ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²³ : Semiring R₁
inst✝²² : Semiring R₂
inst✝²¹ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M₂
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝¹² : TopologicalSpace M₄
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₄
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M'₁
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
inst✝⁶ : RingHomSurjective σ₁₂
inst✝⁵ : TopologicalSpace R₁
inst✝⁴ : TopologicalSpace R₂
inst✝³ : ContinuousSMul R₁ M₁
inst✝² : ContinuousAdd M₁
inst✝¹ : ContinuousSMul R₂ M₂
inst✝ : ContinuousAdd M₂
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hf' : DenseRange ⇑f
s : Submodule R₁ M₁
hs : ↑s.topologicalClosure = ↑⊤
\u22a2 ↑(Submodule.map (↑f) s).topologicalClosure = ↑⊤
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²³ : Semiring R₁
inst✝²² : Semiring R₂
inst✝²¹ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M₂
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝¹² : TopologicalSpace M₄
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₄
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M'₁
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
inst✝⁷ : Module R₃ M₃
inst✝⁶ : RingHomSurjective σ₁₂
inst✝⁵ : TopologicalSpace R₁
inst✝⁴ : TopologicalSpace R₂
inst✝³ : ContinuousSMul R₁ M₁
inst✝² : ContinuousAdd M₁
inst✝¹ : ContinuousSMul R₂ M₂
inst✝ : ContinuousAdd M₂
f : M₁ →SL[σ₁₂] M₂
hf' : DenseRange ⇑f
s : Submodule R₁ M₁
hs : Dense ↑s
\u22a2 Dense ↑(Submodule.map (↑f) s)
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : LowerSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → LowerSet α
\u22a2 (⨅ i, ⨅ j, f i j).compl = ⨅ i, ⨅ j, (f i j).compl
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Group α
inst✝² : LinearOrder α
a✝¹ b✝¹ : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ c : α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
\u22a2 max a b / min a b = mabs (b / a)
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s : Set ι
this : aeval (x ∘ Subtype.val) = (aeval x).comp (rename Subtype.val)
\u22a2 AlgebraicIndependent R (x ∘ Subtype.val) ↔ ∀ p ∈ supported R s, (aeval x) p = 0 → p = 0
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s : Set ι
this✝ : aeval (x ∘ Subtype.val) = (aeval x).comp (rename Subtype.val)
this : ∀ (p : MvPolynomial (↑s) R), (rename Subtype.val) p = 0 ↔ p = 0
\u22a2 AlgebraicIndependent R (x ∘ Subtype.val) ↔ ∀ p ∈ supported R s, (aeval x) p = 0 → p = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t u : Set α
hs : MeasurableSet s
h's : s ⊆ u
h't : t ⊆ u
h : μ u < μ s + μ t
\u22a2 (s ∩ t).Nonempty
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t u : Set α
hs : MeasurableSet s
h's : s ⊆ u
h't : t ⊆ u
h : μ u < μ t + μ s
\u22a2 (s ∩ t).Nonempty
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t u : Set α
hs : MeasurableSet s
h's : s ⊆ u
h't : t ⊆ u
h : μ u < μ t + μ s
\u22a2 (t ∩ s).Nonempty
-- Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean
a b : ℤ
\u22a2 (EuclideanDomain.gcd a b).natAbs = a.gcd b
-- Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean
a b : ℤ
\u22a2 ↑(EuclideanDomain.gcd a b).natAbs ∣ ↑(a.gcd b)
-- Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean
a b : ℤ
\u22a2 ↑(a.gcd b) ∣ ↑(EuclideanDomain.gcd a b).natAbs
