ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
X' Y' : C
inst✝³ : HasKernel f
inst✝² : HasKernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasKernel g
inst✝ : HasKernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
\u22a2 G.map f ≫ G.map q = G.map p ≫ G.map g
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
X' Y' : C
inst✝³ : HasKernel f
inst✝² : HasKernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasKernel g
inst✝ : HasKernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
\u22a2 G.map (kernel.ι f) ≫ G.map f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
X' Y' : C
inst✝³ : HasKernel f
inst✝² : HasKernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasKernel g
inst✝ : HasKernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
\u22a2 G.map (kernel.ι g) ≫ G.map g = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
X' Y' : C
inst✝³ : HasKernel f
inst✝² : HasKernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasKernel g
inst✝ : HasKernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
\u22a2 G.map (kernel.ι f) ≫ G.map p = G.map (kernel.map f g p q hpq) ≫ G.map (kernel.ι g)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
X' Y' : C
inst✝³ : HasKernel f
inst✝² : HasKernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasKernel g
inst✝ : HasKernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g
\u22a2 G.map (kernel.ι f ≫ p) = G.map (kernel.map f g p q hpq ≫ kernel.ι g)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
\u22a2 IsUnit A ↔ IsUnit A.det
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnected.lean
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
x✝ y✝ : α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
z : α
hz : z ∈ Icc x y
\u22a2 z ∈ s
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnected.lean
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
x✝ y : α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : α
hx : x ∈ s
z : α
hy : x ∈ s
hz : z ∈ Icc x x
\u22a2 z ∈ s
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnected.lean
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
x✝ y : α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : α
hx : x ∈ s
z : α
hy : x ∈ s
hz : z = x
\u22a2 z ∈ s
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
val✝¹ : List I
property✝¹ : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) val✝¹
val✝ : List I
property✝ : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) val✝
\u22a2 ⟨val✝¹, property✝¹⟩ < ⟨val✝, property✝⟩ ↔ List.Lex (fun x x_1 => x < x_1) ↑⟨val✝¹, property✝¹⟩ ↑⟨val✝, property✝⟩
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
val✝¹ : List I
property✝¹ : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) val✝¹
val✝ : List I
property✝ : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) val✝
\u22a2 val✝¹ < val✝ ↔ List.Lex (fun x x_1 => x < x_1) ↑⟨val✝¹, property✝¹⟩ ↑⟨val✝, property✝⟩
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Path.lean
V : Type u
inst✝¹ : Quiver V
a✝ b c✝ d : V
inst✝ : ∀ (a b : V), Subsingleton (a ⟶ b)
a x✝ c : V
p : Path a c
f : c ⟶ x✝
C : Path a c
D : c ⟶ x✝
hAC : p.toList = C.toList
\u22a2 p.cons f = C.cons D
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Trifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁸ : Category.{u_14, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_13, u_2} C₂
inst✝⁶ : Category.{u_12, u_3} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_11, u_4} C₄
inst✝⁴ : Category.{?u.275553, u_5} C₁₂
inst✝³ : Category.{u_15, u_6} C₂₃
F✝ F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
F : C₁ ⥤ C₂₃ ⥤ C₄
G₂₃ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₂₃
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₂₃ : BifunctorComp₂₃IndexData r
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝² : (((mapBifunctor G₂₃ I₂ I₃).obj X₂).obj X₃).HasMap ρ₂₃.p
inst✝¹ : (((mapBifunctor F I₁ ρ₂₃.I₂₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj G₂₃ ρ₂₃.p X₂ X₃)).HasMap ρ₂₃.q
H : HasGoodTrifunctor₂₃Obj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃
F₁₂ : ?m.277908
