ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Tower.lean
R : Type u
S✝ : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring S✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid A
inst✝⁹ : Algebra R S✝
inst✝⁸ : Module S✝ A
inst✝⁷ : Module R A
inst✝⁶ : IsScalarTower R S✝ A
S : Type u_1
T : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x : S
a : Set S
hx : x ∈ span R a
\u22a2 ∃ y ∈ span R a, (↑R (Algebra.linearMap S T)) y = (algebraMap S T) x
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
\u22a2 MeasurableSet {ω | τ ω < i}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
this : {ω | τ ω < i} = {ω | τ ω ≤ i} \ {ω | τ ω = i}
\u22a2 MeasurableSet {ω | τ ω < i}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
this : {ω | τ ω < i} = {ω | τ ω ≤ i} \ {ω | τ ω = i}
\u22a2 MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ i} \ {ω | τ ω = i})
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝¹ : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝¹
a✝ : α✝¹
f✝ g : α✝¹ → β✝
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α✝ : Type u_8
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype κ
inst✝³ : CommMonoid α✝
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : Subsingleton α
inst✝ : Fintype α
f : α → β
a : α
this : Unique α
\u22a2 ∏ x : α, f x = f a
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
this : ∃ x < n + 1, (n + 1).gcd x = 1
\u22a2 φ (n + 1) = 0 ↔ n + 1 = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
\u22a2 (n + 1).gcd (1 % (n + 1)) = 1
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀
\u22a2 a * b = a ↔ a * b = a * 1
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Compare.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
hm : n ≤ m
x✝ : TruncatedWittVector p m (ZMod p)
\u22a2 ((zmodEquivTrunc p n).symm.toRingHom.comp (truncate hm)) x✝ = ((ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ n))).comp (zmodEquivTrunc p m).symm.toRingHom) x✝
-- Mathlib/Analysis/Convex/AmpleSet.lean
F : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : TopologicalSpace F
s t : Set F
hs : AmpleSet s
ht : AmpleSet t
x : F
hx : x ∈ s ∪ t
\u22a2 (convexHull ℝ) (connectedComponentIn (s ∪ t) x) = univ
-- Mathlib/Topology/Sets/Opens.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α✝
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
α : Type u_5
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
Us : Set (Opens α)
hUs : IsBasis Us
\u22a2 t₁ ≤ t₂ ↔ ∀ U ∈ Us, IsOpen ↑U
-- Mathlib/Topology/Sets/Opens.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α✝
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
α : Type u_5
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
Us : Set (Opens α)
hUs : IsBasis Us
\u22a2 t₁ ≤ generateFrom (SetLike.coe '' Us) ↔ ∀ U ∈ Us, IsOpen ↑U
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s : SignedMeasure α
μ : Measure α
\u22a2 s.singularPart μ ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s : SignedMeasure α
μ : Measure α
\u22a2 s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ + s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ ⟂ₘ μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
n : ℕ
v : Fin n → V
\u22a2 LinearIndependent K (Fin.cons x v) ↔ LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
n : ℕ
v : Fin n → V
\u22a2 LinearIndependent K ((Fin.cons x v ∘ ⇑(finSuccEquiv n).symm) ∘ some) ∧ (Fin.cons x v ∘ ⇑(finSuccEquiv n).symm) none ∉ span K (range ((Fin.cons x v ∘ ⇑(finSuccEquiv n).symm) ∘ some)) ↔ LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
\u22a2 1 ≤ Classical.choose exists_cos_eq_zero
-- Mathlib/Data/Multiset/Antidiagonal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
\u22a2 card s.antidiagonal = 2 ^ card s
-- Mathlib/Data/Multiset/Antidiagonal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
this : card s.powerset = 2 ^ card s
\u22a2 card s.antidiagonal = 2 ^ card s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
α : Sort u_3
x y : α
dist : α → α → ℝ
dist_self : ∀ (x : α), dist x x = 0
dist_comm : ∀ (x y : α), dist x y = dist y x
dist_triangle : ∀ (x y z : α), dist x z ≤ dist x y + dist y z
\u22a2 dist x y + dist y x = 2 * dist x y
