ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
f : α → 𝕜
hf : Integrable f μ
g : α → β
g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ
ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤
\u22a2 Integrable (fun x => f x • g x) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f 1 μ
g : α → β
g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ
ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤
\u22a2 Memℒp (fun x => f x • g x) 1 μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f 1 μ
g : α → β
g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ
ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤
\u22a2 eLpNorm (fun x => f x • g x) 1 μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f 1 μ
g : α → β
g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ
ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤
h : 1 / 1 = 1 / 1 + 1 / ⊤
\u22a2 eLpNorm (fun x => f x • g x) 1 μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f 1 μ
g : α → β
g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ
ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤
h : 1 / 1 = 1 / 1 + 1 / ⊤
hg' : eLpNorm g ⊤ μ ≠ ⊤
\u22a2 eLpNorm (fun x => f x • g x) 1 μ < ⊤
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
n : ℕ
hdeg : n < f.natDegree
a✝ : Nontrivial R
\u22a2 h.modByMonicHom (h.root ^ n) = X ^ n
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
n : ℕ
hdeg : n < f.natDegree
a✝ : Nontrivial R
\u22a2 ↑n < f.degree
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
n : ℕ
a✝ : Nontrivial R
hdeg : f.degree ≤ ↑n
\u22a2 f.natDegree ≤ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/NormedSpace.lean
F : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup F
g : ℝ → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
\u22a2 Integrable (fun x => g (x * R)) volume ↔ Integrable g volume
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : Convex ℝ s
\u22a2 μ (frontier s) = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hspan : affineSpan ℝ s ≠ ⊤
\u22a2 μ (frontier s) = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hspan : affineSpan ℝ s = ⊤
\u22a2 μ (frontier s) = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hspan : (interior s).Nonempty
\u22a2 μ (frontier s) = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
\u22a2 μ (frontier s) = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
\u22a2 ∀ (t : Set E), Convex ℝ t → x ∈ interior t → Bornology.IsBounded t → μ (frontier t) = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s✝ : Set E
hs✝ : Convex ℝ s✝
x : E
hx✝ : x ∈ interior s✝
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hx : x ∈ interior s
hb : Bornology.IsBounded s
\u22a2 μ (frontier s) = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s✝ : Set E
hs✝ : Convex ℝ s✝
x : E
hx✝ : x ∈ interior s✝
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hx : x ∈ interior s
hb : μ (interior s) ≠ ⊤
\u22a2 μ (frontier s) = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s✝ : Set E
hs✝ : Convex ℝ s✝
x : E
hx✝ : x ∈ interior s✝
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hx : x ∈ interior s
hb : μ (interior s) ≠ ⊤
\u22a2 μ (closure s) ≤ μ (interior s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s✝ : Set E
hs✝ : Convex ℝ s✝
x : E
hx✝ : x ∈ interior s✝
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hx : x ∈ interior s
hb : μ (interior s) ≠ ⊤
d : ℕ := finrank ℝ E
\u22a2 μ (closure s) ≤ μ (interior s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s✝ : Set E
hs✝ : Convex ℝ s✝
x : E
hx✝ : x ∈ interior s✝
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hx : x ∈ interior s
hb : μ (interior s) ≠ ⊤
d : ℕ := finrank ℝ E
this : ∀ (r : ℝ≥0), 1 < r → μ (closure s) ≤ ↑(r ^ d) * μ (interior s)
\u22a2 μ (closure s) ≤ μ (interior s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s✝ : Set E
hs✝ : Convex ℝ s✝
x : E
hx✝ : x ∈ interior s✝
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hx : x ∈ interior s
hb : μ (interior s) ≠ ⊤
d : ℕ := finrank ℝ E
this✝ : ∀ (r : ℝ≥0), 1 < r → μ (closure s) ≤ ↑(r ^ d) * μ (interior s)
this : ∀ᶠ (r : ℝ≥0) in 𝓝[>] 1, μ (closure s) ≤ ↑(r ^ d) * μ (interior s)
\u22a2 μ (closure s) ≤ μ (interior s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s✝ : Set E
hs✝ : Convex ℝ s✝
x : E
hx✝ : x ∈ interior s✝
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hx : x ∈ interior s
hb : μ (interior s) ≠ ⊤
d : ℕ := finrank ℝ E
this✝ : ∀ (r : ℝ≥0), 1 < r → μ (closure s) ≤ ↑(r ^ d) * μ (interior s)
this : ∀ᶠ (r : ℝ≥0) in 𝓝[>] 1, μ (closure s) ≤ ↑(r ^ d) * μ (interior s)
\u22a2 Tendsto (fun c => ↑(c ^ d) * μ (interior s)) (𝓝[>] 1) (𝓝 (μ (interior s)))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s✝ : Set E
hs✝ : Convex ℝ s✝
x : E
hx✝ : x ∈ interior s✝
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hx : x ∈ interior s
