ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
s t✝ : Finset α
P✝ : Finpartition univ
ε : ℝ
hG : G.FarFromTriangleFree ε
h✝ : Nonempty α
hε : 0 < ε
l : ℕ := ⌈4 / ε⌉₊
hl : 4 / ε ≤ ↑l
hl' : l ≤ Fintype.card α
P : Finpartition univ
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₂ : l ≤ P.parts.card
hP₃ : P.parts.card ≤ bound (ε / 8) l
hP₄ : P.IsUniform G (ε / 8)
this : 4 / ε ≤ ↑P.parts.card
k : ↑G.edgeFinset.card - ↑(regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).edgeFinset.card < ε * ↑(Fintype.card α ^ 2)
t : Finset α
ht : t ∈ (regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).cliqueFinset 3
\u22a2 triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Group α
inst✝³ : MulAction α β
inst✝² : ContinuousInv α
inst✝¹ : ContinuousSMul α β
s : Set α
t✝ : Set β
inst✝ : CompactSpace α
t : Set β
ht : IsClosed t
\u22a2 IsClosed (Quotient.mk' '' t)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Group α
inst✝³ : MulAction α β
inst✝² : ContinuousInv α
inst✝¹ : ContinuousSMul α β
s : Set α
t✝ : Set β
inst✝ : CompactSpace α
t : Set β
ht : IsClosed t
\u22a2 IsClosed (⋃ g, (fun x => g • x) '' t)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Group α
inst✝³ : MulAction α β
inst✝² : ContinuousInv α
inst✝¹ : ContinuousSMul α β
s : Set α
t✝ : Set β
inst✝ : CompactSpace α
t : Set β
ht : IsClosed t
\u22a2 ⋃ g, (fun x => g • x) '' t = univ • t
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Group α
inst✝³ : MulAction α β
inst✝² : ContinuousInv α
inst✝¹ : ContinuousSMul α β
s : Set α
t✝ : Set β
inst✝ : CompactSpace α
t : Set β
ht : IsClosed t
\u22a2 ⋃ x ∈ univ, (fun x_1 => x • x_1) '' t = ⋃ a ∈ univ, a • t
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : j.succ < i
hi : i = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : j.succ < i
\u22a2 X.map (SimplexCategory.δ i) ≫ X.map (SimplexCategory.σ j) = X.map (SimplexCategory.σ (j.castLT ⋯)) ≫ X.map (SimplexCategory.δ (i.pred ⋯))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
\u22a2 ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (-f)) =ᶠ[ae (μ.trim hm)] ↑↑(-lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
\u22a2 ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (-f)) =ᶠ[ae (μ.trim hm)] -↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
\u22a2 StronglyMeasurable (-↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
\u22a2 ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (-f)) =ᶠ[ae μ] -↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
\u22a2 ↑↑↑(-f) =ᶠ[ae μ] -↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
\u22a2 ↑↑↑(-f) =ᶠ[ae μ] fun x => -↑↑↑f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)
\u22a2 -↑↑↑f =ᶠ[ae μ] fun x => -↑↑↑f x
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
\u22a2 U R (-n - 2) = -U R n
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
\u22a2 i ≤ 2 * n
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
\u22a2 n ≤ 2 * n
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
\u22a2 n ≤ n + n
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : 2 * n < j
this : i = 4 * n - j
\u22a2 j + i = 4 * n
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : 2 * n < j
\u22a2 4 * n - j + ?m.167070 i2n j2n ≤ 2 * n + ?m.167070 i2n j2n
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : 2 * n < j
