ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
\u22a2 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((fourier (-n)) ↑0 * (↑(bernoulliFun k 1) - ↑(bernoulliFun k 0)) - (↑1 - ↑0) * fourierCoeffOn ⋯ (fun x => ↑(↑k * bernoulliFun (k - 1) x)) n) = 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((if k = 1 then 1 else 0) - ↑k * fourierCoeffOn bernoulliFourierCoeff.proof_1 (fun x => ↑(bernoulliFun (k - 1) x)) n)
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
\u22a2 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((fourier (-n)) ↑0 * (↑(bernoulliFun k 1) - ↑(bernoulliFun k 0)) - fourierCoeffOn ⋯ (fun x => ↑(↑k * bernoulliFun (k - 1) x)) n) = 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((if k = 1 then 1 else 0) - ↑k * fourierCoeffOn bernoulliFourierCoeff.proof_1 (fun x => ↑(bernoulliFun (k - 1) x)) n)
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
\u22a2 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * (↑(if k = 1 then 1 else 0) - fourierCoeffOn ⋯ (fun x => ↑(↑k * bernoulliFun (k - 1) x)) n) = 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((if k = 1 then 1 else 0) - ↑k * fourierCoeffOn bernoulliFourierCoeff.proof_1 (fun x => ↑(bernoulliFun (k - 1) x)) n)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
f : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) ≃ (K →+* ℂ) := (canonicalEmbedding.latticeBasis K).indexEquiv (Pi.basisFun ℂ (K →+* ℂ))
e : index K ≃ Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) := (indexEquiv K).trans f.symm
M : Matrix (index K) (index K) ℝ := (mixedEmbedding.stdBasis K).toMatrix ⇑((latticeBasis K).reindex e.symm)
N : Matrix (K →+* ℂ) (K →+* ℂ) ℂ := Algebra.embeddingsMatrixReindex ℚ ℂ (⇑(integralBasis K) ∘ ⇑f.symm) RingHom.equivRatAlgHom
\u22a2 volume (fundamentalDomain (latticeBasis K)) = 2⁻¹ ^ NrComplexPlaces K * ↑(sqrt ‖discr K‖₊)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
f : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) ≃ (K →+* ℂ) := (canonicalEmbedding.latticeBasis K).indexEquiv (Pi.basisFun ℂ (K →+* ℂ))
e : index K ≃ Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) := (indexEquiv K).trans f.symm
M : Matrix (index K) (index K) ℝ := (mixedEmbedding.stdBasis K).toMatrix ⇑((latticeBasis K).reindex e.symm)
N : Matrix (K →+* ℂ) (K →+* ℂ) ℂ := Algebra.embeddingsMatrixReindex ℚ ℂ (⇑(integralBasis K) ∘ ⇑f.symm) RingHom.equivRatAlgHom
\u22a2 M.map ⇑ofReal = matrixToStdBasis K * ((reindex (indexEquiv K).symm (indexEquiv K).symm) N)ᵀ
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
f : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) ≃ (K →+* ℂ) := (canonicalEmbedding.latticeBasis K).indexEquiv (Pi.basisFun ℂ (K →+* ℂ))
e : index K ≃ Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) := (indexEquiv K).trans f.symm
M : Matrix (index K) (index K) ℝ := (mixedEmbedding.stdBasis K).toMatrix ⇑((latticeBasis K).reindex e.symm)
N : Matrix (K →+* ℂ) (K →+* ℂ) ℂ := Algebra.embeddingsMatrixReindex ℚ ℂ (⇑(integralBasis K) ∘ ⇑f.symm) RingHom.equivRatAlgHom
i✝ j✝ : index K
\u22a2 ((mixedEmbedding.stdBasis K).toMatrix ⇑((latticeBasis K).reindex e.symm)).map (⇑ofReal) i✝ j✝ = (matrixToStdBasis K * ((reindex (indexEquiv K).symm (indexEquiv K).symm) N)ᵀ) i✝ j✝
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
f : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) ≃ (K →+* ℂ) := (canonicalEmbedding.latticeBasis K).indexEquiv (Pi.basisFun ℂ (K →+* ℂ))
e : index K ≃ Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K) := (indexEquiv K).trans f.symm
M : Matrix (index K) (index K) ℝ := (mixedEmbedding.stdBasis K).toMatrix ⇑((latticeBasis K).reindex e.symm)
N : Matrix (K →+* ℂ) (K →+* ℂ) ℂ := Algebra.embeddingsMatrixReindex ℚ ℂ (⇑(integralBasis K) ∘ ⇑f.symm) RingHom.equivRatAlgHom
