ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/BoundedOrder.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
α : Type u_3
hA : PartialOrder α
A : OrderTop α
hB : PartialOrder α
B : OrderTop α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
\u22a2 ⊤ = ⊤
-- Mathlib/Order/BoundedOrder.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
α : Type u_3
hA : PartialOrder α
A B : OrderTop α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
\u22a2 ⊤ = ⊤
-- Mathlib/Order/BoundedOrder.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
α : Type u_3
hA : PartialOrder α
A B : OrderTop α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
\u22a2 ⊤ ≤ ⊤
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
\u22a2 count K v 0 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
\u22a2 IsIntegralClosure ↥(adjoin ℤ {ζ}) ℤ K
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
x : K
h : IsIntegral ℤ x
\u22a2 x ∈ adjoin ℤ {ζ}
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
x : K
\u22a2 (∃ y, (algebraMap (↥(adjoin ℤ {ζ})) K) y = x) → IsIntegral ℤ x
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
x : K
h : IsIntegral ℤ x
B : PowerBasis ℚ K := IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ
\u22a2 x ∈ adjoin ℤ {ζ}
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
x : K
h : IsIntegral ℤ x
B : PowerBasis ℚ K := IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ
hint : IsIntegral ℤ B.gen
\u22a2 x ∈ adjoin ℤ {ζ}
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
x : K
h : IsIntegral ℤ x
B : PowerBasis ℚ K := IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ
hint : IsIntegral ℤ B.gen
this : FiniteDimensional ℚ K := finiteDimensional {p ^ k} ℚ K
\u22a2 x ∈ adjoin ℤ {ζ}
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
x : K
h : IsIntegral ℤ x
B : PowerBasis ℚ K := IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ
hint : IsIntegral ℤ B.gen
this : FiniteDimensional ℚ K := finiteDimensional {p ^ k} ℚ K
H : Algebra.discr ℚ ⇑B.basis • x ∈ adjoin ℤ {B.gen}
\u22a2 x ∈ adjoin ℤ {ζ}
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
x : K
h : IsIntegral ℤ x
B : PowerBasis ℚ K := IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ
hint : IsIntegral ℤ B.gen
this : FiniteDimensional ℚ K := finiteDimensional {p ^ k} ℚ K
H : Algebra.discr ℚ ⇑B.basis • x ∈ adjoin ℤ {B.gen}
u : ℤˣ
n : ℕ
hun : Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis = ↑↑u * ↑↑p ^ n
\u22a2 x ∈ adjoin ℤ {ζ}
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
x : K
h : IsIntegral ℤ x
B : PowerBasis ℚ K := IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ
hint : IsIntegral ℤ B.gen
this : FiniteDimensional ℚ K := finiteDimensional {p ^ k} ℚ K
u : ℤˣ
n : ℕ
H : (↑↑u * ↑↑p ^ n) • x ∈ adjoin ℤ {B.gen}
hun : Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis = ↑↑u * ↑↑p ^ n
\u22a2 x ∈ adjoin ℤ {ζ}
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
x : K
h : IsIntegral ℤ x
B : PowerBasis ℚ K := IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ
hint : IsIntegral ℤ B.gen
this : FiniteDimensional ℚ K := finiteDimensional {p ^ k} ℚ K
u : ℤˣ
n : ℕ
hun : Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis = ↑↑u * ↑↑p ^ n
H : u.inv • (↑↑u * ↑↑p ^ n) • x ∈ adjoin ℤ {B.gen}
\u22a2 x ∈ adjoin ℤ {ζ}
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ k)
x : K
h : IsIntegral ℤ x
B : PowerBasis ℚ K := IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ
hint : IsIntegral ℤ B.gen
this : FiniteDimensional ℚ K := finiteDimensional {p ^ k} ℚ K
u : ℤˣ
n : ℕ
hun : Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.subOnePowerBasis ℚ hζ).basis = ↑↑u * ↑↑p ^ n
H : (algebraMap ℚ K) ↑↑p ^ n * x ∈ adjoin ℤ {B.gen}
\u22a2 x ∈ adjoin ℤ {ζ}
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
f : β → α
s : Set α
\u22a2 Tendsto f atTop (𝓟 s) ↔ ∃ N, ∀ n ≥ N, f n ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : Group G'
inst✝⁵ : Group G''
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝³ : DivInvMonoid M
inst✝² : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H✝ K✝ : S
