ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹² : TopologicalSpace α
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : BorelSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ₂
inst✝² : MeasurableSpace γ₂
inst✝¹ : BorelSpace γ₂
inst✝ : MeasurableSpace δ
f : δ → γ
hf : ∀ (s : Set γ), IsClosed s → s.Nonempty → s ≠ univ → MeasurableSet (f ⁻¹' s)
\u22a2 ∀ (s : Set γ), IsClosed s → MeasurableSet (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝¹² : TopologicalSpace α
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : BorelSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ₂
inst✝² : MeasurableSpace γ₂
inst✝¹ : BorelSpace γ₂
inst✝ : MeasurableSpace δ
f : δ → γ
hf : ∀ (s : Set γ), IsClosed s → s.Nonempty → s ≠ univ → MeasurableSet (f ⁻¹' s)
s : Set γ
hs : IsClosed s
\u22a2 MeasurableSet (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝¹² : TopologicalSpace α
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : BorelSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ₂
inst✝² : MeasurableSpace γ₂
inst✝¹ : BorelSpace γ₂
inst✝ : MeasurableSpace δ
f : δ → γ
hf : ∀ (s : Set γ), IsClosed s → s.Nonempty → s ≠ univ → MeasurableSet (f ⁻¹' s)
s : Set γ
hs : IsClosed s
h1 : s = ∅
\u22a2 MeasurableSet (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝¹² : TopologicalSpace α
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : BorelSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ₂
inst✝² : MeasurableSpace γ₂
inst✝¹ : BorelSpace γ₂
inst✝ : MeasurableSpace δ
f : δ → γ
hf : ∀ (s : Set γ), IsClosed s → s.Nonempty → s ≠ univ → MeasurableSet (f ⁻¹' s)
s : Set γ
hs : IsClosed s
h1 : s.Nonempty
\u22a2 MeasurableSet (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
p : α → Prop
x✝ : DecidablePred p
h : ∀ i ∈ s, ¬p i
f : (i : α) → p i → β
g : (i : α) → ¬p i → β
\u22a2 (∏ i ∈ s, if hi : p i then f i hi else g i hi) = ∏ i : { x // x ∈ s }, g ↑i ⋯
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
s : Finset β
f : β → L.BoundedFormula α n
v : α → M
v' : Fin n → M
\u22a2 (iInf s f).Realize v v' ↔ ∀ b ∈ s, (f b).Realize v v'
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n : ℕ
p q : ℕ → Prop
n✝ : ℕ
\u22a2 (m + n) % (n✝ + 1) = if n✝ + 1 ≤ m % (n✝ + 1) + n % (n✝ + 1) then m % (n✝ + 1) + n % (n✝ + 1) - (n✝ + 1) else m % (n✝ + 1) + n % (n✝ + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n : ℕ
p q : ℕ → Prop
n✝ : ℕ
\u22a2 (m % (n✝ + 1) + n % (n✝ + 1)) % (n✝ + 1) = if n✝ + 1 ≤ m % (n✝ + 1) + n % (n✝ + 1) then m % (n✝ + 1) + n % (n✝ + 1) - (n✝ + 1) else m % (n✝ + 1) + n % (n✝ + 1)
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ
\u22a2 w.im * (1 - rexp (-dist z w)) = dist ↑z ↑(w.center (dist z w)) - dist ↑w ↑(w.center (dist z w))
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ
\u22a2 w.im * (1 - (Real.cosh (dist z w) - Real.sinh (dist z w))) = w.im * Real.sinh (dist z w) - w.im * (Real.cosh (dist z w) - 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/NullMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ t : Set α
htm : MeasurableSet t
hst : s =ᶠ[ae μ] t
\u22a2 ∃ t ⊇ s, MeasurableSet t ∧ t =ᶠ[ae μ] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/NullMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ t : Set α
htm : MeasurableSet t
hst : s =ᶠ[ae μ] t
\u22a2 t ∪ toMeasurable μ (s \ t) ⊇ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/NullMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ t : Set α
htm : MeasurableSet t
hst : s =ᶠ[ae μ] t
\u22a2 t ∪ toMeasurable μ (s \ t) =ᶠ[ae μ] s
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s : Set α
t : Set β
\u22a2 f '' (s ∩ f ⁻¹' t) = f '' s ∩ t
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s : Set α
t : Set β
\u22a2 f '' (s ∩ f ⁻¹' t) ⊆ f '' s ∩ t
