ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : SemilatticeSup α
inst✝⁵ : OrderTop α
inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : SemilatticeSup β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑s
ha : a ∈ s
\u22a2 s.truncatedSup a ≤ a
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : SemilatticeSup α
inst✝⁵ : OrderTop α
inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : SemilatticeSup β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑s
ha : a ∈ s
\u22a2 ∀ (b : α), b ∈ s ∧ a ≤ b → id b ≤ a
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : SemilatticeSup α
inst✝⁵ : OrderTop α
inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : SemilatticeSup β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑s
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : a ≤ b
\u22a2 id b ≤ a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
\u22a2 comp 0 p = 0
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
u : Ultrafilter (Ultrafilter α)
x : Ultrafilter α
\u22a2 ↑u ≤ 𝓝 x ↔ x = joinM u
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
u : Ultrafilter (Ultrafilter α)
x : Ultrafilter α
\u22a2 ↑u ≤ 𝓝 x ↔ ↑(joinM u) ≤ ↑x
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
u : Ultrafilter (Ultrafilter α)
x : Ultrafilter α
\u22a2 ↑u ≤ 𝓝 x ↔ ∀ s ∈ x, {v | s ∈ v} ∈ u
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
u : Ultrafilter (Ultrafilter α)
x : Ultrafilter α
\u22a2 (∀ (i : Set (Ultrafilter α)), (x ∈ i ∧ i ∈ range fun s => {u | s ∈ u}) → i ∈ ↑u) ↔ ∀ s ∈ x, {v | s ∈ v} ∈ u
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Tilted.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
f✝ : α → ℝ
μ : Measure α
f : α → ℝ
x : α
\u22a2 ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) = ↑⟨rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
h1 : 0 ≤ c
h2 : c < 1
h3 : ∀ (n : ℕ), f n = true → g n = true
\u22a2 cantorFunction c f ≤ cantorFunction c g
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
h1 : 0 ≤ c
h2 : c < 1
h3 : ∀ (n : ℕ), f n = true → g n = true
\u22a2 ∀ (i : ℕ), cantorFunctionAux c f i ≤ cantorFunctionAux c g i
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
y : α
xs : List α
w : xs.get? (findIdx p xs) = some y
\u22a2 p y = true
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : f =o[l] g
\u22a2 ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℂ
hl_im : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => |(g x).im|
hl : ∀ᶠ (x : α) in l, f x = 0 → (g x).re = 0 → g x = 0
\u22a2 (let_fun this := fun x => abs (f x) ^ (g x).re / 1; this) =ᶠ[l] let_fun this := fun x => abs (f x) ^ (g x).re; this
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℂ
hl_im : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => |(g x).im|
hl : ∀ᶠ (x : α) in l, f x = 0 → (g x).re = 0 → g x = 0
\u22a2 (fun x => abs (f x) ^ (g x).re) =ᶠ[l] fun x => abs (f x) ^ (g x).re
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Add.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
c : F
\u22a2 deriv (fun y => f y + c) x = deriv f x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
i j✝ k : ι
φ : K ⟶ L
j : ι
inst✝² : K.HasHomology j
inst✝¹ : L.HasHomology j
inst✝ : Mono (φ.f j)
hj : ∀ (i : ι), ¬c.Rel i j
\u22a2 ¬c.Rel (c.prev j) j
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
\u22a2 μ[f - g|m] =ᶠ[ae μ] μ[f|m] - μ[g|m]
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
\u22a2 μ[f + -g|m] =ᶠ[ae μ] μ[f|m] + -μ[g|m]
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsConnected.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
x✝ : Nonempty (IsColimit (pUnitCocone C))
h : IsColimit (pUnitCocone C)
colimitCocone : ColimitCocone (constPUnitFunctor C) := { cocone := pUnitCocone C, isColimit := h }
this : HasColimit (constPUnitFunctor C)
\u22a2 IsConnected C
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsConnected.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
