ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
x : α (last n)
p : (j : Fin n) → α ((last n).succAbove j)
\u22a2 p = (last n).removeNth (snoc (fun j => _root_.cast ⋯ (p j)) x)
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
x : α (last n)
p : (j : Fin n) → α ((last n).succAbove j)
j : Fin n
\u22a2 p j = (last n).removeNth (snoc (fun j => _root_.cast ⋯ (p j)) x) j
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
x : α (last n)
p : (j : Fin n) → α ((last n).succAbove j)
j : Fin n
\u22a2 HEq (p j) ((last n).removeNth (snoc (fun j => _root_.cast ⋯ (p j)) x) j)
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
x : α (last n)
p : (j : Fin n) → α ((last n).succAbove j)
j : Fin n
\u22a2 HEq (p j) (snoc (fun j => _root_.cast ⋯ (p j)) x j.castSucc)
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
x : α (last n)
p : (j : Fin n) → α ((last n).succAbove j)
j : Fin n
\u22a2 HEq (snoc (fun j => _root_.cast ⋯ (p j)) x j.castSucc) ((last n).removeNth (snoc (fun j => _root_.cast ⋯ (p j)) x) j)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : NormedRing E
inst✝² : StarRing E
inst✝¹ : CstarRing E
inst✝ : Nontrivial E
\u22a2 ‖1‖ = 1
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : NormedRing E
inst✝² : StarRing E
inst✝¹ : CstarRing E
inst✝ : Nontrivial E
this : 0 < ‖1‖
\u22a2 ‖1‖ = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
A : Set α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
\u22a2 μ A = ⨅ U, ⨅ (_ : A ⊆ U), ⨅ (_ : IsOpen U), μ U
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
A : Set α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
\u22a2 ⨅ U, ⨅ (_ : A ⊆ U), ⨅ (_ : IsOpen U), μ U ≤ μ A
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
A : Set α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
r : ℝ≥0∞
hr : μ A < r
\u22a2 ⨅ U, ⨅ (_ : A ⊆ U), ⨅ (_ : IsOpen U), μ U < r
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
κ' : κ → Sort u_6
s : (i : κ) → κ' i → HomogeneousIdeal 𝒜
\u22a2 (⨅ i, ⨅ j, s i j).toIdeal = ⨅ i, ⨅ j, (s i j).toIdeal
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
i j : n
c : α
i' j' : n
inst✝ : Fintype n
\u22a2 (stdBasisMatrix i i c).trace = c
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ↥(Lp F 2 μ)
\u22a2 eLpNorm (fun x => ‖↑↑f x‖ ^ 2) 1 μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ↥(Lp F 2 μ)
h_two : ENNReal.ofReal 2 = 2
\u22a2 eLpNorm (fun x => ‖↑↑f x‖ ^ 2) 1 μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ↥(Lp F 2 μ)
h_two : ENNReal.ofReal 2 = 2
\u22a2 eLpNorm (↑↑f) 2 μ ^ 2 < ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero R
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
_hn : n ≠ 0
hmn : m.Coprime n
\u22a2 1 (m * n) = 1 m * 1 n
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero R
n : ℕ
_hn : n ≠ 0
hm : 1 ≠ 0
hmn : Coprime 1 n
\u22a2 1 (1 * n) = 1 1 * 1 n
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero R
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
_hn : n ≠ 0
hmn : m.Coprime n
hm' : m ≠ 1
\u22a2 1 (m * n) = 1 m * 1 n
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero R
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
_hn : n ≠ 0
hmn : m.Coprime n
hm' : m ≠ 1
\u22a2 m * n ≠ 1
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero R
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
_hn : n ≠ 0
hmn : m.Coprime n
hm' : m ≠ 1
\u22a2 ¬m = 1 ∨ ¬n = 1
