ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
m : Fin 1 → E
\u22a2 (iteratedFDerivWithin 𝕜 1 f s x) m = (fderivWithin 𝕜 f s x) (m 0)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
m : Fin 1 → E
\u22a2 (((↑{ toLinearEquiv := (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).comp (fderivWithin 𝕜 f s x)) (m 0)) (tail m) = (fderivWithin 𝕜 f s x) (m 0)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q✝ : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
U V : Opens M
hUV : U ≤ V
x : ↑↑U
\u22a2 LiftPropAt Q (id ∘ inclusion hUV) x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q✝ : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
U V : Opens M
hUV : U ≤ V
x : ↑↑U
\u22a2 LiftPropAt Q id (inclusion hUV x)
-- Mathlib/Order/Filter/CountableInter.lean
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
ι : Type u_4
S : Set ι
hS : S.Countable
s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α
h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ≤ᶠ[l] t i hi
\u22a2 ⋃ i, ⋃ (h : i ∈ S), s i h ≤ᶠ[l] ⋃ i, ⋃ (h : i ∈ S), t i h
-- Mathlib/Order/Filter/CountableInter.lean
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
ι : Type u_4
S : Set ι
hS : S.Countable
s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α
h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ≤ᶠ[l] t i hi
\u22a2 ⋃ x, s ↑x ⋯ ≤ᶠ[l] ⋃ x, t ↑x ⋯
-- Mathlib/Order/Filter/CountableInter.lean
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
ι : Type u_4
S : Set ι
hS : S.Countable
s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α
h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ≤ᶠ[l] t i hi
this : Encodable ↑S
\u22a2 ⋃ x, s ↑x ⋯ ≤ᶠ[l] ⋃ x, t ↑x ⋯
-- Mathlib/Data/Matrix/RowCol.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝ : DecidableEq m
f : α → β
i✝ : m
j✝ : n
\u22a2 (M.updateRow i b).map f i✝ j✝ = (M.map f).updateRow i (f ∘ b) i✝ j✝
-- Mathlib/Data/Matrix/RowCol.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝ : DecidableEq m
f : α → β
i✝ : m
j✝ : n
\u22a2 f (if i✝ = i then b j✝ else M i✝ j✝) = if i✝ = i then (f ∘ b) j✝ else f (M i✝ j✝)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R
\u22a2 (1 + X • M.map ⇑C).det.coeff 1 = M.trace
-- Mathlib/Condensed/TopCatAdjunction.lean
X✝ : CondensedSet
X : TopCat
\u22a2 Continuous fun x => x.toFun PUnit.unit
-- Mathlib/Condensed/TopCatAdjunction.lean
X✝ : CondensedSet
X : TopCat
\u22a2 Continuous ((fun x => x.toFun PUnit.unit) ∘ CondensedSet.coinducingCoprod X.toCondensedSet)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/SingleFunctors.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.27949, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.27953, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
a : A
X : C
\u22a2 (F.shiftIso 0 a a ⋯).inv.app X = (shiftFunctorZero D A).inv.app ((F.functor a).toPrefunctor.1 X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/SingleFunctors.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.27949, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.27953, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
a : A
X : C
\u22a2 (isoWhiskerLeft (F.functor a) (shiftFunctorZero D A)).inv.app X = (shiftFunctorZero D A).inv.app ((F.functor a).toPrefunctor.1 X)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Opposite.lean
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.24226, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X✝ Y✝ : (HomologicalComplex V c)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
i j : ι
x✝ : c.symm.Rel i j
\u22a2 (fun i => (f.unop.f i).op) i ≫ ((fun X => (unop X).op) Y✝).d i j = ((fun X => (unop X).op) X✝).d i j ≫ (fun i => (f.unop.f i).op) j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/RankNullity.lean
