ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : EMetricSpace X
inst✝⁸ : EMetricSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
v : E
s : Set ℝ
hv : v ≠ 0
hn : ‖v‖ ≠ 0
\u22a2 μH[1] ((fun x => ‖v‖ • x) '' (⇑(LinearMap.toSpanSingleton ℝ E (‖v‖⁻¹ • v)) '' s)) = ‖v‖₊ • μH[1] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : EMetricSpace X
inst✝⁸ : EMetricSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
v : E
s : Set ℝ
hv : v ≠ 0
hn : ‖v‖ ≠ 0
iso_smul : Isometry ⇑(LinearMap.toSpanSingleton ℝ E (‖v‖⁻¹ • v))
\u22a2 μH[1] ((fun x => ‖v‖ • x) '' (⇑(LinearMap.toSpanSingleton ℝ E (‖v‖⁻¹ • v)) '' s)) = ‖v‖₊ • μH[1] s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
h : (G □ H).Connected
\u22a2 G.Connected
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
h : (G □ H).Connected
this : Nonempty α
\u22a2 G.Connected
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
h : (G □ H).Connected
this✝ : Nonempty α
this : Nonempty β
\u22a2 G.Connected
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Finsupp.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ
\u22a2 f ∈ s.finsuppAntidiag n ↔ s.sum ⇑f = n ∧ f.support ⊆ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Caratheodory.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
\u22a2 (convexHull 𝕜) s = ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ s), ⋃ (_ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val), (convexHull 𝕜) ↑t
-- Mathlib/Analysis/Convex/Caratheodory.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
\u22a2 (convexHull 𝕜) s ⊆ ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ s), ⋃ (_ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val), (convexHull 𝕜) ↑t
-- Mathlib/Analysis/Convex/Caratheodory.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
\u22a2 ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ s), ⋃ (_ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val), (convexHull 𝕜) ↑t ⊆ (convexHull 𝕜) s
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
j k : N →* P
h : ∀ (a : M), (j.comp f.toMap) a = (k.comp f.toMap) a
\u22a2 j = k
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
j k : N →* P
h : ∀ (a : M), (j.comp f.toMap) a = (k.comp f.toMap) a
\u22a2 f.lift ⋯ = f.lift ⋯
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Order/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : NonAssocSemiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
n : ℕ
h✝ : NeZero ↑n
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
h : ↑n = 0
\u22a2 f ↑n = f 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
hi : ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ∈ closure (s j)
w : E i
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E i
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x i + d n ∈ s i
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
\u22a2 (LinearMap.single i) w ∈ tangentConeAt 𝕜 (univ.pi s) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
hi : ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ∈ closure (s j)
w : E i
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E i
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x i + d n ∈ s i
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
this : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → ∃ d', x j + d' ∈ s j ∧ ‖c n • d'‖ < (1 / 2) ^ n
\u22a2 (LinearMap.single i) w ∈ tangentConeAt 𝕜 (univ.pi s) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
hi : ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ∈ closure (s j)
w : E i
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E i
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x i + d n ∈ s i
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
d' : ℕ → (j : ι) → E j
hd's : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → x j + d' n j ∈ s j
hcd' : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → ‖c n • d' n j‖ < (1 / 2) ^ n
\u22a2 (LinearMap.single i) w ∈ tangentConeAt 𝕜 (univ.pi s) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝¹ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
hi : ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ∈ closure (s j)
w : E i
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E i
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x i + d n ∈ s i
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
d' : ℕ → (j : ι) → E j
hd's : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → x j + d' n j ∈ s j
