ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Barrelled.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
𝕜₁ : Type u_4
𝕜₂ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
inst✝¹⁴ : Nonempty κ
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
inst✝¹¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁷ : Module 𝕜₂ F
inst✝⁶ : UniformSpace E
inst✝⁵ : UniformSpace F
inst✝⁴ : UniformAddGroup E
inst✝³ : UniformAddGroup F
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜₁ E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜₂ F
inst✝ : BarrelledSpace 𝕜₁ E
𝓕 : ι → E →SL[σ₁₂] F
q : SeminormFamily 𝕜₂ F κ
hq : WithSeminorms q
H : ∀ (k : κ) (x : E), BddAbove (range fun i => (q k) ((𝓕 i) x))
k : κ
this : BddAbove (range fun i => (q k).comp ↑(𝓕 i))
\u22a2 BddAbove (range fun k_1 => (q k).comp ((toLinearMap ∘ 𝓕) k_1)) ∧ Continuous (⨆ k_1, ⇑((q k).comp ((toLinearMap ∘ 𝓕) k_1)))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/RiemannZeta.lean
s : ℂ
\u22a2 expZeta 0 s = riemannZeta s
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
f p : R[X]
\u22a2 (quotAdjoinRootEquivQuotPolynomialQuot I f).symm ((Ideal.Quotient.mk (span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f})) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) p)) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (of f) I)) ((mk f) p)
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Algebra (ZMod p) K
f : K[X]
\u22a2 (expand K q) f = f ^ q
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype K
p✝ : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p✝)
inst✝ : Algebra (ZMod p✝) K
f : K[X]
p : ℕ
hp : CharP K p
\u22a2 (expand K q) f = f ^ q
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype K
p✝ : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p✝)
inst✝ : Algebra (ZMod p✝) K
f : K[X]
p : ℕ
hp : CharP K p
this : CharP K p := hp
\u22a2 (expand K q) f = f ^ q
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype K
p✝ : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p✝)
inst✝ : Algebra (ZMod p✝) K
f : K[X]
p : ℕ
hp✝ : CharP K p
this : CharP K p := hp✝
n : ℕ
npos : 0 < n
hp : Nat.Prime p
hn : q = p ^ ↑⟨n, npos⟩
\u22a2 (expand K q) f = f ^ q
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype K
p✝ : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p✝)
inst✝ : Algebra (ZMod p✝) K
f : K[X]
p : ℕ
hp✝ : CharP K p
this✝ : CharP K p := hp✝
n : ℕ
npos : 0 < n
hp : Nat.Prime p
hn : q = p ^ n
this : Fact (Nat.Prime p)
\u22a2 (expand K q) f = f ^ q
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
x : α
s : Set β
a✝ : MeasurableSet s
\u22a2 ((const α 0) x) s = (0 x) s
-- Mathlib/Algebra/Star/SelfAdjoint.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : StarRing R
x : R
hx : x ∈ skewAdjoint R
\u22a2 Commute (star x) x
-- Mathlib/Algebra/Star/SelfAdjoint.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : StarRing R
x : R
hx : star x = -x
\u22a2 Commute (star x) x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
\u22a2 inner_ 𝕜 (↑(-1) • x) y = (starRingEnd 𝕜) ↑(-1) * inner_ 𝕜 x y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
\u22a2 4⁻¹ * (𝓚 ‖-x + y‖ * 𝓚 ‖-x + y‖ - 𝓚 ‖-x - y‖ * 𝓚 ‖-x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • -x + y‖ * 𝓚 ‖I • -x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • -x - y‖ * 𝓚 ‖I • -x - y‖) = -4⁻¹ * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
\u22a2 4⁻¹ * (𝓚 ‖-x + y‖ * 𝓚 ‖-x + y‖ - 𝓚 ‖-x - y‖ * 𝓚 ‖-x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • -x + y‖ * 𝓚 ‖I • -x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • -x - y‖ * 𝓚 ‖I • -x - y‖) = 4⁻¹ * -(𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