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : { w // w.IsComplex }
h : minkowskiBound K 1 < volume (convexBodyLT' K f w₀)
\u22a2 ∃ a, a ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑w₀ → w ↑a < ↑(f w)) ∧ |((↑w₀).embedding ↑a).re| < 1 ∧ |((↑w₀).embedding ↑a).im| < ↑(f ↑w₀) ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : { w // w.IsComplex }
h : minkowskiBound K 1 < volume (convexBodyLT' K f w₀)
w✝ : K
h_mem : w✝ ∈ ↑1
h_nz : w✝ ≠ 0
h_bd : (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑w₀ → w w✝ < ↑(f w)) ∧ |((↑w₀).embedding w✝).re| < 1 ∧ |((↑w₀).embedding w✝).im| < ↑(f ↑w₀) ^ 2
\u22a2 ∃ a, a ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑w₀ → w ↑a < ↑(f w)) ∧ |((↑w₀).embedding ↑a).re| < 1 ∧ |((↑w₀).embedding ↑a).im| < ↑(f ↑w₀) ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : { w // w.IsComplex }
h : minkowskiBound K 1 < volume (convexBodyLT' K f w₀)
a : 𝓞 K
h_mem : (algebraMap (𝓞 K) K) a ∈ ↑1
h_nz : (algebraMap (𝓞 K) K) a ≠ 0
h_bd : (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑w₀ → w ((algebraMap (𝓞 K) K) a) < ↑(f w)) ∧ |((↑w₀).embedding ((algebraMap (𝓞 K) K) a)).re| < 1 ∧ |((↑w₀).embedding ((algebraMap (𝓞 K) K) a)).im| < ↑(f ↑w₀) ^ 2
\u22a2 ∃ a, a ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑w₀ → w ↑a < ↑(f w)) ∧ |((↑w₀).embedding ↑a).re| < 1 ∧ |((↑w₀).embedding ↑a).im| < ↑(f ↑w₀) ^ 2
-- Mathlib/SetTheory/Game/Ordinal.lean
a b : Ordinal.{u_1}
\u22a2 a.toPGame < b.toPGame → a < b
-- Mathlib/SetTheory/Game/Ordinal.lean
a b : Ordinal.{u_1}
\u22a2 ¬a < b → ¬a.toPGame < b.toPGame
-- Mathlib/SetTheory/Game/Ordinal.lean
a b : Ordinal.{u_1}
\u22a2 b ≤ a → ¬a.toPGame < b.toPGame
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalSemiring α
inst✝ : Fintype n
A B C : Matrix n n α
i j : n
\u22a2 (A * B * C) i j = A i ⬝ᵥ B *ᵥ Cᵀ j
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalSemiring α
inst✝ : Fintype n
A B C : Matrix n n α
i j : n
\u22a2 (A * (B * C)) i j = A i ⬝ᵥ B *ᵥ Cᵀ j
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalSemiring α
inst✝ : Fintype n
A B C : Matrix n n α
i j : n
\u22a2 ∑ x : n, A i x * ∑ j_1 : n, B x j_1 * C j_1 j = ∑ x : n, A i x * ∑ x_1 : n, B x x_1 * Cᵀ j x_1
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
P : Type u₁
inst✝¹ : AddCommGroup P
g : (i : ι) → G i →+ P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
injective : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(g i)
\u22a2 Function.Injective ⇑(lift G f P g Hg)
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
P : Type u₁
inst✝¹ : AddCommGroup P
g : (i : ι) → G i →+ P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
injective : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(g i)
h✝ : IsEmpty ι
\u22a2 Function.Injective ⇑(lift G f P g Hg)
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
P : Type u₁
inst✝¹ : AddCommGroup P
g : (i : ι) → G i →+ P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
injective : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(g i)
h✝ : Nonempty ι
\u22a2 Function.Injective ⇑(lift G f P g Hg)
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
P : Type u₁
inst✝¹ : AddCommGroup P
g : (i : ι) → G i →+ P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
h✝ : Nonempty ι
injective : ∀ (i : ι) (a : G i), (g i) a = 0 → a = 0
\u22a2 ∀ (a : DirectLimit G f), (lift G f P g Hg) a = 0 → a = 0
