ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafify.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
S : Sieve (Opposite.unop X) := Presheaf.imageSieve α r ⊓ Presheaf.imageSieve φ m ⊓ Presheaf.imageSieve φ m'
hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop X)
\u22a2 ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ Opposite.unop X), S.arrows f → (A.val.map f.op) (smul α φ r (m + m')) = (A.val.map f.op) (smul α φ r m + smul α φ r m')
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafify.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y✝ : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y✝
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
S : Sieve (Opposite.unop X) := Presheaf.imageSieve α r ⊓ Presheaf.imageSieve φ m ⊓ Presheaf.imageSieve φ m'
hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop X)
Y : C
f : Y ⟶ Opposite.unop X
r₀ : (forget RingCat).obj (R₀.obj (Opposite.op Y))
hr₀ : (α.app (Opposite.op Y)) r₀ = (R.val.map f.op) r
m₀ : ↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))
hm₀ : (φ.app (Opposite.op Y)) m₀ = (A.val.map f.op) m
m₀' : ↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))
hm₀' : (φ.app (Opposite.op Y)) m₀' = (A.val.map f.op) m'
\u22a2 (A.val.map f.op) (smul α φ r (m + m')) = (A.val.map f.op) (smul α φ r m + smul α φ r m')
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/EpiMono.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X Y : D
f : X ⟶ Y
hf : Mono f
Z : C
g h : Z ⟶ G.obj X
H : (adj.homEquiv Z Y).symm (g ≫ G.map f) = (adj.homEquiv Z Y).symm (h ≫ G.map f)
\u22a2 g = h
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Projections.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
q n : ℕ
X Y : SimplicialObject C
f : X ⟶ Y
\u22a2 f.app (op [n]) ≫ (Q q).f n = (Q q).f n ≫ f.app (op [n])
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Projections.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
q n : ℕ
X Y : SimplicialObject C
f : X ⟶ Y
\u22a2 f.app (op [n]) ≫ 𝟙 (K[Y].X n) = 𝟙 (K[X].X n) ≫ f.app (op [n])
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Projections.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
q n : ℕ
X Y : SimplicialObject C
f : X ⟶ Y
\u22a2 f.app (op [n]) ≫ 𝟙 (Y _[n]) = 𝟙 (X _[n]) ≫ f.app (op [n])
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
ht : autoParam t.Finite _auto✝
\u22a2 s.ncard = t.ncard ↔ (s \ t).ncard = (t \ s).ncard
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
e : Matrix n n R ≃ₗ[R] Matrix (Fin (Fintype.card n)) (Fin (Fintype.card n)) R := reindexLinearEquiv R R (Fintype.equivFin n) (Fintype.equivFin n)
\u22a2 eval 0 (derivative (1 + X • M.map ⇑C).det) = M.trace
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
e : Matrix n n R ≃ₗ[R] Matrix (Fin (Fintype.card n)) (Fin (Fintype.card n)) R := reindexLinearEquiv R R (Fintype.equivFin n) (Fintype.equivFin n)
\u22a2 eval 0 (derivative ((reindexLinearEquiv R[X] R[X] (Fintype.equivFin n) (Fintype.equivFin n)) (1 + X • M.map ⇑C)).det) = M.trace
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
e : Matrix n n R ≃ₗ[R] Matrix (Fin (Fintype.card n)) (Fin (Fintype.card n)) R := reindexLinearEquiv R R (Fintype.equivFin n) (Fintype.equivFin n)
\u22a2 (reindexLinearEquiv R[X] R[X] (Fintype.equivFin n) (Fintype.equivFin n)) (1 + X • M.map ⇑C) = 1 + X • (e M).map ⇑C
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
e : Matrix n n R ≃ₗ[R] Matrix (Fin (Fintype.card n)) (Fin (Fintype.card n)) R := reindexLinearEquiv R R (Fintype.equivFin n) (Fintype.equivFin n)
\u22a2 M.trace = (e M).trace
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/IncMatrix.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
inst✝ : MulZeroOneClass R
a b : α
e : Sym2 α
\u22a2 incMatrix R G a e * incMatrix R G b e = (G.incidenceSet a ∩ G.incidenceSet b).indicator 1 e
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasZeroMorphisms V
α : Type u_2
inst✝² : AddRightCancelSemigroup α
inst✝¹ : One α
inst✝ : DecidableEq α
X : α → V
d : (n : α) → X n ⟶ X (n + 1)
sq : ∀ (n : α), d n ≫ d (n + 1) = 0
i j : α
h : i + 1 ≠ j
\u22a2 (if h : i + 1 = j then d i ≫ eqToHom ⋯ else 0) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Periodic.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
hf : Periodic f T
t s : ℝ
