ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
p : ℕ
inst✝¹¹ : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CharP R p
P✝ : Type u₃
inst✝⁸ : CommSemiring P✝
inst✝⁷ : CharP P✝ p
inst✝⁶ : PerfectRing P✝ p
inst✝⁵ : PerfectRing R p
S : Type u₂
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : CharP S p
P : Type u₃
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : CharP P p
inst✝ : PerfectRing P p
π : P →+* S
m : PerfectionMap p π
f : R →+* S
\u22a2 (Perfection.coeff S p 0).comp ((Perfection.lift p R S) f) = f
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
p : ℕ
inst✝¹¹ : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CharP R p
P✝ : Type u₃
inst✝⁸ : CommSemiring P✝
inst✝⁷ : CharP P✝ p
inst✝⁶ : PerfectRing P✝ p
inst✝⁵ : PerfectRing R p
S : Type u₂
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : CharP S p
P : Type u₃
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : CharP P p
inst✝ : PerfectRing P p
π : P →+* S
m : PerfectionMap p π
f : R →+* P
\u22a2 (fun f => (↑m.equiv.symm).comp ((Perfection.lift p R S) f)) ((fun f => π.comp f) f) = f
-- Mathlib/Algebra/Ring/Center.lean
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring M
n : ℕ
x✝ : M
\u22a2 ↑n * x✝ = x✝ * ↑n
-- Mathlib/Algebra/Ring/Center.lean
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring M
n : ℕ
x✝¹ x✝ : M
\u22a2 ↑n * (x✝¹ * x✝) = ↑n * x✝¹ * x✝
-- Mathlib/Algebra/Ring/Center.lean
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring M
n : ℕ
x✝¹ x✝ : M
\u22a2 x✝¹ * ↑n * x✝ = x✝¹ * (↑n * x✝)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Center.lean
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring M
n : ℕ
x✝¹ x✝ : M
\u22a2 x✝¹ * x✝ * ↑n = x✝¹ * (x✝ * ↑n)
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
h : Decidable (Dom 1)
\u22a2 toWithTop 1 = 1
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : (P F).W α
\u22a2 WEquiv x x
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : (P F).W α
\u22a2 ∀ (a : (P F).A) (f' : (P F).drop.B a ⟹ α) (f : (P F).last.B a → (P F).W α), WEquiv ((P F).wMk a f' f) ((P F).wMk a f' f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
g : α →ₛ G
hp : AEEqFun.mk ↑g ⋯ ∈ Lp G p μ
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑g
\u22a2 ∃ f', 0 ≤ f' ∧ ↑↑↑⟨⟨AEEqFun.mk ↑g ⋯, hp⟩, ⋯⟩ =ᶠ[ae μ] ↑f'
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
g : α →ₛ G
hp : AEEqFun.mk ↑g ⋯ ∈ Lp G p μ
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑g
\u22a2 ↑g =ᶠ[ae μ] ↑(g ⊔ 0)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/ImageHyperplane.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
\u22a2 inversion c R x ∈ perpBisector c (inversion c R y) ↔ dist x y = dist y c
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/ImageHyperplane.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
\u22a2 R ^ 2 / dist x c = R ^ 2 / (dist x c * dist y c) * dist x y ↔ dist x y = dist y c
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/ImageHyperplane.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
hx' : dist x c ≠ 0
\u22a2 R ^ 2 / dist x c = R ^ 2 / (dist x c * dist y c) * dist x y ↔ dist x y = dist y c
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/ImageHyperplane.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
hx' : dist x c ≠ 0
hy' : dist y c ≠ 0
\u22a2 R ^ 2 / dist x c = R ^ 2 / (dist x c * dist y c) * dist x y ↔ dist x y = dist y c
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x : F
\u22a2 im ⟪x, x⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x : F
