ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Convex/Join.lean
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x y : E
s t u : Set E
\u22a2 convexJoin 𝕜 s (convexJoin 𝕜 t u) = convexJoin 𝕜 t (convexJoin 𝕜 s u)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/ContinuousMapZero.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁶ : Zero X
inst✝⁵ : Zero Y
inst✝⁴ : Zero R
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : T1Space R
\u22a2 IsClosed (range _root_.toContinuousMap)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/ContinuousMapZero.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁶ : Zero X
inst✝⁵ : Zero Y
inst✝⁴ : Zero R
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : T1Space R
\u22a2 IsClosed {f | f 0 = 0}
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : TopologicalSpace α
s : Set β
f : α → β
\u22a2 IsClosed s ↔ IsClosed (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
s : ↥S
\u22a2 mk' f m s = 0 ↔ f m = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
\u22a2 ∃ q, (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod * q = p ∧ Multiset.card p.roots + q.natDegree = p.natDegree ∧ q.roots = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p q : R[X]
he : p = (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod * q
\u22a2 ∃ q, (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod * q = p ∧ Multiset.card p.roots + q.natDegree = p.natDegree ∧ q.roots = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p q : R[X]
he : p = (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod * q
\u22a2 Multiset.card p.roots + q.natDegree = p.natDegree ∧ q.roots = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
he : p = (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod * 0
\u22a2 Multiset.card p.roots + natDegree 0 = p.natDegree ∧ roots 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p q : R[X]
he : p = (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod * q
hq : q ≠ 0
\u22a2 Multiset.card p.roots + q.natDegree = p.natDegree ∧ q.roots = 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Bilinear.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f : E →ₛₗ[σ₁₃] F →ₛₗ[σ₂₃] G
C : ℝ
h : ∀ (x : E) (y : F), ‖(f x) y‖ ≤ C * ‖x‖ * ‖y‖
x : E
\u22a2 max (C * ‖x‖) 0 = max C 0 * ‖x‖
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
m : M
\u22a2 m ∈ ⨆ i, p i ↔ ∀ (N : Submodule R M), (∀ (i : ι), p i ≤ N) → m ∈ N
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
m : M
\u22a2 (∀ (b : Submodule R M), (∀ (i : ι), p i ≤ b) → span R {m} ≤ b) ↔ ∀ (N : Submodule R M), (∀ (i : ι), p i ≤ N) → m ∈ N
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : NoAtoms μ
b : ℝ
\u22a2 Tendsto (fun δ => μ (Icc (b - δ) (b + δ))) (𝓝 0) (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : NoAtoms μ
b : ℝ
\u22a2 Tendsto (fun δ => μ (Icc (b - δ) (b + δ))) (𝓝[<] 0) (𝓝 0) ∧ Tendsto (fun δ => μ (Icc (b - δ) (b + δ))) (𝓝[≥] 0) (𝓝 0)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
\u22a2 (W.map φ).b₄ = φ W.b₄
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
\u22a2 2 * φ W.a₄ + φ W.a₁ * φ W.a₃ = φ (2 * W.a₄ + W.a₁ * W.a₃)
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ ≠ 1
\u22a2 ∑ a : R, χ a = 0
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ ≠ 1
b : Rˣ
hb : χ ↑b ≠ 1
\u22a2 ∑ a : R, χ a = 0
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid R
inst✝² : Fintype R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ ≠ 1
b : Rˣ
hb : χ ↑b ≠ 1
\u22a2 χ ↑b * ∑ a : R, χ a = ∑ a : R, χ a
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
ψ : (p : ℤ) → F.X p ⟶ G.X p
p q q' : ℤ
hpq : p + 0 = q
\u22a2 (ofHoms ψ).v p q hpq ≫ G.d q q' = ψ p ≫ G.d p q'
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
ψ : (p : ℤ) → F.X p ⟶ G.X p
