ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
G : A ⥤ C
H : B ⥤ D
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : A ⥤ B
R₂ : B ⥤ A
L₃ : C ⥤ D
R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : L₂ ⟶ L₁
β : G ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H
b : B
vcomp : (mateEquiv adj₁ adj₃) (whiskerLeft (𝟭 A) β ≫ whiskerRight (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv) H) = whiskerRight ((mateEquiv adj₁ adj₂) (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv)) G ≫ whiskerLeft (𝟭 B) ((mateEquiv adj₂ adj₃) β)
vcompb : adj₃.unit.app (G.obj (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (H.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H.map (adj₁.counit.app b)) = G.map (adj₂.unit.app (R₁.obj b)) ≫ G.map (R₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ G.map (R₂.map (adj₁.counit.app b)) ≫ adj₃.unit.app (G.obj (R₂.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (R₂.obj b)) ≫ R₃.map (H.map (adj₂.counit.app b))
\u22a2 ({ toFun := fun α => whiskerLeft (R₁ ⋙ G) adj₃.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft R₁ α) R₃ ≫ whiskerRight adj₁.counit (H ⋙ R₃), invFun := fun β => whiskerRight adj₁.unit (G ⋙ L₃) ≫ whiskerRight (whiskerLeft L₁ β) L₃ ≫ whiskerLeft (L₁ ⋙ H) adj₃.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (β ≫ whiskerRight α H)).app b = (whiskerRight ((Trans.trans (Trans.trans (L₂.leftUnitor.homCongr L₁.rightUnitor).symm { toFun := fun α => whiskerLeft (R₁ ⋙ 𝟭 A) adj₂.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft R₁ α) R₂ ≫ whiskerRight adj₁.counit (𝟭 B ⋙ R₂), invFun := fun β => whiskerRight adj₁.unit (𝟭 A ⋙ L₂) ≫ whiskerRight (whiskerLeft L₁ β) L₂ ≫ whiskerLeft (L₁ ⋙ 𝟭 B) adj₂.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }) (R₁.rightUnitor.homCongr R₂.leftUnitor)) α) G ≫ { toFun := fun α => whiskerLeft (R₂ ⋙ G) adj₃.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft R₂ α) R₃ ≫ whiskerRight adj₂.counit (H ⋙ R₃), invFun := fun β => whiskerRight adj₂.unit (G ⋙ L₃) ≫ whiskerRight (whiskerLeft L₂ β) L₃ ≫ whiskerLeft (L₂ ⋙ H) adj₃.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } β).app b
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
G : A ⥤ C
H : B ⥤ D
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : A ⥤ B
R₂ : B ⥤ A
L₃ : C ⥤ D
R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : L₂ ⟶ L₁
β : G ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H
b : B
vcomp : (mateEquiv adj₁ adj₃) (whiskerLeft (𝟭 A) β ≫ whiskerRight (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv) H) = whiskerRight ((mateEquiv adj₁ adj₂) (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv)) G ≫ whiskerLeft (𝟭 B) ((mateEquiv adj₂ adj₃) β)
vcompb : adj₃.unit.app (G.obj (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (H.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H.map (adj₁.counit.app b)) = G.map (adj₂.unit.app (R₁.obj b)) ≫ G.map (R₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ G.map (R₂.map (adj₁.counit.app b)) ≫ adj₃.unit.app (G.obj (R₂.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (R₂.obj b)) ≫ R₃.map (H.map (adj₂.counit.app b))
\u22a2 adj₃.unit.app (G.obj (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (H.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H.map (adj₁.counit.app b)) = G.map (adj₂.unit.app (R₁.obj b)) ≫ G.map (R₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ G.map (R₂.map (adj₁.counit.app b)) ≫ adj₃.unit.app (G.obj (R₂.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (R₂.obj b)) ≫ R₃.map (H.map (adj₂.counit.app b))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
\u22a2 Gamma 0 = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
\u22a2 angle (-x) y = π - angle x y
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
\u22a2 mellin (fun t => f (t ^ a)) s = |a|⁻¹ • mellin f (s / ↑a)
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
