ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/VectorSpace.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val
\u22a2 range ⇑(extend hs) = hs.extend ⋯
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f g : R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hu₁ : ∀ x ∈ U, g ∈ x.asIdeal.primeCompl
hu₂ : ∀ x ∈ U, f ∈ x.asIdeal.primeCompl
\u22a2 const R f g U hu₁ * const R g f U hu₂ = 1
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Comap.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
x : σ → R
\u22a2 comap (AlgHom.id R (MvPolynomial σ R)) x = x
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Comap.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
x : σ → R
i : σ
\u22a2 comap (AlgHom.id R (MvPolynomial σ R)) x i = x i
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b c : ℕ
\u22a2 Ico a (a + 1) = {a}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
\u22a2 gauge s (a • x) = a • gauge s x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
\u22a2 sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • a • x ∈ s} = sInf (a • {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ s})
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
r : ℝ
\u22a2 r ∈ {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • a • x ∈ s} ↔ r ∈ a • {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ s}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝² : OrderedSMul α ℝ
inst✝¹ : MulActionWithZero α E
inst✝ : IsScalarTower α ℝ (Set E)
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
x : E
ha' : 0 < a
r : ℝ
\u22a2 r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • a • x ∈ s ↔ ∃ y, (y ∈ Ioi 0 ∧ y⁻¹ • x ∈ s) ∧ a • y = r
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Defs.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra K F
ι : Type w
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R S
s : S
\u22a2 (norm R) s = ((leftMulMatrix b) s).det
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Defs.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra K F
ι : Type w
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R S
s : S
\u22a2 ((toMatrix b b) ((lmul R S) s)).det = ((toMatrix b b) (mulLeft R s)).det
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{v}
α : Type v
r : α → α → Prop
x✝¹ : IsWellOrder α r
β : Type v
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s
\u22a2 lift.{u, v} (type r) ≤ lift.{u, v} (type s) ↔ type r ≤ type s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{v}
α : Type v
r : α → α → Prop
x✝¹ : IsWellOrder α r
β : Type v
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s
\u22a2 lift.{max v u, v} (type r) ≤ lift.{max v u, v} (type s) ↔ type r ≤ type s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
f : X → Y
hf : Isometry f
H : Monotone m ∨ Surjective f
\u22a2 (comap f) (mkMetric m) = mkMetric m
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
f : X → Y
hf : Isometry f
H : Monotone m ∨ Surjective f
\u22a2 ⨆ i, ⨆ (_ : i > 0), (comap f) (boundedBy (extend fun s x => m (diam s))) = ⨆ r, ⨆ (_ : r > 0), boundedBy (extend fun s x => m (diam s))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
f : X → Y
hf : Isometry f
H : Monotone m ∨ Surjective f
ε : ℝ≥0∞
hε : id ε > 0
\u22a2 (comap f) (boundedBy (extend fun s x => m (diam s))) = boundedBy (extend fun s x => m (diam s))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
f : X → Y
hf : Isometry f
H : Monotone m ∨ Surjective f
ε : ℝ≥0∞
hε : id ε > 0
\u22a2 (boundedBy fun s => extend (fun s x => m (diam s)) (f '' s)) = boundedBy (extend fun s x => m (diam s))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
f : X → Y
hf : Isometry f
H : Monotone m ∨ Surjective f
ε : ℝ≥0∞
hε : id ε > 0
\u22a2 Monotone m → Monotone fun s => extend (fun s x => m (diam s)) ↑s
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : AddMonoidWithOne B
inst✝² : FunLike F ℕ A
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : AddMonoidHomClass F ℕ A
f g : F
h : f 1 = g 1
n : ℕ
\u22a2 f n = g n
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : EDist α
