ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β✝ : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
f1 f2 : α →₀ M
hd : Disjoint f1.support f2.support
β : Type u_16
inst✝ : CommMonoid β
g : α → M → β
\u22a2 (f1 + f2).prod g = f1.prod g * f2.prod g
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β✝ : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
f1 f2 : α →₀ M
hd : Disjoint f1.support f2.support
β : Type u_16
inst✝ : CommMonoid β
g : α → M → β
this : ∀ {f1 f2 : α →₀ M}, Disjoint f1.support f2.support → ∏ x ∈ f1.support, g x (f1 x + f2 x) = f1.prod g
\u22a2 (f1 + f2).prod g = f1.prod g * f2.prod g
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ X₂ : V
d₀ : X₀ ⟶ X₁
d₁ : X₁ ⟶ X₂
s : d₀ ≫ d₁ = 0
succ : (S : ShortComplex V) → (X₄ : V) ×' (d₂ : S.X₃ ⟶ X₄) ×' S.g ≫ d₂ = 0
\u22a2 (if 2 = 1 + 1 then d₁ ≫ 𝟙 X₂ else 0) = d₁
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis (fun x => True) s
\u22a2 l = ⨅ i, 𝓟 (s i)
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
v : Vector α n
\u22a2 (map id v).toList = v.toList
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
M : Type u
inst✝³ : Monoid M
α : Type v
inst✝² : MulAction M α
β : Type u_1
inst✝¹ : MulAction M β
a : α
inst✝ : Fintype ↑(orbit M a)
\u22a2 a ∈ fixedPoints M α ↔ Fintype.card ↑(orbit M a) = 1
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
M : Type u
inst✝³ : Monoid M
α : Type v
inst✝² : MulAction M α
β : Type u_1
inst✝¹ : MulAction M β
a : α
inst✝ : Fintype ↑(orbit M a)
\u22a2 (∀ (m : M), m • a = a) ↔ ∃ x, ∀ (y : ↑(orbit M a)), y = x
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
\u22a2 a ⊔ b ⇨ a = b ⇨ a
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
m✝ : Multiset R
a : R
m : Multiset R
ih : (Multiset.map (fun x => span {x}) m).prod = span {m.prod}
\u22a2 (Multiset.map (fun x => span {x}) (a ::ₘ m)).prod = span {(a ::ₘ m).prod}
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/EpiMono.lean
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
\u22a2 Epi f ↔ Function.Surjective ⇑f
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/EpiMono.lean
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
\u22a2 Epi f ↔ Epi ((forget TopCat).map f)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Opposite.lean
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.17548, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex V c
i j : ι
hij : ¬c.symm.Rel i j
\u22a2 (X.d j i).op = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Opposite.lean
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.17548, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex V c
x✝⁴ x✝³ x✝² : ι
x✝¹ : c.symm.Rel x✝⁴ x✝³
x✝ : c.symm.Rel x✝³ x✝²
\u22a2 (fun i j => (X.d j i).op) x✝⁴ x✝³ ≫ (fun i j => (X.d j i).op) x✝³ x✝² = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Laurent.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R
hp : p ∈ R[X]⁰
\u22a2 (taylor r) p ∈ R[X]⁰
-- Mathlib/FieldTheory/Laurent.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R
hp : p ∈ R[X]⁰
\u22a2 ∀ (x : R[X]), x * (taylor r) p = 0 → x = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Laurent.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R
hp : p ∈ R[X]⁰
x : R[X]
hx : x * (taylor r) p = 0
this : x = (taylor (r - r)) x
\u22a2 x = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : Countable ι
t : ι → Set α
htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)
f : (i : ι) → ↑(t i) → β
hfm : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ t i) (hxj : x ∈ t j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
htU : ⋃ i, t i = univ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 MeasurableSet (liftCover t f hf htU ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : Countable ι
t : ι → Set α
htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)
f : (i : ι) → ↑(t i) → β
hfm : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
hf : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ t i) (hxj : x ∈ t j), f i ⟨x, hxi⟩ = f j ⟨x, hxj⟩