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
\u22a2 Nat.card α ≠ 0 ↔ Nonempty α ∧ Finite α
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
\u22a2 ∃ g, ‖g‖ = ‖f‖ ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
g : Y →ᵇ ℝ
hg : ‖g‖ = ‖g.compContinuous { toFun := e, continuous_toFun := ⋯ }‖
\u22a2 ∃ g_1, ‖g_1‖ = ‖g.compContinuous { toFun := e, continuous_toFun := ⋯ }‖ ∧ ⇑g_1 ∘ e = ⇑(g.compContinuous { toFun := e, continuous_toFun := ⋯ })
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/BigOperators.lean
ι : Type u_1
k : ℕ
m : Multiset ℕ
\u22a2 k.Coprime m.prod ↔ ∀ n ∈ m, k.Coprime n
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/BigOperators.lean
ι : Type u_1
k : ℕ
a✝ : List ℕ
\u22a2 k.Coprime (Multiset.prod ⟦a✝⟧) ↔ ∀ n ∈ ⟦a✝⟧, k.Coprime n
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S✝ S : Subgroupoid C
Sw : S.IsWide
c : C
\u22a2 eqToHom ⋯ ∈ S.arrows c c
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S✝ S : Subgroupoid C
Sw : S.IsWide
c : C
\u22a2 𝟙 c ∈ S.arrows c c
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
\u22a2 ↑(Pi.basisFun ℝ ι).parallelepiped = ↑(PositiveCompacts.piIcc01 ι)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
\u22a2 ↑(Pi.basisFun ℝ ι).parallelepiped = uIcc (fun i => 0) fun i => 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
\u22a2 (fun i => 0) ≤ fun i => 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/FreeGroupoid.lean
V : Type u
inst✝ : Quiver V
X✝¹ Y✝ X Y : Paths (Quiver.Symmetrify V)
X✝ Z : Quiver.Symmetrify V
f : X✝ ⟶ Z
XW : X✝¹ ⟶ Paths.of.obj X✝
WY : Paths.of.obj X✝ ⟶ Y✝
this : Quotient.CompClosure redStep (Quiver.Path.reverse WY ≫ 𝟙 (Paths.of.obj X✝) ≫ Quiver.Path.reverse XW) (Quiver.Path.reverse WY ≫ (f.toPath ≫ (Quiver.reverse f).toPath) ≫ Quiver.Path.reverse XW)
\u22a2 Quotient.CompClosure redStep (Quiver.Path.reverse (XW ≫ 𝟙 (Paths.of.obj X✝) ≫ WY)) (Quiver.Path.reverse (XW ≫ (f.toPath ≫ (Quiver.reverse f).toPath) ≫ WY))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/PInfty.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
\u22a2 (𝟙 K[X] - PInfty).f n ≫ PInfty.f n = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
\u22a2 (o.oangle x (x + y)).cos * ‖x + y‖ = ‖x‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1
\u22a2 (o.oangle x (x + y)).cos * ‖x + y‖ = ‖x‖
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α✝ : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α✝
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι'
inst✝² : Nonempty ι'
inst✝¹ : IsDirected ι' fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : Order.Frame α
s : Set ι
hs : s.Finite
f : ι → ι' → α
hf : ∀ i ∈ s, Monotone (f i)
\u22a2 ⨆ j, ⨅ i ∈ s, f i j = ⨅ i ∈ s, ⨆ j, f i j
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α✝ : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α✝
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι'
inst✝² : Nonempty ι'
inst✝¹ : IsDirected ι' fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : Order.Frame α
s : Set ι
f : ι → ι' → α
hf : ∀ i ∈ ∅, Monotone (f i)
\u22a2 ⨆ j, ⨅ i ∈ ∅, f i j = ⨅ i ∈ ∅, ⨆ j, f i j
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α✝ : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s✝¹ t : Set α✝
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι'
inst✝² : Nonempty ι'
inst✝¹ : IsDirected ι' fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : Order.Frame α
s✝ : Set ι
f : ι → ι' → α
a : ι
s : Set ι
a✝ : a ∉ s
h✝ : s.Finite
ihs : (∀ i ∈ s, Monotone (f i)) → ⨆ j, ⨅ i ∈ s, f i j = ⨅ i ∈ s, ⨆ j, f i j
hf : ∀ i ∈ insert a s, Monotone (f i)
\u22a2 ⨆ j, ⨅ i ∈ insert a s, f i j = ⨅ i ∈ insert a s, ⨆ j, f i j
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedRing α✝
α : Type u_5
inst✝ : NormedCommRing α
f : ι → α
val✝ : Multiset ι
l : List ι
hl : Multiset.Nodup (Quot.mk Setoid.r l)
hs : { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hl }.Nonempty
this : List.map f l ≠ []
\u22a2 ‖∏ i ∈ { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hl }, f i‖ ≤ ∏ i ∈ { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hl }, ‖f i‖
-- Mathlib/ModelTheory/Syntax.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
φ : L ≃ᴸ L'
