ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/InitTail.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
x : 𝕎 R
n : ℕ
\u22a2 init n (x ^ m) = init n (init n x ^ m)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
V : Type u
x : { adj // (∀ (x y : V), adj x y = adj y x) ∧ ∀ (x : V), ¬adj x x = true }
v w : V
\u22a2 (fun v w => ↑x v w = true) v w → (fun v w => ↑x v w = true) w v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
V : Type u
x : { adj // (∀ (x y : V), adj x y = adj y x) ∧ ∀ (x : V), ¬adj x x = true }
v : V
\u22a2 ¬(fun v w => ↑x v w = true) v v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
V : Type u
adj : V → V → Bool
property✝¹ : (∀ (x y : V), adj x y = adj y x) ∧ ∀ (x : V), ¬adj x x = true
adj' : V → V → Bool
property✝ : (∀ (x y : V), adj' x y = adj' y x) ∧ ∀ (x : V), ¬adj' x x = true
h : (fun v w => adj v w = true) = fun v w => adj' v w = true
\u22a2 adj = adj'
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
V : Type u
adj : V → V → Bool
property✝¹ : (∀ (x y : V), adj x y = adj y x) ∧ ∀ (x : V), ¬adj x x = true
adj' : V → V → Bool
property✝ : (∀ (x y : V), adj' x y = adj' y x) ∧ ∀ (x : V), ¬adj' x x = true
h : (fun v w => adj v w = true) = fun v w => adj' v w = true
v w : V
\u22a2 adj v w = adj' v w
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Polish.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s : Set α
t : TopologicalSpace α
t_le : t ≤ inst✝
t_polish : PolishSpace α
h : IsClosed s
h' : IsOpen s
\u22a2 IsClopenable sᶜ
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Monoidal.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : MonoidalCategory C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝⁴ : Closed A
inst✝³ : Closed B
A₁ A₂ A₃ : C
inst✝² : Closed A₁
inst✝¹ : Closed A₂
inst✝ : Closed A₃
f : A₁ ⟶ A₂
g : A₂ ⟶ A₃
\u22a2 pre (f ≫ g) = pre g ≫ pre f
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
f : F → IntermediateField F E := fun x => F⟮α + x • β⟯
\u22a2 ∃ γ, F⟮α, β⟯ = F⟮γ⟯
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
f : F → IntermediateField F E := fun x => F⟮α + x • β⟯
x y : F
hneq : x ≠ y
heq : f x = f y
\u22a2 ∃ γ, F⟮α, β⟯ = F⟮γ⟯
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
f : F → IntermediateField F E := fun x => F⟮α + x • β⟯
x y : F
hneq : x ≠ y
heq : f x = f y
\u22a2 F⟮α, β⟯ = F⟮α + x • β⟯
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
f : F → IntermediateField F E := fun x => F⟮α + x • β⟯
x y : F
hneq : x ≠ y
heq : f x = f y
\u22a2 F⟮α, β⟯ ≤ F⟮α + x • β⟯
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
f : F → IntermediateField F E := fun x => F⟮α + x • β⟯
x y : F
hneq : x ≠ y
heq : f x = f y
\u22a2 F⟮α + x • β⟯ ≤ F⟮α, β⟯
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ
\u22a2 normSq (exp ℝ q) = normSq (exp ℝ q.re • (↑(Real.cos ‖q.im‖) + (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖) • q.im))
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ
\u22a2 normSq (exp ℝ q.re • (↑(Real.cos ‖q.im‖) + (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖) • q.im)) = exp ℝ q.re ^ 2 * normSq (↑(Real.cos ‖q.im‖) + (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖) • q.im)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ
\u22a2 normSq (↑(Real.cos ‖q.im‖) + (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖) • q.im) = Real.cos ‖q.im‖ ^ 2 + Real.sin ‖q.im‖ ^ 2
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ
hv : ‖q.im‖ = 0
\u22a2 normSq (↑(Real.cos ‖q.im‖) + (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖) • q.im) = Real.cos ‖q.im‖ ^ 2 + Real.sin ‖q.im‖ ^ 2
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ
hv : ‖q.im‖ ≠ 0
\u22a2 normSq (↑(Real.cos ‖q.im‖) + (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖) • q.im) = Real.cos ‖q.im‖ ^ 2 + Real.sin ‖q.im‖ ^ 2
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ
\u22a2 exp ℝ q.re ^ 2 * (Real.cos ‖q.im‖ ^ 2 + Real.sin ‖q.im‖ ^ 2) = exp ℝ q.re ^ 2
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ℕ → MvPolynomial (idx × ℕ) ℤ
h : ∀ (n : ℕ), (bind₁ f) (wittPolynomial p ℤ n) = (bind₁ g) (wittPolynomial p ℤ n)
