ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
y : Y
\u22a2 comap (⇑h) (𝓝 y) = 𝓝 (h.symm y)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Type u_1
N : ι → LieSubmodule R L M
\u22a2 CompleteLattice.Independent N ↔ CompleteLattice.Independent fun i => ↑(N i)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α
\u22a2 l.concat a = (a :: l.reverse).reverse
-- Mathlib/Data/Real/ConjExponents.lean
a b p q : ℝ≥0
h : p.IsConjExponent q
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : a + b = 1
\u22a2 a < a + b
-- Mathlib/Data/Real/ConjExponents.lean
a b p q : ℝ≥0
h : p.IsConjExponent q
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hab : a + b = 1
\u22a2 a⁻¹⁻¹ + b⁻¹⁻¹ = 1
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
p n k : ℕ
hp : Prime p
hkn : k ≤ p ^ n
hk0 : k ≠ 0
\u22a2 multiplicity p ((p ^ n).choose k) + multiplicity p k ≤ ↑n
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
p n k : ℕ
hp : Prime p
hkn : k ≤ p ^ n
hk0 : k ≠ 0
hdisj : Disjoint (filter (fun i => p ^ i ≤ k % p ^ i + (p ^ n - k) % p ^ i) (Ico 1 n.succ)) (filter (fun i => p ^ i ∣ k) (Ico 1 n.succ))
\u22a2 multiplicity p ((p ^ n).choose k) + multiplicity p k ≤ ↑n
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
p n k : ℕ
hp : Prime p
hkn : k ≤ p ^ n
hk0 : k ≠ 0
hdisj : Disjoint (filter (fun i => p ^ i ≤ k % p ^ i + (p ^ n - k) % p ^ i) (Ico 1 n.succ)) (filter (fun i => p ^ i ∣ k) (Ico 1 n.succ))
\u22a2 (filter (fun x => p ^ x ≤ k % p ^ x + (p ^ n - k) % p ^ x ∨ p ^ x ∣ k) (Ico 1 n.succ)).card ≤ n
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
p n k : ℕ
hp : Prime p
hkn : k ≤ p ^ n
hk0 : k ≠ 0
hdisj : Disjoint (filter (fun i => p ^ i ≤ k % p ^ i + (p ^ n - k) % p ^ i) (Ico 1 n.succ)) (filter (fun i => p ^ i ∣ k) (Ico 1 n.succ))
filter_le_Ico : (filter (fun x => p ^ x ≤ k % p ^ x + (p ^ n - k) % p ^ x ∨ p ^ x ∣ k) (Ico 1 n.succ)).card ≤ (Ico 1 n.succ).card
\u22a2 (filter (fun x => p ^ x ≤ k % p ^ x + (p ^ n - k) % p ^ x ∨ p ^ x ∣ k) (Ico 1 n.succ)).card ≤ n
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
p n k : ℕ
hp : Prime p
hkn : k ≤ p ^ n
hk0 : k ≠ 0
\u22a2 ↑n ≤ multiplicity p ((p ^ n).choose k) + multiplicity p k
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
p n k : ℕ
hp : Prime p
hkn : k ≤ p ^ n
hk0 : k ≠ 0
\u22a2 multiplicity p (p ^ n) ≤ multiplicity p ((p ^ n).choose k) + multiplicity p k
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
A : (μ.withDensity (v.limRatioMeas hρ)).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] v.limRatioMeas hρ
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
A : ρ.rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] v.limRatioMeas hρ
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
A : ρ.rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] v.limRatioMeas hρ
a✝¹ : α
a✝ : Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a✝¹) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ a✝¹))
h'x : ρ.rnDeriv μ a✝¹ = v.limRatioMeas hρ a✝¹
\u22a2 Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a✝¹) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ a✝¹))
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/NormedValued.lean
K : Type u_1
hK : NormedField K
h : IsNonarchimedean (sorryAx (K → ℝ) true)
L : Type u_2
inst✝¹ : Field L
Γ₀ : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
val : Valued L Γ₀
hv : v.RankOne
x : L
\u22a2 0 ≤ norm x
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
