ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Bounds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
\u22a2 (↑(suffixLevenshtein C xs ys)).minimum ≤ (↑(suffixLevenshtein C xs (y :: ys))).minimum
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Bounds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
\u22a2 ∀ (a : δ), a ∈ ↑(suffixLevenshtein C xs (y :: ys)) → (↑(suffixLevenshtein C xs ys)).minimum ≤ ↑a
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Bounds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
\u22a2 ∀ (a : δ), a ∈ List.map (fun xs' => levenshtein C xs' (y :: ys)) xs.tails → (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ ↑a
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Bounds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
\u22a2 ∀ (a : List α), a <:+ xs → (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ ↑(levenshtein C a (y :: ys))
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Bounds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
a : List α
suff : a <:+ xs
\u22a2 (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ ↑(levenshtein C a (y :: ys))
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Bounds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
a : List α
suff : a <:+ xs
\u22a2 (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ (↑(suffixLevenshtein C a ys)).minimum
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Bounds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
a : List α
suff : a <:+ xs
\u22a2 (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) a.tails).minimum
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Bounds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
a : List α
suff : a <:+ xs
\u22a2 ∀ (a_1 : δ), a_1 ∈ List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) a.tails → (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ ↑a_1
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Bounds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
a : List α
suff : a <:+ xs
a' : List α
suff' : a' <:+ a
\u22a2 (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ ↑(levenshtein C a' ys)
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Bounds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
a : List α
suff : a <:+ xs
a' : List α
suff' : a' <:+ a
\u22a2 levenshtein C a' ys ∈ List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Bounds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
a : List α
suff : a <:+ xs
a' : List α
suff' : a' <:+ a
\u22a2 ∃ a, a <:+ xs ∧ levenshtein C a ys = levenshtein C a' ys
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
s : R
n : ℕ
ih : span {s} ^ n = span {s ^ n}
\u22a2 span {s} ^ (n + 1) = span {s ^ (n + 1)}
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ i ∈ s, i ≠ a → i ≠ b → (f i).IsPrime
I : Ideal R
this : ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → ∃ i ∈ s, I ≤ f i
\u22a2 ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) ↔ ∃ i ∈ s, I ≤ f i
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ i ∈ s, i ≠ a → i ≠ b → (f i).IsPrime
I : Ideal R
this : ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → ∃ i ∈ s, I ≤ f i
aux : ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → ∃ x, ∃ (_ : x ∈ s), I ≤ f x
\u22a2 ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) ↔ ∃ i ∈ s, I ≤ f i
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ i ∈ s, i ≠ a → i ≠ b → (f i).IsPrime
I : Ideal R
this aux : ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → ∃ x ∈ s, I ≤ f x
\u22a2 ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) ↔ ∃ i ∈ s, I ≤ f i
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ i ∈ s, i ≠ a → i ≠ b → (f i).IsPrime
I : Ideal R
this aux : ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → ∃ x ∈ s, I ≤ f x
x✝ : ∃ i ∈ s, I ≤ f i
i : ι
his : i ∈ s
hi : I ≤ f i
\u22a2 ↑(f i) ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i)
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
A : Fintype ↑∅ := Fintype.ofIsEmpty
\u22a2 s.toFinset = ∅ ↔ s = ∅
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDedekindDomain B
L✝ : Ideal B
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝² : DecidableEq (Ideal A)
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hI : I ≠ ⊥
hJ : J ≠ ⊥
L : Ideal R
hL : L ∈ normalizedFactors I
\u22a2 multiplicity (↑((normalizedFactorsEquivOfQuotEquiv f hI hJ) ⟨L, hL⟩)) J = multiplicity L I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDedekindDomain B
L✝ : Ideal B