\u22a2 𝓚 ‖-x + y‖ * 𝓚 ‖-x + y‖ - 𝓚 ‖-x - y‖ * 𝓚 ‖-x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • -x + y‖ * 𝓚 ‖I • -x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • -x - y‖ * 𝓚 ‖I • -x - y‖ = -(𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h₁ : ‖-x - y‖ = ‖x + y‖
\u22a2 𝓚 ‖-x + y‖ * 𝓚 ‖-x + y‖ - 𝓚 ‖-x - y‖ * 𝓚 ‖-x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • -x + y‖ * 𝓚 ‖I • -x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • -x - y‖ * 𝓚 ‖I • -x - y‖ = -(𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h₁ : ‖-x - y‖ = ‖x + y‖
h₂ : ‖-x + y‖ = ‖x - y‖
\u22a2 𝓚 ‖-x + y‖ * 𝓚 ‖-x + y‖ - 𝓚 ‖-x - y‖ * 𝓚 ‖-x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • -x + y‖ * 𝓚 ‖I • -x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • -x - y‖ * 𝓚 ‖I • -x - y‖ = -(𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h₁ : ‖-x - y‖ = ‖x + y‖
h₂ : ‖-x + y‖ = ‖x - y‖
h₃ : ‖I • -x + y‖ = ‖I • x - y‖
\u22a2 𝓚 ‖-x + y‖ * 𝓚 ‖-x + y‖ - 𝓚 ‖-x - y‖ * 𝓚 ‖-x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • -x + y‖ * 𝓚 ‖I • -x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • -x - y‖ * 𝓚 ‖I • -x - y‖ = -(𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x y : E
h₁ : ‖-x - y‖ = ‖x + y‖
h₂ : ‖-x + y‖ = ‖x - y‖
h₃ : ‖I • -x + y‖ = ‖I • x - y‖
h₄ : ‖I • -x - y‖ = ‖I • x + y‖
\u22a2 𝓚 ‖-x + y‖ * 𝓚 ‖-x + y‖ - 𝓚 ‖-x - y‖ * 𝓚 ‖-x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • -x + y‖ * 𝓚 ‖I • -x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • -x - y‖ * 𝓚 ‖I • -x - y‖ = -(𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
x✝ : α
\u22a2 x✝ ∈ Ici (⨆ i, f i) ↔ x✝ ∈ ⋂ i, Ici (f i)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : One M'
n : ℕ∞
U : Opens M
f : ↥U → M'
supp : HasCompactMulSupport f
diff : ContMDiff I I' n f
x : M
\u22a2 ContMDiffAt I I' n (extend Subtype.val f 1) x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝¹ : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : One M'
n : ℕ∞
U : Opens M
f : ↥U → M'
supp : HasCompactMulSupport f
diff : ContMDiff I I' n f
x✝ x : M
h : x ∈ mulTSupport (extend Subtype.val f 1)
\u22a2 ContMDiffAt I I' n (extend Subtype.val f 1) x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝¹ : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : One M'
n : ℕ∞
U : Opens M
f : ↥U → M'
supp : HasCompactMulSupport f
diff : ContMDiff I I' n f
x✝ : M
x : ↥U
h : ↑x ∈ mulTSupport (extend Subtype.val f 1)
\u22a2 ContMDiffAt I I' n (extend Subtype.val f 1) ↑x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝¹ : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : One M'
n : ℕ∞
U : Opens M
f : ↥U → M'
supp : HasCompactMulSupport f
diff : ContMDiff I I' n f
x✝ : M
x : ↥U
h : ↑x ∈ mulTSupport (extend Subtype.val f 1)
\u22a2 ContMDiffAt I I' n (extend Subtype.val f 1 ∘ Subtype.val) x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝¹ : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : One M'
n : ℕ∞
U : Opens M
f : ↥U → M'
supp : HasCompactMulSupport f
diff : ContMDiff I I' n f
x✝ : M
x : ↥U
h : ↑x ∈ mulTSupport (extend Subtype.val f 1)
\u22a2 ContMDiffAt I I' n f x
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hα : Nat.card α = p ^ 2
\u22a2 ¬IsCyclic α ↔ exponent α = p
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hα : Nat.card α = p ^ 2
_inst : Fintype α := Fintype.ofFinite α
\u22a2 ¬IsCyclic α ↔ exponent α = p
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hα : Nat.card α = p ^ 2
_inst : Fintype α := Fintype.ofFinite α
hα' : Fintype.card α = p ^ 2
\u22a2 ¬IsCyclic α ↔ exponent α = p
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hα : Nat.card α = p ^ 2
_inst : Fintype α := Fintype.ofFinite α
hα' : Fintype.card α = p ^ 2
this : Nontrivial α
\u22a2 ¬IsCyclic α ↔ exponent α = p
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hα : Nat.card α = p ^ 2
