ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
R : F.M → F.M → Prop
inst✝ : Inhabited F.M
bisim : IsBisimulation R
ps : List F.Idx
ps_ih : ∀ (a : F.A) (f f' : F.B a → F.M), R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩) → IsPath ps (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath ps (M.mk ⟨a, f'⟩) → (isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩)).head = (isubtree ps (M.mk ⟨a, f'⟩)).head ∧ ∃ a_1 f_1 f'_1, isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩) = M.mk ⟨a_1, f_1⟩ ∧ isubtree ps (M.mk ⟨a, f'⟩) = M.mk ⟨a_1, f'_1⟩ ∧ ∀ (i : F.B a_1), R (f_1 i) (f'_1 i)
a : F.A
f f' : F.B a → F.M
h₀ : R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩)
i : F.B a
hh : IsPath (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩)
h₁ : R (f i) (f' i)
a₀ : F.A
f₀ : F.B a₀ → F.M
h : f i = M.mk ⟨a₀, f₀⟩
a₁ : F.A
f₁ : F.B a₁ → F.M
h' : f' i = M.mk ⟨a₁, f₁⟩
\u22a2 (isubtree ps (M.mk ⟨a₀, f₀⟩)).head = (isubtree ps (M.mk ⟨a₁, f₁⟩)).head ∧ ∃ a f f', isubtree ps (M.mk ⟨a₀, f₀⟩) = M.mk ⟨a, f⟩ ∧ isubtree ps (M.mk ⟨a₁, f₁⟩) = M.mk ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : F.B a), R (f i) (f' i)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
R : F.M → F.M → Prop
inst✝ : Inhabited F.M
bisim : IsBisimulation R
ps : List F.Idx
ps_ih : ∀ (a : F.A) (f f' : F.B a → F.M), R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩) → IsPath ps (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath ps (M.mk ⟨a, f'⟩) → (isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩)).head = (isubtree ps (M.mk ⟨a, f'⟩)).head ∧ ∃ a_1 f_1 f'_1, isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩) = M.mk ⟨a_1, f_1⟩ ∧ isubtree ps (M.mk ⟨a, f'⟩) = M.mk ⟨a_1, f'_1⟩ ∧ ∀ (i : F.B a_1), R (f_1 i) (f'_1 i)
a : F.A
f f' : F.B a → F.M
h₀ : R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩)
i : F.B a
hh : IsPath (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩)
a₀ : F.A
f₀ : F.B a₀ → F.M
h : f i = M.mk ⟨a₀, f₀⟩
a₁ : F.A
f₁ : F.B a₁ → F.M
h₁ : R (M.mk ⟨a₀, f₀⟩) (M.mk ⟨a₁, f₁⟩)
h' : f' i = M.mk ⟨a₁, f₁⟩
\u22a2 (isubtree ps (M.mk ⟨a₀, f₀⟩)).head = (isubtree ps (M.mk ⟨a₁, f₁⟩)).head ∧ ∃ a f f', isubtree ps (M.mk ⟨a₀, f₀⟩) = M.mk ⟨a, f⟩ ∧ isubtree ps (M.mk ⟨a₁, f₁⟩) = M.mk ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : F.B a), R (f i) (f' i)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
R : F.M → F.M → Prop
inst✝ : Inhabited F.M
bisim : IsBisimulation R
ps : List F.Idx
ps_ih : ∀ (a : F.A) (f f' : F.B a → F.M), R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩) → IsPath ps (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath ps (M.mk ⟨a, f'⟩) → (isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩)).head = (isubtree ps (M.mk ⟨a, f'⟩)).head ∧ ∃ a_1 f_1 f'_1, isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩) = M.mk ⟨a_1, f_1⟩ ∧ isubtree ps (M.mk ⟨a, f'⟩) = M.mk ⟨a_1, f'_1⟩ ∧ ∀ (i : F.B a_1), R (f_1 i) (f'_1 i)
a : F.A
f f' : F.B a → F.M
h₀ : R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩)
i : F.B a
hh : IsPath (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩)
a₀ : F.A
f₀ : F.B a₀ → F.M
h : f i = M.mk ⟨a₀, f₀⟩
f₁ : F.B a₀ → F.M
h₁ : R (M.mk ⟨a₀, f₀⟩) (M.mk ⟨a₀, f₁⟩)
h' : f' i = M.mk ⟨a₀, f₁⟩
\u22a2 (isubtree ps (M.mk ⟨a₀, f₀⟩)).head = (isubtree ps (M.mk ⟨a₀, f₁⟩)).head ∧ ∃ a f f', isubtree ps (M.mk ⟨a₀, f₀⟩) = M.mk ⟨a, f⟩ ∧ isubtree ps (M.mk ⟨a₀, f₁⟩) = M.mk ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : F.B a), R (f i) (f' i)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
R : F.M → F.M → Prop
inst✝ : Inhabited F.M
bisim : IsBisimulation R
ps : List F.Idx
