ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Ring/Idempotents.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
S : Type u_3
M₀ : Type u_4
M₁ : Type u_5
R : Type u_6
G : Type u_7
G₀ : Type u_8
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : Monoid N
inst✝⁵ : Semigroup S
inst✝⁴ : MulZeroClass M₀
inst✝³ : MulOneClass M₁
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Group G
inst✝ : CancelMonoidWithZero G₀
p : N
n✝ : ℕ
h : IsIdempotentElem p
n : ℕ
x✝ : IsIdempotentElem (p ^ n)
\u22a2 p ^ n.succ * p ^ n.succ = p ^ n.succ
-- Mathlib/Algebra/Ring/Idempotents.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
S : Type u_3
M₀ : Type u_4
M₁ : Type u_5
R : Type u_6
G : Type u_7
G₀ : Type u_8
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : Monoid N
inst✝⁵ : Semigroup S
inst✝⁴ : MulZeroClass M₀
inst✝³ : MulOneClass M₁
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Group G
inst✝ : CancelMonoidWithZero G₀
p : N
n✝ : ℕ
h : IsIdempotentElem p
n : ℕ
x✝ : IsIdempotentElem (p ^ n)
\u22a2 p ^ n.succ * p ^ n.succ = (p * p) ^ n.succ
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
n : ℕ
\u22a2 count a (replicate n a) = n
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
n : ℕ
\u22a2 count a (replicate n a) = List.count a (List.replicate n a)
-- Mathlib/Computability/Language.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l m : Language α
a b x✝ : List α
l₁ l₂ m₁ m₂ : Language α
h₁ : l₁ ≤ m₁
h₂ : l₂ ≤ m₂
x : List α
hx : x ∈ l₁ * l₂
\u22a2 x ∈ m₁ * m₂
-- Mathlib/Computability/Language.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l m : Language α
a b x✝ : List α
l₁ l₂ m₁ m₂ : Language α
h₁ : l₁ ≤ m₁
h₂ : l₂ ≤ m₂
x : List α
hx : ∃ a ∈ l₁, ∃ b ∈ l₂, a ++ b = x
\u22a2 ∃ a ∈ m₁, ∃ b ∈ m₂, a ++ b = x
-- Mathlib/Algebra/Group/Int.lean
u v : ℤ
h : u * v = 1
\u22a2 u = 1 ∧ v = 1 ∨ u = -1 ∧ v = -1
-- Mathlib/Algebra/Group/Int.lean
u v : ℤ
h : u * v = 1
h' : v * u = 1
\u22a2 u = 1 ∧ v = 1 ∨ u = -1 ∧ v = -1
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → F
p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
s : Set E
g : F →L[𝕜] G
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
x : E
hx : x ∈ s
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
hp : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
\u22a2 CPolynomialAt 𝕜 (⇑g ∘ f) x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Complex.lean
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
U : Set M
a b : M
hpc : IsPreconnected U
hc : IsCompact U
ho : IsOpen U
ha : a ∈ U
hb : b ∈ U
f : M → F
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hb₀ : f b = 0
\u22a2 f a = f b
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Complex.lean
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
U : Set M
a b : M
hpc : IsPreconnected U
hc✝ : IsCompact U
ho : IsOpen U
ha : a ∈ U
hb : b ∈ U
f : M → F
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hb₀ : f b = 0
c : M
hcU : c ∈ U
hc : IsMaxOn (fun x => ‖f x‖) U c
\u22a2 f a = f b
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Complex.lean
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
U : Set M
a b : M
hpc : IsPreconnected U
hc✝ : IsCompact U
ho : IsOpen U
ha : a ∈ U
hb : b ∈ U
f : M → F
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hb₀ : f b = 0
c : M
hcU : c ∈ U
hc : IsMaxOn (fun x => ‖f x‖) U c
this : ∀ x ∈ U, ‖f x‖ = ‖f c‖
\u22a2 f a = f b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/TorusIntegral.lean
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
a : E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
\u22a2 TorusIntegrable (fun x => a) c R
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
hf : (mulSupport (f ∘ PLift.down)).Finite
s : Finset (PLift α)
hs : hf.toFinset ⊆ s