\u22a2 2 * n + 2 * n ≤ 2 * n + j
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : 2 * n < j
j42n : 4 * n - j ≤ 2 * n
\u22a2 xn a1 j ≡ xn a1 (4 * n - j) [MOD xn a1 n]
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : 2 * n < j
j42n : 4 * n - j ≤ 2 * n
t : xn a1 (4 * n - (4 * n - j)) ≡ xn a1 (4 * n - j) [MOD xn a1 n] := xn_modEq_x4n_sub a1 j42n
\u22a2 xn a1 j ≡ xn a1 (4 * n - j) [MOD xn a1 n]
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f✝ : X → ℝ
s✝ : Set X
f : X → ℝ
f_int : Integrable f μ
f_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
s : Set X
hs : ∀ x ∈ s, 1 ≤ f x
\u22a2 μ s ≤ ENNReal.ofReal (∫ (x : X), f x ∂μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f✝ : X → ℝ
s✝ : Set X
f : X → ℝ
f_int : Integrable f μ
f_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
s : Set X
hs : ∀ x ∈ s, 1 ≤ f x
\u22a2 μ s ≤ ∫⁻ (x : X), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f✝ : X → ℝ
s✝ : Set X
f : X → ℝ
f_int : Integrable f μ
f_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
s : Set X
hs : ∀ x ∈ s, 1 ≤ f x
\u22a2 AEMeasurable (fun a => ENNReal.ofReal (f a)) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f✝ : X → ℝ
s✝ : Set X
f : X → ℝ
f_int : Integrable f μ
f_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
s : Set X
hs : ∀ x ∈ s, 1 ≤ f x
\u22a2 ∀ x ∈ s, 1 ≤ ENNReal.ofReal (f x)
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p q : α
h : p ~ᵤ q
hp : Prime p
u : αˣ
hu : p * ↑u = q
x✝ : IsUnit q
v : αˣ
hv : ↑v = q
\u22a2 ↑(v * u⁻¹) = p
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p q : α
h : p ~ᵤ q
hp : Prime p
u : αˣ
hu : p * ↑u = q
\u22a2 ∀ (a b : α), p * ↑u ∣ a * b → p * ↑u ∣ a ∨ p * ↑u ∣ b
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p q : α
h : p ~ᵤ q
hp : Prime p
u : αˣ
hu : p * ↑u = q
\u22a2 ∀ (a b : α), p ∣ a * b → p ∣ a ∨ p ∣ b
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p q : α
h : p ~ᵤ q
hp : Prime p
u : αˣ
hu : p * ↑u = q
a b : α
\u22a2 p ∣ a * b → p ∣ a ∨ p ∣ b
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
H : Set.range ⇑g.base ⊆ Set.range ⇑f.base
\u22a2 IsIso (pullback.snd f g)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
H : Set.range ⇑g.base ⊆ Set.range ⇑f.base
this : IsIso (pullback.snd f.base g.base)
\u22a2 IsIso (pullback.snd f g)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
H : Set.range ⇑g.base ⊆ Set.range ⇑f.base
this✝ : IsIso (pullback.snd f.base g.base)
this : IsIso (pullback.snd f g).base
\u22a2 IsIso (pullback.snd f g)
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
inst✝ : DecidableEq α
p : Finset α → Prop
h0 : p ∅
step : ∀ (a : α) (s : Finset α), (∀ x ∈ s, x < a) → p s → p (insert a s)
s : Finset α
ihs : ∀ t ⊂ s, p t
\u22a2 p s
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : LinearOrder α
s : Finset α
H : s.Nonempty
x : α
inst✝ : DecidableEq α
p : Finset α → Prop
h0 : p ∅
step : ∀ (a : α) (s : Finset α), (∀ x ∈ s, x < a) → p s → p (insert a s)
ihs : ∀ t ⊂ ∅, p t
\u22a2 p ∅
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
inst✝ : DecidableEq α
p : Finset α → Prop
h0 : p ∅
step : ∀ (a : α) (s : Finset α), (∀ x ∈ s, x < a) → p s → p (insert a s)
s : Finset α
ihs : ∀ t ⊂ s, p t
hne : s.Nonempty
\u22a2 p s
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
\u22a2 1 + x + x ^ 2 / 2 = ∑ i ∈ range 3, x ^ i / ↑i !
