ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
\u22a2 ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ + ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
\u22a2 ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ + ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
h_right : ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = 0
\u22a2 ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ + ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
\u22a2 G.degree v < Fintype.card V
-- Mathlib/Topology/Germ.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
\u22a2 IsOpen (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/Germ.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
\u22a2 ∀ x ∈ f ⁻¹' s, f ⁻¹' s ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Germ.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b
\u22a2 f ⁻¹' s ∈ 𝓝 a
-- Mathlib/Topology/Germ.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b
\u22a2 {x | (fun x => f x = (fun x => b) x) x} ⊆ f ⁻¹' s
-- Mathlib/Topology/Germ.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b
x : X
hx : x ∈ {x | (fun x => f x = (fun x => b) x) x}
\u22a2 x ∈ f ⁻¹' s
-- Mathlib/Topology/Germ.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b
x : X
hx : x ∈ {x | (fun x => f x = (fun x => b) x) x}
this : f x = f a
\u22a2 x ∈ f ⁻¹' s
-- Mathlib/Topology/Germ.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b
x : X
hx : x ∈ {x | (fun x => f x = (fun x => b) x) x}
this : f x = f a
\u22a2 f a ∈ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
\u22a2 VanishesTrivially R m n
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
\u22a2 VanishesTrivially R m n
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
\u22a2 VanishesTrivially R m n
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)
\u22a2 VanishesTrivially R m n
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)
exact_ker_subtype : Exact ⇑(ker G).subtype ⇑G
\u22a2 VanishesTrivially R m n
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)
exact_ker_subtype : Exact ⇑(ker G).subtype ⇑G
exact_rTensor_ker_subtype : Exact ⇑(rTensor N (ker G).subtype) ⇑(rTensor N G)
\u22a2 VanishesTrivially R m n
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)
exact_ker_subtype : Exact ⇑(ker G).subtype ⇑G
exact_rTensor_ker_subtype : Exact ⇑(rTensor N (ker G).subtype) ⇑(rTensor N G)
en_mem_range : en ∈ range (rTensor N (ker G).subtype)
\u22a2 VanishesTrivially R m n
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)
exact_ker_subtype : Exact ⇑(ker G).subtype ⇑G
exact_rTensor_ker_subtype : Exact ⇑(rTensor N (ker G).subtype) ⇑(rTensor N G)
kn : ↥(ker G) ⊗[R] N
hkn : (rTensor N (ker G).subtype) kn = en
\u22a2 VanishesTrivially R m n
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)
exact_ker_subtype : Exact ⇑(ker G).subtype ⇑G
exact_rTensor_ker_subtype : Exact ⇑(rTensor N (ker G).subtype) ⇑(rTensor N G)
ma : Finset (↥(ker G) × N)
hkn : (rTensor N (ker G).subtype) (∑ kj ∈ ma, kj.1 ⊗ₜ[R] kj.2) = en
\u22a2 VanishesTrivially R m n
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)
exact_ker_subtype : Exact ⇑(ker G).subtype ⇑G
exact_rTensor_ker_subtype : Exact ⇑(rTensor N (ker G).subtype) ⇑(rTensor N G)
ma : Finset (↥(ker G) × N)
