ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.38446, u_1} C
X Y : PresheafedSpace C
H : X ≅ Y
U : Opens ↑↑Y
eq₁ : H.inv.c.app (op ((Opens.map H.hom.base).obj U)) ≫ H.hom.c.app (op ((Opens.map H.inv.base).obj (unop (op ((Opens.map H.hom.base).obj U))))) = eqToHom ⋯
eq₂ : Y.presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫ H.hom.c.app (op ((Opens.map ((forget C).map (𝟙 Y))).obj U)) = H.hom.c.app (op ((Opens.map ((forget C).map (H.inv ≫ H.hom))).obj U)) ≫ ((Presheaf.pushforward C H.hom.base).obj X.presheaf).map (eqToHom ⋯).op
\u22a2 H.inv.c.app (op ((Opens.map H.hom.base).obj U)) ≫ eqToHom ⋯ ≫ H.hom.c.app (op U) = 𝟙 (((Presheaf.pushforward C H.hom.base).obj X.presheaf).obj (op U))
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.38446, u_1} C
X Y : PresheafedSpace C
H : X ≅ Y
U : Opens ↑↑Y
eq₁ : H.inv.c.app (op ((Opens.map H.hom.base).obj U)) ≫ H.hom.c.app (op ((Opens.map H.inv.base).obj (unop (op ((Opens.map H.hom.base).obj U))))) = eqToHom ⋯
eq₂ : eqToHom ⋯ ≫ H.hom.c.app (op ((Opens.map ((forget C).map (𝟙 Y))).obj U)) = H.hom.c.app (op ((Opens.map ((forget C).map (H.inv ≫ H.hom))).obj U)) ≫ ((Presheaf.pushforward C H.hom.base).obj X.presheaf).map (eqToHom ⋯)
\u22a2 H.inv.c.app (op ((Opens.map H.hom.base).obj U)) ≫ eqToHom ⋯ ≫ H.hom.c.app (op U) = 𝟙 (((Presheaf.pushforward C H.hom.base).obj X.presheaf).obj (op U))
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommGroup V₂
inst✝² : Module K V₂
inst✝¹ : FiniteDimensional K V
inst✝ : FiniteDimensional K V₂
H : finrank K V = finrank K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
\u22a2 ker f = ⊥ ↔ range f = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieRing L₂
inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
inst✝² : LieRingModule L M✝
inst✝¹ : LieModule R L M✝
inst✝ : Subsingleton L
M : Type u_1
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L M
_i4 : LieModule R L M
_h : ∀ (x : L), _root_.IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
\u22a2 LieModule.IsNilpotent R L M
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieRing L₂
inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
inst✝² : LieRingModule L M✝
inst✝¹ : LieModule R L M✝
inst✝ : Subsingleton L
M : Type u_1
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L M
_i4 : LieModule R L M
_h : ∀ (x : L), _root_.IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
\u22a2 lowerCentralSeries R L M 1 = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieRing L₂
inst✝⁵ : LieAlgebra R L₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
inst✝² : LieRingModule L M✝
inst✝¹ : LieModule R L M✝
inst✝ : Subsingleton L
M : Type u_1
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L M
_i4 : LieModule R L M
_h : ∀ (x : L), _root_.IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
\u22a2 ⊤ = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Free.lean
α : Type u
inst✝¹ : Mul α
β : Type v
inst✝ : Semigroup β
f✝ f : α →ₙ* β
x : AssocQuotient α
\u22a2 ∀ (a b : α), AssocRel α a b → f a = f b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
S : Submodule R M
inst✝ : Module.Finite R ↥S
\u22a2 1 ≤ finrank R ↥S ↔ S ≠ ⊥
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
\u22a2 Odd (m + n) ↔ (Odd m ↔ Even n)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : m = n✝
n : ℕ
\u22a2 m ∣ n ↔ n✝ ∣ n
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : AddCommMonoid B
inst✝³ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero M'
inst✝ : CommMonoid N
f : α →₀ M
y : α
g : α → M → N
