ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x : R
\u22a2 0 ≤ x ↔ x ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a₁ a₂ : ℤ
b : ℕ
\u22a2 J(a₁ * a₂ | b) = J(a₁ | b) * J(a₂ | b)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a₁ a₂ : ℤ
b : ℕ
\u22a2 (List.map (fun x => legendreSym (↑x) a₁ * legendreSym (↑x) a₂) b.primeFactorsList.attach).prod = (List.map (fun x => legendreSym (↑x) a₁) b.primeFactorsList.attach).prod * (List.map (fun x => legendreSym (↑x) a₂) b.primeFactorsList.attach).prod
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Translations.lean
α : Type u_1
g : GenContFract α
n : ℕ
b : α
nth_partDen_eq : g.partDens.get? n = some b
\u22a2 ∃ gp, g.s.get? n = some gp ∧ gp.b = b
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
b₀ : Basis ι ℝ E
\u22a2 μ (fundamentalDomain b) = ENNReal.ofReal |b₀.det ⇑b| * μ (fundamentalDomain b₀)
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
b₀ : Basis ι ℝ E
this : FiniteDimensional ℝ E
\u22a2 μ (fundamentalDomain b) = ENNReal.ofReal |b₀.det ⇑b| * μ (fundamentalDomain b₀)
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
b₀ : Basis ι ℝ E
this : FiniteDimensional ℝ E
\u22a2 fundamentalDomain b = ⇑(b.equiv b₀ (Equiv.refl ι)) ⁻¹' fundamentalDomain b₀
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
b₀ : Basis ι ℝ E
this : FiniteDimensional ℝ E
\u22a2 b₀.det ⇑b = LinearMap.det ↑(b.equiv b₀ (Equiv.refl ι)).symm
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
dg : q.natDegree < n
\u22a2 (p - q).coeff n = p.coeff n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
dg : (-q).natDegree < n
\u22a2 (p - q).coeff n = p.coeff n
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
this : (a : Prop) → Decidable a
\u22a2 ∃ K > 0, ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ abv (↑f j)
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
this : (a : Prop) → Decidable a
nk : ¬∃ K > 0, ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ abv (↑f j)
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
this : (a : Prop) → Decidable a
nk : ¬∃ K > 0, ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ abv (↑f j)
ε : α
ε0 : ε > 0
\u22a2 ∃ i, ∀ j ≥ i, abv (↑f j) < ε
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
this : (a : Prop) → Decidable a
ε : α
ε0 : ε > 0
nk : ∀ (x : α), 0 < x → ∀ (x_1 : ℕ), ∃ x_2, ∃ (_ : x_1 ≤ x_2), abv (↑f x_2) < x
\u22a2 ∃ i, ∀ j ≥ i, abv (↑f j) < ε
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
this : (a : Prop) → Decidable a
ε : α
ε0 : ε > 0
nk : ∀ (x : α), 0 < x → ∀ (x_1 : ℕ), ∃ x_2, ∃ (_ : x_1 ≤ x_2), abv (↑f x_2) < x
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, ∀ k ≥ j, abv (↑f k - ↑f j) < ε / 2
\u22a2 ∃ i, ∀ j ≥ i, abv (↑f j) < ε
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
this : (a : Prop) → Decidable a
ε : α
ε0 : ε > 0
nk : ∀ (x : α), 0 < x → ∀ (x_1 : ℕ), ∃ x_2, ∃ (_ : x_1 ≤ x_2), abv (↑f x_2) < x
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, ∀ k ≥ j, abv (↑f k - ↑f j) < ε / 2
j : ℕ
ij : i ≤ j
hj : abv (↑f j) < ε / 2
\u22a2 ∃ i, ∀ j ≥ i, abv (↑f j) < ε
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
this : (a : Prop) → Decidable a
ε : α
ε0 : ε > 0
nk : ∀ (x : α), 0 < x → ∀ (x_1 : ℕ), ∃ x_2, ∃ (_ : x_1 ≤ x_2), abv (↑f x_2) < x
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, ∀ k ≥ j, abv (↑f k - ↑f j) < ε / 2
j : ℕ
ij : i ≤ j
hj : abv (↑f j) < ε / 2
k : ℕ
jk : k ≥ j
\u22a2 abv (↑f k) < ε
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
this✝ : (a : Prop) → Decidable a
ε : α
ε0 : ε > 0
nk : ∀ (x : α), 0 < x → ∀ (x_1 : ℕ), ∃ x_2, ∃ (_ : x_1 ≤ x_2), abv (↑f x_2) < x
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, ∀ k ≥ j, abv (↑f k - ↑f j) < ε / 2
j : ℕ
ij : i ≤ j
hj : abv (↑f j) < ε / 2
k : ℕ
jk : k ≥ j
this : abv (↑f k - ↑f j + ↑f j) < ε / 2 + ε / 2
\u22a2 abv (↑f k) < ε
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
f : Filter β
u v : β → α
bu : α
hu : ∀ᶠ (x : β) in f, u x ≤ bu
