ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
hf : Embedding ⇑f
g : Y ⟶ S
H : Set.range ⇑g ⊆ Set.range ⇑f
\u22a2 IsIso (pullback.snd f g)
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
hf : Embedding ⇑f
g : Y ⟶ S
H : Set.range ⇑g ⊆ Set.range ⇑f
esto : ↑(pullback f g) ≃ₜ ↑Y := (Homeomorph.ofEmbedding ⇑(pullback.snd f g) ⋯).trans { toFun := Subtype.val, invFun := fun x => ⟨x, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
\u22a2 IsIso (pullback.snd f g)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/ENat.lean
m : ℕ
n : ℕ∞
\u22a2 ↑m = ↑n ↔ ↑m = n
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (π i)
x y : (i : ι) → π i
i : ι
a b : π i
\u22a2 x ≤ update x i a ↔ x i ≤ a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Topology.lean
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
\u22a2 IsOpen s ↔ ∀ o ∈ s, o.IsLimit → ∃ a < o, Set.Ioo a o ⊆ s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Topology.lean
s : Set Ordinal.{u}
a o : Ordinal.{u}
ho : o ∈ s
\u22a2 s ∈ 𝓝 o ↔ o.IsLimit → ∃ a < o, Set.Ioo a o ⊆ s
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : OrderedCommMonoid M
f : ι → M
hf : 1 ≤ f
\u22a2 (∀ i ∈ Finset.univ, f i = 1) ↔ f = 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : ChartedSpace H H'
x : M'
y : E
hy : y ∈ (extChartAt I x).target
this : ChartedSpace H M' := ChartedSpace.comp H H' M'
\u22a2 writtenInExtChartAt I I (↑(chartAt H' x) x) (↑(chartAt H' x).symm) y = y
-- Mathlib/Data/Sum/Interval.lean
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f f₁ g₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
g f₂ g₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
c₂ : γ₂
\u22a2 inr c₂ ∈ sumLift₂ f g a b ↔ ∃ a₂ b₂, a = inr a₂ ∧ b = inr b₂ ∧ c₂ ∈ g a₂ b₂
-- Mathlib/Data/Sum/Interval.lean
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f f₁ g₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
g f₂ g₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
c₂ : γ₂
\u22a2 (∃ a₂ b₂ c₂_1, a = inr a₂ ∧ b = inr b₂ ∧ inr c₂ = inr c₂_1 ∧ c₂_1 ∈ g a₂ b₂) ↔ ∃ a₂ b₂, a = inr a₂ ∧ b = inr b₂ ∧ c₂ ∈ g a₂ b₂
-- Mathlib/Data/Sum/Interval.lean
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f f₁ g₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
g f₂ g₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
c₂ : γ₂
\u22a2 ¬∃ a₁ b₁ c₁, a = inl a₁ ∧ b = inl b₁ ∧ inr c₂ = inl c₁ ∧ c₁ ∈ f a₁ b₁
-- Mathlib/Data/Sum/Interval.lean
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f f₁ g₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
g f₂ g₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
c₂✝ : γ₂
w✝¹ : α₁
w✝ : β₁
c₂ : γ₁
left✝¹ : a = inl w✝¹
left✝ : b = inl w✝
h : inr c₂✝ = inl c₂
right✝ : c₂ ∈ f w✝¹ w✝
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
p : M → Prop
x : M
H : x ∈ I • N
smul : ∀ r ∈ I, ∀ n ∈ N, p (r • n)
add : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x + y)
\u22a2 p x
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
p : M → Prop
x : M
H : x ∈ I • N
smul : ∀ r ∈ I, ∀ n ∈ N, p (r • n)
add : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x + y)
H0 : p 0
\u22a2 p x
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
p : M → Prop
x : M
H : x ∈ I • N
smul : ∀ r ∈ I, ∀ n ∈ N, p (r • n)
add : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x + y)
H0 : p 0
\u22a2 ∀ (i : ↥I), ∀ x ∈ map ((LinearMap.lsmul R M) ↑i) N, p x
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝ : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
H : ∀ (r : ↑s), ↑r • x ∈ M'
\u22a2 x ∈ M'