\u22a2 I * ((starRingEnd 𝕜) ⟪x, x⟫_𝕜 - ⟪x, x⟫_𝕜) / 2 = ↑0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : StrongRankCondition R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Free R M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Free R M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Free R M₁
W : Type v
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module R W
inst✝ : Free R W
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hVW : Module.rank R M = n • Module.rank R W
\u22a2 Finite R M ↔ Finite R W
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
i : IsIso 0
\u22a2 𝟙 X = 0 ∧ 𝟙 Y = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
i : IsIso 0
\u22a2 0 ≫ inv 0 = 0 ∧ 𝟙 Y = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
i : IsIso 0
\u22a2 0 ≫ inv 0 = 0 ∧ inv 0 ≫ 0 = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
a b : ℝ
nb ne : ℕ
pb : IsInt b (Int.negOfNat nb)
pe' : IsNat (a ^ Int.negOfNat nb) ne
\u22a2 IsNat (a ^ b) ne
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/NullMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
\u22a2 ∃ t, (∀ (i : ι), t i ⊆ s i) ∧ (∀ (i : ι), s i =ᶠ[ae μ] t i) ∧ (∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)) ∧ Pairwise (Disjoint on t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/NullMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
t : ι → Set α
ht_sub : ∀ (i : ι), t i ⊆ s i
htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)
ht_eq : ∀ (i : ι), t i =ᶠ[ae μ] s i
\u22a2 ∃ t, (∀ (i : ι), t i ⊆ s i) ∧ (∀ (i : ι), s i =ᶠ[ae μ] t i) ∧ (∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)) ∧ Pairwise (Disjoint on t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/NullMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
t : ι → Set α
ht_sub : ∀ (i : ι), t i ⊆ s i
htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)
ht_eq : ∀ (i : ι), t i =ᶠ[ae μ] s i
u : ι → Set α
hum : ∀ (i : ι), MeasurableSet (u i)
hu₀ : ∀ (i : ι), μ (u i) = 0
hud : Pairwise (Disjoint on fun i => s i \ u i)
\u22a2 ∃ t, (∀ (i : ι), t i ⊆ s i) ∧ (∀ (i : ι), s i =ᶠ[ae μ] t i) ∧ (∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)) ∧ Pairwise (Disjoint on t)
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : Group.FG G
\u22a2 Nat.card G ∣ Monoid.exponent G ^ Group.rank G
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : Group.FG G
S : Finset G
hS1 : S.card = Group.rank G
hS2 : closure ↑S = ⊤
\u22a2 Nat.card G ∣ Monoid.exponent G ^ Group.rank G
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : Group.FG G
S : Finset G
hS1 : S.card = Group.rank G
hS2 : closure ↑S = ⊤
\u22a2 Nat.card G ∣ ∏ _x : { x // x ∈ S }, Monoid.exponent G
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : Group.FG G
S : Finset G
hS1 : S.card = Group.rank G
hS2 : closure ↑S = ⊤
f : ((g : { x // x ∈ S }) → ↥(zpowers ↑g)) →* G := noncommPiCoprod ⋯
\u22a2 Nat.card G ∣ ∏ _x : { x // x ∈ S }, Monoid.exponent G
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : Group.FG G
S : Finset G
hS1 : S.card = Group.rank G
hS2 : closure ↑S = ⊤
f : ((g : { x // x ∈ S }) → ↥(zpowers ↑g)) →* G := noncommPiCoprod ⋯
hf : Function.Surjective ⇑f
\u22a2 Nat.card G ∣ ∏ _x : { x // x ∈ S }, Monoid.exponent G
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : Group.FG G
S : Finset G
hS1 : S.card = Group.rank G
hS2 : closure ↑S = ⊤
f : ((g : { x // x ∈ S }) → ↥(zpowers ↑g)) →* G := noncommPiCoprod ⋯
hf : Nat.card G ∣ Nat.card ((g : { x // x ∈ S }) → ↥(zpowers ↑g))
\u22a2 Nat.card G ∣ ∏ _x : { x // x ∈ S }, Monoid.exponent G
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : Group.FG G
