ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Convex/SimplicialComplex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : SimplicialComplex 𝕜 E
s t : Finset E
x✝ x : E
h : x ∈ ⋃ k ∈ K.faces, ↑k
\u22a2 x ∈ K.vertices
-- Mathlib/Analysis/Convex/SimplicialComplex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : SimplicialComplex 𝕜 E
s✝ t : Finset E
x✝ x : E
h : x ∈ ⋃ k ∈ K.faces, ↑k
s : Finset E
hs : s ∈ K.faces
hx : x ∈ ↑s
\u22a2 x ∈ K.vertices
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
s : Set α
x : α
\u22a2 x ∈ cthickening ε (cthickening δ s) → x ∈ cthickening (ε + δ) s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
s : Set α
x : α
\u22a2 infEdist x (cthickening δ s) ≤ ENNReal.ofReal ε → infEdist x s ≤ ENNReal.ofReal ε + ENNReal.ofReal δ
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/NaturalTransformation/Oplax.lean
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G : OplaxFunctor B C
η θ ι : F ⟶ G
Γ : Modification η θ
a b c : B
a' : C
f : a' ⟶ F.obj b
g : b ⟶ c
\u22a2 f ◁ F.map g ◁ Γ.app c ≫ f ◁ θ.naturality g = f ◁ η.naturality g ≫ f ◁ Γ.app b ▷ G.map g
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Order.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarModule ℂ A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝
\u22a2 ‖a‖₊ ∈ spectrum ℝ≥0 a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Order.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarModule ℂ A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝
this : IsSelfAdjoint a
\u22a2 ‖a‖₊ ∈ spectrum ℝ≥0 a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Order.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarModule ℂ A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝
this : IsSelfAdjoint a
\u22a2 ‖a‖₊ = (spectralRadius ℝ a).toNNReal
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Order.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarModule ℂ A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝
this : IsSelfAdjoint a
\u22a2 (spectrum ℝ a).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
x y : ℂ
n : ℤ
\u22a2 x ^ (y * ↑n) = (x ^ y) ^ n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
\u22a2 (fun y => f (x + y) - p.partialSum n y) =O[𝓝 0] fun y => ‖y‖ ^ n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r'✝ : ℝ≥0∞
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
r'0 : 0 < ↑r'
h : ↑r' < r
\u22a2 (fun y => f (x + y) - p.partialSum n y) =O[𝓝 0] fun y => ‖y‖ ^ n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r'✝ : ℝ≥0∞
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
r'0 : 0 < ↑r'
h : ↑r' < r
a C : ℝ
hp : ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n
\u22a2 (fun y => f (x + y) - p.partialSum n y) =O[𝓝 0] fun y => ‖y‖ ^ n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r'✝ : ℝ≥0∞
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
r'0 : 0 < ↑r'
h : ↑r' < r
a C : ℝ
hp : ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n
\u22a2 ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 0, ‖f (x + x_1) - p.partialSum n x_1‖ ≤ C * (a / ↑r') ^ n * ‖‖x_1‖ ^ n‖
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r'✝ : ℝ≥0∞
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
h : ↑r' < r
a C : ℝ
hp : ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n
r'0 : 0 < ↑r'
\u22a2 ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 0, ‖f (x + x_1) - p.partialSum n x_1‖ ≤ C * (a / ↑r') ^ n * ‖‖x_1‖ ^ n‖
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r'✝ : ℝ≥0∞
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
h : ↑r' < r
a C : ℝ
hp : ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n
r'0 : 0 < ↑r'
y : E
hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'
\u22a2 ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a / ↑r') ^ n * ‖‖y‖ ^ n‖
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a : ℤ
b ab' : ℕ
ab r b' : ℤ
hb' : ↑b = b'
hab : a % b' = ab
h : ↑ab' = ab
hr : jacobiSymNat ab' b = r
\u22a2 jacobiSym a b = r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω'
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω'
inst✝ : BorelSpace Ω'
f : Ω → Ω'
f_cont : Continuous f
\u22a2 Continuous fun ν => ν.map f
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω'
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω'
inst✝ : BorelSpace Ω'
f : Ω → Ω'
f_cont : Continuous f
\u22a2 ∀ (x : FiniteMeasure Ω), ContinuousAt (fun ν => ν.map f) x
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Defs.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p