\u22a2 mellin (fun t => f (t ^ 0)) s = |0|⁻¹ • mellin f (s / ↑0)
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
\u22a2 mellin (fun t => f (t ^ a)) s = |a|⁻¹ • mellin f (s / ↑a)
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
\u22a2 ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) • f (t ^ a) = |a|⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s / ↑a - 1) • f t
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
\u22a2 ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) • f (t ^ a) = ∫ (a_1 : ℝ) in Ioi 0, |a|⁻¹ • (|a| * a_1 ^ (a - 1)) • ↑(a_1 ^ a) ^ (s / ↑a - 1) • f (a_1 ^ a)
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
\u22a2 ↑t ^ (s - 1) • f (t ^ a) = |a|⁻¹ • (|a| * t ^ (a - 1)) • ↑(t ^ a) ^ (s / ↑a - 1) • f (t ^ a)
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0
\u22a2 ↑t ^ (s - 1) • f (t ^ a) = (↑(t ^ (a - 1)) * ↑(t ^ a) ^ (s / ↑a - 1)) • f (t ^ a)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
\u22a2 StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f.symm
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
\u22a2 a • f.symm x + b • f.symm y < f.symm (a • x + b • y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
\u22a2 a • f.symm x + b • f.symm y < f.symm (a • x + b • y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
\u22a2 a • f.symm x + b • f.symm y < f.symm (a • x + b • y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
hxy' : x' ≠ y'
\u22a2 a • f.symm x + b • f.symm y < f.symm (a • x + b • y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
hxy' : x' ≠ y'
\u22a2 a • x' + b • y' < f.symm (a • f x' + b • f y')
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
hxy' : x' ≠ y'
\u22a2 f (a • x' + b • y') < a • f x' + b • f y'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
\u22a2 Module.rank K V = 1 ↔ ∃ v₀, v₀ ≠ 0 ∧ ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
this : Nontrivial K
\u22a2 Module.rank K V = 1 ↔ ∃ v₀, v₀ ≠ 0 ∧ ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
this : Nontrivial K
h : Module.rank K V = 1
\u22a2 ∃ v₀, v₀ ≠ 0 ∧ ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
this : Nontrivial K
x✝ : ∃ v₀, v₀ ≠ 0 ∧ ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v
v₀ : V
h : v₀ ≠ 0
hv : ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v
\u22a2 1 ≤ Module.rank K V
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
I : ProjectiveSpectrum 𝒜
\u22a2 I ∈ (zeroLocus 𝒜 {f})ᶜ ↔ f ∉ I.asHomogeneousIdeal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
I : ProjectiveSpectrum 𝒜
\u22a2 f ∉ ↑I.asHomogeneousIdeal ↔ f ∉ I.asHomogeneousIdeal
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c c' : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit c'
hf : IsLimit f
\u22a2 (opCoproductIsoProduct' hc hf).hom ≫ (opCoproductIsoProduct' hc' hf).inv = (hc.coconePointUniqueUpToIso hc').op.inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c c' : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit c'
hf : IsLimit f
\u22a2 ((opCoproductIsoProduct' hc hf).hom ≫ (opCoproductIsoProduct' hc' hf).inv).unop = (hc.coconePointUniqueUpToIso hc').op.inv.unop
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c c' : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit c'
hf : IsLimit f
\u22a2 ∀ (j : Discrete α), c'.ι.app j ≫ ((opCoproductIsoProduct' hc hf).hom ≫ (opCoproductIsoProduct' hc' hf).inv).unop = c'.ι.app j ≫ (hc.coconePointUniqueUpToIso hc').op.inv.unop
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c c' : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit c'
hf : IsLimit f
j : α
\u22a2 c'.inj j ≫ ((opCoproductIsoProduct' hc hf).hom ≫ (opCoproductIsoProduct' hc' hf).inv).unop = c'.ι.app { as := j } ≫ (hc.coconePointUniqueUpToIso hc').op.inv.unop
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c c' : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit c'
hf : IsLimit f
j : α
