ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ✝ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t✝ : γ✝ → γ✝ → Prop
α β : Type u
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≃r s
o : Ordinal.{u}
γ : Type u
t : γ → γ → Prop
wo : IsWellOrder γ t
g : t ≺i r
h : t ≺i s
\u22a2 f g.top = (g.ltEquiv f).top
-- Mathlib/Analysis/Analytic/IsolatedZeros.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
a✝ a : ℕ → E
\u22a2 HasSum (fun n => 0 ^ n • a n) (a 0)
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Lattice.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
A B : C
f : A ⟶ B
\u22a2 ∀ {X Y : Subobject B}, X.Factors f ∧ Y.Factors f → (X ⊓ Y).Factors f
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Lattice.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
A B : C
f : A ⟶ B
\u22a2 ∀ (a₁ a₂ : MonoOver B), Factors (Quotient.mk'' a₁) f ∧ Factors (Quotient.mk'' a₂) f → (Quotient.mk'' a₁ ⊓ Quotient.mk'' a₂).Factors f
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : AdicCompletion I M → Prop
x : AdicCompletion I M
h : ∀ (f : AdicCauchySequence I M), p ((mk I M) f)
\u22a2 p x
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : AdicCompletion I M → Prop
h : ∀ (f : AdicCauchySequence I M), p ((mk I M) f)
f : AdicCauchySequence I M
\u22a2 p ((mk I M) f)
-- Mathlib/Algebra/CharP/ExpChar.lean
R : Type u
inst✝³ : CommSemiring R
S : Type u_1
inst✝² : CommSemiring S
f : R →* S
g : R →+* S
p m n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : ExpChar S p
x y : R
\u22a2 (iterateFrobenius R p (m * n)) x = (⇑(iterateFrobenius R p m))^[n] x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
r : R
\u22a2 (eval r) ((comp p) q) = (eval (Polynomial.eval r p)) q
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
r : R
\u22a2 (eval r ∘ₗ comp p) q = (eval (Polynomial.eval r p)) q
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
r : R
\u22a2 (eval r ∘ₗ comp p) 0 = (eval (Polynomial.eval r p)) 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
r : R
\u22a2 ∀ (f g : PolynomialModule R M), (eval r ∘ₗ comp p) f = (eval (Polynomial.eval r p)) f → (eval r ∘ₗ comp p) g = (eval (Polynomial.eval r p)) g → (eval r ∘ₗ comp p) (f + g) = (eval (Polynomial.eval r p)) (f + g)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
r : R
\u22a2 ∀ (a : ℕ) (b : M), (eval r ∘ₗ comp p) ((single R a) b) = (eval (Polynomial.eval r p)) ((single R a) b)
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ : ℕ
T : L.Theory
n : ℕ
\u22a2 M ⊨ Sentence.cardGe L n ↔ ↑n ≤ #M
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ : ℕ
T : L.Theory
n : ℕ
\u22a2 (∃ xs, (List.foldr (fun x x_1 => x ⊓ x_1) ⊤ (List.map (fun ij => ∼((var ∘ Sum.inr) ij.1 =' (var ∘ Sum.inr) ij.2)) (List.filter (fun ij => decide (ij.1 ≠ ij.2)) (List.finRange n ×ˢ List.finRange n)))).Realize default xs) ↔ Nonempty (Fin n ↪ M)
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ : ℕ
T : L.Theory
n : ℕ
\u22a2 (∃ xs, ∀ φ ∈ List.map (fun ij => ∼((var ∘ Sum.inr) ij.1 =' (var ∘ Sum.inr) ij.2)) (List.filter (fun ij => decide (ij.1 ≠ ij.2)) (List.finRange n ×ˢ List.finRange n)), φ.Realize default xs) ↔ Nonempty (Fin n ↪ M)
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ : ℕ
T : L.Theory
n : ℕ
\u22a2 (∃ xs, ∀ (φ : L.BoundedFormula Empty n) (x x_1 : Fin n), (decide ¬x = x_1) = true → ∼(var (Sum.inr x) =' var (Sum.inr x_1)) = φ → φ.Realize default xs) ↔ Nonempty (Fin n ↪ M)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Ring α
a b : α
n : ℕ
ha : Odd a
hb : Even b
\u22a2 Odd (a - b)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Ring α
