ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : TopologicalSpace P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
H : ¬∀ p ∈ s, ∀ (x : G), g p x = 0
this : LocallyCompactSpace G
q₀ : P
x₀ : G
hq₀ : (q₀, x₀).1 ∈ s
t : Set G
t_comp : IsCompact t
ht : t ∈ 𝓝 x₀
k' : Set G := -k +ᵥ t
k'_comp : IsCompact k'
g' : P × G → G → E' := fun p x => g p.1 (p.2 - x)
s' : Set (P × G) := s ×ˢ t
A : ContinuousOn (uncurry g') (s' ×ˢ univ)
B : ContinuousOn (fun a => ∫ (x : G), (L (f x)) (g' a x) ∂μ) s'
\u22a2 ContinuousWithinAt (fun q => (f ⋆[L, μ] g q.1) q.2) (s ×ˢ univ) (q₀, x₀)
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : TopologicalSpace P
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
H : ¬∀ p ∈ s, ∀ (x : G), g p x = 0
this : LocallyCompactSpace G
q₀ : P
x₀ : G
hq₀ : (q₀, x₀).1 ∈ s
t : Set G
t_comp : IsCompact t
ht : t ∈ 𝓝 x₀
k' : Set G := -k +ᵥ t
k'_comp : IsCompact k'
g' : P × G → G → E' := fun p x => g p.1 (p.2 - x)
s' : Set (P × G) := s ×ˢ t
A : ContinuousOn (uncurry g') (s' ×ˢ univ)
B : ContinuousOn (fun a => ∫ (x : G), (L (f x)) (g' a x) ∂μ) s'
\u22a2 s' ∈ 𝓝[s ×ˢ univ] (q₀, x₀)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
s : Set β
\u22a2 MeasurableSet (Sum.inr '' s) ↔ MeasurableSet s
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Mono.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
t : PullbackCone f g
ht : IsLimit t
inst✝ : Mono f
\u22a2 Mono t.snd
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Mono.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W✝ X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
t : PullbackCone f g
ht : IsLimit t
inst✝ : Mono f
W : C
h k : W ⟶ t.pt
i : h ≫ t.snd = k ≫ t.snd
\u22a2 h ≫ t.fst = k ≫ t.fst
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Mono.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W✝ X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
t : PullbackCone f g
ht : IsLimit t
inst✝ : Mono f
W : C
h k : W ⟶ t.pt
i : h ≫ t.snd = k ≫ t.snd
\u22a2 h ≫ t.snd ≫ g = k ≫ t.snd ≫ g
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace α✝
inst✝³ : UniformSpace β✝
α : Type u_4
β : Type u_5
E : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : UniformSpace E
f : α → β → E
s : Set α
k : Set β
q : α
u : Set (E × E)
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (Function.uncurry f) (s ×ˢ k)
hq : q ∈ s
hu : u ∈ 𝓤 E
\u22a2 ∃ v ∈ 𝓝[s] q, ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ k, (f p x, f q x) ∈ u
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace α✝
inst✝³ : UniformSpace β✝
α : Type u_4
β : Type u_5
E : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : UniformSpace E
f : α → β → E
s : Set α
k : Set β
q : α
u : Set (E × E)
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (Function.uncurry f) (s ×ˢ k)
hq : q ∈ s
hu : u ∈ 𝓤 E
\u22a2 ∃ v ∈ 𝓝[s] q, ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ ∅, (f p x, f q x) ∈ u
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace α✝
inst✝³ : UniformSpace β✝
α : Type u_4
β : Type u_5
E : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : UniformSpace E
f : α → β → E
s : Set α
k : Set β
q : α
u : Set (E × E)
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (Function.uncurry f) (s ×ˢ k)
hq : q ∈ s
hu : u ∈ 𝓤 E
\u22a2 ∀ ⦃s_1 t : Set β⦄, s_1 ⊆ t → (∃ v ∈ 𝓝[s] q, ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ t, (f p x, f q x) ∈ u) → ∃ v ∈ 𝓝[s] q, ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ s_1, (f p x, f q x) ∈ u
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace α✝
inst✝³ : UniformSpace β✝
α : Type u_4
β : Type u_5
E : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : UniformSpace E
f : α → β → E
s : Set α
k : Set β
q : α
u : Set (E × E)
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (Function.uncurry f) (s ×ˢ k)
hq : q ∈ s
hu : u ∈ 𝓤 E
\u22a2 ∀ ⦃s_1 t : Set β⦄, (∃ v ∈ 𝓝[s] q, ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ s_1, (f p x, f q x) ∈ u) → (∃ v ∈ 𝓝[s] q, ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ t, (f p x, f q x) ∈ u) → ∃ v ∈ 𝓝[s] q, ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ s_1 ∪ t, (f p x, f q x) ∈ u
