ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
one : p 1
mul_simple_right : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (w * cs.simple i)
p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w
this : w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)
\u22a2 p w
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
one : p 1
mul_simple_right : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (w * cs.simple i)
p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w
this : w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)
\u22a2 p' 1 ⋯
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
one : p 1
mul_simple_right : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (w * cs.simple i)
p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w
this : w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)
\u22a2 ∀ (x : W) (hx : x ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)) (y : W) (hy : y ∈ Set.range cs.simple), p' x hx → p' (x * y) ⋯
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
one : p 1
mul_simple_right : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (w * cs.simple i)
p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w
this : w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)
\u22a2 w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField R
a b : ℍ[R]
q : ℚ
\u22a2 ↑(normSq ↑q) = ↑q ^ 2
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b : ι → M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
i : ι
hi : i ∉ range ⇑snf.f
m : M
hm : m ∈ N
\u22a2 (snf.bM.repr ↑⟨m, hm⟩) i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b : ι → M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
i : ι
hi : i ∉ range ⇑snf.f
c : Fin n →₀ R
hm : (c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i)) ∈ N
\u22a2 (snf.bM.repr ↑⟨c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i), hm⟩) i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b : ι → M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
i : ι
c : Fin n →₀ R
hm : (c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i)) ∈ N
hi : ∀ (j : Fin n), snf.f j ≠ i
\u22a2 (snf.bM.repr ↑⟨c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i), hm⟩) i = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y z x a : ℝ
\u22a2 a = 0 ^ x ↔ x ≠ 0 ∧ a = 0 ∨ x = 0 ∧ a = 1
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p r : α
h : ∀ {m : α}, m ∈ normalizedFactors r → m = p
hr : r ≠ 0
\u22a2 ∃ i, p ^ i ~ᵤ r
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p r : α
h : ∀ {m : α}, m ∈ normalizedFactors r → m = p
hr : r ≠ 0
\u22a2 p ^ (↑Multiset.card).toFun (normalizedFactors r) ~ᵤ r
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p r : α
h : ∀ {m : α}, m ∈ normalizedFactors r → m = p
hr : r ≠ 0
this : (normalizedFactors r).prod ~ᵤ r
\u22a2 p ^ (↑Multiset.card).toFun (normalizedFactors r) ~ᵤ r
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
b : β
\u22a2 LipschitzWith 1 fun a => (a, b)
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
hyp : n = 0 ∨ ¬(of v).TerminatedAt (n - 1)
\u22a2 ↑(fib (n + 1)) ≤ (of v).dens n
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
hyp : n = 0 ∨ ¬(of v).TerminatedAt (n - 1)
\u22a2 ↑(fib (n + 1)) ≤ ((of v).contsAux (n + 1)).b
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
hyp : n = 0 ∨ ¬(of v).TerminatedAt (n - 1)
this : n + 1 ≤ 1 ∨ ¬(of v).TerminatedAt (n - 1)
\u22a2 ↑(fib (n + 1)) ≤ ((of v).contsAux (n + 1)).b
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P✝ : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
M : Type u_13
inst✝¹ : Zero M
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
a : Subtype P
m : M
a' : α
\u22a2 (single a m).extendDomain a' = (single (↑a) m) a'
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P✝ : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
M : Type u_13
inst✝¹ : Zero M
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
a : Subtype P
m : M
a' : α
\u22a2 (if h : P a' then (single a m) ⟨a', h⟩ else 0) = (single (↑a) m) a'
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P✝ : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
M : Type u_13
inst✝¹ : Zero M
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
a : Subtype P
m : M
\u22a2 (if h : P ↑a then (single a m) ⟨↑a, h⟩ else 0) = (single (↑a) m) ↑a
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P✝ : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
M : Type u_13
inst✝¹ : Zero M
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
a : Subtype P
m : M
a' : α
ha : ↑a ≠ a'
\u22a2 (if h : P a' then (single a m) ⟨a', h⟩ else 0) = (single (↑a) m) a'
