ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Complex/ExponentialBounds.lean
t : |2⁻¹| = 2⁻¹
z : |log 2 - ∑ x ∈ range 34, 2⁻¹ ^ (x + 1) / (↑x + 1)| ≤ 1 / 17179869184
\u22a2 |∑ x ∈ range 0, 2⁻¹ ^ (x + 1) / (↑x + 1) + 2⁻¹ ^ (0 + 1) / (↑0 + 1) + 2⁻¹ ^ (1 + 1) / (↑1 + 1) + 2⁻¹ ^ (2 + 1) / (↑2 + 1) + 2⁻¹ ^ (3 + 1) / (↑3 + 1) + 2⁻¹ ^ (4 + 1) / (↑4 + 1) + 2⁻¹ ^ (5 + 1) / (↑5 + 1) + 2⁻¹ ^ (6 + 1) / (↑6 + 1) + 2⁻¹ ^ (7 + 1) / (↑7 + 1) + 2⁻¹ ^ (8 + 1) / (↑8 + 1) + 2⁻¹ ^ (9 + 1) / (↑9 + 1) + 2⁻¹ ^ (10 + 1) / (↑10 + 1) + 2⁻¹ ^ (11 + 1) / (↑11 + 1) + 2⁻¹ ^ (12 + 1) / (↑12 + 1) + 2⁻¹ ^ (13 + 1) / (↑13 + 1) + 2⁻¹ ^ (14 + 1) / (↑14 + 1) + 2⁻¹ ^ (15 + 1) / (↑15 + 1) + 2⁻¹ ^ (16 + 1) / (↑16 + 1) + 2⁻¹ ^ (17 + 1) / (↑17 + 1) + 2⁻¹ ^ (18 + 1) / (↑18 + 1) + 2⁻¹ ^ (19 + 1) / (↑19 + 1) + 2⁻¹ ^ (20 + 1) / (↑20 + 1) + 2⁻¹ ^ (21 + 1) / (↑21 + 1) + 2⁻¹ ^ (22 + 1) / (↑22 + 1) + 2⁻¹ ^ (23 + 1) / (↑23 + 1) + 2⁻¹ ^ (24 + 1) / (↑24 + 1) + 2⁻¹ ^ (25 + 1) / (↑25 + 1) + 2⁻¹ ^ (26 + 1) / (↑26 + 1) + 2⁻¹ ^ (27 + 1) / (↑27 + 1) + 2⁻¹ ^ (28 + 1) / (↑28 + 1) + 2⁻¹ ^ (29 + 1) / (↑29 + 1) + 2⁻¹ ^ (30 + 1) / (↑30 + 1) + 2⁻¹ ^ (31 + 1) / (↑31 + 1) + 2⁻¹ ^ (32 + 1) / (↑32 + 1) + 2⁻¹ ^ (33 + 1) / (↑33 + 1) - 287209 / 414355| ≤ 1 / 10 ^ 10 - 1 / 2 ^ 34
-- Mathlib/Data/Complex/ExponentialBounds.lean
t : |2⁻¹| = 2⁻¹
z : |log 2 - ∑ x ∈ range 34, 2⁻¹ ^ (x + 1) / (↑x + 1)| ≤ 1 / 17179869184
\u22a2 |30417026706710207 / 51397301678363663775930777600| ≤ 7011591 / 167772160000000000
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ b✝ : α
inst✝ : IsTrans α R
a b : α
l : List α
h : R a b
hb : Chain R b l
\u22a2 ∀ (a' : α), a' ∈ b :: l → R a a'
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ b✝ : α
inst✝ : IsTrans α R
a b : α
l : List α
h : R a b
hb : Chain R b l
\u22a2 ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ l → R a a_1
-- Mathlib/CategoryTheory/Products/Basic.lean
A : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
X✝ Y✝ : A ⥤ B × C
α : X✝ ⟶ Y✝
X Y : A
f : X ⟶ Y
\u22a2 ((fun F => (F ⋙ Prod.fst B C, F ⋙ Prod.snd B C)) X✝).1.map f ≫ (fun X => (α.app X).1) Y = (fun X => (α.app X).1) X ≫ ((fun F => (F ⋙ Prod.fst B C, F ⋙ Prod.snd B C)) Y✝).1.map f
-- Mathlib/CategoryTheory/Products/Basic.lean
A : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
X✝ Y✝ : A ⥤ B × C
α : X✝ ⟶ Y✝
X Y : A
f : X ⟶ Y
\u22a2 ((fun F => (F ⋙ Prod.fst B C, F ⋙ Prod.snd B C)) X✝).2.map f ≫ (fun X => (α.app X).2) Y = (fun X => (α.app X).2) X ≫ ((fun F => (F ⋙ Prod.fst B C, F ⋙ Prod.snd B C)) Y✝).2.map f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Inv.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasDerivAt c c' x
hd : HasDerivAt d d' x
hx : d x ≠ 0
\u22a2 HasDerivAt (fun y => c y / d y) ((c' * d x - c x * d') / d x ^ 2) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Inv.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x
hd : HasDerivWithinAt d d' univ x
hx : d x ≠ 0
\u22a2 HasDerivWithinAt (fun y => c y / d y) ((c' * d x - c x * d') / d x ^ 2) univ x
-- Mathlib/Data/Finset/Pi.lean
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
\u22a2 (s.pi t).Nonempty ↔ ∀ a ∈ s, (t a).Nonempty