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
f : M →ₗ[R] M'
h : Surjective ⇑f
\u22a2 lift.{v, u} (Module.rank R M) = lift.{u, v} (Module.rank R M') + lift.{v, u} (Module.rank R ↥(LinearMap.ker f))
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
\u22a2 QuotientAddGroup.mk '' Ico a (a + p) = univ
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
hab : a ≠ b
ha : a ∉ s
hb : b ∉ s
\u22a2 cons a s ha \ cons b s hb = {a}
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
ht : t ∈ 𝓝[s] x
\u22a2 MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ t) x ↔ MDifferentiableWithinAt I I' f s x
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/SeparableDegree.lean
F : Type u_1
inst✝ : CommSemiring F
q : ℕ
f✝ : F[X]
hf✝ : HasSeparableContraction q f✝
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction 1 f
\u22a2 hf.degree = f.natDegree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/SeparableDegree.lean
F : Type u_1
inst✝ : CommSemiring F
q : ℕ
f✝ : F[X]
hf✝ : HasSeparableContraction q f✝
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction 1 f
a : ℕ
ha : hf.degree * 1 ^ a = f.natDegree
\u22a2 hf.degree = f.natDegree
-- Mathlib/Topology/Algebra/WithZeroTopology.lean
α : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ γ₁ γ₂ : Γ₀
l : Filter α
f : α → Γ₀
s : Set Γ₀
\u22a2 IsClosed s ↔ 0 ∈ s ∨ ∃ γ, γ ≠ 0 ∧ s ⊆ Ici γ
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
β : OreLocalization S X → Prop
c : ∀ (r : X) (s : ↥S), β (r /ₒ s)
\u22a2 ∀ (q : OreLocalization S X), β q
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
β : OreLocalization S X → Prop
c : ∀ (r : X) (s : ↥S), β (r /ₒ s)
\u22a2 ∀ (a : X × ↥S), β ⟦a⟧
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
x y : α
\u22a2 (x, y) ∈ filter (fun x => match x with | (x, y) => G.Adj x y ∧ ¬(regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).Adj x y) (A ×ˢ A) → (x, y) ∈ ((P.nonUniforms G (ε / 8)).biUnion fun x => match x with | (U, V) => U ×ˢ V) ∪ P.parts.biUnion offDiag ∪ (P.sparsePairs G (ε / 4)).biUnion fun x => match x with | (U, V) => G.interedges U V
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
x y : α
\u22a2 x ∈ A → y ∈ A → G.Adj x y → (G.Adj x y → ∀ x_1 ∈ P.parts, ∀ x_2 ∈ P.parts, x ∈ x_1 → y ∈ x_2 → x_1 ≠ x_2 → G.IsUniform (ε / 8) x_1 x_2 → ↑(G.edgeDensity x_1 x_2) < ε / 4) → (∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ¬G.IsUniform (ε / 8) a b ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b) ∨ (∃ a ∈ P.parts, x ∈ a ∧ y ∈ a ∧ x ≠ y) ∨ ∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ↑(G.edgeDensity a b) < ε / 4 ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b ∧ G.Adj x y
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
x y : α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ A
h : G.Adj x y
h' : ∀ x_1 ∈ P.parts, ∀ x_2 ∈ P.parts, x ∈ x_1 → y ∈ x_2 → x_1 ≠ x_2 → G.IsUniform (ε / 8) x_1 x_2 → ↑(G.edgeDensity x_1 x_2) < ε / 4
\u22a2 (∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ¬G.IsUniform (ε / 8) a b ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b) ∨ (∃ a ∈ P.parts, x ∈ a ∧ y ∈ a ∧ x ≠ y) ∨ ∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ↑(G.edgeDensity a b) < ε / 4 ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b ∧ G.Adj x y
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
x y : α
hx✝ : x ∈ A
hy : y ∈ A
h : G.Adj x y
h' : ∀ x_1 ∈ P.parts, ∀ x_2 ∈ P.parts, x ∈ x_1 → y ∈ x_2 → x_1 ≠ x_2 → G.IsUniform (ε / 8) x_1 x_2 → ↑(G.edgeDensity x_1 x_2) < ε / 4
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
hx : x ∈ U
\u22a2 (∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ¬G.IsUniform (ε / 8) a b ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b) ∨ (∃ a ∈ P.parts, x ∈ a ∧ y ∈ a ∧ x ≠ y) ∨ ∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ↑(G.edgeDensity a b) < ε / 4 ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b ∧ G.Adj x y
