ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/FieldTheory/SplittingField/Construction.lean
F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih : (fun n => ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]), f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤) n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
hndf : f.natDegree ≠ 0
hfn0 : f ≠ 0
hmf0 : map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) * map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor ≠ 0
\u22a2 Algebra.adjoin K ↑(map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) * map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor).roots.toFinset = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/SplittingField/Construction.lean
F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih : (fun n => ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]), f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤) n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
hndf : f.natDegree ≠ 0
hfn0 : f ≠ 0
hmf0 : map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) * map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor ≠ 0
\u22a2 Subalgebra.restrictScalars K (Algebra.adjoin ↥(IsScalarTower.toAlgHom K (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)).range ↑(map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor).roots.toFinset) = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/SplittingField/Construction.lean
F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih : (fun n => ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]), f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤) n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
hndf : f.natDegree ≠ 0
hfn0 : f ≠ 0
hmf0 : map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) * map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor ≠ 0
this : Subalgebra.restrictScalars K (Algebra.adjoin (↥(IsScalarTower.toAlgHom K (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)).range) (f.removeFactor.rootSet (SplittingFieldAux n f.removeFactor))) = Subalgebra.restrictScalars K (Algebra.adjoin (AdjoinRoot f.factor) (f.removeFactor.rootSet (SplittingFieldAux n f.removeFactor)))
\u22a2 Subalgebra.restrictScalars K (Algebra.adjoin ↥(IsScalarTower.toAlgHom K (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)).range ↑(map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor).roots.toFinset) = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/SplittingField/Construction.lean
F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih : (fun n => ∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]), f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤) n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
hndf : f.natDegree ≠ 0
hfn0 : f ≠ 0
hmf0 : map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) * map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor ≠ 0
this : Subalgebra.restrictScalars K (Algebra.adjoin (↥(IsScalarTower.toAlgHom K (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)).range) (f.removeFactor.rootSet (SplittingFieldAux n f.removeFactor))) = Subalgebra.restrictScalars K (Algebra.adjoin (AdjoinRoot f.factor) (f.removeFactor.rootSet (SplittingFieldAux n f.removeFactor)))
\u22a2 Subalgebra.restrictScalars K (Algebra.adjoin (AdjoinRoot f.factor) (f.removeFactor.rootSet (SplittingFieldAux n f.removeFactor))) = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineEquiv.lean
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
P₄ : Type u_5
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
V₄ : Type u_9
inst✝¹⁴ : Ring k
inst✝¹³ : AddCommGroup V₁
inst✝¹² : Module k V₁
inst✝¹¹ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V₂
inst✝⁹ : Module k V₂
inst✝⁸ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝⁷ : AddCommGroup V₃
inst✝⁶ : Module k V₃
