ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
α : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
ys : ℕ → α
h : Tendsto ys atTop atTop
xs : ℕ → α := fun n => (Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ ys
\u22a2 ∃ xs, Monotone xs ∧ Tendsto xs atTop atTop
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
α : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
ys : ℕ → α
h : Tendsto ys atTop atTop
xs : ℕ → α := fun n => (Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ ys
h_mono : Monotone xs
\u22a2 ∃ xs, Monotone xs ∧ Tendsto xs atTop atTop
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
α : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
ys : ℕ → α
h : Tendsto ys atTop atTop
xs : ℕ → α := fun n => (Finset.range (n + 1)).sup' ⋯ ys
h_mono : Monotone xs
n : ℕ
\u22a2 n ∈ Finset.range (n + 1)
-- Mathlib/FieldTheory/IsSepClosed.lean
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed k
x : k
n : ℕ
hn : NeZero ↑n
\u22a2 ∃ z, z ^ n = x
-- Mathlib/FieldTheory/IsSepClosed.lean
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed k
x : k
n : ℕ
hn : NeZero ↑n
hn' : 0 < n
\u22a2 ∃ z, z ^ n = x
-- Mathlib/FieldTheory/IsSepClosed.lean
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed k
x : k
n : ℕ
hn : NeZero ↑n
hn' : 0 < n
this : (X ^ n - C x).degree ≠ 0
\u22a2 ∃ z, z ^ n = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Fintype ι
z : M₂
\u22a2 MultilinearMap.mkPiRing R ι z = 0 ↔ z = 0
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
\u22a2 ⋃ a ∈ s, f a '' t = image2 f s t
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : PosNum
\u22a2 ↑n = ↑n.pred' + 1
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
u v : PrimeMultiset
n : ℕ+ := u.prod
m : ℕ+ := v.prod
\u22a2 (u ⊔ v).prod = n.lcm m
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
u v : PrimeMultiset
n : ℕ+ := u.prod
m : ℕ+ := v.prod
this : u = n.factorMultiset
\u22a2 (u ⊔ v).prod = n.lcm m
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
u v : PrimeMultiset
n : ℕ+ := u.prod
m : ℕ+ := v.prod
this : u = n.factorMultiset
\u22a2 (n.factorMultiset ⊔ v).prod = n.lcm m
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
u v : PrimeMultiset
n : ℕ+ := u.prod
m : ℕ+ := v.prod
this✝ : u = n.factorMultiset
this : v = m.factorMultiset
\u22a2 (n.factorMultiset ⊔ v).prod = n.lcm m
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
u v : PrimeMultiset
n : ℕ+ := u.prod
m : ℕ+ := v.prod
this✝ : u = n.factorMultiset
this : v = m.factorMultiset
\u22a2 (n.factorMultiset ⊔ m.factorMultiset).prod = n.lcm m
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrderTop α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot α
inst✝ : CommMonoid M
f : α → α → M
\u22a2 ∏ i : α, ∏ j ∈ Ioi i, f j i * f i j = ∏ i : α, ∏ j ∈ {i}ᶜ, f j i
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrderTop α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot α
inst✝ : CommMonoid M
f : α → α → M
\u22a2 (∏ x : α, ∏ x_1 ∈ Ioi x, f x_1 x) * ∏ x : α, ∏ x_1 ∈ Ioi x, f x x_1 = (∏ x : α, ∏ x_1 ∈ Ioi x, f x_1 x) * ∏ x : α, ∏ x_1 ∈ Iio x, f x_1 x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrderTop α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot α
inst✝ : CommMonoid M
f : α → α → M
\u22a2 ∏ x : α, ∏ x_1 ∈ Ioi x, f x x_1 = ∏ x : α, ∏ x_1 ∈ Iio x, f x_1 x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrderTop α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot α
inst✝ : CommMonoid M
f : α → α → M
\u22a2 ∏ x ∈ univ.sigma Ioi, f x.fst x.snd = ∏ x ∈ univ.sigma Iio, f x.snd x.fst
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
\u22a2 (trinomial k m n u v w).coeff m = v
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ
h : 0 ≤ x
\u22a2 arctan x = arccos (√(1 + x ^ 2))⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ
h : 0 ≤ x
\u22a2 arcsin (x / √(1 + x ^ 2)) = arcsin √(1 - (√(1 + x ^ 2))⁻¹ ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ
h : 0 ≤ x
\u22a2 0 ≤ (√(1 + x ^ 2))⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ
h : 0 ≤ x
\u22a2 x / √(1 + x ^ 2) = √(1 - (√(1 + x ^ 2))⁻¹ ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ
h : 0 ≤ x
\u22a2 0 ≤ x ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ
h : 0 ≤ x
\u22a2 1 + x ^ 2 ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ
h : 0 ≤ x
\u22a2 0 ≤ (1 + x ^ 2)⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type w
