ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GluingOneHypercover.lean
D : GlueData
i₁ i₂ : D.J
x✝ : (fun x x => PUnit.{u + 1}) i₁ i₂
\u22a2 (fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂) i₁ i₂ x✝ ≫ D.ι i₁ = (fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁) i₁ i₂ x✝ ≫ D.ι i₂
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GluingOneHypercover.lean
D : GlueData
\u22a2 { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.sieve₀ ∈ zariskiTopology.sieves D.glued
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GluingOneHypercover.lean
D : GlueData
\u22a2 Sieve.generate (Presieve.ofArrows D.openCover.obj D.openCover.map) ≤ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.sieve₀
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GluingOneHypercover.lean
D : GlueData
\u22a2 Presieve.ofArrows D.openCover.obj D.openCover.map ≤ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.sieve₀.arrows
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GluingOneHypercover.lean
D : GlueData
i₁ i₂ : { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.I₀
W : Scheme
p₁ : W ⟶ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.X i₁
p₂ : W ⟶ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.X i₂
fac : p₁ ≫ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.f i₁ = p₂ ≫ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.f i₂
\u22a2 { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.sieve₁ p₁ p₂ ∈ zariskiTopology.sieves W
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GluingOneHypercover.lean
D : GlueData
i₁ i₂ : { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.I₀
W : Scheme
p₁ : W ⟶ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.X i₁
p₂ : W ⟶ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.X i₂
fac : p₁ ≫ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.f i₁ = p₂ ≫ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.f i₂
T : Scheme
g : T ⟶ W
x✝ : ⊤.arrows g
\u22a2 ({ I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.sieve₁ p₁ p₂).arrows g
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GluingOneHypercover.lean
D : GlueData
i₁ i₂ : { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.I₀
W : Scheme
p₁ : W ⟶ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.X i₁
p₂ : W ⟶ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.X i₂
fac : p₁ ≫ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.f i₁ = p₂ ≫ { I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.f i₂
T : Scheme
g : T ⟶ W
x✝ : ⊤.arrows g
φ : T ⟶ (D.vPullbackCone i₁ i₂).pt
h₁ : φ ≫ (D.vPullbackCone i₁ i₂).fst = g ≫ p₁
h₂ : φ ≫ (D.vPullbackCone i₁ i₂).snd = g ≫ p₂
\u22a2 ({ I₀ := D.J, X := D.U, f := D.ι, I₁ := fun x x => PUnit.{u + 1}, Y := fun i₁ i₂ x => D.V (i₁, i₂), p₁ := fun i₁ i₂ x => D.f i₁ i₂, p₂ := fun i₁ i₂ j => D.t i₁ i₂ ≫ D.f i₂ i₁, w := ⋯ }.sieve₁ p₁ p₂).arrows g
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f✝ f : ι → E
i : ι
hi : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = 0
j : ι
\u22a2 ⟪(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i, f j⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f✝ f : ι → E
i : ι
hi : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = 0
j : ι
\u22a2 f j ∈ (span 𝕜 {(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i})ᗮ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f✝ f : ι → E
i : ι
hi : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = 0
j : ι
\u22a2 span 𝕜 (gramSchmidtNormed 𝕜 f '' Set.Iic j) ⟂ span 𝕜 {(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i}
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f✝ f : ι → E
i : ι
hi : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = 0
j : ι
\u22a2 ∀ ⦃u : E⦄, u ∈ gramSchmidtNormed 𝕜 f '' Set.Iic j → ∀ ⦃v : E⦄, v ∈ {(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i} → ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f✝ f : ι → E
i : ι
hi : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = 0
j k : ι
left✝ : k ∈ Set.Iic j
hk : ¬gramSchmidtNormed 𝕜 f k = 0
\u22a2 ⟪gramSchmidtNormed 𝕜 f k, (gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f✝ f : ι → E
i : ι
hi : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = 0
j k : ι
left✝ : k ∈ Set.Iic j
hk : ¬gramSchmidtNormed 𝕜 f k = 0
\u22a2 ⟪(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) k, (gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f✝ f : ι → E
i : ι
hi : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = 0
j k : ι
left✝ : k ∈ Set.Iic j
hk : ¬gramSchmidtNormed 𝕜 f k = 0
this : k ≠ i
\u22a2 ⟪(gramSchmidtOrthonormalBasis h f) k, (gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
x₁ : M₁
x₂ : M₂
\u22a2 h.equiv.symm ((f x₁) x₂) = x₁ ⊗ₜ[R] x₂
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
x₁ : M₁
x₂ : M₂
\u22a2 h.equiv (h.equiv.symm ((f x₁) x₂)) = h.equiv (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : Module R M₁
inst✝⁸ : Module R M₂
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
f : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] M
N₁ : Type u_6
