ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M₂
\u22a2 x ∈ map (snd R M M₂) (p.prod q) ↔ x ∈ q
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
\u22a2 (1 < a.x ∧ 0 < a.y ∧ ∀ (b : Solution₁ d), ∃ n, b = a ^ n ∨ b = -a ^ n) ↔ IsFundamental a
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : 1 < a.x ∧ 0 < a.y ∧ ∀ (b : Solution₁ d), ∃ n, b = a ^ n ∨ b = -a ^ n
\u22a2 IsFundamental a
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : 1 < a.x ∧ 0 < a.y ∧ ∀ (b : Solution₁ d), ∃ n, b = a ^ n ∨ b = -a ^ n
h₀ : 0 < d
\u22a2 IsFundamental a
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : 1 < a.x ∧ 0 < a.y ∧ ∀ (b : Solution₁ d), ∃ n, b = a ^ n ∨ b = -a ^ n
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
\u22a2 IsFundamental a
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : 1 < a.x ∧ 0 < a.y ∧ ∀ (b : Solution₁ d), ∃ n, b = a ^ n ∨ b = -a ^ n
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a₁ : Solution₁ d
ha₁ : IsFundamental a₁
\u22a2 IsFundamental a
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : 1 < a.x ∧ 0 < a.y ∧ ∀ (b : Solution₁ d), ∃ n, b = a ^ n ∨ b = -a ^ n
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a₁ : Solution₁ d
ha₁ : IsFundamental a₁
b : Solution₁ d
hb₂ : ∀ (y : Solution₁ d), (fun a₁ => 1 < a₁.x ∧ 0 < a₁.y ∧ ∀ (a : Solution₁ d), ∃ n, a = a₁ ^ n ∨ a = -a₁ ^ n) y → y = b
\u22a2 IsFundamental a
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
\u22a2 ∑ k ∈ range n, ↑k ^ p = ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / (↑p + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
hne : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0
\u22a2 ∑ k ∈ range n, ↑k ^ p = ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / (↑p + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
hne : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0
h_cauchy : ((PowerSeries.mk fun p => bernoulli p / ↑p !) * PowerSeries.mk fun q => (coeff ℚ (q + 1)) (exp ℚ ^ n)) = PowerSeries.mk fun p => ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / ↑(p + 1)!
hps : ∑ k ∈ range n, ↑k ^ p = (∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / ↑(p + 1)!) * ↑p !
\u22a2 ∑ k ∈ range n, ↑k ^ p = ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / (↑p + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
hne : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0
h_cauchy : ((PowerSeries.mk fun p => bernoulli p / ↑p !) * PowerSeries.mk fun q => (coeff ℚ (q + 1)) (exp ℚ ^ n)) = PowerSeries.mk fun p => ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / ↑(p + 1)!
hps : ∑ k ∈ range n, ↑k ^ p = (∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / ↑(p + 1)!) * ↑p !
\u22a2 ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / ↑(p + 1)! * ↑p ! = ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / (↑p + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
hne : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0
h_cauchy : ((PowerSeries.mk fun p => bernoulli p / ↑p !) * PowerSeries.mk fun q => (coeff ℚ (q + 1)) (exp ℚ ^ n)) = PowerSeries.mk fun p => ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / ↑(p + 1)!
hps : ∑ k ∈ range n, ↑k ^ p = (∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / ↑(p + 1)!) * ↑p !
x : ℕ
x✝ : x ∈ range (p + 1)
\u22a2 bernoulli x * ↑((p + 1).choose x) * ↑n ^ (p + 1 - x) / ↑(p + 1)! * ↑p ! = bernoulli x * ↑((p + 1).choose x) * ↑n ^ (p + 1 - x) / (↑p + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n p : ℕ
hne : ∀ (m : ℕ), ↑m ! ≠ 0
h_cauchy : ((PowerSeries.mk fun p => bernoulli p / ↑p !) * PowerSeries.mk fun q => (coeff ℚ (q + 1)) (exp ℚ ^ n)) = PowerSeries.mk fun p => ∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / ↑(p + 1)!
