ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Convex/Caratheodory.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
h : ¬AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ x ∈ t, g x ≠ 0
\u22a2 ∃ y w, (∀ y_1 ∈ t.erase ↑y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ t.erase ↑y, w y = 1 ∧ (t.erase ↑y).centerMass w id = t.centerMass f id
-- Mathlib/Analysis/Convex/Caratheodory.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
h : ¬AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i
\u22a2 ∃ y w, (∀ y_1 ∈ t.erase ↑y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ t.erase ↑y, w y = 1 ∧ (t.erase ↑y).centerMass w id = t.centerMass f id
-- Mathlib/Analysis/Convex/Caratheodory.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i
s : Finset E := filter (fun z => 0 < g z) t
\u22a2 ∃ y w, (∀ y_1 ∈ t.erase ↑y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ t.erase ↑y, w y = 1 ∧ (t.erase ↑y).centerMass w id = t.centerMass f id
-- Mathlib/Analysis/Convex/Caratheodory.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i
s : Finset E := filter (fun z => 0 < g z) t
i₀ : E
mem : i₀ ∈ s
w : ∀ i ∈ s, f i₀ / g i₀ ≤ f i / g i
\u22a2 ∃ y w, (∀ y_1 ∈ t.erase ↑y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ t.erase ↑y, w y = 1 ∧ (t.erase ↑y).centerMass w id = t.centerMass f id
-- Mathlib/Analysis/Convex/Caratheodory.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i
s : Finset E := filter (fun z => 0 < g z) t
i₀ : E
mem : i₀ ∈ s
w : ∀ i ∈ s, f i₀ / g i₀ ≤ f i / g i
hg : 0 < g i₀
\u22a2 ∃ y w, (∀ y_1 ∈ t.erase ↑y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ t.erase ↑y, w y = 1 ∧ (t.erase ↑y).centerMass w id = t.centerMass f id
-- Mathlib/Analysis/Convex/Caratheodory.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i
s : Finset E := filter (fun z => 0 < g z) t
i₀ : E
mem : i₀ ∈ s
w : ∀ i ∈ s, f i₀ / g i₀ ≤ f i / g i
hg : 0 < g i₀
hi₀ : i₀ ∈ t
\u22a2 ∃ y w, (∀ y_1 ∈ t.erase ↑y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ t.erase ↑y, w y = 1 ∧ (t.erase ↑y).centerMass w id = t.centerMass f id
-- Mathlib/Analysis/Convex/Caratheodory.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i
s : Finset E := filter (fun z => 0 < g z) t
i₀ : E
mem : i₀ ∈ s
w : ∀ i ∈ s, f i₀ / g i₀ ≤ f i / g i
hg : 0 < g i₀
hi₀ : i₀ ∈ t
k : E → 𝕜 := fun z => f z - f i₀ / g i₀ * g z
\u22a2 ∃ y w, (∀ y_1 ∈ t.erase ↑y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ t.erase ↑y, w y = 1 ∧ (t.erase ↑y).centerMass w id = t.centerMass f id
-- Mathlib/Analysis/Convex/Caratheodory.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i
s : Finset E := filter (fun z => 0 < g z) t
i₀ : E
mem : i₀ ∈ s
w : ∀ i ∈ s, f i₀ / g i₀ ≤ f i / g i
hg : 0 < g i₀
hi₀ : i₀ ∈ t
k : E → 𝕜 := fun z => f z - f i₀ / g i₀ * g z
hk : k i₀ = 0
\u22a2 ∃ y w, (∀ y_1 ∈ t.erase ↑y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ t.erase ↑y, w y = 1 ∧ (t.erase ↑y).centerMass w id = t.centerMass f id
-- Mathlib/Analysis/Convex/Caratheodory.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i
s : Finset E := filter (fun z => 0 < g z) t
i₀ : E
mem : i₀ ∈ s
w : ∀ i ∈ s, f i₀ / g i₀ ≤ f i / g i
hg : 0 < g i₀
hi₀ : i₀ ∈ t
k : E → 𝕜 := fun z => f z - f i₀ / g i₀ * g z
hk : k i₀ = 0
ksum : ∑ e ∈ t.erase i₀, k e = 1
\u22a2 ∃ y w, (∀ y_1 ∈ t.erase ↑y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ t.erase ↑y, w y = 1 ∧ (t.erase ↑y).centerMass w id = t.centerMass f id
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Presheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A : Cᵒᵖ ⥤ Type v
F : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v
X : C
G : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v
η : F ⟶ G
p : YonedaCollection F X
\u22a2 op (CostructuredArrow.mk p.fst) = op (CostructuredArrow.mk (map₁ η p).fst)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
n : ℤ
z τ : ℂ
f : ℂ × ℂ → ℂ := fun p => 2 * ↑π * I * ↑n * p.1 + ↑π * I * ↑n ^ 2 * p.2
\u22a2 HasFDerivAt (fun p => jacobiTheta₂_term n p.1 p.2) (jacobiTheta₂_term_fderiv n z τ) (z, τ)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