hcd' : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → ‖c n • d' n j‖ < (1 / 2) ^ n
n : ℕ
hn : x i + d n ∈ s i
j : ι
x✝ : j ∈ univ
\u22a2 (x + (fun n => Function.update (d' n) i (d n)) n) j ∈ s j
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
hi : ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ∈ closure (s j)
w : E i
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E i
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x i + d n ∈ s i
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
d' : ℕ → (j : ι) → E j
hd's : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → x j + d' n j ∈ s j
hcd' : ∀ (n : ℕ) (j : ι), j ≠ i → ‖c n • d' n j‖ < (1 / 2) ^ n
j : ι
\u22a2 Tendsto (fun i_1 => (c i_1 • (fun n => Function.update (d' n) i (d n)) i_1) j) atTop (𝓝 ((LinearMap.single i) w j))
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Coherence.lean
B : Type u
inst✝ : Quiver B
a b c : B
p : Path a b
f g : Hom b c
η' : Hom₂ f g
\u22a2 (preinclusion B).map { as := p } ◁ Quot.mk Rel η' ≫ (normalizeIso p g).hom = (normalizeIso p f).hom ≫ (preinclusion B).map₂ (eqToHom ⋯)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
mvpz : ↑p ^ (n + 1) = C (↑p ^ (n + 1))
\u22a2 wittPolyProd p (n + 1) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) + remainder p n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
mvpz : ↑p ^ (n + 1) = C (↑p ^ (n + 1))
\u22a2 (∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + remainder p n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
mvpz : ↑p ^ (n + 1) = C (↑p ^ (n + 1))
\u22a2 (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + remainder p n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
mvpz : ↑p ^ (n + 1) = C (↑p ^ (n + 1))
\u22a2 (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + remainder p n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
mvpz : ↑p ^ (n + 1) = C (↑p ^ (n + 1))
\u22a2 (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1 + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + remainder p n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
mvpz : ↑p ^ (n + 1) = C (↑p ^ (n + 1))
\u22a2 (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) + remainder p n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
mvpz : ↑p ^ (n + 1) = C (↑p ^ (n + 1))
\u22a2 (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ((∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1))) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1))) + (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1))) + remainder p n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
mvpz : ↑p ^ (n + 1) = C (↑p ^ (n + 1))
\u22a2 (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ((∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1))) = remainder p n + (-(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1))) + (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1))))
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
mvpz : ↑p ^ (n + 1) = C (↑p ^ (n + 1))
\u22a2 (∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ((∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)))) = remainder p n + (-(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1))))))
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
mvpz : ↑p ^ (n + 1) = C (↑p ^ (n + 1))
\u22a2 ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ((∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x))) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1))) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 1)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * ∑ x ∈ range (n + 1), (rename (Prod.mk 0)) ((monomial (Finsupp.single x (p ^ (n + 1 - x)))) (↑p ^ x)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * (↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)))))
-- Mathlib/Topology/Algebra/ConstMulAction.lean
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : ContinuousConstSMul G α
f : β → α
l : Filter β
a : α
c : G
h : Tendsto (fun x => c • f x) l (𝓝 (c • a))
\u22a2 Tendsto f l (𝓝 a)
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y a b : R
h : a * x + b * y = 1
\u22a2 IsCoprime (-x) y
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y a b : R
h : a * x + b * y = 1
\u22a2 -a * -x + b * y = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Floor.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : LinearOrderedSemiring R
inst✝⁴ : FloorSemiring R