\u22a2 p ^ n.factorization p ∣ n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Defs.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p
\u22a2 p ^ count p n.primeFactorsList ∣ n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Defs.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p
\u22a2 (p ^ count p n.primeFactorsList).primeFactorsList <+~ n.primeFactorsList
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Defs.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p
\u22a2 ∀ x ∈ replicate (count p n.primeFactorsList) p, count x (replicate (count p n.primeFactorsList) p) ≤ count x n.primeFactorsList
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Defs.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p
q : ℕ
hq : q ∈ replicate (count p n.primeFactorsList) p
\u22a2 count q (replicate (count p n.primeFactorsList) p) ≤ count q n.primeFactorsList
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
𝕜' : Type u_4
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'
inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜' (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜' (E i)
hp : p ≠ 0
c : 𝕜
f : ↥(lp E p)
\u22a2 ‖c • f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
𝕜' : Type u_4
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'
inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜' (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜' (E i)
c : 𝕜
hp : 0 ≠ 0
f : ↥(lp E 0)
\u22a2 ‖c • f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
𝕜' : Type u_4
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'
inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜' (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜' (E i)
c : 𝕜
hp : ⊤ ≠ 0
f : ↥(lp E ⊤)
\u22a2 ‖c • f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
𝕜' : Type u_4
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'
inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜' (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜' (E i)
hp✝ : p ≠ 0
c : 𝕜
f : ↥(lp E p)
hp : 0 < p.toReal
\u22a2 ‖c • f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x : M
h : v x = 0
t : ℝ
\u22a2 HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I (fun x_1 => x) t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v ((fun x_1 => x) t)))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x : M
h : v x = 0
t : ℝ
\u22a2 HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I (fun x_1 => x) t 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
a : α
ha : 0 ≤ a
\u22a2 ↑⌈a⌉₊ = ⌈a⌉
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/AdditiveFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁴ : Category.{?u.22516, u_3} E
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
G : C ⥤ D
e : F ≅ G
X Y : C
f g : X ⟶ Y
\u22a2 G.map (f + g) = G.map f + G.map g
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
n : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ n
\u22a2 χ ↑1 = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 1 < x
\u22a2 0 < logb b x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 1 < x
\u22a2 1 < x
-- Mathlib/FieldTheory/PerfectClosure.lean
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x y1 y2 : ℕ × K
H : R K p y1 y2
n : ℕ
y : K
\u22a2 R K p (x.1 + (n, y).1, (⇑(frobenius K p))^[(n, y).1] x.2 * (⇑(frobenius K p))^[x.1] (n, y).2) (x.1 + (n + 1, (frobenius K p) y).1, (⇑(frobenius K p))^[(n + 1, (frobenius K p) y).1] x.2 * (⇑(frobenius K p))^[x.1] (n + 1, (frobenius K p) y).2)
-- Mathlib/FieldTheory/PerfectClosure.lean
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x y1 y2 : ℕ × K
H : R K p y1 y2
n : ℕ
y : K
\u22a2 R K p (x.1 + (n, y).1, (⇑(frobenius K p))^[(n, y).1] x.2 * (⇑(frobenius K p))^[x.1] (n, y).2) (x.1 + (n + 1, (frobenius K p) y).1, (frobenius K p) ((⇑(frobenius K p))^[n] x.2 * (⇑(frobenius K p))^[x.1] y))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
v w : M
i : ι
\u22a2 (h.coeffs (v + w)) i = (h.coeffs v + h.coeffs w) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
c : R
v : M
i : ι
\u22a2 ({ toFun := h.coeffs, map_add' := ⋯ }.toFun (c • v)) i = ((RingHom.id R) c • { toFun := h.coeffs, map_add' := ⋯ }.toFun v) i
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/Over/Products.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X B : C
F : Discrete PEmpty.{1} ⥤ Over B
s : Cone F
m : s.pt ⟶ { pt := mk (𝟙 B), π := { app := fun p => p.as.elim, naturality := ⋯ } }.pt
x✝ : ∀ (j : Discrete PEmpty.{1}), m ≫ { pt := mk (𝟙 B), π := { app := fun p => p.as.elim, naturality := ⋯ } }.π.app j = s.π.app j
