ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
x : M ⊗[R] N
\u22a2 -0 + 0 = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
x : M ⊗[R] N
\u22a2 -0 = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
x✝ : M ⊗[R] N
x : M
y : N
\u22a2 -x ⊗ₜ[R] y + x ⊗ₜ[R] y = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
x✝ : M ⊗[R] N
x : M
y : N
\u22a2 0 = (-x + x) ⊗ₜ[R] y
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
x✝ x y : M ⊗[R] N
hx : -x + x = 0
hy : -y + y = 0
\u22a2 -(x + y) + (x + y) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
x✝ x y : M ⊗[R] N
hx : -x + x = 0
hy : -y + y = 0
\u22a2 -x + x + (-y + y) = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
k : ℤ
b : ℝ
hb : 0 < b
\u22a2 (fun x => x ^ k) =o[atTop] fun x => rexp (b * x)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l✝ : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l✝
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
i j : n
c : α
i' j' : n
inst✝ : Fintype n
k l : n
h : j ≠ k
d : α
a b : n
\u22a2 (stdBasisMatrix i j c * stdBasisMatrix k l d) a b = 0 a b
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l✝ : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l✝
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
i j : n
c : α
i' j' : n
inst✝ : Fintype n
k l : n
h : j ≠ k
d : α
a b : n
\u22a2 (∑ x : n, (if i = a ∧ j = x then c else 0) * if k = x ∧ l = b then d else 0) = 0 a b
-- Mathlib/RingTheory/NonUnitalSubsemiring/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T
F : Type u_1
inst✝¹ : FunLike F R S✝
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
ι : Sort u_2
hι : Nonempty ι
S : ι → NonUnitalSubsemiring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
\u22a2 x ∈ ↑(⨆ i, S i) ↔ x ∈ ⋃ i, ↑(S i)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Seminorm.lean
F : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
x y : R✝
r : ℝ
inst✝⁴ : NonAssocRing R✝
inst✝³ : DecidableEq R✝
inst✝² : NoZeroDivisors R✝
inst✝¹ : Nontrivial R✝
R : Type u_4
inst✝ : Ring R
f : MulRingNorm R
\u22a2 f.equiv f
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
a : α
d : ℕ → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f n.succ) ≤ d n
hd : Summable d
\u22a2 CauchySeq f
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
a : α
d : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f n.succ) ≤ (fun i => ↑(d i)) n
hd : Summable fun i => ↑(d i)
\u22a2 CauchySeq f
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
a : α
d : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f n.succ) ≤ (fun i => ↑(d i)) n
hd : Summable fun i => ↑(d i)
\u22a2 ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ ↑(d n)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
a : α
d : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f n.succ) ≤ (fun i => ↑(d i)) n
hd : Summable fun i => ↑(d i)
\u22a2 Summable d
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/Basic.lean
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
inst✝ : Mono f
g₁ g₂ : ↑G
h : f g₁ = f g₂
t0 : asHom g₁ ≫ f = asHom g₂ ≫ f
\u22a2 g₁ = g₂
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/Basic.lean
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
inst✝ : Mono f
g₁ g₂ : ↑G
h : f g₁ = f g₂
t0 : asHom g₁ ≫ f = asHom g₂ ≫ f
t1 : asHom g₁ = asHom g₂
\u22a2 g₁ = g₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : Measure α
a b : α
hb : μ {b} ≠ ⊤
\u22a2 IntegrableOn f (Ici b) μ ↔ IntegrableOn f (Ioi b) μ
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
x y z : G
H : ∀ (a : G), a * x = z ↔ a = y
\u22a2 (f * single x r) z = f y * r
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
h : Red (invRev L₁) (invRev L₂)
\u22a2 Red L₁ L₂
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
r : R
m : M
s s' : ↥S
\u22a2 IsLocalization.mk' T r s • mk m s' = mk (r • m) (s * s')
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
r : R
m : M
s s' : ↥S
\u22a2 ∃ u, u • (s * s') • (IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).1 • m = u • ((IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).2 * s') • r • m
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
r : R
m : M
s s' c : ↥S
hc : ↑c * (↑s * (IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).1) = ↑c * (↑(IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).2 * r)
\u22a2 ∃ u, u • (s * s') • (IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).1 • m = u • ((IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).2 * s') • r • m
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
r : R
m : M
s s' c : ↥S
hc : ↑c * (↑s * (IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).1) = ↑c * (↑(IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).2 * r)