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
x y : α
hx✝ : x ∈ A
hy✝ : y ∈ A
h : G.Adj x y
h' : ∀ x_1 ∈ P.parts, ∀ x_2 ∈ P.parts, x ∈ x_1 → y ∈ x_2 → x_1 ≠ x_2 → G.IsUniform (ε / 8) x_1 x_2 → ↑(G.edgeDensity x_1 x_2) < ε / 4
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
hx : x ∈ U
V : Finset α
hV : V ∈ P.parts
hy : y ∈ V
\u22a2 (∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ¬G.IsUniform (ε / 8) a b ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b) ∨ (∃ a ∈ P.parts, x ∈ a ∧ y ∈ a ∧ x ≠ y) ∨ ∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ↑(G.edgeDensity a b) < ε / 4 ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b ∧ G.Adj x y
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
x y : α
hx✝ : x ∈ A
hy✝ : y ∈ A
h : G.Adj x y
h' : ∀ x_1 ∈ P.parts, ∀ x_2 ∈ P.parts, x ∈ x_1 → y ∈ x_2 → x_1 ≠ x_2 → G.IsUniform (ε / 8) x_1 x_2 → ↑(G.edgeDensity x_1 x_2) < ε / 4
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
hx : x ∈ U
hV : U ∈ P.parts
hy : y ∈ U
\u22a2 (∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ¬G.IsUniform (ε / 8) a b ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b) ∨ (∃ a ∈ P.parts, x ∈ a ∧ y ∈ a ∧ x ≠ y) ∨ ∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ↑(G.edgeDensity a b) < ε / 4 ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b ∧ G.Adj x y
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
x y : α
hx✝ : x ∈ A
hy✝ : y ∈ A
h : G.Adj x y
h' : ∀ x_1 ∈ P.parts, ∀ x_2 ∈ P.parts, x ∈ x_1 → y ∈ x_2 → x_1 ≠ x_2 → G.IsUniform (ε / 8) x_1 x_2 → ↑(G.edgeDensity x_1 x_2) < ε / 4
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
hx : x ∈ U
V : Finset α
hV : V ∈ P.parts
hy : y ∈ V
hUV : U ≠ V
\u22a2 (∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ¬G.IsUniform (ε / 8) a b ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b) ∨ (∃ a ∈ P.parts, x ∈ a ∧ y ∈ a ∧ x ≠ y) ∨ ∃ a b, a ∈ P.parts ∧ b ∈ P.parts ∧ a ≠ b ∧ ↑(G.edgeDensity a b) < ε / 4 ∧ x ∈ a ∧ y ∈ b ∧ G.Adj x y
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c
\u22a2 c * c = c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c
\u22a2 c * c ≤ c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c✝ : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c✝
c : Cardinal.{u_1}
x✝ : ∀ y < c, Acc (fun x x_1 => x < x_1) y
α : Type u_1
IH : ∀ y < ⟦α⟧, ℵ₀ ≤ y → y * y ≤ y
ol : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
\u22a2 ⟦α⟧ * ⟦α⟧ ≤ ⟦α⟧
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c✝ : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c✝
c : Cardinal.{u_1}
x✝ : ∀ y < c, Acc (fun x x_1 => x < x_1) y
α : Type u_1
IH : ∀ y < ⟦α⟧, ℵ₀ ≤ y → y * y ≤ y
ol : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
e : (#α).ord = type r
\u22a2 ⟦α⟧ * ⟦α⟧ ≤ ⟦α⟧
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c✝ : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c✝
c : Cardinal.{u_1}
x✝ : ∀ y < c, Acc (fun x x_1 => x < x_1) y
α : Type u_1
IH : ∀ y < ⟦α⟧, ℵ₀ ≤ y → y * y ≤ y
ol : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
e : (#α).ord = type r
this✝ : LinearOrder α := linearOrderOfSTO r
this : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
g : α × α → α := fun p => max p.1 p.2
f : α × α ↪ Ordinal.{u_1} × α × α := { toFun := fun p => (typein (fun x x_1 => x < x_1) (g p), p), inj' := ⋯ }
s : α × α → α × α → Prop := ⇑f ⁻¹'o Prod.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (Prod.Lex (fun x x_1 => x < x_1) fun x x_1 => x < x_1)
\u22a2 ⟦α⟧ * ⟦α⟧ ≤ ⟦α⟧
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c✝ : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c✝
c : Cardinal.{u_1}