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = π
heq : dist p1 p2 = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = π
heq : p1 = p2
\u22a2 False
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : π / 2 = π
heq : p1 = p2
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
a b : α
\u22a2 ↑s ⊆ {a} ↔ s ⊆ {a}
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Variables.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
φ : MvPolynomial σ R
j : τ
h : j ∈ ((rename f) φ).vars
\u22a2 ∃ i ∈ φ.vars, f i = j
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r✝ : α → α → Prop
a b : α
r : α → β → Prop
hr : Relator.BiUnique r
\u22a2 (fun x x_1 => x ↔ x_1) [].Nodup [].Nodup
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r✝ : α → α → Prop
a b : α
r : α → β → Prop
hr : Relator.BiUnique r
a✝ : α
b✝ : β
l₁✝ : List α
l₂✝ : List β
hab : r a✝ b✝
h : Forall₂ r l₁✝ l₂✝
\u22a2 (fun x x_1 => x ↔ x_1) (a✝ :: l₁✝).Nodup (b✝ :: l₂✝).Nodup
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
ns : List ℕ
IH : ∀ {l : List α}, ns.sum = l.length → (l.splitWrtCompositionAux ns).join = l
l : List α
h : n + ns.sum = l.length
\u22a2 (l.splitWrtCompositionAux (n :: ns)).join = l
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
ns : List ℕ
IH : ∀ {l : List α}, ns.sum = l.length → (l.splitWrtCompositionAux ns).join = l
l : List α
h : n + ns.sum = l.length
\u22a2 (take n l :: (drop n l).splitWrtCompositionAux ns).join = l
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
n : ℕ
\u22a2 (X ^ n).natTrailingDegree = n
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Associated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
p q : Multiset α
\u22a2 Multiset.Rel Associated p q ↔ Multiset.map Associates.mk p = Multiset.map Associates.mk q
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Associated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
p q : Multiset α
\u22a2 Multiset.Rel Associated p q ↔ Multiset.Rel (fun a b => Associates.mk a = Associates.mk b) p q
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
e : Basis ι R M
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
\u22a2 f = f ⇑e • e.det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
e : Basis ι R M
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
i : ι → ι
h : Injective i
\u22a2 (f fun i_1 => e (i i_1)) = (f ⇑e • e.det) fun i_1 => e (i i_1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
e : Basis ι R M
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
i : ι → ι
h : Injective i
σ : Equiv.Perm ι := Equiv.ofBijective i ⋯
\u22a2 (f fun i_1 => e (i i_1)) = (f ⇑e • e.det) fun i_1 => e (i i_1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
e : Basis ι R M
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
i : ι → ι
h : Injective i
σ : Equiv.Perm ι := Equiv.ofBijective i ⋯
\u22a2 f (⇑e ∘ ⇑σ) = (f ⇑e • e.det) (⇑e ∘ ⇑σ)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
E' : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
F' : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F'
f : E → F
g : E' → F'
hf : ContDiff 𝕜 n f
hg : ContDiff 𝕜 n g
\u22a2 ContDiff 𝕜 n (Prod.map f g)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
E' : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
F' : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F'
f : E → F
g : E' → F'
hf : ∀ (x : E), ContDiffAt 𝕜 n f x
hg : ∀ (x : E'), ContDiffAt 𝕜 n g x
\u22a2 ∀ (x : E × E'), ContDiffAt 𝕜 n (Prod.map f g) x
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G
\u22a2 ↑H = ↑⊤ ↔ ↑H = Set.univ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
\u22a2 toOpen ↑(Γ.obj (op X)) ⊤ ≫ X.toΓSpec.val.c.app (op ⊤) = 𝟙 (Γ.obj (op X))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
\u22a2 (toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen 1) ≫ (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.map (eqToHom ⋯).op) ≫ X.toΓSpec.val.c.app (op ⊤) = 𝟙 (Γ.obj (op X))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
\u22a2 toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen 1) ≫ (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.map (eqToHom ⋯).op ≫ X.toΓSpec.val.c.app (op ⊤) = 𝟙 (Γ.obj (op X))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
\u22a2 (toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen 1) ≫ X.toΓSpec.val.c.app (op (basicOpen 1))) ≫ ((pushforward CommRingCat X.toΓSpec.val.base).obj X.presheaf).map (eqToHom ⋯).op = 𝟙 (Γ.obj (op X))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
\u22a2 X.presheaf.map ((X.toΓSpecMapBasicOpen 1).leTop.op ≫ (Opens.map X.toΓSpec.val.base).op.map (eqToHom ⋯).op) = 𝟙 (Γ.obj (op X))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