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝² : DecidableEq (Ideal A)
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hI : I ≠ ⊥
hJ : J ≠ ⊥
L : Ideal R
hL : L ∈ normalizedFactors I
\u22a2 multiplicity (↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f) ⟨↑⟨L, hL⟩, ⋯⟩)) J = multiplicity L I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDedekindDomain B
L✝ : Ideal B
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝² : DecidableEq (Ideal A)
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hI : I ≠ ⊥
hJ : J ≠ ⊥
L : Ideal R
hL : L ∈ normalizedFactors I
\u22a2 ∀ (l l' : { l // l ∣ I }), ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv l) ∣ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
\u22a2 U R (-n - 1) = -U R (n - 1)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
\u22a2 Set.uIcc a c ⊆ Set.uIcc a b ∪ Set.uIcc b c
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hR : IsJacobson R
\u22a2 IsJacobson S
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hR : IsJacobson R
\u22a2 ∀ (P : Ideal S), P.IsPrime → P.jacobson = P
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α'
inst✝⁹ : MeasurableSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β'
inst✝⁷ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SFinite ν
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
L : Type u_8
inst✝ : _root_.RCLike L
f : α → L
g : β → L
s : Set α
t : Set β
\u22a2 ∫ (z : α × β) in s ×ˢ t, f z.1 * g z.2 ∂μ.prod ν = (∫ (x : α) in s, f x ∂μ) * ∫ (y : β) in t, g y ∂ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α'
inst✝⁹ : MeasurableSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β'
inst✝⁷ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SFinite ν
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
L : Type u_8
inst✝ : _root_.RCLike L
f : α → L
g : β → L
s : Set α
t : Set β
\u22a2 ∫ (z : α × β), f z.1 * g z.2 ∂(μ.restrict s).prod (ν.restrict t) = (∫ (x : α) in s, f x ∂μ) * ∫ (y : β) in t, g y ∂ν
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N✝ : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N✝
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N✝
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N✝
g : N✝ →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
N : Submodule R M
\u22a2 ker (rTensor Q N.mkQ) = range (rTensor Q N.subtype)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N✝ : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N✝
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N✝
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N✝
g : N✝ →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
N : Submodule R M
\u22a2 Exact ⇑(rTensor Q N.subtype) ⇑(rTensor Q N.mkQ)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Prod.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : Module R N₂
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Preorder P
inst✝ : CovariantClass P P (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
\u22a2 (∀ (x : M₁ × M₂), 0 ≤ (Q₁.prod Q₂) x) ↔ (∀ (x : M₁), 0 ≤ Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ Q₂ x
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Prod.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : Module R N₂
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Preorder P
inst✝ : CovariantClass P P (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
\u22a2 (∀ (a : M₁) (b : M₂), 0 ≤ Q₁ a + Q₂ b) ↔ (∀ (x : M₁), 0 ≤ Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ Q₂ x
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
\u22a2 T ⊨ᵇ φ ↔ ¬(T ∪ {Formula.not φ}).IsSatisfiable
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
\u22a2 (∀ (M : T.ModelType), ↑M ⊨ φ) ↔ ¬Nonempty (T ∪ {Formula.not φ}).ModelType
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
h : ¬Nonempty (T ∪ {Formula.not φ}).ModelType
M : T.ModelType
\u22a2 ↑M ⊨ φ
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
M : T.ModelType
h : ¬↑M ⊨ φ
\u22a2 Nonempty (T ∪ {Formula.not φ}).ModelType
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
M : T.ModelType
h : ↑M ⊨ Formula.not φ
\u22a2 Nonempty (T ∪ {Formula.not φ}).ModelType
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
M : T.ModelType
h : ↑M ⊨ Formula.not φ
ψ : L.Sentence
hψ : ψ ∈ T ∪ {Formula.not φ}
h' : ψ ∈ {Formula.not φ}
\u22a2 ↑M ⊨ ψ
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
M : T.ModelType
h : ↑M ⊨ Formula.not φ
ψ : L.Sentence
hψ : ψ ∈ T ∪ {Formula.not φ}
h' : ψ ∈ {Formula.not φ}
\u22a2 ↑M ⊨ Formula.not φ
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
