ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
p : HolorIndex (d :: ds) → Prop
t : HolorIndex (d :: ds)
i : ℕ
is : List ℕ
h : ↑t = i :: is
\u22a2 Forall₂ (fun x x_1 => x < x_1) (↑t) (d :: ds)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
l₁ l₂ : List (List α)
h : l₁ ~ l₂
\u22a2 l₁.join ~ l₂.join
-- Mathlib/Order/Heyting/Hom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CoheytingAlgebra α
inst✝¹ : CoheytingAlgebra β
inst✝ : CoheytingHomClass F α β
f : F
a : α
\u22a2 f (￢a) = ￢f a
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Embedding.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
π : δ' → Type u_6
π' : δ' → Type u_7
inst✝² : (x : δ') → MeasurableSpace (π x)
inst✝¹ : (x : δ') → MeasurableSpace (π' x)
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_8
inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → MeasurableSpace (α i)
i : Fin (n + 1)
\u22a2 Measurable fun x => (Equiv.piFinSuccAbove α i).symm x i
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Embedding.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
π : δ' → Type u_6
π' : δ' → Type u_7
inst✝² : (x : δ') → MeasurableSpace (π x)
inst✝¹ : (x : δ') → MeasurableSpace (π' x)
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_8
inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → MeasurableSpace (α i)
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
\u22a2 Measurable fun x => (Equiv.piFinSuccAbove α i).symm x (i.succAbove j)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
X : Sort ?u.71899
inst✝ : DecidableEq X
x : X
Y : Sort ?u.71935
f : { x' // x' ≠ x } → Y
y : Y
\u22a2 (fun x' => if h : x' ≠ x then f ⟨x', h⟩ else y) ∘ Subtype.val = f
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
X : Sort ?u.71899
inst✝ : DecidableEq X
x : X
Y : Sort ?u.71935
f : { x' // x' ≠ x } → Y
y : Y
x' : { x' // x' ≠ x }
\u22a2 ((fun x' => if h : x' ≠ x then f ⟨x', h⟩ else y) ∘ Subtype.val) x' = f x'
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
X : Sort ?u.71899
inst✝ : DecidableEq X
x : X
Y : Sort ?u.71935
f : { x' // x' ≠ x } → Y
y : Y
x' : { x' // x' ≠ x }
\u22a2 ↑x' = x → y = f x'
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
X : Sort ?u.71899
inst✝ : DecidableEq X
x : X
Y : Sort ?u.71935
f : { x' // x' ≠ x } → Y
y : Y
x' : { x' // x' ≠ x }
w : ↑x' = x
\u22a2 False
-- Mathlib/Data/Finset/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
u : Finset α
\u22a2 u ∈ Ico s t ↔ u ∈ image (fun x => s ∪ x) (t \ s).ssubsets
-- Mathlib/Data/Finset/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
u : Finset α
\u22a2 s ≤ u ∧ u < t ↔ ∃ a ⊂ t \ s, s ∪ a = u
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/UnderlyingMap.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x✝² x✝¹ : Scheme
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
\u22a2 Surjective x✝ ↔ topologically (fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => Function.Surjective) x✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁴ : EMetricSpace X
inst✝³ : EMetricSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
\u22a2 (mkMetric m) s ≤ liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁴ : EMetricSpace X
inst✝³ : EMetricSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
\u22a2 ⨆ r, ⨆ (_ : 0 < r), ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ r), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), m (diam (t n)) ≤ liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁴ : EMetricSpace X
inst✝³ : EMetricSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
\u22a2 ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), m (diam (t n)) ≤ liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁴ : EMetricSpace X
inst✝³ : EMetricSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
c : ℝ≥0∞
hc : liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l < c
\u22a2 ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), m (diam (t n)) ≤ c
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁴ : EMetricSpace X
inst✝³ : EMetricSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
c : ℝ≥0∞
hc : liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l < c
n : β
hn : ∑' (i : ι n), m (diam (t n i)) < c
hrn : r n < ε
htn : ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hstn : s ⊆ ⋃ i, t n i
\u22a2 ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), m (diam (t n)) ≤ c
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁴ : EMetricSpace X