inst✝¹ : SetLike S G
inst✝ : SubgroupClass S G
H K L : S
h : ↑H ⊆ ↑K ∪ ↑L
\u22a2 H ≤ K ∨ H ≤ L
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : Group G'
inst✝⁵ : Group G''
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝³ : DivInvMonoid M
inst✝² : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H✝ K✝ : S
inst✝¹ : SetLike S G
inst✝ : SubgroupClass S G
H K L : S
h : ↑H ⊆ ↑K ∪ ↑L
\u22a2 (∃ x ∈ H, x ∉ K) → H ≤ L
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommSemiring E✝
inst✝¹⁶ : Semiring K
inst✝¹⁵ : SMul F✝ E✝
inst✝¹⁴ : Algebra E✝ K
inst✝¹³ : CommSemiring F✝
inst✝¹² : Algebra F✝ K
inst✝¹¹ : IsScalarTower F✝ E✝ K
L✝ : Subalgebra F✝ K
F : Type u_4
E : Type u_5
L : Type u_6
L' : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommSemiring F
inst✝⁹ : CommSemiring L
inst✝⁸ : CommSemiring L'
inst✝⁷ : Semiring E
inst✝⁶ : Algebra F L
inst✝⁵ : Algebra L E
inst✝⁴ : Algebra F L'
inst✝³ : Algebra L' E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : IsScalarTower F L E
inst✝ : IsScalarTower F L' E
i : L ≃ₐ[F] L'
hi : ⇑(algebraMap L E) = ⇑(algebraMap L' E) ∘ ⇑i
S : Set E
\u22a2 Subalgebra.restrictScalars F (adjoin L S) = Subalgebra.restrictScalars F (adjoin L' S)
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommSemiring E✝
inst✝¹⁶ : Semiring K
inst✝¹⁵ : SMul F✝ E✝
inst✝¹⁴ : Algebra E✝ K
inst✝¹³ : CommSemiring F✝
inst✝¹² : Algebra F✝ K
inst✝¹¹ : IsScalarTower F✝ E✝ K
L✝ : Subalgebra F✝ K
F : Type u_4
E : Type u_5
L : Type u_6
L' : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommSemiring F
inst✝⁹ : CommSemiring L
inst✝⁸ : CommSemiring L'
inst✝⁷ : Semiring E
inst✝⁶ : Algebra F L
inst✝⁵ : Algebra L E
inst✝⁴ : Algebra F L'
inst✝³ : Algebra L' E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : IsScalarTower F L E
inst✝ : IsScalarTower F L' E
i : L ≃ₐ[F] L'
hi : ⇑(algebraMap L E) = ⇑(algebraMap L' E) ∘ ⇑i
S : Set E
\u22a2 (Subalgebra.restrictScalars F (adjoin L S)).toSubsemiring = (Subalgebra.restrictScalars F (adjoin L' S)).toSubsemiring
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommSemiring E✝
inst✝¹⁶ : Semiring K
inst✝¹⁵ : SMul F✝ E✝
inst✝¹⁴ : Algebra E✝ K
inst✝¹³ : CommSemiring F✝
inst✝¹² : Algebra F✝ K
inst✝¹¹ : IsScalarTower F✝ E✝ K
L✝ : Subalgebra F✝ K
F : Type u_4
E : Type u_5
L : Type u_6
L' : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommSemiring F
inst✝⁹ : CommSemiring L
inst✝⁸ : CommSemiring L'
inst✝⁷ : Semiring E
inst✝⁶ : Algebra F L
inst✝⁵ : Algebra L E
inst✝⁴ : Algebra F L'
inst✝³ : Algebra L' E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : IsScalarTower F L E
inst✝ : IsScalarTower F L' E
i : L ≃ₐ[F] L'
hi : ⇑(algebraMap L E) = ⇑(algebraMap L' E) ∘ ⇑i
S : Set E
\u22a2 closure (Set.range ⇑(algebraMap L E) ∪ S) = closure (Set.range ⇑(algebraMap L' E) ∪ S)
-- Mathlib/Algebra/Exact.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
M' : Type u_3
N✝ : Type u_4
N' : Type u_5
P✝ : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝¹⁹ : Semiring R✝
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N✝
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid N'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid P✝
inst✝¹³ : AddCommMonoid P'
inst✝¹² : Module R✝ M✝
inst✝¹¹ : Module R✝ M'
inst✝¹⁰ : Module R✝ N✝
inst✝⁹ : Module R✝ N'
inst✝⁸ : Module R✝ P✝
inst✝⁷ : Module R✝ P'
f : M✝ →ₗ[R✝] N✝
g : N✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_8
M : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
Q : Submodule R N
\u22a2 Exact ⇑Q.subtype ⇑Q.mkQ
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
c1✝ : Computation (WSeq α)
c2✝ : Computation (WSeq β)
h✝¹ : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1✝ c2✝
S : WSeq α → WSeq β → Prop := fun s t => ∃ c1 c2, s = flatten c1 ∧ t = flatten c2 ∧ Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
s : WSeq α
t : WSeq β
h✝ : S s t
c1 : Computation (WSeq α)
c2 : Computation (WSeq β)
h : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