_inst : Fintype α := Fintype.ofFinite α
hα' : Fintype.card α = p ^ 2
this : Nontrivial α
h_cyc : ¬IsCyclic α
g : α
hg : g ≠ 1
\u22a2 orderOf g = p
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hα : Nat.card α = p ^ 2
_inst : Fintype α := Fintype.ofFinite α
hα' : Fintype.card α = p ^ 2
this✝ : Nontrivial α
h_cyc : ¬IsCyclic α
g : α
hg : g ≠ 1
this : orderOf g ∈ (p ^ 2).divisors
\u22a2 orderOf g = p
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hα : Nat.card α = p ^ 2
_inst : Fintype α := Fintype.ofFinite α
hα' : Fintype.card α = p ^ 2
this✝ : Nontrivial α
h_cyc : ¬IsCyclic α
g : α
hg : g ≠ 1
this : ∃ a < 3, p ^ a = orderOf g
\u22a2 orderOf g = p
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : Filter (α → β)
g : Filter α
s : Set β
\u22a2 s ∈ f.seq g ↔ ∃ u ∈ f, ∃ t ∈ g, u.seq t ⊆ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
r : β → γ → Prop
f : α →ₘ[μ] β
g : α →ₘ[μ] γ
\u22a2 LiftRel r f g ↔ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, r (↑f a) (↑g a)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : ↑↑(locallyRingedSpaceObj S).toPresheafedSpace
a : ↑((locallyRingedSpaceObj R).presheaf.stalk ((sheafedSpaceMap f).base p))
ha : IsUnit ((localizationToStalk (↑S) p) ((Localization.localRingHom (Ideal.comap f p.asIdeal) p.asIdeal f ⋯) ((stalkToFiberRingHom (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) p)) a)))
\u22a2 IsUnit a
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : ↑↑(locallyRingedSpaceObj S).toPresheafedSpace
a : ↑((locallyRingedSpaceObj R).presheaf.stalk ((sheafedSpaceMap f).base p))
ha : IsUnit ((Localization.localRingHom (Ideal.comap f p.asIdeal) p.asIdeal f ⋯) ((stalkToFiberRingHom (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) p)) a))
\u22a2 IsUnit a
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : ↑↑(locallyRingedSpaceObj S).toPresheafedSpace
a : ↑((locallyRingedSpaceObj R).presheaf.stalk ((sheafedSpaceMap f).base p))
ha : IsUnit ((stalkToFiberRingHom (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) p)) a)
\u22a2 IsUnit a
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
p : ↑↑(locallyRingedSpaceObj S).toPresheafedSpace
a : ↑((locallyRingedSpaceObj R).presheaf.stalk ((sheafedSpaceMap f).base p))
ha : IsUnit ((stalkToFiberRingHom (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) p)) a)
e_1✝ : ↑((locallyRingedSpaceObj R).presheaf.stalk ((sheafedSpaceMap f).base p)) = ↑((structureSheaf ↑R).presheaf.stalk ((PrimeSpectrum.comap f) p))
\u22a2 a = (stalkIso (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) p)).inv ((stalkToFiberRingHom (↑R) ((PrimeSpectrum.comap f) p)) a)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : G.Walk u v
\u22a2 (Walk.map f p).edges = List.map (Sym2.map ⇑f) p.edges
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
\u22a2 ∀ (m n : Num), ↑(m ||| n) = ↑m ||| ↑n
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : β × γ → E
F : E → E'
hf : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)
\u22a2 ∫ (x : β), F (∫ (y : γ), f (x, y) + g (x, y) ∂η (a, x)) ∂κ a = ∫ (x : β), F (∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) + ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x)) ∂κ a
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : β × γ → E
F : E → E'
hf : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)
\u22a2 (fun x => F (∫ (y : γ), f (x, y) + g (x, y) ∂η (a, x))) =ᶠ[ae (κ a)] fun x => F (∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) + ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x))
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : β × γ → E
F : E → E'
hf : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)
a✝ : β
h2f : Integrable (fun y => f (a✝, y)) (η (a, a✝))
h2g : Integrable (fun y => g (a✝, y)) (η (a, a✝))
