ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
δ : ℝ
E : Set α
h : y ∈ E
h' : dist x y ≤ δ
\u22a2 ENNReal.ofReal (dist x y) ≤ ENNReal.ofReal δ
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : Filter α
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
g₁ : Set α₁ → Filter β₁
g₂ : Set α₂ → Filter β₂
hg₁ : Monotone g₁
hg₂ : Monotone g₂
\u22a2 f₁.lift g₁ ×ˢ f₂.lift g₂ = f₁.lift fun s => f₂.lift fun t => g₁ s ×ˢ g₂ t
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : Filter α
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
g₁ : Set α₁ → Filter β₁
g₂ : Set α₂ → Filter β₂
hg₁ : Monotone g₁
hg₂ : Monotone g₂
\u22a2 (f₁.lift fun s => (g₁ s).lift fun s => (f₂.lift g₂).lift' fun t => s ×ˢ t) = f₁.lift fun s => f₂.lift fun t => (g₁ s).lift fun s => (g₂ t).lift' fun t => s ×ˢ t
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : Filter α
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
g₁ : Set α₁ → Filter β₁
g₂ : Set α₂ → Filter β₂
hg₁ : Monotone g₁
hg₂ : Monotone g₂
\u22a2 (fun s => (g₁ s).lift fun s => (f₂.lift g₂).lift' fun t => s ×ˢ t) = fun s => f₂.lift fun t => (g₁ s).lift fun s => (g₂ t).lift' fun t => s ×ˢ t
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : Filter α
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
g₁ : Set α₁ → Filter β₁
g₂ : Set α₂ → Filter β₂
hg₁ : Monotone g₁
hg₂ : Monotone g₂
x : Set α₁
\u22a2 ((g₁ x).lift fun s => (f₂.lift g₂).lift' fun t => s ×ˢ t) = f₂.lift fun t => (g₁ x).lift fun s => (g₂ t).lift' fun t => s ×ˢ t
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : Filter α
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
g₁ : Set α₁ → Filter β₁
g₂ : Set α₂ → Filter β₂
hg₁ : Monotone g₁
hg₂ : Monotone g₂
x : Set α₁
\u22a2 ((g₁ x).lift fun s => (f₂.lift g₂).lift' fun t => s ×ˢ t) = (g₁ x).lift fun t => f₂.lift fun s => (g₂ s).lift' fun t_1 => t ×ˢ t_1
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : Filter α
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
g₁ : Set α₁ → Filter β₁
g₂ : Set α₂ → Filter β₂
hg₁ : Monotone g₁
hg₂ : Monotone g₂
x : Set α₁
\u22a2 (fun s => (f₂.lift g₂).lift' fun t => s ×ˢ t) = fun t => f₂.lift fun s => (g₂ s).lift' fun t_1 => t ×ˢ t_1
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : Filter α
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
g₁ : Set α₁ → Filter β₁
g₂ : Set α₂ → Filter β₂
hg₁ : Monotone g₁
hg₂ : Monotone g₂
x : Set α₁
y : Set β₁
\u22a2 ((f₂.lift g₂).lift' fun t => y ×ˢ t) = f₂.lift fun s => (g₂ s).lift' fun t => y ×ˢ t
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
S : Subsemigroup M
s : Subsemigroup N
x : M × N
\u22a2 x ∈ ⊤.prod s ↔ x ∈ comap (MulHom.snd M N) s
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l l' : List α
β : Type u_1
l₁ : List α
f : α → β
n : ℕ
\u22a2 List.map f l₁ ~r List.map f (l₁.rotate n)
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l l' : List α
β : Type u_1
l₁ : List α
f : α → β
n : ℕ
\u22a2 List.map f l₁ ~r (List.map f l₁).rotate n
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
\u22a2 toIcoDiv hp a b • p - b = -toIcoMod hp a b
-- Mathlib/Order/Filter/CardinalInter.lean
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
S : Set ι
hS : #↑S < c
s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α
h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ≤ᶠ[l] t i hi
\u22a2 ⋂ i, ⋂ (h : i ∈ S), s i h ≤ᶠ[l] ⋂ i, ⋂ (h : i ∈ S), t i h
-- Mathlib/Order/Filter/CardinalInter.lean
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
S : Set ι
hS : #↑S < c
s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α
h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ≤ᶠ[l] t i hi
\u22a2 ⋂ x, s ↑x ⋯ ≤ᶠ[l] ⋂ x, t ↑x ⋯
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝¹ a✝ : α
z a : ℤ
\u22a2 a ≤ ⌊a✝ + ↑z⌋ ↔ a ≤ ⌊a✝⌋ + z
-- Mathlib/Algebra/Group/AddChar.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid B
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
ψ✝ ψ : AddChar A M
hψ : Surjective ⇑ψ
f g : M →* N
h : (fun f => f.compAddChar ψ) f = (fun f => f.compAddChar ψ) g
\u22a2 f = g
-- Mathlib/Algebra/Group/AddChar.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid B
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
ψ✝ ψ : AddChar A M
hψ : Surjective ⇑ψ
f g : M →* N
h : ⇑((fun f => f.compAddChar ψ) f) = ⇑((fun f => f.compAddChar ψ) g)
\u22a2 ⇑f = ⇑g
-- Mathlib/Order/Interval/Set/UnorderedInterval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x a : α
\u22a2 Injective (Ι a)
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
R₄ : Type u_7
M₄ : Type u_8
inst✝³ : CommRing R₄
inst✝² : IsDomain R₄
inst✝¹ : AddCommGroup M₄
inst✝ : Module R₄ M₄
G : BilinForm R₄ M₄
n : Type w
B : BilinForm K V
v : n → V
hv₁ : B.iIsOrtho v
hv₂ : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
\u22a2 LinearIndependent K v
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
\u22a2 1 ≤ b⁻¹ * a ↔ b ≤ a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
x : G
f' : G →L[𝕜] E
\u22a2 HasFDerivAt (⇑iso ∘ f) ((↑iso).comp f') x ↔ HasFDerivAt f f' x
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a✝ b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
a : α
s : Set α
\u22a2 insert a (s \ {a}) = insert a s
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
b✝ : Basis ι R L
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R L
b' : Basis ι' R L
\u22a2 φ.nilRankAux b ≤ φ.nilRankAux b'
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
b✝ : Basis ι R L
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R L
b' : Basis ι' R L
\u22a2 (φ.polyCharpoly b).coeff (φ.nilRankAux b') ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
b✝ : Basis ι R L
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R L
b' : Basis ι' R L
\u22a2 ¬(φ.polyCharpoly b').coeff (φ.nilRankAux b') = 0
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
hx : x ∈ e.source
x' : X
hx' : ↑e.symm (↑e x') = x'
h : ↑e x' = ↑e x
\u22a2 x' ∈ {x}
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
X Y : D
f f' : X ⟶ e.functor.obj (e.inverse.obj Y)
\u22a2 f ≫ e.counit.app Y = f' ≫ e.counit.app Y ↔ f = f'
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∉ s
\u22a2 _root_.Disjoint (insert a s) (t.erase a) ↔ _root_.Disjoint s t
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
h : l.length = 1
\u22a2 l = [l.nthLe 0 ⋯]
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
h : l.length = 1
n : ℕ
h₁ : n < l.length
h₂ : n < [l.nthLe 0 ⋯].length
\u22a2 l.get ⟨n, h₁⟩ = [l.nthLe 0 ⋯].get ⟨n, h₂⟩
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
h : l.length = 1
n : ℕ
h₁ : n < l.length
h₂ : n < [l.nthLe 0 ⋯].length
\u22a2 l.get ⟨n, h₁⟩ = l.nthLe 0 ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (φ i) μ
hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in φ i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
\u22a2 Integrable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (φ i) μ
hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in φ i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
\u22a2 Integrable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (φ i) μ
hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : α) in φ i, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
\u22a2 ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal I
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (φ i) μ
hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, (∫⁻ (a : α) in φ i, ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ).toReal ≤ I
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
\u22a2 ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal I
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (φ i) μ
hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, (∫⁻ (a : α) in φ i, ↑‖f a‖₊ ∂μ).toReal ≤ I
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
\u22a2 ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal I
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (φ i) μ
hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, (∫⁻ (a : α) in φ i, ↑‖f a‖₊ ∂μ).toReal ≤ I
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
i : ι
hi : (∫⁻ (a : α) in φ i, ↑‖f a‖₊ ∂μ).toReal ≤ I
\u22a2 ∫⁻ (x : α) in φ i, ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal I
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → E
I : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (φ i) μ
hbounded : ∀ᶠ (i : ι) in l, (∫⁻ (a : α) in φ i, ↑‖f a‖₊ ∂μ).toReal ≤ I
hfm : AEStronglyMeasurable f μ
i : ι
hi : (∫⁻ (a : α) in φ i, ↑‖f a‖₊ ∂μ).toReal ≤ I
\u22a2 ENNReal.ofReal (∫⁻ (a : α) in φ i, ↑‖f a‖₊ ∂μ).toReal ≤ ENNReal.ofReal I
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : 0 < r
\u22a2 Tendsto (fun x => f x / r) l atBot ↔ Tendsto f l atBot
-- Mathlib/RingTheory/Localization/FractionRing.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
z : K
x y : A
hy : y ∈ nonZeroDivisors A
h : mk' K x ⟨y, hy⟩ = z
\u22a2 (algebraMap A K) x / (algebraMap A K) y = z
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
\u22a2 (f ⋆[L, μ] g) x = ∫ (t : G), (L (f (x - t))) (g t) ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
\u22a2 (g ⋆[L.flip, μ] f) x = ∫ (t : G), (L (f (x - t))) (g t) ∂μ
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Ordinal.{u_2} → Ordinal.{u_2}
c : Cardinal.{u_2}
hc : c.IsRegular
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ i < c.ord, f i < c.ord
a : Ordinal.{u_2}
\u22a2 ℵ₀ < c.ord.cof
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Ordinal.{u_2} → Ordinal.{u_2}
c : Cardinal.{u_2}
hc : c.IsRegular
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ i < c.ord, f i < c.ord
a : Ordinal.{u_2}
\u22a2 ℵ₀ < c
-- Mathlib/Topology/Algebra/Algebra.lean
R : Type u_1
A : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : TopologicalSpace A
inst✝ : TopologicalSemiring A
\u22a2 Continuous ⇑(algebraMap R A) ↔ Continuous fun p => p.1 • p.2
-- Mathlib/Topology/Algebra/Algebra.lean
R : Type u_1
A : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : TopologicalSpace A
inst✝ : TopologicalSemiring A
h : Continuous ⇑(algebraMap R A)
\u22a2 Continuous fun p => p.1 • p.2
-- Mathlib/Topology/Algebra/Algebra.lean
R : Type u_1
A : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : TopologicalSpace A
inst✝ : TopologicalSemiring A
h : Continuous ⇑(algebraMap R A)
\u22a2 Continuous fun p => (algebraMap R A) p.1 * p.2
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
hnontriv : Nontrivial ι
G : Type u_4
inst✝² : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
hcard✝ : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)
α : Type u_6
inst✝ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
i j : ι
w : NeWord H i j
hcard : 3 ≤ #(H i)
hheadtail : i ≠ j
\u22a2 (lift f) w.prod ≠ 1
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
hnontriv : Nontrivial ι
G : Type u_4
inst✝² : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
hcard✝ : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)
α : Type u_6
inst✝ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
i j : ι
w : NeWord H i j
hcard : 3 ≤ #(H i)
hheadtail : i ≠ j
h : H i
hn1 : h ≠ 1
hnh : h ≠ w.head⁻¹
\u22a2 (lift f) w.prod ≠ 1
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
hnontriv : Nontrivial ι
G : Type u_4
inst✝² : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
hcard✝ : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)
α : Type u_6
inst✝ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
i j : ι
w : NeWord H i j
hcard : 3 ≤ #(H i)
hheadtail : i ≠ j
h : H i
hn1 : h ≠ 1
hnh : h ≠ w.head⁻¹
hnot1 : h * w.head ≠ 1
\u22a2 (lift f) w.prod ≠ 1
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
hnontriv : Nontrivial ι
G : Type u_4
inst✝² : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
hcard✝ : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)
α : Type u_6
inst✝ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
i j : ι
w : NeWord H i j
hcard : 3 ≤ #(H i)
hheadtail : i ≠ j
h : H i
hn1 : h ≠ 1
hnh : h ≠ w.head⁻¹
hnot1 : h * w.head ≠ 1
w' : NeWord H i i := (w.mulHead h hnot1).append ⋯ (NeWord.singleton h⁻¹ ⋯)
\u22a2 (lift f) w.prod ≠ 1
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
hnontriv : Nontrivial ι
G : Type u_4
inst✝² : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
hcard✝ : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)
α : Type u_6
inst✝ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
i j : ι
w : NeWord H i j
hcard : 3 ≤ #(H i)
hheadtail : i ≠ j
h : H i
hn1 : h ≠ 1
hnh : h ≠ w.head⁻¹
hnot1 : h * w.head ≠ 1
w' : NeWord H i i := (w.mulHead h hnot1).append ⋯ (NeWord.singleton h⁻¹ ⋯)
hw' : (lift f) w'.prod ≠ 1
\u22a2 (lift f) w.prod ≠ 1
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Compatibility.lean
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_5, u_1} A
inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'
inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} B
inst✝ : Category.{u_8, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
G : B ⥤ A
hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor
X : A
\u22a2 (equivalence₁ hF).unitIso.hom.app X ≫ (equivalence₁ hF).inverse.map (eB.counitIso.inv.app (F.obj X)) = (equivalence₂UnitIso eB hF).hom.app X
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Compatibility.lean
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_5, u_1} A
inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'
inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} B
inst✝ : Category.{u_8, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
G : B ⥤ A
hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor
X : A
\u22a2 eA.unitIso.hom.app X ≫ eA.inverse.map (e'.unitIso.hom.app (eA.functor.obj X)) ≫ eA.inverse.map (e'.inverse.map (hF.hom.app X)) ≫ (equivalence₁ hF).inverse.map (eB.counitIso.inv.app (F.obj X)) = eA.unitIso.hom.app X ≫ eA.inverse.map (e'.unitIso.hom.app (eA.functor.obj X)) ≫ eA.inverse.map (e'.inverse.map (hF.hom.app X)) ≫ eA.inverse.map (e'.inverse.map (eB.counitIso.inv.app (F.obj X)))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Antilipschitz.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α✝
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : PseudoMetricSpace γ
K✝¹ : ℝ≥0
f✝ : α✝ → β
α : Type u_4
inst✝¹ : MetricSpace α
K✝ : ℝ≥0
f : α → β
inst✝ : ProperSpace α
hK : AntilipschitzWith K✝ f
f_cont : Continuous f
hf : Function.Surjective f
x₀ : β
r : ℝ
K : Set α := f ⁻¹' closedBall x₀ r
\u22a2 IsCompact (closedBall x₀ r)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Antilipschitz.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α✝
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : PseudoMetricSpace γ
K✝¹ : ℝ≥0
f✝ : α✝ → β
α : Type u_4
inst✝¹ : MetricSpace α
K✝ : ℝ≥0
f : α → β
inst✝ : ProperSpace α
hK : AntilipschitzWith K✝ f
f_cont : Continuous f
hf : Function.Surjective f
x₀ : β
r : ℝ
K : Set α := f ⁻¹' closedBall x₀ r
A : IsClosed K
\u22a2 IsCompact (closedBall x₀ r)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Antilipschitz.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α✝
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : PseudoMetricSpace γ
K✝¹ : ℝ≥0
f✝ : α✝ → β
α : Type u_4
inst✝¹ : MetricSpace α
K✝ : ℝ≥0
f : α → β
inst✝ : ProperSpace α
hK : AntilipschitzWith K✝ f
f_cont : Continuous f
hf : Function.Surjective f
x₀ : β
r : ℝ
K : Set α := f ⁻¹' closedBall x₀ r
A : IsClosed K
B : IsBounded K
\u22a2 IsCompact (closedBall x₀ r)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Antilipschitz.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α✝
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : PseudoMetricSpace γ
K✝¹ : ℝ≥0
f✝ : α✝ → β
α : Type u_4
inst✝¹ : MetricSpace α
K✝ : ℝ≥0
f : α → β
inst✝ : ProperSpace α
hK : AntilipschitzWith K✝ f
f_cont : Continuous f
hf : Function.Surjective f
x₀ : β
r : ℝ
K : Set α := f ⁻¹' closedBall x₀ r
A : IsClosed K
B : IsBounded K
this : IsCompact K
\u22a2 IsCompact (closedBall x₀ r)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Antilipschitz.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α✝
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : PseudoMetricSpace γ
K✝¹ : ℝ≥0
f✝ : α✝ → β
α : Type u_4
inst✝¹ : MetricSpace α
K✝ : ℝ≥0
f : α → β
inst✝ : ProperSpace α
hK : AntilipschitzWith K✝ f
f_cont : Continuous f
hf : Function.Surjective f
x₀ : β
r : ℝ
K : Set α := f ⁻¹' closedBall x₀ r
A : IsClosed K
B : IsBounded K
this : IsCompact K
\u22a2 closedBall x₀ r = f '' K
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b
h : a / b ≤ c
\u22a2 a = a / b * b
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b
h : a ≤ c * b
\u22a2 c * b / b = c