a b : α
n : ℕ
ha : Odd a
hb : Even b
\u22a2 Odd (a + -b)
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
a : G
b : α
n : ℕ
\u22a2 a ^ (n % minimalPeriod (fun x => a • x) b) • b = a ^ n • b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
s : Set G.Subgraph
G' : G.Subgraph
hG' : G' ∈ s
\u22a2 (∀ G' ∈ s, G'.Adj a b) → G.Adj a b
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
x : ℝ
\u22a2 ↑x ≤ 0 ↔ x ≤ 0
-- Mathlib/Data/Finset/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
\u22a2 (Ico s t).card = 2 ^ (t.card - s.card) - 1
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
inst✝ : Group G
s✝ t✝ : Set α
f✝ g✝ : α → G
a : α
g : G → β
hg : ∀ (x : G), g x⁻¹ = g x
s t : Set α
f : α → G
x : α
\u22a2 g ((s ∆ t).mulIndicator f x) = g (s.mulIndicator f x / t.mulIndicator f x)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Spectrum.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
z : ℂ
hz : z ∈ spectrum ℂ a
\u22a2 (ofReal' ∘ re) z ∈ spectrum ℂ a
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
i j j' : C
f : j ⟶ i
f' : j' ⟶ i
K : C
G : K ⟶ j
G' : K ⟶ j'
h✝ : True
k : C
e : k ⟶ K
he : e ≫ G ≫ f = e ≫ G' ≫ f'
\u22a2 (e ≫ G) ≫ f = (e ≫ G') ≫ f'
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
E B I X R J : Set α
M : Matroid α
\u22a2 M ↾ ∅ = emptyOn α
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset β
t : Finset α
f : α → Finset β
\u22a2 Disjoint s (t.biUnion f) ↔ ∀ i ∈ t, Disjoint s (f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
f : X → E × F
hf : Integrable f μ
\u22a2 (∫ (x : X), f x ∂μ).2 = ∫ (x : X), (f x).2 ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
f : X → E × F
hf : Integrable f μ
\u22a2 (∫ (x : X), (f x).swap ∂μ).1 = ∫ (x : X), (f x).2 ∂μ
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
R : Type
inst✝ : CommRing R
d : ℤ
r : { r // r * r = ↑d }
a b : ℤ√d
\u22a2 (↑{ toFun := fun a => ↑a.re + ↑a.im * ↑r, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (a + b) = (↑{ toFun := fun a => ↑a.re + ↑a.im * ↑r, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun a + (↑{ toFun := fun a => ↑a.re + ↑a.im * ↑r, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun b
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
R : Type
inst✝ : CommRing R
d : ℤ
r : { r // r * r = ↑d }
a b : ℤ√d
\u22a2 ↑a.re + ↑b.re + (↑a.im + ↑b.im) * ↑r = ↑a.re + ↑a.im * ↑r + (↑b.re + ↑b.im * ↑r)
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
R : Type
inst✝ : CommRing R
d : ℤ
r : { r // r * r = ↑d }
a b : ℤ√d
this : (↑a.re + ↑a.im * ↑r) * (↑b.re + ↑b.im * ↑r) = ↑a.re * ↑b.re + (↑a.re * ↑b.im + ↑a.im * ↑b.re) * ↑r + ↑a.im * ↑b.im * (↑r * ↑r)
\u22a2 { toFun := fun a => ↑a.re + ↑a.im * ↑r, map_one' := ⋯ }.toFun (a * b) = { toFun := fun a => ↑a.re + ↑a.im * ↑r, map_one' := ⋯ }.toFun a * { toFun := fun a => ↑a.re + ↑a.im * ↑r, map_one' := ⋯ }.toFun b
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
R : Type
inst✝ : CommRing R
d : ℤ
r : { r // r * r = ↑d }
a b : ℤ√d
this : (↑a.re + ↑a.im * ↑r) * (↑b.re + ↑b.im * ↑r) = ↑a.re * ↑b.re + (↑a.re * ↑b.im + ↑a.im * ↑b.re) * ↑r + ↑a.im * ↑b.im * (↑r * ↑r)
\u22a2 ↑a.re * ↑b.re + ↑d * ↑a.im * ↑b.im + (↑a.re * ↑b.im + ↑a.im * ↑b.re) * ↑r = ↑a.re * ↑b.re + (↑a.re * ↑b.im + ↑a.im * ↑b.re) * ↑r + ↑a.im * ↑b.im * ↑d
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
R : Type
inst✝ : CommRing R
d : ℤ
f : ℤ√d →+* R
\u22a2 f sqrtd * f sqrtd = ↑d
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
R : Type
inst✝ : CommRing R
d : ℤ
f : ℤ√d →+* R
\u22a2 (fun r => { toFun := fun a => ↑a.re + ↑a.im * ↑r, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }) ((fun f => ⟨f sqrtd, ⋯⟩) f) = f