\u22a2 ∏ᶠ (i : α), f i = ∏ i ∈ s, f i.down
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
hf : (mulSupport (f ∘ PLift.down)).Finite
s : Finset (PLift α)
hs : hf.toFinset ⊆ s
\u22a2 ∏ i ∈ ?hc.toFinset, f i.down = ∏ i ∈ s, f i.down
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
hf : (mulSupport (f ∘ PLift.down)).Finite
s : Finset (PLift α)
hs : hf.toFinset ⊆ s
\u22a2 (mulSupport ((fun i => f i) ∘ PLift.down)).Finite
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
hf : (mulSupport (f ∘ PLift.down)).Finite
s : Finset (PLift α)
hs : hf.toFinset ⊆ s
x : PLift α
x✝ : x ∈ s
hxf : x ∉ hf.toFinset
\u22a2 f x.down = 1
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
\u22a2 I.jacobson = I ↔ ⊥.jacobson = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
hf : Function.Surjective ⇑(Quotient.mk I)
\u22a2 I.jacobson = I ↔ ⊥.jacobson = ⊥
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
hc : G.Colorable n
\u22a2 G.chromaticNumber ≤ ↑n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
hc : G.Colorable n
\u22a2 ↑(sInf {n' | G.Colorable n'}) ≤ ↑n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
hc : G.Colorable n
\u22a2 sInf {n' | G.Colorable n'} ≤ n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
hc : G.Colorable n
\u22a2 n ∈ {n | G.Colorable n}
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : IsEmpty α
f : α → M
\u22a2 ∏ᶠ (i : α), f i = 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : IsEmpty α
f : α → M
\u22a2 ∏ᶠ (i : α), f i = ∏ᶠ (x : ?m.12512), 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : IsEmpty α
f : α → M
\u22a2 Sort ?u.12509
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : IsEmpty α
f : α → M
\u22a2 (fun i => f i) = fun x => 1
-- Mathlib/Analysis/Complex/UnitDisc/Basic.lean
z : 𝔻
\u22a2 normSq ↑z < 1
-- Mathlib/Analysis/Complex/UnitDisc/Basic.lean
z : 𝔻
\u22a2 1 = 1 ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : M
h : torsionOf R M m = ⊤
\u22a2 m = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : M
h : torsionOf R M m = ⊤
\u22a2 1 ∈ ⊤
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid β
inst✝² : Monoid γ
inst✝¹ : FunLike F β γ
inst✝ : MonoidHomClass F β γ
s : Finset α
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
g : F
\u22a2 g (s.noncommProd f comm) = s.noncommProd (fun i => g (f i)) ⋯
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ z x y : E
c : 𝕜
\u22a2 openSegment 𝕜 x y ⊆ insert ((lineMap x y) c) (openSegment 𝕜 x ((lineMap x y) c) ∪ openSegment 𝕜 ((lineMap x y) c) y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ z x y : E
c : 𝕜
\u22a2 MapsTo (⇑(lineMap x y)) (Ioo 0 1) (insert ((lineMap x y) c) (⇑(lineMap x ((lineMap x y) c)) '' Ioo 0 1 ∪ ⇑(lineMap ((lineMap x y) c) y) '' Ioo 0 1))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ z x y : E
c a : 𝕜
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1
\u22a2 (lineMap x y) a ∈ insert ((lineMap x y) c) (⇑(lineMap x ((lineMap x y) c)) '' Ioo 0 1 ∪ ⇑(lineMap ((lineMap x y) c) y) '' Ioo 0 1)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ z x y : E
c a : 𝕜
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1
hac : a < c
\u22a2 (lineMap x y) a ∈ insert ((lineMap x y) c) (⇑(lineMap x ((lineMap x y) c)) '' Ioo 0 1 ∪ ⇑(lineMap ((lineMap x y) c) y) '' Ioo 0 1)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ z x y : E
a : 𝕜
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1
\u22a2 (lineMap x y) a ∈ insert ((lineMap x y) a) (⇑(lineMap x ((lineMap x y) a)) '' Ioo 0 1 ∪ ⇑(lineMap ((lineMap x y) a) y) '' Ioo 0 1)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ z x y : E
c a : 𝕜
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1
hca : c < a
