ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
f : β → ℝ≥0∞
\u22a2 (∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, ∀ x ∈ Ici ia, f x ∈ Iic ib) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, f n ≤ ε
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
\u22a2 (toMatrixAlgEquiv v₁) id = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
n : ℕ
a : R
p : R[ℕ]
\u22a2 ({ toFinsupp := p } * C a).coeff n = { toFinsupp := p }.coeff n * a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
n : ℕ
a : R
p : R[ℕ]
\u22a2 (p * Finsupp.single 0 a) n = p n * a
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup Γ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
r : R
hr : r * x.leadingCoeff = 1
hx : ¬x = 0
\u22a2 0 < (1 - (single (-x.order)) r * x).orderTop
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup Γ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
r : R
hr : r * x.leadingCoeff = 1
hx : ¬x = 0
hrz : r ≠ 0
\u22a2 0 < (1 - (single (-x.order)) r * x).orderTop
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup Γ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
r : R
hr : r * x.leadingCoeff = 1
hx : ¬x = 0
hrz : r ≠ 0
\u22a2 0 ≤ min (orderTop 1) ((single (-x.order)) r * x).orderTop
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup Γ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
r : R
hr : r * x.leadingCoeff = 1
hx : ¬x = 0
hrz : r ≠ 0
h : 0 = (1 - (single (-x.order)) r * x).orderTop
\u22a2 False
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ι → ℝ
\u22a2 volume (Icc a b) = ∏ i : ι, ofReal (b i - a i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ι → ℝ
\u22a2 ∏ i : ι, volume (Icc (a i) (b i)) = ∏ i : ι, ofReal (b i - a i)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c ≤ 0
h : b ≤ a
\u22a2 a / c ≤ b / c
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c ≤ 0
h : b ≤ a
\u22a2 a * (1 / c) ≤ b * (1 / c)
-- Mathlib/Algebra/Lie/SkewAdjoint.lean
R : Type u
n : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
J✝ : Matrix n n R
u : Rˣ
J A : Matrix n n R
\u22a2 A ∈ skewAdjointMatricesSubmodule (u • J) ↔ A ∈ skewAdjointMatricesSubmodule J
-- Mathlib/Algebra/Lie/SkewAdjoint.lean
R : Type u
n : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
J✝ : Matrix n n R
u : Rˣ
J A : Matrix n n R
\u22a2 Aᵀ * u • J = u • J * -A ↔ Aᵀ * J = J * -A
-- Mathlib/RingTheory/Localization/FractionRing.lean
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : IsDomain B
inst✝⁵ : Field K
L : Type u_7
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
g : A →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x : R
y : ↥(nonZeroDivisors R)
\u22a2 mk' K x y = 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/FractionRing.lean
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : IsDomain B
inst✝⁵ : Field K
L : Type u_7
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
g : A →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x : R
y : ↥(nonZeroDivisors R)
hxy : mk' K x y = 0
\u22a2 x = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/FractionRing.lean
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : IsDomain B
inst✝⁵ : Field K
L : Type u_7
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : IsFractionRing A K
g : A →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x : R
y : ↥(nonZeroDivisors R)
hxy : ∃ m, x = 0
\u22a2 x = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hc : 0 < c
\u22a2 a ≤ b / c ↔ c * a ≤ b
-- Mathlib/Topology/Filter.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
\u22a2 𝓝 (𝓝 x) = ⨅ s, ⨅ (_ : IsOpen s), ⨅ (_ : x ∈ s), 𝓟 (Iic (𝓟 s))
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : IsOpen s
x : E
hx : x ∈ s
\u22a2 #↑s = #E
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → Prop
h : MeasurableSet (f ⁻¹' {True})
\u22a2 Measurable f
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → Prop
h : MeasurableSet (f ⁻¹' {True})
x : Prop
\u22a2 MeasurableSet (f ⁻¹' {x})
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
i : α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
\u22a2 IsGLB (↑s) i ↔ IsLeast (↑s) i
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
i : α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
his : IsGLB (↑s) i
\u22a2 IsLeast (↑s) i
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
i : α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
his : IsGLB (↑s) i
\u22a2 i = s.min' hs
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
i : α
s : Finset α
hs : s.Nonempty
his : (∀ x ∈ ↑s, i ≤ x) ∧ ∀ x ∈ lowerBounds ↑s, x ≤ i
\u22a2 i = s.min' hs
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
f : (i : ι) → β i
s : Multiset ι
h : ∀ (i : ι), i ∈ s ∨ f i = 0