hyf : y ∈ f.support
\u22a2 g y (f y) * (erase y f).prod g = f.prod g
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
s : S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
x✝ y✝ : ↑X
\u22a2 s • g (x✝ + y✝) = s • g x✝ + s • g y✝
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
s : S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
r : R
x : ↑X
\u22a2 { toFun := fun x => s • g x, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) = (RingHom.id R) r • { toFun := fun x => s • g x, map_add' := ⋯ }.toFun x
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
\u22a2 (aeval fun o => o.elim (C Polynomial.X) X).comp (aevalTower (Polynomial.aeval (X none)) fun i => X (Option.some i)) = AlgHom.id R (MvPolynomial S₁ R[X])
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
\u22a2 (aevalTower (Polynomial.aeval (X none)) fun i => X (Option.some i)).comp (aeval fun o => o.elim (C Polynomial.X) X) = AlgHom.id R (MvPolynomial (Option S₁) R)
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : Monoid γ
s₁ s₂ : Finset α
f g : α → β
h₁ : s₁ = s₂
h₂ : ∀ x ∈ s₂, f x = g x
comm : (↑s₁).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
\u22a2 s₁.noncommProd f comm = s₂.noncommProd g ⋯
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s t : Finset β
a : α
b : β
\u22a2 b ∈ a⁻¹ • s ↔ a • b ∈ s
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ L1 L2 : List (α × Bool)
x : α
b : Bool
\u22a2 (L1 ++ L2).length + 2 = (L1 ++ (x, b) :: (x, !b) :: L2).length
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ L1 L2 : List (α × Bool)
x : α
b : Bool
\u22a2 L1.length + L2.length + 2 = L1.length + ((x, b) :: (x, !b) :: L2).length
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι✝ → α
hwf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
ι : Type u_3
t : ι → α
ht : Independent t
\u22a2 {i | t i ≠ ⊥}.Finite
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι✝ → α
hwf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
ι : Type u_3
t : ι → α
ht : Independent t
\u22a2 (range t).Finite
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]
\u22a2 a * star a = ↑(a * star a).re
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]
\u22a2 star a * a = ↑(star a * a).re
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
ha : a₂ ≤ a₁
hb : b₁ ≤ b₂
\u22a2 Ioc a₁ b₁ ⊆ Ioc a₂ b₂
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
e : α ≃ β
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
\u22a2 e.symm (e x) ∈ s
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Integrals.lean
p : ℝ≥0∞
h : p ≤ 1
\u22a2 ∫ (b : Bool), bif b then 1 else 0 ∂(bernoulli p h).toMeasure = p.toReal
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u : Set α
x : α
s t : Set α
\u22a2 s \ {x} ⊆ t ↔ s ⊆ insert x t
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u : Set α
x : α
s t : Set α
\u22a2 s \ {x} ⊆ t ↔ s ⊆ {x} ∪ t
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
x₀ : X
\u22a2 EquicontinuousWithinAt F univ x₀ ↔ EquicontinuousAt F x₀
-- Mathlib/Algebra/Group/Semiconj/Units.lean
M : Type u_1
G : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a : Mˣ
x y : M
h : SemiconjBy (↑a) x y
\u22a2 ↑a⁻¹ * y = ↑a⁻¹ * (y * ↑a * ↑a⁻¹)
-- Mathlib/Algebra/Group/Semiconj/Units.lean
M : Type u_1
G : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a : Mˣ
x y : M
h : SemiconjBy (↑a) x y
\u22a2 ↑a⁻¹ * (y * ↑a * ↑a⁻¹) = x * ↑a⁻¹
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
s : Set α
p : α → Prop
\u22a2 (∃ᶠ (x : α) in f ⊓ 𝓟 s, p x) ↔ ∃ᶠ (x : α) in f, x ∈ s ∧ p x
