ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
t : Set β
ht : 0 ∉ t
\u22a2 μ ((f ⁻¹' t)ᶜ ∪ sᶜ) = 0 → μ ((f ⁻¹' t)ᶜ ∩ s) = 0
-- Mathlib/Dynamics/Newton.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : ¬IsUnit ((aeval x) (derivative P))
\u22a2 P.newtonMap x = x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
t : Finset γ
f : α ⊕ γ → β
\u22a2 ∏ x ∈ s.disjSum t, f x = (∏ x ∈ s, f (Sum.inl x)) * ∏ x ∈ t, f (Sum.inr x)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
t : Finset γ
f : α ⊕ γ → β
\u22a2 (∏ x ∈ s, f (Embedding.inl x)) * ∏ x ∈ t, f (Embedding.inr x) = (∏ x ∈ s, f (Sum.inl x)) * ∏ x ∈ t, f (Sum.inr x)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Integral.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
\u22a2 ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω ^ p) ∂μ = ENNReal.ofReal p * ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Integral.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
\u22a2 ENNReal.ofReal p * ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1)) = ENNReal.ofReal p * ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Integral.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
\u22a2 ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1)) = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Integral.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
\u22a2 (fun a => μ {a_1 | a ≤ f a_1} * ENNReal.ofReal (a ^ (p - 1))) =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] fun a => μ {a_1 | a < f a_1} * ENNReal.ofReal (a ^ (p - 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Integral.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
t : ℝ
ht : μ {a | t ≤ f a} = μ {a | t < f a}
\u22a2 μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1)) = μ {a | t < f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
\u22a2 (fourier n) ↑x = Complex.exp (2 * ↑π * Complex.I * ↑n * ↑x / ↑T)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ
\u22a2 Complex.exp (↑2 * ↑π / ↑T * (↑n * ↑x) * Complex.I) = Complex.exp (2 * ↑π * Complex.I * ↑n * ↑x / ↑T)
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : M →ₗ[R] M
\u22a2 ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, Codisjoint (ker (f ^ n)) (range (f ^ n))
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → range (f ^ n) = range (f ^ m)
\u22a2 ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, Codisjoint (ker (f ^ n)) (range (f ^ n))
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → range (f ^ n) = range (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
\u22a2 ker (f ^ m) ⊔ range (f ^ m) = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → range (f ^ n) = range (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
\u22a2 ∀ (x : M), ∃ y ∈ ker (f ^ m), ∃ z ∈ range (f ^ n), y + z = x
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → range (f ^ n) = range (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
x : M
\u22a2 ∃ y, (f ^ m) ((f ^ n) y) = (f ^ m) x
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → range (f ^ n) = range (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
x : M
\u22a2 (f ^ m) x ∈ range (f ^ m)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a : ℤ
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : J(a | p) = 1
\u22a2 ¬¬IsSquare ↑a
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a : ℤ
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
h : J(a | p) = 1
\u22a2 ¬1 = -1
-- Mathlib/Order/Filter/Ultrafilter.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f g : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
\u22a2 (∀ᶠ (x : α) in ↑f, p x → q x) ↔ (∀ᶠ (x : α) in ↑f, p x) → ∀ᶠ (x : α) in ↑f, q x
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
S✝ : B
s S : Submonoid M
ι : Type u_4
t : Finset ι
f : ι → M
comm : (↑t).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
h : ∀ c ∈ t, f c ∈ S
\u22a2 t.noncommProd f comm ∈ S
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
S✝ : B
s S : Submonoid M
ι : Type u_4
t : Finset ι
f : ι → M
comm : (↑t).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
h : ∀ c ∈ t, f c ∈ S
\u22a2 ∀ x ∈ Multiset.map f t.val, x ∈ S
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
S✝ : B
s S : Submonoid M
ι : Type u_4
t : Finset ι
f : ι → M
comm : (↑t).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
h : ∀ c ∈ t, f c ∈ S
y : M
\u22a2 y ∈ Multiset.map f t.val → y ∈ S
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
