ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
l : Filter X
p : ι → Prop
s : ι → Set X
h : l.HasBasis p s
ho : ∀ (i : ι), p i → IsOpen (s i)
i : ι
hi : p i
\u22a2 interior (s i) ∈ l
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
i j : ι
hij : i ≤ j
\u22a2 f i ∈ span 𝕜 (gramSchmidt 𝕜 f '' Set.Iic j)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
i j : ι
hij : i ≤ j
\u22a2 gramSchmidt 𝕜 f i + ∑ i_1 ∈ Finset.Iio i, ↑((orthogonalProjection (span 𝕜 {gramSchmidt 𝕜 f i_1})) (f i)) ∈ span 𝕜 (gramSchmidt 𝕜 f '' Set.Iic j)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
i j : ι
hij : i ≤ j
\u22a2 gramSchmidt 𝕜 f i + ∑ x ∈ Finset.Iio i, (⟪gramSchmidt 𝕜 f x, f i⟫_𝕜 / ↑(‖gramSchmidt 𝕜 f x‖ ^ 2)) • gramSchmidt 𝕜 f x ∈ span 𝕜 (gramSchmidt 𝕜 f '' Set.Iic j)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hodd : p ≠ 2
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑p ^ (0 + 1))
\u22a2 ¬∃ n, ↑↑p ∣ hζ✝.toInteger - ↑n
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι✝ → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι✝
m✝¹ : (i : ι✝) → OuterMeasure (α✝ i)
m✝ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι✝) → Measure (α✝ i)
inst✝³ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝² : Fintype ι'
ι : Type u
α : ι → Type v
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : IsEmpty ι
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
e : ((i : ι) → α i) ≃ᵐ Unit := MeasurableEquiv.ofUniqueOfUnique ((i : ι) → α i) Unit
\u22a2 MeasurePreserving (⇑e) (Measure.pi μ) (Measure.dirac ())
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι✝ → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι✝
m✝¹ : (i : ι✝) → OuterMeasure (α✝ i)
m✝ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι✝) → Measure (α✝ i)
inst✝³ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝² : Fintype ι'
ι : Type u
α : ι → Type v
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : IsEmpty ι
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
e : ((i : ι) → α i) ≃ᵐ Unit := MeasurableEquiv.ofUniqueOfUnique ((i : ι) → α i) Unit
\u22a2 Measure.map (⇑e) (Measure.pi μ) = Measure.dirac ()
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
hb : b ≤ 0
\u22a2 a / b ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
hb : b ≤ 0
\u22a2 a * b⁻¹ ≤ 0
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i j : Fin n✝
n : ℕ
\u22a2 Set.range succ = {0}ᶜ
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i j : Fin n✝
n : ℕ
\u22a2 Set.range (succAbove 0) = {0}ᶜ
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Continuous f
\u22a2 comap f (coLindelof Y) ≤ coLindelof X
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Continuous f
\u22a2 ∀ (i' : Set X), IsLindelof i' → ∃ i, IsLindelof i ∧ f ⁻¹' iᶜ ⊆ i'ᶜ
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f : X → Y
hf : Continuous f
t : Set X
ht : IsLindelof t
\u22a2 ∃ i, IsLindelof i ∧ f ⁻¹' iᶜ ⊆ tᶜ
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f : X → Y
hf : Continuous f
t : Set X
ht : IsLindelof t
\u22a2 f ⁻¹' (f '' t)ᶜ ⊆ tᶜ
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset γ
t : γ → Finset α
t' : Finset α
s' : α → Finset γ
h : ∀ (x : γ) (y : α), x ∈ s ∧ y ∈ t x ↔ x ∈ s' y ∧ y ∈ t'
f : γ → α → β
\u22a2 ∏ x ∈ s, ∏ y ∈ t x, f x y = ∏ y ∈ t', ∏ x ∈ s' y, f x y
-- Mathlib/Topology/Covering.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
x : E
I : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace I
h✝ : IsEvenlyCovered f (f x) I
e : Trivialization I f := Classical.choose ⋯
h : f x ∈ (Classical.choose ⋯).baseSet := Classical.choose_spec h✝.right
he : (f x, (↑e x).2) = ↑e x := Trivialization.mk_proj_snd' e h
\u22a2 (f x, (↑e x).2) ∈ e.target
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : DecidableEq α
f : γ → α
g : α → β
s : Finset γ
\u22a2 ⨆ x ∈ image f s, g x = ⨆ y ∈ s, g (f y)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
a✝ : Nontrivial R
\u22a2 (p * q).nextCoeff = p.nextCoeff + q.nextCoeff
