ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
hg : HasFDerivAtFilter g g' x L
\u22a2 HasFDerivAtFilter (fun x => f x - g x) (f' - g') x L
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
m n : ℤ
x : AddCircle T
\u22a2 ↑((m + n) • x).toCircle = (fourier m) x * (fourier n) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Biproducts.lean
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X Y
inst✝ : PreservesBinaryBiproduct X Y F
W : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
\u22a2 F.map (lift f g) ≫ (F.mapBiprod X Y).hom = lift (F.map f) (F.map g)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Over.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : C
Y : Over X
Z : C
g : Z ⟶ Y.left
\u22a2 ((overEquiv Y) ⊤).arrows g ↔ ⊤.arrows g
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Over.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : C
Y : Over X
Z : C
g : Z ⟶ Y.left
\u22a2 ((overEquiv Y) ⊤).arrows g
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Midpoint.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z p₁ p₂ : P
\u22a2 midpoint R p₁ p₂ -ᵥ p₂ = ⅟2 • (p₁ -ᵥ p₂)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : R⟦X⟧
n d : ℕ
\u22a2 (coeff R (d + n)) (p * X ^ n) = (coeff R d) p
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : R⟦X⟧
n d : ℕ
\u22a2 ∀ b ∈ antidiagonal (d + n), b ≠ (d, n) → (coeff R b.1) p * (coeff R b.2) (X ^ n) = 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : R⟦X⟧
n d : ℕ
\u22a2 (d, n) ∉ antidiagonal (d + n) → (coeff R (d, n).1) p * (coeff R (d, n).2) (X ^ n) = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/LaxMilgram.lean
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
\u22a2 ker (continuousLinearMapOfBilin B) = ⊥
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/LaxMilgram.lean
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
\u22a2 Function.Injective ⇑(continuousLinearMapOfBilin B)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/LaxMilgram.lean
V : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : CompleteSpace V
B : V →L[ℝ] V →L[ℝ] ℝ
coercive : IsCoercive B
w✝ : ℝ≥0
left✝ : 0 < w✝
antilipschitz : AntilipschitzWith w✝ ⇑(continuousLinearMapOfBilin B)
\u22a2 Function.Injective ⇑(continuousLinearMapOfBilin B)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ x y : M
h : LinearIndependent R ![x, y]
s t s' t' : R
h' : s • x + t • y = s' • x + t' • y
\u22a2 s = s' ∧ t = t'
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ x y : M
h : LinearIndependent R ![x, y]
s t s' t' : R
h' : s • x + t • y = s' • x + t' • y
this : (s - s') • x + (t - t') • y = 0
\u22a2 s = s' ∧ t = t'
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
x : PGame
h : x ⧏ 0
\u22a2 x⁻¹ = -(-x).inv'
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
hk : n ≤ k
\u22a2 p.changeOrigin x k = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
hk : n ≤ k
\u22a2 (p.changeOriginSeries k).partialSum (n - k) x = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
hk : n ≤ k
\u22a2 ∀ x_1 ∈ Finset.range (n - k), ((p.changeOriginSeries k x_1) fun x_2 => x) = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m✝ : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
hk : n ≤ k
m : ℕ
hm : m ∈ Finset.range (n - k)
\u22a2 ((p.changeOriginSeries k m) fun x_1 => x) = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m✝ : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
hk : n ≤ k
m : ℕ
hm : m < n - k
\u22a2 ((p.changeOriginSeries k m) fun x_1 => x) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : ℝ → 𝕜
c : E
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, f x • c ∂μ = (∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) • c
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
\u22a2 a ≤ b ⇔ c ↔ a ⊓ b ≤ c ∧ a ⊓ c ≤ b
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.126940, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
n' : ℤ
hn' : n + 1 = n'
\u22a2 δ n n' ((↑(fst φ)).comp α ⋯ + (snd φ).comp β ⋯) = (↑(fst φ)).comp (δ m n α + n'.negOnePow • (Cochain.ofHom φ).comp β ⋯) ⋯ + (snd φ).comp (δ n n' β) ⋯
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.126940, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
n' : ℤ
hn' : n + 1 = n'
\u22a2 (↑(fst φ)).comp (δ m n α) ⋯ + ((snd φ).comp (δ n n' β) ⋯ + -(n.negOnePow • (↑(fst φ)).comp ((Cochain.ofHom φ).comp β ⋯) ⋯)) = (↑(fst φ)).comp (δ m n α) ⋯ + -(n.negOnePow • (↑(fst φ)).comp ((Cochain.ofHom φ).comp β ⋯) ⋯) + (snd φ).comp (δ n n' β) ⋯
