ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
b : ℂ
f : ℝ → ℂ := fun x => cexp (-↑π * a * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑x)
hCf : Continuous f
hFf : 𝓕 f = fun x => 1 / a ^ (1 / 2) * cexp (-↑π / a * (↑x + I * b) ^ 2)
h1 : 0 < (↑π * a).re
h2 : 0 < (↑π / a).re
f_bd : f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-2)
\u22a2 ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π * a * ↑n ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑n) = 1 / a ^ (1 / 2) * ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π / a * (↑n + I * b) ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
b : ℂ
f : ℝ → ℂ := fun x => cexp (-↑π * a * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑x)
hCf : Continuous f
hFf : 𝓕 f = fun x => 1 / a ^ (1 / 2) * cexp (-↑π / a * (↑x + I * b) ^ 2)
h1 : 0 < (↑π * a).re
h2 : 0 < (↑π / a).re
f_bd : f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-2)
Ff_bd : 𝓕 f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-2)
\u22a2 ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π * a * ↑n ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑n) = 1 / a ^ (1 / 2) * ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π / a * (↑n + I * b) ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
b : ℂ
f : ℝ → ℂ := fun x => cexp (-↑π * a * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑x)
hCf : Continuous f
hFf : 𝓕 f = fun x => 1 / a ^ (1 / 2) * cexp (-↑π / a * (↑x + I * b) ^ 2)
h1 : 0 < (↑π * a).re
h2 : 0 < (↑π / a).re
f_bd : f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-2)
Ff_bd : 𝓕 f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-2)
\u22a2 ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π * a * ↑n ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑n) = ∑' (n : ℤ), f (0 + ↑n)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
b : ℂ
f : ℝ → ℂ := fun x => cexp (-↑π * a * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑x)
hCf : Continuous f
hFf : 𝓕 f = fun x => 1 / a ^ (1 / 2) * cexp (-↑π / a * (↑x + I * b) ^ 2)
h1 : 0 < (↑π * a).re
h2 : 0 < (↑π / a).re
f_bd : f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-2)
Ff_bd : 𝓕 f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-2)
\u22a2 1 / a ^ (1 / 2) * ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π / a * (↑n + I * b) ^ 2) = ∑' (n : ℤ), 𝓕 f ↑n * (fourier n) ↑0
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0✝ : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a) _auto✝
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
hf : autoParam (ContinuousOn f (star '' σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
\u22a2 cfcₙ (fun x => f (star x)) a = cfcₙ f (star a)
-- Mathlib/Data/Finsupp/NeLocus.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : Zero N
f g : α →₀ N
\u22a2 f.neLocus g = g.neLocus f
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Floor.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
n : ℤ
\u22a2 Tendsto ceil (𝓝[>] ↑n) (pure (n + 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
h : z ∈ 𝒟ᵒ
\u22a2 3 < 4 * z.im ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
h : z ∈ 𝒟ᵒ
this : 1 < z.re * z.re + z.im * z.im
\u22a2 3 < 4 * z.im ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
h : z ∈ 𝒟ᵒ
this✝ : 1 < z.re * z.re + z.im * z.im
this : |z.re| < 1 / 2
\u22a2 3 < 4 * z.im ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
\u22a2 (θ + ↑(π / 2)).cos = -θ.sin
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x✝ : ℝ
\u22a2 (↑x✝ + ↑(π / 2)).cos = -(↑x✝).sin
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
i : F →+* K
x : F
h : F[X]
h_sep : h.Separable
h_root : eval x h = 0
h_splits : Splits i h
h_roots : ∀ y ∈ (map i h).roots, y = i x
\u22a2 h = C h.leadingCoeff * (X - C x)
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
i : F →+* K
x : F
h : F[X]
h_sep : h.Separable
h_root : eval x h = 0
h_splits : Splits i h
h_roots : ∀ y ∈ (map i h).roots, y = i x
h_ne_zero : h ≠ 0
\u22a2 h = C h.leadingCoeff * (X - C x)
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
i : F →+* K
x : F
h : F[X]
h_sep : h.Separable
h_root : eval x h = 0
h_splits : Splits i h
h_roots : ∀ y ∈ (map i h).roots, y = i x
h_ne_zero : h ≠ 0
\u22a2 (map i h).roots = {i x}
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiSeparated.lean
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
hY : QuasiSeparatedSpace ↑↑Y.toPresheafedSpace
inst✝ : QuasiSeparated f
