ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Preserves.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
I : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hF : IsSheafFor F (ofArrows Empty.elim fun a => instIsEmptyEmpty.elim a)
hI : IsInitial I
α : Type
X : α → C
c : Cofan X
hc : IsColimit c
inst✝³ : (ofArrows X c.inj).hasPullbacks
inst✝² : HasInitial C
inst✝¹ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)
hd : Pairwise fun i j => IsPullback (initial.to (X i)) (initial.to (X j)) (c.inj i) (c.inj j)
inst✝ : PreservesLimit (Discrete.functor fun x => op (X x)) F
this : HasCoproduct X
hi : ∀ (b : ∏ᶜ fun b => F.obj (op (X b))), ∃! a, (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) a = b
b : Equalizer.Presieve.Arrows.FirstObj F X
a✝ : Equalizer.Presieve.Arrows.firstMap F X c.inj b = Equalizer.Presieve.Arrows.secondMap F X c.inj b
t : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))
ht₁ : (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) t = b
ht₂ : ∀ (y : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))), (fun a => (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) a = b) y → y = t
y : F.obj (op c.pt)
hy : (fun x => Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj x = b) y
\u22a2 F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).hom y = F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).hom (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv t)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Preserves.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
I : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hF : IsSheafFor F (ofArrows Empty.elim fun a => instIsEmptyEmpty.elim a)
hI : IsInitial I
α : Type
X : α → C
c : Cofan X
hc : IsColimit c
inst✝³ : (ofArrows X c.inj).hasPullbacks
inst✝² : HasInitial C
inst✝¹ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)
hd : Pairwise fun i j => IsPullback (initial.to (X i)) (initial.to (X j)) (c.inj i) (c.inj j)
inst✝ : PreservesLimit (Discrete.functor fun x => op (X x)) F
this : HasCoproduct X
hi : ∀ (b : ∏ᶜ fun b => F.obj (op (X b))), ∃! a, (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) a = b
b : Equalizer.Presieve.Arrows.FirstObj F X
a✝ : Equalizer.Presieve.Arrows.firstMap F X c.inj b = Equalizer.Presieve.Arrows.secondMap F X c.inj b
t : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))
ht₁ : (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) t = b
ht₂ : ∀ (y : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))), (fun a => (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) a = b) y → y = t
y : F.obj (op c.pt)
hy : (fun x => Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj x = b) y
\u22a2 F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).hom y = F.map ((opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).hom) t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Preserves.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
I : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hF : IsSheafFor F (ofArrows Empty.elim fun a => instIsEmptyEmpty.elim a)
hI : IsInitial I
α : Type
X : α → C
c : Cofan X
hc : IsColimit c
inst✝³ : (ofArrows X c.inj).hasPullbacks
inst✝² : HasInitial C
inst✝¹ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)
hd : Pairwise fun i j => IsPullback (initial.to (X i)) (initial.to (X j)) (c.inj i) (c.inj j)
inst✝ : PreservesLimit (Discrete.functor fun x => op (X x)) F
this : HasCoproduct X
hi : ∀ (b : ∏ᶜ fun b => F.obj (op (X b))), ∃! a, (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) a = b
b : Equalizer.Presieve.Arrows.FirstObj F X
a✝ : Equalizer.Presieve.Arrows.firstMap F X c.inj b = Equalizer.Presieve.Arrows.secondMap F X c.inj b
t : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))
ht₁ : (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) t = b
ht₂ : ∀ (y : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))), (fun a => (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) a = b) y → y = t
y : F.obj (op c.pt)
hy : (fun x => Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj x = b) y
\u22a2 𝟙 (F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))) t = F.map ((opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).hom) t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Preserves.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
I : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hF : IsSheafFor F (ofArrows Empty.elim fun a => instIsEmptyEmpty.elim a)
hI : IsInitial I
α : Type
X : α → C
c : Cofan X
hc : IsColimit c
inst✝³ : (ofArrows X c.inj).hasPullbacks
inst✝² : HasInitial C
inst✝¹ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)
hd : Pairwise fun i j => IsPullback (initial.to (X i)) (initial.to (X j)) (c.inj i) (c.inj j)
inst✝ : PreservesLimit (Discrete.functor fun x => op (X x)) F
this : HasCoproduct X
hi : ∀ (b : ∏ᶜ fun b => F.obj (op (X b))), ∃! a, (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) a = b
b : Equalizer.Presieve.Arrows.FirstObj F X
a✝ : Equalizer.Presieve.Arrows.firstMap F X c.inj b = Equalizer.Presieve.Arrows.secondMap F X c.inj b
t : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))
ht₁ : (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) t = b
ht₂ : ∀ (y : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))), (fun a => (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) a = b) y → y = t
y : F.obj (op c.pt)
hy : (fun x => Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj x = b) y
\u22a2 F.map (𝟙 (∏ᶜ fun x => op (X x))) t = F.map ((opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).hom) t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Preserves.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
I : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hF : IsSheafFor F (ofArrows Empty.elim fun a => instIsEmptyEmpty.elim a)
hI : IsInitial I
α : Type
X : α → C
c : Cofan X
hc : IsColimit c
inst✝³ : (ofArrows X c.inj).hasPullbacks
inst✝² : HasInitial C
inst✝¹ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)
hd : Pairwise fun i j => IsPullback (initial.to (X i)) (initial.to (X j)) (c.inj i) (c.inj j)
inst✝ : PreservesLimit (Discrete.functor fun x => op (X x)) F
this : HasCoproduct X
hi : ∀ (b : ∏ᶜ fun b => F.obj (op (X b))), ∃! a, (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) a = b
b : Equalizer.Presieve.Arrows.FirstObj F X
a✝ : Equalizer.Presieve.Arrows.firstMap F X c.inj b = Equalizer.Presieve.Arrows.secondMap F X c.inj b
t : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))
ht₁ : (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) t = b
ht₂ : ∀ (y : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))), (fun a => (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) a = b) y → y = t
y : F.obj (op c.pt)
hy : (fun x => Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj x = b) y
\u22a2 F.map (𝟙 (∏ᶜ fun x => op (X x))) = F.map ((opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).hom)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Preserves.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
I : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type w
hF : IsSheafFor F (ofArrows Empty.elim fun a => instIsEmptyEmpty.elim a)
hI : IsInitial I
α : Type
X : α → C
c : Cofan X
hc : IsColimit c
inst✝³ : (ofArrows X c.inj).hasPullbacks
inst✝² : HasInitial C
inst✝¹ : ∀ (i : α), Mono (c.inj i)
hd : Pairwise fun i j => IsPullback (initial.to (X i)) (initial.to (X j)) (c.inj i) (c.inj j)
