ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : Subsingleton M
x✝ : Ideal R
\u22a2 x✝ ∈ associatedPrimes R M ↔ x✝ ∈ ∅
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : Subsingleton M
x✝ : Ideal R
\u22a2 x✝ ∉ associatedPrimes R M
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f g s t : ι → α
a b : α
u : ℕ → α
\u22a2 u 0 ⊔ ⨆ i, u (i + 1) = ⨆ x ∈ {0} ∪ range Nat.succ, u x
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f g s t : ι → α
a b : α
u : ℕ → α
\u22a2 ⨆ x ∈ {0} ∪ range Nat.succ, u x = ⨆ i, u i
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G✝
inst✝¹ : Group G✝
s✝ : Set G✝
G : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
s t : Set G
x : G
\u22a2 x ∈ closure (s ∪ t) ↔ ∃ y ∈ closure s, ∃ z ∈ closure t, y * z = x
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G✝
inst✝¹ : Group G✝
s✝ : Set G✝
G : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
s t : Set G
x : G
\u22a2 (∃ y, (∃ y_1 ∈ Monoid.Closure s, ∃ z ∈ Monoid.Closure t, y_1 * z = y) ∧ ∃ z, (∃ y ∈ Monoid.Closure (Inv.inv ⁻¹' s), ∃ z_1 ∈ Monoid.Closure (Inv.inv ⁻¹' t), y * z_1 = z) ∧ y * z = x) ↔ ∃ y, (∃ y_1 ∈ Monoid.Closure s, ∃ z ∈ Monoid.Closure (Inv.inv ⁻¹' s), y_1 * z = y) ∧ ∃ z, (∃ y ∈ Monoid.Closure t, ∃ z_1 ∈ Monoid.Closure (Inv.inv ⁻¹' t), y * z_1 = z) ∧ y * z = x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3
\u22a2 W.dblX P / W.dblZ P ^ 2 = W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3))
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
α : E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
\u22a2 FiniteDimensional F E
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
α : E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
hfin : FiniteDimensional F ↥F⟮α⟯
\u22a2 FiniteDimensional F E
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
α : E
hprim : F⟮α⟯ = ⊤
hfin : FiniteDimensional F ↥⊤
\u22a2 FiniteDimensional F E
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
f : Set (α × α) → Filter β
h : Monotone f
\u22a2 ((𝓤 α).lift fun s => f (s ○ s)) = ((𝓤 α).lift' fun s => s ○ s).lift f
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
f : Set (α × α) → Filter β
h : Monotone f
\u22a2 Monotone fun s => s ○ s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
f : Set (α × α) → Filter β
h : Monotone f
\u22a2 Monotone f
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
hB' : B.SeparatingRight
\u22a2 B.SeparatingLeft
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
hB' : B.SeparatingRight
\u22a2 ker B.flip = ⊥
-- Mathlib/FieldTheory/IntermediateField.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S✝ S : IntermediateField K L
x✝ : L
\u22a2 x✝ ∈ S.toIntermediateField' ⋯ ↔ x✝ ∈ S
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α
\u22a2 1 ≤ s.chainHeight ↔ s.Nonempty
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α
\u22a2 (∃ l ∈ s.subchain, l.length = 1) ↔ s.Nonempty
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
\u22a2 (whiskerRight (J.plusMap η) F ≫ (J.plusCompIso F Q).hom).app X = ((J.plusCompIso F P).hom ≫ J.plusMap (whiskerRight η F)).app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
\u22a2 ∀ (j : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ), (F.mapCocone (colimit.cocone (J.diagram P (unop X)))).ι.app j ≫ (whiskerRight (J.plusMap η) F ≫ (J.plusCompIso F Q).hom).app X = (F.mapCocone (colimit.cocone (J.diagram P (unop X)))).ι.app j ≫ ((J.plusCompIso F P).hom ≫ J.plusMap (whiskerRight η F)).app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
\u22a2 F.map (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) W) ≫ F.map (colimMap (J.diagramNatTrans η (unop X))) ≫ (J.plusCompIso F Q).hom.app X = F.map (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) W) ≫ (J.plusCompIso F P).hom.app X ≫ colimMap (J.diagramNatTrans (whiskerRight η F) (unop X))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
