ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹
p : A[X]
hy : (Polynomial.aeval x) p ∈ Subalgebra.toSubmodule (Polynomial.aeval x).range
\u22a2 (Polynomial.aeval x) p ∈ ↑(↑I)⁻¹
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹
p : A[X]
hy : (Polynomial.aeval x) p ∈ Subalgebra.toSubmodule (Polynomial.aeval x).range
\u22a2 ∑ i ∈ Finset.range (p.natDegree + 1), p.coeff i • x ^ i ∈ ↑(↑I)⁻¹
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹
p : A[X]
hy : (Polynomial.aeval x) p ∈ Subalgebra.toSubmodule (Polynomial.aeval x).range
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (p.natDegree + 1)
\u22a2 x ^ i ∈ ↑(↑I)⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
n : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ n
this : (1 ⍟ fun x => ↑(μ x)) = δ
\u22a2 (fun n_1 => χ ↑n_1) ⍟ ((fun n_1 => χ ↑n_1) * fun n => ↑(μ n)) = δ
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
n : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ n
this : (1 ⍟ fun x => ↑(μ x)) = δ
\u22a2 (fun n_1 => χ ↑n_1) * 1 ⍟ ((fun n_1 => χ ↑n_1) * fun n => ↑(μ n)) = δ
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Map.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
K : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝⁴ : Semifield K
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommMonoid V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
p : Submodule K V₂
a : K
h : a ≠ 0
b : V
\u22a2 b ∈ comap (a • f) p ↔ b ∈ comap f p
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalGroup G
inst✝¹ : T2Space G
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : H →* G
hf' : DiscreteTopology ↥f.range
hf : Function.Injective ⇑f.rangeRestrict
\u22a2 Tendsto (⇑f) cofinite (cocompact G)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
H : IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max u v}
\u22a2 f i hi (o.derivBFamily f a) = o.derivBFamily f a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
H : IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max u v}
\u22a2 o.familyOfBFamily f (enum (fun x x_1 => x < x_1) i ⋯) (o.derivBFamily f a) = o.derivBFamily f a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
H : IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max u v}
\u22a2 IsNormal (o.familyOfBFamily f (enum (fun x x_1 => x < x_1) i ⋯))
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
H : IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max u v}
\u22a2 IsNormal (f i ?H.hi)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
H : IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max u v}
\u22a2 i < o
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c : α
h : IsUnit a
\u22a2 a / a = 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : Disjoint s t
\u22a2 (G.interedges s t).card + (Gᶜ.interedges s t).card = s.card * t.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : Disjoint s t
\u22a2 (filter (fun e => G.Adj e.1 e.2) (s ×ˢ t)).card + (filter (fun e => Gᶜ.Adj e.1 e.2) (s ×ˢ t)).card = (s ×ˢ t).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : Disjoint s t
this : filter (fun e => Gᶜ.Adj e.1 e.2) (s ×ˢ t) = filter (fun e => ¬G.Adj e.1 e.2) (s ×ˢ t)
\u22a2 (filter (fun e => G.Adj e.1 e.2) (s ×ˢ t)).card + (filter (fun e => Gᶜ.Adj e.1 e.2) (s ×ˢ t)).card = (s ×ˢ t).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : Disjoint s t
this : filter (fun e => Gᶜ.Adj e.1 e.2) (s ×ˢ t) = filter (fun e => ¬G.Adj e.1 e.2) (s ×ˢ t)
\u22a2 Disjoint (filter (fun e => G.Adj e.1 e.2) (s ×ˢ t)) (filter (fun e => ¬G.Adj e.1 e.2) (s ×ˢ t))
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
h : K ⊔ J = ⊤
\u22a2 I * K ⊔ J = I ⊔ J
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
h : J ⊔ K = ⊤
\u22a2 I * K ⊔ J = I ⊔ J
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a✝ b a : α
f : ι → α
\u22a2 a ⊓ ⨆ i, f i = ⨆ i, a ⊓ f i
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x : ℂ
\u22a2 (x ^ 2⁻¹).re = √((abs x + x.re) / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x : ℂ
\u22a2 0 ≤ abs x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x : ℂ
\u22a2 -π ≤ x.arg
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x : ℂ
\u22a2 x.arg ≤ π
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/SelmerGroup.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x : Rˣ
