ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/String/Basic.lean
c : Char
cs₁✝ cs₂✝ : List Char
i₁✝ i₂✝ : Pos
cs₁ cs₂ : List Char
i₁ i₂ : Pos
a✝² : { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.hasNext = true
a✝¹ : { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.hasNext = true
a✝ : ¬{ data := cs₁ }.get i₁ = { data := cs₂ }.get i₂
\u22a2 (if { s := { data := c :: cs₁ }, i := i₁ + c }.curr = { s := { data := c :: cs₂ }, i := i₂ + c }.curr then ltb { s := { data := c :: cs₁ }, i := i₁ + c }.next { s := { data := c :: cs₂ }, i := i₂ + c }.next else decide ({ s := { data := c :: cs₁ }, i := i₁ + c }.curr < { s := { data := c :: cs₂ }, i := i₂ + c }.curr)) = if { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.curr = { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.curr then ltb { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.next { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.next else decide ({ s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.curr < { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.curr)
-- Mathlib/NumberTheory/EllipticDivisibilitySequence.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
x✝² x✝¹ x✝ : ℤ
\u22a2 id (x✝² + x✝¹) * id (x✝² - x✝¹) * id x✝ ^ 2 = id (x✝² + x✝) * id (x✝² - x✝) * id x✝¹ ^ 2 - id (x✝¹ + x✝) * id (x✝¹ - x✝) * id x✝² ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/EllipticDivisibilitySequence.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
x✝² x✝¹ x✝ : ℤ
\u22a2 (x✝² + x✝¹) * (x✝² - x✝¹) * x✝ ^ 2 = (x✝² + x✝) * (x✝² - x✝) * x✝¹ ^ 2 - (x✝¹ + x✝) * (x✝¹ - x✝) * x✝² ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/AdjMatrix.lean
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
v : V
vec : V → α
\u22a2 (vec ᵥ* adjMatrix α G) v = ∑ u ∈ G.neighborFinset v, vec u
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/AdjMatrix.lean
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
v : V
vec : V → α
\u22a2 (vec ⬝ᵥ fun i => adjMatrix α G i v) = vec ⬝ᵥ adjMatrix α G v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/AdjMatrix.lean
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
v : V
vec : V → α
\u22a2 (fun i => adjMatrix α G i v) = adjMatrix α G v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/AdjMatrix.lean
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
v : V
vec : V → α
x : V
\u22a2 adjMatrix α G x v = adjMatrix α G v x
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
val✝¹ : List α
property✝ : val✝¹.length = n
val✝ : ℕ
isLt✝ : val✝ < n
\u22a2 (set ⟨val✝¹, property✝⟩ ⟨val✝, isLt✝⟩ a).get ⟨val✝, isLt✝⟩ = a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Vandermonde.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
i j : Fin n
\u22a2 ((vandermonde v)ᵀ * vandermonde v) i j = ∑ k : Fin n, v k ^ (↑i + ↑j)
-- Mathlib/Data/Matrix/RowCol.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i✝ : m
j✝ : n
b : n → α
c : m → α
inst✝¹ : DecidableEq l
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m n α
i : l
r : o → α
e : l ≃ m
f : o ≃ n
i' : l
j : o
\u22a2 (A.submatrix ⇑e ⇑f).updateRow i r i' j = (A.updateRow (e i) fun j => r (f.symm j)).submatrix (⇑e) (⇑f) i' j
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b
\u22a2 1 ≤ a / b ↔ b ≤ a
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
\u22a2 IsComplement S univ ↔ ∃ g, S = {g}
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : IsComplement S univ
\u22a2 S.Nonempty
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : IsComplement S univ
a : G
ha : a ∈ S
b : G
hb : b ∈ S
\u22a2 a = b
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
\u22a2 (∃ g, S = {g}) → IsComplement S univ
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPushout f.op g.op
\u22a2 pushout.inl f.op g.op ≫ (pullbackIsoUnopPushout f g).hom.op = (pullback.fst f g).op
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPushout f.op g.op
\u22a2 (pushout.inl f.op g.op ≫ (pullbackIsoUnopPushout f g).hom.op).unop = (pullback.fst f g).op.unop
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPushout f.op g.op
\u22a2 (pullbackIsoUnopPushout f g).hom ≫ (pushout.inl f.op g.op).unop = pullback.fst f g
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v x < 1
\u22a2 v (1 + x) = 1
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v x < v 1
