ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
g : R →+* S
x y : 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
n : ℕ
\u22a2 (eval₂Hom (g.comp (algebraMap ℤ R)) fun i => g (![x.coeff, y.coeff] i.1 i.2)) (φ n) = (aeval fun a => ![((WittVector.map g) x).coeff, ((WittVector.map g) y).coeff] a.1 a.2) (φ n)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
g : R →+* S
x y : 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
n : ℕ
\u22a2 (fun i => g (![x.coeff, y.coeff] i.1 i.2)) = fun a => ![((WittVector.map g) x).coeff, ((WittVector.map g) y).coeff] a.1 a.2
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Semigroup α
inst✝ : HasDistribNeg α
a b c : α
\u22a2 (∃ b_1, -b = a * (Equiv.symm (Equiv.neg α)) b_1) ↔ a ∣ b
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
\u22a2 nats = 0 :: map succ nats
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
\u22a2 ∀ (n : ℕ), nats.get n = (0 :: map succ nats).get n
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n✝ : ℕ
\u22a2 nats.get (n✝ + 1) = (0 :: map succ nats).get (n✝ + 1)
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n✝ : ℕ
\u22a2 nats.tail.get n✝ = (0 :: map succ nats).get (n✝ + 1)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ✝ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
u : Set γ
x✝ : α × β × γ
\u22a2 x✝ ∈ ⇑(prodAssoc α β γ).symm ⁻¹' (s ×ˢ t) ×ˢ u ↔ x✝ ∈ s ×ˢ t ×ˢ u
-- Mathlib/Data/NNRat/Defs.lean
p q : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d✝ a : ℕ
ha : a ≠ 0
n d : ℕ
\u22a2 Rat.divInt (↑a * ↑n) (↑a * ↑d) = Rat.divInt ↑n ↑d
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
g : R[X]
\u22a2 f ∣ h.repr (h.map g) - g
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s1 s2 : WSeq α
t1 t2 : WSeq β
h1 : LiftRel R s1 t1
h2 : LiftRel R s2 t2
s✝ : WSeq α
t✝ : WSeq β
h✝ : (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) s✝ t✝
s : WSeq α
t : WSeq β
h : LiftRel R s t
\u22a2 Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) s.destruct t.destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s1 s2 : WSeq α
t1 t2 : WSeq β
h1 : LiftRel R s1 t1
h2 : LiftRel R s2 t2
s✝ : WSeq α
t✝ : WSeq β
h✝ : (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) s✝ t✝
s : WSeq α
t : WSeq β
h : LiftRel R s t
\u22a2 ∀ {a : Option (α × WSeq α)} {b : Option (β × WSeq β)}, LiftRelO R (LiftRel R) a b → LiftRelO R (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) a b
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s1 s2 : WSeq α
t1 t2 : WSeq β
h1 : LiftRel R s1 t1
h2 : LiftRel R s2 t2
s✝ : WSeq α
t✝ : WSeq β
h✝ : (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) s✝ t✝
s : WSeq α
t : WSeq β
h : LiftRel R s t
a : Option (α × WSeq α)
b : Option (β × WSeq β)
\u22a2 LiftRelO R (LiftRel R) a b → LiftRelO R (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) a b
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s1 s2 : WSeq α
t1 t2 : WSeq β
h1 : LiftRel R s1 t1
h2 : LiftRel R s2 t2
s✝ : WSeq α
t✝ : WSeq β
h✝ : (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) s✝ t✝
s : WSeq α
t : WSeq β
h : LiftRel R s t
a : Option (α × WSeq α)
b : Option (β × WSeq β)
\u22a2 ∀ (s : WSeq α) (t : WSeq β), LiftRel R s t → LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s1✝ s2 : WSeq α
t1✝ t2 : WSeq β
h1 : LiftRel R s1✝ t1✝
h2 : LiftRel R s2 t2
s : WSeq α
t : WSeq β
h✝ : (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) s t
s1 : WSeq α
t1 : WSeq β
h : LiftRel R s1 t1
\u22a2 Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) (s1.append s2).destruct (t1.append t2).destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s1✝ s2 : WSeq α
t1✝ t2 : WSeq β
h1 : LiftRel R s1✝ t1✝
h2 : LiftRel R s2 t2
s : WSeq α
t : WSeq β
h✝ : (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) s t
s1 : WSeq α
t1 : WSeq β
h : LiftRel R s1 t1
\u22a2 Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1, s = s1.append s2 ∧ ∃ x, t = x.append t2 ∧ LiftRel R s1 x) (s1.destruct.bind (destruct_append.aux s2)) (t1.destruct.bind (destruct_append.aux t2))
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s1✝ s2 : WSeq α
t1✝ t2 : WSeq β
h1 : LiftRel R s1✝ t1✝
h2 : LiftRel R s2 t2
