ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
S : L.Substructure (DirectLimit G f)
S_fg : S.FG
A : Finset (DirectLimit G f)
A_closure : (Substructure.closure L).toFun ↑A = S
i : ι
y : { x // x ∈ A } → G i
eq_y : (fun a => ↑a) = fun a => ⟦Structure.Sigma.mk f i (y a)⟧
\u22a2 (Substructure.closure L).toFun (⇑(of L ι G f i).toHom '' range y) = S
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : Nonempty ι
S : L.Substructure (DirectLimit G f)
S_fg : S.FG
A : Finset (DirectLimit G f)
A_closure : (Substructure.closure L).toFun ↑A = S
i : ι
y : { x // x ∈ A } → G i
eq_y : (fun a => ↑a) = fun a => ⟦Structure.Sigma.mk f i (y a)⟧
\u22a2 (Substructure.closure L).toFun ((fun a => ⟦Structure.Sigma.mk f i a⟧) '' range y) = S
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hf : ∀ (i : ι), f i ≠ ⊤
\u22a2 (iInf f).toReal = ⨅ i, (f i).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
\u22a2 IntegrableOn f univ μ ↔ Integrable f μ
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Power.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
k : ℤ
h : k + k ≠ 0
\u22a2 0 < a ^ (k + k) ↔ a ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
S : Submodule K V
h : finrank K ↥S = finrank K V
\u22a2 S = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
S : Submodule K V
h : finrank K ↥S = finrank K V
this : IsNoetherian K V
\u22a2 S = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
S : Submodule K V
h : finrank K ↥S = finrank K V
this : IsNoetherian K V
bS : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S)) K ↥S := Basis.ofVectorSpace K ↥S
bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S
\u22a2 S = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
S : Submodule K V
h : finrank K ↥S = finrank K V
this✝ : IsNoetherian K V
bS : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S)) K ↥S := Basis.ofVectorSpace K ↥S
bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S
this : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S }) K Subtype.val
\u22a2 S = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
S : Submodule K V
h : finrank K ↥S = finrank K V
this✝ : IsNoetherian K V
bS : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S)) K ↥S := Basis.ofVectorSpace K ↥S
bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S
this : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S }) K Subtype.val
b : Basis (↑(this.extend ⋯)) K V := Basis.extend this
b_eq : b = Basis.extend this
\u22a2 S = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
S : Submodule K V
h : finrank K ↥S = finrank K V
this✝ : IsNoetherian K V
bS : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S)) K ↥S := Basis.ofVectorSpace K ↥S
bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S
this : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S }) K Subtype.val
b : Basis (↑(this.extend ⋯)) K V := Basis.extend this
b_eq : b = Basis.extend this
i1 : Fintype ↑(this.extend ⋯) := ⋯.fintype
\u22a2 S = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
S : Submodule K V
h : finrank K ↥S = finrank K V
this✝ : IsNoetherian K V
bS : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S)) K ↥S := Basis.ofVectorSpace K ↥S
bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S
this : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S }) K Subtype.val
b : Basis (↑(this.extend ⋯)) K V := Basis.extend this
b_eq : b = Basis.extend this
i1 : Fintype ↑(this.extend ⋯) := ⋯.fintype
i2 : Fintype ↑(Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) := ⋯.fintype
\u22a2 S = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
S : Submodule K V
h : finrank K ↥S = finrank K V
this✝ : IsNoetherian K V
bS : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S)) K ↥S := Basis.ofVectorSpace K ↥S
bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S
this : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S }) K Subtype.val
b : Basis (↑(this.extend ⋯)) K V := Basis.extend this
b_eq : b = Basis.extend this
i1 : Fintype ↑(this.extend ⋯) := ⋯.fintype
i2 : Fintype ↑(Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) := ⋯.fintype
i3 : Fintype ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) := ⋯.fintype
\u22a2 S = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
S : Submodule K V
h : finrank K ↥S = finrank K V
this✝¹ : IsNoetherian K V