\u22a2 QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiSeparated.lean
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
hY : QuasiSeparated (terminal.from Y)
inst✝ : QuasiSeparated f
\u22a2 QuasiSeparated (terminal.from X)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiSeparated.lean
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
hY : QuasiSeparated (terminal.from Y)
inst✝ : QuasiSeparated f
\u22a2 QuasiSeparated (f ≫ terminal.from Y)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hfB : IsInvariantBlock G B
g : G
\u22a2 g • B = B
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hfB : IsInvariantBlock G B
g : G
\u22a2 B ≤ g • B
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hfB : IsInvariantBlock G B
g : G
x : X
hx : x ∈ B
\u22a2 x ∈ g • B
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hfB : IsInvariantBlock G B
g : G
x : X
hx : x ∈ B
\u22a2 g⁻¹ • x ∈ B
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hfB : IsInvariantBlock G B
g : G
x : X
hx : x ∈ B
\u22a2 g⁻¹ • x ∈ g⁻¹ • B
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/WidePullbacks.lean
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
inst✝ : HasWidePullback B objs arrows
j : J
\u22a2 π arrows j ≫ arrows j = base arrows
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b c d : α
\u22a2 Ico a b * Ioc c d ⊆ Ioo (a * c) (b * d)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b c d : α
this : ∀ (M : Type ?u.7851) (N : Type ?u.7850) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
\u22a2 Ico a b * Ioc c d ⊆ Ioo (a * c) (b * d)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b c d : α
this : ∀ (M : Type ?u.7851) (N : Type ?u.7850) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
y : α
hya : a ≤ y
hyb : y < b
z : α
hzc : c < z
hzd : z ≤ d
\u22a2 (fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Ioo (a * c) (b * d)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : Group G
\u22a2 ∀ (L : List G), L.reverse.prod = (map (fun x => x⁻¹) L).prod⁻¹
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w u v : V
p : G.Walk u v
\u22a2 p.reverse.IsPath ↔ p.IsPath
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w u v : V
p : G.Walk u v
h : p.reverse.IsPath
\u22a2 p = p.reverse.reverse
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H K : Subgroup G
f : G →* N
hf : Injective ⇑f
\u22a2 map f (H ⊓ K) = map f H ⊓ map f K
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H K : Subgroup G
f : G →* N
hf : Injective ⇑f
\u22a2 ↑(map f (H ⊓ K)) = ↑(map f H ⊓ map f K)
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean
r : ℝ
\u22a2 r⁻¹.sign = r.sign
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean
r : ℝ
hn : r < 0
\u22a2 r⁻¹.sign = r.sign
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean
\u22a2 0⁻¹.sign = sign 0
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean
r : ℝ
hp : 0 < r
\u22a2 r⁻¹.sign = r.sign
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
\u22a2 q + r = (q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) /. (↑q.den * ↑r.den)
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
hqd : ↑q.den ≠ 0
\u22a2 q + r = (q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) /. (↑q.den * ↑r.den)
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
hqd : ↑q.den ≠ 0
hrd : ↑r.den ≠ 0
\u22a2 q + r = (q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) /. (↑q.den * ↑r.den)
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
hqd : ↑q.den ≠ 0
hrd : ↑r.den ≠ 0
\u22a2 (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den) = (q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) /. (↑q.den * ↑r.den)
-- Mathlib/RingTheory/Prime.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : LinearOrder α
p : α
hp : Prime p
\u22a2 Prime |p|
-- Mathlib/RingTheory/Prime.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : LinearOrder α
p : α
hp : Prime p
h : |p| = p
\u22a2 Prime p
-- Mathlib/RingTheory/Prime.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : LinearOrder α
p : α
hp : Prime p
h : |p| = -p
\u22a2 Prime (-p)
-- Mathlib/NumberTheory/FunctionField.lean
Fq F : Type
inst✝² : Field Fq
inst✝¹ : Field F
inst✝ : DecidableEq (RatFunc Fq)
\u22a2 inftyValuationDef Fq RatFunc.X = ↑(Multiplicative.ofAdd 1)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
hy' : P y * Q z ^ 3 = W'.negY Q * P z ^ 3
\u22a2 W'.dblY P = W'.dblU P ^ 3
-- Mathlib/Data/Finsupp/Weight.lean
