ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : LinearOrder M
inst✝³ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝² : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l : List ι
hl : l ≠ []
f g : ι → M
h : (map f l).prod ≤ (map g l).prod
\u22a2 ∃ x ∈ l, f x ≤ g x
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : LinearOrder M
inst✝³ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝² : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l : List ι
hl : l ≠ []
f g : ι → M
h : ∀ x ∈ l, g x < f x
\u22a2 (map g l).prod < (map f l).prod
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Cardinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hι : Cardinal.lift.{v, u} #ι < c.ord.cof
hf : ∀ (i : ι), f i < c
\u22a2 iSup f < c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Cardinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hι : Cardinal.lift.{v, u} #ι < c.ord.cof
hf : ∀ (i : ι), f i < c
\u22a2 ⨆ i, (f i).ord < c.ord
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Cardinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hι : Cardinal.lift.{v, u} #ι < c.ord.cof
hf : ∀ (i : ι), f i < c
i : ι
\u22a2 (f i).ord < c.ord
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Cardinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hι : Cardinal.lift.{v, u} #ι < c.ord.cof
hf : ∀ (i : ι), f i < c
i : ι
\u22a2 f i < c
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
h : sZMod (p' + 2) (p' + 2 - 2) = 0
\u22a2 ∃ k, ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
h : ↑(s (p' + 2 - 2)) = 0
\u22a2 ∃ k, ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
h : 2 ^ (p' + 2) - 1 ∣ s p'
\u22a2 ∃ k, ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
k : ℤ
h : s p' = (2 ^ (p' + 2) - 1) * k
\u22a2 ∃ k, ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
k : ℤ
h : s p' = (2 ^ (p' + 2) - 1) * k
\u22a2 ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
k : ℤ
h : ↑(s p') = ↑((2 ^ (p' + 2) - 1) * k)
\u22a2 ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
k : ℤ
h : ω ^ 2 ^ p' + ωb ^ 2 ^ p' = ↑((2 ^ (p' + 2) - 1) * k)
\u22a2 ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
k : ℤ
h : ω ^ 2 ^ p' * (ω ^ 2 ^ p' + ωb ^ 2 ^ p') = ω ^ 2 ^ p' * ↑((2 ^ (p' + 2) - 1) * k)
t : 2 ^ p' + 2 ^ p' = 2 ^ (p' + 1)
\u22a2 ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
k : ℤ
h : ω ^ 2 ^ (p' + 1) + 1 = ω ^ 2 ^ p' * ↑((2 ^ (p' + 2) - 1) * k)
t : 2 ^ p' + 2 ^ p' = 2 ^ (p' + 1)
\u22a2 ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
k : ℤ
h : ω ^ 2 ^ (p' + 1) + 1 = ↑(2 ^ (p' + 2) - 1) * ↑k * ω ^ 2 ^ p'
t : 2 ^ p' + 2 ^ p' = 2 ^ (p' + 1)
\u22a2 ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
k : ℤ
h : ω ^ 2 ^ (p' + 1) + 1 = ↑k * ↑(2 ^ (p' + 2) - 1) * ω ^ 2 ^ p'
t : 2 ^ p' + 2 ^ p' = 2 ^ (p' + 1)
\u22a2 ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
k : ℤ
t : 2 ^ p' + 2 ^ p' = 2 ^ (p' + 1)
h : ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(2 ^ (p' + 2) - 1) * ω ^ 2 ^ p' - 1
\u22a2 ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
k : ℤ
t : 2 ^ p' + 2 ^ p' = 2 ^ (p' + 1)
h : ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(2 ^ (p' + 2) - 1) * ω ^ 2 ^ p' - 1
this : 1 ≤ 2 ^ (p' + 2)
\u22a2 ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
hM : Finite R M
f : M →ₗ[R] N
hf : Surjective ⇑f
\u22a2 ⊤.FG
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
hM : Finite R M
f : M →ₗ[R] N
hf : Surjective ⇑f
\u22a2 (map f ⊤).FG
-- Mathlib/Algebra/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
\u22a2 ↑(lowerClosure s) * t = ↑(lowerClosure (s * t))
-- Mathlib/Algebra/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
\u22a2 t * ↑(lowerClosure s) = ↑(lowerClosure (t * s))
-- Mathlib/Topology/CompletelyRegular.lean
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : T35Space X
x y : X
x_ne_y : x ≠ y
\u22a2 ∃ f ∈ Continuous, f x ≠ f y
-- Mathlib/Topology/CompletelyRegular.lean
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : T35Space X
x y : X
x_ne_y : x ≠ y
f : X → ↑I
f_cont : Continuous f
f_zero : f x = 0
f_one : EqOn f 1 {y}
\u22a2 ∃ f ∈ Continuous, f x ≠ f y
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
x : AddCircle T
\u22a2 (fourier 1) x = ↑x.toCircle