\u22a2 Function.LeftInverse φ.invLHom.onTerm φ.toLHom.onTerm
-- Mathlib/ModelTheory/Syntax.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
φ : L ≃ᴸ L'
\u22a2 Function.RightInverse φ.invLHom.onTerm φ.toLHom.onTerm
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
m : σ →₀ ℕ
\u22a2 (weight w) m = 0 ↔ ∀ (x : σ), m x = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
m : σ →₀ ℕ
\u22a2 (m.sum fun i c => c • w i) = 0 ↔ ∀ (x : σ), m x = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
m : σ →₀ ℕ
\u22a2 (∀ x ∈ m.support, m x • w x = 0) ↔ ∀ (x : σ), m x = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
m : σ →₀ ℕ
\u22a2 ∀ (a : σ), a ∈ m.support → m a • w a = 0 ↔ m a = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
m : σ →₀ ℕ
x : σ
\u22a2 x ∈ m.support → m x • w x = 0 ↔ m x = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
m : σ →₀ ℕ
x : σ
\u22a2 m x ≠ 0 → m x • w x = 0 ↔ m x = 0
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Order.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s : Submonoid α
a₁ b₁ : α
a₂ b₂ b✝ : ↥s
a b : α
\u22a2 { toFun := fun a => mk a b✝, inj' := ⋯ } a ≤ { toFun := fun a => mk a b✝, inj' := ⋯ } b ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t m : Multiset α
\u22a2 m.dedup.toFinset = m.toFinset
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : (i : ι) → κ i → Set α
\u22a2 f '' ⋃ i, ⋃ j, s i j = ⋃ i, ⋃ j, f '' s i j
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
\u22a2 (lift i x hx h) h.root = x
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G
\u22a2 LeftCosetEquivalence (↑K) g ↑(hSK.equiv g).1
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G
\u22a2 LeftCosetEquivalence (↑K) g (g * (↑(hSK.equiv g).2)⁻¹)
-- Mathlib/Data/Set/Countable.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
t : Set β
hs : s.Countable
ht : t.Countable
f : α → β → γ
\u22a2 (Set.image2 f s t).Countable
-- Mathlib/Data/Set/Countable.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
t : Set β
hs : s.Countable
ht : t.Countable
f : α → β → γ
\u22a2 ((fun x => f x.1 x.2) '' s ×ˢ t).Countable
-- Mathlib/Data/Complex/Basic.lean
\u22a2 I ^ 4 = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Normalizer.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
m : M
hm : m ∈ N
\u22a2 m ∈ N.normalizer
-- Mathlib/Algebra/Lie/Normalizer.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
m : M
hm : m ∈ N
\u22a2 ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ ∈ N
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p r : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0
\u22a2 (∃ k, k • p = z • r) ↔ ∃ k, r - ↑k • (p / ↑z) ∈ zmultiples p
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p r : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0
\u22a2 (∃ k, k • p = z • r) ↔ ∃ k k_1, k_1 • p + ↑k • p * (↑z)⁻¹ = r
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p r : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0
hz' : ↑z ≠ 0
\u22a2 (∃ k, k • p = z • r) ↔ ∃ k k_1, k_1 • p + ↑k • p * (↑z)⁻¹ = r
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p r : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0
hz' : ↑z ≠ 0
\u22a2 (∃ k, k • p = z • r) ↔ ∃ k k_1, ↑z * (k_1 • p + ↑k • p * (↑z)⁻¹) = ↑z * r
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p r : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0
hz' : ↑z ≠ 0
\u22a2 (∃ k, k • p = z • r) ↔ ∃ k k_1, (z * k_1 + ↑↑k) • p = z • r
-- Mathlib/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
\u22a2 filter (fun x => x < c) (Ico a b) = Ico a (min b c)
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
hsum : Summable ⇑f
N : ℕ
\u22a2 ∏ p ∈ N.primesBelow, (1 - f p)⁻¹ = ∑' (m : ↑N.smoothNumbers), f ↑m
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
hsum : Summable ⇑f
N : ℕ
\u22a2 ∏ p ∈ filter (fun p => Nat.Prime p) (range N), (1 - f p)⁻¹ = ∑' (m : ↑(factoredNumbers (range N))), f ↑m
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x : E
\u22a2 x ∈ ⊤ᗮ ↔ x ∈ ⊥
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x : E
\u22a2 (∀ u ∈ ⊤, ⟪u, x⟫_𝕜 = 0) ↔ x = 0
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁ : na * nb = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
