ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
s : ℂ
hs : 1 < s.re
χ : DirichletCharacter ℂ 0
\u22a2 L ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) s = -deriv (L fun n => χ ↑n) s / L (fun n => χ ↑n) s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re
hN : N ≠ 0
\u22a2 L ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) s = -deriv (L fun n => χ ↑n) s / L (fun n => χ ↑n) s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re
hN : N ≠ 0
hχ : LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) s
\u22a2 L ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) s = -deriv (L fun n => χ ↑n) s / L (fun n => χ ↑n) s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re
hN : N ≠ 0
hχ : LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) s
hs' : (abscissaOfAbsConv fun n => χ ↑n) < ↑s.re
\u22a2 L ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) s = -deriv (L fun n => χ ↑n) s / L (fun n => χ ↑n) s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re
hN : N ≠ 0
hχ : LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) s
hs' : (abscissaOfAbsConv fun n => χ ↑n) < ↑s.re
hΛ : LSeriesSummable ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) s
\u22a2 L ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) s = -deriv (L fun n => χ ↑n) s / L (fun n => χ ↑n) s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re
hN : N ≠ 0
hχ : LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) s
hs' : (abscissaOfAbsConv fun n => χ ↑n) < ↑s.re
hΛ : LSeriesSummable ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) s
\u22a2 L ((fun n => χ ↑n) * fun n => Complex.log ↑n) s = L (logMul fun n => χ ↑n) s
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝ : Preorder α
f : ℤ → α
hf : Antitone f
n a : ℤ
h1 : f (n + 1) < f a
h2 : f a < f n
\u22a2 False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
\u22a2 x ^ y = rexp (log x * y) * cos (y * π)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
\u22a2 (Complex.exp (Complex.log ↑x * ↑y)).re = rexp (log x * y) * cos (y * π)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
\u22a2 ¬↑x = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
x : E
\u22a2 HasFDerivWithinAt f 0 {x} x
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
\u22a2 jacobiTheta₂ (z + 1) τ = jacobiTheta₂ z τ
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
n : ℤ
\u22a2 jacobiTheta₂_term n (z + 1) τ = jacobiTheta₂_term n z τ
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
hf : Function.Injective f
\u22a2 ((rename f) φ).IsHomogeneous n ↔ φ.IsHomogeneous n
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
hf : Function.Injective f
h : ((rename f) φ).IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d φ ≠ 0
\u22a2 (weight 1) d = n
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
\u22a2 ⟪0, 0⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : ℝ
h0 : 0 ≤ θ
hpi : θ ≤ π
\u22a2 0 ≤ (↑θ).sign
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : ℝ
h0 : 0 ≤ θ
hpi : θ ≤ π
\u22a2 0 ≤ (↑θ).sin
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : Cofix F α
\u22a2 mk x.dest = x
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : Cofix F α
\u22a2 ∀ (x y : Cofix F α), (fun x y => x = mk y.dest) x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> y.dest
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝ x y : Cofix F α
h : x = mk y.dest
\u22a2 (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> (mk y.dest).dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> y.dest
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝ x y : Cofix F α
h : x = mk y.dest
\u22a2 (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> (TypeVec.id ::: corec fun x => (TypeVec.id ::: fun i => i.dest) <$$> x) <$$> (TypeVec.id ::: fun i => i.dest) <$$> y.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> y.dest
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝ x y : Cofix F α
h : x = mk y.dest
\u22a2 (TypeVec.id ::: (Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) ∘ corec fun x => (TypeVec.id ::: fun i => i.dest) <$$> x) <$$> (TypeVec.id ::: fun i => i.dest) <$$> y.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> y.dest
