ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
s : Set α
\u22a2 f'' =o[𝓟 s] g' ↔ ∀ x ∈ s, f'' x = 0
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
s : Set α
h : f'' =o[𝓟 s] g'
x : α
hx : x ∈ s
\u22a2 ‖f'' x‖ ≤ 0
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
s : Set α
h : ∀ x ∈ s, f'' x = 0
\u22a2 f'' =o[𝓟 s] g'
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Products.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X : C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X✝ Y✝ : (prodComonad X).Coalgebra
f : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 f.f ≫ ((fun A => Over.mk (A.a ≫ prod.fst)) Y✝).hom = ((fun A => Over.mk (A.a ≫ prod.fst)) X✝).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Products.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X : C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X✝ Y✝ : (prodComonad X).Coalgebra
f : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 X✝.a ≫ (prodComonad X).map f.f ≫ prod.fst = ((fun A => Over.mk (A.a ≫ prod.fst)) X✝).hom
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
\u22a2 cyclesMap' (-φ) h₁ h₂ = -cyclesMap' φ h₁ h₂
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
n : ℤ
\u22a2 rootSpace H (n • ⇑α + ⇑β) ≠ ⊥ ↔ n ∈ Finset.Icc (-↑(chainBotCoeff (⇑α) β)) ↑(chainTopCoeff (⇑α) β)
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : LE α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
\u22a2 a * b ≤ b ↔ a * b ≤ 1 * b
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
inst✝ : Invertible 2
x : M × M
\u22a2 (dualProd R M) ((((⟨⅟2, ⋯⟩ • { toFun := polarBilin, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) Q ∘ₗ LinearMap.fst R M M + (⟨⅟2, ⋯⟩ • { toFun := polarBilin, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) Q ∘ₗ LinearMap.snd R M M).prod (LinearMap.fst R M M - LinearMap.snd R M M)).toFun x) = (prod Q (-Q)) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
inst✝ : Invertible 2
x : M × M
\u22a2 ⟨⅟2, ⋯⟩ • polar (⇑Q) x.1 (x.1 - x.2) + ⟨⅟2, ⋯⟩ • polar (⇑Q) x.2 (x.1 - x.2) = Q x.1 + -Q x.2
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
toFinsupp✝¹ toFinsupp✝ : R[ℕ]
\u22a2 ({ toFinsupp := toFinsupp✝¹ } + { toFinsupp := toFinsupp✝ }).coeff n = { toFinsupp := toFinsupp✝¹ }.coeff n + { toFinsupp := toFinsupp✝ }.coeff n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
toFinsupp✝¹ toFinsupp✝ : R[ℕ]
\u22a2 (toFinsupp✝¹ + toFinsupp✝) n = toFinsupp✝¹ n + toFinsupp✝ n
-- Mathlib/Algebra/Group/Action/Defs.lean
M✝ : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α✝ : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
M : Type u_11
α : Type u_12
inst✝² : SMul M α
inst✝¹ : SMul Mᵐᵒᵖ α
inst✝ : IsCentralScalar M α
a : α
X✝ : M
\u22a2 MulOpposite.unop (MulOpposite.op X✝) • a = MulOpposite.op X✝ • a
-- Mathlib/RingTheory/Generators.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.248221
S' : Type ?u.248224
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.250655
S'' : Type ?u.250658
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : { f // ∀ (x : P.Ring), (aeval P'.val) (f x) = (algebraMap S S') ((aeval P.val) x) }
i : P.vars
\u22a2 (aeval P'.val) ((fun i => ↑f (X i)) i) = (algebraMap S S') (P.val i)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Quotient.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ inst✝⁵ : Group α
inst✝⁴ : MulAction α β
x : β
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : Fintype (Quotient (orbitRel α β))
inst✝ : (b : β) → Fintype ↥(stabilizer α b)
φ : Quotient (orbitRel α β) → β
hφ : LeftInverse Quotient.mk'' φ
\u22a2 Fintype.card β = ∑ ω : Quotient (orbitRel α β), Fintype.card α / Fintype.card ↥(stabilizer α (φ ω))
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Ab.lean
S : ShortComplex Ab
\u22a2 S.Exact ↔ ∀ (x₂ : ↑S.X₂), S.g x₂ = 0 → ∃ x₁, S.f x₁ = x₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Ab.lean
S : ShortComplex Ab
\u22a2 Function.Surjective ⇑S.abToCycles ↔ ∀ (x₂ : ↑S.X₂), S.g x₂ = 0 → ∃ x₁, S.f x₁ = x₂
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hs : s ≠ univ
\u22a2 supSum {s} = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hs : s ≠ univ
this : ∀ (t : Finset α), (↑(card α) - ↑({s}.truncatedSup t).card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) = if t ⊆ s then (↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) else 0
\u22a2 supSum {s} = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hs : s ≠ univ
this : ∀ (t : Finset α), (↑(card α) - ↑({s}.truncatedSup t).card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) = if t ⊆ s then (↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) else 0
\u22a2 1 = ∑ x : Finset α, (↑(card α) - ↑({s}.truncatedSup x).card) / ((↑(card α) - ↑x.card) * ↑((card α).choose x.card))
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hs : s ≠ univ
this : ∀ (t : Finset α), (↑(card α) - ↑({s}.truncatedSup t).card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) = if t ⊆ s then (↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) else 0