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
R : Type
inst✝ : CommRing R
d : ℤ
f : ℤ√d →+* R
\u22a2 ((fun r => { toFun := fun a => ↑a.re + ↑a.im * ↑r, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }) ((fun f => ⟨f sqrtd, ⋯⟩) f)) sqrtd = f sqrtd
-- Mathlib/Data/Matrix/Reflection.lean
l m✝ n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Mul α
inst✝ : AddCommMonoid α
m : ℕ
a b : Fin m → α
\u22a2 dotProductᵣ a b = a ⬝ᵥ b
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
g : R →+* P
h : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
y : ↥M
w z₁ z₂ : P
\u22a2 w * ↑((IsUnit.liftRight ((↑g).restrict M) h) y)⁻¹ + z₁ = z₂ ↔ w + g ↑y * z₁ = g ↑y * z₂
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
g : R →+* P
h : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
y : ↥M
w z₁ z₂ : P
\u22a2 w + ((↑g).restrict M) y * z₁ = ((↑g).restrict M) y * z₂ ↔ w + g ↑y * z₁ = g ↑y * z₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
\u22a2 μ.withDensityᵥ (f - g) = μ.withDensityᵥ f - μ.withDensityᵥ g
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n a b : ℕ
\u22a2 ↑a = 0 ↔ b ∣ a
-- Mathlib/Logic/Unique.lean
α : Sort u_1
A : Sort u_2
B : Sort u_3
inst✝¹ : Unique A
inst✝ : Unique B
f : A → B
\u22a2 Function.Bijective f
-- Mathlib/Logic/Unique.lean
α : Sort u_1
A : Sort u_2
B : Sort u_3
inst✝¹ : Unique A
inst✝ : Unique B
f : A → B
\u22a2 ∃ g, Function.LeftInverse g f ∧ Function.RightInverse g f
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s : Set E
hs : s.Finite
this : Fintype ↑s := hs.fintype
\u22a2 (convexHull R) s = ⇑(∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x) '' stdSimplex R ↑s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s : Set E
hs : s.Finite
this : Fintype ↑s := hs.fintype
\u22a2 (convexHull R) s = (convexHull R) (range (⇑(∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x) ∘ fun i j => if i = j then 1 else 0))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s : Set E
hs : s.Finite
this : Fintype ↑s := hs.fintype
\u22a2 s = range fun x => (∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x) fun j => if x = j then 1 else 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s : Set E
hs : s.Finite
this : Fintype ↑s := hs.fintype
x✝ : ↑s
\u22a2 ((∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x) fun j => if x✝ = j then 1 else 0) = ↑x✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEMeasurableSequence.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x
\u22a2 μ (aeSeqSet hf p)ᶜ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEMeasurableSequence.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x
\u22a2 μ {x | (∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x) ∧ p x fun n => f n x}ᶜ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEMeasurableSequence.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x
hf_eq : ∀ (i : ι), f i =ᶠ[ae μ] AEMeasurable.mk (f i) ⋯
\u22a2 μ {x | (∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x) ∧ p x fun n => f n x}ᶜ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEMeasurableSequence.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x
hf_eq : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ι), f i a = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ a
\u22a2 μ {x | (∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x) ∧ p x fun n => f n x}ᶜ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Isomorphisms.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
p p' : Submodule R M