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/PosPart.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
\u22a2 a ⊓ b = a / (a / b)⁺ᵐ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
e : Basis ι R M
inst✝ : IsEmpty ι
v : ι → M
\u22a2 e.det v = (AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1) v
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Basic.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.48026, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.48030, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
e₁ : S₁.X₁ ≅ S₂.X₁
e₂ : S₁.X₂ ≅ S₂.X₂
e₃ : S₁.X₃ ≅ S₂.X₃
comm₁₂ : autoParam (e₁.hom ≫ S₂.f = S₁.f ≫ e₂.hom) _auto✝
comm₂₃ : autoParam (e₂.hom ≫ S₂.g = S₁.g ≫ e₃.hom) _auto✝
\u22a2 e₁.inv ≫ S₁.f = S₂.f ≫ e₂.inv
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Basic.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.48026, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.48030, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
e₁ : S₁.X₁ ≅ S₂.X₁
e₂ : S₁.X₂ ≅ S₂.X₂
e₃ : S₁.X₃ ≅ S₂.X₃
comm₁₂ : autoParam (e₁.hom ≫ S₂.f = S₁.f ≫ e₂.hom) _auto✝
comm₂₃ : autoParam (e₂.hom ≫ S₂.g = S₁.g ≫ e₃.hom) _auto✝
\u22a2 e₂.inv ≫ S₁.g = S₂.g ≫ e₃.inv
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq o
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
i✝ : m × o
j✝ : n × o
\u22a2 blockDiagonal 0 i✝ j✝ = 0 i✝ j✝
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
\u22a2 a ∆ b = a ⊔ b ↔ Disjoint a b
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
h : a ∆ b = a ⊔ b
\u22a2 Disjoint a b
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
h : Disjoint (a ⊓ b) (a ⊔ b)
\u22a2 Disjoint a b
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
\u22a2 periodicOrbit f x = Cycle.nil ↔ x ∉ periodicPts f
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
\u22a2 minimalPeriod f x = 0 ↔ x ∉ periodicPts f
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a✝ b a : α
h2 : IsUnit a
x : α
\u22a2 span {a * x} = span {x}
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a✝ b a : α
h2 : IsUnit a
x : α
\u22a2 ∃ a_1, a_1 * x = a * x
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a✝ b a : α
h2 : IsUnit a
x : α
\u22a2 ∃ a_1, a_1 * (a * x) = x
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α
\u22a2 ∃ S, MeasurableSet S ∧ VectorMeasure.restrict j.toSignedMeasure S ≤ VectorMeasure.restrict 0 S ∧ VectorMeasure.restrict 0 Sᶜ ≤ VectorMeasure.restrict j.toSignedMeasure Sᶜ ∧ j.posPart S = 0 ∧ j.negPart Sᶜ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α
S : Set α
hS₁ : MeasurableSet S
hS₂ : j.posPart S = 0
hS₃ : j.negPart Sᶜ = 0
\u22a2 ∃ S, MeasurableSet S ∧ VectorMeasure.restrict j.toSignedMeasure S ≤ VectorMeasure.restrict 0 S ∧ VectorMeasure.restrict 0 Sᶜ ≤ VectorMeasure.restrict j.toSignedMeasure Sᶜ ∧ j.posPart S = 0 ∧ j.negPart Sᶜ = 0
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
\u22a2 Function.Surjective ⇑(toAdjoin R x)
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
\u22a2 adjoin R (Subtype.val ⁻¹' {x}) ≤ (toAdjoin R x).range
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝¹ y✝¹ z✝ w x✝ y✝ z x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
\u22a2 x ^ (-y) = (x ^ y)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝¹ y✝¹ z✝ w x✝ y✝ z x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
\u22a2 (if x = 0 then if -y = 0 then 1 else 0 else rexp (log x * -y)) = (if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else rexp (log x * y))⁻¹
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α✝ : Type u_1
M : Matroid α✝
E B I X R J : Set α✝
α : Type u_2
\u22a2 loopyOn ∅ = emptyOn α
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommGroup β
inst✝ : DecidableEq α
\u22a2 (∏ x ∈ s₂ \ s₁, f x) / ∏ x ∈ s₁ \ s₂, f x = (∏ x ∈ s₂, f x) / ∏ x ∈ s₁, f x
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
\u22a2 X.map (SimplexCategory.σ i).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ i.castSucc).op = 𝟙 (X _[n])
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b : M
\u22a2 (single a b) a = b
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
\u22a2 (auxEquiv R 𝒜 ℬ) 1 = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
inst✝ : PreservesColimit (Functor.empty C) (forget C)
X : C
h : Nonempty (IsInitial X)
