ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G✝
a b x✝ y : G✝
n m : ℕ
G : Type u_6
inst✝ : Group G
x : G
\u22a2 (∃ n, 0 < n ∧ x ^ n = 1) ↔ ∃ n, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G✝
a b x✝¹ y : G✝
n✝ m : ℕ
G : Type u_6
inst✝ : Group G
x : G
x✝ : ∃ n, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hn' : x ^ n = 1
\u22a2 x ^ n.natAbs = 1
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G✝
a b x✝¹ y : G✝
n✝ m : ℕ
G : Type u_6
inst✝ : Group G
x : G
x✝ : ∃ n, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hn' : x ^ n = 1
h : n = ↑n.natAbs
\u22a2 x ^ n.natAbs = 1
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G✝
a b x✝¹ y : G✝
n✝ m : ℕ
G : Type u_6
inst✝ : Group G
x : G
x✝ : ∃ n, n ≠ 0 ∧ x ^ n = 1
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hn' : x ^ n = 1
h : n = -↑n.natAbs
\u22a2 x ^ n.natAbs = 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Matching.lean
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
h : M.IsMatching
hv : v ∈ M.verts
hw : w ∈ M.verts
ha : M.Adj v w
\u22a2 h.toEdge ⟨v, hv⟩ = h.toEdge ⟨w, hw⟩
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : N₂ ≤ f.range
\u22a2 map f (comap f N₂) = N₂
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : N₂ ≤ f.range
\u22a2 ↑(map f (comap f N₂)) = ↑N₂
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
m n : ℕ
a b : α
\u22a2 2 * a + 1 + (2 * b + 1) = a + b + 1 + (a + b + 1)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
m n : ℕ
a b : α
\u22a2 a + a + 1 + (b + b + 1) = a + b + 1 + (a + b + 1)
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
x✝ : α
\u22a2 x✝ ∈ Iic (⨅ i, f i) ↔ x✝ ∈ ⋂ i, Iic (f i)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : b ∣ a
e : ℕ
\u22a2 a ∣ b * (a / b * e)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : b ∣ a
e : ℕ
\u22a2 a ∣ a * e
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Pointed.lean
𝕜 : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
S : PointedCone ℝ E
y : E
\u22a2 y ∈ S.dual ↔ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ S → 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
hf : HasIntegral I l f vol y
c : ℝ
\u22a2 HasIntegral I l (c • f) vol (c • y)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Contraction.lean
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
x : Dual R M ⊗[R] N
\u22a2 (dualTensorHomEquivOfBasis b).symm ((dualTensorHom R M N) x) = x
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r : ℝ
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
x₁ x₂ y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ p.closedBall x₁ r₁
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ p.closedBall x₂ r₂
\u22a2 (fun x x_1 => x + x_1) y₁ y₂ ∈ p.closedBall (x₁ + x₂) (r₁ + r₂)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r : ℝ
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
x₁ x₂ y₁ : E
hy₁ : y₁ ∈ p.closedBall x₁ r₁
y₂ : E
hy₂ : y₂ ∈ p.closedBall x₂ r₂
\u22a2 p (y₁ - x₁ + (y₂ - x₂)) ≤ r₁ + r₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/EpiMono.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : ReflectsLimit (cospan f f) F
inst✝ : Mono (F.map f)
this : IsLimit (PullbackCone.mk (𝟙 (F.obj X)) (𝟙 (F.obj X)) ⋯)
\u22a2 Mono f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/EpiMono.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : ReflectsLimit (cospan f f) F
inst✝ : Mono (F.map f)
this : IsLimit (PullbackCone.mk (F.map (𝟙 X)) (F.map (𝟙 X)) ⋯)
\u22a2 Mono f
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
hx : 0 < x
hy : 1 < y
\u22a2 ∃ n, x ∈ Ico (y ^ n) (y ^ (n + 1))
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : MetrizableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
h : IdentDistrib f g μ ν
hf : AEStronglyMeasurable f μ