i✝ j✝ : index K
\u22a2 (matrixToStdBasis K *ᵥ (canonicalEmbedding K) ((integralBasis K) (e j✝)) ∘ ⇑(indexEquiv K)) i✝ = (matrixToStdBasis K * ((reindex (indexEquiv K).symm (indexEquiv K).symm) N)ᵀ) i✝ j✝
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Dslope.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : s ∈ 𝓝 a
\u22a2 ContinuousOn (dslope f a) s ↔ ContinuousOn f s ∧ DifferentiableAt 𝕜 f a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Dslope.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : s ∈ 𝓝 a
\u22a2 ContinuousOn f s ∧ DifferentiableAt 𝕜 f a → ContinuousOn (dslope f a) s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Dslope.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : s ∈ 𝓝 a
hc : ContinuousOn f s
hd : DifferentiableAt 𝕜 f a
x : 𝕜
hx : x ∈ s
\u22a2 ContinuousWithinAt (dslope f a) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Dslope.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
b : 𝕜
s : Set 𝕜
hc : ContinuousOn f s
x : 𝕜
hx : x ∈ s
h : s ∈ 𝓝 x
hd : DifferentiableAt 𝕜 f x
\u22a2 ContinuousWithinAt (dslope f x) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Dslope.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : s ∈ 𝓝 a
hc : ContinuousOn f s
hd : DifferentiableAt 𝕜 f a
x : 𝕜
hx : x ∈ s
hne : x ≠ a
\u22a2 ContinuousWithinAt (dslope f a) s x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
n : ℤ
\u22a2 Finsupp.single n r = C r * T n
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Multiequalizer.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
K : Multicofork I
a : I.L
\u22a2 K.ι.app (WalkingMultispan.left a) = I.snd a ≫ K.π (I.sndFrom a)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Multiequalizer.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
K : Multicofork I
a : I.L
\u22a2 I.multispan.map (WalkingMultispan.Hom.snd a) ≫ K.ι.app (WalkingMultispan.right (I.sndFrom a)) = I.snd a ≫ K.π (I.sndFrom a)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : C
inst✝ : ExactPairing X Y
\u22a2 η_ X Y ▷ X ⊗≫ X ◁ ε_ X Y = ⊗𝟙
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c x : α
\u22a2 x ∈ Ici a \ {a} ↔ x ∈ Ioi a
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
L : List ℕ
\u22a2 L.tail.sum = L.sum - L.headI
-- Mathlib/Order/OrdContinuous.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
g : ι → α
\u22a2 f (⨆ i, g i) = ⨆ i, f (g i)
-- Mathlib/Order/OrdContinuous.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
g : ι → α
\u22a2 sSup (range (f ∘ fun i => g i)) = sSup (range fun i => f (g i))
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s✝ s t : Set G
ht : IsSubgroup t
h : s ⊆ t
a : G
ha : a ∈ closure s
\u22a2 a ∈ t
-- Mathlib/Dynamics/FixedPoints/Topology.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : T2Space α
f : α → α
x y : α
hy : Tendsto (fun n => f^[n] x) atTop (𝓝 y)
hf : ContinuousAt f y
\u22a2 IsFixedPt f y
-- Mathlib/Dynamics/FixedPoints/Topology.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : T2Space α
f : α → α
x y : α
hy : Tendsto (fun n => f^[n] x) atTop (𝓝 y)
hf : ContinuousAt f y
\u22a2 Tendsto (fun n => f^[n + 1] x) atTop (𝓝 (f y))
-- Mathlib/Dynamics/FixedPoints/Topology.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : T2Space α
f : α → α
x y : α
hy : Tendsto (fun n => f^[n] x) atTop (𝓝 y)
hf : ContinuousAt f y
\u22a2 Tendsto (fun n => (f ∘ f^[n]) x) atTop (𝓝 (f y))
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Nat/Gcd.lean
k m n : Nat
H : k.Coprime m
\u22a2 m.gcd (k * n) = m.gcd n
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝⁴ : CommMonoid β
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ℕ → α
h : Monotone f
n : ℕ
\u22a2 ∑ i ∈ range n, (f (i + 1) - f i) = f n - f 0
