ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.52660, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.52667, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.52674, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.52726, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ'✝ : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ✝ ⟶ G.op ⋙ ℱ'✝.val
ℱ ℱ' : SheafOfTypes K
i : G.op ⋙ ℱ.val ≅ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.val.obj (op X)
\u22a2 ∀ ⦃Y : C⦄ (f : G.obj Y ⟶ X), ℱ.val.map f.op ((appHom i.hom X ≫ appHom i.inv X) x) = ℱ.val.map f.op (𝟙 (ℱ.val.obj (op X)) x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.52660, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.52667, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.52674, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.52726, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ'✝ : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ✝ ⟶ G.op ⋙ ℱ'✝.val
ℱ ℱ' : SheafOfTypes K
i : G.op ⋙ ℱ.val ≅ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ'.val.obj (op X)
\u22a2 (appHom i.inv X ≫ appHom i.hom X) x = 𝟙 (ℱ'.val.obj (op X)) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.52660, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.52667, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.52674, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.52726, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ'✝ : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ✝ ⟶ G.op ⋙ ℱ'✝.val
ℱ ℱ' : SheafOfTypes K
i : G.op ⋙ ℱ.val ≅ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ'.val.obj (op X)
\u22a2 ∀ ⦃Y : C⦄ (f : G.obj Y ⟶ X), ℱ'.val.map f.op ((appHom i.inv X ≫ appHom i.hom X) x) = ℱ'.val.map f.op (𝟙 (ℱ'.val.obj (op X)) x)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b c x : ℕ
\u22a2 x ∈ Ico a.succ b ↔ x ∈ Ioo a b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
z : ℂ
hz : 1 + z ∈ slitPlane
\u22a2 log (1 + z) = z * ∫ (t : ℝ) in 0 ..1, (1 + t • z)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
z : ℂ
hz : 1 + z ∈ slitPlane
\u22a2 log (1 + z) = log (1 + z) - log 1
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
nz : NeZero n
a : ZMod n
na : NeZero a
\u22a2 (-a).val = n - a.val
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
\u22a2 ‖f w‖ = ‖f z‖
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
\u22a2 ‖f w‖ = ‖f z‖
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
\u22a2 ¬(norm ∘ f) w < (norm ∘ f) z
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
\u22a2 ‖∮ (ζ : ℂ) in C(z, r), (ζ - z)⁻¹ • f ζ‖ < 2 * π * ‖f z‖
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
\u22a2 ‖∮ (ζ : ℂ) in C(z, r), (ζ - z)⁻¹ • f ζ‖ < 2 * π * r * (‖f z‖ / r)
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r
\u22a2 ‖∮ (ζ : ℂ) in C(z, r), (ζ - z)⁻¹ • f ζ‖ < 2 * π * r * (‖f z‖ / r)
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r
\u22a2 ContinuousOn (fun ζ => (ζ - z)⁻¹ • f ζ) (sphere z r)
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r
\u22a2 ∀ z_1 ∈ sphere z r, ‖(z_1 - z)⁻¹ • f z_1‖ ≤ ‖f z‖ / r
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r
\u22a2 ‖(w - z)⁻¹ • f w‖ < ‖f z‖ / r
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r
\u22a2 ‖f w‖ / abs (w - z) < ‖f z‖ / r
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/Finite.lean
R S T : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
f : R →+* S
g : S →+* T
hf : f.Finite
hg : g.Finite
\u22a2 (g.comp f).Finite
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
ht : t ∈ 𝓝[s] x
\u22a2 LiftPropWithinAt P g (s ∩ t) x ↔ LiftPropWithinAt P g s x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
ht : t ∈ 𝓝[s] x
\u22a2 ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' (s ∩ t) =ᶠ[𝓝 (↑(chartAt H x) x)] ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
ht : t ∈ 𝓝[s] x
\u22a2 ∀ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ s ∩ t ↔ x ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
\u22a2 toIcoDiv hp a b = ⌊(b - a) / p⌋
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
\u22a2 b - ⌊(b - a) / p⌋ • p ∈ Set.Ico a (a + p)
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
\u22a2 0 ≤ b - a - ↑⌊(b - a) / p⌋ * p ∧ b - a - ↑⌊(b - a) / p⌋ * p < p
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/InnerDual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s✝ t : Set H
x : H
s : Set H
\u22a2 (insert x s).innerDualCone = {x}.innerDualCone ⊓ s.innerDualCone
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r : R
