ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Num/Prime.lean
n : PosNum
fuel : ℕ
ih : ∀ {k : PosNum}, (↑n).sqrt < fuel + ↑k.bit1 → ↑(n.minFacAux fuel k) = (↑n).minFacAux ↑k.bit1
k : PosNum
h : (↑n).sqrt < fuel + 1 + ↑k.bit1
\u22a2 ↑(if n < k.bit1 * k.bit1 then n else if k.bit1 ∣ n then k.bit1 else n.minFacAux fuel k.succ) = if n < k.bit1 * k.bit1 then ↑n else if k.bit1 ∣ n then ↑k.bit1 else (↑n).minFacAux (↑k.bit1 + 2)
-- Mathlib/Data/Num/Prime.lean
n : PosNum
fuel : ℕ
ih : ∀ {k : PosNum}, (↑n).sqrt < fuel + ↑k.bit1 → ↑(n.minFacAux fuel k) = (↑n).minFacAux ↑k.bit1
k : PosNum
h : (↑n).sqrt < fuel + 1 + ↑k.bit1
h✝¹ : ¬n < k.bit1 * k.bit1
h✝ : ¬k.bit1 ∣ n
\u22a2 ↑(n.minFacAux fuel k.succ) = (↑n).minFacAux (↑k.bit1 + 2)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
\u22a2 dimH (f '' s) ≤ dimH s / ↑r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f '' s) = ⊤
\u22a2 ↑d ≤ dimH s / ↑r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f '' s) = ⊤
this : μH[↑d] (f '' s) ≤ ↑C ^ ↑d * μH[↑r * ↑d] s
\u22a2 ↑d ≤ dimH s / ↑r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f '' s) = ⊤
this : ↑(C ^ ↑d) * μH[↑r * ↑d] s = ⊤
\u22a2 ↑d ≤ dimH s / ↑r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f '' s) = ⊤
this : ↑(C ^ ↑d) * μH[↑r * ↑d] s = ⊤
Hrd : μH[↑(r * d)] s = ⊤
\u22a2 ↑d ≤ dimH s / ↑r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f '' s) = ⊤
this : ↑(C ^ ↑d) * μH[↑r * ↑d] s = ⊤
Hrd : μH[↑(r * d)] s = ⊤
\u22a2 ↑(r * d) ≤ dimH s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f '' s) = ⊤
this : ↑(C ^ ↑d) * μH[↑r * ↑d] s = ⊤
Hrd : μH[↑(r * d)] s = ⊤
\u22a2 ↑r ≠ 0 ∨ dimH s ≠ 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f '' s) = ⊤
this : ↑(C ^ ↑d) * μH[↑r * ↑d] s = ⊤
Hrd : μH[↑(r * d)] s = ⊤
\u22a2 ↑r ≠ ⊤ ∨ dimH s ≠ ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
\u22a2 orderOf (x ^ (orderOf x / (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y)) * y ^ (orderOf y / (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y))) = (orderOf x).lcm (orderOf y)
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
\u22a2 orderOf (x ^ (orderOf x / (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y))) * orderOf (y ^ (orderOf y / (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y))) = (orderOf x).lcm (orderOf y)
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
\u22a2 (orderOf (x ^ (orderOf x / (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y)))).Coprime (orderOf (y ^ (orderOf y / (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y))))
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
\u22a2 (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y) * (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y) = (orderOf x).lcm (orderOf y)
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
\u22a2 orderOf y ≠ 0
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
\u22a2 (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y) ∣ orderOf y
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
\u22a2 orderOf x ≠ 0
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
\u22a2 (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y) ∣ orderOf x
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0
\u22a2 ((orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y)).gcd ((orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y)) = 1