\u22a2 c • (s * s') • (IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).1 • m = c • ((IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).2 * s') • r • m
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
p q r : Associates M
hp : Prime p
hr : r ∣ q
hp' : p ∣ r
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
\u22a2 p = c 1
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
i : Fin (n + 1 + 1)
hp : Prime (c i)
hp' : c i ∣ r
\u22a2 c i = c 1
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
i : Fin (n + 1 + 1)
hp : Prime (c i)
hp' : c i ∣ r
\u22a2 1 ≤ i
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
i : Fin (n + 1 + 1)
hp : Prime (c i)
hp' : c i ∣ r
hi : 1 < i
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hp : Prime (c 0)
hp' : c 0 ∣ r
hi : 1 < 0
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
j : Fin (n + 1)
hp : Prime (c j.succ)
hp' : c j.succ ∣ r
hi : 1 < j.succ
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
j : Fin (n + 1)
hp : Prime (c j.succ)
hp' : c j.succ ∣ r
hi : 1 < j.succ
\u22a2 0 < ↑↑j
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
j : Fin (n + 1)
hp : Prime (c j.succ)
hp' : c j.succ ∣ r
hi : 1 < j.succ
\u22a2 DvdNotUnit (c ↑↑j) (c j.succ)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
\u22a2 dist p₁ p₃ / |(∡ p₁ p₂ p₃).sin| = 2 * s.radius
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : UpperSet α
a : α
S : Set (UpperSet α)
\u22a2 ↑(sSup S).compl = ↑(⨆ s ∈ S, s.compl)
-- Mathlib/GroupTheory/Abelianization.lean
G : Type u
inst✝ : Group G
\u22a2 commutator G = Subgroup.closure (commutatorSet G)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
inst✝ : CompleteSpace E
c : E
\u22a2 ∫ (x : X) in s, c ∂μ = (μ s).toReal • c
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
\u22a2 c.sizeUpTo ↑(c.index j) ≤ ↑j
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
H : ¬c.sizeUpTo ↑(c.index j) ≤ ↑j
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i
i_pos : 0 < ↑i
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i
i_pos : 0 < ↑i
i₁ : ℕ := (↑i).pred
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i
i_pos : 0 < ↑i
i₁ : ℕ := (↑i).pred
i₁_lt_i : i₁ < ↑i
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i
i_pos : 0 < ↑i
i₁ : ℕ := (↑i).pred
i₁_lt_i : i₁ < ↑i
i₁_succ : i₁ + 1 = ↑i
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i
i_pos : 0 < ↑i
i₁ : ℕ := (↑i).pred
i₁_lt_i : i₁ < ↑i
i₁_succ : i₁ + 1 = ↑i
this : ¬(↑j < c.sizeUpTo (i₁ + 1) ∧ i₁ < c.length)
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i
i_pos : 0 < ↑i
i₁ : ℕ := (↑i).pred
i₁_lt_i : i₁ < ↑i
i₁_succ : i₁ + 1 = ↑i
this : c.sizeUpTo ↑i ≤ ↑j
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
s : Set E
\u22a2 μ (⇑f '' s) = ENNReal.ofReal |LinearMap.det f| * μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
s : Set E
hf : LinearMap.det f ≠ 0
\u22a2 μ (⇑f '' s) = ENNReal.ofReal |LinearMap.det f| * μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
s : Set E
hf : LinearMap.det f = 0
\u22a2 μ (⇑f '' s) = ENNReal.ofReal |LinearMap.det f| * μ s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ai : R
au : a * ai = 1
\u22a2 p.natDegree = (p * 1).natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ai : R
au : a * ai = 1
\u22a2 (p * 1).natDegree = (p * C a * C ai).natDegree
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ
c : ℝ
\u22a2 ∫ (x : X), (f + const X c) x ∂μ = ∫ (x : X), f x ∂μ + (μ Set.univ).toReal • c
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
f : α → Computation β
a : α
b : β
m n : ℕ
h1 : s.Results a m
h2 : (f a).Results b n
\u22a2 (s.bind f).Results b (n + m)
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
f : α → Computation β
a : α
b : β
m n : ℕ
h1 : s.Results a m
h2 : (f a).Results b n
this : a ∈ s
\u22a2 (s.bind f).Results b (n + m)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y
H : Disjoint z (y \ x)
\u22a2 z ⊔ y \ x ≤ x ⊔ y \ x
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y
H : Disjoint z (y \ x)
\u22a2 z ⊔ y \ x ≤ y
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y
H : Disjoint z (y \ x)
\u22a2 z ⊔ y ≤ y
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
s : Cocone D
j : J
\u22a2 c.ι.app j ≫ t.desc (newCocone D c) ≫ T.map (t.desc (T.forget.mapCocone s)) = c.ι.app j ≫ t.desc (T.forget.mapCocone s) ≫ s.pt.a
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
s : Cocone D
j : J
\u22a2 (D.obj j).a ≫ T.map ((T.forget.mapCocone s).ι.app j) = T.forget.map (s.ι.app j) ≫ s.pt.a
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝
J✝ : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J✝
T : Comonad C
D : J✝ ⥤ T.Coalgebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
s : Cocone D
m : (liftedCocone D c t).pt ⟶ s.pt