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
\u22a2 1 + x + x ^ 2 / 2 = 1 / (↑0 + 1) + x / (↑0 + 1) + x ^ 2 / (↑0 + 1 + 1)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
f : α → α
n : ℕ
hf : Involutive f
hne : f ≠ id
H : f^[n] = id
hn : Odd n
\u22a2 f = id
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' x✝ : D
\u22a2 adj.unit.app (G.obj x✝) ≫ G.map (adj.counit.app x✝) = 𝟙 (G.obj x✝)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' x✝ : D
\u22a2 adj.counit.app x✝ = F.map (𝟙 (G.obj x✝)) ≫ adj.counit.app x✝
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
inst✝ : Nontrivial R
\u22a2 W.polynomial.degree = 2
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
inst✝ : Nontrivial R
\u22a2 { a := 0, b := 1, c := { a := 0, b := 0, c := W.a₁, d := W.a₃ }.toPoly, d := { a := -1, b := -W.a₂, c := -W.a₄, d := -W.a₆ }.toPoly }.toPoly.degree = 2
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R
\u22a2 ↑(closure s) = ↑(AddSubmonoid.closure ↑(Submonoid.closure s))
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
m n : ℕ
\u22a2 ∑ s : Finset α, ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹ + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
m n : ℕ
\u22a2 ∑ i ∈ range (univ.card + 1), ∑ x ∈ powersetCard i univ, ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑x.card) * ↑((card α).choose x.card)) = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹ + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
m n : ℕ
this : ∀ {x : ℕ}, ∀ s ∈ powersetCard x univ, ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑x) * ↑((card α).choose x))
\u22a2 ∑ i ∈ range (univ.card + 1), ∑ x ∈ powersetCard i univ, ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑x.card) * ↑((card α).choose x.card)) = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹ + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
m n : ℕ
this : ∀ {x : ℕ}, ∀ s ∈ powersetCard x univ, ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑x) * ↑((card α).choose x))
\u22a2 ∑ x ∈ range (card α + 1), ↑(card α) * (↑((card α).choose x) / ((↑(card α) - ↑x) * ↑((card α).choose x))) = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹ + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
m n : ℕ
this : ∀ {x : ℕ}, ∀ s ∈ powersetCard x univ, ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑x) * ↑((card α).choose x))
\u22a2 ↑(card α) * ∑ i ∈ range (card α + 1), ↑((card α).choose i) / ((↑(card α) - ↑i) * ↑((card α).choose i)) = ↑(card α) * ∑ x ∈ range (card α).succ, (↑x)⁻¹
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
m n : ℕ
this✝ : ∀ {x : ℕ}, ∀ s ∈ powersetCard x univ, ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑x) * ↑((card α).choose x))
this : ∀ n ∈ range (card α + 1), ↑((card α).choose n) / ((↑(card α) - ↑n) * ↑((card α).choose n)) = (↑(card α) - ↑n)⁻¹
\u22a2 ↑(card α) * ∑ i ∈ range (card α + 1), ↑((card α).choose i) / ((↑(card α) - ↑i) * ↑((card α).choose i)) = ↑(card α) * ∑ x ∈ range (card α).succ, (↑x)⁻¹
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
m n : ℕ
this✝ : ∀ {x : ℕ}, ∀ s ∈ powersetCard x univ, ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑x) * ↑((card α).choose x))
this : ∀ n ∈ range (card α + 1), ↑((card α).choose n) / ((↑(card α) - ↑n) * ↑((card α).choose n)) = (↑(card α) - ↑n)⁻¹
\u22a2 ∑ x ∈ range (card α + 1), (↑(card α) - ↑x)⁻¹ = ∑ x ∈ range (card α).succ, (↑x)⁻¹ ∨ card α = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
m n : ℕ
this✝ : ∀ {x : ℕ}, ∀ s ∈ powersetCard x univ, ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(card α) / ((↑(card α) - ↑x) * ↑((card α).choose x))
this : ∀ n ∈ range (card α + 1), ↑((card α).choose n) / ((↑(card α) - ↑n) * ↑((card α).choose n)) = (↑(card α) - ↑n)⁻¹
a : ℕ
ha : a ∈ range (card α + 1)
\u22a2 (↑(card α) - ↑a)⁻¹ = (↑(card α + 1 - 1 - a))⁻¹
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Basic.lean
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso g
\u22a2 OpenEmbedding ((forget TopCat).map f ≫ (forget TopCat).map g) ↔ OpenEmbedding ⇑f
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Basic.lean
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso g
\u22a2 OpenEmbedding ((forget TopCat).map (f ≫ g)) ↔ OpenEmbedding ⇑f
-- Mathlib/Algebra/Ring/BooleanRing.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : BooleanRing α
