ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/OrderedSMul.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
𝕜 : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝⁵ : DivisionSemiring α
inst✝⁴ : NeZero 2
inst✝³ : Lattice β
inst✝² : AddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : CovariantClass β β (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x y : β
this : Invertible 2 := invertibleOfNonzero ⋯
\u22a2 x ⊔ y = 2⁻¹ • (x + y + |y - x|)
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
t : Set α
a : α
s : Set α
\u22a2 t ∈ 𝓝[s] a ↔ ∃ u, IsOpen u ∧ a ∈ u ∧ u ∩ s ⊆ t
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Range.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : F
q : Submodule R₂ M₂
h : q ≤ range f
\u22a2 map f (comap f q) = q
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁸ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : NumberField K
inst✝⁴ : Algebra k K
inst✝³ : Algebra k F
inst✝² : Algebra K F
inst✝¹ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝ : IsGalois k K
\u22a2 IsUnramified k w ↔ Nat.card ↥(Stab w) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p a b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : b ∣ a
\u22a2 padicValNat p (a / b) = padicValNat p a - padicValNat p b
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : b ∣ 0
\u22a2 padicValNat p (0 / b) = padicValNat p 0 - padicValNat p b
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p a b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : b ∣ a
ha : a ≠ 0
\u22a2 padicValNat p (a / b) = padicValNat p a - padicValNat p b
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℕ
ha : b * k ≠ 0
\u22a2 padicValNat p (b * k / b) = padicValNat p (b * k) - padicValNat p b
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℕ
ha : b * k ≠ 0
hb : b ≠ 0
hk : k ≠ 0
\u22a2 padicValNat p (b * k / b) = padicValNat p (b * k) - padicValNat p b
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X✝ : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
X : C
f : yoneda.obj X ⟶ P
\u22a2 yonedaEquiv (f ≫ presheafHom φ P) = (G.map f).app (Opposite.op (F.obj X)) ((φ.app X).app (Opposite.op (F.obj X)) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.obj X)))))
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X✝ : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
X : C
x : P.obj (Opposite.op X)
\u22a2 yonedaEquiv (yonedaEquiv.symm x ≫ presheafHom φ P) = (G.map (yonedaEquiv.symm x)).app (Opposite.op (F.obj X)) ((φ.app X).app (Opposite.op (F.obj X)) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.obj X)))))
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X✝ : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
X : C
x : P.obj (Opposite.op X)
\u22a2 yonedaEquiv ({ pt := { obj := fun X => (G.obj P).obj (F.op.obj X), map := fun {X Y} f => (G.obj P).map (F.op.map f), map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }, ι := { app := fun x => coconeApp φ (Opposite.unop x), naturality := ⋯ } }.ι.app (Opposite.op (P.elementsMk (Opposite.op X) x))) = (G.map (yonedaEquiv.symm x)).app (Opposite.op (F.obj X)) ((φ.app X).app (Opposite.op (F.obj X)) (𝟙 (Opposite.unop (Opposite.op (F.obj X)))))
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X✝ : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
X : C
x : P.obj (Opposite.op X)
\u22a2 yonedaEquiv (yonedaEquiv.symm ((G.map (yonedaEquiv.symm x)).app (F.op.obj (Opposite.op X)) ((φ.app X).app (F.op.obj (Opposite.op X)) (𝟙 (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.op X))))))) = (G.map (yonedaEquiv.symm x)).app (Opposite.op (F.obj X)) ((φ.app X).app (Opposite.op (F.obj X)) (𝟙 (F.obj X)))
-- Mathlib/Data/Multiset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
inst✝ : DecidableEq α
hi : Std.IdempotentOp op
s✝ : Multiset α
b a : α
s : Multiset α
IH : fold op b s.dedup = fold op b s
h : a ∈ s
