ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f✝¹ : X → Y
s✝ : Set X
x : X
y : Y
α : Type u_4
ι : Type u_5
f✝ : α → X
g : X → Y
f : α → X
s : Set X
hf : DenseRange f
hs : IsOpen s
\u22a2 s ⊆ closure (f '' (f ⁻¹' s))
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f✝¹ : X → Y
s✝ : Set X
x : X
y : Y
α : Type u_4
ι : Type u_5
f✝ : α → X
g : X → Y
f : α → X
s : Set X
hf : DenseRange f
hs : IsOpen s
\u22a2 s ⊆ closure (s ∩ range f)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
e : H ≃ₗᵢ[𝕜] K
e' : H →L[𝕜] K := ↑{ toLinearEquiv := e.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
\u22a2 adjoint e' = (adjoint e').comp (e'.comp ↑{ toLinearEquiv := e.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ })
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
e : H ≃ₗᵢ[𝕜] K
e' : H →L[𝕜] K := ↑{ toLinearEquiv := e.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
\u22a2 e'.comp ↑{ toLinearEquiv := e.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ } = id 𝕜 K
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
e : H ≃ₗᵢ[𝕜] K
e' : H →L[𝕜] K := ↑{ toLinearEquiv := e.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
\u22a2 (adjoint e').comp (e'.comp ↑{ toLinearEquiv := e.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }) = ↑{ toLinearEquiv := e.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
e : H ≃ₗᵢ[𝕜] K
e' : H →L[𝕜] K := ↑{ toLinearEquiv := e.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
\u22a2 comp 1 ↑{ toLinearEquiv := e.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ } = ↑{ toLinearEquiv := e.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
-- Mathlib/Algebra/SMulWithZero.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁷ : MonoidWithZero R
inst✝⁶ : MonoidWithZero R'
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : MulActionWithZero R M
inst✝³ : Zero M'
inst✝² : SMul R M'
p : Prop
inst✝¹ : Decidable p
ι : Type u_5
inst✝ : DecidableEq ι
x : M
i j : ι
\u22a2 single i 1 j • x = single i x j
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
f : R → S
f_incr : Monotone f
u : R
freq_le : ∃ᶠ (x : R) in F, x ≤ u
ev : ∀ᶠ (x : S) in map f F, ¬(fun y => y ≤ f u) x
\u22a2 ∀ᶠ (x : R) in F, ¬(fun x => x ≤ u) x
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
f : R → S
f_incr : Monotone f
u : R
freq_le : ∃ᶠ (x : R) in F, x ≤ u
ev : ∀ᶠ (x : S) in map f F, f u < x
\u22a2 ∀ᶠ (x : R) in F, u < x
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
f : R → S
f_incr : Monotone f
u : R
freq_le : ∃ᶠ (x : R) in F, x ≤ u
ev : ∀ᶠ (x : S) in map f F, f u < x
z : R
hz : z ∈ f ⁻¹' {x | f u < x}
\u22a2 u < z
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
f : R → S
f_incr : Monotone f
u : R
freq_le : ∃ᶠ (x : R) in F, x ≤ u
ev : ∀ᶠ (x : S) in map f F, f u < x
z : R
hz : z ∈ f ⁻¹' {x | f u < x}
con : ¬u < z
\u22a2 False
-- Mathlib/Order/Defs.lean
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
\u22a2 compare a b = Ordering.gt ↔ a > b
-- Mathlib/Order/Defs.lean
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
\u22a2 (if a < b then Ordering.lt else if a = b then Ordering.eq else Ordering.gt) = Ordering.gt ↔ a > b
-- Mathlib/Order/Defs.lean
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h✝¹ : ¬a < b
h✝ : ¬a = b
\u22a2 True ↔ a > b
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
x y : G
h : ¬IsOfFinOrder x
n m : ℤ
hnm : (fun n => x ^ n) n = (fun n => x ^ n) m
\u22a2 n = m
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b x : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
hx : x ≠ 0
t : Ordinal.{u_1} := sInf {o | x < b ^ o}
\u22a2 succ (log b x) = sInf {o | x < b ^ o}
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b x : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
hx : x ≠ 0
t : Ordinal.{u_1} := sInf {o | x < b ^ o}
this : x < b ^ t
\u22a2 succ (log b x) = sInf {o | x < b ^ o}