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Free R M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Free R M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Free R M₁
inst✝ : Finite R M
\u22a2 finrank R M = Fintype.card (ChooseBasisIndex R M)
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
α : Type u_1
l : List α
ns : List ℕ
i : ℕ
hi : i < (l.splitWrtCompositionAux ns).length
\u22a2 (l.splitWrtCompositionAux ns).get ⟨i, hi⟩ = drop (take i ns).sum (take (take (i + 1) ns).sum l)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
ι : Type u_2
xs : ι → α
xs_dense : DenseRange xs
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
\u22a2 ⋃ i, ball (xs i) U = univ
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
ι : Type u_2
xs : ι → α
xs_dense : DenseRange xs
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
\u22a2 ⋃ x ∈ range xs, ball x U = univ
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝¹ : CancelCommMonoid G
inst✝ : Fintype G
\u22a2 exponent G = (Finset.image orderOf Finset.univ).max' ⋯
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝¹ : CancelCommMonoid G
inst✝ : Fintype G
\u22a2 exponent G = iSup orderOf
-- Mathlib/Logic/Function/Iterate.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → α
m n : ℕ
\u22a2 f^[m + n.succ] = f^[m] ∘ f^[n.succ]
-- Mathlib/Logic/Function/Iterate.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → α
m n : ℕ
\u22a2 (f^[m] ∘ f^[n]) ∘ f = f^[m] ∘ f^[n] ∘ f
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
\u22a2 (A / C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B / C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
\u22a2 (A * C⁻¹).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C⁻¹).card
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/Module.lean
R : Type u_1
S : Type ?u.122514
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : LocalRing R
M : Type u_2
N : Type ?u.122979
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : Type ?u.124119
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f ⇑g
inst✝ : Module.Finite R M
\u22a2 Subsingleton (k ⊗[R] M) ↔ Subsingleton M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
B : M₁ →ₗ[R₁] M₁ →ₗ[R₁] R₁
inst✝ : IsDomain R₁
M : Matrix ι ι R₁
\u22a2 ((toLinearMap₂' R₁) M).SeparatingLeft ↔ M.det ≠ 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Root.lean
a✝ b n✝ n a : ℕ
\u22a2 (n.ceilRoot a).factorization = a.factorization ⌈/⌉ n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Root.lean
a✝ b n✝ n a : ℕ
\u22a2 (if n = 0 ∨ a = 0 then 0 else (a.factorization ⌈/⌉ n).prod fun x x_1 => x ^ x_1).factorization = a.factorization ⌈/⌉ n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Root.lean
a✝ b n✝ n a : ℕ
h : ¬(n = 0 ∨ a = 0)
\u22a2 ((a.factorization ⌈/⌉ n).prod fun x x_1 => x ^ x_1).factorization = a.factorization ⌈/⌉ n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Root.lean
a✝ b n✝ n a : ℕ
h : ¬(n = 0 ∨ a = 0)
p : ℕ
hp : p ∈ (a.factorization ⌈/⌉ n).support
\u22a2 Prime p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Root.lean
a✝ b n✝ n a : ℕ
h : ¬(n = 0 ∨ a = 0)
p : ℕ
hp : p ∈ (a.factorization ⌈/⌉ n).support
this : Prime p ∧ p ∣ a ∧ ¬a = 0
\u22a2 Prime p
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
hl : l.Nodup
hn : l ≠ []
i j : ℕ
h : l.rotate i = l.rotate j
\u22a2 i % l.length = j % l.length
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
hl : l.Nodup