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s : Set α
t : Set β
\u22a2 f '' s ∩ t ⊆ f '' (s ∩ f ⁻¹' t)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : Mul α
inst✝² : Mul α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : MulHomClass F α α₂
f : F
x y : MonoidAlgebra β α
\u22a2 mapDomain (⇑f) (x * y) = mapDomain (⇑f) x * mapDomain (⇑f) y
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : Mul α
inst✝² : Mul α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : MulHomClass F α α₂
f : F
x y : MonoidAlgebra β α
\u22a2 (sum x fun a b => sum y fun a_1 b_1 => Finsupp.single (f a * f a_1) (b * b_1)) = sum (mapDomain (⇑f) x) fun a₁ b₁ => sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (a₁ * a₂) (b₁ * b₂)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : Mul α
inst✝² : Mul α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : MulHomClass F α α₂
f : F
x y : MonoidAlgebra β α
\u22a2 (sum x fun a b => sum y fun a_1 b_1 => Finsupp.single (f a * f a_1) (b * b_1)) = sum x fun a m => sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (f a * a₂) (m * b₂)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : Mul α
inst✝² : Mul α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : MulHomClass F α α₂
f : F
x y : MonoidAlgebra β α
\u22a2 ∀ (b : α₂), (sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (b * a₂) (0 * b₂)) = 0
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : Mul α
inst✝² : Mul α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : MulHomClass F α α₂
f : F
x y : MonoidAlgebra β α
\u22a2 ∀ (b : α₂) (m₁ m₂ : β), (sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (b * a₂) ((m₁ + m₂) * b₂)) = (sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (b * a₂) (m₁ * b₂)) + sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (b * a₂) (m₂ * b₂)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s✝ t : Set E
x✝ y x : E
s : Set E
\u22a2 infEdist x⁻¹ s = infEdist x s⁻¹
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
hne : a ≠ b
\u22a2 {a, b} \ {b} = {a}
-- Mathlib/Data/Finset/Grade.lean
α : Type u_1
s✝ t : Finset α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
a : α
\u22a2 s.erase a ⩿ s
-- Mathlib/Testing/SlimCheck/Functions.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Sort w
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
x : α
h : x ∉ xs
\u22a2 (dlookup x (map Prod.toSigma (xs.zip ys))).getD x = x
-- Mathlib/Testing/SlimCheck/Functions.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Sort w
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
x : α
h : x ∉ xs
\u22a2 none.getD x = x
-- Mathlib/Testing/SlimCheck/Functions.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Sort w
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
x : α
h : x ∉ xs
\u22a2 x ∉ (map Prod.toSigma (xs.zip ys)).keys
-- Mathlib/Testing/SlimCheck/Functions.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Sort w
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
x : α
h : x ∉ xs
\u22a2 ∀ (x_1 : α), (x, x_1) ∉ xs.zip ys
-- Mathlib/Testing/SlimCheck/Functions.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Sort w
inst✝ : DecidableEq α
xs ys : List α
x : α
h : x ∉ xs
y : α
hy : (x, y) ∈ xs.zip ys
\u22a2 False
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Pow.lean
a b c : ℕ
h1 : a.pow b = c
\u22a2 a.pow (2 * b) = c.mul c
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
n : ℤ
\u22a2 count K v (↑v.asIdeal ^ n) = n
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
\u22a2 𝓟 (Icc (⊤ - 1) (⊤ + 1)) ≤ 𝓝 ⊤
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f : α → β
a : α
s : Finset α
ha : a ∈ s
\u22a2 f a ∣ ∏ i ∈ s, f i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V