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
P : Type u₁
inst✝¹ : AddCommGroup P
g : (i : ι) → G i →+ P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
h✝ : Nonempty ι
injective : ∀ (i : ι) (a : G i), (g i) a = 0 → a = 0
z : DirectLimit G f
hz : (lift G f P g Hg) z = 0
\u22a2 z = 0
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
P : Type u₁
inst✝¹ : AddCommGroup P
g✝ : (i : ι) → G i →+ P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g✝ j) ((f i j hij) x) = (g✝ i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
h✝ : Nonempty ι
injective : ∀ (i : ι) (a : G i), (g✝ i) a = 0 → a = 0
i✝ : ι
g : G i✝
hz : (lift G f P g✝ Hg) ((of G f i✝) g) = 0
\u22a2 (of G f i✝) g = 0
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
P : Type u₁
inst✝¹ : AddCommGroup P
g✝ : (i : ι) → G i →+ P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g✝ j) ((f i j hij) x) = (g✝ i) x
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
h✝ : Nonempty ι
injective : ∀ (i : ι) (a : G i), (g✝ i) a = 0 → a = 0
i✝ : ι
g : G i✝
hz : (g✝ i✝) g = 0
\u22a2 (of G f i✝) g = 0
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝¹ : X → ↑F X
xs : Path F
a a' : F.A
f : F.B a → F.M
i : F.B a'
f✝ : F.B a' → F.M
a✝ : IsPath xs (f✝ i)
h : M.mk ⟨a, f⟩ = M.mk ⟨a', f✝⟩
\u22a2 a = a'
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
xs : Path F
a : F.A
f : F.B a → F.M
i : F.B a
a✝ : IsPath xs (f i)
h : M.mk ⟨a, f⟩ = M.mk ⟨a, f⟩
\u22a2 a = a
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
i : Fin (q.length + 1)
\u22a2 { length := p.length + q.length + 1, toFun := Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯, step := ⋯ }.toFun (↑↑(Fin.natAdd p.length i) + 1) = q.toFun i
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
i : Fin (q.length + 1)
\u22a2 Fin.append p.toFun q.toFun (Fin.cast ⋯ (↑(p.length + ↑i) + 1)) = q.toFun i
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
i : Fin (q.length + 1)
\u22a2 Fin.cast ⋯ (↑(p.length + ↑i) + 1) = Fin.natAdd (p.length + 1) i
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
i : Fin (q.length + 1)
\u22a2 ↑(Fin.cast ⋯ (↑(p.length + ↑i) + 1)) = ↑(Fin.natAdd (p.length + 1) i)
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
i : Fin (q.length + 1)
\u22a2 ↑(↑(p.length + ↑i) + 1) = p.length + 1 + ↑i
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
i : Fin (q.length + 1)
\u22a2 ↑(↑(p.length + ↑i) + 1) = p.length + ↑i + 1
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
i : Fin (q.length + 1)
\u22a2 ((p.length + ↑i) % (p.length + q.length + 1 + 1) + 1 % ({ length := p.length + q.length + 1, toFun := Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯, step := ⋯ }.length + 1)) % (p.length + q.length + 1 + 1) = p.length + ↑i + 1
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
i : Fin (q.length + 1)
\u22a2 p.length + ↑i + 1 < (p.length + q.length + 1).succ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
\u22a2 -(∡ p₁ p₂ p₃).sign = (∡ p₃ p₂ p₁).sign
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : StrongRankCondition R
v : M
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • v = w
\u22a2 finrank R M ≤ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : StrongRankCondition R
v : M
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • v = w
this : Nontrivial R
\u22a2 finrank R M ≤ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : StrongRankCondition R