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝⁴ : CommMonoid β
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ℕ → α
h : Monotone f
n : ℕ
\u22a2 f 0 - f 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝⁴ : CommMonoid β
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ℕ → α
h : Monotone f
n : ℕ
\u22a2 ∀ (n : ℕ), f (n + 1) - f 0 = f n - f 0 + (f (n + 1) - f n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : Module R E
F : Type u_10
inst✝² : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
e : ι ≃ ι₂
m : (i : ι₂) → s (e.symm i)
\u22a2 ((map f ∘ₗ ↑(reindex R s e).symm).compMultilinearMap (tprod R)) m = ((↑(reindex R t e).symm ∘ₗ map fun i => f (e.symm i)).compMultilinearMap (tprod R)) m
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : Module R E
F : Type u_10
inst✝² : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
e : ι ≃ ι₂
m : (i : ι₂) → s (e.symm i)
\u22a2 (reindex R t e) (((map f ∘ₗ ↑(reindex R s e).symm).compMultilinearMap (tprod R)) m) = (reindex R t e) (((↑(reindex R t e).symm ∘ₗ map fun i => f (e.symm i)).compMultilinearMap (tprod R)) m)
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
N : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M N
inst✝¹ : SMul N α
inst✝ : MulAction M α
s : Set M
htop : Submonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), (x • y) • z = x • y • z
\u22a2 IsScalarTower M N α
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
N : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M N
inst✝¹ : SMul N α
inst✝ : MulAction M α
s : Set M
htop : Submonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), (x • y) • z = x • y • z
x : M
\u22a2 ∀ (y : N) (z : α), (1 • y) • z = 1 • y • z
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
N : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M N
inst✝¹ : SMul N α
inst✝ : MulAction M α
s : Set M
htop : Submonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), (x • y) • z = x • y • z
x : M
\u22a2 ∀ x ∈ s, ∀ (y : M), (∀ (y_1 : N) (z : α), (y • y_1) • z = y • y_1 • z) → ∀ (y_1 : N) (z : α), ((x * y) • y_1) • z = (x * y) • y_1 • z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
\u22a2 Tendsto (fun n => ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑x ^ (s - 1)) atTop (𝓝 (Gamma s))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
\u22a2 Tendsto (fun n => ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑x ^ (s - 1)) atTop (𝓝 s.GammaIntegral)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
f : ℕ → ℝ → ℂ := fun n => (Ioc 0 ↑n).indicator fun x => ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑x ^ (s - 1)
f_ible : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) (volume.restrict (Ioi 0))
f_tends : ∀ x ∈ Ioi 0, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)))
\u22a2 Tendsto (fun n => ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑x ^ (s - 1)) atTop (𝓝 s.GammaIntegral)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
f : ℕ → ℝ → ℂ := fun n => (Ioc 0 ↑n).indicator fun x => ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑x ^ (s - 1)
f_ible : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) (volume.restrict (Ioi 0))
f_tends : ∀ x ∈ Ioi 0, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)))
\u22a2 (fun n => ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑x ^ (s - 1)) = fun n => ∫ (a : ℝ) in Ioi 0, f n a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
f : ℕ → ℝ → ℂ := fun n => (Ioc 0 ↑n).indicator fun x => ↑((1 - x / ↑n) ^ n) * ↑x ^ (s - 1)
f_ible : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) (volume.restrict (Ioi 0))
f_tends : ∀ x ∈ Ioi 0, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1)))