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
x y : ℤ
\u22a2 (toComplex { re := x, im := y }).im = ↑y
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
a b c : M
m n✝ n : ℕ
h : a * b = 1
\u22a2 a ^ n.succ * b ^ n.succ = a ^ n * a * (b * b ^ n)
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
a b c : M
m n✝ n : ℕ
h : a * b = 1
\u22a2 a ^ n * a * (b * b ^ n) = a ^ n * (a * b) * b ^ n
-- Mathlib/GroupTheory/Subgroup/Center.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
g h : M
Hg : g ∈ Set.center M
u : Mˣ
hu : SemiconjBy (↑u) g h
\u22a2 g = h
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
hf : ∀ (x : E), ε / ‖c‖ ≤ p x → p x < ε → q x ≤ C * p x
x : E
hx : p x ≠ 0
\u22a2 q x ≤ C * p x
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p q : Seminorm 𝕜 E
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
hf : ∀ (x : E), ε / ‖c‖ ≤ p x → p x < ε → q x ≤ C * p x
x : E
hx : p x ≠ 0
δ : 𝕜
hδ : δ ≠ 0
δxle : p (δ • x) < ε
leδx : ε / ‖c‖ ≤ p (δ • x)
\u22a2 q x ≤ C * p x
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
hg : Measurable g
a✝¹ : γ
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝
\u22a2 ((comap 0 g hg) a✝¹) s✝ = (0 a✝¹) s✝
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
hg : Measurable g
a✝¹ : γ
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝
\u22a2 (0 (g a✝¹)) s✝ = (0 a✝¹) s✝
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
H : FermatLastTheoremForThreeGen hζ
\u22a2 FermatLastTheoremFor 3
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
H : FermatLastTheoremForThreeGen hζ
a b c : ℤ
hc : c ≠ 0
ha : ¬3 ∣ a
hb : ¬3 ∣ b
x✝ : 3 ∣ c
hcoprime : IsCoprime a b
h : a ^ 3 + b ^ 3 = c ^ 3
x : ℤ
hx : c = 3 * x
\u22a2 False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
i' : ι'
\u22a2 (b.repr ≪≫ₗ Finsupp.domLCongr e).symm (Finsupp.single i' 1) = b.repr.symm (Finsupp.single (e.symm i') 1)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ s t : Finset α
\u22a2 ∀ (i : (α × α) × α × α), i ∈ filter (fun x => x.1.1 * x.2.1 = x.1.2 * x.2.2) ((s ×ˢ s) ×ˢ t ×ˢ t) ↔ (Equiv.prodProdProdComm α α α α) i ∈ filter (fun x => match x with | ((a, b), c, d) => a * b = c * d) ((s ×ˢ t) ×ˢ s ×ˢ t)
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α ↪ β
s✝ : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Multiset α
x✝ : β
\u22a2 x✝ ∈ map f s.toFinset ↔ x✝ ∈ (Multiset.map (⇑f) s).toFinset
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
\u22a2 eval x (p * X) = eval x p * x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
H : μ'.haarScalarFactor μ = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
\u22a2 ↑1 = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField 𝕜
x : 𝕜
\u22a2 ContinuousAt Inv.inv x ↔ x ≠ 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : ReflectsLimit (cospan h i) F
e : f ≫ h = g ≫ i
H : IsPullback (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
\u22a2 ((Cones.postcompose (cospanCompIso F h i).hom).obj (F.mapCone (PullbackCone.mk f g ⋯))).pt ≅ H.cone.pt
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : ReflectsLimit (cospan h i) F