inst✝⁵ : AffineSpace V₃ P₃
inst✝⁴ : AddCommGroup V₄
inst✝³ : Module k V₄
inst✝² : AffineSpace V₄ P₄
R' : Type u_10
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : Module R' V₁
c p : P₁
\u22a2 (homothety c (-1)) p = (pointReflection R' c) p
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
inst✝ : NoMinOrder α
a b : α
\u22a2 interior (Ico a b) = Ioo a b
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
g : Filter β
φ : α → β
ψ : β → α
eq : ψ ∘ φ = id
hφ : Tendsto φ f g
hψ : Tendsto ψ g f
\u22a2 comap φ g = f
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
g : Filter β
φ : α → β
ψ : β → α
eq : ψ ∘ φ = id
hφ : Tendsto φ f g
hψ : Tendsto ψ g f
\u22a2 comap φ (comap ψ f) ≤ f
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hcst : μ[|s] t ≠ 0
\u22a2 0 < μ (s ∩ t)
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hcst : μ[|s] t ≠ 0
\u22a2 (μ s)⁻¹ * μ (s ∩ t) ≠ 0
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hcst : μ[|s] t ≠ 0
\u22a2 (μ s)⁻¹ * μ (s ∩ t) = μ[|s] t
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
\u22a2 ContinuousAt f b ↔ Tendsto (fun x => (f x, f b)) (𝓝 b) (𝓤 α)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ
\u22a2 (↑r * (cos ↑θ + sin ↑θ * I)).arg - θ = 2 * π * ↑⌊(π - θ) / (2 * π)⌋
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ
\u22a2 ↑(- -⌊(-π + 2 * π - θ) / (2 * π)⌋) * (2 * π) = 2 * π * ↑⌊(π - θ) / (2 * π)⌋
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
hp : Prime p
h : Finite p a ∧ Finite p b
\u22a2 multiplicity p (a * b) = multiplicity p a + multiplicity p b
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
hp : Prime p
h : ¬(Finite p a ∧ Finite p b)
\u22a2 multiplicity p (a * b) = multiplicity p a + multiplicity p b
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
hp : Prime p
h : ¬(Finite p a ∧ Finite p b)
\u22a2 ⊤ = multiplicity p a + multiplicity p b
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
m n : Nat
\u22a2 m ∈ range n ↔ m < n
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x : M
v : P
y : ↥S
\u22a2 (f.lift hg) (f.mk' x y) = v ↔ g x = g ↑y * v
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x : M
v : P
y : ↥S
\u22a2 g x * ↑((IsUnit.liftRight (g.restrict S) hg) y)⁻¹ = v ↔ g x = g ↑y * v
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y : M
\u22a2 Q.IsOrtho x y ↔ Q.IsOrtho y x
-- Mathlib/GroupTheory/Torsion.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Module R M
tR : IsTorsion R
f : M
n : ℕ
npos : 0 < n
hn : n • 1 = 0
\u22a2 ∃ n, 0 < n ∧ n • f = 0
-- Mathlib/Logic/Denumerable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝¹ : Infinite ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
\u22a2 Nat.Subtype.toFunAux (ofNat s 0) = 0
-- Mathlib/Logic/Denumerable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝¹ : Infinite ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
\u22a2 ∀ (x : ℕ), x ∉ filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(ofNat s 0))
-- Mathlib/Logic/Denumerable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝¹ : Infinite ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
n : ℕ
hn : n ∈ filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(ofNat s 0))
\u22a2 False
-- Mathlib/Logic/Denumerable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝¹ : Infinite ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
n : ℕ
hn : n < ↑⊥ ∧ n ∈ s
\u22a2 False
-- Mathlib/Logic/Denumerable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝¹ : Infinite ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
n : ℕ
ih : Nat.Subtype.toFunAux (ofNat s n) = n
h₁ : ↑(ofNat s n) ∉ filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(ofNat s n))
h₂ : filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(succ (ofNat s n))) = insert (↑(ofNat s n)) (filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(ofNat s n)))