\u22a2 dualCoannihilator ⊤ = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/DualLattice.lean
R : Type u_1
S : Type u_3
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field S
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
N₁ N₂ : Submodule R M
\u22a2 (∀ x ∈ N₁, x ∈ B.flip.dualSubmodule N₂) ↔ ∀ x ∈ N₂, x ∈ B.dualSubmodule N₁
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/DualLattice.lean
R : Type u_1
S : Type u_3
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field S
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
N₁ N₂ : Submodule R M
\u22a2 (∀ x ∈ N₁, ∀ y ∈ N₂, ∃ y_1, (algebraMap R S) y_1 = (B y) x) ↔ ∀ x ∈ N₂, ∀ y ∈ N₁, ∃ y_1, (algebraMap R S) y_1 = (B x) y
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
hG : IsDetector G
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (h : G ⟶ Y), ∃! h', h' ≫ f = h
H : C
hH : H ∈ {G}
h : H ⟶ Y
\u22a2 ∃! h', h' ≫ f = h
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f : X ⟶ Y
H : C
h : H ⟶ Y
hG : IsDetector H
hf : ∀ (h : H ⟶ Y), ∃! h', h' ≫ f = h
hH : H ∈ {H}
\u22a2 ∃! h', h' ≫ f = h
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
\u22a2 derivative (p ^ 2) = C 2 * p * derivative p
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
S : Profinite
\u22a2 ClosedEmbedding (ι S)
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
S : Profinite
\u22a2 Continuous (ι S)
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
S : Profinite
\u22a2 Function.Injective (ι S)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Images.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
G✝ H✝ : ModuleCat R
f✝ : G✝ ⟶ H✝
G H : ModuleCat R
f : G ⟶ H
\u22a2 (imageIsoRange f).hom ≫ ofHom (LinearMap.range f).subtype = Limits.image.ι f
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalPreadditive C
W X Y Z : C
f : Y ⟶ Z
\u22a2 0 ⊗ f = 0
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x : PGame
\u22a2 0 ⧏ -x ↔ x ⧏ 0
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Limits.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
S S' : C
f : S' ⟶ S
X Y : Over S
g : X ⟶ Y
H : P g.left
\u22a2 P ((Over.pullback f).map g).left
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Limits.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
S S' : C
f : S' ⟶ S
X Y : Over S
g : X ⟶ Y
H : P g.left
this : P.RespectsIso
\u22a2 P ((Over.pullback f).map g).left
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Limits.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
S S' : C
f : S' ⟶ S
X Y : Over S
g : X ⟶ Y
H : P g.left
this : P.RespectsIso
e : pullback g.left (pullback.fst Y.hom f) ≅ pullback X.hom f := pullbackRightPullbackFstIso Y.hom f g.left ≪≫ pullback.congrHom ⋯ ⋯
\u22a2 P ((Over.pullback f).map g).left
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Limits.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
S S' : C
f : S' ⟶ S
X Y : Over S
g : X ⟶ Y
H : P g.left
this✝ : P.RespectsIso
e : pullback g.left (pullback.fst Y.hom f) ≅ pullback X.hom f := pullbackRightPullbackFstIso Y.hom f g.left ≪≫ pullback.congrHom ⋯ ⋯
this : e.inv ≫ pullback.snd g.left (pullback.fst Y.hom f) = ((Over.pullback f).map g).left
\u22a2 P ((Over.pullback f).map g).left
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Limits.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
S S' : C
f : S' ⟶ S
X Y : Over S
g : X ⟶ Y
H : P g.left
this✝ : P.RespectsIso
e : pullback g.left (pullback.fst Y.hom f) ≅ pullback X.hom f := pullbackRightPullbackFstIso Y.hom f g.left ≪≫ pullback.congrHom ⋯ ⋯
this : e.inv ≫ pullback.snd g.left (pullback.fst Y.hom f) = ((Over.pullback f).map g).left
\u22a2 P (pullback.snd g.left (pullback.fst Y.hom f))
-- Mathlib/GroupTheory/Torsion.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : Group G