inst✝ : PreservesLimit (Discrete.functor fun x => op (X x)) F
this : HasCoproduct X
hi : ∀ (b : ∏ᶜ fun b => F.obj (op (X b))), ∃! a, (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) a = b
b : Equalizer.Presieve.Arrows.FirstObj F X
a✝ : Equalizer.Presieve.Arrows.firstMap F X c.inj b = Equalizer.Presieve.Arrows.secondMap F X c.inj b
t : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))
ht₁ : (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) t = b
ht₂ : ∀ (y : F.obj (∏ᶜ fun x => op (X x))), (fun a => (F.map (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj) a = b) y → y = t
y : F.obj (op c.pt)
hy : (fun x => Equalizer.Presieve.Arrows.forkMap F X c.inj x = b) y
\u22a2 𝟙 (∏ᶜ fun x => op (X x)) = (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).inv ≫ (opCoproductIsoProduct' hc (productIsProduct fun x => op (X x))).hom
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
S : Set (NonUnitalSubalgebra R A)
x : A
\u22a2 x ∈ sInf S ↔ ∀ p ∈ S, x ∈ p
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Basic.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x✝ y : 𝕎 R
m : ℤ
x : 𝕎 R
\u22a2 WittVector.ghostFun (m • x) = m • WittVector.ghostFun x
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Transfer.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v, u₁} C
inst✝⁷ : Preadditive C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v, u₂} D
inst✝⁵ : Abelian D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
i : F ⋙ G ≅ 𝟭 C
adj : G ⊣ F
inst✝³ : HasCokernels C
inst✝² : HasKernels C
inst✝¹ : PreservesFiniteLimits G
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y
\u22a2 (coimageIsoImage F G i adj f).hom = Abelian.coimageImageComparison f
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Transfer.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v, u₁} C
inst✝⁷ : Preadditive C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v, u₂} D
inst✝⁵ : Abelian D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
i : F ⋙ G ≅ 𝟭 C
adj : G ⊣ F
inst✝³ : HasCokernels C
inst✝² : HasKernels C
inst✝¹ : PreservesFiniteLimits G
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y
\u22a2 ((((((((𝟙 (Abelian.coimage f) ≫ cokernel.desc (kernel.ι f) (i.inv.app X ≫ cokernel.π (kernel.ι f ≫ i.inv.app X)) ⋯ ≫ cokernel.desc (kernel.ι f ≫ i.inv.app X) (cokernel.π (i.hom.app (kernel f) ≫ kernel.ι f ≫ i.inv.app X)) ⋯ ≫ (cokernelIsoOfEq ⋯).inv ≫ cokernelComparison (F.map (kernel.ι f)) G) ≫ G.map (cokernelIsoOfEq ⋯).hom) ≫ G.map (cokernel.desc (kernelComparison f F ≫ kernel.ι (F.map f)) (cokernel.π (kernel.ι (F.map f))) ⋯)) ≫ 𝟙 (G.obj (cokernel (kernel.ι (F.map f))))) ≫ G.map (Abelian.coimageImageComparison (F.map f))) ≫ 𝟙 (G.obj (Abelian.image (F.map f)))) ≫ (PreservesKernel.iso G (cokernel.π (F.map f))).hom) ≫ ((((((((kernelIsoOfEq ⋯).hom ≫ kernel.lift (cokernel.π (G.map (F.map f))) (kernel.ι (cokernel.π (G.map (F.map f)) ≫ cokernelComparison (F.map f) G)) ⋯) ≫ (kernelIsoOfEq ⋯).hom) ≫ kernel.lift (cokernel.π (i.hom.app X ≫ f ≫ i.inv.app Y)) (kernel.ι (cokernel.π (i.hom.app X ≫ f ≫ i.inv.app Y) ≫ (cokernelIsoOfEq ⋯).hom)) ⋯) ≫ (kernelIsoOfEq ⋯).hom) ≫ kernel.lift (cokernel.π (f ≫ i.inv.app Y)) (kernel.ι (cokernel.π (f ≫ i.inv.app Y) ≫ cokernel.desc (f ≫ i.inv.app Y) (cokernel.π (i.hom.app X ≫ f ≫ i.inv.app Y)) ⋯)) ⋯) ≫ (kernelIsoOfEq ⋯).hom) ≫ kernel.lift (cokernel.π f ≫ cokernel.desc f (i.inv.app Y ≫ cokernel.π (f ≫ i.inv.app Y)) ⋯) (kernel.ι (inv (i.inv.app Y) ≫ cokernel.π f ≫ cokernel.desc f (i.inv.app Y ≫ cokernel.π (f ≫ i.inv.app Y)) ⋯) ≫ inv (i.inv.app Y)) ⋯) ≫ kernel.lift (cokernel.π f) (kernel.ι (cokernel.π f ≫ cokernel.desc f (i.inv.app Y ≫ cokernel.π (f ≫ i.inv.app Y)) ⋯)) ⋯) ≫ 𝟙 (kernel (cokernel.π f)) = Abelian.coimageImageComparison f
