ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.21569
L : Type ?u.21572
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
\u22a2 eval x (minpolyDiv R x) = eval x (derivative (minpolyDiv R x * (X - C x)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
y z : ℝ
x : ℝ≥0
hx : ↑x ≠ 0
h'x : ↑x ≠ ⊤
this : x ≠ 0
\u22a2 ↑x ^ (y + z) = ↑x ^ y * ↑x ^ z
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
k : ℕ
\u22a2 (ascPochhammer ℕ k).smeval (-r) = (-1) ^ k * (descPochhammer ℤ k).smeval r
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
b₁ b₂ : β
l : List α
h : b₁ ∈ map (const α b₂) l
\u22a2 b₁ = b₂
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
b₁ b₂ : β
l : List α
h : b₁ ∈ replicate l.length b₂
\u22a2 b₁ = b₂
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
hε : 0 ≤ ε
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
\u22a2 ↑(G.edgeDensity (SimpleGraph.badVertices G ε s t) t) ≤ ↑(G.edgeDensity s t) - ε
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
hε : 0 ≤ ε
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
\u22a2 ↑(↑(G.interedges (SimpleGraph.badVertices G ε s t) t).card / (↑(SimpleGraph.badVertices G ε s t).card * ↑t.card)) ≤ ↑(G.edgeDensity s t) - ε
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
hε : 0 ≤ ε
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
\u22a2 ↑(G.interedges (SimpleGraph.badVertices G ε s t) t).card / (↑(SimpleGraph.badVertices G ε s t).card * ↑t.card) ≤ ↑(G.edgeDensity s t) - ε
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
hε : 0 ≤ ε
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
\u22a2 ↑(G.interedges (SimpleGraph.badVertices G ε s t) t).card ≤ (↑(G.edgeDensity s t) - ε) * (↑(SimpleGraph.badVertices G ε s t).card * ↑t.card)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
hε : 0 ≤ ε
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
\u22a2 ↑(G.interedges (SimpleGraph.badVertices G ε s t) t).card ≤ ↑(SimpleGraph.badVertices G ε s t).card * ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : NonAssocSemiring α
inst✝² : NonAssocSemiring β
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : NonAssocSemiring S
f : R →+* S
M : Matrix n m R
v : n → R
i : m
\u22a2 f ((v ᵥ* M) i) = (⇑f ∘ v ᵥ* M.map ⇑f) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
v : ι →₀ R
\u22a2 (v.sum fun i vi => b.repr.symm (Finsupp.single i vi)) = (Finsupp.total ι M R ⇑b) v
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f g : α → β
inst✝¹ : SMul 𝕜 β
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 β
c : 𝕜
f' : α → β
h_f'_meas : StronglyMeasurable f'
hff' : f =ᶠ[ae μ] f'
\u22a2 AEStronglyMeasurable' m (c • f) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f g : α → β
inst✝¹ : SMul 𝕜 β
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 β
c : 𝕜
f' : α → β
h_f'_meas : StronglyMeasurable f'
hff' : f =ᶠ[ae μ] f'
\u22a2 c • f =ᶠ[ae μ] c • f'
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
x y : ℝ
hy : 0 ≤ y
\u22a2 (x / y).toNNReal = x.toNNReal / y.toNNReal
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l : List α
h : ∀ (i j : ℕ) (_hi : i < l.length) (_hj : j < l.length), i < j → l[i] ≠ l[j]
i : ℕ
hi : i < l.length
j : ℕ
hj : j < l.length
hg : (fun i => l[↑i]) ⟨i, hi⟩ = (fun i => l[↑i]) ⟨j, hj⟩
\u22a2 ⟨i, hi⟩ = ⟨j, hj⟩
