ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s t : Set E
x y✝ : E
r : ℝ≥0
c : 𝕜
y : E
hy : y ∈ closedBall 0 ↑r
\u22a2 ↑‖(fun x => c • x) y‖₊ / ↑r ≤ ↑‖c‖₊
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s t : Set E
x y✝ : E
r : ℝ≥0
c : 𝕜
y : E
hy : ‖y‖₊ ≤ r
\u22a2 ↑‖(fun x => c • x) y‖₊ / ↑r ≤ ↑‖c‖₊
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s t : Set E
x y✝ : E
r : ℝ≥0
c : 𝕜
y : E
hy : ‖y‖₊ ≤ r
\u22a2 ↑‖c‖₊ * ↑‖y‖₊ / ↑r ≤ ↑‖c‖₊
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s t : Set E
x y✝ : E
r : ℝ≥0
c : 𝕜
y : E
hy : ‖y‖₊ ≤ r
\u22a2 ↑‖c‖₊ * ↑‖y‖₊ ≤ ↑‖c‖₊ * ↑r
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g✝ : γ → α
κ : Kernel (α × β) γ
a : β × α
g : γ → ℝ≥0∞
\u22a2 ∫⁻ (c : γ), g c ∂κ.swapLeft a = ∫⁻ (c : γ), g c ∂κ a.swap
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ↑n < ψ.order
\u22a2 (coeff R n) (φ * ψ) = 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ↑n < ψ.order
\u22a2 (coeff R n) (φ * ψ) = ∑ p ∈ antidiagonal n, 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ↑n < ψ.order
\u22a2 ∑ p ∈ antidiagonal n, (coeff R p.1) φ * (coeff R p.2) ψ = ∑ p ∈ antidiagonal n, 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ↑n < ψ.order
\u22a2 ∀ x ∈ antidiagonal n, (coeff R x.1) φ * (coeff R x.2) ψ = 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ↑n < ψ.order
x : ℕ × ℕ
hx : x ∈ antidiagonal n
\u22a2 (coeff R x.1) φ * (coeff R x.2) ψ = 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ↑n < ψ.order
x : ℕ × ℕ
hx : x ∈ antidiagonal n
\u22a2 ↑x.2 ≤ ↑n
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ↑n < ψ.order
x : ℕ × ℕ
hx : x.1 + x.2 = n
\u22a2 ↑x.2 ≤ ↑n
-- Mathlib/Data/Fintype/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Fintype α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : CommMonoid β
f : (a : α) → p a → β
g : (a : α) → ¬p a → β
\u22a2 ∏ a : α, dite (p a) (f a) (g a) = (∏ a : { a // p a }, f ↑a ⋯) * ∏ a : { a // ¬p a }, g ↑a ⋯
-- Mathlib/Data/Fintype/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Fintype α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : CommMonoid β
f : (a : α) → p a → β
g : (a : α) → ¬p a → β
\u22a2 (∏ x : { x // x ∈ filter p univ }, f ↑x ⋯) * ∏ x : { x // x ∈ filter (fun x => ¬p x) univ }, g ↑x ⋯ = (∏ a : { a // p a }, f ↑a ⋯) * ∏ a : { a // ¬p a }, g ↑a ⋯
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
\u22a2 (s.erase x).min ≠ ↑x
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
e_1✝ : WithTop α = WithBot αᵒᵈ
\u22a2 (s.erase x).min = ((map toDual.toEmbedding s).erase (toDual x)).max
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
e_1✝¹ : WithTop α = WithBot αᵒᵈ
e_1✝ : α = αᵒᵈ
a✝ : α
\u22a2 a✝ ∈ s ↔ a✝ ∈ map toDual.toEmbedding s
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
e_1✝¹ : WithTop α = WithBot αᵒᵈ
e_1✝ : α = αᵒᵈ
a✝ : α
\u22a2 a✝ ∈ s ↔ toDual.symm a✝ ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/EpiMono.lean
R : Type u
inst✝² : Ring R
X Y : ModuleCat R
f : X ⟶ Y
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
\u22a2 Epi f ↔ Function.Surjective ⇑f
-- Mathlib/Order/PiLex.lean
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i
\u22a2 toLex x ≤ toLex (update x i a) ↔ x i ≤ a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ℝ
\u22a2 volume (Icc a b) = ofReal (b - a)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Pointwise.lean
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S : Ideal R
x✝ : R
\u22a2 x✝ ∈ a • S ↔ x✝ ∈ comap (RingEquiv.symm ((MulSemiringAction.toRingAut M R) a)) S