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in t..t + T, f x = ∫ (x : ℝ) in s..s + T, f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Periodic.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
hf : Periodic f T
t s : ℝ
hT : 0 < T
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in t..t + T, f x = ∫ (x : ℝ) in s..s + T, f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Periodic.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
t s : ℝ
hf : Periodic f 0
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in t..t + 0, f x = ∫ (x : ℝ) in s..s + 0, f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Periodic.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
hf : Periodic f T
t s : ℝ
hT : T < 0
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in t..t + T, f x = ∫ (x : ℝ) in s..s + T, f x
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : ArithmeticFunction R
\u22a2 f.ppow 0 = ↑ζ
-- Mathlib/ModelTheory/Order.lean
L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝ : Preorder M
\u22a2 M ⊨ Language.order.denselyOrderedSentence ↔ DenselyOrdered M
-- Mathlib/ModelTheory/Order.lean
L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝ : Preorder M
\u22a2 (∀ (a a_1 : M), Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1 0 < Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1 1 → ∃ a_3, Fin.snoc (Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1) a_3 0 < Fin.snoc (Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1) a_3 2 ∧ Fin.snoc (Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1) a_3 2 < Fin.snoc (Fin.snoc (Fin.snoc default a) a_1) a_3 1) ↔ DenselyOrdered M
-- Mathlib/ModelTheory/Order.lean
L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝ : Preorder M
h : DenselyOrdered M
a b : M
ab : Fin.snoc (Fin.snoc default a) b 0 < Fin.snoc (Fin.snoc default a) b 1
\u22a2 ∃ a_1, Fin.snoc (Fin.snoc (Fin.snoc default a) b) a_1 0 < Fin.snoc (Fin.snoc (Fin.snoc default a) b) a_1 2 ∧ Fin.snoc (Fin.snoc (Fin.snoc default a) b) a_1 2 < Fin.snoc (Fin.snoc (Fin.snoc default a) b) a_1 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
u : ℂ
hu : 0 < u.re
v : ℂ
\u22a2 IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1)) volume 0 (1 / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
u : ℂ
hu : 0 < u.re
v : ℂ
\u22a2 IntervalIntegrable (fun x => ↑x ^ (u - 1)) volume 0 (1 / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
u : ℂ
hu : 0 < u.re
v : ℂ
\u22a2 ContinuousOn (fun x => (1 - ↑x) ^ (v - 1)) (uIcc 0 (1 / 2))
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
\u22a2 Pi.topologicalSpace = generateFrom {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s}
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
\u22a2 Pi.topologicalSpace = generateFrom {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s}
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
\u22a2 generateFrom {t | ∃ s i, (∀ a ∈ i, s a ∈ g a) ∧ t = (↑i).pi s} = generateFrom {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s}
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
\u22a2 {t | ∃ s, (∀ (a : ι), s a ∈ g a) ∧ t = univ.pi s} ⊆ {t | ∃ s i, (∀ a ∈ i, s a ∈ g a) ∧ t = (↑i).pi s}
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π✝ : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π✝ i)
f : X → (i : ι) → π✝ i
π : ι → Type u_8
g : (a : ι) → Set (Set (π a))
inst✝ : Finite ι
hg : ∀ (a : ι), ⋃₀ g a = univ
val✝ : Fintype ι
\u22a2 ∀ s ∈ {t | ∃ s i, (∀ a ∈ i, s a ∈ g a) ∧ t = (↑i).pi s}, IsOpen s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R✝ : Type u
S : Type v
a b : R✝
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R✝
p q r : R✝[X]
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
\u22a2 (↑n).coeff 0 = ↑n
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n d : ℕ
hnd : d ∣ n
\u22a2 φ (n / d) = (filter (fun k => n.gcd k = d) (range n)).card
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
hnd : 0 ∣ n
\u22a2 φ (n / 0) = (filter (fun k => n.gcd k = 0) (range n)).card
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n d : ℕ
hnd : d ∣ n
hd0 : d > 0
\u22a2 φ (n / d) = (filter (fun k => n.gcd k = d) (range n)).card
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
d : ℕ
hd0 : d > 0
x : ℕ
\u22a2 φ (d * x / d) = (filter (fun k => (d * x).gcd k = d) (range (d * x))).card
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
d : ℕ
hd0 : d > 0
x : ℕ
\u22a2 φ x = (filter (fun k => (d * x).gcd k = d) (range (d * x))).card