n : ℕ
\u22a2 f n = g n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ℕ → MvPolynomial (idx × ℕ) ℤ
h : ∀ (n : ℕ), (bind₁ f) (wittPolynomial p ℤ n) = (bind₁ g) (wittPolynomial p ℤ n)
n : ℕ
\u22a2 (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (f n) = (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (g n)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ℕ → MvPolynomial (idx × ℕ) ℤ
h : (fun n => (bind₁ f) (wittPolynomial p ℤ n)) = fun n => (bind₁ g) (wittPolynomial p ℤ n)
n : ℕ
\u22a2 (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (f n) = (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (g n)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ℕ → MvPolynomial (idx × ℕ) ℤ
n : ℕ
h : ((fun fam => (bind₁ (⇑(MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ∘ fam)) (xInTermsOfW p ℚ n)) fun n => (bind₁ f) (wittPolynomial p ℤ n)) = (fun fam => (bind₁ (⇑(MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ∘ fam)) (xInTermsOfW p ℚ n)) fun n => (bind₁ g) (wittPolynomial p ℤ n)
\u22a2 (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (f n) = (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (g n)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ s
hy : x + y ∈ s
t : 𝕜
ht : t ∈ Icc 0 1
\u22a2 x + t • y ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ s
hy : x + y ∈ s
t : 𝕜
ht : t ∈ Icc 0 1
h : x + t • y = (1 - t) • x + t • (x + y)
\u22a2 x + t • y ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ s
hy : x + y ∈ s
t : 𝕜
ht : t ∈ Icc 0 1
h : x + t • y = (1 - t) • x + t • (x + y)
\u22a2 (1 - t) • x + t • (x + y) ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp 𝕜 2 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
\u22a2 ∫ (x : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, ↑↑f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp 𝕜 2 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
\u22a2 ∫ (x : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f) x ∂μ = ⟪indicatorConstLp 2 ⋯ hμs 1, f⟫_𝕜
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp 𝕜 2 μ)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
h_eq_inner : ∫ (x : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f) x ∂μ = ⟪indicatorConstLp 2 ⋯ hμs 1, ↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f)⟫_𝕜
\u22a2 ∫ (x : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 𝕜 𝕜 hm) f) x ∂μ = ⟪indicatorConstLp 2 ⋯ hμs 1, f⟫_𝕜
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/EpiMono.lean
A B : Grp
f : A ⟶ B
b : ↑B
hb : b ∉ MonoidHom.range f
b' : ↑B := b
r : b' • ↑(MonoidHom.range f) = ↑(MonoidHom.range f)
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/EpiMono.lean
A B : Grp
f : A ⟶ B
b : ↑B
hb : b ∉ MonoidHom.range f
b' : ↑B := b
r : b' • ↑(MonoidHom.range f) = 1 • ↑(MonoidHom.range f)
\u22a2 False
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/EpiMono.lean
A B : Grp
f : A ⟶ B
b : ↑B
hb : b ∉ MonoidHom.range f
b' : ↑B := b
r : b'⁻¹ ∈ MonoidHom.range f
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Finsupp/Order.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ι →₀ α
a✝ : ι
\u22a2 a✝ ∈ (f ⊓ g).support ↔ a✝ ∈ f.support ∩ g.support
-- Mathlib/Data/Finsupp/Order.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ι →₀ α
a✝ : ι
\u22a2 ¬f a✝ ⊓ g a✝ = 0 ↔ ¬f a✝ = 0 ∧ ¬g a✝ = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/QuadraticMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : QuadraticMap 𝕜 E F
a b : E
\u22a2 HasLineDerivAt 𝕜 (⇑f) (polar (⇑f) a b) a b
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, DifferentiableAt ℝ f x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 a, deriv g x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝 a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝 a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝 a) l
\u22a2 Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[≠] a) l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
l : List ι
x : E
h : ∀ i ∈ l, HasFDerivAt (fun x => f i x) (f' i) x