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Pointwise.lean
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S : Ideal R
x✝ : R
\u22a2 x✝ ∈ map (MulSemiringAction.toRingHom M R a) S ↔ x✝ ∈ map (MulSemiringAction.toRingEquiv M R a) S
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
ht : t.Nonempty
i : α
\u22a2 i ∈ image Prod.fst (s ×ˢ t) ↔ i ∈ s
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C : Set α
x : α
U : Set α
h_acc : AccPt x (𝓟 C)
hU : U ∈ 𝓝 x
\u22a2 AccPt x (𝓟 (U ∩ C))
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C : Set α
x : α
U : Set α
h_acc : AccPt x (𝓟 C)
hU : U ∈ 𝓝 x
this : 𝓝[≠] x ≤ 𝓟 U
\u22a2 AccPt x (𝓟 (U ∩ C))
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C : Set α
x : α
U : Set α
h_acc : AccPt x (𝓟 C)
hU : U ∈ 𝓝 x
this : 𝓝[≠] x ≤ 𝓟 U
\u22a2 (𝓝[≠] x ⊓ 𝓟 C).NeBot
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
G : StructureGroupoid H
inst✝³ : ChartedSpace H M'
inst✝² : ChartedSpace H M''
e : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
hs : Nonempty ↑e.source
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Opens M := { carrier := e.source, is_open' := ⋯ }
t : Opens H := { carrier := e.target, is_open' := ⋯ }
c' : PartialHomeomorph (↥t) H
hc' : c' ∈ atlas H ↥t
\u22a2 e.toHomeomorphSourceTarget.toPartialHomeomorph ≫ₕ c' ∈ maximalAtlas (↥s) G
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
G : StructureGroupoid H
inst✝³ : ChartedSpace H M'
inst✝² : ChartedSpace H M''
e : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
hs : Nonempty ↑e.source
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Opens M := { carrier := e.source, is_open' := ⋯ }
t : Opens H := { carrier := e.target, is_open' := ⋯ }
c' : PartialHomeomorph (↥t) H
hc' : c' ∈ atlas H ↥t
this : Nonempty ↥t
\u22a2 e.toHomeomorphSourceTarget.toPartialHomeomorph ≫ₕ c' ∈ maximalAtlas (↥s) G
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
G : StructureGroupoid H
inst✝³ : ChartedSpace H M'
inst✝² : ChartedSpace H M''
e : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
hs : Nonempty ↑e.source
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Opens M := { carrier := e.source, is_open' := ⋯ }
t : Opens H := { carrier := e.target, is_open' := ⋯ }
c' : PartialHomeomorph (↥t) H
hc'✝ : c' ∈ atlas H ↥t
this : Nonempty ↥t
x : ↥t
hc' : c' = (chartAt H ↑x).subtypeRestr this
\u22a2 e.toHomeomorphSourceTarget.toPartialHomeomorph ≫ₕ c' ∈ maximalAtlas (↥s) G
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
G : StructureGroupoid H
inst✝³ : ChartedSpace H M'
inst✝² : ChartedSpace H M''
e : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
hs : Nonempty ↑e.source
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Opens M := { carrier := e.source, is_open' := ⋯ }
t : Opens H := { carrier := e.target, is_open' := ⋯ }
c' : PartialHomeomorph (↥t) H
hc'✝ : c' ∈ atlas H ↥t
this : Nonempty ↥t
x : ↥t
hc' : c' = (chartAt H ↑x).subtypeRestr this
\u22a2 e.toHomeomorphSourceTarget.toPartialHomeomorph ≫ₕ (PartialHomeomorph.refl H).subtypeRestr this ∈ maximalAtlas (↥s) G
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
G : StructureGroupoid H
inst✝³ : ChartedSpace H M'
inst✝² : ChartedSpace H M''
e : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
hs : Nonempty ↑e.source
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Opens M := { carrier := e.source, is_open' := ⋯ }
t : Opens H := { carrier := e.target, is_open' := ⋯ }
c' : PartialHomeomorph (↥t) H
hc'✝ : c' ∈ atlas H ↥t
this : Nonempty ↥t
x : ↥t
hc' : c' = (chartAt H ↑x).subtypeRestr this