i : ι
H : i ∈ { toFun := f, support' := Trunc.mk ⟨s, h⟩ }.support
\u22a2 i ∈ s.toFinset.val.toFinset
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
x : CliffordAlgebra Q
\u22a2 (contractRight ((contractRight x) d)) d = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
i✝ x✝ : n
\u22a2 (mulVecLin 1 ∘ₗ single i✝) 1 x✝ = (LinearMap.id ∘ₗ single i✝) 1 x✝
-- Mathlib/Tactic/CancelDenoms/Core.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
n e1 e2 t1 t2 : α
h1 : n * e1 = t1
h2 : n * e2 = t2
\u22a2 n * (e1 + e2) = t1 + t2
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneConvergence.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝ : InfConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_anti : Antitone f
hbdd : BddBelow (range f)
\u22a2 Tendsto f atTop (𝓝 (⨅ i, f i))
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
a b x y : R
p : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hp : Prime ↑p
hp1 : Odd p
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ x
\u22a2 multiplicity (↑p) (x ^ p - y ^ p) = multiplicity (↑p) (x - y) + 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
z : E
m : Fin 2 → E
\u22a2 (iteratedFDeriv 𝕜 2 f z) m = ((fderiv 𝕜 (fderiv 𝕜 f) z) (m 0)) (m 1)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
z : E
m : Fin 2 → E
\u22a2 (((iteratedFDeriv 𝕜 0 (fun y => fderiv 𝕜 (fun y => fderiv 𝕜 f y) y) z) (init (init m))) (init m (last 0))) (m (last 1)) = ((fderiv 𝕜 (fderiv 𝕜 f) z) (m 0)) (m 1)
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
a : α
hts : t ⊆ ↑s
hst : ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ t, c ≤ b → b ∈ t
\u22a2 lowerClosure t ⊔ s.sdiff t = s
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
\u22a2 ⇑(chainTop α β) = ↑(chainTopCoeff α β) • α + ⇑β
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
\u22a2 ⇑(chainTop α β) = chainTopCoeff α β • α + ⇑β
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
\u22a2 adjoin K ((X ^ ↑n - 1).rootSet L) = ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
\u22a2 adjoin K ((X ^ ↑n - 1).rootSet L) = adjoin K {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
\u22a2 (X ^ ↑n - 1).rootSet L = {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
x : L
\u22a2 x ∈ (X ^ ↑n - 1).rootSet L ↔ x ∈ {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
x : L
\u22a2 x ∈ (X ^ ↑n - 1).rootSet L ↔ x ^ ↑n = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
x : L
\u22a2 x ^ ↑n = 1 → X ^ ↑n - 1 ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f✝ g : α → β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : TopologicalAddGroup β
f f' : α → β
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hf_ae : f =ᶠ[ae μ] f'
\u22a2 AEStronglyMeasurable' m (-f) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f✝ g : α → β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : TopologicalAddGroup β
f f' : α → β
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hf_ae : f =ᶠ[ae μ] f'
x : α
hx : f x = f' x
\u22a2 (-f) x = (-f') x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f✝ g : α → β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : TopologicalAddGroup β
f f' : α → β
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hf_ae : f =ᶠ[ae μ] f'
x : α
hx : f x = f' x
\u22a2 -f x = -f' x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f c : Perm α
a : α
ha : a ∈ c.support
hc : c ∈ f.cycleFactorsFinset
\u22a2 c = f.cycleOf a
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f c : Perm α
a : α
ha : a ∈ c.support
hc : c ∈ f.cycleFactorsFinset
\u22a2 f.cycleOf a = c.cycleOf a
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f c : Perm α
a : α
ha : a ∈ c.support
hc : c ∈ f.cycleFactorsFinset
hfc : c.Disjoint (f * c⁻¹) := Disjoint.symm (disjoint_mul_inv_of_mem_cycleFactorsFinset hc)
\u22a2 f.cycleOf a = c.cycleOf a
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f c : Perm α
a : α
ha : a ∈ c.support
hc : c ∈ f.cycleFactorsFinset
hfc : c.Disjoint (f * c⁻¹) := Disjoint.symm (disjoint_mul_inv_of_mem_cycleFactorsFinset hc)
hfc2 : Commute c (f * c⁻¹) := Disjoint.commute hfc
\u22a2 f.cycleOf a = c.cycleOf a
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f c : Perm α
a : α
ha : a ∈ c.support
hc : c ∈ f.cycleFactorsFinset
hfc : c.Disjoint (f * c⁻¹) := Disjoint.symm (disjoint_mul_inv_of_mem_cycleFactorsFinset hc)
hfc2 : Commute c (f * c⁻¹) := Disjoint.commute hfc
\u22a2 f.cycleOf a = (c * (f * c⁻¹)).cycleOf a
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f c : Perm α
a : α
ha : a ∈ c.support
hc : c ∈ f.cycleFactorsFinset
hfc : c.Disjoint (f * c⁻¹) := Disjoint.symm (disjoint_mul_inv_of_mem_cycleFactorsFinset hc)
hfc2 : Commute c (f * c⁻¹) := Disjoint.commute hfc