hN : Nontrivial G
tfG : IsTorsionFree G
\u22a2 ∃ g, ¬IsOfFinOrder g
-- Mathlib/GroupTheory/Torsion.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : Group G
hN : Nontrivial G
tfG : IsTorsionFree G
x : G
hx : x ≠ 1
\u22a2 ∃ g, ¬IsOfFinOrder g
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
X : C
\u22a2 (ρ_ (F.obj X)).inv ≫ F.obj X ◁ F.ε ≫ F.μ X (𝟙_ C) = F.map (ρ_ X).inv
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Embedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g✝ : β → α
g : ↑(range f) → α
hf₁ : Measurable f
hf₂ : MeasurableSet (range f)
hg : Measurable g
H : LeftInverse g (rangeFactorization f)
\u22a2 MeasurableEmbedding f
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Embedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g✝ : β → α
g : ↑(range f) → α
hf₁ : Measurable f
hf₂ : MeasurableSet (range f)
hg : Measurable g
H : LeftInverse g (rangeFactorization f)
e : α ≃ᵐ ↑(range f) := { toFun := rangeFactorization f, invFun := g, left_inv := H, right_inv := ⋯, measurable_toFun := ⋯, measurable_invFun := hg }
\u22a2 MeasurableEmbedding f
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne α
m n : PosNum
\u22a2 ↑(m + n) = ↑m + ↑n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
\u22a2 (toLin v₁ v₂) ((toMatrix v₁ v₂) f) = f
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
inst✝⁴ : Fintype ↑G.edgeSet
inst✝³ : Fintype ↑G₁.edgeSet
inst✝² : Fintype ↑G₂.edgeSet
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableEq V
\u22a2 ⊤.edgeFinset = filter (fun e => ¬e.IsDiag) univ
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
inst✝⁴ : Fintype ↑G.edgeSet
inst✝³ : Fintype ↑G₁.edgeSet
inst✝² : Fintype ↑G₂.edgeSet
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableEq V
\u22a2 ↑⊤.edgeFinset = ↑(filter (fun e => ¬e.IsDiag) univ)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ
\u22a2 ↑(I.splitLower i x) = ↑I ∩ {y | y i ≤ x}
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ
\u22a2 (univ.pi fun i_1 => Ioc (I.lower i_1) (update I.upper i (min x (I.upper i)) i_1)) = ↑I ∩ {y | y i ≤ x}
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
y✝ y : ι → ℝ
\u22a2 (y ∈ univ.pi fun i_1 => Ioc (I.lower i_1) (update I.upper i (min x (I.upper i)) i_1)) ↔ y ∈ ↑I ∩ {y | y i ≤ x}
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
y✝ y : ι → ℝ
\u22a2 (∀ (x : ι), I.lower x < y x) ∧ y i ≤ x ∧ y ≤ I.upper ↔ (∀ (x : ι), I.lower x < y x) ∧ y ≤ I.upper ∧ y i ≤ x
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R
p : (x : R) → x ∈ closure s → Prop
mem : ∀ (x : R) (h : x ∈ s), p x ⋯
zero : p 0 ⋯
one : p 1 ⋯
add : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
mul : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
a : R
ha : a ∈ closure s
\u22a2 p a ha
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R
p : (x : R) → x ∈ closure s → Prop
mem : ∀ (x : R) (h : x ∈ s), p x ⋯
zero : p 0 ⋯
one : p 1 ⋯
add : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
mul : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
a : R
ha : a ∈ closure s
\u22a2 ∃ (x : a ∈ closure s), p a x
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R
p : (x : R) → x ∈ closure s → Prop
mem : ∀ (x : R) (h : x ∈ s), p x ⋯
zero : p 0 ⋯
one : p 1 ⋯
add : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
mul : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
a : R
ha : a ∈ closure s
\u22a2 ∀ (x y : R), (∃ (x_1 : x ∈ closure s), p x x_1) → (∃ (x : y ∈ closure s), p y x) → ∃ (x_1 : x + y ∈ closure s), p (x + y) x_1
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R
p : (x : R) → x ∈ closure s → Prop
mem : ∀ (x : R) (h : x ∈ s), p x ⋯
zero : p 0 ⋯
one : p 1 ⋯
add : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