S✝ : B
s S : Submonoid M
ι : Type u_4
t : Finset ι
f : ι → M
comm : (↑t).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
h : ∀ c ∈ t, f c ∈ S
y : M
\u22a2 (∃ a ∈ t.val, f a = y) → y ∈ S
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
H : ¬s.Terminates
\u22a2 s = empty α
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
H : ¬s.Terminates
\u22a2 ↑s = ↑(empty α)
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
H : ¬s.Terminates
n : ℕ
\u22a2 ↑s n = ↑(empty α) n
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
H : ¬s.Terminates
n : ℕ
val✝ : α
h : ↑s n = some val✝
\u22a2 s.Terminates
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemiring α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y : α
hx : 1 ≤ x
hy : 1 < y
\u22a2 ∃ n, y ^ n ≤ x ∧ x < y ^ (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemiring α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y : α
hx : 1 ≤ x
hy : 1 < y
h : ∃ n, x < y ^ n
\u22a2 ∃ n, y ^ n ≤ x ∧ x < y ^ (n + 1)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
x_in_E : x ∈ E
\u22a2 thickenedIndicatorAux δ E x = 1
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
K U : Set G
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
\u22a2 ∃ V ∈ 𝓝 1, K * V ⊆ U
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
K U : Set G
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
\u22a2 ∃ V ∈ 𝓝 1, ∅ * V ⊆ U
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
K U : Set G
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
\u22a2 ∀ ⦃s t : Set G⦄, s ⊆ t → (∃ V ∈ 𝓝 1, t * V ⊆ U) → ∃ V ∈ 𝓝 1, s * V ⊆ U
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
K U : Set G
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
\u22a2 ∀ ⦃s t : Set G⦄, (∃ V ∈ 𝓝 1, s * V ⊆ U) → (∃ V ∈ 𝓝 1, t * V ⊆ U) → ∃ V ∈ 𝓝 1, (s ∪ t) * V ⊆ U
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
K U : Set G
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
\u22a2 ∀ x ∈ K, ∃ t ∈ 𝓝[K] x, ∃ V ∈ 𝓝 1, t * V ⊆ U
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)
\u22a2 FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 + ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) ^ 2 * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 = FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 + ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/OrderedSMul.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
𝕜 : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrderedSemifield 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid M
inst✝² : OrderedAddCommMonoid N
inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 M
inst✝ : MulActionWithZero 𝕜 N
h : ∀ ⦃a b : M⦄ ⦃c : 𝕜⦄, a < b → 0 < c → c • a ≤ c • b
\u22a2 OrderedSMul 𝕜 M
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/OrderedSMul.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
𝕜 : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrderedSemifield 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid M
inst✝² : OrderedAddCommMonoid N
inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 M
inst✝ : MulActionWithZero 𝕜 N
h : ∀ ⦃a b : M⦄ ⦃c : 𝕜⦄, a < b → 0 < c → c • a ≤ c • b
hlt' : ∀ (a b : M) (c : 𝕜), a < b → 0 < c → c • a < c • b
\u22a2 OrderedSMul 𝕜 M
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/OrderedSMul.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
𝕜 : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrderedSemifield 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid M
inst✝² : OrderedAddCommMonoid N
inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 M
inst✝ : MulActionWithZero 𝕜 N
h : ∀ ⦃a b : M⦄ ⦃c : 𝕜⦄, a < b → 0 < c → c • a ≤ c • b
hlt' : ∀ (a b : M) (c : 𝕜), a < b → 0 < c → c • a < c • b
a b : M
c : 𝕜
hab : c • a < c • b
hc : 0 < c
\u22a2 a < b
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/OrderedSMul.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
𝕜 : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrderedSemifield 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid M
inst✝² : OrderedAddCommMonoid N
inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 M
inst✝ : MulActionWithZero 𝕜 N
h : ∀ ⦃a b : M⦄ ⦃c : 𝕜⦄, a < b → 0 < c → c • a ≤ c • b
hlt' : ∀ (a b : M) (c : 𝕜), a < b → 0 < c → c • a < c • b
a b : M
c : 𝕜ˣ
hab : ↑c • a < ↑c • b
hc : 0 < ↑c
\u22a2 a < b
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/OrderedSMul.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
