ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝² : Fintype ι✝
v✝ : Set E
A : ι✝ → Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
ι : Type u_8
inst✝ : Fintype ι
card_ι : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
v : ι → E
s : Set ι
hv : Orthonormal 𝕜 (s.restrict v)
hsv : Injective (s.restrict v)
hX✝ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
Y : Finset E
b₀ : OrthonormalBasis { x // x ∈ Y } 𝕜 E
hX : range (s.restrict v) ⊆ ↑Y
hb₀ : ⇑b₀ = Subtype.val
hιY : Fintype.card ι = Y.card
\u22a2 ∃ b, ∀ i ∈ s, b i = v i
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝² : Fintype ι✝
v✝ : Set E
A : ι✝ → Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
ι : Type u_8
inst✝ : Fintype ι
card_ι : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
v : ι → E
s : Set ι
hv : Orthonormal 𝕜 (s.restrict v)
hsv : Injective (s.restrict v)
hX✝ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
Y : Finset E
b₀ : OrthonormalBasis { x // x ∈ Y } 𝕜 E
hX : range (s.restrict v) ⊆ ↑Y
hb₀ : ⇑b₀ = Subtype.val
hιY : Fintype.card ι = Y.card
hvsY : MapsTo v s ↑Y
\u22a2 ∃ b, ∀ i ∈ s, b i = v i
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝² : Fintype ι✝
v✝ : Set E
A : ι✝ → Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
ι : Type u_8
inst✝ : Fintype ι
card_ι : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
v : ι → E
s : Set ι
hv : Orthonormal 𝕜 (s.restrict v)
hsv : Injective (s.restrict v)
hX✝ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
Y : Finset E
b₀ : OrthonormalBasis { x // x ∈ Y } 𝕜 E
hX : range (s.restrict v) ⊆ ↑Y
hb₀ : ⇑b₀ = Subtype.val
hιY : Fintype.card ι = Y.card
hvsY : MapsTo v s ↑Y
hsv' : InjOn v s
\u22a2 ∃ b, ∀ i ∈ s, b i = v i
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝² : Fintype ι✝
v✝ : Set E
A : ι✝ → Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
ι : Type u_8
inst✝ : Fintype ι
card_ι : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
v : ι → E
s : Set ι
hv : Orthonormal 𝕜 (s.restrict v)
hsv : Injective (s.restrict v)
hX✝ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
Y : Finset E
b₀ : OrthonormalBasis { x // x ∈ Y } 𝕜 E
hX : range (s.restrict v) ⊆ ↑Y
hb₀ : ⇑b₀ = Subtype.val
hιY : Fintype.card ι = Y.card
hvsY : MapsTo v s ↑Y
hsv' : InjOn v s
g : ι ≃ { x // x ∈ Y }
hg : ∀ i ∈ s, ↑(g i) = v i
\u22a2 ∃ b, ∀ i ∈ s, b i = v i
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹¹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝² : Fintype ι✝
v✝ : Set E
A : ι✝ → Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
ι : Type u_8
inst✝ : Fintype ι
card_ι : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
v : ι → E
s : Set ι
hv : Orthonormal 𝕜 (s.restrict v)
hsv : Injective (s.restrict v)
hX✝ : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
Y : Finset E
b₀ : OrthonormalBasis { x // x ∈ Y } 𝕜 E
hX : range (s.restrict v) ⊆ ↑Y
hb₀ : ⇑b₀ = Subtype.val
hιY : Fintype.card ι = Y.card
hvsY : MapsTo v s ↑Y
hsv' : InjOn v s
g : ι ≃ { x // x ∈ Y }
hg : ∀ i ∈ s, ↑(g i) = v i
\u22a2 ∀ i ∈ s, (b₀.reindex g.symm) i = v i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : Dual R M
m : M
\u22a2 (∑ x : ι, f (b x) • b.coord x) m = f m
-- Mathlib/Order/GaloisConnection.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : CompleteLattice γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
l u : α → β → γ
l₁ u₁ : β → γ → α
l₂ u₂ : α → γ → β
h₁ : ∀ (b : β), GaloisConnection (swap l b) (u₁ b)
h₂ : ∀ (a : α), GaloisConnection (l a) (u₂ a)
\u22a2 sSup (image2 l s t) = l (sSup s) (sSup t)
-- Mathlib/LinearAlgebra/RootSystem/Defs.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
\u22a2 P.coxeterWeight i j = P.coxeterWeight j i
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
f : α ↪ β
b✝ : ↑(Set.range ⇑f)
inst✝ : Nonempty α
b : β
h : b ∈ Set.range ⇑f
\u22a2 (Set.range ⇑f).restrict (invFun ⇑f) ⟨b, h⟩ = f.invOfMemRange ⟨b, h⟩
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
f : α ↪ β
b✝ : ↑(Set.range ⇑f)
inst✝ : Nonempty α
b : β
h : b ∈ Set.range ⇑f
\u22a2 f ((Set.range ⇑f).restrict (invFun ⇑f) ⟨b, h⟩) = f (f.invOfMemRange ⟨b, h⟩)
-- Mathlib/FieldTheory/PerfectClosure.lean
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x y1 y2 : ℕ × K