\u22a2 IsEmpty ((forget C).obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
inst✝ : PreservesColimit (Functor.empty C) (forget C)
X : C
h : Nonempty (IsInitial X)
\u22a2 Nonempty (IsInitial ((forget C).obj X))
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
hs : s.Nonempty
a : α
t : Set α
x : α
\u22a2 (if x ∈ t then (uniformOfFinset s hs) x else 0) = if x ∈ s ∧ x ∈ t then (↑s.card)⁻¹ else 0
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
hs : s.Nonempty
a : α
t : Set α
x : α
hx : x ∈ Finset.filter (fun x => x ∈ t) s
this : x ∈ s ∧ x ∈ t := Eq.mp Mathlib.Data.Finset.Basic._auxLemma.138 hx
\u22a2 (if x ∈ s ∧ x ∈ t then (↑s.card)⁻¹ else 0) = (↑s.card)⁻¹
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
hs : s.Nonempty
a : α
t : Set α
\u22a2 ∑ _x ∈ Finset.filter (fun x => x ∈ t) s, (↑s.card)⁻¹ = ↑(Finset.filter (fun x => x ∈ t) s).card / ↑s.card
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it
\u22a2 ValidFor (r.reverse ++ l) [] it.toEnd
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it
\u22a2 ValidFor (r.reverse ++ l) [] { s := { data := l.reverseAux r }, i := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len r } }
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x✝ y✝ z x y : R
\u22a2 v (x - y) = v (x + -y)
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x✝ y✝ z x y : R
\u22a2 max (v x) (v (-y)) = max (v x) (v y)
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
i : Ω' → Ω
hi : MeasurableEmbedding i
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω'
ht : MeasurableSet t
hi' : μ (range i)ᶜ = 0
\u22a2 (comap i μ[|s]) t = (comap i μ)[|i ⁻¹' s] t
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
i : Ω' → Ω
hi : MeasurableEmbedding i
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω'
ht : MeasurableSet t
hi' : μ (range i)ᶜ = 0
\u22a2 Function.Injective i
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
i : Ω' → Ω
hi : MeasurableEmbedding i
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω'
ht : MeasurableSet t
hi' : μ (range i)ᶜ = 0
\u22a2 ∀ (s : Set Ω'), MeasurableSet s → MeasurableSet (i '' s)
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
i : Ω' → Ω
hi : MeasurableEmbedding i
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω'
ht : MeasurableSet t
hi' : μ (range i)ᶜ = 0
\u22a2 MeasurableSet (i ⁻¹' s ∩ t)
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
i : Ω' → Ω
hi : MeasurableEmbedding i
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω'
ht : MeasurableSet t
hi' : μ (range i)ᶜ = 0
\u22a2 MeasurableSet (i ⁻¹' s)
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
i : Ω' → Ω
hi : MeasurableEmbedding i
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω'
ht : MeasurableSet t
hi' : μ (range i)ᶜ = 0
\u22a2 MeasurableSet s
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
i : Ω' → Ω
hi : MeasurableEmbedding i
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω'
ht : MeasurableSet t
hi' : μ (range i)ᶜ = 0
\u22a2 MeasurableSet t
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n a b : ℕ
cop : m.Coprime n
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : a * m + b * n = m * n
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n b : ℕ
cop : m.Coprime n
hb : b ≠ 0
x : ℕ
ha : n * x ≠ 0
h : n * x * m + b * n = m * n
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
x : ℕ
ha : n * x ≠ 0
y : ℕ
hb : m * y ≠ 0
h : n * x * m + m * y * n = m * n
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
x : ℕ
ha : 1 ≤ x ∧ n ≠ 0
y : ℕ
hb : 1 ≤ y ∧ m ≠ 0
h : n * x * m + m * y * n = m * n
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
x : ℕ
ha : 1 ≤ x ∧ n ≠ 0
y : ℕ
hb : 1 ≤ y ∧ m ≠ 0
h : n * x * m + m * y * n = m * n
\u22a2 (x + y) * (m * n) = m * n
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(↑(spectrum R a), R)
f' : C(↑(spectrum R a), ↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)))
hff' : ∀ (x : ↑(spectrum R a)), f x = ↑(f' x)
g : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R)
φ : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R) →⋆ₐ[R] A := (cfcHom ha).comp (ContinuousMap.compStarAlgHom' R R f')
\u22a2 (cfcHom ha) (g.comp f') = (cfcHom ⋯) g
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(↑(spectrum R a), R)
f' : C(↑(spectrum R a), ↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)))
hff' : ∀ (x : ↑(spectrum R a)), f x = ↑(f' x)
g : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R)
φ : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R) →⋆ₐ[R] A := (cfcHom ha).comp (ContinuousMap.compStarAlgHom' R R f')
\u22a2 cfcHom ⋯ = φ
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(↑(spectrum R a), R)
f' : C(↑(spectrum R a), ↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)))
hff' : ∀ (x : ↑(spectrum R a)), f x = ↑(f' x)
g : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R)
φ : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R) →⋆ₐ[R] A := (cfcHom ha).comp (ContinuousMap.compStarAlgHom' R R f')
\u22a2 Continuous ⇑φ
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(↑(spectrum R a), R)
f' : C(↑(spectrum R a), ↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)))
hff' : ∀ (x : ↑(spectrum R a)), f x = ↑(f' x)
g : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R)
φ : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R) →⋆ₐ[R] A := (cfcHom ha).comp (ContinuousMap.compStarAlgHom' R R f')
\u22a2 φ (ContinuousMap.restrict (spectrum R ((cfcHom ha) f)) (ContinuousMap.id R)) = (cfcHom ha) f
-- Mathlib/Algebra/CharP/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : ℕ
x y : R
hp : Nat.Prime p
h : Commute x y
\u22a2 (x + y) ^ p = x ^ p + y ^ p + ↑p * ∑ k ∈ Ioo 0 p, x ^ k * y ^ (p - k) * ↑(p.choose k / p)
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
H : ∀ (n : ℤ), 0 ≤ n → (a ^ n).y < (a ^ (n + 1)).y
\u22a2 StrictMono fun n => (a ^ n).y
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
H : ∀ (n : ℤ), 0 ≤ n → (a ^ n).y < (a ^ (n + 1)).y
n : ℤ
\u22a2 (a ^ n).y < (a ^ (n + 1)).y
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
H : ∀ (n : ℤ), 0 ≤ n → (a ^ n).y < (a ^ (n + 1)).y
n : ℤ
hn : 0 ≤ n
\u22a2 (a ^ n).y < (a ^ (n + 1)).y
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
H : ∀ (n : ℤ), 0 ≤ n → (a ^ n).y < (a ^ (n + 1)).y
n : ℤ
hn : n < 0
\u22a2 (a ^ n).y < (a ^ (n + 1)).y
-- Mathlib/Algebra/Group/Action/Defs.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁷ : SMul α β
inst✝⁶ : SMul α γ
inst✝⁵ : SMul β δ
inst✝⁴ : SMul α δ
inst✝³ : SMul γ δ
inst✝² : IsScalarTower α β δ
inst✝¹ : IsScalarTower α γ δ
inst✝ : SMulCommClass β γ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ
\u22a2 (a • b) • c • d = (a • c) • b • d
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
\u22a2 toIocMod hp a (p + b) = toIocMod hp a b
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : IsBasis p s
t : Set α
\u22a2 t ∈ h.filter ↔ ∃ i, p i ∧ s i ⊆ t
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
f : R[X]
n : ℕ
\u22a2 f.degree < ↑n ↔ ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f.coeff m = 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
p₁ p₂ : Q
h : p₁ ≠ p₂
c₁ c₂ : 𝕜
\u22a2 dist c₁ c₂ ≤ ↑(nndist p₁ p₂)⁻¹ * dist ((lineMap p₁ p₂) c₁) ((lineMap p₁ p₂) c₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.280541, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.280548, u_2} D
X✝ Y✝ : C
inst✝ : HasInitial C
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
h : IsVanKampenColimit c
\u22a2 Mono c.inr
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.280541, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.280548, u_2} D
X✝ Y✝ : C
inst✝ : HasInitial C
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
h : IsVanKampenColimit c
\u22a2 IsPullback (𝟙 ((pair X Y).obj { as := WalkingPair.right })) (𝟙 ((pair X Y).obj { as := WalkingPair.right })) c.inr c.inr
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.280541, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.280548, u_2} D
X✝ Y✝ : C
inst✝ : HasInitial C
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
h : IsVanKampenColimit c
\u22a2 mapPair (initial.to X) (𝟙 Y) ≫ c.ι = (BinaryCofan.mk (initial.to Y) (𝟙 Y)).ι ≫ (Functor.const (Discrete WalkingPair)).map c.inr
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.280541, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.280548, u_2} D
X✝ Y✝ : C
inst✝ : HasInitial C
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
h : IsVanKampenColimit c
\u22a2 IsColimit (BinaryCofan.mk (initial.to Y) (𝟙 Y))