ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β✝
μ ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Zero β
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
f_nn : ∀ᵐ (t : α) ∂μ, 0 ≤ f t
\u22a2 ∃ g, Measurable g ∧ 0 ≤ g ∧ f =ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β✝
μ ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Zero β
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
f_nn : ∀ᵐ (t : α) ∂μ, 0 ≤ f t
G : α → β
hG_meas : Measurable G
hG_mem : range G ⊆ Preorder.toLE.1 0
hG_ae_eq : f =ᶠ[ae μ] G
\u22a2 ∃ g, Measurable g ∧ 0 ≤ g ∧ f =ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
\u22a2 ∃! a₁, 1 < a₁.x ∧ 0 < a₁.y ∧ ∀ (a : Solution₁ d), ∃ n, a = a₁ ^ n ∨ a = -a₁ ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a₁ : Solution₁ d
ha₁ : IsFundamental a₁
\u22a2 ∃! a₁, 1 < a₁.x ∧ 0 < a₁.y ∧ ∀ (a : Solution₁ d), ∃ n, a = a₁ ^ n ∨ a = -a₁ ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a₁ : Solution₁ d
ha₁ : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
H : 1 < a.x ∧ 0 < a.y ∧ ∀ (a_1 : Solution₁ d), ∃ n, a_1 = a ^ n ∨ a_1 = -a ^ n
\u22a2 a = a₁
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a₁ : Solution₁ d
ha₁ : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
Hx : 1 < a.x
Hy : 0 < a.y
H : ∀ (a_1 : Solution₁ d), ∃ n, a_1 = a ^ n ∨ a_1 = -a ^ n
n₁ : ℤ
hn₁ : a₁ = a ^ n₁ ∨ a₁ = -a ^ n₁
\u22a2 a = a₁
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a₁ : Solution₁ d
ha₁ : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
Hx : 1 < a.x
Hy : 0 < a.y
H : ∀ (a_1 : Solution₁ d), ∃ n, a_1 = a ^ n ∨ a_1 = -a ^ n
n₁ : ℤ
hn₁ : a₁ = a ^ n₁ ∨ a₁ = -a ^ n₁
n₂ : ℤ
hn₂ : a = a₁ ^ n₂ ∨ a = -a₁ ^ n₂
\u22a2 a = a₁
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
c : Set (Set α)
H1 : ∀ s ∈ c, x ∈ s
H2 : ∀ s ∈ c, IsPreconnected s
\u22a2 IsPreconnected (⋃₀ c)
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
c : Set (Set α)
H1 : ∀ s ∈ c, x ∈ s
H2 : ∀ s ∈ c, IsPreconnected s
\u22a2 ∀ y ∈ ⋃₀ c, ∃ t ⊆ ⋃₀ c, x ∈ t ∧ y ∈ t ∧ IsPreconnected t
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
x : α
c : Set (Set α)
H1 : ∀ s ∈ c, x ∈ s
H2 : ∀ s ∈ c, IsPreconnected s
y : α
s : Set α
sc : s ∈ c
ys : y ∈ s
\u22a2 ∃ t ⊆ ⋃₀ c, x ∈ t ∧ y ∈ t ∧ IsPreconnected t
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
x : α × β
inst✝² : Fintype ↑(G.neighborSet x.1)
inst✝¹ : Fintype ↑(H.neighborSet x.2)
inst✝ : Fintype ↑((G □ H).neighborSet x)
this : Fintype ↑((G □ H).neighborSet x) := boxProdFintypeNeighborSet x
\u22a2 (G □ H).neighborFinset x = (G.neighborFinset x.1 ×ˢ {x.2}).disjUnion ({x.1} ×ˢ H.neighborFinset x.2) ⋯
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
v : Multiset ℕ
h : ∀ p ∈ v, Nat.Prime p
\u22a2 Multiset.map Coe.coe (Multiset.pmap (fun p hp => ⟨p, hp⟩) v h) = v
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
v : Multiset ℕ
h : ∀ p ∈ v, Nat.Prime p
this : (fun p h => Coe.coe ⟨p, h⟩) = fun p x => id p
\u22a2 Multiset.map Coe.coe (Multiset.pmap (fun p hp => ⟨p, hp⟩) v h) = v
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
ι : Sort u_1
f✝ : ι → ℝ≥0
inst✝ : IsEmpty ι
f : ι → ℝ≥0
\u22a2 ⨅ i, f i = 0
-- Mathlib/Data/List/Destutter.lean
α : Type u_1
l : List α
R : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel R
a b : α
h : R b a
\u22a2 destutter' R b (a :: l) = b :: destutter' R a l
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HomeomorphBall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
hr : 0 < r
