ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Order/ScottTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
s✝ : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScottHausdorff α
s : Set α
h : IsOpen s
d : Set α
hd₁ : d.Nonempty
hd₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d
a : α
hda : IsLUB d a
hd₃ : a ∈ s
\u22a2 (d ∩ s).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Order/ScottTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
s✝ : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScottHausdorff α
s : Set α
h : IsOpen s
d : Set α
hd₁ : d.Nonempty
hd₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d
a : α
hda : IsLUB d a
hd₃ : a ∈ s
b : α
hbd : b ∈ d
hb : Ici b ∩ d ⊆ s
\u22a2 (d ∩ s).Nonempty
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a c b : Ordinal.{u}
ha : 0 < a
hc : 0 < c
hca : c ≤ a ^ ω
\u22a2 nfp (fun x => a * x) (a ^ ω * b + c) = a ^ ω * succ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a c b : Ordinal.{u}
ha : 0 < a
hc : 0 < c
hca : c ≤ a ^ ω
\u22a2 nfp (fun x => a * x) (a ^ ω * b + c) ≤ a ^ ω * succ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a c b : Ordinal.{u}
ha : 0 < a
hc : 0 < c
hca : c ≤ a ^ ω
\u22a2 a ^ ω * succ b ≤ nfp (fun x => a * x) (a ^ ω * b + c)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
ha : a₂ ≤ a₁
hb : b₁ ≤ b₂
\u22a2 Ico a₁ b₁ ⊆ Ico a₂ b₂
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v✝ w v : V
p : G.Walk v v
hp✝ : p.IsCycle
hp : p.IsTrail
hp' : p ≠ nil
support_nodup✝ : p.support.tail.Nodup
\u22a2 3 ≤ p.length
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R✝ : Type u
S : Type v
a b c d : R✝
n✝¹ m : ℕ
inst✝² : Semiring R✝
inst✝¹ : Nontrivial R✝
p q : R✝[X]
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
a✝ : Nontrivial R
\u22a2 (X ^ n).natDegree ≤ n
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/ClosureSwap.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set G
h : ∀ g ∈ S, (fixedBy α g)ᶜ.Finite
g : G
hg : g ∈ closure S
\u22a2 (fixedBy α g)ᶜ.Finite
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/ClosureSwap.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set G
h : ∀ g ∈ S, (fixedBy α g)ᶜ.Finite
g✝ : G
hg✝ : g✝ ∈ closure S
g g' : G
hg : (fixedBy α g)ᶜ.Finite
hg' : (fixedBy α g')ᶜ.Finite
\u22a2 (fixedBy α (g * g'))ᶜ ⊆ (fixedBy α g)ᶜ ∪ (fixedBy α g')ᶜ
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n i : ℤ
\u22a2 -i % 2 = i % 2
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n i : ℤ
\u22a2 (-i - i) % 2 = 0
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n i : ℤ
\u22a2 -i - i = 2 * -i
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
U : ι → Set α
h : (𝓝 1).HasBasis p U
\u22a2 (𝓤 α).HasBasis p fun i => {x | x.1 / x.2 ∈ U i}
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
U : ι → Set α
h : (𝓝 1).HasBasis p U
\u22a2 (Filter.comap (fun x => x.1 / x.2) (𝓝 1)).HasBasis p fun i => {x | x.1 / x.2 ∈ U i}
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : Nonempty ι
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
\u22a2 LocallyConvexSpace ℝ E
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : Nonempty ι
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
this : TopologicalAddGroup E
\u22a2 LocallyConvexSpace ℝ E
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : Nonempty ι
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
this : TopologicalAddGroup E
\u22a2 (𝓝 0).HasBasis (fun s => s ∈ p.basisSets) id
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁷ : Nonempty ι
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
this : TopologicalAddGroup E
\u22a2 ∀ i ∈ p.basisSets, Convex ℝ (id i)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Nontrivial S
inst✝⁴ : IsDedekindDomain S
inst✝³ : Module.Free ℤ S
inst✝² : Module.Finite ℤ S
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ S
I : Ideal S
bI : Basis ι ℤ ↥I
e : S ≃ₗ[ℤ] ↥I := b.equiv bI (Equiv.refl ι)