bS : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S)) K ↥S := Basis.ofVectorSpace K ↥S
bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S
this✝ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S }) K Subtype.val
b : Basis (↑(this✝.extend ⋯)) K V := Basis.extend this✝
b_eq : b = Basis.extend this✝
i1 : Fintype ↑(this✝.extend ⋯) := ⋯.fintype
i2 : Fintype ↑(Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) := ⋯.fintype
i3 : Fintype ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) := ⋯.fintype
this : Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S = this✝.extend ⋯
\u22a2 S = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
S : Submodule K V
h : finrank K ↥S = finrank K V
this✝¹ : IsNoetherian K V
bS : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S)) K ↥S := Basis.ofVectorSpace K ↥S
bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S
this✝ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S }) K Subtype.val
b : Basis (↑(this✝.extend ⋯)) K V := Basis.extend this✝
b_eq : b = Basis.extend this✝
i1 : Fintype ↑(this✝.extend ⋯) := ⋯.fintype
i2 : Fintype ↑(Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) := ⋯.fintype
i3 : Fintype ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) := ⋯.fintype
this : Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S = this✝.extend ⋯
\u22a2 S = Submodule.map S.subtype (span K (Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S))
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
S : Submodule K V
h : finrank K ↥S = finrank K V
this✝² : IsNoetherian K V
bS : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S)) K ↥S := Basis.ofVectorSpace K ↥S
bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S
this✝¹ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S }) K Subtype.val
b : Basis (↑(this✝¹.extend ⋯)) K V := Basis.extend this✝¹
b_eq : b = Basis.extend this✝¹
i1 : Fintype ↑(this✝¹.extend ⋯) := ⋯.fintype
i2 : Fintype ↑(Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) := ⋯.fintype
i3 : Fintype ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) := ⋯.fintype
this✝ : Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S = this✝¹.extend ⋯
this : span K (Set.range ⇑bS) = ⊤
\u22a2 S = Submodule.map S.subtype (span K (Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S))
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
S : Submodule K V
h : finrank K ↥S = finrank K V
this✝² : IsNoetherian K V
bS : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S)) K ↥S := Basis.ofVectorSpace K ↥S
bS_eq : bS = Basis.ofVectorSpace K ↥S
this✝¹ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S }) K Subtype.val
b : Basis (↑(this✝¹.extend ⋯)) K V := Basis.extend this✝¹
b_eq : b = Basis.extend this✝¹
i1 : Fintype ↑(this✝¹.extend ⋯) := ⋯.fintype
i2 : Fintype ↑(Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) := ⋯.fintype
i3 : Fintype ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) := ⋯.fintype
this✝ : Subtype.val '' Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S = this✝¹.extend ⋯
this : span K (Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S) = ⊤
\u22a2 S = Submodule.map S.subtype (span K (Basis.ofVectorSpaceIndex K ↥S))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι
\u22a2 (e.adjustToOrientation x).toBasis.orientation = x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι
\u22a2 (e.toBasis.adjustToOrientation x).orientation = x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
E : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : MetrizableSpace E
f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
\u22a2 NullMeasurableSet {x | f x = g x} μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
E : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : MetrizableSpace E
f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
\u22a2 {x | AEStronglyMeasurable.mk f hf x = AEStronglyMeasurable.mk g hg x} =ᶠ[ae μ] {x | f x = g x}
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
E : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : MetrizableSpace E
f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
x : α
hfx : f x = AEStronglyMeasurable.mk f hf x
hgx : g x = AEStronglyMeasurable.mk g hg x
\u22a2 {x | AEStronglyMeasurable.mk f hf x = AEStronglyMeasurable.mk g hg x} x = {x | f x = g x} x