\u22a2 e.toHomeomorphSourceTarget.toPartialHomeomorph ≫ₕ t.partialHomeomorphSubtypeCoe this ∈ maximalAtlas (↥s) G
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
G : StructureGroupoid H
inst✝³ : ChartedSpace H M'
inst✝² : ChartedSpace H M''
e : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
hs : Nonempty ↑e.source
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Opens M := { carrier := e.source, is_open' := ⋯ }
t : Opens H := { carrier := e.target, is_open' := ⋯ }
c' : PartialHomeomorph (↥t) H
hc'✝ : c' ∈ atlas H ↥t
this : Nonempty ↥t
x : ↥t
hc' : c' = (chartAt H ↑x).subtypeRestr this
goal : PartialHomeomorph (↑e.source) H := e.toHomeomorphSourceTarget.toPartialHomeomorph ≫ₕ t.partialHomeomorphSubtypeCoe this
\u22a2 e.toHomeomorphSourceTarget.toPartialHomeomorph ≫ₕ t.partialHomeomorphSubtypeCoe this ∈ maximalAtlas (↥s) G
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
G : StructureGroupoid H
inst✝³ : ChartedSpace H M'
inst✝² : ChartedSpace H M''
e : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
hs : Nonempty ↑e.source
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
s : Opens M := { carrier := e.source, is_open' := ⋯ }
t : Opens H := { carrier := e.target, is_open' := ⋯ }
c' : PartialHomeomorph (↥t) H
hc'✝ : c' ∈ atlas H ↥t
this✝ : Nonempty ↥t
x : ↥t
hc' : c' = (chartAt H ↑x).subtypeRestr this✝
goal : PartialHomeomorph (↑e.source) H := e.toHomeomorphSourceTarget.toPartialHomeomorph ≫ₕ t.partialHomeomorphSubtypeCoe this✝
this : goal ≈ e.subtypeRestr hs
\u22a2 e.toHomeomorphSourceTarget.toPartialHomeomorph ≫ₕ t.partialHomeomorphSubtypeCoe this✝ ∈ maximalAtlas (↥s) G
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Algebra.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
G : Comonad C
A B : G.Coalgebra
h : A.A ≅ B.A
w : autoParam (A.a ≫ G.map h.hom = h.hom ≫ B.a) _auto✝
\u22a2 B.a ≫ G.map h.inv = h.inv ≫ A.a
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Algebra.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
G : Comonad C
A B : G.Coalgebra
h : A.A ≅ B.A
w : autoParam (A.a ≫ G.map h.hom = h.hom ≫ B.a) _auto✝
\u22a2 A.a ≫ G.map (h.hom ≫ h.inv) = A.a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℕ
hn : 0 < n
r : R
\u22a2 (X ^ n - C r).leadingCoeff = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
x : α
hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x
\u22a2 0 < μ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
x : α
hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x
u : Set α
u_mem : u ∈ 𝓝 x
hu : u ∩ μ.everywherePosSubset s ⊆ n
\u22a2 0 < μ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
x : α
hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x
u : Set α
u_mem : u ∈ 𝓝 x
hu : u ∩ μ.everywherePosSubset s ⊆ n
A : 0 < μ (u ∩ s)
\u22a2 0 < μ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
x : α
hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x
u : Set α
u_mem : u ∈ 𝓝 x
hu : u ∩ μ.everywherePosSubset s ⊆ n
A : 0 < μ (u ∩ s)
B : u ∩ μ.everywherePosSubset s =ᶠ[ae μ] u ∩ s
\u22a2 0 < μ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
x : α
hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x
u : Set α
u_mem : u ∈ 𝓝 x
hu : u ∩ μ.everywherePosSubset s ⊆ n
A : 0 < μ (u ∩ μ.everywherePosSubset s)
B : u ∩ μ.everywherePosSubset s =ᶠ[ae μ] u ∩ s
\u22a2 0 < μ n
-- Mathlib/Data/DFinsupp/NeLocus.lean
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → Zero (N a)
f✝ g✝ f g : Π₀ (a : α), N a
h : f = g
\u22a2 f.neLocus f = ∅
-- Mathlib/NumberTheory/FermatPsp.lean