hkn : (rTensor N (ker G).subtype) (∑ kj ∈ ma, kj.1 ⊗ₜ[R] kj.2) = en
\u22a2 ∃ a y, (∀ (i : ι), n i = ∑ j : { x // x ∈ ma }, a i j • y j) ∧ ∀ (j : { x // x ∈ ma }), ∑ i : ι, a i j • m i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)
exact_ker_subtype : Exact ⇑(ker G).subtype ⇑G
exact_rTensor_ker_subtype : Exact ⇑(rTensor N (ker G).subtype) ⇑(rTensor N G)
ma : Finset (↥(ker G) × N)
hkn : (rTensor N (ker G).subtype) (∑ kj ∈ ma, kj.1 ⊗ₜ[R] kj.2) = en
\u22a2 ∃ y, (∀ (i : ι), n i = ∑ j : { x // x ∈ ma }, (match j with | ⟨(kj, snd), property⟩ => ↑kj i) • y j) ∧ ∀ (j : { x // x ∈ ma }), ∑ i : ι, (match j with | ⟨(kj, snd), property⟩ => ↑kj i) • m i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)
exact_ker_subtype : Exact ⇑(ker G).subtype ⇑G
exact_rTensor_ker_subtype : Exact ⇑(rTensor N (ker G).subtype) ⇑(rTensor N G)
ma : Finset (↥(ker G) × N)
hkn : (rTensor N (ker G).subtype) (∑ kj ∈ ma, kj.1 ⊗ₜ[R] kj.2) = en
\u22a2 (∀ (i : ι), n i = ∑ j : { x // x ∈ ma }, (match j with | ⟨(kj, snd), property⟩ => ↑kj i) • match j with | ⟨(fst, yj), property⟩ => yj) ∧ ∀ (j : { x // x ∈ ma }), ∑ i : ι, (match j with | ⟨(kj, snd), property⟩ => ↑kj i) • m i = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
inst✝ : Nonempty β
a b : α
\u22a2 (dist (fun x => a) fun x => b) = dist a b
-- Mathlib/Algebra/Group/Fin/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
\u22a2 -↑n = 1
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u : Set α
p : Prop
inst✝ : Decidable p
t : ¬p → Set α
x : α
\u22a2 (x ∈ if h : p then ∅ else t h) ↔ ∃ (h : ¬p), x ∈ t h
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u : Set α
p : Prop
inst✝ : Decidable p
t : ¬p → Set α
x : α
\u22a2 (¬p ∧ ∀ (h : ¬p), x ∈ t h) ↔ ∃ (h : ¬p), x ∈ t h
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
a b : ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
\u22a2 a * b ≤ a ^ p / p.toNNReal + b ^ q / q.toNNReal
-- Mathlib/Algebra/Group/Support.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝³ : One M
inst✝² : One N
inst✝¹ : One P
inst✝ : DecidableEq α
f : α → M
x a : α
\u22a2 a ∈ mulSupport (update f x 1) ↔ a ∈ mulSupport f \ {x}
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ℕ
hkmn : m * (k + 1) ≤ n
\u22a2 IsAddFreimanIso m (Iio ↑(k + 1)) (Iio (k + 1)) val
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ℕ
hkmn : m * (k + 1) ≤ n
hkmn' : m * k ≤ n
\u22a2 IsAddFreimanIso m (Iio ↑(k + 1)) (Iio (k + 1)) val
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ℕ
hkmn : m * (k + 1) ≤ n
hkmn' : m * k ≤ n
x : Fin (n + 1)
\u22a2 x ∈ Iio ↑(k + 1) ↔ x ∈ Iic ↑k
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ℕ
hkmn : m * (k + 1) ≤ n
hkmn' : m * k ≤ n
x : ℕ
\u22a2 x ∈ Iio (k + 1) ↔ x ∈ Iic k
-- Mathlib/Algebra/Group/AddChar.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommMonoid M
ψ : AddChar R M
x✝ : R
\u22a2 (ψ.mulShift 0) x✝ = 1 x✝
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/InnerDual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
x : H
x✝ : x ∈ s
\u22a2 0 ≤ ⟪x, 0⟫_ℝ
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Karoubi.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.37256, u_1} C
P : Karoubi C
\u22a2 P.p = P.p ≫ P.p ≫ { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ }.p
