ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a b : K
\u22a2 (-a)⁻¹ = -a⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h : (∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h : (∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h : (∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
h_integral : ∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ < ⊤
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h : (∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
h_integral : ∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ < ⊤
rpow_ae_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊) ^ p < ⊤
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h : (∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
h_integral : ∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ < ⊤
rpow_ae_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊) ^ p < ⊤
x : α
hx : (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊) ^ p < ⊤
\u22a2 ∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊ < ⊤
-- Mathlib/Algebra/Module/Defs.lean
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
R : Type u_9
inst✝ : NonAssocSemiring R
m : ℕ
\u22a2 m • 1 = ↑m
-- Mathlib/Data/List/Permutation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
ts : List α
\u22a2 map (map f) ts.permutations' = (map f ts).permutations'
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
E B I : Set α
\u22a2 (N.comapOn E f).Indep I ↔ N.Indep (f '' I) ∧ InjOn f I ∧ I ⊆ E
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Sheaf/Free.lean
C : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} C
J✝ : GrothendieckTopology C
R : Sheaf J✝ RingCat
inst✝² : HasWeakSheafify J✝ AddCommGrp
inst✝¹ : J✝.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : J✝.HasSheafCompose (forget₂ RingCat AddCommGrp)
I J : Type u
f : I → J
i : I
\u22a2 sectionsMap (freeMap f) (freeSection i) = freeSection (f i)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Ulift.lean
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
f : c.pt → lc.pt
\u22a2 f = descFun hc lc ↔ ∀ (j : J), f ∘ c.ι.app j = lc.ι.app j ∘ ULift.up
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Ulift.lean
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
f : c.pt → lc.pt
\u22a2 f = descFun hc lc → ∀ (j : J), f ∘ c.ι.app j = lc.ι.app j ∘ ULift.up
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Ulift.lean
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
f : c.pt → lc.pt
he : ∀ (j : J), f ∘ c.ι.app j = lc.ι.app j ∘ ULift.up
x : c.pt
\u22a2 x ∈ descSet hc {f x}
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
\u22a2 X.Separable
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
\u22a2 IsCoprime X 1
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
f : β → Set α
s : Set β
hs : s.Countable
h : ∀ b ∈ s, MeasurableSet (f b)
\u22a2 MeasurableSet (⋃ b ∈ s, f b)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
f : β → Set α
s : Set β
hs : s.Countable
h : ∀ b ∈ s, MeasurableSet (f b)
\u22a2 MeasurableSet (⋃ x, f ↑x)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
f : β → Set α
s : Set β
hs : s.Countable
h : ∀ b ∈ s, MeasurableSet (f b)
this : Countable ↑s
\u22a2 MeasurableSet (⋃ x, f ↑x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
hy' : P y * Q z ^ 3 = W'.negY Q * P z ^ 3
\u22a2 (fun a => a * Q z ^ 3) (P y) = (fun a => a * Q z ^ 3) (W'.negY P)
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Conservative.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
f✝ : α → α
s : Set α
μ✝ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f : α → α
μ : Measure α
h : Conservative f μ
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ s ∈ 𝓝 x, ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ s
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Conservative.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
