ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
\u22a2 (dualPairing 𝕜 E).SeparatingLeft
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
\u22a2 Function.Injective ⇑(dualPairing 𝕜 E)
-- Mathlib/Algebra/Module/Bimodule.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Module A M
inst✝⁵ : Module B M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A M
inst✝¹ : IsScalarTower R B M
inst✝ : SMulCommClass A B M
p : Submodule (A ⊗[R] B) M
a : A
m : M
hm : m ∈ p
\u22a2 a • m ∈ p
-- Mathlib/Algebra/Module/Bimodule.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Module A M
inst✝⁵ : Module B M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A M
inst✝¹ : IsScalarTower R B M
inst✝ : SMulCommClass A B M
p : Submodule (A ⊗[R] B) M
a : A
m : M
hm : m ∈ p
\u22a2 a • m = a ⊗ₜ[R] 1 • m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
R : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
M : Matrix m m' R
\u22a2 (toMatrix₂' R) B * M = (toMatrix₂' R) (B.compl₂ (toLin' M))
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
a : α
\u22a2 {a}.max = ↑a
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
a : α
\u22a2 (insert a ∅).max = ↑a
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
s : Finset ι
hv : Orthonormal 𝕜 v
\u22a2 ∑ i ∈ s, ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2 ≤ ‖x‖ ^ 2
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
s : Finset ι
hv : Orthonormal 𝕜 v
h₂ : ∑ i ∈ s, ∑ j ∈ s, ⟪v i, x⟫_𝕜 * ⟪x, v j⟫_𝕜 * ⟪v j, v i⟫_𝕜 = ∑ k ∈ s, ⟪v k, x⟫_𝕜 * ⟪x, v k⟫_𝕜
\u22a2 ∑ i ∈ s, ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2 ≤ ‖x‖ ^ 2
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
s : Finset ι
hv : Orthonormal 𝕜 v
h₂ : ∑ i ∈ s, ∑ j ∈ s, ⟪v i, x⟫_𝕜 * ⟪x, v j⟫_𝕜 * ⟪v j, v i⟫_𝕜 = ∑ k ∈ s, ⟪v k, x⟫_𝕜 * ⟪x, v k⟫_𝕜
h₃ : ∀ (z : 𝕜), re (z * (starRingEnd 𝕜) z) = ‖z‖ ^ 2
\u22a2 ∑ i ∈ s, ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2 ≤ ‖x‖ ^ 2
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
s : Finset ι
hv : Orthonormal 𝕜 v
h₂ : ∑ i ∈ s, ∑ j ∈ s, ⟪v i, x⟫_𝕜 * ⟪x, v j⟫_𝕜 * ⟪v j, v i⟫_𝕜 = ∑ k ∈ s, ⟪v k, x⟫_𝕜 * ⟪x, v k⟫_𝕜
h₃ : ∀ (z : 𝕜), re (z * (starRingEnd 𝕜) z) = ‖z‖ ^ 2
\u22a2 ‖x - ∑ i ∈ s, ⟪v i, x⟫_𝕜 • v i‖ ^ 2 = ‖x‖ ^ 2 - ∑ i ∈ s, ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
s : Finset ι
hv : Orthonormal 𝕜 v
h₂ : ∑ i ∈ s, ∑ j ∈ s, ⟪v i, x⟫_𝕜 * ⟪x, v j⟫_𝕜 * ⟪v j, v i⟫_𝕜 = ∑ k ∈ s, ⟪v k, x⟫_𝕜 * ⟪x, v k⟫_𝕜
h₃ : ∀ (z : 𝕜), re (z * (starRingEnd 𝕜) z) = ‖z‖ ^ 2
\u22a2 ‖x‖ ^ 2 - (2 * re ⟪x, ∑ i ∈ s, ⟪v i, x⟫_𝕜 • v i⟫_𝕜 - ‖∑ i ∈ s, ⟪v i, x⟫_𝕜 • v i‖ ^ 2) = ‖x‖ ^ 2 - ∑ i ∈ s, ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
s : Finset ι
hv : Orthonormal 𝕜 v
h₂ : ∑ i ∈ s, ∑ j ∈ s, ⟪v i, x⟫_𝕜 * ⟪x, v j⟫_𝕜 * ⟪v j, v i⟫_𝕜 = ∑ k ∈ s, ⟪v k, x⟫_𝕜 * ⟪x, v k⟫_𝕜
h₃ : ∀ (z : 𝕜), re (z * (starRingEnd 𝕜) z) = ‖z‖ ^ 2
\u22a2 re ⟪x, x⟫_𝕜 - (2 * re (∑ i ∈ s, ⟪x, ⟪v i, x⟫_𝕜 • v i⟫_𝕜) - re (∑ x_1 ∈ s, ∑ i ∈ s, ⟪⟪v i, x⟫_𝕜 • v i, ⟪v x_1, x⟫_𝕜 • v x_1⟫_𝕜)) = re ⟪x, x⟫_𝕜 - ∑ i ∈ s, ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
x : E
v : ι → E
s : Finset ι
hv : Orthonormal 𝕜 v
h₂ : ∑ i ∈ s, ∑ j ∈ s, ⟪v i, x⟫_𝕜 * ⟪x, v j⟫_𝕜 * ⟪v j, v i⟫_𝕜 = ∑ k ∈ s, ⟪v k, x⟫_𝕜 * ⟪x, v k⟫_𝕜
h₃ : ∀ (z : 𝕜), re (z * (starRingEnd 𝕜) z) = ‖z‖ ^ 2
\u22a2 re (∑ x_1 ∈ s, ⟪v x_1, x⟫_𝕜 * ⟪x, v x_1⟫_𝕜) = ∑ i ∈ s, ‖⟪v i, x⟫_𝕜‖ ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
\u22a2 ↑(chainTopCoeff (⇑α) β') = ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
\u22a2 ↑(chainTopCoeff (⇑α) β') ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
\u22a2 ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) - n ≤ ↑(chainTopCoeff (⇑α) β')
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₁.RightHomologyData
