ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Supported.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u
S : Type v
r : R✝
e : ℕ
n m : σ
inst✝¹ : CommSemiring R✝
p q : MvPolynomial σ R✝
s t : Set σ
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
F : MvPolynomial σ ℤ
hF : ∃ x, (rename Subtype.val) x = F
\u22a2 ∃ f, ∀ (x : σ → R), f (x ∘ Subtype.val) = (aeval x) F
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Supported.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u
S : Type v
r : R✝
e : ℕ
n m : σ
inst✝¹ : CommSemiring R✝
p q : MvPolynomial σ R✝
s t : Set σ
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
F : MvPolynomial σ ℤ
F' : MvPolynomial { x // x ∈ s } ℤ
hF' : (rename Subtype.val) F' = F
\u22a2 ∃ f, ∀ (x : σ → R), f (x ∘ Subtype.val) = (aeval x) F
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Supported.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u
S : Type v
r : R✝
e : ℕ
n m : σ
inst✝¹ : CommSemiring R✝
p q : MvPolynomial σ R✝
s t : Set σ
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
F : MvPolynomial σ ℤ
F' : MvPolynomial { x // x ∈ s } ℤ
hF' : (rename Subtype.val) F' = F
\u22a2 ∀ (x : σ → R), (aeval (x ∘ Subtype.val)) F' = (aeval x) F
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Supported.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u
S : Type v
r : R✝
e : ℕ
n m : σ
inst✝¹ : CommSemiring R✝
p q : MvPolynomial σ R✝
s t : Set σ
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
F : MvPolynomial σ ℤ
F' : MvPolynomial { x // x ∈ s } ℤ
hF' : (rename Subtype.val) F' = F
x : σ → R
\u22a2 (aeval (x ∘ Subtype.val)) F' = (aeval x) F
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Order.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : CanonicallyOrderedCommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a : α
hf : Multipliable f
\u22a2 ∏' (i : ι), f i = 1 ↔ ∀ (x : ι), f x = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/AbsoluteValue.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : OrderedCommRing S
inst✝¹ : Ring R
abv : AbsoluteValue R S
inst✝ : NoZeroDivisors S
a b : R
\u22a2 abv a - abv b ≤ abv (a + b)
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 0
\u22a2 P.toPoly = C P.d
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
x : SimplexCategory
i : x ⟶ x
inst✝ : Mono i
\u22a2 i = 𝟙 x
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
x : SimplexCategory
i : x ⟶ x
inst✝ : Mono i
\u22a2 IsIso i
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
x : SimplexCategory
i : x ⟶ x
inst✝ : Mono i
\u22a2 Function.Bijective (Hom.toOrderHom i).toFun
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
x : SimplexCategory
i : x ⟶ x
inst✝ : Mono i
\u22a2 Function.Bijective ⇑(Hom.toOrderHom i)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
x : SimplexCategory
i : x ⟶ x
inst✝ : Mono i
\u22a2 Mono i
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
x y : M × ↥S
\u22a2 (r S) x y ↔ Setoid.r x y
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
x y : M × ↥S
\u22a2 (∃ a ∈ S, a * (↑y.2 * x.1) = a * (↑x.2 * y.1)) ↔ ∃ a ∈ S, ∃ v, a * y.1 = v * x.1 ∧ a * ↑y.2 = v * ↑x.2
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroObject C
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
J : Type u_1
T : J → Triangle C
hT : ∀ (j : J), T j ∈ distinguishedTriangles
inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁
inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂
inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃
inst✝ : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
f₁ : (∏ᶜ fun j => (T j).obj₁) ⟶ ∏ᶜ fun j => (T j).obj₂ := Pi.map fun j => (T j).mor₁
\u22a2 productTriangle T ∈ distinguishedTriangles
