ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)
h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
w✝² : Epi π₁
f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : π₁ ≫ g₁ ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = f₂ ≫ app' φ 2 ⋯
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0
A₂ : C
π₂ : A₂ ⟶ A₁
w✝¹ : Epi π₂
f₁ : A₂ ⟶ R₁.obj 1
h₃ : π₂ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)
h₄ : (π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - f₁ ≫ app' φ 1 ⋯) ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = 0
A₃ : C
π₃ : A₃ ⟶ A₂
w✝ : Epi π₃
g₀ : A₃ ⟶ R₂.obj 0
h₅ : π₃ ≫ π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - π₃ ≫ f₁ ≫ φ.app 1 = g₀ ≫ R₂.map (homOfLE ⋯)
\u22a2 ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x, π ≫ g₁ = x ≫ app' φ 1 ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)
h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
w✝³ : Epi π₁
f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : π₁ ≫ g₁ ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = f₂ ≫ app' φ 2 ⋯
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0
A₂ : C
π₂ : A₂ ⟶ A₁
w✝² : Epi π₂
f₁ : A₂ ⟶ R₁.obj 1
h₃ : π₂ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)
h₄ : (π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - f₁ ≫ app' φ 1 ⋯) ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = 0
A₃ : C
π₃ : A₃ ⟶ A₂
w✝¹ : Epi π₃
g₀ : A₃ ⟶ R₂.obj 0
h₅ : π₃ ≫ π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - π₃ ≫ f₁ ≫ φ.app 1 = g₀ ≫ R₂.map (homOfLE ⋯)
A₄ : C
π₄ : A₄ ⟶ A₃
w✝ : Epi π₄
f₀ : A₄ ⟶ R₁.obj' 0 ⋯
h₆ : π₄ ≫ g₀ = f₀ ≫ app' φ 0 ⋯
\u22a2 ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x, π ≫ g₁ = x ≫ app' φ 1 ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)
h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
w✝³ : Epi π₁
f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : π₁ ≫ g₁ ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = f₂ ≫ app' φ 2 ⋯
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0
A₂ : C
π₂ : A₂ ⟶ A₁
w✝² : Epi π₂
f₁ : A₂ ⟶ R₁.obj 1
h₃ : π₂ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)
h₄ : (π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - f₁ ≫ app' φ 1 ⋯) ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = 0
A₃ : C
π₃ : A₃ ⟶ A₂
w✝¹ : Epi π₃
g₀ : A₃ ⟶ R₂.obj 0
h₅ : π₃ ≫ π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - π₃ ≫ f₁ ≫ φ.app 1 = g₀ ≫ R₂.map (homOfLE ⋯)
A₄ : C
π₄ : A₄ ⟶ A₃
w✝ : Epi π₄
f₀ : A₄ ⟶ R₁.obj' 0 ⋯
h₆ : π₄ ≫ g₀ = f₀ ≫ app' φ 0 ⋯
\u22a2 (π₄ ≫ π₃ ≫ π₂ ≫ π₁) ≫ g₁ = (π₄ ≫ π₃ ≫ f₁ + f₀ ≫ R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) ≫ app' φ 1 ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)
h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
w✝³ : Epi π₁
f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : π₁ ≫ g₁ ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = f₂ ≫ app' φ 2 ⋯
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0
A₂ : C
π₂ : A₂ ⟶ A₁
w✝² : Epi π₂
f₁ : A₂ ⟶ R₁.obj 1
h₃ : π₂ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)
h₄ : (π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - f₁ ≫ app' φ 1 ⋯) ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = 0
A₃ : C
π₃ : A₃ ⟶ A₂
w✝¹ : Epi π₃
g₀ : A₃ ⟶ R₂.obj 0
h₅ : π₃ ≫ π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - π₃ ≫ f₁ ≫ φ.app 1 = g₀ ≫ R₂.map (homOfLE ⋯)
A₄ : C
π₄ : A₄ ⟶ A₃
w✝ : Epi π₄
f₀ : A₄ ⟶ R₁.obj' 0 ⋯
h₆ : π₄ ≫ g₀ = f₀ ≫ app' φ 0 ⋯
\u22a2 π₄ ≫ π₃ ≫ π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ = π₄ ≫ π₃ ≫ f₁ ≫ app' φ 1 ⋯ + (π₄ ≫ π₃ ≫ π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - π₄ ≫ π₃ ≫ f₁ ≫ φ.app 1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂' : R₂.map' 1 3 ⋯ ⋯ = 0
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₂✝ : Epi (app' φ 2 ⋯)
h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
g₁ : A ⟶ R₂.obj' 1 ⋯
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
w✝³ : Epi π₁
