ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
Y : Scheme
f : (x : 𝒰.J) → 𝒰.obj x ⟶ Y
hf : ∀ (x y : 𝒰.J), pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y) ≫ f x = pullback.snd (𝒰.map x) (𝒰.map y) ≫ f y
x : 𝒰.J
\u22a2 𝒰.map x ≫ 𝒰.glueMorphisms f hf = f x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
Y : Scheme
f : (x : 𝒰.J) → 𝒰.obj x ⟶ Y
hf : ∀ (x y : 𝒰.J), pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y) ≫ f x = pullback.snd (𝒰.map x) (𝒰.map y) ≫ f y
x : 𝒰.J
\u22a2 𝒰.gluedCover.ι x ≫ 𝒰.fromGlued ≫ 𝒰.glueMorphisms f hf = f x
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
x y : Holor α (d :: ds)
h : x.slice = y.slice
t : HolorIndex (d :: ds)
i : ℕ
is : List ℕ
hiis : ↑t = i :: is
\u22a2 Forall₂ (fun x x_1 => x < x_1) (↑t) (d :: ds)
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
hl : l.Nodup
i : Fin l.length
\u22a2 l.erase (l.get i) = l.eraseIdx ↑i
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ V = n
hc : Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps
\u22a2 sx₁.circumradius = sx₂.circumradius
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ V = n
hc : Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps
r : ℝ
hr : ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r
\u22a2 sx₁.circumradius = sx₂.circumradius
-- Mathlib/Topology/Connected/TotallyDisconnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TotallyDisconnectedSpace β
f✝ : α → β
S : Set α
hS : IsPreconnected S
T : Set β
inst✝ : DiscreteTopology ↑T
f : α → β
hc : ContinuousOn f S
hTm : MapsTo f S T
x y : α
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
F : ↑S → ↑T := MapsTo.restrict f S T hTm
\u22a2 f x = f y
-- Mathlib/Topology/Connected/TotallyDisconnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TotallyDisconnectedSpace β
f✝ : α → β
S : Set α
hS : IsPreconnected S
T : Set β
inst✝ : DiscreteTopology ↑T
f : α → β
hc : ContinuousOn f S
hTm : MapsTo f S T
x y : α
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
F : ↑S → ↑T := MapsTo.restrict f S T hTm
\u22a2 F ⟨x, hx⟩ = F ⟨y, hy⟩
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
\u22a2 eval₂ f x p = eval x (map f p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
p : α → Prop
f✝ : β → α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
\u22a2 (Measure.map f μ) univ = 1
-- Mathlib/RingTheory/Regular/RegularSequence.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
rs₁ rs₂ : List R
\u22a2 IsWeaklyRegular M (rs₁ ++ rs₂) ↔ IsWeaklyRegular M rs₁ ∧ IsWeaklyRegular (M ⧸ Ideal.ofList rs₁ • ⊤) rs₂
-- Mathlib/AlgebraicTopology/CechNerve.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ∀ (n : ℕ) (f : Arrow C), HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
X : Augmented C
F : Arrow C
G : X ⟶ F.augmentedCechNerve
\u22a2 (𝟭 C).map (G.left.app (Opposite.op (SimplexCategory.mk 0)) ≫ WidePullback.π (fun x => F.hom) 0) ≫ F.hom = (Augmented.toArrow.obj X).hom ≫ (𝟭 C).map G.right
-- Mathlib/AlgebraicTopology/CechNerve.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ∀ (n : ℕ) (f : Arrow C), HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
X : Augmented C
F : Arrow C
G : X ⟶ F.augmentedCechNerve
this : (𝟭 (SimplicialObject C)).map G.left ≫ F.augmentedCechNerve.hom = X.hom ≫ (const C).map G.right
\u22a2 (𝟭 C).map (G.left.app (Opposite.op (SimplexCategory.mk 0)) ≫ WidePullback.π (fun x => F.hom) 0) ≫ F.hom = (Augmented.toArrow.obj X).hom ≫ (𝟭 C).map G.right
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set α
\u22a2 (⋃ i, s i).Nonempty ↔ ∃ i, (s i).Nonempty
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Predicate.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝ : Category.{?u.5143, u_3} E
h₁ : Localization.StrictUniversalPropertyFixedTarget L W D
h₂ : Localization.StrictUniversalPropertyFixedTarget L W W.Localization
\u22a2 W.Q ⋙ 𝟭 W.Localization = W.Q ⋙ Localization.Construction.lift L ⋯ ⋙ h₂.lift W.Q ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Predicate.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝ : Category.{?u.5143, u_3} E
h₁ : Localization.StrictUniversalPropertyFixedTarget L W D
h₂ : Localization.StrictUniversalPropertyFixedTarget L W W.Localization
\u22a2 L ⋙ h₂.lift W.Q ⋯ ⋙ Localization.Construction.lift L ⋯ = L ⋙ 𝟭 D
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
n : A
X : C
\u22a2 (shiftFunctor C (-n)).map ((shiftFunctorCompIsoId C (-n) n ⋯).hom.app X) = (shiftFunctorCompIsoId C n (-n) ⋯).hom.app ((shiftFunctor C (-n)).obj X)
-- Mathlib/LinearAlgebra/FinsuppVectorSpace.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
n : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite n
b : Basis n R M
i : n
\u22a2 b.equivFun.symm ((stdBasis R (fun x => R) i) 1) = b i
-- Mathlib/LinearAlgebra/FinsuppVectorSpace.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
n : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Finite n
b : Basis n R M
i : n
val✝ : Fintype n
