ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace γ
g : β → γ
f : α → β
hg : _root_.Embedding g
this : PseudoMetricSpace γ := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric γ
this✝³ : MeasurableSpace β := borel β
this✝² : BorelSpace β
this✝¹ : MeasurableSpace γ := borel γ
this✝ : BorelSpace γ
\u22a2 AEStronglyMeasurable (fun x => g (f x)) μ ↔ AEStronglyMeasurable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace γ
g : β → γ
f : α → β
hg : _root_.Embedding g
this : PseudoMetricSpace γ := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric γ
this✝³ : MeasurableSpace β := borel β
this✝² : BorelSpace β
this✝¹ : MeasurableSpace γ := borel γ
this✝ : BorelSpace γ
H : AEStronglyMeasurable (fun x => g (f x)) μ
\u22a2 AEMeasurable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace γ
g : β → γ
f : α → β
hg : _root_.Embedding g
this : PseudoMetricSpace γ := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric γ
this✝³ : MeasurableSpace β := borel β
this✝² : BorelSpace β
this✝¹ : MeasurableSpace γ := borel γ
this✝ : BorelSpace γ
H : AEStronglyMeasurable (fun x => g (f x)) μ
\u22a2 ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/TerminatedStable.lean
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
n_le_m : n ≤ m
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n
\u22a2 g.convs m = g.convs n
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NNNorm.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : ↑r < ‖f‖
\u22a2 ∃ x, ↑r * ‖x‖ < ‖f x‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
\u22a2 (o.kahler x) y ≠ 0 ↔ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
\u22a2 (o.kahler x) y ≠ 0 → x ≠ 0 ∧ y ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
\u22a2 ¬(x ≠ 0 ∧ y ≠ 0) → ¬(o.kahler x) y ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
\u22a2 x = 0 ∨ y = 0 → ↑⟪x, y⟫_ℝ + ↑((o.areaForm x) y) * Complex.I = 0
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
ha : IsOfFinOrder a
\u22a2 (↑(powers a)).Finite
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
h : a < b
\u22a2 Ico a b = cons a (Ioo a b) ⋯
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Shift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
\u22a2 n = n + 0
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : AddSemigroup α
h1 : Periodic f c₁
h2 : Periodic f c₂
\u22a2 Periodic f (c₁ + c₂)
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : R0Space X
x y : X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Y → X
hf : Inducing f
a b : Y
\u22a2 a ⤳ b → b ⤳ a
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
x✝ : ℤ
\u22a2 x✝ ∈ Int.cast ⁻¹' Iio a ↔ x✝ ∈ Iio ⌈a⌉
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
n : ℕ
x✝ : X ^ n ∣ f
d : ℕ
hd : d < n
g : R[X]
hgf : f = X ^ n * g
\u22a2 f.coeff d = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Defs.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
a b : R
h : a + b = 1
\u22a2 a • x + b • y = b • y - b • x + (a • x + b • x)
-- Mathlib/Algebra/Module/Defs.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
a b : R
h : a + b = 1
\u22a2 b • y - b • x + (a • x + b • x) = b • (y - x) + x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
q : ℤ[X]
hp : IsUnitTrinomial 0
\u22a2 False
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/CommShift.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{?u.24322, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : AddCommMonoid B
inst✝⁴ : HasShift C A
inst✝³ : HasShift D A
inst✝² : HasShift E A
inst✝¹ : HasShift C B
inst✝ : HasShift D B
a b : A
e₁ : shiftFunctor C a ⋙ F ≅ F ⋙ shiftFunctor D a
e₂ : shiftFunctor C b ⋙ F ≅ F ⋙ shiftFunctor D b
X : C
\u22a2 (isoAdd e₁ e₂).inv.app X = (shiftFunctorAdd D a b).hom.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map (e₁.inv.app X) ≫ e₂.inv.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ F.map ((shiftFunctorAdd C a b).inv.app X)
-- Mathlib/Order/GaloisConnection.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
l : α → β
u : β → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
gi : GaloisInsertion l u
s : Set β
\u22a2 l (sSup (u '' s)) = sSup s
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
q₁ q₂ : Λ'
s : Option Γ'
c d : List Γ'
v : List ℕ
n : ℕ
\u22a2 Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (q₁.pred q₂), var := s, stk := elim (trList ((n + 1) :: v)) [] c d } (Nat.rec { l := some q₁, var := none, stk := elim (trList ((n + 1) :: v).tail) [] c d } (fun n_1 x => { l := some q₂, var := none, stk := elim (trList (n_1 :: ((n + 1) :: v).tail)) [] c d }) ((n + 1) :: v).headI)