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝ x y : Cofix F α
h : x = mk y.dest
\u22a2 (TypeVec.id ::: ((Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) ∘ mk) ∘ fun i => i.dest) <$$> y.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> y.dest
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝ x y : Cofix F α
h : x = mk y.dest
\u22a2 (TypeVec.id ::: ((Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) ∘ mk) ∘ fun i => i.dest) = (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝ x y : Cofix F α
h : x = mk y.dest
\u22a2 (((Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) ∘ mk) ∘ fun i => i.dest) = Quot.mk fun x y => x = mk y.dest
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝¹ x✝ y : Cofix F α
h : x✝ = mk y.dest
x : Cofix F α
\u22a2 (((Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) ∘ mk) ∘ fun i => i.dest) x = Quot.mk (fun x y => x = mk y.dest) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i✝ j i : ι
\u22a2 Lagrange.basis {i} v i = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Algebra.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring α
inst✝³ : StrictOrderedSemiring β
inst✝² : Algebra α β
inst✝¹ : SMulPosMono α β
inst✝ : SMulPosReflectLE α β
a₁ a₂ : α
\u22a2 (algebraMap α β) a₁ ≤ (algebraMap α β) a₂ ↔ a₁ ≤ a₂
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
a : α
hts : t ⊆ ↑s
hst : ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ t, c ≤ b → b ∈ t
\u22a2 s.sdiff t ⊔ lowerClosure t = s
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
a✝ : α
hts : t ⊆ ↑s
hst : ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ t, c ≤ b → b ∈ t
a : α
ha : a ∈ ↑s
\u22a2 a ∈ ↑(s.sdiff t ⊔ lowerClosure t)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
\u22a2 nodalWeight s v i = (eval (v i) (nodal (s.erase i) v))⁻¹
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝¹ : X → ↑F X
xs : Path F
a : F.A
f : F.B a → F.M
i : F.B a
f✝ : F.B a → F.M
hp : IsPath xs (f✝ i)
h : M.mk ⟨a, f⟩ = M.mk ⟨a, f✝⟩
\u22a2 IsPath xs (f i)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
xs : Path F
a : F.A
f : F.B a → F.M
i : F.B a
hp : IsPath xs (f i)
h : M.mk ⟨a, f⟩ = M.mk ⟨a, f⟩
\u22a2 IsPath xs (f i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring R₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M
x : M₂
\u22a2 (B 0) x = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Defs.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p
hn : n ≠ 0
h : p ∣ n
\u22a2 0 < n.factorization p
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Int.lean
α : Type u_1
n : ℤ
\u22a2 ↑↑n.natAbs = ↑↑n.natAbs
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Int.lean
α : Type u_1
n : ℤ
\u22a2 ↑↑n.natAbs = |↑n|
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
\u22a2 (∑' (i : ℕ), x ^ i) * (1 - x) = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
this : HasSum (fun i => x ^ i * (1 - x)) ((∑' (b : ℕ), x ^ b) * (1 - x))
\u22a2 (∑' (i : ℕ), x ^ i) * (1 - x) = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
this : HasSum (fun i => x ^ i * (1 - x)) ((∑' (b : ℕ), x ^ b) * (1 - x))
\u22a2 Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i * (1 - x)) atTop (𝓝 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
this✝ : HasSum (fun i => x ^ i * (1 - x)) ((∑' (b : ℕ), x ^ b) * (1 - x))
this : Tendsto (fun n => 1 - x ^ n) atTop (𝓝 1)
\u22a2 Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i * (1 - x)) atTop (𝓝 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
this✝ : HasSum (fun i => x ^ i * (1 - x)) ((∑' (b : ℕ), x ^ b) * (1 - x))
this : Tendsto (fun n => 1 - x ^ n) atTop (𝓝 1)
x✝ : ℕ
\u22a2 1 - x ^ x✝ = ∑ i ∈ Finset.range x✝, x ^ i * (1 - x)
-- Mathlib/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a x : α
\u22a2 x ∈ Ioi a ↔ a < x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
h : a ∈ ball b r
\u22a2 a ^ n ∈ ball (b ^ n) (n • r)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ‖a / b‖ < r
\u22a2 ‖(a / b) ^ n‖ < n • r
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ‖a / b‖ < r
\u22a2 ↑n * ‖a / b‖ < n • r
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
h : ‖a / b‖ < r
hn : 0 < ↑n
\u22a2 ↑n * ‖a / b‖ < n • r
