ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
hinj : Injective ⇑f
u v : V
p : G.Walk u v
hp : p.IsPath
p' : G.Walk u v
hp' : p'.IsPath
h : Path.map f hinj ⟨p, hp⟩ = Path.map f hinj ⟨p', hp'⟩
\u22a2 ⟨p, hp⟩ = ⟨p', hp'⟩
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
hinj : Injective ⇑f
u v : V
p : G.Walk u v
hp : p.IsPath
p' : G.Walk u v
hp' : p'.IsPath
h : Walk.map f p = Walk.map f p'
\u22a2 ⟨p, hp⟩ = ⟨p', hp'⟩
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s : Stream' α
\u22a2 ↑(a :: s) = cons a ↑s
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s : Stream' α
\u22a2 ↑↑(a :: s) = ↑(cons a ↑s)
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s : Stream' α
\u22a2 Stream'.map some (a :: s) = some a :: Stream'.map some s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
\u22a2 a ∈ closure s ↔ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ b ∈ s, ‖a / b‖ < ε
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinMap R M R
Q : QuadraticMap R M N
B : BilinMap R M R
x y : M
\u22a2 (((associatedHom S) B.toQuadraticMap) x) y = ⅟2 • ((B x) y + (B y) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinMap R M R
Q : QuadraticMap R M N
B : BilinMap R M R
x y : M
\u22a2 ⅟2 * ((B x) x + (B y) x + ((B x) y + (B y) y) - (B x) x - (B y) y) = ⅟2 * ((B x) y + (B y) x)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
a b c : α
h : ContinuousOn f (Icc a b)
hc : c ∈ Icc a b
\u22a2 f c ≤ sSup (f '' Icc a b)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
a b c : α
h : ContinuousOn f (Icc a b)
hc : c ∈ Icc a b
this : f c ∈ f '' Icc a b
\u22a2 f c ≤ sSup (f '' Icc a b)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
a b c : α
h : ContinuousOn f (Icc a b)
hc : c ∈ Icc a b
this : f c ∈ Icc (sInf (f '' Icc a b)) (sSup (f '' Icc a b))
\u22a2 f c ≤ sSup (f '' Icc a b)
-- Mathlib/Topology/Partial.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
r : Rel Y X
l : Filter Y
x : X
\u22a2 RTendsto' r l (𝓝 x) ↔ ∀ (s : Set X), IsOpen s → x ∈ s → r.preimage s ∈ l
-- Mathlib/Topology/Partial.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
r : Rel Y X
l : Filter Y
x : X
\u22a2 (∀ s ∈ 𝓝 x, r.preimage s ∈ l) ↔ ∀ (s : Set X), IsOpen s → x ∈ s → r.preimage s ∈ l
-- Mathlib/Topology/Partial.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
r : Rel Y X
l : Filter Y
x : X
\u22a2 ∀ (s t : Set X), s ⊆ t → r.preimage s ⊆ r.preimage t
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : k ≤ n
\u22a2 n < 2 * k * (n / k)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : k ≤ n
\u22a2 n % k < k * (n / k)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
n k : ℕ
hk : 0 < k
hn : k ≤ n
\u22a2 k ≤ k * (n / k)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/DoubleFactorial.lean
n : ℕ
\u22a2 (2 * (n + 1) + 1)‼ = ∏ i ∈ Finset.range (n + 1), (2 * (i + 1) + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/DoubleFactorial.lean
n : ℕ
\u22a2 (2 * n + 1 + 2)‼ = (2 * n + 1 + 2) * (2 * n + 1)‼
-- Mathlib/Topology/CompactOpen.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
ι : Type u_6
l : Filter ι
F : ι → C(X, Y)
f : C(X, Y)
\u22a2 Tendsto F l (𝓝 f) ↔ ∀ (K : Set X), IsCompact K → Tendsto (fun i => restrict K (F i)) l (𝓝 (restrict K f))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
mb : MeasurableSpace β
ν : Measure β
g : α → β
hg : MeasurePreserving g μ ν
s : Set β
hs : MeasurableSet s
f : β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
