ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a b c d : G₀
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
\u22a2 a = c / d * b ↔ a = b / d * c
-- Mathlib/Data/List/GetD.lean
α : Type u
β : Type v
l : List α
x : α
xs : List α
n✝ : ℕ
inst✝ : Inhabited α
n : ℕ
\u22a2 l.getI n = (l.get? n).iget
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/IsPrimary.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J : Ideal R
hi : I.IsPrimary
hj : J.IsPrimary
hij : I.radical = J.radical
x y : R
x✝ : x * y ∈ I ⊓ J
hxyi : x * y ∈ ↑I
hxyj : x * y ∈ ↑J
\u22a2 x ∈ I ⊓ J ∨ y ∈ (I ⊓ J).radical
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/IsPrimary.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J : Ideal R
hi : I.IsPrimary
hj : J.IsPrimary
hij : I.radical = J.radical
x y : R
x✝ : x * y ∈ I ⊓ J
hxyi : x * y ∈ ↑I
hxyj : x * y ∈ ↑J
\u22a2 x ∈ I ⊓ J ∨ y ∈ J.radical
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/IsPrimary.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J : Ideal R
hi : I.IsPrimary
hj : J.IsPrimary
hij : I.radical = J.radical
x y : R
x✝ : x * y ∈ I ⊓ J
hxyi : x * y ∈ ↑I
hxyj : x * y ∈ ↑J
hxi : x ∈ I
\u22a2 x ∈ I ⊓ J ∨ y ∈ J.radical
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/IsPrimary.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J : Ideal R
hi : I.IsPrimary
hj : J.IsPrimary
hij : I.radical = J.radical
x y : R
x✝ : x * y ∈ I ⊓ J
hxyi : x * y ∈ ↑I
hxyj : x * y ∈ ↑J
hyi : y ∈ I.radical
\u22a2 x ∈ I ⊓ J ∨ y ∈ J.radical
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
N k n : ℕ
\u22a2 n ∈ N.smoothNumbersUpTo k ↔ n ≤ N ∧ n ∈ k.smoothNumbers
-- Mathlib/LinearAlgebra/SModEq.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
hxy₁ : x₁ ≡ y₁ [SMOD U]
hxy₂ : x₂ ≡ y₂ [SMOD U]
\u22a2 x₁ + x₂ ≡ y₁ + y₂ [SMOD U]
-- Mathlib/LinearAlgebra/SModEq.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
hxy₁ : Submodule.Quotient.mk x₁ = Submodule.Quotient.mk y₁
hxy₂ : Submodule.Quotient.mk x₂ = Submodule.Quotient.mk y₂
\u22a2 Submodule.Quotient.mk (x₁ + x₂) = Submodule.Quotient.mk (y₁ + y₂)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
ha : a ≠ 0
n : ℕ
\u22a2 (C a * X ^ n).roots = n • {0}
-- Mathlib/Data/Nat/ChineseRemainder.lean
ι : Type u_1
a s : ι → ℕ
t : Finset ι
hs : ∀ i ∈ t, s i ≠ 0
pp : (↑t).Pairwise (Coprime on s)
\u22a2 ↑(chineseRemainderOfFinset a s t hs pp) < ∏ i ∈ t, s i
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
x y : α
\u22a2 inv Eq x y ↔ x = y
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Equiv.lean
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e ϕ : A₁ ≃ₐ[R] A₂
ψ χ : A₁ ≃ₐ[R] A₁
a✝ : A₂
\u22a2 ({ toFun := fun ψ => ϕ.symm.trans (ψ.trans ϕ), invFun := fun ψ => ϕ.trans (ψ.trans ϕ.symm), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (ψ * χ)) a✝ = ({ toFun := fun ψ => ϕ.symm.trans (ψ.trans ϕ), invFun := fun ψ => ϕ.trans (ψ.trans ϕ.symm), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun ψ * { toFun := fun ψ => ϕ.symm.trans (ψ.trans ϕ), invFun := fun ψ => ϕ.trans (ψ.trans ϕ.symm), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun χ) a✝
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ ⦃x y : E⦄, ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ‖x + y‖ ≠ 2
\u22a2 StrictConvexSpace ℝ E
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ ⦃x y : E⦄, ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ‖x + y‖ ≠ 2
x y : E
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
hne : x ≠ y
\u22a2 ‖(1 / 2) • x + (1 / 2) • y‖ ≠ 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
h : ∀ ⦃x y : E⦄, ‖x‖ = 1 → ‖y‖ = 1 → x ≠ y → ‖x + y‖ ≠ 2
x y : E
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1
hne : x ≠ y
\u22a2 ¬‖x + y‖ = 2
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E (Fin 1) := fun x => normSeminorm 𝕜 E
\u22a2 WithSeminorms fun x => normSeminorm 𝕜 E
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E (Fin 1) := fun x => normSeminorm 𝕜 E
\u22a2 𝓝 0 = 𝓝 0