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
h : ‖a / b‖ < r
hn : 0 < ↑n
\u22a2 ↑n * ‖a / b‖ < ↑n * r
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
\u22a2 t.prod.leadingCoeff = (Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t).prod
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
\u22a2 (Multiset.map (⇑leadingCoeffHom) t).prod = (Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t).prod
-- Mathlib/Computability/Reduce.lean
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d₁ d₂ d₃ : ManyOneDegree
\u22a2 d₁ ≤ d₂ → d₂ ≤ d₃ → d₁ ≤ d₃
-- Mathlib/Computability/Reduce.lean
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d₂ d₃ : ManyOneDegree
p✝ : Set ℕ
\u22a2 of p✝ ≤ d₂ → d₂ ≤ d₃ → of p✝ ≤ d₃
-- Mathlib/Computability/Reduce.lean
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d₃ : ManyOneDegree
p✝¹ p✝ : Set ℕ
\u22a2 of p✝¹ ≤ of p✝ → of p✝ ≤ d₃ → of p✝¹ ≤ d₃
-- Mathlib/Computability/Reduce.lean
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
p✝² p✝¹ p✝ : Set ℕ
\u22a2 of p✝² ≤ of p✝¹ → of p✝¹ ≤ of p✝ → of p✝² ≤ of p✝
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x✝ y x : ℝ
\u22a2 log x ≠ 0 ↔ x ≠ 0 ∧ x ≠ 1 ∧ x ≠ -1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
inst✝ : CommRing S
d : ℕ
y : S
\u22a2 eval (1 + y) ((monomial d) (↑d + 1)) - eval y ((monomial d) (↑d + 1)) = ∑ x_1 ∈ range (d + 1), ↑((d + 1).choose x_1) * (↑x_1 * y ^ (x_1 - 1))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
inst✝ : CommRing S
d : ℕ
y : S
cast_succ : ↑d + 1 = ↑d.succ
\u22a2 eval (1 + y) ((monomial d) (↑d + 1)) - eval y ((monomial d) (↑d + 1)) = ∑ x_1 ∈ range (d + 1), ↑((d + 1).choose x_1) * (↑x_1 * y ^ (x_1 - 1))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
inst✝ : CommRing S
d : ℕ
y : S
cast_succ : ↑d + 1 = ↑d.succ
\u22a2 ↑d.succ * ∑ m ∈ range (d + 1), y ^ m * 1 ^ (d - m) * ↑(d.choose m) - ↑d.succ * y ^ d = ∑ x_1 ∈ range (d + 1), ↑((d + 1).choose x_1) * (↑x_1 * y ^ (x_1 - 1))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
inst✝ : CommRing S
d : ℕ
y : S
cast_succ : ↑d + 1 = ↑d.succ
\u22a2 ↑d.succ * ∑ x ∈ range (d + 1), ↑(d.choose x) * y ^ x - ↑d.succ * y ^ d = ∑ x_1 ∈ range (d + 1), ↑((d + 1).choose x_1) * (↑x_1 * y ^ (x_1 - 1))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
inst✝ : CommRing S
d : ℕ
y : S
cast_succ : ↑d + 1 = ↑d.succ
\u22a2 ∑ i ∈ range d, ↑d.succ * (↑(d.choose i) * y ^ i) = ∑ k ∈ range d, ↑((d + 1).choose (k + 1)) * (↑(k + 1) * y ^ (k + 1 - 1))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
inst✝ : CommRing S
d : ℕ
y✝ : S
cast_succ : ↑d + 1 = ↑d.succ
y : ℕ
_hy : y ∈ range d
\u22a2 ↑d.succ * (↑(d.choose y) * y✝ ^ y) = ↑((d + 1).choose (y + 1)) * (↑(y + 1) * y✝ ^ (y + 1 - 1))
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
K : Type u
A : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra K A
x : A
\u22a2 IsAlgebraic K x ↔ IsIntegral K x
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
K : Type u
A : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra K A
x : A
\u22a2 IsAlgebraic K x → IsIntegral K x
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
K : Type u
A : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra K A
x : A
p : K[X]
hp : p ≠ 0
hpx : (aeval x) p = 0
\u22a2 IsIntegral K x
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
K : Type u
A : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra K A
x : A
p : K[X]
hp : p ≠ 0
hpx : (aeval x) p = 0
\u22a2 eval₂ (algebraMap K A) x (p * C p.leadingCoeff⁻¹) = 0
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Catalan.lean
n : ℕ
\u22a2 (treesOfNumNodesEq n).card = catalan n
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Catalan.lean
\u22a2 (treesOfNumNodesEq 0).card = catalan 0
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Catalan.lean
n : ℕ
ih : ∀ m ≤ n, (treesOfNumNodesEq m).card = catalan m
\u22a2 (treesOfNumNodesEq n.succ).card = catalan n.succ
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Catalan.lean
n : ℕ
ih : ∀ m ≤ n, (treesOfNumNodesEq m).card = catalan m
\u22a2 ∑ u ∈ antidiagonal n, (pairwiseNode (treesOfNumNodesEq u.1) (treesOfNumNodesEq u.2)).card = ∑ ij ∈ antidiagonal n, catalan ij.1 * catalan ij.2