\u22a2 (contractRight 1) d = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Defs.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : AddCommGroup M₂
f g : M →+ M₂
h : f.toIntLinearMap = g.toIntLinearMap
x : M
\u22a2 f x = g x
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Monad.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : R →+* MvPolynomial σ S
d : σ →₀ ℕ
\u22a2 (bind₂ f) ((monomial d) 1) = (monomial d) 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
K : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
f g : End K M
inst✝ : FiniteDimensional K M
hf : f.IsSemisimple
\u22a2 IsRadical (minpoly K f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
K : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
f g : End K M
inst✝ : FiniteDimensional K M
hf : f.IsSemisimple
\u22a2 (annihilator K[X] (AEval' f)).IsRadical
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
h : Function.Surjective (pseudoApply f)
pbar : Pseudoelement P
hpbar : pseudoApply f pbar = Quot.mk (PseudoEqual Q) (Over.mk (𝟙 Q))
\u22a2 Epi f
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
h : Function.Surjective (pseudoApply f)
pbar : Pseudoelement P
hpbar : pseudoApply f pbar = Quot.mk (PseudoEqual Q) (Over.mk (𝟙 Q))
p : Over P
hp : ⟦p⟧ = pbar
\u22a2 Epi f
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
h : Function.Surjective (pseudoApply f)
pbar : Pseudoelement P
hpbar : pseudoApply f pbar = Quot.mk (PseudoEqual Q) (Over.mk (𝟙 Q))
p : Over P
hp : ⟦p⟧ = pbar
this : ⟦Over.mk (p.hom ≫ f)⟧ = ⟦Over.mk (𝟙 Q)⟧
\u22a2 Epi f
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
h : Function.Surjective (pseudoApply f)
pbar : Pseudoelement P
hpbar : pseudoApply f pbar = Quot.mk (PseudoEqual Q) (Over.mk (𝟙 Q))
p : Over P
hp : ⟦p⟧ = pbar
this : ⟦Over.mk (p.hom ≫ f)⟧ = ⟦Over.mk (𝟙 Q)⟧
R : C
x : R ⟶ (Over.mk (p.hom ≫ f)).left
y : R ⟶ (Over.mk (𝟙 Q)).left
w✝ : Epi x
ey : Epi y
comm : x ≫ (Over.mk (p.hom ≫ f)).hom = y ≫ (Over.mk (𝟙 Q)).hom
\u22a2 Epi f
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
h : Function.Surjective (pseudoApply f)
pbar : Pseudoelement P
hpbar : pseudoApply f pbar = Quot.mk (PseudoEqual Q) (Over.mk (𝟙 Q))
p : Over P
hp : ⟦p⟧ = pbar
this : ⟦Over.mk (p.hom ≫ f)⟧ = ⟦Over.mk (𝟙 Q)⟧
R : C
x : R ⟶ (Over.mk (p.hom ≫ f)).left
y : R ⟶ (Over.mk (𝟙 Q)).left
w✝ : Epi x
ey : Epi y
comm : x ≫ (Over.mk (p.hom ≫ f)).hom = y ≫ (Over.mk (𝟙 Q)).hom
\u22a2 (x ≫ p.hom) ≫ f = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
h : Function.Surjective (pseudoApply f)
pbar : Pseudoelement P
hpbar : pseudoApply f pbar = Quot.mk (PseudoEqual Q) (Over.mk (𝟙 Q))
p : Over P
hp : ⟦p⟧ = pbar
this : ⟦Over.mk (p.hom ≫ f)⟧ = ⟦Over.mk (𝟙 Q)⟧
R : C
x : R ⟶ (Over.mk (p.hom ≫ f)).left
y : R ⟶ (Over.mk (𝟙 Q)).left
w✝ : Epi x
ey : Epi y
comm : x ≫ p.hom ≫ f = y ≫ 𝟙 Q
\u22a2 (x ≫ p.hom) ≫ f = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
h : Function.Surjective (pseudoApply f)
pbar : Pseudoelement P
hpbar : pseudoApply f pbar = Quot.mk (PseudoEqual Q) (Over.mk (𝟙 Q))
p : Over P
hp : ⟦p⟧ = pbar
this : ⟦Over.mk (p.hom ≫ f)⟧ = ⟦Over.mk (𝟙 Q)⟧
R : C
x : R ⟶ (Over.mk (p.hom ≫ f)).left
y : R ⟶ (Over.mk (𝟙 Q)).left
w✝ : Epi x
ey : Epi y
comm : x ≫ p.hom ≫ f = y ≫ 𝟙 Q
\u22a2 y ≫ 𝟙 Q = y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
\u22a2 ↑(x * y).arg = ↑x.arg + ↑y.arg
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