x y : α
s t : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hs : s.Nontrivial
\u22a2 ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ s.einfsep = edist x y
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Midpoint.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z : P
x y : V
\u22a2 0 -ᵥ x = y -ᵥ (x + y)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : TaggedPrepartition I
\u22a2 integralSum (f + g) vol π = integralSum f vol π + integralSum g vol π
-- Mathlib/Algebra/Group/Center.lean
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Monoid M
x✝ : Mˣ
ha : x✝ ∈ Units.val ⁻¹' center M
\u22a2 x✝ ∈ center Mˣ
-- Mathlib/Algebra/Group/Center.lean
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Monoid M
x✝ : Mˣ
ha : x✝ ∈ Units.val ⁻¹' center M
\u22a2 ∀ (g : Mˣ), g * x✝ = x✝ * g
-- Mathlib/Algebra/Group/Center.lean
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : Monoid M
x✝ : Mˣ
ha : x✝ ∈ Units.val ⁻¹' center M
g✝ : Mˣ
\u22a2 g✝ * x✝ = x✝ * g✝
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M
s : Set E
hs : IsOpen s
\u22a2 IsOpen ((chartAt H x).source ∩ ↑(extChartAt I x) ⁻¹' s)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M
s : Set E
hs : IsOpen s
\u22a2 IsOpen ((extChartAt I x).source ∩ ↑(extChartAt I x) ⁻¹' s)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
H : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf {x | ‖x‖ ^ 2 = ‖x₀‖ ^ 2} x₀
\u22a2 ∃ a b, (a, b) ≠ 0 ∧ a • x₀ + b • T x₀ = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
H : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf {x | ‖x‖ ^ 2 = ‖x₀‖ ^ 2} x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • 2 • (innerSL ℝ) x₀ + b • 2 • (innerSL ℝ) (T x₀) = 0
\u22a2 ∃ a b, (a, b) ≠ 0 ∧ a • x₀ + b • T x₀ = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
H : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf {x | ‖x‖ ^ 2 = ‖x₀‖ ^ 2} x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • 2 • (innerSL ℝ) x₀ + b • 2 • (innerSL ℝ) (T x₀) = 0
\u22a2 a • x₀ + b • T x₀ = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
H : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf {x | ‖x‖ ^ 2 = ‖x₀‖ ^ 2} x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • 2 • (innerSL ℝ) x₀ + b • 2 • (innerSL ℝ) (T x₀) = 0
\u22a2 (InnerProductSpace.toDualMap ℝ F) (a • x₀ + b • T x₀) = (InnerProductSpace.toDualMap ℝ F) 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
H : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf {x | ‖x‖ ^ 2 = ‖x₀‖ ^ 2} x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • 2 • (innerSL ℝ) x₀ + b • 2 • (innerSL ℝ) (T x₀) = 0
\u22a2 (InnerProductSpace.toDualMap ℝ F) (a • x₀) + (InnerProductSpace.toDualMap ℝ F) (b • T x₀) = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
H : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf {x | ‖x‖ ^ 2 = ‖x₀‖ ^ 2} x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • 2 • (innerSL ℝ) x₀ + b • 2 • (innerSL ℝ) (T x₀) = 0
\u22a2 a • (InnerProductSpace.toDualMap ℝ F) x₀ + b • (InnerProductSpace.toDualMap ℝ F) (T x₀) = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
H : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf {x | ‖x‖ ^ 2 = ‖x₀‖ ^ 2} x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • 2 • (innerSL ℝ) x₀ + b • 2 • (innerSL ℝ) (T x₀) = 0
\u22a2 a • (innerSL ℝ) x₀ + b • (innerSL ℝ) (T x₀) = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
T : F →L[ℝ] F
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : F
hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
H : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf {x | ‖x‖ ^ 2 = ‖x₀‖ ^ 2} x₀
a b : ℝ
h₁ : (a, b) ≠ 0
h₂ : a • 2 • (innerSL ℝ) x₀ + b • 2 • (innerSL ℝ) (T x₀) = 0
\u22a2 (fun x => 2 • x) (a • (innerSL ℝ) x₀ + b • (innerSL ℝ) (T x₀)) = (fun x => 2 • x) 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
\u22a2 re (⟪x, y⟫_𝕜 * ⟪y, x⟫_𝕜) = ‖⟪x, y⟫_𝕜 * ⟪y, x⟫_𝕜‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
\u22a2 re (⟪y, x⟫_𝕜 * (starRingEnd 𝕜) ⟪y, x⟫_𝕜) = ‖⟪y, x⟫_𝕜 * (starRingEnd 𝕜) ⟪y, x⟫_𝕜‖