\u22a2 op ⊤ = (Opens.map X.toΓSpec.val.base).op.obj (op ⊤)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
π : α → Type u_6
inst✝¹ : (x : α) → CommMonoid (π x)
inst✝ : (x : α) → TopologicalSpace (π x)
f : ι → (x : α) → π x
\u22a2 Multipliable f ↔ ∀ (x : α), Multipliable fun i => f i x
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Unitization.lean
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring S
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : SMulCommClass R A A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
B : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra S B
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : DistribMulAction S A
inst✝² : IsScalarTower S R A
C : Type u_5
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
φ : A →ₙₐ[R] C
\u22a2 (fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd) 1 = 1
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Unitization.lean
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring S
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : SMulCommClass R A A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
B : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra S B
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : DistribMulAction S A
inst✝² : IsScalarTower S R A
C : Type u_5
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
φ : A →ₙₐ[R] C
x_r : R
x_a : A
y_r : R
y_a : A
\u22a2 { toFun := fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd, map_one' := ⋯ }.toFun ((inl x_r + ↑x_a) * (inl y_r + ↑y_a)) = { toFun := fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd, map_one' := ⋯ }.toFun (inl x_r + ↑x_a) * { toFun := fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd, map_one' := ⋯ }.toFun (inl y_r + ↑y_a)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Unitization.lean
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring S
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : SMulCommClass R A A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
B : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra S B
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : DistribMulAction S A
inst✝² : IsScalarTower S R A
C : Type u_5
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
φ : A →ₙₐ[R] C
x_r : R
x_a : A
y_r : R
y_a : A
\u22a2 (algebraMap R C) x_r * (algebraMap R C) y_r + (x_r • φ y_a + y_r • φ x_a + φ x_a * φ y_a) = ((algebraMap R C) x_r + φ x_a) * ((algebraMap R C) y_r + φ y_a)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Unitization.lean
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring S
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : SMulCommClass R A A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
B : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra S B
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : DistribMulAction S A
inst✝² : IsScalarTower S R A
C : Type u_5
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
φ : A →ₙₐ[R] C
x_r : R
x_a : A
y_r : R
y_a : A
\u22a2 (algebraMap R C) x_r * (algebraMap R C) y_r + (x_r • φ y_a + y_r • φ x_a + φ x_a * φ y_a) = (algebraMap R C) x_r * (algebraMap R C) y_r + (algebraMap R C) x_r * φ y_a + (φ x_a * (algebraMap R C) y_r + φ x_a * φ y_a)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Unitization.lean
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring S
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : SMulCommClass R A A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
B : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra S B
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : DistribMulAction S A
inst✝² : IsScalarTower S R A
C : Type u_5
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
φ : A →ₙₐ[R] C
x_r : R
x_a : A
y_r : R
y_a : A
\u22a2 (algebraMap R C) x_r * (algebraMap R C) y_r + (x_r • φ y_a + y_r • φ x_a + φ x_a * φ y_a) = (algebraMap R C) x_r * (algebraMap R C) y_r + (algebraMap R C) x_r * φ y_a + ((algebraMap R C) y_r * φ x_a + φ x_a * φ y_a)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Unitization.lean
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring S
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : SMulCommClass R A A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
B : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra S B
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : DistribMulAction S A
inst✝² : IsScalarTower S R A
C : Type u_5
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
φ : A →ₙₐ[R] C
\u22a2 (↑{ toFun := fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Unitization.lean