hn : l ≠ []
i j : ℕ
h : l.rotate (i % l.length) = l.rotate (j % l.length)
\u22a2 i % l.length = j % l.length
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁴ : MeasurableSpace D
inst✝³ : BorelSpace D
inst✝² : SecondCountableTopology D
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ D
μ : Measure D
inst✝ : μ.HasTemperateGrowth
f : D → E
C₁ C₂ : ℝ
k : ℕ
hf : ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ C₁
h'f : ∀ (x : D), ‖x‖ ^ (k + μ.integrablePower) * ‖f x‖ ≤ C₂
\u22a2 ∫ (x : D), ‖x‖ ^ k * ‖f x‖ ∂μ ≤ (2 ^ μ.integrablePower * ∫ (x : D), (1 + ‖x‖) ^ (-↑μ.integrablePower) ∂μ) * (C₁ + C₂)
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁴ : MeasurableSpace D
inst✝³ : BorelSpace D
inst✝² : SecondCountableTopology D
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ D
μ : Measure D
inst✝ : μ.HasTemperateGrowth
f : D → E
C₁ C₂ : ℝ
k : ℕ
hf : ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ C₁
h'f : ∀ (x : D), ‖x‖ ^ (k + μ.integrablePower) * ‖f x‖ ≤ C₂
\u22a2 ∫ (x : D), ‖x‖ ^ k * ‖f x‖ ∂μ ≤ ∫ (a : D), 2 ^ μ.integrablePower * (1 + ‖a‖) ^ (-↑μ.integrablePower) * (C₁ + C₂) ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁴ : MeasurableSpace D
inst✝³ : BorelSpace D
inst✝² : SecondCountableTopology D
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ D
μ : Measure D
inst✝ : μ.HasTemperateGrowth
f : D → E
C₁ C₂ : ℝ
k : ℕ
hf : ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ C₁
h'f : ∀ (x : D), ‖x‖ ^ (k + μ.integrablePower) * ‖f x‖ ≤ C₂
\u22a2 0 ≤ᶠ[ae μ] fun a => ‖a‖ ^ k * ‖f a‖
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁴ : MeasurableSpace D
inst✝³ : BorelSpace D
inst✝² : SecondCountableTopology D
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ D
μ : Measure D
inst✝ : μ.HasTemperateGrowth
f : D → E
C₁ C₂ : ℝ
k : ℕ
hf : ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ C₁
h'f : ∀ (x : D), ‖x‖ ^ (k + μ.integrablePower) * ‖f x‖ ≤ C₂
\u22a2 Integrable (fun a => 2 ^ μ.integrablePower * (1 + ‖a‖) ^ (-↑μ.integrablePower) * (C₁ + C₂)) μ
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁴ : MeasurableSpace D
inst✝³ : BorelSpace D
inst✝² : SecondCountableTopology D
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ D
μ : Measure D
inst✝ : μ.HasTemperateGrowth
f : D → E
C₁ C₂ : ℝ
k : ℕ
hf : ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ C₁
h'f : ∀ (x : D), ‖x‖ ^ (k + μ.integrablePower) * ‖f x‖ ≤ C₂
\u22a2 (fun a => ‖a‖ ^ k * ‖f a‖) ≤ᶠ[ae μ] fun a => 2 ^ μ.integrablePower * (1 + ‖a‖) ^ (-↑μ.integrablePower) * (C₁ + C₂)
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁴ : MeasurableSpace D
inst✝³ : BorelSpace D
inst✝² : SecondCountableTopology D
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ D
μ : Measure D
inst✝ : μ.HasTemperateGrowth
f : D → E
C₁ C₂ : ℝ
k : ℕ
hf : ∀ (x : D), ‖f x‖ ≤ C₁
h'f : ∀ (x : D), ‖x‖ ^ (k + μ.integrablePower) * ‖f x‖ ≤ C₂
v : D
\u22a2 ‖v‖ ^ k * ‖f v‖ ≤ 2 ^ μ.integrablePower * (1 + ‖v‖) ^ (-↑μ.integrablePower) * (C₁ + C₂)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
hn : 2 < n
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
x : R
\u22a2 0 < eval x (cyclotomic n R)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
x : R
n : ℕ
ih : ∀ m < n, 2 < m → 0 < eval x (cyclotomic m R)
hn : 2 < n
\u22a2 0 < eval x (cyclotomic n R)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