s : ↥S
\u22a2 (r /ₒ s) • 0 = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
o₁ o₂ : ONote
inst✝¹ : o₁.NF
inst✝ : o₂.NF
a : ONote
m : ℕ
e₁ : o₁.split = (a, m)
\u22a2 (o₁ ^ o₂).repr = o₁.repr ^ o₂.repr
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
o₁ o₂ : ONote
inst✝¹ : o₁.NF
inst✝ : o₂.NF
a : ONote
m : ℕ
e₁ : o₁.split = (a, m)
N₁ : a.NF
r₁ : o₁.repr = a.repr + ↑m
\u22a2 (o₁ ^ o₂).repr = o₁.repr ^ o₂.repr
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
inst✝¹ : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
e : ι ≃ κ
hst : ∀ (i : ι), i ∈ s ↔ e i ∈ t
hfg : ∀ i ∈ s, f i = g (e i)
\u22a2 ∏ i ∈ s, f i = ∏ i ∈ t, g i
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
\u22a2 IsPushout b.fst b.snd 0 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit
\u22a2 IsPushout (b.inl ≫ b.fst) 0 0 (0 ≫ 0)
-- Mathlib/GroupTheory/QuotientGroup.lean
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
U : Set (G ⧸ N)
g : ↥N.op
x : G
\u22a2 x ∈ g • ⇑(mk' N) ⁻¹' U ↔ x ∈ ⇑(mk' N) ⁻¹' U
-- Mathlib/GroupTheory/QuotientGroup.lean
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
U : Set (G ⧸ N)
g : ↥N.op
x : G
\u22a2 (mk' N) (g⁻¹ • x) ∈ U ↔ (mk' N) x ∈ U
-- Mathlib/GroupTheory/QuotientGroup.lean
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
U : Set (G ⧸ N)
g : ↥N.op
x : G
\u22a2 (mk' N) (g⁻¹ • x) = (mk' N) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Prorepresentability.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
f g : End F
\u22a2 (endEquivAutGalois F) (g ≫ f) = (endEquivAutGalois F) g * (endEquivAutGalois F) f
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Prorepresentability.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
f g : End F
A : PointedGaloisObject F
\u22a2 (fun f => F.map f.hom A.pt) ((AutGalois.π F A) ((endEquivAutGalois F) (g ≫ f))) = (fun f => F.map f.hom A.pt) ((AutGalois.π F A) ((endEquivAutGalois F) g * (endEquivAutGalois F) f))
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Prorepresentability.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
f g : End F
A : PointedGaloisObject F
\u22a2 (g.app A.obj ≫ f.app A.obj) A.pt = F.map (((AutGalois.π F A) ((endEquivAutGalois F) f)).hom ≫ ((AutGalois.π F A) ((endEquivAutGalois F) g)).hom) A.pt
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Prorepresentability.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
f g : End F
A : PointedGaloisObject F
\u22a2 f.app A.obj (g.app A.obj A.pt) = F.map ((AutGalois.π F A) ((endEquivAutGalois F) g)).hom (f.app A.obj A.pt)
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Prorepresentability.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
f g : End F
A : PointedGaloisObject F
\u22a2 f.app A.obj (g.app A.obj A.pt) = (f.app A.obj ≫ F.map ((AutGalois.π F A) ((endEquivAutGalois F) g)).hom) A.pt
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
\u22a2 p.natDegree ∣ Fintype.card p.Gal
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
\u22a2 p.natDegree ∣ finrank F p.SplittingField
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
hp : p.degree ≠ 0
\u22a2 p.natDegree ∣ finrank F p.SplittingField
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
hp : p.degree ≠ 0
α : p.SplittingField := rootOfSplits (algebraMap F p.SplittingField) ⋯ hp
\u22a2 p.natDegree ∣ finrank F p.SplittingField
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
hp : p.degree ≠ 0
α : p.SplittingField := rootOfSplits (algebraMap F p.SplittingField) ⋯ hp
hα : IsIntegral F α
\u22a2 p.natDegree ∣ finrank F p.SplittingField
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
hp : p.degree ≠ 0
α : p.SplittingField := rootOfSplits (algebraMap F p.SplittingField) ⋯ hp
hα : IsIntegral F α
\u22a2 finrank F p.SplittingField = p.natDegree * finrank (↥F⟮α⟯) p.SplittingField
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
hp : p.degree ≠ 0
α : p.SplittingField := rootOfSplits (algebraMap F p.SplittingField) ⋯ hp
hα : IsIntegral F α
\u22a2 (minpoly F α).natDegree = p.natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
hp : p.degree ≠ 0
α : p.SplittingField := rootOfSplits (algebraMap F p.SplittingField) ⋯ hp
hα : IsIntegral F α
\u22a2 minpoly F α ∣ p
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
hp : p.degree ≠ 0
α : p.SplittingField := rootOfSplits (algebraMap F p.SplittingField) ⋯ hp
hα : IsIntegral F α
\u22a2 (aeval α) p = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
