ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Module/Equiv/Basic.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : Type u_17
n : Type u_18
p : Type u_19
f : m → n
hf : Surjective f
g : n → m
hg : Function.RightInverse g f
\u22a2 Injective ⇑(funLeft R M f)
-- Mathlib/Algebra/Module/Equiv/Basic.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : Type u_17
n : Type u_18
p : Type u_19
f : m → n
hf : Surjective f
g : n → m
hg : Function.RightInverse g f
\u22a2 LeftInverse ⇑(funLeft R M g) ⇑(funLeft R M f)
-- Mathlib/Algebra/Module/Equiv/Basic.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : Type u_17
n : Type u_18
p : Type u_19
f : m → n
hf : Surjective f
g : n → m
hg : Function.RightInverse g f
x : n → M
\u22a2 (funLeft R M g) ((funLeft R M f) x) = x
-- Mathlib/Order/Bounded.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a : α
\u22a2 Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) (s ∩ {b | a ≤ b}) ↔ Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s
-- Mathlib/Order/Bounded.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a x✝ : α
\u22a2 a ≤ x✝ ↔ ¬x✝ < a
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
\u22a2 ↑p ^ (n + 1) * wittMul p (n + 1) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) + (remainder p n - wittPolyProdRemainder p (n + 1))
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
\u22a2 wittPolyProd p (n + 1) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) + remainder p n
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
\u22a2 IsDetector (op G) ↔ IsCodetector G
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Scheme.lean
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
inst✝ : IsIso f
\u22a2 Scheme.Spec.map (inv f).op = inv (Scheme.Spec.map f.op)
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)
la : Filter α
lb : Filter β
\u22a2 sᶜ ∈ la.coprod lb ↔ (Prod.fst '' s)ᶜ ∈ la ∧ (Prod.snd '' s)ᶜ ∈ lb
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n k : ℕ
ih : ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k + 1) = 2 * ∏ i ∈ Finset.range k, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * (k + 1) + 1) = 2 * ∏ i ∈ Finset.range (k + 1), (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n k : ℕ
ih : ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k + 1) = 2 * ∏ i ∈ Finset.range k, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)
\u22a2 (sin 0 ^ (2 * k + 1 + 1) * cos 0 - sin π ^ (2 * k + 1 + 1) * cos π) / (↑(2 * k + 1) + 2) + (↑(2 * k + 1) + 1) / (↑(2 * k + 1) + 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k + 1) = (2 * ↑k + 2) / (2 * ↑k + 3) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n k : ℕ
ih : ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k + 1) = 2 * ∏ i ∈ Finset.range k, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)
\u22a2 (sin 0 ^ (2 * k + 1 + 1) * cos 0 - sin π ^ (2 * k + 1 + 1) * cos π) / ↑(2 * k + 1 + 2) + ↑(2 * k + 1 + 1) / ↑(2 * k + 1 + 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k + 1) = ↑(2 * k + 2) / ↑(2 * k + 3) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k + 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Nondegenerate.lean
m : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m m A
hM : M.det ≠ 0
v : m → A
hv : v ᵥ* M = 0
w : m → A
\u22a2 v ⬝ᵥ M *ᵥ w = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ↥(Lp E p μ)
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖ ≤ ↑C
\u22a2 ‖f‖ ≤ ↑(measureUnivNNReal μ) ^ p.toReal⁻¹ * ↑C
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ↥(Lp E p μ)
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖ ≤ ↑C
this : ‖f‖₊ ≤ measureUnivNNReal μ ^ p.toReal⁻¹ * C
\u22a2 ‖f‖ ≤ ↑(measureUnivNNReal μ) ^ p.toReal⁻¹ * ↑C
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Prod.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P✝ : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝³ : Module R P✝
P : Type u_10
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
\u22a2 (pi Q).PosDef ↔ ∀ (i : ι), (Q i).PosDef
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Prod.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P✝ : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝³ : Module R P✝
P : Type u_10
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
\u22a2 (∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x) ∧ (pi Q).Anisotropic ↔ ∀ (i : ι), (∀ (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x) ∧ (Q i).Anisotropic
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
H : Subgroup G
hn : p ^ n ≤ Nat.card ↥H
\u22a2 ∃ H' ≤ H, Nat.card ↥H' = p ^ n
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
H : Subgroup G
hn : p ^ n ≤ Nat.card ↥H
H' : Subgroup ↥H
H'card : Nat.card ↥H' = p ^ n
\u22a2 ∃ H' ≤ H, Nat.card ↥H' = p ^ n
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
H : Subgroup G
hn : p ^ n ≤ Nat.card ↥H
H' : Subgroup ↥H
H'card : Nat.card ↥H' = p ^ n
\u22a2 Nat.card ↥(Subgroup.map H.subtype H') = p ^ n
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
H : Subgroup G
hn : p ^ n ≤ Nat.card ↥H
H' : Subgroup ↥H
H'card : Nat.card ↥H' = p ^ n
\u22a2 Nat.card ↥(Subgroup.map H.subtype H') = Nat.card ↥H'
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
H : Subgroup G
hn : p ^ n ≤ Nat.card ↥H
H' : Subgroup ↥H
H'card : Nat.card ↥H' = p ^ n
e : ↥H' ≃* ↥(Subgroup.map H.subtype H') := H'.equivMapOfInjective H.subtype ⋯
\u22a2 Nat.card ↥(Subgroup.map H.subtype H') = Nat.card ↥H'
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ τ : Perm α
f : { x // x ∈ ↑σ.support } ≃ { x // x ∈ ↑τ.support }
hf : ∀ (x : α) (hx : x ∈ ↑σ.support), ↑(f ⟨σ x, ⋯⟩) = τ ↑(f ⟨x, hx⟩)
\u22a2 IsConj σ τ
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ τ : Perm α
f : { x // x ∈ ↑σ.support } ≃ { x // x ∈ ↑τ.support }
hf : ∀ (x : α) (hx : x ∈ ↑σ.support), ↑(f ⟨σ x, ⋯⟩) = τ ↑(f ⟨x, hx⟩)
\u22a2 f.extendSubtype * σ * f.extendSubtype⁻¹ = τ
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ τ : Perm α
f : { x // x ∈ ↑σ.support } ≃ { x // x ∈ ↑τ.support }
hf : ∀ (x : α) (hx : x ∈ ↑σ.support), ↑(f ⟨σ x, ⋯⟩) = τ ↑(f ⟨x, hx⟩)
\u22a2 f.extendSubtype * σ = τ * f.extendSubtype
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ τ : Perm α
f : { x // x ∈ ↑σ.support } ≃ { x // x ∈ ↑τ.support }
hf : ∀ (x : α) (hx : x ∈ ↑σ.support), ↑(f ⟨σ x, ⋯⟩) = τ ↑(f ⟨x, hx⟩)
x : α
\u22a2 (f.extendSubtype * σ) x = (τ * f.extendSubtype) x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ τ : Perm α
f : { x // x ∈ ↑σ.support } ≃ { x // x ∈ ↑τ.support }
hf : ∀ (x : α) (hx : x ∈ ↑σ.support), ↑(f ⟨σ x, ⋯⟩) = τ ↑(f ⟨x, hx⟩)
x : α
\u22a2 f.extendSubtype (σ x) = τ (f.extendSubtype x)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
x✝ : R
h✝ : x✝ ∈ closure s
x : R
hx : x ∈ ↑(Submonoid.closure s)
l : List R
hl : ∀ y ∈ l, y ∈ s
h : l.prod = x
\u22a2 ∀ y ∈ l, y ∈ s ∨ y = -1
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Set R
x✝¹ : R
h : x✝¹ ∈ closure s
x : R
x✝ : (fun x => ∃ L, (∀ t ∈ L, ∀ y ∈ t, y ∈ s ∨ y = -1) ∧ (List.map List.prod L).sum = x) x
L : List (List R)
hL : (∀ t ∈ L, ∀ y ∈ t, y ∈ s ∨ y = -1) ∧ (List.map List.prod L).sum = x
\u22a2 ∀ (head : List R) (tail : List (List R)), (List.map List.prod (List.map (List.cons (-1)) tail)).sum = -(List.map List.prod tail).sum → (List.map List.prod (List.map (List.cons (-1)) (head :: tail))).sum = -(List.map List.prod (head :: tail)).sum
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ : ℕ
χ : DirichletCharacter R n✝
n : ℕ
\u22a2 conductor 1 ∣ n
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ : ℕ
χ : DirichletCharacter R n✝
n : ℕ
\u22a2 1 ∣ n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
\u22a2 (map (fun t => X - C t) s).prod = ∑ j ∈ Finset.range (card s + 1), (-1) ^ j * (C (s.esymm j) * X ^ (card s - j))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
\u22a2 (map (fun x => X + C (-x)) s).prod = ∑ j ∈ Finset.range (card s + 1), (-1) ^ j * (C (s.esymm j) * X ^ (card s - j))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
\u22a2 (map (fun x => X + C (-x)) s).prod = (map (fun r => X + C r) (map (fun t => -t) s)).prod
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