\u22a2 c'.inj j ≫ (opCoproductIsoProduct' hc' hf).inv.unop ≫ (opCoproductIsoProduct' hc hf).hom.unop = c.ι.app { as := j }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c c' : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit c'
hf : IsLimit f
j : α
\u22a2 (c'.inj j ≫ (opCoproductIsoProduct' hc' hf).inv.unop ≫ (opCoproductIsoProduct' hc hf).hom.unop).op = (c.ι.app { as := j }).op
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c c' : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit c'
hf : IsLimit f
j : α
\u22a2 (opCoproductIsoProduct' hc hf).hom ≫ f.proj j = (c.ι.app { as := j }).op
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c c' : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit c'
hf : IsLimit f
j : α
\u22a2 (opCoproductIsoProduct' hc hf).hom ≫ (opCoproductIsoProduct' hc hf).inv ≫ (c.inj j).op = (c.ι.app { as := j }).op
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
\u22a2 (if hf : const (padicNorm p) 1 ≈ 0 then 0 else padicValRat p (↑(const (padicNorm p) 1) (PadicSeq.stationaryPoint hf))) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : ¬const (padicNorm p) 1 ≈ 0
\u22a2 (if hf : const (padicNorm p) 1 ≈ 0 then 0 else padicValRat p (↑(const (padicNorm p) 1) (PadicSeq.stationaryPoint hf))) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : ¬const (padicNorm p) 1 ≈ 0
\u22a2 padicValRat p (↑(const (padicNorm p) 1) (PadicSeq.stationaryPoint h)) = 0
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
C : Set α → Prop
H0 : C ∅
H1 : ∀ {a : α} {s : Set α}, a ∉ s → s.Finite → C s → C (insert a s)
s : Finset α
\u22a2 C ↑s
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
C : Set α → Prop
H0 : C ∅
H1 : ∀ {a : α} {s : Set α}, a ∉ s → s.Finite → C s → C (insert a s)
\u22a2 C ↑∅
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
C : Set α → Prop
H0 : C ∅
H1 : ∀ {a : α} {s : Set α}, a ∉ s → s.Finite → C s → C (insert a s)
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
hs : C ↑s
\u22a2 C ↑(Finset.cons a s ha)
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℕ
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
\u22a2 multiplicity p (x ^ n - y ^ n) = multiplicity p (x - y) + multiplicity p n
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℕ
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hyx : y ≤ x
\u22a2 multiplicity p (x ^ n - y ^ n) = multiplicity p (x - y) + multiplicity p n
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℕ
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hyx : x ≤ y
\u22a2 multiplicity p (x ^ n - y ^ n) = multiplicity p (x - y) + multiplicity p n
-- Mathlib/Algebra/Star/SelfAdjoint.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : DivisionSemiring R
inst✝ : StarRing R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
n : ℤ
\u22a2 IsSelfAdjoint (x ^ n)
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
f : CauSeq ℂ ⇑abs'
\u22a2 (cauSeqConj f).lim.re = ((starRingEnd ℂ) f.lim).re
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
f : CauSeq ℂ ⇑abs'
\u22a2 (cauSeqConj f).lim.im = ((starRingEnd ℂ) f.lim).im
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
f : CauSeq ℂ ⇑abs'
\u22a2 CauSeq.lim ⟨fun n => -(↑f n).im, ⋯⟩ = (-⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩).lim
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
\u22a2 1 < s.encard ↔ ∃ a b, a ∈ s ∧ b ∈ s ∧ a ≠ b
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
\u22a2 (∀ (a b : α), a ∈ s → b ∈ s → a = b) ↔ ∀ (x : α), ¬∃ b, x ∈ s ∧ b ∈ s ∧ x ≠ b
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f g : α →ₘ[μ] β
\u22a2 f ⊓ g ≤ g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f g : α →ₘ[μ] β
\u22a2 ↑(f ⊓ g) ≤ᶠ[ae μ] ↑g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f g : α →ₘ[μ] β
a✝ : α
ha : ↑(f ⊓ g) a✝ = ↑f a✝ ⊓ ↑g a✝
\u22a2 ↑(f ⊓ g) a✝ ≤ ↑g a✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f g : α →ₘ[μ] β
a✝ : α
ha : ↑(f ⊓ g) a✝ = ↑f a✝ ⊓ ↑g a✝
\u22a2 ↑f a✝ ⊓ ↑g a✝ ≤ ↑g a✝
