ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
\u22a2 jacobiTheta₂ z τ = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
hτ : τ.im ≤ 0
\u22a2 jacobiTheta₂ z τ = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
\u22a2 jacobiTheta₂ z τ = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
\u22a2 ∑' (n : ℤ), cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ) = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) * ∑' (n : ℤ), cexp (2 * ↑π * I * ↑n * (z / τ) + ↑π * I * ↑n ^ 2 * (-1 / τ))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
h0 : τ ≠ 0
\u22a2 ∑' (n : ℤ), cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ) = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) * ∑' (n : ℤ), cexp (2 * ↑π * I * ↑n * (z / τ) + ↑π * I * ↑n ^ 2 * (-1 / τ))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
h0 : τ ≠ 0
h2 : 0 < (-I * τ).re
\u22a2 ∑' (n : ℤ), cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ) = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) * ∑' (n : ℤ), cexp (2 * ↑π * I * ↑n * (z / τ) + ↑π * I * ↑n ^ 2 * (-1 / τ))
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b c x : ℕ
\u22a2 x ∈ Icc a.succ b ↔ x ∈ Ioc a b
-- Mathlib/Order/Filter/Archimedean.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atBot
\u22a2 Tendsto (fun x => f x • r) l atBot
-- Mathlib/Order/Filter/Archimedean.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
hr : 0 < r
hf : Tendsto (fun x => -f x) l atTop
\u22a2 Tendsto (fun x => -f x • r) l atTop
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : DecidableEq J
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
j j' : J
\u22a2 ι f j ≫ π f j' = if h : j = j' then eqToHom ⋯ else 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ m
A : Matrix m m R
\u22a2 (A.submatrix ⇑e ⇑e).det = A.det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ m
A : Matrix m m R
\u22a2 ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, A.submatrix (⇑e) (⇑e) (σ i) i = ∑ σ : Perm m, ↑↑(sign σ) * ∏ i : m, A (σ i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ m
A : Matrix m m R
\u22a2 ∀ (x : Perm n), ↑↑(sign x) * ∏ i : n, A.submatrix (⇑e) (⇑e) (x i) i = ↑↑(sign (e.permCongr x)) * ∏ i : m, A ((e.permCongr x) i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ m
A : Matrix m m R
σ : Perm n
\u22a2 ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, A.submatrix (⇑e) (⇑e) (σ i) i = ↑↑(sign (e.permCongr σ)) * ∏ i : m, A ((e.permCongr σ) i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ m
A : Matrix m m R
σ : Perm n
\u22a2 ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, A.submatrix (⇑e) (⇑e) (σ i) i = ↑↑(sign σ) * ∏ i : m, A ((e.permCongr σ) i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ m
A : Matrix m m R
σ : Perm n
\u22a2 ∏ i : n, A.submatrix (⇑e) (⇑e) (σ i) i = ∏ i : m, A ((e.permCongr σ) i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ m
A : Matrix m m R
σ : Perm n
\u22a2 ∀ (x : n), A.submatrix (⇑e) (⇑e) (σ x) x = A ((e.permCongr σ) (e x)) (e x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ m
A : Matrix m m R
σ : Perm n
i : n
\u22a2 A.submatrix (⇑e) (⇑e) (σ i) i = A ((e.permCongr σ) (e i)) (e i)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
\u22a2 IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, ∀ (l : Ultrafilter X), ↑l ≤ 𝓝 x → s ∈ l
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝² : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => eLpNorm (F i - f) 1 μ) l (𝓝 0)
\u22a2 Tendsto (fun i => ∫ (x : α), F i x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝² : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => eLpNorm (F i - f) 1 μ) l (𝓝 0)
\u22a2 Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝² : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
\u22a2 Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
\u22a2 (∀ i ∈ s, Prime (f i)) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → f i ≠ f j) → (s.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ s, f i ^ e i
