ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a✝ b✝ : R
x y : M
s : Set M
li : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
t : Finset ↑s
f : { x // x ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t } → ↑s := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩
a : Subtype s
_ha : a ∈ t
hx : (Embedding.subtype s) a ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
b : Subtype s
_hb : b ∈ t
hy : (Embedding.subtype s) b ∈ Finset.map (Embedding.subtype s) t
\u22a2 f ⟨(Embedding.subtype s) a, hx⟩ = f ⟨(Embedding.subtype s) b, hy⟩ → ⟨(Embedding.subtype s) a, hx⟩ = ⟨(Embedding.subtype s) b, hy⟩
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
ι : Sort u_1
ι' : Sort u_2
p : ι → Prop
p' : ι' → Prop
s : ι → Set (α × α)
s' : ι' → Set (β × β)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
h' : (𝓤 β).HasBasis p' s'
f : α → β
\u22a2 UniformInducing f ↔ (∀ (i : ι'), p' i → ∃ j, p j ∧ ∀ (x y : α), (x, y) ∈ s j → (f x, f y) ∈ s' i) ∧ ∀ (j : ι), p j → ∃ i, p' i ∧ ∀ (x y : α), (f x, f y) ∈ s' i → (x, y) ∈ s j
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝
f g : α → E✝
s✝ t : Set α
μ ν : Measure α
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
\u22a2 Integrable (↑↑(indicatorConstLp p hs hμs c)) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝
f g : α → E✝
s✝ t : Set α
μ ν : Measure α
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
\u22a2 c = 0 ∨ (μ.restrict s) univ ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E✝
f g : α → E✝
s✝ t : Set α
μ ν : Measure α
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
\u22a2 (μ.restrict s) univ ≠ ⊤
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
s : Set (Set α)
\u22a2 generate s = generate (sInter '' {t | t.Finite ∧ t ⊆ s})
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
s : Set (Set α)
\u22a2 ⋯.filter = (FilterBasis.ofSets s).filter
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleAbs.lean
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : ℤ
hb : b ≠ 0
A : Fin n → ℤ
\u22a2 ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ → ↑|A i₁ % b - A i₀ % b| < |b| • ε
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleAbs.lean
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : ℤ
hb : b ≠ 0
A : Fin n → ℤ
hb' : 0 < ↑|b|
\u22a2 ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ → ↑|A i₁ % b - A i₀ % b| < |b| • ε
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleAbs.lean
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : ℤ
hb : b ≠ 0
A : Fin n → ℤ
hb' : 0 < ↑|b|
hbε : 0 < |b| • ε
\u22a2 ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ → ↑|A i₁ % b - A i₀ % b| < |b| • ε
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleAbs.lean
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : ℤ
hb : b ≠ 0
A : Fin n → ℤ
hb' : 0 < ↑|b|
hbε : 0 < |b| • ε
hfloor : ∀ (i : Fin n), 0 ≤ ⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋
\u22a2 ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ → ↑|A i₁ % b - A i₀ % b| < |b| • ε
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleAbs.lean
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : ℤ
hb : b ≠ 0
A : Fin n → ℤ
hb' : 0 < ↑|b|
hbε : 0 < |b| • ε
hfloor : ∀ (i : Fin n), 0 ≤ ⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋
i₀ i₁ : Fin n
hi : (fun i => ⟨⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋.natAbs, ⋯⟩) i₀ = (fun i => ⟨⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋.natAbs, ⋯⟩) i₁