\u22a2 Computation.LiftRel (LiftRelO R S) (flatten c1).destruct (flatten c2).destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
c1✝ : Computation (WSeq α)
c2✝ : Computation (WSeq β)
h✝¹ : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1✝ c2✝
S : WSeq α → WSeq β → Prop := fun s t => ∃ c1 c2, s = flatten c1 ∧ t = flatten c2 ∧ Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
s : WSeq α
t : WSeq β
h✝ : S s t
c1 : Computation (WSeq α)
c2 : Computation (WSeq β)
h : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
\u22a2 Computation.LiftRel (LiftRelO R S) (c1 >>= destruct) (c2 >>= destruct)
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
c1✝ : Computation (WSeq α)
c2✝ : Computation (WSeq β)
h✝¹ : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1✝ c2✝
S : WSeq α → WSeq β → Prop := fun s t => ∃ c1 c2, s = flatten c1 ∧ t = flatten c2 ∧ Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
s : WSeq α
t : WSeq β
h✝ : S s t
c1 : Computation (WSeq α)
c2 : Computation (WSeq β)
h : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
\u22a2 ∀ {a : WSeq α} {b : WSeq β}, LiftRel R a b → Computation.LiftRel (LiftRelO R S) a.destruct b.destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
c1✝ : Computation (WSeq α)
c2✝ : Computation (WSeq β)
h✝¹ : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1✝ c2✝
S : WSeq α → WSeq β → Prop := fun s t => ∃ c1 c2, s = flatten c1 ∧ t = flatten c2 ∧ Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
s : WSeq α
t : WSeq β
h✝ : S s t
c1 : Computation (WSeq α)
c2 : Computation (WSeq β)
h : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
a : WSeq α
b : WSeq β
ab : LiftRel R a b
\u22a2 Computation.LiftRel (LiftRelO R S) a.destruct b.destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
c1✝ : Computation (WSeq α)
c2✝ : Computation (WSeq β)
h✝¹ : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1✝ c2✝
S : WSeq α → WSeq β → Prop := fun s t => ∃ c1 c2, s = flatten c1 ∧ t = flatten c2 ∧ Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
s : WSeq α
t : WSeq β
h✝ : S s t
c1 : Computation (WSeq α)
c2 : Computation (WSeq β)
h : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
a : WSeq α
b : WSeq β
ab : LiftRel R a b
\u22a2 ∀ {a : Option (α × WSeq α)} {b : Option (β × WSeq β)}, LiftRelO R (LiftRel R) a b → LiftRelO R S a b
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
c1✝ : Computation (WSeq α)
c2✝ : Computation (WSeq β)
h✝¹ : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1✝ c2✝
S : WSeq α → WSeq β → Prop := fun s t => ∃ c1 c2, s = flatten c1 ∧ t = flatten c2 ∧ Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
s : WSeq α
t : WSeq β
h✝ : S s t
c1 : Computation (WSeq α)
c2 : Computation (WSeq β)
h : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
a✝ : WSeq α
b✝ : WSeq β
ab : LiftRel R a✝ b✝
a : Option (α × WSeq α)
b : Option (β × WSeq β)
\u22a2 LiftRelO R (LiftRel R) a b → LiftRelO R S a b
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
c1✝ : Computation (WSeq α)
c2✝ : Computation (WSeq β)
h✝¹ : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1✝ c2✝
S : WSeq α → WSeq β → Prop := fun s t => ∃ c1 c2, s = flatten c1 ∧ t = flatten c2 ∧ Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
s : WSeq α
t : WSeq β
h✝ : S s t
c1 : Computation (WSeq α)
c2 : Computation (WSeq β)
h : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
a✝ : WSeq α
b✝ : WSeq β
ab : LiftRel R a✝ b✝
a : Option (α × WSeq α)
b : Option (β × WSeq β)
\u22a2 ∀ (s : WSeq α) (t : WSeq β), LiftRel R s t → S s t
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
c1✝ : Computation (WSeq α)
c2✝ : Computation (WSeq β)
h✝² : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1✝ c2✝
S : WSeq α → WSeq β → Prop := fun s t => ∃ c1 c2, s = flatten c1 ∧ t = flatten c2 ∧ Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
s✝ : WSeq α
t✝ : WSeq β
h✝¹ : S s✝ t✝
c1 : Computation (WSeq α)
c2 : Computation (WSeq β)
h✝ : Computation.LiftRel (LiftRel R) c1 c2
a✝ : WSeq α
b✝ : WSeq β
ab : LiftRel R a✝ b✝
a : Option (α × WSeq α)
b : Option (β × WSeq β)
s : WSeq α
t : WSeq β
h : LiftRel R s t
