ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝² : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : MetrizableSpace γ
hm : m ≤ m0
f g : β → γ
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
\u22a2 f =ᶠ[ae (μ.trim hm)] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝² : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : MetrizableSpace γ
hm : m ≤ m0
f g : β → γ
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
\u22a2 MeasurableSet {a | ¬f a = g a}
-- Mathlib/Data/Int/ModEq.lean
m n a b c d : ℤ
h₁ : a ≡ b [ZMOD n]
h₂ : c ≡ d [ZMOD n]
\u22a2 a - c ≡ b - d [ZMOD n]
-- Mathlib/Data/Int/ModEq.lean
m n a b c d : ℤ
h₁ : a ≡ b [ZMOD n]
h₂ : c ≡ d [ZMOD n]
\u22a2 a + -c ≡ b + -d [ZMOD n]
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
\u22a2 μ'.haarScalarFactor μ • μ s ≤ μ' s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ'.haarScalarFactor μ • μ s
\u22a2 r < μ' s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ'.haarScalarFactor μ • μ s
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
\u22a2 r < μ' s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ'.haarScalarFactor μ • μ s
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
this : ν s ≠ ⊤
\u22a2 r < μ' s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ'.haarScalarFactor μ • μ s
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
this : ν s ≠ ⊤
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
f_comp : HasCompactSupport f
hf : f ⁻¹' {1} ⊆ s
νf : r < ν (f ⁻¹' {1})
\u22a2 r < μ' s
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : PosNum
\u22a2 sub' 1 (a + a) = (neg a).bit1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : PosNum
\u22a2 a.bit0.pred'.toZNumNeg = (neg a).bit1
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
\u22a2 LiouvilleWith p (x + ↑n) ↔ LiouvilleWith p x
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
m : Multiset α
r : α → α → Prop
\u22a2 (∀ x ∈ m, r x x) → Rel r m m
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
m : Multiset α
r : α → α → Prop
\u22a2 (∀ x ∈ 0, r x x) → Rel r 0 0
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
m : Multiset α
r : α → α → Prop
\u22a2 ∀ (a : α) (s : Multiset α), ((∀ x ∈ s, r x x) → Rel r s s) → (∀ x ∈ a ::ₘ s, r x x) → Rel r (a ::ₘ s) (a ::ₘ s)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
x : T
\u22a2 ∃ y, x * (algebraMap R T) ↑y.2 = (algebraMap R T) y.1
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
x : T
y : S
s : ↥N
eq₁ : x * (algebraMap S T) ↑(y, s).2 = (algebraMap S T) (y, s).1
\u22a2 ∃ y, x * (algebraMap R T) ↑y.2 = (algebraMap R T) y.1
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
x : T
y : S
s : ↥N
eq₁ : x * (algebraMap S T) ↑(y, s).2 = (algebraMap S T) (y, s).1
z : R
t : ↥M
eq₂ : y * (algebraMap R S) ↑(z, t).2 = (algebraMap R S) (z, t).1
\u22a2 ∃ y, x * (algebraMap R T) ↑y.2 = (algebraMap R T) y.1
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
x : T
y : S
s : ↥N
eq₁ : x * (algebraMap S T) ↑(y, s).2 = (algebraMap S T) (y, s).1
z : R
t : ↥M
eq₂ : y * (algebraMap R S) ↑(z, t).2 = (algebraMap R S) (z, t).1
z' : R
t' : ↥M
eq₃ : ↑s * (algebraMap R S) ↑(z', t').2 = (algebraMap R S) (z', t').1
\u22a2 ∃ y, x * (algebraMap R T) ↑y.2 = (algebraMap R T) y.1
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → Subgroup G
hs : ∀ i ∈ s, (f i).FiniteIndex
\u22a2 (⨅ i ∈ s, f i).FiniteIndex
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → Subgroup G
hs : ∀ i ∈ s, (f i).FiniteIndex
\u22a2 (⨅ x, f ↑x).FiniteIndex
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
X₁ X₂ : C
α β : Ext (X₁ ⊞ X₂) Y n
h₁ : (mk₀ biprod.inl).comp α ⋯ = (mk₀ biprod.inl).comp β ⋯
h₂ : (mk₀ biprod.inr).comp α ⋯ = (mk₀ biprod.inr).comp β ⋯
this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C
\u22a2 α = β
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
X₁ X₂ : C
α β : Ext (X₁ ⊞ X₂) Y n