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : BorelSpace G
g : G
\u22a2 μ {g} = μ {1}
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace G
μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : BorelSpace G
g : G
\u22a2 {g} = (fun h => g⁻¹ * h) ⁻¹' {1}
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
f : Code → Code
hf : Computable f
g : ℕ → ℕ → Part ℕ := fun x y => do let b ← (ofNat Code x).eval x (ofNat Code b).eval y
this✝ : Partrec₂ g
cg : Code
eg : cg.eval = fun n => (↑(decode n)).bind fun a => Part.map encode ((fun p => g p.1 p.2) a)
eg' : ∀ (a n : ℕ), cg.eval (Nat.pair a n) = Part.map encode (g a n)
F : ℕ → Code := fun x => f (cg.curry x)
this : Computable F
cF : Code
eF : cF.eval = fun n => (↑(decode n)).bind fun a => Part.map encode (↑F a)
eF' : cF.eval (encode cF) = Part.some (encode (F (encode cF)))
n : ℕ
\u22a2 (f (cg.curry (encode cF))).eval n = (cg.curry (encode cF)).eval n
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
e : β → α
a : α
\u22a2 a ∈ closure (range e) ↔ ∀ ε > 0, ∃ k, dist a (e k) < ε
-- Mathlib/Algebra/GradedMonoid.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
α : Type u_3
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Monoid R
l : List α
fι : α → ι
fA : α → R
\u22a2 l.dProd fι fA = (map fA l).prod
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ a ≠ 0
hs' : s ≠ 1
\u22a2 DifferentiableAt ℂ (completedHurwitzZetaEven a) s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ a ≠ 0
hs' : s ≠ 1
\u22a2 s / 2 ≠ 0 ∨ (hurwitzEvenFEPair a).f₀ = 0
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : s ≠ 0 ∨ a ≠ 0
hs' : s ≠ 1
\u22a2 s / 2 ≠ ↑(hurwitzEvenFEPair a).k
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
\u22a2 A *ᵥ A.cramer b = A.det • b
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/Killing.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : LieAlgebra.IsKilling R L
\u22a2 (ad R L).range = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/Killing.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : LieAlgebra.IsKilling R L
\u22a2 (ad R L).range.toSubmodule = ⊤.toSubmodule
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/Killing.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : LieAlgebra.IsKilling R L
\u22a2 (LieModule.traceForm R (LieDerivation R L L) (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/Killing.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : LieAlgebra.IsKilling R L
D : LieDerivation R L L
hD : D ∈ (LieModule.traceForm R (LieDerivation R L L) (LieDerivation R L L)).orthogonal (ad R L).range.toSubmodule
x : L
\u22a2 D x = 0 x
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderTop α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
\u22a2 List.foldr (fun x x_1 => x ⊓ x_1) ⊤ l = l.toFinset.inf id
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderTop α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
\u22a2 Multiset.fold (fun x x_1 => x ⊓ x_1) ⊤ (↑l).dedup = (↑l).dedup.inf
-- Mathlib/Algebra/Field/Subfield.lean
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
s✝ t : Subfield K
f✝ f : K →+* L
s : Subfield K
y : L
\u22a2 (y ∈ let __src := Subring.map f s.toSubring; { toSubring := __src, inv_mem' := ⋯ }) ↔ ∃ x ∈ s, f x = y
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α
a : α
\u22a2 a \ liminf u f = limsup (fun b => a \ u b) f
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α
a : α
\u22a2 (a \ liminf u f)ᶜ = (limsup (fun b => a \ u b) f)ᶜ
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsAssociatedPrime I M
hf : Function.Injective ⇑f
\u22a2 IsAssociatedPrime I M'
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Injective ⇑f
x : M
h : IsAssociatedPrime (Submodule.span R {x}).annihilator M
\u22a2 IsAssociatedPrime (Submodule.span R {x}).annihilator M'
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Injective ⇑f
x : M
h : IsAssociatedPrime (Submodule.span R {x}).annihilator M
\u22a2 (Submodule.span R {x}).annihilator = (Submodule.span R {f x}).annihilator
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Injective ⇑f
x : M
h : IsAssociatedPrime (Submodule.span R {x}).annihilator M
r : R
\u22a2 r ∈ (Submodule.span R {x}).annihilator ↔ r ∈ (Submodule.span R {f x}).annihilator
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_2
a : α
β : Sort u_1
C : α → Sort u_1
x : C a
y : β