\u22a2 HasFDerivAt (fun x => (List.map (fun x_1 => f x_1 x) l).prod) (∑ i : Fin l.length, (List.map (fun x_1 => f x_1 x) (List.take (↑i) l)).prod • (f' (l.get i)).smulRight (List.map (fun x_1 => f x_1 x) (List.drop (↑i).succ l)).prod) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
l : List ι
x : E
h : ∀ i ∈ l, HasFDerivAt (fun x => f i x) (f' i) x
\u22a2 HasFDerivAt (fun x => (List.map ((fun x_1 => f x_1 x) ∘ l.get) (List.finRange l.length)).prod) (∑ x_1 : Fin l.length, (List.map (fun x_2 => f x_2 x) (List.take (↑x_1) (List.map l.get (List.finRange l.length)))).prod • (f' (l.get x_1)).smulRight (List.map (fun x_2 => f x_2 x) (List.drop (↑x_1).succ (List.map l.get (List.finRange l.length)))).prod) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
l : List ι
x : E
h : ∀ i ∈ l, HasFDerivAt (fun x => f i x) (f' i) x
\u22a2 (∑ i : Fin l.length, (List.map ((fun x_1 => f x_1 x) ∘ l.get) (List.take (↑i) (List.finRange l.length))).prod • (proj i).smulRight (List.map ((fun x_1 => f x_1 x) ∘ l.get) (List.drop (↑i).succ (List.finRange l.length))).prod).comp (ContinuousLinearMap.pi fun i => f' (l.get i)) = ∑ x_1 : Fin l.length, (List.map (fun x_2 => f x_2 x) (List.take (↑x_1) (List.map l.get (List.finRange l.length)))).prod • (f' (l.get x_1)).smulRight (List.map (fun x_2 => f x_2 x) (List.drop (↑x_1).succ (List.map l.get (List.finRange l.length)))).prod
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Fintype F
hF : ringChar F ≠ 2
a : F
ha : a ≠ 0
\u22a2 a ^ (Fintype.card F / 2) = 1 ∨ a ^ (Fintype.card F / 2) = -1
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Fintype F
hF : ringChar F ≠ 2
a : F
ha : a ≠ 0
h₁ : a ^ (Fintype.card F - 1) = 1
\u22a2 a ^ (Fintype.card F / 2) = 1 ∨ a ^ (Fintype.card F / 2) = -1
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Fintype F
hF : ringChar F ≠ 2
a : F
ha : a ≠ 0
h₁ : a ^ (Fintype.card F / 2) * a ^ (Fintype.card F / 2) = 1
\u22a2 a ^ (Fintype.card F / 2) = 1 ∨ a ^ (Fintype.card F / 2) = -1
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
\u22a2 s.OrdConnected ↔ ↑(upperClosure s) ∩ ↑(lowerClosure s) = s
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
h : ↑(upperClosure s) ∩ ↑(lowerClosure s) = s
\u22a2 s.OrdConnected
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
h : ↑(upperClosure s) ∩ ↑(lowerClosure s) = s
\u22a2 (↑(upperClosure s) ∩ ↑(lowerClosure s)).OrdConnected
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
la : Filter α
pa : ι → Prop
sa : ι → Set α
lb : Filter β
pb : ι' → Prop
sb : ι' → Set β
f : α → β
hla : la.HasBasis pa sa
\u22a2 Tendsto f la lb ↔ ∀ t ∈ lb, ∃ i, pa i ∧ MapsTo f (sa i) t
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
la : Filter α
pa : ι → Prop
sa : ι → Set α
lb : Filter β
pb : ι' → Prop
sb : ι' → Set β
f : α → β
hla : la.HasBasis pa sa
\u22a2 (∀ t ∈ lb, ∃ i, pa i ∧ sa i ⊆ f ⁻¹' t) ↔ ∀ t ∈ lb, ∃ i, pa i ∧ MapsTo f (sa i) t
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : SemilatticeInf α
inst✝⁵ : BoundedOrder α
inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : SemilatticeInf β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
hs : a ∈ upperClosure ↑s
ht : a ∈ upperClosure ↑t
\u22a2 (s ∪ t).truncatedInf a = s.truncatedInf a ⊓ t.truncatedInf a
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' s : Cycle α
h : s.Nodup
hn : s.Nontrivial
\u22a2 (s.formPerm h).IsCycle
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
a✝ : List α
h : Nodup (Quot.mk Setoid.r a✝)
hn : Nontrivial (Quot.mk Setoid.r a✝)
\u22a2 (formPerm (Quot.mk Setoid.r a✝) h).IsCycle
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Fin.lean
n : ℕ
a b : Fin n
\u22a2 map valEmbedding (Icc a b) = Icc ↑a ↑b
-- Mathlib/Algebra/Ring/Commute.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
a b : R
h : Commute a b
\u22a2 a * a = b * b ↔ a = b ∨ a = -b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
W : Type u_2
G' : SimpleGraph W
f : G ≃g G'
inst✝¹ : Fintype ↑G.edgeSet
inst✝ : Fintype ↑G'.edgeSet
\u22a2 G.edgeFinset.card = G'.edgeFinset.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
W : Type u_2
G' : SimpleGraph W
f : G ≃g G'
inst✝¹ : Fintype ↑G.edgeSet