\u22a2 (b.det (Subtype.val ∘ ⇑bI)).natAbs = absNorm I
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
K K' : ℝ≥0
f : α → β
g : β → γ
hg : LipschitzWith K g
hg' : AntilipschitzWith K' g
g0 : g 0 = 0
\u22a2 Integrable (g ∘ f) μ ↔ Integrable f μ
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2/Order.lean
α : Type ?u.2288
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
\u22a2 ↑((fun s => ⟨(s.inf, s.sup), ⋯⟩) s(a, b)) = (a, b) ∨ ↑((fun s => ⟨(s.inf, s.sup), ⋯⟩) s(a, b)) = (a, b).swap
-- Mathlib/Tactic/Abel.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
c n : ℤ
x a : α
n' : ℤ
a' : α
h₁ : c * n = n'
h₂ : smulg c a = a'
\u22a2 smulg c (termg n x a) = termg n' x a'
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
S : Type u_1
inst✝ : CommSemiring S
x y : S
I : Ideal S
\u22a2 x ∈ span {y} ⊔ I ↔ ∃ a, ∃ b ∈ I, a * y + b = x
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
S : Type u_1
inst✝ : CommSemiring S
x y : S
I : Ideal S
\u22a2 (∃ y_1 ∈ span {y}, ∃ z ∈ I, y_1 + z = x) ↔ ∃ a, ∃ b ∈ I, a * y + b = x
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Preorder (α i)
x y✝ y : (i : ι) → α i
\u22a2 (y ∈ univ.pi fun i => Iic (x i)) ↔ y ∈ Iic x
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
\u22a2 o.oangle x (-y) = o.oangle x y + ↑π
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
\u22a2 ↑(-(o.kahler x) y).arg = ↑((o.kahler x) y).arg + ↑π
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f✝ : α → E
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hpq : p ≤ q
hfq_m : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm f q μ < ⊤
hp0 : p ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤
\u22a2 eLpNorm f p μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f✝ : α → E
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hpq : p ≤ q
hfq_m : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm f q μ < ⊤
hp0 : p ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal
\u22a2 eLpNorm f p μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f✝ : α → E
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hpq : p ≤ q
hfq_m : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm f q μ < ⊤
hp0 : p ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal
hq_top : ¬q = ⊤
\u22a2 eLpNorm f p μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f✝ : α → E
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hpq : p ≤ q
hfq_m : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm f q μ < ⊤
hp0 : p ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal
hq_top : ¬q = ⊤
hq0 : q ≠ 0
\u22a2 eLpNorm f p μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f✝ : α → E
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hpq : p ≤ q
hfq_m : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm f q μ < ⊤
hp0 : p ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal
hq_top : ¬q = ⊤
hq0 : q ≠ 0
hpq_real : p.toReal ≤ q.toReal
\u22a2 eLpNorm f p μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f✝ : α → E
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hpq : p ≤ q
hfq_m : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm f q μ < ⊤
hp0 : p ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal
hq_top : ¬q = ⊤
hq0 : q ≠ 0
hpq_real : p.toReal ≤ q.toReal
\u22a2 eLpNorm' f p.toReal μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f✝ : α → E
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → E
hpq : p ≤ q
hfq_m : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm' f q.toReal μ < ⊤
hp0 : p ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal
hq_top : ¬q = ⊤
hq0 : q ≠ 0
hpq_real : p.toReal ≤ q.toReal
\u22a2 eLpNorm' f p.toReal μ < ⊤
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Measure.lean
ι : Type u_1
I : Box ι
inst✝ : Fintype ι
\u22a2 ↑I =ᶠ[ae volume] Box.Icc I
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Measure.lean
ι : Type u_1
I : Box ι
inst✝ : Fintype ι