\u22a2 ↑|A i₁ % b - A i₀ % b| < |b| • ε
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleAbs.lean
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : ℤ
hb : b ≠ 0
A : Fin n → ℤ
hb' : 0 < ↑|b|
hbε : 0 < |b| • ε
hfloor : ∀ (i : Fin n), 0 ≤ ⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋
i₀ i₁ : Fin n
hi✝ : (fun i => ⟨⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋.natAbs, ⋯⟩) i₀ = (fun i => ⟨⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋.natAbs, ⋯⟩) i₁
hi : ↑⌊↑(A i₀ % b) / |b| • ε⌋.natAbs = ↑⌊↑(A i₁ % b) / |b| • ε⌋.natAbs
\u22a2 ↑|A i₁ % b - A i₀ % b| < |b| • ε
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleAbs.lean
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : ℤ
hb : b ≠ 0
A : Fin n → ℤ
hb' : 0 < ↑|b|
hbε : 0 < |b| • ε
hfloor : ∀ (i : Fin n), 0 ≤ ⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋
i₀ i₁ : Fin n
hi✝ : (fun i => ⟨⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋.natAbs, ⋯⟩) i₀ = (fun i => ⟨⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋.natAbs, ⋯⟩) i₁
hi : ⌊↑(A i₀ % b) / |b| • ε⌋ = ⌊↑(A i₁ % b) / |b| • ε⌋
\u22a2 ↑|A i₁ % b - A i₀ % b| < |b| • ε
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleAbs.lean
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : ℤ
hb : b ≠ 0
A : Fin n → ℤ
hb' : 0 < ↑|b|
hbε : 0 < |b| • ε
hfloor : ∀ (i : Fin n), 0 ≤ ⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋
i₀ i₁ : Fin n
hi✝¹ : (fun i => ⟨⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋.natAbs, ⋯⟩) i₀ = (fun i => ⟨⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋.natAbs, ⋯⟩) i₁
hi✝ : ⌊↑(A i₀ % b) / |b| • ε⌋ = ⌊↑(A i₁ % b) / |b| • ε⌋
hi : |↑(A i₀ % b) / |b| • ε - ↑(A i₁ % b) / |b| • ε| < 1
\u22a2 ↑|A i₁ % b - A i₀ % b| < |b| • ε
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleAbs.lean
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : ℤ
hb : b ≠ 0
A : Fin n → ℤ
hb' : 0 < ↑|b|
hbε : 0 < |b| • ε
hfloor : ∀ (i : Fin n), 0 ≤ ⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋
i₀ i₁ : Fin n
hi✝¹ : (fun i => ⟨⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋.natAbs, ⋯⟩) i₀ = (fun i => ⟨⌊↑(A i % b) / |b| • ε⌋.natAbs, ⋯⟩) i₁
hi✝ : ⌊↑(A i₀ % b) / |b| • ε⌋ = ⌊↑(A i₁ % b) / |b| • ε⌋
hi : |↑(A i₁ % b) - ↑(A i₀ % b)| < |b| • ε
\u22a2 ↑|A i₁ % b - A i₀ % b| < |b| • ε
-- Mathlib/Algebra/Order/Monovary.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : LinearOrderedSemifield β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β
hg : StrongLT 0 g
i j : ι
\u22a2 g⁻¹ j < g⁻¹ i → f i ≤ f j ↔ g i < g j → f i ≤ f j
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
s : String
n : Nat
\u22a2 (s.take n).data = List.take n s.data
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm₁₂ : m₁ ≤ m₂
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hμm₁ this : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hf : Integrable f μ
\u22a2 μ[μ[f|m₂]|m₁] =ᶠ[ae μ] μ[f|m₁]
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm₁₂ : m₁ ≤ m₂
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hμm₁ this : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hf : Integrable f μ
\u22a2 ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, (μ[μ[f|m₂]|m₁]) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, (μ[f|m₁]) x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f g : α → F'