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l : List α
h : ∀ (i j : ℕ) (_hi : i < l.length) (_hj : j < l.length), i < j → l[i] ≠ l[j]
i : ℕ
hi : i < l.length
j : ℕ
hj : j < l.length
hg : (fun i => l[↑i]) ⟨i, hi⟩ = (fun i => l[↑i]) ⟨j, hj⟩
hij : i < j
\u22a2 ⟨i, hi⟩ = ⟨j, hj⟩
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l : List α
h : ∀ (i j : ℕ) (_hi : i < l.length) (_hj : j < l.length), i < j → l[i] ≠ l[j]
i : ℕ
hi hj : i < l.length
hg : (fun i => l[↑i]) ⟨i, hi⟩ = (fun i => l[↑i]) ⟨i, hj⟩
\u22a2 ⟨i, hi⟩ = ⟨i, hj⟩
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l : List α
h : ∀ (i j : ℕ) (_hi : i < l.length) (_hj : j < l.length), i < j → l[i] ≠ l[j]
i : ℕ
hi : i < l.length
j : ℕ
hj : j < l.length
hg : (fun i => l[↑i]) ⟨i, hi⟩ = (fun i => l[↑i]) ⟨j, hj⟩
hji : j < i
\u22a2 ⟨i, hi⟩ = ⟨j, hj⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ
\u22a2 (1 / A) ^ n = 1 / A ^ n
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q✝ q : ℚ
n : ℕ
\u22a2 q ^ n = mkRat (q.num ^ n) (q.den ^ n)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s
hp2 : p2 ∈ s
r1 r2 : ℝ
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
\u22a2 dist (r1 • v +ᵥ p1) (r2 • v +ᵥ p2) * dist (r1 • v +ᵥ p1) (r2 • v +ᵥ p2) = ‖p1 -ᵥ p2 + (r1 - r2) • v‖ * ‖p1 -ᵥ p2 + (r1 - r2) • v‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s
hp2 : p2 ∈ s
r1 r2 : ℝ
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
\u22a2 ‖p1 -ᵥ p2‖ * ‖p1 -ᵥ p2‖ + ‖(r1 - r2) • v‖ * ‖(r1 - r2) • v‖ = ‖p1 -ᵥ p2‖ * ‖p1 -ᵥ p2‖ + |r1 - r2| * |r1 - r2| * ‖v‖ * ‖v‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s
hp2 : p2 ∈ s
r1 r2 : ℝ
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
\u22a2 ‖p1 -ᵥ p2‖ * ‖p1 -ᵥ p2‖ + |r1 - r2| * ‖v‖ * (|r1 - r2| * ‖v‖) = ‖p1 -ᵥ p2‖ * ‖p1 -ᵥ p2‖ + |r1 - r2| * |r1 - r2| * ‖v‖ * ‖v‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s
hp2 : p2 ∈ s
r1 r2 : ℝ
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
\u22a2 ‖p1 -ᵥ p2‖ * ‖p1 -ᵥ p2‖ + |r1 - r2| * |r1 - r2| * ‖v‖ * ‖v‖ = dist p1 p2 * dist p1 p2 + (r1 - r2) * (r1 - r2) * (‖v‖ * ‖v‖)
-- Mathlib/CategoryTheory/Dialectica/Monoidal.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C
\u22a2 (X.tensorObj Y).rel = (Subobject.pullback (prod.map (prod.braiding X.src Y.src).hom (prod.braiding X.tgt Y.tgt).hom)).obj (Y.tensorObj X).rel
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/MeasurePreserving.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
g : α → β
e : β ≃ᵐ γ
h : MeasurePreserving (⇑e) μb μc
\u22a2 MeasurePreserving (⇑e ∘ g) μa μc ↔ MeasurePreserving g μa μb
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/MeasurePreserving.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
g : α → β
e : β ≃ᵐ γ
h : MeasurePreserving (⇑e) μb μc
hg : MeasurePreserving (⇑e ∘ g) μa μc
\u22a2 MeasurePreserving g μa μb
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/MeasurePreserving.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
g : α → β
e : β ≃ᵐ γ
h : MeasurePreserving (⇑e) μb μc
hg : MeasurePreserving (⇑e ∘ g) μa μc
\u22a2 g = ⇑e.symm ∘ ⇑e ∘ g
-- Mathlib/Tactic/PushNeg.lean
p q : Prop
α : Sort u_1
s : α → Prop
\u22a2 ¬p ∧ q ∨ ¬¬p ∧ ¬q ↔ p ∧ ¬q ∨ ¬p ∧ q
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonAssocSemiring α
n : ℕ
a : α
\u22a2 n • a = ↑n * a
