ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Periodic.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
t : ℝ
f : AddCircle T → E
m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))
this : ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map (fun x => ↑↑x) volume = ∫ (x : ↑(Ioc t (t + T))), f ↑↑x
\u22a2 ∫ (a : ℝ) in Ioc t (t + T), f ↑a = ∫ (b : AddCircle T), f b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Periodic.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
t : ℝ
f : AddCircle T → E
m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))
this : ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map (fun x => ↑↑x) volume = ∫ (x : ↑(Ioc t (t + T))), f ↑↑x
\u22a2 ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map (fun x => ↑↑x) volume = ∫ (b : AddCircle T), f b ∂Measure.map QuotientAddGroup.mk (volume.restrict (Ioc t (t + T)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Periodic.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
t : ℝ
f : AddCircle T → E
m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))
this✝ : ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map (fun x => ↑↑x) volume = ∫ (x : ↑(Ioc t (t + T))), f ↑↑x
this : (fun x => ↑↑x) = QuotientAddGroup.mk ∘ Subtype.val
\u22a2 ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map (QuotientAddGroup.mk ∘ Subtype.val) volume = ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map QuotientAddGroup.mk (volume.restrict (Ioc t (t + T)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Periodic.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
t : ℝ
f : AddCircle T → E
m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))
this✝ : ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map (fun x => ↑↑x) volume = ∫ (x : ↑(Ioc t (t + T))), f ↑↑x
this : (fun x => ↑↑x) = QuotientAddGroup.mk ∘ Subtype.val
\u22a2 ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map QuotientAddGroup.mk (Measure.map Subtype.val volume) = ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map QuotientAddGroup.mk (Measure.map Subtype.val (Measure.comap Subtype.val volume))
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α✝ : Type u_1
R : α✝ → α✝ → Prop
a : α✝
l : List α✝
p : Pairwise R (a :: l)
\u22a2 Chain R a l
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α✝ : Type u_1
R : α✝ → α✝ → Prop
a : α✝
l : List α✝
p : Pairwise R (a :: l)
r : ∀ (a' : α✝), a' ∈ l → R a a'
p' : Pairwise R l
\u22a2 Chain R a l
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α✝ : Type u_1
R : α✝ → α✝ → Prop
a : α✝
l : List α✝
r : ∀ (a' : α✝), a' ∈ l → R a a'
p' : Pairwise R l
\u22a2 Chain R a l
-- Mathlib/RingTheory/Regular/IsSMulRegular.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M''
I : Ideal R
N : Submodule R M
r✝ : R
M''' : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup M'''
inst✝ : Module R M'''
r : R
f₁ : M →ₗ[R] M'
f₂ : M' →ₗ[R] M''
f₃ : M'' →ₗ[R] M'''
h₁₂ : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
h₂₃ : Exact ⇑f₂ ⇑f₃
h : IsSMulRegular M''' r
this : IsSMulRegular (M'' ⧸ LinearMap.range f₂) r
\u22a2 Exact ⇑((r • ⊤).mapQ (r • ⊤) f₁ ⋯) ⇑((r • ⊤).mapQ (r • ⊤) f₂ ⋯)
-- Mathlib/RingTheory/Regular/IsSMulRegular.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M''
I : Ideal R
N : Submodule R M
r✝ : R
M''' : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup M'''
inst✝ : Module R M'''
r : R
f₁ : M →ₗ[R] M'
f₂ : M' →ₗ[R] M''
f₃ : M'' →ₗ[R] M'''
h₁₂ : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
h₂₃ : Exact ⇑f₂ ⇑f₃
h : IsSMulRegular M''' r
this : IsSMulRegular (M'' ⧸ LinearMap.range f₂) r
\u22a2 r • ⊤ ⊓ LinearMap.range f₂ ≤ r • LinearMap.range f₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y Z : T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
\u22a2 map (f ≫ g) = map g ⋙ map f
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y Z : T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
\u22a2 ∀ (X_1 : Under Z), (map (f ≫ g)).obj X_1 = (map g ⋙ map f).obj X_1
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y Z : T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
\u22a2 autoParam (∀ (X_1 Y_1 : Under Z) (f_1 : X_1 ⟶ Y_1), (map (f ≫ g)).map f_1 = eqToHom ⋯ ≫ (map g ⋙ map f).map f_1 ≫ eqToHom ⋯) _auto✝
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
\u22a2 IntegrableOn (fun t => ↑t ^ a) (Ioi c) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