h₁' : S₂.LeftHomologyData
h₂' : S₂.RightHomologyData
\u22a2 leftHomologyMap' φ h₁ h₁' ≫ leftRightHomologyComparison' h₁' h₂' = leftRightHomologyComparison' h₁ h₂ ≫ rightHomologyMap' φ h₂ h₂'
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i✝ : Fact (finrank ℝ E = n)
o : Orientation ℝ E (Fin n)
_i : Fact (finrank ℝ E = 0)
\u22a2 positiveOrientation.volumeForm = AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → β → α
\u22a2 UniformEquicontinuous F ↔ UniformContinuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → β → α
\u22a2 UniformEquicontinuous F ↔ ∀ i ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x : β × β) in 𝓤 β, ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.2) ∈ UniformFun.gen ι α i
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
b : α
hb : b ∈ P.parts
h : b = ⊥
\u22a2 False
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P : Finpartition a
b : α
hb : b ∈ P.parts
h : b = ⊥
\u22a2 ⊥ ∈ P.parts
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : ι → α
htriv : ¬∀ (i : ι), f i = ⊥
\u22a2 ⨆ i, f ↑i = ⨆ i, f i
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : ι → α
htriv : ¬∀ (i : ι), f i = ⊥
i : ι
\u22a2 ∃ i', f i ≤ f ↑i'
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CommSemiring α
s✝ : Multiset (Multiset α)
a : Multiset α
s : Multiset (Multiset α)
ih : (map sum s).prod = (map prod s.Sections).sum
\u22a2 (map sum (a ::ₘ s)).prod = (map prod (a ::ₘ s).Sections).sum
-- Mathlib/Order/Disjointed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
hf : Monotone f
n : ℕ
\u22a2 disjointed f (n + 1) ⊔ f n = f (n + 1)
-- Mathlib/Order/Disjointed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
hf : Monotone f
n : ℕ
\u22a2 f n ≤ f (n + 1)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : α
l₁ l₂ r₁ r₂ : List α
e' : l₂.append r₂ = l₁.append r₁
ll : (a :: l₁).length ≤ (a :: l₂).length
\u22a2 a :: l₁ <+: a :: l₂
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : α
l₁ r₁ r₂ r₃ : List α
e' : (l₁ ++ r₃).append r₂ = l₁.append r₁
ll : (a :: l₁).length ≤ (a :: (l₁ ++ r₃)).length
\u22a2 a :: l₁ <+: a :: (l₁ ++ r₃)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ
\u22a2 completedHurwitzZetaOdd (-a) s = -completedHurwitzZetaOdd a s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ
\u22a2 (∫ (t : ℝ) in Ioi 0, -(↑t ^ ((s + 1) / 2 - 1) • ↑(oddKernel a t))) / 2 = -((∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ ((s + 1) / 2 - 1) • ↑(oddKernel a t)) / 2)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
o₁ o₂ : Ordinal.{u_1}
\u22a2 max (aleph o₁) (aleph o₂) = aleph (max o₁ o₂)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
o₁ o₂ : Ordinal.{u_1}
h : aleph o₁ ≤ aleph o₂
\u22a2 max (aleph o₁) (aleph o₂) = aleph (max o₁ o₂)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
o₁ o₂ : Ordinal.{u_1}
h : aleph o₂ ≤ aleph o₁
\u22a2 max (aleph o₁) (aleph o₂) = aleph (max o₁ o₂)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/OneVariable.lean
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
n : ℤ
y : ℝ := rexp (-π * τ.im)
\u22a2 ‖cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)‖ ≤ rexp (-π * τ.im) ^ n.natAbs
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/OneVariable.lean
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
n : ℤ
y : ℝ := rexp (-π * τ.im)
h : y < 1
\u22a2 ‖cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)‖ ≤ rexp (-π * τ.im) ^ n.natAbs
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/OneVariable.lean
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
n : ℤ
y : ℝ := rexp (-π * τ.im)
h : y < 1