inst✝³ : EMetricSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
c : ℝ≥0∞
hc : liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l < c
n : β
hn : ∑' (i : ι n), m (diam (t n i)) < c
hrn : r n < ε
htn : ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hstn : s ⊆ ⋃ i, t n i
u : ℕ → Set X := fun j => ⋃ b ∈ decode₂ (ι n) j, t n b
\u22a2 ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), m (diam (t n)) ≤ c
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁴ : EMetricSpace X
inst✝³ : EMetricSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
c : ℝ≥0∞
hc : liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l < c
n : β
hn : ∑' (i : ι n), m (diam (t n i)) < c
hrn : r n < ε
htn : ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hstn : s ⊆ ⋃ i, t n i
u : ℕ → Set X := fun j => ⋃ b ∈ decode₂ (ι n) j, t n b
\u22a2 ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (u n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (u n).Nonempty), m (diam (u n)) ≤ c
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁴ : EMetricSpace X
inst✝³ : EMetricSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
c : ℝ≥0∞
hc : liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l < c
n : β
hn : ∑' (i : ι n), m (diam (t n i)) < c
hrn : r n < ε
htn : ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hstn : s ⊆ ⋃ i, t n i
u : ℕ → Set X := fun j => ⋃ b ∈ decode₂ (ι n) j, t n b
j : ℕ
\u22a2 diam (u j) ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁴ : EMetricSpace X
inst✝³ : EMetricSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
c : ℝ≥0∞
hc : liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l < c
n : β
hn : ∑' (i : ι n), m (diam (t n i)) < c
hrn : r n < ε
htn : ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hstn : s ⊆ ⋃ i, t n i
u : ℕ → Set X := fun j => ⋃ b ∈ decode₂ (ι n) j, t n b
\u22a2 ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (u n).Nonempty), m (diam (u n)) ≤ c
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
a : α
\u22a2 Measurable ((fun p => κ.rnDerivAux η p.1 p.2) ∘ fun x => (a, x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hs : IsCompact s
\u22a2 IsCompact (μ.everywherePosSubset s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hs : IsCompact s
u : Set α
u_open : IsOpen u
hu : μ.everywherePosSubset s = s \ u
\u22a2 IsCompact (μ.everywherePosSubset s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hs : IsCompact s
u : Set α
u_open : IsOpen u
hu : μ.everywherePosSubset s = s \ u
\u22a2 IsCompact (s \ u)
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α
\u22a2 ↑(round x) ≤ x + 1 / 2
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α
\u22a2 ↑⌊x + 1 / 2⌋ ≤ x + 1 / 2
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsConnected.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimit (constPUnitFunctor C)
x✝ : Nonempty (colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1})
h : colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1}
\u22a2 IsConnected C
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsConnected.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimit (constPUnitFunctor C)
x✝ : Nonempty (colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1})
h : colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1}
this : Nonempty C
\u22a2 IsConnected C
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsConnected.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimit (constPUnitFunctor C)
x✝ : Nonempty (colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1})
h : colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1}
this : Nonempty C
c d : C
\u22a2 Zigzag c d
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsConnected.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimit (constPUnitFunctor C)
x✝ : Nonempty (colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1})
h : colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1}
this : Nonempty C
c d : C
\u22a2 EqvGen (Quot.Rel (constPUnitFunctor C)) ⟨c, PUnit.unit⟩ ⟨d, PUnit.unit⟩
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
toMonoidHom✝¹ : R →* R'
map_nonunit'✝¹ : ∀ (a : R), ¬IsUnit a → (↑toMonoidHom✝¹).toFun a = 0
toMonoidHom✝ : R →* R'
map_nonunit'✝ : ∀ (a : R), ¬IsUnit a → (↑toMonoidHom✝).toFun a = 0
h : ∀ (a : R), { toMonoidHom := toMonoidHom✝¹, map_nonunit' := map_nonunit'✝¹ } a = { toMonoidHom := toMonoidHom✝, map_nonunit' := map_nonunit'✝ } a