a b : α
\u22a2 a - b = a + b
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : 0 < c
\u22a2 (fun x => c * x) ⁻¹' Ioc a b = Ioc (a / c) (b / c)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z : ℝ
n : ℕ
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 < y
\u22a2 x ^ y < 1 ↔ x < 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Inversion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
h : IsUnit (Q m)
\u22a2 IsUnit ((ι Q) m)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Inversion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
h : IsUnit (Q m)
val✝ : Invertible (Q m)
\u22a2 IsUnit ((ι Q) m)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Inversion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M
h : IsUnit (Q m)
val✝ : Invertible (Q m)
this : Invertible ((ι Q) m) := invertibleιOfInvertible Q m
\u22a2 IsUnit ((ι Q) m)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/HomologicalFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.90392, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
\u22a2 (ShortComplex.mk (F.homologySequenceδ T n₀ n₁ h) ((F.shift n₁).map T.mor₁) ⋯).Exact
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/HomologicalFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.90392, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
\u22a2 ShortComplex.mk ((F.shift n₁).map T.invRotate.mor₁) ((F.shift n₁).map T.invRotate.mor₂) ⋯ ≅ ShortComplex.mk (F.homologySequenceδ T n₀ n₁ h) ((F.shift n₁).map T.mor₁) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/HomologicalFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.90392, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
\u22a2 (-(F.shiftIso (-1) n₁ n₀ ⋯).hom.app T.obj₃) ≫ F.homologySequenceδ T n₀ n₁ h = (F.shift n₁).map (-(shiftFunctor C (-1)).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app T.obj₁) ≫ 𝟙 ((F.shift n₁).obj T.obj₁)
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Ordinal.lean
x y z : ZFSet
hx : x.IsTransitive
hy : y.IsTransitive
\u22a2 (x ∪ y).IsTransitive
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Ordinal.lean
x y z : ZFSet
hx : x.IsTransitive
hy : y.IsTransitive
\u22a2 (⋃₀ {x, y}).IsTransitive
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Ordinal.lean
x y z : ZFSet
hx : x.IsTransitive
hy : y.IsTransitive
\u22a2 ∀ z ∈ {x, y}, z.IsTransitive
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Ordinal.lean
x y z : ZFSet
hx : x.IsTransitive
hy : y.IsTransitive
z✝ : ZFSet
\u22a2 z✝ ∈ {x, y} → z✝.IsTransitive
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Ordinal.lean
x y z : ZFSet
hx : x.IsTransitive
hy : y.IsTransitive
z✝ : ZFSet
\u22a2 z✝ = x ∨ z✝ = y → z✝.IsTransitive
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.75295, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
i j : ℕ
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j
\u22a2 ((s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i])) ≫ PInfty.f i) ≫ K[X].d i j = ((s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i])) ≫ K[X].d i j ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j]))) ≫ (s.cofan (op [j])).inj (IndexSet.id (op [j])) ≫ PInfty.f j
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.75295, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ
\u22a2 (s.cofan (op [n])).inj (IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n = 𝟙 (s.N n) ≫ ((s.cofan (op [n])).inj (IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n) ≫ PInfty.f n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.75295, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
i j : ℕ
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j
\u22a2 s.πSummand (IndexSet.id (op [i])) ≫ (s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i])) ≫ K[X].d i j ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j])) = K[X].d i j ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j]))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.75295, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
i j : ℕ
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j
\u22a2 s.πSummand (IndexSet.id (op [i])) ≫ (s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i])) ≫ K[X].d i j ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j])) = (𝟙 (K[X].X i) ≫ K[X].d i j) ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j]))