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I J : Ideal R
\u22a2 RingHom.ker (quotLeftToQuotSup I J) = map (Ideal.Quotient.mk I) J
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.123075, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
inst✝¹ : S₁.HasRightHomology
inst✝ : S₂.HasRightHomology
\u22a2 opcyclesMap e.hom ≫ opcyclesMap e.inv = 𝟙 S₁.opcycles
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.123075, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
inst✝¹ : S₁.HasRightHomology
inst✝ : S₂.HasRightHomology
\u22a2 opcyclesMap e.inv ≫ opcyclesMap e.hom = 𝟙 S₂.opcycles
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
h : Inducing f
\u22a2 Inducing (s.restrictPreimage f)
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
h : ∀ (x : α), 𝓝 x = comap f (𝓝 (f x))
\u22a2 ∀ (x : ↑(f ⁻¹' s)), 𝓝 x = comap Subtype.val (comap f (𝓝 (f ↑x)))
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
h : ∀ (x : α), 𝓝 x = comap f (𝓝 (f x))
a : ↑(f ⁻¹' s)
\u22a2 𝓝 a = comap Subtype.val (comap f (𝓝 (f ↑a)))
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
\u22a2 Setoid.r s t ↔ h.finpartition.part s = h.finpartition.part t
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
\u22a2 t ∈ (Finpartition.ofSetoid h.setoid).part s ↔ h.finpartition.part s = h.finpartition.part t
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
\u22a2 t ∈ fp.part s ↔ fp.part s = fp.part t
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝² : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
\u22a2 map f ↑n = ↑n
-- Mathlib/RingTheory/NonUnitalSubsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
\u22a2 x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s) ↔ x ∈ closure s
-- Mathlib/RingTheory/NonUnitalSubsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)
\u22a2 x ∈ closure s
-- Mathlib/RingTheory/NonUnitalSubsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)
H : NonUnitalSubsemiring R
J : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}
\u22a2 x ∈ (fun h => ↑H) J
-- Mathlib/RingTheory/NonUnitalSubsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)
H : NonUnitalSubsemiring R
J : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}
y : R
hy : y ∈ ↑(Subsemigroup.closure ↑(AddSubmonoid.closure s))
\u22a2 y ∈ ↑H.toAddSubmonoid
-- Mathlib/RingTheory/NonUnitalSubsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)
H : NonUnitalSubsemiring R
J : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}
y : R
hy : y ∈ ↑(Subsemigroup.closure ↑(AddSubmonoid.closure s))
z : R
hz : z ∈ ↑(AddSubmonoid.closure s)
\u22a2 z ∈ ↑H.toSubsemigroup
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/TorusIntegral.lean
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
\u22a2 (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), -f x) = -∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : AddCommMonoid P
F : Type u_13
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : AddMonoidHomClass F M N
f : M ≃+ N
x : α →₀ M
\u22a2 mapRange ⇑f.symm ⋯ (mapRange ⇑f ⋯ x) = x
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : AddCommMonoid P
F : Type u_13
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : AddMonoidHomClass F M N
f : M ≃+ N
x : α →₀ M
\u22a2 mapRange id ⋯ x = x
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : AddCommMonoid P
F : Type u_13
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : AddMonoidHomClass F M N
f : M ≃+ N
x : α →₀ M
\u22a2 id 0 = 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : AddCommMonoid P
F : Type u_13
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : AddMonoidHomClass F M N
f : M ≃+ N
x : α →₀ N
\u22a2 mapRange ⇑f ⋯ (mapRange ⇑f.symm ⋯ x) = x
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : AddCommMonoid P
F : Type u_13
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : AddMonoidHomClass F M N
f : M ≃+ N
x : α →₀ N
\u22a2 mapRange id ⋯ x = x