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsCofiltered D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
\u22a2 Nonempty C
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsCofiltered D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
this : Nonempty D
\u22a2 Nonempty C
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
this : (FreeGroup.of i * FreeGroup.of i') ^ M.M i i' ∈ M.relationsSet
\u22a2 (cs.simple i * cs.simple i') ^ M.M i i' = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
this✝ : (FreeGroup.of i * FreeGroup.of i') ^ M.M i i' ∈ M.relationsSet
this : ↑((FreeGroup.of i * FreeGroup.of i') ^ M.M i i') = 1
\u22a2 (cs.simple i * cs.simple i') ^ M.M i i' = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i i' : B
this✝ : (FreeGroup.of i * FreeGroup.of i') ^ M.M i i' ∈ M.relationsSet
this : ↑((FreeGroup.of i * FreeGroup.of i') ^ M.M i i') = 1
\u22a2 (cs.mulEquiv.symm (PresentedGroup.of i) * cs.mulEquiv.symm (PresentedGroup.of i')) ^ M.M i i' = 1
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
\u22a2 ⋃ b ∈ t, (fun x => f x b) '' s = image2 f s t
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame
\u22a2 x ≤ y ↔ (∀ (i : x.LeftMoves), (∃ i', x.moveLeft i ≤ y.moveLeft i') ∨ ∃ j, (x.moveLeft i).moveRight j ≤ y) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), (∃ i, x ≤ (y.moveRight j).moveLeft i) ∨ ∃ j', x.moveRight j' ≤ y.moveRight j
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame
\u22a2 ((∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i ⧏ y) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), x ⧏ y.moveRight j) ↔ (∀ (i : x.LeftMoves), (∃ i', x.moveLeft i ≤ y.moveLeft i') ∨ ∃ j, (x.moveLeft i).moveRight j ≤ y) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), (∃ i, x ≤ (y.moveRight j).moveLeft i) ∨ ∃ j', x.moveRight j' ≤ y.moveRight j
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Fintype ι
\u22a2 LinearIndependent R v ↔ ∀ (g : ι → R), ∑ i : ι, g i • v i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Fintype ι
H : ∀ (g : ι → R), ∑ i : ι, g i • v i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0
s : Finset ι
g : ι → R
hg : ∀ i ∉ s, g i = 0
hs : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
\u22a2 ∑ i : ι, g i • v i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Fintype ι
H : ∀ (g : ι → R), ∑ i : ι, g i • v i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0
s : Finset ι
g : ι → R
hg : ∀ i ∉ s, g i = 0
hs : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
\u22a2 ∑ i : ι, g i • v i = ∑ i ∈ s, g i • v i
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Fintype ι
H : ∀ (g : ι → R), ∑ i : ι, g i • v i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0
s : Finset ι
g : ι → R
hg : ∀ i ∉ s, g i = 0
hs : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i✝ i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ
hi : i ∉ s
\u22a2 g i • v i = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Lifts.lean
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
r : R
hp : p ∈ lifts f
\u22a2 C (f r) * p ∈ lifts f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Lifts.lean
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : S[X]
r : R
hp : ∃ x, (mapRingHom f) x = p
\u22a2 ∃ x, (mapRingHom f) x = C (f r) * p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Lifts.lean
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
r : R
p₁ : R[X]
\u22a2 ∃ x, (mapRingHom f) x = C (f r) * (mapRingHom f) p₁
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Lifts.lean
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
r : R
p₁ : R[X]
\u22a2 (mapRingHom f) (C r * p₁) = C (f r) * (mapRingHom f) p₁