\u22a2 m.left = (homMk s.pt.hom ⋯).left
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/Over/Products.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X B : C
F : Discrete PEmpty.{1} ⥤ Over B
s : Cone F
m : s.pt ⟶ { pt := mk (𝟙 B), π := { app := fun p => p.as.elim, naturality := ⋯ } }.pt
x✝ : ∀ (j : Discrete PEmpty.{1}), m ≫ { pt := mk (𝟙 B), π := { app := fun p => p.as.elim, naturality := ⋯ } }.π.app j = s.π.app j
\u22a2 m.left = s.pt.hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/Over/Products.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X B : C
F : Discrete PEmpty.{1} ⥤ Over B
s : Cone F
m : s.pt ⟶ { pt := mk (𝟙 B), π := { app := fun p => p.as.elim, naturality := ⋯ } }.pt
x✝ : ∀ (j : Discrete PEmpty.{1}), m ≫ { pt := mk (𝟙 B), π := { app := fun p => p.as.elim, naturality := ⋯ } }.π.app j = s.π.app j
this : (𝟭 C).map m.left ≫ { pt := mk (𝟙 B), π := { app := fun p => p.as.elim, naturality := ⋯ } }.pt.hom = s.pt.hom ≫ (Functor.fromPUnit B).map m.right
\u22a2 m.left = s.pt.hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/Over/Products.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X B : C
F : Discrete PEmpty.{1} ⥤ Over B
s : Cone F
m : s.pt ⟶ { pt := mk (𝟙 B), π := { app := fun p => p.as.elim, naturality := ⋯ } }.pt
x✝ : ∀ (j : Discrete PEmpty.{1}), m ≫ { pt := mk (𝟙 B), π := { app := fun p => p.as.elim, naturality := ⋯ } }.π.app j = s.π.app j
this : m.left ≫ 𝟙 B = s.pt.hom ≫ 𝟙 B
\u22a2 m.left = s.pt.hom
-- Mathlib/Data/Nat/Dist.lean
n m : ℕ
\u22a2 m ≤ n + n.dist m
-- Mathlib/Data/Nat/Dist.lean
n m : ℕ
\u22a2 m ≤ n.dist m + n
-- Mathlib/Tactic/LinearCombination.lean
α : Type u_1
a a' a₁ a₂ b b' b₁ b₂ c : α
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
n : ℕ
p : a = b
H : (a' - b') ^ n - (a - b) = 0
\u22a2 a' = b'
-- Mathlib/Tactic/LinearCombination.lean
α : Type u_1
a a' a₁ a₂ b b' b₁ b₂ c : α
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
n : ℕ
p : a - b = 0
H : (a' - b') ^ n - (a - b) = 0
\u22a2 a' - b' = 0
-- Mathlib/Tactic/LinearCombination.lean
α : Type u_1
a a' a₁ a₂ b b' b₁ b₂ c : α
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
n : ℕ
p : a - b = 0
H : (a' - b') ^ n - (a - b) = 0
\u22a2 (a' - b') ^ n = 0
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter l
hs : IsLindelof s
\u22a2 Disjoint (𝓝ˢ s) l ↔ ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter l
hs : IsLindelof s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
\u22a2 Disjoint (𝓝ˢ s) l
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter l
hs : IsLindelof s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x ∧ IsOpen (U x)
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l
\u22a2 Disjoint (𝓝ˢ s) l
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter l
hs : IsLindelof s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x
hUo : ∀ x ∈ s, IsOpen (U x)
\u22a2 Disjoint (𝓝ˢ s) l
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
l : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter l
hs : IsLindelof s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x
hUo : ∀ x ∈ s, IsOpen (U x)
t : Set X
htc : t.Countable
hts : ∀ x ∈ t, x ∈ s
hst : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x
\u22a2 Disjoint (𝓝ˢ s) l
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
l : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter l
hs : IsLindelof s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x
hUo : ∀ x ∈ s, IsOpen (U x)
t : Set X
htc : t.Countable
hts : ∀ x ∈ t, x ∈ s
hst : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x
\u22a2 (⋃ x ∈ t, U x)ᶜ ∈ l
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
l : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter l
hs : IsLindelof s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x
hUo : ∀ x ∈ s, IsOpen (U x)
t : Set X
htc : t.Countable
hts : ∀ x ∈ t, x ∈ s
hst : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x
\u22a2 ⋂ i ∈ t, (U i)ᶜ ∈ l
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ✝ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
γ : Type u_1
hf : UniformCauchySeqOn F p s
g : γ → α
\u22a2 UniformCauchySeqOn (fun n => F n ∘ g) p (g ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ✝ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
γ : Type u_1
hf : UniformCauchySeqOnFilter F p (𝓟 s)
g : γ → α
\u22a2 UniformCauchySeqOnFilter (fun n => F n ∘ g) p (𝓟 (g ⁻¹' s))
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.57632, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝² : S₁.HasHomology