n : ℤ
z τ : ℂ
f : ℂ × ℂ → ℂ := fun p => 2 * ↑π * I * ↑n * p.1 + ↑π * I * ↑n ^ 2 * p.2
\u22a2 HasFDerivAt f ((2 * ↑π * I * ↑n) • ContinuousLinearMap.fst ℂ ℂ ℂ + (↑π * I * ↑n ^ 2) • ContinuousLinearMap.snd ℂ ℂ ℂ) (z, τ)
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
\u22a2 toIcoMod hp a (p + b) = toIcoMod hp a b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 fb)
F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
\u22a2 ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = fb - fa
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 fb)
F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
Fderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt F (f' x) x
\u22a2 ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = fb - fa
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F✝ : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 fb)
F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
Fderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt F (f' x) x
hcont : ContinuousOn F (Icc a b)
\u22a2 ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = fb - fa
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Equiv.lean
R✝ : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹⁵ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁴ : Semiring A₁
inst✝¹³ : Semiring A₂
inst✝¹² : Semiring A₃
inst✝¹¹ : Semiring A₁'
inst✝¹⁰ : Semiring A₂'
inst✝⁹ : Semiring A₃'
inst✝⁸ : Algebra R✝ A₁
inst✝⁷ : Algebra R✝ A₂
inst✝⁶ : Algebra R✝ A₃
inst✝⁵ : Algebra R✝ A₁'
inst✝⁴ : Algebra R✝ A₂'
inst✝³ : Algebra R✝ A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R✝] A₂
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
f : (S →ₐ[R] S)ˣ
x : S
\u22a2 ↑(f⁻¹ * f) x = x
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Equiv.lean
R✝ : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹⁵ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁴ : Semiring A₁
inst✝¹³ : Semiring A₂
inst✝¹² : Semiring A₃
inst✝¹¹ : Semiring A₁'
inst✝¹⁰ : Semiring A₂'
inst✝⁹ : Semiring A₃'
inst✝⁸ : Algebra R✝ A₁
inst✝⁷ : Algebra R✝ A₂
inst✝⁶ : Algebra R✝ A₃
inst✝⁵ : Algebra R✝ A₁'
inst✝⁴ : Algebra R✝ A₂'
inst✝³ : Algebra R✝ A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R✝] A₂
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
f : (S →ₐ[R] S)ˣ
x : S
\u22a2 ↑1 x = x
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Equiv.lean
R✝ : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹⁵ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁴ : Semiring A₁
inst✝¹³ : Semiring A₂
inst✝¹² : Semiring A₃
inst✝¹¹ : Semiring A₁'
inst✝¹⁰ : Semiring A₂'
inst✝⁹ : Semiring A₃'
inst✝⁸ : Algebra R✝ A₁
inst✝⁷ : Algebra R✝ A₂
inst✝⁶ : Algebra R✝ A₃
inst✝⁵ : Algebra R✝ A₁'
inst✝⁴ : Algebra R✝ A₂'
inst✝³ : Algebra R✝ A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R✝] A₂
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
f : (S →ₐ[R] S)ˣ
x : S
\u22a2 ↑(f * f⁻¹) x = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f f' : X ⟶ Y
g : Z ≅ Y
\u22a2 f ≫ g.inv = f' ≫ g.inv ↔ f = f'
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : Field R
p q : R[X]
inst✝¹ : CommSemiring k
inst✝ : DecidableEq R
ϕ : R →+* k
f g : R[X]
α : k
hα : eval₂ ϕ α (EuclideanDomain.gcd f g) = 0
\u22a2 eval₂ ϕ α f = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : Field R
p✝ q : R[X]
inst✝¹ : CommSemiring k
inst✝ : DecidableEq R
ϕ : R →+* k
f g : R[X]
α : k
hα : eval₂ ϕ α (EuclideanDomain.gcd f g) = 0
p : R[X]
hp : f = EuclideanDomain.gcd f g * p
\u22a2 eval₂ ϕ α f = 0
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁹ : DecidableEq α'
inst✝⁸ : DecidableEq β'
inst✝⁷ : DecidableEq γ
inst✝⁶ : DecidableEq γ'
inst✝⁵ : DecidableEq δ
inst✝⁴ : DecidableEq δ'
inst✝³ : DecidableEq ε
inst✝² : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝¹ : SemilatticeSup δ
inst✝ : OrderBot δ
g : γ → δ
\u22a2 (image₂ f s t).sup g = s.sup fun x => t.sup fun x_1 => g (f x x_1)
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁹ : DecidableEq α'
inst✝⁸ : DecidableEq β'
inst✝⁷ : DecidableEq γ
inst✝⁶ : DecidableEq γ'