\u22a2 ∫⁻ (a : α) in g ⁻¹' s, f (g a) ∂μ = ∫⁻ (b : β) in s, f b ∂ν
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P Q : Finpartition a
h : P ≤ Q
\u22a2 Q.parts.card ≤ P.parts.card
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
\u22a2 (∀ (p : ℕ), a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p) ↔ a ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
h : ∀ (p : ℕ), a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p
\u22a2 a ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b m n p a : ℕ
h : ∀ (p : ℕ), a / p ^ a.factorization p ∣ 0 / p ^ (factorization 0) p
\u22a2 a ∣ 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
h : ∀ (p : ℕ), a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p
hb0 : b ≠ 0
\u22a2 a ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
h : ∀ (p : ℕ), a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p
hb0 : b ≠ 0
pa : Prime a
pb : Prime b
\u22a2 a ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
h : ∀ (p : ℕ), a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p
hb0 : b ≠ 0
pa : Prime a
pb : Prime b
\u22a2 a = b
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
h : ∀ (p : ℕ), a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p
hb0 : b ≠ 0
pa : Prime a
pb : Prime b
hab : ¬a = b
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
h : ∀ (p : ℕ), a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p
hb0 : b ≠ 0
pa : Prime a
pb : Prime b
hab : ¬a = b
\u22a2 a = 1
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
h : ∀ (p : ℕ), a / p ^ a.factorization p ∣ b / p ^ b.factorization p
hb0 : b ≠ 0
pa : Prime a
pb : Prime b
hab : ¬a = b
\u22a2 b * a ∣ b
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
\u22a2 SetIndependent (range t)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ ht : Independent t
\u22a2 Independent Subtype.val
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t : ι → α
ht✝ : Independent t
ht : Independent (Subtype.val ∘ rangeFactorization t)
\u22a2 Independent Subtype.val
-- Mathlib/Topology/Sequences.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : FrechetUrysohnSpace Y
f : X → Y
hf : Inducing f
s : Set X
x : X
hx : x ∈ closure s
\u22a2 x ∈ seqClosure s
-- Mathlib/Topology/Sequences.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : FrechetUrysohnSpace Y
f : X → Y
hf : Inducing f
s : Set X
x : X
hx : ∃ x_1, (∀ (n : ℕ), x_1 n ∈ f '' s) ∧ Tendsto x_1 atTop (𝓝 (f x))
\u22a2 x ∈ seqClosure s
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{?u.24358, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j k : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
i : J
\u22a2 { obj := fun j => ↑(F.eventualRange j), map := fun {X Y} f => MapsTo.restrict (F.map f) (F.eventualRange X) (F.eventualRange Y) ⋯ }.map (𝟙 i) = 𝟙 ({ obj := fun j => ↑(F.eventualRange j), map := fun {X Y} f => MapsTo.restrict (F.map f) (F.eventualRange X) (F.eventualRange Y) ⋯ }.obj i)
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{?u.24358, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j k : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
i : J
\u22a2 (fun x => ⟨𝟙 (F.obj i) ↑x, ⋯⟩) = 𝟙 ↑(F.eventualRange i)
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{?u.24358, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
X✝ Y✝ Z✝ : J
x✝¹ : X✝ ⟶ Y✝
x✝ : Y✝ ⟶ Z✝