bv : α
hv : ∀ᶠ (x : β) in f, v x ≤ bv
\u22a2 ∀ᶠ (x : β) in f, u x ⊔ v x ≤ bu ⊔ bv
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
m : M
s : Set M
\u22a2 m ∈ span R s ↔ ∃ c, ↑c.support ⊆ s ∧ (c.sum fun mi r => r • mi) = m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
m : M
s : Set M
\u22a2 m ∈ span R (_root_.id '' s) ↔ ∃ c, ↑c.support ⊆ s ∧ (c.sum fun mi r => r • mi) = m
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : StarAddMonoid α
inst✝ : ContinuousStar α
f : β → α
a : α
h : HasSum f a
\u22a2 HasSum (fun b => Star.star (f b)) (Star.star a)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : ℕ
hk : M ^ k = 0
\u22a2 IsUnit M.charpolyRev
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : ℕ
hk : 1 - X • M.map ⇑C ∣ 1
\u22a2 IsUnit M.charpolyRev
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : ℕ
hk : 1 - X • M.map ⇑C ∣ 1
\u22a2 M.charpolyRev ∣ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : ℕ
hk : 1 - X • M.map ⇑C ∣ 1
\u22a2 M.charpolyRev ∣ det 1
-- Mathlib/Order/SupClosed.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
s t : Set α
a b : α
\u22a2 ∀ (x : Set α), SupClosed ((fun s => {a | ∃ t, ∃ (ht : t.Nonempty), ↑t ⊆ s ∧ t.sup' ht id = a}) x)
-- Mathlib/Order/SupClosed.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
s t✝ : Set α
a b : α
s₁ s₂ : Set α
hs : s₁ ≤ s₂
h₂ : SupClosed s₂
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hts : ↑t ⊆ s₁
\u22a2 t.sup' ht id ∈ s₂
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor/Div.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : OrderedSemiring α
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : MulActionWithZero α β
inst✝² : CeilDiv α β
a : α
inst✝¹ : PosSMulMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLE α β
ha : 0 < a
b : β
\u22a2 ∀ (c : β), a • b ⌈/⌉ a ≤ c ↔ b ≤ c
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
hj : ¬c.Rel j (c.next j)
\u22a2 inlX φ j i hij ≫ d φ i j = φ.f j ≫ inrX φ j
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
hj : ¬c.Rel j (c.next j)
\u22a2 (inlX φ j i hij ≫ d φ i j) ≫ sndX φ j = (φ.f j ≫ inrX φ j) ≫ sndX φ j
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
ι : Sort u_1
g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
f : ι → ℝ≥0
\u22a2 (⨆ i, ↑(f i)).toNNReal = ⨆ i, ((fun i => ↑(f i)) i).toNNReal
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
ι : Sort u_1
g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
f : ι → ℝ≥0
\u22a2 (⨆ i, ↑(f i)).toNNReal = ⨆ i, f i
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
n : ℕ
h : n < l.length
\u22a2 take 1 (drop n l) = [l.get ⟨n, h⟩]
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
p : Prop
inst✝ : Decidable p
f : p → α
\u22a2 ⨆ (h : p), f h = if h : p then f h else sSup ∅
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
\u22a2 IsLindelof s
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂
a₂ b₂ : σ₂
h : f₂ a₂ = f₂ b₂
\u22a2 (match none with | some b₁ => Reaches₁ f₂ a₂ (tr b₁) | none => f₂ a₂ = none) ↔ match none with | some b₁ => Reaches₁ f₂ b₂ (tr b₁) | none => f₂ b₂ = none
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
\u22a2 φ.nilRank ≤ finrank R M
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
n : ℕ
hn : Even n
h : n ≠ 0
\u22a2 StrictConvexOn ℝ univ fun x => x ^ n
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
n : ℕ
hn : Even n
h : n ≠ 0
\u22a2 StrictMono (deriv fun a => a ^ n)
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
n : ℕ
hn : Even n
h : n ≠ 0
\u22a2 StrictMono fun x => ↑n * x ^ (n - 1)
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
n : ℕ
hn : Even n
h : 0 < n
\u22a2 StrictMono fun x => ↑n * x ^ (n - 1)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
f : M → B
g : M → F
x : M
\u22a2 ContMDiffOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n (↑(e.symm ≫ₕ e'.toPartialHomeomorph)) (e.target ∩ e'.target)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
f : M → B
g : M → F