hps : ∑ k ∈ range n, ↑k ^ p = (∑ i ∈ range (p + 1), bernoulli i * ↑((p + 1).choose i) * ↑n ^ (p + 1 - i) / ↑(p + 1)!) * ↑p !
x : ℕ
x✝ : x ∈ range (p + 1)
\u22a2 bernoulli x * ↑((p + 1).choose x) * ↑n ^ (p + 1 - x) * ↑p ! * (↑p + 1) = bernoulli x * ↑((p + 1).choose x) * ↑n ^ (p + 1 - x) * ((↑p + 1) * ↑p !)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/BigOperators.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F
a : Set α
as : List (Set α)
\u22a2 ⇑f '' (a :: as).prod = (List.map (fun s => ⇑f '' s) (a :: as)).prod
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : IsProbabilityMeasure ν
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
h : ∀ (ε : ℝ) (B : Set Ω), δ < ε → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε B) + ENNReal.ofReal ε
\u22a2 levyProkhorovDist μ ν ≤ δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : IsProbabilityMeasure ν
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
h : ∀ (ε : ℝ) (B : Set Ω), δ < ε → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε B) + ENNReal.ofReal ε
\u22a2 levyProkhorovEDist μ ν ≤ ENNReal.ofReal δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : IsProbabilityMeasure ν
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
h : ∀ (ε : ℝ) (B : Set Ω), δ < ε → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε B) + ENNReal.ofReal ε
\u22a2 ∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), ENNReal.ofReal δ < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε.toReal B) + ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝ : IsProbabilityMeasure ν
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
h : ∀ (ε : ℝ) (B : Set Ω), δ < ε → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε B) + ENNReal.ofReal ε
ε : ℝ≥0∞
B : Set Ω
ε_gt : ENNReal.ofReal δ < ε
ε_lt_top : ε < ⊤
B_mble : MeasurableSet B
ε_gt' : δ < ε.toReal
\u22a2 ε = ENNReal.ofReal ε.toReal
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/SheafComparison.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.38229, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
inst✝¹ : Preregular C
inst✝ : FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
\u22a2 IsSheaf (coherentTopology C) F ↔ Nonempty (PreservesFiniteProducts F) ∧ EqualizerCondition F
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/SheafComparison.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.38229, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
inst✝¹ : Preregular C
inst✝ : FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
\u22a2 IsSheaf (extensiveTopology C) F ∧ IsSheaf (regularTopology C) F ↔ Nonempty (PreservesFiniteProducts F) ∧ EqualizerCondition F
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
h : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (fun x => ‖g x‖) x₀ (mul ℝ ℝ) μ
hmf : AEStronglyMeasurable f μ
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) μ)
\u22a2 ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
h : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (fun x => ‖g x‖) x₀ (mul ℝ ℝ) μ
hmf : AEStronglyMeasurable f μ
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) μ)
x : G
\u22a2 ‖(L (f x)) (g (x₀ - x))‖ ≤ ‖L‖ * ((mul ℝ ℝ) ((fun x => ‖f x‖) x)) ((fun x => ‖g x‖) (x₀ - x))
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : MeasurableNeg G
x₀ : G
h : ConvolutionExistsAt (fun x => ‖f x‖) (fun x => ‖g x‖) x₀ (mul ℝ ℝ) μ
hmf : AEStronglyMeasurable f μ
hmg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) μ)
x : G
\u22a2 ‖(L (f x)) (g (x₀ - x))‖ ≤ ‖L‖ * (fun x => ‖f x‖) x * (fun x => ‖g x‖) (x₀ - x)
-- Mathlib/Topology/Instances/Matrix.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
p : Type u_6
S : Type u_7
R : Type u_8
m' : l → Type u_9
n' : l → Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : DecidableEq l
A : X → (i : l) → Matrix (m' i) (n' i) R
hA : Continuous A
x✝¹ : (i : l) × m' i
x✝ : (i : l) × n' i
