ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
inst✝ : Nonempty ι
l : ι → Filter α
s : (i : ι) → ι' i → Set α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) l
t : Set α
\u22a2 t ∈ ⨅ i, l i ↔ ∃ i, p i.fst i.snd ∧ s i.fst i.snd ⊆ t
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
inst✝ : Nonempty ι
l : ι → Filter α
s : (i : ι) → ι' i → Set α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) l
t : Set α
\u22a2 (∃ i, t ∈ l i) ↔ ∃ a b, p ⟨a, b⟩.fst ⟨a, b⟩.snd ∧ s ⟨a, b⟩.fst ⟨a, b⟩.snd ⊆ t
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fintype.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq β
e : Perm α
f : α ↪ β
a : α
\u22a2 (e.extendDomain f.toEquivRange) (f a) = f (e a)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : dist p₁ p₂ = dist p₁ p₃
\u22a2 |(∡ p₁ p₂ p₃).toReal| < π / 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖
\u22a2 |(∡ p₁ p₂ p₃).toReal| < π / 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖
\u22a2 |(o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (p₁ -ᵥ p₂ - (p₁ -ᵥ p₃))).toReal| < π / 2
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
h : Bornology.IsBounded E
\u22a2 Bornology.IsBounded (Metric.cthickening δ E)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
h : Bornology.IsBounded E
this : Bornology.IsBounded (thickening (max (δ + 1) 1) E)
\u22a2 Bornology.IsBounded (Metric.cthickening δ E)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
h : Bornology.IsBounded E
this : Bornology.IsBounded (thickening (max (δ + 1) 1) E)
\u22a2 Metric.cthickening δ E ⊆ thickening (max (δ + 1) 1) E
-- Mathlib/Order/SupClosed.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : DistribLattice β
s : Set α
hs : InfClosed s
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hts : ↑t ⊆ s
u : Finset α
hu : u.Nonempty
hus : ↑u ⊆ s
\u22a2 t.sup' ht id ⊓ u.sup' hu id ∈ supClosure s
-- Mathlib/Order/SupClosed.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : DistribLattice β
s : Set α
hs : InfClosed s
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hts : ↑t ⊆ s
u : Finset α
hu : u.Nonempty
hus : ↑u ⊆ s
\u22a2 ((t ×ˢ u).sup' ⋯ fun i => id i.1 ⊓ id i.2) ∈ supClosure s
-- Mathlib/Algebra/ModEq.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
\u22a2 ¬a ≡ b [PMOD p] ↔ ∀ (z : ℤ), b ≠ a + z • p
-- Mathlib/Algebra/Module/Bimodule.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Module A M
inst✝⁵ : Module B M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A M
inst✝¹ : IsScalarTower R B M
inst✝ : SMulCommClass A B M
p : Submodule (A ⊗[R] B) M
b : B
m : M
hm : m ∈ p
\u22a2 b • m ∈ p
-- Mathlib/Algebra/Module/Bimodule.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Module A M
inst✝⁵ : Module B M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A M
inst✝¹ : IsScalarTower R B M
inst✝ : SMulCommClass A B M
p : Submodule (A ⊗[R] B) M
b : B
m : M
hm : m ∈ p
\u22a2 b • m = 1 ⊗ₜ[R] b • m
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T✝ : L.Theory
inst✝¹ : L'.Structure M
φ : L →ᴸ L'
inst✝ : φ.IsExpansionOn M
T : L.Theory
\u22a2 M ⊨ φ.onTheory T ↔ M ⊨ T
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
i : ℕ
a c : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
c_mem : c ∈ P ^ i
\u22a2 ∃ d, ∃ e ∈ P ^ (i + 1), a * d + e = c
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
i : ℕ
a c : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
c_mem : c ∈ P ^ i
\u22a2 P ^ i = span {a} ⊔ P ^ (i + 1)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
i : ℕ
a c : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
c_mem : c ∈ P ^ i
\u22a2 P ^ (i + 1) ≠ span {a} ⊔ P ^ (i + 1)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
i : ℕ
a c : S
a_mem : a ∈ P ^ i
c_mem : c ∈ P ^ i
this : P ^ (i + 1) = span {a} ⊔ P ^ (i + 1)
\u22a2 a ∈ P ^ (i + 1)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
i : ℕ
a c : S
a_mem : a ∈ P ^ i
c_mem : c ∈ P ^ i
this : P ^ (i + 1) = span {a} ⊔ P ^ (i + 1)
\u22a2 a ∈ span {a} ⊔ P ^ (i + 1)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ht : t ∈ 𝓝 x
\u22a2 fderivWithin 𝕜 f (s ∩ t) x = fderivWithin 𝕜 f s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ht : t ∈ 𝓝 x
A : 𝓝[(s ∩ t) \ {x}] x = 𝓝[s \ {x}] x
\u22a2 fderivWithin 𝕜 f (s ∩ t) x = fderivWithin 𝕜 f s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