N₂ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R N
g : N₁ →ₗ[R] N₂ →ₗ[R] N
h : IsTensorProduct f
x₁ : M₁
x₂ : M₂
\u22a2 (f x₁) x₂ = h.equiv (x₁ ⊗ₜ[R] x₂)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
\u22a2 hausdorffEdist s u ≤ hausdorffEdist s t + hausdorffEdist t u
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
\u22a2 (⨆ x ∈ s, infEdist x u) ⊔ ⨆ y ∈ u, infEdist y s ≤ hausdorffEdist s t + hausdorffEdist t u
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
\u22a2 (∀ i ∈ s, infEdist i u ≤ hausdorffEdist s t + hausdorffEdist t u) ∧ ∀ i ∈ u, infEdist i s ≤ hausdorffEdist s t + hausdorffEdist t u
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q : C
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
A : BinaryBicone P Q
\u22a2 F.map A.inl ≫ F.map A.fst = 𝟙 (F.obj P)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q : C
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
A : BinaryBicone P Q
\u22a2 F.map A.inl ≫ F.map A.snd = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q : C
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
A : BinaryBicone P Q
\u22a2 F.map A.inr ≫ F.map A.fst = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q : C
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
A : BinaryBicone P Q
\u22a2 F.map A.inr ≫ F.map A.snd = 𝟙 (F.obj Q)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q : C
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X✝ Y✝ : BinaryBicone P Q
f : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 F.map f.hom ≫ ((fun A => { pt := F.obj A.pt, fst := F.map A.fst, snd := F.map A.snd, inl := F.map A.inl, inr := F.map A.inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯, inr_snd := ⋯ }) Y✝).fst = ((fun A => { pt := F.obj A.pt, fst := F.map A.fst, snd := F.map A.snd, inl := F.map A.inl, inr := F.map A.inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯, inr_snd := ⋯ }) X✝).fst
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q : C
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X✝ Y✝ : BinaryBicone P Q
f : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 F.map f.hom ≫ ((fun A => { pt := F.obj A.pt, fst := F.map A.fst, snd := F.map A.snd, inl := F.map A.inl, inr := F.map A.inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯, inr_snd := ⋯ }) Y✝).snd = ((fun A => { pt := F.obj A.pt, fst := F.map A.fst, snd := F.map A.snd, inl := F.map A.inl, inr := F.map A.inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯, inr_snd := ⋯ }) X✝).snd
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q : C
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X✝ Y✝ : BinaryBicone P Q
f : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 ((fun A => { pt := F.obj A.pt, fst := F.map A.fst, snd := F.map A.snd, inl := F.map A.inl, inr := F.map A.inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯, inr_snd := ⋯ }) X✝).inl ≫ F.map f.hom = ((fun A => { pt := F.obj A.pt, fst := F.map A.fst, snd := F.map A.snd, inl := F.map A.inl, inr := F.map A.inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯, inr_snd := ⋯ }) Y✝).inl
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q : C
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X✝ Y✝ : BinaryBicone P Q
f : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 ((fun A => { pt := F.obj A.pt, fst := F.map A.fst, snd := F.map A.snd, inl := F.map A.inl, inr := F.map A.inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯, inr_snd := ⋯ }) X✝).inr ≫ F.map f.hom = ((fun A => { pt := F.obj A.pt, fst := F.map A.fst, snd := F.map A.snd, inl := F.map A.inl, inr := F.map A.inr, inl_fst := ⋯, inl_snd := ⋯, inr_fst := ⋯, inr_snd := ⋯ }) Y✝).inr
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Bound.lean
α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
l : ℕ
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : ι → ι → Prop
inst✝ : DecidableRel r
s t : Finset ι
x : 𝕜
hst : s ⊆ t
f : ι → 𝕜
d : 𝕜
hx : 0 ≤ x
hs : x ≤ |(∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card|
ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2
\u22a2 d + ↑s.card / ↑t.card * x ^ 2 ≤ (∑ i ∈ t, f i ^ 2) / ↑t.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Bound.lean
α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
l : ℕ
ι : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : ι → ι → Prop
inst✝ : DecidableRel r
s t : Finset ι
x : 𝕜
hst : s ⊆ t
f : ι → 𝕜
d : 𝕜
hx : 0 ≤ x
hs : x ≤ |(∑ i ∈ s, f i) / ↑s.card - (∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card|
ht : d ≤ ((∑ i ∈ t, f i) / ↑t.card) ^ 2
hscard : 0 = ↑s.card
\u22a2 d + ↑s.card / ↑t.card * x ^ 2 ≤ (∑ i ∈ t, f i ^ 2) / ↑t.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Bound.lean
α : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
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ι : Type u_2
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\u22a2 d + ↑s.card / ↑t.card * x ^ 2 ≤ (∑ i ∈ t, f i ^ 2) / ↑t.card
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𝕜 : Type u_3
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