ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℂ
n : ℕ
hx : abs x / ↑n.succ ≤ 1 / 2
j : ℕ
hj✝ : j ≥ n
k : ℕ := j - n
hj : j = n + k
\u22a2 ∑ i ∈ range k, abs x ^ (n + i) / (↑n.factorial * ↑n.succ ^ i) = ∑ i ∈ range k, abs x ^ n / ↑n.factorial * (abs x ^ i / ↑n.succ ^ i)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℂ
n : ℕ
hx : abs x / ↑n.succ ≤ 1 / 2
j : ℕ
hj✝ : j ≥ n
k : ℕ := j - n
hj : j = n + k
\u22a2 ∑ i ∈ range k, abs x ^ n / ↑n.factorial * (abs x ^ i / ↑n.succ ^ i) ≤ abs x ^ n / ↑n.factorial * 2
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
p : α × β → Prop
\u22a2 (∃ x ∈ s ×ˢ t, p x) ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ t, p (x, y)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/OneVariable.lean
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
\u22a2 DifferentiableAt ℂ jacobiTheta τ
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/OneVariable.lean
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
\u22a2 DifferentiableAt ℂ (jacobiTheta₂ 0) τ
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Mon_ C
\u22a2 ((λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ 𝟙 (𝟙_ C))) ≫ (ρ_ M.X).hom = M.one
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/HomEquiv.lean
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{u_9, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.43767, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.43771, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.43775, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_11, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{u_10, u_7} D₃
W : MorphismProperty C
L₁ : C ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W
L₂ : C ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W
L₃ : C ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W
X Y Z : C
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y
\u22a2 (homEquiv W L₂ L₃) ((homEquiv W L₁ L₂) f) = (homEquiv W L₁ L₃) f
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/HomEquiv.lean
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{u_9, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.43767, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.43771, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.43775, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_11, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{u_10, u_7} D₃
W : MorphismProperty C
L₁ : C ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W
L₂ : C ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W
L₃ : C ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W
X Y Z : C
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y
\u22a2 (LocalizerMorphism.id W).homMap L₂ L₃ ((LocalizerMorphism.id W).homMap L₁ L₂ f) = (LocalizerMorphism.id W).homMap L₁ L₃ f
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso f
inst✝ : IsIso h
\u22a2 inv (f ≫ h) = inv h ≫ inv f
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso f
inst✝ : IsIso h
\u22a2 (f ≫ h) ≫ inv h ≫ inv f = 𝟙 X
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice α
f : (i : ι) → κ i → α
\u22a2 Ici (⨆ i, ⨆ j, f i j) = ⋂ i, ⋂ j, Ici (f i j)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
h : IsComplete ↑K
this✝ : InnerProductSpace ℝ E := InnerProductSpace.rclikeToReal 𝕜 E
this : Module ℝ E := RestrictScalars.module ℝ 𝕜 E
K' : Submodule ℝ E := Submodule.restrictScalars ℝ K
\u22a2 ∀ (u : E), ∃ v ∈ K, ‖u - v‖ = ⨅ w, ‖u - ↑w‖
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
x✝ : R
\u22a2 x✝ ∈ M.subsemiringClosure ↔ x✝ ∈ Subsemiring.closure ↑M
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
x✝ : R
hx : x✝ ∈ M.subsemiringClosure
H1 : Subsemiring R
H2 : H1 ∈ {S | ↑M ⊆ ↑S}
\u22a2 x✝ ∈ (fun h => ↑H1) H2
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
x✝ : R
hx : x✝ ∈ Subsemiring.closure ↑M
s : R
sM : s ∈ ↑M
H1 : AddSubmonoid R
H2 : H1 ∈ {S | ↑M ⊆ ↑S}
\u22a2 s ∈ (fun h => ↑H1) H2
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Add.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
h : HasStrictDerivAt f f' x
\u22a2 HasStrictDerivAt (fun x => -f x) (-f') x
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝³ : Group α
inst✝² : LE α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
\u22a2 a⁻¹ ≤ b⁻¹ ↔ b ≤ a
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝³ : Group α
inst✝² : LE α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
\u22a2 a * a⁻¹ * b ≤ a * b⁻¹ * b ↔ b ≤ a
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s₁ : Set X
s₂ : Set Y
h₁ : IsClosed s₁
h₂ : IsClosed s₂
\u22a2 closure (s₁ ×ˢ s₂) = s₁ ×ˢ s₂
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
\u22a2 projectiveSeminorm ∈ upperBounds {p | ∃ G x x_1, p = (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)}
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
\u22a2 ∀ x ∈ {p | ∃ G x x_1, p = (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)}, x ≤ projectiveSeminorm
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