\u22a2 AEStronglyMeasurable g ν
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : MetrizableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
h : IdentDistrib f g μ ν
hf : AEStronglyMeasurable f μ
\u22a2 ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : β) ∂ν, g x ∈ t
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : MetrizableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
h : IdentDistrib f g μ ν
hf : AEStronglyMeasurable f μ
t : Set γ
t_sep : IsSeparable t
ht : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
\u22a2 ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : β) ∂ν, g x ∈ t
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : MetrizableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
h : IdentDistrib f g μ ν
hf : AEStronglyMeasurable f μ
t : Set γ
t_sep : IsSeparable t
ht : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
\u22a2 ∀ᵐ (x : β) ∂ν, g x ∈ closure t
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : MetrizableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
h : IdentDistrib f g μ ν
hf : AEStronglyMeasurable f μ
t : Set γ
t_sep : IsSeparable t
ht : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ closure t
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
s : Finset α
\u22a2 ‖f - ∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i)‖ ^ p.toReal = ‖f‖ ^ p.toReal - ∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
ha : a ≠ 0
\u22a2 a ^ (p / 2) = 1 ∨ a ^ (p / 2) = -1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
ha : a ≠ 0
hp2 : p = 2
\u22a2 a ^ (p / 2) = 1 ∨ a ^ (p / 2) = -1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
ha : a ≠ 0
hp_odd : p % 2 = 1
\u22a2 a ^ (p / 2) = 1 ∨ a ^ (p / 2) = -1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
ha : a ≠ 0
hp_odd : p % 2 = 1
\u22a2 a ^ (p - 1) = 1
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J : I → Prop
inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)
h : isGood (π C J) l
i : I
hi : i ∈ ↑l
\u22a2 J i
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J : I → Prop
inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)
h : isGood (π C J) l
i : I
hi : i ∈ ↑l
h' : ¬J i
\u22a2 False
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J : I → Prop
inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)
h : isGood (π C J) l
i : I
hi : i ∈ ↑l
h' : ¬J i
\u22a2 eval (π C J) l ∈ Submodule.span ℤ (eval (π C J) '' {m | m < l})
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J : I → Prop
inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)
h : isGood (π C J) l
i : I
hi : i ∈ ↑l
h' : ¬J i
\u22a2 eval (π C J) l = 0
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J : I → Prop
inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)
h : isGood (π C J) l
i : I
hi : i ∈ ↑l
h' : ¬J i
w✝ : I → Bool
left✝ : w✝ ∈ C
\u22a2 (eval (π C J) l) ⟨Proj J w✝, ⋯⟩ = 0 ⟨Proj J w✝, ⋯⟩
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J : I → Prop
inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)
h✝ : isGood (π C J) l
i : I
hi : i ∈ ↑l
h' : ¬J i
w✝ : I → Bool
left✝ : w✝ ∈ C
h : ∀ i ∈ ↑l, ↑⟨Proj J w✝, ⋯⟩ i = true
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L
f : L →ₐ[K] L
\u22a2 Function.Bijective ⇑f
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L
f : L →ₐ[K] L
b : L
\u22a2 ∃ a, f a = b
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L
f : L →ₐ[K] L
b : L
p : K[X]
hp : p ≠ 0
he : (aeval b) p = 0
\u22a2 ∃ a, f a = b
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L
f : L →ₐ[K] L
b : L
p : K[X]
hp : p ≠ 0
he : (aeval b) p = 0
f' : ↑(p.rootSet L) → ↑(p.rootSet L) := Set.MapsTo.restrict (⇑f) (p.rootSet L) (p.rootSet L) ⋯
\u22a2 ∃ a, f a = b
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L