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
a✝ : Nontrivial R
\u22a2 (p * q).reverse.coeff 1 = p.reverse.coeff 1 + q.reverse.coeff 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Compact.lean
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₁ M₁
inst✝² : Module 𝕜₂ M₂
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
inst✝ : T2Space M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : IsCompactOperator ⇑f
S : Set M₁
hS : Bornology.IsBounded S
\u22a2 IsVonNBounded 𝕜₁ S
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
m : ℕ
hm : multiplicity a b < ↑m
h : a ^ m ∣ b
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
m : ℕ
hm : ∃ (h : (multiplicity a b).Dom), (multiplicity a b).get h < m
h : a ^ m ∣ b
\u22a2 False
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a b : Ordinal.{u_1}
ha : 0 < a
\u22a2 a * b ≤ b ↔ a ^ ω ∣ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a b : Ordinal.{u_1}
ha : 0 < a
\u22a2 a * b ≤ b ↔ a * b = b
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Set α
t✝ t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α × β → γ
s : Set α
t : Set β
\u22a2 image2 (fun a b => f (a, b)) s t = f '' s ×ˢ t
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
\u22a2 multiplicity p (p * (n + 1))! = multiplicity p (p * n)! + multiplicity p (n + 1) + 1
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
h0 : 2 ≤ p
\u22a2 multiplicity p (p * (n + 1))! = multiplicity p (p * n)! + multiplicity p (n + 1) + 1
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
h0 : 2 ≤ p
h1 : 1 ≤ p * n + 1
\u22a2 multiplicity p (p * (n + 1))! = multiplicity p (p * n)! + multiplicity p (n + 1) + 1
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
h0 : 2 ≤ p
h1 : 1 ≤ p * n + 1
h2 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1)
h3 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1) + 1
\u22a2 multiplicity p (p * (n + 1))! = multiplicity p (p * n)! + multiplicity p (n + 1) + 1
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
h0 : 2 ≤ p
h1 : 1 ≤ p * n + 1
h2 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1)
h3 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1) + 1
hm : multiplicity p (p * n)! ≠ ⊤
\u22a2 multiplicity p (p * (n + 1))! = multiplicity p (p * n)! + multiplicity p (n + 1) + 1
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
h0 : 2 ≤ p
h1 : 1 ≤ p * n + 1
h2 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1)
h3 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1) + 1
\u22a2 multiplicity p (p * n)! ≠ ⊤ → multiplicity p (p * (n + 1))! = multiplicity p (p * n)! + multiplicity p (n + 1) + 1
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
h0 : 2 ≤ p
h1 : 1 ≤ p * n + 1
h2 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1)
h3 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1) + 1
h4 : ∀ m ∈ Ico (p * n + 1) (p * (n + 1)), multiplicity p m = 0
\u22a2 multiplicity p (p * n)! ≠ ⊤ → multiplicity p (p * (n + 1))! = multiplicity p (p * n)! + multiplicity p (n + 1) + 1
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
h0 : 2 ≤ p
h1 : 1 ≤ p * n + 1
h2 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1)
h3 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1) + 1
h4 : ∀ m ∈ Ico (p * n + 1) (p * (n + 1)), multiplicity p m = 0
\u22a2 ∑ x ∈ Ico 1 (p * n + 1), multiplicity p x ≠ ⊤ → ∑ x ∈ Ico 1 (p * n + 1), multiplicity p x + ∑ x ∈ Ico (p * n + 1) (p * (n + 1) + 1), multiplicity p x = ∑ x ∈ Ico 1 (p * n + 1), multiplicity p x + (multiplicity p (n + 1) + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
h0 : 2 ≤ p
h1 : 1 ≤ p * n + 1
h2 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1)
h3 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1) + 1
h4 : ∀ m ∈ Ico (p * n + 1) (p * (n + 1)), multiplicity p m = 0
h : ∑ x ∈ Ico 1 (p * n + 1), multiplicity p x ≠ ⊤
