ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalStopping.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hsub : Submartingale f 𝒢 μ
ε : ℝ≥0
n : ℕ
hn : Set.Icc 0 n = {k | k ≤ n}
this : ∀ (ω : Ω), (↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω) → ↑ε ≤ stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω
h : ↑ε * (μ {a | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k a}).toReal ≤ ∫ (x : Ω) in {a | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k a}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) x ∂μ
\u22a2 0 ≤ ∫ (ω : Ω) in {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω ∂μ
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x✝ x : α × α
\u22a2 x ∈ (s ∩ t).diag ↔ x ∈ s.diag ∩ t.diag
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
\u22a2 S ∈ leftTransversals ↑H ↔ ∀ (q : Quotient (QuotientGroup.leftRel H)), ∃! s, Quotient.mk'' ↑s = q
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
\u22a2 (∀ (g : G), ∃! s, ↑↑s = ↑g) ↔ ∀ (q : Quotient (QuotientGroup.leftRel H)), ∃! s, Quotient.mk'' ↑s = q
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C Y
U : Opens ↑X
x : ↥U
V : Opens ↑Y
hV : U ≤ (Opens.map f).obj V
\u22a2 ((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app (op V) ≫ ((pullback C f).obj F).map (homOfLE hV).op ≫ germToPullbackStalk C f F U x = F.germ ⟨f ↑x, ⋯⟩
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
\u22a2 TendstoUniformly F f l ↔ ∀ (u : ℕ → ι), Tendsto u atTop l → TendstoUniformly (fun n => F (u n)) f atTop
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
\u22a2 TendstoUniformlyOn F f l univ ↔ ∀ (u : ℕ → ι), Tendsto u atTop l → TendstoUniformlyOn (fun n => F (u n)) f atTop univ
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s t u : Set α
hs : s ∈ 𝓝 a
h₂ : t ∩ s = u ∩ s
\u22a2 𝓝[t] a = 𝓝[u] a
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
s : ι → Finset α
hs : ∀ (t : Finset α), ∃ i, t ⊆ s i
\u22a2 ∑' (a : α), f a = ⨆ i, ∑ a ∈ s i, f a
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
s : ι → Finset α
hs : ∀ (t : Finset α), ∃ i, t ⊆ s i
\u22a2 ⨆ s, ∑ a ∈ s, f a = ⨆ i, ∑ a ∈ s i, f a
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
s : ι → Finset α
hs : ∀ (t : Finset α), ∃ i, t ⊆ s i
\u22a2 ⨆ i, (fun t => ∑ a ∈ t, f a) (s i) = ⨆ s, ∑ a ∈ s, f a
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0
hr : r < 1
\u22a2 HasSum (fun n => r ^ n) (1 - r)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0
hr : r < 1
\u22a2 HasSum (fun a => ↑(r ^ a)) ↑(1 - r)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0
hr : r < 1
\u22a2 HasSum (fun a => ↑r ^ a) (↑(1 - r))⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0
hr : r < 1
\u22a2 HasSum (fun a => ↑r ^ a) (↑1 - ↑r)⁻¹
-- Mathlib/SetTheory/Game/Domineering.lean
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b
\u22a2 ((Finset.erase b m).erase (m.1, m.2 - 1)).card + 2 = Finset.card b
-- Mathlib/SetTheory/Game/Domineering.lean
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b
\u22a2 (Finset.erase b m).card - 1 + 2 = Finset.card b
-- Mathlib/SetTheory/Game/Domineering.lean
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b
\u22a2 Finset.card b - 1 - 1 + 2 = Finset.card b
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset ι
f : ι → α → β
