ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁷ : AddCommGroup V
inst✝¹⁶ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹⁴ : AddCommGroup W
inst✝¹³ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁶ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : FirstCountableTopology W
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f : V → E
hf : Integrable f μ
\u22a2 ∀ (x : W), ∀ᵐ (a : V) ∂μ, ‖e (-(L a) x) • f a‖ ≤ ?bound a
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁷ : AddCommGroup V
inst✝¹⁶ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹⁴ : AddCommGroup W
inst✝¹³ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁶ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : FirstCountableTopology W
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f : V → E
hf : Integrable f μ
\u22a2 Integrable ?bound μ
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁷ : AddCommGroup V
inst✝¹⁶ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹⁴ : AddCommGroup W
inst✝¹³ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁶ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : FirstCountableTopology W
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f : V → E
hf : Integrable f μ
\u22a2 ∀ᵐ (a : V) ∂μ, Continuous fun x => e (-(L a) x) • f a
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁷ : AddCommGroup V
inst✝¹⁶ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹⁴ : AddCommGroup W
inst✝¹³ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁶ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : FirstCountableTopology W
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f : V → E
hf : Integrable f μ
\u22a2 V → ℝ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x₁ x₂ y₁ L : R
\u22a2 (map W f).toAffine.negAddY (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f L) = f (W.negAddY x₁ x₂ y₁ L)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x₁ x₂ y₁ L : R
\u22a2 f L * (f (W.addX x₁ x₂ L) - f x₁) + f y₁ = f (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁)
-- Mathlib/Combinatorics/Young/SemistandardTableau.lean
μ : YoungDiagram
T : SemistandardYoungTableau μ
i j1 j2 : ℕ
hj : j1 ≤ j2
cell : (i, j2) ∈ μ
\u22a2 T i j1 ≤ T i j2
-- Mathlib/Combinatorics/Young/SemistandardTableau.lean
μ : YoungDiagram
T : SemistandardYoungTableau μ
i j1 j2 : ℕ
hj : j1 ≤ j2
cell : (i, j2) ∈ μ
h : j1 = j2
\u22a2 T i j1 ≤ T i j2
-- Mathlib/Combinatorics/Young/SemistandardTableau.lean
μ : YoungDiagram
T : SemistandardYoungTableau μ
i j1 j2 : ℕ
hj : j1 ≤ j2
cell : (i, j2) ∈ μ
h : j1 < j2
\u22a2 T i j1 ≤ T i j2
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Homotopies.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive D
G : C ⥤ D
inst✝ : G.Additive
X : SimplicialObject C
q n : ℕ
\u22a2 (nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n = G.map ((nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Homotopies.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive D
G : C ⥤ D
inst✝ : G.Additive
X : SimplicialObject C
q n : ℕ
eq : ((G.mapHomologicalComplex c).map (nullHomotopicMap' (hσ' q))).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => G.map (hσ' q i j hij)).f n
\u22a2 (nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n = G.map ((nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Homotopies.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive D
G : C ⥤ D
inst✝ : G.Additive
X : SimplicialObject C
q n : ℕ
eq : G.map ((nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n) = (nullHomotopicMap' fun i j hij => hσ' q i j hij).f n
\u22a2 (nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n = G.map ((nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Homotopies.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive D
G : C ⥤ D
inst✝ : G.Additive
X : SimplicialObject C
q n : ℕ
eq : G.map ((nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n) = (nullHomotopicMap' fun i j hij => hσ' q i j hij).f n
\u22a2 (nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => hσ' q i j hij).f n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Homotopies.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive D
G : C ⥤ D
inst✝ : G.Additive
X : SimplicialObject C
q n : ℕ
eq : G.map ((nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n) = (nullHomotopicMap' fun i j hij => hσ' q i j hij).f n
h : ((whiskering C D).obj G ⋙ alternatingFaceMapComplex D).obj X = (alternatingFaceMapComplex C ⋙ G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj X := Eq.symm (Functor.congr_obj (map_alternatingFaceMapComplex G) X)
\u22a2 (nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => hσ' q i j hij).f n
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
y : α
\u22a2 y ∈ EMetric.ball x (ENNReal.ofReal ε) ↔ y ∈ ball x ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
y : α