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝ : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
H : ∀ (r : ↑s), ↑r • x ∈ M'
\u22a2 ⊤ • span R {x} ≤ M'
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝ : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
H : ∀ (r : ↑s), ↑r • x ∈ M'
\u22a2 ⋃ s_1 ∈ s, ⋃ t ∈ {x}, {s_1 • t} ⊆ ↑M'
-- Mathlib/Order/Compare.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LT α
a b : α
\u22a2 lt.Compares (toDual a) (toDual b) ↔ lt.Compares b a
-- Mathlib/Order/Compare.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LT α
a b : α
\u22a2 eq.Compares (toDual a) (toDual b) ↔ eq.Compares b a
-- Mathlib/Order/Compare.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LT α
a b : α
\u22a2 gt.Compares (toDual a) (toDual b) ↔ gt.Compares b a
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
\u22a2 Real.sin (angle x (x + y)) = ‖y‖ / ‖x + y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
\u22a2 ‖y‖ ≤ ‖x + y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
\u22a2 ‖y‖ * ‖y‖ ≤ ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/PolarCoord.lean
\u22a2 polarCoord.source =ᶠ[ae volume] univ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/PolarCoord.lean
A : polarCoord.sourceᶜ ⊆ ↑(LinearMap.ker (LinearMap.snd ℝ ℝ ℝ))
\u22a2 polarCoord.source =ᶠ[ae volume] univ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/PolarCoord.lean
A : polarCoord.sourceᶜ ⊆ ↑(LinearMap.ker (LinearMap.snd ℝ ℝ ℝ))
B : volume ↑(LinearMap.ker (LinearMap.snd ℝ ℝ ℝ)) = 0
\u22a2 polarCoord.source =ᶠ[ae volume] univ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/PolarCoord.lean
A : polarCoord.sourceᶜ ⊆ ↑(LinearMap.ker (LinearMap.snd ℝ ℝ ℝ))
B : volume ↑(LinearMap.ker (LinearMap.snd ℝ ℝ ℝ)) = 0
\u22a2 volume polarCoord.sourceᶜ = 0
-- Mathlib/RingTheory/IntegralDomain.lean
R : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
f : G →* R
hf : Injective ⇑f
\u22a2 IsCyclic G
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
x y : ℤ
hc : x.gcd y ≠ 0
\u22a2 x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
x y : ℤ
hc : x = 0 ∧ y = 0
\u22a2 x.gcd y = 0
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α✝
α : Type u_4
a b : α
inst✝ : Preorder α
\u22a2 IsStronglyCoatomic αᵒᵈ ↔ IsStronglyAtomic α
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α✝
α : Type u_4
a b : α
inst✝ : Preorder α
\u22a2 IsStronglyAtomic αᵒᵈᵒᵈ ↔ IsStronglyAtomic α
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
r : ℕ
\u22a2 padicValRat p (↑p ^ r)⁻¹ = -↑r
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : AddMonoidWithOne α
inst✝ : CharZero α
m n : PosNum
\u22a2 ↑m = ↑n ↔ m = n
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hι : Nonempty ι
Is : ι → Set α
h : M.Indep (⋃ i, Is i)
\u22a2 M.closure (⋂ i, Is i) = ⋂ i, M.closure (Is i)
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hι : Nonempty ι
Is : ι → Set α
h : M.Indep (⋃ i, Is i)
\u22a2 ⋂ i, M.closure (Is i) = ⋂ J ∈ range Is, M.closure J
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
G : Comonad C
M N : Monad C
f : M.toFunctor ≅ N.toFunctor
f_η : autoParam (∀ (X : C), M.η.app X ≫ f.hom.app X = N.η.app X) _auto✝
f_μ : autoParam (∀ (X : C), M.μ.app X ≫ f.hom.app X = (M.map (f.hom.app X) ≫ f.hom.app (N.obj X)) ≫ N.μ.app X) _auto✝
X : C
\u22a2 N.μ.app X ≫ f.inv.app X = (N.map (f.inv.app X) ≫ f.inv.app (M.obj X)) ≫ M.μ.app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
G : Comonad C
M N : Monad C
f : M.toFunctor ≅ N.toFunctor
f_η : autoParam (∀ (X : C), M.η.app X ≫ f.hom.app X = N.η.app X) _auto✝