\u22a2 (mulSupport fun x => ∏ i ∈ s, f i x) ⊆ ⋃ i ∈ s, mulSupport (f i)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset ι
f : ι → α → β
\u22a2 ∀ (x : α), (∀ x_1 ∈ s, f x_1 x = 1) → ∏ i ∈ s, f i x = 1
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneContinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioo (f a) b
\u22a2 ContinuousWithinAt f (Ici a) a
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneContinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioo (f a) b
ha : a ∈ Ici a
\u22a2 ContinuousWithinAt f (Ici a) a
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneContinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioo (f a) b
ha : a ∈ Ici a
has : a ∈ s
\u22a2 ContinuousWithinAt f (Ici a) a
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneContinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioo (f a) b
ha : a ∈ Ici a
has : a ∈ s
b : β
hb : b < f a
\u22a2 ∀ᶠ (b_1 : α) in 𝓝[≥] a, b < f b_1
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneContinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioo (f a) b
ha : a ∈ Ici a
has : a ∈ s
b : β
hb : b > f a
\u22a2 ∀ᶠ (b_1 : α) in 𝓝[≥] a, f b_1 < b
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝ : IsMarkovKernel κ
hf_indep : iIndepFun m f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k l : ι
hik : i ≠ k
hil : i ≠ l
hjk : j ≠ k
hjl : j ≠ l
\u22a2 IndepFun (fun a => (f i a, f j a)) (fun a => (f k a, f l a)) κ μ
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
\u22a2 rootSpace H (2 • ⇑α) = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h✝ : Subsingleton L
\u22a2 rootSpace H (2 • ⇑α) = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h✝ : Nontrivial L
\u22a2 rootSpace H (2 • ⇑α) = ⊥
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
\u22a2 ∃ ι f, lsub f = o ∧ #ι = o.cof
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
\u22a2 ∃ ι f, lsub f = o ∧ #ι = sInf {a | ∃ ι f, lsub f = o ∧ #ι = a}
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
hn : 0 < n
this : DecidableEq V := Classical.decEq V
\u22a2 k * (k - ℓ - 1) = (n - k - 1) * μ
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
hn : Nonempty V
this : DecidableEq V := Classical.decEq V
\u22a2 k * (k - ℓ - 1) = (n - k - 1) * μ
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
this : DecidableEq V := Classical.decEq V
v : V
\u22a2 k * (k - ℓ - 1) = (n - k - 1) * μ
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
this : DecidableEq V := Classical.decEq V
v : V
\u22a2 k = (G.neighborFinset v).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
this : DecidableEq V := Classical.decEq V
v : V
\u22a2 n - k - 1 = (Gᶜ.neighborFinset v).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
this : DecidableEq V := Classical.decEq V
v : V
\u22a2 ∀ a ∈ G.neighborFinset v, (bipartiteAbove G.Adj (Gᶜ.neighborFinset v) a).card = k - ℓ - 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
this : DecidableEq V := Classical.decEq V
v : V
\u22a2 ∀ b ∈ Gᶜ.neighborFinset v, (bipartiteBelow G.Adj (G.neighborFinset v) b).card = μ
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝¹ : H✝.Normal
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : G →* H
hf1 : f.ker ≤ center G
hH : Group.IsNilpotent H
\u22a2 Group.IsNilpotent G