f : L →ₐ[K] L
b : L
p : K[X]
hp : p ≠ 0
he : (aeval b) p = 0
f' : ↑(p.rootSet L) → ↑(p.rootSet L) := Set.MapsTo.restrict (⇑f) (p.rootSet L) (p.rootSet L) ⋯
this : Function.Surjective f'
\u22a2 ∃ a, f a = b
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K L
f : L →ₐ[K] L
b : L
p : K[X]
hp : p ≠ 0
he : (aeval b) p = 0
f' : ↑(p.rootSet L) → ↑(p.rootSet L) := Set.MapsTo.restrict (⇑f) (p.rootSet L) (p.rootSet L) ⋯
this : Function.Surjective f'
a : ↑(p.rootSet L)
ha : f' a = ⟨b, ⋯⟩
\u22a2 ∃ a, f a = b
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
i j : ι
inst✝³ : K.HasHomology i
inst✝² : K.HasHomology j
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology j
\u22a2 K.pOpcycles i ≫ K.opcyclesToCycles i j = K.toCycles i j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
c : Cocone G
j : J
\u22a2 ι F j ≫ colimMap α ≫ desc G c = ι F j ≫ desc F ((Cocones.precompose α).obj c)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Preorder α
h : ∀ {a b : α}, a ≤ b → IsCompact (Icc a b)
a b : α
hab : ¬a ≤ b
\u22a2 IsCompact (Icc a b)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Preorder α
h : ∀ {a b : α}, a ≤ b → IsCompact (Icc a b)
a b : α
hab : ¬a ≤ b
\u22a2 IsCompact ∅
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
y : W.CoordinateRing
hy : (map W f) y = 0
\u22a2 y = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p q : R[X]
hy : (map W f) (p • 1 + q • (mk W) Y) = 0
\u22a2 p • 1 + q • (mk W) Y = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p q : R[X]
hy : Polynomial.map f p • 1 + Polynomial.map f q • (mk (WeierstrassCurve.map W f)) Y = 0
\u22a2 p • 1 + q • (mk W) Y = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p q : R[X]
hy : Polynomial.map f p • 1 + Polynomial.map f q • (mk (WeierstrassCurve.map W f)) Y = 0
hp : Polynomial.map f p = 0
hq : Polynomial.map f q = 0
\u22a2 p • 1 + q • (mk W) Y = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p q : R[X]
hy : Polynomial.map f p • 1 + Polynomial.map f q • (mk (WeierstrassCurve.map W f)) Y = 0
hp : p = 0
hq : q = 0
\u22a2 p • 1 + q • (mk W) Y = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
j : Fin n.succ
\u22a2 A.det = ∑ i : Fin n.succ, (-1) ^ (↑i + ↑j) * A i j * (A.submatrix i.succAbove j.succAbove).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
j : Fin n.succ
\u22a2 ∑ j_1 : Fin n.succ, (-1) ^ (↑j + ↑j_1) * Aᵀ j j_1 * (Aᵀ.submatrix j.succAbove j_1.succAbove).det = ∑ i : Fin n.succ, (-1) ^ (↑i + ↑j) * A i j * (A.submatrix i.succAbove j.succAbove).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
j i : Fin n.succ
x✝ : i ∈ univ
\u22a2 (-1) ^ (↑j + ↑i) * Aᵀ j i * (Aᵀ.submatrix j.succAbove i.succAbove).det = (-1) ^ (↑i + ↑j) * A i j * (A.submatrix i.succAbove j.succAbove).det
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ
\u22a2 (W.baseChange B).Ψ n = Polynomial.map (mapRingHom ↑f) ((W.baseChange A).Ψ n)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
u : Set Y
hu : IsOpen u
\u22a2 IsOpen (inr '' u)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f✝ g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : Zero β
s : Set α
f : α → β
hs : MeasurableSet s
hf : StronglyMeasurable f
hf_zero : ∀ x ∉ s, f x = 0
g_seq_s : ℕ → α →ₛ β := fun n => (hf.approx n).restrict s
\u22a2 ∃ fs, (∀ (x : α), Tendsto (fun n => ↑(fs n) x) atTop (𝓝 (f x))) ∧ ∀ x ∉ s, ∀ (n : ℕ), ↑(fs n) x = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f✝ g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : Zero β
s : Set α
f : α → β
hs : MeasurableSet s
hf : StronglyMeasurable f
hf_zero : ∀ x ∉ s, f x = 0
g_seq_s : ℕ → α →ₛ β := fun n => (hf.approx n).restrict s
hg_eq : ∀ x ∈ s, ∀ (n : ℕ), ↑(g_seq_s n) x = ↑(hf.approx n) x