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b x : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
hx : x ≠ 0
t : Ordinal.{u_1} := sInf {o | x < b ^ o}
this : x < b ^ t
h : t = 0
\u22a2 succ (log b x) = sInf {o | x < b ^ o}
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b x : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
hx : x ≠ 0
t : Ordinal.{u_1} := sInf {o | x < b ^ o}
this : x < b ^ t
h : ∃ a, t = succ a
\u22a2 succ (log b x) = sInf {o | x < b ^ o}
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b x : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
hx : x ≠ 0
t : Ordinal.{u_1} := sInf {o | x < b ^ o}
this : x < b ^ t
h : t.IsLimit
\u22a2 succ (log b x) = sInf {o | x < b ^ o}
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
x : ℝ
\u22a2 ↑x < 0 ↔ x < 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Decomposition.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)
\u22a2 ∃ Y i y, F.map i y = x ∧ IsConnected Y ∧ Mono i
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Decomposition.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)
ι : Type
f : ι → C
g : (i : ι) → f i ⟶ X
hl : IsColimit (Cofan.mk X g)
hc : ∀ (i : ι), IsConnected (f i)
he : Finite ι
\u22a2 ∃ Y i y, F.map i y = x ∧ IsConnected Y ∧ Mono i
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Decomposition.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)
ι : Type
f : ι → C
g : (i : ι) → f i ⟶ X
hl : IsColimit (Cofan.mk X g)
hc : ∀ (i : ι), IsConnected (f i)
he : Finite ι
this : Fintype ι
s : Cocone (Discrete.functor f ⋙ F) := F.mapCocone (Cofan.mk X g)
s' : IsColimit s := isColimitOfPreserves F hl
\u22a2 ∃ Y i y, F.map i y = x ∧ IsConnected Y ∧ Mono i
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Decomposition.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)
ι : Type
f : ι → C
g : (i : ι) → f i ⟶ X
hl : IsColimit (Cofan.mk X g)
hc : ∀ (i : ι), IsConnected (f i)
he : Finite ι
this : Fintype ι
s : Cocone (Discrete.functor f ⋙ F) := F.mapCocone (Cofan.mk X g)
s' : IsColimit s := isColimitOfPreserves F hl
j : ι
z : (forget FintypeCat).obj ((Discrete.functor f ⋙ F).obj { as := j })
h : (s.ι.app { as := j }) z = x
\u22a2 ∃ Y i y, F.map i y = x ∧ IsConnected Y ∧ Mono i
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Decomposition.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)
ι : Type
f : ι → C
g : (i : ι) → f i ⟶ X
hl : IsColimit (Cofan.mk X g)
hc : ∀ (i : ι), IsConnected (f i)
he : Finite ι
this : Fintype ι
s : Cocone (Discrete.functor f ⋙ F) := F.mapCocone (Cofan.mk X g)
s' : IsColimit s := isColimitOfPreserves F hl
j : ι
z : (forget FintypeCat).obj ((Discrete.functor f ⋙ F).obj { as := j })
h : (s.ι.app { as := j }) z = x
\u22a2 F.map (g j) z = x
-- Mathlib/Data/Multiset/Lattice.lean
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
\u22a2 (ndinsert a s).inf = a ⊓ s.inf
-- Mathlib/Data/Multiset/Lattice.lean
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Multiset α
\u22a2 ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ ndinsert a s ↔ a_1 ∈ a ::ₘ s
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f✝ g : α → β
a : α
f : ℕ → ℕ
hf : StrictMono f
m n : ℕ
\u22a2 m + f n ≤ f (m + n)
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f✝ g : α → β
a : α
f : ℕ → ℕ
hf : StrictMono f
m n : ℕ
\u22a2 f n + m ≤ f (n + m)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
f : ℝ → ℝ
x f' : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hx : f x ≠ 0
\u22a2 HasStrictDerivAt (fun y => Real.log (f y)) (f' / f x) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
f : ℝ → ℝ
x f' : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hx : f x ≠ 0
\u22a2 HasStrictDerivAt (fun y => Real.log (f y)) ((f x)⁻¹ * f') x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f f' : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hf' : IsLimit f'