\u22a2 Nat.Subtype.toFunAux (ofNat s (n + 1)) = n + 1
-- Mathlib/Logic/Denumerable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝¹ : Infinite ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
n : ℕ
h₁ : ↑(ofNat s n) ∉ filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(ofNat s n))
h₂ : filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(succ (ofNat s n))) = insert (↑(ofNat s n)) (filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(ofNat s n)))
ih : (filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(ofNat s n))).card = n
\u22a2 (filter (fun x => x ∈ s) (range ↑(succ (ofNat s n)))).card = n + 1
-- Mathlib/MeasureTheory/SetSemiring.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
\u22a2 (↑(hC.diffFinset₀ hs hI)).PairwiseDisjoint id
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Monoid G
\u22a2 (forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)).map ((εToSingle₀ k G).f 0) ≫ ((HomologicalComplex.singleMapHomologicalComplex (forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)) (ComplexShape.down ℕ) 0).hom.app (Rep.trivial k G k)).f 0 = (forget₂ToModuleCatHomotopyEquiv k G).hom.f 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s t : Set α
f g : α → M
a : α
\u22a2 s.mulIndicator f = f ↔ mulSupport f ⊆ s
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β : Type
n : ℕ
S : Set (α ⊕ Fin2 0 → ℕ)
d : Dioph S
f : Vector3 ((α → ℕ) → ℕ) 0
x✝ : VectorAllP DiophFn f
v : α → ℕ
\u22a2 v ∘ (id ⊗ elim0) ∈ S ↔ (v ⊗ fun i => f i v) ∈ S
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β : Type
n : ℕ
S : Set (α ⊕ Fin2 0 → ℕ)
d : Dioph S
f : Vector3 ((α → ℕ) → ℕ) 0
x✝ : VectorAllP DiophFn f
v : α → ℕ
\u22a2 v ∘ (id ⊗ elim0) = v ⊗ fun i => f i v
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β : Type
n✝ n : ℕ
S : Set (α ⊕ Fin2 n.succ → ℕ)
d : Dioph S
f✝ : Vector3 ((α → ℕ) → ℕ) n.succ
f : (α → ℕ) → ℕ
fl : Vector3 ((α → ℕ) → ℕ) n
\u22a2 VectorAllP DiophFn (f :: fl) → Dioph {v | (v ⊗ fun i => (f :: fl) i v) ∈ S}
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β : Type
n✝ n : ℕ
S : Set (α ⊕ Fin2 n.succ → ℕ)
d : Dioph S
f✝ : Vector3 ((α → ℕ) → ℕ) n.succ
f : (α → ℕ) → ℕ
fl : Vector3 ((α → ℕ) → ℕ) n
\u22a2 DiophFn f → VectorAllP DiophFn fl → Dioph {v | (v ⊗ fun i => (f :: fl) i v) ∈ S}
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝¹ : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommGroup M✝¹
inst✝¹² : Module R✝ M✝¹
N✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommGroup N✝
inst✝¹⁰ : Module R✝ N✝
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R M✝
inst✝⁶ : IsNoetherianRing R
M : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Finite R N
\u22a2 AlgebraTensorModule.map LinearMap.id f = ↑(ofTensorProductEquivOfFiniteNoetherian I N).symm ∘ₗ map I f ∘ₗ ↑(ofTensorProductEquivOfFiniteNoetherian I M)
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝¹ : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommGroup M✝¹
inst✝¹² : Module R✝ M✝¹
N✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommGroup N✝
inst✝¹⁰ : Module R✝ N✝
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R M✝
inst✝⁶ : IsNoetherianRing R
M : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Finite R N
\u22a2 AlgebraTensorModule.map LinearMap.id f = ↑(ofTensorProductEquivOfFiniteNoetherian I N).symm ∘ₗ ofTensorProduct I N ∘ₗ AlgebraTensorModule.map LinearMap.id f
-- Mathlib/Data/Set/MulAntidiagonal.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommSemigroup α
s t : Set α
a : α
x : α × α
\u22a2 x.2 ∈ s ∧ x.1 ∈ t ∧ x.2 * x.1 = a ↔ x ∈ t.mulAntidiagonal s a
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
\u22a2 toIocDiv hp a (b - m • p) = toIocDiv hp a b - m
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p : Seminorm 𝕝 E
hp : ContinuousAt (⇑p) 0
this : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E
\u22a2 Continuous ⇑p