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝¹ : H✝.Normal
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : G →* H
hf1 : f.ker ≤ center G
hH : ∃ n, lowerCentralSeries H n = ⊥
\u22a2 ∃ n, lowerCentralSeries G n = ⊥
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝¹ : H✝.Normal
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : G →* H
hf1 : f.ker ≤ center G
n : ℕ
hn : lowerCentralSeries H n = ⊥
\u22a2 ∃ n, lowerCentralSeries G n = ⊥
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝¹ : H✝.Normal
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : G →* H
hf1 : f.ker ≤ center G
n : ℕ
hn : lowerCentralSeries H n = ⊥
\u22a2 lowerCentralSeries G (n + 1) = ⊥
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝¹ : H✝.Normal
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : G →* H
hf1 : f.ker ≤ center G
n : ℕ
hn : lowerCentralSeries H n = ⊥
\u22a2 Subgroup.map f (lowerCentralSeries G n) = ⊥
-- Mathlib/Data/Finset/Sigma.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
f : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
x : Sigma γ
i : ι
a : α i
j : ι
b : β j
\u22a2 x ∈ sigmaLift f ⟨i, a⟩ ⟨j, b⟩ ↔ ∃ (ha : ⟨i, a⟩.fst = x.fst) (hb : ⟨j, b⟩.fst = x.fst), x.snd ∈ f (ha ▸ ⟨i, a⟩.snd) (hb ▸ ⟨j, b⟩.snd)
-- Mathlib/Data/Finset/Sigma.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
f : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
x : Sigma γ
i : ι
a : α i
b : β i
\u22a2 x ∈ sigmaLift f ⟨i, a⟩ ⟨i, b⟩ ↔ ∃ (ha : ⟨i, a⟩.fst = x.fst) (hb : ⟨i, b⟩.fst = x.fst), x.snd ∈ f (ha ▸ ⟨i, a⟩.snd) (hb ▸ ⟨i, b⟩.snd)
-- Mathlib/Data/Finset/Sigma.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
f : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
x : Sigma γ
i : ι
a : α i
j : ι
b : β j
h : i ≠ j
\u22a2 x ∈ sigmaLift f ⟨i, a⟩ ⟨j, b⟩ ↔ ∃ (ha : ⟨i, a⟩.fst = x.fst) (hb : ⟨j, b⟩.fst = x.fst), x.snd ∈ f (ha ▸ ⟨i, a⟩.snd) (hb ▸ ⟨j, b⟩.snd)
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s t : Set α
x : α
h : t ∈ 𝓝[s] x
\u22a2 ContinuousWithinAt f (s ∩ t) x ↔ ContinuousWithinAt f s x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
\u22a2 ball 1 δ / s = thickening δ s⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
v : ι →₀ R
\u22a2 b.repr ((Finsupp.total ι M R ⇑b) v) = v
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
v : ι →₀ R
\u22a2 b.repr (↑b.repr.symm v) = v
-- Mathlib/Algebra/Homology/Single.lean
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasZeroObject V
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A B : V
f : A ⟶ B
\u22a2 (single V c j ⋙ eval V c j).map f ≫ (singleObjXSelf c j B).hom = (singleObjXSelf c j A).hom ≫ (𝟭 V).map f
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝⁶ : IsLocalization M✝ S
Q : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Q
g : R →+* P
inst✝⁴ : Algebra P Q
A : Type u_6
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A S
M : Submonoid A
inst✝ : IsLocalization M S
hM : M ≤ nonZeroDivisors A
z w : S
h : z * w = 0
\u22a2 z = 0 ∨ w = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝⁶ : IsLocalization M✝ S
Q : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Q
g : R →+* P
inst✝⁴ : Algebra P Q
A : Type u_6
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A S
M : Submonoid A
inst✝ : IsLocalization M S
