ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Field/Subfield.lean
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
S : Set (Subfield K)
this : ∀ {s t : Subfield K}, ↑s ≤ ↑t ↔ s ≤ t
\u22a2 IsGLB S (sInf S)
-- Mathlib/Algebra/Field/Subfield.lean
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
S : Set (Subfield K)
this : ∀ {s t : Subfield K}, ↑s ≤ ↑t ↔ s ≤ t
\u22a2 IsGLB ((fun {x} => ↑x) '' S) ↑(sInf S)
-- Mathlib/Algebra/Field/Subfield.lean
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
S : Set (Subfield K)
this : ∀ {s t : Subfield K}, ↑s ≤ ↑t ↔ s ≤ t
\u22a2 ↑(sInf S) = ⨅ x ∈ S, ↑x
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Presheaf.lean
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
X : TopCat
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : ConcreteCategory C
F G : Presheaf C X
e : F ⟶ G
U V : Opens ↑X
h : U ≤ V
x : (forget C).obj (F.obj (op V))
\u22a2 (e.app (op U)) ((F.map (homOfLE h).op) x) = (G.map (homOfLE h).op) ((e.app (op V)) x)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
\u22a2 (AffineSubspace.map f s).WSameSide (f x) (f y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
\u22a2 SameRay R (f x -ᵥ f p₁) (f y -ᵥ f p₂)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
\u22a2 SameRay R (f.linear (x -ᵥ p₁)) (f.linear (y -ᵥ p₂))
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
n : ℕ
hn : 0 < n
\u22a2 x + ↑n * ↑m < (⇑f)^[n] x ↔ x + ↑m < f x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
b e : Pos
x✝ : Substring
h₁ : x✝.Valid
h₂ : { str := x✝.toString, startPos := b, stopPos := e }.Valid
\u22a2 (x✝.extract b e).Valid
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
b e : Pos
x✝ : Substring
h₁✝ : x✝.Valid
h₂ : { str := x✝.toString, startPos := b, stopPos := e }.Valid
l m r : List Char
h₁ : ValidFor l m r x✝
\u22a2 (x✝.extract b e).Valid
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
b e : Pos
x✝ : Substring
h₁✝ : x✝.Valid
l m : List Char
h₂ : { str := { data := m }, startPos := b, stopPos := e }.Valid
r : List Char
h₁ : ValidFor l m r x✝
\u22a2 (x✝.extract b e).Valid
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
b e : Pos
x✝ : Substring
h₁✝ : x✝.Valid
l m : List Char
h₂✝ : { str := { data := m }, startPos := b, stopPos := e }.Valid
r : List Char
h₁ : ValidFor l m r x✝
ml mm mr : List Char
h₂ : ValidFor ml mm mr { str := { data := m }, startPos := b, stopPos := e }
\u22a2 (x✝.extract b e).Valid
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
b e : Pos
x✝ : Substring
h₁✝ : x✝.Valid
l m : List Char
h₂✝ : { str := { data := m }, startPos := b, stopPos := e }.Valid
r : List Char
h₁ : ValidFor l m r x✝
ml mm mr : List Char
h₂ : ValidFor ml mm mr { str := { data := m }, startPos := b, stopPos := e }
l' r' : List Char
h₃ : ValidFor l' mm r' (x✝.extract b e)
\u22a2 (x✝.extract b e).Valid
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.6986, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
\u22a2 (cokernel.π f.op).unop ≫ f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.6986, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
\u22a2 (f.op ≫ cokernel.π f.op).unop = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.6986, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
\u22a2 f.op ≫ (kernel.ι f).op = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.6986, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
\u22a2 kernel.lift f (cokernel.π f.op).unop ⋯ ≫ (cokernel.desc f.op (kernel.ι f).op ⋯).unop = 𝟙 (Opposite.unop (cokernel f.op))
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.6986, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
\u22a2 (cokernel.desc f.op (kernel.ι f).op ⋯ ≫ (kernel.lift f (cokernel.π f.op).unop ⋯).op).unop = (𝟙 (cokernel f.op)).unop
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.6986, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
\u22a2 coequalizer.π f.op 0 ≫ cokernel.desc f.op (kernel.ι f).op ⋯ ≫ (kernel.lift f (cokernel.π f.op).unop ⋯).op = coequalizer.π f.op 0 ≫ 𝟙 (cokernel f.op)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.6986, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B
\u22a2 ((cokernel.desc f.op (kernel.ι f).op ⋯).unop ≫ kernel.lift f (cokernel.π f.op).unop ⋯) ≫ equalizer.ι f 0 = 𝟙 (kernel f) ≫ equalizer.ι f 0
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Module.lean
R : Type u
inst✝⁶ : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M i)
N : Type u₁
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
φ : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
ψ ψ' : (⨁ (i : ι), M i) →ₗ[R] N
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
m : M i
a : ι
\u22a2 DFinsupp.equivFunOnFintype ((lof R ι M i) m) a = Pi.single i m a