s : WSeq α
t : WSeq β
h✝ : (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) s t
s1 : WSeq α
t1 : WSeq β
h : LiftRel R s1 t1
\u22a2 ∀ {a : Option (α × WSeq α)} {b : Option (β × WSeq β)}, LiftRelO R (LiftRel R) a b → Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1, s = s1.append s2 ∧ ∃ x, t = x.append t2 ∧ LiftRel R s1 x) (destruct_append.aux s2 a) (destruct_append.aux t2 b)
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/RankOne.lean
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
inst✝ : v.RankOne
x : Γ₀
hx : (hom v) x = 0
\u22a2 x = 0
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/RankOne.lean
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
inst✝ : v.RankOne
x : Γ₀
hx : (hom v) x = 0
h_lt : 0 < x
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/RankOne.lean
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
inst✝ : v.RankOne
x : Γ₀
hx : (hom v) x = 0
h_lt : 0 < x
hs : (hom v) 0 < (hom v) x
\u22a2 False
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/RankOne.lean
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
inst✝ : v.RankOne
x : Γ₀
hx : (hom v) x = 0
h_lt : 0 < x
hs : 0 < 0
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
\u22a2 ∃ p, 0 < p ∧ (fun x => cosKernel a x - 1) =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ
\u22a2 ∃ p, 0 < p ∧ (fun x => cosKernel (↑a) x - 1) =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t - if 1 = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
\u22a2 ∃ p, 0 < p ∧ (fun x => cosKernel (↑a) x - 1) =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t - if 1 = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
\u22a2 ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖cosKernel (↑a) x - 1‖ ≤ 2 * (HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 x - if 1 = 0 then 1 else 0)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t - if 1 = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
\u22a2 ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖cosKernel (↑a) x - 1‖ ≤ 2 * HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 x
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t - if 1 = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
t : ℝ
ht : 0 < t
\u22a2 ‖cosKernel (↑a) t - 1‖ ≤ 2 * HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t - if 1 = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
t : ℝ
ht : 0 < t
\u22a2 ‖∑' (b : ℕ), 2 * Real.cos (2 * π * a * (↑b + 1)) * rexp (-π * (↑b + 1) ^ 2 * t)‖ ≤ 2 * ∑' (n : ℕ), HurwitzKernelBounds.f_nat 0 1 t n
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t - if 1 = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
t : ℝ
ht : 0 < t
\u22a2 ∀ (i : ℕ), ‖2 * Real.cos (2 * π * a * (↑i + 1)) * rexp (-π * (↑i + 1) ^ 2 * t)‖ ≤ 2 * HurwitzKernelBounds.f_nat 0 1 t i
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t - if 1 = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
t : ℝ
ht : 0 < t
n : ℕ
\u22a2 ‖2 * Real.cos (2 * π * a * (↑n + 1)) * rexp (-π * (↑n + 1) ^ 2 * t)‖ ≤ 2 * HurwitzKernelBounds.f_nat 0 1 t n
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t - if 1 = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
t : ℝ
ht : 0 < t
n : ℕ
\u22a2 |Real.cos (2 * π * a * (↑n + 1))| * rexp (-π * (↑n + 1) ^ 2 * t) ≤ rexp (-π * (↑n + 1) ^ 2 * t)
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : GroupWithZero α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
\u22a2 0 ⊆ s / 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ 2 = (cos b * sin b - cos a * sin a + b - a) / 2
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i j : ι
\u22a2 (erase i f) j = (f - single i (f i)) j
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
\u22a2 (erase i f) i = (f - single i (f i)) i
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i j : ι
h : i ≠ j
\u22a2 (erase i f) j = (f - single i (f i)) j
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
\u22a2 mrange (inr M N) = ⊥.prod ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
x : 𝓞 K
w : InfinitePlace K
h₁ : x ≠ 0
h₂ : ∀ ⦃w' : InfinitePlace K⦄, w' ≠ w → w' ↑x < 1
h₃ : w.IsReal ∨ |(w.embedding ↑x).re| < 1