𝕜 : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrderedSemifield 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid M
inst✝² : OrderedAddCommMonoid N
inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 M
inst✝ : MulActionWithZero 𝕜 N
h : ∀ ⦃a b : M⦄ ⦃c : 𝕜⦄, a < b → 0 < c → c • a ≤ c • b
hlt' : ∀ (a b : M) (c : 𝕜), a < b → 0 < c → c • a < c • b
a b : M
c : 𝕜ˣ
hab : ↑c • a < ↑c • b
hc : 0 < ↑c
\u22a2 c⁻¹ • c • a < c⁻¹ • c • b
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/OrderedSMul.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
𝕜 : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
inst✝⁴ : LinearOrderedSemifield 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid M
inst✝² : OrderedAddCommMonoid N
inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 M
inst✝ : MulActionWithZero 𝕜 N
h : ∀ ⦃a b : M⦄ ⦃c : 𝕜⦄, a < b → 0 < c → c • a ≤ c • b
hlt' : ∀ (a b : M) (c : 𝕜), a < b → 0 < c → c • a < c • b
a b : M
c : 𝕜ˣ
hab : ↑c • a < ↑c • b
hc : 0 < ↑c
\u22a2 0 < ↑c * ↑c⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Uniform.lean
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
\u22a2 dist (a * b) a = ‖b‖
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁✝ a₂✝ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
h : ker f = IsSubgroup.trivial G
a₁ a₂ : G
hfa : f a₁ = f a₂
\u22a2 a₁ = a₂
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁✝ a₂✝ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a₁ a₂ : G
hfa : f a₁ = f a₂
h : ∀ (x : G), f x = 1 ↔ x = 1
\u22a2 a₁ = a₂
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁✝ a₂✝ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a₁ a₂ : G
hfa : f a₁ = f a₂
h : ∀ (x : G), f x = 1 ↔ x = 1
ha : a₁ * a₂⁻¹ = 1
\u22a2 a₁ = a₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
\u22a2 ↑‖indicatorConstLp p hs hμs c‖₊ ≤ ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
\u22a2 ↑(‖c‖₊ * (μ s).toNNReal ^ (1 / p.toReal)) = ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s : Set M
\u22a2 IsOpen s ↔ ∀ (x : M), IsOpen (↑(chartAt H x) '' ((chartAt H x).source ∩ s))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s : Set M
\u22a2 (∀ (i : M), IsOpen ((chartAt H i).source ∩ s)) ↔ ∀ (x : M), IsOpen (↑(chartAt H x) '' ((chartAt H x).source ∩ s))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α✝ : Type u_1
α' : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace α'
inst✝³ : MeasurableSpace β✝
inst✝² : MeasurableSpace β'
inst✝¹ : MeasurableSpace γ✝
μ μ' : Measure α✝
ν ν' : Measure β✝
τ : Measure γ✝
inst✝ : NormedAddCommGroup E
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : α → β
g : γ → δ
hg : MeasurableEmbedding g
hf : MeasurableEmbedding f
\u22a2 MeasurableEmbedding fun x => (g x.1, f x.2)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α✝ : Type u_1
α' : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace α'
inst✝³ : MeasurableSpace β✝
inst✝² : MeasurableSpace β'
inst✝¹ : MeasurableSpace γ✝
μ μ' : Measure α✝
ν ν' : Measure β✝
τ : Measure γ✝
inst✝ : NormedAddCommGroup E
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : α → β
g : γ → δ
hg : MeasurableEmbedding g
hf : MeasurableEmbedding f
h_inj : Injective fun x => (g x.1, f x.2)
\u22a2 MeasurableEmbedding fun x => (g x.1, f x.2)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/OpensLeCover.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U
X✝ Y✝ : FullSubcategory fun f => (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows f.hom
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 (𝟭 (FullSubcategory fun f => (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows f.hom)).map f✝ = eqToHom ⋯ ≫ (generateEquivalenceOpensLe_functor' U ?m.36385 ⋙ generateEquivalenceOpensLe_inverse' U ?m.36432).map f✝ ≫ eqToHom ⋯
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/OpensLeCover.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U
X✝ Y✝ : FullSubcategory fun f => (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows f.hom
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 ((𝟭 (FullSubcategory fun f => (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows f.hom)).map f✝).left = (eqToHom ⋯ ≫ (generateEquivalenceOpensLe_functor' U ?m.36385 ⋙ generateEquivalenceOpensLe_inverse' U ?m.36432).map f✝ ≫ eqToHom ⋯).left
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j x : Fin n
y : Fin (n + 1)
h : y ≤ x.castSucc
h' : optParam (y.succAbove x ≠ 0) ⋯