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ f₃ : α → E'
h : (fun x => f₁ x - f₂ x) =o[l] g
\u22a2 (fun x => f₂ x - f₁ x) =o[l] g
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : Monic 0
\u22a2 p /ₘ 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
this✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : Monic 0
this : Subsingleton R
\u22a2 p /ₘ 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : ¬Monic 0
\u22a2 (if h : Monic 0 then (if h_1 : degree 0 ≤ p.degree ∧ p ≠ 0 then let z := C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - natDegree 0); let_fun _wf := ⋯; let dm := (p - 0 * z).divModByMonicAux ⋯; (z + dm.1, dm.2) else (0, p)).1 else 0) = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
x : E
hx : DifferentiableAt 𝕜 f x
δ : ℝ := ε / 2 / 2
\u22a2 ∃ R > 0, ∀ r ∈ Ioo 0 R, x ∈ A f (fderiv 𝕜 f x) r ε
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
x : E
hx : DifferentiableAt 𝕜 f x
δ : ℝ := ε / 2 / 2
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ y ∈ ball x R, ‖f y - f x - (fderiv 𝕜 f x) (y - x)‖ ≤ δ * ‖y - x‖
\u22a2 ∃ R > 0, ∀ r ∈ Ioo 0 R, x ∈ A f (fderiv 𝕜 f x) r ε
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
x : E
hx : DifferentiableAt 𝕜 f x
δ : ℝ := ε / 2 / 2
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ y ∈ ball x R, ‖f y - f x - (fderiv 𝕜 f x) (y - x)‖ ≤ δ * ‖y - x‖
r : ℝ
hr : r ∈ Ioo 0 R
\u22a2 x ∈ A f (fderiv 𝕜 f x) r ε
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
x : E
hx : DifferentiableAt 𝕜 f x
δ : ℝ := ε / 2 / 2
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ y ∈ ball x R, ‖f y - f x - (fderiv 𝕜 f x) (y - x)‖ ≤ δ * ‖y - x‖
r : ℝ
hr : r ∈ Ioo 0 R
this : r ∈ Ioc (r / 2) r
\u22a2 x ∈ A f (fderiv 𝕜 f x) r ε
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
x : E
hx : DifferentiableAt 𝕜 f x
δ : ℝ := ε / 2 / 2
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ y ∈ ball x R, ‖f y - f x - (fderiv 𝕜 f x) (y - x)‖ ≤ δ * ‖y - x‖
r : ℝ
hr : r ∈ Ioo 0 R
this : r ∈ Ioc (r / 2) r
y : E
hy : y ∈ ball x r
z : E
hz : z ∈ ball x r
\u22a2 ‖f z - f y - (fderiv 𝕜 f x) (z - y)‖ < ε * r
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp1 : 1 ≤ p
\u22a2 (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
\u22a2 (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
hf_top : ¬∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = ⊤
hg_top : ¬∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ = ⊤
h1 : ¬p = 1
\u22a2 (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
hf_top : ¬∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = ⊤
hg_top : ¬∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ = ⊤
h1 : ¬p = 1
hp1_lt : 1 < p
\u22a2 (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
hf_top : ¬∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = ⊤
hg_top : ¬∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ = ⊤
h1 : ¬p = 1
hp1_lt : 1 < p
hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent
\u22a2 (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
hf_top : ¬∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = ⊤
hg_top : ¬∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ = ⊤
h1 : ¬p = 1
hp1_lt : 1 < p
hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent
h0 : ¬∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ = 0
\u22a2 (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
hf_top : ¬∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = ⊤
hg_top : ¬∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ = ⊤
h1 : ¬p = 1
hp1_lt : 1 < p
hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent
h0 : ¬∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ = 0
htop : ∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ ≠ ⊤
\u22a2 (∫⁻ (a : α), (f + g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) + (∫⁻ (a : α), g a ^ p ∂μ) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : DifferentiableAt 𝕜 f x
\u22a2 DifferentiableAt 𝕜 (fun y => f y - g y) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 g x
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
\u22a2 a ≤ a * a
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
this : a * 1 ≤ a * a
\u22a2 a ≤ a * a
-- Mathlib/Computability/Reduce.lean
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d : ManyOneDegree
\u22a2 d ≤ d
-- Mathlib/Computability/Reduce.lean
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
p✝ : Set ℕ
\u22a2 of p✝ ≤ of p✝
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hz : 0 < z
\u22a2 x ^ z⁻¹ ≤ y ↔ x ≤ y ^ z