\u22a2 IntegrableOn (fun a_1 => ‖↑a_1 ^ a‖) (Ioi c) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c
\u22a2 AEStronglyMeasurable (fun t => ↑t ^ a) (volume.restrict (Ioi c))
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option β
g : α → β
a : α
l : List α
ih : filterMap f l = map g l → ∀ (x : α), x ∈ l → f x = some (g x)
\u22a2 filterMap f (a :: l) = map g (a :: l) → ∀ (x : α), x ∈ a :: l → f x = some (g x)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option β
g : α → β
a : α
l : List α
ih : filterMap f l = map g l → ∀ (x : α), x ∈ l → f x = some (g x)
ha : f a = none
\u22a2 ¬filterMap f l = g a :: map g l
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option β
g : α → β
a : α
l : List α
ih : filterMap f l = map g l → ∀ (x : α), x ∈ l → f x = some (g x)
b : β
ha : f a = some b
\u22a2 b = g a → filterMap f l = map g l → b = g a ∧ ∀ (a : α), a ∈ l → f a = some (g a)
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : StrictConvexSpace 𝕜 E
x : E
r : ℝ
\u22a2 StrictConvex 𝕜 (closedBall x r)
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : StrictConvexSpace 𝕜 E
x : E
r : ℝ
hr : r ≤ 0
\u22a2 StrictConvex 𝕜 (closedBall x r)
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : StrictConvexSpace 𝕜 E
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
\u22a2 StrictConvex 𝕜 (closedBall x r)
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : StrictConvexSpace 𝕜 E
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
\u22a2 StrictConvex 𝕜 (x +ᵥ closedBall 0 r)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
fint : IntegrableOn f (Ioi a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
\u22a2 Tendsto f atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
fint : IntegrableOn f (Ioi a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
\u22a2 Tendsto f atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
fint : IntegrableOn f (Ioi a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Ioi a) volume
\u22a2 Tendsto f atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
fint : IntegrableOn f (Ioi a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Ioi a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Ioi a) volume
\u22a2 Tendsto f atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
fint : IntegrableOn f (Ioi a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Ioi a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Ioi a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atTop (𝓝 (limUnder atTop (⇑F ∘ f)))
\u22a2 Tendsto f atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
fint : IntegrableOn f (Ioi a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Ioi a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Ioi a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atTop (𝓝 (limUnder atTop (⇑F ∘ f)))
B : limUnder atTop (⇑F ∘ f) = F 0
\u22a2 Tendsto f atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
fint : IntegrableOn f (Ioi a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Ioi a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Ioi a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atTop (𝓝 (F 0))
B : limUnder atTop (⇑F ∘ f) = F 0
\u22a2 Embedding ⇑F
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α β : X ≅ Y
w : α.hom = β.hom
\u22a2 α.inv = α.inv ≫ β.hom ≫ β.inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α β : X ≅ Y
w : α.hom = β.hom
\u22a2 α.inv ≫ β.hom ≫ β.inv = (α.inv ≫ α.hom) ≫ β.inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α β : X ≅ Y
w : α.hom = β.hom
\u22a2 (α.inv ≫ α.hom) ≫ β.inv = β.inv
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
ι : Type u_1
I J : Ideal R
coprime : IsCoprime I J
\u22a2 (fst (R ⧸ I) (R ⧸ J)).comp ↑(I.quotientInfEquivQuotientProd J coprime) = factor (I ⊓ J) I ⋯
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
ι : Type u_1
I J : Ideal R
coprime : IsCoprime I J
\u22a2 ((fst (R ⧸ I) (R ⧸ J)).comp ↑(I.quotientInfEquivQuotientProd J coprime)).comp (Quotient.mk (I ⊓ J)) = (factor (I ⊓ J) I ⋯).comp (Quotient.mk (I ⊓ J))
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Module.lean
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝⁹ : CommRing Rₛ
inst✝⁸ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
Mₛ : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup Mₛ
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ inst✝³ : Module R Mₛ
inst✝² : Module Rₛ Mₛ
f : M →ₗ[R] Mₛ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : IsScalarTower R Rₛ Mₛ