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroObject C
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
J : Type u_1
T : J → Triangle C
hT : ∀ (j : J), T j ∈ distinguishedTriangles
inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁
inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂
inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃
inst✝ : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
f₁ : (∏ᶜ fun j => (T j).obj₁) ⟶ ∏ᶜ fun j => (T j).obj₂ := Pi.map fun j => (T j).mor₁
Z : C
f₂ : (∏ᶜ fun j => (T j).obj₂) ⟶ Z
f₃ : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (∏ᶜ fun j => (T j).obj₁)
hT' : Triangle.mk f₁ f₂ f₃ ∈ distinguishedTriangles
\u22a2 productTriangle T ∈ distinguishedTriangles
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroObject C
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
J : Type u_1
T : J → Triangle C
hT : ∀ (j : J), T j ∈ distinguishedTriangles
inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁
inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂
inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃
inst✝ : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
f₁ : (∏ᶜ fun j => (T j).obj₁) ⟶ ∏ᶜ fun j => (T j).obj₂ := Pi.map fun j => (T j).mor₁
Z : C
f₂ : (∏ᶜ fun j => (T j).obj₂) ⟶ Z
f₃ : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (∏ᶜ fun j => (T j).obj₁)
T' : Triangle C := Triangle.mk f₁ f₂ f₃
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : (j : J) → T' ⟶ T j := fun j => completeDistinguishedTriangleMorphism T' (T j) hT' ⋯ (Pi.π (fun j => (T j).obj₁) j) (Pi.π (fun j => (T j).obj₂) j) ⋯
φ' : T' ⟶ productTriangle T := productTriangle.lift T φ
h₁ : φ'.hom₁ = 𝟙 T'.obj₁
h₂ : φ'.hom₂ = 𝟙 T'.obj₂
this✝ : IsIso φ'.hom₁
this : IsIso φ'.hom₂
\u22a2 productTriangle T ∈ distinguishedTriangles
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroObject C
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
J : Type u_1
T : J → Triangle C
hT : ∀ (j : J), T j ∈ distinguishedTriangles
inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁
inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂
inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃
inst✝ : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
f₁ : (∏ᶜ fun j => (T j).obj₁) ⟶ ∏ᶜ fun j => (T j).obj₂ := Pi.map fun j => (T j).mor₁
Z : C
f₂ : (∏ᶜ fun j => (T j).obj₂) ⟶ Z
f₃ : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (∏ᶜ fun j => (T j).obj₁)
T' : Triangle C := Triangle.mk f₁ f₂ f₃
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : (j : J) → T' ⟶ T j := fun j => completeDistinguishedTriangleMorphism T' (T j) hT' ⋯ (Pi.π (fun j => (T j).obj₁) j) (Pi.π (fun j => (T j).obj₂) j) ⋯
φ' : T' ⟶ productTriangle T := productTriangle.lift T φ
h₁ : φ'.hom₁ = 𝟙 T'.obj₁
h₂ : φ'.hom₂ = 𝟙 T'.obj₂
this✝ : IsIso φ'.hom₁
this : IsIso φ'.hom₂
\u22a2 IsIso φ'.hom₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroObject C
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
J : Type u_1
T : J → Triangle C
hT : ∀ (j : J), T j ∈ distinguishedTriangles
inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁
inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂
inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃
inst✝ : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
f₁ : (∏ᶜ fun j => (T j).obj₁) ⟶ ∏ᶜ fun j => (T j).obj₂ := Pi.map fun j => (T j).mor₁
Z : C
f₂ : (∏ᶜ fun j => (T j).obj₂) ⟶ Z
f₃ : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (∏ᶜ fun j => (T j).obj₁)
T' : Triangle C := Triangle.mk f₁ f₂ f₃
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : (j : J) → T' ⟶ T j := fun j => completeDistinguishedTriangleMorphism T' (T j) hT' ⋯ (Pi.π (fun j => (T j).obj₁) j) (Pi.π (fun j => (T j).obj₂) j) ⋯