\u22a2 toMonoidHom✝¹ = toMonoidHom✝
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝¹ n✝ a✝ n : ℕ
hpos : NeZero n
a : ZMod n
\u22a2 a.valMinAbs.natAbs = min a.val (n - a.val)
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝¹ n✝ a✝ n : ℕ
hpos : NeZero n
a : ZMod n
\u22a2 (if a.val ≤ n / 2 then ↑a.val else ↑a.val - ↑n).natAbs = min a.val (n - a.val)
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ⩿ b
\u22a2 a ≤ c ∧ c ≤ b ↔ c = a ∨ c = b
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ⩿ b
\u22a2 c = a ∨ c = b → a ≤ c ∧ c ≤ b
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
b c : α
h : c ⩿ b
\u22a2 c ≤ c ∧ c ≤ b
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a c : α
h : a ⩿ c
\u22a2 a ≤ c ∧ c ≤ c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
ι α : Type u
t : ι → Set α
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c
\u22a2 #↑(⋃ i, t i) < c ↔ ∀ (i : ι), #↑(t i) < c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
ι α : Type u
t : ι → Set α
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c
h : ∀ (i : ι), #↑(t i) < c
\u22a2 #↑(⋃ i, t i) < c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
ι α : Type u
t : ι → Set α
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c
h : ∀ (i : ι), #↑(t i) < c
\u22a2 #↑(range fun i => t i) * ⨆ s, #↑↑s < c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
ι α : Type u
t : ι → Set α
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c
h : ∀ (i : ι), #↑(t i) < c
\u22a2 ⨆ s, #↑↑s < c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
ι α : Type u
t : ι → Set α
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c
h : ∀ (i : ι), #↑(t i) < c
\u22a2 ∀ (i : ↑(range fun i => t i)), #↑↑i < c
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffAt 𝕜 n f x
\u22a2 ContinuousAt f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Basic.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
\u22a2 smulRight 1 (deriv f x) = fderiv 𝕜 f x
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
l : ℕ
hl : Squarefree l
\u22a2 μ l ^ 2 = 1
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/FunctionsBoundedAtInfty.lean
f : ℍ → ℂ
\u22a2 IsBoundedAtImInfty f ↔ ∃ M A, ∀ (z : ℍ), A ≤ z.im → Complex.abs (f z) ≤ M
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialCategory/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : SimplicialCategory C
K L L' L'' : C
g : L ⟶ L'
g' : L' ⟶ L''
\u22a2 (ρ_ (sHom K L)).inv ≫ sHom K L ◁ (homEquiv L L'') (g ≫ g') ≫ sHomComp K L L'' = ((ρ_ (sHom K L)).inv ≫ sHom K L ◁ (homEquiv L L') g ≫ sHomComp K L L') ≫ (ρ_ (sHom K L')).inv ≫ sHom K L' ◁ (homEquiv L' L'') g' ≫ sHomComp K L' L''
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialCategory/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : SimplicialCategory C
K L L' L'' : C
g : L ⟶ L'
g' : L' ⟶ L''
\u22a2 (ρ_ (sHom K L)).inv ≫ sHom K L ◁ (λ_ (𝟙_ SSet)).inv ≫ sHom K L ◁ ((homEquiv L L') g ⊗ (homEquiv L' L'') g') ≫ (α_ (EnrichedCategory.Hom K L) (EnrichedCategory.Hom L L') (EnrichedCategory.Hom L' L'')).inv ≫ eComp SSet K L L' ▷ EnrichedCategory.Hom L' L'' ≫ eComp SSet K L' L'' = (ρ_ (sHom K L)).inv ≫ sHom K L ◁ (homEquiv L L') g ≫ sHomComp K L L' ≫ (ρ_ (sHom K L')).inv ≫ sHom K L' ◁ (homEquiv L' L'') g' ≫ sHomComp K L' L''
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
H : IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max v u}
\u22a2 f i hi (o.nfpBFamily f a) = o.nfpBFamily f a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
H : IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max v u}
\u22a2 o.familyOfBFamily f (enum (fun x x_1 => x < x_1) i ⋯) (o.nfpBFamily f a) = o.nfpBFamily f a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
H : IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max v u}
\u22a2 IsNormal (o.familyOfBFamily f (enum (fun x x_1 => x < x_1) i ⋯))
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
H : IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max v u}
\u22a2 IsNormal (f i ?H.hi)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
i : Ordinal.{u}
hi : i < o
H : IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max v u}
\u22a2 i < o
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : Invertible 2
\u22a2 IsUnit W.twoTorsionPolynomial.disc ↔ IsUnit W.Δ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : Invertible 2
\u22a2 IsUnit (2 ^ 4) ∧ IsUnit W.Δ ↔ IsUnit W.Δ
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : Preorder α