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
q₁ q₂ : Λ'
s : Option Γ'
c d : List Γ'
v : List ℕ
n : ℕ
\u22a2 Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (q₁.pred q₂), var := s, stk := elim (trPosNum (↑n).succ' ++ Γ'.cons :: trList v) [] c d } { l := some q₂, var := none, stk := elim ((match ↑n with | Num.zero => [] | Num.pos n => trPosNum n) ++ Γ'.cons :: trList v) [] c d }
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
q₁ q₂ : Λ'
s : Option Γ'
c d : List Γ'
v : List ℕ
n : ℕ
a : PosNum
\u22a2 Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (q₁.pred q₂), var := s, stk := elim (trPosNum a.succ ++ Γ'.cons :: trList v) [] c d } { l := some q₂, var := none, stk := elim (trPosNum a ++ Γ'.cons :: trList v) [] c d }
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
q₁ q₂ : Λ'
s : Option Γ'
c d : List Γ'
v : List ℕ
n : ℕ
a : PosNum
\u22a2 ∀ (l₁ : List Γ'), ∃ l₁' l₂' s', l₁.reverseAux (trPosNum a) = l₁'.reverseAux l₂' ∧ Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (q₁.pred q₂), var := s, stk := elim (trPosNum a.succ ++ Γ'.cons :: trList v) l₁ c d } { l := some (unrev q₂), var := s', stk := elim (l₂' ++ Γ'.cons :: trList v) l₁' c d }
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
c : Ordinal.{max u v}
hc : ℵ₀ < c.cof
hc' : Cardinal.lift.{v, u} #ι < c.cof
hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c, f i b < c
a : Ordinal.{max u v}
ha : a < c
\u22a2 nfpFamily f a < c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
c : Ordinal.{max u v}
hc : ℵ₀ < c.cof
hc' : Cardinal.lift.{v, u} #ι < c.cof
hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c, f i b < c
a : Ordinal.{max u v}
ha : a < c
\u22a2 Cardinal.lift.{v, u} (max ℵ₀ #ι) < c.cof
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
c : Ordinal.{max u v}
hc : ℵ₀ < c.cof
hc' : Cardinal.lift.{v, u} #ι < c.cof
hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c, f i b < c
a : Ordinal.{max u v}
ha : a < c
l : List ι
\u22a2 List.foldr f a l < c
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
S T : WSeq (WSeq α)
s1 s2 : WSeq α
h : ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join)
\u22a2 Computation.LiftRel (LiftRelO (fun x x_1 => x = x_1) fun s1 s2 => ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join)) s1.destruct s2.destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
S T : WSeq (WSeq α)
s1 s2 : WSeq α
h : ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join)
\u22a2 ∀ {ca cb : Computation (Option (α × WSeq α))}, (fun c1 c2 => ∃ s S T, c1 = (s.append (S.append T).join).destruct ∧ c2 = (s.append (S.join.append T.join)).destruct) ca cb → LiftRelAux (LiftRelO (fun x x_1 => x = x_1) fun s1 s2 => ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join)) (fun c1 c2 => ∃ s S T, c1 = (s.append (S.append T).join).destruct ∧ c2 = (s.append (S.join.append T.join)).destruct) ca.destruct cb.destruct
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
x : Subobject X
\u22a2 (map (𝟙 X)).obj x = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
f : MonoOver X
\u22a2 (map (𝟙 X)).obj (Quotient.mk'' f) = Quotient.mk'' f
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
e : ι ≃ ι₂
e' : ι₂ ≃ ι₃
\u22a2 reindex R s e ≪≫ₗ reindex R (fun i => s (e.symm i)) e' = reindex R s (e.trans e')
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
e : ι ≃ ι₂
e' : ι₂ ≃ ι₃
\u22a2 ↑(reindex R s e ≪≫ₗ reindex R (fun i => s (e.symm i)) e') = ↑(reindex R s (e.trans e'))
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
e : ι ≃ ι₂
e' : ι₂ ≃ ι₃
f : (i : ι) → s i
\u22a2 ((↑(reindex R s e ≪≫ₗ reindex R (fun i => s (e.symm i)) e')).compMultilinearMap (tprod R)) f = ((↑(reindex R s (e.trans e'))).compMultilinearMap (tprod R)) f
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
e : ι ≃ ι₂
e' : ι₂ ≃ ι₃
f : (i : ι) → s i
\u22a2 ((tprod R) fun i => f (e.symm (e'.symm i))) = ((domDomCongrLinearEquiv' R R s (⨂[R] (i : ι₃), s ((e.trans e').symm i)) (e.trans e')).symm (tprod R)) f
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPointApproximants.lean
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a b c : Ordinal.{u}
h_init : x ≤ f x
h_ab : a < b
h_ac : a ≤ c
h_fab : lfpApprox f x a = lfpApprox f x b
\u22a2 lfpApprox f x c ∈ fixedPoints ⇑f
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPointApproximants.lean
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a b c : Ordinal.{u}
h_init : x ≤ f x
h_ab : a < b
h_ac : a ≤ c
h_fab : lfpApprox f x a = lfpApprox f x b