p q q' : ℤ
hpq✝ : p + 0 = q
hpq : p = q
\u22a2 (ofHoms ψ).v p q hpq✝ ≫ G.d q q' = ψ p ≫ G.d p q'
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
ψ : (p : ℤ) → F.X p ⟶ G.X p
p q' : ℤ
hpq : p + 0 = p
\u22a2 (ofHoms ψ).v p p hpq ≫ G.d p q' = ψ p ≫ G.d p q'
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/BaseChange.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
x : CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q)
\u22a2 (toBaseChange A Q) (reverse x) = (TensorProduct.map LinearMap.id reverse) ((toBaseChange A Q) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/BaseChange.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
x : CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q)
this : ((AlgHom.op (toBaseChange A Q)).comp reverseOp) x = ((↑(Algebra.TensorProduct.opAlgEquiv R A A (CliffordAlgebra Q))).comp ((Algebra.TensorProduct.map (↑(AlgEquiv.toOpposite A A)) reverseOp).comp (toBaseChange A Q))) x
\u22a2 (toBaseChange A Q) (reverse x) = (TensorProduct.map LinearMap.id reverse) ((toBaseChange A Q) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/BaseChange.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
x : CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q)
this : ((AlgHom.op (toBaseChange A Q)).comp reverseOp) x = ((↑(Algebra.TensorProduct.opAlgEquiv R A A (CliffordAlgebra Q))).comp ((Algebra.TensorProduct.map (↑(AlgEquiv.toOpposite A A)) reverseOp).comp (toBaseChange A Q))) x
\u22a2 unop (((↑(Algebra.TensorProduct.opAlgEquiv R A A (CliffordAlgebra Q))).comp ((Algebra.TensorProduct.map (↑(AlgEquiv.toOpposite A A)) reverseOp).comp (toBaseChange A Q))) x) = (TensorProduct.map LinearMap.id reverse) ((toBaseChange A Q) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/BaseChange.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
x : CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q)
\u22a2 unop (((↑(Algebra.TensorProduct.opAlgEquiv R A A (CliffordAlgebra Q))).comp ((Algebra.TensorProduct.map (↑(AlgEquiv.toOpposite A A)) reverseOp).comp (toBaseChange A Q))) x) = (TensorProduct.map LinearMap.id reverse) ((toBaseChange A Q) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/BaseChange.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
x : CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q)
\u22a2 (TensorProduct.AlgebraTensorModule.map (↑(opLinearEquiv A).symm ∘ₗ (↑(AlgEquiv.toOpposite A A)).toLinearMap) (↑(opLinearEquiv R).symm ∘ₗ reverseOp.toLinearMap)) (↑(toBaseChange A Q) x) = (TensorProduct.map LinearMap.id reverse) ((toBaseChange A Q) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/BaseChange.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
x : CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q)
\u22a2 (TensorProduct.AlgebraTensorModule.map (↑(opLinearEquiv A).symm ∘ₗ ↑(opLinearEquiv A)) (↑(opLinearEquiv R).symm ∘ₗ reverseOp.toLinearMap)) (↑(toBaseChange A Q) x) = (TensorProduct.map LinearMap.id (↑(opLinearEquiv R).symm ∘ₗ reverseOp.toLinearMap)) ((toBaseChange A Q) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/BaseChange.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
x : CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q)
\u22a2 (TensorProduct.AlgebraTensorModule.map (↑(opLinearEquiv A ≪≫ₗ (opLinearEquiv A).symm)) (↑(opLinearEquiv R).symm ∘ₗ reverseOp.toLinearMap)) ((toBaseChange A Q) x) = (TensorProduct.map LinearMap.id (↑(opLinearEquiv R).symm ∘ₗ reverseOp.toLinearMap)) ((toBaseChange A Q) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/BaseChange.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
x : CliffordAlgebra (QuadraticForm.baseChange A Q)