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring S
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : SMulCommClass R A A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
B : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra S B
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : DistribMulAction S A
inst✝² : IsScalarTower S R A
C : Type u_5
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
φ : A →ₙₐ[R] C
x_r : R
x_a : A
y_r : R
y_a : A
\u22a2 (↑{ toFun := fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (inl x_r + ↑x_a + (inl y_r + ↑y_a)) = (↑{ toFun := fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (inl x_r + ↑x_a) + (↑{ toFun := fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (inl y_r + ↑y_a)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Unitization.lean
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring S
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : SMulCommClass R A A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
B : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra S B
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : DistribMulAction S A
inst✝² : IsScalarTower S R A
C : Type u_5
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
φ : A →ₙₐ[R] C
x_r : R
x_a : A
y_r : R
y_a : A
\u22a2 (algebraMap R C) x_r + (algebraMap R C) y_r + (φ x_a + φ y_a) = (algebraMap R C) x_r + φ x_a + ((algebraMap R C) y_r + φ y_a)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Unitization.lean
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹² : CommSemiring S
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : SMulCommClass R A A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
B : Type u_4
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : Algebra S B
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : DistribMulAction S A
inst✝² : IsScalarTower S R A
C : Type u_5
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
φ : A →ₙₐ[R] C
r : R
\u22a2 (↑↑{ toFun := fun x => (algebraMap R C) x.fst + φ x.snd, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }).toFun ((algebraMap R (Unitization R A)) r) = (algebraMap R C) r
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl✝ xr✝ xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
\u22a2 (-mk yl yr yL yR ≤ -mk xl xr xL xR ↔ mk xl xr xL xR ≤ mk yl yr yL yR) ∧ (-mk yl yr yL yR ⧏ -mk xl xr xL xR ↔ mk xl xr xL xR ⧏ mk yl yr yL yR)
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl✝ xr✝ xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
\u22a2 (((∀ (i : yr), -yR i ⧏ -mk xl xr xL xR) ∧ ∀ (j : xl), -mk yl yr yL yR ⧏ -xL j) ↔ (∀ (i : xl), xL i ⧏ mk yl yr yL yR) ∧ ∀ (j : yr), mk xl xr xL xR ⧏ yR j) ∧ (((∃ i, -mk yl yr yL yR ≤ -xR i) ∨ ∃ j, -yL j ≤ -mk xl xr xL xR) ↔ (∃ i, mk xl xr xL xR ≤ yL i) ∨ ∃ j, xR j ≤ mk yl yr yL yR)
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ : Path x y
a₁ a₂ a₃ : X
b₁ b₂ b₃ : Y
γ₁ : Path a₁ a₂
δ₁ : Path a₂ a₃
γ₂ : Path b₁ b₂
δ₂ : Path b₂ b₃
\u22a2 (γ₁.prod γ₂).trans (δ₁.prod δ₂) = (γ₁.trans δ₁).prod (γ₂.trans δ₂)
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
π : ι → Set (Set Ω)
a : ι
S : Finset ι
hp_ind : iIndepSets π κ μ
haS : a ∉ S
t1 t2 : Set Ω
s : Finset ι
hs_mem : ↑s ⊆ ↑S
ft1 : ι → Set Ω
hft1_mem : ∀ x ∈ s, ft1 x ∈ π x
ht1_eq : t1 = ⋂ x ∈ s, ft1 x
ht2_mem_pia : t2 ∈ π a
\u22a2 ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = (κ a) t1 * (κ a) t2
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
π : ι → Set (Set Ω)
a : ι
S : Finset ι
hp_ind : iIndepSets π κ μ
haS : a ∉ S
t1 t2 : Set Ω
s : Finset ι
hs_mem : s ⊆ S
ft1 : ι → Set Ω
hft1_mem : ∀ x ∈ s, ft1 x ∈ π x
ht1_eq : t1 = ⋂ x ∈ s, ft1 x
ht2_mem_pia : t2 ∈ π a
\u22a2 ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = (κ a) t1 * (κ a) t2
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
\u22a2 0⁻¹ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Subsingleton α
\u22a2 0⁻¹ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Nontrivial α
\u22a2 0⁻¹ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Nontrivial α
hc : 0 = Fintype.card n
\u22a2 0⁻¹ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
ht : Nontrivial α
hc : 0 < Fintype.card n
\u22a2 0⁻¹ = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X Y : T
\u22a2 map (𝟙 Y) = 𝟭 (Over Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X Y : T
\u22a2 ∀ (X : Over Y), (map (𝟙 Y)).obj X = (𝟭 (Over Y)).obj X
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X Y : T
\u22a2 autoParam (∀ (X Y_1 : Over Y) (f : X ⟶ Y_1), (map (𝟙 Y)).map f = eqToHom ⋯ ≫ (𝟭 (Over Y)).map f ≫ eqToHom ⋯) _auto✝
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
\u22a2 ⌈0⌉₊ = 0