\u22a2 (lineMap x y) a ∈ insert ((lineMap x y) c) (⇑(lineMap x ((lineMap x y) c)) '' Ioo 0 1 ∪ ⇑(lineMap ((lineMap x y) c) y) '' Ioo 0 1)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
ho : o ≠ 0
c : α
\u22a2 (o.brange fun x x => c) = {c}
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
ho : o ≠ 0
c : α
\u22a2 range (o.familyOfBFamily fun x x => c) = {c}
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
h : n ≤ m
\u22a2 Odd (m - n) ↔ (Odd n ↔ Even m)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
e : ι₂ ↪ ι
w : ι → k
p : ι → P
\u22a2 (affineCombination k (map e s₂) p) w = (affineCombination k s₂ (p ∘ ⇑e)) (w ∘ ⇑e)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f g : α → F
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ = ‖g x‖₊
\u22a2 eLpNorm' f q μ = eLpNorm' g q μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f g : α → F
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ = ‖g x‖₊
this : (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ q) =ᶠ[ae μ] fun x => ↑‖g x‖₊ ^ q
\u22a2 eLpNorm' f q μ = eLpNorm' g q μ
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology
\u22a2 (leftHomologyMap' φ S₁.leftHomologyData S₂.leftHomologyData).op = rightHomologyMap' (𝟙 S₂.op) S₂.leftHomologyData.op S₂.op.rightHomologyData ≫ rightHomologyMap' (opMap φ) S₂.op.rightHomologyData S₁.op.rightHomologyData ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₁.op) S₁.op.rightHomologyData S₁.leftHomologyData.op
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
x : E
h : IsVonNBounded 𝕜 (x +ᵥ s)
\u22a2 IsVonNBounded 𝕜 s
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
a b : ℕ+
\u22a2 (a.xgcd b).y + (a.xgcd b).zp + 1 = (a.xgcd b).y + ((a.xgcd b).zp + 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
s : AffineSubspace k P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
\u22a2 affineSpan k {p₁, p₂} ≤ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
s : AffineSubspace k P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
\u22a2 p₁ ∈ ↑s ∧ p₂ ∈ ↑s
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Factorization.lean
p n k : ℕ
h : ¬(n.choose k).factorization p = 0
\u22a2 (n.choose k).factorization p ≤ log p n
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Factorization.lean
p n k : ℕ
h : ¬(n.choose k).factorization p = 0
hp : Prime p
\u22a2 (n.choose k).factorization p ≤ log p n
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Factorization.lean
p n k : ℕ
h : ¬(n.choose k).factorization p = 0
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
\u22a2 (n.choose k).factorization p ≤ log p n
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Factorization.lean
p n k : ℕ
h : ¬(n.choose k).factorization p = 0
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
\u22a2 (multiplicity p (n.choose k)).get ⋯ ≤ log p n
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Factorization.lean
p n k : ℕ
h : ¬(n.choose k).factorization p = 0
hp : Prime p
hkn : k ≤ n
\u22a2 (Finset.filter (fun i => p ^ i ≤ k % p ^ i + (n - k) % p ^ i) (Finset.Ico 1 (log p n + 1))).card ≤ log p n
-- Mathlib/GroupTheory/DoubleCoset.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H : Subgroup G
a b : G
\u22a2 (setoid ↑⊥ ↑H).Rel a b ↔ (QuotientGroup.leftRel H).Rel a b
-- Mathlib/GroupTheory/DoubleCoset.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H : Subgroup G
a b : G
\u22a2 (∃ a_1 ∈ ⊥, ∃ b_1 ∈ H, b = a_1 * a * b_1) ↔ a⁻¹ * b ∈ H
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
x : γ
s : Set β
\u22a2 κ.density ν a x s ≤ 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
x : γ
s : Set β
\u22a2 IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun n => κ.densityProcess ν n a x s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
x : γ
s : Set β
