ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
r s : R''
x✝ : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R'') (m : M) (n : N), r • m ⊗ₜ[R] n = (r • m) ⊗ₜ[R] n
x y : M ⊗[R] N
ihx : (r + s) • x = r • x + s • x
ihy : (r + s) • y = r • y + s • y
\u22a2 (r + s) • x + (r + s) • y = r • x + r • y + (s • x + s • y)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Linear.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
x y✝ : E × F
x✝ : y✝ ∈ EMetric.ball 0 ⊤
\u22a2 HasSum (fun n => (f.fpowerSeriesBilinear x (n + 3)) fun x => y✝) ((f (x + y✝).1) (x + y✝).2 - ∑ i ∈ Finset.range 3, (f.fpowerSeriesBilinear x i) fun x => y✝)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Linear.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
x y✝ : E × F
x✝ : y✝ ∈ EMetric.ball 0 ⊤
\u22a2 HasSum (fun n => (f.fpowerSeriesBilinear x (n + 3)) fun x => y✝) ((f x.1) x.2 + (f.deriv₂ (x.1, x.2)) (y✝.1, y✝.2) + (f y✝.1) y✝.2 - ((((∑ x_1 ∈ Finset.range 0, (f.fpowerSeriesBilinear x x_1) fun x => y✝) + (f.fpowerSeriesBilinear x 0) fun x => y✝) + (f.fpowerSeriesBilinear x 1) fun x => y✝) + (f.fpowerSeriesBilinear x 2) fun x => y✝))
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs✝ : List α
n : ℕ
x : α
xs : List α
\u22a2 (List.sym (n + 1) (x :: xs)).length = (x :: xs).length.multichoose (n + 1)
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs✝ : List α
n : ℕ
x : α
xs : List α
\u22a2 (List.sym n (x :: xs)).length + (List.sym (n + 1) xs).length = (xs.length + 1).multichoose (n + 1)
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs✝ : List α
n : ℕ
x : α
xs : List α
\u22a2 (x :: xs).length.multichoose n + xs.length.multichoose (n + 1) = (xs.length + 1).multichoose (n + 1)
-- Mathlib/Data/PNat/Basic.lean
m k : ℕ+
\u22a2 m.div k * ↑k + ↑(m.mod k) = ↑m
-- Mathlib/Data/PNat/Basic.lean
m k : ℕ+
\u22a2 ↑k * m.div k + ↑(m.mod k) = ↑m
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Lifting.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
U : B ⥤ C
inst✝² : MonadicRightAdjoint U
R : A ⥤ B
inst✝¹ : HasReflexiveCoequalizers A
inst✝ : (R ⋙ U).IsRightAdjoint
R' : A ⥤ (monadicAdjunction U).toMonad.Algebra := R ⋙ Monad.comparison (monadicAdjunction U)
\u22a2 R'.IsRightAdjoint
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Lifting.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
U : B ⥤ C
inst✝² : MonadicRightAdjoint U
R : A ⥤ B
inst✝¹ : HasReflexiveCoequalizers A
inst✝ : (R ⋙ U).IsRightAdjoint
R' : A ⥤ (monadicAdjunction U).toMonad.Algebra := R ⋙ Monad.comparison (monadicAdjunction U)
this : (R' ⋙ (monadicAdjunction U).toMonad.forget).IsRightAdjoint := Adjunction.isRightAdjoint ((Adjunction.ofIsRightAdjoint (R ⋙ U)).ofNatIsoRight (isoWhiskerLeft R (Monad.comparisonForget (monadicAdjunction U)).symm))
\u22a2 R'.IsRightAdjoint
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Lifting.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
U : B ⥤ C
inst✝² : MonadicRightAdjoint U
R : A ⥤ B
inst✝¹ : HasReflexiveCoequalizers A
inst✝ : (R ⋙ U).IsRightAdjoint
R' : A ⥤ (monadicAdjunction U).toMonad.Algebra := R ⋙ Monad.comparison (monadicAdjunction U)
this✝ : (R' ⋙ (monadicAdjunction U).toMonad.forget).IsRightAdjoint := Adjunction.isRightAdjoint ((Adjunction.ofIsRightAdjoint (R ⋙ U)).ofNatIsoRight (isoWhiskerLeft R (Monad.comparisonForget (monadicAdjunction U)).symm))
this : (X : (monadicAdjunction U).toMonad.Algebra) → RegularEpi ((monadicAdjunction U).toMonad.adj.counit.app X) := fun X => ⋯.mpr { W := (monadicAdjunction U).toMonad.free.obj ((monadicAdjunction U).toMonad.obj X.A), left := Monad.FreeCoequalizer.topMap X, right := Monad.FreeCoequalizer.bottomMap X, w := ⋯, isColimit := Monad.beckAlgebraCoequalizer X }
\u22a2 R'.IsRightAdjoint
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
hne : s.Nonempty
\u22a2 ∃ f, (∀ x ∈ s, f x = x) ∧ range f = s ∧ Continuous f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
hne : s.Nonempty
f : ((n : ℕ) → E n) → (n : ℕ) → E n
fs : ∀ x ∈ s, f x = x
frange : range f = s
hf : LipschitzWith 1 f
\u22a2 ∃ f, (∀ x ∈ s, f x = x) ∧ range f = s ∧ Continuous f
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
p : ι → Prop
s : ι → Set β
f : Filter β
u : β → α
hf : f.HasBasis p s