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
d : ℕ
hd0 : d > 0
x : ℕ
\u22a2 ∀ a ∈ filter x.Coprime (range x), d * a ∈ filter (fun k => (d * x).gcd k = d) (range (d * x))
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
d : ℕ
hd0 : d > 0
x : ℕ
\u22a2 ∀ a₁ ∈ filter x.Coprime (range x), ∀ a₂ ∈ filter x.Coprime (range x), d * a₁ = d * a₂ → a₁ = a₂
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
d : ℕ
hd0 : d > 0
x : ℕ
\u22a2 ∀ b ∈ filter (fun k => (d * x).gcd k = d) (range (d * x)), ∃ a, ∃ (_ : a ∈ filter x.Coprime (range x)), d * a = b
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r✝ : ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
H : s.Nonempty
e : E
r : ℝ
\u22a2 (s.sup' H p).closedBall e r = s.inf' H fun i => (p i).closedBall e r
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b : α
hab : a ≤ b
\u22a2 mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b : α
hab : a ≤ b
ha : 1 ≤ a
hb : 1 ≤ b
\u22a2 mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b : α
hab : a ≤ b
ha : 1 ≤ a
hb : b < 1
\u22a2 mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b : α
hab : a ≤ b
ha : a < 1
hb : 1 ≤ b
\u22a2 mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b : α
hab : a ≤ b
ha : a < 1
hb : b < 1
\u22a2 mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b : α
hab : a ≤ b
ha : a < 1
hb : 1 ≤ b
this : (mabs (a * b) = a⁻¹ * b ↔ b ≤ 1) ↔ (mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1)
\u22a2 mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b : α
hab : a ≤ b
ha : a < 1
hb : 1 ≤ b
this : (mabs (a * b) = a⁻¹ * b ↔ b ≤ 1) ↔ (mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1)
h : mabs (a * b) = a⁻¹ * b
\u22a2 b ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b : α
hab : a ≤ b
ha : a < 1
hb : 1 ≤ b
this : (mabs (a * b) = a⁻¹ * b ↔ b ≤ 1) ↔ (mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1)
h : mabs (a * b) = a⁻¹ * b
ab : a * b ≤ 1
\u22a2 b ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a b : α
hab : a ≤ b
ha : a < 1
hb : 1 ≤ b
this : (mabs (a * b) = a⁻¹ * b ↔ b ≤ 1) ↔ (mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1)
h : mabs (a * b) = a⁻¹ * b
ab : 1 < a * b
\u22a2 b ≤ 1
-- Mathlib/Order/Irreducible.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : SemilatticeSup α
b c : α
inst✝ : OrderBot α
s : Finset ι
f : ι → α
ha : SupIrred ⊥
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
a : ℝ
hf : ContinuousOn f (Ici a)
hft : Tendsto f atTop atTop
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)
hg1 : IntegrableOn g (f '' Ici a) volume
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) (Ici a) volume
eq : ∀ (b : ℝ), a < b → ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in Ioi (f a), g u
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
a : ℝ
hf : ContinuousOn f (Ici a)
hft : Tendsto f atTop atTop
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)
hg1 : IntegrableOn g (f '' Ici a) volume
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) (Ioi a) volume
eq : ∀ (b : ℝ), a < b → ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in Ioi (f a), g u
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
a : ℝ
hf : ContinuousOn f (Ici a)
hft : Tendsto f atTop atTop
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)
hg1 : IntegrableOn g (f '' Ici a) volume
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) (Ioi a) volume
eq : ∀ (b : ℝ), a < b → ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
t2 : Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..id i, f' x • (g ∘ f) x) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x ∂volume))
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in Ioi (f a), g u
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
a : ℝ
hf : ContinuousOn f (Ici a)
hft : Tendsto f atTop atTop
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)
hg1 : IntegrableOn g (f '' Ici a) volume
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) (Ioi a) volume
eq : ∀ (b : ℝ), a < b → ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
t2 : Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..id i, f' x • (g ∘ f) x) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x ∂volume))
this : Ioi (f a) ⊆ f '' Ici a
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in Ioi (f a), g u
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → E