G : ?m.277911
ρ₁₂ : ?m.277914
inst✝ : ((((mapTrifunctor (bifunctorComp₂₃ F G₂₃) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap r
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : r (i₁, i₂, i₃) = j
\u22a2 ιMapTrifunctorMapObj (bifunctorComp₂₃ F G₂₃) r X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ (CofanMapObjFun.iso (isColimitCofan₃MapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ j)).inv = ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h
-- Mathlib/GroupTheory/Coprod/Basic.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
K : Type u_3
inst✝ : Group K
f : G →* K
g : H →* K
\u22a2 (lift f g).range = f.range ⊔ g.range
-- Mathlib/Data/Finsupp/NeLocus.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : AddGroup N
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : α →₀ N
\u22a2 (-f).neLocus g = f.neLocus (-g)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hxy : x < y
hz : 0 < z
\u22a2 x ^ z < y ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 = x ∨ 0 < x
hxy : x < y
hz : 0 < z
\u22a2 x ^ z < y ^ z
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : MetricSpace E
f✝ : ℕ → α → E
g✝ : α → E
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f u g
\u22a2 ∃ ns, TendstoInMeasure μ (fun n => f (ns n)) atTop g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : MetricSpace E
f✝ : ℕ → α → E
g✝ : α → E
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f u g
ns : ℕ → ι
h_tendsto_ns : Tendsto ns atTop u
\u22a2 ∃ ns, TendstoInMeasure μ (fun n => f (ns n)) atTop g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
\u22a2 ∑ x ∈ (const α c).range, x * μ (↑(const α c) ⁻¹' {x}) = c * μ univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
h✝ : IsEmpty α
\u22a2 ∑ x ∈ (const α c).range, x * μ (↑(const α c) ⁻¹' {x}) = c * μ univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
h✝ : Nonempty α
\u22a2 ∑ x ∈ (const α c).range, x * μ (↑(const α c) ⁻¹' {x}) = c * μ univ
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : T1Space E
hp : WithSeminorms p
x : E
hx : x ≠ 0
\u22a2 ∃ i, (p i) x ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : T1Space E
hp : WithSeminorms p
x : E
hx : x ≠ 0
this : ∀ ⦃x y : E⦄, x ⤳ y → x = y
\u22a2 ∃ i, (p i) x ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : T1Space E
hp : WithSeminorms p
x : E
hx : x ≠ 0
this : ∀ ⦃x y : E⦄, x ⤳ y → x = y
h : ∀ (i : ι), (p i) x = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : T1Space E
hp : WithSeminorms p
x : E
hx : x ≠ 0
this : ∀ ⦃x y : E⦄, x ⤳ y → x = y
h : ∀ (i : ι), (p i) x = 0
\u22a2 x ⤳ 0
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : T1Space E
hp : WithSeminorms p
x : E
hx : x ≠ 0
this : ∀ ⦃x y : E⦄, x ⤳ y → x = y
h : ∀ (i : ι), (p i) x = 0
\u22a2 ∀ (i : Finset ι × ℝ), 0 < i.2 → x ∈ (i.1.sup p).ball 0 i.2
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : T1Space E
hp : WithSeminorms p
x : E
hx : x ≠ 0
this : ∀ ⦃x y : E⦄, x ⤳ y → x = y
h : ∀ (i : ι), (p i) x = 0
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
\u22a2 x ∈ ((s, r).1.sup p).ball 0 (s, r).2
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝕜' : Type u_6
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : E → 𝕜'
c' : E →L[𝕜] 𝕜'
hc : HasStrictFDerivAt c c' x
f : F
\u22a2 HasStrictFDerivAt (fun y => c y • f) (c'.smulRight f) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Submodule.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
y : R
n : ↥N
\u22a2 ↑(N.lTensorOne' ((algebraMap R ↥⊥) y ⊗ₜ[R] n)) = ↑(y • n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Submodule.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
y : R
n : ↥N
\u22a2 (mulMap 1 N) ((algebraMap R ↥⊥) y ⊗ₜ[R] n) = (algebraMap R S) y * ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/MellinEqDirichlet.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
r : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / |r i| ^ s.re
\u22a2 HasSum (fun i => (s + 1).Gammaℝ * a i * ↑(SignType.sign (r i)) / ↑|r i| ^ s) (mellin F ((s + 1) / 2))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/MellinEqDirichlet.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
r : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / |r i| ^ s.re
hs₁ : s ≠ 0
\u22a2 HasSum (fun i => (s + 1).Gammaℝ * a i * ↑(SignType.sign (r i)) / ↑|r i| ^ s) (mellin F ((s + 1) / 2))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/MellinEqDirichlet.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
r : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / |r i| ^ s.re
hs₁ : s ≠ 0
hs₂ : 0 < (s + 1).re
\u22a2 HasSum (fun i => (s + 1).Gammaℝ * a i * ↑(SignType.sign (r i)) / ↑|r i| ^ s) (mellin F ((s + 1) / 2))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/MellinEqDirichlet.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
r : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / |r i| ^ s.re
hs₁ : s ≠ 0
hs₂ : 0 < (s + 1).re
hs₃ : s + 1 ≠ 0
\u22a2 HasSum (fun i => (s + 1).Gammaℝ * a i * ↑(SignType.sign (r i)) / ↑|r i| ^ s) (mellin F ((s + 1) / 2))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/MellinEqDirichlet.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
r : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if r i = 0 then 0 else a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / |r i| ^ s.re
hs₁ : s ≠ 0
hs₂ : 0 < (s + 1).re
hs₃ : s + 1 ≠ 0
this : ∀ (i : ι) (t : ℝ), a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t)) = if r i = 0 then 0 else a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))
\u22a2 HasSum (fun i => (s + 1).Gammaℝ * a i * ↑(SignType.sign (r i)) / ↑|r i| ^ s) (mellin F ((s + 1) / 2))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/MellinEqDirichlet.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
r : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if r i = 0 then 0 else a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / |r i| ^ s.re
hs₁ : s ≠ 0
hs₂ : 0 < (s + 1).re
hs₃ : s + 1 ≠ 0
this : ∀ (i : ι) (t : ℝ), a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t)) = if r i = 0 then 0 else a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))
i : ι
\u22a2 (s + 1).Gammaℝ * a i * ↑(SignType.sign (r i)) / ↑|r i| ^ s = (s + 1).Gammaℝ * (a i * ↑(r i)) / ↑|r i| ^ (s + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/MellinEqDirichlet.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
r : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => if r i = 0 then 0 else a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / |r i| ^ s.re
hs₁ : s ≠ 0
hs₂ : 0 < (s + 1).re
hs₃ : s + 1 ≠ 0
this : ∀ (i : ι) (t : ℝ), a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t)) = if r i = 0 then 0 else a i * ↑(r i) * ↑(rexp (-π * r i ^ 2 * t))
\u22a2 Summable fun i => ‖a i * ↑(r i)‖ / |r i| ^ (s + 1).re
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/ErdosGinzburgZiv.lean
ι : Type u_1
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
s : Finset ι
a : ι → ℤ
hs : s.card = 2 * p - 1
\u22a2 ∃ t ⊆ s, t.card = p ∧ ↑p ∣ ∑ i ∈ t, a i
-- Mathlib/Order/Fin/Tuple.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
x✝ : α 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p✝ : (i : Fin n) → α i.succ
i✝ : Fin n
y : α i✝.succ
z : α 0
inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)
i : Fin (n + 1)
x : α i
p : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
q₁ q₂ : (j : Fin (n + 1)) → α j
\u22a2 i.insertNth x p ∈ Icc q₁ q₂ ↔ x ∈ Icc (q₁ i) (q₂ i) ∧ p ∈ Icc (fun j => q₁ (i.succAbove j)) fun j => q₂ (i.succAbove j)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R : CommRingCat
\u22a2 (locallyRingedSpaceMap (𝟙 R)).val = (𝟙 (locallyRingedSpaceObj R)).val
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R : CommRingCat
\u22a2 𝟙 (sheafedSpaceObj R) = (𝟙 (locallyRingedSpaceObj R)).val
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
x : ↥(unitsFstOne R A)
\u22a2 equiv.symm (equiv (↑↑x).snd * equiv (↑↑x⁻¹).snd) = equiv.symm 1
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
x : ↥(unitsFstOne R A)
\u22a2 equiv.symm (equiv (↑↑x⁻¹).snd * equiv (↑↑x).snd) = equiv.symm 1
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
x : (PreQuasiregular A)ˣ