H : R K p y1 y2
n : ℕ
y : K
\u22a2 R K p (x.1 + (n, y).1, (⇑(frobenius K p))^[(n, y).1] x.2 + (⇑(frobenius K p))^[x.1] (n, y).2) (x.1 + (n + 1, (frobenius K p) y).1, (⇑(frobenius K p))^[(n + 1, (frobenius K p) y).1] x.2 + (⇑(frobenius K p))^[x.1] (n + 1, (frobenius K p) y).2)
-- Mathlib/FieldTheory/PerfectClosure.lean
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x y1 y2 : ℕ × K
H : R K p y1 y2
n : ℕ
y : K
\u22a2 R K p (x.1 + (n, y).1, (⇑(frobenius K p))^[(n, y).1] x.2 + (⇑(frobenius K p))^[x.1] (n, y).2) (x.1 + (n + 1, (frobenius K p) y).1, (frobenius K p) ((⇑(frobenius K p))^[n] x.2 + (⇑(frobenius K p))^[x.1] y))
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α
xs : List α
z : Sym2 α
\u22a2 z ∈ (x :: xs).sym2 ↔ z = s(x, x) ∨ (∃ y ∈ xs, z = s(x, y)) ∨ z ∈ xs.sym2
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α
xs : List α
z : Sym2 α
\u22a2 z = s(x, x) ∨ (∃ a ∈ xs, s(x, a) = z) ∨ z ∈ xs.sym2 ↔ z = s(x, x) ∨ (∃ y ∈ xs, z = s(x, y)) ∨ z ∈ xs.sym2
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
r : ℝ
\u22a2 ⟪x, ↑r • y⟫_𝕜 = r • ⟪x, y⟫_𝕜
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a : α
is l : List α
H : l ~ [] ++ is → (∃ ts', ∃ (_ : ts' ~ []), l = ts' ++ is) ∨ l ∈ is.permutationsAux []
\u22a2 l ~ is → l ∈ is.permutations
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b x a : α
ha : a ∈ maximals r (s ∪ t)
\u22a2 a ∈ maximals r s ∪ maximals r t
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b x a : α
ha : a ∈ maximals r (s ∪ t)
h : a ∈ s
\u22a2 a ∈ maximals r s ∪ maximals r t
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b x a : α
ha : a ∈ maximals r (s ∪ t)
h : a ∈ t
\u22a2 a ∈ maximals r s ∪ maximals r t
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : ¬q = 0
\u22a2 ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).denom ∣ q
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : ¬q = 0
\u22a2 q / gcd p q ∣ q
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : ¬q = 0
\u22a2 (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹ ≠ 0
-- Mathlib/Topology/CompactOpen.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
f : C(X, Y)
\u22a2 𝓝 f = ⨅ s, ⨅ (_ : IsCompact s), comap (restrict s) (𝓝 (restrict s f))
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/WithTop.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Add α
b c d : WithTop α
x y : α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
h : b < c
a : α
\u22a2 b + ↑a < c + ↑a
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/WithTop.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Add α
c d : WithTop α
x y : α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h' h : ↑b < c
\u22a2 ↑b + ↑a < c + ↑a
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
mono : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, t ⊆ s → P f s x → P f t x
h : LiftProp P g
\u22a2 LiftPropOn P g s
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
mono : ∀ ⦃s : Set H⦄ ⦃x : H⦄ ⦃t : Set H⦄ ⦃f : H → H'⦄, t ⊆ s → P f s x → P f t x
h : LiftPropOn P g univ
\u22a2 LiftPropOn P g s
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
\u22a2 ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (⊤, ⊤)
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
\u22a2 ∀ (x : ℝ), ∀ᶠ (a : EReal × EReal) in 𝓝 (⊤, ⊤), ↑x < a.1 + a.2
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
r : ℝ
x✝ : EReal × EReal
h : ↑0 < x✝.1 ∧ ↑r < x✝.2
\u22a2 ↑r < x✝.1 + x✝.2
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
\u22a2 #α ≤ ℵ₀ ↔ Countable α
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
w : List ℕ
hw : List.Sorted (fun x x_1 => x ≥ x_1) w
hpos : ∀ x ∈ w, 0 < x
\u22a2 (ofRowLens w hw).rowLens.length = w.length
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
w : List ℕ
hw : List.Sorted (fun x x_1 => x ≥ x_1) w
hpos : ∀ x ∈ w, 0 < x
\u22a2 ¬False ∧ ∀ n < w.length, ∃ (h : n < w.length), 0 < w.get ⟨n, ⋯⟩
-- Mathlib/Order/Disjoint.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : BoundedOrder α
a b x : α
h : IsCompl x ⊥
\u22a2 x = ⊤
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
s t u : Finset α
a b : α