hc : IsColimit c
\u22a2 (opProductIsoCoproduct' hf hc).hom ≫ (opProductIsoCoproduct' hf' hc).inv = (hf.conePointUniqueUpToIso hf').op.inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f f' : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hf' : IsLimit f'
hc : IsColimit c
\u22a2 ((opProductIsoCoproduct' hf hc).hom ≫ (opProductIsoCoproduct' hf' hc).inv).unop = (hf.conePointUniqueUpToIso hf').op.inv.unop
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f f' : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hf' : IsLimit f'
hc : IsColimit c
\u22a2 ∀ (j : Discrete α), ((opProductIsoCoproduct' hf hc).hom ≫ (opProductIsoCoproduct' hf' hc).inv).unop ≫ f.π.app j = (hf.conePointUniqueUpToIso hf').op.inv.unop ≫ f.π.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f f' : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hf' : IsLimit f'
hc : IsColimit c
j : α
\u22a2 ((opProductIsoCoproduct' hf hc).hom ≫ (opProductIsoCoproduct' hf' hc).inv).unop ≫ f.proj j = (hf.conePointUniqueUpToIso hf').op.inv.unop ≫ f.π.app { as := j }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f f' : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hf' : IsLimit f'
hc : IsColimit c
j : α
\u22a2 (opProductIsoCoproduct' hf' hc).inv.unop ≫ (opProductIsoCoproduct' hf hc).hom.unop ≫ f.proj j = f'.π.app { as := j }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f f' : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hf' : IsLimit f'
hc : IsColimit c
j : α
\u22a2 ((opProductIsoCoproduct' hf' hc).inv.unop ≫ (opProductIsoCoproduct' hf hc).hom.unop ≫ f.proj j).op = (f'.π.app { as := j }).op
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f f' : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hf' : IsLimit f'
hc : IsColimit c
j : α
\u22a2 c.inj j ≫ (opProductIsoCoproduct' hf' hc).inv = (f'.π.app { as := j }).op
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f f' : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hf' : IsLimit f'
hc : IsColimit c
j : α
\u22a2 ((f'.proj j).op ≫ (opProductIsoCoproduct' hf' hc).hom) ≫ (opProductIsoCoproduct' hf' hc).inv = (f'.π.app { as := j }).op
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f f' : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hf' : IsLimit f'
hc : IsColimit c
j : α
\u22a2 (f'.proj j).op = (f'.π.app { as := j }).op
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Interval.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
inst✝² : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i
\u22a2 (Ico f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Icc (f i) (g i)).card - 1
-- Mathlib/Analysis/Complex/Arg.lean
x y : ℂ
\u22a2 SameRay ℝ x y ↔ (x / y).arg = 0
-- Mathlib/Analysis/Complex/Arg.lean
x y : ℂ
\u22a2 x = 0 ∨ y = 0 ∨ x.arg = y.arg ↔ ↑(x / y).arg = 0
-- Mathlib/Analysis/Complex/Arg.lean
x y : ℂ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
\u22a2 x = 0 ∨ y = 0 ∨ x.arg = y.arg ↔ ↑(x / y).arg = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/FunctorCategory.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{z, w} D
inst✝ : Abelian D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C
\u22a2 (cokernel.π (kernel.ι (α.app X)) ≫ coimageImageComparison (α.app X)) ≫ kernel.ι (cokernel.π (α.app X)) = (cokernel.π (kernel.ι (α.app X)) ≫ (cokernel.desc (kernel.ι (α.app X)) (𝟙 (F.obj X) ≫ cokernel.π ((kernel.ι α).app X)) ⋯ ≫ (PreservesCokernel.iso ((evaluation C D).obj X) (kernel.ι α)).inv) ≫ (coimageImageComparison α).app X ≫ (PreservesKernel.iso ((evaluation C D).obj X) (cokernel.π α)).hom ≫ kernel.map ((cokernel.π α).app X) (cokernel.π (α.app X)) (𝟙 (G.obj X)) (PreservesCokernel.iso ((evaluation C D).obj X) α).hom ⋯) ≫ kernel.ι (cokernel.π (α.app X))
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/FunctorCategory.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{z, w} D