this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C
h₂ : ((mk₀ biprod.inr).comp α ⋯).hom = ((mk₀ biprod.inr).comp β ⋯).hom
h₁ : ((mk₀ biprod.inl).comp α ⋯).hom = ((mk₀ biprod.inl).comp β ⋯).hom
\u22a2 α.hom = β.hom
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
X₁ X₂ : C
α β : Ext (X₁ ⊞ X₂) Y n
this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C
h₁ : (DerivedCategory.singleFunctor C 0).map biprod.inl ≫ α.hom = (DerivedCategory.singleFunctor C 0).map biprod.inl ≫ β.hom
h₂ : (DerivedCategory.singleFunctor C 0).map biprod.inr ≫ α.hom = (DerivedCategory.singleFunctor C 0).map biprod.inr ≫ β.hom
\u22a2 α.hom = β.hom
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
X₁ X₂ : C
α β : Ext (X₁ ⊞ X₂) Y n
this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C
h₁ : (DerivedCategory.singleFunctor C 0).map biprod.inl ≫ α.hom = (DerivedCategory.singleFunctor C 0).map biprod.inl ≫ β.hom
h₂ : (DerivedCategory.singleFunctor C 0).map biprod.inr ≫ α.hom = (DerivedCategory.singleFunctor C 0).map biprod.inr ≫ β.hom
\u22a2 BinaryCofan.inl ((DerivedCategory.singleFunctor C 0).mapBinaryBicone (BinaryBiproduct.bicone X₁ X₂)).toCocone ≫ α.hom = BinaryCofan.inl ((DerivedCategory.singleFunctor C 0).mapBinaryBicone (BinaryBiproduct.bicone X₁ X₂)).toCocone ≫ β.hom
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
X₁ X₂ : C
α β : Ext (X₁ ⊞ X₂) Y n
this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C
h₁ : (DerivedCategory.singleFunctor C 0).map biprod.inl ≫ α.hom = (DerivedCategory.singleFunctor C 0).map biprod.inl ≫ β.hom
h₂ : (DerivedCategory.singleFunctor C 0).map biprod.inr ≫ α.hom = (DerivedCategory.singleFunctor C 0).map biprod.inr ≫ β.hom
\u22a2 BinaryCofan.inr ((DerivedCategory.singleFunctor C 0).mapBinaryBicone (BinaryBiproduct.bicone X₁ X₂)).toCocone ≫ α.hom = BinaryCofan.inr ((DerivedCategory.singleFunctor C 0).mapBinaryBicone (BinaryBiproduct.bicone X₁ X₂)).toCocone ≫ β.hom
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
n : ℕ
l : List α
h : l.Nodup
this : Pairwise (fun x x_1 => x ≠ x_1) l.sublists'
\u22a2 (sublistsLen n l).Nodup
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Images.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
\u22a2 (imageMonoIsoSource f).hom ≫ f = image.ι f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Images.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
\u22a2 (imageMonoIsoSource f).hom ≫ (imageMonoIsoSource f).inv ≫ image.ι f = image.ι f
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
d₁ : l₁.Nodup
d₂ : l₂.Nodup
\u22a2 l₁ ~ l₂ ↔ ∀ (a : α), a ∈ l₁ ↔ a ∈ l₂
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
d₁ : l₁.Nodup
d₂ : l₂.Nodup
H : ∀ (a : α), a ∈ l₁ ↔ a ∈ l₂
\u22a2 l₁ ~ l₂
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
s : Finset α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
\u22a2 ∑ s : Finset α, ↑((𝒜 ∪ ℬ).truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) + ∑ s : Finset α, ↑((𝒜 ⊼ ℬ).truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ∑ s : Finset α, ↑(𝒜.truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) + ∑ s : Finset α, ↑(ℬ.truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card))
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
s : Finset α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
\u22a2 ∀ s ∈ univ, ↑((𝒜 ∪ ℬ).truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) + ↑((𝒜 ⊼ ℬ).truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(𝒜.truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) + ↑(ℬ.truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card))
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
s : Finset α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
\u22a2 ∀ s ∈ univ, True
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t✝ : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : LinearOrder γ
a b : γ
s t : Set γ
ha : IsLeast s a
hb : IsLeast t b