\u22a2 ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, κ.densityProcess ν n a x s ≤ 1
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
\u22a2 Ici a \ Ioi b = Icc a b
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
\u22a2 M.Basis ∅ X ↔ X ⊆ M.closure ∅
-- Mathlib/CategoryTheory/WithTerminal.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ c✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝
g✝ h✝ : b✝ ⟶ c✝
η✝ : g✝ ⟶ h✝
\u22a2 (prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.whiskerLeft f✝ η✝)).app = (((fun {a b c} => mapComp) f✝ g✝).hom ≫ Bicategory.whiskerLeft (prelaxfunctor.map f✝) (prelaxfunctor.map₂ η✝) ≫ ((fun {a b c} => mapComp) f✝ h✝).inv).app
-- Mathlib/CategoryTheory/WithTerminal.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ c✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝
g✝ h✝ : b✝ ⟶ c✝
η✝ : g✝ ⟶ h✝
X : ↑(prelaxfunctor.obj a✝)
\u22a2 (prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.whiskerLeft f✝ η✝)).app X = (((fun {a b c} => mapComp) f✝ g✝).hom ≫ Bicategory.whiskerLeft (prelaxfunctor.map f✝) (prelaxfunctor.map₂ η✝) ≫ ((fun {a b c} => mapComp) f✝ h✝).inv).app X
-- Mathlib/CategoryTheory/WithTerminal.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ c✝ : Cat
f✝ g✝ : a✝ ⟶ b✝
η✝ : f✝ ⟶ g✝
h✝ : b✝ ⟶ c✝
\u22a2 (prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.whiskerRight η✝ h✝)).app = (((fun {a b c} => mapComp) f✝ h✝).hom ≫ Bicategory.whiskerRight (prelaxfunctor.map₂ η✝) (prelaxfunctor.map h✝) ≫ ((fun {a b c} => mapComp) g✝ h✝).inv).app
-- Mathlib/CategoryTheory/WithTerminal.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ c✝ : Cat
f✝ g✝ : a✝ ⟶ b✝
η✝ : f✝ ⟶ g✝
h✝ : b✝ ⟶ c✝
X : ↑(prelaxfunctor.obj a✝)
\u22a2 (prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.whiskerRight η✝ h✝)).app X = (((fun {a b c} => mapComp) f✝ h✝).hom ≫ Bicategory.whiskerRight (prelaxfunctor.map₂ η✝) (prelaxfunctor.map h✝) ≫ ((fun {a b c} => mapComp) g✝ h✝).inv).app X
-- Mathlib/CategoryTheory/WithTerminal.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ c✝ d✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝
g✝ : b✝ ⟶ c✝
h✝ : c✝ ⟶ d✝
\u22a2 (prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.associator f✝ g✝ h✝).hom).app = (((fun {a b c} => mapComp) (f✝ ≫ g✝) h✝).hom ≫ Bicategory.whiskerRight ((fun {a b c} => mapComp) f✝ g✝).hom (prelaxfunctor.map h✝) ≫ (Bicategory.associator (prelaxfunctor.map f✝) (prelaxfunctor.map g✝) (prelaxfunctor.map h✝)).hom ≫ Bicategory.whiskerLeft (prelaxfunctor.map f✝) ((fun {a b c} => mapComp) g✝ h✝).inv ≫ ((fun {a b c} => mapComp) f✝ (g✝ ≫ h✝)).inv).app
-- Mathlib/CategoryTheory/WithTerminal.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ c✝ d✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝
g✝ : b✝ ⟶ c✝
h✝ : c✝ ⟶ d✝
X : ↑(prelaxfunctor.obj a✝)
\u22a2 (prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.associator f✝ g✝ h✝).hom).app X = (((fun {a b c} => mapComp) (f✝ ≫ g✝) h✝).hom ≫ Bicategory.whiskerRight ((fun {a b c} => mapComp) f✝ g✝).hom (prelaxfunctor.map h✝) ≫ (Bicategory.associator (prelaxfunctor.map f✝) (prelaxfunctor.map g✝) (prelaxfunctor.map h✝)).hom ≫ Bicategory.whiskerLeft (prelaxfunctor.map f✝) ((fun {a b c} => mapComp) g✝ h✝).inv ≫ ((fun {a b c} => mapComp) f✝ (g✝ ≫ h✝)).inv).app X
-- Mathlib/CategoryTheory/WithTerminal.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝
\u22a2 (prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.leftUnitor f✝).hom).app = (((fun {a b c} => mapComp) (𝟙 a✝) f✝).hom ≫ Bicategory.whiskerRight ((fun C => mapId ↑C) a✝).hom (prelaxfunctor.map f✝) ≫ (Bicategory.leftUnitor (prelaxfunctor.map f✝)).hom).app
-- Mathlib/CategoryTheory/WithTerminal.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝
X : ↑(prelaxfunctor.obj a✝)