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Rat.lean
m : ℤ
\u22a2 ‖↑m‖ = ‖m‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Rat.lean
m : ℤ
\u22a2 ‖↑↑m‖ = ‖↑m‖
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
x : ℕ × ℕ
\u22a2 x ∈ n.divisorsAntidiagonal ↔ x.1 * x.2 = n ∧ n ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
x : ℕ × ℕ
\u22a2 ((1 ≤ x.1 ∧ x.1 < n + 1) ∧ 1 ≤ x.2 ∧ x.2 < n + 1) ∧ x.1 * x.2 = n ↔ x.1 * x.2 = n ∧ ¬n = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
x : ℕ × ℕ
\u22a2 x.1 * x.2 = n ∧ (1 ≤ x.1 ∧ x.1 < n + 1) ∧ 1 ≤ x.2 ∧ x.2 < n + 1 ↔ x.1 * x.2 = n ∧ ¬n = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
x : ℕ × ℕ
\u22a2 x.1 * x.2 = n → ((1 ≤ x.1 ∧ x.1 < n + 1) ∧ 1 ≤ x.2 ∧ x.2 < n + 1 ↔ ¬n = 0)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Opposite.lean
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.20862, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex Vᵒᵖ c
i j : ι
hij : ¬c.symm.Rel i j
\u22a2 (X.d j i).unop = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Opposite.lean
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.20862, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex Vᵒᵖ c
x✝⁴ x✝³ x✝² : ι
x✝¹ : c.symm.Rel x✝⁴ x✝³
x✝ : c.symm.Rel x✝³ x✝²
\u22a2 (fun i j => (X.d j i).unop) x✝⁴ x✝³ ≫ (fun i j => (X.d j i).unop) x✝³ x✝² = 0
-- Mathlib/NumberTheory/MaricaSchoenheim.lean
n : ℕ
f : ℕ → ℕ
hf' : ∀ k < n, Squarefree (f k)
hn : n ≠ 0
hf : StrictMonoOn f (Set.Iio n)
\u22a2 ∃ i < n, ∃ j < n, (f i).gcd (f j) * n ≤ f i
-- Mathlib/NumberTheory/MaricaSchoenheim.lean
n : ℕ
f : ℕ → ℕ
hf' : ∀ k < n, Squarefree (f k)
hn : n ≠ 0
hf : StrictMonoOn f (Set.Iio n)
this : ∀ i < n, ∀ j < n, f i < (f i).gcd (f j) * n
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/MaricaSchoenheim.lean
n : ℕ
f : ℕ → ℕ
hf' : ∀ k < n, Squarefree (f k)
hn : n ≠ 0
hf : StrictMonoOn f (Set.Iio n)
this : ∀ i < n, ∀ j < n, f i < (f i).gcd (f j) * n
𝒜 : Finset (Finset ℕ) := image (fun n => (f n).primeFactors) (Iio n)
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/MaricaSchoenheim.lean
n : ℕ
f : ℕ → ℕ
hf' : ∀ k < n, Squarefree (f k)
hn : n ≠ 0
hf : StrictMonoOn f (Set.Iio n)
this : ∀ i < n, ∀ j < n, f i < (f i).gcd (f j) * n
𝒜 : Finset (Finset ℕ) := image (fun n => (f n).primeFactors) (Iio n)
hf'' : ∀ i < n, ∀ (j : ℕ), Squarefree (f i / (f i).gcd (f j))
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/MaricaSchoenheim.lean
n : ℕ
f : ℕ → ℕ
hf' : ∀ k < n, Squarefree (f k)
hn : n ≠ 0
hf : StrictMonoOn f (Set.Iio n)
this : ∀ i < n, ∀ j < n, f i < (f i).gcd (f j) * n
𝒜 : Finset (Finset ℕ) := image (fun n => (f n).primeFactors) (Iio n)
hf'' : ∀ i < n, ∀ (j : ℕ), Squarefree (f i / (f i).gcd (f j))
\u22a2 n < n
-- Mathlib/NumberTheory/MaricaSchoenheim.lean
n : ℕ
f : ℕ → ℕ
hf' : ∀ k < n, Squarefree (f k)
hn : n ≠ 0
hf : StrictMonoOn f (Set.Iio n)
this : ∀ i < n, ∀ j < n, f i < (f i).gcd (f j) * n
𝒜 : Finset (Finset ℕ) := image (fun n => (f n).primeFactors) (Iio n)
hf'' : ∀ i < n, ∀ (j : ℕ), Squarefree (f i / (f i).gcd (f j))
\u22a2 n = 𝒜.card
-- Mathlib/NumberTheory/MaricaSchoenheim.lean
n : ℕ
f : ℕ → ℕ
hf' : ∀ k < n, Squarefree (f k)
hn : n ≠ 0
hf : StrictMonoOn f (Set.Iio n)
this : ∀ i < n, ∀ j < n, f i < (f i).gcd (f j) * n
𝒜 : Finset (Finset ℕ) := image (fun n => (f n).primeFactors) (Iio n)
hf'' : ∀ i < n, ∀ (j : ℕ), Squarefree (f i / (f i).gcd (f j))
\u22a2 ∀ a ∈ 𝒜 \\ 𝒜, (fun s => ∏ p ∈ s, p) a ∈ Ioo 0 n
-- Mathlib/NumberTheory/MaricaSchoenheim.lean
n : ℕ
f : ℕ → ℕ
hf' : ∀ k < n, Squarefree (f k)
hn : n ≠ 0
hf : StrictMonoOn f (Set.Iio n)
this : ∀ i < n, ∀ j < n, f i < (f i).gcd (f j) * n
𝒜 : Finset (Finset ℕ) := image (fun n => (f n).primeFactors) (Iio n)
hf'' : ∀ i < n, ∀ (j : ℕ), Squarefree (f i / (f i).gcd (f j))
\u22a2 Set.InjOn (fun s => ∏ p ∈ s, p) ↑(𝒜 \\ 𝒜)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Basic.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : α → β
hf : Surjective f
x : 𝕎 β
n : ℕ
\u22a2 (mapFun f (mk p fun n => Classical.choose ⋯)).coeff n = x.coeff n
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
\u22a2 @ofFn = @ofFnTR
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
n : Nat
f : Fin n → α
\u22a2 ofFn f = ofFnTR f
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
n : Nat
f : Fin n → α
\u22a2 ofFn f = ofFnTR.go f n ⋯ []
-- Mathlib/Control/Traversable/Lemmas.lean
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g✝ : α → F β
h : β → G γ
f✝ : β → γ
x✝ : t β
f : β → F γ
g : α → β
x : t α
\u22a2 traverse f (g <$> x) = traverse (f ∘ g) x
-- Mathlib/Control/Traversable/Lemmas.lean
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g✝ : α → F β
h : β → G γ
f✝ : β → γ
x✝ : t β
f : β → F γ
g : α → β
x : t α
\u22a2 traverse f (traverse (pure ∘ g) x) = traverse (f ∘ g) x
-- Mathlib/Control/Traversable/Lemmas.lean
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g✝ : α → F β
h : β → G γ
f✝ : β → γ
x✝ : t β
f : β → F γ
g : α → β
x : t α
\u22a2 traverse (Comp.mk ∘ map f ∘ pure ∘ g) x = traverse (f ∘ g) x
-- Mathlib/Control/Traversable/Lemmas.lean
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g✝ : α → F β
h : β → G γ
f✝ : β → γ
x✝ : t β
f : β → F γ
g : α → β
x : t α
\u22a2 Comp.instApplicativeComp = inst✝³
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A✝ : Rep k G✝
G : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : MulAction G A
f : G × G → A
hf : IsTwoCocycle f
g : G
this : f (g * g⁻¹, g) + f (g, g⁻¹) = g • f (g⁻¹, g) + f (g, g⁻¹ * g)
\u22a2 g • f (g⁻¹, g) - f (g, g⁻¹) = f (1, 1) - f (g, 1)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A✝ : Rep k G✝
G : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : MulAction G A
f : G × G → A
hf : IsTwoCocycle f
g : G
this : f (1, 1) + f (g, g⁻¹) = g • f (g⁻¹, g) + f (g, 1)
\u22a2 g • f (g⁻¹, g) - f (g, g⁻¹) = f (1, 1) - f (g, 1)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
n : ℕ
\u22a2 succ ↑n ≤ ℵ₀
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
n : ℕ
\u22a2 Nonempty (Fin n.succ ↪ ℕ)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
\u22a2 o.oangle y ((o.rotation (o.oangle x y)) x) = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
\u22a2 -o.oangle ((o.rotation (o.oangle x y)) x) y = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Central.lean
n : ℕ
x✝ : 0 < n + 4
\u22a2 (n + 4) * (n + 4).centralBinom ≤ 2 * (n + 4) * (n + 4).centralBinom
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Central.lean
n : ℕ
x✝ : 0 < n + 4
\u22a2 (n + 4) * (n + 4).centralBinom ≤ 2 * ((n + 4) * (n + 4).centralBinom)