\u22a2 min a b ∈ s ∪ t
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/ProjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasProjectiveResolutions C
inst✝ : EnoughProjectives C
Z : C
n : ℕ
\u22a2 HomologicalComplex.ExactAt (ofComplex Z) (n + 1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/ProjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasProjectiveResolutions C
inst✝ : EnoughProjectives C
Z : C
n : ℕ
\u22a2 (HomologicalComplex.sc' (ofComplex Z) (n + 1 + 1) (n + 1) n).Exact
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/ProjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasProjectiveResolutions C
inst✝ : EnoughProjectives C
Z : C
n : ℕ
\u22a2 (ShortComplex.mk ((ChainComplex.of (fun n => (ChainComplex.mkAux (over Z) (syzygies (Projective.π Z)) (syzygies (d (Projective.π Z))) (d (Projective.π Z)) (d (d (Projective.π Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.f, ⟨d S.f, ⋯⟩⟩) n).X₃) (fun n => (ChainComplex.mkAux (over Z) (syzygies (Projective.π Z)) (syzygies (d (Projective.π Z))) (d (Projective.π Z)) (d (d (Projective.π Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.f, ⟨d S.f, ⋯⟩⟩) n).g) ⋯).d (n + 1 + 1) (n + 1)) ((ChainComplex.of (fun n => (ChainComplex.mkAux (over Z) (syzygies (Projective.π Z)) (syzygies (d (Projective.π Z))) (d (Projective.π Z)) (d (d (Projective.π Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.f, ⟨d S.f, ⋯⟩⟩) n).X₃) (fun n => (ChainComplex.mkAux (over Z) (syzygies (Projective.π Z)) (syzygies (d (Projective.π Z))) (d (Projective.π Z)) (d (d (Projective.π Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.f, ⟨d S.f, ⋯⟩⟩) n).g) ⋯).d (n + 1) n) ⋯).Exact
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/ProjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasProjectiveResolutions C
inst✝ : EnoughProjectives C
Z : C
n : ℕ
\u22a2 (ShortComplex.mk (ChainComplex.mkAux (over Z) (syzygies (Projective.π Z)) (syzygies (d (Projective.π Z))) (d (Projective.π Z)) (d (d (Projective.π Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.f, ⟨d S.f, ⋯⟩⟩) (n + 1)).g (ChainComplex.mkAux (over Z) (syzygies (Projective.π Z)) (syzygies (d (Projective.π Z))) (d (Projective.π Z)) (d (d (Projective.π Z))) ⋯ (fun S => ⟨syzygies S.f, ⟨d S.f, ⋯⟩⟩) n).g ⋯).Exact
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝ : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
H : ∀ (r : ↑s), ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ M'
\u22a2 x ∈ M'
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝ : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
H : ∀ (r : ↑s), ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ M'
s' : Finset R
hs₁ : ↑s' ⊆ s
hs₂ : Ideal.span ↑s' = ⊤
\u22a2 x ∈ M'
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝ : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
s' : Finset R
hs₁ : ↑s' ⊆ s
hs₂ : Ideal.span ↑s' = ⊤
H : ∀ (r : { x // x ∈ s' }), ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ M'
\u22a2 x ∈ M'
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝ : Module R M'✝
I J : Ideal R
N✝ P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
s' : Finset R
hs₁ : ↑s' ⊆ s
hs₂ : Ideal.span ↑s' = ⊤
n₁ : { x // x ∈ s' } → ℕ
n₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s' }), ↑r ^ n₁ r • x ∈ M'
N : ℕ := s'.attach.sup n₁
\u22a2 x ∈ M'
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝ : Module R M'✝
I J : Ideal R
N✝ P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
s' : Finset R
hs₁ : ↑s' ⊆ s
hs₂ : Ideal.span ↑s' = ⊤
n₁ : { x // x ∈ s' } → ℕ
n₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s' }), ↑r ^ n₁ r • x ∈ M'
N : ℕ := s'.attach.sup n₁
hs' : Ideal.span ((fun x => x ^ N) '' ↑s') = ⊤
\u22a2 x ∈ M'
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝ : Module R M'✝
I J : Ideal R
N✝ P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
s' : Finset R
hs₁ : ↑s' ⊆ s
