ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
f : R ⧸ I →+* A ⧸ J
hf : Function.Surjective ⇑f
X : Ideal R
hX : X ∣ I
Y : Ideal R
hY : Y ∣ I
h : X ≤ Y
\u22a2 map (Ideal.Quotient.mk I) X ≤ map (Ideal.Quotient.mk I) Y
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν ν' : Kernel α γ
hνν' : ν ≤ ν'
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
\u22a2 ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν' a) (countablePartitionSet n x)).toReal ≤ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν ν' : Kernel α γ
hνν' : ν ≤ ν'
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h_le : (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)
\u22a2 ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν' a) (countablePartitionSet n x)).toReal ≤ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν ν' : Kernel α γ
hνν' : ν ≤ ν'
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h_le : (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
\u22a2 ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν' a) (countablePartitionSet n x)).toReal ≤ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν ν' : Kernel α γ
hνν' : ν ≤ ν'
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h_le : (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
h0' : (ν' a) (countablePartitionSet n x) ≠ 0
\u22a2 ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν' a) (countablePartitionSet n x)).toReal ≤ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν ν' : Kernel α γ
hνν' : ν ≤ ν'
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h_le : (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
h0' : (ν' a) (countablePartitionSet n x) ≠ 0
\u22a2 (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν' a) (countablePartitionSet n x) ≤ (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν ν' : Kernel α γ
hνν' : ν ≤ ν'
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h_le : (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
h0' : (ν' a) (countablePartitionSet n x) ≠ 0
\u22a2 (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν' a) (countablePartitionSet n x) ≠ ⊤
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν ν' : Kernel α γ
hνν' : ν ≤ ν'
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h_le : (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
h0' : (ν' a) (countablePartitionSet n x) ≠ 0
\u22a2 (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ≠ ⊤
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : Mul M
inst✝⁵ : ContinuousMul M
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : MulOneClass β
inst✝¹ : MonoidHomClass F α β
tβ : TopologicalSpace β
inst✝ : ContinuousMul β
f : F
tα : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced (⇑f) tβ
\u22a2 ContinuousMul α
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : Mul M
inst✝⁵ : ContinuousMul M
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : MulOneClass β
inst✝¹ : MonoidHomClass F α β
tβ : TopologicalSpace β
inst✝ : ContinuousMul β
f : F
tα : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced (⇑f) tβ
\u22a2 Continuous (⇑f ∘ fun p => p.1 * p.2)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : Mul M
inst✝⁵ : ContinuousMul M
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : MulOneClass β
inst✝¹ : MonoidHomClass F α β
tβ : TopologicalSpace β
inst✝ : ContinuousMul β
f : F
tα : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced (⇑f) tβ
\u22a2 Continuous fun x => f x.1 * f x.2
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
hx : x ∈ thickening δ E
\u22a2 x ∈ cthickening δ E
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