\u22a2 (y.succAbove x).pred h' = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
\u22a2 Module.rank K V < Module.rank Kᵐᵒᵖ (V →ₗ[K] K)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type u
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
\u22a2 Module.rank K V = lift.{u, u} (Module.rank K V)
-- Mathlib/CategoryTheory/DifferentialObject.lean
S : Type u_1
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasShift C S
inst✝ : (shiftFunctor C 1).PreservesZeroMorphisms
X Y : DifferentialObject S C
f : X.obj ≅ Y.obj
hf : X.d ≫ (shiftFunctor C 1).map f.hom = f.hom ≫ Y.d
\u22a2 Y.d ≫ (shiftFunctor C 1).map f.inv = f.inv ≫ X.d
-- Mathlib/CategoryTheory/DifferentialObject.lean
S : Type u_1
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasShift C S
inst✝ : (shiftFunctor C 1).PreservesZeroMorphisms
X Y : DifferentialObject S C
f : X.obj ≅ Y.obj
hf : X.d ≫ (shiftFunctor C 1).map f.hom = f.hom ≫ Y.d
\u22a2 autoParam (f.hom ≫ f.inv = 𝟙 X.obj) _auto✝
-- Mathlib/CategoryTheory/DifferentialObject.lean
S : Type u_1
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasShift C S
inst✝ : (shiftFunctor C 1).PreservesZeroMorphisms
X Y : DifferentialObject S C
f : X.obj ≅ Y.obj
hf : X.d ≫ (shiftFunctor C 1).map f.hom = f.hom ≫ Y.d
\u22a2 autoParam (f.inv ≫ f.hom = 𝟙 Y.obj) _auto✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : s.Countable
\u22a2 ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in ⋃ x ∈ s, {x}, f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : s.Countable
\u22a2 ∑' (a : ↑s), ∫⁻ (x : α) in {↑a}, f x ∂μ = ∑' (a : ↑s), f ↑a * μ {↑a}
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Equitabilise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = s.card
\u22a2 ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Equitabilise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
n a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * 0 + b * (0 + 1) = s.card
\u22a2 ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = 0 ∨ x.card = 0 + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ 0) ∧ (filter (fun i => i.card = 0 + 1) Q.parts).card = b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Equitabilise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = s.card
m_pos : m > 0
\u22a2 ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Equitabilise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
t : Finset α
m n : ℕ
m_pos : m > 0
s : Finset α
ih : ∀ t ⊂ s, ∀ {a b : ℕ} {P : Finpartition t}, a * m + b * (m + 1) = t.card → ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = s.card
hab : ¬(a = 0 ∧ b = 0)
\u22a2 ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Equitabilise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
t : Finset α
m n : ℕ
m_pos : m > 0
s : Finset α
ih : ∀ t ⊂ s, ∀ {a b : ℕ} {P : Finpartition t}, a * m + b * (m + 1) = t.card → ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = s.card
hab : 0 < a ∨ 0 < b
\u22a2 ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Equitabilise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
t : Finset α
m n✝ : ℕ
m_pos : m > 0
s : Finset α
ih : ∀ t ⊂ s, ∀ {a b : ℕ} {P : Finpartition t}, a * m + b * (m + 1) = t.card → ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = s.card
hab : 0 < a ∨ 0 < b
n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1
hn : n = if 0 < a then m else m + 1
hn₀ : 0 < n
hn₁ : n ≤ m + 1
hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)
hn₃ : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = s.card - n
u : Finset α
hu₁ : u ∈ P.parts
hu₂ : m + 1 ≤ u.card
\u22a2 ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Equitabilise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
t✝ : Finset α
m n✝ : ℕ
m_pos : m > 0
s : Finset α
ih : ∀ t ⊂ s, ∀ {a b : ℕ} {P : Finpartition t}, a * m + b * (m + 1) = t.card → ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b
a b : ℕ
P : Finpartition s
hs : a * m + b * (m + 1) = s.card
hab : 0 < a ∨ 0 < b
n : ℕ := if 0 < a then m else m + 1
hn : n = if 0 < a then m else m + 1
hn₀ : 0 < n
hn₁ : n ≤ m + 1
hn₂ : n ≤ a * m + b * (m + 1)
hn₃ : (if 0 < a then a - 1 else a) * m + (if 0 < a then b else b - 1) * (m + 1) = s.card - n
u : Finset α
hu₁ : u ∈ P.parts
hu₂ : m + 1 ≤ u.card
t : Finset α
htu : t ⊆ u
htn : t.card = n
\u22a2 ∃ Q, (∀ x ∈ Q.parts, x.card = m ∨ x.card = m + 1) ∧ (∀ x ∈ P.parts, (x \ (filter (fun y => y ⊆ x) Q.parts).biUnion id).card ≤ m) ∧ (filter (fun i => i.card = m + 1) Q.parts).card = b