f₂ : A₁ ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : π₁ ≫ g₁ ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = f₂ ≫ app' φ 2 ⋯
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0
A₂ : C
π₂ : A₂ ⟶ A₁
w✝² : Epi π₂
f₁ : A₂ ⟶ R₁.obj 1
h₃ : π₂ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)
h₄ : (π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - f₁ ≫ app' φ 1 ⋯) ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = 0
A₃ : C
π₃ : A₃ ⟶ A₂
w✝¹ : Epi π₃
g₀ : A₃ ⟶ R₂.obj 0
h₅ : π₃ ≫ π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - π₃ ≫ f₁ ≫ φ.app 1 = g₀ ≫ R₂.map (homOfLE ⋯)
A₄ : C
π₄ : A₄ ⟶ A₃
w✝ : Epi π₄
f₀ : A₄ ⟶ R₁.obj' 0 ⋯
h₆ : π₄ ≫ g₀ = f₀ ≫ app' φ 0 ⋯
\u22a2 π₄ ≫ π₃ ≫ π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ = π₄ ≫ π₃ ≫ f₁ ≫ φ.app 1 + (π₄ ≫ π₃ ≫ π₂ ≫ π₁ ≫ g₁ - π₄ ≫ π₃ ≫ f₁ ≫ φ.app 1)
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B X R J : Set α
hX : X ⊆ E
\u22a2 (loopyOn E).Basis ∅ X
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B X R J : Set α
hX : X ⊆ E
\u22a2 (loopyOn E).Indep ∅ ∧ ∅ ⊆ X ∧ ∀ (J : Set α), (loopyOn E).Indep J → ∅ ⊆ J → J ⊆ X → ∅ = J
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulReflectLE α β
h : a • b₁ ≤ a • b₂
ha : a < 0
\u22a2 b₂ ≤ b₁
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulReflectLE α β
h : -a • b₂ ≤ -a • b₁
ha : a < 0
\u22a2 b₂ ≤ b₁
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁷ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
F : Type u_4
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : OrderedSMul ℝ F
f : ι → Ω → F
c : ℝ
hc : c ≤ 0
hf : Submartingale f ℱ μ
\u22a2 Supermartingale (c • f) ℱ μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁷ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
F : Type u_4
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : OrderedSMul ℝ F
f : ι → Ω → F
c : ℝ
hc : c ≤ 0
hf : Submartingale f ℱ μ
\u22a2 Supermartingale (-(-c • f)) ℱ μ
-- Mathlib/Data/Finset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b✝ : α
n✝ : ℕ
ha : a ∈ s
n : ℕ
b : α
hb : b ∈ Sym.replicate n a
\u22a2 b ∈ s
-- Mathlib/Data/Finset/Sigma.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Finset (α i)
\u22a2 s.sigma t = ∅ ↔ ∀ i ∈ s, t i = ∅
-- Mathlib/Data/Fintype/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
a : α
l : List α
f : Equiv.Perm α
h✝ : f ∈ permsOfList (a :: l)
x : α
h : f ∈ l.bind fun b => List.map (fun f => Equiv.swap a b * f) (permsOfList l)
hx : f x ≠ x
y : α
hy : y ∈ l
hy' : f ∈ List.map (fun f => Equiv.swap a y * f) (permsOfList l)
g : Equiv.Perm α
hg₁ : g ∈ permsOfList l
hg₂ : Equiv.swap a y * g = f
hxa : ¬x = a
hxy : ¬x = y
\u22a2 g x ≠ x
-- Mathlib/Data/Fintype/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
a : α
l : List α
f : Equiv.Perm α
h✝ : f ∈ permsOfList (a :: l)
x : α
h : f ∈ l.bind fun b => List.map (fun f => Equiv.swap a b * f) (permsOfList l)
hx : f x ≠ x
y : α
hy : y ∈ l
hy' : f ∈ List.map (fun f => Equiv.swap a y * f) (permsOfList l)
g : Equiv.Perm α
hg₁ : g ∈ permsOfList l
hg₂ : Equiv.swap a y * g = f
hxa : ¬x = a
hxy : ¬x = y
\u22a2 (if f x = a then y else if f x = y then a else f x) ≠ x
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
m n : ℕ
h : m ≤ n
\u22a2 edist (f m) (f n) ≤ ∑ i ∈ Finset.Ico m n, edist (f i) (f (i + 1))
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
l : List α
s : Stream' α
\u22a2 drop (a :: l).length (a :: l ++ₛ s) = s
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
k n : ℕ
φ : R⟦X⟧
h₁ : ∀ (i : ℕ), Function.const ℕ φ i = φ
\u22a2 (coeff R n) (φ ^ k) = ∑ l ∈ (range k).finsuppAntidiag n, ∏ i ∈ range k, (coeff R (l i)) φ
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
k n : ℕ
φ : R⟦X⟧
h₁ : ∀ (i : ℕ), Function.const ℕ φ i = φ
h₂ : ∀ (i : ℕ), ∏ j ∈ range i, Function.const ℕ φ j = φ ^ i
\u22a2 (coeff R n) (φ ^ k) = ∑ l ∈ (range k).finsuppAntidiag n, ∏ i ∈ range k, (coeff R (l i)) φ
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
k n : ℕ
φ : R⟦X⟧
h₁ : ∀ (i : ℕ), Function.const ℕ φ i = φ
h₂ : ∀ (i : ℕ), ∏ j ∈ range i, Function.const ℕ φ j = φ ^ i