ps_ih : ∀ (a : F.A) (f f' : F.B a → F.M), R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩) → IsPath ps (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath ps (M.mk ⟨a, f'⟩) → (isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩)).head = (isubtree ps (M.mk ⟨a, f'⟩)).head ∧ ∃ a_1 f_1 f'_1, isubtree ps (M.mk ⟨a, f⟩) = M.mk ⟨a_1, f_1⟩ ∧ isubtree ps (M.mk ⟨a, f'⟩) = M.mk ⟨a_1, f'_1⟩ ∧ ∀ (i : F.B a_1), R (f_1 i) (f'_1 i)
a : F.A
f f' : F.B a → F.M
h₀ : R (M.mk ⟨a, f⟩) (M.mk ⟨a, f'⟩)
i : F.B a
hh : IsPath (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) ∨ IsPath (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f'⟩)
a₀ : F.A
f₀ : F.B a₀ → F.M
h : f i = M.mk ⟨a₀, f₀⟩
f₁ : F.B a₀ → F.M
h₁ : R (M.mk ⟨a₀, f₀⟩) (M.mk ⟨a₀, f₁⟩)
h' : f' i = M.mk ⟨a₀, f₁⟩
\u22a2 IsPath ps (f i) ∨ IsPath ps (f' i)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatibleSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
\u22a2 J.toSheafify (P ⋙ F) ≫ (J.sheafifyCompIso F P).inv = whiskerRight (J.toSheafify P) F
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatibleSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
\u22a2 J.toSheafify (P ⋙ F) = whiskerRight (J.toSheafify P) F ≫ (J.sheafifyCompIso F P).hom
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p : ℝ
\u22a2 GrowsPolynomially fun x => ‖deriv (fun z => z ^ p * (1 + ε z)) x‖
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : V
nz : v ≠ 0
h : finrank K V = 1
\u22a2 span K {v} = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : V
nz : v ≠ 0
s : span K {v} = ⊤
\u22a2 ⊤ ≤ span K (Set.range fun x => ↑x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : V
nz : v ≠ 0
s : span K {v} = ⊤
\u22a2 (Set.range fun x => ↑x) = {v}
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x✝ y : ℝ
x : ℝ≥0
\u22a2 ↑(NNReal.sqrt x) = √↑x
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasureCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α × β → E
hf : Integrable f (μ ⊗ₘ κ)
\u22a2 ∫ (x : α × β), f x ∂μ ⊗ₘ κ = ∫ (a : α), ∫ (b : β), f (a, b) ∂κ a ∂μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasureCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α × β → E
hf : Integrable f (μ ⊗ₘ κ)
\u22a2 ∫ (x : α), ∫ (y : β), f (x, y) ∂(Kernel.prodMkLeft Unit κ) ((), x) ∂(Kernel.const Unit μ) () = ∫ (a : α), ∫ (b : β), f (a, b) ∂κ a ∂μ
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t : Set α
f g : α → β
s : Set α
h : ∀ a ∈ s, f a = g a
x : β
\u22a2 x ∈ f '' s ↔ x ∈ g '' s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ✝ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
p : ℝ
f : α →ₛ F
μ : Measure α
h_map : (fun a => ↑‖↑f a‖₊ ^ p) = ↑(map (fun a => ↑‖a‖₊ ^ p) f)
\u22a2 eLpNorm' (↑f) p μ = (∑ y ∈ f.range, ↑‖y‖₊ ^ p * μ (↑f ⁻¹' {y})) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
i : σ
\u22a2 constantCoeff (X i) = 0
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g
hgf : UniformInducing (g ∘ f)
\u22a2 UniformInducing f
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g
hgf : UniformInducing (g ∘ f)
\u22a2 comap (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 β) ≤ 𝓤 α
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g
hgf : UniformInducing (g ∘ f)
\u22a2 comap (Prod.map f f) (𝓤 β) ≤ comap (Prod.map f f) (comap (Prod.map g g) (𝓤 γ))
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/IsIntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
hs : IsIntegral R s
p : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hp : (Polynomial.aeval s) p = 0
\u22a2 (minpoly R s).degree ≤ p.degree
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/IsIntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
hs : IsIntegral R s
p : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hp : (Polynomial.aeval s) p = 0
\u22a2 ↑(minpoly R s).natDegree ≤ ↑p.natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/IsIntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
hs : IsIntegral R s
p : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hp : (Polynomial.aeval s) p = 0
\u22a2 (minpoly R s).natDegree ≤ p.natDegree
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/FunctionField.lean
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : X.Opens
x : ↥U
\u22a2 Function.Injective ⇑(X.presheaf.germ x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/FunctionField.lean
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : X.Opens
x : ↥U
\u22a2 ∀ (a : ↑(X.presheaf.obj (op U))), (X.presheaf.germ x) a = 0 → a = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/FunctionField.lean
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : X.Opens
x : ↥U
y : ↑(X.presheaf.obj (op U))
hy : (X.presheaf.germ x) y = 0
\u22a2 y = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/FunctionField.lean
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : X.Opens
x : ↥U
y : ↑(X.presheaf.obj (op U))
hy : (X.presheaf.germ x) y = (X.presheaf.germ x) 0
\u22a2 y = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/FunctionField.lean
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : X.Opens
x : ↥U
y : ↑(X.presheaf.obj (op U))
hy : (X.presheaf.germ x) y = (X.presheaf.germ x) 0
W : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hW : ↑x ∈ W
iU iV : W ⟶ U
e : (X.presheaf.map iU.op) y = (X.presheaf.map iV.op) 0
\u22a2 y = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/FunctionField.lean
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : X.Opens
x : ↥U
y : ↑(X.presheaf.obj (op U))
hy : (X.presheaf.germ x) y = (X.presheaf.germ x) 0
W : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hW : ↑x ∈ W
iU : W ⟶ U
e : (X.presheaf.map iU.op) y = (X.presheaf.map iU.op) 0
\u22a2 y = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/FunctionField.lean
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : X.Opens
x : ↥U
y : ↑(X.presheaf.obj (op U))
hy : (X.presheaf.germ x) y = (X.presheaf.germ x) 0
W : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hW : ↑x ∈ W
iU : W ⟶ U
e : (X.presheaf.map iU.op) y = (X.presheaf.map iU.op) 0
this : Nonempty ↑↑(↑W).toPresheafedSpace
\u22a2 y = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
\u22a2 sin (↑π / 2) = ↑(Real.sin (π / 2))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
\u22a2 sin (↑π / 2) = sin ↑(π / 2)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/StandardBorel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω✝ : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : CountablyGenerated γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω✝
inst✝³ : Nonempty Ω✝
Ω : Type u_5
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : StandardBorelSpace Ω
η : Kernel α ℝ
a : α
\u22a2 (borelMarkovFromReal Ω η) a = if (η a) (range (embeddingReal Ω))ᶜ = 0 then Measure.comap (embeddingReal Ω) (η a) else Measure.comap (embeddingReal Ω) (Measure.dirac (Exists.choose ⋯))
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Functor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{?u.21810, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{?u.21814, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.21818, u_3} E
inst✝⁷ : HasShift C ℤ
inst✝⁶ : HasShift D ℤ
inst✝⁵ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝³ : G.CommShift ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
inst✝ : F.Additive
n : ℤ
T : Triangle C
\u22a2 (F.map (n.negOnePow • (shiftFunctor C n).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 n).hom.app T.obj₁) ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app ((shiftFunctor C n).obj T.obj₁)) ≫ (shiftFunctor D 1).map ((F.commShiftIso n).hom.app T.obj₁) = (F.commShiftIso n).hom.app T.obj₃ ≫ (n.negOnePow • (shiftFunctor D n).map (F.map T.mor₃ ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app T.obj₁) ≫ (shiftFunctorComm D 1 n).hom.app (F.obj T.obj₁))