\u22a2 ℚ⟮↑x⟯ = ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
x : 𝓞 K
w : InfinitePlace K
h₁ : x ≠ 0
h₂ : ∀ ⦃w' : InfinitePlace K⦄, w' ≠ w → w' ↑x < 1
h₃ : w.IsReal ∨ |(w.embedding ↑x).re| < 1
\u22a2 ∀ (ψ : K →ₐ[ℚ] ℂ), w.embedding.toRatAlgHom ↑x = ψ ↑x → w.embedding.toRatAlgHom = ψ
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
x : 𝓞 K
w : InfinitePlace K
h₁ : x ≠ 0
h₂ : ∀ ⦃w' : InfinitePlace K⦄, w' ≠ w → w' ↑x < 1
h₃ : w.IsReal ∨ |(w.embedding ↑x).re| < 1
\u22a2 ∀ (x : K), Polynomial.Splits (algebraMap ℚ ℂ) (minpoly ℚ x)
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
\u22a2 (Seq.map ret s).join = s
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
\u22a2 ∀ (s : Seq α), BisimO (fun s1 s2 => ∃ s, s1 = (Seq.map ret s).join ∧ s2 = s) (Seq.map ret s).join.destruct s.destruct
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ : Finset α
a✝ b : α
s : Set α
a : α
\u22a2 ↑{a} ⊆ s ↔ a ∈ s
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
\u22a2 ∑ w : InfinitePlace K, w.mult = FiniteDimensional.finrank ℚ K
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
\u22a2 ∑ w : InfinitePlace K, w.mult = ∑ j : InfinitePlace K, ∑ i ∈ Finset.filter (fun i => mk i = j) Finset.univ, 1
-- Mathlib/Order/Filter/Cofinite.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
\u22a2 cofinite = ⊥ ↔ Finite α
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
m : σ →₀ ℕ
s : σ
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 coeff m (p * X s) = if s ∈ m.support then coeff (m - Finsupp.single s 1) p else 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
m : σ →₀ ℕ
s : σ
p : MvPolynomial σ R
\u22a2 (if Finsupp.single s 1 ≤ m then coeff (m - Finsupp.single s 1) p * 1 else 0) = if s ∈ m.support then coeff (m - Finsupp.single s 1) p else 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
h2 : IsUnit 2
f : M →ₗ[R] A
\u22a2 (∀ (x : M), f x * f x = (algebraMap R A) (Q x)) ↔ (LinearMap.mul R A).compl₂ f ∘ₗ f + (LinearMap.mul R A).flip.compl₂ f ∘ₗ f = LinearMap.compr₂ (QuadraticMap.polarBilin Q) (Algebra.linearMap R A)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
h2 : IsUnit 2
f : M →ₗ[R] A
\u22a2 (∀ (x : M), f x * f x = (algebraMap R A) (Q x)) ↔ ∀ (x x_1 : M), (((LinearMap.mul R A).compl₂ f ∘ₗ f + (LinearMap.mul R A).flip.compl₂ f ∘ₗ f) x) x_1 = ((LinearMap.compr₂ (QuadraticMap.polarBilin Q) (Algebra.linearMap R A)) x) x_1
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
h2 : IsUnit 2
f : M →ₗ[R] A
h : ∀ (x x_1 : M), (((LinearMap.mul R A).compl₂ f ∘ₗ f + (LinearMap.mul R A).flip.compl₂ f ∘ₗ f) x) x_1 = ((LinearMap.compr₂ (QuadraticMap.polarBilin Q) (Algebra.linearMap R A)) x) x_1
x : M
\u22a2 f x * f x = (algebraMap R A) (Q x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
h2 : IsUnit 2
f : M →ₗ[R] A
x : M
h : ∀ (x y : M), f x * f y + f y * f x = (algebraMap R A) (QuadraticMap.polar (⇑Q) x y)
\u22a2 f x * f x = (algebraMap R A) (Q x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
h2 : IsUnit 2
f : M →ₗ[R] A
x : M
h : ∀ (x y : M), f x * f y + f y * f x = (algebraMap R A) (QuadraticMap.polar (⇑Q) x y)
\u22a2 2 * (f x * f x) = 2 * (algebraMap R A) (Q x)
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : LinearOrderedField R
A : Matrix m n R
\u22a2 (A * Aᵀ).rank = A.rank
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Add.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F
\u22a2 derivWithin (fun y => f y - c) s x = derivWithin f s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Dslope.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : ContinuousWithinAt (dslope f a) s b
\u22a2 ContinuousWithinAt f s b
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Dslope.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : ContinuousWithinAt (dslope f a) s b
this : ContinuousWithinAt (fun x => (x - a) • dslope f a x + f a) s b
\u22a2 ContinuousWithinAt f s b
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
g h : G
a : α
\u22a2 g • a ∈ orbit G (h • a)
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f✝ g✝ f g : CircleDeg1Lift
h : f ≤ g
n : ℕ
\u22a2 (f ^ n) 0 ≤ (g ^ n) 0
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