\u22a2 fold op b s = op a (fold op b s)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : SMulZeroClass R α
r : R
i : m
j : n
a : α
i✝ : m
j✝ : n
\u22a2 (r • fun i' j' => if i = i' ∧ j = j' then a else 0) i✝ j✝ = if i = i✝ ∧ j = j✝ then r • a else 0
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
a b c : Fin n
\u22a2 a ≤ b → a = b ∨ a < b
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
a b c : Fin n
\u22a2 a ≤ b → ↑a = ↑b ∨ a < b
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
P✝ : Sylow p G
K : Type u_2
inst✝ : Group K
ϕ : K →* G
N : Subgroup G
P Q : Sylow p G
hP : ↑P ≤ N
hQ : ↑Q ≤ N
h : P.subtype hP = Q.subtype hQ
\u22a2 P = Q
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
P✝ : Sylow p G
K : Type u_2
inst✝ : Group K
ϕ : K →* G
N : Subgroup G
P Q : Sylow p G
hP : ↑P ≤ N
hQ : ↑Q ≤ N
h : ∀ (x : ↥N), x ∈ P.subtype hP ↔ x ∈ Q.subtype hQ
\u22a2 ∀ (x : G), x ∈ P ↔ x ∈ Q
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
hdiv : ¬p ∣ n
\u22a2 minpoly ℤ μ ∣ (expand ℤ p) (minpoly ℤ (μ ^ p))
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
h : IsPrimitiveRoot μ 0
hdiv : ¬p ∣ 0
\u22a2 minpoly ℤ μ ∣ (expand ℤ p) (minpoly ℤ (μ ^ p))
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
hdiv : ¬p ∣ n
hpos : n > 0
\u22a2 minpoly ℤ μ ∣ (expand ℤ p) (minpoly ℤ (μ ^ p))
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
hdiv : ¬p ∣ n
hpos : n > 0
this : IsIntegrallyClosed ℤ := GCDMonoid.toIsIntegrallyClosed
\u22a2 minpoly ℤ μ ∣ (expand ℤ p) (minpoly ℤ (μ ^ p))
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
hdiv : ¬p ∣ n
hpos : n > 0
this : IsIntegrallyClosed ℤ := GCDMonoid.toIsIntegrallyClosed
\u22a2 (Polynomial.aeval μ) ((expand ℤ p) (minpoly ℤ (μ ^ p))) = 0
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
hdiv : ¬p ∣ n
hpos : n > 0
this : IsIntegrallyClosed ℤ := GCDMonoid.toIsIntegrallyClosed
\u22a2 (Polynomial.aeval (μ ^ p)) (minpoly ℤ (μ ^ p)) = 0
-- Mathlib/Topology/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α
s : Set (Set α)
hs : ∀ t ∈ s, Continuous' fun x => x ∈ t
\u22a2 Continuous' fun x => x ∈ ⋃₀ s
-- Mathlib/Topology/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α
s : Set (Set α)
hs : ∀ t ∈ s, Continuous' fun x => x ∈ t
x✝ : α
\u22a2 x✝ ∈ ⋃₀ s ↔ sSup (setOf ⁻¹' s) x✝
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
inst✝ : Infinite α
hs : s.Finite
\u22a2 ∃ a, a ∉ s
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
inst✝ : Infinite α
hs : s.Finite
h : ∀ (a : α), a ∈ s
\u22a2 False
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
\u22a2 (W.map f).Ψ₂Sq = Polynomial.map f W.Ψ₂Sq
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
\u22a2 C 4 * X ^ 3 + C (f W.b₂) * X ^ 2 + C (2 * f W.b₄) * X + C (f W.b₆) = Polynomial.map f (C 4 * X ^ 3 + C W.b₂ * X ^ 2 + C (2 * W.b₄) * X + C W.b₆)
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹¹ : Nonempty ι
inst✝¹⁰ : Nonempty ι'
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
\u22a2 WithSeminorms fun i => (Finset.Iic i).sup p
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹¹ : Nonempty ι
inst✝¹⁰ : Nonempty ι'
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
\u22a2 Seminorm.IsBounded p (fun i => (Finset.Iic i).sup p) LinearMap.id
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹¹ : Nonempty ι
inst✝¹⁰ : Nonempty ι'
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
\u22a2 Seminorm.IsBounded (fun i => (Finset.Iic i).sup p) p LinearMap.id
-- Mathlib/RingTheory/Derivation/ToSquareZero.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
d : Derivation R A ↥I
x : A
\u22a2 (Ideal.Quotient.mk I) ((liftOfDerivationToSquareZero I hI d) x) = (algebraMap A (B ⧸ I)) x
-- Mathlib/RingTheory/Derivation/ToSquareZero.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
d : Derivation R A ↥I
x : A
\u22a2 (Ideal.Quotient.mk I) ((algebraMap A B) x) = (algebraMap A (B ⧸ I)) x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
cs cs' : List Char
