ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h2f : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
\u22a2 ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h2f : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
\u22a2 μ {a | f a = ⊤} = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α
\u22a2 ⋃ n, Ico (n • p) ((n + 1) • p) = univ
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g✝ : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
g' : Q →ₗ[R] S
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
\u22a2 lTensor P g' ∘ₗ map f g = map f (g' ∘ₗ g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
ι : Type u_3
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
f : X →ᵇ E
\u22a2 Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
ι : Type u_3
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
f : X →ᵇ E
v : E
hv : v ∈ Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
\u22a2 ‖v‖ ≤ ‖f‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
ι : Type u_3
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
f : X →ᵇ E
v : E
i : ι
hi : (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) i = v
\u22a2 ‖(fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) i‖ ≤ ‖f‖
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)
\u22a2 P f ↔ ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), Q (𝒰.pullbackHom f i)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
\u22a2 P f ↔ ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), Q (𝒰.pullbackHom f i)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
\u22a2 (∀ (i : 𝒰.J), Q (f ∣_ ↑⟨Scheme.Hom.opensRange (𝒰.map i), ⋯⟩)) ↔ ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), Q (𝒰.pullbackHom f i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
i₂ : ι
a₁ : A
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B
\u22a2 b₂ = ↑GradedMonoid.GOne.one * b₂
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
inst✝ : HasGroupoid M G
s : Opens M
t : Opens H
ht : Nonempty ↥t
e' : PartialHomeomorph (↥t) H
xset : Set (PartialHomeomorph (↥t) H)
he' : e' ∈ xset
x : ↥t
hx : (fun x => {(chartAt H ↑x).subtypeRestr ⋯}) x = xset
\u22a2 ∃ x, e' = (chartAt H ↑x).subtypeRestr ht
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s : R
\u22a2 (cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul (algebraMap₀ r) (algebraMap₀ s)) = algebraMap₀ (r * s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s : R
\u22a2 (cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul (algebraMap₀ r) (algebraMap₀ s)) = r • algebraMap₀ s
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝³ : Category.{uD', uD} D
inst✝² : HasZeroMorphisms D
P Q W X Y Z : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct W X
inst✝ : HasBinaryBiproduct Y Z
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
\u22a2 inr ≫ map f g = g ≫ inr
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝³ : Category.{uD', uD} D
inst✝² : HasZeroMorphisms D
P Q W X Y Z : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct W X
inst✝ : HasBinaryBiproduct Y Z
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z
\u22a2 inr ≫ map' f g = g ≫ inr
-- Mathlib/Data/List/Indexes.lean
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
as : List α
\u22a2 findIdxs (fun b => decide (p b)) as = map Prod.fst (indexesValues (fun b => decide (p b)) as)
-- Mathlib/Topology/NoetherianSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
s : Closeds α
\u22a2 ∃ S, S.Finite ∧ (∀ t ∈ S, IsClosed t) ∧ (∀ t ∈ S, IsIrreducible t) ∧ ↑s = ⋃₀ S
-- Mathlib/Topology/NoetherianSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
S : Set (Closeds α)
hSf : S.Finite
hS : ∀ t ∈ S, IsIrreducible ↑t
\u22a2 ∃ S_1, S_1.Finite ∧ (∀ t ∈ S_1, IsClosed t) ∧ (∀ t ∈ S_1, IsIrreducible t) ∧ ↑(sSup S) = ⋃₀ S_1
-- Mathlib/Topology/NoetherianSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
S : Set (Closeds α)
hSf : S.Finite
hS : ∀ t ∈ S, IsIrreducible ↑t
\u22a2 ↑(sSup S) = ⋃₀ (SetLike.coe '' S)
-- Mathlib/Topology/NoetherianSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
S : Finset (Closeds α)
hS : ∀ t ∈ ↑S, IsIrreducible ↑t
\u22a2 ↑(sSup ↑S) = ⋃₀ (SetLike.coe '' ↑S)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
h₁ : IsSolvable R L
h₂ : Injective ⇑f
k : ℕ
hk : derivedSeries R L k = ⊥
\u22a2 IsSolvable R L'
-- Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
h₁ : IsSolvable R L
h₂ : Injective ⇑f
k : ℕ
hk : derivedSeries R L k = ⊥
\u22a2 derivedSeries R L' k = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
h₁ : IsSolvable R L
h₂ : Injective ⇑f
k : ℕ
hk : derivedSeries R L k = ⊥
\u22a2 LieIdeal.map f (derivedSeries R L' k) = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
h₁ : IsSolvable R L
h₂ : Injective ⇑f
k : ℕ
hk : derivedSeries R L k = ⊥
\u22a2 LieIdeal.map f (derivedSeries R L' k) ≤ derivedSeries R L k