\u22a2 (univBall c r).target = ball c r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HomeomorphBall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
hr : 0 < r
\u22a2 (univUnitBall.trans' (unitBallBall c r hr) ⋯).target = ball c r
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹² : TopologicalSpace α
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : BorelSpace α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : BorelSpace β
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : BorelSpace γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
ι : Type u_6
π : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (π i)
inst✝ : ∀ (i : ι), BorelSpace (π i)
\u22a2 MeasurableSpace.pi ≤ borel ((i : ι) → π i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹² : TopologicalSpace α
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : BorelSpace α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : BorelSpace β
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : BorelSpace γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
ι : Type u_6
π : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (π i)
inst✝ : ∀ (i : ι), BorelSpace (π i)
this : inst✝¹ = fun i => borel (π i)
\u22a2 MeasurableSpace.pi ≤ borel ((i : ι) → π i)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G'✝ : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'✝
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
G' : Subgroup G
H K : Subgroup ↥G'
\u22a2 Injective ⇑G'.subtype
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/SecondInter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0
\u22a2 dist ((-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ) • v +ᵥ p) s.center = dist p s.center
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/SecondInter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0
\u22a2 -2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ = 0 ∨ -2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ = -2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x ε y : ℝ
\u22a2 y ∈ QuotientAddGroup.mk ⁻¹' closedBall (↑x) ε ↔ y ∈ closedBall x ε
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Shift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
a b ab : ℤ
h : a + b = ab
n : ℤ
\u22a2 n + b + a = n + ab
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Shift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
a b n : ℤ
\u22a2 ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) a b (a + b) ⋯).inv.app K).f n = (XIsoOfEq K ⋯).hom
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
\u22a2 HasFDerivWithinAt f f' univ x ↔ HasFDerivAt f f' x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
\u22a2 HasFDerivAtFilter f f' x (𝓝 x) ↔ HasFDerivAt f f' x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
\u22a2 p.prod q = map (inl R M M₂) p ⊔ map (inr R M M₂) q
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype n
A B : Matrix m n α
x : n → α
\u22a2 (A - B) *ᵥ x = A *ᵥ x - B *ᵥ x
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasZeroMorphisms V
α : Type u_2
inst✝² : AddRightCancelSemigroup α
inst✝¹ : One α
inst✝ : DecidableEq α
X : α → V
d : (n : α) → X (n + 1) ⟶ X n
sq : ∀ (n : α), d (n + 1) ≫ d n = 0
i j : α
h : i ≠ j + 1
\u22a2 (if h : i = j + 1 then eqToHom ⋯ ≫ d j else 0) = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
E' : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
F' : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F'
f : E → F
g : E' → F'
x : E
y : E'