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ
h₁ : J ∈ split I i x
h₂ : y ∈ J
h₃ : y i ≤ x
\u22a2 ↑J = ↑I ∩ {y | y i ≤ x}
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ
h₁ : J ∈ split I i x
h₂ : y ∈ J
h₃ : y i ≤ x
H : ↑J = ↑I ∩ {y | x < y i}
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ
h₁ : J ∈ split I i x
h₂ : y ∈ ↑I ∩ {y | x < y i}
h₃ : y i ≤ x
H : ↑J = ↑I ∩ {y | x < y i}
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : StarAddMonoid α
M : Matrix m n α
\u22a2 Mᴴ = 0 ↔ M = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Set.lean
α : Type u_1
f : ℕ → α
\u22a2 {f 0} ∪ range (f ∘ succ) = range f
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : P.toProperty.RespectsIso
X Y X' Y' : Scheme
f : X ⟶ Y
f' : X' ⟶ Y'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk f'
h : IsAffine Y
\u22a2 P f ↔ P f'
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y
\u22a2 a + b = b + a
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y
\u22a2 a - -b = b + a
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y
\u22a2 - -a - -b = b + a
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y
\u22a2 0 - 0 - (0 - a - b) = b + a
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y
\u22a2 0 - 0 - (-b - a) = b + a
-- Mathlib/Algebra/ModEq.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
\u22a2 a ≡ b [PMOD 0] ↔ a = b
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Basic.lean
A : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} T
A' : Type u_1
B' : Type u_2
T' : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.25322, u_1} A'
inst✝¹ : Category.{?u.25326, u_2} B'
inst✝ : Category.{?u.25330, u_3} T'
L : A ⥤ T
R : B ⥤ T
L₁ L₂ L₃ : A ⥤ T
R₁ R₂ R₃ : B ⥤ T
L' : A' ⥤ T'
R' : B' ⥤ T'
F₁ : A ⥤ A'
F₂ : B ⥤ B'
F : T ⥤ T'
α : F₁ ⋙ L' ⟶ L ⋙ F
β : R ⋙ F ⟶ F₂ ⋙ R'
X Y : Comma L R
φ : X ⟶ Y
\u22a2 L'.map (F₁.map φ.left) ≫ α.app Y.left ≫ F.map Y.hom ≫ β.app Y.right = (α.app X.left ≫ F.map X.hom ≫ β.app X.right) ≫ R'.map (F₂.map φ.right)
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Basic.lean
A : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} T
A' : Type u_1
B' : Type u_2
T' : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.25322, u_1} A'
inst✝¹ : Category.{?u.25326, u_2} B'
inst✝ : Category.{?u.25330, u_3} T'
L : A ⥤ T
R : B ⥤ T
L₁ L₂ L₃ : A ⥤ T
R₁ R₂ R₃ : B ⥤ T
L' : A' ⥤ T'
R' : B' ⥤ T'
F₁ : A ⥤ A'
F₂ : B ⥤ B'
F : T ⥤ T'
α : F₁ ⋙ L' ⟶ L ⋙ F
β : R ⋙ F ⟶ F₂ ⋙ R'
X Y : Comma L R
φ : X ⟶ Y
\u22a2 L'.map (F₁.map φ.left) ≫ α.app Y.left ≫ F.map Y.hom ≫ β.app Y.right = α.app X.left ≫ F.map X.hom ≫ β.app X.right ≫ R'.map (F₂.map φ.right)
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Basic.lean
A : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} T
A' : Type u_1
B' : Type u_2
T' : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.25322, u_1} A'
inst✝¹ : Category.{?u.25326, u_2} B'
inst✝ : Category.{?u.25330, u_3} T'
L : A ⥤ T
R : B ⥤ T
L₁ L₂ L₃ : A ⥤ T
R₁ R₂ R₃ : B ⥤ T
L' : A' ⥤ T'
R' : B' ⥤ T'
F₁ : A ⥤ A'
F₂ : B ⥤ B'
F : T ⥤ T'
α : F₁ ⋙ L' ⟶ L ⋙ F
β : R ⋙ F ⟶ F₂ ⋙ R'
X Y : Comma L R
φ : X ⟶ Y
\u22a2 α.app X.left ≫ (L ⋙ F).map φ.left ≫ F.map Y.hom ≫ β.app Y.right = α.app X.left ≫ F.map X.hom ≫ (R ⋙ F).map φ.right ≫ β.app Y.right
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Basic.lean
A : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} T
A' : Type u_1
B' : Type u_2
T' : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.25322, u_1} A'
inst✝¹ : Category.{?u.25326, u_2} B'
inst✝ : Category.{?u.25330, u_3} T'