\u22a2 v.valuationOfNeZero ((Units.map ↑(algebraMap R K)) x) = 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/SelmerGroup.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x : Rˣ
\u22a2 v.valuation (↑(algebraMap R K) ↑x) ≤ ↑1 ∧ ¬v.valuation (↑(algebraMap R K) ↑x) < ↑1
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
\u22a2 Odd (cs.length t)
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t
\u22a2 cs.lengthParity t = Multiplicative.ofAdd 1
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
\u22a2 cs.lengthParity (w * cs.simple i * w⁻¹) = Multiplicative.ofAdd 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/PreservesLocallyBijective.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
inst✝² : ConcreteCategory A
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallyInjective J (whiskerLeft H.op f)
X : Dᵒᵖ
a b : (forget A).obj (F.obj X)
h : (f.app X) a = (f.app X) b
\u22a2 equalizerSieve a b ∈ K.sieves (Opposite.unop X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/PreservesLocallyBijective.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
inst✝² : ConcreteCategory A
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallyInjective J (whiskerLeft H.op f)
X : Dᵒᵖ
a b : (forget A).obj (F.obj X)
h : (f.app X) a = (f.app X) b
\u22a2 ∀ ⦃Y : D⦄ ⦃f : Y ⟶ Opposite.unop X⦄, (Sieve.coverByImage H (Opposite.unop X)).arrows f → Sieve.pullback f (equalizerSieve a b) ∈ K.sieves Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/PreservesLocallyBijective.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
inst✝² : ConcreteCategory A
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallyInjective J (whiskerLeft H.op f)
X : Dᵒᵖ
a b : (forget A).obj (F.obj X)
h : (f.app X) a = (f.app X) b
Y : D
g : Y ⟶ Opposite.unop X
Z : C
lift : Y ⟶ H.obj Z
map : H.obj Z ⟶ Opposite.unop X
fac : lift ≫ map = g
\u22a2 Sieve.pullback g (equalizerSieve a b) ∈ K.sieves Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/PreservesLocallyBijective.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
inst✝² : ConcreteCategory A
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallyInjective J (whiskerLeft H.op f)
X : Dᵒᵖ
a b : (forget A).obj (F.obj X)
h : (f.app X) a = (f.app X) b
Y : D
g : Y ⟶ Opposite.unop X
Z : C
lift : Y ⟶ H.obj Z
map : H.obj Z ⟶ Opposite.unop X
fac : lift ≫ map = g
\u22a2 Sieve.pullback lift (Sieve.pullback map (equalizerSieve a b)) ∈ K.sieves Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/PreservesLocallyBijective.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
inst✝² : ConcreteCategory A
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallyInjective J (whiskerLeft H.op f)
X : Dᵒᵖ
a b : (forget A).obj (F.obj X)
h : (f.app X) a = (f.app X) b
Y : D
g : Y ⟶ Opposite.unop X
Z : C
lift : Y ⟶ H.obj Z
map : H.obj Z ⟶ Opposite.unop X
fac : lift ≫ map = g
\u22a2 Sieve.pullback map (equalizerSieve a b) ∈ K.sieves (H.obj Z)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/PreservesLocallyBijective.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
inst✝² : ConcreteCategory A
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallyInjective J (whiskerLeft H.op f)
X : Dᵒᵖ
a b : (forget A).obj (F.obj X)
h : (f.app X) a = (f.app X) b
Y : D
g : Y ⟶ Opposite.unop X
Z : C
lift : Y ⟶ H.obj Z
map : H.obj Z ⟶ Opposite.unop X
fac : lift ≫ map = g
\u22a2 Sieve.functorPushforward H (Sieve.functorPullback H (Sieve.pullback map (equalizerSieve a b))) ∈ K.sieves (H.obj Z)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/PreservesLocallyBijective.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
inst✝² : ConcreteCategory A
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallyInjective J (whiskerLeft H.op f)
X : Dᵒᵖ
a b : (forget A).obj (F.obj X)
h : (f.app X) a = (f.app X) b
Y : D
g : Y ⟶ Opposite.unop X
Z : C
lift : Y ⟶ H.obj Z
map : H.obj Z ⟶ Opposite.unop X
fac : lift ≫ map = g
\u22a2 equalizerSieve ((forget A).map (F.map map.op) a) ((forget A).map (F.map map.op) b) ≤ Sieve.functorPullback H (Sieve.pullback map (equalizerSieve a b))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/PreservesLocallyBijective.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
H : C ⥤ D
F G : Dᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
inst✝² : ConcreteCategory A
hH : CoverPreserving J K H
inst✝¹ : H.IsCoverDense K
inst✝ : IsLocallyInjective J (whiskerLeft H.op f)
X : Dᵒᵖ
a b : (forget A).obj (F.obj X)
h : (f.app X) a = (f.app X) b