htU : ⋃ i, t i = univ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 MeasurableSet (⋃ i, Subtype.val '' (f i ⁻¹' s))
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s : Submodule K V
h : s < ⊤
\u22a2 finrank K ↥s < finrank K V
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s : Submodule K V
h : s < ⊤
\u22a2 finrank K ↥s < finrank K ↥s + finrank K (V ⧸ s)
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MulZeroClass β
f f' : α → β
x : α
hf : HasCompactSupport f
\u22a2 HasCompactSupport (f * f')
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MulZeroClass β
f f' : α → β
x : α
hf : f =ᶠ[coclosedCompact α] 0
\u22a2 f * f' =ᶠ[coclosedCompact α] 0
-- Mathlib/Algebra/Order/CompleteField.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : LinearOrderedRing S
hR : ∀ (r : R), 0 ≤ r → ∃ s, s ^ 2 = r
f : R →+* S
s : R
h : 0 ≤ s ^ 2
\u22a2 0 ≤ f (s ^ 2)
-- Mathlib/Algebra/Order/CompleteField.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : OrderedRing R
inst✝ : LinearOrderedRing S
hR : ∀ (r : R), 0 ≤ r → ∃ s, s ^ 2 = r
f : R →+* S
s : R
h : 0 ≤ s ^ 2
\u22a2 0 ≤ f s ^ 2
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Monoid R
inst✝² : AddMonoid M
inst✝¹ : DistribMulAction R M
inst✝ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
r : R
n : ℕ
\u22a2 (inl r ^ n).snd = (inl (r ^ n)).snd
-- Mathlib/Algebra/Homology/ExactSequence.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S : ComposableArrows C n
hS : S.Exact
i : ℕ
hk : autoParam (i + 1 + 1 ≤ n) _auto✝
\u22a2 (S.sc' ⋯ i (i + 1) (i + 1 + 1) ⋯ ⋯ ⋯).Exact
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
h : ↑S.topologicalClosure = univ
\u22a2 ‖S.normedMk‖ = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
h : ↑S.topologicalClosure = univ
x : M
\u22a2 ‖S.normedMk x‖ ≤ 0 * ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
h : ↑S.topologicalClosure = univ
x : M
hker : x ∈ S.normedMk.ker.topologicalClosure
\u22a2 ‖S.normedMk x‖ ≤ 0 * ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
h : ↑S.topologicalClosure = univ
x : M
hker : x ∈ S.topologicalClosure
\u22a2 ‖S.normedMk x‖ ≤ 0 * ‖x‖
-- Mathlib/Data/Finsupp/NeLocus.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : Zero N
f✝ g✝ f g : α →₀ N
a : α
\u22a2 a ∈ f.neLocus g ↔ f a ≠ g a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R✝ : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹⁰ : Semiring R✝
inst✝⁹ : Semiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R✝ N
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R✝ P
α : Type u_7
β : Type u_8
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f : α →₀ β →₀ M
xy : α × β
\u22a2 ((finsuppProdLEquiv R).symm f) xy = (f xy.1) xy.2
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
h1 : IsPurelyInseparable F E
h2 : IsPurelyInseparable E K
\u22a2 IsPurelyInseparable F K
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
h1 : IsPurelyInseparable F E
h2 : IsPurelyInseparable E K
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
\u22a2 IsPurelyInseparable F K
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
h1 : IsPurelyInseparable F E
h2 : IsPurelyInseparable E K
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
this : ExpChar E q
\u22a2 IsPurelyInseparable F K
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
q : ℕ
h2 : ∀ (x : K), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap E K).range
h1 : ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
h✝ : ExpChar F q
this : ExpChar E q
\u22a2 ∀ (x : K), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F K).range
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
q : ℕ
h2✝ : ∀ (x : K), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap E K).range
h1✝ : ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
h✝ : ExpChar F q
this : ExpChar E q
x : K
n : ℕ
y : E
h2 : (algebraMap E K) y = x ^ q ^ n
m : ℕ
z : F
h1 : (algebraMap F E) z = y ^ q ^ m
\u22a2 (algebraMap F K) z = x ^ q ^ (n + m)
-- Mathlib/Analysis/ConstantSpeed.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0