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
\u22a2 degree 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Limits.lean
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
J : Type v
inst✝⁴ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
i : ι
\u22a2 { obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map (𝟙 i) = 𝟙 ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.obj i)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Limits.lean
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
J : Type v
inst✝⁴ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
i : ι
\u22a2 ∀ (x : ↑({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.obj i)), ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map (𝟙 i)) x = (𝟙 ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.obj i)) x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Limits.lean
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
J : Type v
inst✝⁴ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
i : ι
x : ↑({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.obj i)
\u22a2 ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map (𝟙 i)) x = (𝟙 ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.obj i)) x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Limits.lean
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
J : Type v
inst✝⁴ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
X✝ Y✝ Z✝ : ι
hij : X✝ ⟶ Y✝
hjk : Y✝ ⟶ Z✝
\u22a2 { obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map (hij ≫ hjk) = { obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map hij ≫ { obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map hjk
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Limits.lean
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
J : Type v
inst✝⁴ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
X✝ Y✝ Z✝ : ι
hij : X✝ ⟶ Y✝
hjk : Y✝ ⟶ Z✝
\u22a2 ∀ (x : ↑({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.obj X✝)), ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map (hij ≫ hjk)) x = ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map hij ≫ { obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map hjk) x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Limits.lean
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
J : Type v
inst✝⁴ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
X✝ Y✝ Z✝ : ι
hij : X✝ ⟶ Y✝
hjk : Y✝ ⟶ Z✝
x : ↑({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.obj X✝)
\u22a2 ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map hij ≫ { obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map hjk) x = ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map (hij ≫ hjk)) x
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
\u22a2 (pullbackIsoProdSubtype f g).hom ≫ pullbackSnd f g = pullback.snd f g
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
\u22a2 ⊤ * a = if a = 0 then 0 else ⊤
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
x y : E
hy : y ∈ p.closedBall 0 r
hx : (fun x => a • x) y = x
\u22a2 x ∈ p.closedBall 0 r
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
x y : E
hy : y ∈ p.closedBall 0 r
hx : (fun x => a • x) y = x
\u22a2 ‖a‖ * p y ≤ r
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
M : R[T;T⁻¹] → Prop
p : R[T;T⁻¹]
h_add : ∀ (p q : R[T;T⁻¹]), M p → M q → M (p + q)
h_C_mul_T : ∀ (n : ℤ) (a : R), M (C a * T n)
\u22a2 M p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
M : R[T;T⁻¹] → Prop
p : R[T;T⁻¹]
h_add : ∀ (p q : R[T;T⁻¹]), M p → M q → M (p + q)
h_C_mul_T : ∀ (n : ℤ) (a : R), M (C a * T n)
a : R
\u22a2 M (C a)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
M : R[T;T⁻¹] → Prop
p : R[T;T⁻¹]
h_add : ∀ (p q : R[T;T⁻¹]), M p → M q → M (p + q)
h_C_mul_T : ∀ (n : ℤ) (a : R), M (C a * T n)
a : R
\u22a2 C a = C a * T 0
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : IsAtomic α
inst✝ : OrderBot β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisInsertion l u
hbot : u ⊥ = ⊥
h_atom : ∀ (a : α), IsAtom a → u (l a) = a
a : α
\u22a2 IsAtom (l a) ↔ IsAtom a
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : IsAtomic α
inst✝ : OrderBot β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisInsertion l u
hbot : u ⊥ = ⊥
h_atom : ∀ (a : α), IsAtom a → u (l a) = a
a : α
hla : IsAtom (l a)
\u22a2 IsAtom a
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : IsAtomic α
inst✝ : OrderBot β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisInsertion l u