\u22a2 b.equivFun.symm ((stdBasis R (fun x => R) i) 1) = b i
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Diffeomorph.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n m : ℕ∞
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
f : N → M'
s : Set M
hm : m ≤ n
x✝ : M
\u22a2 x✝ ∈ s → ContMDiffWithinAt I I' m (f ∘ ⇑h) s x✝ ↔ h.toEquiv x✝ ∈ ⇑h.symm ⁻¹' s → ContMDiffWithinAt J I' m f (⇑h.symm ⁻¹' s) (h.toEquiv x✝)
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q a b c : ℚ
\u22a2 -1 /. 1 = -1
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hs : ∀ (s : Set X), closure (f '' s) ⊆ f '' closure s
c : Set X
hc : IsClosed c
\u22a2 f '' closure c = f '' c
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
\u22a2 1 < last (n + 1)
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
\u22a2 n ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : StrictConvex ℝ s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ interior s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : StrictConvex ℝ s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
this : ∀ {t : Set α}, μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ interior s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : StrictConvex ℝ s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
this : ∀ {t : Set α}, μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s
\u22a2 (∃ t, MeasurableSet t ∧ μ t ≠ 0 ∧ μ tᶜ ≠ 0 ∧ ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ) → ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ interior s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t✝ : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : StrictConvex ℝ s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
this : ∀ {t : Set α}, μ t ≠ 0 → ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ∈ s
t : Set α
hm : MeasurableSet t
h₀ : μ t ≠ 0
h₀' : μ tᶜ ≠ 0
hne : ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ ≠ ⨍ (x : α) in tᶜ, f x ∂μ
\u22a2 ⨍ (x : α), f x ∂μ ∈ interior s
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/CotangentComplex.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
x : P.Cotangent
\u22a2 (CotangentSpace.map f ∘ₗ P.cotangentComplex) x = (↑S P'.cotangentComplex ∘ₗ Cotangent.map f) x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
\u22a2 s / ball x δ = x⁻¹ • thickening δ s
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r✝ : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
r : ℚ
\u22a2 LiouvilleWith p (x + ↑r)
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r✝ : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
r : ℚ
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
\u22a2 LiouvilleWith p (x + ↑r)
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r✝ : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
r : ℚ
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
\u22a2 ∀ (x_1 : ℕ), (1 ≤ x_1 ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < C / ↑x_1 ^ p) → ∃ m, x + ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id x_1) ∧ |x + ↑r - ↑m / ↑(r.den • id x_1)| < ↑r.den ^ p * C / ↑(r.den • id x_1) ^ p
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r✝ : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
r : ℚ
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
\u22a2 ∃ m, x + ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id n) ∧ |x + ↑r - ↑m / ↑(r.den • id n)| < ↑r.den ^ p * C / ↑(r.den • id n) ^ p
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r✝ : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
r : ℚ
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this : ↑(↑r.den * m + r.num * ↑n) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n + ↑r
\u22a2 ∃ m, x + ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id n) ∧ |x + ↑r - ↑m / ↑(r.den • id n)| < ↑r.den ^ p * C / ↑(r.den • id n) ^ p
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r✝ : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
r : ℚ
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this : ↑(↑r.den * m + r.num * ↑n) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n + ↑r
\u22a2 x + ↑r ≠ ↑(↑r.den * m + r.num * ↑n) / ↑(r.den • id n) ∧ |x + ↑r - ↑(↑r.den * m + r.num * ↑n) / ↑(r.den • id n)| < ↑r.den ^ p * C / ↑(r.den • id n) ^ p
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r✝ : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
r : ℚ
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this : ↑(↑r.den * m + r.num * ↑n) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n + ↑r
\u22a2 x + ↑r ≠ ↑m / ↑n + ↑r ∧ |x - ↑m / ↑n| < ↑r.den ^ p * C / ↑(r.den • id n) ^ p
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r✝ : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
r : ℚ
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this : ↑(↑r.den * m + r.num * ↑n) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n + ↑r
\u22a2 C / ↑n ^ p = ↑r.den ^ p * C / ↑(r.den • id n) ^ p