\u22a2 ∑ j ∈ range (s.card + 1), ∑ t ∈ powersetCard j s, (↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) = ∑ i ∈ range (s.card + 1), ↑(s.card.choose i) * (↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑i) * ↑((card α).choose i))
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hs : s ≠ univ
this : ∀ (t : Finset α), (↑(card α) - ↑({s}.truncatedSup t).card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) = if t ⊆ s then (↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) else 0
n : ℕ
x✝ : n ∈ range (s.card + 1)
\u22a2 ∑ t ∈ powersetCard n s, (↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) = ↑(s.card.choose n) * (↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑n) * ↑((card α).choose n))
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hs : s ≠ univ
this : ∀ (t : Finset α), (↑(card α) - ↑({s}.truncatedSup t).card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) = if t ⊆ s then (↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) else 0
n : ℕ
x✝ : n ∈ range (s.card + 1)
\u22a2 ∑ t ∈ powersetCard n s, (↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑t.card) * ↑((card α).choose t.card)) = s.card.choose n • ((↑(card α) - ↑s.card) / ((↑(card α) - ↑n) * ↑((card α).choose n)))
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
i j : α
σ : Perm α
\u22a2 σ * swap i j = σ ↔ i = j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
i : IsZero Y
\u22a2 IsZero X
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
i : IsZero Y
hf : f = 0
\u22a2 IsZero X
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
i : IsZero Y
inst✝ : Mono 0
\u22a2 IsZero X
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/OfAlternating.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
F : ExteriorAlgebra R M →ₗ[R] N
\u22a2 F ∘ₗ liftAlternating (ιMulti R) = F
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
\u22a2 principalSeg.top = type fun x x_1 => x < x_1
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero R
x y p d : R
k : ℕ
hy : Squarefree y
hp : Prime p
h : p ^ (k + 1) ∣ x * y
\u22a2 p ^ k ∣ x
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero R
x y p d : R
k : ℕ
hy : Squarefree y
hp : Prime p
h : p ^ (k + 1) ∣ y * x
\u22a2 p ^ k ∣ x
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
\u22a2 (∀ (x : Set Y), IsOpen xᶜ ↔ IsOpen (f ⁻¹' xᶜ)) ↔ ∀ (s : Set Y), IsClosed s ↔ IsClosed (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Logic/Lemmas.lean
a b c : Prop
\u22a2 ((a ↔ b) ↔ c) ↔ (a ↔ (b ↔ c))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x : ℂ
hi : 0 < x.im
\u22a2 (-x).arg = x.arg - π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x : ℂ
hi : 0 < x.im
\u22a2 -Real.arccos ((-x).re / abs (-x)) = Real.arccos (x.re / abs x) - π
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
t : Ordnode α
\u22a2 t.eraseMax.dual = t.dual.eraseMin
-- Mathlib/ModelTheory/Skolem.lean
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : L.Structure M
S : (L.sum L.skolem₁).Substructure M
\u22a2 (LHom.sumInl.substructureReduct S).IsElementary
-- Mathlib/ModelTheory/Skolem.lean
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : L.Structure M
S : (L.sum L.skolem₁).Substructure M
\u22a2 ∀ (n : ℕ) (φ : L.BoundedFormula Empty (n + 1)) (x : Fin n → ↥(LHom.sumInl.substructureReduct S)) (a : M), φ.Realize default (Fin.snoc (Subtype.val ∘ x) a) → ∃ b, φ.Realize default (Fin.snoc (Subtype.val ∘ x) ↑b)
-- Mathlib/ModelTheory/Skolem.lean
L : Language
M : Type w
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : L.Structure M
S : (L.sum L.skolem₁).Substructure M
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula Empty (n + 1)
x : Fin n → ↥(LHom.sumInl.substructureReduct S)
a : M
h : φ.Realize default (Fin.snoc (Subtype.val ∘ x) a)
φ' : (L.sum L.skolem₁).Functions n := LHom.sumInr.onFunction φ
\u22a2 ∃ b, φ.Realize default (Fin.snoc (Subtype.val ∘ x) ↑b)
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι : Type u_4
ι₂ : Type u_5
A : Type u_6
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : Finite ι₂
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι₂
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
b₁ : Basis ι R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
i✝ : ι₂
j✝ : ι
\u22a2 (toMatrix (basis A b₁) (basis A b₂)) (baseChange A f) i✝ j✝ = ((toMatrix b₁ b₂) f).map (⇑(algebraMap R A)) i✝ j✝
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalSampling.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i✝ n : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ι
\u22a2 stoppedValue f τ =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x = i})] μ[f n|hτ.measurableSpace]
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalSampling.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i✝ n : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ι
\u22a2 stoppedValue f τ =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x = i})] f i
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalSampling.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i✝ n : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ι