this : Nontrivial R
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • 0 = w
\u22a2 finrank R M ≤ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : StrongRankCondition R
v : M
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • v = w
this : Nontrivial R
hn : v ≠ 0
\u22a2 finrank R M ≤ 1
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝² : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝¹ : CommMonoid γ
v : Π₀ (i : ι), β i
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : (i : ι) → β i → γ
hp : ∀ x ∈ v.support, p x
\u22a2 ((subtypeDomain p v).prod fun i b => h (↑i) b) = v.prod h
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m n✝ : ℕ
a b : Fin (n✝ + 1 + 1)
h : a < b
\u22a2 ∃ k < b, k + 1 ≤ b ∧ b = a + k + 1
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m n✝ : ℕ
a b : Fin (n✝ + 1 + 1)
h : a < b
k : ℕ
hk : ↑b = ↑a + k + 1
\u22a2 ∃ k < b, k + 1 ≤ b ∧ b = a + k + 1
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m n✝ : ℕ
a b : Fin (n✝ + 1 + 1)
h : a < b
k : ℕ
hk : ↑b = ↑a + k + 1
hkb : k < ↑b
\u22a2 ∃ k < b, k + 1 ≤ b ∧ b = a + k + 1
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m n✝ : ℕ
a b : Fin (n✝ + 1 + 1)
h : a < b
k : ℕ
hk : ↑b = ↑a + k + 1
hkb : k < ↑b
\u22a2 ⟨k, ⋯⟩ + 1 ≤ b
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m n✝ : ℕ
a b : Fin (n✝ + 1 + 1)
h : a < b
k : ℕ
hk : ↑b = ↑a + k + 1
hkb : k < ↑b
\u22a2 b = a + ⟨k, ⋯⟩ + 1
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.104131, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
p : ℤ
\u22a2 (δ (-1) 0 (inl φ)).v p p ⋯ = (Cochain.ofHom (φ ≫ inr φ)).v p p ⋯
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
hf : Injective f
x y z : α
\u22a2 f ((Equiv.swap x y) z) = (Equiv.swap (f x) (f y)) (f z)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
hf : Injective f
x y z : α
\u22a2 f ((Equiv.swap x y) z) = if f z = f x then f y else if f z = f y then f x else f z
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
s : Set β
\u22a2 ContinuousOn f s ↔ ∀ b ∈ s, Tendsto (fun x => (f x, f b)) (𝓝[s] b) (𝓤 α)
-- Mathlib/Data/Complex/FiniteDimensional.lean
\u22a2 Cardinal.lift.{u, 0} (Module.rank ℝ ℂ) = 2
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 κ.restrict hs ⊗ₖ η = (κ ⊗ₖ η).restrict ⋯
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 κ.restrict hs ⊗ₖ η = κ.restrict ?hs ⊗ₖ η.restrict ?ht
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 MeasurableSet s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 MeasurableSet Set.univ
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
w : ι → k
p : ι → P
i : ι
\u22a2 ((insert i s).weightedVSubOfPoint p (p i)) w = (s.weightedVSubOfPoint p (p i)) w
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
w : ι → k
p : ι → P
i : ι
\u22a2 ∑ i_1 ∈ insert i s, w i_1 • (p i_1 -ᵥ p i) = ∑ i_1 ∈ s, w i_1 • (p i_1 -ᵥ p i)
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
p : ℕ → Bool
m : ℕ
pm : p m = true
this : true ∈ ↑p m
n : ℕ
hn : n ∈ rfind ↑p
h : m < n
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Sum/Basic.lean
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq (α ⊕ β)
f : α ⊕ β → γ
i j : α
x : γ
\u22a2 update f (inl i) x (inl j) = update (f ∘ inl) i x j
-- Mathlib/Topology/Sequences.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : UniformSpace X
s : Set X
h : ∀ ⦃x : ℕ → X⦄, (∀ (n : ℕ), x n ∈ s) → ∃ a ∈ s, ∃ φ, StrictMono φ ∧ Tendsto (x ∘ φ) atTop (𝓝 a)