\u22a2 F.map (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) W) ≫ F.map (colimMap (J.diagramNatTrans η (unop X))) ≫ (J.plusCompIso F Q).hom.app X = (J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (Q ⋙ F)) ((J.diagram (P ⋙ F) (unop X)).obj W) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ F.map (η.app (op i.Y))) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram (Q ⋙ F) (unop X)) W
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
\u22a2 F.map (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) W ≫ colimMap (J.diagramNatTrans η (unop X))) ≫ (J.plusCompIso F Q).hom.app X = ((J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (Q ⋙ F)) ((J.diagram (P ⋙ F) (unop X)).obj W) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ F.map (η.app (op i.Y))) ⋯) ≫ colimit.ι (J.diagram (Q ⋙ F) (unop X)) W
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
\u22a2 F.map (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) W ≫ colimit.desc (J.diagram P (unop X)) ((Cocones.precompose (J.diagramNatTrans η (unop X))).obj (colimit.cocone (J.diagram Q (unop X))))) ≫ (J.plusCompIso F Q).hom.app X = ((J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (Q ⋙ F)) (multiequalizer ((unop W).index (P ⋙ F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ F.map (η.app (op i.Y))) ⋯) ≫ colimit.ι (J.diagram (Q ⋙ F) (unop X)) W
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
\u22a2 F.map (((Cocones.precompose (J.diagramNatTrans η (unop X))).obj (colimit.cocone (J.diagram Q (unop X)))).ι.app W) ≫ (J.plusCompIso F Q).hom.app X = ((J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (Q ⋙ F)) (multiequalizer ((unop W).index (P ⋙ F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ F.map (η.app (op i.Y))) ⋯) ≫ colimit.ι (J.diagram (Q ⋙ F) (unop X)) W
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
\u22a2 F.map (Multiequalizer.lift ((unop W).index Q) (multiequalizer ((unop W).index P)) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index P) i ≫ η.app (op i.Y)) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram Q (unop X)) W) ≫ (J.plusCompIso F Q).hom.app X = ((J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (Q ⋙ F)) (multiequalizer ((unop W).index (P ⋙ F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ F.map (η.app (op i.Y))) ⋯) ≫ colimit.ι (J.diagram (Q ⋙ F) (unop X)) W
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
\u22a2 F.map (Multiequalizer.lift ((unop W).index Q) (multiequalizer ((unop W).index P)) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index P) i ≫ η.app (op i.Y)) ⋯) ≫ (J.diagramCompIso F Q (unop X)).hom.app W ≫ colimit.ι (J.diagram (Q ⋙ F) (unop X)) W = (J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (Q ⋙ F)) (multiequalizer ((unop W).index (P ⋙ F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ F.map (η.app (op i.Y))) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram (Q ⋙ F) (unop X)) W
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
\u22a2 (F.map (Multiequalizer.lift ((unop W).index Q) (multiequalizer ((unop W).index P)) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index P) i ≫ η.app (op i.Y)) ⋯) ≫ (J.diagramCompIso F Q (unop X)).hom.app W) ≫ colimit.ι (J.diagram (Q ⋙ F) (unop X)) W = ((J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (Q ⋙ F)) (multiequalizer ((unop W).index (P ⋙ F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ F.map (η.app (op i.Y))) ⋯) ≫ colimit.ι (J.diagram (Q ⋙ F) (unop X)) W
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
\u22a2 F.map (Multiequalizer.lift ((unop W).index Q) (multiequalizer ((unop W).index P)) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index P) i ≫ η.app (op i.Y)) ⋯) ≫ (J.diagramCompIso F Q (unop X)).hom.app W = (J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (Q ⋙ F)) (multiequalizer ((unop W).index (P ⋙ F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ F.map (η.app (op i.Y))) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