f✝ : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : OpensMeasurableSpace E
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : MeasurableSpace 𝕜
inst✝ : OpensMeasurableSpace 𝕜
h : SecondCountableTopologyEither 𝕜 F
f : 𝕜 → F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
\u22a2 StronglyMeasurable (deriv f)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
f✝ : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : OpensMeasurableSpace E
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : MeasurableSpace 𝕜
inst✝ : OpensMeasurableSpace 𝕜
h : SecondCountableTopologyEither 𝕜 F
f : 𝕜 → F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
h𝕜 : SecondCountableTopology 𝕜
\u22a2 StronglyMeasurable (deriv f)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
f✝ : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : OpensMeasurableSpace E
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : MeasurableSpace 𝕜
inst✝ : OpensMeasurableSpace 𝕜
h : SecondCountableTopologyEither 𝕜 F
f : 𝕜 → F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
hF : SecondCountableTopology F
\u22a2 StronglyMeasurable (deriv f)
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
\u22a2 span ℂ ↑(selfAdjoint A) = ⊤
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
x : A
\u22a2 x ∈ span ℂ ↑(selfAdjoint A)
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
x : A
\u22a2 ↑(ℜ x) + I • ↑(ℑ x) ∈ span ℂ ↑(selfAdjoint A)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
op : α → α → α
ha : Std.Associative op
hc : Std.Commutative op
l : List α
a₁ a₂ : α
\u22a2 ((a₁ :: l) <*> a₂) = op a₁ (l <*> a₂)
-- Mathlib/Algebra/Group/Support.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M
\u22a2 range f ⊆ insert 1 (f '' mulSupport f)
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
G : Type u_1
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
\u22a2 UniformGroup G
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
G : Type u_1
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
this : Tendsto ((fun p => p.1 / p.2) ∘ fun p => (p.1.2 / p.1.1, p.2.2 / p.2.1)) (comap (fun p => (p.1.2 / p.1.1, p.2.2 / p.2.1)) ((𝓝 1).prod (𝓝 1))) (𝓝 (1 / 1))
\u22a2 UniformGroup G
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
G : Type u_1
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
this : Tendsto ((fun p => p.1 / p.2) ∘ fun p => (p.1.2 / p.1.1, p.2.2 / p.2.1)) (comap (fun p => (p.1.2 / p.1.1, p.2.2 / p.2.1)) ((𝓝 1).prod (𝓝 1))) (𝓝 (1 / 1))
\u22a2 UniformContinuous fun p => p.1 / p.2
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
G : Type u_1
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
this : Tendsto ((fun p => p.1 / p.2) ∘ fun p => (p.1.2 / p.1.1, p.2.2 / p.2.1)) (comap (fun p => (p.1.2 / p.1.1, p.2.2 / p.2.1)) ((𝓝 1).prod (𝓝 1))) (𝓝 (1 / 1))
\u22a2 Tendsto ((fun p => p.2 / p.1) ∘ (fun x => (x.1.1 / x.1.2, x.2.1 / x.2.2)) ∘ fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) (comap (fun p => (p.1.2 / p.1.1, p.2.2 / p.2.1)) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1)) (𝓝 1)
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
G : Type u_1
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
this : Tendsto (fun x => x.2.1 * (x.1.2 * x.1.1⁻¹ * x.2.2⁻¹)) (comap (fun p => (p.1.2 * p.1.1⁻¹, p.2.2 * p.2.1⁻¹)) ((𝓝 1).prod (𝓝 1))) (𝓝 (1 * 1⁻¹))
\u22a2 Tendsto (fun x => x.1.2 * (x.2.1 * x.1.1⁻¹ * x.2.2⁻¹)) (comap (fun p => (p.1.2 * p.1.1⁻¹, p.2.2 * p.2.1⁻¹)) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1)) (𝓝 1)
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
G : Type u_1
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
this : Tendsto (fun x => x.2.1 * x.1.2 * x.1.1⁻¹ * x.2.2⁻¹) (comap (fun p => (p.1.2 * p.1.1⁻¹, p.2.2 * p.2.1⁻¹)) ((𝓝 1).prod (𝓝 1))) (𝓝 1)
\u22a2 Tendsto (fun x => x.1.2 * (x.2.1 * x.1.1⁻¹ * x.2.2⁻¹)) (comap (fun p => (p.1.2 * p.1.1⁻¹, p.2.2 * p.2.1⁻¹)) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1)) (𝓝 1)
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
G : Type u_1
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
this : Tendsto (fun x => x.2.1 * x.1.2 * x.1.1⁻¹ * x.2.2⁻¹) (comap (fun p => (p.1.2 * p.1.1⁻¹, p.2.2 * p.2.1⁻¹)) ((𝓝 1).prod (𝓝 1))) (𝓝 1)
\u22a2 Tendsto (fun x => x.2.1 * x.1.2 * x.1.1⁻¹ * x.2.2⁻¹) (comap (fun p => (p.1.2 * p.1.1⁻¹, p.2.2 * p.2.1⁻¹)) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1)) (𝓝 1)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
m p : PosNum
\u22a2 ↑(m * p) + ↑(m * p) = ↑m * (↑p + ↑p)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
m p : PosNum
\u22a2 ↑(m * p) + ↑(m * p) + ↑m = ↑m * (↑p + ↑p) + ↑m
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n m : ℕ
\u22a2 (l.rotate n).rotate m = l.rotate (n + m)
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
C : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : StarRing R
inst✝¹¹ : Semiring A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarModule R A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : StarRing B
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : StarModule R B
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : StarRing C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : StarModule R C
S✝ : StarSubalgebra R A
S : StarSubalgebra R C
g : B →⋆ₐ[R] C
f : A →⋆ₐ[R] B
\u22a2 ↑(comap f (comap g S)) = ↑(comap (g.comp f) S)
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
x✝ y✝ : α
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : SemilatticeSup β
h : ∀ (x : α), x ∈ s → ∀ (y : α), y ∈ s → f (x ⊓ y) = f x ⊔ f y
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
hxy : x ≤ y
\u22a2 f x ⊔ f y = f x
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e✝ : PartialHomeomorph X Y
e : X ≃ₜ Y
\u22a2 ⇑e '' univ = univ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Normed.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : HasContDiffBump E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K : ℝ
h : f.rOut ≤ K * f.rIn
\u22a2 (μ (closedBall c f.rOut)).toReal / K ^ finrank ℝ E ≤ ∫ (x : E), ↑f x ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Normed.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : HasContDiffBump E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K : ℝ
h : f.rOut ≤ K * f.rIn
K_pos : 0 < K
\u22a2 (μ (closedBall c f.rOut)).toReal / K ^ finrank ℝ E ≤ ∫ (x : E), ↑f x ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Normed.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : HasContDiffBump E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K : ℝ
h : f.rOut ≤ K * f.rIn
K_pos : 0 < K
\u22a2 (μ (closedBall c f.rOut)).toReal / K ^ finrank ℝ E ≤ (μ (closedBall c f.rIn)).toReal
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Normed.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : HasContDiffBump E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K : ℝ
h : f.rOut ≤ K * f.rIn
K_pos : 0 < K
\u22a2 f.rOut ^ finrank ℝ E * (μ (closedBall 0 1)).toReal ≤ (K * f.rIn) ^ finrank ℝ E * (μ (closedBall 0 1)).toReal
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Normed.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : HasContDiffBump E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K : ℝ
h : f.rOut ≤ K * f.rIn
K_pos : 0 < K
\u22a2 0 ≤ f.rOut
-- Mathlib/CategoryTheory/Square.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ : Square C
φ : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 ((fun sq => sq.map F) X✝).f₁₂ ≫ F.map φ.τ₂ = F.map φ.τ₁ ≫ ((fun sq => sq.map F) Y✝).f₁₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Square.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ : Square C
φ : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 ((fun sq => sq.map F) X✝).f₁₃ ≫ F.map φ.τ₃ = F.map φ.τ₁ ≫ ((fun sq => sq.map F) Y✝).f₁₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Square.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ : Square C
φ : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 ((fun sq => sq.map F) X✝).f₂₄ ≫ F.map φ.τ₄ = F.map φ.τ₂ ≫ ((fun sq => sq.map F) Y✝).f₂₄
-- Mathlib/CategoryTheory/Square.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ : Square C
φ : X✝ ⟶ Y✝
\u22a2 ((fun sq => sq.map F) X✝).f₃₄ ≫ F.map φ.τ₄ = F.map φ.τ₃ ≫ ((fun sq => sq.map F) Y✝).f₃₄
-- Mathlib/FieldTheory/Extension.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
hK' : ∀ (s : E), IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hL : L ≤ adjoin F S
\u22a2 ∃ φ, φ.comp (inclusion hL) = f
-- Mathlib/FieldTheory/Extension.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
hK' : ∀ (s : E), IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hL : L ≤ adjoin F S
φ : Lifts F E K