x✝ : Nonempty (IsColimit (pUnitCocone C))
h : IsColimit (pUnitCocone C)
colimitCocone : ColimitCocone (constPUnitFunctor C) := { cocone := pUnitCocone C, isColimit := h }
this : HasColimit (constPUnitFunctor C)
\u22a2 Nonempty (colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1})
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
m₁ m₂ n : ℕ
hm1 : m₁ ∈ n.smoothNumbers
hm2 : m₂ ∈ n.smoothNumbers
\u22a2 m₁ * m₂ ∈ n.smoothNumbers
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
m₁ m₂ n : ℕ
hm1 : m₁ ∈ factoredNumbers (Finset.range n)
hm2 : m₂ ∈ factoredNumbers (Finset.range n)
\u22a2 m₁ * m₂ ∈ factoredNumbers (Finset.range n)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I J : Ideal R
\u22a2 I.minimalPrimes = comap (Quotient.mk I) '' minimalPrimes (R ⧸ I)
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : List (Sigma β)
\u22a2 lookup a s.toFinmap = dlookup a s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
\u22a2 Function.swap dist = dist
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
\u22a2 Function.swap dist x y = dist x y
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : DivInvMonoid M
inst✝ : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H K : S
x y : M
hx : x ∈ H
hy : y ∈ H
\u22a2 x / y ∈ H
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : DivInvMonoid M
inst✝ : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H K : S
x y : M
hx : x ∈ H
hy : y ∈ H
\u22a2 x * y⁻¹ ∈ H
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
S T : Submonoid M
\u22a2 ∀ {x : M}, x ∈ S → x ∈ S ⊔ T
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
S T : Submonoid M
\u22a2 S ≤ S ⊔ T
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β → β
b : β
x : α
xs : List α
\u22a2 foldr f b (xs ++ [x]) = foldr f (f x b) xs
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/LinearMap.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f✝ : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g✝ : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
f g : M →ₗ[R] M
h : Commute f g
p : Submodule R M
hf : MapsTo ⇑f ↑p ↑p
hg : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
\u22a2 f.restrict hf * g.restrict hg = g.restrict hg * f.restrict hf
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/LinearMap.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f✝ : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g✝ : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
f g : M →ₗ[R] M
h : Commute f g
p : Submodule R M
hf : MapsTo ⇑f ↑p ↑p
hg : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
\u22a2 (g * f).restrict ⋯ = g.restrict hg * f.restrict hf
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Bivariate.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : R
p : R[X][Y]
h : Polynomial.evalEval x y p = 0
g : R[X][Y]
\u22a2 (evalEval h) ((mk p) g) = Polynomial.evalEval x y g
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/AEval.lean
R : Type u_2
A : Type u_3
M : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
a : A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
p : Submodule R M
hp : p ≤ Submodule.comap ((Algebra.lsmul R R M) a) p
q q₁ q₂ : Submodule R[X] (AEval R M a)
hq : (comapSubmodule R M a) q₁ = (comapSubmodule R M a) q₂
\u22a2 q₁ = q₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/AEval.lean
R : Type u_2
A : Type u_3
M : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
a : A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
p : Submodule R M
hp : p ≤ Submodule.comap ((Algebra.lsmul R R M) a) p
q q₁ q₂ : Submodule R[X] (AEval R M a)
hq : (comapSubmodule R M a) q₁ = (comapSubmodule R M a) q₂
\u22a2 mapSubmodule a ⋯ = mapSubmodule a ⋯
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β
x✝¹ x✝ : α × β
\u22a2 x✝ ∈ (PFun.id α).prodMap (PFun.id β) x✝¹ ↔ x✝ ∈ PFun.id (α × β) x✝¹
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : Mono f
inst✝ : Mono g
x : Subobject X