\u22a2 ∀ (x : Seminorm 𝕜 (⨂[𝕜] (i : ι), E i)) (x_1 : Type (max uι u𝕜 uE)) (x_2 : SeminormedAddCommGroup x_1) (x_3 : NormedSpace 𝕜 x_1), x = (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E x_1 →L[𝕜] x_1)).comp (toDualContinuousMultilinearMap x_1) → x ≤ projectiveSeminorm
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : Seminorm 𝕜 (⨂[𝕜] (i : ι), E i)
G : Type (max uι u𝕜 uE)
x✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
x✝ : NormedSpace 𝕜 G
hp : p = (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
\u22a2 (fun f => ⇑f) ((normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)) x ≤ (fun f => ⇑f) projectiveSeminorm x
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : Seminorm 𝕜 (⨂[𝕜] (i : ι), E i)
G : Type (max uι u𝕜 uE)
x✝¹ : SeminormedAddCommGroup G
x✝ : NormedSpace 𝕜 G
hp : p = (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i
\u22a2 ‖(toDualContinuousMultilinearMap G) x‖ ≤ projectiveSeminorm x
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Connected.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
E : Submodule ℝ F
hcodim : 1 < Module.rank ℝ (F ⧸ E)
\u22a2 IsPathConnected (↑E)ᶜ
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Connected.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
E : Submodule ℝ F
hcodim : 1 < Module.rank ℝ (F ⧸ E)
E' : Submodule ℝ F
hE' : IsCompl E E'
\u22a2 IsPathConnected (↑E)ᶜ
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Connected.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module ℝ F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousSMul ℝ F
E : Submodule ℝ F
hcodim : 1 < Module.rank ℝ (F ⧸ E)
E' : Submodule ℝ F
hE' : IsCompl E E'
\u22a2 1 < Module.rank ℝ ↥E'
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a b : M
h : QuadraticMap.IsOrtho Q a b
\u22a2 (ι Q) a * (ι Q) b + (ι Q) b * (ι Q) a = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a b : M
h : QuadraticMap.IsOrtho Q a b
\u22a2 (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) 0 = 0
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
\u22a2 ‖f x - g x‖ ≤ ‖f - g‖
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Set α → Filter β
hm : Monotone g
\u22a2 (f.lift g).NeBot ↔ ∀ s ∈ f, (g s).NeBot
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Opens.lean
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
ι : Type u_1
U : ι → Opens ↑Y
\u22a2 ↑((map f).obj (iSup U)) = ↑(iSup ((map f).obj ∘ U))
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Opens.lean
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
ι : Type u_1
U : ι → Opens ↑Y
\u22a2 ↑{ carrier := ⇑f ⁻¹' ⋃ i, ↑(U i), is_open' := ⋯ } = ↑{ carrier := ⋃ i, ↑(((map f).obj ∘ U) i), is_open' := ⋯ }
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Opens.lean
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
ι : Type u_1
U : ι → Opens ↑Y
\u22a2 ⇑f ⁻¹' ⋃ i, ↑(U i) = ⋃ i, ⇑f ⁻¹' ↑(U i)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h✝ : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
h : p /ₘ (X - C x) = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h✝ : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hp : 0 ≠ 0
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
h : p /ₘ (X - C x) = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree
t : Multiset R
htd : ↑(Multiset.card t) ≤ (p /ₘ (X - C x)).degree
htr : ∀ (a : R), count a t = rootMultiplicity a (p /ₘ (X - C x))
\u22a2 (X - C x).degree ≤ p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree
t : Multiset R
htd : ↑(Multiset.card t) ≤ (p /ₘ (X - C x)).degree
htr : ∀ (a : R), count a t = rootMultiplicity a (p /ₘ (X - C x))
\u22a2 1 ≤ ↑p.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < ↑p.natDegree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree
t : Multiset R
htd : ↑(Multiset.card t) ≤ (p /ₘ (X - C x)).degree
htr : ∀ (a : R), count a t = rootMultiplicity a (p /ₘ (X - C x))
\u22a2 1 ≤ ↑p.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree
t : Multiset R
htd : ↑(Multiset.card t) ≤ (p /ₘ (X - C x)).degree
htr : ∀ (a : R), count a t = rootMultiplicity a (p /ₘ (X - C x))
hdeg : (X - C x).degree ≤ p.degree
hdiv0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
\u22a2 Multiset.card (x ::ₘ t) = Add.add (↑(Multiset.card t)) 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree
t : Multiset R
htd : ↑(Multiset.card t) ≤ (p /ₘ (X - C x)).degree
htr : ∀ (a : R), count a t = rootMultiplicity a (p /ₘ (X - C x))
hdeg : (X - C x).degree ≤ p.degree
hdiv0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
\u22a2 ↑(Multiset.card t) + 1 ≤ p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree
t : Multiset R
htd : ↑(Multiset.card t) ≤ (p /ₘ (X - C x)).degree
htr : ∀ (a : R), count a t = rootMultiplicity a (p /ₘ (X - C x))
hdeg : (X - C x).degree ≤ p.degree
hdiv0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
\u22a2 1 + ↑(Multiset.card t) ≤ 1 + (p /ₘ (X - C x)).degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree
t : Multiset R
htd : ↑(Multiset.card t) ≤ (p /ₘ (X - C x)).degree
htr : ∀ (a : R), count a t = rootMultiplicity a (p /ₘ (X - C x))
hdeg : (X - C x).degree ≤ p.degree
hdiv0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
a : R