\u22a2 (coeff R n) (∏ j ∈ range k, Function.const ℕ (Function.const ℕ φ k) j) = ∑ l ∈ (range k).finsuppAntidiag n, ∏ i ∈ range k, (coeff R (l i)) (Function.const ℕ φ k)
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ✝ : Measure Ω
s t : Set Ω
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : DiscreteMeasurableSpace α
X : Ω → α
hX : Measurable X
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
E : Set Ω
hE : MeasurableSet E
\u22a2 (∑ x : α, μ (X ⁻¹' {x}) • μ[|X ⁻¹' {x}]) E = μ E
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E : L.LeftExtension F
E' : ?m.37693
h✝ h : E.IsPointwiseLeftKanExtension
G : L.LeftExtension F
f₁ f₂ : E ⟶ G
Y : D
\u22a2 f₁.right.app Y = f₂.right.app Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E : L.LeftExtension F
E' : ?m.37693
h✝ h : E.IsPointwiseLeftKanExtension
G : L.LeftExtension F
f₁ f₂ : E ⟶ G
Y : D
\u22a2 ∀ (j : CostructuredArrow L Y), (E.coconeAt Y).ι.app j ≫ f₁.right.app Y = (E.coconeAt Y).ι.app j ≫ f₂.right.app Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E : L.LeftExtension F
E' : ?m.37693
h✝ h : E.IsPointwiseLeftKanExtension
G : L.LeftExtension F
f₁ f₂ : E ⟶ G
Y : D
X : CostructuredArrow L Y
\u22a2 (E.coconeAt Y).ι.app X ≫ f₁.right.app Y = (E.coconeAt Y).ι.app X ≫ f₂.right.app Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E : L.LeftExtension F
E' : ?m.37693
h✝ h : E.IsPointwiseLeftKanExtension
G : L.LeftExtension F
f₁ f₂ : E ⟶ G
Y : D
X : CostructuredArrow L Y
eq₁ : (E.hom ≫ ((whiskeringLeft C D H).obj L).map f₁.right).app X.left = G.hom.app X.left
\u22a2 (E.coconeAt Y).ι.app X ≫ f₁.right.app Y = (E.coconeAt Y).ι.app X ≫ f₂.right.app Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E : L.LeftExtension F
E' : ?m.37693
h✝ h : E.IsPointwiseLeftKanExtension
G : L.LeftExtension F
f₁ f₂ : E ⟶ G
Y : D
X : CostructuredArrow L Y
eq₁ : (E.hom ≫ ((whiskeringLeft C D H).obj L).map f₁.right).app X.left = G.hom.app X.left
eq₂ : (E.hom ≫ ((whiskeringLeft C D H).obj L).map f₂.right).app X.left = G.hom.app X.left
\u22a2 (E.coconeAt Y).ι.app X ≫ f₁.right.app Y = (E.coconeAt Y).ι.app X ≫ f₂.right.app Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E : L.LeftExtension F
E' : ?m.37693
h✝ h : E.IsPointwiseLeftKanExtension
G : L.LeftExtension F
f₁ f₂ : E ⟶ G
Y : D
X : CostructuredArrow L Y
eq₁ : E.hom.app X.left ≫ f₁.right.app (L.obj X.left) = G.hom.app X.left
eq₂ : E.hom.app X.left ≫ f₂.right.app (L.obj X.left) = G.hom.app X.left
\u22a2 (E.hom.app X.left ≫ E.right.map X.hom) ≫ f₁.right.app Y = (E.hom.app X.left ≫ E.right.map X.hom) ≫ f₂.right.app Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E : L.LeftExtension F
E' : ?m.37693
h✝ h : E.IsPointwiseLeftKanExtension
G : L.LeftExtension F
f₁ f₂ : E ⟶ G
Y : D
X : CostructuredArrow L Y
eq₁ : E.hom.app X.left ≫ f₁.right.app (L.obj X.left) = G.hom.app X.left
eq₂ : E.hom.app X.left ≫ f₂.right.app (L.obj X.left) = G.hom.app X.left
\u22a2 E.hom.app X.left ≫ f₁.right.app (L.obj X.left) ≫ G.right.map X.hom = E.hom.app X.left ≫ f₂.right.app (L.obj X.left) ≫ G.right.map X.hom
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t : ι → α
a b : α
s : Set β
f : β → α
\u22a2 IsGLB (f '' s) (⨅ x ∈ s, f x)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
U : X → Set X
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
\u22a2 ∃ t, t.Countable ∧ (∀ x ∈ t, x ∈ s) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsLindelof s
U : X → Set X
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
t : Set ↑s
htc : t.Countable
htsub : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U ↑x
\u22a2 ∃ t, t.Countable ∧ (∀ x ∈ t, x ∈ s) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsLindelof s
U : X → Set X
hU : ∀ x ∈ s, U x ∈ 𝓝 x
t : Set ↑s
htc : t.Countable
htsub : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U ↑x
\u22a2 (∀ x ∈ Subtype.val '' t, x ∈ s) ∧ s ⊆ ⋃ x ∈ Subtype.val '' t, U x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
g : β → γ
hg : Continuous g
f : α →ₘ[μ] β