a b c d : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : PosMulMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : a ≤ 0
h : b ≤ 1
\u22a2 a ≤ a * b
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
f : PiLp p β
\u22a2 edist f f = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
f : PiLp 0 β
\u22a2 edist f f = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
f : PiLp ⊤ β
\u22a2 edist f f = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
f : PiLp p β
h : 0 < p.toReal
\u22a2 edist f f = 0
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
N₁ N₂ : Submodule R M
hN₁ : N₁.FG
hN₂ : N₂.FG
t₁ : Set M
ht₁ : t₁.Finite ∧ span R t₁ = N₁
t₂ : Set M
ht₂ : t₂.Finite ∧ span R t₂ = N₂
\u22a2 span R (t₁ ∪ t₂) = N₁ ⊔ N₂
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
s : Set (α × β)
x✝ : ∃ f t, s = graphOn f t
f : α → β
t : Set α
hs : s = graphOn f t
\u22a2 s = graphOn f (Prod.fst '' s)
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
\u22a2 pellZd a1 (m + (n + 1)) = pellZd a1 m * pellZd a1 (n + 1)
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
t : Set β
hs : IsPreconnected s
ht : IsPreconnected t
\u22a2 IsPreconnected (s ×ˢ t)
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
t : Set β
hs : IsPreconnected s
ht : IsPreconnected t
\u22a2 ∀ x ∈ s ×ˢ t, ∀ y ∈ s ×ˢ t, ∃ t_1 ⊆ s ×ˢ t, x ∈ t_1 ∧ y ∈ t_1 ∧ IsPreconnected t_1
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/IterateMapComap.lean
R : Type u_1
N : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f i : N →ₗ[R] M
K : Submodule R N
h : map f K ≤ map i K
n : ℕ
\u22a2 f.iterateMapComap i n K ≤ (fun K => comap f (map i K))^[n + 1] K
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/IterateMapComap.lean
R : Type u_1
N : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f i : N →ₗ[R] M
K : Submodule R N
h : map f K ≤ map i K
n : ℕ
\u22a2 map f (f.iterateMapComap i n K) ≤ map i (f.iterateMapComap i n K)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
v : Basis ι R M
\u22a2 lift.{v, w} #ι = lift.{w, v} (Module.rank R M)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
v : Basis ι R M
this : Nontrivial R
\u22a2 lift.{v, w} #ι = lift.{w, v} (Module.rank R M)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x y : ℝ
\u22a2 AntitoneOn (fun x => log x / x) {x | rexp 1 ≤ x}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x y : ℝ
\u22a2 ∀ ⦃a : ℝ⦄, rexp 1 ≤ a → ∀ ⦃b : ℝ⦄, rexp 1 ≤ b → a ≤ b → log b / b ≤ log a / a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x✝ y✝ x : ℝ
hex : rexp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : rexp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
\u22a2 log y / y ≤ log x / x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x✝ y✝ x : ℝ
hex : rexp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : rexp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
\u22a2 log y / y ≤ log x / x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x✝ y✝ x : ℝ
hex : rexp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : rexp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
\u22a2 log y / y ≤ log x / x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x✝ y✝ x : ℝ
hex : rexp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : rexp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
hlogx : 1 ≤ log x
\u22a2 log y / y ≤ log x / x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x✝ y✝ x : ℝ
hex : rexp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : rexp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
hlogx : 1 ≤ log x
hyx : 0 ≤ y / x - 1
\u22a2 log y / y ≤ log x / x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x✝ y✝ x : ℝ
hex : rexp 1 ≤ x
y : ℝ
hey : rexp 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
hlogx : 1 ≤ log x
hyx : 0 ≤ y / x - 1
\u22a2 log y - log x ≤ log x / x * y - log x
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α
\u22a2 xᶜ ≤ x ↔ x = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Equivs.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ : R
q : ℍ[R,c₁,c₂]
\u22a2 CliffordAlgebraQuaternion.equiv (ofQuaternion (star q)) = CliffordAlgebraQuaternion.equiv (star (ofQuaternion q))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y : Mon_ C
f : X ⟶ Y
Z : Mon_ C
\u22a2 (f ▷ Z).hom = f.hom ▷ Z.X
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y : Mon_ C
f : X ⟶ Y
Z : Mon_ C
\u22a2 (f ▷ Z).hom = f.hom ⊗ 𝟙 Z.X