inst✝ : Fintype ↑G'.edgeSet
\u22a2 { x // x ∈ G.edgeFinset } ≃ { x // x ∈ G'.edgeFinset }
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
W : Type u_2
G' : SimpleGraph W
f : G ≃g G'
inst✝¹ : Fintype ↑G.edgeSet
inst✝ : Fintype ↑G'.edgeSet
\u22a2 { x // x ∈ G.edgeSet } ≃ { x // x ∈ G'.edgeSet }
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
w : V
hw : w ≠ 0
\u22a2 ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f (v + i w) = -∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
w : V
hw : w ≠ 0
hiw : ⟪i w, w⟫_ℝ = 1 / 2
\u22a2 ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f (v + i w) = -∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
w : V
hw : w ≠ 0
hiw : ⟪i w, w⟫_ℝ = 1 / 2
this : (fun v => 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f (v + i w)) = fun v => (fun x => -(𝐞 (-⟪x, w⟫_ℝ) • f x)) (v + i w)
\u22a2 ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f (v + i w) = -∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
w : V
hw : w ≠ 0
hiw : ⟪i w, w⟫_ℝ = 1 / 2
this : (fun v => 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f (v + i w)) = fun v => (fun x => -(𝐞 (-⟪x, w⟫_ℝ) • f x)) (v + i w)
\u22a2 ∫ (v : V), (fun x => -(𝐞 (-⟪x, w⟫_ℝ) • f x)) (v + i w) = -∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
w : V
hw : w ≠ 0
hiw : ⟪i w, w⟫_ℝ = 1 / 2
this✝ : (fun v => 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f (v + i w)) = fun v => (fun x => -(𝐞 (-⟪x, w⟫_ℝ) • f x)) (v + i w)
this : ∫ (x : V), -(𝐞 (-⟪x + i w, w⟫_ℝ) • f (x + i w)) = ∫ (x : V), -(𝐞 (-⟪x, w⟫_ℝ) • f x)
\u22a2 ∫ (v : V), (fun x => -(𝐞 (-⟪x, w⟫_ℝ) • f x)) (v + i w) = -∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : MeasurableSpace V
inst✝³ : BorelSpace V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝ : CompleteSpace E
w : V
hw : w ≠ 0
hiw : ⟪i w, w⟫_ℝ = 1 / 2
this✝ : (fun v => 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f (v + i w)) = fun v => (fun x => -(𝐞 (-⟪x, w⟫_ℝ) • f x)) (v + i w)
this : ∫ (x : V), -(𝐞 (-⟪x + i w, w⟫_ℝ) • f (x + i w)) = ∫ (x : V), -(𝐞 (-⟪x, w⟫_ℝ) • f x)
\u22a2 ∫ (x : V), -(𝐞 (-⟪x, w⟫_ℝ) • f x) = -∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v
-- Mathlib/Topology/Algebra/Affine.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : Field R
inst✝¹ : Module R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : F
t : R
ht : t ≠ 0
\u22a2 IsOpenMap ⇑(homothety x t)
-- Mathlib/Analysis/Complex/RemovableSingularity.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
hd : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : ContinuousAt f c
\u22a2 AnalyticAt ℂ f c
-- Mathlib/Analysis/Complex/RemovableSingularity.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
hd : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : ContinuousAt f c
R : ℝ
hR0 : 0 < R
hRs : closedBall c R ∩ {c}ᶜ ⊆ {x | (fun z => DifferentiableAt ℂ f z) x}
\u22a2 AnalyticAt ℂ f c
-- Mathlib/Analysis/Complex/RemovableSingularity.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
hd : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : ContinuousAt f c
R : ℝ≥0
hR0 : 0 < ↑R
hRs : closedBall c ↑R ∩ {c}ᶜ ⊆ {x | (fun z => DifferentiableAt ℂ f z) x}
\u22a2 AnalyticAt ℂ f c
-- Mathlib/Analysis/Complex/RemovableSingularity.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
hd : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] c, DifferentiableAt ℂ f z
R : ℝ≥0
hR0 : 0 < ↑R
hRs : closedBall c ↑R ∩ {c}ᶜ ⊆ {x | (fun z => DifferentiableAt ℂ f z) x}
hc : ContinuousOn f (closedBall c ↑R)
\u22a2 AnalyticAt ℂ f c
-- Mathlib/Algebra/Ring/Int.lean
m n : ℤ
\u22a2 Odd (m + n) ↔ (Odd m ↔ Even n)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2
\u22a2 W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3) = (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) / (P z * Q z * addZ P Q)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2
\u22a2 (P y / P z ^ 3 - Q y / Q z ^ 3) / ((P x * Q z ^ 2 - Q x * P z ^ 2) / (P z ^ 2 * Q z ^ 2)) = (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) / (P z * Q z * (P x * Q z ^ 2 - Q x * P z ^ 2))