\u22a2 (prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.leftUnitor f✝).hom).app X = (((fun {a b c} => mapComp) (𝟙 a✝) f✝).hom ≫ Bicategory.whiskerRight ((fun C => mapId ↑C) a✝).hom (prelaxfunctor.map f✝) ≫ (Bicategory.leftUnitor (prelaxfunctor.map f✝)).hom).app X
-- Mathlib/CategoryTheory/WithTerminal.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝
\u22a2 (prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.rightUnitor f✝).hom).app = (((fun {a b c} => mapComp) f✝ (𝟙 b✝)).hom ≫ Bicategory.whiskerLeft (prelaxfunctor.map f✝) ((fun C => mapId ↑C) b✝).hom ≫ (Bicategory.rightUnitor (prelaxfunctor.map f✝)).hom).app
-- Mathlib/CategoryTheory/WithTerminal.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝
X : ↑(prelaxfunctor.obj a✝)
\u22a2 (prelaxfunctor.map₂ (Bicategory.rightUnitor f✝).hom).app X = (((fun {a b c} => mapComp) f✝ (𝟙 b✝)).hom ≫ Bicategory.whiskerLeft (prelaxfunctor.map f✝) ((fun C => mapId ↑C) b✝).hom ≫ (Bicategory.rightUnitor (prelaxfunctor.map f✝)).hom).app X
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → α → M
x : Filter α
a : ι → M
s : Multiset ι
l : List ι
\u22a2 (∀ i ∈ Quot.mk Setoid.r l, Tendsto (f i) x (𝓝 (a i))) → Tendsto (fun b => (Multiset.map (fun c => f c b) (Quot.mk Setoid.r l)).prod) x (𝓝 (Multiset.map a (Quot.mk Setoid.r l)).prod)
-- Mathlib/FieldTheory/IntermediateField.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S✝ S : IntermediateField K L
x✝ : L
\u22a2 x✝ ∈ S.toIntermediateField ⋯ ↔ x✝ ∈ S
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.121165, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.121169, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
h : S.Splitting
\u22a2 (h.s.op ≫ S.op.f + S.op.g ≫ h.r.op).unop = (𝟙 S.op.X₂).unop
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.121165, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.121169, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
h : S.Splitting
\u22a2 S.g ≫ h.s + h.r ≫ S.f = h.r ≫ S.f + S.g ≫ h.s
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ
\u22a2 (cs.rightInvSeq ω).getD j 1 * (cs.rightInvSeq ω).getD j 1 = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ
\u22a2 (cs.wordProd (drop (j + 1) ω))⁻¹ * ((Option.map cs.simple (ω.get? j)).getD 1 * (cs.wordProd (drop (j + 1) ω) * ((cs.wordProd (drop (j + 1) ω))⁻¹ * ((Option.map cs.simple (ω.get? j)).getD 1 * cs.wordProd (drop (j + 1) ω))))) = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
f : X → Y
hf : Isometry f
H : Monotone m ∨ Surjective f
\u22a2 (map f) (mkMetric m) = (restrict (range f)) (mkMetric m)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
x✝ : X ∣ f
g : R[X]
hfg : f = X * g
\u22a2 f.coeff 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
hf : f.coeff 0 = 0
\u22a2 f = X * f.divX
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Pointwise.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝⁷ : Monoid R
inst✝⁶ : Monoid S
σ : R → S
inst✝⁵ : MulAction R M
inst✝⁴ : MulAction S N
inst✝³ : MulAction R M₁
inst✝² : MulAction R M₂
F : Type u_7
h : F
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MulActionSemiHomClass F σ M N
c : R
s : Set M
t : Set N
hc : Function.Surjective fun m => c • m
hc' : Function.Injective fun n => σ c • n
\u22a2 ⇑h ⁻¹' (σ c • t) = c • ⇑h ⁻¹' t
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Pointwise.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝⁷ : Monoid R
inst✝⁶ : Monoid S
σ : R → S
inst✝⁵ : MulAction R M
inst✝⁴ : MulAction S N
inst✝³ : MulAction R M₁
inst✝² : MulAction R M₂
F : Type u_7
h : F
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MulActionSemiHomClass F σ M N
c : R
s : Set M
t : Set N
hc : Function.Surjective fun m => c • m
hc' : Function.Injective fun n => σ c • n
\u22a2 ⇑h ⁻¹' (σ c • t) ≤ c • ⇑h ⁻¹' t