\u22a2 ENNReal.ofReal (dist y x) < ENNReal.ofReal ε ↔ dist y x < ε
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
f✝ : Π₀ (i : ι), β✝ i
b✝ : β✝ i✝
j : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i
\u22a2 update i f b = f - single i (f i) + single i b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Quotient.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Ring R₂
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : p ≤ ker f
h' : ker f ≤ p
\u22a2 ker (p.liftQ f h) = ⊥
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e✝ e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Z
x : X
f : X → Z
hf : ContinuousWithinAt f s x
hxe : x ∈ e.source
ht : t ∈ 𝓝 (f x)
\u22a2 ↑e.symm ⁻¹' s =ᶠ[𝓝 (↑e x)] e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' t)
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e✝ e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Z
x : X
f : X → Z
hf : ContinuousWithinAt f s x
hxe : x ∈ e.source
ht : t ∈ 𝓝 (f x)
\u22a2 ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, ↑e x ∈ ↑e.symm ⁻¹' s ↔ ↑e x ∈ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' t)
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e✝ e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Z
x : X
f : X → Z
hf : ContinuousWithinAt f s x
hxe : x ∈ e.source
ht : t ∈ 𝓝 (f x)
\u22a2 ∀ a ∈ e.source, (a ∈ s → a ∈ f ⁻¹' t) → (↑e a ∈ ↑e.symm ⁻¹' s ↔ ↑e a ∈ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' t))
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e✝ e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Z
x : X
f : X → Z
hf : ContinuousWithinAt f s x
hxe : x ∈ e.source
ht : t ∈ 𝓝 (f x)
y : X
hy : y ∈ e.source
hyu : y ∈ s → y ∈ f ⁻¹' t
\u22a2 ↑e y ∈ ↑e.symm ⁻¹' s ↔ ↑e y ∈ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' t)
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hG : Nat.card G = p ^ 2
\u22a2 IsCyclic (G ⧸ center G)
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hG : Nat.card G = p ^ 2
\u22a2 Nat.card (G ⧸ center G) ∣ p
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hG : Nat.card G = p ^ 2
\u22a2 p * Nat.card (G ⧸ center G) ∣ Nat.card ↥(center G) * (center G).index
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hG : Nat.card G = p ^ 2
\u22a2 p ∣ Nat.card ↥(center G)
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hG : Nat.card G = p ^ 2
k : ℕ
hk0 : k > 0
hk : Nat.card ↥(center G) = p ^ k
\u22a2 p ∣ Nat.card ↥(center G)
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hG : Nat.card G = p ^ 2
k : ℕ
hk0 : k > 0
hk : Nat.card ↥(center G) = p ^ k
\u22a2 p ∣ p ^ k
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x p : ℝ
hx_pos : 0 < x
\u22a2 ↑x.toNNReal ^ p = ↑(x ^ p).toNNReal
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x p : ℝ
hx_pos : 0 < x
\u22a2 x.toNNReal ≠ 0
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : EMetricSpace γ
s : Set γ
\u22a2 0 < diam s ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/InfiniteSum.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝ : NormedRing R
f : ι → ℝ
g : ι' → ℝ
hf : Summable f
hg : Summable g
hf' : 0 ≤ f
hg' : 0 ≤ g
\u22a2 Summable fun x => ∑' (y : ι'), f (x, y).1 * g (x, y).2
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝³ : Group G
inst✝² : AddGroup A
s : Set G
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulDistribMulAction α G
a : α
S T : Subgroup G
\u22a2 a • (S ⊓ T) = a • S ⊓ a • T
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t : Multiset α
al : ∀ (a : α), count a s ≤ count a t
\u22a2 s ≤ t
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t : Multiset α
al : ∀ (a : α), count a s ≤ count a t
\u22a2 s ≤ s ∪ t
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
P' : C
fst' : P' ⟶ X
snd' : P' ⟶ Y
h : IsPullback fst snd f g
h' : IsPullback fst' snd' f g
\u22a2 (isoIsPullback X Y h h').inv ≫ fst = fst'
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
s : Set Y
hs : IsOpen s
\u22a2 (e.trans (ofSet s hs)).source = (e.restr (↑e ⁻¹' s)).source
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
\u22a2 U ∈ p.basisSets ↔ ∃ i r, 0 < r ∧ U = (i.sup p).ball 0 r
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
s : Set ℝ≥0∞
hs : ∀ r ∈ s, r ≠ ⊤
hf : ∀ (i : { x // x ∈ s }), ↑i ≠ ⊤
\u22a2 (sSup s).toNNReal = sSup (ENNReal.toNNReal '' s)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x y : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
hy : y ∈ s
\u22a2 firstDiff x y ≤ longestPrefix x s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x y : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
hy : y ∈ s
\u22a2 firstDiff x y + 1 ≤ shortestPrefixDiff x s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x y : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
hy : y ∈ s
\u22a2 1 ≤ shortestPrefixDiff x s
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
s t : Set L
h : s ⊆ t