x : M
Hmaps : MapsTo Prod.fst (e.target ∩ e'.target) (e.baseSet ∩ e'.baseSet)
\u22a2 ContMDiffOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n (↑(e.symm ≫ₕ e'.toPartialHomeomorph)) (e.target ∩ e'.target)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
f : M → B
g : M → F
x : M
Hmaps : MapsTo Prod.fst (e.target ∩ e'.target) e.baseSet ∧ MapsTo Prod.fst (e.target ∩ e'.target) e'.baseSet
\u22a2 ContMDiffOn (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n (↑(e.symm ≫ₕ e'.toPartialHomeomorph)) (e.target ∩ e'.target)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
f : M → B
g : M → F
x : M
Hmaps : MapsTo Prod.fst (e.target ∩ e'.target) e.baseSet ∧ MapsTo Prod.fst (e.target ∩ e'.target) e'.baseSet
\u22a2 ∀ y ∈ e.target ∩ e'.target, ↑(e.symm ≫ₕ e'.toPartialHomeomorph) y = (y.1, e.coordChange e' y.1 y.2)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
f : M → B
g : M → F
x✝ : M
Hmaps : MapsTo Prod.fst (e.target ∩ e'.target) e.baseSet ∧ MapsTo Prod.fst (e.target ∩ e'.target) e'.baseSet
b : B
x : F
hb : (b, x) ∈ e.target ∩ e'.target
\u22a2 ↑(e.symm ≫ₕ e'.toPartialHomeomorph) (b, x) = ((b, x).1, e.coordChange e' (b, x).1 (b, x).2)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
f : M → B
g : M → F
x✝ : M
Hmaps : MapsTo Prod.fst (e.target ∩ e'.target) e.baseSet ∧ MapsTo Prod.fst (e.target ∩ e'.target) e'.baseSet
b : B
x : F
hb : (b, x) ∈ e.target ∩ e'.target
\u22a2 (↑(e.symm ≫ₕ e'.toPartialHomeomorph) (b, x)).1 = ((b, x).1, e.coordChange e' (b, x).1 (b, x).2).1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'
s : Set M
f : M → B
g : M → F
x✝ : M
Hmaps : MapsTo Prod.fst (e.target ∩ e'.target) e.baseSet ∧ MapsTo Prod.fst (e.target ∩ e'.target) e'.baseSet
b : B
x : F
hb : (b, x) ∈ e.target ∩ e'.target
this : (↑e.symm (b, x)).proj ∈ e'.baseSet
\u22a2 (↑(e.symm ≫ₕ e'.toPartialHomeomorph) (b, x)).1 = ((b, x).1, e.coordChange e' (b, x).1 (b, x).2).1
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
hs : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε = univ
\u22a2 SecondCountableTopology α
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
hs : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε = univ
\u22a2 SeparableSpace α
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
hs : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε = univ
this : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε
\u22a2 SeparableSpace α
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t✝ : Set α
hs : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε = univ
this : ∀ ε > 0, ∃ t, t.Countable ∧ univ ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x ε
t : Set α
htc : t.Countable
ht : univ ⊆ closure t
\u22a2 SeparableSpace α
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/EpiMono.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesMonomorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Mono f
\u22a2 Mono (G.map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/EpiMono.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesMonomorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Mono f
this : Mono (F.map f ≫ (α.app Y).hom)
\u22a2 Mono (G.map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/EpiMono.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesMonomorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Mono f
this : Mono (F.map f ≫ (α.app Y).hom)
\u22a2 G.map f = (α.app X).inv ≫ F.map f ≫ (α.app Y).hom
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : α → β → γ
n : γ → δ
\u22a2 map n (map₂ m f g) = map₂ (fun a b => n (m a b)) f g
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : α → β → γ
n : γ → δ
\u22a2 map (n ∘ fun p => m p.1 p.2) (f ×ˢ g) = map (fun p => n (m p.1 p.2)) (f ×ˢ g)
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
\u22a2 (s ∪ t).ncard ≤ s.ncard + t.ncard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
h : (s ∪ t).Finite
\u22a2 (s ∪ t).ncard ≤ s.ncard + t.ncard