\u22a2 (f * c⁻¹) a = a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
S : Set (Submodule R M)
m : M
\u22a2 m ∈ sSup S ↔ ∃ s, ↑s ⊆ S ∧ m ∈ ⨆ i ∈ s, i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
S : Set (Submodule R M)
m : M
\u22a2 (∃ s, m ∈ ⨆ i ∈ s, ↑i) ↔ ∃ s, ↑s ⊆ S ∧ m ∈ ⨆ i ∈ s, i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
S : Set (Submodule R M)
m : M
x✝ : ∃ s, m ∈ ⨆ i ∈ s, ↑i
s : Finset { a // a ∈ S }
hs : m ∈ ⨆ i ∈ s, ↑i
\u22a2 ↑(Finset.map (Function.Embedding.subtype S) s) ⊆ S
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
S : Set (Submodule R M)
m : M
x✝ : ∃ s, m ∈ ⨆ i ∈ s, ↑i
s : Finset { a // a ∈ S }
hs : m ∈ ⨆ i ∈ s, ↑i
\u22a2 m ∈ ⨆ i ∈ Finset.map (Function.Embedding.subtype S) s, i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
S : Set (Submodule R M)
m : M
x✝ : ∃ s, ↑s ⊆ S ∧ m ∈ ⨆ i ∈ s, i
s : Finset (Submodule R M)
hsS : ↑s ⊆ S
hs : m ∈ ⨆ i ∈ s, i
\u22a2 m ∈ ⨆ i ∈ s.preimage Subtype.val ⋯, ↑i
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Affine.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
\u22a2 IsAffine X
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Affine.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
this : QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
\u22a2 IsAffine X
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Affine.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
this✝ : QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
this : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
\u22a2 IsAffine X
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Affine.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
this✝ : QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
this : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
\u22a2 IsIso (ΓSpec.adjunction.unit.app X)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Affine.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
this✝ : QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
this : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
i : ↑s
\u22a2 PrimeSpectrum.basicOpen ↑i ∈ ((Scheme.Γ.rightOp ⋙ Scheme.Spec).obj X).affineOpens
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Affine.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
this✝ : QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
this : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
\u22a2 ⨆ i, ↑((fun i => ⟨PrimeSpectrum.basicOpen ↑i, ⋯⟩) i) = ⊤
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Affine.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
this✝ : QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
this : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
i : ↑s
\u22a2 IsAffine ↑(ΓSpec.adjunction.unit.app X ⁻¹ᵁ ↑((fun i => ⟨PrimeSpectrum.basicOpen ↑i, ⋯⟩) i))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Affine.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
this✝ : QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
this : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
i : ↑s
\u22a2 IsIso (Scheme.Hom.app (ΓSpec.adjunction.unit.app X ∣_ ↑((fun i => ⟨PrimeSpectrum.basicOpen ↑i, ⋯⟩) i)) ⊤)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hμν : ν ≪ μ
\u22a2 essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) ν ≤ essSup (fun x => ↑‖f x‖₊) μ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/RCLike.lean
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
\u22a2 ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/RCLike.lean
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
t : Set E
hst : t ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p t
\u22a2 ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/RCLike.lean
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
t : Set E
hst : t ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1) f p t
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hε : Metric.ball x ε ∩ insert x s ⊆ t
\u22a2 ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/RCLike.lean
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
t : Set E
hst : t ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hε : Metric.ball x ε ∩ insert x s ⊆ t
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (Metric.ball x ε ∩ insert x s)
\u22a2 ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/RCLike.lean
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (Metric.ball x ε ∩ insert x s)
\u22a2 ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/RCLike.lean
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕂 F'
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x (Metric.ball x ε ∩ s))
\u22a2 ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t