\u22a2 σ 1 = σ (↑ₐ 1)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Dslope.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a
\u22a2 DifferentiableAt 𝕜 (dslope f a) b ↔ DifferentiableAt 𝕜 f b
-- Mathlib/Algebra/CharP/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
x y : R
h : Commute x y
\u22a2 (x + y) ^ p ^ n = x ^ p ^ n + y ^ p ^ n
-- Mathlib/Algebra/CharP/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
x y : R
h : Commute x y
r : R
hr : (x + y) ^ p ^ n = x ^ p ^ n + y ^ p ^ n + ↑p * r
\u22a2 (x + y) ^ p ^ n = x ^ p ^ n + y ^ p ^ n
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s✝ t✝ : Set α
l : List α
a : α
s : Set α
t : Set β
n m : ℕ
\u22a2 s.chainHeight + ↑n ≤ t.chainHeight + ↑m ↔ ∀ l ∈ s.subchain, ∃ l' ∈ t.subchain, l.length + n ≤ l'.length + m
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s✝ t✝ : Set α
l : List α
a : α
s : Set α
t : Set β
n m : ℕ
H : ∀ l ∈ s.subchain, ∃ l' ∈ t.subchain, l.length + n ≤ l'.length + m
\u22a2 s.chainHeight + ↑n ≤ t.chainHeight + ↑m
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : Group G✝
inst✝¹ : Fintype G✝
x : G✝
n : ℕ
G : Type u_6
inst✝ : Group G
h : (Nat.card G).Coprime n
g : G
key : g ^ ↑((Nat.card G).gcd n) = g ^ (↑(Nat.card G) * (Nat.card G).gcdA n + ↑n * (Nat.card G).gcdB n)
\u22a2 (fun g => g ^ (Nat.card G).gcdB n) ((fun g => g ^ n) g) = g
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : Group G✝
inst✝¹ : Fintype G✝
x : G✝
n : ℕ
G : Type u_6
inst✝ : Group G
h : (Nat.card G).Coprime n
g : G
key : g ^ ↑((Nat.card G).gcd n) = g ^ (↑(Nat.card G) * (Nat.card G).gcdA n + ↑n * (Nat.card G).gcdB n)
\u22a2 (fun g => g ^ n) ((fun g => g ^ (Nat.card G).gcdB n) g) = g
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : BorelSpace Ω
μ ν : FiniteMeasure Ω
hμν : μ.toWeakDualBCNN = ν.toWeakDualBCNN
\u22a2 μ = ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : BorelSpace Ω
μ ν : FiniteMeasure Ω
hμν : μ.toWeakDualBCNN = ν.toWeakDualBCNN
\u22a2 ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : BorelSpace Ω
μ ν : FiniteMeasure Ω
hμν : μ.toWeakDualBCNN = ν.toWeakDualBCNN
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
\u22a2 ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : BorelSpace Ω
μ ν : FiniteMeasure Ω
hμν : μ.toWeakDualBCNN = ν.toWeakDualBCNN
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
key : μ.toWeakDualBCNN f = ν.toWeakDualBCNN f
\u22a2 ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : BorelSpace Ω
μ ν : FiniteMeasure Ω
hμν : μ.toWeakDualBCNN = ν.toWeakDualBCNN
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
key : μ.toWeakDualBCNN f = ν.toWeakDualBCNN f
\u22a2 ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑μ ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : BorelSpace Ω
μ ν : FiniteMeasure Ω
hμν : μ.toWeakDualBCNN = ν.toWeakDualBCNN
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
key : μ.toWeakDualBCNN f = ν.toWeakDualBCNN f
\u22a2 ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑ν ≠ ⊤
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
c₀ : Chain α
c₁ : Chain β
\u22a2 ωSup (c₀.zip c₁) = (ωSup c₀, ωSup c₁)
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
c₀ : Chain α
c₁ : Chain β
\u22a2 ∀ (c : α × β), ωSup (c₀.zip c₁) ≤ c ↔ (ωSup c₀, ωSup c₁) ≤ c
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
c₀ : Chain α
c₁ : Chain β
z₁ : α
z₂ : β
\u22a2 ωSup (c₀.zip c₁) ≤ (z₁, z₂) ↔ (ωSup c₀, ωSup c₁) ≤ (z₁, z₂)
-- Mathlib/Algebra/Group/Hom/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
G✝ : Type u_6
H✝ : Type u_7
F : Type u_8
inst✝⁵ : Group G✝
inst✝⁴ : CommGroup H✝
G : Type u_9
H : Type u_10
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulOneClass H
inst✝¹ : FunLike F G H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
h : ∀ (a : G), f a = 1 → a = 1
x y : G
hxy : f x = f y
\u22a2 f (x * y⁻¹) = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0
\u22a2 (C a * X ^ 3 + C b * X ^ 2 + C c * X + C d).degree = 3
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0
\u22a2 ↑3 = 3
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Lattice.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q : Submodule R M
ι : Sort u_4
p : ι → Submodule R M
\u22a2 ↑(⨅ i, p i) = ⋂ i, ↑(p i)
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Lattice.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q : Submodule R M
ι : Sort u_4
p : ι → Submodule R M
\u22a2 ⋂ p_1 ∈ Set.range fun i => p i, ↑p_1 = ⋂ i, ↑(p i)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/DoubleFactorial.lean
k : ℕ
\u22a2 (k + 1 + 1)! = (k + 1 + 1)‼ * (k + 1)‼