L : A ⥤ T
R : B ⥤ T
L₁ L₂ L₃ : A ⥤ T
R₁ R₂ R₃ : B ⥤ T
L' : A' ⥤ T'
R' : B' ⥤ T'
F₁ : A ⥤ A'
F₂ : B ⥤ B'
F : T ⥤ T'
α : F₁ ⋙ L' ⟶ L ⋙ F
β : R ⋙ F ⟶ F₂ ⋙ R'
X Y : Comma L R
φ : X ⟶ Y
\u22a2 α.app X.left ≫ F.map (L.map φ.left) ≫ F.map Y.hom ≫ β.app Y.right = α.app X.left ≫ F.map X.hom ≫ F.map (R.map φ.right) ≫ β.app Y.right
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m m₁ m₂ : Multiset α
h : m₁ ≤ m₂
p : α × ℕ
\u22a2 p ∈ m₁.toEnumFinset → p ∈ m₂.toEnumFinset
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m m₁ m₂ : Multiset α
h : m₁ ≤ m₂
p : α × ℕ
\u22a2 p.2 < count p.1 m₁ → p.2 < count p.1 m₂
-- Mathlib/Data/Nat/PSub.lean
m n k : ℕ
\u22a2 m.psub (n + k) = do let __do_lift ← m.psub n __do_lift.psub k
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : closure s ⊆ s
\u22a2 IsClosed s
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : closure s ⊆ s
\u22a2 IsClosed (closure s)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a x✝¹ : { x // x ∈ s }
x✝ : x✝¹ ∈ s.attach
\u22a2 (a = x✝¹) = (↑a = ↑x✝¹)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
lle : lift.{u, v} #β' ≤ lift.{v, u} #α
\u22a2 Nonempty (α ≃ α ⊕ β')
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
lle : lift.{u, v} #β' ≤ lift.{v, u} #α
\u22a2 lift.{max u v, u} #α = lift.{max v u, u} #α + lift.{u, v} #β'
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
lle : lift.{u, v} #β' ≤ lift.{v, u} #α
\u22a2 lift.{v, u} #α + lift.{u, v} #β' = lift.{v, u} #α
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
lle : lift.{u, v} #β' ≤ lift.{v, u} #α
e : α ≃ α ⊕ β'
f g : α → β'
h : (fun f => ⟨fun a => Sum.elim f id (e a), ⋯⟩) f = (fun f => ⟨fun a => Sum.elim f id (e a), ⋯⟩) g
a : α
\u22a2 f a = g a
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β
h : Surjective (map f)
x : β
y : α
hxy : map f [y] = [x]
\u22a2 ∃ a, f a = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F
j j' : J
x : F.obj j
x' : F.obj j'
j'' : J
f : j ⟶ j''
f' : j' ⟶ j''
w : F.map f x = F.map f' x'
\u22a2 colimit.ι F j x = colimit.ι F j' x'
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F
j j' : J
x : F.obj j
x' : F.obj j'
j'' : J
f : j ⟶ j''
f' : j' ⟶ j''
w : F.map f x = F.map f' x'
\u22a2 (F.map f ≫ colimit.ι F j'') x = (F.map f' ≫ colimit.ι F j'') x'
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞
\u22a2 (a * ⊤).toReal = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : dist p3 p1 = dist p3 p2
m : P := midpoint ℝ p1 p2
\u22a2 ∠ p3 (midpoint ℝ p1 p2) p1 = π / 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : dist p3 p1 = dist p3 p2
m : P := midpoint ℝ p1 p2
h1 : p3 -ᵥ p1 = p3 -ᵥ m - (p1 -ᵥ m)
\u22a2 ∠ p3 (midpoint ℝ p1 p2) p1 = π / 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : dist p3 p1 = dist p3 p2
m : P := midpoint ℝ p1 p2
h1 : p3 -ᵥ p1 = p3 -ᵥ m - (p1 -ᵥ m)
h2 : p3 -ᵥ p2 = p3 -ᵥ m + (p1 -ᵥ m)
\u22a2 ∠ p3 (midpoint ℝ p1 p2) p1 = π / 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
m : P := midpoint ℝ p1 p2
h : ‖p3 -ᵥ m - (p1 -ᵥ m)‖ = ‖p3 -ᵥ m + (p1 -ᵥ m)‖
h1 : p3 -ᵥ p1 = p3 -ᵥ m - (p1 -ᵥ m)
h2 : p3 -ᵥ p2 = p3 -ᵥ m + (p1 -ᵥ m)
\u22a2 ∠ p3 (midpoint ℝ p1 p2) p1 = π / 2
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
j : J
\u22a2 (T.η.app c.pt ≫ t.lift (newCone D c)) ≫ c.π.app j = 𝟙 c.pt ≫ c.π.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
j : J
\u22a2 c.π.app j ≫ 𝟙 (D.obj j).A = 𝟙 c.pt ≫ c.π.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
j : J
\u22a2 (T.μ.app c.pt ≫ t.lift (newCone D c)) ≫ c.π.app j = (T.map (t.lift (newCone D c)) ≫ t.lift (newCone D c)) ≫ c.π.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