J : ∀ (j : J✝), (liftedCocone D c t).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
\u22a2 m.f = ((fun s => { f := t.desc (T.forget.mapCocone s), h := ⋯ }) s).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝
J✝ : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J✝
T : Comonad C
D : J✝ ⥤ T.Coalgebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
s : Cocone D
m : (liftedCocone D c t).pt ⟶ s.pt
J : ∀ (j : J✝), (liftedCocone D c t).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
\u22a2 ∀ (j : J✝), c.ι.app j ≫ m.f = c.ι.app j ≫ ((fun s => { f := t.desc (T.forget.mapCocone s), h := ⋯ }) s).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝
J✝ : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J✝
T : Comonad C
D : J✝ ⥤ T.Coalgebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
s : Cocone D
m : (liftedCocone D c t).pt ⟶ s.pt
J : ∀ (j : J✝), (liftedCocone D c t).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
j : J✝
\u22a2 c.ι.app j ≫ m.f = c.ι.app j ≫ ((fun s => { f := t.desc (T.forget.mapCocone s), h := ⋯ }) s).f
-- Mathlib/Algebra/Homology/Opposite.lean
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.66755, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : (HomologicalComplex Vᵒᵖ c)ᵒᵖ
i✝ : ι
\u22a2 ((unopFunctor V c).map ((unopUnitIso V c).hom.app X) ≫ (unopCounitIso V c).hom.app ((unopFunctor V c).obj X)).f i✝ = (𝟙 ((unopFunctor V c).obj X)).f i✝
-- Mathlib/Algebra/Homology/Opposite.lean
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.66755, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : (HomologicalComplex Vᵒᵖ c)ᵒᵖ
i✝ : ι
\u22a2 ((unopFunctor V c).map ((unopUnitIso V c).hom.app X)).f i✝ ≫ ((unopCounitIso V c).hom.app ((unopFunctor V c).obj X)).f i✝ = (𝟙 ((unopFunctor V c).obj X)).f i✝
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
a b : ZNum
\u22a2 (↑a.abs).gcd ↑b.abs = (↑a).gcd ↑b
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
a b : ZNum
\u22a2 (↑a).natAbs.gcd (↑b).natAbs = (↑a).gcd ↑b
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s : Set A
h : ∀ x ∈ s, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
r : A
hr : r ∈ span s
\u22a2 ↑(((decompose 𝒜) r) i) ∈ span s
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s : Set A
h : ∀ x ∈ s, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
r : A
hr : r ∈ LinearMap.range (Finsupp.total (↑s) A A Subtype.val)
\u22a2 ↑(((decompose 𝒜) r) i) ∈ span s
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s : Set A
h : ∀ x ∈ s, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
r : A
hr : ∃ y, (Finsupp.total (↑s) A A Subtype.val) y = r
\u22a2 ↑(((decompose 𝒜) r) i) ∈ span s
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s✝ : Set A
h : ∀ x ∈ s✝, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
s : ↑s✝ →₀ A
\u22a2 ↑(((decompose 𝒜) ((Finsupp.total (↑s✝) A A Subtype.val) s)) i) ∈ span s✝
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s✝ : Set A
h : ∀ x ∈ s✝, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
s : ↑s✝ →₀ A
\u22a2 ∑ i_1 ∈ s.support, ↑(((decompose 𝒜) (s i_1 • ↑i_1)) i) ∈ span s✝
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s✝ : Set A
h : ∀ x ∈ s✝, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
s : ↑s✝ →₀ A
\u22a2 ∀ c ∈ s.support, ↑(((decompose 𝒜) (s c • ↑c)) i) ∈ span s✝
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s✝ : Set A
h : ∀ x ∈ s✝, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
s : ↑s✝ →₀ A
z : ↑s✝
hz1 : z ∈ s.support
\u22a2 ↑(((decompose 𝒜) (s z • ↑z)) i) ∈ span s✝
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s✝ : Set A
h : ∀ x ∈ s✝, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
s : ↑s✝ →₀ A
z : ↑s✝
hz1 : z ∈ s.support
\u22a2 ↑(((decompose 𝒜) (s z * ↑z)) i) ∈ span s✝
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s✝ : Set A
h : ∀ x ∈ s✝, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
s : ↑s✝ →₀ A
z : ↑s✝
hz1 : z ∈ s.support
\u22a2 Homogeneous 𝒜 ↑z
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s✝ : Set A
h : ∀ x ∈ s✝, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
s : ↑s✝ →₀ A
z : ↑s✝
hz1 : z ∈ s.support
\u22a2 ↑z ∈ span s✝
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
hx : 0 < x
\u22a2 0 ≤ log x ↔ 1 ≤ x
-- Mathlib/Computability/Encoding.lean
α : Type u
e : Encoding α
\u22a2 Function.Injective e.encode
-- Mathlib/Computability/Encoding.lean
α : Type u
e : Encoding α
x✝¹ x✝ : α
h : e.encode x✝¹ = e.encode x✝
\u22a2 some x✝¹ = some x✝
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : ↥K
\u22a2 ↑((orthogonalProjection K) ↑v) = ↑v
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α'
inst✝³ : One β
inst✝² : One γ
inst✝¹ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
k : Set α
hk : IsCompact k
h'f : mulSupport f ⊆ k
\u22a2 IsCompact (range f)