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f univ x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g univ y
\u22a2 ContDiffWithinAt 𝕜 n (Prod.map f g) univ (x, y)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
E' : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
F' : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F'
f : E → F
g : E' → F'
x : E
y : E'
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f univ x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g univ y
\u22a2 univ = univ ×ˢ univ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Analytic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
x : E
\u22a2 ((p.derivSeries n) fun x_1 => x) x = (n + 1) • (p (n + 1)) fun x_1 => x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Analytic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
x : E
\u22a2 ∑ x_1 : { s // s.card = n }, ((p.changeOriginSeriesTerm 1 n ↑x_1 ⋯) fun x_2 => x) (Fin.snoc ![] x) = (n + 1) • (p (n + 1)) fun x_1 => x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Analytic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
x : E
x✝ : { s // s.card = n }
a✝ : x✝ ∈ Finset.univ
\u22a2 ((p.changeOriginSeriesTerm 1 n ↑x✝ ⋯) fun x_1 => x) (Fin.snoc ![] x) = (p (n + 1)) fun x_1 => x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Analytic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
x : E
\u22a2 n + 1 = Finset.univ.card
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.60536, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
i : ℤ
A : C
f : A ⟶ (mappingCone φ).X i
j : ℤ
hij : i + 1 = j
\u22a2 f = (f ≫ (↑(fst φ)).v i j hij) ≫ (inl φ).v j i ⋯ + (f ≫ (snd φ).v i i ⋯) ≫ (inr φ).f i
-- Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
ε : ℝ
hε : ε > 0
x : ℝ
\u22a2 0 < ε + sSupNormIm f x
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
p : PosNum
\u22a2 ↑(pos p).bit0 = ↑(pos p) + ↑(pos p)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
p : PosNum
\u22a2 ↑p.bit0 = ↑p + ↑p
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
p : PosNum
\u22a2 ↑(neg p).bit0 = ↑(neg p) + ↑(neg p)
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Group.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α
\u22a2 Pairwise (Disjoint on fun n => Ioo (b ^ n) (b ^ (n + 1)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ g✝ : X✝ ⟶ Y✝
h : Y✝ ⟶ Z✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso g
inst✝ : IsIso (f ≫ g)
\u22a2 IsIso f
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ g✝ : X✝ ⟶ Y✝
h : Y✝ ⟶ Z✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso g
inst✝ : IsIso (f ≫ g)
\u22a2 IsIso ((f ≫ g) ≫ inv g)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : LocallyConnectedSpace H
e : M → PartialHomeomorph M H := chartAt H
\u22a2 LocallyConnectedSpace M
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : LocallyConnectedSpace H
e : M → PartialHomeomorph M H := chartAt H
\u22a2 ∀ (x : M), (𝓝 x).HasBasis ((fun x s => (IsOpen s ∧ ↑(e x) x ∈ s ∧ IsConnected s) ∧ s ⊆ (e x).target) x) ((fun x s => ↑(e x).symm '' s) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : LocallyConnectedSpace H
e : M → PartialHomeomorph M H := chartAt H
\u22a2 ∀ (x : M) (i : Set H), (fun x s => (IsOpen s ∧ ↑(e x) x ∈ s ∧ IsConnected s) ∧ s ⊆ (e x).target) x i → IsPreconnected ((fun x s => ↑(e x).symm '' s) x i)
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
\u22a2 LiftRel R nil nil
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