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
I : Ideal S
hI : I.IsMaximal
\u22a2 (comap (algebraMap R S) I).IsMaximal
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
I : Ideal S
hI : I.IsMaximal
\u22a2 IsField (R ⧸ comap (algebraMap R S) I)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
I : Ideal S
hI : I.IsMaximal
this : (comap (algebraMap R S) I).IsPrime
\u22a2 IsField (R ⧸ comap (algebraMap R S) I)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Basic.lean
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
M : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SetLike S M
inst✝ : AddSubmonoidClass S M
A : ι → S
x : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
\u22a2 (support fun i => ↑(x i)).Finite
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : R[X]
x : R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
\u22a2 eval x (p.comp q) = eval (eval x q) p
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/NatInt.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
g g' : G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : ℕ → G
k : ℕ
\u22a2 HasProd (fun n => f (n + k)) (g / ∏ i ∈ range k, f i) ↔ HasProd f g
-- Mathlib/Data/Fintype/Units.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : GroupWithZero α
inst✝ : Finite α
this : Fintype α
\u22a2 Nat.card α = Nat.card αˣ + 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hq0_lt : 0 < q
hfq : eLpNorm' f q μ < ⊤
\u22a2 ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hq0_lt : 0 < q
hfq : eLpNorm' f q μ < ⊤
\u22a2 eLpNorm' f q μ ^ q < ⊤
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E✝ B I✝ X R✝ J I E R : Set α
\u22a2 uniqueBaseOn I E ↾ R = uniqueBaseOn (I ∩ R ∩ E) R
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E✝ B I✝ X R✝ J I E R : Set α
\u22a2 ∀ I_1 ⊆ R, (I_1 ⊆ I ∧ I_1 ⊆ E) ∧ I_1 ⊆ R ↔ ((I_1 ⊆ I ∧ I_1 ⊆ R) ∧ I_1 ⊆ E) ∧ I_1 ⊆ R
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y x : ℝ
hx : cos x ≠ 0
\u22a2 tan x * cos x = sin x
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
a : ONote
ha : a.NF
b : ONote
hb : b.NF
\u22a2 (a.cmp b).Compares ⟨a, ha⟩ ⟨b, hb⟩
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
a : ONote
ha : a.NF
b : ONote
hb : b.NF
this : (a.cmp b).Compares a b
\u22a2 (a.cmp b).Compares ⟨a, ha⟩ ⟨b, hb⟩
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
a : ONote
ha : a.NF
b : ONote
hb : b.NF
h : a.cmp b = Ordering.eq
this : Ordering.eq.Compares a b
\u22a2 Ordering.eq.Compares ⟨a, ha⟩ ⟨b, hb⟩
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
z : S
w w' v : P
\u22a2 ((toLocalizationWithZeroMap M S).lift g.toMonoidWithZeroHom hg) z * w + w' = v ↔ g ((toLocalizationMap M S).sec z).1 * w + g ↑((toLocalizationMap M S).sec z).2 * w' = g ↑((toLocalizationMap M S).sec z).2 * v
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
z : S
w w' v : P
\u22a2 ↑g.toMonoidWithZeroHom ((toLocalizationWithZeroMap M S).sec z).1 * w + g ↑((toLocalizationWithZeroMap M S).sec z).2 * w' = g ↑((toLocalizationWithZeroMap M S).sec z).2 * v ↔ g ((toLocalizationMap M S).sec z).1 * w + g ↑((toLocalizationMap M S).sec z).2 * w' = g ↑((toLocalizationMap M S).sec z).2 * v
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ V
W : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace W
inst✝¹ : BorelSpace W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ W