e : f ≫ h = g ≫ i
H : IsPullback (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
\u22a2 ((Cones.postcompose (cospanCompIso F h i).hom).obj (F.mapCone (PullbackCone.mk f g ⋯))).π.app WalkingCospan.left = ?refine_1.hom ≫ H.cone.π.app WalkingCospan.left
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : ReflectsLimit (cospan h i) F
e : f ≫ h = g ≫ i
H : IsPullback (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)
\u22a2 ((Cones.postcompose (cospanCompIso F h i).hom).obj (F.mapCone (PullbackCone.mk f g ⋯))).π.app WalkingCospan.right = ?refine_1.hom ≫ H.cone.π.app WalkingCospan.right
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Matching.lean
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
h : M.IsMatching
hGG' : G ≤ G'
v✝ : V
hv : v✝ ∈ (Subgraph.map (Hom.ofLE hGG') M).verts
\u22a2 ∃! w, (Subgraph.map (Hom.ofLE hGG') M).Adj v✝ w
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Matching.lean
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
h : M.IsMatching
hGG' : G ≤ G'
v✝ : V
hv✝ : v✝ ∈ (Subgraph.map (Hom.ofLE hGG') M).verts
w✝ : V
hv : w✝ ∈ M.verts
hv' : (Hom.ofLE hGG') w✝ = v✝
\u22a2 ∃! w, (Subgraph.map (Hom.ofLE hGG') M).Adj v✝ w
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Matching.lean
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w✝¹ : V
h : M.IsMatching
hGG' : G ≤ G'
v✝ : V
hv✝ : v✝ ∈ (Subgraph.map (Hom.ofLE hGG') M).verts
w✝ : V
hv : w✝ ∈ M.verts
hv' : (Hom.ofLE hGG') w✝ = v✝
w : V
hw : (fun w => M.Adj w✝ w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w => M.Adj w✝ w) y → y = w
\u22a2 ∃! w, (Subgraph.map (Hom.ofLE hGG') M).Adj v✝ w
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Matching.lean
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w✝¹ : V
h : M.IsMatching
hGG' : G ≤ G'
v✝ : V
hv✝ : v✝ ∈ (Subgraph.map (Hom.ofLE hGG') M).verts
w✝ : V
hv : w✝ ∈ M.verts
hv' : (Hom.ofLE hGG') w✝ = v✝
w : V
hw : (fun w => M.Adj w✝ w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w => M.Adj w✝ w) y → y = w
\u22a2 (fun w => (Subgraph.map (Hom.ofLE hGG') M).Adj v✝ w) w ∧ ∀ (y : V), (fun w => (Subgraph.map (Hom.ofLE hGG') M).Adj v✝ w) y → y = w
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : β → α
h : ∀ (y : β), MeasurableSet (f ⁻¹' {f y})
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
\u22a2 MeasurableSet (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : β → α
h : ∀ (y : β), MeasurableSet (f ⁻¹' {f y})
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
\u22a2 MeasurableSet (⋃ y ∈ s, f ⁻¹' {y})
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : β → α
h : ∀ (y : β), MeasurableSet (f ⁻¹' {f y})
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
y : α
hy : y ∈ s
\u22a2 MeasurableSet (f ⁻¹' {y})
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n p : ℕ
\u22a2 0 < a.factorizationLCMRight b
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n p : ℕ
\u22a2 a.factorizationLCMRight b ≠ 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n p : ℕ
\u22a2 ∀ i ∈ (a.lcm b).factorization.support, (if b.factorization i ≤ a.factorization i then 1 else i ^ (a.lcm b).factorization i) ≠ 0
-- Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : InvolutiveInv α
f g : Filter α
s : Set α
hs : s ∈ f
\u22a2 s⁻¹ ∈ f⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/SModEq.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁✝ x₂✝ y y₁✝ y₂✝ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
I : Ideal A
x₁ x₂ y₁ y₂ : A
hxy₁ : x₁ ≡ y₁ [SMOD I]
hxy₂ : x₂ ≡ y₂ [SMOD I]
\u22a2 x₁ * x₂ ≡ y₁ * y₂ [SMOD I]
-- Mathlib/LinearAlgebra/SModEq.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁✝ x₂✝ y y₁✝ y₂✝ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
I : Ideal A
x₁ x₂ y₁ y₂ : A
hxy₁ : (Ideal.Quotient.mk I) x₁ = (Ideal.Quotient.mk I) y₁
hxy₂ : (Ideal.Quotient.mk I) x₂ = (Ideal.Quotient.mk I) y₂
\u22a2 (Ideal.Quotient.mk I) x₁ * (Ideal.Quotient.mk I) x₂ = (Ideal.Quotient.mk I) y₁ * (Ideal.Quotient.mk I) y₂
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
\u22a2 (coeff A (n + 1)) (bernoulliPowerSeries A * (exp A - 1)) = (coeff A (n + 1)) X
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
\u22a2 (algebraMap ℚ A) (bernoulli (n + 1) / ((↑n + 1) * ↑n !)) * ((algebraMap ℚ A) (↑0 + 1)⁻¹ - 1) + (algebraMap ℚ A) (∑ x ∈ antidiagonal n, bernoulli x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹) = if n + 1 = 1 then 1 else 0
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
\u22a2 (algebraMap ℚ A) (bernoulli (n + 1 + 1) / ((↑(n + 1) + 1) * ↑(n + 1)!)) * ((algebraMap ℚ A) (↑0 + 1)⁻¹ - 1) + (algebraMap ℚ A) (∑ x ∈ antidiagonal (n + 1), bernoulli x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹) = if n + 1 + 1 = 1 then 1 else 0
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
\u22a2 (algebraMap ℚ A) (bernoulli (n + 1 + 1) / ((↑(n + 1) + 1) * ↑(n + 1)!)) * ((algebraMap ℚ A) (↑0 + 1)⁻¹ - 1) + (algebraMap ℚ A) (∑ x ∈ antidiagonal (n + 1), bernoulli x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
hfact : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0
\u22a2 (algebraMap ℚ A) (bernoulli (n + 1 + 1) / ((↑(n + 1) + 1) * ↑(n + 1)!)) * ((algebraMap ℚ A) (↑0 + 1)⁻¹ - 1) + (algebraMap ℚ A) (∑ x ∈ antidiagonal (n + 1), bernoulli x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
hfact : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0
hite2 : (if n.succ = 0 then 1 else 0) = 0
\u22a2 (algebraMap ℚ A) (bernoulli (n + 1 + 1) / ((↑(n + 1) + 1) * ↑(n + 1)!)) * ((algebraMap ℚ A) (↑0 + 1)⁻¹ - 1) + (algebraMap ℚ A) (∑ x ∈ antidiagonal (n + 1), bernoulli x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
hfact : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0
hite2 : (if n.succ = 0 then 1 else 0) = 0
\u22a2 (algebraMap ℚ A) (∑ x ∈ antidiagonal (n + 1), bernoulli x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
hfact : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0
hite2 : (if n.succ = 0 then 1 else 0) = 0
\u22a2 (algebraMap ℚ A) (∑ x ∈ antidiagonal (n + 1), bernoulli x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹) = (algebraMap ℚ A) (∑ i ∈ antidiagonal n.succ, ↑((i.1 + i.2).choose i.2) / (↑i.2 + 1) * bernoulli i.1 / ↑n.succ !)