\u22a2 Function.Injective ⇑(quotientInfToSupQuotient p p')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Isomorphisms.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
p p' : Submodule R M
\u22a2 ker (subToSupQuotient p p') ≤ comap p.subtype (p ⊓ p')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Isomorphisms.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
p p' : Submodule R M
\u22a2 comap (inclusion ⋯) (comap (p ⊔ p').subtype p') ≤ comap p.subtype (p ⊓ p')
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : CompleteSpace G
inst✝¹ : CompleteSpace F
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace ↥U
\u22a2 adjoint (orthogonalProjection U) = U.subtypeL
-- Mathlib/Algebra/Bounds.lean
ι : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice G
inst✝¹ : CovariantClass G G (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → G
hf : BddBelow (range f)
a : G
\u22a2 (⨅ i, f i) / a = ⨅ i, f i / a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_4
M : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Subsingleton R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : M
\u22a2 (fun x => 0) ({ toFun := fun x => 0, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun m) = m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_4
M : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Subsingleton R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : M
this : Subsingleton M := Module.subsingleton R M
\u22a2 (fun x => 0) ({ toFun := fun x => 0, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun m) = m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁸ : Semiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R✝ N
R : Type u_4
M : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Subsingleton R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f : ι →₀ R
\u22a2 { toFun := fun x => 0, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun x => 0) f) = f
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
w : 1 < p
\u22a2 sZMod p (p - 2) = 0 ↔ sMod p (p - 2) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
w : 1 < p
\u22a2 ↑(sMod p (p - 2)) = 0 ↔ sMod p (p - 2) = 0
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : M →* N
hf : ∀ (x : M), f x = 1 → x = 1
g : α → M
hg : ¬(mulSupport (g ∘ PLift.down)).Finite
\u22a2 f (∏ᶠ (i : α), g i) = ∏ᶠ (i : α), f (g i)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : M →* N
hf : ∀ (x : M), f x = 1 → x = 1
g : α → M
hg : ¬(mulSupport (g ∘ PLift.down)).Finite
\u22a2 ¬(mulSupport ((fun i => f (g i)) ∘ PLift.down)).Finite
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : M →* N
hf : ∀ (x : M), f x = 1 → x = 1
g : α → M
hg : ¬(mulSupport (g ∘ PLift.down)).Finite
\u22a2 ¬(mulSupport ((fun i => g i) ∘ PLift.down)).Finite
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
\u22a2 (optionEquivLeft R S₁) (X none) = Polynomial.X
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E
\u22a2 Module.rank (↥⊥) E = Module.rank F E
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
b c : α
\u22a2 ∃! x, b + (Equiv.addRight 1) x • a ∈ Ioc c (c + a)
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
\u22a2 (↑(quotKerTotalEquiv R S).symm).compDer (D R S) = derivationQuotKerTotal R S
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
s t : Multiset α
\u22a2 map f s ≤ map f t ↔ s ≤ t
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
\u22a2 ↑((orthogonalProjection s) ↑((orthogonalProjection s) p)) = ↑((orthogonalProjection s) p)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
\u22a2 ↑((orthogonalProjection s) p) ∈ s