\u22a2 S s t
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
\u22a2 (rightShiftAddEquiv K L n a n' hn') (-γ) = -γ.rightShift a n' hn'
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/HasOuterApproxClosed.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝¹ : BorelSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂ν
\u22a2 μ = ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/HasOuterApproxClosed.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝¹ : BorelSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂ν
key : ∀ {F : Set Ω}, IsClosed F → μ F = ν F
\u22a2 μ = ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/HasOuterApproxClosed.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝¹ : BorelSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂ν
key : ∀ {F : Set Ω}, IsClosed F → μ F = ν F
\u22a2 ∀ s ∈ {s | IsClosed s}, μ s = ν s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/HasOuterApproxClosed.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝¹ : BorelSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂ν
key : ∀ {F : Set Ω}, IsClosed F → μ F = ν F
\u22a2 μ univ = ν univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/HasOuterApproxClosed.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝¹ : BorelSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂ν
key : ∀ {F : Set Ω}, IsClosed F → μ F = ν F
\u22a2 inst✝⁴ = MeasurableSpace.generateFrom {s | IsClosed s}
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : LinearOrder α
h : M.BlockTriangular b
\u22a2 M.det = ∏ k : α, (M.toSquareBlock b k).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : LinearOrder α
h : M.BlockTriangular b
a : α
x✝ : a ∈ univ
ha : a ∉ image b univ
\u22a2 (M.toSquareBlock b a).det = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : LinearOrder α
h : M.BlockTriangular b
a : α
x✝ : a ∈ univ
ha : a ∉ image b univ
this : IsEmpty { i // b i = a }
\u22a2 (M.toSquareBlock b a).det = 1
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Fintype K
p✝ : ℕ
inst✝³ : Fact (Nat.Prime p✝)
inst✝² : Algebra (ZMod p✝) K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
n : ℕ
hcard : q = p ^ n
x : K
\u22a2 (frobenius K p ^ n) x = 1 x
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Fintype K
p✝ : ℕ
inst✝³ : Fact (Nat.Prime p✝)
inst✝² : Algebra (ZMod p✝) K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
n : ℕ
hcard : q = p ^ n
x : K
\u22a2 (frobenius K p ^ n) x = x ^ p ^ n
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Polish.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PolishSpace β
f : α → β
hf : ClosedEmbedding f
this✝ : UpgradedPolishSpace β := upgradePolishSpace β
this : MetricSpace α := Embedding.comapMetricSpace f ⋯
\u22a2 PolishSpace α
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Polish.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PolishSpace β
f : α → β
hf : ClosedEmbedding f
this✝¹ : UpgradedPolishSpace β := upgradePolishSpace β
this✝ : MetricSpace α := Embedding.comapMetricSpace f ⋯
this : SecondCountableTopology α
\u22a2 PolishSpace α
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Polish.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PolishSpace β
f : α → β
hf : ClosedEmbedding f
this✝² : UpgradedPolishSpace β := upgradePolishSpace β
this✝¹ : MetricSpace α := Embedding.comapMetricSpace f ⋯
this✝ : SecondCountableTopology α
this : CompleteSpace α
\u22a2 PolishSpace α
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c a✝ : α
\u22a2 a✝ ∈ s ○ t ↔ a✝ ∈ t ○ s
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c a✝ : α
\u22a2 (∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = a✝) ↔ ∃ a ∈ t, ∃ b ∈ s, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = a✝
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g✝ : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
hom : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)
g : D ⟶ E
n : ι
\u22a2 (nullHomotopicMap' hom ≫ g).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => hom i j hij ≫ g.f j).f n