\u22a2 ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), ‖f n a‖ ≤ rexp (-a) * a ^ (s.re - 1)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Bound.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε : ε ≤ 1
\u22a2 0 < ε ^ 5
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Bound.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε : ε ≤ 1
\u22a2 0 ≤ ε
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
x y : α
b : β y
\u22a2 x ∈ ⟦AList.singleton y b⟧ ↔ x = y
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : Module S N
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsScalarTower S R N
Q : QuadraticMap R M N
a : S
x : M
\u22a2 (fun x => Q x) (a • x) = (a * a) • (fun x => Q x) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : Module S N
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsScalarTower S R N
Q : QuadraticMap R M N
B : BilinMap R M N
h : ∀ (x y : M), Q (x + y) = Q x + Q y + (B x) y
x y : M
\u22a2 (fun x => Q x) (x + y) = (fun x => Q x) x + (fun x => Q x) y + ((LinearMap.restrictScalars₁₂ S S B) x) y
-- Mathlib/Data/List/Indexes.lean
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β
l : List α
e : α
\u22a2 List.oldMapIdxCore f 0 (l ++ [e]) = List.oldMapIdxCore f 0 l ++ [f l.length e]
-- Mathlib/Data/List/Indexes.lean
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β
l : List α
e : α
\u22a2 List.oldMapIdxCore f 0 l ++ List.oldMapIdxCore f (0 + l.length) [e] = List.oldMapIdxCore f 0 l ++ [f l.length e]
-- Mathlib/Data/List/Indexes.lean
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β
l : List α
e : α
\u22a2 List.oldMapIdxCore f 0 l ++ List.oldMapIdxCore f l.length [e] = List.oldMapIdxCore f 0 l ++ [f l.length e]
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ
\u22a2 Irrational (x / ↑q) ↔ q ≠ 0 ∧ Irrational x
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α✝
g g₁ g₂ : Filter β
m : α✝ → β
m' : β → γ
s : Set α✝
t : Set β
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
i : ι
f : Filter (α i)
\u22a2 (comap (eval i) f).NeBot ↔ (∀ (j : ι), Nonempty (α j)) ∧ f.NeBot
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α✝
g g₁ g₂ : Filter β
m : α✝ → β
m' : β → γ
s : Set α✝
t : Set β
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
i : ι
f : Filter (α i)
H : IsEmpty ((j : ι) → α j)
\u22a2 (comap (eval i) f).NeBot ↔ (∀ (j : ι), Nonempty (α j)) ∧ f.NeBot
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α✝
g g₁ g₂ : Filter β
m : α✝ → β
m' : β → γ
s : Set α✝
t : Set β
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
i : ι
f : Filter (α i)
H : Nonempty ((j : ι) → α j)
\u22a2 (comap (eval i) f).NeBot ↔ (∀ (j : ι), Nonempty (α j)) ∧ f.NeBot
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
k : ℕ
x✝ : autoParam (k + 2 ≤ 4) _auto✝
\u22a2 ((AdicCompletion.secondRow I M f).sc ⋯ k ⋯).Exact
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
k : ℕ
x✝ : autoParam (k + 2 ≤ 4) _auto✝
\u22a2 ∀ (x₂ : ↑((AdicCompletion.secondRow I M f).sc ⋯ k ⋯).X₂), ((AdicCompletion.secondRow I M f).sc ⋯ k ⋯).g x₂ = 0 → ∃ x₁, ((AdicCompletion.secondRow I M f).sc ⋯ k ⋯).f x₁ = x₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.Regular
\u22a2 (∃ K, IsCompact K ∧ μ K ≠ 0) ↔ μ ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
\u22a2 (S.leftHomologyπ ≫ S.leftHomologyIso.hom) ≫ S.rightHomologyIso.inv ≫ S.rightHomologyι = S.iCycles ≫ S.pOpcycles
-- Mathlib/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
\u22a2 Ioc a b = 0 ↔ ¬a < b
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ✝ : Type w
β : ι → Type v
β₁✝ : ι → Type v₁
β₂✝ : ι → Type v₂
inst✝⁵ : DecidableEq ι
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
β₁ : ι₁ → Type u_1
β₂ : ι₂ → Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq ι₁