\u22a2 ∀ (a : ((unop W).index (Q ⋙ F)).L), (F.map (Multiequalizer.lift ((unop W).index Q) (multiequalizer ((unop W).index P)) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index P) i ≫ η.app (op i.Y)) ⋯) ≫ (J.diagramCompIso F Q (unop X)).hom.app W) ≫ Multiequalizer.ι ((unop W).index (Q ⋙ F)) a = ((J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (Q ⋙ F)) (multiequalizer ((unop W).index (P ⋙ F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ F.map (η.app (op i.Y))) ⋯) ≫ Multiequalizer.ι ((unop W).index (Q ⋙ F)) a
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
a : ((unop W).index (Q ⋙ F)).L
\u22a2 (F.map (Multiequalizer.lift ((unop W).index Q) (multiequalizer ((unop W).index P)) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index P) i ≫ η.app (op i.Y)) ⋯) ≫ (J.diagramCompIso F Q (unop X)).hom.app W) ≫ Multiequalizer.ι ((unop W).index (Q ⋙ F)) a = ((J.diagramCompIso F P (unop X)).hom.app W ≫ Multiequalizer.lift ((unop W).index (Q ⋙ F)) (multiequalizer ((unop W).index (P ⋙ F))) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index (P ⋙ F)) i ≫ F.map (η.app (op i.Y))) ⋯) ≫ Multiequalizer.ι ((unop W).index (Q ⋙ F)) a
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
a : ((unop W).index (Q ⋙ F)).L
\u22a2 F.map (Multiequalizer.lift ((unop W).index Q) (multiequalizer ((unop W).index P)) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index P) i ≫ η.app (op i.Y)) ⋯) ≫ F.map (Multiequalizer.ι ((unop W).index Q) a) = F.map (Multiequalizer.ι ((unop W).index P) a) ≫ F.map (η.app (op a.Y))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Univ.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
\u22a2 ((optionEquivLeft R (n × n)).symm (univ R n)).IsHomogeneous (Fintype.card n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Univ.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
aux : Fintype.card n = 0 + ∑ i : n, 1
\u22a2 ((optionEquivLeft R (n × n)).symm (univ R n)).IsHomogeneous (Fintype.card n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Univ.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
aux : Fintype.card n = 0 + ∑ i : n, 1
\u22a2 (∑ x : Equiv.Perm n, ↑↑(Equiv.Perm.sign x) * ∏ x_1 : n, ((Polynomial.aevalTower (rename some) (X none)) (if x x_1 = x_1 then Polynomial.X else 0) - X (some (x x_1, x_1)))).IsHomogeneous (0 + ∑ i : n, 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Univ.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
aux : Fintype.card n = 0 + ∑ i : n, 1
\u22a2 ∀ i ∈ Finset.univ, (↑↑(Equiv.Perm.sign i) * ∏ x : n, ((Polynomial.aevalTower (rename some) (X none)) (if i x = x then Polynomial.X else 0) - X (some (i x, x)))).IsHomogeneous (0 + ∑ i : n, 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Univ.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
aux : Fintype.card n = 0 + ∑ i : n, 1
i : Equiv.Perm n
\u22a2 (↑↑(Equiv.Perm.sign i) * ∏ x : n, ((Polynomial.aevalTower (rename some) (X none)) (if i x = x then Polynomial.X else 0) - X (some (i x, x)))).IsHomogeneous (0 + ∑ i : n, 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Univ.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
aux : Fintype.card n = 0 + ∑ i : n, 1
i : Equiv.Perm n
\u22a2 (↑↑(Equiv.Perm.sign i)).IsHomogeneous 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Univ.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
aux : Fintype.card n = 0 + ∑ i : n, 1
i : Equiv.Perm n
\u22a2 (∏ x : n, ((Polynomial.aevalTower (rename some) (X none)) (if i x = x then Polynomial.X else 0) - X (some (i x, x)))).IsHomogeneous (∑ i : n, 1)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.803, u_1} C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : IndexSet Δ
Δ₁ : SimplexCategoryᵒᵖ
α₁ : unop Δ ⟶ unop Δ₁
hα₁ : Epi α₁
α₂ : unop Δ ⟶ unop Δ₁
hα₂ : Epi α₂
h₂ : e ⟨Δ₁, ⟨α₁, hα₁⟩⟩ ≫ eqToHom ⋯ = e ⟨Δ₁, ⟨α₂, hα₂⟩⟩
\u22a2 ⟨Δ₁, ⟨α₁, hα₁⟩⟩ = ⟨Δ₁, ⟨α₂, hα₂⟩⟩