\u22a2 ‖cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)‖ = y ^ n ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/OneVariable.lean
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
n : ℤ
y : ℝ := rexp (-π * τ.im)
h : y < 1
\u22a2 y ^ n ^ 2 ≤ rexp (-π * τ.im) ^ n.natAbs
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
u v : E
\u22a2 v ∈ (span 𝕜 {u})ᗮ ↔ ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
u v : E
\u22a2 ⟪u, v⟫_𝕜 = 0 → v ∈ (span 𝕜 {u})ᗮ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
u v : E
hv : ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
w : E
hw : w ∈ span 𝕜 {u}
\u22a2 ⟪w, v⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
u v : E
hv : ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
w : E
hw : ∃ a, a • u = w
\u22a2 ⟪w, v⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
u v : E
hv : ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
c : 𝕜
\u22a2 ⟪c • u, v⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Tactic/NoncommRing.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
r : R
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
\u22a2 r * OfNat.ofNat n = n • r
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι'✝ : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b : Basis ι R M
b'✝ : Basis ι'✝ R M'
ι' : Type u_10
inst✝ : Fintype ι'
b' : Basis ι' R M
x : M
i : ι
\u22a2 ∑ j : ι', (b.repr (b' j)) i * (b'.repr x) j = (b.repr x) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι'✝ : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b : Basis ι R M
b'✝ : Basis ι'✝ R M'
ι' : Type u_10
inst✝ : Fintype ι'
b' : Basis ι' R M
x : M
i : ι
\u22a2 ∑ j : ι', (b.repr (b' j)) i * (b'.repr x) j = (b.repr (∑ i : ι', (b'.repr x) i • b' i)) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι'✝ : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b : Basis ι R M
b'✝ : Basis ι'✝ R M'
ι' : Type u_10
inst✝ : Fintype ι'
b' : Basis ι' R M
x : M
i : ι
\u22a2 ∑ j : ι', (b.repr (b' j)) i * (b'.repr x) j = ∑ k : ι', ((b'.repr x) k • b.repr (b' k)) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι'✝ : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b : Basis ι R M
b'✝ : Basis ι'✝ R M'
ι' : Type u_10
inst✝ : Fintype ι'
b' : Basis ι' R M
x : M
i : ι
j : ι'
x✝ : j ∈ Finset.univ
\u22a2 (b.repr (b' j)) i * (b'.repr x) j = ((b'.repr x) j • b.repr (b' j)) i
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteKernel κ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) (κ a)
\u22a2 ∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂κ a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteKernel κ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) (κ a)
\u22a2 ∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂(κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteKernel κ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) ((κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a)
\u22a2 ∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂(κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
s : Set α
f : α → β
\u22a2 Tendsto f (l₁ ⊓ 𝓟 s) l₂ ↔ PTendsto (PFun.res f s) l₁ l₂
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹² : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹¹ : RingHomIsometric σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜' F✝
f✝ : E →SL[σ] F✝
inst✝⁵ : CompleteSpace F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : E →L[𝕜] F
G : Submodule 𝕜 F
h : IsCompl (LinearMap.range f) G
inst✝ : CompleteSpace ↥G
hker : LinearMap.ker f = ⊥
\u22a2 LinearMap.range f = Submodule.map (↑↑(f.coprodSubtypeLEquivOfIsCompl h hker)) (⊤.prod ⊥)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹² : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹¹ : RingHomIsometric σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜' F✝