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
h : n < m
\u22a2 a⁻¹ ^ (m - n) = (a ^ m)⁻¹ * a ^ n
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ V
W : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace W
inst✝¹ : BorelSpace W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ W
f : V → E
w : V
\u22a2 𝓕⁻ f w = 𝓕 f (-w)
-- Mathlib/Algebra/FreeAlgebra.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : FreeAlgebra R X →ₐ[R] A
w : ⇑f ∘ ι R = ⇑g ∘ ι R
\u22a2 f = g
-- Mathlib/Algebra/FreeAlgebra.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : FreeAlgebra R X →ₐ[R] A
w : (lift R).symm f = (lift R).symm g
\u22a2 f = g
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsDetecting 𝒢
X : C
P Q : Subobject X
h₁ : P ≤ Q
h₂ : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ {f : G ⟶ X}, Q.Factors f → P.Factors f
\u22a2 P = Q
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsDetecting 𝒢
X : C
P Q : Subobject X
h₁ : P ≤ Q
h₂ : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ {f : G ⟶ X}, Q.Factors f → P.Factors f
\u22a2 IsIso (P.ofLE Q h₁)
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsDetecting 𝒢
X : C
P Q : Subobject X
h₁ : P ≤ Q
h₂ : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ {f : G ⟶ X}, Q.Factors f → P.Factors f
G : C
hG : G ∈ 𝒢
f : G ⟶ underlying.obj Q
\u22a2 ∃! h', h' ≫ P.ofLE Q h₁ = f
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsDetecting 𝒢
X : C
P Q : Subobject X
h₁ : P ≤ Q
h₂ : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ {f : G ⟶ X}, Q.Factors f → P.Factors f
G : C
hG : G ∈ 𝒢
f : G ⟶ underlying.obj Q
this : P.Factors (f ≫ Q.arrow)
\u22a2 ∃! h', h' ≫ P.ofLE Q h₁ = f
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), f i ≤ᶠ[ae μ] μ[f (i + 1)|↑𝒢 i]
\u22a2 Submartingale f 𝒢 μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), f i ≤ᶠ[ae μ] μ[f (i + 1)|↑𝒢 i]
i : ℕ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
\u22a2 ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), f i ≤ᶠ[ae μ] μ[f (i + 1)|↑𝒢 i]
i : ℕ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
this : ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ = ∫ (ω : Ω) in s, (μ[f (i + 1)|↑𝒢 i]) ω ∂μ
\u22a2 ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), f i ≤ᶠ[ae μ] μ[f (i + 1)|↑𝒢 i]
i : ℕ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
this : ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ = ∫ (ω : Ω) in s, (μ[f (i + 1)|↑𝒢 i]) ω ∂μ
\u22a2 ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, (μ[f (i + 1)|↑𝒢 i]) ω ∂μ
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα✝ : α ≠ 0
n : ℕ
hn : n ≤ chainTopCoeff α β
hα : ¬α = 0
\u22a2 weightSpace M (n • α + ⇑β) ≠ ⊥
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝¹ g✝¹ : α✝ → β
inst✝² : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f✝ : ι → α
g✝ : κ → α
inst✝ : DecidableEq κ
g : ι → κ
h : ∀ i ∈ s, g i ∈ t
f : ι → α
\u22a2 ∏ j ∈ t, ∏ i ∈ filter (fun i => g i = j) s, f i = ∏ i ∈ s, f i
-- Mathlib/CategoryTheory/LiftingProperties/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A B B' X Y Y' : C
i : A ⟶ B
i' : B ⟶ B'
p : X ⟶ Y
p' : Y ⟶ Y'
h : HasLiftingProperty i p
f : Opposite.op Y ⟶ Opposite.op B
g : Opposite.op X ⟶ Opposite.op A
sq : CommSq f p.op i.op g
\u22a2 sq.HasLift
-- Mathlib/CategoryTheory/LiftingProperties/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A B B' X Y Y' : C
i : A ⟶ B
i' : B ⟶ B'
p : X ⟶ Y
p' : Y ⟶ Y'
h : HasLiftingProperty i p
f : Opposite.op Y ⟶ Opposite.op B
g : Opposite.op X ⟶ Opposite.op A
sq : CommSq f p.op i.op g
\u22a2 ⋯.HasLift
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Range.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : F
\u22a2 range f = ⊤ ↔ Surjective ⇑f
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/CongruenceSubgroups.lean
N✝ N : ℕ
A : ↥(Gamma0 N)
\u22a2 ↑(↑↑A).det = 1
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Separation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
\u22a2 T0Space α ↔ (𝓤 α).ker = diagonal α
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Separation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
\u22a2 (∀ (a b : α), (∀ s ∈ 𝓤 α, (a, b) ∈ s) → a = b) → ∀ (x : α), ∀ s ∈ 𝓤 α, (x, x) ∈ s
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x y : α
\u22a2 y ∈ ConnectedComponents.mk ⁻¹' {ConnectedComponents.mk x} ↔ y ∈ connectedComponent x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Archimedean.lean
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
\u22a2 Dense ↑S
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Archimedean.lean
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
h✝ : Subsingleton G
\u22a2 Dense ↑S
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Archimedean.lean
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
h✝ : Nontrivial G
\u22a2 Dense ↑S
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Archimedean.lean
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
h✝ : Nontrivial G
a b : G
hlt : a < b
\u22a2 ∃ c ∈ ↑S, a < c ∧ c < b
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Archimedean.lean
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
h✝ : Nontrivial G
a b : G
hlt : a < b
g : G
hgS : g ∈ S
hg0 : 0 < g
hg : g < b - a
\u22a2 ∃ c ∈ ↑S, a < c ∧ c < b
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Archimedean.lean
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
h✝ : Nontrivial G
a b : G
hlt : a < b
g : G
hgS : g ∈ S
hg0 : 0 < g
hg : g < b - a
m : ℤ
hm : 0 + m • g ∈ Ioc a (a + g)
\u22a2 ∃ c ∈ ↑S, a < c ∧ c < b
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Archimedean.lean
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
h✝ : Nontrivial G
a b : G
hlt : a < b
g : G
hgS : g ∈ S
hg0 : 0 < g
hg : g < b - a
m : ℤ
hm : m • g ∈ Ioc a (a + g)
\u22a2 ∃ c ∈ ↑S, a < c ∧ c < b
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Archimedean.lean
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
h✝ : Nontrivial G
a b : G
hlt : a < b
g : G
hgS : g ∈ S
hg0 : 0 < g
hg : g < b - a
m : ℤ
hm : m • g ∈ Ioc a (a + g)
\u22a2 a + g < b
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
b : β
h : (↑s).PairwiseDisjoint t
\u22a2 b ∈ s.disjiUnion t h ↔ ∃ a ∈ s, b ∈ t a
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' : D
f : X' ⟶ X
g : F.obj X ⟶ Y'
h : F.obj X' ⟶ Y
k : Y ⟶ Y'
w : F.map f ≫ g = h ≫ k
\u22a2 f ≫ (adj.homEquiv X Y') g = (adj.homEquiv X' Y) h ≫ G.map k
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/VitaliCaratheodory.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α →ₛ ℝ≥0
int_f : ∫⁻ (x : α), ↑(↑f x) ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
\u22a2 ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ ↑f x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/VitaliCaratheodory.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
c : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
int_f : ∫⁻ (x : α), ↑(↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0)) x) ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
\u22a2 ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ ↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0)) x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0)) x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/VitaliCaratheodory.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f₁ f₂ : α →ₛ ℝ≥0
a✝ : Disjoint (Function.support ↑f₁) (Function.support ↑f₂)
h₁ : ∫⁻ (x : α), ↑(↑f₁ x) ∂μ ≠ ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ ↑f₁ x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑f₁ x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε
h₂ : ∫⁻ (x : α), ↑(↑f₂ x) ∂μ ≠ ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ ↑f₂ x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑f₂ x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε
int_f : ∫⁻ (x : α), ↑(↑(f₁ + f₂) x) ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
\u22a2 ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ ↑(f₁ + f₂) x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑(f₁ + f₂) x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε
-- Mathlib/Algebra/CharP/Two.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CharP R 2
\u22a2 2 = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
α : Ext X Y n
m : ℕ
β : Ext Y Z m
p : ℕ
h : n + m = p
this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C
\u22a2 (α.comp (-β) h).hom = (-α.comp β h).hom
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : AddCommMonoid R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
r : R
\u22a2 multichoose r 1 = r ^ 1
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : AddCommMonoid R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
r : R
\u22a2 (fun x => Nat.factorial 1 • x) (multichoose r 1) = (fun x => Nat.factorial 1 • x) (r ^ 1)
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : AddCommMonoid R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
r : R
\u22a2 Nat.factorial 1 • multichoose r 1 = Nat.factorial 1 • r ^ 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Count.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
s : Set α
hs : s.Finite
\u22a2 count s = ↑hs.toFinset.card
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ
\u22a2 cosh (x + y) = cosh x * cosh y + sinh x * sinh y
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ
\u22a2 ↑(cosh (x + y)) = ↑(cosh x * cosh y + sinh x * sinh y)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
\u22a2 ContMDiffOn I I' n f univ ↔ ContMDiff I I' n f
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.encard = t.encard
\u22a2 s.Finite ↔ t.Finite