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
j : ℕ
\u22a2 ∃ i, (i, j) ∉ μ.cells
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
j : ℕ
\u22a2 (fun i => (i, j) ∉ μ.cells) = fun j_1 => (j, j_1) ∉ μ.transpose
-- Mathlib/Data/Fintype/Pi.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s✝ : (a : α) → Finset (γ a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (δ a)
s : (i : α) → Finset (δ i)
i : α
t : Finset (δ i)
hts : t ⊆ s i
f : (a : α) → δ a
\u22a2 f ∈ piFinset (update s i t) ↔ f ∈ filter (fun f => f i ∈ t) (piFinset s)
-- Mathlib/Data/Fintype/Pi.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s✝ : (a : α) → Finset (γ a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (δ a)
s : (i : α) → Finset (δ i)
i : α
t : Finset (δ i)
hts : t ⊆ s i
f : (a : α) → δ a
\u22a2 (∀ (a : α), f a ∈ update s i t a) ↔ (∀ (a : α), f a ∈ s a) ∧ f i ∈ t
-- Mathlib/Algebra/Group/Even.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b : α
ha : IsSquare a
hb : IsSquare b
\u22a2 IsSquare (a / b)
-- Mathlib/Algebra/Group/Even.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b : α
ha : IsSquare a
hb : IsSquare b
\u22a2 IsSquare (a * b⁻¹)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Sort u_5
ι' : ι → Sort u_6
f : (i : ι) → ι' i → α → ℝ≥0∞
\u22a2 ⨆ i, ⨆ j, ∫⁻ (a : α), f i j a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ⨆ i, ⨆ j, f i j a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Sort u_5
ι' : ι → Sort u_6
f : (i : ι) → ι' i → α → ℝ≥0∞
a : α
\u22a2 ⨆ i, ⨆ j, f i j a = (⨆ i, ⨆ j, f i j) a
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
\u22a2 ({ X := X.X, actLeft := X.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := X.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.whiskerLeft f).hom = ((isoOfIso { hom := LeftUnitorBimod.hom M, inv := LeftUnitorBimod.inv M, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom ≫ f ≫ (isoOfIso { hom := LeftUnitorBimod.hom N, inv := LeftUnitorBimod.inv N, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).inv).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
\u22a2 coequalizer.π ({ X := X.X, actLeft := X.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := X.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actRight ▷ M.X) ((α_ { X := X.X, actLeft := X.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := X.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X X.X M.X).hom ≫ { X := X.X, actLeft := X.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := X.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X ◁ M.actLeft) ≫ ({ X := X.X, actLeft := X.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := X.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.whiskerLeft f).hom = coequalizer.π ({ X := X.X, actLeft := X.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := X.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actRight ▷ M.X) ((α_ { X := X.X, actLeft := X.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := X.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X X.X M.X).hom ≫ { X := X.X, actLeft := X.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := X.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X ◁ M.actLeft) ≫ ((isoOfIso { hom := LeftUnitorBimod.hom M, inv := LeftUnitorBimod.inv M, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).hom ≫ f ≫ (isoOfIso { hom := LeftUnitorBimod.hom N, inv := LeftUnitorBimod.inv N, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯ ⋯).inv).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
\u22a2 coequalizer.π (X.mul ▷ M.X) ((α_ X.X X.X M.X).hom ≫ X.X ◁ M.actLeft) ≫ colimMap (parallelPairHom (X.mul ▷ M.X) ((α_ X.X X.X M.X).hom ≫ X.X ◁ M.actLeft) (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft) ((X.X ⊗ X.X) ◁ f.hom) (X.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (X.mul ▷ M.X) ((α_ X.X X.X M.X).hom ≫ X.X ◁ M.actLeft) ≫ LeftUnitorBimod.hom M ≫ f.hom ≫ LeftUnitorBimod.inv N
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
\u22a2 X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (X.mul ▷ M.X) ((α_ X.X X.X M.X).hom ≫ X.X ◁ M.actLeft) ≫ LeftUnitorBimod.hom M ≫ f.hom ≫ LeftUnitorBimod.inv N
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
\u22a2 X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (X.mul ▷ M.X) ((α_ X.X X.X M.X).hom ≫ X.X ◁ M.actLeft) ≫ coequalizer.desc M.actLeft ⋯ ≫ f.hom ≫ LeftUnitorBimod.inv N
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
\u22a2 X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (M.actLeft ≫ f.hom) ≫ LeftUnitorBimod.inv N
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
\u22a2 X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (M.actLeft ≫ f.hom) ≫ (λ_ N.X).inv ≫ X.one ▷ N.X ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