x : R
n : ℕ
ih : ∀ m < n, 2 < m → 0 < eval x (cyclotomic m R)
hn : 2 < n
hn' : 0 < n
\u22a2 0 < eval x (cyclotomic n R)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
x : R
n : ℕ
ih : ∀ m < n, 2 < m → 0 < eval x (cyclotomic m R)
hn : 2 < n
hn' : 0 < n
hn'' : 1 < n
\u22a2 0 < eval x (cyclotomic n R)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
x : R
n : ℕ
ih : ∀ m < n, 2 < m → 0 < eval x (cyclotomic m R)
hn : 2 < n
hn' : 0 < n
hn'' : 1 < n
this : ∏ i ∈ n.divisors.erase 1, cyclotomic i R = ∑ i ∈ range n, X ^ i
\u22a2 0 < eval x (cyclotomic n R)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
x : R
n : ℕ
ih : ∀ m < n, 2 < m → 0 < eval x (cyclotomic m R)
hn : 2 < n
hn' : 0 < n
hn'' : 1 < n
this : eval x (∏ i ∈ n.divisors.erase 1, cyclotomic i R) = eval x (∑ i ∈ range n, X ^ i)
\u22a2 0 < eval x (cyclotomic n R)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
x : R
n : ℕ
ih : ∀ m < n, 2 < m → 0 < eval x (cyclotomic m R)
hn : 2 < n
hn' : 0 < n
hn'' : 1 < n
this : eval x (cyclotomic n R) * eval x (∏ x ∈ n.properDivisors.erase 1, cyclotomic x R) = ∑ i ∈ range n, x ^ i
\u22a2 0 < eval x (cyclotomic n R)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
x : R
n : ℕ
ih : ∀ m < n, 2 < m → 0 < eval x (cyclotomic m R)
hn : 2 < n
hn' : 0 < n
hn'' : 1 < n
this : eval x (cyclotomic n R) * eval x (∏ x ∈ n.properDivisors.erase 1, cyclotomic x R) = ∑ i ∈ range n, x ^ i
h : 0 < ∑ i ∈ range n, x ^ i
\u22a2 0 < eval x (cyclotomic n R)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
x : R
n : ℕ
ih : ∀ m < n, 2 < m → 0 < eval x (cyclotomic m R)
hn : 2 < n
hn' : 0 < n
hn'' : 1 < n
this : eval x (cyclotomic n R) * eval x (∏ x ∈ n.properDivisors.erase 1, cyclotomic x R) = ∑ i ∈ range n, x ^ i
h : 0 = ∑ i ∈ range n, x ^ i
\u22a2 0 < eval x (cyclotomic n R)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
x : R
n : ℕ
ih : ∀ m < n, 2 < m → 0 < eval x (cyclotomic m R)
hn : 2 < n
hn' : 0 < n
hn'' : 1 < n
this : eval x (cyclotomic n R) * eval x (∏ x ∈ n.properDivisors.erase 1, cyclotomic x R) = ∑ i ∈ range n, x ^ i
h : ∑ i ∈ range n, x ^ i < 0
\u22a2 0 < eval x (cyclotomic n R)
-- Mathlib/GroupTheory/Frattini.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
inst✝ : Finite G
\u22a2 Group.IsNilpotent ↥(frattini G)
-- Mathlib/GroupTheory/Frattini.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
inst✝ : Finite G
q : Group.IsNilpotent ↥(frattini G) ↔ ∀ (p : ℕ), Fact (Nat.Prime p) → ∀ (P : Sylow p ↥(frattini G)), (↑P).Normal
\u22a2 Group.IsNilpotent ↥(frattini G)
-- Mathlib/GroupTheory/Frattini.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
inst✝ : Finite G
p : ℕ
p_prime : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p ↥(frattini G)
\u22a2 (↑P).Normal
-- Mathlib/GroupTheory/Frattini.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
inst✝ : Finite G
p : ℕ
p_prime : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p ↥(frattini G)
frattini_argument : (map (frattini G).subtype ↑P).normalizer ⊔ frattini G = ⊤
\u22a2 (↑P).Normal
-- Mathlib/GroupTheory/Frattini.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
inst✝ : Finite G
p : ℕ
p_prime : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p ↥(frattini G)
frattini_argument : (map (frattini G).subtype ↑P).normalizer ⊔ frattini G = ⊤
normalizer_P : (map (frattini G).subtype ↑P).normalizer = ⊤
\u22a2 (↑P).Normal