f : V → E
w : V
\u22a2 𝓕 f w = ∫ (v : V), Complex.exp (↑(-2 * π * ⟪v, w⟫_ℝ) * Complex.I) • f v
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
v : V₁
\u22a2 v ∈ f.ker ↔ f v = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
\u22a2 Integrable f (μ + ν)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hμ : Memℒp f 1 μ
hν : Memℒp f 1 ν
\u22a2 Memℒp f 1 (μ + ν)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hμ : Memℒp f 1 μ
hν : Memℒp f 1 ν
\u22a2 eLpNorm f 1 (μ + ν) < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hμ : Memℒp f 1 μ
hν : Memℒp f 1 ν
\u22a2 eLpNorm f 1 μ < ⊤ ∧ eLpNorm f 1 ν < ⊤
-- Mathlib/Logic/Relation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → β → Prop
p : β → γ → Prop
q : γ → δ → Prop
\u22a2 flip (r ∘r p) = flip p ∘r flip r
-- Mathlib/Logic/Relation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → β → Prop
p : β → γ → Prop
q : γ → δ → Prop
c : γ
a : α
\u22a2 flip (r ∘r p) c a = (flip p ∘r flip r) c a
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
I J : Box ι
s : Set ι
y : ι → ℝ
\u22a2 y ∈ I.splitCenterBox s ↔ y ∈ I ∧ ∀ (i : ι), (I.lower i + I.upper i) / 2 < y i ↔ i ∈ s
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
I J : Box ι
s : Set ι
y : ι → ℝ
\u22a2 (∀ (i : ι), y i ∈ Set.Ioc (s.piecewise (fun i => (I.lower i + I.upper i) / 2) I.lower i) (s.piecewise I.upper (fun i => (I.lower i + I.upper i) / 2) i)) ↔ ∀ (x : ι), y x ∈ Set.Ioc (I.lower x) (I.upper x) ∧ ((I.lower x + I.upper x) / 2 < y x ↔ x ∈ s)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
I J : Box ι
s : Set ι
y : ι → ℝ
i : ι
\u22a2 y i ∈ Set.Ioc (s.piecewise (fun i => (I.lower i + I.upper i) / 2) I.lower i) (s.piecewise I.upper (fun i => (I.lower i + I.upper i) / 2) i) ↔ y i ∈ Set.Ioc (I.lower i) (I.upper i) ∧ ((I.lower i + I.upper i) / 2 < y i ↔ i ∈ s)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
I J : Box ι
s : Set ι
y : ι → ℝ
i : ι
\u22a2 y i ∈ Set.Ioc (if i ∈ s then (I.lower i + I.upper i) / 2 else I.lower i) (if i ∈ s then I.upper i else (I.lower i + I.upper i) / 2) ↔ y i ∈ Set.Ioc (I.lower i) (I.upper i) ∧ ((I.lower i + I.upper i) / 2 < y i ↔ i ∈ s)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
I J : Box ι
s : Set ι
y : ι → ℝ
i : ι
hs : i ∈ s
\u22a2 y i ∈ Set.Ioc ((I.lower i + I.upper i) / 2) (I.upper i) ↔ y i ∈ Set.Ioc (I.lower i) (I.upper i) ∧ (I.lower i + I.upper i) / 2 < y i
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
I J : Box ι
s : Set ι
y : ι → ℝ
i : ι
hs : i ∉ s
\u22a2 y i ∈ Set.Ioc (I.lower i) ((I.lower i + I.upper i) / 2) ↔ y i ∈ Set.Ioc (I.lower i) (I.upper i) ∧ y i ≤ (I.lower i + I.upper i) / 2
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Lemmas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n✝ : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h✝ : UniqueDiffOn 𝕜 s
f✝ g : 𝕜 → F
n : ℕ
f : 𝕜 → 𝕜
h : ContDiff 𝕜 (↑n) f
c : 𝕜
\u22a2 (iteratedDeriv n fun x => f (c * x)) = fun x => c ^ n * iteratedDeriv n f (c * x)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : Nontrivial R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : MetricSpace R
inst✝¹³ : TopologicalSemiring R
inst✝¹² : ContinuousStar R
inst✝¹¹ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : TopologicalSpace A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a✝ : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