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/IsIntegral.lean
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p✝ : R
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed R
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
Q : A[X]
p : A
x z : B
hp : p ≠ 0
hz : (aeval x) Q = p • z
f : ℕ → A
hf : ∀ i ∈ range (Q.natDegree + 1), Q.coeff i = p * f i
\u22a2 z ∈ adjoin A {x}
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/IsIntegral.lean
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p✝ : R
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed R
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
Q : A[X]
p : A
x z : B
hp : p ≠ 0
hz : ∑ i : Fin (Q.natDegree + 1), Q.coeff ↑i • x ^ ↑i = p • z
f : ℕ → A
hf : ∀ i ∈ range (Q.natDegree + 1), Q.coeff i = p * f i
\u22a2 z ∈ adjoin A {x}
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/IsIntegral.lean
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p✝ : R
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed R
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
Q : A[X]
p : A
x z : B
hp : p ≠ 0
f : ℕ → A
hz : ∑ i : Fin (Q.natDegree + 1), p • f ↑i • x ^ ↑i = p • z
hf : ∀ i ∈ range (Q.natDegree + 1), Q.coeff i = p * f i
\u22a2 z ∈ adjoin A {x}
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/IsIntegral.lean
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p✝ : R
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed R
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
Q : A[X]
p : A
x z : B
hp : p ≠ 0
f : ℕ → A
hz : p • ∑ x_1 : Fin (Q.natDegree + 1), f ↑x_1 • x ^ ↑x_1 = p • z
hf : ∀ i ∈ range (Q.natDegree + 1), Q.coeff i = p * f i
\u22a2 z ∈ adjoin A {x}
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/IsIntegral.lean
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p✝ : R
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra R K
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝⁶ : IsDomain R
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed R
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
Q : A[X]
p : A
x z : B
hp : p ≠ 0
f : ℕ → A
hz : p • ∑ x_1 : Fin (Q.natDegree + 1), f ↑x_1 • x ^ ↑x_1 = p • z
hf : ∀ i ∈ range (Q.natDegree + 1), Q.coeff i = p * f i
\u22a2 ∑ x_1 : Fin (Q.natDegree + 1), f ↑x_1 • x ^ ↑x_1 ∈ adjoin A {x}
-- Mathlib/LinearAlgebra/Vandermonde.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
a : R
\u22a2 (vandermonde fun i => v i - a).det = (vandermonde v).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Vandermonde.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
a : R
\u22a2 (vandermonde fun i => v i - a).det = (vandermonde fun i => v i + -a).det
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NoZeroDivisors α
s : Set α
a : α
ha : a ≠ 0
hs : ThreeGPFree (a • s)
b : α
hb : b ∈ s
c : α
hc : c ∈ s
d : α
hd : d ∈ s
h : b * d = c * c
\u22a2 a • b * a • d = a * c * (a * c)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
\u22a2 (C 4 * X ^ 3 + C W.b₂ * X ^ 2 + C (2 * W.b₄) * X + C W.b₆).natDegree ≤ 3
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
m n : ℕ
f : Vector ℕ m → Vector ℕ n
h : Vec f
\u22a2 Primrec f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝ : Fintype ι
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h's : Pairwise (Disjoint on s)
hf : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
\u22a2 ∫ (x : X) in ⋃ i, s i, f x ∂μ = ∑ i : ι, ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝ : Fintype ι
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h's : Pairwise (Disjoint on s)
hf : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
x✝ : ι
\u22a2 s x✝ = ⋃ (_ : x✝ ∈ Finset.univ), s x✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝ : Fintype ι
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h's : Pairwise (Disjoint on s)
hf : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
\u22a2 (↑Finset.univ).Pairwise (Disjoint on s)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/ScaleRoots.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
x : R
f : R →+* S
h : f p.leadingCoeff ≠ 0
n✝ : ℕ
\u22a2 (map f (p.scaleRoots x)).coeff n✝ = ((map f p).scaleRoots (f x)).coeff n✝
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set ι
\u22a2 IsOpen (Sigma.fst ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set ι
\u22a2 IsOpen (⋃ i ∈ s, Sigma.fst ⁻¹' {i})
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set ι
\u22a2 IsOpen (⋃ i ∈ s, range (Sigma.mk i))
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
q : ℚ
\u22a2 im ↑q = 0