\u22a2 count a (x ::ₘ t) = rootMultiplicity a p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree
t : Multiset R
htd : ↑(Multiset.card t) ≤ (p /ₘ (X - C x)).degree
htr : ∀ (a : R), count a t = rootMultiplicity a (p /ₘ (X - C x))
hdeg : (X - C x).degree ≤ p.degree
hdiv0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
a : R
\u22a2 count a (x ::ₘ t) = rootMultiplicity a ((X - C x) * (p /ₘ (X - C x)))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree
t : Multiset R
htd : ↑(Multiset.card t) ≤ (p /ₘ (X - C x)).degree
htr : ∀ (a : R), count a t = rootMultiplicity a (p /ₘ (X - C x))
hdeg : (X - C x).degree ≤ p.degree
hdiv0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
a : R
\u22a2 count a (x ::ₘ t) = (if a = x then 1 else 0) + count a t
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h : ¬∃ x, p.IsRoot x
a : R
\u22a2 count a 0 = rootMultiplicity a p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x✝² : (p : R[X]) ×' p ≠ 0
a✝¹ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y x✝² → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1
p✝ : R[X]
x✝¹ : p✝ ≠ 0
a✝ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨p✝, x✝¹⟩ → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1
p : R[X]
hp : p ≠ 0
x✝ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨p, hp⟩ → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree
\u22a2 (p /ₘ (X - C x)).natDegree < p.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x✝² : (p : R[X]) ×' p ≠ 0
a✝¹ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y x✝² → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1
p✝ : R[X]
x✝¹ : p✝ ≠ 0
a✝ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨p✝, x✝¹⟩ → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1
p : R[X]
hp : p ≠ 0
x✝ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨p, hp⟩ → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree
\u22a2 ↑(p /ₘ (X - C x)).natDegree < ↑p.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x✝² : (p : R[X]) ×' p ≠ 0
a✝¹ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y x✝² → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1
p✝ : R[X]
x✝¹ : p✝ ≠ 0
a✝ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨p✝, x✝¹⟩ → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1
p : R[X]
hp : p ≠ 0
x✝ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨p, hp⟩ → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : ↑(p /ₘ (X - C x)).natDegree < ↑p.natDegree
\u22a2 ↑(p /ₘ (X - C x)).natDegree < ↑p.natDegree
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/TerminatesIffRat.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n : ℕ
\u22a2 Option.map (Pair.map Rat.cast) ((of q).s.get? n) = (of v).s.get? n
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/TerminatesIffRat.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n : ℕ
\u22a2 Option.map (Pair.map Rat.cast) (Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) (Stream'.Seq.get? ⟨IntFractPair.stream q, ⋯⟩ (n + 1))) = Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) (Stream'.Seq.get? ⟨IntFractPair.stream v, ⋯⟩ (n + 1))
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/TerminatesIffRat.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n : ℕ
\u22a2 Option.map (Pair.map Rat.cast) (Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) (IntFractPair.stream q (n + 1))) = Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) (IntFractPair.stream v (n + 1))
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/TerminatesIffRat.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n : ℕ
\u22a2 Option.map (Pair.map Rat.cast) (Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) (IntFractPair.stream q (n + 1))) = Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) (Stream'.map (Option.map (IntFractPair.mapFr Rat.cast)) (IntFractPair.stream q) (n + 1))
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
\u22a2 cycleFactorsFinset 1 = ∅
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
hc : ∀ (i : ι), Continuous (f i)
hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)
\u22a2 Continuous fun x => ∏ᶠ (i : ι), f i x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
hc : ∀ (i : ι), Continuous (f i)
hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)
x : X
\u22a2 ContinuousAt (fun x => ∏ᶠ (i : ι), f i x) x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
hc : ∀ (i : ι), Continuous (f i)
hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)
x : X
s : Finset ι
hs : ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, ∏ᶠ (i : ι), f i y = ∏ i ∈ s, f i y
\u22a2 ContinuousAt (fun x => ∏ᶠ (i : ι), f i x) x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
hc : ∀ (i : ι), Continuous (f i)
hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)
x : X
s : Finset ι
hs : ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, ∏ᶠ (i : ι), f i y = ∏ i ∈ s, f i y
\u22a2 ContinuousAt (fun x => ∏ i ∈ s, f i x) x
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a => f a b
ht : ((fun b => image (fun a => f a b) s) '' ↑t).PairwiseDisjoint id
\u22a2 s.card ∣ (image₂ f s t).card