\u22a2 (univ.pi fun i => Ioc (I.lower i) (I.upper i)) =ᶠ[ae volume] Box.Icc I
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T
m : M
s : ↥S
n : M
t : ↥S
\u22a2 x • (mk m s + mk n t) = x • mk m s + x • mk n t
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T
m : M
s : ↥S
n : M
t : ↥S
\u22a2 x • mk (t • m + s • n) (s * t) = mk (((IsLocalization.sec S x).2 * t) • (IsLocalization.sec S x).1 • m + ((IsLocalization.sec S x).2 * s) • (IsLocalization.sec S x).1 • n) ((IsLocalization.sec S x).2 * s * ((IsLocalization.sec S x).2 * t))
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T
m : M
s : ↥S
n : M
t : ↥S
\u22a2 IsLocalization.mk' T (IsLocalization.sec S x).1 (IsLocalization.sec S x).2 • mk (t • m + s • n) (s * t) = mk (((IsLocalization.sec S x).2 * t) • (IsLocalization.sec S x).1 • m + ((IsLocalization.sec S x).2 * s) • (IsLocalization.sec S x).1 • n) ((IsLocalization.sec S x).2 * s * ((IsLocalization.sec S x).2 * t))
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T
m : M
s : ↥S
n : M
t : ↥S
\u22a2 mk (((IsLocalization.sec S x).1 * ↑(IsLocalization.sec S x).2) • (t • m + s • n)) ((IsLocalization.sec S x).2 * (IsLocalization.sec S x).2 * (s * t)) = mk (((IsLocalization.sec S x).2 * t) • (IsLocalization.sec S x).1 • m + ((IsLocalization.sec S x).2 * s) • (IsLocalization.sec S x).1 • n) ((IsLocalization.sec S x).2 * s * ((IsLocalization.sec S x).2 * t))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
i✝ j✝ : n
t_hij : i✝ ≠ j✝
c✝ : R
\u22a2 { i := i✝, j := j✝, hij := t_hij, c := c✝ }.toMatrix * { i := i✝, j := j✝, hij := t_hij, c := c✝ }.inv.toMatrix = 1
-- Mathlib/Data/Setoid/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Setoid α)
\u22a2 sSup S = EqvGen.Setoid fun x y => ∃ r ∈ S, r.Rel x y
-- Mathlib/Data/Setoid/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Setoid α)
\u22a2 sSup S = sInf {s | ∀ ⦃x y : α⦄, (∃ r ∈ S, r.Rel x y) → s.Rel x y}
-- Mathlib/Data/Setoid/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Setoid α)
\u22a2 upperBounds S = {s | ∀ ⦃x y : α⦄, (∃ r ∈ S, r.Rel x y) → s.Rel x y}
-- Mathlib/Data/Setoid/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Setoid α)
\u22a2 {x | ∀ ⦃a : Setoid α⦄, a ∈ S → ∀ {x_1 y : α}, a.Rel x_1 y → x.Rel x_1 y} = {s | ∀ ⦃x y : α⦄, ∀ x_1 ∈ S, x_1.Rel x y → s.Rel x y}
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : NonAssocSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
L : Matrix m n α
M : Matrix n o α
inst✝ : NonAssocSemiring β
f : α →+* β
i✝ : m
j✝ : o
\u22a2 (L * M).map (⇑f) i✝ j✝ = (L.map ⇑f * M.map ⇑f) i✝ j✝
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
n m : ℕ
\u22a2 m ^^^ n ^^^ n = m
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Separation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
\u22a2 T0Space α ↔ ∀ (x y : α), (∀ r ∈ 𝓤 α, (x, y) ∈ r) → x = y
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
u : ι → ℝ
hu : Summable u
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableOn ℂ (F i) U
hU : IsOpen U
hF_le : ∀ (i : ι), ∀ w ∈ U, ‖F i w‖ ≤ u i
hz : z ∈ U
\u22a2 Tendsto (fun s => ∑ b ∈ s, deriv (F b) z) atTop (𝓝 (deriv (fun w => ∑' (i : ι), F i w) z))
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
u : ι → ℝ
hu : Summable u
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableOn ℂ (F i) U
hU : IsOpen U
hF_le : ∀ (i : ι), ∀ w ∈ U, ‖F i w‖ ≤ u i
hz : z ∈ U
hc : TendstoLocallyUniformlyOn (fun t x => ∑ n ∈ t, F n x) (fun x => ∑' (n : ι), F n x) atTop U
\u22a2 Tendsto (fun s => ∑ b ∈ s, deriv (F b) z) atTop (𝓝 (deriv (fun w => ∑' (i : ι), F i w) z))
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
u : ι → ℝ
hu : Summable u
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableOn ℂ (F i) U
hU : IsOpen U
hF_le : ∀ (i : ι), ∀ w ∈ U, ‖F i w‖ ≤ u i
hz : z ∈ U
hc : TendstoLocallyUniformlyOn (fun t x => ∑ n ∈ t, F n x) (fun x => ∑' (n : ι), F n x) atTop U
\u22a2 (fun s => ∑ b ∈ s, deriv (F b) z) = fun i => (deriv ∘ fun t x => ∑ n ∈ t, F n x) i z