b : Basis ι R M
inst✝ : Infinite ι
κ : Type w
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : i.Maximal
\u22a2 #κ = #ι
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type w
b : Basis ι R M
inst✝ : Infinite ι
κ : Type w
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : i.Maximal
\u22a2 #κ ≤ #ι
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type w
b : Basis ι R M
inst✝ : Infinite ι
κ : Type w
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : i.Maximal
\u22a2 #ι ≤ #κ
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_5 u_4}
\u22a2 o.bsup f = 0 ↔ ∀ (i : Ordinal.{u_4}) (hi : i < o), f i hi = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_5 u_4}
h : o.bsup f = 0
i : Ordinal.{u_4}
hi : i < o
\u22a2 f i hi = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_5 u_4}
h : o.bsup f = 0
i : Ordinal.{u_4}
hi : i < o
\u22a2 f i hi ≤ o.bsup f
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Cartesian.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
A B✝ X X' Y Y' Z : C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : Exponentiable A
I B : C
t : IsInitial I
inst✝ : CartesianClosed C
Z✝ : C
g h : Z✝ ⟶ I
x✝ : g ≫ t.to B = h ≫ t.to B
\u22a2 g = h
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Cartesian.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
A B✝ X X' Y Y' Z : C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : Exponentiable A
I B : C
t : IsInitial I
inst✝ : CartesianClosed C
Z✝ : C
g h : Z✝ ⟶ I
x✝ : g ≫ t.to B = h ≫ t.to B
this : IsIso g
\u22a2 g = h
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Cartesian.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
A B✝ X X' Y Y' Z : C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : Exponentiable A
I B : C
t : IsInitial I
inst✝ : CartesianClosed C
Z✝ : C
g h : Z✝ ⟶ I
x✝ : g ≫ t.to B = h ≫ t.to B
this✝ : IsIso g
this : IsIso h
\u22a2 g = h
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
\u22a2 (spectrum ℂ a).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
h : spectrum ℂ a = ∅
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
h : spectrum ℂ a = ∅
H₀ : resolventSet ℂ a = Set.univ
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
h : spectrum ℂ a = ∅
H₀ : resolventSet ℂ a = Set.univ
H₁ : Differentiable ℂ fun z => resolvent a z
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
h : spectrum ℂ a = ∅
H₀ : resolventSet ℂ a = Set.univ
H₁ : Differentiable ℂ fun z => resolvent a z
H₃ : resolvent a 0 = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplexSymmetry.lean
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{?u.37143, u_1} C
inst✝⁶ : Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
inst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c
inst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c
inst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
inst✝² : K.HasTotal c
inst✝¹ : K.flip.HasTotal c
inst✝ : DecidableEq J
i₁ : I₁
i₂ : I₂
j : J
h : c₂.π c₁ c (i₂, i₁) = j
\u22a2 c₁.π c₂ c (i₁, i₂) = j
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r : ℝ
hr : 0 < r
x' : Dual 𝕜 E
hx' : x' ∈ polar 𝕜 (ball 0 r)
\u22a2 x' ∈ closedBall 0 (‖c‖ / r)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r : ℝ
hr : 0 < r
x' : Dual 𝕜 E
hx' : ∀ z ∈ ball 0 r, ‖x' z‖ ≤ 1
\u22a2 x' ∈ closedBall 0 (‖c‖ / r)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r : ℝ
hr : 0 < r
x' : Dual 𝕜 E
hx' : ∀ (z : E), ‖z‖ < r → ‖x' z‖ ≤ 1
\u22a2 ‖x'‖ ≤ ‖c‖ / r
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r : ℝ
hr : 0 < r
x' : Dual 𝕜 E
hx' : ∀ (z : E), ‖z‖ < r → ‖x' z‖ ≤ 1
hcr : 0 < ‖c‖ / r
\u22a2 ‖x'‖ ≤ ‖c‖ / r
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r : ℝ
hr : 0 < r
x' : Dual 𝕜 E
hx' : ∀ (z : E), ‖z‖ < r → ‖x' z‖ ≤ 1
hcr : 0 < ‖c‖ / r
x : E
h₁ : r / ‖c‖ ≤ ‖x‖
h₂ : ‖x‖ < r
\u22a2 ‖x' x‖ ≤ ‖c‖ / r * ‖x‖
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
f : α → β → γ
l : List α
l' : List β
n : ℕ
h : l.length = l'.length
\u22a2 (zipWith f l l').rotate n = zipWith f (l.rotate n) (l'.rotate n)
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
f : α → β → γ
l : List α
l' : List β
n : ℕ
h : l.length = l'.length
\u22a2 (drop (n % l'.length) l).length = (drop (n % l'.length) l').length
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Defs.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x✝ y : R