\u22a2 v (1 + x) = 1
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝
inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁸ : Module R✝ A✝
inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Semifield S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra S A
a : A
f : S → R
\u22a2 QuasispectrumRestricts a f ↔ SpectrumRestricts a f
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝
inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁸ : Module R✝ A✝
inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Semifield S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra S A
a : A
f : S → R
\u22a2 Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a ∪ {0}) ∧ Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S) ↔ Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a) ∧ Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝
inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁸ : Module R✝ A✝
inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Semifield S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra S A
a : A
f : S → R
h : Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)
\u22a2 Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a ∪ {0}) ↔ Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝
inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁸ : Module R✝ A✝
inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Semifield S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra S A
a : A
f : S → R
h : Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)
h' : Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a)
x : S
hx : x ∈ spectrum S a ∪ {0}
\u22a2 (algebraMap R S) (f x) = x
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝
inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁸ : Module R✝ A✝
inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Semifield S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra S A
a : A
f : S → R
h : Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)
h' : Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a)
x : S
hx : x = 0 ∨ x ∈ spectrum S a
\u22a2 (algebraMap R S) (f x) = x
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : J ≠ 0
x : K
\u22a2 x ∈ I / J ↔ ∀ y ∈ J, x * y ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : J ≠ 0
x : K
\u22a2 x ∈ ⟨↑I / ↑J, ⋯⟩ ↔ ∀ y ∈ J, x * y ∈ I
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hA : schnirelmannDensity A = 0
\u22a2 ∃ n, 0 < n ∧ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 n)).card / ↑n < ε
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hA : schnirelmannDensity A = 0
h : ∀ (n : ℕ), 0 < n → ε ≤ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 n)).card / ↑n
\u22a2 False
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hA : schnirelmannDensity A = 0
h : ε ≤ schnirelmannDensity A
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝³ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : S.HasRightHomology
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S
\u22a2 (S.map F).pOpcycles ≫ opcyclesMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).rightHomologyData (S.rightHomologyData.map F) = (S.map F).pOpcycles ≫ opcyclesMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).rightHomologyData (hr.map F) ≫ F.map (opcyclesMap' (𝟙 S) hr S.rightHomologyData)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
a : MvPolynomial σ R
ha : a ∈ Ideal.map C I
\u22a2 (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) a = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
a : MvPolynomial σ R
ha : a ∈ Ideal.map C I
\u22a2 (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) (∑ v ∈ a.support, (monomial v) (coeff v a)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
a : MvPolynomial σ R
ha : a ∈ Ideal.map C I
\u22a2 ∑ x ∈ a.support, eval₂ (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X ((monomial x) (coeff x a)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
a : MvPolynomial σ R
ha : a ∈ Ideal.map C I
n : σ →₀ ℕ
x✝ : n ∈ a.support
\u22a2 eval₂ (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X ((monomial n) (coeff n a)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
a : MvPolynomial σ R
ha : a ∈ Ideal.map C I
n : σ →₀ ℕ
x✝ : n ∈ a.support
\u22a2 (C ((Ideal.Quotient.mk I) (coeff n a)) * n.prod fun n e => X n ^ e) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
a : MvPolynomial σ R
ha : a ∈ Ideal.map C I
n : σ →₀ ℕ
x✝ : n ∈ a.support
\u22a2 C ((Ideal.Quotient.mk I) (coeff n a)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
a : MvPolynomial σ R
ha : a ∈ Ideal.map C I
n : σ →₀ ℕ
x✝ : n ∈ a.support
\u22a2 coeff n a ∈ I
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/GroupRingAction.lean
M : Type u_1
inst✝⁶ : Monoid M
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : MulSemiringAction M R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : MulSemiringAction M S
G : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulSemiringAction G S
g : G
f : S[X]
x : S
\u22a2 eval (g • x) f = g • eval x (g⁻¹ • f)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
p : PosNum
\u22a2 (↑↑p).natAbs = (-↑p).natAbs
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K
\u22a2 w.IsReal ∨ w.IsComplex
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K
\u22a2 w.IsReal ∨ ¬w.IsReal
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Midpoint.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y z : P
x : V
\u22a2 midpoint R x (-x) = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b c x : α
u : αˣ
y : α
\u22a2 x /ₚ u * ↑u = y * ↑u ↔ y * ↑u = x
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b c x : α
u : αˣ
y : α
\u22a2 x = y * ↑u ↔ y * ↑u = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 ≤ z
\u22a2 (x * y) ^ z = x ^ z * y ^ z
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
\u22a2 (insert x s).einfsep ≤ ⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : x ≠ y), edist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
\u22a2 ∀ i ∈ s, x ≠ i → (insert x s).einfsep ≤ edist x i
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0
\u22a2 Metric.ball 0 r₁ • p.closedBall 0 r₂ ⊆ p.ball 0 (r₁ * r₂)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0
\u22a2 ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ < r₁ → ∀ (b : E), p b ≤ r₂ → ‖a‖ * p b < r₁ * r₂
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0
a : 𝕜
ha : ‖a‖ < r₁
b : E
hb : p b ≤ r₂
\u22a2 ‖a‖ * p b < r₁ * r₂
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0
a : 𝕜
ha : ‖a‖ < r₁
b : E
hb : p b ≤ r₂
\u22a2 p b * ‖a‖ < r₂ * r₁
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0
a : 𝕜
ha : ‖a‖ < r₁
b : E
hb : p b ≤ r₂
\u22a2 ¬r₂ < 0
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
S : Set ℝ
hS : ∀ x ∈ S, x ≤ 0
\u22a2 sInf S ≤ 0
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
hS : ∀ x ∈ ∅, x ≤ 0
\u22a2 sInf ∅ ≤ 0
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
S : Set ℝ
hS : ∀ x ∈ S, x ≤ 0
y : ℝ
hy : y ∈ S
\u22a2 sInf S ≤ 0
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : Injective m
h : m '' s ∈ map m f
\u22a2 s ∈ f
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Ring/List.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring α
inst✝ : Nontrivial α
x : α
xs : List α
\u22a2 0 < (x :: xs).prod ↔ ∀ x_1 ∈ x :: xs, 0 < x_1
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a : EReal
h : 0 ≤ a
\u22a2 0 ≤ a⁻¹
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
sep : IsSeparatedMap f
g : A → X
cont : Continuous g
inj : Function.Injective g
\u22a2 IsSeparatedMap (f ∘ g)
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
sep : IsClosed (Function.pullbackDiagonal f)
g : A → X
cont : Continuous g
inj : Function.Injective g
\u22a2 IsClosed (Function.pullbackDiagonal (f ∘ g))
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
sep : IsClosed (Function.pullbackDiagonal f)
g : A → X
cont : Continuous g
inj : Function.Injective g
\u22a2 IsClosed (Function.mapPullback g id g ⋯ ⋯ ⁻¹' Function.pullbackDiagonal f)
-- Mathlib/Control/Fold.lean
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝³ : Traversable t
inst✝² : LawfulTraversable t
m : Type u → Type u
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
f : α → β → m α
x : β
\u22a2 (⇑(foldlM.ofFreeMonoid f) ∘ FreeMonoid.of) x = (foldlM.mk ∘ flip f) x
-- Mathlib/Control/Fold.lean
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝³ : Traversable t
inst✝² : LawfulTraversable t
m : Type u → Type u
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
f : α → β → m α
x : β
\u22a2 (fun a => f a x) = fun a => f a x
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/Norm.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : Algebra F R
inst✝² : Algebra F S
inst✝¹ : IsScalarTower F R S
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R S
f : S
hf : f ≠ 0
\u22a2 Associated ((Algebra.norm R) f) (∏ i : ι, smithCoeffs b (span {f}) ⋯ i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/Norm.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : Algebra F R
inst✝² : Algebra F S
inst✝¹ : IsScalarTower F R S
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R S
f : S
hf : f ≠ 0
hI : ¬span {f} = ⊥
\u22a2 Associated ((Algebra.norm R) f) (∏ i : ι, smithCoeffs b (span {f}) ⋯ i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/Norm.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : Algebra F R
inst✝² : Algebra F S
inst✝¹ : IsScalarTower F R S
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R S
f : S
hf : f ≠ 0
hI : ¬span {f} = ⊥
b' : Basis ι R S := ringBasis b (span {f}) hI
\u22a2 Associated ((Algebra.norm R) f) (∏ i : ι, smithCoeffs b (span {f}) ⋯ i)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
H' : ¬((∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) = ⊤ ∨ (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p) = ⊤)
\u22a2 (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
H' : ¬((∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) = ⊤ ∨ (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p) = ⊤)
pos : 0 < p
\u22a2 (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
pos : 0 < p
H' : (∀ i ∈ s, f i ≠ ⊤) ∧ ∀ i ∈ s, g i ≠ ⊤
\u22a2 (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
pos : 0 < p
H' : (∀ i ∈ s, f i ≠ ⊤) ∧ ∀ i ∈ s, g i ≠ ⊤
this : ↑((∑ i ∈ s, ((fun i => (f i).toNNReal) i + (fun i => (g i).toNNReal) i) ^ p) ^ (1 / p)) ≤ ↑((∑ i ∈ s, (fun i => (f i).toNNReal) i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, (fun i => (g i).toNNReal) i ^ p) ^ (1 / p))
\u22a2 (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
pos : 0 < p
H' : (∀ i ∈ s, f i ≠ ⊤) ∧ ∀ i ∈ s, g i ≠ ⊤
this : (∑ x ∈ s, (↑(f x).toNNReal + ↑(g x).toNNReal) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x ∈ s, ↑(f x).toNNReal ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x ∈ s, ↑(g x).toNNReal ^ p) ^ (1 / p)
\u22a2 (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
\u22a2 toIcoDiv hp (a + p) b = toIcoDiv hp a b - 1
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a x : α
s t : List α
h : permutations'Aux x s = permutations'Aux x t
\u22a2 s = t
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a x : α
s t : List α
h : permutations'Aux x s = permutations'Aux x t
\u22a2 insertNth s.length x s = insertNth s.length x t
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a x : α
s t : List α
h : permutations'Aux x s = permutations'Aux x t
hl : s.length = t.length
\u22a2 insertNth s.length x s = insertNth s.length x t
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a x : α
s t : List α
h : permutations'Aux x s = permutations'Aux x t
hl : s.length = t.length
\u22a2 (permutations'Aux x s).get ⟨s.length, ⋯⟩ = (permutations'Aux x t).get ⟨s.length, ⋯⟩
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f g : ℕ → ℂ
h : ∀ {n : ℕ}, n ≠ 0 → f n = g n
s : ℂ
n : ℕ
\u22a2 term f s n = term g s n
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/InjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : EnoughInjectives C
Z : C
\u22a2 Injective.ι Z ≫ (ofCocomplex Z).d 0 1 = 0
-- Mathlib/Tactic/Ring/Basic.lean
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
a✝ a' a₁ a₂ a₃ b b' b₁ b₂ b₃ c c₁ c₂ : R✝
n : ℤ
d : ℕ
R : Type u_2
inst✝ : DivisionRing R
a : R
inv✝ : Invertible ↑d
e : a = ↑n * ⅟↑d
\u22a2 a = Rat.rawCast n d + 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/ToNat.lean
α : Type u
c✝ d : Cardinal.{u}
c : ℕ
\u22a2 ↑(toNat ↑c) = ↑c
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplexBiprod.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)
M : HomologicalComplex C c
α : M ⟶ K
β : M ⟶ L
i : ι
\u22a2 (biprod.lift α β).f i ≫ biprod.snd.f i = β.f i
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Fin/Lemmas.lean
α : Sort u_1
n : Nat
f : α → Fin n → α
x : α
\u22a2 foldr n (fun i x => f x i.rev) x = foldl n f x