ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝¹⁷ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁶ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁵ : IsDedekindDomain S
inst✝¹⁴ : Algebra R S
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : IsDedekindDomain R
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra S L
inst✝⁷ : IsFractionRing S L
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : IsScalarTower R S L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsNoetherian R S
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : p.IsMaximal
hp0 : p ≠ ⊥
e : Ideal S → ℕ := ramificationIdx (algebraMap R S) p
f : Ideal S → [inst : p.IsMaximal] → ℕ := inertiaDeg (algebraMap R S) p
inj_RL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
inj_RS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
\u22a2 finrank (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p) = finrank K L
-- Mathlib/NumberTheory/EllipticDivisibilitySequence.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
m : ℕ
\u22a2 normEDS b c d (2 * (↑m + 2) + 1) = normEDS b c d (↑m + 4) * normEDS b c d (↑m + 2) ^ 3 - normEDS b c d (↑m + 1) * normEDS b c d (↑m + 3) ^ 3
-- Mathlib/NumberTheory/EllipticDivisibilitySequence.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
m : ℕ
\u22a2 (preNormEDS' (b ^ 4) c d (2 * (m + 2) + 1) * if Even (2 * (m + 2) + 1) then b else 1) = (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 4) * if Even (m + 4) then b else 1) * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 2) * if Even (m + 2) then b else 1) ^ 3 - (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 1) * if Even (m + 1) then b else 1) * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 3) * if Even (m + 3) then b else 1) ^ 3
-- Mathlib/NumberTheory/EllipticDivisibilitySequence.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
m : ℕ
\u22a2 ((preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 4) * preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 2) ^ 3 * if Even m then b ^ 4 else 1) - preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 1) * preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 3) ^ 3 * if Even m then 1 else b ^ 4) * 1 = (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 4) * if Even m then b else 1) * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 2) * if Even m then b else 1) ^ 3 - (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 1) * if Even m then 1 else b) * (preNormEDS' (b ^ 4) c d (m + 3) * if Even m then 1 else b) ^ 3
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹ : Monoid M
a✝ b c : M
m n : ℕ
P : Prop
inst✝ : Decidable P
a : M
\u22a2 (a ^ if P then 1 else 0) = if P then a else 1
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
i f : N →ₗ[R] M
hi : Injective ⇑i
hf : Surjective ⇑f
\u22a2 Injective ⇑f
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
i f : N →ₗ[R] M
hi : Injective ⇑i
hf : Surjective ⇑f
this : IsNoetherian R N
\u22a2 Injective ⇑f
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
i f : N →ₗ[R] M
hi : Injective ⇑i
hf : Surjective ⇑f
this : IsNoetherian R N
n : ℕ
H : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → { toFun := fun n => f.iterateMapComap i n ⊥, monotone' := ⋯ } n = { toFun := fun n => f.iterateMapComap i n ⊥, monotone' := ⋯ } m
\u22a2 Injective ⇑f
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x : A
y : B
h : IsIntegral R y
\u22a2 IsIntegral A (x ⊗ₜ[R] y)
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
x : A
y : B
h : IsIntegral R y
\u22a2 IsIntegral A (x • 1 ⊗ₜ[R] y)
-- Mathlib/Algebra/ModEq.lean
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
a b c p : α
hc : c ≠ 0
\u22a2 a / c ≡ b / c [PMOD p] ↔ a ≡ b [PMOD p * c]
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
m n : ℕ
\u22a2 ↑(m ^ n) = ↑m ^ ↑n
-- Mathlib/CategoryTheory/Dialectica/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C
e₁ : X.src ≅ Y.src
e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt
eq : X.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel
\u22a2 (Subobject.pullback π(π₁, π₂ ≫ e₂.inv)).obj X.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom (𝟙 Y.tgt))).obj Y.rel
-- Mathlib/CategoryTheory/Dialectica/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C
e₁ : X.src ≅ Y.src
e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt
eq : X.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel
\u22a2 (Subobject.pullback (π(π₁, π₂ ≫ e₂.inv) ≫ prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom (𝟙 Y.tgt))).obj Y.rel
-- Mathlib/CategoryTheory/Dialectica/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C
e₁ : X.src ≅ Y.src
e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt
eq : X.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel
\u22a2 (Subobject.pullback (π(π₁, π₂ ≫ e₂.inv) ≫ prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom (𝟙 Y.tgt))).obj Y.rel
-- Mathlib/CategoryTheory/Dialectica/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C
e₁ : X.src ≅ Y.src
e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt
eq : X.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel
\u22a2 (Subobject.pullback π(π₁, π₂ ≫ e₂.hom)).obj Y.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map e₁.inv (𝟙 X.tgt))).obj X.rel
-- Mathlib/CategoryTheory/Dialectica/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C
e₁ : X.src ≅ Y.src
e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt
eq : X.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel
\u22a2 (Subobject.pullback π(π₁, π₂ ≫ e₂.hom)).obj Y.rel ≤ (Subobject.pullback (prod.map e₁.inv (𝟙 X.tgt) ≫ prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel
-- Mathlib/CategoryTheory/Dialectica/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C
e₁ : X.src ≅ Y.src
e₂ : X.tgt ≅ Y.tgt
eq : X.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel
\u22a2 (Subobject.pullback π(π₁, π₂ ≫ e₂.hom)).obj Y.rel = (Subobject.pullback (prod.map e₁.inv (𝟙 X.tgt) ≫ prod.map e₁.hom e₂.hom)).obj Y.rel
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IndYoneda.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝¹ : Category.{v₂, v₁} I
F : I ⥤ C
inst✝ : HasColimit F
i : I
\u22a2 (coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda F).hom ≫ limit.π (F.op ⋙ coyoneda) (op i) = coyoneda.map (colimit.ι F i).op
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
F : ι → α → G
f : α → G
bound : ι → α → ℝ
hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) μ
h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a
bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a
bound_integrable : Integrable (fun a => ∑' (n : ι), bound n a) μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a)
\u22a2 HasSum (fun n => ∫ (a : α), F n a ∂μ) (∫ (a : α), f a ∂μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
F : ι → α → G
f : α → G
bound : ι → α → ℝ
hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) μ
h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a
bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a
bound_integrable : Integrable (fun a => ∑' (n : ι), bound n a) μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a)
hb_nonneg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ι), 0 ≤ bound n a
\u22a2 HasSum (fun n => ∫ (a : α), F n a ∂μ) (∫ (a : α), f a ∂μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
F : ι → α → G
f : α → G
bound : ι → α → ℝ
hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) μ
h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a
bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a
bound_integrable : Integrable (fun a => ∑' (n : ι), bound n a) μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a)
hb_nonneg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ι), 0 ≤ bound n a
hb_le_tsum : ∀ (n : ι), bound n ≤ᶠ[ae μ] fun a => ∑' (n : ι), bound n a
\u22a2 HasSum (fun n => ∫ (a : α), F n a ∂μ) (∫ (a : α), f a ∂μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
F : ι → α → G
f : α → G
bound : ι → α → ℝ
hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) μ
h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a
bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a
bound_integrable : Integrable (fun a => ∑' (n : ι), bound n a) μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a)
hb_nonneg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ι), 0 ≤ bound n a
hb_le_tsum : ∀ (n : ι), bound n ≤ᶠ[ae μ] fun a => ∑' (n : ι), bound n a
hF_integrable : ∀ (n : ι), Integrable (F n) μ
\u22a2 HasSum (fun n => ∫ (a : α), F n a ∂μ) (∫ (a : α), f a ∂μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
F : ι → α → G
f : α → G
bound : ι → α → ℝ
hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) μ
h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a
bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a
bound_integrable : Integrable (fun a => ∑' (n : ι), bound n a) μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a)
hb_nonneg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ι), 0 ≤ bound n a
hb_le_tsum : ∀ (n : ι), bound n ≤ᶠ[ae μ] fun a => ∑' (n : ι), bound n a
hF_integrable : ∀ (n : ι), Integrable (F n) μ
\u22a2 Tendsto (fun s => ∫ (a : α), ∑ i ∈ s, F i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α), f a ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
F : ι → α → G
f : α → G
bound : ι → α → ℝ
hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) μ
h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a
bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a
bound_integrable : Integrable (fun a => ∑' (n : ι), bound n a) μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a)
hb_nonneg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ι), 0 ≤ bound n a
hb_le_tsum : ∀ (n : ι), bound n ≤ᶠ[ae μ] fun a => ∑' (n : ι), bound n a
hF_integrable : ∀ (n : ι), Integrable (F n) μ
\u22a2 ∀ᶠ (n : Finset ι) in atTop, AEStronglyMeasurable (fun a => ∑ i ∈ n, F i a) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
F : ι → α → G
f : α → G
bound : ι → α → ℝ
hF_meas : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (F n) μ
h_bound : ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound n a
bound_summable : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => bound n a
bound_integrable : Integrable (fun a => ∑' (n : ι), bound n a) μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => F n a) (f a)
hb_nonneg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (n : ι), 0 ≤ bound n a
hb_le_tsum : ∀ (n : ι), bound n ≤ᶠ[ae μ] fun a => ∑' (n : ι), bound n a
hF_integrable : ∀ (n : ι), Integrable (F n) μ
\u22a2 ∀ᶠ (n : Finset ι) in atTop, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖∑ i ∈ n, F i a‖ ≤ (fun a => ∑' (n : ι), bound n a) a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
i : Set α
hi : MeasurableSet i
\u22a2 ↑(μ.toSignedMeasure - ν.toSignedMeasure) i = (μ i).toReal - (ν i).toReal
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
x : R
\u22a2 eval x (nodal s v) = ∏ i ∈ s, (x - v i)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
l : Filter ι
h : TendstoUniformlyOn F f l s
u : ℕ → ι
hu : Tendsto u atTop l
\u22a2 TendstoUniformlyOn (fun n => F (u n)) f atTop s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
l : Filter ι
h : Tendsto (fun q => (f q.2, F q.1 q.2)) (l ×ˢ 𝓟 s) (𝓤 β)
u : ℕ → ι
hu : Tendsto u atTop l
\u22a2 Tendsto (fun q => (f q.2, F (u q.1) q.2)) (atTop ×ˢ 𝓟 s) (𝓤 β)
-- Mathlib/RingTheory/TwoSidedIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x y : R
hx : x ∈ I
\u22a2 x * y ∈ I
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ : P
v₁ v₂ v₃ : V
\u22a2 ∠ (-v₁) (-v₂) (-v₃) = ∠ v₁ v₂ v₃
-- Mathlib/Algebra/Ring/Units.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring α
a✝ b✝ a b : α
u : αˣ
\u22a2 a + b /ₚ u = (a * ↑u + b) /ₚ u
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
\u22a2 primitiveRoots 0 R = ∅
-- Mathlib/NumberTheory/FrobeniusNumber.lean
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
hm : 1 < m
hn : 1 < n
\u22a2 FrobeniusNumber (m * n - m - n) {m, n}
-- Mathlib/NumberTheory/FrobeniusNumber.lean
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
hm : 1 < m
hn : 1 < n
\u22a2 IsGreatest {k | ¬∃ m_1 n_1, m_1 • m + n_1 • n = k} (m * n - m - n)
-- Mathlib/NumberTheory/FrobeniusNumber.lean
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
hm : 1 < m
hn : 1 < n
hmn : m + n ≤ m * n
\u22a2 IsGreatest {k | ¬∃ m_1 n_1, m_1 • m + n_1 • n = k} (m * n - m - n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
\u22a2 map (snd R M M₂) (fst R M M₂) = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
\u22a2 map (snd R M M₂) (fst R M M₂) ≤ ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M₂
\u22a2 x ∈ map (snd R M M₂) (fst R M M₂) → x ∈ ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommMonoid P
inst✝⁸ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
f₁ f₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g : M₂ →ₗ[R] M
x✝ : ι → M₂
\u22a2 ((f₁ + f₂).compLinearMap g) x✝ = (f₁.compLinearMap g + f₂.compLinearMap g) x✝