-- Mathlib/Algebra/Homology/DifferentialObject.lean
β : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup β
b : β
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.7275, u_2} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : DifferentialObject ℤ (GradedObjectWithShift b V)
i j : β
w : ¬i + b = j
\u22a2 (fun i j => if h : i + b = j then X.d i ≫ X.objEqToHom ⋯ else 0) i j = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/DifferentialObject.lean
β : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup β
b : β
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.7275, u_2} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X Y : DifferentialObject ℤ (GradedObjectWithShift b V)
f : X ⟶ Y
i : β
\u22a2 (f.f i ≫ if h : i + b = i + b then Y.d i ≫ Y.objEqToHom ⋯ else 0) = (if h : i + b = i + b then X.d i ≫ X.objEqToHom ⋯ else 0) ≫ f.f (i + b)
-- Mathlib/Algebra/Homology/DifferentialObject.lean
β : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup β
b : β
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.7275, u_2} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X Y : DifferentialObject ℤ (GradedObjectWithShift b V)
f : X ⟶ Y
i : β
\u22a2 f.f i ≫ Y.d i ≫ Y.objEqToHom ⋯ = X.d i ≫ f.f (i + 1 • b) ≫ Y.objEqToHom ⋯
-- Mathlib/Algebra/Homology/DifferentialObject.lean
β : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup β
b : β
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.7275, u_2} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X Y : DifferentialObject ℤ (GradedObjectWithShift b V)
f : X ⟶ Y
i : β
this : f.f i ≫ Y.d i = X.d i ≫ f.f ((fun b_1 => b_1 + { as := 1 }.as • b) i)
\u22a2 f.f i ≫ Y.d i ≫ Y.objEqToHom ⋯ = X.d i ≫ f.f (i + 1 • b) ≫ Y.objEqToHom ⋯
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : TopologicalSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
\u22a2 Inducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ↔ Inducing ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : TopologicalSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
\u22a2 inst✝ = TopologicalSpace.induced (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) (UniformOnFun.topologicalSpace X α 𝔖) ↔ inst✝ = TopologicalSpace.induced ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ F) Pi.topologicalSpace
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : TopologicalSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
\u22a2 inst✝ = UniformSpace.toTopologicalSpace ↔ inst✝ = UniformSpace.toTopologicalSpace
-- Mathlib/RingTheory/LittleWedderburn.lean
D : Type u_1
inst✝² : Finite D
inst✝¹ : Ring D
inst✝ : IsDomain D
\u22a2 IsField D
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.121680, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology
\u22a2 cyclesMap e.hom ≫ cyclesMap e.inv = 𝟙 S₁.cycles
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.121680, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology
\u22a2 cyclesMap e.inv ≫ cyclesMap e.hom = 𝟙 S₂.cycles
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
P : ClassGroup R → Prop
h : ∀ (I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ), P (mk I)
x : ClassGroup R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
\u22a2 P ↑I
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
P : ClassGroup R → Prop
h : ∀ (I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ), P (mk I)
x : ClassGroup R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
this : I = (Units.mapEquiv (canonicalEquiv R⁰ K (FractionRing R)).toMulEquiv) ((Units.mapEquiv (canonicalEquiv R⁰ (FractionRing R) K).toMulEquiv) I)
\u22a2 P ↑I
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/CauchyDavenport.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
h : IsTorsionFree α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
\u22a2 s.card + t.card - 1 ≤ (s * t).card
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
hR : ringChar R ≠ 2
\u22a2 2 ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
hR : ringChar R ≠ 2