j : J
\u22a2 (T.toFunctor ⋙ T.toFunctor).map (c.π.app j) ≫ T.map (D.obj j).a ≫ (D.obj j).a = T.map (T.map (c.π.app j)) ≫ T.map (D.obj j).a ≫ (D.obj j).a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
r : ℝ
n : ℕ
hnr : ↑n < r
\u22a2 ∫⁻ (x : ℝ) in Ioc 0 1, ENNReal.ofReal ((x ^ (-r⁻¹) - 1) ^ n) < ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
r : ℝ
n : ℕ
hnr : ↑n < r
hr : 0 < r
\u22a2 ∫⁻ (x : ℝ) in Ioc 0 1, ENNReal.ofReal ((x ^ (-r⁻¹) - 1) ^ n) < ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
r : ℝ
n : ℕ
hnr : ↑n < r
hr : 0 < r
h_int : ∀ x ∈ Ioc 0 1, ENNReal.ofReal ((x ^ (-r⁻¹) - 1) ^ n) ≤ ENNReal.ofReal (x ^ (-(r⁻¹ * ↑n)))
\u22a2 ∫⁻ (x : ℝ) in Ioc 0 1, ENNReal.ofReal ((x ^ (-r⁻¹) - 1) ^ n) < ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
r : ℝ
n : ℕ
hnr : ↑n < r
hr : 0 < r
h_int : ∀ x ∈ Ioc 0 1, ENNReal.ofReal ((x ^ (-r⁻¹) - 1) ^ n) ≤ ENNReal.ofReal (x ^ (-(r⁻¹ * ↑n)))
\u22a2 ∫⁻ (x : ℝ) in Ioc 0 1, ENNReal.ofReal (x ^ (-(r⁻¹ * ↑n))) < ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
r : ℝ
n : ℕ
hnr : ↑n < r
hr : 0 < r
h_int : ∀ x ∈ Ioc 0 1, ENNReal.ofReal ((x ^ (-r⁻¹) - 1) ^ n) ≤ ENNReal.ofReal (x ^ (-(r⁻¹ * ↑n)))
\u22a2 IntegrableOn (fun x => x ^ (-(r⁻¹ * ↑n))) (Ioc 0 1) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
r : ℝ
n : ℕ
hnr : ↑n < r
hr : 0 < r
h_int : ∀ x ∈ Ioc 0 1, ENNReal.ofReal ((x ^ (-r⁻¹) - 1) ^ n) ≤ ENNReal.ofReal (x ^ (-(r⁻¹ * ↑n)))
\u22a2 IntervalIntegrable (fun x => x ^ (-(r⁻¹ * ↑n))) volume 0 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
r : ℝ
n : ℕ
hnr : ↑n < r
hr : 0 < r
h_int : ∀ x ∈ Ioc 0 1, ENNReal.ofReal ((x ^ (-r⁻¹) - 1) ^ n) ≤ ENNReal.ofReal (x ^ (-(r⁻¹ * ↑n)))
\u22a2 -1 < -(r⁻¹ * ↑n)
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
\u22a2 cs.length w⁻¹ = cs.length w
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
\u22a2 cs.length w⁻¹ ≤ cs.length w
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
\u22a2 cs.length w ≤ cs.length w⁻¹
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Division.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
s : σ →₀ ℕ
x : MvPolynomial σ R
d : σ →₀ ℕ
h : ¬s ≤ s + d
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
x : ℝ
\u22a2 (log ↑x).re = Real.log x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
t₁ : UniformSpace α
t₂ : UniformSpace β
a : Set (α × α)
b : Set (β × β)
ha : a ∈ 𝓤 α
hb : b ∈ 𝓤 β
\u22a2 {p | (p.1.1, p.2.1) ∈ a ∧ (p.1.2, p.2.2) ∈ b} ∈ 𝓤 (α × β)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
t₁ : UniformSpace α
t₂ : UniformSpace β
a : Set (α × α)
b : Set (β × β)
ha : a ∈ 𝓤 α
hb : b ∈ 𝓤 β
\u22a2 {p | (p.1.1, p.2.1) ∈ a ∧ (p.1.2, p.2.2) ∈ b} ∈ comap (fun p => (p.1.1, p.2.1)) (𝓤 α) ⊓ comap (fun p => (p.1.2, p.2.2)) (𝓤 β)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
\u22a2 x + 1 ≤ rexp x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ
hx : 0 ≤ 0
\u22a2 0 + 1 ≤ rexp 0
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
h : 0 < x
\u22a2 x + 1 ≤ rexp x
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
n a : ℕ
h' : n * a ≠ 0
\u22a2 n.primeFactorsList <+ (n * a).primeFactorsList
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
a✝ a : α
ha : a ∉ s
\u22a2 s ⋖ insert a s
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c : α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
\u22a2 (Ico a b).erase a = Ioo a b
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
\u22a2 ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z