\u22a2 { obj := fun j => ↑(F.eventualRange j), map := fun {X Y} f => MapsTo.restrict (F.map f) (F.eventualRange X) (F.eventualRange Y) ⋯ }.map (x✝¹ ≫ x✝) = { obj := fun j => ↑(F.eventualRange j), map := fun {X Y} f => MapsTo.restrict (F.map f) (F.eventualRange X) (F.eventualRange Y) ⋯ }.map x✝¹ ≫ { obj := fun j => ↑(F.eventualRange j), map := fun {X Y} f => MapsTo.restrict (F.map f) (F.eventualRange X) (F.eventualRange Y) ⋯ }.map x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{?u.24358, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
X✝ Y✝ Z✝ : J
x✝¹ : X✝ ⟶ Y✝
x✝ : Y✝ ⟶ Z✝
\u22a2 (fun x => ⟨(F.map x✝¹ ≫ F.map x✝) ↑x, ⋯⟩) = (fun x => ⟨F.map x✝¹ ↑x, ⋯⟩) ≫ fun x => ⟨F.map x✝ ↑x, ⋯⟩
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset ι
f : ι → ℕ
a : β
x✝³ : ι
x✝² : Finset ι
x✝¹ : x✝³ ∉ x✝²
x✝ : ∏ i ∈ x✝², a ^ f i = a ^ ∑ i ∈ x✝², f i
\u22a2 ∏ i ∈ cons x✝³ x✝² x✝¹, a ^ f i = a ^ ∑ i ∈ cons x✝³ x✝² x✝¹, f i
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α
l : List α
H : ∀ (x : α), x ∉ Quot.mk Setoid.r l
\u22a2 Quot.mk Setoid.r l = 0
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α
l : List α
H : ∀ (x : α), x ∉ Quot.mk Setoid.r l
\u22a2 Quot.mk Setoid.r [] = 0
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x y : ℝ
\u22a2 √x ≠ 0 ↔ 0 < x
-- Mathlib/ModelTheory/Algebra/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Add R
inst✝⁴ : Mul R
inst✝³ : Neg R
inst✝² : One R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : CompatibleRing R
x y : ring.Term α
v : α → R
\u22a2 Term.realize v (x + y) = Term.realize v x + Term.realize v y
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x y a : G
m✝ n✝ : ℕ
h : orderOf x = 0
n m : ℕ
\u22a2 x ^ n = x ^ m ↔ n = m
-- Mathlib/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R S✝ T : α → α → Prop
a : α
l✝ l : List α
hl : Pairwise R l
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
h : ∀ (x : α), x ∈ l → p x
S : β → β → Prop
hS : ∀ ⦃x : α⦄ (hx : p x) ⦃y : α⦄ (hy : p y), R x y → S (f x hx) (f y hy)
\u22a2 Pairwise S (List.pmap f l h)
-- Mathlib/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R S✝ T : α → α → Prop
a : α
l✝ l : List α
hl : Pairwise R l
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
h : ∀ (x : α), x ∈ l → p x
S : β → β → Prop
hS : ∀ ⦃x : α⦄ (hx : p x) ⦃y : α⦄ (hy : p y), R x y → S (f x hx) (f y hy)
\u22a2 ∀ {a b : α}, a ∈ l → b ∈ l → R a b → ∀ (h₁ : p a) (h₂ : p b), S (f a h₁) (f b h₂)
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S✝ : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
S : Submonoid M
\u22a2 S = ⊥ ∨ Nontrivial ↥S
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/NatInt.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
g g' : G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : ℕ → G
k : ℕ
\u22a2 HasProd (fun n => f (n + k)) g ↔ HasProd f (g * ∏ i ∈ range k, f i)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/NatInt.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
g g' : G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : ℕ → G
k : ℕ
\u22a2 HasProd (fun n => f (n + k)) g ↔ HasProd (fun x => f ↑x) g
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Convolution.lean
M : Type u_1
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : MeasurableSpace M
inst✝³ : MeasurableMul₂ M
μ ν ρ : Measure M
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite ρ
\u22a2 map (fun x => x.1 * x.2) (μ.prod (ν + ρ)) = map (fun x => x.1 * x.2) (μ.prod ν) + map (fun x => x.1 * x.2) (μ.prod ρ)
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set α
\u22a2 s ∩ ⋃ i, ⋃ j, t i j = ⋃ i, ⋃ j, s ∩ t i j