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
e₁ e₂ : R
he₁ : IsIdempotentElem e₁
he₂ : IsIdempotentElem e₂
H : IsNilpotent (e₁ - e₂)
H' : Commute e₁ e₂
\u22a2 e₁ = e₂
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
e₁ e₂ : R
he₁ : IsIdempotentElem e₁
he₂ : IsIdempotentElem e₂
H : IsNilpotent (e₁ - e₂)
H' : Commute e₁ e₂
this : (e₁ - e₂) ^ 3 = e₁ - e₂
\u22a2 e₁ = e₂
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
e₁ e₂ : R
he₁ : IsIdempotentElem e₁
he₂ : IsIdempotentElem e₂
H' : Commute e₁ e₂
this : (e₁ - e₂) ^ 3 = e₁ - e₂
n : ℕ
hn : (e₁ - e₂) ^ n = 0
\u22a2 e₁ = e₂
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
e₁ e₂ : R
he₁ : IsIdempotentElem e₁
he₂ : IsIdempotentElem e₂
H' : Commute e₁ e₂
this✝ : (e₁ - e₂) ^ 3 = e₁ - e₂
n : ℕ
hn : (e₁ - e₂) ^ n = 0
this : (e₁ - e₂) ^ (2 * n + 1) = e₁ - e₂
\u22a2 e₁ = e₂
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
hx : (o.kahler x) y = 0
\u22a2 x = 0 ∨ y = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
hx : (o.kahler x) y = 0
this : ‖x‖ * ‖y‖ = 0
\u22a2 x = 0 ∨ y = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
hx : (o.kahler x) y = 0
this : ‖x‖ * ‖y‖ = 0
h : ‖x‖ = 0
\u22a2 x = 0 ∨ y = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
hx : (o.kahler x) y = 0
this : ‖x‖ * ‖y‖ = 0
h : ‖y‖ = 0
\u22a2 x = 0 ∨ y = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
\u22a2 1 ≤ o ↔ o ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U✝ : Set α
ε : ℝ≥0∞
H : μ.InnerRegularWRT p q
c : ℝ≥0∞
U : Set α
hU : q U
r : ℝ≥0∞
hr : r < (c • μ) U
\u22a2 ∃ K ⊆ U, p K ∧ r < (c • μ) K
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U✝ : Set α
ε : ℝ≥0∞
H : μ.InnerRegularWRT p q
c : ℝ≥0∞
U : Set α
hU : q U
r : ℝ≥0∞
hr : r < c * ⨆ K, ⨆ (_ : K ⊆ U), ⨆ (_ : p K), μ K
\u22a2 ∃ K ⊆ U, p K ∧ r < (c • μ) K
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : EMetricSpace X
inst✝⁸ : EMetricSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E✝ : Type u_5
P : Type u_6
E : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
x y : E
\u22a2 μH[1] (segment ℝ x y) = edist x y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
\u22a2 y - x ∈ tangentConeAt ℝ s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
\u22a2 ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + (1 / 2) ^ n • (y - x) ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 x + (1 / 2) ^ n • (y - x) ∈ openSegment ℝ x y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x✝ y✝ : E
s✝ t : Set E
s : Set G
x y : G
h : openSegment ℝ x y ⊆ s
n : ℕ
hn : n ≠ 0
\u22a2 x + (1 / 2) ^ n • (y - x) ∈ (fun θ => (1 - θ) • x + θ • y) '' Ioo 0 1
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
R₂ : Type u_2
inst✝¹² : Ring R₂
R₃ : Type u_3
inst✝¹¹ : Ring R₃
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : AddCommGroup M
M₂ : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
M₃ : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
M₄ : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₄
inst✝³ : AddCommGroup M₄
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R₂ M₂
inst✝ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
f : M →SL[σ₁₂] M₂
x y : M
\u22a2 f (x - y) = f x - f y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : 0 < z
\u22a2 x ≤ y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z ≤ y
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x✝ : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
x : Set α
\u22a2 ⇑f '' minimals r x = minimals s (⇑f '' x)
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x✝ : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
x : Set α
\u22a2 ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
n : ℕ
\u22a2 (map f) (W_ R n) = W_ S n