\u22a2 Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) nil.destruct nil.destruct
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Conjugation.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
p : Submodule R (CliffordAlgebra Q)
n : ℕ
\u22a2 Submodule.map reverse (p ^ n) = Submodule.map reverse p ^ n
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplexShift.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)
f : K ⟶ L
x y : ℤ
inst✝ : K.HasTotal (up ℤ)
n n₁ n₂ : ℤ
h : n₁ + n₂ = n
\u22a2 ((shiftFunctor₁ C x).obj ((shiftFunctor₂ C y).obj K)).ιTotal (up ℤ) n₁ n₂ n h ≫ (((shiftFunctor₂ C y).obj K).totalShift₁Iso x).hom.f n ≫ (K.totalShift₂Iso y).hom.f (n + x) = ((shiftFunctor₁ C x).obj ((shiftFunctor₂ C y).obj K)).ιTotal (up ℤ) n₁ n₂ n h ≫ ((x * y).negOnePow • (total.map ((shiftFunctor₁₂CommIso C x y).hom.app K) (up ℤ)).f n ≫ (((shiftFunctor₁ C x).obj K).totalShift₂Iso y).hom.f n ≫ (K.totalShift₁Iso x).hom.f (n + y) ≫ ((shiftFunctorComm (CochainComplex C ℤ) x y).hom.app (K.total (up ℤ))).f n)
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplexShift.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)
f : K ⟶ L
x y : ℤ
inst✝ : K.HasTotal (up ℤ)
n n₁ n₂ : ℤ
h : n₁ + n₂ = n
\u22a2 (((shiftFunctor₂ C y).obj K).shiftFunctor₁XXIso n₁ x (n₁ + x) ⋯ n₂).hom ≫ ((shiftFunctor₂ C y).obj K).ιTotal (up ℤ) (n₁ + x) n₂ (n + x) ⋯ ≫ (CochainComplex.shiftFunctorObjXIso (((shiftFunctor₂ C y).obj K).total (up ℤ)) x n (n + x) ⋯).inv ≫ (K.totalShift₂Iso y).hom.f (n + x) = (x * y).negOnePow • (n₁ * y).negOnePow • (((shiftFunctor₁₂CommIso C x y).hom.app K).f n₁).f n₂ ≫ ((((shiftFunctor₁ C x).obj K).shiftFunctor₂XXIso n₁ n₂ y (n₂ + y) ⋯).hom ≫ ((shiftFunctor₁ C x).obj K).ιTotal (up ℤ) n₁ (n₂ + y) (n + y) ⋯ ≫ (CochainComplex.shiftFunctorObjXIso (((shiftFunctor₁ C x).obj K).total (up ℤ)) y n (n + y) ⋯).inv) ≫ (K.totalShift₁Iso x).hom.f (n + y) ≫ ((shiftFunctorComm (CochainComplex C ℤ) x y).hom.app (K.total (up ℤ))).f n
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplexShift.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)
f : K ⟶ L
x y : ℤ
inst✝ : K.HasTotal (up ℤ)
n n₁ n₂ : ℤ
h : n₁ + n₂ = n
\u22a2 𝟙 ((K.X (n₁ + x)).X (n₂ + y)) ≫ ((shiftFunctor₂ C y).obj K).ιTotal (up ℤ) (n₁ + x) n₂ (n + x) ⋯ ≫ 𝟙 ((((shiftFunctor₂ C y).obj K).total (up ℤ)).X (n + x)) ≫ (K.totalShift₂Iso y).hom.f (n + x) = (x * y).negOnePow • (n₁ * y).negOnePow • 𝟙 ((K.X (n₁ + x)).X (n₂ + y)) ≫ (𝟙 ((K.X (n₁ + x)).X (n₂ + y)) ≫ ((shiftFunctor₁ C x).obj K).ιTotal (up ℤ) n₁ (n₂ + y) (n + y) ⋯ ≫ 𝟙 ((((shiftFunctor₁ C x).obj K).total (up ℤ)).X (n + y))) ≫ (K.totalShift₁Iso x).hom.f (n + y) ≫ ((shiftFunctorComm (CochainComplex C ℤ) x y).hom.app (K.total (up ℤ))).f n
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplexShift.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)
f : K ⟶ L
x y : ℤ
inst✝ : K.HasTotal (up ℤ)
n n₁ n₂ : ℤ
h : n₁ + n₂ = n
\u22a2 (n₁ * y + x * y).negOnePow • (K.shiftFunctor₂XXIso (n₁ + x) n₂ y (n₂ + y) ⋯).hom ≫ K.ιTotal (up ℤ) (n₁ + x) (n₂ + y) (n + x + y) ⋯ ≫ (CochainComplex.shiftFunctorObjXIso (K.total (up ℤ)) y (n + x) (n + x + y) ⋯).inv = (n₁ * y + x * y).negOnePow • ((shiftFunctor₁ C x).obj K).ιTotal (up ℤ) n₁ (n₂ + y) (n + y) ⋯ ≫ (K.totalShift₁Iso x).hom.f (n + y) ≫ ((shiftFunctorComm (CochainComplex C ℤ) x y).hom.app (K.total (up ℤ))).f n
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplexShift.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)
f : K ⟶ L
x y : ℤ
inst✝ : K.HasTotal (up ℤ)
n n₁ n₂ : ℤ
h : n₁ + n₂ = n