\u22a2 lieSpan R L s ≤ lieSpan R L t
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
s t : Set L
h : s ⊆ t
\u22a2 s ⊆ ↑(lieSpan R L t)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
h : a ∈ s
x : α
\u22a2 x ∈ insert a (s.erase a) ↔ x ∈ s
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
h : a ∈ s
x : α
\u22a2 x = a ∨ x ∈ s ↔ x ∈ s
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
h : a ∈ s
x : α
\u22a2 x = a → x ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
\u22a2 Integrable (fun x => RCLike.re (f x)) μ ∧ Integrable (fun x => RCLike.im (f x)) μ ↔ Integrable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
\u22a2 Memℒp (fun x => RCLike.re (f x)) 1 μ ∧ Memℒp (fun x => RCLike.im (f x)) 1 μ ↔ Memℒp f 1 μ
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α
\u22a2 countP p l = 0 ↔ ∀ (a : α), a ∈ l → ¬p a = true
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ
h : ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) ≤ dist x y
\u22a2 ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) ≤ ↑1 * dist x y
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
p : ι → Prop
s : ι → Set X
h : (𝓝 x).HasBasis p s
\u22a2 (∀ ⦃i : ι⦄, p i → ∀ ⦃j : Unit⦄, True → (s i ∩ t).Nonempty) ↔ ∀ (i : ι), p i → (s i ∩ t).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E 𝕜
z : G
\u22a2 ‖f.smulRight z‖₊ = ‖f‖₊ * ‖z‖₊
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E 𝕜
z : G
\u22a2 ‖f.smulRight z‖₊ ≤ ‖f‖₊ * ‖z‖₊
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E 𝕜
z : G
\u22a2 ‖f‖₊ * ‖z‖₊ ≤ ‖f.smulRight z‖₊
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p✝ : ℝ
s : Set ℝ
p : ℝ
\u22a2 (deriv fun x => x ^ p) =O[atTop] fun x => x ^ (p - 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
\u22a2 (deriv fun x => x ^ 0) =O[atTop] fun x => x ^ (0 - 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p✝ : ℝ
s : Set ℝ
p : ℝ
hp : p ≠ 0
\u22a2 (deriv fun x => x ^ p) =O[atTop] fun x => x ^ (p - 1)
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
n D : ℤ
f : LaurentSeries K
H : Valued.v f ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd (-D))
hnd : n < D
h_n_ord : ¬n < HahnSeries.order f
\u22a2 f.coeff n = 0
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
n D : ℤ
f : LaurentSeries K
H : Valued.v f ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd (-D))
hnd : n < D
h_n_ord : HahnSeries.order f ≤ n
\u22a2 f.coeff n = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω
\u22a2 levyProkhorovEDist μ ν ≤ max (μ univ) (ν univ)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y \ x = y \ z
\u22a2 y ⊓ x ⊓ y \ x = y ⊓ z ⊓ y \ x
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y \ x = y \ z
\u22a2 y ⊓ x ⊔ y \ x = y ⊓ z ⊔ y \ x
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y ⊓ x = y ⊓ z
\u22a2 y \ x = y \ z
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Reverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
f : R[X]
N : ℕ
\u22a2 reflect N (-f) = -reflect N f
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
h : s.max = ⊥
H : s.Nonempty
\u22a2 s = ∅
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
h : s.max = ⊥
H : s.Nonempty
a : α
ha : s.max = ↑a
\u22a2 s = ∅
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : List α
\u22a2 (a :: l).erase b <+~ a :: l.erase b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
f : G ≃g turanGraph n r
hr : 0 < r
\u22a2 G.IsTuranMaximal r
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
f : G ≃g turanGraph n r
hr : 0 < r
J : SimpleGraph V
w✝ : DecidableRel J.Adj
j : J.IsTuranMaximal r
\u22a2 G.IsTuranMaximal r
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
f : G ≃g turanGraph n r
hr : 0 < r
J : SimpleGraph V
w✝ : DecidableRel J.Adj
j : J.IsTuranMaximal r
g : J ≃g turanGraph (Fintype.card V) r
\u22a2 G.IsTuranMaximal r
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
f : G ≃g turanGraph n r
hr : 0 < r
J : SimpleGraph V
w✝ : DecidableRel J.Adj
j : J.IsTuranMaximal r
g : J ≃g turanGraph n r
\u22a2 G.IsTuranMaximal r
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x y : E
h : ∀ (v : ↥K), ⟪x, ↑v⟫_𝕜 = ⟪y, ↑v⟫_𝕜
\u22a2 x - y ∈ Kᗮ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x y : E
h : ∀ (v : ↥K), ⟪x, ↑v⟫_𝕜 = ⟪y, ↑v⟫_𝕜
\u22a2 ∀ u ∈ K, ⟪x - y, u⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x y : E
h : ∀ (v : ↥K), ⟪x, ↑v⟫_𝕜 = ⟪y, ↑v⟫_𝕜
u : E
hu : u ∈ K
\u22a2 ⟪x - y, u⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x y : E
h : ∀ (v : ↥K), ⟪x, ↑v⟫_𝕜 = ⟪y, ↑v⟫_𝕜
u : E
hu : u ∈ K
\u22a2 ⟪x, u⟫_𝕜 = ⟪y, u⟫_𝕜
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s t : Multiset α
\u22a2 countP p (s + t) = countP p s + countP p t
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
h0 : n ≠ 0
α : Type u_1
inst✝ : AddCommMonoid α
f : ℕ → α
\u22a2 ∑ i ∈ filter Squarefree n.divisors, f i = ∑ i ∈ (normalizedFactors n).toFinset.powerset, f i.val.prod