\u22a2 multiplicity a b < ⊤ ↔ Finite a b
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
inst✝¹ : Fintype ↑s
inst✝ : Fintype ↑t
\u22a2 s.toFinset ⊂ t.toFinset ↔ s ⊂ t
-- Mathlib/Topology/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β
f : Scott α → Scott β
hf : Continuous' f
\u22a2 _root_.Continuous f
-- Mathlib/Topology/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β
f : Scott α → Scott β
hf : Continuous' f
\u22a2 ∀ (s : Set (Scott β)), IsOpen s → IsOpen (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β
f : Scott α → Scott β
s : Set (Scott β)
hs : Monotone fun x => x ∈ s
hs' : OmegaCompletePartialOrder.Continuous { toFun := fun x => x ∈ s, monotone' := hs }
hf : Monotone f
hf' : OmegaCompletePartialOrder.Continuous { toFun := f, monotone' := hf }
\u22a2 Continuous' (s ∘ f)
-- Mathlib/Topology/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β
f : Scott α → Scott β
s : Set (Scott β)
hs : Monotone fun x => x ∈ s
hs' : OmegaCompletePartialOrder.Continuous { toFun := fun x => x ∈ s, monotone' := hs }
hf : Monotone f
hf' : OmegaCompletePartialOrder.Continuous { toFun := f, monotone' := hf }
\u22a2 OmegaCompletePartialOrder.Continuous { toFun := s ∘ f, monotone' := ?intro.intro.hf }
-- Mathlib/Topology/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β
f : Scott α → Scott β
s : Set (Scott β)
hs : Monotone fun x => x ∈ s
hs' : OmegaCompletePartialOrder.Continuous { toFun := fun x => x ∈ s, monotone' := hs }
hf : Monotone f
hf' : OmegaCompletePartialOrder.Continuous { toFun := f, monotone' := hf }
\u22a2 Monotone (s ∘ f)
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝⁵ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsGalois K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)
hK : (primitiveRoots (finrank K L) K).Nonempty
ζ : K
hζ : ζ ∈ primitiveRoots (finrank K L) K
\u22a2 ∃ α, α ^ finrank K L ∈ Set.range ⇑(algebraMap K L) ∧ K⟮α⟯ = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝⁵ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsGalois K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)
hK : (primitiveRoots (finrank K L) K).Nonempty
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (finrank K L)
\u22a2 ∃ α, α ^ finrank K L ∈ Set.range ⇑(algebraMap K L) ∧ K⟮α⟯ = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝⁵ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsGalois K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)
hK : (primitiveRoots (finrank K L) K).Nonempty
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (finrank K L)
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : ∀ (x : L ≃ₐ[K] L), x ∈ Subgroup.zpowers σ
\u22a2 ∃ α, α ^ finrank K L ∈ Set.range ⇑(algebraMap K L) ∧ K⟮α⟯ = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝⁵ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsGalois K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)
hK : (primitiveRoots (finrank K L) K).Nonempty
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (finrank K L)
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : ∀ (x : L ≃ₐ[K] L), x ∈ Subgroup.zpowers σ
hσ' : orderOf σ = Fintype.card (L ≃ₐ[K] L)
\u22a2 ∃ α, α ^ finrank K L ∈ Set.range ⇑(algebraMap K L) ∧ K⟮α⟯ = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝⁵ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsGalois K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)
hK : (primitiveRoots (finrank K L) K).Nonempty
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (finrank K L)
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : ∀ (x : L ≃ₐ[K] L), x ∈ Subgroup.zpowers σ
hσ' : orderOf σ = Fintype.card (L ≃ₐ[K] L)
this : (minpoly K σ.toLinearMap).IsRoot ζ
\u22a2 ∃ α, α ^ finrank K L ∈ Set.range ⇑(algebraMap K L) ∧ K⟮α⟯ = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝⁵ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsGalois K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)
hK : (primitiveRoots (finrank K L) K).Nonempty
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (finrank K L)
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : ∀ (x : L ≃ₐ[K] L), x ∈ Subgroup.zpowers σ
hσ' : orderOf σ = Fintype.card (L ≃ₐ[K] L)
this : (minpoly K σ.toLinearMap).IsRoot ζ
v : L
hv : Module.End.HasEigenvector σ.toLinearMap ζ v
\u22a2 ∃ α, α ^ finrank K L ∈ Set.range ⇑(algebraMap K L) ∧ K⟮α⟯ = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝⁵ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsGalois K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)
hK : (primitiveRoots (finrank K L) K).Nonempty