x✝ : ∀ y < c, Acc (fun x x_1 => x < x_1) y
α : Type u_1
IH : ∀ y < ⟦α⟧, ℵ₀ ≤ y → y * y ≤ y
ol : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
e : (#α).ord = type r
this✝¹ : LinearOrder α := linearOrderOfSTO r
this✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
g : α × α → α := fun p => max p.1 p.2
f : α × α ↪ Ordinal.{u_1} × α × α := { toFun := fun p => (typein (fun x x_1 => x < x_1) (g p), p), inj' := ⋯ }
s : α × α → α × α → Prop := ⇑f ⁻¹'o Prod.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (Prod.Lex (fun x x_1 => x < x_1) fun x x_1 => x < x_1)
this : IsWellOrder (α × α) s
\u22a2 ⟦α⟧ * ⟦α⟧ ≤ ⟦α⟧
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c✝ : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c✝
c : Cardinal.{u_1}
x✝ : ∀ y < c, Acc (fun x x_1 => x < x_1) y
α : Type u_1
IH : ∀ y < ⟦α⟧, ℵ₀ ≤ y → y * y ≤ y
ol : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
e : (#α).ord = type r
this✝¹ : LinearOrder α := linearOrderOfSTO r
this✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
g : α × α → α := fun p => max p.1 p.2
f : α × α ↪ Ordinal.{u_1} × α × α := { toFun := fun p => (typein (fun x x_1 => x < x_1) (g p), p), inj' := ⋯ }
s : α × α → α × α → Prop := ⇑f ⁻¹'o Prod.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (Prod.Lex (fun x x_1 => x < x_1) fun x x_1 => x < x_1)
this : IsWellOrder (α × α) s
\u22a2 type s ≤ type r
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c✝ : Cardinal.{u_1}
h✝ : ℵ₀ ≤ c✝
c : Cardinal.{u_1}
x✝ : ∀ y < c, Acc (fun x x_1 => x < x_1) y
α : Type u_1
IH : ∀ y < ⟦α⟧, ℵ₀ ≤ y → y * y ≤ y
ol : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
e : (#α).ord = type r
this✝¹ : LinearOrder α := linearOrderOfSTO r
this✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
g : α × α → α := fun p => max p.1 p.2
f : α × α ↪ Ordinal.{u_1} × α × α := { toFun := fun p => (typein (fun x x_1 => x < x_1) (g p), p), inj' := ⋯ }
s : α × α → α × α → Prop := ⇑f ⁻¹'o Prod.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (Prod.Lex (fun x x_1 => x < x_1) fun x x_1 => x < x_1)
this : IsWellOrder (α × α) s
o : Ordinal.{u_1}
h : o < type s
\u22a2 o < type r
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c✝ : Cardinal.{u_1}
h✝ : ℵ₀ ≤ c✝
c : Cardinal.{u_1}
x✝ : ∀ y < c, Acc (fun x x_1 => x < x_1) y
α : Type u_1
IH : ∀ y < ⟦α⟧, ℵ₀ ≤ y → y * y ≤ y
ol : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
e : (#α).ord = type r
this✝¹ : LinearOrder α := linearOrderOfSTO r
this✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
g : α × α → α := fun p => max p.1 p.2
f : α × α ↪ Ordinal.{u_1} × α × α := { toFun := fun p => (typein (fun x x_1 => x < x_1) (g p), p), inj' := ⋯ }
s : α × α → α × α → Prop := ⇑f ⁻¹'o Prod.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (Prod.Lex (fun x x_1 => x < x_1) fun x x_1 => x < x_1)
this : IsWellOrder (α × α) s
p : α × α
h : typein s p < type s
\u22a2 typein s p < type r
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c✝ : Cardinal.{u_1}
h✝ : ℵ₀ ≤ c✝
c : Cardinal.{u_1}
x✝ : ∀ y < c, Acc (fun x x_1 => x < x_1) y
α : Type u_1
IH : ∀ y < ⟦α⟧, ℵ₀ ≤ y → y * y ≤ y
ol : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
e : (#α).ord = type r
this✝¹ : LinearOrder α := linearOrderOfSTO r
this✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
g : α × α → α := fun p => max p.1 p.2
f : α × α ↪ Ordinal.{u_1} × α × α := { toFun := fun p => (typein (fun x x_1 => x < x_1) (g p), p), inj' := ⋯ }
s : α × α → α × α → Prop := ⇑f ⁻¹'o Prod.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (Prod.Lex (fun x x_1 => x < x_1) fun x x_1 => x < x_1)
this : IsWellOrder (α × α) s
p : α × α
h : typein s p < type s
\u22a2 (typein s p).card < #α
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/Cartesian.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝ : p.IsStronglyCartesian f φ