f✝ : α → α
s : Set α
μ✝ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f : α → α
μ : Measure α
h : Conservative f μ
this : ∀ s ∈ countableBasis α, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ s
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ s ∈ 𝓝 x, ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ s
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Conservative.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
f✝ : α → α
s✝ : Set α
μ✝ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f : α → α
μ : Measure α
h : Conservative f μ
this : ∀ s ∈ countableBasis α, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ s
x : α
hx : ∀ i ∈ countableBasis α, x ∈ i → ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ i
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 x
\u22a2 ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ s
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Conservative.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
f✝ : α → α
s✝ : Set α
μ✝ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f : α → α
μ : Measure α
h : Conservative f μ
this : ∀ s ∈ countableBasis α, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ s
x : α
hx : ∀ i ∈ countableBasis α, x ∈ i → ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ i
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 x
o : Set α
hoS : o ∈ countableBasis α
hxo : x ∈ o
hos : o ⊆ s
\u22a2 ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ s
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
\u22a2 Real.cos (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -1
-- Mathlib/Data/List/FinRange.lean
n : ℕ
α : Type u
σ : Perm (Fin n)
f : Fin n → α
\u22a2 ofFn (f ∘ ⇑σ) ~ ofFn f
-- Mathlib/Data/List/FinRange.lean
n : ℕ
α : Type u
σ : Perm (Fin n)
f : Fin n → α
\u22a2 map f (map (⇑σ) (finRange n)) ~ map f (finRange n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∈ s
\u22a2 eval (v i) (derivative (nodal s v)) = eval (v i) (nodal (s.erase i) v)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∈ s
\u22a2 ∑ x ∈ s.erase i, eval (v i) (nodal (s.erase x) v) = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/SmoothTransition.lean
x : ℝ
h : 1 ≤ x
\u22a2 expNegInvGlue x = expNegInvGlue x + expNegInvGlue (1 - x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
\u22a2 HasMFDerivWithinAt I I' f univ x f' ↔ HasMFDerivAt I I' f x f'
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
\u22a2 toIocMod hp (a + p) b = toIocMod hp a b + p
-- Mathlib/Algebra/GradedMonoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
A : ι → Type u_3
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GMonoid A
l : List α
f : α → GradedMonoid A
\u22a2 (List.map f l).prod = mk (l.dProdIndex fun i => (f i).fst) (l.dProd (fun i => (f i).fst) fun i => (f i).snd)
-- Mathlib/Algebra/GradedMonoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
A : ι → Type u_3
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GMonoid A
l : List α
f : α → GradedMonoid A
\u22a2 (List.map f l).prod = (List.map (fun a => ⟨(f a).fst, (f a).snd⟩) l).prod
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Normed.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
\u22a2 tsupport (f.normed μ) = closedBall c f.rOut
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Inverse.lean
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
\u22a2 X = normalize X
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
s : Finset ι
f : ι → Set α
\u22a2 (⋃ i ∈ s, f i).PartiallyWellOrderedOn r ↔ ∀ i ∈ s, (f i).PartiallyWellOrderedOn r
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SuperpolynomialDecay.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing β
inst✝ : OrderTopology β
hf : SuperpolynomialDecay l k f
hfg : abs ∘ g ≤ᶠ[l] abs ∘ f
\u22a2 SuperpolynomialDecay l k g