f_μ : autoParam (∀ (X : C), M.μ.app X ≫ f.hom.app X = (M.map (f.hom.app X) ≫ f.hom.app (N.obj X)) ≫ N.μ.app X) _auto✝
X : C
\u22a2 (N.μ.app X ≫ f.inv.app X) ≫ f.hom.app X = ((N.map (f.inv.app X) ≫ f.inv.app (M.obj X)) ≫ M.μ.app X) ≫ f.hom.app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
G : Comonad C
M N : Monad C
f : M.toFunctor ≅ N.toFunctor
f_η : autoParam (∀ (X : C), M.η.app X ≫ f.hom.app X = N.η.app X) _auto✝
f_μ : autoParam (∀ (X : C), M.μ.app X ≫ f.hom.app X = (M.map (f.hom.app X) ≫ f.hom.app (N.obj X)) ≫ N.μ.app X) _auto✝
X : C
\u22a2 N.μ.app X = N.map (𝟙 (N.obj X)) ≫ N.μ.app X
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
n k : ℕ
c : R
\u22a2 (⇑derivative)^[k] ((X - C c) ^ n) = n.descFactorial k • (X - C c) ^ (n - k)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
ι : Sort u_1
ι' : Sort u_2
p : ι → Prop
p' : ι' → Prop
s : ι → Set (α × α)
s' : ι' → Set (β × β)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
h' : (𝓤 β).HasBasis p' s'
f : α → β
\u22a2 UniformEmbedding f ↔ Injective f ∧ UniformContinuous f ∧ ∀ (j : ι), p j → ∃ i, p' i ∧ ∀ (x y : α), (f x, f y) ∈ s' i → (x, y) ∈ s j
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
\u22a2 b ∈ closedBall a r ↔ ‖a / b‖ ≤ r
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
a : α
\u22a2 s.ncard - 1 ≤ (s \ {a}).ncard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
a : α
hs : s.Finite
\u22a2 s.ncard - 1 ≤ (s \ {a}).ncard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
a : α
hs : s.Infinite
\u22a2 s.ncard - 1 ≤ (s \ {a}).ncard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
a : α
hs : s.Infinite
\u22a2 s.ncard - 1 = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
h : G.Adj u v
p : G.Walk v w
\u22a2 (cons h p).IsTrail → p.IsTrail
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y✝ z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
y : α
\u22a2 y ∈ closedBall x ε ↔ y ∈ ⋂ δ, ⋂ (_ : δ > ε), ball x δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y✝ z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
y : α
\u22a2 (∀ ⦃c : ℝ⦄, ε < c → dist y x < c) ↔ ∀ i > ε, y ∈ ball x i
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Box.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : OrderedRing α
inst✝⁵ : OrderedRing β
inst✝⁴ : LocallyFiniteOrder α
inst✝³ : LocallyFiniteOrder β
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
n : ℕ
\u22a2 (box (n + 1)).card = (Icc (-↑n.succ) ↑n.succ).card * (Icc (-↑n.succ) ↑n.succ).card - (Icc (-↑n) ↑n).card * (Icc (-↑n) ↑n).card
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Box.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : OrderedRing α
inst✝⁵ : OrderedRing β
inst✝⁴ : LocallyFiniteOrder α
inst✝³ : LocallyFiniteOrder β
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
n : ℕ
\u22a2 (Icc (-↑n.succ).1 (↑n.succ).1).card * (Icc (-↑n.succ).2 (↑n.succ).2).card - (Icc (-↑n).1 (↑n).1).card * (Icc (-↑n).2 (↑n).2).card = (Icc (-↑n.succ) ↑n.succ).card * (Icc (-↑n.succ) ↑n.succ).card - (Icc (-↑n) ↑n).card * (Icc (-↑n) ↑n).card
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
hn : n ≠ 0
x y : α
h : x < y
hy : 0 < y
\u22a2 ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
hn : n ≠ 0
x y : α
h : x < y
hy : 0 < y
q₂ : ℚ
hx₂ : max x 0 < ↑q₂
hy₂ : ↑q₂ < y
\u22a2 ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
hn : n ≠ 0
x y : α
h : x < y
hy : 0 < y
q₂ : ℚ
hx₂ : max x 0 < ↑q₂
hy₂ : ↑q₂ < y
q₁ : ℚ
hx₁ : max x 0 < ↑q₁
hq₁₂ : ↑q₁ < ↑q₂
\u22a2 ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
hn : n ≠ 0
x y : α
h : x < y
hy : 0 < y
q₂ : ℚ
hx₂ : max x 0 < ↑q₂
hy₂ : ↑q₂ < y
q₁ : ℚ