q : β → Prop
\u22a2 blimsup u f q = ⨅ i, ⨅ (_ : p i), ⨆ a ∈ s i, ⨆ (_ : q a), u a
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
m n : ℕ
\u22a2 ↑((↑m).gcd -[n+1]) = ↑m * (↑m).gcdA -[n+1] + -(↑n + 1) * -(↑m).natAbs.gcdB n.succ
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
m n : ℕ
\u22a2 ↑((↑m).gcd -[n+1]) = ↑m * (↑m).gcdA -[n+1] + (↑n + 1) * (↑m).natAbs.gcdB n.succ
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
m n : ℕ
\u22a2 ↑(-[m+1].gcd ↑n) = -(↑m + 1) * -m.succ.gcdA (↑n).natAbs + ↑n * -[m+1].gcdB ↑n
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
m n : ℕ
\u22a2 ↑(-[m+1].gcd ↑n) = (↑m + 1) * m.succ.gcdA (↑n).natAbs + ↑n * -[m+1].gcdB ↑n
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
m n : ℕ
\u22a2 ↑(-[m+1].gcd -[n+1]) = -(↑m + 1) * -m.succ.gcdA -[n+1].natAbs + -(↑n + 1) * - -[m+1].natAbs.gcdB n.succ
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
m n : ℕ
\u22a2 ↑(-[m+1].gcd -[n+1]) = (↑m + 1) * m.succ.gcdA -[n+1].natAbs + (↑n + 1) * -[m+1].natAbs.gcdB n.succ
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r : ℝ≥0
p : ℝ
hr : 0 < r
hp : p < 0
\u22a2 r ≤ p.toNNReal ↔ ↑r ≤ p
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
\u22a2 ∃ ε', (∀ (i : ι), 0 < ε' i) ∧ ∃ c, HasSum ε' c ∧ c < ε
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
val✝ : Encodable ι
\u22a2 ∃ ε', (∀ (i : ι), 0 < ε' i) ∧ ∃ c, HasSum ε' c ∧ c < ε
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
val✝ : Encodable ι
a : ℝ≥0
a0 : 0 < a
aε : a < ε
\u22a2 ∃ ε', (∀ (i : ι), 0 < ε' i) ∧ ∃ c, HasSum ε' c ∧ c < ε
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
val✝ : Encodable ι
a : ℝ≥0
a0 : 0 < a
aε : a < ε
ε' : ι → ℝ
hε' : ∀ (i : ι), 0 < ε' i
c : ℝ
hc : HasSum ε' c
hcε : c ≤ (fun a => ↑a) a
\u22a2 ∃ ε', (∀ (i : ι), 0 < ε' i) ∧ ∃ c, HasSum ε' c ∧ c < ε
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f : α → β
hl : l.HasBasis p s
t : Set β
\u22a2 t ∈ Filter.map f l ↔ ∃ i, p i ∧ f '' s i ⊆ t
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Semifield α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulReflectLT α
inst✝ : ZeroLEOneClass α
a b : α
\u22a2 a⁻¹ ≤ 0 ↔ a ≤ 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝² : NormalizationMonoid R
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
r X : R
hr : r ≠ 0
hX : Prime X
\u22a2 Multiset.count (span {X}) (normalizedFactors (span {r})) = Multiset.count (normalize X) (normalizedFactors r)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝² : NormalizationMonoid R
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
r X : R
hr : r ≠ 0
hX : Prime X
this : multiplicity (span {X}) (span {r}) = multiplicity X r
\u22a2 Multiset.count (span {X}) (normalizedFactors (span {r})) = Multiset.count (normalize X) (normalizedFactors r)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝² : NormalizationMonoid R
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
r X : R
hr : r ≠ 0
hX : Prime X
this : Multiset.count (span {X}) (normalizedFactors (span {r})) = Multiset.count (normalize X) (normalizedFactors r)
\u22a2 Multiset.count (span {X}) (normalizedFactors (span {r})) = Multiset.count (normalize X) (normalizedFactors r)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝² : NormalizationMonoid R
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
r X : R
hr : r ≠ 0
hX : Prime X
this : multiplicity (span {X}) (span {r}) = ↑(Multiset.count (normalize X) (normalizedFactors r))
\u22a2 span {r} ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝² : NormalizationMonoid R
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
r X : R
hr : r ≠ 0
hX : Prime X
this : multiplicity (span {X}) (span {r}) = ↑(Multiset.count (normalize X) (normalizedFactors r))
\u22a2 Prime (span {X})
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Exact.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
\u22a2 S.Exact ↔ Epi (imageToKernel S.f S.g ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Exact.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
\u22a2 Epi (imageToKernel' S.f S.g ⋯) ↔ Epi (imageToKernel S.f S.g ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Exact.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