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a b : α
f : (i : ι) → κ i → α
\u22a2 Disjoint a (⨆ i, ⨆ j, f i j) ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), Disjoint a (f i j)
-- Mathlib/Order/GaloisConnection.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set α
x✝ : BddAbove (l '' s)
x : β
hx : x ∈ upperBounds (l '' s)
\u22a2 u x ∈ upperBounds s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
A : f ≤ᶠ[ae μ] g
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
A : f ≤ᶠ[ae μ] g
B : g ≤ᶠ[ae μ] f
\u22a2 f =ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
A : Matrix m n α
\u22a2 ↑((∑ i : m, ∑ j : n, ‖A i j‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2)) = (∑ i : m, ∑ j : n, ‖A i j‖ ^ 2) ^ (1 / 2)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/SMul.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t A B : Set β
a : α
x : β
s : Set β
\u22a2 ⋃ g, g • s = {a | ∃ g, g • a ∈ s}
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r✝ C✝ : ℝ
f : ℕ → α
C : ℝ
u : ℕ → α
N : ℕ
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr₁ : r < 1
h : ∀ n ≥ N, ‖u n‖ ≤ C * r ^ n
v : ℕ → α := fun n => if n < N then 0 else u n
\u22a2 CauchySeq fun n => ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), u k
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r✝ C✝ : ℝ
f : ℕ → α
C : ℝ
u : ℕ → α
N : ℕ
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr₁ : r < 1
h : ∀ n ≥ N, ‖u n‖ ≤ C * r ^ n
v : ℕ → α := fun n => if n < N then 0 else u n
hC : 0 ≤ C
\u22a2 CauchySeq fun n => ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), u k
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r✝ C✝ : ℝ
f : ℕ → α
C : ℝ
u : ℕ → α
N : ℕ
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr₁ : r < 1
h : ∀ n ≥ N, ‖u n‖ ≤ C * r ^ n
v : ℕ → α := fun n => if n < N then 0 else u n
hC : 0 ≤ C
this : ∀ n ≥ N, u n = v n
\u22a2 CauchySeq fun n => ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), u k
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r✝ C✝ : ℝ
f : ℕ → α
C : ℝ
u : ℕ → α
N : ℕ
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr₁ : r < 1
h : ∀ n ≥ N, ‖u n‖ ≤ C * r ^ n
v : ℕ → α := fun n => if n < N then 0 else u n
hC : 0 ≤ C
this : ∀ n ≥ N, u n = v n
\u22a2 ℝ
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r✝ C✝ : ℝ
f : ℕ → α
C : ℝ
u : ℕ → α
N : ℕ
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr₁ : r < 1
h : ∀ n ≥ N, ‖u n‖ ≤ C * r ^ n
v : ℕ → α := fun n => if n < N then 0 else u n
hC : 0 ≤ C
this : ∀ n ≥ N, u n = v n
\u22a2 ∀ (n : ℕ), ‖v n‖ ≤ ?m.158269 * r ^ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MetricSpace β
μ : Measure α
inst✝⁴ : SemilatticeSup ι
inst✝³ : Nonempty ι
inst✝² : Countable ι
γ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f : ι → α → β
g : α → β
s : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ
hε : 0 < ε
\u22a2 ∃ t, MeasurableSet t ∧ μ t ≤ ENNReal.ofReal ε ∧ TendstoUniformlyOn f g atTop tᶜ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MetricSpace β
μ : Measure α
inst✝⁴ : SemilatticeSup ι
inst✝³ : Nonempty ι
inst✝² : Countable ι
γ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f : ι → α → β
g : α → β
s : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ
hε : 0 < ε
t : Set α
left✝ : t ⊆ univ
ht : MeasurableSet t
htendsto : μ t ≤ ENNReal.ofReal ε ∧ TendstoUniformlyOn f g atTop (univ \ t)
\u22a2 ∃ t, MeasurableSet t ∧ μ t ≤ ENNReal.ofReal ε ∧ TendstoUniformlyOn f g atTop tᶜ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MetricSpace β
μ : Measure α
inst✝⁴ : SemilatticeSup ι
inst✝³ : Nonempty ι
inst✝² : Countable ι
γ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f : ι → α → β
g : α → β
s : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ
hε : 0 < ε
t : Set α
left✝ : t ⊆ univ
ht : MeasurableSet t
htendsto : μ t ≤ ENNReal.ofReal ε ∧ TendstoUniformlyOn f g atTop (univ \ t)
\u22a2 μ t ≤ ENNReal.ofReal ε ∧ TendstoUniformlyOn f g atTop tᶜ
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x✝ y✝ : L
hy✝ : y✝ ∈ I
x : L
hx : x ∈ ↑I
y : L
hy : y ∈ ↑I
\u22a2 ((traceForm R ↥↑I ↥↑N) ⟨x, hx⟩) ⟨y, hy⟩ = (trace R M) (φ x ∘ₗ φ y)
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x✝ y✝ : L
hy✝ : y✝ ∈ I
x : L
hx : x ∈ ↑I
y : L
hy : y ∈ ↑I
\u22a2 ((traceForm R ↥↑I ↥↑N) ⟨x, hx⟩) ⟨y, hy⟩ = (trace R ↥↑N) ((φ x ∘ₗ φ y).restrict ⋯)