mul : ∀ (x : R) (hx : x ∈ closure s) (y : R) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
a : R
ha : a ∈ closure s
\u22a2 ∀ (x y : R), (∃ (x_1 : x ∈ closure s), p x x_1) → (∃ (x : y ∈ closure s), p y x) → ∃ (x_1 : x * y ∈ closure s), p (x * y) x_1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s : Set M
f g : F
\u22a2 Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑(span R s) ↔ Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s : Set M
f g : F
\u22a2 s ⊆ ↑(eqLocus f g) ↔ Set.EqOn (⇑f) (⇑g) s
-- Mathlib/Algebra/Ring/CompTypeclasses.lean
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R₁
inst✝⁴ : Semiring R₂
inst✝³ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ : R₁ →+* R₂
σ' : R₂ →+* R₁
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomSurjective σ₁₂
inst✝ : RingHomSurjective σ₂₃
\u22a2 Function.Surjective ⇑σ₁₃
-- Mathlib/Algebra/Ring/CompTypeclasses.lean
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R₁
inst✝⁴ : Semiring R₂
inst✝³ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ : R₁ →+* R₂
σ' : R₂ →+* R₁
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : RingHomSurjective σ₁₂
inst✝ : RingHomSurjective σ₂₃
this : Function.Surjective (⇑σ₂₃ ∘ ⇑σ₁₂)
\u22a2 Function.Surjective ⇑σ₁₃
-- Mathlib/Probability/Density.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ
f : E → F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
\u22a2 ∫ (x : E), (pdf X ℙ μ x).toReal • f x ∂μ = ∫ (x : Ω), f (X x) ∂ℙ
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnected.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ↪o β
he : (range ⇑e).OrdConnected
x y : α
\u22a2 ⇑e '' Ioc x y = Ioc (e x) (e y)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : Filter α
u : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
ha : a ≠ ⊤
\u22a2 Tendsto u f (𝓝 a) ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in f, u x ∈ Icc (a - ε) (a + ε)
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
o : α → Option β
f : α → σ
g : α → β →. σ
ho : Computable o
hf : Computable f
hg : Partrec₂ g
this : Partrec fun a => Nat.casesOn (encode (o a)) (Part.some (f a)) fun n => (↑(decode n)).bind (g a)
a : α
\u22a2 (Nat.casesOn (encode (o a)) (Part.some (f a)) fun n => (↑(decode n)).bind (g a)) = Option.casesOn (o a) (Part.some (f a)) (g a)
-- Mathlib/Testing/SlimCheck/Functions.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Sort w
inst✝ : DecidableEq α
xs : List ((_ : α) × α)
hperm : map Sigma.fst xs ~ map Sigma.snd xs
hnodup : (map Sigma.snd xs).Nodup
xs₀ : List α
h₀ : map Sigma.fst xs = xs₀
xs₁ : List α
h₁ : map Sigma.snd xs = xs₁
\u22a2 Injective (mapToSelf xs hperm hnodup).apply
-- Mathlib/Testing/SlimCheck/Functions.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Sort w
inst✝ : DecidableEq α
xs : List ((_ : α) × α)
hperm : map Sigma.fst xs ~ map Sigma.snd xs
hnodup : (map Sigma.snd xs).Nodup
xs₀ : List α
h₀ : map Sigma.fst xs = xs₀
xs₁ : List α
h₁ : map Sigma.snd xs = xs₁
hxs : xs = List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁)
\u22a2 Injective (mapToSelf xs hperm hnodup).apply
-- Mathlib/Testing/SlimCheck/Functions.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Sort w
inst✝ : DecidableEq α
xs : List ((_ : α) × α)
xs₀ : List α
h₀ : map Sigma.fst xs = xs₀
xs₁ : List α
h₁ : map Sigma.snd xs = xs₁
hxs : xs = List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁)
hperm : map Sigma.fst (List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁)) ~ map Sigma.snd (List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁))
hnodup : (map Sigma.snd (List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁))).Nodup
\u22a2 Injective (mapToSelf (List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁)) hperm hnodup).apply