S : Type u_3
inst✝⁴ : SMulZeroClass S R
inst✝³ : ContinuousConstSMul S R
inst✝² : SMulZeroClass S A
inst✝¹ : IsScalarTower S R A
inst✝ : IsScalarTower S R (R → R)
s : S
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
\u22a2 cfcₙ (fun x => s • x) a = s • a
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
\u22a2 homologyMap' e.hom h₁ h₂ ≫ homologyMap' e.inv h₂ h₁ = 𝟙 h₁.left.H
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
\u22a2 homologyMap' e.inv h₂ h₁ ≫ homologyMap' e.hom h₁ h₂ = 𝟙 h₂.left.H
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm✝ : f.Monic
x✝ : ∃ m n y, m ≠ 0 ∧ f = (X ^ q ^ n - C y) ^ m
m n : ℕ
y : F
hm : m ≠ 0
h : f = (X ^ q ^ n - C y) ^ m
\u22a2 f.natSepDegree = 1
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
N✝ : Type w
inst✝⁸ : AddCommGroup N✝
inst✝⁷ : Module R N✝
inst✝⁶ : Small.{v, u} R
flat : Flat R M
N N' N'' : Type v
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup N''
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R N''
f : N →ₗ[R] N'
g : N' →ₗ[R] N''
exact : Function.Exact ⇑f ⇑g
π : N' →ₗ[R] N' ⧸ range f := (range f).mkQ
\u22a2 Function.Exact ⇑(lTensor M f) ⇑(lTensor M g)
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
N✝ : Type w
inst✝⁸ : AddCommGroup N✝
inst✝⁷ : Module R N✝
inst✝⁶ : Small.{v, u} R
flat : Flat R M
N N' N'' : Type v
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup N''
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R N''
f : N →ₗ[R] N'
g : N' →ₗ[R] N''
exact : Function.Exact ⇑f ⇑g
π : N' →ₗ[R] N' ⧸ range f := (range f).mkQ
ι : N' ⧸ range f →ₗ[R] N'' := (range g).subtype ∘ₗ ↑g.quotKerEquivRange ∘ₗ ↑((range f).quotEquivOfEq (ker g) ⋯)
\u22a2 Function.Exact ⇑(lTensor M f) ⇑(lTensor M g)
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
N✝ : Type w
inst✝⁸ : AddCommGroup N✝
inst✝⁷ : Module R N✝
inst✝⁶ : Small.{v, u} R
flat : Flat R M
N N' N'' : Type v
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup N''
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R N''
f : N →ₗ[R] N'
g : N' →ₗ[R] N''
exact : Function.Exact ⇑f ⇑g
π : N' →ₗ[R] N' ⧸ range f := (range f).mkQ
ι : N' ⧸ range f →ₗ[R] N'' := (range g).subtype ∘ₗ ↑g.quotKerEquivRange ∘ₗ ↑((range f).quotEquivOfEq (ker g) ⋯)
\u22a2 Function.Exact ⇑(lTensor M f) ⇑(lTensor M π)
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x y
a b : X
γ : Path a b
\u22a2 γ.extend (min 1 1) = b
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x y
a b : X
γ : Path a b
\u22a2 γ.truncate 1 1 = (refl b).cast ⋯ ⋯
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalHom.lean
R : Type u
S : Type u₁
T : Type u_1
inst✝¹² : Monoid R
inst✝¹¹ : Monoid S
inst✝¹⁰ : Monoid T
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
C : Type w₁
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : DistribMulAction R A
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁶ : DistribMulAction S B
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝⁴ : DistribMulAction T C
φ' : S →* R
ψ : S →* T
χ : R →* T
B₁ : Type u_2
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B₁
inst✝² : DistribMulAction R B₁
inst✝¹ : DistribMulAction R B
inst✝ : DistribMulAction R C
f : A →ₙₐ[R] B
g : A →ₙₐ[R] C
\u22a2 { toFun := Pi.prod ⇑f ⇑g, map_smul' := ⋯ }.toFun 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalHom.lean
R : Type u
S : Type u₁