s✝ : Set α
m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm₁₂ : m₁ ≤ m₂
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hμm₁ this : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hf : Integrable f μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
a✝ : μ s < ⊤
\u22a2 ∫ (x : α) in s, (μ[μ[f|m₂]|m₁]) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, (μ[f|m₁]) x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f g : α → F'
s✝ : Set α
m₁ m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm₁₂ : m₁ ≤ m₂
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hμm₁ this : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hf : Integrable f μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
a✝ : μ s < ⊤
\u22a2 ∫ (x : α) in s, (μ[f|m₂]) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, (μ[f|m₁]) x ∂μ
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a b : α
s : Seq α
\u22a2 a = b ∨ a ∈ s → a ∈ cons b s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K✝ L✝ L' M : Set V
s : (j : (Finset V)ᵒᵖ) → G.componentComplFunctor.obj j
sec : s ∈ G.end
K L : (Finset V)ᵒᵖ
h : L ⟶ K
v : V
vnL : v ∉ Opposite.unop L
hs : s L = G.componentComplMk vnL
\u22a2 G.componentComplFunctor.map h (G.componentComplMk vnL) = G.componentComplMk ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
γ : J.sheafify P ⟶ Q
h : J.toSheafify P ≫ γ = η
\u22a2 γ = J.sheafifyLift η hQ
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
γ : J.sheafify P ⟶ Q
h : J.toSheafify P ≫ γ = η
\u22a2 J.toPlus (J.plusObj P) ≫ γ = J.plusLift η hQ
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
γ : J.sheafify P ⟶ Q
h : J.toSheafify P ≫ γ = η
\u22a2 J.toPlus P ≫ J.toPlus (J.plusObj P) ≫ γ = η
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
γ : J.sheafify P ⟶ Q
h : J.toSheafify P ≫ γ = η
\u22a2 (J.toPlus P ≫ J.plusMap (J.toPlus P)) ≫ γ = η
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
f : N →ₗ[R] P
\u22a2 rTensor M (-f) = -rTensor M f
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
f : N →ₗ[R] P
\u22a2 (rTensorHom M) (-f) = -(rTensorHom M) f
-- Mathlib/FieldTheory/MvPolynomial.lean
σ : Type u
K : Type v
inst✝ : Field K
I : Ideal (MvPolynomial σ K)
hI : I ≠ ⊤
\u22a2 Function.Injective ⇑((Ideal.Quotient.mk I).comp C)
-- Mathlib/FieldTheory/MvPolynomial.lean
σ : Type u
K : Type v
inst✝ : Field K
I : Ideal (MvPolynomial σ K)
hI : I ≠ ⊤
x : K
hx : ((Ideal.Quotient.mk I).comp C) x = 0
\u22a2 x = 0
-- Mathlib/FieldTheory/MvPolynomial.lean
σ : Type u
K : Type v
inst✝ : Field K
I : Ideal (MvPolynomial σ K)
hI : I ≠ ⊤
x : K
hx : C x ∈ I
\u22a2 x = 0
-- Mathlib/FieldTheory/MvPolynomial.lean
σ : Type u
K : Type v
inst✝ : Field K
I : Ideal (MvPolynomial σ K)
hI : I ≠ ⊤
x : K
hx : C x ∈ I
hx0 : ¬x = 0
\u22a2 1 ∈ I
-- Mathlib/FieldTheory/MvPolynomial.lean
σ : Type u
K : Type v
inst✝ : Field K
I : Ideal (MvPolynomial σ K)
hI : I ≠ ⊤
x : K
hx : C x ∈ I
hx0 : ¬x = 0
this : C x⁻¹ * C x ∈ I
\u22a2 1 ∈ I
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
\u22a2 a * b⁻¹ ≤ c * d⁻¹ ↔ a * d ≤ c * b
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α → ℕ
p : α
hps : p ∉ s
is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q
is_coprime : ∀ q ∈ insert p s, ∀ q' ∈ insert p s, q ∣ q' → q = q'
\u22a2 IsRelPrime (p ^ i p) (∏ p' ∈ s, p' ^ i p')
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α → ℕ