\u22a2 ∑ x ∈ Ico 1 (p * n + 1), multiplicity p x + ∑ x ∈ Ico (p * n + 1) (p * (n + 1) + 1), multiplicity p x = ∑ x ∈ Ico 1 (p * n + 1), multiplicity p x + (multiplicity p (n + 1) + 1)
-- Mathlib/Algebra/Order/CompleteField.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : LinearOrderedField β
a✝ a₁ a₂ : α
b : β
q : ℚ
inst✝ : Archimedean α
a : α
\u22a2 BddAbove (cutMap β a)
-- Mathlib/Algebra/Order/CompleteField.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : LinearOrderedField β
a✝ a₁ a₂ : α
b : β
q✝ : ℚ
inst✝ : Archimedean α
a : α
q : ℚ
hq : a < ↑q
\u22a2 BddAbove (cutMap β a)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AnnihilatingPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module 𝕜 M
f : Module.End 𝕜 M
\u22a2 Ideal.span {minpoly 𝕜 f} = Module.annihilator 𝕜[X] (Module.AEval' f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AnnihilatingPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module 𝕜 M
f : Module.End 𝕜 M
\u22a2 annIdeal 𝕜 f = Module.annihilator 𝕜[X] (Module.AEval' f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AnnihilatingPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module 𝕜 M
f : Module.End 𝕜 M
x✝ : 𝕜[X]
\u22a2 x✝ ∈ annIdeal 𝕜 f ↔ x✝ ∈ Module.annihilator 𝕜[X] (Module.AEval' f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AnnihilatingPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module 𝕜 M
f : Module.End 𝕜 M
x✝ : 𝕜[X]
\u22a2 (∀ (x : M), ((aeval f) x✝) x = 0 x) ↔ ∀ (m : Module.AEval' f), x✝ • m = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
H : p.leadingCoeff = 0
\u22a2 (p * q).leadingCoeff = p.leadingCoeff
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
H : p.leadingCoeff ≠ 0
\u22a2 (p * q).leadingCoeff = p.leadingCoeff
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
H : p.leadingCoeff ≠ 0
\u22a2 p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → ℝ
h : Summable fun x => ↑(f x)
\u22a2 Summable f
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
p : M → Prop
h_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → f (x * y) ≤ f x * f y
hp_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
g : ι → M
s : Finset ι
hs_nonempty : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, p (g i)
\u22a2 f (∏ i ∈ s, g i) ≤ ∏ i ∈ s, f (g i)
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
p : M → Prop
h_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → f (x * y) ≤ f x * f y
hp_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
g : ι → M
s : Finset ι
hs_nonempty : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, p (g i)
\u22a2 Multiset.map (fun i => g i) s.val ≠ ∅
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
p : M → Prop
h_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → f (x * y) ≤ f x * f y
hp_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
g : ι → M
s : Finset ι
hs_nonempty : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, p (g i)
\u22a2 ∀ a ∈ Multiset.map (fun i => g i) s.val, p a
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
p : M → Prop
h_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → f (x * y) ≤ f x * f y
hp_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
g : ι → M
s : Finset ι
hs_nonempty : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, p (g i)
\u22a2 (Multiset.map f (Multiset.map (fun i => g i) s.val)).prod ≤ ∏ i ∈ s, f (g i)
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
p : M → Prop
h_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → f (x * y) ≤ f x * f y
hp_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
g : ι → M
s : Finset ι
hs_nonempty : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, p (g i)
\u22a2 (Multiset.map (f ∘ fun i => g i) s.val).prod ≤ ∏ i ∈ s, f (g i)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n✝ m✝ n : ℤ
z₁ : Cochain F G n
f : G ⟶ K
m : ℤ
\u22a2 δ n m (z₁.comp (Cochain.ofHom f) ⋯) = (δ n m z₁).comp (Cochain.ofHom f) ⋯
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x : α
\u22a2 ‖(WithLp.equiv p (α × β)).symm (x, 0)‖₊ = ‖x‖₊