T : Type u_1
inst✝¹² : Monoid R
inst✝¹¹ : Monoid S
inst✝¹⁰ : Monoid T
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
C : Type w₁
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : DistribMulAction R A
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁶ : DistribMulAction S B
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝⁴ : DistribMulAction T C
φ' : S →* R
ψ : S →* T
χ : R →* T
B₁ : Type u_2
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B₁
inst✝² : DistribMulAction R B₁
inst✝¹ : DistribMulAction R B
inst✝ : DistribMulAction R C
f : A →ₙₐ[R] B
g : A →ₙₐ[R] C
x y : A
\u22a2 { toFun := Pi.prod ⇑f ⇑g, map_smul' := ⋯ }.toFun (x + y) = { toFun := Pi.prod ⇑f ⇑g, map_smul' := ⋯ }.toFun x + { toFun := Pi.prod ⇑f ⇑g, map_smul' := ⋯ }.toFun y
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalHom.lean
R : Type u
S : Type u₁
T : Type u_1
inst✝¹² : Monoid R
inst✝¹¹ : Monoid S
inst✝¹⁰ : Monoid T
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
C : Type w₁
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : DistribMulAction R A
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁶ : DistribMulAction S B
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝⁴ : DistribMulAction T C
φ' : S →* R
ψ : S →* T
χ : R →* T
B₁ : Type u_2
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B₁
inst✝² : DistribMulAction R B₁
inst✝¹ : DistribMulAction R B
inst✝ : DistribMulAction R C
f : A →ₙₐ[R] B
g : A →ₙₐ[R] C
x y : A
\u22a2 { toFun := Pi.prod ⇑f ⇑g, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := Pi.prod ⇑f ⇑g, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun x * { toFun := Pi.prod ⇑f ⇑g, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun y
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalHom.lean
R : Type u
S : Type u₁
T : Type u_1
inst✝¹² : Monoid R
inst✝¹¹ : Monoid S
inst✝¹⁰ : Monoid T
φ : R →* S
A : Type v
B : Type w
C : Type w₁
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : DistribMulAction R A
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁶ : DistribMulAction S B
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝⁴ : DistribMulAction T C
φ' : S →* R
ψ : S →* T
χ : R →* T
B₁ : Type u_2
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring B₁
inst✝² : DistribMulAction R B₁
inst✝¹ : DistribMulAction R B
inst✝ : DistribMulAction R C
f : A →ₙₐ[R] B
g : A →ₙₐ[R] C
c : R
x : A
\u22a2 Pi.prod (⇑f) (⇑g) (c • x) = (MonoidHom.id R) c • Pi.prod (⇑f) (⇑g) x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Jensen.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hw : ∀ i ∈ t, w i • p i ≠ 0 → w i ≠ 0
hw' : ∀ i ∈ t, w i • f (p i) ≠ 0 → w i ≠ 0
\u22a2 f (∑ i ∈ t, w i • p i) = ∑ i ∈ t, w i • f (p i) ↔ ∀ j ∈ t, w j ≠ 0 → p j = ∑ i ∈ t, w i • p i
-- Mathlib/Analysis/Convex/Jensen.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hw : ∀ i ∈ t, w i • p i ≠ 0 → w i ≠ 0
hw' : ∀ i ∈ t, w i • f (p i) ≠ 0 → w i ≠ 0
\u22a2 (∀ j ∈ filter (fun x => w x ≠ 0) t, p j = ∑ i ∈ filter (fun x => w x ≠ 0) t, w i • p i) ↔ ∀ j ∈ t, w j ≠ 0 → p j = ∑ x ∈ filter (fun x => w x ≠ 0) t, w x • p x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Jensen.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hw : ∀ i ∈ t, w i • p i ≠ 0 → w i ≠ 0
hw' : ∀ i ∈ t, w i • f (p i) ≠ 0 → w i ≠ 0
\u22a2 ∀ i ∈ filter (fun x => w x ≠ 0) t, 0 < w i