t : Set ℝ
hfs : HasConstantSpeedOnWith f s l
hft : HasConstantSpeedOnWith f t l
x : ℝ
hs : IsGreatest s x
ht : IsLeast t x
\u22a2 HasConstantSpeedOnWith f (s ∪ t) l
-- Mathlib/Analysis/ConstantSpeed.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0
t : Set ℝ
hfs : ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s → x ≤ y → eVariationOn f (s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
hft : ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ t → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ t → x ≤ y → eVariationOn f (t ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
x : ℝ
hs : IsGreatest s x
ht : IsLeast t x
\u22a2 ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s ∪ t → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s ∪ t → x ≤ y → eVariationOn f ((s ∪ t) ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Set α
a b : α
\u22a2 (fun x => x * a) ⁻¹' {b} = {b * a⁻¹}
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
\u22a2 (zeroRootSubalgebra R L H).normalizer = zeroRootSubalgebra R L H
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
\u22a2 (zeroRootSubalgebra R L H).normalizer ≤ zeroRootSubalgebra R L H
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ (zeroRootSubalgebra R L H).normalizer
\u22a2 x ∈ zeroRootSubalgebra R L H
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : ∀ y ∈ zeroRootSubalgebra R L H, ⁅x, y⁆ ∈ zeroRootSubalgebra R L H
\u22a2 x ∈ zeroRootSubalgebra R L H
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : ∀ y ∈ zeroRootSubalgebra R L H, ⁅x, y⁆ ∈ zeroRootSubalgebra R L H
\u22a2 ∀ (y : ↥H), ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) y ^ k) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : ∀ y ∈ zeroRootSubalgebra R L H, ⁅x, y⁆ ∈ zeroRootSubalgebra R L H
y : L
hy : y ∈ H
\u22a2 ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) ⟨y, hy⟩ ^ k) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
hy : y ∈ H
hx : ⁅x, y⁆ ∈ zeroRootSubalgebra R L H
\u22a2 ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) ⟨y, hy⟩ ^ k) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
hy : y ∈ H
hx : ∀ (y_1 : ↥H), ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) y_1 ^ k) ⁅x, y⁆ = 0
\u22a2 ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) ⟨y, hy⟩ ^ k) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
hy : y ∈ H
hx : ∀ (y_1 : ↥H), ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) y_1 ^ k) ⁅x, y⁆ = 0
k : ℕ
hk : ((toEnd R (↥H) L) ⟨y, hy⟩ ^ k) ⁅x, y⁆ = 0
\u22a2 ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) ⟨y, hy⟩ ^ k) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
hy : y ∈ H
hx : ∀ (y_1 : ↥H), ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) y_1 ^ k) ⁅x, y⁆ = 0
k : ℕ
hk : ((toEnd R (↥H) L) ⟨y, hy⟩ ^ k) ⁅y, x⁆ = 0
\u22a2 ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) ⟨y, hy⟩ ^ k) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
hy : y ∈ H
hx : ∀ (y_1 : ↥H), ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) y_1 ^ k) ⁅x, y⁆ = 0
k : ℕ
hk : ((toEnd R (↥H) L) ⟨y, hy⟩ ^ k) ⁅y, x⁆ = 0
\u22a2 ((toEnd R (↥H) L) ⟨y, hy⟩ ^ (k + 1)) x = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
hdom : f.domain ≠ ⊤
\u22a2 ∃ g, f < g ∧ ∀ (x : ↥g.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑g x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
hdom : f.domain ≠ ⊤
y : E
hy : y ∉ f.domain
\u22a2 ∃ g, f < g ∧ ∀ (x : ↥g.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑g x
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/SingleFunctors.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{?u.9364, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.9368, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.9372, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.9376, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
n m a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
\u22a2 m + n + a = a''