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace α✝
inst✝³ : UniformSpace β✝
α : Type u_4
β : Type u_5
E : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : UniformSpace E
f : α → β → E
s : Set α
k : Set β
q : α
u : Set (E × E)
hk : IsCompact k
hf : ContinuousOn (Function.uncurry f) (s ×ˢ k)
hq : q ∈ s
hu : u ∈ 𝓤 E
\u22a2 ∀ x ∈ k, ∃ t ∈ 𝓝[k] x, ∃ v ∈ 𝓝[s] q, ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ t, (f p x, f q x) ∈ u
-- Mathlib/CategoryTheory/LiftingProperties/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A✝ B✝ B' X✝ Y✝ Y' : C
i✝ : A✝ ⟶ B✝
i' : B✝ ⟶ B'
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
p' : Y✝ ⟶ Y'
A B X Y : Cᵒᵖ
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
h : HasLiftingProperty i p
f : Opposite.unop Y ⟶ Opposite.unop B
g : Opposite.unop X ⟶ Opposite.unop A
sq : CommSq f p.unop i.unop g
\u22a2 sq.HasLift
-- Mathlib/CategoryTheory/LiftingProperties/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A✝ B✝ B' X✝ Y✝ Y' : C
i✝ : A✝ ⟶ B✝
i' : B✝ ⟶ B'
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
p' : Y✝ ⟶ Y'
A B X Y : Cᵒᵖ
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
h : HasLiftingProperty i p
f : Opposite.unop Y ⟶ Opposite.unop B
g : Opposite.unop X ⟶ Opposite.unop A
sq : CommSq f p.unop i.unop g
\u22a2 ⋯.HasLift
-- Mathlib/Data/Multiset/Dedup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
h : t ⊆ s
\u22a2 (s + t).dedup = s.dedup
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
\u22a2 ContMDiff I I n e
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
this : SmoothManifoldWithCorners I M
\u22a2 ContMDiff I I n e
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
this : SmoothManifoldWithCorners I M
\u22a2 Continuous e ∧ ∀ (x : M) (y : H), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I y) ∘ e ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (e ⁻¹' (extChartAt I y).source))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
this : SmoothManifoldWithCorners I M
\u22a2 ∀ (x : M) (y : H), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I y) ∘ e ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (e ⁻¹' (extChartAt I y).source))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
this : SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
y : H
\u22a2 ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I y) ∘ e ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (e ⁻¹' (extChartAt I y).source))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
this : SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
y : H
\u22a2 ∀ x_1 ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (e ⁻¹' (extChartAt I y).source), (↑(extChartAt I y) ∘ e ∘ ↑(extChartAt I x).symm) x_1 = id x_1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
this : SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
y : H
z : E
hz : z ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (e ⁻¹' (extChartAt I y).source)
\u22a2 ↑I (e (↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph e h).symm (↑I.symm z))) = z
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
this : SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
y : H
z : E
hz : z ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (e ⁻¹' (extChartAt I y).source)
\u22a2 ↑I (↑I.symm z) = z
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
this : SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
y : H
z : E
hz : z ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (e ⁻¹' (extChartAt I y).source)
\u22a2 ↑I.symm z ∈ range e
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/AbstractCompletion.lean
α : Type u_1
inst✝² : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace β
f : α → β
inst✝ : T2Space β
hf : UniformContinuous f
a : α
\u22a2 pkg.extend f (pkg.coe a) = f a
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/AbstractCompletion.lean