lfpApprox_mem_fixedPoint : lfpApprox f x a ∈ fixedPoints ⇑f
\u22a2 lfpApprox f x c ∈ fixedPoints ⇑f
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPointApproximants.lean
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a b c : Ordinal.{u}
h_init : x ≤ f x
h_ab : a < b
h_ac : a ≤ c
h_fab : lfpApprox f x a = lfpApprox f x b
lfpApprox_mem_fixedPoint : lfpApprox f x a ∈ fixedPoints ⇑f
\u22a2 lfpApprox f x ?m.12494 ∈ fixedPoints ⇑f
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPointApproximants.lean
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a b c : Ordinal.{u}
h_init : x ≤ f x
h_ab : a < b
h_ac : a ≤ c
h_fab : lfpApprox f x a = lfpApprox f x b
lfpApprox_mem_fixedPoint : lfpApprox f x a ∈ fixedPoints ⇑f
\u22a2 ?m.12494 ≤ c
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPointApproximants.lean
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α
a b c : Ordinal.{u}
h_init : x ≤ f x
h_ab : a < b
h_ac : a ≤ c
h_fab : lfpApprox f x a = lfpApprox f x b
lfpApprox_mem_fixedPoint : lfpApprox f x a ∈ fixedPoints ⇑f
\u22a2 Ordinal.{u}
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Module.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Module A M
f : R
\u22a2 Subsingleton (LocalizedModule (Submonoid.powers f) M) ↔ Disjoint (↑(PrimeSpectrum.basicOpen f)) (Module.support R M)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Module.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Module A M
f : R
\u22a2 Module.support R M ⊆ PrimeSpectrum.zeroLocus {f} ↔ Module.support R M ≤ PrimeSpectrum.zeroLocus {f}
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x✝ : G
\u22a2 (0 ⋆[L, μ] g) x✝ = 0 x✝
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type ?u.136040
inst✝¹ : MulAction R X
T : Type u_2
inst✝ : Monoid T
f : R →* T
fS : ↥S →* Tˣ
hf : ∀ (s : ↥S), f ↑s = ↑(fS s)
r : R
\u22a2 (universalMulHom f fS hf) (numeratorHom r) = f r
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/MellinEqDirichlet.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
p : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hp : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < p i
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a i * ↑(rexp (-p i * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / p i ^ s.re
\u22a2 HasSum (fun i => Complex.Gamma s * a i / ↑(p i) ^ s) (mellin F s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/MellinEqDirichlet.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
p : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hp : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < p i
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a i * ↑(rexp (-p i * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / p i ^ s.re
\u22a2 HasSum (fun i => Complex.Gamma s * a i / ↑(p i) ^ s) (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ∑' (x_1 : ι), ↑x ^ (s - 1) * (a x_1 * ↑(rexp (-p x_1 * x))) ∂volume)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/MellinEqDirichlet.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
p : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hp : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < p i
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a i * ↑(rexp (-p i * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / p i ^ s.re
i : ι
\u22a2 Complex.Gamma s * a i / ↑(p i) ^ s = ∫ (a_1 : ℝ) in Ioi 0, ↑a_1 ^ (s - 1) * (a i * ↑(rexp (-p i * a_1))) ∂volume
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/MellinEqDirichlet.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
p : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hp : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < p i
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a i * ↑(rexp (-p i * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / p i ^ s.re
i : ι
\u22a2 Integrable ((fun i t => ↑t ^ (s - 1) * (a i * ↑(rexp (-p i * t)))) i) (volume.restrict (Ioi 0))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/MellinEqDirichlet.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
p : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hp : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < p i
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a i * ↑(rexp (-p i * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / p i ^ s.re
\u22a2 Summable fun i => ∫ (a_1 : ℝ) in Ioi 0, ‖(fun i t => ↑t ^ (s - 1) * (a i * ↑(rexp (-p i * t)))) i a_1‖ ∂volume
-- Mathlib/Order/WithBot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : LT α
a✝ b : α
a : WithTop α