\u22a2 { data := cs ++ cs' }.atEnd { byteIdx := utf8Len cs } = true ↔ cs' = []
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
cs cs' : List Char
\u22a2 { data := cs ++ cs' }.endPos ≤ { byteIdx := utf8Len cs } ↔ cs' = []
-- Mathlib/Order/Irreducible.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : SemilatticeInf α
b c : α
inst✝ : OrderTop α
s : Finset ι
f : ι → α
ha : InfPrime ⊤
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α → β
s : Set α
a : α
b : β
\u22a2 b ∈ res f s a ↔ a ∈ s ∧ f a = b
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/ProjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
Z : C
P : ProjectiveResolution Z
n : ℕ
\u22a2 ExactAt P.complex (n + 1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/ProjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
Z : C
P : ProjectiveResolution Z
n : ℕ
\u22a2 QuasiIsoAt P.π (n + 1)
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
s₁ : Set α₁
s₂ : Set α₂
t₁ : Set β₁
t₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
g₁ : β₁ → α₁
g₂ : β₂ → α₂
h₁ : SurjOn f₁ s₁ t₁
h₂ : SurjOn f₂ s₂ t₂
x : β₁ × β₂
hx : x ∈ t₁ ×ˢ t₂
\u22a2 x ∈ (fun x => (f₁ x.1, f₂ x.2)) '' s₁ ×ˢ s₂
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
s₁ : Set α₁
s₂ : Set α₂
t₁ : Set β₁
t₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
g₁ : β₁ → α₁
g₂ : β₂ → α₂
h₁ : SurjOn f₁ s₁ t₁
h₂ : SurjOn f₂ s₂ t₂
x : β₁ × β₂
hx : x ∈ t₁ ×ˢ t₂
a₁ : α₁
ha₁ : a₁ ∈ s₁
hx₁ : f₁ a₁ = x.1
\u22a2 x ∈ (fun x => (f₁ x.1, f₂ x.2)) '' s₁ ×ˢ s₂
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
s₁ : Set α₁
s₂ : Set α₂
t₁ : Set β₁
t₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
g₁ : β₁ → α₁
g₂ : β₂ → α₂
h₁ : SurjOn f₁ s₁ t₁
h₂ : SurjOn f₂ s₂ t₂
x : β₁ × β₂
hx : x ∈ t₁ ×ˢ t₂
a₁ : α₁
ha₁ : a₁ ∈ s₁
hx₁ : f₁ a₁ = x.1
a₂ : α₂
ha₂ : a₂ ∈ s₂
hx₂ : f₂ a₂ = x.2
\u22a2 x ∈ (fun x => (f₁ x.1, f₂ x.2)) '' s₁ ×ˢ s₂
-- Mathlib/Data/List/Permutation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
t : α
ts is : List α
IH1 : map (map f) (ts.permutationsAux (t :: is)) = (map f ts).permutationsAux (map f (t :: is))
IH2 : map (map f) (is.permutationsAux []) = (map f is).permutationsAux []
\u22a2 map (map f) ((t :: ts).permutationsAux is) = (map f (t :: ts)).permutationsAux (map f is)
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
r u : R
hnil : IsNilpotent r
hu : IsUnit u
h_comm : Commute r u
\u22a2 IsUnit (u + r)
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
r u : R
hnil : IsNilpotent r
hu : IsUnit u
h_comm : Commute r u
\u22a2 IsUnit (1 + r * ↑hu.unit⁻¹)
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
r u : R
hnil : IsNilpotent r
hu : IsUnit u
h_comm : Commute r ↑hu.unit⁻¹
\u22a2 IsUnit (1 + r * ↑hu.unit⁻¹)
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
r u : R
hnil : IsNilpotent r
hu : IsUnit u
h_comm : Commute r ↑hu.unit⁻¹
\u22a2 IsNilpotent (r * ↑hu.unit⁻¹)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
x : α × β
a' : α
b' : β
\u22a2 (a', b') ∈ (G □ H).neighborSet x ↔ (a', b') ∈ G.neighborSet x.1 ×ˢ {x.2} ∪ {x.1} ×ˢ H.neighborSet x.2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
x : α × β
a' : α
b' : β
\u22a2 G.Adj x.1 a' ∧ x.2 = b' ∨ H.Adj x.2 b' ∧ x.1 = a' ↔ G.Adj x.1 a' ∧ b' = x.2 ∨ a' = x.1 ∧ H.Adj x.2 b'
-- Mathlib/Algebra/Order/Rearrangement.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
inst✝ : Fintype ι
hfg : Monovary f g
\u22a2 ∑ i : ι, f (σ i) • g i < ∑ i : ι, f i • g i ↔ ¬Monovary (f ∘ ⇑σ) g
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
x : α
l : List α
n : Nat
h : n < l.length
\u22a2 l[n] = x ↔ l[n]? = some x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
x : α
l : List α
n : Nat
h : n < l.length
\u22a2 l[n] = x ↔ ∃ h, l[n] = x
-- Mathlib/Algebra/Category/MonCat/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F ⋙ forget MonCat).map f ⟨j₁, y⟩.snd = (F ⋙ forget MonCat).map g ⟨j₃, y'⟩.snd