hx₁ : max x 0 < ↑q₁
hq₁₂ : ↑q₁ < ↑q₂
this : 0 < ↑q₂
\u22a2 ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
hn : n ≠ 0
x y : α
h : x < y
hy : 0 < y
q₂ : ℚ
hx₂ : max x 0 < ↑q₂
hy₂ : ↑q₂ < y
q₁ : ℚ
hx₁ : max x 0 < ↑q₁
hq₁₂ : q₁ < q₂
this : 0 < q₂
\u22a2 ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
hn : n ≠ 0
x y : α
h : x < y
hy : 0 < y
q₂ : ℚ
hx₂ : max x 0 < ↑q₂
hy₂ : ↑q₂ < y
q₁ : ℚ
hx₁ : max x 0 < ↑q₁
hq₁₂ : q₁ < q₂
this : 0 < q₂
q : ℚ
hq : 0 < q
hq₁ : q₁ < q ^ n
hq₂ : q ^ n < q₂
\u22a2 ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
w : List ℕ
hw : List.Sorted (fun x x_1 => x ≥ x_1) w
i : Fin w.length
\u22a2 (ofRowLens w hw).rowLen ↑i = w.get i
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝ : DivisionRing R
a : ℚ
f : R[X]
\u22a2 a • f = C ↑a * f
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f✝ g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
f : X ≅ Y
\u22a2 inv f.hom = f.inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f✝ g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
f : X ≅ Y
\u22a2 f.hom ≫ f.inv = 𝟙 X
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Types.lean
m : Type u → Type u
inst✝¹ : _root_.Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
α β : Type u
f : α → β
a : (ofTypeFunctor m ⋙ ofTypeFunctor m).obj α
\u22a2 ((ofTypeFunctor m ⋙ ofTypeFunctor m).map f ≫ joinM) a = (joinM ≫ (ofTypeFunctor m).map f) a
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Types.lean
m : Type u → Type u
inst✝¹ : _root_.Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
α : Type u
a : (ofTypeFunctor m).obj ((ofTypeFunctor m ⋙ ofTypeFunctor m).obj α)
\u22a2 ((ofTypeFunctor m).map ({ app := @joinM m inst✝¹, naturality := ⋯ }.app α) ≫ { app := @joinM m inst✝¹, naturality := ⋯ }.app α) a = ({ app := @joinM m inst✝¹, naturality := ⋯ }.app ((ofTypeFunctor m).obj α) ≫ { app := @joinM m inst✝¹, naturality := ⋯ }.app α) a
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Types.lean
m : Type u → Type u
inst✝¹ : _root_.Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
α : Type u
a : (𝟭 (Type u)).obj ((ofTypeFunctor m).obj α)
\u22a2 ({ app := @pure m Applicative.toPure, naturality := ⋯ }.app ((ofTypeFunctor m).obj α) ≫ { app := @joinM m inst✝¹, naturality := ⋯ }.app α) a = 𝟙 ((𝟭 (Type u)).obj ((ofTypeFunctor m).obj α)) a
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Types.lean
m : Type u → Type u
inst✝¹ : _root_.Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
α : Type u
a : (ofTypeFunctor m).obj ((𝟭 (Type u)).obj α)
\u22a2 ((ofTypeFunctor m).map ({ app := @pure m Applicative.toPure, naturality := ⋯ }.app α) ≫ { app := @joinM m inst✝¹, naturality := ⋯ }.app α) a = 𝟙 ((ofTypeFunctor m).obj ((𝟭 (Type u)).obj α)) a
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
P : Subobject X
Q : MonoOver X
\u22a2 mk (arrow (Quotient.mk'' Q)) = Quotient.mk'' Q
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
P : Subobject X
Q : MonoOver X
e : (Quotient.mk'' Q).out' ≅ Q
\u22a2 mk (arrow (Quotient.mk'' Q)) = Quotient.mk'' Q
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
x : ℤ[i]
\u22a2 norm x = 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
x : ℤ[i]
\u22a2 ↑(norm x) = ↑0 ↔ x = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n✝ : A
C : (n : ℕ) → (x : A) → x ∈ M ^ n → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), C 0 ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯
add : ∀ (x y : A) (i : ℕ) (hx : x ∈ M ^ i) (hy : y ∈ M ^ i), C i x hx → C i y hy → C i (x + y) ⋯
mem_mul : ∀ (m : A) (hm : m ∈ M) (i : ℕ) (x : A) (hx : x ∈ M ^ i), C i x hx → C i.succ (m * x) ⋯
n : ℕ
n_ih : ∀ {x : A} (hx : x ∈ M ^ n), C n x hx
x : A
\u22a2 ∀ (hx : x ∈ M ^ (n + 1)), C (n + 1) x hx
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n✝ : A
C : (n : ℕ) → (x : A) → x ∈ M ^ n → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), C 0 ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯
add : ∀ (x y : A) (i : ℕ) (hx : x ∈ M ^ i) (hy : y ∈ M ^ i), C i x hx → C i y hy → C i (x + y) ⋯
mem_mul : ∀ (m : A) (hm : m ∈ M) (i : ℕ) (x : A) (hx : x ∈ M ^ i), C i x hx → C i.succ (m * x) ⋯
n : ℕ
n_ih : ∀ {x : A} (hx : x ∈ M ^ n), C n x hx
x : A
\u22a2 ∀ (hx : x ∈ M * M ^ n), C (n + 1) x ⋯
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n✝ : A
C : (n : ℕ) → (x : A) → x ∈ M ^ n → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), C 0 ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯
add : ∀ (x y : A) (i : ℕ) (hx : x ∈ M ^ i) (hy : y ∈ M ^ i), C i x hx → C i y hy → C i (x + y) ⋯
mem_mul : ∀ (m : A) (hm : m ∈ M) (i : ℕ) (x : A) (hx : x ∈ M ^ i), C i x hx → C i.succ (m * x) ⋯
n : ℕ
n_ih : ∀ {x : A} (hx : x ∈ M ^ n), C n x hx
x : A
hx : x ∈ M * M ^ n
\u22a2 C (n + 1) x ⋯
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic R
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
φ : R →+* S
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableEq R
\u22a2 P.roots.toFinset.card ≤ 3
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic R
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
φ : R →+* S
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableEq R
\u22a2 card P.toPoly.roots ≤ 3
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
\u22a2 chainTopCoeff (⇑α) β ≤ chainLength α β
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
\u22a2 ¬(chainLength α β).succ ≤ chainTopCoeff (⇑α) β
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
e : (chainLength α β).succ ≤ chainTopCoeff (⇑α) β
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
e : (chainLength α β).succ ≤ chainTopCoeff (⇑α) β
\u22a2 weightSpace L ((chainTopCoeff (⇑α) β - (chainLength α β).succ) • ⇑α + ⇑β) = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
e : (chainLength α β).succ ≤ chainTopCoeff (⇑α) β
\u22a2 weightSpace L (-((chainLength α β).succ • ⇑α) + ⇑(chainTop (⇑α) β)) = ⊥
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
a₁✝ a₂✝ : G
h : ((fun x x_1 => x • x_1) ∘ ⇑of) a₁✝ = ((fun x x_1 => x • x_1) ∘ ⇑of) a₂✝
\u22a2 a₁✝ = a₂✝
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneConvergence.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : InfConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_anti : Antitone f
ha : IsGLB (range f) a
\u22a2 Tendsto f atTop (𝓝 a)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Finset α
h : mulSupport f ⊆ ↑s
\u22a2 ⋯.toFinset ⊆ s
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.96949, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.96953, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
s : S₁.Splitting
e : S₁ ≅ S₂
\u22a2 S₂.f ≫ e.inv.τ₂ ≫ s.r ≫ e.hom.τ₁ = 𝟙 S₂.X₁
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.96949, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.96953, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
s : S₁.Splitting
e : S₁ ≅ S₂
\u22a2 (e.inv.τ₃ ≫ s.s ≫ e.hom.τ₂) ≫ S₂.g = 𝟙 S₂.X₃
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.96949, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.96953, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
s : S₁.Splitting
e : S₁ ≅ S₂
\u22a2 (e.inv.τ₂ ≫ s.r ≫ e.hom.τ₁) ≫ S₂.f + S₂.g ≫ e.inv.τ₃ ≫ s.s ≫ e.hom.τ₂ = 𝟙 S₂.X₂