\u22a2 (map (f ≫ g)).obj x = (map g).obj ((map f).obj x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : Mono f
inst✝ : Mono g
t : MonoOver X
\u22a2 (map (f ≫ g)).obj (Quotient.mk'' t) = (map g).obj ((map f).obj (Quotient.mk'' t))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
b b' : F
\u22a2 Trivialization.continuousLinearMapAt 𝕜 (trivializationAt F (TangentSpace 𝓘(𝕜, F)) b) b' = 1
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀
\u22a2 a⁻¹ = 0 ↔ a = 0
-- Mathlib/Data/Int/ConditionallyCompleteOrder.lean
s : Set ℤ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
b : ℤ
Hb : ∀ z ∈ s, b ≤ z
Hinh : ∃ z, z ∈ s
this : s.Nonempty ∧ BddBelow s
\u22a2 sInf s = ↑(b.leastOfBdd Hb Hinh)
-- Mathlib/Data/Int/ConditionallyCompleteOrder.lean
s : Set ℤ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
b : ℤ
Hb : ∀ z ∈ s, b ≤ z
Hinh : ∃ z, z ∈ s
this : s.Nonempty ∧ BddBelow s
\u22a2 ↑((Classical.choose ⋯).leastOfBdd ⋯ ⋯) = ↑(b.leastOfBdd Hb Hinh)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : UniformSpace E
inst✝⁴ : T2Space E
inst✝³ : UniformAddGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
\u22a2 CompleteSpace E
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : UniformSpace E
inst✝⁴ : T2Space E
inst✝³ : UniformAddGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
e : E ≃L[𝕜] Fin (finrank 𝕜 E) → 𝕜 := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq ⋯
\u22a2 CompleteSpace E
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : CompleteSpace 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : UniformSpace E
inst✝⁴ : T2Space E
inst✝³ : UniformAddGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
e : E ≃L[𝕜] Fin (finrank 𝕜 E) → 𝕜 := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq ⋯
this : UniformEmbedding ⇑e.toEquiv.symm
\u22a2 CompleteSpace E
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
\u22a2 a / d ≤ b / c
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
\u22a2 a * c ≤ b * d
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projectivization/Basic.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ℙ K V
\u22a2 v.submodule = Submodule.span K {v.rep}
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projectivization/Basic.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ℙ K V
\u22a2 (mk K v.rep ⋯).submodule = Submodule.span K {v.rep}
-- Mathlib/GroupTheory/CommutingProbability.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : Finite M
\u22a2 commProb M ≤ 1
-- Mathlib/GroupTheory/CommutingProbability.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : Finite M
\u22a2 ↑(Nat.card { p // Commute p.1 p.2 }) ≤ ↑(Nat.card M) ^ 2
-- Mathlib/GroupTheory/CommutingProbability.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : Finite M
\u22a2 Nat.card { p // Commute p.1 p.2 } ≤ Nat.card (M × M)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
\u22a2 Memℒp (Filtration.limitProcess (fun n x => κ.densityProcess ν n a x s) (countableFiltration γ) (ν a)) 1 (ν a)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
n : ℕ
\u22a2 eLpNorm (fun x => κ.densityProcess ν n a x s) 1 (ν a) ≤ ↑((ν a) univ).toNNReal
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
n : ℕ
\u22a2 (ν a) univ = ↑((ν a) univ).toNNReal
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
n : ℕ
\u22a2 (ν a) univ ≠ ⊤
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : DecidableEq α
inst✝⁴ : DecidableEq β
inst✝³ : SemilatticeSup α
inst✝² : SemilatticeSup β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : SupHomClass F α β
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
\u22a2 s ⊻ s = s ↔ SupClosed ↑s
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Zero X
f g : C(X, ℝ)₀
this : SemilinearMapClass (C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] C(X, ℝ≥0)) (RingHom.id ℝ≥0) C(X, ℝ≥0)₀ C(X, ℝ≥0)
\u22a2 (f + g).toNNReal + (-f).toNNReal + (-g).toNNReal = (-(f + g)).toNNReal + f.toNNReal + g.toNNReal