φ' : T' ⟶ productTriangle T := productTriangle.lift T φ
h₁ : φ'.hom₁ = 𝟙 T'.obj₁
h₂ : φ'.hom₂ = 𝟙 T'.obj₂
this✝ : IsIso φ'.hom₁
this : IsIso φ'.hom₂
A : C
\u22a2 Function.Injective fun x => x ≫ φ'.hom₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroObject C
inst✝⁶ : HasShift C ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
J : Type u_1
T : J → Triangle C
hT : ∀ (j : J), T j ∈ distinguishedTriangles
inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₁
inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₂
inst✝¹ : HasProduct fun j => (T j).obj₃
inst✝ : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
f₁ : (∏ᶜ fun j => (T j).obj₁) ⟶ ∏ᶜ fun j => (T j).obj₂ := Pi.map fun j => (T j).mor₁
Z : C
f₂ : (∏ᶜ fun j => (T j).obj₂) ⟶ Z
f₃ : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (∏ᶜ fun j => (T j).obj₁)
T' : Triangle C := Triangle.mk f₁ f₂ f₃
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : (j : J) → T' ⟶ T j := fun j => completeDistinguishedTriangleMorphism T' (T j) hT' ⋯ (Pi.π (fun j => (T j).obj₁) j) (Pi.π (fun j => (T j).obj₂) j) ⋯
φ' : T' ⟶ productTriangle T := productTriangle.lift T φ
h₁ : φ'.hom₁ = 𝟙 T'.obj₁
h₂ : φ'.hom₂ = 𝟙 T'.obj₂
this✝ : IsIso φ'.hom₁
this : IsIso φ'.hom₂
A : C
\u22a2 Function.Surjective fun x => x ≫ φ'.hom₃
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
hs : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
\u22a2 gauge s x = 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
hs : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
h₀ : gauge s x = 0
hne : x ≠ 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
hs : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
h₀ : gauge s x = 0
hne : x ≠ 0
this : {x}ᶜ ∈ comap (gauge s) (𝓝 0)
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
hs : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
h₀ : gauge s x = 0
hne : x ≠ 0
this : {x}ᶜ ∈ comap (gauge s) (𝓝 0)
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : gauge s ⁻¹' {b | |b| < r} ⊆ {x}ᶜ
\u22a2 False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
A B : Matrix m m R
hA : A.PosSemidef
hB : B.PosDef
x : m → R
hx : x ≠ 0
\u22a2 0 < star x ⬝ᵥ (A + B) *ᵥ x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
A B : Matrix m m R
hA : A.PosSemidef
hB : B.PosDef
x : m → R
hx : x ≠ 0
\u22a2 0 < star x ⬝ᵥ A *ᵥ x + star x ⬝ᵥ B *ᵥ x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x : E
\u22a2 HasLineDerivAt 𝕜 f 0 x 0
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : Mul α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a b : α
\u22a2 ↑(Ici a * Ioi b) ⊆ ↑(Ioi (a * b))
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a : ℤ
b : ℕ
ha2 : a % 2 = 0
hb2 : b % 2 = 1
\u22a2 (if b % 8 = 3 ∨ b % 8 = 5 then -J(a / 2 | b) else J(a / 2 | b)) = J(a | b)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
b : ℕ
hb2 : b % 2 = 1
a : ℤ
ha2 : 2 * a % 2 = 0
\u22a2 (if b % 8 = 3 ∨ b % 8 = 5 then -J(2 * a / 2 | b) else J(2 * a / 2 | b)) = J(2 * a | b)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
b : ℕ
hb2 : b % 2 = 1
a : ℤ
ha2 : 2 * a % 2 = 0
\u22a2 (if b % 8 = 3 ∨ b % 8 = 5 then -J(a | b) else J(a | b)) = (if b % 8 = 1 ∨ b % 8 = 7 then 1 else -1) * J(a | b)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
b : ℕ
hb2 : b % 2 = 1
a : ℤ
ha2 : 2 * a % 2 = 0
this : b % 8 < 8
\u22a2 (if b % 8 = 3 ∨ b % 8 = 5 then -J(a | b) else J(a | b)) = (if b % 8 = 1 ∨ b % 8 = 7 then 1 else -1) * J(a | b)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℂ
\u22a2 sin (x - ↑π / 2) = -cos x
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁹ : DecidableEq α'
inst✝⁸ : DecidableEq β'
inst✝⁷ : DecidableEq γ
inst✝⁶ : DecidableEq γ'
inst✝⁵ : DecidableEq δ