\u22a2 comp g hg f = mk (g ∘ ↑f) ⋯
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : 0 < c
\u22a2 (fun x => c * x) ⁻¹' Ico a b = Ico (a / c) (b / c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/GeometryOfNumbers.lean
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝ : Countable ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s
\u22a2 ∃ x, x ≠ 0 ∧ ↑x ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/GeometryOfNumbers.lean
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝ : Countable ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s
h_vol : μ F < μ (2⁻¹ • s)
\u22a2 ∃ x, x ≠ 0 ∧ ↑x ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/GeometryOfNumbers.lean
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝ : Countable ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h✝ : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s
h_vol : μ F < μ (2⁻¹ • s)
x y : ↥L
hxy : x ≠ y
h : ¬Disjoint (x +ᵥ 2⁻¹ • s) (y +ᵥ 2⁻¹ • s)
\u22a2 ∃ x, x ≠ 0 ∧ ↑x ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/GeometryOfNumbers.lean
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝ : Countable ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h✝ : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s
h_vol : μ F < μ (2⁻¹ • s)
x y : ↥L
hxy : x ≠ y
h : ¬Disjoint (x +ᵥ 2⁻¹ • s) (y +ᵥ 2⁻¹ • s)
v : E
hv : v ∈ 2⁻¹ • s
w : E
hw : w ∈ 2⁻¹ • s
hvw : (fun x => y +ᵥ x) w = (fun x_1 => x +ᵥ x_1) v
\u22a2 ∃ x, x ≠ 0 ∧ ↑x ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/GeometryOfNumbers.lean
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝ : Countable ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h✝ : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s
h_vol : μ F < μ (2⁻¹ • s)
x y : ↥L
hxy : x ≠ y
h : ¬Disjoint (x +ᵥ 2⁻¹ • s) (y +ᵥ 2⁻¹ • s)
v : E
hv : v ∈ 2⁻¹ • s
w : E
hw : w ∈ 2⁻¹ • s
hvw : (fun x => y +ᵥ x) w = (fun x_1 => x +ᵥ x_1) v
\u22a2 ↑(x - y) ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/GeometryOfNumbers.lean
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝ : Countable ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h✝ : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s
h_vol : μ F < μ (2⁻¹ • s)
x y : ↥L
hxy : x ≠ y
h : ¬Disjoint (x +ᵥ 2⁻¹ • s) (y +ᵥ 2⁻¹ • s)
v : E
hv : 2 • v ∈ s
w : E
hw : 2 • w ∈ s
hvw : (fun x => y +ᵥ x) w = (fun x_1 => x +ᵥ x_1) v
\u22a2 ↑(x - y) ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/GeometryOfNumbers.lean
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝ : Countable ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h✝ : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s
h_vol : μ F < μ (2⁻¹ • s)
x y : ↥L
hxy : x ≠ y
h : ¬Disjoint (x +ᵥ 2⁻¹ • s) (y +ᵥ 2⁻¹ • s)
v : E
hv : 2 • v ∈ s
w : E
hw : 2 • w ∈ s
hvw : w - v = ↑(x - y)
\u22a2 ↑(x - y) ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/GeometryOfNumbers.lean
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝ : Countable ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h✝ : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s
h_vol : μ F < μ (2⁻¹ • s)
x y : ↥L
hxy : x ≠ y
h : ¬Disjoint (x +ᵥ 2⁻¹ • s) (y +ᵥ 2⁻¹ • s)
v : E
hv : 2 • v ∈ s
w : E
hw : 2 • w ∈ s
hvw : w - v = ↑(x - y)
\u22a2 2⁻¹ • 2 • w + 2⁻¹ • -(2 • v) ∈ s
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Functor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝²² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝²¹ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝²⁰ : Category.{u_5, u_3} E
inst✝¹⁹ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁸ : HasShift D ℤ
inst✝¹⁷ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝¹⁶ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝¹⁵ : G.CommShift ℤ
inst✝¹⁴ : HasZeroObject C
inst✝¹³ : HasZeroObject D
inst✝¹² : HasZeroObject E
inst✝¹¹ : Preadditive C
inst✝¹⁰ : Preadditive D
inst✝⁹ : Preadditive E
inst✝⁸ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor E n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