inst✝⁵ : DecidableEq δ
inst✝⁴ : DecidableEq δ'
inst✝³ : DecidableEq ε
inst✝² : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝¹ : SemilatticeSup δ
inst✝ : OrderBot δ
g : γ → δ
\u22a2 (s.sup fun i => t.sup fun i' => (g ∘ uncurry f) (i, i')) = s.sup fun x => t.sup fun x_1 => g (f x x_1)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
f : ℂ → ℂ
c z : ℂ
R R₁ R₂ : ℝ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball 0 R)
h_maps : MapsTo f (ball 0 R) (ball 0 R)
h₀ : f 0 = 0
hz : abs z < R
\u22a2 abs (f z) ≤ abs z
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
f : ℂ → ℂ
c z : ℂ
R R₁ R₂ : ℝ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball 0 R)
h_maps : MapsTo f (ball 0 R) (ball 0 R)
h₀ : f 0 = 0
hz : z ∈ ball 0 R
\u22a2 abs (f z) ≤ abs z
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
n : ℕ
f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma
\u22a2 deriv Gamma (↑n + 1) = ↑n ! * (-γ + ↑(harmonic n))
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
n : ℕ
f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma
\u22a2 deriv (log ∘ Gamma) (↑n + 1) = -γ + ↑(harmonic n)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
n : ℕ
f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma
hc : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
\u22a2 deriv (log ∘ Gamma) (↑n + 1) = -γ + ↑(harmonic n)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
n : ℕ
f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma
hc : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
h_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → f (x + 1) = f x + log x
\u22a2 deriv (log ∘ Gamma) (↑n + 1) = -γ + ↑(harmonic n)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
n : ℕ
f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma
hc : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
h_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → f (x + 1) = f x + log x
hder : ∀ {x : ℝ}, 0 < x → DifferentiableAt ℝ f x
\u22a2 deriv (log ∘ Gamma) (↑n + 1) = -γ + ↑(harmonic n)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
n : ℕ
f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma
hc : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
h_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → f (x + 1) = f x + log x
hder : ∀ {x : ℝ}, 0 < x → DifferentiableAt ℝ f x
hder_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → deriv f (x + 1) = deriv f x + 1 / x
\u22a2 deriv (log ∘ Gamma) (↑n + 1) = -γ + ↑(harmonic n)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
n : ℕ
f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma
hc : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
h_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → f (x + 1) = f x + log x
hder : ∀ {x : ℝ}, 0 < x → DifferentiableAt ℝ f x
hder_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → deriv f (x + 1) = deriv f x + 1 / x
hder_nat : ∀ (n : ℕ), deriv f (↑n + 1) = deriv f 1 + ↑(harmonic n)
\u22a2 deriv (log ∘ Gamma) (↑n + 1) = -γ + ↑(harmonic n)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
n : ℕ
f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma
hc : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
h_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → f (x + 1) = f x + log x
hder : ∀ {x : ℝ}, 0 < x → DifferentiableAt ℝ f x
hder_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → deriv f (x + 1) = deriv f x + 1 / x
hder_nat : ∀ (n : ℕ), deriv f (↑n + 1) = deriv f 1 + ↑(harmonic n)
\u22a2 -deriv f 1 = γ
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
n : ℕ
f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma
hc : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
h_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → f (x + 1) = f x + log x
hder : ∀ {x : ℝ}, 0 < x → DifferentiableAt ℝ f x
hder_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → deriv f (x + 1) = deriv f x + 1 / x
hder_nat : ∀ (n : ℕ), deriv f (↑n + 1) = deriv f 1 + ↑(harmonic n)
derivLB : ∀ (n : ℕ), 0 < n → log ↑n ≤ deriv f (↑n + 1)
\u22a2 -deriv f 1 = γ