\u22a2 toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - a) = p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
\u22a2 stirlingSeq 0 = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/IsIso.lean
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 isomorphisms Scheme f✝ ↔ (@IsOpenImmersion ⊓ @Surjective) f✝
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/NielsenSchreier.lean
G : Type u
inst✝¹ : Groupoid G
inst✝ : IsFreeGroupoid G
a b : G
p : a ⟶ b
\u22a2 Nonempty (Path (IsFreeGroupoid.symgen a) (IsFreeGroupoid.symgen b))
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/NielsenSchreier.lean
G : Type u
inst✝¹ : Groupoid G
inst✝ : IsFreeGroupoid G
a b : G
p : a ⟶ b
\u22a2 FreeGroup.of (WeaklyConnectedComponent.mk (IsFreeGroupoid.symgen b)) * (FreeGroup.of (WeaklyConnectedComponent.mk (IsFreeGroupoid.symgen a)))⁻¹ = 1
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/NielsenSchreier.lean
G : Type u
inst✝¹ : Groupoid G
inst✝ : IsFreeGroupoid G
a b : G
p : a ⟶ b
X : Type u := FreeGroup (WeaklyConnectedComponent (Generators G))
f : G → X := fun g => FreeGroup.of (WeaklyConnectedComponent.mk g)
F : G ⥤ CategoryTheory.SingleObj X := differenceFunctor f
a✝ b✝ : Generators G
e✝ : a✝ ⟶ b✝
\u22a2 F.map (of e✝) = ((Functor.const G).obj ()).map (of e✝)
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/NielsenSchreier.lean
G : Type u
inst✝¹ : Groupoid G
inst✝ : IsFreeGroupoid G
a b : G
p : a ⟶ b
X : Type u := FreeGroup (WeaklyConnectedComponent (Generators G))
f : G → X := fun g => FreeGroup.of (WeaklyConnectedComponent.mk g)
F : G ⥤ CategoryTheory.SingleObj X := differenceFunctor f
a✝ b✝ : Generators G
e✝ : a✝ ⟶ b✝
\u22a2 f b✝ = f (let_fun this := a✝; this)
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/NielsenSchreier.lean
G : Type u
inst✝¹ : Groupoid G
inst✝ : IsFreeGroupoid G
a b : G
p : a ⟶ b
X : Type u := FreeGroup (WeaklyConnectedComponent (Generators G))
f : G → X := fun g => FreeGroup.of (WeaklyConnectedComponent.mk g)
F : G ⥤ CategoryTheory.SingleObj X := differenceFunctor f
a✝ b✝ : Generators G
e✝ : a✝ ⟶ b✝
\u22a2 WeaklyConnectedComponent.mk b✝ = WeaklyConnectedComponent.mk (let_fun this := a✝; this)
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/NielsenSchreier.lean
G : Type u
inst✝¹ : Groupoid G
inst✝ : IsFreeGroupoid G
a b : G
p : a ⟶ b
X : Type u := FreeGroup (WeaklyConnectedComponent (Generators G))
f : G → X := fun g => FreeGroup.of (WeaklyConnectedComponent.mk g)
F : G ⥤ CategoryTheory.SingleObj X := differenceFunctor f
a✝ b✝ : Generators G
e✝ : a✝ ⟶ b✝
\u22a2 Nonempty (Path b✝ (let_fun this := a✝; this))
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
A : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra A R
m : A
\u22a2 mk ((algebraMap A R) m) 1 = (algebraMap A (Localization M)) m
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
A : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra A R
m : A
\u22a2 (algebraMap R (Localization M)) ((algebraMap A R) m) = (algebraMap A (Localization M)) m
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b : α
s : Finset α
a : α
h : a ∉ s
\u22a2 (cons a s h).erase a = s
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
a b : ℝ
f : ι → Ω → ℝ
N : ι
n m : ℕ
ω : Ω
hnm : n ≤ m
\u22a2 Monotone fun n => lowerCrossingTime a b f N n ω
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.62699, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' : I₁₂
h₁₂ : ¬c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'
\u22a2 K.D₁ c₁₂ i₁₂ i₁₂' + K.D₂ c₁₂ i₁₂ i₁₂' = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
i : n
\u22a2 (algebraMap ℝ 𝕜) (hA.eigenvalues i) ∈ spectrum 𝕜 A
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
i : n
\u22a2 (algebraMap ℝ 𝕜) (hA.eigenvalues i) ∈ spectrum 𝕜 (toEuclideanLin A)
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
\u22a2 IsIso (ModuleCat.ofHom (ofTensorProduct I M))
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
\u22a2 Epi (ComposableArrows.app' (AdicCompletion.firstRowToSecondRow I M f) 0 ⋯)
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
\u22a2 IsIso (ComposableArrows.app' (AdicCompletion.firstRowToSecondRow I M f) 1 ⋯)