p : α
hps : p ∉ s
is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q
is_coprime : ∀ q ∈ insert p s, ∀ q' ∈ insert p s, q ∣ q' → q = q'
hp : Prime p
\u22a2 IsRelPrime (p ^ i p) (∏ p' ∈ s, p' ^ i p')
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α → ℕ
p : α
hps : p ∉ s
is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q
is_coprime : ∀ q ∈ insert p s, ∀ q' ∈ insert p s, q ∣ q' → q = q'
hp : Prime p
\u22a2 ∀ ⦃d : α⦄, d ∣ p ^ i p → d ∣ ∏ p' ∈ s, p' ^ i p' → ¬Prime d
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α → ℕ
p : α
hps : p ∉ s
is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q
is_coprime : ∀ q ∈ insert p s, ∀ q' ∈ insert p s, q ∣ q' → q = q'
hp : Prime p
d : α
hdp : d ∣ p ^ i p
hdprod : d ∣ ∏ p' ∈ s, p' ^ i p'
hd : Prime d
\u22a2 p ∈ s
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α → ℕ
p : α
hps : p ∉ s
is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q
is_coprime : ∀ q ∈ insert p s, ∀ q' ∈ insert p s, q ∣ q' → q = q'
hp : Prime p
d : α
hdprod : d ∣ ∏ p' ∈ s, p' ^ i p'
hd : Prime d
hdp : d ∣ p
\u22a2 p ∈ s
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α → ℕ
p : α
hps : p ∉ s
is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q
is_coprime : ∀ q ∈ insert p s, ∀ q' ∈ insert p s, q ∣ q' → q = q'
hp : Prime p
d : α
hdprod : d ∣ ∏ p' ∈ s, p' ^ i p'
hd : Prime d
hdp : d ∣ p
q : α
q_mem' : q ∈ Multiset.map (fun p' => p' ^ i p') s.val
hdq : d ∣ q
\u22a2 p ∈ s
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α → ℕ
p : α
hps : p ∉ s
is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q
is_coprime : ∀ q ∈ insert p s, ∀ q' ∈ insert p s, q ∣ q' → q = q'
hp : Prime p
d : α
hdprod : d ∣ ∏ p' ∈ s, p' ^ i p'
hd : Prime d
hdp : d ∣ p
q : α
q_mem : q ∈ s.val
q_mem' : q ^ i q ∈ Multiset.map (fun p' => p' ^ i p') s.val
hdq : d ∣ q ^ i q
\u22a2 p ∈ s
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α → ℕ
p : α
hps : p ∉ s
is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q
is_coprime : ∀ q ∈ insert p s, ∀ q' ∈ insert p s, q ∣ q' → q = q'
hp : Prime p
d : α
hdprod : d ∣ ∏ p' ∈ s, p' ^ i p'
hd : Prime d
hdp : d ∣ p
q : α
q_mem : q ∈ s.val
q_mem' : q ^ i q ∈ Multiset.map (fun p' => p' ^ i p') s.val
hdq : d ∣ q
\u22a2 p ∈ s
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α → ℕ
p : α
hps : p ∉ s
is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q
is_coprime : ∀ q ∈ insert p s, ∀ q' ∈ insert p s, q ∣ q' → q = q'
hp : Prime p
d : α
hdprod : d ∣ ∏ p' ∈ s, p' ^ i p'
hd : Prime d
hdp : d ∣ p
q : α
q_mem : q ∈ s.val
q_mem' : q ^ i q ∈ Multiset.map (fun p' => p' ^ i p') s.val
hdq : d ∣ q
this : p ∣ q
\u22a2 p ∈ s
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α → ℕ
p : α
hps : p ∉ s
is_prime : ∀ q ∈ insert p s, Prime q
is_coprime : ∀ q ∈ insert p s, ∀ q' ∈ insert p s, q ∣ q' → q = q'
hp : Prime p
d : α
hdprod : d ∣ ∏ p' ∈ s, p' ^ i p'
hd : Prime d
hdp : d ∣ p
q : α
q_mem : q ∈ s.val
q_mem' : q ^ i q ∈ Multiset.map (fun p' => p' ^ i p') s.val
hdq : d ∣ q
this : p ∣ q
\u22a2 p ∈ s ↔ q ∈ s.val
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hap : ↑a ≠ 0
\u22a2 ↑(p / 2)! ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hap : ↑a ≠ 0
\u22a2 p / 2 < p
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hap : ↑a ≠ 0
\u22a2 ↑a ^ (p / 2) * ↑(p / 2)! = ↑((-1) ^ (filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card) * ↑(p / 2)!