\u22a2 Arrow.mk (imageToKernel' S.f S.g ⋯) ≅ Arrow.mk (imageToKernel S.f S.g ⋯)
-- Mathlib/Data/String/Lemmas.lean
n : ℕ
c : Char
s : List Char
\u22a2 (leftpad n c { data := s }).length = max n { data := s }.length
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I✝ X R J I : Set α
\u22a2 uniqueBaseOn I I = freeOn I
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q : ℚ
n d : ℤ
hd : d ≠ 0
qdf : q = n /. d
\u22a2 ∃ c, n = c * q.num ∧ d = c * ↑q.den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q : ℚ
d : ℤ
hd : d ≠ 0
qdf : q = 0 /. d
\u22a2 ∃ c, 0 = c * q.num ∧ d = c * ↑q.den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q : ℚ
n d : ℤ
hd : d ≠ 0
qdf : q = n /. d
hn : n ≠ 0
\u22a2 ∃ c, n = c * q.num ∧ d = c * ↑q.den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q : ℚ
n d : ℤ
hd : d ≠ 0
qdf : q = n /. d
hn : n ≠ 0
this : q.num * d = n * ↑q.den
\u22a2 ∃ c, n = c * q.num ∧ d = c * ↑q.den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q : ℚ
n d : ℤ
hd : d ≠ 0
qdf : q = n /. d
hn : n ≠ 0
this : q.num * d = n * ↑q.den
hqdn : q.num ∣ n
\u22a2 ∃ c, n = c * q.num ∧ d = c * ↑q.den
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 a ⇔ b = a ⊔ b ⇨ a ⊓ b
-- Mathlib/Topology/ExtremallyDisconnected.lean
X : Type u
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A D E : Type u
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : TopologicalSpace D
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : T1Space A
inst✝ : CompactSpace D
π : D → A
π_cont : Continuous π
π_surj : Surjective π
S : Set (Set D) := {E | IsClosed E ∧ π '' E = univ}
C : Set (Set D)
C_sub : C ⊆ S
C_chain : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) C
\u22a2 ∃ s ∈ S, ∀ c ∈ C, s ⊆ c
-- Mathlib/Topology/ExtremallyDisconnected.lean
X : Type u
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A D E : Type u
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : TopologicalSpace D
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : T1Space A
inst✝ : CompactSpace D
π : D → A
π_cont : Continuous π
π_surj : Surjective π
S : Set (Set D) := {E | IsClosed E ∧ π '' E = univ}
C : Set (Set D)
C_sub : C ⊆ S
C_chain : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) C
\u22a2 π '' ⋂ c, ↑c = univ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
\u22a2 ∫ (x : ℝ), cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2) = (↑π / b) ^ (1 / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
\u22a2 Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in -i..id i, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)) atTop (𝓝 ((↑π / b) ^ (1 / 2)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
\u22a2 Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in -i..id i, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)) atTop (𝓝 ((↑π / b) ^ (1 / 2)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
C : ∀ (T : ℝ), I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0
\u22a2 Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in -i..id i, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)) atTop (𝓝 ((↑π / b) ^ (1 / 2)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
C : ∀ (T : ℝ), I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0
this : I₁ = fun T => I₂ T + verticalIntegral b c T
\u22a2 Tendsto I₁ atTop (𝓝 ((↑π / b) ^ (1 / 2)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
C : ∀ (T : ℝ), I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0
this : I₁ = fun T => I₂ T + verticalIntegral b c T
\u22a2 Tendsto (fun T => I₂ T + verticalIntegral b c T) atTop (𝓝 ((∫ (x : ℝ), cexp (-b * ↑x ^ 2)) + 0))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ
I₁ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
HI₁ : I₁ = fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)
I₂ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (x : ℝ) in -T..T, cexp (-b * ↑x ^ 2)
I₄ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)
I₅ : ℝ → ℂ := fun T => ∫ (y : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * (-↑T + ↑y * I) ^ 2)
C : ∀ (T : ℝ), I₂ T - I₁ T + I * I₄ T - I * I₅ T = 0
this : I₁ = fun T => I₂ T + verticalIntegral b c T
\u22a2 Tendsto I₂ atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ), cexp (-b * ↑x ^ 2)))