inst✝⁴ : DecidableEq δ'
inst✝³ : DecidableEq ε
inst✝² : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝¹ : SemilatticeSup δ
inst✝ : OrderBot δ
g : γ → δ
\u22a2 (image₂ f s t).sup g = t.sup fun y => s.sup fun x => g (f x y)
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁹ : DecidableEq α'
inst✝⁸ : DecidableEq β'
inst✝⁷ : DecidableEq γ
inst✝⁶ : DecidableEq γ'
inst✝⁵ : DecidableEq δ
inst✝⁴ : DecidableEq δ'
inst✝³ : DecidableEq ε
inst✝² : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝¹ : SemilatticeSup δ
inst✝ : OrderBot δ
g : γ → δ
\u22a2 (t.sup fun i' => s.sup fun i => (g ∘ uncurry f) (i, i')) = t.sup fun y => s.sup fun x => g (f x y)
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁸ : Nonempty ι
inst✝⁷ : Nonempty ι'
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedField 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
q : SeminormFamily 𝕜 E ι'
t : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
hpq : Seminorm.IsBounded p q LinearMap.id
hqp : Seminorm.IsBounded q p LinearMap.id
\u22a2 t = q.moduleFilterBasis.topology
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁸ : Nonempty ι
inst✝⁷ : Nonempty ι'
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedField 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
q : SeminormFamily 𝕜 E ι'
t : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
hpq : Seminorm.IsBounded p q LinearMap.id
hqp : Seminorm.IsBounded q p LinearMap.id
\u22a2 p.moduleFilterBasis.topology = q.moduleFilterBasis.topology
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁸ : Nonempty ι
inst✝⁷ : Nonempty ι'
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedField 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
q : SeminormFamily 𝕜 E ι'
hpq : Seminorm.IsBounded p q LinearMap.id
hqp : Seminorm.IsBounded q p LinearMap.id
\u22a2 p.moduleFilterBasis.topology = q.moduleFilterBasis.topology
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, Measurable f) → Measurable l.prod
hl : ∀ f_1 ∈ f :: l, Measurable f_1
\u22a2 Measurable (f :: l).prod
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, Measurable f) → Measurable l.prod
hl : Measurable f ∧ ∀ x ∈ l, Measurable x
\u22a2 Measurable (f :: l).prod
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, Measurable f) → Measurable l.prod
hl : Measurable f ∧ ∀ x ∈ l, Measurable x
\u22a2 Measurable (f * l.prod)
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
S : Set K
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E
M : IntermediateField F K := adjoin F S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M
L : IntermediateField E K := adjoin E S
E' : IntermediateField F K := (IsScalarTower.toAlgHom F E K).fieldRange
j : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F E K)
\u22a2 sepDegree E ↥L = sepDegree F ↥M
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
S : Set K
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E
M : IntermediateField F K := adjoin F S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M
L : IntermediateField E K := adjoin E S
E' : IntermediateField F K := (IsScalarTower.toAlgHom F E K).fieldRange
j : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F E K)
hi : M ≤ restrictScalars F L
\u22a2 sepDegree E ↥L = sepDegree F ↥M
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
S : Set K
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E
M : IntermediateField F K := adjoin F S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M
L : IntermediateField E K := adjoin E S
E' : IntermediateField F K := (IsScalarTower.toAlgHom F E K).fieldRange
j : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F E K)
hi : M ≤ restrictScalars F L
i : ↥M →+* ↥L := Subsemiring.inclusion hi