S : Finset G
hS1 : S.card = Group.rank G
hS2 : closure ↑S = ⊤
f : ((g : { x // x ∈ S }) → ↥(zpowers ↑g)) →* G := noncommPiCoprod ⋯
hf : Nat.card G ∣ ∏ a : { x // x ∈ S }, Nat.card ↥(zpowers ↑a)
\u22a2 Nat.card G ∣ ∏ _x : { x // x ∈ S }, Monoid.exponent G
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : Group.FG G
S : Finset G
hS1 : S.card = Group.rank G
hS2 : closure ↑S = ⊤
f : ((g : { x // x ∈ S }) → ↥(zpowers ↑g)) →* G := noncommPiCoprod ⋯
hf : Nat.card G ∣ ∏ a : { x // x ∈ S }, Nat.card ↥(zpowers ↑a)
g : { x // x ∈ S }
x✝ : g ∈ Finset.univ
\u22a2 Nat.card ↥(zpowers ↑g) ∣ Monoid.exponent G
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : Group.FG G
S : Finset G
hS1 : S.card = Group.rank G
hS2 : closure ↑S = ⊤
f : ((g : { x // x ∈ S }) → ↥(zpowers ↑g)) →* G := noncommPiCoprod ⋯
hf : Nat.card G ∣ ∏ a : { x // x ∈ S }, Nat.card ↥(zpowers ↑a)
g : { x // x ∈ S }
x✝ : g ∈ Finset.univ
\u22a2 orderOf ↑g ∣ Monoid.exponent G
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : DecidableEq β
\u22a2 image2 f (↑s) (↑t ∪ ↑t') = image2 f ↑s ↑t ∪ image2 f ↑s ↑t'
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x y : R
\u22a2 -f y - (map W f).toAffine.a₁ * f x - (map W f).toAffine.a₃ = f (-y - W.a₁ * x - W.a₃)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.146934, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₂.X₂ := h.i ≫ φ.τ₂
\u22a2 S₂.LeftHomologyData
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.146934, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₂.X₂ := h.i ≫ φ.τ₂
wi : i ≫ S₂.g = 0
\u22a2 S₂.LeftHomologyData
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.146934, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₂.X₂ := h.i ≫ φ.τ₂
wi : i ≫ S₂.g = 0
hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)
\u22a2 S₂.LeftHomologyData
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.146934, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₂.X₂ := h.i ≫ φ.τ₂
wi : i ≫ S₂.g = 0
hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)
f' : (KernelFork.ofι S₂.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι i wi).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S₂.f ⋯)
\u22a2 S₂.LeftHomologyData
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.146934, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₂.X₂ := h.i ≫ φ.τ₂
wi : i ≫ S₂.g = 0
hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)
f' : (KernelFork.ofι S₂.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι i wi).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S₂.f ⋯)
hf' : φ.τ₁ ≫ f' = h.f'
\u22a2 S₂.LeftHomologyData
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.146934, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₂.X₂ := h.i ≫ φ.τ₂
wi : i ≫ S₂.g = 0
hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)
f' : (KernelFork.ofι S₂.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι i wi).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S₂.f ⋯)
hf' : φ.τ₁ ≫ f' = h.f'
wπ : f' ≫ h.π = 0
\u22a2 S₂.LeftHomologyData
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.146934, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₁.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃
i : h.K ⟶ S₂.X₂ := h.i ≫ φ.τ₂
wi : i ≫ S₂.g = 0
hi : IsLimit (KernelFork.ofι i wi)
f' : (KernelFork.ofι S₂.f ⋯).pt ⟶ (KernelFork.ofι i wi).pt := hi.lift (KernelFork.ofι S₂.f ⋯)
hf' : φ.τ₁ ≫ f' = h.f'
wπ : f' ≫ h.π = 0
hπ : IsColimit (CokernelCofork.ofπ h.π wπ)
\u22a2 S₂.LeftHomologyData
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