hM : M ≤ nonZeroDivisors A
z w : S
h : z * w = 0
x : A × ↥M
hx : z * (algebraMap A S) ↑x.2 = (algebraMap A S) x.1
\u22a2 z = 0 ∨ w = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝⁶ : IsLocalization M✝ S
Q : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Q
g : R →+* P
inst✝⁴ : Algebra P Q
A : Type u_6
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A S
M : Submonoid A
inst✝ : IsLocalization M S
hM : M ≤ nonZeroDivisors A
z w : S
h : z * w = 0
x : A × ↥M
hx : z * (algebraMap A S) ↑x.2 = (algebraMap A S) x.1
y : A × ↥M
hy : w * (algebraMap A S) ↑y.2 = (algebraMap A S) y.1
\u22a2 z = 0 ∨ w = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝⁶ : IsLocalization M✝ S
Q : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Q
g : R →+* P
inst✝⁴ : Algebra P Q
A : Type u_6
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A S
M : Submonoid A
inst✝ : IsLocalization M S
hM : M ≤ nonZeroDivisors A
z w : S
h : z * w = 0
x : A × ↥M
hx : z * (algebraMap A S) ↑x.2 = (algebraMap A S) x.1
y : A × ↥M
hy : w * (algebraMap A S) ↑y.2 = (algebraMap A S) y.1
this : z * w * (algebraMap A S) ↑y.2 * (algebraMap A S) ↑x.2 = (algebraMap A S) x.1 * (algebraMap A S) y.1
\u22a2 z = 0 ∨ w = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝⁶ : IsLocalization M✝ S
Q : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Q
g : R →+* P
inst✝⁴ : Algebra P Q
A : Type u_6
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A S
M : Submonoid A
inst✝ : IsLocalization M S
hM : M ≤ nonZeroDivisors A
z w : S
h : z * w = 0
x : A × ↥M
hx : z * (algebraMap A S) ↑x.2 = (algebraMap A S) x.1
y : A × ↥M
hy : w * (algebraMap A S) ↑y.2 = (algebraMap A S) y.1
this : 0 = (algebraMap A S) (x.1 * y.1)
\u22a2 z = 0 ∨ w = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝⁶ : IsLocalization M✝ S
Q : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Q
g : R →+* P
inst✝⁴ : Algebra P Q
A : Type u_6
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A S
M : Submonoid A
inst✝ : IsLocalization M S
hM : M ≤ nonZeroDivisors A
z w : S
h : z * w = 0
x : A × ↥M
hx : z * (algebraMap A S) ↑x.2 = (algebraMap A S) x.1
y : A × ↥M
hy : w * (algebraMap A S) ↑y.2 = (algebraMap A S) y.1
this : 0 = (algebraMap A S) (x.1 * y.1)
H : x.1 = 0
\u22a2 z = 0 ∨ w = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝⁶ : IsLocalization M✝ S
Q : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Q
g : R →+* P
inst✝⁴ : Algebra P Q
A : Type u_6
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A S
M : Submonoid A
inst✝ : IsLocalization M S
hM : M ≤ nonZeroDivisors A
z w : S
h : z * w = 0
x : A × ↥M
hx : z * (algebraMap A S) ↑x.2 = (algebraMap A S) x.1
y : A × ↥M
hy : w * (algebraMap A S) ↑y.2 = (algebraMap A S) y.1
this : 0 = (algebraMap A S) (x.1 * y.1)
H : y.1 = 0
\u22a2 z = 0 ∨ w = 0
-- Mathlib/Order/Iterate.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x : α
hf : Monotone f
hx : x ≤ f x
n : ℕ
\u22a2 f^[n] x ≤ f^[n + 1] x
-- Mathlib/Order/Iterate.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x : α
hf : Monotone f
hx : x ≤ f x
n : ℕ
\u22a2 f^[n] x ≤ f^[n] (f x)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ u : ↥S
v : R
huv : ↑u * r₁ = v * ↑s₂
\u22a2 oreNum r₁ s₂ • r₂ /ₒ (oreDenom r₁ s₂ * s₁) = v • r₂ /ₒ (u * s₁)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ u : ↥S