Y : D
g : Y ⟶ Opposite.unop X
Z : C
lift : Y ⟶ H.obj Z
map : H.obj Z ⟶ Opposite.unop X
fac : lift ≫ map = g
\u22a2 ((whiskerLeft H.op f).app (Opposite.op Z)) ((forget A).map (F.map map.op) a) = ((whiskerLeft H.op f).app (Opposite.op Z)) ((forget A).map (F.map map.op) b)
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝¹¹ : Ring R
ι : Type v
inst✝¹⁰ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁷ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R P
g✝ : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g✝ j) ((f i j hij) x) = (g✝ i) x
G' : ι → Type v'
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G' i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →ₗ[R] G' j
G'' : ι → Type v''
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G'' i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →ₗ[R] G'' j
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
e : (i : ι) → G i ≃ₗ[R] G' i
he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), ↑(e j) ∘ₗ f i j h = f' i j h ∘ₗ ↑(e i)
i✝ : ι
g : G' i✝
i j : ι
h : i ≤ j
\u22a2 ↑(e j).symm ∘ₗ f' i j h = f i j h ∘ₗ ↑(e i).symm
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f₁ f₂ : α → β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
hl : f₁ =ᶠ[l₁] f₂
\u22a2 Tendsto f₁ l₁ l₂ ↔ Tendsto f₂ l₁ l₂
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s✝ t : Set α
f g : α → M
a : α
s : Set M
\u22a2 t.mulIndicator 1 ⁻¹' s ∈ {univ, ∅}
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z✝ z : ℍ
\u22a2 ∃ g, g • z ∈ 𝒟
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z✝ z : ℍ
g₀ : SL(2, ℤ)
hg₀ : ∀ (g' : SL(2, ℤ)), (g' • z).im ≤ (g₀ • z).im
\u22a2 ∃ g, g • z ∈ 𝒟
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g✝ : SL(2, ℤ)
z✝ z : ℍ
g₀ : SL(2, ℤ)
hg₀ : ∀ (g' : SL(2, ℤ)), (g' • z).im ≤ (g₀ • z).im
g : SL(2, ℤ)
hg : ↑g 1 = ↑g₀ 1
hg' : ∀ (g' : SL(2, ℤ)), ↑g 1 = ↑g' 1 → |(g • z).re| ≤ |(g' • z).re|
\u22a2 ∃ g, g • z ∈ 𝒟
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g✝ : SL(2, ℤ)
z✝ z : ℍ
g₀ : SL(2, ℤ)
hg₀ : ∀ (g' : SL(2, ℤ)), (g' • z).im ≤ (g₀ • z).im
g : SL(2, ℤ)
hg : ↑g 1 = ↑g₀ 1
hg' : ∀ (g' : SL(2, ℤ)), ↑g 1 = ↑g' 1 → |(g • z).re| ≤ |(g' • z).re|
\u22a2 g • z ∈ 𝒟
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g✝ : SL(2, ℤ)
z✝ z : ℍ
g₀ : SL(2, ℤ)
hg₀ : ∀ (g' : SL(2, ℤ)), (g' • z).im ≤ (g₀ • z).im
g : SL(2, ℤ)
hg : ↑g 1 = ↑g₀ 1
hg' : ∀ (g' : SL(2, ℤ)), ↑g 1 = ↑g' 1 → |(g • z).re| ≤ |(g' • z).re|
hg₀' : ∀ (g' : SL(2, ℤ)), (g' • z).im ≤ (g • z).im
\u22a2 g • z ∈ 𝒟
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z✝ : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z✝
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
Z : Type u_7
f : X → Y → Z
ta1 ta2 : TopologicalSpace X
tb1 tb2 : TopologicalSpace Y
tc1 : TopologicalSpace Z
h : Continuous fun p => f p.1 p.2
\u22a2 Continuous fun p => f p.1 p.2
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z✝ : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z✝
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
Z : Type u_7
f : X → Y → Z
ta1 ta2 : TopologicalSpace X
tb1 tb2 : TopologicalSpace Y
tc1 : TopologicalSpace Z
h : Continuous fun p => f p.1 p.2
ha : Continuous id
\u22a2 Continuous fun p => f p.1 p.2
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z✝ : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z✝
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
Z : Type u_7
f : X → Y → Z
ta1 ta2 : TopologicalSpace X
tb1 tb2 : TopologicalSpace Y
tc1 : TopologicalSpace Z
h : Continuous fun p => f p.1 p.2
ha : Continuous id
hb : Continuous id
\u22a2 Continuous fun p => f p.1 p.2
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X✝ : Type u
Y✝ : Type v
Z✝ : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y✝
inst✝³ : TopologicalSpace Z✝
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
Y : Type u_6
Z : Type u_7
f : X → Y → Z
ta1 ta2 : TopologicalSpace X
tb1 tb2 : TopologicalSpace Y
tc1 : TopologicalSpace Z
h : Continuous fun p => f p.1 p.2
ha : Continuous id
hb : Continuous id
h_continuous_id : Continuous fun p => (id p.1, id p.2)
\u22a2 Continuous fun p => f p.1 p.2
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → β
g : α → α
a : α
\u22a2 corec f g a = f a :: corec f g (g a)
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → β
g : α → α
a : α
\u22a2 f a :: map f (iterate g (g a)) = f a :: corec f g (g a)