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
n : ℕ
f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma
hc : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
h_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → f (x + 1) = f x + log x
hder : ∀ {x : ℝ}, 0 < x → DifferentiableAt ℝ f x
hder_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → deriv f (x + 1) = deriv f x + 1 / x
hder_nat : ∀ (n : ℕ), deriv f (↑n + 1) = deriv f 1 + ↑(harmonic n)
derivLB : ∀ (n : ℕ), 0 < n → log ↑n ≤ deriv f (↑n + 1)
derivUB : ∀ (n : ℕ), deriv f (↑n + 1) ≤ log (↑n + 1)
\u22a2 -deriv f 1 = γ
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
n : ℕ
f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma
hc : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
h_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → f (x + 1) = f x + log x
hder : ∀ {x : ℝ}, 0 < x → DifferentiableAt ℝ f x
hder_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → deriv f (x + 1) = deriv f x + 1 / x
hder_nat : ∀ (n : ℕ), deriv f (↑n + 1) = deriv f 1 + ↑(harmonic n)
derivLB : ∀ (n : ℕ), 0 < n → log ↑n ≤ deriv f (↑n + 1)
derivUB : ∀ (n : ℕ), deriv f (↑n + 1) ≤ log (↑n + 1)
\u22a2 -deriv f 1 ≤ γ
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
n : ℕ
f : ℝ → ℝ := log ∘ Gamma
hc : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
h_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → f (x + 1) = f x + log x
hder : ∀ {x : ℝ}, 0 < x → DifferentiableAt ℝ f x
hder_rec : ∀ (x : ℝ), 0 < x → deriv f (x + 1) = deriv f x + 1 / x
hder_nat : ∀ (n : ℕ), deriv f (↑n + 1) = deriv f 1 + ↑(harmonic n)
derivLB : ∀ (n : ℕ), 0 < n → log ↑n ≤ deriv f (↑n + 1)
derivUB : ∀ (n : ℕ), deriv f (↑n + 1) ≤ log (↑n + 1)
\u22a2 γ ≤ -deriv f 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
\u22a2 IsSquare 2 ↔ p % 8 = 1 ∨ p % 8 = 7
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
\u22a2 p % 8 ≠ 3 ∧ p % 8 ≠ 5 ↔ p % 8 = 1 ∨ p % 8 = 7
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
h₁ : p % 2 = 1
\u22a2 p % 8 ≠ 3 ∧ p % 8 ≠ 5 ↔ p % 8 = 1 ∨ p % 8 = 7
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
h₁ : p % 8 % 2 = 1
\u22a2 p % 8 ≠ 3 ∧ p % 8 ≠ 5 ↔ p % 8 = 1 ∨ p % 8 = 7
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
h₁ : p % 8 % 2 = 1
h₂ : p % 8 < 8
\u22a2 p % 8 ≠ 3 ∧ p % 8 ≠ 5 ↔ p % 8 = 1 ∨ p % 8 = 7
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
f : Filter α
s✝ t s : Set α
\u22a2 s ∈ f ↔ s ∈ f
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/LinearMap.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝³ : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝² : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
inst✝ : IsNoetherian R M
σ : ι → ι
hσ : ∀ (i : ι), σ i ≠ i
f : Module.End R M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N (σ i))
\u22a2 (trace R M) f = 0
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/LinearMap.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝³ : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝² : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
inst✝ : IsNoetherian R M
σ : ι → ι
hσ : ∀ (i : ι), σ i ≠ i
f : Module.End R M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N (σ i))
hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite
\u22a2 (trace R M) f = 0
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/LinearMap.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝³ : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝² : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
inst✝ : IsNoetherian R M
σ : ι → ι
hσ : ∀ (i : ι), σ i ≠ i
f : Module.End R M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N (σ i))
hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite
s : Finset ι := hN.toFinset
κ : ι → Type u_3 := fun i => Module.Free.ChooseBasisIndex R ↥(N i)
b : (i : { x // x ∈ s }) → Basis (κ ↑i) R ↥(N ↑i) := fun i => Module.Free.chooseBasis R ↥(N ↑i)
\u22a2 (trace R M) f = 0
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/LinearMap.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
inst✝ : IsNoetherian R M