\u22a2 F (∫ (y : γ), f (a✝, y) + g (a✝, y) ∂η (a, a✝)) = F (∫ (y : γ), f (a✝, y) ∂η (a, a✝) + ∫ (y : γ), g (a✝, y) ∂η (a, a✝))
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
p q : Submodule R M
hpq : Codisjoint p q
B : BilinForm R M
hB : ∀ x ∈ p, ∀ y ∈ q, (B x) y = 0
z : M
hz : z ∈ p
\u22a2 ⟨z, hz⟩ ∈ ker (B.restrict p) ↔ ⟨z, hz⟩ ∈ Submodule.comap p.subtype (ker B)
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
p q : Submodule R M
hpq : Codisjoint p q
B : BilinForm R M
hB : ∀ x ∈ p, ∀ y ∈ q, (B x) y = 0
z : M
hz : z ∈ p
\u22a2 (B.restrict p) ⟨z, hz⟩ = 0 ↔ B z = 0
-- Mathlib/Algebra/Ring/Int.lean
m n : ℤ
\u22a2 Odd (m * n) ↔ Odd m ∧ Odd n
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a✝ p : α
hp : Prime p
a b : α
k l : ℕ
x✝² : p ^ k ∣ a
x✝¹ : p ^ l ∣ b
x✝ : p ^ (k + l + 1) ∣ a * b
x : α
hx : a = p ^ k * x
y : α
hy : b = p ^ l * y
z : α
hz : a * b = p ^ (k + l + 1) * z
\u22a2 p ^ (k + l) * (x * y) = p ^ (k + l) * (p * z)
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a✝ p : α
hp : Prime p
a b : α
k l : ℕ
x✝² : p ^ k ∣ a
x✝¹ : p ^ l ∣ b
x✝ : p ^ (k + l + 1) ∣ a * b
x : α
hx : a = p ^ k * x
y : α
hy : b = p ^ l * y
z : α
hz : a * b = p ^ (k + l + 1) * z
h : p ^ (k + l) * (x * y) = p ^ (k + l) * (p * z)
hp0 : p ^ (k + l) ≠ 0
\u22a2 x * y = p * z
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a✝ p : α
hp : Prime p
a b : α
k l : ℕ
x✝³ : p ^ k ∣ a
x✝² : p ^ l ∣ b
x✝¹ : p ^ (k + l + 1) ∣ a * b
x : α
hx : a = p ^ k * x
y : α
hy : b = p ^ l * y
z : α
hz : a * b = p ^ (k + l + 1) * z
h : p ^ (k + l) * (x * y) = p ^ (k + l) * (p * z)
hp0 : p ^ (k + l) ≠ 0
hpd : p ∣ x * y
x✝ : p ∣ x
d : α
hd : x = p * d
\u22a2 a = p ^ (k + 1) * d
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a✝ p : α
hp : Prime p
a b : α
k l : ℕ
x✝³ : p ^ k ∣ a
x✝² : p ^ l ∣ b
x✝¹ : p ^ (k + l + 1) ∣ a * b
x : α
hx : a = p ^ k * x
y : α
hy : b = p ^ l * y
z : α
hz : a * b = p ^ (k + l + 1) * z
h : p ^ (k + l) * (x * y) = p ^ (k + l) * (p * z)
hp0 : p ^ (k + l) ≠ 0
hpd : p ∣ x * y
x✝ : p ∣ y
d : α
hd : y = p * d
\u22a2 b = p ^ (l + 1) * d
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Projective R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Projective F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P 2 = 0
hQz : Q 2 = 0
\u22a2 P ≈ Q
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Projective R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Projective F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular ![P 0, P 1, 0]
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P 2 = 0
hQz : Q 2 = 0
\u22a2 ![P 0, P 1, 0] ≈ Q
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Projective R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Projective F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular ![P 0, P 1, 0]
hQ : W.Nonsingular ![Q 0, Q 1, 0]
hPz : P 2 = 0
hQz : Q 2 = 0
\u22a2 ![P 0, P 1, 0] ≈ ![Q 0, Q 1, 0]
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Projective R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Projective F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P 2 = 0
hQz : Q 2 = 0
hP : 0 = P 0 ^ 3 ∧ (¬3 = 0 ∧ ¬P 0 = 0 ∨ ¬P 1 ^ 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 = W.a₂ * P 0 ^ 2)
hQ : 0 = Q 0 ^ 3 ∧ (¬3 = 0 ∧ ¬Q 0 = 0 ∨ ¬Q 1 ^ 2 + W.a₁ * Q 0 * Q 1 = W.a₂ * Q 0 ^ 2)
\u22a2 ![P 0, P 1, 0] ≈ ![Q 0, Q 1, 0]
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Projective R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Projective F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P 2 = 0
hQz : Q 2 = 0
hP : ¬P 1 = 0
hQ : ¬Q 1 = 0
\u22a2 ![0, P 1, 0] ≈ ![0, Q 1, 0]
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
\u22a2 ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) a‖₊ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