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ShortExact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.11180, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
inst✝ : Balanced C
\u22a2 IsIso S.g ↔ IsZero S.X₁
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ShortExact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.11180, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
inst✝ : Balanced C
this : HasZeroObject C
\u22a2 IsIso S.g ↔ IsZero S.X₁
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ShortExact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.11180, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
inst✝ : Balanced C
this✝ : HasZeroObject C
this : Mono S.f
\u22a2 IsIso S.g ↔ IsZero S.X₁
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ShortExact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.11180, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
inst✝ : Balanced C
this✝¹ : HasZeroObject C
this✝ : Mono S.f
this : Epi S.g
\u22a2 IsIso S.g ↔ IsZero S.X₁
-- Mathlib/Analysis/Convex/Quasiconvex.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
inst✝ : SemilatticeSup β
hf : QuasiconvexOn 𝕜 s f
hg : QuasiconvexOn 𝕜 s g
r : β
\u22a2 Convex 𝕜 {x | x ∈ s ∧ (f ⊔ g) x ≤ r}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Quasiconvex.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
s : Set E
f g : E → β
inst✝ : SemilatticeSup β
hf : QuasiconvexOn 𝕜 s f
hg : QuasiconvexOn 𝕜 s g
r : β
\u22a2 Convex 𝕜 ({x | x ∈ s ∧ f x ≤ r} ∩ {x | x ∈ s ∧ g x ≤ r})
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
\u22a2 (fun x => a + x) ⁻¹' [[b, c]] = [[b - a, c - a]]
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
\u22a2 automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) x = (g • automorphize f) x
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
\u22a2 ∀ (a : β), automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) (Quotient.mk'' a) = (g • automorphize f) (Quotient.mk'' a)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
\u22a2 automorphize (g ∘ Quotient.mk' • f) (Quotient.mk'' b) = (g • automorphize f) (Quotient.mk'' b)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
\u22a2 Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), g (Quotient.mk' (a • b)) • f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b) = g (Quotient.mk'' b) • Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
π : β → Quotient (orbitRel α β) := Quotient.mk (orbitRel α β)
\u22a2 Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), g (Quotient.mk' (a • b)) • f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b) = g (Quotient.mk'' b) • Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
π : β → Quotient (orbitRel α β) := Quotient.mk (orbitRel α β)
H₁ : ∀ (a : α), π (a • b) = π b
\u22a2 Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), g (Quotient.mk' (a • b)) • f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b) = g (Quotient.mk'' b) • Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
π : β → Quotient (orbitRel α β) := Quotient.mk (orbitRel α β)
H₁ : ∀ (a : α), π (a • b) = π b
\u22a2 ∑' (a : α), g (π b) • f (a • b) = g (π b) • ∑' (a : α), f (a • b)
-- Mathlib/Algebra/Quandle.lean
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y : R
\u22a2 (x ◃⁻¹ x) ◃ y = x ◃ y
-- Mathlib/Algebra/Quandle.lean