\u22a2 ¬(ringChar R = 1 ∨ ringChar R = 2)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
hk : S.f ≫ k = 0
inst✝ : S.HasRightHomology
\u22a2 h.opcyclesIso.hom ≫ h.descQ k hk = S.descOpcycles k hk
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
w : NormalWord d
\u22a2 ReducedWord.prod φ w.toReducedWord • empty = w
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure (Measure (Measure α))
\u22a2 μ.bind join = μ.join.join
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure (Measure (Measure α))
\u22a2 μ.bind join = μ.bind fun a => (id a).bind id
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure (Measure (Measure α))
\u22a2 join = fun a => (id a).bind id
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure (Measure (Measure α))
ν : Measure (Measure α)
\u22a2 ν.join = (id ν).bind id
-- Mathlib/Data/PNat/Interval.lean
a b : ℕ+
\u22a2 (Ico a b).card = ↑b - ↑a
-- Mathlib/Data/PNat/Interval.lean
a b : ℕ+
\u22a2 (Ico a b).card = (Ico ↑a ↑b).card
-- Mathlib/Data/PNat/Interval.lean
a b : ℕ+
\u22a2 (Ico a b).card = (map (Embedding.subtype fun n => 0 < n) (Ico a b)).card
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p✝ : PMF α
s✝ t : Set α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
p : PMF α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 (p.toMeasure.restrict p.support) s = p.toMeasure s
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p✝ : PMF α
s✝ t : Set α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
p : PMF α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
\u22a2 p.toMeasure (s ∩ p.support) = p.toMeasure s
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.38446, u_1} C
X Y : PresheafedSpace C
H : X ≅ Y
U : Opens ↑↑Y
\u22a2 (H.hom.c ≫ Presheaf.pushforwardToOfIso ((forget C).mapIso H).symm H.inv.c).app (op U) = (𝟙 Y.presheaf).app (op U)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.38446, u_1} C
X Y : PresheafedSpace C
H : X ≅ Y
U : Opens ↑↑Y
\u22a2 H.hom.c.app (op U) ≫ (Presheaf.pushforwardToOfIso ((forget C).mapIso H).symm H.inv.c).app (op U) = (𝟙 Y.presheaf).app (op U)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.38446, u_1} C
X Y : PresheafedSpace C
H : X ≅ Y
U : Opens ↑↑Y
\u22a2 (Presheaf.pushforwardToOfIso ((forget C).mapIso H).symm H.inv.c).app (op U) ≫ H.hom.c.app (op U) = (𝟙 ((Presheaf.pushforward C H.hom.base).obj X.presheaf)).app (op U)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.38446, u_1} C
X Y : PresheafedSpace C
H : X ≅ Y
U : Opens ↑↑Y
\u22a2 (Presheaf.pushforwardToOfIso ((forget C).mapIso H).symm H.inv.c).app (op U) ≫ H.hom.c.app (op U) = 𝟙 (((Presheaf.pushforward C H.hom.base).obj X.presheaf).obj (op U))
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.38446, u_1} C
X Y : PresheafedSpace C
H : X ≅ Y
U : Opens ↑↑Y
\u22a2 H.inv.c.app (op ((Opens.map H.hom.base).obj U)) ≫ eqToHom ⋯ ≫ H.hom.c.app (op U) = 𝟙 (((Presheaf.pushforward C H.hom.base).obj X.presheaf).obj (op U))
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.38446, u_1} C
X Y : PresheafedSpace C
H : X ≅ Y
U : Opens ↑↑Y
eq₁ : (H.hom ≫ H.inv).c.app (op ((Opens.map H.hom.base).obj U)) = (𝟙 X).c.app (op ((Opens.map H.hom.base).obj U)) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯)
\u22a2 H.inv.c.app (op ((Opens.map H.hom.base).obj U)) ≫ eqToHom ⋯ ≫ H.hom.c.app (op U) = 𝟙 (((Presheaf.pushforward C H.hom.base).obj X.presheaf).obj (op U))
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.38446, u_1} C
X Y : PresheafedSpace C
H : X ≅ Y
U : Opens ↑↑Y
eq₁ : (H.hom ≫ H.inv).c.app (op ((Opens.map H.hom.base).obj U)) = (𝟙 X).c.app (op ((Opens.map H.hom.base).obj U)) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯)
eq₂ : Y.presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫ H.hom.c.app (op ((Opens.map ((forget C).map (𝟙 Y))).obj U)) = H.hom.c.app (op ((Opens.map ((forget C).map (H.inv ≫ H.hom))).obj U)) ≫ ((Presheaf.pushforward C H.hom.base).obj X.presheaf).map (eqToHom ⋯).op
\u22a2 H.inv.c.app (op ((Opens.map H.hom.base).obj U)) ≫ eqToHom ⋯ ≫ H.hom.c.app (op U) = 𝟙 (((Presheaf.pushforward C H.hom.base).obj X.presheaf).obj (op U))