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r✝ : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
r : ℚ
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this✝ : ↑(↑r.den * m + r.num * ↑n) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n + ↑r
this : ↑r.den ^ p ≠ 0
\u22a2 C / ↑n ^ p = ↑r.den ^ p * C / ↑(r.den • id n) ^ p
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α →. β
g : α → β → σ
hf : Partrec f
hg : Computable₂ g
\u22a2 Partrec fun a => Part.map (g a) (f a)
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : α → β → γ
f : Filter α
g : Filter β
\u22a2 map₂ m f g = map₂ (fun a b => m b a) g f
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b✝ a b : α
\u22a2 mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b✝ a b : α
ab : a ≤ b
\u22a2 mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b✝ a b : α
ab : b ≤ a
\u22a2 mabs (a * b) = mabs a * mabs b ↔ 1 ≤ a ∧ 1 ≤ b ∨ a ≤ 1 ∧ b ≤ 1
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
\u22a2 c.length ≤ n
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
\u22a2 c.length ≤ c.blocks.sum
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallySurjective.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝ : IsLocallySurjective J (f₁ ≫ f₂)
X : C
x : (forget A).obj (F₃.obj (op X))
\u22a2 imageSieve f₂ x ∈ J.sieves X
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallySurjective.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝ : IsLocallySurjective J (f₁ ≫ f₂)
X : C
x : (forget A).obj (F₃.obj (op X))
\u22a2 imageSieve (f₁ ≫ f₂) x ≤ imageSieve f₂ x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallySurjective.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝ : IsLocallySurjective J (f₁ ≫ f₂)
X : C
x : (forget A).obj (F₃.obj (op X))
Y : C
g : Y ⟶ X
hg : (imageSieve (f₁ ≫ f₂) x).arrows g
\u22a2 (imageSieve f₂ x).arrows g
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
q : PolynomialModule R M
r : R
\u22a2 (eval ((algebraMap R R') r)) ((map R' f) q) = f ((eval r) q)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
q : PolynomialModule R M
r : R
\u22a2 (eval ((algebraMap R R') r)) ((map R' f) 0) = f ((eval r) 0)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
q : PolynomialModule R M
r : R
\u22a2 ∀ (f_1 g : PolynomialModule R M), (eval ((algebraMap R R') r)) ((map R' f) f_1) = f ((eval r) f_1) → (eval ((algebraMap R R') r)) ((map R' f) g) = f ((eval r) g) → (eval ((algebraMap R R') r)) ((map R' f) (f_1 + g)) = f ((eval r) (f_1 + g))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
q : PolynomialModule R M
r : R
\u22a2 ∀ (a : ℕ) (b : M), (eval ((algebraMap R R') r)) ((map R' f) ((single R a) b)) = f ((eval r) ((single R a) b))
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'Y : ¬Y =ᶠ[ae μ] 0
\u22a2 HasFiniteIntegral X μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'Y : ¬Y =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖Y ω‖₊ ∂μ ≠ 0
\u22a2 HasFiniteIntegral X μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'Y : ¬Y =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖Y ω‖₊ ∂μ ≠ 0
H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖X a‖₊ ∂μ = ⊤
\u22a2 False
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'Y : ¬Y =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖Y ω‖₊ ∂μ ≠ 0
H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖X a‖₊ ∂μ = ⊤
J : IndepFun (fun ω => ↑‖X ω‖₊) (fun ω => ↑‖Y ω‖₊) μ
\u22a2 False
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'Y : ¬Y =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖Y ω‖₊ ∂μ ≠ 0
H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖X a‖₊ ∂μ = ⊤
J : IndepFun (fun ω => ↑‖X ω‖₊) (fun ω => ↑‖Y ω‖₊) μ
A : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω * Y ω‖₊ ∂μ < ⊤
\u22a2 False
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'Y : ¬Y =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖Y ω‖₊ ∂μ ≠ 0
H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖X a‖₊ ∂μ = ⊤
J : IndepFun (fun ω => ↑‖X ω‖₊) (fun ω => ↑‖Y ω‖₊) μ
A : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω‖₊ * ↑‖Y ω‖₊ ∂μ < ⊤
\u22a2 False
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'Y : ¬Y =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖Y ω‖₊ ∂μ ≠ 0
H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖X a‖₊ ∂μ = ⊤
J : IndepFun (fun ω => ↑‖X ω‖₊) (fun ω => ↑‖Y ω‖₊) μ
A : ⊤ * ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖Y ω‖₊ ∂μ < ⊤
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
\u22a2 (C r * p).smeval x = r • p.smeval x
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
s : Set Cardinal.{v}
\u22a2 lift.{u, v} (sInf s) = sInf (lift.{u, v} '' s)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
\u22a2 lift.{u, v} (sInf ∅) = sInf (lift.{u, v} '' ∅)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
s : Set Cardinal.{v}
hs : s.Nonempty
\u22a2 lift.{u, v} (sInf s) = sInf (lift.{u, v} '' s)