\u22a2 (n₁ * y + x * y).negOnePow • 𝟙 ((K.X (n₁ + x)).X (n₂ + y)) ≫ K.ιTotal (up ℤ) (n₁ + x) (n₂ + y) (n + x + y) ⋯ ≫ 𝟙 ((K.total (up ℤ)).X (n + x + y)) = (n₁ * y + x * y).negOnePow • ((shiftFunctor₁ C x).obj K).ιTotal (up ℤ) n₁ (n₂ + y) (n + y) ⋯ ≫ (K.totalShift₁Iso x).hom.f (n + y) ≫ ((shiftFunctorComm (CochainComplex C ℤ) x y).hom.app (K.total (up ℤ))).f n
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplexShift.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)
f : K ⟶ L
x y : ℤ
inst✝ : K.HasTotal (up ℤ)
n n₁ n₂ : ℤ
h : n₁ + n₂ = n
\u22a2 (n₁ * y + x * y).negOnePow • K.ιTotal (up ℤ) (n₁ + x) (n₂ + y) (n + x + y) ⋯ = (n₁ * y + x * y).negOnePow • (K.shiftFunctor₁XXIso n₁ x (n₁ + x) ⋯ (n₂ + y)).hom ≫ K.ιTotal (up ℤ) (n₁ + x) (n₂ + y) (n + x + y) ⋯ ≫ (CochainComplex.shiftFunctorObjXIso (K.total (up ℤ)) x (n + y) (n + x + y) ⋯).inv ≫ ((K.total (up ℤ)).XIsoOfEq ⋯).hom
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplexShift.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K L : HomologicalComplex₂ C (up ℤ) (up ℤ)
f : K ⟶ L
x y : ℤ
inst✝ : K.HasTotal (up ℤ)
n n₁ n₂ : ℤ
h : n₁ + n₂ = n
\u22a2 (n₁ * y + x * y).negOnePow • K.ιTotal (up ℤ) (n₁ + x) (n₂ + y) (n + x + y) ⋯ = (n₁ * y + x * y).negOnePow • 𝟙 ((K.X (n₁ + x)).X (n₂ + y)) ≫ K.ιTotal (up ℤ) (n₁ + x) (n₂ + y) (n + x + y) ⋯ ≫ ((K.total (up ℤ)).XIsoOfEq ⋯).inv ≫ ((K.total (up ℤ)).XIsoOfEq ⋯).hom
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a : ℝ
f : ℝ → ℂ
n : ℤ
\u22a2 fourierCoeff (liftIoc T a f) n = fourierCoeffOn ⋯ f n
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a : ℝ
f : ℝ → ℂ
n : ℤ
\u22a2 (1 / T) • ∫ (x : ℝ) in ?a..?a + T, (fourier (-n)) ↑x • liftIoc T a f ↑x = (1 / T) • ∫ (x : ℝ) in a..a + T, (fourier (-n)) ↑x • f x
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a : ℝ
f : ℝ → ℂ
n : ℤ
\u22a2 ℝ
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
b : Set (Set X)
hb : IsTopologicalBasis b
x y : X
h : x ≠ y
\u22a2 ∃ a ∈ b, x ∈ a ∧ y ∉ a
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
b : Set (Set X)
hb : IsTopologicalBasis b
x y : X
h : x ≠ y
a : Set X
ab : a ∈ b
xa : x ∈ a
ha : a ⊆ {y_1 | y_1 ≠ y}
\u22a2 ∃ a ∈ b, x ∈ a ∧ y ∉ a
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
\u22a2 ⋃ n, Icc a ↑n = Ici a \ {⊤}
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : Irreducible J
n : ℕ
hn : multiplicity J I ≤ ↑n
\u22a2 J ^ n ⊔ I = J ^ (multiplicity J I).get ⋯
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : Irreducible J
n : ℕ
hn : multiplicity J I ≤ ↑n
\u22a2 J ^ count J (normalizedFactors I) = J ^ (multiplicity J I).get ⋯
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : Irreducible J
n : ℕ
hn : multiplicity J I ≤ ↑n
\u22a2 count J (normalizedFactors I) ≤ n
-- Mathlib/Data/PNat/Find.lean
p q : ℕ+ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h : ∃ n, p n
n m : ℕ+
\u22a2 PNat.find h = 1 ↔ p 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
b : P
c : k
\u22a2 (s.weightedVSubOfPoint p b) (c • w) = c • (s.weightedVSubOfPoint p b) w
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕂
inst✝⁴ : NormedRing 𝔸
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedRing 𝔹
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
\u22a2 Continuous (exp 𝕂)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕂
inst✝⁴ : NormedRing 𝔸
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedRing 𝔹
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
\u22a2 ContinuousOn (exp 𝕂) (EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius)