ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
i j : ι
\u22a2 i ≠ j ↔ j ≠ i
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Ideals.lean
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
hI : I.IsMaximal
\u22a2 ∃ x, setOfIdeal I = {x}ᶜ
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Ideals.lean
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
hI : I.IsMaximal
h : (idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)).IsMaximal
\u22a2 ∃ x, setOfIdeal I = {x}ᶜ
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Ideals.lean
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
hI : I.IsMaximal
h : (idealOfSet 𝕜 (setOfIdeal I)).IsMaximal
x : X
hx : opensOfIdeal I = (Closeds.singleton x).compl
\u22a2 ∃ x, setOfIdeal I = {x}ᶜ
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
m n : ℕ+
\u22a2 (m.lcm n).factorMultiset = m.factorMultiset ⊔ n.factorMultiset
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
m n : ℕ+
\u22a2 (m.lcm n).factorMultiset ≤ m.factorMultiset ⊔ n.factorMultiset
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
m n : ℕ+
\u22a2 m.factorMultiset ⊔ n.factorMultiset ≤ (m.lcm n).factorMultiset
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
\u22a2 ContinuousOn (↑(f.extend I)) (f.extend I).source
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
\u22a2 ContinuousOn (↑(f.symm.restr I.source).symm) (f.extend I).source
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
\u22a2 ContinuousOn (↑(f.symm.restr I.source).symm) f.source
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ℝ
\u22a2 volume (Ioo a b) = ofReal (b - a)
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
m n : ℕ
f : Vector ℕ m → Vector ℕ n
h : Vec f
\u22a2 Computable f
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
C : CoprodI M → Prop
m : CoprodI M
h_one : C 1
h_of : ∀ (i : ι) (m : M i), C (of m)
h_mul : ∀ (x y : CoprodI M), C x → C y → C (x * y)
\u22a2 C m
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs✝ : List α
n : ℕ
x : α
xs : List α
h : (x :: xs).Nodup
\u22a2 (map (fun p => x ::ₛ p) (List.sym n (x :: xs)) ++ List.sym (n + 1) xs).Nodup
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs✝ : List α
n : ℕ
x : α
xs : List α
h : (x :: xs).Nodup
\u22a2 Function.Injective fun p => x ::ₛ p
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs✝ : List α
n : ℕ
x : α
xs : List α
h : (x :: xs).Nodup
\u22a2 (map (fun p => x ::ₛ p) (List.sym n (x :: xs))).Disjoint (List.sym (n + 1) xs)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Support.lean
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
\u22a2 x ∈ support (deriv f) → x ∈ tsupport f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Support.lean
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
\u22a2 x ∉ tsupport f → x ∉ support (deriv f)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Support.lean
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
h2x : x ∉ tsupport f
\u22a2 x ∉ support (deriv f)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Support.lean
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
h2x : f =ᶠ[nhds x] 0
\u22a2 x ∉ support (deriv f)
-- Mathlib/Algebra/Module/Equiv/Basic.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
e : M ≃ₗ[R] M₂
x✝ : M₂
\u22a2 (e.conj LinearMap.id) x✝ = LinearMap.id x✝
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
n : ℕ
h : IsUnit ↑n
\u22a2 n = 1
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Sort u_3
inst✝ : Finite ι
N : ι → Submodule R M
h : ∀ (i : ι), (N i).FG
\u22a2 (iSup N).FG
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Sort u_3
inst✝ : Finite ι
N : ι → Submodule R M
h : ∀ (i : ι), (N i).FG
val✝ : Fintype (PLift ι)
\u22a2 (iSup N).FG
-- Mathlib/Algebra/Ring/BooleanRing.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : BooleanRing α
a b : α
\u22a2 -a = -a + 0
-- Mathlib/Algebra/Ring/BooleanRing.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : BooleanRing α
a b : α
\u22a2 -a + 0 = -a + -a + a
-- Mathlib/Algebra/Ring/BooleanRing.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : BooleanRing α
a b : α
\u22a2 -a + -a + a = a
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Category.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G H I : C ⥤ D
α β : 𝟭 C ⟶ 𝟭 C
X : C
\u22a2 (α ≫ β).app X = (β ≫ α).app X
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set (OuterMeasure α)
h : m.Nonempty
t : Set α
\u22a2 ⨆ (_ : t.Nonempty), sInfGen m t = ⨅ μ ∈ m, μ t
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set (OuterMeasure α)
h : m.Nonempty
\u22a2 ⨆ (_ : ∅.Nonempty), sInfGen m ∅ = ⨅ μ ∈ m, μ ∅
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set (OuterMeasure α)
h : m.Nonempty
t : Set α
ht : t.Nonempty
\u22a2 ⨆ (_ : t.Nonempty), sInfGen m t = ⨅ μ ∈ m, μ t
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/ControlledClosure.lean
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
j : NormedAddGroupHom K H
hj : ∀ (x : K), ‖j x‖ = ‖x‖
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : ∀ (k : K), ∃ g, f g = j k ∧ ‖g‖ ≤ C * ‖k‖
\u22a2 f.SurjectiveOnWith j.range.topologicalClosure (C + ε)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/ControlledClosure.lean
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
j : NormedAddGroupHom K H
hj : ∀ (x : K), ‖j x‖ = ‖x‖
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : ∀ h ∈ j.range, ∃ g, f g = h ∧ ‖g‖ ≤ C * ‖h‖
\u22a2 f.SurjectiveOnWith j.range.topologicalClosure (C + ε)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/BesicovitchVectorSpace.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N✝ : ℕ
τ✝ : ℝ
a✝ : SatelliteConfig E N✝ τ✝
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
\u22a2 a.centerAndRescale.r (last N) = 1
-- Mathlib/Order/SemiconjSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Group G
f₁ f₂ : G →* α ≃o α
h : α → α
H : ∀ (x : α), IsLUB (range fun g' => (f₁ g')⁻¹ ((f₂ g') x)) (h x)
g : G
\u22a2 Semiconj h ⇑(f₂ g) ⇑(f₁ g)
-- Mathlib/Order/SemiconjSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Group G
f₁ f₂ : G →* α ≃o α
h : α → α
H : ∀ (x : α), IsLUB (range fun g' => (f₁ g')⁻¹ ((f₂ g') x)) (h x)
g : G
y : α
\u22a2 IsLUB (range fun g' => (f₁ g')⁻¹ ((f₂ g') ((f₂ g) y))) ((f₁ g) (h y))
-- Mathlib/Order/SemiconjSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Group G
f₁ f₂ : G →* α ≃o α
h : α → α
H : ∀ (x : α), IsLUB (range fun g' => (f₁ g')⁻¹ ((f₂ g') x)) (h x)
g : G
y : α
this : IsLUB (⇑(f₁ g) '' range fun g' => (f₁ g')⁻¹ ((f₂ g') y)) ((f₁ g) (h y))
\u22a2 IsLUB (range fun g' => (f₁ g')⁻¹ ((f₂ g') ((f₂ g) y))) ((f₁ g) (h y))
-- Mathlib/Order/SemiconjSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Group G
f₁ f₂ : G →* α ≃o α
h : α → α
H : ∀ (x : α), IsLUB (range fun g' => (f₁ g')⁻¹ ((f₂ g') x)) (h x)
g : G
y : α
this : IsLUB (range ((⇑(f₁ g) ∘ fun g' => (f₁ g')⁻¹ ((f₂ g') y)) ∘ ⇑(Equiv.mulRight g))) ((f₁ g) (h y))
\u22a2 IsLUB (range fun g' => (f₁ g')⁻¹ ((f₂ g') ((f₂ g) y))) ((f₁ g) (h y))
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.123089, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
p₁ p₂ : ℤ
h₁₂ : p₁ + n = p₂
\u22a2 (inr φ).f p₁ ≫ (descCochain φ α β h).v p₁ p₂ h₁₂ = β.v p₁ p₂ h₁₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C✝ : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C✝
D : Type u''
inst✝³ : Category.{v'', u''} D
X Y : C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C
inst✝ : HasPullbacksOfInclusions C
T : C
HT : IsTerminal T
c₀ : BinaryCofan T T
hc₀ : IsColimit c₀
\u22a2 FinitaryExtensive C ↔ IsVanKampenColimit c₀
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C✝ : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C✝
D : Type u''
inst✝³ : Category.{v'', u''} D
X Y : C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C
inst✝ : HasPullbacksOfInclusions C
T : C
HT : IsTerminal T
c₀ : BinaryCofan T T
hc₀ : IsColimit c₀
H : IsVanKampenColimit c₀
\u22a2 FinitaryExtensive C
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C✝ : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C✝
D : Type u''
inst✝³ : Category.{v'', u''} D
X Y : C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C
inst✝ : HasPullbacksOfInclusions C
T : C
HT : IsTerminal T
c₀ : BinaryCofan T T
hc₀ : IsColimit c₀
H : IsVanKampenColimit c₀
\u22a2 ∀ {X Y : C} (c : BinaryCofan X Y), IsColimit c → IsVanKampenColimit c
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C✝ : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C✝
D : Type u''
inst✝³ : Category.{v'', u''} D
X Y : C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C
inst✝ : HasPullbacksOfInclusions C
T : C
HT : IsTerminal T
c₀ : BinaryCofan T T
hc₀ : IsColimit c₀
H : ∀ {X' Y' : C} (c' : BinaryCofan X' Y') (αX : X' ⟶ T) (αY : Y' ⟶ T) (f : c'.pt ⟶ c₀.pt), αX ≫ c₀.inl = c'.inl ≫ f → αY ≫ c₀.inr = c'.inr ≫ f → (Nonempty (IsColimit c') ↔ IsPullback c'.inl αX f c₀.inl ∧ IsPullback c'.inr αY f c₀.inr)
\u22a2 ∀ {X Y : C} (c : BinaryCofan X Y), IsColimit c → ∀ {X' Y' : C} (c' : BinaryCofan X' Y') (αX : X' ⟶ X) (αY : Y' ⟶ Y) (f : c'.pt ⟶ c.pt), αX ≫ c.inl = c'.inl ≫ f → αY ≫ c.inr = c'.inr ≫ f → (Nonempty (IsColimit c') ↔ IsPullback c'.inl αX f c.inl ∧ IsPullback c'.inr αY f c.inr)
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C✝ : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C✝
D : Type u''
inst✝³ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C
inst✝ : HasPullbacksOfInclusions C
T : C
HT : IsTerminal T
c₀ : BinaryCofan T T
hc₀ : IsColimit c₀
H : ∀ {X' Y' : C} (c' : BinaryCofan X' Y') (αX : X' ⟶ T) (αY : Y' ⟶ T) (f : c'.pt ⟶ c₀.pt), αX ≫ c₀.inl = c'.inl ≫ f → αY ≫ c₀.inr = c'.inr ≫ f → (Nonempty (IsColimit c') ↔ IsPullback c'.inl αX f c₀.inl ∧ IsPullback c'.inr αY f c₀.inr)
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c
X' Y' : C
c' : BinaryCofan X' Y'
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
f : c'.pt ⟶ c.pt
hX : αX ≫ c.inl = c'.inl ≫ f
hY : αY ≫ c.inr = c'.inr ≫ f
d : c.pt ⟶ ((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj c₀.pt).obj { as := WalkingPair.left }
hd : c.inl ≫ d = HT.from X ≫ c₀.inl
hd' : c.inr ≫ d = HT.from Y ≫ c₀.inr
\u22a2 Nonempty (IsColimit c') ↔ IsPullback c'.inl αX f c.inl ∧ IsPullback c'.inr αY f c.inr
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C✝ : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C✝
D : Type u''
inst✝³ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C
inst✝ : HasPullbacksOfInclusions C
T : C
HT : IsTerminal T
c₀ : BinaryCofan T T
hc₀ : IsColimit c₀
H : ∀ {X' Y' : C} (c' : BinaryCofan X' Y') (αX : X' ⟶ T) (αY : Y' ⟶ T) (f : c'.pt ⟶ c₀.pt), αX ≫ c₀.inl = c'.inl ≫ f → αY ≫ c₀.inr = c'.inr ≫ f → (Nonempty (IsColimit c') ↔ IsPullback c'.inl αX f c₀.inl ∧ IsPullback c'.inr αY f c₀.inr)
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c
X' Y' : C
c' : BinaryCofan X' Y'
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
f : c'.pt ⟶ c.pt
hX : αX ≫ c.inl = c'.inl ≫ f
hY : αY ≫ c.inr = c'.inr ≫ f
d : c.pt ⟶ ((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj c₀.pt).obj { as := WalkingPair.left }
hd : c.inl ≫ d = HT.from X ≫ c₀.inl
hd' : c.inr ≫ d = HT.from Y ≫ c₀.inr
\u22a2 IsPullback c'.inl (αX ≫ HT.from X) (f ≫ d) c₀.inl ∧ IsPullback c'.inr (αY ≫ HT.from Y) (f ≫ d) c₀.inr ↔ IsPullback c'.inl αX f c.inl ∧ IsPullback c'.inr αY f c.inr
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C✝ : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C✝
D : Type u''
inst✝³ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C
inst✝ : HasPullbacksOfInclusions C
T : C
HT : IsTerminal T
c₀ : BinaryCofan T T
hc₀ : IsColimit c₀
H : ∀ {X' Y' : C} (c' : BinaryCofan X' Y') (αX : X' ⟶ T) (αY : Y' ⟶ T) (f : c'.pt ⟶ c₀.pt), αX ≫ c₀.inl = c'.inl ≫ f → αY ≫ c₀.inr = c'.inr ≫ f → (Nonempty (IsColimit c') ↔ IsPullback c'.inl αX f c₀.inl ∧ IsPullback c'.inr αY f c₀.inr)
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c
X' Y' : C
c' : BinaryCofan X' Y'
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
f : c'.pt ⟶ c.pt
hX : αX ≫ c.inl = c'.inl ≫ f
hY : αY ≫ c.inr = c'.inr ≫ f
d : c.pt ⟶ ((Functor.const (Discrete WalkingPair)).obj c₀.pt).obj { as := WalkingPair.left }
hd : c.inl ≫ d = HT.from X ≫ c₀.inl
hd' : c.inr ≫ d = HT.from Y ≫ c₀.inr
hl : IsPullback c.inl (HT.from X) d c₀.inl
hr : IsPullback c.inr (HT.from Y) d c₀.inr
\u22a2 IsPullback c'.inl (αX ≫ HT.from X) (f ≫ d) c₀.inl ∧ IsPullback c'.inr (αY ≫ HT.from Y) (f ≫ d) c₀.inr ↔ IsPullback c'.inl αX f c.inl ∧ IsPullback c'.inr αY f c.inr
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n✝ m n : ℕ
a b : Fin n
h : a ≤ b
\u22a2 ∃ k ≤ b, b = a + k
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n✝ m n : ℕ
a b : Fin n
h : a ≤ b
k : ℕ
hk : ↑b = ↑a + k
\u22a2 ∃ k ≤ b, b = a + k
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n✝ m n : ℕ
a b : Fin n
h : a ≤ b
k : ℕ
hk : ↑b = ↑a + k
hkb : k ≤ ↑b
\u22a2 ∃ k ≤ b, b = a + k
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n✝ m n : ℕ
a b : Fin n
h : a ≤ b
k : ℕ
hk : ↑b = ↑a + k
hkb : k ≤ ↑b
\u22a2 b = a + ⟨k, ⋯⟩
-- Mathlib/Topology/Compactification/OnePoint.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s✝ : Set (OnePoint X)
t s : Set X
\u22a2 IsOpen (some '' s) ↔ IsOpen s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Condexp.lean
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
\u22a2 AEStronglyMeasurable (fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂(condexpKernel μ m) ω) μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Condexp.lean
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
\u22a2 AEStronglyMeasurable (fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂(condDistrib id id μ) (id ω)) μ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
\u22a2 W.Equation x y ↔ y ^ 2 + W.a₁ * x * y + W.a₃ * y = x ^ 3 + W.a₂ * x ^ 2 + W.a₄ * x + W.a₆
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x y : α
F : Set α
h : y ∈ connectedComponentIn F x
\u22a2 connectedComponentIn F x = connectedComponentIn F y
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x y : α
F : Set α
h : y ∈ connectedComponentIn F x
hx : x ∈ F
\u22a2 connectedComponentIn F x = connectedComponentIn F y
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x y : α
F : Set α
hx : x ∈ F
h : y ∈ Subtype.val '' connectedComponent ⟨x, hx⟩
\u22a2 Subtype.val '' connectedComponent ⟨x, hx⟩ = connectedComponentIn F y
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
F : Set α
hx : x ∈ F
y : α
hy : y ∈ F
h2y : ⟨y, hy⟩ ∈ connectedComponent ⟨x, hx⟩
\u22a2 Subtype.val '' connectedComponent ⟨x, hx⟩ = connectedComponentIn F ↑⟨y, hy⟩
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
s : Finset α
\u22a2 (↑s).ncard = s.card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanIso 2 (↑A) (↑B) f
\u22a2 mulRothNumber A = mulRothNumber B
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanIso 2 (↑A) (↑B) f
\u22a2 mulRothNumber A ≤ mulRothNumber B
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanIso 2 (↑A) (↑B) f
s : Finset α
hsA : s ⊆ A
hcard : s.card = mulRothNumber A
hs : ThreeGPFree ↑s
\u22a2 mulRothNumber A ≤ mulRothNumber B
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanIso 2 (↑A) (↑B) f
s : Finset α
hsA : ↑s ⊆ ↑A
hcard : s.card = mulRothNumber A
hs : ThreeGPFree ↑s
\u22a2 mulRothNumber A ≤ mulRothNumber B
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanIso 2 (↑A) (↑B) f
s : Finset α
hsA : ↑s ⊆ ↑A
hcard : s.card = mulRothNumber A
hs : ThreeGPFree ↑s
hfs : Set.InjOn f ↑s
\u22a2 mulRothNumber A ≤ mulRothNumber B
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanIso 2 (↑A) (↑B) f
s : Finset α
hsA : ↑s ⊆ ↑A
hcard : s.card = mulRothNumber A
hs : ThreeGPFree ↑s
hfs : Set.InjOn f ↑s
this : ThreeGPFree (f '' ↑s)
\u22a2 mulRothNumber A ≤ mulRothNumber B
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanIso 2 (↑A) (↑B) f
s : Finset α
hsA : ↑s ⊆ ↑A
hcard : s.card = mulRothNumber A
hs : ThreeGPFree ↑s
hfs : Set.InjOn f ↑s
this : ThreeGPFree ↑(image f s)
\u22a2 mulRothNumber A ≤ mulRothNumber B
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanIso 2 (↑A) (↑B) f
s : Finset α
hsA : ↑s ⊆ ↑A
hcard : s.card = mulRothNumber A
hs : ThreeGPFree ↑s
hfs : Set.InjOn f ↑s
this : ThreeGPFree ↑(image f s)
\u22a2 (image f s).card ≤ mulRothNumber B
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanIso 2 (↑A) (↑B) f
s : Finset α
hsA : ↑s ⊆ ↑A
hcard : s.card = mulRothNumber A
hs : ThreeGPFree ↑s
hfs : Set.InjOn f ↑s
this : ThreeGPFree ↑(image f s)
\u22a2 image f s ⊆ B
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq β
A : Finset α
B : Finset β
f : α → β
hf : IsMulFreimanIso 2 (↑A) (↑B) f
s : Finset α
hsA : ↑s ⊆ ↑A
hcard : s.card = mulRothNumber A
hs : ThreeGPFree ↑s
hfs : Set.InjOn f ↑s
this : ThreeGPFree ↑(image f s)
\u22a2 f '' ↑s ⊆ ↑B
-- Mathlib/Data/List/AList.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a a' : α
b : β a
s : AList β
\u22a2 a' ∈ replace a b s ↔ a' ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
hf : S.f = 0
inst✝ : S.HasHomology
\u22a2 IsIso S.homologyπ
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
hf : S.f = 0
inst✝ : S.HasHomology
this : IsIso S.leftHomologyπ
\u22a2 IsIso S.homologyπ
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g : Filter β
f : α → β
F : Filter α
G : Filter γ
\u22a2 map f F ×ˢ G = map (Prod.map f id) (F ×ˢ G)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.64473, u_1} C
inst✝⁴ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.Exact
inst✝³ : Mono S.f
i : ι
inst✝² : S.X₁.HasHomology i
inst✝¹ : S.X₂.HasHomology i
inst✝ : S.X₃.HasHomology i
\u22a2 cyclesMap S.f i ≫ cyclesMap S.g i = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.Exact
inst✝³ : Mono S.f
i : ι
inst✝² : S.X₁.HasHomology i
inst✝¹ : S.X₂.HasHomology i
inst✝ : S.X₃.HasHomology i
this : Mono (S.map (eval C c i)).f
\u22a2 (ShortComplex.mk (cyclesMap S.f i) (cyclesMap S.g i) ⋯).Exact