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SuperpolynomialDecay.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing β
inst✝ : OrderTopology β
hf : ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun a => |k a ^ n * f a|) l (𝓝 0)
hfg : abs ∘ g ≤ᶠ[l] abs ∘ f
\u22a2 ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun a => |k a ^ n * g a|) l (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SuperpolynomialDecay.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing β
inst✝ : OrderTopology β
hf : ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun a => |k a ^ n * f a|) l (𝓝 0)
hfg : abs ∘ g ≤ᶠ[l] abs ∘ f
z : ℕ
x : α
hx : (abs ∘ g) x ≤ (abs ∘ f) x
\u22a2 |k x ^ z * g x| ≤ |k x ^ z * f x|
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
\u22a2 (φ.polyCharpoly b).coeff φ.nilRank ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
\u22a2 (φ.polyCharpoly b).coeff (φ.polyCharpoly b).natTrailingDegree ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a : ℤ
b : ℕ
h : J(a | b) = -1
x✝ : IsSquare ↑a
r : ZMod b
ha : ↑a = r * r
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a : ℤ
b : ℕ
h : J(a | b) = -1
x✝ : IsSquare ↑a
r : ZMod b
ha : a % ↑b = r.valMinAbs ^ 2 % ↑b
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a : ℤ
b : ℕ
h : J(a | b) = -1
x✝ : IsSquare ↑a
r : ZMod b
ha : a % ↑b = r.valMinAbs ^ 2 % ↑b
\u22a2 0 ≤ -1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a : ℤ
b : ℕ
h : J(a | b) = -1
x✝ : IsSquare ↑a
r : ZMod b
ha : a % ↑b = r.valMinAbs ^ 2 % ↑b
\u22a2 0 ≤ J(r.valMinAbs | b) ^ 2
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁵ : Group G✝
inst✝⁴ : TopologicalGroup G✝
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
g h : G
hg : g ∈ connectedComponent 1
hh : h ∈ connectedComponent 1
\u22a2 g * h ∈ connectedComponent 1
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁵ : Group G✝
inst✝⁴ : TopologicalGroup G✝
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
g h : G
hg : g ∈ connectedComponent 1
hh : h ∈ connectedComponent 1
\u22a2 g * h ∈ connectedComponent g
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁵ : Group G✝
inst✝⁴ : TopologicalGroup G✝
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
g h : G
hg : g ∈ connectedComponent 1
hh : h ∈ connectedComponent 1
hmul : g ∈ connectedComponent (g * h)
\u22a2 g * h ∈ connectedComponent g
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod (n + 1))ˣ
\u22a2 (↑u).val.Coprime (n + 1)
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod (n + 1))ˣ
\u22a2 (↑u).val * (↑u⁻¹).val ≡ 1 [MOD n + 1]
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod (n + 1))ˣ
this : ↑(u * u⁻¹) = ↑1
\u22a2 (↑u).val * (↑u⁻¹).val ≡ 1 [MOD n + 1]
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod (n + 1))ˣ
this : ↑(u * u⁻¹) = 1
\u22a2 (↑u).val * (↑u⁻¹).val ≡ 1 [MOD n + 1]
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod (n + 1))ˣ
this : ↑(u * u⁻¹) = 1
\u22a2 ↑((↑u).val * (↑u⁻¹).val) = ↑(u * u⁻¹)
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod (n + 1))ˣ
\u22a2 ↑((↑u).val * (↑u⁻¹).val) = ↑(u * u⁻¹)
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod (n + 1))ˣ
\u22a2 ↑((↑u).val * (↑u⁻¹).val) = ↑(↑(u * u⁻¹)).val
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Symmetric.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
hφ : φ.IsSymmetric
e : σ ≃ τ
x✝ : Perm τ
\u22a2 (rename ⇑x✝) ((rename ⇑e) φ) = (rename ⇑e) φ
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Symmetric.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
hφ : φ.IsSymmetric
e : σ ≃ τ
x✝ : Perm τ
\u22a2 (rename ⇑e.symm) ((rename ⇑x✝) ((rename ⇑e) φ)) = (rename ⇑e.symm) ((rename ⇑e) φ)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Symmetric.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
hφ : φ.IsSymmetric
e : σ ≃ τ
x✝ : Perm τ
\u22a2 (rename ⇑((e.trans x✝).trans e.symm)) φ = φ
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : InfSet α