hb : μ (interior s) ≠ ⊤
d : ℕ := finrank ℝ E
this✝ : ∀ (r : ℝ≥0), 1 < r → μ (closure s) ≤ ↑(r ^ d) * μ (interior s)
this : ∀ᶠ (r : ℝ≥0) in 𝓝[>] 1, μ (closure s) ≤ ↑(r ^ d) * μ (interior s)
\u22a2 ((fun x => x * μ (interior s)) ∘ ENNReal.ofNNReal ∘ fun a => a ^ d) 1 = μ (interior s)
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝² : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R' p
x : Rˣ
\u22a2 (χ ^ p) ↑x = χ ↑x
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝² : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R' p
x : Rˣ
\u22a2 χ ↑x ^ p = χ ↑x
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
\u22a2 (A * C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B C✝ A C : Finset α
\u22a2 (A * C).card * ∅.card ≤ (A * ∅).card * (∅ * C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
\u22a2 (A * C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
\u22a2 (A * C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U ∈ B.powerset.erase ∅
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card
\u22a2 (A * C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card
\u22a2 (A * C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card
\u22a2 ↑((A * C).card * B.card) ≤ ↑((A * B).card * (B * C).card)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card
\u22a2 ↑(A * C).card * ↑B.card ≤ ↑(A * B).card * ↑(B * C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card
\u22a2 ↑(A * C).card ≤ ↑(A * B).card * ↑(B * C).card / ↑B.card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card
\u22a2 ↑(A * C).card ≤ ↑(B * A).card / ↑B.card * ↑(B * C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card
\u22a2 ↑(U * (A * C)).card ≤ ↑(B * A).card / ↑B.card * ↑(B * C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card
\u22a2 ↑(U * (A * C)).card ≤ ↑(U * A).card / ↑U.card * ↑(U * C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card
\u22a2 ↑(U * A * C).card ≤ ↑(U * A).card * ↑(U * C).card / ↑U.card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card
\u22a2 ↑(U * A * C).card * ↑U.card ≤ ↑(U * A).card * ↑(U * C).card
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
inst✝ : Group G
s✝ t : Set α
f✝ g : α → G
a : α
s : Set α
f : α → G
\u22a2 sᶜ.mulIndicator f = f / s.mulIndicator f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0
\u22a2 (C b).degree < (C a * X).degree
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : j.castSucc < i
\u22a2 X.map (SimplexCategory.δ i.succ) ≫ X.map (SimplexCategory.σ j.castSucc) = X.map (SimplexCategory.σ j) ≫ X.map (SimplexCategory.δ i)
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
\u22a2 P4 x₁ x₂ y ↔ P4 (-x₂) (-x₁) y
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : LinearOrder Γ
inst✝ : LocallyFiniteOrder Γ
f : Γ → R
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
\u22a2 ∃ x, x ∈ {x | ∀ ⦃a : Γ⦄, a ∈ Function.support f → x ≤ a}
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : LinearOrder Γ
inst✝ : LocallyFiniteOrder Γ
f : Γ → R
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
\u22a2 n ∈ {x | ∀ ⦃a : Γ⦄, a ∈ Function.support f → x ≤ a}
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : LinearOrder Γ
inst✝ : LocallyFiniteOrder Γ
f : Γ → R
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
m : Γ
hm : m ∈ Function.support f
\u22a2 n ≤ m
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : LinearOrder Γ
inst✝ : LocallyFiniteOrder Γ
f : Γ → R
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
m : Γ
hm : ¬f m = 0
\u22a2 n ≤ m
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
s : Set ℝ
h₁ : BddBelow s
h₂ : BddAbove s
\u22a2 sInf s ≤ sSup s
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
h₁ : BddBelow ∅
h₂ : BddAbove ∅
\u22a2 sInf ∅ ≤ sSup ∅
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
s : Set ℝ
h₁ : BddBelow s
h₂ : BddAbove s
hne : s.Nonempty
\u22a2 sInf s ≤ sSup s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hg : HasDerivWithinAt g₁ g₁' s' (h x)
hh : HasDerivAt h h' x
hs : ∀ (x : 𝕜), h x ∈ s'
hy : y = h x
\u22a2 HasDerivAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') x
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
\u22a2 UniformContinuous fun x => f x ^ 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
\u22a2 UniformContinuous fun x => 1
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
n : ℕ
\u22a2 UniformContinuous fun x => f x ^ (n + 1)
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
n : ℕ
\u22a2 UniformContinuous fun x => f x * f x ^ n
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Radical.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
hI : IsHomogeneous 𝒜 I
I_ne_top : I ≠ ⊤
homogeneous_mem_or_mem : ∀ {x y : A}, Homogeneous 𝒜 x → Homogeneous 𝒜 y → x * y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I
x y : A
hxy : x * y ∈ I