α : Type u_1
inst✝² : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace β
f : α → β
inst✝ : T2Space β
hf : UniformContinuous f
a : α
\u22a2 ⋯.extend f (pkg.coe a) = f a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
s s₁ t u✝ : Set E
ι : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 A
A' : Type u_4
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
u : Finset ι
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hf : ∀ i ∈ u, ContDiff 𝕜 N (f i)
x : E
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
\u22a2 ‖iteratedFDeriv 𝕜 n (fun x => ∏ j ∈ u, f j x) x‖ ≤ ∑ p ∈ u.sym n, ↑(↑p).multinomial * ∏ j ∈ u, ‖iteratedFDeriv 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
\u22a2 condexpIndL1 hm μ s x = condexpIndL1Fin hm hs hμs x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
f : α → β
u₁ : Set (UniformSpace α)
u₂ : UniformSpace β
u : UniformSpace α
h₁ : u ∈ u₁
hf : UniformContinuous f
\u22a2 Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 α) (𝓤 β)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
f : α → β
u₁ : Set (UniformSpace α)
u₂ : UniformSpace β
u : UniformSpace α
h₁ : u ∈ u₁
hf : UniformContinuous f
\u22a2 Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (⨅ i, 𝓤 α) (𝓤 β)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
\u22a2 (𝓤 α).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {p | dist p.1 p.2 < ε}
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd : l₁.NodupKeys
\u22a2 Pairwise (fun a_1 b_1 => ∀ c ∈ if a = a_1.fst then some ⟨a, b⟩ else none, ∀ d ∈ if a = b_1.fst then some ⟨a, b⟩ else none, a_1 = b_1 ∧ c = d) l₁
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd : l₁.NodupKeys
\u22a2 ∀ {a_1 b_1 : Sigma β}, a_1.fst ≠ b_1.fst → ∀ c ∈ if a = a_1.fst then some ⟨a, b⟩ else none, ∀ d ∈ if a = b_1.fst then some ⟨a, b⟩ else none, a_1 = b_1 ∧ c = d
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd : l₁.NodupKeys
x y : Sigma β
h : x.fst ≠ y.fst
h_2 : a = x.fst
h_1 : a = y.fst
\u22a2 x = y ∧ ⟨a, b⟩ = ⟨a, b⟩
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L →ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
\u22a2 minpoly K σ.toLinearMap = X ^ orderOf σ - C 1
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L →ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
this : orderOf σ = orderOf ((AlgEquiv.algHomUnitsEquiv K L) hσ.unit)
\u22a2 minpoly K σ.toLinearMap = X ^ orderOf σ - C 1
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L →ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
this : orderOf σ = orderOf ((AlgEquiv.algHomUnitsEquiv K L) hσ.unit)
\u22a2 minpoly K σ.toLinearMap = minpoly K ((AlgEquiv.algHomUnitsEquiv K L) hσ.unit).toLinearMap
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L →ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
this : orderOf σ = orderOf ((AlgEquiv.algHomUnitsEquiv K L) hσ.unit)
\u22a2 IsOfFinOrder ((AlgEquiv.algHomUnitsEquiv K L) hσ.unit)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Generator.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsCoseparating 𝒢
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = 0
\u22a2 ∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = 0 ≫ h
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Generator.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
𝒢 : Set C
h𝒢 : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), (∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = 0) → f = 0
X Y : C
f g : X ⟶ Y
hfg : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = g ≫ h
\u22a2 ∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : Y ⟶ G), (f - g) ≫ h = 0
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
f : ι → LowerSet α
\u22a2 ↑(⨆ i, f i) = ⋃ i, ↑(f i)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
η : Type u_5
s : η → Set E
hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ (i : η), Orthonormal 𝕜 fun x => ↑x
\u22a2 Orthonormal 𝕜 fun x => ↑x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
x : α
\u22a2 (f.cycleOf x) (f x) = f (f x)