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Functor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{?u.21810, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{?u.21814, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.21818, u_3} E
inst✝⁷ : HasShift C ℤ
inst✝⁶ : HasShift D ℤ
inst✝⁵ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝³ : G.CommShift ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
inst✝ : F.Additive
n : ℤ
T : Triangle C
\u22a2 n.negOnePow • F.map ((shiftFunctor C n).map T.mor₃) ≫ F.map ((shiftFunctorComm C 1 n).hom.app T.obj₁) ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app ((shiftFunctor C n).obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map ((F.commShiftIso n).hom.app T.obj₁) = n.negOnePow • F.map ((shiftFunctor C n).map T.mor₃) ≫ (F.commShiftIso n).hom.app ((shiftFunctor C 1).obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D n).map ((F.commShiftIso 1).hom.app T.obj₁) ≫ (shiftFunctorComm D 1 n).hom.app (F.obj T.obj₁)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Functor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{?u.21810, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{?u.21814, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.21818, u_3} E
inst✝⁷ : HasShift C ℤ
inst✝⁶ : HasShift D ℤ
inst✝⁵ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝³ : G.CommShift ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
inst✝ : F.Additive
n : ℤ
T : Triangle C
\u22a2 n.negOnePow • F.map ((shiftFunctor C n).map T.mor₃) ≫ ((F.commShiftIso n).hom.app ((shiftFunctor C 1).obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D n).map ((F.commShiftIso 1).hom.app T.obj₁) ≫ (shiftFunctorComm D 1 n).hom.app (F.obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map ((F.commShiftIso n).inv.app T.obj₁) ≫ (F.commShiftIso 1).inv.app ((shiftFunctor C n).obj T.obj₁)) ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app ((shiftFunctor C n).obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map ((F.commShiftIso n).hom.app T.obj₁) = n.negOnePow • F.map ((shiftFunctor C n).map T.mor₃) ≫ (F.commShiftIso n).hom.app ((shiftFunctor C 1).obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D n).map ((F.commShiftIso 1).hom.app T.obj₁) ≫ (shiftFunctorComm D 1 n).hom.app (F.obj T.obj₁)
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Defs.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
n : ℕ
\u22a2 ↑↑n = ↑n
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
hg : Integrable (↑g) μ
hp_pair : Integrable (↑(f.pair g)) μ
\u22a2 setToSimpleFunc T (f + g) = ∑ x ∈ (f.pair g).range, (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) (x.1 + x.2)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
hg : Integrable (↑g) μ
hp_pair : Integrable (↑(f.pair g)) μ
\u22a2 0.1 + 0.2 = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
hg : Integrable (↑g) μ
hp_pair : Integrable (↑(f.pair g)) μ
\u22a2 ∑ x ∈ (f.pair g).range, ((T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.1 + (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.2) = ∑ x ∈ (f.pair g).range, (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.1 + ∑ x ∈ (f.pair g).range, (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.2
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
hg : Integrable (↑g) μ
hp_pair : Integrable (↑(f.pair g)) μ
\u22a2 ∑ x ∈ (f.pair g).range, (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.1 + ∑ x ∈ (f.pair g).range, (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.2 = setToSimpleFunc T (map Prod.fst (f.pair g)) + setToSimpleFunc T (map Prod.snd (f.pair g))
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
\u22a2 {i | x₀ ∈ tsupport ⇑(ρ i)}.Finite
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
t : Set X
t_in : t ∈ 𝓝 x₀