\u22a2 x * y = ↑(abs x * abs y) * (↑(↑x.arg + ↑y.arg).cos + ↑(↑x.arg + ↑y.arg).sin * I)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
\u22a2 x * y = ↑(abs x) * ↑(abs y) * (cexp (↑x.arg * I) * cexp (↑y.arg * I))
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Lemmas.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
p a b c d x y : R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : GCDMonoid R
h1 : p ∣ a * x + b * y
h2 : p ∣ c * x + d * y
\u22a2 p ∣ (a * d - b * c) * gcd x y
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Lemmas.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
p a b c d x y : R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : GCDMonoid R
h1 : p ∣ a * x + b * y
h2 : p ∣ c * x + d * y
\u22a2 p ∣ gcd ((a * d - b * c) * x) ((a * d - b * c) * y)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
r t : ℝ
hr : 0 < r
ht : 1 < t
\u22a2 Metric.closedBall 0 (t ^ (-r⁻¹) - 1) = ∅
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
r t : ℝ
hr : 0 < r
ht : 1 < t
\u22a2 t ^ (-r⁻¹) < 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
s : Set α
\u22a2 ∫ (x : α) in s, (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν = (μ s).toReal
-- Mathlib/Data/NNRat/Defs.lean
p q : ℚ
hp : 0 ≤ p
\u22a2 (p * q).toNNRat = p.toNNRat * q.toNNRat
-- Mathlib/Data/NNRat/Defs.lean
p q : ℚ
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
\u22a2 (p * q).toNNRat = p.toNNRat * q.toNNRat
-- Mathlib/Data/NNRat/Defs.lean
p q : ℚ
hp : 0 ≤ p
hq : q ≤ 0
\u22a2 (p * q).toNNRat = p.toNNRat * q.toNNRat
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Midpoint.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z x y : P
\u22a2 midpoint R x y = midpoint R y x
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
H : Subgroup G
a : G
h : a ∈ H.normalCore
\u22a2 a ∈ H
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
H : Subgroup G
a : G
h : a ∈ H.normalCore
\u22a2 1 * a * 1⁻¹ ∈ H
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
H : Subgroup G
a : X
hH : stabilizer G a ≤ H
\u22a2 IsBlock G (orbit (↥H) a)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
H : Subgroup G
a : X
hH : stabilizer G a ≤ H
\u22a2 ∀ (g : G), (∃ x ∈ g • orbit (↥H) a, x ∈ orbit (↥H) a) → g • orbit (↥H) a = orbit (↥H) a
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
H : Subgroup G
a : X
hH : stabilizer G a ≤ H
g : G
h₁ h₂ : ↥H
h : (fun x => g • x) ((fun m => m • a) h₁) = (fun m => m • a) h₂
\u22a2 g • orbit (↥H) a = orbit (↥H) a
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
H : Subgroup G
a : X
hH : stabilizer G a ≤ H
g : G
h₁ h₂ : ↥H
h : (fun x => g • x) ((fun m => m • a) h₁) = (fun m => m • a) h₂
\u22a2 g ∈ H
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
H : Subgroup G
a : X
hH : stabilizer G a ≤ H
g : G
h₁ h₂ : ↥H
h : (fun x => g • x) ((fun m => m • a) h₁) = (fun m => m • a) h₂
\u22a2 ↑h₂⁻¹ * g * ↑h₁ ∈ H
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
H : Subgroup G
a : X
hH : stabilizer G a ≤ H
g : G
h₁ h₂ : ↥H
h : (fun x => g • x) ((fun m => m • a) h₁) = (fun m => m • a) h₂
\u22a2 ↑h₂⁻¹ * g * ↑h₁ ∈ stabilizer G a
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
H : Subgroup G
a : X
hH : stabilizer G a ≤ H
g : G
h₁ h₂ : ↥H
h : (fun x => g • x) ((fun m => m • a) h₁) = (fun m => m • a) h₂
\u22a2 g • ↑h₁ • a = ↑h₂ • a
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype m
v : m → α
A : Matrix m n α
\u22a2 -v ᵥ* -A = v ᵥ* A