\u22a2 ↑na * ⅟↑da * (↑nb * ⅟↑db) = ↑nc * ⅟↑dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁ : na * nb = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
\u22a2 ↑na * ⅟↑da * (↑nb * ⅟↑db) = ↑nc * ⅟↑dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * nb = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑(na * nb) = ↑(↑k * nc)
\u22a2 ↑na * ⅟↑da * (↑nb * ⅟↑db) = ↑nc * ⅟↑dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * nb = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ↑nb = ↑k * ↑nc
\u22a2 ↑na * ⅟↑da * (↑nb * ⅟↑db) = ↑nc * ⅟↑dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * nb = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ↑nb = ↑k * ↑nc
\u22a2 ↑k * ↑nc * ⅟↑da * ⅟↑db = ↑nc * ⅟↑dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * nb = ↑k * nc
h₂✝ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ↑nb = ↑k * ↑nc
h₂ : (fun x => ↑nc * ↑x * (⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc)) (da * db) = (fun x => ↑nc * ↑x * (⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc)) (k * dc)
\u22a2 ↑k * ↑nc * ⅟↑da * ⅟↑db = ↑nc * ⅟↑dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * nb = ↑k * nc
h₂✝ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ↑nb = ↑k * ↑nc
h₂ : ↑nc * ↑da * ↑db * ⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc = ↑nc * ↑k * ↑dc * ⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc
\u22a2 ↑k * ↑nc * ⅟↑da * ⅟↑db = ↑nc * ⅟↑dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * nb = ↑k * nc
h₂✝ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ↑nb = ↑k * ↑nc
h₂ : ↑nc * ↑da * ↑db * ⅟↑db * ⅟↑da * ⅟↑dc = ↑nc * ↑k * ↑dc * ⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc
\u22a2 ↑k * ↑nc * ⅟↑da * ⅟↑db = ↑nc * ⅟↑dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * nb = ↑k * nc
h₂✝ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ↑nb = ↑k * ↑nc
h₂ : ↑nc * ⅟↑dc = ↑nc * ↑k * ↑dc * ⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc
\u22a2 ↑k * ↑nc * ⅟↑da * ⅟↑db = ↑nc * ⅟↑dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * nb = ↑k * nc
h₂✝ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ↑nb = ↑k * ↑nc
h₂ : ↑nc * ⅟↑dc = ↑nc * ↑k * ↑dc * ⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc
\u22a2 ↑nc * ↑k * ⅟↑da * ⅟↑db = ↑nc * ↑k * ↑dc * ⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing α
A✝ : Matrix n n α
b✝ : n → α
inst✝ : Subsingleton n
A : Matrix n n α
b : n → α
i : n
\u22a2 A.cramer b i = b i
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}
\u22a2 a + b = a ↔ max ℵ₀ b ≤ a ∨ b = 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}
\u22a2 a + b = a ↔ ℵ₀ ≤ a ∧ b ≤ a ∨ b = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Operations.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : OuterMeasure α
s t : Set α
m : OuterMeasure α
\u22a2 ((restrict s) m) t = m (t ∩ s)
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
a✝ : A
hx : a✝ ∈ __src✝.carrier
\u22a2 star a✝ ∈ __src✝.carrier
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : ℕ
h : j < n
\u22a2 ∃ i, j < c.sizeUpTo (i + 1) ∧ i < c.length
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : ℕ
h : j < n
n_pos : 0 < n
\u22a2 ∃ i, j < c.sizeUpTo (i + 1) ∧ i < c.length
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : ℕ
h : j < n
n_pos : 0 < n
this : 0 < c.blocks.sum
\u22a2 ∃ i, j < c.sizeUpTo (i + 1) ∧ i < c.length
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : ℕ
h : j < n
n_pos : 0 < n
this : 0 < c.blocks.sum
length_pos : 0 < c.blocks.length
\u22a2 ∃ i, j < c.sizeUpTo (i + 1) ∧ i < c.length
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : ℕ
h : j < n
n_pos : 0 < n
this : 0 < c.blocks.sum
length_pos : 0 < c.blocks.length
\u22a2 j < c.sizeUpTo (c.length - 1 + 1)
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : ℕ
h : j < n
n_pos : 0 < n
this✝ : 0 < c.blocks.sum
length_pos : 0 < c.blocks.length
this : c.length - 1 + 1 = c.length
\u22a2 j < c.sizeUpTo (c.length - 1 + 1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x₁ x₂ : FamilyOfElements P (generate R).arrows
t₁ : x₁.Compatible
t₂ : x₂.Compatible
h : FamilyOfElements.restrict ⋯ x₁ = FamilyOfElements.restrict ⋯ x₂
\u22a2 x₁ = x₂