\u22a2 HEq (⋯ ▸ x) y ↔ HEq x y
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
inst✝ : IsOpenImmersion g
e : Set.range ⇑f.base = Set.range ⇑g.base
\u22a2 lift g f ⋯ ≫ lift f g ⋯ = 𝟙 X
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
inst✝ : IsOpenImmersion g
e : Set.range ⇑f.base = Set.range ⇑g.base
\u22a2 (lift g f ⋯ ≫ lift f g ⋯) ≫ f = 𝟙 X ≫ f
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
inst✝ : IsOpenImmersion g
e : Set.range ⇑f.base = Set.range ⇑g.base
\u22a2 lift f g ⋯ ≫ lift g f ⋯ = 𝟙 Y
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
inst✝ : IsOpenImmersion g
e : Set.range ⇑f.base = Set.range ⇑g.base
\u22a2 (lift f g ⋯ ≫ lift g f ⋯) ≫ g = 𝟙 Y ≫ g
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Sort ?u.45682
δ : Sort ?u.45684
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
r : α → β → Bool
a : α
as : List α
b : β
bs : List β
\u22a2 all₂ r (a :: as) (b :: bs) = true ↔ Forall₂ (fun x x_1 => r x x_1 = true) (a :: as) (b :: bs)
-- Mathlib/Data/Complex/Basic.lean
z : ℂ
x : ℚ
\u22a2 (z / ↑x).re = z.re / ↑x
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/HomologySequence.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasDerivedCategory C
T : Triangle (DerivedCategory C)
hT : T ∈ distinguishedTriangles
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
\u22a2 (homologyFunctor C n₀).map T.mor₁ ≫ (homologyFunctor C n₀).map T.mor₂ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : BilinForm R M
h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
d : Module.Dual R M
x : CliffordAlgebra Q
\u22a2 (changeForm h) ((contractLeft d) x) = (contractLeft d) ((changeForm h) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : BilinForm R M
h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
d : Module.Dual R M
r : R
\u22a2 (changeForm h) ((contractLeft d) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)) = (contractLeft d) ((changeForm h) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r))
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : BilinForm R M
h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
d : Module.Dual R M
x y : CliffordAlgebra Q
hx : (changeForm h) ((contractLeft d) x) = (contractLeft d) ((changeForm h) x)
hy : (changeForm h) ((contractLeft d) y) = (contractLeft d) ((changeForm h) y)
\u22a2 (changeForm h) ((contractLeft d) (x + y)) = (contractLeft d) ((changeForm h) (x + y))
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : BilinForm R M
h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
d : Module.Dual R M
m : CliffordAlgebra Q
x : M
hx : (changeForm h) ((contractLeft d) m) = (contractLeft d) ((changeForm h) m)
\u22a2 (changeForm h) ((contractLeft d) ((ι Q) x * m)) = (contractLeft d) ((changeForm h) ((ι Q) x * m))
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
G' : Type u_2
inst✝ : Group G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
h : Group.IsNilpotent G
\u22a2 Group.nilpotencyClass G' ≤ Group.nilpotencyClass G
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
G' : Type u_2
inst✝ : Group G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
h : Group.IsNilpotent G
\u22a2 ∀ (n : ℕ), upperCentralSeries G n = ⊤ → upperCentralSeries G' n = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
G' : Type u_2
inst✝ : Group G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
h : Group.IsNilpotent G
n : ℕ
hn : upperCentralSeries G n = ⊤
\u22a2 upperCentralSeries G' n = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
G' : Type u_2
inst✝ : Group G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
h : Group.IsNilpotent G
n : ℕ
hn : upperCentralSeries G n = ⊤
\u22a2 ⊤ ≤ upperCentralSeries G' n
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s : Finset β
inst✝ : ContinuousMul α
hf : Tendsto (fun s => ∏ b ∈ s, f b) atTop (𝓝 a)
hg : Tendsto (fun s => ∏ b ∈ s, g b) atTop (𝓝 b)
\u22a2 Tendsto (fun s => ∏ b ∈ s, f b * g b) atTop (𝓝 (a * b))
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s : Finset β
inst✝ : ContinuousMul α
hf : Tendsto (fun s => ∏ b ∈ s, f b) atTop (𝓝 a)
hg : Tendsto (fun s => ∏ b ∈ s, g b) atTop (𝓝 b)
\u22a2 Tendsto (fun s => (∏ x ∈ s, f x) * ∏ x ∈ s, g x) atTop (𝓝 (a * b))
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : SetLike S G
inst✝¹ : DivisionMonoid G
inst✝ : SubgroupClass S G
H : S
\u22a2 ↑H / ↑H = ↑H