hbot : u ⊥ = ⊥
h_atom : ∀ (a : α), IsAtom a → u (l a) = a
a : α
hla : IsAtom (l a)
a' : α
ha' : IsAtom a'
hab' : a' ≤ u (l a)
\u22a2 IsAtom a
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : IsAtomic α
inst✝ : OrderBot β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisInsertion l u
hbot : u ⊥ = ⊥
h_atom : ∀ (a : α), IsAtom a → u (l a) = a
a : α
hla : IsAtom (l a)
a' : α
ha' : IsAtom a'
hab' : a' ≤ u (l a)
this : l a' = l a
\u22a2 IsAtom a
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : IsAtomic α
inst✝ : OrderBot β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisInsertion l u
hbot : u ⊥ = ⊥
h_atom : ∀ (a : α), IsAtom a → u (l a) = a
a : α
hla : IsAtom (l a)
a' : α
ha' : IsAtom a'
hab' : a' ≤ u (l a)
this : l a' = l a
haa' : a = a'
\u22a2 IsAtom a
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
\u22a2 card {a} = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
\u22a2 |log x * x| < 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
this : 0 < 1 / x
\u22a2 |log x * x| < 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
this : log (1 / x) ≤ 1 / x - 1
\u22a2 |log x * x| < 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
this : log (1 / x) < 1 / x
\u22a2 |log x * x| < 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
this : -log x * x < 1
\u22a2 |log x * x| < 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
this : -log x * x < 1
aux : 0 ≤ -log x * x
\u22a2 |log x * x| < 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
this : |log x * x| < 1
aux : 0 ≤ -log x * x
\u22a2 |log x * x| < 1
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
a : α
\u22a2 filter (fun x => x == a) l = replicate (count a l) a
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
a : α
\u22a2 True ∧ ∀ (b : α), b ∈ l ∧ b = a → b = a
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
\u22a2 d * (n / d) < n ↔ ¬d ∣ n
-- Mathlib/Data/PNat/Interval.lean
a b : ℕ+
\u22a2 Fintype.card ↑(Set.Ioo a b) = ↑b - ↑a - 1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
hs : {i₂, i₃}ᶜ = {i₁}
he : univ.erase i₁ = {i₂, i₃}
\u22a2 altitude t i₁ = mongePlane t i₂ i₃
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
hs : {i₂, i₃}ᶜ = {i₁}
he : univ.erase i₁ = {i₂, i₃}
\u22a2 mk' (t.points i₁) (Submodule.span ℝ ((fun x => t.points i₂ -ᵥ x) '' (t.points '' ({i₂, i₃} \ {i₂}))))ᗮ ⊓ affineSpan ℝ (Set.range t.points) = mk' (t.points i₁) (Submodule.span ℝ {t.points i₂ -ᵥ t.points i₃})ᗮ ⊓ affineSpan ℝ (Set.range t.points)
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Instances.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring α
β : Type u_2
inst✝ : OrderedRing β
x : ↑(Ioo 0 1)
\u22a2 1 - ↑x < 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : PositiveCompacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
\u22a2 0 < sInf (Finset.card '' {t | ↑K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V})
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : PositiveCompacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
\u22a2 ¬∃ x ∈ {t | ↑K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}, x.card = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : PositiveCompacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
\u22a2 ∃ n, n ∈ Finset.card '' {t | ↑K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hg : Memℓp g p
\u22a2 Memℓp (f + g) p
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f 0
hg : Memℓp g 0
\u22a2 Memℓp (f + g) 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f ⊤
hg : Memℓp g ⊤
\u22a2 Memℓp (f + g) ⊤
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hg : Memℓp g p
hp : 0 < p.toReal
\u22a2 Memℓp (f + g) p
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hg : Memℓp g p
hp : 0 < p.toReal
\u22a2 Summable fun i => ‖(f + g) i‖ ^ p.toReal
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hg : Memℓp g p
hp : 0 < p.toReal
C : ℝ := if p.toReal < 1 then 1 else 2 ^ (p.toReal - 1)
\u22a2 Summable fun i => ‖(f + g) i‖ ^ p.toReal
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hg : Memℓp g p
hp : 0 < p.toReal
C : ℝ := if p.toReal < 1 then 1 else 2 ^ (p.toReal - 1)
\u22a2 ∀ (b : α), 0 ≤ ‖(f + g) b‖ ^ p.toReal
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hg : Memℓp g p
hp : 0 < p.toReal
C : ℝ := if p.toReal < 1 then 1 else 2 ^ (p.toReal - 1)
i : α
\u22a2 ‖(f + g) i‖ ^ p.toReal ≤ C * (‖f i‖ ^ p.toReal + ‖g i‖ ^ p.toReal)