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p : Seminorm 𝕝 E
hp : ContinuousAt (⇑p) 0
this✝ : UniformSpace E := TopologicalAddGroup.toUniformSpace E
this : UniformAddGroup E
\u22a2 Continuous ⇑p
-- Mathlib/Topology/Compactness/Paracompact.lean
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
\u22a2 ∃ v, (∀ (a : ι), IsOpen (v a)) ∧ ⋃ i, v i = univ ∧ LocallyFinite v ∧ ∀ (a : ι), v a ⊆ u a
-- Mathlib/Topology/Compactness/Paracompact.lean
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
this : ∃ β t, (∀ (b : β), IsOpen (t b)) ∧ ⋃ b, t b = univ ∧ LocallyFinite t ∧ ∀ (b : β), ∃ a, t b ⊆ (fun r => ↑r) a
\u22a2 ∃ v, (∀ (a : ι), IsOpen (v a)) ∧ ⋃ i, v i = univ ∧ LocallyFinite v ∧ ∀ (a : ι), v a ⊆ u a
-- Mathlib/Topology/Compactness/Paracompact.lean
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace X
u : ι → Set X
uo : ∀ (a : ι), IsOpen (u a)
uc : ⋃ i, u i = univ
this : ∃ β t, (∀ (b : β), IsOpen (t b)) ∧ (∀ (x : X), ∃ i, x ∈ t i) ∧ LocallyFinite t ∧ ∀ (b : β), ∃ i, t b ⊆ u i
\u22a2 ∃ v, (∀ (a : ι), IsOpen (v a)) ∧ ⋃ i, v i = univ ∧ LocallyFinite v ∧ ∀ (a : ι), v a ⊆ u a
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ
\u22a2 log b n = 0 ↔ n < b ∨ b ≤ 1
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ
\u22a2 b ≤ n ∧ 1 < b → log b (n / b) + 1 = 0 ↔ n < b ∨ b ≤ 1
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
hf : f ≠ 0
h : Splits (algebraMap F K) f
\u22a2 (f.aroots K).Nodup ↔ f.Separable
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
hf : f ≠ 0
h : Splits (RingHom.id K) (map (algebraMap F K) f)
\u22a2 (f.aroots K).Nodup ↔ f.Separable
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
x : L
\u22a2 _root_.IsNilpotent ((toEnd R L ↥↑(weightSpace M 0)) x)
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Conservative.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
n : ℕ
\u22a2 Conservative f^[n + 1] μ
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Conservative.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s✝ : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : μ s ≠ 0
\u22a2 ∃ x ∈ s, ∃ m, m ≠ 0 ∧ f^[n + 1]^[m] x ∈ s
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Conservative.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s✝ : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : μ s ≠ 0
x : α
left✝ : x ∈ s
hx : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ s
\u22a2 ∃ x ∈ s, ∃ m, m ≠ 0 ∧ f^[n + 1]^[m] x ∈ s
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Conservative.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s✝ : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : μ s ≠ 0
x : α
left✝ : x ∈ s
hx : {n | f^[n] x ∈ s}.Infinite
\u22a2 ∃ x ∈ s, ∃ m, m ≠ 0 ∧ f^[n + 1]^[m] x ∈ s
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Conservative.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s✝ : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : μ s ≠ 0
x : α
left✝ : x ∈ s
hx : {n | f^[n] x ∈ s}.Infinite
k : ℕ
hk : k ∈ {n | f^[n] x ∈ s}
l : ℕ
hl : l ∈ {n | f^[n] x ∈ s}
hkl : k < l
hn : k ≡ l [MOD n.succ]
\u22a2 ∃ x ∈ s, ∃ m, m ≠ 0 ∧ f^[n + 1]^[m] x ∈ s
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Conservative.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s✝ : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : μ s ≠ 0
x : α
left✝ : x ∈ s
hx : {n | f^[n] x ∈ s}.Infinite
k : ℕ
hk : k ∈ {n | f^[n] x ∈ s}
l : ℕ
hl : l ∈ {n | f^[n] x ∈ s}
hkl : k < l
hn : k ≡ l [MOD n.succ]
m : ℕ := (l - k) / (n + 1)
\u22a2 ∃ x ∈ s, ∃ m, m ≠ 0 ∧ f^[n + 1]^[m] x ∈ s
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Conservative.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → α
s✝ : Set α
μ : Measure α
hf : Conservative f μ
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : μ s ≠ 0
x : α
left✝ : x ∈ s
hx : {n | f^[n] x ∈ s}.Infinite
k : ℕ
hk : k ∈ {n | f^[n] x ∈ s}
l : ℕ
hl : l ∈ {n | f^[n] x ∈ s}