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
\u22a2 IsCodetector (op G) ↔ IsDetector G
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
α : Type u
h : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
\u22a2 ⟦α⟧ < ⟦α⟧ ^ (ord ⟦α⟧).cof
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
α : Type u
h : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
re : (#α).ord = type r
\u22a2 ⟦α⟧ < ⟦α⟧ ^ (ord ⟦α⟧).cof
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
α : Type u
h : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
re : (#α).ord = type r
this : (ord ⟦α⟧).IsLimit
\u22a2 ⟦α⟧ < ⟦α⟧ ^ (ord ⟦α⟧).cof
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
α : Type u
h : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
re : (#α).ord = type r
this : (type r).IsLimit
\u22a2 #α < #α ^ (type r).cof
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
α : Type u
h : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
re : (#α).ord = type r
this : (type r).IsLimit
S : Set α
H : ∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b
Se : #↑S = (type r).cof
\u22a2 #α < #α ^ (type r).cof
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
α : Type u
h : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
re : (#α).ord = type r
this✝ : (type r).IsLimit
S : Set α
H : ∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b
Se : #↑S = (type r).cof
this : (sum fun a => #{ x // r x ↑a }) < prod fun x => #α
\u22a2 #α < #α ^ (type r).cof
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
c : Cardinal.{u}
α : Type u
h : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
re : (#α).ord = type r
this : (type r).IsLimit
S : Set α
H : ∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b
Se : #↑S = (type r).cof
i : ↑S
\u22a2 (fun a => #{ x // r x ↑a }) i < (fun x => #α) i
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/ReflectsIso.lean
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.ReflectsIsomorphisms
inst✝² : F.PreservesEpimorphisms
inst✝¹ : F.PreservesMonomorphisms
inst✝ : Balanced D
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
x✝¹ : Mono f
x✝ : Epi f
\u22a2 IsIso f
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/ReflectsIso.lean
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.ReflectsIsomorphisms
inst✝² : F.PreservesEpimorphisms
inst✝¹ : F.PreservesMonomorphisms
inst✝ : Balanced D
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
x✝¹ : Mono f
x✝ : Epi f
\u22a2 IsIso (F.map f)
-- Mathlib/Data/Finsupp/BigOperators.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Zero M
s : Multiset (ι →₀ M)
x : ι
x✝ : List (ι →₀ M)
\u22a2 x ∈ (map Finsupp.support (Quot.mk Setoid.r x✝)).sup ↔ ∃ f ∈ Quot.mk Setoid.r x✝, x ∈ f.support
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{v}
\u22a2 Cardinal.lift.{u, v} o.cof = (lift.{u, v} o).cof
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{v}
\u22a2 ∀ (α : Type v) (r : α → α → Prop) [inst : IsWellOrder α r], Cardinal.lift.{u, v} (type r).cof = (lift.{u, v} (type r)).cof
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
o : Ordinal.{v}
α : Type v
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
\u22a2 Cardinal.lift.{u, v} (type r).cof = (lift.{u, v} (type r)).cof
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
o : Ordinal.{v}
α : Type v
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
\u22a2 Cardinal.lift.{u, v} (type r).cof ≤ (lift.{u, v} (type r)).cof
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
o : Ordinal.{v}
α : Type v
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
\u22a2 (lift.{u, v} (type r)).cof ≤ Cardinal.lift.{u, v} (type r).cof
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
\u22a2 riemannZeta 4 = ↑π ^ 4 / 90
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
\u22a2 riemannZeta 4 = ↑(∑' (b : ℕ), 1 / ↑b ^ 4)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
\u22a2 ↑π ^ 4 / 90 = ↑(π ^ 4 / 90)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
p q : ℝ
hp✝ : 0 ≤ p
hq✝ : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
hp : 0 < p
hq : 0 < q
\u22a2 ∫⁻ (a : α), f a ^ p * g a ^ q ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), f a ∂μ) ^ p * (∫⁻ (a : α), g a ∂μ) ^ q
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
p q : ℝ
hp✝ : 0 ≤ p
hq✝ : 0 ≤ q
hpq : p + q = 1
hp : 0 < p
hq : 0 < q
h2p : 1 < 1 / p
\u22a2 ∫⁻ (a : α), f a ^ p * g a ^ q ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), f a ∂μ) ^ p * (∫⁻ (a : α), g a ∂μ) ^ q