\u22a2 ((interpolate s v) r).degree ≤ ↑(s.card - 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
\u22a2 (s.sup fun b => (C (r b) * Lagrange.basis s v b).degree) ≤ ↑(s.card - 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
\u22a2 ∀ b ∈ s, (C (r b) * Lagrange.basis s v b).degree ≤ ↑(s.card - 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i✝ j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
i : ι
hi : i ∈ s
\u22a2 (C (r i) * Lagrange.basis s v i).degree ≤ ↑(s.card - 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i✝ j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
i : ι
hi : i ∈ s
\u22a2 (C (r i)).degree + ↑(s.card - 1) ≤ ↑(s.card - 1)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Group α
a✝ b a : α
\u22a2 mabs a⁻¹ = mabs a
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
f g : Π₀ (_a : α), ℕ
\u22a2 toMultiset f < toMultiset g ↔ f < g
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
v : ι → E
\u22a2 parallelepiped v = (convexHull ℝ) (∑ i : ι, {0, v i})
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
hν : ν ≠ 0
\u22a2 μ ≪ ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
hν : ν ≠ 0
s : Set G
sm : MeasurableSet s
hνs : ν s = 0
\u22a2 μ s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
hν : ν ≠ 0
s : Set G
sm : MeasurableSet s
hνs : ν s = 0
h1 : μ s * ∫⁻ (y : G), 1 y ∂ν = ∫⁻ (x : G), ν ((fun z => z * x) ⁻¹' s) * 1 x⁻¹ ∂μ
\u22a2 μ s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
hν : ν ≠ 0
s : Set G
sm : MeasurableSet s
hνs : ν s = 0
h1 : μ s = 0
\u22a2 μ s = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/ShiftSequence.lean
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.45742, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.45746, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
\u22a2 m + n + a = a''
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/ShiftSequence.lean
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C
\u22a2 (F.shiftIso (m + n) a a'' ⋯).hom.app X = (F.shift a).map ((shiftFunctorAdd C m n).hom.app X) ≫ (F.shiftIso n a a' ha').hom.app ((shiftFunctor C m).obj X) ≫ (F.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/PartialFun.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
α β : PartialFun
e : α ≃ β
\u22a2 ↑(⇑e.symm ∘ ⇑e) = 𝟙 α
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/PartialFun.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
α β : PartialFun
e : α ≃ β
\u22a2 PFun.id α = 𝟙 α
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/PartialFun.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
α β : PartialFun
e : α ≃ β
\u22a2 ↑(⇑e ∘ ⇑e.symm) = 𝟙 β
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/PartialFun.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
α β : PartialFun
e : α ≃ β
\u22a2 PFun.id β = 𝟙 β
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
inst✝ : (↑P).Normal
fP : (↑P).FiniteIndex
h : p ∣ (↑P).index
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
inst✝ : (↑P).Normal
fP : (↑P).FiniteIndex
h : p ∣ Nat.card (G ⧸ ↑P)
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
inst✝ : (↑P).Normal
fP : (↑P).FiniteIndex
h : p ∣ Nat.card (G ⧸ ↑P)
x : G ⧸ ↑P
hx : orderOf x = p
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
inst✝ : (↑P).Normal
fP : (↑P).FiniteIndex
h✝ : p ∣ Nat.card (G ⧸ ↑P)
x : G ⧸ ↑P
hx : orderOf x = p
h : IsPGroup p ↥(zpowers x)
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
inst✝ : (↑P).Normal
fP : (↑P).FiniteIndex
h✝ : p ∣ Nat.card (G ⧸ ↑P)
x : G ⧸ ↑P
hx : orderOf x = p
h : IsPGroup p ↥(zpowers x)
Q : Subgroup G := comap (QuotientGroup.mk' ↑P) (zpowers x)
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
inst✝ : (↑P).Normal
fP : (↑P).FiniteIndex
h✝ : p ∣ Nat.card (G ⧸ ↑P)
x : G ⧸ ↑P
hx : orderOf x = p
h : IsPGroup p ↥(zpowers x)
Q : Subgroup G := comap (QuotientGroup.mk' ↑P) (zpowers x)
hQ : IsPGroup p ↥Q
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
P : Sylow p G
inst✝ : (↑P).Normal
fP : (↑P).FiniteIndex
h✝ : p ∣ Nat.card (G ⧸ ↑P)
x : G ⧸ ↑P
hx : orderOf x = p
h : IsPGroup p ↥(zpowers x)
Q : Subgroup G := comap (QuotientGroup.mk' ↑P) (zpowers x)
hQ : IsPGroup p ↥Q
hp : ¬x = 1
\u22a2 False
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
P : Sylow p G
inst✝ : (↑P).Normal
fP : (↑P).FiniteIndex
h✝ : p ∣ Nat.card (G ⧸ ↑P)
x : G ⧸ ↑P
hx : orderOf x = p
h : IsPGroup p ↥(zpowers x)
Q : Subgroup G := comap (QuotientGroup.mk' ↑P) (zpowers x)
hQ : IsPGroup p ↥Q
hp : ↑P < comap (QuotientGroup.mk' ↑P) (zpowers x)
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
s : R
a : A
h : IsUnit (r • ↑ₐ s - a)
\u22a2 (↑ₐ s - r⁻¹ • a) * r • ↑h.unit⁻¹ = 1
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
s : R
a : A
h : IsUnit (r • ↑ₐ s - a)
\u22a2 r • ↑h.unit⁻¹ * (↑ₐ s - r⁻¹ • a) = 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f : α → M
n : ℕ
\u22a2 ∏ x ∈ Ico 1 (n + 1 + 1), x = (n + 1)!
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b✝ c u : αˣ
a b : α
h : a = b * ↑c⁻¹
\u22a2 a * ↑c = b
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b✝ c u : αˣ
a b : α
h : a * ↑c = b
\u22a2 a = b * ↑c⁻¹
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
q : PMF β
f : (a : α) → a ∈ p.support → (b : β) → b ∈ q.support → PMF γ
\u22a2 (p.bindOnSupport fun a ha => q.bindOnSupport (f a ha)) = q.bindOnSupport fun b hb => p.bindOnSupport fun a ha => f a ha b hb
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
q : PMF β
f : (a : α) → a ∈ p.support → (b : β) → b ∈ q.support → PMF γ
\u22a2 ∀ (x : γ), (p.bindOnSupport fun a ha => q.bindOnSupport (f a ha)) x = (q.bindOnSupport fun b hb => p.bindOnSupport fun a ha => f a ha b hb) x
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
q : PMF β
f : (a : α) → a ∈ p.support → (b : β) → b ∈ q.support → PMF γ
c : γ
\u22a2 (p.bindOnSupport fun a ha => q.bindOnSupport (f a ha)) c = (q.bindOnSupport fun b hb => p.bindOnSupport fun a ha => f a ha b hb) c
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
q : PMF β
f : (a : α) → a ∈ p.support → (b : β) → b ∈ q.support → PMF γ
c : γ
\u22a2 (∑' (a : α) (i : β), p a * if h : p a = 0 then 0 else q i * if h : q i = 0 then 0 else (f a ⋯ i h) c) = ∑' (a : β) (i : α), q a * if h : q a = 0 then 0 else p i * if h : p i = 0 then 0 else (f i h a ⋯) c
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
q : PMF β
f : (a : α) → a ∈ p.support → (b : β) → b ∈ q.support → PMF γ
c : γ
b : β
a : α
\u22a2 (p a * if h : p a = 0 then 0 else q b * if h : q b = 0 then 0 else (f a ⋯ b h) c) = q b * if h : q b = 0 then 0 else p a * if h : p a = 0 then 0 else (f a h b ⋯) c
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/HasPullback.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : HasPushout f g
\u22a2 pushout.inl g f ≫ (pushoutSymmetry f g).inv = pushout.inr f g
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
\u22a2 tanh ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (tanh x)
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c✝ c : Con M
\u22a2 conGen ⇑c ≤ c
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c✝ c : Con M
\u22a2 sInf {s | ∀ (x y : M), c x y → s x y} ≤ c