v : R
huv : ↑u * r₁ = v * ↑s₂
h₀ : ↑(oreDenom r₁ s₂) * r₁ = oreNum r₁ s₂ * ↑s₂
\u22a2 oreNum r₁ s₂ • r₂ /ₒ (oreDenom r₁ s₂ * s₁) = v • r₂ /ₒ (u * s₁)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ u : ↥S
v : R
huv : ↑u * r₁ = v * ↑s₂
v₀ : R := oreNum r₁ s₂
u₀ : ↥S := oreDenom r₁ s₂
h₀ : ↑u₀ * r₁ = v₀ * ↑s₂
r₃ : R
s₃ : ↥S
h₃ : ↑s₃ * ↑u₀ = r₃ * ↑u
\u22a2 v₀ • r₂ /ₒ (u₀ * s₁) = v • r₂ /ₒ (u * s₁)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ u : ↥S
v : R
huv : ↑u * r₁ = v * ↑s₂
v₀ : R := oreNum r₁ s₂
u₀ : ↥S := oreDenom r₁ s₂
h₀ : ↑u₀ * r₁ = v₀ * ↑s₂
r₃ : R
s₃ : ↥S
h₃ : ↑s₃ * ↑u₀ = r₃ * ↑u
this : r₃ * v * ↑s₂ = ↑s₃ * v₀ * ↑s₂
\u22a2 v₀ • r₂ /ₒ (u₀ * s₁) = v • r₂ /ₒ (u * s₁)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ u : ↥S
v : R
huv : ↑u * r₁ = v * ↑s₂
v₀ : R := oreNum r₁ s₂
u₀ : ↥S := oreDenom r₁ s₂
h₀ : ↑u₀ * r₁ = v₀ * ↑s₂
r₃ : R
s₃ : ↥S
h₃ : ↑s₃ * ↑u₀ = r₃ * ↑u
this : r₃ * v * ↑s₂ = ↑s₃ * v₀ * ↑s₂
s₄ : ↥S
hs₄ : ↑s₄ * (r₃ * v) = ↑s₄ * (↑s₃ * v₀)
\u22a2 v₀ • r₂ /ₒ (u₀ * s₁) = v • r₂ /ₒ (u * s₁)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ u : ↥S
v : R
huv : ↑u * r₁ = v * ↑s₂
v₀ : R := oreNum r₁ s₂
u₀ : ↥S := oreDenom r₁ s₂
h₀ : ↑u₀ * r₁ = v₀ * ↑s₂
r₃ : R
s₃ : ↥S
h₃ : ↑s₃ * ↑u₀ = r₃ * ↑u
this : r₃ * v * ↑s₂ = ↑s₃ * v₀ * ↑s₂
s₄ : ↥S
hs₄ : ↑s₄ * (r₃ * v) = ↑s₄ * (↑s₃ * v₀)
\u22a2 v • r₂ /ₒ (u * s₁) = v₀ • r₂ /ₒ (u₀ * s₁)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ u : ↥S
v : R
huv : ↑u * r₁ = v * ↑s₂
v₀ : R := oreNum r₁ s₂
u₀ : ↥S := oreDenom r₁ s₂
h₀ : ↑u₀ * r₁ = v₀ * ↑s₂
r₃ : R
s₃ : ↥S
h₃ : ↑s₃ * ↑u₀ = r₃ * ↑u
this : r₃ * v * ↑s₂ = ↑s₃ * v₀ * ↑s₂
s₄ : ↥S
hs₄ : ↑s₄ * (r₃ * v) = ↑s₄ * (↑s₃ * v₀)
\u22a2 ∃ u_1 v_1, u_1 • v₀ • r₂ = v_1 • v • r₂ ∧ ↑u_1 * ↑(u₀ * s₁) = v_1 * ↑(u * s₁)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ u : ↥S
v : R
huv : ↑u * r₁ = v * ↑s₂
v₀ : R := oreNum r₁ s₂
u₀ : ↥S := oreDenom r₁ s₂
h₀ : ↑u₀ * r₁ = v₀ * ↑s₂
r₃ : R
s₃ : ↥S
h₃ : ↑s₃ * ↑u₀ = r₃ * ↑u
this : r₃ * v * ↑s₂ = ↑s₃ * v₀ * ↑s₂
s₄ : ↥S
hs₄ : ↑s₄ * (r₃ * v) = ↑s₄ * (↑s₃ * v₀)
\u22a2 ∃ v_1, (s₄ * s₃) • v₀ • r₂ = v_1 • v • r₂ ∧ ↑(s₄ * s₃) * ↑(u₀ * s₁) = v_1 * ↑(u * s₁)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ u : ↥S
v : R
huv : ↑u * r₁ = v * ↑s₂
v₀ : R := oreNum r₁ s₂
u₀ : ↥S := oreDenom r₁ s₂
h₀ : ↑u₀ * r₁ = v₀ * ↑s₂
r₃ : R
s₃ : ↥S
h₃ : ↑s₃ * ↑u₀ = r₃ * ↑u
this : r₃ * v * ↑s₂ = ↑s₃ * v₀ * ↑s₂
s₄ : ↥S
hs₄ : ↑s₄ * (r₃ * v) = ↑s₄ * (↑s₃ * v₀)
\u22a2 (s₄ * s₃) • v₀ • r₂ = (↑s₄ * r₃) • v • r₂ ∧ ↑(s₄ * s₃) * ↑(u₀ * s₁) = ↑s₄ * r₃ * ↑(u * s₁)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ u : ↥S
v : R
huv : ↑u * r₁ = v * ↑s₂
v₀ : R := oreNum r₁ s₂
u₀ : ↥S := oreDenom r₁ s₂
h₀ : ↑u₀ * r₁ = v₀ * ↑s₂
r₃ : R
s₃ : ↥S
h₃ : ↑s₃ * ↑u₀ = r₃ * ↑u
this : r₃ * v * ↑s₂ = ↑s₃ * v₀ * ↑s₂
s₄ : ↥S
hs₄ : ↑s₄ * (r₃ * v) = ↑s₄ * (↑s₃ * v₀)
\u22a2 (↑s₄ * ↑s₃) • v₀ • r₂ = (↑s₄ * r₃) • v • r₂ ∧ ↑s₄ * ↑s₃ * (↑u₀ * ↑s₁) = ↑s₄ * r₃ * (↑u * ↑s₁)
-- Mathlib/NumberTheory/SiegelsLemma.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
\u22a2 ↑S.card = ∏ i : α, (P i - N i + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/SiegelsLemma.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
\u22a2 ∏ i : α, ↑(Icc (∑ j : β, ↑B * -(A i j)⁻) (∑ j : β, ↑B * (A i j)⁺)).card = ∏ i : α, (P i - N i + 1)