V : Set (X × X)
V_in : V ∈ 𝓤 X
\u22a2 ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ V}
-- Mathlib/Topology/Sequences.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : UniformSpace X
s : Set X
V : Set (X × X)
V_in : V ∈ 𝓤 X
h : ∀ (t : Set X), t.Finite → ¬s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ V}
\u22a2 ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ s) ∧ ∀ a ∈ s, ∀ (φ : ℕ → ℕ), StrictMono φ → ¬Tendsto (x ∘ φ) atTop (𝓝 a)
-- Mathlib/Topology/Sequences.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : UniformSpace X
s : Set X
V : Set (X × X)
V_in : V ∈ 𝓤 X
h : ∀ (t : Set X), t.Finite → ¬s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ V}
u : ℕ → X
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
hu : ∀ (n m : ℕ), m < n → u m ∉ ball (u n) V
\u22a2 ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ s) ∧ ∀ a ∈ s, ∀ (φ : ℕ → ℕ), StrictMono φ → ¬Tendsto (x ∘ φ) atTop (𝓝 a)
-- Mathlib/Topology/Sequences.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : UniformSpace X
s : Set X
V : Set (X × X)
V_in : V ∈ 𝓤 X
h : ∀ (t : Set X), t.Finite → ¬s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ V}
u : ℕ → X
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
hu : ∀ (n m : ℕ), m < n → u m ∉ ball (u n) V
x : X
x✝ : x ∈ s
φ : ℕ → ℕ
hφ : StrictMono φ
huφ : Tendsto (u ∘ φ) atTop (𝓝 x)
\u22a2 False
-- Mathlib/Topology/Sequences.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : UniformSpace X
s : Set X
V : Set (X × X)
V_in : V ∈ 𝓤 X
h : ∀ (t : Set X), t.Finite → ¬s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ V}
u : ℕ → X
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
hu : ∀ (n m : ℕ), m < n → u m ∉ ball (u n) V
x : X
x✝ : x ∈ s
φ : ℕ → ℕ
hφ : StrictMono φ
huφ : Tendsto (u ∘ φ) atTop (𝓝 x)
N : ℕ
hN : ∀ (p q : ℕ), p ≥ N → q ≥ N → (u (φ p), u (φ q)) ∈ V
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
h : s.Nonempty
\u22a2 image2 (fun x y => y) s t = t
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/PDeriv.lean
R : Type u
σ : Type v
a a' a₁ a₂ : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial σ R
i : σ
\u22a2 (pderiv i) (C a * f) = C a * (pderiv i) f
-- Mathlib/Order/SuccPred/LinearLocallyFinite.lean
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i j : ι
hij : i < j
\u22a2 succFn i ≤ j
-- Mathlib/Order/SuccPred/LinearLocallyFinite.lean
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i j : ι
hij : i < j
h : IsGLB (Set.Ioi i) (succFn i)
\u22a2 succFn i ≤ j
-- Mathlib/Order/SuccPred/LinearLocallyFinite.lean
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i j : ι
hij : i < j
h : (∀ x ∈ Set.Ioi i, succFn i ≤ x) ∧ succFn i ∈ upperBounds (lowerBounds (Set.Ioi i))
\u22a2 succFn i ≤ j
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Semifield R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ : R → R
a✝ : A
f g : R → R
a : A
hg' : ∀ x ∈ spectrum R a, g x ≠ 0
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
\u22a2 cfc (fun x => f x / g x) a = cfc f a * Ring.inverse (cfc g a)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Semifield R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ : R → R
a✝ : A
f g : R → R
a : A
hg' : ∀ x ∈ spectrum R a, g x ≠ 0
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
\u22a2 cfc (fun x => f x * (g x)⁻¹) a = cfc f a * Ring.inverse (cfc g a)