hfφ : { carrier := L, emb := f } ≤ φ
hφ : ∀ (z : Lifts F E K), φ ≤ z → z ≤ φ
\u22a2 ∃ φ, φ.comp (inclusion hL) = f
-- Mathlib/FieldTheory/Extension.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
hK' : ∀ (s : E), IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hL : L ≤ adjoin F S
φ : Lifts F E K
hfφ : { carrier := L, emb := f } ≤ φ
hφ : ∀ (z : Lifts F E K), φ ≤ z → z ≤ φ
s : E
hs : s ∈ S
\u22a2 s ∈ ↑φ.carrier
-- Mathlib/FieldTheory/Extension.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
hK' : ∀ (s : E), IsIntegral F s ∧ Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hL : L ≤ adjoin F S
φ : Lifts F E K
hfφ : { carrier := L, emb := f } ≤ φ
hφ : ∀ (z : Lifts F E K), φ ≤ z → z ≤ φ
\u22a2 (φ.emb.comp (inclusion ⋯)).comp (inclusion hL) = f
-- Mathlib/Algebra/Lie/Basic.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M
\u22a2 ⁅-x, m⁆ = -⁅x, m⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/Basic.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M
\u22a2 ⁅-x + x, m⁆ = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
h : IntermediateField.fixedField ⊤ = ⊥
\u22a2 IsGalois F E
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
h : IntermediateField.fixedField ⊤ = ⊥
\u22a2 IsGalois (↥(IntermediateField.fixedField ⊤)) E
-- Mathlib/CategoryTheory/Quotient.lean
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_1, u_2} C
r : HomRel C
D : Type u_4
inst✝ : Category.{u_3, u_4} D
F : C ⥤ D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂
X Y : C
f : X ⟶ Y
\u22a2 (lift r F H).map ((functor r).map f) = F.map f
-- Mathlib/CategoryTheory/Quotient.lean
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_1, u_2} C
r : HomRel C
D : Type u_4
inst✝ : Category.{u_3, u_4} D
F : C ⥤ D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂
X Y : C
f : X ⟶ Y
\u22a2 (lift r F H).map ((functor r).map f) = (lift.isLift r F H).inv.app X ≫ (functor r ⋙ lift r F H).map f ≫ (lift.isLift r F H).hom.app Y
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s✝ : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S : Submonoid M
s : Set M
\u22a2 ↑(closure s) = {1} ∪ ↑(Subsemigroup.closure s)
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s✝ : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S : Submonoid M
s : Set M
\u22a2 ↑(closure s) ≤ {1} ∪ ↑(Subsemigroup.closure s)
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s✝ : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S : Submonoid M
s : Set M
\u22a2 {1} ∪ ↑(Subsemigroup.closure s) ≤ ↑(closure s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projectivization/Independence.lean
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
u v : ℙ K V
\u22a2 Dependent ![u, v] ↔ u = v
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projectivization/Independence.lean
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
u v : ℙ K V
\u22a2 ¬(¬v.rep = 0 ∧ ∀ (a : K), a • v.rep ≠ (Projectivization.rep ∘ ![u, v]) 0) ↔ u = v
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projectivization/Independence.lean
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
u v : ℙ K V
\u22a2 ¬v.rep = 0 ∨ u = v
-- Mathlib/Algebra/Homology/Additive.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} V
inst✝⁷ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.23606, u_2} W
inst✝⁵ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁴ : Category.{?u.23631, u_3} W₁
inst✝³ : Category.{?u.23635, u_4} W₂
inst✝² : HasZeroMorphisms W₁
inst✝¹ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C✝ D E : HomologicalComplex V c✝
f g : C✝ ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex W₁ c
i j : ι
w : ¬c.Rel i j
\u22a2 F.map (C.d i j) = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Additive.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} V
inst✝⁷ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.23606, u_2} W
inst✝⁵ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁴ : Category.{?u.23631, u_3} W₁
inst✝³ : Category.{?u.23635, u_4} W₂
inst✝² : HasZeroMorphisms W₁
inst✝¹ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C✝ D E : HomologicalComplex V c✝
f g : C✝ ⟶ D
h k✝ : D ⟶ E
i✝ : ι
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex W₁ c
i j k : ι
x✝¹ : c.Rel i j
x✝ : c.Rel j k
\u22a2 (fun i j => F.map (C.d i j)) i j ≫ (fun i j => F.map (C.d i j)) j k = 0