i₁ : l
i₂ : m' i₁
j₁ : l
j₂ : n' j₁
\u22a2 Continuous fun a => blockDiagonal' (A a) ⟨i₁, i₂⟩ ⟨j₁, j₂⟩
-- Mathlib/Topology/Instances/Matrix.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
p : Type u_6
S : Type u_7
R : Type u_8
m' : l → Type u_9
n' : l → Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : DecidableEq l
A : X → (i : l) → Matrix (m' i) (n' i) R
hA : Continuous A
x✝¹ : (i : l) × m' i
x✝ : (i : l) × n' i
i₁ : l
i₂ : m' i₁
j₁ : l
j₂ : n' j₁
\u22a2 Continuous fun a => if h : i₁ = j₁ then A a i₁ i₂ (cast ⋯ j₂) else 0
-- Mathlib/GroupTheory/FreeAbelianGroupFinsupp.lean
X : Type u_1
x : X
a : FreeAbelianGroup X
\u22a2 x ∈ a.support ↔ (coeff x) a ≠ 0
-- Mathlib/GroupTheory/FreeAbelianGroupFinsupp.lean
X : Type u_1
x : X
a : FreeAbelianGroup X
\u22a2 (toFinsupp a) x ≠ 0 ↔ (coeff x) a ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Hom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : Zero β
inst✝² : FunLike F α β
inst✝¹ : ZeroHomClass F α β
a : α
f : F
hf : Injective ⇑f
inst✝ : NeZero a
\u22a2 f a ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Hom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : Zero β
inst✝² : FunLike F α β
inst✝¹ : ZeroHomClass F α β
a : α
f : F
hf : Injective ⇑f
inst✝ : NeZero a
\u22a2 f a ≠ f 0
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
\u22a2 p = 0 ∨ p = ⊤ ∨ 0 < p.toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Inv G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableInv G
m : MeasurableSpace α
f✝ : α → G
μ : Measure α
G₀ : Type u_4
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : MeasurableSpace G₀
inst✝ : MeasurableInv G₀
f : α → G₀
h : AEMeasurable (fun x => (f x)⁻¹) μ
\u22a2 AEMeasurable f μ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
\u22a2 (eval P) (X y ^ 2 + C W'.a₁ * X x * X y * X z + C W'.a₃ * X y * X z ^ 3 - (X x ^ 3 + C W'.a₂ * X x ^ 2 * X z ^ 2 + C W'.a₄ * X x * X z ^ 4 + C W'.a₆ * X z ^ 6)) = P y ^ 2 + W'.a₁ * P x * P y * P z + W'.a₃ * P y * P z ^ 3 - (P x ^ 3 + W'.a₂ * P x ^ 2 * P z ^ 2 + W'.a₄ * P x * P z ^ 4 + W'.a₆ * P z ^ 6)
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.164386, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ : ComposableArrows C n
F G : ComposableArrows C (n + 1)
α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
β : F.δ₀ ≅ G.δ₀
w : F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app' β.hom 0 ⋯ = α.hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯
\u22a2 G.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app' β.inv 0 ⋯ = α.inv ≫ F.map' 0 1 ⋯ ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.164386, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ : ComposableArrows C n
F G : ComposableArrows C (n + 1)
α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
β : F.δ₀ ≅ G.δ₀
w : F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app' β.hom 0 ⋯ = α.hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯
\u22a2 F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ 𝟙 (F.δ₀.obj ⟨0, ⋯⟩) = F.map' 0 1 ⋯ ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.164386, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ : ComposableArrows C n
F G : ComposableArrows C (n + 1)
α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
β : F.δ₀ ≅ G.δ₀
w : F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app' β.hom 0 ⋯ = α.hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯
\u22a2 F.map (homOfLE ⋯) ≫ 𝟙 (F.obj 1) = F.map (homOfLE ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.164386, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ : ComposableArrows C n
F G : ComposableArrows C (n + 1)
α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
β : F.δ₀ ≅ G.δ₀
w : F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app' β.hom 0 ⋯ = α.hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯
\u22a2 homMkSucc α.hom β.hom w ≫ homMkSucc α.inv β.inv ⋯ = 𝟙 F