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : AddCommMonoid β
inst✝ : Module α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
hσ : σ.IsCycleOn ↑s
f : ι → α
g : ι → β
\u22a2 (∑ i ∈ s, f i) • ∑ i ∈ s, g i = ∑ k ∈ range s.card, ∑ i ∈ s, f i • g ((σ ^ k) i)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : AddCommMonoid β
inst✝ : Module α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
hσ : σ.IsCycleOn ↑s
f : ι → α
g : ι → β
\u22a2 ∑ x ∈ s ×ˢ s, f x.1 • g x.2 = ∑ k ∈ range s.card, ∑ i ∈ s, f i • g ((σ ^ k) i)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
x : P
\u22a2 x ∈ intrinsicClosure 𝕜 s ↔ x ∈ closure s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
x : P
\u22a2 (∃ y, (∀ (o : Set ↥(affineSpan 𝕜 s)), IsOpen o → y ∈ o → (o ∩ Subtype.val ⁻¹' s).Nonempty) ∧ ↑y = x) ↔ ∀ (o : Set P), IsOpen o → x ∈ o → (o ∩ s).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
x : P
\u22a2 (∃ y, (∀ (o : Set ↥(affineSpan 𝕜 s)), IsOpen o → y ∈ o → (o ∩ Subtype.val ⁻¹' s).Nonempty) ∧ ↑y = x) → ∀ (o : Set P), IsOpen o → x ∈ o → (o ∩ s).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
x : P
h : ∀ (o : Set P), IsOpen o → x ∈ o → (o ∩ s).Nonempty
\u22a2 ∀ (o : Set ↥(affineSpan 𝕜 s)), IsOpen o → ⟨x, ?h.refine_3⟩ ∈ o → (o ∩ Subtype.val ⁻¹' s).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
x : P
h : ∀ (o : Set P), IsOpen o → x ∈ o → (o ∩ s).Nonempty
\u22a2 x ∈ ↑(affineSpan 𝕜 s)
-- Mathlib/Algebra/Group/Commute/Defs.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a b : M
h : Commute a b
\u22a2 (a * b) ^ 0 = a ^ 0 * b ^ 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Commute/Defs.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a b : M
h : Commute a b
n : ℕ
\u22a2 (a * b) ^ (n + 1) = a ^ (n + 1) * b ^ (n + 1)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hu : HasDerivWithinAt u u' s x
\u22a2 HasDerivWithinAt (fun y => (c y) (u y)) (c' (u x) + (c x) u') s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hu : HasDerivWithinAt u u' s x
this : HasDerivWithinAt (fun y => (c y) (u y)) (((c x).comp (smulRight 1 u') + (smulRight 1 c').flip (u x)) 1) s x
\u22a2 HasDerivWithinAt (fun y => (c y) (u y)) (c' (u x) + (c x) u') s x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
l : List α
a : α
h : a ∈ ⟦l⟧
\u22a2 a ∣ prod ⟦l⟧
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
\u22a2 Monotone (upperCentralSeries G)
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
\u22a2 ∀ (n : ℕ), upperCentralSeries G n ≤ upperCentralSeries G (n + 1)
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
n : ℕ
x : G
hx : x ∈ upperCentralSeries G n
y : G
\u22a2 x * y * x⁻¹ * y⁻¹ ∈ (upperCentralSeriesAux G n).fst
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
n : ℕ
x : G
hx : x ∈ upperCentralSeries G n
y : G
\u22a2 x * (y * x⁻¹ * y⁻¹) ∈ (upperCentralSeriesAux G n).fst
-- Mathlib/Order/Filter/CardinalInter.lean
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l✝ l : Filter α
\u22a2 ∀ (S : Set (Set α)), #↑S < ℵ₀ → (∀ s ∈ S, s ∈ l) → ⋂₀ S ∈ l
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Pi.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : ℕ
E : Fin n → Type u_2
inst✝¹ : (i : Fin n) → MeasureSpace (E i)
inst✝ : ∀ (i : Fin n), SigmaFinite volume
f : (i : Fin n) → E i → 𝕜
\u22a2 ∫ (x : (i : Fin n) → E i), ∏ i : Fin n, f i (x i) = ∏ i : Fin n, ∫ (x : E i), f i x
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : SemilatticeInf α