f✝ : E →SL[σ] F✝
inst✝⁵ : CompleteSpace F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : E →L[𝕜] F
G : Submodule 𝕜 F
h : IsCompl (LinearMap.range f) G
inst✝ : CompleteSpace ↥G
hker : LinearMap.ker f = ⊥
\u22a2 LinearMap.range f = LinearMap.range ↑f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F' →L[ℝ] F
f : α →ₛ F'
\u22a2 ∑ x ∈ f.range, ‖(T (↑f ⁻¹' {x})) x‖ ≤ ∑ x ∈ f.range, ‖T (↑f ⁻¹' {x})‖ * ‖x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F' →L[ℝ] F
f : α →ₛ F'
b : F'
x✝ : b ∈ f.range
\u22a2 ‖(T (↑f ⁻¹' {b})) b‖ ≤ ‖T (↑f ⁻¹' {b})‖ * ‖b‖
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : 0 < b
\u22a2 a * b⁻¹ < c ↔ a < b * c
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : σ →₀ ℕ
a : R
\u22a2 ((monomial s) a).degrees ≤ toMultiset s
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
G G' G'' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F ⊣ G'
adj3 : F ⊣ G''
x : D
\u22a2 (adj1.rightAdjointUniq adj2).hom.app x ≫ (adj2.rightAdjointUniq adj3).hom.app x = (adj1.rightAdjointUniq adj3).hom.app x
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
G G' G'' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F ⊣ G'
adj3 : F ⊣ G''
x : D
\u22a2 (adj1.rightAdjointUniq adj2).hom.app x ≫ (adj2.rightAdjointUniq adj3).hom.app x = ((adj1.rightAdjointUniq adj2).hom ≫ (adj2.rightAdjointUniq adj3).hom).app x
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q✝ R✝ : Prop
inst✝² : Decidable P
inst✝¹ : Decidable Q✝
a b c : α
A : P → α
B : ¬P → α
Q : P → Prop
R : ¬P → Prop
inst✝ : Decidable P
\u22a2 dite P Q R ↔ (∃ p, Q p) ∨ ∃ p, R p
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
f : α → WSeq β
g : β → WSeq γ
\u22a2 (s.bind f).bind g ~ʷ s.bind fun x => (f x).bind g
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
f : α → WSeq β
g : β → WSeq γ
\u22a2 (map (map g) (map f s)).join.join ~ʷ (map (fun x => (map g (f x)).join) s).join
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
f : α → WSeq β
g : β → WSeq γ
\u22a2 (map (map g ∘ f) s).join.join ~ʷ (map join (map (map g ∘ f) s)).join
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
K : ChainComplex C ℕ
X : C
φ : K.X 0 ⟶ X
inst✝ : HomologicalComplex.HasHomology K 0
hφ✝ : K.d 1 0 ≫ φ = 0
hφ : K.d ((ComplexShape.down ℕ).prev 0) 0 ≫ φ = 0
α : HomologicalComplex.sc K 0 ⟶ ShortComplex.mk 0 0 ⋯ := { τ₁ := 0, τ₂ := φ, τ₃ := 0, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }
\u22a2 IsIso (HomologicalComplex.descOpcycles K φ ((ComplexShape.down ℕ).prev 0) ⋯ hφ) ↔ (ShortComplex.mk (K.d ((ComplexShape.down ℕ).prev 0) 0) φ hφ).Exact ∧ Epi φ
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
M : Matroid α
\u22a2 {I | M.Indep I} = ↑(lowerClosure {B | M.Base B})
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
M : Matroid α
\u22a2 {I | ∃ B, M.Base B ∧ I ⊆ B} = ↑(lowerClosure {B | M.Base B})
-- Mathlib/Algebra/Lie/Basic.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M
\u22a2 ⁅⁅x, y⁆, m⁆ = ⁅x, ⁅y, m⁆⁆ - ⁅y, ⁅x, m⁆⁆
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Zero R
inst✝² : LinearOrder Γ
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder Γ
inst✝ : Zero Γ
f : Γ → R
hf : f ≠ 0
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
\u22a2 n ≤ if h : ofSuppBddBelow f ⋯ = 0 then 0 else ⋯.min ⋯
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Zero R
inst✝² : LinearOrder Γ
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder Γ
inst✝ : Zero Γ
f : Γ → R
hf : f ≠ 0
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
h : ofSuppBddBelow f ⋯ = 0
\u22a2 n ≤ if h : ofSuppBddBelow f ⋯ = 0 then 0 else ⋯.min ⋯