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E (Fin 1) := fun x => normSeminorm 𝕜 E
\u22a2 (𝓝 0).HasBasis (fun x => 0 < x) (Metric.ball 0)
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E (Fin 1) := fun x => normSeminorm 𝕜 E
\u22a2 (𝓝 0).HasBasis (fun x => 0 < x) ((normSeminorm 𝕜 E).ball 0)
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E (Fin 1) := fun x => normSeminorm 𝕜 E
\u22a2 ∀ i ∈ p.addGroupFilterBasis, ∃ i', 0 < i' ∧ (normSeminorm 𝕜 E).ball 0 i' ⊆ id i
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E (Fin 1) := fun x => normSeminorm 𝕜 E
U : Set E
hU : U ∈ p.basisSets
\u22a2 ∃ i', 0 < i' ∧ (normSeminorm 𝕜 E).ball 0 i' ⊆ id U
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E (Fin 1) := fun x => normSeminorm 𝕜 E
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset (Fin 1)
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
\u22a2 ∃ i', 0 < i' ∧ (normSeminorm 𝕜 E).ball 0 i' ⊆ id U
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E (Fin 1) := fun x => normSeminorm 𝕜 E
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset (Fin 1)
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
\u22a2 (normSeminorm 𝕜 E).ball 0 r ⊆ id U
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E (Fin 1) := fun x => normSeminorm 𝕜 E
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset (Fin 1)
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
h : ¬s.Nonempty
\u22a2 (normSeminorm 𝕜 E).ball 0 r ⊆ (s.sup p).ball 0 r
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜✝ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E✝ : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
𝕜 : Type u_10
E : Type u_11
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E (Fin 1) := fun x => normSeminorm 𝕜 E
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset (Fin 1)
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r
h : ¬s.Nonempty
\u22a2 (normSeminorm 𝕜 E).ball 0 r ⊆ univ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
hF : Fact (finrank ℝ F = 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
x y : F
this : ⇑φ.symm ∘ ![x, y] = ![φ.symm x, φ.symm y]
\u22a2 (((map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o).areaForm x) y = (o.areaForm (φ.symm x)) (φ.symm y)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
inst✝ : HasZeroObject C
S : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
\u22a2 Function.Surjective ⇑((forget₂ C Ab).map S.g)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
inst✝ : HasZeroObject C
S : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
\u22a2 Epi S.g
-- Mathlib/Data/Ordering/Lemmas.lean
α : Type u
lt : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableRel lt
inst✝ : IsStrictOrder α lt
a b : α
\u22a2 cmpUsing lt a b = Ordering.gt ↔ lt b a
-- Mathlib/Data/Ordering/Lemmas.lean
α : Type u
lt : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableRel lt
inst✝ : IsStrictOrder α lt
a b : α
\u22a2 lt b a → ¬lt a b
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y
H₁ : ∀ {a : α} {b : β} {x : α}, b < f a → ¬b < f x → ∃ y < a, b ≤ f y
H₂ : ∀ {a : α} {b : β} {x : α}, f a < b → ¬f x < b → ∃ y, a < y ∧ f y ≤ b
x✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
\u22a2 induced f inst✝¹ = Preorder.topology α
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y
H₁ : ∀ {a : α} {b : β} {x : α}, b < f a → ¬b < f x → ∃ y < a, b ≤ f y
H₂ : ∀ {a : α} {b : β} {x : α}, f a < b → ¬f x < b → ∃ y, a < y ∧ f y ≤ b
x✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
\u22a2 Preorder.topology α ≤ induced f inst✝¹
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y
H₁ : ∀ {a : α} {b : β} {x : α}, b < f a → ¬b < f x → ∃ y < a, b ≤ f y
H₂ : ∀ {a : α} {b : β} {x : α}, f a < b → ¬f x < b → ∃ y, a < y ∧ f y ≤ b
x✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
a : α
\u22a2 𝓝 a ≤ 𝓝 a
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y
H₁ : ∀ {a : α} {b : β} {x : α}, b < f a → ¬b < f x → ∃ y < a, b ≤ f y