\u22a2 (TensorProduct.AlgebraTensorModule.map (↑(LinearEquiv.refl A A)) (↑(opLinearEquiv R).symm ∘ₗ reverseOp.toLinearMap)) ((toBaseChange A Q) x) = (TensorProduct.map LinearMap.id (↑(opLinearEquiv R).symm ∘ₗ reverseOp.toLinearMap)) ((toBaseChange A Q) x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
x : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
z : ↑(CommRingCat.of (A⁰_ f))
\u22a2 z ∈ ((toSpec 𝒜 f) (FromSpec.toFun f_deg hm x)).asIdeal ↔ z ∈ x.asIdeal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
x : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
z : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
\u22a2 HomogeneousLocalization.mk z ∈ ((toSpec 𝒜 f) (FromSpec.toFun f_deg hm x)).asIdeal ↔ HomogeneousLocalization.mk z ∈ x.asIdeal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
x : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
z : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
\u22a2 HomogeneousLocalization.mk z ∈ ((toSpec 𝒜 f) (FromSpec.toFun f_deg hm x)).asIdeal ↔ ↑z.num ∈ FromSpec.carrier f_deg x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
inst✝ : HasZeroObject C
S : ShortComplex C
X Y : C
f : X ⟶ Y
\u22a2 Mono f ↔ Function.Injective ((forget C).map f)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
inst✝ : HasZeroObject C
S : ShortComplex C
X Y : C
f : X ⟶ Y
\u22a2 Mono ⇑((forget₂ C Ab).map f) ↔ Mono ((forget C).map f)
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t x : Set α
f : ι → Filter α
\u22a2 x ∈ iSup f ↔ ∀ (i : ι), x ∈ f i
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Within.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace F
f g : E → F
s : Set E
x : E
hf : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
hs : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : f x = g x
\u22a2 AnalyticWithinAt 𝕜 g s x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Within.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace F
f g : E → F
s : Set E
x : E
hf : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
hs : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : f x = g x
f' : E → F
fx : f x = f' x
ef : f =ᶠ[𝓝[s] x] f'
hf' : AnalyticAt 𝕜 f' x
\u22a2 AnalyticWithinAt 𝕜 g s x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Within.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace F
f g : E → F
s : Set E
x : E
hf : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
hs : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : f x = g x
f' : E → F
fx : f x = f' x
ef : f =ᶠ[𝓝[s] x] f'
hf' : AnalyticAt 𝕜 f' x
\u22a2 ContinuousWithinAt g s x ∧ ∃ g_1, g =ᶠ[𝓝[s] x] g_1 ∧ AnalyticAt 𝕜 g_1 x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Within.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace F
f g : E → F
s : Set E
x : E
hf : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
hs : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : f x = g x
f' : E → F
fx : f x = f' x
ef : f =ᶠ[𝓝[s] x] f'
hf' : AnalyticAt 𝕜 f' x
eg : g =ᶠ[𝓝[s] x] f'
\u22a2 ContinuousWithinAt g s x ∧ ∃ g_1, g =ᶠ[𝓝[s] x] g_1 ∧ AnalyticAt 𝕜 g_1 x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Within.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace F
f g : E → F
s : Set E
x : E
hf : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
hs : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : f x = g x
f' : E → F
fx : f x = f' x
ef : f =ᶠ[𝓝[s] x] f'
hf' : AnalyticAt 𝕜 f' x
eg : g =ᶠ[𝓝[s] x] f'
\u22a2 ContinuousWithinAt g s x
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : NonAssocRing R
inst✝ : Nontrivial R
hR : ringChar R ≠ 2
\u22a2 Set.InjOn Int.cast {0, 1, -1}
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : NonAssocRing R
inst✝ : Nontrivial R
hR : ringChar R ≠ 2
h : 1 = -1
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : NonAssocRing R
inst✝ : Nontrivial R
hR : ringChar R ≠ 2
h : -1 = 1
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