\u22a2 x ∈ I ∨ y ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Radical.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
hI : IsHomogeneous 𝒜 I
I_ne_top : I ≠ ⊤
homogeneous_mem_or_mem : ∀ {x y : A}, Homogeneous 𝒜 x → Homogeneous 𝒜 y → x * y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I
x y : A
hxy : x * y ∈ I
rid : x ∉ I ∧ y ∉ I
\u22a2 False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n✝ : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) α
i j : Fin n.succ
\u22a2 A.adjugate i j = (-1) ^ (↑j + ↑i) * (A.submatrix j.succAbove i.succAbove).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n✝ : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) α
i j : Fin n.succ
\u22a2 ∑ x : Fin n.succ, (-1) ^ (↑j + ↑x) * Pi.single i 1 x * (A.submatrix j.succAbove x.succAbove).det = (-1) ^ (↑j + ↑i) * (A.submatrix j.succAbove i.succAbove).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n✝ : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) α
i j h : Fin n.succ
hjk : h ≠ i
\u22a2 (-1) ^ (↑j + ↑h) * Pi.single i 1 h * (A.submatrix j.succAbove h.succAbove).det = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
f : α ≃ α'
l : α →₀ R
\u22a2 (Finsupp.total α' M' R v') (equivMapDomain f l) = (Finsupp.total α M' R (v' ∘ ⇑f)) l
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
\u22a2 ThreeAPFree ↑(image (⇑(map (2 * d - 1))) (sphere n d k))
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
\u22a2 ThreeAPFree (⇑(map (2 * d - 1)) '' ↑(sphere n d k))
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
\u22a2 ↑(sphere n d k) + ↑(sphere n d k) ⊆ {x | ∀ (i : Fin n), x i < 2 * d - 1}
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
\u22a2 Fin n → ℕ
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n✝ m n : ℕ
hn : n ≠ 0
hmn : m ∣ n
\u22a2 filter (fun x => x ∣ m) n.primeFactors = m.primeFactors
-- Mathlib/Algebra/Star/Module.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
x : A
\u22a2 ↑((selfAdjointPart R) x) + ↑((skewAdjointPart R) x) = x
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y : ℕ
e : (x + 1) * (x + 1) = d * (y + 1) * (y + 1)
\u22a2 False
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℕ
dnsq : Nonsquare d
x y : ℕ
e : (x + 1) * (x + 1) = d * (y + 1) * (y + 1)
t : x + 1 = 0
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
\u22a2 p % 2 = 1 ↔ p ≠ 2
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
h : p % 2 = 1
hf : p = 2
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Set/MemPartition.lean
α : Type u_1
f : ℕ → Set α
n : ℕ
\u22a2 (memPartition f n).Finite
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing A
inst✝¹² : CommRing B
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra A K
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : Algebra B L
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra A L
inst✝³ : IsScalarTower A B L
inst✝² : IsScalarTower A K L
inst✝¹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝ : FiniteDimensional K L
σ : B →ₐ[A] B
x : B
\u22a2 ((galRestrictHom A K L B).symm σ) ((algebraMap B L) x) = (algebraMap B L) (σ x)
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing A
inst✝¹² : CommRing B
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra A K
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : Algebra B L
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra A L
inst✝³ : IsScalarTower A B L
inst✝² : IsScalarTower A K L
inst✝¹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝ : FiniteDimensional K L
σ : B →ₐ[A] B
x : B
this : IsDomain A
\u22a2 ((galRestrictHom A K L B).symm σ) ((algebraMap B L) x) = (algebraMap B L) (σ x)
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing A
inst✝¹² : CommRing B
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra A K
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : Algebra B L
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra A L
inst✝³ : IsScalarTower A B L
inst✝² : IsScalarTower A K L
inst✝¹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝ : FiniteDimensional K L
σ : B →ₐ[A] B
x : B
this✝ : IsDomain A
this : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid B A⁰) L
\u22a2 ((galRestrictHom A K L B).symm σ) ((algebraMap B L) x) = (algebraMap B L) (σ x)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
a : Ordinal.{u_1}
h : 1 < a
a0 : 0 < a
b : Ordinal.{u_1}
\u22a2 (fun x => a ^ x) b < (fun x => a ^ x) (succ b)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B✝ B' I J D X : Set α
e f : α
M₁ M₂ : Matroid α
hE : M₁.E = M₂.E
h : ∀ I ⊆ M₁.E, M₁.Indep I ↔ M₂.Indep I
h' : ∀ (I : Set α), M₁.Indep I ↔ M₂.Indep I := fun I => Or.elim (em (I ⊆ M₁.E)) (h I) fun h' => iff_of_false (fun hi => h' (Indep.subset_ground hi)) fun hi => h' (LE.le.trans_eq (Indep.subset_ground hi) (Eq.symm hE))
B : Set α
x✝ : B ⊆ M₁.E
\u22a2 M₁.Base B ↔ M₂.Base B