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.castSucc
i : Fin n
y : α✝ i.castSucc
z : α✝ (last n)
α : Type u_1
as : Fin n → α
bs : Fin m → α
b : α
\u22a2 append as (snoc bs b) = snoc (append as bs) b
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α✝ i✝.castSucc
z : α✝ (last n)
α : Type u_1
as : Fin n → α
bs : Fin m → α
b : α
i : Fin (n + (m + 1))
\u22a2 append as (snoc bs b) i = snoc (append as bs) b i
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α✝ i✝.castSucc
z : α✝ (last n)
α : Type u_1
as : Fin n → α
bs : Fin m → α
b : α
i : ℕ
isLt : i < n + (m + 1)
\u22a2 append as (snoc bs b) ⟨i, isLt⟩ = snoc (append as bs) b ⟨i, isLt⟩
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α✝ i✝.castSucc
z : α✝ (last n)
α : Type u_1
as : Fin n → α
bs : Fin m → α
b : α
i : ℕ
isLt : i < n + (m + 1)
\u22a2 (if h : i < n then as ⟨i, ⋯⟩ else if h_1 : i - n < m then bs ⟨i - n, ⋯⟩ else b) = if h : i < n + m then if h_1 : i < n then as ⟨i, ⋯⟩ else bs ⟨i - n, ⋯⟩ else b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c - d) = c • ∫ (x : ℝ) in a / c - d..b / c - d, f x
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 Integrable (fun x => κ.density ν a x s) (ν a)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 Memℒp (fun x => κ.density ν a x s) 1 (ν a)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 Measurable fun x => κ.density ν a x s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 eLpNorm (fun x => κ.density ν a x s) 1 (ν a) < ⊤
-- Mathlib/Analysis/Complex/Liouville.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
c : ℂ
f : ℂ → F
R : ℝ≥0
hR : 0 < ↑R
hf : DiffContOnCl ℂ f (ball c ↑R)
\u22a2 deriv f c = (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, ↑R), (z - c) ^ (-2) • f z
-- Mathlib/Analysis/Complex/Liouville.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
c : ℂ
f : ℂ → F
R : ℝ≥0
hR : 0 < ↑R
hf : DiffContOnCl ℂ f (ball c ↑R)
\u22a2 ((cauchyPowerSeries f c (↑R) 1) fun x => 1) = (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, ↑R), (z - c) ^ (-2) • f z
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g✝ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
C₁ C₂ C₃ : ℝ
h : C₃ = C₂ * C₁
hg : ‖g‖ ≤ C₂
hf : ‖f‖ ≤ C₁
\u22a2 ‖g.comp f‖ ≤ C₂ * C₁
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s t : Set α
x : α
h : t ∈ 𝓝 x
\u22a2 ContinuousWithinAt f (s ∩ t) x ↔ ContinuousWithinAt f s x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R
\u22a2 (map W' f).toJacobian.polynomialY = (MvPolynomial.map f) W'.polynomialY
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
n : ℕ+
inst✝ : IsDomain B
ζ : B
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
\u22a2 adjoin A ((cyclotomic (↑n) A).rootSet B) = adjoin A {ζ}
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
n : ℕ+
inst✝ : IsDomain B
ζ : B
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
x : B
hx : x ∈ (cyclotomic (↑n) A).rootSet B
\u22a2 x ∈ ↑(adjoin A {ζ})
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
n : ℕ+
inst✝ : IsDomain B
ζ : B
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
x : B
hx : x ∈ {ζ}
\u22a2 x ∈ (cyclotomic (↑n) A).rootSet B
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
j : Fin n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ last n
\u22a2 i.castPred hi ≤ j ↔ i ≤ j.castSucc
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b : ℕ
\u22a2 Monotone (log b)
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ
\u22a2 log b n ≤ log b (n + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ
hb : b ≤ 1
\u22a2 log b n ≤ log b (n + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ
hb : 1 < b
\u22a2 log b n ≤ log b (n + 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Finite m
inst✝⁵ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
inst✝ : DecidableEq M₁
f : M₁ →ₗ[R] M₂
k : m
i : n
\u22a2 (toMatrix v₁.reindexRange v₂.reindexRange) f ⟨v₂ k, ⋯⟩ ⟨v₁ i, ⋯⟩ = (toMatrix v₁ v₂) f k i
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 a ⊔ b ⇨ a ⇔ b = a ⇔ b
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 ((a ⊔ b) ⊓ b ⇨ a) ⊓ ((a ⊔ b) ⊓ a ⇨ b) = a ⇔ b
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Types.lean
X Y Z : Type u
f : X ⟶ Y
g h : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = f ≫ h
t : IsLimit (Fork.ofι f w)
y : Y
hy : g y = h y
y' : PUnit.{u + 1} ⟶ Y := fun x => y
\u22a2 ∃! x, f x = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Types.lean
X Y Z : Type u
f : X ⟶ Y
g h : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = f ≫ h
t : IsLimit (Fork.ofι f w)
y : Y
hy : g y = h y
y' : PUnit.{u + 1} ⟶ Y := fun x => y
hy' : y' ≫ g = y' ≫ h
\u22a2 ∃! x, f x = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Types.lean
X Y Z : Type u
f : X ⟶ Y
g h : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = f ≫ h
t : IsLimit (Fork.ofι f w)
y : Y
hy : g y = h y
y' : PUnit.{u + 1} ⟶ Y := fun x => y
hy' : y' ≫ g = y' ≫ h
\u22a2 ∀ (y_1 : X), (fun x => f x = y) y_1 → y_1 = ↑(Fork.IsLimit.lift' t y' hy') PUnit.unit
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Types.lean
X Y Z : Type u
f : X ⟶ Y
g h : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = f ≫ h
t : IsLimit (Fork.ofι f w)
y : Y
hy : g y = h y
y' : PUnit.{u + 1} ⟶ Y := fun x => y
hy' : y' ≫ g = y' ≫ h
x' : X
hx' : f x' = y
\u22a2 (fun x => x') = ↑(Fork.IsLimit.lift' t y' hy')
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Types.lean
X Y Z : Type u
f : X ⟶ Y
g h : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = f ≫ h
t : IsLimit (Fork.ofι f w)
y : Y
hy : g y = h y
y' : PUnit.{u + 1} ⟶ Y := fun x => y
hy' : y' ≫ g = y' ≫ h
x' : X
hx' : f x' = y
\u22a2 (fun x => x') ≫ (Fork.ofι f w).ι = ↑(Fork.IsLimit.lift' t y' hy') ≫ (Fork.ofι f w).ι
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Types.lean
X Y Z : Type u
f : X ⟶ Y
g h : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = f ≫ h
t : IsLimit (Fork.ofι f w)
y : Y
hy : g y = h y
y' : PUnit.{u + 1} ⟶ Y := fun x => y
hy' : y' ≫ g = y' ≫ h
x' : X
hx' : f x' = y
\u22a2 ((fun x => x') ≫ (Fork.ofι f w).ι) PUnit.unit = (↑(Fork.IsLimit.lift' t y' hy') ≫ (Fork.ofι f w).ι) PUnit.unit
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
\u22a2 0 * x + 1 * 1 = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
h : i ≠ j
\u22a2 (b.coord i) (b j) = 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Interval.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f g : ι →₀ α
\u22a2 (Ioo f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Icc (f i) (g i)).card - 2
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
b c d : α
hc : AddLECancellable c
h : b - c + c < b
\u22a2 False
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/AdditiveFunctor.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
F : C ⥤ D
inst✝² : HasBinaryBiproducts C
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : PreservesBinaryBiproducts F
X Y : C
f g : X ⟶ Y
\u22a2 F.map (f + g) = F.map f + F.map g