hkl : k < l
hn : k ≡ l [MOD n.succ]
m : ℕ := (l - k) / (n + 1)
this : (n + 1) * m = l - k
\u22a2 ∃ x ∈ s, ∃ m, m ≠ 0 ∧ f^[n + 1]^[m] x ∈ s
-- Mathlib/Topology/CompletelyRegular.lean
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : T35Space X
a b : X
hab : stoneCechUnit a = stoneCechUnit b
\u22a2 a = b
-- Mathlib/Topology/CompletelyRegular.lean
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : T35Space X
a b : X
hab : ¬a = b
\u22a2 ¬stoneCechUnit a = stoneCechUnit b
-- Mathlib/Topology/CompletelyRegular.lean
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : T35Space X
a b : X
hab : ¬a = b
f : X → ↑I
fc : f ∈ Continuous
fab : f a ≠ f b
\u22a2 ¬stoneCechUnit a = stoneCechUnit b
-- Mathlib/Combinatorics/HalesJewett.lean
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
η : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
l : Subspace η α ι
x : η → α
i : ι
a : α
e : η
η' : Type u_9
α' : Type u_10
ι' : Type u_11
eη : η ≃ η'
eα : α ≃ α'
eι : ι ≃ ι'
C : (ι' → α') → κ
\u22a2 IsMono C (l.reindex eη eα eι) ↔ IsMono (fun x => C (⇑eα ∘ x ∘ ⇑eι.symm)) l
-- Mathlib/Combinatorics/HalesJewett.lean
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
η : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
l : Subspace η α ι
x : η → α
i : ι
a : α
e : η
η' : Type u_9
α' : Type u_10
ι' : Type u_11
eη : η ≃ η'
eα : α ≃ α'
eι : ι ≃ ι'
C : (ι' → α') → κ
\u22a2 (∃ c, ∀ (x : η' → α'), (C fun x_1 => eα (Sum.elim id (⇑eα.symm ∘ x ∘ ⇑eη) (l.idxFun (eι.symm x_1)))) = c) ↔ ∃ c, ∀ (x : η → α), C (⇑eα ∘ ↑l x ∘ ⇑eι.symm) = c
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
hy' : P y * Q z ^ 3 = W.negY Q * P z ^ 3
\u22a2 W.dblXYZ P = W.dblU P • ![1, 1, 0]
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Monoidal/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X₁ : ModuleCat R
X₂ : ModuleCat R
X₃ : ModuleCat R
Y₁ : ModuleCat R
Y₂ : ModuleCat R
Y₃ : ModuleCat R
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
\u22a2 tensorHom (tensorHom f₁ f₂) f₃ ≫ (associator Y₁ Y₂ Y₃).hom = (associator X₁ X₂ X₃).hom ≫ tensorHom f₁ (tensorHom f₂ f₃)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
f f' : ℕ → α → β
g g' : α → β
hff' : ∀ (n : ℕ), f n =ᶠ[ae μ] f' n
hgg' : g =ᶠ[ae μ] g'
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f' n x) atTop (𝓝 (g' x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
f f' : ℕ → α → β
g g' : α → β
hff' : ∀ (n : ℕ), f n =ᶠ[ae μ] f' n
hgg' : g =ᶠ[ae μ] g'
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
hff'' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i x = f' i x
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f' n x) atTop (𝓝 (g' x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
f f' : ℕ → α → β
g g' : α → β
hff' : ∀ (n : ℕ), f n =ᶠ[ae μ] f' n
hgg' : g =ᶠ[ae μ] g'
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
hff'' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i x = f' i x
x : α
hff'x : ∀ (i : ℕ), f i x = f' i x
hgg'x : g x = g' x
hfgx : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
\u22a2 Tendsto (fun n => f' n x) atTop (𝓝 (g' x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f✝ : ℕ → α → β
g✝ : α → β
f f' : ℕ → α → β
g g' : α → β
hff' : ∀ (n : ℕ), f n =ᶠ[ae μ] f' n
hgg' : g =ᶠ[ae μ] g'
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
hff'' : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i x = f' i x
x : α
hff'x : ∀ (i : ℕ), f i x = f' i x
hgg'x : g x = g' x
hfgx : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
\u22a2 Tendsto (fun x_1 => f x_1 x) atTop (𝓝 (g' x))
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Shift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
\u22a2 n + 0 = n
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Shift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
\u22a2 ((shiftFunctorZero (CochainComplex C ℤ) ℤ).hom.app K).f n = (XIsoOfEq K ⋯).hom