ι : Type u_5
b : Basis ι R M
m : M
i : ι
\u22a2 ((ofIsLocalizedModule Rₛ S f b).repr (f m)) i = (algebraMap R Rₛ) ((b.repr m) i)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Module.lean
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝⁹ : CommRing Rₛ
inst✝⁸ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
Mₛ : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup Mₛ
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ inst✝³ : Module R Mₛ
inst✝² : Module Rₛ Mₛ
f : M →ₗ[R] Mₛ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : IsScalarTower R Rₛ Mₛ
ι : Type u_5
b : Basis ι R M
m : M
i : ι
\u22a2 ↑R ↑(ofIsLocalizedModule Rₛ S f b).repr ∘ₗ f = Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap R Rₛ) ∘ₗ ↑b.repr
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Module.lean
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝⁹ : CommRing Rₛ
inst✝⁸ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
Mₛ : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup Mₛ
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ inst✝³ : Module R Mₛ
inst✝² : Module Rₛ Mₛ
f : M →ₗ[R] Mₛ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : IsScalarTower R Rₛ Mₛ
ι : Type u_5
b : Basis ι R M
m : M
i✝ i : ι
\u22a2 (↑R ↑(ofIsLocalizedModule Rₛ S f b).repr ∘ₗ f) (b i) = (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap R Rₛ) ∘ₗ ↑b.repr) (b i)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Basic.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
ht : t ∈ 𝓝 x
\u22a2 (fderivWithin 𝕜 f (s ∩ t) x) 1 = (fderivWithin 𝕜 f s x) 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁷ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F M M₂
inst✝³ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
inst✝² : SetLike S M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass S M
inst✝ : SMulMemClass S R M
s : S
\u22a2 ↑(span R ↑s) = ↑s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁷ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F M M₂
inst✝³ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
inst✝² : SetLike S M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass S M
inst✝ : SMulMemClass S R M
s : S
\u22a2 ↑(span R ↑s) ≤ ↑s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁷ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F M M₂
inst✝³ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
inst✝² : SetLike S M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass S M
inst✝ : SMulMemClass S R M
s : S
s' : Submodule R M := { carrier := ↑s, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, smul_mem' := ⋯ }
\u22a2 ↑(span R ↑s) ≤ ↑s
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
x n m : ℕ
x✝ : x ∣ n * m
y : ℕ
hy : n * m = x * y
\u22a2 x ∣ x.gcd n * m
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
x n m : ℕ
x✝ : x ∣ n * m
y : ℕ
hy : n * m = x * y
\u22a2 x ∣ x * m.gcd y
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
hνs : ν s ≠ ⊤
x : F
\u22a2 (weightedSMul (μ + ν) s) x = (⇑(weightedSMul μ s) + ⇑(weightedSMul ν s)) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
hνs : ν s ≠ ⊤
x : F
\u22a2 ((μ + ν) s).toReal • x = (μ s).toReal • x + (ν s).toReal • x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
hνs : ν s ≠ ⊤
x : F
\u22a2 ((⇑μ + ⇑ν) s).toReal • x = (μ s).toReal • x + (ν s).toReal • x
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
S : Finset Λ'
f✝ : Γ → Stmt Bool Λ' σ
this : ∀ (i : ℕ) (f : Vector Bool i → Stmt Bool Λ' σ), (∀ (v : Vector Bool i), SupportsStmt S (f v)) → SupportsStmt S (readAux i f)
hf : ∀ (a : Γ), SupportsStmt S (f✝ a)
v✝ : Vector Bool n
\u22a2 SupportsStmt S (move Dir.left (f✝ (dec v✝)))
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Commute.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
hac : Commute a c
hbc : Commute b c
\u22a2 Commute (a / b) c
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Commute.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
hac : Commute a c
hbc : Commute b c
\u22a2 Commute (a * b⁻¹) c
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
s n : Nat
\u22a2 range' s (n + 1) = range' s n ++ [s + n]
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝⁴ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝³ : DecidableEq (Associates α)
inst✝² : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
p : Associates α
hp : Irreducible p
\u22a2 p.count p.factors = 1
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