H₂ : ∀ {a : α} {b : β} {x : α}, f a < b → ¬f x < b → ∃ y, a < y ∧ f y ≤ b
x✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
a : α
\u22a2 (⨅ b ∈ Iio a, 𝓟 (Ioi b)) ⊓ ⨅ b ∈ Ioi a, 𝓟 (Iio b) ≤ (⨅ i ∈ Iio (f a), 𝓟 (f ⁻¹' Ioi i)) ⊓ ⨅ i ∈ Ioi (f a), 𝓟 (f ⁻¹' Iio i)
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y
H₁ : ∀ {a : α} {b : β} {x : α}, b < f a → ¬b < f x → ∃ y < a, b ≤ f y
H₂ : ∀ {a : α} {b : β} {x : α}, f a < b → ¬f x < b → ∃ y, a < y ∧ f y ≤ b
x✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
a : α
b : β
hb : b ∈ Iio (f a)
\u22a2 ⨅ b ∈ Iio a, 𝓟 (Ioi b) ≤ 𝓟 (f ⁻¹' Ioi b)
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : ∀ {x y : α}, f x < f y ↔ x < y
H₁ : ∀ {a : α} {b : β} {x : α}, b < f a → ¬b < f x → ∃ y < a, b ≤ f y
H₂ : ∀ {a : α} {b : β} {x : α}, f a < b → ¬f x < b → ∃ y, a < y ∧ f y ≤ b
x✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
a : α
b : β
hb : b ∈ Ioi (f a)
\u22a2 ⨅ b ∈ Ioi a, 𝓟 (Iio b) ≤ 𝓟 (f ⁻¹' Iio b)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
s : NonUnitalSubalgebra R A
\u22a2 Submodule.span R ↑s = s.toSubmodule
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b c : Ordinal.{u}
h : b ≤ c
a : Ordinal.{u}
\u22a2 a ♯ b ≤ a ♯ c
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b c : Ordinal.{u}
h✝ : b ≤ c
a : Ordinal.{u}
h : b < c
\u22a2 a ♯ b ≤ a ♯ c
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b a : Ordinal.{u}
h : b ≤ b
\u22a2 a ♯ b ≤ a ♯ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Topology.lean
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
\u22a2 (∃ ι, Nonempty ι ∧ ∃ f, (∀ (i : ι), f i ∈ s) ∧ sup f = a) ↔ ∃ ι, ∃ (_ : Nonempty ι), ∃ f, (∀ (i : ι), f i ∈ s) ∧ sup f = a
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}
\u22a2 a.alephIdx ≤ b.alephIdx ↔ a ≤ b
-- Mathlib/RepresentationTheory/Action/Basic.lean
V : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory V
G : Grp
A : Action V (MonCat.of ↑G)
g : ↑G
\u22a2 A.ρ (g⁻¹ * g) = 𝟙 A.V
-- Mathlib/RepresentationTheory/Action/Basic.lean
V : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory V
G : Grp
A : Action V (MonCat.of ↑G)
g : ↑G
\u22a2 A.ρ (g * g⁻¹) = 𝟙 A.V
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x : α
y : β
\u22a2 (x, y) ∈ s ×ˢ {b} ↔ (x, y) ∈ (fun a => (a, b)) '' s
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀
\u22a2 a / 0 = 0
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
h : xᶜ = y
\u22a2 IsCompl x xᶜ
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
\u22a2 HasFDerivAt (f ⋆[L, μ] g) ((f ⋆[precompR G L, μ] fderiv 𝕜 g) x₀) x₀
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
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μ ν : Measure G
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\u22a2 HasFDerivAt (f ⋆[L, μ] 0) ((f ⋆[precompR G L, μ] fderiv 𝕜 0) x₀) x₀
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
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E' : Type uE'
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F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
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-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
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-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
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inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
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-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
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inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
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μ ν : Measure G
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x₀ : G
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this : ProperSpace G
L' : E →L[𝕜] (G →L[𝕜] E') →L[𝕜] G →L[𝕜] F := precompR G L
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-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
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