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/SingleFunctors.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.9372, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.9376, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
n m a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
\u22a2 (F.shiftIso (m + n) a a'' ⋯).inv.app X = (F.shiftIso n a a' ha').inv.app X ≫ (shiftFunctor D n).map ((F.shiftIso m a' a'' ha'').inv.app X) ≫ (shiftFunctorAdd D m n).inv.app ((F.functor a'').obj X)
-- Mathlib/Data/Finset/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
s t : Finset α
f : Finset α → β
\u22a2 StrictMono f ↔ ∀ (s : Finset α) ⦃a : α⦄ (ha : a ∉ s), f s < f (cons a s ha)
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s : Set Ω
\u22a2 IndepSet s ∅ κ μ
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s : Set Ω
\u22a2 Indep (generateFrom {s}) ⊥ κ μ
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z x : K
\u22a2 ‖x + (starRingEnd K) x‖ ^ 2 = re (x + (starRingEnd K) x) ^ 2
-- Mathlib/Data/Finset/Powerset.lean
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n : ?m.28461
s✝ t s a✝ : Finset α
\u22a2 a✝ ∈ powersetCard s.card s ↔ a✝ ∈ {s}
-- Mathlib/Data/Finset/Powerset.lean
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n : ?m.28461
s✝ t s a✝ : Finset α
\u22a2 a✝ ⊆ s ∧ a✝.card = s.card ↔ a✝ = s
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
\u22a2 u ∈ [1, -1, η, -η, η ^ 2, -η ^ 2]
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
hrank : rank K = 0
\u22a2 u ∈ [1, -1, η, -η, η ^ 2, -η ^ 2]
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
hrank : rank K = 0
x : ↥(torsion K)
e : Fin (rank K) → ℤ
hxu : u = ↑(x, e).1 * ∏ i : Fin (rank K), fundSystem K i ^ (x, e).2 i
\u22a2 u ∈ [1, -1, η, -η, η ^ 2, -η ^ 2]
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
hrank : rank K = 0
x : ↥(torsion K)
e : Fin (rank K) → ℤ
hxu : u = ↑x
\u22a2 u ∈ [1, -1, η, -η, η ^ 2, -η ^ 2]
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
hrank : rank K = 0
x : ↥(torsion K)
e : Fin (rank K) → ℤ
hxu : u = ↑x
n : ℕ
hnpos : 0 < n
hn : ↑x ^ n = 1
\u22a2 u ∈ [1, -1, η, -η, η ^ 2, -η ^ 2]
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
hrank : rank K = 0
x : ↥(torsion K)
e : Fin (rank K) → ℤ
hxu : u = ↑x
n : ℕ
hnpos : 0 < n
hn : (algebraMap (𝓞 K) K) ↑u ^ ↑⟨n, hnpos⟩ = 1
\u22a2 u ∈ [1, -1, η, -η, η ^ 2, -η ^ 2]
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
hrank : rank K = 0
x : ↥(torsion K)
e : Fin (rank K) → ℤ
hxu : u = ↑x
n : ℕ
hnpos : 0 < n
hn : (algebraMap (𝓞 K) K) ↑u ^ ↑⟨n, hnpos⟩ = 1
r : ℕ
hr3 : r < ↑3
hru : (algebraMap (𝓞 K) K) ↑u = ζ ^ r ∨ (algebraMap (𝓞 K) K) ↑u = -ζ ^ r
\u22a2 u ∈ [1, -1, η, -η, η ^ 2, -η ^ 2]
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
hrank : rank K = 0
x : ↥(torsion K)
e : Fin (rank K) → ℤ
hxu : u = ↑x
n : ℕ
hnpos : 0 < n
hn : (algebraMap (𝓞 K) K) ↑u ^ ↑⟨n, hnpos⟩ = 1
r : ℕ
hr3 : r < ↑3
hru : (algebraMap (𝓞 K) K) ↑u = ζ ^ r ∨ (algebraMap (𝓞 K) K) ↑u = -ζ ^ r
hr : r ∈ Finset.Ico 0 3
\u22a2 u ∈ [1, -1, η, -η, η ^ 2, -η ^ 2]
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Range.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
p✝ p'✝ : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_11
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
p p' : Submodule R M
\u22a2 map p.subtype ⊤ ≤ p' ↔ p ≤ p'
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
v : Vector ℕ 0
\u22a2 0 = encode v
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
v : Vector ℕ 0
\u22a2 0 = encode nil
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t : ι → α
a b : α
inst✝ : CompleteLattice β
s : Set α
f : α → β
hf : Antitone f
\u22a2 f (sSup s) ≤ ⨅ a ∈ s, f a
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t : ι → α
a b : α
inst✝ : CompleteLattice β
s : Set α
f : α → β
hf : Antitone f
\u22a2 f (⨆ a ∈ s, a) ≤ ⨅ a ∈ s, f a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
\u22a2 normalize 0 = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a✝ b : R
x y : M
hv✝ hv : LinearIndependent R v
i : ι
a : R
ha : a • v i ∈ span R (v '' (univ \ {i}))
\u22a2 a = 0