ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : ¬p = 0
hq : q.Monic
h : ¬q.degree ≤ p.degree
\u22a2 (if h : q.Monic then (if h_1 : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0 then let z := C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree); let_fun _wf := ⋯; let dm := (p - q * z).divModByMonicAux ⋯; (z + dm.1, dm.2) else (0, p)).1 else 0).degree ≤ p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
A✝ : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R✝
n : ℕ
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : Semiring A✝
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
p✝ q r : R✝[X]
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
p : R[X]
f : R[X] →ₐ[R] A
\u22a2 eval₂ (algebraMap R A) (f X) p = f p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
A✝ : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R✝
n : ℕ
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : Semiring A✝
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
p✝ q r : R✝[X]
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
p : R[X]
f : R[X] →ₐ[R] A
\u22a2 eval₂ (algebraMap R A) (f X) p = f (p.sum fun n a => C a * X ^ n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
A✝ : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R✝
n : ℕ
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : Semiring A✝
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
p✝ q r : R✝[X]
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
p : R[X]
f : R[X] →ₐ[R] A
\u22a2 ∑ n ∈ p.support, (algebraMap R A) (p.coeff n) * f X ^ n = f (∑ n ∈ p.support, C (p.coeff n) * X ^ n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
A✝ : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R✝
n : ℕ
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : Semiring A✝
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
p✝ q r : R✝[X]
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
p : R[X]
f : R[X] →ₐ[R] A
\u22a2 ∑ n ∈ p.support, (algebraMap R A) (p.coeff n) * f X ^ n = ∑ x ∈ p.support, f (C (p.coeff x)) * f X ^ x
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type w
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Small.{v, u} R
\u22a2 Flat R M ↔ ∀ ⦃N N' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : Module R N] [inst_3 : Module R N'] (L : N →ₗ[R] N'), Function.Injective ⇑L → Function.Injective ⇑(lTensor M L)
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
_hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
n m : ℕ
hdvd : p ^ m ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
hnm✝ : n ≤ m
hnm : n < m
h0m : 0 < m
_wf : m - 1 < m
hnm1 : n ≤ m - 1
K : Subgroup G
hK : Nat.card ↥K = p ^ (m - 1) ∧ H ≤ K
\u22a2 p ^ (m - 1 + 1) ∣ Nat.card G
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
_hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
n m : ℕ
hdvd : p ^ m ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
hnm✝ : n ≤ m
hnm : n < m
h0m : 0 < m
_wf : m - 1 < m
hnm1 : n ≤ m - 1
K : Subgroup G
hK : Nat.card ↥K = p ^ (m - 1) ∧ H ≤ K
hdvd' : p ^ (m - 1 + 1) ∣ Nat.card G
K' : Subgroup G
hK' : Nat.card ↥K' = p ^ (m - 1 + 1) ∧ K ≤ K'
\u22a2 Nat.card ↥K' = p ^ m
-- Mathlib/Deprecated/Ring.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Semiring β
f : α → β
hf✝ : IsSemiringHom f
x y : α
hf : IsSemiringHom f
γ : Type u_1
inst✝ : Semiring γ
g : β → γ
hg : IsSemiringHom g
\u22a2 (g ∘ f) 0 = 0
-- Mathlib/Deprecated/Ring.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Semiring β
f : α → β
hf✝ : IsSemiringHom f
x y : α
hf : IsSemiringHom f
γ : Type u_1
inst✝ : Semiring γ
g : β → γ
hg : IsSemiringHom g
\u22a2 (g ∘ f) 1 = 1
-- Mathlib/Deprecated/Ring.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Semiring β
f : α → β
hf✝ : IsSemiringHom f
x✝ y✝ : α
hf : IsSemiringHom f
γ : Type u_1
inst✝ : Semiring γ
g : β → γ
hg : IsSemiringHom g
x y : α
\u22a2 (g ∘ f) (x + y) = (g ∘ f) x + (g ∘ f) y
-- Mathlib/Deprecated/Ring.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Semiring β
f : α → β
hf✝ : IsSemiringHom f
x✝ y✝ : α
hf : IsSemiringHom f
γ : Type u_1
inst✝ : Semiring γ
g : β → γ
hg : IsSemiringHom g
x y : α
\u22a2 (g ∘ f) (x * y) = (g ∘ f) x * (g ∘ f) y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
p : Submodule R M
k : ℕ
μ : R
hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
\u22a2 (genEigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ) k = Submodule.comap p.subtype ((f.genEigenspace μ) k)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
p : Submodule R M
k : ℕ
μ : R
hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
\u22a2 LinearMap.ker ((LinearMap.restrict f hfp - (algebraMap R (End R ↥p)) μ) ^ k) = LinearMap.ker (((f - (algebraMap R (End R M)) μ) ^ k) ∘ₗ p.subtype)
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
h h₁ h₂ : Set α → Set β
hh : Monotone h
\u22a2 (∀ s ∈ f, (𝓟 (h s)).NeBot) ↔ ∀ s ∈ f, (h s).Nonempty
-- Mathlib/Algebra/Regular/Pow.lean
R : Type u_1
a b : R
inst✝ : Monoid R
n : ℕ
rra : IsRightRegular a
\u22a2 IsRightRegular (a ^ n)
-- Mathlib/Algebra/Regular/Pow.lean
R : Type u_1
a b : R
inst✝ : Monoid R
n : ℕ
rra : IsRightRegular a
\u22a2 Function.Injective (fun x => x * a)^[n]
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : X → Prop
s : Set X
hx : x ∈ e.source
\u22a2 (∀ᶠ (y : Y) in 𝓝[↑e.symm ⁻¹' s] ↑e x, p (↑e.symm y)) ↔ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, p x