inst✝³ : Pretriangulated E
inst✝² : (F ⋙ G).IsTriangulated
inst✝¹ : F.IsTriangulated
inst✝ : F.mapArrow.EssSurj
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles
\u22a2 G.mapTriangle.obj T ∈ distinguishedTriangles
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Functor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝²² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝²¹ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝²⁰ : Category.{u_5, u_3} E
inst✝¹⁹ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁸ : HasShift D ℤ
inst✝¹⁷ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝¹⁶ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝¹⁵ : G.CommShift ℤ
inst✝¹⁴ : HasZeroObject C
inst✝¹³ : HasZeroObject D
inst✝¹² : HasZeroObject E
inst✝¹¹ : Preadditive C
inst✝¹⁰ : Preadditive D
inst✝⁹ : Preadditive E
inst✝⁸ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor E n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
inst✝³ : Pretriangulated E
inst✝² : (F ⋙ G).IsTriangulated
inst✝¹ : F.IsTriangulated
inst✝ : F.mapArrow.EssSurj
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles
T' : Triangle C
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
e : F.mapTriangle.obj T' ≅ T
\u22a2 G.mapTriangle.obj T ∈ distinguishedTriangles
-- Mathlib/Order/Interval/Set/WithBotTop.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
\u22a2 some '' Ici a = Ici ↑a
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : HasDerivWithinAt f f' S x
\u22a2 slope f x y ≤ f'
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : HasDerivWithinAt f f' S x
\u22a2 S ∈ 𝓝[>] x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : HasDerivWithinAt f f' S x
\u22a2 ∃ u ∈ Ioi x, Ioc x u ⊆ S
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : Weight R L M
x : L
\u22a2 ((toEnd R L M) x).HasEigenvalue (χ x)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : Weight R L M
x : L
k : ℕ
hk : (((toEnd R L M) x).genEigenspace (χ x)) k ≠ ⊥
\u22a2 ((toEnd R L M) x).HasEigenvalue (χ x)
-- Mathlib/Data/String/Basic.lean
c : Char
cs₁ cs₂ : List Char
i₁ i₂ : Pos
\u22a2 ltb { s := { data := c :: cs₁ }, i := i₁ + c } { s := { data := c :: cs₂ }, i := i₂ + c } = ltb { s := { data := cs₁ }, i := i₁ } { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }
-- Mathlib/Data/String/Basic.lean
c : Char
cs₁✝ cs₂✝ : List Char
i₁✝ i₂✝ : Pos
cs₁ cs₂ : List Char
i₁ i₂ : Pos
a✝³ : { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.hasNext = true
a✝² : { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.hasNext = true
a✝¹ : { data := cs₁ }.get i₁ = { data := cs₂ }.get i₂
a✝ : ltb { s := { data := c :: { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.next.1.data }, i := { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.next.i + c } { s := { data := c :: { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.next.1.data }, i := { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.next.i + c } = ltb { s := { data := { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.next.1.data }, i := { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.next.i } { s := { data := { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.next.1.data }, i := { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.next.i }
\u22a2 (if { s := { data := c :: cs₁ }, i := i₁ + c }.curr = { s := { data := c :: cs₂ }, i := i₂ + c }.curr then ltb { s := { data := c :: cs₁ }, i := i₁ + c }.next { s := { data := c :: cs₂ }, i := i₂ + c }.next else decide ({ s := { data := c :: cs₁ }, i := i₁ + c }.curr < { s := { data := c :: cs₂ }, i := i₂ + c }.curr)) = if { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.curr = { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.curr then ltb { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.next { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.next else decide ({ s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.curr < { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.curr)