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
\u22a2 (∀ i ∈ ∅, Prime (f i)) → (∀ i ∈ ∅, ∀ j ∈ ∅, i ≠ j → f i ≠ f j) → (∅.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ ∅, f i ^ e i
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
\u22a2 ∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι}, a ∉ s → ((∀ i ∈ s, Prime (f i)) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → f i ≠ f j) → (s.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ s, f i ^ e i) → (∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)) → (∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → f i ≠ f j) → ((insert a s).inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ insert a s, f i ^ e i
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, Prime (f i)) → (∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → f i ≠ f j) → (s.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ s, f i ^ e i
prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)
coprime : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → f i ≠ f j
\u22a2 ((insert a s).inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ insert a s, f i ^ e i
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)
coprime : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → f i ≠ f j
ih : (s.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ s, f i ^ e i
\u22a2 ((insert a s).inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ insert a s, f i ^ e i
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)
coprime : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → f i ≠ f j
ih : (s.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ s, f i ^ e i
\u22a2 f a ^ e a ⊓ ∏ i ∈ s, f i ^ e i = f a ^ e a * ∏ x ∈ s, f x ^ e x
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)
coprime : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → f i ≠ f j
ih : (s.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ s, f i ^ e i
\u22a2 ∀ (P : Ideal R), f a ^ e a ≤ P → ∏ x ∈ s, f x ^ e x ≤ P → ¬P.IsPrime
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)
coprime : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → f i ≠ f j
ih : (s.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ s, f i ^ e i
P : Ideal R
hPa : f a ^ e a ≤ P
hPs : ∏ x ∈ s, f x ^ e x ≤ P
hPp : P.IsPrime
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)
coprime : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → f i ≠ f j
ih : (s.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ s, f i ^ e i
P : Ideal R
hPa : f a ^ e a ≤ P
hPs : ∏ x ∈ s, f x ^ e x ≤ P
hPp : P.IsPrime
b : ι
hb : b ∈ s
hPb : f b ^ e b ≤ P
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
this✝ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)
coprime : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → f i ≠ f j
ih : (s.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ s, f i ^ e i
P : Ideal R
hPa : f a ^ e a ≤ P
hPs : ∏ x ∈ s, f x ^ e x ≤ P
hPp : P.IsPrime
b : ι
hb : b ∈ s
hPb : f b ^ e b ≤ P
this : (f a).IsPrime
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
this✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)
coprime : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → f i ≠ f j
ih : (s.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ s, f i ^ e i
P : Ideal R
hPa : f a ^ e a ≤ P
hPs : ∏ x ∈ s, f x ^ e x ≤ P
hPp : P.IsPrime
b : ι
hb : b ∈ s
hPb : f b ^ e b ≤ P
this✝ : (f a).IsPrime
this : (f b).IsPrime
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
this✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)
coprime : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → f i ≠ f j
ih : (s.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ s, f i ^ e i
P : Ideal R
hPa : f a ^ e a ≤ P
hPs : ∏ x ∈ s, f x ^ e x ≤ P
hPp : P.IsPrime
b : ι
hb : b ∈ s
hPb : f b ^ e b ≤ P
this✝ : (f a).IsPrime
this : (f b).IsPrime
\u22a2 a ≠ b
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
f : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
this✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
prime : ∀ i ∈ insert a s, Prime (f i)
coprime : ∀ i ∈ insert a s, ∀ j ∈ insert a s, i ≠ j → f i ≠ f j
ih : (s.inf fun i => f i ^ e i) = ∏ i ∈ s, f i ^ e i
P : Ideal R
hPa : f a ^ e a ≤ P
hPs : ∏ x ∈ s, f x ^ e x ≤ P
hPp : P.IsPrime
b : ι
hb : b ∈ s
hPb : f b ^ e b ≤ P
this✝ : (f a).IsPrime
this : (f b).IsPrime
\u22a2 f a = f b
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Normalized.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} A
inst✝ : Abelian A
X : SimplicialObject A
n : ℕ
j : Fin (n + 1)
x✝ : n + 1 ≤ ↑j + (n + 1)
\u22a2 (Finset.univ.inf fun k => kernelSubobject (X.δ k.succ)).arrow ≫ X.δ j.succ = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Monovary.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : OrderedCommGroup α
inst✝ : OrderedCommGroup β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β
\u22a2 Monovary f g⁻¹ ↔ Antivary f g
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
μ : Measure β
hfi : Injective f
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → NullMeasurableSet (f '' s) μ
s : Set α
\u22a2 μ (f '' s) ≤ (comap f μ) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
μ : Measure β
hfi : Injective f
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → NullMeasurableSet (f '' s) μ
s : Set α
\u22a2 μ (f '' s) ≤ (((OuterMeasure.comap f) μ.toOuterMeasure).toMeasure ⋯) s
-- Mathlib/Data/Nat/Lattice.lean
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
u : ℕ → α
n : ℕ
\u22a2 ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n + 1), u k = (⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ n), u k) ⊔ u (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/DegreewiseSplit.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
σ : (n : ℤ) → (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting
n : ℤ
\u22a2 (homOfDegreewiseSplit S σ).f n = (↑(cocycleOfDegreewiseSplit S σ)).v n (n + 1) ⋯
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℤ_[p]
h : ‖z1 + z2‖ < ‖z1‖
hne : ¬‖z1‖ = ‖z2‖
\u22a2 ‖z1 + z2‖ ≥ ‖z1‖
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℤ_[p]
h : ‖z1 + z2‖ < ‖z1‖
hne : ¬‖z1‖ = ‖z2‖
\u22a2 max ‖z1‖ ‖z2‖ ≥ ‖z1‖
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/ZModChar.lean
n : ℕ
hn : n % 2 = 1
\u22a2 χ₄ ↑n = (-1) ^ (n / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/ZModChar.lean
n : ℕ
hn : n % 2 = 1
\u22a2 (if n % 2 = 0 then 0 else if n % 4 = 1 then 1 else -1) = (-1) ^ (n / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/ZModChar.lean
n : ℕ
hn : n % 2 = 1
\u22a2 (if n % 4 = 1 then 1 else -1) = (-1) ^ (n / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/ZModChar.lean
n : ℕ
hn : n % 2 = 1
\u22a2 (if n % 4 = 1 then 1 else -1) = (-1) ^ ((4 * (n / 4) + n % 4) / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/ZModChar.lean
n : ℕ
hn : n % 2 = 1
\u22a2 (if n % 4 = 1 then 1 else -1) = (-1) ^ ((2 * 2 * (n / 4) + n % 4) / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/ZModChar.lean
n : ℕ
hn : n % 2 = 1
\u22a2 (if n % 4 = 1 then 1 else -1) = (-1) ^ (n % 4 / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/ZModChar.lean
n : ℕ
hn : n % 2 = 1
help : ∀ m < 4, m % 2 = 1 → (if m = 1 then 1 else -1) = (-1) ^ (m / 2)
\u22a2 (if n % 4 = 1 then 1 else -1) = (-1) ^ (n % 4 / 2)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
h : HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • v)) f' ((fun t => x + t • v) ⁻¹' s) 0
c : 𝕜
g : 𝕜 → 𝕜 := fun t => c • t
s' : Set 𝕜 := (fun t => x + t • v) ⁻¹' s
\u22a2 HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • c • v)) (c • f') ((fun t => x + t • c • v) ⁻¹' s) 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
h : HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • v)) f' ((fun t => x + t • v) ⁻¹' s) 0
c : 𝕜
g : 𝕜 → 𝕜 := fun t => c • t
s' : Set 𝕜 := (fun t => x + t • v) ⁻¹' s
A : HasDerivAt g c 0
\u22a2 HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • c • v)) (c • f') ((fun t => x + t • c • v) ⁻¹' s) 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
h : HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • v)) f' ((fun t => x + t • v) ⁻¹' s) 0
c : 𝕜
g : 𝕜 → 𝕜 := fun t => c • t
s' : Set 𝕜 := (fun t => x + t • v) ⁻¹' s
A : HasDerivAt g c 0
B : HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • v)) f' s' (g 0)
\u22a2 HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • c • v)) (c • f') ((fun t => x + t • c • v) ⁻¹' s) 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
h : HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • v)) f' ((fun t => x + t • v) ⁻¹' s) 0
c : 𝕜
g : 𝕜 → 𝕜 := fun t => c • t
s' : Set 𝕜 := (fun t => x + t • v) ⁻¹' s
A : HasDerivAt g c 0
B : HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • v)) f' s' (g 0)
Z : HasDerivWithinAt ((fun t => f (x + t • v)) ∘ g) (c • f') (g ⁻¹' s') 0
\u22a2 HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • c • v)) (c • f') ((fun t => x + t • c • v) ⁻¹' s) 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
h : HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • v)) f' ((fun t => x + t • v) ⁻¹' s) 0
c : 𝕜
g : 𝕜 → 𝕜 := fun t => c • t
s' : Set 𝕜 := (fun t => x + t • v) ⁻¹' s
A : HasDerivAt g c 0
B : HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • v)) f' s' (g 0)
Z : HasDerivWithinAt (fun x_1 => f (x + x_1 • c • v)) (c • f') ((fun t => t * c) ⁻¹' ((fun t => x + t • v) ⁻¹' s)) 0
\u22a2 HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • c • v)) (c • f') ((fun t => x + t • c • v) ⁻¹' s) 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
h : HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • v)) f' ((fun t => x + t • v) ⁻¹' s) 0
c : 𝕜
g : 𝕜 → 𝕜 := fun t => c • t
s' : Set 𝕜 := (fun t => x + t • v) ⁻¹' s
A : HasDerivAt g c 0
B : HasDerivWithinAt (fun t => f (x + t • v)) f' s' (g 0)
Z : HasDerivWithinAt (fun x_1 => f (x + x_1 • c • v)) (c • f') ((fun t => t * c) ⁻¹' ((fun t => x + t • v) ⁻¹' s)) 0
t : 𝕜
\u22a2 t ∈ (fun t => x + t • c • v) ⁻¹' s ↔ t ∈ (fun t => t * c) ⁻¹' ((fun t => x + t • v) ⁻¹' s)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ
\u22a2 (exp ℝ q).im = (exp ℝ q.re * (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖)) • q.im
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
hf : StronglyMeasurable f
c : ℝ
x : α
hfx : ‖f x‖ ≤ c
\u22a2 Tendsto (fun n => ↑(hf.approxBounded c n) x) atTop (𝓝 (f x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
hf : StronglyMeasurable f
c : ℝ
x : α
hfx : ‖f x‖ ≤ c
h_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(hf.approx n) x) atTop (𝓝 (f x))
\u22a2 Tendsto (fun n => ↑(hf.approxBounded c n) x) atTop (𝓝 (f x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
hf : StronglyMeasurable f
c : ℝ
x : α
hfx : ‖f x‖ ≤ c
h_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(hf.approx n) x) atTop (𝓝 (f x))
\u22a2 Tendsto (fun n => min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖) • ↑(hf.approx n) x) atTop (𝓝 (f x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
hf : StronglyMeasurable f
c : ℝ
x : α
hfx : ‖f x‖ ≤ c
h_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(hf.approx n) x) atTop (𝓝 (f x))
hfx0 : ¬‖f x‖ = 0
\u22a2 Tendsto (fun n => min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖) • ↑(hf.approx n) x) atTop (𝓝 (f x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
hf : StronglyMeasurable f
c : ℝ
x : α
hfx : ‖f x‖ ≤ c
h_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(hf.approx n) x) atTop (𝓝 (f x))
hfx0 : ¬‖f x‖ = 0
\u22a2 Tendsto (fun n => min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖) • ↑(hf.approx n) x) atTop (𝓝 (1 • f x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f✝ g : α → β✝
inst✝² : TopologicalSpace β✝
β : Type u_5
f : α → β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedSpace ℝ β
m : MeasurableSpace α
hf : StronglyMeasurable f
c : ℝ
x : α
hfx : ‖f x‖ ≤ c
h_tendsto : Tendsto (fun n => ↑(hf.approx n) x) atTop (𝓝 (f x))
hfx0 : ¬‖f x‖ = 0
\u22a2 Tendsto (fun n => min 1 (c / ‖↑(hf.approx n) x‖)) atTop (𝓝 1)