hx : infEdist x E < ENNReal.ofReal δ
\u22a2 x ∈ cthickening δ E
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Dslope.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a
\u22a2 ContinuousAt (dslope f a) b ↔ ContinuousAt f b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Free R M'
inst✝² : Module.Free R M₁
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Finite R M'
\u22a2 finrank R (M × M') = finrank R M + finrank R M'
-- Mathlib/NumberTheory/FermatPsp.lean
b : ℕ
h : 1 ≤ b
\u22a2 ∃ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, n.FermatPsp b
-- Mathlib/NumberTheory/FermatPsp.lean
b : ℕ
h : 1 ≤ b
n : ℕ
\u22a2 ∃ b_1 ≥ n, b_1.FermatPsp b
-- Mathlib/NumberTheory/FermatPsp.lean
b : ℕ
h : 1 ≤ b
n p : ℕ
hp : p.FermatPsp b ∧ n ≤ p
\u22a2 ∃ b_1 ≥ n, b_1.FermatPsp b
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s t : Set ι
hs : Disjoint s t
\u22a2 Disjoint (span R (v '' s)) (span R (v '' t))
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s t : Set ι
hs : Disjoint s t
\u22a2 ∀ (x : M), (∃ l ∈ Finsupp.supported R R s, (Finsupp.total ι M R v) l = x) → (∃ l ∈ Finsupp.supported R R t, (Finsupp.total ι M R v) l = x) → x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s t : Set ι
hs : Disjoint s t
l₁ : ι →₀ R
hl₁ : l₁ ∈ Finsupp.supported R R s
l₂ : ι →₀ R
hl₂ : l₂ ∈ Finsupp.supported R R t
H : (Finsupp.total ι M R v) l₂ = (Finsupp.total ι M R v) l₁
\u22a2 (Finsupp.total ι M R v) l₁ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s t : Set ι
hs : Disjoint s t
l₁ : ι →₀ R
hl₁ : l₁ ∈ Finsupp.supported R R s
l₂ : ι →₀ R
hl₂ : l₂ ∈ Finsupp.supported R R t
H : l₂ = l₁
\u22a2 (Finsupp.total ι M R v) l₁ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s t : Set ι
hs : Disjoint s t
l₁ : ι →₀ R
hl₁ : l₁ ∈ Finsupp.supported R R s
hl₂ : l₁ ∈ Finsupp.supported R R t
\u22a2 (Finsupp.total ι M R v) l₁ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s t : Set ι
hs : Disjoint s t
l₁ : ι →₀ R
hl₁ : l₁ ∈ Finsupp.supported R R s
hl₂ : l₁ ∈ Finsupp.supported R R t
this : l₁ = 0
\u22a2 (Finsupp.total ι M R v) l₁ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Finite R M
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
b : ι → M
h : LinearIndependent R b
\u22a2 Fintype.card ι ≤ finrank R M
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
la : Filter α
lb : Filter β
p : α × β → Prop
h : ∀ᶠ (x : α × β) in la ×ˢ lb, p x
\u22a2 ∀ᶠ (x : α) in la, ∀ᶠ (y : β) in lb, p (x, y)
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
la : Filter α
lb : Filter β
p : α × β → Prop
h✝ : ∀ᶠ (x : α × β) in la ×ˢ lb, p x
pa : α → Prop
ha : ∀ᶠ (x : α) in la, pa x
pb : β → Prop
hb : ∀ᶠ (y : β) in lb, pb y
h : ∀ {x : α}, pa x → ∀ {y : β}, pb y → p (x, y)
\u22a2 ∀ᶠ (x : α) in la, ∀ᶠ (y : β) in lb, p (x, y)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d✝ m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n d : ℕ
\u22a2 d * (n / d) = n ↔ d * (n / d) = d * (n / d) + n % d
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d✝ m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n d : ℕ
\u22a2 d * (n / d) = d * (n / d) + n % d ↔ d ∣ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht : MeasurableSet t
\u22a2 ∫ (x : X) in s, t.indicator f x ∂μ = ∫ (x : X) in s ∩ t, f x ∂μ
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k✝ : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁹ : CommSemiring k✝
inst✝⁸ : Monoid G
inst✝⁷ : Monoid H
A✝ : Type u₃
inst✝⁶ : Semiring A✝
inst✝⁵ : Algebra k✝ A✝
B : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra k✝ B
k : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : CommSemiring k