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Catalan.lean
n : ℕ
ih : ∀ m ≤ n, (treesOfNumNodesEq m).card = catalan m
\u22a2 ∀ x ∈ antidiagonal n, ∀ y ∈ antidiagonal n, x ≠ y → Disjoint (pairwiseNode (treesOfNumNodesEq x.1) (treesOfNumNodesEq x.2)) (pairwiseNode (treesOfNumNodesEq y.1) (treesOfNumNodesEq y.2))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
hn : 0 < n
h : finrank ℝ E = n
x : Orientation ℝ E (Fin n)
\u22a2 (Orientation.finOrthonormalBasis hn h x).toBasis.orientation = x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
hn : 0 < n
h : finrank ℝ E = n
x : Orientation ℝ E (Fin n)
this : Nonempty (Fin n)
\u22a2 (Orientation.finOrthonormalBasis hn h x).toBasis.orientation = x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
hn : 0 < n
h : finrank ℝ E = n
x : Orientation ℝ E (Fin n)
this✝ : Nonempty (Fin n)
this : FiniteDimensional ℝ E
\u22a2 (Orientation.finOrthonormalBasis hn h x).toBasis.orientation = x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²⁵ : Semiring R₁
inst✝²⁴ : Semiring R₂
inst✝²³ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝²² : TopologicalSpace M₁
inst✝²¹ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M₂
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M₃
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₄
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₄
inst✝¹² : Module R₁ M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M'₁
inst✝¹⁰ : Module R₂ M₂
inst✝⁹ : Module R₃ M₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
F : Type u_9
inst✝⁷ : Module R₁ M₂
inst✝⁶ : TopologicalSpace R₁
inst✝⁵ : ContinuousSMul R₁ M₂
inst✝⁴ : ContinuousSMul R₁ M₁
α : Type u_10
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : DistribMulAction α M₁
inst✝¹ : ContinuousConstSMul α M₁
inst✝ : SMulCommClass R₁ α M₁
c : α
x : M₁
\u22a2 (toSpanSingleton R₁ (c • x)) 1 = (c • toSpanSingleton R₁ x) 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P
v : V
\u22a2 v +ᵥ z ∈ affineSegment R (v +ᵥ x) (v +ᵥ y) ↔ z ∈ affineSegment R x y
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
\u22a2 ↑‖Memℒp.toLp f hf‖₊ = eLpNorm f p μ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ V = n
hc : Cospherical ps
this : Nonempty ↥⊤
\u22a2 ∃ c, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumcenter = c
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ ↥⊤.direction = n
hc : Cospherical ps
this : Nonempty ↥⊤
\u22a2 ∃ c, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumcenter = c
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
x : α
\u22a2 x ∈ Icc a b ∪ Ici c ↔ x ∈ Ici (min a c)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
x : α
\u22a2 a ≤ x ∧ x ≤ b ∨ c ≤ x ↔ a ≤ x ∨ c ≤ x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ : 𝕜
v : E
hv : v ∈ (eigenspace T μ)ᗮ
w : E
hw : w ∈ eigenspace T μ
\u22a2 ⟪w, T v⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ : 𝕜
v : E
hv : v ∈ (eigenspace T μ)ᗮ
w : E
hw : w ∈ eigenspace T μ
this : T w = μ • w
\u22a2 ⟪w, T v⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
\u22a2 TendstoLocallyUniformly F f p ↔ ∀ (x : α), TendstoUniformlyOnFilter F f p (𝓝 x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
h : ∀ (g : G) {K : Compacts G}, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
g : G
U : Opens G
\u22a2 μ.innerContent ((Opens.comap (Homeomorph.mulLeft g).toContinuousMap) U) = μ.innerContent U
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
\u22a2 toIocDiv hp a b • p - b = -toIocMod hp a b
-- Mathlib/ModelTheory/ElementaryMaps.lean
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
f : M ↪ₑ[L] N
φ : L.Sentence
\u22a2 M ⊨ φ ↔ N ⊨ φ
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∉ s
hst : _root_.Disjoint s (t.erase a)
\u22a2 _root_.Disjoint s t
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∉ s
hst : _root_.Disjoint s (t.erase a)
\u22a2 a ∉ t.erase a ∧ _root_.Disjoint s (t.erase a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, 1 ≤ f x
\u22a2 μ s ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, 1 ≤ f x
\u22a2 μ s ≤ 1 * μ {x | 1 ≤ f x}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, 1 ≤ f x
\u22a2 μ s ≤ μ {x | 1 ≤ f x}