\u22a2 map p f φ ⋯ φ = 𝟙 a
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/Cartesian.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a✝ b✝ : 𝒳
φ : a✝ ⟶ b✝
R S : 𝒮
a b : 𝒳
inst✝ : p.IsStronglyCartesian (p.map φ) φ
\u22a2 map p (p.map φ) φ ⋯ φ = 𝟙 a✝
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/Cartesian.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a✝ b✝ : 𝒳
φ : a✝ ⟶ b✝
R S : 𝒮
a b : 𝒳
inst✝ : p.IsStronglyCartesian (p.map φ) φ
\u22a2 𝟙 a✝ = map p (p.map φ) φ ⋯ φ
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/Cartesian.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a✝ b✝ : 𝒳
φ : a✝ ⟶ b✝
R S : 𝒮
a b : 𝒳
inst✝ : p.IsStronglyCartesian (p.map φ) φ
\u22a2 𝟙 a✝ ≫ φ = φ
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite
\u22a2 ∃ M' N', ∃ (hM : M' ≤ M₁) (hN : N' ≤ N₁), Module.Finite R ↥M' ∧ Module.Finite R ↥N' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (map (inclusion hM) (inclusion hN)))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite
M' : Submodule R ↥M₁
N' : Submodule R ↥N₁
left✝¹ : Module.Finite R ↥M'
left✝ : Module.Finite R ↥N'
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
\u22a2 ∃ M' N', ∃ (hM : M' ≤ M₁) (hN : N' ≤ N₁), Module.Finite R ↥M' ∧ Module.Finite R ↥N' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (map (inclusion hM) (inclusion hN)))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite
M' : Submodule R ↥M₁
N' : Submodule R ↥N₁
left✝¹ : Module.Finite R ↥M'
left✝ : Module.Finite R ↥N'
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
hM : Submodule.map M₁.subtype M' ≤ M₁
\u22a2 ∃ M' N', ∃ (hM : M' ≤ M₁) (hN : N' ≤ N₁), Module.Finite R ↥M' ∧ Module.Finite R ↥N' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (map (inclusion hM) (inclusion hN)))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite
M' : Submodule R ↥M₁
N' : Submodule R ↥N₁
left✝¹ : Module.Finite R ↥M'
left✝ : Module.Finite R ↥N'
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
hM : Submodule.map M₁.subtype M' ≤ M₁
hN : Submodule.map N₁.subtype N' ≤ N₁
\u22a2 ∃ M' N', ∃ (hM : M' ≤ M₁) (hN : N' ≤ N₁), Module.Finite R ↥M' ∧ Module.Finite R ↥N' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (map (inclusion hM) (inclusion hN)))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite
M' : Submodule R ↥M₁
N' : Submodule R ↥N₁
left✝¹ : Module.Finite R ↥M'
left✝ : Module.Finite R ↥N'
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' N'))
hM : Submodule.map M₁.subtype M' ≤ M₁
hN : Submodule.map N₁.subtype N' ≤ N₁
\u22a2 s ⊆ ↑(LinearMap.range (map (inclusion hM) (inclusion hN)))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite
M' : Submodule R ↥M₁
N' : Submodule R ↥N₁
left✝¹ : Module.Finite R ↥M'
left✝ : Module.Finite R ↥N'
hM : Submodule.map M₁.subtype M' ≤ M₁
hN : Submodule.map N₁.subtype N' ≤ N₁
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (map (inclusion hM) (inclusion hN) ∘ₗ map (M₁.subtype.submoduleMap M') (N₁.subtype.submoduleMap N')))
\u22a2 s ⊆ ↑(LinearMap.range (map (inclusion hM) (inclusion hN)))
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Fin.lean
n : ℕ
a : Fin n
x : ℕ
\u22a2 x ∈ map valEmbedding (Ioi a) ↔ x ∈ Ioc (↑a) (n - 1)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Fin.lean
n : ℕ
a : Fin n
x : ℕ
\u22a2 (∃ a_1, a < a_1 ∧ valEmbedding a_1 = x) ↔ ↑a < x ∧ x ≤ n - 1
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Basic.lean
R S Rₘ Sₘ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : CommRing Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R Sₘ
inst✝⁷ : Algebra S Sₘ
inst✝⁶ : Algebra R Rₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) Sₘ
inst✝ : FormallyUnramified R S
\u22a2 FormallyUnramified Rₘ Sₘ