inst✝⁵ : BoundedOrder α
inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : SemilatticeInf β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
hs : a ∉ upperClosure ↑s
ht : a ∉ upperClosure ↑t
\u22a2 a ∉ upperClosure ↑(s ∪ t)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : SemilatticeInf α
inst✝⁵ : BoundedOrder α
inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : SemilatticeInf β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
hs : a ∉ upperClosure ↑s
ht : a ∉ upperClosure ↑t
\u22a2 a ∉ upperClosure ↑s ⊓ upperClosure ↑t
-- Mathlib/Topology/LocallyConstant/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
C₀ C₁ C₂ : Set X
h₀ : C₀ ⊆ C₁ ∪ C₂
h₁ : IsClosed C₁
h₂ : IsClosed C₂
f₁ : LocallyConstant (↑C₁) Z
f₂ : LocallyConstant (↑C₂) Z
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ C₁
hf : ∀ (x : X) (hx : x ∈ C₁ ∩ C₂), f₁ ⟨x, ⋯⟩ = f₂ ⟨x, ⋯⟩
x : ↑C₀
hx : ↑x ∈ C₁
\u22a2 (piecewise' h₀ h₁ h₂ f₁ f₂ hf) x = f₁ ⟨↑x, hx⟩
-- Mathlib/Topology/LocallyConstant/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
C₀ C₁ C₂ : Set X
h₀ : C₀ ⊆ C₁ ∪ C₂
h₁ : IsClosed C₁
h₂ : IsClosed C₂
f₁ : LocallyConstant (↑C₁) Z
f₂ : LocallyConstant (↑C₂) Z
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ C₁
hf : ∀ (x : X) (hx : x ∈ C₁ ∩ C₂), f₁ ⟨x, ⋯⟩ = f₂ ⟨x, ⋯⟩
x : ↑C₀
hx : ↑x ∈ C₁
this : (j : ↑C₀) → Decidable (j ∈ Subtype.val ⁻¹' C₁) := fun j => decidable_of_iff (↑j ∈ C₁) ⋯
\u22a2 (piecewise' h₀ h₁ h₂ f₁ f₂ hf) x = f₁ ⟨↑x, hx⟩
-- Mathlib/Topology/LocallyConstant/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
C₀ C₁ C₂ : Set X
h₀ : C₀ ⊆ C₁ ∪ C₂
h₁ : IsClosed C₁
h₂ : IsClosed C₂
f₁ : LocallyConstant (↑C₁) Z
f₂ : LocallyConstant (↑C₂) Z
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ C₁
hf : ∀ (x : X) (hx : x ∈ C₁ ∩ C₂), f₁ ⟨x, ⋯⟩ = f₂ ⟨x, ⋯⟩
x : ↑C₀
hx : ↑x ∈ C₁
this : (j : ↑C₀) → Decidable (j ∈ Subtype.val ⁻¹' C₁) := fun j => decidable_of_iff (↑j ∈ C₁) ⋯
\u22a2 (comap { toFun := C₁.restrictPreimage Subtype.val, continuous_toFun := ⋯ } f₁) ⟨x, hx⟩ = f₁ ⟨↑x, hx⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
φ ψ : ⨂[R] (i : ι), s i →ₗ[R] t i →ₗ[R] t' i
x✝¹ : (i : ι) → s i
x✝ : (i : ι) → t i
\u22a2 ((((lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) (φ + ψ)))).compMultilinearMap (tprod R)) x✝¹).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ = ((((lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) φ)) + lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) ψ))).compMultilinearMap (tprod R)) x✝¹).compMultilinearMap (tprod R)) x✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/TorusIntegral.lean
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
f : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
\u22a2 TorusIntegrable f c 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/TorusIntegral.lean
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
f : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
\u22a2 IntegrableOn (fun θ => f (const (Fin n → ℝ) c θ)) (Icc 0 fun x => 2 * π) volume
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b c : ℕ
\u22a2 Fintype.card ↑(Set.Icc a b) = b + 1 - a
-- Mathlib/Algebra/Order/AbsoluteValue.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
R✝ : Type u_3
S✝ : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : OrderedSemiring S
abv : AbsoluteValue R S
h : IsLeftRegular (abv 1)
\u22a2 (fun x => abv 1 * x) (abv 1) = (fun x => abv 1 * x) 1