\u22a2 Set.InjOn (fun a => insert a s) ↑sᶜ
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
\u22a2 Set.InjOn (fun a => insert a s) (↑s)ᶜ
-- Mathlib/Algebra/Ring/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonAssocSemiring α
n : α
\u22a2 n * 1 + n * 1 = n + n
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
F : ι → Submodule 𝕜 E
hV : IsHilbertSum 𝕜 G V
i : ι
x : G i
\u22a2 hV.linearIsometryEquiv.symm (lp.single 2 i x) = (V i) x
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝕂' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁶ : Field 𝕂
inst✝⁵ : Field 𝕂'
inst✝⁴ : Ring 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝² : Algebra 𝕂' 𝔸
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝ : TopologicalRing 𝔸
n : ℕ
x : 𝔸
\u22a2 ((expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x) = (expSeries 𝕂' 𝔸 n) fun x_1 => x
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f✝ f g : α → Option α
a : α
l : List α
H : ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ a :: l → f a_1 = g a_1
\u22a2 lookmap f (a :: l) = lookmap g (a :: l)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f✝ f g : α → Option α
a : α
l : List α
H : ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ a :: l → f a_1 = g a_1
H₁ : f a = g a
H₂ : ∀ (x : α), x ∈ l → f x = g x
\u22a2 lookmap f (a :: l) = lookmap g (a :: l)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hba : b ∣ a + 1
\u22a2 (a + 1) / b = a / b + 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Finset α
\u22a2 (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑s ∪ ↑t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑s ∩ ↑t), f i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ ↑t), f i
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Functoriality.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
x : AdicCompletion I ((j : ι) → M j)
\u22a2 (piEquivOfFintype I M) x = (pi I M) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x y : M
\u22a2 SameRay R x y ∨ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay R x (-y) ↔ ¬LinearIndependent R ![x, y]
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x y : M
\u22a2 SameRay R x y ∨ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay R x (-y) ↔ SameRay R x y ∨ SameRay R x (-y)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
hmn : m ≤ n
\u22a2 HasFTaylorSeriesUpTo m f p
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p univ
hmn : m ≤ n
\u22a2 HasFTaylorSeriesUpToOn m f p univ
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ → σ
g : α → List σ → Option σ
hg : Computable₂ g
H : ∀ (a : α) (n : ℕ), g a (List.map (f a) (List.range n)) = Option.some (f a n)
this : Computable₂ fun a n => List.map (f a) (List.range n)
a : α × ℕ
\u22a2 (fun a b => (List.map (f (a, b).1) (List.range (a, b).2.succ)).get? (a, b).2) a.1 a.2 = Option.some (f a.1 a.2)
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ → σ
g : α → List σ → Option σ
hg : Computable₂ g
H : ∀ (a : α) (n : ℕ), g a (List.map (f a) (List.range n)) = Option.some (f a n)
a : α × ℕ
n : ℕ
IH : Nat.rec (Option.some []) (fun y IH => (a, y, IH).2.2.bind fun b => Option.map (fun b_1 => (((a, y, IH), b), b_1).1.2 ++ [(((a, y, IH), b), b_1).2]) (g ((a, y, IH), b).1.1.1 ((a, y, IH), b).2)) n = Option.some ((fun a n => List.map (f a) (List.range n)) a.1 n)
\u22a2 Nat.rec (Option.some []) (fun y IH => (a, y, IH).2.2.bind fun b => Option.map (fun b_1 => (((a, y, IH), b), b_1).1.2 ++ [(((a, y, IH), b), b_1).2]) (g ((a, y, IH), b).1.1.1 ((a, y, IH), b).2)) (n + 1) = Option.some ((fun a n => List.map (f a) (List.range n)) a.1 (n + 1))
-- Mathlib/Data/Finset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a✝ b : α
a : α × α
h : a ∈ s.offDiag
\u22a2 ¬(Sym2.mk a).IsDiag