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.164386, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ : ComposableArrows C n
F G : ComposableArrows C (n + 1)
α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
β : F.δ₀ ≅ G.δ₀
w : F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app' β.hom 0 ⋯ = α.hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯
\u22a2 app' (homMkSucc α.hom β.hom w ≫ homMkSucc α.inv β.inv ⋯) 0 ⋯ = app' (𝟙 F) 0 ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.164386, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ : ComposableArrows C n
F G : ComposableArrows C (n + 1)
α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
β : F.δ₀ ≅ G.δ₀
w : F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app' β.hom 0 ⋯ = α.hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯
\u22a2 δ₀Functor.map (homMkSucc α.hom β.hom w ≫ homMkSucc α.inv β.inv ⋯) = δ₀Functor.map (𝟙 F)
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.164386, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ : ComposableArrows C n
F G : ComposableArrows C (n + 1)
α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
β : F.δ₀ ≅ G.δ₀
w : F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app' β.hom 0 ⋯ = α.hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯
\u22a2 homMkSucc α.inv β.inv ⋯ ≫ homMkSucc α.hom β.hom w = 𝟙 G
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.164386, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ : ComposableArrows C n
F G : ComposableArrows C (n + 1)
α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
β : F.δ₀ ≅ G.δ₀
w : F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app' β.hom 0 ⋯ = α.hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯
\u22a2 app' (homMkSucc α.inv β.inv ⋯ ≫ homMkSucc α.hom β.hom w) 0 ⋯ = app' (𝟙 G) 0 ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.164386, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ : ComposableArrows C n
F G : ComposableArrows C (n + 1)
α : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
β : F.δ₀ ≅ G.δ₀
w : F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app' β.hom 0 ⋯ = α.hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯
\u22a2 δ₀Functor.map (homMkSucc α.inv β.inv ⋯ ≫ homMkSucc α.hom β.hom w) = δ₀Functor.map (𝟙 G)
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : a = b⁻¹ * c
\u22a2 b * a = c
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : b * a = c
\u22a2 a = b⁻¹ * c
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
\u22a2 re (I * z) = -im z
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
x : ↥s
hxe : ↑x ∈ e.source
\u22a2 ↑e ↑x ∈ (e.subtypeRestr hs).target
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
x : ↥s
hxe : ↑x ∈ e.source
\u22a2 ↑e ↑x ∈ ↑e.symm ⁻¹' (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).target
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
x : ↥s
hxe : ↑x ∈ e.source
\u22a2 ↑x ∈ ↑s
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
f : α → β
a : α
b : β
h : ∃ a ∈ s, f a = b
\u22a2 invFunOn f s b ∈ s ∧ f (invFunOn f s b) = b
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
f : α → β
a : α
b : β
h : ∃ a ∈ s, f a = b
\u22a2 Classical.choose h ∈ s ∧ f (Classical.choose h) = b
-- Mathlib/RingTheory/TwoSidedIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
carrier : Set R
zero_mem : 0 ∈ carrier
add_mem : ∀ {x y : R}, x ∈ carrier → y ∈ carrier → x + y ∈ carrier
neg_mem : ∀ {x : R}, x ∈ carrier → -x ∈ carrier
mul_mem_left : ∀ {x y : R}, y ∈ carrier → x * y ∈ carrier
mul_mem_right : ∀ {x y : R}, x ∈ carrier → x * y ∈ carrier
x : R
\u22a2 x ∈ mk' carrier zero_mem ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ↔ x ∈ carrier
-- Mathlib/RingTheory/TwoSidedIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
carrier : Set R
zero_mem : 0 ∈ carrier
add_mem : ∀ {x y : R}, x ∈ carrier → y ∈ carrier → x + y ∈ carrier