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g✝ : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
hom : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)
g : D ⟶ E
n : ι
\u22a2 (nullHomotopicMap fun i j => (dite (c.Rel j i) (hom i j) fun x => 0) ≫ g.f j).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => hom i j hij ≫ g.f j).f n
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α₁ : Type u_2
β₁ : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α₁
a✝ : α₁
e✝ e : Perm β₁
a a' : α₁
b : β₁
h : (prodExtendRight a e) (a', b) ≠ (a', b)
\u22a2 a' = a
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α₁ : Type u_2
β₁ : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α₁
a✝ : α₁
e✝ e : Perm β₁
a a' : α₁
b : β₁
h : a' ≠ a
\u22a2 (prodExtendRight a e) (a', b) = (a', b)
-- Mathlib/RingTheory/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : (i : ι) → NonUnitalNonAssocSemiring (A i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)
inst✝ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)
r s : R
x y : (i : ι) → A i
\u22a2 r • (tprod R) x * s • (tprod R) y = (r * s) • (tprod R) (x * y)
-- Mathlib/GroupTheory/Coprod/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
x : M ∗ N
\u22a2 (toProd x).1 = fst x
-- Mathlib/GroupTheory/Coprod/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
x : M ∗ N
\u22a2 (toProd x).1 = ((MonoidHom.fst M N).comp toProd) x
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y z : M₀
h : IsUnit x
h1 : inverse x * y = z
\u22a2 y = x * z
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y z : M₀
h : IsUnit x
h1 : y = x * z
\u22a2 inverse x * y = z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ExpDeriv.lean
n : ℕ
c : ℝ
\u22a2 (iteratedDeriv n fun s => rexp (c * s)) = fun s => c ^ n * rexp (c * s)
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Finsupp.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid μ
inst✝² : HasAntidiagonal μ
inst✝¹ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f✝ : ι →₀ μ
inst✝ : DecidableEq μ
a : ι
s : Finset ι
h : a ∉ s
n : μ
p : μ × μ
x✝¹ x✝ : { x // x ∈ s.finsuppAntidiag p.2 }
f : ι →₀ μ
hf : f ∈ s.finsuppAntidiag p.2
g : ι →₀ μ
hg : g ∈ s.finsuppAntidiag p.2
hfg : (fun f => (↑f).update a p.1) ⟨f, hf⟩ = (fun f => (↑f).update a p.1) ⟨g, hg⟩
\u22a2 ↑⟨f, hf⟩ = ↑⟨g, hg⟩
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Finsupp.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid μ
inst✝² : HasAntidiagonal μ
inst✝¹ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f✝ : ι →₀ μ
inst✝ : DecidableEq μ
a : ι
s : Finset ι
h : a ∉ s
n : μ
p : μ × μ
x✝¹ x✝ : { x // x ∈ s.finsuppAntidiag p.2 }
f : ι →₀ μ
hf✝ : f ∈ s.finsuppAntidiag p.2
g : ι →₀ μ
hg✝ : g ∈ s.finsuppAntidiag p.2
hfg : (fun f => (↑f).update a p.1) ⟨f, hf✝⟩ = (fun f => (↑f).update a p.1) ⟨g, hg✝⟩
hf : s.sum ⇑f = p.2 ∧ f.support ⊆ s
hg : s.sum ⇑g = p.2 ∧ g.support ⊆ s
\u22a2 ↑⟨f, hf✝⟩ = ↑⟨g, hg✝⟩
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Finsupp.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid μ
inst✝² : HasAntidiagonal μ
inst✝¹ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f✝ : ι →₀ μ
inst✝ : DecidableEq μ
a : ι
s : Finset ι
h : a ∉ s
n : μ
p : μ × μ
x✝¹ x✝ : { x // x ∈ s.finsuppAntidiag p.2 }
f : ι →₀ μ
hf✝ : f ∈ s.finsuppAntidiag p.2
g : ι →₀ μ
hg✝ : g ∈ s.finsuppAntidiag p.2
hf : s.sum ⇑f = p.2 ∧ f.support ⊆ s
hg : s.sum ⇑g = p.2 ∧ g.support ⊆ s
hfg : ∀ (x : ι), (f.update a p.1) x = (g.update a p.1) x
\u22a2 ∀ (x : ι), f x = g x
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Finsupp.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid μ
inst✝² : HasAntidiagonal μ
inst✝¹ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f✝ : ι →₀ μ
inst✝ : DecidableEq μ
a : ι
s : Finset ι
h : a ∉ s
n : μ
p : μ × μ
x✝¹ x✝ : { x // x ∈ s.finsuppAntidiag p.2 }
f : ι →₀ μ
hf✝ : f ∈ s.finsuppAntidiag p.2
g : ι →₀ μ
hg✝ : g ∈ s.finsuppAntidiag p.2
hf : s.sum ⇑f = p.2 ∧ f.support ⊆ s
hg : s.sum ⇑g = p.2 ∧ g.support ⊆ s
hfg : ∀ (x : ι), (f.update a p.1) x = (g.update a p.1) x
x : ι
\u22a2 f x = g x