b p : ℕ
hb : 0 < b
hp : 1 ≤ p
hi_bsquared : 1 ≤ b ^ 2
\u22a2 b ^ (2 * p) - 1 - (b ^ 2 - 1) = b ^ (2 * p) - (1 + (b ^ 2 - 1))
-- Mathlib/NumberTheory/FermatPsp.lean
b p : ℕ
hb : 0 < b
hp : 1 ≤ p
hi_bsquared : 1 ≤ b ^ 2
\u22a2 b ^ (2 * p) - (1 + (b ^ 2 - 1)) = b ^ (2 * p) - (1 + b ^ 2 - 1)
-- Mathlib/NumberTheory/FermatPsp.lean
b p : ℕ
hb : 0 < b
hp : 1 ≤ p
hi_bsquared : 1 ≤ b ^ 2
\u22a2 b ^ (2 * p) - (1 + b ^ 2 - 1) = b ^ (2 * p) - b ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/FermatPsp.lean
b p : ℕ
hb : 0 < b
hp : 1 ≤ p
hi_bsquared : 1 ≤ b ^ 2
\u22a2 b ^ (2 * p) - b ^ 2 = b ^ (p * 2) - b ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/FermatPsp.lean
b p : ℕ
hb : 0 < b
hp : 1 ≤ p
hi_bsquared : 1 ≤ b ^ 2
\u22a2 b ^ (p * 2) - b ^ 2 = (b ^ p) ^ 2 - b ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/FermatPsp.lean
b p : ℕ
hb : 0 < b
hp : 1 ≤ p
hi_bsquared : 1 ≤ b ^ 2
\u22a2 (b ^ p) ^ 2 - b ^ 2 = (b ^ p + b) * (b ^ p - b)
-- Mathlib/NumberTheory/FermatPsp.lean
b p : ℕ
hb : 0 < b
hp : 1 ≤ p
hi_bsquared : 1 ≤ b ^ 2
\u22a2 (b ^ p + b) * (b ^ p - b) = (b ^ p - b) * (b ^ p + b)
-- Mathlib/NumberTheory/FermatPsp.lean
b p : ℕ
hb : 0 < b
hp : 1 ≤ p
hi_bsquared : 1 ≤ b ^ 2
\u22a2 (b ^ p - b) * (b ^ p + b) = (b ^ (p - 1 + 1) - b) * (b ^ p + b)
-- Mathlib/NumberTheory/FermatPsp.lean
b p : ℕ
hb : 0 < b
hp : 1 ≤ p
hi_bsquared : 1 ≤ b ^ 2
\u22a2 (b ^ (p - 1 + 1) - b) * (b ^ p + b) = (b * b ^ (p - 1) - b) * (b ^ p + b)
-- Mathlib/NumberTheory/FermatPsp.lean
b p : ℕ
hb : 0 < b
hp : 1 ≤ p
hi_bsquared : 1 ≤ b ^ 2
\u22a2 (b * b ^ (p - 1) - b) * (b ^ p + b) = (b * b ^ (p - 1) - b * 1) * (b ^ p + b)
-- Mathlib/NumberTheory/FermatPsp.lean
b p : ℕ
hb : 0 < b
hp : 1 ≤ p
hi_bsquared : 1 ≤ b ^ 2
\u22a2 (b * b ^ (p - 1) - b * 1) * (b ^ p + b) = b * (b ^ (p - 1) - 1) * (b ^ p + b)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x : 𝓞 K
\u22a2 (x - 1) * (x - ↑η) * (x - ↑η ^ 2) = x ^ 3 - 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SchurComplement.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
D : Matrix n n α
\u22a2 IsUnit (fromBlocks A B 0 D) ↔ IsUnit A ∧ IsUnit D
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MutuallySingular.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
ι : Type u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure α
\u22a2 sum μ ⟂ₘ ν ↔ ∀ (i : ι), μ i ⟂ₘ ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MutuallySingular.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
ι : Type u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure α
H : ∀ (i : ι), μ i ⟂ₘ ν
\u22a2 sum μ ⟂ₘ ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MutuallySingular.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
ι : Type u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure α
s : ι → Set α
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hsμ : ∀ (i : ι), (μ i) (s i) = 0
hsν : ∀ (i : ι), ν (s i)ᶜ = 0
\u22a2 sum μ ⟂ₘ ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MutuallySingular.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
ι : Type u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure α
s : ι → Set α
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hsμ : ∀ (i : ι), (μ i) (s i) = 0
hsν : ∀ (i : ι), ν (s i)ᶜ = 0
\u22a2 (sum μ) (⋂ i, s i) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MutuallySingular.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
ι : Type u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure α
s : ι → Set α
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hsμ : ∀ (i : ι), (μ i) (s i) = 0
