ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
len_pos : p.length ≠ 0
\u22a2 ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.last (p.tail len_pos).length)).succ = ↑(Fin.last p.length)
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
len_pos : p.length ≠ 0
\u22a2 p.length - 1 + 1 = p.length
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝ : Fintype m
M : Matrix m n R
x✝¹ : m → R
x✝ : n
\u22a2 Mᵀ.mulVecLin x✝¹ x✝ = M.vecMulLinear x✝¹ x✝
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
\u22a2 ord 1 = 1
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K
\u22a2 ¬IsUnramified k w ↔ Nat.card ↥(Stab w) = 2
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K
\u22a2 ¬Nat.card ↥(Stab w) = 1 ↔ Nat.card ↥(Stab w) = 2
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
s t : Subgroup α
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : α →* H
hf : Injective ⇑f
\u22a2 Nat.card α ∣ Nat.card H
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
a : Fin (n + 1)
ha : a ≠ last n
\u22a2 a < (a.castPred ha).succ
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
s : ℕ → Set Ω
\u22a2 process s 0 = 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
G✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommGroup G✝
inst✝³ : TopologicalSpace G✝
inst✝² : TopologicalGroup G✝
G : Type u_2
u : UniformSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniformGroup G
\u22a2 𝓤 G = 𝓤 G
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Real.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc α ℝ := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun x_1 => ↑(fs x_1) x) atTop (𝓝 (f x))
hμ : ¬μ = 0
\u22a2 μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Real.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc α ℝ := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun x_1 => ↑(fs x_1) x) atTop (𝓝 (f x))
hμ : ¬μ = 0
this : (ae μ).NeBot
\u22a2 μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Real.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc α ℝ := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun x_1 => ↑(fs x_1) x) atTop (𝓝 (f x))
hμ : ¬μ = 0
this : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
\u22a2 μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Real.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc α ℝ := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun x_1 => ↑(fs x_1) x) atTop (𝓝 (f x))
hμ : ¬μ = 0
this : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (x : α), ‖↑(fs n) x‖ ≤ c
\u22a2 μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Real.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc α ℝ := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun x_1 => ↑(fs x_1) x) atTop (𝓝 (f x))
hμ : ¬μ = 0
this✝ : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (x : α), ‖↑(fs n) x‖ ≤ c
this : μ[f * μ[g|m]|m] = f * μ[g|m]
\u22a2 μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f✝ g✝ : X ≅ Y
X✝ Y✝ : C
f g : X✝ ≅ Y✝
h : f.hom = g.hom
\u22a2 f.inv = g.inv
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/LocallyRingedSpace/ResidueField.lean
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
x : ↑X.toTopCat
a : ↑(Y.presheaf.obj (op ⊤))
\u22a2 x ∈ (Opens.map f.val.base).obj ⊤
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/LocallyRingedSpace/ResidueField.lean
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
x : ↑X.toTopCat
a : ↑(Y.presheaf.obj (op ⊤))
\u22a2 x ∈ ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
Z : C
f : M.X ⟶ Z
\u22a2 M.comul ≫ (f ⊗ M.counit) = f ≫ (ρ_ Z).inv
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/WithTop.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Add α
a b c d : WithBot α
x y : α
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
f : OneHom M N
\u22a2 map (⇑f) 1 = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
r : R
a : ⨂[R]^n M
\u22a2 (cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul (algebraMap₀ r) a) = r • a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
\u22a2 ‖1‖ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticMap R M R
hB : Q.Anisotropic
x : M
hx : ∀ (y : M), ((associated' Q) x) y = 0
\u22a2 Q x = ((associated' Q) x) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
h : i ≠ j
c : R
\u22a2 (transvection i j c).det = 1
-- Mathlib/Data/Nat/Dist.lean
i j : ℕ
hne : i ≠ j
h : i < j
\u22a2 0 < i.dist j
-- Mathlib/Data/Nat/Dist.lean
i j : ℕ
hne : i ≠ j
h : i < j
\u22a2 0 < j - i
-- Mathlib/Data/Nat/Dist.lean
i j : ℕ
hne : i ≠ j
h : i > j
\u22a2 0 < i.dist j
-- Mathlib/Data/Nat/Dist.lean
i j : ℕ
hne : i ≠ j
h : i > j
\u22a2 0 < i - j
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]
\u22a2 normSq (-a) = normSq a
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/ScaleRoots.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R A
p : R[X]
a : A
r : R
ha : (aeval a) p = 0
\u22a2 (aeval ((algebraMap R A) r * a)) (p.scaleRoots r) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/ScaleRoots.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R A
p : R[X]
a : A
r : R