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
hfact : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0
hite2 : (if n.succ = 0 then 1 else 0) = 0
x : ℕ × ℕ
h : x ∈ antidiagonal n.succ
\u22a2 bernoulli x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹ * ↑n.succ ! = ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli x.1
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
hfact : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0
hite2 : (if n.succ = 0 then 1 else 0) = 0
x : ℕ × ℕ
h : x.1 + x.2 = n.succ
\u22a2 bernoulli x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹ * ↑n.succ ! = ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli x.1
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
hfact : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0
hite2 : (if n.succ = 0 then 1 else 0) = 0
x : ℕ × ℕ
h : x.1 + x.2 = n.succ
\u22a2 bernoulli x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹ * ↑(x.1 + x.2)! = ↑(x.1 + x.2)! / ↑(x.1! * x.2!) / (↑x.2 + 1) * bernoulli x.1
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
hfact : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0
hite2 : (if n.succ = 0 then 1 else 0) = 0
x : ℕ × ℕ
h : x.1 + x.2 = n.succ
\u22a2 (↑x.2! * (↑x.2 + 1) = (↑x.2 + 1) * ↑x.2! ∨ (x.1 + x.2)! = 0) ∨ bernoulli x.1 = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
\u22a2 ⊥.IsNClique n s ↔ n ≤ 1 ∧ s.card = n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
\u22a2 (↑s).Subsingleton ∧ s.card = n ↔ n ≤ 1 ∧ s.card = n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
\u22a2 s.card = n → ((↑s).Subsingleton ↔ n ≤ 1)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s : Finset α
a b c : α
\u22a2 (↑s).Subsingleton ↔ s.card ≤ 1
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ≃ β
I : Set β
\u22a2 (M.mapEquiv f).Indep I ↔ M.Indep (⇑f.symm '' I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ≃ β
I : Set β
\u22a2 (∃ I₀, M.Indep I₀ ∧ I = ⇑f '' I₀) ↔ M.Indep (⇑f.symm '' I)
-- Mathlib/ModelTheory/ElementaryMaps.lean
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
φ : M ↪ₑ[L] N
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M
\u22a2 φ (funMap f x) = funMap f (⇑φ ∘ x)
-- Mathlib/ModelTheory/ElementaryMaps.lean
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
φ : M ↪ₑ[L] N
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M
h : (Formula.graph f).Realize (⇑φ ∘ Fin.cons (funMap f x) x) ↔ (Formula.graph f).Realize (Fin.cons (funMap f x) x)
\u22a2 φ (funMap f x) = funMap f (⇑φ ∘ x)
-- Mathlib/ModelTheory/ElementaryMaps.lean
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
φ : M ↪ₑ[L] N
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → M
h : funMap f (⇑φ ∘ x) = φ (funMap f x) ↔ funMap f x = funMap f x
\u22a2 φ (funMap f x) = funMap f (⇑φ ∘ x)
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝ : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
f g : F[X]
sf : Multiset E := (Polynomial.map ϕ f).roots
sg : Multiset E := (Polynomial.map ϕ g).roots
s : Finset E := (sf.bind fun α' => Multiset.map (fun β' => -(α' - α) / (β' - β)) sg).toFinset
\u22a2 ∃ c, ∀ α' ∈ (Polynomial.map ϕ f).roots, ∀ β' ∈ (Polynomial.map ϕ g).roots, -(α' - α) / (β' - β) ≠ ϕ c
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝ : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
f g : F[X]
sf : Multiset E := (Polynomial.map ϕ f).roots
sg : Multiset E := (Polynomial.map ϕ g).roots
s : Finset E := (sf.bind fun α' => Multiset.map (fun β' => -(α' - α) / (β' - β)) sg).toFinset