\u22a2 ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, x ∈ {ω | τ ω = i} → stoppedValue f τ x = f i x
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalSampling.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i✝ n : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ι
x : Ω
hx : x ∈ {ω | τ ω = i}
\u22a2 stoppedValue f τ x = f i x
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalSampling.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i✝ n : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ n
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ι
x : Ω
hx : τ x = i
\u22a2 stoppedValue f τ x = f i x
-- Mathlib/Probability/Cdf.lean
μ : Measure ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
x : ℝ
\u22a2 ↑(cdf μ) x = (μ (Iic x)).toReal
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Algebra.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : OrderedCommSemiring α
inst✝² : OrderedSemiring β
inst✝¹ : Algebra α β
inst✝ : SMulPosMono α β
a : α
ha : 0 ≤ a
\u22a2 0 ≤ (algebraMap α β) a
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/MonoidWithZero.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoidWithZero P
f : S.LocalizationWithZeroMap N
inst✝ : IsCancelMulZero M
h : ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ S → IsRegular x
\u22a2 IsCancelMulZero N
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/MonoidWithZero.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoidWithZero P
f : S.LocalizationWithZeroMap N
inst✝ : IsCancelMulZero M
h : ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ S → IsRegular x
this : IsLeftCancelMulZero N
\u22a2 IsCancelMulZero N
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Gamma.lean
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
hq : -2 < q
\u22a2 ∫ (x : ℂ), ‖x‖ ^ q * rexp (-‖x‖ ^ p) = 2 * π / p * Real.Gamma ((q + 2) / p)
-- Mathlib/Data/Nat/Count.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ
hp : ∀ n' < n, p n'
\u22a2 count p n = n
-- Mathlib/Data/Nat/Count.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ
hp : ∀ n' < n, p n'
\u22a2 ∀ x ∈ range n, p x
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
e f : C ⟶ D
h : Homotopy e f
g : D ⟶ E
i j : ι
w : ¬c.Rel j i
\u22a2 h.hom i j ≫ g.f j = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
e f : C ⟶ D
h : Homotopy e f
g : D ⟶ E
i : ι
\u22a2 (e ≫ g).f i = (((dNext i) fun i j => h.hom i j ≫ g.f j) + (prevD i) fun i j => h.hom i j ≫ g.f j) + (f ≫ g).f i
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
\u22a2 ‖x - y‖ * ‖x - y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ ↔ ⟪x, y⟫_ℝ = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
\u22a2 2 = 0 ∨ re ⟪x, y⟫_ℝ = 0 ↔ ⟪x, y⟫_ℝ = 0
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c a b : α
\u22a2 (Ioo a b).card = (Icc a b).card - 2
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c a b : α
\u22a2 (Icc a b).card - 1 - 1 = (Icc a b).card - 2
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hflt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g : α → E
\u22a2 Integrable g (μ.withDensity f) ↔ Integrable (fun x => (f x).toReal • g x) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hflt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g : α → E
\u22a2 Integrable (fun x => (f x).toNNReal • g x) μ ↔ Integrable (fun x => (f x).toReal • g x) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hflt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
g : α → E
\u22a2 Measurable fun x => (f x).toNNReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : α → Prop
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
\u22a2 (∀ᵐ (x : α) ∂μ.withDensity f, p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0 → p x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : α → Prop
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
\u22a2 (μ ({x | f x ≠ 0} ∩ {a | ¬p a}) = 0) = (μ {a | ¬(f a ≠ 0 → p a)} = 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : α → Prop
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
x : α
\u22a2 x ∈ {x | f x ≠ 0} ∩ {a | ¬p a} ↔ x ∈ {a | ¬(f a ≠ 0 → p a)}
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₂
h : K₁ ≤ K₂
n : ℕ
h_dim : finrank 𝕜 ↥K₁ + n = finrank 𝕜 ↥K₂
\u22a2 finrank 𝕜 ↥(K₁ᗮ ⊓ K₂) = n
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥K₂
h : K₁ ≤ K₂
n : ℕ
h_dim : finrank 𝕜 ↥K₁ + n = finrank 𝕜 ↥K₂
\u22a2 finrank 𝕜 ↥K₁ + finrank 𝕜 ↥(K₁ᗮ ⊓ K₂) = finrank 𝕜 ↥K₁ + n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Basic.lean
n : ℕ
\u22a2 (hermite (n + 1)).coeff 0 = -(hermite n).coeff 1
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b : α
s : Finset α
a : α
\u22a2 s.erase a = ∅ ↔ s = ∅ ∨ s = {a}
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : ↥(Lp β 1 μ)
\u22a2 ENNReal.ofReal ‖f‖ = ∫⁻ (x : α), ↑‖↑↑f x‖₊ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : ↥(Lp β 1 μ)
\u22a2 ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ∂μ ≠ ⊤