R (n - ν))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Bernstein.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n
\u22a2 (-1) ^ (n - ν) * eval (↑(n - (n - ν - 1))) (ascPochhammer R (n - ν)) = (-1) ^ (n - ν) * eval (↑ν + 1) (ascPochhammer R (n - ν))
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
b : β
h : b ∉ s
\u22a2 (insert b s).lcm f = GCDMonoid.lcm (f b) (s.lcm f)
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
q : α → Prop
\u22a2 (∃ᶠ (x : α) in l, q x) ↔ ∀ (i : ι), p i → ∃ x ∈ s i, q x
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
q : α → Prop
\u22a2 (¬∃ i, p i ∧ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s i → ¬q x) ↔ ∀ (i : ι), p i → ∃ x ∈ s i, q x
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
q : α → Prop
\u22a2 (∀ (i : ι), p i → ∃ x ∈ s i, q x) ↔ ∀ (i : ι), p i → ∃ x ∈ s i, q x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivAt f f' x
hg : HasDerivAt g g' x
h : 0 < f x
\u22a2 HasDerivAt (fun x => f x ^ g x) (f' * g x * f x ^ (g x - 1) + g' * f x ^ g x * Real.log (f x)) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' Set.univ x
hg : HasDerivWithinAt g g' Set.univ x
h : 0 < f x
\u22a2 HasDerivWithinAt (fun x => f x ^ g x) (f' * g x * f x ^ (g x - 1) + g' * f x ^ g x * Real.log (f x)) Set.univ x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
m_pos : 0 < ↑m
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hs : s ∈ 𝒜
\u22a2 ↑(𝒜.sup id).card ≤ ↑𝒜.card * ↑s.card * ((↑m + 1) / ↑m)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
m_pos : 0 < ↑m
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hs : s ∈ 𝒜
\u22a2 ↑(𝒜.biUnion id).card * ↑m ≤ ↑𝒜.card * (↑m + 1) * ↑s.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
m_pos : 0 < ↑m
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hs : s ∈ 𝒜
\u22a2 ↑(𝒜.biUnion id).card ≤ ↑𝒜.card * (↑m + 1)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
m_pos : 0 < ↑m
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hs : s ∈ 𝒜
\u22a2 ↑m ≤ ↑s.card
-- Mathlib/Order/Interval/Set/UnorderedInterval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α
\u22a2 b ∈ Ι a c → c ∈ Ι a b → b = c
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.65549, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Y' : C
f : X ⟶ Y'
s : Y ⟶ Y'
hs : W s
\u22a2 (Q W).map f ≫ Qinv s hs = homMk (mk f s hs)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.65549, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Y' : C
f : X ⟶ Y'
s : Y ⟶ Y'
hs : W s
\u22a2 homMk (ofHom W f) ≫ homMk (ofInv s hs) = homMk (mk f s hs)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.65549, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Y' : C
f : X ⟶ Y'
s : Y ⟶ Y'
hs : W s
\u22a2 homMk ((ofHom W f).comp₀ (ofInv s hs) (ofHom W (𝟙 (ofHom W f).Y'))) = homMk (mk f s hs)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
H : SimpleGraph V
s s₁ s₂ : Set (Sym2 V)
\u22a2 G.deleteEdges s = G ↔ Disjoint G.edgeSet s
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
p : ℕ
\u22a2 Nat.rec (unpair p).1 (fun y IH => IH - 1) (unpair p).2 = (unpair p).1 - (unpair p).2
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
a : ℝ
\u22a2 HasSum (fun n => a / 2 / 2 ^ n) a