inst✝ : Abelian D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C
\u22a2 α.app X = cokernel.π ((kernel.ι α).app X) ≫ cokernelComparison (kernel.ι α) ((evaluation C D).obj X) ≫ (coimageImageComparison α).app X ≫ kernelComparison (cokernel.π α) ((evaluation C D).obj X) ≫ kernel.ι ((cokernel.π α).app X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/FunctorCategory.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{z, w} D
inst✝ : Abelian D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C
\u22a2 α.app X = ((evaluation C D).obj X).map (cokernel.π (kernel.ι α)) ≫ (coimageImageComparison α).app X ≫ ((evaluation C D).obj X).map (kernel.ι (cokernel.π α))
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/FunctorCategory.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{z, w} D
inst✝ : Abelian D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C
\u22a2 (coimage.π α ≫ coimageImageComparison α ≫ image.ι α).app X = ((evaluation C D).obj X).map (cokernel.π (kernel.ι α)) ≫ (coimageImageComparison α).app X ≫ ((evaluation C D).obj X).map (kernel.ι (cokernel.π α))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
\u22a2 Tendsto (fun m => ∫ (x : γ), κ.density ν a x (seq m) ∂ν a) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
\u22a2 Tendsto (fun m => ∫ (x : γ), κ.density ν a x (seq m) ∂ν a) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
\u22a2 Tendsto (fun m => ((κ a) (univ ×ˢ seq m)).toReal) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
\u22a2 Tendsto (fun m => ((κ a) (univ ×ˢ seq m)).toReal) atTop (𝓝 (ENNReal.toReal 0))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal 0
\u22a2 Tendsto (fun m => ((κ a) (univ ×ˢ seq m)).toReal) atTop (𝓝 (ENNReal.toReal 0))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
\u22a2 {a | a ≠ ⊤} ∈ 𝓝 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal 0
\u22a2 Tendsto (fun m => (κ a) (univ ×ˢ seq m)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal 0
h : Tendsto (⇑(κ a) ∘ fun m => univ ×ˢ seq m) atTop (𝓝 ((κ a) (⋂ n, (fun m => univ ×ˢ seq m) n)))
\u22a2 Tendsto (fun m => (κ a) (univ ×ˢ seq m)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal 0
\u22a2 Antitone fun m => univ ×ˢ seq m
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal 0
\u22a2 ∃ i, (κ a) ((fun m => univ ×ˢ seq m) i) ≠ ⊤
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal 0
h : Tendsto (⇑(κ a) ∘ fun m => univ ×ˢ seq m) atTop (𝓝 ((κ a) (⋂ n, (fun m => univ ×ˢ seq m) n)))
\u22a2 0 = (κ a) (⋂ n, (fun m => univ ×ˢ seq m) n)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal 0
h : Tendsto (⇑(κ a) ∘ fun m => univ ×ˢ seq m) atTop (𝓝 ((κ a) (⋂ n, (fun m => univ ×ˢ seq m) n)))
\u22a2 0 = (κ a) (univ ×ˢ ∅)
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
a b : ℝ
f : ι → Ω → ℝ
N : ι
n m : ℕ
ω : Ω
hnm : n ≤ m
\u22a2 Monotone fun n => upperCrossingTime a b f N n ω
-- Mathlib/Data/Nat/PrimeFin.lean
a b k m n p : ℕ
hmn : m ∣ n
hn : n ≠ 0
\u22a2 m.primeFactors ⊆ n.primeFactors
-- Mathlib/Data/Nat/PrimeFin.lean
a b k m n p : ℕ
hmn : m ∣ n
hn : n ≠ 0
\u22a2 ∀ ⦃x : ℕ⦄, Prime x → x ∣ m → m ≠ 0 → Prime x ∧ x ∣ n ∧ n ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/MulAction.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddGroup α
inst✝² : SeminormedAddGroup β
inst✝¹ : SMulZeroClass α β
inst✝ : BoundedSMul α β
r : α
x : β
\u22a2 ‖r • x‖ ≤ ‖r‖ * ‖x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
α : Type u_5
β : Type u_6
m : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : ∀ (x y : α), f x = f y
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α
\u22a2 StronglyMeasurable f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
α : Type u_5
β : Type u_6
m : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : ∀ (x y : α), f x = f y
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α
\u22a2 f = fun x => ?convert_3