\u22a2 _root_.Disjoint s t ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ t → a ∉ s
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
f : C ⟶ D
hom : (i j : ι) → c.Rel j i → (D.X i ⟶ E.X j)
n : ι
\u22a2 (f ≫ nullHomotopicMap' hom).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => f.f i ≫ hom i j hij).f n
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
f : C ⟶ D
hom : (i j : ι) → c.Rel j i → (D.X i ⟶ E.X j)
n : ι
\u22a2 (nullHomotopicMap fun i j => f.f i ≫ dite (c.Rel j i) (hom i j) fun x => 0).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => f.f i ≫ hom i j hij).f n
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Order.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
H : Type u_2
inst✝ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
M : Subgroup H
hM : IsCoatom M
\u22a2 IsCoatom (comap φ M)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Order.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
H : Type u_2
inst✝ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
M : Subgroup H
hM✝ : IsCoatom M
hM : M ≠ ⊤
\u22a2 comap φ M ≠ ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Order.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H✝ : Subgroup G
H : Type u_2
inst✝ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
M : Subgroup H
hM✝ : IsCoatom M
hM : ∀ (b : Subgroup H), M < b → b = ⊤
\u22a2 ∀ (b : Subgroup G), comap φ M < b → b = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.68264
L : Type ?u.68267
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝ : Nontrivial S
\u22a2 (minpolyDiv R x).natDegree < (minpoly R x).natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.68264
L : Type ?u.68267
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝ : Nontrivial S
\u22a2 (minpolyDiv R x).natDegree < (minpolyDiv R x).natDegree + 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
δ : Type u_5
mδ : MeasurableSpace δ
ξ : Kernel γ δ
inst✝ : IsSFiniteKernel ξ
η : Kernel β γ
κ : Kernel α β
\u22a2 ξ ∘ₖ η ∘ₖ κ = ξ ∘ₖ (η ∘ₖ κ)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f✝ : β → γ
g : γ → α
δ : Type u_5
mδ : MeasurableSpace δ
ξ : Kernel γ δ
inst✝ : IsSFiniteKernel ξ
η : Kernel β γ
κ : Kernel α β
a : α
f : δ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
\u22a2 ∫⁻ (b : δ), f b ∂(ξ ∘ₖ η ∘ₖ κ) a = ∫⁻ (b : δ), f b ∂(ξ ∘ₖ (η ∘ₖ κ)) a
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a : M
l : List (List M)
\u22a2 l.join.prod = (map prod l).prod
-- Mathlib/Data/Finset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∉ s
\u22a2 Multiset.fold op b (Multiset.map f (insert a s).val) = op (f a) (Multiset.fold op b (Multiset.map f s.val))
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s t : Set α
f g✝ : α → M
a : α
g : M → N
hg : g 1 = 1
\u22a2 s.mulIndicator (g ∘ f) = g ∘ s.mulIndicator f
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s t : Set α
f g✝ : α → M
a : α
g : M → N
hg : g 1 = 1
x✝ : α
\u22a2 s.mulIndicator (g ∘ f) x✝ = (g ∘ s.mulIndicator f) x✝
-- Mathlib/Control/Fold.lean
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : t α
\u22a2 FreeMonoid.toList (foldMap FreeMonoid.of xs) = FreeMonoid.toList (List.reverse (foldMap FreeMonoid.of xs)).reverse
-- Mathlib/Control/Fold.lean
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : t α
\u22a2 FreeMonoid.toList (List.reverse (foldMap FreeMonoid.of xs)).reverse = FreeMonoid.toList (List.foldr cons [] (List.reverse (foldMap FreeMonoid.of xs))).reverse
-- Mathlib/Control/Fold.lean
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : t α
\u22a2 FreeMonoid.toList (List.foldr cons [] (List.reverse (foldMap FreeMonoid.of xs))).reverse = (unop ((Foldl.ofFreeMonoid (flip cons)) (foldMap FreeMonoid.of xs)) []).reverse
-- Mathlib/Control/Fold.lean
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : t α
\u22a2 (unop ((Foldl.ofFreeMonoid (flip cons)) (foldMap FreeMonoid.of xs)) []).reverse = toList xs
-- Mathlib/Control/Fold.lean
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : t α
\u22a2 (unop (foldMap (⇑(Foldl.ofFreeMonoid (flip cons)) ∘ FreeMonoid.of) xs) []).reverse = toList xs
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
\u22a2 IsZero T.obj₁ ↔ IsIso T.mor₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