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : OrderTopology R
inst✝¹ : MeasurableSpace R
inst✝ : OpensMeasurableSpace R
f : α → R
n : R
\u22a2 MeasurableSet (floor ⁻¹' {⌊n⌋₊})
-- Mathlib/Algebra/GroupPower/IterateHom.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝ : Semigroup G
a b c : G
h : SemiconjBy a b c
j : G
\u22a2 a * (b * j) = c * (a * j)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
b : ι → V
\u22a2 LinearIndependent K b ↔ Fintype.card ι ≤ Set.finrank K (range b)
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ last n
\u22a2 a.pred ha < b.castPred hb ↔ a ≤ b
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x y L : R
\u22a2 C (f L) * (X - C (f x)) + C (f y) = Polynomial.map f (C L * (X - C x) + C y)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r R✝ : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
R : ℝ
\u22a2 dist ((R / dist x c) ^ 2 • (x -ᵥ c) +ᵥ c) ((R / dist y c) ^ 2 • (y -ᵥ c) +ᵥ c) = R ^ 2 / (dist x c * dist y c) * dist x y
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r R✝ : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
R : ℝ
\u22a2 dist ((R / ‖x -ᵥ c‖) ^ 2 • (x -ᵥ c)) ((R / ‖y -ᵥ c‖) ^ 2 • (y -ᵥ c)) = R ^ 2 / (‖x -ᵥ c‖ * ‖y -ᵥ c‖) * dist x y
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝⁵ : Monoid β
inst✝⁴ : Monoid γ
inst✝³ : FunLike F β γ
M : ι → Type u_6
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : (i : ι) → M i
i : ι
\u22a2 univ.noncommProd (fun i => Pi.mulSingle i (x i)) ⋯ i = x i
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝⁵ : Monoid β
inst✝⁴ : Monoid γ
inst✝³ : FunLike F β γ
M : ι → Type u_6
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : (i : ι) → M i
i : ι
\u22a2 univ.noncommProd (fun i_1 => (Pi.evalMonoidHom M i) ((MonoidHom.mulSingle M i_1) (x i_1))) ⋯ = x i
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝⁵ : Monoid β
inst✝⁴ : Monoid γ
inst✝³ : FunLike F β γ
M : ι → Type u_6
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : (i : ι) → M i
i : ι
\u22a2 (↑univ).Pairwise fun a b => Commute ((fun i => (MonoidHom.mulSingle M i) (x i)) a) ((fun i => (MonoidHom.mulSingle M i) (x i)) b)
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝⁵ : Monoid β
inst✝⁴ : Monoid γ
inst✝³ : FunLike F β γ
M : ι → Type u_6
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : (i : ι) → M i
i : ι
\u22a2 ι → M i
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝⁵ : Monoid β
inst✝⁴ : Monoid γ
inst✝³ : FunLike F β γ
M : ι → Type u_6
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : (i : ι) → M i
i : ι
\u22a2 ∀ x_1 ∈ insert i (univ.erase i), (Pi.evalMonoidHom M i) ((MonoidHom.mulSingle M x_1) (x x_1)) = ?h.convert_3 x_1
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝⁵ : Monoid β
inst✝⁴ : Monoid γ
inst✝³ : FunLike F β γ
M : ι → Type u_6
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : (i : ι) → M i
i : ι
\u22a2 (insert i (univ.erase i)).noncommProd ?h.convert_3 ⋯ = x i
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Prod.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : Module R N₂
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : PartialOrder P
inst✝ : CovariantClass P P (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
\u22a2 (Q₁.prod Q₂).PosDef ↔ Q₁.PosDef ∧ Q₂.PosDef
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Prod.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : Module R N₂
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : PartialOrder P
inst✝ : CovariantClass P P (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
\u22a2 ((∀ (x : M₁), 0 ≤ Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ Q₂ x) ∧ (Q₁.prod Q₂).Anisotropic ↔ ((∀ (x : M₁), 0 ≤ Q₁ x) ∧ Q₁.Anisotropic) ∧ (∀ (x : M₂), 0 ≤ Q₂ x) ∧ Q₂.Anisotropic
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/FloorPow.lean
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
hc : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => u ⌊c k ^ n⌋₊ / ↑⌊c k ^ n⌋₊) atTop (𝓝 l)
\u22a2 Tendsto (fun n => u n / ↑n) atTop (𝓝 l)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/FloorPow.lean
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
hc : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => u ⌊c k ^ n⌋₊ / ↑⌊c k ^ n⌋₊) atTop (𝓝 l)
\u22a2 ∀ (a : ℝ), 1 < a → ∃ c, (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑(c (n + 1)) ≤ a * ↑(c n)) ∧ Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun n => u (c n) / ↑(c n)) atTop (𝓝 l)