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : X → Prop
s : Set X
hx : x ∈ e.source
\u22a2 (∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, p (↑e.symm (↑e x))) ↔ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, p x
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : X → Prop
s : Set X
hx : x ∈ e.source
y : X
hy : ↑e.symm (↑e y) = y
\u22a2 p (↑e.symm (↑e y)) ↔ p y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
\u22a2 re ⟪x, y⟫_𝕜 = (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 2
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
\u22a2 re ⟪x, y⟫_𝕜 = (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - (‖x‖ * ‖x‖ - 2 * re ⟪x, y⟫_𝕜 + ‖y‖ * ‖y‖)) / 2
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Marginal.lean
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s✝ t✝ : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x y : (i : δ) → π i
i : δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s t : Finset δ
hst : Disjoint s t
\u22a2 ∫⋯∫⁻_s ∪ t, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_t, ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ∂μ
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
p₁ p₂ p₃ : ι
h₂₁ : p₂ = p₁
h₂₃ : p₂ = p₃
\u22a2 eqToHom ⋯ ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β
\u22a2 map f ⊤ = 𝓟 (range f)
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝ : Finset α
t✝ : Finset β
a : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
s t : Finset α
hf : Set.InjOn f (↑s ∪ ↑t)
\u22a2 f '' (↑s ∩ ↑t) = f '' ↑s ∩ f '' ↑t
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f : P1 →ᵃ[k] P2
p : P1
\u22a2 Function.Surjective ⇑f.linear ↔ Function.Surjective ⇑f
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f : P1 →ᵃ[k] P2
p : P1
h : ⇑f.linear = ⇑(Equiv.vaddConst (f p)).symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(Equiv.vaddConst p)
\u22a2 Function.Surjective ⇑f.linear ↔ Function.Surjective ⇑f
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SuperpolynomialDecay.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
\u22a2 SuperpolynomialDecay l k f ↔ ∀ (z : ℤ), Tendsto (fun a => k a ^ z * f a) l (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SuperpolynomialDecay.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
h : SuperpolynomialDecay l k f
z : ℤ
\u22a2 Tendsto (fun a => k a ^ z * f a) l (𝓝 0)
-- Mathlib/CategoryTheory/ClosedUnderIsomorphisms.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P Q : C → Prop
X : C
\u22a2 isoClosure P X ↔ ∃ Y x, Nonempty (X ≅ Y)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → LinearOrder (α i)
x y : (i : ι) → α i
i₀ : ι
m : α i₀
hm : m ∈ Icc (x i₀) (y i₀)
\u22a2 ((univ.pi fun i => Ioc (x i) (update y i₀ m i)) ∪ univ.pi fun i => Ioc (update x i₀ m i) (y i)) = univ.pi fun i => Ioc (x i) (y i)
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
\u22a2 ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
\u22a2 ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
\u22a2 ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)
q_pos : 0 < Fintype.card Fq
q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)
le_b : ¬b.natDegree ≤ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊
\u22a2 ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)
q_pos : 0 < Fintype.card Fq
q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)
le_b : ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊ < b.natDegree
\u22a2 ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)
q_pos : 0 < Fintype.card Fq
q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)
le_b : ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊ < b.natDegree
i₀ i₁ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
deg_lt : (A i₁ % b - A i₀ % b).degree < ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
\u22a2 ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)
q_pos : 0 < Fintype.card Fq
q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)
le_b : ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊ < b.natDegree
i₀ i₁ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
deg_lt : (A i₁ % b - A i₀ % b).degree < ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
\u22a2 ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)
q_pos : 0 < Fintype.card Fq
q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)
le_b : ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊ < b.natDegree
i₀ i₁ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
deg_lt : (A i₁ % b - A i₀ % b).degree < ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b
\u22a2 ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)
q_pos : 0 < Fintype.card Fq
q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)
le_b : ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊ < b.natDegree
i₀ i₁ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
deg_lt : (A i₁ % b - A i₀ % b).degree < ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b
h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0
\u22a2 ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)
q_pos : 0 < Fintype.card Fq
q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)
le_b : ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊ < b.natDegree
i₀ i₁ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
deg_lt : (A i₁ % b - A i₀ % b).degree < ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b