inst✝³ : DecidableEq ι₂
inst✝² : (i : ι₁) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝¹ : (i : ι₂) → AddZeroClass (β₂ i)
inst✝ : AddCommMonoid γ
h : (i : ι₁) → (j : ι₂) → β₁ i →+ β₂ j →+ γ
f₁ : (i : ι₁) → β₁ i
support'✝¹ : Trunc { s // ∀ (i : ι₁), i ∈ s ∨ f₁ i = 0 }
s₁ : Multiset ι₁
h₁ : ∀ (i : ι₁), i ∈ s₁ ∨ f₁ i = 0
f₂ : (i : ι₂) → β₂ i
support'✝ : Trunc { s // ∀ (i : ι₂), i ∈ s ∨ f₂ i = 0 }
s₂ : Multiset ι₂
h₂ : ∀ (i : ι₂), i ∈ s₂ ∨ f₂ i = 0
\u22a2 (sumAddHom fun i₂ => (sumAddHom fun i₁ => h i₁ i₂) { toFun := f₁, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s₁, h₁⟩ }) { toFun := f₂, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s₂, h₂⟩ } = (sumAddHom fun i₁ => (sumAddHom fun i₂ => (h i₁ i₂).flip) { toFun := f₂, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s₂, h₂⟩ }) { toFun := f₁, support' := Quot.mk Setoid.r ⟨s₁, h₁⟩ }
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ✝ : Type w
β : ι → Type v
β₁✝ : ι → Type v₁
β₂✝ : ι → Type v₂
inst✝⁵ : DecidableEq ι
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
β₁ : ι₁ → Type u_1
β₂ : ι₂ → Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq ι₁
inst✝³ : DecidableEq ι₂
inst✝² : (i : ι₁) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝¹ : (i : ι₂) → AddZeroClass (β₂ i)
inst✝ : AddCommMonoid γ
h : (i : ι₁) → (j : ι₂) → β₁ i →+ β₂ j →+ γ
f₁ : (i : ι₁) → β₁ i
support'✝¹ : Trunc { s // ∀ (i : ι₁), i ∈ s ∨ f₁ i = 0 }
s₁ : Multiset ι₁
h₁ : ∀ (i : ι₁), i ∈ s₁ ∨ f₁ i = 0
f₂ : (i : ι₂) → β₂ i
support'✝ : Trunc { s // ∀ (i : ι₂), i ∈ s ∨ f₂ i = 0 }
s₂ : Multiset ι₂
h₂ : ∀ (i : ι₂), i ∈ s₂ ∨ f₂ i = 0
\u22a2 ∑ x ∈ s₂.toFinset, ∑ x_1 ∈ s₁.toFinset, ((h x_1 x) (f₁ x_1)) (f₂ x) = ∑ x ∈ s₁.toFinset, ∑ x_1 ∈ s₂.toFinset, ((h x x_1) (f₁ x)) (f₂ x_1)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝⁷ : Field 𝕂
inst✝⁶ : Ring 𝔸
inst✝⁵ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝³ : TopologicalRing 𝔸
inst✝² : T2Space 𝔸
inst✝¹ : StarRing 𝔸
inst✝ : ContinuousStar 𝔸
x : 𝔸
\u22a2 star (exp 𝕂 x) = exp 𝕂 (star x)
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
\u22a2 PathConnectedSpace X ↔ ∃ x, pathComponent x = univ
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
\u22a2 (x ~ᵢ y) ↔ ∀ (s : Set X), IsOpen s → (x ∈ s ↔ y ∈ s)
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Z → X
h : f ⁻¹' e.source = univ
\u22a2 Continuous f ↔ Continuous (↑e ∘ f)
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Z → X
h : f ⁻¹' e.source = univ
\u22a2 ContinuousOn f univ ↔ ContinuousOn (↑e ∘ f) univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
g✝ : E → F
c : ℝ≥0
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
hg : LipschitzWith c g✝
g0 : g✝ 0 = 0
f g : ↥(Lp E p μ)
\u22a2 dist (hg.compLp g0 f) (hg.compLp g0 g) ≤ ↑c * dist f g
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : ℕ
\u22a2 (ofNat' (n + 1)).toZNum = (ofNat' n).toZNum + 1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
\u22a2 (ofNat' 0).toZNum = (ofNat' (0 + 1)).toZNumNeg + 1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
\u22a2 toZNum 0 = (0 + 1).toZNumNeg + 1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : ℕ
\u22a2 (ofNat' (n + 1)).toZNumNeg = (ofNat' (n + 1 + 1)).toZNumNeg + 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : (i : η) → AddCommGroup (φ i)
inst✝² : (i : η) → Module R (φ i)
inst✝¹ : ∀ (i : η), Module.Free R (φ i)
inst✝ : Finite η
\u22a2 Module.rank R ((i : η) → φ i) = sum fun i => Module.rank R (φ i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : (i : η) → AddCommGroup (φ i)
inst✝² : (i : η) → Module R (φ i)
inst✝¹ : ∀ (i : η), Module.Free R (φ i)
inst✝ : Finite η
val✝ : Fintype η
\u22a2 Module.rank R ((i : η) → φ i) = sum fun i => Module.rank R (φ i)