s' : Finset F := s.preimage ⇑ϕ ⋯
\u22a2 ∃ c, ∀ α' ∈ (Polynomial.map ϕ f).roots, ∀ β' ∈ (Polynomial.map ϕ g).roots, -(α' - α) / (β' - β) ≠ ϕ c
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝ : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
f g : F[X]
sf : Multiset E := (Polynomial.map ϕ f).roots
sg : Multiset E := (Polynomial.map ϕ g).roots
s : Finset E := (sf.bind fun α' => Multiset.map (fun β' => -(α' - α) / (β' - β)) sg).toFinset
s' : Finset F := s.preimage ⇑ϕ ⋯
c : F
hc : c ∉ s'
\u22a2 ∃ c, ∀ α' ∈ (Polynomial.map ϕ f).roots, ∀ β' ∈ (Polynomial.map ϕ g).roots, -(α' - α) / (β' - β) ≠ ϕ c
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝ : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
f g : F[X]
sf : Multiset E := (Polynomial.map ϕ f).roots
sg : Multiset E := (Polynomial.map ϕ g).roots
s : Finset E := (sf.bind fun α' => Multiset.map (fun β' => -(α' - α) / (β' - β)) sg).toFinset
s' : Finset F := s.preimage ⇑ϕ ⋯
c : F
hc : ¬∃ a ∈ sf, ∃ a_1 ∈ sg, -(a - α) / (a_1 - β) = ϕ c
\u22a2 ∃ c, ∀ α' ∈ (Polynomial.map ϕ f).roots, ∀ β' ∈ (Polynomial.map ϕ g).roots, -(α' - α) / (β' - β) ≠ ϕ c
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p k : ℕ
hn : Fact (Nat.Prime p)
\u22a2 cyclotomic (p ^ (k + 1)) R * (X ^ p ^ k - 1) = X ^ p ^ (k + 1) - 1
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
heI : e ∉ I
\u22a2 M.Indep (insert e I) ↔ e ∈ M.E \ M.closure I
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
heI : e ∉ I
\u22a2 M.Indep (insert e I) ↔ e ∈ M.E ∧ (e ∈ M.E → M.Indep (insert e I))
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/SchroederBernstein.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f
hg : Injective g
\u22a2 ∃ h, Bijective h
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/SchroederBernstein.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f
hg : Injective g
hβ : IsEmpty β
\u22a2 ∃ h, Bijective h
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/SchroederBernstein.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f
hg : Injective g
hβ : Nonempty β
\u22a2 ∃ h, Bijective h
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/SchroederBernstein.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f
hg : Injective g
hβ : Nonempty β
F : Set α →o Set α := { toFun := fun s => (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ, monotone' := ⋯ }
\u22a2 ∃ h, Bijective h
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/SchroederBernstein.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f
hg : Injective g
hβ : Nonempty β
F : Set α →o Set α := { toFun := fun s => (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ, monotone' := ⋯ }
s : Set α := OrderHom.lfp F
\u22a2 ∃ h, Bijective h
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/SchroederBernstein.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f
hg : Injective g
hβ : Nonempty β
F : Set α →o Set α := { toFun := fun s => (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ, monotone' := ⋯ }
s : Set α := OrderHom.lfp F
hs : (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ = s
\u22a2 ∃ h, Bijective h
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/SchroederBernstein.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
g : β → α
hf : Injective f
hg : Injective g
hβ : Nonempty β
F : Set α →o Set α := { toFun := fun s => (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ, monotone' := ⋯ }
s : Set α := OrderHom.lfp F
hs : (g '' (f '' s)ᶜ)ᶜ = s
hns : g '' (f '' s)ᶜ = sᶜ
\u22a2 ∃ h, Bijective h