\u22a2 ¬⊤ < a
-- Mathlib/Order/WithBot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : LT α
a✝ b : α
a : WithTop α
\u22a2 ¬WithTop.toDual a < WithTop.toDual ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k1 k2 : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f g : ℍ → ℂ
x : ℍ
\u22a2 ((f * g) ∣[k1 + k2] A) x = ((↑↑A).det • f ∣[k1] A * g ∣[k2] A) x
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k1 k2 : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f g : ℍ → ℂ
x : ℍ
\u22a2 f (A • x) * g (A • x) * ↑(↑↑A).det ^ (k1 + k2 - 1) * denom A x ^ (-(k1 + k2)) = ↑(↑↑A).det * (f (A • x) * ↑(↑↑A).det ^ (k1 - 1) * denom A x ^ (-k1)) * (g (A • x) * ↑(↑↑A).det ^ (k2 - 1) * denom A x ^ (-k2))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k1 k2 : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f g : ℍ → ℂ
x : ℍ
d : ℂ := ↑(↑↑A).det
\u22a2 f (A • x) * g (A • x) * d ^ (k1 + k2 - 1) * denom A x ^ (-(k1 + k2)) = d * (f (A • x) * d ^ (k1 - 1) * denom A x ^ (-k1)) * (g (A • x) * d ^ (k2 - 1) * denom A x ^ (-k2))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k1 k2 : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f g : ℍ → ℂ
x : ℍ
d : ℂ := ↑(↑↑A).det
h1 : d ^ (k1 + k2 - 1) = d * d ^ (k1 - 1) * d ^ (k2 - 1)
\u22a2 f (A • x) * g (A • x) * d ^ (k1 + k2 - 1) * denom A x ^ (-(k1 + k2)) = d * (f (A • x) * d ^ (k1 - 1) * denom A x ^ (-k1)) * (g (A • x) * d ^ (k2 - 1) * denom A x ^ (-k2))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k1 k2 : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f g : ℍ → ℂ
x : ℍ
d : ℂ := ↑(↑↑A).det
h1 : d ^ (k1 + k2 - 1) = d * d ^ (k1 - 1) * d ^ (k2 - 1)
h22 : denom A x ^ (-(k1 + k2)) = denom A x ^ (-k1) * denom A x ^ (-k2)
\u22a2 f (A • x) * g (A • x) * d ^ (k1 + k2 - 1) * denom A x ^ (-(k1 + k2)) = d * (f (A • x) * d ^ (k1 - 1) * denom A x ^ (-k1)) * (g (A • x) * d ^ (k2 - 1) * denom A x ^ (-k2))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
\u22a2 f ''ᵁ ⊤ = f.opensRange
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
\u22a2 ↑(f ''ᵁ ⊤) = ↑f.opensRange
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
this : FreeGroup.of i * FreeGroup.of i ∈ M.relationsSet
\u22a2 cs.simple i * cs.simple i = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
this✝ : FreeGroup.of i * FreeGroup.of i ∈ M.relationsSet
this : ↑(FreeGroup.of i * FreeGroup.of i) = 1
\u22a2 cs.simple i * cs.simple i = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
this✝ : FreeGroup.of i * FreeGroup.of i ∈ M.relationsSet
this : ↑(FreeGroup.of i * FreeGroup.of i) = 1
\u22a2 cs.mulEquiv.symm (PresentedGroup.of i) * cs.mulEquiv.symm (PresentedGroup.of i) = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : a * p.leadingCoeff ≠ 0
\u22a2 (C a * p).natDegree = p.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : a * p.leadingCoeff ≠ 0
\u22a2 p.natDegree ∈ (C a * p).support
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : a * p.leadingCoeff ≠ 0
\u22a2 (C a * p).coeff p.natDegree ≠ 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : CommMonoid α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
f✝ g✝ : β → α
a✝ b : α
s : Finset β
inst✝³ : CommMonoid γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
G : Type u_5
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : Inducing ⇑g
f : β → α
a : α
\u22a2 HasProd (⇑g ∘ f) (g a) ↔ HasProd f a
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : CommMonoid α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
f✝ g✝ : β → α
a✝ b : α
s : Finset β
inst✝³ : CommMonoid γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
G : Type u_5
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : Inducing ⇑g
f : β → α
a : α
\u22a2 Tendsto (fun s => g (∏ x ∈ s, f x)) atTop (𝓝 (g a)) ↔ Tendsto (fun s => ∏ x ∈ s, f x) atTop (𝓝 a)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
\u22a2 (W.ΨSq n).natDegree ≤ n.natAbs ^ 2 - 1
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring S
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Semiring B
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
\u22a2 FiniteType R (FreeAlgebra R ι)
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring S
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Semiring B
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
\u22a2 FiniteType R (FreeAlgebra R ι)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
f : X → ℝ
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] f
hfi : IntegrableOn f s μ
\u22a2 0 < ∫ (x : X) in s, f x ∂μ ↔ 0 < μ (support f ∩ s)