f : ι → α
hf : BddBelow (range f)
\u22a2 ↑(⨅ i, f i) = ⨅ i, ↑(f i)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousMul G
Γ : Subgroup G
x : G ⧸ Γ
\u22a2 Continuous fun g => g • x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousMul G
Γ : Subgroup G
z✝ : G
\u22a2 Continuous fun g => g • ↑z✝
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : NoMaxOrder α
f : β → α
s : Set β
hs : IsCompact s
hf : ContinuousOn f s
a : α
hf' : ∀ b ∈ s, a < f b
\u22a2 ∃ a', a < a' ∧ ∀ b ∈ s, a' ≤ f b
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : NoMaxOrder α
f : β → α
a : α
hs : IsCompact ∅
hf : ContinuousOn f ∅
hf' : ∀ b ∈ ∅, a < f b
\u22a2 ∃ a', a < a' ∧ ∀ b ∈ ∅, a' ≤ f b
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : NoMaxOrder α
f : β → α
s : Set β
hs : IsCompact s
hf : ContinuousOn f s
a : α
hf' : ∀ b ∈ s, a < f b
hs' : s.Nonempty
\u22a2 ∃ a', a < a' ∧ ∀ b ∈ s, a' ≤ f b
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t✝ : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
\u22a2 μ s + μ (t \ s) = μ (s ∪ t)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁✝ X₂✝ Y₁✝ Y₂✝ : C
f₁₁✝ : X₁✝ ⟶ Y₁✝
f₁₂✝ : X₁✝ ⟶ Y₂✝
f₂₁✝ : X₂✝ ⟶ Y₁✝
f₂₂✝ : X₂✝ ⟶ Y₂✝
X₁ X₂ Y₁ Y₂ Z₁ Z₂ : C
f₁₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₁₂ : X₁ ⟶ Y₂
f₂₁ : X₂ ⟶ Y₁
f₂₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁₁ : Y₁ ⟶ Z₁
g₁₂ : Y₁ ⟶ Z₂
g₂₁ : Y₂ ⟶ Z₁
g₂₂ : Y₂ ⟶ Z₂
\u22a2 (biprod.fst ≫ f₁₁ ≫ biprod.inl + biprod.fst ≫ f₁₂ ≫ biprod.inr + biprod.snd ≫ f₂₁ ≫ biprod.inl + biprod.snd ≫ f₂₂ ≫ biprod.inr) ≫ (biprod.fst ≫ g₁₁ ≫ biprod.inl + biprod.fst ≫ g₁₂ ≫ biprod.inr + biprod.snd ≫ g₂₁ ≫ biprod.inl + biprod.snd ≫ g₂₂ ≫ biprod.inr) = biprod.fst ≫ (f₁₁ ≫ g₁₁ + f₁₂ ≫ g₂₁) ≫ biprod.inl + biprod.fst ≫ (f₁₁ ≫ g₁₂ + f₁₂ ≫ g₂₂) ≫ biprod.inr + biprod.snd ≫ (f₂₁ ≫ g₁₁ + f₂₂ ≫ g₂₁) ≫ biprod.inl + biprod.snd ≫ (f₂₁ ≫ g₁₂ + f₂₂ ≫ g₂₂) ≫ biprod.inr
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
\u22a2 (mulEquivOfQuotient f).symm (f.mk' x y) = mk x y
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
\u22a2 (mulEquivOfQuotient f).symm (f.mk' x y) = (monoidOf S).mk' x y
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R B
inst✝ : Module R C
S T : NonUnitalSubalgebra R A
h : S.toSubmodule = T.toSubmodule
x : A
\u22a2 x ∈ S ↔ x ∈ T
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
S : Finset ι
q : ι → R
hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)
hM : Module.IsTorsionBy R M (∏ i ∈ S, q i)
\u22a2 DirectSum.IsInternal fun i => torsionBy R M (q ↑i)
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
S : Finset ι
q : ι → R
hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)
hM : Module.IsTorsionBySet R M ↑(⨅ a ∈ S, Ideal.span {q a})
\u22a2 DirectSum.IsInternal fun i => torsionBy R M (q ↑i)
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
S : Finset ι
q : ι → R
hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)
hM : Module.IsTorsionBySet R M ↑(⨅ a ∈ S, Ideal.span {q a})
x✝ : { x // x ∈ S }
\u22a2 torsionBy R M (q ↑x✝) = torsionBySet R M ↑(Ideal.span {q ↑x✝})
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y z : F
\u22a2 ⟪x, y - z⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜 - ⟪x, z⟫_𝕜
-- Mathlib/Algebra/Group/Nat.lean
m n : ℕ
\u22a2 ¬Even n ↔ n % 2 = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set (Set M)
hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ a ∈ s, LinearIndependent (ι := { x // x ∈ a }) R Subtype.val
\u22a2 LinearIndependent R fun (x : ↑(⋃₀ s)) => ↑x
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set (Set M)
hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ a ∈ s, LinearIndependent (ι := { x // x ∈ a }) R Subtype.val
\u22a2 LinearIndependent R fun (x : ↑(⋃ i, ↑i)) => ↑x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
u v : R
\u22a2 W'.addX (u • P) (v • Q) = ((u * v) ^ 2) ^ 2 * W'.addX P Q