S₁ S₂ : Split C
Φ : S₁ ⟶ S₂
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : Splitting.IndexSet Δ
\u22a2 (S₁.s.cofan Δ).inj A ≫ Φ.F.app Δ = Φ.f (unop A.fst).len ≫ (S₂.s.cofan Δ).inj A
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n p : ℕ
\u22a2 Squarefree 2
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
s✝ : Finset ι
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → R
\u22a2 (∏ i ∈ s, (X - C (f i))).nextCoeff = -∑ i ∈ s, f i
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g'✝ g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
f f' g g' : ℝ → ℝ
hf : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt f (f' x) x
hg : ∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt g (g' (f x)) (f x)
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg' : Continuous g'
\u22a2 ∫ (x : ℝ) in a..b, (g' ∘ f) x * f' x = (g ∘ f) b - (g ∘ f) a
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
\u22a2 borel ℝ = generateFrom (⋃ a, {Ici ↑a})
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
\u22a2 generateFrom (range fun a => Iio ↑a) = generateFrom (range fun a => Ici ↑a)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
i : ZeroHom R R'
j : M ≃+ M'
hi : Bijective ⇑i
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
x✝¹ : R
x✝ : i x✝¹ = 0
\u22a2 i x✝¹ = i 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
i : ZeroHom R R'
j : M ≃+ M'
hi : Bijective ⇑i
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
x✝¹ : R
x✝ : M'
\u22a2 i x✝¹ • x✝ = j (x✝¹ • ↑j.symm x✝)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
\u22a2 Function.Bijective ⇑(lTensor M f) ↔ Function.Bijective ⇑(rTensor M f)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
\u22a2 C ↑v * (C ↑u * X ^ (m + n) + C ↑w * X ^ (n - m + k + n)) = { toFinsupp := Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (p * p.mirror).toFinsupp }
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n
\u22a2 C ↑v * (C ↑u * X ^ (m + n) + C ↑w * X ^ (n - m + k + n)) = { toFinsupp := Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (p * p.mirror).toFinsupp }
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n
\u22a2 C ↑v * (C ↑u * X ^ (m + n) + C ↑w * X ^ (n - m + k + n)) = { toFinsupp := Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (trinomial k m n ↑u ↑v ↑w * trinomial k (n - m + k) n ↑w ↑v ↑u).toFinsupp }
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n
\u22a2 C ↑v * (monomial (m + n)) ↑u + C ↑v * (monomial (n - m + k + n)) ↑w = { toFinsupp := Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (Finsupp.single (k + k) (↑u * ↑w) + Finsupp.single (k + (n - m + k)) (↑u * ↑v) + Finsupp.single (k + n) (↑u * ↑u) + (Finsupp.single (m + k) (↑v * ↑w) + Finsupp.single (m + (n - m + k)) (↑v * ↑v) + Finsupp.single (m + n) (↑v * ↑u)) + (Finsupp.single (n + k) (↑w * ↑w) + Finsupp.single (n + (n - m + k)) (↑w * ↑v) + Finsupp.single (n + n) (↑w * ↑u))) }
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n
\u22a2 C ↑v * (monomial (m + n)) ↑u + C ↑v * (monomial (n - m + k + n)) ↑w = { toFinsupp := Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (Finsupp.single (k + k) (↑u * ↑w)) + Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (Finsupp.single (k + (n - m + k)) (↑u * ↑v)) + Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (Finsupp.single (k + n) (↑u * ↑u)) + (Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (Finsupp.single (m + k) (↑v * ↑w)) + Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (Finsupp.single (m + (n - m + k)) (↑v * ↑v)) + Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (Finsupp.single (m + n) (↑v * ↑u))) + (Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (Finsupp.single (n + k) (↑w * ↑w)) + Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (Finsupp.single (n + (n - m + k)) (↑w * ↑v)) + Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) (Finsupp.single (n + n) (↑w * ↑u))) }
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n
\u22a2 C ↑v * (monomial (m + n)) ↑u + C ↑v * (monomial (n - m + k + n)) ↑w = { toFinsupp := 0 + 0 + 0 + (0 + 0 + Finsupp.single (m + n) (↑v * ↑u)) + (0 + Finsupp.single (n + (n - m + k)) (↑w * ↑v) + 0) }
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n
\u22a2 n + n ∉ Set.Ioo (k + n) (n + n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n
\u22a2 n + (n - m + k) ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
key : n - m + k < n
\u22a2 n + k ∉ Set.Ioo (k + n) (n + n)