\u22a2 colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₁, y⟩ = colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₃, y'⟩
-- Mathlib/Algebra/Category/MonCat/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
\u22a2 colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₁, y⟩ = colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₃, y'⟩
-- Mathlib/Algebra/Category/MonCat/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
\u22a2 colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₁, y⟩ = colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₃, y'⟩
-- Mathlib/Algebra/Category/MonCat/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
\u22a2 ∃ k f g, (F.map f) ⟨IsFiltered.max ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst, (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst)) ⟨j₂, x⟩.snd * (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst)) ⟨j₁, y⟩.snd⟩.snd = (F.map g) ⟨IsFiltered.max ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst, (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst)) ⟨j₂, x⟩.snd * (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst)) ⟨j₃, y'⟩.snd⟩.snd
-- Mathlib/Algebra/Category/MonCat/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
\u22a2 (F.map α) ⟨IsFiltered.max ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst, (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst)) ⟨j₂, x⟩.snd * (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst)) ⟨j₁, y⟩.snd⟩.snd = (F.map γ) ⟨IsFiltered.max ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst, (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst)) ⟨j₂, x⟩.snd * (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst)) ⟨j₃, y'⟩.snd⟩.snd
-- Mathlib/Algebra/Category/MonCat/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
\u22a2 (F.map α) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₁)) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₁)) y) = (F.map γ) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃)) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₃)) y')
-- Mathlib/Algebra/Category/MonCat/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
\u22a2 (F.map α) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₁)) x) * (F.map α) ((F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₁)) y) = (F.map γ) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃)) x) * (F.map γ) ((F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₃)) y')
-- Mathlib/Algebra/Category/MonCat/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
\u22a2 (F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₁) ≫ F.map α) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₁) ≫ F.map α) y = (F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃) ≫ F.map γ) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₃) ≫ F.map γ) y'
-- Mathlib/Algebra/Category/MonCat/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β
\u22a2 (F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃) ≫ F.map γ) x * (F.map f ≫ F.map β) y = (F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃) ≫ F.map γ) x * (F.map g ≫ F.map β) y'
-- Mathlib/Algebra/Lie/Character.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsLieAbelian L
ψ : Module.Dual R L
x y : L
\u22a2 ψ.toFun ⁅x, y⁆ = ⁅ψ.toFun x, ψ.toFun y⁆
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shadow.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ
\u22a2 t ∈ ∂ 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, t ⊆ s ∧ s.card = t.card + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shadow.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
a : α
k r : ℕ
t : Finset α
x✝ : t ∈ 𝒜
hst : t✝ ⊆ t
\u22a2 (t \ t✝).card = 1 ↔ t.card = t✝.card + 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
R : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'
\u22a2 (toMatrix₂' R) (B.compl₁₂ l r) i j = ((toMatrix' l)ᵀ * (toMatrix₂' R) B * toMatrix' r) i j