a : ℝ
hf : ContinuousOn f (Ici a)
hft : Tendsto f atTop atTop
hff' : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hg_cont : ContinuousOn g (f '' Ioi a)
hg1 : IntegrableOn g (f '' Ici a) volume
hg2 : IntegrableOn (fun x => f' x • (g ∘ f) x) (Ioi a) volume
eq : ∀ (b : ℝ), a < b → ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
t2 : Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..id i, f' x • (g ∘ f) x) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x ∂volume))
this : Ioi (f a) ⊆ f '' Ici a
t1 : Tendsto ((fun i => ∫ (x : ℝ) in f a..id i, g x) ∘ f) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi (f a), g x ∂volume))
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in Ioi a, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in Ioi (f a), g u
-- Mathlib/SetTheory/Game/Impartial.lean
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
H : PGame
\u22a2 H ≈ G ↔ H + G ≈ 0
-- Mathlib/SetTheory/Game/Impartial.lean
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
H : PGame
\u22a2 ⟦H + G⟧ = 0 ↔ ⟦H + G⟧ = ⟦0⟧
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
I : Set ℝ := Icc 0 1
\u22a2 ∃ z ∈ segment ℝ x y, f y - f x = (f' z) (y - x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
I : Set ℝ := Icc 0 1
hsub : Ioo 0 1 ⊆ I
\u22a2 ∃ z ∈ segment ℝ x y, f y - f x = (f' z) (y - x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
I : Set ℝ := Icc 0 1
hsub : Ioo 0 1 ⊆ I
hmaps : MapsTo g I s
\u22a2 ∃ z ∈ segment ℝ x y, f y - f x = (f' z) (y - x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
I : Set ℝ := Icc 0 1
hsub : Ioo 0 1 ⊆ I
hmaps : MapsTo g I s
hfg : ∀ t ∈ I, HasDerivWithinAt (f ∘ g) ((f' (g t)) (y - x)) I t
\u22a2 ∃ z ∈ segment ℝ x y, f y - f x = (f' z) (y - x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
I : Set ℝ := Icc 0 1
hsub : Ioo 0 1 ⊆ I
hmaps : MapsTo g I s
hfg : ∀ t ∈ I, HasDerivWithinAt (f ∘ g) ((f' (g t)) (y - x)) I t
t : ℝ
Ht : t ∈ Ioo 0 1
hMVT' : (f' (g t)) (y - x) = (f (g 1) - f (g 0)) / (1 - 0)
\u22a2 ∃ z ∈ segment ℝ x y, f y - f x = (f' z) (y - x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
I : Set ℝ := Icc 0 1
hsub : Ioo 0 1 ⊆ I
hmaps : MapsTo g I s
hfg : ∀ t ∈ I, HasDerivWithinAt (f ∘ g) ((f' (g t)) (y - x)) I t
t : ℝ
Ht : t ∈ Ioo 0 1
hMVT' : (f' (g t)) (y - x) = (f (g 1) - f (g 0)) / (1 - 0)
\u22a2 ∃ x_1 ∈ Icc 0 1, f y - f x = (f' ((AffineMap.lineMap x y) x_1)) (y - x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → ℝ
s : Set E
x y : E
f' : E → E →L[ℝ] ℝ
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
g : ℝ → E := fun t => (AffineMap.lineMap x y) t
I : Set ℝ := Icc 0 1
hsub : Ioo 0 1 ⊆ I
hmaps : MapsTo g I s
hfg : ∀ t ∈ I, HasDerivWithinAt (f ∘ g) ((f' (g t)) (y - x)) I t
t : ℝ
Ht : t ∈ Ioo 0 1
hMVT' : (f' (g t)) (y - x) = (f (g 1) - f (g 0)) / (1 - 0)
\u22a2 f y - f x = (f' ((AffineMap.lineMap x y) t)) (y - x)
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : IsClosed s
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hspec : ∀ (x : X), g x ⤳ f x
\u22a2 Continuous (s.piecewise f g)
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x✝ : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b✝ : B
y : E b✝
e₁ e₂ e₃ : Trivialization F proj
b : B
h₁ : b ∈ e₁.baseSet
h₂ : b ∈ e₂.baseSet
x : F
\u22a2 e₂.coordChange e₃ b (e₁.coordChange e₂ b x) = e₁.coordChange e₃ b x
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x✝ : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b✝ : B
y : E b✝
e₁ e₂ e₃ : Trivialization F proj
b : B
h₁ : b ∈ e₁.baseSet
h₂ : b ∈ e₂.baseSet
x : F
\u22a2 ↑e₁.symm (b, x) ∈ e₂.source
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : Group G
inst✝¹ : SetLike S G
inst✝ : SubgroupClass S G
s : S
a : G
ha : a ∈ s
x✝ : G
\u22a2 x✝ ∈ MulOpposite.op a • ↑s ↔ x✝ ∈ ↑s
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X : OppositeShift C A
a b c : A
h : a + b = c
\u22a2 (shiftFunctorAdd (OppositeShift C A) a b).hom.app X = ((shiftFunctorAdd C a b).inv.app (Opposite.unop X)).op
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X : OppositeShift C A
a b c : A
h : a + b = c
\u22a2 𝟙 ((shiftFunctor (OppositeShift C A) (a + b)).obj X) = 𝟙 (Opposite.op ((shiftFunctor C (a + b)).obj (Opposite.unop X)))
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace Y
inst✝ : (𝓤 Y).IsCountablyGenerated
f : X → Y
\u22a2 IsGδ {x | ContinuousAt f x}