-- Mathlib/GroupTheory/Frattini.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
φ : G →* H
hφ : Function.Surjective ⇑φ
inst✝ : Finite G
p : ℕ
p_prime : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p ↥(frattini G)
frattini_argument : (map (frattini G).subtype ↑P).normalizer ⊔ frattini G = ⊤
normalizer_P : (map (frattini G).subtype ↑P).normalizer = ⊤
P_normal_in_G : (map (frattini G).subtype ↑P).Normal
\u22a2 (↑P).Normal
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x✝ y✝ z x y : 𝕜
\u22a2 [x-[𝕜]y] = Icc (min x y) (max x y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x✝ y✝ z x y : 𝕜
h : x ≤ y
\u22a2 [x-[𝕜]y] = Icc (min x y) (max x y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x✝ y✝ z x y : 𝕜
h : y ≤ x
\u22a2 [x-[𝕜]y] = Icc (min x y) (max x y)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α
\u22a2 s - t + s ∩ t = s
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α
\u22a2 s - t + t ∩ s = s
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t✝ u : Multiset α
a b : α
t : Multiset α
\u22a2 ∀ (s : Multiset α), s - t + t ∩ s = s
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝¹ u : Multiset α
a✝ b : α
t✝ : Multiset α
a : α
t : Multiset α
IH : ∀ (s : Multiset α), s - t + t ∩ s = s
s : Multiset α
\u22a2 s - a ::ₘ t + (a ::ₘ t) ∩ s = s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → G
\u22a2 ‖∫ (a : α), f a ∂μ‖ ≤ ∫ (a : α), ‖f a‖ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → G
le_ae : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, 0 ≤ ‖f a‖
\u22a2 ‖∫ (a : α), f a ∂μ‖ ≤ ∫ (a : α), ‖f a‖ ∂μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/BilinearForm.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R₁
inst✝¹² : AddCommGroup M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : CommRing R₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
inst✝¹ : Fintype n
b : Basis n R₃ M₃
J J₃ A A' : Matrix n n R₃
inst✝ : DecidableEq n
\u22a2 A ∈ pairSelfAdjointMatricesSubmodule J J₃ ↔ J.IsAdjointPair J₃ A A
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/HomLift.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝ : p.IsHomLift f φ
\u22a2 p.obj b = S
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/HomLift.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a✝ b✝ : 𝒳
φ : a✝ ⟶ b✝
R S : 𝒮
a b : 𝒳
inst✝ : p.IsHomLift (p.map φ) φ
\u22a2 p.obj b✝ = p.obj b✝
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
\u22a2 logb b x ≤ y ↔ b ^ y ≤ x
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i✝ : ι
g✝ : G i✝
w : NormalWord d
hmw : w.fstIdx ≠ some i✝
hgr : g✝ ∉ (φ i✝).range
n : ↑↑(φ i✝).range × ↑(d.set i✝) := ⋯.equiv (g✝ * (φ i✝) w.head)
w' : Word G := Word.cons (↑n.2) w.toWord hmw ⋯
i : ι
g : G i
hg : ⟨i, g⟩ ∈ w'.toList
\u22a2 g ∈ d.set i
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i✝ : ι
g✝ : G i✝
w : NormalWord d
hmw : w.fstIdx ≠ some i✝
hgr : g✝ ∉ (φ i✝).range
n : ↑↑(φ i✝).range × ↑(d.set i✝) := ⋯.equiv (g✝ * (φ i✝) w.head)
w' : Word G := Word.cons (↑n.2) w.toWord hmw ⋯
i : ι
g : G i
hg : i = i✝ ∧ HEq g ↑n.2 ∨ ⟨i, g⟩ ∈ w.toList
\u22a2 g ∈ d.set i
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
d : σ →₀ ℕ
r : R
\u22a2 constantCoeff ((monomial d) r) = if d = 0 then r else 0
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
x : M
m n : ℕ∞
\u22a2 ContMDiffOn 𝓘(𝕜, E) I n (↑I.symm) (range ↑I)