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra k A
x✝ : MonoidAlgebra A G
\u22a2 (mapDomainAlgHom k A (MonoidHom.id G)) x✝ = (AlgHom.id k (MonoidAlgebra A G)) x✝
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Hom.lean
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁵ : SMul M X
inst✝⁴ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝³ : SMul N Y
inst✝² : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝¹ : SMul P Z
φ' : N → M
Y₁ : Type u_8
inst✝ : SMul M Y₁
f : X →ₑ[id] Y₁
g : Y₁ → X
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
m : M
x : Y₁
\u22a2 g (m • f (g x)) = g (f (m • g x))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
h : p 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F).symm ↑i
h0 : p 0 = 0
\u22a2 (p.leftInv i).comp (id 𝕜 F) = (p.leftInv i).comp (p.comp (p.rightInv i))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
h : p 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F).symm ↑i
h0 : p 0 = 0
\u22a2 (p.leftInv i).comp (p.comp (p.rightInv i)) = ((p.leftInv i).comp p).comp (p.rightInv i)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
h : p 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F).symm ↑i
h0 : p 0 = 0
\u22a2 ((p.leftInv i).comp p).comp (p.rightInv i) = (id 𝕜 E).comp (p.rightInv i)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : n ≠ 0
\u22a2 ¬p ^ (padicValNat p n + 1) ∣ n
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : n ≠ 0
\u22a2 padicValNat p n < padicValNat p n + 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α
\u22a2 AEStronglyMeasurable f 0
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
a b : α
s : Set α
f : ι → α
\u22a2 (iSup f)ᶜᶜ = (⨅ i, (f i)ᶜ)ᶜ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
x : G
\u22a2 condexpIndSMul hm ⋯ ⋯ x = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
x : G
\u22a2 (compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) 0) = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
g : F →L[𝕜] G
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y✝ : E
hy : y✝ ∈ EMetric.ball 0 r
\u22a2 HasSum (fun n => (g.compFormalMultilinearSeries p n) fun x => y✝) ((⇑g ∘ f) (x + y✝))
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}
ha : ℵ₀ ≤ b
\u22a2 a + b = max a b
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀
\u22a2 0 / a = 0
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
i : ℕ
l : List α
l' : List β
h : i < (zipWith f l l').length
\u22a2 i < l.length
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
i : ℕ
l : List α
l' : List β
h : i < min l.length l'.length
\u22a2 i < l.length
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
a b : ℝ
nb : ℕ
num : ℤ
den : ℕ
pb : IsNat b nb
pe' : IsRat (a ^ nb) num den
\u22a2 IsRat (a ^ b) num den
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
\u22a2 𝔠 ≤ #𝕜
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
\u22a2 ∃ f, range f ⊆ Set.univ ∧ Continuous f ∧ Injective f
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
\u22a2 Perfect Set.univ
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
x : 𝕜
x✝ : x ∈ Set.univ
U : Set 𝕜
hU : U ∈ 𝓝 x
\u22a2 ∃ y ∈ U ∩ Set.univ, y ≠ x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
x : 𝕜
x✝ : x ∈ Set.univ
U : Set 𝕜
hU : U ∈ 𝓝 x
c : 𝕜
c_pos : 0 < ‖c‖
hc : ‖c‖ < 1
\u22a2 ∃ y ∈ U ∩ Set.univ, y ≠ x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
x : 𝕜
x✝ : x ∈ Set.univ
U : Set 𝕜
hU : U ∈ 𝓝 x
c : 𝕜
c_pos : 0 < ‖c‖
hc : ‖c‖ < 1
A : Tendsto (fun n => x + c ^ n) atTop (𝓝 (x + 0))
\u22a2 ∃ y ∈ U ∩ Set.univ, y ≠ x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
x : 𝕜
x✝ : x ∈ Set.univ
U : Set 𝕜
hU : U ∈ 𝓝 x
c : 𝕜