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y : R
h : (op x ◃ op x) ◃⁻¹ op y = op x ◃⁻¹ op y
\u22a2 (x ◃⁻¹ x) ◃ y = x ◃ y
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
x x' : PGame
x_num : x.Numeric
x'_num : x'.Numeric
h : x' ≤ x
\u22a2 (x.insertLeft x').Numeric
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
x x' : PGame
x_num : x.Numeric
x'_num : x'.Numeric
h : (∀ (i : x'.LeftMoves), x'.moveLeft i < x) ∧ ∀ (j : x.RightMoves), x' < x.moveRight j
\u22a2 (x.insertLeft x').Numeric
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
x' : PGame
x'_num : x'.Numeric
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
h : (∀ (i : x'.LeftMoves), x'.moveLeft i < mk xl xr xL xR) ∧ ∀ (j : (mk xl xr xL xR).RightMoves), x' < (mk xl xr xL xR).moveRight j
x_num : match mk xl xr xL xR with | mk α β L R => (∀ (i : α) (j : β), L i < R j) ∧ (∀ (i : α), (L i).Numeric) ∧ ∀ (j : β), (R j).Numeric
\u22a2 match (mk xl xr xL xR).insertLeft x' with | mk α β L R => (∀ (i : α) (j : β), L i < R j) ∧ (∀ (i : α), (L i).Numeric) ∧ ∀ (j : β), (R j).Numeric
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
x' : PGame
x'_num : x'.Numeric
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
h : (∀ (i : x'.LeftMoves), x'.moveLeft i < mk xl xr xL xR) ∧ ∀ (j : (mk xl xr xL xR).RightMoves), x' < (mk xl xr xL xR).moveRight j
x_num : (∀ (i : xl) (j : xr), xL i < xR j) ∧ (∀ (i : xl), (xL i).Numeric) ∧ ∀ (j : xr), (xR j).Numeric
\u22a2 ((∀ (a : xl) (j : xr), xL a < xR j) ∧ ∀ (j : xr), x' < xR j) ∧ ((∀ (a : xl), (xL a).Numeric) ∧ x'.Numeric) ∧ ∀ (j : xr), (xR j).Numeric
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → F
u : Fˣ
\u22a2 toAffine W ((fun m => m • Q) u) = toAffine W Q
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Identities.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
x : 𝕎 R
\u22a2 (x * ↑p).coeff 0 = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
s✝ s t : Set (Sym2 V)
v w : V
\u22a2 (fromEdgeSet (s ∪ t)).Adj v w ↔ (fromEdgeSet s ⊔ fromEdgeSet t).Adj v w
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommMonoid P
inst✝⁸ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
g : M₂ →ₗ[R] M
x✝ : ι → M₂
\u22a2 (compLinearMap 0 g) x✝ = 0 x✝
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
p : ZFSet → Prop
x y : ZFSet
\u22a2 Hereditarily p x ↔ p x ∧ ∀ y ∈ x, Hereditarily p y
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/LapMatrix.lean
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : LinearOrderedField R
x : V → R
\u22a2 (((toLinearMap₂' R) (lapMatrix R G)) x) x = 0 ↔ ∀ (i j : V), G.Adj i j → x i = x j
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n p : ℕ
hn : Squarefree n
\u22a2 ∏ p ∈ n.primeFactors, p = n
-- Mathlib/Data/Nat/ChineseRemainder.lean
ι : Type u_1
a s : ι → ℕ
l l' : List ι
hl : l.Perm l'
hs : ∀ i ∈ l, s i ≠ 0
co : List.Pairwise (Coprime on s) l
\u22a2 ↑(chineseRemainderOfList a s l co) = ↑(chineseRemainderOfList a s l' ⋯)
-- Mathlib/Data/Nat/ChineseRemainder.lean
ι : Type u_1
a s : ι → ℕ
l l' : List ι
hl : l.Perm l'
hs : ∀ i ∈ l, s i ≠ 0
co : List.Pairwise (Coprime on s) l
z : { k // ∀ i ∈ l', k ≡ a i [MOD s i] } := chineseRemainderOfList a s l' ⋯
\u22a2 ↑(chineseRemainderOfList a s l co) = ↑(chineseRemainderOfList a s l' ⋯)
-- Mathlib/Data/Nat/ChineseRemainder.lean