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n : ℕ
\u22a2 l.rotate' (n % l.length) = (l.rotate' (n % l.length)).rotate' ((l.rotate' (n % l.length)).length * (n / l.length))
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n : ℕ
\u22a2 (l.rotate' (n % l.length)).rotate' ((l.rotate' (n % l.length)).length * (n / l.length)) = l.rotate' n
-- Mathlib/Logic/Function/Iterate.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → α
m n : ℕ
a : α
hf : Injective f
\u22a2 f^[m + n] a = f^[n] a ↔ f^[n] (f^[m] a) = f^[n] a
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b c d : α
hb : IsUnit b
hd : IsUnit d
\u22a2 a / b = c / d ↔ a * d = c * b
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
f✝ : α✝ → β✝
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : BEq α
inst✝² : LawfulBEq α
inst✝¹ : BEq β
inst✝ : LawfulBEq β
f : α → β
I : Injective f
a b : α
\u22a2 (f a == f b) = (a == b)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f : SimpleFunc (ι → ℝ) E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
\u22a2 HasIntegral I l (↑f) μ.toBoxAdditive.toSMul (integral (μ.restrict ↑I) f)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
y : E
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
\u22a2 HasIntegral I l (↑(piecewise s hs (const (ι → ℝ) y) (const (ι → ℝ) 0))) μ.toBoxAdditive.toSMul (integral (μ.restrict ↑I) (piecewise s hs (const (ι → ℝ) y) (const (ι → ℝ) 0)))
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
f g : SimpleFunc (ι → ℝ) E
a✝ : Disjoint (Function.support ↑f) (Function.support ↑g)
hfi : HasIntegral I l (↑f) μ.toBoxAdditive.toSMul (integral (μ.restrict ↑I) f)
hgi : HasIntegral I l (↑g) μ.toBoxAdditive.toSMul (integral (μ.restrict ↑I) g)
\u22a2 HasIntegral I l (↑(f + g)) μ.toBoxAdditive.toSMul (integral (μ.restrict ↑I) (f + g))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.3839, u_1} C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : IndexSet Δ
\u22a2 A.EqId ↔ (unop A.fst).len = (unop Δ).len
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.3839, u_1} C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : IndexSet Δ
\u22a2 A.fst = Δ ↔ (unop A.fst).len = (unop Δ).len
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Equalizers.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
t : Cofork f g
\u22a2 f ≫ t.π = g ≫ t.π
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∈ 𝓒 u v s
ha : a ∉ s
\u22a2 u ≤ a
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∈ s ∧ compress u v a ∈ s ∨ a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = a
ha : a ∉ s
\u22a2 u ≤ a
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
v : E
μ : Eigenvalues T
\u22a2 hT.diagonalization (T v) μ = ↑T μ • hT.diagonalization v μ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
v : E
μ : Eigenvalues T
\u22a2 ∀ (w : PiLp 2 fun μ => ↥(eigenspace T (↑T μ))), T (hT.diagonalization.symm w) = hT.diagonalization.symm fun μ => ↑T μ • w μ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
v : E
μ : Eigenvalues T
w : PiLp 2 fun μ => ↥(eigenspace T (↑T μ))
\u22a2 T (hT.diagonalization.symm w) = hT.diagonalization.symm fun μ => ↑T μ • w μ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
v : E
μ : Eigenvalues T
w : PiLp 2 fun μ => ↥(eigenspace T (↑T μ))
hwT : ∀ (μ : Eigenvalues T), T ↑(w μ) = ↑T μ • ↑(w μ)
\u22a2 T (hT.diagonalization.symm w) = hT.diagonalization.symm fun μ => ↑T μ • w μ
-- Mathlib/Topology/UrysohnsLemma.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : CU P
x : X
h : x ∈ c.C
\u22a2 c.lim x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N : Submodule R M
h : ∀ {x : L} {m : M}, m ∈ N.carrier → ⁅x, m⁆ ∈ N.carrier
\u22a2 { toSubmodule := N, lie_mem := h } = ⊥ ↔ N = ⊥
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f₁ i).NeBot
h : pi f₁ = pi f₂
\u22a2 f₁ = f₂
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f₁ i).NeBot
h : pi f₁ = pi f₂
hle : f₁ ≤ f₂
\u22a2 f₁ = f₂
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f₁ i).NeBot
h : pi f₁ = pi f₂
hle : f₁ ≤ f₂
this : ∀ (i : ι), (f₂ i).NeBot
\u22a2 f₁ = f₂
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Limits.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
S X X' Y Y' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S
g' : Y' ⟶ S
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
h₁ : P i₁
h₂ : P i₂
e₁ : f = i₁ ≫ f'
e₂ : g = i₂ ≫ g'
\u22a2 P (pullback.map f g f' g' i₁ i₂ (𝟙 S) ⋯ ⋯)