\u22a2 ∑ j ∈ Finset.range (card s + 1), (-1) ^ j * (C (s.esymm j) * X ^ (card s - j)) = ∑ j ∈ Finset.range (card (map (fun t => -t) s) + 1), C ((map (fun t => -t) s).esymm j) * X ^ (card (map (fun t => -t) s) - j)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : ∃ f', HasFDerivAt f f' x
\u22a2 HasFDerivAt f (fderiv 𝕜 f x) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : ∃ f', HasFDerivAt f f' x
\u22a2 HasFDerivAt f (Classical.choose h) x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
s t : Set E
\u22a2 span 𝕜 s ⟂ span 𝕜 t ↔ ∀ ⦃u : E⦄, u ∈ s → ∀ ⦃v : E⦄, v ∈ t → ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Defs.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : Module R M
n : ℤ
b : M
\u22a2 ((smulAddHom R M).flip b).comp (castAddHom R) = (smulAddHom ℤ M).flip b
-- Mathlib/Algebra/Module/Defs.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : Module R M
n : ℤ
b : M
\u22a2 (((smulAddHom R M).flip b).comp (castAddHom R)) 1 = ((smulAddHom ℤ M).flip b) 1
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
n : ℕ
ihn : ∀ {s : Set (α × α)}, s ∈ 𝓤 α → ∀ᶠ (t : Set (α × α)) in (𝓤 α).smallSets, t ⊆ s ∧ (fun x => t ○ x)^[n] t ⊆ s
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
\u22a2 ∀ᶠ (t : Set (α × α)) in (𝓤 α).smallSets, t ⊆ s ∧ (fun x => t ○ x)^[n + 1] t ⊆ s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
n : ℕ
ihn : ∀ {s : Set (α × α)}, s ∈ 𝓤 α → ∀ᶠ (t : Set (α × α)) in (𝓤 α).smallSets, t ⊆ s ∧ (fun x => t ○ x)^[n] t ⊆ s
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
t : Set (α × α)
htU : t ∈ 𝓤 α
hts : t ○ t ⊆ s
\u22a2 ∀ᶠ (t : Set (α × α)) in (𝓤 α).smallSets, t ⊆ s ∧ (fun x => t ○ x)^[n + 1] t ⊆ s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
n : ℕ
ihn : ∀ {s : Set (α × α)}, s ∈ 𝓤 α → ∀ᶠ (t : Set (α × α)) in (𝓤 α).smallSets, t ⊆ s ∧ (fun x => t ○ x)^[n] t ⊆ s
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
t : Set (α × α)
htU : t ∈ 𝓤 α
hts : t ○ t ⊆ s
U : Set (α × α)
hU : U ⊆ t ∧ (fun x => U ○ x)^[n] U ⊆ t
\u22a2 U ⊆ s ∧ (fun x => U ○ x)^[n + 1] U ⊆ s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
n : ℕ
ihn : ∀ {s : Set (α × α)}, s ∈ 𝓤 α → ∀ᶠ (t : Set (α × α)) in (𝓤 α).smallSets, t ⊆ s ∧ (fun x => t ○ x)^[n] t ⊆ s
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
t : Set (α × α)
htU : t ∈ 𝓤 α
hts : t ○ t ⊆ s
U : Set (α × α)
hU : U ⊆ t ∧ (fun x => U ○ x)^[n] U ⊆ t
\u22a2 U ⊆ s ∧ U ○ (fun x => U ○ x)^[n] U ⊆ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
v : V
\u22a2 v ∈ s.direction ↔ ∃ p2 ∈ s, v = p -ᵥ p2
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ s
v : V
\u22a2 v ∈ (fun x => p -ᵥ x) '' ↑s ↔ ∃ p2 ∈ s, v = p -ᵥ p2
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
\u22a2 sinh x + cosh x = cexp x
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
S✝ : B
s S : Submonoid M
m : Multiset M
comm : {x | x ∈ m}.Pairwise Commute
h : ∀ x ∈ m, x ∈ S
\u22a2 m.noncommProd comm ∈ S
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
S✝ : B
s S : Submonoid M
l : List M
comm : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
h : ∀ x ∈ ⟦l⟧, x ∈ S
\u22a2 Multiset.noncommProd ⟦l⟧ comm ∈ S
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
S✝ : B
s S : Submonoid M
l : List M
comm : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
h : ∀ x ∈ ⟦l⟧, x ∈ S
\u22a2 l.prod ∈ S
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
f : H →* G
hf : IsPGroup p ↥f.ker
inst✝ : Finite (Sylow p G)
h_exists : ∀ (P : Sylow p H), ∃ Q, comap f ↑Q = ↑P := fun P => exists_comap_eq_of_ker_isPGroup P hf
g : Sylow p H → Sylow p G := fun P => Classical.choose ⋯
hg : ∀ (P : Sylow p H), comap f ↑(g P) = ↑P
P Q : Sylow p H
h : g P = g Q
\u22a2 comap f ↑(g Q) = ↑Q
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x y : L
h : x ∈ I
\u22a2 ⁅x, y⁆ ∈ I
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x y : L
h : x ∈ I
\u22a2 ⁅-y, x⁆ ∈ I
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x y : L
h : x ∈ I
\u22a2 x ∈ I
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H₁ H₂ : Subgroup G
h : Disjoint H₁ H₂
x y : ↥H₁ × ↥H₂
hxy : (fun g => ↑g.1 * ↑g.2) x = (fun g => ↑g.1 * ↑g.2) y
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H₁ H₂ : Subgroup G
h : Disjoint H₁ H₂