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
\u22a2 ∡ p₁ s.center p₃ = 2 • ∡ p₁ p₂ p₃
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : ‖p₁ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂ : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₃ : ‖p₃ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
\u22a2 ∡ p₁ s.center p₃ = 2 • ∡ p₁ p₂ p₃
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
hjk : ↑j ≠ ↑k
\u22a2 j.contractNth op g k = g (j.succAbove k)
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
hjk : ↑j ≠ ↑k
h : ↑k < ↑j
\u22a2 j.contractNth op g k = g (j.succAbove k)
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
hjk : ↑j ≠ ↑k
h : ↑k = ↑j
\u22a2 j.contractNth op g k = g (j.succAbove k)
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
hjk : ↑j ≠ ↑k
h : ↑j < ↑k
\u22a2 j.contractNth op g k = g (j.succAbove k)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X × Y
\u22a2 map Prod.fst (𝓝[Prod.snd ⁻¹' {x.2}] x) = 𝓝 x.1
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X × Y
s : Set X
hs : s ∈ map Prod.fst (𝓝[Prod.snd ⁻¹' {x.2}] x)
\u22a2 s ∈ 𝓝 x.1
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
x : X
y : Y
hs : s ∈ map Prod.fst (𝓝[Prod.snd ⁻¹' {(x, y).2}] (x, y))
\u22a2 s ∈ 𝓝 (x, y).1
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
x : X
y : Y
hs : ∃ u ∈ 𝓝 x, ∃ v ∈ 𝓝 y, u ×ˢ v ⊆ {x_1 | x_1 ∈ Prod.snd ⁻¹' {(x, y).2} → x_1 ∈ Prod.fst ⁻¹' s}
\u22a2 s ∈ 𝓝 (x, y).1
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
x : X
y : Y
u : Set X
hu : u ∈ 𝓝 x
v : Set Y
hv : v ∈ 𝓝 y
H : u ×ˢ v ⊆ {x_1 | x_1 ∈ Prod.snd ⁻¹' {(x, y).2} → x_1 ∈ Prod.fst ⁻¹' s}
\u22a2 s ∈ 𝓝 (x, y).1
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
x : X
y : Y
u : Set X
hu : u ∈ 𝓝 x
v : Set Y
hv : v ∈ 𝓝 y
H : ∀ x ∈ u, ∀ y_1 ∈ v, y_1 = y → x ∈ s
\u22a2 s ∈ 𝓝 (x, y).1
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
h : ‖x‖ = ‖y‖
\u22a2 ‖(1 / 2) • (x + y)‖ < ‖x‖ ↔ x ≠ y
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
\u22a2 ⊤.prod g = comap Prod.snd g
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C
g : ℝ → E := fun x => f x - f a
\u22a2 ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - f a‖ ≤ C * (x - a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C
g : ℝ → E := fun x => f x - f a
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
\u22a2 ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - f a‖ ≤ C * (x - a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C
g : ℝ → E := fun x => f x - f a
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (f' x) (Ici x) x
\u22a2 ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - f a‖ ≤ C * (x - a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C
g : ℝ → E := fun x => f x - f a
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (f' x) (Ici x) x
B : ℝ → ℝ := fun x => C * (x - a)
\u22a2 ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - f a‖ ≤ C * (x - a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C
g : ℝ → E := fun x => f x - f a
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (f' x) (Ici x) x
B : ℝ → ℝ := fun x => C * (x - a)
hB : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt B C x
\u22a2 ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - f a‖ ≤ C * (x - a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C
g : ℝ → E := fun x => f x - f a
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (f' x) (Ici x) x
B : ℝ → ℝ := fun x => C * (x - a)
hB : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt B C x
\u22a2 ‖g a‖ ≤ B a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C
g : ℝ → E := fun x => f x - f a
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (f' x) (Ici x) x
B : ℝ → ℝ := fun x => C * (x - a)
hB : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt B C x
\u22a2 ‖f a - f a‖ ≤ C * (a - a)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
w : ι → Rˣ
\u22a2 e.det ⇑(e.unitsSMul w) = ∏ i : ι, ↑(w i)