c_pos : 0 < ‖c‖
hc : ‖c‖ < 1
A : Tendsto (fun n => x + c ^ n) atTop (𝓝 x)
\u22a2 ∃ y ∈ U ∩ Set.univ, y ≠ x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
x : 𝕜
x✝ : x ∈ Set.univ
U : Set 𝕜
hU : U ∈ 𝓝 x
c : 𝕜
c_pos : 0 < ‖c‖
hc : ‖c‖ < 1
A : Tendsto (fun n => x + c ^ n) atTop (𝓝 x)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + c ^ n ∈ U
\u22a2 ∃ y ∈ U ∩ Set.univ, y ≠ x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
x : 𝕜
x✝ : x ∈ Set.univ
U : Set 𝕜
hU : U ∈ 𝓝 x
c : 𝕜
c_pos : 0 < ‖c‖
hc : ‖c‖ < 1
A : Tendsto (fun n => x + c ^ n) atTop (𝓝 x)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + c ^ n ∈ U
n : ℕ
hn : x + c ^ n ∈ U
\u22a2 ∃ y ∈ U ∩ Set.univ, y ≠ x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
x : 𝕜
x✝ : x ∈ Set.univ
U : Set 𝕜
hU : U ∈ 𝓝 x
c : 𝕜
c_pos : 0 < ‖c‖
hc : ‖c‖ < 1
A : Tendsto (fun n => x + c ^ n) atTop (𝓝 x)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + c ^ n ∈ U
n : ℕ
hn : x + c ^ n ∈ U
\u22a2 x + c ^ n ≠ x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
x : 𝕜
x✝ : x ∈ Set.univ
U : Set 𝕜
hU : U ∈ 𝓝 x
c : 𝕜
c_pos : 0 < ‖c‖
hc : ‖c‖ < 1
A : Tendsto (fun n => x + c ^ n) atTop (𝓝 x)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + c ^ n ∈ U
n : ℕ
hn : x + c ^ n ∈ U
\u22a2 ¬c ^ n = 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
x : 𝕜
x✝ : x ∈ Set.univ
U : Set 𝕜
hU : U ∈ 𝓝 x
c : 𝕜
c_pos : 0 < ‖c‖
hc : ‖c‖ < 1
A : Tendsto (fun n => x + c ^ n) atTop (𝓝 x)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + c ^ n ∈ U
n : ℕ
hn : x + c ^ n ∈ U
\u22a2 c ≠ 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b o : Ordinal.{u_1}
hbo : o < b
\u22a2 log b o = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b : Ordinal.{u_1}
hbo : 0 < b
\u22a2 log b 0 = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b o : Ordinal.{u_1}
hbo : o < b
ho : o ≠ 0
\u22a2 log b o = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b o : Ordinal.{u_1}
hbo : o < b
ho : o ≠ 0
hb : b ≤ 1
\u22a2 log b o = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b o : Ordinal.{u_1}
hbo : o < b
ho : o ≠ 0
hb : 1 < b
\u22a2 log b o = 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
\u22a2 @insertNth = @insertNthTR
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
f : Nat
n : α
l : List α
\u22a2 insertNth f n l = insertNthTR f n l
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hs : MeasurableSet s
hst : s ⊆ t
hs' : μ s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
h : μ t < μ s + ε
\u22a2 μ (t \ s) < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hs : MeasurableSet s
hst : s ⊆ t
hs' : μ s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
h : μ t < μ s + ε
\u22a2 μ t - μ s < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hs : MeasurableSet s
hst : s ⊆ t
hs' : μ s ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
h : μ t < ε + μ s
\u22a2 μ t - μ s < ε
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
\u22a2 0 < Nat.card α ↔ Nonempty α ∧ Finite α
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.45694, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
d e : ℤ
γ : Cochain F K d
he : 1 + d = e
hf : 0 + e = e
\u22a2 (Cochain.ofHom (inr φ)).comp ((↑(fst φ)).comp γ he) hf = 0
-- Mathlib/Data/Finset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset α
a b : α
\u22a2 s(a, b) ∈ s.sym2 ↔ a ∈ s ∧ b ∈ s
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hsurj : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b
hst : s.ncard ≤ t.ncard
a₁ : α
ha₁ : a₁ ∈ s
a₂ : α
ha₂ : a₂ ∈ s
ha₁a₂ : f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂
hs : autoParam s.Finite _auto✝
\u22a2 a₁ = a₂