\u22a2 (1 + ↑(equiv.symm ↑x)) * (1 + ↑(equiv.symm ↑x⁻¹)) = 1
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
x : (PreQuasiregular A)ˣ
\u22a2 (1 + ↑(equiv.symm ↑x)) * (1 + ↑(equiv.symm ↑x⁻¹)) = 1 + ↑((↑x⁻¹).val + (↑x).val + (↑x).val * (↑x⁻¹).val)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
x : (PreQuasiregular A)ˣ
\u22a2 1 = 1 + ↑0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
x : (PreQuasiregular A)ˣ
\u22a2 (1 + ↑(equiv.symm ↑x⁻¹)) * (1 + ↑(equiv.symm ↑x)) = 1
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
x : (PreQuasiregular A)ˣ
\u22a2 (1 + ↑(equiv.symm ↑x⁻¹)) * (1 + ↑(equiv.symm ↑x)) = 1 + ↑((↑x).val + (↑x⁻¹).val + (↑x⁻¹).val * (↑x).val)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
x : ↥(unitsFstOne R A)
\u22a2 ↑↑((fun x => ⟨{ val := 1 + ↑(equiv.symm ↑x), inv := 1 + ↑(equiv.symm ↑x⁻¹), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }, ⋯⟩) ((fun x => { val := equiv (↑↑x).snd, inv := equiv (↑↑x⁻¹).snd, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }) x)) = ↑↑x
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
x : (PreQuasiregular A)ˣ
\u22a2 ↑((fun x => { val := equiv (↑↑x).snd, inv := equiv (↑↑x⁻¹).snd, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }) ((fun x => ⟨{ val := 1 + ↑(equiv.symm ↑x), inv := 1 + ↑(equiv.symm ↑x⁻¹), val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }, ⋯⟩) x)) = ↑x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
p : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F
h : (fun y => p fun x => y) =O[𝓝 0] fun y => ‖y‖ ^ (n + 1)
y : E
\u22a2 (p fun x => y) = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
p : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F
h : (fun y => p fun x => y) =O[𝓝 0] fun y => ‖y‖ ^ (n + 1)
y : E
c : ℝ
c_pos : c > 0
hc : IsBigOWith c (𝓝 0) (fun y => p fun x => y) fun y => ‖y‖ ^ (n + 1)
\u22a2 (p fun x => y) = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
p : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F
h : (fun y => p fun x => y) =O[𝓝 0] fun y => ‖y‖ ^ (n + 1)
y : E
c : ℝ
c_pos : c > 0
hc : IsBigOWith c (𝓝 0) (fun y => p fun x => y) fun y => ‖y‖ ^ (n + 1)
t : Set E
ht : ∀ y ∈ t, ‖p fun x => y‖ ≤ c * ‖‖y‖ ^ (n + 1)‖
t_open : IsOpen t
z_mem : 0 ∈ t
\u22a2 (p fun x => y) = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ
p : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F
h : (fun y => p fun x => y) =O[𝓝 0] fun y => ‖y‖ ^ (n + 1)
y : E
c : ℝ
c_pos : c > 0
hc : IsBigOWith c (𝓝 0) (fun y => p fun x => y) fun y => ‖y‖ ^ (n + 1)
t : Set E
ht : ∀ y ∈ t, ‖p fun x => y‖ ≤ c * ‖‖y‖ ^ (n + 1)‖
t_open : IsOpen t
z_mem : 0 ∈ t
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
δε : Metric.ball 0 δ ⊆ t
\u22a2 (p fun x => y) = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Fintype ι₁
inst✝¹ : Finite ι₂
inst✝ : DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : ι₂
c : ι₁ →₀ R
\u22a2 (eval ⇑c) (toMvPolynomial b₁ b₂ f i) = (b₂.repr (f (b₁.repr.symm c))) i
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X : C
j : J
\u22a2 (rightDistributor f X).hom ≫ biproduct.π (fun j => f j ⊗ X) j = biproduct.π f j ▷ X
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)
hr' : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, p i → 0 < r i
\u22a2 blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)
hr' : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, p i → 0 < r i
h₁ : blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
\u22a2 blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)
hr' : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, p i → 0 < r i
h₁ : blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
h₂ : blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p
\u22a2 blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r : ℕ → ℝ
hr' : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, p i → 0 < r i
h₁ : blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
h₂ : blimsup (fun i => cthickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p
hr : Tendsto (fun i => M * r i) atTop (𝓝 0)
\u22a2 blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p