\u22a2 T.mor₁ = 0 ∧ T.mor₃ = 0 ↔ IsIso T.mor₂
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a : α
\u22a2 Ioi a ⊆ Ici a
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
a b : Fin n
\u22a2 a.succ ≤ b.castSucc ↔ a < b
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n m : ℕ
H : 1 ≤ a
\u22a2 1 ≤ a ^ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n✝ m : ℕ
H : 1 ≤ a
n : ℕ
\u22a2 1 ≤ a ^ (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n✝ m : ℕ
H : 1 ≤ a
n : ℕ
\u22a2 1 ≤ a * a ^ n
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
\u22a2 C (C 4 * X ^ 3 + C (W.a₁ ^ 2 + 4 * W.a₂) * X ^ 2 + C (2 * (2 * W.a₄ + W.a₁ * W.a₃)) * X + C (W.a₃ ^ 2 + 4 * W.a₆)) = (C (C 2) * Y + C (C W.toAffine.a₁ * X + C W.toAffine.a₃)) ^ 2 - 4 * (Y ^ 2 + C (C W.toAffine.a₁ * X + C W.toAffine.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.toAffine.a₂ * X ^ 2 + C W.toAffine.a₄ * X + C W.toAffine.a₆))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
\u22a2 4 * C X ^ 3 + (C (C W.a₁) ^ 2 + 4 * C (C W.a₂)) * C X ^ 2 + 2 * (2 * C (C W.a₄) + C (C W.a₁) * C (C W.a₃)) * C X + (C (C W.a₃) ^ 2 + 4 * C (C W.a₆)) = (2 * Y + (C (C W.toAffine.a₁) * C X + C (C W.toAffine.a₃))) ^ 2 - 4 * (Y ^ 2 + (C (C W.toAffine.a₁) * C X + C (C W.toAffine.a₃)) * Y - (C X ^ 3 + C (C W.toAffine.a₂) * C X ^ 2 + C (C W.toAffine.a₄) * C X + C (C W.toAffine.a₆)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
n : ℕ
\u22a2 sqrtTwoAddSeries 0 (n + 1) < 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
n : ℕ
\u22a2 sqrtTwoAddSeries 0 (n + 1) < √(2 ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
n : ℕ
\u22a2 sqrtTwoAddSeries 0 n < 2 ^ 2 - 2
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Ker.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : Semiring R₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[τ₂₃] M₃
hg : ker g = ⊥
\u22a2 ker (g.comp f) = ker f
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Circle.lean
T : ℝ
x y : AddCircle T
\u22a2 (x + y).toCircle = x.toCircle * y.toCircle
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Circle.lean
T : ℝ
y : AddCircle T
z✝ : ℝ
\u22a2 (↑z✝ + y).toCircle = toCircle ↑z✝ * y.toCircle
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Circle.lean
T z✝¹ z✝ : ℝ
\u22a2 (↑z✝¹ + ↑z✝).toCircle = toCircle ↑z✝¹ * toCircle ↑z✝
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
K L : HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)
f : K ⟶ L
\u22a2 quasiIso C (ComplexShape.up ℤ) f ↔ (subcategoryAcyclic C).W f
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
\u22a2 ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).num = C (q / gcd p q).leadingCoeff⁻¹ * (p / gcd p q)
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
s : Seq α
\u22a2 join (ret (f a), Seq.map (ret ∘ f) s) = (f a, Seq.map f s)
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
s : Seq α
\u22a2 join ((f a, nil), Seq.map ret (Seq.map f s)) = (f a, Seq.map f s)
-- Mathlib/Algebra/Group/Action/Defs.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : MulAction M α
inst✝³ : Monoid N
inst✝² : MulAction M N
inst✝¹ : IsScalarTower M N N
inst✝ : SMulCommClass M N N
r : M
x : N
n : ℕ
\u22a2 (r • x) ^ (n + 1) = r ^ (n + 1) • x ^ (n + 1)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ : ↥S
r' : R
s' : ↥S
huv : ↑s' * r₁ = r' * ↑s₂
\u22a2 (r₁ /ₒ s₁) • (r₂ /ₒ s₂) = r' • r₂ /ₒ (s' * s₁)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Constructions.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
f g : E → 𝕝
x : E
fa : AnalyticAt 𝕜 f x
ga : AnalyticAt 𝕜 g x
g0 : g x ≠ 0
\u22a2 AnalyticAt 𝕜 (fun x => f x / g x) x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Constructions.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
f g : E → 𝕝
x : E
fa : AnalyticAt 𝕜 f x
ga : AnalyticAt 𝕜 g x
g0 : g x ≠ 0
\u22a2 AnalyticAt 𝕜 (fun x => f x * (g x)⁻¹) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
\u22a2 vectorSpan k s = Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p) '' s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s
\u22a2 Submodule.span k (s -ᵥ s) = Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p) '' s)