inst✝⁴ : MonoidWithZero R
inst✝³ : MonoidWithZero S
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F R S
inst✝¹ : MonoidWithZeroHomClass F R S
f : F
hf : Injective ⇑f
inst✝ : IsReduced S
x : R
hx : IsNilpotent x
\u22a2 f x = f 0
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Defs.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x✝ y : R
inst✝⁴ : MonoidWithZero R
inst✝³ : MonoidWithZero S
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F R S
inst✝¹ : MonoidWithZeroHomClass F R S
f : F
hf : Injective ⇑f
inst✝ : IsReduced S
x : R
hx : IsNilpotent x
\u22a2 f x = 0
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ
\u22a2 (ascPochhammer ℕ (n + 1)).smeval (-↑n) = 0
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
\u22a2 𝓤 α ≤ Prod.swap <$> 𝓤 α
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
\u22a2 𝓤 α ≤ comap Prod.swap (𝓤 α)
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
ι : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTopology γ
inst✝ : ContinuousAdd γ
f : ι → α → γ
a : Finset ι
ha : ∀ i ∈ a, LowerSemicontinuousAt (f i) x
\u22a2 LowerSemicontinuousAt (fun z => ∑ i ∈ a, f i z) x
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
ι : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTopology γ
inst✝ : ContinuousAdd γ
f : ι → α → γ
a : Finset ι
ha : ∀ i ∈ a, LowerSemicontinuousWithinAt (f i) univ x
\u22a2 LowerSemicontinuousWithinAt (fun z => ∑ i ∈ a, f i z) univ x
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv γ δ
\u22a2 (e.prod e').symm = e.symm.prod e'.symm
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
pp : Prime p
hn : n ≠ 0
x✝ : ℕ
\u22a2 x✝ ∈ {i | i ≠ 0 ∧ p ^ i ∣ n} ↔ x✝ ∈ Set.Icc 1 (n.factorization p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/AEStabilizer.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
x✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
g : G
s t : Set α
hs : EventuallyConst s (ae μ)
\u22a2 aestabilizer G μ s = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/AEStabilizer.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
x✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
g✝ : G
s t : Set α
hs : EventuallyConst s (ae μ)
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
\u22a2 g ∈ aestabilizer G μ s
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
\u22a2 yn a1 m < yn a1 (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : yn a1 m ≤ yn a1 n
\u22a2 yn a1 m < yn a1 (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : yn a1 m ≤ yn a1 n
\u22a2 yn a1 m < xn a1 n + yn a1 n * a
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : yn a1 m ≤ yn a1 n
\u22a2 yn a1 m ≤ yn a1 n * a
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : m < n + 1
this : yn a1 m ≤ yn a1 n
\u22a2 yn a1 m * 1 ≤ yn a1 n * a
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
U : Opens ↑Y
S : Sieve U
hS : S ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑Y).sieves U
x : ↑X
hx : x ∈ (Opens.map f).obj U
V : Opens ↑Y
i : V ⟶ U
hi : S.arrows i
hxV : f x ∈ V
\u22a2 ∃ U_1 f_1, (Sieve.functorPushforward (Opens.map f) S).arrows f_1 ∧ x ∈ U_1
-- Mathlib/Order/Filter/Cofinite.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
s : Set α
hs : s.Finite
\u22a2 cofinite ⊓ 𝓟 sᶜ = cofinite
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
R : Type
inst✝ : Ring R
d : ℤ
f g : ℤ√d →+* R
h : f sqrtd = g sqrtd
x_re x_im : ℤ
\u22a2 f { re := x_re, im := x_im } = g { re := x_re, im := x_im }
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
q : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
q_zero : q ≠ 0
q_top : q ≠ ⊤
\u22a2 Memℒp (fun x => ‖f x‖ ^ q.toReal) (p / q) μ ↔ Memℒp f p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
q : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
q_zero : q ≠ 0
q_top : q ≠ ⊤
h : Memℒp (fun x => ‖f x‖ ^ q.toReal) (p / q) μ
\u22a2 Memℒp f p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
q : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
q_zero : q ≠ 0
q_top : q ≠ ⊤
h : Memℒp (fun x => ‖f x‖ ^ q.toReal) (p / q) μ
\u22a2 Memℒp (fun x => ‖f x‖) p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
q : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
q_zero : q ≠ 0
q_top : q ≠ ⊤
h : Memℒp (fun x => ‖f x‖ ^ q.toReal) (p / q) μ
\u22a2 (fun x => ‖f x‖) = fun x => ‖‖f x‖ ^ q.toReal‖ ^ q⁻¹.toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
q : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
q_zero : q ≠ 0
q_top : q ≠ ⊤
h : Memℒp (fun x => ‖f x‖ ^ q.toReal) (p / q) μ
\u22a2 p = p / q / q⁻¹
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ 0
\u22a2 predAbove 0 i = i.pred hi
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
y : Fin n
hi : y.succ ≠ 0
\u22a2 predAbove 0 y.succ = y.succ.pred hi
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p✝ : Type u_5
q✝ : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Zero α
d : m → α
p q : m → Prop
hpq : Disjoint p q
i : m
hi : p i
j : m
hj : q j
\u22a2 (diagonal d).toBlock p q ⟨i, hi⟩ ⟨j, hj⟩ = 0 ⟨i, hi⟩ ⟨j, hj⟩
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p✝ : Type u_5
q✝ : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Zero α
d : m → α
p q : m → Prop
hpq : Disjoint p q
i : m
hi : p i
j : m
hj : q j
this : i ≠ j
\u22a2 (diagonal d).toBlock p q ⟨i, hi⟩ ⟨j, hj⟩ = 0 ⟨i, hi⟩ ⟨j, hj⟩
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Topology.lean
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
hs : IsClosed s
\u22a2 a ∈ s ↔ ∃ ι, ∃ (_ : Nonempty ι), ∃ f, (∀ (i : ι), f i ∈ s) ∧ sup f = a
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.WSameSide x y
ho : s.SOppSide x y
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.WSameSide x y
ho : s.SOppSide x y
hxy : x ∈ s ∨ y ∈ s
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x : ℂ
hx_re : x.re < 0
hx_im : x.im < 0
\u22a2 x.arg = Real.arcsin ((-x).im / abs x) - π
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s t : Finset β
a : α
b : β
\u22a2 a⁻¹ • b ∈ s ↔ b ∈ a • s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metric.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
α : Type u_5
m : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α
\u22a2 ∃ τ, SecondCountableTopology α ∧ T4Space α ∧ OpensMeasurableSpace α
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metric.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
α : Type u_5
m : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α
m' : MeasurableSpace α
left✝¹ : CountablyGenerated α
left✝ : MeasurableSpace.SeparatesPoints α
m'le : m' ≤ m
\u22a2 ∃ τ, SecondCountableTopology α ∧ T4Space α ∧ OpensMeasurableSpace α
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metric.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
α : Type u_5
m : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α
m' : MeasurableSpace α
left✝³ : CountablyGenerated α
left✝² : MeasurableSpace.SeparatesPoints α
m'le : m' ≤ m
τ : TopologicalSpace α
left✝¹ : SecondCountableTopology α
left✝ : T4Space α
τm' : BorelSpace α
\u22a2 ∃ τ, SecondCountableTopology α ∧ T4Space α ∧ OpensMeasurableSpace α
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a✝ : A
hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0 : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
f : R → R
a : A
ha : ¬p a
\u22a2 cfcₙ f a = 0
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → Part β
x : Part α
g : β → γ
\u22a2 map g (x.bind f) = x.bind fun y => map g (f y)
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → Part β
x : Part α
g : β → γ
\u22a2 (x.bind fun x => (f x).bind (some ∘ g)) = x.bind fun y => map g (f y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallySurjective.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} A
inst✝² : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝¹ : IsLocallySurjective J f₁
inst✝ : IsLocallyInjective J (f₁ ≫ f₂)
\u22a2 IsLocallyInjective J f₂
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Basic.lean
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : (i : ↑↑s) → β ↑i
n : ι
hn : n ∈ s
\u22a2 ((mk β s) f) n = f ⟨n, hn⟩
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Basic.lean
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : (i : ↑↑s) → β ↑i
n : ι
hn : n ∈ s
\u22a2 (if H : n ∈ s then f ⟨n, H⟩ else 0) = f ⟨n, hn⟩
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)
hA : A.SeparatesPoints
\u22a2 A.topologicalClosure = ⊤
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)
hA : A.SeparatesPoints
\u22a2 ∀ (x : C(X, 𝕜)), x ∈ A.topologicalClosure
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : StarSubalgebra 𝕜 C(X, 𝕜)
hA : A.SeparatesPoints
I : C(X, ℝ) →ₗ[ℝ] C(X, 𝕜) := ContinuousLinearMap.compLeftContinuous ℝ X ofRealCLM
\u22a2 ∀ (x : C(X, 𝕜)), x ∈ A.topologicalClosure