inst✝¹ : S₂.HasHomology
inst✝ : QuasiIso φ
\u22a2 S₁.Exact ↔ S₂.Exact
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.57632, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝² : S₁.HasHomology
inst✝¹ : S₂.HasHomology
inst✝ : QuasiIso φ
\u22a2 IsZero S₁.homology ↔ IsZero S₂.homology
-- Mathlib/Order/GaloisConnection.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
l : α → β
u : β → α
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
gi : GaloisInsertion l u
a b : β
\u22a2 l (u a) ⊔ l (u b) = a ⊔ b
-- Mathlib/Data/Int/CardIntervalMod.lean
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
\u22a2 ↑(filter (fun x => x ≡ v [MOD r]) (Ico a b)).card = max (⌈(↑b - ↑v) / ↑r⌉ - ⌈(↑a - ↑v) / ↑r⌉) 0
-- Mathlib/Analysis/Complex/TaylorSeries.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
hf : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball c r
\u22a2 HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c) (f z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/TaylorSeries.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
hf : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball c r
r' : ℝ
hr' : r' < r
hr'₀ : 0 < r'
hzr' : z ∈ Metric.ball c r'
\u22a2 HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c) (f z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/TaylorSeries.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
hf : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball c r
r' : NNReal
hr' : ↑r' < r
hr'₀ : 0 < ↑r'
hzr' : z ∈ Metric.ball c ↑r'
\u22a2 HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c) (f z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/TaylorSeries.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
hf : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball c r
r' : NNReal
hr' : ↑r' < r
hr'₀ : 0 < ↑r'
hzr' : z ∈ Metric.ball c ↑r'
hz' : z - c ∈ EMetric.ball 0 ↑r'
\u22a2 HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c) (f z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/TaylorSeries.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
hf : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball c r
r' : NNReal
hr' : ↑r' < r
hr'₀ : 0 < ↑r'
hzr' : z ∈ Metric.ball c ↑r'
hz' : z - c ∈ EMetric.ball 0 ↑r'
H : HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (iteratedFDeriv ℂ n f c) fun x => z - c) (f (c + (z - c)))
\u22a2 HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c) (f z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/TaylorSeries.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
hf : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball c r
r' : NNReal
hr' : ↑r' < r
hr'₀ : 0 < ↑r'
hzr' : z ∈ Metric.ball c ↑r'
hz' : z - c ∈ EMetric.ball 0 ↑r'
H : HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (iteratedFDeriv ℂ n f c) fun x => z - c) (f z)
\u22a2 HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c) (f z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/TaylorSeries.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
hf : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball c r
r' : NNReal
hr' : ↑r' < r
hr'₀ : 0 < ↑r'
hzr' : z ∈ Metric.ball c ↑r'
hz' : z - c ∈ EMetric.ball 0 ↑r'
H : HasSum (fun n => (↑n !)⁻¹ • (iteratedFDeriv ℂ n f c) fun x => z - c) (f z)
n : ℕ
\u22a2 (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c = (iteratedFDeriv ℂ n f c) fun x => z - c
-- Mathlib/Deprecated/Ring.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
f : α → β
hf✝ : IsSemiringHom f
x y : α
hf : IsSemiringHom f
\u22a2 ∀ (x y : α), f (x + y) = f x + f y
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
p : ℕ
f : ℕ → α
h : Prime p
\u22a2 ∏ x ∈ p.divisors, f x = f p * f 1
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Homotopies.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q : ℕ
\u22a2 (nullHomotopicMap' (hσ' q)).f 0 = 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Homotopies.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q : ℕ
\u22a2 hσ' q 0 1 ⋯ ≫ K[X].d 1 0 = 0
-- Mathlib/Data/List/Prime.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : Unique Mˣ
p : M
hp : Prime p
L : List M
hL : ∀ q ∈ L, Prime q
hpL : p ∣ L.prod
\u22a2 p ∈ L
-- Mathlib/Data/List/Prime.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : Unique Mˣ
p : M
hp : Prime p
L : List M
hL : ∀ q ∈ L, Prime q
hpL : p ∣ L.prod
x : M
hx1 : x ∈ L
hx2 : p ∣ x
\u22a2 p ∈ L
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
\u22a2 closure s = (interior sᶜ)ᶜ