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
u : ι → ℝ
hu : Summable u
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableOn ℂ (F i) U
hU : IsOpen U
hF_le : ∀ (i : ι), ∀ w ∈ U, ‖F i w‖ ≤ u i
hz : z ∈ U
hc : TendstoLocallyUniformlyOn (fun t x => ∑ n ∈ t, F n x) (fun x => ∑' (n : ι), F n x) atTop U
s : Finset ι
\u22a2 ∑ b ∈ s, deriv (F b) z = (deriv ∘ fun t x => ∑ n ∈ t, F n x) s z
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ✝ ν : Measure α
g : β → γ
hg : MeasurableEmbedding g
μ : Measure α
\u22a2 AEMeasurable (g ∘ f) μ ↔ AEMeasurable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ✝ ν : Measure α
g : β → γ
hg : MeasurableEmbedding g
μ : Measure α
H : AEMeasurable (g ∘ f) μ
\u22a2 AEMeasurable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ✝ ν : Measure α
g : β → γ
hg : MeasurableEmbedding g
μ : Measure α
H : AEMeasurable (g ∘ f) μ
\u22a2 AEMeasurable ((rangeSplitting g ∘ rangeFactorization g) ∘ f) μ
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
\u22a2 triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : IsEmpty α
\u22a2 triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
\u22a2 triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : ε ≤ 0
\u22a2 triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
\u22a2 triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊
\u22a2 triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊
hl : 4 / ε ≤ ↑l
\u22a2 triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊
hl : 4 / ε ≤ ↑l
hl' : Fintype.card α ≤ l
\u22a2 triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊
hl : 4 / ε ≤ ↑l
hl' : l ≤ Fintype.card α
\u22a2 triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P✝ : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊
hl : 4 / ε ≤ ↑l
hl' : l ≤ Fintype.card α
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : l ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) l
hP₄ : P.IsUniform G (ε / 8)
\u22a2 triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P✝ : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊
hl : 4 / ε ≤ ↑l
hl' : l ≤ Fintype.card α
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : l ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) l
hP₄ : P.IsUniform G (ε / 8)
this : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
\u22a2 triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P✝ : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊
hl : 4 / ε ≤ ↑l
hl' : l ≤ Fintype.card α
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : l ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) l
hP₄ : P.IsUniform G (ε / 8)
this : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
k : 2 * (↑G.edgeFinset.card - ↑(regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).edgeFinset.card) < 2 * ε * ↑(Fintype.card α ^ 2)
\u22a2 triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P✝ : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊
hl : 4 / ε ≤ ↑l
hl' : l ≤ Fintype.card α
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : l ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) l
hP₄ : P.IsUniform G (ε / 8)
this : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
k : 2 * (↑G.edgeFinset.card - ↑(regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).edgeFinset.card) < 2 * (ε * ↑(Fintype.card α ^ 2))
\u22a2 triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t : Finset α
P✝ : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊
hl : 4 / ε ≤ ↑l
hl' : l ≤ Fintype.card α
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : l ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) l
hP₄ : P.IsUniform G (ε / 8)
this : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
k : ↑G.edgeFinset.card - ↑(regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).edgeFinset.card < ε * ↑(Fintype.card α ^ 2)
\u22a2 triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card