σ : ι → ι
hσ : ∀ (i : ι), σ i ≠ i
f : Module.End R M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N (σ i))
hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite
s : Finset ι := hN.toFinset
κ : ι → Type u_3 := fun i => Module.Free.ChooseBasisIndex R ↥(N i)
b : (i : { x // x ∈ s }) → Basis (κ ↑i) R ↥(N ↑i) := fun i => Module.Free.chooseBasis R ↥(N ↑i)
h : IsInternal fun i => N ↑i
\u22a2 (trace R M) f = 0
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
u v✝ : ℤ
hv : 2 ≤ v✝
v : ℕ
h : ContfracLegendre.Ass ξ u ↑v
\u22a2 ∃ n, ↑u / ↑v = ξ.convergent n
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
v✝ : ℤ
hv : 2 ≤ v✝
v : ℕ
ih : ∀ m < v, ∀ {ξ : ℝ} {u : ℤ}, ContfracLegendre.Ass ξ u ↑m → ∃ n, ↑u / ↑m = ξ.convergent n
ξ : ℝ
u : ℤ
h : ContfracLegendre.Ass ξ u ↑v
\u22a2 ∃ n, ↑u / ↑v = ξ.convergent n
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
v✝ : ℤ
hv : 2 ≤ v✝
v : ℕ
ih : ∀ m < v, ∀ {ξ : ℝ} {u : ℤ}, ContfracLegendre.Ass ξ u ↑m → ∃ n, ↑u / ↑m = ξ.convergent n
ξ : ℝ
u : ℤ
h : ContfracLegendre.Ass ξ u ↑v
ht : v < 1
\u22a2 ∃ n, ↑u / ↑v = ξ.convergent n
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
v : ℤ
hv : 2 ≤ v
ξ : ℝ
u : ℤ
ih : ∀ m < 1, ∀ {ξ : ℝ} {u : ℤ}, ContfracLegendre.Ass ξ u ↑m → ∃ n, ↑u / ↑m = ξ.convergent n
h : ContfracLegendre.Ass ξ u ↑1
\u22a2 ∃ n, ↑u / ↑1 = ξ.convergent n
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
v✝ : ℤ
hv : 2 ≤ v✝
v : ℕ
ih : ∀ m < v, ∀ {ξ : ℝ} {u : ℤ}, ContfracLegendre.Ass ξ u ↑m → ∃ n, ↑u / ↑m = ξ.convergent n
ξ : ℝ
u : ℤ
h : ContfracLegendre.Ass ξ u ↑v
ht : 1 < v
\u22a2 ∃ n, ↑u / ↑v = ξ.convergent n
-- Mathlib/ModelTheory/Basic.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
h : M ≃[L] N
f g : N ≃[L] P
hfg : (fun f => f.comp h) f = (fun f => f.comp h) g
\u22a2 f = g
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l✝ l' l : Filter α
\u22a2 IntegrableAtFilter f (l ⊓ ae μ) μ ↔ IntegrableAtFilter f l μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l✝ l' l : Filter α
\u22a2 IntegrableAtFilter f (l ⊓ ae μ) μ → IntegrableAtFilter f l μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t✝ : Set α
μ ν : Measure α
l✝ l' l : Filter α
t : Set α
ht : t ∈ l
u : Set α
hu : u ∈ ae μ
hf : IntegrableOn f (t ∩ u) μ
\u22a2 IntegrableAtFilter f l μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t✝ : Set α
μ ν : Measure α
l✝ l' l : Filter α
t : Set α
ht : t ∈ l
u : Set α
hu : u ∈ ae μ
hf : IntegrableOn f (t ∩ u) μ
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t ↔ x ∈ t ∩ u
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
g : G
q : orbitRel.Quotient (↥(zpowers g)) (G ⧸ H)
k : ZMod (minimalPeriod (fun x => g • x) (Quotient.out' q))
\u22a2 ↑((toEquiv ⋯) (g ^ k.cast • Quotient.out' q)) = g ^ k.cast * Quotient.out' (Quotient.out' q)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ((algebraMap R S).comp h.symm.toRingHom).toAlgebra
\u22a2 IsLocalization M S ↔ IsLocalization (Submonoid.map h.toMonoidHom M) S
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ((algebraMap R S).comp h.symm.toRingHom).toAlgebra
\u22a2 IsLocalization (Submonoid.map h.toMonoidHom M) S → IsLocalization M S
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ((algebraMap R S).comp h.symm.toRingHom).toAlgebra
H : IsLocalization (Submonoid.map h.toMonoidHom M) S
\u22a2 IsLocalization M S
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ((algebraMap R S).comp h.symm.toRingHom).toAlgebra
H : IsLocalization (Submonoid.map h.toMonoidHom M) S
\u22a2 M = Submonoid.map h.symm.toMonoidHom (Submonoid.map h.toMonoidHom M)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ((algebraMap R S).comp h.symm.toRingHom).toAlgebra
H : IsLocalization (Submonoid.map h.toMonoidHom M) S
\u22a2 inst✝¹ = ((algebraMap P S).comp h.symm.symm.toRingHom).toAlgebra
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
h : R ≃+* P
this : Algebra P S := ((algebraMap R S).comp h.symm.toRingHom).toAlgebra
H : IsLocalization (Submonoid.map h.toMonoidHom M) S
\u22a2 inst✝¹ = ((algebraMap R S).comp (h.symm.toRingHom.comp h.symm.symm.toRingHom)).toAlgebra