hsν : ∀ (i : ι), ν (s i)ᶜ = 0
\u22a2 ν (⋂ i, s i)ᶜ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν✝
inst✝ : SFinite μ
ν : Measure β
\u22a2 Measure.prod 0 ν = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν✝
inst✝ : SFinite μ
ν : Measure β
\u22a2 (bind 0 fun x => map (Prod.mk x) ν) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
\u22a2 Nonempty (IsInitial X) ↔ IsEmpty ↑(F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
\u22a2 Nonempty (IsInitial (F.obj X)) ↔ IsEmpty ↑(F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
this✝ : PreservesFiniteColimits (forget FintypeCat)
this : ReflectsColimit (empty FintypeCat) (forget FintypeCat)
\u22a2 Nonempty (IsInitial (F.obj X)) ↔ IsEmpty ↑(F.obj X)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SchurComplement.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : StarRing 𝕜
inst✝⁴ : StarOrderedRing 𝕜
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosDef
inst✝ : Invertible A
\u22a2 (fromBlocks A B Bᴴ D).PosSemidef ↔ (D - Bᴴ * A⁻¹ * B).PosSemidef
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SchurComplement.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : StarRing 𝕜
inst✝⁴ : StarOrderedRing 𝕜
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosDef
inst✝ : Invertible A
\u22a2 ((D - Bᴴ * A⁻¹ * B).IsHermitian ∧ ∀ (x : m ⊕ n → 𝕜), 0 ≤ star x ⬝ᵥ fromBlocks A B Bᴴ D *ᵥ x) ↔ (D - Bᴴ * A⁻¹ * B).PosSemidef
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a : E
n : ℕ
ih : ‖a ^ n‖ ≤ ↑n * ‖a‖
\u22a2 ‖a ^ (n + 1)‖ ≤ ↑(n + 1) * ‖a‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Implicit.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
α : Type u_4
l : Filter α
g₁ : α → F
g₂ : α → ↥(LinearMap.ker f')
h₁ : Tendsto g₁ l (𝓝 (f a))
h₂ : Tendsto g₂ l (𝓝 0)
\u22a2 Tendsto (fun t => implicitFunction f f' hf hf' (g₁ t) (g₂ t)) l (𝓝 a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Implicit.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
α : Type u_4
l : Filter α
g₁ : α → F
g₂ : α → ↥(LinearMap.ker f')
h₁ : Tendsto g₁ l (𝓝 (f a))
h₂ : Tendsto g₂ l (𝓝 0)
\u22a2 Tendsto (fun t => (g₁ t, g₂ t)) l (𝓝 (↑(implicitToPartialHomeomorph f f' hf hf') a))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Implicit.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : CompleteSpace 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
α : Type u_4
l : Filter α
g₁ : α → F
g₂ : α → ↥(LinearMap.ker f')
h₁ : Tendsto g₁ l (𝓝 (f a))
h₂ : Tendsto g₂ l (𝓝 0)
\u22a2 Tendsto (fun t => (g₁ t, g₂ t)) l (𝓝 (f a, 0))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
a : ℝ
ha : a < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
\u22a2 IntegrableOn (fun t => t ^ a) (Ioi c) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
a : ℝ
ha : a < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
hd : ∀ x ∈ Ici c, HasDerivAt (fun t => t ^ (a + 1) / (a + 1)) (x ^ a) x
\u22a2 IntegrableOn (fun t => t ^ a) (Ioi c) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
a : ℝ
ha : a < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
hd : ∀ x ∈ Ici c, HasDerivAt (fun t => t ^ (a + 1) / (a + 1)) (x ^ a) x
ht : Tendsto (fun t => t ^ (a + 1) / (a + 1)) atTop (𝓝 (0 / (a + 1)))
\u22a2 IntegrableOn (fun t => t ^ a) (Ioi c) volume
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
b c : α
\u22a2 gcd (0 * b) (0 * c) = normalize 0 * gcd b c
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
t : G
p : G → Prop
\u22a2 (∀ᵐ (x : G) ∂μ, p (x / t)) ↔ ∀ᵐ (x : G) ∂μ, p x