\u22a2 X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = (((X.X ◁ f.hom ≫ N.actLeft) ≫ (λ_ N.X).inv) ≫ X.one ▷ N.X) ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
\u22a2 X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ≫ (((λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ 𝟙_ C ◁ N.actLeft) ≫ X.one ▷ N.X) ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
\u22a2 X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ≫ (λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ (X.one ▷ (X.X ⊗ N.X) ≫ X.X ◁ N.actLeft) ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
\u22a2 X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ≫ (λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ X.one ▷ (X.X ⊗ N.X) ≫ ((α_ X.X X.X N.X).inv ≫ (α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft) ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
\u22a2 X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ≫ (λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ X.one ▷ (X.X ⊗ N.X) ≫ (α_ X.X X.X N.X).inv ≫ X.mul ▷ N.X ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
\u22a2 X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ≫ (λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ (((α_ (𝟙_ C) X.X N.X).inv ≫ X.one ▷ X.X ▷ N.X) ≫ X.mul ▷ N.X) ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
\u22a2 X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ≫ (λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ (α_ (𝟙_ C) X.X N.X).inv ≫ (λ_ X.X).hom ▷ N.X ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
this : (λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ (α_ (𝟙_ C) X.X N.X).inv ≫ (λ_ X.X).hom ▷ N.X = 𝟙 (X.X ⊗ N.X)
\u22a2 X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ≫ (λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ (α_ (𝟙_ C) X.X N.X).inv ≫ (λ_ X.X).hom ▷ N.X ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y : Mon_ C
M N : Bimod X Y
f : M ⟶ N
this : (λ_ (X.X ⊗ N.X)).inv ≫ (α_ (𝟙_ C) X.X N.X).inv ≫ (λ_ X.X).hom ▷ N.X = 𝟙 (X.X ⊗ N.X)
\u22a2 X.X ◁ f.hom ≫ colimit.ι (parallelPair (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = X.X ◁ f.hom ≫ 𝟙 (X.X ⊗ N.X) ≫ coequalizer.π (X.mul ▷ N.X) ((α_ X.X X.X N.X).hom ≫ X.X ◁ N.actLeft)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m R
\u22a2 (Function.Surjective fun v => v ᵥ* A) ↔ IsUnit A
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
h : IsIdempotentComplete Cᵒᵖ
X : C
p : X ⟶ X
hp : p ≫ p = p
\u22a2 ∃ Y i e, i ≫ e = 𝟙 Y ∧ e ≫ i = p
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
h : IsIdempotentComplete Cᵒᵖ
X : C
p : X ⟶ X
hp : p ≫ p = p
Y : Cᵒᵖ
i : Y ⟶ op X
e : op X ⟶ Y
h₁ : i ≫ e = 𝟙 Y
h₂ : e ≫ i = p.op
\u22a2 ∃ Y i e, i ≫ e = 𝟙 Y ∧ e ≫ i = p
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
h : IsIdempotentComplete Cᵒᵖ
X : C
p : X ⟶ X
hp : p ≫ p = p
Y : Cᵒᵖ
i : Y ⟶ op X
e : op X ⟶ Y
h₁ : i ≫ e = 𝟙 Y
h₂ : e ≫ i = p.op
\u22a2 e.unop ≫ i.unop = 𝟙 (unop Y) ∧ i.unop ≫ e.unop = p
-- Mathlib/Logic/IsEmpty.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
p : Prop
\u22a2 IsEmpty p ↔ ¬p
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
h : UniqueMul A B a0 b0
x1 y1 : G
hx : x1 ∈ A ∧ y1 ∈ B ∧ x1 * y1 = a0 * b0
x2 y2 : G
hy : x2 ∈ A ∧ y2 ∈ B ∧ x2 * y2 = a0 * b0
\u22a2 (x1, y1) = (x2, y2)
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
x1 y1 x2 y2 : G
h : UniqueMul A B x1 y1
hx : x1 ∈ A ∧ y1 ∈ B ∧ x1 * y1 = x1 * y1
hy : x2 ∈ A ∧ y2 ∈ B ∧ x2 * y2 = x1 * y1
\u22a2 (x1, y1) = (x2, y2)
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
x2 y2 : G
h : UniqueMul A B x2 y2
hx hy : x2 ∈ A ∧ y2 ∈ B ∧ x2 * y2 = x2 * y2
\u22a2 (x2, y2) = (x2, y2)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
r : K[X]
hr : Polynomial.map (algebraMap R K) p = Polynomial.map (algebraMap R K) q * r
\u22a2 q ∣ p
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
r : K[X]
hr : Polynomial.map (algebraMap R K) p = Polynomial.map (algebraMap R K) q * r
d' : R[X]
hr' : Polynomial.map (algebraMap R K) d' * C r.leadingCoeff = r
\u22a2 q ∣ p
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
r : K[X]
hr : Polynomial.map (algebraMap R K) p = Polynomial.map (algebraMap R K) q * r
d' : R[X]
hr' : Polynomial.map (algebraMap R K) d' = r
\u22a2 q ∣ p
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
r : K[X]
hr : Polynomial.map (algebraMap R K) p = Polynomial.map (algebraMap R K) q * r
d' : R[X]
hr' : Polynomial.map (algebraMap R K) d' * C r.leadingCoeff = r
\u22a2 r.Monic
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
\u22a2 β (coroot α) = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) β)
x_ne0 : x ≠ 0
\u22a2 β (coroot α) = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))