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Zero X
f g : C(X, ℝ)₀
this : SemilinearMapClass (C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] C(X, ℝ≥0)) (RingHom.id ℝ≥0) C(X, ℝ≥0)₀ C(X, ℝ≥0)
\u22a2 ↑((f + g).toNNReal + (-f).toNNReal + (-g).toNNReal) = ↑((-(f + g)).toNNReal + f.toNNReal + g.toNNReal)
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z w : ℍ
r R a : ℝ
y₁ y₂ : ℍ
\u22a2 dist (a +ᵥ y₁) (a +ᵥ y₂) = dist y₁ y₂
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a✝ a' : α
b : M
a : α
\u22a2 (fun f => ⇑f) (single a 0) = (fun f => ⇑f) 0
-- Mathlib/Probability/Process/PartitionFiltration.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
t : ℕ → Set α
ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
ht_range : generateFrom (Set.range t) = m
\u22a2 ⨆ n, ↑(partitionFiltration ht) n = m
-- Mathlib/Algebra/Order/CompleteField.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : LinearOrderedField β
a a₁ a₂ : α
b : β
q✝ q : ℚ
\u22a2 cutMap β ↑q = Rat.cast '' {r | ↑r < ↑q}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
ht : NullMeasurableSet t μ
u : Set α
hu : MeasurableSet u
\u22a2 ((μ.restrict t).restrict s) u = (μ.restrict (s ∩ t)) u
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : ↑t
hx : ↑x ∈ s
\u22a2 (Set.sumDiffSubset h).symm x = Sum.inl ⟨↑x, hx⟩
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : ↑t
hx : ↑x ∈ s
\u22a2 (Set.sumDiffSubset h) ((Set.sumDiffSubset h).symm x) = (Set.sumDiffSubset h) (Sum.inl ⟨↑x, hx⟩)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : ↑t
hx : ↑x ∈ s
\u22a2 x = inclusion h ⟨↑x, hx⟩
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
h : o₁ ≤ o₂
hlt : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o₁
\u22a2 (πs' C h) (eval (π C fun x => ord I x < o₁) l) = eval (π C fun x => ord I x < o₂) l
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
h : o₁ ≤ o₂
hlt : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o₁
\u22a2 ((πs' C h) (eval (π C fun x => ord I x < o₁) l)).toFun = ⇑(eval (π C fun x => ord I x < o₂) l)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
r : R
\u22a2 (fun r => r • 1) r = x ↔ (algebraMap R A) r = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
t : x.Compatible
\u22a2 FamilyOfElements.restrict ⋯ x.sieveExtend = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y✝ : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
t : x.Compatible
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : R f
\u22a2 FamilyOfElements.restrict ⋯ x.sieveExtend f hf = x f hf
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
s : ℝ
\u22a2 μ (closedBall x (r * s)) = ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
s : ℝ
this : closedBall 0 (r * s) = r • closedBall 0 s
\u22a2 μ (closedBall x (r * s)) = ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Gamma.lean
p b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hb : 0 < b
\u22a2 ∫ (x : ℂ), rexp (-b * ‖x‖ ^ p) = π * b ^ (-2 / p) * Real.Gamma (2 / p + 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Gamma.lean
p b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hb : 0 < b
\u22a2 ∫ (x : ℂ), rexp (-b * ‖x‖ ^ p) = ∫ (x : ℂ), ‖x‖ ^ 0 * rexp (-b * ‖x‖ ^ p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Gamma.lean
p b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hb : 0 < b
\u22a2 π * b ^ (-2 / p) * Real.Gamma (2 / p + 1) = 2 * π / p * b ^ (-(0 + 2) / p) * Real.Gamma ((0 + 2) / p)
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
l : List M
h : ∀ x ∈ l, x = 1
\u22a2 l.prod = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
l : List M
h : ∀ x ∈ l, x = 1
\u22a2 ℕ
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
l : List M
h : ∀ x ∈ l, x = 1
\u22a2 l.length = ?m.22276
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
g : R →+* S
x y : 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
n : ℕ
\u22a2 ((WittVector.map g) (f x y)).coeff n = (f ((WittVector.map g) x) ((WittVector.map g) y)).coeff n