x y : ↥H₁ × ↥H₂
hxy : (↑y.1)⁻¹ * ↑x.1 * (↑x.2 * (↑y.2)⁻¹) = 1
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H₁ H₂ : Subgroup G
h : Disjoint H₁ H₂
x y : ↥H₁ × ↥H₂
hxy : ↑(y.1⁻¹ * x.1) = 1 ∧ ↑(x.2 * y.2⁻¹) = 1
\u22a2 x = y
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
b : Set (Set X)
hb : IsTopologicalBasis b
x y : X
h : ∀ s ∈ b, x ∈ s ↔ y ∈ s
\u22a2 (𝓝 y).HasBasis (fun t => t ∈ b ∧ x ∈ t) fun t => t
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
b : Set (Set X)
hb : IsTopologicalBasis b
x y : X
h : ∀ s ∈ b, x ∈ s ↔ y ∈ s
x✝ : Set X
\u22a2 x✝ ∈ b ∧ x ∈ x✝ ↔ x✝ ∈ b ∧ y ∈ x✝
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hd : p.degree = q.degree
hp0 : p ≠ 0
hlc : p.leadingCoeff = q.leadingCoeff
hp : (monomial p.natDegree) p.leadingCoeff + erase p.natDegree p = p
hq : (monomial q.natDegree) q.leadingCoeff + erase q.natDegree q = q
hd' : p.natDegree = q.natDegree
hq0 : q ≠ 0
\u22a2 (p - q).degree = (erase q.natDegree p + -erase q.natDegree q).degree
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
\u22a2 x ≤ y ↔ ReflTransGen (fun x x_1 => x ⋖ x_1) x y
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Basic.lean
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S : StarSubalgebra ℂ A
x : A
φ : ↑(characterSpace ℂ ↥(elementalStarAlgebra ℂ x))
\u22a2 φ ⟨x, ⋯⟩ ∈ spectrum ℂ x
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
x y z : Ordinal.{u_4}
\u22a2 (x * y + z) % x = z % x
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
y z : Ordinal.{u_4}
\u22a2 (0 * y + z) % 0 = z % 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
x y z : Ordinal.{u_4}
hx : x ≠ 0
\u22a2 (x * y + z) % x = z % x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x y z : M
\u22a2 z ∈ span R {x, y} ↔ ∃ a b, a • x + b • y = z
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 a ∆ b ∆ a = b
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shatter.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
h : ∀ t ∈ 𝒜, a ∉ t
ht : 𝒜.Shatters t
\u22a2 a ∉ t
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shatter.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
h : ∀ t ∈ 𝒜, a ∉ t
ht : 𝒜.Shatters t
u : Finset α
hu : u ∈ 𝒜
htu : t ⊆ u
\u22a2 a ∉ t
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
this : (fun x x_1 => x + x_1) (toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - a)) (toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - c)) = (fun x x_1 => x + x_1) p p
\u22a2 toIcoMod hp b a ≤ toIocMod hp b c ∨ toIcoMod hp b c ≤ toIocMod hp b a
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
this : toIcoMod hp 0 (a - b) + toIcoMod hp 0 (c - b) + (toIocMod hp 0 (b - a) + toIocMod hp 0 (b - c)) = p + p
\u22a2 toIcoMod hp b a ≤ toIocMod hp b c ∨ toIcoMod hp b c ≤ toIocMod hp b a
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
this : toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - c) + (toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - a)) = 2 • p
\u22a2 toIcoMod hp b a ≤ toIocMod hp b c ∨ toIcoMod hp b c ≤ toIocMod hp b a
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
this : min (toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - c)) (toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - a)) ≤ p
\u22a2 toIcoMod hp b a ≤ toIocMod hp b c ∨ toIcoMod hp b c ≤ toIocMod hp b a
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
this : toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - c) ≤ p ∨ toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - a) ≤ p
\u22a2 toIcoMod hp b a ≤ toIocMod hp b c ∨ toIcoMod hp b c ≤ toIocMod hp b a
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
this : toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - c) ≤ p ∨ toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - a) ≤ p
\u22a2 toIcoMod hp 0 (a - b) + toIcoMod hp 0 (b - c) ≤ p ∨ toIcoMod hp 0 (c - b) + toIcoMod hp 0 (b - a) ≤ p
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α
this : toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - c) ≤ p ∨ toIcoMod hp 0 (c - b) + toIocMod hp 0 (b - a) ≤ p
\u22a2 toIcoMod hp 0 (b - c) ≤ toIocMod hp 0 (b - c)