neg_mem : ∀ {x : R}, x ∈ carrier → -x ∈ carrier
mul_mem_left : ∀ {x y : R}, y ∈ carrier → x * y ∈ carrier
mul_mem_right : ∀ {x y : R}, x ∈ carrier → x * y ∈ carrier
x : R
\u22a2 (mk' carrier zero_mem ⋯ ⋯ ⋯ ⋯).ringCon x 0 ↔ x ∈ carrier
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Scheme.lean
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
U U' : Y.Opens
V V' : X.Opens
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ U
i : op U' ⟶ op U
\u22a2 Y.presheaf.map i ≫ f.appLE U V e = f.appLE U' V ⋯
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Scheme.lean
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
U U' : Y.Opens
V V' : X.Opens
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ U
i : op U' ⟶ op U
\u22a2 f.app U' ≫ X.presheaf.map (((Opens.map f.val.base).map i.unop).op ≫ (homOfLE e).op) = f.appLE U' V ⋯
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
inst✝ : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
ι : Type u
R : ι → ι → Prop
x : F (α ::: ι)
f : ι → ι
hh : ∀ (x : ι), R (f x) x
\u22a2 LiftR' (α.RelLast' R) ((TypeVec.id ::: f) <$$> x) x
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
inst✝ : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
ι : Type u
R : ι → ι → Prop
x : F (α ::: ι)
f : ι → ι
hh : ∀ (x : ι), R (f x) x
this : LiftR' (α.RelLast' R) ((TypeVec.id ::: f) <$$> x) ((TypeVec.id ::: _root_.id) <$$> x)
\u22a2 LiftR' (α.RelLast' R) ((TypeVec.id ::: f) <$$> x) x
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
c : Code
k k' : Cont
v : List ℕ
\u22a2 stepNormal c (k.then k') v = (stepNormal c k v).then k'
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b✝ m n✝ p✝ n p b : ℕ
pp : Prime p
hn : n ≠ 0
hb : n ≤ p ^ b
x : ℕ
\u22a2 x ∈ Finset.filter (fun i => p ^ i ∣ n) (Ico 1 n) ↔ x ∈ Finset.filter (fun i => p ^ i ∣ n) (Icc 1 b)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b✝ m n✝ p✝ n p b : ℕ
pp : Prime p
hn : n ≠ 0
hb : n ≤ p ^ b
x : ℕ
\u22a2 p ^ x ∣ n → 1 ≤ x → (x < n ↔ x ≤ b)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b✝ m n✝ p✝ n p b : ℕ
pp : Prime p
hn : n ≠ 0
hb : n ≤ p ^ b
x : ℕ
h1 : p ^ x ∣ n
\u22a2 x < n ↔ x ≤ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < 0 → Ordinal.{max u_4 u_5}
\u22a2 blsub 0 f = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
hx : x ≠ 0
\u22a2 o.oangle (-x) x = ↑π
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a✝ b✝ c✝ d e : α
m n : ℤ
a : α
h : 0 < a
b c : α
hc₀ : 0 < c
hc : b * c < a
\u22a2 b < c⁻¹ * a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
\u22a2 (μ.restrict (⋃ i, s i)) t = ⨆ i, (μ.restrict (s i)) t
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
\u22a2 μ (⋃ i, t ∩ s i) = ⨆ i, μ (t ∩ s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
\u22a2 Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun i => t ∩ s i
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
n : ℤ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : T ^ n • z ∈ 𝒟ᵒ
\u22a2 n = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
n : ℤ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : T ^ n • z ∈ 𝒟ᵒ
\u22a2 |↑n| < 1
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
n : ℤ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : T ^ n • z ∈ 𝒟ᵒ
h₁ : |z.re| < 1 / 2
\u22a2 |↑n| < 1
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
n : ℤ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : T ^ n • z ∈ 𝒟ᵒ
h₁ : |z.re| < 1 / 2
h₂ : |(T ^ n • z).re| < 1 / 2
\u22a2 |↑n| < 1
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
n : ℤ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : T ^ n • z ∈ 𝒟ᵒ
h₁ : |z.re| < 1 / 2
h₂ : |z.re + ↑n| < 1 / 2
\u22a2 |↑n| < 1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
\u22a2 angle x (x - y) ≤ π / 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
\u22a2 angle x (x - y) ≤ π / 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
\u22a2 angle x (x + -y) ≤ π / 2