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Basic.lean
s : ℝ
hs : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
\u22a2 (1 + s) ^ p < 1 + p * s
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Basic.lean
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 ≤ -1
hs' : -1 ≠ 0
\u22a2 (1 + -1) ^ p < 1 + p * -1
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Basic.lean
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
\u22a2 (1 + s) ^ p < 1 + p * s
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Basic.lean
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
\u22a2 (1 + s) ^ p < 1 + p * s
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Basic.lean
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
\u22a2 (1 + s) ^ p < 1 + p * s
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Basic.lean
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
\u22a2 (1 + s) ^ p < 1 + p * s
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Basic.lean
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
\u22a2 (1 + s) ^ p < 1 + p * s
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Basic.lean
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
\u22a2 rexp (log (1 + s) * p) < rexp (log (1 + p * s))
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Basic.lean
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs' : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
\u22a2 log (1 + s) * p < log (1 + p * s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Basic.lean
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs'✝ : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
hs' : s < 0
\u22a2 log (1 + s) * p < log (1 + p * s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Basic.lean
s : ℝ
hs✝ : -1 ≤ s
hs'✝ : s ≠ 0
p : ℝ
hp1 : 0 < p
hp2 : p < 1
hs : -1 < s
hs1 : 0 < 1 + s
hs2 : 0 < 1 + p * s
hs3 : 1 + s ≠ 1
hs4 : 1 + p * s ≠ 1
hs' : s > 0
\u22a2 log (1 + s) * p < log (1 + p * s)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/AsymptoticEquivalent.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
huv : u ~[l] v
hwv : w =o[l] v
\u22a2 u + w ~[l] v
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
\u22a2 (addBottom L).head.1 = true
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
p' : G.Walk v w
\u22a2 ↑(p.append p').support = {u} + ↑p.support.tail + ↑p'.support.tail
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y : NumDenSameDeg 𝒜 x
\u22a2 (-Quotient.mk'' y).val = -val (Quotient.mk'' y)
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y : NumDenSameDeg 𝒜 x
\u22a2 Localization.mk ↑(-y).num ⟨↑(-y).den, ⋯⟩ = Localization.mk (-↑y.num) ⟨↑y.den, ⋯⟩
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Metric.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
\u22a2 G.dist u v = 1 ↔ G.Adj u v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Metric.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
\u22a2 1 ≠ 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{v}
x✝ : ∃ a, lift.{u, v} o = succ a
a : Ordinal.{max v u}
h : lift.{u, v} o = succ a
b : Ordinal.{v}
e : lift.{u, v} b = a
\u22a2 lift.{u, v} o = lift.{u, v} (succ b)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{v}
x✝ : ∃ a, o = succ a
a : Ordinal.{v}
h : o = succ a
\u22a2 lift.{u, v} o = succ (lift.{u, v} a)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatibleSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
\u22a2 whiskerRight (J.toSheafify P) F ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).hom ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).hom = J.toSheafify (P ⋙ F)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatibleSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
\u22a2 whiskerRight (J.toPlus P) F ≫ whiskerRight (J.plusMap (J.toPlus P)) F ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).hom ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).hom = J.toSheafify (P ⋙ F)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatibleSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
\u22a2 whiskerRight (J.toPlus P) F ≫ ((J.plusCompIso F P).hom ≫ J.plusMap (whiskerRight (J.toPlus P) F)) ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).hom = J.toSheafify (P ⋙ F)