h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0
\u22a2 ↑(A i₁ % b - A i₀ % b).natDegree < ↑b.natDegree + log ε / log ↑(Fintype.card Fq)
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)
q_pos : 0 < Fintype.card Fq
q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)
le_b : ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊ < b.natDegree
i₀ i₁ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
deg_lt : (A i₁ % b - A i₀ % b).degree < ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b
h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0
\u22a2 ℕ
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)
q_pos : 0 < Fintype.card Fq
q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)
le_b : ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊ < b.natDegree
i₀ i₁ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
deg_lt : (A i₁ % b - A i₀ % b).degree < ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b
h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0
\u22a2 ↑(A i₁ % b - A i₀ % b).natDegree < ↑?m.44242
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)
q_pos : 0 < Fintype.card Fq
q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)
le_b : ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊ < b.natDegree
i₀ i₁ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
deg_lt : (A i₁ % b - A i₀ % b).degree < ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b
h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0
\u22a2 ↑?m.44242 ≤ ↑b.natDegree + log ε / log ↑(Fintype.card Fq)
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)
q_pos : 0 < Fintype.card Fq
q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)
le_b : ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊ < b.natDegree
i₀ i₁ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
deg_lt : (A i₁ % b - A i₀ % b).degree < ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b
h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0
\u22a2 ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊) ≤ ↑b.natDegree + log ε / log ↑(Fintype.card Fq)
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)
q_pos : 0 < Fintype.card Fq
q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)
le_b : ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊ < b.natDegree
i₀ i₁ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
deg_lt : (A i₁ % b - A i₀ % b).degree < ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b
h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0
\u22a2 ↑(b.natDegree - ⌈-(log ε / log ↑(Fintype.card Fq))⌉₊) ≤ ↑b.natDegree - -(log ε / log ↑(Fintype.card Fq))
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)
q_pos : 0 < Fintype.card Fq
q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)
le_b : ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊ < b.natDegree
i₀ i₁ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
deg_lt : (A i₁ % b - A i₀ % b).degree < ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b
h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0
\u22a2 ↑(b.natDegree - ⌈-(log ε / log ↑(Fintype.card Fq))⌉₊) ≤ ↑b.natDegree - ↑⌈-(log ε / log ↑(Fintype.card Fq))⌉₊
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
A : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ → Fq[X]
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
one_lt_q : 1 < Fintype.card Fq
one_lt_q' : 1 < ↑(Fintype.card Fq)
q_pos : 0 < Fintype.card Fq
q_pos' : 0 < ↑(Fintype.card Fq)
le_b : ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊ < b.natDegree
i₀ i₁ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊).succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
deg_lt : (A i₁ % b - A i₀ % b).degree < ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
h : ¬A i₁ % b = A i₀ % b
h' : A i₁ % b - A i₀ % b ≠ 0
\u22a2 ↑(b.natDegree - ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊) ≤ ↑b.natDegree - ↑⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
\u22a2 ¬Summable fun n => (↑n)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
this : ¬Summable fun n => (↑n ^ 1)⁻¹
\u22a2 ¬Summable fun n => (↑n)⁻¹
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
n : ℕ
p : ℝ
hn : n ≠ 0
\u22a2 ↑n ≤ ENNReal.ofReal p ↔ ↑n ≤ p
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Types.lean
S : SheafOfTypes typesGrothendieckTopology
\u22a2 ({ val := (equivYoneda S.val ⋯).hom } ≫ { val := (equivYoneda S.val ⋯).inv }).val = (𝟙 S).val
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Types.lean
S : SheafOfTypes typesGrothendieckTopology
\u22a2 ({ val := (equivYoneda S.val ⋯).inv } ≫ { val := (equivYoneda S.val ⋯).hom }).val = (𝟙 (yoneda'.obj (S.val.obj (op PUnit.{?u.18004 + 1})))).val
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
x : ↥(f.equalizer g)
\u22a2 (f.comp (ι f g)) x = (g.comp (ι f g)) x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V W
W₁ : Type u_6
W₂ : Type u_7
W₃ : Type u_8
inst✝² : SeminormedAddCommGroup W₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup W₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W₃
g : NormedAddGroupHom V W
f₁ g₁ : NormedAddGroupHom V₁ W₁
f₂ g₂ : NormedAddGroupHom V₂ W₂
f₃ g₃ : NormedAddGroupHom V₃ W₃
x : ↥(f.equalizer g)
\u22a2 (f - g) ((ι f g) x) = 0
-- Mathlib/Data/List/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ
\u22a2 (antidiagonal n).length = n + 1