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (finrank K L)
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : ∀ (x : L ≃ₐ[K] L), x ∈ Subgroup.zpowers σ
hσ' : orderOf σ = Fintype.card (L ≃ₐ[K] L)
this : (minpoly K σ.toLinearMap).IsRoot ζ
v : L
hv : Module.End.HasEigenvector σ.toLinearMap ζ v
hv' : ∀ (n : ℕ), (σ.toLinearMap ^ n) v = ζ ^ n • v
\u22a2 ∃ α, α ^ finrank K L ∈ Set.range ⇑(algebraMap K L) ∧ K⟮α⟯ = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝⁵ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsGalois K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)
hK : (primitiveRoots (finrank K L) K).Nonempty
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (finrank K L)
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : ∀ (x : L ≃ₐ[K] L), x ∈ Subgroup.zpowers σ
hσ' : orderOf σ = Fintype.card (L ≃ₐ[K] L)
this : (minpoly K σ.toLinearMap).IsRoot ζ
v : L
hv : Module.End.HasEigenvector σ.toLinearMap ζ v
hv' : ∀ (n : ℕ), (σ ^ n) v = ζ ^ n • v
\u22a2 ∃ α, α ^ finrank K L ∈ Set.range ⇑(algebraMap K L) ∧ K⟮α⟯ = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁴ : CommRing R₂
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
e✝ : Basis ι R M
v✝ : ι' → M
i : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
b✝ : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
b : Basis ι R M
v : ι' → M
e : ι ≃ ι'
i✝ j✝ : ι'
\u22a2 (b.reindex e).toMatrix v i✝ j✝ = (b.toMatrix v).submatrix (⇑e.symm) _root_.id i✝ j✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Equalizers.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
w : f ≫ h = g ≫ h
inst✝² : HasCoequalizer f g
inst✝¹ : HasCoequalizer (G.map f) (G.map g)
inst✝ : PreservesColimit (parallelPair f g) G
W : D
k : G.obj Y ⟶ W
wk : G.map f ≫ k = G.map g ≫ k
\u22a2 G.map (coequalizer.π f g) ≫ (PreservesCoequalizer.iso G f g).inv ≫ coequalizer.desc k wk = k
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x y : M₀
h : IsUnit x
\u22a2 inverse x * (x * y) = y
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C X
x y : ↑X
h : x ⤳ y
j✝ : (OpenNhds (f y))ᵒᵖ
\u22a2 colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f y))ᵒᵖ (Opens ↑Y)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f y)).op).obj ((pushforward C f).obj F)) j✝ ≫ ((pushforward C f).obj F).stalkSpecializes ⋯ ≫ colim.map (whiskerRight (NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso f x).inv) F) ≫ colimit.pre (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj F) (OpenNhds.map f x).op = colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f y))ᵒᵖ (Opens ↑Y)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f y)).op).obj ((pushforward C f).obj F)) j✝ ≫ (colim.map (whiskerRight (NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso f y).inv) F) ≫ colimit.pre (((whiskeringLeft (OpenNhds y)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion y).op).obj F) (OpenNhds.map f y).op) ≫ F.stalkSpecializes h
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C X
x y : ↑X
h : x ⤳ y
j✝ : (OpenNhds (f y))ᵒᵖ
\u22a2 (whiskerRight (NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso f x).inv) F).app (op { obj := (unop j✝).obj, property := ⋯ }) ≫ colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj F) ((OpenNhds.map f x).op.obj (op { obj := (unop j✝).obj, property := ⋯ })) = (whiskerRight (NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso f y).inv) F).app j✝ ≫ (Cocone.whisker (OpenNhds.map f y).op { pt := (stalkFunctor C x).toPrefunctor.1 F, ι := { app := fun U => colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ F) (op { obj := (unop U).obj, property := ⋯ }), naturality := ⋯ } }).ι.app j✝
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
\u22a2 toIocMod hp a (b + m • p) = toIocMod hp a b
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
\u22a2 b + m • p - (toIocDiv hp a b • p + m • p) = b - toIocDiv hp a b • p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0
\u22a2 (C a * X + C b).leadingCoeff = a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
r a : R
\u22a2 rootMultiplicity a (C r) = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
r a : R
h✝ : Subsingleton R
\u22a2 rootMultiplicity a (C r) = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
r a : R
h✝ : Nontrivial R
\u22a2 rootMultiplicity a (C r) = 0
-- Mathlib/Data/List/Join.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
L : List (List α)
i : ℕ
h : i < L.length
\u22a2 drop (Nat.sum (take i (map length L))) (take (Nat.sum (take (i + 1) (map length L))) L.join) = L[i]