ha : (aeval a) p = 0
\u22a2 Commute ((algebraMap R A) r) a
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/ScaleRoots.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R A
p : R[X]
a : A
r : R
ha : (aeval a) p = 0
\u22a2 ∀ (s₁ s₂ : R), Commute ((algebraMap R A) s₁) ((algebraMap R A) s₂)
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
\u22a2 Continuous fun c i => if J i then c i else false
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
\u22a2 ∀ (i : I), Continuous fun a => if J i then a i else false
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
ρCond : Kernel α Ω
inst✝¹ : ρ.IsCondKernel ρCond
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
x : α
hx : ρ.fst {x} ≠ 0
s : Set Ω
\u22a2 (ρCond x) s = (ρ.fst {x})⁻¹ * ρ ({x} ×ˢ s)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
ρCond : Kernel α Ω
inst✝¹ : ρ.IsCondKernel ρCond
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
x : α
hx : ρ.fst {x} ≠ 0
s : Set Ω
this : (ρCond x) s = (comap (fun y => (x, y)) ((ρ.fst {x})⁻¹ • ρ)) s
\u22a2 (ρCond x) s = (ρ.fst {x})⁻¹ * ρ ({x} ×ˢ s)
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a₁ b₁ a₂ b₂ : CauSeq α abs
ha : a₁ ≈ a₂
hb : b₁ ≈ b₂
ε : α
ε0 : ε > 0
ai : ℕ
hai : ∀ j ≥ ai, |↑(a₁ - a₂) j| < ε
bi : ℕ
hbi : ∀ j ≥ bi, |↑(b₁ - b₂) j| < ε
\u22a2 ∃ i, ∀ j ≥ i, |↑(a₁ ⊓ b₁ - a₂ ⊓ b₂) j| < ε
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p i : Fin (n + 1)
h : p < i
hp : optParam (p ≠ last n) ⋯
hi : optParam (i ≠ 0) ⋯
\u22a2 (p.castPred hp).predAbove i = i.pred hi
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.169944}
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}
H : ∀ (i : ι), f i < g i
x✝ : sum f ≥ prod g
F : ((i : ι) → Quotient.out (g i)) ↪ (i : ι) × Quotient.out (f i)
\u22a2 False
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.169944}
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}
H : ∀ (i : ι), f i < g i
x✝ : sum f ≥ prod g
F : ((i : ι) → Quotient.out (g i)) ↪ (i : ι) × Quotient.out (f i)
this : Inhabited ((i : ι) → Quotient.out (g i))
\u22a2 False
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.169944}
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}
H : ∀ (i : ι), f i < g i
x✝ : sum f ≥ prod g
F : ((i : ι) → Quotient.out (g i)) ↪ (i : ι) × Quotient.out (f i)
this : Inhabited ((i : ι) → Quotient.out (g i))
G : (i : ι) × Quotient.out (f i) → (i : ι) → Quotient.out (g i) := invFun ⇑F
\u22a2 False
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.169944}
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}
H : ∀ (i : ι), f i < g i
x✝ : sum f ≥ prod g
F : ((i : ι) → Quotient.out (g i)) ↪ (i : ι) × Quotient.out (f i)
this : Inhabited ((i : ι) → Quotient.out (g i))
G : (i : ι) × Quotient.out (f i) → (i : ι) → Quotient.out (g i) := invFun ⇑F
sG : Surjective G
\u22a2 False
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.169944}
ι : Type u_1
f g : ι → Cardinal.{u_2}
H : ∀ (i : ι), f i < g i
x✝ : sum f ≥ prod g
F : ((i : ι) → Quotient.out (g i)) ↪ (i : ι) × Quotient.out (f i)
this : Inhabited ((i : ι) → Quotient.out (g i))
G : (i : ι) × Quotient.out (f i) → (i : ι) → Quotient.out (g i) := invFun ⇑F
sG : Surjective G
C : (i : ι) → Quotient.out (g i)
hc : ∀ (i : ι) (a : Quotient.out (f i)), G ⟨i, a⟩ i ≠ C i
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
\u22a2 Codisjoint s t ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∉ s → a ∈ t
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = 0
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
\u22a2 x = 0 ∨ y = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle x y = 0 ∨ InnerProductGeometry.angle x y = π
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (o.oangle x y).sign = 0
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
\u22a2 x = 0 ∨ y = 0 ∨ |(o.oangle x y).toReal| = 0 ∨ |(o.oangle x y).toReal| = π
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑π
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
\u22a2 x = 0 ∨ y = 0 ∨ |(o.oangle x y).toReal| = 0 ∨ |(o.oangle x y).toReal| = π
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
f₁ : ι → κ
f₂ : (i : ι) → σ i → τ (f₁ i)
h₁ : Injective f₁
\u22a2 Inducing (Sigma.map f₁ f₂) ↔ ∀ (i : ι), Inducing (f₂ i)
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedRing α
inst✝⁴ : LinearOrderedRing β
inst✝³ : FloorRing α
inst✝² : FloorRing β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a✝ : α
b : β
f : F
hf : StrictMono ⇑f
a : α
n : ℤ
\u22a2 f a ≤ ↑n ↔ a ≤ ↑n
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u✝ u : XgcdType
h : u.r = 0
\u22a2 (if x : u.r = 0 then u.finish else u.step.reduce.flip) = u.finish
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
\u22a2 i.castSucc < p ∨ p < i.succ
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
\u22a2 ↑i < ↑p ∨ ↑p < ↑i + 1
-- Mathlib/Data/Finset/Pairwise.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DecidableEq α
r : α → α → Prop
l : List α
hl : (↑l.toFinset).Pairwise r
hn : l.Nodup
\u22a2 Pairwise r l
-- Mathlib/Data/Finset/Pairwise.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DecidableEq α
r : α → α → Prop
l : List α
hl : {a | a ∈ l}.Pairwise r
hn : l.Nodup
\u22a2 Pairwise r l
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (M ⊗[R] N)
hs : s.Finite
\u22a2 ∃ M' N', Module.Finite R ↥M' ∧ Module.Finite R ↥N' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (M ⊗[R] N)
hs : s.Finite
\u22a2 ∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (M ⊗[R] N)
hs : s.Finite
\u22a2 ∀ {a : M ⊗[R] N} {s : Set (M ⊗[R] N)}, a ∉ s → s.Finite → (∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))) → ∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert a s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s✝ : Set (M ⊗[R] N)
hs : s✝.Finite
a : M ⊗[R] N
s : Set (M ⊗[R] N)
M' : Submodule R M
N' : Submodule R N
hM' : M'.FG
hN' : N'.FG
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
\u22a2 ∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert a s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s✝ : Set (M ⊗[R] N)
hs : s✝.Finite
a : M ⊗[R] N
s : Set (M ⊗[R] N)
M' : Submodule R M
N' : Submodule R N
hM' : M'.FG
hN' : N'.FG
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
\u22a2 ∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert 0 s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s✝ : Set (M ⊗[R] N)
hs : s✝.Finite
a : M ⊗[R] N
s : Set (M ⊗[R] N)
M' : Submodule R M
N' : Submodule R N
hM' : M'.FG
hN' : N'.FG
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
x : M
y : N
\u22a2 ∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert (x ⊗ₜ[R] y) s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s✝ : Set (M ⊗[R] N)
hs : s✝.Finite
a : M ⊗[R] N
s : Set (M ⊗[R] N)
M' : Submodule R M
N' : Submodule R N
hM' : M'.FG
hN' : N'.FG
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
x y : M ⊗[R] N
hx : ∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert x s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
hy : ∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert y s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
\u22a2 ∃ M' N', M'.FG ∧ N'.FG ∧ insert (x + y) s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
-- Mathlib/Data/Complex/Basic.lean
z : ℂ
n : ℕ
\u22a2 (z / ↑n).re = z.re / ↑n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
\u22a2 (C a * X ^ 3 + C b * X ^ 2 + C c * X + C d).degree ≤ 3
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
\u22a2 W.Ψ (-n) = -W.Ψ n
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
a : K
H : Irreducible (X ^ 0 - C a)
\u22a2 False
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
a : K
H : Irreducible (C (1 - a))
\u22a2 False
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Completion.lean
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s : Set (CauchyFilter α × CauchyFilter α)
\u22a2 s ∈ 𝓤 (CauchyFilter α) ↔ ∃ t ∈ 𝓤 α, ∀ (f g : CauchyFilter α), t ∈ ↑f ×ˢ ↑g → (f, g) ∈ s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Completion.lean
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s : Set (CauchyFilter α × CauchyFilter α)
t : Set (α × α)
_h : t ∈ 𝓤 α
\u22a2 gen t ⊆ s ↔ ∀ (f g : CauchyFilter α), t ∈ ↑f ×ˢ ↑g → (f, g) ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
h : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => f y + c) s x
\u22a2 DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
\u22a2 (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ 𝟙_ C ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom = (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
\u22a2 𝟙_ C ◁ 𝟙 (𝟙_ C) ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom = (ρ_ (𝟙_ C)).hom
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
\u22a2 a ∈ ball 1 r ↔ ‖a‖ < r
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
\u22a2 ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s ↔ ∃ f', ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' s ∧ ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
\u22a2 DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s ↔ ∃ f', ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' s ∧ ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
h : ∃ f', ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' s ∧ ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
\u22a2 DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
f' : E → E →L[𝕜] F
h1 : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' s
h2 : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
\u22a2 DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
f' : E → E →L[𝕜] F
h1 : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f' s
h2 : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
x : E
hx : x ∈ s
\u22a2 ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) (fun y => fderivWithin 𝕜 f s y) s x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
m : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq m
b : Basis m R S
G : Type u_4
inst✝³ : Group G
inst✝² : DistribMulAction G S
inst✝¹ : SMulCommClass G R S
inst✝ : SMulCommClass G S S
g : G
x : S
i✝ j✝ : m
\u22a2 (leftMulMatrix (g • b)) x i✝ j✝ = (leftMulMatrix b) x i✝ j✝