ι : Type u_1
a s : ι → ℕ
l l' : List ι
hl : l.Perm l'
hs : ∀ i ∈ l, s i ≠ 0
co : List.Pairwise (Coprime on s) l
z : { k // ∀ i ∈ l', k ≡ a i [MOD s i] } := chineseRemainderOfList a s l' ⋯
hlp : (List.map s l).prod = (List.map s l').prod
\u22a2 ↑(chineseRemainderOfList a s l co) = ↑(chineseRemainderOfList a s l' ⋯)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
n : ℕ
\u22a2 ↑(∑ x ∈ s, f x) ^ (n + 1) / ↑s.card ^ n ≤ ↑(∑ x ∈ s, f x ^ (n + 1))
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Predicate.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_5, u_3} E
inst✝ : L.IsLocalization W
F : C ⥤ E
F' : D ⥤ E
h : Lifting L W F F'
X : C
\u22a2 (liftNatTrans L W F F F' F' (𝟙 F)).app (L.obj X) = (𝟙 F').app (L.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Predicate.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_5, u_3} E
inst✝ : L.IsLocalization W
F : C ⥤ E
F' : D ⥤ E
h : Lifting L W F F'
X : C
\u22a2 𝟙 ((L ⋙ F').obj X) = 𝟙 (F'.obj (L.obj X))
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
n : ℤ
\u22a2 ‖x‖ < ↑p ^ n ↔ ‖x‖ ≤ ↑p ^ (n - 1)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Basic.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
h : 𝓝[s \ {x}] x = ⊥
\u22a2 derivWithin f s x = 0
-- Mathlib/Data/NNRat/Defs.lean
p q✝ : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
q : ℚ≥0
\u22a2 ↑q * ↑q.den = ↑q.num
-- Mathlib/Data/NNRat/Defs.lean
p q✝ : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
q : ℚ≥0
\u22a2 ↑q * ↑↑(↑q).den = ↑(↑q).num
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
\u22a2 IsPGroup p G ↔ ∃ n, Nat.card G = p ^ n
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
\u22a2 IsPGroup p G ↔ ∃ n, Nat.card G = p ^ n
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
h : IsPGroup p G
\u22a2 ∃ n, Nat.card G = p ^ n
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
h : IsPGroup p G
\u22a2 ∀ q ∈ (Nat.card G).primeFactorsList, q = p
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
h : IsPGroup p G
q : ℕ
hq : q ∈ (Nat.card G).primeFactorsList
\u22a2 q = p
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
h : IsPGroup p G
q : ℕ
hq : q ∈ (Nat.card G).primeFactorsList
hq1 : Nat.Prime q
hq2 : q ∣ Nat.card G
\u22a2 q = p
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
h : IsPGroup p G
q : ℕ
hq : q ∈ (Nat.card G).primeFactorsList
hq1 : Nat.Prime q
hq2 : q ∣ Nat.card G
this : Fact (Nat.Prime q)
\u22a2 q = p
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
h : IsPGroup p G
q : ℕ
hq : q ∈ (Nat.card G).primeFactorsList
hq1 : Nat.Prime q
hq2 : q ∣ Nat.card G
this : Fact (Nat.Prime q)
g : G
hg : orderOf g = q
\u22a2 q = p
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
h : IsPGroup p G
q : ℕ
hq : q ∈ (Nat.card G).primeFactorsList
hq1 : Nat.Prime q
hq2 : q ∣ Nat.card G
this : Fact (Nat.Prime q)
g : G
hg : orderOf g = q
k : ℕ
hk : orderOf g = p ^ k
\u22a2 q = p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Ring S
r : S
\u22a2 (X - C r).leadingCoeff = 1
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s t : Set α
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
x : α
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
y : α
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
\u22a2 (Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty