ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ⇑(f' i j hij)
i : ι
x : G i
hx : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0
j : ι
hij : i ≤ j
hfx : (f' i j hij) x = 0
\u22a2 x = 0
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ⇑(f' i j hij)
i : ι
x : G i
hx : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0
j : ι
hij : i ≤ j
hfx : (f' i j hij) x = 0
\u22a2 (f' i j hij) x = (f' i j hij) 0
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
n : ℕ
\u22a2 DifferentiableAt ℂ Gamma (↑n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
n m : ℕ
\u22a2 ↑n + 1 ≠ -↑m
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
n m : ℕ
\u22a2 ¬↑n + 1 + ↑m = 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ∫⁻ (z : β × γ) in s ×ˢ Set.univ, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β) in s, ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
-- Mathlib/Order/JordanHolder.lean
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
h : IsMaximal (eraseLast s).last (last s)
hs : s.length = 0
\u22a2 last s = (eraseLast s).last
-- Mathlib/Data/Nat/Lattice.lean
n : ℕ
p : ℕ → Prop
h : 0 < sInf {m | p m}
\u22a2 sInf {m | p m} + n = sInf {m | p (m - n)}
-- Mathlib/Data/Nat/Lattice.lean
n : ℕ
p : ℕ → Prop
h : 0 < sInf {m | p m}
\u22a2 n ≤ sInf {m | p (m - n)}
-- Mathlib/Data/Nat/Lattice.lean
n : ℕ
p : ℕ → Prop
h : 0 < sInf {m | p m}
m : ℕ
hm : m ∈ {m | p m}
\u22a2 n ≤ sInf {m | p (m - n)}
-- Mathlib/Data/Nat/Lattice.lean
n : ℕ
p : ℕ → Prop
h : 0 < sInf {m | p m}
m : ℕ
hm : m ∈ {m | p m}
\u22a2 m + n ∈ {m | p (m - n)}
-- Mathlib/Data/Nat/Lattice.lean
n : ℕ
p : ℕ → Prop
h : 0 < sInf {m | p m}
m : ℕ
hm : m ∈ {m | p m}
b : ℕ
hb : b ∈ {m | p (m - n)}
hbn : b < n
\u22a2 b - n ∈ {m | p m}
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
hst : ¬s ∩ t = ∅
\u22a2 (condCount s) (t ∩ u) = (condCount (s ∩ t)) u * (condCount s) t
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
hst : ¬s ∩ t = ∅
\u22a2 Measure.count (s ∩ t) ≠ 0
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
hst : ¬s ∩ t = ∅
\u22a2 Measure.count (s ∩ t) ≠ ⊤
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
s : Multiset α
l : List α
\u22a2 powersetCard 0 ⟦l⟧ = {0}
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/AdjMatrix.lean
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝³ : DecidableRel G.Adj
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : Semiring α
n : ℕ
u v : V
\u22a2 (adjMatrix α G ^ n) u v = ↑(Fintype.card ↑{p | p.length = n})
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/AdjMatrix.lean
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝³ : DecidableRel G.Adj
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : Semiring α
n : ℕ
u v : V
\u22a2 (adjMatrix α G ^ n) u v = ↑(G.finsetWalkLength n u v).card
-- Mathlib/Data/Finite/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
hf : Function.Surjective f
h : Nat.card β = 0
\u22a2 Nat.card α = 0
-- Mathlib/Data/Finite/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
hf : Function.Surjective f
h : Nat.card β = 0
h✝ : Finite β
\u22a2 Nat.card α = 0
-- Mathlib/Data/Finite/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
hf : Function.Surjective f
h : Nat.card β = 0
h✝ : Infinite β
\u22a2 Nat.card α = 0
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
\u22a2 HasSum (fun n => 1 / ↑n ^ k * ((fourier ↑n) ↑x + (-1) ^ k * (fourier (-↑n)) ↑x)) (-(2 * ↑π * I) ^ k / ↑k ! * ↑(bernoulliFun k x))
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
\u22a2 (fun n => 1 / ↑n ^ k * ((fourier ↑n) ↑x + (-1) ^ k * (fourier (-↑n)) ↑x)) = fun n => 1 / ↑↑n ^ k * (fourier ↑n) ↑x + 1 / ↑(-↑n) ^ k * (fourier (-↑n)) ↑x
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
\u22a2 -(2 * ↑π * I) ^ k / ↑k ! * ↑(bernoulliFun k x) = -(2 * ↑π * I) ^ k / ↑k ! * ↑(bernoulliFun k x) + 1 / ↑0 ^ k * (fourier 0) ↑x
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
hi : Irreducible f
x✝ : ∃ n y, f = (expand F (q ^ n)) (X - C y)
n : ℕ
y : F
h : f = (expand F (q ^ n)) (X - C y)
\u22a2 f.natSepDegree = 1
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ
\u22a2 antidiagonalTuple 1 n = [![n]]
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ
\u22a2 ((range n).bind fun a => map (fun x => Fin.cons a x) (antidiagonalTuple 0 (n - a))) ++ map (fun x => Fin.cons n x) (antidiagonalTuple 0 0) = [![n]]
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ
\u22a2 ((range n).bind fun a => map (fun x => Fin.cons a x) (antidiagonalTuple 0 (n - a))) ++ map (fun x => Fin.cons n x) (antidiagonalTuple 0 0) = [] ++ [![n]]
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ
\u22a2 ((range n).bind fun a => map (fun x => Fin.cons a x) (antidiagonalTuple 0 (n - a))) = []
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ
\u22a2 ∀ x < n, antidiagonalTuple 0 (n - x) = []
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/NatAntidiagonal.lean
n x : ℕ
hx : x < n
\u22a2 antidiagonalTuple 0 (n - x) = []
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/NatAntidiagonal.lean
x m : ℕ
hx : x < x + m + 1
\u22a2 antidiagonalTuple 0 (x + m + 1 - x) = []
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
\u22a2 (∀ (ib : ℝ), 0 < ib → ∃ ia, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π ∧ π.IsPartition}, integralSum f vol x ∈ closedBall y ib) ↔ ∀ ε > 0, ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum f vol π) y ≤ ε
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
hb : b.re ≠ 0
c T : ℝ
this : b.re * T ^ 2 - 2 * b.im * c * T - b.re * c ^ 2 = b.re * (T - b.im * c / b.re) ^ 2 - c ^ 2 * (b.im ^ 2 / b.re + b.re)
\u22a2 ‖cexp (-b * (↑T + ↑c * I) ^ 2)‖ = rexp (-(b.re * (T - b.im * c / b.re) ^ 2 - c ^ 2 * (b.im ^ 2 / b.re + b.re)))
-- Mathlib/Topology/DerivedSet.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
A : Set X
\u22a2 derivedSet (closure A) = derivedSet A
-- Mathlib/Topology/DerivedSet.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
A : Set X
x : X
hx : x ∈ derivedSet (closure A)
\u22a2 x ∈ derivedSet A
-- Mathlib/Topology/DerivedSet.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
A : Set X
x : X
hx : ∀ ⦃i : Set X⦄, x ∈ i ∧ IsOpen i → (i ∩ {x}ᶜ ∩ closure A).Nonempty
\u22a2 ∀ ⦃i : Set X⦄, x ∈ i ∧ IsOpen i → (i ∩ {x}ᶜ ∩ A).Nonempty
-- Mathlib/Topology/DerivedSet.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
A : Set X
x : X
hx : ∀ ⦃i : Set X⦄, x ∈ i ∧ IsOpen i → (i ∩ {x}ᶜ ∩ closure A).Nonempty
u : Set X
this : (u ∩ {x}ᶜ ∩ closure A).Nonempty
hu_open : IsOpen u
\u22a2 (u ∩ {x}ᶜ ∩ A).Nonempty
-- Mathlib/Order/WithBot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a b : α
inst✝ : LE α
h : IsMin a
b✝ : WithTop α
hb : b✝ ≤ ↑a
\u22a2 ↑a ≤ b✝
-- Mathlib/Order/WithBot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a b : α
inst✝ : LE α
h : IsMin a
b✝ : WithTop α
hb : WithTop.toDual ↑a ≤ WithTop.toDual b✝
\u22a2 ↑a ≤ b✝
-- Mathlib/Algebra/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
hs : s.OrdConnected
\u22a2 (a • s).OrdConnected
-- Mathlib/Algebra/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
hs : s.OrdConnected
\u22a2 (a • ↑(upperClosure s) ∩ a • ↑(lowerClosure s)).OrdConnected
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
K₁ K₂ : Compacts G
hU : (interior U).Nonempty
\u22a2 ↑(index (↑(K₁ ⊔ K₂)) U) / ↑(index (↑K₀) U) ≤ ↑(index (↑K₁) U) / ↑(index (↑K₀) U) + ↑(index (↑K₂) U) / ↑(index (↑K₀) U)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
K₁ K₂ : Compacts G
hU : (interior U).Nonempty
\u22a2 ↑(index (↑(K₁ ⊔ K₂)) U) ≤ ↑(index (↑K₁) U) + ↑(index (↑K₂) U)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
K₁ K₂ : Compacts G
hU : (interior U).Nonempty
\u22a2 0 < ↑(index (↑K₀) U)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.9092, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
\u22a2 S₁.Exact ∧ Epi S₁.g ↔ S₂.Exact ∧ Epi S₂.g
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.9092, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
this : Epi S₁.g ↔ Epi S₂.g
\u22a2 S₁.Exact ∧ Epi S₁.g ↔ S₂.Exact ∧ Epi S₂.g
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
hpos : 0 < n
hG : ∀ (g : G), g ^ n = 1
\u22a2 exponent G ≤ n
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
hpos : 0 < n
hG : ∀ (g : G), g ^ n = 1
\u22a2 Nat.find ?hc ≤ n
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
hpos : 0 < n
hG : ∀ (g : G), g ^ n = 1
\u22a2 ExponentExists G
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c < b
h₂ : a < d
x : α
\u22a2 x ∈ Ioo a b ∪ Ioo c d ↔ x ∈ Ioo (min a c) (max b d)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c < b
h₂ : a < d
x : α
\u22a2 a < x ∧ x < b ∨ c < x ∧ x < d ↔ (a < x ∨ c < x) ∧ (x < b ∨ x < d)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S y
\u22a2 slope f x y ≤ f'
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S y
\u22a2 S ∈ 𝓝[<] y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S y
\u22a2 ∃ l ∈ Iio y, Ico l y ⊆ S
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
\u22a2 S₁.leftHomologyIso.hom ≫ homologyMap φ = leftHomologyMap φ ≫ S₂.leftHomologyIso.hom
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u
m : OuterMeasure α
s s₁ s₂ : Set α
h : s₁ ∩ s₂ ⊆ ∅
h₁ : m.IsCaratheodory s₁
t : Set α
\u22a2 m (t ∩ (s₁ ∪ s₂)) = m (t ∩ s₁) + m (t ∩ s₂)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X✝ : Scheme
P : (X : Scheme) → ↑↑X.toPresheafedSpace → Prop
h₁ : ∀ (R : CommRingCat) (x : ↑↑(Spec R).toPresheafedSpace), P (Spec R) x
h₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [inst : IsOpenImmersion f] (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), P X x → P Y (f.val.base x)
X : Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
\u22a2 P X x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X✝ : Scheme
P : (X : Scheme) → ↑↑X.toPresheafedSpace → Prop
h₁ : ∀ (R : CommRingCat) (x : ↑↑(Spec R).toPresheafedSpace), P (Spec R) x
h₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [inst : IsOpenImmersion f] (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), P X x → P Y (f.val.base x)
X : Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
y : ↑↑(X.affineCover.obj (X.affineCover.f x)).toPresheafedSpace
e : (X.affineCover.map (X.affineCover.f x)).val.base y = x
\u22a2 P X x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝¹ y✝¹ z✝¹ w x✝ y✝ z✝ x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y z : ℝ
\u22a2 x ^ y * x ^ z ≤ x ^ (y + z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝¹ y✝¹ z✝¹ w x✝ y✝ z✝ x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y z : ℝ
H : 0 = x
\u22a2 x ^ y * x ^ z ≤ x ^ (y + z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝¹ y✝¹ z✝¹ w x✝ y✝ z✝ x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y z : ℝ
pos : 0 < x
\u22a2 x ^ y * x ^ z ≤ x ^ (y + z)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Continuum.lean
\u22a2 beth 1 = 𝔠
-- Mathlib/Algebra/Homology/QuasiIso.lean
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
inst✝² : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), M.HasHomology i
hφ : QuasiIso φ
\u22a2 QuasiIso (φ ≫ φ') ↔ QuasiIso φ'
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
g : TensorAlgebra R M →ₐ[R] A
\u22a2 (lift R) (g.toLinearMap ∘ₗ ι R) = g
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
g : TensorAlgebra R M →ₐ[R] A
\u22a2 (lift R) ((lift R).symm g) = g
-- Mathlib/Deprecated/Group.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : Mul β
γ : Type u_1
inst✝ : Mul γ
f : α → β
g : β → γ
hf : IsMulHom f
hg : IsMulHom g
x y : α
\u22a2 (g ∘ f) (x * y) = (g ∘ f) x * (g ∘ f) y
-- Mathlib/Data/Finset/Pi.lean
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝³ : DecidableEq α
s✝¹ : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
ι✝ : Type u_2
inst✝² : DecidableEq (ι✝ → α)
s✝ : Finset α
f : ι✝ → α
s : Finset α
ι : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq (ι → α)
inst✝ : Nonempty ι
\u22a2 (s.piDiag ι).card = s.card
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Over.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ : C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : C
f : X ⟶ Y
g h : Over Y
k : g ⟶ h
\u22a2 (pullback.fst g.hom f ≫ k.left) ≫ h.hom = pullback.snd g.hom f ≫ f
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
\u22a2 b ∈ closedBall a r ↔ ‖b / a‖ ≤ r
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
\u22a2 (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
\u22a2 (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
\u22a2 (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
\u22a2 (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
hyzD : Icc y z ⊆ D
\u22a2 (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
hyzD : Icc y z ⊆ D
hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D
\u22a2 (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
hyzD : Icc y z ⊆ D
hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D
a : ℝ
ha : (f y - f x) / (y - x) < deriv f a
hxa : x < a
hay : a < y
\u22a2 (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
hyzD : Icc y z ⊆ D
hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D
a : ℝ
ha : (f y - f x) / (y - x) < deriv f a
hxa : x < a
hay : a < y
b : ℝ
hb : deriv f b < (f z - f y) / (z - y)
hyb : y < b
hbz : b < z
\u22a2 (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : StrictMonoOn (deriv f) (interior D)
x y z : ℝ
hx : x ∈ D
hz : z ∈ D
hxy : x < y
hyz : y < z
hxzD : Icc x z ⊆ D
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
hyzD : Icc y z ⊆ D
hyzD' : Ioo y z ⊆ interior D
a : ℝ
ha : (f y - f x) / (y - x) < deriv f a
hxa : x < a
hay : a < y
b : ℝ
hb : deriv f b < (f z - f y) / (z - y)
hyb : y < b
hbz : b < z
\u22a2 deriv f a < deriv f b
-- Mathlib/Dynamics/FixedPoints/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
f fa g : α → α
x y : α
fb : β → β
m n✝ k : ℕ
e : Perm α
s : Set α
h : IsFixedPt (Set.preimage f) s
n : ℕ
\u22a2 IsFixedPt (Set.preimage f^[n]) s
-- Mathlib/Dynamics/FixedPoints/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
f fa g : α → α
x y : α
fb : β → β
m n✝ k : ℕ
e : Perm α
s : Set α
h : IsFixedPt (Set.preimage f) s
n : ℕ
\u22a2 IsFixedPt (Set.preimage f)^[n] s
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P : C
f g h : Over P
R : C
p : R ⟶ f.left
q : R ⟶ g.left
ep : Epi p
Eq : Epi q
comm : p ≫ f.hom = q ≫ g.hom
R' : C
p' : R' ⟶ g.left
q' : R' ⟶ h.left
ep' : Epi p'
eq' : Epi q'
comm' : p' ≫ g.hom = q' ≫ h.hom
\u22a2 PseudoEqual P f h
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P : C
f g h : Over P
R : C
p : R ⟶ f.left
q : R ⟶ g.left
ep : Epi p
Eq : Epi q
comm : p ≫ f.hom = q ≫ g.hom
R' : C
p' : R' ⟶ g.left
q' : R' ⟶ h.left
ep' : Epi p'
eq' : Epi q'
comm' : p' ≫ g.hom = q' ≫ h.hom
\u22a2 (pullback.fst q p' ≫ p) ≫ f.hom = (pullback.snd q p' ≫ q') ≫ h.hom
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Polynomial.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
x : MvPolynomial σ R
i : σ
\u22a2 ((mvPolynomialBasis R σ).repr ((D R (MvPolynomial σ R)) x)) i = (MvPolynomial.pderiv i) x
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
\u22a2 x \ (x \ y) = x ⊓ y
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
\u22a2 (s ∪ t).Pairwise r ↔ s.Pairwise r ∧ t.Pairwise r ∧ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a ≠ b → r a b ∧ r b a
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
\u22a2 (((∀ x ∈ s, ∀ x_2 ∈ s, x ≠ x_2 → r x x_2) ∧ ∀ x ∈ s, ∀ x_2 ∈ t, x ≠ x_2 → r x x_2) ∧ (∀ x ∈ t, ∀ x_2 ∈ s, x ≠ x_2 → r x x_2) ∧ ∀ x ∈ t, ∀ x_2 ∈ t, x ≠ x_2 → r x x_2) ↔ (∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → x ≠ y → r x y) ∧ (∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ t → x ≠ y → r x y) ∧ (∀ x ∈ s, ∀ x_2 ∈ t, x ≠ x_2 → r x x_2) ∧ ∀ x ∈ s, ∀ x_2 ∈ t, x ≠ x_2 → r x_2 x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
X Y : R
\u22a2 W'.Nonsingular ![X, Y, 1] ↔ W'.toAffine.Nonsingular X Y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
X Y : R
\u22a2 Y ^ 2 + W'.toAffine.a₁ * X * Y + W'.toAffine.a₃ * Y - (X ^ 3 + W'.toAffine.a₂ * X ^ 2 + W'.toAffine.a₄ * X + W'.toAffine.a₆) = 0 → W'.a₁ * Y - (3 * X ^ 2 + 2 * W'.a₂ * X + W'.a₄) = 0 → 2 * Y + W'.toAffine.a₁ * X + W'.toAffine.a₃ = 0 → W'.a₁ * X * Y + 3 * W'.a₃ * Y - (2 * W'.a₂ * X ^ 2 + 4 * W'.a₄ * X + 6 * W'.a₆) = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
X Y : R
h : Y ^ 2 + W'.toAffine.a₁ * X * Y + W'.toAffine.a₃ * Y - (X ^ 3 + W'.toAffine.a₂ * X ^ 2 + W'.toAffine.a₄ * X + W'.toAffine.a₆) = 0
hX : W'.a₁ * Y - (3 * X ^ 2 + 2 * W'.a₂ * X + W'.a₄) = 0
hY : 2 * Y + W'.toAffine.a₁ * X + W'.toAffine.a₃ = 0
\u22a2 W'.a₁ * X * Y + 3 * W'.a₃ * Y - (2 * W'.a₂ * X ^ 2 + 4 * W'.a₄ * X + 6 * W'.a₆) = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
h : m ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)
\u22a2 ∀ (i : ι), (b.repr ↑(floor b m)) i = (b.repr m) i
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
h : m ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)
\u22a2 ∀ (i : ι), ↑⌊(b.repr m) i⌋ = (b.repr m) i
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
h : m ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)
i : ι
\u22a2 ↑⌊(b.repr m) i⌋ = (b.repr m) i
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
h : m ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)
i : ι
z : ℤ
hz : (algebraMap ℤ K) z = (b.repr m) i
\u22a2 ↑⌊(b.repr m) i⌋ = (b.repr m) i
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
h : m ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)
i : ι
z : ℤ
hz : (algebraMap ℤ K) z = (b.repr m) i
\u22a2 ↑⌊(algebraMap ℤ K) z⌋ = (algebraMap ℤ K) z
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.112486, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S S₁ S₂ S₃ : SnakeInput C
f : S₁.Hom S₂
g : S₂.Hom S₃
\u22a2 (f.f₀ ≫ g.f₀) ≫ S₃.v₀₁ = S₁.v₀₁ ≫ f.f₁ ≫ g.f₁
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.112486, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S S₁ S₂ S₃ : SnakeInput C
f : S₁.Hom S₂
g : S₂.Hom S₃
\u22a2 (f.f₁ ≫ g.f₁) ≫ S₃.v₁₂ = S₁.v₁₂ ≫ f.f₂ ≫ g.f₂