this✝ : Algebra ↥M ↥L := i.toAlgebra
this : SMul ↥M ↥L := Algebra.toSMul
\u22a2 sepDegree E ↥L = sepDegree F ↥M
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
S : Set K
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E
M : IntermediateField F K := adjoin F S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M
L : IntermediateField E K := adjoin E S
E' : IntermediateField F K := (IsScalarTower.toAlgHom F E K).fieldRange
j : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F E K)
hi : M ≤ restrictScalars F L
i : ↥M →+* ↥L := Subsemiring.inclusion hi
this✝¹ : Algebra ↥M ↥L := i.toAlgebra
this✝ : SMul ↥M ↥L := Algebra.toSMul
this : IsScalarTower F ↥M ↥L
\u22a2 sepDegree E ↥L = sepDegree F ↥M
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
S : Set K
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E
M : IntermediateField F K := adjoin F S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M
L : IntermediateField E K := adjoin E S
E' : IntermediateField F K := (IsScalarTower.toAlgHom F E K).fieldRange
j : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F E K)
hi : M ≤ restrictScalars F L
i : ↥M →+* ↥L := Subsemiring.inclusion hi
this✝² : Algebra ↥M ↥L := i.toAlgebra
this✝¹ : SMul ↥M ↥L := Algebra.toSMul
this✝ : IsScalarTower F ↥M ↥L
this : IsPurelyInseparable ↥M ↥L
\u22a2 sepDegree E ↥L = sepDegree F ↥M
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
S : Set K
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E
M : IntermediateField F K := adjoin F S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M
L : IntermediateField E K := adjoin E S
E' : IntermediateField F K := (IsScalarTower.toAlgHom F E K).fieldRange
j : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F E K)
hi : M ≤ restrictScalars F L
i : ↥M →+* ↥L := Subsemiring.inclusion hi
this✝² : Algebra ↥M ↥L := i.toAlgebra
this✝¹ : SMul ↥M ↥L := Algebra.toSMul
this✝ : IsScalarTower F ↥M ↥L
this : IsPurelyInseparable ↥M ↥L
h : Cardinal.lift.{w, v} (sepDegree F E) * Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree E ↥L) = Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree F ↥L)
\u22a2 sepDegree E ↥L = sepDegree F ↥M
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
S : Set K
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E
M : IntermediateField F K := adjoin F S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M
L : IntermediateField E K := adjoin E S
E' : IntermediateField F K := (IsScalarTower.toAlgHom F E K).fieldRange
j : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F E K)
hi : M ≤ restrictScalars F L
i : ↥M →+* ↥L := Subsemiring.inclusion hi
this✝² : Algebra ↥M ↥L := i.toAlgebra
this✝¹ : SMul ↥M ↥L := Algebra.toSMul
this✝ : IsScalarTower F ↥M ↥L
this : IsPurelyInseparable ↥M ↥L
h : Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree E ↥L) = Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree F ↥L)
\u22a2 sepDegree E ↥L = sepDegree F ↥M
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
y : ↥N
m : R
hm : m * ↑y ∈ M
\u22a2 IsUnit ((algebraMap R S) ↑y)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
y : ↥N
m : R
hm : m * ↑y ∈ M
this : IsUnit ((algebraMap R S) ↑⟨m * ↑y, hm⟩)
\u22a2 IsUnit ((algebraMap R S) ↑y)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
y : ↥N
m : R
hm : m * ↑y ∈ M
this : IsUnit ((algebraMap R S) m * (algebraMap R S) ↑y)
\u22a2 IsUnit ((algebraMap R S) ↑y)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
z : S
\u22a2 ∃ x, z * (algebraMap R S) ↑x.2 = (algebraMap R S) x.1
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
z : S
y : R
s : ↥M
e : z * (algebraMap R S) ↑(y, s).2 = (algebraMap R S) (y, s).1
\u22a2 ∃ x, z * (algebraMap R S) ↑x.2 = (algebraMap R S) x.1