ht : {i | ((fun i => support ⇑(ρ i)) i ∩ t).Nonempty}.Finite
\u22a2 {i | x₀ ∈ tsupport ⇑(ρ i)}.Finite
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
t : Set X
t_in : t ∈ 𝓝 x₀
ht : {i | ((fun i => support ⇑(ρ i)) i ∩ t).Nonempty}.Finite
\u22a2 {i | x₀ ∈ tsupport ⇑(ρ i)} ⊆ {i | ((fun i => support ⇑(ρ i)) i ∩ t).Nonempty}
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
t : Set X
t_in : t ∈ 𝓝 x₀
ht : {i | ((fun i => support ⇑(ρ i)) i ∩ t).Nonempty}.Finite
i : ι
hi : i ∈ {i | x₀ ∈ tsupport ⇑(ρ i)}
\u22a2 i ∈ {i | ((fun i => support ⇑(ρ i)) i ∩ t).Nonempty}
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
t : Set X
t_in : t ∈ 𝓝 x₀
ht : {i | ((fun i => support ⇑(ρ i)) i ∩ t).Nonempty}.Finite
i : ι
hi : i ∈ {i | x₀ ∈ tsupport ⇑(ρ i)}
\u22a2 i ∈ {i | (t ∩ support ⇑(ρ i)).Nonempty}
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DistribLattice α
x y z : α
h₁ : x ⊓ z ≤ y ⊓ z
h₂ : x ⊔ z ≤ y ⊔ z
\u22a2 y ⊓ z ⊔ x = (y ⊔ x) ⊓ (x ⊔ z)
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DistribLattice α
x y z : α
h₁ : x ⊓ z ≤ y ⊓ z
h₂ : x ⊔ z ≤ y ⊔ z
\u22a2 (y ⊔ x) ⊓ (y ⊔ z) = y ⊔ x ⊓ z
-- Mathlib/Algebra/Lie/Matrix.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
P A : Matrix n n R
h : Invertible P
\u22a2 (P.lieConj h) A = P * A * P⁻¹
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Supported.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u
S : Type v
r : R
e : ℕ
n m : σ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : Set σ
\u22a2 supported R s = (rename Subtype.val).range
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Supported.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u
S : Type v
r : R
e : ℕ
n m : σ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : Set σ
\u22a2 (aeval fun x => X ↑x).range = (aeval (X ∘ Subtype.val)).range
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
x : ↥I
m : ↥N
\u22a2 ⁅↑x, ↑m⁆ ∈ ⁅I, N⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
x : ↥I
m : ↥N
\u22a2 ⁅↑x, ↑m⁆ ∈ lieSpan R L {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
x : ↥I
m : ↥N
\u22a2 ⁅↑x, ↑m⁆ ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/RieszMarkovKakutani.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K1 K2 : Compacts X
\u22a2 rieszContentAux Λ (K1 ⊔ K2) ≤ rieszContentAux Λ K1 + rieszContentAux Λ K2
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/RieszMarkovKakutani.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K1 K2 : Compacts X
\u22a2 ∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → rieszContentAux Λ (K1 ⊔ K2) ≤ rieszContentAux Λ K1 + rieszContentAux Λ K2 + ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/RieszMarkovKakutani.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K1 K2 : Compacts X
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
\u22a2 rieszContentAux Λ (K1 ⊔ K2) ≤ rieszContentAux Λ K1 + rieszContentAux Λ K2 + ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/RieszMarkovKakutani.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K1 K2 : Compacts X
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
f1 : X →ᵇ ℝ≥0
f_test_function_K1 : (∀ x ∈ K1, 1 ≤ f1 x) ∧ Λ f1 < rieszContentAux Λ K1 + ε / 2
\u22a2 rieszContentAux Λ (K1 ⊔ K2) ≤ rieszContentAux Λ K1 + rieszContentAux Λ K2 + ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/RieszMarkovKakutani.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
Λ : (X →ᵇ ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
K1 K2 : Compacts X
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
f1 : X →ᵇ ℝ≥0
f_test_function_K1 : (∀ x ∈ K1, 1 ≤ f1 x) ∧ Λ f1 < rieszContentAux Λ K1 + ε / 2
f2 : X →ᵇ ℝ≥0
f_test_function_K2 : (∀ x ∈ K2, 1 ≤ f2 x) ∧ Λ f2 < rieszContentAux Λ K2 + ε / 2
\u22a2 rieszContentAux Λ (K1 ⊔ K2) ≤ rieszContentAux Λ K1 + rieszContentAux Λ K2 + ε