\u22a2 ∃ fs, (∀ (x : α), Tendsto (fun n => ↑(fs n) x) atTop (𝓝 (f x))) ∧ ∀ x ∉ s, ∀ (n : ℕ), ↑(fs n) x = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f✝ g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : Zero β
s : Set α
f : α → β
hs : MeasurableSet s
hf : StronglyMeasurable f
hf_zero : ∀ x ∉ s, f x = 0
g_seq_s : ℕ → α →ₛ β := fun n => (hf.approx n).restrict s
hg_eq : ∀ x ∈ s, ∀ (n : ℕ), ↑(g_seq_s n) x = ↑(hf.approx n) x
hg_zero : ∀ x ∉ s, ∀ (n : ℕ), ↑(g_seq_s n) x = 0
\u22a2 ∃ fs, (∀ (x : α), Tendsto (fun n => ↑(fs n) x) atTop (𝓝 (f x))) ∧ ∀ x ∉ s, ∀ (n : ℕ), ↑(fs n) x = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
\u22a2 ⟪x, y⟫_𝕜 = ↑‖x‖ * ↑‖y‖ ↔ ↑‖y‖ • x = ↑‖x‖ • y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
y : E
\u22a2 ⟪0, y⟫_𝕜 = ↑‖0‖ * ↑‖y‖ ↔ ↑‖y‖ • 0 = ↑‖0‖ • y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
h₀ : x ≠ 0
\u22a2 ⟪x, y⟫_𝕜 = ↑‖x‖ * ↑‖y‖ ↔ ↑‖y‖ • x = ↑‖x‖ • y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Conformal/InnerProduct.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
f : E → F
x : E
\u22a2 ConformalAt f x ↔ ∃ c, 0 < c ∧ ∀ (u v : E), ⟪(fderiv ℝ f x) u, (fderiv ℝ f x) v⟫_ℝ = c * ⟪u, v⟫_ℝ
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Linearity.lean
f : ℕ → ℂ
c s : ℂ
n : ℕ
\u22a2 term (c • f) s n = c * term f s n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R
hM : ∀ (t : TransvectionStruct n R), Commute t.toMatrix M
\u22a2 M ∈ Set.range ⇑(scalar n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R
hM : ∀ (t : TransvectionStruct n R), Commute t.toMatrix M
\u22a2 Pairwise fun i j => Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i✝ j✝ : n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R
hM : ∀ (t : TransvectionStruct n R), Commute t.toMatrix M
i j : n
hij : i ≠ j
\u22a2 Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizationMonoid R
p : R[X]
\u22a2 (normalize p).roots = p.roots
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
M : Ideal R
hm : M.IsMaximal
non_field : ¬IsField R
\u22a2 ⊥ < M
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
M : Ideal R
hm : M.IsMaximal
non_field : ¬IsField R
I : Ideal R
Ibot : ⊥ < I
Itop : I < ⊤
\u22a2 ⊥ < M
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
M : Ideal R
hm : M.IsMaximal
non_field : ¬IsField R
I : Ideal R
Ibot : ⊥ < I
Itop : I < ⊤
mle : ↑M ⊆ ↑⊥
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
M : Ideal R
hm : M.IsMaximal
non_field : ¬IsField R
I : Ideal R
Ibot : ⊥ < I
Itop : I < ⊤
mle : ↑M ⊆ ↑⊥
\u22a2 ⊤ < ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
M : Ideal R
hm : M.IsMaximal
non_field : ¬IsField R
I : Ideal R
Ibot : ⊥ < I
Itop : I < ⊤
mle : ↑M ⊆ ↑⊥
this : M = ⊥
\u22a2 ⊤ < ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
M : Ideal R
hm : M.IsMaximal
non_field : ¬IsField R
I : Ideal R
Ibot : M < I
Itop : I < ⊤
mle : ↑M ⊆ ↑⊥
this : M = ⊥
\u22a2 ⊤ < ⊤
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d : ℕ
h₁ : a ≡ b [MOD n]
h₂ : a + c ≡ b + d [MOD n]
\u22a2 c ≡ d [MOD n]
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d : ℕ
h₁ : ↑n ∣ ↑b - ↑a
h₂ : ↑n ∣ ↑b + ↑d - (↑a + ↑c)
\u22a2 ↑n ∣ ↑d - ↑c
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d : ℕ
h₁ : ↑n ∣ ↑b - ↑a
h₂ : ↑n ∣ ↑b - ↑a + (↑d - ↑c)
\u22a2 ↑n ∣ ↑d - ↑c
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d : ℕ
h₁ : ↑n ∣ ↑b - ↑a
h₂ : ↑n ∣ ↑b - ↑a + (↑d - ↑c)
\u22a2 ↑d - ↑c = ↑b - ↑a + (↑d - ↑c) - (↑b - ↑a)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
o : Ordinal.{u_1}
\u22a2 ℵ₀ ≤ aleph o
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
o : Ordinal.{u_1}
\u22a2 ω ≤ ω + o
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
\u22a2 q.j * q.k = -c₂ • q.i
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderBot α
l : Multiset α
n : α
h : ∀ x ∈ l, x ≤ n
\u22a2 fold max ⊥ l ≤ n