hs₂ : Ideal.span ↑s' = ⊤
n₁ : { x // x ∈ s' } → ℕ
n₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s' }), ↑r ^ n₁ r • x ∈ M'
N : ℕ := s'.attach.sup n₁
hs' : Ideal.span ((fun x => x ^ N) '' ↑s') = ⊤
\u22a2 ∀ (r : ↑((fun x => x ^ N) '' ↑s')), ↑r • x ∈ M'
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝ : Module R M'✝
I J : Ideal R
N✝ P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
s' : Finset R
hs₁ : ↑s' ⊆ s
hs₂ : Ideal.span ↑s' = ⊤
n₁ : { x // x ∈ s' } → ℕ
n₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s' }), ↑r ^ n₁ r • x ∈ M'
N : ℕ := s'.attach.sup n₁
hs' : Ideal.span ((fun x => x ^ N) '' ↑s') = ⊤
r : R
hr : r ∈ ↑s'
\u22a2 ↑⟨(fun x => x ^ N) r, ⋯⟩ • x ∈ M'
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝ : Module R M'✝
I J : Ideal R
N✝ P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
s' : Finset R
hs₁ : ↑s' ⊆ s
hs₂ : Ideal.span ↑s' = ⊤
n₁ : { x // x ∈ s' } → ℕ
n₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s' }), ↑r ^ n₁ r • x ∈ M'
N : ℕ := s'.attach.sup n₁
hs' : Ideal.span ((fun x => x ^ N) '' ↑s') = ⊤
r : R
hr : r ∈ ↑s'
\u22a2 ↑⟨(fun x => x ^ N) r, ⋯⟩ • x = r ^ (N - n₁ ⟨r, hr⟩) • ↑⟨r, hr⟩ ^ n₁ ⟨r, hr⟩ • x
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝ : Module R M'✝
I J : Ideal R
N✝ P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Submodule R M
s : Set R
hs : Ideal.span s = ⊤
x : M
s' : Finset R
hs₁ : ↑s' ⊆ s
hs₂ : Ideal.span ↑s' = ⊤
n₁ : { x // x ∈ s' } → ℕ
n₂ : ∀ (r : { x // x ∈ s' }), ↑r ^ n₁ r • x ∈ M'
N : ℕ := s'.attach.sup n₁
hs' : Ideal.span ((fun x => x ^ N) '' ↑s') = ⊤
r : R
hr : r ∈ ↑s'
\u22a2 r ^ N • x = r ^ (N - n₁ ⟨r, hr⟩ + n₁ ⟨r, hr⟩) • x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hg : S.g = 0
\u22a2 IsIso h.ι
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hg : S.g = 0
φ : h.Q ⟶ (KernelFork.ofι h.ι ⋯).pt
hφ : φ ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι h.ι ⋯) = 𝟙 h.Q
\u22a2 IsIso h.ι
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hg : S.g = 0
φ : h.Q ⟶ (KernelFork.ofι h.ι ⋯).pt
hφ : φ ≫ h.ι = 𝟙 h.Q
\u22a2 IsIso h.ι
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n✝ p✝ n p : ℕ
hn : Squarefree n
\u22a2 n.factorization p ≤ 1
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n p✝ p : ℕ
hn : Squarefree 0
\u22a2 (factorization 0) p ≤ 1
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n✝ p✝ n p : ℕ
hn : Squarefree n
hn' : n ≠ 0
\u22a2 n.factorization p ≤ 1
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n✝ p✝ n p : ℕ
hn : ∀ (x : ℕ), multiplicity x n ≤ 1 ∨ IsUnit x
hn' : n ≠ 0
\u22a2 n.factorization p ≤ 1
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g✝ s t✝ : ι → α
a b : α
γ : Type u_9
f : β → γ
g : γ → α
t : Set β
\u22a2 ⨆ c ∈ f '' t, g c = ⨆ b ∈ t, g (f b)
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g✝ s t✝ : ι → α
a b : α
γ : Type u_9
f : β → γ
g : γ → α
t : Set β
\u22a2 sSup (g ∘ f '' t) = sSup ((fun b => g (f b)) '' t)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : ClosedIicTopology α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : One α
f : β → α
hf : Continuous f
h : HasCompactMulSupport f
\u22a2 ∃ x, ∀ (y : β), f x ≤ f y
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : ClosedIicTopology α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : One α
f : β → α
hf : Continuous f
h : HasCompactMulSupport f
x : β
hx : f x ∈ lowerBounds (range f)
\u22a2 ∃ x, ∀ (y : β), f x ≤ f y
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : ClosedIicTopology α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : One α
f : β → α
hf : Continuous f
h : HasCompactMulSupport f
x : β
hx : ∀ (i : β), f x ≤ f i
\u22a2 ∃ x, ∀ (y : β), f x ≤ f y
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → G
hf : f =ᶠ[ae μ] 0
\u22a2 ∫ (a : α), f a ∂μ = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
h : a ∈ closedBall b r
\u22a2 a ^ n ∈ closedBall (b ^ n) (n • r)